Похожие
Текст
Г. Е. Шилов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ), части
1—2.
Как и предыдущие книги того же автора — «Математический анализ
(конечномерные линейные пространства)» (М„ 1969) и «Математический анализ
(функции одного переменного)» (чч. 1—2—М., 1969, ч. 3—М., 1970),—эта книга
представляет собою учебное пособие по курсу математического анализа. Она не
является учебником и не следует официальным программам курса; она рассчитана
в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального
и интегрального исчисления в желающих углубить свои знания. В гл. 1 строится
теория дифференцирования для функций от конечного или даже бесконечного
множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие
производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций нескольких
переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический
векторный анализ, в гл. 5—классическая дифференциальная геометрия, которая
развивается в гл. .6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные вопросы
анализа на дифференцируемых многообразиях, в частности теория
дифференциальных антисимметричных форм с соответствующими
интегральными теоремами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5 § 2.1. Высшие производные 121
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ числовой функции п переменных
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И § 2.2. Общее определение высших 139
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ производных
Глава 1. Производные первого 11 § 2.3. Свойства высших 147
порядка производных
§ 1.1. Непрерывные функции 11 § 2.4. Теорема Тейлора и ее 156
§ 1.2. Дифференцируемые 24 обращение
функций § 2.5. Теорема Фробениуса 167
§ 1.3. Общие теоремы о 40 § 2.6. Системы уравнений с 175
дифференцируемых функциях частными производными и
§ 1.4. Теорема о среднем 54 геометрические приложения
§ 1.5. Теорема о неявной функции 66 Задачи 186
§ 1.6. Дифференциальные 83 Историческая справка. 188
уравнения Глава 3. Интегрирование в 189
§ 1.7. Локальная структура 92 многомерных пространствах
дифференцируемой функции §3.1. Интеграл Римана на 189
§ 1.8. Стационарные значения 107 нагруженном пространстве
числовых функций § 3.2. Теоремы существования 201
Задачи 115 § 3.3. Жордановы множества 208
Историческая справка 119 § 3.4. Отображения нагруженных 223
Глава 2. Высшие производные 121 пространств
§ 3.5. Интеграл Римана в 228 системы
евклидовом пространстве § 5.5. Двумерные поверхности 446
§ 3.6. Интеграл по поверхности 261 постоянной кривизны
§ 3.7. Несобственные интегралы 285 § 5.6. Параллельное перенесение 456
Задачи 312 векторов и теорема Леви-Чивнта
Историческая справка 314 Задачи 464
Глава 4. Связь между 316 Историческая справка 467
интегрированием и Глава 6. Риманова геометрия 468
дифференцированием § 6.1. Алгебраическая теория 468
§ 4.1. Формула Остроградского 316 тензоров
§ 4.2. Вихрь векторного поля 331 § 6.2. Элементарное 484
§ 4.3. Оператор Гамильтона 344 дифференцируемое многообразие
§ 4.4. Некоторые типы векторных полей 353 § 6.3. Элементарное риманово пространство 492
§ 4.5. Гармонические поля и функции 365 § 6.4. Пространство с аффнииой связностью 499
§ 4.6. Построение векторного поля 379 § 6.5. Кривизна 517
в R.3 по его вихрю и расходимости § 6.6. Римановы пространства 532
Задачи 383 постоянной кривизны
Историческая справка 384 Задачи 540
ЧАСТЬ ВТОРАЯ Историческая справка 541
ОТ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ К МНОГООБРАЗИЯМ Глава 7. Дифференцирование и интегрирование на многообразиях 542
Глава 5. Классическая 389 § 7.1. Антисимметричные формы 542
дифференциальная геометрия § 7.2. Дифференциальные формы 556
§ 5.1. Первая квадратичная форма 389 § 7.3. Интегральные теоремы 570
§ 5.2. Вторая квадратичная форма 399 § 7.4. Кодифференцирование 593
§ 5.3. Связь первой и второй 417 Задачи 605
квадратичных форм Историческая справка 608
§ 5.4. Геодезические линии и 432 Указания и ответы к задачам 609
связанные с ними координатные Алфавитный указатель 618
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная сходимость несобственного интеграла 288 Абсолютные свойства 486 Абсолютный дифференциал 515 — параллелизм 504 Аддитивности условие 191 Альтернация 547 Антисимметричная форма 546 каноническая 547 Антиэквивалентные поверхности 573 Асимптотическое направление 403 Аффнииая связность 501 симметричная 501 Бивектор 477 — единичный 481 Брус 195 Векторное поле 317 — произведение 267 Ветви кривых 117 Вихрь 338 Внутренняя геометрия 394 Вращение векторного поля 331
Вторая квадратичная форма 399
Вынужденная кривизна 433
Гамильтониан 345
Гармоническая функция 365
Гармоническое поле 365
Геликоид 397
Геодезическая кривизна 433
Геодезические линии 432, 498, 507
— параллели 437
Геодезический дифференциал 457
Гиперболическая точка 405
Главные кривизны 406
— направления 405
Гладкая линия 51
Гомотетия 230
Градиент 27, 30
Граница множества 208
— цепи 581
График 12, 13
Дельта-образная последовательность
222
Деривационные формулы 417
Дивергенция 319
Дифференциал 27, 30
— абсолютный 497
---высший 124, 145
---частный 125
— , его инвариантность 44
— формы 559
— частный 50
Дифференциальная форма 556
---сопряженная 593
Дифференциальное уравнение 85
Дифференцирование 30
— формальное 118
Дифференцируемое многообразие
элементарное 484
Допустимая область 285—287
— поверхность 571
Допустимые системы координат 485
Жесткость многомерных
поверхностей 431
Жорданова точка 222
Жорданово множество 208
— отображение 226
— тело 209
Замена переменных в интервале 255
Замкнутая поверхность 320
Изгибание 394
Изометрия поверхностей 393
Индикатриса Дюпена 408
Интеграл 189, 191
— векторного поля 332
— Дирихле 238
— п-кратный 195
— повторный 219
— по жорданову множеству 212
— по поверхности 261
Интегрирование дифференциальных
форм 570
Исчерпывающая последовательность
286
Итерационный метод 116
Каноническая запись
антисимметричной формы 1-я
553
----------2-я 554
Канонический параметр 508
Касательная 33
Касательное пространство 488
Катеноид 397
Ковариантность 470
Кодифференциал 597
Композиция функций 17
Контравариантиость 470
Коэффициент искажения 227
Коэффициенты связности 419
Кривизна вынужденная 433
— гауссова 415
---формальная 425
— геодезическая 433
— кривой на поверхности 399
— полная 406
— риманова пространства в
двумерном направлении 529
— средняя 406
Кривизны главные 406
Кристофеля символы 419
Кручение связности 501
Лемниската 15
Линия быстрейшего подъема 39
— кривизны 417
— уровня 14 Лист Мёбиуса 384
Максимум локальный 107, 132
----условный 109
Матрица Якоби 32
Мера 191
Минимум локальный 107, 132
----условный 109
Мультнномер 542
— дополнительный 544
— строгий 543
—строго упорядоченный 543
— упорядоченный 543
Нагружение 191
— нормальное 209
Нагруженное пространство 191
----, произведение 199
Неподвижная точка 83
Неравенство Харнака 384
Несобственный интеграл 1-го рода
286
----2-го рода 287
----3-го рода 287
----с переменной особенностью
303
Неявная функция 67
----, ее производная 73
Номер 542
Нормальная кривизна 402
Нормальное сеченне 402
----полное 465
----элементарное 465
Нормальный вектор 267, 399
Нормально нагруженное
пространство 209
Нуль-множество 205
Ньютоново поле 356
Обратная задача векторного анализа
379
— функция 66
Обратное отображение 47
Обратный элемент 47
---левый 47
---правый 47
Объем жорданова множества 209
---параллелепипеда 243
— симплекса 248
— тора 260
— шара 249
Овалы Касснии 15
Оператор Гамильтона 344
— Лапласа 353, 598
— Лапласа — Бельтрами 600
Ордирование 543
Ориентируемость 320
Отображение 12
— жорданово 226
— конформное 187
— обратное 47
— сжимающее 60
— сферическое 415
Параболическая точка 405
Параболоид вращения 13
— гиперболический 13
— эллиптический 13
Параллелепипед к-мерный 243
Параллельное перенесение 456,
494,500
Первая квадратичная форма 392
Плотность 224
Площадь поверхности 261
---сферы 269
---тора 270
Поверхность вращения 397
— уровня 14
Поле Био и Савара 362
— гармоническое 365
— Ньютона 356
Полилинейная форма 141, 544
---антисимметричная 546
---симметричная 142
Полный прообраз 97
Полугеодезическая система
координат 440
Полукольцо 191
Последующее разбиение 202
Потенциал 332
Потенциальное поле 332
Поток векторного поля 317
Правило Сильвестра 129
Преобразование Фурье п-кратиое 314
Пример Шварца 312
Принцип Кавальери 239
— локализации для несобственных
интегралов 290
Проектор 19
Произведение обобщенное 22
Производная 30
— вдоль линии 51
— высшего порядка 121, 139
— ковариантная 517
— контравариантная 517
— неявной функции 73
— обратной функции 74
— по направлению 37
— по подпространству 61
— частная 27
Простое множество 199
Прямая сумма 19
Прямое произведение 16
Псевдосфера 449, 537
Разностная схема 159
---, ее результат 159
Ранг тензора 471
Расстояние от точки до множества
204
Расходимость 219
Риманово пространство постоянной
кривизны 534
---элементарное 492
Ротор 338
Свертывание тензора 473
Связность аффинная 501
— риманова 502
Симметричная форма элементарная
605
Симметрия второй производной 149
— высших производных 151
— смешанных производных 150
Симплекс 248
Складка 104
Слой 277
Среднее значение функции 224
Статический момент 242
Стационарная точка 107
Степенная форма 142
Стрикционная линия 464
Сферически симметричное поле 353
Сферические координаты 259,313
Тензор 469
— антисимметричный 471
— кривизны 519
— метрический 479
---производный 481
— симметричный 471
— типа Риччи 482
Тензорное поле 490
— произведение форм 549
-------альтернированное 550
Тензорные уравнения 475
Теорема Бонне 427
— Веблена и Томаса 184
— Гаусса (о геодезическом
треугольнике) 463
---(о полной кривизне) 425
— Гильберта 449
— Жане—Э. Картана 432
— Клеро 446
— Леви-Чивнта 460
— Менье 403
— о неявной функции 68
— о ранге 99
— о среднем 54
— Фробениуса 174
Тождество Пуанкаре 564
— Риччи 481
Тождество Стокса—Пуанкаре 588
Трактриса 448
Умножение тензоров 473
Уплощения точка 405
Уравнение Пуассона 362
Уравновешивающая плоскость 241
Усиленно аддитивная функция 223
Условие Липшица 59
Формула Вейнгартена 420
— Гаусса 421
---деривационная 420
— Грнна 328, 366
— Менье 401
— Остроградского 324
— Петерсона—Кодацци 421
— Пуассона 362, 371
— Стокса 340
— Тейлора 125
— Эйлера 406
Функция 11
— аддитивная 191
— векторная 12
— вещественная 12
— дифференцируемая 25, 26, 28
по подпространству 62
р раз 140
— интегрируемая 193
— линейная 18
— непрерывная 15
— неявная 67
— п вещественных переменных 12
— обратная 66
— одного вещественного
переменного 12
— сложная 17
— усиленно аддитивная 223
— характеристическая 209
— числовая 12
Характеристика мультнномера 606
Характеристическая функция 209
Центр прямой 464
— тяжести 242
Цепь 579
Цикл 585
Циркуляция 334
Частная производная 27
---высшего порядка 146
Частный дифференциал 50
---высшего порядка 146
Эквивалентность аффинная 501
Эквивалентные многообразия 485
— нагружения 215
— поверхности 572
— римановы пространства 492
— цепи 579
Экстремум 107
— условный 108
Эллиптическая точка 409
Ядро отображения 97
Якобиан 32
Ячейка 191
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эту книгу можно рассматривать как продолжение
книги того же автора «Математический анализ (функ-
ции одного переменного)» (части 1 и 2 — М., 1969,
часть 3 — М., 1970, изд-во «Наука»). Основные принципы
построения материала остаются прежними: в соответ-
ствии с современными взглядами на строение матема-
тики математический анализ представляется как высоко-
организованная система структур, различных ступеней
абстракции, тесно связанных разнообразными нитями
между собой и с конкретными приложениями. В науч-
ных сочинениях типа «Элементов математики» Н. Бур-
баки последовательное проведение этого принципа при-
водит к строго дедуктивному изложению теории; в кни-
гах педагогического направления во многих случаях
более целесообразно индуктивное построение, позволяю-
щее читателю проследить за формированием все более
и более общих концепций, убеждаясь на конкретном
материале в необходимости соответствующих обобще-
ний. Такая система изложения принята и в нашей книге.
Формально говоря, главы «Связь между интегрирова-
нием и дифференцированием» и «Классическая диффе-
ренциальная геометрия» не необходимы в курсе — ос-
новные результаты этих глав можно получить как част-
ные следствия более общих теорий (что и делается
в дальнейшем в книге); однако мы сочли нужным вве-
сти эти главы и предпослать их дальнейшим теориям
именно для того, чтобы читатель был подведен к необ-
ходимости введения таких общих понятий, как, напри-
мер, риманово пространство или дифференциальная
форма на многообразии, и был готов к применению
этих общих понятий в нужных направлениях. Поэтому
й расположение материала подчинено дальнейшим
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
целям: так, столь излюбленная в курсах дифферен-
циальной геометрии теория развертывающихся поверх-
ностей становится у нас незначительным эпизодом, а на
главные роли выдвигаются коэффициенты связности Ри-
мана — Кристофеля.
Как и «Функции одного переменного», эта книга со-
стоит из трех частей. Первые две — «Дифференциальное
и интегральное исчисление» и «От линейных пространств
к многообразиям» — находятся перед читателем; третья
часть «Анализ на многообразиях» выйдет в свет несколь-
ко позднее отдельной книгой.
Глава 1 излагает теорию дифференцирования для
функций от конечного и бесконечного числа переменных.
Большое значение дифференциального исчисления для
функций нескольких переменных (конечного числа) до-
статочно очевидно; однако оказывается, что дифферен-
циальное исчисление функций, зависящих от бесконеч-
ного числа переменных (точнее, от точки нормирован-
ного пространства), также способно приносить пользу
в самых классических вопросах анализа, например
в изучении свойств решений обыкновенных дифферен-
циальных уравнений (а исследование экстремумов таких
функций смыкается с задачами вариационного исчис-
ления) .
Глава 2 посвящена высшим производным. Как и
в случае функций одного переменного, высшие произ-
водные позволяют более точно (чем первая) описывать
поведение функции в окрестности данной точки. Но они
имеют и многие другие приложения. Оказывается, на-
пример, что классическая задача о разрешимости пол-
ной системы уравнений в частных производных стано-
вится вполне прозрачной после интерпретации ее как
задачи о разрешимости обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения (но с многомерным аргументом!), кото-
рая требует лишь симметрии второй производной реше-
ния, выраженной через правую часть уравнения.
В третьей главе строится теория интегрирования.
Абстрактную часть теории составляет обобщение инте-
грала Римана на «нагруженное пространство» — метри-
ческое пространство с конечно-аддитивной мерой. Как и
в книге «Функции одного переменного», мы не вводим
интеграла Лебега, поскольку нам приходится интегри-
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
ровать лишь непрерывные функции или функции с «не-
большим» множеством точек разрыва; это позволяет не
иметь дела со счетной аддитивностью меры. Как при-
менение даются теория измерения объемов в многомер*
ном евклидовом пространстве и теория измерения по-
верхностей (с разными подходами); определенное вни*
мание мы уделяем и несобственным интегралам, как
объемным, так и поверхностным.
Векторный анализ в главе 4 используется как язык
для формулирования связей между интегральными и
дифференциальными операциями над функциями не-
скольких переменных. Основные дифференциальные опе-
рации (градиент, расходимость, вихрь) понимаются
с единой точки зрения как плотности некоторых адди-
тивных функций областей. Теория доводится до обрат-
ной задачи (восстановление поля по расходимости и
вихрю). Существенная часть главы протекает в трехмер-
ном пространстве по причине специфичности определе-
ния вихря.
Вторую часть книги открывает глава 5 «Классиче-
ская дифференциальная геометрия», в которой основное
внимание уделяется связности, порождаемой на поверх-
ности метрикой вмещающего ее евклидова простран-
ства, а также геодезическим линиям и параллельному
переносу, как атрибутам связности. В развитии этих
построений постепенно обнаруживается, что метрику на
поверхности не обязательно следует заимствовать из
вмещающего евклидова пространства; так, постоянная
кривизна реализуется на плоскости, на сфере и на ги-
перболоиде, причем на последнем метрика заимствуется
не из вмещающего евклидова пространства, а из неко-
торой квадратичной формы с одним отрицательным
квадратом. Отсюда — прямая дорога к римановым про-
странствам (глава 6). Оказывается, что и в общем слу-
чае.для любого риманова пространства постоянная кри-
визна реализуется на плоскости (многомерной), сфере
(многомерной) и на гиперболоиде (многомерном),—
в последнем случае с метрикой, порожденной квадра-
тичной формой с одним отрицательным квадратом, по-
ложительной на самом гиперболоиде.
В главе 7 на первое место выдвигаются диффе-
ренциальные формы любой степени; они служат для
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
формулировки интегральных теорем типа Стокса,
а также для правильной постановки многомерного обоб-
щения обратной задачи векторного анализа: именно та-
ким обобщением является задача о восстановлении
формы по ее дифференциалу и ко дифференциалу.
Система нумерации такая же, как в первой книге; на-
пример, символ 6.23 б означает: «глава 6, параграф 2,
пункт 3, подпункт б». Эти символы указаны на колонти-
тулах каждой страницы, что позволяет быстро найти
в книге нужное место. Встречаются иногда ссылки на
книги автора «Математический анализ (функции одного
переменного)» (чч. 1—2, М., 1969; ч. 3, М., 1970) и «Ма-
тематический анализ (конечномерные линейные про-
странства)» (М., 1969); они обозначаются такими же
символами, но с присоединением впереди буквы О (для
первой названной книги) или Л (для второй).
Автор приносит живейшую благодарность коллегам,
принимавшим участие в обсуждении различных вопро-
сов, затронутых в книге; в особенности это относится
к Н. В. Ефимову, П. К. Рашевскому, Л. А. Тумаркину,
В. П. Паламодову, Б. П. Панеяху, И. Я. Дорфман,
А. С. Немировскому. Книга П. К- Рашевского «Рима-
нова геометрия и тензорный анализ» весьма существен-
но была мною использована в главе 6. В 1-й и 2-й
главах я использовал книгу Ж. Дьедонне «Основы со-
временного анализа».
Автор
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА t
ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этой главе нашей задачей является построение дифферент
циального исчисления с. производными пока только первого порядку
для функций многомерного аргумента. Основная идея построения
есть идея линеаризации — выделения из приращения функции глав-
ной линейной части, благодаря чему локальное изучение функции
с точностью до малых первого порядка становится вполне элемен-
тарным. Функции, для которых такая процедура возможна, и на-
зываются дифференцируемыми. Изучение простейших свойств диффе-
ренцируемых функций на основе линеаризации проводится единым
образом для функции одного вещественного переменного, функ-
ции нескольких вещественных переменных и даже для функции
бесконечного числа переменных (точнее, для функции, зависящей
от точки нормированного линейного пространства). Некоторые от-
личия от функций одного переменного проявляются лишь в фор-
мулировке теоремы о среднем (§ 1.4). Далее, основную роль на-
чинает играть существенно новая теорема, отсутствовавшая в тео-
рии функций одного переменного, — теорема о неявной функции
(§ 1.5). Без преувеличения ее можно называть главной теоремой
в дифференциальном исчислении функций многих переменных —
настолько важными являютси ее приложения как в конечномер-
ной, так и в общей (бесконечномерной) формулировке: зависимость
решении обыкновенного дифференциального уравнения от пара-
метра (§ 1.6), локальная структура дифференцируемой функции
(§ 1.7), теория условного экстремума (§1.8) и множество других,
с которыми мы встретимся в последующих главах.
§ 1.1. Непрерывные функции
Перед построением дифференциального исчисления
для функций нескольких вещественных переменных не-
обходимо напомнить основные определения, относя-
щиеся к теории непрерывных функций.
1.11. Пусть дана функция у = /(х), определенная на
некотором множестве X и принимающая, свои значе-
ния в множестве У. В дальнейшем будем употреблять,
в зависимости от целесообразности, следующие формы
'fg ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ].Ц
записи этого факта:
У = 1(х), y.X-*Y,
y — f(x): X->Y,
y = f(x) (Л->У),
x~*y — f(x),
последние две — в случаях, если X и Y известны из кон-
текста. Если необходимо указать, что функция f(x) оп-
ределена на подмножестве Е cz X и принимает значения
в подмножестве F с У, будем также писать
4/ = f(*): (ЕсХ)->(Ес У)
или, опуская скобки,
у = f(x): Е с. X-♦ F Q У.
Функция f(x) называется числовой, если У сд Rt (веще-
ственная ось). Такую функцию f(x) называют также ве-
щественной (точнее, вещественно-значной). Если Y<£Rt,
функция f(x) называется, как правило, отображением.
Если У есть линейное пространство (012.11), например,
если У = Rn (n-мерное вещественное пространство), то
функция f(x): X—»У называется векторной. Если X —
множество в R\, то f(x) называется функцией одного
вещественного переменного. Если X есть область в
то f (х) называется функцией п вещественных перемен-
ных-, этими переменными считаются обычно координаты
хъ ..., хп точки х в каком-либо базисе пространства Rn.
Чтобы наглядно представить себе числовую функ-
цию одного вещественного переменного, мы рисовали ее
график, откладывая в каждой точке х ее области опре-
деления иа вещественной оси значение функции f(x) по
направлению оси у. В случае числовой функции двух ве-
щественных переменных f(xh х2) можно в каждой точке
(xit х2) множества X на плоскости R2 откладывать зна-
чение f(x\, х2) в направлении третьей оси у. В случае
числовой функции одного переменного ее графиком слу-
жит, вообще говоря, некоторая кривая; в случае' двух
переменных график числовой функции будет представ-
лять собою, по крайней мере для простых функций, не-
1.11
§ 1.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
13
которую поверхность, которую можно изобразить на
чертеже, пользуясь правилами перспективы.
Примеры, а. Линейной функции y—k\Xi-\-k2x2-\-b
в качестве графика отвечает некоторая плоскость. Числа
kt и k2 называются угловыми коэффициентами этой пло-
скости, а их геометрический смысл очевиден из
рис. 1.1-1.
б. Графиком квадратичной функции у — х^ + х? яв-
ляется параболоид вращения (при у = atxf + а2х|, ах > О,
а2 > 0 — эллиптический
параболоид), показанный а
на рис. 1.1-2.
в. Графиком квадра- _______~-т
тичной функции у = / Z
~ хг — Xi является сед- Г—*----—Z____ I
лообразная поверхность, I ------
называемая гиперболиче- I х’ 1 __
ским параболоидом; если
ось у направлена вверх, Рис. 1.1-3.
то вертикальные сечения
поверхности — параболы, а горизонтальные сечения —
гиперболы (рис. 1.1-3).
В случае функции трех и более переменных мы
можем, конечно, назвать «графиком» функции сово-
купность точек (Х|, .... хп, f(xi, хп)), х^Х, в
14
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.11
(п + 1)-мерном пространстве, что соответствует общему
определению графика в 02.83; однако наглядное пред-
ставление этого «графика» затруднительно; в таких слу-
чаях наглядность должна уступать место логике. Впро-
чем, графики не необходимы и в случае двух переменных
и даже одного переменного, хотя никто не отрицает их
полезности.
г. В некоторых случаях наглядное представление
о функции можно получить из рассмотрения ее линий
(или поверхностей) уровня. Линия (поверхность) уровня
функции у = f(x) есть геометрическое место точек, где
функция сохраняет какое-либо постоянное значение
у = уо. Так, для функции f(x)=p(x, а) = |х— а|
1.12
§ 1.1, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
15
(Rz-*-Rl) линии уровня (рис. 1.1-4) суть окружности
с центром в точке а (а также и сама точка а, где функ-
ция /(х) принимает значение 0). Для функции f(x)=.
=р(х, а) + р(х, b) (Rz~*Ri) линии уровня представ-
ляют собою (рис. 1.1-5) эллипсы с фокусами в точках а
и b (и отрезок, соединяющий. точки а и 6); для функ-
ции f(x) = p(x, а)—р(х, Ь) (рис. 1.1-6)—гиперболы
с фокусами в а и b (включая прямую — ось симметрии
и две полупрямых); для функции f(x) = р(х, а)-р(х, Ь)
(Яг-»/?1) — семейство (рис. 1.1-7) овалов Кассцни
(среди них лемниската Бернулли, см. задачу 6); для
функции f (х) =р(х, а)/р(х, b) (R2 Ri)— некоторое се-
мейство окружностей с центрами на прямой ab и ось
симметрии точек а и Ь (рис. 1.1-8). Поверхности уровня
тех же функций, рассматриваемых в Rz, возникают от
вращения получающихся кривых вокруг оси ab.
1.12. Теперь напомним понятие непрерывности
,(05.11).
а. Чтобы иметь возможность говорить о непрерывно-
сти функции f(x) (X —► У), мы должны предположить,
что множество X, где определена эта функция, и множе-
ство У, в котором она принимает свои значения, суть
метрические пространства (03.11). В этом случае функ-
ция у — f(x) называется непрерывной при х = а, если
для каждого 8 > 0 существует такое б > 0, что из
р(х, а) <6, хеХ, следует p(f(x), f(a)) < е. Имеется и
второе, эквивалентное, определение: функция f(x) непре-
рывна при х — а, если для любой последовательности
16 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1,12
, хт, . • точек множества X, сходящейся к точ-
ке а, имеет место соотношение f(x„)-^f(a). Доказатель-
ство эквивалентности этих определений было дано
в 05.11, и мы не будем на нем здесь останавливаться.
Функция f(x) (X-+Y), непрерывная в каждой точке
множества X, называется непрерывной на множестве X.
б. Самым простым примером непрерывной функции
является постоянная — функция f(x) (д-*У), которая
при всех х е X принимает одно и то же значение уо & Y.
в. Другим простым примером является числовая
функция f(x) — p(x, а) (л—»/?!), где а — фиксирован-
ная точка пространства X. Ее непрерывность следует из
неравенства треугольника (см. 05.12 6).
г. Функция f(x) = х (Х->Х), ставящая в соответ-
ствие каждому элементу х метрического пространства X
сам этот элемент х, является простейшим примером не-
постоянной непрерывной функции.
д. Функции нескольких переменных.
Пусть Xi, , Хп — некоторые множества; тогда сово-
купность X всех наборов
х —- . • •, Х\ X1, • • * > Хд Хп,
называется прямым произведением множеств Xt, ..., Хп
и обозначается Xi X Х2 X . • • X Любую функцию
y = f(x): X—>У можно рассматривать как функцию п
переменных Х|.....хп.
Пусть Х|, Хп и У — метрические пространства.
Тогда для функции y — f(x): X -> У можно определить
понятие «непрерывность при х = а = {ait ..., ап} по со-
вокупности аргументов»; именно, это означает, что для
любого е > 0 существует такое S > 0, что при
р(хь ai)<6, ..., р(х„, ан)<6 выполняется неравен-
ство p(f(x), f(a))<E. Соответственно определяется не-
прерывность функции f (х) по совокупности Xi, ..., хп на
всем пространстве X. Непрерывность по совокупности
при х = а можно трактовать и как ббычную непрерыв-
ность функции f(x), если только пространство X снаб-
дить подходящей метрикой; например, можно использо-
вать определение
р({хь .... хп}, {yh уп}) =
= max{p(xi, tji), р(хп, уп)}. (1)
1ДЗ § 1.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 17
Иногда используют в X и иные метрики, например
п
p((xt, .... хп}, {у1г уп}) = S P(Xi, yt) (2)
t——I
пли __________
p((xb л„}, {у1гyn}) = p2U<» yi)- (3)
Во всех этих случаях легко проверяется, что предложен-
ная формула ((1), (2) илн (3)) действительно задает
метрику на X и что непрерывность функции f(x) по со-
вокупности Xi, ..., хп (определяемая независимо ни от
какой метрики на X) равносильна непрерывности этой
функции по предложенной метрике.
1.13. Свойства непрерывных функций.
а. Имеет место важная теорема:
Теорема о непрерывности сложной
функции (05.15): если у = f (х) (X -» У)—функция,
определенная в метрическом пространстве X, принимаю-
щая значения в метрическом пространстве У, непрерыв-
ная в точке х = a, a g(y) (У—»Z)—функция, опреде-
ленная в метрическом пространстве У, принимающая
значения в метрическом пространстве Z и непре-
рывная при y — f(a), то сложная функция Ф(х) =
— &[/(*)] (Я—»Z) (заведомо определенная в некоторой
окрестности точки а) также непрерывна при х — а.
Функция g[f(x)] называется композицией функций
f(x) ug(y)-
Поскольку в метрическом пространстве X числовая
функция р(х, a) (X-^Ri), как было сказано в 1.12 в,
непрерывна, в силу приведенной теоремы является не-
прерывной и любая функция вида g\p(x, а)], где g(y)
есть непрерывная при у 0 функция вещественного пе-
ременного у.
б. Если функции fi(x), ..., fm(x), ... определены на
одном и том же множестве X, принимают значения в ме-
трическом пространстве У и образуют на X сходящуюся
последовательность, то можно определить на том же
пространстве X предельную функцию f(x) = lim fm(x)'
X -> У. Если X есть метрическое пространство, сходимость
fm(х) к f(x) равномерна и функции fm(x) (m =с 1, 2, ...)
непрерывны, то и f(x) непрерывна (05.96).
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Г.14
в. Если функция f(x) со значениями в метрическом
пространстве Y определена и непрерывна на компакт-
ном метрическом пространстве X, то она н равномер-
но непрерывна на X, т. е. для любого в > 0 можно
найти такое б>0, что нз р(х', х")<6 следует
p[f(x/)»7С*")] <8 (05.176). Множество всех значе-
ний этой функции на компакте X само компактно в У
(05.16 а).
1.14. Линейные функции.
а. Рассмотрим n-мерное линейное пространство /?п,
метризованное с помощью какой-нибудь нормы (012.31),
и фиксируем в нем базис. Сопоставляя каждой точке
х е Rn какую-либо ее координату xh (k — 1, ..., п), мы
получаем непрерывную и к тому же линейную (012.15)
числовую функцию в пространстве Rn. Наиболее общей
числовой линейной функцией в Rn является функция
f(x)=2c*xA, где ch (й—1, ...» п) — заданные по-
Л=1
стоянные числа.
б. Мы рассматривали непрерывные линейные число-
вые функции в линейных пространствах (012.61). Среди
всех непрерывных числовых функций, определенных на
нормированном линейном пространстве, простейшими
после постоянных являются линейные функционалы.
Некоторые примеры линейных непрерывных функцио-
налов нам известны. Так, в пространстве Rs(a, Ь) веще-
ственных непрерывных функций на отрезке [а, 6] мы
рассматривали линейный функционал x(i) -+F(x) вида
F(x) = j D(t)x(t) di,
где D(t)—заданная непрерывная функция (012.61 н).
В гильбертовом вещественном пространстве Н (012.91)
примером линейного функционала является скалярное
произведение
F(x)-(f, х),
где f — фиксированный вектор пространства Н.
в. Вообще, среди всех непрерывных функций, дей-
ствующих из одного нормированного пространства X
в Другое нормированное пространство У, простейшими
1.14
§ 1,1, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
19
после постоянных являются непрерывные линейные опе-
раторы (012.61), т. е. непрерывные функции Л(х): X—»У,
удовлетворяющие условию
Л (а1х1 + а2*2) — + а2Лх2
для любых xt и х2 из X и любых постоянных а.1 и аг.
Пространство всех линейных непрерывных операто-
ров Л(х) (X—» У) обозначается через Е(Х, У). Если
X = Ri, то ,L(X, Y)= L(Rt, У) естественно отождест-
вляется с самим У: любому ае У соответствует опера-
тор Ле L(Ri, У), действующий по формуле At = ta
(t^Ri), и любой оператор A^L(Rit У) действует по
формуле At = At' 1 = t-А (1) = ta, гдеа = Л(1). Про-
странство L(X, X) обозначается короче через L(X).
г. Укажем некоторые линейные операторы, связан-
ные с разложениями в прямую сумму. Напомним, что
линейное пространство X по определению есть прямая
сумма подпространств .... Хп, если для всякого
х е А' имеется разложение
X = Х1 Xn, X] €= Xj, •.., хп s Хп, (1)
и это разложение единственно, т. е. из
х = х{+ ... +х'п, x't^Xv .... х'п^Хп
вытекает, что х, = хр х'— хп.
Единственность разложения (1) достаточно прове-
рять для одного элемента 0: если из разложения
0 = Ai+ ... + А„, h\^Xi, ..., hn^Xn
следует h\ — .:. = hn — 0, то разложение (1) един-
ственно для любого хе А.
Пусть линейное пространство X есть прямая сумма
подпространств и Х2. Тогда составляющие Xj, х2 лю-
бого вектора хе А являются функциями от х, которые
мы запишем в виде
х1 = Р1(х), х2 = Р2(х).
Легко проверить, что функции Р\(х) и Pz(x) линейны;
они называются проекторами (или операторами проекти-
рования) на подпространства (соответственно) Х1 и Х2.
Если X — нормированное линейное полное пространство,
20 гл. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.14
а подпространства Хх и Х2 замкнуты, то операторы Pt
и Р2 непрерывны (012.62 д). Этот результат, конечно,
справедлив и для любого (конечного) числа слагаемых.
д. Обратно, по любым линейным пространствам
Хь ..., Хп можно построить линейное пространство X,
которое явится их прямой суммой. Для этого нужно
взять «прямое произведение» пространств Хх, ..., Хп
(1.12 д) (совокупность всех комплексов х = (хх,..., хп},
хх е Хх....хп Хг.) и ввести в нем линейные опера-
ции по правилам
{xi} .... х,,} + {"1.£/n} = Ui + z/i> хп + уп},
а(хх....хп} = {ахх, .... ахп).
При этом пространство Xh естественно отожде-
ствляется с подпространством состоящим из
элементов вида
(0.....0, xk, 0, .... 0}, xk(=Xk. (2)
Если Хъ ..., Хп — нормированные пространства, то
и в Хп может быть введена норма, например, по фор-
муле
||х||=тах(||х1||, .... (3)
При этом, если Хх......Хп — полные пространства,
то и пространство X с нормой, определяемой форму-
лой (3), оказывается полным, а подпространства Xk
(2) — замкнутыми подпространствами в X.
е. Разложение линейного пространства X в прямую
сумму подпространств Xi.......Хп порождает соответ-
ствующее разложение пространства L(X, У) в прямую
сумму подпространств, изоморфных пространствам
L(Xi, У), .... L(Xn, У). Именно, для заданного опера-
тора А: X*-* У определены его сужения Хх —► У, ...
..., Ап: Хп -*• У, тем самым и элемент {Ль .... Лп} пря-
мой суммы y^L(Xi, У). Обратно, всякий элемент Л—
=={Л1, ..., Л„}е У, L(Xt, У) по формуле Лх=Л (%i-J-...
• • - + х„) = Л1Х1 + ... +Лпх„ (Xi (= Х{) определяет ли-
нейный оператор в пространстве X; сужениями его на
подпространства Л'ь ..., Хп являются как раз операторы
Ль .... Ап- Построенный таким образом изоморфизм
1.15
§ 1.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ
21
L(X, У) «->2 L(Xit У) является непрерывным, если X
полно, a Xlt ..., Хп замкнуты в X (012.62 е).
ж. Аналогично, если пространство У разбито в пря-
мую сумму подпространств У\.....Yn, то существует
естественный изоморфизм между L(X, У) и прямой сум-
п
мой 2 L(X, Уг). Именно, если задан оператор /е
1=1
е L (X, У) t причем Ах = у = ух + . + Уп (у^ У„
1 — 1, ..., п), то при каждом i = 1, п оператор
А{: X з x-+yi е У, (очевидно, линейный) представляет
собой проекцию А в подпространство L(X, Yt), так что
можно сопоставить с А элемент {At, ..., прямой
п
суммы 2 £ (X, Y{). Обратно, для всякого элемента
i=i
п
{А1, ...,Ап) из прямой суммы 2 ЦХ, Yt)u для каждого
1=1
х^Х положим Ах = А\Х + ... + мы получим ли-
нейный оператор А е L(X, У), проекциями которого на
L(X, У4) служат как раз операторы Д, i = 1, ..., п.
п
Построенный изоморфизм L(X, У)<-> 2 ЦХ, Y{) яв-
1=1
ляется непрерывным, если У полно и Yt....Уп замк-
нуты в У, по соображениям 012.63 д.
1.15. Д ей ст в и я с непрерывными функ-
циями.
а. Если f(x) и g(x) —две функции, определенные на
одном и том же множестве X и принимающие значения
в линейном пространстве У, то можно определить на том
же множестве X функцию у(х) = f(x) -}- g(x) (X —* У) —
сумму функций f(x) и g(x). Если X — метрическое про-
странство, а У — нормированное линейное пространство
и функции f(x) и g(x) непрерывны, то и у(х) непре-
рывна (012.32 6).
б. Если функция у(х) определена на множестве X и
принимает значения в линейном пространстве У, а С —
линейный оператор, отображающий линейное простран-
ство У в линейное пространство Z, то на том же множе-
стве X можно определить функцию z(x)= Су(х). Если
при этом X — метрическое пространство, У и Z — нор-
мированные пространства и функция у(х) и оператор С
22 ГЛ. 1, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.1g
непрерывны, то и функция z(x) непрерывна {1.13а),
Например, составляющие Xj = Р^х, хп = Рпх век-
тора х в прямом разложении Х1 + Хп полного нор-
мированного пространства X являются непрерывными
функциями от х {1.14г).
в. Если линейное пространство Y есть прямая сумма
подпространств Yt, ..., Yn, то для каждой функции
у{х): X—+ Y можно определить, пользуясь соответствую-
щими проекторами Р\, ..., Рп, еще п функций
t/i(x) = P,f/(x) (X->/,)» ...» уп(х) = рпу(х) {X->Yn).
Если при этом Y есть полное нормированное про-
странство, а подпространства Ylt ..., Yn замкнуты, то из
непрерывности функции у{х) следует, в силу б и 1.13 а,
непрерывность функций уь{х) {k — 1, ..., п). Очевидно
и обратное: если даны п непрерывных функций yt{x)i
Х-> Уь .... уп{х): Х-* Yn, то функция у{х) ={у,(х),...
• • •, Уп (*)} = У\ (х) + • • • + Уп (*) (* -> У) также непре-
рывна в силу а.
г. Можно рассматривать разного вида произведения
функций Х(х) и f(x), определенных на одном и том же
множестве X. Например, такое произведение определено,
если f(x) отображает X в линейное пространство Y,
а А(х)—числовая функция. Результатом является функ-
ция (л/) (х) s X(x)f (х) (X —* У). Оно определено также,
если Х(х) и f(x) принимают значения в одной и той же
алгебре X и его значения принадлежат той же ал-
гебре X. Оно определено также для f(x): X —> У и для
А(х): X-*L(Y, Z), и тогда функция X(x)f(x) отобра-
жает X в Z. Общим свойством всех этих произведений
является билинейность результата по каждому из мно-
жителей.
Введем следующее общее определение. Пусть на пря-
мой сумме нормированных пространств Л и F определен
непрерывный оператор В (К, f) (X е Л, f е F), линейный
по каждому из аргументов X и f и принимающий значе-
ния в нормированном пространстве В; будем называть
его обобщенным произведением элементов X и f и обо-
значать b = (X,, f). Пусть, далее, имеются функции
Л(х): X—>Л и f(x): X-*F; тогда определена функция
(А(х), f(x)) (X—*В), которая называется обобщенным
произведением функций Л(х) и f{x). Три приведенных
1.16
§ 1.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
23
выше конкретных произведения входят в эту схему, если
положить, соответственно,
(Х(х), f(x)) = k(x)f(x) в обычном смысле произве-
дения f(x) на число Х(х);
(Х(х), f(x)) = Цх)/(х) в смысле произведения эле-
ментов алгебры;
(Х(х), f(x)) = X(x)f(x) в смысле применения опе-
ратора Х(х) к вектору f(x).
Утверждается, что обобщенное произведение b (х) =
= (Х(х), f(x)) есть непрерывная функция от х, если не-
прерывны Х(х) и f(x). Действительно, Ь(х) есть компо-
зиция двух функций:
X -> (Л (х), f (х)} е Л + F и (Л, f) е В.
Первая из них непрерывна согласно предположе-
нию о непрерывности Х(х) и f(x) и в силу в; вторая —
по предположению непрерывности функции {Kf}'
Л + F —> В. По теореме о непрерывности сложной функ-
ции непрерывен и результат Ь(х) = (Х(х), f(x)), что и
утверждалось.
В частности, являются непрерывными и три рассмо-
тренных/ выше конкретных произведения при условии,
что непрерывен каждый из множителей.
д. Результаты а и г справедливы, в частности, для
числовых функций X —> Rx, непрерывных на метрическом
пространстве X.
В частности, так как в пространстве X = Rn коорди-
наты точки х = {х1......хп} являются непрерывными
функциями от х и функция l/t (Rt-^Ri) непрерывна
при //0, то по а, г и 1.13 а непрерывными являются
многочлены и рациональные функции от координат (по-
следние— вне нулей знаменателя). По 1.13 6 предел по-
следовательности многочленов, равномерно сходящейся
на некотором множестве G с Rn, есть непрерывная
функция (G-+R\) на G. Для некоторых множеств
G с: Rn справедливо и обратное: каждая непрерывная
функция f(x) (G -> Rx) может быть представлена как
предел равномерно сходящейся последовательности мно-
гочленов; это справедливо, в частности, для компактов
(012.44).
1.16. Для числовых функций одного вещественного переменного
простейшим типом точки разрыва является точка
24
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.16
разрыва первого рода, в которой у функции f (х) существуют правый
и левый пределы f (х + 0) и f(x—0), но не совпадают. Для число-
вой функции п вещественных переменных можно было бы назы-
вать точкой разрыва первого рода такую точку а, в которой у функ-
ции f(x) существуют пределы по всем лучам, ведущим в точку а,
и не совпадают друг с другом. Примером служит функция двух
Х1
вещественных переменных f (jq, х2) = —-т-— (/?2 -» •/?>), кото-
xf+ xj
рая на каждом луче xl = tcosa, х2 = /since, 0 < t < со, имеет
постоянное значение cos2 а. Однако мы встречаемся здесь со сле-
дующим осложнением. Если для функции одного переменного пра-
вый и левый пределы в точке х — а совпадают, то она непрерывна
Рис. 1.1-9.
в точке а (05.24). Но если для
функции и переменных имеют-
ся пределы по всем лучам, ве-
дущим в точку а, и все эти
пределы совпадают друг с дру-
гом, то функция f(x) еще ие
обязана быть непрерывной в
точке а. Примером служит
ф ункцвя f (X], х2) (Rz-t-Rt),
равная 1 на оси х, и в двух
кругах, расположенных в верх-
ней и нижней полуплоскостях
и касающихся оси в точке
(0,0), и равная 0 во всех
остальных точках плоскости
(рис. 1.1-9). На каждом луче,
ведущем в точку (0,0), эта
функция имеет предел 1, одна-
ко не является непрерывной в
точке (0,0). Поэтому понятие «точка разрыва первого рода» для
функций нескольких переменных не применяется.
На этом же примере видно, что для функций нескольких пере-
менных точки разрыва могут ие быть изолированными; на плоско-,
стн даже для очень простых функций они могут заполнять целые
линии, а в пространстве точками разрыва могут заполняться целые
поверхности; так, для функции f(x): равной 1 в шаре
{xe/?n: Vx?1 )и 0 вне этого шара, вся сфера;хе Rn-. У]Ху — 1 >
I /=1 J I /=1 J
состоит из точек разрыва.
§ 1.2. Дифференцируемые функции
Основная идея дифференциального исчисления со-
стоит в замене данной функции в окрестности некоторой
точки линейной функцией с ошибкой более высокого по-
рядка малости, чем соответствующее приращение аргу-
1.22
§ 1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
25
мента. Те числовые функции одного переменного х, для
которых такая замена возможна, составляют класс диф-
ференцируемых функций от х. Но возможность локаль-
ной аппроксимации линейной функцией вовсе не требует
одномерности аргумента. Сначала мы приведем необхо-
димые определения для числовой функции нескольких
переменных, а затем дадим общее определение, пригод-
ное для общего случая, когда и область определения, и
область значений функции являются нормированными
линейными пространствами.
1.21. Прежде всего напомним основное определение
дифференцируемой числовой функции вещественного
переменного (07.11).
Числовую функцию f(x) вещественного перемен-
ного х, a sg: х sg: Ь, мы называли дифференцируемой
в точке х = с, если существовал предел
lim(1)
Л-»0 п
В этом случае в приращении функции f(x) при пере-
ходе аргумента от значения х=с к значению х—с -f- h
можно выделить главную часть, которая зависит от h
линейно:
f(c + h)-f(c) = f'(c)h + o(h), lim^- = 0.
h-*0 п
Обратно, если приращение функции f(x) при пере-
ходе от значения х = с к значению х — с ф- h допускает
выделение главной части, линейной по h, т. е. при неко-
торой постоянной D выполняется соотношение
f(c + A)-f(c) — DA + o(ft), lim^ = 0, (2)
h->0 п
„ .. f (с + Л) — f (с) г,
то предел lim 13—1—fсуществует и равен D.
Л->0 п
Таким образом, для числовых функций одного пере-
менного соотношения (1) и (2) служат эквивалентными
определениями дифференцируемости в точке х — с.
1.22. а. Теперь рассмотрим случай числовой функции
f(x) от п вещественных переменных x=(xi, .... хп).
28 ГЛ. 1, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1Л2
Из двух приведенных выше определений на этот случай
наиболее естественно переносится второе.
Именно, функцию f(x)==f(xi.......хп), f:
мы будем называть дифференцируемой в точке х = с =
= (ci.....сп), если приращение f(x) при переходе из
точки х = с в точку x = c-}-h, h = (hi, hn),
допускает выделение главной части, линейной по h.
Последнее означает, что при некоторых постоянных
D\, .... Dn выполняется соотношение
п
f{c-Yh)-f{c) = y.Dihl + o(h), = (1)
“ Л->0 1 ‘
п
Величина У Dthi и есть главная линейная часть при-
i=i
ращения функции f(x) при изменении х от с до с + h.
Величина о (А) есть малая высшего порядка сравнитель-
но с А. При этом lim47rr = 0 точно означает сле-
г л->о 1«1
дующее: для любого е > 0 найдется такое б > О, что
।, । . | о (Л) |
из |А| <. 6 следует ' j< е.
Определение (1) по форме зависит от выбора базиса
и системы координат в пространстве /?„. Но если вспом-
п
нить (Л5.4), что линейная форма У при переходе
1
к новому базису остается линейной формой (с новыми
коэффициентами), то станет ясно, что дифференцируе-
мость функции f(x) при х = с есть ее внутреннее свой-
ство, не зависящее от выбора базиса в пространстве Rn-
б. Если же базис и тем самым система координат
фиксированы, то можно утверждать, что для дифферен-
цируемой функции f(x) коэффициенты Dt в формуле (1)
определяются единственным образом. Чтобы убедиться
в этом, возьмем какое-либо целое пг между 1 и п и по-
ложим в формуле (1)
А = (0....О, hm, 0....0).
Тогда мы получим |А| = |Ат| и
f (с + Л) — f (с) = f (су ..., cm_i, cm + hm, cm+i.c„) —
•••> Cm+l> •••> cn) = o(hm)t
1.2J S 1-2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 27
это означает, что функция f{ci, ..., xm,сп) одного
переменного хт дифференцируема по этому перемен-
ному Хщ в точке хт = ст и число Dm есть как раз ее
производная по этому аргументу:
£) __ Hj-j-j (С|* ' ‘ •» ~Ь -<Сп) f (СЬ ' * •’ Ст< ,,,« (2)
т hm->0 hm
Полученная явная формула для Dm доказывает един-
ственность коэффициентов в формуле (1).
Если предел в правой части (2) существует, то он
называется частной производной от функции f (х) в точке
к — с по переменному хт. Таким образом, у функции
f(x), дифференцируемой (в смысле (1)) в точке х — с,
имеется в этой точке частная производная по любому
из переменных xit ..., хп.
Частная производная функции f(x) по переменному
df (с) , \
хт в точке х — с обозначается через — или f, (с).
ОХт *т
Заметим, что частные производные по всем переменным
у функции f(x) могут существовать в точке с и без того,
чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке с
(см. задачу 3).
в. Из чисел D\, Dn можно построить вектор D==
— {Du... ,Dn}. Он называется градиентом функцииf(x)
в точке х = с и обозначается через grad f(с). Выраже-
п •
ние ^Dihi называется дифференциалом функции f(x)
1 '
в точке с, отвечающим смещению h = {hi, ,,,, hn}. Оно
обозначается также через df(c). Величины h и hi тра-
диционно обозначаются через dx и dXi (i = 1, ..., п)
соответственно. Если в пространстве Rn ввести скаляр-
ное произведение -векторов х = {хь хп} и у ==.
~ (f/ь ..., Уп} по формуле
п
(х, #) = 5 X{yit
1
то дифференциал функции f(x) в точке с можно запи-
сать в любой из форм
п п
df(c) = ^Dthi = {D, А) = (gradf{с}, h)=^^~^-dxi. (3)
i=I 1
28
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.23
Формула (1) приобретает при этом вид
f (с + А) — f (с) = df (с) + o(h) = (grad f (с), А) + о (А) =
п
= X dXl + 0 <4)
1=1
г. Для функции двух переменных y — f(xt,x2) (R2-+R1) более
традиционно обозначение независимых переменных через х, у, а са-
мой функции — через г,
z — f(x, у).
В этих обозначениях формулы (3) н (4) приобретают вид
. dz . . dz _
dz — -ч— dx + du, (5)
дх ду '
f (х + dx, у + dy) — f(x, y)=~dx + ~ dy + o(\dx\ + \dyi). (6)
д. Поскольку частные производные функции нескольких пере-
менных сутв обычные производные этой функции по какому-либо
из аргументов (при фиксированных значениях остальных), вычис-
ление частных производных приводится к вычислению обычных
производных. Так, для функции z = x7-ly’2- (/?2->-Pi) имеем
== -р- (У фиксирован),
дг 2хг
(* фиксирован).
Полный дифференциал этой функции имеет вид
, dz , , dz . 2х 2х2
dz - д— dx + -д- dy — dx-------г- dy.
дх ду у2 у3
Ее градиент в точке (х, у) имеет вид
. . [ 2х 2х2 )
grad z (х, у) = | у, - -y-J.
1.23. а. Теперь сформулируем общее определение
дифференцируемой функции. Пусть функция у — f(x)
определена в некоторой области G czX нормированного
пространства X и принимает значения в нормированном
пространстве У. Эта функция называется дифференци-
руемой в точке х = с е G, если приращение функций
f(x) при переходе из точки с в точку сфАеб допу-
скает выделение главной части, линейной по А, т. е. если
1.23
§ 1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
29
выполнено соотношение
f(c-{-Л) — f (c) = Dft 4~ ®(Л), (1)
где D есть некоторый непрерывный линейный оператор,
действующий из пространства X в пространство У,
а о (ft) есть вектор в пространстве У, удовлетворяющий
условию
lim = 0.
h->o lftl
Таким образом, выражение Dh в данном случае пред-
ставляет собой главную линейную часть приращения
функции f(x) при изменении х от с до с -f- h.
Равенству (1) можно Дать еще следующую геоме-
трическую трактовку. Функция f(x) осуществляет ото-
бражение области G сг X в пространство У; если пере-
нести начало координат пространства X в точку с, а
начало координат пространства У в точку f (с), т. е. счи-
тать независимым переменным вектор ft = х — с, а функ-
цией — вектор k = у — f(c'), то само получающееся ото^
бражение Л -> k аппроксимируется линейным отображё^
нием k = Dh (с точностью до бесконечно малого члена
о (ft) высшего порядка сравнительно с h). Можно ска-
зать, что само отображение у — f(x) вблизи точки х — с
допускает выделение главной линейной части.
б. Покажем, что оператор D, фигурирующий в фор-
муле (1), определен однозначно. Допустим, что наряду
с равенством (1) существует другое, аналогичное, пред-
ставление разности f(c 4- Л) — 1(c), именно:
f (с 4- Л)-f(c) = Dlh + ol(h), lim^- = 0. (2)
Л->0 I "I
Вычитая (2) из (1) и обозначая D% — D— Dlt мы най-
дем, что
£)2Л = о2(Л), lim-^- = 0.
Л->0 I "I
Для заданного е > 0 выберем б > 0 так, чтобы из
|ft| б следовало |о2(Л) | е|Л|. Тогда на основании
012.61 б мы получим
.. „ .. I D2h I
sup
Ih |<0
I Ог W |
1Л1
e.
30 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Так как в > 0 произвольно, то ЦОгН — 0, откуда D2 —
— D — Z>i = 0 и, следовательно, D = А. что и требо-
валось.
в. Оператор D в формуле (1), определенный, как мы
показали, однозначно, называется производной функции
f(x) при х — с и обозначается через f'(c). Выражение
Dh, т. е. вектор в пространстве У, полученный примене-
нием оператора производной к вектору смещения h, на-
зывается дифференциалом функции f (х) в точке с, отве-
чающим смещению h. Пишут, по аналогии с числовыми
функциями вещественного переменного,
df (a) — Dh — f' (a) h = f' (a) dx,
где dx — h означает любой вектор пространства X.
Функция f(x), дифференцируемая во всех точках об-
ласти G, называется дифференцируемой в области G. Ее
производная f'(x) есть линейный оператор, действующий
из X в У и зависящий от точки х е G. Ее дифференциал
df (х) = f'(х) • h есть функция двух переменных — век-
тора h е X и точки х е G.
Переход от функции f(x) к ее производной f'(x) или
к ее дифференциалу f^(x)dx называется (как и в случае
одного переменного) дифференцированием функции] (х).
Общее определение (1) в частном случае функции
вещественного переменного совпадает, очевидно, с обыч-
ным определением производной и дифференциала (07.11
и 012.51). Для числовой функции п вещественных пере-
менных оно совпадает с приведенным выше определе-
нием (1.22).
1.24. Рассмотрим числовую дифференцируемую функ-
цию f(x), f: G —> Rlt определенную в области G норми-
рованного пространства X. В этом случае в равенстве
1.23 (1) оператор D — f'(c) есть непрерывный линейный
функционал (Х->А) (зависящий, вообще говоря, от
точки с); функция o(h) также принимает числовые зна-
чения. Если X имеет размерность п, мы возвращаемся
п
к определению 1.22, так как выражение 2 АЛ/ пред-
ставляет собою общий вид линейного функционала
в Rn. Линейный функционал D=f'(c) называется также
градиентом функции f (x) в точке х = с. Таким образом,
1.23
5 1.2, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
общее определение производной числовой функции сов-
падает с определением ее градиента.
1.25. а. Рассмотрим более детально векторные диф-
ференцируемые функции в конечномерном случае.
Пусть функция f(x): GcRn-*Rn определена в об-
ласти G «-мерного пространства X — Rn и принимает
значения в /«-мерном пространстве У = Rm. Выбрав
в обоих этих пространствах каким-либо образом базисы
и записывая x={xi....xn} е Rn и y—{yi,.... ym}&Rm,
мы можем выразить векторную функцию у = f(x) с по-
мощью т числовых функций
y\=fi(x)^ft(xi.....хп),
(1)
Ут —fmlXlt •••> Хп). .
Пусть функция f (х) дифференцируема при х = с.
Равенство
f(c + h) — f(c) = f'(c)h + o(h)
(2)
определяет линейный оператор f'(c): Rn,-*Rm. Как и
всякому линейному оператору, действующему из Rn
в Rm, оператору f'(c) можно поставить в соответствие
некоторую п X /«-матрицу. Для этого нужно равенство
(2) записать в координатной форме, используя имею-
щийся базис в пространстве Rn и в пространстве Rmi
при этом мы получаем
+ (: = 1.......m). (3)
Величины (j—l, .... п; i=l, т) и соста-
вляют п X m-матрицу оператора f'(c) относительно ука-
занных базисов. Формулы (3) показывают, что соста-
вляющие fi(x) дифференцируемой (при х—с) векторной
функции f(x) сами являются дифференцируемыми (при
х~с) числовыми функциями. Очевидно, что справедли-
во и обратное: если числовые функции fi(x),i=!,...,/«,
дифференцируемы при х = с, то и векторная функция
f(x) также дифференцируема при х—с. Мы видим так-
же, каковы элементы матрицы линейного оператора
Г (с): поскольку коэффициенты главной линейной части
приращения любой числовой функции суть ее частные
32
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА j.gJJ
производные по соответствующим переменным, мы
имеем
= (f==1.....m; /=1, ...» /г). (4)
Итак, матрица линейного оператора f'(c) (Rn-*Rm)
составлена из частных производных
и имеет вид
dfi (с) dfi (c) dfi (c)
dxt dx2 dxn
df2(c) df2(c) df2(c)
dxt dx2 dx„.
dfm (x> dfm (x) dfm (x)
dxt dx2 dxn
fm)
Здесь знак ~ означает: оператору f'(c) при выбранных
базисах (координатах) в Rn и Rm отвечает матрица, вы-
писанная справа. Эта матрица называется матрицей
Якоби. Она обозначается также через || -^х^
В случае п=т=1 она состоит из од-
ного элемента, совпадающего с обычной производной
вещественной функции по вещественному переменному.
Для числовой функции п вещественных переменных
т — 1 и матрица Якоби имеет одну строку. Для т функ-
ций одного вещественного переменного (кривая в иг-мер-
> ном пространстве, 016.12) и=1 и матрица Якоби пре-
вращается в одностолбцовую матрицу.
В случае т—п матрица Якоби — квадратная мат-
рица:
или
(с) dfi (с)
dxi ’ ’ * dxn
f' (с)^
dfn (с) dfn (с)
dxt ’' ’ dxn
Ее определитель, как мы увидим далее, является важ-
ной характеристикой отображения y=f(x) при х=с; он
называется якобианом отображения f(x) при х—с и
обозначается через
det|
д (h..... fn) II
d(-»i....хп) [Г
1.26
§ 1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
33
б. Особенно просто дело обстоит в случае линейной
функции y—f(x), или, в развернутой форме,
У1 — Dnxt + ... 4~ Dlnxn,
Ут = DmlXt + . . . + Dmnxn,
где Dij суть постоянные числа. Матрица Якоби в этом
случае представляет собой матрицу, составленную из чи-
сел Dij-.
II Du ... Din
(с) —............
II ^ml • • • Dmn
и не зависит от точки с.
1.26. а. Для вещественного переменного, как мы по-
мним (07.11), существование производной числовой
функции y=f(x) в точке х=с с геометрической точки
зрения означало существование в точке (с, f(c)) каса-
тельной к кривой — графику функции f(x). При этом
касательная определялась или как предельное положе-
ние секущей — что соответствует аналитическому опре-
делению 1.21 (1), — или же как прямая, точки которой
отстоят от соответствующих (т. е. взятых при тех же х)
точек кривой у—f(x) на бесконечно малую высшего по-
рядка по сравнению с h=x — с; последнее соответ-
ствует аналитическому определению 1.21 (2).
Угловой коэффициент касательной совпадает с произ-
водной f'(с), а полное уравнение касательной имеет вид
У -p = f'(c)(x-c) (p = f(c)) (1)
или же, обозначая х — c=dx, у — p = dy,
dy = f' (с) dx. (2)
б. Для случая числовой функции y=f(xt........хп)
геометрическое содержание понятия дифференцируемо-
сти связано с наличием касательной плоскости к поверх-
ности y = f(xi, ..., хп). Чтобы прийти к определе-
нию касательной плоскости, будем обобщать второе
из приведенных определений касательной прямой.
Именно, плоскость у — р = 2Л(хг-с/), p = f(c), в
(п +1) -мерном пространстве xi,...,xn, у будем
34
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.2®.
называть касательной плоскостью к поверхности y=f(x)
в точке х=с, если отклонение точек {xi, ..., хп, f(x)} и
{xi...хп, р + 2 Л (xi — Cj)} (первая из них на поверх-
ности, вторая на плоскости) имеет более высокий поря-
док малости по сравнению с | h | = (xt — c{f. Ясно,
что аналитическое условие /.22(1) дифференцируемости
функции f(x) при х—с теперь можно трактовать как
условие существования при х—с касательной плоскости
к поверхности y=f(x)-, в обозначениях /.22(1) эта каса-
тельная плоскость имеет уравнение
У— P^^Di(xi — ci)=='^i^^-(xi — cl'), (3)
i=l z‘=l 1
или, в дифференциалах (dy — у — р, dx — xt — ct,
i=l, .... и),
i=l *
Вектор с составляющими {dxi, .... dxn, —1} s 7?n+i
ортогонален к плоскости (4) (в обычном скалярном
произведении); мы будем называть его нормальным
к поверхности y=f(x) в точке (с, р}, а определяемую им
прямую, проходящую через эту точку, — нормалью к по-
верхности y—f(x).
Так, для поверхности, соответствующей функции z = х2/у2
(R2-+R1), рассмотренной в 1.22г, уравнение касательной плоскости
имеет вид
, 2х , 2х2 .
dz==~^dx----y*~dy (5)
(по форме совпадая, как и обычно, с выражением полного диффе-
ренциала). Если текущие координаты любой точки касательной
плдскости обозначить (как в аналитической геометрии) через
X, F, Z, а обозначения х, у, z сохранить за координатами точки
касания, мы можем записать уравнение (5) также в виде
2.x 2х2
Z-z = ^-(X-x)—^-(Y-y). (6)
2х
Нормальный вектор в точке {х, у, z) имеет составляющие
2х^
— ~~уб~> ~ поэтому уравнение нормали, проведенной через
1.26
§ 1.2, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
35
точку {х, у, г}, имеет вид
X — х Y — у _____Z — г
2x1 у2 — 2х) у3 — 1 ’
где X, У, Z иа этот раз текущие координаты нормали.
в. Определение касательной плоскости можно дать
и для самой общей функции y=f(x): GcX->Y, диф-
ференцируемой в точке х—с. Пусть f(c)=p. Тогда
«касательной плоскостью» к поверхности y=f(x). в точ-
ке с мы будем называть линейное многообразие (гипер-
плоскость) в пространстве X ¥ (прямая сумма), вы-
деленное уравнением
У — P = f'(c)-(x — с) (x(=G, y(=Y). (7)
И здесь отклонение точки {х, f(x)} от точки
{х, P + f'(c)(x— с)} (первая — на поверхности y=f(x),
вторая — на многообразии (7)) имеет более высокий по-
рядок малости по сравнению с |х— с|. Используя диф-
ференциалы, мы.можем записать это уравнение в форме
dy = f'(c)dx. (8)
г. В случае числовой функции одного вещественного
переменного у нас было также другое определение ка-
сательной прямой. Именно, мы рассматривали малый
угол с вершиной в точ-
ке {с, f(c)}, ограниченный
прямыми с угловыми КО-
эффициентами D — в и
jD-J-е; прямая У=р +,
+£) (х — с) была, по оп-
ределению, касательной к |
кривой y—f(x) в точке p=f(c)
{с, f(c)b если ПРИ любом х I
е > 0 кривая У^Нх) __________________I___________
при достаточно малых с
h=x — c, |й|гСд(е), все- Рис. 1.2-1.
ми своими точками ле-
жала в пределах, этого угла (рис. 1.2-1), Аналогичное
построение можно сделать и для случая нескольких не-
зависимых переменных. Вместо угла мы будем рассма-
тривать область £2е в (п -f- 1) -мерном пространстве
36
ГЛ. г. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.26
xlt •... хп, у, выделяемую неравенствами
п
'Z.Di(xi — с^ — е\х — с\^у —
1
п
<2 Dt(xt — ct) + е | х — с I.
1
п
Плоскость у — р + 2 Di (xt — ct), по определению,
1
является касательной плоскостью к поверхности y~f(x)
при х—с, если для любого е > 0 при достаточно малых
| h |, |ft|ss|x— с|^6(е), поверхность y=f(x) целиком
расположена в пределах области йе (рис. 1.2-2). Ясно,
что это определение касательной плоскости равносильно
предыдущим, а условие дифференцируемости функции
y=f(x) при х—с равносильно условию существования
касательной плоскости и в этом последнем смысле.
д. Отметим еще случай векторной функции y~f(x)j
-* Rn, или, подробнее,
yi (х),
Уп — fn (х),
а^х^Ь.
(9)
Ее можно также интерпретировать геометрически как
кривую в («+1)-мерном пространстве (х, yit ..., уп).
Производная f'(c) представляет собой вектор с соста-
1.27
§ 1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
вляющими f[(c), f'n(c). Этот вектор фигурирует
в уравнении касательной (7) в точке {с, f(c)}, с вектор-
ными значениями у, р и f'(c); подробнее уравнение (7)
в данном случае записывается в форме системы
У1 -Pi =f' (с)(х-с),
Уп-Рп^М^-^-
(Ю)
И здесь можно использовать запись в дифференциалах,
полагая dx=x— с, у, — pf—dyi.
dy^f'tcjdx.
(П)
е. В общем случае функцию y=f(x): Rn —► Rm мож-
но геометрически представить себе как некоторое искри-
вленное многообразие в (и + т) -мерном пространстве
точек (Х|, ..., хп, yh ..., ут}; тогда уравнение у — р—
—f'(c)(x — с) определяет линейное многообразие в
Rn+m, содержащее точку (с, р). Его естественно назы-
вать «касательным» линейным многообразием к много-
образию y=f(x), опять-таки на том основании, что для
х, близких к с, отклонение f(x) от P + f'(c)(x —с)
имеет порядок малости, более высокий по сравнению
с |х — с|.
1.27. П р ои з в о д н а я по направлению.
а. Пусть функция y=f(x): V с X -♦ У определена
в шаре V={x е X: |х — с| г} нормированного про-
странства X. Рассмотрим отрезок Г длины г, начинаю-
щийся в точке с и заданный единичным вектором е; он
имеет уравнение
х = с 4- te, 0 t г.
На этом отрезке функция f(x) становится функцией
вещественного переменного t. Положим f[x(/)] = <р(£),
<if: [0, г]—> У. Для /=0 имеем f(c)=<p(O). Предположим,
что f(x) диференцируема при х—с\ тогда, в частности,
имеет место равенство
f (с 4- te) — f (с) = f' (с) te +о (t).
Из этого равенства вытекает дифференцируемость при
t~0 функции <p(t) и равенство
<j/(O) = f'(c)e.
(1)
38
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.28
Величина <р'(0) называется производной от функции f(x)
в точке с по направлению вектора е или по направле-
нию Г и обозначается f'r(c). Поскольку величина <р'(0)
зависит лишь от значений t в произвольно малой окрест-
ности нуля, производная функции f (х) по направлению Г
зависит лишь от направляю-
щего вектора е и не зависит
от длины отрезка Г.
б. Для числовой функ-
ции f(x): /?„->/?! можно
написать равенство /.22(4):
f(c + fe)-f(c) =
= (gradf(c), /е)4-о(/),
откуда следует, что
rr(c) = (gradf (с), е). (2)
Как мы знаем, вектор
grad'(c) определяет-
ся только свойствами самой
функции f(х) и не зависит от
выбора направления, по ко-
торому производится диффе-
ренцирование. В свою оче-
редь вектор е, определяю-
щий направление диффе-
ренцирования, не зависит,
Рис. 1.2-3.
конечно, от функции f(x). Формула (2), таким образом,
выявляет и одновременно разграничивает роли обоих
факторов: функции и направления ее дифференциро-
вания.
1.28. Формула (2) позволяет также вывести опреде-
ленные заключения о поведении функции f(x) в некото-
рой окрестности точки с (если только grad f' (с) =/=0).
Именно, если со есть угол между векторами G=grad j(с)
и е, то из определения 04.74 мы находим, что
f'r (с) == I G Icos
(3)
Отсюда можно сделать следующие выводы а — г
(рис. 1.2-3, п—2).
1.28
4 1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
39
а. В направлении вектора G=gradf(c) производная
f'r(c) принимает наибольшее значение, равное
| grad f(c) | (поскольку для этого направления cosco = 1);
в противоположном направлении f'T (с) принимает
наименьшее значение, равное —|gradf(c)|. Эти напра-
вления называются, естественно, направлениями бы-
стрейшего подъема и быстрейшего спуска функции f(x)
из точки х—с.
б. По всем направлениям, ортогональным к напра-
влению градиента, величина f'r(c) равна нулю; по этим
направлениям приращение функции f(x) имеет порядок
малости более высокий по сравнению с |/t| = |x — с|.
в. По остальным направлениям величина f'r(c) при-
нимает значения, промежуточные между —|grad f(c) | и
+ |grad f (с) |.
г. Таким образом, градиент функции f(x) в точке
х—с есть вектор, направленный из точки с в сторону
наискорейшего возрастания функции f(x) и по длине
равный производной функции f(x) по этому напра-
влению.
д. Пример. Проанализируем поведение функции двух пере-
менных У — *5 — х? (/?2->/?]) в окрестности точки (1,1). Значение
функции *2 — ж, в самой этой точке равно 0. Приращение функции
прн переходе в близкую точку (1 + hi, 14-й2) допускает выделе-
ние главной линейной части
(l+ft2)2-(l + ftl)2 =
= - 2й, + 2Л2 + hj - ftj = - 2h| + 2Л2 + о (Л),
так что функция х2 — xj дифференцируема в (1,1) (как, впрочем,
и во всякой другой точке). Ее частные производные=—2xt
и -^- = 2х2 принимают в точке (1,1) значения —2 и 2, так что
grad у(1, 1) — {—2,2); следовательно, gradj/(l, 1) направлен под
углом 135° к оси Х\ (рис. 1.2-4). В направлении yi этого вектора
идет линия быстрейшего подъема функции j/(Xi, х2), скорость ко-
торого равна | grad j/(l, 1) | =2 рЗГ. В перпендикулярном направ-
лении у2, т. е- в направлении биссектрисы первого координатного
Угла, мы имеем J/Yl(l, 1) = 0; и действительно, на этой биссектрисе
функция у(хьх2) не меняется (остается равной 0). В направле-
нии у3 вектора —grady(l, 1) = {2,—2) идет линия быстрейшего
4.0
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.3J
„ ду (i, 1) п ду(\, 1)
спуска. Сами производные—--------= — 2,—-j------= 2 дают нам
ОХ\
значения угловых коэффициентов функции в направлении соответ-
ствующих координатных осей. Они имеют простой геометрический
смысл: если пересечь поверхность у — х| — вертикальной пло-
скостью х2 = 1, в сечении мы получим кривую у — I — xj, для
которой число —2 есть угловой коэффициент касательной (в пло-
скости х2 = 1). Аналогично —0’ =2 есть угловой коэффн-
циент касательной к кривой у — х|— 1, получающейся при сечении
План
gradii.H
Перспектива
,у
Линия
быстрейшего
подъема
О
Рис. 1.2-4.
Направление
быстрейшего
подъема
'Направление
быстрейшего
спуска.
нашей поверхности вертикальной плоскостью Xi — 1. В сечении
поверхности вертикальной плоскостью х, + х2 — 2, проходящей че-
рез вектор градиента, получаем кривую с угловым коэффициентом
± 2 1<2.
§ 1.3. Общие теоремы о дифференцируемых функциях
1.31. В дальнейшем функции f(x), g(x), ... пред-
полагаются действующими из некоторой окрестности V
точки с нормированного линейного пространства X в нор-
мированное линейное пространство У.
а. Если f(х) = const (т. е. для всех хе V значение
функции f(x) есть один и тот же элемент пространства
У), то f'(c) = 0. Этот результат вытекает из равенства
f(c -j- fi) — f(c) = 0 и единственности производной (1.23).
(.32 § 1-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
41
б. Если f(x) есть линейная функция F-x (точнее, если
существует линейный оператор F: X -> Y, значения кото-
рого совпадают на У(с) со значениями функции f(x)),
то f'(c) — F, df(c) = F-dx.
Действительно, в данном случае
f (с + Л) - f (с) == F(c + h) - Fc = Fh,
и требуемый результат также вытекает из единственности
производной (1.23).
в. В частности, для функции f (х) — х (X -> Л) произ-
водная f'(x) есть тождественный оператор f'(x) = Е
(X -> X) и df(x) = dx = dh.
г. Всякая дифференцируемая при х = с функция f(x)
непрерывна при х ~ с.
Действительно, в равенстве
f(c + h)-f(c) = f'(c)h + o(h)
для заданного е > 0 возьмем 6 > 0 столь малым, чтобы
при |ft| <6 иметь |o(ft) | < е/2 и ||f'(c)|| |Л| < е/2;
тогда получится, что
| f (с + h) - f (с) | СИ f' (с) HI h | + о (Л) | < е,
откуда и следует непрерывность функции f(x) при х = с.
1.32. а. Если функции f(x): V-*Y и g(x): V -» Y
дифференцируемы при х = с е V, то и s(x) — f (х) -|-
-f-g(x) (У-> И дифференцируема при х = с; при этом
s'(c) = f' (c) + g'(c),
или, что то же,
ds (c) = df(c)-Fdg(c).
Действительно, из равенств
f(c + h)-f(c)^f'(c)h + o(h),
g(c+ h) — g(c) = g' (c)h + o(h)
следует, что
s (с -ф ft) — s (c) = f (c + h) — f (c) + g (c + h) — g (c) =
= tf'(c)+g'(c)]ft + o(ft).
откуда и вытекает требуемое.
б. Если функция у(х); V -> У дифференцируема при
к~а, а А — линейный непрерывный оператор,
42
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Й.ЗЯ
действующий из пространства Y в (нормированное) про-
странство Z, то функция z(x) = Ay (х) дифференцируе-
ма при х = а и
г' (а) = Ay' (a), dz (а) — Ady (а).
Действительно, в данном случае
z(aA-h) — z(a) = A[y (а + h) — у (а)] =
= A ly' (a)h-j-o (/г)] = [Ay' (a)] h + о (h),
откуда и вытекает требуемое.
в. Пусть Y есть прямая сумма подпространств
Yi, ..., Yn, так что для любой функции y(x) i X —► Y, как
в 1.15 в, имеются составляющие
у1(х)-=Р1у(х) (Х->У,)....уп(х) = Рпу(х) (X-*Yn).
Если Y — полное пространство, а подпространства
У1, ..., Уп замкнуты, то дифференцируемость функции
у(х) при х=а влечет дифференцируемость при х=а и
каждой из функций yft(x) (й=1, .,., п); это следует из
непрерывности оператора 1\ (1.14 г) и б.
Обратное — если функции у\ (х) (X -> Yiуп(х)
(X —» Уп) дифференцируемы при х=д, то и функция
y(x)=\yi(x), Уп(х)}- Х-»У дифференцируема при
х=а — следует из а, поскольку
y(x) = yt(x) + ••• +Уп(х). (1)
Производная у'(а) есть линейный оператор X —► У, т. е.
у'(а) е L(X, У); аналогично y'k (а) е I. (X, УА) (fe =
= 1, , п). Пространство L(X, У) есть прямая сумма
подпространств L(X, Yh) (1.14 е), и из (1) немедленно
следует, что составляющими элемента у'(а) е L(X, У)
являются величины y'k(a):
У'(.а) = {у\(а), y’k(a)]. (2)
1.33. Производная и дифференциал от
сложной функции.
а. Теорема. Пусть функция у=у(х) действует из
области G нормированного пространства X в нормиро-
ванное пространство У, aeG, y(a) — b, и пусть функ-
ция z=z (у) определена в окрестности точки Ь простран-
ства У и действует в нормированное пространство Z.
1.33 § 1-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 43
Если функция у(х) дифференцируема при х=а, а функ-
ция z(y) дифференцируема при у=Ь, то сложная функ-
ция £(х) = z[r/(x)], определенная в некоторой окрестно-
сти точки а е G и действующая в пространство Z, так-
же дифференцируема при х=а и
V(a) = z'(b)y'(a). (1)
Заметим, что у' (а) есть линейный оператор, дей-
ствующий из X в У, a z'(b) —линейный оператор, дей-
ствующий из У в Z, так что правая йасть в формуле (1)
имеет смысл, как линейный оператор, действующий из X
в Z.
Для доказательства рассуждаем так:
Ua-\-h) — t,(a) = z[y (a-j-h)] — z[y (а)] =
= 2’ \У (о)] {У (а + К) — у (а)] + о [у (а + А) — у (с)] =
= z' (b) \у' (a)h + о (А)] + о ly' (a)h +о (А)] =
= z'(b)y'(a)h + o(h). (2)
Значит, выражение z'(b)y'(a)h составляет главную ли-
нейную часть в приращении функции £(х) при переходе
от х=д к х—а + А, что и требовалось проверить.
Заменяя а на х, b на у(х) и переходя к операторам,
можно записать полученную формулу в виде
{zly(x)])' = z'(y)y'(x). (3)
б. В частности, пусть пространства X, У, Z конечно-
мерны и их размерности равны соответственно п, m и р.
Фиксируя каким-либо образом базисы в этих простран-
ствах, функции у(х) и z(y) можно записать системами
числовых равенств
У1 = Ут ==: J/1U Хп), ут), Zp Zp(yi, • ••, Ут)- . (4)
Ут(х1г • > хп)',
Оператора (1.25а) м у'(х) dyi dxt * *' И 2 dyi дхп (г/) отвеча ют матрицы dzi dzt dyi дут Якоби
{/'(*) = дУт dxt дут дхп z'(y) = dzp dzp dyi " ‘ дУт • (5)
44
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.34
Функция g(x) =z[y(x)] по а имеет производную; соот-
ветствующая матрица Якоби в силу формулы (1) совпа-
дает с произведением матриц (5):
С' (х) ~
dx. dlt “ ‘ dxn dzi dyi dzi dym dy, dxi
dip dip dzp dzp dym
.. — w
dx. dxn dyt dym dxt
dyt
дхп
дут
дхп
• (6)
Равенство (6) называется правилом умножения мат-
риц Якоби. Его можно короче записать так:
II d(£i, ••• £р) Il_ | д (zt.zp) 11| d(y„ .... ут) ||.
||<5(*1....*n) I I д(У1, • Ут) ill .... хп) Ц
В частности, для любых фиксированных /=1, р;
1 = 1, ..., п мы имеем
V d«k
дХ{ A dyk • dx, '
в. Заменяя р формуле (2) h на dx и вспоминая, что
дифференциал функции есть главная линейная часть ее
приращения, находим, что
dt = z' (b)y' (a)dx.
Но так как, с другой стороны, при данном dx и
dy = y' (a)dx,
то мы получаем
dt, = z'(b)dy,
т. е. дифференциал функции от у не зависит от того, не-
зависимым ли переменным является ее аргумент у или
же функцией от другого аргумента х. Это свойство на-
зывается инвариантностью дифференциала относительно
замены переменного. Следует только иметь в виду, что
в первом случае под dy понимается произвольное прира-
щение аргумента у, тогда как во втором случае это зна-
чение дифференциала функции у{х) для вектора dx.
1.34. Диффер енциал обобщенного произ-
ведения.
а. Пусть имеются нормированные пространства X и
У и определено обобщенное произведение (х, у) элемен-
1.34 § ’-3 ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
45
тов хе А и у е У, т. е. билинейное непрерывное отоб-
ражение пространства W—X + У в некоторое простран-
ство Z (1.15 г).
В силу непрерывности билинейной формы (х, у}
существует С > 0 такая, что для любых х, у
I (х, у) К С| х 11 у |.
Утверждается, что функция z=(x,y): V7—»Z диф-
ференцируема в каждой точке пространства W и
dz = (dx, у) + (х, dy). (1)
Действительно, придавая аргументу {х, у} е W при-
ращение {dx, dy} и используя билинейное свойство функ-
ции (х, у), находим
(х + dx, у + dy) — (х, у) =
= {х, у) + (dx, у) + (х, dy) + (dx-, dy) — <х, у) =
= (dx, у) + (х, dy) + (dx, dy).
При этом первые два слагаемых справа линейны отно-
сительно смещения {dx, dy}, а выражение (dx, dy) допу-
скает оценку
\(dx, dy) |<C|dx II dy K-f-a dx I2 + 1 dy 0 =
= o(ldxl + ldy I).
Таким образом, приращение функции {х, у} допускает
выделение главной линейной части (dx, у) -|- (х, dy), что
и доказывает наше утверждение.
Примерами применения этого правил?, вместе с пра-
вилом дифференцирования сложной функции, являются
формулы дифференцирования различных произведений,
которые приводятся дальше.
б. Теорема. Пусть в области G пространства Т за-
даны дифференцируемые функции x=x(t), х: G-+X, и
у—у(1), У- G-+Y. Образуем, как в а, обобщенное про-
изведение
(x(t),y(t)): G->Z,
которое называется обобщенным произведением функ-
ции x(t) на функцию y(t).
46
ГЛ. I, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.34
Утверждается, что функция i(t) = {x(t), y(t)) диф-
ференцируемое G и
di = {х' (0 dt, у (0> + (X (/), у' (0 dt). (2)
Действительно, функция i(t) может быть представлена
как сложная функция
{x,y} = {x(t), у (0): G-+W;
U0 = <x, y) = z({x,y}): W->Z.
Используя теорему о дифференциале сложной функции
и результат а, получаем
di = {х' (t) dt, у (0) + <х (0, У' (0 dt),
что и требуется.
Из (2) следует, что производная функции i(t) опре-
деляется по формуле
i' (t) = {X' (0, у (0) + <х (0> у' (0), (3)
где слагаемые в правой части надо понимать как линей-
ные операторы в пространстве Т, действующие из Т в Z
по формулам
{x'{t),Dtt)}dt^{xl(t)dt,y(t)),
<x(Z), y'(t))di = (x(t), y'(t)dt).
в. Следствие. Если функция x(t): GczT-*X
дифференцируема при t=c и Х(/): G cz Т —► L(X, У)—-
операторная функция, определенная в G и дифферен-
цируемая при t=c, то произведение g(t) —K(t)x(t)l
G czT -+ У дифференцируемо при t—c и
dg (с)g' (с) dt = У (с) dt • х (с) + X (с) • х' (с) dt. (4)
Оба слагаемых в правой части, как нетрудно видеть,
принадлежат пространству У.
г. Следствие. Если K(t)‘ G ед Т-*ux(tj: G а
cz Т —► Ri — две числовое функции, дифференцируемые
при t=ceG, то произведение g(t)=k(t)x(t) также
дифференцируемо при t=c и
g' (с) V (с) х (с) 4- X (с) х' (с). (5)
Правая и левая части равенства здесь являются ли-
нейными функционалами на пространстве Т,
I.3S
§ 1.3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
47
Для доказательства заметим, что в первом слагае-
мом правой части (4) числовые множители К' (с) dt и
х(с) можно сейчас переставить, после чего получаем
dg (с) ss g' (с) dt — x (с) Л' (с) dt + Л (с) х' (c)dt =
= [х (с) V (с) + Л (с) х' (с)] dt,
откуда и вытекает (5).
1.35. Функция х~1 и ее производная.
а. Пусть х есть некоторое отображение множества U
в множество V, а у — некоторое отображение множе-
ства V в множество U. Таким образом, определены обе
композиции: ху: V -> V и ух: U -+U, Если ху есть то-
ждественное преобразование ev множества V в себя, то
у называется правым обратным к х, а х — левым об-1
ратным к у. Аналогично, если ух есть тождественное
преобразование ёц^в множестве U, то х называется пра-
вым обратным к у, а у — левым обратным к. х. Отобра-
жение х может не обладать правым обратным или,
например, обладать бесчисленным множеством правых
обратных (Л4.76). Но если отображение х: U -> V обла-
дает правым обратным у: V —► U и левым обратным
z: V-+U, то z=zev—z(xy) = (zx)y=evy=y, откуда
следует, что в этом случае х имеет единственный правый
обратный и единственный левый обратный и эти обрат-
ные совпадают друг с другом; естественно, что это един-
ственное левое и правое обратное называется просто об-
ратным отображением к х и обозначается через х-1.
Таким образом, х~1х=еи, хх-1—ег.
б. Теперь предположим, что 17 и V — полные норми-
рованные линейные пространства и все рассматривае-
мые отображения — линейные ограниченные операторы.
Некоторые из линейных операторов х: U -> V обратимы;
их совокупность мы обозначим через G. На множестве
G определена функция х-1: G-*L(V, U). Покажем, что
в метрическом пространстве L(U, V) (с обычной опера-
торной метрикой (012.616)) множество G есть область
(открытое множество) и функция х~1 непрерывна на G.
Мы воспользуемся при доказательстве тем фактом, что
близкие к единице элементы алгебры L(V) обратимы
(012.72 а). В поисках обратного'элемента к x-[-h при
.малом h мы умножим х -|- h сначала на х-1, убедимся,
что результат при достаточно малых h будет близок
48
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.35
к единице и, следовательно, будет обратимым; а тогда,
как мы увидим, будет обратимым и х 4- h. Проведем
эту идею подробнее: для любого h е L(U, V) мы имеем
(х + h)x~l=xx~l -f- hx~'=ev -f- Лх~'; поэтому при |Л| <
< 1/|х~Ч справедливо неравенство | (х 4* h)x~l — ev\ —
= |йх-1 | = |Л| |х"Ч < 1, так что элемент (x-f-h)x-1 от-
стоит ev менее чем на 1. Но тогда оператор (x-j-h)x~]:
' V —♦ V обратим в пространстве V (012.72 а), так что су-
ществует . оператор zh: V —* Ё, для которого
(х 4- h)x~'zh—ev. Это означает, что х-12Л есть правый
обратный для х + h. Таким же образом, заменяя
|. (х-]-/г)х_| на х-1(хН-Л), мы можем доказать существо-
вание при Р1<1/|х-ч и левого обратного для х h.
Теперь из а вытекает, что элемент х 4- h при |/г| <
< 1/|х_| | обратим. Мы видим, что множество G вместе
со всяким своим элементом х содержит и все другие
элементы совокупности L(U, V), находящиеся от х на
расстоянии, меньшем 1/|х_| |; стало быть, G есть_откры-
тое множество. Известно, далее, что zh —► ev при h —► О
(012.72 6)- отсюда (х -f- h)-l—x~lzh —♦ х"1 при Л-»0, и,
следовательно, функция х_| непрерывна на всей области
своего определения.
в. Покажем, что в условиях б функция х_| дифферен-
цируема, и найдем ее дифференциал.
Из тождества
(х -J- h) f(х 4- h) 1 — х ’] х = х — (х 4- Л) = — h
имеем
(х 4- Л)-1 — х-1 = — (х 4- Л)-1 hx~l = — x~xhx~l 4- о (h)
в силу непрерывности функции х-1 в области G (б). От-
сюда следует дифференцируемость функции х-1 на всей
области ее определения и равенство
d (х_|) = (х-1)' h — — x~'hx~'.
Заметим, что, вообще говоря, переставлять множи-
тели в полученном результате нельзя. Если даже U—V,
так что формальная перестановка множителей будет
иметь смысл, все равно ее делать нельзя из-за возмож-
ной некоммутативное™ операторов в L(U). Лишь в слу-
чае U—V—Ri множители можно переставлять безого-
1.37
§ 1.3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
49
ворочно; мы получаем здесь классическую формулу
или
1.36. Производная от частного. Пусть f(x)
и g(x)—числовые дифференцируемые функции, опре-
деленные в шаре V={x^X: |х — а\ < г} нормирован-
ного линейного пространства X; пусть, далее, g(x)=£0.
Покажем, что частное f(x)/g(x) есть дифференцируемая
в V числовая функция, и найдем ее производную. Функ-
цию l/g(x) (V-> — 0) можно рассматривать как
сложную функцию, составленную из данной дифферен-
цируемой функции u=g(x) (V—>/?] — 0) и дифферен-
цируемой функции 1/ц (iRi — 0-*<Ri — 0); по 1.33 а и
1.35в функция l/g(x) дифференцируема и ее производ-
ная равна
(g(x)) и2ё'(х)— g2(xyg'(x). (1)
Теперь, применяя 1.34 г, получаем, что и частное
f(x)lg(x) есть дифференцируемая функция с производ-
ной
( f (х) V — Г <х) gM — f (х) S' (х)
Uwr g4x) ™
и дифференциалом
J ( f (х) \ _ df (х) g(x)—f (х) dg (х)
X g (х) 1 g2(x) ' 1
Для X — Rn, вспоминая 1.24, можно написать
d Их) _ grad f(x)-g (х) — f (х) • grad g (х) , .
ё g(x) g2(x) " 1 '
1.37. Примеры.
частные
а. Желая для функции и = arctg (у lx) найти
ди ди
производные -^- и мы можем, используя инвариантность диф-
ференциала 1.33в, вычислить ее дифференциал как функции от
50
ГЛ. I, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.38
одного переменного у/х, а затем применить 1.36 (3):
d (arctg —] = . : | . eg- d ( — 'j =
\ 5 x) I + (У/*)2 \* )
x2 xdy~ у dx_______ xdy — ydx
X2 + y2 X2 X2 + y2 *
Отсюда находим и нужные производные как коэффициенты при
соответствующих дифференциалах:
ди __ у ди______________х
~дх х2 + у2 ’ ду ~ х2 + у2 *
Полученный результат можно записать также с помощью сим-
вола градиента:
gradarctg-f—{—
б. Пусть у — фиксированная н х переменная точки простран-
ства Rn. Найдем частные производные функции г=|х — у| =
— у^. Дифференцируя обе части равенства
г2 = (Х1 —уг)2+ ... +(хп — уп)2,
находим
2rdr==2(x1 —^)dxi+ ... + 2(хп — Уп) dxn,
откуда
dr = — [Cq — У1) dxt + • • • + (*п — Уп) dxn],
и, таким образом,
dr ^х1~ У/
dxj ~ г
1.38. Частные дифференциалы. Частную производную
функции и(л)=п(хь .... х„): Rn-*Ri, например по перемен-
ди
ному хи мы обозначали символом (1.22). Величинам ди и <9xj
можно приписать здесь и самостоятельный смысл: chy есть при-
ращение координаты Xi, а ди—соответствующий частный двффе-
ренциал, т. е. главная линейная часть соответствующего прираще-
ния функции, при неизменных значениях х2, ..., хп. Однако в сим-
воле ди не отражено, какие координаты меняются и какие остаются
постоянными; поэтому в разных случаях этот символ может иметь
различйый смысл, что может привести к недоразумениям. Приво-
дим несколько примеров парадоксов, возникающих при формальном
обращении с частными дифференциалами без учета их смысла.
1.39 § 1.3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
51
а. Произведя сокращение на йх; в формуле дифференцирования
СЛОЖНОЙ фуНКЦИИ U = W(X], . .., Xn), Xi = Xi(t) (J.336),
ди ди дх{
dt 2^ дх, dt ’
i=l '
ди ди
получаем нелепый результат = п ,
б. Если х, у — прямоугольные, а г, <р — полярные координаты
точки на плоскости, мы имеем
г = /^Г+7, г = х sec <р.
дг х
Из первого выражения мы имеем ---= —у-т,ч-.
дх У х2 + у2
„ дг
Из второго выражения мы имеем -у = sec <р.
Но при х > 0, у > 0 эти результаты различны, так как в этом
случае заведомо г. . — < 1, seccp > 1.
У х2 + у2
„ . дг дг ,
в. Пусть г — ху, тогда = Из того же уравне-
ния имеем х = г — у, у — г — х, и, следовательно,
дх gx _ djL — i дУ I
ду = ~ ’ дг ’ дг ~ ’ дх
Отсюда
дх ду . дг
ду ' дг дх
= (- 1) -1 -1 == — 1.
То же выражение при сокращении на дх, ду, дг приводится к +1.
В действительности в примере а все п величии ди, вообще го-
воря, различны; в примере б первое дг отвечает смещению с по-
стоянным у, а второе дг — с постоянным <р; в примере в все шесть
величии в последнем произведении имеют разный смысл. Поэтому
при необходимости рассмотрения частных дифференциалов следует
учитывать их точный смысл *).
1.39. Производная вдоль линии.
а. Пусть в области G сг X задана гладкая линия
Г = {хе X: х = x(t), а t р}. Это означает, что у
функции х(/) —> G) производная х'(t) существует и
*) Обычно в учебниках рекомендуют вообще рассматривать
ди
символ как слитный, не приписывая смысла отдельно числи-
телю и знаменателю.
52
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.89
непрерывна при а t р (в концевых точках t—a и
t—fi речь идет, естественно, об односторонней производ-
ной, 07.19). Пусть, далее, x(a)—a^G, x(p)=fce'G.
Рассмотрим функцию у(х), у: G-+Y, дифференци-
руемую, во всяком случае, в точках линии Г, и положим
Ф(0=Ях(0] Г).
Эта функция дифференцируема по t по теореме 1.33 а.
Ее производная называется производной от функции
у(х) вдоль линии Г. По формуле 1:33 (3) имеем
ф'(0 = !/'(*) • x'(f) (х = х (/)). (1)
Для случая, когда линия Г есть отрезок х—с + te,
0^1^ 1, = производная вдоль Г при /=0 есть
производная по направлению Г (Г-27 а).
б. Формулу (1) используем для более подробного
рассмотрения касательной плоскости П к поверхно-
сти Р — {х е G, у е У: у = у (х)} в пространстве G X У
(1.26 в). В точке х—с
касательная плоскость
имеет уравнение (1.26(7))
Рис. 1.3-1.
У — Р = у' (с) (х — с)
(р = у(с)). (2)
Будем проводить че-
рез точку с в области G
хг всевозможные дифферен-
цируемые кривые (рис.
1.3-1). Условимся, что их
уравнения имеют вид
x=x(t), причем х(у)=с.
С помощью уравнения
у = у (х) эти кривые «пе-
реносятся» на поверхность Р и имеют там параметриче-
ские представления х — x(t), у — у[х(/)] — <р(/). Каса-
тельная прямая в точке х=с, у—р к любой такой кри-
вой описывается уравнениями
x-c = x'(\)(t — у), y-p = ff'(Y)(t-Y).
1.39 § 1-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 53
Используя формулу (1), мы можем записать эти урав-
нения в виде
х —c = x'(v)K —у), у — р = у'(с)-x'(y)(t — у). (3)
Отсюда видно, что каждая прямая (3) лежит в плоско-
сти (2).
Обратно, любая прямая, проходящая в плоскости (2)
через точку {с, р}, есть прямая, касательная в этой точке
к некоторой кривой на поверхности Р. Действительно,
если x=Ct, y=pt—p -f- у'(с) (ct — с) есть любая другая
точка на плоскости П, то прямая, проходящая через
эти две точки, имеет уравнение
х = с + (с1 — c)t, y = p + y'(c)(cl — c)t,
а эта прямая является касательной к кривой
х = с + (С| — c)t у = у[с +(ci—c)t],
лежащей на поверхности Р.
Итак, касательная плоскость П есть объединение ка-
сательных прямых к всевозможным дифференцируемым
кривым, проходящим на поверхности Р через точку {с, р}.
в. С другой стороны, пусть в а линия Г лежит .на по-
верхности уровня Q (1.11 г) дифференцируемой функции
f(x). Пусть, например, х(у)=с. Производная в точке с
от функции f(x) по этой линии, с одной стороны, рав-
на f'(c)-x'(y) согласно формуле (1), а с другой стороны,
очевидно, равна нулю, так как f(x) равна постоянной
на всей поверхности Q, в том числе на линии L. Таким
образом,
Нс)-х'(у) = О,
и, значит, оператор f'(c) обращается в 0 на всех векто-
рах, касательных к кривым на поверхности Q в точке с,
т. е. f'(c) обращается в 0 на всех векторах касательной
плоскости к поверхности Q в точке с. Этот факт вы-
ражают словами: в любой точке поверхности уровня
функции f(x) градиент функции f(x) ортогонален
к этой поверхности уровня. Такая терминология оправ-
дана случаем числовой функции f(x) в гильберто-
вом пространстве, в частности в конечномерном евкли-
довом пространстве, где оператор f'(a) действует по
54
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.41
формуле 1.22 (5), содержащей скалярное произведение:
f'(a) А = (grad f (a), h).
Указанный факт позволяет легко устанавливать на-
правление вектора градиента, когда известны поверх-
ности уровня соответствующей числовой функции. Так,
для числовой функции вида /(|х— а|) градиент в точке
направлен ортогонально к сфере |х — а| — г, пред-
ставляющей собой поверхность уровня нашей функции,
т. е. по лучу, ведущему из точки а в точку х.
§ 1.4. Теорема о среднем
1. 41. Рассмотрим в области G с X гладкую линию
L = {x<=G: x — x(t), x(a) — a, x(P) = A.
Пусть, кроме того, в области G задана дифференцируе-
мая функция у—у(х): G —» У. Сначала предположим,
что У=/?1, т. е. что у(х) —числовая функция.
а. Теорема о среднем. Если числовая функция
у(х), у: G —► 7?! дифференцируема в точках линии Ь,то
существует такое 0 с: (а, р), что
у (А) — у (а) = / (с) х' (0) (р — а) (с = х (0)). (1)
Доказательство. Положим, как в 1.39а, ф(7) =
==1/[х(/)], a t р. Поскольку функция ф(/): R\ -* Rt
дифференцируема, мы имеем при некотором 6 с (а, р)
по теореме Лагранжа (07.44)
У{Ь) — у (а) = ф (р) — <р (а) = ф' (0) (Р — а).
Применяя формулу 1.39 (1), получаем
<₽' (6) = У' (с) *' (0), с = х (0),
откуда и следует (1).
б. Особенно простой вид соотношение (1) получает
для случая, когда линия L есть отрезок, соединяющий
точки а и Ь, так что можно написать L—(x^X: x(t)~
t=(l — t)a-)-tb, 0 t 1}. В этом случае x'(t)=z
— a и (1) приводится к виду
у(Ь) — у (а) — у'(с) (b — a), ceL,
1.42
4 1.4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
55
1. 42. Если функция у(х), у. G-+Y, не является чис-
ловой, то к функции <p(t) ={/[х(/)]: Ri -> У уже не при-
менима теорема Лагранжа. Поэтому равенство 1.41 (1)
для такой-функции, вообще говоря, несправедливо (см.
задачу 7).
а. Однако можно написать оценку
\у(Ь) — у (а) К sup || у' (х) I) • s (L),
x<=L
(О
где s(L)— длина линии L (016.19), | у (Ь)— у (а) | есть
норма вектора у(Ь)— y(a)^Y, а || у'- (х) || есть норма
оператора у' (х) (X -> У).
Действительно,
|f/(fc)-y(a)| = |<p(P) —<р(а)| =
J q/(r)dT
₽
У' [х (т)] х' (т) dx < sup |] у' (х) || • f | х' (т) | dx =
XsL а
= sup || у' (х) II • s (L) (2)
х <=L
в силу теоремы Ньютона — Лейбница для векторных
функций (012.53) и выражения для длины дуги
(016.19).
б. Неравенство (1) в случае, когда L есть отрезок,
соединяющий точки а и Ь, приобретает весьма простой
вид:
\у(Ь) — у (а) К sup ||/(х)||| Ь — о|. (3)
х е L
в. Можно написать для этого же случая и более
сильное неравенство:
\y(b) — у(а)\^ sup\y'(x)(b — а)|, (4)
xeL
преимущество которого перед неравенством (3) сказы-
вается, например, в случае, когда X=Rn, Y=Rt и век-
тор у'(х) х= grad у (х) направлен под углом к вектору
b — а, близким к прямому. Вывод неравенства (4) про-
изводится путем уточнения оценки интеграла в (2): для
случая, когда L есть отрезок, мы имели x'(t)—b — а
56
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.43
(1.41 б), и, следовательно,
1
У (Ь) — У (а) = J у' [х (т)1 (b — a) dx,
О
откуда
\y(b) — y(a)\^ sup 1У[х(т)](Ь —а)|,
0<т<1
что и требовалось.
г. В предположениях б — в рассмотрим функцию
g (х) = у (х) — у' (а) (х — а).
Она дифференцируема вместе с функцией у(х), и по
1.32 а —б
g' (х) = у'(х) — у' (а).
Применяя для функции g(x) неравенство (4), находим
\у(Ь) — у (a) — y'(a)(b — a)\=z\g(b) — g(а) |<
< sup | £'(*)(& — а) I,
хе/.
или же
IУ (Ь) — у (а) — у'(а)(Ь — а) |<
<sup|[/(x) —/(я)](&-я)|, (5)
xsL
что уже значительно сильнее, чем (2).
д. Неравенство (5) можно использовать и в менее
сильной форме:
IУ (Ь) — у (а) — у' (а) (Ь — а)\^
supi|f/'(x) — у'(a) HI& — я|, (6)
хе/.
в которой оно все же остается значительно более силь-
ным, чем (2).
1.43. а. Теорема. Если в шаре V={x^X:
| х — а | г} мы имеем у' (х) = 0, то у (х) есть посто-
янная.
Действительно, из 1.42 (1) для любого b е V и от-
резка L, соединяющего точку а с точкой Ь, имеет место
неравенство 1.42 (3).
\У<Ь) — у (а) К sup||z/'(x)||| b — а | = 0,
х eL
откуда у(Ь) == у (а).
1.44
§ 1.4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
57
б. Следствие. Если в шаре V={х е X: | х — а |
г} функции У\(х) и уг (х) имеют совпадающие произ-
водные, то i/i (х) и i/г (х) отличаются в этом шаре на ад-
дитивную постоянную.
Действительно, yi(x)—Уг(х) имеет производную,
равную 0, и можно применить а.
в. Следствие. Если в шаре V={x е X: |х — а|
г} оператор у'(х) постоянен, у'(х) = у'(а), то
У (х) = у' (а) (х — а) + у (а).
Для доказательства следует действовать тем же пу-
тем, что и в а, но вместо неравенства 1.42 (1) исполь-
зовать неравенство 1-42 (5). Можно обойтись и без не-
равенства 1.42(5): функция g(x) —у'(а) (х — а)-]-у(а)
имеет производную g'(x)=y'(a); поэтому, согласно б,
функции g(x) и у(х) отличаются на постоянную; пола-
гая х—а, находим, что эта постоянная равна 0.
1.44. Использование теоремы о среднем позволяет
иногда устанавливать дифференцируемость сложных
функций на основании дифференцируемости более про-
стых.
Пусть a—ao(t) — фиксированная непрерывная функ-
ция (/?i —♦ Ri) на отрезке а t р; в пространстве
R(a, р) всех непрерывных функций выделим область
G = {х (t) е R (а, р): | x(t) - щ (t) | < г},
где г — фиксированная постоянная. Пусть, далее, дана
функция двух переменных F(t, х): Rz—>R], определен-
ная на множестве U—{t,x: asg/sgp, |х(0—ao(t) |<
< г} в плоскости t, х, непрерывная и обладающая не-
„ „ „ dF и, х) _ ,
прерывной частной производной —— . Тогда в об-
ласти G определен оператор, ставящий в соответствие
каждой функции х (t) функцию
t
y(f) = J F(x,x(x))dx. (1)
a
Этот оператор можно рассматривать снова как функ-
цию с областью определения G a R(a, р) и обла-
стью значений R(a, Р). Покажем, что функция у(х)
58
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.44
дифференцируема в любой точке a—a(t)^ G, и найдем
ее дифференциал.
Для функции F(t, х) по теореме о среднем в форме
1.42(6) имеем при достаточно малом |Л|
F(t, a + h) — F(t, a) Q(t, a, h),
где
I «'• ">1 < I1 h '•
„ , dF (t, x)
Так как функция —— по предположению не-
прерывна в U, то она, в частности, непрерывна на ли-
нии a—a(t), а, t р, которая представляет собою
компактное множество в /?2 (05.16 а). Поэтому для за-
данного е > 0 можно найти такое б > О, что при
а t sj Р из |х — б следует
I dF(t, х) _ dF(t, а) I <
I дх дх I ''' 6‘
Поэтому при [hl — fx — а | б имеем
| Q (t, a, h) | е | h |.
Далее, приращение значения оператора у(х) при пере-
ходе от x~a(t) к х — a(t) h(t) равно
У [а (0 + h (01 — 1/ [а (01 =
i t
— J F(x, а(т)-}-/г(т))</т — J F(x, a(x))dx =
a a
t t
= J —(Tgxa(T)) h(x)dx + | Q(t, a(x), h(x))dx.
a a
Первый член в полученном выражении линеен отно-
сительно h(t). Второй член при \h(t) | < б допускает
оценку
t t
J Q(x, a(x), h(x))dx < J ej h(x)
a a
^e(P —a) sup | h (t) |
1.45
§ 1.4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
59
и тем самым является бесконечно малым сравнительно
с величиной
IIЛ (0(1= sup |Л(01.
Отсюда следует, что функция у(х) (1) дифференци-
руема в точке a=a{t) G и ее дифференциал имеет
вид
t
dy^-^^^-h^dr,
а
что и решает поставленную задачу.
1.45. Производная и условие Липшица,
Функция у=у(х) (GcX->Y) по определению удовле-
творяет в шаре V={x^X: |х— а\ г} с G условию
Липшица, если существует такая постоянная С > 0, что
при всех Xi е V, х2 е V выполняется неравенство
lj/(*i) — J/(x2)KC|xi — х2[. (О
Предположим, что функция у(х) дифференцируема
в шаре V, и пусть
sup [[ у' (х) [| = В.
хе V
Тогда в силу 1.42 (3) мы имеем
IУ Ui) — У (*2) К В | Xi — х21,
т. е. функция у(х) в шаре V удовлетворяет условию
Липшица (1) с постоянной В.
Обратно, если функция у(х) имеет непрерывную про-
изводную у'(х) и удовлетворяет в шаре V условию Лип-
шица (.1), то можно утверждать, что ||у/(х)|| С. Дей-
ствительно, пусть |х — а \ =р < г; для заданного е > О
найдем б > 0, б < г — р так, чтобы для любого х1
с |xj—х| ^б имело место неравенство
lj/(*i) — У(х) — y'M(xi — х) | < е| Xj — х|.
Так как по предположению |y(xi) —у(х) | С|Х]—х|,
то мы имеем при |Xj — х| б
I У' (х) (х, — х) К (С + е) 1 Xi — х |,
60
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.46
откуда для нормы оператора у'(х) получается неравен-
ство
||/(х)||<С +
поскольку в > 0 произвольно, это означает, что
]|t/'(x) Ц С, и утверждение доказано.
Отметим, что из выполнения одного только условия
Липшица (1) дифференцируемость функции у(х), вооб-
ще говоря, не следует (даже в случае X—Rr, пример:
У= 1x1(7?, ->/?,)).
Интересный частный случай получается при условии
sup || / (х) || < 1. По доказанному это означает, что
Х<= V
функция у(х) удовлетворяет условию Липшица с по-
стоянной С, меньшей 1. Другими словами, отображение
у=у(х) уменьшает расстояния-, расстояние между точ-
ками у(х) и у (а) строго меньше расстояния между точ-
ками х и а. Если к тому же значения функции у(х) при-
надлежат области V, a sup \\у'(х)|| ^0<1,то отобра-
жение у(х): V —► V оказывается сжимающим (013.22):
IУ (х') — у (х") К 61 х' — х" |.
В (замкнутом) шаре V (на который это неравенство
распространяется по непрерывности) отображение у(х)
в силу 013.22 заведомо обладает неподвижной точкой.
Этим способом доказательства существования неподвиж-
ных точек мы будем пользоваться в дальнейшем.
1.46. Теорема. Пусть в шаре V—{x^X: |х —
г} задана последовательность дифференцируемых
функций ух (х), у2 (х), ... со значениями в полном про-
странстве Y, производные которых у\(х), у’г (х), ...
(X —* L (X, У)) непрерывны и сходятся равномерно в V
к некоторой функции g(x) (XL(X, У)). Если векторы
У1(а), 4/2(0), ... пространства У имеют предел, то функ-
ции 4/1 (х), 4/2(х), ... сходятся равномерно в V к некото-
рой функции у(х) (со значениями в У), дифференци-
руемой внутри шара V, причем y'(x)—g(x).
Доказательство. Напишем формулу 1.42(3),
в которой у заменим на уп — ут и b на х:
I \Уч (х) — ут (х)] — [уп (а) — ут (а)] | <
хекi'1 У'п~ У'т№I'1 Х ~ а
147 § 1Л- ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 61
В силу предположенной равномерной сходимости
функций у'п (х) правая часть стремится к 0 при п —> <х>,
т —♦ оо. Используя сходимость векторов уп(а), мы полу-
чаем, что разность уп(х) — Ут(х) стремится к 0 при
п —► оо, т—» оо равномерно по хеК Таким образом,
последовательность уп(х) фундаментальна в У, и так
как Y полно, то существует предельная функция
у(х) = lim Уп(х)- Эта функция у(х) непрерывна вслед-
ствие равномерной сходимости уп(х) (1.13 6). Далее, на-
пишем формулу 1.42 (6) для функции уп(х) в шаре ра-
диуса р с центром в точке b, | Ь — а | г — р:
[Уп(х) - Уп(Ь) - у'п(Ь)(х - б)|<
< sup J^d) —f/'(6)j|x —6|. (I)
15-Ы<р" “
Для заданного е > 0 можно выбрать 6 > 0, 6 р
так, чтобы иметь для всех достаточно больших
п = N, W+ 1, ...
Чтобы убедиться в этом, достаточно записать
у'п® -у'п(Ь) =
= U) - g (&)] - к (&) - у'п Ю] + [g(b)-y'n (&)|
и воспользоваться тем, что сходимость у'п(х) к g(x)
равномерна, а функция g(x) непрерывна.
Заменяя в (1) р на б и переходя к пределу при
п—»оо, находим, что при всех х, |х— б
I Уп(х) — yn(b) — g(b)(x — Ь) |<е| х — b |;
это и показывает, что у(х) дифференцируема при х—Ь
и y'(b) = g(b). Теорема доказана.
Во всех результатах 1.45—1.46 шар V можно заме-
нить на связную область (т. е. такую область V, в кото-
рой любые две точки х0 и xt можно соединить конечно-
звенной ломаной).
1.47. Производные по подпространству.
а. Согласно определению, если функция у=у(х)
(G сг X —> Y) дифференцируема при х=с е G, то
62
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.47
линейный оператор у7 (с) определен на всем простран-
стве X и главная линейная часть приращения функции
у(х) при приращении независимого переменного, рав-
ном h, есть y'(c)h. Но можно рассматривать вопрос о
дифференцируемости функции у(х), ограничиваясь при-
ращениями независимого переменного только в преде-
лах некоторого линейного подпространства Х} ед X.
Будем называть функцию у (х) (G сд X —> Y) диффе-
ренцируемой по подпространству X jc: X, если прираще-
ние у(х) при переходе из точки х=с в точку х=сh,
h е Xt, допускает выделение главной линейной части от-
носительно h е Xt:
у(с +h) — y(c) = Dl(c)h + o(h),
где £>i (с) есть линейный оператор, определенный на под-
пространстве Xt. Этот оператор называется оператором
частного дифференцирования по подпространству
Иногда аргумент х в пределах подпространства Xt обо-
значают каким-либо специальным символом, например
Xj (сохраняя обозначение х для векторов всего про-
странства X), тогда для оператора £>i(c) используют
йу (с)
соответственно обозначение —•
б. Выясним, например, что означает дифференцируе-
мость функции у(х) (G czRn-*Y) по одномерному под-
пространству Xh, определенному координатной осью xtl.
В этом случае h= (0, ..., hh, ..,, 0) и справедливо ра-
венство
У (с 4-Л) — y(c) = y(ci, .... Ck + hk, сп) —
— y(ci, .... ck...cn) = Dk(c)hk + o(hk),
Dk(c): Xk^Y.
Но это равносильно существованию обычной частной
производной (1.226), которая как раз и совпадает
dxk
с величиной Dk(c). В общем случае производная по од-
номерному подпространству есть то же самое, что произ-
водная по соответствующему направлению (1.27 а).
в. Дифференцируемость функции у (х): Rn —>• Rm
в точке х==с пр подпространству Rk, порожденному пер-
выми k базисными векторами пространства Rn, приво-
1.48
§ 1.4, ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
63
дит к существованию всех частных производных,, входя-
щих в матрицу
д (у ....уп) (с)
д(х1.....xk)
dyi (с) dyt (с)
дх1 ‘ * * dxk
дУп (с) дуп (с)
<Эх. ’ * * dxk
Линейный оператор (Rk~*Rm), соответствующий этой
матрице, и есть частная производная функции у(х) по.
подпространству Rh.
г. Очевидно, если функция у(х) дифференцируема
в точке с в исходном смысле 1.23, она будет дифферен-
цируемой в этой точке и по любому подпространству
Х\ с X, причем соответствующий линейный оператор
«частного дифференцирования» есть просто су-
ди (с) v
жение оператора - на подпространство Ар
1.48. Из дифференцируемости функции у(х) по
(истинному) подпространству Х\ ед X, вообще говоря, не
следует ее дифференцируемость по всему X. А, напри-
мер, для X=Rn из дифференцируемости функции у(х)
в точке х=с даже по любому подпространству размер-
ности k < п не вытекает ее дифференцируемость по
всему пространству Rn (см. задачу 3). Справедлива сле-
дующая теорема:
а. Теорема. Если пространство X есть прямая
сумма замкнутых подпространств Х[ и Х2, а функция
у(х): G сд X -» У дифференцируема в некоторой окрест-
ности точки с е G по подпространствам Xi и Х2, при-
чем производные —непрерывны в точке с,
то функция у(х) дифференцируема в точке с и по всему
пространству X.
Доказательство. Для любого h е X можно на-
писать h=hl ф- h2, h\ е Xlt h2 e X2, причем соотношение
h -» 0 эквивалентно ftj —*0, /г2->0 (012.62 д), Далее,
имеем при достаточно малых h
y(c-\-h) — y(c) =
= [у (с ф- hi ф- йг) - у (с ф- /;,)] 4- [у (с ф- й,) - у (с)]
64
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.48
и по теореме о среднем 1.42 д мы находим
В силу предположенной непрерывности производных
ди (х) ду (х)
—— и д ' в точке с далее можно написать
дхх дх2
дх2 дх2 1 '
dyic + hi + ihi) dy(c + hi)_ _zl,
дх2 дх2 —
ду (с + xhj) _ ду (с) _ ,п
dxi dxt О{1>’
где о(1) стремится к 0 при Л[->0, /г2—>0. Поэтому
у (с + h) - у (с) = h2 + о (Л).
Этот результат можно написать также в форме
у (с + h) — у (с) — Dh ф- о (/i),
где равенство Dh — ^^-hy + h2 определяет D как
непрерывный оператор на пространстве X (012.62 е).
Это и доказывает теорему.
б. Методом индукции из а легко получается более
общая теорема.
Теорема. Если пространство X есть прямая сумма
замкнутых подпространств Х\, Хп, а функция у(х)
(GczX —* У) дифференцируема в некоторой окрестности
точки х—с по подпространствам Xit Хп, причем
ду (х) ду (х)
производные ' непрерывны в точке с,
то функция у(х) дифференцируема в точке с по про-
странству X.
в. Применим теорему б к случаю, когда X = Rn,
a Xi, Хп — одномерные подпространства, отвечаю-
1Л8
§ 1.4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
65
щие координатным осям. Так как производная по одно-
v д
мерному пространству Xh есть частная производная •
oxk
(1.476), теорема б теперь приводит к следующему ре-
зультату:
Теорема. Если функция у(х) (GcKn->Y) имеет
в некоторой окрестности точки х — с частные производ-
ду (х) ду (х)
ные , ..., > непрерывные при х = с, то
функция у (х) дифференцируема в точке с.
Эта теорема дает широкие достаточные условия диф-
ференцируемости функций у(х)-. G с /?„-»У, поскольку
она требует лишь наличия, частных производных (по
всем переменным), непрерывных в данной точке; такого
рода условия иногда проверить легче.
Вместе с тем эту теорему можно сформулировать
и как некоторое необходимое и достаточное условие:
для существования и непрерывности у функции г/(хр
GczEn—* Y производной у' (х) в области G необходимы и
достаточны существование и непрерывность в области G
ду (х) ду (х)
частных производных , ..., —.
г. Укажем одно условие, позволяющее из наличия
у функции у(х) производных по направлениям делать
вывод о ее дифференцируемости:
Теорема. Пусть в области GcX заданы вектор-
ная функция у(х) (G -+ У) и непрерывная операторная
функция D(x) (G —>L(X, У)). Пусть известно, что функ-
ция у (х) в каждой точке с е G имеет производную по
любому направлению Г = {х = с 4- th, 0 <_ оо}, ко-
торая действует на вектор h е X как оператор D (с):
y'r (c)h = D(c)h.
Тогда функция у(х) дифференцируема в области G и
у'(х) = П(х).
Доказательство. В точке с е G для заданного
h е= X мы имеем
у (с + h) — у (с) = у'т (c) h + o (h) = £> (с) ft + о (ft),
и мы должны только показать, что величина о (ft) яв-
ляется бесконечно малой равномерно по всем ft, незави-
симо от их направления. На каждом луче Г функция
66
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.51
у(х) дифференцируема, и можно применить оценку
1.42 г;
|у(с + Л) — у (с) — £>(с)й|С sup |[г/'(с 4-еЛ)—y'(c)\h\=
o<e<i
= sup | [Z) (с + 6й) — D (с)] h | С
О<0< 1
< sup р (с + ей) —D (с) и 1Л1.
о<е<1
(1)
Теперь для заданного в > 0 найдем б > О так, чтобы
из |й|< б следовало || D(c -f- k) — £>(с)|| < в; это воз-
можно в силу предположения о непрерывности оператор-
ной функции D(x) в точке с. Тогда, беря любое й,
|й| < 6, получаем из, (I)
| у (с + й) - у (с) - D(c)h |<е| й |,
где в уже не зависит от направления й. Отсюда, как мы
указали выше, и следует дифференцируемость функции
у(х) при х = с, а также и равенство у'(с) = D(с), что
и требовалось.
§ 1.5. Теорема о неявной функции
1.51. Обратная функция; постановка за-
дачи. Пусть функция х=<р(у); F —>Е отображает мно-
жество F взаимно однозначно на множество Е\ тогда на
множестве Е естественно определяется обратная функ-
ция у = f(x): Е -> F такая, что f [ф(*/)] = у, q> [f (x)] = x.
В анализе часто возникает вопрос: при каких условиях
у функции х = (р (у) существует обратная? Постановка
вопроса уточняется следующим образом: множества Е
и F предполагаются областями в нормированных про-
странствах, функция х — q>(y)—непрерывной и диффе-
ренцируемой в окрестности некоторой точки бей; если
ф(б)=а, то желательно указать хотя бы окрестность
точки а, в которой существует обратная функция у—
= f(x), которая ожидается однозначно определенной,
непрерывной и дифференцируемой. Все это требует, есте-
ственно, некоторых дополнительных условий на функ-
цию ф(х). Какого типа должны быть эти условия, мы
1.52
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
67
увидим на примере линейной функции х=у(у), дей-
ствующей из m-мерного пространства F — Rm в «-мер-
ное пространство Е = /?п. Выбрав каким-либо образом
базисы в этих пространствах, мы запишем равенство
х = ф(1/) в виде системы линейных уравнений с число-
выми коэффициентами
Х1— + ••• 4~ф1т#т>
*л = фП1У1 + ••• + фпт#т-
(D
Спрашивается, когда из этой системы числа yit ..., ут
однозначно определяются по любым заданным числам
хи .... хп (хотя бы из некоторой окрестности точки
(О, ..., 0)е/?п)? В алгебре ответ известен: п^т-мат-
рица Ф = ||фг-3[| (i = 1.n; / = 1, должна
быть обратимой (в частности, необходимо условие
m = п), и тогда искомое решение yit ..., у^ дается
формулами Крамера. Теперь заметим, что матрица Ф
является матрицей оператора — производной функции
ф(у) (1.25 б). Значит, в случае линейной функции х —
=ц>(у) (Rm-^Rn) необходимым и достаточным условием
существования обратной функции является обратимость
оператора <р'(у) (оператор ф'(у) в данном случае по-
стоянен, и указания точки b не требуется). В общем
случае для дифференцируемой функции ф(у): F-+E
естественно поставить условие обратимости ф'(6); если
обратима главная линейная часть отображения, вполне
правдоподобной кажется и обратимость всего отобра-
жения.
1.52. Неявная функция; постановка за-
дачи. Мы увидим далее, что приведенная в 1.51 гипо-
теза справедлива: если функция ф(у) дифференцируема
и линейный оператор ф'(Ь) — производная ф в точке b —
обратим, то в некоторой окрестности точки а — <р(Ь)
действительно существует, и притом единственная, непре-
рывная и дифференцируемая функция f(x) такая, что
f[ф(&)] — У> Ф^(Х)] = Л: (1-55). Но оказывается, спра-
ведлива и более общая теорема, в которой идет речь
о разрешимости не специального уравнения
х — ф (у) = 0, а значительно более общего уравнения
Ф(х, у)=0.
68
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.53
В линейном случае этому общему уравнению отвв*
чает система
+ • • • + ain%t + buffi + • • • + bimym = 0, |
........................................... (1)
apiXi + • • • + o.pnXn + bpiUt + • - • + bpniym = 0. }
Вопрос ставится так: при каких условиях на коэффи-
циенты ai3-, Ьц из системы (1) при любых заданных
Xi, ..., хп можно определить однозначно величины
У1, ..., Ут? В данном случае ответ снова известен из
алгебры: должна быть обратима матрица ||fri3[| из коэф-
фициентов при Ifi, ут (в частности, необходимо»
чтобы было т — р). Этот ответ можно написать в тер-
минах функции z == Ф(х, у), отображающей прямую
сумму пространств /?п и Rm. в пространство /?р; эту
функцию можно записать (в координатной форме) так:
Z1 — QuXi + • • • + а1пХа + . + ЬхтУт,
Хр — ар1Х1 + ... + + Ьр1У1 + ... + Ьртут.
Именно, матрица ||6г3|| есть матрица, отвечающая
оператору частного дифференцирования и обрати-
мость этой матрицы означает обратимость указанного
оператора.
1.53. Теперь нам будет понятна формулировка сле-
дующей основной теоремы:
Теорема о неявной функции. Пусть задана
функция 2=Ф(х, у): (Е ст X) X (F ст У) ->Z, отображаю-
щая окрестность W = {{х, у}: |х— а| < г, | у — b | < р}
точки {а, b], a^EczX, F ст У из прямой суммы
нормированных пространств X и Y в нормированное про-
странство Z. Пусть Ф(а, 6) = 0 и оператор
(частного дифференцирования по пространству У) су-
ществует, непрерывен и обратим в указанной окрестно-
сти W. Тогда существует шар U6 = {х е Е: |х—
^6=^г} и функция y = f(x): E->F, определенная и
непрерывная в этом шаре Ub, такая,, что b = f(а) и
Ф (х, f (х)) = 0 при х е U6. Искомая функция у = f (х)
единственна в следующем смысле-, если имеются две
1.53
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
69
функции fi(x) и fs(x), обладающие указанными свой-
ствами и определенные соответственно на окрестностях
Uб, и U62 точки а, то на пересечении U = {/в,П^в2 они
совпадают.
Эта функция у = f(x) называется неявной функцией,
определяемой уравнением Ф(х, г/) = О и условием b =
= /(«)•
Доказательство. Если у = у(х)—искомая
функция, т. е. Ф(х, у(х)) = 0, то
поэтому у(х) можно искать в пространстве функций
и(х): Е -> F как неподвижную точку преобразования
Аи, определяемого по формуле
Ли^)=[-^&ДГ' «(*))]• (О
Чтобы использовать эту идею, возьмем какое-либо б
и рассмотрим метрическое пространство Л1в, состоящее
из всех непрерывных функций u = u(x), определенных
в шаре U6, принимающих значения в пространстве У и
удовлетворяющих условию и(а)=Ь. Расстояние в про-
странстве Mt задается формулой
р [и (х), V (х)] = sup I и (х) —п (х) |.
I*-а Г<0
Пространство Мъ полно, как замкнутое подмножество
полного пространства всех непрерывных функций /(х):
Ub->Y (012.23 е). Преобразование (1) определено для
функций и(х)еЛ4е, удовлетворяющих неравенству
|и(х)—b | р, поскольку именно при таких предполо-
жениях выражение Ф(х, п(х)) имеет смысл. При этом
из и (а) = о, очевидно, следует [Лн](а) = Ъ. Эту совокуп-
ность функций и(х) мы обозначим Мр. Очевидно,
есть замкнутое подмножество в Mt и потому, рассматри-
ваемое как самостоятельное метрическое пространство,
является полным. Пусть и(х) и v(x) —две функции из
совокупности Мер. Оценим расстояние между их обра-
зами Аи(х) нАо(х).
70
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.53
Через DXt у обозначим линейный оператор —j*’
Используя оценку 1.42 д, получаем
| Av (х) — Аи (х) | =
= I D~'b [Da, b(v(x) — U (x)) + Ф(x, и (x)) — Ф(x, V (x))] I=
= I Da,'b {{Da, b — Dx, „) (v (x) — U (x)) —
— [Ф (x, V (x)) — Ф (x, и (x)) — Dx, „ (v (x) — и (x))D I <
< II D~!b II {II Da. b - Dx, „ III v (x) - U (x) I +
+ sup l|£>*,5 — «III V{x) — u(x)|}<
g«=[«(*). owl
<||£>Л1|3 sup sup ll^x.J —Da.bHIt’C*) —u(x)|.
xeu6 Je[iiw, o(x)]
Так как оператор Dx,y по условию теоремы непреры-
вен, то для достаточно малых е > 0 и б > 0 из того;
что |х — а|^б, \у— b|е, вытекает неравенство
IIDx, y — Da,b\\< */6II и, следовательно, неравенство
р (Лv (х), Au (х)) — sup | Av (х) — Au (х) I
<4- sup | v(x) — u{x)\ = ^p(v{x), «(х)). (2)
Таким образом, при указанных бив для функций из
шара Afee оператор А уменьшает расстояния, по край-
ней мере вдвое. Далее, мы можем, еще уменьшив 6, до-
биться того, чтобы оператор А переводил шар Д1б,
в себя. А именно, пусть b(x) = b при |х — а|^б; со-
гласно определению отображения А
Ab (х) — b (х) = — £^'бФ(х, Ь),
так что
|Л&(х)-Ь(х)|С||Д7М1|Ф(х, Ь)\,
а поскольку Ф (а, Ь) = 0 и функция Ф (х, у) непрерывна
по х, то при имеющемся уже е можно взять 6 > 0 на-
столько малым, что из |х — а[ < б будет вытекать
I АЬ (х) - Ь (х) | < J Da,lb || | Ф (х, Ь) - Ф {a, b) | С | • (3)
1.53 § 1-5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 7j
Отсюда следует, что для и (х) е М6е, согласно (2) и (3)
| Au (х) — b(x) |<| Ац (х) — Ab(x) | +1 АЬ(х) — Ь(х) |С
<yp(«W. Ч*)) + -|-<-|-+т=е-
Таким образом, полное метрическое пространство М66
оператором А переводится в себя, и, так как А — сжи-
мающий оператор (2), мы находимся в условиях при-
менимости теоремы о неподвижной точке (013.23). При-
меняя эту теорему, получаем: существует непрерывная
функция y(x)^M6t, определенная при |х — а|^б, со
значениями в пространстве У, такая, что у(а)=Ь и
А у (х) s= у (х), т. е. что
у(х) = у (х) 4- ££'ьФ (х, у (х)).
Сокращая на у(х) и применяя оператор Da> ь, получаем
Ф(х, у(х))== О при |х — а|^ 6. Тем самым существова-
ние искомого решения установлено.
Ясно, как доказать единственность найденного реше-
ния. Заметим, что тождество Ау(х) = у(х), полученное
нами для шара |х — а|^б, верно и" в любом меньшем
шаре |х — а\ 6' 6, поэтому сужение функции у(х)
на этот меньший шар является неподвижной точкой опе-
ратора Лив пространстве Мб'е. Пусть yi (х) — какое-
нибудь решение нашей,, задачи, определенное в некото-
рой окрестности точки а, например в шаре |х — а|^
। 61 6, так что У\(а)= b и при |х — а] б, выпол-
няется соотношение Ф(х, yi(x))=0. Так как функция
Ух (х) непрерывна, найдется 62 61 такое, что при
|х — о|^бг будет иметь место неравенство |«/i(x) —
— Ь | е, где е — число, выбранное при доказательстве
теоремы. Таким образом, ух (х) е Мв28. Мы можем при-
менить к У\(х) оператор А (действующий в любом про-
странстве Мб'е при 6'^6); тогда мы получим
Аух (х) = ух (х) — £Г'ЬФ (х, ух (х)) = ух (х).
Отсюда видно, что У\(х) есть неподвижная точка опе-
ратора А в пространстве ЛГв#. Поскольку неподвижная
точка сжимающего оператора может быть лишь
72
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.34
единственной, мы получаем, что функция У\(х) совпа-
дает с сужением функции у(х\ на шар |х — а| 62>
так что у\(х)=у(а) при |х— о1|^д2. Теорема доказана.
1.54. а. Теорема о неявной функции 1.53 носит ло-
кальный характер, т. е. существование функции у(х),
являющейся решением уравнения Ф(х, У)—0, гаранти-
руется лишь в некоторой окрестности точки а с изве-
стным значением Ь—у(а). Было бы желательно указать
область существования функции у(х) более опреде-
ленным образом». Например, пусть известно, что функ-
ция Ф(х, у) определена, непрерывна и дифференцируема
V V дФ (х, у)
по у при всех х е. X, у^г, причем —- также
всюду существует, непрерывна и обратима; спраши-
вается, если Ф(а, Ь)= 0, то будет ли определена соот-
ветствующая неявная функция у(х) (существование ко-
торой обеспечивается теоремой о неявной функции лишь
в некотором шаре |х— а|<б), если и не для всех
. х^Х, то хотя бы в шаре |х— а|<7, где г — фиксиро-
ванное положительное число, не зависящее от выбора
функции Ф(х, у)?
Оказывается, даже и в такой, казалось бы, весьма
выгодной ситуации ответ приходится дать отрицатель-
ный. А именно, мы укажем сейчас для любого в > О та-
кую функцию Фе (х, у) (/?2 -♦ 7?i), которая будет опре-
делена, непрерывна и дифференцируема по у при всех
{х, у} <= Т?2 и ее производная по у всюду непрерывна и
обратима; при этом Фе (0,0) = 0. Однако интервал
—h <_х <_h будет интервалом существования соответ-
ствующей неявной функции лишь при h < в. А именно,
положим Фе (х, у) = х -ф в — ве^; все высказанные усло-
вия для функции Фе (х, у) очевидным образом выпол-
няются, однако соответствующая неявная функция
у = In —£— определена лишь при х > — в.
б. В противовес сказанному в а относительно обла-
сти существования неявной функции укажем на значи-
тельно более удовлетворительную ситуацию, имеющую
место по отношению к единственности неявной функции.
Пусть на непрерывной линии L, соединяющей точки
о е X и еХ, определены две непрерывные функции
У — f(x) и у = fi(x), каждая из которых удовлетворяет
1.65
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
уравнению
Ф(х, у) = 0 (x^L).
Тогда, если в каждой точке линии L для точек {х, у} и
{xi, ^1} выполнены условия теоремы о неявной функции и
f(a) = fi(ah то также f(ai)—fl(ai)- иначе говоря,
функции f(x) и fi(x) совпадают на всей линии L'.
Действительно,'пусть x = x(t) (/<= [О, 1], х(0)=а,
x(l)=ai) — уравнение линии L. Пусть т= sup t;
f(*(O) = fi(* (*))
так как речь идет о непрерывных функциях, можно за-
менить здесь знак sup на знак шах. Очевидно, т 0.
Теперь заметим, что случай т < 1 невозможен, так как,
по теореме о неявной функции, если совпадение f(x) и-
fi(x) имеет место в точке х(т), то оно имеет место и
в ее окрестности, т. е. и при несколько больших значе-
ниях т. Остается случай т=1; но это означает, что
f (tii) = fi(ai), что и требуется.
1.55. Теорема о производной неявной
функции.
Теорема. Если выполняются условия теоремы 1.53
и, кроме того, существует производная при
|х — а| ^6, jy — Ь| е, то неявная функция у—у(х)
дифференцируема и
у' (х) = - Г . (1)
57 ' ' I. 5# J дх ' ’
Доказательство. Возьмем точки {х, у(х)} и
(х + h, у(х-\-1г)}в X X Т такие, что |х — и
I* + h — а] 6. Поскольку функция Ф(х, у) дифферент
цируема в точке [х, у(х)}, мы можем написать
0 = Ф (х + Л, у (х 4- Л)) — Ф (х, у (х)) =
- lU'< , "<’>> А+”^(»» Ay + о( |t | + | Ay I),
где Ьу = у (х 4- Л) — у (х).
Отсюда, снова используя обозначение DXi у —
находим
| D^~(Xg(X))/г 4- ЛУ | ДЛ8| o(l h 14-1 I) I. (2)
74
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.56
Допустим, что h и, следовательно, Ду настолько малы,
что || DJ.MI о (\h | +1 Ny I) | C Ih I +1 by |). Тогда мы
имеем
<| ОД W> * + Ay | <|| ЛI + jl Ay I.
откуда
4lAylc(4+|P7,'B||^’|)|/.|,
T. e. | by |<ZC| h | при яекотором C>0; далее, под-
ставляя эту оценку в неравенство (2), получаем
| Ду - (- 1>^-^^л)|<|| D^v|(|о((С + 1)\h I) | = o(h),
а это значит, что функция у(х) дифференцируема и
имеет место формула (1), что и требовалось.
Применяя к обеим частям формулы (1) оператор
(х. и)
•—н—— , мы можем записать ее в эквивалентном виде
ду
^У'М+^Л-О. (3)
Формула (3) показывает, что в условиях теоремы для
нахождения у'(х) можно равенство Ф(х, у(х))= 0 диф-
ференцировать по х, как сложную функцию от х.
1.56. Теорема об обратной функции.
Пусть х — <р(у): (F cz Y)-*(E с. X) — функция, диффе-
ренцируемая в некоторой окрестности точки у — Ъ е У,
причем оператор <р'(у) непрерывен в точке у = b и об-
ратим. Пусть <р(Ь)=а^Х. Тогда существуют окрест-
ность V6 = {x^X: |х — a\<Z6} и дифференцируемая
функция y — f(x); Уб-»У такие, что ([ц>(у)]=у при
всех у е Ув, причем оператор f'(x) (X —* Т) является
обратным к оператору <р'(у):
f'(х) = [<р'(у)]~1, где y=f(x).
Доказательство этой теоремы получается непосред-
ственно из теоремы о неявной функции, если положить
1.57
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
75
_ . . . . <ЭФ (х, и)
Ф(х, у) = х — q>(y) и заметить, что —есть единич-
. дФ (х, у) ,, ,
ныи оператор, а —= — <р (у).
1.57. Случай числовой функции. Если в ус-
ловии теоремы 1.53 z = Ф(х, у) есть числовая функция
аргумента х е Е с. X и вещественного аргумента у е
сп дФ (а, Ь) . .
е г с R, то оператор —$ — - представляет собой ум-
ножение на число и его обратимость равносильна нера-
венству —— =И= 0. В этом случае доказательство
теоремы можно получить независимо, не используя прин-
цип сжимающего отображения^ а основываясь на поряд-
ковых свойствах вещественных чисел.
Приведем это доказательство. Пусть для определенности
дФ (а, 6)
---—->0. Можно считать, в силу предположения о непрерыв-
дФ (х, у) дФ (х, у) .
ности ----, что----------ду >0 всюду в достаточно малой ок-
рестности W точки (а, Ь), а саму эту окрестность можно взять
в виде произведения шара в = {хе X; | х — а | С г} и отрезка
f>2 у bt (рис. 1.5-1). Так как Ф (а, Ь) — 0, то Ф (а, у)>0 при у>Ь
и Ф(а, (/)<0 при у<Ь. В
частности, Ф (a, Ь,) > 0,
Ф (а, Л2)<0. В силу непре-
рывности самой функции
Ф(х, у) в шаре V найдутся
окрестности точки а
V+={x: |х —a|<6j}
и
V- — {х: | х — а | <б2)
такие, что
Ф(х, *i)>0 при хеУ+,
Ф (х, 62) < 0 при х е V-.
Пусть d = min {бь д2); положим
Рис. 1.5-1.
Об={х: |х — а|<б).
Покажем, что эта окрестность Ut> может быть взята в качестве
искомой. Пусть xei/й- Так как Ф(х, 62)<0, Ф(х, 6i)>0, а функ-
ция Ф(х, у) от одного переменного у на отрезке Ь2 у воз-
растает (в силу условия д?*>о в IT), то существует, и
76
ГЛ, I, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.58
притом единственное, значение у = у(х), для которого Ф(х, z/(x)) =
— О (05.22 и 05.32). Таким образом, доказаны существование и
единственность решения уравнения Ф(х,у)=О при каждом
Нам остается установить непрерывность полученной функции
у = у(х). Заметим, что по построению функция у(х) удовлетво-
ряет неравенствам Ь2 s^y(x)
Если функция у(х) не является непрерывной в точке cetfo,
то существует сходящаяся к с последовательность xi, хт точек
из t/6, для которых у(хт) не стремится к числу у (с). Из Этой
последовательности можно выбрать такую подпоследовательность
*1> •••> х'т,для которой существует предел Пт у(х'т) = А, ие
совпадающий с В = у(с), причем из следует
С Л 5g 6Ь Поскольку хт->с н Ф(хт,у(хт\) =0, то, в силу
непрерывности функции Ф(х,у), также и Ф(с,4)=0. С другой
стороны, Ф(с,В) — ф(с,у(с\) =0.
Таким образом, на вертикали х = с, Ь2 sg: у Ь\ функция
Ф(с, t/) обращается в 0 в двух точках А и В, что по построению
невозможно. Следовательно,
Рис. 1.5-2.
у(х) непрерывна, и теорема до-
казана.
Величина производной
у'(a) (Х-+Рл) в случае
числовой функции (1.55)
может быть записана в
виде
у/(а)=_
У дФ (а, Ь)/ду '
1.58. Простейшие при-
меры.
а. Кривая
х3 + У3 — %ху = 0 (1)
на плоскости {*,(/) проходит через точку (1,1) (рис. 1.5-2). Какова
касательная к этой кривой в точке (1,1)?
Положим Ф (х, у) = х3 + — 2ху (Rs -> Ri)", очевидно, Ф (*, у)—
дифференцируемая функция вместе со своими производными
и -^5-, причем Ф(1, 1) = 0, дф(1.*.!). = Зр! — 2х| = 1 =/= 0.
дх ду ду |{1_ 1}
Поэтому можно применить теорему о неявной функции: существует
функция у = у(х), являющаяся решением уравнения Ф(х, у)=0
в некоторой окрестности точки (1,1), такая, что р(1) = 1. Эта
. л. л. 5Ф(1, 1) „ , „ I .
функция дифференцируема, и так как------------— 3xz — 2yl = 1,
Ml. 11
то
R'(l)
<5Ф(1, \)!дх
<ЭФ(1, \)/ду
1.
1.58
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
77
Следовательно, уравнение касательной имеет вид
у-1=-(х-1), (2)
или, в дифференциалах (dx = х — 1, dy = у— 1),
dy — — dx. (3)
Формально этот результат можно было получить прямым диф-
ференцированием уравнения (1), которое приводит к равенству
Зх2 dx 4- Зу2 dy — 2xdy — 2у dx — О,
откуда при х — у = 1 мы снова получаем (3). Но этот способ
получает обоснование только на основании теоремы о неявной
функции.
Заметим, что иа тот же вопрос для точки (0,0) теорема о не-
ЙФ (О 0)
явной функции ие дает ответа, так как --?-- = 0. На самом
дУ
деле через точку (0,0) проходят две ветви кривой (1) (см.
рис. 1.5-2).
б. Поверхность в пространстве {х„ у, г}
х3 + у3 + z3 — бхуг = 0 (4)
проходит через точку {!, 2, ЗУ, какова касательная плоскость в этой
точке?
Аналогично предыдущему, рассмотрим функцию
Ф (х, у, г) = х3 + у3 + а3 — &xyz;
очевидно,
Ф(1,2, 3)=0, — Ь- -, 3)- = 3z2- бху I = 15 #= 0,
°г 1{1, Я 3>
-^<l’2’3)=3x2-6yz] =-33,
°* 1{1. 2, 3J
дФ (1, 2,3) _ , в 1
-----1—--- = 3у2 —6xz =—6.
дУ--------1(1.2,31
В силу теоремы о неявной функции существует функция
z = z(x,y), являющаяся решением уравнения Ф(х, у, z)=0 в не-
которой окрестности точки х = 1, у == 2 и такая, что z(l,2)=3.
Эта функция дифференцируема и
. ,, о. ( дг(1, 2) <Эг (1,2)1
gradz(1,2)==)—L_2,—=
( <ЭФ (1, 2, 3)/5х <ЭФ(1, 2, 3)/йу 1 f 33 6 1
“l ЭФ(1, 2, 3)ldzf дФ(1, 2,3)/3z J 115’ 15 j*
Поэтому касательная плоскость в точке (1,2,3) имеет урав-
нение
(г-3)= 1[11(х-1) + 2(у-2)], (5)
78 гл. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.59
или, в дифференциалах (dx — х — 1, dy = y — 2, dz = г— 3),
dz = ± (11 dx + Zdy). (6)
О
И этот результат можно было получить из уравнения (4) формаль-
ным дифференцированием:
З*2dx + 3t/2dy + 3z2dz-6dx-yz — 6xdy-z — Gxy dz = 0. (7)
При x = 1, у = 2, z — 3 из (7) мы снова получаем (6).
1.59. Случай функции Ф(х, у): Rn+m-*Rm. Здесь
теорема о неявной функции 1-53 допускает координат-
ную трактовку, которую полезно сопоставить с теоремой
для линейной системы (1.52).
а. Теорема. Пусть имеется система функций
*1 ~fi (xi, ...» хп, уи ym),
Zm~fm(Xi> •••> Хп, У\, • ••» Ут)’
<1)
определенных в некоторой области пространства Rn+m-
Предположим, что выполнены следующие условия:
(1) Существует точка {а, Ь}={а........ ап, Ьи ..., bm}
такая, что
fi (alt .... ап, Ьъ М = °. ]
.............................I (2)
fm(ai, ап, Ьъ ...» fcm) = 0- )
(2) Существуетокрестность W точки {а, Ь}, в которой
определены и непрерывны частные производные
dfifxi....*п, уи .... ут) . .
ду, '
(3) В указанной окрестности точки {а, Ь} якобиан
матрицы
(х. У) _
ду
dh dfi
дуг дут
dfm dfm
дУ\ * “ дУт
отличен от нуля.
1.59
$ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
79
Тогда существует окрестность U6 точки а — {аъ ...
. .., ап} е Rn и в ней система непрерывных функций
У\ — У1 (хъ .... х„), )
.................................. (3)
Ут Ут (-^1» • • • > Хп) J
такая, что
У\^......an} = bi, ут(а1г .... ап)—Ьт, (4)
fi (хь .... хп, yi(Xi, ...» х„).Ут(Х1, ...» xn))ssO,
fm(.Xli • • •» Хп, У1 (Xj, .... Хп). .... Ут^Х\1 .... Хп))==^0.
Система функций с указанными свойствами может быть
лишь единственной.
Если в дополнение к предыдущему известно, что
в окрестности W существует и производная
df (х, у)___
дх
dfi dfi
дх, ’ * ’ дхп
dfm dfm
дх, * *' дхп
то функции yi, .... ут дифференцируемы при x^U6u
У'(х) =
dyi dxt дУт dxt
dyi дут
дхп дхп
df (х, у)
ду
i-i
df (х. у)
дх
(6)
б. Пример. Кривая в пространстве {х, у, г}, определяемая си-
стемой уравнений
x2-yz = 0, Зх3 —t/ —2г —О, (7)
проходит через точку {1,1,1}; какова касательная к этой кривой
в указанной точке?
Решение: Рассмотрим функцию Ф(х, у, г)-. R3-+R2, опреде-
ленную по формулам Ф(х, у, г) — {и, о}, где
и = х* — у г, о = Зх3 —у — 2г.
80
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.69
Очевидно, Ф (1,1,1) = {0, 0}. Имеем
дФ(1, 1, 1) _
д (у, z)
ди(1, 1, 1)
ду
dv (1, 1, 1)
ду
ди (1,1, 1)
дг
дг (1, 1, 1)
дг
=||-’ -ч
11-1 -2 II’
[дФ(1, 1, I)]"1 II -2
L д (у, г) J || 1
дФ(1, 1, 1)
Мат₽ИЦа -~д(?,-^~
обратима, и поэтому можно приме-
нить теорему о неявной функции: существует решение у = у(х),
Z = г(х) системы и = 0. v = 0, для которого j/(l)= 1, z(l)= 1.
Далее,
дФ(1, 1, 1) о „I
------------------' = {2х, Эх2}
дх
так что
= {2,9}.
1{1, 1. О
дФ (1, 1, 1) 1~1_ дФ(1, 1, 1)
д (у, г)
дх
|{2.9}=={-5,7}.
Следовательно, уравнения касательной в точке (1, 1, 1) имеют вид
У~~ 1 = - 5(х— 1),
z — 1 =7(х— 1).
(8)
Формальное решение в дифференциалах получается дифферен-
цированием данных уравнений (7):
2х dx — dy • г — у • dz ~ 0,
Эх2 dx — dy — 2 dz — 0,
подстановкой х = у — г = 1 и решением получившейся системы
относительно dy и dz. При этом мы находим
dy-= — 5rfx, dz = 7dx,
что совпадает с (8) при замене х — 1 = dx, у — 1 — dy, г — 1 = dz.
в. Непрерывная и дифференцируемая
зависимость корней алгебраического
уравнения от коэффициентов. Рассмотрим
алгебраический многочлен п-й степени
zn — axzn~x + a2z"“2 1)” ап (9)
с комплексными коэффициентами а1г а2, , ап и кор-
нями Л1, .... Ап. Поскольку каждому набору коэффи-
{/(1),2'(1)}
1.69
S Ь5. ТЕОРЕМА О -НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
81
циентов а — (аи .... ап)е Сп однозначно отвечает на-
бор корней X—(Xi, ^)еСп, мы имеем дело
с функцией А — Х(а): Сп-+Сп. Покажем, что эта функ-
ция непрерывна (и дифференцируема) во всякой точке
а е Сп, для которой все корни Ai...Хп попарно раз-
личны.
Коэффициенты многочлена (9) связаны с его кор-
нями по формулам Виета
а1 = Xi + Л2 + ... + Хп,
а2 — liA2-pliA3+ ... + ЛП_1ЛП, /]л\
ап — ... лп;
полученная функция а = а(Ъ), очевидно, всюду непре-
рывна и дифференцируема. Если приращение аргу-
мента Л обозначить через dk — (dki, ..., dXn), то из со-
ответствующего приращения функции а (X) естественно
выделяется главная линейная часть
„ д (ау ..., ап) ,
где ---------rv есть комплексная якобиева матрица си-
стемы (10). Оператор (11) обратим, если det ‘
«/= 0. В этом случае можно применить теорему об
обратной функции 1.56, которая и обеспечит существо-
вание, непрерывность и дифференцируемость обратной
функции X(а) *).
Таким образом, мы должны только показать, что
det-f™1’ ¥= 0, если числа 1., .... попарно
а[Лц ..., кп)
различны.
Доказательство этого факта будем вести индук-
цией по пг = 1, ..., п, ... Для m = 1 утверждение, оче-
видно, выполняется, так как 4?L= 1. Предположим, что
*) Дифференцируемость в общем смысле 1.23 а; на самом деле
функция Х(а) даже аналитичца, т. е. дифференцируема по комплекс-
ным аргументам at, ап, что из рассмотрений 1.23а еще не
Следует.
82
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.59
утверждение справедливо для т = п— 1. Обозначим
&1 = + • • • + ^п-1>
Ь2 = + ЯДз + ••• +^п-2^п-1> (12)
bn~i = . Лп~1.
Если составить многочлен
zn~* l — bizn~2 + b2zn~3 — ... + (— I)»"16n_i, (13)
то числа ........Лп~1 будут его корнями. Если они
попарно, различны, то по предположению индукции
det =# 0. Таким образом, если к форму-
О (А1, . Лп—1)
лам (12) добавить еще формулу Л„ = Х„, мы будем иметь
det
д (bi, ...» bn-i, An) , q
8 (Лц ..An—i, An)
(14)
Учитывая (12), формулы (10) можно записать в виде
«1 — bi 4- ^п>
<h = b2-\- Ь^п,
аз = Ьз + Ь2км
ari— Ьп-^п.
При этом
4 1
1
d(ai, ап)
8 (t>i, ..., bn—i, An)
1
bl
Ьг
1 bn—2
bn-i
Вычислим определитель этой матрицы. Для этого ие
каждой строки, начиная со второй, вычтем предыдущую»
1.61
$ 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
83
умноженную на мы получим
. д(а1,...,ап) _
3 (Ьи .bn—i, Лп)
1 1
0 1 bi -
oi 62 — bfan 4-
о bn-i - bn-An +...+(- i)n~’ ЯГ1
= (- l)"-1 (ЛГ* - bfa*-2 +...+(- 1)*-* 6„_1) ¥= o,
так как по условию не совпадает ни с одним из
чисел Х|, ...» Лп_] и не является, таким образом, корнем
многочлена (13). Далее, мы получаем, используя (14),
det-J^
О (А,„
•• °п)
= det -А ^(а|’1 det -Iff1.......
5 (&i,.... bn—i, Лд) д (Л].Лд—1, Лд)
что и требуется.
§ 1.6. Дифференциальные уравнения
Основная теорема о существовании и единственности
решения у обыкновенного дифференциального уравне-
ния у'Ц) — Ф(/, у) при начальном условии y(t0)= у0 и
Определенных предположениях относительно функции
Ф(/, у) была доказана нами в 013.35. Мы возвращаемся
здесь к этой теореме с тем, чтобы уточнить зависимость
решения от возможных параметров. Теорема о неявной
функции 1.53 вместе с теоремой 1.55 о производной не-
явной функции будут для нас основным средством ис-
следования.
1.61. Для доказательства приводимой здесь теоремы
о непрерывности решения по параметру достаточно
лишь принципа неподвижной точки 013.22.
а. Принцип неподвижной точки. Пусть
М — полное метрическое пространство и отображение
84 ГЛ*, 1, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.61
Д: М-+М удовлетворяет-условию
р(Д(и), Л(о))С6р(и, о) для любых и, v с~ М
с фиксированной «постоянной сжатия» 6, 0 6 < 1.
Тогда существует (и притом единственная) непо-
движная точка преобразования А, т. е. такая точка
иА е М, что
А(иА) = иА.
Для двух отображений А (и) и В (и) с одной и той же
постоянной сжатия 6 расстояние между их неподвиж-
ными точками иА и ив оценивается неравенством
Р(«л. «вХ-гГн SUP рМ(и), В(и)].
Как следствие получаем: если отображение А = Ак
(М -> М) зависит от параметра А, пробегающего метри-
ческое пространство Л, и эта зависимость непрерывна
при А — Ао в том смысле, что
fan sup р[Лл(ы), А.(а))==О, (1)
и постоянная сжатия 6 одна и та же для всех операто-
ров Ах, то неподвижная точка их оператора Ах непре-
рывно зависит от А при А = Ао, т. е.
lim = (2)
б. Пусть Л — полное метрическое пространство,
Y — полное нормированное линейное пространство;. че-
рез Лр (Уг) обозначим шар радиуса р(г) с центром
в фиксированной точке Ао е Л (у0 е У), а через Th — от-*
резок 11 — вещественной оси.
Теорема. Пусть дана непрерывная функция
Ф(/, у, A): Th X Уг X Лр Y, ограниченная некоторой
постоянной С и удовлетворяющая условию Липшица
|Ф(/, У\, А)—Ф(7, у2, А) | L|yi — Уг1; пусть, далее,
имеется непрерывная функция <р(А): ЛР-»У с фиксиро-
ванным значением <р(Ао)—f/о- Тогда существуют числа
b h и а р, а также непрерывная по А и дифферен-
цируемая по t функция y(t, А): ТьХ А.а-* Yr, которая
1.61
» 1Л. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
удовлетворяет дифференциальному уравнению
== Ф(/, у (/, X), X), {/, %) е Т6 X Лд (3)
и начальному условию
3 Ко» X)=ф (Л), X Е Ло. (4)
Доказательство. Обозначим через М6 при б^Л
пространство непрерывных функций u(t): T&->YT с обыч-
ной метрикой
Р («1 (0» «2 (0) = sup | щ К) — и2 (01.
ть
Пространство М6 является полным (О12.23е). Рассмот-
рим на М6 оператор
I
А («(0)» ф (X) + J Ф (т» «(т), Л) dx. (5)
и
Функции ы(/)еМл он переводит в функции T^-^Y,
значения которых, вообще говоря, не принадлежат
шару Yr. Однако при всех значениях >.еЛо
I А(« (0) - Уо1 <1 А(« К)) - Ф (X)I +1Ф (X) - у01 =
t
= J®(t,«(t),X)dT +|ф(Л)-1/о1<С6 + 1ф(Л)-2/о1,
и
IA(“iK))-A(«2K))I<
t
С JI Ф(т, «1 (т), %) — Ф(т, и2(х), X) Idx
К
<Lsup|ui(T) —ы2(т)|б,
гл
И если теперь числа б Л и ст р выбрать столь ма-
лыми, чтобы выполнялись неравенства
Сб<г/2,
|ф(Х) —t/oK^/2 при ХеЛ01
£б<е< 1,
86
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.61
то найдем, что
|Лх(«(0)-ло|<г,
Р 1Л(«1 (0). А (“2 (0)] < 6р 1«1 (0» «2 (01-
Таким образом, для указанных био оператор AK(u(t))
при каждом фиксированном 1 е Л.а отображает про-
странство М6 в себя и является сжимающим. По а опе-
ратор Ах обладает в пространстве М6 неподвижной точ-
кой; в данном случае это равносильно существованию
такой функции у (1,1), что
t
у (t, Z) — <р (Z) Ц- J Ф (т, у (т, A), X) dx. (6)
и
Из этого соотношения видно, что функция y(t, Л)
при фиксированном X имеет производную по t
(012.53 а); дифференцируя по t, находим, что для функ-
ции y(t, 1) удовлетворяется требуемое равенство (I).
Подставляя в (6) t = to, получаем выполнение началь-
ного условия (4).
Чтобы доказать непрерывность полученного решения
по параметру %, д. е. (при фиксированном Ло) справед-
ливость соотношения
lim sup | у (t, X) — у (I, Ло) | = О,
нам достаточно проверить соотношение (1) для опера-
тора Ак. Пусть ц(/)еЛ46. Тогда
Ах (и (/)) — Ах„ (и (0) =
t.
= <р (1) - <р (Хо) + J [Ф (т, и (т), Z) - Ф (т, и (т), Хо] dx. (7)
t
Для заданного е > 0 найдем т] > 0 (rj^or) так, чтобы
при р (А, Хо) < т) и всех t е Т6, u^Yr иметь
| Ф(/, и, 1)-Ф(/, и,Ло)|<е,
IФ (1) — Ф (10) | < е.
Тогда из (7) следует
| Ах(и (0) - Лл.(« (0) |<е + де = е(б 4-1).
1.63
§ 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
87
Так как это верно для любой функции u(t)^M6, то и
sup | Лл (и (0) — Лг„ (и (/)) К е (6 + 1).
и (t) Е М6
Отсюда
lim sup | Лх (и (0) — Лл„ (и (/)) | = 0,
X и (<) е М&
что и требовалось; теорема полностью доказана.
1.62. Найденное в 1.61 решение уравнения 1.61 (1)
с условием 1.61 (2) является единственным в следующем
смысле. Пусть имеется два решения yx(t, X): Тв х\,
у2 (t, X): T6i X \г Yr, удовлетворяющие условию
У\(to, X) = У2 (k, X) = q> (Л); тогда при [t, X} <= Тб X Ло. где
6 = min(d1, d2), а= min(aI, а2), имеет место равенство
Hi(t, X) = у2 (t, X).
Для доказательства заметим сначала, что тожде-
ство 1.61 (3), справедливое для всех точек {(, X} е То X Ла,
верно и в любой меньшей области Т& X б,
o' С а; поэтому сужение функции y(t, X) на эту меньшую
область является неподвижной точкой соответствующего
оператора Л>.=Лл 1 в пространстве Л4в<- Для fi=min(di,d2)
оператор Лкв) переводит пространство М& в себя и по
доказанному имеет в нем неподвижную точку ym(t, X).
Сужения на Мй функций t/ДСХ) и y2(t, X) также являются
неподвижными точками оператора Л^; в силу единст-
венности неподвижной точки у сжимающего оператора
имеет место равенство у (t, X) = уI (t, X) = у2 (t, X) ({t, X} е
eTjX Aa), что и требуется.
1.63. Теорема. Пусть, в дополнение к предположе-
ниям 1.616, функция Ф(/, у, X) в Th% Yr X Лр удовлетво-
ряет усиленному условию Липшица
I Уь Xi) — Ф(1, у2, Хг) L | у[ — у214* Вр(Х1, Х2);
пусть функция <р (X) также удовлетворяет в Ар условию
Липшица
IФ (М — Ф (МI < Ар М-
В этом случае решение y(t,k) при {1, Х}еТвХАо
удовлетворяет условию Липшица по К:
IУ (t, М - у (t, |<Ср(Х„ Х2), С <•
88
ГЛ. 1, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.64
Доказательство. Подставляя в равенство 1.61 (6)
Л==Л1 и Л —Л2 и вычитая полученные выражения друг
из друга, получаем
IУ (t, М - у (t, 12) I < | <р (М - ф (МI +
t
+ J [Ф (т, У (т, М> М — Ф (т, У (т, М dr <
ь
t
^Лр(1], Х2)4- J[Z. | г/(т, Xj) — у(х, MI4-Bp(^i,
to
’С (Л + Вб) р (Лц Л2) 4~ L6 sup IУ & М — У (i» ^2) 1>
тъ
откуда
sup|у(t, M)~y(i> М1<
гб
(Л 4" Bty Р (^ь ^2) 4- L6 sup I у (t, Xj) — у (i, Л2) |;
ть
таким сбразом, если £б < 1, то
sup| у (t, Ъ) - у (t, Л2) 1<4=ТГ Р<хь U
тб
что и требуется.
1.64. Далее нас будет интересовать дифференцируе-
мость решения y(t, X) по параметру X; разумеется, здесь
в первую очередь следует предположить, что простран-
ство Л, в котором меняется параметр X, является не
только метрическим, но и нормированным, и что функ-
ция Ф(/, у, 1) дифференцируема по параметру Л. Мы
начнем с соответствующего усиления теоремы о непо-
движной точке.
Пусть X и Л — нормированные пространства, М сх
сХ — замкнутая область, Лр = {?. е Д, | X — Ло | < р} —
открытый шар в Л. Рассмотрим отображение Лд,(и):
М X Др —► М, дифференцируемое по аргументу и. Пред-
положим, что при каждом А е Ар отображение Лх (и)
является сжимающим отображением М —► М с фиксиро-
ванной (не зависящей от А) постоянной сжатия; доста-
точным условием этого (1-45) может служить, например,
1.65
§ 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
неравенство
и^М, ХсеЛ₽, (1)
с фиксированной постоянной 0.
Тогда в силу 1.61 а отображение Л^(и) при каждом
X е Лр имеет единственную неподвижную точку п=у(Х).
Теорема. Если выполнено условие (1) и отобра-
жение А>.(и) обладает непрерывной производной
то функция y(h) дифференцируема по X.
Доказательство. Фиксируем X — Х| е Лр. Мы
знаем, что уравнение
Ф(и,Х) = и-4(и) = 0 (2)
удовлетворяется при X = Хц и = у (hi). Далее, по 1.31 в
оператор
дФ(у(Х>),Х1) _ F дАк(и)
ди ди
(Х-+Х)
отличается от единичного на оператор с нормой, мень-
шей 0. Таким образом, этот оператор обратим (012.72).
Мы находимся в условиях применимости теоремы о не-
явной функции 1.53; используя ее, находим, что суще-
ствует решение и = u(h) уравнения (2), обращающееся
в у (hi) при X ?= Хь В силу единственности неподвижной
точки имеем y(h) =u(h). По 1.61 а функция y(h) не-
прерывна. Но теперь можно сказать и больше: из суще-
дФ (и, X)
ствования и непрерывности ——- следует, согласно
/.55, по крайней мере в некотором шаре |Х — Xi|^p и
дифференцируемость функции u = y(h), что нам и тре-
бовалось. По 1.55 мы можем написать и равенство, оп-
ределяющее производную от функции u(h):
и' (X) - Х) и' (X) - -дА = 0. (3)
' ’ ди ' ’ оХ ' '
1.65. Применим полученный результат к обыкновен-
ному дифференциальному уравнению 1.61 (3), содержа-
щему параметр X,
*y^ = (I>(t,y(t,h),h) (1)
90
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.65
при начальных условиях
У (^о> Л) = ф (X).
(2)
Относительно функции Ф(£, у, Л) предполагается, что
она определена и непрерывна в области АХУгХЛр
(как и в 1.616), удовлетворяет по у условию Липшица
| Ф(#, уъ Л) - Фа, у2, Л) |<£] У1 - у21,
а ее значения принадлежат шару Yr нормированного
пространства У; функция ф(Л) предполагается непрерыв-
ной в Лр.
Как мы знаем из 1.61 б, решение у = y(t,k) есть не-
подвижная точка оператора
А (“) = ф (М + / Ф (t, и (т), X) dx, (3)
to
который при каждом значении Л является сжимающим в
метрическом пространстве М6, указанном в 1.616. Если
этот оператор является дифференцируемой функцией от
Л, то по 1.64 и решение у — у (t, X) будет дифференци-
руемой функцией от Л. Нам остается, следовательно,
установить условия, при которых оператор (3) зависит
от Л дифференцируемым образом. Покажем, что это
имеет место, например, при следующих предположениях:
(1) Функция Ф(/, У, Л): Th X Yr X Лр -* У имеет не-
прерывную производную по Л.
(2) Функция ф(Л): ЛР-»У имеет непрерывную про-
изводную по Л.
Придадим параметру Л приращение АЛ. Тогда будем
иметь, как в 1.44,
А+дл, (w) — А (и) = ф (Л -|- АЛ) — ф (Л) -|-
t
+ J [Ф (т, и (т), Л 4- АЛ) — Ф (т, и (т), Л)] dx =
to
= АЛ + [ аФ(т’ы.(т)’ V АЛ dx + о (АЛ) =
С/Д J ОД
to
= 1 + f аФ(т,Л(т)’Х) dx М + о(АЛ),
1Ол J ОД»
to
1.67
§ 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
91
откуда видно, что оператор Ак(и) при ХеА,, имеет
производную по X:
t
дАк (и) _ду (X) . Г ЭФ (т, и (т), X) ,
дК ~ дк "Г J дк ах’
h
что и доказывает наше утверждение.
1.66. Производную по X решения г/(/, X) уравнения
1.65(1) с условием 1.65(2) можно найти непосредственным
дифференцированием операторного уравнения 1.61 (6):
t
у (t, X) = ф (X) + J Ф (т, у (т, X), X) dx.
К
При этом мы получаем
ду (/, л)_
дК
t
= ф' (X) 1 [ Гдф(т, у(т, X), X) ду (т, X) j дФ (т, у (т, X), Х)1
J L ду dh dh J
h
Отсюда следует, что функция z(t, Х)= —- удо-
влетворяет линейному дифференциальному уравнению
с параметром X
dz(Z,X) дФ(Ц «/(/,Х),Х) .. , d<D(t,y(t, X), X)
di~ — ду z +------------------------ax----- (1}
при начальном условии
га0,х)=ф'(х). (2)
1.67. Далее рассматриваются простейшие частные
случаи.
а. Пусть <р(Х)=Х, Q>(t, у, Х)^Ф(<, у) не зависит
от X. В этом случае речь идет о дифференцируемости
решения по начальному условию. Решение, в силу об-
щей теории 1.65—1.66, оказывается дифференцируемым,
и его производная по X удовлетворяет однородному ли-
нейному уравнению, вытекающему из 1.66 (1):
rfz(Z.X) дФ(<,У(/,Х)) (t .
dt ду ' ’ '*
(1)
92
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.71
при начальном условии 1.66 (2):
(2)
Если z(t, X)—числовая функция, то задача (1) — (2)
легко решается в явном виде:
t
Г вФ (т, р (т, М) .
J-----в-у---dT
z(t, = . (3)
б. Пусть <р(Х) = уо не зависит от 1, так что параметр
Л участвует лишь в правой части уравнения 1.65 (1).
_ , . ду (t, Я)
При высказанных условиях функция z(t, л) = ——
удовлетворяет уравнению 1.66 (1) при начальном усло-
вии
г(/о,Л) = О. (4)
§ 1.7. Локальная структура дифференцируемой функции
С теоремой о неявной функции тесно связан вопрос
о локальной структуре дифференцируемой функции у =
= f(x)i GcA’*-»}', Пространства X и У в дальнейшем
предполагаются полными.
Если в данной точке йе G оператор f'(a) обратим,
то функция f(x) отображает некоторую окрестность
точки а взаимно однозначно и взаимно дифференци-
руемо на некоторую окрестность точки Ь = f(a)e У, как
это следует из теоремы об обратной функции 1.56. Что
происходит, если оператор f'(a): X—»У не является об-
ратимым?
1.71. Мы ниже рассмотрим несколько таких случаев.
Но сначала установим одну лемму из общей теории не-
прерывных линейных операторов в нормированных про-
странствах.
Лемма. Допустим, что сужение линейного непре-
рывного оператора A: X—*Y на некоторое замкнутое
подпространство Хх с X представляет собой обратимое
отображение Х\ на все пространство Y. Тогда существует
замкнутое подпространство Х2 cz X, дающее в прямой
сумме с Xi все X и такое, что на Х2 оператор А дей-<
ствует как нулевой оператор.
1.72 § 1-7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ЭД
Доказательство. Положим
Х2 = {хеХ: Лх = 0},
Очевидно, Х2 есть замкнутое подпространство в X,
С подпространством Xi оно не имеет общих элементов,
кроме 0; действительно, если Хо е П Х2, то 0 = Ах0=
— z0 е AXh откуда х0 = A~lz0 = 0. Наконец, для лю-
бого х е X имеем Ах = Дхь где xt е Ль Пусть х2 =»
— х — Xi; мы имеем Ах2 = Ах — Ах} — 0, так что х2 е
е Х2; таким образом, разложение х = X] ф- х2, Xi е Хи
х2 е Х2, существует для любого х е X. Оно единственно,
так как Х\ П Х2 — {0}. Лемма доказана.
1.72. В этом и двух последующих пунктах мы рас-
смотрим несколько случаев, когда оператор f'(a) необ-
ратим.
а. В первом случае необратимость оператора f'(a)
происходит по той причине, что пространство У «много
меньше», чем пространство X, и область значений опе-
ратора f'(a) «много раз покрывает У».
Более точно, пусть существует такое замкнутое под-
пространство Xi cz X, что оператор частного дифферен-
цирования (1-47 а) отображает на все У и об-
ратим. Такую точку а будем называть обыкновенной
точкой соответствующей поверхности уровня f(x) =
= C(=f(a)).
Согласно лемме 1.71 существует замкнутое подпро-
странство Х2 а X, составляющее в прямой сумме с Xj
все пространство X. В дальнейшем нам не будет суще-
ственно, что Х2 имеет тот конкретный вид, который был
указан в лемме 1.71; пусть Х2 — какое-либо замкнутое
подпространство, дающее все X в прямой сумме с Хь
Будем записывать аргумент х = Х] 4- х2 (Xi e Xi, х2 е
еХ2) в виде пары {хь х2}, так что, например, а=.
= {«ь Яг}- Положим, как и выше, b = f (а). Утверждает-
ся, что «поверхность уровня» Р = (хеХ: f(x)—b}
в окрестности обыкновенной точки х = а представляет
собой геометрическое место, которое описывается урав-
нением вида X] = ф(х2), причем функция ф(х2) (X^Xj)
дифференцируема в некоторой окрестности точки а2 е
е Х2, («1, а2} = а.
Доказательство нашего утверждения проведем так.
94
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.72
Имея указанное разложение X — Xi + Х2, мы можем
функцию «одного переменного» f(x) записать в виде
функции «двух переменных» y = f(x)=F(xu х2), при-
чем по условию оператор — а— обратим. По тео-
реме о неявной функции уравнение y—F(xi; х2) в
Окрестности точки п1 можно разрешить относительно xt,
и мы приходим к уравнению вида
Xi=^g(x2, у),
причем функция g(x2, у) имеет непрерывные производ-
ные, Ci = g(a2, b). Полагая у = Ь, получаем уравнение
«поверхности уровня» Р'.
xx = g{x2, b),
в виде, разрешенном относительно координаты Xi, что
и требовалось.
б. Случай числовой функции. Пусть y=f(x):
G а X —► 7?1—дифференцируемая функция, причем для
некоторой точки а е G с f (а) = b известно, что f'(a) =/=0.
Это значит, что. существует вектор h X, для которого
f'(a)h =# 0. В данном случае оператор f'(a) представ-
ляет собой линейный функционал (1.24)’, его область
значений есть R\, и из неравенства f'(a)h =/= 0 следует,
что уже одномерное подпространство, порожденное век-
тором Л, переводится оператором f'(a) во все Ri. Таким
образом, это одномерное подпространство можно при-
нять за подпространство Хи участвующее в общих по-
строениях а. В качестве Х2 можно взять, как указано
в лемме 1.71, нулевое подпространство функционала
f'(a). В соответствующих координатах х, и х2 для по-
верхности уровня f(x)= b получается уравнение
xi = g(x2)
с дифференцируемой функцией g(x2). В частности, если
а = (щ, а2), имеем щ = g(a2). Можно вычислить и зна-
чение g'(ai)', для этого дифференцируем соотношение
f(g(x2),x2)t=b:
•^-g'(*2) + #- = 0;
dxt 6 ' 1 дх2
1.73
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
95
отсюда при (хь х2) = (аь а2) = а, учитывая, что
=0, °’ находим, что g (аг) = 0.
Многообразие Х2 в данном случае есть касательная
плоскость к поверхности f(x) — b (1.39 в).
в. Пример. Пусть у = f(x): R3-+R2 — векторная функция, оп-
ределяемая числовыми уравнениями
!/1 U) = f 1 (Хь Х2, Х3), 1 .
У2 (х) = fi (Xj, Х2, Х3). J
Производная
dfi (a) dfi (a) dft (а)
,,. . dxt dx2 дх3
“ ~ df2 (a) df2 (a) df2 (а)
dxi dx2 dx3
не является, конечно, обратимым оператором. Предположим, од-
нако, что минор
dft (a) dft (а)
dxi dx2
df2 (a) df2 (а)
dxi dx2
отличен от нуля. Тогда оператор частного дифференцирования по
плоскости Xi = {xbx2} обратим. Если в качестве Х2 принять одно-
мерное пространство {х3}, то, по доказанному, уравнения (1) можно
переписать в форме
Х| = Ф1 (х3; У1, у2),
х2 = <р2 (х3; yt, у2).
Фиксируя здесь у> = bt, у2 = Ь2, получим вид «поверхности уров-
ня» функции у = f(x):
х> = (х3; ft|, Ь2),
х2 = <р2(х3, bi, b2);
это — линия в пространстве R3. Обозначим ее через Р.
«Касательная плоскость» к этой линии Р есть касательная
прямая к ией. Ортогональность градиента к касательной плоскости
(1.39 в) выражает здесь тот факт, что оператор f'(x) переводит
касательный вектор к линии Р в нуль, в чем можно убедиться и
непосредственной выкладкой, используя формулы производной от
неявной функции.
1.73. а. Во втором случае необратимость оператора
f'(a) происходит по той причине, что пространство Y
«много больше», чем пространство X, и область значе-
ний оператора f'(а) не покрывает всего У*
96
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.78
Рассмотрим какие-нибудь замкнутые подпростран-
ства У] с У и У2с У, дающие в прямой сумме все У,
Тогда, используя разложение у = У\ 4- yi, У\ е Уь
У2, функцию у = f(x) (X—* У) можно представить
в виде пары функций
у(=Ых) (Х->У>), (1)
У2 = Ш (Х->У2). (2)
Эти функции дифференцируемы вместе с функцией
f(x) (1.32 в).
Предположим, что функция fi(x) такова, что опера-
тор fi (а) (X -> У1) обратим. Тогда, по теореме об обрат-
ной функции, уравнение (1) можно разрешить относи-
тельно х- подставляя соответствующее выражение х =
== ф(у) в уравнение (2), находим сйязь между у\ и у2:
У 2 = fi 1<Р
(3)
Это есть представление образа функции f(x), который
в данном случае не есть все пространство У, а лишь не-
которое многообразие в У — график дифференцируемой
функции (3).
б. Пример. Пусть функция у — f(x): R2-> Rs записывается
системой уравнений
У\ = ft (Х1, Х2),
Уг — fa (*|, х2),
(4)
Уз = fa (Х|, х2).
Производная
dfx (а) dfi (а)
dxt дх2
df2 (а) df2(a)
dxt дх2
df3 (а) df3 (а)
dxt дх2
конечно, не является обратимым оператором. Предположим, однако,
что минор
dft (а) dft (а)
dxt дх2
df2 (о) df2 (а)
dxt дх2
1.74
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
97
отличен от нуля. Тогда для функции y = F(x) (Z?2->/?2),
У1 = fi (*i. х2),
Уг = f2 (*i. х2),
оператор F'(a) уже обратим. По доказанному, первую пару урав-
нений системы (4) можно решить относительно xi и х2 в окрест-
ности точки
Xi = <Р1 (У1, Уз), |
Хз = <р2 (Р1, Уз), J
причем функции <р, и <р2 имеют непрерывные производные. Затем,
подставив выражения (5) в последнее уравнение системы (4), мы
получаем
Уз = fs [<Pi (У„ Уз), Ч>2 (У1. Уз)]-
Это уравнение некоторой поверхности в пространстве R2 — области
значений функции у = f(x).
1.74. Могут быть и иные причины необратимости опе-
ратора
а. Чтобы их обнаружить, а также поставить пра-
вильно задачу, рассмотрим вначале линейное преобра-
зование у = Ах: Rn -> Rm, определяемое (в каких-либо
фиксированных базисах этих пространств) формулами
п
У1 = ^ацх} (i==l, ..., /и). (1)
Когда точка х пробегает Rn, вектор у — Ах, вообще го-
воря, не пробегает всего пространства Rm: точным об-
разом пространства Rn при отображении (1) является
некоторое подпространство Im А = R с, Rm *). Прежде
всего, естественно, возникает вопрос: какова размерность
подпространства R? Сюда же тесно примыкает другой
вопрос. В одну точку образа у — (t/i............ут) е Rm,
вообще говоря, отображается не одна точка, а целое
множество точек, которое называется полным прообра-
зом точки у и обозначается А~ху**). Для точки у = О
множество А~ху есть некоторое подпространство Ro с: X,
которое называется ядром отображения А и обозна-
чается кегЛ***). Для любой другой точки y^lmA
*) Image — образ (англ.).
**) Подчеркнем, что оператор А~1 в описываемой ситуации,
вообще говоря, не существует.
***) Kernel — ядро (англ.).
98 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.74
полным прообразом служит сдвиг подпространства Ro
на некоторый вектор (в силу известной теоремы: общее
решение неоднородной линейной системы есть сумма
частного решения этой системы и общего решения одно-
родной системы). Таким образом, полные прообразы
разных точек суть линейные многообразия одинаковой
размерности. Спрашивается, какова эта размерность?
В линейной алгебре даются ответы на оба постав-
ленных вопроса. Именно: подпространство R = Im А по-
рождается столбцами матрицы А ||a,jll; размерность
подпространства R равна максимальному числу линейно
независимых столбцов матрицы А, т. е. равна ее рангу.
Подпространство /?0 = кегЛ есть пространство решений
однородной линейной системы
= 1=1, (2)
Его размерность равна п — г, где г — ранг матрицы А
(см., например, Л3.51).
б. Теперь поставим соответствующие вопросы для
произвольной функции y = f(x); при этом, поскольку
речь пойдет о размерностях некоторых многообразий, мы
ограничимся пока конечномерным случаем. Пусть дана
дифференцируемая функция у = f(x) (G cz Rn —> Rm),
В координатной форме f (х) записывается системой урав-
нений
Z/i = h(xi, .... х„) (г = 1, .... т), (3)
где функции fj(x) определены, непрерывны и обладают
непрерывными частными производными в области G.
Мы ставим следующие вопросы. Какова размерность об-
раза некоторой окрестности точки а е G? Какова раз-
мерность полного прообраза точки b = f(а)? Строго го-
воря, эти вопросы не имеют точного смысла, поскольку
для произвольного множества в Rn размерность не опре-
делена. Мы увидим в дальнейшем, что указанные мно-
жества описываются системой функций от определенного
числа координат, которое мы и будем, естественно, на-
зывать размерностью соответствующего множества. От-
веты на эти вопросы мы дадим в предположении, что
1.74
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
99
ранг матрицы Якоби
dfi (х) dft (х)
ЗХ] * ’ ’ дхп
dfm (х) dfm (х)
ЗХ] ' ’ * дхп
имеет постоянное значение г в некоторой окрестности U
точки а.
Вообще говоря, ранг матрицы Якоби изменяется от
точки к точке; если рассмотреть точку а0, в которой ранг
матрицы Якоби достигает максимального значения, по-
ложим г0, то по соображениям непрерывности минор по-
рядка г0, отличный от нуля в точке а0, будет отличным
от нуля и в некоторой ее окрестности. Таким образом,
условие постоянства ранга в окрестности точки а для
некоторых точек кеб заведомо выполняется.
Без ограничения общности можно считать, что базис-
ный минор матрицы f'(x) при всех х е U располагается
'в ее левом верхнем углу, поскольку в самой точке а
этого можно достигнуть, заново перенумеровав коорди-
наты в Rn и Rm, а из соображений непрерывности мат-
рицы Якоби следует, что левый верхний минор остается
базисным (т. е. его значение остается отличным от нуля)
и в некоторой окрестности точки а.
Теорема о ранге. В указанных предположе-
ниях:
(1) Для некоторой окрестности U а множество
всех значений функции f(x) в некоторой окрестности
точки b=f(a) описывается системой уравнений вида
ys = <Ps(yi, •••> Уг). s = r+l, .... tn,
с дифференцируемыми функциями <pr+i, .... <pm « опре-
деляется, таким образом, г свободными параметрами
Уь---, Ут-
(2) Существует такая окрестность V точки Ь, что
в каждую точку множества Im f П V отображается мно-
жество точек х, описываемое в пределах окрестности U
системой уравнений вида
Xi = ^j(xT+l, хп) (j = \,...,r),
100
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.75
где tpj — дифференцируемые функции-, оно определяется,
таким образом, п — г свободными параметрами хт+\, ...
• • • ,
Доказательство теоремы о ранге будет дано в 1.76.
1.75. А б стр а ктн а я теорема о ранге
(С. Ленг). Пусть X и У—полные нормированные про-
странства, представленные в виде прямых сумм замкну-
тых подпространств: X=Xi^X2, У=У1 + У2- Для вся-
кого х е X и у е У имеются однозначно определенные
разложения x=xt + х2, Xi е Xt, х2 е Х2, у—у\ + у2,
Уг е У2. Каждую функцию у=\(х\. Х-*Т
можно записать эквивалентным образом в виде пары
уравнений
= х2): Х->Чх,
у2 = F2 (xi> хг): X ?2-
Производной f'(x) соответствует матрица из операторов
дЪ (х) аг, (х)
, ах, ах2
‘ агг(х) агг(х) '
а*, дх2
Фиксируем точки a=«i + а2 и 6—61 + b2=f(a) <= У.
Теорема. Пусть функция f(x) дифференцируема
в области GcX, содержащей точку а, и удовлетворяет
следующим условиям:
(1) Из = 0 следует =
(2) dFg^- есть обратимое отображение Хг на УР
Тогда существуют такие окрестности U(a)^X,
V(bi) е Уь W(a2) с: Х2, что
(а) при x<=U(ti) и yi^V(bi) график функции
y=f(x) может быть задан уравнением </2=<p(«/i);
(б) для каждого y^f(V) полный прообраз f~l(у)
при x2^W(O2) может быть задан уравнением Х!=ф(х2).
Здесь ф и ф т— функции, обладающие в указанных
окрестностях непрерывными производными по своим ар-
гументам.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Ф(4/ь хь x2)=Fi(xb х2) —ух (GX У1~*У1). Очевидно,
1.75
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
101
что Ф(£>1, 01, а2) — 0, а оператор д») —
(%!—» У,) обратим. По теореме о неявной функции 1.53
существуют такие окрестности U(b{) cz Уь W(a2) cz Х2,
^(aOczXi и такая функция g(x2, у\)‘. №(а2)Х
X V(M-♦ ^(й0, имеющая непрерывные производные,
что уравнение Л(хь х2) —У\—^ эквивалентно уравне-
нию Xi=g(x2, У1)- Другими словами,
fl(g(x2, У1), Х2) = У!. (1)
Положим U(a) = W(ai) X №(ц2) 0 {х: Л(х) е V(bj)}.
Теперь уравнение
f/2 = F2(x1, х2)
при х е U (а) можно записать в виде
yiz=F2{g(x2,yl), х2). (2)
Покажем, что правая часть не зависит от х2. Дифферен-
цируя (1) и (2) по х2, получаем
dFi dg । dFi_n iq\
dxt dx2 "* dx2 ~~U’
dF2 dg , dfy __ dy2 ...
dxt дхг ' дхг dx2 ’ ' '
Из (3) видно, что результат применения оператора
к вектору | h2, h2 } равен 0 при любом е Х2. Но
тогда, в силу предположения (1), и результат приме-
dF2 (х) _
нения оператора —- к этому же вектору равен 0;
таким образом, ^- = 0 и правая часть (2) не зависит
от х2. Поэтому уравнение (2) при yt е V (bj) можно за-
писать в виде
причем функция <p(yi) имеет непрерывную производную,
так как этим свойством обладают функции Р2 и g. Утвер-
ждение (а) доказано.
Рассмотрим теперь полный прообраз точки у—
\ ={yi, У2}—Цх) f(U). По доказанному, такая точка
{УъУ?} однозначно определяется по первой составляю-
щей у\. Но если заданы х2 и у\, то в указанной выше
102 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.78
окрестности W(a2) X V(bi) однозначно определяется и
составляющая Xi=g(x2, У\), которая при фиксирован-
ном ух представляет собою функцию от х2 е №(а2), об-
ладающую непрерывной производной.
Теорема доказана.
1.76. Доказательство теоремы о ранге
1.74 б.
В условии этой теоремы была задана дифференци-
руемая функция y=f(x) (GczRn-+Rm), или в коорди-
натной форме
yi = ft(xx, .... х„) (i = l, .... т).
Было предположено, что ранг матрицы Якоби
dh * dfi
dxt ‘" * дхп
dfm dfm
dxt ’ *' дхп
равен постоянному числу г в окрестности U точки а е
е Rn и что базисный минор этой матрицы распола-
гается в ее первых г строках и первых г столбцах.
Мы получим теорему о ранге как следствие из 1.75.
Положим в 1.75 X=Rn, Y=Rm. Далее определим под-
пространство У1 с Y=Rm первыми г базисными векто-
рами пространства Rm, а подпространство У2—послед-
ними т — г базисными векторами. Тогда равенство
dFi (х) . Л
——h = 0 равносильно системе уравнении
2^-Л, = 0 (1=1,. ...г), (1)
/=1 1
dF2 (х) , п
а равенство —п = 0 — системе уравнении
= 0 G = r + 1, ...» m). (2)
/=i 1
Но так как строки матрицы f'(x), начиная с (г + 1)-й,
линейно зависят от предыдущих, равенства (2) оказы-
ваются следствиями равенств (1). Таким образом, вы-
1.76
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
103
полнена предпосылка (1) теоремы 1.75. Определим да-
лее подпространство Xj czX=Rn первыми г базисными
векторами пространства Rn и подпространство Х2 — по-
следними п — г базисными векторами. Тогда оператор
dF, (а) „
—- задается матрицей
df, df,
дх, '" ‘ дхг
dfr dfr
дх, ‘’ дхг
с определителем, отличным от нуля, и, следовательно,
обратим; таким образом, выполнена и предпосылка (2)
теоремы 1.75. Нам остается сформулировать результат-
этой теоремы для- данного случая. Он гласит: суще-
ствуют такие окрестности V(a)c:/?„, V(i>i) с Yt=Rr,
W(a2) <=X2=Rn-r, что при хе 11(a) и (уь ..., уг) е
е V(bi) график функции у—f(x) может быть задан
уравнениями
!/г+1 = Ф,+1(У1, .... уг), ...» Ут = <Рт(У1, •••• Уг)',
для каждого y<=f(U) полный прообраз f~l(y) при
{Хг+ь ...» хэт} е W (а2) может быть задан уравнениями
X) = ф[ (хг+ц ..., хп), ..., хг = фг(хг+1, ..., хп),
где ф, и — функции, обладающие в указанных окрест-
ностях непрерывными производными по своим аргумен-
там.
Но это и есть требуемые утверждения теоремы 1.74}
таким образом, она оказывается полностью доказанной.
Теорема о ранге может быть истолкована на языке
размерностей (как минимально необходимого числа па-
раметров, представляющих данное множество с по-
мощью дифференцируемых функций) следующим обра-
зом: размерность образа некоторой окрестности точки
при отображении функцией y—f(x) равна г; размер-
ность полного прообраза любой точки f~l (у) в U (а) рав-
на и — г.
Заметим также, что общие результаты 1.72 а—1.73 а
становятся частными случаями доказанной теоремы
в предположении конечномерности рассматриваемых
104 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.77
пространств (именно случаями, когда ранг матрицы Яко-
би равен числу строк или числу столбцов).
1.77. Теорема о ранге доказывалась в предположе-
нии, что ранг оператора f'(x] (Rn-+Rm) остается по-
стоянным в окрестности рассматриваемой точки. Вообще
говоря, по соображениям непрерывности, если в точке а
ранг оператора f'(a) равен числу г, то существует
окрестность, где он во всяком случае не ниже г; но если
г < min (и, т), то как угодно близко к точке а могут
быть точки х, в которых ранг оператора f'(x) больше,
чем г. Скажем еще несколько слов об этом случае.
Для начала рассмотрим отображение y=f (х): R2-*R2,
задаваемое формулами
У! = х1> У2=х1 (О
и имеющее производную
f'M =
dxj dyi дх2 1
дуг ду2 0
дхх дх2
о
2х2
Ранг этой матрицы равен 2 при х2 =/= 0 и равен I при
Х2=0 (т. е. на оси Xi). Отображение (1) всю плоскость
*={*ь хг} переводит в верхнюю полуплоскость У2 0,
причем каждая точка y={yi, у2} этой полуплоскоста
с у2 > 0 имеет ровно два прообраза Xi ~уъ х2= ± Vу2>
находящихся соответственно в верхней и нижней полу-
плоскостях плоскости х. Более подробно рассмотрим
вертикальную прямую Xi = const, —00 < х2 < +<»;
когда точка {xi, х2} спускается по этой прямой от + оо
к —оо, ее образ сначала спускается по вертикали
yi=Xi от у2=-\-°0 Д° точки </2=0 и затем поднимается
по той же прямой к у2=-\-оо. Такое отображение, есте-
ственно, называется складкой.
Рассмотрим теперь общий случай отображения у=
—ffx), G cz Rn~t Rn- Пусть якобиан /(х) отображения
f(x) в некоторой точке веб равен нулю. Вообще го-
воря, характер отображения f(x) в окрестности такой
точки может быть весьма сложен; мы покажем сейчас,
что при некоторых дополнительных предположениях
отображение f(x) имеет тип складки. Более точно, мы
1.77
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
105
покажем, что отображение y — f(x) после перехода
к некоторым новым независимым переменным zb .... zn
будет изображаться функциями
!/i = <Pi(*i» •••» zn).
= <₽«(«!» •••, z„),
для которых det#'(z)=O на плоскости гп=0 (в окрест-
ности фиксированной точки Л), и если точка z, переме-
щаясь в пространстве /?п. пересекает эту плоскость
в точке А так, что координата zn проходит от Положи-
тельных значений к отрицательным, то точка y(z)
перемещается так, что меняет знак при zn = 0, и,
следовательно, сама координата уп в точке zn=0 меняет
направление движения на противоположное.
Обозначим a={ai, ..., b=f(a)={bl.............bn}.
В координатной форме отображение f(x) имеет вид
yi=fi(Xi, ...» х„),
Уп—1 =*fn—1 (-*-!> • ••» Хп),
yn==fn{^n •••> %п)>
где fi — дифференцируемые функции от х. Предполо-
жим, что функция / (х) дифференцируема в окрестности
точки а и ее градиент в точке а отличен от 0. Тогда
уравнение /(х)=0 определяет в пространстве X неко-
торую поверхность Р, проходящую через точку а. Допу-:
стим, далее, что в окрестности точки а отображение'
g(x)- G —»• Rn, задаваемое равенствами
Zi=fi(xit .... хп),
%п—1 == fn—1 (-^1» •••» Хп),
Zn = J (Xj, ...» Xn),
(2)
имеет якобиан, отличный от нуля. (В описанном выше
примере это условие выполняется.) В частности, g(a) =
={6i, ..., 6n-i, 0}. По теореме об обратной функции
156 в некоторой окрестности точки g(a) систему (2)
106
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.77
можно обратить: мы получим
= .... Z„_!, Z„), (3)
где ср» — дифференцируемые функции. Фиксируем здесь
значения гь ..., zn_i, оставив zn=J в качестве пара-
метра; меняя /, получим некоторую дифференцируемую
кривую в пространстве X, проходящую при /=0 через
роверхность Р. Покажем, что производная вдоль
кривой (3) меняет знак при переходе через точку с I = 0.
Тем самым мы установим, что отображение f(x) имеет
характер складки вдоль поверхности Р. В окрестности
точки а рассмотрим векторное поле Л(х), компонентами
которого являются алгебраические дополнения Ап1, ...
.... Аптг элементов ~..........~ в матрице f'(x).
В силу предположения об отображении g(x) вектор
А (х) не обращается в нуль в окрестности точки а. По-
кажем, что в каждой точке он касается проходящей
через эту точку кривой (3). Обозначая через (dj (j=
= 1, ..._, п) углы вектора Л(х) с осями и через
производную В направлении вектора Л(х), мы находим,
согласно известному свойству алгебраических дополне-
ний {Л 1.52), что
»№ ^df{(x) v afjW Anj
——— 7, —5------COS CO, = —5----ГТГ = 0
dA .44 дх, ] дх, IA |
/=1 1 /=1 1
(/= 1, ..ft — 1)
и = 0, так как функции ft(x) (i— 1, ..n — 1)
на кривой (3) постоянны. Поэтому ф 0, ¥=0,
(7/1 03
и, следовательно, = С~1 (х), где С (х) — не-
которая непрерывная, не равная нулю функция в окрест-
ности точки а. Пусть для определенности С (х) > 0,
Тогда
dfn(x) _ , dfn(x) _rf,y дМ Anj /(х).
dJ —С-W дА —MXJ^j дх, |4|~GW|4|’
/=1 '
1.81 § 1.8. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 107
„ dfn (х)
это означает, что знак производной —совпадает
со знаком якобиана J (х), и, следовательно, ме-
няет знак вместе с J(x), что и требовалось.
§ 1.8. Стационарные значения числовых функций
1.81. Экстремумы.
а. Пусть числовая функция y=f(x) определена в об-
ласти G нормированного пространства X. Внутренняя
точка а е G называется точкой локального минимума
функции f(x), если всюду в некоторой окрестности точ-
ки а выполняется неравенство f (х) f (а). Аналогично,
внутренняя точка е G называется точкой локального
максимума функции f(x), если всюду в некоторой окрест-
ности точки b выполняется неравенство f(x) ^.f(b).
Точки локального максимума и точки локального мини-
мума называются точками локального экстремума.
В точке локального экстремума одновременно реали-
зуется и локальный экстремум вдоль каждой прямой,
проходящей через эту точку. Поэтому, если функция
f(x) дифференцируема, то в точке локального экстре-
мума обращается в нуль производная функции f(x) по
люббДу направлению (1.27 а). Вспоминая выражение
1.27 (1) производной по направлению, мы заключаем,
что в точйе а локального экстремума функции f(x) для
любого вектора h е X имеет место равенство f'(a)h=Q;
другими словами, в точке локального экстремума опера-
тор f'(a) становится нулевым оператором;
Г(«)=о. (1)
Точки а, в которых выполняется равенство (1), назы-
ваются стационарными точками функции f(x). В каждой
из них главная линейная часть приращения функции об-
ращается в нуль. (И следовательно, приращение функ-
ции имеет высший порядок малости по сравнению с h.)
Вообще говоря, это еще не означает, что в точке а
обязательно реализуется локальный экстремум функции
f(x), но, во всяком случае, искомые экстремальные точ-
ки содержатся в числе стационарных. Найдя стацио-
нарные точки, следует каждую из них дополнительно
проанализировать на «характер стационарности».
108 гл. I, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.82
б. Рассмотрим случай X=Rn, f(x)=f(xi........xn).
Тогда уравнение (1) равносильно системе п уравнений
с п неизвестными , ап
df (gi,..,, ап) __ g
dxi
df(at, ап) _q
дхп
и разыскание стационарных точек приводится к разы-
сканию решений этой системы.
в. Пример, Для функции f (хр х2) = 3xjX2 — х, — х2 (/?2->/?j)
стационарные точки удовлетворяют системе уравнений
-^-s3x2-3x? = 0, = Зх,-Зх? = 0.
dXi 2 1’ QX2 1 2
У этой системы имеются два решения:
4*>=4»=о,
а^а^ = 1.
В первой точке, = а2'* “ О, нет экстремума; более того, его
нет даже иа прямой х3 — 0 в точке xt — 0, поскольку по этой пря-
мой функция КхуХг) приводится к виду f(xP 0) = — хР
Во второй точке, «= 1, имеем f (хр х2) = 1. Заменяя х^
на 1 + хг на 1 + /2, получаем
f (*Р х2) - 1 == 3^2 - 3^ - З/f -
(1 \2 3
/j — ~2 ПРИ всех
t — {Л, ¥= 0 и члены третьего порядка при достаточно ма-
лом |f| не смогут изменить этого неравенства. Поэтому точка (1,1)
является точкой локального экстремума для функции f(xitx3), при-
том точкой максимума.
Надо заметить, что такой «элементарный» способ анализа ста-
ционарных точек, какой мы здесь применили, далеко не всегда
возможен.
В следующей главе (2.15) будут даиы более систематические
правила анализа стационарных точек функции от конечного числа
переменных.
1.82. Условный экстремум.
а. Определения. Для числовых функций от мно-
гомерного аргумента хе G сХ возникает новый тип
экстремальных задач — задачи на условный экстремум.
1.82 § 1-8. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИИ Ю9
Постановка задачи на условный экстремум такова. Нам
задана, как и ранее, числовая дифференцируемая функ-
ция y=f(x) (GczX—»Ri). Кроме того, нам задано но-
вое нормированное пространство Z и дифференцируемая
векторная функция <р(х): G—>Z; из принимаемых ею
значений в области G мы фиксируем некоторое значе-
ние CeZ. Условие
ф(х) = С (1)
выделяет в области G некоторую «поверхность» Р. Точ-
ка йе G называется точкой условного локального ми-
нимума функции f(x) при условии (1), если у(а) = С и
для всех точек х из некоторой окрестности а, удовлетво-
ряющих условию (1), справедливо неравенство f(x)
f(a). Иными словами, точка а, лежащая на «поверх-
ности» (1), есть точка условного минимума функции
f(x), если для всех точек этой «поверхности», достаточ-
но близких к точке а, выполняется неравенство f(x)
^f(a). При этом вовсе не требуется, чтобы неравен-
ство f (x) f(a) выполнялось для точек х, хотя и близ-
ких к а, но не лежащих на «поверхности» (1).
Аналогично, с заменой знака на опреде-
ляется точка условного максимума.
Точки условного максимума и условного минимума
вместе называются точками условного экстремума.
Ниже будет найдено необходимое условие, которому
удовлетворяют точки условного экстремума. Предполо-
жим, что рассматриваемая точка а является обыкновен-
ной точкой поверхности ф(х) = С (1-72), т. е. существует
такое подпространство Хг cz X, что оператор —
(Xt —>Z) обратим. Тогда, как мы знаем (1-71), на неко-
тором подпространстве Х2 с X, составляющем в прямой
сумме с Xi все пространство X, оператор совпа-
дает с нулевым оператором.
б. Л е м м а. В точке а условного экстремума функ-
ции f(x) для всякого h2^X2 имеем f'(a)h2=0.
Доказательство. Пусть для некоторого h2 е Х2
это не выполняется, т. е. f'(a)h2 =# 0. Мы утверждаем,
что для любого достаточно малого a s Ri можно так
выбрать ht е Xi, что точка а 4- ah2 -}- hx по-прежнему
110
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.82
будет лежать на «поверхности» (1), т. е.
Ф (а + аЛ2 + ЛО = С; (2)
при этом hi есть бесконечно малая величина по срав-
нению с а. Рассмотрим функцию от а и Ль
ф(а, Л1)==ф(а 4-ай2 + М — С (Rt X -> %}
При а = 0, hi — 0 она обращается в нуль. Далее,
дФ (0, 0) _ , , , дх I _ й<р (а)
—Mi—ф
по условию есть обратимый оператор. Применяя тео-
рему о неявной функции 1.53, мы получаем возможность
выразить hi из уравнения (2); пусть, например, это ре-
шение дается функцией
Л1==ф(а) (R1-+X1).
Функция ф(а) дифференцируема (1.55), и
поскольку h2^X2n ф'(а)Л2=0. Поэтому Л1=ф(а) —
бесконечно малое по сравнению с а.
Рассмотрим теперь f (а + аЛ2 + Л1), где hi есть уже
найденная величина ф(а). Мы имеем
f(a + ah2 + К} — f («) = f' («) (ah2 + /ц) + о (аЛ2 + hi) =
= af' (a) h2 + f' (a) hj+o (ah2 + ft().
Справа первое слагаемое есть числовая линейная функ-
ция от а с угловым коэффициентом f'(a)h2 Ф 0. Второе
и третье слагаемые бесконечно малы по сравнению с а
вместе с hi. Но в таком случае при а=0, Л1=Л1(а)=0
функция f(x) не имеет условного экстремума: точка
х=а -J- ah2 -j- hi лежит по доказанному на «поверхно-
сти» (1) как угодно близко к точке а, а разность
f(x) —f(a) при разных знаках а имеет разные знаки.
Таким образом, из h2 е Х2 следует f'(a)h2=0, и лем-
ма доказана.
1.83 § 1.8. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИИ 111
в. Теперь мы можем сформулировать следующее не-
обходимое условие локального условного экстремума.
Теорема. Если функция f(x): G-^Rt достигает
условного локального экстремума при условии (1)
в обыкновенной точке поверхности (1), то существует
такой линейный непрерывный функционал h(z) на про-
странстве Z, что для любого h^X
f' (a)h — K [q/ (a) h]. (3)
Доказательство. Определим функционал X(z),
используя формулу (3) и обратимость оператора ;
ОХ]
(4)
Непрерывность функционала A(z) следует из непре-
Г d<p'(a) 1
рывности оператора I I и непрерывности опера-
тора f'(a). Поскольку h = hi+h2, где hi^Xi, h2^X2,
и по лемме в точке локального экстремума имеем
ф'(а)Й2 = 0, f'(a)h2 = 0, равенство (3) достаточно уста-
новить для векторов fti е Xi; а для h = hi оно очевид-
но следует из (4).
г. Из теоремы в следует и способ разыскания точек
условного экстремума. Именно, мы рассмотрим пока не-
определенный линейный функционал Х(х) (Z—>Ri) и со-
ставим функцию
F(x) = f(x) —Л[ф (х)].
В искомой точке а условного экстремума функции
удовлетворяется уравнение (3)
f'(a) — Л[ф'(а)] = 0,
что представляет собою выражение того факта, что точ-
ка а есть стационарная точка (во всей области G) функ-
ционала F(x). Тем самым задача об условном экстре-
муме сводится к задаче об отыскании обычных стацио-
нарных точек некоторой другой функции с неизвестным
функционалом X(z).
112
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.8»
1.83. Случай одной числовой связи в
n-мерном пространстве.
а. Пусть X=Rn, y=f(x)' Rn —*-Ri, z=q>(x)i Rn~*Ri*
Функционал X(z): R1-+R1 есть просто умножение на
некоторое (неизвестное заранее) число X. Решение за*
дачи об условном экстремуме функции f(x) с условием
?(х) = Се/?1 (1)
приводится к отысканию стационарных точек для число-
вой функции
F(x) = f(x) — Хф(х).
Для решения этой задачи мы должны написать урав-
нейие
F'(x) = ^(x)_X<p'(x) = 0,
или, в координатной форме,
df(xt, xn) _ dtp (xh ..Хп) __ q
dxt dxt ’
df(xt, ..., хп) _ . дф (Х|,Хп) __ Q
дхп- дхп
(2)
Из этой системы п +1 уравнений (1) и (2) нужно
отыскать « + 1 неизвестных хь ..., хп, К.
б. Пр им ер. Найдем условно стационарные точки функции
п
(«„->«,) (0<6,< ... <ьп) (3)
/=1
на сфере
ф(х)=2х|-1=0. (4)
i=l
Строим функцию
р (х) = f (х) - Лф (х) == 2 brf - Я, £ х| + Я, (5)
i=i i=i
И отыскиваем ее обычные стационарные точки, для чего приравни-
ваем нулю ее первые производные:
--Z-^ZbjXj-Mxi^O (/=!,...,«). (6)
>.84 § 18. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ ЦЗ
Если число X не равно ни одному из чисел Ь\, Ьп, то из
уравнений (6) следует, что Xi = ... — хп — 0, что противоречит
условию (4). Пусть' к — Ьт при некотором т = 1, 2, ..., п. То-
гда мы находим Xj = 0 (j 4^ tn); так как х находится на сфере
(4), то хт = ±1. Таким образом, условно стационарные точки
функции f(x) на сфере (4) имеют вид ±ет = ±(0, 1, ..., 0).
т
При этом условный минимум реализуется в точках ±в|, а услов-
ный максимум — в точках ±еп. Остальные условно стационарные
точки не являются экстремальными; действительно, если из точки
Ёт (\ < т < п) двигаться по окружности в
Хт—1, Упг. то функция f(x) будет умень-
шаться; если же двигаться по окружности
В ПЛОСКОСТИ Хт, Хт+1, ТО фуНКЦИЯ f (х) бу-
дет увеличиваться. На рис. 1.8-1 показан
случай п = 2.
1.84. Случай k числовых
связей в и-мерном н ро-
стр а нстве.
а. Пусть
X = R„, y = f(x): G<=Rn-*Ri,
2 = ф(х):
Таким образом, условие ф(х) = С
можно записать в виде k числовых
соотношений
плоскости переменных
Рис. 1.8-1.
Ф! (хь .... х„) = С1,
<Ра(*ь .... xn) = Ck.
(1)
Линейный функционал Z(z): Rk—>Ri определяется
заданием k чисеЛ Zi, .... Кк и действует на вектор
z = {zt, ..., zk}eRk по формуле
Z (z) = XjZj + ... 4-
Решение задачи об условном экстремуме теперь сво-
дится к отысканию стационарных точек для функции
k
f(x)^f(x) — ^l(p(x)] = f(x,...,x^ — ^Ktq>i(x1, .... хп).
i=i
Числа называются множителями Лагранжа. Для ре-
шения этой задачи мы должны решить уравнение
F' (х) s= f' (х) — Аф' (х) — 0,
114
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.84
или, в координатной записи, систему уравнений
k
df{xv..., Хп) v дфДх,,..., Хп)
дхп 1 дх
1=1
(2)
Таким образом, задача приводится к решению системы
уравнений (1) и (2) с неизвестными х1г хп,
Л1, —, kk.
б. П р и м е р. На кривой у = х2, z = х2 в пространстве (х, у, г)
найти точку а = (х, у, г), ближайшую к точке с = (0,0,1).
Мы должны найти минимум функции
|c-a|2 = x2 + j/2 + (z-l)2
при условиях
<₽! (х, у, z) = y — х2 = 0,
Ч>2 (X, у, z) = z — х2 = 0.
Для решения этой задачи строим функцию
F (х, у, г) = | с — а |2 — Ai<p t — l2q>2 =
= X2 + y2 + (z-l)s-lI (y-x2)-l2(z-x2)
н приравниваем нулю ее частные производные по х, у, z:
dF
%- = 2х + 21 ,х + 212х = 0,
— = 2 (z — 1) — 12 = 0.
Отсюда l1 = 2y, l2 = 2(z—1), и остается решить систему
у — х2 = 0,
z — х2 = 0,
2х + 4ху + 4(г — 1)х = 0.
Одно очевидное решение х = у = z = 0. Если же х #= 0, то третье
уравнение можно заменить на
1 + 2у + 2 (z- 1) = 0.
Из первых двух имеем y = z, так что
. . 1 1 1
4z/=l, у = -£, z = T,
3
ЗАДАЧИ
115
Квадрат расстояния каждой из двух найденных точек а, b до точки
1 1 9
с ==(0,0,1) равен + -цг + -jg-< 1> так что именно в них и
Рис. 1.8-2.
достигается искомый минимум; в точке же (0,0,0) реализуется ло-
кальный максимум расстояния (рис. 1.8-2).
ЗАДАЧИ
1. Показать, что функция f(x) (Pj-^Pi), заданная в поляр-
ных координатах <р, г условиями
__f [г (1 — г)]ф при 0<<р <12л, 0<г<1,
I 0 при остальных значениях <р и г,
непрерывна на каждом луче, исходящем из начала координат, но
не непрерывна в самом начале координат.
2. Показать, что функция f(x) (R2-+R1), непрерывная на каж-
дой дифференцируемой линии, исходящей из начала координат, не-
прерывна и в самом начале координат.
3. Пусть функция Х(ф)—дифференцируемая периодическая
функция аргумента <р с периодом 2л. Показать, что функция f(x)
(Л2-+-Л1), заданная в полярных координатах ф, г формулой
f (х) = X (<р) г,
а) имеет производную по любому лучу, исходящему из начала
координат, и эта производная равна Х(ф);
б) имеет производную по прямой ф = фо тогда и только то-
гда, когда Х,(ф0 + л) = —Х(ф0);
в) дифференцируема в начале координат тогда н только то-
гда, когда Х(ф)= asin (ф+р), Где а и рпостоянные.
116
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
4
4. Показать, что если функция F(t, g) (T?2-* /?i) имеет непрерыв-
ную производную по g, то функционал
ь
/(*)=/ РР.х(П]Л,
а
определенный в пространстве R(a, Ь) вещественных непрерывных
функций х = х(0, а t Ь, является дифференцируемым и его
дифференциал равен
ъ
dfМ = Г(х)h = f — h(0dt.
a
5. Написать дифференциальное уравнение для линии быстрей»
шего подъема функции у = f(xbx2) (R2-+Ri).
6. Какие линии уровня функции р(х, — а)р(х,а) (Я2->Я1) вы-
пуклы, какие имеют точки перегиба, какие разбиваются на пару
овалов?
7. Если числовая функция f(x) (GcX->-Y) принимает одина-
ковое значение в двух точках а и Ь, то на любом пути L, соединяю-
щем эти точки, хотя бы в одной точке производная функции f(x)
по L обращается в 0. Приведите пример векторной функция (хотя бы
R>-*-Rz), для которой аналогичный факт не имеет места.
8. Пусть Q — наименьшее выпуклое замкнутое множество, со-
держащее все значения функции f (!), а t b, f: [a, b]->~Y,f (а) =
= f (b). Показать, что OeQ.
9. Рассматривая поверхность эллипсоида вращения как поверх-
ность уровня функции р(х, а) + р(х, 6), показать, что лучи света,
выходящие нз фокуса а и отражающиеся от поверхности эллипсои-
да„собираются во втором фокусе Ь.
10. Найти для функционала из задачи 4 стационарные точки.
11. Проанализировать характер стационарных точек для функ-
ционала из задачи 4 для случая а=0, t>=l, F(t, g) =g3— (I + l)2g.
12. Найти условно стационарные точки для функционала
1
f(x)= J x3(/)d/, X(flee (0,1)
О
ври условии 1
£(х)^ J x*(i)dt = 1.
о
13. Итерационный метод разыскания решения уравнения f(x)=O
(f: X У) состоит в следующем. Имея некоторое исходное значение
Xi — а, где f'(a) есть обратимый оператор, пишут уравнение отно-
сительно х2:
f (а) + Г (а) (х2 — а) = 0.
(О
17
ЗАДАЧИ
117
Это уравнение дало бы истинное значение корня уравнения f(x)—O,
если бы f(x) была линейной функцией. В общем случае решение х2
уравнения (1) есть некоторая новая точка, в которой, возможно,
f(x2) имеет более близкое к 0 значение, чем в точке а. Из (1) имеем
х2 = а — [Г(а)]~Ч (а). (2)
Формула (2) подсказывает» что следует рассмотреть последователь-
ность
*п+1 = Хп— [Г (х„)Г1 f (*п)
или даже более грубую, но более простую
*n+i==*n— [f(a)l 1 f (Хп)- (3)
Показать, что при выполнении условий
[)Г(а) О-1 sup ||f (х) — f (а) К-1,
I*-а|<г х
К/Ча)ГЧ(а)1<у,
последовательность (3) сходится к решению уравнения f(x) = О,
которое обнаруживается в шаре радиуса г с центром в а.
14. Показать, что функция ,//=|х| (X->/?,) не дифференци-
руема при х = 0.
16. Показать, что в гильбертовом пространстве функция у=|х|
дифференцируема при х 0.
16. Показать, что в пространстве числовых последовательно-
стей х = й1, ...» 5п, ...} с |х|=2 15jfel<°° Функция #=|х|
1
(11 -*• 7?i) не дифференцируема ни в одной точке.
17. Для выяснения расположения ветвей кривой в R2
f(x,y)^ 2 ‘WV’’=° (0
0<A,m<W
при a:\jO*) имеется следующее правило. Следует в уравнение (1)
подставить у = АхтЕ, где А и г — неизвестные постоянные, Е -► 1
при х \ 0; в получившемся уравнении
У a. Amx&+rm£=0 (2)
0<й, m<N
определить г = г0 из условия, что среди имеющихся показателей
k Ц- rom наименьший, положим р, встречается по меньшей мере
*) Символ х\0 означает: х стремится к нулю, убывая.
118
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
18
дважды (например, пользуясь диаграммой показателей, пример ко-
торой приведен на рис. 1.3-1 *)); разделить уравнение (2) на х? и
положить в результате х = 0; утверждается, что каждому простому
и
вещественному корню Ло 0 по-
лучившегося уравнения
Рис. 1.3-1.
2 «^п=о (3)
fe+rom=p
отвечает вещественная ветвь кри-
вой (1) с уравнением г/ = Дохг“£.
Обосновать последнее утвер-
ждение.
18. (Продолжение.) Если Ло —
кратный корень уравнения (3), то
кривая (1) не обязана иметь вет-
ви с уравнением у — Аахт,‘Е. Од-
нако если при этом положить в (1)
{/ = Лохг,(1 + BxsE) и аналогич-
ным путем найти значения Во н
s0, то, если Во будет простым
корнем соответствующего уравне-
ния, у кривой (1) имеется иетвь вида
у — Аохг‘(1 + Boxs,,E).
19. Показать, что функции у = f(x) (GcX-+Ri) с непрерыв-
ной производной f'(x) (G->L(X)) образуют алгебру 81(G), замк-
нутую относительно нормы
Ilf (x)|| = sup{|f(x)| + ||f (х)||).
G
20. (Продолжение.) Совокупность /(а) всех функций
f(x) е 81(G), для которых в данной точке ае.0 выполняются ус-
ловия f(a) =0, f'(a) = 0, образует замкнутый идеал в алгебре
81(G). Показать, что фактор-алгебра 8l/J(a) изоморфна простран-
ству X* всех линейных непрерывных функционалов на X с нулевым
умножением и с формально присоединенной единицей.
21. (Продолжение.) Формальным дифференцированием при
х = а е G называется линейный функционал D в алгебре 81 (G),
непрерывный по ее норме, удовлетворяющий условию
D [fg] — f (а) Dg + Df • g (а).
Для случая, когда X есть гильбертово пространство И, пока-
зать, что из f(x) е/(а) следует Df = 0.
22. (Продолжение.) Показать, что в полном гильбертовом про-
странстве X = Н любое формальное дифференцирование при х = а
в алгебре 81(G) есть дифференцирование в дочке а по некоторому
*) Подробнее см. Г. Е. Шилов, Особые точки алгебраических
кривых на плоскости, УМН 5, вып. 5 (1950), стр. 180—192.
26
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
119
вектору у:
f (а + ty) — f (а)
Df — lim
t->o
t
23. Привести пример функции f(x) (G czX->L(X, У)), у кото-
рой для любого ЯеХ функция f(x)h (G-+-Y) дифференцируема,
в то время как сама функция f(x) не дифференцируема.
24. Привести пример функции f(x,y) (&>->I?i), не дифферен-
цируемой при х = 0, у которой имеется производная по любому
направлению, исходящему из точки 0, равная 0. Показать, что из
существования у функции f(x) (Rn-+Ri) нулевой производной по
каждому (дифференцируемому) пути, выходящему из точки 0, уже
следует дифференцируемость функции f(x) в этой точке.
25. Привести пример функции f(x) (Н ->/?i) (Я — бесконечно-
мерное гильбертово пространство), не дифференцируемой при х=0,
у которой имеется нулеаая производная по каждому дифференци-
руемому пути, выходящему из точкв 0.
26. Показать, что производная от оператора инверсии I (л) —
= (в гильбертовом пространстве Н) имеет вид
I % %о I
Т(х)1\х — х0|2, где Т(х) — ортогональный оператор (т. е.
(Т(х)р, T(x)q) — (р, q) для любых р и q из Н).
Историческая справка
Уже создатели анализа бесконечно малых вполне понимали, что
дифференцирование функций приводит к линейным выражениям от-
носительно приращений координат, и пользовались этой возможностью
сведения сложных задач к простым; именно в линеаризации, реше-
нии задачи на линейном уровне и последующем возвращении к ко-
нечным величинам с помощью интегрирования и был весь смысл
открытия Ньютона и Лейбница. Техника полных дифференциалов
была развита Эйлером (1730-е гг.). Однако без теории пределов —
если не созданной, то систематизированной лишь Коши в начале
XIX века — линеаризация в XVII и XVIII веках представлялась
внутренне противоречивой; математики того времени, по-видимому,
считали, что линейны в малом сами рассматриваемые функции и
что их дифференциалы и есть их приращения, получающиеся при
каких-то «чрезвычайно малых» дифференциалах — приращениях
аргументов. Эта точка зрения, естественно, ие могла быть проведе-
на сколько-нибудь последовательно, что весьма затрудняло обосно-
вание анализа и предоставляло простор для уничтожающей критики
со стороны философов. Например, Беркли, после критики «яаных
софизмов» с ньютоновыми флюксиями (производными), говорит
даже: «Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию...
не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».
Гегель, философ другого направления, связывал методы бесконечно
малых с открытыми им диалектическими законами мышления и
трактовал дифференцирование как отрицание (конечной величины),
а интегрирование — как отрицание отрицания; с этой точки зрения
весь анализ бесконечно малых представился как результат примене-
ния диалектики к математике; при этом стало понятным, почему
120
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
все имевшиеся тогда в анализе «доказательства» были неприемлемы
с точки зрения формальной логики, — ничего иного и не могло быть
при не формальных исходных положениях. Справедлиаость приве-
денных соображений Гегеля тем ие менее не продвигала анализ бес-
конечно малых ни на шаг вперед; для его плодотворного развития
на определенном этапе стала необходимой конкретная формализа-
ция исходных построений. О возможности такой формализа-
ции думали выдающиеся математики XVIII века — Эйлер, Да-
ламбер, Лагранж; объявлялись академические конкурсы иа
построение логически безупречной системы анализа. Одна-
ко, лишь в XIX веке, с накоплением достаточного факти-
ческого материала, нужная формализация была достигнута у Коши
и Вейерштрасса. И тогда анализ бесконечно малых, освободившись
от формальных противоречий, стал доступен гораздо более широкому
кругу исследователей и его развитие пошло вперед с невиданной
ранее быстротой и эффективностью. Главная заслуга Коши как раз
и была в том, что он рассмотрел дифференциал функции не как ее
приращение, а как главную линейную часть ее приращения; точная
формулировка этого понятия была основана у Коши на понятии
предела, которое им и было положено в основание всего исчисления
бесконечно малых. Вейерштрасщдобавил сюда технику рассуждений
сейб, что, в частности, позволило исправить некоторые слишком
поспешные рассуждения Коши. На протяжении XIX века многими
авторами, от Коши до Гурса, формировались различные идеи диф-
ференциального исчисления функций нескольких переменных, вклю-
чая теорию неявных функций, зависимых и независимых функций,
якобианов (последние были введены К. Якоби в 1833 г. первона-
чально для получения общего правила замены переменных в крат-
ных интегралах, см. гл. 3). В 1911—1913 гг. было-дано несколько
вариантов определения дифференциала от функционалов (Фреше;
Гато; см. П. Леви, Конкретные проблемы функционального ана-
лиза, «Наука», 1967, ч. I, гл. 2); после внедрения в математику идеи
нормированного пространства (1920—1922) осноаиым осталось
определение Фреше (1.23). Ойо открыло путь для распространения
дифференциального исчисления на функции, определенные в беско-
нечномерных пространствах. Соответствующее обобщение теоремы
о неявной функции было получено Гильдебрандтом и Грейвсом
(1927).
Задачи на определение экстремумов решались с помощью диф-
ференциального исчисления .уже во времена Ньютона и Лейбница
(и даже раньше — Ферма, 1629). Метод множителей в задачах иа
условный экстремум был описан Лагранжем в 1797 г. Для функцио-
налов, заданных в нормированном пространстве и при наличии ко-
нечномерной связи, он был установлен Л. А. Люстерииком в 1934 г.
ГЛАВА 2
ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Теорию высших производных для функции у = f(x} (бсгХ->-У)
можно строить или исходя из индуктивного определения f<">(x) =
= [f(n-1)(*)]', или исходя из выделения в приращении функции
вслед за главными линейными членами главных квадратичных, ку-
бичных и т. д. членов. Оба подхода, как мы увидим в §' 2.4, при
соответствующих предположениях непрерывности равноправны.
Вначале мы рассматриваем числовые функции от п веществен-
ных переменных (§ 2.1); получаемый здесь классический конкретный
материал послужит иам базой для формирования общих понятий ш
предложений. В общей теории, где и аргумент и функция прини-
мают значения в многомерных пространствах, появляется то новое
обстоятельство, что значения высших производных принадлежат все
более и более далеким пространствам; в то же время высшие диф-
ференциалы естественно связываются не столько со степенными,
сколько с полилинейными симметричными формами от дифференциа-
лов аргументов. Важным результатом, основанным на этих рас-
смотрениях, является теорема Фробениуса (§ 2.5): условием разре-
шимости дифференциального уравнения первого порядка у' =.
= F(x, у) оказывается некоторое условие на функцию F(x,y), ко-
торое тесно связано со свойством симметрии второго дифференциала
как билинейной формы от дифференциалов аргументов. Поскольку
в переводе на классический язык теорема Фробениуса дает условия
разрешимости системы уравнений первого порядка в частных про-
изводных, она, как и теорема о неявной функции, является одним
из самых мощных средств анализа,
§2.1. Высшие производные числовой функции
и переменных
2.11. а. Если частные производные •••»
числовой функции f(xi, ..., хп): G с Rn~* Ri, диффе-
ренцируемой во всех точках области G, также являются
дифференцируемыми функциями (G с: Rn -♦ R{), то мы
можем составить вторые частные производные, которые
122
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.11
обозначаются так:
д / df (х) \ d2f (х) д I df (х) \
dxj \ dxt j дх, ’ dx2 \ dxt )
= d2f (х) д f df (х) \ = d2f (х)
дх2дХ| дх{ \ dxj J дх[дх]
д (df(x)\ d2f(x) .
дхп \ дхп ) дх2п
Продолжая дифференцирование (если возможно),
можно составить частные производные третьего порядка
& I j*) -) == д . четвертого порядка
dxk ( дх{ dXj / dxk dxt dxj r 1
д I d*f(x) \ aa d'f(x) и T д
dxp \ dxk dx{ dx} j dxp dxk dx{ dXj
б. Согласно приведенному определению у функции п
переменных может существовать п производных перво-
го порядка, и2 производных второго порядка, п3 произ-
водных третьего порядка и т. д. На самом деле число
различных (т. е. не совпадающих в данной точке) про-
изводных каждого данного порядка меньше; оказывает-
ся, что очередность, в которой берутся производные,
для достаточно хороших функций безразлична, так что,
d2f d2f
например, -%—4— — —л—• Имеет место Следующая
О X О'А у О’А у С7л^
теорема:
т с л. d2f W
Теорема. Если функции я \—
ОХох
ствуют в окрестности точки a = {alt
рывны в самой точке а, то
d2f{x)
dXj дх{
, ап} и
суще-
непре-
d2f(g)
dxt dxj dXj дх{
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать i = 1, j — 2. Выделяя зависимость f (х)
лишь от Xj и х2, будем писать далее f(x) = f(xlt х2).
Рассмотрим выражение
w==f{ai + hi, a2 + h2) — f(al + hi, а2) —
— f(au a2 + h2) + f(alt а^). (1)
2.11
§ 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
123
Его можно рассматривать как приращение функции
O(xi) = f(xi, a2 + h2) — f(xu а2)
при изменении X] от до а, 4- At. По теореме Лагранжа
имеем
и = ф(а! + hl) — ф(ц1) = ф'(а] 4-01Л1)й1 =
Г df (°г+ 61^1, а2 4- h2) df (oi + б]/!], о2) 1 ь
L dxi ]л*
при некотором 0Ь О<0[<1. Применяя теорему Ла-
гранжа еще раз, уже по переменному х2, получаем
ЛУ — (°1 4~ Оа + 6г/1г) Д
(2)
дх2 dxi
с некоторым 02, 0 < 02 < 1. Однако ту же величину w
можно рассмотреть и как приращение функции
^(x2) = f(ai 4-Ль х2) — f(ah х2)
при изменении х2 от а2 до а2 + й2. Снова используя
формулу Лагранжа, мы найдем, что
___ d2f (<ц + TjAb а2 + т2й2) , .
W-----------------д----г--------------/ti/Zo
(3)
с некоторыми Т[ и т2, 0 < т( < 1, 0 < т2 < 1.
Приравнивая (2) и (3) и сокращая на h\h2, полу-
чаем
(Qi 4- б.й,, az 4* 62/z2) d2f (а, Tj/ii, о2 4- т2й2)
дх2 dxi dxi дх2
Устремим здесь и h2 к нулю; в силу предположе-
d2f (х) d2f (х)
ния о непрерывности функций и - 1 при х=а,
OXi ОХ2 UX2 OXi
получаем в пределе
d2f{a)' __ d2f(a)
дх, дх2 дх2 dxi ’
что и требовалось.
в. Для производных высшего порядка независимость
от порядка дифференцирования (в предположении об их
существовании и непрерывности в точке х = а) доказы-
вается последовательным применением теоремы б.
124
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.12
Например,
ds *f (х) _ д f д9} \ _ д / д2{ \ _ d3f =
дх2дх2 дХ] ydXjdx2/ дх{ у<Эх2дХ[ ] дх1дх2дх1
— д* ( df \ — 02 ( df\ = d*f
дх1дх2\дх1) дх2дх1\дх1) дх^дх2
г. Если функция f(xj, ...t хп) есть многочлен от
хь ...» хп степени, меньшей k, to, очевидно, все произ-
водные порядка k (и выше) от функцйи f(x) равны
п
нулю. В частности, для линейной функции f(x) — S ctXi
i=l
равны нулю уже все вторые производные функции f(x).
2.12. Высшие дифференциалы.
а. Первый дифференциал функции y=f(xt,... ,xn)l
G a Rn~* R\ равен по 1.22 (3)
<«
и представляет собой функцию от переменных х—
={xi......хп} и dx={dxi, ..., dxn}, линейную по аргу-
менту dx. Рассматривая (1) как функцию только от х,
мы можем по аналогичному правилу сосчитать ее вто-
рой полный дифференциал d(dy):
cPy^d (dy) = ^^-^-dxi^
/=« 1
Л=1 1 4=1 * ! i=l /=1 1 1
Возникает функция от переменных xf и dxit зависящая
от dxt уже квадратичным образом.
Продолжая аналогично, получаем третий полный
дифференциал
d3y^d(d2y) = dl 2 ’Sr^TdxtdxU~
1 1 1
п
S dxdSdxX~dx'dXtdxidXkt
I, I, *=1 * 1 1
2.13
§ 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
125
который представляет собой уже кубическую форму от
аргумента dx, и так далее; s-й полный дифференциал
функции y=f(x) определяется по рекуррентной фор-
муле
dsy = d(ds 'у)
и представляет собой форму s-й степени от координат
вектора dx. Наряду с определенными выше полными
дифференциалами dy, d2y, d3y, ... рассматривают и част-
ные высшие дифференциалы. Так, выражение
а—?— ах2 dx,
oxi дх2 1 *
называется вторым частным дифференциалом функции
y=f(x), отвечающим дифференциалам dx2 и dxi незави-
симых переменных. Аналогично строится определение
частных дифференциалов и в. общем случае.
б. Если функция f(Xt..хп) есть многочлен от
Xi , ..., хп степени, меньшей k, то, в соответствии с 2.11 г\
все дифференциалы порядка k (и выше) от функции
f(x) равны нулю. В частности, для линейной функции
f (х) = S СгХ/ равен нулю уже второй полный диффе-
ренциал функции f(x). Часто используются соотноше-
ния d?Xi=O. Все сказанное справедливо, когда xf яв-
ляются независимыми переменными; если х< — функции
от других аргументов, эти равенства, вообще говоря, не
имеют места.
2.13. Формула Тейлора. Высшие дифференциа-
лы используются для уточнения вопроса о поведении
функции в окрестности данной точки. А именно, при
условии существования соответствующих дифференциа-
лов имеет место ряд все более точных формул:
Ьу^Ца + dx) — f(a) —
= У Шг~Лх{ + ° (dx) = dy (d) + о (dx),
3--1
Ai/ = dy (a) 4- -±- d2y (a) + о (| dx I2),
by = dy(a) + ±d2y(a)+ ... +-^-dmi/(a) + o(\dx f),
£» itll
126
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.14
где lim о( Idx |m)/|dx |'” = 0. Все эти формулы являются
dx->0
следствиями общей формулы Тейлора
y(a + dx) = i/(a) + dy(a) + ^<Py(a) + ...
Вывод формулы Тейлора будет дан в 2.41. А в 2.43
будет доказано следующее предложение: если в обла-
сти G cz Rn для функции у(х) имеет место при некото-
ром т равенство
п п
y(a + dx) = y(a)+^i(ft(x)dxi+-^ (p{l(x)dx{dxl + ...
i=i i, /=i
п
••• S ... dx/m4-o(|dx|m) (2)
i... ... i„<=\ 1 m
г m
с непрерывными коэффициентами <р4(х), <ptj(x), ... и
равномерно бесконечно малой o(|dx|m), то функция
y=f(x) дифференцируема в области G и разложение
(2) есть ее разложение по формуле Тейлора.
Это предложение устанавливает эквивалентность
прямого подхода к определению высших производных
и подхода, основанного на выделении из приращения
функции последовательно членов первого, второго и т. д.
порядков малости.
2.14. Поведение числовой функции в
окрестности данной точки с точностью до
малых второго порядка.
а. При т — 1 формула Тейлора превращается в оп-
ределение дифференцируемой функции и выделяет глав-
ную линейную часть приращения функции.
При т = 2 формула Тейлора, написанная в форме
у (а 4- dx) — у (а) — dy (а) =
п
=4 2 -^7dx‘dxi+°^dx^
i. /=i 1
выделяет главную квадратичную часть приращения
функции, остающегося после выделения главной линей-
ной части; эта главная квадратичная часть и дается
2.14
§ 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
127
квадратичной формой
Q(dx) = -|S l^dx'dxi-
t, /=i ’
б. Квадратичная форма (2) может быть положи-
тельной при всех dx 0, как это имеет место, напри-
мер, для случая
Q (dx) = S (dxt)z.
i=i
n
Если квадратичная форма Q(dx) = 2 qudxidx/
положительна, то пусть С > 0 есть ее минимальное зна-
чение на единичной сфере |dx| = l; тогда для любых
dx мы имеем
Idx । _ / d 'x \ жЦ dx.-dx, _
тзгг!=1, ^\W/ = S qii |dx|2 =^C*
1.1=1
откуда
n
Q (dx) = 2 ^ijdXi dxj C | dx I2.
Поэтому, если второй дифференциал d2y(a) есть по-
ложительная квадратичная форма от dx, то для задан-
ного в > 0 при всех достаточно малых dx^=Q мы имеем
1 V д2У (а)
2 дх.дх.
I. 1=1 1
dxt dxj + о (| dx I2)
>(С - е)| dx |2^С( I dx |2 > О,
т. е.
by — dy> 0, Ду > dy.
Это означает, что график функции y = f(xx, ..., х„)
в окрестности точки х = а лежит над касательной пло-
скостью
(1.266) (рис. 2.1-1).
п
dy-^^dxi
1=1 1
128
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.tf
в. Аналогично, если форма d2y(d} отрицательна при
(п \
например, для d2y = — 2 (dx()2 , то при
i=l /
Рис. 2.1-1. Рис. 2.1-2.
Рис. 2.1-3.
всех достаточно малых dx =# 0 мы имеем Ay < dy,
а значит, график функции y = f(xit ..., хп) в окрест-
ности точки х = а лежит
под касательной плоскостью
(рис. 2.1-2).
г. Квадратичная форма
d2y(a) может быть положи-
тельной при одних значени-
ях dx и отрицательной при
других значениях dx (на-
пример, форма d2y(a)~
т п \
<=^dx2,— У dx2, ;этозна-
f=l l=m+l Ч
чит, что при одних значе-
ниях dx будет \у > dy, а
при других Ду < dy. Гео-
метрически график функции
у = f(x) в окрестности точки х =,а будет иметь «седло-
образную» форму, частично располагаясь над касатель-
ной плоскостью, а частично — под касательной плоско-
стью (рис. 2.1-3).
2.14
9 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
129
д. Может быть и вырожденный случай, когда форма
d2t/(a), будучи в целом неотрицательной (неположитель-
ной), обращается в нуль на некоторой прямой (или на
целой совокупности прямых); тогда о поведении графи-
ка функции у(х) вдоль этой прямой (или этих прямых)
нельзя уже судить по ее второму дифференциалу и сле-
дует привлекать высшие дифференциалы.
Пусть, например, у=у(х) е= y(xi, х2) и известно, что
d2*/ 0 и что для данной точки а= (щ, а2) в плоскости
Xi, х2 имеется только одна прямая,
положим Z, на которой d2y=0. Л
Тогда поверхность у—у(х) в >41
окрестности точки а будет иметь
вид открытого кверху желоба, иду-
щего по направлению прямой I. Г/
При учете малых высшего порядка / '
этот желоб может обнаружить еще
некоторое изгибание вдоль пря- у
мой /; так, если на прямой I выра-
жение аАу Ф 0, то, поскольку нечет-
ная форма d?y вдоль прямой I ме-
няет знак, график функции у(х) вдоль прямой I пере-
ходит с одной стороны касательной плоскости на дру-
гую, что и дает форму искривления желоба (рис.
2.1-4).
е. В алгебре существует правило (правило Сильве-
стра), позволяющее непосредственно по коэффициентам
п
квадратичной формы Q(l)— S ЯцЫ1 узнавать, ка-
кой из указанных случаев имеет для нее место. Именно,
следует вычислить п определителей
®1 — *711» ----
Яи
Ян
Я12
Я22
711 • • • Я\п
(3)
Яп1 • • • Япп
Правило Сильвестра говорит: если все определители
61, &2, ..., б„ положительны, то и форма Q(|) положи-
тельна; если 61 < 0, б2 > 0, бз < 0, ..., то форма Q(|)
отрицательна; если все числа t>j отличны от нуля, но их
знаки чередуются каким-либо иным образом, то форма
принимает значения обоих знаков, Если какой-либо из
189
Гл. 2, высшие ПРОИЗВОДНЫЕ
t.14
Определителей 6к равен нулю, признак Сильвестра не
дает определенного ответа; требуется более тщательное
Рассмотрение. Вывод правила Сильвестра можно найти
в Л7.96.
Можно показать также, что форма Q(g) заведомо
принимает значения разных знаков, если хотя бы один
из определителей 6з, б-t, бе. . • - отрицателен (см. зада*
Чу 1>.
ж. Пример. Пусть f(хр х2) = 3х]х2—х| —х|. В этом
случае
JL = Зх2 - Зх?, -Д- = 3*! - Зх|,
дх, 2 1 дх2 1 2’
d2f _ -з W -
* q ““”~ vXjj ' —— - —— о* * —
дх, дх,дх2 дх2дх, дх2
6х2,
d2y = — 6xi (^i)14- 2 • 3rfxt dx2 — 6x2 (rfx2)2,
6i = — 6хъ 62 =
— 6Xi
3
3
— 6x2
= 9(4x,x2 — 1).
На рис. 2.1-5 показаны области в плоскости хь х2, где величины
61 и 62 не обращаются в 0 и на основании правила Сильвестра
можно высказывать определенные утверждения относительно пове-
дения функции f(XbX2).
Рассмотрим точки, к которым это. правило не применимо. Пре-
жде всего, на оси х2 мы имеем 61 =±= —= 0. Если теперь поме-
нять ролями оси координат и считать х2 первой координатой, то,
так как в этом случае 61= —6х2 =/= 0, каждой точке (0, х2), х2^=О,
будет соответствовать седлообразная точка графика. В точке (0, 0)
перестановка осей уже не помогает; но здесь tPy = 6rfxidx2; эта фор-
ма меняет знак, и, следовательно, точке (0, 0) также отвечает седло-
образная точка графика. В точках гиперболы 4xiX2 = 1, где б2 =0,
второй дифференциал становится пропорциональным полному квад-
рату линейной формы, именно:
d2p = — 6xi (dx,)2 + 2 • 3dx, dx2 — 6x2 (dx2)2 =
при
при Xt<0.
Xi>0,
На прямых, вдоль которых соответствующая линейная форма обра-
щается в нуль, анализ поведения функции требует привлечения чль-
814
S 1.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
131
нов третьего порядка. Этими прямыми являются
dxt----^=-dx2 = O,
2Ух,
или dx2 = 2xt dxi
V — xt dxt 4-r dx2 = О, или dx2 — 2xt dx,
2У- x.
при jq>ft
при xt < 0.
(5)
Здесь dxi и dx3 означают приращения координат вдоль прямой (5),
Можно обозначить dxi Xi— Xi, с1Х2 — Х2—х2, где (х>, х2)—1
Рис. 2.1-5.
точка гиперболы (Х>, Х2) — текущая точка прямой, так что урав«
нения (5) получат вид
X, — х2 = 2X1 (^1 — *1)-
Чтобы узнать, как себя ведет вдоль этих прямых функция
p(xi, х2), дифференцируем еще раз равенство (4):
d*y = - 12 (dxj’ - 12 (dxj’ = - 12 ((dxj3 -f- (dxj3).
Если dx2 = 2X|dxb to
d3p==- 12(dx,)3(l 4-8x3).
При Xt # —*/s форма d’p не вырождена, н графиком функции
р(х) в окрестности таких точек является «искривленный желоб»
132
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.1«
того типа, что изображен на рис. 2.1-4. Если же xt — —Vs (следо-
вательно, и = —Vs), то вдоль линии dxt = —dxi мы имеем
dy = 0, d2y = 0, d3y — 0, и, следовательно, многочлен 3-й степени
у(х) на этой прямой принимает постоянное значение; график же
функции у(х) в окрестности точки (—Vs, —Vs) представляет собою
также желоб, но уже без искривления по своему направлению.
2.15. Полученные результаты дают признаки, позво-
ляющие в некоторых случаях выяснить характер стацио-
нарных точек (1.81 а).
а. Пусть а е G — стационарная точка числовой
функции y=f(x): Rn —> Rt. Предположим, что функция
f(x) дважды дифференцируема в области G. Тогда
f'(a)=O и касательная плоскость к поверхности y—f(x)
в точке (a, f(a)) горизонтальна. Рассмотрим в точ-
п
ке а второй дифференциал d2f(a) — ~ дх^дх" ^х‘^х1
i. /=1 х‘ х<
функции f(x). Если квадратичная форма ^(а) положи-
тельна, то, по 2.14 6, график функции f(x) в окрестности
точки а лежит над касательной плоскостью; другими
словами, f(o + dx) f(a) для достаточно малых значе-
ний jdxj, или, что то же, точка а является точкой
локального минимума (рис. 2.1-6) функции f(x). Если
df=0, def>0
Рис. 2.1-6.
квадратичная форма d2f(a) отрицательна, то, по анало-
гичным соображениям, точка а есть точка локального
максимума функции f(x) (рис. 2.1-7). Если квадратич-
ная форма d2f(a) неопределенна, т. е. принимает в лю-
бой окрестности точки а значения разных знаков, то
стационарная точка а не является экстремальной
(рис. 2.1-8).
Если же форма d2f(a) вырождается (например, то-
ждественно обращается в 0), то можно опять-таки по-
пробовать рассмотреть высшие дифференциалы. Однако
для высших дифференциалов уже нет таких простых
2.1в
§ гл. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
133
критериев знакоопределенности, каким для второго диф-
ференциала является правило Сильвестра, и приходится
рассматривать их непосредственно, подобно тому как
мы это делали в предыдущем примере.
б. Пример. Для функции f(х) — 3XjX2 — xf — xf стацио-
нарные точки определяются из уравнений
= 3x2-3xf=O, -ф^- = Зх1-3^=0,
dxi i 1 йх2 1 2
так что имеются две стационарные точки: а^ = а2^=0 и =
— я22) = !• Характер этих стационарных точек мы анализировали
в 1.81 е; мы видели там, что вторая есть точка максимума, первая
же не является экстремальной. В 1.81 в эти результаты были полу-
чены с помощью более или менее простых подсчетов. Но если обра-
титься ко второму дифференциалу функции и правилу Сильвестра,
то эти результаты получаются уже без всякого труда: точка —
— — 1 находится в области, где 61 <0, б2 > 0, т. е. в области,
где форма d2f(a) отрицательна, и поэтому представляет собою точ-
ку максимума; точка а^ = а^ = 0 находится в области, где б2<0,
н поэтому экстремума не дает.
Таким образом, рассмотрение второго дифференциа-
ла может дать существенное упрощение по сравнению
с непосредственным анализом поведения функции
в окрестности данной стационарной точки.
2.16. Эти методы можно распространить и на неявно
заданные функции.
а. Пусть функция у=у(х) задана уравнением
Ф(Х|, ..., х„, </) = 0, (1)
причем в точке {a, b}=={ai, ..., ап, Ь} выполнены усло-
вия теоремы о неявной функции 1.53, а сама функция
184
ГЛ. X ВЫСШИЕ ИРОИЗВОДНЫЕ
ЕЛв
Ф(х}, ..., «п, у) имеет в окрестности точки {a, Ь} непре-
рывные производные до порядка т по всем аргументам.
Тогда, как будет показано (для более общего случая)
в 2.36, и неявная функция у=</(х) в некоторой окрест-
ности точки а имеет непрерывные производные до по-
рядка т. Используя эту теорему, мы можем найти в точ-
ке х—а все дифференциалы функции у(х) до поряд-
ка т, не решая уравнения (1) относительно у. Будем
рассуждать так. Если в уравнение (1) подставить вме-
сто у его решение у(х) (существующее в силу теоремы
о неявной функции), то получится функция от п пере-
менных xt, ..., хп, тождественно равная нулю в неко-
торой окрестности точки а. Тогда и все дифференциалы
этой функции равны нулю. Вычисляем их поочередно;
при вычислении первого дифференциала пользуемся
теоремой об инвариантности (неважно, является ли у
независимым переменным или функцией):
^-^4- ...
дхх 1 1 1 дхп п 1 ду J ’
в частности,
^~d„ + ,..-+^>-d^ + ^-dy = 0. (2)
Отсюда
dy (а) = - дф^аЬ) 2 ^дх dXt ®
~&Г~
— результат, который мы могли бы написать еще® 1:55,
когда мы находили частные производные неявной функ-
ции.
б. В частности, для разыскания стационарных точек
функции у{х) мы теперь должны рассмотреть систему
п 1 уравнений с п 4- 1 неизвестными Xi=alt ,,
хп=Оп, у =Ь;
Ф(х,, .... хп, у) = 0,
.....Хп, .а
dxt '
(4)
ЭФ(*1, .... Хп, у)
—u
2.19
$ 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
135
Дифференцируя уравнение (2) следующий раз и
помня, что Xi, ..., хп — независимые переменные, так
что d2xt — 0 (2.12 б), а у — функция от них, находим
\ dxi
+
...
dxf dx^Xi 2 1
^^.+ -
won dx. , *»(«.»> . .
dx2 n дудхп У n +
д2Ф(х, у) . . . д2Ф(х, у) , . ,
—л л dx, dy 4- ... -I-, д g dxn dy 4-
dxtdy 1 ° 1 1 dxndy n a 1
Полагая в этом соотношении х — а, y — b и исполь«
зуя (3), получаем
<Ру (а) = — аФ(Д| fe)
(5)
п
52Ф (а, Ь) . . .
, \—- dxi dx, 4-
dxt dXj * ' *
dy
, n V? б2Ф(«, b) , 52Ф(а, b}
+2 Z —d^y~ dXl d# + —df—
52Ф (с, b) . .
—a- \ dxidxi —
ox, dx, 1 '
L«. /=1 7
______2 Y дгф (c. <>) дФ (a, fe)
<ЭФ (a, b)
dy *7=1
дгФ(а, b) n
dy*
дФ(а, Ь)
ду
dg2 =
д а------я----- dxi dx> +
dxtdy dXj 1 1 1
,(6)
136
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.16
Если (а, Ь) — стационарная точка, то dy(a) = 0 и соот-
ношение (5) принимает простой вид:
tl
i, /=1 1 1
Отсюда
п
d2ij (а) = — дф(а> b) S дх'.дх] dx*dxl’'
эту квадратичную форму относительно dxi и нужно ана-
лизировать для выяснения характера данной стационар-
ной точки.
Продолжая далее дифференцирование равенства (5),
можно получать формулы для высших дифференциалов,
однако мы не будем здесь этим заниматься.
в. Пример. Найдем стационарные точки функции у = у(х)
(Ri->/?i), определяемой уравнением
Ф (*> У) = Л'э + У3 ~ Зху = 0. (8)
Для определения стационарных точек, согласно б, мы должны
решить уравнение (8) совместно с уравнением
= зх2 _ Зу = 0. (9)
дх
Исключая у, получаем бикубическое уравнение
х3 + хв — Зх3 = 0.
Теперь стационарные точки легко находятся:
= = л-2 = У2, уг^=У4.
В точке (0, 0) не выполнены условия теоремы о неявной функции, и
дальнейшее вычисление бесполезно. Имея в виду анализ второй
стационарной точки {г 2, m найдем второй дифференциал
функции у(х), но не по формуле (6), а непосредственно. Мы имеем
Зх2 dx + Зу2 dy — Зх dy — 3ydx = 0;
2.17 § 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 137
сокращая иа 3 н дифференцируя дальше, находим
2х dx2 + 2у dy2 + у2 d2y — dx dy — х d2y — dy dx — 0.
В стационарной точке dy = 0, поэтому остается лишь
2х dx2 + у2 d2y — х d2y = 0,
откуда
d2j/ = —dx2, d2y (j/2 ) = — 2dx2 < 0;
у
Jr—
следовательно, в точке х = |/2 функция у(х) имеет локальный
максимум.
2.17. Привлечение вторых дифференциалов позволяет
в принципе выяснять и характер условно стационарных
точек. Мы рассмотрим здесь лишь задачу об условном
экстремуме функции y—f(х) == f(xt, ..., хп) при одном
условии: ф(х) == ф(хь ..., хп)=с (ip: в обла-
сти G с Rn. Пусть х=о=(аь ..., ап)—условно ста-
ционарная точка; предположим, что она является
обыкновенной точкой как поверхности ф(х)= с, так и
поверхности f(x) = b(=f(a)); эти условия выполнены,
например, если =?= о, =£= 0, что мы и предпо-
охп ОХп
ложим для дальнейшего. Равенства /.53(2), которые
можно записать в форме
grad f (а) — К grad <р (а),
показывают, что в точке х=а поверхности уровня ф=с
и /=Ь имеют общую касательную плоскость. Разрешая
оба уравнения f—b и <р=с относительно хп, получаем
для этих поверхностей соответственно уравнения
xn = g(x'), х„ = ф(х'), х' = (хь ..., xn_t),
причем для a'=(at, ап-\) имеем g(a') ==ф(о') =ап.
Будем также предполагать, что -I > 0, изменяя
в противоположном случае направление оси хп на об-
ратное. Тогда и для всех точек х, достаточно близких
- df (х) л
к а, будем иметь - ' > 0.
Будем, далее, предполагать, что функции f(x) и
<₽(*)> следовательно, g(x') и ф(х') (2.16} дважды
138
ГЛ. а ВЫСШИЕ1 ПРОИЗВОДНЫЕ
».п
дифференцируемы. Тогда справедливы соотношения
g(x')^g(a' + h')^g(a') + (g'(a'), h') +
п— t
(1)
Ф (х') Ф (с' + Л') = ф (д') + (ф' (а'), Л') +
+4 Е^а;а;+°<1л'и-
I. 1^1 1 1
Теорема. В указанных предположениях рассмо-
трим квадратичную форму
ЫС П- 2 йгя1- <2>
4ШЖ у"“С/Л^ l/Лу C/Лу у J
Если эта форма положительно определена, то точка а
есть точка условного максимума функции f(x) при усло-
вии ф(х) = с; если форма (2) отрицательно определена,
то точка а есть точка условного минимума функции f(x);
если форма (2) не является определенной, то точка а
не является точкой условного экстремума функции f(x).
Доказательство. Допустим, что форма (2) по-
ложительно определена. Тогда, учитывая, что g(a') —
=ф(й'), g'(a') =ф'(е') при достаточно малых h'=
—{hi, ..., /гп_1} =# 0, мы имеем g(V) > ф(х') (ср.
2.14 б). Далее, из условия > О (справедливого
при всех х, достаточно близких к а) мы выводим, что
fix', ф(х,)}< ffx', gfx')) (х' =# а'). Но точка (х', ф(х'))
лежит на поверхности ф(х) = с, а точка (х', g(x')) ле-
жит на поверхности f(x)—b, так что правая часть по-
следнего неравенства равна Ь. Мы видим, что всюду
в достаточно малой окрестности точки а на поверхности
<р (х)-=с (кроме самой точки а) выполняется неравен-
ство f (х), < Ь. Отсюда и следует, что точка а есть точка
условного максимума функции f (х) при условии <р (х) =
— с. Остальные две возможности рассматриваются со-
вершенно аналогично. Теорема доказана.
В случае линейной связи ф(х)=с (даже при
ф: Rn -» Rh) существует критерий того или иного харак-
2^1 § 2.2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 13$
тера условного экстремума ио диагональным минорам
некоторого определителя, составленного из величин
-х и коэффициентов в уравнениях связи (Л7.9<8).
§ 2.2. Общее определение высших производных
2.21. а. Как мы уже хорошо знаем, для функции
f (х): G с X—» У линейный оператор Г(а); X—► У опре-
деляется из равенства
f(a + h) — f(a) = f'(a)h + o(h), h(=X.
Предположим, что f'(x) существует в каждой точке
хе С. Тогда Г(х) есть функция, ставящая в соответ-
ствие каждой точке ig 6' оператор X —* У. Простран-
ство L(X, У) всех линейных непрерывных операторов,
действующих из X в У, мы обозначим здесь через У1
(а само У — через Ко). Таким образом, f(x) есть У0-знач-
ная функция от х, a f'(x) есть Угзначная функция от х.
Определим теперь оператор f"{a) из равенства (если
оно возможно)
Г(а + Я)-Г(а) = Г(в)й + о(/г), АеХ.
Тогда f"(a) будет линейным непрерывным оператором,
действующям из X в Уь Пространство L(X, У,) всех та-
ких операторов обозначим через У». Если f"(x) суще-
ствует для любого х е G, то она будет У^-значной функ-
цией от х. Продолжая далее, мы приходим к следую-
щему общему определению.
Определение. Пусть Yg=L(X, YP-i) (р==
= 1, 2,...); линейный оператор X—♦ ¥p-i назы-
вается р-й производной от функции f (х) (G с: X —» ¥0)
в точке х=а, если справедливо представление
f<₽-I,(a + ft)-f(p~,)(a) = f('”(a)^ + o(A) (ftel). (1)
Все слагаемые в обеих частях равенства здесь принад-
лежат к пространству Kp-i. Таким образом, е ¥р.
Коротко можно написать
<2)
140 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.22
и это приводит определение р-й производной в конечном
счете к определению первой производной.
б. Функция y=f(x) (Сс1-»У), имеющая при
х=а е G производные до порядка р включительно, на-
зывается р раз дифференцируемой, короче, р-дифферен-
цируемой в точке а; если она имеет производные до по-
рядка р включительно в каждой точке области G с X,
то она называется р раз дифференцируемой (р-диффе-
ренцируемой) в области G. Функция f(x), имеющая при
х = а (при каждом хе G) производные любого порядка
р ~ 1, 2, ..., называется бесконечно дифференцируемой
в точке а (в области G).
в. Если функция f (х) имеет в точке а производные
до порядка k, а ее k-я производная имеет в этой же точ-
ке производные до порядка т, то функция f(x) при
\х—а имеет производные до порядка k m и
r+”,(o)=[f,n«rlU. (3)
Действительно, если m—l, то сказанное есть просто
определение функции, дифференцируемой k 4- 1 раз;
в общем случае сформулированный результат легко до-
казывается по индукции.
Обращение полученного предложения очевидно: если
функция f (х) дифференцируема й + tn раз при х=а, то
f(*)(x) дифференцируема m раз и также имеет место
формула (3).
2.22. Если X—Rlt то всякий линейный оператор
X —> У отождествляется естественно с элементом про-
странства У, так что мы имеем У = Y0=Yi = Y2=. ..
(1.14 в). Поэтому для функции f(x) вещественного пере-
менного х со значениями в пространстве У все произ-
водные f'(x), f"(x) также принимают свои значения
в пространстве У. (Мы встречались уже с этим фактом
в 012.54.)
2.23. Рассмотрим случай X=Rn, Y=R\. Здесь
У1=£(£„, /?,)=£„, У2 = £(£„, R^ — Rn* и т. д. Опера-
тор f(x) может быть задан п составляющими:
dfM df(x) .
dxt ’ ' * ’ ’ дхп ’
2.24 § 2.2, ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 141
этот оператор действует на вектор смещения h=dx=
={dxlt.... dxn} по формуле 1.22 (5):
п
f'(x')dx = ^-~^-dxl.
1=1 1
Существование f'(x) влечет существование указанных
производных (но не наоборот; см. задачу 3 к гл. 1).
Существование и непрерывность f'(x) равносильны
существованию и непрерывности указанных производ-
ных (1.47 в).
Применяя те же соображения к производной f"(x),
получаем:
Существование f"(x) означает дифференцируемость
, „ -df'(x) df' (х)
всех функции -gy1 » •••» дх - и влечет, в частности,
наличие всех частных производных второго порядка
d2f (х)
(но не обратно!); существование и непрерыв-
ность f"(x) в области G равносильны существованию и
непрерывности всех частных производных второго поряд-
д2Нх) , г, „
ка дхдх в °°Ласти G. Продолжая таким же образом,
мы видим, что существование оператора f<p)(x) означает
дифференцируемость всех частных производных порядка
р — 1 у функции f(x), в частности, влечет существова-
ние всех частных производных порядка р (не обратно!),
а существование и непрерывность оператора f^(x) в об-
ласти G равносильны существованию и непрерывности
всех частных производных порядка р от функции f(x)
в области G.
2.24. Полилинейные и степенные формы.
а. С помощью линейного оператора At: X—> У=У0 и
вектора ht X можно образовать вектор Д]Л1 е Уо.
С помощью линейного оператора А2: X Yl=L(X, Уо)
и вектора ft2 е X образуется оператор A2h2 L(X, Уо),
и, далее, с помощью вектора 1ц е X можно образовать
выражение (Л2й2)Л] е У. Это выражение есть У0-знач-
ная билинейная форма от векторов hi и h2. Продол-
жая аналогично, с помощью линейного операто-
ра Ар: X-*Yp-l = L(X, Ур-2) и векторов hi, .... hp
М2
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2224
пространства X можно образовать выражение
ЛрЛрйр_1 ... hi . .((Лрйр)Лр_]) ... Л]) s Yo,
которое представляет собою У0-значную р-линейную
форму от векторов fti,..., hp.
б. Если Ар-. X —> У р-i —ограниченный линейный опе-
ратор, то, в соответствии с общим определением нормы
оператора (012.61 б), имеет место оценка
| Aphphp-t ... 1С1МЛ • Ml *11С •..
...<11лрщлр|... iM
следовательно,
sop |ЛД> ... М<(!М (1)
1М<.......
С другой стороны, пусть 0, 0 < 0 < I,— фиксирован-
ное число; если дан оператор Ар: X~*Yp-i, то суще-
ствует вектор Лр, |йр| = 1, для которого НДрйрН
6[|ЛР||; далее, имеется вектор hp-i, ]ЛР_1| = 1, для ко-
торого Mp/ipAp_il| BPpftpll ^02||Лр||; продолжая это
построение, мы придем к последовательности нормиро-
ванных. векторов hp, ..., hi, для которых выполняется
неравенство
\Aphphp-i ... Л1|>0₽Мр||.
Отсюда
sup |ЛрЛр... *,|>6₽ЦЛР||,
...IMC1
и так как 6е(0, 1) произвольно, то
sup МрЛр ... Л,|>||Лр11- (2)
...
Сравнивая (1) и (2), получаем, что
ЦЛР1]= sup \AJip... Ы
1М<*....1М<»
в. Если положить ht= ... = hp — h, то мы полу-
чим степенную форму
Aph ... h.
Форма Aphp ...hi называется симметричной р-фор-
мой, если ее значение не изменяется при любой переста-
новке векторов hi,..., hv.
2.24 $ 2-2- ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 143
Значения полилинейной симметричной формы
Apkp. ,.ht можно найти, зная значения соответствую-
щей степенной формы Aph .. .h. Вот простоя, хотя, быть
может, не самый экономный способ такого вычисления.
Имея векторы hlt ,.., hp, рассмотрим значения степен-
ной формы Aph,..h на векторе h—ht +... + Лре Xs
(i)=Ap(ft,+ ... +м ... +м =
s= S Ck.... k Aphp ... hp ... h\ ... hi,
w 1 p И----------.-- -------.
kp paa kf раз
где k\ .., + kp—p, (k) означает комплекс из p чисел
...» kp 0, а коэффициенты с*(...^, образо-
вавшиеся после упорядочения аргументов (допустимого
вследствие предположенной симметрии формы) и при-
ведения подобных членов, — целые положительные чис-
ла. Заменим в форме (I) аргумент hi на 2/ii; тогда спра-
ва в каждом слагаемом формы (I) появится множитель
2*‘, принимающий наибольшее значение 2? на члене
Лрй4 ... ht.
Эту форму обозначим через XII). Разность (Ш)"
=2₽(1) — (II) уже не содержит члена, содержащего
р раз аргумент Ль остальные же члены по-прежнему
имеют целые положительные коэффициенты. Заменяя
в форме (Ш) снова ht на 2йь получаем форму (IV),
в коэффициентах которой ио сравнению с (III) появ-
ляются множители — степени двойки, причем наиболь-
ший из них есть 2^1. Тогда разность (V)—2р~1(1Н) —
(IV) не содержит слагаемых, содержащих р — 1 раз
аргумент ht. Продолжая так далее, после р — 1 анало-
гичных операций мы получим форму (VI), в которой
слагаемые, имея целые положительные коэффициенты,
содержат аргумент hi не более чем по одному разу. Да-
лее таким же образом в форме (VI) можно освободить-
ся от слагаемых, содержащих более чем по одному разу
аргументы Л2, hp. В итоге получается форма (VII),
слагаемые которой, имея целые положительные коэффи-
циенты, содержат аргументы hi, ..., hp не более чем по
одному разу. А это значит, что форма (VII) состоит
лишь из одного слагаемого:
(VIQ—CpApAp ...
144
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.24
где ср есть целое положительное число. Но по построе-
нию форма (VII) есть линейная комбинация значений
степенной формы Aph№... hW при некоторых специаль-
но выбранных векторах Л(<) (именно Л(,)=й1 + ... -f- hp,
Л(2)=2/г! + ... + hp, h^=^hi + ... + hp и т. д.).
Этим и доказано утверждение.
г. Следствие. Для симметричной р-формы Aphp...
... hi из условия Aph ... h — 0 (для всех h е X) выте-
кает, что Ар = 0.
Действительно, из Aph ... Л = 0 и в следует, что
Aphp.. .h\ = 0 для любых hx, ..., hp из X; а тогда по б
имеем ||ЛР|| = 0.
д. Следствие. Для каждого р существует такая
постоянная Ср > 0, что для любой р-формы
1ИрН= sup \Aphp ... hi К Ср sup \Ah ... h |.
| Л, | < 1 | hp | <1 |Л|<1
Действительно, согласно в любая р-форма Aphp ...hi
представляется в виде вполне определенной линейной
комбинации степенных форм А phW... причем век-
торы h№ принадлежат фиксированному шару, откуда и
вытекает оценка
| Aphp ... hi К Ср sup | Aph ... h |.
I л I с i
Если внимательно проследить за доказательством в, то можно
оценить постоянную Ср. Число слагаемых построенной линейной ком-
бинации не превосходит р\ векторы h№ по норме не превосходят
2₽ р, и коэффициенты не превосходят 2₽’, отсюда
Cp<2pS-2p-p3.
е. Следствие г можно усилить следующим образом:
Пусть для симметричной р-формы Aphp...hi извест-
но, что при h-*0
Aph ... h = o(\h\p),
— иначе говоря, для любого е > 0 существует такое
6 > 0, что при | h | < 6 выполняется неравенство
\Aph ... /г|<е|Л|р. (3)
Тогда Ар = 0.
Действительно, если Ар =/= 0, то по г имеется вектор
Ло е= X, для которого Aph0... h0 = I =/= 0, Тогда на луче
2.25 § 2.2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 545
h — thG (0 <zt <. оо) имеем
Aph ... h — tpAph0 ... Л0 = /р/ = |й1₽т^г,
что противоречит (3); поэтому в действительности
Ар = 0.
2.25. Дифференциалы высших порядков,
а. Пусть функция у = f(x) (G а X —> У) р раз диф-
ференцируема при х — а. С помощью оператора f'(a)i
X -» У и вектора h е X можно образовать линейную
форму
df (а) = f'(a) h.
Это — первый дифференциал функции f(x) при х = а,
отвечающий смещению h (1.23). Далее, с помощью опе-
ратора f"(a): X-» У] и векторов hi и й2 можно образо-
вать билинейную форму f"(a)h2hi. Соответствующая ей
квадратичная форма
f" (a) hh = dzf (а)
называется вторым дифференциалом функции f(x) при
х — а, отвечающим смещению h. Таким образом мы по-
строим все дифференциалы вплоть до дифференциала
р-го порядка
dpf(a) = fW(a)h ... h,
получающегося из р-линейной формы f^i(a)hp ... при
hi = .. , = hp = h.
б. Найдем выражения этих дифференциалов для
функции y==f(x): Rn-+Ri. В этом случае, полагая
............^п’)’ мы имеем
п
df(a) = f' (a)hi = ^^-dxV.
z=i 1
f"(a)h2hi~
Пусть теперь A2 = (dx<12), ..., Тогда
4=1 ' /
=1 1=1 ‘ 1
146
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2-2в
что при Zii — й2 = h — (dxlt ..., dxn) приводят к тому
же выражению для второго дифференциала функций
f(x) в точке а:
<=1 /=i 1 i
которое было введено нами в 2.12. Аналогично, для
p-то дифференциала функции f(x) при х=а получаем
совпадение с ее р-м дифференциалом, определенным
в 2.12.
2.26. Частные производные высших по-
рядков и частные дифференциалы. Пусть
пространство X представлено в виде прямой суммы q
замкнутых подпространств Х\ + ... 4~ Х^. Соответствен-
но вектор х^Х представляется в виде x=xi-|-...-|-Xg,
Xi е Xh i = 1, ..., q. Пусть функция f(x) : G с X —> У
дифференцируема р раз в области G.
Оператор /'(а) действует, как мы знаем, яз про-
странства X в пространство У; его сужение на подпро-
странство Xi совпадает с частной производной
функции f(x) по подпространству Хг (1.47 г). Этот one
ратор, по самому смыслу, применяется к векторам
hi е Xi. Функция определена в области G и
вместе с функцией f'(x) допускает дальнейшее диффе-
ренцирование; ее частная производная по подпростран-
ству X/ обозначается через •%- ц-—. Этот оператор,
ох ох^
естественно, применяется к векторам Продол-
жая далее, мы получаем возможность определить част-
ные производные вида дР!(х)— # ддя этнх операто-
*1 р
ров имеют смысл выражения Sx д htt ... hi ,
..., htp^Xtp, которые называются частными
дифференциалами функции f(x) по подпространствам
Xtx ... Xip, соответствующими смещениям ht^ hip.
§ 2,3. СВОЙСТВА высших производных
М7
2Л1
Для функции конечного числа вещественных пере-
менных (X = R„) эти определения обобщают определе-
на! высших частных производных (2.11) и дифферен-
циалов (2.12).
§ 2.3. Свойства высших производных
2. 31. а. Пусть линейный оператор 4 отображает про-
странство X в пространство Ур-1 (2.24), так что можно
рассмотреть полилинейную форму
Axp...xi, х(, .... хр(.~Х, (1)
и соответствующую степенную форму Ах... х, х X.
Теорема. Если форма (1) симметрична, то функ-
ция f(x) = Ах... х бесконечно дифференцируема и
F(х) — рАх ... хе К],
р—I раз
f{h4x)=p(p- 1) ... (p-k+ I) Ах ... x<=Yk,
p—k раз ' '
ЛР1(х)=р!4Е Урт
Г°(х) = О (q>p).
Доказательство. По свойству полилинейности
формы Ахр ... х, имеем
f (х 4- k) — f (х)=А(х 4-Л) ... (x-}-h) — Ах ... х —
— Ahx ... х + Axh ... х + Ах ... xh-)-o(h)
и в силу симметрии формы Ахр ... xs
f(x 4- h) — f (х) — рАх ... xh 4- о (ft);
р—1 раз
таким образом,
f' (х) = рАх ... х.
р— * р «з
Далее можно действовать по индукции, предполагая,
что для формы Ах ... х формулы (2) справедливы, и
р—I раз
учитывая, что для р = 1 результат был доказан, еще
в t.3.1 а—б.
148
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.31
Дальнейшие утверждения б, в и г для р — 1 были
доказаны соответственно в 1.32 а, б и в, и доказатель-
ства их для любого р — 1, 2, ... легко проводятся по
индукции.
б. Если функции f(x): V с: X —> Y и g(x): V cz X—> У
дифференцируемы р раз при х = а е V, то и s(x) =
= f(x)+g(x) дифференцируема р раз при х — а и
s^(a) = f^(a) + g^(ay,
иными словами, для любого h еХ
s<p> (a)h ... h — f{p} (a)h ... h + g(P) (a) h ... h.
p раз p раз p раз
в. Если функция у(х): V —* У дифференцируема р
раз при х = а <= V и А — линейный непрерывный опе-
ратор, действующий из пространства У в пространство Z,
то функция z(x) = Ау(х) также р раз дифференцируема
при х.== а и z^(a) — AyWffl), или, что то же, для лю-
бого х X
zM (a)h ... h = AyW (a)h .. .h.
p раз p раз
г. Пусть Y есть прямая сумма подпространств
У(0, ..., У(П), так что любая функция у(х): V —* У обла-
дает составляющими
yw(x): У->У(п, ...,yw(x): V->YW.
Если при этом У — полное пространство, а подпро-
странства У(1)...y(nJ замкнуты, то из р-кратной диф-
ференцируемости функции у(х) при х = а следует
р-кратная дифференцируемость при х = а и каждой со-
ставляющей У(п(х) (/ = !,...,«); при этом
У<р} (х) = {а/<₽> (х), ...» (х)},
где { } означают набор составляющих функции у^(х):
V —» Yp (2.21 а) в естественном разложении простран-
ства Yp в прямую сумму (1.14 е)
¥р~ Ур(п+ ••• +Ур(л>-
Обратно, из р-кратной дифференцируемости при
х = а всех составляющих Ущ(х), Ущ^(х) вытекает
2.32
§ 2.3. СВОЙСТВА высших Производных
149
р-кратная дифференцируемость при х = а и самой функ-
ции у(х).
2.32. Симметрия второй производной.
а. Пусть у — f(x) (G cz X —> У)— дважды дифферен-
цируемая функция. Составим билинейную форму f"(a)hk
от векторов h и k пространства X. Покажем, что эта би-
линейная форма симметрична, т. е. для любых векторов
h и k имеет место равенство
f"(a)hk = f"{a)kh. (1)
Для доказательства рассмотрим выражение
w = f (а + h + k) - f(a + h) — f (a + k) + f(a).
Его можно рассматривать как приращение функции
Ф(х) = /(х + ^)-/(х)
при изменении х от а до a -f- h. По теореме о среднем
1.42 г находим
| Ф(а + h) - Ф(а) - Ф'(а) h |<
< sup | Ф'(а + ей) — Ф'(а) || й|. (2)
о<е< 1
Для заданного е > 0 найдем 6 > 0 такое, чтобы из не-
равенства |й|< 6 следовало
|/'(а-|-й) —f'(a) —/''(а)й|^е|й|.
В дальнейших формулах будем брать |h| 6/2, |й|^
6/2 и через ei, ег, ... обозначать величины (векторы,
операторы) с нормой, меньшей е(|йЦ-|й|).
Мы имеем Ф'(х) — ['(х + k) — f'(х), так что
Ф' (а + e/i) = f' (а + k + ей) - (а + 6й) =
= (Г (а + k + ей) - г (а)] - [Г (а + ей) - f' (а)] =
= U" (а) (Й + ей) + е1] - г (а) ей + в2] = f" (а) k + 2е3.
Аналогично
ОУ (а) = f' (а + й) - Г (а) = f" (a) k + е4,
поэтому
Ф'(а + 6й) - Ф'(а) = 3е5,
ISO
ГЛ, *. 9WWSE жишодавв
2.32
и, таким образом,
sup | Ф'(а + ©Л) -Ф'(а)II ЛК3J eJJA|,
0<«< i
т. е. правая часть в [2) является величиной более вы-
сокого порядка малости, чем (|ftj +1 lt\f.
G другой стороны,
ф'(а)Л = ^'(а)АЛ4-б4Л,
поэтому справедливо соотношение
|Ма + Л + &)-Ма + Л)-На + Л) + /(а)-Г(«)ЛЛК
<4| е611 h 1.
Меняя местами h и k, получаем
IF (a) hk -f'(a) kh К 8е (| Л ] +1 k 1 )2.
Отсюда по 2.24е находим
f" (a) hk—f"(a)kh,
что и утверждалось.
б. Симметрия смешанных производи ыхч
Для дважды дифференцируемой функции y=f(x)
(GcX-> Y), заданной в области G прямой суммы
Х = Х1+Х2 пространств X] и Х^ определены (2.26)
частные производные второго порядка
дЧМ и 2М
dxt дх2 дх2 dxt *
совпадающие с результатами соответствующих суже-
ний оператора FW (2.26).
Для этих операторов имеют смысл выражения
d2f М ,, f, „ W ь », у h «= r
dxj&rj j”2”1 dxt hih* Й2 E Л2,
представляющие собою векторы пространства У.
Поскольку в силу а имеем
Г(х)ЛЛ=Г(х)АА
для любых hx и й2 из -^> т0« в частности, получается
равенство
dxidx2 2 1 dx2dxi 1 2 ' '
для рассматриваемых и Л2еХ2.
2.32
§ 2.3. СВОЙСТВА ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
151
в. Для функции f(xt, х2): /£2->У числовых перемен-
ных Xt и х2 (Х, = Х2 = ^1) операторы и
принимают в каждой точке х = {xt, х2) значения в там же
пространстве У, и равенство (3) показывает, что эти
значения совпадают:
а^(г> _ ау(х)
&x-tdxi dXidxt ‘
(4)
Равенство (4) имеет место во всяком случае, если суще-
СТЛЗАГОТ I v\ Т а (*) ЖлГи1Л11иТЛ f
ствует f"(x), т. е. (2.23) если функции •
являются дифференцируемыми. Это условие включает
й dsf (х)
в себя, в частности, существование производных —^-V-
дх(
d2f (х)
и ~; поэтому полученная здесь теорема имеет
иной характер, чем теорема 2.11 а, где равенство (4)
устанавливалось при условиях, которые использовали
. d2f (х) д2} (х) _
только свойства дх и без привлечения дру-
гих вторых производных. (Зато там требовалось суще-
ствование этих производных в окрестности точки и и не-
прерывность в самой точке а; такого рода предположе-
ний в общей теореме а мы не делаем.)
г. Сим метрия в ысших п роиз во д н ых. Пусть
функция у = f(х) (GczX-^У) является р-дифферен-
цируемой (р 2) при х = а; покажем, что форма
(a)hp ... hu h^ hp<=X,
симметрична. Предположим, что аналогичное утвержде-
ние справедливо для всякой (р— 1)-дифференцируемой
функции. Тогда мы можем написать
№ (a) hp ... hi = £<₽-»> (a) Vi • • • (5)
где g(x) = Г(х)ЛР есть (p— 1)-дифференцируемая
функция при х = а. Поэтому в выражении (5), согласно
предположению индукции, можно переставлять аргу-
менты /ip-i, ., hi. Но можно написать и так:
f<p> (a) hp ... hx — w' (а) йь
где w (х) = /<р-‘)(х)йр ... h2 есть 1-дифференцируемая
152
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.33
функция при х = а; здесь можно переставлять любые
аргументы hp ... h2. Так как р > 2, то в итоге допустима
любая перестановка векторов ht, ..., hp, что и требуется.
2.33. Высшие производные от обобщен-
ного произведения. Пусть, как в 1.34 б, в обла-
сти G пространства Т заданы дифференцируемые функ-
ции x(t): G-+X' и г/(0: G—и их обобщенное
произведение g(f) = (х(/), y(t)): G-»Z. Теперь мы пред-
положим, что эти функции р раз дифференцируемы, и
докажем, что функция £(/) также р раз дифферен-
цируема.
Для первой производной произведения (х(/), y(t)}
мы получили в 1.34 б формулу
S'(0 = <x'(/)> у(0> + <х(0> у'Ю,
причем операторы в правой части имеют указанный там
смысл:
S' (0 dt = (х' (0 dt, у (0> + <х (О, У' (О dt).
Тем самым эти операторы являются снова обобщенными
произведениями и в случае р 2, по доказанному,
снова дифференцируемы по t. Используя формально ме-
тод записи 1.34 б, находим, что
S" (О = <х" (0. у (*)> + <%' (0, у' (0>. +
+ <Х'(О, у'(0>2 + <х(0. Г(0>- (1)
Индексы 1 и 2 у средних слагаемых поставлены потому,
что эти слагаемые имеют различный смысл, в чем не-
трудно убедиться, используя запись в дифференциалах:
S" (0 Ml = {х" (0 h2ht, у (0> + <х' (0 h2, у' (0 Й,> +
+ <х' (0 к, у' (0 ft2>.+<х (0, у" (0 Mi>- (2)
Все четыре слагаемых в правой части (1) снова яв-
ляются обобщенными произведениями, что позволяет
при р > 2 продолжать дифференцирование. После р
шагов мы получим формулу
(0 = <х<₽>(t), У (0> + <х<₽-» (0, у'(0>1 + ...
... + <х<₽-” (о, у' (t))p + (х(₽-2) (0, у" (0), + • • •
... + <х(р-2) (0. у" Ю)Р<Р-у + ...+<% (0. У{р> (0>- (3)
2
§ 2.3. свойства высших производных
153
2.34
Здесь одинаково записанные слагаемые с различными
индексами имеют различный смысл, выявляющийся при
записи в дифференциалах:
У»(0 hp ... Л, = (х™ (0 hp ... hit у (/)> +
+ <^-1)(0йр ... h2, /(0Л,>+ ...
... +<х(Р-1>(0йр_, ... /(0Лр> +
+ <х(р-2>(ПЛр ... h3, y"(t)h2hl}+ ...
... + <х<р-2)(Пйр-2 ... y"{t}hphp^} + ...
... +<х(0, Й1>- (4)
Если же образовать соответствующую степенную
форму, положив h\ = ... — hp == h, то, используя сим-
метрию смешанных производных, мы получим более
простую формулу:
g(₽) (t) h ... h — {x{p} (0 h ... h, у (0) +
+ p<x(P-‘>(Qft ...J, y'(t)h} +
p— I раз
+ <*(₽"2)(0y'(0hh)+ ...
p-2 раз
... + <x(0> y^(t)h ...h), (5)
p раз
или, в символической записи,
£(р) (0 = <х<₽> (0, У (0> + Р (я*'’"” (П. ?/' (0) +
+ -Т.Т22 <*(р-2) (0. У" (0> +...+<% (0. У(р} (0) (6)
(формула Лейбница); следует, однако, иметь в виду, что
смысл эта формула имеет только в реализациях (4) и
(5).
2.34. Высшие производные сложной функ-
ции.
Тео р ем а. Пусть у — у(х) (G с. X -» У)—функ-
ция, р раз дифференцируемая при х == а, и z — z(y)
,(Waz Y-^Z)—функция, р раз дифференцируемая при
у = b = f(a)& W; тогда сложная функция z [у (х) ] —
r= £(х) (U с: X -> Z) р раз дифференцируема при х — а.
154 ГЯ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.35
Доиаэательства Пусть q^p-, предполагая
теорему справедливой для номера q—1, докажем ее
для номера q. При q — 1 теорема была доказана в 1.33;
Первая производная функции £(х), согласно 1.33, имеет
ВИД
ГМ=2'[!/(Х)]У'(Х).
Первый множитель есть композиция р раз дифферен-
цируемой функции у(х) и q—1 раз дифференцируемой
функции z'(y)\ согласно предположению индукции этот
множитель есть q — 1 раз дифференцируемая функция
от х. Второй множитель, очевидно, есть р — 1 раз диф-
ференцируемая функция от х. В сиду 2.33 все произве-
дение есть q — 1 раз дифференцируемая функция от х.
Отсюда Цх} есть q раз дифференцируемая функция от
х, что и требовалось.
2.35. Высшие йроизводные обратного опе-
ратора. Пусть, как в 1.35 б, хе L(U, У)— обратимый
линейный оператор, действующий из пространства U
в пространство V, a x~l: V —* U — обратный к х опера-
тор. Покажем, что функция х~1 имеет производные по х
любого порядка р.
Для р = 1-это было доказано в 1.35 в, причем была
получена формула
d(x~1)= — x~lhx~l. (1)
Саму производную (х-1)' можно записать в виде обоб-
щенного произведения
(х-у = -<х-’, х"*),
которое понимать следует, конечно, в смысле (1). Если
предположить, что функция х-1 дифференцируема р раз,
то, согласно 2.32, и функция (х~1)' будет дифференци-
руема р раз, т. е. х-1 дифференцируема р 4- 1 раз. Так
как для р — 1 утверждение справедливо, то приведен-
ное рассуждение показывает, что оно справедливо для
любого р — 1,2,..., что и требовалось.
2.35. Высшие производные неявной функ<
ц и и.
а. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы
о неявной функции 1.53: задана функция 2 = Ф(х, у)
(V = {xe=X, уеУа |х —«|<г, }у — р}-»7),
IS7
§ 2.3. СВОЙСТВА ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
I5S
причем Ф(а, Ь) = 0 и оператор дФ^’ непрерывен по
х и у и обратим при х = а, у = Ь. Тогда, если функция
Ф(х,у) р раз дифференцируема в окрестности V, то и
неявная функция у(х), являющаяся решением уравне-
ния Ф(х, у(х)) = 0, у(а)—Ь, и существующая в силу
теоремы 1.53, также р раз дифференцируема.
Доказательство. Пусть q р; предполагая
теорему справедливой для номера q — 1, докажем ее для
номера q. При q = 1 теорема была доказана в 154,
причем была получена формула
У(ж) = —[
ЗФ(х, у) 1 1 ЭФ(х, у)
ду ] дх ‘
Первый множитель есть композиция q — 1 раз диф-
ференцируемой (по предположению индукции и по 2.31 б)
функции х—» {х,у(х)}, р — 1 раз дифференцируемой
функции дФ0Ху и бесконечно дифференцируемой функ-
ции взятия обратного оператора (2.35)-, второй множи-
тель есть композиция той же функции х-*{х,у(х)} и
р — 1 раз дифференцируемой функции ——. По 2.34
оба множителя q — 1 раз дифференцируемы, ао 2.33
q — 1 раз дифференцируемо и их произведение.
Отсюда у (х) является q — 1 раз дифференцируемой,
а У(х) — Q Раз дифференцируемой функцией, что и тре-
бовалось доказать.
б. В частности, обратная функция у — f(x), опреде-
ляемая из уравнения х = а = <р(б) с обратимым
оператором ц>'(Ь) (1.56), р раз дифференцируема, если
р раз дифференцируема функция у(у).
2.37. а. В 1.64 мы свели теорему о дифференцируе-
мости по параметру Л неподвижной точки сжимающего
отображения А (и, A) (U X Л -» U) к теореме 1.55 о диф-
ференцируемости неявной функции. Используя вместо
теоремы 1.55 теорему 2.36 а, получаем следующее уси-
ление теоремы 1.64 на случай высших производных:
Теорема. Пусть А (и, X)—сжимающее отображе-
ние замкнутой области U с:Х в себя, представляющее
собою р раз дифференцируемую функцию от X; тогда
неподвижная точка и — у (к) отображения А представ-
ляет собою р раз дифференцируемую функцию от X,
156 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.41
б. Этот факт, в свою очередь, позволяет соответ-
ственно обобщить теорему 1.65, а именно: если правая
часть дифференциального уравнения
(1)
и начальное условие
= (2)
являются р-дифференцируемыми функциями параметра
X, то и решение у — y(t, X) уравнения (1) с условием
(2) является р-дифференцируемой функцией от X.
в. Аналогичными свойствами дифференцируемости по
X обладают и производные от решения y(t, X). Так, если
функция Ф(/, у, X) является в рассматриваемой обла-
сти р раз дифференцируемой функцией от аргумента
(у, X), то (по бив силу самого уравнения (1)) функция
— является р раз дифференцируемой по X. То же
относится к дальнейшим производным от решения
y(t, X), уравнения для которых получаются дифферен-
цированием по t уравнения (1) в предположении соот-
ветствующей гладкости функции Ф (/, у, X).
§ 2.4. Теорема Тейлора и ее обращение
2.41. а. Теорема Тейлора. Пусть y = f(x)
(V ст X —» У) — функция, определенная в шаре V —
= {х: |х — а| < г} пространства X, со значениями
в пространстве У, имеющая производные до порядка р.
Тогда для |й| < г имеет место формула Тейлора
f (а + h) = f (а) + f' (a)h + ± f" (а) hh + ...
где
... +-Jr/(p)(a)4 —+ w
p раз
IflpIC-^sup || (x) — (a) ||.
X E V
(2)
Доказательство. При фиксированном h,[h\<rt
рассмотрим функцию вещественного переменного 1
2.41 5 2.4, ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ 157
ф(/) = /(а-НЙ).
По теореме о производной сложной функции 2.34 функ-
ция ф (0 имеет вместе с функцией f(x) производные до
порядка р; при этом
ф'(0 = Г(« + th)h, <р' (ty — f' (a)h,
Ф" (О = f" (а + th) hh, ф" (0) = f" (a) hh,
ф(Р)(0 = f(p)(a + th)h ... h, <p<p>(0) = fw(a)h... h.
p раз p раз
Для функции ф (t) справедлива формула Тейлора 012.54 е
Ф(1) = Ф (0) + Ф'(0) + 1ф"(0) + ...
••• +-^Д)ГФ(р-1)(0) + ^Р> (3)
где Qp — остаточный член, который можно записать
в интегральной форме
О
или, после выделения под интегралом слагаемого <р(р) (0),
QP-f (1(7-1)Т [ф(р) (?) - ф(р) (0)] dt +
о
о
= / [ф(р) (?) - Ф(р) (0)1 dl + ф(Р> (0).
О
В свою очередь, для величины
= / -^(^ПГ Wp) ® - &р) (°>1 d^>
153
ГЛ; 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
»м
справедлива оценка
1Ш sup HW-«^(Q)d
KKl %
= sup ||tf<₽)(a + ta)-f'’)(a)]/i ... ЯЦ.-l-C
t < i •—.—• P-
p раз
< sup ||f(P)(x)-f(p)(a)||.-HE.
x^V P-
Поскольку = f<P> (a)h ... h, равенство (I) дока-
зано.
б. Следствие. Если функция f(p)(x) непрерывна
при х = а, то для любого в > 0 найдется такое б > О,
что при всех h^X, |Л|.<: б, будет выполняться нера-
венство
I R, Ю1 h |р,
т. е. величина |7?р| имеет более высокий порядок мало-
сти по сравнению с
Для доказательства, пользуясь непрерывностью
/<р>(х) в точке х = а, при заданном в > 0 достаточно
определить 6 >0 так, чтобы из |h|< б следовало
llf(p)(x)-f(p>(a)ll <ер!.
2.42. Обращениетеоремы Тейлор а. Формула
Тейлора показывает, что приращение функции f(x), р
раз дифференцируемой в области V, может быть ло-
кально аппроксимировано степенной формой от вектора
смещения h (степени р). Справедливо ли обратное; если
дана функция f(x); V -* У, приращение которой
f(x + h) — f(x) локально аппроксимируемо степенной
формой от вектора смещения h в том смысле, что имеет
место представление
f (х + h) = f (х) + (х) h + а2 (х) hh + ...
... 4-ар(х)й ...
р раз
где
RP = o{\hf),
то можно ли утверждать, что эта функция (хотя
бы) р раз дифференцируема? (Естественно, что
2.43
§ 2.4. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ
169
здесь ар(х), ..., ap(xf являются линейными операто-
рами; сДх): V -* У1, .... ар(х): V—>УР, как в 2J24.)
Вообще говоря, это неверно (задача 6). Но если
предположить, что функции Oi(x), ар(х) непре-
рывны, а отношение А?р/|Л]р стремится к 0 равномерно
по х, то высказанное утверждение оказывается справед-
ливым. Доказательство мы дадим ниже, в 2.44.
2.43. Разностные схемы.
а. Пусть дана последовательность из р (^2) эле-
ментов Ci, ..., ар, — чисел или векторов какого-нибудь
линейного пространства. Из этой последовательности
образуем ^разностную схему порядка р»— треугольную
таблицу
в11 °12 ••• а\,р-\ а1р>
°21 0^2 .. . С2,р-1»
«р-1,1 Яр-1,2»
Яр!
по следующему правилу!
Яц = аь Ц21 = Ц2, ..., afil = а?,
а12 — °21—«11. а22~а31 —°2Ь ар—1,2 = ар1 —вр-1.1»
а1р —«2, р-1 — «1, р—1,
т. е. в первом столбце таблицы выписываются сами эле-
менты fli, ..., Ср, а начиная со второго столбца, каждый
элемент таблицы есть разность двух элементов преды-
дущего столбца (из последующей строки и из данной).
Элемент aip называется результатом разностной схемы.
Мы обозначим его через Z = Z(ai......ар). Далее мы
выясним некоторые свойства функции Z(alt ар).
б. Функция Z(ax, .,., ар) линейно зависит от после-
довательности аь ..., ар; иначе говоря, для любых
яь • •., Яр, ., bp и чисел а и 0 имеем
Z (аа{ + PZ>!, ..., aap4-₽Z>p)=aZ (ab ..., ap)4-₽Z (blt ..., bp).
Действительно, каждая операция взятия разности
удовлетворяет аналогичному условию, следовательно, и
результат удовлетворяет ему.
160
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.43
в. Пусть k есть 0 или натуральное число-, тогда при
k < р — 1
Z(l\ 2*. .... pfe) = 0.
Доказательство проведем индукцией по р. Для р = 2
единственным значением k является 0 и непосредствен-
ный подсчет показывает, что
Z(l°, 2°) = 1-1=0.
Допустим, что утверждение справедливо для значе-
ний р = 2, 3, ..., q — 1; покажем, что оно справедливо
также и для р = q. Нас интересует величина Z(lh, 2й, ...
..., 9й), k <z q — 1. В соответствующей разностной
схеме отсечем левый столбец; мы получим, очевидно, но-
вую разностную схему порядка q—1, определяемую
9 — 1 элементами 2й — Iй, ..., 9й —(9 — 1)й и имеющую
тот же результат. Заметим теперь, что для любого пг ~
= 1......9 — 1
(/77 -|- l)ft — /71й = kmk~i + * ~ *- /77й-2 Ц- . . .
Все показатели в правой части строго меньше, чем
9 — 2 = (9—1)—1, так как k < q — 1. Отсюда сле-
дует в силу б и предположения индукции, что
Z(lk, 2k, .... qk) = Z(2k-lk, .... 9й-(9- 1)й) =
= kZ(\k~\ 2*-1, .... (9—l)ft-1) = 0;
утверждение доказано.
г, Имеет место равенство
Z(lp~l, 2Р~1, .... р₽-,) = (р- 1)1.
Действительно, образуем первые разности и восполь-
зуемся, как и выше, равенством
(т + 1)р-1 — /тгр-1==(р— 1) тр~2+ ———— тр~3 + •..,
/77= 1, . . Д-1.
Результат разностной схемы порядка р—1, образован-
ной слагаемыми в правой части, начиная со второго, ра-
2.44
§ 2.4, ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА II ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ
16!
вен нулю в силу в. Поэтому второй столбец исходной
схемы без изменения результата можно заменить чле-
нами (р — 1)тР~2. Таким же образом в третьем столбце
можно ограничиться членами (р—1) (р— 2)тР~3-,
дойдя до р-го столбца, мы получаем (р— 1)!, что и тре-
бовалось.
2.44. Переходим к обращению теоремы Тейлора.
Теорема. Допустим, что при всех х s V и всех до-
пустимых h выполняется соотношение
f(x + h)-f(x) =
— at (х) h -|- 02(х) hh + ... ар(х)h ... h-\- Rp(x, h), (1)
p раз
где функции аДх), .tz7,(x) ограничены и непрерывны
в V, а остаточный член Rp(x, h) обладает следующим
свойством-, для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что
при любом xgVu |А| < 6
|7?р(х, h) | < е|й |р.
(2)
Тогда функция f(x) в области V дифференцируема
р раз и ak(x) = -^-f(k'l(x) (й = 1, ..., р).
Доказательство. Так как выражение (1) допу-
скает выделение главной линейной части, именно ai(x)h,
то функция f(x), во всяком случае, один раз дифферен-
цируема и f'(x) = at(x). Предположим, что она диффе-
ренцируема m раз (пг < р) и выполнены равенства
al(x) = f' (х), ..., ат(х) =f(m)(х); покажем, что она
дифференцируема и m + 1 раз и am+) = )j~. Ра-
венство (1) мы можем написать в форме
f (х + h) - f (х) = f'(х)й + (х) hh + ...
••• +^/(тЧ^)Л^Л + ат+Дх)й^ + ^т+1(х,/1)> (3)
m раз
Л14-1 раз
162
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.44
причем для любого ® > 0 существует такое 6 > 0, что
пр и xe Vi и |й| < 6
|/?п,+1(х>Л)|<в|ЛГ+1 (4)
в силу (2) и предположенной ограниченности функций
от+2 (х), ..., ар(х). Наряду с соотношением (3) спра-
ведливы также соотношения:
f (х + h + k) - f (х 4- h) = f' (x + h) fefl f'\{x+h)kk+...
• ’ • + 7T f(/n>(x + Л)+ flm+1 k- '.215 +
tn раз m+1 раз
+ /?m+I(x + ft, k), (5)
в котором прн I k I < 6
1й»+1(х-М, fc)|<e|ftf+\ (6)
И
f(x4-ft4-ft) — f(x)==
=г (X) (ft + k) +±1"Щг 4- k) (h + k) + ...
••• + 4rflm)to# + fe),.. .(fe4-4H
4" am+l (x) (ft 4~ ft) . . . (h-j- k) 4“ ^?m+l(x, h 4" ft)» (?)
m-H д>аз
в котором при | h 4- k | < 6
I ^m+1 (x, h 4- k) | < el h 4- k r*4. (8)
Прибавляя к равенству (3) равенство (5) и вычитая
равенство (7), находим, что
О = f' (х + h) k - f'{x) k 4- 4 f'tx 4- й) -
- 4 If" to (Л 4- ft)(ft 4- ft) - rtoMl +•..
+~rf(M)^+ft)ft —ft-
m раз
2144 § 2.4, ТЕОРЕМА ТЕИ'ЛОРЙ И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ ]£3
- ^1 [f<M) (х) (А 4- А)... (h ч- fe) - f"»(x)A^ Jt] +
m Ba3 m раз
4- flm+1 (x 4- h) k^.. k — [am+l (x) (A 4-A) ... (h + k)~
m+l раз m+l раз
— flm+1 (X) A ... ft J 4“ ^?m+l (x, hr k), (9)
m+l раз
где при | h | < S, | k | < 6, ] h 4- k | < 6
|7?m+i(x, h, А)|<е(|А|т+Ч|АГ+Ч|А 4-АГн}. (10)
Так как функция am+1(x) по условию непрерывна,
можно выбрать число такое, что при | h | < 6j
I «m+l (х 4- Л) — ат+1 (х) | <е;
поэтому вместо (9) можно написать также
O = f'(x + h)k-f'(x)k + ^f"(x + h)kk-
-4Г(х)(Л4-А)(А4-а)-Г(х)ЛЛ]4- ...
... 4-^г/(т)(х4-Л)А^1А-
т раз
- [f(m> (x)(A4-fe).;. (A + fe> - f(m) (x) h^h\ 4-
m P3-3 m раз
4- am+l (x) k ... k — am+1 (x) (ft 4 ft) ... (ft 4 ft) 4-
л»-Н раз m+* Раз
4- am+l (x) A ... ft 4- R"(x, h, k), (11)
m+l раз
где при тех же ограничениях на х, h, k
I Я" (х, Л, А) | <1 Ц'т+1 (х, h, А) 14- в | k |m+l. (И)
Заменяя здесь А на 2k, ЗА, (/я4-1)А, получаем
164
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.44
вместе с (11) систему т 4-1 соотношений
f' (х 4- ft) 2k - f' (х) 2k 4- у f" (х 4- Л) 2ft 2k -
- j If" (х) (Л 4- 2ft) (ft 4- 2ft) - f" (x) hh] + ...
+^-/(m’(x + ft)2ft ...2ft-
--4rff("1)(x)(ft4-2ft) ... (ft 4-2ft)-Mx) ft ... Л] 4-
+ am+1(x)2ft ... 2ft —am+1(x)(ft4-2ft) ... (ft 4-2ft) 4-
4- am+l (x)h ... ft 4- R" (x, ft, 2ft) — 0,
m+1 раз,
r(x 4-ft)(m 4-1)ft - f'(x)(m 4-1)ft+
+ 4f"(* 4- ft)(m4-l)ft(« + l)ft-
- 4^"(х)(й + + (m + i)ft)- f"(x)ftft] 4- • •.
... + (x 4- ft) (m+l)ft (m+l)ft -
m раз
-^-[/(CT)(x)(ft4-(ffl4-l)ft) •. (ft4-(ffl4-l)ft)-f<m>(x)ft... ft]4-
m Раз т раз
4- am+l (x) (m-Y l)ft ... (m 4-1) ft —
— "m+i (x) (ft 4- (m4- l)ft) ••• (ft4-(w4- l)fe) 4-
4- am+i (x)h ... ft 4- R" (x, ft, (m 4-1) ft) = 0.
m4-l раз
Будем преобразовывать эту систему равенств следую-
щим образом. Вычтем из каждого последующего равен-
ства предыдущее; мы получим вторую систему, состоя-
щую уже из т равенств. Третья система, построенная
аналогично, будет состоять из т — 1 равенств; наконец,
последняя, (/?г4"0’я система будет состоять лишь из
одного равенства, которое мы и хотим явно выписать.
2.44 § 2.4. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ 165
Очевидно, что для каждого слагаемого в равенствах
можно построить результат независимо как результат
соответствующей разностной схемы (т + 1) -го порядка.
Первые слагаемые образуют столбец (записанный как
строка)
{1 • f' (х + h) k, 2f' (х + ft) k, .... (tn + 1) f' (x + ft) ft),
и соответствующий результат разностной схемы, по
2.43бив, равен 0.
Аналогично будет обстоять дело с дальнейшими сла-
гаемыми, кроме последних. Именно, нам следует рас-
смотреть столбцы (выписываемые здесь как строки)
(х + ft) ft ...ft {lm, 2m.(m + If), (13)
m раз
~fim4x){(h + k) ... (ft + ft). (ft + 2fe) ... (ft + 2fe), ...
tn раз tn раз
• • • ’ (ft + (ffl+l)fe) ... (ft + (m+l)fe)}, (14)
am+i(x){ft ...Jfe — (ft + fe) ... (ft + ft),
m+l раз m+l Раз
2mk ... ft - (ft + 2fe) . . (ft + 2k), .... (m+ l)mk ...k-
m+1 раз m+l раз m+l раз
~(h + (m+l)k) ... (h + (m+l)k)}. (15)
m+l раз
В силу 2.43 г, где положено р — т -f- 1, результат
разностной схемы для столбца (13) равен
f™(x + h)k ... ft.
т раз
В столбце (14), раскрывая скобки и пользуясь по-
лилинейным свойством формы (х) h... ft, мы можем
оставить лишь члены — f<m)(x)k ... ftfl"1, 2т, ...
..., (т-НП (остальные, в силу 2.43 в, в результате
дадут нуль); согласно 2.43 г мы получим в результате
f<m>(x)ft ... ft.
m раз
166
ГЛ. 3. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
В разностях, образующих столбец (15), сокращаются
старшие, (tn 4- 1)-е степени k. Члены степени т — 1
можно не учитывать, как и в столбце (14). Таким обра-
зом, не изменяя результата соответствующей разностной
схемы, столбец (15) можно заменить столбцом
— \)hk ... k,
tn раз
2m(m +\)hk ... k.....(т+1)(т+1)тЫг ... k},
m раз m раз
у которого результат равен
— am+i (х)(т + 1)! hk ... k.
т раз
В итоге мы приходим к соотношению
[f(m> (х 4- h) - f<m> (х)] k ... k =
= (ш 4- 1)! am+i (x)hk ... k -4- R, (16)
tn раз
в котором
| Я |< Cm • 2e(| k r+l 4-1 hfm+l 4-1 k + h |m+1)
при IM<-2(>na+n , Фиксируем б (16)/z.
Тогда для всех k, имеющих норму, равную норме h,
|ЯКадлГ+‘; (17)
а это означает, что m-форма от k
(х + А) _ fW) (х)] _ (m + 1}! flm+i (х) h}
т раз
на сфере радиуса | h ( не превосходит по норме
Ст8|Л |т+1. Но тогда на сфере радиуса 1 эта же форма
не превосходит величины С„е| h (, В; силу 2.24 д для
соответствующего оператора получаем неравенство
|| + h)_ (х) _ + 1}1 flm+i (х) h В< О| h
2.51
§ 2.5. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
167
Так как постоянная Ст не зависят от А, отсюда следует
дифференцируемость функции и соотношение
(Х) = (т+ 1)1 flm+](x)>
что нам и требуется. Полагая tn — 1, ..., р—1, при-
ходим к справедливости утверждения теоремы.
§ 2.5. Теорема Фробениуса
2.51. Постановка задачи. Мы будем рассма-
тривать дифференциальное уравнение вида
у'(х) = Ф(х, у(х)). (1)
Неизвестная функция у(х) должна быть определена
хотя бы в некоторой окрестности заданной точки а нор-
мированного пространства X и принимать значения
в нормированном пространстве У. Чтобы эта задача
имела смысл, необходимо предположить, что функция
Ф(х, У) определена в произведении каких-либо областей
U э а пространства X и V пространства У и принимает
свои значения в том же пространстве, в котором должна
принимать значения у'(х), т. е. в пространстве ЦХ, У).
К уравнению (1) присоединяется начальное условие
y(a);=bf=V. (2)
Если X = Ri, то (1) представляет собой обыкновен-
ное дифференциальное уравнение. В этом случае, как
мы знаем из 1.61—1.62, существует, окрестность точки а,
в которой искомое решение у{х) существует и един-
ственно при определенных ограничениях на гладкость
функции Ф(х, у) (непрерывность, условие Липшица по
у, дифференцируемость). В общем случае, когда X Rit
одни только условия гладкости на функцию Ф(х, у),
даже сколь угодно жесткие, не являются достаточными
для разрешимости уравнения (1): функция Ф(х, у)
должна удовлетворять некоторым специальным уравне-
ниям.
Разберем частный случай, когда X — R2, У = R},
При этом уравнение (1) эквивалентно системе двух
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.51
168
уравнений с частными производными
у),
= Х„ у}.
Предположим, что функции Ф] и Ф2 дифференци-
руемы в рассматриваемой области U X У; тогда реше-
ние Хг). если оно имеется, является уже дважды
дифференцируемой функцией и потому удовлетворяет
условию симметрии второй производной (2.32 в):
д*у _ д*у
dxi дх2 дх2 dxi '
Используя уравнения (3), мы получаем
х2, у(хъ х2)) = -^-Ф2(х1, х2, //(х„ х2)),
что вместе с (3) приводит к соотношению
аф. (*„ хЛ,у)(х„ х2, у) у )Л==
дх2
ду
□_ .^(х„х2, у) ф1 (%1>
dxt т ду
таким образом, необходимо выполняется, если
системы (3) существует. Для данного решения
оно выполняется тождественно по всем значе-
которое,
решение
Ц[х\, х2)
ниям %1 и х2 и y{xit х2), а если для любой тройки ait а2,
Ь, где {ал, а2} е U, b eV, существует решение, удовле-
творяющее условиям у(аь о2)=&, то соотношения (3)
выполняются тождественно по всем значениям Xi = аь
х2 = а2, у = Ь.
Этот пример приводит нас к формулировке необхо-
димых условий разрешимости уравнения (1) и в общем
случае. Если существует решение у(х) уравнения (1),
а функция Ф(х, у) дифференцируема в области U%V,
то функция у(х) на самом деле дважды дифференци-
руема, и, следовательно, выполняется условие симметрии
второй производной 2.32 а: для любых h и k из X
у" (х) hk = у" (х) kh.
2.52
§ 2.5. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
169
Используя уравнение (1), раскрывая полную производ-
ную и снова используя (1), получаем соотношение
\ дх 1 ду / \ дх 1 ду ) ' '
которое необходимо должно выполняться при любых h
и k, если имеется какое-то решение уравнения (1); бо-
лее того, соотношение (4) должно выполняться при лю-
бых х — а, у = Ь, если уравнение (1) имеет решение
у(х), удовлетворяющее любым заданным условиям
у(х) = Ь.
2.52. Предположим сначала, что решение уравнения
(1) с условием (2) существует в некоторой окрестности
W = {х: |х — а]<г} точки а, и установим некоторые
его свойства.
Пусть heX— произвольный вектор, 1й|<сг; рас-
смотрим решение у(х) на луче x(t) = a -j- tn, 0 t 1.
На этом луче у(х) представляет собой функцию число-
вого параметра t е [0, 1]. Обозначим <р(0 — у[х(/)]-
Тогда ф'(/) = y'[x(t)]x'(t) = y'[x(t)]h и уравнение (1)
принимает вид
ф'(0 = Ф(а-НЛ, <р(О)Л. (5)
Это — обыкновенное дифференциальное уравнение
для функции <f(t), зависящей от аргумента t е [0, 1].
При t = 0 имеем <р(0) — у (а) = Ь, так что к уравнению
(5) присоединяется начальное условие
<р(0) = 6. (6)
Если функция Ф(х, у) дифференцируема в области
17ХК то и функция Ф(а -j- th, q(t))h, фигурирующая
в уравнении (5), дифференцируема (по t), так что урав-
нение (5) удовлетворяет обычным условиям существова-
ния и единственности решения дифференциального урав-
нения с данным начальным условием. Отсюда мы де-
лаем вывод, что решение уравнения (5) с условием (6)
может быть лишь единственным. Следовательно, и зна-
чения решения уравнения (1), с условием (2), опреде-
ляются единственным образом на каждом луче х =
— а + th, следовательно, единственным образом в ок-
рестности точки а. Более того, наш результат дает воз-
можность восстановить это решение, если известно, что
170
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.53
оно существует: нужно лишь на каждом луче х—а 4- th
проинтегрировать уравнение (5) при условии (6) и по-
ложить у [*(/)] = ф(0»
.2.53. Предположим теперь, что о разрешимости урав-
нения (1) ничего не известно, и будем строить его реше-
ние. Как это делать, нам известно: следует на каждом
луче х = а-{- th, 0 t 1, интегрировать уравнение
(5) с условием (6). В это уравнение входит параметр h.
Теорема о решении обыкновенного уравнения с пара-
метром (1-61) дает нам возможность утверждать, что
существуют числа 6>0ир>0и дифференцируемая
по t функция <p(Z; h), которая при всех t, h, 0 t б,
|й| р, является решением задачи (5) — (6).
Ограничиваясь пока одним лучом х = а + th, при
заданном мы положим х0 = а -|- toh и определим ве-
личину -у(х0) = q>(to, h). Следует показать, что'значение
у(х0) зависит только от самого х0, а не от t0 и h в от-
дельности. Пусть k — вектор, коллинеарный с h, и tji =
== Tok. Функции ф(/, Л) и ф(т, k) являются соответ-
ственно решениями уравнений (5) и
Ф' (т, £) = Ф(а + xk, ф(т, k))k (7)
при одном и том же начальном условии (6). Сделаем
в {7) замену независимого переменного т = /-р- и обо-
значим фр-^2-, = Тогда ф' (/) = ф'(/-Т^,
так что функция ф(/) удовлетворяет уравнению
ф'(0 = ф(а-Н^-*> ф(0)л^- = Ф(а + /Л, ф (/)) А,
которое совпадает с уравнением (5). В силу теоремы
единственности ф(0 = ф(*> h), откуда ф(т0, k)= ф(/0) =
= Ф(^о, К) — у(х0), что нам и требуется.
Итак, функция у(х) определена однозначно на
каждом луче х — а -|- th при 0< / fi и |h|р. Тем
самым она определена однозначно в целой окрестности
точки а (именно в шаре |х— бр). По доказанному,
в самой точке а функция у(х) имеет производную по
каждому лучу, исходящему из точки а, и значение этой
производной на любом векторе h е X совпадает
с Ф(а, b)h.
2.54
$ 2-5. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
171
2.54. Покажем теперь, что если Ф(х, у) удовлетво-
ряет условию (4) и имеет производные второго порядка,
то функция у(х) в некоторой окрестности точки а диф-
ференцируема и по направлениям, отличным от направ-
ления луча, идущего из точки а в точку х.
Пусть у = {хе X: х = а + th + sk} — двумерная
плоскость, образованная неколлинеарными векторами h
и k. На этой плоскости мы построим сначала функцию
<p(Z, s), удовлетворяющую уравнению (1) и начальному
условию (2), а затем убедимся, что она совпадает (на у)
с функцией у(х), определенной в предыдущем пункте.
С этой целью заметим, что если искомое решение
у(х) уравнения (1) с условием (2) существует, то функ-
ция <р(/, s) — у (а 4- th + sk) удовлетворяет системе двух
уравнений с частными производными
y)h = ®(a + th + sk, q)h,
^-=y'(x)x'(s)=&(x, 1/)Л==Ф(а4-/й + «й,
с начальным условием
<p(0, O) = J/(a) = ft,
или, короче,
=<!>! (/, s, ф), Ф! == Ф(а -J- th 4- sk, ф)ft,
<8>
s> ф)> Ф2^Ф(а 4~№ + ф)Л.
(Векторы huh входят в систему (8) как параметры.)
Теперь отбросим предположение о существовании ре-
шения у(х) и будем сразу рассматривать систему (8)
с условием
<р(0, 0)=ft. (9)
Легко проверить, что функции Ф1 (/,«,<₽) и Фг(/, $, <р)
удовлетворяют некоторому соотношению, вытекающему
из условия симметрии (4). В самом деле, очевидно, что
<?Ф( _ дФ дФг дФ
ds ~~ дх kn> ~di ~dxnR'
172
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.54
_ 5Ф1 »
Далее, вычислим -^-Ф2. Это есть главная линейная
часть приращения функции Ф1(/, s, ф), когда ф получает
приращение Фг, т. е. главная линейная (относительно
Фг) часть разности
Ф1 (*> $> ф + Ф2) — (*» s> ф) —
— [Ф(а + th + sk, ф + Ф2) — Ф(а + th + sk, ф)] й.
Так как функция Ф(х, у) дифференцируема, эта глав-
ная линейная часть совпадает с ~-Ф2/1, а значит, и
с ^-<&kh. Аналогично-^-Ф1==4^ Фйй.
Оу О(р Оу
Таким образом, равенство (4) можно переписать
в форме
^ + ^.ф1==^. + ^1.ф; (10)
dt 1 б<р 1 ds 1 <Эф '
разумеется, этого следовало н ожидать, если вспомнить
пример из 2.51.
Переходим к решению системы (8). В силу второго
из уравнений (8) функция ф(«) = <р(0, s) удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению
-^ = Ф2(0, s, ф) (11)
и начальному условию ф(0) = <р (0, 0) = Ь. (Это — то са-
мое уравнение, которое рассматривалось в 2.52, хотя
это нам сейчас и не важно.) В силу теоремы 1.61 суще-
ствуют такие di > 0, 61 б и pi > 0, pi sgS р, что для
всех значений |Л|<рь |й|< р! на отрезке 0^s^6j
решение ф (s) имеется. Далее, на прямой s = s0 е [0, 6i]
в плоскости {/, s} рассмотрим обыкновенное дифферен-
циальное уравнение
-^т-^- = Ф1 (f, s0, ф(/, s0)) (12)
с начальным условием
ф(0, $0) = ф(х0).
(13)
Снова в силу теоремы 1.61 найдутся такие рг > 0,
р2 «С Pi и б2 > 0, 62 «С 61, что при всех |й| < р2, |й| < рг,
§ 2.5. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
173
s0 е [0, 62] задача (12) — (13) будет разрешима на от-
резке t е [0, 62]. В силу 2.37 б решение ф(£, s) дважды
дифференцируемо по параметру s, а в силу 2.37 в и
dtp (t, s) .. dtp (t, s)
—~— дифференцируема no s; в свою очередь ——
дифференцируема no t (1.66) и все указанные производ-
ные непрерывны. Покажем, что ф(/, s) удовлетворяет
уравнению
We^(f(M). (14)
Для доказательства образуем функцию
ЧГ(/, s)== *^1_ф2(/, s, ф(/, s)).
По построению
V(0, s) = ф2(01 s, ф(0, s)) =
= ^-Ф2(0, s, ф) = 0. (15)
Далее,
Используя симметрию смешанной производной (2.32 в)
и раскрывая во втором члене полную производную,
получаем
d4r_d»tp(t, s) дФг дФг dtp _
dt dsdt dt dtp dt
= s.tfd. S))_^_^O1.
Отсюда с помощью (10) следует, что
dW _ дФ! сКИ dtp <ЗФ2 дФг __
dt ds * dtp ds dt dtp 1
__ дФ, _d®£ dtp _ дФ! dФl ф _
ds dtp ds ds_dtp 2
= -^-(-^-ф2') = ^-ЧГ. (16)
dtp \ ds dtp ' '
Как видим, функция W (t, s) удовлетворяет обыкновен-
ному дифференциальному уравнению (16) с начальным
174
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.65
условием (15); отсюда, по теореме единственности, сле-
дует, что 4'(/,s)^0, и равенство (14) доказано.
Таким образом, функция <$(t, s) удовлетворяет
в квадрате t е [0, dz], s е [0, д2] обоим уравнениям си-
стемы (8). Поэтому функция z(x)=tp(f, s) (х — а +
-|- th + sfc) в плоскости у является решением уравне-
ния (1) с условием (2), а значит, совпадает там с по-
строенной в 2.53 функцией у(х). Следовательно, функ-
ция у(х), как и г(х), дифференцируема при х = а 4- th
по направлению вектора k и
/(х)Л==^М. = ф2(^ о, Ф) = Ф(х, y}k. (17)
2.55. Мы можем теперь сформулировать основную
теорему параграфа.
Теорема (Фробениус). Пусть функция Ф (х, у) оп-
ределена в произведении областей U cz X и V с У и
принимает значения в пространстве 17 X У; пусть, да-
лее, функция Ф(х, у) дважды дифференцируема в об-
ласти U X V и удовлетворяет в этой области соотноше-
нию
I дФ . дФ лкХ / дФ . дФ
-з к-з— Ф|Л£ = Н; Ф \kh
\ дх ' ду } \ дх 1 ду }
для любых векторов k и h пространств X и Y.
Тогда существуют число д > 0 и такая функция
у — у(х): X-+ Y, которая в шаре |х — а| < д удовлет-
воряет дифференциальному уравнению
/(х) = Ф(х, у(х))
и начальному условию [a^U,b eV)
i/(a) = d.
В указанном шаре решение у(х) может быть лишь
единственным.
Доказательство. Из 2.53 мы знаем, что в неко-
торой окрестности точки а существует функция у(х),
у (а) — Ь, которая по 2.54 имеет в каждой точке х произ-
водную по любому направлению, удовлетворяющую ус-
ловию (17). По условию функция Ф(х, у) представляет
собой при каждом значении х и у = у (х) линейный опе-
ратор, действующий из пространства X в пространство Y.
2.61
§ 2.6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
175
и непрерывно зависящий от х. Но тогда, в силу 1.48 г,
функция у(х) является дифференцируемой и ее произ-
водная совпадает с оператором Ф(х, у). Теорема дока-
зана.
2.56. С у щ е ствование первообразной. Пред-
положим, что функция Ф(х, у) в условиях теоремы 2.55
не зависит от у, так что мы имеем дело с уравнением
/(х) = Ф(х), y(a) — b. (I)
Это есть задача об отыскании первообразной для функ-
ции Ф(х) (X-+ЦХ, У)), т. е. такой функции у(х), про-
изводная которой совпадает с Ф(х). Подобная задача
разрешима не для любой функции Ф(х). Необходимым
условием существования первообразной является сим-
метрия второй производной у(х), что приводит к равен-
ству
Ф' (х) hk — Ф' (х) kh, h^X, k^X. (2)
Из теоремы 2.55 следует, что выполнение равенства (2)
является также и достаточным условием для существо-
вания первообразной в некоторой окрестности точки а.
§ 2.6. Системы уравнений с частными производными
и геометрические приложения
2.61. а. Рассмотрим систему дифференциальных урав-
нений вида
dy(xt, .... хп) _
dxi
ФДх,» .... х„, у),
(1)
......у)
с неизвестной функцией y(x)^y(Xi........хп), которая
разыскивается в окрестности данной точки а = (аь ...
..., an)^Rn, принимает значения в пространстве У и
удовлетворяет начальному условию
y(a) = be=Y. (2)
Относительно функций Фг (хь ..., хп, у) предполагается,
что они определены в произведении областей LG X • •»
|..Х^пХК Ui3ait Уэб (1=1, л) и при
176
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.61
любых значениях х,- е 17,- и у е V представляют собой
линейные операторы Хг->Ь(Х{, У). В этом случае си-
стему (1) можно записать в форме одного уравнения
/(х) = Ф(х, у): X->L(X, Y), (3)
где U^UiX ... XUn<=Rn, Ф{х,у)Ь=^Ф,(х, y)hit
i=l
h = {hlt ..., hn}^ Rn, после чего вся ситуация оказы-
вается частным случаем той, которая покрывается тео-
ремой Фробениуса 2.55. Необходимое условие разреши-
мости 2.51 (4), так же как и для системы 2.54 (8) или
2.51 (3), можно преобразовать к виду
+^ф^ф (х. у} =
dxj ду /\ > э/
йФ/ (х,!/) , дФ, (х, у)
*=---Z---------л---(*> у)
dxi 1 ду > я?
(I, i= 1, ..., п). (4)
Теперь теорема Фробениуса в применении к данному
случаю утверждает: если функции Ф$ (хь .... хп, у)
дважды дифференцируемы и в области U XV удовле-
творяют условиям (4), то для любой точки a^U и лю-
бого b е V найдется такое 6 > О, что в шаре |х—а| <б
будет существовать решение у = у(х) системы (1) при
начальном условии (2) и такое решение будет един-
ственным.
б. Для системы более простого вида
^-^-Ф1(х,.х„),
дхх
ду{хъ .... хп) _ ф , ч
дхп — Ф"(Х>....Хп)
(5)
этот результат, разумеется, также справедлив; мы отме-
тим только, что условие (4) принимает здесь совсем про-
стой вид:
д®1 (х, у) дФ/ (х, у)
дх/ dxi
(i, J=l, n). (6)
в, В общую схему входят и системы с несколь-
кими неизвестными функциями zk (х): G cz Rn -> Y^,
§ 2.6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 177
k = 1, т:
^ = fki(xi, хп> гъ .... zm)
i—I, ..п; k — l, ..т, (7)
и произвольными начальными условиями
zk(xv •••’ <)=^gC (fe=l, m). (8)
Как следует из а (где нужно положить У равным пря-
мой сумме У1 + • • • + У«) > необходимое и достаточное
условие разрешимости задачи (7) — (8) при любых на-
чальных данных в области определения функции fhi(x, z)
выражается равенствами
। =^р . V f «л
дхр ^4 дг/ '/р~ дх, Z4 дг/
(ft = 1, , т\ i, р = 1, ..., п).
2.62. Ге ометрическая интерпретация. Для
обыкновенного дифференциального уравнения
у' = Ф(х, у) (хе U <= /?,, у ееV с= Rt) (1)
имеется известная геометрическая интерпретация:
каждой точке {х0, уо} области U^VcR/ сопоставляет-
ся прямая линия
у — у о = Ф (х0, z/0) (х — х0), (2)
и разыскивается кривая, проходящая через заданную
точку {a, b}^ U XV и в каждой своей точке {хо, Уо}
имеющая предписанную касательную (2). Теорема о су-
ществовании и единственности решения обеспечивает,
при некоторой гладкости функции Ф(х, у), разреши-
мость этой задачи и единственность ее решения.
Аналогичную геометрическую интерпретацию можно
указать и для общего уравнения
у' = ф(х, у) (xgUcX, у eV сУ),
Здесь каждой точке {х0, у0} е U X V сопоставляется ли-
нейное многообразие в пространстве X X У
у — у о = Ф (х0, у 0) (х — х0) (3)
178
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.63
и разыскивается функция у = у(х), у(а)= Ь, график
которой в пространстве X X У («интегральное многооб-
разие») обязан в каждой своей точке {х0, Уо} иметь каса-
тельной плоскостью (1.26 в) соответствующее линейное
многообразие (3). В этом случае уже не любая функ-
ция Ф(х, у) (хотя бы й произвольно большой гладко-
сти) приводит к разрешимой задаче; мы знаем, что
должно быть выполнено (необходимое и достаточное)
условие 2.51 (4).
Простейший нетривиальный пример осуществляется
уже для X = R2, Y — Ri. В этом случае в области
U X V (t7 cz Т?2, V cz R\) в каждой точке {х^, х£, z/0] за-
дается плоскость, проходящая через эту точку:
У ~ У0 = Ф1 (4 4 Уо) (Х1 - х?) + ф2 (4 4 Уо) (х2 — хг)> (4)
и разыскивается поверхность у = y(xlt х2), которая про-
ходит через данную точку {щ, а2, b} е U X У и в каж-
дой своей точке {х°, х£, t/0] имеет касательную пло-
скость, предписанную уравнением (4). И эта задача
имеет решение не для всякой пары функций Ф] (хь х2, у)
и Ф2(хь х2, у), а лишь для такой, которая (при условии
дифференцируемости до второго порядка) удовлетво-
ряет известному уже нам соотношению
дх2 ' ду 2
дФ2 , дФ2
dxt ‘ ду 1‘
В 2.63—2.64 указываются еще некоторые геометриче-
ские задачи, связанные с теоремой Фробениуса.
2.63. а. Пусть для каждой точки х из некоторой об-
ласти Vc Rn задана (п— 1)-мерная плоскость у(х)зх,
непрерывно зависящая от х; требуется построить функ-
цию w = f(x)i V—>Ri,.у которой любая поверхность
уровня f(x)= Св каждой своей точке хе V касалась
бы плоскости у(х). Поскольку задача, как всегда, реша-
ется локально, мы можем предположить, что в области
V все плоскости у(х) не содержат прямых, парал-
лельных оси хп (изменяя в противном случае нумера-
цию осей). Поэтому здесь будет удобнее несколько из-
менить обозначения: координату хп обозначить через у,
а через х обозначить набор остальных коордийат
{хь .... Xn-t}. Тогда каждая точка области V получит
2.63 s 2.6, УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 179
обозначение {х, у}. Вместо у(х) будем, естественно, пи-
сать у(х, у). Уравнение плоскости у(х°, у0) имеет вид
У - Уо = § ф/ (*°> У°) {xi ~ С1)
причем функции Ф,(х, у) по условию задачи известны.
Будем предполагать, что они дважды дифференцируемы.
Искомое решение теперь записывается в виде w —
= f(x, у). Предположим, что решение w = f(x, у)
имеется. Фиксируем точку а е Rn-i, лежащую в проек-
ции на 7?п-1 области V с: Rn, и рассмотрим f(a, у). Оче-
видно, что Ф 0, иначе прямая х — а входила
бы в состав некоторой поверхности уровня функции
f(x, у), что по условию не имеет места. Заметим, далее,
что вместе с функцией f(x, у) и любая функция
F(f(x, у)) является решением нашей задачи; мы можем
воспользоваться этим произволом, чтобы получить ре-
шение f(x, у), которое (хотя бы на некотором участке Д
прямой х — а, которым мы в дальнейшем и ограни-
чимся) удовлетворяло бы условию f(a, у) = у. Поэтому
уравнение поверхности уровня функции f(x, у), прохо-
дящей через точку {а, Ь} гС Д, имеет вид f (х, у) — Ь. По
теореме о неявной функции это уравнение в окрестности
точки {а, Ь} равносильно некоторому уравнению у =
— у(х, Ь). Касательная плоскость к этой поверхности
в любой точке {х°, tp} имеет вид
п—1
<2>
i=l ‘
Поскольку плоскости (2) и (1) совпадают, функция
у(х, Ь) должна удовлетворять системе уравнений
-^Д-=ФДх, у), 1=1,..., п-1, (3)
с начальными условиями
У (а, b) = b. (4)
По теореме Фробениуса решение задачи (3)—(4) суще-
ствует тогда и только тогда, когда выполнены условия
180
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
164
интегрируемости (i, / = 1, ..,, п — 1)
+ф (х, У)^
дх, ' ду 1'
дф1 (*. У) d®i U У) .
= ФДх,//). (б)
Таким образом, условие (5) необходимо для разре-
шимости поставленной задачи. Покажем, что оно яв-
ляется и достаточным, по крайней мере, в некоторой
окрестности точки {а, Ь}. Если условия (5) выполнены,
то, по теореме Фробениуса, для любого b существует
в некоторой окрестности точки а решение у(х, Ь) систе-
мы (3), удовлетворяющее условию (4). Ясно, что при
ду(а, Ь) < ' .
этом ——— 1; значит, уравнение у—у(х, о), соглас-
но теореме о неявной функции, можно разрешить отно-
сительно Ь, так что оно оказывается эквивалентным не-
которому уравнению вида b=f(x, у). Мы утверждаем,
что функция f(x, у) есть искомая функция. Действитель-
но, касательная плоскость к поверхности f(x, y)=b та
же, что и к поверхности у=у(х, Ь), т. е. это есть пло-
скость (2); но в силу уравнений (3) плоскость (2) сов-
падает с плоскостью (1), что нам и требуется.
б. Если п — 1 = 1, т. е. п = 2, система (3) состоит
лишь из одного уравнения и разрешима всегда. Таким
образом, для плоской области V с заданной для каждой
точки {х, у} прямой у(х, у) всегда можно указать функ-
цию f(x, у), для которой все линии уровня f(x,y)—C
(хотя бы в некоторой окрестности заданной точки) в ка-
ждой своей точке касаются соответствующей прямой
у(х, у). (Конечно, нужно потребовать некоторой глад-
кости для углового коэффициента прямой у(х, у).) Если
п > 2, то, как мы видели, аналогичная задача не всегда
разрешима.
2.64. Пусть для каждой точки х из области V cz Rn
заданы п линейно независимых векторов gt(x), ...
• • •, gn (*) (достаточно гладким образом зависящих от
х). Спрашивается, возможно ли в области V ввести
такую новую систему координат ..., wn, чтобы со-
ответствующие координатные линии — т. е. линии, вдоль
которых изменяется только одна из величин wlf ..., wn,
например Wj, а остальные остаются постоянными, — ка-
2.64
§ 2.6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
181
садись в каждой своей точке соответствующего вектора
Если такая система функций wk{x\, ...,хп) (k=
= 1, п) имеется, то каждая поверхность уровня
Wk=C в любой своей точке касается соответствующих
векторов gi..... gk-ъ gk+ъ ...» gn и тем Ьамым имеет
заданную касательную плоскость, именно натянутую иа
векторы gb ..., gk-i, gk+ъ gn-
Обратно, если для k=i, ..., п мы сумеем найти до-
статочно гладкую функцию Wk(x), любая поверхность
уровня которой в каждой своей точке касается плоско-
сти, натянутой на векторы gi, ..., gk-i, gk+ъ - gn, то
задача будет решена, так как в этом случае каждая ко-
ординатная ЛИНИЯ Wt = Ci.......ЙУЙ_1 = СЙ_!, wfe+i =
=Сь+1, ..., wn=Cn касается в каждой своей точке век-
тора gk- Мы видим, что наша задача в принципе све-
дена к предыдущей. При п=2 решение задачи всегда
существует (при нужных условиях гладкости), при
п > 2 существование решения требует выполнения неко-
торых условий интегрируемости, которые мы сейчас по-
лучим. Уравнение плоскости, натянутой на векторы
gi(x°)....gfe-i(x°), gfe+i(x°), .... gn(x°), имеет вид
x—tf Ви И ••• Sk+l. 1(*°) (*°)
...........................................=0, (1)
Хп~Хп В1п(х°) ... gk.Iin(x°) gk+I,n(x°) ... gnn(x°)
где gt/(x°) — составляющие вектора gi(x°).
Пусть Дгь(х°) есть алгебраическое дополнение к эле-
менту gife(x°) «X «-матрицы || gij(x°) ||. Тогда, разверты-
вая определитель в левой части уравнения (1) по пер-
вому столбцу, мы можем уравнение (1) переписать
в виде
i(x,-x5)A„W = 0
или же, при Дпь(х°) =# 0 (что можно принять без огра-
ничения общности в силу предположенной линейной не-
зависимости векторов gi),
п-1
хп — х° = — J л^(*°)
i=i
182
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.65
Таким образом, функции Ф,(х°, У°), фигурирующие
в уравнений 2.63 (1), определены. В данном случае они
зависят еще от индекса k ( = 1, .... п). Имея эти функ-
ции, мы должны проверить выполнение условий 2.63 (5),
и если для каждого Л=1, .п они выполняются (и
только в этом случае), то наша задача разрешима, во
всяком случае локально.
2.65. Система, для которой условия теоремы
Фробениуса не выполняются. Рассмотрим систему урав-
нений
дг.
d^ = fki(xi....хп’ 21...гт) ....т) (1)
в области U X V, U с Rn, V с Rm, причем условия теоремы Фро-
бениуса
дх +* Li. dz. Чр~ дх. дг. 41 ™
р /=1 ' ‘ j=i 1
(fe=l,.... m; i, р= 1,.... n)
уже не будем предполагать выполненными тождественно во всей
области U X V, так что совокупность S точек (ж, г), где выполняют-
ся соотношения (2), представляет собою лишь некоторое многообра-
зие в Uy, V меньшей .размерности. В .этом случае система (1) уже
ие обладает решений» с произвольно заданными начальными дан-
ными
= (й = 1...т), (3)
так как всякое решение должно лежать целиком в многообразии S.
Но, вообще говоря, не через любую точку многообразия S проходит
какое-либо решение; оказывается, что кроме условий (2) должен
выполняться еще целый ряд условий. Для исследования получаю-
щихся возможностей и имея в виду необходимость многократных
последовательных дифференцирований, мы предположим теперь, что
функции fki в (1) являются бесконечно дифференцируемыми. Будем
писать, равенства (2) короче в виде
£Й’(х,г)=а (4)
Пусть г = г(х) есть некоторое решение системы (1); как мы
знаем, оно удовлетворяет и системе (4). Продифференцируем ка-
ждое из уравнений системы (4), в которую подставлено г — г(х),
по любому нз аргументов xt и заменим возникающие производные
дг.
их выражениями из системы (1); мы получим из (4) новую
систему конечных соотношений, которой должно удовлетворять ре-
2J6B § 2.6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 183
шение г{х}\ мы обозначим ее так:
(х, г) =0. (5)
Применяя к системе (5) такую же схему рассуждений, выводим
из (5) новую систему уравнений
<>(х, z)=0; (6)
продолжая этот процесс неограниченно, мы получаем последова-
тельность систем уравнений
£^(х, г) = 0, s=l,2.................... (7)
каждой нз которых необходимо удовлетворяет решение г(х).
Рассмотрим теперь многообразие W всех точек {х, г}, удовлетво-
ряющих всем системам уравнений (7). Оно может быть пустым;
оно может быть вырожденным в том смысле, что оно не содержит
ни одной «поверхности» вида z = z(x), определенной хотя бы иад
какой-нибудь подобластью области U. В этих случаях тем более
нет нн одного решения у системы (1). Подлежит дальнейшему рас-
смотрению только тот случай, когда многообразие W не является
вырожденным, т. е. содержит- некоторые «поверхности». Этн поверх-
ности суть кандидаты в решения системы (1). Для выяснения во-
проса о существовании таких кандидатов мы можем рассмотреть
якобиеву матрицу
с т столбцами и с бесконечным числом строк. В каждой точке
(х, г) е W эта матрица имеет некоторый ранг, ие превосходящий т;
найдем такую точку {a, b] е W, в которой ранг матрицы 1 дости-
гает максимального значения, например г, г < т. По соображе-
ниям непрерывности минор r-го порядка, отличный от нуля в точке
{а, Ь}, будет отличным от нуля н в некоторой окрестности этой точ-
ки. По теореме о ранге 1.74 6 для любого конечного числа уравнений
системы (7) можно указать такую окрестность Q точки {а,Ь}, в ко-
торой геометрическое место точек {х, г), удовлетворяющих этим
уравнениям, представляется системой уравнений вида
2/ = Ф/(х, гг+1....zm)- (9)
(s=l,2,...; в=1,2,..., £=!,..., m) (8)
где Ф/(fl, br+t....Ьт) — bj, j = 1,..., г, с дифференцируемыми
функциями в правой части. Функции Ф; определены в некоторой
окрестности точки (a, br+i, .... bm) и принимают
значения в окрестности Q<r) точки (6,...br) е 7?г, так что Q =
— Q(r) X Q<n+m-r)- С увеличением числа рассматриваемых уравне-
ний системы (7) окрестность Q может уменьшаться, н, вообще го-
воря, нет уверенности, что имеется окрестность Q, в которой бес-
конечная система (7) эквивалентна системе (9).
184
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.6S
Теорема (Веблен и Томас). Если у точки {a,b}^W суще-
ствует такая окрестность Q вида Q(r) X Q(1»+’n~r>, в которой беско-
нечная система (7) эквивалентна конечной системе (9), то у систе-
мы (1) имеется решение г = г(х) с г (а) — Ь.
Доказательство. По условию, если уравнения системы (9)
продифференцировать по х,- и заменить получающиеся производные
dzft
• их выражениями из системы (1), то получающиеся соотно-
шения
дФ,- (х, г) дФ/ (х, г)
—az—+ 2 ~ort—(,0)
1 fc=r+I k
(Z=l, .... и; г)
будут выполняться на всем многообразии W (в пределах окрест-
ности Q).
Рассмотрим следующую систему уравнений для неизвестных
функций Zr+1 (х), ..,, гт (х):
dz.
= Fkl (*1> • • •• хп> zr+i> •••• 2m) (И)
(i=l, .... и; fe = r-|-l.т),
где функции F*t- получены из функций участвующих в систе-
ме (1), подстановкой вместо аргументов zt, ..., zr их выражений (9)
через аргументы х, zr+I, ..., гт. Покажем, что в окрестности
Q(n+m-r> для системы (11) выполнены условия теоремы Фробениуса.
Действительно, мы имеем на Q<’1+m~r)
dFkj
dXS
dFki
dzl
Fis =
2.65 § 2.6. УРАВНЕНИЯ с ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 185
где на предпоследнем шаге использованы равенства (10). Анало-
гично на Q<"+m-r>
dFks . V dFks . dhs , V dfks „
-<+ 2 <13>
1 l=r+l 1 1 p^l p
По построению на множестве W выполняются, в частности, ра-
венства (k = 1, .... m; i, s— 1, ..и)
dx* -rJu dz tps dx. +2J dz 'Pb
s p=i p 1 p=i p
подставляя в ннх выражения (9), находим, что на Q<n+m-r) совпа-
дают правые части равенств (12) и (13), что нам и нужно.
В силу 2.61 в система (11) допускает решение {z®+1 (х),...
..., z^(x)j, определенное, возможно, в некоторой меньшей окрест-
ности Q^£2(/n\ удовлетворяющее условиям
z°+I(o) = t>r+1,.... z°(a) = 6n.
Мы утверждаем, что система функций z (х) = {z, (х), ..., zm(x))
21 (х) = Ф, (х, г®+1 (х), ..г°т (х)),
гг (х) = Фг (х, z«+1 (х),..., z°m (х)),
2г+1 (*) = г°+1 (х).
2mW=z^(x)
является решением системы (1), удовлетворяющим условию
z(a) = b. Действительно, указанными функциями по построению
удовлетворяются уравнения системы (I) при При k
имеем по (10)
3zfe(x) dQ>k . у, дфк dz°P
дх, дх, лЛ дх дх.
1 * Р=Г+1 р ‘
т
S ....
1 р=г+\
так что удовлетворяются и эти уравнения. Теорема доказана.
186
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
1
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если среди определителей Сильвестра четного
порядка (2.14 е) хотя бы один отрицателен, то соответствующая
квадратичная форма неопределенна (меняет знак), независимо от
значений и знаков остальных определителей.
2. Написать вторую производную для функции х~' (2.35).
3. Написать вторую производную для функции у = f(x), обрат-
ной к дважды дифференцируемой обратимой функции х = <р(р)
(2.366).
4. Пусть в точке а е G с X реализуется условный максимум
для функции f(x): при условии q>(x)—CsZ (1.82а).
Пусть функция ф(х); G->Z удовлетворяет условиям ф(а) =<р(а),
ф'(а) = <р'(а), a f'(a)-. Х-+Х— обратимый оператор.
Показать, что точка а есть условно стационарная точка для
функции f(x) л при условии ф(х)=С. Однако ее характер может
быть любым -(максимум, минимум, отсутствие экстремума).
5. Показать, что двупараметрическое семейство винтовых линий
в % (ф—аргумент, г и а— параметры)
х = г cos (ф — a), y = r sin (ф — а), г —А (г) Ф
имеет ортогональные поверхности тогда и только тогда, когда
А (г) ss Сга.
6. Для функции f (х) — х3 sin — при х =/= 0, | h | < 1 х | можно
записать разложение
А2
f(x + й)= f (х) + а, (х) h + а2 (х) — + о (&). (1)
Для х = 0 имеем также
1 fi2
A3siny=0 + 0-A + 0--j-4-o(ft2),
так что равенство (1) справедливо и при х = 0, если положить
ЦО) =0, Я|(0) = Ог(0) = 0. Однако Цх) не имеет второй произ-
водной при х = 0. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой
2.44.
7. Сформулировать и доказать условие разрешимости для урав-
нения
= Ф (х, у),
dxt ' я
где X = X] + Х2 есть разложение пространства X в прямую сумму.
8. Дано отображение д — у(х) гильбертова пространства Н в
себя, допускающее производные первого и. второго порядка. Извест-
но, что у'(х) —сТ(х), где с — постоянная и Т(х)—ортогональный
оператор. Показать, что Т(х) не зависит от х и отображение у(х)
есть комбинация сдвига, растяжения й поворота.
9. Дано отображение у(х) : Н-*-Н, допускающее производные
С
первого и второго порядка. Известно, что у (х). = -г—-----—та- Т (х),
I А Л® [
18
ЗАДАЧИ
187
где Хо — фиксированный вектор и Т (х) — ортогональный оператор.
Показать, что у(х) есть комбинация инверсии
г(х)
X — Ха
I х —хв|2 ’
сдвига, растяжения и поворота.
10. Отображение у(х): Н-*Н называется конформным, если
у'(х) = с(хН(х), гДе С(ЛУ — числовая функция, Г(х) — ортогональ-
ный оператор. Показать,• что для дважды дифференцируемого кон-
формного отображения у(х} и любых трех взаимно ортогональных
векторов ft, k, I выполняется соотношение (y-'hk, уЧ):=0,
II. (Продолжение.) В. предположениях предыдущей задачи по-
казать, что y"hk = py'h + vyfft, и найти коэффициенты р и v.
12. (Продолжение.) Для трижды дифференцируемого конформ-
ного отображения у(х) и р (х) = показать, что p"(x)hft = 0
для любой пары ортогональных векторов ft и ft.
13. (Продолжение.) Показать, что p"hk = c(h, k), где a=const.
14. (Продолжение.) Показать, что р(х) == а|х— х0|2 + Р, где
а и Р — постоянные.
15. (Продолжение.) Показать, что для соответствующих точек
х и у(х) (у(х) — конформное отображение) выполняется соотно-
шение
(а|х-х012 + ₽) (у I у - Уо12 + б) = 1,
где Хо, Уо — фиксированные точки, у, б — постоянные.
16. (Продолжение.) Рассмотреть уравнение
|dy|== c(x)|dx|
па луче, ведущем из точки Хо, и, интегрируя его, показать, что в вы-
ражении функции р(х) (задача 14) или а = 0, или Р = 0.
Замечание. Этот результат, в соединении с результатами
задач 8 и 9, показывает, что любое конформное отображение гиль-
бертова пространства в себя приводится к комбинации сдвига, рас-
тяжения, поворота и инверсии (Неванлинна).
17. Система
dz (х, у) _ дг (х, у) _
дх ' ду
совместна, она имеет очевидное решение z(x, у) s= 0. Однако необ-
ходимое условие совместности 2.61 (4) не выполнено. Чем объяснить
кажущееся противоречие с теоремой 2.61а?
18. Показать, что система уравнений с одной неизвестной функ-
цией z = Z(X), .... Хп)
-g- = /,(z),...,-g-^f„(2)
OXj OXfi
имеет решение z(x) с любыми начальными условиями Zo = z(xo)
тогда и только тогда, когда все функции fj(z) (/ = 1, п) отли-
чаются друг от друга лишь числовыми множителями.
188 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Историческая справка
Создатели анализа бесконечно малых Ньютон и Лейбниц
использовали дифференциалы высшего (второго) порядка, состав-
ляя и решая обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее
рассмотрение высших дифференциалов было предпринято Эйлером
(1730), а окончательно обосновано (с помощью теории пределов)
Коши спустя век. Перенесение теории на функции в нормированных
пространствах стало возможным после определения дифференциала
Фреше (1911). Обращение формулы Тейлора имеется, в частности,
в книге Л. А. Люстерника и В. И. Соболева «Элементы функцио-
нального анализа» (М., 1965). Классическая теорема Фробениуса
(для функций у(х)-. Rn-*-Rm), явившаяся в свое время (1876)
важным этапом общей теории систем линейных уравнений с частны-
ми производными первого порядка, была обобщена на функции в
нормированных пространствах М. Кернером (1933), для уравнения
у' = Ф(х,у)— Ж. Дьедоине (1960, общий случай). Теорема Вебле-
на и Томаса была опубликована в 1926 г.
ГЛАВА 3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В МНОГОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Интегрирование функций многомерного аргумента — одно из мо-
гущественных средств математики. Современные абстрактные тео-
рии интегрирования имеют дело с функциями на произвольном мно-
жестве с заданной на нем счетно-аддитивной мерой. Имея в виду
применения к собственно аналитическим проблемам, мы в общей
схеме ограничиваемся сравнительно простыми множествами («на-
груженными пространствами»), где теория интеграла может быть
построена по образцу одномерного интеграла Римана, что нам
позволяет не касаться вопросов, связанных со счетной аддитив-
ностью меры. В применении этой схемы к случаю n-мериого евкли-
дова пространства получается классическая теория кратных инте-
гралов (§ 3.5), поверхностных интегралов (§ 3.6), далее рассматри-
ваются несобственные интегралы (§ 3.7).
Для простоты мы проводим изложение для вещественио-знач-
ных функций. Одиако почти все выводы без изменения сохраняются
для функций со значениями в линейном нормированном простран-
стве, за редкими исключениями вида (3.14 (7))
тХ inf f (х) < I f (х) dx < тХ sup f
Но и для этой формулы в случае функций со значениями в линей-
ном нормированном пространстве имеется замена (3.14 (8)).
§ 3.1. Интеграл Римана на нагруженном пространстве
3.11. Прежде чем начинать построение интеграла для
функций от многомерного аргумента, напомним опреде-
ление интеграла для функции f(х) одного переменного
х, меняющегося в промежутке а х b (09.13).
Обозначим через П разбиение промежутка а х^Ь
на части:
П = {« = Х0<Х! < ... <Х(<Х(+1< ... <х„ = Ь}.
Положим AXj=xi+i—х{ и d (П) = max Axf. Отметим
i
в промежутке х, х х,+1 произвольную точку н
«90
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.12
составим интегральную сумму
п— 1
Sn(f)=2ffo)Axt.
Ь=0
Число If называется интегралом Римана от функции
f(x) по отрезку [а, Ь], если для любого е > 0 найдется
такое б > 0, что при каждом разбиении П с ^(П) < б
имеет место неравенство
|/f-Sn(f)|<8.
Эквивалентное определение можно сформулировать
и на языке последовательностей. Рассмотрим последова-
тельность разбиений Пь Иг, ... промежутка [а, Ь] такую,
что d(IIfc) —*0; будем ее называть неограниченно из-
мельчающейся. Если для любой такой последователь-
ности {П/j числа Snft(f) имеют фиксированный предел,
не зависящий от выбора самой последовательности П*
и промежуточных точек то • этот предел называется
определенным интегралом от функции f(x) по проме-
жутку [а, Ь]:
ь
f f(x)dx~ lira Sn. (/).
fe->oo
a
Наконец, еще одно эквивалентное определение мож-
но построить в терминах общей схемы предела по
направлению (04.12). Рассмотрим множество Е, состоя-
щее из разбиений П с отмеченными точками; для задан-
ного б > 0 обозначим через Е6 подмножество тех раз-
биений П е Е, для которых </(П) < б. Подмножества
£в при различных б определяют направление в Е, кото-
рое мы обозначим б/(П) —>0. Интеграл от функции f(x)
есть предел Jf её интегральных сумм по этому напра-
влению-, он существует одновременно с интегралами If
ь
и j f (x)dx и имеет равное с ними значение.
а
Доказывается, что интеграл существует, например,
для непрерывной функции f(x).
3.12. Переходим к общему определению интеграла
Римана. Вместо отрезка а х b мы рассмотрим те-
перь произвольное множество X, Вместо совокупности
3.13 § зл. ИНТЕГРАЛ НА НАГРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 10f
промежутков отрезка fa, Д] будем рассматривать листе*
му 51=51.(Х) некоторых нодмножеств множества X, удо-
влетворяющих следующим условиям:
а. Само X и пустое множество входят в систему 21.
б. Если Al е $1, 51, то и пересечение Л)Л2 вхо-
дит в 51.
в. Если Л] е 51, А е 51, Ai cz А, то существуют мно-
жества А2, ..., Ар в системе 51 такие, что А=*
^=At U Л2 U ... U Ар, причем Ль .,,, Ар попарно не пе-
ресекаются.
Система 51 подмножеств множества X, удовлетво-
ряющих условиям а, б, в, называется полукольцом. Так,
система всех промежутков на отрезке [а, б] представляет
собою пример полукольца множеств.
Далее будем считать, что X есть метрическое про-
странство и полукольцо %(Х) удовлетворяет условию!
г. Для любого & > 0 существует разложение множе-
ства X в конечное объединение непересекающихся мно-
жеств At, .... Ар из 51 (JQ с диаметрами ^б.
При выполнении условия г метрическое пространство
X предкожпактно (05.95), поскольку в «ем для каждого
б > 0 имеется .конечная б-сеть.
Формулируем, наконец, последнее условие «а полу-
кольцо Й:
д. Для каждого множества Лей определено неот-
рицательное -число mA так, что «рм налячии разложения
Я = А1М2и ••• 13Ар,
где At, ..., Др взяты из 51 и не имеют аанарно юбщик
точек, .справедливо равенство
жА=тА14- ... ^-тАр
(условие аддитивности).
Число mA будем называть мерой множества А. Сами
множества Л е 51 при выполнении условий а — д -будем
называть ячейками, метрическое пространство X —на-
груженным пространством, а полукольцо .21 с мерой
ячеек mA —нагружением пространства X.
3.13. Определение интеграл а. Пусть дана
функция определенная на нагруженном простран-
стве X. Пусть П означает разбиение множества X на
Р ячеек Ai, ,.., Лг, не имеющих попарно общих точек.
192
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.13
У каждой из этих ячеек А{ через d(Ai) обозначим ее
диаметр — верхнюю границу расстояний между точками
ячейки; обозначим, далее, через г/(П) максимальную
величину диаметров ячеек Л,.
В каждой ячейке Л; выберем произвольно точку & и
составим интегральную сумму
р
Sn(f) — ^if(li)mA{. (I)
i=l
Число
W = J f(x)dx (2)
X, я
называется интегралом от функции f(x) по простран-
ству X с нагружением 31, если для любого е > 0 най-
дется ' такое б > О, что при каждом разбиении П
с </(П) < б имеет место неравенство
|W-Sn(f)l<8.
Это определение, как мы видим, совершенно анало-
гично первому определению интеграла от функции f(x)
по отрезку.
Второе определение можно таким же образом сфор-
мулировать на языке последовательностей. А именно,
рассмотрим произвольную последовательность разбие-
ний П1.....Щ пространства X, у которой (/(Па)—>0;
будем называть ее неограниченно измельчающейся. Если
для любой такой последовательности {Па} числа Snfe(f)
имеют фиксированный предел, не зависящий от выбора
самой последовательности {Па} и точек то этот пре-
дел и называется интегралом от функции f по нагружен-
ному пространству X.
Наконец, третье определение можно дать в терминах
предела по направлению. Пусть Е есть множество всех
разбиений (с отмеченными точками) пространства X;
для заданного 6 > 0 через Е6 обозначается подмноже-
ство тех разбиений П, для которых (/(П) .< б. При раз-
ных б соответствующие подмножества Е6 вложены одно
в другое, а пересечение всех Е6 пусто; следовательно,
подмножества Е6 определяют направление в Е; мы обо-
значим его, естественно, через а(П) -*0. Интеграл от
$ 3.1. ИНТЕГРАЛ НА НАГРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 193
8Л4
функций f(x), по определению, есть предел интеграль-
ных сумм по направлению d(H) -* 0.
Эквивалентность всех трех приведенных определений
вытекает из общих свойств предела по направлению
(ср. 04.66).
Функция f(x), обладающая интегралом по простран-
ству X с нагружением Я, называется интегрируемой на X
с нагружением Я или просто интегрируемой, если про-
странство X и его нагружение Я фиксированы; знак Я
при интеграле в таких случаях будем опускать.
3.14. Приведем некоторые общие свойства интеграла
в предположении только епр существования, не опираясь
на какие-либо свойства функций, к которым он приме-
нен. Доказательства этих свойств проводятся по той же
схеме, что и в 09.15 для интегралов от функций на от-
резке, предельным переходом от интегральных сумм, и
могут быть здесь опущены.
а. Функция f(x) = С (постоянная) интегрируема по
нагруженному пространству X и
J f(x)dx = CmX. (I)
х
б. Если функция f (х) интегрируема по нагруженному
пространству X, то для любой константы С функция
Cf(x) также интегрируема по пространству X и
Cf(x)dx = C J f(x)dx. (2)
х
в. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по на-
груженному пространству X, то их сумма f(x) + g(x)
также интегрируема по X и
If (х) + g (х)] dx = J f (х) dx + J g (x) dx, (3)
x x
г. Всякая интегрируемая по нагруженному простран-
ству функция ограничена на X.
д. Если интегрируемые по пространству X функции
f(x) u g(x) удовлетворяют неравенству f(x) ^g(x),ro
j f(x)dx^ j g(x)dx. (4)
X X
194
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
11$
В частности, если функции f(x) и |f(x)| интегрируемы
по X, то
$f(x)dx\^$\f(x)]dx. (5)
X X
Если значения функции f(x), интегрируемой на про-
странстве X, заключены в границах c^f(x)^C, то
cmX J f(x)d (х) <1 CmX. (6)
х
Например, всегда
tnf f (х) • тХ^ J f (x)dx^s\ipf(x) • тХ.
х х х
(7)
Для функций со значениями в нормированном пространстве
формулы (6) и (7) могут быть заменены следующей (О12.52ж):
-±-h{x)dxsV(E), (8)
тл j
х
где Е — множество всех значений функции f (х) на X н V (Е) —
замкнутая выпуклая оболочка множества Е.
с. Наконец, приведем еще одну теорему, доказатель-
ство которой дословно повторяет доказательство теоре-
мы 09.72 с заменой отрезка [а, Ь} на нагруженное про-
странство X.
Теорема. Если последовательность интегрируемых
функций А(х), fz(x), ... сходится к некоторой функции
f (х) равномерно на нагруженном пространстве X, то
Цх) также интегрируема и
| f (x)dx— lim Г fn (x)dx.
• n->°o •
Аналогичная теорема справедлива для ряда интегри-
руемых функций Ф1(х) + <pz(x) + • •
3.15. Некоторые конкретные реализации
интеграла.
а. Если в качестве пространства X взять отрезок
[«, н в качестве ячеек А — любые промежутки (с вклю-
чением граничных точек или исключением их), а в ка-
честве меры ячейки А — длину соответствующего проме-
8Л« S 3.1. ИНТЕГРАЛ НА НАГРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 195
жутка, мы придем к обычному определению интеграла
для функции одного переменного.
б. Пусть пространство X есть брус в «-мерном про-
странстве:
X = {х €= /?п. Д] bi, . > . > CLa хп &п}.
В качестве ячеек рассмотрим любые подбруеы
Д с X-
А = {хс=Х‘. а1<х|<р1, .... ап<хл<₽„},
а также множества, выделяемые неравенствами, полу-*
чающимися из написанных здесь заменой некоторых зна-
ков на С. Мерой ячейки А будем называть ее ев-
клидов объем:
п
тД = П^-аД
i=i
Можно без особого труда проверить, что условия
3.12 а — д здесь выполнены. Правда, формальное дока-
зательство выполнения условия 3.12 д несколько кропот-
ливо, но мы с легкой совестью можем его опустить,
поскольку в 3.17 будет доказано более общее предло-
жение. Интеграл, получающийся при этой конструкции,
называется п-кратным интегралом Римана и обозна-
чается
fci ьп
J f(x)dx = J ... J f(xit .... xn}dxt ...dxn.
x “1 an
3.16. Леммы о полукольцах. Последний при-
мер допускает существенное обобщение: имея нагружен-
ные пространства Хг, , Хп, можно построить нагру-
»
женное пространство X = Ц Xt так же, как «-мерный
брус строится из одномерных отрезков. Но для реализа-
ции этой идеи, чему посвящен 3.17, необходимо провести
некоторую подготовку.
а. Лемма. Если множества Ль .... Ak из по-
лукольца % попарно не пересекаются и содержатся
в некотором множестве А е 21, то в 21 существуют
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Мв
]% гл. 3. ИНТЕГРИРОВА!
множества B^+i.....Вт такие, что
ли ... U4UBWIU ... 1)ВГ = Л,
(1)
причем слагаемые слева также попарно не пересекаются.
Доказательство. При k—\ это утверждение
входит в определение полукольца (3.12 в). Допустим,
что оно справедливо для некоторого числа k, и дока-
жем его для числа k 4- 1. У нас имеются непересекаю-
щиеся множества Ль ..., Ak, Л/{+1 из полукольца VI,
содержащиеся в множестве е Я. По предположению
индукции в 21 существуют множества Bk+i, ..., Вг, даю-
щие разложение (1). Множество Ahu не пересекается
с . множествами Ль ...., Ah, поэтому оно содержится
в объединении Bk+l U ... U Вг, так что мы имеем
Ak+i — Ak+IBk+t U ••• U Ak+iBr.
(2)
По определению полукольца можно написать разло-
жения
Bft+I=^ft+IBft+1UBk%u ... ив!&+,),
(3)
в^л+.ВгивУ’и ... ив<4
где слагаемые справа принадлежат к VI и попарно не
пересекаются. Подставляя (3) в (1) и используя (2),
получаем в итоге
л^ди... илил+1в6+1и...
... иЛ+1Вгив(Д1и ... 11В^г) =
=л,и ... илиджив^и ... ив<4
что и требуется.
б. Лемма. Пусть имеется конечная совокупность
множеств AIt ..., Ah полукольца VI. Утверждается, что
в VI существуют непересекающиеся множества Вь ...
..., Вр такие, что (J Л/= (J В/ и каждое из множеств
А{ (t=l, k) есть объединение (некоторых из) мно-
жеств Bj.
Доказательство. Для Л==1 предложение оче-
видно: можно положить Bi —Ai. Допуская его справед-
117 S 3.1. ИНТЕГРАЛ НА НАГРУЖЕННОМ. ПРОСТРАНСТВЕ 197
ливость для некоторого натурального k, докажем, что
ойо верно для k -f- 1. По предположению индукции в St
существуют непересекающиеся множества Bi ,
ft р
такие, что (J At= (J B\k} и каждое из множеств Лй
i=i /=1
i=l, ..., k, представляется в виде объединения неко-
торых из множеств По определению полукольца
для каждого множества можно написать разложе-
ние на непересекающиеся слагаемые, первым из кото-
рых является B/fe) П Afc+1:
... USfp/ (j=l, .... р). (4)
Далее, по лемме а множество Ль+1 можно представить
в виде объединения непересекаюшихся слагаемых из S1,
первыми р из которых являются пересечения Лл+1 с мно-
жествами B{jk\ /=1, р:
Ак+1 = (Л*+1 П вН и ... и (Л+1 f) В(Л и Bi и ... и вг. (5)
Теперь рассмотрим совокупность всех множеств, уча-
ствующих слагаемыми в разложениях (4) и (5). Все
эти множества принадлежат к полукольцу ?1 и попарно
не пересекаются. Ясно, что каждое из множеств
Ai, , Ль+1 представляется в виде объединения неко-
торых из этих множеств. Лемма доказана.
3.17. Произведение нагруженных про-
странств. Пусть имеются нагруженные пространства
..., Хп; рассмотрим произведение Z множеств
Xi, ..., Хп, т. е. совокупность всех комплексов
х = (xi, ..., хп). Введем в него структуру нагруженного
пространства. Для Простоты ограничимся случаем п—2,
причем будем обозначать Xi—X, Х2=У.
Ячейками пространства Z=X X ¥ будем называть
произведения С=А%В ячеек пространств X и У. Их
совокупность обозначим через Sl(Z). Покажем, что
V(Z) также является полукольцом. Все пространство
Z—X X У входит в систему ^(Z), поскольку X е St (X),
УеЯ(У). Если Ci=Ai X Ль С2=А2 X Л2— две ячей-
ки на Z, то С1С2=Л1Л2 X BYB2 также есть ячейка на Z.
Пусть Ci = Л, X 51 ея (Z) и C — AXBe=V<Z),
ГЛ. X ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ЗД7
причем Ct cz С. Это значит, что Д1 с: A, Bt с В. Тогда
мы найдем непересекающиеся ячейки Аг, Ар в
Й(Х), В2, ..., Вд в 21(У), так что
A=A(M2U ... иЛ> B=BlUB2U ... (JB,.
Но тогда
4X^ = (AXBJU(AXB2)U ... U(AXB,)U
U (Др X U (4 X В2) У ... U (ДР X Bq)
есть представление ячейки Д X В в виде объединения
ячейки Д1 X и еще некоторого числа непересекаю-
щихся ячеек. Отсюда следует, что 21 (Z) есть полуколь-
цо, аксиомы 3.12 а — в выполнены.
Пространство Z метризуется обычным образом как
произведение метрических пространств, например, по
формуле (03.16):
P.fxiXfi'i. ХгЖУ^Ур^Хи xj+p1 (уi, у2).
Если Х=Д1 U ... U Д> и У=В| U ... U В, — разло-
жения пространств X и У на непересекающиеся ячейки-
с диаметрами 6, то Z= (Д1 X &i) U (Д1 X В2) U .. •
... U (Др X В-д) представляет собой разложение про-
странства Z на непересекающиеся ячейки с диаметрами
б ]/2, так что аксиома 3.12 г также выполнена.
Наконец, для ячейки С=ДХВ положим тС=
=тА-тВ. Покажем, что определенная таким образом
'мера ячеек zB Z удовлетворяет аксиоме аддитивности
3.12 3. Пусть
С = ДХВ = (Д1ХВ1)и ... и(4ХВ*) (1)
— разбиение ячейки С на непересекающиеся ячейки.
Представим А в Виде объединения A=At U... U Дд,
возможно, пересекающихся слагаемых.
По 3.166, в 31 (X) существуют непересекающиеся
~ ~ р ~
ячейки 4......Др такие, что Д = ЦД/ и каждая из
^=1 ~
ячеек А{ есть объединение некоторых из ячеек Af. Ана-
логично, в Ш(У) существуют непересекающиеся ячейки
3.18
S 3.1. ИНТЕГРАЛ НА НАГРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
И»
Bt....В* такие, что B=(JC/ и каждая из ячеек В{
1 ~
есть объединение некоторых из ячеек Bj. Мы запишем
соответствующие разложения так:
4i=U^, Bt=\jB(J>.
Г S
Теперь представление (I) можно записать в виде
с=лхв=(Я(11)хв(1|,)и(Л11)ХВ(11,)и ... U(#ft,xMft)).
При этом
р ~ ~
тС— mA тВ = тА[ • 5
i=l 7=1
С другой стороны,
k k
^m^AiX ВЦ ^^mAiXmBi^
i=l 1=1
ft p 4
= S (S (2 m&sirj — 2 д tnAtmB/,
так как, поскольку ячейки X Bt взаимно не пересе-
каются, каждое слагаемое справа совпадает ровно с од-
ним из слагаемых слева и наоборот. Отсюда и следует
требуемое равенство
mC=Sm(AXBi).
i=i
Таким образом, произведение нагруженных про-
странств допускает также структуру нагруженного про-
странства. Указанная здесь структура называется произ-
ведением нагружений пространств X и У. По индукции
построение может быть распространено на любое число
множителей.
3.18. Пр ос тые множества.
а. Конечные объединения ячеек нагруженного про-
странства будем называть простыми множествами.
В силу 3.16 б каждое простое множество Р можно
представить как конечное объединение непересекающих-
ся ячеек.
290
ГЛ. S. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.18
б. Лемма. Если имеются простые множества Р и
Qu P==Ai U ... U Ар, Q—Bt 'U ... U Вд — их предста-
вления в виде объединений попарно непересекающихся
ячеек, то из включения Р с Q следует
р ч
2mA^2 mBi. (1)
/=1 i=i
Доказательство. Так как Р с Q, то и At с Q,
следовательно,
<7
/=1
причем слагаемые в правой части не пересекаются.
Отсюда по 3.12д
ч
mAi— 2 т(Д(В/7.
/=1
При фиксированном j ячейки АгВ] не пересекаются; по
3.12в имеются непересекающиеся ячейки В/0, ..., В^^
такие, что
В/ = (АВ,)и ... utABOUB^U ... ив!Г/) (/=1....?)•
Отсюда по 3.12д
Р (г \ р
тВ,— 2 ят (A{Bj) -f- шв\) -f- ... -f- mBj I 2 nt (A(B/).
Поэтому
2 rnBj >22'” (AtBj) = 2(2 m(AB/)) — 2 mAlt
1=1 1=1 f=i 7=1 \/=l / 7=1
что и требовалось доказать.
в. В частности, если P = Q, мы получаем
Р <7
2 гпА{ — 2 mBt. (2)
7=1 /=1
Поэтому мы можем определить для каждого простого
множества Р число шР как сумму мер составляющих
9.18
5 S.2 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
201
его непересекающихся ячеек; равенство (2) гарантирует
однозначность этого определения.
г. Неравенство (I) справедливо и в случае, если
ячейки Bj пересекаются (при сохранении остальных ус-
ловий). Действительно, в силу S.16 б мы можем найти
набор непересекающихся ячеек Ёт (г=1, .... s), из ко-
торых можно составить каждую ячейку Bj, причем
Вг. При этом мера каждой Bj равна сумме
/ г
мер содержащихся в ней Ёг, а сумма мер всех Bj не
меньше, чем сумма мер всех Ёг, поскольку каждая ячей-
ка Ёг в какой-то из Bj содержится. Теперь мы имеем
Р Q S
i=l /=1 Г=1
и, в силу а,
р s ~ q
5 тА{ 2 пгВг < 2 пгВ>,
1=1 Г=1 /=!
что и требуется.
д. Если простое множество Р есть объединение, воз-
можно, пересекающихся ячеек Ви .,., то имеет ме-
сто неравенство
ч
пгР 2 mBi.
/=i
Действительно, по г можно найти такие непересекаю-
щиеся множества At, ...,АР, что (JЛг = Р = (J
* i
тогда, в силу определения в и результата г, имеем
р Q
mP — 2 mAi 2 mBi,
1=1
что и требуется.
§ 3.2. Теоремы существования
В этом параграфе будет доказано существование ин-
теграла для непрерывных функций и для функций с не-
большим — в смысле, который будет точно указан, —
множеством точек разрыва.
202
ГЛ, 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
в.2(
3.21. Здесь мы покажем, что при доказательствах
существования интеграла можно ограничиться лишь раз-
биениями, последующими к достаточно мелким.
Как обычно, разбиение ГГ множества X называется
последующим по отношению к разбиению П, если ячей-
ки разбиения П являются объединениями (без общих то-
чек) ячеек разбиения П'. Для каждого разбиения П и
любого б > 0 имеется последующее разбиение П'
с d(II') < б; для получения такого разбиения мы рас-
смотрим любое разбиение П" с d(H") < б, существую-
щее по 3.12 г, и образуем разбиение П из всевозможных
пересечений ячеек П и ячеек П".
а. Лемма. Пусть имеется разбиение П и при неко-
тором е > 0 для любого последующего разбиения П*
выполняется неравенство
|Sn(f)-Sn'(f)|<e.
Если П1 — другое разбиение, обладающее аналогич-
ным свойством, т. е. такое, что для любого последую-
щего разбиения П' справедливо неравенство
!Sn,(/)-Sn/(f)|<e,
то
\Sn(f)-Sn((f)\<2e.
Доказательство. Рассмотрим новое разбиение
П2, состоящее из пересечений ячеек разбиений П и Th
с произвольно отмеченными точками. Разбиение Па яв-
ляется последующим и по отношению к разбиению П и
по отношению к разбиению Пь По условию имеем
|Sn(f)-Sni(f)|<e,
|5пЛ)-5п,(/)|<е,
откуда и следует требуемое неравенство (1).
б. Следствие. Если при любом е > 0 существует
такое б > 0, что для любого разбиения нагруженного
пространства X с d(II) <сб и для любого последующего
разбиения П' выполняется неравенство
|Sntf)-Sn'(f)l<e,
то функция f(x) интегрируема на пространстве X.
3.22
§ 3.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
203
Действительно, при выполнении условий следствия
для любых двух разбиений П и П1 с <2(П) <б й
d(П1) <С б, согласно а, выполняется неравенство
I Sn (f) - Sn, (f) I < 2г.
Таким образом, для интегральных сумм Sn (f) и напра-
вления <£(П) -*0 выполнен критерий Коши, который и
обеспечивает существование интеграла.
3.22. Теорема существования интеграла
для непрерывной функции.
а. Пусть Р — подмножество метрического простран-
ства X. Обозначим через
<of(P, б)= sup
х’ер,
колебание функции на множестве Р с. X.
б. Пусть РсХ — некоторое простое множество с ме-
{р 1
Р— (J At | —• его разбиение на
ячейки без общих точек. Интегральную сумму по мно-
р
жеству Р, т. е. сумму вида будем обозна-
чать через Sn(f, Р), сохраняя обозначение Sn(f) для
случая Р—Х. Пусть б—max diam Аг.
Лемма. Для всякого последующего разбиения П'
указанного множества Р
| Sn (f, Р) - Sn- (f, Р) I < (Р, б) mP. (1)
Доказательство. Пусть
П' = {Р*=Л„и ... иЛ1Г(и ... 11Др111 ... UАрГр},
rt
где Л/ = иЛ/. Часть интегральной суммы Sn-(f, Р>,
/=1
приходящаяся на ячейку А{, имеет вид
ri
i—i
Для соответствующего слагаемого f(t,i)mAi ин-
тегральной суммы Sn(f, Р) справедливо
304
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.23
неравенство
I
— тАц
I /“!
Ь)тАь
откуда и следует (1).
Следующая теорема является основной. Определения
и результаты а, б используются в ней в предположении,
что Р=Х. Случай Рал, РфХ нам понадобится
в дальнейшем (3.24).
в. Теорема.- Всякая равномерно непрерывная
функция f(x), определенная на нагруженном простран-
стве X, интегрируема.
Доказательство. Для заданного е > 0 можно
найти такое б > 0, что ау(Х, д) <Ze/(2mX). Поэтому
для любого разбиения П с d(П) <б и для любого по-
следующего разбиения IT неравенство (1) имеет след-
ствием неравенство
1(f)-Sn(f)K®f(X, 6)mX<8,
и остается применить 3.21 б.
г. Следствие. На нагруженном компакте X вся-
кая непрерывная функция интегрируема.
Действительно, всякая непрерывная функция f(x) на
компакте X является равномерно непрерывной (05.17),
и результат следует из в.
3.23. Нам понадобятся интегралы и от некоторых
разрывных функций со сравнительно небольшим множе-
ством точек разрыва. Для характеристики таких мно-
жеств введем следующие определения:
а. Пусть А — подмножество метрического простран-
ства X и хе X — любая точка. Число
р(х, Л)= inf р(х, у)
цеА
называется расстоянием от точки х до множества А.
б. Множество
U6(A) — {xaX: р(х, Л)<б}
назовем ^-окружением множества А с± X.
8.24
S 3.2, ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
205
в. Множество А с X называется лежащим строго
внутри множества В cz X, если при некотором б > 0
имеет место включение (7б (Л) cz В.
г. Пусть А и В — два подмножества в метрическом
пространстве X. Положим
d(A, В)— inf р(х, у).
хеЛ
уеВ
Ясно, что d(A, В) =0 тогда и только тогда, когда у мно-
жеств А и В имеется хотя бы одна общая предельная
точка; в противном случае d(A, В) > 0.
Очевидно, если А лежит строго внутри В, то
d(A, X — В) >0, и обратно, если а(Л, X — В) >0, то
А лежит строго внутри В.
д. Множество Z в нагруженном пространстве X на-
зывается нуль-множеством, если при любом е > 0 его
можно заключить строго внутрь конечного объединения
р
ячеек Ль ..., Лр с 2 m^i < е-
/=1
е. Объединение Z конечной совокупности нуль-мно-
жеств Zx, ..., Zn есть снова нуль-множество: действи-
тельно, если Zk содержится строго внутри объединения
ячеек Л1*\ ..., Л^’, k — 1, ..., п, то Z содержится
внутри объединения ячеек Л?’,.... Л^’,...» Л(я>..Л(^;
sk
если при этом ячейки А(® взяты так, что тА^ < ,
i=i
п sk
то 2 2 гпАЧ1' < е, что и требуется.
fc=i /=i
3.24. а. В теории интеграла в случае функций одного
переменного х, а х Ь, устанавливалась интегрируе-
мость кусочно-непрерывных функций — функций, имею-
щих лишь конечное множество точек разрыва на отрез-
ке [а, Ь] (09.16).
Аналогом этой теоремы для функций на нагружен-
ном пространстве является следующая теорема:
Теорема. Пусть X — нагруженное пространство и
Z czX — некоторое нуль-множество. Всякая ограничен-
ная функция f(x), равномерно непрерывная вне любого
окружения множества Z, интегрируема на X*
206
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
124
Доказательство. Мы покажем, что ври любом
е > 0 существует такое 6 > 0, что для любого разбие-
ния П с й(П) <6 и для любого последующего разбие-
ния П' выполняется неравенство
тогда утверждение теоремы будет следовать из 3.2Гб.
Пусть Af=sup|f(x)]. Для любого е> 0 по условию
i
существуют ячейки , Ар с 2 fnAt < объ-
единение которых содержит множество Z строго внутри
р
себя. Положим В = Х — (J4/. По 3.23 г d(Z,B)^
/=i
2р > 0. Функция f(x) равномерно непрерывна вне
р-окружения множества Z; поэтому существует такое
т > О, что из р(х', х") < 2т, х'.^В, х" <= В, следует
Jf(x') —f(x") I < г1{2тХ). Будем рассматривать любое
покрытие П пространства X с </(П) < б = min (т, р) и
любое последующее покрытие И'.
Всю совокупность ячеек Ci, ..., Сп разбиения П
разделим на два класса. В первый класс отнесем те
ячейки, которые целиком лежат в объединении ячеек
’At, ..,, Ар, во второй — все остальные ячейки, кото-
рые тем самым заведомо пересекаются с множест-
вом В.
Ячейки второго класса целиком располагаются вне
р-окружения множества Z, поскольку их диаметр мень-
ше. 6 р и они содержат точки, отстоящие от Z больше
чем на 2р.-Пусть Р е,сть объединение ячеек первого клас-
са и Q— объединение ячеек второго класса. Соответ-
ственно разобьем на два класса ячейки последующе-
го разбиения П'; в первый класс отнесем те ячейки, ко-
торые содержатся в множестве Р, во второй класс — те,
которые содержатся в множестве Q. Оценим раз-
ность между интегральными суммами Sn(f) и Мы
имеем
|Sn(f)-Sn'(/)|<|Sn(f, P)l + |Sn'(f, P)l +
+ |Sntf, Q)-Sn'(f, Q)l.
3.24 § 3.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 207
Первые два слагаемых оценим с помощью леммы
3.186'.
р
ISntf, J тС^М^тА^М-^^, (I)
С^Р /==!
Р
\Sa^..Pn<M У /пП<<Л!УтЛ<<М.^- = 4; (2)
жмЕ JMNI тг/»5 %
DtcP /=1
далее, по лемме 3.226
lSn(f,Q)-Sn'(f, Q)K®f(Q, i>)mX^^mX=l. (3)
Из (1), (2) н (3) следует, что
что и требуется.
б. Следствие. Ограниченная функция f(x), от-
личная от 0 лишь на нуль-множестве Z нагруженного
пространства X, интегрируема на Хг и ее интеграл ра-
вен О.
Действительно, функция /(х) равна 0 и, следователь-
но, равномерно непрерывна вне любого окружения мно-
жества Z; ее интегрируемость следует из теоремы а. Да-
лее, используя обозначения этой теоремы, заметим, что
Sntf) = SD(f, P) + Sn(A Q) = Snff, Р),
так как на множестве Q с X — Ufi(Z) функция f (х)
равна 0. Отсюда и из (1) следует, что
|Sn(f)l=|Sntf, Р)|<|,
и, значит,
f f(x)dx = lim Sn(f) = 0.
£ Н(П)->0
в. Следствие. Пусть П1( П2, ... — последователь-
ность разбиений нагруженного пространства X с
d(IIn) ->0, a mn(Z) — сумма мер тех ячеек разбиения
П„, которые содержат точки некоторого фиксированного
нулъ-множесТва Z. Тогда mn(Z)—*Q.
808 ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.25
Действительно, mn(Z) есть интегральная сумма для
функции f(x), равной 1 на множестве / и 0 вне множе-
ства Z, если для ячейки С4, содержащей точки множе-
ства Z, в качестве отмеченной точки выбирать имен-
но какую-либо точку из С4 П Z. Поэтому утвержде-
ние в следует из б.
3.25. Для случая компактного нагруженного про-
странства X условия теоремы 3.24 можно сформулиро-
вать несколько проще, не интересуясь специально равно-
мерной непрерывностью функции вне окружений данно-
го' нуль-множества. Сначала установим лемму:
а. Лемма. На нагруженном компакте X ограни-
ченная функция f (х), у которой все ее точки разрыва
образуют нуль-множество Z, равномерно непрерывна вне
любого окружения множества Z.
Доказательство. Допустим противное: для не-
которых б > 0 и е > 0 существует последовательность
точек х'п, /п (п—1, 2,...) такая, что p(x„.Z)>6,
р(х", Z)>5, р(х', —Так как
X — компакт, то, переходя в случае необходимости к
подпоследовательностям, можно считать, что последова-
тельности х'п и хй. имеют некоторый общий предел г.
Тем самым точка z является точкой разрыва, функции
f(x) (ср. 05.176) и, следовательно, входит в Z. Но из
неравенств р(х'п, Z) ^d легко следует, что и p(z, Z)^ б;
а это противоречит тому, что Z — множество всех точек
разрыва функции f(x). Лемма доказана.
б. Теорема. Если совокупность Z точек разрыва
ограниченной функции f(x) на нагруженном компакте X
является нуль-множеством, то функция f (х) интегри-
руема на X.
Доказательство. По лемме а функция f(x) рав-
номерно непрерывна вне любого окружения множе-
ства Z; остается применить 3.24 а.
§ 3.3. Жордановы множества
3. 31. а. Подмножество G нагруженного пространства
с нагружением VI называется жордановым множеством
(точнее, жордановым относительно нагружения VI), если
его граница, т. е. совокупность точек, принадлежащих
8,31 5 3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА 209
одновременно и к замыканию G, и к замыканию X — G,
есть нуль-множество. Замкнутые жордановы множества,
обладающие всюду плотным подмножеством внутренних
точек, называются также жордановыми телами.
Характеристическая функция xg (х) множества О —
т. е. функция, равная 1 при х е G и равная 0 при
х ф G, — имеет своими точками разрыва точки границы
множества G. Поэтому, если G — жорданово множе-
ство на нагруженном компакте X, то функция xg(x) ин-
тегрируема (3.25 б). Интеграл от функции xg (х) назы-
вается объемом множества G и обозначается через |G|
(или, при необходимости, через |6|я).
б. Ячейки в нагруженном компакте X могут не быть
жордановыми множествами (см. задачу 7). Но если
данная ячейка А является жордановым множеством, то
ее объем |/1| равен исходной мере mA этой ячейки. Дей-
ствительно, рассмотрим интегральную сумму для функ-
ции хд (х), построенную по произвольному разбиению П.
Если в качестве отмеченных точек в ячейках из П,
пересекающихся с А, брать точки из Д, то значение этой
суммы окажется равным сумме мер всех таких ячеек и,
следовательно, будет не меньше, чем мера ячейки А.
Если же в тех слагаемых интегральной суммы, которые
пересекаются с дополнением X — Л, в качестве точек
взять точки из X — А, то значение интегральной суммы
окажется равным сумме мер ячеек разбиения П, цели-
ком лежащих в А, и, следовательно, будет не больше,
чем мера ячейки А. Так как по условию ячейка А жор-
данова, ее объем,, т. е. интеграл от ее характеристиче-
ской функции как предел чисел, не меньших меры А, и
чисел, не больших меры А, равен мере ячейки А, что и
утверждалось.
в. Нагруженное пространство, в котором все ячейки
жордановы, т. е. имеют границами нуль-множества, бу-
дем называть нормально нагруженным пространством,
а соответствующее нагружение — нормальным нагруже-
нием. Мы показали в б, что в нормально нагруженном
пространстве объем |Л| каждой ячейки А равен ее мере
mA. Для объема жорданова множества G в нормально
нагруженном пространстве употребляется, наряду с сим-
волом | G|, также символ mG,
2F0
ГЛ, 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.31
Если повторить рассуждения б для любого жордано’
ва множества G, то мы получим, что в нормально на-
груженном пространстве объем каждого жорданоуа
множества G не меньше, чем сумма объемов рп (G) вхо-
дящих в него ячеек (любого) разбиения Пг, и не боль-
ше, чем сумма, объемов цП1(0) пересекающихся с ним
ячеек (любого) разбиения Щ. Поэтому, переходя к точ-
ным граням, имеем
supрд (G)<|С К inf pn(G),
(1)
а так как множество G жорданово, т. е. функция %а(х)
интегрируема, на самом деле в (1) стоят знаки равен-
ства:
sup рц (G)=f G | = inf |хп (G).
(2)
В частности, для любого жорданова множества G и
любого е>0 (е<1^1) можно указать такие простые
множества Р и Q (объединения непересекающихся
ячеек), что PcGqQu
IQKIGI-H, {P|>[Gf-e.
г. Лемма. В нормально нагруженном пространстве
для.каждой ячейки А и любого &> О можно указать
простое множество Р, содержащее строго внутри себя
ячейку А и такое, что шР <. mA 4- 8.
Доказательство. Пусть Г—граница ячейки А;
тогда Г является нуль-множеством. По определению оно
лежит строго внутри конечного объединения ячеек
..., Ар с суммой мер, меньшей е. Простое множе-
ство Р=А U At U ... U Ар содержит ячейку А уже стро-
го внутри себя. Мера его, по 3.18 г, не превосходит
mA 4- mAt 4- • • • + mAp m.A 4- е, что и требуется.
д. В- нормально нагруженном пространстве X опреде-
ление вуль-множества 3.23 д можно упростить. Именно,
в таком пространстве X множество Z с. X является нуль-
множеством, если для любого е > 0 существует конеч-
р
ное объединение ячеек Ah Ар с 2S mAj<e, по-
3.32
$ 3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА
211
крывающее Z (не обязательно содержащее Z строго
внутри).
Для доказательства достаточно заметить, что при на-
личии указанного покрытия имеется и другое покрытие,
которое получается на основании г: каждую ячейку Aj,
j=l, ..., р, заменяем простым множеством Pj, mPj
mAj-}-zip, содержащим Aj строго внутри себя; объ-
единение множеств Р, есть простое множество Р, содер-
жащее строго внутри себя все ячейки Aj я, в частности,
множество Z имеющее меру, не превосходящую в.
Более того, множество Z аХ является нульмноже-
ством, если для любого г > О существует жорданово
множество Gez>Zc 1 Get < в. Действительно, если для
заданного в > О мы нашли множество Ge о Z с | Ge1 <
< в, то, по в, можно найти простое множество G
с | Qe | <. 2е; так как в > О произвольно, то, по преды-
дущему, Z ест!? нуль-множество, что и требуется.
3.32. Теорема, а. Пересечение Gi Л С2 двух жор-
дановых множеств Gi и С2 есть жорданово множество.
б. Объединение G\ U G2 двух жордановых множеств
G] и G2 есть жорданово множество, и если Gi и G2 не
пересекаются, то
I GiU G21=|G, 1+1 G2|.
ГО
в. Дополнение Е — G жорданово множества G до
жорданово множества Его G есть жорданово множе-
ство, и
| Е —G | —] £ | —| G ]. (2)
Доказательство, а. Граница Gi Л G2 не может
содержать точек, внутренних одновременно для Gj и G2
или одновременно для их дополнений. Поэтому граница
Gi Г) G2 содержится в объединении границ множеств Gi
и G2 и является нуль-множеством в силу 3.23 е. Следо-
вательно, множество Gi Л G2 жорданово.
б. Граница Gi U G2 по тем же причинам содержится
в объединении границ множеств Gi и G2 и является
нуль множеством; следовательно, множество Gi U G2
жорданово. Если множества Gt и G2 не пересекаются, то
ГЛ. 8; ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.33
212
XO|W+lOlWeX01Uo1W и. п0 3.14в,
igiUg2i== J t0M0Sx^dx==
х
“ У ХС,(*М* + J %Gi(x)dx = | G, | + | G2|.
X X
в. По тем же причинам граница Е — G лежит в объ-
единении границ Е и О, так что множество Е — G жор-
даново. В силу б имеет место равенство | Е — G | +
+ |G| = |E|, откуда и следует (2).
3.33. Интеграл по жорданову множеству.
а. Пусть f(x) —ограниченная функция на нагружен-
ном компакте X, |/(х) | М, a G с X — жорданово
множество с границей Г. Определим интеграл от функ-
ции f(x) по множеству G с помощью формулы
J f (х) dx = J f (х) х0 (х) dx. (1)
О X
Если функция f(x) непрерывна на G, исключая некото-
рое нуль-множество Z, то функция f(x)%G(x) непрерыв-
на на всем пространстве X, исключая нуль-множество
Z U Г. Поэтому, согласно теореме 3.25 6, интеграл (1)
существует.
В.частности (что легко проверить и непосредствен-
но), для интеграла по жорданову множеству справед-
ливы все правила 3.14 а — е; при этом в оценках число
тХ, фигурирующее в 3.14, следует заменить на |G|.
Можно добавить к ним ^следующее:
б. Если функция f(x) интегрируема на непересекаю-
щихся жордановых множествах G, и G2 нагруженного
компакта X, то она интегрируема и на их объединении,
причем
J f (х) dx = J f (х) dx J f (х) dx.
Gt U О, Gt G,
Доказательство очевидно из разложения
XOlUO, (х)— XOt (*) + Хо, (*)•
8,83 5 3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА 8ff
Множества Gi и G2 могут и пересекаться, но лишь
по нуль-множеству, в частности, множества G\ и G2 мо-
гут иметь общие граничные точки (но не внутренние!).
Отсюда следует, что объем жорданова множества GiUG2
равен сумме объемов Gx и G2, если G, и G2 не имеют
общих внутренних точек.
Разумеется, приведенные предложения справедливы
и для любого (конечного) числа слагаемых Gi....Gft,
не имеющих попарно общих внутренних точек.
в. В нормально нагруженном пространстве (3.31 в)
интеграл от функции f(x) по множеству G можно опре-
делить независимо от интеграла по всему пространству.
Жордановым разбиением множества G назовем произ-
вольный набор жордановых множеств Eit ..., Es, не
имеющих общих внутренних точек и удовлетворяющих
условию (JE/=G. Для каждого жорданова разбие-
J=i
ния П составим интегральную сумму
Sn(f, G) = Sfa/)|E/|, (2)
где — некоторая точка из Ej. Пусть d(II) =
=max diam Ej.
Теорема. При сформулированном выше условии
на функцию интеграл (1) является пределом интеграль-
ных сумм (2) по любой последовательности разбиений
Пь П2, ... с d(nn) —►О.
Доказательство. Интегральная сумма (2) есть
интеграл по X от функции /п(х), равной f(gj) при
ле Е, и 0 вне множества G. Эта функция интегрируема,
поскольку она непрерывна вне Z и границ всех жорда-
новых множеств Ej, а все эти множества в совокупности
образуют нуль-множество (3.25 6) Zb Пусть А,...
..., Ар — какая-либо система непересекающихся ячеек,
содержащая внутри себя множество Zb с суммой мер,
р
меньшей г/(4М), и пусть (J А(. Так как X— нор-
/=1
мально нагруженное пространство, то Р — жорданово
множество (3.32 6) и |Р| =тР < е/(4А1). Функция f(x)
вне любого окружения множества Zi равномерно непре-
рывна (3.25 а); для заданного в > 0 найдется такое
>14
ГЛ, », ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.33
в >• 0, что
при cf(II) < й. Поэтому на основании б
J Kx)dx-Sa(f, G)
О I
р
Х-Р
< лТГ М + М + тХ=в,
4М 1 4Л1 1 2тл
откуда и следует утверждение.
Для функции f(x), непрерывной на жордановом
множестве G, сразу получаем оценку
ptodx-Sn(f, G)|-
о I
(3)
г. Определение в можно трактовать таким образом.
Жорданово множество G в нормально нагруженном про-
странстве X само является нагруженным пространством,
ячейками в нем служат жордановы подмножества мно-
жества G (или даже только пересечения ячеек A cz X
с множеством G), а мерой — их объемы. Из 3.32 следует
выполнение всех аксиом 3.12 а — д. Интеграл от функ-
ции f(x) по G, как нагруженному пространству, и есть
интеграл от функции f(x)%G(*) по жорданову множе-
ству G в смысле определения а. Если при этом функ-
ция f(x) определена только на G, то ее всегда можно
считать определенной и на всем X, полагая, например,
f(x)~0 при х G,
§ 3.3. жордановы МНОЖЕСТВА 215
д. Наконец, можно найти интеграл от функции f(x)
по жорданову множеству G следующим образом. Пусть
Пь Па, ... — произвольная последовательность разбие-
ний компакта X с с?(Пп)-*0; обозначим черезС'?-,...
...»те ячейки разбиения Пп, которые целиком по-
пали в множество G, и пусть еС/ — произвольно
выбранная точка. Тогда суммы
кп
при п—>оо имеют пределом интеграл (1).
Действительно, написанные суммы являются интег-
ральным суммами для функции f(x)%G(x) по разбие-
нию Пп, если в ячейках А^ отмечаются точки Ц"’,
а в остальных ячейках — точки, не принадлежащие мно-
жеству G. Так как функция f(x)xGfx) интегрируема на
Х(а), то суммы (4) имеют пределом ее интеграл, т. е.
в соответствии с определением а, интеграл от функции
f(x) по множеству G.
е. Эквивалентные нагружения. На одном
и том же метрическом пространстве X рассмотрим два
нагружения, т. е. два полукольца И и S, состоящие из
ячеек ЛейиВеЩс мерами mA и рВ, соответствен-
но удовлетворяющими условиям 3.12 а — д. Нагружения
21 и 23 называются эквивалентными, если всякая функ-
ция f(x), интегрируемая на пространстве X с нагруже-
нием %, интегрируема на X и с нагружением 23, и обрат-
но, причем
J f(x)dx = J f(x)dx. (5)
X. Я X, SB
Ниже приводится критерий эквивалентности двух
нормальных нагружений.
Теорема. Если каждая ячейка А е 21 есть жорда-
ново множество в нормальном нагружении 23, причем
mA = | А | sb, а каждая ячейка В е 23 есть жорданово
множество в нормальном нагружении 21, причем рВ =
— | В | и, то нагружения 21 м ЗД эквивалентны.
Доказательство. Ввиду симметрии определе-
ния и условия достаточно рассмотреть случай, когда
216
ГЛ. S, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
функция f(x) интегрируема на пространстве X с нагру-
жением Я, и доказать, что при выполнении условий тео-
ремы она интегрируема на л с нагружением 53, причем
имеет место равенство (5). Пусть f(x) —функция ука-
занного вида и (S/SB/)- ее интеграль-
ная сумма относительно нагружения 53. Эту же сумму
можно. записать в виде (£/)| В/При измельчении
разбиения последняя сумма, согласно в, имеет предел,
равный интегралу от f(x) в нагружении 21; тем самым
оказывается, что функция f(x) интегрируема и в нагру-
жении 53 и интегралы от нее в обоих нагружениях сов-
падают, что и требуется.
ж. Пример. В 3.15 б в n-мерном брусе X было вве-
дено нагружение с помощью системы подбрусов
А — {хе=Х: ....an<xn<₽n} (6)
(где знаки разрешалось заменять на <), с мерой
подбруса А, равной его объему vA. Возьмем здесь в ка-
честве бруса X и-мерный куб
X = {хе /?„: — 1 «С *1С 1. • • •, — 1 С хп С1}.
а ячейками будем считать только подбрусы следующего
специального вида:
v с= Y- Р' V S| Рп V 1
° | X е л. 2<7 • • • • • 2<? ХП 2<J J •
q — 0, 1, 2, ...; р1г Si, ...» рп, sn = 0, ±1, ±2, ...»
(/==1, .... n)
(где знаки разрешается заменять на <). Систему
всех брусов В обозначим через 23. Брусы В предста-
вляют собой либо кубы с ребром 1/2°, либо части гра-
ниц таких кубов. Если отвлечься от границ, два куба из
системы 53 или вовсе не пересекаются, или один из них
содержит другой, и в последнем случае меньший куб
может быть дополнен до большего кубами из систе-
мы 53 того же (что и меньший) размера. Отсюда сле-
дует, что система 53 образует полукольцо. Мерой ячей-
ки В, как и раньше, будем считать ее объем vB. Таким
образом, система 53 определяет нагружение; мы хотим
3.34
$3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА
217
показать, что нагружение В эквивалентно исходному на-
гружению, которое мы обозначим через 21.
Для доказательства достаточно проверить, что каж-
дый подбрус А (6) является жордановым множеством
в нагружении 23 и что |А|® = vA. Первое ясно из того,
что граница любого бруса А при любом е > 0 очевид-
ным образом может быть покрыта конечным числом ку-
бов системы 23 с суммарным объемом < е. Далее, для
бруса А можно построить два бруса Р и Q, которые со-
ставлены из кубов системы 58, так что Р с. А с. Q и
объемы брусов Р, A, Q отличаются друг от друга менее
чем на е. Отсюда, в силу 3.32 в,
I А |а = sup | Р |э — sup vP — vA,
что и требуется.
Аналогичное построение можно провести для лю-
бого куба Х — (х^Вп: —aj^d, .... |хЛ —an|<d}
с теми же допустимыми значениями q, pit st, рп, sn.
3.34. Повторный интеграл.
а. Пусть X и У — два нагруженных пространства и
X X Y = W— их произведение с нагружением 3./7.
Для ячеек А с X, В с Y с границами Г(Л)сХ,
Y(B)cz Y граница ячейки А X В с W, как легко видеть,
лежит в множестве (Г(А)Х В) U(A X Г(В)). Если при
этом Г (А) лежит строго внутри объединения ячеек
Ai, ..., Ар, а Г(В) лежит строго внутри объединения
ячеек Вь .... Bq, то (Г(А)Х В) U(А X Г(В)) лежит
строго внутри объединения ячеек
(АХВ)и ... U(APXB)U(AXBi)U ... и(АХВч)
с суммой мер не большей, чем
тАрпВ + ,.. + тАртВ + тАтВ{ + ... + mAmBq =
(Р \ / <7 \
X mAi) тВ + mA [ 2 mBi).
«=1 / \J= 1 7
Отсюда легко следует, что если ячейки А и В жорда-
новы, то и ячейка А X В жорданова. Поэтому, если X и
218
ГЛ, Э, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.34
У — нормально нагруженные пространства, то и W =
s= X X У — также нормально нагруженное пространство.
6. Пусть /(w)sf(x, у)—функция, определенная на
некотором множестве U az X X У и равномерно непре-
рывная на нем..
Теорема. Если множество U жорданово и при каж-
дом фиксированном у&У совокупность Ху — {х е Хз
х X У G Щ («горизонтальное сечение множества t/»)
также является жордановым множеством в X, то функ-
ция
F(у)= \ f (х, у)dx (1)
ху
интегрируема по у и
J F (у) dy — J f (w)dw. (2)
г и
Доказательство. Пусть Пх, Пу — разбиения
пространств X и У на ячейки 4<, В,, диаметры которых
не превосходят б. Тогда произведения А{ X В} образуют
разбиение X X У на ячейки с диаметрами б V 2. Пе-
ресечения (Л{ X ДО Л U образуют жорданово разбие-
ние П множества U с «/(П):Сбу2. Пересечения
А, П Xv образуют жорданово разбиение Пи множества
сД(Щ) ==5 б.
Согласно 3.33(3)
J f(x, y)dx-^if(li, y)m(Al[\Xv) <
С <Df (б) | Хв | (Df (6) mX.
Положим в этом неравенстве у — r|j е Bj, умножим на
tnBj и просуммируем по /:
|S / f(x, i]/)dx • тВ/ —2 S m (Ai n -S) mB> 1^
/ i I
(Df (6) mXtnY.
В двойной сумме выделим слагаемые, для которых
Л,- X Bj (я'чейки, которым принадлежат точки (gi, ty))
содержат точки границы множества Так как
3.34
§ 3.3. ЖОРДДНОВЫ МНОЖЕСТВА
21»
U — жорданово множество, то сумма мер v(6)
этих ячеек, в силу 3.24 в, стремится к нулю вместе
с 6. Если каждое такое слагаемое заменить на
X Bj) П t/J, то сумма изменится, самое
большее, на 2Mv(6). Поэтому
I J] f f(x, У]I<
/ i, i
< af (6) mXmY + 2Mv (6). (3)
Вычитаемое в левой части (3) представляет собой инте-
гральную сумму, имеющую пределом величину
| / (w) dw.
и
Значит, первая сумма при б —► 0 имеет предел, а так как
она является интегральной суммой для функции F(y)
по нагруженному компакту У, можно заключить, что
функция F(y} интегрируема и имеет место равенство {2),
Теорема доказана.
Равенство (2) можно переписать в виде
J f(x, y)dxdy— J f J f(x, y)dx\dy. (4)
v г Ц J
Интеграл справа называется повторным интегралом. Ра-
венство (4) позволяет свести вычисление интеграла по
множеству U с: W к вычислению повторного, содержа-
щего интегрирования по множествам Ху и У в отдель-
ности.
в. Заменяя в условии теоремы X на У, получаем сле-
дующий результат:
Теорема. Если каждое множество Уж = {у е У:
х X У е U} («вертикальное сечение множества U») яв-
ляется жордановым (в У), то функция
Ф(х) = f f(x, y)dy
интегрируема по х и
|ф(х)</х = J f(w)dw.
X V
S20
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
«.35
3.35. Инте гр ал ы, з а в и с я щ и е от парам ст-
р а. Здесь будут рассмотрены интегралы вида
Ф(0 = р(*. t)dx,
х
(1)
где X — нагруженное пространство, a t — параметр, из-
меняющийся в некотором метрическом пространстве Т.
Предполагается, что функция f(x, t) интегрируема
по х при каждом t е Т. Наша задача состоит в изуче-
нии свойств функции Ф(0; в первую очередь — условий
ее непрерывности, а затем, при специальных предполо-
жениях относительно пространства Т, — ее интегрируе-
мости и дифференцируемости.
Для случая, когда X — [а, Ь\, соответствующие во-
просы были рассмотрены в 09.81—84.
а. Доказательство теоремы о непрерывности Ф(/)
можно провести по образцу 09.81.
Теорема. Если функция f(x, t) равномерно непре-
рывна на метрическом пространстве Ху^Т, иными сло-
вами, если величина
<of (X XT, б) s sup | f (x', t') - f (x", t") |
p(x', *’)<«
стремится к нулю при 6 —* О, то функция Ф (t) равно-
мерно непрерывна на пространстве Т.
Доказательство. Для заданного е>0 найдем
такое 6о > 0, чтобы при б<бо имело место неравенство
О)/(ХХ Т, 6) < ъ!тХ. Пусть p(t',t") б < 6о; тогда
| Ф (Г) - Ф (Г) | = / [f (х, П - f (х, t")\ dx <
х
< f \f(x, t")\dx^Gf(XXT, 8)mX
x
и, следовательно,
©ф(Т,б)э sup |Ф(П-Ф(ПК®/(^Х7’,б)тХ<8,
р(Г, Г)<»
что и доказывает равномерную непрерывность функции
Ф(/) на пространстве Т.
б. Предположим теперь, что не только X, но и Т яв-
ляется нагруженным пространством с мерой ц. Тогда
3,35
$ 33. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА
221
функция Ф(0. как всякая равномерно непрерывная
функция на нагруженном пространстве, интегрируема
по t (3.22в).
Теорема. При указанных предположениях
J J f J f (х, t)dx\dt = J И f(x, t)dt\dx. (2)
т т lx ) х It J
Доказательство. Пространство X X Т также яв-
ляется нагруженным пространством с мерой ячеек С =
= А X В, равной пгА-цВ (3.17). Функция f(x, t), рав-
номерно непрерывная на X X Т, интегрируема на нем
(3.22 в). Равенство (2) выражает теперь просто правило
сведения интеграла к повторному, установленное в 3.34.
в. Пусть теперь параметр t изменяется в линейном
нормированном пространстве Т и функция f(x, t) при
каждом х е X и t = t0 обладает производной
в смысле 1.23.
Теорема. Если функция"XT -+XXL (Т))
непрерывна по аргументу t при t = t0 равномерно по
х е X, то функция Ф (t) дифференцируема и
X X
Доказательство. Используем разложение, вы-
текающее из 1.42 г-.
f (X, t) = f (X, t0) + (t - t0) 4- 8 (X, 0 (t - t0),
где
Интегрируя почленно, получаем
J f (X, t)dx=( f(x, Qdx + (/ -10)- [ df^-dx +
XX X
+ (< — *o) • fe(x, t)dx.
Т2Э.
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
«36
Поскольку
| е (х, t) | dx етХ,
причем е-*Ю, когда |/—силу равномерной но к
непрерывности при t = t0, функция Ф (/) до-
пускает выделение главной линейной части но t —10,
равной интегралу в дравой части (3^ примененному
к вектору t — Это и доказывает утверждение.
г. Следствие. В предположениях в для любого на-
правления т в пространстве Т из существования и не-
прерывности производной следует дифферен-
цируемость функции по направлению т и равенство
4- [ f {x, t) dx = [ dx.
dr J '' ’ ' J dr
x x
3.36. Дельта-образные последователь-
ности. Точку у нагруженного пространства X будем
называть жордамонай тонкой, если для любого б > 0 су-
ществует жорданово множество U диаметра б, содер-
жащее точку у строго внутри. Последовательность ин-
тегрируемых неотрицательных функций £>i(x), D2(x),...
будем называть дельта-образной последовательностью
для т&чка у, если для любого жорданова множества U,
содержащего точку у строго внутри, выполняются пре-
дельные соотношения
Г) lim I" Z)n(x)dx = 1,
n->oo J
2) lim f Dn(x)rfx = O.
n->oox-u
Тогда для любой функции f(x), для которой нее про-
изведения f(x)Dn,(x) интегрируемы на пространстве X и
которая непрерывна при х = у, выполняется-соотноше-
ние
lim Г Dn(x)f(x)dx = f(y).
П~>со J
3.4t § 3.4. ОТОБРАЖЕНИЯ НАГРУЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 223
Доказательство можно провести по образцу доказа-
тельства соответствующей теоремы 012.456, заменив
в нем функцию Dn(r, у) на Оп(х), отрезок Q—на на-
груженное пространства X и окрестность —на
жорданово множество (/, содержащее точку у строго
внутри и такого малого диаметра, чтобы все значения
функции на множестве U отличались от f(y) не
более чем на заданное число ® > 0.
§ 3.4. Отображения нагруженных пространств
3.41. а. Пусть X — нагруженное пространство с по-
лукольцом Ж ячеек А и мерой mA. Мера, как мы знаем,
есть неотрицательная и аддитивная функция ячеек.
Кроме меры,, бывают и другие аддитивные функ-
ции ячеек, принимающие, возможно, значения обоих
знаков.
Аддитивность функции ячеек Ф(Л), так же как и ад-
дитивность меры mA, выражается равенством
Ф(А) = Ф(Л)+ ... +Ф(АР), (1)
которое должна иметь место всякий раз, когда ячейка А
есть объединение непересекающихся ячеек Ai, ..., Ар.
Функция Ф(А> называется усилент аддати.вяо!к, если
равенство (1) имеет место также и для ячеек Aj, ...Ар,
пересекающихся попарно лишь по нуль-множествам.
Будем предполагать в дальнейшем, что Ф(А) = @
для каждой ячейки А с mA = (К
б. Примером является* функция ячеек
Ф(Л) = Jf(x)dx, (2)
А
где f(x) (равномерно) непрерывная функция на нор-
мально нагруженном пространстве X Ее усиленная ад-
дитивность следует из 3.33 & Если функция f (х} прини-
мает значения разных зиаков, то и функция Ф(А)
принимает значения разных знаков. Если mA = 0, то,
очевидно, и ф(4) = о.
в. Для ^усиленно) аддитивных функций ячеек Ф1(А)
и ФгЙ) линейная комбинация СС1Ф1 агФйСА) в
К4 ГЛ. К ИНТЕГРИРОВАНИЕ Я.4»
а2 — вещественные коэффициенты) снова есть функция
ячеек, и притом, как легко видеть, (усиленно) аддитив-
ная функция. Таким образом, (усиленно) аддитивные
функции ячеек образуют линейное пространство.
г. Если mA > 0, то частное Ф(Л)//пЛ называется
средним значением функции Ф (Л) на ячейке А.
3.42. а. Будем говорить, что последовательность
ячеек At, ..., As, ... стягивается к точке у <= X при
s —> оо (и записывать это так: As —»у), если точка у на-
ходится внутри или на границе каждой ячейки As, и лю-
бой шар с центром в точке у содержит эти ячейки, на-
чиная с некоторого номера.
б. Пусть As —> у, если последовательность чисел
<&(As)/mAa (mAs > 0) имеет предел, не зависящий от
выбора последовательности As с mAs > 0, стягиваю-
щейся к точке у, то этот предел называется плотностью
функции Ф(Л) в точке у. Плотность функции ячеек обо-
значается соответствующей малой буквой. Таким обра-
зом,
в. Из неравенства 3.14 (7) для функции ячеек (2)
inf f(x) тА^Ф(А)— [ f(v)dx <supf(x) • mA
a ~ A
A
и непрерывности f(x) на X следует, что функция ячеек
(2) обладает плотностью, равной в каждой точке у е 7
значению f(y). Кроме того, по самому определению
функции Ф(Л) она есть интеграл по ячейке А от своей
плотности. Оказывается, на полном нормально нагру-
женном пространстве X последний факт носит общий ха-
рактер: как мы покажем в 3.44, всякая (усиленно) ад-
дитивная функция ячеек Ф(Л), обладающая (равно-
мерно) непрерывной плотностью ф(х), восстанавливает-
ся по своей плотности интегрированием по ячейкам.
3.43. а. Лемма. Если функции ячеек Ф1(Л) и Фг(Л)
имеют в точке у плотности соответственно q>i(y) и ф2(//),
то при любых вещественных cti и аг функция ячеек
Ф(Л)= а1Ф|(Л)-{- а2ф2(Л) имеет в точке у плотность
ai<pi(«/)+агфг^).
ЧМЗ § зз. ОТОБРАЖЕНИЯ НАГРУЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 229
Доказательство следует из соотношения
Ф(Л) Ф|(Л) . Ф2М)
mA ~а* mA “2 mA '
если в нем перейти к пределу при А —> у.
б. Лемма. Если при разбиении ячейки А с mA > О
на непересекающиеся (пересекающиеся по нуль-множе-
ствам) ячейки At, ..., Ар среднее значение (усиленно)
аддитивной функции Ф в каждой из ячеек А, с mAj > О
по абсолютной величине меньше некоторой величины у,
то среднее значение этой функции Ф и на ячейке А по
абсолютной величине меньше у.
Доказательство. Из соотношений
|Ф(А)I < |Ф(ЛР)|
mAt Y> • • • > тдр V
вытекает, что
|Ф(Л1)КутЛ1, .... |Ф(Др)|СущДр;
таким образом,
|Ф(Л)| = |Ф(Л,)+ ... +Ф(Др)К
С V (tnAx 4- ... 4- /пДр) = утД,
откуда
|Ф(Л) I
mA ^==Y’
что и требовалось.
в. Лемма. Если плотность <р(х) аддитивной (тем
более усиленно аддитивной) функции ячеек Ф(А) в пол-
ном нагруженном пространстве X тождественно равна О,
то и сама функция Ф(Д) равна 0 на каждой ячейке А.
Доказательство. Пусть для некоторой ячейки
А == At, mAi > 0, мы имеем Ф(А1) = 0. Тогда у —
= |Ф(Д1)|//пД1 >0.
Произведем разбиение ячейки Аг на меньшие ячейки
с диаметрами, меньшими 1. По лемме б среди этих
меньших ячеек найдется хотя бы одна — обозначим ее
через А2, — на которой среднее значение функции Ф по
модулю не меньше у. Аналогично произведем разбиение
ячейки А2 на меньшие ячейки с диаметрами, меньшими
V2, и среди этих ячеек найдем одну — обозначим ее
А3, — на которой среднее значение функции Ф по
226 гл. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЙ 8.44
модулю также не меньше у. Продолжим построение не-
ограниченно; мы получим последовательность ячеек, диа-
метры которых стремятся к 0 и в каждой из которых
средняя плотность функции Ф по модулю не меньше у.
Так как пространство X по условию полно, то по 03.74 и
существует такая точка у е X, что в любой шар с цент-
ром в этой точке попадают все ячейки Л1; А2,...,Аа,...,
начиная с некоторой, причем точка у лежит в замыка-
нии всех этих ячеек. Таким образом, последовательность
Ль ,.., Аа, стягивается к точке у. По усло-
вию мы имеем Ит|Ф(Л8|//7гЛв — О; но по построе-
S->oo
нию |Ф(Л«) \jtriAs у > 0. Полученное противоречие
показывает, что ячейки А с mA > 0, для которой
Ф(Л) Ф 0, не существует. Лемма доказана.
3.44. Теорема. Если аддитивная (тем более уси-
ленно аддитивная) функция ячеек Ф(Л) имеет непре-
рывную на X плотность <р(х), то для любой ячейки А
Ф(Л)= Jq>(x)dx. (1)
А
Доказательство. Рассмотрим новую функцию
ячеек
А
Как мы видели в 3.416 и в 3.42 в, эта функция адди-
тивна и имеет своей плотностью функцию <р(х). Раз-
ность Ф(Л)—'Г (Л) есть снова аддитивная функция
ячеек (3.41 в), и по 3.43 а ее плотность равна 0. В силу
леммы 3.43 в эта разность сама равна нулю на каждой
ячейке Л; таким образом,
ф (Л) = Т (Л) = J <р (х) dx, (2)
А
что и требовалось.
3.45. Будем рассматривать отображение х = 0(и)
нормально нагруженного полного пространства V с ме-
рой ячеек ц.5 в нормально нагруженное полное про-
странство X с мерой, ячеек mA. Отображение 0 предпо-
лагается однозначным, непрерывным и жордановым, т. е.
переводящим каждую ячейку В положительной меры
8.45 5 3.4, ОТОБРАЖЕНИЯ НАГРУЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
227
пространства I/ в жорданово множество 0(B) положи-
тельной меры пространства X, причем ячейки Bj и В2
без общих внутренних точек — в жордановы множества
0(В}) и 0(В2) также без общих внутренних точек. Бу-
дем, кроме того, предполагать, что в(11)= X. Опреде-
лим на ячейках В пространства U функцию
Ф(В)==т(0(В)).
(Поскольку множество 0(B) является жордановым на
X, число /п(0(В)) = |0(В) | тем самым однозначно опре-
делено.) Функция Ф(В) в силу 3.33 а аддитивна. Пред-
положим, что у нее имеется плотность
Ф(в)=1!т^1пп«
' в->« нВ в->«
которая является непрерывной функцией от и. Эта функ-
ция <р(о) называется коэффициентом искажения меры р
при отображении 0.
Каждой непрерывной функции f(x), определенной на
пространстве X, можно поставить в соответствие непре-
рывную функцию g(u) — f (0(u)) на пространстве U.
Зная коэффициент <р(ы) искажения меры р при отобра-
жении 0, можно связать интеграл от f(x) по простран-
ству X с интегралом от некоторой функции по простран-
ству U; именно, имеет место формула
f(x)dx — j g(u)q>(u)du. (1)
и
Для доказательства рассмотрим аддитивную функцию
ячеек В azU
*F(B)= ff(x)dx
в (В)
и найдем ее плотность. Мы имеем для рВ > О
J f(x)dx j f (х) dx
ещ) ещ>__________ m (0 (В))
И В m (0 (В)) ’ рВ *
(2)
Пусть ячейка В стягивается в точку и. В силу непре-
рывности отображения 0 жорданово множество 0(B)
стягивается в точку х = 0(и). Так как функция f(x)
228
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.51
непрерывна, первое из отношений в правой части (2)
имеет предел, равный f(x). Второе отношение по усло-
вию имеет предел <р(«). Таким образом, функция Т(В)
имеет плотность, равную f(x)q>(u)= g(u)q(u), которая
непрерывна на V. По теореме 3.44 на каждой ячейке
пространства U и, в частности, на самом пространстве U
можно написать формулу восстановления функции обла-
сти по ее плотности:
Т(С)== / f(x)dx~ J g(u)<p(u)du,
X и
что и требовалось.
§ 3.5. Интеграл Римана в евклидовом пространстве
3.51. а. В брусе
X = {х е Вп: «1 < х( < ..., ап < хп С Ьп}
мы установили структуру нагруженного пространства
(3.15 б), принимая за меру ячейки
., а„<х„<рп}
(1)
п
ее евклидов объем |Л| = Ц (Р/ — «/)• То же относится
к ячейкам, получающимся из данной заменой некоторых
из знаков на С, т. е. отбрасыванием из А некото-
рых участков границы.
б. Множество Z является нуль-множеством в X
(3.24 д), если при любом в > 0 оно содержится строго
внутри конечного объединения непересекающихся ячеек
(1) с суммой объемов гС в. Границы наших ячеек яв-
ляются нуль-множествами, так как, например, пло-
скость Xj = у при любом е > 0 и любом С >> 0 содер-
жится строго внутри ячейки
{х е Rn: at Xj Ь1г ...
..., у — Се =Сх; у 4- Се, ...,
On хп Ьп}
с объемом, равным (&! — ai).. . 2Се.. .(Ьп—ап), кото-
рый при надлежащем выборе С можно сделать в. Та-
ким образом, пространство X является нормально на-
груженным (3.31 в). Поэтому, на основании 3.31 д, при
3.51 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229
определении нуль-множества Z можно рассматривать
любые покрытия Z ячейками с суммарной мерой е,
а не только содержащие Z строго внутри.
в. Покажем, что множество в X, выделяемое уравне-
нием вида
— Х'=(Х1, . .., Xj-!, Xi + |, xn),
с непрерывной функцией <р, заданной на брусе
В' =={х €= Rn-l’ SjC Х( [ S-С Х/_1
Пл-1 Xf+i ti+i, ..., ап хп бп}
или на его компактном подмножестве К', есть нуль-мно-
жество в X.
Зафиксируем произвольное е > 0 и, используя рав-
номерную непрерывность функции <р на К', найдем та-
кое б > 0, чтобы из |х' — у'\ б, х' <= К', у’ е К’, сле-
довало |ф(х') —tp(y') | е. Разобьем брус В' на ячейки
Л; с
В каждом непустом множестве А'/ПХ' выберем про-
извольным образом точку gj и рассмотрим в Rn брус
Bj = {x (=Rn: <pU/) —е<х/<ф(|у)4-е, х'еЛ/}.
Из определения числа б следует, что каждая точка на-
шей поверхности, проектирующаяся в Л/, принадлежит
брусу Bj. Поэтому наша поверхность принадлежит объ-
единению всех Bj. С другой стороны, их суммарная мера
не превосходит 2е 2 mA'/ 2етВ'. Поскольку е произ-
вольно, утверждение доказано.
г. Далее, геометрический образ в X, отвечающий па-
раметрическому представлению
Xi = M«i. ..., uk),
Xn = fn(Ui, Uk)
(u1( ..., uk) = u(=u czRk’ k< n, (2)
где U есть компактное множество в Rk, а функции
ft (и), ..., /„(и) имеют в области U непрерывные первые
производные, есть также нуль-множество. Действитель-
но, по теореме о ранге 1.74 б у каждой точки не (/
имеется окрестность, в которой уравнения (2) эквива-
лентны одному или нескольким уравнениям вида (1) и,
230 ГЛ, 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.5Г
следовательно, определяют нуль-множество в /?п.
Используя теорему о конечном покрытии, получаем, что
и образ в Rn всего компакта U является нуль-множе-
ством. Утверждение доказано.
д. Из в следует, что каждое множество G cz X cz Rm
выделяемое неравенствами вида
<PfUl.....-Ч-ь xz+I, .... х„)<
.....xt-.u xl+h .... хп),
(с возможной заменой знаков на <), является жор-
дановым в X и поэтому имеет объем, который, как и ра-
нее, мы обозначаем через | G |. Этот объем | G | не зави-
сит от выбора бруса X с Rn, содержащего множество G;
поэтому мы будем называть величину |G| объемом мно-
жества G в n-мерном пространстве
е. Отметим некоторые простые свойства объемов
в R*. Если множество G czRn имеет объем, то любой
его сдвиг G -f- а, as Rn, имеет тот же объем. Это сле-
дует из того, что ячейки в Rn, с помощью которых мы
измеряем объемы (т. е. брусы), допускают любые сдвиги
и не меняют при сдвигах своих объемов.
Если Е czz Rn — некоторое множество, а Л — положи-
тельное число, то через КЕ мы будем обозначать гомоте-
тию, т. е. сжатие или растяжение множества Е с коэф-
фициентом Лис центром в начале координат. Если G —<
жорданово множество, то и &G — жорданово множе-
ство, и объемы этих множеств связаны соотношением
]%G| — Лп|(?|, поскольку это соотношение выполняется
для любого бруса.
Комбинируя гомотетию и сдвиг, получаем соотноше-
ние |A(G -f- а) | = |ZG -f- а|= Х”| G|*).
Несколько более сложным является доказательство
того факта, что объемы жордановых множеств не ме-
няются при ортогональных преобразованиях (поворо-
тах); оно будет дано в и. Предыдущее рассуждение не
переносится непосредственно на этот случай, поскольку
*) Если запас ячеек позволяет производить не любые нх сдвиги
и растяжения, а только те, которые определяются, например, ра-
циональными значениями параметров а и Л, то требуемое равен-
ство получается с помощью дополнительной операции перехода к
пределу.
8.51 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231
результат поворота бруса — прямоугольного параллеле-
пипеда с ребрами, параллельными осям, — уже не есть
брус.
ж. Лемма. полученный ортогональным преоб-
разованием кубического бруса Q со стороной 1 (а сле-
довательно, объема 1), имеет также объем 1.
Доказательство. Пусть 5 есть шар с центром
в начале координат, объема 1; для заданного е>С-и
достаточно малого h можно указать тело Т, составлен-
ное из N — N(h) кубических брусов со стороной h без
общих внутренних точек, содержащееся внутри шара
(1 + e)S и содержащее шар (1—в)5. Объем тела-Т
заключен между объемами этих шаров:
(1 - 8)" < hnN (й) < (1 + в)". (3)
Произведем в пространстве ортогональное преобразова-
ние т. Куб Q перейдет в куб rQ, объем которого мы обо-
значим через V. Кубические брусы со стороной ft, со-
ставляющие тело Т, перейдут в кубы, гомотетичные кубу
tQ с коэффициентом Л, и, в силу е, будут иметь объемы
hnv. Шары (I —e)S и (1 4- е)5 перейдут сами в себя.
Тело Т перейдет в тело тТ, составленное из того же
числа N(h) кубов со стороной й без общих внутренних
точек, содержащееся в шаре (1 4-8)5 и содержащее
шар (1 —8)5. Его объем N(h) -hnv также заключен ме-
жду объемами этик шаров:
(l-8)n<tf(ft)ft'Io<(14-e)n. (4)
Из неравенств (3) и (4) имеем
(1-е)” (14-еУ
(1 + е)”
Так как 8 > 0 можно было взять произвольно, то v=l,
что и утверждалось.
з. Лемма. Объем прямоугольного параллелепипеда
не меняется при ортогональном преобразовании.
Доказательство. Если ребра данного прямо-
угольного параллелепипеда соизмеримы, то он может
быть составлен из кубов, и результат следует из лем-
мы ж (и 3.33 б). Прямоугольный параллелепипед с не-
соизмеримыми ребрами может быть аппроксимирован
(в смысле длины ребер, а следовательно, и в смысле
232
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.51
объема) прямоугольными параллелепипедами с соизме-
римыми ребрами, что дает доказательство леммы в об-
щем случае.
и. Теорема. Объем | G | - жорданова множества
G cz Rn не меняется при ортогональном преобразовании.
Доказательство. Для заданного е>0 найдем
тела Ge с: G, Gt G, составленные из брусов без общих
внутренних точек, так что
| G |- е G71<| G |<| Gt |<| G 1 + е. (5)
После ортогонального преобразования т множества
Ge cz G cz Gt перейдут соответственно в тОёczxGczrGt,
причем, по лемме з (и 3.33 б), |tG^ | = | G* |, |тСГ[=
«=| Сё |; следовательно,
I G | — е | Ge | | xGe | | tG | | tGt | =
= | Ge+| <1 G 14-8. (6)
Из (6) следует, что 11 G | — | tG ||^е. Так как 8>0
произвольно, то | tG | — | G |, что и требуется.
к. Следующая простая лемма связывает характери-
стику нуль-множеств в Rn в терминах меры с их харак-
теристикой в терминах метрики.
Лемма. Пусть Z >— нуль-множество в брусе X cz Rn.
Для любого е > 0 и любого б > 0 можно найти такое
простое множество В cz X с мерой е, которое содер-
жит множество Z строго внутри и само содержится в
6-окружении множества Z.
Доказательство. Согласно определению, для за-
данного е > 0 существует такое простое множество
Р cz X, которое содержит множество Z строго внутри и
имеет меру гС е. Это простое множество Р есть объеди-
нение конечного числа брусов, которые можно считать
замкнутыми; вместе с ними является замкнутым и само
Р. Обозначим через S подмножество в Р, состоящее из
точек х, отстоящих от Z на расстоянии б. Множе-
ство S замкнуто. Каждую точку х s S заключим в (от-
крытую) ячейку диаметра < 6/2; все такие ячейки об-
разуют покрытие множества S, и мы можем выбрать
из этого покрытия конечное покрытие множества 5.
Объединение всех ячеек конечного покрытия представ-
3.52 5 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 233
ляет собою некоторое простое множество Q. Разность
В ~ Р •— QP есть также простое множество; оно содер-
жит Z строго внутри себя и не содержит ни одной точки
множества S, т. е. содержится в б-окружении множе-
ства Z, что и требуется.
3.52. а. Мы определили объемы n-мерных жордано-
вых множеств в Rn- Рассмотрим некоторое ft-мерное ли-
нейное многообразие Rk в Rn. В нем можно ввести ска-
лярное произведение, заимствованное из пространства
Rn, и построить ортогональный базис gi....далее,
используя брусы — прямоугольные параллелепипеды
с ребрами, параллельными векторам gi, ..., gk, — уста-
новить структуру нагруженного пространства и по-
строить измерение объемов, как было указано в 3.51,
(для ft — п). Объем жорданова множества G сд Rk усло-
вимся обозначать через |G^ В силу 3 51 и число |G|a
не зависит от выбора ортогонального базиса git ..., ghl
так как любой другой базис получается из данного орто-
гональным преобразованием, не меняющим, по доказан-
ному, объемов жордановых множеств. Это открывает
принципиальную возможность сведения интегралов крат-
ности п к интегралам меньшей кратности. Примером ее
использования являются теоремы элементарной геоме-
трии о вычислении объемов некоторых тел путем умно-
жения высоты на площадь основания.
б. Рассмотрим ограниченную область G сд Rn, гра-
ница которой состоит из конечного числа поверхностей
с уравнениями вида хг — ф<(хь ..., x{_i, xi+i...xn),
где — непрерывные функции своих аргументов. Такая
область представляет собой жорданово тело (3.51 д), на
котором действует схема интегрирования, указанная
в 3.33.. Проекция Е области G на координатную пло-
скость Xi, ..., x„-i также является жордановым телом
(в Rn-i), (поскольку каждая точка границы Е есть
проекция какой-то точки границы тела G) и граница Е
вместе со всей границей G допускает разложение на ко-
нечное число частей, описываемых уравнениями, разре-
шенными относительно какой-либо координаты (причем
надо положить хп = 0).
Примем проекцию Е области G за нагруженное про-
странство X' (в пространстве Rn-i) с соответствующими
ГЛ,. 8, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.52
ячейками. Проекция области G на ось хп лежит в неко-
тором отрезке, который мы примем за нагруженное про-
странство X" с обычными ячейками-промежутками.
Тело G лежит в прямом произведении X' и Х"\ в этом
прямом произведении Х'Х
ХА", превращенном в на-
груженное пространство по
правилу 3.17, ячейки имеют
ту же меру, что и в самом
пространстве 7?та.
в. Вертикальные сечения
, тела G а X' X X", вообще
г говоря, могут иметь слож-
ный вид. Предположим по-
ка, что каждая прямая, па-
раллельная оси хп и прохо-
дящая через G, пересекает
область G по одному отрез-
ку, выделяемому, например, неравенствами вида
.... .... «„-J — ф(И»
y=Ui. •••» *Я-1)
(может быть, вырождающемуся в точку) (рис. 3.5-1).
Теорема. В указанном предположении для всякой
непрерывной функции f(x)=f(xi, хп), заданной
в области G, справедливо равенство
а
У f(xj, ><«, %п—1» x„)tfxn|rfx. (1)
Xn~V(У * * * * Xl.*Л-1) J
Этот результат позволяет свести вычисление инте-
грала по n-мерной области к вычислению однократного
интеграла и к вычислению интеграла по (п — 1)-мерной
области.
Для доказательства достаточно в общей теореме
3.34 в положить U — G, X — Е, Y — [ап, bn], Yx —
== {хп е= /?!««р(х'Х хя < ф(х')}.
3.S3 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 235
Выше мы фактически проверили выполнение всех ус-
ловий этой теоремы.
г. Если область G имеет более сложную форму (пря-
мые, параллельные оси хп и проходящие через G, пере-
одному отрезку), но мо-
секают область G более чем по
жет быть разложена в конеч-
ное объединение областей Gb
Сг, ... рассмотренного вида,
пересекающихся только по об-
щим границам (рис. 3.5-2), то
интеграл по области G можно
представить в виде суммы ин-
тегралов по соответствующим
простым областям и.к каждо-
му из них применить тот же
прием вычисления.
3.53. Примеры.
а. Рассмотрим случай п—
=2. Теорема 3.52 в в этом
случае позволяет записать ин-
теграл по двумерной области <
однократных интеграла:
ь
J f(x, y)dxdy = М J f(x, y)dyldx.
а
Если интегрирование ведется по прямоугольнику со
сторонами, параллельными координатным осям (рис.
3.5-4), то пределы внутреннего интеграла постоянны!
<р (х) = а, ф (х) = Р; поэтому
ъ
J f У)dxdy = J I J f(x, y)dyldx.
G x=a
G (рис. 3.5-3) через два
Ф(х)
(1)
4
IrtW
₽
у=а
(x + i/)2? T0
J (x + yF
G
2
f dv
I (x + jr)»
f(_J______L_
J Ж x + 2
з
= [In (X + 1) - In (X 4- 2)1 £ = In.£1- In
236
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.63
б. Если область G не является прямоугольником со
сторонами, параллельными осям координат, то надо учи-
тывать зависимость пределов внутреннего интеграла
от х.
Для примера вычислим интеграл от функции f(x,y) = х2/у2 по
области G, ограниченной прямыми х = 2, у = х и гиперболой
ху = 1 (рис. 3.5-5). Проекция области G на ось х совпадает с от-
резком [1, 2]. При фиксированном значении х на этом отрезке пря-
мая, параллельная оси у, пересекает область G по отрезку 1/х
у х. В силу формулы (1)
Заметим, что при выводе формулы 3.52 (1) мы могли
бы производить внутреннее интегрирование не по коор-
динате хп, а по какой-либо другой координате из числа
Xi, ..., хп_ь Выбор того или иного порядка интегриро-
вания, безразличный в принципе, может, однако, при-
водить к вычислениям большей или меньшей сложности.
8.53 § 3.5Ч ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 237
Если бы в предыдущем примере мы зафиксировали вначале
не х, а у, то соответствующая горизонтальная прямая пересекала бы
область G по отрезку
— ^х^2 при
«/
поэтому вычисления
О
»=2
1
f J__X^
I у2 з
2
1
2
приняли бы
2
J vdx
У
следующий вид:
2
J ^dx dy =
2
J
»=1
2
fl х3 I2
У2 3
2
(8 — у*) dy =
I2 17, 5. __9
, 12 + 6 ~ 4’
2
в. Приведем теперь пример вычисления тройного ин-
теграла путем сведения его к цепочке однократных.
Найти интеграл
f dx dy dz
J (H-x4-$r4-z)s ’
О
область G есть тетра-
ограниченный плоскостя-
х = 0, у — 0, z = 0,
_/4-г=1 (рис. 3.5-6).
Проекцией Р тетраэдра G
на плоскость х, у является тре-
угольник, ограниченный в этой
плоскости прямыми х = 0,
у = 0, х 4- у = 1. Вертикаль-
ная прямая, проходящая через
фиксированную точку (х, у),
пересекает область б по от-
резку О г 1 - х — у. Поэтому,
где
эдр,
ми
Рис. 3.5-6.
согласно формуле
(1).
dz
J (1 + х 4- у + z)3 J
G р
2=0
(1 +* + y + zY
dx dy.
238
ГЛ, 3, ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Вычисляем вяутрениий интеграл:
I—х—у
f dz________________J________1 1° _
J <14-x + » + z)3 2 <i 4-x + j/4-z)2 | !
о "
el(_______1_____n
2\(l+x + j02 4/
Полученную функцию от x и у мы должны проинтегрировать по об-
ласти Р. Проекция Р.на ось х есть отрезок 0 sg % 1. Фиксируем х
на этом отрезке; соответствующая прямая, параллельная оси у,
пересекает Р по отрезку 0 у С 1 — х. Отсюда
г. Интеграл Дирихле. Установим формулу Ди-
рихле
X *3 Х2
J ... J J f (xj dxt dx2 ... dxn ==
*n=° v=ox,=o
сводящую n-кратный неопределенный интеграл функции
одного переменного к однократному. Для п == 1 эта фор-
мула очевидна. Предположим, что она верна для ка-
кого-либо натурального п, и докажем ее для следующего
значения п -f-1. С этой целью вычислим интеграл
X хгг+1
'= i TW J
j^+1=o 5=0
«?хп+1.
8.54 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 299
Наружное интегрирование ведется по координате хл+>
от О до х (рис. 3.5-7). Внутреннее, при фиксированном
хп+1, ведется по координате
£ от 0 до Хп+ь В результате
мы приходим к интегралу
по внутренней части тре-
угольника ОАВ. Сведем его
к двум однократным, но так,
что наружное интегрирова-
ние будет производиться по
координате g, которая меня-
ется от 0 до х, а внутрен-
нее — но координате xn+t,
которая, в пределах тре-
угольника ОАВ, меняется
при фиксированном g в пределах от xn+i=g до xn+i—x.
Таким образом, можно написать
X
X I
J T^-fQ)(xn+1-g)'-,dxn+1ldg =
*
X X
= tW J (Xn+i-£)"_1rfxn+1
*=° *п+1=*
Вычисление внутреннего интеграла дает
и, следовательно,
X
О
= (x„+1-g)n Г (x-ty
ft «=Е я
*п+1 е
Г(«+ 1) J &)
п
что и требуется.
3.54. а. Принцип Кавальер и. Если использо-
вать «горизонтальные сечения» жор данова тела 6, то
можно прийти к другому способу преобразования
n-кратного интеграла — в виде композиции (л — 1)-
кратного и однократного. Предположим, что в 3.526
240
ГЛ. Э. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.64
область G такова, что проекция на Е ее пересечения
Еу с любой плоскостью хп — у есть жорданово множе-
ство в жордановом теле Е (рис. 3.5-8). Тогда формула
3.34 (4) дает
J f(x)dx — j | j f(xi, .... xn-i, y)dxu .... dxn-i |di/,
g г I J
причем У есть проекция области G на ось хп.
Внутренний интеграл является интегралом по сече-
нию Еу. В частности, при f(x)^ 1 мы получаем следую-
щий достаточный признак
равенства объемов двух тел
(указанный Кавальери):
Если два тела С<*> и
для каждого у имеют гори-
зонтальные сечения Е^у и
Е^ одинаковой площади, то
объемы этих тел одинаковы.
Особенно простой слу-
чай получается, когда все
сечения имеют одинаковую
площадь S. Тогда
j G 1= J 1 -dx — SmY.
о
б. Уравновешивающая
плоскость и центр тя-
жести. Пусть имеется плоскость со в пространстве R3; двум полу-
пространствам, на которые она разбивает 7?з. произвольным образом
отнесем знаки + и —.В механике для материальной точки
М (х, у, г) s /?з, несущей массу т, произведение т на расстояние
р(М, со) от точки М до плоскости со, снабженное знаком e(Af) того
полупространства, в котором находится точка М, называют ста-
тическим моментом точки М относительно плоскости со. Для тела
Сс/?3с плотностью, массы р(А1) *) статическим моментом относи-
тельно плоскости со называется величина
Р (G, со) = j j j е (Af) р (М, со) ц (M) dx dy dz. (1)
G
*) С точки зрения математики масса m(Q), содержащаяся в об-
шсти Q, есть некоторая специальная аддитивная функция обла-
!ти Q, а плотность р(А4) массы m(Q) есть плотность этой аддитив-
8.54 S 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 241
Плоскость <в называется уравновешивающей для тела G, если
P(G,<b) = 0.
Найдем для тела G уравновешивающую плоскость со вида
г = z0. Для точки М (х, у, z) и любой плоскости z = z0, относя полу-
пространству z > z0 знак +, мы имеем e(Af)p(Af, со) —z — г0, так
что в данном случае
Р (G, <й) = 111 (z — z0) р (М)
о
dxdy dz.
Приравнивая это выражение нулю, находим для z0 уравнение
У У У pz dx dy dz = zB У У У р dx dy dz,
G G
откуда
У У У pzdxdydz
G
У У У И dxdydz
G
Величина J J J И dx dy dz есть полная масса тела G, кото-
0
рую мы всегда будем считать положительной.
Мы видим, в частности, что среди семейства параллельных пло-
скостей z = const существует одна и только одна уравновешиваю-
щая плоскость. Аналогично, можно выделить уравновешивающие
плоскости в любом другом семействе параллельных плоскостей. На-
пример, имеются уравновешивающие
причем
плоскости х = х0 и у — Уо,
х0
J J J рх dx dy dz
G
У У У pdxdydz
а
Уо
У У У цу dxdy dz
G
----------------. (2)
У У У р dxdy dz
G
иой функции в смысле 3.42 б:
р (М) = lim
<2->М
m(Q)
I Q I *
В силу теоремы 3.44 масса m(Q) восстанавливается через свою
плотность р(М), в предположении ее непрерывнбсти, по формуле
m(Q) = у р (M)dv,
а
242
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.54
Для однородного тела (ц,(х, z) = const) формулы соответственно
упрощаются:
х0
J J J xdxdydz
О__________
У У У dxdy dz
О
dy dz
G___________
У У У dxdy dz
О
У У У z dxdy dz
о___________
fff dxdydz
о
(3)
В знаменателях этих выражений стоит, очевидно, объем тела G.
Точка с координатами х0, уо, Zq называется центром тяжести
тела G. Замечательно, что через нее проходит любая уравновеши-
вающая плоскость. Для доказательства этого утверждения предпо-
ложим, что Хо — уо == Хо = О (чего всегда можно достигнуть сдви-
гом тела), иными словами, что
У У У y.xdxdydz= У У У dxdydz= J J J l*zdxdydz = O. (4)
вас
Теперь надо проверить, что любая плоскость ы, проходящая через
начало координат, является уравновешивающей.
Плоскость о можно задать единичным нормальным к ней век-
тором и == (cosa, cosf, cosy). Припишем полупространствам, на
которые плоскость со разбивает пространство Из, знаки- + и — так,
чтобы знак + получило то полупространство, в которое направлен
вектор m (и знак — противоположное). Тогда расстояние от точ-
ки М(х,у, z) до плоскости со, с учетом указанного знака, будет
выражаться формулой
е(Л4)р(Л4, <в)=(Л4, m) = xcos а 4- У cosp-F zcosy.
Поэтому для момента тела G относительно плоскости <в мы полу-
чаем
р -)-Ш
о
(х cos а + у cos р + z cos у) р dx dy dz = О
в силу равенств (4).
Приведенные рассуждения справедливы, конечно, и для тел
в пространстве Rn с любым п = 1, 2, ...
Для вычисления выражений (2) или (3), определяющих коор-
динаты центра тяжести, естественно использовать принцип Кавалье-
ри. Так, для последнего из выражений (3), производя внутреннее
интегрирование по горизонтальному сечению тела G, мы полу-
чим в результате площадь S(z) соответствующего горизонтально-
го сечения тела G, и выражение соответствующей координаты го
8Jj5 5 8.8. ИНТЕГРАЛ РИМАНА .8 ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 243
преобразуется к отношению двух однократных интегралов
г,
J zS (z) dz
Zi
*0 = г, »
I S (г) dz
где Zj и Zi — аппликаты иижней и верхней точи?- тела G. Аналогии*
ный прием, разумеется, годятся и для остальных выражений (2)
и (3).
355. ft-мерный объем ft-мерного парал-
лелепипеда.
а. По определению k-мерным параллелепипедом, на-
тянутым на векторы gi....gk (в любом линейном про-
странстве), называется совокупность Рь векторов х, опи-
сываемых формулой
^ = 01^1+ ft
(см. рис. 3.5-9 для ft = 3).
Если в ft-мерном пространстве Rk, порожденном век-
торами g{......gk, введено скалярное произведение, то
Рис. 3.5-9.
по 3.51 а в его брусах можно ввести структуру нагру-
женного пространства: в силу 3.51 д параллелепипед А,
становится жордановым множеством, и, следовательно,
244
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.55
ему можно поставить в соответствие число Уд (Рд) —
его ft-мерный объем.
Пусть имеется система конечномерных пространств
Р] az R2 cz ... cz Rn, порожденных соответственно одним,
двумя, ..., п первыми векторами из заданной совокуп-
ности п линейно независимых векторов gi,..., gn(e Pn).
и в каждом из этих пространств скалярное произведе-
ние заимствовано из самого широкого пространства Rn.
Между объемами Vt, ..., Vn параллелепипедов Pi, ..i
Рп, натянутых на векторы gi; gb g2; ...; gb g2, ...
..., gn, возникает связь, которую мы сейчас выявим. По-
скольку объемы не меняются при ортогональных преоб-
разованиях (3.51 и), можно расположить оси в про-
странстве Rn так, чтобы векторы gi, ..., gn-\ лежали
в гиперплоскости хп — 0.
Горизонтальное сечение параллелепипеда
Р„ = {хе/?„: x = aigj-f- ... +a„_1gn_14-angn,
0 at 1, / —
на «высоте» хп — у имеет вид
Ej = {xgJ?„: x==a1g1+ ... -f- -f- an(y)gn,
0 a; 1, t=l........n — 1}
и представляет собою результат сдвига на постоянный
вектор an(y)gn нижнего основания
£0 = {х е Rn-. х = a(g, + ... + an_,gn_J.
Поэтому все сечения Еи имеют одинаковую площадь
(равную Vn-i). Таким образом,
Vn==Vn-imY = Vn-ihn,
где mY == hn есть длина проекции вектора gn на ось
у = хп, т. е. высота параллелепипеда Рп. Итак, объем
параллелепипеда равен произведению площади любого
горизонтального сечения, в частности площади основа-
ния, на высоту. Итерируя этот результат и используя
8.Б5 S 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 245
очевидное равенство Vi = fti=|g'i|, получаем
= = ...
... = V,ft2 ... hn = h1h2 ... hn. (1)
б. Используя формулу (1), уже чисто алгебраиче-
скими средствами можно доказать (Л8.73), что
K„=V<let|(e„e,)|-|det|E'»||, (2)
где —1-я координата вектора gj в произвольном (но
фиксированном) ортонормальном базисе пространства
Rn-
в. По 3.52 а ft-мерный объем ft-мерного параллелепи-
педа, построенного на векторах gi, ..., gk в Rn, можно
вычислить, оставаясь в пределах ft-мерного линейного
многообразия Rk, натянутого на векторы git ..., gk, со
скалярным произведением, заимствованным из Rn- Это
приводит к формуле
Vfe==/det||(gt-, g/)ll/.z=1,...,fc. (3)
Напомним здесь, что имеет место равенство:
detHfeo g/)||/>/=1>...rft =
где - минор ft-го порядка матрицы ||g(/>||
(i=l, ..., и; j=l, ..., ft), построенный на строках
с номерами iIt .... ik (Л8.73).
Ниже с помощью формулы (4) мы выведем некото-
рые свойства ft-мерного объема, используемые в даль-
нейшем.
г. Для объема параллелепипеда, построенного на
векторах g\, ..., gh, будем использовать также символ
|[gi, gfell- (Символ [gi, ..., gj без знаков || по
бокам, также имеет смысл, но о нем говорить сейчас не
будем.)
Если векторы g>, , gi ортогональны каждому из
векторов gi+x.....gk, то
llgi.....fo] 1 = 1 [gi. £i)lltei+i» gfell-
246
ГЛ, 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.53
Действительно, в этом случае
IU1, ••> gfell =
tei, gi) .... tei,gi) 0 0
(go gi) ... (gi.gi) 0 0
0 ... 0 te<+i, gi+i) • • • tei+l, gk)
0 ... 0 (gk. gt+i) • • • (gk. gk)
tei, gi) . • • tei, gi) tei+i, gi+i) • • • (gi + U gk)
(gi. gi) • • • (gi. gi) (gk. gi+i) • • • (gk, gk)
= ltei, •••» g/JHtei+i, •••, I,
что и требовалось.
д. Если с — постоянное число, то
Itei + cg2, g2, gk] 1 = 1 ten £2, • • •> g*]I,
что следует непосредственно из (4) и свойств миноров.
Отсюда легко вывести, что объем k-мерного паралле-
лепипеда не меняется при добавлении к любому поро-
ждающему его вектору gt (i— 1, ..., k) линейной ком-
бинации других порождающих векторов.
е. При l&KM,| ft,| < m,... ,]hk\^m
объемы параллелепипеда, натянутого
на векторы gx + hit ..., gk + hk, и параллелепипеда,
натянутого на векторы glt ..., gk, связаны соотношением
Itei + ^i, .... + —
=ltei.......аЛР+СяНМ + т)2*"^, iei<i, (5)
где Сп — фиксированная постоянная (С„^3п2 (и!)3).
п
Действительно, пусть = ht — 2 Mjei —
разложения векторов gi и h} по ортонормированному
базису {е{}. Обозначим через (/) мультииндекс (»„ ..., ik),
где it < ... < пусть / = (/i, • • •» Д) — любая
3.55 § 3.5, ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 247
перестановка чисел it, пусть е(/’) означает ее
знак. Тогда
ltei+^i, •••» &1Р =
= “«'«Г™
••• £2. •••, gfelF + fl»
где, обозначая через v также любую перестановку
чисел i'i, ..., 4, имеем
1R1 * $ 12 Л е(йе('') 0|'- • • • • • • °". +
+Й’®чч-%П<
с2[2 2 «“-‘m+fSrf-'yic
w I иш> \ (/> / J
^ЗтМ2k~l (fc!)3 < AnmM-k~\
причем через Ап обозначена постоянная
Ап — 3 max (klf < 3 (л!)3.
А
Таким образом,
I tel +hi, gfe]P =
= I tel, g* • • •. g*l P = АптМ2*-%, 10, | < 1.
Аналогично получаем
Itei + Ль £2 +Ла, £з, ..., gk]¥ —
=1 tei + Ль g2, P + A^M + m)2*"1 02, J 02l<l.
Itei + hb ..., gfe + /ift]P =
— Itei + Л1, ..gk-i + Лл-1> £л] P +
+ Алт(М + т)2Мек, |0ft|<I.
Складывая полученные равенства, приходим к (5).
243
ГЛ, 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
З.бв
3.56. Дальнейшие примеры.
а. Объем симплекса. По определению ^-мер-
ным симплексом, натянутым на векторы gi, .... gh
(в любом линейном пространстве)', называется совокуп-
ность векторов х, описываемых формулой
k
х = + ... 4-адйд, (1)
1=1
(выпуклая оболочка точек gi, ..., gh и 0). Аналогично
3.55 а, ft-мерные симплексы в евклидовом пространстве
Rn имеют ft-мерные объемы. Ме-
жду объемами |Si|, IS2I, ...
/ ..., |Е„| симплексов Si, S2, ...
/____\\ «'••> Ёп, натянутых соответствен-
\/\ но Ра векторы gi; gi, g2; ...;
/ ''-'У \ gi........gn, имеется определен-
/-------2—1-----А ная связь, которую мы сейчас
\ установим.
\ / Назовем высотой симплекса
длину hkперпендикуляра,опу-
щенного из конца вектора gh на
подпространство Rk-ъ порожден-
ие. 3.5-10. ное векторами g(, ..., gk-i
(рис. 3.5-10). Симплекс Ёд за-
дается условиями (1); его сечение плоскостью, парал-
лельной Rh-i и отстоящей от Ед-i на расстоянии s, за-
дается условиями
х ==7^(algl + ••• + ah-lgh-l + gh)>
fe-1
0<af<l (1 = 1, ...» ft-1), Sai<l.
i—i
Очевидно, это сечение также представляет собою сим-
плекс, отличающийся от Ед-i лишь сдвигом и гомотетией
с коэффициентом s/hk. Поэтому площадь этого сечения,
согласно 3.51 е, равна 12д_] |.
Отсюда по принципу Кавальери 3.54 имеем
о
3.88 5 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 249
Но так как, очевидно, I Si | = Л, =| |, мы получаем
|Snl=42„-il^- =
hi ,,, hn
п!
Сравнивая с формулой объема параллелепипеда 5.55(1),
получаем
...
б. Объем «-мерного шара. Обозначим
Sn(r) = {xe/?n: |х|Сг).
Рис. 3.5-11.
Так как шары одинаковой размерности гомотетичны
между собой, то Г5п(г)| = г"£п(1)==Спг", где Сп — кон-
станта, которую нам нужно найти. Пересекая шар Sn(r)
гиперплоскостью xn — h,
где|Л|^г, мы получим
в сечении (га — 1)-мерный
шар радиуса Уг2 —Л2
(рис. 3.5-11). В соответ-
ствии с принципом Ка-
вальери 3.54а
\Sn(r)\ =
Г
—г
г п-1
==Сп—1 J (г2-Л2) 2 dh.
—г
Произведем здесь подст
чим (011.54)
Я/2
cnrn = 15„ (г) 1 = С„_,г" J cos" 8d8=Cn_1r"В (у, =
-Я/2
h — г sin 8; мы полу-
250
ГЛ, а. ИНТЕГРИРОВАНИЙ
or
Отсюда
с.
Поскольку С] = Si(l) = 2, мы имеемС2 = 2
4
•=л, Сз—'-^л и вообще
О
Таким образом,
3.57. Коэффициент искажения объема
при дифференцируемом отображении.
а. Пусть х = х(и)—дифференцируемое отображение
ограниченной области Ucz Rn в ограниченную область
X cz 7?п; более подробно отображение х(и) записывается
равенствами
*1 = ^(1/!.ип),
хп = хп(и1г .... ип).
В силу 3.51 б образ границы любого бруса В czU есть
нуль-множество в области X, таким образом, отображе-
ние х(и) переводит любой брус В в жорданово множе-
ство х(В). Мы ставим своей целью вычисление коэффи-
циента искажения меры (3.45)
<p(u)= lira
«"I
3.57 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 251
Если х(и) есть линейное отображение, то х(В) есть па-
раллелепипед, ребра которого получаются отображением
х(и) из ребер бруса В. Пусть брус В имеет ребра
(Д«ь 0, 0),
(О, Ди2, ..., 0),
(О, 0, ДпД
а отображение х — х(и) имеет вид
Xi — Oii«l + ... + OlnUn, |
хп — Oai«l 4- • • • + слл«п- 1
Тогда ребра бруса В переходят соответственно в векторы
(ап, а-л......................anl)Ault
(П12> 022» •. •, ап2) Ды2,
(О|п, а2п, ..., ап^ Дид
и объем параллелепипеда х(В) оказывается равным
(3.55 в)
|x(B)|=|det||a„||lAKl ... Д«„=| detail II В|.
Поэтому
1^1=1 detlla^Hl, (2)
и этой же величине равен коэффициент искажения меры,
б. Рассмотрим теперь произвольное дифференци-
руемое отображение х (и). В данной точке а е U вы-
делим главную линейную часть -
х (а + Ды) = х' (а) Ла 4~ о (Ди). (3)
Оператор xf (a) (Rn-* Rn) задается матрицей Якоби
(1.25 а)
dxt (а) дхп (а)
dut * * * dut
х'(а)~
d*i (а) дхп (а)
дип дип
Теорема. Для дифференцируемого отображе-
ния х(и) коэффициент искажения объема может быть
252
ГЛ, 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.57
вычислен по формуле
Ф (a) hs Нт -Ц-Ур!- = I det х' (а) |. (4)
Доказательство будет проведено в несколько
этапов. Вначале мы докажем справедливость предель-
ного соотношения (4) для случая, когда брусы В, стя-
гивающиеся к точке а, являются кубами. Далее будет
видно, что оно справедливо для любых брусов и даже
любых жордановых множеств В, стягивающихся к точ-
ке а (3.58 б).
в. Предположим сначала, что отображение х'(а)
не вырождено, так что detx'(o) y= 0. По теореме об об-
ратной функции 1.56 существует область V, содержащая
Точку а, которая отображается диффеоморфно на об-
ласть W cz X, содержащую точку b = х(а).
Когда переменный вектор h е Rn пробегает куб Q —
f 1 1 . . 1 ....
=< — п>, вектор х'(а)п про-
бегает невырожденный параллелепипед S с объемом
]S| = |detx'(a) |. Вследствие невырожденности парал-
лелепипед S содержит внутри себя шар некоторого ра-
диуса с > 0. Фиксируем произвольно е > 0 и рас-
смотрим се-окружение Sce параллелепипеда S. Все это
окружение покрывается самим параллелепипедом S и
сдвигами параллелепипедов eS, сохраняющими общие
точки с самим S, поскольку каждый из них содержит
шар радиуса се. Таким образом, все это се-окружение
содержится в параллелепипеде (1 + e)S. Для объема
множества SCE получаем неравенство
|<(1 + е)"| S | = (1 +е)"| detx'(u) |.
По соображениям подобия для любого кубического
бруса А с ребром б получаем, что объем себ-расширения
параллелепипеда х'(а) А допускает оценку
|(/(й)4иК(1+е)л|/(й)Л| =
= (1 + е)"б"| detx'(a)| = (l + е)"| Л || detx'(u) |.
Теперь по заданному е > 0 найдем б > 0 такое,
чтобы в равенстве (3) величина о (Ди) при любом |Ди|<
<6\гп допускала оценку |о(Ди) | се|Ди|. Пусть
A cz V — любой кубический брус со стороной б, содер-
3.57 5 ®-6. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 253
жащий точку 0 внутри или на границе, и В = а + А.
При h е= А точка а + h отстоит от точки а не далее чем
на б)/л, и, следовательно, вектор x{a-{-h) отстоит от
вектора x(a)-\-^{a)h не далее чем на себ, т. е. нахо-
дится в себ-окружении параллелепипеда б+х'(а)Д.
В силу приведенных выше рассуждений это позволяет
оценить сверху 1*(В)1 через |В|:
I х (В) К | (Ь + х' (а) Асе61 и | (х' (а) А)се61 <
<(1 +e)"|/||detx'(a)| = (l + е)п| В ||detx'(a)|. (5)
Чтобы оценить |х(В) | через |В| снизу, будем рассу-
ждать так.
Обозначим через b + D параллелепипед, концентри-
ческий с параллелепипедом б-|-х'(а)Д и подобный ему
с коэффициентом подобия 1 — е. Очевидно, что D —
~х'(а)С, где а + С — кубический брус, концентриче-
ский с кубическим брусом а + А и получающийся из
а + А преобразованием подобия с тем же коэффициен-
том 1 — е.
Пусть и — и(х)—обратная функция к функции х(и),
так что а = и(Ь). Функция и(х) дифференцируема в об-
ласти W, и
и (b -j- k) — а + и' (б) k + о (k). (6)
Для заданного е >• О найдем б >• О так, чтобы вели-
чина о (А) в равенстве (6) допускала оценку |о(^)|^
г^е|&| при всяком |&|< б. Можно считать, конечно,
что это то самое б, которое приводит к неравенству (5).
Оператор и'(Ь) отображает параллелепипед S обратно
в кубический брус Q, а параллелепипед D — в кубиче-
ский брус С. Образ параллелепипеда b + D при отобра-
жении х -* и (х) содержится в еб-расширении куба а + С
и тем более содержится в кубе В; иными словами,
и (Ь + х' (а) С) <= В,
или, что то же,
х(В) о б + х'(а)С.
Отсюда вытекает неравенство для объемов
|х(В)|>|б + х' (а)С| = |х' (а)С| =
= (1 - в)" | х' (а) А1 = (1 - в)" | В П det х'(а) |. (7)
254
ГЛ. S. ИНТЕГРИРОВАНИИ
3.87
Сводя воедино неравенства (5) и (7), мы можем, таким
образом, утверждать, что для любого е > 0 и любого
кубического бруса В с ребром 6 6(e), содержащего
точку а, справедлива двусторонняя оценка
(1 — е)" | det х' (а) | < <(1 + в)" | det х' (а) |.
Это доказывает теорему в случае detx'(a) =/= 0.
г. Пусть теперь detx'(a) = O, но х'(а)^0. В этом
случае оператор х'(а) отображает куб Q в вырожден-
ный параллелепипед S — x'(a)Q. Обозначим через ’ г,
0 <г < п, ранг матрицы х'(а). Параллелепипед S ле-
жит в некоторой r-мерной плоскости у и содержит г-мер-
ный шар с центром в начале координат некоторого ра-
диуса с. По заданному е >0 найдем такое б > 0, чтобы
в равенстве (3) величина о Ди) допускала при любом
Аи = ft, |ft|< б, оценку | о (ft) | ce|ft|; таким образом,
при h е А вектор х(а + ft) находится в свб-окружении
параллелепипеда b -f-x'(a)4. Но в пределах плоскости у
все это себ-окружение, как иве, лежит в пределах не-
которого параллелепипеда Т, имеющего (г-мерный)
объем (1 + e)r|B| |S|r. Кроме того, указанное себ-
окружение содержит и точки вне плоскости у; все они
заведомо попадают в произведение параллелепипеда Т
на шар радиуса еб в ортогональном к плоскости у
(п — г)-мерном подпространстве пространства Rn- По-
этому объем области х(В) не превосходит величины
| Т V (еб)п-г < (1 + e)r en-r6',_J’6r| Sr | = (1 + е)г в""'| В Ц Sr |.
Таким образом, в данном случае
При В->а, или,, что то же, при е->0, получаем
д. Нам осталось рассмотреть случай, когда х'(а)—0,
так что оператор х'(а) отображает куб Q в одну точ-
ку — начало координат пространства X. По заданному
е > 0 найдем такое б > 0, чтобы в равенстве (3) вели-
чина o(ft) допускала оценку |o(ft) | ag: e|ft| при любом'
3.68 § 3.S. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2J5
|Л| < б. Таким образом, при |й| < б вектор x(s-f-A)
находится на расстоянии, меньшем еб, от точки х(а) —Ь.
Следовательно, в данном случае образ х(В) бруса В
лежит в пределах шара радиуса еб с центром в точке б.
Значит,
|х(В)| (еЬ)я _ _
|Я| йв се
и при С—>а величина -1*^1 имеет преде-
лом 0. Таким образом, во всех случаях
lim -j If?-- = I det х' (а) |,
в->а
и теорема б полностью доказана.
3.58. Замена переменных в кратном ин-
теграле. Теперь, используя теорему 3.45, мы можем
сформулировать основное правило замены переменных
в кратном интеграле.
а. Теорема. Пусть х—х (и) — дифференцируемое
жорданово (3.45) отображение компактного жорданово
тела U cz Rn на компактное жорданово тело X cz Rn,
причем внутренность тела U отображается на внутрен-
ность тела X, а граница тела U — на границу тела X.
Пусть функция f(x) непрерывна на множестве X. Тогда
имеет место формула
J f(x)dx — J g (и) Ad. х' (и) du, (1)
х и
где g(u) = f(x(u)).
'Доказательство. Если U есть куб в Rn, резуль-
тат получается соединением теорем 3.45 и 3.57 б, учиты-
вая, что в этом случае в качестве ячеек можно взять
некоторую совокупность кубов, лежащих в U (3.33ж).
Если U есть простое множество — конечное объедине-
ние кубов без общих внутренних точек, — требуемый
результат получается суммированием равенств типа (1),
написанных для каждого из этих кубов.
Рассмотрим общий случай, когда U есть произволь-
ное жорданово тело. Для заданного в > 0 найдем от-
крытое простое множество QcRn, содержащее грани-
цу Z тела X строго внутри себя и имеющее меру
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.53
Полный прообраз FcU множества X—QX есть замкну-
тое множество в U, которое не пересекается с грани-
цей W тела U, так что 6 == d(F, W) > 0 (3.23г). Теперь,
пользуясь леммой 3.51 к, найдем простое множество
Р с: U меры ^е, содержащее W строго внутри и само
содержащееся в б-окружении W. Разность U — Р есть
простое множество, которое отображается в жорданово
множество Y cz X, содержащее множество X — Q, так
что т(Х— У) mQ е. Теперь мы можем написать
/ f(x)dx = [ f(x)dx+ | f(x)dx,
X Y X—Y
J g (u) det x' (u) du =
и
= [ g(u)det x'(u)du + [ g(u)detx'(u)du.
U-P P
Так как V — P — простое множество, то по доказанному
J g (и) det х' (и) du — J f (х) dx.
u-р . Y
Поскольку т(Х — У)^е, тР^е, мы имеем
maxjf(x)(e,
[ g'(u)det x'(u)du max| f (x) ] • max| det x'(u) 1 • e.
Отсюда
| f (x) dx — j g (u) det x' (u) du
x v
max) f (x) |(1 -j- max| det x'(u) |) • e,
x и
и так как е > 0 произвольно, то справедливо равен-
ство (1), что и требовалось.
б. Вернемся теперь к формуле 3.57 (4)1
Ит ЧУг1»! detх'(а) I, (2)
3.59 § З.б. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 257
доказанной нами ранее для случая кубических брусов В.
Пусть By, В2.....Bv, ... — любая последовательность
жордановых тел положительной меры /nBv=|Bv|, стя-
гивающихся к точке а. По доказанному в а мы имеем
| х (Вч) | = J dx — J | det х' (и) 1 du’,
*(Bv) bv
следовательно, в силу непрерывности х'(и),
=WT 11 det *'(и) 1 du "*1 det х'(а) |:
£v
таким образом, формула (2) верна не только для кубов,
но и для любых жордановых тел В, стягивающихся
к точке а. В дальнейшем вместо обозначения |det Л|
будем писать |Л|.
3.59. Примеры.
а. Площадь плоской фигуры в полярдых коор-
динатах. Рассмотрим плоскую фигуру (жорданову область)
X с = {х, у). Ее площадь выражается интегралом
5=1X1= J J dxdy.
Если перейти к полярным координатам
х = г cos ф, у = г sin ф,
то мы будем иметь
(О
I___I COS ф — rslntpl
'q> I | Sin ф Г COS ф I
(2)
I Р№ у) хч> _. cos4> —Г81пфI г
I д (г, ф) | “* | у г у<р I I sin ф г cos ф I ’
поэтому для соответствующей области U в плоскости г, ф
S= J J dxdy = J J r dr dtp.
X V
Допустим, что область X ограничена двумя лучами ф = а и
Ф = Р и кривой г = г(ф) (рис. 3.5-12). Тогда, преобразуя интеграл
(2) к повторному с внутренним интегрированием по г, находим
S = J J г dr dtp — J
V Ф=а
эту формулу мы получили в свое время непосредственно (09,62}.
<*ф=»4 J г2(ф)Йф;
а
г dr
258
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.59
б. Площадь фигуры G, ограниченной; кривой
(х>0, у^О) и осями координат. Пред-
полагается, что показатели 2/Х и 2/р — вещественные положитель-
ные числа.
Вначале переходим к новым переменным х1^ = X, у1^ — Y,
имея в виду использовать в дальнейшем полярную систему коорди-
нат. Соответствующая область Q в У-плоскости ограничена так-
же осями координат и четвертью окруж-
ности Х2+ У2 = 1. При этом
I д (х, у) | = ЛХ1-1 0 =
I д(Х, У) I 0 gyu-i
= лрХк_1Уи_1;
следовательно,
S— J J dxdy —
1 ----------- о
Q
Далее, переходя к полярным координатам X = г cos <р, У = г sin <р,
находим, используя 011.54-.
я/2 1
S = A,p J J г^+^-'-соз^-1 tpsin11-1 ф dtp dr =
Ф=0 г=0
Я/2
Я.[А Г X—-1 . Ц —I < 1 т5 I X. Ц \
~ л+ТГ J cos ф s,n ’dff “ ТнГТвU • -2 J~
о
где В(р, q)—бета-функция Эйлера, а Г(s)—гамма-функция Эйле-
ра (011.54).
Частные случаи (рис. 3.5-13):
, , / г с 1 \2/ Л
Л = р = 1 (дуга окружности): S == — = -j-j
1 Г2(1) _ 1 .
“ 2 Г (2) 2 :
Л = р = 2 (отрезок прямой): S
Г2(—\
О * 10 1
Л = И = з (дуга астроиды): S =»у ~r(3)~ = 32
3.59 5 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 259
в. Сферические координаты в /?3. В трехмерном ев-
клидовом пространстве R3 с прямоугольными координатами х, у, г
систему сферических координат образуют следующие величины
(рис. 3.5-14):
г — расстояние от точки О до точки Л4 (х, у, г);
О — угол луча ОМ с положительным направлением оси z;
Ф— угол между проекцией ОР луча ОМ на плоскость х, у и
положительным направлением осн х.
Мы имеем, очевидно,
При этом
z = г cos 6,
х = г sin 0 cos ф,
у •= г sin 0 sin ф.
I д (х, у, z)
| д (х, 0, ф)
sin 0 cos ф г cos 0 cos ф — г sin 0 sin ф
sin 0 sin ф r cos 0 sin ф r sin 0 cos ф
cos 0 — r sin 0 О
(3)
= г* sin 0.
Поэтому для соответствующих друг другу областей G — в коор’
дннатах х, у, г — и U — в координатах г, 0, ф —имеем
j j j f (*. У, г) dx dy dz = ^^f(x,y,Z)r^ sin 0 dr d6 dtp,
G U
где в правой части аргументы х, у, z должны быть заменены вх
выражениями (3).
г. Найтн объем тела G с: R3, зная его сечення S<p полуплоско-
стями ф = const е [0, 2л] (ф — третья сферическая координата, в)
(см. рис, 3.5-15).
260 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3,69
В сферических координатах мы имеем
IGI — J J J dx dy dz = У У У г2 sin в dr dQ dtp «=
а и
гг sin 0 dr d6 I dtp.
В полуплоскости введем прямоугольные координаты z = rcos0,
Рис. 3.5-16.
Рис. 3.5-15.
ордината рс(ф) центра тяжести фигуры Сф (3.54 6), умноженная на
площадь |бф | этой фигуры. Таким образом, получаем
2я
|С|=У рс (q>) | бф | dtp.
о
Наша задача решается, если для каждого ф е [0,2л] мы знаем
площадь фигуры бф и расстояние рс(ф) ее центра тяжести от
оси 2.
Так, для тора Т, показанного на рис. 3.5-16, имеем |бф|=ла2«
₽с (ф) = Л; поэтому
IТI => 2я • ла2/? « 2я2а2/?.
3.61
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
261
§ 3.6. Интеграл по поверхности
3.61. Определение интеграла по поверх-
ности.
а. Пусть :х=ф(н) (Rk —» Rn) —отображение, опреде-
ленное в некоторой области U cz Rh и имеющее там не-
прерывную производную. Пусть G cz U — замкнутое
жорданово подмножество. Множество S—x(G) a: Rn
мы назовем k-мерной поверхностью в Rn.
Мы хотим дать определение поверхностного инте-
грала
/ f(x)dS (1)
s
от функции f(x), заданной и непрерывной на S.
Соответствующий интеграл по плоской области 5 мо-
жет быть истолкован как полная масса этой области,
если f(x) представляет собой плотность массы в точ-
ке х. Аналогично, интеграл (1) должен иметь смысл
массы всей поверхности S, если f(x) есть ер плотность.
В частности, наше определение для f (xj е 1 будет
определением площади поверхности S.
Во избежание взаимного налегания существенных ча-
стей поверхности S отображение х=<р(о) мы будем
предполагать взаимно од-
нозначным, кроме, быть
может, нуль-множества УД
Z с G. 7/
б. Переходим к точ- //
ным определениям. Возь- /Г~~т^г^777^Г7
мем произвольноежорда- // / /"/''у 7
ново разбиение П={Ег} Д Д /У
множества G; пусть с/(П),
как обычно, обозначает
максимальный издиамет- Рис. 3.6-1.
ров множеств Et. В ка-
ждом множестве £< зафиксируем произвольным обра-
зом точку gj и рассмотрим в пределах множества Е{
«касательное» линейное отображение
gi 4- txu -> q> (gi) 4- <₽' (Ы А»*-
Образ Е{ множества Et при этом отображении являет-
ся жордановым подмножеством в соответствующем
262
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.61
^-мерном линейном многообразии. Множества Е обра-
зуют «черепичное» покрытие поверхности S (рис. 3.6-1).
Приписывая каждой «черепице» Е< равномерную «плот-
ность» /(ф(В<) )» мы найдем, что «вес» всего «черепично-
го покрытия» равен
2/(ф(11))|ЕП4. (2)
i
Найдем теперь величину |Ei|fe. Отображение
х = ф(и) в подробной записи имеет вид
X! =ф1(иь .... Uk),
xn = Vn(ut, uk).
Производная q>'(и) есть линейный оператор (Ел -
с матрицей d<Pi ди1 g<Pi duk
ФЛ(н) дч>п ди{ ' ‘ * д<Рп duk •
Пусть сначала представляет собой прямоугольный па-
раллелепипед В{ с ребрами
gi = (Дип 0...0),
gk = { 0, 0...Ли*).
Тогда Ф/(ё<)Е| = Е/ есть параллелепипед, построенный
на векторах
<№)«.-(?£•.......4гт)Л“-
т w/ee \duk ’ ’ duk) R
Его k-мерный -объем |Е{|д, согласно 3.55 а, равен квад-
ратному корню из суммы квадратов всех миноров k-ro
порядка матрицы ф'(и), умноженному HaAui...AUfe.
В соответствии с 3.55 г эту величину обозначим так:
|E>U-₽............................(3)
I I* VI* I и и ft J
3.61
5 8,6, ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
263
Любое жорданово множество Е, согласно 3.31 в, опреде-
ленным образом составляется из ячеек В$ при фиксиро-
ванном I величина ф'(g<) постоянна; поэтому, совершая
соответствующую процедуру для Eit получаем, что фор-
мула (3) остается справедливой и для любых жордано-
вых множеств:
1Е« 1а =
|£<|.
(4)
duk J
Сумма (2), таким образом, записывается в виде
|[^..........................
1 IL 1 к JI
она представляет собой интегральную сумму для инте-
грала
ff(<fW)ir^.........©
0 1 1 я Ji
Так как функция Г(ф(н)) и •••» непре-
рывны на С, интегральные суммы (4) стремятся к инте-
гралу (5) при <2(П) —»0. В соответствии с этим мы при-
ходим к определению
f f(x)dS = Г f (х(«)) , .... (6)
V V II UU. | I
S О IL 1 * JI
В частности, A-мерной мерой или, проще, площадью
поверхности 5 мы назовем интеграл (6) с f(x) =в 1,т. е.
величину
is^»Ps=.f|[^..........едн- р>
S о L 1 «л
в. Необходимо проверить корректность приведенного
определения, т. е. его независимость от выбора парамет-
ров, представляющих поверхность^ S. Пусть, наряду
с представлением х=ф(ц), и е С, имеется представле-
ние той же поверхности S с помощью отображения х=
=ф(с9( где параметр с пробегает область V с. Rh, при-
чем параметры и и v связаны взаимно обратными
264
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.61
соотношениями
и — и (р), v — v (и) (8)
с дифференцируемыми функциями u(v) и v(u). Такие
представления r=<p(u) и х=ф(р) будем называть экви-
валентными.
Согласно определению
р(х)<К=Г/(ф(и))|Р^
да л IL 1
дд> («) 11
duk JJ
du.
(9)
Произведем в правой части (9) по правилу 3.58 а за-
мену переменных (8). Тогда мы получим
f(x)dS =
“J
дф(н)1
duk J
a(w,, Uk)
d (°.- •••• vk)
dv.
Но в силу /.S3 б
>^]||
[ дф («)
L dui
э(“1.....л)
д(01, .... vk)
— 1ZV det2 д^1’ '"' X(k^ == IРФ(?)
if d(°i............vk) IL
дф (о) I I
dok Jr
Отсюда следует, что
.....
о
dvk л
чем и доказана инвариантность значения интеграла сле-
ва при переходе к эквивалентному представлению по-
верхности S.
3.62 5.3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 265
3.62. Частные случаи.
а. Пусть Л=1; мы имеем дело с кривой £=
=={x—x(t) (Rt —*Rn), а t Ь}в n-мерном простран-
стве Rn. Матрица x'(t) имеет в данном случае один
столбец (х'(0, ...» х'(0} и
IК (011=I х' (01 =
Формулы 3.61 (6) и (7) принимают соответственно вид
J f(x)d£ = Jf(x(/)) 1/
L a F 1=1
= fdL = f
(1)
(2)
Обе эти формулы, соответственно для интеграла от
функции f(x) по линии L и для длины самой линии L,
известны нам еще из 09.91 (g=s) и 09.63.
б. При k = 2 мы имеем дело с двумерной поверх-
ностью
S = (х = <р (и, v) (R2~* Rn), («, v) е=- G cz R?}.
Матрица x'(u, v) имеет в данном случае два столбца
дх
ди
дхп |
ди J
дх f dxt
до l до *
(3)
ди J ' '
f dxt
I ди
Величина Ц-^-, ’^Г][есть квадратный корень из сум*
п (п + 1) о
мы ——- квадратов миноров 2-го порядка мат-
)ицы х' (и, о). Впрочем, в этом случае выражению
Г дх дх 11
Idu’ ~до JI площади параллелограмма, построенного
на векторах (3), — можно придать и иной вид; именно,
S66
ГЛ. 3; ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.62
если о есть угол между векторами и , то
где
Таким образом, интеграл 3.61 (6) записывается при k = 2
в виде
J f (х) dS = ^f(x(u, v)) VEG-P du dv, (4)
S 0
а площадь поверхности S (3.61 (7)) — в виде
[S1= j dS~ J VEG-F2du dv. (5)
3 0
в. При k = n — 1 мы имеем дело с (n — 1)-мерной
поверхностью S = {х = ф (иь .... nn-i) (Rn-\ -* («!»•••
.... u„_!) ебс Матрица ф' (и) имеет п -> 1
столбец и и строк:
дф1 (и) dq>i (и)
ди\
Ф'(«) s
dq>n (и) д<рп (и)
dut ' * ‘ diin-t
3.62
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
267
Вектор Г dtp L дщ ’
N = 61 дф1 (н) d«i 6П д<рп (и) ’ ’ ’ дИ1
дф! (и) дф„ (и)
дип-1 ' ’ ’ dun-t
дип-1
называется векторным произведением векторов
дф бф „
ди * О*1’ очевиДно> нормален к каждому
<Эф (и) .
вектору ' (т. е. нормален к самой поверх-
ности S в Яп), и его длина есть как раз величина
‘ ‘'* ди^ ]|* Таким образом, в данном случае
интеграл от функции f(x) по поверхности вычисляется
по формуле
....^]|л =
з а
= p(<p(«))IW«. (6)
о
Площадь поверхности S получается, как и всегда, при
= ........^]р«. СТ
SO в
г. Отметим часто встречающийся случай, когда по-
верхность S задана уравнением
*n = <P(xi...Xn-i), (*1...Xn-j) е Q с /?„_ь
или, что то же, системой вида
Х1 = ХИ
Х2 = Х2,
Х„-1 == X„-i,
Хл = ф(Х1, .... Хя-Д
268
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Si®
При этом
в] «2 ... ея-1 еп
1 0 ... 0 дф дх,
N = 0 I ... 0 дф д*г
0 0 ... 1 дф
dxn-i
Отсюда
Для интеграла 3.61 (6) от функции f(x) по поверхно-
сти S получается выражение
J f (х)dS = J f(xb ..., xn-i, <р(xlt .... х„-1))X
S Q
х/Ш+ ....®
д. Пусть, наконец, k=n, так что роль поверхности 3
играет область в n-мерном пространстве. Матрица <р'(«)
имеет п строк и п столбцов; объем параллелепипеда,
дф дф
построенного на векторах , ..., ~gg~, равен модулю
ее определителя. Формулы 3.61 (6), (7)
S 6
превращаются теперь в обычные формулы замены пере-1
менных в п-кратном интеграле 3.58 (1)..
3.63
$ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
269
3.63. Пфгимеры.
а. Найдем в R3 площадь участка сферы радиуса. R между
двумя меридианами ф( Сф<фх и двума параллелями 0.<0<0.
(рис. 3.6-2).
х= R sin 0 cos ф, у = R sin 0 sin ф.
В сферических координатах
z=«Rcos0 (3.59 в) имеем
— R sin 0 sin ф R sin 0 cos ф О
Rcos0cosф RcosOsn^ — RsinO
dx dx dy dy dz dz 0
dtp dQ dtp dQ вф 00
G =
Отсюда
Ф<
<Pi
в.
| VEG-F2 dtp df) = R2
©i
л ©1
f f sin 0 </ф 40 =
*= R2 (ф* — Ф1) (cos 01 — cos 02).
В. частности,, дли всей сферы 0 ф < 2л, О 0 л получаем
|S| =₽R2-2w2«=taR2.
270
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.63
б. Найдем площадь тора, полученного вращением вокруг оси z
окружности радиуса а, первоначадьно находящейся в х, z-плоско-
сти и имеющей центр в точке х = b (Ь > а), у = 0, z = 0.
Параметрическое представление тора легко получить непосред-
ственно (см. рнс. 3.6-3)-:
х = (b + a cos ф) cos <р, у — (Ь + a cos if) sin ф> z = a sin -ф;
углы <р и ф меняются в пределах от 0 до 2л. Учитывая, что
дх ду дг
dtp dtp dtp
dx ду дг
дф с?ф <?ф
I — (b + a cos ф) sin <р, (b + a cos ф) cos ф, 0 II
— a sin ф cos ф, — a sin ф sin ф, a cos ф Ц*
находим
Е = (b + a cos if)2» F = 0, G = а2,
В результате
2л 2л 2л 2л
| $ | == J J Veg- F2 dtp dip — a J J (b + a cos Ф) dtp dtp = 4л!аЬ.
oo oo
а. Площади подобных поверхностей. Две A-мер-
ные поверхности S| и-$2, которые можно задать соответственно диф-
ференцируемыми отображениями
* = ф («),
х = btp (и),
(х е Rn, b > 0), аргумент и, как обычно, пробегает жорданову об-
ласть G с: Rk), называются подобными, с коэффициентом подобия Ь.
Найдем, какова связь между их площадями. Площади их выра-
жаются по формуле 3.61 (7):
О)
(2)
Вынося коэффициент Ь из каждого из k столбцов миноров, входя-
щих в подынтегральное выражение в (2), мы получаем, что
I $21 = 6*1$! |.
Таким образом, отношение площадей k-мерных подобных поверхно-
стей равно k-й степени коэффициента подобия.
3.64
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
271
3.64. Площадь поверхности как предел
площадей вписанных многогранных по-
верхностей.
а. Длину кривой мы определили в свое время как
предел длин вписанных ломаных. Оказывается, что и
площадь поверхности можно определить как предел
площадей вписанных в нее многогранных поверхностей
при неограниченном измельчении их граней. Но не вся-
кая последовательность вписанных многогранных по-
верхностей с гранями, размеры которых неограниченно
уменьшаются, пригодна для получения площади поверх-
ности (см. задачу 5). Мы укажем сейчас некоторые
типы специальных последовательностей вписанных мно-
гогранных поверхностей, площади которых имеют пре-
делом площадь данной поверхности.
Пусть S=(x=<p(u), не t/с Rk} — ^-мерная поверх-
ность в n-мерном пространстве. Предполагается, что от-
ображение ф(и) в замкнутой области U имеет невыро-
ждающуюся непрерывную производную ф'(и), так что
сумма квадратов всех миноров k-ro порядка матрицы
ф'(«) не меньше некоторой положительной постоянной
с2. Это последнее требование можно выразить еще и
так: если gi....gk — базисные векторы в простран-
стве Rk, то во всей области U выполнено неравенство
<?<р
ди{
д<р 1
duk J
или же так: для любого S > О
|[ф'(и)б£,.............Ф' (и) SgJ | > ей*. (1)
б. Пусть Q={cci < «1 pi, .... —
^-мерный куб, лежащий в области С/, и ₽j— ai=..«
• •. =₽fe — ak=h. Его можно .разбить на k\ равновели-
ких ^-мерных симплексов (3.56 а) по следующему пра-
вилу. Пусть gu ..., gk — ребра куба Q, исходящие из
фиксированной вершины Р, например из вершины
ui—ai, .... «л—а*. Пусть ц, ..., — произвольная пе-
рестановка чисел Рассмотрим векторы
^igii 4-£/2)+ ••• 4-A*(&t + ... 4-gik),
А, >0, ..А* >0, А, + ... + А*< 1.
272
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.64
Эти векторы заполняют некоторый симплекс Qtt... tk
с вершинами в точках Р, Р 4- Р 4- gtl 4- gl2, ...
..., ••• 4-ftk- Объем этого симплекса по
3.56 а равен
7г1[&1’ &1+&2» • ••• &i+ ••• + &»]|s
~Trilli* ’' • ’ ТГ’
так что все симплексы равновелики. Покажем,
что каждая точка куба Q попадает хотя бы в один из
этих симплексов. Для данной точки х е Q определим
номера ii, ..., i* так, чтобы в представлении
п
X — P — cietl 4- ... +ckeib, ct^0, (2)
числа ci шли, не возрастая: Ci с2 ch. Тогда
мы утверждаем, что точка х — Р принадлежит сим-
плексу Qz(... tk, т. е. справедливо представление
х — Р = klell 4- 4" %) 4- • • • 4" К (eit + • • • + eik)>
(3)
где (i = l,..., k), ^4- ... 4-Л*<1. Действи-
тельно, равенство (3) можно написать и в форме
х —Р = (Л14- ••• 4~^)eil4~
+ Йа+ ••• +^)ei24- ... 4-A*fyk;
сравнивая с (2), мы видим, что можно положить
с1 = Л14_ ••• 4-Ль ^2=^24* ••• + Л*, •••» Q =
Отсюда находим
А1 = с1 —с2^0, Л2=с2 —с.з^О, ..., — Ck^O
и при этом
Л, 4" • ♦ • 4~ Лй — Ci 1,
так что действительно х — Р лежит в QiI... ik. В част-
ности, мы видим, что симплексы <?«|... »е имеют но-
3.64
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
273
парно общих внутренних точек, поскольку сумма их
объемов равна hk, т. е. равна объему всего куба Q.
в. Рассмотрим теперь симплекс ... Его вер-
шины Р, Р 4- gtl, .... Р + gh 4-,... 4- gik при отобра-
жении ф(и) переходят в некоторые k 4-1 точек на по-
верхности S, которые мы обозначим <р(Р), Ф^), ...
q>(Pit... ik). Эти & 4-1 точек определяют, в свою
очередь, симплекс ф((?(|... /ft) в пространстве /?„, впи-
санный в поверхность S в том смысле, что все его
вершины лежат на этой поверхности. Таким образом,
в поверхность S можно вписать kl симплексов ф(ф(| ... <й).
Если теперь рассмотреть разбиение П пространства Rk
на кубы Q(/) с ребрами й, отобрать из них те, которые
содержатся целиком в области U, разделить каждый
такой куб на k\ равновеликих симплексов ДО • и
*1 ••• lk
построить соответствующие симплексы ф^О*/* t у то
в целом все построение' даст нам некоторую много-
гранную поверхность Пл, все вершины которой лежат
иа поверхности S, т. е. поверхность, вписанную в S.
г. Вычислим площадь многогранной поверхности Пй.
Объем симплекса ф(01”„. имеющего вершины ф(Р),
ф(Л])> • ф(Л1 ••«*)> равен величине
jj-1 [ф (Р 4- gtl) - Ф (Р), ф(/’ + &14-&а)-ф(Р), ...
.... Ф(Р4-^,4- ... +&Й)-Ф(Р)]|. (4)
Для заданного е>0 найдем д>0 так, чтобы при
| и' —- и" | д выполнялось неравенство
|ф'(«') —ф'(«")К®.
Если кубы Q(/) выбраны так, что их диаметры не пре-
восходят S, то по теореме о среднем 1.42 (6)
Ф(Р/ + О - Ф (Р/) = 4-
ф(Р/ + - Ф(РУ) = ф'(Р/)« + g^ + 8«»S,
ф(^ + ^’ + ... +^)-Ф(Р,)=
=Ф'(Л)(^+ ••• +
274
ГЛ, 3, интегрирование
3.64
где 18Ю| С в» /“li •••» k. Подставляя эти выражения
в (4) и используя 3.55 д, е, получаем
..Ф'(Р/)(«? + • • • + + «£’*] |2 =
=w IК (р/) •••’*' (р/) I2=
+ -^e6(M4-e6)2ft-1e, |0|<1,
где М = sup|<p'(P/)g^>| <^DS, jD = sup||<p'(«)||.
Выражение CrteS(Af + еб)24-10 можно записать в виде
С„еб2* (D + е)2*-10 = C;e62*0b 10j | < | 01 < 1.
Переставляя векторы в первом слагаемом и вынося
его за скобку, находим, что
*(<^.l4)F=WlKW. ••• ф'(т,)г?11!Х
/ c;e62ft0, \
х" + |[ф'(₽,)8,Л-.ф'('>/)Л',112/'
откуда следует, с учетом невырожденности оператора
ф'(и) (1), что
•(«!?... -а)Г“
- w-lkPiW.........»4₽/)sw(i +^).
ИЛИ
I’W-JI- _______
•••• ’'(WJIV > +-^-
3.64
$ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
276
Используя неравенства У1 + ц 1 + и | f<р (Р^ ...
• • •. Ч> (^/) | < Dkf>k = Dk 10<Л | k\, находим
I ”(«!?... <t) I - i I к (p,) ..f'C’i «Я I +
+^c£e,*>‘*i|Ol,?...,,|. <s)
Суммируя эти соотношения по всем симплексам Q(/> f
(при фиксированном j), получаем
-I к (Л) ...ф' (р,) й"] I+ют. (6)
Если теперь просуммировать результат по всем /, то
придем к равенству
- 21 к (₽,) й".ф' (р,) Йл] I + W I и I- (’)
Первое слагаемое в правой части есть не что иное, как
интегральная сумма, фигурировавшая в определении
площади поверхности в 3.616 (см. также 3.33 в). При
е -* 0 эта сумма имеет пределом площадь поверхности;
второе же слагаемое, очевидно, стремится к 0. Таким об-
разом, построенные нами многогранные поверхности
имеют пределом своих площадей площадь самой поверх-
ности, что и утверждалось.
д. Пусть на поверхности S и в некоторой ее окрест-
ности задана кусочно-непрерывная функция f(x), огра-
ниченная по модулю числом М. Если перед сложением
равенств (6) умножить /-е равенство на число то
вместо (7) мы получим
276
ГЛ. з; ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.65
где |0з1 1- Первое слагаемое в правой части имеет
пределом при е 0 поверхностный интеграл
JfWrfS.
s
Левая часть отличается на-бесконечно малую от ин-
теграла функции f(x) по многогранной поверхности Щ,
поскольку для равномерно непрерывной функции f(x)
ПА / (!)
[f(x)-f(P^)]dS
при достаточно малом ft;, а для кусочно-непрерывной
функции это рассуждение можно проводить для каждо-
го куска поверхности S, на котором функция f(x) рав-
номерно непрерывна, и сложить результаты.
Таким образом, интеграл по поверхности S от любой
кусочно-непрерывной функции f(x) может быть получен
как предел интегралов рт этой функции по определен-
ным многогранным поверхностям, аппроксимирующим
поверхность S.
3.65. Слой, порожденный ^-мерной п Oi
верхностыо.
а. Пусть S — двумерная дифференцируемая поверх-
ность в 7?з. В каждой ее точке проведем нормаль (1.26 б\
и отложим на ней в обе стороны от поверхности отре-
зок длиной h. Полученное трехмерное тело Vft(S) назы-
вается слоем толщины 2h, порожденным поверхно-
стью S.
Пусть L — дифференцируемая линия в /?з. В каждой
ее точке х проведем нормальную плоскость и выделим
на ней круг радиуса h с центром в точке х. Получен-
ное трехмерное тело Vh(L) называется слоем толщины
2h, порожденным линией
3.65
5 З.в. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
277
б. Эти простые определения следующим образом об-
общаются на случай 6-мерной поверхности в простран-
стве Rn-
Пусть S есть ft-мерная поверхность в Rn, S —
—{х е Rn, x=q>(u), иез U с. Rh), или, подробнее,
Х1 = Ф1(«и uk),
*п = фп(и.......
(1)
Предполагается, что функция х=ф(и) или, что то
же, функции q>i(ui, ..., uh), .... <pw(wi, «а) обла-
дают непрерывными производными первого и второго
порядка в области U.
В каждой точке х поверхности S имеется 6-мерная
касательная плоскость Пи (и —6)-мерная нормальная
плоскость (ортогональное дополнение к П). Выделим
в нормальной плоскости шар радиуса h с центром
в точке х. Объединение этих шаров образует некоторое
n-мерное множество Vh(S), которое и называется п-мер-
ным слоем толщины 2h, порожденным поверхностью S.
в. В некоторых случаях n-мерный слой, порожден-
ный поверхностью S, допускает «каноническое» парамет-
рическое представление, а именно представление в виде
Xl=fi(Ui, .... ик, vb+i, .... vn) = fi(u, v),
Xn = fn(ut...... ok+i, .... v„)sf„(u, o),
- (2)
где ft, .... fn — функции с непрерывными первыми про-
изводными, определенные в области V X Qh Rn- Здесь
U cz Rk — исходная область изменения параметров и=
= («1.....ик), a Qh— (п — 6)-мерный шар радиуса h
с центром в точке о=0, o=(Oh+i, vn). Система
функций (2), кроме того, должна быть такой, чтобы:
1) при 0=0 функции ft (и, 0), ..., fn(u, 0) совпадали:
соответственно с функциями <piдающими
параметрическое представление поверхности S; 2) при
фиксированном ueU функции (2) давали изометриче-
ское представление (п — 6)-мерного шара с центром
в точке х = ф(и) е S.
При наличии отображения (2) легко сосчитать ве-
личину модуля определителя в точках
V {«1, •• vn)
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.65
поверхности S, т. е.. при значениях щ+i = ... = vn = 0.
Модуль определителя, как мы знаем (3.56), равен объему
образа ячейки iq ах 4- б, • • •. ak иь «а + б,
О »а+1 ^6, ..., 0 < пп S при отображении к—
=f'(u, v), деленному на объем самой этой ячейки, рав-
ный Sn. Отображение f'(u, v) при (и, о) = (а1, .... ah,
0,..., 0) переводит ячейку (ai «i «i + S, ..., ah^
uk sg: ац S) с: U в параллелепипед в касательной
плоскости к поверхности S с ребрами -^-б......
а ячейку (0 sC vh+i б, ..., 0 vn 6) cz Vh объема
6n-ft — в некоторую ячейку в нормальной плоскости,
того же объема Sn-ft. Для отношения объемов получаем
(3.55 г)
Г») I
d(«l....»n) I
б«“*
duk J
6n
' dtp dtp "
’ ’' ’ ’ duk
Отсюда следует, в частности, что отображение (2) —
если оно существует — взаимно однозначно (и взаимно
дифференцируемо) в некоторой окрестности каждой
обыкновенной точки поверхности S, т. е. такой точки,
в которой
ках поверхности S имеем
=/=0. Таким образом, в точ-
дУ1.....и
5(«1....vn)
dii\ • • • dtife —
а(Ф1.....Фа)
d(ut, .... uk)
dui ... duk,
т. e, произведение якобиана | ’ "* | на dti\, ...
..., duk равняется площади элемента поверхности S.
г. Если значение v— (vk+t, .... vn) =/= 0 фиксирова-
но, а и= (щ, , Uk) пробегает множество U, то функ-
ции (2) описывают некоторую ^-мерную поверхность
Sc, которую естественно назвать «параллельной» S. Так
как образы ячейки (at щ а\ 4- б, • • •, ak uk
< ап + 6) е U и ячейки aft+i < bh+i 4- S, ...
, bn vn bn 4- б) e V при отображении f' уже,
вообще говоря, не лежат в ортогональных плоскостях
9.06
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
279
(/«-мерной и (п — k) -мерной), произведение
&(fi, ^Uk не ПредСтавляет собою эле-
° vn)
мента поверхности Sv. Но если отображение х=<р(н)
(1) таково, что и при и ф 0 образы указанных ячеек
лежат в ортогональных плоскостях, то предыдущее рас-
суждение полностью сохраняется и выражение
/(«*’ ’ ^Ц|* ' * • ’ ^Uk будет площадью элемента по-
верхности Sv.
д. Интегрирование какой-либо функции F(x) по слою
в общем случае производится по правилу 3.58 а:
J F(x)dx = J F(f(н, о)) •••;; Ц-ра,... dvn.
W^S) t/XQA "
(3)
Произведем интегрирование по переменным и при фик-
сированных V, мы получим функцию
ф(р)=j*F(f(U, ... aUk. (4)
Если при отображении f поверхности S» остаются
ортогональными к соответствующим шарам u=const, то
интеграл (4), в силу сказанного выше, есть интеграл
по поверхности Sv. Для всего интеграла (3) мы полу-
чаем выражение
J F(x)dx = J<D(o)dv, (5)
П® «л
которое можно трактовать так: от функции F(x) вычис-
ляется интеграл по поверхности Sv, а результат затем
интегрируется по шару Qu- В общем случае, когда по-
верхность Sv не ортогональна шарам и=const, равен-
ство (5), конечно, остается справедливым, но величину
Ф(о) уже нельзя считать интегралом от функции F(x)
по поверхности Sv. Можно только утверждать, на осно-
вании теоремы 3.35 а о непрерывной зависимости инте-
грала от параметра, что функция Ф(о) в (5) непрерыв-
на и, в частности, при v -» 0 имеет пределом величину
Ф(0), которая есть интеграл от функции F(x) по по-
верхности S.
280
ГЛ; 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.66
е. В некоторых случаях существование каноническо-
го представления (2) слоя Wh(S) очевидно. Например,
пусть S есть (n—1)-мерная сфера радиуса г в Rn,
с центром в точке 0, или участок этой сферы положи-
тельной площади. Тогда n-мерный слой lFft(S) (ft < г),
порожденный этой сферой, есть область, полученная из
шара радиуса г ft выбрасыванием внутреннего кон-
центрического шара радиуса г — h. Каноническая пара-
метризация (2) получается из произвольной параметри-
зации сферы
Х| =ф|(в,....ил_л),
*п = <Рп(«1» •••» «п-l)
добавлением в правой части t-й строки слагаемого
Vntfifr (| vn | ^ft). Шары u=const представляют собою
отрезки радиальных лучей длины 2ft; поверхности Sv
(—ft v ft < г) являются соответствующими участ-
ками сфер радиуса г v, которые радиальными лучами
пересекаются также ортогонально. Поэтому в данном
случае равенство (5) означает, что интеграл от функции
F(x) по слою Wh(S} может быть получен интегрирова-
нием функции F(x) по соответствующему участку сферы
Sv и затем интегрированием по v в пределах от г — ft
до г + ft.
ж. Установим здесь одно достаточное условие локаль-
ного существования канонического представления (2)
для общей ft-мерной поверхности:
Теорема. Если для k-мерной поверхности S cr Rn
можно указать в каждой нормальной плоскости у(х)
ортонормальный базис из векторов gft+i (х), ..., gn (х),
обладающих непрерывными производными по х, то у ка-
ждой точки х0 £ S существует окрестность, в которой
слой W'h(S) допускает каноническое параметрическое
представление.
Доказательство. Пусть £1, ..., еп — исходный
ортонормальный, базис в Rn, пусть
Х1 ==Ф1(«1, «*)....xn = tfn(ul...ик)
— параметрическое представление поверхности S вбли-
зи точки хо в этом базисе. Рассмотрим систему
3.65
$ 3.6, ИНТЕГРАЛ ЙО ПОВЕРХНОСТИ
281
функций
*i = <Р1 (ии ..., ик) + ot+I (gfc+1, е,) + ... + vn (gn, et),
Хп = Ф„(«1, ...» uk) + o4+1 (g*+I, en) + ... +vn(gn,en).
Й
Очевидно, что при Uft+i = ... =on=0 мы получаем сно-
ва точку х поверхности S. При фиксированных щ, ...
..., uft к вектору, идущему в точку х на поверхности S,
добавляется вектор p=oft+1gft+i + • • '+ vngn, лежащий
в нормальной плоскости у(х), причем, если параметры
vh+i, ..., vn описывают шар радиуса г в Rn-k, вектор
х 4- р описывает изометричный шар радиуса г в пло-
скости у(х) с центром в точке х. По в в обыкновенных
точках поверхности S определитель матрицы
отличен от 0, так что отображение (6)
в некоторой окрестности такой точки взаимно однознач-
но, что нам и требуется.
з. Покажем, что в окрестности каждой обыкновенной
точки х поверхности S возможно указать в нормальной
плоскости у(х) базис, требуемый теоремой ж.
Теорема. Для каждой обыкновенной точки х0=
—ф(«о) поверхности S существует окрестность UocRk,
в которой можно определить ортонормированные век-
торные функции £,(ф(«))» j—k -j- 1, • • • > «, с непрерыв-
ными производными, лежащие в нормальной плоско-
сти у(х).
Доказательство. Возьмем .произвольный орто-
нормальный базис §л+»(хо), .. -, gn(*o) в плоскости у(хо).
Затем для любой другой точки xgS образуем в пло-
скости у(х) векторы <7й+1(х), '..., qn(x), проектирую-
щиеся на плоскость у(х0) соответственно в векторы
gk+i(хо), gn(x0). Утверждается, что в некоторой
окрестности точки х0 такие векторы существуют и опре-
деляются единственным образом. Искомые векторы
gk+i(x), .... gn(x) мы затем получим ортонормализа-
цией найденных векторов «7ft+i(x), .... qn(x). Для опре-
деления вектора qk+j(x) мы должны написать систему
282
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.65
уравнений
(dk+jM, Ф/(х)) = 0, i«l.....
(qk+i(x)-gk+l(x0), £г(хо)) = О
(г — fe + 1.....n; 1— 1, ..п — fe).
Для и е U с Rk, у1 е Rn рассмотрим отображение пары
(и, у1) в 7?„ по формулам
Si (<Р («))).
lk = (yl, Ф*(ф («)))>
£*+i = (У1 — gk+l Uo)> gk+i (х0)), ( '
1п = (у' ~ gk+i(x0), g„(xoj).
Это отображение линейно по у, и его производная по у
определяется матрицей из координат векторов
Ф1(<р(«))> .... Фа(ф(«)), gk+i(x0), gn(x0). Эта мат-
рица, во всяком случае при и—и0, не вырождена; зна-
чение и—и0 соответствует обычной точке поверхности,
в которой векторы ф1(<р(ио))......*Мф(«о)) линейно не-
зависимы, а векторы £ь+1(х0), .... gn(x0) образуют ор-
тонормальный базис в нормальной плоскости у(хо), и
поэтому
|[Ф1(ф(и0)). Фк(ф(«0))> gfe+l(xo). •••» gn (XO)I I =
= I [ф| (Ф («о))> • • •» фк (ф («о))] I ¥= 0.
Кроме того, при и=и0 и y}—gk+j(x0) левые части си-
стемы (8) становятся равными 0. По теореме о неявной
функции 1.53 в некоторой окрестности точки и0 суще-
ствует единственная вектор-функция «/’(и), обращающая
левые части системы (8) тождественно в 0 и равная
gk+3(x0) при ft—«о- Полагая qk+iW =У®(и), получаем
решение системы уравнений (7), что нам и требовалось.
Эти функции <7k+3(ft) являются непрерывными и диф-
ференцируемыми функциями от и вследствие дифферен-
цируемости функций фг(<р(«)) (поверхность S была
предположена дважды дифференцируемой) и теоремы
о неявной функции.
3.66
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
Ортонормализируя систему qk+j(u), мы получаем
функции gA+j(«), снова непрерывные и дифференцируе-
мые, так как коэффициенты ортонормализации линейно
выражаются через отношения скалярных произведений
векторов (<7fc+j(«)) к детерминантам вида
|[<7*(«)]Р» |[<7й+1(«)> ?*«(«)] F..|[<7fc+i(«). • • •» М«)] I2
(Л7.51); эти детерминанты непрерывно зависят от и и
при u—Uo обращаются в 1, так что в некоторой окрест-
ности точки «о заведомо отличны от 0. Теорема дока-
зана.
3.66. Площадь поверхности как предел
средней площади порожденного ею п-мер-
ного слоя^
а. Пусть S — двумерная дифференцируемая поверх-
ность в Лз и Wh (S) — порожденный ею слой толщины.
2h (3.65а). Объем этого слоя, деленный на 2ft, называет-
ся средней площадью слоя; довольно естественное пред-
положение, заведомо оправдывающееся для случая, ко-
гда S с. 7?з есть плоскость, состоит в том, что, при h-*0
средняя площадь слоя имеет пределом площадь поверх-
ности S.
Аналогично, пусть L — дифференцируемая линия в
R3 и Wh(L) — порожденный ею слой толщины 2ft
(3.65 а). Объем этого слоя, деленный на nft2, называет-
ся средней длиной слоя, и здесь можно предположить,
что, как и в случае, когда L a R3 есть прямая, средняя
длина слоя при h—*0 имеет пределом длину линии L.
б. Оба эти предположения оказываются справедли-
выми; мы сформулируем сейчас общую теорему для
ft-мерной поверхности в Rn-
Пусть SczRn — ft-мерная поверхность и IFft(S) —
порожденный ею слой толщины 2ft. Объем этого слоя,
деленный на объем (п — ft)-мерного шара радиуса ft,
называется средней площадью слоя (при ft > 1; если
же ft=l, то он называется средней длиной слоя).
Теорема. Если п-мерный слой Wh(S) толщины,
h ho, порожденный поверхностью S, допускает кано-
ническое параметрическое представление 3.65 (2), то
средняя площадь слоя при h-*0 имеет предел, равный
площади поверхности S,
284
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.66
Доказательство. Объем слоя Wh{S) записы-
вается интегралом 3.65 (3) (F(x) = 1):
JIfg;:йк”'..........dv-
v*vh
Произведем интегрирование по переменным и при фик-
сированных о; мы получим функцию
Ф(га+1, Шй. S'ld“- ••• dUk'
V
Функция Ф(оа+|, .... vn) непрерывно зависит от своих
аргументов. Если функцию Ф проинтегрировать по шару
Vh, а затем результат разделить ria объем шара, мы
получим, с одной стороны, среднюю площадь слоя Sh,
а с другой — среднее значение функции Ф (iWi, ..., vn)
в шаре Vh. Это последнее при h ->0 стремится к значе-
нию функции Ф(оА+ь ..., vn) в точке оА+г= ... —vn —
=0. Таким образом, средняя площадь слоя имеет пре-
дел, равный
Используя полученное выше {3.65 в) значение яко-
биана I •♦•»./«) I На поверхности S, находим, что
| ° W» • • •» Vn) I
lim
ft-» О
|<и
|IFA(S)|
д<р ~]|
<чЛ
du.
а это и есть площадь поверхности S.
в. Пример. Найдем площадь поверхности {п— 1)-
мерной сферы S=Sn_i(r) радиуса г в /?п. Как мы ви-
дели в 3.65 е, /i-мерный слой Wft(S), порожденной этой
сферой, есть область, полученная из шара Qr+A радиуса
г 4- h выбрасыванием внутреннего концентрического
шара Qr4i радиуса г — h. Объем |Qr| шара радиуса г
в n-мерном пространстве, согласно 3.56 б, имеет вели-
чину
3.71
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
285
Применяя теорему б, находим, что площадь поверхности
(и— 1)-мерной сферы радиуса г в Rn равна
Л-»0 ft->0
I Qr+h I — I Qr- ft I
2й
rflQrl
dr
nnnl2rn-l
г. Комбинируя результаты теорем б и 3.65 з, мы при-
ходим к следующему выводу:
Если поверхность S={x=<p(u), ueL'с Rh} задана
дважды дифференцируемой функцией <p(u) (Rk~*Rn)
и точка х0 — обыкновенная точка этой поверхности, то
существует такая окрестность G точки х0, в которой
можно построить'п-мерный слой Wh (S) толщины 2h, по-
рожденный поверхностью 5, и площадь той части по-
верхности, которая лежит в окрестности G, может быть
найдена как предел при h-+0 средней площади слоя.
Возникает вопрос: справедлива ли такая теорема ие в локаль-
ном смысле, а в целом для всей поверхности S? Этот вопрос связан
с топологическими рассмотрениями, например с отсутствием само-
пересечений у слоя Wh(S), и слишком сложен, чтобы рассматри-
вать его в нашем курсе.
§ 3.7. Несобственные интегралы
3.71. Основные определения. Мы построили
определение интеграла для ограниченных функций, опре-
деленных на ограниченной области (жордановом мно-
жестве) пространства Rn. Здесь мы расширим это опре-
деление на случаи: а) локально ограниченной функции
в неограниченной замкнутой области (интеграл 1-го
рода); б) неограниченной функции в ограниченной зам-
кнутой области (интеграл 2-го рода) и в) неограничен-
ной функции в неограниченной замкнутой области
(интеграл 3-го рода). Мы называем здесь замкнутой
областью замкнутое множество с всюду плотным мно-
жеством внутренних точек.
а. Пусть в неограниченной замкнутой области Gc/?n
задана допустимая, т. е. ограниченная на каждом
ограниченном множестве кусочно-непрерывная функция
f(x); мы желаем дать определение несобственному
286
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.71
интегралу 1-го рода
/f=Jf(x)dx. (1)
6
Возьмем произвольную последовательность ограничен-
ных замкнутых областей Gt cz G2 cz ... cz Gm с:... czG
с тем условием, что для любого шара Vp=(x е Rn:
|ас| р} найдется такое т, что область Gm (значит, и
каждая последующая) содержит множество Vp П G. Та-
кую последовательность областей будем называть исчер-
пывающей. Интегралы
U=jf(x)dx (2)
°т
существуют. Если последовательность Im(f) при т —♦ оо
имеет (конечный) предел, не зависящий от выбора ис-
черпывающей последовательности областей Gm, то мы
говорим, что интеграл (1) существует (или сходится),
и полагаем по определению
Ifzsz f f(x)dx — lim [ f(x)dx. (3)
~ m->oo J
° Gm
Если же интегралы Im(f) при т-»ооне имеют предела,
то мы будем говорить, что интеграл (1) расходится.
б. Пусть в ограниченной замкнутой области G cr Rm
задана допустимая функция f(x); это означает здесь,
.что существует такое нуль-множество ZczG, что вне
•любого его окружения (3.23 б) функция f(x) ограничена
и кусочно-непрерывна.
Мы желаем дать определение несобственному инте-
гралу 2-го рода
If=$f(x)dx. (4)
с
Возьмем произвольно последовательность жордано-
вых множеств Gt cz G2 cz ... cz G таких, что любое до-
полнительное множество G — Gm содержит Z строго вну-
три себя, и содержится в некотором ет-окружении мно-
жества Z, причем 8т-*0 при т —*оо. Такую последова-
тельность множеств Gt cz G2 cz ... будем называть
8.71
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
287
исчерпывающей. Если у интегралов
(5)
От
при т -> оо существует предел, не зависящий от выбора
последовательности множеств Gm, то мы говорим, что
интеграл (4) существует, или сходится (в противопо-
ложном случае — расходится), и полагаем по опреде-
лению
[ f(x)dx = lim f f(x)dx,
O m-*°° Om
(6)
в. Пусть в неограниченной замкнутой области GczRn
задана, возможно, неограниченная функция f(x). Точ-
нее, мы предположим, что в каждом шаре Vp=
={xe/?n: |х| р} имеется такое нуль-множество Zp,
что на разности VP и любого окружения Zp функция
f(x) ограничена и кусочно-непрерывна. Такие функции
будем здесь называть допустимыми. Определение «не-
собственного интеграла 3-го рода»
If=$f(x)dx (7)
о
строится следующим образом. Будем называть последо-
вательность Gi a G2 а ... с: G ограниченных жордано-
вых областей исчерпывающей, если для любого шара
Vp={x е Rn: | х | гС р} и для любого 8 > О найдется та-
кое пг, что область Gm (значит, и каждая последующая)
содержит множество Vp П G, за вычетом 8-окружения
множества Zp, причем, если эта область Gm при каком-
либо pi > р содержится в шаре УР1, она не содержит
е-окружения и множества ZP1. Тогда интегралы
Im= ff(x)dx
От
(8)
определены; если у этих интегралов при т —> оо суще-
ствует предел If, не зависящий от выбора исчерпываю-
щей последовательности областей Gm, то мы говорим,,
что интеграл (7) существует, или сходится (а в проти-
воположном случае — расходится), и полагаем по
288
ГЛ, 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.72
определению
lf= f f(x)dx — lim f f(x)dx. (9)
x m->oo J
0 ora
г. Построение исчерпывающих последовательностей
во всех трех случаях а, б, в обладает той особенностью,
что если Gi с= G2 <= ... и Gf <= G2 с ... — две такие
последовательности (для одного какого-нибудь типа не-
собственного интеграла), то любая область GOT из пер-
вой последовательности содержится в некоторой области
Gm' из второй последовательности, и наоборот. По-
этому, имея две указанные исчерпывающие последова-
тельности, всегда можно построить смешанную исчерпы-
вающую последовательность
CjC^c^cG^c... (10)
Отсюда следует, что из наличия предела интегралов
типа (2) по каждой исчерпывающей последовательно-
сти уже следует совпадение этих пределов: предел по
смешанной последовательности (10) должен совпадать
и с пределом по последовательности Gi a G2 с= ... и
с пределом по' последовательности Gf с G2 с .... от-
куда с необходимостью следует равенство этих пре-
делов.
д. Таким образом, во всех случаях определение не-
собственного интеграла If от допустимой функции f(x)
приведено к определению предела последовательности
собственных интегралов от функции f(x) по произволь-
ной исчерпывающей последовательности областей. От-
сюда следует, в частности, что несобственный интеграл,
как и собственный, обладает линейным свойством: если
он сходится для некоторых функций Ь(х) и /2(х), то он
сходится и для любой линейной комбинации cji(x)
+ c2f2(x) (ci и с2 — числа) и
I (clfl + cizf2) — Cilfi + c2lf2.
3.72. Несобственные интегралы от неот-
рицательных функций и абсолютная схо-
димость.
а. Если функция f(x), сверх условий 3.71, неотрица-
тельна, f (х) O,jro определения всех несобственных ин-
3,72 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ж
тегралов 3.71 а—в упрощаются. А именно, достаточно
рассмотреть собственные интегралы типа (2) лишь для
какой-либо одной исчерпывающей последовательности
областей Gm и выяснить только, являются ли эти инте-
гралы в совокупности ограниченными. В силу отмеченного
в 3.71г соотношения между любыми исчерпывающими
последовательностями областей, из ограниченности
интегралов (2) на последовательности Gm и неотри-
цательности функции f(x) следует ограниченность ин-
тегралов типа (2) и на-любой другой исчерпывающей
последовательности областей. А ограниченность после-
довательности Imf вместе с соотношением /J I2f ...
означает существование предела последовательности
чисел Imf по каждой исчерпывающей последовательно-
сти областей, откуда, в силу 3.71 г, и вытекает суще-
ствование соответствующего несобственного интеграла.
б. Пусть 0 f(x)^ g(x) и обе функции допустимы-
(3.71 в). Если существует интеграл по области G от
g(x), то существует и интеграл по области G от f(x),
причем If Ig. Действительно, интегралы от g(x) по
исчерпывающей последовательности областей имеют
предел и поэтому ограничены сверху числом Ig; по-
этому ограничены сверху тем же числом Ig и интегралы
от функции f(x) по этой последовательности областей;
отсюда и из а следует, что существует интеграл If и вы-
полнено неравенство If 1g, что и утверждалось.
Как следствие получаем: если 0 f (х)^ g(x)— до-
пустимые функции и интеграл для f(x) по области G
расходится, то расходится и интеграл по этой области
от функции g(x).
Приведенные здесь результаты в совокупности обра-
зуют признак сравнения для несобственных интегралов.
в. Если f(x)—неотрицательная допустимая функция
и интеграл If = IGf по области G сходится, то интеграл
Iqf по любой меньшей области QcG также сходится,
причем IQf ^IGf. Действительно, если %ч(х)— характе-
ристическая функция области Q, то функция %ц(х)}(х)
допустима вместе с функцией f(x) и удовлетворяет не-
равенству 0 xq(x)/(x) f(x); применяя а, получаем
— Iqf U,
что и требуется.
290
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.72
Как следствие получаем: если интеграл по области Q
от допустимой функции f(x)^0 расходится, то расхо-
дится также интеграл от f(x) по любой большей обла-
сти G zd Q.
г. Если для допустимой функции f(x)^O сходятся
интегралы по жордановым множествам G' и G", то
интеграл от нее по множеству G' U G" = G тоже сво-
дится.
Заменяя G" на G" — G' П G", можно привести ут-
верждение к случаю, когда жордановы множества G' и
G" не пересекаются. Пусть G'm — исчерпывающая после-
довательность жордановых множеств для области G' и
Gm — для области G". Тогда, очевидно, множества
G'm U Gm образуют исчерпывающую последовательность
для множества G.
Обратно, всякая исчерпывающая последовательность
Gm для множества G порождает две последовательности
G'm — G' n Gm и G'm = G" П Gm, которые, очевидно, яв-
ляются исчерпывающими для областей G' и G".
Мы имеем по 3.33 б
J f[x)dx~ j f(x)dx + J f(x)dx, (1)
и так как интегралы справа имеют пределы, то и инте-
грал слева имеет предел. Отсюда, по 3.71 г, следует су-
ществование интеграла от функции f(x) и по области
G = G' U G". В частности, для непересекающихся обла-
стей G' и G" мы получаем предельным переходом из
(1) равенство
| f (х) dx — J f (х) dx + J f (x) dx.
O'UG" O' G"
Разумеется, полученный результат легко распростра-
няется и на любое (конечное) число жордановых обла-
стей G', G",.,., G<4
д. Принцип локализации. Пусть задана неог-
раниченная допустимая функция f(x)$sO в ограничен-
ной замкнутой области G az Rn. Если для каждой точки
а^О существует окрестность V(a), в которой функция
3.72
§3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
291
f(x) интегрируема (т. е. несобственный интеграл от f(x)
2-го рода по V(a) сходится), то функция f(x) интегри-
руема и во всей области G; если же хотя бы у одной
точки b^G существует окрестность V(b), в которой
функция f(x) не интегрируема, то она не интегрируема
и во всей области G.
Доказательство. Имея для каждой точки а е G
окрестность V(a), в которой функция f(x) интегрируема,
выберем из этого набора окрестностей конечное покры-
тие V(ai), .... V(ah) области G. Но тогда в силу г она
интегрируема и на их объединении G, что и требовалось
доказать.
Если в окрестности V(b) функция f(x) не интегри-
руема, то она не интегрируема и во всей области G
в силу в.
е. Абсолютно сходящиеся интегралы.
Пусть f(x) — допустимая функция, заданная в области
G с Rn. Предположим, что имеется неотрицательная
допустимая функция g(x), интеграл от которой по G
сходится. Тогда, если |f(x)l=^ g(x)> то функции f(x) и
|f(x)| также интегрируемы по области G, причем
j f(x)dx J g(x)dx.
в а о
(2)
Для доказательства возьмем произвольную исчерпы--
вающую последовательность жордановых множеств
Gx с: G2 с ... с: G; мы получим при k < m
J f (x) dx — J f (x) dx =
Gm °k
J f(x)dx <
Gm~ok
< j J g(x)dx=* J g(x)dx — §g(x)dx.
°m~ok °m~ak °m °k
Правая часть полученного неравенства неотрицательна
и стремится к нулю при k —» оо, m —» оо в силу сходимо-
сти интеграла от g(x). В силу критерия Коши суще-
ствует также предел интегралов от функции f'(x) по об-
ластям Gm\ это означает, по 3.71 в, и существование ин-
теграла по области G от функции f(x). Существование
интеграла от |f(x)| следует из б. Переходя к пределу
292
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.73
при т —* оо в неравенстве
j f(x)dx < j | f (x) |dx< j g(x)dx,
°m Gm °m
получаем требуемое неравенство (2).
Интеграл от функции f(x), удовлетворяющей всем
высказанным условиям, называется абсолютно сходя-
щимся. Интересно отметить, что в /?п, вообще говоря, не
существует интегралов, сходящихся не абсолютно (см.
задачу 6).
3.73. Примеры.
а. Пусть на полуоси 0 < а г < оо задана функция
f(r)i>0, кусочно-непрерывная на каждом конечном
п
отрезке Полагая г2= 2 х2 = | х I2, получаем
допустимую функцию f (г) = f у 2jx2(J, определен-
ную в Rn. Рассмотрим ее в области G =| хе/?„: | х | ~^а,
ттт е г, гДе 2 —.некоторое заданное множество поло-
1 * I J
жительной площади на единичной сфере простран-
ства Rn. Поставим вопрос о сходимости несобствен-
ного интеграла 1-го рода
f (г) dx.
(1)
В качестве исчерпывающей последовательности областей
возьмем области Gm = |xe/?n: а^.\х\^.т,
Интеграл от функции f (r) по области Gm вычисляется
по правилу 3.65 а, именно
т
p(r)dx= [( [ f(r)d(rS)ldr,
Qm J
.где множество rS лежит на сфере радиуса г. Так как на
этой сфере функция f(r) постоянна, то внутренний ин-
3.78
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
293
теграл, согласно 3.63 в, равен
f(r)|rS| = f(r)r-'|2b
В результате мы получаем
Jf(r)dx=|S| jf(r)r"-‘dr.
Gm r=a
Для выяснения вопроса о сходимости интеграла (Ц
мы должны устремить здесь т к + оо. Но тем самым
вопрос о сходимости этого интеграла приводится к во-
просу о сходимости в /?] несобственного интеграла
J f(r)rn~' dr.
а
Например, используя результат 011.11 а, мы можем ска-
зать, что интеграл
f dx
сходится при а > п и расходится при а п. Заметим,
ито результат не зависит от выбора множества- 5 на еди-
ничной сфере в Rn, определяющего область G (лишь бы
множество S имело положительную площадь).
В силу признака сравнения 3.72 б при тех же усло-
виях сходится или расходится интеграл
(2)
где 6(х)— допустимая функция, имеющая при |х| —> оо
положительный предел. Если в(х) лишь ограничена при
|х| —> оо, то на основании признака сравнения 3.72 6
можно утверждать только, что интеграл (2) сходится
при а > п.
б. Пусть в промежутке 0 < г b задана функция
кусочно-непрерывная на каждом отрезке а
г b (а > 0) и, возможно, неограниченная при
п
г—>0. Полагая r2= 2 х, = | хР, получаем допустимую
функцию = 2 х{\, определенную при
£94
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.73
О < |х| Ь в Rn- Рассмотрим ее в области G=j х е Rn,
О < | х | < 6, jyj- где 2 — некоторое множество
положительной меры на единичной сфере в Rn, и по-
ставим вопрос о сходимости несобственного интеграла
2-го рода
J f(r)dx. (3)
G
Р качестве исчерпывающей последовательности областей
возьмем области
Gm = {x^Rn:
Аналогично а, имеем
ь
j f(r)dx = |S| j f(r)rn-Idr.
Gm r—l/m
Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (3)
приводится к вопросу о сходимости в Ri несобственного
интеграла 2-го рода
ъ
/ f (г) гп-1 dr.
о
Например, используя результаты ОН.22 а, получаем, что
интеграл
f dx
сходится при а < п и расходится при а п.
В силу признака сравнения 3.72 б при тех же усло-
виях сходится или расходится интеграл
(4)
G
где 6(х)—допустимая функция, имеющая при х-*0 по-
ложительный предел. Если же функция 6(х) только ог-
раничена при х—*0, то, пользуясь признаком сравнения
3.73
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
295
3.72 6, можно утверждать лишь, что интеграл (4) при
а < п сходится.
в. Как следствие из а и б, получаем, что интеграл
3-го рода от функции \fra по «телесному углу»
G = { х е Rn- -гт 1(где S, как и выше, множество
V I -М J
положительной меры на единичной сфере в Rn) не су-
ществует ни при каком а.
г. Требуется проанализировать сходимость интеграла
J J Х dx dy (5)
в каждой из областей G,- (i = 1,2,3), изображенных на рис. 3.7-1.
Рассмотрим вначале область 6р
При любом положительном е и достаточно большом р сектор
{х, е < у/х <1 — е, х > р} принадлежит этой области.
В указанном секторе подынте-
гральное выражение не мень-
ше, чем С/r2 при некотором
С > 0. Следовательно, инте-
грал (5) по этому сектору и
тем более по области Gi расхо-
дится в силу а и признака срав-
нения 3.72 6. Области G2 при-
надлежит сектор {х, у е Rt:
0 у/х 1 — е, г1); в этом
секторе подынтегральное выра-
жение также не меньше, чем
С/r2 с некоторым С > 0, и ин-
теграл (5) по области Gj так
X
Рис. 3.7-1.
же расходится. Что же касает-
ся области G3, то в ней можно взять расширяющуюся последователь-
ность прямоугольников •Gm == {x,yeR2: 1 х m, 0 < у 1),
исчерпывающую эту область. При этом мы имеем
Так как правая часть ограничена при m -* оо, интеграл (5) по обла-
сти G3 оказывается сходящимся.
д. Рассмотрим в ограниченной замкнутой области
G cz Rn поверхность S = {х = <р (и), и е U cz Rk},
296
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.73
определяемую дважды дифференцируемой функцией
ф(и) без особенностей (последнее означает, что матри-
ца <р'(и) не вырождена). Пусть p=p(x,S) означает рас-
стояние от точки х до поверхности 5. Выясним, при ка;
ких а является интегрируемой в области G функция
l/p»(x,S).
Применим принцип локализации 3.72 д, в силу кото-
рого достаточно рассмотреть вопрос о существовании
интеграла в произвольно малых окрестностях каждой
точки хе G. Для каждой точки а ф S имеется окрест-
ность, в которой функция 1/р“(х, S) ограничена и, сле-
довательно, интегрируема. Рассмотрим точку а е 5.
В си^у 3.65 ж существует слой W\(S), содержащий не-
которую окрестность V(d) и описываемый параметрами
(и, о) = (ц1, ..., uk\ ofe+I, ..,о„), ueG(fl)cG,
о е = {о: | о Р== 21)2< Л2}
таким образом, что функции
Х| = xj (и, о),.
Хп = Хп(и, о)
при 0л+| ='... =± vn == 0 дают представление участка
S(d) поверхности 5 (в указанной окрестности точки а),
а при фиксированных и («], ..., uh).~ изометрическое
отображение ’ (n — ft) -мерного шара | о Л2 на шар ра-
диуса h с центром в точке а, расположенный в нормаль-
ном к поверхности S-,. (п —г &)-мердрм подпространстве.
Интеграл от любой (ограниченной) функции f(x) по
этому слою может быть записан по правилу 3.58:
| f (х) dx = | f (х (и, о)) | у’ | du do.
Wh(S) U{a>XQh
п
Величина р2(х, 5) в данном случае совпадает с S v2,.
Возьмем в качестве последовательности допустимых
областей Gm области вида
Gm = { х е Wk(S)’- х=х(и, v), u е G(u),о |^й|.
3.74
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
297
Тогда
°т
dx
p“(x.S)
J <6>
-i-Clo|<h
где
ф(»)= f I f .(кь
v ' J I э (и,....vn)
U(a)
|diz.
Функция Ф(и) имеет пределом при
Ю1=1/ 2^->о
V М-i 1
площадь поверхности S(a) {3.65 д). Согласно 3.73 6 ин-
теграл (6) имеет предел при т —► оо тогда и только
тогда, когда а< п — k. Тем самым функция 1/ра(х, SJ
оказывается интегрируемой в области G тогда и только
тогда, когда а<п — k.
3.74. Несобственные интегралы с пара-
метром.
а. Теория несобственных интегралов с параметром,
описанная в 011.4 для одномерной области интегриро-
вания, распространяется без осложнений и на много-
мерные области. Рассмотрим нёсобственный интеграл
1-го рода
/(Х)= Jf(x, K)dx, (I)
о
сходящийся при всех значениях параметра 7, из некото-
рого множества А. Интеграл (1) называется равномерно
сходящимся на А, если для любого е > О существует
такое р > О, что для любой ограниченной области
QczG, не содержащей точек шара Vp={xe/?n: |х|^
р}, выполняется неравенство
J f{x, K)dx
о
< 8.
298
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.74
б. Аналогично рассматривается несобственный инте-
грал 2-го рода с параметром X е А:
I (А) = J f (х, Л) dx.
(2)
Функция f(x, А) предполагается при любом леЛ огра-
ниченной и кусочно-непрерывной в ограниченной замк-
нутой области G cz Rn вне любого окружения фиксиро-
ванного (не зависящего от Л) нуль-множества Z cz G.
Несобственный интеграл (2) называется равномерно схо-
дящимся на Л, если для любого е > 0 существует такое
б > 0, что для любого множества Q, содержащего мно-
жество Z строго внутри себя и содержащегося в 6-окру-
жении множества Z, выполняется неравенство
J f (х, Я) dx < в.
Q
в. Аналогично строится определение и равномерно
сходящегося на Л несобственного интеграла 3-го рода,
которое, за ненадобностью в дальнейшем, мы опускаем.
Следующие теоремы для интеграла 1-го рода дока-
зываются совершенно аналогично тому, как они дока-
зываются для одномерной области (011.43—45).
г. Пусть Л — метрическое пространство и функция
f(x, Л) равномерно непрерывна на каждом произведении
AX(Gf|Vp). Если интеграл (1) сходится равномерно
на Л, то I (Л) является непрерывной функцией от X.
д. Если Л — нагруженное пространство и функция
f(x, Л) непрерывна по совокупности х, Л на каждом про-
изведении AX(Gf| V), а интеграл (1) сходится равно-
мерно на Л, то несобственный интеграл от функции
g(x}= j f (х, K)dK
л
по области G сходится и
j И*. Ц J f(x, tydk
dx.
е. Теорема. Если Л — линейное нормированное
пространство и функция f(x, Я) обладает производной
3.75
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
299
> непрерывной по (%, X) на каждом произведе-
нии Л X (G Л Vp)> а интеграл
{^-dx
J ол
о
сходится равномерно на Л., то интеграл (1), если он схо-
дится хотя бы при одном X — Хо е Л, — сходится при
всех ХеЛ, представляет собою дифференцируемую
функцию и
ТОГ J f (х, k)dx = J dx.
о о
Для доказательства вместо теорем 09.84 и 09.77, ис-
пользованных в 011.45, следует взять теоремы 1.46 и
3.35 в, в которых, вместо производных по Ri, речь идет
о производных по нормированному пространству.
ж. Простейшим признаком равномерной сходимости
интеграла (1), как и в 011.47 а, является наличие ин-
тегрируемой мажоранты — допустимой функции F(x)^
0, удовлетворяющей условиям
(х, X) | для всех ХеЛ,
J F(x) dx < оо.
о
з. Для интегралов 2-го и 3-го рода теоремы, анало-
гичные в — ж для интегралов 1-го рода, доказываются
теми же приемами.
3.75. Сведение многократных несобст-
венных интегралов к однократным. Мы изу-
чим здесь для простоты случай п = 2; общий случай
рассматривается аналогично.
а. В пространстве Rz рассмотрим неотрицательную
кусочно-непрерывную функцию f(x, у). Допустим, что на
каждом конечном отрезке —с у с у нее имеется
интегрируемая мажоранта, т. е. такая кусочно-непрерыв-
ная функция Fc(x) 0, что
со
J Fc (х) dx < оо, f (х, у) < Fc (х) (1)
—оо
(—оо < х < ОО, —С^у^с),
300
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.75
и пусть, кроме того, функция
Ф(*/)= Jf(*. y)dx
(2)
(существование которой обеспечено признаком сравне-
ния 3.72 6) кусочно-непрерывна на каждом отрезке
— с у с.
Теорема. 77р« высказанных условиях существова-
ние какого-нибудь одного из интегралов
7 = J J f(x, y)dxdy,
н,
со 1
J f(x, y)dx idy
—co '
(3)
влечет существование другого и их равенство.
Доказательство. Из наличия интегрируемой ма-
жоранты вытекает равномерная сходимость интеграла
(2) в любом промежутке — с у с и равенство
Псо 1 со f С 1
j f(x, y)dx [dy = J I j f(x, y)dy |dx =
— co * —co ’ — C *
Пс 1 a c
[ f(x, y)dy |dx = lim f Г f (x, y)dxdy. (4)
J I fl->co J J
—c 7 —a —c
Если сходится первый из интегралов (3), то правая
часть (4) остается ограниченной числом 7 при всех с;
это влечет, существование второго интеграла и неравен-
ство 71 ^ 7. Ёсли сходится второй из интегралов (3), то
левая часть (4) ограничена при любом с числом 1т, сле-
довательно, при любых и и с тем же числом ограни-
чен интеграл
а с
J J f(x, у) dxdy,
—а —с
откуда следует существование первого из интегралов
(3) и неравенство 7 7Ь Таким образом, существова-
ние одного из интегралов (3)' влечет за собой как суще-
ствование второго, так и оба неравенства 7 7i, h 7,
т. е. равенство 7 = 71, что и требуется.
3.75
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
301
б. Пусть даны функции g(x)^0 (— об < х < оо)
и (у) >! О (— оо < у < оо), кусочно-непрерывные и
такие, что при некоторых а и с интегралы
а с
J g(x)dx и \h(y)dy
—а —с
заведомо положительны. Положим f(x, у) = g{x)h{y).
Теорема. При высказанных условиях существова-
ние интеграла
1= f f f(x, y)dxdy (б)
j?.
равносильно существованию обоих интегралов
со оо
Л— f g(x)dx и /2— J h(y)dy; (6)
—ОО —оо
при этом имеет место равенство
оо ОО
f J f(x, y)dxdy=> J g(x)dx J h(y)dy. (7)
R —OO —OO
Доказательство. При любых а и с имеет место
равенство
а с ас
f р(*. y)dxdy — J g(x)dx J h(y)dy. (8)
—a — c —a —c
Если существует интеграл (5), то левая часть равен-
ства (8) при любых а и с ограничена сверху числом /.
Переходя к пределу при а -* оо, с ±= с0, получаем суще-
ствование первого из интегралов (6); переходя к пре-
делу при с —► оо, получаем существование второго ин-
теграла и неравенство / IJz. Если существуют ин-
тегралы (6), то правая часть равенства (8) ограничена
сверху числом Л/2; отсюда следует существование ин-
теграла (5) и неравенство / «S lit* В любом йз случаев
имеют место оба неравенства lil* /i(2 /, т. е. ра-
венство I — /1/2, что и требуется.
302
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.7в
8.76. Замена переменных в несобствен-
ных интегралах. Мы снова ограничимся для про-
стоты случаем п = 2 и неотрицательной кусочно-непре-
рывной функцией f{x, у).
а. Рассмотрим сходящийся интеграл
/= J j f(x, y)dxdy. (1)
о
Пусть область G в плоскости х, у (ограниченная или
нет) дифференцируемым отображением х = х(и, v),
у = у(и, v) переходит в область Q в плоскости и, v
(также ограниченную или нет). Покажем, что суще-
ствует интеграл
|| f(x(u, v), у (и, о))| vyidudt>
Q
и его значение совпадает со значением интеграла /.
Исчерпывающая последовательность областей G, с:
cz G2 cz ... cz G при отображении х = х (и, v), у =
— у(и, v) переходит, очевидно, в исчерпывающую по-
следовательность областей Qi cz Q2 cz .. cz Q. Приме-
няя правило замены переменных 3.57 к области Gm, на-
ходим
IJ f(x, y)dxdy= ||f(x(«, v), y(u, p))| \ du dv.
Устремим m к + оо. Левая часть последнего равенства
в силу сходимости интеграла (1) имеет предел, рав-
ный /; следовательно, правая часть имеет этот же пре-
дел; отсюда, в соответствии с 3.72 а, мы заключаем, что
существует интеграл (2) и что он совпадает с интегра-
лом (1).
б. Пример. Используя определение гамма-функции {011.51)
СО
Г(а)= | е~хха~Чх
о
и результат 5.75 б, мы получаем
Г(а)Г(А) —
СО со
= | dx J dy = | J dx dy. (3)
0 0 Кг
3.77
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
303
Перейдем к новым координатам
х — и(\— о), y=uv. (4)
Отображение (4) переводит первую четверть плоскости х, у в полу-
полосу 0 и < оо, 0 v 1 на плоскости и, v и обратно. При
этом
1д (х, у) I 11 — v v I_
д(и, v) |=| —и и I
В силу а имеем
ОО 1
Г (а) Г (6) = J j е-ииа+ь~2 (1 - о6-’и du dv =
«=0 и==О
со 1
= j e~uua+b~1 du j о6"1 (1 - v)a~' dv = Г (а + Ь) В (а, 6);
о о
мы получили заново соотношение между гамма-функцией и бета-
функцией. Первоначальный вывод 011.53, проходящий целиком в
рамках функций одного переменного, оказывается более сложным,
чем вывод, основанный на обращении к функциям двух переменных.
3.77. Несобственные интегралы с пере-
менной особенностью.
а. В дальнейшем нам придется иметь дело с интегра-
лами с переменной особенностью, которые имеют вид
/>(»)=» (1)
1*-»г
где |х — означает расстояние от точки х е Rn до
точки у е Rn, a G cz Rn есть ограниченная область.
Функция f(x, у) предполагается ограниченной и непре-
рывной в области G >< Н, Н с: Rn-
При у е G и а > 0 интеграл (1) является несоб-
ственным интегралом 2-го рода и, по 3.73 б, сходится
(абсолютно), если а < п.
Хотя интеграл (1) является несобственным интегра-
лом с параметром, однако общая теория интегралов
с параметром, изложенная в 3.74, здесь не применима,
так как особенность в интеграле (1) не фиксирована,
а определяется положением параметрической точки у.
Поэтому свойства интеграла (1) мы будем выводить пу-.
тем прямого анализа, не обращаясь к общей теории 3.74.
б. Лемма. Если а < п, то для любого е > 0 суще-
ствует такое б0 > 0, что для любого шара У6 радиуса
304
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.77
б до выполняется неравенство
(2),
Доказательство. Функция f(x, у), непрерывная
по совокупности аргументов х, у, ограничена, так что,
например |/(х, у) | sg С. В силу сходимости интеграла от
-——-, по заданному е > 0 найдется число т > 0 та-
I* — J/I
кое, что для шара Ет(у) радиуса т с центром в точке у
будет выполняться неравенство
причем число т не зависит от выбора точки у. Нам
остается рассмотреть шары с центрами в других точках.
Если шар Vp (i/i) лежит целиком внутри шара Vt(«/), то
для V6 = Vp (yi) неравенство (2), очевидно, имеет ме-
сто. Далее, вне шара Vxj3(y) функция ограни-
чена, например, числом К. Поэтому интеграл от нее по
любому шару с центром вне шара Е2т/з(у) и радиу-
сом р < т/3 (такой шар не имеет общих точек с шаром
Ет/з(»/)) не превосходит величины A|Vp|=Kfi„p'‘
(Йп — объем единичного шара в Rn), что меньше е при
достаточно малом р, например при р б «С т/3. Но вся-
кий шар радиуса р < т/3, если он не лежит целиком
внутри шара V\(p), имеет центр вне шара Vst/siy)- По-
этому для любого шара V₽(«/i) радиуса, р < б, где бы
ни был его центр, неравенство (2) имеет место, что и
требуется.
в. Здесь мы установим теорему о непрерывности
функции F(y) (1).
Теорема. Если f(x, у) непрерывна по совокуп-
ности аргументов X, у, причем а<п, то функция
o' 1*-УГ
непрерывна.
3.77
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 305
Доказательство. С помощью леммы б для
заданного в > 0 найдем 6 > 0 так, чтобы для любого
шара V6 радиуса б выполнялось неравенство
(3)
Введем обозначение
|х-У\а
произвольную точку у0 е Н. Пусть | у — у01 < 6/2. Тогда
I F(y) -F(y0)\ =
ф(х, у). Фиксируем
J [ф(*. «/) — <₽(*, y0)\dx <
о
<1 J [<₽(-«. y) — fp(x,y0)]dx +
I («о)
+ J — ф (x, y0)]dx <
O-Vb
< J |ф(х, #)|dx+ J 1ф(х, y0)ldx +
v6 («о)
^(«о)
/ [ф(*. У) — ф(л, yn)]dx . (4)
В области {xeG-Ve(jo), 0eVe(yo)} функция
<р(х, у) непрерывна по совокупности переменных х, у;
по теореме 3.35 а последний интеграл в правой Части (4)
представляет собой непрерывную функцию от у. В част-
ности, по заданному ъ мы можем указать такое р < 6/2,
что при [у — f/o|< Р будет иметь место неравенство
J [ф(*> У)~ ф(*.
G-Vp (4*0)
(5)
Из неравенств (3) — (5) вытекает, что при | у—у01 < р
1^)-^о)1<|+у+4=8-
Таким образом, функция F(y) непрерывна в точке уо-
Так как уо — произвольная точка области Н, то F(y)
всюду непрерывна, что и требовалось.
306
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8,77
г. Интегрирование несобственного ин-
теграла с переменной особенностью по па-
раметрической точке.
Теорема. Если а < п и точка у пробегает k-мер-
ную поверхность S ограниченной площади (1 k <. п),
то
<6)
Доказательство. Заметим, что, в силу тео-
ремы в, внутренний интеграл в левой части равенства
(6) является непрерывной функцией от у, чем обеспе-
чено существование и всего интеграла в левой части.
В правой части внутренний интеграл, как функция от х,
определен только в точках х, не лежащих на поверхно-
сти S; при приближении точки х к поверхности 5 зна-
чение внутреннего интеграла, вообще говоря, неограни-
ченно возрастает, так что весь интеграл в правой ча-
сти — несобственный, с множеством особых точек подын-
тегральной функции, совпадающим с поверхностью 5.
Поэтому существование интеграла в правой части зара-
нее не очевидно;* вместе с равенством (6) оно будет
вытекать из наших рассуждений.
Как и выше, обозначим <р (х, у) = -.. . Для до-
lx — У Г
казательства существования интеграла в правой части
мы должны рассмотреть последовательность собствен-
ных интегралов
/»= J [J ф(х, y)dy\dx (m=l, 2, ...),
о-вт I s J
где области Вт стягиваются к множеству 5. В каждом
интеграле 1т, по теореме 3.35 б, можно переменить по-
рядок интегрирования:
J <р(х, y)dx\dy.
s Iо-вт J
Внутренний интеграл обозначим через Fm(y). Пока-
жем, что при т-»оо функция Fm(y) равномерно в Н
3.77 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
стремится к функции
ж
F(y) = / <p(x, y)dx.
Разность между F(y) и Fm(y) представляется как
интеграл по области Вт:
F (у) — Fm (у) = J ф (х, у) dx.
(7)
Для заданного е > 0, пользуясь леммой б, найдем
б > О так, чтобы для всякого шара Vp радиуса р б
имело место неравенство
I g
J 1ф(*. &)ldx
Разобьем интеграл (7) на сумму двух интегралов:
первый по. той части В'т области Вт, которая попадает
в шар Vp (у), а второй — по оставшейся части Вт- В силу
выбора числа б
J lf(x, y)\dx <-|
независимо от значения т. В области Вт функция
<р(х, у) ограничена (постоянной, не зависящей от т)\
поскольку объем области Вт => В'т стремится к 0 цри
т —► со, мы можем указать такое N, что при т> N
J I Ф<*> У) Idx < у.
Таким образом, для всех значений m > N
\F(y}-Fm(y)\^
J |ф(х. y)ldx+ J|<р(х, y)ldx <-~ + ~=е»
причем эта оценка выполняется независимо от поло-
жения точки у ^Н, Итак, последовательность Fm{y)
308
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.77
равномерно сходится к F(y). По 3.14 е отсюда следует,
что /т имеет предел, равный значению
J F (у) dy = J f J ф(х, y)dx\dy.
S SIG J
Мы доказали тем самым как существование инте-
грала в правой части равенства (6), так и само это ра-
венство.
д. В теоремах в, г условие непрерывности функции
f(x, у) по аргументам хе б, у^Н можно ослабить,
заменив его следующими предположениями:
1) функция f(x, у) ограничена при хе б, у е Я;
2) при любом д > 0 функция f(x, у) непрерывна по
совокупности аргументов х, у в области Gy^H —
= {х.у: |х — #]<«}.
Действительно, в указанных предположениях мы мо-
жем написать
f (*> у) f (*, у) I * - У lv
|х-у|“ |x-yl“+Y
При достаточно малом у > 0 показатель степени в зна-
менателе все ещё не будет превосходить п, в то же
время числитель оказывается непрерывным по совокуп-
ности х, у всюду в б X А, и теоремы в, г остаются спра-
ведливыми.
е. Легко проверить, что теоремы в, г с дополнением д
справедливы также для функций f(x, у), принимающих
значения в нормированном линейном пространстве.
Можно применять их, например, для произведения чис-
ловой функции f(x, у) на вектор е(х, у) —единичный,
вектор, направленный из точки х в точку у. Эти вектор-
ные функции даже при непрерывной функции f(x, у).
вообще говоря, теряют непрерывность при х -* у.
ж. Дифференцирование несобственного
интеграла с переменной особенностью по
координатам параметрической точки.
Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна по
совокупности аргументов х е б, у е Н и обладает
производной -д-‘ » также непрерывной по совокуп-
ности аргументов х, у (или хотя бы удовлетворяющей
3.77
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
309
условиям д), то при а < п — 1
G о % 1х“»1
(8)
Доказательство. Пусть, каки раньше, ф(х, у)=
— у\,. Простой подсчет показывает, что
х —у|“
д 1 __ a yJ — xj а
ду, |х-»Г |х —»Г+* |Х —уГ+,СО8<0/’
где через а, обозначен угол между вектором у — х и
/-Й координатной осью. Отсюда
5<р(х, у) a cos со. 1 df (х, if)
-------йет '<х-”+ - •
что вместе с ограниченностью функций f(x, у) и ~ ^Х’у^
приводит к оценке
I дф (х, У) I ci
j ду, Р |x-y|°+' ’
в которой Ci — некоторая постоянная. В силу этой
оценки при a < п — I интеграл по аргументу х от функ-
дф (х, у) _.
ции абсолютно сходится.
Чтобы доказать требуемое утверждение, будем дей-
ствовать следующим образом. Мы построим функцию
Ф6(х, у), ограниченную, непрерывную по совокупности
<?ФД (х, у)
аргументов х, у и обладающую производной—---------
также непрерывной по совокупности х, у, для
равномерно по у выполняются соотношения
дУ1
которой
lim Г фв(х, y)dx = [ <р(х, y)dx,
в**° G G
(9)
310 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.77
Пусть, далее,
Лу) = j Ф (х, у} dx, F6 (у) = J <рб (х, у) dx,
а 6
е. ч Г а.Ф(х. у) .1
F(y)=^ ду, dx.
а
По теореме 3.35 г имеем
dF6^ д ft ХА [д<Р6^’У).
1 1 О О'
Соотношения (9) можно записать в форме
\imF6(y) = F(y),
<3->0
\im^L=F(y).
6->0 аУ/
Но тогда, в силу теоремы о почленном дифференциро-
вании последовательности функций (1.46), функция F(y)
дифференцируема по у} и
у ‘
я / что нам и требуется.
° """\ / Остается построить функ-
\. / цию ср6(х, у), обладающую
х/ указанными свойствами.
Рассмотрим функцию
—----------—"7~~*-r h6(r) =
® ° Г 1/г при г^б,
Рис. 3.7-2. ( В — г2Д при 0 < Г < б,
где А и В подобраны так, чтобы при переходе значе-
ния г через 6 не произошло нарушения непрерывности
и дифференцируемости функции йб(г) (рис. 3.7-2). Оче-
видно, при этом выполняются неравенства
|Лв(г)1<7Г (0<Г<оо).
8.77
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
311
Положим теперь
У) = ка6(\х — y\)f(x, у).
Мы имеем
d<P6 (x, y)
dy.
.a,. ..df{X,y)
= A6(lx —g|) dy, +
+ <хйГ* (I x - у I) Лв (I x - У I) ~"1Х?У|)?(*> УУ
Из неравенств (10) вытекает, что
д<Ра (х. у)
tyj
с некоторыми постоянными С2 и С3. Отсюда следует,
что при заданном е > 0 можно так выбрать б, что,
независимо от положения точки у е Н, будет выпол-
няться неравенство
IFQ/) —Гв(#)|= J [<р(х, у) — <р6(х, y)]dx =
о
= J [ф(х, у) — Фв(*> y)]dx С
V6<0
C2
I Фв(*. ------]T>
v6 М
v6(i/)
dyt
С3
|x-y|“+I
dx
.. iQ
ve(y)
Точно так же, уменьшая, если надо, б > 0, можно
добиться выполнения неравенства
F[y)
ЭГ6(У)
дУ}
дфв (*. У) 1 .
—--------[dx
ду1 J
f Г д<Р (* У) _ д(р6 (ж, у) 1
J I дУ/ ду, ]
I дф6 (* У)
I дУ1
dx
д<Р (х, у)
дУ/
'5 J
Vp(«)
dx
\x~y\a+i
независимо от положения точки у ^Н. Итак, соотно-
шения (9) установлены, н теорема доказана полностью.
312
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
1
ЗАДАЧИ *)
1. Привести к однократному интегралу выражение
X, Х1
J | Х1 ... xnf(xt)dxt ... dxn.
«2=о *,=о
2. Вычислить интеграл
/= J ... Je“x‘«-*»dx.
«л
где А (х, х) — положительно определеииая квадратичная форма.
3. Выразить интеграл
/-J(f-l/t'O
J?„ V V i=i /
через однократный.
4. Свести к однократному поверхностный интеграл
/= J Л(о. x)]d$.
Sn-l <«>
где Sn_j (1) есть сфера радиуса 1 в Rn.
5. (Пример Шварца.) На вертикальном прямом круговом
цилиндре (радиус основания 1, высота 1) вводятся естественно ци-
линдрические координаты <р и г, О «С <₽ С 2л, 0 г 1. На гори-
зонтальных сечениях z = 2kh, k—0,1,2...... отмечаются точки
<р = 0, 2а, 4а, ...; на сечениих г=(2Л+1)Л, k = 0, 1, 2......
отмечаются точки <р = а, За, 5а, ... (Лиа заданы). Две соседние
точки сечения z = mh и лежащая посредине над ними точка сече-
ния z = («+ 1)Л определяют треугольник, вписанный в цилиндр С.
Показать, что многогранник, составленный из всех этих треугольни-
ков, при неограниченном уменьшении Лиа неограниченно прибли-
жается к поверхности цилиндра, но его площадь может иметь лю-
бой предел, не меньший |С| .
в. Показать, что если интеграл от (кусочно-непрерывной н ло-
кально ограниченной) функции цх), взитый по неограниченной об-
ласти G с: Rn, сходится, то он сходится абсолютно. Как это увя-
зывается с существованием не абсолютно сходящнхсн интегралов
на [0, оо)?
*) Много интересных примеров кратных интегралов рассмо-
трено в III томе «Курса дифференциального и интегрального исчи-
сления» Г. М. Фихтенгольца.
12
ЗАДАЧИ
313
7. Рассмотрим следующее нагружение отрезка [а, 6]: ячейками
считаются всевозможные (рбычные) промежутки, а также их пере-
сечения с множеством Р рациональных точек или с множеством Q
иррациональных точек отрезка [«,£>]; мерой промежутка считается
его длина, мерой его пересечения с множеством Q — также его дли-
на, мера его пересечения с множеством Р принимается равной 0.
Проверить все свойства нагружения и указать в нем нежордановы
ячейки.
8. Показать, что центр тяжести прямого кругового конуса
(в /?3) любого углового раствора находится над ег© основанием на
одной трети высоты. Если угловой раствор конуса стремится
к нулю, то конус в пределе обращается в отрезок. Однако центр
тяжести отрезка находится на его середине. Чем объяснить этот
разрыв непрерывности?
9. Обозначим через Sr(k, п, е) часть сферы Sr(n) —
= [хе|х| = г}, выделяемую неравенствами
| (&!, х) К 8.... | (Ьк, х) К 8, 8 > 0,
где bt, Ьк —ортонормированные векторы. Показать, что
| Sr (k, п, е) | ,
„До |Sr(n)|
10. Обозначим через Vf(k, и, е, р) часть шара Кг(п) =
= {.г s Rn: | х | < г), выделяемую неравенствами
|(&1. *)|<8, .... | (&*, х)|<8, р<|х|<Г,
где bi, Ьк — ортонормированные векторы. Показать, что
lim
П->оо
| VT (fe. п, в, р) |
I Vr(n)|
1.
И. В пространстве Rn сферические координаты г, фь <ps,...
<p„-i вводятся по формулам
jq = гсозф1,
х2 — г sin ф| cos фг,
х3 = г sin ф| sin ф2 cos ф3,
*л-1 — г sin ф, sin фг ... sin ф„-г cos ф„- ц,
хп = г sin ф| sin ф2 ... sin ф„_2 sin ф„- f.
Доказать, что
det •••» **) е= rn—i sinn-zф sinn-3 ф sjn ф
д(г, Ф1....Фп-i) 1
12. Доказать, что в гильбертовом пространстве непрерывных
функций Цх) на отрезке а<х<6 квадрат объема параллеле-
пипеда, построенного на векторах fi (х), (х), выражается
314
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
13
величиной
fl (Xj) fi (xs) ••• fl (*n)
fs (*i) fi (*2) • • • ft (xn)
fn(Xl) fn(x2) ... fnM
dxt
13. Выражение
x„)e Ul “ n'dxi ... dxn = <p(at, .... a„)
называется п-кратным преобразованием Фурье функции . f (х).
,Показать, что преобразование Фурье, сферически симметричной
функции является сферически симметричной функцией.
14. При п = 3 преобразование Фурье сферически симметричной
функции f (х) записать в виде однократного интеграла.
15. Показать, что для абсолютно интегрируемой сферически
симметричной функции f (х) при п = 3 ее преобразование Фурье
<р (ст) есть дифференцируемая функция.
16. Показать, что преобразование Фурье от функции
п
где в показателе форма У, ayAXyXft
равно nn/2eDia^4Dy}'rD, где
положительно определена,
О
D = det || a/k J], Р(о) = ai
аи
• Сп
а1П
.. dxn.
°п ani апп
Историческая справка
Двойной интеграл (по ограниченной плоской области) появился
впервые у Эйлера (1770); Эйлер дал правило его вычисления путем
сведения к повторному интегралу. Эйлер, а затем и Лагранж рас-
сматривали и тройные интегралы. Каждый из них предложил и не-
кие правила для замены переменных; при ближайшем рассмотрении
эти правила оказались неполными, и правильный прием был указан
впервые М. В. Остроградским (1836) для двойных и тройных ин-
тегралов и Якоби (1841) для интегралов любой кратности; именно
в связи с задачей о замене переменных Якоби и ввел функциональ-
ные определители — якобианы, как их назвал Сильвестр.
Общая теория измерения объемов (в n-мерном пространстве)
развита Жорданом в его «Курсе анализа» (1882—1887).
Хотя площадь кривой поверхности умели вычислять через двой-
ные интегралы еще в XVIII веке (Эйлер 1770), однако её точного опре-
деления долгое время не было; считалось, что ее можно определить
как предел площадей вписанных многогранников, и лишь Г. Шварц
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
315
(1870) своим поразительным примером заставил задуматься над
необходимостью иметь точное определение. Оно было дано (через
«черепичное покрытие» и через «поверхностный слой») Жорданом
в том же «Курсе».
В 1894 г. Стилтьес ввел новое понятие интеграла, отличающееся
от классического понятия интеграла Римана тем, что равные интер-
валы на осн имели разную «меру» и даже отдельные точки могли
нести положительную меру; интеграл же получался из интегральных
сумм, как и у Римана, предельным переходом. Это определение
разрабатывалось затем многими авторами. Но появление в 1902 г.
интеграла Лебега, перенесенного в 1913 г. Радоном с оси на много-
мерное пространство, переместило интересы математиков в сторону
вопросов, связанных со счетно-аддитивной мерой, и интеграл Ри-
мана — Стилтьеса, требующий лишь конечной аддитивности меры
(а в случае, когда мера принимает значения разных знаков. — до-
полнительного условия ограниченности ее вариации), остался'в тени.
Он сохранил свое значение в вопросах, касающихся непрерывных
функций; так, в 1909 г. Ф. Рисе получил общее выражение линей-
ного функционала в пространстве непрерывных функций на отрезке,
а затем в 1913 г. Радон — на л-мерном компакте, в форме интеграла
по конечно-аддитивной мере.
Аддитивные функции областей в физике встречаются весьма
часто. Некоторые ученые считают, что вообще имеют реальное зна-
чение лишь функции областей, а функции точки являются аб-
страктными понятиями, не соответствующими реальной действитель-
ности (см., например, статью В. И. Смирнова и С. Л. Соболева
«Николай Максимович Гюнтер» в книге: Н. М. Гюнтер, Теория
потенциала и ее применения, ГИТТЛ, 1953). Так, температура в дан-
ной точке или плотность массы суть абстрактные понятия, соответ-
ствующие реальным понятиям — количеству тепла или количеству
массы в объеме, содержащем данную точку.
В 1938—1943 гг. конечно-аддитивные меры рассматривали (с бо-
лее общих позиций) А. А. Марков и А. Д. Александров. Наше по-
строение общей схемы интеграла также идет в духе идей интеграла
Римана — Стилтьеса. О связи между конечно-аддитивной и счетио-
адднтивной мерами на n-мерном компакте см: Г. Е. Шилов и
Б. Л. Гуревич, Интеграл, мера и производная, 2-е изд., «Наука»,
1967, гл. 2.
Рассмотренная схема ие переносится на бесконечномерные про-
странства, что, в общем, не так и удивительно: бесконечномерный
шар содержит бесконечное множество геометрически равных и не-
пересекающихся шаров меньшего радиуса; поэтому, если мы же-
лаем, чтобы геометрически равные шары имели равные объемы, мы
неизбежно придем к трудностям. С другой стороны, объем есть
интеграл от функции, равной 1 в соответствующей области, так что
трудности с объемами становятся трудностями в теории интеграла.
На самом деле теория интегрирования в бесконечномерных про-
странствах существует, ио она настолько не похожа на обычную
теорию, что объединение нх в едином изложении представляется
нецелесообразным (см.: Г. Е. Шилов и Фан Дык Тннь, Интег-
рал, мера и производная на линейных пространствах, «Наука», 1967,
и указанную там литературу).
ГЛАВА 4
СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
Между дифференциальными и интегральными операциями для
функций нескольких переменных существуют связи, обобщающие ту
Связь, которая ддя функций одного переменного выражается фор-
мулой Ньютона — Лейбница. С одной из таких связей мы уже
встречались в предыдущей главе, когда определяли плотность адди-.
тивной функции областей и строили по плотности саму аддитивную
функцию. Имеются и другие связи, в которых существенную роль
'начинает играть граница рассматриваемой области (как для одного
переменного — концевые точки отрезка). В случае функций несколь-
ких переменных эти связи описываются формулами Остроградского,
Грина, Стокса. Первоначально они записывались в обычной число-
вой, или «скалярной», форме. Позднее в связи с проблемами мате-
матической физики возник так называемый векторный анализ со
специфическими векторными дифференциальными операциями (гра-
диент, дивергенция, .ротор). А затем выяснилось, что задачи вектор-
ного анализа по существу и есть задачи о тех или иных формах
связи между дифференцированием и интегрированием (в простран-
стве). Но язык векторного анализа был значительно удобнее и на-
гляднее, чем классический «скалярный» язык математиков, что при-
вело к «векторной» перестройке всего этого раздела дифференциаль-
ного и интегрального исчисления. С другой стороны, и векторный
анализ освободился от физической специфики, а набор его диффе-
ренциальных операций оказался естественным и в определённом
смысдё*‘исчерпывающим набором дифференциальных операций 1-го
порядка. Отметим, что классический векторный анализ в существен-
ной своей части (ротор) вынужден действовать в трехмерном про-
странстве (или двумерном). Для первых приложений к математиче-
ской физике этого было достаточно. Однако для дальнейших физиче-
ских приложений оказываются необходимыми многомерные обобщения;
да и сама математика не удовлетворяется таким положением и ищет
общие формулировки, пригодные для любой размерности. И оказы-
вается, что векторный анализ может быть обобщен на высшие раз-
мерности; как именно — об этом будет речь в седьмой главе.
§ 4.1. Формула Остроградского
4.11. Поток векторного поля и его гидро-
механическая интерпретация. Пусть в обла-
сти 6 пространства 7?з задано непрерывное вёкторное
поле R = R(x), т. е. каждой точке поставлен в соответ-
4.11
§ 4.1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
317
ствие вектор R(x), непрерывно зависящий от точки х.
(Понятие векторного поля, возникшее в физике, совпа-
дает с математическим понятием векторной функции.)
Рассмотрим в области G кусочно-гладкую поверхность
S с нормальным единичным вектором т(х), непрерывно
меняющимся на каждом гладком куске поверхности S.
Выражение
W (R (х), S) == J J (т (х), R (х)) dS (1)
s
называется потоком поля R(x) через поверхность S.
Эта величина допускает простую механическую ин-
терпретацию. Именно, будем считать, что область G за-
полнена движущейся средой («жидкостью») и вектор
R(x) в каждой точке х есть
скорость частицы жидкости 1R
в точке х. Подсчитаем коли- Г
чество жидкости, протекаю- » I__________________
щей через поверхность S за I / /Т
промежуток времени dt. I /
Выделим на поверхности \lb-LJ /
S элементарную площадку )1'мП7 с /
dS-, пренебрегая изменением /._____________
вектора 7?(х) на площадке
dS, мы можем считать, что Рис-
жидкость, протекающая че-
рез площадку dS за время dt, заполняет цилиндр с ос-
нованием dS и образующей R(x)dt (рис. 4.1.-1). Объем
этого цилиндра равен dS\R(x)\cos(m, R)dt =*
= (R, m)dS dt.
Суммируя полученные величины по всем площадкам
dS, найдем, что количество жидкости, протекающей за
время dt через всю поверхность S, равно
dt J J (m, R) dS = dt • W (R, S).
s
Таким образом, поток W(R, S) может быть истолко-
ван как скорость (объемная) течения жидкости через
всю поверхность S или же, поскольку эта скорость не
зависит от времени, как количество жидкости, протекаю-
щей через эту поверхность за единицу времени.
318 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.11
При этом, поскольку (т(х), 7?(х))> 0, когда т(х) и
7? (я) образуют острый угол, и (т(х), R(x))<0, если
т(х) и R (я) образуют тупой угол, интеграл (1) дает
нам в действительности не абсолютное количество жид-
кости, протекающей через поверхность X за единицу
времени, а алгебраическую сумму количества жидкости,
протекающей в сторону нормали, со знаком +, и коли-
чества жидкости, протекающей в противоположную сто-
рону, со знаком —.
Рассмотрим теперь интеграл (1) в случае поверхно-
сти X, ограничивающей некоторую область V с: G, при-
чем вектор нормали т(х) бу-
дем направлять во внешнюю
сторону по отношению к V
f у (Рис- 4.1-2). Такие поверхно-
•----\ сти, разделяющие простран-
X. \ ство на две части—внутрен-
нюю (область V) и внешнюю,
у будем называть в дальнейшем
замкнутыми (ср. замкнутый
/ ------контур), что не следует сме-
m шивать с метрической замкну-
Рис. 4.1-2. тостью, т. е. с принадлежно-
стью к множеству X всех его
предельных точек. Интеграл от функции f(x) по замкну-
той поверхности X в /?3 будем обозначать так:
§Кя)4Х.
S
В случае замкнутой поверхности движение жидкости
в сторону нормали означает, что в соответствующем ме-
сте поверхности жидкость вытекает из области V, а_ дви-
жение в противоположную сторону — что в соответ-
ствующем месте жидкость втекает в V, Сам же инте-
грал (1) дает разность между количеством жидкости,
вытекающей из области за единицу времени, и количе-
ством жидкости, втекающей в область за это же время.
Если интеграл (1) равен нулю, то в область втекает
жидкости столько же, сколько и вытекает. Если же этот
интеграл отличен от нуля, то указанные количества
различны. В частности, если интеграл (1) положителен,
4.11 S 4.1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 319
то вытекает жидкости больше, чем втекает. Это указы-
вает на наличие внутри области V источников — таких
мест, где жидкость каким-то образом создается (как,
например, при таянии снега образуется вода). Числен-
ную величину интеграла (1) в этом случае можно истол-
ковать как общую мощность источников жидкости в об-
ласти V. Если интеграл (1) отрицателен, то втекает
жидкости больше, чем вытекает; внутри этого объема
должны быть стоки — места, где жидкость исчезает (на-
пример, испаряется). Стоки, конечно, также можно на-
зывать источниками, если допускать и отрицательные
количества жидкости. Поэтому интеграл (1) можно ин-
терпретировать как общую мощность источников, рас-
положенных в области V, а отношение этого интеграла
к объему | V| области V — как среднюю мощность
источников в области V. Фиксируем в пределах обла-
сти G точку у и будем рассматривать последователь-
ность областей V), ..., Vk, ..., ограниченных поверх-
ностями S], ..., Sh, ..., стягивающуюся к точке у.
Число W(R, Vfe)/| Vft|, как сказано выше, представляет
собой среднюю мощность источников в области Vh. До-
пустим, что при k —> оо эта средняя мощность стремится
к определенному пределу р = р(у), не зависящему от
выбора областей Vh (лишь бы они стягивались к точ-
ке у). Число р(у) естественно называть истинной мощ-
ностью (или плотностью) источников поля R(x) в точ-
ке у. Этот предел называется дивергенцией или расходи-
мостью поля R(x) в точке у. Итак, по определению
= Игл
в предположении, что указанный предел существует.
Зная дивергенцию, т. е. мощность источников поля
R(x) в каждой точке, мы можем интегрированием полу-
чить мощность источников этого поля во всем объеме V.
Обозначим ее через E(R(x), V); по определению
Е (R (х), V) == J J / div R (х) dx.
v
Так как процесс стационарен (R(x) не меняется со
временем), то вся образующаяся жидкость должна
(2)
sk
div R (у)
820 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.12
перетекать через границу; это соображение приводит
к физически понятному равенству
J / f div Я (л) dv = § (m, R) dS. (3)
V s
4.12. Теперь мы переходим к строгой теории.
а. Приведенное в 4.11 определение потока векторного
поля можно без существенных изменений перенести на
случай пространства Rn. Пусть в области G с Rn за-
дано кусочно-непрерывное векторное поле R = R(x).
Для любой кусочно-гладкой (п— 1)-мерной поверхно-
сти ScG с заданным непрерывным вектором единич-
ной нормали т(х) *) можно определить поток поля R
через поверхность S по формуле
W(R, S)= J(/n(x), R(x))dS.
s
Как и в R3, поверхность S cz R называется. замкнутой,
если она разделяет пространство Rn на две части — вну-
треннюю и внешнюю. Интеграл по замкнутой поверхно-
сти будем обозначать кратко через хотя в соответ-
ствии с обозначением в Rs, следовало бы в Rn пи-
сать
п— 1
Поток поля R через замкнутую поверхность, ограни-
чивающую некоторую область V, с нормалью, направ-
ленной наружу, представляет собою функцию области V:
W (R, S)= Wv (R) = (rn, R)dS. (1)
s
б. Теперь обратим внимание на то, что функция
WV(R) является усиленно аддитивной функцией обла-
сти V. Напомним, что функция Ф( И) области V назы-
вается усиленно аддитивной (3.41 а), если для любых
•) Вообще говоря, не для всякой гладкой поверхностя S даже
в /?з существует непрерывный вектор единичной нормали (зада-
ча 15). Существование такого вектора есть определенное ограниче-
ние на S («ориентируемость» ее; см. подробнее ч. 3, гл. 8).
4.12
§ 4:1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
321
двух областей 1Л и Vs без общих внутренних точек (мо-
жет быть, с общим участком границы) с объединением V
выполняется равенство
Ф(Ю = Ф^,) + Ф(У2). (2)
Усиленная аддитивность потока (1) основана на том,
что нормальный вектор т всегда должен быть направ-
лен во внешнюю чаеть пространства; поэтому в каждой
точке общей части границ областей V] и Vs, если она
имеется (рис. 4.1-3) величины (tn, R) для границы VS и
V2 будут иметь противоположные знаки, соответствую-
щие части двойных интегралов W’vJ/?) и Wv,(R) сокра-
тятся и результат будет представлять собой интеграл
по границе всей области V.
Однако такое рассуждение годится для областей до-
статочно простой формы. При сколько-нибудь сложной
форме областей V] и Vs доказательство равенства (2)
становится далеко не столь простым. Поэтому мы бу-
дем рассматривать сейчас лишь некоторые специальные
области, где аддитивность функции (I) будет очевид-
ной. А именно, мы рассмотрим фиксированный брус
X cz Rn, фиксированную область — жорданово тело
V cz X с кусочно-гладкой границей S и семейство 21 (V)
всех жордановых множеств U, получающихся пересече-
ниями с V подбрусов. бруса X. Семейство Д (X) есть,
очевидно, полукольцо (3.12); множества U образуют
етро ячейки; принимая за меру ячейки U ее объем |47|,
В22 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4,13
получаем полукольцо с мерой, так что V становится на-
груженным пространством и даже нормально нагружен-
ным (3.51 б). Каждая ячейка U, как и сама V, имеет
кусочно-гладкую границу S(U). Функция
S(Ui
на ячейках является, как мы только что ви-
дели, усиленно аддитивной, и мы можем применить
•к ней результаты 3.41—3.44. В частности, плотность
функции wv(R) в точке у е V, согласно определению
3.42 б, есть предел (если он существует)
lim -пгт (°1» R) dS.
U-*S I и I J
3(0)
В данном случае мы обозначаем этот предел через
div/?(у). Предположим, что величина divR(y) суще-
ствует в каждой точке у е V и представляет собою не-
прерывную функцию от у. Тогда .имеет место равенство
3144 (1)
R)dS^Wv(R) — J divR(y)dy,
SW) и
и тем самым равенство 4.11 (3) оказывается доказан-
ным при высказанных условиях на поток WV(R). Заме-
тим, что мы доказали его сразу в н-мерном простран-
стве Rn;
4.13. Результат 4:12 основывался на предположении,
что дивергенция поля R(x), т. е. величина
lim цц- f (т, R)dS, (1)
3«7)
существует и является непрерывной функцией точки.
Но для каких векторных полей можно гарантировать
существование предела (1)? Ответ на этот вопрос
мы дадим в дальнейшем (4.15); именно,.мы увидим, что
дивергенцией, притом непрерывной, заведомо обладают
векторные поля, составляющие которых имеют непре-
рывные производные. Для доказательства мы исполь-
зуем одну из важнейших формул, связывающих объем-
4.13
$ 4.1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
$23
ные и поверхностные интегралы, — формулу Остроград-
ского.
Известная формула Ньютона — Лейбница (см. 09.32)
J F'(x)dx^F(b)^-F(a)
связывает производную и интеграл для функции одного
переменного. Одним из важнейших ее многомерных об-
общений и является формула Остроградского.
В n-мерном евклидовом пространстве Rn выберем ка-
кой-либо ортонормированный базис elt ..., еп, так что
скалярное произведение векторов х = (хь ..., хп) и
у == (ух...уп) будет записываться стандартной фор-
мулой
(х, y) = xiyi + ... +хпуп-
Рассмотрим в пространстве Rn область G, ограниченную
кусочно-гладкой поверхностью S. Таким образом-, по-
верхность S может быть представлена как объединение
конечного числа своих частей Sp (р = 1, ..., q) без об-
щих внутренних (относительно S) точек; для каждой
внутренней точки xeSp имеется окрестность V (в Rn),
в пределах которой поверхность Sp представима пара-
метрическими уравнениями вида
хг = <рг(ы„ ...» «п-1)> .....«.
с функциями (₽i(u), ы—(«ь ..., un-i), обладающими
непрерывными первыми производными, причем ранг ма-
„ „ II д (<р«, .... <рп) II ,
трицы Якоби ]| „—г равен п—1.
Вектор
Ci
dq>i (и)
dui
дчп (ц)
d«i
N =
d<fi (й) d<pn (и)
dun-i dun-i
как мы видели в 3.62 в, нормален в каждой точке ueS
к поверхности S, кроме точек стыков поверхностей S
(где он определен неоднозначно, а потому не будет нами
рассматриваться). В силу предположения о ранге
324 ГЛ. «• СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4ДЗ
матрицы Якоби вектор М имеет всюду ненулевую дли-
ну. Нормируя его, мы получим вектор
m(u) = N/\N], (2)
определенный уже только с точностью до знака. Из двух
возможных направлений выберем внешнее по отношению
к области G. Теперь вектор т (и) определен однозначно;
будем называть его единичным нормальным вектором
к поверхности S .в точке и. Обозначим через coj угол
вектора tn с осью х,-; тогда
m —e(cos®(4- ... -f-cos (3)
Пусть в области G задана функция Р(х) = P(xi, ...
,... хп), непрерывная и обладающая непрерывной про-
взводной Тогда имеет место формула (вывод кото-
рой будет дан в 4.14)
f = $ cos • Р (х) dS. (4)
J OXt V
О к S
Функция cos co* определена на всей поверхности S,
кроме точек стыка поверхностей Sj, на каждой из ча-
стей Ss она непрерывна, следовательно, кусочно-непре-
рывна на всей S, что обеспечивает существование по-
верхностного интеграла в правой части.
Заменяя в (4) обозначение Р{х) на Pft(x) и сумми-
руя соответствующие формулы по k от 1 до п, мы полу-
чим формулу Остроградского:
f ( dPi । . dpn (x) \ .
J \ dXi T- ••• T- dxn )ax~
о
= (cos axPx (x) + ... 4- cos (x)) dS. (5)
s
При n = 1 область G становится отрезком, ее гра-
ница S переходит в две точки и поверхностный интеграл
в правой части (4) естественно заменяется на разность
значений функции Р(х) в этих точках; мы приходим
к формуле Ньютона — Лейбница. В общем случае, как
мы видим, формула Остроградского приводит объемный
4.13
§ 4.1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
325
интеграл специального вида к интегралу по поверхности,
ограничивающей этот объем.
Обратим внимание на правило составления этой фор-
мулы. Справа, в поверхностном интеграле, каждая функ-
ция Ph(x) умножается на соответствующую составляю-
щую нормального вектора /п; слева, в объемном инте-
грале, каждая функция Pk(x) дифференцируется по
соответствующей координате. Можно сказать, что пере-
ход от правой части равенства (5) к левой части полу-
чается заменой знаков созюй на знаки • и заменой
дхк
поверхностного интеграла на объемный.
При Ph(x) = xh эта формула приводит к интересному
результату, именно:
п
J ndx = n|G|==^^ cos ®fc • xkdS. (6)
g s fe=l
Таким образом, объем области G может быть выражен
через некоторый поверхностный интеграл по границе
этой области.
Другое полезное следствие формулы (4). получится,
если мы умножим обе ее части на базисный вектор еь
и просуммируем результаты по Л; так как
п п
S ~РдхХ} ek ad р 21 cos • «fc = «»= m iX)>
мы получим
| grad P (x) dx ~§ tn (x) P (x)dS (7)
g s
— один из векторных вариантов формулы Остроград-
ского.
Полагая здесь Р(х) = 1, приходим к равенству
j) ш(х) dS =0;
_s
иными словами, среднее значение единичной нормали
для (кусочно-гладкой) поверхности, ограничивающей об-
ласть V, всегда равно нулю.
326 ГЛ. « СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.14
4.14. Переходим к выводу формулы 4.13 (4), след-
ствием которой является формула 4.13 (5). Обозначим
через Q проекцию области G на координатную пло-
скость Хь . . ., Хп-1.
а. Предположим временно, как и в 3.52 в, что об-
ласть G удовлетворяет следующему условию:
(*) Каждая вертикальная прямая либо не пересе-
кает G, либо имеет с G один общий отрезок (быть мо-
жет, вырождающийся в точку).
Указанный отрезок выделяется неравенствами
ф(ХЬ .... Х^Х^^ф^, ..., X„_i),
где функции «риф непрерывны. Условимся обозначать
X = (Х,, . . . , Хп—I) •
Часть SB поверхности S, выделяемую уравнением
хп = ф (х'), назовем верхней частью S, а часть SB, вы-
деляемую уравнением х„ = <р(х'), назовем нижней ча-
стью S. На верхней части <SB, в точках, где определен
вектор tn, имеет место неравенство (пг, еп)^0; на ниж-
ней части SH выполняется противоположное неравен-
ство: (пг, еп) ^2 0. Таким образом, как следует из 3.62 г,
(х <= SB),
(х f= SH).
Используя последовательно правило .преобразования
кратного интеграла к повторному (3.52 в) и определе-
ние поверхностного интеграла, мы получим
dx
дР(х)
дхп
dxn
dx' =
J Р(х‘, ty(x'))dx' — J P(x', ф(х'))йх/ =
<2 Q
4.1В
5 4,1, ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
327
= j P(xf, ф(х'))(т, (|^)24-,..+ (^-у+йх' +
<2 ”
+ f Р (х‘, <р (Z)) (т, ^)У(^-)2+... + (аД-)Ч 1 dx' ~
<2
•= J р (х)(т, en)dSB 4- J Р (х)(т, dSa =
«в SH
== (J Р (х) coscon dS-
Таким образом, формула 4.13 (4) доказана в предполо*
жении выполнения условия (*).
б. Как и в 3.52 е, можно рассмотреть более общий
случай. Допустим, что область G есть объединение об<!
ластей Gi, ..., Gk без общих внутренних точек, каждая
из которых удовлетворяет условию (•); для каждой из
них напишем формулу (4) и сложим результаты; сумма
объемных интегралов по областям Gh дасТ объемный
интеграл по области G, а сумм! поверхностных интегра,
лов по границам Sj областей Gj даст поверхностный инч
теграл по границе S области G, поскольку слагаемые,
отвечающие интегралам по частям границ областей Glt
проходящим внутри G, взаимно уничтожаются, как ука-
зывалось выше.
Вместе с формулой 4.13 (4) оказывается справедли-
вой в общем случае и формула 4.13 (5) Остроградского.
4.15. Теперь мы покажем, что дивергенция поля
R(x) » (Pt(x), ..., Рп(х)} существует и непрерывна,
если составляющие Pi.(x)t .... Рп(х) поля R(x) обла-
дают непрерывными производными. Для этого напишем
для области G формулу Остроградского 4.13 (5);
(т, R)dS iss (cos (i>[Pi + • • • + cos ыпР^} US =*
s s
- + ... +«!MiLUx. (1)
J \ OX| 1 1 dxn ) ' ’
o
Аддитивная функция области G, стоящая в правой ча-
сти, имеет плотность (3.42в), равную подынтегральной
328 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.16
функции:
U+y Iи 1 J \ OXi охп I
__ dtPi (у) . . дРп (у)
dxt Т • • • Т дКп
Но тогда и поток поля /?, стоящий в левой части (1),
имее! ту же самую плотность, а значит,
w l sm ‘ "(2)
чем и доказано наше утверждение. Вместе с тем полу-
ченное равенство выражает дивергенцию поля /? в яв-
ном виде.
4.16. Случай п — 2; формула Грина. В случае
п = 2 область X? есть плоская фигура, ограниченная ку-
сочно-гладким контуром L. Если положить R =
— R{x,y)= eiM(x, y)-^-e2N(x, у), где М(х, у) и
АГ(х, у)—функции с непрерывными первыми производ-
ными, то формула Остроградского запишется в виде
=#<”•*)«- С)
a l
где т — единичный .нормальный вектор к контуру L, на-
правленный во внешнюю сторону по отношению к об-
ласти G (рис. 4.1-4). Криво-
линейный интеграл справа
пока не связан с каким-ли-
бо выбором обхода контура
L, поскольку еще не выбра-
на параметризация контура.
Возьмем за параметр длину
дуги s, отсчитываемую в по-
ложительном направлении
обхода (т. е. против часовой
стрелки); тогда ведущий
вектор г кривой L, а также векторы'/? и т станут функ-
циями от s и будет иметь место равенство
[ (т, R)dL = <fy (tn (s), 7? (s)) ds.
i l
4.16
§ 4.1. ФОРМУЛА- ОСТРОГРАДСКОГО
329
Далее мы утверждаем, что
(m, R)ds — § Mdy — Ndx.
L L
Действительно, единичный касательный к контуру L
вектор х — ~ имеет составляющие = cos (т, а,),
=cos(t, е2), так что dx = ds cos (т/е(), dy—ds cos (х^)
и, следовательно,
fM dy — N dx = ф [Al cos (t, e2) —• N cos (т,-е,)] ds =
L
— § [Af cos (m, ei) + N cos (m, e2)j ds — (m, R) ds.
L L
Теперь формула Остроградского принимает вид
w)dx аУ—$М{1У ~Ndx'. (2)
O L
в этой форме она называется формулой Грина.
При M=ax, .N^s-y слева получается удвоенная
площадь области О. Таким образом,
|G| = y^xdy —jidx.
L
Ранее эта формула была получена (09.94) другим спо-
собом.
Заменяя в (2) М на N, a N на — М, получаем
H(^~^-)dxdy=:^Mdx+Ndy' ®
G L
Если опять ввести в качестве параметра на линии L
длину дуги s, то мы будем иметь
ф Mdx + Ndy = + N = ф(т> R)ds>
Li L
где т, как и выше, обозначает единичный вектор, каса-
тельный к контуру L. Таким образом, мы приходим
330 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.17
к другому-виду записи формулы Остроградского при
п = 2:
G L
где R ю>(М, N)—вектор-функция с составляющими
М(х, у), N(x, у), имеющими непрерывные производные
в области б.
4.17. Функции с векторными значениями.
Составляющие поля R «= {Pi...Рп} не обязательно
должны быть числовыми функциями: все выводы, приве-
денные в 411—4.16, остаются полностью справедливыми
для функций Р}[х) со значениями, например, в каком-
либо банаховом пространстве В. Разумеется, при этом
по-прежнему требуется, чтобы функций РДх) были не-
прерывными и чтобы при любом фиксированном значе-
нии* j функция Pj(x) обладала непрерывной производ-
ной по Xt. В частности, справедлива формула Остроград-
ского 4.13 (5) в виде
п п
j Sъг*х“f 2cosa* • p^dS В)- (1)
О *-=! А S Л«=1
Снова соблюдается отмеченное уже нами в 4.13 пра-
вило: при переходе от правой части к левой составляю-
щие cos а>} вектора т заменяются на символы диффе-
ренцирования по соответствующим координатам, а по-
верхностный интеграл — на объемный.
Наконец, при л = 2, R ?= {Л1, N} сохраняются оба
варианта формулы Остроградского 4.16 (1) и 4.16 (4):
<2>
О L
Q L
4.18. Интересные следствия из 4.17 получаются уже
для функций Р}(х) со значениями в конечномерном про-
странстве. Рассмотрим векторное произведение в R*
4.21
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
331
двух векторов q = (<7Ь </2, </з) и R = (Qb Q2, Q3):
е,
к» Я]— <?i
Qi
= <7i
е2
<?2
Q2
е3
Q3
е3
<7з
Q3
е2
q2
+ <?2
«у 63
Qi Q3
+ <7з
е2 в]
Q2 Qi
(1)
Положим
63 62
0.3 Q2
Р,=
Р2 =
6] 63
Qi Q3
Рз =
е2 в]
Q2 Qi
Тогда формула 4.17 (1) приводит к результату
з
^[т, P]dS = j^ COSClfe Pk(x)ctSss
s S fe=l
et e2 63
cos (Xj cos a2 cos a3
QiW Q2W Q3W
61
d
dxi
Qi (x)
62 63
д d
dx2 dx3
O2 CO Q3 (0
nj[(t
0
1 (dQi
дх2 Г1 ф
^QsYo [ (dQt
/ 2 '
dx.
Выражение [tn, P] dS называется вращением вектор-
s
ного поля R(x) по границе S области G. В 4.24 мы вы-
ясним геометрический и механический. смысл этого по-
нятия.
§ 4.2. Вихрь векторного поля
4.21. Градиент и потенциал.
а. Пусть в области G с Rm задана кусочно-гладкая
линия L — {xeRn. x = x(t), а t ^. b} без особых
точек (т. е. x'(t) нигде не обращается в нуль). Тогда
332 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.21
на линии L можно ввести натуральный параметр —
длину дуги s; вектор т = х' (s) при этом оказывается
единичным касательным вектором к линии L. Пусть,
кроме того, в области G задано непрерывное векторное
поле R — {Л (х),..., Рп(х)}. Число
J(t(s), R(s))ds = [p,dx, + ... -YPndxn (1)
L L
называется интегралом поля R no линии L.
’ Если поле R интерпретировать как поле силы (на-
пример, силы тяготения), то выражение (1) получает
истолкование как работа силы R на пути L. Во многих
задачах механики существенно, чтобы работа силы не
зависела от пути L, а зависела 'бы только от его началь-
ной и конечной точек. Так бывает не всегда, и мы по-
ставим следующий; чисто математический : вопрос: при
каких условиях на поле R (т. е. на Р\, ..., Рп) инте-
грал,поля R по любому пути LcG определяется только
началом и концом L ине зависит от самого L?
б. Пусть поле R есть поле градиента некоторой ска-
лярной функции ф(х), т. е.
дф(х)
dxi
Рп(х)
д<р(х)
дхп
(2)
В этом случае интеграл поля R по любому пути L опре-
деляется только началом А и концом В пути L, по-
скольку
в в
J (т, R)ds = J Pt dxj ~i ... + Pn.dxn —
A A
В В
=J~S;dx* + ••• +S"dXn== J<*ф = ф(в)—фМ). (3)
A 1 n A
При наличии равенств (2) поле R называется потенци-
альным, а функция ф(х)—его потенциалом. Равен-
ство (3) на языке механики читается так: работа потен-
циального силового поля R — {Pi, ..., Рп} на пути L из
точки А в точку В равна разности потенциалов в точ-
ках В и А.
4.21
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
ззэ
в. Справедливо обратное утверждение:
Теорема. Если интеграл поля R по любому пути L
в области G зависит лишь от начала и конца L, то R —
потенциальное поле.
Доказательство. Фиксируем в области G точ-
ку А и положим для любой другой точки В ==
= В(х,, ...,х„)
в
ф(В) = ф(х„ .... х„) = J (т, R)ds, (4)
А
с интегрированием по любому пути, ведущему в области
G из Л в В; поскольку по условию интеграл поля не за-
висит от пути, функция ф(В) определена однозначно.
Покажем, что
gr ad ф (В) ==/? (В).
Для этого составим производную от
функции ф по какому-либо направле-
нию X, определяемому единичным век-
тором а. Возьмем точку Bi на луче,
выходящем из точки, В в направле-
нии X (рис. 4.2-1), и составим отно-
шение
ф (JB,) — ф (в)
Рис. 4.2-1.
|В,-В| '
Можно считать, что величина ф(В1) есть интеграл
роля R по пути ЛВВ( с прямолинейным отрезком ВВ(.
Тогда
в,
_L J(Т, p)ds
I — и I | Df — О I J
В
есть среднее значение функции (т, R) = (е, R) на от-
резке ВВЬ При приближении В] к В это среднее зна-
чение имеет предел (е, ₽(В))_ Следовательно, производ-
ная функции ф по направлению А в точке В существует и
/?(В)).
В частности,
дф(Д) __
dxt
Pt (В),
Йф(В)
дхп
Рп(В).
834 гл, 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.22
Это и означает, что вектор R{B) совпадает с градиен-
том функции ф (4) в точке В. Теорема доказана.
Отметим еще, что у заданного векторного поля R мо-
жет существовать лишь единственная, с точностью до
постоянного слагаемого, потенциальная функция ф. Дей-
ствительно, если ф — любая другая потенциальная функ-
ция поля R, то по формуле (3) мы имеем
в
ф (В) — ф (Л) = J (-г, В) ds — ф (В),
А
откуда
ф (В) = ф (В) + ф (Л) = ф (В) + const,
что и требуется.
г. Теперь вопрос, поставленный в а, приведен к сле-
дующему: при каких условиях на функции Р\{х), ...
Рп{х) существует функция ф(х) такая, что
Р,М
dxt *
__ дф(х) ?
(5)
.... Р«(х)
Ответ на этот вопрос, по крайней мере для доста-
точно малых или хотя бы односвязных областей про-
странства Rn, нам уже известен {2.616). Именно, необ-
ходимым и достаточным условием существования функ-
ции ф(х), удовлетворяющей условиям (5), в некоторой
окрестности точки х = а является выполнение тожде-
ственных соотношений
dPi{x) _ дР}{х)
dxj dxt
О, J= 1..........П).
(6)
Заметим, что в неодносвязных областях это условие уже
не является достаточным (задача 6).
4.22. Циркуляция векторного поля. Пусть
L = ЛСВ и L' — АС'В — две (кусочно-гладкие) линии,
соединяющие в области G cz Rn две заданные точки Л
и В (рис. 4.2-2). Идя по линии L от А к В и возвра-
щаясь в Л по линии L', мы опишем замкнутый контур
Г «АСВС'А. При этом для произвольного непрерыв-
4.23
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
335
ного векторного поля jR имеем
J (т, R) ds - J (т, R)ds = J (т, R)ds 4~ J (т, R) ds =
L L' АСВ ВС'А
= §(x,R)ds. (1)
Г
Интеграл поля R по какому-нибудь замкнутому кон-
туру L называется циркуляцией поля R по этому кон-
туру.
Равенство (1) показывает, что вопрос о независимо-
сти интеграла поля от пути интегрирования равносилен
вопросу о том, при каких условиях циркуляция поля по
любому замкнутому контуру равна
0. Значит, ответ на этот последний
вопрос тот же, что и на преды-
дущий, именно: циркуляция по-
ля R по любому замкнутому кон-
туру в области G равна 0 тогда
и только тогда, когда поле R по-
тенциально в области G. В доста-
точно малых или же односвязных
областях ответ приводится к вы-
полнению соотношений 4.21 (6).
, 4.23. Еще одна механическая задача.
Пусть в области G пространства 7?3 задано векторное
поле R(x). Мы интерпретируем его сейчас, аналогично
4.11, как поле скоростей частиц
движущейся жидкости. Представим
себе следующий идеализированный
механический эксперимент. Внесем
в область G маленькое цилиндри-
ческое колесико Q с большим коли-
чеством лопастей по ободу, имею-
щее возможность свободно вра-
щаться вокруг произвольно фикси-
рованной оси; направление оси бу-
дем задавать единичным вектором I
(рис. 4,2-3). Действуя на лопасти, частицы жидкости
приведут колесико Q во вращение с какой-то угловой
скоростью (o(Q, 1,А), зависящей (в данной точке А обла-
сти G) от направления вектора /. Условимся о правиле
Рис. 4.2-2.
336 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.23
знаков (считая, что система координат— правая);
угловую скорость колесика мы будем считать положи-
тельной или отрицательной в зависимости от того, вра-
щается ли оно против часовой стрелки или по часовой
стрелке, если смотреть на него с конца вектора I (на-
чало которого в точке А — в центре колесика Q). Изме-
няя всевозможными способами направление вектора I
(при сохранении положения начала Л), мы будем полу-
чать различные — по абсолютной величине и по знаку —
значения угловой скорости; в каком-то положении 1о
вектора I угловая скорость <во вращения станет наиболь-
шей. Вихрем (или ротором) поля R в точке А назы-
вается в этом случае вектор 2<о0/0.
Определение вихря векторного поля в такой «меха-
нической» форме нельзя считать корректным с матема-
тической точки зрения. (Оно основывается на несфор-
мулированных гипотезах о характере влияния частиц
жидкости на лопасти; оно не указывает, что делать, если
максимальная угловая скорость обнаружится на двух
различных положениях осн колесика Q; наконец, остает-
ся неясной роль размеров Q.) Попробуем облечь егб
в строгую математическую форму.
Вращательное 'действие частиц жидкости на лопасть
колесика Q определяется составляющей вектора R вдоль
линии действия лопасти, ины-
& ми словами, величиной (т(Л4),
где т(Л1)—единичный
вектор, касательный к окруж-
ности вращения лопасти и на-
правленный в положительную
сторону (рис. 4.2-4). Суммар-
ное действие всех частиц на
лопасти и приводит колесико
во вращение; наиболее есте-
ственно предположить, что
линейная скорость v каждой
точки его обода равна среднему арифметическому из
всех величин (т, R), иными словами, интегралу по бо-
ковой поверхности X колесика Q:
х
4.24
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
337
где г — радиус окружности обода, h — толщина ко-
лесика Q.
Чтобы получить величину угловой скорости враще-
ния, нужно разделить полученную величину линейной
скорости на радиус окружности обода; так как объем
| Q [ колесика Q равен jir2h, то для искомой угловой ско-
рости мы получим выражение
®(Q. (T,J?)dS.
Если мы желаем получить характеристику вращения,
относящуюся не к окружности колесика, а к самой точ-
ке А, нужно в полученном выражении устремить к нулю
радиус колесика и его толщину и найти предел вели-
чины co(Q, /).
Пусть т (М) — единичный нормальный вектор в точ-
ке М обода. ’ Поскольку тройка т, т, I ориентирована
так же, как тройка осевых векторов et, е2, е2 (система
координат — правая!), мы можем написать, что т =
= [/, /и]; далее по циклическому свойству смешанного
произведения находим, что (т, R) — ([/, т], R) =
— (/, [т, R]). Отсюда
®(Q’Z) J & ж J Pm’ ®dS
На основании цилиндра Q векторы m и l колли-
неарны, т. e. (/, [m, /?]) = 0; поэтому выражение справа
не изменится, если вместо интеграла по боковой поверх-
ности цилиндра мы напишем интеграл по полной его по-
верхности S:
<о«?,о=4
ТОТ§,т' ™s'
4.24. Теперь мы можем уже прибегнуть к строгому
математическому языку.
а. Пусть в области G C2R3 задано непрерывное
векторное поле Л? = (Р1(х), Рг(х), Рз(х)}. Рассмот-
рим область QcG, ограниченную кусочно-гладкой
338 гл, 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.24
поверхностью S с внешней нормалью т. Выражение
/?] dS (1)
s
уже встречалось нам в 4.18\ оно, как мы помним, на-
зывается вращением поля R по границе S области Q.
По тем же соображениям, что и для потока в 4.12 б, вра-
щение есть усиленно аддитивная функция области G.
б. Назовем отношение вращения поля /?'по замкну-
той поверхности S к объему | Q | ограниченной ею обла-
сти Q средним вращением поля R в области Q. Пусть
область Q стягивается в точку y&G. Если при этом
среднее вращение поля R в области Q имеет предел, не
зависящий от вида области Q, стягивающейся в точку у,
то он называется вихрем (или ротором) поля R в точке у
и обозначается rot R(y). Таким образом,
rot/?(у) — lim
Мы видим, что rot/?(у) есть плотность усиленно ад-
дитивной функции (1)—вращения поля R по границе
области Q. В отличие от потока и дивергенции, враще-
ние и вихрь являются уже не скалярными, а вектор-
ными функциями (соответственно — области и точки).
в. Заменяя в рассуждении 4.12 скалярное произ-
ведение (т, R) на векторное [т, /?] и учитывая 4.18, на-
ходим: если rotR(y) существует и является непрерыв-
ной функцией точки yeG, то имеет место равен-
ство
J J J rot Я ^dy = $ R]dS
Q s
для любой области Q с: G и ее кусочно-гладкой гра-
ницы S.
г. Используя теорему Остроградского, можно дока-
зать существование вихря и его непрерывность в пред-
положении, что составляющие Ри Рг, Рз поля R име-
ют непрерывные производные. Действительно, в этом
4.25
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
339
случае, согласно формуле 4.18 (2),
S
6i
COS©!
Pi
61
-Ш £
62
COS ®2
Р2
е2
д
дх2
63
COS®3
p3
63
d
dx3
P3
dS =
dx dy dz
s
Q
2
и, следовательно,
rot R (у) = lim -j—- [m, /?] dS =
s
61
д
dxi
РЖ)
(дР3(у)
б2
д
дх2
РЖ)
e3
d
dx3
РЛу)
dP3 (y) \
( дР* (уУ
Ц dx2
dP, (y)
dx3
dxt }
dPt (у)
dx3
( dP2 (y)_______
\ dxt dx2 j*
4.25. Вернемся к мысленному механическому экспе-
рименту, описанному в 4.23. Если rot/?(Л) существует,
то для угловой скорости колесика Q с осью I мы полу-
чаем предельное выражение
+ e3
®«2, = rot 7? (Л)).
Пусть 0 есть угол между векторами I и rot/?(H),
Тогда, в силу определения скалярного произведения,
® (Q> 0 = 4" ।го* ।cos ®’
откуда вытекают следующие заключения:
а. Величина ®(Q, I) принимает в точке Л наиболь-
шее значение, именно равное у | rot R (Л) |, когда вектор I
направлен по вектору rot Л (Л). (При этом положении
оси колесико Q получает наибольшую угловую скорость;
мы подтверждаем этим справедливость первоначального
«механического» определения вихря как вектора, напра-
вленного по оси вращения с наибольшей угловой
340 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.2в
скоростью и по длине, равного удвоенной величине мак-
симальной угловой скорости.)
б. Для направлений I, ортогональных к вектору
rot/?(Л), величина ®(Q, I) равна 0 (в этих направле-
ниях колесико Q совсем не будет вращаться).
в. Для остальных направлений оси величина co(Q, I)
принимает значения между — — | rot 7? (Л) | и у | rot R (А) |.
4.26. Формула Стокса. Как мы видели в 4.24,
йихрь векторного поля R с дифференцируемыми состав-
ляющими Pi, Pa, Ра имеет следующее координатное вы-
ражение:
е2 еа
rOt К дх, дх2 дха ~
Рх Р? Рз
1 \ дх2 дх3 ) ' 2 \ дх3 dxt / г 3 \ дх, дх2 /’ ' '
Если в области G, где определено поле /?, его вихрь
равен нулю, то в этой области
дха дха * дх, — dx3 • dx, dx2 ' ' '
Если область G при этом достаточно простая, напри-
мер односвязная, то, как было доказано в 4.22, цирку-
ляция поля R
(£(т, R)ds
L
равна 0 на любом замкнутом контуре L. Обратно, если
циркуляция поля R по произвольному замкнутому кон-
туру в области G равна 0, то, в силу 4.22, имеют место
равенства (2) и, следовательно, вихрь поля R равен 0.
Если rot 7? Ф 0, то и циркуляция поля R, вообще го-
воря, отлична от нуля. Но так как обе эти величины яв-
ляются определенными характеристиками вращательных
свойств поля R, то естественно ожидать, что между ними
должна существовать связь. Такая связь, дается в фор-
муле Стокса.
4.26
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
341
В 4.24 г для векторного поля R={Pi, Ръ Рз} с не-
прерывным ротором в области Q, ограниченной кусочно-
гладкой поверхностью S, была установлена формула
JJJ rotPdQ = g[m, /?]dS,
Q S
(3)
где tn — единичный вектор внешней нормали.
Возьмем в качестве области Q прямой цилиндр вы
соты И (рис. 4.2-5), в основании которого лежит об
ласть U, расположенная
в плоскости а и ограни-
ченная контуром L. Обо-
значим через I единичный
вектор, нормальный к
плоскости а, и через т —
единичный вектор, орто-
гональный к I, касатель-
ный к боковой поверхно-
Рис. 4.2-5.
сти цилиндра Q и напра-
вленный в положительную (относительно /) сторону.
Пусть, далее, S есть полная и 2 — боковая поверхности
цилиндра Q. Тогда
(l, §[m, /?JdS} = §(Z, [tn, R])dS — J J (I, [tn, R])dS =
\ S / S 2
= J[ (I/, m], R) dS = J J (т, R)dS, (4)
£ £
так как на основаниях цилиндра Q векторы I и т кол-
линеарны. Обозначим через Uh сечение цилиндра Q пло-
скостью, параллельной основаниям и проходящей на вы-
соте h. над нижним основанием, а через Lh — контур се-
чения Uh. Тогда для любых функций F(x) и g(x)
н
J J J F(x)dx = J И J F(x)dS\dh,
Q О I Vh J
dh\
342 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.26
в частности,
(5)
Н
J J J (/, rot/?)dx = J ( J J (/, rcft.R)ds\dh,
Q о 1с/А J
И
[ J (т, R)dS = J f cf (т, R)ds\dh.
2 О I Lh J
Разделим эти равенства на Н и перейдем затем
к пределу при Н —> 0. Так как для любой непрерывной
функции Ф(й) в силу теоремы о среднем
н
lim 4г f Ф (A) cZ/t = Ф(0),
я->оп •’
то в силу равенства (4) и равенства (3), умноженного
скалярно на /,
/ J (/, rot R) dS = (f (т, R)ds.
U L
Полученная формула называется формулой Стокса
для плоской области U. Она связывает вихрь поля R
с циркуляцией эт.ого поля по контуру L, ограничиваю-
щему область U. Для дифференцируемого поля R фор-
мула (5) может быть выведена значительно проще.
Именно, выберем координаты так, чтобы контур L ле-
жал в плоскости х, у. Тогда
( = (1,0,0), (1,rotR) = -^—
и формула (5) принимает вид
Л О др-
j dx dy=§> (т, R) ds,
u~ " L
t. e. совпадает с известной уже формулой 4.16 (4).
Можно написать и более общую формулу Стокса, от-
носящуюся уже не к участку плоскости, а к ориенти-
руемой (т. е. обладающей непрерывным вектором еди-
ничной нормали) поверхности U, ограниченной (кусоч-
но-гладким) контуром L (рис. 4.2-6):
J j (/, rot R) dS = £) (т, R) ds.
U L
ду
(6)
4.26
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
343
Здесь I — 1(М) означает единичный вектор, ортогональ-
ный к поверхности U в точке М; на этот раз он не по-
стоянен, а изменяется вместе с точкой М. Вектор т по-
прежнему является единичным
к контуру L, направленным
в положительную (относи-
тельно 0 сторону. Если на-
править вектор т в противопо-
ложную сторону, правая часть
равенства (6)_ изменит знак,
равенство уже не будет иметь
места.
При сколько-нибудь сяль-
касательным вектором
ном искривлении поверхности
U приведенное правило согла- пс’
сования направления норма-
ли и направления обхода граничного контура перестает
быть достаточно определенным' и должно быть замене-
но следующим, более точным: ориентируемую поверх-
ность U всегда можно разбить на достаточно малые
куски Ui, Up, бграни-
Рис. 4.2-7.
ченные соответственно зам-
кнутыми контурами’ Lt, ...
..., Lp с направлениями об-
хода, согласованными меж-
ду собой в том смысле, что
на участке контура Lt, сов-
падающем с участком кон-
тура L, направление задает-
ся одним и тем же каса-
тельным вектором, а по об-
щему участку границы ча-
стей Lt и Lj направления противоположны (рис. 4.2-7);
тогда нормальный вектор т должен быть на куске Ui
направлен так, чтобы с его вершины обход по контуру
Li казался бы производимым против часовой стрелки.
Возможность такого согласования для всех ориентируе-
мых поверхностей доказывается в топологии; в этом
курсе мы пользуемся только простейшими поверхностя-
ми. где такая возможность очевидна.
Доказательство формула (6) можно провести сле-
Доказательство формулы (6) можно провести еле-
344 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.31
плоских областей, она остается справедливой для
ориентируемой многогранной поверхности (поверхности,
составленной из конечного числа плоских кусков, на-
пример треугольников). Далее, заданную кривую по-
верхность (имеющую непрерывную или кусочно-непре-
рывную касательную плоскость) можно представить Как
предел вписанных в нее многогранных областей Un, со-
ставленных из треугольников (3.64 г). Записывая фор-
мулу (6) для каждой из областей Un и затем переходя
к пределу при п —► оо, мы и получаем формулу (6) в
общем случае (3.64 д).
Если разделить равенство (5) на площадь области U
н затем стянуть контур L на плоскости а в точку А, то
в пределе мы получим соотношение
(I, rot /? (Д))« lim * <f (т, R) ds. (7)
U-+A I и I "
Это — также важная формула, выражающая проек-
цию ротора поля R на заданное направление I через
циркуляцию поля R.
§ 4.3. Оператор Гамильтона
4.31. Описанные выше определения
векторного поля R(x) (4.15)
div R (у) — lim -т-Д-г (т, R) dS
v+y 1 И J
и вихря векторного поля R(x) (4.23)
rot R(y) = lim ’ $ [m, 7?| dS
V->y I v I
расходимости
(e/?,)
M3)
наводят на мысль о возможности общего определения,
содержащего приведенные как частные случаи. Такое
общее определение имеется и формулируется следую-
щим образом.
Пусть в области G пространства X = Rn задано опе-
раторное поле Т(х); точнее говоря, задана функция
Т.(х), значение которой при каждом хеб есть линей-
ный оператор, действующий из пространства X в некото-
4.31
§ 4.3. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
345
рое фиксированное банахово пространство У. Сейчас
лам будет удобнее писать вектор-аргумент слева от
знака оператора; таким образом, при любом q е X
функция qT(x) со значениями в У определена для всех
.г е G. Будем далее предполагать, что функция Т (х) не-
прерывна (по операторной норме) в области G; тогда и
функция qT (х) непрерывна в G. при любом q е X и,
более того, непрерывна пб совокупности аргументов
е Х и хе G. Пусть в области G выделена замкнутая
кусочно-гладкая поверхность Г, ограничивающая неко-
торую подобласть V с объемом |У|; пусть m(g) озна-
чает единичный вектор внешней нормали в точке g е Г
и dl’(g)— элемент поверхности Г.
Величина
Wr(?) = $ m(£)Т(£)t/Г(£) (€= У) (1)
г
называется потоком операторного поля. 7'(-х) через по-
верхность Г. Как и раньше, поток поля Т(х) через по-
верхность Г -является (усиленно) аддитивной (У-знач-
ной) функцией области У. Плотность потока поля Т(х)
в точке Л с 6
VI (Д) = lim tn ® Т (g) ЙГ (В) (e У), (2)
если она существует, называется гамильтонианом поля
Т (х) в точке А. Оператор V (набла *)) перехода от поля
Т (х) к плотности его потока называется оператором Га-
мильтона. Переход к пределу в правой части равен-
ства (2) производится, естественно, по метрике про-
странства У. Если VT (Д) существует всюду в области G
и является (кусочно)-непрерывной (У-значной) функ-
цией от точки А, то, как и в 4.12, функция области
IFr (У) восстанавливается по своей плотности V7"(x) по
формуле
Wг (Т) m (О Т (g) dr (£) = J VT (х) dv (х).
(3)
г
*) Набла — старинный музыкальный инструмент, имеющий фор-
му опрокинутого треугольника.
346 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.3j
Теперь мы покажем, что если операторное поле Т (х)
не только непрерывно в области G, но и обладает в G
непрерывной производной, то величина УТ (А) суще-
ствует в каждой точке А е G, и получим для VT(A)
явное выражение. Пусть е\, еп — ортонормальный
базис в пространстве X и си, ап — углы вектора
m(g) с базисными. векторами. Мы имеем т(|) =
= cos txi -ei -f-... + cos an -en и, следовательно,
m (g) T (g) = cos at • ej (g) 4- ... 4- cos a„ • enT (g).
По обобщенной формуле Остроградского 4.17 (1) мы
имеем
п
(g)d? (g)» f 2cosaft • ekT (g)dr (g)==
г Г fc-l
“JS ^^kTM)dv.
Отсюда следует существование предела (2) и явная
формула
k V К
п
Таким образом, выражение ЧТ (А) получается фор-
мальной заменой в выражении qT (х) составляющих век-
тора q на знаки дифференцирования по соответствую-
щим переменным. Соответственно записи вектора q
в виде q = оператор V можно записать в виде
V = У efe > как его и ввел впервые Гамильтон.
Формула (4) могла бы быть принята и за определе-
ние оператора Гамильтона. Однако при таком опреде-
лении следовало бы доказывать, что получающееся вы-
ражение не зависит от выбора ортонормального базиса
ei.....еп. Принятое нами прямое определение (2) не
связано с выбором базиса»
4.33
§ 4.3. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
347
4.32. Примеры.
а. Пусть Р(х) есть векторное поле в области Gc
<= X = Rn, и оператор Т (х): X -> действует по фор-
муле qT(х) = (q, Р(х)). Полагая Р(х) = {Pi (х), ..., Рп(х)},
для соответствующей величины V7 (х) ss (V, Р (х)) мы
находим
п п
(V, PW)=2 (е„ Р) - S =div Р-,
А=1 к *=1 *
таким образом, операция div является частным случаем
операции V.
б. Пусть Р(х) есть векторное поле в области G с
с X = Р3, а оператор Т (х): X -> Р3 действует по формуле
6] е2 е3
qT(x) = [q, Р(х)] = М4 Р2(х) Яз Рз(х) -
О д д Заменяя знаки qb q2, q3 на , выражение оператора е2 д , получаем е3
\Т(х)^[\-,Р(х)]= Ру д д д _ Xi дх2 дх3 (х) Р2(х) Р3(х) rotP;
таким образом, операция rot также является частным
случаем операции V.
в. Пусть Р(х) есть скалярное поле в области Gc
cX = Rn и оператор Г(х): Х->Х действует по формуле
qT(x) = q • Р(х). Здесь для соответствующей величины
VT (х) — ХР (х) мы находим
п п
v₽ ю “ Ё w=Ё е‘=grad ₽-
fe=l я fe=l к
Значит, и градиент есть частный случай операции га-
мильтониана.
4.33. Применение оператора V к произве-
дениям. Для применения линейного оператора V
к произведению операторов вида TiT2 в классическом
348 ГЛ. «, СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.33
векторном анализе имеется следующее правило. Услав-
ливаются, что если дана конкретная запись выражения
VT(x), в которой некоторые аргументы (скалярные или
векторные поля и пр.) поставлены впереди символа V,
а другие — за этим символом, то оператор V действует
именно на те аргументы, которые стоят за ним (т. е.
именно их дифференцирует), и не действует на те, кото-
рые стоят перед ним. Например, в записи (Р, V)Q опе-
ратор V действует на Q и не действует на Р. Иногда
употребляют и другое обозначение: независимо от по-
рядка записи аргументов, у тех из них, на которые не
Действует символ V, пишут дополнительный индекс, с.
указывающий, что эти аргументы играют роль постоян-
ных. Например, запись (V, PC)Q означает, что V дей-
ствует на Q и не действует на Р. В таких случаях ста-
раются преобразовать выражение V7"(x), если это воз-
можно, так, чтобы аргументы с индексом с встали впе-
реди символа V; тогда в соответствии с нашим условием
индекс с можно будет, опустить, так как само положе-
ние соответствующего аргумента будет указывать на то,
что он считается постоянным. В указанном примере для
этого достаточно просто переставить V и Рс; тогда, счи-
тая Р вектором, .a Q скаляром, мы получаем
(V, Рс) Q = (Рс, V)Q = (Рс, VQ) = (Р, grad Q).
Теперь правило, о котором идет речь, формулируется
следующим образом: результат действия оператора Га-
мильтона на произведение двух множителей равен сум-
ме двух слагаемых, в каждом из, которых оператор Га-
мильтона действует лишь на один из множителей-, в од-
ном слагаемом — на первый, в другом — на второй.
Для уточнения этой несколько расплывчатой форму-
лировки и превращения ее в точное утверждение мы
рассмотрим конечномерные пространства X = Rn, Y, Z,
U, V cz L(X, Z), WcL (X, U) с заданными билиней-
ными отображениями:
X: V и W в L(X, У),
V: V и Z в У,
Д: W и U в У,
причем для любого вектора q е X и любых операторов
4 34
§ 4Д ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
349
R с V и S с W выполнено основное соотношение
<?(RXS) = S Л qR = R VqS. (1)
Пусть далее операторы R — R(x) и S — S(x) зави-
сят от параметра х, пробегающего область G с X, при-
чем обладают в G непрерывными производными первого
порядка. Согласно 4.32 операторы R(x) и S(x) допу-
скают применение оператора’ V, причем
VR(x)e=Z, VS(x)f=U.
Теорема. При перечисленных выше условиях опе-
ратор Т(х) — R(x)X S(x) допускает применение опера-
тора V, причем
V (/? (х) X S (х)) = S (х) A VR (х) + R (х) V VS (х). (2)
Доказательство. Оператор Г(х) является диф-
ференцируемым по X/ (j=l....л) в силу 1.346, причем
(х) X S (х)) = XS{x) + R (х) X •
CzAy l/Лу UAj
Используя соотношение (1), получаем
9 (х) X S (х)) = S (х) A q + R(x)Vq .
Отсюда
V (/? (х) X S (х» = £ -^ek (R (х) X S (х)) =
fe=i k
fc=l R fe=l
= S W A J + R W v 2 {ek S (x))
fe=i k k=i
= S/\VR + RV VS,
что и требуется.
4.34. Примеры.
а. Пусть R(x) и S(x)—скалярные поля в области
GaX = Rn-, найдем grad(/?(x)-Sfx)).
Для любого вектора q е X имеем, очевидно,
9(/?(x)S(x)) = S(x) • ?/?(x) = /?(x) • qS(x).
850 ГЛ, 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.34
Это соотношение можно рассматривать как частный
случай соотношения 4.33 (1) при соответствующей кон-
кретизации участвующих там пространств и билинейных
операций (именно, следует положить X = У = Z == U =~
= Rn, V==Wc:L(Rn)—совокупность операторов ум-
ножения на число, X — умножение чисел, V и А — ум-
ножение числа на вектор). Применяя формулу 4.33 (2),
находим
grad (R (х) S (х)) = V (RS) = S (х) • VR (х) + R (х) • VS (х) =
= S (х) • grad R (х) + R (х) • grad S (х). (1)
Короче, используя первоначальную формулировку пра-
вила, можно действовать так:
V (RS) = V (ад + V (RSC) = Rc • VS + SCVR =
= R grad S + S grad R.
6. Пусть R (x) — скалярное поле, S(x) — векторное
поле в R^, найдем div(R(x)S(x)). Мы имеем аналогично
предыдущему
div(RS)=(V,(RS))=R(V,S)-]-S(V, R)=RdivS+SdivR. (2)
в. При п = 3 имеем также
rot (RS) = [V, RS] = R [V, S] - ]S, VR] =
= R rot S — [S, grad R].
г. Пусть R(x) н S (x) — векторные поля в G. Для
любого вектора q е X мы имеем
(q, [R, S]) = (S, [q, R]) = — (R, [?, S]), (3)
[q, [R, 5] ] = R (q, S) - (R, q) S = -S (q, R)+(S, q) R-, (4)
отсюда
div [R, S] = (V, [R, S]) = (S, [V, R]) - (R, [V, S]) =
= (S, rot R)-(R, rotS), (5)
rot [R, S] = [V, [R, S]] = R (V, S) - (R, V) S - S (V, R) +
+ (S, V)R = RdivS -Sdiv R - (R, V)S + (S, V) R. (6)
Выражение (R, V)S в координатах записывается так:
3 3 3 / 3 АС \
k=l “ /=| /=1 \fe=l й /
аналогичную запись имеет и выражение (S, V) R.
4.35 S 4-3. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 351
4.35. Операторы второго порядка. Пусть
в области G пространства X = Rn задана функция Т(х),
значение которой при каждом xg G есть билинейный
оператор, действующий из X X X в банахово простран-
ство У, так что имеет смысл билинейная форма pqT(x)
(р^Х, q еХ), Будем считать Т (х) непрерывной функ-
цией от х, так что pqT (х) — непрерывная функция по
совокупности аргументов р, q, х.
Согласно 4.31 можно определить выражение XqT(x),
линейное относительно q. В предположении дифферен-
цируемости функции Т(х), выбрав произвольно ортонор-
мальный базис ....еп в X, мы можем написать
п
VgT(x) = 2-^-(eft<7T(x)).
fc=i *
Если теперь Т(х) дважды дифференцируема в обла-
сти G, то и аргумент q можно заменить на V, определив
выражение W/ (х); в том же базисе ei, ..., еп это вы-
ражение записывается в виде
п п
ww-EE’sSrW» о
fc=! /=1 * '
Можно поступить иначе; сначала заменить q на V,
а затем р на V; мы получим
п
pVT(x) = 2-^-(pe/T(x)),
/=1 1
п п
(х) - 2 2 -gfa W «), (2)
i=l fc=l 1 к
что совпадает с (1) в силу независимости смешанных
производных от порядка дифференцирования. Можно
рассмотреть сопряженную форму qpT(x); производя
в ней замену р на V и q на V (в любом порядке), мы
снова придем к выражению (1) или равному ему (2).
В действительности результат зависит лишь от квадра-
тичной формы qqT(x), что вытекает из следующей
леммыз
352 f-П. 4- СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.36
Лемма. Если для двух билинейных операторов
Тх(х) и Т2(х) при выполнении указанных условий имеем
qqTx(x)s=i qqT2(x), то
vvrj^^wr^x).
Д ок а з а тел ьство. Рассмотрим оператор 7’(х) =
= Т’Дх)—Т2(х). Для билинейных форм мы имеем
(Р + 9) (Р + q) Т = ррТ + pqT + qpT 4- qqT. Но по ус-
ловию (р + q) (р + q)T = 0, ррТ = 0, qqT = 0, поэтому
pqT + qpT = 0.
Заменяя здесь р и q на V и используя сказанное выше,
находим
VV7'4-VVT=2VVT = 0,
откуда VVTl(x) = WT2(x), что и требовалось.
4.36. Если Р(х)—скалярная функция, мы можем об-
разовать следующие выражения:
(а) (V, V) Р = \РР = (V, VP) = div grad Р;
(б) IV, V]P^[V, VP] = rot grad P (в R3).
Если Р (х) — векторное поле, мы можем построить
выражения:
(в) (V, V)P = V2P;
(г) V (V, Р) = grad div Р;
(д) (V, [V, P]) = divrotP; 1
(е) [V, [V, Р] ] = rot rot Р J (в Лз)'
Если V заменить на обычный вектор q, то результаты
операций (б) и (д) в силу правил векторной алгебры
обратятся в 0.
Поэтому мы приходим к выводу: для всякого скаляр-,
ного поля Р(х) в Rs
rot grad Р (х) зв 0, (1)
и для всякого векторного поля Р(х) в R3
div rot Р (х) sb 0* (2)
4.41
§ 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
353
Равенства (I) ц (2), полученные из общих сообра-
жений, можно проверить и непосредственной выкладкой:
«1 d % 9 «3 d
rot grad Р(х) = dxt dx2 dx3 = 0,
dP 9P dP
dxt дхг дхз
a d d
dxi дхг dx3
div rot P (x) d d 9 =0,
dxt dx2 dx3
Pl P2 P3
где Р (х) = etPi (х) + ^2Р2 (х) + е3Р3(х).
Рассмотрим операцию (а). Поскольку для вектора
q = q^j (q, <?) = 2 q], (q, q) P (x) = 2 q2P (x),
заменяя составляющие вектора q на производные по со-
ответствующим координатам, мы получаем
п
(v;v)P(x)=2-^b. (3)
w dxi
Полученный дифференциальный оператор второго по-
рядка называется оператором Лапласа; это — один из
важнейших дифференциальных операторов математиче-
ской физики.
Операцию (е) можно выразить через (в) и (г). Ис-
пользуя формулу 4.35‘ (4), находим
IV, [V, Р]] = V(V, Р) - (V, V) Р = grad div Р - ^Р. (4)
§ 4.4. Некоторые типы векторных полей
4.41. Сферически симметричные поля,
а. Рассмотрим скалярное поле в Рп, заданное при
фиксированном х и меняющемся у формулой
и (у) = Hr), г = | у - х | = 1/ 2 (yt — х{)2 , (1)
г i=l
354 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.41
где функция f(r) определена при г > 0, непрерывна и
обладает непрерывной производной. Так как функция
и (у) зависит лишь от расстояния от у до фиксирован-
ной точки х, поле и называется сферически симметрич-
ным полем с центром симметрии в х.
б. Вычислим градиент сферически симметричного
поля и (у). Мы имеем по 1.37 б
dyi 1 4 ' dyi * * ' г ’
откуда
п п
gradyf (г) = J -й- X в1'
i=l ‘ i=l
Мы поставили у знака градиента индекс у, чтобы ука-
зать, по каким именно координатам производится диф-
ференцирование. Введя единичный вектор е(х, у), на-
п
правленный от х к у, так что 5 (xi ~ У1) ei — ге (*• У)»
1=1
мы можем записать искомый градиент также в форме
gra'dj, f (г) = f' (г) е (х, у). (2)
в. Вообще, любое векторное поле Р(х) вида
<р(г)-е(х,у), где г=|у —х|, а <р(г)—числовая функ-
ция, называется сферически симметричным векторным
полем с центром симметрии х. Так как по данной (не-
прерывной) функции ф(г), решая дифференциальное
уравнение f'(r) = ф(г), можно восстановить функцию
/(г), то всякое непрерывное сферически симметричное
векторное поле потенциально, т. е. оно является (при
х =7= у) градиентом некоторого скалярного сферически
симметричного поля с тем же центром симметрии.
г. Найдем расходимость сферически симметричного
векторного поля Р(у) = ф(г)е(х, у). Удобнее написать
Р(х) = ф(г)гв(х, у), где ф(г) = ф(г)/г. Мы имеем по
4.34 6
div, Р (у) = (V, ф (г) ге (х, у)) = ф (г) (V,, ге (х, у)) +
+ (те (х, у), Увф (г)) = ф (г) divy re (х, у) +
+ (ге(х, у), grad ф (г)).
4.41
§ 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
355
Но
d 1 Vy re (x, y) = diVj, y, — x4) et = -- = n,
i=i i=i 1
gradj, <p (r) = <p' (r) e (x, y),
поэтому
div P (y) = nq> (r) + rtp' (r).
В каком случае div„P(i/) = 0? Решая дифферен-
циальное уравнение
mp(r)4-r<p'(r) = 0,
находим
, \ с
ЧР(г) = тй-.
где С — произвольная постоянная.
Итак, среди сферически симметричных векторных
полей поля вида
Р(у) = -^ге(х,у) = -^^- (3)
г г
и только они обладают нулевой (при у =/= 0) расходи-
мостью.
Поток поля (3) через сферу Sp радиуса р с центром*
в точке х равен
^(m,P)1iS = cf-^r--^r|Sp| = C|S1|,
se s„
где | Si |—площадь поверхности единичной сферы. Та-
ким образом, внутри сферы Sp все же имеется источник
поля Р(у); очевидно, что он может быть расположен
только в самой точке х.
д. Между прочим, при п = 3 и С = —т, т > 0, поле (3)
р Се <* У) — те
* \У) == Г1 г2
совпадает с полем тяготения точечной массы пг, находящейся в. точ-
ке х (закон Ньютона!). Мы видим, что закон Ньютона можно дока-
зать, исходя из естественных предположений, что искомое поле
должно быть сферически симметричным и иметь единственным ис-
точником точечную массу. (В двумерном мире сила тяготения
должна быть обратно пропорциональна первой степени расстояния,
в п-мерном— обратно пропорциональна (п—1)-й степени рас-
стояния.)
356 ГЛ- «• СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.42
е. При п = 3 вихрь сферически симметричного век-
торного поля Р{у) при у =/= х равен 0 вследствие нали-
чия потенциала. Вращение поля Р(у) по любой сфере Sp
с центром в точке х равно 0 (поскольку [т, Р] = 0), по-
этому нет вихря и при у — х.
4.42. Ньютоново поле.
а. По заКоиу Ньютона в трехмерном пространстве сила при-
тяжения, с которой масса т, сосредоточенная в точке х, действует
на единичную массу, находящуюся в точке у, имеет вид
Г(У)== |х-уРС(у,х)>
где |х — у| — Длина отрезка от х до у, а е(у, х) — единичный век-
тор, направленный из точки у к точке х; предполагается, естествен-
но, что точка у отлична от точки х.
Поле F(y) сферически симметрично (с центром симметрии х)
и, как мы видели в 4.41 в, потенциально. В данном случае потен-
циал поля 1(у), очевидно, равен
(2)
б. Если поле тяготения порождается не одной, а несколькими
точечными массами mi, ..., ть, расположенными в точках
Xi, ..., xt, то каждая из иих действует на единичную массу, нахо-
дящуюся в точке у, по формуле, аналогичной формуле (!)• По
закону сложения сил совокупное действие всех этих масс изобра-
жается векторной суммой
i=l 1 * '
при условии, что точка у не совпадает ни с одной из точек Xt
(« = 1..k).
Поле (3) также потенциально, с потенциальной функцией
k
Stn,
i=l 1 *
в. Представим себе теперь сплошное распределение массы:
в ограиичеиной области G cz R3 для каждой (жордановой) области
V czG задана ее масса m(V), являющаяся усиленно аддитивной
функцией области V. Напомним понятие о плотности массы. Для
заданной области ДУ, содержащей Дт единиц массы, мы опреде-
ли ,,,п
ляем среднюю плотность массы как отношение । ^у । Ц (ДИ).
Фиксируем теперь некоторую точку х и рассмотрим последователь-
ность Областей ДИ|, .... ДУ,, .... стягивающуюся при s-»oo к точ-
ке х. Для каждой из этих областей имеется некоторое значение
4.42 § 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 357
р(ДУ.) средней плотности массы. Предположим, что при любом
выборе такой последовательности областей числа р(ДУ,) имеют
при s->-oo фиксированный предел р. == р(х) = lim ие зави-
сящий от выбора последовательности ДУ,. В этом' случае получен-
ную величину |л(х) называют (истинной) плотностью массы в точ-
ке х.
Допустим, что в области У рассматриваемая масса обладает
(кусочно) непрерывной плотностью р(х). Составим выражение поля
тяготения, создаваемого этой массой.
Разобьём область У на некоторое число малых областей ДУ*
(i = 1, ..., k) и обозначим через Д/n* массу, заключенную в обла-
сти ДУ,. Естественно считать, что сила &Fi(y), действующая на еди-
ничную массу в точке у со стороны элемента массы Am*, такова же,
как если бы этот элемент был сосредоточен в какой-либо одной
точке области ДУ*, например в точке xt. Это позволит использовать
для выражения сйлы ДЕ* (у) формулу (3). Суммируя по индексу i
и переходя к пределу, получаем искомое выражение полной силы
тяготения:
г _ f ₽ We (У. *)
V
(5)
Интеграл (5) определен, как для точек у, находящихся вне об-
ласти У, так и- для точек у, находящихся внутри этой .области.
В последнем случае- интеграл становится несобственным, однако
он сходится абсолютно, поскольку величина |х — у| в знаменатель
входит во.второй степени (3.73 6).,
Поле F(y) (5) называют ньютоновым полем в R9.
г. В n-мерном пространстве ньютоновым полем на-
зывают векторное поле, определенное при у е Rn фор-
мулой
V
р (х) е (у, х)
\x — y(n~t
(6)
где V с Rn — ограниченная область, р(х)—кусочно-не-
прерывная функция.
Покажем, что поле (6) обладает потенциалом и этот
потенциал равен
f(y)
р (х) dx
|х-у|"“2
(п > 2).
(7)
1
п — 2
v
Для этого достаточно проверить, что gradf(у) — F(у).
358 гл- *. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.42
Применяя к интегралу (7) теорему 3.77 ж и поль-
зуясь равенством 4.41 (2):
8rad«-^T|74i^=
= V д 1_________I = е(у, х)
~ dyt п — 2 |х — #1"~2 1 |х —#|"-1
1—1
мы находим, что
«rad I to) = Э5Г J e‘ “
= f P- (Х)У ~~-- ==
= f P(x)-, -^_l-dx = F(y),
J |x-#|n
При n = 2 функцию l/((n — 2)| x — # Г-2) надо заме-
нить на In (1/| x — у I).
д. Найдем теперь дивергенцию ньютонова поля.
Можно ожидать, что она будет связана с функцией
р.(х), поскольку мы уже видели, что источниками поля
тяготения являются создающие его массы.
Если точка у лежит на положительном расстоянии от
области V, то дифференцирование интеграла (6) по ко-
ординатам точки у можно произвести под знаком инте-
грала (3.35 г), так как вместе с функцией 1/|х — #|п-1
он имеет производные любого порядка. Как следствие,
для дивергенции этого интеграла мы получаем на ос-
новании 4.41 г, что
divF(#) = p(x)div
е (у, х)
|х-#|"-1
с?х —0.
v
Если точка у лежит в области V, то интеграл (6)
представляет собою несобственный интеграл 2-го рода
с «переменной особенностью» (3.77 о). Для диффе-
ренцирования 'таких интегралов используется теорема
3.77 ж.
4.42
$ 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
359
Однако в данном случае эта теорема не применима^
поскольку она требует в знаменателе показателя мень-
шего, чем п—1. Поэтому мы будем действовать иначе,
именно, мы найдем сначала поток поля F(y) (6) через
замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторую
область Q; затем разделить его на объем |Q| этой об-
ласти и будем стягивать область Q к фиксированной
точке. При вычислении потока можно воспользоваться
теоремой 3.77 г:
J Vs I * ~ vr J
Внутренний интеграл представляет собою поток поля
единичной массы, помещенной в точке х, через поверх-
ность S. Если точка х находится вне области Q, ограни-
ченной поверхностью S, этот поток равен нулю, так как
поле точечной массы не имеет источников вне самой
массы. Если точка х находится внутри области Q, то по-
ток не зависит от формы области Q и равен потоку че-
рез сферу Si радиуса 1 с центром в точке х, который
легко вычисляется:
f И—is<i
S1 1 у Si
где |$,| есть площадь поверхности единичного шара
в Rn.
Таким образом, в этом случае
£ (т (у), F (у)) dS(y) = — \Sil f р (х) dx.
s о
Функция р(х) предполагалась (кусочно) непрерывной|
в точках ее непрерывности мы имеем
div F (у0) = lim -4т $ (т (у), F (у)) dS (у) =
= -1 Sj | lim -4-r f p (x) dx = -1S, | p (y). (8)
369 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.42
Равенство (8) и выражает искомую связь между расхо-
димостью поля тяготения и плотностью массы, создаю-
щей это поле.
е. Хотя поле F(y) (6) обладает дивергенцией, это не
dF («О лл
означает, что существуют производные —д - . Мы по-
кажем, что если функция р(х) в окрестности точки
х — Уо непрерывна и имеет непрерывные частные Про-
. QF (у)
взводные, то функции —существуют и непрерывны
при у — у0.
Лемма. Для любой дифференцируемой функции
f(r), где г — |х — у .|, хеА!п, у е Rn, имеет место ра-
венство
Доказательство. Мы имеем по 4.41 (2)
V (г) = grad,, f (г) = f' (г) е (х, у);
заменяя здесь у на х, находим
(г) = gradх f (г) = f' (г) е (у, х) == - Xyf (г),
что и требуется.
ж. Для доказательства дифференцируемости поля
F(y) (6) предположим сначала, что функция р(х) не-
прерывна и обладает непрерывными производными не
только в окрестности точки х = у, но всюду в области
V, а на границе V обращается в 0. Представим поле
F(y) в форме градиента (г), затем, пользуясь теоремой
3.77 ж, внесем градиент под знак интеграла и применим
доказанную только что лемму; затем преобразуем подын-
тегральную функцию с помощью 4.34 (1):
-
I Г . 1 .
=-----Г hWV,,-------7^=9 dx=
п-2 J у\х-у\п~2
= 1 И(х) |x-'j,r2 dX =
ч
«-2J
т~2
nW
I * - У 1'
dx+_L_f^L^
n-2J [х-у\п
,_2 dx.
4.42
§ 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
361
К первому из получившихся интегралов применим
теорему Остроградского 4.13 (7):
f V ._Н (ft)_ И V — —Ц(Х?п-2^х — О,
J х I X — и 1п 2
V I » I S
поскольку на границе S области V функция р(х) обра-
щается в нуль. Таким образом,
F(y} = —~ f , Wg-2**»
п — 2 J | х — у Г
и теперь наличие непрерывных первых производных
у поля F(y) вытекает из теоремы 3.77ж и. наших
предположений относительно функции ц(х).
з. Пусть теперь известно лишь, что функция ц(х)
имеет непрерывные ' производные в некоторой окрест-
ности точки Уо, например при |х — у0| < 26. Рассмо-
трим дифференцируемую функцию f(r), определенную
при г 0, равную 1 при 0 г 6 и 0 при г 26.
Тогда функция pi(x) = p(x)f(|x — у0|) удовлетворяет
условиям ж и соответствующее ньютоново поле
f. J
j | X - у Iе
обладает непрерывными производными всюду в Rn. Да-
лее мы имеем
F(y) — F* (j,)=J
v
[В (*) — Hi (*)] е (у, х) dx
|х-0Г~*
Так как функция р(х) —gi(x) обращается в нуль при
|х — уо| < б, то поле F(y) —F*(y), согласно д, имеет
в окрестности точки у0 производные всех порядков. От-
сюда следует, что поле F(y)=F*(y) 4- (F(y) —F*(y))
в точке Уо имеет непрерывные производные, что и ут-
верждалось.
и. В таком случае, если F = {Ft.....Fn) = grad f,
то, как было показано в 4.15,
div F (у) = J = (V, F) = (V, Vf) = V2/ (у).
862 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.48
Вспоминая (8), мы получаем для ньютонова поля F (у)
классическую формулу Пуассона
Я д*‘ Й
I §! ||Л (у).
(0)
справедливую, как мы показали, в любой точке у,
в окрестности которой функция р(х) имеет непрерывные
производные.
к. Эта формула, в частности, показывает, как напи*
сать частное решение уравнения Пуассона
п
ьКу)-%£^=в(у), (W)
где g(y)—известная функция, заданная в ограничен-
ной области V cz Rn, a f(y) — неизвестная функция в той
же области. А именно, если в уравнение (10) подста-
вить ньютоновский потенциал массы с плотностью
—g(у)/|Si|, то, по доказанному, это уравнение будет
удовлетворяться в тех точках у, в окрестности которых
функция g(y) обладает непрерывными производными.
л. Что касается ротора ньютонова поля F(y) (6), то
он равен 0, поскольку поле F(y) потенциально и можно
применить 4.36 (1).
4.43. Поле Био и Савара.
а. Пусть v(x) — векторное поле в области V с 7?з,
ограниченной кусочно-гладкой поверхностью S; соответ-
ствующим ему полем Био и Савара называется вектор-
ное поле
(I)
Если через область V течет электрический ток с плотностью
. , . , dq (х) . . . .
v (х) = и (х) —— (где dq(x) — количество электрического аа-
ряда в объеме dx, а и(х) — его скорость), то, по закону Био и Са-
вара, возбуждаемое этим током магнитное поле вычисляется по фор-
муле (1), чем и объясняется название поля.
б. Поле G(y) (1), вообще говоря, имеет ненулевой
вихрь и потому не обладает потенциальной функцией.
Но можно построить векторный потенциал этого поля,
4.43
§ 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
363
т. е. такое векторное поле 1(у), что G(y) =rot Цу),
А именно, положим
Г у (х) dx
J k-z/l
(2)
Согласно теореме 3.77 ж и правилу 4.34 в,
rot J(i/) = [V, k, j =
L v 1 J
= flv*- [’
V V
= - J [v(x), grad,Д ] dx = J lv{^y/} dx — G (y),
что и требуется.
в. Найдем величину div I (у). Действуя аналогично
и используя лемму 4.42 е, а также теорему Остроград-
ского, находим, в предположении дифференцируемости
v(x),
div 7 = (V, J) = J (v„ 1^%) dx =
v
= J (v (x), V, -i^) dx = - J (v(x), Vx dx
V V
= - f (v„ )dx+ f (y:-v(4-dx =
J \ * \x — yl) J |x-»l
V V
=4 (* T^r)dS+1 <”
S V
г. Теперь мы сделаем относительно поля v(x) сле-
дующие предположения:
(*) divv(x)esO («электрические заряды не возни-
кают и не уничтожаются»);
(** ) на границе S области Vi выполняется равенство
(т(х), у(х))=0 («граница составлена из линий тока;
заряды не выходят из области V и не входят в нее»).
364 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.4Л
Как показывает равенство (3), из условий .(*), (**)
следует, что
div/Q/) = O. (4)
д. Найдем вихрь и расходимость поля Био и Савара-
G(y) (1), считая выполненным условия -(*) и (*«).
Учитывая (4), мы находим, используя 4.36 (4):
rot G (у) = [V, [V, /] ] = V (V, /) - (V, V) J ==
= V div J (у) - V2J {у) = - V2/ (у).
Но составляющие поля I (у) имеют вид ньютоновских
потенциалов: если J = {JH J2, J3} и v = {v1, v2, v3}„ то
V
В 4.42 e мы видели, что для дифференцируемой функ-
ции р(х)
Vp J Т^Нг = -15«111^) = -4ян(!/) (В /?з).
v
Отсюда V2J(y) — — 4nv(y), и, следовательно,
rot G (у) = 4nv (у). (5)
Можно сказать, что вихри магнитного поля тока указы-
вают направление тока, возбуждающего данное магнит-
ное поле.
Что касается дивергенции поля Био и Савара (1),
она равна нулю, поскольку G(y) =rot J (у), а диверген-
ция всякого вихря равна 0 (4.36 (2)).
Подчеркнем в заключение противоположные свойства
поля Ньютона и поля Био и Савара: у первого вихрь
равен нулю, а дивергенция определяется по данным
функциям (плотность массы); у второго дивергенция
равна нулю, а вихрь определяется по данным функциям
(плотность тока); первое обладает скалярным потен-
циалом (и не обладает векторным, так как имеет нену-
левую дивергенцию); второе обладает векторным потен-
циалом и не обладает скалярным.
4..s 1 § 4.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ
365
§ 4.5. Гармонические поля и функции
4.51. Гармонические поля.
а. Векторное поле Н(х), заданное в области V с R3
и обладающее в ней непрерывными производными
(/=1,2,3), называется гармоническим, если всю-
ду в области V
divtf(x) = 0, rot//(x) = 0. (1)
Ньютоново поле (4.42) в области, свободной от масс,
и поле Био и Савара (4.43) в области, свободной от то-
ков, являются гармоническими полями.
б. Понятие гармонического поля можно ввести и для
векторных полей в n-мерном пространстве. Именно, диф-
ференцируемое поле H(x)=(Hi(x)....Нп(х)} будем
называть гармоническим в области V с: /?п, если всюду
в области V
diNH(x)^^L+ ... +> = 0, (2)
дН. дН,
.....")• <3)
Дальнейшее изложение будет вестись для гармониче-
ского поля в односвязиой области V cz Rn. Прежде все-
го, из (3) вытекает -(4.21 г), что поле Н потенциально,
другими словами, существует (дважды дифференцируе-
мая) функция h(x) такая, что
H(x)=Sradh(x)={^, ..., (4)
Условие (2) может быть записано, как условие иа
функцию Я (х);
дНк
-=-=-=3
dxk
Всякая (дважды дифференцируемая) функция h(x),
которая в области V удовлетворяет уравнению (5), на-
зывается гармонической функцией в области V. Таким
образом, потенциальная функция гармонического век-
торного поля является гармонической функцией. А по-
Л <?2л
(5)
366 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.52
скольку в силу 4.21г для вектора Н(х) =grad h(x) все-
гда выполняются равенства (3), справедливо и обрат-
ное: градиент всякой гармонической функции представ-
ляет собою гармоническое векторное поле.
4.52. Формулы Грина. Пусть в области V cz Rn
с кусочно-гладкой границей S даны скалярное диффе-
ренцируемое поле ф(х) и векторное дифференцируемое
потенциальное поле R(x) — grad(p(x). По 4.34 6 мы
имеем
div ф7? = (V, ф7?) = ф(У, R) + (/?, \?ф) —ф Д<р -J- (V<p, ?ф).
Интегрируя обе части равенства по области G и при-
меняя к левой части формулу Остроградского 4.13 (5),
получаем
J div tyRdx — У (m, tyR)dS — У ф(т, R)dS —
vs s
= У ф dS — J ф Д<р dx + У (V<p, ¥ф) dx,
s v v
так что
У (V<p, ?ф)йх + У ф Д(р dx = У ф ~^-dS (1)
V vs
(первая формула Грина). Меняя здесь местами (риф
и производя вычитание, получаем вторую формулу
Грина:
У (фДф —<рДф)4х = У (ф^- —<p^-)dS. (2)
V S
4.53. Теорема.
а. Если на границе области V гармоническая функция
Л(х) равна нулю, то h(x)^0 всюду внутри области V.
б. Если две гармонические функции совпадают на
границе области V, то они совпадают и внутри обла-
сти V.
в. Если гармоническое поле И (х) на границе обла-
сти V имеет всюду нулевую составляющую (m, Н), то
поле Н(х) внутри области V тождественно равно 0.
г. Если два гармонических поля Нх(х) иН2(х) имеют
всюду на границе области V совпадающие нормальные
4.54
§ 4.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ
367
составляющие (tn, Нi) и (m, Hz), то эти поля совпадают
внутри области V.
Доказательство. Пусть й(х)—гармоническая
функция в области V. Положим в формуле Грина
4.52 (1) <р=ф=й; тогда Дй вя 0, и если выполнено пред-
положение а, то интеграл по границе обращается в 0.
Таким образом, формула 4.52 (1) в данном случае при-
водит к выводу, что
J| VAfdx = 0.
v
Но тогда VA=grad h(x) =0 в области V, и, значит,
функция й(х) есть постоянная; а так как на границе
она по условию равна 0, то она равна 0 и всюду в об-
ласти V. Таким образом, доказано утверждение а.
Пусть Н(х) —гармоническое поле в области V. По-
ложим в формуле Грина 4.52 (1) ф=<р=Л(х), где
h(x)—потенциал поля Н(х). Тогда снова Д<р=О, и,
да>
если выполнено предположение в, величина =
= (m, Н) на границе области V обращается в 0, так
что и весь интеграл по S равен 0. Формула 4.52 (1)
теперь приводит к выводу, что
J | \h I2 dx = J | H (x) I2 dx = 0,
V V
откуда и следует, что Н(х) sOb области V. Таким об-
разом, доказано в.
Утверждения б и г следуют из а и в, поскольку раз-
ность двух гармонических функций (полей) есть также
гармоническая функция (гармоническое поле).
4.54. Дальнейшие следствия формул
Грина.
а. Если й(х)— гармоническая функция в области V,
то
$™gLdS=<>. (1)
Действительно, положим в формуле Грина 4.52 (2)
<р = h, ф = 1; мы немедленно получаем (1).
368 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.М
б. Теорема. Значение гармонической функции
Л (л!) в центре у шара WcV равно среднему арифме-
тическому из ее значений на границе S шара W:
h(y)^-±r$h(x)dS. (2)
* х
Доказательство. Пусть WczV и QczW — шары
с центром в точке у радиусов соответственно г и р,
р< г, с границами S,. и Sp. Обозначим Vrp = W — Q.
Граница S области Vrp есть объединение Sr и Sp, при-
чем оператор ~ — производная по внешней нормали
на границе области W — совпадает с — на S, и с —
на Sp.
В> формуле Грина 4.52 (2) положим V=Vr(h ц=/г,
ф =------ ? как мы знаем (4.51а), эта последняя
\х^-у\п
функция является гармонической по х при х у. Тогда
в формуле 4.52 (2) объемный интеграл исчезает, и мы
получаем
2Р
или же
По а исчезают первые слагаемые в обеих частях ра-
венства, Для вторых слагаемых, введя множитель l/|Si|
(fSi |—площадь поверхности единичной сферы в R„),
мы находим
р«-1|31|
has.
2р
4Л5
§ 4-5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ
369
Заметим, что г»-»]Sj | = |Se|, pn_,|Si| = |2p|. Устрем-
ляя р к 0 и пользуясь непрерывностью функции п(х)
при х=^0, приходим к искомому равенству (2).
в. Гармоническая функция h(x), определенная во
всем пространстве Rn и равномерно стремящаяся к О
при |х| —» оо, равна тождественно 0.
Действительно, для любой точки у е Rn, по б, зна-
чение h(y), есть среднее арифметическое из значений
функции й(х) на поверхности шара радиуса г с цент-
ром в точке у. Если г -* со, то по условию значения
функции h(x) на поверхности шара равномерно стре-
мятся к 0. Но тогда стремится к нулю и среднее ариф-
метическое этих значений. Так как это последнее не за-
висит от г (оно равно h(y)), оно само есть 0, что и
утверждалось.
4.55., Представление гармонической
функции внутри шара через ее граничные
значения. Пусть W cz Rn— шар радиуса г с центром
в- точке z, расположенный внутри области, в которой
определена гармоническая функция h(x). В силу 4.53 6
значения гармонической функции Л(х) внутри шара W
однозначно определяются ее значениями на границе 2
этого шара; мы желаем установить явную формулу,
дающую значение функции h(x) в любой внутренней
точке у через граничные значения. Для y=z это было
сделано в- 4.54 б; мы рассмотрели там шар Q с W
с центром в z и к области W — Q применили формулу
Грина 4.52 (2), где было положено о> = Л, ф =-——? ;
- |х —z|n-2
при этом объемный интеграл исчез (так как обе эти
функции гармоничны в W — Q), а поверхностные весьма
упростились вследствие постоянства функции ф(х) на
границах W и Q. Для у #= z эта идея в неизменном виде
ие годится, так как функция 1/|х — z|n~2 уже не по-
стоянна иа X; но, оказывается, можно вычесть из ф(г)
такую гармоническую функцию фо(х); что' разность
ур(х)=.ф(х) —фо(^) будет уже постоянной на 2, и то-
гда построение пройдет.
Без ограничения общности можно считать, что центр
z шара W совпадает с началом координат простран-
ства тогда уравнение сферы 2, имеет вид |х|= г.
370 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.55
e гг
Обозначим у == qyp- у. Утверждается, что для х £
отношение расстояний |х— у*| и |х— г/| постоянно.
Действительно, если xsSr, то (х, х)=г2 и (х, «/*)==
=(х, У)~^у, так что
|х-у|*
const. (I)
••2 <г4
г2-2 (Х,у) -^ + —
Поэтому функция
I гп~2
Jx —у|п“2 кГ~2 lx-
постоянна (даже равна 0) на сфере 2Г.
Теперь заметим, что функция
гп-2 ।
Г"2 Ix-j/T"2
является гармонической всюду в W. Положим в фор-
муле Грина 4.52 (2) V=W — Q, где QaV — шар с цент-
ром в у и радиусом р, <р=/цх), i|>=W(x). Тогда, как и
в 4.54 б, объемный интеграл исчезнет, и мы получим
гг *<•
где означает дифференцирование по радиусу, веду-
щему из точки у в точку х на сфере Sp радиуса р
с центром в у. Далее,
у .а^(х)
₽
-Фо =
Е„ ₽
р
1______
in—2
Р’
С2рп~' -> О при р -* 0,
при р->0,
ft — ~-2-dS = (n-2)$h-±-rdS =
/ dp p"-2 7 pn-‘
SP P
= <f h dS“*(« ~ 2)1 S11*O') при p ”*°-
• I /
£o
4.66
§ 4.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ
371
Переходя к пределу при р->0, мы находим
S,
бф (х)
Остается вычислить —^-‘-на сфере Хг. Так как эта
сфера есть поверхность уровня функции Ч' (х) и Чг (х)
возрастает при движении внутрь сферы ('Г (у) = оо), то
- д—- = — Igrad Т |. При (х | = г, используя (1.), имеем
1 гп~* 2 1
Igrad 4^1= gradx —-——^gradx----------
I х — </1 \у\ I X — у’
|х-у\п \у\п~2 \*~У'
— /„^211 х~у \У-\г Х-У*
{ )\\x-yln гг \х — у\п
п — 2 I
_ ,A I _ (»-2) (г2 ~ I У I2)
1И2УЛ~ г\х~у\п ‘
(2)
Таким образом, искомая формула (при 2 = 0)
имеет вид
<3>
она называется формулой Пуассона.
4.56. Следствия из формулы Пуассона.
а. Предположим, что гармоническая функция й(х)
на границе X шара W удовлетворяет неравенствам
Л<Л(х)<В.
Утверждается, что этим же неравенствам функция й(х)
удовлетворяет и внутри шара W. Действительно, «ядро
Пуассона»
Р (х, у) = •ДДД- • Т—Ц» (0
|Oj|r |х —^1" ' '
в шаре W положительно; поэтому, записывая фор-
мулу Пуассона для неотрицательных на границе шара
372 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.бв
гармонических функций В — h(x) и ft(x)—Л, находим
B-ft(p)=$P(x, p)(B-ft(x))dS>0,
X
h(y)-A = $P(x, y)(h(x)-A)dS^0,
£
что и требуется.
Таким образом, для любой гармонической функции
максимум и минимум ее в шаре W достигаются на гра-
нице этого шара.
б. Формула Пуассона 4.55 (3) имеет вид интеграла
с параметром у. Так как функция Р(х, у) (1) допускает
неограниченное дифференцирование по координатам
точки у, то можно применить теорему 3.35 г; в силу
этой теоремы функция h(y), стоящая в левой части фор-
мулы Пуассона, сама оказывается бесконечно диффе-
ренцируемой по у. Итак, всякая гармоническая функ-
ция бесконечно дифференцируема в любой точке обла-
сти своего определения.
в. В силу равенства
каждая производная гармонической функции есть также
гармоническая функция.
В частности, составляющие гармонического поля
Н(х)={Я|(х), Нп(х)}, как производные от гармо-
нической функции h(x) —потенциала поля Н(х)
(4.516), сами являются гармоническими функциями.
г. Если гармоническое поле Н(х) определено во всем
пространстве Rn и lim H(x) — Q, то Дей-
I Х|->оо
ствительно, каждая составляющая поля Н(х) стремится
к 0 при |х| -* оо; в силу в эти составляющие являются
гармоническими функциями, и нам остается применить
4.54 в.
А- Пусть теперь на сфере 2, ограничивающей
шар В7, задана произвольная (непрерывная) функция
?.(х); определим внутри шара 117 функцию h(y) по фор-
муле
h(y>^$Ptx,y)b(x)dS, =
4.Б6
$ 4.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПОЛЯ И -ФУНКЦИИ
373
Мы утверждаем, что h(y) —гармоническая функция.
Чтобы это доказать, достаточно убедиться в том, что
ядро Пуассона Р(х, у) является внутри шара W гармо-
нической функцией (по у), поскольку требуемые диффе-
ренцирования функции h(y) по у можно проводить под
знаком интеграла. Мы знаем, что функция -------5-_
1*-»Г
гармоническая (4.51а); в силу в ее производные — так-
же гармонические функции; поэтому гармонической1
(по у) является и функция
1________2 VI д_________1
|х — У1п~2 * * п — 2^Х‘ду{ \х — у\п~2
= 1 + 2 V ==
|х —г/|"~2 |х-»Г
/И П п \
= -///)2+2^х^ -2^4j =
\i=l i=l i=l /
= |х-.»Г ~*t)== \x-—y[n == ~ 15i lrP<*’ 0)»
i=l
что нам и требуется-
е. Покажем теперь, что построенная в д внутри
шара ИР функция h(y) при. приближении внутренней
точки у к граничной точке х0 имеет предельное значение,
равное Х(хо).
Для этого покажем, что ядро Пуассона Р(х, у) при
У—Ут~*хо обладает свойствами дельта-образной после-
довательности (3.36), именно, свойствами Р(х,ут)>0
(что очевидно) и
1) $Р(х, ym)dS(x)^l,
X
2) J Р(х, ym)dS(x)—*O при пг~>оо,
X'
где 2' есть поверхность 2, из которой выброшена про-
извольно малая окрестность U точки х0.
374 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.56
Выполнение 1) следует из формулы Пуассона 4.55 (2)
при подстановке в нее в качестве h(x) гармонической
функции, тождественно равной 1. Выполнение 2) сле-
дует из соотношения
lim =0,
1*-УтГ
которое выполняется равномерно по хе! — U ввиду
того, что |ут| —»г и |х— ут| const > 0 вне U.
Теперь, применяя 3.36, получаем
Вт <6 Р (х, ут) К (х) dS (х) = Л (х0),
что и требуется.
ж. Теорема. Для любой функции Х(х), заданной и
непрерывной на сфере 2 cz Rn, существует единственная
функция h(y), определенная в шаре W, ограниченном
сферой 2, непрерывная в (замкнутом) шаре W, гармо-
ническая внутри W и совпадающая на сфере 2 с функ-
цией %(х).
Доказательство. Функция h(у), удовлетворяю-
щая требуемым сврйствам, ностроена нами в д и е. Нам
остается доказать единственность такой функции. Тео-
рема 4.53 б к данному случаю не может быть примене-
на, поскольку в ее доказательстве предполагалось, что
участвующие там функции дважды дифференцируемы
всюду в W (включая и границу шара), в то время как
рассматриваемые здесь функции могут обладать даже
первыми производными, не непрерывными в замкнутом
шаре W. Будем проводить доказательство следующим
образом. Прежде всего, достаточно доказать, что при
Л(х) ss 0 единственная функция h(y), удовлетворяющая
условиям теоремы, тождественно равна 0. Пусть г — ра-
диус шара W и h(y) удовлетворяет условиям теоремы
при Х(х) s= 0. Для заданного е > 0, в силу равномер-
ной непрерывности функции h(y), можно найти концен-
трическую сферу 2Г_6 радиуса г — б, б > 0, во всех точ-
ках которой выполняется неравенство \h(у) | в. Тогда
по следствию а, примененному к шару W7-в с границей
2г_в, неравенство в выполняется и для всех
у е .Устремляя в к 0 и, соответственно, б к 0, мы
видим, что h(y) г 0 внутри W, что и требовалось.
4.67 § 4.6. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 37В
з. Теорема. Пусть в шаре W czRn имеется после-
довательность функций 1ц(у), .... hm{y), ., непрерыв-
ных в W и гармонических внутри W, равномерно в W,
сходящаяся к некоторой функции h(y). Утверждается,
что функция h(y) также непрерывна в W и гармонична
внутри W.
Доказательство. Функции hm(y), согласно д, в
и як, могут быть представлены в форме
hm (у) = (х, у) hm (х) dS.
х
Перейдем в этой формуле,к пределу при m -> оо; мы
получим
Л (у) — § Р (х, у) h (х) dS,
х
причем функция h(y) непрерывна в замкнутом шаре U7.
Но тогда, по д, функция h(y) оказывается и гармониче-
ской внутри шара Ф, что и требовалось.
4.57. Представление гармонического
поля внутри шара через значения нор-
мальной составляющей «« границе шара.
а. Пусть W с. Rn — шар радиуса г с центром в точ-
ке z, расположенный внутри области V, в которой опре-
делено гармоническое поле И (у). В силу 4.53 г поле
Н(у) внутри шара W однозначно определяется по зна-
чениям его нормальной составляющей на границе 2
шара W-, мы желаем дать явное правило для построе-
ния поля Н (у) по его нормальной составляющей на
границе.
Пусть h(y) —потенциал поля Н(у), т. е. та гармони-
ческая функция, для которой tf(y)=gradA(f/); очевид-
но, нормальная составляющая поля Н(у) на 2 совпа-
дает с нормальной производной функции h(y) на 2.
Если мы сможем восстановить функцию h(y) внутри
шара U7 по значениям ее нормальной производной на 2,
то затем по формуле H(y)=gr&dh(y) мы сможем опре-
делить и само поле Н(у). Поэтому задача о восстано*
влении гармонического поля в W по его нормальной со-
ставляющей на 2 приводится к задаче о восстановлении
гармонической функции в W по значениям ее нормаль-
ной производной на
376 гл. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.57
as h(yu ...» уп) — гармоническая
W с Rn. Утверждается, что функция
также является гармонической функ-
б. Пусть h(y)
функция в шаре
4=1 ‘
мы можем функцию ц>(у) вместе
цией в шаре
Действительно,
с функцией h(y) неограниченно дифференцировать
(1.56 6), и производные -1 — являются гармонически-
ми вместе с самой h(y) (4.56в). Поэтому
в. Функция, ф (у) (б) может быть записана также
в форме ч>(у) = (У, grad Л). Будем предполагать далее
(это не ограничит общности), что z=0, r=l. Положив
У=рх, |х| = 1, О^р^ 1; тогда, функцию ц>(у) можно
представить в виде q>(y) — p —Отсюда следует,
что функция h(y) может быть найдена по функции ф(у)
с помощью интегр'ала
р
h(y)^h (рх) = J dz + h (0) (I)
о
с произвольным значением h (0).
С другой стороны, полагая р=1, находим
, , dh (х)
т. е. гармоническая функция ф(у) на границе шара W
совпадает с нормальной производной функции h(y). От-
сюда вытекает следующий способ восстановления функ-
ции h(y) по ее нормальной производной на S: по значе-
<Эй (х) ,
ниям —-- восстанавливаем с помощью формулы
Пуассона 4.55 (3) функцию ф(у).; затем, зная ф(у), по
формуле (1) получаем функцию h(y).
г. Покажем, что описанный прием позволяет не
только восстанавливать известную гармоническую функ-
4.87
§ 4.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ
377
цию h(y) по значениям ее нормальной производной на
2; По и строить гармоническую функцию, имеющую
произвольно предписанные значения Х(х) нормальной
производной на 2, удовлетворяющие единственному ус-
ловию
jjX(x)d$ = O, (2)
£
необходимость которого вытекает из. 4.54 а.
Пусть задана функция 1(х), непрерывная на 2 и
удовлетворяющая условию (2). Положим
ф(у) = $ Р(х, y)k(x)dS,
£
где Р (х,, у) — ядро Пуассона. В силу 4.56 д, е функция
ф(у) непрерывна^ в (замкнутом) шаре W, гармонична
внутри W н на границе совпадает с функцией 1(х).
Кроме того, нз (2) вытекает, что
<p(0)“^A(x)dS^=0.
£
Положим, далее,
р
ft(y) = ft(px) = J-!^-dT + ft(O) (3)
о
с произвольным значением ft(0); так как функция ф(у)
дифференцируема при у=0 и ф(0)=0, интеграл (3) су-
ществует. Покажем, что функция h(y) (3) является
гармонической функцией внутри U7, непрерывной в замк-
нутом шаре W. Последнее, очевидно, вытекает из не-
прерывности функции ф(тх)/т; при этом граничные зна-
чения функции ft (у) даются формулой
1
А(х)==/-^-йт. (4)
о
Для доказательства гармоничности функции й(у),
имея в виду 4.56 д, нам достаточно убедиться, что она
воспроизводится внутри шара № по формуле Пуассона
из своих граничных значений (4). Мы имеем, полагая
378 ГЛ. 4, СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.57
для простоты й(0) =0,
«p(ts)
Но функция <р(тг/)/т является гармонической вместе
с функцией <р(у) (при фиксированном t)j поэтому вну«
тренний интеграл равен <р(т£)/е, и, после подстановки
£=рт, мы находим
1 р
§P(s, y)h(s)dS = f =
£ 4 0
что и требовалось.
Наконец, мы имеем Pfoil t откуда прн
р — 1 находим = (х), что и завершает
доказательство.
д. Резюмируем результаты б — в в виде следующей
теоремы:
Теорема. Для любой функции 1(х), заданной и
непрерывной на сфере 2 с Rn и удовлетворяющей ус-
ловию
<fl(x)dS = O,
х
существует функция h(y)^ определенная и непрерывная
в шаре W, ограниченном сферой S, гармоническая вну-
три W и обладающая непрерывной производной
(хе2, 0<р<1), обращающейся при р=1 в К(х),
Любая другая функция с теми же свойствами может от-
личаться от h{y) только на постоянное слагаемое.
Существование требуемой функции /г (у) мы устано-
вили в а. Ёе единственность, с точностью до постоянного
слагаемого, следует из в,
4.62
5 4.6. ПОСТРОЕНИЕ ПО ВИХРЮ И РАСХОДИМОСТИ
379
§ 4.6. Построение векторного поля в R3 по его
вихрю и расходимости
4.61. Пусть в некоторой ограниченной области Vcz/?3
даны векторное поле R (у) и скалярное поле Ь(у). Спра-
шивается, можно ли построить в области V векторное
поле Q(y), обладающее свойствами
^Q{y) = b(y), rotQ(y) = R(y)? (1)
Если это возможно, то как описать все те векторные
поля, которые удовлетворяют уравнениям (1)?
Эта задача называется задачей о построении вектор-
ного поля по его вихрю и расходимости или обратной
задачей векторного анализа.
Мы будем предполагать, что заданные поля R (у) и
Ь(у) дифференцируемы в области V. Кроме того, потре-
буем, чтобы расходимость поля R(y) равнялась нулю
всюду в V, а на границе V обращалась в нуль нор-
мальная составляющая R(y)- Первое из этих условий
является необходимым для разрешимости нашей задачи,
поскольку div rot Q(y) =0 для любого поля Q(y). Что
касается второго условия, то оно вызвано лишь мето-
дом решения (см. по этому поводу ниже, 4.66).
4.62. Вначале будет построено одно частное решение
системы (1).
Рассмотрим случай, когда данное поле R(y) равно
нулю, так что система (1) сводится к более простой си-
стеме
AwQ(y) = b[y), rotQ(y) = 0. (2)
Нам известно одно решение этой системы. Именно,
построим поле тяготения массы с плотностью —^-Ь(х)
(4.42(5)):
F (у) = _ J- f dX' (3)
4л J | х — у |2 ' ’
По доказанному в 4.42 д н л
div F(y) = b(y), rotF((/) = 0,
так что поле F(y) (3) дает нам частное решение систе-
мы (2).
380 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.63
4.63. Рассмотрим второй случай, когда данное ска-
лярное поле Ь(у) равно нулю, так что система (1) сво-
дится к системе
divQ(i/) = 0, rotQ(y) = R(y). (4)
И здесь нам известно одно частное решение. Именно,
построим поле Био и Савара для тока с плотностью
C(y)= ' (5)
4л J х — «I2 ' '
V
По доказанному в 4.43 д и в силу наложенных на
поле R(y) ограничений имеем
div G (у) = 0, rot G (у) = R (у),
так что поле G (у) дает нам частное решение системы (4).
4.64. Используя построенные поля F(y) и G(y), по-
ложим
Qo(y) = F(y) + G[y). (6)
Для поля Q0(y) мы получаем
div Qo (уУ = div F (у) + div G (у) = b (у),
rot Qo (у) = rot F (y) -J- rot G (y) = R (y).
Таким образом, поле Q0(z/) является частным реше-
нием системы (1). Пусть Qi (у)— любое другое частное
решение системы (1) и
H(y) = QAy)-QM
Для поля Н(у) мы находим
div Н (у) = div Qt (у) — div Qo (у) = 0,
rot Н (у) == rot Qi (у) *- rot Q0(y) = 0,
и, следовательно, Н(у)—гармоническое поле (4.51).
Обратно, если И(у)— гармоническое поле и Qt(y) =
=Qo(y) +Н(у),.то
div Qi (у) = div Qo (у) + div H (у) = b (у),
rot Qi (у) = rot Qo (у) + rot H (y) = R (y),
4.65
$ 4.6. ПОСТРОЕНИЕ ПО ВИХРЮ И РАСХОДИМОСТИ
381
так что поле Qi(y) является вместе с полем Qo(y) ре-
шением Системы (1). Мы получаем следующую теорему:
Теорема. При указанных условиях система (1)
обладает решениями. Одно из них дается формулой (6),
остальные получаются прибавлением любого гармониче-
ского поля.
4.65. Можно подчинить искомое решение 0 (у) даль-
нейшим условиям, которые определят его уже одно-
значно.
Например, пусть для искомого поля Q(y) задана
в каждой точке х на границе S области V нормальная
составляющая (Q(x), пг(х)).
Записывая решение Q(y) в форме Qo(y) + Я (у), где
Qo(y) —построенное решение (6), а Н(у) —гармониче-
ское неизвестное поле, мы получаем для этого поля
Н,(у) известную нормальную составляющую на S:
(Я (х), m (х)) = (Q (х), m (х)) — (Qo (х), m (х)). (7)
Если область V есть шар W, то в силу 4.57 а н д гар-
моническое поле Я(х), удовлетворяющее условию (7),
существует и единственно; вместе с ним существует н
единственно и решение системы (1).
Аналогично, на основании 4.56 ж решение этой си-
стемы существует и единственно при задании на гра-
нице шара W значений потенциала поля Н (х) (или поля
Q(x), если оно становится гармоническим у границы V).
Однако в' общем случае, когда область V не есть
шар, существование и единственность решений при ка-
ком-либо из сформулированных условий есть вопрос уже
значительно более сложный; он представляет собой один
из важнейших вопросов теории уравнений с частными
производными (первая или вторая краевая задача для
уравнения Лапласа), й мы не касаемся его в этой
книге*).
Еще один тип условия состоит в том, что искомое
поле Q(у), рассматриваемое во всем пространстве 7?п,
должно равномерно стремиться к 0 при |у|—»оо. Оче-
видно, что этим свойством обладает построенное нами
решение Qo(f/), поскольку выражения (3) н (5), содер-
*) См.,- например, И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях
с частными производными, изд. 5, «Наука», 1970.
382 ГЛ. 4, СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.66
жащие в знаменателе величину |х — £/[2» прямо показы-
вают, что соответствующие интегралы стремятся к 0 при
11/| —> оо. Мы утверждаем, что другого решения системы
(1), обладающего этим свойством, не существует. В са-
мом деле, разность между таким решением и решением
Qo(y) есть гармоническое поле; а по 4.56г гармониче-
ское поле, стремящееся к 0 при |i/| —» оо, есть тожде-
ственный 0, откуда и следует единственность решения
системы (1) в рассматриваемом классе полей.
4.66. Задача о построении поля по расходимости и
вихрю может быть сформулирована и в локальной фор-
ме: требуется построить поле Q(y), удовлетворяющее
уравнениям 4.61 (1) в окрестности данной точки i/оё V;
при этом известно, что div R (у) = 0, но не делается ни-
каких предположений относительно нормальной состав-
ляющей поля R(y) на границе области V.
Эта задача сводится к построению в окрестности
точки у о хотя бы одного поля G(y), для которого
rot G(y) =R(y). Действительно, имея такое поле, мы
обозначим <р(«/) = div G(y), и тогда искомое решение
Q(y) получится как сумма поля G(y) и ньютонова
поля с плотностью —(Ь (у) — ф (у)).
Составляющие Gi(y), G2(y), G3(y) искомого поля G (у)
по составляющим Ri(y), R2(y), R3(y) поля /?(«/) можно
задать в окрестности точки у0 = (y°l, у2, у®)» например,
по формулам
Уз
GiG/)= J Я2(У1, У2. т3)</т3,
4
Уз Уз
Ga(y) = — / Ri(yi, У2, T3)dr3+ f Я3(т„ у2, y$)dtt,
4 4
G3(y)^Q.
Действительно, из этих формул легко получается, что
&<?» ас» _ д .
дуг дд» 2’
в
ЗАДАЧИ
383
,. п dRt . <5/?2 . <?РЧ
используя условие div R = + 3^7 “'"д^7:=0* находим:
Уг
^-~¥L=S- [ "~(а’ У~ dt3 + ^3 (f/p У? Уз) -
дух ду2 J дух з 3VM’ »2> »з/
»з
Уг
f 0Rs (Уъ Уг. Тз) j_ .
~J ------------dt3-
*3
Уг
= ^з(Ур Уг’ Уз) + J —?'ХУг,"Уз) dT3“ Угг Уз)г
«3
что нам и требуется.
ЗАДАЧИ
1. Найти вихрь поля Р(А)= Нр)т(Л), где р есть расстояние
точки А от фиксированной прямой А, а т(А) — единичный вектор,
ортогональный к А и к перпендикуляру из точки А на прямую А.
В каком случае rot Р(<4)= О?
2. Для однопараметрического семейства кривых на плоскости
в предположениях достаточной гладкости доказать соотношение
div т = — k,
где т — единичный нормальный вектор, a k — кривизна кривой
семейства в соответствующей точке.
3. Показать, что векторное поле R в Rs, обладающее ортого-
нальными поверхностями, удовлетворяет соотношению
(R, rot R) = 0.
4. Пусть (R, rot R)«0. Проведем через данную точку А ли-
нию L, ортогональную к линиям поля R, и через каждую точку М
линии L— кривую у(М), касающуюся в каждой своей точке век-
тора rot R. Доказать, что получающаяся поверхность S ортого-
нальна к полю R.
Б. Пусть (R, rot R) = 0. Построить однопараметрическое семей-
ство поверхностей, ортогональных к полю R.
6. Векторное поле R — {Л, У) на плоскости R3 — 0 с
У у=_ х
X2 + у2 ’ " X2 + у2
удовлетворяет условию-
дХ
ду
9Y
дх*
однако не обладает потенциалом.
определенным во всей области определения поля. Чем объяснить
кажущееся противоречие с теоремой 4.21 г>
384 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ f
1. Пол. Я(М)_ «М,
в Рз— {0} имеет нулевую диверген-
цию. Пользуясь сферой радиуса 1 с центром в начале координат,
из которой выброшена малая окрестность фиксированной точки, по-
казать, что поле не имеет векторного потенциала.
8. Вычислить ньютоново поле, создаваемое однородным шаром
массы 1 радиуса г с центром в начале координат.
9. Показать, что неотрицательная гармоническая функция й(х)
в шаре радиуса г с центром в начале координат пространства
удовлетворяет неравенству Харнака
(r-|yl)r" 2
(г + 1«И)"~2
й(О)<й(у)<
(г + IУ I) г” 2
(г-!»!)""2
Л(0).
10. Показать, что гармоническая функция, неотрицательная во
всем пространстве Rn, постоянна.
11. Пусть известно, что гармоническая функция h(y) в шаре
W с Rn радиуса г удовлетворяет неравенству |й(р)| М. Пока-
зать, что в центре г шара выполняется неравенство
| grad й (z) |<у Af.
12. Пусть известно, что гармоническая функция й(у) в области
V C.Rn удовлетворяет неравенству |h(y)|jgAf. Доказать, что
в любой внутренней замкнутой области W с V удовлетворяется
неравенство
| grad й (у) |<£СМ,
где С не зависит от выбора функции h(y).
.13, Если бесконечная совокупность гармонических функций
{h(y)}= В равномерно ограничена в области V cz Rn, то можно вы-
брать последовательность ht(y), h2(y), ... функций из. В, кото-
рая равномерно сходится в каждой внутренней замкнутой области
V.
,44. Показать, что монотонно убывающая последовательность
h, (у) h2(y) > ... гармонических функций в шаре Ы<г, схо-
дящаяся в центре шара, сходится во всем шаре и имеет пределом
гармоническую функцию.
15. Можно ли применить формулу Стокса к листу Мёбиуса?
Историческая справка
Формулы, связывающие интеграл по границе области с интегра-
лом по своей области, были найдены:
формула 4.16 (3) («формула Грииа») — Эйлером в 1771—
1772 гг., Грином в 1828 г.;
формула 4.13 (5) («формула Остроградского») — для очень
частного случая Гауссом в 1813 г., Остроградским в 1828 г.
(п — 3) ив 1834 г. (любое м);
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
385
формула 4.26 (6) («формула Стокса»)—Томсоном в 1849 г.;
Стоксом она была включена в ежегодный конкурсный математиче-
ский экзамен в Кембридже, который Стокс проводил с 1849 по
1882 г.;
формулы 4.52 (1) и (2) («формулы Грина») —Грином в 1828 г.
Разумеется, в первоначальном виде все эти формулы писались
в обычных обозначениях, без векторов. Векторное исчисление по-
явилось у Гамильтона (основной его труд «Трактат о кватернионах»
вышел в 1853 г.) как составная часть его теории кватернионов.
В современной терминологии кватернионы образуют четырехмерную
алгебру над полем Ri с базисом 1, I, j, k и правилами умножения
/2 = /2 д.2 _. —j. (j _ —ji ~ k, jk — —kj = i, ki — —ik = i.
Для кватерниона a + bi + cj + dk число а образует, по Гамильто-
ну, «скаляр», a 6t-f-c/ + dfe — «вектор» (здесь Гамильтон и вво-
дит эти термины впервые). Умножение векторов, как кватернионов,
приводит к равенству
(b\i -|- С|/ -j- d[k) (b2i + Cjj + d2k) = (bxb2 + CtC2 -f- did2) +
+ i(cidj — djC2) -(-/(dibs — d2bi) -}-k(biC2— bsct).
в котором мы видим одновременно и «скалярное» и «векторное»
произведения векторов.
Кватернионный оператор Гамильтона
П д д 1 L д
V = I "5-ь / ----ь k-~-
дх ду дг
действует на векторную функцию f = iu + jv + kw по формальному
правилу умножения кватернионов и дает результат
V/ = (i'fe + j'^' + Ai)(Zu + ^ + to) =
(ди dv dw \ . .( dw dv \
дх ’’’ ду дг / \ ду дг /
, . / ди dw \ , I dv ди
\ дг дх } \ дх ду)
В скалярной части мы видим дивергенцию (со знаком минус),
известную еще со времен Эйлера; векторная часть —ротор — во
время Гамильтона была еще новинкой, и физический смысл ее
был неясен. Мечтой Гамильтона было создание теории функций
кватернионного переменного, обобщающей исчисление функций ком-
плексного переменного. Одиако надежды, возлагаемые на кватер-
нионы, не оправдались. Алгебраическая часть теории Гамильтона ока-
залась целиком включенной в быстро развивающуюся теорию матриц.
Из аналитической части был выделен «бескватернионный» векторный
анализ (Дж. Гиббс, 1881), который стал играть важную роль в ма-
тематической физике. И если до Гиббса многие выдающиеся ученые
относились с осторожностью к векторам (так, Дж. Максвелл, творец
теории электромагнетизма, не воспользовался векторным исчислением
и основные уравнения электродинамики писал впервые (1873) в ска-
аярлом виде), то уже Г. Герц, поеледаватель Максвелла, пишет эти
386 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
уравнения в прозрачной векторной форме (1890):
дЕ
*т—- = — сто* п,
dt
дН
dt
+ с г<ЛЕ
(для вакуума). У этой системы уравяеквй имеется, между прочим,
решение в виде Н — F(x— cfy, E = F(x—ctyk с произвольной
функцией F; оно представляет собой поперечную волну с профи-
лем F, распространяющуюся вдоль оси х со скоростью с. Экспери-
ментальное создание Герцем таких волн, а вслед за тем изобретение
радио А. С. Поповым (1895) явили собой блестящее подтверждение
теории Максвелла и свидетельство огромной роли математики в науч-
ном прогрессе.
Потенциальная функция для ньютонова поля была указана
еще в 1773 г. Лагравжем. Уравнение Дм = О встречалось у Эйле-
ра, но систематическое рассмотрение нашло у Лапласа (с 1782).
Уравнение Дм — —4лр. для ньютонова поля было выведено Пуассо-
ном в 1813 г.; им же было дано построение гармонической (термин
Лапласа) функции в шаре по ее значениям на границе шара. По-
строение гармонической функции по граничным значениям ее нор-
мальной производной было выполнено К. Нейманом в 1877 г. Со-
временное состояние краевых задач для гармонических функций
описано, например, в книге И. Г. Петровского «Лекции об уравне-
ниях с частными производными», изд. 5, «Наука», 1970.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОТ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
К ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ
МНОГООБРАЗИЯМ
ГЛАВА 5
КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия — точнее, дифференциальная геометрия — уже ва
двумерной поверхности в трехмерном пространстве богата идеями,
фактами, постановками задач, допускающих широкое обобщение;
она служит вместе с тем естественным полем приложения методов
математического анализа. Многие достаточно общие факты более
естественно излагать для многомерной поверхности, и мы так и бу-
дем делать при возможности. Первая квадратичная форма (§ 5.1)
вводит метрику на m-мерной поверхности в n-мерпом евклидовом
пространстве, заимствуя ее в бесконечно малом из вмещающего
пространства. На первое. время такая метризация поверхности не
оставляет желать ничего лучшего. Вторая квадратичная форма
(§ 5.2), используемая для вычисления кривизны кривых, лежащих
на поверхности, требует уже, чтобы размерность- поверхности лишь
па 1 отличалась от размерности вмещающего пространства. Через
вторую квадратичную форму вводится и кривизна самой поверхно-
сти — одна из важнейших характеристик поверхности; поверхности
с кривизной, различной по знаку, обладают существенно разными
геометрическими свойствами. Далее, метрика на поверхности поз-
воляет выявить ее связность, т. е. зависимость локальных свойств
от положения точки поверхности. Через связность определяются
геодезические линии (§ 5.4), параллельный перенос по поверхности
(§ 5.6), а в конечном счете и кривизна, как результат поворота
вектора, параллельно переносимого вдоль замкнутого контура. Кри-
визна оказывается внутренним качеством поверхности, т. е. зависит
лишь от метрики (т. е. первой квадратичной формы) и не зависит
от характера вложения поверхности в окружающее пространство.
§ 5.1. Первая квадратичная форма
5.11. В п-мерном пространстве Rn m-мерная поверх-
ность Р задается п функциями, выражающими коорди-
наты X], ..., хп текущей точки поверхности через пара-
метры «1......ит, причем параметрическая точка и—
= («1, ..., ит) пробегает некоторую область U с: Rm-
Xj =Х] («j, ..., ит),
хп = хп(и1, ит).
(1)
390 ГЛ, 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Б. 11
Предполагается, что функций доста-
точное число раз дифференцируемы (в начале каждого
параграфа указывается сколько именйо). Уравнения (1)
можно заменить одним векторным уравнением
г = г (и) = {Х1(«), ...» Хп(и)}.
При этом формально допускается, что двум разным па-
раметрическим точкам «—(«], , «т) и u'=ps
= («{, и'т) может отвечать одна и та же точка по-
верхности Р. Однако, чтобы избежать сложностей, свя-
занных с самопересечениями, мы будем такие ситуации
исключать из рассмотрения. Простейшее предположе-
ние, которое мы примем и которое обеспечивает локаль-
ную взаимную однозначность отображения д->г(и), со-
стоит в том, что ранг матрицы Якоби
д(х,....хп)
д(иъ .... ит)
дх,
ди,
• •
дх,
дит
дхп
ди,
4 • . .
дхп
’’’ дит
(2)
в некоторой точке и° области U равен т. Пусть, напри
мер, отличен от нуля минор
дх,
ди,
дх,
дит
дХщ
ди,
дхт
дит
Тогда, как видно, из 1.74 б, в некоторой окрестности V
Точки и° — (и®, ..., отображение (1) взаимно одно-
значно, т. е,- разным точкам (и,..ит) и (uj, ..., «У
области V отвечают разные точки, поверхности Р. В этой
окрестности V изменения параметров мы и будем рас-
сматривать нашу поверхность. Разумеется, тем самым
мы встаем на локальную точку зрения — поверхность
рассматриваемся только в окрестности фиксированной
точки, — но для первоначальных теорем теории поверх-
ностей и этого вполне достаточно.
6.13
s 5.1, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
391
5.12. Итак, пусть в данной точке и° 6 U ранг матри-
цы 5.11 (2) равен т. Отсюда следует, что векторы
г — дх‘ дХп j
1 дщ I дщ * dut )’
= дг I дх' дХп 1
т дит 1 дит • дит J
в соответствующей точке N1 поверхности Р линейно не-
зависимы. Эти векторы, помещенные началом в точку М,
располагаются в касательной плоскости к поверхности
Р; вектор г} касателен к линии, на которой координа-
та Uj меняется, а остальные координаты uit i j,
остаются постоянными.
Построим касательный вектор к любой линии L на
поверхности Р, проходящей через данную точку М.
Линию L можно задать параметрическими уравне-
ниями
«/==«/(0, /=1, ...» tn, 1
a^t^b; г = г(ы1(0, ...» ит(0). J '
Будем предполагать функции Uj(t) дифференцируемы-
ми. Тогда по теореме о производной сложной функции
1.33 б
т т
<2>
/=1 /«*1
Равенство (2) можно истолковать как разложение век-
тора по базисным векторам rt..........гт в точке М.
Аналогично, для дифференциала dr вектора r(t) имеет
место равенство
dr — У, r^ (t)dt—^j rj duj. (3)
5.13. Как мы знаем из 016.19, длина дуги кривой L
между точками, отвечающими Значениям . параметра
t = а: и t == т, записывается интегралом
S = JI г' (0\dt,
392 гл. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.13
и, следовательно,
ds(/) = | r'(t) |d/ = | dr{t) |.
В частности, на поверхности Р имеем
(т т \ т т
^rjduhZi rkduJ^^^g^du/duk, (1)
/=1 fe=i / /=i й=1
где gjk= (rj, rk). Квадратичная форма в правой части
(1) называется первой квадратичной формой поверх-
ности Р и обозначается коротко G=G(u; du). Если из-
вестна первая квадратичная форма, т. е. известны коэф-
фициенты gjh как функции от точки М поверхности Р
или, что то же, от параметров ..., um, то длину дуги
линии L между точками Л и В, отвечающими значе-
ниям а и b параметра t, можно найти по формуле
Ь Ь 1 m m
s= / ds = J у g)h(u(t))u'(t)u'k(t)dt. (2)
t—a a /—1 fe=l
Если в точке M пересекаются две линии Lt и L2, ле-
жащие на поверхности Р< и определяемые соответствен-
но уравнениями u;. = u^1)(Z), Uy —Ц2,(/) (/=1, .... п),
то по первой квадратичной форме можно найти угол ме-
жду ними (т. е. угол и между соответствующими каса-
тельными) :
cos со =
fa/», dr™)
I dr™ || dr™ I
m m
js js gik(M>du{j}duk}
dU™dU™
(3)
Первая квадратичная форма является, очевидно, по-
ложительно определенной (по самому построению; кро-
ме того, ее главные миноры являются детерминантами
Грама для линейно независимых векторов и поэтому
m
положительны). Определим для векторов Н°=2|(/)г/
(i=l, 2) в касательной плоскости к поверхности Р
5.14
§ 5.1. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
393
скалярное произведение (НО, №)g по формуле
т т
(И», И»),- 2 2 We„.
Мы утверждаем, что это скалярное произведение сов-
падает с обычным скалярным произведением (И1), н2>)
тех же векторов в пространстве Rn. Действительно,
(т т \
/=1 1 ' к;
т т т т
-2 2 1Чтгг ч) = 2 2
1 R— I J——1 к—1
Таким образом, первая квадратичная форма восста-
навливает на касательной плоскости в координатах
• • • > Вт исходную евклидову метрику пространства Rn.
5.14. Пусть имеются две поверхности и Р(2) и
между их точками установлено взаимно однозначное со-
ответствие так, что длина любой линии на поверхности
PW совпадает с длиной соответствующей линии на по-
верхности Р<2>. Такое взаимно однозначное соответствие
между поверхностями Р<б и Р<2> будем называть изо-
метрией.
Теорема. Для того чтобы поверхности РО) и Р&
были изометр ичными, необходимо и достаточно, чтобы
существовали такие их параметрические представления
г<1) = И» (ыь ..., ит), г® = г<2> (щ.ит)
в одной и той же области U изменения параметров
«р ..., ит, что функции gfy — (гФ, г<») соответственно
совпадают с функциями = rfy.
Доказательство. Если указанные параметриче-
ские представления поверхностей Рб) и р<2) имеются, то
длины соответствующих друг другу кривых на Р<'> и Р<2)
выражаются одинаковыми интегралами типа 5.13 (2) и
поэтому совпадают, так что поверхности Р<*> и Р(2) изо-
метричны. Обратно, если поверхности P<J> и Р(2) изомет-
ричны, то в соответствующих друг другу параметриче-
ских представлениях при любом т должно выполняться
394 ГЛ, 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ S.18
равенство
J1/2 («)(о=/1/2 ч ® u'^dt-
а • f, k а ' I, k
Дифференцируя по т, находим, что
2 «$(«)<(т) и'(т) = 5 g$(“)«/' fr) «А (<)
/• * /» k
при любых и/, так как через данную точку М на по-
верхностях РМ или РФ по любому направлению можно
провести кривую. Из тождественного равенства форм
следует равенство соответствующих коэффициентов этих
форм, что и требовалось.
Относительно изометрических поверхностей говорят
также, что они изгибаемы друг на друга. В основе этого
названия лежит геометрически наглядное свойство из-
гибаемости цилиндра на плоскость (в Р3). Свойства
поверхности, не меняющиеся при всевозможных ее изги-
баниях, причисляют к внутренней геометрии поверхно-
сти; аналитически, чтобы некоторое свойство относилось
к внутренней геометрии, необходимо и достаточно, что-
бы оно могло быть выражено через функции gjk(u).
Свойства поверхности, меняющиеся при ее изгибании
(например, кривизны линий на поверхности), называют-
ся внешними свойствами.
В случае линии, т. е. при т=1, указанное разделе-
ние не имеет смысла: любые две дифференцируемые
линии изометричны. Для т—2 вопрос о том, какие по-
верхности изометричны, а какие не изометричны, имеет
реальный смысл; плоскость и цилиндр изгибаются друг
на друга (локально), а плоскость и сфера, как мы уви-
дим далее, не изгибаются друг на друга (5.33). При
т > 2 изгибаемость двух поверхностей друг на друга
уже сравнительно редкое явление (5.35).
5.15. Двумерные поверхности в R3. Будем
обозначать координаты в R3, как обычно, через х, у, г,
а параметры щ, и2, определяющие положение точки М
на поверхности Р, как правило, через и, v, так что си-
стема 5.11 (1) примет вид
х — х(и, v), у = у(и, v), z — z(u, v)
5.15
$ 5.1. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
395
или, в векторной форме,
г = г(ы, о)={х(и, о), у (и, в), z(u,
Производные от ведущего вектора поверхности
г (и, v) по параметрам и и v обозначаются через runrv,
так что
{дх (и, у) ду (и, t>) dz (и, о) 1
ди ’ ди * ди J’
{дх (и, у) ду (и, v} dz(u, t>) 1
ду * dv ' dv }’
Коэффициенты первой квадратичной формы, по Гаус
су, обозначаются так:
Е == (^«» ^«)> F == (ги* G (Gi»
так что вся первая квадратичная форма имеет вид
ds2 —Edu2-$-2Fdudv + Gdv2. (I)
Примеры, а. Пусть P — плоскость, совпадающая с коорди-
натной плоскостью х, у. Принимая за параметры точки М коорди-
наты х и у, находим
г = {х, у, 0}, гх = {1, 0, 0}, Гу = {0,1, ds2 = dx2 + dy2. (2)
б. На той же плоскости можно взять в качестве параметров
полярные координаты ф и р. Тогда
г — {р cos <р, р sin <р, 0},
Гф = {— р sin <р, р cos ф, 0}, Гу — {cos ф, sin g>. О},
£=(/> гф) = Р2, Е = 0, С-1, (3)
ds2 = р2 dtp2 + dp2.
в. На .цилиндре С радиуса а (рис. 5.1-1) принимаем за пара-
метры точки М длину дуги и окружности нижнего основания, от-
считываемую от точки А в указанном направлении, и аппликату z.
Тогда
/ л f « . и
г (и, z) = < a cos —, с sm —, z
I а а
гю = | — sin-у, eos-^-, о}’ гг = Г®>®’ 0.
E=l, F = 0, G=l,
ds2 = du2 + dz2. (4)
396 ГЛ. Б. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.15
Коэффициенты первой квадратичной формы таковы же, каковы
у плоскости в прямоугольных координатах; это аналитически под-
тверждает (локальную) изгибаемость плоскости иа цилиндр.
Рис. 5.1-2.
Рис. 5.1-1.
г. На конусе К за параметры точки М принимаем полярный
угол <р и расстояние р по образующей от вершины (рис. 5.1-2). Если
угол между осевой линией конуса и образующей равен а, то
г (ф> р) = {р sin ° cos Ф. Р sin ° s*n Р cos
Гф = {— р sin а sin ф, р sin a cos ф, 0},
гр = {sin а cos ф, sin а sin ф, cos а},
Е = (г<р, Гф) = р2 sin2 a, F— (г у, гр) = 0,
Е — (гр, Гр) = 1,
ds2 — р2 sin2 а йф2 + rfp2. (5)
Если заменить здесь координату ф на новую координату
ф = sj^~"» то форма ds2 примет вид р2 йф2 + rfp2, что совпадает
с первой квадратичной формой плоскости в полярных координатах
с точностью до обозначения координат. Таким образом, конус и
плоскость также изгибаются друг на друга; этот факт хорошо из-
вестен в элементарной геометрии.
д. На сфере S радиуса R (рис. 5.1-3) возьмем обычные сфериче-
ские координаты ф и 6. В этом случае
г (ф, 0) = {R sin 0 cos ф, R sin 0 sin ф, R cos 0},
Гф = {— R sin 0 sin ф, R sin 6 cos ф, 0},
г0 = {R cos 6 cos ф, R cos 6 sin ф, — R sin 6},
E=(v \} = sin2 e> F = (v re) = °>
c = ("e’re) = /?2-
ds2 * R2 sin2 6 dy2 + R2 d6a. (6)
5.15 § 5.1. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 397
е. Рассмотрим поверхность вращения Р, вокруг оси г, опреде-
ляемую уравнением р = p(z), где р — расстояние точки М до
Рис. 5.1-4.
осн г. Примем за параметры точки М величину z и полярный
угол ф (рис. 5.1-4). Тогда
г (г, ф) = {р (z) cos ф, р (z) sin ф, z),
rz = {Pz COS Ф, pzSinip, 1),
Гф = {— psin<p, p cos ф, 0),
E = (rz- rz) = Pz + >' F = (rz> 'ф) “°- G “ {V M = P2.
ds2 = (pz + 1) dz2 + pz dtp2. (7)
ж. Интересный частный случай поверхности вращения представ-
ляет катеноид — поверхность вращения вокруг оси z цепной линии
(catena — цепь (лат.)):
р (z) = k ch у
(см. рис. 5.1-5). Применительно к катеноиду формула (7) имеет
вид
ds2 = ch2y(dz2 + A:2dg>2).
(8)
з. Геликоид, или винтовая поверхность, образуется поворотом
луча р в плоскости х, у с одновременным пропорциональным подъ-
емом всего луча над этой плоскостью (рис. 5.1-6). Таким образом,
принимая за параметры точки М на геликоиде ее расстояние р вдоль
луча от начальной точки и .полярный угол ф (т. е. угол поворота
3<)8 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ gjg
луча от его начального положения), имеем
г (р> ф) = {Р cos Ф> Р sln ф. £ф}<
гр = {со5тр, sin ф, 0), Гф = {—psincp, р cos ф, А),
Е= (гр, гр) = 1, F = (гр, Гф) = 0, G = (Гф, Гф) = р2 + k2,
ds2*=dp2 + (p2 + k2)d<p2.
Если положить p = A:sn—, то в координатах v, <р выражение
для ds2 примет вид
ds2 = ch2 -у dv2 + k2 ch2 -у </<p2 = ch2 -у (dv2 4- k2 dtp2). (9)
Правая часть в (9) совпадает (с точностью до обозначения
параметров) с первой квадратичной формой для катеноида (8). Мы
приходим к несколько неожиданному выводу: катеноид изгибается
на геликоид. Изгибание происходит так, что линии постоянного <р
на геликоиде (т. е. последовательные положения вращающегося
луча) налагаются на линия постоянного <р на катеноиде (т. е. на
его образующие — меридианы); линиям же г = С иа катеноиде (его
параллелям) отвечают линии р = С на гелякоиде (винтовые ля-
пни). Горловой линии катеноида z = 0 отвечает на геликоиде
ось z. Подчеркнем, что здесь, как и всегда в вопросах изгибания,
речь идет об изометричностн частей поверхностей; изометричиость
в целом ие имеет места.
5.16. В предыдущих рассмотрениях метрическая фор-
ма на поверхности получалась в конечном счете из
метрики вмещающего евклидова пространства. Однако
это не обязательно. Можно на m-мерной поверхности
5.21
$ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
399
r — r(uit ит) задавать метрику (т. е. форму
ds2=^ gtldu{dui и каким-либо иным образом, не
связывая ее с метрикой вмещающего пространства. От
формы У gijduidui требуется лишь, чтобы она была
симметрична и положительно определена. Важный при-
мер такой метрики на гиперболоиде х'2-|-У2— z2 =—р2
пространства Рз будет приведен в 5.54.
§ 5.2. Вторая квадратичная форма
5.21. Кривизна кривой на поверхности.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением слу-
чая п—т -J- 1 (можно сказать, случая п-мерной поверх-
ности в (п-f- 1)-мерном евклидовом пространстве
причем метрика заимствуется из метрики Rn+\. При этом
можно говорить о нормальном векторе поверхности
в данной точке; он определен в прежних предположе-
ниях о дифференцируемости ведущего вектора
г(«ь ..., ип) и о полном ранге якобиевой матрицы
д (х х )
-?/* •••» п-м однозначно с точностью до числового
. •, Un)
множителя. Аналитически нормальный вектор N в дан-
ной точке М поверхности Р может быть задан как век-
торное произведение л базисных векторов
..., гп = -^~ касательной плоскости (3.62 в):
п дип * '
... en+l
dxj 3xn+,
г„} = ди^ dtii • (0
dxt dxe+i
дип dun
Вектор N можно нормировать, разделив его на собствен-
ную длину, после чего получается единичный нормаль-
ный вектор т=т(и), определенный уже с точностью
до коэффициента ±1. В пределах малой, окрестности
точки М мы фиксируем в каждой точке вектор т (и)
так, чтобы функция т(и) была непрерывной.
400 ГЛ. 5, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.22
5.22. Начиная с этого момента будем предполагать,
что ведущий вектор г (и) поверхности имеет непрерыв-
ные производные (по параметрам ult .... ип) до вто-
рого порядка включительно. Рассмотрим кривую L на
поверхности Р, заданную уравнениями
«1 = «п = «„(/),
г = г(«1(0» •••> «п(0Х
где функции Uj(t) обладают также непрерывными про-
изводными до второго порядка. Нас интересует кривиз-
на этой кривой в фиксированной точке А е Р, отвечаю-
щей значению t=a. Для вычисления кривизны перей-
дем на кривой L к натуральному параметру s — длине
дуги, отсчитываемой от некоторой заданной точки Ао.
Напомним (016.22), что для кривой, на которой введен
натуральный параметр s, справедлива формула
^Я- = г(Л),
ds ' 7
d^rlA) , п
а если —- =£= 0, то
as*
Здесь т — единичный касательный вектор к кривой L,
v — единичный вектор, расположенный а соприкасаю-
щейся плоскости ортогонально к вектору т, k — кривиз-
на кривой L. Прямая в соприкасающейся плоскости,
определяемая вектором v, называется главной нормалью
к кривой L.
Учитывая, что кривая L лежит на поверхности Р, мы
находим, что
(п \
yi duj I_
Г1 ds I
/=1 7
<>
/. 7=1
5.22
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
401
где используется обозначение rjk = du^ д^. Умножая
(1) скалярно на вектор т, получаем
($ -)- S
j, fe=i
поскольку (г/, т) = 0. Введем обозначение bfft = (rpt, т).
Форма
п
B^B(u;du) = 2 bjkdtijdUk (2)
l. a=i
называется второй квадратичной формой поверхности Р.
п
Вспоминая, что ds*= glkdUjduk = G (и, du) есть
/. fc=i
первая квадратичная форма поверхности Р, получаем
окончательно
п
У bjk (и) duj duk
( d2r \___ В (и, du) _ /, fe=i
\ ds2’G (и, du) ~ «
2j gik(u)dujduk
j, k=*l
(формула Менье). Формула Менье приводит к следую-
щим выводам:
а. Если по некоторому направлению {duj} вторая
квадратичная форма В (и, du) отлична от 0, то для лю-
бой кривой на поверхности Р, касающейся в точке А
вектора dus, справедливо неравенство d
d^t"
В этом случае — kv =f= 0, поэтому кривая L имеет
в точке А ненулевую кривизну, и формула Менье при-
водится к виду
(kv, tn) = k cos (v^i) = • (3)
Таким образом, для направлений {dUj}, для которых
В (и, du) =/= 0, кривизна соответствующей кривой на по-
верхности определяется величинами-, щ (/ = 1, .... п)
(точка поверхности), du} (/== 1, ..., п) (направление
касательной прямой) и v (направление главной нор-
мали). В частности, все кривые на поверхности Р, про-
ходящие через данную точку А в данном направлении
402 ГЛ. 5- КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.22
у которых одна и та же соприкасающаяся пло-
скость и В (и, du)^= 0, имеют и одну и ту же кривизну.
б. Из всех кривых, проходящих на поверхности Р че-
рез данную точку А в данном направлении (фиксиро-
ваны Uj и дщ), с В (и, du) Ф 0, наименьшую кривизну
имеет кривая, у которой соприкасающаяся плоскость со-
держит вектор т, так что |cos(v, m)|= 1. В качестве
такой кривой можно взять нормальное сечение поверх-
ности — кривую, образованную пересечением поверхно-
сти Р и (двумерной) плоскости, проходящей через век-
торы m и dr = 2 О duf.
Кривизна такой кривой
получается по формуле
Rn G(u,du) '
Более употребительно
определение кривизны
нормального сечения в
форме
, _ В (и, du) .
G(u,du)’ W
это выражение называет-
ся нормальной кривизной
поверхности Р в точке А по направлению {duj); оно
имеет знак +, если векторы m и v направлены в одну
и ту же сторону, и имеет знак — в противоположном
случае; иначе говоря, нормальная кривизна оказывается
положительной, если кривая изгибается в сторону нор-
мального вектора, и отрицательной, если она изгибается
в противоположную сторону.
Из (3) и (4) вытекает, что кривизна любой кривой
связана с кривизной соответствующего нормального се-
чения равенством
k cos (v, m) = kN. (5)
Радиусы кривизны Rl и Rn кривой L и соответствую-
щего нормального, сечения связаны равенством
/?wcos(v?m) = Rl. (6)
Отсюда вытекает следующее геометрическое свойство
(рис. 5.2-1);
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
4СВ
6.23
в. (Теорема Менье.) На соприкасающуюся пло-
скость кривой L центр кривизны CN соответствующего
нормального сечения N проектируется в центр CL ее кри-
визны.
Это последнее свойство, непосредственно вытекаю-
щее из формулы (6), может быть использовано для оп-
ределения положения центра нормальной кривизны, если
известен центр кривизны какой-либо кривой, проходя-
щей через данную точку кривой в том же направлении.
г. Все высказанные предложения справедливы для
тех направлений {du3}, у которых В (и, du) ф 0. Рассмо-
трим теперь направление {duj}, для которого В (и, du) =
= 0. Будем называть такое направление асимптотиче-
ским направлением на плоскости П (по причинам, кото-
рые выяснятся в 5.24 е). Для кривой L = {г = г (и),
u = u(s)}, проходящей на поверхности Р через точку А
в асимптотическом направлении, имеет место ра-
венство
/ сРг (4) \ _
Это значит: или кривизна кривой L в точке А равна 0,
d2r (4) , n d®r l / л\ м
или же, если то вектор = kv (Л) лежит1
в плоскости П. Так как и вектор т(Л) лежит в плоско-
сти П, то соприкасающаяся плоскость кривой L в точке А
лежит в касательной плоскости П к поверхности Р.
В частности, кривизна всякой плоской кривой, проходя-
щей в асимптотическом направлении и не лежащей в ка-
сательной плоскости П, равна 0; так, нормальное сече-
ние в асимптотическом направлении заведомо имеет ну-
левую кривизну.
5.23. Второй квадратичной форме можно придать и
непосредственный геометрический смысл. Именно, раз-
лагая приращение ведущего вектора г(и) при переходе
из точки и в близкую точку и + du по формуле Тейлора,
мы имеем (с точностью до малых второго порядка)
п
&Г1=г(и-\- Дц) — Г (и) = Г; du} +
7=1
п
+ 42 ri* du! duk + ... ,
/»&==!
404 ГЛ. S. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.23
откуда
п.
(Дг, m) = y (rlk, m)dulduk+ ... =
j, k^l
= ^B(u,du)-}- ...
Таким образом, форма В (и, du) с коэффициентом 1/г
совпадает с главной квадратичной частью проекции век-
тора Дг на вектор т, т. е. с отклонением поверхности Р
Эллиптическая точка
Параболическая точка
Точка уплощения
Рис. 5.2-2.
от своей касательной плоскости. При' этом положитель-
ным направлением считается направление вектора т.
При изменении направления вектора т на противопо-
ложное вся форма В (и, du) меняет знак, меняют знак
и кривизны всех линий на поверхности в точке А. Мож-
но сказать, что форма В («, du) имеет указанный гео-
метрический смысл с точностью до знака.
Например, если п = 2 и форма В (и, du) в данной
точке А является знакоопределенной, то поверхность Р
располагается (в некоторой окрестности точки Л) по
одну сторону от касатёльной плоскости; если же форма
В (и, du) в точке А является (невырожденной) знаконе-
определенной, то поверхность Р (в любой близости от
точки Л) частично располагается по одну сторону от ка-
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
405
5.24
сательной плоскости, частично — по другую сторону.
В первом случае точка А называется эллиптической точ-
кой поверхности, во втором — гиперболической, так как
в первом случае поверхность в окрестности точки А
имеет характер эллиптического, а втором — гиперболи-
ческого параболоида (с точностью до малых 2-го по-
рядка).
Если же в точке А форма В (и, du) оказывается вы-
рожденной, то это означает, что в окрестности точки А
поверхность имеет характер параболического цилиндра.
Такая точка на поверхности называется параболической.
Если в точке А форма В (и, du) тождественно обра-
щается в нуль, поверхность с точностью до малых 2-го
порядка совпадает со своей касательной плоскостью,
отклоняясь от нее лишь на малую большего, чем 2-й, по-
рядка. Такая точка называется точкой уплощения.
Все указанные типы точек представлены на рис. 5.2-2.
5.24. Зависимость кривизны нормальных
сечений от направления на касательной
плоскости.
а. Формулу кривизны нормального сечения
. _ В (и, du) ,п
Rn G(u,du)
мы постараемся упростить, перейдя к новой системе ко-
ординат на касательной (n-мёрной) плоскости П в дан-
ной точке А поверхности Р. А именно, найдем в этой
плоскости ортонормированный базис ..., gn, в ко-
тором форма В примет канонический вид
п
В (и, du) =
7=1
п
где gi,..., — новые координаты векторас?г= 2 r/duj.
i=i
Поскольку форма G(u, du) есть просто квадрат длины
вектора аг, она в новом базисе представится суммой
квадратов координат:
G(u, =
/•=1
406 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ g.24
В новом базисе формула (1) примет вид
к/ cos2<p/(
(2)
где <pj — угол вектора dr с базисным вектором gj. На-
правления векторов gj называются главными направле-
ниями на касательной плоскости П. Числа к, суть кри-
визны соответствующих нормальных сечений; они назы-
ваются главными кривизнами поверхности П в точке А.
Формула (2) называется формулой Эйлера.
б. Если в точке А все числа X,- одного знака, то фор-
ма В (и, du) знакоопределена; мы назовем такую точку
(как и для п = 2) эллиптической. В эллиптической точ-
ке все нормальные сечения изогнуты в одну и ту же сто-
рону (по отношению к вектору т). В точке А, для кото-
рой среди чисел kj есть и положительные и отрицатель-
ные (но нет равных 0), одни нормальные сечения изги-
баются в одну сторону, другие — в другую; такую точку
мы назовем (как и для п = 2) гиперболической. Если
хотя бы одно из чисел kj есть О, точка А называется па-
раболической. Наконец, если все kj равны 0, точка А на-
зывается точкой уплощения.
п
Число Н = А-/ называется средней кривиз-
п
ной поверхности Р в точке А. Число ^ = ПА/ назы-
/=1
вается полной кривизной поверхности Р в точке А. При
п = 2 в эллиптической точке К > 0, в гиперболической
точке К < 0, в параболической точке К = 0.
в. Для «-мерной плоскости Р cz Rn+i в каждой ее
точке А все нормальные сечения представляют собою
прямые линии; поэтому для плоскости вторая квадратич-
ная форма тождественно равна 0.
Обратно, если у некоторой п-мерной поверхности
Р cz Rn+i вторая квадратичная форма тождественно об-
ращается в 0, то Р оказывается п-мврной плоскостью.
Действительно, если (rki, щ) = 0 при k, j = 1, ,,,,, п, то
S.24 § 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 4QJ
из равенства (г,-, т) = 0 дифференцированием получаем
(г,, тк) =—— откуда тк = 0 при всех k==
= 1, ..., и.; следовательно, вектор т не изменяется на
поверхности Р. Пусть г0 — вектор, ведущий в фиксиро-
ванную точку поверхности Р, а г — вектор, ведущий
в произвольную точку этой поверхности. Тогда мы имеем
(г — r0, tn), — (г}, т) = 0 (/ = 1, ..., п), так что вели-
чина (г — г0, т) не меняется на поверхности Р\ а по-
скольку при г = га она равна нулю, то (г — г0, т)=0
при всех значениях г. Последнее уравнение есть уравне-
ние плоскости, проходящей через конец вектора го орто-
гонально к вектору т.
В частности, для n-мерной плоскости Р cz Rn+i все
главные кривизны равны 0, вместе с ними равны 0 сред-
няя кривизна и полная кривизна.
г. В пространстве /?n+i для участка n-мерной сферы
радиуса R с центром в точке г0 и нормалью, направлен-
ной от центра, мы имеем г — r0 = Rm, г, = Rm?, от-
сюда следует, что (г,, т) = R (m.j, т) = 0, и, значит,
bit = (rlk, т) = (г/, т)к — (rh mk) =
== - (rjt mk) = -~ (rh rk) = -~ glk.
Если же нормаль к сфере направлена к центру, то
b/k = ~ glk. Таким образом, в любой системе координат
на участке сферы радиуса R коэффициенты второй квад-
ратичной формы пропорциональны (с коэффициентом
± 1/R) соответствующим коэффициентам первой квад-
ратичной формы. Оказывается, это свойство характери-
зует сферу. А именно, пусть известно, что для некоторой
поверхности Р cz Rn+\ выполнено соотношение
bik = ±glk (j, k = l, ... , п, R — постоянное, знак
фиксирован). Из этого условия следует, что
btk = {rik, m)=— (rf, mk)=±-± gik =
~ ± ^-(Q, г*)= ± (r/> Гй).
и значит, mk = (k = 1, ..., n). Последнее рав-
носильно тому, что вектор m± г на поверхности Р
408 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.24
не изменяется. Обозначим его через ± г0. Тогда
|г — r0| = R]m| = R, и мы видим, что поверхность Р
действительно лежит на сфере радиуса R с центром
в точке To-
д. Для участка сферы радиуса R все нормальные се-
чения представляют собою окружности радиуса R
с центром в центре сферы. Поэтому все нормальные кри-
визны сферы совпадают друг с другом и равны кривизне
большого круга \/R. Эта же величина \/R есть средняя
кривизна в каждой точке сферы. Полная кривизна, как
произведение п главных кривизн, для сферы равна l/Rn.
Заметим, что обе эти величины остаются постоянными
на всей сфере.
е. Индикатриса Дюпена. Если в касательной
плоскости П на луче {du3}, выходящем из точки А и об-
разующем углы q>j с векторами gj(a), мы отложим отре-
зок р= V RN (где Rn = 1/1^1— радиус кривизны со-
ответствующего нормального сечения), мы получим по-
верхность с уравнением
или, что то же,
п
P2S X/COS2 фу =
/=1
^|В(«, dw)|=l,
B(w, du) — ± 1.
Эта поверхность 2-го порядка или пара таких поверх-
ностей {индикатриса Дюпена) дает наглядное представ-
ление о зависимости кривизны нормальных сечений от
направления касательного вектора {du3} на плоскости П.
При п=2 индикатриса Дюпена для эллиптической точки
есть эллипс, для гиперболической точки — пара гипер-
бол, для параболической точки, не являющейся точкой
уплощения, — пара параллельных прямых.
Асимптотические направления на плоскости П — на-
правления, в которых вторая квадратичная форма равна
нулю, — отвечают бесконечно удаленным точкам инди-
5.35
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
40Й
катрисы Дюпена. В этих направлениях идут асимптоты
индикатрисы, откуда произошло и название самих этих
направлений.
5.25. а. Укажем, как вычислять главные кривизны и
находить главные направления в исходных координатах
«1, .... ип. Эта задача может быть истолкована как за-
дача об одновременном приведении формы G(u, du)
к сумме квадратов координат и формы В (и, du) — к ка-
ноническому виду. Как известно из линейной алгебры
(Л 10.32), для этого нужно составить систему уравнений
(6ц — Pgtt)d«t + ... + (6щ — = 0, 1
.......................................... (О
(b„i — ngni)dui+ ... +(bnn — iignn)dun — O. )
Корни уравнения
6ц—pgu ... bin — ngln
bnl • • • bnn l^gnn
(2)
= 0
дают канонические коэффициенты формы В (и, du), т. е.
числа Хь ..., кп в 5.24 (2). Если в (1) заменить ц на Xj,
то полученная система будет иметь нетривиальное ре-
шение (du*/*, ... , duM], которое представляет собой со-
ответствующий базисный вектор gj (с точностью до мно-
жителя).
Известно, что уравнение (2) имеет п вещественных
корней (считая каждый корень столько раз, какова его
кратность), а система (1) для каждого вещественного
корня Xj имеет столько линейно независимых решений,
какова кратность этого корня. В случае п различных
корней Хь .... Хп получаются п однозначно определен-
ных главных направлений; если же какой-либо из кор-
ней, положим Xi, имеет кратность выше первой, напри-
мер кратность pt, в соответствующем ргмерном подпро-
странстве произвольный базис из pt взаимно ортогональ-
ных направлений может быть принят за систему главных
направлений.
б. Пусть
°оРп + + ... -J- ап — а0(и — М ... (р. — Хп)
410 ГЛ. S, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.26
есть разложение на множители многочлена в левой ча-
сти равенства (2). В частности, мы имеем
1) Gn == М • • • === КОо»
где К — полная кривизна поверхности Р в точке А
(5.246).
Свободный цлен ап многочлена (2) получается, если
положить в этом многочлене р — 0; мы видим, что ап
совпадает с det В — определителем второй квадратичной
формы. Коэффициент ао получается, если многочлен (2)
разделить на р” и перейти к пределу при р —> оо; про-
изводя деление на р в каждом столбце и переходя к пре-
делу, получаем, что ад совпадает с определителем det G
первой квадратичной формы, взятым со знаком (—1)п.
Поэтому для полной кривизны К получается формула
К = = (3)
' «о det и
5.26. Случай п = 2, примеры. При и = 2 приняты следую-
щие обозначения:
d2r д2г д2г
r^2~dudv~ruv' Г22'=~дё*'=Г™
*ii=(rii» tn) = L, bi3 — (rt2,m) = M, fc22 = (r22, m) = N,
так что
В (и, du)=*Ldu2 + 2M dudv + Ndv2. (1)
Система 5.25 (1) имеет вид
(L - pF) du + (М - pF) dv = 0, j
(М - pF) du + (N - pG)di> = 0, J ' '
?' уравнение 5.25 (2) — вид
L — uE M — pF
= 0. (3)
M - pF N - pG ’ ’
Вычислим вторую квадратичную форму для поверхностей, указан-
ных в примерах 5.15.
а. Для плоскости г — 0 в любой системе криволинейных коор-
динат «, v всегда (ruu, n) = (ruv, n) = (rtv,n) = 0, так что £=Л1=
= N = 0, В (и, du) = О. Кривизна всех нормальных сечений рав-
на 0 (ср. 5.24в).
б. В примерах 5.16 б—ж представлены поверхности враще-
ния; мы рассмотрим сразу общую поверхность вращения (5.15 е). В
5.26
5 52. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
411
координатах г, <р имеем
r = {p(z) cos ф, р (z) sin ф, г},
Гг — {Рг COS ф, рг sin ф, 1}, Гф = {— р sin ф, р COS ф, 0},
I
Рг COS ф
— р sin ф
I k
pz Sin ф 1
р cos ф 0
= —р {cos ф, 8Й1ф, — рг).
__ М {— COS ф, — sin ф, рг}
“|ЛГ|=
fzz = {Pzz COS ф, ргг sin ф, 0}, Ггф = {—рг sin ф, pz COS ф, 0},
Тфф = {— Р cos ф, — р sin Ф, 0},
i = (rzz> tn} = — ?zz ,
Vi+pI
M = (rztf, tn} = 0,
m) = —£±==-,
Vl+P*
В («, A*) —---dz3 + P — dm*.
VT+^ Vi+<4
Поскольку в координатах г, ф первая квадратичная форма также
имеет вид суммы квадратов (5.15 е)-.
G (и, du) = (Pz + 1) dz2 + р2 йф2,
то направления координатных линий ?, ф являются главными на-
правлениями. Нормальным сечением, проведенным в направлении
линии г, очевидно, является меридиан. Нормальным сечением, про-
иеденным в направлении • параллели ф = const, вообще говоря, бу-
дет не сама параллель ф = const, а другая кривая, совпадающая с
параллелью, лишь если вектор т в данной точке ортогонален к оси г.
Центр кривизны параллели находится иа оси г, центр кривизны нор-
мального сечения, по теореме Менье (5.22 е), проектируется на плос-
кость параллели в ее центр, так что и сам находится иа оси враще-
ния (теорема Монжа) (см. рис. 5.2-3). Уравнение (3) принимает вид
откуда
________________________Ргг _ 1
g,“ (1 + рЭ3/2’ g2 р(1+ф*’
412 ГЛ. б. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.2в
Таким образом,
К = Р,|12 =-------7,Р/ 242 >
Р(1 + Pz)
ЧН — Hi
, ~ PPzz + (1 + Рг) .
И2 р(1+РгТ2
(5)
(6)
Полная кривизна К положительна в тех точках, в которых
р,£ < 0, т. е. там, где кривая р = p(z) вогнута к осн вращения, и
отрицательна там, где р« > 0, т. е. там, где кривая р = p(z) об-
ращается выпуклостью к оси вращения.
в. Каковы те поверхности вращения, у которых полная кри-
визна равна 0? Из выражения полной кривизны (5) для таких по-,
верхностей находим р12 = 0, откуда
р = аг -|- Ь; такая поверхность есть
конус при а 0 и цилиндр при а = О,
Ь > 0. В обоих случаях образующая
поверхности является нормальным се-
чением нулевой кривизны.
г. Каковы те поверхности враще-
ния, у которых средняя кривизна рав-
на 0? Здесь мы должны решить уравне-
ние рр„ = 1 + pz. Вводя подстановку
pz = п(р), находим, что
Pzz = «г = «pPz35 UpU, ptlpU — 1 + U2,
и, значит,
и du dp
1 + и2 р
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим
In + «2 = In р + In С, откуда V1 + и2 = Ср и, далее,
ц=р2 = У С2р2 — 1. Полагая Cp = cht Cdp = shtdi, получаем
dt=Cdz-, интегрируя второй раз, находим t = C(z— г0), откуда
окончательно
p = ~chC (г — z0).
Искомая поверхность оказывается катеноидом (5.15 ж).
д. Проанализируем еще пример 5.15 з — геликоид. В координа-
тах р, ф, указанных в этом примере, мы имели
Гр — {cos ф, sin ф, 0}, Гф = {— р sin ф, р cos ф, k],
ds2 = dp2 + (р2 -|- fe2) йф2.
527
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
413
Отсюда
i i
cos <p sin ф
— p sin ф p cos ф
= {k sin ф,
— k cos ф, p}.
k
__ N _ {бмпф, —/гсозф, p}
~ | TV 1 “ /fe2+ p2
Далее,
rpp = 0, rpq, = {— sin ф, cos ф, 0}, г,,,, = {— р cos ф, — р sin ф, 0},
i — (грр«
k
m) = 0, М = (гр(р, т) = — р===, N = (rw, т) = 0.
Уравнение (3) В случае геликоида принимает вид
k
— р ----г
Г^ + р2
решая его, находим
k
и * р2 + fe2
Отсюда видно, что средняя кривизна геликоида также равна 0.
Индикатриса Дюпена представляет собою пару равносторонних ги-
пербол |2 — ^2 — ± Р • В направлении образующего луча
кривизна нормального сечеиия равна 0, так что по этому лучу про-
ходит асимптота индикатрисы; поэтому главные направления на ге-
ликоиде в каждой точке (не лежащей иа оси г) составляют углы
по 45° с направлением образующего луча.
Между прочим, геликоид является единственной линейчатой по-
верхностью (т. е. поверхностью; полученной перемещением прямой
линии) со средней кривизной, равной 0 (см. задачи 8—10).
Полная кривизна геликоида отрицательна:
k2
К = P1P2 = -- (р2 +
5.27. Геометрический смысл средней кри-
визны. По формуле Эйлера 5.24 (2) кривизна kN лю-
бого нормального сечения N поверхности Р в точке А
выражается формулой
п
kN — 5 Л/ COS2<P/.
/=1
Найдем среднее интегральное из всех значений kN по
всем направлениям нормальных сечений в касательной
плоскости П в точке А. По соображениям симметрии
414 ГЛ, Б, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.28
среднее значение величин cos2<p, одинаково для всея
л
значений j = 1, ..., п. Так как S cos2q>/= 1, то сред-
нее значение каждой из функций cos2 очевидно, равно
1/п. В итоге среднее интегральное всех кривизн оказы-
Л
вается равным — т' е' сРедней кривизне поверх-
/=г
ности Р в точке А.
В частности, наибольшая из всех главных кривизн
есть в то же время и наибольшая из всех нормальных
кривизн в данной точке; то же относится и к наимень-
шей из всех кривизн. При п — 2, когда имеются всего
две главные кривизны, одна из них может быть охарак-
теризована как наибольшая из всех нормальных кри-
визн, а другая — как наименьшая из всех нормальных
кривизн. При и > 2 остальные кривизны также могут
быть охарактеризованы в экстремальных терминах; ср,
5.28. Геометрический смысл полнойкри-
в и з н ы. Для плоской кривой кривизна в данной точке А
Рис. 5.2-4.
может быть определена как скорость поворота касатель-
ного вектора, или, что то же, как скорость поворота нор-
мального вектора в точке А. Эта величина есть предел
отношения поворота нормального вектора на малой дуге
As, содержащей точку А, к самой этой дуге, когда дуга
стягивается к точке А. Угол поворота нормали в свою
очередь может быть определен как длина Дгр соответ-
ствующей дуги единичной окружности (рис, 5.2-4) с цен-
тром в произвольной точке О.
5.28
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
«5
Это построение обобщается на случай л-мериой по-
верхности в (й + 1)-мерном пространстве следующим
образом. Рассмотрим малую область AS поверхности Р,
содержащую точку А и определяемую'некоторой малой
областью изменения параметре® АО с: Rn. В каждой
точке М е AS рассмотрим вектор единичной нормали
т(М); перенесем все эти векторы началом в фиксиро-
ванную точку О и обозначим через Дй область на еди-
ничной сфере, покрываемую концами этих векторов. Эта
область называется сферическим отображением обла-
сти AS. Она тем больше, чем больше разброс направле-
ний векторов m (М) в точках Af е AS, т. е. чем больше
искривлена поверхность Р у точки А. Гаусс определил
в свое время (1828) кривизну х(Л) (двумерной) поверх-
ности Р в точке А как предел отношения площадей
|АЙ|/|А5| при AS-»Л.
Попробуем связать при любом п гауссову кривизну
I- IДОI
х ~д“тл । да । с введенными нами характеристиками
кривизны поверхности Р в точке Л. Площадь j ASJ уча-
стка AS, как известно (3.62 в), выражается формулой
|AS|= J|r'(«)M«= Jlln......
до до
Так как ведущим вектором области Ай является век-
тор т(и) с той же областью AG изменения параметров
ы=(ыь •••> «и), .то площадь |Ай| области Дй выра-
жается аналогичной формулой:
|АЙ|= 11 m'(u)\du— j* | [mi, ....
до до
„ dm
где
В соответствии с
х(Л)=Йт
Д5-»А 1(йл1
определением Гаусса мы получаем
J I ["»!..тп] | W«
I- ДО
= hm —=---------------------=
as-»A J | [r „ .... rn] I du
ДО
__ I [>»i (A)..mn (A)] |
I [nW......rn(A)][ •
416 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Вычислим /пп(Л)].. Поскольку вектор т1г
как производная единичного вектора, ортогонален к т,
можно записать
п
«// = 2 ькгк.
k—i
Используя линейное свойство определителя, дающего
выражение для векторного произведения (3.62в), нахо-
дим
{т,, .... /«„]== [2 ..., 2 bknnrk 1 =
L ki кп J
= s (>:...«[г.,...........г.,]=
=, S ...... *„)[г........г„] =
кг.... kn
= det||fe/|([ri, •••, rj.
С другой стороны, дифференцируя тождество (rh т)=0,
мы находим
(п \
rh 2 6/rJ+ Ьц =
/
П
Следовательно,
п
Ьц = -^Ькё{к, i,j=l........П. (1)
По теореме о детерминанте произведения матриц мы
имеем
det||&.J = (-l)ndet||^||det||g//||.
В результате
1-тЧ~дГ~’ 7ди" = det IIII =
[Г1 (Л), Гп(Л)] II /II
__I 1 \n ® b‘l II _, t\n is (Д\
-(-1) <1еТйЛ“(“1) К{А}
в силу 5.256. Таким образом,
х(Л) = К(Л)|,
5.81 § 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ -ФОРМ «7
и гауссова кривизна поверхности Р в точке А оказы-
вается совпадающей с модулем полной кривизны по-
верхности Р в этой же точке А.
5.29. Линии кривизны.
а. Если в данной точке А поверхности Р корни
Ль ..., Хп различны, то они остаются различными и
в некоторой окрестности точки А (так как корни урав-
нения непрерывно зависят от коэффициентов, 1.59в)-, по-
этому главные направления остаются однозначно опре-
деленными и в окрестности точки А. Таким образом,
в окрестности точки А определяются п взаимно ортого-
нальных полей направлений. Система 5.25 (1) при фи-
ксированном корне р — kj является системой дифферен-
циальных уравнений /’-го поля. Интегральные кривые
j-ro поля называются линиями кривизны, отвечающими
корню kj. Линии кривизны образуют п взаимно ортого-
нальных семейств. Как вытекает из 2.64, при п — 2
можно на поверхности Р в окрестности точки А перейти
к новой системе координат и, V, в которой линии кри-
визны станут координатными линиями. В этой системе
координат первая и вторая квадратичные формы примут
канонический вид — сразу в целой окрестности точки А:
G==gn(«, v)dua + g22(u, v)dv2,
В = Ьц(и, v)du2 -\-b22(u, v)dv2.
При n > 2 одновременное приведение форм G и В к ка-
ноническому виду в целой окрестности точки А, вообще
говоря, невозможно.
б. П р и м е р. Для поверхности вращения, как мы видели в
5-26 б, главными направлениями являются направления меридиана
и параллели; следовательно, сеть меридианов и параллелей является
сетью линий кривизны. В вершинах поверхности, т. е. в точках ее
пересечения с осью вращения, эта сеть имеет особенность, т. е. пере-
стает быть координатной сетью; в этих точках, если поверхность
остается дифференцируемой (как, например, эллипсоид вращения),
обе главные кривизны становятся одинаковыми.
§ 5.3. Связь первой и второй квадратичных форм
5.31. Деривационные формулы Гаусса и
Вейнгартена. Названные формулы описывают из-
менение векторов fj и пг с изменением точки на поверх-
418 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
нести, подобно тому как формулы Френе (016.27) опи-
сывали изменение векторов сопровождающего базиса
с изменением точки на кривой. Мы имеем
dr (A}
ri} s “ S г*' W г* < +М4« (Л)
7 *=1
(i, / = 1, .... п), (1)
п
т1^Ё^^^(А)гА(А) (/==1..п), (2)
где Г|,(Л), Р;/(Л), Ц(А)—некоторые коэффициенты.
Оказывается, что все эти коэффициенты выражаются че-
рез коэффициенты первой и второй квадратичных форм
поверхности в точке А и через их производные. Коэффи-
циенты мы встречали уже в 5.28; они удовлетворяют
системе уравнений 5.28 (1):
ьч=-2»;««- ст
Для решения этой системы используем матрицу ||g’is}|,
обратную к матрице ||£г-3||.
Умножим (3) на gie и просуммируем по i; так как
" . ( 1 при k = s,
Si8tkS IО при k^s,
то при последующем суммировании по k остается лишь
член, отвечающий значению k = s, и мы получаем
<5)
1=1
Таким образом, коэффициенты bj выражаются через ко-
эффициенты первой и второй квадратичных форм.
Коэффициенты рг/ в равенстве (1) легко найти, ум-
ножив это равенство скалярно на т:
(rtJ, m)*=btl=faj(m, т) = ^ц. (6)
Таким образом, величины ft/ совпадают с коэффициен-
тами Ьц второй квадратичной формы.
Б,31 tw СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 4J&
Сложнее обстоит дело е коэффициентами Г*/.. Умно-
жая скалярно (1) на rs, находим, что
s e (Fip rs) — П/ (ГА» rs) — S Tygks- (7)
Дифференцирование равенства (r{, ra) = gis no ut дает
(rth rs) + (r4, rsj) = • (8)
Совершая здесь циклическую перестановку индексов,
получаем последовательно
(r/s> п)+ (*/, rts)==~^^^ (9)
(Ль r/)-h(r„ = (10)
Складывая (8) и (10) и вычитая (9), находим
Г =fr r\^1 (d8ls 1 dSts д8у} 1П
lu.s \Гц, rs) 2\duj + dut dus / (")
Теперь будем решать уравнения (7) относительно
величин Гу. Для-этого заменим в (7) индекс суммиро-
вания k на р, умножим (7) на gfes и просуммируем по з.
Учитывая равенства (4), получаем
Г* = У Г ^=-Ly + лох
ч Л «.»* 2 Zl\ ди, dut dus / в •
S=1 s—l
Таким образом, коэффициенты выражаются толь-
ко через коэффициенты первой квадратичной формы и
их производные. Это весьма важный факт, показываю-
щий, что коэффициенты rklf, в отличие от $у и Ь^, при-
надлежат к внутренней геометрии поверхности.
Коэффициенты r,j, я называются символами Кристо-
фе ляЛ-го рода, коэффициенты FJy—символами Кри-
стофе ля 2-го рода. И те и другие называются также ко-
эффициентами связности, так как они помогают связы-
вать геометрические характеристики поверхности в близ-
ких ее точках определенными дифференциальными урав-
нениями, о чем будет речь дальше. Как коэффициенты
Г,х ®, так и коэффициенты симметричны по индек-
420 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.32
сам i и /; для величин Г^,, — (ri}, rs) это следует из ра-
венства го- = Гл, а для величин Г*,— из симметрии r,j>9
и уравнения (12).
Формулы (1), при указанных значениях коэффициен-
тов и Pij, называются формулами Гаусса-, форму-
лы (2), при указанных значениях коэффициентов bkjt_____
формулами Вейнгартена.
5.32. Связь между коэффициентами пер-
вой и второй квадратичных форм. Коэффи-
циенты первой и второй квадратичных форм не незави-
симы. Наличие связей между ними вытекает из равен-
ства смешанных производных высших порядков от век-
торов г (и) и т(и) (в предположении их существования
и непрерывности)' и деривационных формул Гаусса и
Вейнгартена. В самом деле,
r‘kl s ~ди^ ~ W
' s==l /
r,ki ~ I У Г* г + р.. т I. (2)
7 ди; dui I jhJ ik s ik J '
Из совпадения левых частей этих формул следует, что
X ~ди^ rs + S 1р + ~ди^ т + $ik>nl =
s=l 1 р=1 J
=S т+ю
s«=l 1 р=1 1
Подставляя сюда величины rlp, г1р и т< из формул
Гаусса и Вейнгартена, получаем
П Г1 Г П \
rs + Г/рГs 4- P/p/n I + т +
s=i p=i 4=1 ! 1
п 11 r)Vs п / п \
+ Pife 2 bSlrs== 2 ~ди^~ Г/fe I 5] r’pfs + Pip/n 1 +
s=l s=l 1 p=l 's=l '
+ + P/* ^1Гs- (4)
fi.32 5 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 421
Так как векторы rs и т линейно независимы, то
из (4) следует равенство для каждой из составляющих:
,rs п AVS п
-аГ + 2 WP + ptkbst = + £ Г^Г?Р + ₽/ftb? (5)
1 P=i 1 p=i
(формула Гаусса),
(формула Петерсона — Кодацци).
Формулу (5) можно переписать так:
Умножим еще на gsi и просуммируем по индексу s.
Тогда, обозначая
24i=ch>
£
мы получим
₽/*сН — ₽ifec/J —
s=l L ‘ ‘ Р=1 J
Теперь вставим в эту формулу известные значения для
₽/*(₽«) и сц(сц) из 5.31 (3) и (6):
п
^ik — bjk, cli=^ib!’lgsl — —btl.
S=1
Обозначая Bi]tki = btkbii — b1kbit, окончательно полу-
чаем формулу
п
+ 2 (IWP - Г?*Г?Р) ga> (8)
ди. дик
* п=
которая также называется формулой Гаусса.
422 ГЛ. < КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.82
Выражение Вц, ы = Ь1кЬц—bjkbu есть минор второго
порядка в симметричной матрице В = ||bift||, построен-
ный на строках с номерами i и j и столбцах с номе-
рами k и I.
В правой части равенства (8) стоит выражение, за-
висящее только от коэффициентов первой квадратичной
формы и от их производных (5.31). Таким образом, все
миноры второго порядка матрицы второй квадратичной
формы определяются однозначно по первой квадратич-
ной форме. Обратно, из равенства (8) и равенства (6)
получаются равенства (4) и (3) и в конечном счете
равенство величин, стоящих в правых частях (1) и (2).
В свою очередь, равенство =
— гпц приводит также к двум соотношениям между ве-
личинами ga и bij. Мы имеем
д2/п(и) _ dm, д у _ у г , у
ди. ди. ~ ди. ди. birs ~ ди. s + —
1 ' 1 1 s=l s=l 1 s«=l
=Ё r*+2(s т*г°+=
S=1 р=1 ^5=1 '
п (П \ П
=Ё (аг+Ё Ь‘Г*)+Ё b^‘m‘
№=1 ' Р= 1 1
Меняя местами i и j и приравнивая составляющие полу-
чившихся выражений, получаем равенства
I Р=1 1 “1
1 (Ю)
p=i Р=1
На самом деле оба эти равенства уже не представляют
собою новых соотношений, а могут быть алгебраически
выведены из уже имеющихся. Для вывода соотноше-
ния (9) исходим из равенства 5.31 (8)
. г
dUf 1 Ik.q ~Г * iq.kf
5.32 4 Б.З. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 423
из которого следует, что
S ** - S bP^i- о=Sь’»
fe=l f=l Р=1
или, если поменять местами индексы i и /,
fy duq 2bPjVPit q — bpГ9г, p.
A=1 1 p=l p=l
Формулу (6) Петерсона — Кодацци можно написать
в виде
Р=1 1 Р=1 *
откуда следует, что
fc=l J р=1
=i i «+^- <">
fc=l ‘ P=1
С другой стороны, равенство 5.31 (3)
“ S btgkq
R=1
приводит к формуле
dblq __ VI _ V h* d8kq
dum 2^ dum ^kq Zj 1 dum ’
A=1 fe=l
которая позволяет равенство (11) переписать в виде
п я.к п п ahk "
i=l 1 р=1 k=l р=1
Изменяя здесь знаки, умножая на gs« и суммируя по q,
приходим к равенству (9).
424 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.33
Чтобы убедиться в справедливости соотношения (10),
достаточно в него подставить выражения 5.31 (5) и
5.31 (6)
tf = -tblkgkp, fipl = bpl,
k~l
тогда это соотношение примет вид
2 2 blhgkpbpl = 22 blkgkpbpl. (12)
p=i k=i ₽=1
Соотношение (12), очевидно, выражает тот факт, что
матрица BG~lB симметрична; но это следует и непосред-
ственно из симметрии матриц В и G.
5.33. Вторая квадратичная форма в общем случае не
определяется однозначно по первой квадратичной форме:
например, у плоскости и у цилиндра первые квадратич-
ные формы (в определенных системах координат) сов-
падают, а вторые — различны (у плоскости вторая квад-
ратичная форма есть нулевая форма, у цилиндра — не
нулевая).
Но доказанные теоремы позволяют по первой квад-
ратичной форме получить ценную информацию о второй
квадратичной форме.
а. Рассмотрим сначала случай п — 2, когда обе
формы задаются матрицами второго порядка. Согласно
формуле Гаусса, по первой квадратичной форме мы мо-
жем найти определитель второй квадратичной формы,
именно:
det В = В12.12 =
=v fe
ди2
s~i L
2
P=1
gs2-
(1)
Зная det В, мы можем найти по 5.25 (3) и полную
визну поверхности:
„___ det В _
А — det G ~
2
кри-
2
, V
ди2 dut
₽=1
2p Г21Г1р) Ss2
4T1&22- £12
(2)
КЗЗ * 8Л. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 425
Таким образом, полная кривизна двумерной поверх-
ности может быть найдена однозначно по одной первой
квадратичной форме. Отсюда следует, далее, что полная
кривизна в данной точке двумерной поверхности не из-
меняется при изгибании поверхности (теорема
Г аусса).
б. Из теоремы Гаусса непосредственно следует, что
кусок плоскости (К = 0) нельзя изогнуть на кусок
сферы (К > 0) или катеноида (К <. 0).
в. Если рассматривать двумерную поверхность Р =
— Р2 с метрикой, не заимствованной из содержащего
эту поверхность евклидового пространства R$, а задан-
ной независимо (например, для поверхности Р2, распо-
ложенной в Rn при п > 3, с метрикой, индуцированной
этим Rn, то вся теория кривизны кривых на Р2 (§ 5.2)
уже не работает, второй квадратичной формы нет.
Однако величину К мы сможем вычислить по фор-
муле (2). Будем ее называть «.формальной полной кри-
визной», она принадлежит к внутренней геометрии
поверхности. Естественно возникает вопрос, какой геоме-
трический смысл имеет эта «формальная кривизна». По-
скольку рассмотрения, связанные с нормалями к по-
верхности, в данном случае исключены, величине К уже
нельзя приписать смысла, связанного со сферическим
отображением (5.28); ее нельзя интерпретировать и как
произведение главных кривизн за отсутствием самих
этих кривизн. Тем не менее геометрический смысл у ве-
личины К имеется; мы найдем его в 5.63.
г. Рассмотрим теперь случай п > 2. Предположим,
что какой-либо из миноров третьего порядка матрицы В,
например определйтель матрицы
Вз =
Ьц
Ь21
612 613
5 22 &23 >
Ьзг Ьзз
отличен от нуля. Мы утверждаем, что в этом случае все
элементы Ьц, Ь\2, ..., Ь33 определяются по форме G од-
нозначно, с точностью до знака (общего для всех эле-
ментов). Действительно, по теореме Гаусса а, нам из-
вестны все алгебраические дополнения Вц, В12, .... В33
соответственно к элементам 61Ь В12» .... Ьзз- Так как эти
426 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.33
алгебраические дополнения, поделенные на det В3, со-
ставляют элементы обратной матрицы Вз\ то, приме-
няя к равенству
В3Вз1 — Ез
теорему о произведении определителей, находим
det Вз det Ц BJk ||(det В3)~3 = 1 (j, k = 1,2,3),
откуда
(det B3)2 = det|!B/fe!|,
и, следовательно, det В3 мы знаем с точностью до знака.
Но, зная detB3 и числа Bjk, мы знаем матрицу
а следовательно, и матрицу В3.
В указанном случае без ограничения общности мож-
но считать, что матрица
_рп Ь»!
2 |ь21 м
также не вырождена и что Ьц =/= 0. Фиксируем знак
у элемента Ьц; тогда фиксируются и знаки остальных
элементов матрицы В3. Рассмотрим матрицу
Ьц Ь12 btk
b2i Ь^з bZk
b/t Ь/2 bjk
с некоторыми j и k. Если она не вырождена, то эле-
менты ее также определены однозначно (на этот раз
выбор знака фиксирован выбором знака у Ьц). Если же
она вырождена, т. е. ее определитель равен 0, то третья
строка есть линейная комбинация двух первых (так как
det В2 =# 0) и коэффициенты этой линейной комбинации,
по формулам Крамера, выражаются через миноры вто-
рого порядка; следовательно, эти коэффициенты из-
вестны, а с ними известны и первые два элемента
третьей строки. Применяя аналогичное рассуждение
к столбцам и используя известные элементы первых
двух столбцов, получаем возможность восстановить все
три элемента третьего столбца. Тем самым мы видим,
что при наличии хотя бы одного ненулевого минора
6.34 S 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 427
третьего порядка матрица В восстанавливается по ма-
трице С (и) однозначно с точностью до знака.
д. Результат г можно сформулировать и несколько
иначе. Именно, матрица В восстанавливается по матрице
G(u) однозначно с точностью до знака, если на поверх-
ности Р в данной точке имеются по крайней мере три
ненулевые главные кривизны. Тогда в каноническом ба-
зисе из главных векторов gi...gn (5-24 а) соответ-
ствующий главный минор третьего порядка матрицы В
отличен от 0, т. е. ранг этой матрицы не менее 3, и
остается применить результат г.
5.34. Построение поверхности по первой
и второй квадратичны мформам.
Теорема (Бонне). Пусть даны две п X п-матрицы-
функции G = l|gij(u)||, В = ||йо(и) ||, заданные в обла-
сти V czRn и обладающие в ней непрерывными произ-
водными до третьего порядка включительно. Матрица
G(u) предполагается положительно определенной, ма-
трица В (и) предполагается связанной с матрицей G(u)
формулами Гаусса 5.32 (8) и Петерсона — Кодацци
5.32 (6). Утверждается, что для любой точки и° е V су-
ществует окрестность U — U(u°)czV, в которой опреде-
лена такая вектор-функция г = г (и), что для соответ-
ствующей поверхности Р = {г Яп+г- г — г (и), ueU]
матрицы G(u) и В (и) являются матрицами соответ-
ственно первой и второй квадратичных форм (5.13 и
5.22). При этом поверхность Р определена с точностью
до положения в пространстве; точнее, две поверхности
г — r<*)(u), г = Н2>(ы), удовлетворяющие условиям тео-
ремы, во всяком случае, в некоторой окрестности точки
и° могут быть совмещены путем движения в простран-
стве Rn+i, с возможным отражением.
Доказательство. Напишем систему дифферен-
циальных уравнений для неизвестных вектор-функций
r\(u),. ..,rn(u), т(и);
6г (и} п
= S W Гк + ЪЧ т
I к—1
«)
7 fe=l
428 ГЛ. 6. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.34
где коэффициенты Ьц(и) суть заданные элементы ма-
трицы В, а Гц (и) и />/(«) получаются из элементов
матриц G и В по правилам, указанным в 5.31.
Для решения этой системы применим теорему Фро-
бениуса (2.55). Условия интегрируемости, требуемые
этой теоремой, здесь выполнены — они совпадают с ус-
ловиями Гаусса и Петерсона — Кодацци, которые,
кстати, и возникли в результате приравнивания.смешан-
ных производных. В силу теоремы Фробениуса система
(1) имеет, и притом единственное, решение для любой
системы начальных данных rj и т°. Возьмем произволь-
ную точку и0 е V и найдем п векторов е Rn+i, удовле-
творяющих условиям
(г?. гО) = £0(и°) («, 7=1, .... п). (2)
Такие векторы r°t (i=l, .... п) можно отыскать даже
в n-мерной плоскости Rn — {х е Rn+l: х„+1 = 0}. Дей-
ствительно, матрица ((gtj (ы°) || положительно определена
и симметрична; поэтому существует квадратный корень
из нее, т. е. пХ«-матрица ||^/|| такая, что ||£//|р==
= 11 gti (u°) II *)• Теперь ясно, что в качестве искомых
векторов (i=l........п) можно взять строки матррцы
IIL/II, дополненные на (n -|- 1)-м месте нулем, т. е.
г? “ (£«1» • • •» £1П’ ®)-
После того, как определены начальные векторы
г®, • •., г°п, положим /п(0) = (0, 0, ..., О, Пусть
гДп) (t=l, ..., п) и т(и) (ueUcV) есть решение
системы (1) при указанных начальных условиях, опре-
деленное в некоторой окрестности Ut точки и°. Из сим-
метрии коэффициентов Гц (и) и Ьц(и) по индексам i
дг, дг,
и / следует, что — эт0 в свою очередь озна-
*) Матрица || (и0) || в ортонормальном базисе из собствен-
ных векторов et, .... еп приводится к диагональному виду с поло-
жительными элементами .... иа диагонали. В качестве ма-
трицы || 1ц || можно взять матрицу, которая в том же базисе
е....... имеет диагональную форму с элементами V , .... V^n
на диагонали.
5.34 § 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 429
чает в силу 2.56, что в некоторой окрестности U cz
точки и° существует векторная функция г = г(и) =
~r(ui, ип), для которой
дг (и)
ди{
~ri(.Ui, ип),
(3)
причем можно считать, что г(и°)=0. Мы утверждаем,
что поверхность Р, определяемая уравнением г — г(и),
является искомой. Для этого нам нужно проверить, что
матрицы первой и второй квадратичных форм для по-
верхности Р совпадают соответственно с заданными ма-
трицами G(u) и В (и). Из уравнений (1) мы имеем
d(ri- rs) _(dri r\,(r
diij \$uj ' v ' \ h dui)
n
-Sn h.r.)
fc=l
+ btl(m, rs) + bsl(m, rt\
d(rj, m) _ (drt \ ( dm\_
dUj \dUj ' /^”v’ duf )
n n
= 2 ri/ (rv m) + ba m> + ^bkt (r,, rk),
k—i k—i
' v ' fe=l
(4)
Рассмотрим эти равенства как систему дифферен-
циальных уравнений относительно функций (п, rs),
(rh т), (т, tn) (i, s — I, п). У системы (4) есть
решение:
(G. rs)s=gis(u), (rh /п)е=0, (m, m)=l. (5)
Действительно, в силу 5.31 (7) и 5.31 (8)
S +ПЛ)=г„..+Г„.,=.
А=1 '
430 ГЛ. & КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.34
так что первое из уравнений (4) удовлетворяется функ-
циями (5). Второе уравнение удовлетворяется функ-
циями (5) на основании определения Ь/ (5.31 (5)), тре-
тье — очевидным образом. Функции (5) удовлетворяют
начальным условиям (г®, rj) = gis(«°), (r®, zn°) —0,
(т°, т°)=1. В силу теоремы единственности 2.52 мы
имеем (rt, rs)^gi3(u), (r{, m)ss0, (m, т)^1 во всех
точках и из некоторой окрестности точки и0.
Таким образом, (G(u)du, du) есть первая квадратич-
ная форма поверхности Р, а т(и) —единичный нор-
мальный вектор к ней. Коэффициент (rijt tn) второй
квадратичной формы получается теперь из первого из
уравнений (1):
(дг \ п
m) == 2 ГО (“) <гь тУ + Ьи (“) т) =
1 ' a-i
= bl} (и),
и мы видим, что форма (В du, du) совпадает со второй
квадратичной формой поверхности Р. Таким образом,
существование искомой поверхности установлено; нам
остается проверить ее единственность с точностью до по-
ложения в пространстве.
Этот факт будет следовать из единственноеги ре-
шения системы (1), которой удовлетворяют векторы rt
и т для каждой из поверхностей Р(1), Р(2) с задан-
ными матрицами G и В, если, кроме коэффициентов
Г?/, Ьц и Ь*, будут фиксированы также начальные зна-
чения г® и nfi. Но если две поверхности Р(1) = (г=Н,> (и)}
и Р<2> = (г = г(2) (и)} с соответственно одинаковыми
квадратичными формами сдвинуть в пространстве Bn+i
(и, может быть* -произвести отражение) так, чтобы при
некотором и° совместились их точки г0^ и-г°(2), а также
векторы г®<“, т0(‘) — с векторами г®(2), /п0(2>, то началь-
ные данные у каждого из решений гр, и г^2), /п(2>
системы (3) окажутся одинаковыми, а это позволит
применить теорему единственности. В результате полу-
чается, что векторы rW(u) и гр (и), а также (и) и
т(2> (и) совпадают при всех значениях и из некоторой
окрестности точки и°. Но тогда в этой же окрестности
5.36 § 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 431
совпадают векторы г(|) (о) и И2) (и), поскольку фикси-
ровано начальное значение г0(,) — г0*2). Нам остается
заметить, что две системы векторов и г® с одина-
ковыми значениями скалярных произведений (гр, гу>)=
=(гР» г^) всегда можно совместить ортогональным
преобразованием (движением с возможным отраже-
нием)*). Теорема доказана.
5.35. Жесткость многомерных п о.в е р х н о-
стей. Одним из интересных следствий теоремы Бонне
является жесткость широкого класса многомерных по-
верхностей, т. е. невозможность их нетривиального — от-
личного от движения с возможным отражением — изги-
бания. Речь идет здесь о классе n-мерных поверхностей
в (« + 1) -мерном пространстве при п > 2, обладающих
в данной точке по меньшей мере тремя ненулевыми
главными кривизнами. Для таких поверхностей по 5.33
по первой квадратичной форме однозначно с точностью
до знака определяется вторая квадратичная форма и,
следовательно, по 5.34 однозначно восстанавливается
сама поверхность с точностью до движения с отраже-
нием.
5.36. Теорема Бонне показывает, что аналитическим
эквивалентом геометрического понятия n-мерной поверх-
ности (достаточно гладкой) в пространстве 7?n+i яв-
ляется пара квадратных п X n-матриц-функций llgij(w)||
и ||6о(«)||, связанных формулами Гаусса и Петерсона.
Можно ли произвольно задать одну из этих матриц, например
матрицу G == [[ gij(u)|| (разумеется, симметричную и положительно
определенную), и затем подобрать вторую матрицу В = Ц b,j(u)||
так, чтобы удовлетворялись условия теоремы Бонне? Иными слова-
ми, всякая ли «X «-матрица G = llg, j(u) II (симметричная, положи-
*) Если [е)1') и {еР} — системы, полученные ортонор-
малнзацией данных систем {г)1’] н то искомое ортогональ-
ное преобразование есть то, которое переводит систему {е^}
в {е)2)}. Действительно, элементы матрицы ортонормализации —
следовательно, и обратной матрицы — определены однозначно и за-
висят лишь от скалярных произведений гУ’) = (гР, гр)
(Л7.52). Линейное преобразование, переводящее каждое в
(i = l, .... л), переводит друг в друга и соответствующие ли-
нейные комбинации, в частности векторы гУ* в векторы г^\
432 гл- S- классическая ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.41
тельно определенная, какое-то число раз дифференцируемая) может
служить матрицей первой квадратичной формы некоторой поверх-
ности в пространстве /?„+!?
На этот счет имеется теорема Жане (1926)—Э. Картана
(1927): в предположении аналитичности коэффициентов gij(u) до-
казывается, что существует соответствующая n-мерная поверхность
(определенная локально, т. е. в достаточно малой области значе-
ний параметров и — («1........ пп)), но, вообще говоря, не в
, . ., п(п+ 1) .
(n 4-1)-мерном, а в ———^-мерном евклидовом пространстве,
и(п-|-1)
и в общем случае снизить это число----------нельзя. В частности,
для формы от двух переменных щ, ы2 искомая двумерная поверх-
2-3 „
иость находится уже в пространстве размерности —— =» о, как и
было сказано в постановке задачи, и имеется, следовательно, тре-
буемая вторая квадратичная форма; однако уже для формы от
трех переменных Hi, и2, ы3 искомая трехмерная поверхность нахо-
3-4 „
дится в пространстве размерности —— = 6, причем для некоторых
форм, как показывает Картан, вмещение в пространство размерно-
сти 4 или 5 невозможно, и, следовательно, искомой второй квадра-
тичной формы не существует. См. по этому поводу книгу: Э. Кар-
тан, Внешние дифференциальные формы и их геометрические при-
ложения, изд. МГУ, 1962, стр. 214—227, а также обзор:
М. Л. Г р о м о в и В. А. Р о х л й п, Вложения и погружения в рима-
новой геометрии, УМН 25, № 5 (1970).
§ 5.4. Геодезические линии и связанные с ними
координатные системы
5.41. Геодезические линии.
а. Пусть поверхность Рп cz Яп+i задана ведущим век-
тором г — г(и), и — («1, .... мп)е V cz Rn. Рассмотрим
кривую L — {г е Rn+й г — r(u(s)), а s b} с задан-
ным на ней натуральным параметром s — длиной дуги,
отсчитываемой от некоторой фиксированной точки. Раз-
d2r .
ложим вектор кривизны в некоторой точке М кри-
вой L на составляющие по базису rh ..., гп, пг. Мы
имеем
d2r d j dr 'i d dr dut
dsi ds \dsj ds Л4 du, ds
z=i *
^2r du, dtij ( dr d2ut
du, du, ds ds ' du, ds2
1=1 1=1 1 1=1
6.41
$ S.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
433
Заменяя выражения
5.31 (1), находим
д2г
dut diij
^rlt по формуле Гаусса
,2 п / п \
2 (2г*л+м)
I, 'ь=1 /
dui dui , у d2uk
ds ds 2a ds2 rk~
k=i
-S S гНгтг+т/h +
A==l 4, /==1 /
n
+ 2 b//
i. /=1
duf dtif
ds ds
m.
(1)
Первое слагаемое в правой части (1) лежит в касатель-
ной плоскости Пп и называется вектором геодезической
кривизны кривой L в точке М\ второе слагаемое, нор-
мальное к Пп, называется вектором вынужденной кри-
визны. Составляющие вектора геодезической кривизны
du, d2u,
содержат, кроме и символы Кристофеля вто-
рого рода Г*/, выражающиеся, в свою очередь, через
коэффициенты первой квадратичной формы, и потому
не изменяются при изгибании поверхности Рп- Состав-
ляющие вектора нормальной кривизны выражаются че-
рез коэффициенты второй квадратичной формы и по-
тому, вообще говоря, изменяются при изгибании поверх-
ности Рп.
б. Кривая L называется геодезической линией на по-
верхности Рп, если в каждой ее точке ее геодезическая
кривизна равна 0. Таким образом, свойство кривой
быть геодезической линией не нарушается при изгиба-
нии поверхности. Приведенное определение, очевидно,
эквивалентно следующему: кривая L есть геодезическая
линия, если в каждой ее точке, где кривизна отлична от
нуля, ее главная нормаль совпадает с нормалью к по-
верхности в этой же точке.
в. На плоскости вынужденная кривизна всякой ли-
нии равна 0; поэтому геодезическая кривизна любой
кривой равна ее полной кривизне. Для геодезической
линии это означает, что ее полная кривизна тождествен-
434 гл. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ геометрия 5.42
но равна 0. Такими линиями на плоскости являются
прямые и только они.
г. Геодезические линии на цилиндре и на конусе
легко найти, иавернув на эти поверхности плоскость
с сеткой прямых — ее геодезических линий и воспользо-
вавшись инвариантностью геодезических при изгибании.
На цилиндре прямые линии плоскости перейдут в его
образующие, параллели и винтовые линии (рис. 5.4-1).
Рис. 5.4-1.
Разбертиа.
Рис. 5.4-2.
О
Конус
На конусе плоские прямые перейдут или в его образую-
щие (таковыми после изгибания станут те прямые, ко-
торые до изгибания проходили через прообраз вер-
шины), или же в некоторые кривые, спускающиеся до
определенной параллели и затем снова уходящие на-
верх (рис. 5.4-2).
д. На сфере дуги больших кругов обладают главной
нормалью, направленной к центру сферы и тем самым
коллинеарной с нормалью к сфере. Поэтому дуги боль-
ших кругов являются геодезическими на сфере, и не-
много погодя (5.42 б) мы увидим, что всякая геодезиче-
ская на сфере есть дуга большого круга.
Еще один пример (геодезические на поверхности
вращения) мы рассмотрим в 5.47.
5.42. Дифференциальные уравнения гео-
дезических линий.
а. Определение геодезических линий, приведенное
в 5.41, интересно еще и тем, что оно может быть пере-
несено и на n-мерные поверхности Рп с метрикой, не
обязательно заимствованной из евклидова пространства
5.42
6.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
435
Rn+i, а с метрикой, заданной произвольной симметрия-
ной и положительно определенной (дифференцируемой)
матрицей
G = f,k=l,...,n.
В этом случае мы определяем геодезические линии
как такие линии на поверхности Рп, для которых обра-
щаются в нуль выражения
г, t du, du, Ah.
S г?/-ггтг+тЛ
l, 7=1
принадлежащие к внутренней геометрии поверхности.
Таким образом, в любом случае, для геодезической
линии удовлетворяются уравнения
(s) V 1 dui & dui /и 1 х /лх
1 ПД«)—Ts-------(6=1...........и), (2)
1. 7=1
которые, обратно, для Рп cz Rn+i, могут служить опреде-
лением геодезической линии. Система (2) представляет
собою систему п обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка для п функций «i(s), ...
..., un(s) с явно выделенными вторыми производными
и с квадратичными относительно первых производных
правыми частями.
Теорема. Если в окрестности данной точки
M0=(uOf... ,м®) функции gij(u) имеют непрерывные про-
изводные, то по каждому направлению {duj, ..., dun}
из точки Мо выходит одна и только одна геодезическая
линия.
Доказательство. Для заданной точки Мо =*
= (и°, ..., и заданного направления {dui...dun}
рассмотрим формально систему уравнений (2) с началь-
ными условиями
dub (0)
= = < k=l,...,n, (3)
где числа v°k пропорциональны числам duk и нормиро-
ваны условием
436 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.42
'Г л, pifc / \ 1 rj13 ( I
Так как функции rz/(«) = Tg [ +—L-----_П
1 i s /
по условию непрерывны, а квадратичные относительно
производных правые части в системе (2) удовлетворяют
dui
по аргументам условию Липшица, можно приме-
нить теорему существования и единственности решения
(ср. 013.42 и 013.51), в силу которой у системы (2)
с начальными условиями (3) существует, и притом
единственное, решение щ = ut(s), 0 s «о, i= 1, ...
..., п. Этому решению отвечает кривая L на поверхно-
сти Рп, проходящая через точку М в направлении {dui}.
Если мы покажем, что формальный параметр s на этой
кривой L представляет собой длину дуги, то отсюда и
из (2) будет следовать, что L — геодезическая линия.
Таким образом, мы должны проверить равенство
,, , du, du,
i. /-1
Вдоль линии L мы имеем
к/м _ V dgH du‘ dul duk ,
' ' Zi du. ds ds ds
i. j. fc=l
/ d2U{ duj dut d2Uj \
+ Si!\d^~ ~ds~ “I" ~ds~~ds4'
i. 7=1
Подставляя выражения вторых производных из си-
стемы (2) и используя формулы 5.31 (7) и (8)
&-=г,к) + г„., и r„.,=£r;,g„,
к Й=1
находим
Г (»)=== У
' ’ ди. ds ds ds
i. t. *=1 k
SV fr* dUl dU{ du‘ i n dUl dui dUk\ —
y1 if (is ds ds ' «7 ds ds ds /
k. 7=1 Ljr /=i J
Б.43
* 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
437
S dn,- dny dnft у, du{ du, duk
ik' l ds ds ds ' лШ 1 ds ds ds
i. I, t=i i, i. fc=i
Sr dUl dUt du‘
11,1 ds ds ds
i. I, 1=1
S dut du, duk
4-k ds ds ds *
i. /.
так как выписанные суммы отличаются лишь обозначе-
нием индексов. Таким образом, I'(s)ssO, /(s)==/(0)=
ж-i du, (0) du. (0)
= X ёц(и(0))—Ts----------= 1, что и требуется.
i. /=i
б. Из полученного результата, в частности, вытекает,
что дугами больших кругов на сфере исчерпывается весь
запас геодезических линий. Действительно, если на гео-
дезической линии L фиксировать точку М и провести
через М дугу большого круга Г по направлению ли-
нии L, то, по доказанной теореме единственности, дуга Г.
должна полностью совместиться с линией L.
в. Можно показать, что существует такая окрестность U точ-
ки М, в которой через каждую точку А проходит одна и только
одна геодезическая, исходящая из точки М; более того, любые две
точки А и В в U соединяет одна и только одна геодезическая, вся
дуга которой от А до В целиком лежит в U (см. задачи 12 н 13).
5.43. Геодезические параллели.
а. Пусть L — линия на двумерной поверхности Pi.
Проведем через каждую точку М линии L в ортогональ-
ном к L направлении на поверхности Рг геодезическую
линию у(М). В силу теоремы 5.42 а для каждой точки М
такая геодезическая существует и единственна. На каж-
дой такой линии отложим от точки М в фиксированном
направлении одну и ту же дугу w,. отсчитывая ее от точ-
ки М. Геометрическое место концов получающихся гео-
дезических дуг образует линию Lw, которая называется
геодезической параллелью к линии L на расстоянии w.
Оказывается, что все геодезические параллели Lw, 0
w е, ортогональны к геодезическим линиям у(А1).
Мы докажем это утверждение сразу для п-мерного
случая.
438 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.43
б. Пусть на n-мерной поверхности Рп = {г е Rn+i-
г = г (и), ие U cz /?п} выделена (п — 1)-мерная доста-
точно гладкая подповерхность 1п-ь В каждой точке
Af е Ln_i определено ортогональное направление на по-
верхности Рп- Пусть у(М)—геодезическая линия, выхо-
дящая из Af ортогонально к Ln-i. Отложим на линии
y(Af) в определенном направлении фиксированную
дугу w *). Геометрическое место полученных точек на-
зывается геодезически параллельной к Ln-\ подповерх-
ностъю на расстоянии w и обозначается через L„-i.
Теорема. Для каждой тачки Af0е Ln_f существует
окрестность V(Af0), в которой всякая подповерхность
Ln-i пересекает все геодезические у (А!) под прямым
углом.
Доказательство.-Подповерхность Ln-i в общем
случае задается Системой уравнений с п — 1 параме-
трами Т1....Тп-1
«1=«1(Т1..........|
• • • ............| (D
Un —- Ua (Т], • • • t Тп_i), J
причем ранг матрицы Якоби в точке Afa
и, следовательно, в некоторой ее окрестности равен п—1.
Предположим, что в точке Af0 отличен от нуля минор
ди? ди?
dt! '•' дт„-1
дип дип
dtt "' д%п-х
Тогда, по теореме об обратной функции, мы можем из
последних п — 1 уравнений системы (1) выразить пара-
метры ть •. •, Tn—I как функции от и2, , ип и затем
подставить в первое уравнение; полученное уравнение
•) Теорема 1.61 гарантирует существование такого в > 0 и та-
кой окрестности U заданной точки А1о на поверхности Рп, что гео-
дезические линии у(М), исходящие из любой точки М в окрест-
ности U ортогонально к Рп, будут определены во всяком случае
Для всех значений w с |а»|< в. (В теореме 1.61 речь идет об урав-
нении первого порядка; но уравнение высшего порядка приводится
к уравнению первого порядка, как указано в 013.51.)
5.43
§ S.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
439
подповерхности Ln-i будет иметь вид
н1 = ф(н2....................un-i). (2)
Теорема 2.36 а обеспечивает такую же гладкость функ-
ции (2), какая была у правых частей системы (1). Те-
перь в окрестности точки Мо в качестве параметров, оп-
ределяющих положение любой точки М е Ln-i, можно
принять величины
01 = ut — <р (и2..мп-1), о2 = м2. • • •, о„ = ип,
поскольку якобиан матрицы ‘тождественно
D дг(М0) дг(М0)
равен единице. Векторы —.........—— касатель-
ны к координатным линиям параметров v2, ..., vn, про-
ходящим на поверхности »i =* 0, т. е. на подповерхно-
сти Ln-i, и, следовательно, располагаются в касатель-
ной плоскости к той подповерхности.
Рассмотрим теперь при некотором е > 0 всевозмож-
ные наборы чисел wit ..., wn с условиями
|®1|<е, |и>2-с>о| <е......|K,n_vo|<e>
где v°=u°, ..., Vn~u%. Поставим в соответствие каж-
дому указанному набору wit ..., wn точку М поверхно-
сти Рп по следующему правилу: полагая щ = 0, v2 =
= w2, ..., vn — wn, находим точку М' на подповерх-
ности Ln-i, затем иа геодезической линии у(М') нахо-
дим точку М на расстоянии wi от М (по направленной
дуге). Координаты щ.......vn точки М являются непре-
рывными и дифференцируемыми функциями перемен-
ного Wi и параметров w2, ..., wn, поэтому якобиан ма-.
д (th, .... г») о , „
трицы ----------“у является непрерывной функцией от
wit &п. Покажем,- что он отличен от нуля в точке
Мо. Для этого следует проверить, что в этой точке век-
дг (с) дг (с) „ тт
торы д ....... , линейно независимы. Но в точ-
dwi ’ dwn
ке Мо векторы -%—, совпадают с векторами
OW2 OWfi
дг дг »
——, • • • > -з—» лежащими в касательной плоскости к подпо*
<?t>2 ovn
верхности Ln-i и линейно независимыми; вектор же
440 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.44
имеет длину 1, направлен ортогонально к Ln-i и,
дг дг „
тем самым, линейно независим с > •••» ~д^- (-)т'
сюда следует, что величины ИУ1, ..., wn также могут
быть взяты в окрестности точки Мо за новые параметры,
n — / \ I df I
В этой системе координат мы имеем gn(®) — =
= 1, так как wt есть длина дуги. Далее, общему урав-
нению геодезических 5.42 (2)
d‘wk _ V Г* dW‘ dW! /04
ds* ~ Zj 111 ds ds W
<•
p нашем случае удовлетворяет система функций wt = s,
w2 = C2, .... ayn — Cn; подставляя их в уравнения (3),
получаем, что в системе параметров , wn вели-
чины Гц (k— 1......п) равны 0. Но тогда и
г,,..= 2г*а,=о (S_i............
Л=1
Поскольку а ^-0,
функция gi8(w) оказывается постоянной на каждой ли-
нии, где постоянны w2, ..., wn, т. е. на каждой геодези-
ческой у(М'). Так как в точке М' кривая у(М') по по-
строению ортогональна к Ln-i, так что gis(0)= 0, то и
при всех Wi также gis(w) = 0. Это и означает, что гео-
дезическая у(ЛГ) ортогональна к геодезической парал-
лели £n-i- Теорема доказана.
Построенная нами на поверхности Рп в окрестности
точки Л10 система координат wt, ..., wn называется по-
лугеодезической системой с базой Ln-i.
5.44. Используем полугеодезическую систему коорди-
нат для доказательства следующего экстремального
свойства геодезических линий:
а. Теорема. Рассмотрим на поверхности Рп геоде-
зическую линию у, проходящую через достаточно близ-
кие точки А и В, а также все другие (спрямляемые) ли-
нии р, проходящие на поверхности Рп через точки А иВ
в малой окрестности линии у. Утверждается, что среди
5.44
§ 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
441
всех этих линий геодезическая линия у имеет наимень-
шую длину.
Доказательство. Проведем через точку А под-
поверхность Ln^i ортогонально к линии у и примем Ln_i
за базу полугеодезической системы координат в окрест-
ности точки А. Линия у станет одной из координатных
линий полугеодезической системы. Считая, что точка В
и линия 0 умещаются в той малой области на поверх-
ности Рп, где действует построенная полугеодезическая
система, напишем выражение для длины 0:
в в Г~
s(0)= J ds(0) = J l/ 2 gifiwjdwidw^
A A i, 1=1
В Г n
= J У dwf+ J} gi/(w)dwidwf.
A i. 1=2
Последнее равенство объясняется тем, что gn = 1, gls = О
(•« = 2, ..., я). Заметим теперь, что (я — 1)Х(п~0*
матрица || gtl(w) || (/, j=2, ..., я) является положительно
определенной. Поэтому
в
s (р) > J dwi = w, (В) — ы, (Д) = s (у),
А
что и требовалось.
442 гл. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.45
б. Замечание. На цилиндре С, кроме геодезической — вин-
товой, соединяющей точки А и В, имеются и более короткие (на-
пример, отрезок АВ). Противоречия с теоремой а нет, так как в ней
речь шла о сравнении длин геодезической у и лишь достаточно
близких кривых.
в. Замечание. На сфере 3 рассмотрим геодезическую — ме-
ридиан, идущий от южного полюса А через северный О и заканчи-
вающийся после этого в некоторой точке В (рнс. 5.4-4). Через С
обозначим первую точку пересечения меридиана АОВ с парал-
лелью р, на которой лежит точка В. В любой окрестности этой гео-
дезической есть линия, соединяющая А и В и более короткая, чем
дуга АОВ. Таковой является, например, линия АС В, где С' лежит
на параллели В в заданной близости от точки С, АС' есть дуга ме-
ридиана и С'В— дуга большого круга. Дуга АС' и АС, очевид-
но, равны, но дуга С'В короче, чем дуга СВ. так как хорда С'В
короче хорды СВ — диаметра параллели р.
Здесь кажущееся противоречие с теоремой а объясняется тем,
что геодезическая АСВ слишком «длинна», чтобы ее можно было
включить в полугеодезическую систему координат, которая, как мы
зияем, строится лишь локально, в окрестности данной точки.
5.45. Вычисление основных характери-
стик двумерной поверхности в полугеоде-
з. ячеек ой системе параметров.
а. Мы уже видели в 5.43 6, что в полугеодезической
системе координат величины и Гц, s равны 0. Вычис-
лим для двумерной поверхности Р2 оставшиеся вели-
чины Гц и rf/.s. Как мы установили в 5.43 6, первая
квадратичная форма в полугеодезической системе пара-
метров Wi, -w2 имеет вид
ds2 = d^ + g22(wp w2)dw$.
Поэтому в выражениях для символов Кристофеля пер-
вого рода
г _ 1 (d8ls 1 dg>s dgi>\
4’S 2 dWj dwt dws j
сохраняются лишь TaKjic члены, в которых среди индек-
сов /, /, s= 1, 2 имеются по крайней мере два, равные 2i
Таким образом, обозначая для сокращения ^(ац,
te>i — w, w2 = u, мы имеем
Гц, 1 = г21,1 = 0,
Г12, a — Г21,2— 2
Г22,1— 2 Г22, — 2 ^и‘
В.45
$ М ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
443
2
Далее, используя формулу Г*/ = 2 Г«а sg*ft и учитывая,
s=i
что обратной к матрице ||g</||
является ма-
трица ||g®ft
Г}2 = Г21=О, г?2=г11=г12.2Я22 = 4-^,
Гк=-у6», г22 = 4"^-
б. Вычислим теперь в полугеодезической системе
полную кривизну поверхности Р2. Для этого сначала
найдем определитель Bt2t 12 второй квадратичной формы
по формуле 5.33(1):
Ьц 612
6gl &22
2
, находим
^12. 12 —
V £il
2л ди
spiff 2 "1
«=1 L р=1 J
Здесь сохраняются лишь члены с s = 2 и ,р = 2. Мы
получаем
^12, 12 = “
1 Gw
2 G
G GGWW — G® G®
.2
Gww . 1 Gw
2 G« 4G 2 ' 4 G *
Полная кривизна К поверхности Р2 оказывается, таким
образом, равной
В,9 *9 GMm 1 G«
ЕЛ__ 1А 12 _ j- * GS
Л— Gtt, 12 2G "Г 4 ~Ф’
Это выражение можно записать еще компактнее, если
заметить, что
(V = у G~4’GW, (/б)ша) = - ^ G-^Gi +1 G-v*G№10|
(Vg)wb, 1 G2W 1 Gwe,
• A,
(О
4 G» 2 G
444 ГЛ. S. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.4в
так что мы получаем
(VG)WW
(2)
Таким образом, в полугеодезической системе координат
на двумерной поверхности Р2 функция У G связана
с кривизной дифференциальным уравнением
(VgU + k/g^o. (з)
5.46. Восстановление первой квадратич-
ной формы по заданной полной кривизне.
Рассмотрим поверхность Р = Р%, у которой в каждой
точке М известна полная кривизна К = К{М). Фикси-
руем на поверхности точку Л1о и построим в окрестности
этой.точки специальную полугеодезическую систему ко-
ординат — такую полугеодезическую систему, в которой
базой является геодезическая же линия L и параметр
w2 = и вдоль этой линии есть дуга, отсчитываемая от
фиксированной точки (например, от Л40). Первая квад-
ратичная форма теперь принимает вид
ds2 = dw2 + G (ay, и) du2,
где
G (0, u)=l, /G(0, w)=l. (I)
Подставляя в общее уравнение геодезических 5.42(2)
d2wk _ _ v Н dw‘ dw>
ds2 Zti 11 ds ds
i. I=i
известные функции ay, = O, w2 = s, получаем Г^(0, u) =
== (0, и) = 0. Отсюда и , 1(0, и) = (0, и) +
+ £12Г|2(0. м) = 0. Так как (по 5.45 а) (0, и) =
*=—^-Gw{0, и), то в данном случае и
Gw (0, «) = 0, (/G(0, u))w = 0. (2)
В уравнении, которому удовлетворяет полная кри-
визна {5.45 (3)),
(VGtw + KVG = Q (3)
6.47
§ 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
445
будем рассматривать /С как известную функцию (от w
и и), a как неизвестную функцию тех же пара-
метров. Для дифференциального уравнения второго по-
рядка (3) у нас имеются начальные условия (1), (2),
которые позволяют однозначно восстановить фУНК11ию
G(w, и) в указанной окрестности точки М<>. Мы полу-
чаем, в частности, следующую теорему единственности:
Теорема. Если для двух поверхностей Р2 и Р2
в специальных полугеодезических системах полная кри-
визна К выражается одной и той же функцией от коор-
динат, то эти поверхности изометричны-, изометрия за-
дается отображением, сохраняющим специальные полу-
геодезические координаты.
Очевидно и обратное: если поверхности Р2 и Pi изо-
метричны, то в соответствующих друг другу полугеоде-
зических системах координат полная кривизна на обеих
поверхностях выражается од-
ной и той же функцией 5.45
(2) от коэффициентов первой
квадратичной формы и, следо-
вательно, от координат.
5.47. В заключение этого параг-
рафа рассмотрим один важный при-
мер.
Геодезические на по-
верхности вращения. На по-
верхности вращения с образующей
р = р(г) (5.15е) меридианы, очевид-
но, являются геодезическими лини-
ями, поскольку главная нормаль к
меридиану совпадает с нормалью к
поверхности. Семейство параллелей и
меридианов поверхности вращения
является естественной полугеодезиче--
ской системой с базой — любой из па-
раллелей; роль координат выполняют _ _
длина дугд вдоль меридиана и поляр- ^ис’
ный угол (рнс. 5.4-5).
В этих координатах первая квадратичная форма имеет вид
(5.15 е)
ds2 — dw2 + G dtp2.
где G — p2. Уравнения геодезических
у dwt dw{
ds2 4 ds ds
i. /=1
446 гл. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ I5.st
с учетом значений коэффициентов Г|у (5.45 а) приводятся и виду
= Y G«X> СО
SPss = — -%- ®s<Ps = — «MPs = — 2-^S.. (2)
Г г*
Обозначим через ® угол геодезической линии с меридианом.
Рассматривая бесконечно малый треугольник с гипотенузой ds и ка-
тетами dw и pd<p (рис. 5.4-6), мы сразу по-
I лучаем
_______-TI sin со = p<ps. (3)
/I Теорема (Клеро). Вдоль геодезиче-
. /I ской линии на поверхности вращения вы-
“W /ds / полняется равенство р sin со = const.
[ Доказательство. Вдоль любой
. I геодезической (в силу уравнений (2) и (;3))
(Р Shl = ^p2<₽s^ = 2PPsS>s + P2<Pss = О,
/ что и доказывает теорему.
/ Геометрическое поведение геодезиче-
_ ских, в силу теоремы Клеро, таково: каждая
Рис. 5.4-6. геодезическая у, отличная от мернднапа,
при уменьшении значения р поворачивается
так, что угол с меридианом увеличивается; если при некотором
р — pmin этот угол, в .силу уравнения Клеро р sin со = с, должен
стать прямым, тогда, вообще говоря, геодезическая у касается
соответствующей параллели и далее возвращается в область
больших значений р (рис. 5.4-5). Но бывают н исключения (см.
задачи 6 и 7).
§ 5.5. Двумерные поверхности постоянной кривизны
5.51. Двумерные поверхности постоянной полной кри-
визны /C=const обладают многими своеобразными свой-
ствами. Используя теорему 5.46, можно утверждать,
что все поверхности данной постоянной полной кривиз-
ны К локально изгибаются друг на друга. При этом,
поскольку можно взять произвольно начальную точку
Мо и направление базисной геодезической, изгибание
можно осуществить при произвольном задании на по-
верхностях Р и Р пары соответствующих друг другу то-
чек Мо и Мо и пары выходящих из этих точек напра-
влений. Любая достаточно малая часть поверхности по-
стоянной полной кривизны может быть изогнута на
другую часть этой же поверхности при заданной паре
М2 § 6-4. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
соответствующих точек и выходящих из них напра-
влений.
Уравнение 5.45 (3), связывающее кривизну К. и
функцию G(w, и) в полугеодезической системе коор-
динат, _ _
(/G)w«- + K/G = 0
с начальными данными на базисной геодезической
5.45(1), (2)
/6 (0, и) = 1, (VG(0, u))w = О,
для К =* const имеет следующие решения:
К = 0: G(w,u)=l, ds2 = dw2 + du2; (1)
К > 0: УО (w, и) = cos Y~K w,
ds = dw2 -j- cos2 V~K w du2; (2)
К < 0; V G (w, u) = ch Y~~ К w,
ds2 = dw2 -|- ch2 У — Л w du2. (3)
Простейшим примером поверхности нулевой полной
кривизны является плоскость; мы видим теперь, что
всякая поверхность нулевой полной кривизны локально
изгибается на плоскость.
Простейшим примером поверхности постоянной по-
ложительной полной кривизны является двумерная сфе-
ра радиуса R; при этом R=l/R2 (5.24 д). Мы доказали
теперь, что всякая поверхность положительной постоян-
ной кривизны К локально изгибается на сферу (радиу-
са 1/Y К)-
Пример двумерной поверхности постоянной отрица-
тельной кривизны, на которую, следовательно, изги-
бается локально любая поверхность той же отрицатель-
ной кривизны, дается в 5.52.
5.52. Мы укажем здесь пример поверхности постоянной отрица-
тельной кривизны, которая является поверхностью вращения. Как
мы видели в 5.26 б, полная кривизна поверхности вращения с обра-.
зующей р = p(z) записывается по формуле
p(i+p1F
448 гл. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В.52
Будем считать —К — Q > 0 постоянной. Для p(z) получается
дифференциальное уравнение 2-го порядка
p„ = Qp(l+p2)2. (1)
Полагаем pz == u(p), pzz = uppz = upu; тогда уравнение (1) при-
водится к виду
UpU = Qp (I + и2)2 или = Qpdp.
Интегрируя, находим
1 1 1оа_£.
2 1 4- и2 = 2 2 ’
или же
Дальнейшее интегрирование возможно в конечном виде, если С — 1.
В этом случае мы получаем
и’- »’ . —А-*
1 — Qp2 dz /1-Qp2 /QP
Для интегрирования применяем подстановку /Q р = sin е, Vq dp =
— cos 6 d&. Тогда мы получаем
1 cos2 0 1 Г d6
/Q sin 0 /Q L sin 0
sin 0 d0
z — z0 = ±
+ cos 0
Поскольку выбор постоянной z0 не отражается нд форме поверх-
ности (а определяет лишь положение ее относительно оси z), мож-
но положить ее равной 0. Два уравнения
г — ± — (In tg — I + cos о) , р = 1_ sin 0
QI I 2 I ) Р VQ
(2)
дают нам параметрическое представление меридиана искомой по-
верхности. Сама искомая поверхность вращения (рнс. 5.5-1) распо-
лагается в пределах цилиндра р sg причем выходит к по-
верхности этого цилиндра только при sin 0=1, так что cos 0 = .0,
10 I
tg — = 0, z = 0. Кроме того, если 0 0, то р 0, z -* ±оо.
Кривая (2) называется трактрисой*). Известно, что отрезок
ее касательной до оси z сохраняет постоянную длину.
*) От латинского слова «trahere» — тянуть, увлекать, от кото-
рого происходит и слово «трактор». Если представить себе, что
осн z и х на рис. 5.5-1 лежат на земле и что из точки О вдоль
оси z двигается трактор, то привязанная к нему тросом тележка,
находящаяся первоначально в точке А, будет описывать трактрису
(рис. 5.5-2).
5.53 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 449
Поверхность, которую мы получили, называется псевдосфе-
рой. На ней (во всяком случае, в малых частях) реализуется гео-
метрия Лобачевского (прямыми геометрии Лобачевского будут
геодезические на псевдосфере). Псевдосфера имеет при z = 0 особен-
ности. Оказывается (теорема Гильберта), в трехмерном простран-
стве ие существует поверхности с постоянной кривизной К < 0 без
Рис. 5.5-1. Рис. 5.5-2.
особенностей (и без края). Такой поверхности ие существует, даже
если вместо К = const < 0 предположить К const <0 (Н. В. Ефи-
мов, 1965; см. его статью в УМН XXI, № 5 (1966), 3—58).
5.53. Итак, семейство поверхностей, содержащее плоскость, сфе-
ры всевозможных радиусов R и псевдосферы со всевозможными Q,
дают нам «канонические» поверхности постоянной полной кривизны;
всякая поверхность постоянной полной кривизны локально изгибается
на соответствующую (т. е. имеющую ту же полную кривизну)
каноническую . поверхность. Можно поставить вопрос и о полном
описании двумерных поверхностей постоянной полной кривиз-
ны — уже с точностью не до изгибания, а до положения в простран-
стве. Для случая К 0 эта задача довольно трудная, и мы не бу-
дем здесь ее затрагивать*). Что же касается случая К = 0, то
здесь положение много проще; поверхности нулевой полной кри-
визны в Rs допускают полное описание. Эти поверхности назы-
ваются развертывающимися (подразумевается «развертывающимися
иа плоскость»). К числу развертывающихся поверхностей относятся.
*) По поводу поверхностей вращения постоянной кривизны
в 7?з см. В. Ф. Kara и, Основы теории поверхностей, т. 2, ГИТТЛ,
1948.
450 ГЛ. Б. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.53
как мы знаем, круговой цилиндр и круговой конус (5.27 в). Но и
любой цилиндр с произвольной направляющей кривой г = r(t) и
произвольным образующим вектором е также развертывается на
плоскость; действительно, вектор е можно считать единичным, а на-
правляющую кривую можно взять ортогонально к вектору е и
в качестве параметра на ней взять длину дуги; тогда первая квад-
ратичная форма цилиндра окажется совпадающей с первой квадра-
тичной ,формой плоскости в прямоугольных координатах. Любой
конус с произвольной вершиной О и произвольной направляющей
кривой также развертывается на плоскость; действительно, можно
считать образующий вектор конуса е, исходящий из вершины, еди-
ничным и считать его функцией от дуги с, описываемой им по ко-
нусу; тогда аналитическое выражение конуса будет иметь вид г —
= r(o,f) = te(a) с первой квадратичной формой ds2 — dt2 + /2dc2.
Таким образом, все конические поверхности оказываются изомет-
рнчными друг другу и, в частности, изометричными плоскости (кото-
рая есть, очевидно, частный случай конической поверхности).
Еще один тип развертывающейся поверхности строится следую-
щим образом. Рассмотрим произвольную пространственную кри-
вую L и поверхность Р2, образованную всеми касательными прямыми
к кривой L; мы утверждаем, что эта поверхность Р2 также имеет
нулевую полную кривизну.
Действительно, пусть г = г(о)—уравнение кривой L с на ту-
ральным параметром <т; тогда поверхность Р2 можно задать пара-
метрическим представлением р(а, t) = r(o) + tra. Построим первую
квадратичную форму поверхности Р2. Мы имеем ро = ro + troa =
= x + tk(o)v. р; = го = т; отсюда Е — (го, го') = 1 + t2k2(c),
F — (pg, рт) = 1, G = 1.Мы видим, что первая квадратичная форма
поверхности Р2 зависит только от кривизны k (о) кривой L. Но суще-
ствует и плоская кривая L с той же самой кривизной k(c), как
функцией от дуги о (016.42). Соответствующая поверхность каса-
тельных — плоская и в то же время изометрична поверхности Р2,
так как имеет такую же первую квадратичную форму; тем самым Р2
изгибается на плоскость и имеет, следовательно полную кривизну,
равную 0.
Заметим, что кривая L здесь может лежать не в /?з, а в любом
евклидовом пространстве Rn (и даже в гильбертовом).
Покажем, что в /?з приведенное описание исчерпывает уже все
поверхности нулевой полной кривизны.
Теорема. Всякая поверхность Р нулевой полной кривизны, ле-
жащая в пространстве R3, есть или цилиндр, или конус, или поверх-
ность касательных к пространственной кривой.
Доказательство. Поскольку наша поверхность Р лежит
в R3, мы можем ввести на рассматриваемом ее участке координат-
ную сеть из линий кривизны (5.29 а). По условию произведение
feifes двух главных кривизн всюду на Р равно 0. Если на этом
участке обе главные кривизны k> и fe2 равны тождественно нулю, то
и у любого нормального сечения кривизна равна 0, так что любая
ортогональная сеть состоит из линий кривизны. Если же в рассмат-
риваемой точке одна из кривизн отлична от нуля, то она будет
отличной от нуля и в окрестности, и тогда сеть из линий кривизны
определяется однозначно (5.29 а),
5.53 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 451
Пусть вдоль линий кривизны, отвечающих главным направле-
ниям с кривизной ki = 0, изменяется параметр и, а вдоль ортого-
нальных линий — параметр v. Первая квадратичная форма в коор-
динатах и, v приводится к виду Е du2 + G dv2, а вторая — к виду
Ldu2 + Ndv2. Поскольку главные кривизны k\ = 0 и k2 суть корни
уравнения (L — цЕ) (N — цб) = 0, мы имеем L = k\E = 0. От-
сюда (ти,ги) = — (т, гии) = — L — 0, (mu,rv) = — (т, ruv) =
= —М = 0 и, следовательно, ти - 0. Таким образом, вектор т
вдоль каждой линии v = const остается постоянным. Но тогда ка-
сательная плоскость к поверхности Р вдоль линии v — const может
перемещаться лишь параллельно самой себе; в таком случае она
вовсе не может изменяться, так как из (т,г)и = (т, ги) = 0 сле-
дует (т, г) — const = (т, г0) (г0 — фиксированный начальный век-
тор), откуда вытекает, что г — г0 лежит в касательной плоскости По,
проведенной в точке г0. Итак, каждая линия v — const—плоская.
Покажем, что она на самом деле прямая. Так как вдоль линии
v = const вектор т не меняется, ти = 0, то (mv)u = (mu)v = 0,
так что вектор т„ постоянен вдоль линии v = const. Вектор т,
лежит в касательной плоскости, т. е. в плоскости По, и ортогонален
к линии о = const, так как (от®, ru) = (т, ги) ®— (m,ru v) —
— 0 — М = 0. Таким образом, нормаль к линии v = const в пло-
скости По имеет постоянное направление; но это может быть лишь
в том случае, если линия v = const — прямая.
Теперь мы видим, что вся поверхность Р составлена из пря-
мых линий — координатных линий v = const. Такие поверхности
называются линейчатыми. Но далеко не всякая линейчатая поверх-
ность имеет нулевую кривизну (например, геликоид — линейчатая
поверхность с отрицательной полной кривизной, 5.27 д). Мы снова
пользуемся тем, что координатные линии и = const, v = const опре-
деляют в каждой точке главные направления. Фиксируем точку В
на поверхности Р. Пусть р — р(о)—уравнение координатной ли-
нии /, проходящей через В ортогонально к координатной прямой
v = const, а е — е(о) —единичный вектор, который в каждой точке
линии / направлен по соответствующей прямой v — const, т. е. по
вектору ru = ru(v). Ясно, что e(v) = a(t>)ru(v). Поэтому ev —
,= aruv avru, (e„, m) = a(ruv, m) + av(ru, m) = 0, так что век-
тор e,. лежит в касательной плоскости к поверхности Р.
Если ев 0, то e(v)=ze — постоянный вектор, а вся поверх-
ность Р есть цилиндр с направляющей р = р(г>) и образующим век-
тором е. Если же е® #= 0, то этот вектор е® лежит в касательной
плоскости к поверхности Р и допускает разложение
е0 = Л (о) е (о) + р (о) р„ (о).
При этом коэффициент р(о) отличен от тождественного нуля; иначе
вектор е® был бы коллинеарен с самим вектором е, а так как произ-
водная единичного вектора всегда ему ортогональна, то это озна-
чало бы, что е® = 0, в противоречии с предположением. Итак, бу-
дем считать, что р(п)#=0. Фиксируем произвольную (дифференци-
руемую) функцию g(v) и рассмотрим кривую р = {?(о) = р(о) +
+ g(f)e(t>)}, лежащую на поверхности Р. Мы имеем
<7» = рр + gve + geo = (1 + gn) р0 + (gv + Kg) e. (1)
452 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.84
Положим теперь g (о)
—т-r. Тогда первое слагаемое в пра-
р (о)
вой части (1) обращается в нуль. Если и второе слагаемое равно
нули?, то вектор q(v) постоянен, т. е. q(v)=q0. Но в этом случае
любая из образующих р(п) (—оо < t < оо) проходит через
фиксированную точку q0 при значении t — g(v) = —д перед
нами — конус. Остается рассмотреть случай, когда gv + 'kg ф 0. То-
гда кривая § при указанном выборе функции g(v) касается в каждой
точке указанной образующей. Но это означает, что каждая из пря-
мых v = const иа поверхности Р касается линии 0, иными словами,
Р представляет собой поверхность касательных к кривой 0. Это и
есть требуемое утверждение.
Заметим, что уже в Rt существуют двумерные поверхности, изо-
метричиые плоскости, ио не принадлежащие к указанным типам (см.
задачу 14).
5.54. Мы приведем здесь еще один пример двумер-
ной поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Метрика на этой поверхности, в отличие от всех преды-
дущих примеров, не будет заимствована из вмещающе-
го поверхность евклидова пространства.
а. Рассмотрим в трехмерном евклидовом простран-
стве Из неопределенную квадратичную форму
{г, г) = xf + х* — х| (г = х^ + х2е2 + х3е3),
соответствующую билинейной симметричной форме
<Г<0, г(2>) = х(1>х<2> + X(I)X(2) _ UJM2).
* • I I ' т а о
Вектор г называется псевдовещественным, если
(г, г} > 0, псевдомнимым, если (г, г) < 0, и изотроп-
ным, если (г, г)=0. Псевдовещественный (псевдомни-
мый, изотропный) вектор остается псевдовещественный
(псевдомнимым, изотропным) при умножении на любое
вещественное число (=#0). Псевдовещественный век-
тор г называется нормированным, если (г, г) — 1; псев-
домнимый вектор г называется нормированным, если
{г, г)=—1. Любой псевдовещественный (псевдомни-
мый) вектор г допускает нормировку путем умножения
на некоторое положительное число.
Два вектора И1), Н2> называются псевдоортогональ-
ными, если (КО, Н2>)=0; в частности, изотропный век-
тор псевдоортогонален самому себе. Если неизотропный
вектор г псевдоортогонален к векторам р, q, ..., то он
5.54 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 453
не является от них линейно зависимым, так как из соот-
ношения r=Cip +С2<7 + --- следует
4* C2{r, q) -f-... =0.
Если вектор r=r(t) зависит (дифференцируемым
образом) от параметра t, то вектор dr=rt dt лежит на
касательной прямой к соответствующей кривой (в точке
дифференцирования). Если вектор завидит от двух па-
раметров и, v и описывает поверхность Р, то вектор
dr—rudu rvdv лежит в касательной плоскости к по-
верхности Р. Если векторы НО и Н2> зависят (дифферен-
цируемо) от каких-либо параметров, то
d r(2)) = (r(l>, dr(2)> + (dr(l), r(2>),
в частности,
d {г, г) — 2 (г, dr).
Поверхность
(г,г)^х2 + х2-х2 = -0* (Q>0),
(1)
которую Следовало бы назвать «псевдомнимой сфе-
рой» — а мы будем называть короче «псевдосферой», —<
есть двуполостный гиперболоид, одна полость которого
лежит в полупространстве х3 Q, а другая — в полу-
пространстве х3 —Q. Мы будем рассматривать толь-
ко верхнюю полость и.обозначим ее через Р. Дифферен-
цируя уравнение (г, г) =—Q2, находим (г, dr)=0. Это
значит, что вектор г псевдоортогонален к касательной
плоскости к поверхности Р, проведенной через его ко-
нец. Можно назвать вектор г псевдонормальным к Р.
Нормированным псевдонормальным вектором служит
вектор m—rIQ, поскольку {т, т) — (г, г) = — 1.
Мы утверждаем, что вектор dr — псевдовеществен-
ный; т. е. {dr, dr) > 0. Действительно, мы имеем
Xi dxi 4- х2 dx2 — х3ах3= {г, dr)=0; далее,
(х3 dx3)2 = (Xj dxj 4~ х2 dx2)2 «С (х2 -f- х%) {dx\ 4- dxty =
— (х2 — Q2) (dx2 4- dx2) х2 (dx2 4- dx%),
откуда
dx2 dx2 4- dx2, {dr, dr) = dx2 4* dx2 — dxi °’
что и требовалось.
454 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.54
Таким образом, квадратичная форма {dr, dr} на по-
верхности Р (точнее, в касательной плоскости к Р в лю-
бой фиксированной точке) положительно определена.
Мы принимаем ее за метрическую форму поверхности Р.
Это означает, что, введя произвольно на поверхности Р
параметры щ и д2> мы полагаем
ds2 = g,, du2 + 2gI2 dux du2 + g22 du2,
где
gil = {rlt r}} (i, /=1,2).
б. Пусть теперь P — любая поверхность, для кото-
рой форма {г, г} индуцирует положительную форму
ds2. В каждой точке поверхности Р рассмотрим базис-
ные векторы гь г2 в касательной плоскости и единичный
лсевдонормальный вектор т. Как в 5.31, можно напи-
сать деривационные формулы
2 1
rl7=Sr^ + Pf/m, |
2 (2)
I
где знак ~ указывает, что данный коэффициент вы-
числяется для поверхности, метрика которой заимство-
вана из формы {г, г}. Псевдоумножая эти равенства на
rs и т, мы находим
2 ~ 2
<Г»/> rs) = 2 hj {rk, rs) = 5 f | gks,
R=1
(rt/> m} = — Pf/,
2 2
rs> = 2 P* (rk, rs) = £ = - (m, rls),
поскольку вектор rs лежит в касательной плоскости и
из {т, rs} — 0 следует
О = {т, rs}j = {mh rs} + {т, ris}.
Величины {гц, rs} = ViliS можно выразить через коэф-
фициенты первой квадратичной формы gtj, как и
5.54 § 5.5. двумерные поверхности постоянной кривизны 455
в 5.37(11):
г _/г г\-- 1 (d8i° dgls
1 U.s — \rtl,rs)— 2ydU/ -t- du_
dgg\
ди I
s /
Отсюда следует, что и коэффициенты Гд можно выра-
зить через коэффициенты первой квадратичной формы:
2
П,= 2г„,л ив11-|г„Г'-
В общей формуле для «формальной» полной кривизны
двумерной поверхности Р (5.33(2))
п
ди2
S (те,-гте„)
______Р=1____________;
£11^22 ~ £12
£®2
(3)
коэффициенты вычисляются через gi{ по формулам
Г* =1V (dSls — dg's _ dgil\ ak*
ltl 2 ди. ди. ди )ё •
s=l ' 1 1 «'
Мы видим, что для вычисления К в формуле (3) в дан-
ном случае можно положить r</ = fi;. Теперь вспо-
мним, что числитель в формуле (3) для евклидовой по-
верхности получается путем приравнивая выражений
G-fej и использования деривационных формул и вы-
деления составляющей по базисным векторам в каса-
тельной плоскости. Все эти действия без изменения про-
водятся и для деривационных формул (2), после чего,
как в 5.32 (7), мы получаем
— Р/йС/i =
у
Zj ди,
«--i L *
ди.
где
2
₽»7 = -<rU>m>>
Я=1
456 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.61
Обозначим еще Ьц = {гц, т}. Тогда мы получаем
^12—511^22
А —----------у-
ёиё22 — S12
(Напомним, что в евклидовом случае вместо Р{/ =
=—(г,д т) мы имели Ро=(г,д т}. Из-за этой раз-
ницы в знаке- окончательный результат в числителе со-
держал выражение 6ц&12—612.)
в. До сих пор приведенное вычисление относилось
к любой двумерной поверхности, на которой форма
(г, г) индуцирует положительную форму ds2.
Теперь-сосчитаем коэффициенты Бц для псевдосфе-
ры. Ё этом случае r—Qm и
r/==Qm/ = Q2
так что
при /=Л’
1 1 0 при /=/= k.
Отсюда
2
= <rit, /п> = - 2 b*glk = - ~ gi{.
k=i
^Напомним, что для сферы радиуса R в любой системе
координат мы имели bn — -^-gi{ (5.24г).^
Следовательно, в данном случае
„ 1 812 ~ 8цё22 £
Q2 Вцё22-^2 Q2 '
так что поверхность Р с метрикой {dr, dr} действитель-
но является поверхностью постоянной отрицательной
полной кривизны.
§ 5.6. Параллельное перенесение векторов и теорема
Леви-Чивита
5.61. Параллельное перенесение векто-
ра по поверхности. При параллельном перенесе-
нии в пространстве вектор, касательный к поверхности,
5.62
§ 5.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
457
вообще говоря, перестает быть касательным. В диффе-
ренциальной геометрии вводится специфическое пони-
мание термина «параллельное перенесение» — по отно-
шению к самой поверхности, а не к объемлющему ее
пространству.
Пусть на поверхности Рп с: Rn+i задана дифферен-
цируемая линия L={r=r(u), U=(Ui, ..., un) = u(t),
а =С t b} и в каждой ее точке вектор a(t) в касатель-
ной плоскости П„, дифференцируемый по t, так что
п
а (0 = 2 (0 rt (и (/)), где а, (/) — дифференцируемые
функции. Найдем дифференциал вектора а(1) при пере-
ходе в точку, отвечающую значению параметра t + dt.
п п
Мы имеем da=^ rkdak-{ 2 П/Г/, din, и по формуле
k=l i. 1=1
Гаусса 5.31 (1)
Первое слагаемое этой суммы называется геодезиче-
ским, дифференциалом вектора a(i) и обозначается че-
рез Da. Второе слагаемое называется вынужденным
дифференциалом вектора a(t). Составляющие геодези-
ческого дифференциала, как видно из их структуры, за-
висят, кроме at, dui, da{, только от символов Г// и
потому не изменяются при изгибании поверхности Рп.
Составляющая по нормали — вынужденный дифферен-
циал — зависит от коэффициентов второй квадратичной
формы и, вообще говоря, изменяется при изгибании по-
верхности.
5.62. а. Будем говорить, что вектор a(t) параллель-
но переносится вдоль линии L, или точнее: геодезически
параллельно, если его геодезический дифференциал
в каждой точке линии L равен 0. Иными словами, век-
тор a(t) переносится параллельно, если его полный
дифференциал целиком- приводится к вынужденному.
458 ГЛ 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.62
В свете сказанного ясно, что понятие параллельного пе-
ренесения вектора вдоль линии принадлежит к внутрен-
ней геометрии поверхности и не зависит от изгибания.
Составляющие параллельно переносимого вектора, как
видно из равенства (1) и определения параллельного
перенесения, удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений
п
dab = — У Г* a,du„ k = l, .... п,
к i. у=1 ° * 1
или
w-w dll >
"='......"•
i. i=i
Эта система представляет собою систему обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений с неизвестными
функциями Oh(0 (k=l, ..., п) и известными (вдоль
данного пути) коэффициентами. В силу основной тео-
ремы существования и единственности решения такой
системы, по начальным значениям ан (to) (k—l, . ...n)
однозначно определяется результат параллельного пе-
реноса по крайней мере в некоторой окрестности на-
чальной точки.
б. Мы привели определение параллельного переноса
для случая n-мерной поверхности Рп в пространстве
7?n+i; но теперь, поскольку оно дано в терминах вну-
тренней геометрии, оно может быть сформулировано
для поверхности Рп, метрика которой задается произ-
вольной формой ds2; например, если поверхность Рп ле-
жит в евклидовом пространстве Rq, qZ> п, ее метрика
может быть заимствована из этого пространства (как
в 5.16), и соответственно определяется параллельный
перенос.
Ви Пусть L сРп — геодезическая линия и а — еди-
ничный касательный вектор к линии L. Если ведущий
вектор г линии L задай при помощи натурального па-
раметра s — длины дуги, r=r(s), то можно написать
dr duk du. (s)
а = й($) = —= 2^-^ , так что ak (s) = Под-
ставляя это выражение в уравнение геодезической
5.62
§ S.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
459
5.42 (2)
dak (s) ~ d2uk (s) ___
ds ds2
= _ V rft = - у Vka ^L
4 d s d s 4 1 d s ’
i. i=\ t. i=i
убеждаемся, что для вектора a(s) удовлетворяется ус-
ловие параллельного переноса. Итак, единичный каса-
тельный вектор геодезической линии L переносится
вдоль нее параллельно.
г. В общем случае, если вдоль линии L с: Рп пере-
носятся параллельно два вектора aft) и bft), то их
скалярное произведение остается постоянным. Это сле-
дует' из того, что dfa, b) — (da, b) + (a, db)—Q, так
как дифференциалы параллельно переносимых векторов
сводятся к вынужденным и нормальны к касательной
плоскости.
Отсюда следует, что при параллельном перенесении не
меняется длина любого вектора | а(/) I ==V(a(0> а(0)> а
также и угол между векторами, равный arccos ‘
д. На «-мерной плоскости Рп вынужденные диффе-
ренциалы отсутствуют и полный дифференциал вектора
aft) сводится к геодезическому дифференциалу; если
этот последний равен 0, то и полный дифференциал ра-
вен 0, откуда следует, что вектор aft) переносится без
изменения — параллельно в классическом смысле слова.
е. На цилиндре и на конусе в R3 параллельное пе-
ренесение может быть получено разворачиванием этих
поверхностей на плоскость и параллельным перенесе-
нием на плоскости. Так, на цилиндре параллельно пере-
носимый вектор aft) будет сохранять постоянный угол
с образующими и параллелями (рис. 5.6-1). На конусе
мы, встречаемся с новым интересным обстоятельством:
вектор,, первоначально направленный по образующей и
параллельно обнесенный по направляющей окружности,
возвращается в исходную точку повернутым по отноше-
нию к образующей, в чем легко убедиться непосред-
ственно, рассмотрев развертку конуса на плоскость
(рис. 5.6-2).
460 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5 63
ж. Аналогичное явление имеет место при параллель-
ном перенесении вдоль параллели на сфере. Мы не мо-
жем, правда, развернуть сферу на плоскость, по мы
Разбертка. Цилиндр
Рис. 5,6-1.
можем построить конус, касающийся сферы вдоль парал-
лели; поскольку набор
касательных плоскостей вдоль
этой параллели у конуса и сфе-
ры один и тот же, а парал-
лельное перенесение требует
лишь знания касательных пло-
скостей поверхности вдоль
Рис. 5.6-2.
Рис. 5.6-3.
пути перенесения, то результат перенесения будет оди-«
наковым для конуса и для сферы (рис. 5.6-3).
5.63. Теорема Леви-Чйвита. Мы видели в пре-
дыдущих примерах, что. при параллельном перенесении
вектора по замкнутому контуру он, вообще говоря, не
возвращается в исходное положение, а оказывается -по-
5.63
§ 5.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
461
вернутым относительно исходного положения на неко-
торый угол. Мы ставим своей задачей вычислить этот
угол в случае двумерной поверхности.
Введем на рассматриваемом участке поверхности
Р2 cz 7?3 полугеодезическую систему координат w, и
с первой квадратичной формой (5.45 а)
ds2 = dw2 -f- G (w; и) du2.
Пусть-L— замкнутый кусочно-гладкий контур, по ко-
торому единичный вектор р мы будем переносить
параллельно в положительном направлении (т. е. от век-
тора rx = rw к вектору г2 == ги, или, что то же, от поло-
жительного направления линии u=const к положитель-
ному направлению линии (o=const). Обозначим через S
область, ограниченную контуром L на поверхности Р2,
а через и— угол между век-
торами р и rw, отсчитывае-
мый от вектора г№ в поло-
жительном направлении
(рис. 5.6-4). Нас интересует
величина
Ао= ^dco.
L
Поскольку (р, rw) =
Рис. 5.6-4.
= cos co, мы имеем
— sin (odo= (dp, 4- (p, drro) = (p, Drw), так как
у параллельно переносимого вектора р только вынуж-
денный дифференциал может быть отличен, от нуля, а у
вектора rw существен только геодезический дифферен-
циал. Последний можно вычислить (см. 5.61) по формуле
2 [ 2 \
Da=2(daft4- 2
fe=i\ /
В данном случае a — rw, так что at s I, ^ = 0 и, значит,
2 2
Dr = 2i 2 Г?/ du« rfe.
462 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.64
Далее, в полугеодезической системе (5.45 а) Гп = Г12=
^=Г?1 = 0, Г22 = -^^; в итоге
Drw = у ~ du ги.
Таким образом,
— sin со dct> = (р, -^-~-du ' ги}~~2~&-йи • sin со • У G.
Отсюда
dco = —{-~=du
2 Vg
и
dw = —- ^>-^~du.
Полученное выражение мы преобразуем по фор-
муле Грина 4.16 (3); вспоминая, далее, что элемент
dS поверхности Р2 вычисляется по формуле dS =
~УEG — F2dwdu = yG dw du, окончательно получаем
в силу формулы для полной кривизны в полугеодезиче-
ской системе координат 5.45 (1). Мы получили следую-
щую теорему:
Теорема (Леви-Чивита). В результате параллель-
ного перенесения по (малому) замкнутому контуру L
каждый вектор поворачивается на угол, равный инте-
гралу от полной кривизны поверхности по области S,
ограниченной контуром L.
5.64. Контур L может допускать и угловые точки.
Рассмотрим, в частности, контур L, образованный тремя
геодезическими линиями, образующими в точках пере-
5.64
§ 5.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
463
сечения А, В, С углы а, |3 и у (рис. 5.6-5). Наряду с пе-
ремещаемым параллельно по контуру L единичным
вектором р, рассмотрим второй единичный вектор е, пе-
ремещаемый по следующему правилу: в начальный мо-
мент векторы р и е находятся в вершине А и напра-
влены вдоль стороны АВ; затем они параллельно пере-
мещаются по стороне АВ до вершины В; здесь вектор е
поворачивается в положи-
тельном направлении на
угол л — р, становясь ка-
сательным к стороне ВС;
далее векторы е и р па-
раллельно перемещаются
по геодезической ВС до
вершины С, где вектор е
поворачивается на угол
л—у, становясь касатель-
ным к стороне СА; далее
векторы р и е перемеща-
ются параллельно по гео-
дезической СА до верши-
ны А, где вектор е пово-
рачивается на угол л—а,
возвращаясь в исходное
свое положение. Так как
при перемещении по геоде-
зическим углы между векторами р и е не меняются
(5.62г), окончательное расхождение между векторами р
и е получится только за счет поворотов вектора е у вер-
шин А, В, С и будет составлять величину Зл — (а 4-
,4~P4~y)- В сумме с поворотом Дсо самого вектора р
мы получим отклонение вектора е от первоначального
Положения на величину Ди 4- Зл — (а 4- ₽ 4- у) • Но на
самом деле в результате всех перемещений вектор е воз-
вращается в исходное положение и его полный поворот
равен 2л. Мы получаем уравнение
2л = Ди 4- Зл — (а 4- ₽ 4- у)>
откуда
a4-₽4~Y = tt4-A® = 3i:4- J J К ds.
s
Таким образом, мы доказали теорему Гаусса:
сумма углов геодезического треугольника АВС равна
464 ГЛ. 5- КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
двум прямым углам с некоторой поправкой, положи-
тельной на поверхности положительной кривизны и от-
рицательной на поверхности отрицательной кривизны-,
для поверхностей постоянной кривизны эта поправка
пропорциональна площади, ограниченной геодезическим
треугольником.
ЗАДАЧИ
1. Написать выражение полной кривизны для поверхности
z = z(x,y).
2. То же для поверхности, заданной неявным уравнением
F(x, у, г) = 0.
3. То же для поверхности с метрической формой ds2 =
= (p(u, v) (du2 + dv2).
4. Дано семейство поверхностей вращения, полученное смеще-
нием одной из них вдоль осн. Строится новая поверхность вращения
с той же осью, ортогонально пересекающая все поверхности семей-
ства. Доказать; что гауссова кривизна К этой поверхности удовлетво-
ряет соотношению К = —К, где К есть гауссова кривизна поверх-
ности семейства в той же точке.
5. Найти геодезическую кривизну меридианов и параллелей на
поверхности, вращения.
6. Горловая линия на катеноиде является геодезической. Как ве-
дет себя геодезическая у, проходящая через точку Л(р, <р), не лежа-
щую на горловой линии, под таким углом со к меридиану, что
psin<B = po, где ро—радиус горловой линии? Учесть, что касание
ею горловой линии запрещено теоремой единственнбстн для геодези-
ческих, а пересечение — теоремой Клеро; последняя запрещает гео-
дезической у коснуться также какой-либо другой параллели кате-
ноида.
7. Описать те параллели на произвольной поверхности вращения,
вблизи которых наблюдается поведение геодезических, аналогичное
указанному в задаче 6.
8. Пусть L — линейчатая поверхность г (и, v) = R(u) 4- vl(u')'
{или, что то же, однопараметрическое семейство прямых Х(«)). Для
близких прямых i.(u), ’К(и Ди) из этого семейства на прямой Х(и)
найдем точку М(и, Ди), в которой реализуется минимум расстояний
до прямой Х(и + Ди) (считая, что все прямые Х(и) не параллель-
ны). Показать, что при Ди-’-О точка М(и, Ди) стремится к предель-
ному положению М(и) («центр» прямой Х(и)). Геометрическое мес-
то центров образует стрикционную линию поверхности- L.
9. Стрикционная линия на однополостном гиперболоиде пере-
секает образующие под острым углом. Показать, что если стрнк-
ционная линия пересекает образующие ортогонально, то всякая дру-
гая ортогональная траектория образующих отсекает на них вместе
со стрикционной линией равные отрезки,
10. (Продолжение). Показать, что единственная линейчатая по-
верхность со средней кривизной, равной 0, есть геликоид.
11. Доказать, что если одна из главных кривизн Хь Ха, ...
поверхности S в Ru постоянна, ти поверхность есть огибающая се-
17
ЗАДАЧИ
465
мейства сфер равного радиуса (или семейства плоскостей); при
этом не существует поверхности, у которой две главные кривизны
были бы постоянны, отличны от 0 и друг от друга (А. Г. Костю-
ченко) .
12. Доказать, что для обыкновенной точки М поверхности
S c.Rn существует такая окрестность U, в которой через каждую
точку А проходит одна и только одна геодезическая, исходящая из
точки М
13. Доказать, что для обыкновенной точки Л4 поверхности
S с: Rn существует такая окрестность U, в которой любые две точ-
ки А и В соединяет одна и только одна геодезическая, вся дуга
которой от А до В целиком лежит в U.
14. Показать, что поверхность S в пространстве /?4 = + /?21 2^
R (и, v) = г (и) + р (v), г {и) е= R^\ р (о) е /?(22),
где г (и) и р(ц) описывают независимо друг от друга фиксирован-
ные кривые в своих плоскостях, сама нзометрична плоскости, но
может не содержать ни одного отрезка.
15. Пусть лр = {г = {Х|(и), .... хп(и)}, u—(ui, .... Up) е
е G с/?р} сесть р-мерная поверхность в Rn. Элементарным
нормальным сечением поверхности лр в точке М е Лр, определяе-
мым касательным вектором dr = {dxi, .... dxn} и каким-либо нор-
мальным вектором т, называется кривая пересечения поверхно-
сти яр и двумерной плоскости, натянутой .на векторы dr и т. По-
казать, что для поверхности я2 = (г = {и,, ы2, ы2, е R4 в точке
(0,0,0,0) по касательному вектору {1,0,0,0} нет ни одного эле-
ментарного нормального сечения.
16. Для той же поверхности яр, точки М и касательного век-
тора dr полным нормальным сечением называется геометрическое
место точек пересечения поверхности яр и (п — р +1)-мерной пло-
скости, натянутой на вектор dr и все п — р линейно независимых
нормалей к поверхности лр в точке М Доказать, что в обыкновен-
ной точке поверхности лр
каждого касательного вектора dr соответствующее полное нормаль-
т. е. в такой, что rang
для
ное сечение есть гладкая кривая на поверхности яр.
17. Для той же поверхности лр обозначим через m₽+i, ..., тп
ортонормнрованную систему нормалей в точке М, зависящую -от
параметров и дифференцируемым образом. Показать, что дерива-
ционные формулы для г, и /И; могут быть записаны в виде
/=1......p.
I — p + 1, .... n.
у Р п
* s=l
Л Р п
1 S=1 s=p+1
где b^ = (rijt ms), b%g<\
Q—1
466 ГЛ, 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 18
18. Для той же поверхности лр показать, что формула Гаусса
5.32 (8) сохраняется, если под В/у, kl понимать сумму миноров 2-го
порядка, построенных на строках с номерами i н j и столбцах
с номерами k и I по всем матрицам Цб^Ц, s = p+ 1, .... п.
19, Для той же поверхности лр проверить, учитывая формулы
из задачи 17, справедливость следующих соотношений, обобщающих
формулы Петерсона 5.32 (6), а также 5.32 (9) и (10):
р (V) "
s~l k s=p+l
S=1 S=p+1
n» s (Л P n
#‘4(v)=
k V=1 V=p+I
a. s (Z) p n
I V=I V=p+I
л (v, 4 p n
-^-+S*7(0*s?'+ S *№>=
k S=I S=P+1
, (V I) P n
-аг-+£ч''Ч?+ S
S=1 S=p+1
20. Показать, что р-мерная поверхность пр с: Rn может быть
построена однозначно с точностью до движения по известным
матрицам || gt j ||, || b||, || у^’s) ||, удовлетворяющим соотношениям
задач 18 и 19, причем так, что
8 ц = (rz. ry)> btf =* (ri]f mv) (v = p + 1........................n),
„ , , dr (u)
где r = г (и) — ведущий вектор поверхности nk, r{=-
d2r(u) , , , x
rt] — ~qu qu > mv (v — P + 1. • • •. n) — ортонормированная си-
стема нормалей.
21. Для конуса К = 0 и по 5.63 после параллельного обнесения
по замкнутому контуру вектор должен возвращаться в исходное по-
ложение. Однако, это не так (5.61). В чем дело?.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
467
Историческая справка
В 1697 г. в письме к Лейбницу И. Бернулли поставил задачу,
которую можно считать первой дифференциально-геометрической
задачей: каковы кривые на данной поверхности, на которых реали-
зуется минимум расстояния (по поверхности) между двумя задан-
ными точками? Эти кривые И. Бернулли назвал геодезическими ли
ннями. Уравнения геодезических линий на любой поверхности были
написаны Эйлером и Лагранжем в 1770-х гг. Тогда же Эйлер ука-
зал формулу для распределения кривизны нормальных сечений, а
также определил все поверхности, наложимые на плоскость. Линии
кривизны и асимптотические линии были введены Монжем в трак-
тате «Приложения анализа к геометрии» (1795); Дюпен и Менье,
имена которых связаны с кривизной кривых на поверхности, —
ученики Монжа. Главное значение для современной теории поверх-
ностей имела работа Гаусса «Общее исследование кривых поверх-
ностей» (1827). В ней введены обе основные квадратичные формы,
полная кривизна (с помощью сферического отображения) и дока-
зана теорема об ее инвариантности при изгибании. Эту теорему
Гаусс справедливо считал столь важной, что дал ей название theo-
rema egregium («превосходная, необыкновенная теорема»). Принци-
пиальное значение имеет введенное Гауссом понятие внутренней гео-
метрии поверхности как совокупности ее свойств, не меняющихся
при изгибании. Гаусс нашел и внутреннее описание кривизны че-
рез сумму углов геодезического треугольника. Формула Гаусса для
дифференцирования базиса касательных векторов, вместе с форму-
лой русского математика К. М. Петерсона (1853) для производной
нормали *) (все это — в скалярной форме, так как векторов тогда
еще не существовало), составили систему основных уравнений тео-
рии поверхностей. С помощью этих уравнений Бонне (1867) уста-
новил теорему об однозначной определенности поверхности по ее
основным квадратичным формам.
Изгибаемость геликоида на катеноид подмечена впервые, по-
видимому, Дини (1865). Псевдосфера построена Бельтрами в 1872 г.
Параллельный перенос вектора по поверхности определен в 1917 г.
Леви-Чивита, который с помощью параллельного обведения вектора
по замкнутому контуру выразил кривизну поверхности. Теорема
Леви-Чивита явилась обобщением теоремы Бонне (1867), в которой
геодезический треугольник Гаусса заменен любой замкнутой кривой,
а сумма его углов — интегралом от геодезической кривизны контура.
Систематическое изложение многомерной дифференциальной гео-
метрии имеется в книгах: Эйзенхарт, Риманова геометрия, ИЛ,
1948; Схоутен и Строй к, Введение в новые методы дифферен-
циальной геометрии, Гостехиздат, т. 2, 1956.
*) Эта же формула была найдена позднее итальянскими мате-
матиками Кодаццн н Майнарди.
ГЛАВА 6
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
В конце пятой главы, в задаче о ианеническом представлении
поверхности постоянной отрицательной кривизны, мы увидели, что
метризация поверхности с помощью метрики вмещающего ее евкли-
дова пространства становится стеснительной, и будет лучше, если
мы сможем рассматривать поверхность как некий самостоятельный
объект, не связывая его заранее ни с каким вмещающим простран-
ством и вводя метрику внутренним образом. Это и есть идея рима-
нова пространства. Само определение дается в § 6.3, после некото-
рых необходимых сведений из тензорной алгебры (§6.1) и понятия
элементарного дифференцируемого многообразия (§ 6.2). Вообще,
дифференцируемое многообразие — один из важнейших объектов
современного математического анализа. Однако мы здесь не даем
общего определения дифференцируемого многообразия; имея в виду
лишь локальную точку зрения, мы определяем элементарное диффе-
ренцируемое многообразие (диффеоморфное шару) и, соответствен-
но, элементарное риманово пространство, с которым н работаем
в дальнейшем. Общее определение дифференцируемого многообра-
зия будет дано в третьей части. Здесь наша основная цель — введе-
ние и изучение тензора кривизны (§ 6.5), его связей с кривизной
классической поверхности, рассматриваемой как элементарное рима-
ново пространство, и, в обобщение рассмотрений гл. 5, локальное
описание рнмановых пространств постоянной кривизны (§ 6.6).
§ 6.1. Алгебраическая теория тензоров
6.11. В книге Л5.6, мы уже говорили о тензорах
в n-мерном пространстве. Напомним основные опреде-
ления.
В «-мерном линейном пространстве Rn можйо вво-
дить различные системы базисных векторов; мы будем
обозначать их е(, ..., en; ev, ..., еп,', ег, ...» еп»
и т. д. Каждый вектор х может быть разложен по ба*
зисным векторам, так что
х = 2 l'et = 2 = 2 £"ei- = • • • 0)
i=i >'=i i"=i
6.12
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
469
Индексы у координат вектора мы будем писать все-
гда наверху-, а наличие или отсутствие штрихов укажет
на принадлежность координат соответствующему бази-
су. Условимся, далее, не писать (но подразумевать)
символ суммы в тех случаях, когда индекс суммирова-
ния встречается в выражении под знаком суммы два-
жды, один раз вверху, другой — внизу. Так, равенства
(1), переписываются в виде
£ <_ i <_
x = lel = l е.,=£ е.„ — ...
Элементы матрицы перехода от базиса [е.| к базису (et.,J
обозначим через р\„ так что
(суммирование по индексу i, индекс Г имеет любое
фиксированное значение от 1 до п).
Элементы матрицы обратного перехода обозначаем
через pf, так что
ez = p'er
(суммирование по индекс I фиксирован). Матрица |[pf
обратна к матрице что можно записать равен-
ствами
( 1 при I— i,
«'"(о <2>
В дальнейшем будем обозначать через элементы
единичной матрицы: б|=1 б{ = 0 при
i j. Тогда равенства (2) можно записать в форме
pt',pf = б'.
Произведение матриц р(„ и р\,
Pr = PrPi'
есть матрица перехода от базиса [ezJ к базису [ег].
6.12. Теперь введем определение тензора.
а. Каждый тензор есть некоторая совокупность чисел,
зависящая от системы координат и преобразующаяся
при изменении системы координат по определенному
470
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.12
правилу, которое мы сейчас сформулируем. Начнем
с примера, от которого легко будет перейти к общему
определению.
Тензор Т, дважды ковариантный и один раз контра-
вариантный, есть набор п3 чисел 7// (i, j, k=\, ... ,п),
зависящих от выбора базиса и преобразующихся при
переходе от базиса щ.еп к базису .., еп, по
правилу
П',.-4рда, (D
с подразумеваемым суммированием в правой части по
i, /, k. В правой части два раза участвуют выражения
вида р[, — элементы матрицы перехода от базиса (ег| к
базису {е.} и один раз — выражения р% — элементы
матрицы перехода от базиса {efe} к базису {ek>}. Ин-
дексы у самого тензора ставятся целесообразным обра-
зом, чтобы обеспечить выполнение правила суммиро-
вания; в данном случае индексы i, ], Г, j', стоящие
внизу, называются ковариантными, индексы k, k', стоя-
щие наверху, — контравариантными.
Определение (1) выдерживает любое допустимое пре-
образование координат. Пусть мы имеем третий базис
Ci"...еП"’, тогда, с одной стороны, должно быть
Т^=Р{„Р^Т^ (2)
а с другой стороны, должно быть,
(3)
Но нетрудно видеть, что с учетом (1) равенство (3)
влечет (2) и обратно. Действительно, из (3) и (1) следует
Тгу = = p^p^'T^f
в силу равенства р^р^, ~ р^,, и двух аналогичных. Таким
образом, определение тензора Тц корректно.
Задать тензор Т можно, например, так: в данном
базисе ..., еп назначить его составляющие тЧ] произ-
вольно, а в любом другом базисе еу, ..., еп' определить
их по формулам (1). Приведенные рассуждения дока-
зывают корректность такого определения.
е.12
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
471
б. Аналогично для любых целых т^О и s^O
определяется тензор (или короче Г”:), tn раз
ковариантный и s раз контравариантный. А именно,
так называется система nm+s чисел, заданная в каждом
базисе и преобразующаяся при переходе от базиса {ej
к базису {е4'} по формуле
T’/j — is = ‘1 о‘тп'1 ... <s.
t\... 4 Pi\ • • V/, p// <, - V
Число rn + s называется рангом тензора T. Если
m — s — Q, то тензор Т имеет нулевой ранг', он пред-
ставляет собой число, не зависящее от базиса.
Тензор Т1,1!s считается равным тензору такого же
строения , если для любого фиксированного
набора индексов /ь ..., im, jt, .... js соответствующие
составляющие совпадают в любой системе координат;
=Q'il * • Впрочем, достаточно проверить такое
совпадение в одной какой-либо системе, так как в этом
случае совпадение составляющих в другой системе
получается из тензорного закона преобразования. За-
метим еще, что порядок индексов существен', вообще
говоря,
Tku Ф Ткц Tlk.
Смысл слов «контравариантный», «ковариантный»
объясняется просто: «ковариантный» значит преобра-
зующийся так же, как векторы базиса {ej, с помощью
коэффициентов р1е; «контравариантный» значит пре-
образующийся противоположно, с помощью коэффи-
циентов рГ.
в. Тензор Т'ц... называется симметричным по нижним
индексам I, j, если Т'ц... = Т'р'..., и антисимметричным
по этим индексам, если Ti'f... = — Т'р.... Достаточно
проверить свойство симметрии (антисимметрии) тензора
в одной какой-либо системе координат; соответствующее
свойство в другой системе выполняется в силу тензор-
ных формул преобразования; например, для случая
472
ГЛ. 6. РИМАНОБА ГЕОМЕТРИЯ
6.13
симметрии
К?... = М' •. ^V... = р^Г... = Т- ...
Аналогичное определение симметрии (антисиммет-
рии) может быть дано для пары верхних (контрава-
^иантных) индексов. Но симметрия по верхнему и ниж-
нему индексам, — Т\ уже не имеет абсолютного
смысла, она не сохраняется при переходе к другой си-
стеме координат.
г. Примером тензора, один раз контравариантного
(короче одноконтравариантного), является набор коор-
динат данного вектора х. Действительно, мы имеем
х = t,le. = gpfa, = V 'et„
откуда
В‘'=Р^,
что и представляет собою закон .преобразования одно-
контравариантного тензора.
Аналогично, коэффициенты Ц линейной формы
£(x)=/jg’ представляют собою одноковариантный тен-
зор; элементы а[ матрицы линейного оператора — тен-
зор второго ранга, один раз ковариантный и один раз
контравариантный (J15.63).
д. Символ 6/ также представляет собою тензор,
один раз контра- и один раз ковариантный; действи-
тельно, равенство
= Pl'Pk
имеет место по определению в силу свойств матриц р?,.
6.13. Действия с тензорами. Для тензоров
вводятся следующие операции:
а. Умножение тензора на число и сло-
жение двух тензоров одинакового строе-
ния. Пусть, например, даны два тензора и Qktj, оба
дважды ковариантных и один раз -контравариантных,
и два числа аир. Образуем в каждой системе коор-
динат числа Sj/, складывая при фиксированных i, j, k
соответствующие величины аТ^ и PQ|r Величины Skt,
определенные таким образом в любой системе коорди-
нат, образуют также тензор, дважды ковариантный и
6.13
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
473
один раз контравариантный, поскольку
srr = aTrr + PQr/' = + МрДО*/ =
= р\,р\.р1 (aTkif + PQ*,) = pi,p|,pl'S|r
б. Поскольку сложение тензоров и умножение их на
числа приводятся к сложению составляющих и их ум-
ножению на числа, для этих операций- выполняются
коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный за-
коны.
В частности, тензоры данного строения образуют ли-
нейное пространство. Поскольку тензор с гп индексами
имеет п™ составляющих, размерность пространства тен-
зоров с т индексами равна пт.
в. Умножение двух тензоров любого
строения. Например, умножим тензор дважды
ковариантный, на тензор S*; один раз ковариантный и
один раз контравариантный. Для этого умножим в ка-
ждой системе координат при фиксированных i, /, k, I
соответствующие составляющие Т{1 и Slk. Мы получим
величины Q1.^ = TitSlk, зависящие от четырех индек-
сов. Эти величины, определенные в каждой системе ко-
ординат, образуют тензор, поскольку
Q'-'/'fe' = Т = Pli-P\'T iiPk'PliSk =
= PeP^Pk'P^ nSk = PrP'pPk’PiQnk
и этот тензор — трижды ковариантный и один раз кон-
травариантный. Аналогично определяется умножение
любых двух тензоров; тензор-произведение вбирает
в себя все ковариантные и все контравариантные ин-
дексы обоих множителей.
Следует заметить, что умножение тензоров, вообще
говоря, не коммутативно. Например, произведение»тен-
зоров S; и Tj имеет составляющую, соответствующую
номерам i=l и /=2, равную StT2, а произведение тен-
зоров Т{ и Sj имеет составляющую, соответствующую
тем же номерам i=I и 7=2, равную S2Ti.
г. С в е р т ы в а н и е тензора по верхнему и
нижнему индексам. Эта операция применяется
к тензорам, имеющим по меньшей мере один контрава-.
474
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.13
риантный и один ковариантный индекс. Пусть, напри-
мер, дан тензор Тц. Свернуть его по индексам i и k
означает: составить в каждой системе координат при
фиксированном индексе / числа
Здесь по индексу i в правой части подразумевается
суммирование. Полученные величины Q3-, построенные
в любой системе координат, снова образуют тензор;
действительно, из равенства
вытекает, что
=pipm - w, - рп = pi.q,.
Что получится, если свернуть тензор Т{ по обоим его
индексам? Величина Т\ не имеет ни одного индекса,
т. е. представляет собой одно число для каждой системы
координат, и это число не меняется при переходе из од-
ной системы координат в другую, т. е. является инвари-
антом. Это подтверждается, независимо от предыдущего,
прямой выкладкой:
T!!-4rtT«=.e'7-‘=r<.
Таким образом, операция свертывания тензоров (по
одной, а может быть, и по нескольким парам индексов)
может приводить к получению инвариантов.
д. Переброс коэффициентов рГ из одной
части равенства в другую. Пусть дано равен-
ство
= (1)
где величины S‘ и Т1' могут иметь и другие индексы.
Предполагается, что индекс i' свободный, т. е. не уча-
ствует в суммировании с другим индексом Мы
утверждаем, что это равенство эквивалентно равенству
Sl = rf,T1',
т. е. что коэффициенты р?' можно перебросить из одной
части равенства в другую, переставив индексы. Дей-
6.14
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
475
ствительно, умножая равенство (1) на р^ и суммируя
по i', мы получим
PyPi'S1 = = Sk = ркТ1'
co свободным индексом k, который, можно, конечно,
заменить на i.
е. Сокращение на коэффициенты pf. Пусть
дано равенство
pfS^pfQ', (2)
где величины S1 и Q* могут иметь и другие индексы.
Индекс i' предполагается свободным.
Покажем, что равенство (2) эквивалентно равенству
Si — Qi,
т. е. что на коэффициенты pf можно «сократить».
Действительно, умножим равенство (2) на рке и сумми-
руем по fe; мы получим
p£pfS‘ = 6kS‘ = Sfe = pkPi.Ql = 6* Ql = Qk
co свободным индексом k, который можно заменить
на i.
6.14. Решение тензорных уравнений.
а. Рассмотрим линейную систему уравнений
= (i)
где 7?t-f и Т’Г... — некоторые тензоры указанного строе-
ния, причем det||1| =/= 0. Система (1) позволяет при
каждом наборе верхних и "нижних индексов одно-
значно определить числа s!.".". Тем самым числа s!.’.”
однозначно определяются для каждой системы коорди-
нат. Покажем, что эти числа снова образуют тензор.
При вычислениях ограничимся случаем тензора Tlr
и неизвестных величин S/9. В силу (1)
pfpf ЯгГ$‘9 = рГ<р9^^-
или же, согласно 6.13 д, е,
476 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6. I
из единственности решения системы (1) в базисе {et}
следует, что
S^^p^p^,
а это и означает, что величины образуют тензор,
б. Совершенно аналогичное рассуждение показы-
вает, что и уравнения
::: = тЧ:::, Rllstk...=тк:::,
где R и Т — тензоры указанного строения, detl| 7?/||=/=0,
det| =/= 0, а «::: — неизвестные величины, имеют
своими решениями тензоры S;" указанного строения.
в. Другой пример доставляется системой уравнений
т::. й*(2)
i I
где £fe, .... £fe суть п линейно независимых одноконтра-
1 " ъ
вариантных тензоров, так что det||| ||#=0, а индексы
i
у тензоров S.:: совпадают с соответствующими ин-
дексами величин R, замененными многоточиями.
Система (2) позволяет при всех значениях невыпи-
санных индексов определить однозначно величины Т"’. к.
Покажем, что Т'.\\ к есть тензор того же типа, что и S'".,
i
с дополнительным ковариантным индексом k. Проведем
выкладку для определенности для тензоров Sfq и ве-
i
личин T™qk. Переходя к базису {е,-}, можно написать
г' Q'fn Qtn' om rj.m «.fe rj.m _k^k’
PrPqPm’^r’q’ ^rq *rqk? ^rqkPky *
t r'tf Pr'Pq'Pm Pfe'5 Trgk*
откуда, в силу единственности решения системы (2)
в новой системе координат,
тт' Г.Г .Л r,m’ J1 “Г"»
Tr’q'k' Pr’Pq'Pm Pk'*rqk’
что и требуется.
6.15
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
477
г. Можно рассмотреть более сложную систему
г::
i i ii
где — система линейно независимых векторов, т)т —
1 „ i
система линейно независимых векторов, а замененные
многоточиями индексы у тензоров S.'” такие же, как
«7
на соответствующих местах у тензора Т.” km. В этом
случае Т'." km оказывается тензором такого же строения,
что и S'"„ с двумя дополнительными ковариантными
индексами hum.
Для доказательства положим
T~kmih=R::-.m, (3)
I
мы имеем R‘.” т r]w = S;", и по доказанному в в R'" т
i 1 «7 i
при каждом i есть тензор того же строения, что и S ",
ii"’
с одним дополнительным ковариантным индексом т.
Применяя теперь в к уравнению (3), приходим к тре-
буемому утверждению относительно величины T.'.'.km,
Очевидно, что аналогичный результат будет иметь место
и для еще более сложных систем, например, вида
T.\\kmri\mirи т. д.
ill Ш
6.15. Бивектор.
а. Пусть £ и т) — два вектора. Тензор
f = fl Q, Tj) = s [g, Tjf/ (1)
называется бивектором, порожденным векторамр £ и tj.
Составляющие бивектора flt суть миноры 2-го порядка
в матрице
Tj* Т)2 ... rfll { ’
из координат векторов £ и т|. Ясно., что бивектор f не
изменится, если к вектору rj прибавить вектор $
478
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.15
с любым числовым множителем. Таким образом, по би-
вектору f, т. е. по минорам матрицы (2), сами векторы g
и т) не определяются однозначно.
Поставим вопрос: какую геометрическую информа-
цию о векторах g и т) дает нам знание бивектора f?
б. Прежде всего, по составляющим бивектора f мы
можем однозначно определить плоскость векторов £ и
т). Действительно, условием принадлежности вектора
т=т’>,- к плоскости g, т) является выполнение равенства
вида т— Cig + С2т], или, что то же, линейная зависи-
мость строк матрицы
Л
т1
Г
л"
_п
(3)
(3) должен быть меньшим
Иначе говоря, ранг матрицы
3, так что все миноры 3-го порядка этой матрицы рав-
ны 0. Разлагая миноры 3-го порядка
k
I1
л'
г/
т'
л6
а
по последней строке и приравнивая результаты нулю,
получаем ряд условий принадлежности вектора т к пло-
скости g, т], выраженных через миноры 2-го порядка
матрицы (3), т. е. через составляющие бивектора f.
в. Заменим векторы g и т] на их линейные комбина-
ции
и найдем
Р = ац£ + а12л,
q = a2ig + a^Tj
бивектор, порожденный
(4)
[р.
р
q*
р1
q1
a2i£Z + а22Лг
В'
лг
а11 а12
a2i а22
векторами р и q:
ац£' + а12ЛУ _
а21^ + а22Л/ ~
л'
= det|laz/||U,T]]z/.
Таким образом, в результате подстановки (4) бивектор
IL л! получает числовой множитель det ||а^||. Назовем
6.16
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
479
пары т] и р, q (4) равновеликими, если det |||| = 1.
Для равновеликих пар составляющие бивектора f оди-
наковы: [р, <7]Yj'=[B. "п]г< Можно разбить все пары век-
торов g, т| в их плоскости у на взаимно непересекаю-
щиеся классы равновеликих пар; тогда можно сказать,
что составляющие бивектора [g, -q] определяют одно-
значно, во-первых, плоскость у и, во-вторых, тот класс
равновеликих пар, который содержит пару g, т|. Любой
другой класс можно получить, умножая бивектор [£, ц]
на надлежащее число.
6.16. М ет р ический тензор. Скалярное произ-
ведение (х, у) в пространстве Rn может быть введено
как значение 6(х, у) некоторой билинейной формы,
симметричной (G(x, y) = G(y, х)) и положительно опре-
деленной (G(x, х) >0 при х=#0). В координатной
форме G(x, у) имеет вид
G (х, у) = s s ё^Ч-ё^Ч, (1)
i 1
где х=£!'е;, У=^ез> ёа — некоторые числа.
Можно сказать, что задание формы G(x, у) равно-
сильно заданию тензора gij, дважды ковариантного,
симметричного (ёа=ёл) и положительно определенно-
го > 0 при g =# 0). Действительно, при наличии
такого тензора ёа выражение (1) для любой пары век-
торов (одноконтравариантных тензоров) представляет
собою числовую величину, которая удовлетворяет аксио-
мам скалярного произведения. Тензор ёа с указанными
свойствами называется метрическим тензором. Наличие
метрического тензора ёа превращает аффинное про-
странство Rn в евклидово пространство, в коФором воз-
можно измерять длины векторов и углы между ними,
площади фигур и объемы тел.
Матрица ёа не вырождена, поскольку она положи-
тельно определена, а потому имеет обратную матри-
цу
= 6*. i, k—1......п. (2)
В силу 6.14 числа ё}к образуют дважды контрава-
риантный тензор. Если взять, к примеру, произвольный
480
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.17
тензор Tk{j (указанного строения), то тензоры
Tils = Tkilgks, T^ = Tkijgi\ =
называются сопряженными с относительно тензора gij._
Заметим, что для тензора gti существует в про-
странстве Rn базис, в котором
{0 при i #= j,
1 прн i ==j,
именно базис, ортогональный и нормированный по от-
ношению к скалярному произведению (1). Эти числа
обозначают также Ьц.
6.17. а. В евклидовом пространстве Rn площадь па-
раллелограмма, построенного на векторах £ и тр может
быть выражена через составляющие бивектора [£, т]).
Действительно, площадь S этого параллелограмма вы-
числяется по формуле 3.55 (2):
(В. I)
(Ч> £)
а, ч)
(ч, ч)
ёи^ gi&4
gurfl* girt4‘
•— gikgi&kv}
чг ч'
(’)
Переставляя индексы i и j, а также k и l, получаем
S2—— — gikgii^
4Z
Из (1) и (2) следует, что
2S2— 8ikgn
ч' ч'
Ч*
в*
чг
(2)
(3)
Далее, переставляя
2S? — gilgik
в (3) индексы k и I, находим, что
ч' Ч*
----8ikgu
ч' ч'
I ч* ч1
(4)
е.п
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
481
и, значит,
4S2 =
gik Ви
Bik gjl
V I*
4* Y]1 T)*
B'l
tl'p
(5)
Формула (5) и дает искомое выражение S через соста-
вляющие бивектора [g, гф
б. Величина Gijt hl=gihgjt — gjhgi{ представляет со-
бой минор в матрице l|g»j||, построенный на строках
с номерами i и / и столбцах с номерами k и I. По своей
структуре эта величина есть тензор, четырежды кова-
риантный.
Тензор Gfj, ы называется производным метрическим
тензором. Из формулы (5) видно, что площадь парал-
лелограмма, построенного на векторах g и t), зависит не
от самих этих векторов, а только от бивектора [|, г]].
Поэтому имеет смысл понятие «площадь бивектора»,
как число, равное площади любого параллелограмма
в классе всех параллелограммов, определяемых данным
бивектором. Если площадь бивектора {£, ц] равна 1, он
называется единичным бивектором-, все параллелограм-
мы, определяемые этим бивектором, имеют площадь,
равную 1. Любой другой бивектор [£, т], скажем пло-
щади S, в той же плоскости у получается из единичного
бивектора умножением на число S.
в. Тензор Ga,ki в силу самого своего определения
антисимметричен по индексам i и /, антисимметричен
по индексам k и I и не меняется при одновременной за-
мене i на k и j на I. Он удовлетворяет еще одному со-
отношению, называемому тождеством Риччи:
Gil, fez + G{k. п + Gki. /1 = 0. (6)
Слагаемые в этой сумме получаются при циклической
перестановке трех первых индексов при фиксированном
четвертом. Так как это тождество с тензорами, то его
достаточно доказать в одной какой-либо системе коор-
динат. Возьмем систему координат, в которой тензор
gij имеет составляющие дц, равные 0 при i=^j и 1 при
i=j.
Равенство (6) в этой системе координат принимает
вид
f>ik &н бы &ki __0
fyk 6kl t>ki Ьц 6tl
482
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.18
Если l^=i, l=/=j, l^=k, в выписанных определителях вто-
рые столбцы равны 0 и равенство удовлетворяется.
Пусть I совпадает с одним каким-либо из индексов i,
j, k. Вследствие симметрии по I, j, k достаточно пред-
положить, что l=i, l¥=j, l=/=k. Тогда в среднем опреде-
лителе второй столбец равен нулю; сумма первого и
третьего принимает вид
О
1
О 1
i>lk 0 О
= — f>lk + fife/ — 0.
Пусть I совпадает с двумя какими-либо из индексов i,
j, fe; для определенности l=i—j, l=/=k. Тогда сумма
трех определителей принимает вид
Наконец, если l—i=j=k, то все определители обра-
щаются в нуль, поскольку все они состоят лишь из еди-
ниц. Таким образом, тензор Gi3-, ы действительно удовле-
творяет тождеству Риччи.
6.18. Тензоры типа Риччи.
а. Четырежды' ковариантный тензор То>ы назы-
вается тензором типа Риччи, если для него выполняются
следующие соотношения:
Тц,ki~ — Тц,м (антисимметрия по i и /); (1)
Тц,к1 — ТЬ1,ц (симметрия по парам I, j и k, I); (2)
Tti.ki + Tlk, и + Tki, ц==0 (тождество Риччи). (3)
Из (1) и (2) следует антисимметрия по индексам
k и I:
Т ц, ik~Tik.u = ~T ki. — а. м- (4)
Примером тензора типа Риччи служит производный
метрический тензор (6.17 в). С другими важными
примерами мы встретимся далее.
Очевидно, тензоры типа Риччи можно умножать на
числа и складывать; в результате снова получаются тен-
зоры типа Риччи.
б. Пусть дан бивектор z—[х, у], — g-’T]1.
Рассмотрим свертку тензора Риччи Тц,ы и двух равных
6.18
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ теория тензоров
483
бивекторов z:
T(z, z) = Tiliktzlizkt. (5)
В каждой системе координат эта свертка есть число,
зависящее от бивектора z.
Оказывается, что все составляющие тензора типа
Риччи однозначно определяются по результатам свер-
ток (5) со всевозможными бивекторами z.
Для доказательства достаточно проверить, что ра-
венство T(z, z) = 0 влечет Tijiki = G при всех i, /, k, I.
Пусть известно, что
Т (z, z) = Tlf, klzi!zkt = Tl}, kl =
= Л/, «IЧ*М ~ Tit. к&4^1 0.
Меняя местами во втором слагаемом индексы i и j и
затем заменяя Тkt на —Tti,ki> мы находим
Тц.^Ч^ + Тц.^Ч^1^,
так что
Tihkll4zkl^.
Поступая аналогично с множителем zkl = — |zrjfe,
получаем
Тц.АЧЧ^О.
Это равенство должно выполняться при всех значениях
..., g", т]1, .... т)" и всех значениях i, j, k, I от 1
доп. Фиксируем i — k, j — l и положим х = (0, ...
..., 1, ..., 0), у = (0, ..1.0); мы получим для
i I
любых I, j
(6)
Фиксируем i — k, j =/=/и положим х = (0, ..., 1, ...,0),
i
у = {0, ..1, ..., 1, ..., 0); мы получим
Тц, и + Тц, ij = 0.
В силу свойства (2) это приводится к равенству
Л/,п = 0 (7)
484
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.21
при любых i и / =# I. Используя (1) и (4), находим
также, что
Тц,ц = О (8)
при любых г и l^=j. Фиксируем i=/=k, j=£=l и положим
х = (0, .... 1....1, ..., 0),
I k
л=(о, I..........I,...» 0)
мы получим
Л/, kt + Т ki,n + Ttl,k, + Tkmi = 0.
В силу (2) это соотношение сводится к
kt + Tki, и — 0- (9)
Меняя местами i и j и используя (1), получаем
Тц.к1 + Т1к.ц = 0. (Ю)
Напишем еще равенство, непосредственно вытекающее
из (1),
Тц, kt + Тa, kt = 0, (11)
и три равенства (9) — (11) сложим; в силу тождества
Риччи (3) вторые слагаемые в сумме дадут нуль, и по-
сле сокращения на 3 получаем, что при i=/=k, j=/=l
T{l,ki = 0- (12)
В соединении с (6) и (7) это означает, что все соста-
вляющие тензора ТцгЫ равны 0, и утверждение дока-
зано.
§ 6.2. Элементарное дифференцируемое многообразие
6.21. а. Пусть М есть множества, равномощное шару
в ft-мерном пространстве Rn- Таким образом, можно
ввести на М вещественные координаты х1, ..., хп, так
что точка х— (х1, ..., хи) будет описывать в простран-
стве Rn открытый шар. Наряду с координатами
х1, ..., хп будем рассматривать на М также любые
другие координаты х1', ..., х"',. связанные с х1, ..., хп
6.22 § 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ 485
взаимно однозначно соотношениями вида
х1' = х1'(х1,...., хп),
хп' — хп'(х1, ..., х"),
где функции х1'(х\ хп) обладают непрерывными про-
д (х1' хп')
изводными до порядка N, а матрица —г не
й(х1...хп)
вырождается. Такие системы координат назовем допу-
стимыми. Множество М = Мп, N, снабженное набором
допустимых систем координат, назовем элементарным
дифференцируемым многообразием размерности п (ко-
роче, n-мерным), класса DN (или просто N).
Если допускаются лишь такие системы координаты
х1, ..., х”, для которых функции (1) бесконечно диф-
ференцируемы, то многообразие М, по определению,
принадлежит классу £>«,.
б. Два дифференцируемых многообразия Mi и М2
размерностей «1 и п2 и классов N\ и N2 соответственно
считаются эквивалентными, если п\=п2—п и N\~
—N2==N. Тогда между точками этих многообразий
можно установить такое взаимно однозначное соответ-
ствие, при котором координаты точки многообразия М2
являются функциями класса N от координат соответ-
ствующей точки многообразия Мь Более того, соответ-
ствие можно установить так, что эти функции будут ли-
нейными. Действительно, координаты на многообразии
Л11 устанавливают соответствие между Mi и шаром
в Rn и то же делают координаты на многообразии М2;
но всякие два шара в R,n можно перевести друг в друга
с помощью сдвига и сжатия, т. е. с> помощью линейных
функций.
6.22. Примеры.
а. Является ли открытый круг в плоскости диффе-
ренцируемым многообразием’?
Ответ. Вопрос лишен смысла, пока не указаны до-
пустимые системы координат.
б. Является ли дифференцируемым многообразием
круг в плоскости, описываемой полярными координатами
р < 1, 0 гС ф 2л, считая допустимыми координатами
486
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.23
все те, которые связаны с р и ф зависимостями типа (1)
фиксированного класса DN?
Ответ. Нет. Множество значений параметров 0
р < 1, 0<ф^2л не есть открытый круг в плоско-
сти р, ф, где р и ф считаются прямоугольными коорди-
натами.
в. Является ли дифференцируемым многообразием
круг в плоскости, выделяемый неравенством в прямо-
угольных координатах х2 у2 < 1, причем допустимы-
ми координатами считаются х и у и те, которые связаны
с х и у зависимостями типа (1) фиксированного клас-
са Dn?
Ответ. Да, является.
г. Является ли дифференцируемым многообразием
множество М на плоскости, выделяемое условиями
(рис. 6.2-1)
х^О: у — х, 0^х<1,
х 0: у = — х, — 1 < х 0,
с координатой s (длина дуги), отсчитываемой от точ-
ки О вправо со знаком +, влево со знаком —, и с до-
пустимыми координата-
ми — любыми функциями
о = ф(«), имеющими не-
прерывные производные
до порядка N, причем
ф'(«) Ф 0?
Ответ. Да, является.
Оно эквивалентно мно-
гообразию М] —
= {— V2 < s < 1^2) или
даже многообразию Л12=
= {—1 < s < 1) на вещественной оси с такими же до-
пустимыми системами координат.
6.23. Некоторое свойство, выраженное в координа-
тах х1, ..., х", называется абсолютным или геометриче-
ским свойством многообразия М, если оно имеет такое
же выражение и в любой другой допустимой системе ко-
ординат.
а. Например, будем считать, что последовательность
точек Л], ..., Ат, ... многообразия М сходится к точ-
ке А этого многообразия (в записи А,п-+А), если в не-
6.23 § 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ 487
которой системе координат х\ .... хп имеем при т—>оо
х'Ш^х’И), .... хп (Ат) хп (А).
Тогда в любой другой допустимой системе коорди-
нат х1', ..., хп' имеем также
х''(Лт)->х*'(Л), .... х“'(Лт)-> х"'(Л)
в силу непрерывности дифференцируемых функций
х‘'(х’, .... х"). Таким образом, свойство Ат-+А есть
абсолютное свойство многообразия М.
б. Пусть х*=х’(<) (i=l, ..., и; а t Ь)—на-
бор k раз дифференцируемых функций; геометрическое
место L соответствующих точек (х1 (/), ..., хп (i)) е М
назовем k раз дифференцируемой кривой на многооб-
разии М. При переходе к другим координатам получаем
х1-Xi^X'(t).....Xn(tj) (f=l.......п).
это — также набор k раз дифференцируемых функций
от t, если только k N. Таким образом, понятие «k раз
дифференцируемая кривая на многообразии М» являет-
ся абсолютным при k sg N.
в. Точка Л = {/(/0), .... х"(/0)}е/.сЛ1 на кри-
п .
вой L называется обыкновенной, если J} [~*,J-9"]2 >
i=i
” d 1 I 2
и особой, если ^ — О» Поскольку в любой
i=I
другой системе координат
dx1' (<) у дх1' dx1 (/)
dt дх1 dt ’
i—t
мы видим, что точка А, особая на кривой L в одной си-
стеме координат на М, будет особой на кривой L и в
любой другой системе координат. Таким образом, поня-
тие «особая точка», а вместе с ним и понятие «обык-
новенная точка» являются абсолютными.
г. Аналогично, при k N является абсолютным по-
нятие «/г раз дифференцируемая s-мерная поверхность
Р на ^многообразии ЛЬ>; так называется геометрическое
488
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.24
место точек, определяемых в координатах х1, ..., хп си-
стемой уравнений с s п параметрами
х1 = xl (tlt ts), i — 1, .... п, / = (/], ..., ts) е G cz Rs,
где функции х'(Л, .... ts) имеют непрерывные произ-
водные до порядка k.
д. Точка А е Р называется обыкновенной точкой по-
п кл дх' И) II
верхности Р с М, если ранг матрицы —— ра-
вен s (числу параметров), и называется особой, если
ранг этой матрицы меньше s. В силу равенства 1.33 (7)
НЯ
дх1' 1111 дх1 II
дх1 ||| дР I
и вытекающего из него соотношения между минорами
s-ro порядка левой части и минорами s-ro порядка вто-
рого множителя правой части, точка Л, особая на по-
верхности Р в координатах {хф, будет особой и в коор-
динатах [х1'}. Таким образом, понятие «особая точка»
на поверхности, а вместе с ним и понятие «обыкновен-
ная точка» также являются абсолютными,
6.24. К а с а те л ьное пространство. Пусть
А е Мп — фиксированная точка. Рассмотрим дифферен-
цируемую кривую L—{x е М: х*=х'(1), а t Ь} на
многообразии М„, проходящую через эту точку. Набор
чисел (£',..., gn), где
,.1 dx1 (Л) . .
5Г-. х =
по определению, образует касательный вектор к кри-
вой L в точке А. Такие касательные векторы заполняют,
очевидно, .все n-мерное пространство Rn, так как любой
вектор (£’, ..., £n) е Rn является касательным к неко-
торой кривой L cz Мп, например к кривой
?(о=х4(л)+|г
проходящей через точку А при /=0. Пространство Rn
при указанном сопоставлении обозначается ТП(Л) и на-
зывается касательным пространством к многообразию
Мп в точке А. Базисом этого пространства являются
$24 § 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ
векторы, касательные к кривым
?(/) = ? (А) + д'/ (Л 7=1......п)
1
(«координатные линии, проведенные через точку Л»),
Каждое допустимое преобразование координат
хг = х‘'(х*, .... х") приводит к некоторому линейному
преобразованию в касательном пространстве в точке А.
А именно, мы имеем в системе координат х1'
dx1 (Л) __ у дх1 (Л) dx^A)
dt дх1 dt
дх1' (А)
дх1 *
где р1’
Чтобы увязать этот результат с тен-
зорными правилами, необходимо написать еще формулы
соответствующего преобразования базисных векторов.
Новый базисный вектор ее представляет собой каса-
тельный вектор к новой координатной линии х1’, т. е.
касательный вектор к линии х1' — х1' (Л), ..., х1' = хг(Л) +
~Н, .... хп' = хп'(А). При этом
дх1' dx1(А)____q дх1' dx1 (Л) дхп’ dx1 (Л)__
дх1 dt ’ * • ‘ ’ gxi ‘ ‘ ’ дх1 dt
и, следовательно, для этой линии
^^-=4 (А (1)
где |р\,(Л)| — матрица обратная к матрице |р*'(Л)|; эта
обратная матрица, как следует из 1.33 б, состоит из
элементов р{., — —Умножая (1) на et и суммируя
по /, находим
^ = Р^Г
Таким образом, величины образуют одноконтрава-
риантные тензоры в касательном пространстве в точ-
ке А. Для М =Мп N функции pli (/ф) имеют порядок
гладкости N — 1.
Мы можем определить далее тензор произвольного
строения в касательном пространстве Т„(Л). Например,
тензор 7?/(Л) есть система п3 чисел, зависящая от
490
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.25
системы координат на Мп и при переходе от координат
х1, ..., хп к координатам х1', ..., хп' преобразующаяся
по формулам
где, как и выше,
i _ б? (Л) , _ дх* (A) k, __ dxk' (Л)
*' дх*' ’ *' дх*’ ’ Pk dxk
Таким образом, в касательном пространстве ТП(Д) мо-
жет быть реализована вся тензорная алгебра, описан-
ная в § 6.1.
6.25. Тензорное поле.
а. Если в каждой точке х е Мп задан тензор фикси-
рованного строения, например тензор Tq(x), и его со-
ставляющие имеют производные по координатам до по-
рядка т, мы говорим, что задано на многообразии Мп
тензорное поле Тц(х) порядка гладкости tn. Из основ-
ного соотношения
Г^х) = р',р{,р*7*(х)
и наличия у функций р', (х), р*.,(х), р£'(х) производных
до порядка N — 1 следует, что при th N — 1 свой-
ство поля Tkij(x) иметь производные до порядка тесть
абсолютное свойство.
б. Пусть, например, на многообразии Мп класса N
задана ^числовая функция f(x), имеющая по координа-
там х1, ..., хп непрерывные производные до порядка
ш < N включительно. Можно сказать, что функция f (х)
определяет на многообразии Мп тензорное поле нуле-
вого ранга.
Составим в каждой точке х е Мп величины
df(x) df(x) df (х) .
дх' ’ дх2 ’ ’" ‘ ’ дхп ’
мы утверждаем, что они образуют тензорное поле пер-
вого ранга, именно один раз ковариантное поле поряд-
ка гладкости пг — 1. В самом деле, в другой системе
координат х1', ..., х"'
df (х) ___ df (х) дх1
дх1' дх1 дх*'
_ni df(x)
Р*' дх* ’
6.26 § 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ 491
а это и есть закон преобразования составляющих одно-
ковариантного тензора. Что же до порядка гладкости,
то ясно, что из m-кратной дифференцируемости функ-
ции f(x) следует (т — 1)-кратная дифференцируемость
, . df (х)
функции - .
дх1
в. Можно рассматривать тензорные поля, определен-
ные и не на всем многообразии Мп, а на линии или
поверхности в Л1п; определение порядка гладкости поля
сохраняется и в этих случаях.
Тензорные поля порядка гладкости т, заданные на
всем Мп или же на одной и той же линии или поверх-
ности, можно складывать между собою, умножать друг
на друга и свертывать (в каждой точке); мы будем
получать при этом снова тензорные поля порядка глад-
кости т.
6.26. Однако дифференцирование тензора по коорди-
натам. (вдоль линии или поверхности, где он задан) уже
не приводит к тензорным величинам.
Пусть Т\1\т (х) — дифференцируемое тензорное
1 k
поле.
Найдем формулу преобразования для величин
в1Ч-1к
дхг
д^х
Обозначая р‘{,г, = —р—р- (и аналогично другие вто-
д х дх
рые производные), мы получаем
df'1,
'1 - 'fe
дхг
д
дхг
il lkjl ” !т\
р> ... р-р ... р Т =
, «1 lk '1 'т ‘1 "• ‘к/
- дТ<1 - im
• • • р1т дхг Рг’ +
••V',-<»+
. + pl... p'-'p'-T1,' "'fp,:
‘1 'т-1 'mr *1 "• *k r
Pi Pi.
Р-'
(1)
492
ГЛ. 6. -РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.31
Если бы в этой сумме был только первый член, преоб-
дт'1и
разование величин —~г— производилось бы по тен-
зорному закону (к имеющимся индексам присоединился
бы еще один ковариантный индекс г). Однако наличие
членов, содержащих вторые производные, усложняет
закон преобразования. Количество дополнительных чле-
нов равно числу индексов у исходного тензора. Каждый
ковариантный индекс дает чл'ен с множителем вида
р\,г,, каждый контравариантный индекс дает плен с
множителем вида р^р,,. Например-, для производных
одноконтравариантного тензора имеем
— Pi Р*' ~^k~ 4" Р«Р*'^£» (2)
или, учитывая, что dxk' — p£dxk,
dtf = dx* = + dxk' (3)
Для дважды ковариантного тензора ёц(х) имеем
= Plp\'Pkh' + P^gif + P^P’i'k'gir (4)
§ 6.3. Элементарное риманово пространство
6. 31. а. Элементарное дифференцируемое многообра-
зие Мп называется элементарным Романовым простран-
ством, если на Мп задано тензорное дважды ковариант-
ное поле gn(x), которое в каждой точке является
симметричным (ga(x) = gji(x)) и положительно опреде-
ленным. Последнее означает, что для любого ненулевого
одноконтравариантного тензора £*(х) имеет место не-
равенство
§о(х)^(х)^(х)>0.
б. Два элементарных римановых многообразия Ali и
М2 называются эквивалентными или изометрическими,
если на них можно ввести допустимые координаты так,
что величины £,Дх) будут выражаться одинаковыми
функциями От координат как на Ми так и на М2. Мы
6.31
§ 6.3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РИ'МАНОВО ПРОСТРАНСТВО
493
встречались уже с этим понятием в теории поверхно-
стей — там изометрия, по вполне естественным геоме-
трическим причинам, называлось изгибанием.
в. В элементарном римановом многообразии Мп
для двух касательных векторов (одноконтравариантных
тензоров) g = {£’(*)} и ц == {тр(х)} можно определить
скалярное произведение (6.16)
(I, п) = £</ (х)У Wi/W»
вводящее метрику — длины векторов и углы между
ними — в каждое касательное пространство Тп(х).
В частности, для базисных векторов касательного
пространства Тп (х) имеем
(eit e^^gij
— равенство, которое служило ранее определением чи-
сел gtj.
г. Метрика в касательных пространствах позво«
ляет ввести метрику и на самом многообразии Мп. А
именно, элемент дуги кривой L—{x<^Mn: xi — xi(t),
a ^.t b} в точке PeL мы определим л о формуле
ds2 = gtj (Р) dx1 dx1 = | йх*ег p.
Тогда длина всей кривой L между точками А и В, от-
вечающими значениям параметра t = а и t'= Ь соот-
ветственно, вычисляется по формуле
в ь
s== J У gti (х) dx1 dxi = j У^//;(х(0)^(-«)^(х)а/,
А а
где У (х) — • Это выражение, в силу его тензор-
ного характера, уже не зависит от системы координат.
Если кривая L не имеет особых точек (тензор p(t) не
обращается в 0), то длина дуги s от точки А до теку-
щей точки P = P(t) как функция t имеет ненулевую
производную; поэтому существует обратная функция
t — t(s), и, следовательно, кривая может быть задана,
как в обычной дифференциальной геометрии, натураль-
ным параметром s — длиной дуги.
494
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.32
д. Измерение площадей и объемов на римановом
пространстве проводится тем же приемом, что и на по-
верхности в евклидовом пространстве Rn-
Пусть, например, имеется двумерная поверхность
Q={x^Mn: xi — xi(u,v), (и, о) ей ед Т?2}- Тогда диф-
ференциалы du и dv определяют в касательном про-
странстве Тп(х) элементарный параллелограмм со сто-
ронами
дх , дх1 . дх . дх‘ ,
-д— dx—-4— du • et и -д—do==-3—dv е,
ди ди 1 до до 1
и с площадью (6.17 а)
= (EG — F2)du2dv2, (1)
где
Интегрируя величину dS по области Й, получаем пло-
щадь этой области
s (Q) = J J VEG-F2 du dv.
с
6.32. Параллельный перенос. Введем теперь
понятие параллельного переноса одноконтравариантного
тензора g* вдоль кривой L = {л е Мп, х{ = №'(/), а
t Ь}. В теории поверхностей параллельный пере-
нос был определен из некоторого геометрического по-
строения, в результате которого было получено диффе-
ренциальное уравнение 5.62 (1) с коэффициентами Г^.,
выражающимися определенным образом через вели-
чины gij. Здесь мы определяем параллельный перенос
как решение дифференциального уравнения
= (1>
где Г* (х) — некоторые функции от х. Эти функции
Гг/(х) выбираются с таким расчетом, чтобы скалярное
6.32 § 6.3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО 495
произведение тензоров и (как и при параллельном
переносе векторов на поверхности) не менялось при
параллельном перенесении вдоль любой линии L, иначе
говоря, чтобы вдоль любой линии L величина
(I. = (2)
оставалась неизменной. Для определения коэффициен-
тов Г//(х) продифференцируем (2):
О = d (ёиМ = dgt^rf + gt} dgvl + gtg dv[.
dgi.
Вставим здесь выражение dgif=-Q^-dxr и выражения
d^ из (1) и dr} из аналогичного равенства, причем из-
меним индексы суммирования так, чтобы всюду фигури-
ровали лишь dxT, if:
dg
о =-^- %>ifdx' - gj^dx' - gp,rfqr^ dx'.
Отсюда, в силу произвольности полей £, ц, а также
пути L,
да
-^-еЛ+е,^
Обозначая
Fpr, q SIq^pr’
это же равенство записываем в форме
~дхг ~ Гр'"« + Г д'". ₽• (3)
Наложим на величины Г/, (и тем самым на Г/;, t) усло-
вие Г/, = Г*/, т. е. условие симметрии по индексам i, j;
тогда из равенств
d8ik _ р । г
dgjh р I Р
—i/i.ft + bi./.
д8ц
dxk
— Гik. ! + Г/fe, i,
496
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
«.33
___дваУ
дх1' Г дх1
дхк
(4)
складывая два первых соотношения и вычитая третье,
находим, что
r 1 (aSik
Коэффициенты Ги,теперь определены однозначно.
Вместе с ними определены однозначно и коэффициенты
(5)
где ||gfts||, как обычно, есть обратная матрица, по отно-
шению к llgijll. Будем выбирать в дальнейшем коэффи-
циенты Гц, к и ft/ именно по формулам (4), (5). Заме-
тим, что в силу этих формул величины Г,*/, k и Г*,
являются симметричными по i и j. Тем самым обеспечи-
вается построение параллельного переноса вдоль любой
кривой L по формулам (1), переноса, который не будет
изменять скалярного произведения (2). В частности, он
не будет изменять длин векторов (одноконтравариант-
ных тензоров) и углов между ними.
Кроме того, дифференциальное уравнение парал-
лельного переноса (1) — линейное однородное уравне-
ние, так что его решения можно складывать и умножать
на числа, получая снова решения. Отсюда следует, что
если вдоль кривой L параллельно переносится вектор
то вдоль этой кривой параллельно переносится и
вектор C%(t) при любой постоянной С; вместе с векто-
рами £(/) и р(/) параллельно переносится вдоль кри-
вой L и их сумма .£.(/) -f- л (О-
6.33. Коэффициенты Г,-3_ & выражаются через произ-
водные тензора, gif и потому при переходе к новым ко-
ординатам преобразуются не по тензорному закону. Ис-
пользуя формулу 6.26 (4), мы можем написать
Гг/*,*'==Д
г / k i ас
^Pi-Pi'pk’’-^
+ ^pli'i'p*gik + p\-pl't'g^ +
' dSi'k’ , dSt'k'
k dx1' dx1' dxk’ )
дх1 дх1 дхк
dgjk д8ц >
+ iiPri'Pk'gjk + P'i'Pk'i'g/k) -
-iiPi^i'Sii+Prp’rk'gii)'
в.34 § 6.3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО 497
Изменяя индексы суммирования в двух последних сла-
гаемых так, чтобы везде фигурировали величины gik,
находим
Теперь для коэффициентов Г// мы получаем
Г*' = =
* /'/' ® 1 i'f, s'
= PkPSs g^iP^rP^n.r + Pi'i'Ps’gi,^
= WPi'Pp^V, г + =
= Р''РМ'ГТ/ + Ра'Ррг- (0
Формула преобразования, как мы видим, не тензорная:
мешает последний член, содержащий вторые производ-
ные иештрихованных координат по штрихованным.
Впрочем, в случае линейного преобразования координат
этот член исчезает, так что при линейном преобразова-
нии величины Г/j преобразуются, как составляющие
тензора с соответствующими индексами (два раза ко- и
один раз контравариантного) < Вместе с общей форму-
лой (1) будет полезна формула для второй производ-
ной:
Pi'Г = Рк'Гиг ~ Pi'Pffi- (2)
6.34. Абсолютный дифференциал одно-
контравариантного тензора. Пусть вдоль
линии L с Мп задано поле одноконтравариантного тен-
зора £’(0,. Определим его абсолютный дифференциал
D& по формуле
D^d^+^dx1.
В силу 6.32 равенство абсолютного дифференциала
нулю означает, что тензор g» переносится вдоль линии L
параллельно.
Найдем формулу преобразования абсолютного диф-
ференциала при переходе к другим координатам. Мы
498
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.35
имеем по 6.33
D^' = dtf’ + r^g’dxl' = р*' dtf + p^k dxm +
+ (PvPj'Pk^ij + PkPi'j') Pr^Ps dxS =*
= p*' dlk 4- p^ft dxm + b^v^dx^ +
+ PkPrP*Pi'i£r dxS = Pfef (dSfe + Г* g* dx1) 4-
+ (Pkm + PkP^Pl'Pi'}') dxm‘
Скобка во втором члене преобразуется путем замены
вторых производных по формуле 6.33 (2):
Pkm + PkP^'Pi'i^
= РГПт - р'рГГ^, + р'рГрГ (р^, - р*,^) =
= Psrkm - PkP^i'j' + ^s'PkP^I' ~ Ь‘АрП = °»
и в итоге
D^ = p^D^k.
Это равенство означает, что абсолютный дифференциал
одноконтравариантного тензора (в отличие от обычного
дифференциала) также является одноконтравариантным
тензором.
Как следствие -мы получаем такое утверждение: если
одноконтравариантный тензор переносится параллельно
вдоль кривой в одной системе координат, то он перено-
сится вдоль нее параллельно и в любой другой системе
координат.
6.35. Геодезические линии.
а. Определение. Линия L = {хеМп: х' — хЩ),
а t Ь} на многообразии Мп называется геодезиче-
v dx1 f
скои, если единичный касательный вектор -^- = т (s)
переносится вдоль этой линии параллельно.
Из сказанного выше ясно, что определение геодези-
ческой линии есть внутреннее определение, не завися-
щее от системы координат.
б. Поделив уравнение 6.32 (1) на ds и подставив
£fe = Tfe=-jj~, получаем дифференциальное уравнение
геодезических линий:
d2xk ___р* , . dx* dxi
ds2 Ц\х) ds •
6.41 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 499
Отсюда, как в 5.42, получаем основную теорему су-
ществования и единственности геодезических линий:
Теорема. Если коэффициенты Г*/ (х) непрерывны
в точке А е Мп, то через эту точку в каждом направле-
нии (определяемом, например, единичным вектором т)
проходит одна и только одна геодезическая.
в. Далее, как в 5.44, можно повторить построение
(п—1)-мерной поверхности, геодезически параллельной
к данной (и —1)-мерной поверхности Пп-1 cz Мп_ь и
доказать, что она ортогональна к геодезическим, орто-
гонально пересекающим Пп_ь Этот факт, в свою оче-
редь, приводит к экстремальному свойству геодезических
линий: среди всех кривых, соединяющих' достаточно
близкие точки многообразия Мп, геодезическая имеет
наименьшую длину.
г. Для двумерного риманова многообразия М2 мож-
но повторить определение формальной кривизны из
5.33 а:
дГ^
дх2
^ + 2(Г"Г*2-Г‘2Г31)
S=I
8k2
8l 1Й22 — 81 2
и так же, как в 5.63, установить ее связь с параллель-
ным обнесением вектора по замкнутому контуру. Далее,
как в 5.51, можно установить также локальную изоме-
трию многообразия М2 постоянной кривизны и соответ-
ствующей канонической поверхности (плоскости, сферы,
псевдосферы). Мы имеем в виду в дальнейшем (§§ 6.5,
6.6) обобщить соответствующие определения и построе-
ния на п-мерный случай. Но удобнее будет рассмотреть
вначале геометрию более общего пространства — про-
странства с аффинной связностью.
§ 6.4. Пространство с аффинной связностью
6.41. а. Пусть Мп есть элементарное дифференцируе-
мое многообразие размерности п и класса N.
Мы снова хотим определить параллельный перенос
одноконтравариантного тензора § вдоль дифференци-
руемой линии L = {х е Мп: xi = %’(/), а t Ь} как
500
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.41
решение уравнения
^ = -Г?/(хЦ/(/х/. (1)
Но на этот раз в пространстве Мп не задан метрический
тензор gij, поэтому коэффициенты Г*/(х) можно подчи-
нить единственному условию — чтобы результат парал-
лельного переноса не зависел от выбора системы коор-
динат. Это заставляет предъявить такие требования,
к закону преобразования величин Гц, которые обеспе-
чивают тензорный характер результата параллельного
переноса. При наличии римановой метрики, когда Г?/
определяются однозначно условием сохранения скаляр-
ного произведения параллельно Переносимых векторов и
симметрии по i и /, мы получили в 6.33 формулу преоб-
разования
+рГр!- j- (2)
и уже из нее, не обращаясь более к метрике, вывели
тензорный характер результата параллельного переноса.
Можно ожидать, что условие (2) является не только до-
статочным, но и необходимым условием тензорного
свойства параллельного переноса. Проверим это вы-
кладкой. -Пусть известно, что решение уравнения (1)
при любых начальных данных Ё,*(Л) имеет тензорный
характер. Тогда в новой системе координат х1', .... хп'
мы имеем,, с одной стороны,
dt* — — dxi — _ r*fp‘,pfr^' dxi',
с другой сторойы
dt*=d (p*£*')=dp*,I*+p*, dt,*’=
= - Р^Гц#' dxi' = tj' dxi'.
Сравнивая обе части равенства и учитывая, что ре-
зультаты должны быть справедливы при любых g' и
dx!', находим
Pi'PK = PvrH/' - Pl(3)
или, что то же,
Л'т = Pi'Pj'Pk^i + PkPi'j'» (4)
что и требовалось.
6.41 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 501
Числа Гц(х), заданные в каждой системе коор-
динат и удовлетворяющие правилу перехода (2), назы-
ваются коэффициентами аффинной связности многооб-
разия Мп.
б. Два многообразия Мп и Мп с коэффициентами
аффинной связности Г|/ и F// называются аффинно
эквивалентными, если можно ввести на Мп и Мп (до-
пустимые) координаты так, что коэффициенты Г?/ и Гц
будут одинаковыми функциями от координат как на Мп,
так и на Мп.
в. Коэффициенты Г?/(х) можно в некоторой си-
стеме координат задать произвольно, а в любой другой
системе координат определить по формулам (2)<
Корректность такого определения (иными словами, со-
хранение формул типа (2) при выполнении двух после-
довательных переходов к новым 'координатам) следует
из тензорного характера результата параллельного пе-
реноса и доказанной единственности коэффициентов
Гц при данном параллельном переносе.
г. Связность Г = {г|/ (х)} на многообразии Мп
называется симметричной, если
Г//(х)ззГ/г(х)
в любой системе координат. Но достаточно требовать
выполнения этих равенств в какой-либо одной системе
координат, потому что в любой другой системе коорди-
нат эти равенства будут тогда выполняться автомати-
чески в силу формул (2). Вообще говоря, связность Г
не обязана быть симметричной, хотя бы на том основа-
нии, что мы можем задать коэффициенты Гц (х) в одной
системе координат произвольно и, в частности, с нару-
шением симметрии. В общем случае разность
S^(x) = r^(x)-r^(x)
мы будем называть кручением связности Гц. Вели-
чины Sij образуют уже тензор, так как
Йт-г?т - г*т -44<(г« - П<) +
+ р!’ (рЕт - р?т) - рЕр(р!'хЕг
502 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.42
Если S?/ = 0, т. е. связность Г симметрична, мы будем
также говорить, что связность Г не имеет кручения.
О геометрическом значении, кручения мы будем гово-
рить далее, в 6.45. Очевидно, что многообразие Мп с аф-
финной связностью без кручения не эквивалентно мно-
гообразию Мй, у которого аффинная связность обла-
дает ненулевым кручением.
д. Если на многообразии Мп имеется риманова ме-
трика gij(x) и аффинная связность строится по форму-
лам 6.32 (4), (5):
рЧ rtksv _____ * <rfes ( । dgV
r„-g r„,.-Tg r+ —rj,
то эта связность называется римановой.
Но аффинная связность мржет существовать и без
римановой метрики. Так, риманова связность всегда
симметрична по нижним индексам (Г?/(х) = Г|/(х)),
а произвольная связность, как мы видели, вовсе не обя-
зана быть симметричной.
6.42. а. В пространстве аффинной связности уже
нельзя говорить о сохранении скалярного произведения
векторов при параллельном перенесении. Но линейные
свойства переносимых векторов сохраняются: если имеет
место равенство
Е,(А) = аг](Л)4-К(А),
то и после параллельного переноса всех трех векторов
g, т), $ по любой кривой L, проходящей через точку А,
будет иметь место аналогичное равенство
Этот факт непосредственно следует из линейности урав-
нения параллельного переноса 6.32 (1).
Как следствие получаем, что линейно независимые
векторы g, т), ... после параллельного переноса остают-
ся линейно независимыми.
б. В пространстве с аффинной связностью нельзя го-
ворить и о сохранении длины вектора при параллельном
переносе. В противоположность тому, что имело место
в римановом пространстве, в пространстве с аффинной
связностью у точки А может существовать сколь угодно
6.43
§ 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ
503
малая окрестность, в пределах которой в результате па-
раллельного переноса составляющие вектора £ могут
стать произвольно большими (см. задачу 5). Можно ут-
верждать лишь следующее: если в качестве параметра
на кривой L взять величину s такую, что | ds |
Cmax|dxJ| (например, «формальную дугу», опреде-
/
п
ленную условием ds2 = У (dx1)2), то в пределах участ-
f=i
ка 0 s h, где h — фиксированное число, состав-
ляющие параллельно переносимого вектора g будут
ограничены величиной, не зависящей от выбора дуги L,
а зависящей только от h. Для доказательства положим
о=2 (£ft)2, так что
fc=i
п п
dc = 2^lkde = -2 2
k=l i, j, fc=l
Тогда, считая, что величины | Гц(х)| ограничены по-
стоянной С1г получаем
п 1 п
£ г?/ (х) -g- < С- 2 I Г</ (х) | < пС.С"1 = С2,
н /=1
п п
i. fc=l I, А=1
и, следовательно,
| do [ ds, C3 = пС%,
или
|^-1<С3.
I ds I d
Отсюда
a ^oeCsS < OdeCih> <*o = 2 M)]2, (1)
i=i
откуда и следует утверждение.
6.43. Рассмотрим риманову связность евклидова ли-
нейного пространства Мп == Rn. В этом пространстве су-
ществует система координат, в которой метрическая
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.43
504
форма имеет вид (dx1)2-)- ... -(-(dx”)2, так что все коэф-
фициенты ёц(х) постоянны (нули и единицы) и, следо-
вательно, все коэффициенты связности Г// (х) равны 0.
В других системах координат коэффициенты Г^-(х) бу-
дут, вообще говоря, отличными от 0 (напомним, что за-
кон преобразования Г*/— не тензорный). Однако и
в других системах координат евклидова пространства Rn
сохранится нечто специфическое, не выполняющееся
в аффинно не эквивалентных ему многообразиях^ Во-
первых, коэффициенты Г?/ (х) будут симметричными по
нижним индексам, как и при любой римановой связ-
ности. Во-вторых, будет выполнено следующее свойство,
называемое абсолютным параллелизмом: результат па-
раллельного переноса вектора £ не зависит от пути,
а лишь от начала и конца; или, иначе говоря, при па-
раллельном обносе по замкнутому контуру вектор £ воз-
вращается в исходное положение. Действительно, в си-
стеме координат, где Г//(х) = 0, это следует из опреде-
ления параллельного переноса как решения системы
уравнений
d^^-^j^dx1,
сводящейся в этой системе координат к виду
^ = 0
и имеющей решение
£fe = const;
последнее и означает, что при параллельном переносе
координаты вектора не меняются. В любой другой си-
стеме координат приведенное утверждение выполняется
в силу абсолютного характера параллельного переноса:
если в одной какой-нибудь системе координат вектор
после параллельного обноса по замкнутому контуру
возвращается в исходное положение, то и в остальных
системах координат будет то же явление.
Покажем, что этими свойствами связности обладает
только евклидово пространство:
Теорема. Если аффинная связность Г// (х) в п-
мерном многообразии Мп гладкости N симметрична,
N — 2 раза дифференцируема и приводит к абсолют-
6.43
§ 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ связностью
505
ному параллелизму, то многообразие Мп аффинно экви-
валентно евклидову пространству Rn.
Доказательство. Мы найдем такую новую си-
стему координат х1', х*' в пространстве Мп, в ко-
торой Гг/'(х) = 0.
Выберем базис еь ..., еп касательного простран-
ства в фиксированной точке А е Мп и перенесем эти
векторы параллельно в другую точку В е Мп. Резуль-
таты будут определены однозначно в силу предположе-
ния о наличии абсолютного параллелизма и будут об-
разовывать базис в касательной плоскости в точке В,
так как параллельный перенос не нарушает линейной
независимости (6.42). Обозначим составляющие полу-
чающихся векторов (в исходной системе координат) че-
рез (х1, ..., х"), /71=1, п. Таким образом-,
m
dlk = -rkll(x)ll(x)dxi,
m m
или, что то же,
^7=^Г?/(х)^(х). (1)
ox7 m
Новую систему координат х1', ..., х"' мы построим
следующим путем. Сначала рассмотрим систему диф-
ференциальных уравнений
-К- = (**......Хп) (k, s' = 1, ..., n), (2)
OX S
где x1', ..., xn' — пока что формальные независимые
переменные. Мы покажем, что эта система при началь-
ных условиях
х*(Л) = 0 (6 = 1....п) (3)
однозначно разрешима, так что в некоторой окрестно-
сти начала координат пространства (х1', ..., хп) опреде-
лены функции
х1 = ф1 (xv, ..., х"'), •.., х" = ф" (х1', ..., х“'), (4)
удовлетворяющие системе (2) и условиям (3). Мы уви-
дим, что выполняется неравенство det
то,<да
506
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.43
в окрестности точки А уравнения (4) можно будет об-
ратить:
х1' = ф1 (х1...х”),
хп' = ф"(х1, ..х"),
и, таким образом, каждой точке (х1, ..., х") в окрест-
ности точки А поставить в соответствие числа
х1', ...» хп'; теперь, в силу сказанного, эти числа могут
быть приняты за новые координаты.
Приступая к выполнению этого плана, начнем с про-
верки однозначной разрешимости задачи (2)—(3). Для
этого достаточно проверить выполнение условия теоремы
Фробениуса 2.55, которое в данном случае имеет вид
dt? dt?
(k,r,s=\........п). (5)
дхр г дхр s
Но в силу (1),
dt? dt?
s _____ __ p& ^i^P r ______t^tP
&XP ъ 1 ips fe » fixp fe — 1 ips s >
а так как Г/р = Гр,, то
S г s r s г
и условие (5), таким образом, выполнено.
Итак, существует система функций хк — хк (х£, . .
.... х"'), удовлетворяющая уравнениям (2) и началь-
ному условию (3). Эти функции имеют гладкость на
единицу более высокую, чем функции £*(х‘.......х"),
S
и, значит, на две единицы выше гладкости функций
Г//(х); иными словами, функции xfe(x1'.....х”) диф-
il дх II
= det || (х) || 0, и тем самым доказано, что величины
S
х1', ..., х”', во всяком случае локально, могут служить
новыми координатами на многообразии М. В новых
6.44 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 507
координатах имеем
tfc' — nfe'tfe____ ?k__ __f>k',
? ~Pkl ~ dxk I ~ dxk dZ S’
s
т. е. параллельно перенесенные векторы являются
базисными. Условие параллельного переноса имеет вид
d^^-TT'pfdx1'.
S S
как lk' = 6s', то мы получаем.
r^rdxr = 0,
силу произвольности dx1'
г'/^о,
Так
и в
что
и требовалось.
6.44. Геодезические линии многообразия
с аффинной связностью.
а. Определение геодезической линии, принятое нами
в римановом пространстве, переносится на случай про-
странства аффинной связности в следующей формули-
ровке: геодезическая линия есть кривая, для которой ка-
сательный вектор после параллельного переноса в лю-
бую точку остается касательным.
Это определение является, очевидно, внутренним.
Рассмотрим геодезическую линию L={x е Мп; х*=
= х‘(1), а t Ь}, исходящую из точки А. Пусть
i dx1 (a)
а ~ —dt— И * — результат параллельного переноса
вектора а’ вдоль кривой L в точку, отвечающую значе-
нию t. Тогда
где А(/)—некоторый числовой множитель. Введем на
линии L новый параметр т так, чтобы dt = X(t)dr,
т(Л)= 0; после перехода к параметру т будем иметь
® ' ’ dt '
т. е. для кривой L, параметризованной посредством т,
„ dx1 (т)
уже касательный вектор —переносится парал-
508
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
в.44
лельно. Параметр т назовем каноническим параметром.
' dx^
на геодезической L. Подставляя в уравнение
параллельного переноса и деля на dr, получаем канони-
ческое уравнение геодезической линии-.
d2xk „k i ч dx1 dx>
— — (fe = l, .... n). (1)
б. Теперь мы можем обобщить на многообразия
с аффинной связностью теорему о существовании и
единственности геодезических линий:
Теорема. В пространстве Мп с аффинной связно-
стью, коэффициенты которой Г//(х) непрерывны, через
каждую точку А в любом направлении проходит одна и
только одна геодезическая.
Доказательство. Фиксируем точку А и выходя-
щее из нее направление, которое в данной системе ко-
ординат задается вектором Ь*. Решаем систему уравне-
ний (1) при начальных условиях х*(0) — х{ (Л),
= Утверждается, что набору функций х* = хг(т),
полученных при решении, соответствует на Мп геодези-
ческая линия. Действительно, вектор касательный
к этой линии, в силу уравнений (1) параллельно пере-
носится вдоль пее, а это и означает, что данная ли-
ния — геодезическая.
Допустим, что имеется другая геодезическая Г, про-
ходящая через точку А в том же направлении, со своим
каноническим параметром т. Для нее удовлетворяется
уравнение (1) с начальными условиями
х<(0) = х'(Л), = (2)
Но из решения х’(т), имеющегося у нас, можно полу-
чить очевидным образом и некоторое решение хг'(т),
удовлетворяющее условиям (2), по формуле хг(т) =
= х* (Ат). В силу теоремы единственности имеем ж‘ (т) =
е=х! (т) х*(Ат); таким образом, кривая, отвечающая
уравнению хг = х’(т), есть та же кривая L.
6.45 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 509
6.45. Геометрический смысл кручения
аффинной связности. Пусть Мп — многообразие
с аффинной связностью Г//(х), имеющее, вообще говоря,
ненулевое кручение 5кц—Гц — Гу/. Из фиксированной
точки А выпустим две геодезические £6 и по направ-
лениям, определенным линейно независимыми векто-
рами g = {£*} и т] — {тр} (рис. 6.4-1).
Пусть т — канонический параметр на геодезической
dx^ (Л)
£6 такой, что —и ®— канонический параметр
— „ , „ dx‘ (A) t .
на геодезической такой, что —— — р. Из точки А
вектор т] перенесем параллельно вдоль геодезической
до точки В, определяемой некоторым значением пара-
метра т =-р > 0; результат обозначим через fj. Из
точки В по направлению этого вектора fj выпустим гео-
дезическую £fj. Аналогично, вектор £ из точки А пере-
несем параллельно вдоль геодезической £л до точки D,
определенной тем же значением параметра 6 == р, и по
направлению полученного вектора | выпустим геодези-
ческую £j. На геодезической £^ введем аналогично ка-
нонический параметр 0, на геодезической £g— канони-
ческий параметр т так, чтобы иметь
di
dxl(D) ~ dx1 (В)
----------81 -”’1-
510
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.45
Наконец, найдем на геодезической Lfj точку С, опреде-
ляемую значением 0 = р, и на геодезической точ-
ку Е, определяемую значением т = р.
Если бы это построение мы проводили в линейном
пространстве Еп (с нулевой связностью), то получился
бы параллелограмм и точки С и Е совпали бы. В общем
случае (Г^ =/= 6) они окажутся различными; оценим их
отклонение друг от друга.
Приращение координаты xh вдоль любой геодезиче-
ской линии можно написать в форме
»4^T2+o(t2)=
дт 1 2 дт2 1 ' 1
==-^т-4г«7-¥--?-т2+о(г2)‘ о)
дг 2 ' дт дт 1 ' ' ' '
где т — канонический параметр, а значения производных
и коэффициентов Г*/ берутся в начальной точке.
В частности, при переходе из точки А в точку В
имеем
Ддв (xk) = | ^'Р2 + 0 <Р2)’ <2)
а при переходе из точки В в точку С
Две (xfe) = П*Р - 4 № nW + о (Р2). (3)
Здесь fj есть результат параллельного переноса век-
тора тр
= T)fe — (Л) т]‘ dx1 + о (dx1). (4)
Поскольку вычисление ведется с точностью до малых
второго порядка, а при подстановке (4) в (3) предстоит
еще умножение на р, мы можем в (4) ограничиться
малыми первого порядка и, в частности, заменить dx1
величиной ДлвлЛ которая в силу (2) равна ^р с точ-
ностью до малых второго порядка. Кроме того, в фор-
муле (3) можно взять вместо Г^. (В) и значения (Д)
и т]г. В результате получаем
лвсхй = П*Р — П/^Р2 — у Г/уП^'Р2 + ° (Р2)- (5)
6.46 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 511
Общее же приращение координаты хк на пути АВС
будет иметь вид
^ABCxk — ^ABxk + ^всхк —
= W+nfe) р-I* ПД W-y Г*,т] W + о (p2). (6)
Аналогичный результат для приращения координаты хк
на пути ADE получается заменой координат § на коор-
динаты 4:
^ADExk ~ ^ADxk + ^DExk ~
=(nfc+gft) P-Г*,?W-4r?Xn'p2-4 r^g'p2 + o (p2). (7)
Отсюда видно, что разность координат хк в точках С
и Е равна
хк (Е) - xk (С) = I* - М Р2 + о (Р2) =
= (П/ “ Гд) ^Р2 + 0 <Р2) = Sij^lP2 + ° <Р2)
и определяется в главной части тензором кручения Skj (А).
6.46. Параллельный перенос любого тен-
зора.
а. Параллельный перенос одноконтравариантного
тензора U’} из точки А по кривой L = {x^Mn'. х* =
— хЦГ), а t Ь} определяется, как мы знаем, урав-
нением
dlk^-V^x)tkdxi (1)
с известными значениями £’(А).
Пусть теперь дан одноковариантный тензор {ip (Л)}.
Определим параллельный перенос его по той же кри-
вой L из условия, чтобы инвариант |ft(x)i]ft(x) при лю-
бом {£*} оставался постоянным. Это требование озна-
чает, что = 0, или
= (2)
Подставляя dch из уравнения (1), находим (заменяя
в первом слагаемом индекс суммирования k на i), что
V dt\t — ГЙД1’ dx^k = О,
612 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ в.4в
и, так как равенство выполняется для любого век-
тора
dt}t = r^kdxi. (3)
Это уравнение при начальном условии ip = т),-(Л) по-
зволяет найти »],(х) в любой точке линии L (в окрест-
ности точки Л).
Обратно, если функции тр(х) определяются из урав-
нения (3), то выполняется и уравнение (2), откуда сле-
дует сохранение величины так что выпол-
няется поставленное нами условие параллельного пере-
носа.
Покажем, наконец, что получающийся в каждой си-
стеме координат набор величии ip(x) имеет тензорный
характер. По условию величины тр (Л) образуют тензор,
и поэтому величину ^(Л)т]Л(Л) не меняется при пере-
ходе к любой другой системе координат. По доказан-
ному, она не меняется и вдоль кривой L, так что в точ-
ках кривой L величина ?ft(x)i]h(x) также не зависит от
системы координат. Но тогда, решая систему линейных
уравнений
6*(х)п»(х)=г*И)ъ(Л),
1 1
п п
с п линейно независимыми тензорами ^(х).....|*(х),
1 п
мы получаем в качестве решения {iji(x), ..., i)n(x)} од-
ноковариантный тензор (6.14 в), что и требуется.
б. Мы могли бы начать с определения параллельного
переноса одноковариантного тензора тр по формуле (3)
и определить параллельный перенос одноконтравариант-
ного тензора из условия сохранения инварианта g’ip.
Тогда для параллельного переноса тензора получи-
лась бы, конечно, формула (1).
в. Теперь аналогичным способом определим парал-
лельный перенос вдоль кривой L любого тензора Т.
Пусть для определенности тензор Т определяется со-
ставляющими Т*/, т. е. имеет два ковариантных и один
контравариантиый индекс. Тогда, беря два одноконтра-
вариантных тензора тр и один одноковариантный
6Лв S 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 5J3
тензор мы сможем составить инвариант
Определим параллельный перенос тензора Гг/ усло-
вием постоянства этого инварианта, что приводит к ра-
венству d(7’*gfiygfe) = O, или
+ Т^1 - dxj • + T^ld^O.
Подставляя выражение для дифференциалов dg’; dtp,
dgft из соответствующих формул параллельного пере-
носа одноконтравариантных и одноковариантных тензо-
ров (1) и (3), получаем
- TV'9gP dx«rftk - T^r^xf dx^h +
+rU^4£,^==:0-
Изменяем индексы суммирования так, чтобы везде
стояли члены g1^^; тогда, в силу их произвольности,
они могут быть отброшены, и мы приходим к соотно-
шениям
dlif = (ГМ + r^s - I* Г?/) dxQ. (4)
Аналогично, для тензора любого строения Г*1*₽
^:::ьг₽=(г;19т^::.ьр +...
—Г5'Л*2..7«*₽ — ••• ~^^,\"‘**"**)**’• <5)
Структура слагаемых получающегося выражения та-
кова. Число слагаемых равно общему числу индексов
тензора Т. В каждом из этих слагаемых второй нижний
индекс у Г один и тот же, q, совпадающий с индексом
у множителя dx*. У тензора Т все его индексы таковы
же, каковы они в левой части, за исключением одного,
который заменен на индекс суммирования s, и соответ-
ственный индекс суммирования стоит у символа Г — или
сверху, если индекс s — нижний индекс у Т, или на пер-
вом месте' внизу, если индекс s — верхний индекс у Т.
А тот свободный индекс, который заменен на s, ставится
на соответствующее — единственное свободное — место
у символа Г.
И’ обратно, если параллельный перенос тензора
Tq (А) определяется формулой (4), то выполняется, и
514
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.46
равенство ^(Г<Д,т1/£А) = 0, так что величина Tyg1»/?* не
меняется вдоль кривой L при параллельном переносе
гН, U-
При этом мы получаем поле величины Tf/(x), тен-
зорный характер которой проверяется, например, так:
поскольку величина не меняется вдоль кри-
вой L в любой системе координат, мы имеем
И=т*у (х) рЭД*, =л:г (Л) =
и так как |f, т/, & могут быть взяты произвольно, то
Т^(х)р‘,рГр1 = Т^х),
что и требуется.
г. Предыдущее определение непригодно для тензора
нулевого ранга, т. е. числа Т, заданного в точке Л и не
зависящего от системы координат. Мы определяем ре-
зультат его параллельного переноса в любую точку
В е Мп как то же самое число Т, заданное в точке В
в любой системе координат.
д. Будем говорить, что тензорное поле Т(х), задан-
ное на линии L сд Мп, инвариантно относительно парал-
лельного переноса вдоль этой линии, если для любой
точки Л £ L результат Т(х) параллельного переноса
тензора Т(Л) в любую точку xeL совпадает с Т’(х).
Если поле Т’(х) задано на всем многообразии Мп и ин-
вариантно относительно параллельного переноса вдоль
любой линии L, будем говорить, что поле 7'(х) инвари-
антно относительно параллельного переноса на всем Мп.
Простейшим примером поля, инвариантного относи-
тельно параллельного переноса на Мп, служит поле по-
стоянной Т — тензора нулевого ранга.
Другим примером является поле смешанного тен-
зора 6? (х), составляющие которого в любой системе ко-
ординат в любой точке х е Мп равны 0 при i =/= / и
1 при i = /. Действительно, по в мы имеем
dbl (х) = (Г1Х - Г1вб1) dxq = (Г{9 - Г{д) dxe = О,
откуда и следует требуемое.
в.47 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 515
е. Докажем теперь, что в римановом пространстве
Мп метрический тензор gy инвариантен относительно
параллельного переноса по всему Мп. Обозначим через
ifa(x) результат параллельного переноса тензора gy(A)
по некоторой линии L. Согласно определению в для лю-
бой пары параллельно переносимых векторов g(x) и
т] (х) мы должны иметь
gil(x)li(x)Til(x) = const.
Но по определению параллельного переноса в римано-
вом пространстве этим свойством обладает сам тензор
gn(x) (6.32). Отсюда мы имеем gi,(х) s= gn(х). Можно
подтвердить этот факт и прямой выкладкой. По фор-
муле (4) имеем
= / + гй. a dx9 = -^- dx9 = dgl},
откуда следует, что величины §п(х), совпадающие
с gij(x) при х = А, совпадают с вц(х) и при любом
хе Мп.
ж. Поле дважды контравариантного метрического
тензора gik(x), определяемого системой уравнений
6.16 (2)
ёц{х)^к(х) = 1>к, (6)
также инвариантно относительно параллельного пере-
носа по Мп, что следует непосредственно из инвариант-
ности полей gtj(x) и б* и единственности решения си-
стемы (6).
6.47. Абсолютное дифференцирование.
Пусть на многообразии Мп с аффинной связностью
Гг/(х) имеется произвольное (дифференцируемое) тен-
зорное поле Т(х), Для простоты будем считать тензор
Т(х) один раз контра- и один раз ковариантным; нали-
чие других верхних и нижних индексов лишь удлинит
выкладку, не меняя ее сути.
а. Определим абсолютный дифференциал тензора
Ti (х), вычитая из его обычного дифференциала на
пути dx4 результат параллельного переноса по этому
616
ГЛ, 6. РИМАНОЙА ГЕОМЕТРИЯ
6.47
пути:
DTi (х) = dTkt - (Vl,Tka - Г*Л) dx".
Таким образом, равенство DT/(x) = 0 вдоль некоторой
линии L равносильно условию параллельного перене-
сения тензора Т*(х) вдоль этой линии.
Для 1тензора любого строения абсолютный
дифференциал определяется аналогично:
ЛТ*1 •• kP — •" kP_(vs ips -rkl kp _
itq sli...lr •" ifq ...
__ ••• &p _ dx^
Теорема. Абсолютный дифференциал тензора
есть тензор того строения, что и сам тензор
* * • ^р
Доказательство будем вести для простоты для тен-
зора вида Тк. Преобразуем выражение DTk, ийтольЗуя
формулу 6.14(3)
и ее же с заменой штрихованных индексов на нештри-
хованные:
Piq + PiP'l^'r^^qPk-
Мы получаем
DTc == dTr - (Ti-q'T,’ - rk'q'T‘f)dxQ' =
= d (plirpk'Tk) ~ dxqr =
= plt,pk; dT* + p'z9,p’' dx^Tk + p'.p^; dx«Tk -
- p' л« =.
-pw +(p!v - r?z) рда -v
+(p.*;+r?Zp?)₽w^=
-РЛ « - 4tT‘dx’ + r‘„T*dx«) DTi,
что и требуется.
6.51
$ 6.5. КРИВИЗНА
617
б. Абсолютный дифференциал Т* можно записать
также в виде
DTl=^dxv, (1)
где выражение
V Л “ ~д^ - GW - Г*Л) (2)
называется абсолютной или ковариантной производной
тензорного поля Tkt (х) по координате Xя. Как решение
тензорного уравнения (1), величины Ver? снова обра-
зуют тензор, имеющий на один ковариантный индекс (q)
больше, чем сам тензор Ti. Стоит вспомнить в связи
со сказанным, что обычные производные тензорного
drt
поля, т. е. величины , ие составляют тензора (6.26).
в. В риманбвом пространстве наряду с ковариант-
ной производной рассматривают также и контравари-
антную производную:
(3)
Здесь gr4 есть дважды контравариантный метрический
тензор (6.16). Контравариантная производная тензора Т
есть тензор, имеющий на один контравариантный ин-
декс больше, чем сам тензор Т.
§ 6.5. Кривизна
6.51. Коммутатор двух ди фференци р о в а-
н и й. Пусть в пространстве Мп с аффинной связностью
Гц выделена двумерная поверхность Р = {хе х’=
= x’(«, v), (и, :')ебс/?2}, содержащая точку А —
= А (и0, v0). Обозначим через d (обычный) дифферен-
циал какого-либо тензорного поля Т(х) в направлении
линии и (на которой координата v постоянна):
дТ . дТ дх* .
аТ = — du =--------—du,
ди dxi ди.
и через d аналогичный дифференциал вдоль линии щ
дТ . дТ дх*
dT —— dv =—г-------dv.
dv дх* dv
518
ГЛ, 6, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.51
Дифференциалы d и Я коммутируют, так как
s W=i Саг *')=таг 40 <'“•
Обозначим теперь через D и D соответствующие аб-
солютные дифференциалы. Оказывается, что они,
вообще говоря, не коммутируют; вычислим их коммута-
тор DD — DD в применении к векторному полю | =.
= (•*)}• Согласно определению 6.34
Ь = D № + rUfe dx1) .=
= d + rU* dx1) + rlpl(dlp + dx^dx1 =
= d U9 + dx‘lk dx1 + rL di,k dx1 + rLgfed (dx1) +
+1^/ dtf dx* + it/rU* dx1 dx*.
Выражение Z>(jDgz) получается при замене в получен-
ном выражении d на Я и обратно. Если теперь вычесть
£>(£»£*) из D(Dg) и использовать коммутативность сим-
волов d и Я, то мы получим
(DD — DD)^1 —
- №гг—Ы+(«л - rtA) 8*4'' s*‘ -
\ дх1 дх1 /
- (тт - + r£‘ri< - Г«Г^ 8* dx‘ix'- <»
\ dxJ дх1 /
Используя обозначение
R\i. k = - -§ + TpktrlPf - rpk]rlpi, (2)
равенство (1) можно переписать в виде
(DD-DD^^R^d^dx1. (3)
В формуле (3) слева стоит одноконтравариантный тен-
зор (как результат абсолютных дифференцирований
одноконтравариантного тензора). Справа выражения £кг
6.52
§ 6,5. КРИВИЗНА
513
dx1, Sxi имеют тензорный характер (одноконтравариант-
ные тензоры). Они могут быть взяты произвольно, так
как выбор вектора е Тп (х) и координат и, v в на-
шей власти. Поэтому в силу 6.14 г величина Rltj к яв-
ляется тензором, трижды ковариантным и один раз кон-
травариантным. Из формул (2) видно, что этот тензор
антисимметричен по индексам I и /:
Тензор R — R1^ k называется тензором кривизны про-
странства Мп с аффинной связностью Г?/.
6.52. Кривизна' и абсолютный паралле-
лизм. Допустим, что. в пространстве Afn связность Г
порождает абсолютный параллелизм (6.43). Тогда, имея
в данной точке А вектор мы можем построить в ок-
рестности точки А векторное поле £,(х), однозначно оп-
ределенное параллельным переносом вектора |. Если
теперь при построении тензора R использовать в каче-
стве поля g(x) именно это поле, полученное параллель-
ным перенесением вектора то, поскольку абсолютный
дифференциал параллельно переносимого вектора есть
нуль, мы получим — О, — 0, и, следовательно,
левая часть равенства 6.51 (3) равна нулю:
R\} hlk dx1 dx! — 0. (1)
Поскольку Jjft, dx1,. Sxi выбираются произвольно, это
означает, что
Итак, кривизна пространства Мп с абсолютным парал-
лелизмом равна 0.
Покажем, что верно и обратное. Пусть известно, что
кривизна пространства Afn с некоторой аффинной связ-
ностью Г?/ тождественно равна нулю. Рассмотрим се-
мейство гладких кривых, соединяющих две данные точ-
ки Л и В; каждая отдельная кривая этого семейства оп-
ределяется фиксированным значением параметра т, меня-
ющегося от 0 до 1, а ее точки определяются значением
620
ГЛ. 6.. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.58
параметра t, изменяющегося также от 0 до 1:
х1*=х1(1, т),
х (0, т) = Л, х(1, т) = В.
Рассмотрим в точке А вектор g и покажем, что резуль-
тат параллельного переноса его в точку В по кривой
x=x(t, т) (0 t 1) не зависит от значения т е [0,1].
Обозначим через D абсолютный дифференциал вдоль
кривых семейства (т. е.. по t при фиксированном т) и
через D — абсолютный дифференциал по т при фикси-
рованном t. Так как по условию вектор g переносится
паралледыю, то Pg = 0. Из условия R ж 0 теперь сле-
дует, что
DDg = 0,
так что и вектор Pg параллельно переносится вдоль
каждой кривой семейства. Но при t = 0 вектор g —
= g(0, т) и точка х = х(0, т) = А фактически не зави-
сит от т, поэтому при t = 0
Pg* = dg* - It/g* (0, т) 4т- dr = 0.
Значит, вектор Pg(l, т), как результат параллельного
переноса, тоже равен нулю. С другой стороны,
Pg*(l, т)=dg*(l, t) + T?/(l, т)£ldx'(l, т),
и так как в данном случае dxi = 0; то из Pg*(l, т) = 0
следует dg(l, т) = 0, т. е. вектор g(l, т) не зависит от т.
Мы доказали следующую теорему:
Теорема. Пространство Мп с аффинной связно-
стью тогда и только тогда обладает абсолютным парал-
лелизмом, когда его кривизна равна 0.
Используя 6.43, мы можем высказать новый крите-
рий того, что аффинная связность в пространстве Мп
эквивалентна римановой связности евклидова простран-
ства:
Теорема. Пространство Мп с аффинной, связностью
тогда и только тогда аффинно эквивалентно п-мерному
евклидову пространству, когда его кривизна и его кру-
чение тождественно равны®.
6.53
§ 6.5. КРИВИЗНА
521
Существуют пространства с аффинной связностью*
у которых при нулевом кручении имеется ненулевая
кривизна и наоборот.
Примером пространства с нулевым кручением и не-
нулевой кривизной служит любое риманово простран-
ство (или поверхность). не изометричное евклидову про-
странству. Пример пространства с нулевой кривизной и
ненулевым кручением строится сложнее (см. задачу 4).
6.53. Изменение координат вектора при
обнесении его по замкнутому контуру.
а. Пусть в пространстве Мп с дважды дифференци-
руемой аффинной связностью Г(х) выделена двумерная
поверхность Р без особых точек:
х =.х(и, v) е Мп, (и, ti)e Gc /?2-
Будем переносить некоторый вектор g параллельно по
кривым L, проходящим на поверхности Р через фикси-
рованную 1очку А и таким, у которых формальная дли-
на s, получающаяся интегрированием вдоль кривой L
выражения ds — У du2 + dv2, остается меньшей некото-
рой постоянной h (формальная длина не имеет абсо-
лютного смысла, но мы сейчас действуем в фиксирован-
ной системе координат). Все эти кривые находятся на
поверхности Р в окрестности U точки А, выделяемой не-
равенствами | и — и (Д) | < h, | v — v (Д) | < h. На любом
таком пути L координаты x'(s) удовлетворяют неравен-
ствам
неравенства
/ дх1 I | дх1 I \ »
I -gg-1, 1. Отсюда для приращении
считая от точки А, где s — 0) получаются
где С — max
координат х
| ДХ*(s) | = | х‘ (s) - х1 (0) |<2C{s<2С|й. (2)
Коэффициенты Г</(х) на этом же пути L удовлетво-
ряют неравенствам
|Г?/(х)|<С,. (3)
522
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
или более точным
I Ги (s) - (0) | < C3s < СзЛ, (4)
или еще более точным
jspfe /л\
Г*/ (s) - Г?/ (0)--\хт < С^, (5)
где константа С3 оценивается через первые, а константа
С4 через вторые производные функций Г*/(х) в окрест-
ности U. Составляющие вектора g(s), результата парал-
лельного перенесения вектора удовлетворяют нера-
венству, вытекающему из 6.42 (1):
1^)Кс5нм5|/ (6)
откуда, используя (3), находим, что
|^j=|^d/|<C6|g|dS, (7)
и, следовательно,
I Agftl=l gftl<C6|g|s<C6| |\h. (8)
Наконец, мы утверждаем, что верно неравенство
S
Z(a)^ J r?/(x)g,(x)-^-</s-r?/(O)gtAx/ <C7s2|g|.
(9)
0
/(s)^
s
Действительно, Дх7 = J dx1, и поэтому
о
/ Гц (х) V (х) dx' - J rh (0) £ dx1 =
о о
s
= f [rh(x)B,W-rh(O)g,]rfx/ =
0
s
- J {[Г?/ (X) - rh (0)] Г’ (x) + rh (0) [r (x) - d} dx' .
0
в.бЗ
§ 6.5. КРИВИЗНА
623
Вместе с оценками (4), (6), (3) и (8) это и приводит
к требуемому неравенству
/(«)</ (C3sC51 g 1 + C2C6II k)l dx' |<C| g |s2.
о
б. Пусть теперь LeP — замкнутый йуть формаль-
ной длины h, возвращающийся в точку А. Будем об-
носить вектор g = {g'J, взятый произвольно в точке А,
по пути L. В пространстве Мп без абсолютного паралле-
лизма вектор g в результате обнесения получит прира-
щение Ag, которое мы желаем оценить. Полное прира-
щение координаты g1 выразится по формуле
Ag' = pg' = - (JJ Г* t (х) g₽ (х) dx’. (10)
L L
В силу (5)
Гр I (X) = Г' / (0) + Ьх' + О (s2),
OX1
a no (9)
¥ (x) = g₽ - J rU* (x) dx1 = g₽ - Г& (0) gfc bx‘ + О (?).
о
Отсюда
- f ^(0) +^Д Ax< + О («2)1 X
OX1 J
X - rg< (0) bx + O (s2)] dx1 =
== - r£/(0) g₽ §dx' - g₽ $ Ax' dx' +
+ Г^ (0) r'/ (0) gft f Ax' dx1 + О (Ji3).
Первое слагаемое, очевидно, равно 0. Мы получаем
Ag' = (0) Г1Р1 (0) - lk £ Ах' dx1 + О (Л3). (11)
624
ГЛ. в. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.63
Во внутреннем интеграле перейдем к параметрам
и и V. Применяя формулу Грина 4.16(3), получаем
$ dx‘ = f А*‘ (4г du + dv)==
l L
= f f Г (д/
J J L du \ So ) до \ ди )}
6
f f ( dx1 dxi dxi dxl\
"JJkdr--^-dr)dudv-
G
ГдхЧО) dxi (0) dxi(O) 3x40)1 f f ,
-------Tv-----Tu-----3tT~JJ J d“dv +
G
4- О (ft) J J du dv. (12)
g
Множитель в квадратных скобках есть бивектор
/£ ic\ « Зх(0) Зх(0)
(6.15), построенный на векторах —и —мы
обозначим его через xi}. Положим, далее,
а = J J du dv,
G
так как в пределах области G каждая из координат и,
v изменяется не более чем на ft, то эта величина есть
малая второго (или более высокого) порядка по срав-
нению с ft.
Равенство (11) преобразуется теперь к виду
(Лр/ \
а-Гр,--) tfx'o + о (Л3), (13)
где значения функций Г и их производных взяты
в точке А. Если в правой части поменять местами ин-
дексы i и j и умножить на —.1, то, в силу антисимме-
трии тензора x{i, правая часть не изменится. Взяв по-
лусумму равенства (13) и того, которое получается
после указанного преобразования, мы найдем
¥г + rS‘r« - W‘,)EV«+0W
2 \ дх1 дх1 1
8.54
§ 6.5. КРИВИЗНА
525
или же
Д&г = 4^.^'/о + 0(л3). (14)
Таким образом, с точностью до малых третьего порядка
поворот вектора £ выражается формулой (14), где
главную роль играет тензор кривизны R({j k.
6.54. Тензор кривизны в римановом про-
странстве. В римановом пространстве, где коэффи-
циенты Гц определены по формуле 6.32 (5)
I dels dgjs
\ dxi дх1 2
dxs I
gks
и, в частности, симметричны по индексам I, j, тензор
кривизны
В.1 X/ | рР pi рр pi
*«/.* = -------+1 — I*/1
обнаруживает дальнейшие свойства симметрии.
Рассмотрим четырежды ковариантный тензор
(ars аг® \
lk_____It Л- Гр rs _гр rs 1
dxJ дх1 ‘ lk ’Р iklip}&sr
Заметим, что для n-мерной поверхности в (п 4-1) -мер-
ном евклидовом пространстве составляющие тензора
Rii.M суть миноры матрицы второй квадратичной
формы (5.32 (8)). Мы утверждаем, что в общем случае
тензор кц.ы есть тензор типа Риччи (6.18). Действи-
тельно, тензор Rn, м вместе с тензором Рц, s антисим-
метричен по индексам i и j. Далее, мы утверждаем,
что индексы I, j и k, I можно переставить парами:
Кц.м = Кы, ip В самом деле,
4. гр Г® е — д- (rs с \ — Г’ 4-
<dxi ^lkilPl)Ssl dxl(lklSsl) ikl дх, т
г^гр/,г =
1 д
2 дх1
двп । . р [ pg р
(г,/-я+г,/- /)+г«г^-/==
1 ( d2gu 4. d2gkl _ d2gik j _ rs
2 V dxi f)xi ()xl dx1 dx1' k
526
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.55
Альтернируя полученное выражение по г и /, получаем
= _1_ / ^gji _ дг8}{ _ &glk d2glk \ ,
i/. At 2 \ dxi dxk дх* 1 dxk dxi дх1 dxldx1'
+s.p(r«r;/-w,). «к
Полученное выражение очевидным образом допускает
замену пары i, j на k, I в силу симметрии тензора gsp
и римановой связности Г**.
Проверим, наконец, выполнение тождества Риччи.
Мы имеем
/?’/, k + i + Rkl, i —
dr*; dr°k ar;fe ar;,.
dxi dx1 dxk dxi dx* dxk
I rP K'S pp pS । pp pS pp pS [ pp pS pp pS _______ «
-r 1 kil Pl — I fe/1 pi “Г 1 Ц! pk — I ikl pj "Г I jkl pi — 1 jil pk ”
в силу симметрии символов Гц по нижним индексам.
Свертывая это равенство с тензором gsi, получаем вы-
полнение тождества Риччи для тензора Ёц, и, что и тре-
буется.
6.55. Кривизна и угол поворота парал-
лельно обносимого вектора. Для риманова
пространства формула 6.53 (14) допускает дальнейшее
уточнение.
а. В римановом пространстве можно определить
площади участков, двумерных поверхностей, заданных,
например, уравнениями
х* = х* (a, v),
(и, v) е О cz fa,
используя для этой цели формулу 6.31 (1)
dS = VEG-F2 du dv, (1)
где
p / бх бх \ p ( &х &x ) p ( d* ^x \
\ du ’ du J ’ \ du ’ dv ) ’ \ dv ’ dv )'
Если от координат и, v перейти к новым координатам
6.55
§ 6.5. КРИВИЗНА
527
й, б, то в новых координатах элемент площади будет
иметь вид (ср. 3.61 в)
dS = VEG-F2 du dv = У EG - F2| | du dv. (2)
Если новые координаты й, v подобраны так, что
|-^М = или 1-^11=(3)
I д (й, v) I YEG — F2 I д (и, о) I
то в координатах й, v будем иметь
dS — du dv. (4)
Чтобы выполнялось условие (3), положим й = <р(н, о),
v = v; тогда
дф дф
d(g, б) __ __ дф
д (и, v) 0 1 ди
и достаточно в качестве <р выбрать функцию
<p(u, v) = J У EG — F^du.
Именно в такой системе координат й, v — которые мы
снова обозначим через u, v — будем рассматривать фор-
мулу 6.53 (14). В этих координатах о есть риманова.
площадь области, ограниченной контуром L. В этих же
координатах имеем EG — F2 = 1, так что бивектор
• дх G4) дх (А)
xij(A) — xGt построенный на векторах - -у-й ——
и фигурирующий в 6.53 (14), становится единичным би-
вектором.
б. Далее от оценки приращения координат, данной
в 6.53, мы можем перейти к вычислению угла поворота
вектора после обнесения его по замкнутому контуру L.
1Т тт - дх дх
На плоскости П, определяемой векторами и -gy
(т. е. на плоскости бивектора xij), мы установим поло-
жительное направление отсчета углов от направления
возрастания параметра и к направлению возрастания
параметра v. В этой плоскости мы фиксируем единич-
ный вектор § и вектор т), полученный из вектора g врач
щением на 90° в положительном направлении.
528
ГЛ. в, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.55
После параллельного обнесения вектора g по кон-
туру получится результат, который мы обозначим через
g + Ag. Разложим вектор Ag на сумму трех составляю-
щих вида
А| = А] • | + А2 • т) + А3 • g,
где коэффициенты Ai, Да, Аз — вещественные числа,
а вектор g ортогонален к плоскости П. При этом фор-
мула 6.53 (14)
А5г=у^/,Й*Л + О(й3)
дает нам
А> = (g, Ag) = (g, А, • g) = gitf Ag' =
= у 8lplP (R\t, + О (ft3)) =
=4^, + 0 № = 0
так как в силу антисимметрии тензора /?{,. ьР по индек-
сам k и р первое слагаемое справа равно нулю.
Обозначим через ф угол, отсчитываемый от вектора g
к вектору g + Aig + Д21) (т. е. к проекции вектора g + Ag
на плоскость П) в положительном направлении. Имеем
(рис. 6.5-1)
tg(P = TTAT = M1 +0(ЛЗ)) =
= (т), А2т]) (1 + 0 (Л3)) = (п, Ag) (1 + О (hs)) =
= ^Pn₽Ag'(1 + 0^)==
£*х“а + O(A3))(I + О (ft3)) =
== 4 V/?//. kpxi!o + O (ft3). (5)
Бивектор g*r)P — gprjfe определяет ту же плоскость П и
в ней площадь 1 (так как g и т] ортогональны и норми-
рованы) , так что он совпадает с бивектором х*’. Чтобы
перейти к этому бивектору, в равенстве (5) переставим
индексы k и р и возьмем полусумму-получившихся ра-
венств; . мы найдем, с учетом антисимметрии тензора
6.56
$ 6.6. КРИВИЗНА
529
Rij, hp ПО k И p,
tg Ф = T хихкрЦц, кроА О (Л3).
Для самого угла <р = arctg(tgq>) = tg<p4- O(tg3$) мы
получаем аналогичное выражение:
ф=тл^/.^ + °(лз)-
(6)
в. Если разделить полученную формулу на о (счи-
тая, что о имеет в точности второй порядок
сравнению с h) и перейти к пределу при
контура L к точке Л, мы получим
Нт-£==1?'Л/Мр. (7)
малости по
стягивании
Полученная скалярная величина
называется кривизной риманова
пространства Мп в точке А в дву-
мерном направлении, определяемом
единичным бивектором х1*, и обо-
Рис. 6.5-1.
значается через К.
г. Наконец, в качестве единичного бивектора
можно взять любой бивектор xif в той же плоскости П,
разделенный на его площадь. Используя формулу
6.17 (5), для произвольного бивектора x'i находим
Rg, kpxijxkf’
Gif.kpX^P ’
(8)
где 6,-Л = gikgjp — gjkgip есть производный метриче-
ский тензор (6.17 б) в точке А.
6.56. Связь кривизны по двумерному на-
правлению и кривизны соответствующих
двумерных поверхностей. Вычислим по фор-
муле 6.55 (8) кривизну риманова пространства в дву-.
мерном направлении, определяемом координатной дву-
мерной поверхностью Р12 = {л е Л1п: х1 — и, х2 == V,
х3 = ... — хп = 0}. Тогда бивектор xij определится ми-
норами матрицы
| 1 0 0 ... 01
I 0 I 0 ... 0 |
530 ГЛ, в, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6Л6
и будет иметь ненулевые составляющие лишь при зна-
чениях i = 1, / = 2, где х12 = 1, и i = 2, j = 1, где
х21 = —1. Поэтому для кривизны К получается выра-
жение
д- Р12. 12 4- Ril, 21 — Rli, 21 — ^?21. 12
G12. 12 + G21, 2I — G12, 2I — G2|, l2
Но так как оба тензора R и G антисимметричны по пер-
вой паре и по второй паре индексов и не меняются при
перемене этих пар местами, то мы получим
тс = Л|г>|1. /п
В частности, если все риманово многообразие Мп
двумерно, п = 2, эта формула дает выражение гауссо-
вой кривизны многообразия М2 (6.35 г). Геометрически
это легко понять: на многообразии М величина К, по
формуле 6.55 (8), есть предел отношения угла поворота
параллельно обносимого вектора к площади, ограни-
ченной обходимым контуром, а это и есть гауссова кри-
визна поверхности М2 (5.63).
В общем случае (д > 2) гауссова кривизна коорди-
натной поверхности Р\2, вообще говоря, не задается вы-
ражением (1). Дело в том, что параллельный обвод
вектора по контуру L имеет на многообразии Мп не тот
смысл, что на поверхности Рц, как на самостоятельном
двумерном многообразии: в первом случае он опреде-
ляется значениями всех Г?/, что, в частности, имеет
следствием тот факт, что переносимый вектор выходит
из касательной плоскости к поверхности Pi2\ во втором
случае параллельный обвод определяется только зна-
чениями Г?, с г, /, k = 1, 2, ... и переносимый вектор
остается в касательной плоскости к поверхности Р12.
Например, когда многообразие Мп есть евклидово про-
странство Rn, а поверхность Р]2 есть участок двумерной
сферы в Rn, мы сталкиваемся именно с таким положе-
нием: параллельный перенос в евклидовом простран-
стве по любому замкнутому контуру, в том числе и
лежащему на сфере, возвращает вектор в исходное по-
ложение, а параллельный перенос по замкнутому кон-
туру на двумерной сфере, как самостоятельной римано-
6.66
S 6.6. КРИВИЗНА
531
вей поверхности, не возвращает переносимый вектор,
вообще говоря, в исходное положение (5.62 ас).
Докажем это же утверждение аналитически. В силу
6.54 (1) числитель в формуле (1) для кривизны К мно-
гообразия Мп по двумерному направлению Р\2 равен
Р — _L ( d2gis _ d2g22 _ d2gn । d2gl2 \ ।
12.12 2 \ dx1 dx2 dx1 dx' dx2 Ox2 dx' dx2 J
+ в.р(гиГ&-г;2Г’,), (2)
с суммированием по всем s и p от 1 до n. С другой сто-
роны, в выражении для гауссовой кривизны R поверх-
ности Р\2
Х = (3)
«12. 12
где G12, i2= G12, i2, числитель Д12, i2 равен
2-( g2g»2 _ ^2g22 _ d2gtl d2gl2 .
2 \ dx' dx2 dx' dx1 dx2 dx2 dx' dx2 )
+ ««е(г?Л-Г“1»,), (4)
причем суммирование производится только по тем ин-
дексам аир, которые равны 1 и 2.
Можно поставить вопрос: существует лн в многооб-
разии Мп для каждого бивектора х*ЦА) такая двумер-
ная поверхность Р, у которой касательная плоскость
в точке А определяется бивектором xij(A), а гауссова
кривизна есть кривизна многообразия Мп по соответ-
ствующему двумерному направлению? (Так, в предыду-
щем примере в евклидовом пространстве Rn в качестве
такой поверхности следует взять плоскость, определяе-
мую бивектором х!2(.А).) На этот вопрос мы Дадим сей-
час положительный ответ.
Предположим, что в рассматриваемой точке А вы-
полняется условие Г;/(Л) = 0 (i, /, fe=l, ..., п).
Тогда, очевидно, равенства (1) — (3) с учетом (4) дают
нам R = К, т. е. кривизна многообразия М по двумер-
ному направлению х1, х2 совпадает с гауссовой кривиз-
ной координатной поверхности Р^- Но более того, в ука-
занном случае для любого бивектора x'i можно указать
двумерную поверхность Р, удовлетворяющую требуе-
532
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.61
мому условию. А именно, предположим для простоты,
что х*(А) = 0 (i = I, ..., п), и для данного бивектора
хИ(А) совершим линейное преобразование координат
х{ — а‘ехгг переводящее плоскость бивектора х^(А)
в координатную плоскость х1', х2'. Так как при линей-
..JM преобразовании координат величины Гу преобра-
зуются по тензорному закону (6.33), то в системе ко-
ординат {х'} также будет Г*/'(А) = 0. По доказан-
ному, координатная поверхность х1', х2' будет иметь
кривизну, равную кривизне многообразия Мп по дву-
мерному направлению, определяемому бивектором xV.
Нам остается показать, что если в данной системе
координат х1, .... х” равенства Гу(А) = 0 не выпол-
нены, то всегда можно найти другую систему координат
х1', ..., хп\ в которой они уже будут выполнены. Счи-
тая, как и выше, х’(А) = ... = хп(А) = 0, можно, на-
пример, положить
хк = а%,хк' 4- у Ь^х1'1',
с неопределенными пока коэффициентами ак, и
Тогда
k дхк(А) nk k дгхк(А) „
и, полагая
Пт (А) = p^p^j (Л) — ркгркг = О,
мы получаем, после сокращения на р%„ уравнение
р*,, = ^, = 44^(4). (5)
Выбирая невырожденную матрицу ак, произвольно
(например, 4 = 6*') и находя коэффициенты Ьк{,г по
формулам (5), мы и получаем искомую систему коорди-
нат, в которой Г*/'(А) = 0.
§ 6.6. Римаиовы пространства постоянной кривизны
6.61. Пусть L есть некоторая n-мерная поверхность
в (п 4- 1)-мерном евклидовом пространстве ₽п+ь задан-
ная обычными уравнениями
х* — х1(иь .... и„), и~(и}, ....
6.62
5 6.в ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
633
Рассматривая поверхность L как риманово многооб-
разие с метрикой, заимствованной из пространства /?п+ь
найдем ее кривизну в двумерном направлении, опреде-
ляемом некоторым бивектором По формуле 6.55 (8)
Rii, ых1'хк1
GihklxW
Но в данном случае составляющие тензора кривизны
Кц,ы, как мы уже отмечали, совпадают с минорами
Вц, ki второй квадратичной формы поверхности L, и, та-
ким образом,
(1)
В//, kixiJxkt
(2)
6.62. Вычислим
сфера радиуса г с
Gn, kixlJxkl ’
кривизну К в случае, когда L есть
центром в начале координат:
£ = {хе/?„+1: |х| = гЬ
При этом радиус-вектор пропорционален нормали:
x — rtn. (1)
По формуле Вейнгартена 5.31 (2)
дт .а дх . , х
.....
подставив сюда х из (1), находим
та — Ьагта (а — 1, ..., п),
откуда bar — 6°. Но тогда коэффициенты второй квадра-
тичной формы Ьц, связанные с соотношением 5.3/(3)
принимают вид
Ьц^ — ~ёц,
т. е. оказываются пропорциональными коэффициентам
первой квадратичной формы. Поэтому
Bij,ki = y2 Gij,kl
Б34
ГЛ, 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.63
и формула 6.61 (2) дает нам
к =4
Таким образом, сфера радиуса г в (п 4- 1)-мерном
пространстве имеет во всех точках и по любому двумер-
ному направлению одну и ту же кривизну К — 1 /г2
6.63. Риманово пространство Мп будем называть
пространством постоянной кривизны, если его кривизна
в любой точке и по любому двумерному направле-
нию
Rif, ktxijxkt
л =
(О
klXliXhl
есть постоянная величина. Мы утверждаем, прежде все-
го, что в этом случае справедливо соотношение
Rit.kt — КСц.ы- (2)
Действительно, положим Tijt ki—Ra,ki—
Вместе с тензорами Rij, ы и Оо-, м тензор Ti}, ы является
тензором типа Риччи. Согласно (1) для любого бивек-
тора x*i имеет место равенство
W'^0-
Применяя теорему 6.18 б, получаем, что в любой
точке х^Мп тензор Tijik}(x) имеет все составляющие,
равные 0, откуда и вытекает (2).
6.64. Далее, предположим, что пространство Мп
имеет положительную постоянную кривизну /С=1/г2,
г > 0. Мы утверждаем, что в таком случае простран-
ство Мп локально изометрично сфере радиуса г в
(п 1) -мерном евклидовом пространстве Rn+i. Для
доказательства определим тензор по формулам
>4W=7gMW. (1)
Покажем, что для матриц llgij(x)ll и ||6^(х) || выполне-
ны предпосылки теоремы Бонне 5.34, т. е. удовлетво-
ряются уравнение Гаусса 5:32 (8) и уравнение Петер-
сона— Кодацци 5.32 (6). Действительно, миноры Вц,м
матрицы ll&.-jU в силу определения bi} (1) и равенства
6.65
§ 6.6 ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
535
6.63 (2) удовлетворяют соотношению
Вц, kl—ys Gij, kl ~ Rli. kb
и тем самым выполнено соотношение Гаусса. Подлежа-
щая проверке формула Петерсона — Кодацци 5.32 (6)
имеет вид
dbu dbik _г8. rs, дх* дх> Tlkbsl Tllbs,‘'
Подставляя венству сюда значения Ьц из (1), приходим к ра-
(2)
двц дхк dgtk дх' Г ik, 1 —
г.«. - — 1 ( d8il 4- dBkl dBik \
1 у ..... 2 \ дхк дх1 dJ /’
г,.. — 1 (dgtk i deik dgt}\
* //. k 2 \ дх! 1 дх1 дхк /
Но
и для доказательства (2) остается вычесть одно из этих
равенств из другого.
В силу теоремы Бонне 5.34 в пространстве /?п+1
существует поверхность L — {х е Rn+i‘ х — х («ь ..., «„)},
для которой выражение 2 gudutdui представляет со-
«. I
бой первую, а S btf dUtdUj — вторую квадратичные
«. I
формы. Для этой поверхности L мы имеем &* — — ё1кЬ{.==^
1 1 dm Lb дх 1 ох ,
= — g k~ g.,—-----б?, откуда -ч—— —----------з—i
s г г г dUj I дик г ди?
далее, из xj = 0 следует, что т=—у(х—х0),
откуда |х — х0| = г. Итак, поверхность L, изометричная
многообразию Мп, есть сфера радиуса г.
6.65. Переходим теперь к построению риманова про-
странства Мп с постоянной отрицательной кривизной
—q2, q > 0. Будем распространять на (n-j-1)-мер-
ный случай конструкцию, приведенную в 5.54, где по-
стоянная отрицательная кривизна была реализована на
536
ГЛ.6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.68
гиперболоиде в трехмерном пространстве, с метрикой,
заимствованнной из формы (х, х) = х2 -J- xf — х2.
Обозначим через Н гиперболоид(х')24- 4-(х")2-—
— (хп+1)2= —р2 в (н1)-мерном евклидовом про-
странстве ₽n+i. Внесем в него метрику, заимствован-
ную из псевдоскалярного произведения (х, у)=х1у1 + •...
... + хпуп — хп+'уп+1. Мы утверждаем, прежде всего,
что на Н эта метрика положительно определена, иными
словами, что форма
dx1 dx1 4- dxn dxn — dxrt+l dxn+l
для касательных векторов к поверхности Н принимает
лишь положительные значения. Действительно, мы
имеем иа Н
x’dx1 4- ... 4*xndxn — xn+1 dxn+' = 0.
Отсюда по неравенству Коши — Буняковского
(xn+*)z (dxn+l)2 = (х* dx' 4" * • 4- хп dxn)?
<1(х>)24- ... 4-(хп)2Н(^,)2+ ••• 4-(dx")2]==
= [(x"+*)2-p2]W)24- ••• 4-(dxn)2]<
<(xn+,)2[(dx1)24- ... 4-(rfx")2L
и, следовательно,
(dx1)2 4- - • • 4- (dxn)2 - (dxn+‘)2 >0, (I)
что и утверждалось.
6.66. Пусть, далее, L означает любую n-мерную по-
верхность в конусе (х, х) <_ 0, для которой выполняется
неравенство 6.65 (1), и, следовательно, форма (х, у)
индуцирует положительно определенную метрику. Для
таких поверхностей вектор псевдонормали т удовлетво-
ряет неравенству {т, т) с 0, так как иначе форма
(х, х), будучи положительной в n-мерной касательной
плоскости и неотрицательной на псевдоортогональном
к ней векторе т, была бы неотрицательной во всем
Rn+\, что не имеет места.
Найдем кривизну поверхности L, как риманова про-
странства, по двумерным направлениям [dx, dy^i. Для
этого напишем сначала формулы Гаусса и Вейнгартена
для ведущего вектора поверхности x=x(ui, ..., ип)
6.67
§ 6.6. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
537
(в произвольном параметрическом задании):
хи s= а--^— = Г* 4- Р,.т,
ч ди{ dut Ч к 1 ГЧ ’
tn в ~ tfxk.
I dtij I k
Обозначим Ьц—{хц, tri). Как и в случае поверхности
в евклидовом пространстве, мы имеем {tn, х,)=0,
{tn,, хь} + {tn, Xjh}=0, откуда
= — {mp xk) — {bjXst x^y — bjgsh. (1)
Далее, как и в 5.32, мы получаем
Qikbjl — Qjkbil —
-S fe-^-+2 (2)
p=i L * $=i J
Правая часть в (2) представляет собою тензор кривиз-
ны Кц,м- Подставим в левую часть значения коэффи-
циентов р,,, которые в отличие от евклидова случая,
когда Pij = (хц, т) — Ьц, здесь определяются из соот-
ношения
bt) = {xth tri) = pt / {tn, tri) = — fa,.
Тогда вместо минора второй квадратичной формы, по-
строенного на строках i, k и столбцах /, I, как было
в евклидовом случае, здесь мы получим тот же минор,
но со знаком минус, т. е.
Ru, ki = ~ Bit.kt-
Искомая величина — кривизна риманова пространства!,
по двумерному направлению х’3— оказывается равной
_ _ Btj, kt [dx, dy]11 [dx, dy]kt
Сц,» ldx> dy]*1 [dx, dy[kl ’
6.67. В частности, для псевдосферы
L = {х <= Rn+l: {х, х> = — р2}
мы имеем х = р/и, откуда
538
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.68
так что =ид|; отсюда Ьц — {хц, — b^g/k •*
==—^gip и» следовательно,
— Gif, ы.
Подставляя в (3), получаем
Таким образом, псевдосфера L дает нам пример
«-мерного риманова многообразия с кривизной, постоян-
ной по всем двумерным направлениям и равной
-1/р2.
6.68. а. Обратно, пусть дано рнманово пространство
Мп с кривизной, которая во всех точках и по всем
двумерным направлениям постоянна и отрицательна,
К——q\ q > 0. Покажем, что такое пространство Мп
изометрично налагается на часть псевдосферы L с Rn+\.
б. Нам понадобится теорема Бонне для поверхности
в пространстве Rn±i с римановой метрикой, заимство-
ванной из формы {х, х).
Эта теорема формулируется следующим образом:
Теорема. Пусть имеются п^п-матрицы G=
==llgij(«)ll « B=IIMU)II, w=(ub .... un)c=GczRn,
удовлетворяющие условию
b jkbu — bikbn =s=
_у Г
XJ ди.
р=1 1
Ъ dTlk 4.V
Г ди1
рр
(1)
где
^i8pk —
ds,k
ди.
(2)
и условию
р к р 1
Тогда в пространстве Rn+i существует п-мерная поверх-
ность L с (положительно определенной) метрикой,
заимствованной из псевдоскалярного произведения
6.68
§ 6.6. ПРОСТРАНСТВ* ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
539
(х, у), и для которой матрица G есть матрица первой,
а матрица В — матрица второй квадратичной формы.
Доказательство идет по той же схеме, что и в евкли-
довом пространстве (5.34). Пишется система уравнений
дх,
~ди^ ~ ^цхк ~ bijm>
-^ = bkx
ди} /*’
где bkgkp ~ — bjP с неизвестными векторными функция-
ми Х{(и) и т(и). Условия интегрируемости этой систе-
мы совпадают как раз с (1), (2). Поэтому существует
решение xt(u), пг(и) и оно единственно при задании
начальных условий Хг(и0) и пг(и0), удовлетворяющих
соотношениям
(х{ (и0), х{ (ы0)> = gti («о). т (и0) — (О...............О, 1).
Далее определяется функция х(и) из условий
дх (и)____
ди4
х(0) = 0.
хДы),
Эта поверхность и оказывается искомой, что проверяет-
ся тем же рассуждением, что и в 5.34.
в. Переходим теперь к доказательству
ния а. В пространстве Мп с постоянной по
направлениям кривизной
Rn, ых11хы
Сц, ktxl,xM
мы имеем, согласно 6.63,
Rij. kl = — kb
утвержде-
двумерным
Положим bij——qgij и проверим, что для форм Ьц и
gn удовлетворяются условия теоремы Бонне в псевдо-
евклидовом пространстве (б). Действительно, по по-
строению
ЬцЬм — bikbih — q2(gtigki — gikgjt) = q2GtJ, м — ~ Rtt.kb
т. e. выполнено условие (1).
Проверка выполнения условия (2) производится точ-
но так же, как в 6.64.
540
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
1
Итак, условия теоремы Бонне выполнены. Следова-
тельно, существует поверхность LcRn+i с метрикой,
заимствованной из формы (х, х), й для которой Ilg^ll
есть матрица первой, а II6^-II — второй квадратичной
формы. Для этой поверхности L мы имеем bk{gkp=^
~ — bjp — qgjp, откуда = следовательно,
т;. — bkjxk — qxr (tn — qx)j = 0,
и, значит,
т = q (х — х0).
Отсюда
<х - х0, х - Ао) = (-у, -^-) = - ~г,
так что поверхность L лежит на псевдосфере (х, х) =
== — 1/q2, сдвинутой иа вектор х0.
Таким образом, гиперболоид {х, х) =—1/q2 с метри-
кой, индуцированной формой (х, х), является канониче-
ской моделью риманова пространства постоянной отри-
цательной кривизны —q2.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что- две сферы Si и S2 разного радиуса в /?з не-
изометричны, но аффинно эквивалентны (т. е. в некоторых системах
координат на Si и S2 коэффициенты римановой связности выра-
жаются одинаковыми функциями от координат).
2. Проверить формулу ковариантного дифференцирования для
произведения тензоров:
v9(rs) = v-s + r.v^s.
3. Проверить формулу ковариантного дифференцирования для
свертки тензоров:
4. На плоскости фиксированы два взаимно ортогональных век-
торных поля. В каждой точке два вектора поля определяют местный
базис. Определим параллельный перенос любого вектора условием
постоянства его местных кординат. Показать, что соответствующая
связность будет иметь нулевую кривизну, ио, вообще говоря, ненуле-
вое кручение.
5. В плоской области G положим Г}, (x) = f (х) и все осталь-
ные Г^ = 0. Определить f(x) так, чтобы при многократном обходе
произвольно малому контуру, окружающему данную точиу А с О,
параллельно переносимый вектор (в смысле связности Гц) приобре-
тал бы неограниченно возрастающие координаты.
6
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
541
6. В данной точке А пространства Мп аффинной связности вы-
берем произвольно и линейно независимых векторов , $п. Пусть
U — та окрестность точки А, любую точку В которой можно соеди-
нить с точкой А одной и только одной геодезической у(Л, В)г про-
ходящей в U (задача 12 к гл. 5). Геодезическая у(Д, В) определяется
своим касательным вектором в точке А, например вектором
п
1=2 Пусть тв — значение в точке В того канонического па-
«+1
dx (Д)
раметра на УЦА.В}, который определяется равенством ——V - =
Примем за новые координаты точки В числа х‘ = тв • Показать,
что в этих координатах Гц (Д) = 0.
Историческая справка
Основные понятия римановой геометрии ведут начало от лек-
ции Римана «О гипотезах,'лежащих в основаниях геометрии» (1854,
опубл. 1867). В ней Риман соединил идею «-мерного пространства
с гауссовой идеей задания метрики на поверхности с помощью ква-
дратичной формы от дифференциалов координат. В этой же лекции
Риман дал и некоторое определение кривизны, которое в аналитиче-
ской форме было развито Кристофелрм (1869). Наиболее .подходя-
щим аналитическим аппаратом римановой геометрии оказался тен-
зорный анализ, созданный Г. Риччи в 1880-х гт. («Методы абсолют-
ного дифференциального исчисления и их приложения» — сводная
работа Г. Риччи и его ученика Т. Леви-Чивита, 1901). В частности,
Риччи и Леви-Чивита указали канонические формы римановых про-
странств постоянной кривизны. И. Шур заметил (1903), что если
в каждой точке риманова пространства Л1„ кривизна одинакова по
всем двумерным направлениям, то она не меняется и от точки к
точке. Тензорный язык оказался весьма полезным в общей теории
относительности Эйнштейна (1915), причем, однако, от положительно
определенной метрической формы ds2 пришлось перейти к неопреде-
ленной (с одним отрицательным квадратом в каноническом представ-
лении). В 1917 г. Леви-Чивита и Схоутен ввели в риманову геомет-
рию понятие параллельного переноса и с его помощью дали новое вы-
ражение тензора кривизны. Пространства с аффинной связностью
были введены Схоутеном и Г. Вейлем в 1918 г. Дифференцируемые
многообразия появились впервые у Уитни (1936).
ГЛАВА 7
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
Математический анализ на дифференцируемых многообразиях —
весьма обширная в настоящее время область математики, область,
в которой скрещиваются идеи и методы разных направлений науки.
Мы ограничиваемся здесь одним, но важным разделом теории: имен-
но распространением на< случай элементарного дифференцируемого
многообразия той связи между дифференцированием и интегрирова-
нием, которая в пространстве давалась формулой Стокса (гл. 4),
а также постановкой и решением соответствующих прямых и обрат-
ных задач. Многомерным аналогом классического векторного ана-
лиза является, конечно, тензорный анализ, с участием тензоров лю-
бого ранга (причем для наших задач важны именно ковариантные
тензоры — полилинейные формы). Оказывается, что разнородные
векторные дифференциальные операции — градиент, дивергенция,
вихрь — находят свое обобщение в одной-единствеиной дифферен-
циальной операции над полями полилинейных форм — антисиммет-
ричном дифференцировании (§ 7.2). Формула Стокса приобретает
общий и вместе с тем совершенно прозрачный вид: интеграл по
области от дифференциала некоторой формы равен интегралу по гра-
нице этой области от самой формы (§ 7.3). Глава завершается об-
общением обратной задачи векторного анализа — задачи о восста-
новлении векторного поля по дивергенции и вихрю: теперь эта за-
дача переходит в задачу о (локальном) восстановлении формы по
ее дифференциалу и кодифференциалу, которая решается, в общем,
несложно, с использованием в конечном счете методов векторного
анализа (§ 7.4).
§ 7.1. Антисимметричные формы
7.11. а. Мультинумерация, Номером будем на-
зывать любое натуральное число 1, 2, ... Мультиноме-
ром, точнее, (k-n) -номером будем называть любую по-
следовательность (i) = (ii, ...,’ ife) из k номеров, не пре-
восходящих числа п. Номера и, ..., называются со-
ставляющими (&-п)-номера (i) = (ii, .... ik). Два (k-n)-
номера
(О=(А........h) к (/)==(/1,.. ♦»ik)
7.11
§ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
543
считаются одинаковыми, если й=/ь ik~jk, и раз-
личными, если хотя бы для одного номера р k имеет
место неравенство ip^jp- Мультиномер (i) = (й,..., i\)
называется упорядоченным, если й С .. • С йь
строгим, если все номера й.......различны, строго
упорядоченным, если й < й < • •. < й- Можно подсчи-
тать, что при заданных k и п имеется всего nh различ-
ных (k-n)-номеров, Cn+h-i упорядоченных, п(п—1)...
...(п — k 4-1) строгих и Сп строго упорядоченных.
В частности, для k=l имеется п (1-п)-номеров, которые
представляют собою просто номера 1, ..., и; хотя пре-
дыдущие определения к ним непосредственно неприло-
жимы, все они считаются строго упорядоченными. Для
k=n имеются пп различных (п-n)-номеров, C“n-i упоря-
доченных, п! строгих и только один (Сп «= 1) строго упо-
рядоченный, именно (n-и)-номер (1, 2, ..., п). Отметим
еще п строго упорядоченных ((п— 1)-п)-номеров:
(Т, 2, 3...n), (1, 2, 3....п)......(1, 2, 3, ..., й),
где знак ~ означает, что данная составляющая должна
быть вычеркнута из всей совокупности чисел, выписан-
ных в скобке. При k > п уже не остается ни строгих,
ни тем более строго упорядоченных (k-n) -номеров.
б. Любой (^-п)-номер (0 = (й......ife) можно пре-
вратить в упорядоченный (^-п)-номер (а) = (а,,..., аь)
некоторой перестановкой составляющих; эта перестанов-
ка называется ордированием и обозначается О (i). Стро-
гий (k-n) -номер (i) ордированием переводится в строго
упорядоченный (k-n)-номер (а), и сама перестановка
O(i) в этом случае определена однозначно. Число
по определению, есть знак этой пере-
становки. Если дана k X ^-матрица | у которой
строки занумерованы номерами /=1, ..., k, а столб-
цы — номерами ар, р=1, .... k, ai <....< ак, то ее
детерминант вычисляется по формуле
detIIа/ 11 = 2 ... а* (1)
И “pH О(ОМа) й-Ъ й lk ' '
(суммирование по веем мультиномерам (i), для кото-
рых О (i) = (а)).
644
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА> МНОГООБРАЗИИ
7J2
в. Мультиномер (/) = (/]./n-л), составляющие
которого дополняют составляющие строгого (k-n) -номе-
ра (i) = (l'i> •••. th) до полного набора номеров 1,2, ...
..., п, называется дополнительным к (k-n)-номеру (i).
Этот мультиномер (/) определен однозначно, если по-
требовать его упорядоченности.
г. Для примера (он потребуется в дальнейшем) вы-
числим знак перестановки, ордирующей (п-п) -номер
(аь ..., ah, Pi, ..., (Vs), где (0) = (рь .... ₽n_h) есть
строго упорядоченный мультиномер, дополнительный
к строго упорядоченному мультиномеру (а) — (си, ...
..., а*). Ордирование указанного (п-п)-номера можно
произвести следующим путем. Во-первых, переведем но-
мер as, стоящий на А-м месте, на его собственное место
с номером aft. Число aft не меньше k вследствие строгой
упорядоченности мультинбмера (а). Для этой операции
потребуется а*— k' инверсий (перестановок соседних
номеров), которые не изменят взаимного расположения
номеров р3-. Далее мы переводим номер as-i с места
с номером k — 1 на место с номером aft-i k — 1, для
чего требуется аь-1— (k—1) инверсий; продолжая так
далее, последним переведем номер а> с первого места
на место с нойером ai, используя ai — 1 инверсий.
А когда все номера ai, ..., aft встали на свои места,
автоматически оказываются на своих местах и номера
₽ь .», ₽n-ft, поскольку они не меняли своего взаимного
расположения и обязаны занять все оставшиеся места.
В итоге для ордирования мультииомера (ai, .... aft,
Pi, ..., рл-ft) нам потребовалось
ь
ai + ••• +«ft — (1 + ••• +&) = ^а/---2^ "
/=»1
инверсий. Отсюда
fe №+n
?! -2---
t.M-ir* • (*)
7.12. Полилинейные формы.
а. Функция А(х, ..., х) от k векторов х, ..., х неко-
i к. 1ft
торого линейного пространства /? называется полили-
нейной. точнее, k-линейной, если она линейна по ка-
7.12
$ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
545
ждому из аргументов при фиксированных значениях
остальных.
б. В пространстве Rn ^-линейные функции назы-
ваются k-формами, число k называется степенью фор-
мы. Найдем общий вид /г-формы А(х, ..., х) в п-мер-
ном пространстве Rn- Для этого выберем произвольно
базис еь ..., ег. н обозначим координаты вектора х
в этом базисе через I1, ..., Тогда, в силу свойства
полилинейности,
А (х, ...» х) = А /2 . ..., 2 =
1 k \ '1 1 1кь /
== 2 • • • &А(еч...eik)= 2 • • • l'*. (О
(i) 1 k 4 1 *' (О 1 k
где ацу = A(et, ..., e/ft). Очевидно и обратное: всякая
функция от векторов х, ..., х пространства Rn, записы-
I А
вающаяся через координаты этих векторов в виде пра-
вой части (1) с произвольно взятыми коэффициентами
fl(i), представляет собой fe-форму.
в. Очевидно, /г-формы в пространстве Rn можно
складывать и умножать на числа (как функции), полу-
чая при этом снова &-формы. Таким образом, /г-формы
в Rn составляют новое линейное пространство. Его ба-
зис образуют /г-формы ... количество которых
1 k
равно количеству (k-n) -номеров (i), т. е. числу nh
(7.11а). Линейная независимость этих A-форм следует
из единственности представления (1): полагая в нем
х = С/1, ..., x — ejk, с необходимостью приходим к
выражению а</) = ..., e/fe). Таким образом, раз-
мерность пространства всех k-форм в Rn равна nk.
г. Рассмотрим, как преобразуются коэффициенты a(i)
при переходе к новому базису е{, = р‘,е{ (6.11). В этом
случае
546
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.13
Таким образом, коэффициенты ащ образуют k-ко-
вариантный тензор.
д. Введем еще понятие 0-формы: по определению
0-форма есть функция от x^Rn, равная постоянной.
Все 0-формы образуют, таким образом, пространство
размерности 1.
7.13. Антисимметричные А-формы.
а. Антисимметричными называются такие Л-формы
А (х, .,., х), которые при каждой перестановке двух
1 ь
своих аргументов изменяют знак.
Антисимметричные /г-формы, очевидно, также можно
складывать и умножать на числа, получая снова анти-
симметричные /г-формы. Таким образом, антисимметрич-
ные /г-формы составляют подпространство в простран-
стве всех /г-форм.
б. Пусть
А (х.....х) — 2 Я(п^‘ • • •
1 й (<) 1 й
— некоторая антисимметричная /г-форма. Поскольку
d(/) = A(eiI, ..., коэффициенты сг(г-) антисимметрич-
ны относительно составляющих А.......t* (k-n)-номе-
ра (i), т. е. изменяют знак при перестановке двух со-
ставляющих этого (k-n) -номера; в частности, если этот
(k-n) -номер (I) не является строгим, т. е. имеет две оди-
наковые составляющие, коэффициент равен 0.
Поскольку при k > п вообще нет строгих (/:-п)-номе-
ров, всякая антисимметричная k-форма с k>n есть
тождественный нуль. Ьсли k^n, то =
где (а) = 0(1), и теперь можно преобразовать форму
А(х, .х) к виду
1 й
А(х, .... x)=Sa(i)^' =
1 ft (/) 1 й
2й 2 =
(а) 1 >О(П=(а) 1*1 й
= 2 (х, ..., х), (1)
(а) 1 й
7.14
§ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
547
где
Л(п)(х, ..., х) =
1 к
(2)
Формы D(n) (х, ..., х) (2), очевидно антисимметрич-
1 к
ные, называются каноническими антисимметричными
^-формами; число их равно числу строго упорядоченных
(k-n)-номеров (а) = (а!...aft), т. е. С* (7.11 а). Так
как коэффициенты о<а) в (1) определены единственным
образом, а(а) = А(еае .... eaft), то формы D(a) линейно
независимы и тем самым образуют базис в подпро-
странстве всех антисимметричных k-форм. Отсюда сле-
дует, что размерность этого подпространства равна Сп.
в. Единственная (с точностью до линейной зависи-
мости) антисимметричная n-форма (Сп = 1) имеет вид
D(l,..., п) (х.
1
Если пространство Rn евклидово и координаты g
взяты в ортонормальном базисе, то абсолютная вели-
чина значения формы Du,...,П)(х, .х) имеет геомет-
1 п
рический смысл объема параллелепипеда, построенного
на векторах х, ..,, х.
1 п
г. Определение антисимметричности непосредственнр
неприложимо к 0-формам и к 1-формам. Тем не менее
мы будем эти формы по определению включать в число
антисимметричных.
7.14. Альтернация k- фор мы.
а. Пусть А (х, ..,, х) — произвольная fe-форма; поло-
жим по определению
Alt А (х, ..., х) = -тт У 8’;.".*аЛ (х, .,., х), (1)
1 * u)
548
ГЛ. Г. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.14
с суммированием по всем строгим (k-ri) -номерам (i).
Таким образом, в правой части стоит среднее арифме-
тическое из значений А(х, .х) по всем перестанов-
‘1
кам (й-й)-номера (1, k) со знаками этих переста-
новок. В результате снова получается &-форма, которая
называется альтернацией исходной /г-формы А (х,..., х).
1 k
Эта форма уже антисимметрична, какова бы ни была
исходная форма А(х, х). Действительно, рассмот-
1 k
рим, например, перестановку х и х. Выделим справа
I 2
сумму двух слагаемых
s=e}';. 1 '..‘.2:.:,ьА(х...........х,.... х,..., х)-ь
* Ч • 2 *k
+ iiktA(x, .... X, X, ..., x)
’ 2 1
с фиксированными положениями остальных номеров
3, ..., k. При перестановке х и х сумма этих слагае-
1 2
мых перейдет в сумму
§ = е! i iиД(х.....................х, х, х) +
G 2 > «а
+ е‘<t'.:.2::.i:.:ikkA(x,х,х,.... х)=
* 1, » 2 ik
= — е* 2.‘4А(х...................X, X, ..., х) —
1 Ч 2 1
— d 1 :.‘.2.'..'itA(x, .. X, .... X, ..., x)=—— S.
4 » 2 ih
Отсюда видно, что и все выражение АИЛ(х, х)
1 k
меняет знак при перестановке х и х.
1 2
Если форма А(х..................х) с самого начала антисим-
1 k
метричиа, то при альтернации она переходит в себя,
так как в сумме (1) все слагаемые одинаковы:
е},”Л.Л(х, .... х) — А(х, .... х).
7.15
5 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
549
б. Найдем для примера Alt V1 ... £**, где (/) =
1 к
=(/i, •••> /^ — фиксированный (Л-д)-номер. Мы имеем,
согласно определению,
^'••рЧтЕ
1 (О
‘к
I'1 • • •
1 к
1 к
<2>
(V)
Если мультиномер (/) строго упорядочен, например,
(/) = (°) = (ai> «к)» то мы получаем окончательно
Altp...p=4
.. х),
k
(3)
fel Ae>(*»
где Dw(x........х) — каноническая антисимметричная
1 k
форма (7.13).
в. Отметим еще очевидное линейное свойство аль-
тернации: для двух ft-форм А1(х, ..., х) и А2(х, ..., х)
ik ik
и любых двух чисел а, и а2
Alt (щ At + а2А2) = at Alt At + a2 Alt Л2. (4)
7.15. Тензорные произведения полилиней-
ных форм.
а. Пусть имеются ft-форма А(х, .х) и /п-форма
1 k
В(х, ..., х). Тензорным произведением их называется
1 т
(ft + т)-форма С(х, ..., х ), определяемая равенством
1 k+m
С(х, ..., х ) = А(х, ..., х)В( х , ..., х ). (1)
1 k+m 1 k k+1 k+m
Равенство (1) короче обозначается так: С = А%В.
550
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.15
б. Так как тензорное произведение выражается через
обычное числовое произведение значений форм, то оно
обладает свойством линейности: если А = а. Л, + а2А2, то
А X В = (Н1Л 4- а2А2)ХВ = atAt XВ + М2X В.
в. Даже если А и В — антисимметричные формы, то
форма А X В не обязана быть антисимметричной. Же-
лая получить антисимметричную форму, мы альтерни-
руем тензорное произведение; в результате получается
новая форма
D(x..... х ) = Alt [Л(х, ..х)В( х , ..., х )], (2)
I k+m 1 k 6+1 k+m
которая короче обозначается D=A АВ и называется
альтернированным тензорным произведением форм А и
В (подчеркнем, что оно определено для любых форм Л
и В — не только для антисимметричных!).
г. Вычислим для примера Л Д В, где
л=^«..лЧ
1ft 1m
Согласно определению
AAB=Alt(AXB) = Altg'*...
1 k 6+1 k+m
Используя 7.14(3), получаем
... g'l ...
1 6 6+1 k+m
АаВ=-п-~
' (k + m)l
& ... r* ... &
1 6 6+1 k+m
(v)
^m # # e fdm e t e g^m
1 6 6+1 k+m
‘6h "• itn tvi tv6 6vi
V6V6+1-v6+mi •••> 41
gv6+me
k+m
(3)
д. Альтернированное тензорное произведение есть
линейная операция вместе с тензорным произведением
7.15
§ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
551
и альтернацией: если A=atAt -|- а2Л2, то
(«1 At + а2А2) Л В = Alt {(а,А, + а2А2) X В) =
= Alt (а,А1 X В + а2А2 X В) = at At Д В + а2А2 Д В,
и аналогично для случая B=fe1B1 -|- Ь2В2.
е. Для линейных форм А—^а&1, B—^bfe1 еы-
i I
полняется антикоммутативный закон
ЛДВ = -ВДЛ. (4)
Учитывая, что свойство линейности доказано, достаточ*
но проверить (4) для одночленных форм,Л=£\ В=у,
Мы имеем
Г Л I1 = Alt ~ &') = - Alt = Д 1{.
12 2 1 2 12 12
Для форм высших порядков равенство (4) заменяется
более сложным (см. задачу 10).
ж. Покажем, что альтернированное тензорное произ-
ведение обладает свойством ассоциативности, т. е. для
любых форм А, В и С выполняется равенство
(,АКВ)^С = А^(В^С\ (5)
Достаточно проверить это на базисных одночленных
формах
в=&'»...$4 с=Г«...&Ч
1 k 11 Im
поскольку для перехода к общему случаю можно вос-
пользоваться доказанным уже линейным свойством.
Форма Л Д В уже найдена выше (3). Составим теперь
произведение (Л Д В) Д С. Мы имеем
(ЛАВ)ЛС = Ак[(ЛДВ)ХС] =
=Aitf^2ev:‘:y.\’:vi3v,---^+z
. vk+tt k+[ л+/+1 k+l+ml
=(тип S evAlt &v* • • •gV*+/ |S* — ёЧ
vi ....V*+Z 1 n+1 k+l+l k+t+m
552
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.15
Снова применяя 7.14(3), получаем
(Л АВ)ЛС^= Г1 • • • Г* 1 k+l+m
1— уе'| - о. ! (k + /)! Ju ®V| (k +1 + m)i (v) tvk+l tvk+l 1 k+l+m £S1 £S1 1 k+l+m ^sm . _ a 1 k+l+m
Переставим строки полученного определителя так,
чтобы они шли в исходном порядке и, ..., ik, ji, ., jr,
это дает
gz‘ 1 ... k+l+m
(АДВ)ДС (fe + z)I (fc + /+m)l2 1 ... k+l+m
(V) ... I'1
1 fe+!+m
1 k+l+m
Полученный определитель уже не зависит от мультино-
мера (v); все слагаемые под знаком суммы стали оди-
наковыми. Их число,. равное числу, всех строгих номе-
ров (у), равно (k £)!., и поэтому окончательно
(Л Д В) Д С — + z + т!)
... I1'
1 k+l+m
...
1 k+l-Vm
lam...
1 k+l+m
(6)
Ясно, что тот же. результат получится и при вычислении
ЛА (В Л С), так что ассоциативный закон для анти-
7.1 в
$ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
553
симметричного тензорного произведения обоснован. Та-
ким образом, выражение Л Л В Л С и ему аналогичные
с большим числом множителей имеют однозначный
смысл.
7.16. Каноническая запись антисиммет-
ричных форм.
а. Для трех одночленных форм %*', g£‘, в част-
ности, получаем в соответствии с 7.14 (3)
О!
I1'
1 2 3
= AltgW-
1 2 3
Продолжая аналогично, находим для любых ..., ik
&‘‘Л ... A^^Altg'*... (1)
1 к
Если мультиномер (i) = (a) = (at, ..., ak) строго упо-
рядочен, то форма Alt g*1 ... gifc с точностью до мно-
1 k
жителя совпадает с базисной антисимметричной формой
Da(x, .... х) (7.14 б). Поэтому всякую антисимметрич-
1 к
ную k-форму А(х, ..., х) можно записать в виде
1 к
А(х.....х) == 2 й(а)Ва« Л • • • Л Г* (2)
1 k (а)
с однозначно определенными коэффициентами а(а}. Ра-
венство (2) называется первой канонической записью
антисимметричной формы А(х, ..., х).
1 к
б. Антисимметричную форму можно, конечно, запи-
сать и в виде
А(х, ...» х) = 2а(0^«Л ... (3)
1 к (/>
с суммированием по всем строгим (k-n) -номерам (t) =
==(»!, ..., 4), но в такой записи коэффициенты а^, во-
обще говоря, не определены однозначно. Если мы по-
требуем, чтобы в записи (3) коэффициенты а^ зави-
554
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.16
сели от мультиномера (i) антисимметрично, т. е. меняли
бы знак при перестановке двух его составляющих, то
тогда запись (3) будет уже однозначной и коэффициен-
ты a(i) легко выразить через коэффициенты «(а) одно-
значной записи (2). Именно, в указанном предположе-
нии имеем
Л(х, .... х) = 2а(1)^Л ... —
1 к (О
= 2 2 Л ... A
(а) 0(0=(о)
используя антикоммутативность операции Л для линей-
ных форм и антисимметрию коэффициентов а(о, находим
А(х.....х) = 2 2 ам1а'Л ... ЛВ°* =
1 к (а) ОЦ)={а)
= AlS ам г* Л ...
(«)
откуда
й(а) = а(а). (4)
Обратно, имея представление (2), можно перейти
к представлению (3), положив
1 а, ... а>, ~
а<о 1Геч— ** а<а>‘
(5)
Равенство (3) при условии антисимметричности коэф-
фициентов G(j> называется второй канонической записью
антисимметричной формы А(х, ..., х).
। k
в. Запись (3) с антисимметричными имеет то
преимущество перед записью (2), что ее коэффициен-
ты (однозначно определенные условием антисиммет-
рии в каждой системе координат) являются k-кова-
риантными тензорами. Действительно, в новых коорди-
натах = р1’# мы имеем
|2о(0^*Л ... =
(О
= 22 а р1}... р1*^ Л • • • Л t'* =•
m «') w ‘к
= 2 аа'&1 Л ... Л ^k,
(И ' '
7.16
§ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
555
так что можно положить
При этом коэффициенты а(Г) антисимметричны относи-
тельно составляющих мультиномера (Г), т. е. именно
они являются искомыми коэффициентами преобразован-
ной формы. Тем самым доказан тензорный характер ве-
личин ц(г).
Итак, если в каждой системе координат заданы ан-
тисимметричные (по составляющим мультиномера (i))
величины и выражение
2о(Ов''Л ...
(О
не зависит от выбора системы координат, то а^ обра-
зуют k-ковариантный тензор. Что касается коэффициен-
тов о(а) в формуле (2), то правило их преобразования
к новым координатам совсем иное (см. задачу 12).
г. Так как при фиксированном (i) = (ilt ih)
формы
А(х, ..., х) = ^Л ... Agift
1 к
антисимметричны (7.15 е), то и любая их линейная ком-
бинация
®=Sc(n^'A ... Al'* (6)
<«)
представляет антисимметричную форму. Если при этом
коэффициенты c(i) антисимметричны по составляющим
(k-n)-номера (i), мы получаем форму со сразу в кано-
ническом виде (3). Если же коэффициенты c(i) симмет-
ричны хотя бы по одной паре составляющих, например,
если citt2... ik ik, то форма (6) тождественно
равна 0. Действительно, в этом случае сумма каждой
пары слагаемых
s = <V2...^*A^A...A^4-
+ си1...1Л,’Л^Л...Лб'*
* I
666
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.21
с фиксированными индексами i3, ..., it обращается
в нуль:
a = Ci1ia...,ftte,*A£,i + £i2A£,’)M'8A ... Л£‘* =0,
откуда следует, что и вся форма (6) равна нулю.
д. В общем случае от записи (6) можно перейти
к канонической записи (2) следующим образом:
2<Ш'*л ••• лб‘*“=2 2 с<об'* а ... л^=
W (а) О (/)=(«)
где
==2( 2. <»"7*cJ£a,A ... А£“*==
= 2 й(в)|а« л . • • А
w
ам= 2 е“> (7)
O(i)=(a) ‘1 • • ' 7
Далее по формуле (5) можно найти для формы (6) и
каноническую запись (3):
5 са£*1 Л • • • Л £** = 2 а^1' Л ... Л
(») U)
где O(t) = О(/) = (а) и
в(Л = 7Ге/Л../*%*)==1Г J] 4*ea*... a/(i) =
O(i)=(a)
= 7Г Z] *i'i - fcw (8)
о (n-o </>
§ 7.2. Дифференциальные формы
7.21. Определение дифференциальных
форм.
а. Пусть Мп — «-мерное элементарное дифференци-
руемое многообразие класса р > 1 (6.21). В каждой
точке х е Мп имеется касательное пространство
Тп (х) — n-мерное линейное пространство из касатель-
ных векторов к кривым, проходящим через точку х.
Преобразование координат х‘' = х{Г(х1, ..., хп) в про-
странстве Мп индуцирует в Тп(х) линейное преобразо-
§ 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
557
7.21
ваиие векторов но формуле V' = PfVi где pj' = .
В каждом пространстве Тп(х) можно строить полили-
нейные формы от векторов ^,i=dxi н, В частности, анти-
симметричные /г-формы
А(х; dx, .dx) — a(i)(x)dx‘l... dx‘k. (I)
i fe <i> i k
Пользуясь результатами 7.16 а, б, всякую антисимме-
тричную fe-форму на пространстве Т„(х) можно записать
в виде
А (х; dx.....dx) = 2 a«>(x)dx£| Л ... A dx‘k (2)
1 й (0
с коэффициентами O(o(x), антисимметричными относи-
тельно составляющих it, .... 1Л (б-п)-номера (i), или же
в виде
А (х; dx.....dx) = 2 йм (x)dxa> Л ... A dx\ (3)
1 ft (О)
где «j < ... <ak. Вообще, любая антисимметричная
Л-форма
ю(х; dx, ..., dx)= 2 t>(i)(x)dxlt А ... A dx‘k, (4)
i ft (О
коэффициенты которой суть функции с непрерывными
производными до порядка г, заданная в любой системе
координат и при этом имеющая инвариантный смысл
(не зависящий от выбора системы координат), назы-
вается антисимметричной дифференциальной k-формой
гладкости г на многообразии Мп.
б. Чтобы говорить об инвариантном смысле выраже-
ния (4), нужно прежде всего иметь правило преобразо-
вания коэффициентов bw(x) прн переходе к новой си-
стеме координат. Допустим сначала, что величина ЬцДх)
является fe-ковариантным тензором, так что
Ь(Г) WЬг ... Г (х) = р‘} •. • p\^b (х).
1 Л *1 Л 1 Л
558 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.22
Тогда в силу основных свойств антисимметричных
ft-форм в Rn (7.15)
5 Ь(и (x)dxl Д ... Д dxik =
•= 2 2 • • • P1/ b{ty (x) 2 P/1 • • • pj* dx1' A ... Д dx1* =
= 2 2 &/’ • • • b\kb (x) dx}' A ... A dx1* *=
(0 (/) tk ('
= 2 &<i)(x)dx4‘ A ... A dx1*,
(i)
так что форма (4) имеет инвариантный смысл. Заме-
тим, что форма (4) может иметь инвариантный смысл
и при более сложном, не тензорном, законе преобразо-
вания коэффициентов b(i)(x), примеры чего мы увидим
в дальнейшем. Число г — порядок гладкости коэффи-
циентов Ь<г)(х)—будет предполагаться в дальнейшем
достаточным для производимых выкладок.
в. Приведенный вывод показывает, в частности, как
можно строить на многообразии дифференциальные
формы. В одной какой-либо системе координат х* мы
можем взять выражение
(о=2 Ъц) (х) dx1' А... Л dx1*
(«)
с произвольными антисимметричными достаточно глад-
кими коэффициентами Ь^(х), а затем в любой другой
системе координат х1' положить
i' i'
(о = 2 ba') (x)dx 1 Л •.. A dx *,
«9
где Ь{П(х) получаются из Ьщ(х) по правилу преобразо-
вания ft-ковариантного тензора.
г. Антисимметричные дифференциальные ft-формы
на многообразии Мп (п 1) образуют линейное про-
странство бесконечной размерности,
7.22. Дифференцирование дифференци*
альных форм.
а. Пусть
(о=2 b({i} x)dx*' А ... A dx1* (1)
7.22
§ 7.2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
559
— антисимметричная дифференциальная /г-форма на
многообразии Мп. Рассмотрим выражение
да> = dx1 * * * Дdx1' А ... Adxift. (2)
Хотя коэффициенты —— уже не имеют, вообще го-
дх'
воря, тензорного характера (6.26), тем не менее напи-
санное выражение, как мы сейчас увидим, имеет инва-
риантный смысл вместе с самой формой а и тем самым
представляет собою новую антисимметричную диффе-
ренциальную форму, уже с k + 1 аргументами. Эта
(k 4- 1) -форма называется дифференциалом формы о.
б. Для доказательства инвариантности выражения
ды допустим сначала, что 6(ij(x) есть fc-ковариантный
тензор. Тогда по 6.26 (1)
р ,
db(i} (х)
дх1
дх
+ Р/'/Рг • • • Р%ц (*) + • • • + Р) • • • Р^_,Р'Л bt (х\
1 1 2 * » ft-1 ' ‘fe
i dzxis
где p?, = —?-------. Отсюда
s dxs * * * * dx1'
дЬ,,п (x) f f ('
‘ 7 -dx j\dxl A ... A dx —
dx1
==^V>jx) dxi Д dx1' A ... A dxk +
dx1
+ p'j.p'j ... p4(/)(x)p1 p*1 ... pkdx1 A dx'1 A .
''1*2 lk ‘ ' 4 'k
... A dxik 4- ... 4- p'* ... р'?~‘рд. b t (x) p pil..
‘1 ‘k-i >lk l ’ i h
... pikdx1 /\ dxtl A ... A dx'k —
= df>(° ;X) dx1 a dx1' A ... A dxtk +
dx'
560
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.22
+ p*l (х) dx1 Д dx1* Д dx‘a A ... A dx‘k + ...
i*i I h
... +р*?.р1 ptkbt(x)dx1 Adx** A • • • Adx'*'1 A dxlk. (3)
]ik 1 fk
i i i
Теперь заметим» что коэффициенты pl,p p*b(l)(x) сим-
I h '
метричны по номерам J и действительно, меняя их
местами, а затем заменяя f на и i' на получаем
p'l’p. pl = pi!l'pl'p,= Р/7РР •
i ’j II I »IJ I i I «1 1 ll
Поэтому, согласно 7.16 г, второе слагаемое в сумме (3)
обращается в 0. Аналогично обращаются в нуль и все
следующие слагаемые этой суммы, и мы получаем
dxl Л dx1* Д ... д dx1*.
что и доказывает инвариантный смысл выражения (2).
в. Цусть теперь ЬцДх) — произвольные коэффи-
циенты, заданные в каждой системе координат так, что
форма (1) имеет инвариантный смысл. Используя 7.16д,
запишем форму (1) в виде
®i = 2 a(/)(x)dx,« Л ... A dx>k,
где коэффициенты
О<Н=О(/)
являющиеся составляющими Л-ковариа'нтного тензора
{7.16 в), уже антисимметричны. Поэтому форма
= S Srfx’ A d*}> Л ... Л dxlk,
(/) (S)
7.22
$ 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ФОРМЫ
561
по доказанному, имеет инвариантный смысл. Но
дЬв) w _ 1 V »,... ik db»)W
&xs k\ jU ik dxs '
О (0=0 (I)
следовательно, инвариантный смысл имеет форма
d®i —
i
У
О)
(/)
dxs/\dxilf\...f\dx!k
Si V dbw W
kl 2j dxs
s O(i)=O(P
dxs A dx*' А A dx>k =
А.**— dxa A dx1' A . • • Adx'*
(a) О (/)=(«) L s O(i>=O(/)
Поскольку выражение в квадратной скобке не зависит
от конкретного выбора (/) с О(/)=(а), форма бю, при-
водится к виду
SS 2 ^^л^л-лл'*-
(о) s О ((>=(«)
°" jS S " dx3 A rf<<> Л ... A dxik = d&,
(О s
что и требовалось доказать.
г. Легко убедиться, что операция дифференцирова-
ния линейна: для любых fe-форм и ®2 и любых
чисел flj и «2
д (flj (0| -f- а2<о2) = G] d(0i + 02 д<о2.
Это вытекает немедленно из линейности операции диф-
ференцирования в множестве функций.
д. Дифференцирование антисимметричного тензор-
ного произведения производится по формуле
Э (со, А <02) — Л <02 + (—!)* ®1 Л ды2, (4)
562 ГЛ, 7, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 723
где k — степень формы ®lt Действительно, пусть
®1 = 2 f(a) (x)dxat Д ... Д dx“ft,
(а)
©2 = 2 g(a) (x)dx^ Д ... Д dx\
(₽)
©1 Л ©г = 2 2 Да) (х) g((5) (х) dxa' Д ...
... /\dxak Arfxf,‘A ... Adxp«.
Тогда по определению
d(©i А ®2) = ^^ A dxat Л ... A dx?>m~
w (₽) 1 °х
~^т gpdx1 A dxa' Л ... A dx&m +
(а) Ф) i
+ hdx0^ Л ... Adx₽m==
= Л ©г + ©1 А (— 1)" да2,
поскольку для получения да^ нужно dx1 перевести через
dx“>, ..., dxak.
е. Нам будет полезна формула, которая предста-
вляет собою частный случай формулы (4):
5 (и A dxm) = да Л dxm. (5)
Второе слагаемое .формулы (4) здесь отсутствует в силу
равенства
д(dxm) = д(1 • dxm)^^-—rdx1 Л dxm = 0.
7.23. Примеры.
а. Для 0-формы ® = f(x) имеем
Полученное выражение всегда инвариантно, так как
~fd*T есть одноковариантный тензор (6.24 б).
7.23
§ 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
563
б. Для 1-формы и = S ft (x)dx{ инвариантность
означает, что ft(x) есть одноковариантный тензор. Мы
имеем
0а>=S 2 а*1 л dx''
Построим для формы да первую каноническую запись
7.16 (2). Пусть (а) = (а1, а2), где И] < а2. Тогда по 7.16 д
~ O(^L. 8a>aiC<A ~
_ dfi (х)
В данном случае cJt=—^Г~> поэтому
- _ dfai(x) dfa<(x}
aata2 дха' дха2 »
и, следовательно,
S( dfa, (*) dfa, W \ J „ * A a.
I —Ц---------— j axa' Д dx11*,
\ dxa> dxai J
a,<a,
в. Для (n — 1)-формы ю, взятой сразу в первой
канонической записи 7.16(2)'.
® = ai(x)dx27\ /\dxtt—a2(x) dx1 Adx3A ...Adx“+
... + (-1)п~* an(x)dxl A ... A dxn~\
мы имеем
5a==-|p-</x’Arfx2A ... Arfxn —^|dx2Adx1 Adx3A ...
... Adx"+ ... +(-l)n-^-dx"Adx,A ... Arfx"-'j
отсутствие остальных слагаемых объясняется тем, что
dx1 Л dx1 = 0. Далее, переставляя первый множитель dx1
на i-e место, находим
д® = ("тт + • • • + А ... A dxn.
\ дх' 1 1 дхг )
г. ДлЯ n-формы и форма дю, как всякая антисим-
метричная (л 4-1)-форма, тождественно равна нулю.
564 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.JJ4
7.24. Теорема Пуанкаре.
а. Лемма. Для любой антисимметричной диф-
ференциальной формы <о на многообразии Мп
б2® ==з д (да) зэ О,
Доказательство. Пусть
« = 3 Де) (*) <*«“' A ... A dx°k.
(о)
Тогда, согласно определению 7.22 a,
да = У У dx1 A dxai Д ... Д dx°k,
(a) i °x
d2a = 6(6®) =
= E 2 S ^TTdxt Л dx' A rfx“' A • • A dx*h-
OX OX1
(a) « /
Коэффициенты получившейся формы симметричны по
индексам i и /; поэтому, в силу 7.16 г, форма д2 ® рав-
на 0, что и требуется.
Теорема Пуанкаре, которую мы будем доказывать
в в, есть (локальное) обращение этой леммы: оказы-
вается, если форма © такова, что да 0, то в окрест-
ности любой точки хеМ найдется такая форма 0, что
60=®. Вначале рассмотрим еще одну лемму.
б. Лемма. Если дифференциальная антисимметрич-
ная k-форма ® = 2 5(a) dx°l Д ... Д dx°k на многооб-
(«>
разии Мп такова, что 6®=0 и а не содержит dxn, то ее
коэффициенты аа не содержат хп.
Доказательство. Мы имеем
да = Е ' ~ dxl^dx°l А ... A dx°k =
(о) /
= Е —A dx°l Д ... Д dx°k + ®i,
(а)
где через ®i обозначена форма, не содержащая dxn.
Так как по условию 6®==0, то каждый коэффициент
в полученной форме после приведения подобных членов
7.24
« 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
563
равен 0. Выделенные члены в njaaaofi части не имеют
других, себе подобных; отсюда ... — 0. что и тре-
ох”
бовалось.
в. Теорема (Пуанкаре). Если антисимметричная
k-форма ю (й 1) в некоторой области многообразия
Мп удовлетворяет уравнению да—0, то в окрестности
каждой точки этой области существует (k — 1)-формав
такая, чтодв—а.
Доказательство. При л®1 и k>l теорема
тривиальна, а при k—l сводится к утверждению: вся-
кая 1-форма f(x)dx есть дифференциал некоторой 0-фор-
мы 6(Х). Это утверждение очевидно: искомая 0-форма
X
может быть задана выражением 6(х) = Да-
а
лее, предполагая теорему верной для всех й-форм в лю-
бом (п — 1) -мерном многообразии Mn_Jt будем доказы-
вать ее для произвольной й-формы <й= 2 f(a) Iх) dx*1 A
(о)
А • • • А йх“й в многообразии Afn.
В форме <в выделим явно члены, содержащие dxn-.
to = dxn A <»i + ®2; (О
здесь ин есть (й — 1)-форма, а сод есть й-форма, не со-
держащие dxn. Дальнейшее построение будем вести
в окрестности данной, точки хс = (х^ ..., xg). Без огра-
ничения общности можно считать х^= ... ==xg —0.
Через д0 будем обозначать дифференцирование по пе-
ременным х1, ..., х"-1. Сужение формы о на поверх-
ность хп=0 представляет собой й-форму юг, в которой
положено х"=0; обозначим эту форму через ыь- Пока-
жем, что до(ао) =0; действительно,
0 = да — да 1Х«=О= dxn /\ дах |хП==0 4- досо2 |хл=0 4-
+ &Adx"|xn=()=d0(o0. (2)
Заметим, что для любой формы у оператор дифферен-
цирования д0 перестановочен с подстановкой хп=0,
так что (доу)о==до(уо). Поверхность хп=0 сама являет-
ся (и — 1) -мерным дифференцируемым многообразием.
Б66
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.24
Применяя предположение индукции, находим, что в не-
которой окрестности точки 0 на поверхности хп—0 су-
ществует (k— 2)-форма 6о (от переменных х\ ...
..., хп~1), для которой
3q©o ®о- (3)
Будем разыскивать требуемую форму 0 в окрестности
точки 0 среди (k— 1)-форм, не зависящих от dxn. Для
всякой такой формы мы можем написать
de=dx" л-^г + аое. (4)
где ЗоО представляет собой форму, также не содержа-
щую dxn, а символ означает, что в форме 0 произ-
ведено дифференцирование по хп каждого коэффициен-
та. Поскольку решается уравнение 30=со, из сравнения
(1) и (4) видно, что было бы полезно вначале решить
уравнение
50
~дх* ~~
Уравнение (5) можно рассматривать как систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых
величины х1, ..., х’1-1 играют роль параметров, а число
неизвестных функций равно числу коэффициентов в фор-
ме 0 (и в ом). Для получения единственного решения
нужно к (5) еще присоединить начальное условие. В ка-
честве такового выберем
01хп=о = 6о5 (6)
где 0о есть решение уравнения (3).
По основной теореме существования для уравнения
с параметрами (1.65) решение системы (5) с условия-
ми (6) существует в некоторой окрестности точки 0 и
дифференцируемо по параметрам х1, .... хп-1.
Покажем, что уже для получающейся формы 0 вы-
полняется равенство 30=со. Действительно, рассмотрим
форму ф=30— и. Ее коэффициент при dxn равен
—©! = (). Используя условие 3©=0, находим, что
дф=320— Зсо=0. Поэтому, в силу леммы б, коэффи-
циенты формы ф не содержат хп. Положим хп=0, тогда
7.25
§ 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
567
в силу начального условия (6)
<р = (де —(0)1^0 =
= dx" л |*„=0 + 6о0 Ix«=o — со |j/J==0 = 6О0О — (00 = 0.
Следовательно, (f s 0 в окрестности точки 0 и найден-
ная нами форма <р удовлетворяет уравнению 60 = со,
что и требуется.
Форма 0 построена нами в данной системе коорди-
нат. Мы можем определить ее теперь в любой другой си-
стеме координат по правилу, описанному в 7.21 в. При
этом следует проверить, что и в любой другой системе
координат имеет место равенство 60 = и. Но для инва-
риантной дифференциальной формы, какой стала теперь
форма 0, ее дифференциал по 7.22 б также имеет инва-
риантный смысл. Поэтому равенство 60 — <в, получен-
ное в исходной системе координат, справедливо и в лю-
бой другой системе координат, что и завершает доказа-
тельство.
7.25. Применения к векторному анализу.
а. Вспомним основные дифференциальные операции
классического векторного анализа в трехмерном про-
странстве 7?з. В ортонормальных координатах х1, х2, х3
скалярному полю <р(х) ставится в соответствие вектор-
ное поле градиента
gra^«=(^-, £-).
Векторному полю W — (Wl} If 2, If») ставится в соот-
ветствие векторное поле ротора (4.24 г)
(dW2 дУг ЭГ3 авт, dw?\
rot w 0хз dx2 , dxi &x3 , дя2 dxl j
и скалярное поле дивергенции (4.15)
div W = + -g- + ^rr
oxl dx2 1 dx3
Все эти определения можно рассматривать как част-
ные случаи определения дифференциала для диф-
ференцальных форм, притом даже в n-мерном про-
странстве. Так, если скалярное поле <р(х) сопоставить
с 0-формой <р(х), то ее дифференциал 6<р(х) есть
568
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.2S
1-форма ~f dx1 (7.23 а), и, таким образом, он
< х
может быть сопоставлен с векторным полем grad <р (х)=
’ S)• Если вект°Рное поле W~=(Wb ...,Wn)
сопоставить с 1-формой со= У Wl(x)dxi, то по 7.23 6
дт= У (
а<Р '
дха
dWa(x)\
дх» /
dxa Д dx»-,
эта форма при п = 3 имеет три существенные соста-
вляющие, равные составляющим вектора rot IF. А если
это же векторное поле IF = (IFb IFn) сопоставить
с (п—1)-формой £= У IF;(x)(— l/*1 dx'/\ ... /\dx!Д ...
... Д dxn (где знак л показывает, что соответствующий
множитель отсутствует), то мы будем иметь по 7.23 в
dt, = dx1 /\ ... /\ dxn.
что соответствует скалярному полю div IF.
Равенство д2<р = 0 для скалярного поля <р может
быть теперь записано как rot grad <р = 0. Равенство
д2(л = 0 для векторного поля IF(x) в пространстве /?3
может быть записано как равенство div rot IF(х) = 0.
б. Векторное поле f — {fi(x), ..., fn(*)}, являю-
щееся градиентом скалярного поля 6(х), называется по-
тенциальным полем (4.216), а функция 6(х)—потен-
циалом поля f. Из теоремы Пуанкаре мы получаем:
Следствие. Если в области G пространства Rn для
\-формы f — ^fi(x)dxl выполняется условие
I
или, что то же (7.236),
Д_ = 0 (I, j = l....п),
дх1 дх1 ' ' ’ ' h
7.25
$ 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
569
то у каждой точки xgG существует окрестность, в ко-
о
торой поле f(x) потенциально, иначе говоря, окрестность,
в которой существует такое скалярное поле 0(х), что
f яа grad 0 или, что то.же,
дв(х)
дх1 ‘
Этот результат не является новым для нас—мы
получили его еще в 4.21 г из теоремы Фробениуса.
в. Рассмотрим (п — 1)-форму
w = 5(—1)/-’ ft (х)dx1 А . • • А . . • A dx*
с дивергенцией
п df
div © s= да — dx1 А • • • A dxn.
Если существует (п— 2)-форма 0 такая, что 30 = ©, то
div © = 0, и обратное также справедливо (во всяком
случае, локально) в силу теоремы Пуанкаре. При п = 3
з
(п — 2)-форма 0 представляет собой 1-форму S $i(x)dxl
или же векторное поле (01,02, 0з), причем 30 ассоции-
руется с векторным полем rot 0. Векторное поле W =
==(№'], W2, W3), являющееся ротором некоторого век-
торного поля 0 = (01, 02, 0з), называется векторно-по-
тенциальным, а поле 0 называется векторным потен-
циалом поля W (4.43 б). Из теоремы Пуанкаре мы по-
лучаем:
Следствие. Если в области G пространства Е3
векторное поле W— (IFb Ц72, Ц73) удовлетворяет условию
divlF==^L + ^+^ = 0,
дх1 1 дх2 1 дх3 ’
то у каждой точки MgG существует окрестность, в ко-
торой поле W векторно-потенциально, иначе говоря, ок-
рестность, в которой существует такое векторное поле в,
что W = rot 0 или, что то же,
пу 30g mr d0| d6g «г d0| dOg
dx2 dx3' " s~~ IF dx2’ dx2 dx3 '
570
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.31
Этот результат нам также известен (4.66). Соб-
ственно, идея построения 4.66, должным образом обоб-
щенная, и приводит к доказательству теоремы Пуан-
каре.
§ 7.3. Интегральные теоремы
7.31. Интегрирование дифференциаль-
ных форм.
а. Обозначим через lh единичный куб в ft-мерном
евклидовом пространстве Rh, выделенный в ортонор-
мальных координатах w1....uh неравенствами
0<Щ < 1, ....
Для функции f(u), определенной и непрерывной в
кубе существует ft-кратный интеграл Римана (3.15 б)
N
J f(u)du = lim
д wo ft
где, как обычно, П — {Д-’и} — разбиение куба Ih на
брусы Д^н, j == 1, ..., N-, | | — объем бруса Д’и;
с?(П)—наибольший из диаметров брусов А»и в разбие-
нии П; — произвольная точка бруса Д’ы. Всегда
можно считать, что брус Д’и определяется векторами
hi, ..., hh, исходящими из общего начала Поэтому
N
величина 2/(£/)|А^1 оказывается равной значению
линейной антисимметричной формы со(щ du1, dub) =
= f(u)dul Л ... Л duh при и = gj на векторах du =
— hi, ..., duh — hh (7.13в). Мы приходим к естествен-
ному определению интеграла от ft-линейной антисим-
метричной формы со:
J со эе J f(u) du1 Д ... Д duk — У f (и) du. (1)
Очевидно, что полученный интеграл от формы со об-
ладает обычными линейными свойствами интеграла от
обычной функции: интеграл от суммы двух форм равен
сумме интегралов, и числовой множитель можно выно-
сить за знак интеграла от формы.
7.31
J 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
571
б. В дальнейшем (д) мы определим интеграл от
^-линейной антисимметричной формы
(О = 2 Ao (х) dxz' Д ... Д dxik
(О
(2)
по некоторым «допустимым поверхностям» в п-мерном
элементарном дифференцируемом многообразии Afn, ко-
торые мВ! сейчас определим.
Множество S с Мп мы будем называть допустимой
k-поверхностью, если оно может быть представлено
с помощью уравнений вида
х^фЦы1, .... ик), х" = фп(ы1, ..., и*), (3)
где функции ф1, .... фп определены, непрерывны и об-
ладают непрерывными первыми производными в кубе /*.
Не предполагается, что отображение (3) взаимно од-
нозначно или что оно не вырождено (т. е. что якобиева
д(Ф», ...,<₽”) .. „
матрица имеет всюду ранг «). В частности,
допустимой ^-поверхностью может быть точка, а также
поверхность без углов; например, функции
х1 = и1 cos 2л и2, х2 — и1 sin 2л«2, х3 = ... = х" = О
отображают квадрат /2 на круг в пространстве Rn, так
что круг принадлежит к числу допустимых 2-поверхно-
стей. Заметим еще, что определение допустимой поверх-
ности в Мп имеет, очевидно, абсолютный смысл, не за-
висящий от специального выбора координат в Л4П.
в. Подчеркнем, что допустимая поверхность есть не
только геометрический образ в многообразии Afn, но
вместе с ним и система определяющих его уравнений
(3). Пока что мы должны считать различными поверх-
ность S, представленную уравнениями типа (3), и ту
же (в смысле геометрического образа) поверхность S',
представленную другими уравнениями типа (3). Так,
отрезок х1 — и, х2 = и, 0 и 1, на плоскости /?2 не
то же самое, что отрезок на той же плоскости, пред-
ставленный уравнениями х1 = v2 -|- v — 1, х2==о2 +
4-п — 1, O^o^l. Но, с другой стороны, сохранять
такие различия безоговорочно представляется нецеле-
сообразным: все-таки нас интересуют геометрические
672
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.31
характеристики поверхностей. Следует определить, в ка-
ком случае две допустимые поверхности мы должны
считать «одинаковыми». То первое, что приходит в го-
лову — считать две поверхности, представленные урав-
нениями вида (3), «одинаковыми», если они совпадают
как геометрические места точек в Мп, — на деле ока-
зывается неудобным, так как переход от одного типа
уравнений (3) к другому с помощью достаточно хоро-
шего преобразования координат в кубе не обеспечи-
вается еще совпадением геометрических мест. Поэтому мы
принимаем другое определение «одинаковости» или, лучше
«эквивалентности» допустимых поверхностей, а именно:
Поверхность S, представленная уравнениями (3), ко-
роче, S = {xeAfn: х — ф(и), называется эк-
вивалентной поверхности S={x<=Mn'. х=ф(ц), «е/*}
(в записи S ~ S), если существует диффеоморфизм (т. е.
взаимно однозначное, взаимно непрерывное и взаимно
дифференцируемое отображение) куба Ih на себя, v =
= и(ц), такой, что ф(и) = ф(о(ц)), и якобиан отобра-
жения v (и) положителен.
При таком определении соотношение эквивалентно-
сти становится возвратным (S эквивалентна самой себе),
симметричным (если S эквивалентна 8, то 8 эквива-
лентна S) и транзитивным (если S эквивалентна S, а 8
эквивалентна S, то S эквивалентна S), так что все до-
пустимые ^-поверхности разбиваются на взаимно непе-
ресекающиеся классы эквивалентных ^-поверхностей.
Рассмотренные выше отрезки на плоскости Иг- *’ — и,
х2 — и, О « =5= 1, и х* = о2 + v — 1, х2 = о2 + v— 1,
О «5 v 1, эквивалентны; а, например, отрезки х1 — и,
х2 —•и, О и 1, и х1 = о3, х2 = о3, О v 1, не
эквивалентны, так как в данном случае мы имеем u—v3,
что не является диффеоморфизмом отрезка /* (обратное
отображение не всюду дифференцируемо).
Мы должны еще показать, что определение эквива-
лентности имеет абсолютный смысл на многообразии Мп,
т. е. не зависит от выбора в Мп допустимой системы
координат.
Пусть поверхности S = {xeAf„: х==ф(и), u^Ik} и
S = {xeAl„: х — ф(п), v^lk} эквивалентны в коорди-
натах х = (х‘, .... х"), и пусть х1' — х‘'(х1, ..х")—
7.31
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
673
новая допустимая система координат. Уравнения х1 =
=q/(u) можно записать в виде х1'=х1’[<р1 (и), ..ф"(«)],
и аналогично уравнения хг=«=фг(и) могут быть записаны
в виде х1' = х1' [ф1 (о), ..., ф" (d)J. Системы функций
Ф^(н) и фг (о) также обладают непрерывными первыми
производными. При этом для v — v(u) имеем
«= X*' [ф1 (г>), ..., фп (и)] = X1' [ф1 («). ф" (и )] == фГ (и),
так что и в новых координатах поверхности S и $
эквивалентны.
г. Наряду с определением эквивалентности двух
Л-поверхностей S = {хе Мп: х = ф(«), ие Ik} и S =
— {хе Мп: х = ф(о), v е I*} применяется определение
их антиэквивалентности, которое отличается от опреде-
ления эквивалентности тем, что фигурирующий в нем
диффеоморфизм v = v(u) имеет не положительный,
а отрицательный якобиан. Отношение антиэквивалент-
ности является симметричным, но не транзитивным, по-
скольку из антиэквивалентности S и 8, 8 и S следует
эквивалентность S и 8. Антиэквивалентность переходит
в эквивалентность после дополнительного диффеомор-
физма куба Ih с отрицательным якобианом,- например,
переводящего и1 в 1 — и1 и не меняющего остальные
координаты.
д. Переходим к определению интеграла от ^-линей-
ной антисимметричной формы то (2) по допустимой fc-no-
верхности S cz Afn (3).
Мы полагаем
J A ...
s S (£)
/k to
~duh/\..
du*
(4)
Из тензорной инвариантности подынтегрального выра-
жения следует независимость интеграла от выбора си-
стемы координат в Мп.
574
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.31
Преобразуя правую часть (4), получаем
J <*= J 2 fw (Ф («)) 2 в» * дЛ1. ,.dJ^du'/\... Muk-
S ]k (i) (/) 1 11 du* dx'k
•= J 2f(o(4>(«))det|—^
/6 (4)
du1 A ... A duk—
“JSfw (<p(«w[4^
/6 (4)
did ... duk (5)
(r= 1, ...» k\ 8— 1, .... k).
e. Покажем, что значение полученного интеграла не
изменяется при переходе от поверхности S к эквива-
лентной поверхности S. Пусть и — u(v)— диффеомор-
физм куба Ih, приводящий от представления х = <р(н)
поверхности S к представлению х = ф(о) поверхности S'.
Используя правило дифференцирования сложной функ-
ции (1.33 б)
detl^| = detfeL|det|^| (T,s,q=\, .... k)
и правило замены переменных в кратном интеграле
(3.58 а)
J F(v)dv = J P(o(w))det|-|^-pw,
1к ik
перейдем в интеграле (5) от переменных и к перемен-
ным v; это даст
f f S|Ao(T(u))det|-^-|dw«
S ]k (4)
J 2f(o(4>(«))det
1к (4)
“ J det fe- |rfo»
(4)
что и требуется.
7.82
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
675
ж. Очевидно, что интеграл от /г-формы © по допу-
стимой ^-поверхности S обладает обычными линейными
свойствами интеграла.
з. Интегралы от данной А-формы © по дайной /?-по-
верхности S и по антиэквивалентной ей поверхности,
очевидно, различаются знаком.
7.32. Примеры.
а. Допустимой 0-поверхностью в пространстве Afn
является, очевидно, точка х — ф(0)—образ точки 0, ко-
торой является куб /°. Интегралом 0-формы f{x) по оп-
ределению является число f(<p(O)).
б. Допустимой 1-поверхностью в пространстве Мп
является, вообще говоря, линия — образ, отвечающий
системе уравнений
х1 = ф,(и), x" = <pn(«), 0^н^1. (1)
Интеграл от 1-формы © = 2Д(х)^л:< по 1-поверхности
(1) есть обычный криволинейный интеграл {09.91)
| © == J ft Mdx‘ = J* 2 fi (x («)) du- (2)
L L i 0 i=I
Если в пространстве Mn введена риманова метрика
gtj{x) и кривая (1) невырождена, т. е. sm>o.
то на ней можно ввести в качестве натурального па-
раме'тра длину дуги s, Os^s^S; тогда интеграл (2)
можно записать также в виде
©= J ^fi{x(s))~ds = J(/, x)ds, (3)
L 0 i=l О
где через f обозначен вектор (fi{x), ..., fn{x)), а через
(dx^ dxn \
-у-. ...» —у— I — единичный касательный вектор
as us f
к кривой L. В векторном анализе (в пространстве /?„)
выражение (3) называют интегралом векторного поля
по кривой L {4.21).
676
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.32
в. Рассмотрим еще интеграл от (п — 1)-формы
®=S(-iy-’fi(x)dx,A ... Arfx'A ... Л dx" (4)
i==l
по допустимой (п — 1)-поверхности S, описываемой
уравнениями
х1 = ф1 («’, ..., и"-1), )
................... | ие/г‘*.
х" = ф”(«1, ..un~l), J
Этот интеграл имеет вид
дх1 дх1
ди1 “ ди"'1
- Л П
J<o= J
S /п-l 6=1
дх1 дх1
ди1 " ди"-1
du1 ... du"-1.
дх" дхп
ди1 ' * ди"-1
Соответствующим понятием векторного анализа яв-
ляется поток векторного поля f по поверхности S
(4.12 а). Чтобы убедиться в этом, будем рассуждать
так. Пусть даны п — 1 векторов в евклидовом простран-
стве имеющих в ортонормальном базисе еь , еп
координаты
(I1,.... п = х.....( .......
1 1 I п-I п-1 п-1
Как мы помним (3.62в), выражение V ... V
et ... V 1 п-1
[х х ]== . = 2(-1)‘-ч i‘ ... if
1 п—1 _ е„ 1п ... Г 1 п-1 fs=l 1 1 п-1 ... г п—1
называется векторным произведением векторов х.
х.
п
7.32
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Б77
В евклидовом пространстве со скалярным произведе-
нием
п
(x, У) = ( 2 lleh 2 ) = 2 tf)
\ f=i /f=i / i=i
вектор [x,... ,x] ортогонален к каждому из векторов х,
I п-1 /
а длина его есть (п—1)-мерный объем параллелепи-
педа, построенного на этих векторах.
Предположим, что допустимая (п—1)-поверхность
S е Мп не вырождена, т. е. ранг матрицы Якоби
хп)
д(и1 ’ и"-1) ВСЮДУ Равен и — 1. Тогда векторы
, /дх' дхп\. .
ех==(—г, .... —-i-ldu1, ...
1 \ ди' ди' /
дх' дхп
дип~1’ ’ ’ ” дип~'
rfl—I
..d х —
п-1
линейно независимы. Эти векторы лежат в касательной
плоскости к поверхности S (в данной ее точке), и нор-
мальный вектор N в этой же точке можно определить
как их векторное произведение:
N — [dx, ..., d х ] =
I п-1
„ дх' дх'
ди1 dt/1-'
du1 ... dun~l
дхп дх*
п ди' " дип~'
дх'
дх1
ди' дип~'
п
дЯ1
ди' dif*~'
du1 ... dun~'.
дх* дх"
ди' ’' ’ du"-1
Соответственно единичный нормальный вектор в этой
точке имеет вид
т~ IJVJ*
578
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.32
Евклидовым элементом поверхности S называют
объем dS (п — 1) -мерного параллелепипеда, построен-
ного на векторах dx, ..., dx (ср. 3.62 в), т. е. длину век-
тора N. Поток векторного поля f(x) = (h(x), ..., fn(x))
по поверхности S в римановом пространстве Мп по оп-
ределению есть интеграл
J (f, m)dS== J (f, -^}dS =
S ,;n-T
dx* dx*
du1 " dun~'
(* п = J jn—l i=I dx1 dx‘ du1 ” dun~l
dxn dxn
du1 ' ' dun~l
du1... dll’1-1.
(5)
Мы видим, что интеграл от (п—1)-формы © (4) по
(п—1)-поверхности S в римановом пространстве Мп
совпадает с потоком поля f(x) через эту поверхность,
что и утверждалось.
Мы провели рассуждение для случая, когда отобра-
жение х — х(и) не вырождается. Но левая часть ра-
венства (5) имеет смысл независимо от отображения
х = х(и), если поверхность S кусочно-гладкая, т. е. мо-
жет быть разложена на конечное число частей, в каж-
дой из которых она имеет (свое) параметрическое пред-
ставление х — х(и) без вырождения. Правая часть ра-
венства (5) имеет смысл сама по себе и при вырожден-
ном отображении х=х(н). Покажем, что для кусочно-
гладкой поверхности S, представленной отображением
х = х(н) (/«->—>5), которое может вырождаться лишь
на гранях куба 1п~*, равенство (5) сохраняется. Дей-
ствительно, в указанных предположениях оно будет
справедливым для куба /^7*> концентрического с ку-
бом /п-1 и имеющим ребра длины 1 — е, и его образа
x(/"e)’l) = S(e) (соответствующие интегралы определяют-
ся без труда); переходя к пределу при е -* 0, получаем
требуемое.
7.33
S 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
579
7.33. Цепи и границы.
а. Формула Стокса — Пуанкаре, которую мы выве-
дем в 7.38, свяжет интеграл от (k 4- 1)-формы да по до-
пустимой (k 1)-поверхности в Мп с интегралом от са-
мой формы со по границе этой области, подобно тому
как классическая формула Ньютона — Лейбница
ь
J df(x) = f(b)-f(a) (1)
а
связывала интеграл от дифференциала функции f(x)
по отрезку со значениями самой функции f(x) на гра-
нице отрезка.
Мы должны определить, что такое граница (k 4- 1)-
поверхности S. Во-первых, эта граница будет представ-
лять собою некоторую совокупность ^-поверхностей, па-
раметризация которых выводится по определенным пра-
вилам из имеющейся параметризации поверхности S.
Тем самым в соответствии с 7.31 д определяется и ин-
теграл формы <о по каждой из этих ^-поверхностей. Во-
вторых, для составления интеграла от формы со по всей
границе некоторые из указанных интегралов будут скла-
дываться со знаками 4-, а другие со знаками — (как
и в формуле (1)). Точное определение границы и бу-
дет состоять в указании правила для составления ее
ft-мерных частей и соответствующего правила знаков.
В связи со сказанным введем определение цепи.
Цепью, точнее, k-цепью называется формальная сумма
т
вида c = где Sb Sm—допустимые ft-по-
верхности в Мп, а 61, ..., ет — числа, равны 0, 4-1, или
—1. По существу же цепь с задает схему интегрирова-
ния любой ft-формы «о:
т
J со = J} е{ J со. (2)
С fs=l Sj
Выражение (2) называется интегралом от формы со
по цепи с.
m р
б. Две ft-цепи с = 2 ei$i и = называют-
ся i=i
ся эквивалентными, если для любой ft-формы со,
580
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.33
непрерывной на Мп, имеет место равенство
с с'
(3)
Очевидно, две цепи, отличающиеся друг от друга
лишь порядком слагаемых, эквивалентны. Далее, если
цепь с' получается из цепи с заменой какой-либо fe-no-
верхности Si на эквивалентную ^-поверхность Si
(7.31 в), то цепь с' также эквивалентна цепи с (7.31 е);
то же будет, если цепь с' получается из цепи с заменой
какой-либо ^-поверхности Sj на антиэквивалентную
^-поверхность St с одновременной заменой соответствую-
щего коэффициента в,- на —е< (7.31 з).
в. Определение границы будет дано не только для
допустимых ^-поверхностей, но и для fe-цепей. Граница
цепи с обозначается через дс.
Пусть сначала с есть куб Ik с. Rn. Куб Ik есть до-
пустимая ^-поверхность с представлением
х* = «*, ..., хк — uk, xk+l ==...= хп == 0,
О^м' 1, i==l........k.
Положим для 1=1, ..., k
/,о=[хе/6: х' = 0, 0<х'<1, /=!,..., Г, .... k],
/(, 1 = (хе/й: xl— I, O^x^l, / = 1, 7,..., k}.
Множества 1ц о и 1ц ( являются (k — 1)-мерными гранями
куба 1к.
Они являются допустимыми (k — ^-поверхностями
при следующем параметрическом представлении:
1ц 0={х<=Яп: х* = н*, .... х'-1 =
х'==0, х<+*=«/, ..., хк~ик~1, х*+*=.. .—хп—0},
। = (х е х1 — и1, ..., хг-1 =
=u<-1, х,==1, х‘+1—и1, х^ы6"1, xft+l=...—хп=0).
7.34 § 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 581
Положим по определению
k fc 1
dlk = 2 [(-I)'li, 0 + (-l)<+7?. (-l)i+O7?_ a.
i=l <=1 a=0
Пусть x — x (и) есть параметрическое представление лю-
бой допустимой fe-поверхности S. Здесь мы полагаем
k 1
as = д (х (/*)) = 2 2 (-1 )i+a х (/£ а).
/=1 а=Н)
т
Наконец, для любой /г-цепи с — 2 fl/Sy мы полагаем
/=1
дс — 2 «/aS/.
7.34. Лемма. Из с~с следует дс ~ дИ.
Доказательство. Пусть сначала с есть 6-по-
верхность S в параметрическом представлении
х/ = ф/(и*, ..., «*), /=1, ..., п, ие1к, (1)
a c = S — та же ^-поверхность в другом представлении
х,=вф/(о1, ..vk), /=1, .... п, v^Ih, (2)
где ф(о) = ф(и(1>)), причем отображение u = u(v), или
в подробной записи,
и1 == и*(»1, ..., vk)
ик — uk(v\ ..., oft),
является диффеоморфизмом куба Ih. Поскольку отобра-
жение и = и{у) в главной части линейно и не вырож-
дено, оно каждую внутреннюю точку куба lh переводит
снова во внутреннюю точку и, следовательно, точку гра-
ницы в точку границы. Применяя это же рассуждение
к (k— 1)-мерным граням, получаем, что отображение
и — и(у) переводит внутреннюю точку грани во вну-
треннюю точку соответствующей грани и в целом каж-
дую грань переводит в грань. Из взаимной однозначно-
сти отображения и (и) следует, что оно переводит непе-
ресекаюшиеся грани снова в непересекающиеся, иначе
7.41 9 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
595
так что величина ? n есть n-ковариант-
ный тензор. С другой стороны, a(f) представляет собой
fe-ковариантный тензор (7.16 в), a gi}— дважды контра-
вариантный тензор; поэтому свертка (4) дает (п— ^-ко-
вариантный тензор, что и требовалось показать.
В ортогональном базисе имеем giS — gu — ду, и
формула (4) превращается в
“ Ckn 2 «• /n» ft.
При заданном (/) имеет смысл рассматривать лишь
мультиномера (/), дополнительные к (/). Если О (i) = (а),
О (/) = (¥)> то (7.16(5)), и поскольку
имеется лишь один строго упорядоченный мультиномер
(а), дополнительный к (у), то
t, Ckn ~ VI а ... ab I ... k ... п
O(V) =~kTa<M 71ъ1 ’... ...i.v ...у .'
RI ЛшЛ ••• ‘k ‘| lk »1 'П— k
(О
Выражение под знаком внутренней суммы уже не за-
висит от мультиномера (/), поскольку, по 7.11 (2),
е“«”Х
Ч ••• ‘к 1
...к ... п = a,...aft 1
... к ... п
•••“ftV,-V„_ft
— E“i •" «л v, ’":v„lft—(-O'
Таким образом,
b^-=^aMki(-i)^i+ 2
=адо)(-1)2°‘+
ft'(ft-H)
2
a no 7.16(10)
b^ = Ckn(ti-k)lb^^=Ckn(n-k)\aM(-l)^ t+ .
»(ft+l) j
Полагая теперь Ckn~(— 1) 2 (n —д); » мы найДем
b(v) = (-l)2°f6(a),
что совпадает с формулой (2).
7.34
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
533
разлагая последний определитель по /-й строке, мы по-
dd (а*, ..., а, ..рА)
лучаем, что и величина -----1------;и минор
dv*
йи* и du' du' du' *" dvk
dvl~' dv1*1
du^~l du!~l du!~l du!~x
dv1 ”• dv1'1 dvi + l dvk
dul+l du,+l dul+l du!+1
dv1 dv1"1 dvl+i dvk
duk duk duk duk
dv1 " dvl~l dvi+1 dvk
(4)
отличны от нуля, причем минор (4) имеет знак
(-1)‘+/sign•••> °.v*>
dv1
и1, ..., ui-1, v’+l, ..., vk.
из возможностей, представлен-
величина
Рис. 7.3-1.
ПОЛОЖИ-
а = р = О или
отрицательна,
при всех значениях
Но, как видно
' ных на рис. 7.3-1,
diJ (р1, ..., а, ...,
dv1
тельна, если
а = Р— 1, и
если а — 0, р = 1 или а = 1,
Р = 0. Таким образом, функ-
du1 (v*, а,.... vk)
ция ----1-----;------- имеет
dv1
знак (—1)“+₽.
Отсюда следует, что ото-
бражение грани /*а в грань
р по формулам (1) есть диффеоморфизм при четном
а + Р -j- i -J- j и антидиффеоморфизм при нечетном а+р4-
-Н +/. Поэтому k-поверхности ф(//, р) = ф («(/?, а)) и
(—1)“+в+/+/а) эквивалентны.
584
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.3В
В результате находим, что
k 1
as=2 3(-)'+пфШ,
i=l а=0
k 1
as-2 2(-i)'+*W.₽)~
J=1 ₽=0
k 1
~S S(-i)'M(-t)'+“+'+4(/f..)-=
7=1 ₽=o
k 1 fc 1
= 22 (- 1)'+“ф (/* a) = 2 2 (- i)‘+n<₽ (/.- a) = dS
/=1 0=0 i=l a=0
и, следовательно, dS ~ dS.
Отсюда на основании определения эквивалентности
цепей с и с и следует эквивалентность дс и дс, что и
доказывает лемму.
Для 0-цепи с, которая представляет собой конечную
алгебраическую сумму отдельных точек с целыми ко-
эффициентами, по определению полагаем дс — 0.
7.35. Следующая лемма п.0 форме напоминает лемму
7.24 а.
Лемма. Для любой k-цепи с имеем д2с ss д (дс)==О.
Достаточно рассмотреть случай k^2 и с =S — Ik.
При этом
k 1
dlk = 2 S a,
1=1 <i=o
k 1
d2Ik d (dlk) =2 S (- l)f+“ dlkr, «
i=l a=0
Символ Zf, a означает (k — 1)-поверхность с представле-
нием
/?. a = {x <= Rn- x' — Ul, Xl~l —
=и'~1, xl=a, xi+i=u{, .... xfe+1=.. .=xn~0}.
Согласно общему правилу
б-i i
^.a=S2(-l)/+₽(Zb)/,e:
;=I
7.36
$ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Ж
где (У* а)/, ₽ есть (k — 2)-поверхность с представлением
(ft \ n . vi_rt о f+i___________tli t-i__
V/, ct//, 0 X U , . . . f X р» X IL t • • • > X ——
— и'~2, x£—a, xk^=uk~2, ..., xft+1—.. .==xn=O}, (1)
если j <i, и представлением
(//. a)/. ₽={xe/?„: x'=u’, .... х'=а, xl+1=ul, ..., x/+'=
=p, x/+2 — u1, ..., xk = uk~2, xk+1 — ...== Xя = 0}, (2)
если i^i. Таким образом,
k 14—11
<я» - 2 2 2 2(-D'«+'«(/?.Д... (3)
1=1 a=o /=1 ₽=0 p
Фиксируем в этой сумме слагаемое (У*«)/.рС заданными
а, р, i, j, причем j < i. Оно имеет вид (1). Рассмотрим
теперь слагаемое (/*₽)i-i,a- Так как в нем У— 1^/,
то его выражение дается формулой (2):
(//+1. a)i,p— Rn' XI==UI, Х^=Р, X1 —
= a, xft —uft-2, xft+l == ... — xn = 0}.
Мы видим, что (//,₽)i,a==Qta)/.p" Таким образом, каж-
дое слагаемое суммы (3), в котором второй латинский
индекс меньше первого, аннулируется в сумме с другим
слагаемым, у которого второй латинский индекс больше
или равен первому. В результате вся сумма (3) равна 0,
что и требовалось.
Цепь с, граница которой равна 0, называется циклом.
Доказанная лемма утверждает, что всякая граница
есть цикл.
7.36. Теорема. Пусть w есть (п —1)-форма, диф-
ференцируемая в кубе 1п с У?п. Тогда
| да>— J ®. (1)
z" 01П
Доказательство. Без ограничения общности
форму ® можно взять в виде
(o = /(x)dx1A ... Л^х1/\ ... f\dxn. (2)
586 л- ?• ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ y gg
При ЭТОМ
да — (—!)'“* dx1 Д ... Л dx1 Л ... Л dxn.
дх1
По правилу преобразования интеграла в повторный
мы имеем
?^dx' ... dxn =
дх*
d^-dx^dx1 ... dxl~xdx1^
дх1 I
dxn =
| [f(X>, .... Xi-‘, 1, X<+«, Xn) -
Iя-*
— f(xl, ..., x<_', О, Х*+*, ..., Xn)]dX’ ...
... dx1"1 dx‘+l ... dxn. (3)
С другой стороны, как мы знаем,
/==1
где /"а есть (п — 1 ^поверхность с представлением
х' = и', ..., х> — а, ..., хп = ип~1 (а = 0, 1). (4)
Поэтому
п п
д‘п Чо ,=1 >1,1
Приведение этих интегралов к обычным (п — 1)-
кратным интегралам производится с помощью пред-
ставления (4). Так как в /-м слагаемом мы имеем
dxi — о, то из всей суммы остается лишь слагаемое
с / = i, ибо только в этом случае подынтегральное
7-37
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
587
выражение может не равняться нулю. Таким образом,
f <о = (—!)' f f(x’, О, xn)dx-j-
д!П
'".О
+ (-1)Ж
j f(xl, ...» 1.........xn)dx = J da, (5)
,n
О i *
и теорема доказана.
Формула (5) на самом деле есть просто формула
Остроградского 4.13 (5), сформулированная на языке
дифференциальных форм для случая, когда область ин-
тегрирования есть n-мерный куб.
7.37. Лемма. Для дифференциальной k-формы со(х)
операция д и переход к новым переменным х —
= х(м) (и = (м1, .... u,m)) перестановочны: можно
вначале совершить замену переменных, а затем взять
операцию д (уже по новым переменным).
Доказательство. Пусть сначала форма <в есть
функция (0-форма) f(x). Тогда мы имеем
i=i
df(x)
дх*
dx1,
п m
1=1 1=1
С другой стороны, совершая дифференцирование после
замены переменных, мы получаем
m
df(x(u)) = ^^^Ldul==
ди
— VIV df dxi I du1
*•' г
что совпадает с предыдущим выражением. Таким обра-
зом, для 0-форм утверждение леммы справедливо. Да-
лее действуем по индукции: предположим, что лемма
верна для любой fc-формы, и докажем ее для любой
688 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7,38
(k 1) -формы. Без ограничения общности можно рас-
смотреть лишь (k + 1) -форму вида © Л dxs, где со есть
fe-форма. Тогда по 7.22 ж
d (© Л dtf) = do Л dx\
д(® Adx?)[u] — da[u] fr^-^du1. (1)
С другой стороны,
(со Л dx®) [и] == © [ы] Л dxs [и],
и так как д2 = 0, то, дифференцируя по переменным и
и применяя предположение индукции, находим
д [(© Л dx®) [и]] = д (© [и]) Л dxs [и] =
т
= (да> (х)) [и] Л J du1. (2)
Сравнивая (1) и (2), убеждаемся в справедливости
леммы.
7.38. Теорема (Стокса — Пуанкаре). Пусть © —
дифференцируемая (k — 1) -форма в области 6сМ„
и с — любая k-цепь в G. Тогда
| d©== | ©.
с дс
Доказательство достаточно провести для случая,
когда цепь с есть допустимая ^-поверхность S. Пусть
х = х(и)—параметрическое представление S, причем
параметры и, как обычно, пробегают весь куб 7й. Со-
гласно определению 7.31 г интеграла от формы и по
лемме 7.37
j d©(x) = / (d©(x))[u] = j d[©(x («))).
S jk ]k
С другой стороны,
/®(х)= J ©(*(«)),
♦S Wfc
7.3»
$ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
689
и справедливость теоремы вытекает из равенства
J д[<в(х(и))] = J ю[х(п)],
/fe а/*
являющегося результатом теоремы 7.36 (для n — k).
7.39. Частные случаи теоремы Стокса-
Пуанкаре.
a. k = 1. В этом случае цепь с есть 1-цепь. Допу-
стим для простоты, что с представляет собой линию L,
т. е. образ х = ф(н) отрезка /* = {«: 0 и 1}:
L — {х ЕЕ /?„: X» =<р‘ (и),..., х" = Фп (и)},
где ф^'(н) —как обычно, функции с непрерывными про-
изводными. Граница отрезка /• есть цепь из двух то-
чек 0 и 1, первая со знаком —, вторая со знаком 4-. По-
этому граница линии L есть цепь из двух точек
ф(1) — ф(0). Форма ш является 0-формой ю = /(х) и
п
ды — Мы получаем формулу
1=1
п
I £-^^=Нф(1)1-Нф(°)]
J дх*
L 1=1
— хорошо известное обобщение формулы Ньютона —
Лейбница на криволинейные интегралы.
б. k = 2. В этом случае цепь с есть 2-цепь. Пусть
для простоты с = S есть образ х = ф(н) квадрата
F = {(«», н2)е R2: 0 а' < 1, О С и2 1}:
S = {х е /?„: х1 = ф1 (и1, и2), ...» хп = фп («’, и2)}.
Граница квадрата Р есть цепь /!, о + /г, t ~ /2,1 — /?,0.
Интегрирование по этой цепи состоит в том, что мы
должны взять интегралы по и1 при и2 — 0 со знаком +,
интеграл по и2 при и1 = 1 со знаком +, интеграл по и1
при и2 = 1 со знаком — и интеграл по и2 при их = О
со знаком —; в результате получается интеграл по
замкнутому контуру квадрата Р в положительном на-
590
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.39
правлении (рис. 7.3-2). Соответственный смысл имеет
интегрирование по цепи dS (рис. 7.3-3). Форма со в дан-
п
ном случае есть 1-форма 2 ft (x)dxf, и для нее
Х=1
да = У ft “ vr) Л (7.23 б)
— \ д* дхр /
а<₽
При п = 3 форме да можно поставить в соответствие
векторное поле
rntf— У __________________dfl 1
ги/ —(дх3 дх2 ’ дх1 дх3 ’ дх2 дх* J'
Согласно 7.32 в интеграл от формы ды по поверхно-
сти S есть поток векторного поля rot f через эту
поверхность. При этом направление нормали к поверх-
ности S определяется векторным произведением век-
дх дх
торов -^г и касательных соответственно к линиям
семейства и2 = С и и1 = С и направленных в сторону
возрастания параметров. Поэтому в правой системе ко-
ординат согласование направления нормали и направ-
ления обхода граничного контура осуществляется по
правилу: с конца вектора т обход граничного контура
кажется производимым против часовой стрелки (рис.
7.3-4). Мы получаем классическую формулу Стокса
4.26(5)1
j (rot f, m)dS= j (f, т) dr.
7.39
§ 7.3 интегральные теоремы
591
В классической формуле Стокса речь идет о кусоч-
но-гладкой поверхности S с кусочно-гладкой границей Г.
Формула, полученная нами, имеет дело с гладкой по-
верхностью, граница которой содержит не более четырех
угловых точек; чтобы перейти к общему случаю, до-
статочно заметить, что кусочно-гладкая поверхность
с кусочно-гладкой границей
всегда может быть разрезана
на конечное число частей, пред-
ставляющих собою гладкие по-
верхности с четырьмя углами
на границе; записывая полу-
ченную формулу Стокса для
каждой из этих частей и
складывая результаты, мы
получим формулу Стокса
в классической общности.
в. k = п. В этом случае цепь с является м-цепью, и
для простоты пусть с = G есть образ х — ф(х) куба
1п = {и е 0 и1 sC 1, ..., 0 ип 1}:
G={xE Rn: х1 = <р'(и1.и"), .... х" = ф"(ы1, ..ип)}.
Предположим, что якобиан отображения х — ф(п) не-
отрицателен и обращается в 0 лишь на множестве Z
размерности п — 2. Тогда внешняя нормаль к грани
/" а куба 1п всюду, кроме множества Z П /" а будет пе-
реходить во внешнюю нормаль к соответствующему
куску Sit а границы G. Так как внешняя нормаль
к грани 7" а коллинеарна к базисному вектору еь
а именно она представляет собой вектор
.....e/_lf ..........en].(-l)'-’==
= (—•l)n+'[e1.....et+i> e„],
то соответствующий вектор внешней нормали к куску Sfia
может быть задан выражением
__ N ________z |~дх дх дх дх ]
V~' 1АЧ ’ ......ди1~г ' dut+l....дип]’
592
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.8»
Форма <в в данном случае есть (п — 1)-форма
©==2 (—л Л dx/-1 A dx/+1 А ... Adxn,
/=i
которой мы сопоставляем векторное поле f = {Д, ..., f„).
Согласно 7.32 в интеграл J <в равен потоку по-
•0“«)
ля f через поверхность Sj,o с единичной нормалью
t^i, а === ^1, а/1 Nt, о |, ГДе
К, — дх дх JjLl — (_ni+“M
/,а ди‘~1’ ди‘+1 ’ ••"du"] v ° ’
иначе говоря, J (/,тЛа)</5 = J <о. Поэтому
ao i.1 М
= S S J 2 J (A "0^ =
i=l а=0 Slt а fe=l а=0 s{ о
= J (f, tn) dS.
s
С другой стороны, мы имеем
J*-I2
о a t=i
dfi И
dxi
dx1 А ... A dxn.
Таким образом, формула Стокса в данном случае при-
водится к виду
(1)
s fl /=1
и представляет собою формулу Остроградского 4.]3(6):
J (f, v)dS= J divf (x)dG.
s о
7:41 § 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 593
В этой формуле область G предполагается обладаю-
щей кусочно-гладкой границей S. В общей формуле (1)
граница имеет несколько специальный вид (образ гра-
ницы куба не может быть очень «угловатым», так что,
например, не может получиться многогранник с боль-
шим числом граней). Как и в б, от областей, участвую-
щих в формуле (1), к любой области G с кусочно-глад-
кой границей можно перейти, разрезав область G на
некоторое число частей, допускающих применение фор-
мулы Стокса, записав формулу (1) для каждой из них
и сложив результаты; мы не будем углубляться в эти
вопросы.
§ 7.4. Кодифференцирование
7.41. Сопряженная форма.
а. Пусть в пространстве Rn введено скалярное про-
изведение с помощью метрического тензора gt}. Тогда
среди всех базисов естественно выделяется класс орто-
нормальных базисов {еа}, для которых (еа, ев) =
Антисимметричную форму А (х, ..., х) всегда можно
записать в виде 7.16 (2);
А(х....х)=2а(а)Г‘Л ... Л|а\
1 k (а)
где суммирование ведется по строго упорядоченным
мультиномерам (а) = (аь ..., ай).
Определим сопряженную форму *А от п — k аргу-
ментов, положив в любом ортонормальном базисе
*А(х, ..., г)=2У’-Л ... А Г*. (1)
I п—k CV) 1 n—k
где (y) —(Yi> Yn-fc)-дополнительный к (а) (7.11 в)
и также строго упорядоченный мультиномер, а
б(у) = (-1)2о,й«». (2)
б. Можно непосредственно показать, что определе-
ние (1) — (2) не зависит от выбора ортонормального ба-
зиса (задача 16). Мы поступим иначе: будет дано дру-
гое определение сопряженной формы, н притом сразу
для любого базиса; инвариантность этого определения
594
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.41
будет следовать из его тензорной записи, а само оно
в случае ортонормальных базисов будет сводиться к оп-
ределению (1) — (2). С этой целью запишем форму А
в виде 7.16 (3):
А(х, ..х) = 2 0(0^’ Л ... Л $4
1 k (i)
с суммированием по всем строгим (k-n) -номерам (i),
причем коэффициенты представляют собой антисим-
метричные функции (k-n) -номера (t). Положим
*Л(х„ х)=2м/,л ... At'"-*, (3)
i n-k (/)
где __
ь(Л=Cjn 2 2 a(s)gliSt... g‘kSkei t* / ;;; /" k Vg . (4)
(0 (s) 1 к 1 n R
В этой формуле G==det|]gf/||, а ^„ — постоянная,
значение которой будет указано ниже.
Покажем, что определение (3)—(4) дает (п — /г)-ко-
вариантиый тензор. Мы имеем
det || gir (j = detfl^p^/, Ц = def (| det2|p‘, j;
далее,
Г
8?
fe ... n it ik /, Л-й__
l'kl'l-i'n-kPii ‘"Plkph '"P!n-k
1 ... k ... n
₽}'••• Pn
к Л
8/
откуда
n’ n ik
i'k—l'n-k==Pl’l *’* Pi'k‘" P
Следовательно,
'n—k
8 '
7.41
$ 1А. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
595
так что величина е* z n ]/detJg^J есть «-ковариант-
ный тензор. С другой стороны, представляет собой
fc-ковариантный тензор (7,/бв), a g'i— дважды контра-
вариантный тензор; поэтому свертка (4) дает (п — ^-ко-
вариантный тензор, что и требовалось показать.
В ортогональном базисе имеем = ёц = бц, и
формула (4) превращается в
b,n = C. S а,пв’ " j * " •
(/) (О if - lkff‘ in-k
При заданном (/) имеет смысл рассматривать лишь
мультиномера (t), дополнительные к (/’)• Если О(г) = (а),
O(/) = (y)> то = (7.16(5)), и поскольку
имеется лишь один строго упорядоченный мультиномер
(а), дополнительный к (у), то
г ___ Ckn ~ „а, ...аь 1 ... й ... п
Выражение под знаком внутренней суммы уже не за-
висит от мультиномера (/), поскольку, по 7.11 (2),
е“<-Х‘ " =еп>-%' - * •” п =
i ... k ... n t z
— «a, ...afc
Таким образом,
Г. Vai* Vo i
b(y)=^aMk!(-l)l ‘+ 2 =адп)(-1)^<+ 2 ,
а по 7.16 (10)
„ Vo I *(fe+l)
bw = Ckn(n-ky.b(y) = Chn (n-k)\ aM (-1)1 ‘+ 2 .
*(*+!) j
Полагая теперь Ckn = (— 1) 2 > мы найдем
Ь(¥)=(-1)2о/й(и),
что совпадает с формулой (2).
596 ГЛ, 7- ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.42
в. Примеры. Сопряженной к 0-форме С (постоян-
ной) является п-форма
CI1 Л ... Л Г-
п
Сопряженной к 1-форме У является (п — 1)-форма,
i—i
которая в ортонормальном базисе имеет вид
2(“1У а£ Л ... Л л V+1Л ... Л Г.
г. В общем случае имеют место равенства
* (аЛ 4* ЬВ) — а (* Л) 4- b (* В) (5)
(Л и В — антисимметричные fe-формы, а и b — числа) и
п (П +1)
*(*Л) = (—1) 2 А. (6)
Равенство (5) очевидно. Равенство (6) следует из ра-
венства
п(п+1)
(_l)2“(+2Vt_(_|)’+ —+«_(_}) 2
7.42. Сопря_женная форма в римановом
пространстве.
а. Теперь для данной дифференциальной /г-формы
со— 2 Л ... /\dxik =
2 й(о) (х) dx”1 Д ... A (fxaft (1)
(a)
в элементарном римановом пространстве Мп мы опре-
делим сопряженную (п — А)-форму * со равенством
* со = 2 Ьц) (х) dx1' А ... Д dxln~k s=
(/)
s S Ьм (х) dxv' А ... Л dxVn-ft, (2)
(V)
где, в соответствии с 7.41 (4),
fe(fe+n
»<n«=(-i) * 2“>•>««'’ «'Лх
(П (S)
,w|. (3)
7ДЗ
S 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
597
Если в данной точке система координат {xQ ортонор-
мальна, т. е. ёц = gll = dtj, то, как и в 7.416, можно
написать более простую формулу:
&<y)W = (-l)S4a)(x). (4)
где (у) — вполне упорядоченный мультиномер, дополни-
тельный к (а).
б. В соответствии с 7.41 г имеют место равенства
*(«1®1 4-a2®2)==ai(*®i) + «2(*®>2) (5)
для любых антисимметричных ft-форм и и любых
постоянных at и а2,
п (п+1)
»(*ы) = (—1) 2 ® (6)
для любой антисимметричной ft-формы <в.
7.43. а. Введем теперь операцию сопряженного диф-
ференцирования, или кодифференцирования антисим-
метричной формы на римановом пространстве. Эта опе-
рация определяется равенством
&я — *д*<й. (1)
б. Кодифференциал ft-формы есть п——ft)) =
= (ft—1)-форма. В частности, кодифференциал 0-формы
есть 0. Кодифференциал 1-формы a = ^ff(x)dxi есть
0-форма; вычислим ее в ортонормальных координатах:
* to= У (— I)1 f>(x)dx' Д ... Д dx<~' A dx>+l /\ ... A dxn,
i=i
d(*G)) = A dx1 A ...
/=i dx
... A dx>~} Л dxt+l A A dxn =
6(0 = * d 2
598 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.44
в. Кодифференциал, как и операции d и «, является
линейной операцией. Далее, из 7.42 (6) и ассоциатив-
ного свойства вытекает, что
й2 — (* д *) (* д *) = (* 3) (* *) (д *) =
п (п+1) п (п+1)
ж=(*5)(-1) 2 (5 *) = (-!) 2 (*д)(д*) =
п (п+1)
= (-1) 2 *(дд)* = 0.
7.44. Оператор Лапласа.
а. Важную роль играет оператор дб 4- Ъд. Мы пока-
жем, что в п-мерном евклидовом пространстве этот опе-
ратор в любом ортонормированном базисе, с точностью
до постоянного множителя, есть оператор Лапласа для
каждого коэффициента формы:
(дб 4- йд) J} ам (х) dxa' А ... A dxak =
(а)
= -(-i) 2 2iL~ (dxi}~dx л ••• Arfx • ( )
(«) /=1 1 '
Очевидно, достаточно рассмотреть при доказатель-
стве лишь одночленные формы. При этом без ограниче-
ния общности (изменяя при необходимости нумерацию
координат) одночленную форму со мы можем взять
в виде
со — а (х) dx1 А ••• A dxk. (2)
Для формы (2) мы имеем
*со = а(х)(—1)1+"‘ +kdxk+I Л ... Adxn,
d(.co)=(-i),+-+fej;
j=i
dx< A dxk+l A
... A dxn,
k
* (d * co) = (-1)1+ +k У (_ !)'+№+')+ ••+«)
Xdx1 A ... A dx< A ... A dxn,
7.44
§ 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
599
где знак dx> показывает, что множитель dxi должен
быть пропущен. Далее,
df>a = d*d*a —
п (п+1) JL Л2 I 1
•=(—1) 2 y(-l)/^§-rfx1A...A^/A...Arfxfc +
п (п+1) * “ ,, . .
+(-1) ‘ Ц(-1)' S
/=1 р=»+1
X dx1 Л ... Л dxi А •. . Adxk A dxP • (-1)*’1. (3)
Аналогично
<9® = £ ^-(-l)ftrfx’A ... Adx*Adxp,
p=fe+i
£ (-l)ft(-l)I+-+i+₽-^r-dxft+i A ...
p=4+l
... Adxp A ... A df,
n
d*d<0=(-l)1+-+ft 2 (~1)₽-^-dxft+1 A ...
p=s+l
... Adxp A ... Adxn-H-l)fc+(,+ "-+ft) £ (-1)₽X
p=fe+i
X У dx‘ A dxk+l A ... Adxp A ... A dx",
dxi dxP
i=i
6 да — * d * da =
_(_!)!+..•+* V (_!)(*+»+••+« dx'A...Adxk+
\yX )
p=*+l
n n
, t i\fe+(l+ — +W V V 52a(x) t 14j+(fe+l)+... +Л xy
H-1) L x
p=Hi /=1
Xdx' A ... Adx1 A ... Adxk=^
600 ГЛ. 7. .ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.45
п(п+1) " , , .
=-(-1) 2 2 ••• л^* +
p=fc+l
. , П (и + 1) JL * ,, . .
+ (-1) 2 2
— , “ дх1 дхр
p=k+l /=1
X dx* Л ... Л dx' Л ... Л dxk. (4)
При сложении (3) и (4) двойные суммы сокращаются,
и мы находим
п(я+Р " д2
® = — (— 1) 2 A®, A = V—г—, (5)
Й {дх }
что и требовалось.
б- В общем случае (риманово пространство и любая система ко-
ординат) оператор дб + бд называют оператором. Лапласа — Бель-
трами. Выражение оператора Лапласа — Бельтрами состоит из двух
слагаемых; в первом к форме <о применяется оператор V‘V<
(6.47 б, е), во втором фигурирует тензор кривизны риманова про-
странства (см. Ж- де Рам, Дифференцируемые многообразия. ИЛ,
1956, стр. 172—174).
7. 45. Построение формы ш по данным ды
и бм.
а. Пусть на римановом многообразии Мп заданы
(k—1)-форма р и (А 4- 1)-форма X; спрашивается, су-
ществует ли A-форма ® такая, что 6м = р, да> = X?
Если форма м существует, то бр — б2® = 0 и
дХ = д2ы = 0, так что в общем случае равенства
др = 0, 6Х = 0 являются необходимыми для существо-
вания искомой формы.
Оказывается, эти условия являются и достаточными,
во всяком случае в предположении, что форма р и X
финитны, т. е. их коэффициенты обращаются в 0 вне
некоторого компактного множества в пространстве Мп.
Мы приводим в г простое доказательство *) этого
утверждения для случая, когда Afn = Rn есть п-мерное
линейное пространство. (В общем случае доказатель-
ство много сложнее; см., например, книгу Ж. де Рама
«Дифференцируемые многообразия^ ИЛ, 1956, гл. 5.)
) Предложенное И. Я- Дорфман.
7Л5
$ 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
601
б. Рассмотрим вначале частный случай, когда фор-
ма X есть тождественный нуль.
Выберем в пространстве /?„ ортонормальный базис
и положим PW=SPaW^a| Л ...
(a)
кп
-———2 dx ‘ л ... Л dx *-».
|ж-у|
Вычислим дф и бф. Мы имеем по 3.77ж
(a) i=l |_ЛП J
= (л- 2) J] J J И“^dy Х
(а) <=1 |_«п
X dx* Л dx“l Л ... Л dx“fc-«.
Обозначим через (Р) = (рь .... Рл-fe+i), мультиномер,
дополнительный к (а), и через pjp) (у) величину
(_!)“.+ ••+“*g(a)(y). Тогда
* ф
P(P)(y)dy
|х — у\п~2
dx^ Л ... Л dx₽"-fe+«,
Ф» «=1
Lr,
Г P(B)(y)dy
J I х ~ у 1П—2
х dx* л dx₽‘ Л ... Л dA-fe+’ =
- S S J дУ11 х - г-2 х
ф) t=l L Rn У1 J
X dx* Л dxe> Л ... Л d?«-*+‘ =
602
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.45
п
1______
„ in—2
L. Пп »-----
Д dx₽I Л ... Л dx(’n~k+> +
+еПт7-^:' ''
(₽)
LRn
(1)
вне
Л dx^ Л ... Д dx₽fl~ft+1.
По условию функции р(*р)(у) обращаются в 0
некоторого шара S. Обозначая v = (-v(, ..., vrf) единич-
ную внешнюю нормаль к поверхности шара S и при-
меняя теорему Остроградского, находим
«—1
г Г" 1
= J ^=0-
dS I Ui Lf=i J
С другой стороны,
2 dx A dx^ A ... A dxe«-ft+« = д(* p(x))=
n (fl 4-1) n (fl 4-1)
= (-l) 2 (**)d(*|x) = (-l) 2 *6p=0.
Таким образом, оба интеграла в (1) равны нулю. По-
этому
6ф = * д * ф = о.
п (п4-1)
Используем далее формулу fid 4- dfi — — (— 1) 2 А
(7.44(5)). Величину Дф в данном случае можно полу-
чить из 4.42(9), именно:
Л<Р = 2 S J А • • • a dxa^ =
== Sfl (2 — n)^ pta) (х) dx“‘ Д ... Д dx“ft-« = S„ (2 — п) р,
(а)
7.45
§ 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
603
где Sn — поверхность единичной сферы в /?„. Следова-
п (п+1) п (п+1)
тельно, бдф = —(—1) 2 Дф = (п —2)S„(—1) 2 р.
п (п+1)
(_п 2
Полагая со = -, с—дф, находим бсо = р, д<о = 0,
\п *->n
что и требовалось.
в. Рассмотрим другой частный случай: дана (k 4-1)-
форма Я, с дЛ = 0 и (k — 1)-форма ц = 0; мы желаем
найти fe-форму со так, чтобы иметь до = к, бсо = О.
Форма *Я, имеет степень n — k — 1; для нее
п (п+1)
б(* я,) = * д * * К = (—1) 2 *дЯ, = О.
По доказанному в б, существует (п — /г)-форма g, для
которой
6g = * Я,, dg = 0.
Покажем, что й-форма со = * g является искомой. Дей-
ствительно,
п (п+1)
da = *d**g = (—1) 2 *6g —Я,,
п(п+1)
f>a> = *d**g — (—1) 2 *dg = 0,
что и требуется.
г. В общем случае для заданной финитной (k — 1)-
формы р с бр = О и заданной финитной (Л + 1)-формы Я,
с дЯ, = О мы найдем сначала Л-формы ©i и со.2, для
которых
бсо, = р, до»! = 0,
б©2 = 0, dto2 = Я.,
а затем сложим их. Полученная форма
о = й1 + ю2 (2)
дает решение поставленной задачи, так как
дсо = ди>2 — Я,, бсо = б©] — р.
д. Исследуем вопрос о единственности решения.
Пусть для данных форм р и Я, существуют две Л-формы
и и й такие, что
да> = дй = Я,, б© = бй — р.
604
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.45
Тогда форма 6 = й— <о удовлетворяет соотношениям.
60 = 0, 68 = 0. (3)
Формы 0, для которых выполняются условия (3), на-
зываются гармоническими формами. Если форма 0 яв-
ляется гармонической, то Д0 = с(дб + 6д)0 = 0, так
что все коэффициенты гармонической формы суть гар-
монические функции. (Обратной, вообще говоря, не-
верно: коэффициенты гармонической формы не могут
быть произвольными гармоническими функциями, так
как они связаны между собою равенствами, вытекаю-
щими из (3).)
Найденное нами решение (2) имеет, очевидно, коэф-
фициенты, стремящиеся к нулю при |л|->оо. Если дру-
гое решение й .также обладает этим свойством, то и
гармоническая форма 0 = й — <о также обладает этим
свойством. Но гармоническая функция, стремящаяся кО
при |х| —► оо, есть тождественный 0 (4.54 в). Поэтому
в классе всех k-форм, коэффициенты которых стремятся
к 0 при |х|—>оо, найденное решение единственно.
е. Полученному результату можно придать еще сле-
дующую форму:
Теорема. Каждая k-форма й с финитными дй = X
и дй — р может быть представлена в виде суммы f + g
двух k-форм f и g, причем df = 0, 6g = 0. Это пред-
ставление единственно в классе всех k-форм, коэффи-
циенты которых стремятся к нулю при |*|—►оо.
Для доказательства заметим, что, поскольку дХ = 0
и др = 0, можно построить такую форму <о = <oi + <02,
что
б©! — р, дм, = 0,
ди2 = 0, д®2 = X.
В силу доказанной уже единственности формы ® и й
совпадают, что и дает искомое представление й = coi 4-
,+ о>2- Оно единственно в указанном классе форм по тем
же соображениям, что и выше.
ж. Рассмотренная нами задача является прямым об-
общением задачи о построении векторного поля по
вихрю и расходимости. Действительно, в трехмерном
евклидовом пространстве обычные операции векторного
анализа grad ф, div/ и rotf, как легко убедиться, могут
в
ЗАДАЧИ
605
быть следующим образом выражены через д, б и *
(с точностью до знака):
grad <р — dtp, div f = * д * f =з df, rot f = * df.
Пусть теперь заданы (финитные) функции и(х)
(U^RS-+Ri) и R(x) (UеЯ3-*Яз) с divR(x)==0
и требуется построить векторное поле f, для которого
div f=u, rotf=R. Мы можем данное скалярное поле и
трактовать как 0-форму, а потому, как для любой
0-формы, мы имеем би = 0. Другое заданное векторное
поле R будем трактовать как 1-форму с 6R = 0 или, что
то же, d(*R)—0. Тогда поставленная задача равно-
сильна отысканию векторного поля или 1-формы f, для
которой 6f = <р, «(df) =R или df = »R. Но это и есть
применительно к данному случаю рассмотренная нами
в а общая задача, и, значит, она разрешима (для фи-
нитных функций и(х) и R(x)) в силу г; ее решение
в силу d единственно в классе всех векторных полей
f(x), стремящихся к нулю при |х|—» оо.
ЗАДАЧИ
1. Формы вида Е(а) (к> •... х) = 2 5*1 ^симметричны}
1 k k
онн называются элементарными симметричными k-формами. Показать,
что каждая симметричная 6-форма представляется однозначное виде
линейной комбинации форм
2. Какова размерность пространства симметричных 6-форм в /?„?
3. Показать, что каждая билинейная форма А(х,х) представ-
1 2
ляется в виде суммы симметричной и антисимметричной билиней-
ных форм.
4. Показать, что не всякая 6-форма при k > 2 представляется
в виде суммы симметричной и антисимметричной 6-форм.
5. Положим для любой 6-формы А (х, к)
1 k
SymA(x,.... *)=~Va(x, .... х).
1 к М ». >k
Показать, что Sym А (х.....к) — симметричная форма: если
1 k
А(х, ..., х) симметрична, то Sym А — А, и обратно.
1 k
6. Упорядоченный (б-п)-номер (а), всегда можно записать
в виде
(а) = (1,..1, 2,.... 2,.,п^.., я),
р1 раз рг раз ра раз
60& гл. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
где числа pt,.... рп заключены в пределах 0 р( k и р. = k.
Совокупность (рр .... pft) называется характеристикой мультнно-
мера (а). Показать, что
Sym l'1... g'fe - Sym f1... g“fe = ~ B(a) (x......x),
Ik Ik kI i k
где (a) = 0(«), (pt,pn) — характеристика мультиномера (о),
£(tt) — симметричная элементарная форма (задача 1).
7. Симметрическим тензорным произведением A-формы Д и
m-формы В называется (fe + т)-форма
А V В = Sym (А X В).
Показать, что операция V дистрибутивна со сложением и ассо-
циативна.
8. Показать, что
Ъ*' V ... V &'*= = P1* Р- Ею (*.....*) = Sym . |Ч
9. Показать, что всякая антисимметричная (п — 1)-форма в /?д
может быть представлена в форме
V ... V а1
1 п-1
А (х,..х ) = .................,
1 п-1 ... |п ап
1 п-1
где а1,..., а" — фиксированные (для данного базиса) числа.
10. Проверить формулу
A AB = (-l)feBA А,
где k — степень формы А.
11. Пусть Р — ||а<,|| — обратимая пХп-матрица и Р{— обрат-
ная к ней. В матрице Р возьмем минор М на строках и столбцах
с номерами 1...k, в матрице Р~1 — минор Т на строках и столб-
цах с номерами k + 1, ..., п. Доказать, что Т = M/det Р.
12. Показать, что коэффициенты a(a) второй канонической записи
антисимметричной формы (7.16 а) при нзмененин системы координат
V == р№' преобразуются по формуле
(-02 V) = S й(“)det I I ’
(a)
гДе (p|) н (Pr) — строго упорядоченные мультнномера, дополнитель-
ные к мультиномерам (а) и (а')-
В частности, коэффициенты Ь1 (п — 1)-формы
А(х... xJ-SMy-’fcl1 А ... At'A ... Л1п
1 и—1 i
18 ЗАДАЧИ 607
преобразуются, как одноконтраварнантные тензоры
1,1 =='dHP’Si''p‘
I
с «весом» 1 /det Р.
13. Для общей дифференциальной формы
® = 2 f(0 (*>dx*1 • • • ахЛ
<0 1 k
можно определить три дифференциала:
_ V V ^<0 М I j li j *h
Dot = 7,7.-----;— dx dx 1 ... dx ,
~~ dx} 12 fc+1
do> == Sym Do, do = Alt Do.
Показать, что для антисимметричной формы о дифференциал д
совпадает с дифференциалом, определенным в 7.22.
14. Показать, что
d f (о (х) dx4 V ... V dx'^ =
V (О /
mi м
15. Показать, что d (о, X о2) = dot V «2 + ®i V do2.
16. Пусть A=2s(«)B”1A ... Л£а<: и в каждом ортонор-
(“> _ 2 а
мальном базисе положено о(у> — (—0 £“(а)> где (у) — строго
упорядоченный мультиномер, дополнительный к (а). Показать пря-
мым вычислением, что форма 2S(Y)^'A A£V" к инва-
(V)
рнантна относительно ортогональных преобразований координат.
17. Для любой й-формы ы =/= 0 на элементарном дифференци-
руемом многообразии Мп указать ft-цепь с, для которой J о> =/= 0.
с
18. Показать, что для любой ft-цепи с с дс = 0 и любой ft-формы
<в с д<о = О на многообразии Мп имеет место равенство
J <о = О.
608 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
Историческая справка
Многомерное обобщение теоремы Стокса получено впервые Пу-
анкаре в III томе его «Йебесной механики» (1889). Затем новую
формулировку этой теоремы, уже вполне близкую к современной, дал
Э. Картан (1899), создавший исчисление антисимметричных диффе-
ренциальных форм; алгебраическая часть этого исчисления ведет на-
чало от «Учения о протяженности» Грассмана (1844, 1861), где,
между прочим, впервые появилось «n-мерное пространство». Понятие
кодифференцнала формы было введено Брауэром для евклидова
пространства (1906) и Вейтцеибоком для риманова пространства
(1923). Задача о построении дифференциальной формы по ее диффе-
ренциалу н кодифференцналу была поставлена и решена (для ри-
манова пространства) Ж. де Рамом в его книге «Дифференцируе-
мые многообразия» (1956).
Указания и ответы к задачам
К гл а в е 1
1. Указание. Рассмотреть последовательность точек
фп = 1/«, гп = \/п.
2. Указание. Из всякой последовательности {фп, р») -> 0 (0
2л) можно выделить подпоследовательность (фп<,- ₽nft)> У
которой числа фп^ имеют предел.
3. Указание, а) у линейна на каждом луче; б) эта линейная
функция на прямой не должна иметь излома; в) если она диффе-
ренцируема, 'она должна совпадать со своей главной линейной
частью.
4. Указание. Использовать теорему о среднем (012.26).
6. Ответ.
df
dx2 _ дх2
dx, “ df '
дх,
6. Ответ. Уравнение
[(х - а)* + + a’) -j- = М
при Ь < а изображает_пару распавшихся кривых, при Ь — а — лемни-
скату, при а<Ь<аУ^2 —кривую с четырьмя точками перегиба, при
b а — выпуклую кривую.
7. Ответ. Например,
х, = cos ф, х2 — sin ф, 0 ф < 2л.
8. Указание. Использовать формулу Ньютона — Лейбница.
9. Указание. Использовать трн факта: а) градиент функции г
есть единичный вектор; б) диагонали ромба пересекаются под пря-
мым углом; Ь) градиент ортогонален к поверхности уровин.
10. Указание. Если для любой функции h(t) еСт(а,Ь) и не-
которой функции g(t) eCr(a,b) выполняется равенство
ь
J g (t) h (t) dt = 0,
а
то g(t) ss 0.
ею
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
II
Ответ. Решения функционального уравнения
og
11. Ответ. xt (t) = — 4- (t + 1) — локальный максимум; х2 (1) =«
= — (/ + 1) — локальный минимум.
12. Ответ. x(t) в 1.
13. Указание. При указанных условиях оператор
Лх = х-(Г(«)]"’/(«)
является сжимающим; ср. доказательство теоремы 1.53.
14. Указание. Рассмотреть эту функцию на какой-нибудь прямой,
проходящей через начало координат. ____
15. Указание. В гильбертовом пространстве |х[ = 1/Г(х, х).
16. Указание. Взять смещение в форме (0, .... О, Л, 0, ...),
|Л| < б- Использовать общий вид линейного функционала в Л.
17. Указание. Заменить в уравнении (1) у на Лохг’ и показать,
что полученное уравнение
<р (х, к) е f (х, ДоУ^’и) = О
удовлетворяется значениями х » 0, и — 1, причем
ди ’
далее использовать теорему о неявной функции.
18. Указание. Заменить в (1) у на До^а (1 + Во*’*п); далее дей-
ствовать, как в задаче 17.
19. Указание. Использовать 1.34г и 1.46.
20. Указание. Все функции f(x) с фиксированным значением f'(a)
входят в один и тот же класс.
21. Указание. Если функция f(x) е И равна 0 в окрестности V
точки х, а функция Л(х) е И равна 0 вне V, причем п(а) = 1, ре-
зультат получается применением функционала D к /(х)-Л(х). Пока-
зать, что любая функция f(x) е/(«) есть предел по норме И функ-
ций, обращающихся в нуль в окрестности точки а.
22. Указание. По задаче 20
23. Ответ. Например, оператор f(x) в окрестности луча, опреде-
ляемого базисным вектором еп, можно задать формулами
Х ( х при |х|>1/л,
а в остальной части пространства положить =0.
к.ГЛАВЕ 2
в»
24. Ответ. Например, на луче с аргументом <р функцию f(x, у)
задать графиком типа, показанного на рис. У-1. Тогда в плоскости
{х,у} по дифференцируемой линии, отвечающей точкам максимума
указанных кривых, функция f(x,y) имеет в начале координат ненуле-
вую производную.
25. Указание. Использовать идею построения в задаче 24; задать
искомую функцию на луче, определяемом базисным вектором еП1
графиком типа, показанного иа рнс. У-1.
26. Указание. Использовать 1.34 в.
К гл а в е 2
1. Указание. В соответствующем четномерном подпространстве
произведение характеристических корней оператора отрицательно,
следовательно, имеются положительные и отрицательные корни, а
они и есть канонические коэффициенты формы.
2. Ответ.
сРх^ = х-’/ыг'Лх-' -|- x-'kx-yix-1.
3. Ответ.
ч>"(у)ря = -If'WF'-rW •[Г(*)]->[Г(*)]-,<7. е у-
4. Указание. Первая часть следует нз теоремы об условном эк*
стремуме. Для построения примера рассмотреть функцию у «= х2
(Ri-t-Ri) при условиях х2==Сх, с различными С.
5. Указание. Применить критерий 2.63 а.
6. Указание. Функция П1(х) и аг(х) не непрерывны.
7. Ответ.
(hu kt е= X,).
8. Указание. Продифференцировать соотношение {ffh, tfk) =я
«=Х2(Л,А) по любому вектору I и полученное равенство процикли-
ровать по Л, k, I. Используя произвол в выборе I, получить равенство
y"hk «= 0.
9. Указание. Сначала произвести инверсию! использовать за-
дачу 26 к гл. 1.
612
УКАЗАНИЯ И ОТЛЕТЫ К ЗАДАЧАМ
10
10. Указание. Равенство (y'h, y'k) = 0 дифференцировать по I
и затем циклировать по h, k, I.
II. Указание. Использовать тот факт, что в задаче 10 вектор I
можно взять произвольным ортогональным к h н k.
Ответ.
.. .. Их) ft У(х)й
р м*) Их)
12. Указание. Продифференцировать по любому I равенство за*
дачи 11, учитывая найденные значения ц н v, и убедиться, что век-
тор-функция p"lk y'h симметрична по I и h. Использовать незави-
симость y'h и у’1.
13. Указание. Сначала проверить, что p"hk = а(х) (ft, ft). Затем
продифференцировать по любому I н использовать симметрию третьей
производной.
14. Указание. Проинтегрировать результат задачи 13.
16. Указание. Применить результат задачи 14 к отображению
у(х) и к обратному отображению.
16. Указание. При а Ф 0, р ¥= 0 функция
1*1
= f а/2 + р
о
представляет собою трансцендентную функцию, а из результата за-
дачи 15 видно, что эта функция —’алгебраическая.
17. Ответ. Теорема 2.61 а дает необходимое условие разреши-
мости системы прн любых начальных условиях (в окрестности дан-
ной точки). Приведенная система не имеет решений с начальными
условиями 2(0,0) = е > 0.
18. Указание. Использовать теорему 2.61 а.
К гл а ве 3
х
1. Ответ. I .== J (х* — и2)" f (u) du.
о
„п/2
2. Ответ. Z =*=
/det IIЛ ||
СО
3. Ответ. Z = S„-1(1) j rn~lf(r)dr.
о
1
4. Ответ. I _ S„_2 (1) j f (ft)/Г^й2 dh.
-I
Ct®
6. Указание. I Пда |/2л = 1 + С + ...
1
К ГЛАВЕ 4
613
6. Указание. Можно выбрать исчерпывающую последователь-
ность областей с поочередным преобладанием положительных значе-
ний функции Цх) или же отрицательных ее значений.
На [0, оо) другое определение сходимости интеграла (меньше сво-
боды в выборе допустимых областей).
7. Ответ. Например, множество Р представляет собою нежор-
данову ячейку.
8. Указание. Предельный отрезок нельзя считать однородным.
9. Указание. Достаточно рассмотреть случай k = 1; использовать
принцип Кавальери и соотношение (012.476)
Я/2
f cos2" t dt
о
10. Указание. То же.
II. Указание. Использовать принцип Кавальери и индукцию
по п.
12. Указание. Аппроксимировать функции fi(x), ..., fn(x) ку-
сочно-постоянными. Использовать 3.55 в.
13. Указание. Интегрирование провести вначале по сфере ра-
диуса г и затем по г от 0 до оо. Для сферически симметричной функ-
ции f(x) « g(r) получить формулу
оо
Ф(а)=| [ J e-"a,rcosed£elg(r)r"-’ dr.
о Lr J
14. Ответ.
00
4л Г
ф(а) =---- rg(r) sinprdr, p=|ff|-
Р S
15. Указание. Использовать правило дифференцирования несоб-
ственного интеграла по параметру (3.74 е).
16. Указание. В новом базисе записать данную форму в виде
суммы квадратов. Использовать метод 015.32.
К гл а в е 4
1. Ответ.
rot Р(А) = (рф'(р) + 2ф(р)]й.
где ф (р) ==» I — -, g—единичный вектор вдоль прямой К. Равен-
ство rotP(A) = 0 имеет место -при f(p) = С/р.
614
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
2
2. Указание. Для кривой у — ф(х) кривизна выражается фор-
мулой
Использовать формулу 4.15 (2).
3. Указание. Если уравнение семейства поверхностей взять в
форме <р(Л4) «= С, то условие задачи записывается равенством
grad <р = X/?.
Для исключения X и ф применить операцию rot.
4. Указание. Образовать на поверхности S замкнутый контур из
линии L, двух кривых у(М) и произвольной дуги и применить тео-
рему Стокса.
5. Указание. Использовать задачу 4.
6. Указание. Область неодносвязна; локальный потенциал
arctg (у/х) не продолжается во всю область как однозначная
функция.
7. Указание. Применить к указанной области формулу Стокса.
8. Ответ.
в (0, г/) ii-^
-----п-р- ПРН !{/!>'•.
F(y) = |£/|
„„„ |е|<,.
0. Указание. Использовать неравенство
10. Указание. Перейти в неравенстве задачи 9 к пределу при
г ->оо.
II. Указание. В формуле Пуассона перейти к градиенту и оце-
нить gradP(x, р) при у = г.
12. Указание. Для внутренних шаров фиксированного радиуса
применить результат задачи 11 и затем использовать теорему о ко-
нечном покрытии.
13. Указание. Учитывая результат задачи 12, применить теорему
Арцела.
14. Указание. Использовать неравенство задачи 9 и результат
задачи 11.
15. Ответ. Нет, так как на нем нет непрерывного нормального
вектора.
К гл а в е 5
1. Ответ. 2
К гххгуу гху
(1 + 4 + 4)’
10
К ГЛАВЕ 6
615
2. Ответ
к «=______!___
(^+4+^
3. Ответ.
Fxx Fxy Fxz Fx
Fyx Fuu Fyz Fy
Fix FZy Fxz Fz
Fx Fy Fz 0
______________1 / <?* tn q> (u, t>) d2 In <p (и, t>)'
“ 2ф («, v) \ du2 + dv2 t
4. Указание. Использовать формулу 5.26 (5).
6. Ответ.
^пар ="= г- т, kUep ’=’ О-
р V1 + *р
6. Ответ. Геодезическая наворачивается на катеноид, неограни*
ченно приближаясь к его горловой линии (рис. У-2).
Рис. У-2.
7. Ответ. Для дифференцируемой функции z(p) — те и только те
параллели, на которых функция z(p) достигает минимума, отлич*
кого от 0.
8. Указание. Координата центра такова!
X) 9S»
(Ru. lu)
U«l2 ‘
9. Указание. В рассматриваемом случае уравнение стрикциои*
мой линии имеет вид
I I2 (Run. 4i) + 14i F (Rut luu) — 2 (Rut (4ь ?аи) “
10. Указание. Показать, что в условиях задачи стрикцноиная ЛИ*
иия пересекает образующие ортогонально. Принять ее за направляю*
щую н показать, что она — прямая.
616 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ М
11. Указание. Проинтегрировать уравнение
dm = К dr
вдоль данной линии кривизны.
12. Указание. Каждой точке В касательного пространства П(Л)
поставить в соответствие точку С на многообразии по следующему
правилу: из точки касания А по вектору АВ выпустить геодезиче-
скую н ввести иа ней канонический параметр так, чтобы производная
по нему в точке А совпадала с вектором АВ; взять точку, соответ-
ствующую значению т = 1. (Это отображение называют экспонен-
той.) Показать, что его производная не вырождена.
13. Указание. Использовать результат задачи 12, взять доста-
точно малую шаровую окрестность точки А.
14. Указание. Составить форму ds2. Если г(п) н р(о) описывают,
например, окружности, отрезков на поверхности S нет.
15. Указание. Геометрическое место точек пересечения данной
поверхности jt2 и любой двумерной нормальной плоскости состоит
из изолированных точек.
16. Указание. Без ограничения общности можно считать базис-
ные векторы касательной плоскости совпадающими с первыми Z ба-
зисными векторами пространства Rn. Тогда любой нормальный еди-
ничный вектор имеет вид
т = (0, .... О, ..., а»),
где
+--- + ®л = *•
Используя теорему d неявной функции, выразить координаты точек
полного нормального сечеийя в виде функций одного параметра.
17. Указание. Использовать метод 5.31.
18. Указание. Провести вычисление, аналогичное 5.32.
19. Указание. То же.
20. Указание. Действовать аналогично доказательству теоремы
Бонне 5.34.
21. Указание. На конусе есть особая точка.
К главе 6
1. Указание. Использовать сферические координаты.
2. Указание. Использовать определение ковариантных произ-
водных.
3. Указание. То же.
4. Указание. При таком определении связности имеет место абсо-
лютный параллелизм; но построение 6.45 может привести к значи-
тельному расхождению точек С н Е.
5. Указание. Использовать дифференциальное уравнение, парал-
лельного переноса.
6. Указание. Соответствующее отображение касательного про-
странства на многообразие переводит обычное дифференциррвание
в точке А в ковариантное.
18
К ГЛАВЕ 7
617
К главе?
1. Указание. Использовать равенство
«) (а) ОО'На)
2. Отеет. C*+Jfe_r
3. Указание. Рассмотреть А (х, х) + А (х, х) и А (х, х) — А (х, х).
12 2 1 12 2 1
4. Указание. Сравнить размерности трех соответствующих про-
странств.
□. Указание. Первое утверждение проверяется выкладкой, третье
вытекает из первого.
6. Указание. Разложить форму Sym I 1 ... по злементар-
1 А
ным симметричным формам. Сравнить при них коэффициенты.
7. Указание. Проверить на базисных формах, аналогично 7.15.
Использовать результат задачи 5.
8. Указание. Итерировать результат задачи 5, написанный для
форм первой степени.
9. Указание. Использовать 7.136.
10. Указание. Использовать форме! вида & 1 А ... А £ *.
11. Указание.
°11 ... Oik
М = ......................
aki akk
Пц ... C]ft П1, Л+1 ... Ощ
аЫ ••• akk ak, k+l ••• akn
= 0 ... О 1 ... 0
0 ... 0 0 ... 1
р-1
ЛИ
detP
12. Указание. Использовать задачу 11.
13. Указание. Использовать 7.16 (3).
14. Указание. Использовать задачу 8.
15. Указание. То же.
16. Указание. Использовать задачи 11 и 12, считая, что Р — орто-
гональная матрица.
17. Указание. Сначала рассмотреть одночленную форму.
18. Указание. Использовать теорему Стокса — Пуанкаре.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная сходимость несоб-
ственного интеграла 288
Абсолютные свойства 486
Абсолютный дифференциал 515
— параллелизм 504
Аддитивности условие 191
Альтернация 547
Антисимметричная форма 546
->---каноническая 547
Антиэквивалентные поверхности
573
Асимптотическое направление
403
Аффинная связность 501
•— — симметричная 501
Гармоническое поле 365
Геликоид 397
Геодезическая кривизна 433
Геодезические линии 432, 498,
507.
— параллели 437
Геодезический дифференциал 457
Гиперболическая точка 405
Главные кривизны 406
— направления 406
Гладкая линия 51
Гомотетия 230
Градиент 27, 30
Граница множества 208
— цепи 581
График 12, 13
Бивектор 477
— единичный 481
Брус 195
Векторное поле 317
— произведение 267
Ветви кривых 117
Вихрь 338
Внутренняя геометрия 394
Вращение векторного поля 331
Вторая квадратичная форма 399
Вынужденная кривизна 433
Гамильтониан 345
Гармоническая функция 365
Дельта-образная последователь-
ность 222
Деривационные формулы 417
Дивергенция 319
Дифференциал 27, 30
~ абсолютный 497
—- высший 124, 145
-----частный 125
—, его инвариантность 44
— формы 559
— частный 50
Дифференциальная форма 556
-----сопряженная 593
Дифференциальное уравнение 85
Дифференцирование 30
— формальное 118
Дифференцируемое многообразие
влементарное 484
алфавитный указатель
619
Допустимая область 285—287
— поверхность 571
Допустимые системы координат
485
Жесткость многомерных поверх*
иостей 431
Жордан ова точка 222
Жорданово множество 208
— отображение 226
— тело 209
Коэффициенты связности 419
Кривизна вынужденная 433
— гауссова 415
---формальная 425
— геодезическая 433
— кривой на поверхности 399
— полная 406
— риманова пространства в дву-
мерном направлении 529
— средняя 406
Кривизны главные 406
Кристофеля символы 419
Кручение связности 501
Замена переменных в интервале
255
Замкнутая поверхность 320
Лемниската 15
Линия быстрейшего подъема 39
— кривизны 417
— уровня 14
Лист Мёбиуса 384
Изгибание 394
Изометрия поверхностей 393
Индикатриса Дюпена 408
Интеграл 189, 191
— векторного поля 332
— Дирихле 238
— п-кратный 195
— повторный 219
— по жорданову множеству 212
— по поверхности 261
Интегрирование дифференциаль-
ных форм 570
Исчерпывающая последователь-
ность 286
Итерационный метод 116
Максимум локальный 107, 132
-----условный 109
Матрица Якоби 32
Мера 191
Минимум локальный 107, 132
-----условный 109
Мультиномер 542
— дополнительный 544
— строгий 543
— строго упорядоченный 543
— упорядоченный 543
Каноническая запись антисим-
метричной формы 1-я 553
---------- 2-я 554
Канонический параметр 508
Касательная 33
Касательное пространство 488
Катеноид 397
Ковариантность 470
Кодифференциал 597
Композиция функций 17
Коитравариаитность 470
Коэффициент искажения 227
Нагружение 191
— нормальное 209
Нагруженное пространство 191
— —, произведение 199
Неподвижная точка S3
Неравенство Харнака 384
Несобственный интеграл 1-го ро*
да 286
-----2-го рода 287
-----3-го рода 2Й7
-----с переменной особенностью
‘303
Неявная функция 67
— —, ее производная 73
620
алфавитный указатель
Номер 542
Нормальная кривизна 402
Нормальное сечение 402
----полное 465
---- элементарное 465
Нормальный вектор 267, 399
Нормально нагруженное про-
странство 209
Нуль-миожество 205
Ньютоново поле 356
Обратная задача векторного ана-
лиза 379
— функции 66
Обратное отображение 47
Обратный элемент 47
----левый 47
-т — правый 47
Объем жорданова множества 209
— параллелепипеда 243
— симплекса 248
— тора 260
— шара 249
Овалы Кассини 15
Оператор Гамильтона 344
— Лапласа 353, 598
— Лапласе — Бельтрами 600
Ордироваиие 543
Ориентируемость 320
Отображение 12
— жорданово 226
— конформное 187
— обратное 47
— сжимающее 60
— сферическое 415
Параболическая точка 405
Параболоид вращения 13
— гиперболический 13
— эллиптический 13
Параллелепипед ^-мерный 243
Параллельное перенесение 456,
494, 500
Первая квадратичная форма 392
Плотность 224
Площадь поверхности 261
----сферы 269
---- тора 270
Поверхность вращения 397
— уровня 14
Поле Био и Савара 362
— гармоническое 365
— Ньютона 356
Полилинейная форма 141, 544
----антисимметричная 546
----симметричная 142
Подиый прообраз 97
Полугеодезическая система ко-
ординат 440
Полукольцо 191
Последующее разбиение 202
Потенциал 332
Потенциальное поле 332
Поток векторного поля 317
Правило Сильвестра 129
Преобразование Фурье п-кратное
314
Пример Шварца 312
Принцип Кавальери 239
— локализации для несобствен-
ных интегралов 290
Проектор 19
Произведение обобщенное 22
Производная 30
— вдоль линии 51
— высшего порядка 121, 139
— ковариантная 517
— контравариантная 517
— неивной функции 73
— обратной функции 74
— по направлению 37-
— по подпространству 61
— частная 27
Простое множество 199
Прямая сумма 19
Прямое произведение 16
Псевдосфера 449, 537
Разностная схема 159
----, ее результат 159
Ранг тензора 471
Расстояние от точки до множе-
ства 204
Расходимость 219
Риманово пространство постоян-
ной кривизны 534
---- элементарное 492
Ротор 338
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
621
Свертывание тензора 473
Связность аффинная 501
— риманова 502
Симметричная форма элементар-
ная 605
Симметрия второй производной
149
— высших производных 151
— смешанных производных 150
Симплекс 248
Складка 104
Слой 277
Среднее значение функции
224
Статический момент 242
Стационарна? точка 107
Степенная форма 142
Стрикциоипая линия 464
Сферически симметричное поле
353
Сферические координаты 259,
313
Тензор 469
— антисимметричный 471
— кривизны 519
— метрический 479
-----производный 481
— симметричный 471
— типа Риччи 482
Тензорное ноле 490
— произведение форм 549
-------- альтернированное 550
Тензорные уравнения 475
Теорема Бонне 427
— Веблена и Томаса 184
— Гаусса (о геодезическом тре-
угольнике) 463
----- (о полной кривизне) 425
— Гильберта 449
— Жане — Э, Картана 432
— Клеро 446
— Леви-Чивита 460
— Мепье 403
— о неявной функции 68
— о ранге 99
— о среднем 54
— Фробениуса 174
Тождество Пуанкаре 564
— Риччи 481
Тождество Стокса — Пуанкаре
588
Трактриса 448
Умножение тензоров 473
Уплощения точка 405
Уравнение Пуассона 362
Уравновешивающая плоскость
241
Усиленно аддитивная функция
223
Условие Липшица 59
Формула Вейнгартена 420
— Гаусса 421
----- деривационная 420
— Грина 328, 366
— Менье 401
— Остроградского 324
— Петерсона — КодацЦи 421
— Пуассона 362, 371
— Стокса 340
— Тейлора 125
— Эйлера 406
Функция 11
— аддитивная 191
— векторная 12
— вещественная 12
— дифференцируемая 25, 26,
28
-----по подпространству 62
----- р раз 140
— интегрируемая 193
— линейная 18
— непрерывная 15
— неявная 67
— п вещественных переменных
12
— обратная 66
— одного вещественного пере-
менного 12
— сложная 17
— усиленно аддитивная 223
— характеристическая 209
—- числовая 12
622
алфавитный указатель
Характеристика мультиномера
606
Характеристическая функция 209
Центр прямой 464
— тяжести 242
Цепь 579
Цикл 585
Циркуляция 334
Эквивалентность аффинная
501
Эквивалентные многообразия
485
— нагружения 215
— поверхности 572
— римановы пространства 492
— цепи 579
Экстремум 107
— условный 108
Эллиптическая точка 409
Частная производная 27
-----высшего порядка 146
Частный дифференциал 50
-----высшего порядка 146
Ядро отображения 97
Якобиан 32
Ячейка 191