Текст
Г. Е. Шилов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ), части
1—2.
Как и предыдущие книги того же автора — «Математический анализ
(конечномерные линейные пространства)» (М„ 1969) и «Математический анализ
(функции одного переменного)» (чч. 1—2—М., 1969, ч. 3—М., 1970),—эта книга
представляет собою учебное пособие по курсу математического анализа. Она не
является учебником и не следует официальным программам курса; она рассчитана
в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального
и интегрального исчисления в желающих углубить свои знания. В гл. 1 строится
теория дифференцирования для функций от конечного или даже бесконечного
множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие
производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций нескольких
переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический
векторный анализ, в гл. 5—классическая дифференциальная геометрия, которая
развивается в гл. .6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные вопросы
анализа на дифференцируемых многообразиях, в частности теория
дифференциальных антисимметричных форм с соответствующими
интегральными теоремами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Производные первого 11
порядка
§1.1. Непрерывные функции 11
§ 1.2. Дифференцируемые 24
функций
§ 1.3. Общие теоремы о 40
дифференцируемых функциях
§ 1.4. Теорема о среднем 54
§ 1.5. Теорема о неявной функции 66
§ 1.6. Дифференциальные 83
уравнения
§ 1.7. Локальная структура 92
дифференцируемой функции
§ 1.8. Стационарные значения 107
числовых функций
Задачи 115
Историческая справка 119
Глава 2. Высшие производные 121
§ 2.1. Высшие производные
числовой функции п переменных
§ 2.2. Общее определение высших
производных
§ 2.3. Свойства высших
производных
§ 2.4. Теорема Тейлора и ее
обращение
§ 2.5. Теорема Фробениуса
§ 2.6. Системы уравнений с
частными производными и
геометрические приложения
Задачи
Историческая справка.
Глава 3. Интегрирование в
многомерных пространствах
§3.1. Интеграл Римана на
нагруженном пространстве
§ 3.2. Теоремы существования
§ 3.3. Жордановы множества
§ 3.4. Отображения нагруженных
пространств
121
139
167
175
186
188
189
§ 3.5. Интеграл Риманав
евклидовом пространстве
§ 3.6. Интеграл по поверхности
§ 3.7. Несобственные интегралы
Задачи
Историческая справка
Глава 4. Связь между
интегрированием и
дифференцированием
§ 4.1. Формула Остроградского
§ 4.2. Вихрь векторного поля
§ 4.3. Оператор Гамильтона
261
285
312
314
316
316
331
344
§ 4.4. Некоторые типы векторных 353
полей
§ 4.5. Гармонические поля и 365
функции
§ 4.6. Построение векторного поля 379
в R.3 по его вихрю и расходимости
Задачи 383
Историческая справка 384
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОТ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
К МНОГООБРАЗИЯМ
Глава 5. Классическая 389
дифференциальная геометрия
§ 5.1. Первая квадратичная форма 389
§ 5.2. Вторая квадратичная форма 399
§ 5.3. Связь первой и второй 417
квадратичных форм
§ 5.4. Геодезические линии и 432
связанные с ними координатные
системы
§ 5.5. Двумерные поверхности
постоянной кривизны
§ 5.6. Параллельное перенесение
векторов и теорема Леви-Чивнта
Задачи
Историческая справка
Глава 6. Риманова геометрия
§ 6.1. Алгебраическая теория
тензоров
§ 6.2. Элементарное
дифференцируемое многообразие
§ 6.3. Элементарное риманово
пространство
§ 6.4. Пространство с аффнииой
связностью
§ 6.5. Кривизна
§ 6.6. Римановы пространства
постоянной кривизны
Задачи
Историческая справка
Глава 7. Дифференцирование и
интегрирование на многообразиях
§ 7.1. Антисимметричные формы
§ 7.2. Дифференциальные формы
§ 7.3. Интегральные теоремы
§ 7.4. Кодифференцирование
Задачи
Историческая справка
Указания и ответы к задачам
Алфавитный указатель
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная сходимость Аффнииая связность 501
несобственного интеграла 21
Абсолютные свойства 486
Абсолютный дифференциал 515
— параллелизм 504
Аддитивности условие 191
Альтернация 547
Антисимметричная форма 546
каноническая 547
Антиэквивалентные поверхности 573
Асимптотическое направленне 403
симметричная 501
Бивектор 477
— единичный 481
Брус 195
Векторное поле 317
— произведение 267
Ветви кривых 117
Вихрь 338
Внутренняя геометрия 394
Вращение векторного поля 331
Вторая квадратичная форма 399
Вынужденная кривизна 433
Гамильтониан 345
Гармоническая функция 365
Гармоническое поле 365
Геликоид 397
Геодезическая кривизна 433
Геодезические линии 432, 498, 507
— параллели 437
Геодезический дифференциал 457
Гиперболическая точка 405
Главные кривизны 406
— направления 405
Гладкая линия 51
Гомотетия 230
Градиент 27, 30
Граница множества 208
— цепи 581
График 12, 13
Дельта-образная последовательность
Деривационные формулы 417
Дивергенция 319
Дифференциал 27, 30
— абсолютный 497
высший 124, 145
частный 125
—, его инвариантность 44
— формы 559
— частный 50
Дифференциальная форма 556
сопряженная 593
Дифференциальное уравнение 85
Дифференцирование 30
— формальное 118
Дифференцируемое многообразие
элементарное 484
Допустимая область 285—287
— поверхность 571
Допустимые системы координат 485
Жесткость многомерных
поверхностей 431
Жорданова точка 222
Жорданово множество 208
— отображение 226
— тело 209
Замена переменных в интервале 255
Замкнутая поверхность 320
Изгибание 394
Изометрия поверхностей 393
Индикатриса Дюпена 408
Интеграл 189, 191
— векторного поля 332
— Дирихле 238
— п-кратный 195
— повторный 219
— по жорданову множеству 212
— по поверхности 261
Интегрирование дифференциальных
форм 570
Исчерпывающая последовательность
286
Итерационный метод 116
Каноническая запись
антисимметричной формы 1-я
553
— 2-я 554
Канонический параметр 508
Касательная 33
Касательное пространство 488
Катеноид 397
Ковариантность 470
Ко дифференциал 597
Композиция функций 17
Контр авариантиость 470
Коэффициент искажения 227
Коэффициенты связности 419
Кривизна вынужденная 433
— гауссова 415
— — формальная 425
— геодезическая 433
— кривой на поверхности 399
— полная 406
— риманова пространства в
двумерном направлении 529
— средняя 406
Кривизны главные 406
Кристофеля символы 419
Кручение связности 501
Лемниската 15
Линия быстрейшего подъема 39
— кривизны 417
— уровня 14 Лист Мёбиуса 384
Максимум локальный 107, 132
условный 109
Матрица Якоби 32
Мера 191
Минимум локальный 107, 132
условный 109
Мультнномер 542
— дополнительный 544
— строгий 543
—строго упорядоченный 543
— упорядоченный 543
Нагруженне 191
— нормальное 209
Нагруженное пространство 191
, произведение 199
Неподвижная точка 83
Неравенство Харнака 384
Несобственный интеграл 1-го рода
286
2-го рода 287
3-го рода 287
с переменной особенностью
303
Неявная функция 67
, ее производная 73
Номер 542
Нормальная кривизна 402
Нормальное сеченне 402
полное 465
элементарное 465
Нормальный вектор 267, 399
Нормально нагруженное
пространство 209
Нуль-множество 205
Ньютоново поле 356
Обратная задача векторного анализа
379
— функция 66
Обратное отображение 47
Обратный элемент 47
левый 47
правый 47
Объем жорданова множества 209
параллелепипеда 243
— симплекса 248
— тора 260
— шара 249
Овалы Касснии 15
Оператор Гамильтона 344
— Лапласа 353, 598
— Лапласа — Бельтрами 600
Ордирование 543
Ориентируемость 320
Отображение 12
— жорданово 226
— конформное 187
— обратное 47
— сжимающее 60
— сферическое 415
Параболическая точка 405
Параболоид вращения 13
— гиперболический 13
— эллиптический 13
Параллелепипед к-мерный 243
Параллельное перенесение 456,
494,500
Первая квадратичная форма 392
Плотность 224
Площадь поверхности 261
сферы 269
тора 270
Поверхность вращения 397
— уровня 14
Поле Био и Савара 362
— гармоническое 365
— Ньютона 356
Полилинейная форма 141, 544
антисимметричная 546
симметричная 142
Полный прообраз 97
Полугеодезическая система
координат 440
Полукольцо 191
Последующее разбиение 202
Потенциал 332
Потенциальное поле 332
Поток векторного поля 317
Правило Сильвестра 129
Преобразование Фурье п-кратиое 314
Пример Шварца 312
Принцип Кавальери 239
— локализации для несобственных;
интегралов 290
Проектор 19
Произведение обобщенное 22
Производная 30
— вдоль линии 51
— высшего порядка 121, 139
— ковариантная 517
— контр авариантная 517
— неявной функции 73
— обратной функции 74
— по направлению 37
— по подпространству 61
— частная 27
Простое множество 199
Прямая сумма 19
Прямое произведение 16
Псевдосфера 449, 537
Разностная схема 159
, ее результат 159
Ранг тензора 471
Расстояние от точки до множества
204
Расходимость 219
Риманово пространство постоянной
кривизны 534
элементарное 492
Ротор 338
Свертывание тензора 473
Связность аффнииая 501
— риманова 502
Симметричная форма элементарная
605
Симметрия второй производной 149
— высших производных 151
— смешанных производных 150
Симплекс 248
Складка 104
Слой 277
Среднее значение функции 224
Статический момент 242
Стационарная точка 107
Степенная форма 142
Стрикционная линия 464
Сферически симметричное поле 353
Сферические координаты 259,313
Тензор 469
— антисимметричный 471
— кривизны 519
— метрический 479
производный 481
— симметричный 471
— типа Риччи 482
Тензорное поле 490
— произведение форм 549
альтернированное 550
Тензорные уравнения 475
Теорема Бонне 427
— Веблена и Томаса 184
— Гаусса (о геодезическом
треугольнике) 463
(о полной кривизне) 425
— Гильберта 449
— Жане—Э. Картана 432
— Клеро 446
— Леви-Чивнта 460
— Менье 403
— о неявной функции 68
— о ранге 99
— о среднем 54
— Фробениуса 174
Тождество Пуанкаре 564
— Риччи 481
Тождество Стокса— Пуанкаре 588
Трактриса 448
Умножение тензоров 473
Уплощения точка 405
Уравнение Пуассона 362
Уравновешивающая плоскость 241
Усиленно аддитивная функция 223
Условие Липшица 59
Формула Вейнгартена 420
— Гаусса 421
деривационная 420
— Грнна 328, 366
— Менье 401
— Остроградского 324
— Петерсона—Кодацци 421
— Пуассона 362, 371
— Стокса 340
— Тейлора 125
— Эйлера 406
Функция 11
— аддитивная 191
— векторная 12
— вещественная 12
— дифференцируемая 25, 26, 28
по подпространству 62
р раз 140
— интегрируемая 193
— линейная 18
— непрерывная 15
— неявная 67
— п вещественных; переменных 12
— обратная 66
— одного вещественного
переменного 12
— сложная 17
— усиленно аддитивная 223
— характеристическая 209
— числовая 12
Характеристика мультнномера 606
Характеристическая функция 209
Центр прямой 464
— тяжести 242
Цепь 579
Цикл 585
Циркуляция 334
Частная производная 27
высшего порядка 146
Частный дифференциал 50
высшего порядка 146
Эквивалентность аффинная 501
Эквивалентные многообразия 485
— нагружения 215
— поверхности 572
— римановы пространства 492
— цепи 579
Экстремум 107
— условный 108
Эллиптическая точка 409
Ядро отображения 97
Якобиан 32
Ячейка 191
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эту книгу можно рассматривать как продолжение
книги того же автора «Математический анализ (функ-
(функции одного переменного)» (части 1 и 2 — М., 1969,
часть 3 — М, 1970, изд-во «Наука»). Основные принципы
построения материала остаются прежними: в соответ-
соответствии с современными взглядами на строение матема-
математики математический анализ представляется как высоко-
высокоорганизованная система структур, различных ступеней
абстракции, тесно связанных разнообразными нитями
между собой и с конкретными приложениями. В науч-
научных сочинениях типа «Элементов математики» Н. Бур-
баки последовательное проведение этого принципа при-
приводит к строго дедуктивному изложению теории; в кни-
книгах педагогического направления во многих случаях
более целесообразно индуктивное построение, позволяю-
позволяющее читателю проследить за формированием все более
и более общих концепций, убеждаясь на конкретном
материале в необходимости соответствующих обобще-
обобщений. Такая система изложения принята и в нашей книге.
Формально говоря, главы «Связь между интегрирова-
интегрированием и дифференцированием» и «Классическая диффе-
дифференциальная геометрия» не необходимы в курсе — ос-
основные результаты этих глав можно получить как част-
частные следствия более общих теорий (что и делается
в дальнейшем в книге); однако мы сочли нужным вве-
ввести эти главы и предпослать их дальнейшим теориям
именно для того, чтобы читатель был подведен к необ-
необходимости введения таких общих понятий, как, напри-
например, риманово пространство или дифференциальная
форма на многообразии, и был готов к применению
этих общих понятий в нужных направлениях. Поэтому
й расположение материала подчинено дальнейшим
в ПРЕДИСЛОВИЕ
целям: так, столь излюбленная в курсах дифферен-
дифференциальной геометрии теория развертывающихся поверх-
поверхностей становится у нас незначительным эпизодом, а на
главные роли выдвигаются коэффициенты связности Ри-
мана — Кристофеля.
Как и «Функции одного переменного», эта книга со-
состоит из трех частей. Первые две — «Дифференциальное
и интегральное исчисление» и «От линейных пространств
к многообразиям» — находятся перед читателем; третья
часть «Анализ на многообразиях» выйдет в свет несколь-
несколько позднее отдельной книгой.
Глава 1 излагает теорию дифференцирования для
функций от конечного и бесконечного числа переменных.
Большое значение дифференциального исчисления для
функций нескольких переменных (конечного числа) до-
достаточно очевидно; однако оказывается, что дифферен-
дифференциальное исчисление функций, зависящих от бесконеч-
бесконечного числа переменных (точнее, от точки нормирован-
нормированного пространства), также способно приносить пользу
р самых классических вопросах анализа, например
в изучении свойств решений обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений (а исследование экстремумов таких
функций смыкается с задачами вариационного исчис-
исчисления) .
Глава 2 посвящена высшим производным. Как и
в случае функций одного переменного, высшие произ-
производные позволяют более точно (чем первая) описывать
поведение функции в окрестности данной точки. Но они
имеют и многие другие приложения. Оказывается, на-
например, что классическая задача о разрешимости пол-
полной системы уравнений в частных производных стано-
становится вполне прозрачной после интерпретации ее как
задачи о разрешимости обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения (но с многомерным аргументом!), кото-
которая требует лишь симметрии второй производной реше-
решения, выраженной через правую часть уравнения.
В третьей главе строится теория интегрирования.
Абстрактную часть теории составляет обобщение инте-
интеграла Римана на «нагруженное пространство» — метри-
метрическое пространство с конечно-аддитивной мерой. Как и
в книге «Функции одного переменного», мы не вводим
интеграла Лебега, поскольку нам приходится интегри-
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ровать лишь непрерывные функции или функции с «не-
«небольшим» множеством точек разрыва; это позволяет не
иметь дела со счетной аддитивностью меры. Как при-
применение даются теория измерения объемов в многомер*
иом евклидовом пространстве и теория измерения по-
поверхностей (с разными подходами); определенное вни<
мание мы уделяем и несобственным интегралам, как
объемным, так и поверхностным.
Векторный анализ в главе 4 используется как язык
для формулирования связей между интегральными и
дифференциальными операциями над функциями не-
нескольких переменных. Основные дифференциальные опе-
операции (градиент, расходимость, вихрь) понимаются
с единой точки зрения как плотности некоторых адди-
аддитивных функций областей. Теория доводится до обрат-
обратной задачи (восстановление поля по расходимости и
вихрю). Существенная часть главы протекает в трехмер-
трехмерном пространстве по причине специфичности определе-
определения вихря.
Вторую часть книги открывает глава 5 «Классиче-
«Классическая дифференциальная геометрия», в которой основное
внимание уделяется связности, порождаемой на поверх-
поверхности метрикой вмещающего ее евклидова простран-
пространства, а также геодезическим линиям и параллельному
переносу, как атрибутам связности. В развитии этих
построений постепенно обнаруживается, что метрику на
поверхности не обязательно следует заимствовать из
вмещающего евклидова пространства; так, постоянная
кривизна реализуется на плоскости, на сфере и на ги-
гиперболоиде, причем на последнем метрика заимствуется
не из вмещающего евклидова пространства, а из неко-
некоторой квадратичной формы с одним отрицательным
квадратом. Отсюда — прямая дорога к римановым про-
пространствам (глава 6). Оказывается, что и в общем слу-
случае.для любого риманова пространства постоянная кри-
кривизна реализуется на плоскости (многомерной), сфере
(многомерной) и на гиперболоиде (многомерном),—
в последнем случае с метрикой, порожденной квадра-
квадратичной формой с одним отрицательным квадратом, по-
положительной на самом гиперболоиде.
В главе 7 на первое место выдвигаются диффе-
дифференциальные формы любой степени; они служат для
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
формулировки интегральных теорем типа Стокса,
а также для правильной постановки многомерного обоб-
обобщения обратной задачи векторного анализа: именно та-
таким обобщением является задача о восстановлении
формы по ее дифференциалу и ко дифференциалу.
Система нумерации такая же, как в первой книге; на-
например, символ 6.23 б означает: «глава б, параграф 2,
пункт 3, подпункт б». Эти символы указаны на колонти-
колонтитулах каждой страницы, что позволяет быстро найти
в книге нужное место. Встречаются иногда ссылки на
книги автора «Математический анализ (функции одного
переменного)» (чч. 1—2, М., 1969; ч. 3, М, 1970) и «Ма-
«Математический анализ (конечномерные линейные про-
пространства)» (М., 1969); они обозначаются такими же
символами, но с присоединением впереди буквы О (для
первой названной книги) или Л (для второй).
Автор приносит живейшую благодарность коллегам,
принимавшим участие в обсуждении различных вопро-
вопросов, затронутых в книге; в особенности это относится
к Н. В. Ефимову, П. К. Рашевскому, Л. А. Тумаркину,
В. П. Паламодову, Б. П. Панеяху, И. Я. Дорфман,
А. С. Немировскрму. Книга П. К- Рашевского «Рима-
нова геометрия и тензорный анализ» весьма существен-
существенно была мною использована в главе 6. В 1-й и 2-й
главах я использовал книгу Ж. Дьедонне «Основы со-
современного анализа».
Автор
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА t
ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этой главе нашей задачей является построение дифферент
циального исчисления с. производными пока только первого порядку
для функций многомерного аргумента. Основная идея построения
есть идея линеаризации — выделения из приращения функции глав-
главной линейной части, благодаря чему локальное изучение функции
с точностью до малых первого порядка становится вполне элемен-
элементарным. Функции, для которых такая процедура возможна, и на-
называются дифференцируемыми. Изучение простейших свойств диффе-
дифференцируемых функций на основе линеаризации проводится единым
образом для функции одного вещественного переменного, функ-
функции нескольких вещественных переменных и даже для функции
бесконечного числа переменных (точнее, для функции, зависящей
от точки нормированного линейного пространства). Некоторые от-
отличия от функций одного переменного проявляются лишь в фор-
формулировке теоремы о среднем (§ 1.4). Далее, основную роль на-
начинает играть существенно новая теорема, отсутствовавшая в тео-
теории функций одного переменного, — теорема о неявной функции
(§ 1.5). Без преувеличения ее можно называть главной теоремой
в дифференциальном исчислении функций многих переменных —
настолько важными являютси ее приложения как в конечномер-
конечномерной, так и в общей (бесконечномерной) формулировке: зависимость
решении обыкновенного дифференциального уравнения от пара-
параметра (§ 1.6), локальная структура дифференцируемой функции
(§ 1.7), теория условного экстремума (§1.8) и множество других,
с которыми мы встретимся в последующих главах.
§ 1.1. Непрерывные функции
Перед построением дифференциального исчисления
для функций нескольких вещественных переменных не-
необходимо напомнить основные определения, относя-
относящиеся к теории непрерывных функций.
1.11. Пусть дана функция у = f(x), определенная на
некотором множестве X и принимающая, свои значе-
значения в множестве У. В дальнейшем будем употреблять,
в зависимости от целесообразности, следующие формы
i<2 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.11
записи этого факта:
y = f(x), у: Х->У,
y = f(x): Х->У,
x-*f(x);
последние две — в случаях, если X и У известны из кон-
контекста. Если необходимо указать, что функция f(x) оп-
определена на подмножестве Е czX и принимает значения
в подмножестве F czY, будем также писать
y = f(x): (EczX)-^(FczY)
или, опуская скобки,
y = f(x): EczX-^F^Y.
Функция f(x) называется числовой, если Y cz Rt (веще-
(вещественная ось). Такую функцию f(x) называют также ве-
вещественной (точнее, вещественно-значной). Если YqLRu
функция f(x) называется, как правило, отображением.
Если У есть линейное пространство @12.11), например,
если У = Rn (n-мерное вещественное пространство), то
функция f(x): X-*Y называется векторной. Если X —
множество в Ri, то f(x) называется функцией одного
вещественного переменного. Если X есть область в Rn,
то }(х) называется функцией п вещественных перемен-
переменных; этими переменными считаются обычно координаты
хи ..., хп точки х в каком-либо базисе пространства Rn-
Чтобы наглядно представить себе числовую функ-
функцию одного вещественного переменного, мы рисовали ее
график, откладывая в каждой точке х ее области опре-
определения иа вещественной оси значение функции f(x) по
направлению оси у. В случае числовой функции двух ве-
вещественных переменных f(xu x2) можно в каждой точке
(х\, х%) множества X на плоскости R2 откладывать зна-
значение f(xit x2) в направлении третьей оси у. В случае
числовой функции одного переменного ее графиком слу-
служит, вообще говоря, некоторая кривая; в случае двух
переменных график числовой функции будет представ-
представлять собою, по крайней мере для простых функций, не-
I.II
§ I.I. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
13
которую поверхность, которую можно изобразить на
чертеже, пользуясь правилами перспективы.
Примеры, а. Линейной функции y=kiXi-\-k2X2-\-b
в качестве графика отвечает некоторая плоскость. Числа
Рис. 1.1-1.
Рис. 1.1-2.
k{ и k2 называются угловыми коэффициентами этой пло-
плоскости, а их геометрический смысл очевиден из
рис. 1.1-1.
б. Графиком квадратичной функции y = x\-\-xl яв-
является параболоид вращения (при у = аЛх\ + а,гх\, а, > О,
а2 > 0 — эллиптический
параболоид), показанный
на рис. 1.1-2.
в. Графиком квадра-
квадратичной функции у =
= х\ — х\ является сед-
седлообразная поверхность,
называемая гиперболиче-
гиперболическим параболоидом; если
ось у направлена вверх, Рис. 1.1-3.
то вертикальные сечения
поверхности — параболы, а горизонтальные сечения —
гиперболы (рис. 1.1-3).
В случае функции трех и более переменных мы
можем, конечно, назвать «графиком» функции сово-
совокупность точек (*|, .... хп, f(xit ...,*„)). х^Х, в
14
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.11
(п + 1)-мерном пространстве, что соответствует общему
определению графика в 02.83; однако наглядное пред-
представление этого «графика» затруднительно; в таких слу-
случаях наглядность должна уступать место логике. Впро-
Впрочем, графики не необходимы и в случае двух переменных
Рис. 1.1-4.
Рис. 1.1-5.
Рис. 1.1-6.
и даже одного переменного, хотя-никто не отрицает их
полезности.
г. В некоторых случаях наглядное представление
о функции можно получить из рассмотрения ее линии
(или поверхностей) уровня. Линия (поверхность) уровня
функции у = f(x) есть геометрическое место точек, где
функция сохраняет какое-либо Постоянное значение
У = Уо. Так, для функции f{x)=p(x, a) = \x — а]
1.12
§ 1.1, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
IS
(R2-+R1) линии уровня (рис. 1.1-4) суть окружности
с центром в точке а (а также и сама точка а, где функ-
функция /(*) принимает значение 0). Для функции f(x)—.
=р(х, а) + р(х, Ь) (R2-*Ri) линии уровня представ-
представляют собою (рис. 1.1-5) эллипсы с фокусами в точках а
и & (и отрезок, соединяющий.точки а и Ь); для функ-
функции f(x) — p(x, а)—р(х, Ь) (рис. 1.1-6)—гиперболы
с фокусами в а к Ь (включая прямую — ось симметрии
и две полупрямых); для функции }(х)— р(х, а)'р(х, Ь)
(Rz~*Ri)—семейство (рис. 1.1-7) овалов Кассчни
Рис. 1.1-7.
Рис. 1.1-8.
(среди них лемниската Бернулли, см. задачу 6); для
функции f (x) =p{x, a)/p(x, b) (R2 -* Ri}— некоторое се-
семейство окружностей с центрами на прямой аЬ и ось
симметрии точек а и Ь (рис. 1.1-8). Поверхности уровня
тех же функций, рассматриваемых в /?3, возникают от
вращения получающихся кривых вокруг оси аЪ.
1.12. Теперь напомним понятие непрерывности
@5.11).
а. Чтобы иметь возможность говорить о непрерывно-
непрерывности функции f(x) (X-+Y), мы должны предположить,
что множество X, где определена эта функция, и множе-
множество Y, в котором она принимает свои значения, суть
метрические пространства @3.11). В этом случае функ-
функция у = f(x) называется непрерывной при х == а, если
для каждого е >• 0 существует такое б > 0, что из
Р(х, а)<6, хеХ, следует p(f (x),f(a))<i e. Имеется и
второе, эквивалентное, определение: функция f(x) непре-
непрерывна при х = а, если для любой последовательности
16 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.12
*ь • • •, хт, ... точек множества X, сходящейся к точ-
точке а, имеет место соотношение f(xm)—*f(a). Доказатель-
Доказательство эквивалентности этих определений было дано
в 05.11, и мы не будем на нем здесь останавливаться.
Функция f(x) (л—>Y), непрерывная в каждой точке
множества X, называется непрерывной на множестве X.
б. Самым простым примером непрерывной функции
является постоянная — функция f(x) (X-*Y), которая
при всех х е X принимает одно и то же значение у0 е У.
в. Другим простым примером является числовая
функция f(x)=p(x, а) (л—*Hi), где а — фиксирован-
фиксированная точка пространства X. Ее непрерывность следует из
неравенства треугольника (см. 05.12 6).
г. Функция f(x) s= х (Х->Х), ставящая в соответ-
соответствие каждому элементу х метрического пространства X
сам этот элемент х, является простейшим примером не-
непостоянной непрерывной функции.
д. Функции нескольких переменных.
Пусть Xi, ..., Хп — некоторые множества; тогда сово-
совокупность X всех наборов
х — {х\, ..., хп), *1еХ1, ..., лвеХл,
называется прямым произведением множеств Хь ..., Х„
и обозначается Xi X ^2 X • • • X Хп. Любую функцию
y = f(x): X-*Y можно рассматривать как функцию п
переменных х\, ..., х„.
Пусть Х|, ..., Хп и Y — метрические пространства.
Тогда для функции y = f(x): X~*Y можно определить
понятие «непрерывность при х = а = {а1г ..., а„} по со-
совокупности аргументов»; именно, это означает, что для
любого е > 0 существует такое б > 0, что при
р(хи О|)<6, .... р(*„, ая)<б выполняется неравен-
неравенство p(f(x), f(a))< e. Соответственно определяется не-
непрерывность функции f (х) по совокупности Xi, ..., хп на
всем пространстве X. Непрерывность по совокупности
при х = а можно трактовать и как ббычную непрерыв-
непрерывность функции f(x), если только пространство X снаб-
снабдить подходящей метрикой; например, можно использо-
использовать определение
Р({*!, .... *„}, {г/i, .... у,}) —
/j), ..., р(х„, уп)}. A)
)|3 § 1.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 17
Иногда используют в X и иные метрики, например
п
„ .... хп), {уи .,., уп]) = 2 P(Xi, yt) B)
|
или
р({хи ..., xj, {уи ..., уп})= у 2р2(*<> Уд- C)
Во всех этих случаях легко проверяется, что предложен-
предложенная формула (A), B) илн C)) действительно задает
метрику на X и что непрерывность функции f(x) по со-
совокупности Х\, ..., хп (определяемая независимо ни от
какой метрики на X) равносильна непрерывности этой
функции по предложенной метрике.
1.13. Свойства непрерывных функций.
а. Имеет место важная теорема:
Теорема о непрерывности сложной
функции @5.15): если y = f(x) (X-*Y)—функция,
определенная в метрическом пространстве X, принимаю-
принимающая значения в метрическом пространстве Y, непрерыв-
непрерывная в точке х = a, a g(y) (У —» Z)—функция, опреде-
определенная в метрическом пространстве Y, принимающая
значения в метрическом пространстве Z и непре-
непрерывная при y = f(a), то сложная функция Ф(х) =
— g\f(x)] (X~*Z) (заведомо определенная в некоторой
окрестности точки о) также непрерывна при х = а.
Функция g[f(x)] называется композицией функций
f(x) Kg (у).
Поскольку в метрическом пространстве X числовая
функция р(х, a) (X-*Ri), как было сказано в 1.12в,
непрерывна, в силу приведенной теоремы является не-
непрерывной и любая функция вида g\p(x, а)], где g(y)
есть непрерывная при у ^ 0 функция вещественного пе-
переменного у.
б. Если функции fi(x), ..., fm(x), ... определены на
одном и том же множестве X, принимают значения в ме-
метрическом пространстве Y и образуют на X сходящуюся
последовательность, то можно определить на том же
пространстве X предельную функцию f(x)= lim fm(x):
m->ot>
X-+Y. Если X есть метрическое пространство, сходимость
tm (х) к f (х) равномерна и функции fm (х) (пг = 1, 2, ...)
непрерывны, то и f(x) непрерывна @5.96).
18 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Г.14
в. Если функция f(x) со значениями в метрическом
пространстве Y определена и непрерывна на компакт-
компактном метрическом пространстве X, то она н равномер-
равномерно непрерывна на X, т. е. для любого е > 0 можно
найти такое б>0, что нз р(*', х")< 6 следует
р[/(*')»7(*")] <е @5.176). Множество всех значе-
значений этой функции на компакте X само компактно в Y
@5.16 а).
1.14. Линейные'функции.
а. Рассмотрим п-мерное линейное пространство Rn,
метризованное с помощью какой-нибудь нормы @12.31),
и фиксируем в нем базис. Сопоставляя каждой точке
х^ Rn какую-либо ее координату xh (k = 1, ..., п), мы
получаем непрерывную и к тому же линейную @12.15)
числовую функцию в пространстве Rn. Наиболее общей
числовой линейной функцией в Rn является функция
п
/(x) = 2 ckxki где ch (k = 1, .... n)—заданные по-
постоянные числа.
б. Мы рассматривали непрерывные линейные число-
числовые функции в линейных пространствах @12.61). Среди
всех непрерывных числовых функций, определенных на
нормированном линейном пространстве, простейшими
после постоянных являются линейные функционалы.
Некоторые примеры линейных непрерывных функцио-
функционалов нам известны. Так, в пространстве Rs(a, b) веще-
вещественных непрерывных функций на отрезке [а, Ь] мы
рассматривали линейный функционал x(t) -*F(x) вида
ь
F(x)=JD(t)x(t)dt,
а
где D(t)—заданная непрерывная функция @12.61 н).
В гильбертовом вещественном пространстве Н @12.91)
примером линейного функционала является скалярное
произведение
где / — фиксированный вектор пространства Я.
в. Вообще, среди всех непрерывных функций, дей-
действующих из одного нормированного пространства X
в другое нормированное пространство У, простейшими
1.14 * lI- НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 19
после постоянных являются непрерывные линейные опе-
операторы @12.61), т. е. непрерывные функции А(х): X-+Y,
удовлетворяющие условию
A {aiXy + а2х2) = aiAxt + а2Ах2
для любых х{ и х2 из X и любых постоянных <xi и а.2.
Пространство всех линейных непрерывных операто-
операторов А(х) (X —>• У) обозначается через L(X, У). Если
X = Ru то ,L(X, Y)= L(RU У) естественно отождест-
отождествляется с самим У: любому a^Y соответствует опера-
оператор A^L(RU У), действующий по формуле At = ta
(t^.R\)t и любой оператор A^L(R\, У) действует по
формуле At = At~ I = ^-ЛA)= ta, гдеа = ЛA). Про-
Пространство L(X, X) обозначается короче через L(X).
г. Укажем некоторые линейные операторы, связан-
связанные с разложениями в прямую сумму. Напомним, что
линейное пространство X по определению есть прямая
сумма подпространств Хи ..., Хп, если для всякого
х ^ X имеется разложение
x = *i+ ... +х„, xl^Xl, ..., хп^Хп, A)
и это разложение единственно, т. е. из
х = х\+ ... +х'п, x'1zeX1, .... х'п*еХп
вытекает, что х\ — хх, ..., х'п — хп.
Единственность разложения A) достаточно прове-
проверять для одного элемента 0: если из разложения
0 = А,+ ... +А„, й,е=Х„ .... А„е1„
следует Л) = .:. = hn = 0, то разложение A) един-
единственно для любого хе!
Пусть линейное пространство X есть прямая сумма
подпространств Хх и Х2. Тогда составляющие Хи х2 лю-
любого вектора х ^ X являются функциями от х, которые
мы запишем в виде
Xi = Pi(x), х2 = Р2(х).
Легко проверить, что функции Р\(х) и Ръ{х) линейньп
они называются проекторами (или операторами проекти-
проектирования) на подпространства (соответственно) .#1 и Х2.
Если X — нормированное линейное полное пространство,
20 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.|4
а подпространства Хх и Х2 замкнуты, то операторы Pt
и Р2 непрерывны @12.62 д). Этот результат, конечно,
справедлив и для любого (конечного) числа слагаемых,
д. Обратно, по любым линейным пространствам
^ь ..., Хп можно построить линейное пространство X,
которое явится их прямой суммой. Для этого нужно
взять «прямое произведение» пространств Хи .... Хп
(U2d) (совокупность всех комплексов х = {хи ..., хп],
xi е Хь ..., хяе Хп) и ввести в нем линейные опера-
операции по правилам
a{xi хп} = {ахи ..., ахп).
При этом пространство Xh естественно отожде-
отождествляется с подпространством Xk^zX, состоящим из
элементов вида
{0, .... 0, хк, 0 0}, xfte4 B)
Если Хи ..., Хп — нормированные пространства, то
и в Хп может быть введена норма, например, по фор-
формуле
IUI|(||x,|| lUnll). C)
При этом, если Ху Хп — полные пространства,
то и пространство X с нормой, определяемой форму-
формулой C), оказывается полным, а подпространства Х'и
B) — замкнутыми подпространствами в X.
е. Разложение линейного пространства X в прямую
сумму подпространств Xi, .... Хп порождает соответ-
соответствующее разложение пространства L(X, Y) в прямую
сумму подпространств, изоморфных пространствам
L(XU У), ..., L(Xn, Y). Именно, для заданного опера-
оператора A: X*-*Y определены его сужения At: Xt-*Y, ...
..., Л„: Хп —> У, тем самым и элемент {Ль .... Ап\ пря-
прямой суммы *?jL(Xi, У). Обратно, всякий элемент А —
= {Л„ ..., Ап) е 2 L (Xit У) по формуле Ах=А (*i+...
... + хп) = AiXi + ... +Апхп (Xi e Xi) определяет ли-
линейный оператор в пространстве X; сужениями его на
подпространства А'ь ..., Хп являются как раз операторы
А\, .... Ап. Построенный таким образом изоморфизм
1J5 § 11 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ 21
L(X, У)-*->2 L(Xit У) является непрерывным, если X
полно, а Хй ..., Хп замкнуты в Л' @12.62 е).
ж. Аналогично, если пространство У разбито в пря-
прямую сумму подпространств Y\ Yn, то существует
естественный изоморфизм между L(X, Y) и прямой сум-
мой 2 ^ (-^> У*)- Именно, если задан оператор А е
е?(Х, У), причем Ах = у = yt + .:. + уп (#i е= Уь
i = l, ..., n)i то при каждом i = 1, ..., п оператор
Ас Х^х-*угеУг (очевидно, линейный) представляет
собой проекцию А в подпространство L(X, У4), так что
можно сопоставить с А элемент {Ai, ..., Ап) прямой
п
суммы 2 L {X, УЛ Обратно, для всякого элемента
п
{А\,...,Ап] из прямой суммы 2 ?(-^> ^*)и для каждого
положим Ах = Ахх-\-...-\-Апх; мы получим ли-
линейный оператор А е ?(А, У), проекциями которого иа
L(X, Yt) служат как раз операторы А{, t = 1, ..., п.
п
Построенный изоморфизм L (X, У) -«-»• 2 ^ №» У*) яв-
ляется непрерывным, если У полно и У! Yn замк-
замкнуты в У, по соображениям 012.63 д.
1.15. Д ействия с непрерывными функ-
функциями.
а. Если f(x) и g(x) —две функции, определенные на
одном и том же множестве X и принимающие значения
в линейном пространстве У, то можно определить на том
же множестве X функцию у(х) = f (х) + g(x) (X -> У) —
сумму функций f(x) и g(x). Если X — метрическое про-
пространство, а У — нормированное линейное пространство
и функции f(x) и g{x) непрерывны, то и у{х) непре-
непрерывна @12.32 6).
б. Если функция у(х) определена на множестве X и
принимает значения в линейном пространстве У, а С —
линейный оператор, отображающий линейное простран-
пространство У в линейное пространство Z, то на том же множе-
множестве X можно определить функцию z(x)= Cy(x). Если
при этом X — метрическое пространство, У и Z — нор-
нормированные пространства и функция у{х) и оператор С
22 ГЛ. 1, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.18
непрерывны, то и функция z(x) непрерывна {1.13а),
Например, составляющие х\ = Р\Х, ,.., хп = Рпх век-
вектора х в прямом разложении Xi +... + Хп полного нор-
нормированного пространства X являются непрерывными
функциями от х A.14 г).
в. Если линейное пространство У есть прямая сумма
подпространств Yu ..., Уп, то для каждой функции
У{х): X -* У можно определить, пользуясь соответствую-
соответствующими проекторами Р\, ..., Рп, еще п функций
Если при этом У есть полное нормированное про-
пространство, а подпространства Уь ..., У„ замкнуты, то из
непрерывности функции у(х) следует, в силу б и 1.13 а,
непрерывность функций уь.(х) (k = 1, ..., п). Очевидно
и обратное: если даны п непрерывных функций У((х)}
Х-* У,, ..., уп(х): Х->У„, то функция #(*) =fc/i(*).•••
• • •, Уп{х)} = У\(х) + ...+уп(х) (X-*¦ У) также непре-
непрерывна в силу а.
г. Можно рассматривать разного вида произведения
функций Х(х) и f{x), определенных на одном и том же
множестве X. Например, такое произведение определено,
если f(x)' отображает X в линейное пространство У,
а К(х)—числовая функция. Результатом является функ-
функция (Я/) (х) ез K(x)f(x) (X -*¦ У). Оно определено также,
если Х(х) и f(x) принимают значения в одной и той же
алгебре X и его значения принадлежат той же ал-
алгебре X. Оно определено также для f(x): X-+Y и для
К(х): X-*L(Y, Z), и тогда функция K(x)f(x) отобра-
отображает X в Z. Общим свойством всех этих произведений
является билинейность результата по каждому из мно-
множителей.
Введем следующее общее определение. Пусть на пря-
прямой сумме нормированных пространств Ли f определен
непрерывный оператор В (К, f) (^eA,fef), линейный
по каждому из аргументов к и f и принимающий значе-
значения в нормированном пространстве В; будем называть
его обобщенным произведением элементов X и f и обо-
обозначать b = (к, f). Пусть, далее, имеются функции
Х(х): Х-+А и f(x): X-*F; тогда определена функция
{к(х), f(x)) (X-+B), которая называется обобщенным
произведением функций к(х) и /(*). Три приведенных
§ '-1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 23
выше конкретных произведения входят в эту схему, если
положить, соответственно,
{к(х), f(x)) = k(x)f(x) в обычном смысле произве-
произведения f(x) на число к(х);
(М*)» f(x)) = X(x)f(x) в смысле произведения эле-
элементов алгебры;
(К(х), f(x)) = k(x)f(x) в смысле применения опе-
оператора к{х) к вектору f(x).
Утверждается, что обобщенное произведение Ь (х) =»
= (к(х), f{x)) есть непрерывная функция от х, если не-
непрерывны К(х) и f(x). Действительно, Ь(х) есть компо-
композиция двух функций:
х->{Я(х), f(x)}EA + F и {Я, /ЬКЛ, f)е=В.
Первая из них непрерывна согласно предположе-
предположению о непрерывности К(х) и f(x) и в силу в; вторая —
по предположению непрерывности функции (Я,, f):
A + F-+B. По теореме о непрерывности сложной функ-
функции непрерывен и результат b(x)= {k(x), f(x)), что и
утверждалось.
В частности, являются непрерывными и три рассмо-
рассмотренных/ выше конкретных произведения при условии,
что непрерывен каждый из множителей.
д. Результаты а я г справедливы, в частности, для
числовых функций X -> Ri, непрерывных на метрическом
пространстве X.
В частности, так как в пространстве X = Rn коорди-
координаты точки х = {xi хп) являются непрерывными
функциями от х и функция l/t (Ri-*R)) непрерывна
при t Ф 0, то по а, г и 1.13 а непрерывными являются
многочлены и рациональные функции от координат (по-
(последние— вне нулей знаменателя). По 1.13 6 предел по-
последовательности многочленов, равномерно сходящейся
на некотором множестве G с Rn, есть непрерывная
функция (G-^-Ri) на G. Для некоторых множеств
G с Rn справедливо и обратное: каждая непрерывная
функция f(x) (G -> Rt) может быть представлена как
предел равномерно сходящейся последовательности мно-
многочленов; это справедливо, в частности, для компактов
{012.44).
1.16. Для числовых функций одного вещественного переменного
(/?!-> Ri) простейшим типом точки разрыва является точка
24
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.16
разрыва первого рода, в которой у функции f{x) существуют правый
и левый пределы f{x-\-O) и {{х — 0), но не совпадают. Для число-
числовой функции п вещественных переменных можно было бы назы-
называть точкой разрыва первого рода такую точку а, в которой у функ-
функции f(jc) существуют пределы по всем лучам, ведущим в точку а,
и не совпадают друг с другом. Примером служит функция двух
вещественных переменных / (#,, х2)
{R2 -> Ri), кото-
flx)=D
рая на каждом луче JC| = <cosa, x2 = <sina, О < t < 00, имеет
постоянное значение cos2 a. Однако мы встречаемся здесь со сле-
следующим осложнением. Если для функции одного переменного пра-
правый и левый пределы в точке х = а совпадают, то она непрерывна
в течке а @5.24). Но если для
функции п переменных имеют-
имеются пределы по всем лучам, ве-
ведущим в точку а, и все эти
пределы совпадают друг с дру-
другом, то функция f(x) еще ие
обязана быть непрерывной в
точке а. Примером служит
ФУНКЦИЯ f(XhX2) (R2-+R1),
равная 1 на оси Xi и в двух
кругах, расположенных в верх-
верхней и нижней полуплоскостях
и касающихся оси в точке
@,0), и равная 0 во всех
остальных точках плоскости
(рис. 1.1-9). На каждом луче,
ведущем в точку @,0), эта
функция имеет предел 1, одна-
однако не является непрерывной в
точке @,0). Поэтому понятие «точка разрыва первого рода» для
функций нескольких переменных не применяется.
На этом же примере видно, что для функций нескольких пере-
переменных точки разрыва могут ие быть изолированными; на плоско-,
стн даже для очень простых функций они могут заполнять целые
линии, а в пространстве точками разрыва могут заполняться целые
поверхности; так, для функции f(x): Rn-*-Rt, равной 1 в шаре
Рис. 1.1-9.
1=1
/
\ 1 г и 0 вне этого шара, вся сфера | х е Rn: 2*; == м
состоит из точек разрыва.
§ 1.2. Дифференцируемые функции
Основная идея дифференциального исчисления со-
состоит в замене данной функции в окрестности некоторой
точки линейной функцией с ошибкой более высокого по-
порядка малости, чем соответствующее приращение аргу-
|.22 § 1-2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 25
мента. Те числовые функции одного переменного х, для
которых такая замена возможна, составляют класс диф-
дифференцируемых функций от х. Но возможность локаль-
локальной аппроксимации линейной функцией вовсе не требует
одномерности аргумента. Сначала мы приведем необхо-
необходимые определения для числовой функции нескольких
переменных, а затем дадим общее определение, пригод-
пригодное для общего случая, когда и область определения, и
область значений функции являются нормированными
линейными пространствами.
1.21. Прежде всего напомним основное определение
дифференцируемой числовой функции вещественного
переменного @7.11).
Числовую функцию f(x) вещественного перемен-
переменного х, a sg: х ss; b, мы называли дифференцируемой
в точке х = с, если существовал предел
limf{c + h)-f(c)=f'(c). A)
Л-»0 "
В этом случае в приращении функции f(x) при пере-
переходе аргумента от значения х=с к значению х—с + h
можно выделить главную часть, которая зависит от Л
линейно:
(), ^
Л-»0 "
Обратно, если приращение функции f(x) при пере-
переходе от значения х = с к значению х = с + h допускает
выделение главной части, линейной по h, т. е. при неко-
некоторой постоянной D выполняется соотношение
f(c + h)-f(c)==Dh + o{h), Hm^- = 0, B)
то предел lim ¦ l~ существует и равен D.
л-»о n
Таким образом, для числовых функций одного пере-
переменного соотношения A) и B) служат эквивалентными
определениями дифференцируемости в точке х = с.
1.22. а. Теперь рассмотрим случай числовой функции
f{x) от п вещественных переменных x=(xi, ..., хп).
26 ГЛ. 1, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Из двух приведенных выше определений на этот случай
наиболее естественно переносится второе.
Именно, функцию f(x) s= f(x, xn), f: Rn->R\r
мы будем называть дифференцируемой в точке х = с =
= (ci сп), если приращение f(x) при переходе из
точки х = с в точку x = c + h, h = (hit ..., hn),
допускает выделение главной части, линейной по h.
Последнее означает, что при некоторых постоянных
?>i, ,,., Dn выполняется соотношение
^- = 0. A)
А-»0
п
Величина 2 Dihi и есть главная линейная часть при-
ращения функции f(x) при изменении х от с до с + h.
Величина o(h) есть малая высшего порядка сравнитель-
сравнительно с А. При этом lim —г-р = 0 точно означает сле-
а-»о I'M
дующее: для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что
из |А|<6 следует ±?Ш-<е.
Определение A) по форме зависит от выбора базиса
и системы координат в пространстве Rn- Но если вспом-
п
нить (Л5.4), что линейная форма 2^Л при переходе
к новому базису остается линейной формой {с новыми
коэффициентами), то станет ясно, что дифференцируе-
мость функции f (x) при х = с есть ее внутреннее свой-
свойство, не зависящее от выбора базиса в пространстве Rn-
б. Если же базис и тем самым система координат
фиксированы, то можно утверждать, что для дифферен-
дифференцируемой функции f(x) коэффициенты Dj в формуле A)
определяются единственным образом. Чтобы убедиться
в этом, возьмем какое-либо целое m между 1 и и и по-
положим в формуле A)
А = @, .... О, hm, 0 0).
Тогда мы получим ]А| = |Ат| и
... ст_ь cm + hm, cm+l сп) —
-u cm, cm+l, ..., cn) = Dmhm-\-o{hm)l
1.21 § 1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 27
это означает, что функция f(cu .,., хт,«.,, с„) одного
переменного хт дифференцируема по этому перемен-
переменному хщ в точке хт = ст и число Dm есть как раз ее
производная по этому аргументу:
?) __ Jjm /(Ci, ..-.Cm + V .. ¦ ,Сп) — f (СЬ ...,Cm, »»»,Cn) лл
Полученная явная формула для Dm доказывает един-
единственность коэффициентов в формуле A).
Если предел в правой части B) существует, то он
называется частной производной от функции f(x) в точке
х = с по переменному хт. Таким образом, у функции
f(x), дифференцируемой (в смысле A)) в точке х = с,
имеется в этой точке частная производная по любому
из переменных хи ..., хп.
Частная производная функции f(x) по переменному
хт в точке х = с обозначается через - или f' (с).
г ОХт хт
Заметим, что частные производные по всем переменным
у функции f(x) могут существовать в точке с и без того,
чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке с
(см. задачу 3).
в. Из чисел D\, ,.'., Dn можно построить вектор Ц=
— {Du... ,?>„}. Он называется градиентом функции f(x)
в точке х = с и обозначается через gradf(c). Выраже-
п ¦
ние У>О{Н{ называется дифференциалом функции f(x)
в точке с, отвечающим смещению h = {hi, .,,, hn}. Оно
обозначается также через df(c). Величины ft и Л, тра-
традиционно обозначаются через dx и dXi (t = 1, ..,, п)
соответственно. Если в пространстве Rn ввести скаляр-
скалярное произведение -векторов х = {хи ,.., хп} и у ==.
== [Уи • • •. Уп} по формуле
п
{х, y) = J!i xtyi,
1
то дифференциал функции f(x) в точке с можно запи-
записать в любой из форм
| = (gradf(c), А)=У^<**|. C)
28 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.23
Формула A) приобретает при этом вид
o(A) =
D)
г. Для функции двух переменных у = {(хих2) (Rz-+Ri) более
традиционно обозначение независимых переменных через х, у, а са-
самой функции — через г,
z — f{x, у).
В этих обозначениях формулы C) н D) приобретают вид
дг , дг „
d+dy, E)
^ ~ dy+o(\dx\ + \dy\). F)
д. Поскольку частные производные функции нескольких пере-
переменных сутв обычные производные этой функции по какому-либо
из аргументов (при фиксированных значениях остальных), вычис-
вычисление частных производных приводится к вычислению обычных
производных. Так, для функции z = x2/y2 (/?2->-#i) имеем
дг 1х .
7 = -7Г (У фиксирован),
дг 2хг , , .
-^- = р- (х фиксирован).
Полный дифференциал этой функции имеет вид
дг , . дг . 1х 2jc2
dz = -5— dx + -=— ay = —г dx =- dy.
дх ду у2 у3
Ее градиент в точке (х, у) имеет вид
. , , f 2x 2хг
gradz(x, ) [
1.23. а. Теперь сформулируем общее определение
дифференцируемой функции. Пусть функция у = f(x)
определена в некоторой области G czX нормированного
пространства X и принимает значения в нормированном
пространстве Y. Эта функция называется дифференци-
дифференцируемой в точке х = с е G, если приращение функций
f(x) при перехоле из точки с в точку с -\- h e G допу-
допускает выделение главной части, линейной no h, т. е. еели
I-23 § IS. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 29
выполнено соотношение
f{c + h)-f(c) = Dh + o(h), A)
где D есть некоторый непрерывный линейный оператор,
действующий из пространства X в пространство У,
а о (ft) есть вектор в пространстве У, удовлетворяющий
условию
н->о 1Л1
Таким образом, выражение Dh в данном случае пред-
представляет собой главную линейную часть приращения
функции f(x) при изменении х от с до с -f h-
Равенству A) можно дать еще следующую геоме-
геометрическую трактовку. Функция f(x) осуществляет ото-
отображение области G cz X в пространство У; если пере-
перенести начало координат пространства X в точку с, а
начало координат пространства У в точку f (с), т.е. счи-
считать независимым переменным вектор h = х — с, а функ-
функцией — вектор k = у — f(c), то само получающееся ото-
отображение h-*k аппроксимируется линейным отображе^
нием k — Dh (с точностью до бесконечно малого члена
о (ft) высшего порядка сравнительно с Л). Можно ска-
сказать, что само отображение у = f(x) вблизи точки х = с
допускает выделение главной линейной части.
б. Покажем, что оператор D, фигурирующий в фор-
формуле A), определен однозначно. Допустим, что наряду
с равенством A) существует другое, аналогичное, пред-
представление разности f (с + h) — f(c), именно:
Кс + Л)-/(с) = Д,Л + о,(Л). lim^- = 0. B)
Вычитая B) из A) и обозначая D2 = D — Dlt мы най-
найдем, что
Для заданного е > О выберем б > О так, чтобы из
\h\ ^ б следовало |о2(Л)| ^ е|Л|. Тогда на основании
012.61 б мы получим
[АI
|?J1|== sup -LTTTi= sup
¦••¦-¦ |n| |h|<6
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Так как е > 0 произвольно, то ШгН = 0, откуда D2 —
— 'D — ?>i = 0 и, следовательно, D = Du что и требо-
требовалось.
в. Оператор D в формуле A), определенный, как мы
показали, однозначно, называется производной функции
f(x) при х = с и обозначается через f'(c). Выражение
Dh, т. е. вектор в пространстве У, полученный примене-
применением оператора производной к вектору смещения h, на-
называется дифференциалом функции f(x) в точке с, отве-
отвечающим смещению h. Пишут, по аналогии с числовыми
функциями вещественного переменного,
df (a) =~Dh = f' (a) h = f (a) dx,
где dx — h означает любой вектор пространства X.
Функция f(x), дифференцируемая во всех точках об-
области G, называется дифференцируемой в области G. Ее
производная ^(х) есть линейный оператор, действующий
из X в Y и зависящий от точки х е G. Ее дифференциал
df (х) = f (x) • h есть функция двух переменных — век-
вектора ЛеХи точки х е G.
Переход от функции f (х) к ее производной f'(x) или
к ее дифференциалу f (x)dx называется (как и в случае
одного переменного) дифференцированием функции f(x).
Общее определение A) в частном случае функции
вещественного переменного совпадает, очевидно, с обыч-
обычным определением производной и дифференциала @7.11
и 012.51). Для числовой функции п вещественных пере-
переменных оно совпадает с приведенным выше определе-
определением A.22).
1.24. Рассмотрим числовую дифференцируемую функ-
функцию f(x), f: G ~* Ru определенную в области G норми-
нормированного пространства X. В этом случае в равенстве
1.23 A) оператор D — f'(c) есть непрерывный линейный,
функционал (X -*¦ Ri) (зависящий, вообще говоря, от
точки с); функция о (ft) также принимает числовые зна-
значения. Если А" имеет размерность «, мы возвращаемся
к определению 1.22, так как выражение 2А^ пред-
представляет собою общий вид линейного функционала
в Rn. Линейный функционал D—f'(c) называется также
градиентом функции f(x) в точке х = $. Таким образом,
|,25 S 1.2, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 31
общее определение производной числовой функции сов-
совпадает с определением ее градиента.
1.25. aJ Рассмотрим более детально векторные диф-
дифференцируемые функции в конечномерном случае.
Пусть функция f(x): GczRn-+Rm определена в об-
области G «-мерного пространства X = Rn и принимает
значения в m-мерном пространстве У = Rm- Выбрав
в обоих этих пространствах каким-либо образом базисы
и записывая x={xt хп} <= /?„ и у—{у\ ym}^Rm,
мы можем выразить векторную функцию у = f(x) с по-
помощью т числовых функций
хп), |
0)
Пусть функция f(x) дифференцируема при х = с.
Равенство
Ме + А)-Кс) = Р(с)Л + о(Л) B)
опред«ляет линейный оператор f'(c): /?n-*/?m. Как и
всякому линейному оператору, действующему из Rn
в Rm, оператору f(c) можно поставить в соответствие
некоторую п X m-матрицу. Для этого нужно равенство
B) записать в координатной форме, используя имею-
имеющийся базис в пространстве Rn и в пространстве Rmi
при этом мы получаем
f,(с + A)-f,(с) —2 ft,(с)*, + <>,(&) (/=1 т). C)
/=i
Величины /Jy(с) (/=1, ...| п; г^1, .«., т) и соста-
составляют п X m-матрицу оператора f(c) относительно ука-
указанных базисов. Формулы C) показывают, что соста-
составляющие fi(x) дифференцируемой (при х—с) векторной
функции f(x) сами являются дифференцируемыми (при
х=с) числовыми функциями. Очевидно, что справедли-
справедливо и обратное: если числовые функцииfi(x),i= l,...,m,
дифференцируемы при х = с, то и векторная функция
f(x) также дифференцируема при х—с. Мы видим так-
также, каковы элементы матрицы линейного оператора
Г (с): поскольку коэффициенты главной линейной части
приращения любой числовой функции суть ее частные
32
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.28
производные по соответствующим переменным, мы
имеем
дх
I
(? = 1 т; 1=1, ..., п). D)
Итак, матрица линейного оператора f'(c) (Rn-*Rm)
составлена из частных производных и имеет вид
dfi (с) dfi (с) dfi (с)
dxt дх2 *"" дх„
df2 (с) df2 (с) df2 (с)
dxi дх2 ''' дхп
Псу.
dfm (xS
dx2
dfm (X)
dxn
Здесь знак ^ означает: оператору f'(c) при выбранных
базисах (координатах) в /?„ и Rm отвечает матрица, вы-
выписанная справа. Эта матрица называется матрицей
Якоби. Она обозначается также через
dfi (с)
дх.
или
fm)
*п)
В случае n=m=l она состоит из од-
ноге элемента, совпадающего с обычной производной
вещественной функции по вещественному переменному.
Для числовой функции п вещественных переменных
/п=1 и матрица Якоби имеет одну строку. Для т функ-
функций одного вещественного переменного (кривая в т-мер-
\ном пространстве, 016.12) п=\ и матрица Якоби пре-
превращается в одностолбцовую матрицу.
В случае т—п матрица Якоби — квадратная мат-
матрица:
Vi (с) dh (с)
dxi ''' дхп
jn (с)
Ее определитель, как мы увидим далее, является важ-
важной характеристикой отображения y=f(x) при х—с; он
называется якобианом отображения f(x) при х—с и
обозначается через
det I 'f,('.' (">¦
..., хп)
1.26 § 12. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 33
б. Особенно просто дело обстоит в случае линейной
функции y—f(x), или, в развернутой форме,
•• + DmnXnt
где /),j суть постоянные числа. Матрица Якоби в этом
случае представляет собой матрицу, составленную из чи-
чисел Dif
II Dn ... Dln (I
\\I
f()\\
II A»i • • • Dmn 1
и не зависит от точки с.
1.26. а. Для вещественного переменного, как мы по-
помним @7.11), существование производной числовой
функции y—f(x) в точке х=с с геометрической точки
зрения означало существование в точке (с, f(c)) каса-
касательной к кривой — графику функции f(x). При этом
касательная определялась или как предельное положе-
положение секущей — что соответствует аналитическому опре-
определению 1.21 A), — или же как прямая, точки которой
отстоят от соответствующих (т. е. взятых при тех же х)
точек кривой y—f(x) на бесконечно малую высшего по-
порядка по сравнению с h=x — с; последнее соответ-
соответствует аналитическому определению 1.21 B).
Угловой коэффициент касательной совпадает с произ-
производной f(c), а полное уравнение касательной имеет вид
У-р = Пс)(х-с) (p = f{c)) A)
или же, обозначая х — c—dx, у — р=йу,
dy=r(c)dx. B)
б. Для случая числовой функции y=f(Xi х„)
геометрическое содержание понятия дифференцируемо-
сти связано с наличием касательной плоскости к поверх-
поверхности # = f(*i, ..., хп). Чтобы прийти к определе-
определению касательной плоскости, будем обобщать второе
из приведенных определений касательной прямой.
Именно, плоскость у — р = 2 &i (xt — cih P=f(c), в
(n +1) -мерном пространстве Xi,...,xn, у будем
34 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА I.2ft
называть касательной плоскостью к поверхности y=f{x)
в точке х—с, если отклонение точек {*i, ,,., хп, f(x)} и
{xi хп, р + 2 At (xi — ct)} (первая из них на поверх-
поверхности, вторая на плоскости) имеет более высокий поря-
порядок малости по сравнению с | h | = V 2 (xt — ctf. Ясно,
что аналитическое условие /.22A) дифференцируемое™
функции f(x) при х—с теперь можно трактовать как
условие существования при х—с касательной плоскости
к поверхности y=f(x); в обозначениях /.22A) эта каса-
касательная плоскость имеет уравнение
C)
или, в дифференциалах (dy = у — р, dx — xt — a,
i—\, .... п),
Вектор с составляющими {dxu .... dxn, —1} е /?n+i
ортогонален к плоскости D) (в обычном скалярном
произведении); мы будем называть его нормальным
к поверхности y=f(x) в точке {с, р}, а определяемую им
прямую, проходящую через эту точку, — нормалью к по-
поверхности y—f{x).
Так, для поверхности, соответствующей функции г = x2ly*
(i?2—*- Ri), рассмотренной в 1-22г, уравнение касательной плоскости
имеет вид
2х 2jc2
dz=-^-dx ф-dy E)
(по форме совпадая, как и обычно, с выражением полного диффе-
дифференциала). Если текущие координаты любой точки касательной
плоскости обозначить (как в аналитической геометрии) через
X, Y, Z, а обозначения к, у, г сохранить за координатами точки
касания, мы можем записать уравнение E) также в виде
Z-z = ^-(X-x)-^-(Y-y). F)
Нормальный вектор в точке {*, у, г) имеет составляющие
2х 2х2
-ж-| — ——, — I; поэтому уравнение нормали, проведенной через
& У
1,26 § 1-2, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 35
точку {х, у, г), имеет вид
Х — х _ Y — y _ Z — z
2х/у2 ~ - 2х/у3 - 1 '
где X, Y, Z иа этот раз текущие координаты нормали.
в. Определение касательной плоскости можно дать
и для самой общей функции y=f(x): G aX-+Y, диф-
дифференцируемой в точке х—с. Пусть f(c)==p. Тогда
«касательной плоскостью» к поверхности y=f(x). в точ-
точке с мы будем называть линейное многообразие (гипер-
(гиперплоскость) в пространстве X-\-Y (прямая сумма), вы-
выделенное уравнением
У-р = Пс)-(х-с) (*<=G, y<=Y). G)
И здесь отклонение точки {х, f(x)} от точки
[х, p-$-f'(c)(x — с)} (первая — на поверхности y=f(x),
вторая — на многообразии G)) имеет более высокий по-
порядок малости по сравнению с \х — с\. Используя диф-
дифференциалы, мы.можем записать это уравнение в форме
dy = f'(c)dx. (8)
г. В случае числовой функции одного вещественного
переменного у нас было также другое определение ка-
касательной прямой. Именно, мы рассматривали малый
угол е вершиной в точ-
точке {с, f(c)}, ограниченный »№
прямыми с угловыми ко- /^
эффициентами D — е и
jD+e; прямая f/=p +,
-\-D (x — с) была, по оп-
определению, касательной к
кривой y=f(x) в точке
Iе. /4е) }> если ПРИ любом
е > 0 кривая y*=f(x)
при достаточно малых
h~x — C, |ft|s^6(e), все- Рис. 1.2-1.
ми своими точками ле-
лежала в пределах- этого угла (рис. 1.2-1), Аналогичное
построение можно сделать и для случая нескольких не-
независимых переменных. Вместо угла мы будем рассма-
рассматривать область fie в (n -f- 1) -мерном пространстве
36
ГЛ. Г ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.26
п
1
. хп, у, выделяемую неравенствами
{xt — с,) — е| х — с К у — р <
Плоскость у = р + S Dt (xt — Cj), по определению,
является касательной плоскостью к поверхности y=f(x)
при *—с, если для любого е > 0 при достаточно малых
|ft|, |/i|^|>; — с|^б(е), поверхность y=f(x) целиком
У
Рис. 1.2-2.
расположена в пределах области пе (рис. 1.2-2). Ясно,
что это определение касательной плоскости равносильно
предыдущим, а условие дифференцируемое™ функции
y=f(x) при х=с равносильно условию существования
касательной плоскости и в этом последнем смысле.
д. Отметим еще случай векторной функции y—f(x):<
Ri ~* Rn, или, подробнее,
(9)
Ее можно также интерпретировать геометрически как
кривую в (п+1)-мерном пространстве (х, уи .... уп).
Производная f'{c) представляет собой вектор с соста-
1.27 § 1-2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 37
вляющими f[(c), ..., f'n(c). Этот вектор фигурирует
в уравнении касательной G) в точке {с, f(c)\, с вектор-
векторными значениями у, р и f'(c); подробнее уравнение G)
в данном случае записывается в форме системы
У1—Р1 =
A0)
И здесь можно использовать запись в дифференциалах,
полагая dx=x — с, у{ — рг=йуг:
йу^ГМйх. A1)
е. В общем случае функцию y=f(x): Rn-*Rm мож-
можно геометрически представить себе как некоторое искри-
искривленное многообразие в (п-\-т) -мерном пространстве
точек {хи ..., хп, уи ..., ут}; тогда уравнение у ~ р=
—f'(c)(x — с) определяет линейное многообразие в
Rn+m, содержащее точку (с, р). Его естественно назы-
называть «касательным» линейным многообразием к много-
многообразию y=f(x), опять-таки на том основании, что для
х, близких к е, отклонение f(x) от Р-\-f (с) (х — с)
имеет порядок малости, более высокий по сравнению
с \х — с\.
1.27. Производи а я по направлению.
а. Пусть функция y=f(x): VczX-*Y определена
в шаре V={x ^ X: \х — с\ ^ г} нормированного про-
пространства X. Рассмотрим отрезок Г длины г, начинаю-
начинающийся в точке с и заданный единичным вектором е; он
имеет уравнение
х = с + te, 0 < t < г.
На этом отрезке функция f(x) становится функцией
вещественного переменного t. Положим f[x(t)] = q>(t),
<р: [0, г]-* У. Для t=0 имеем f(c)=q>@). Предположим,
что f(x) диференцируема при х=с; тогда, в частности,
имеет место равенство
Из этого равенства вытекает дифференцируемость при
^=0 функции q>(t) и равенство
q/@) = F(c)e. 0)
38
ГЛ. Т. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.28
= (gradf(c), fe)
откуда следует, что
Величина cp'(O) называется производной от функции f(x)
в точке с по направлению вектора е или по направле-
направлению Г и обозначается f'T(c). Поскольку величина ср'(О)
зависит лишь от значений t в произвольно малой окрест-
окрестности нуля, производная функции f (x) по направлению Г
зависит лишь от направляю-
направляющего вектора е и не зависит
от длины отрезка Г.
б. Для числовой функ-
функции f(x): Rn-*Ri можно
написать равенство 1.22D):
o.(Q,
B)
Как мы знаем, вектор
grad f(c)=f'(c) определяет-
определяется только свойствами самой
функции f(x) и не зависит от
выбора направления, по ко-
которому производится диффе-
дифференцирование. В свою оче-
очередь вектор е, определяю-
Рис. 1.2-3. щий направление диффе-
дифференцирования, не зависит,
конечно, от функции f(x). Формула B), таким образом,
выявляет и одновременно разграничивает роли обоих
факторов: функции и направления ее дифференциро-
дифференцирования.
1.28. Формула B) позволяет также вывести опреде-
определенные заключения о поведении функции f(x) в некото-
некоторой окрестности точки с (если только grad f (с) фО)<
Именно, если со есть угол между векторами G=gradf(c)
и е, то из определения 04.74 мы находим, что
Отсюда можно сделать следующие выводы а — г
(рис. 1.2-3, п=2).
1.28 S t.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 39
а. В направлении вектора G=grad/(c) производная
/р(с) принимает наибольшее значение, равное
|grad/(c) | (поскольку для этого направления cosco — 1);
в противоположном направлении f'r(c) принимает
наименьшее значение, равное —|grad/(c)|. Эти напра-
направления называются, -естественно, направлениями бы-
быстрейшего подъема и быстрейшего спуска функции. f(x)
из точки х=с.
б. По всем направлениям, ортогональным к напра-
направлению градиента, величина f'T(c) равна нулю; по этим
направлениям приращение функции f(x) имеет порядок
малости более высокий по сравнению с |Л| = |х — с\.
в. По остальным направлениям величина f'T(c) при-
принимает значения, промежуточные между —|gradf(c)| и
+ |gradf(c)|.
г. Таким образом, градиент функции f(x) в точке
х=с есть вектор, направленный из точки с в сторону
наискорейшего возрастания функции f(x) и по длине
равный производной функции f(x) no этому напра-
направлению.
д. Пример. Проанализируем поведение функции двух пере-
переменных У — х\ — х\ (fy'+Ri) B окрестности точки A,1). Значение
функции х\— х\ъ самой этой точке равно 0. Приращение функции
прн переходе в близкую точку A+Ль 1+Л2) допускает выделе-
выделение главной линейной части
= - 2A, + 2A2 + 4 ~ h\ = - 2/Ч + 2A2 + о (А),
так что функция х\ — x\ дифференцируема в A,1) (как, впрочем,
и во всякой другой точке). Ее частные производные -~- = — 2хх
и ~~г=2х2 принимают в точке A,1) значения —2 и 2, так что
ОХ-2
grad у(\, 1) = {—2,2}; следовательно, gradj/(l, 1) направлен под
углом 135° к оси Х\ (рис. 1.2-4). В направлении Yi этого вектора
идет линия быстрейшего подъема функции y(xt, x2), скорость ко-
которого равна Igrad y(\, 1) |«=2 У~2. В перпендикулярном направ-
направлении Y2, т. е. в направлении биссектрисы первого координатного
угла, мы имеем yys(l, О —0; и действительно, на этой биссектрисе
функция у(хх,хг) не меняется (остается равной 0). В направле-
направлении Y3 вектора —grad{/(l, 1)= {2,—2} идет линия быстрейшего
4.0
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.31
— 2, - , ' ==2 дают нам
ОХ
спуска. Сами производные , '—-
ОХ\ ОХ%
значения угловых коэффициентов функции в направлении соответ-
соответствующих координатных осей. Они имеют простой геометрический
смысл: если пересечь поверхность у = х2 — х\ вертикальной пло-
плоскостью Хц = 1, в сечении мы получим кривую у — 1 — к\, для
которой число —2 есть угловой коэффициент касательной (в пло-
1). Аналогично j^J—- = 2 есть угловой коэффн-
СКОСТИ Хц
циент касательной к кривой у
дх3
2
-4-
1, получающейся при сечении
ПерспектиВа.
Направление
бьктршшего
подъема
'Направление
быстрейшего
спуска
Рис. 1.2-4.
нашей поверхности вертикальной плоскостью Xi = 1. В сечении
поверхности вертикальной плоскостью К\ + Хц = 2, проходящей че-
через вектор градиента, получаем кривую с угловым коэффициентом
+ 2УТГ.
§ 1.3. Общие георемы о дифференцируемых функциях
1.31. В дальнейшем функции f(x), g(x), ... пред-
предполагаются действующими из некоторой окрестности V
точки с нормированного линейного пространства X в нор-
нормированное линейное пространство /.
а. Если f(x) = const (т. е. для всех х е V значение
функции f(x) есть один и тот же элемент пространства
У), то f'(c) = 0. Этот результат вытекает из равенства
/,(с + Л} — /(с) eg 0 и единственности производной A.23).
1.32 § '-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 41
б. Если f(x) есть линейная функция F-x (точнее, если
существует линейный оператор F: X -> Y, значения кото-
которого совпадают на V(c) со значениями функции /(#)),
то Г (с) =F,df(c) = F-dx.
Действительно, в данном случае
Fc = Fh,
и требуемый результат также вытекает из единственности
производной A.23).
в. В частности, для функции ^(л:) = х (X ->Ж) произ-
производная Р (х) есть тождественный оператор f'(x) = Е
(Х->Х) ndf(x) =dx = dh.
г. Всякая дифференцируемая при х = с функция f(x)
непрерывна при х = с.
Действительно, в равенстве
для заданного е > 0 возьмем 6 > 0 столь малым, чтобы
при |Л|<й иметь |о(Л)|<е/2 и ||f'(c)|| \h\ < е/2;
тогда получится, что
\-fic + Л)-/(с) Kllf (с)||| Л | + о(Л) |< в,
откуда и следует непрерывность функции f(x) при х = с.
1.32. а. Если функции f(x): V-*Y и g(x): V-+Y
дифференцируемы при х = с е V, то и s(x) = f(x) -f
-hS(x) (^-> У) дифференцируема при х = с; при этом
или, что то же,
Действительно, из равенств
f(c + h)-f(c)
g(c + h)-g(c)
следует, что
откуда и вытекает требуемое.
б. Если функция у(х): V -> У дифференцируема при
х~а, а А—линейный непрерывный оператор,
A2 ГЯ. Т. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Я .33
действующий из пространства У в (нормированное) про-
пространство Z, то функция г (ж) = Ау(х) дифференцируем
ма при х = а и
z'(a) = Ay'(a), dz {а) = A dy (a).
Действительно, в данном случае
= А [у' {a)h + o (ft)] = [Ay* (a)] h + o (h),
откуда и вытекает требуемое.
в. Пусть У есть прямая сумма подпространств
У\, • • •, Y-п, так что для любой функции у(х)\ X —*¦ У, как
в 1.15 в, имеются составляющие
ух(х) = Р1У(х) (X-+Yy), .... Уп{х) = РпУ(х) (X->Yn).
Если Y —полное пространство, а подпространства
У( Уп замкнуты, то дифференцируемость функции
у(х) при х=а влечет дифференцируемость при х=а и
каждой из функций yh(x) (Л=1, ..., п); это следует из
непрерывности оператора Ph A.14 г) и б.
Обратное — если функции у\(х) (X -*¦ Yt),..., уп{х)
(X —*¦ Уп) дифференцируемы при х=а, то и функция
У{х)=1УАх), ••-. Уп(х)у. X-*Y дифференцируема при
х=а — следует из а, поскольку
.. +уя(х). A)
Цроизводная у'(а) есть линейный оператор X-*Y, т.е.
y'(a)^L(X, У); аналогично y'k(a)<E=L(X,Yk) (fe =
= 1, к., и). Пространство L(X, У) есть прямая сумма
подпространств L(X, Yk) A.14е), и из A) немедленно
следует, что составляющими элемента y'(a)^L(X,Y)
являются величины y'k(a):
у'(а) = {у'1(а),...,у'к(а)}. B)
1.33. Производна я и дифференциал от
сложной функции.
а. Теорема. Пусть функция у=у(х) действует из
области С нормированного пространства X в нормиро~
ванное пространство Y, a e G, у (а) =Ь, и пусть функ-
функция z=2 (у) определена в окрестности точки b простран-
пространства У и действует в нормированное пространство Z,
§ 1.3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
43
Если функция у(х) дифференцируема при х=а, а функ-
функция z(y) дифференцируема при у=Ь, то сложная функ-
функция ?(#) = z[y(x)], определенная р некоторой окрестно-
окрестности точки а е 6 и действующая в пространство Z, так-
также дифференцируема при х=а и
l'(a) = z'{b)y'{a). A)
Заметим, что у'(а) есть линейный оператор, дей-
действующий из X в У, a z'(b) —линейный оператор, дей-
действующий из У в Z, так что правая часть в формуле A)
имеет смысл, как линейный оператор, действующий из X
в Z.
Для доказательства рассуждаем так:
= z' (b) W (a)h + о (h)] + о \у' (a)h + o (ft)] =
= z'(b)y'(a)h + o{h). B)
Значит, выражение zr(b)y'(a)h составляет главную ли-
линейную часть в приращении функции t,(x) при переходе
от х=_а к х=а -j- h, что и требовалось проверить.
Заменяя а на х, b на у(х) и переходя к операторам,
можно записать полученную формулу в виде
б. В частности, пусть пространства X, У, Z конечно-
конечномерны и их размерности равны соответственно п, т и р.
Фиксируя каким-либо образом базисы в этих простран-
пространствах, функции у(х) и z(y) можно записать системами
числовых равенств
У1 = У\{Х\> '••> xn)t zl=zl(y1, ,.,, ут), ]
Операторам
{1.25а)
У'(х)
Xtl)'t '•
¦ z'(y)
р = 2р(У1, •••» Ут)-
отвечают матрицы
дух
дхп
дут
дхп
dzp
дут
dzp
D)
Якоби
E)
44
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.34
Функция ?(#) =z[y(x)] по а имеет производную; соот-
соответствующая матрица Якоби в силу формулы A) совпа-
совпадает с произведением матриц E):
СМ»
ax, •••
dip
dXl •'•
dl\
dxn
dip
dxn
dzt
dy,
d2,
dzp
•"* dym
dy\
dx, ••'
dym
ax, •••
dxn
дУт
дхп
.F)
Равенство F) называется правилом умножения мат-
матриц Якоби. Его можно короче записать так:
|a(?,, .... ip)
а(х„ .... xn)
(г„ ..., zp) ЦП d({/,, .... ym)\
, .... г/m) ill 5(Х„ .... Xn)
В частности, для любых фиксированных /=1, ..
i=l, ,.., « мы имеем
dy' dxt
G)
p;
(8)
в. Заменяя р формуле B) h на rfx и вспоминая, что
дифференциал функции есть главная линейная часть ее
приращения, находим, что
Но так как, с другой стороны, при данном dx и
dy = y'(a)dx,
то мы получаем
d?
т. е. дифференциал функции от у не зависит от того, не-
независимым ли переменным является ее аргумент у или
же функцией от другого аргумента х. Это свойство на-
называется инвариантностью дифференциала относительно
замены переменного. Следует только иметь в виду, что
в первом случае под dy понимается произвольное прира-
приращение аргумента у, тогда как во втором случае это зна-
значение дифференциала функции у{х) для вектора dx.
1.34. Диффер енциал обобщенного произ-
произведения.
а. Пусть имеются нормированные пространства X и
У и определено обобщенное произведение {х, у) элемен-
1.34 S t-3- ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 45
тов х ^ X и у е У, т. е. билинейное непрерывное отоб-
отображение пространства W—X + К в некоторое простран-
пространство Z A.15г).
В силу непрерывности билинейной формы (х, у)
существует С > 0 такая, что для любых х, у
\{х,у)\^С\х\\у\.
Утверждается, что функция z={x,y): W-^-Z диф-
дифференцируема в каждой точке пространства W и
dz = {dx,y) + (x,dy). A)
Действительно, придавая аргументу {х, у} е W при-
приращение {dx, dy} и используя билинейное свойство функ-
функции {х, у), находим
(х + dx,y + dy) — {х, у) =
= (х, у) + {dx, у) + {х, dy) + {dx; dy) — {х, у) =»
= {dx, у) -f (x, dy) -f {dx, dy).
При этом первые два слагаемых справа линейны отно-
относительно смещения {dx, dy}, а выражение {dx, dy) допу-
допускает оценку
= o(\dx\ + \dy\).
Таким образом, приращение функции {х, у) допускает
выделение главной линейной части {dx, у) -f {x, dy), что
и доказывает наше утверждение.
Примерами применения этого правила, вместе с пра-
правилом дифференцирования сложной функции, являются
формулы дифференцирования различных произведений,
которые приводятся дальше.
б. Теорема. Пусть в области G пространства Т за-
заданы дифференцируемые функции x=x(t), x: G-*X, и
y=y(t), у: G-*Y. Образуем, как в а, обобщенное про-
произведение
G->Z,
которое называется обобщенным произведением функ-
функции x(t) на функцию y{t).
46 ГЛ. Т, ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.34
Утверждается, что функция t,(t) = {x (t), у(t)) диф-
дифференцируема в G и
dt = <*' (t) dt, у @) + (х (t), у' (t) dt). B)
Действительно, функция ?(f) может быть представлена
как сложная функция
fr,y) = {x(t), у(ф G->W;
?(*) = <*. y) = z({x,y}): W-*Z.
Используя теорему о дифференциале сложной функции
и результат а, получаем
dl = {x' (t) dt, у (t)) + {x @, у' (t) dt),
что и требуется.
Из B) следует, что производная функции t,(t) опре-
определяется по формуле
Г (t) = {х* {t), у @) + (х @, у' @>, О)
где слагаемые в правой части надо понимать как линей-
линейные операторы в пространстве Т, действующие из Т в Z
по формулам
в. Следствие. Если функция x(t): GczT-*X
дифференцируема при t=c и K(t): G czT —> L(X,Y) —
операторная функция, определенная в G и дифферен-
дифференцируемая при t=c, то произведение g(t)=h(t)x(t)i
G aT -*Y дифференцируемо при t=c и
dg (с) m g' {с) dt = К' (с) dt ¦ х (с) + Я (с) • х' {с) dt. D)
Оба слагаемых в правой части, как нетрудно видеть,
принадлежат пространству У.
г. Следствие. Если K(t): G сГ-*^, и x{t): Gc
cr T —> R} — две числовое функции, дифференцируемые
при t=cQG, то произведение g(t)=X(t)x(t) также
дифференцируемо при t=c и
. E)
Правая и левая части равенства здесь являются ли-
лилейными функционалами на пространстве 7\
1.35 § 1-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 47
Для доказательства заметим, что в первом слагае-
слагаемом правой части D) числовые множители K'(c)dt и
х(с) можно сейчас переставить, после чего получаем
(с) в» g' (с) dt = x (с) X' (с) dt + А (с) х' (c)dt =
откуда и вытекает E).
1.35. Функция хг1 и ее производная.
а. Пусть х есть некоторое отображение множества U
в множество V, а у — некоторое отображение множе-
множества V в множество U. Таким образом, определены обе
композиции: ху: V —*¦ V и ух: U -> U. Если ху есть то-
тождественное преобразование ev множества V в себя, то
у называется правым обратным к х, а х — левым об*
ратным к у. Аналогично, если ух есть тождественное
преобразование е'ц^в множестве U, то х называется при'
вым обратным к у, а у — левым обратным к. х. Отобра-
Отображение х может не обладать правым обратным- или,
например, обладать бесчисленным множеством правых
обратных (/14.76). Но если отображение х: U-*V обла-
обладает правым обратным у: V -* U и левым обратным
z: V-*U, то z=zev=z(xy) = (zx)y=evy=y, откуда
следует, что в этом случае х имеет единственный правый
обратный и единственный левый обратный и эти обрат-
обратные совпадают друг с другом; естественно, что это един-
единственное левое и правое обратное называется просто об-
обратным отображением к х и обозначается через х~К
Таким образом, x-1x=ev, xx-x==ev.
б. Теперь предположим, что U и V — полные норми-
нормированные линейные пространства и все рассматривае-
рассматриваемые отображения — линейные ограниченные операторы.
Некоторые из линейных операторов х: U -» V обратимы;
их совокупность мы обозначим через G. На множестве
G определена функция х~и. G -*¦ L(V,U). Покажем, что
в метрическом пространстве L(U, V) (с обычной опера-
операторной метрикой @12.616)) множество G есть область
(открытое множество) и функция х~1 непрерывна на G.
Мы воспользуемся при доказательстве тем фактом, что
близкие к единице элементы алгебры L(V) обратимы
@12.72 а). В поисках обратного-элемента k-jc + A при
малом h мы умножим х + h сначала на х~1, убедимся,
что результат при достаточно малых h будет близок
48 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.35
к единице и, следовательно, будет обратимым; а тогда,
как мы увидим, будет обратимым и х + Л. Проведем
эту идею подробнее: для любого A e L(U, V) мы имеем
(х -f h)xrx=xxrl -f hxrx=^ev -\-hx~x; поэтому при |A| <
< 1 /1лг—*| справедливо неравенство | (x + fi)x~x ~ev\ =
= |Ад-Ч = |Л| |л~'|< 1, так что элемент (x-\-h)x~x от-
отстоит ev менее чем на 1. Но тогда оператор (х-\- Л)лг':
V —* V обратим в пространстве V @12.72 а), так что су-
существует оператор zh\ V —¦ V, для которого
(х -f- h)x-lzh==ev. Это означает, что x'lzh есть правый
обратный для х -f Л. Таким же образом, заменяя
(x-\-h)x~x на x~x(x-\-h), мы можем доказать существо-
существование при |'А| < 1/|лг-11 и левого обратного для х + h.
Теперь из а вытекает, что элемент х -f h при |Л| <
< 1/|#~Ч обратим. Мы видим, что множество G вместе
со всяким своим элементом х содержит и все другие
элементы совокупности L(U, V), находящиеся от х на
расстоянии, меньшем 1/|лг'|; стало быть, G есть_ откры-
открытое множество. Известно, далее, что zh -* ev при А -» О
@12.72 6); отсюда (х -\- h)-l~xrlzh-*хгх при А-*0, и,
следовательно, функция хгх непрерывна на всей области
своего определения.
в. Покажем, что в условиях б функция хгх дифферен-
дифференцируема, и найдем ее дифференциал.
Из тождества
(х + А) \(х + А) - лГ1] х = х - (х + А) = — А
имеем
(х + А) - лГ1 = — (х + А)^1 АлГ1 = — x^hx'1 + о (А)
в силу непрерывности функции х-1 в области G (б). От-
Отсюда следует дифференцируемость функции х~х на всей
области ее определения и равенство
й (х~х) = (х-1)' А = — x-xhx~\
Заметим, что, вообще говоря, переставлять множи-
множители в полученном результате нельзя. Если даже U=V,
так что формальная перестановка множителей будет
иметь смысл, все равно ее делать нельзя из-за возмож-
возможной некоммутативности операторов в L(U). Лишь в слу-
случае U= V~Ri множители можно переставлять беэого-
1.37 § 1-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 49
ворочно; мы получаем здесь классическую формулу
dx
= -г*
или
(Я—
1.36. Производная от частного. Пусть f(x)
и g(x)—числовые дифференцируемые функции, опре-
определенные в шаре V={x^X: \х — а\ < г} нормирован-
нормированного линейного пространства X; пусть, далее, ц(х)Ф$.
Покажем, что частное f(x)/g(x) есть дифференцируемая
в V числовая функция, и найдем ее производную. Функ-
Функцию l/g(x) (V-* Ri — 0) можно рассматривать как
сложную функцию, составленную из данной дифферен-
дифференцируемой функции u=g(x) {у—* R\ — 0) и дифферен-
дифференцируемой функции 1/ы ($i — 0-*R\ — 0); по 1.33 а и
1.35в функция l/g(x) дифференцируема и ее производ-
производная равна
Теперь, применяя 1.34 г, получаем, что и частное
f(x)/g(x) есть дифференцируемая функция с производ-
производной
f'{x)g{x)-f{x)g'(x) т
1 !(х)У _
\g(x)) ~
и дифференциалом
df(x)g(x)-f(x)dg(x)
Для X — Rn, вспоминая 1.24, можно написать
„__н f (x) _ grad f(x)-g (x) — f(x)- grad g (л:) ...
gr ad Л*) FT*) ' D)
1.37. Примеры.
а. Желая для фу
ди д
изводные -^— и -^
ференциала 1.33в, вычислить ее дифференциал как функции от
рр
а. Желая для функции и = arctg (y/x) (R2-+Ri) найти частные
ди ди
производные -^— и -^—, мы можем, используя инвариантность диф-
диф50 гл. т. производные первого порядка 1.38
одного переменного у/х, а затем применить 1.36 C):
x2 xdy — ydx xdy — ydx
~ x2 + y2 x2 ~ x2 + y2 *
Отсюда находим и нужные производные как коэффициенты при
соответствующих дифференциалах:
ди _
дх
Полученный результат можно записать также с помощью сим-
символа градиента:
б. Пусть у — фиксированная н х переменная точки простран-
пространства Rn. Найдем частные производные функции г = | х — и I =
= V 2 (*j — yif- Дифференцируя обе части равенства
г2 = (*1-У*J+ ... +{*п-УпJ,
находим
... + 2(д;„ - уп) dxn,
откуда
dr = — [(х, — j/i) djf, + ... + (хп — уп) dxn],
и, таким образом,
а
1.38. Частные дифференциалы. Частную производную
() ( х„): ^в^
ффр у ру
функции ы(х) =sa(Xi, ..., х„): ^в-^-^ь например по перемен-
^ ди
ному хь мы обозначали символом -^- ц.22). Величинам да и a«i
можно приписать здесь и самостоятельный смысл: дхх есть при-
приращение координаты хь а д«—соответствующий частный двффе-
ренциал, т. е. главная линейная часть соответствующего прираще-
приращения функции, при неизменных значениях х2, ..., хп. Однако в сим-
символе ди не отражено, какие координаты меняются и какие остаются
постоянными; поэтому в разных случаях этот символ может иметь
различный смысл, что может привести к недоразумениям. Приво-
Приводим несколько примеров парадоксов, возникающих при формальном
обращении с частными дифференциалами без учета их смысла.
1.39 § 1.8. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ Б1
а. Произведя сокращение на dxi в формуле дифференцирования
сложной функции и = и(хи ..., хп), xt = xf(t) A.336),
ди ^ri ди dxt
dt jU dxt dt '
ди ди
получаем нелепый результат ~аГ==п~аГ•
б. Если х, у — прямоугольные, а г, ф — полярные координаты
точки на плоскости, мы имеем
г = Ух2 + у2, г = х sec ф.
Из первого выражения мы имеем =
дх
Из второго выражения мы имеем -=r- = sec ф.
Но при х > 0, у > 0 эти результаты различны, так как в этом
X
случае заведомо - ¦ — <1, весф > 1.
Vx2+tf
„ . дг дг . ,.
в. Пусть г = х + у; тогда ~§~ — ~5—"=!• Из того же уравне-
уравнения имеем х = г — у, у = г — х, и, следовательно,
дх ^ —=*\ ^- = 1 ду = I
ду = ~ "" дг дг дх
Отсюда
То же выражение при сокращении иа &х, бу, бг приводится к +1.
В действительности в примере а все п величии ди, вообще го-
говоря, различны; в примере б первое дг отвечает смещению с по-
постоянным у, а второе дг — с постоянным ф; в примере в все шесть
величии в последнем произведении имеют разный смысл. Поэтому
при необходимости рассмотрения частных дифференциалов следует
учитывать их точный смысл *).
1.39. Производная вдоль линии.
а. Пусть в области G cz X задана гладкая линия
Г = {хеХ: х = x(t), a ^ t ^ р}. Это означает, что у
функции x(t) (Ri -* G) производная x'(t) существует и
*) Обычно в учебниках рекомендуют вообще рассматривать
ди
символ д как слитный, не приписывая смысла отдельно числи-
числителю и знаменателю.
52
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.S9
непрерывна при а ^ t ^ [3 (в концевых ючках t==a и
tf=P речь идет, естественно, об односторонней производ-
производной, 07.19). Пусть, далее, x(a)=oeG, x(p)=fcetj.
Рассмотрим функцию у(х), у: G-+Y, дифференци-
дифференцируемую, во всяком случае, в точках линии Г, и положим
Эта функция дифференцируема по t по теореме 1.33 а.
Ее производная называется производной от функции
у(х) вдоль линии Г. По формуле 1-33 C) имеем
<р'@ = /(*)¦*'@ (* =
A)
Для случая, когда линия Г есть отрезок х=с + te,
О ^. t ^ 1, |е| = 1, производная вдоль Г при ?=0 есть
производная по направлению Г A.27а),
б. Формулу A) используем для более подробного
рассмотрения касательной плоскости П к поверхно-
поверхности P={jteC, j/еУ: у = у(х)} в пространстве G X У
A.26 в). В точке х =с
[У касательная плоскость
имеет уравнение G.26G))
— р = у'(с)(х —
B)
Будем проводить че-
через точку с в области G
всевозможные дифферен-
дифференцируемые кривые (рис.
1.3-1). Условимся, что их
уравнения имеют вид
x=x(t), причем х(у)=с.
Рис. 1.3-1. С помощью уравнения
у = у(х) эти кривые «пе-
«переносятся» на поверхность Р и имеют там параметриче-
параметрические представления x — x(t), у = y[x(t)] = q(t). Каса-
Касательная прямая в точке х—с, у—р к любой такой кри-
кривой описывается уравнениями
1.39 § 1-3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 53
Используя формулу A), мы можем записать эти урав-
уравнения в виде
x-c = x'(y)(t-y), y-p = y'(c)-x'(y)(t-y). C)
Отсюда видно, что каждая прямая C) лежит в плоско-
плоскости B).
Обратно, любая прямая, проходящая в плоскости B)
через точку {с, р}, есть прямая, касательная в этой точке
к некоторой кривой на поверхности Р. Действительно,
если х=си y=pi=p -f- у'{с) (с\ — с) есть любая другая
точка на плоскости П, то прямая, проходящая через
эти две точки, имеет уравнение
jc = c + (c, — c)t, y = p + y'(c)(cl — c)t,
а эта прямая является касательной к кривой
лежащей на поверхности Р.
Итак, касательная плоскость П есть объединение ка-
касательных прямых к всевозможным дифференцируемым
кривым, проходящим на поверхности Р через точку {с, р].
в. С другой стороны, пусть в а линия Г лежит ,на по-
поверхности уровня Q A.11 г) дифференцируемой функции
f(x). Пусть, например, х(у) = с. Производная в точке с
от функции f(x) по этой линии, с одной стороны, рав-
равна f(c)-x'(\) согласно формуле A), а с другой стороны,
очевидно, равна нулю, так как f(x) равна постоянной
на всей поверхности Q, в том числе на линии L. Таким
образом,
и, значит, оператор f'(c) обращается в 0 на всех векто-
векторах, касательных к кривым на поверхности Q в точке с,
т. е. f (с) обращается в 0 на всех векторах касательной
плоскости к поверхности Q в точке с. Этот факт вы-
выражают словами: в любой точке поверхности уровня
функции f(x) градиент функции f(x) ортогонален
к этой поверхности уровня. Такая терминология оправ-
оправдана случаем числовой функции f(x) в гильберто-
гильбертовом пространстве, в частности в конечномерном евкли-
евклидовом пространстве, где оператор f'(a) действует по
54 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.41
формуле 1.22 E), содержащей скалярное произведение:
Указанный факт позволяет легко устанавливать на-
направление вектора градиента, когда известны поверх-
поверхности уровня соответствующей числовой функции. Так,
для числовой функции вида f(\x — а\) градиент в точке
хфа направлен ортогонально к сфере \х — а|=г, пред-
представляющей собой поверхность уровня нашей функции,
т. е. по лучу, ведущему из точки а в точку х.
§ 1.4. Теорема о среднем
1.41. Рассмотрим в области G а X гладкую линию
Пусть, кроме того, в области С задана дифференцируе-
дифференцируемая функция у=у(х): G —» У. Сначала предположим,
что У=/?ь т.е. что у(х) —числовая функция.
а. Теорема о среднем. Если числовая функция
у(х), у. G -у /?i дифференцируема в точках линии L, то
существует такое 0 с: (а, р), что
у(Ь)-у (а) = у' (с) х' (в) (р - о) (с = х F)). A)
Доказательство. Положим, как в 1.39а, ф(
=у[л;@]> а ^ ' =?= Р- Поскольку функция q>(t): /?i -*¦
дифференцируема, мы имеем при некотором 6 а (а,
по теореме Лагранжа @7.44)
- t/(a) = Ф (р) - Ф (а) = Ф'F) (Р - а).
Применяя формулу 1.39 A), получаем
откуда и следует A).
б. Освбенно простой вид соотношение A) получает
для случая, когда линия L есть отрезок, соединяющий
точки а и Ь, так что можно написать L={x е X: x(t)=?
*=(l — t)a + tb, O^t^l}. В этом случае x'(t)=i
f=b — аи A) приводится к виду
1.42 4 T.4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ Б5
1.42. Если функция у(х), у: G-+Y, не является чис-
числовой, то к функции <p(t)=y[x(t)]: R\-*Y уже не при-
применима теорема Лагранжа. Поэтому равенство 1.41 A)
для такой-функции, вообще говоря, несправедливо (см.
задачу 7).
а. Однако можно написать оценку
py(n-s(L), A)
где s(L) —длина линии L @16.19), \ у (Ь) — у (а) \ есть
норма вектора y{b) — y (a) sF, a \\ у'- (х) || есть норма
оператора у'{х) (X->Y).
Действительно,
Р
p
y'{x(x)]x'(x)dx
sup
s{L) B)
в силу теоремы Ньютона — Лейбница для векторных
функций @12.53) и выражения для длины дуги
@16.19).
б. Неравенство A) в случае, когда L есть отрезок,
соединяющий точки а и Ь, приобретает весьма простой
вид:
\y(b)-y(a)\^sup\\y'(x)\\\b-a\. C)
в. Можно написать для этого же случая и более
сильное неравенство:
\y(b)-y(a)\^sup\y'(x)(h-a)\, D)
преимущество которого перед неравенством C) сказы-
сказывается, например, в случае, когда X=Rn, Y=R\ и век-
вектор y'(x)z=grauy(x) направлен под углом к вектору
Ь — а, близким к прямому. Вывод неравенства D) про-
производится путем уточнения оценки интегралав B): для
случая, когда L есть отрезок, мы имели x'(t)=b — а
56 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.43
A.41 б), и, следовательно,
у(Ь)-у(а)=$у'[х(т)](Ь-а)Aт,
о
откуда
\У(Ь)-У(а)\< sup
что и требовалось.
г. В предположениях б — в рассмотрим функцию
g(x) = y(x)-y'(a)(x-a).
Она дифференцируема вместе с функцией у(х), и по
1.32 а —б
g'{x) = y'(x)-y'(a).
Применяя для функции g(x) неравенство D), находим
\y(b)-y(a)-y'(a)(b-a)\^\g(b)-g(a)\<
< sup | g'(x){b- a)|,
или же
\y(b)-y(a)-y'(a)(b-a)\<
<sup\[y'(x)-y'(a)]-(b-a)\, E)
что уже значительно сильнее, чем B).
д. Неравенство E) можно использовать и в менее
сильной форме:
\y(b)-y(a)-y'(a)(b-a)\^
^ sup\\у'{x)-yf (a) \\\b-a\, F)
jet
в которой оно все же остается значительно более силь-
сильным, чем B).
1.43. а. Теорема. Если в шаре V={x e X:
\х — а\ ^ г) мы имеем у'(х) ез 0, то у(х) есть посто-
постоянная.
Действительно, из 1.42 A) для любого b e V и от-
отрезка L, соединяющего точку а с точкой Ь, имеет место
неравенство 1.42 C).
| у (Ь) - у (о) |< sup || у' (х) ||| Ь - а \ = О,
откуда y(b) =e yta).
1.44 § '-4- ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 57
б. Следствие. Если в шаре V={x еХ: \х — й|^
igC г} функции У\ (х) и у2 (х) имеют совпадающие произ-
производные, то у\(х) и у2(х) отличаются в этом шаре на ад-
аддитивную постоянную.
Действительно, yi(x)—у2(х) имеет производную,
равную 0, и можно применить а.
в. Следствие. Если в шаре V={x е X: \х — а\^.
^ г} оператор у'(х) постоянен, у'(х) = У'(а), то
Для доказательства следует действовать тем же пу-
путем, что и в а, но вместо неравенства 1.42 A) исполь-
использовать неравенство 1-42 E). Можно обойтись и без не-
неравенства 1.42 E): функция g(x)—y'(a) (x — а) +у(а)
имеет производную g'(х) = у' (а); поэтому, согласно б,
функции g(x) и у(х) отличаются на постоянную; пола-
полагая х—а, находим, что эта постоянная равна 0.
1.44. Использование теоремы о среднем позволяет
иногда устанавливать дифференцируемость сложных
функций на основании дифференцируемости более про-
простых.
Пусть a=ao(t) — фиксированная непрерывная функ-
функция (Ri -* Ri) на отрезке а ^ t ^ P; в пространстве
R(a, p) всех непрерывных функций выделим область
G = {x@g«(а, р): | x(t) -a0(t) \ < г},
где г — фиксированная постоянная. Пусть, далее, дана
функция двух переменных F(t, x): R2-*R\, определен-
определенная на множестве U—{t,x: a^f^p, \x(t)—йо@|<
< г} в плоскости t, х, непрерывная и обладающая не-
непрерывной частной производной —4^— . Тогда в об-
области G определен оператор, ставящий в соответствие
каждой функции х (t) функцию
A)
Этот оператор можно рассматривать снова как функ-
функцию с областью определения G a R(a, p) и обла-
областью значений R(a, Р). Покажем, что функция у(х)
58 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.44
дифференцируема в любой точке a=a(t)^ G, и найдем
ее дифференциал.
Для функции F(t, х) по теореме о среднем в форме
1.42F) имеем при достаточно малом \h\
F(t, a + h) -F(t, a) -^-A= Q(t, a, h),
где
IQ(f .*)!< suP
Ul<
~ . dF (t, x)
Так как функция —дх~ по пРеДположению не-
непрерывна в U, то она, в частности, непрерывна на ли-
линии a=a{t), a ^ t ^ р, которая представляет собою
компактное множество в /?2 @5.16 а). Поэтому для за-
заданного е > 0 можно найти такое б > 0, что при
а ^ t ^ p из |jc. — flf^ б следует
dF(t,a)
Поэтому при \h\ — \x — а|^б имеем
Далее, приращение значения оператора у(х) при пере-
переходе от x~a(t) к x — a(f)-\-h(t) равно
у [a (t) + h (t)] -у [а @1 =
= F(x, а(х)-\- h(x))dx — \ F(x, a(x))dx =
j J
a a
t t
__ F(t, а(т)) ^/TwT_j_ Q(T) а(т), A(t))rfT.
о а
Первый член в полученном выражении линеен отно-
относительно h(t). Второй член при |А@| <б допускает
оценку
I t
Q(x,a(x),h(x))dx
I a
<e(P-o) sup |A@l
1.4S § 1-4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 59
и тем самым является бесконечно малым сравнительно
с величиной
|| h @1|= sup IM0I.
Отсюда следует, что функция у(х) A) дифференци-
дифференцируема в точке a=a(t) eG н ее дифференциал имеет
вид
что и решает поставленную задачу.
1.45. Производная и условие Липшица,
Функция у=у (х) (GczX-*Y) по определению удовле-
удовлетворяет в шаре V={x еХ: \х — а| ^ г} с G условию
Липшица, если существует такая постоянная С > О, что
при всех хг е V, х2 е V выполняется неравенство
\у(х1)-у(х^\<С\Х1-хя\. A)
Предположим, что функция у{х) дифференцируема
в шаре V, и пусть
p||jM
же V
Тогда в силу 1.42 C) мы имеем
— У (х2) К В | Xi — x21,
т.е. функция у(х) в шаре V удовлетворяет условию
Липшица A) с постоянной В.
Обратно, если функция у(х) имеет непрерывную про-
производную у'(х) и удовлетворяет в шаре V условию Лип-
Липшица (.1), то можно утверждать, что ||j/'(*)il ^ ?- Дей-
Действительно, пусть \х — а\ =р < г; для заданного е > О
найдем б>0, 6</" — р так, чтобы для любого Х\
с |xi — х\ ^6 имело место неравенство
IУ (*i) — у(х) — у' (х) (xi — х) |< е | xi — х |.
Так как по предположению \у{х\) —J/(^)|^C|xi—х\,
то мы имеем при |*i — х\ ^ б
\у'{х)(х1-х)\<{С + е)\х1-х\,
60 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.46
откуда для нормы оператора у'(х) получается неравен-
неравенство
поскольку е > О произвольно, это означает, что
Л«/'(*)Н ^ С, и утверждение доказано.
Отметим, что из выполнения одного только условия
Липшица A) дифференцируемость функции у(х), вооб-
вообще говоря, не следует (даже в случае Х=$п пример:
ф|(##))
ф|
Интересный частный случай получается при условии
suv\\y'(x)\\< 1. По доказанному это означает, что
хе=К
функция у(х) удовлетворяет условию Липшица с по-
постоянной С, меньшей 1. Другими словами, отображение
у=у(х) уменьшает расстояния: расстояние между точ-
точками у(х) и у (а) строго меньше расстояния между точ-
точками хна. Если к тому же значения функции у(х) при-
принадлежат области V, a sup II г/'(х) II ^ 6<; 1, то отобра-
отображение у(х): V-+V оказывается сжимающим @13.22):
\y(x')-y(x")\<Q\x'-x"l
В (замкнутом) шаре V (на который это неравенство
распространяется по непрерывности) отображение у(х)
в силу 013.22 заведомо обладает неподвижной точкой.
Этим способом доказательства существования неподвиж-
неподвижных точек мы будем пользоваться в дальнейшем.
1.46. Теорема. Пусть в шаре V={x^X: \х — о|^
^ г} задана последовательность дифференцируемых
функций у\ (х), у2 (х), ... со значениями в полном про-
пространстве У, производные которых у\(х), у'2{х), ...
(X —*¦ L (X, Y)) непрерывны и сходятся равномерно в V
к некоторой функции g(x) (X —*¦ L(X, Y)). Если векторы
yi(a), 4/2@), ... пространства Y имеют предел, то функ-
функции yi(x), y2{x), ... сходятся равномерно в V к некото-
некоторой функции у(х) (со значениями в Y), дифференци-
дифференцируемой внутри шара V, причем y'(x)—g(x).
Доказательство. Напишем формулу 1.42 C),
в которой у заменим на уп — ут и b на х:
I \Уп (х) — ут (х)\ - [уп (а) — ут (а)] \ <
1ч47 § li- ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 61
В силу предположенной равномерной сходимости
функций у'п {х) правая часть стремится к 0 при п —>¦ оо,
т~* оо. Используя сходимость векторов уп(а), мы полу-
получаем, что разность уп(х) —ут(х) стремится к 0 при
п —>• сю, т —* оо равномерно по х е V. Таким образом,
последовательность уп(х) фундаментальна в К, и так
как Y полно, то существует предельная функция
у(х)= Игл уп{х). Эта функция у(х) непрерывна вслед-
/г-»оо
ствие равномерной сходимости уп(х) A.13 6). Далее, на-
напишем формулу 1.42 F) для функции уп(х) в шаре ра-
радиуса р с центром в точке Ъ, \Ь — й| ^ г — р:
\Уп(х)-уп(Ь)-у'п(Ь)(х-Ь)\<
-6|. О)
Для заданного е > 0 можно выбрать S > 0, 6 ^ р
так, чтобы иметь для всех достаточно больших
п = /V, W+ 1, ...
Чтобы убедиться в этом, достаточно записать
у'Л)-у'п(Ь)=
- Ы (I) - g № - [g m - у'п (Щ + [g (Ь) - у'п Щ
и воспользоваться тем, что сходимость у'п(х) к g(x)
равномерна, а функция g(x) непрерывна.
Заменяя в A) р на 6 и переходя к пределу при
п-уоо, находим, что при всех х, \х — fc|^ 6
\yn(x)-yn(b)-g(bHx-b)\<z\x-b\;
это и показывает, что у{х) дифференцируема при х=Ь
и y'(b) = g(b). Теорема доказана.
Во всех результатах 1.45—1.46 шар V можно заме-
заменить на связную область (т. е. такую область V, в кото-
которой любые две точки х0 и х\ можно соединить конечно-
звенной ломаной).
1.47. Производные по подпространству,
а. Согласно определению, если функция у=у{х)
(G cz X -+Y) дифференцируема при х=с е G, то
62 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.47
линейный оператор у'(с) определен на всем простран-
пространстве X и главная линейная часть приращения функции
у(х) при приращении независимого переменного, рав-
равном h, есть у'(c)h. Но можно рассматривать вопрос о
дифференцируемое™ функции у{х), ограничиваясь при-
приращениями независимого переменного только в преде-
пределах некоторого линейного подпространства Ху с: X.
Будем называть функцию у(х) (GczX—*Y) диффе-
дифференцируемой по подпространству Xic:X, если прираще-
приращение у(х) при переходе из точки х=с в точку х==с + h,
h e X\, допускает выделение главной линейной части от-
относительно ftel,;
где D\ (с) есть линейный оператор, определенный на под-
подпространстве Ху. Этот оператор называется оператором
частного дифференцирования по подпространству Хи
Иногда аргумент х в пределах подпространства Xi обо-
обозначают каким-либо специальным символом, например
#1 (сохраняя обозначение х для векторов всего про-
пространства X), тогда для оператора Dt(c) используют
соответственно обозначение уя .
б. Выясним, например, что означает дифференцируе-
иость функции у(х) (G cz Rn -*¦ Y) по одномерному под-
подпространству Xh, определенному координатной осью Хи.
В этом случае h— @, ..., hh, ..,, 0) и справедливо ра-
равенство
у (с + h) ¦ — у (с) = у (clf .... ck + hk, ..., с„) —
— у(съ ..., ck cn) = Dk{c)hk + o(hk),
Dk{c): Xk^Y.
Но это равносильно существованию обычной частной
производной --д A.226), которая как раз и совпадает
с величиной Dh(c), В общем случае производная по од-
одномерному подпространству есть то же самое, что произ-
производная по соответствующему направлению A.27 а).
в. Дифференцируемость функции у (х): Rn-*Rm
в точке х*=с по подпространству Rht порожденному пер-
первыми k базисными векторами пространства /?„, приво-
1.48
§ 1-4» ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
63
дит к существованию всех частных производных,, входя-
щих в матрицу
д (уи • •
d(xv .
- Уп) (с) _
•- *k)
дух (с)
дуп(с)
дх, •••
дУ\ (с)
дхк
дуп(с)
dxk
Линейный оператор (Rh -*¦ Rm), соответствующий этой
матрице, и есть частная производная функции у(х) по
подпространству Rh.
г. Очевидно, если функция у(х) дифференцируема
в точке с в исходном смысле 1.23, она будет дифферен-
дифференцируемой в этой точке и по любому подпространству
Х\ с X, причем соответствующий линейный оператор
¦ ^ «частного дифференцирования» есть просто су-
ду (с) -^
жение оператора ^ на подпространство Х1т
1.48. Из дифференцируемое™ функции у(х) по
(истинному) подпространству Х\ а X, вообще говоря, не
следует ее диффёренцируемость по всему X. А, напри-
например, для X=Rn из дифференцируемое™ функции у{х)
в точке х=с даже по любому подпространству размер-
размерности k <. п не вытекает ее диффёренцируемость по
всему пространству Rn (см. задачу 3). Справедлива сле-
следующая теорема:
а. Теорема. Если пространство X есть прямая
сумма замкнутых подпространств Xi и Х2, а функция
у(х): G cz X -* Y дифференцируема в некоторой окрест-
окрестности точки с е G по подпространствам Xi и X2t npu-
, ду (х) ду (х)
чем производные ¦ д и ^ непрерывны в точке с,
то функция у(х) дифференцируема в точке с и по всему
пространству X.
Доказательство. Для любого йеХ можно на-
написать h=hv -f- п2, hi e X\, ft2 ^ ^г. причем соотношение
h -*¦ 0 эквивалентно ft]->0, h2—>-0 @12.62 д). Далее,
имеем при достаточно малых h
64 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ц48
и по теореме о среднем 1.42 д мы находим
С + fel +
(с + tAi) ay (с)
В силу предположенной непрерывности производных
• ^ и ¦ д **' в точке с далее можно написать
+ hi) _ ду(с)
дх2 "~ дх2
ду (с + hx + ^)
I~
Ix~2 дхг — °К1>>
ду (с + rht) ду(с) _ /1ч
где оA) стремится к 0 при А, —^ 0, ft2-»0. Поэтому
Этот результат можно написать также в форме
т\1 dy(c)i i ду (с) i тл
где равенство Dh — ^ пх -\—|^— о2 определяет D как
непрерывный оператор на пространстве X @12.62е).
Это и доказывает теорему.
б. Методом индукции из а легко получается более
общая теорема.
Теорема. Если пространство X есть прямая сумма
замкнутых подпространств Х\, ..., Хп, а функция у(х)
(GczX -> У) дифференцируема в некоторой окрестности
точки х=с по подпространствам Х\, ..., Хп, причем
производные К- ¦ ? ¦ ^ непрерывны в точке с,
ОХ\ ОХп
К
ОХ\ п
то функция у{х) дифференцируема в точке с по про-
пространству X.
в. Применим теорему б к случаю, когда X = Rn,
а Х\, .... Хп — одномерные подпространства, отвечаю-
1ЛЮ § 1-4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 65
щие координатным осям. Так как производная по одно-
одномерному пространству Хь есть частная производная -д—•
A.476), теорема б теперь приводит к следующему ре-
результату:
Теорема. Если функция у(х) (GaRn-*Y) имеет
в некоторой окрестности точки х = с частные производ-
производные q , ..., - д ¦ > непрерывные при х = с, то
функция у (х) дифференцируема в точке с.
Эта теорема дает широкие достаточные условия диф-
ференцируемости функций у{х): GczRn —» У, поскольку
она требует лишь наличия, частных производных (по
всем переменным), непрерывных в данной точке; такого
рода условия иногда проверить легче.
Вместе с тем эту теорему можно сформулировать
и как некоторое необходимое и достаточное условие:
для существования и непрерывности у функции у(х)?
GczRn-+ Y производной у'{х) в области G необходимый
достаточны существование и непрерывность в области G
., ду (х) ду (х)
частных производных | , ..., —|j .
г. Укажем одно условие, 'позволяющее из наличия
у функции у(х) производных по направлениям делать
вывод о ее дифференцируемое™:
Теорема. Пусть в области G cz X заданы вектор-
векторная функция у(х) (G-*Y) и непрерывная операторная
функция D(x) (G -*L(X, У)). Пусть известно, что функ-
функция у (х) в каждой точке с е G имеет производную по
любому направлению Г = {х = с + th, 0 ^ t <C оо}, ко-
которая действует на вектор iieX как оператор D(c):
y'T(c)h = D(c)h.
Тогда функция у(х) дифференцируема в области G и
y'(x)=D(x).
Доказательство. В точке с е G для заданного
АеХ мы имеем
и мы должны только показать, что величина о (Л) яв-
является бесконечно малой равномерно по всем h, незави-
независимо от их направления. На каждом луче Г функция
65 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.51
у(х) дифференцируема, и можно применить оценку
1.42 г:
+ h)-y{c)~ D{c)h |<e мр (| [у'{с + Qh)-y'(c)]h H
sup [?
<e<
< sup р(с + вЛ)-/)(с)|||Л|. A)
o«e«i
Телерь для заданного е > 0 найдем б > О так, чтобы
из |/г|<;6 следовало \]D(c-\-k) — D(c)||<;e; это возт
можно в силу предположения о непрерывности оператор-
операторной функции D(x) в точке с. Тогда, беря любое h,
\h\ <С б, получаем из, A)
\y(c + h)-y(c)-D{c)h\^e\h\,
где е уже не зависит от направления h. Отсюда, как мы
указали выше, и следует дифференцируемость функции
у(х) при х = с, а также и равенство у'{с) = D(c), что
и требовалось.
§ 1.5. Теорема о неявной функции
1.51. Обратная функция; постановка за-
задачи. Пусть функция x=q>(y): F —*Е отображает мно-
множество F взаимно однозначно на множество Е; тогда на
множестве Е естественно определяется обратная функ-
функция у = f(x): E-*F такая, что f [<p(j/)] = у, q> [}(*)] = х.
В анализе часто возникает вопрос: при каких условиях
у функции х = ff(y) существует обратная? Постановка
вопроса уточняется следующим образом: множества Е
и F предполагаются областями в нормированных про-
пространствах, функция х = ф(у)—непрерывной и диффе-
дифференцируемой в окрестности некоторой точки Ь е F; если
фF).= а, то желательно указать хотя бы окрестность
точки а, в которой существует обратная функция у=.
= f(x), которая ожидается однозначно определенной,
непрерывной и дифференцируемой. Все это требует, есте-
естественно, некоторых дополнительных условий на функ-
функцию <р(х). Какого типа должны быть эти условия, мы
1.52 § 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 67
увидим на примере линейной функции х=у(у), дей-
действующей из m-мерного пространства F = Rm в п-мер-
ное пространство Е = Rn. Выбрав каким-либо образом
базисы в этих пространствах, мы запишем равенство
х = 4>{у) в виде системы линейных уравнений с число-
числовыми коэффициентами
(О
Спрашивается, когда из этой системы числа yit ..., ут
однозначно определяются по любым заданным числам
Х\, .... хп (хотя бы из некоторой окрестности точки
(О, ..., 0)е/?п)? В алгебре ответ известен: пУ^т-мат-
рица Ф = ||ф,-3|| (t = 1 п; / = 1, ..., т) должна
быть обратимой (в частности, необходимо условие
т = п), и тогда искомое решение уи ..., уЛ дается
формулами Крамера. Теперь заметим, что матрица Ф
является матрицей оператора — производной функции
q>(y) A.25 б). Значит, в случае линейной функции х =
=4>(у) (Rm-*Rn) необходимым и достаточным условием
существования обратной функции является обратимость
оператора у'(у) (оператор <р'(у) в данном случае по-
постоянен, и указания точки Ъ не требуется). В общем
случае для дифференцируемой функции <p(j/): F—+E
естественно поставить условие обратимости <р'F); если
обратима главная линейная часть отображения, вполне
правдоподобной кажется и обратимость всего отобра-
отображения.
1.52. Неявная функция; постановка за-
задачи. Мы увидим далее, что приведенная в 1.51 гипо-
гипотеза справедлива: если функция <р(у) дифференцируема
и линейный оператор <р'(&) — производная <р в точке Ь —
обратим, то в некоторой окрестности точки а = q>{b)
действительно существует, и притом единственная, непре-
непрерывная и дифференцируемая функция f(x) такая, что
/[<p(j/)] = J/. 4>U{X)]==X {1-55). Но оказывается, спра-
справедлива и более общая теорема, в которой идет речь
о разрешимости не специального уравнения
х — ф (у) = 0, а значительно более общего уравнения
Ф(х,у)=О.
?8 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.53
В линейном случае этому общему уравнению отвв*
чает система
• • • + bltnym = 0, |
A)
Вопрос ставится так: при каких условиях на коэффи-
коэффициенты o,-j, Ъц из системы A} при любых заданных
Х\, ..., хп можно определить однозначно величины
У и • • •, Упд В данном случае ответ снова известен из
алгебры: должна быть обратима матрица ||&,-;-[| из коэф-
коэффициентов при ух, ...,ут (в частности, необходим^
чтобы было т = ру. Этот ответ можно написать в тер-
терминах функции г = Ф(х, у}, отображающей прямую
сумму пространств /?» и Rm. в пространство Rp; эту
функцию можно записать (в координатной форме) так:
z, = anxi + • • • + а1пха + bnyi + ... + bimym,
Именно, матрица ||6ij|| есть матрица, отвечающая
оператору частного дифференцирования -g-, и обрати-
обратимость, этой матрицы означает обратимость указанного
оператора.
1.53. Теперь нам будет понятна формулировка сле-
следующей основной теоремы:
Теорема о неявной функции. Пусть задана
функция г=Ф(х,у): (ЕаX)X(Fa Y)-»Z, отображаю-
отображающая окрестность W = {{х, у}: \х— а\ < г, \у — Ь\ < р}
точки {а, Ь), а е Еа X, b^FczY из прямой суммы
нормированных пространств X и У в нормированное про-
пространство Z. Пусть Ф(а, 6) = 0 и оператор —^ у-
(частного дифференцирования по пространству Y) су-
существует, непрерывен и обратим в указанной окрестно-
окрестности W. Тогда существует шар Ub — {х^Е: \х — а\^
^б^г} и функция y = f(x): E-*F, определенная и
непрерывная в этом шаре U6, такая,, что b = f(a) и
Ф{х, f (х\) = 0 при х е 0й. Искомая функция у = f(x)
единственна в следующем смысле: если имеются две
1,53 § 1-5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ g9
функции fi(x) и /a(jf), обладающие указанными свой-
свойствами и определенные соответственно на окрестностях
?/с, и Ьц2 точки а, то на пересечении ?/ = {/б,Л#в, она
совпадают.
Эта функция у = f(x) называется неявной функцией,
определяемой уравнением Ф(х, у)=0 и условием Ь =
Доказательство. Если у = у(х)—искомая
функция, т. е. Ф(х, у(х)) н= 0, то
поэтому у(х) можно искать в пространстве функций
и (х): Е -> F как неподвижную точку преобразования
Аи, определяемого по формуле
A)
Чтобы использовать эту идею, возьмем какое-либо б ^/
и рассмотрим метрическое пространство Afa, состоящее
из всех непрерывных функций и = и{х), определенных
в шаре U6, принимающих значения в пространстве Y и
удовлетворяющих условию и(а) = Ь. Расстояние в про-
пространстве М6 задается формулой
р[и (х), v (х)] = sup f и (х) — v {Х) \.
Пространство Мь полно, как замкнутое подмножество
полного пространства всех непрерывных функций /(*):•
U6 -> Y @12.23 е). Преобразование A) определено для
функций и (х) е М6, удовлетворяющих неравенству
\и(х)—Ь|^р, поскольку именно при таких предполо-
предположениях выражение Ф(х, и(х)) имеет смысл. При этом
из и (а) = о, очевидно, следует [Аи](а) = Ь. Эту совокуп-
совокупность функций и(х) мы обозначим МбР. Очевидно, Мцр
есть замкнутое подмножество в Мй и потому, рассматри-
рассматриваемое как самостоятельное метрическое пространство,
является полным. Пусть и(х) и v(x) —две функции из
совокупности Мбр. Оценим расстояние между их обра-
образами Аи(х) nAv(x).
70 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1,53
Через DXtV обозначим линейный оператор —д '
Используя оценку 1.42 д, получаем
\Av(x)-Au(x)\ =
= \DZ\ {(Da, ь - Dx, u) (v {x) - и {x)) -
- [Ф [x, v (x)) -Ф{х,и (x)) - Dx, u {v {x) - и {x))]} | <
<lD-lbh\\Da.b-Dx.u\\\v(x)-u(x)\ +
+ sup \\Dx,i-Dx,u\\\v{x)-u(x)\}^
6 <= [«<*), ()]
sup sup \\DxA-Da,b\\\v{x)-u{x)\.
t/ | [() ()l
Так как оператор Dx, y по условию теоремы непреры-
непрерывен, то для достаточно малых е>0 и 6>0 из того<
что | х — а | г^ б, [у — Ь | ^ е, вытекает неравенство
|| At, у — Da. ь IK '/el D^bf и, следовательно, неравенство
р (Av (х), Аи 00) = sup | Av {x) — Аи (х) \ <
v
-MW| = ip(oW,«(A:)). B)
Таким образом, при указанных б и е для функций из
шара Мйе оператор А уменьшает расстояния, по край-
крайней мере вдвое. Далее, мы можем, еще уменьшив б, до-
добиться того, чтобы оператор А переводил шар М6в
в себя. А именно, пусть b(x)s=b при \х — а|^б; со-
согласно определению отображения А
так что
| АЬ(х) - Ъ (х) | <|| Ц?ь\\Ф{х,Ь) \,
а поскольку Ф (а, Ь) = 0 и функция Ф (х, у) непрерывна
по х, то при имеющемся уже е можно взять б > 0 на-
настолько малым, что из | х — а \ < б будет вытекать
|-. C)
1.53 § I-6. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 71
Отсюда следует, что для и (х) е Мйе, согласно B) и C)
| Аи(х) - Ь{х) |<| Ац{х) - АЬ(х)\ + \АЬ(х) - Ь(х)
Таким образом, полное метрическое пространство М6Л
оператором А переводится в себя, и, так как А — сжи-
сжимающий оператор B), мы находимся в условиях при-
применимости теоремы о неподвижной точке @13.23). При-
Применяя эту теорему, получаем: существует непрерывная
функция у(х)^Мбе, определенная при \х — а|г?Гб, со
значениями в пространстве Y, такая, что у(а)=Ь и
Ay (x) s= у (х), т. е. что
Сокращая на у(х) и применяя оператор Da, ь, получаем
ф(л:, у(х)) зз 0 при \х — а\ ^ 6. Тем самым существова-
существование искомого решения установлено.
Ясно, как доказать единственность найденного реше-
решения. Заметим, что тождество Ау(х) = у(х), полученное
нами для шара |л: — я|г?Гб, верно ив любом меньшем
шаре |л: — а|г?; б'^ б, поэтому сужение функции у(х)
на этот меньший шар является неподвижной точкой опе-
оператора Лив пространстве М&г. Пусть у\ (х) — какое-
нибудь решение нашей, задачи, определенное в некото-
некоторой окрестности точки а, например в шаре | х — а \ ^
^ 6i ^ б, так что У\ (а) = Ь и при |х — а] ^ 6i выпол-
выполняется соотношение Ф(х, yi(x))=0. Так как функция
У\ (х) непрерывна, найдется б2 ^ 6i такое, что при
\х — а|г?Гб2 будет иметь место неравенство \У\(х) —
— Ь | ^ е, где е — число, выбранное при доказательстве
теоремы. Таким образом, ух (х) е М6^. Мы можем при-
применить к yi(x) оператор А (действующий в любом про-
пространстве Mfe при б'^б); тогда мы получим
Аух (х) = у, (х) - ?Г'ЬФ (х, у, (х)) = у, (х).
Отсюда видно, что yi(x) есть неподвижная точка опе-
оператора А в пространстве Мъ&. Поскольку неподвижная
точка сжимающего оператора может быть лишь
72 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1,54
единственной, мы получаем, что функция t/i(x) совпа-
совпадает с сужением функции у{х\ на шар |л: — а\ ^ бг,
так что у\(х}^д{а) при \х— с^бг. Теорема доказана.
1.54. а. Те©рема о неявной функции 1.53 носит ло-
локальный характер, т. е, существование функции у(х),
являющейся решением уравнения Ф(х, у)=0, гаранти-
гарантируется лишь в некоторой окрестности точки а с изве-
известным значением Ь—у{а). Было бы желательно указать
область существования функции у(х) более опреде-
определенным образом. Например, пусть известно, что функ-
функция Ф(х, у) определена, непрерывна и дифференцируема
по у при всех xel, jeF, причем —1*' также
всюду существует, непрерывна и обратима; спраши-
спрашивается, если Ф(а, &)= 0, то будет ли определена соот-
соответствующая неявная функция у(х) (существование ко-
которой обеспечивается теоремой о неявной функции лишь
в некотором шаре \х — а|<сб), если и не для всех
ле1, то хотя бы в шаре \х — а|<г, где г — фиксиро-
фиксированное положительное число, не зависящее от выбора
функции Ф(х, у)?
Оказывается, даже и в такой, казалось бы, весьма
выгодной ситуации ответ приходится дать отрицатель-
отрицательный. А именно, мы укажем сейчас для любого е > 0 та-
такую функцию Фе (х, у) (/?2 —> Ri), которая будет опре-
определена, непрерывна и дифференцируема по у при всех
{х, у] е /?2 и ее производная по у всюду непрерывна и
обратима; при этом ф^@,0) = О. Однако интервал
—h <C х < h будет интервалом существования соответ-
соответствующей неявной функции лишь при h < e. А именно,
положим Фе(х, у) = х -\- е — ееУ; все высказанные усло-
условия для функции Фе(х, у) очевидным• образом выпол-
выполняются, однако соответствующая неявная функция
у = In х определена лишь при х > — е.
б. В противовес сказанному в а относительно обла-
области существования неявной функции укажем на значи-
значительно более удовлетворительную ситуацию, имеющую
место по отношению к единственности неявной функции.
Пусть на непрерывной линии L, соединяющей точки
сел и Oiel, определены две непрерывные функции
у — f(x) и у = fi(x), каждая из которых удовлетворяет
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 73
уравнению
Тогда, если в каждой точке линии L для точек {х, у\ и
{xi, у\\ выполнены условия теоремы о неявной функции и
f(a) = fl(a), то также /(ai) —/i(fli)l иначе говоря,
функции f(x) и fi(x) совпадают на всей линии L.
Действительно,'пусть x = x(t) (/е{0, 1], х@)=а,
x(\)=ai)— уравнение линии L. Пусть т= sup t;
f((«) f((«)
так как речь идет о непрерывных функциях, можно за-
заменить здесь знак sup на знак max. Очевидно, т ^ 0.
Теперь заметим, что случай т < 1 невозможен, так как,
по теореме о неявной функции, если совпадение f(x) и-
fi (л:) имеет место в точке л:(т), то оно имеет место и
в ее окрестности, т. е. и при несколько больших значе-
значениях т. Остается случай т==1; но это означает, что
f(ai) = fi(fli), что и требуется.
1.55. Теорема о производной неявной
функции.
Теорема. Если выполняются условия теоремы L53
дФ(х,и)
и, кроме того, существует производная —^х при
|л: — а\ sg: б, \у — Ь\ ^ е, то неявная функция у=у(х)
дифференцируема и
Доказательство. Возьмем точки [х, у(х)} и
{х + п, у(х + п))'ъ ХХУ такие, что \х — а|< б и
1* +Л — а)^ б. Поскольку функция Ф(х, у) дифферент
цируема в точке [х, у(х)}, мы можем написать
0 =Ф(х + h,y(x 4-A)) -Ф(х, у(х)) =
где Ьу = у (x + h) — y (x).
Отсюда, снова используя обозначение DXiU = —^ -,
находим
B)
74 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.56
Допустим, что h и, следовательно, At/ настолько малы,
что ||?>х,'Л| о(|А| + |hy |)K-2"(|A| + | Aj; |). Тогда мы
имеем
откуда
•f. e. |Д«/|<С|А| при некотором С>0; далее, под-
подставляя эту оценку в неравенство B), получаем
а это значит, что функция у(х) дифференцируема и
имеет место формула A), что и требовалось.
Применяя к обеим частям формулы A) оператор
дФ(х, и)
? ¦ \ . мы можем записать ее в эквивалентном виде
^g^ ^^-o. C)
Формула C) показывает, что в условиях теоремы для
нахождения у'{х) можно равенство Ф(х, у(х)) = О диф-
дифференцировать по х, как сложную функцию от х.
1.56. Теорема об обратной функции.
Пусть х = ц>(у): (F с: Y) —*¦ (Е cz X) — функция, диффе-
дифференцируемая в некоторой окрестности точки у = Ъ еУ,
причем оператор ц>'(у) непрерывен в точке у = Ъ и об-
обратим. Пусть ф(Ь)=йеХ Тогда существуют окрест-
окрестность V6 = {хе X: \х — а\ < 6} .и дифференцируемая
функция y = f(x): V6-*Y такие, что f[y(y)]==y при
всех jel',, причем оператор f'(x) (X-*Y) является
обратным к оператору ц>'(у):
nx) = W(y)]-\ где y = f(x).
Доказательство этой теоремы получается непосред-
непосредственно из теоремы о неявной функции, если положить
1.57
§ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
75
и заметить, что
—^*' •
есть единич-
ф(х,у) = х
ный оператор, а ^
1.57. Случай числовой функции. Если в ус-
условии теоремы 1.53 г = Ф(х, у) есть числовая функция
аргумента х^Е сХ и вещественного аргумента у е
efc/?, то оператор —ia> ¦ ¦ представляет собой ум-
умножение на число и его обратимость равносильна нера-
дФ (а, Ь)
венству
ду
В этом случае доказательство
теоремы можно получить независимо, не используя прин-
принцип сжимающего отображения^ а основываясь на поряд-
порядковых свойствах вещественных чисел.
Приведем это доказательство. Пусть для определенности
дФ (а, Ь) . ,.
-* ->0. Можно считать, в силу предположения о непрерыв-
> У) — ( ¦ У) > q ВСЮДу в достаточно малой ок-
ности
что
\ х а \ ^ г] и отреа
, то Ф(й, у)>Опрн у>Ь
д , что ;
ду ду
рестности W точки (а, Ь), а саму эту окрестность можно взять
в виде произведения шара v = {х е X; \ х — а \ ^ г] и отрезка
t>2<y<bt (рис. 1.5-1). Так какФ(а, Ь) 0 Ф( )О >Ь
и Ф(а, у)<0 при у<Ь. В
частности, Ф (a, bt) > О,
Ф (а, fc2) < 0. В силу непре-
непрерывности самой функции
Ф О*. ^) в шаре V найдутся
окрестности точки а
и
такие
Ф(х,
Ф(х,
V+={x:
V-={x:
, что
ft,)>0
*2)<о
U-a|<o,}
U-a|<o2)
при же
при же
Пусть б = min {61, б2}; положим
Ua = {x: \x — a\<6). Рис. 1.5-1.
Покажем, что эта окрестность Ut может быть взята в качестве
искомой. Пусть же #6. Так как Ф(ж,62)<0, Ф(ж,Ьг)>-0, а функ-
функция Ф(х,у) от одного переменного у на отрезке Ь^^у^Ьх воз-
возрастает (в силу условия д ¦' - >0 в W), то существует, и
76
ГЛ, 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.58
притом единственное, значение у = у{х\, для которого Ф(х,у(х)) =»
= 0 @5.22 и 05.32). Таким образом, доказаны существование и
единственность решения уравнения Ф(*,^)==0 при каждом *е{/{.
Нам остается установить непрерывность полученной функции
у = у{х). Заметим, что по построению функция у(х) удовлетво-
удовлетворяет неравенствам Ь2 ^ у(х) <: bt.
Если функция у{х) не является непрерывной в точке ceLfe,
то существует сходящаяся к с последовательность хи ..., хт точек
из U(,, для которых у(хт) не стремится к числу у (с). Из этой
последовательности можно выбрать такую подпоследовательность
Xj, .... х'т,..., для которой существует предел lim у(х'т) = А, ие
совпадающий с В = у (с), причем из &2^9(xm)^^i следует.
Ьг^А^Ьи Поскольку хт~*-с н Ф(хт,у(хт\) = О, то, в силу
непрерывности функции Ф(х,у), также и Ф(с,А)==0. С другой
стороны, Ф(с,В) = ф(с,у(с)) = 0.
Таким образом, на вертикали х = с, bt < у < ii функция
Ф(с, (/) обращается в 0 в двух точках А и В, что по построению
невозможно. Следовательно,
у(х) непрерывна, и теорема до-
доказана.
Величина производной
у" {a) (X->-Ri) в случае
числовой функции A.55)
может быть записана в
виде
дФ(а,Ь)/дх
дФ(а,Ь)/ду-
1.58. Простейшие при-
примеры.
а. Кривая
2*{/ = 0 A)
Рис. 1.5-2.
на плоскости {х,у) проходит через точку A,1) (рис. 1.5-2). Какова
касательная к этой кривой в точке A,1)?
Положим Ф (х, у) = х3 + j/8 — 2xy (Н2 -> Hi); очевидно, Ф (*, у)—
дифференцируемая функция вместе со своими производными
Поэтому можно применить теорему о неявной функции: существует
функция у = у{х), являющаяся решением уравнения Ф(х,у) =0
в некоторой окрестности точки {1,1}г такая, что у{1) = 1. Эта
функция дифференцируема, и так как -
' С» О I
дх ~~ Х %>1}
ТО
, \Iду
f.58 § 15- ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 11
Следовательно, уравнение касательной имеет вид
У~\ =-(*~1), B)
или, в дифференциалах (dx = х — 1, dy = у — 1),
dy^-dx. C)
Формально этот результат можно было получить прямым- диф-
дифференцированием уравнения A), которое приводит к равенству
3x2dx + Зу2 dy — 4.x dy — 2y dx = 0,
откуда при х — у — 1 мы снова получаем C). Но этот способ
подучает обоснование только на основании теоремы о неявной
функции.
Заметим, что иа тот же вопрос для точки @,0) теорема о не-
неявной функции ие дает ответа, так как jj-2—- = 0. На самом
деле через точку @,0) проходят две ветви кривой A) (см.
рис. 1.5-2).
б. Поверхность в пространстве {х„ у, г)
0 D)
проходит через точку {1, 2, 3); какова касательная плоскость в этой
точке?
Аналогично предыдущему, рассмотрим функцию
Ф (х, у, г) = х3 + у3 + г3 — 6-qz;.
очевидно,
ФA,2,3)=0, аФ(''2'3)=Зг'-6^| =15^=0,
°z 1A, г а>
Ф. 2.3Г
,3) _6 I
дУ 1*1.2.3}
В силу теоремы о неявной функции существует функция
г = г{х, у), являющаяся решением уравнения Ф(х,у,г)=0 в не-
некоторой окрестности точки х = 1, у = 2 и такая, что z(l,2)=3.
Эта функция дифференцируема и
, 2, 3)/ду )J 33 _6)
, 2,3)/<?z / 1 15 ' 15 /*
5ФA, 2, 3)/<Э2-* 5Ф A,
чке A,2,3) имеет у
E)
Поэтому касательная плоскость в точке A,2,3) имеет урав-
уравнение
C)[11(ж
78
или, в дифференциалах (dx = х — 1,
1
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.59
— 2, dz = z — 3),
F)
И этот результат можно было получить из уравнения D) формаль-
формальным дифференцированием:
= 0. G)
При х = 1, у = 2, г = 3 из G) мы снова получаем F).
1.59. Случай ф у н к ц и и Ф (*, у): Rn+m-*Rm. Здесь
теорема о неявной функции 1.53 допускает координат-
координатную трактовку, которую полезно сопоставить -с теоремой
для линейной системы A.52).
а. Теорема. Пусть имеется система функций
—fi
•> хп> Уи
Zm = fm(X Хп, у
определенных в некоторой области пространства Rn+m-
Предположим, что выполнены следующие условия:
A) Существует точка {а, Ь}={а , ап, Ьи .... bm}
такая, что
f, (о„ .... ап, Ьи .... &т) = 0, 1
j B)
/т(я > ап, Ьи ..., &т) = 0. )
B) Существуетокрестность W точки {а, Ь}, в которой
определены и непрерывны частные производные
, ¦ • ¦, Хп, уи . .., ут) . |
-Q- , i — 1,..., т,
1, ..., пи
C) В указанной окрестности точки {а, Ь) якобиан
матрицы
df(x,y)
df
"' дут
dfm
'" дут
отличен от нуля.
1.59
$ 1.5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
79
Тогда существует окрестность U6 точки а = {аи ...
. .., а„] е /?„ и в ней система непрерывных функций
такая, что
ftn\xU • • •» Х„
У\ = У\ (хи ..., х„), )
Ут — Ут(хи • • •» Хп) J
, .... а„) = 6„ ..., ут(Щ> •••» ап)
» • • • 1 ^»п/» • • • > ^/т \Х\§ • • • j Л?я//
Jfn)
C)
D)
E)
Система функций с указанными свойствами может быть
лишь единственной.
Если в дополнение к предыдущему известно, что
в окрестности W существует и производная
df(x,y)
дх ~
of,
дх, •
dfm
дх, •
dfi
'• дхп
dfm
" дх„
то функции уи ..., ут дифференцируемы при
dyi
л
и
дут
''' дхп
б. Пример. Кривая в пространстве {х,у,г), определяемая си-
системой уравнений
— у г = 0, Зх3 — у — 2г = О,
G)
проходит через точку {1,1,1}; какова касательная к этой кривой
в указанной точке?»
Решение: Рассмотрим функцию Ф(х,у,г): R3-+R2, опреде-
определенную по формулам Ф(л:, у, г) = {и, v), где
u = xi — yz, v = Зх3 — у— 2г.
80
гл, и производные первого порядка
Очевидно, ФA, U 1) —
дФ A,1.1)
д{у, z)
ГаФA, 1, 1)Г'
L d(y,z) J |
{0, 0}. Имеем
ди A,1,1)
ду
dv(l, 1,
-2 1
1 -1
1,1)
1)
|
Г
дм A,1,
дг
dv(l, 1,
dz
i)
i)
-II
1-1
\UV МЛЖ1
-111
-2f
тл ппн
<У.>
нить теорему о неявной функции: существует решение у = у(х),
& = z(x) системы и = 0. v = 0, для которого уA)= 1, гA)= 1.
Далее,
дх
так что
41, 1. 1}
,1,1)
{2.9},
—2 1
j[{2.9} = {-5,7).
Следовательно, уравнения касательной в точке A, 1, 1) имеют вид
(8)
Формальное решение в дифференциалах получается дифферен-
дифференцированием данных уравнений G):
2х dx — dy • г — у • dz = Q,
подстановкой х = у = z = 1 и решением получившейся системы
относительно dy и dz. При этом мы находим
dy-= — 5 d*, dz = 7 dx,
что совпадает с (8) при замене ж — 1 =4х, у — l—dy,z—\=dz.
в. Непрерывная и дифференцируемая
зависимость корней алгебраического
уравнения от коэффициентов. Рассмотрим
алгебраический многочлен n-й степени
гп — щгп~1 + а2гп~2— ... +(—1)пЯп (9)
с комплексными коэффициентами щ, а^ ан и кор-
корнями Ль .... Ап. Поскольку каждому набору коэффи-
1.59 5 1.5. ТЕОРЕМА О -ЙЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 81
циентов а = (аи .... <а„)е Сп однозначно отвечает на-
набор корней л=(ль ••-, УеС„, мы имеем дело
с функцией К = л(а): Сп-+Сп. Покажем, что эта функ-
функция непрерывна (и дифференцируема) во всякой точке
а е Сп, для которой все корни fti лп попарно раз-
различны.
Коэффициенты многочлена (9) связаны с его кор-
корнями по формулам Виета
(Ю)
а„ —
полученная функция а = а(К), очевидно, всюду непре-
непрерывна и дифференцируема. Если приращение аргу-
аргумента К обозначить через dK = (dki, ..., dhn), то из со-
соответствующего приращения функции а (К) естественно
выделяется главная линейная часть
где ,;°'' "" f"l есть комплексная якобиева матрица си-
стемы A0). Оператор A1) обратим, если det |°" • • ¦ ¦ ап> ф
О (Ait •«•» Ал/
ф 0. В этом случае можно применить теорему об
обратной функции 1.56, которая и обеспечит существо-
существование, непрерывность и дифференцируемость обратной
функции К(а) *).
Таким образом, мы должны только показать, что
"" , > Ф 0, если числа Я,,, .... А.„ попарно
различны.
Доказательство этого факта будем вести индук-
индукцией по гп= 1, ..., п, ... Для т= 1 утверждение, оче-
очевидно, выполняется, так как ¦^rI-= 1. Предположим, что
*) Днфференцнруемость в общем смысле 1.23 а; на самом деле
функция а (а) даже аналогична, т. е. дифференцируема по комплекс-
комплексным аргументам аи .... а„, что из рассмотрений 1.23а еще не
йяедует.
82 гл. i. производные первого порядка 1.59
утверждение справедливо для т = п— 1. Обозначим
Ь\
— ^1^2 + Я1Я3 + . . . -f- ЯП_2Я„_1,
bn~\
Если составить многочлен
A2)
A3)
то числа Я, Я„_, будут его корнями. Если они
попарно, различны, то по предположению индукции
det fff1'"" ?""'! =?*= 0. Таким образом, если к форму-
О lAt, . ..| Лп—1/
лам A2) добавить еще формулу %п = %„, мы будем иметь
det
A4)
1, ..., Лп — 1» Ml)
Учитывая A2), формулы A0) можно записать в виде
Щ = Ь\ + Я„,
ап>= &„_,
При этом
д(Ъх bn-i,
1
К 1
К 1
1
1 6„-2
Я„ 6„_,
Вычислим определитель этой матрицы. Для этого ив
каждой строки, начиная со второй, вычтем предыдущуЮ|
1.61 $ 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 83
умноженную на %„; мы получим
det д(ах,..., а„)
д (Ь
1
0
=
1
0
(-
0 6n-i-
bi
Ьп-Л„ +
Я-п + ..
1
. +
PI
4-Я,
h(-
(-
n
t\ra—1 «n—1
- и л„
1Г"'бП-1)=5
так как %п по условию не совпадает ни с одним из
чисел Я,1, ..., Л„_1 и не является, таким образом, корнем
многочлена A3). Далее, мы получаем, используя A4),
. ••-. On)
(я,, %п) —
^("Q) dFЬ К) . q
д (&1,.... bn-i, %„) 5(Я,1 Я,п-1, Я,п)
что и требуется.
§ 1.6. Дифференциальные уравиения
Основная теорема о существовании и единственности
решения у обыкновенного дифференциального уравне-
уравнения y'(t)— d)(t, у) при начальном условии y(to)= y0 и
Определенных предположениях относительно функции
Ф(<, у) была доказана нами в 013.35. Мы возвращаемся
здесь к этой теореме с тем, чтобы уточнить зависимость
решения от возможных параметров. Теорема о неявной
функции 1.53 вместе с теоремой 1.55 о производной не-
неявной функции будут для нас основным средством ис-
исследования.
1.61. Для доказательства приводимой здесь теоремы
о непрерывности решения по параметру достаточно
лишь принципа неподвижной точки 013.22.
а. Принцип неподвижной точки. Пусть
М — полное метрическое пространство и отображение
84 гл; i, производные первого порядка 1.81
А: М-+М удовлетворяет условию
р(А(и), Л(о)Х6р(ы, v) для любых и, weAf
с фиксированной «постоянной сжатия» 8, 0 ^ 8 < 1.
Тогда существует (и притом единственная) непо-
неподвижная точка преобразования А, т. е. такая точка
иА е М, что
А(иА) = иА.
Для двух отображений А (и) и В (и) с одной и той же
постоянной сжатия 8 расстояние между их неподвиж-
неподвижными точками иА и: ив оценивается неравенством
гв- sup р[Л(в),
н Л*
Как следствие получаем: если отображение А = Л*,
(А1 -* М) зависит от параметра А, пробегающего метри-
метрическое пространство Л, и эта зависимость непрерывна
при % = Яо в том смысле, что
Hm вирр[Лл(и), А.(йI=0, A)
и постоянная сжатия 8 одна и та же для всех операто-
операторов А%, то неподвижная точка и% оператора Ау непре-
непрерывно зависит от Я, при % = Яо, т. е.
lim и^ = иЯо. B)
б. Пусть Л — полное метрическое пространство,
Y — полное нормированное линейное пространство;. че-
через Лр (Yr) обозначим шар радиуса р(г) с центром
в фиксированнойточке Я« е Л (уо е У), а через Th — от-*
резок |/ — /0| ^ h вещественной оси.
Теорема. Пусть дана непрерывная функция
Ф('» У, %)'• Тп X У г X Лр —»• У, ограниченная некоторой
постоянной С и удовлетворяющая условию Липшица
[Ф(/, уи Я,)— Ф(/, у2, h)\<L\yi— уг\\ пусть, далее,
имеется непрерывная функция <р(Х): Лр—»• У с фиксиро'
ванным значением <р(Я,о)=#о- Тогда существуют числа
Ь ^ h и а ^ р, а также непрерывная по К и дифферен-
дифференцируемая по t функция y(t, А.); Ть XЛ?-¦ Уг, которая
1.61 » 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ fc5
удовлетворяет дифференциальному уравнению
МШ = ф(ьуцЛ).Ь), Р, *,}еГвХЛв C)
и начальному условию
D)
Доказательство. Обозначим через Мв при
пространство непрерывных функций и (t): T6-> Yr с обыч-
обычной метрикой
Р («1 @, «2 @) = sup | щ (t) - щ @1.
Пространство М6 является полным (О12.23ё). Рассмот-
Рассмотрим на Мв оператор
i
Л(« @) - Ф (Я) + J Ф(т, и (г), K)dx. E)
и
Функции «(OeMj он переводит в функции
значения которых, вообще говоря, не принадлежат
шару Yr. Однако при всех значениях JA
< J | Ф(т, и, (т), К) - Ф(т, и2(т),
<Lsup|«,(T) —
и если теперь числа б ^ А и ст ^ р выбрать столь ма-
малыми, чтобы выполнялись неравенства
| Ф (Я) — уо\<г/2 при
86 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.61
то найдем, что
щ@)] <6р [ы, (t), щ(/)].
Таким образом, для указанных б и а оператор AK(u(t))
при каждом фиксированном J,gAj отображает про-
пространство Мй в себя и является сжимающим. По а опе-
оператор Ах обладает в пространстве М6 неподвижной точ-
точкой; в данном случае это равносильно существованию
такой функции y(t, X), что
*
У V, X) = ф (Ц + J Ф (т, у (т, Я), К) dx. F)
и
Из этого соотношения видно, что функция y(t, К)
при фиксированном К имеет производную по t
@12.53 а); дифференцируя по t, находим, что для функ-
функции y(t, К) удовлетворяется требуемое равенство A).
Подставляя в F) t = to, получаем выполнение началь-
начального условия D).
Чтобы доказать непрерывность полученного решения
по параметру Я,, у. е. (при фиксированном Ко) справед-
справедливость соотношения
lim sup \y(t,K)-y(t, h)I = 0,
нам достаточно проверить соотношение A) для опера-
оператора А%. Пусть в(/)еМ{. Тогда
и
J [Ф(т, и(т), Я,)-Ф(т, ы(т), K\dx. G)
t
J
Для заданного е > 0 найдем т) > 0 (tj^ct) так, чтобы
при р (Я, Ко) < т) и всех t^T6, иеУ, иметь
Тогда из G) следует
(и @) - Аи(и @) |<е + бе = е(б + 1).
1.63 § 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 87
Так как это верно для любой функции и (t) e Мй, то и
sup | А (и @) - Ля0 (и @) | < е (б + 1).
Отсюда
lim sup
что и требовалось; теорема полностью доказана.
1.62. Найденное в 1.61 решение уравнения 1.61A)
с условием 1.61B) является единственным в следующем
смысле. Пусть имеется два решения yl (t,%): ^в,ХлО1->Уг,
у2 (t, К): T6i X \t -*• ^rt удовлетворяющие условию
f/i (t0, X) = У2Ьо, Я) = ф (А); тогда при р, Я,} е= Гв X Лс. г5е
fi —minFi, б2), CT=min(CT,, a2), имеет место равенство
Для доказательства заметим сначала, что тожде-
тождество 1.61 C), справедливое для всех точек {t, Я.} е Гв X \>
верно и в любой меньшей области 7V X ^V, б' ^ б,
ст'^ст; поэтому сужение функции y(t, Я.) на эту меньшую
область является неподвижной точкой соответствующего
оператора Ля=л!в' в пространстве Мв'. Для 6=min Fi, б2)
оператор А^ переводит пространство М& в себя и по
доказанному имеет в нем неподвижную точку yF)(t, К).
Сужения на Мй функций ух (t. Я.) и у2 (t, Я.) также являются
неподвижными точками оператора AV', в силу единст-
единственности неподвижной точки у сжимающего оператора
имеет место равенство у (t, Я.) = ух (t, Я.) = у2 (t, К) ({t, Я,} е
еГвХ Л„), что и требуется.
1.63. Теорема. Пусть, в дополнение к предположе-
предположениям 1.616, функция d>(t, у, Я,) в 7ЛХ У г X Лр удовлетво-
удовлетворяет усиленному условию Липшица
пусть функция ф(А,) также удовлетворяет в Лр условию
Липшица
В этом случае решение у (t, Я.) при {t, Я,} е Т6 X Л„
удовлетворяет условию Липшица по Я,:
88 гл. г. производные первого порядка 1.64
Доказательство. Подставляя в равенство /.61 (б)
% — %х и Я —Я2 и вычитая полученные выражения друг
иэ друга, получаем
+
J [Ф (т, у (т, Я,,), Я,,) - Ф (т, у (т, Яг), Я2)] rfr
t
i.a*)+ .'
и
< (A + B6) p (Я„ Я2) + 16 sup | у {t, Я,) — у (t, Я2) |,
откуда
< (A + Я6) p (Я„ Я2) + L6 sup | у (t, Я,) - у (t, Я2) |;
таким сбразом, если Lb < 1, то
sup | у {t, hx) — у (t, Я2) | <-[—fr
что и требуется.
1.64. Далее нас будет интересовать дифференцируе-
мость решения y(t, К) по параметру К; разумеется, здесь
в первую очередь следует предположить, что простран-
пространство Л, в котором меняется параметр К, является не
только метрическим, но и нормированным, и что функ-
цяя Ф(/, у, Я) дифференцируема по параметру К. Мы
начнем с соответствующего усиления теоремы о непо-
неподвижной точке.
Пусть X и Л — нормированные пространства, М а
czX — замкнутая область, Лр = {ХеЛ, |Я — Яо|< р} —
открытый шар в Л. Рассмотрим отображение А^(и)'.
М X Лр —> М, дифференцируемое по аргументу и. Пред-
Предположим, что при каждом АеЛр отображение А), (и)
является сжимающим отображением М-+М с фиксиро-
фиксированной (не зависящей от Я) постоянной сжатия; доста-
достаточным условием этого A-45) может служить, например,
1.65 S 1-в. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
неравенство
с фиксированной постоянной 0.
Тогда в силу 1.61 а отображение А^(и) при каждом
% е Лр имеет единственную.неподвижную точку u=y(fa).
Теорема. Если выполнено условие A) и отобра-
отображение А%(и) обладает непрерывной производной
—Jr~. то функция у(%) дифференцируема по fa
Доказательство. Фиксируем ^ = ^еЛр. Мы
знаем, что уравнение
ф(и, К) == и — Д,(и) = 0 B)
удовлетворяется при К = fa, и = у (fa). Далее, по 1.31 в
оператор
ы) _ р дА% (и)
~~с ди
отличается от единичного на оператор с нормой, мень-
меньшей в. Таким образом, этот оператор обратим @12.72).
Мы находимся в условиях применимости теоремы о не-
неявной функции 1.53; используя ее, находим, что суще-
существует решение и = и(К) уравнения B), обращающееся
в у (fa) при % ?= fa. В силу единственности неподвижной
точки имеем y(K)==u(k). По 1.61 а функция у (Я,) не-
непрерывна. Но теперь можно сказать и больше: из суще-
существования и непрерывности —Щ~ следу61". согласно
1.-55, по крайней мере в некотором шаре | % — fa \ ^ p и
дифференцируемость функции и = #(Л), что нам и тре-
требовалось. По 1.55 мы можем написать и равенство, оп-
определяющее производную от функции и (К):
'W-^-a C)
1.65. Применим полученный результат к обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению 1.61 C), содержа-
содержащему параметр fa
Ш^ A)
90 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА L65
при начальных условиях
У(*о.*.) = ф(Л). B)
Относительно функции Ф(?, у, А) предполагается, что
она определена и непрерывна в области Th X YT X Лр
(как и в 1.616), удовлетворяет по у условию Липшица
|Ф(', Уи А)-Ф(*. У2. Х)\<ЦУ1-У2\>
а ее значения принадлежат шару Уг нормированного
пространства У; функция ф(А) предполагается непрерыв-
непрерывной в Лр.
Как мы знаем из 1.61 б, решение у = y(t,X) есть не«
подвижная точка оператора
Л (и) = Ф (А) + J Ф (х, и (т), К) dx, C)
to
который при каждом значении К является сжимающим в
метрическом пространстве М6, указанном в 1.616. Если
этот оператор является дифференцируемой функцией от
К, то по 1.64 и решение у = y(t, Я,) будет дифференци-
дифференцируемой функцией от К. Нам остается, следовательно,
установить условия, при которых оператор C) зависит
от К дифференцируемым образом. Покажем, что это
имеет место, например, при следующих предположениях:
A) Функция Ф(*. у, К): 7"лХ УгХЛр->У имеет не-
непрерывную производную по К.
B) Функция ф(Л): ЛР-*У имеет непрерывную про-
производную по К.
Придадим параметру К приращение ДЛ. Тогда будем
иметь, как в 1.44,
(и) - Лл (ы) = ф (К + ДА) - ф (К) +
t
+ J [Ф (т, и (т), К + ДА) - Ф (т, и (т), К)] dx =
+ J mbgZUL ДЫт + о (ДА) =
t
to
|
J
1.67 § 1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 91
откуда видно, что оператор Ак(и) при А,еЛв имеет
производную по К:
t
дАк(и) _аФ(Я) , Г аФ (т, и (т), я) ,
ая ах TJ ая •
и
что и доказывает наше утверждение.
1.66. Производную по Я, решения y(t, К) уравнения
1.65A) с условием 1.65B) можно найти непосредственным
дифференцированием операторного уравнения 1.61 F):
t
у (t, К) = Ф (Я) + J Ф (т, у (т, Я), Я) rfT.
При этом мы получаем
Г рФ (т, у (т. Я), Я) ду (т, Я) аФ (т, у (т, Я), ХI ^т
Отсюда следует, что функция z(t,X)— у^.' #до-
влетворяет линейному дифференциальному уравнению
с параметром К
gj- A)
при начальном условии
г(<0Д) = Ф'(Я). B)
1.67. Далее рассматриваются простейшие частные
случаи.
а. Пусть ф(Я)=Л, Ф(*. у, Л)=Ф(^, у) не зависит
от %. В этом случае речь идет о дифференцируемости
решения по начальному условию. Решение, в силу об-
общей теории 1.65—1.66, оказывается дифференцируемым,
и его производная по Я, удовлетворяет однородному ли-
линейному уравнению, вытекающему из 1.66 A):
<to(f.X) _d<b{t,y(t,X)) ,. . m
—Jt — Щ z\i,K), {i)
92 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.71
при начальном условии 1.66 B):
,,// 0\ 1 П\
Z \*о» *"/ • • \~/
Если z(t,Я) —числовая функция, то задача A) —B)
легко решается в явном виде:
t
аФ(т. у (т. ю) ^
J:
C)
б. Пусть <р(Я) = уо не зависит от Я, так что параметр
Я участвует лишь в правой части уравнения 1.65 A).
При высказанных условиях функция z(t, Я) = —¦^?—
удовлетворяет уравнению 1.66 A) при начальном усло-
условии
<у /f о \ л (Л\
tC \»Q, f*J *~^ "• \ /
§ 1.7. Локальная структура дифференцируемой функции
С теоремой о неявной функции тесно связан вопрос
о локальной структуре дифференцируемой функции у =
= f(x): Сс^**У. Пространства X и У в дальнейшем
предполагаются полными.
Если в данной точке йеС оператор f'(a) обратим,
то функция f(x) отображает некоторую окрестность
точки а взаимно однозначно и взаимно дифференци-
дифференцируемо на некоторую окрестность точки 6 = f(a)e У, как
это следует из теоремы об обратной функции 1.56. Что
происходит, если оператор f'(a): X—*Y не является об-
обратимым?
1.71. Мы ниже рассмотрим несколько таких случаев.
Но сначала установим одну лемму из общей теории не-
непрерывных линейных операторов в нормированных про-
пространствах.
Лемма. Допустим, что сужение линейного непре-
непрерывного оператора A: X-*Y на некоторое замкнутое
подпространство Xt с X представляет собой обратимое
отображение Х\ на все пространство У. Тогда существует
замкнутое подпространство Х2 а X, дающее в прямой
сумме с Хг все X и такое, что на Х2 оператор А дей<
ствует как нулевой оператор.
Г.72 § 17. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
Доказательство. Положим
Очевидно, Х2 есть замкнутое подпространство в X,
С подпространством Xj оно не имеет общих элементов,
кроме 0; действительно, если Xoelid Х2, то 0 = Лхо=
— zo^AXi, откуда х0 = A~lz0 = 0. Наконец, для лю-
любого jceX имеем Ах = Ахи где Xi e Хи Пусть х2 =
= х — Х\\ мы имеем Ах?, = Ах — Ах\ — 0, так что х2 е
е Х2; таким образом, разложение х = Х\ + х2, х\ е Xi,
Х2е4 существует для любого хе! Оно единственно,
так как Xi П Х2 = {0}. Лемма доказана.
1.72., В этом и двух последующих пунктах мы рас-
рассмотрим несколько случаев, когда оператор f'(a) необ-
необратим.
а. В первом случае необратимость оператора Г (о)
происходит по той причине, что пространство Y «много
меньше», чем пространство X, и область значений опе-
оператора f'(a) «много раз покрывает У».
Белее точно, пусть существует такое замкнутое под-
подпространство Xj с X, что олератор частного дифферен-
дифференцирования q? A.47 а) отображает Х\ на все Y и об-
обратим. Такую точку а будем называть обыкновенной
точкой соответствующей; поверхности уровня f(x) =
C(ff))
(ff))
Согласно лемме 1-71 существует замкнутое подпро-
подпространство Х2 с= X, составляющее в прямой сумме с Xi
все пространство X. В дальнейшем нам не будет суще-
существенно, что Хг имеет тот конкретный вид, который был
указан в лемме 1.71; пусть Х% — какое-либо замкнутое
подпространство, дающее все X в прямой сумме с Х\,
Будем записывать аргумент х = х\ -f- x2 (xt e Хи я2 ^
б^2) в виде пары {хи х2}, так что, например, а=.
= fab Дг}- Положим, как и выше, Ъ = f(a). Утверждает-
Утверждается, что «поверхность уровня» Р = {х^Х: f(x)—b}
в окрестности обыкновенной точки х = а представляет
собой геометрическое место, которое описывается урав-
уравнением вида Xi = ц>(Хг), иричем функция ф(^г) (Xs—^X-i)
дифференцируема в некоторой окрестности точки а2 S
е= Х2, {а,, а2} = а.
Доказательство нашего утверждения проведем так.
94 гл. i. производные первого порядка 1.72
Имея указанное разложение X = Хг + ^2, мы можем
функцию «одного переменного» f(x) записать в виде
функции «двух переменных» у = f{x) = F(xu х2), при-
причем по условию оператор —^'g" обратим. По тео-
теореме о неявной функции уравнение y=F(x\; х2) в
Окрестности точки а,\ можно разрешить относительно *ь
и мы приходим к уравнению вида
причем функция g(x2, у) имеет непрерывные производ-
производные, а\ = g(a2, b). Полагая у = Ь, получаем уравнение
«поверхности уровня» Р:
в виде, разрешенном относительно координаты х\, что
и требовалось.
б. Случай числовой функции. Пусть y=f(x):
CcX->ij]—дифференцируемая функция, причем для
некоторой точки ceGcf(fl)=6 известно, что f'(a)?=0.
Это значит, что. существует вектор fiG^f, для которого
f'(a)h ф 0. В данном случае оператор f'(a) представ-
представляет собой линейный функционал A-24); его область
значений есть R\, и из неравенства f'(a)h Ф 0 следует,
что уже одномерное подпространство, порожденное век-
вектором Л, переводится оператором f'(a) во все R\. Таким
образом, это одномерное подпространство можно при-
принять за подпространство Хи участвующее в общих по-
построениях а. В качестве Х2 можно взять, как указано
в лемме 1.71, нулевое подпространство функционала
f'(a). В соответствующих координатах хх и х2 для по-
поверхности уровня f{x)= b получается уравнение
с дифференцируемой функцией g(x2). В частности, если
a = (ai, а2), имеем а\ = gify). Можно вычислить и зна-
значение g'(a2); для этого дифференцируем соотношение
f(g(x2),x2)=b:
J.73 § 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА 95
отсюда при (хи х2) = (аи а2) = а, учитывая, что
^ ^ ф 0, находим, что g'foj) = 0.
Многообразие Х2 в данном случае есть касательная
плоскость к поверхности f(x)= b A.39 в).
в. Пример. Пусть у — f(x): R3-*-R2 — векторная функция, оп-
определяемая числовыми уравнениями
yi(x) = fl{xl,x2,x3).
Уг М = U (*ь *2, *з)- /
Производная
Idh (a) dh (a) dft (a)
a
не является, конечно, обратимым оператором. Предположим, од-
однако, что минор
отличен от нуля. Тогда оператор частного дифференцирования по
плоскости Xi = {хи х2] обратим. Если в качестве Х2 принять одно-
одномерное пространство {х3}, то, по доказанному, уравнения A) можно
переписать в форме
*i = ф| (х3; уъ у2),
Хг = ф2 {xs; ух, у2).
Фиксируя здесь yt = bu y2 = Ъ2, получим вид «поверхности уров-
уровня» функции у = f(x):
Х\ = ф! (х3\ bit Ъ2),
и Ь2);
это — линия в пространстве /?3. Обозначим ее через Р.
«Касательная плоскость» к этой линии Р есть касательная
прямая к ией. Ортогональность градиента к касательной плоскости
A.39 в) выражает здесь тот факт, что оператор f(x) переводит
касательный вектор к линии Р в нуль, в чем можно убедиться и
непосредственной выкладкой, используя формулы производной от
неявной функции.
1.73. а. Во втором случае необратимость оператора
У (а) происходит по той причине, что пространство Y
«много больше», чем пространство X, и область значе-
значений оператора f'(a) не покрывает всего У,.
96
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.78
Рассмотрим какие-нибудь замкнутые подпростран-
подпространства Yi а У и У2с У, дающие в прямой сумме все У.
Тогда, используя разложение у = У\ + Уь У* е У«»
#2е= У2, функцию у — f(x) (X— У) можно представить
в виде пары функций
yl=ft(x) (Х->У,), A)
ys = f».W (X->Y2). B)
Эти функции дифференцируемы вместе с функцией
Предположим, что функция fi(x) такова, что опера-
оператор fi{a) (X —*¦ У1) обратим. Тогда, по теореме об обрат;
ной функции, уравнение A) можно разрешить относи-
относительно х\. подставляя соответствующее выражение х =
= <р(у) в уравнение B), находим связь между у\ и у&
й=МфУ- C)
Это есть представление образа функции \(х), который
в данном случае не есть все пространство У, а лишь не-
некоторое многообразие в У — график дифференцируемой
функции C).
б. Пример. Пусть функция у = f (x): R2 -* Кз записывается
системой уравнений
У\ = f 1 (хи х2), |
y2 — fi(X\, x2), J D)
Уз = 7з (*ii x2). j
Производная
конечно, не является обратимым оператором. Предположим, однако!
что минор
df, (а)
1.74 § 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
отличен от нуля. Тогда для функции y = F(x)
Hi == fl (xl> *г)>
У2 =
оператор F'(a) уже обратим. По доказанному, первую пару урав-
уравнений системы D) можно решить относительно х\ и ж2 в окрест-
окрестности точки
;}
Х2 = ф2 (г/1. Уг)
причем функции цц и фг имеют непрерывные производные. Затем,
подставив выражения E) в последнее уравнение системы D), мы
получаем
Уз = !з [ф1 («Л. «/г), Фг («Л. УгI
Это уравнение некоторой поверхности в пространстве /?з — области
значений функции у = f(x).
1.74. Могут быть и иные причины необратимости опе-
оператора Р(а).
а. Чтобы их обнаружить, а также поставить пра-
правильно задачу, рассмотрим вначале линейное преобра-
преобразование у = Ах: Rn -*¦ Rm, определяемое (в каких-либо
фиксированных базисах этих пространств) формулами
п
#* = 2#г/*/ (i==l, ..., т). A)
Когда точка х пробегает Rn, вектор у — Ах, вообще го-
говоря, не пробегает всего пространства i?m; точным об-
образом пространства Rn при отображении A) является
некоторое подпространство Im A = R с Rm*). Прежде
всего, естественно, возникает вопрос: какова размерность
подпространства R? Сюда же тесно примыкает другой
вопрос. В одну точку образа у = (у\ ут) е Ято,
вообще говоря, отображается не одна точка, а целое
множество точек, которое называется полным прообра-
прообразом точки у и обозначается А~1у **). Для точки у = О
множество А~ху есть некоторое подпространство Ro a X,
которое называется ядром отображения А и обозна-
обозначается кегЛ***). Для любой другой точки
*) Image — образ (англ.).
**) Подчеркнем, что оператор Л в описываемой ситуации,
вообще говоря, не существует.
***) Kernel — ядро .(англ.).
98 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.74
полным прообразом служит сдвиг подпространства Ro
на некоторый вектор (в силу известной теоремы: общее
решение неоднородной линейной системы есть сумма
частного решения этой системы и общего решения одно-
однородной системы). Таким образом, полные прообразы
разных точек суть линейные многообразия одинаковой
размерности. Спрашивается, какова эта размерность?
В линейной алгебре даются ответы на оба постав-
поставленных вопроса. Именно: подпространство R = Im А по-
порождается столбцами матрицы А ?ё ||а,3||; размерность
подпространства R равна максимальному числу линейно
независимых столбцов матрицы А, т. е. равна ее рангу.
Подпространство Ro = ker А есть пространство решений
однородной линейной системы
| 0, /=1, .... л. B)
Его размерность равна п — г, где г — ранг матрицы А
(см., например, Л3.51).
б. Теперь поставим соответствующие вопросы для
произвольной функции y — f(x); при этом, поскольку
речь пойдет о ра'змерностях некоторых многообразий, мы
ограничимся пока конечномерным случаем. Пусть дана
дифференцируемая функция у = f(x) (G с Rn —»• Rm).
В координатной форме f (x) записывается системой урав-
уравнений
У1 = М*1. •••» хп) (i=l» •••> гп), C)
где функции fi(x) определены, непрерывны и обладают
непрерывными частными прочзводными в области С
Мы ставим следующие вопросы. Какова размерность об-
образа некоторой окрестности точки ае G? Какова раз-
размерность полного прообраза точки Ь = f (а) ? Строго го-
говоря, эти вопросы не имеют точного смысла, поскольку
для произвольного множества в Rn размерность не опре-
определена. Мы увидим в дальнейшем, что указанные мно-
множества описываются системой функций от определенного
числа координат, которое мы и будем, естественно, на-
называть размерностью соответствующего множества. От-
Ответы на эти вопросы мы дадим в предположении, что
1.74
§ 1.7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
99
ранг матрицы Якоби
(х)
(х)
дх,
dfm(x)
dXl
дхп
dfm(x)
дхп
имеет постоянное значение г в некоторой окрестности U
точки а.
Вообще говоря, ранг матрицы Якоби изменяется от
точки к точке; если рассмотреть точку по, в которой ранг
матрицы Якоби достигает максимального значения, по-
положим г0, то по соображениям непрерывности минор по-
порядка г0, отличный от нуля в точке а0, будет отличным
от нуля и в некоторой ее окрестности. Таким образом,
условие постоянства ранга в окрестности точки а для
некоторых точек ее G заведомо выполняется.
Без ограничения общности можно считать, что базис-
базисный минор матрицы f (х) при всех х е U располагается
!в ее левом верхнем углу, поскольку в самой точке а
этого можно достигнуть, заново перенумеровав коорди-
координаты в /?„ и Rm, а из соображений непрерывности мат-
матрицы Якоби следует, что левый верхний минор остается
базисным (т. е. его значение остается отличным от нуля)
и в некоторой окрестности точки а.
Теорема о ранге. В указанных предположе-
предположениях:
A) Для некоторой окрестности U э а множество
всех значений функции f(x) в некоторой окрестности
точки b=f(a) описывается системой уравнений вида
Ут), s =
m,
с дифференцируемыми функциями qv+b ..., <pm и опре-
определяется, таким образом, г свободными параметрами
Уи-.., Ут-
B) Существует такая окрестность V точки Ь, что
в каждую точку множества Im f П V отображается мно-
множество точек х, описываемое в пределах окрестности U
системой уравнений вида
100 гл. i. производные первого порядка 1.75
где \pj — дифференцируемые функции; оно определяется,
таким образом, п — г свободными параметрами xr+i, ...
...,хп.
Доказательство теоремы о ранге будет дано в 1.76.
1.75. Абстрактная теорема о ранге
(С. Ленг). Пусть X и У — полные нормированные про-
пространства, представленные в виде прямых сумм замкну-
замкнутых подпространств: Х=Х\ г\-Х2, У=У1 + Y2. Для вся-
всякого х еХ и уеУ имеются однозначно определенные
разложения х=Хх + х2, Xi е Хи х2 е Х2, y~yi + у2,
Ух е Уь y2^Y2. Каждую функцию y=f(x): X-* У
можно записать эквивалентным образом в виде пары
уравнений
ух = F, (xt, х2): X-> Yu
.. Р [„ 4,4. V ^V
У2 * 2 \^1» ^2/* — 2*
Производной f'(x) соответствует матрица из операторов
dF I (x) dFx (x)
дхх дх2
Фиксируем точки a=ai + а2 и b=bx + b2=f(a) e У.
Теорема. Пусть функция f(x) дифференцируема
в области G а X, содержащей точку а, и удовлетворяет
следующим условиям:
A) Из ^А = 0 следует -^i^A = 0.
B) —-^—- есть обратимое отображение Хг на У,.
Тогда существуют такие окрестности il (a) e X,
b)YW()X
()u(a)i,
(а) при x<=U(a) и ух е У{Ь{) график функции
уг=з}(х) может быть задан уравнением у2=у(у\);
(б) для каждого y^f(O) полный прообраз f~y(y)
при x2^W(a2) может быть задан уравнением Х1=^(х2).
Здесь ф и ^т—функции, обладающие в указанных
окрестностях непрерывными производными по своим ар-
аргументам.
Доказательство. Рассмотрим функцию
^ *ь лг2) ==Л (^ь *2) —У\ (GXYi-bYi). Очевидно,
1.75 § 1-7, ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА 101
что ФFЬ «ь с2) -0, а оператор дФ (^°" Дг) = ^М
(X!—» У^ обратим. По теореме о неявной функции У.53
существуют такие окрестности U(b{) с: Уь W(a2) с Xj,
Ща^сХ, и такая функция g(x2,yi): W(a2)X
y.V(bi)-*W(ui), имеющая непрерывные производные,
что уравнение Fx{xu х2) —Уг=О эквивалентно уравне-
уравнению Xi=g(x2, yi). Другими словами,
Fi(g(x2,yi),xi) = y1. A)
Положим U(a) = W(al) X ^(с2) П {х: F^x) e= VF,)}.
Теперь уравнение
y2 = F2(xltx2)
при д; е [/(а) можно записать в виде
J.Xi). B)
Покажем, что правая часть не зависит от х2. Дифферен-
Дифференцируя A) и B) по х2, получаем
, 7 2
Из C) видно, что результат применения оператора '
к вектору < -^- А2> й2 [ равен 0 при любом Л2 e Z2- Но
тогда, в силу предположения A), и результат приме-
применения оператора —~^~ к этому же вектору равен 0;
таким образом, -~- = 0 и правая часть B) не зависит
от х2. Поэтому уравнение B) при jteK(Ь,) можно за-
записать в виде
причем функция q>(f/i) имеет непрерывную производную,
так как этим свойством обладают функции F2 и g. Утвер-
Утверждение (а) доказано.
Рассмотрим теперь полный прообраз точки у=
={УиУ^=Т{х) е/(?/). По доказанному, такая точка
{УиУ$ однозначно определяется по первой составляю-
составляющей у\. Но если заданы Хг и уи то в указанной выше
102
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.76
окрестности W(a2) X V(b{) однозначно определяется и
составляющая Xi=g(x2, У\), которая при фиксирован-
фиксированном у\ представляет собою функцию от х2е W(u2), об-
обладающую непрерывной производной.
Теорема доказана.
1.76. Д оказ а те л ьство теоремы о ранге
1.74 б.
В условии этой теоремы была задана дифференци-
дифференцируемая функция y=f(x) (G a Rn-+ Rm), или в коорди-
координатной форме
yt — fi(xu .... хп) (/=1, ..., т).
Было предположено, что ранг матрицы Якоби
т дП
dXl
дхп
dfm
dfm
dxn
равен постоянному числу г в окрестности U точки а е
е Rn и что базисный минор этой матрицы распола-
располагается в ее первых г строках и первых г столбцах.
Мы получим 'теорему о ранге как следствие из 1.75.
Положим в 1.75 X=Rn, Y=Rm. Далее определим под-
подпространство У\ с Y=Rm первыми г базисными векто-
векторами пространства Rm, а подпространство Y2—послед-
Y2—последними т — г базисными векторами. Тогда равенство
—jj^—h = O равносильно системе уравнений
=»• .... г),
A)
4
а равенство "^ ' А = 0 — системе уравнений
|ДА' = ° (i = r + l,...,m). B)
Но так как строки матрицы F(x), начиная с (г + 1)-й,
линейно зависят от предыдущих, равенства B) оказы-
оказываются следствиями равенств A). Таким образом, вы-
1.76 § 1-7. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ЮЗ
полнена предпосылка A) теоремы 1.75. Определим да-
далее подпространство Xt с X==Rn первыми г базисными
векторами пространства Rn и подпространство Xs — по-
последними п — г базисными векторами. Тогда оператор
dFi (a)
—' задается матрицей
Ml Ml
dxi '' ' дхт
dfr dfr
дхх "• дхт
с определителем, отличным от нуля, и, следовательно,
обратим; таким образом, выполнена и предпосылка B)
теоремы 1.75. Нам остается сформулировать результат-
этой теоремы для- данного случая. Он гласит: суще-
существуют такие окрестности V(a)czRn, V{b{) с: У,=/?г,
W(a2) czX2=Rn-r, что при *е U(a) и (уи .... yr) ^
е V(bi) график функции y=f(x) может быть задан
уравнениями
Уг+1 = Ч>г+1(Уи •-, Уг) Ут = Ч>т(У1 Уг)\
для каждого y^f(U) полный прообраз f~l(y) при
{Хг+и ..., х„} е W(«2) может быть задан уравнениями
х\ — "Ф1 C-^r+l» •••» хп)> •••> *r==*IV(*r+J» •••» Хп),
где ф» и \pj — функции, обладающие в указанных окрест-
окрестностях непрерывными производными по своим аргумен-
аргументам.
Но это и есть требуемые утверждения теоремы 1.74}
таким образом, она оказывается полностью доказанной.
Теорема о ранге может быть истолкована на языке
размерностей (как минимально необходимого числа па-
параметров, представляющих данное множество с по-
помощью дифференцируемых функций) следующим обра-
образом: размерность образа некоторой окрестности точки
при отображении функцией y=f(x) равна г; размер-
размерность полного прообраза любой точки f~l(y) в f/(a) рав-
равна п — г.
Заметим также, что общие результаты 1.72 а—1.73 а
становятся частными случаями доказанной теоремы
в предположении конечномерности рассматриваемых
104 гл. i. производные первого порядка 1.77
пространств (именно случаями, когда ранг матрицы Яко-
би равен числу строк или числу столбцов).
1.77. Теорема о ранге доказывалась в предположе-
предположении, что ранг оператора f'(x) (Rn-+Rm) остается по-
постоянным в окрестности рассматриваемой точки. Вообще
говоря, по соображениям непрерывности, если в точке а
ранг оператора f'(a) равен числу г, то существует
окрестность, где он во всяком случае не ниже г; но если
r<min(n, m), то как угодно близко к точке а могут
быть точки х, в которых ранг оператора f'(x) больше,
чем г. Скажем еще несколько слов об этом случае.
Для начала рассмотрим отображение y=f(x): R2-*-R2,
задаваемое формулами
У1 = Х1> У2=ХЪ (О
и имеющее производную
Idyi ду, II
дхл дх2 ill 0
ЁМ. 1Ml\\ II0 2х2|"
дхх &х2 II
Ранг этой матрицы равен 2 при х2 ?= 0 и равен I при
*2=0 (т.е. на оси Xi). Отображение A) всю плоскость
х={хи х2} переводит в верхнюю полуплоскость у2 ^ 0,
причем каждая точка у={у\, у$ этой полуплоскости
с Уг > 0 имеет ровно два прообраза хх — у1г х2 == ± Vy2*
находящихся соответственно в верхней и нижней полу-
полуплоскостях плоскости х. Более подробно рассмотрим
вертикальную прямую xt = const, —оо < х2 < +оо;
когда точка {хи х2} спускается по этой прямой от + оо
к —оо, ее образ сначала спускается по вертикали
yi=Xi от у2=-{-оо до точки #2=0 и затем поднимается
по той же прямой к у2=-\-°о. Такое отображение, есте-
естественно, называется складкой.
Рассмотрим теперь общий случай отображения у=
=f(x), G с Rn -? Rn- Пусть якобиан J(x) отображения
f(х) в некоторой точке ое G равен нулю. Вообще го-
говоря, характер отображения f(x) в окрестности такой
точки может быть весьма сложен; мы покажем сейчас,
что при некоторых дополнительных предположениях
отображение f(x) имеет тип складки. Более точно, мы
1.77
§ 1.7, ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
105
покажем, что отображение y = f(x) после перехода
к некоторым новым независимым переменным zlt .... zn
будет изображаться функциями
для которых dety'(z)=O на плоскости г„=0 (в окрест-
окрестности фиксированной точки А), и если точка г, переме-
перемещаясь в пространстве Rn, пересекает эту плоскость
в точке А так, что координата гп проходит от Положи-
Положительных значений к отрицательным, то точка y(z)
перемещается так, что -~ меняет знак при zn = 0, и,
следовательно, сама координата уп в точке zn=0 меняет
направление движения на противоположное.
Обозначим а=={аи .... а„}. b==f(a)={bi bn}.
В координатной форме отображение f(x) имеет вид
У\ =fi(*i> •• •» хп)>
Уп—\—In—1 \% 1» ••¦» %п)
Уп == In \%\* • • •» %пп
где fi — дифференцируемые функции от х. Предполо-
Предположим, что функция /(*) дифференцируема в окрестности
точки а и ее градиент в точке а отличен от 0. Тогда
уравнение /(*)==() определяет в пространстве X неко-
некоторую поверхность Р, проходящую через точку а. Допу-:
стим, далее, что в окрестности точки а отображение-
^(д:); G-* Rn, задаваемое равенствами
In— 1 (*1» • • • f Хп
J (Xi, • • • « Хп),
B)
имеет якобиан, отличный от нуля. (В описанном выше
примере это условие выполняется.) В частности, g(a) =
={bi, ..., 6n-i, 0}. По теореме об обратной функции
156 в некоторой окрестности точки g(a) систему B)
106 ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.77
можно обратить; мы получим
*1 = ф|Bц ••-. 2„_„ 2„), 1 = 1, .... П, C)
где ф» — дифференцируемые функции. Фиксируем здесь
значения ги ..., zn_i, оставив г„=/ в качестве пара-
параметра; меняя /, получим некоторую дифференцируемую
кривую в пространстве X, проходящую при /=0 через
поверхность Р. Покажем, что производная —Л- вдоль
кривой C) меняет знак при переходе через точку с / = 0.
Тем самым мы установим, что отображение f(x) имеет
характер складки вдоль поверхности Р. В окрестности
"точки а рассмотрим векторное поле А(х), компонентами
которого являются алгебраические дополнения Ап\, ...
.... Ann элементов -^-, ..., -^~ в матрице f'{x).
В силу предположения об отображении g(x) вектор
А (х) не обращается в нуль в окрестности точки а. По-
Покажем, что в каждой точке он касается проходящей
через эту точку кривой C). Обозначая через су,- (/=
= 1, ...., п) углы вектора А(х) с осями и через -^д
производную б направлении вектора А (х), мы нахедим,
согласно известному свойству алгебраических дополне-
дополнений (Л1.52), что
дх, ' И дх, \А\
{i=l, .... ft-1)
dfi(x) . , . . . .. , ,.
и &] ^0, так как функции ^(д;) (i = lf .... п— 1)
на кривой C) постоянны. Поэтому df^ ф 0, д^х)
и, следовательно, -^^¦/-^j^- = C~l (x), где С (^-не-
(^-некоторая непрерывная, не равная нулю функция в окрест-
окрестности точки а. Пусть для определенности С{х)>0,
Тогда
dfn(х) _Г(.л а/,(*) _г/
1.81 § 1.8. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 107
это означает, что знак производной "j совпадает
со знаком якобиана J (х), и, следовательно, я} ме"
няет знак вместе с J (х), что и требовалось.
§ 1.8. Стационарные значения числовых функций
1.81. Экстремумы.
а. Пусть числовая функция y=f(x) определена в об-
области G нормированного пространства X. Внутренняя
точка а е G называется точкой локального минимума
функции f(x), если всюду в некоторой окрестности точ-
точки а выполняется неравенство f(x) ^f(a). Аналогично,
внутренняя точка 6eG называется точкой локального
максимума функции f(x), если всюду в некоторой окрест-
окрестности точки b выполняется неравенство f(x) ^.f(b).
Точки локального максимума и точки локального мини-
минимума называются точками локального экстремума.
В точке локального экстремума одновременно реали-
реализуется и локальный экстремум вдоль каждой прямой,
проходящей через эту точку. Поэтому, если функция
f(x) дифференцируема, то в точке локального экстре-
экстремума обращается в нуль производная функции f(x) по
любому направлению A.27 а). Вспоминая выражение
1.27 A) производной по направлению, мы заключаем,
что в точйе а локального экстремума функции f(x) для
любого вектора fte^ имеет место равенство f'(a)h=O;
другими словами, в точке локального экстремума опера-
оператор f'(a) становится нулевым оператором:
П«)=о. A)
Точки а, в которых выполняется равенство A), назы-
называются стационарными точками функции f(x). В каждой
из них главная линейная часть приращения функции об-
обращается в нуль. (И следовательно, приращение функ-
функции имеет высший порядок малости по сравнению с А.)
Вообще говоря, это еще не означает, что в точке а
обязательно реализуется локальный экстремум функции
f(x), но, во всяком случае, искомые экстремальные точ-
точки содержатся в числе стационарных. Найдя стацио-
стационарные точки, следует каждую из них дополнительно
проанализировать на «характер стационарности».
108 гл. is производные первого порядка 1.82
б. Рассмотрим случай X—Rn, f(x)=f(xu ,..,xn).
Тогда уравнение A) равносильно системе и уравнений
с п неизвестными пи ..., ап
df (аи .. „ an) ^_ n
U
д{(аи .... an) __q
дхп
и разыскание стационарных точек приводится к разы-
разысканию решений этой системы.
в. Пример. Для функции / (*,, х2) = 3*,*2 — х\ — ж| (
стационарные точки удовлетворяют системе уравнений
У этой системы имеются два решения:
В первой точке, а^1 = cf^ = 0, нет экстремума; более того, его
нет даже иа прямой ж2 = 0 в точке Xi = 0, поскольку по этой пря-
прямой функция f (xtl хг) приводится к виду f(x1§ 0)=— х\.
Во второй точке, а\2) = а^ = 1, имеем f (*p ж2) = 1. Заменяя д^
на 1 + <,, Xz на 1 + /2, получаем
(! )
A \2 9
/j—s" '2) ""t'I^O при всех
(
f = {/1, <г} # 0 и члены третьего порядка при достаточно ма-
малом \t\ не смогут изменить этого неравенства. Поэтому точка A,1)
является точкой локального экстремума для функции /(хцдь), при-
притом точкой максимума.
Надо заметить, что такой «элементарный» способ анализа ста-
стационарных точек, какой мы здесь применили, далеко не всегда
возможен.
В следующей главе B.15) будут даиы более систематические
правила анализа стационарных точек функции от конечного числа
переменных.
1.82. Условный экстремум.
а. Определения. Для числовых функций от мно-
многомерного аргумента JteGcX возникает новый тип
экстремальных задач — задачи на условный экстремум.
1.82 § 18. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ Ю9
Постановка задачи на условный экстремум такова. Нам
задана, как и ранее, числовая дифференцируемая функ-
функция y=f(x) (CcX-»^i). Кроме того, нам задано но-
новое нормированное пространство Z и дифференцируемая
векторная функция ц>(х): G-*Z; из принимаемых ею
значений в области G мы фиксируем некоторое значе-
значение С е Z. Условие
Ф<*) = С A)
выделяет в области G некоторую «поверхность» Р. Точ-
Точка а е G называется точкой условного локального ми-
минимума функции f(x) при условии A), если ф(а) = С и
для всех точек х из некоторой окрестности а, удовлетво-
удовлетворяющих условию A), справедливо неравенство f(x) ^
:> f(a). Иными словами, точка а, лежащая на «поверх-
«поверхности» A), есть точка условного минимума функции
f(x), если для всех точек этой «поверхности», достаточ-
достаточно близких к точке а, выполняется неравенство f(x) ^
^f(a). При этом вовсе не требуется, чтобы неравен-
неравенство f(x) ^ f(a) выполнялось для точек х, хотя и близ-
близких к а, но не лежащих на «поверхности» A).
Аналогично, с заменой знака ^ на ^, опреде-
определяется точка условного максимума.
Точки условного максимума и условного минимума
вместе называются точками условного экстремума.
Ниже будет найдено необходимое условие, которому
удовлетворяют точки условного экстремума. Предполо-
Предположим, что рассматриваемая точка а является обыкновен-
обыкновенной точкой поверхности ц>(х)=С {1.72), т.е. существует
такое подпространство Х\ cz X, что оператор *; ¦
(Xi-+Z) обратим. Тогда, как мы знаем A.71), на неко-
некотором подпространстве Х2 с X, составляющем в прямой
сумме с Xi все пространство X, оператор —^ совпа-
совпадает с нулевым оператором.
б. Лемма. В точке а условного экстремума функ-
функции f(x) для всякого АгЕХ2 имеем f'(a)h2=Q.
Доказательство. Пусть для некоторого h2 e Хг
это не выполняется, т.е. Р(а)п2ф0. Мы утверждаем,
что для любого достаточно малого aeRi можно так
выбрать Л] е Х\, что точка а + ah2 -j- Aj по-прежнему
ПО ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.82
будет лежать на «поверхности» A), т. е.
ф(а + аЛ2 + Л,) = С; B)
при этом hi есть бесконечно малая величина по срав-
сравнению с а. Рассмотрим функцию от а и Ль
ф(а, Л1) = ф(
При а = 0, ht = 0 она обращается в нуль. Далее,
по условию есть обратимый оператор. Применяя тео-
теорему о неявной функции 1.53, мы получаем возможность
выразить hi из уравнения B); пусть, например, это ре-
решение дается функцией
Функция ф(а) дифференцируема {1.55), и
,.,,,Пч гаФ(д)Г'
поскольку АгЕХ2и ф'(а)Л2=0. Поэтому Л]=ф(а) —
бесконечно малое по сравнению с а.
Рассмотрим теперь f (a -j- ah2 -f ^i), где h\ есть уже
найденная величина ф(а). Мы имеем
f (а + оЛ, + А,) - f (а) = f (а) (ай2 + Л,) + о (аЛ2 + А,) =
= af' (a) h2 + Г (a) hx+o (аЛ2 + Л,).
Справа первое слагаемое есть числовая линейная функ-
функция от а с угловым коэффициентом f'(a)h2 ф 0. Второе
и третье слагаемые бесконечно малы по сравнению с а
вместе с Ль Но в таком случае при <х=0, hi=h\{a)=0
функция f(x) не имеет условного экстремума: точка
х=а + аЛ2 + hi лежит по доказанному на «поверхно-
«поверхности» A) как угодно близко к точке а, а разность
f(x) —f(a) при разных знаках а имеет разные знаки.
Таким образом, из А2еХ2 следует /'(а)Л2=0, и лем-
лемма доказана.
1.88 § 1.8. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ Ц\
р. Теперь мы можем сформулировать следующее не-
необходимое условие локального условного экстремума.
Теорема. Если функция f(x): G—>•/?! достигает
условного локального экстремума при условии A)
в обыкновенной точке поверхности A), то существует
такой линейный непрерывный функционал X(z) на про-
пространстве Z, что для любого ftel
r(a)h=*bW(a)h]. C)
Доказательство. Определим функционал k(z),
используя формулу C) и обратимость оператора ^ :
Непрерывность функционала %{z) следует из непре-
Г дф'(а) "Г1
рывности оператора I ^ I и непрерывности опера-
оператора f'(a). Поскольку h = hi-\-h2, где h\^X\, п2^Х2,
и по лемме в точке локального экстремума имеем
q/(a)/*2 = 0, f(a)h2 = 0, равенство C) достаточно уста-
установить для векторов hi е Хп а для h = hi оно очевид-
очевидно следует из D).
г. Из теоремы в следует и способ разыскания точек
условного экстремума. Именно, мы рассмотрим пока не-
неопределенный линейный функционал К{х) (Z-*Ri) и со-
составим функцию
В искомой точке а условного экстремума функции
удовлетворяется уравнение C)
что представляет собою выражение того факта, что точ-
точка а есть стационарная точка (во всей области G) функ-
функционала F(x). Тем самым задача об условном экстре-
экстремуме сводится к задаче об отыскании обычных стацио-
стационарных точек некоторой другой функции с неизвестным
функционалом Я (z).
112 гл. i. производные первого порядка f.8t
1.83. Случай одной числовой связи в
/i-мерном пространстве.
а. Пусть X=Rn, y=f(x): Rn-+Ruz=q>(x)i Rn-+Rlt
Функционал ЯB): R\—>Ri есть просто умножение на
некоторое (неизвестное заранее) число X. Решение за»
дачи об условном экстремуме функции f(x) с условием
<pW=cei?, A)
приводится к отысканию стационарных точек для число-
числовой функции
F() f()
Для решения этой задачи мы должны написать урав-
уравнение
или, в координатной форме,
of {Xit ...» Хп) л д<р \Xi, • •., Хп)
B)
df(xu .... хп) , dq>(xi,.... х„)
Из этой системы п -f 1 уравнений A) и B) нужно
отыскать п-+ 1 неизвестных хи ..., хп, К-
6. Пример. Найдем условно стационарные точки функции
/ (*) - S biX\ (/?„->«,) (о < б, < ... < ьп) C)
на сфере
Ф(*)=2*?-1=0. D)
Строим функцию
И отыскиваем ее обычные стационарные точки, для чего приравни-
приравниваем нулю ее первые производные:
1^ 0 (/=1 п). F)
1.84 S 1-8. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ ЦЗ
Если число К не равно ни одному из чисел b\t ..., bn, то из
уравнений F) следует, что Х\ ==... — хп = 0, что противоречит
условию D). Пусть' К = Ьт при некотором т = 1, 2, ..., п. То-
Тогда мы находим Xj = 0 (/ Ф т); так как х находится на сфере
D), то хт = ±1. Таким образом, условно стационарные точки
функции f(x) на сфере D) имеют вид ±ет = ±@, ..., 1, ..., 0).
т
При этом условный минимум реализуется в точках ±е\, а услов-
условный максимум — в точках ±е„. Остальные условно стационарные
точки не являются экстремальными; действительно, если из точки
ёт A < т < п) двигаться по окружности в плоскости переменных
Хт-\, хт, то функция f(x) будет умень-
уменьшаться; если же двигаться по окружности
В ПЛОСКОСТИ Хт, Хт+и ТО фуНКЦИЯ {(х) бу-
дет увеличиваться. На рис. 1.8-1 показан
случай п = 2.
1.84. Случай k числовых
связей в n-мерном про-
пространстве.
а. Пусть
X = Rn, y = f{x): GcRn->Ru
z = y{x): G~*Rh.
Таким образом, условие q>(x) = C
можно записать в виде k числовых
соотношений
Ф1(*1, .... хп) = Си\
' \_LA \ *•' Рлс. 1.8-1.
Линейный функционал K{z): Rk-^-Ri определяется
заданием k чисел %и ..., Кк и действует на вектор
z = {ги ..., zk\e=Rk по формуле
К (z) = K\Zi -j- ... -j- AfcZ/j.
Решение задачи об условном экстремуме теперь сво-
сводится к отысканию стациднаряых точек для функции
хп).
Числа %i называются множителями Лагранжа. Для ре-
решения этой задачи мы должны решить уравнение
114
ГЛ. 1. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.84
или, в координатной записи, систему уравнений
df(xv..., хп) _у , j><Pf(*i *„)
дх\
v-'xn) _a
^ == U.
B)
Таким образом, задача приводится к решению системы
k-\-n уравнений A) и B) с неизвестными хи ..., хп,
б. Пример. На кривой у = х2, z = х2 в пространстве Rs (x, у, z)
найти точку а = (х, у, z), ближайшую к точке с = @,0,1).
Мы должны найти минимум функции
при условиях
(лс, у, г) = у — х2 — 0,
Для решения этой задачи строим функцию
F(x,y, z)s= \с — а\г — Я,1ф1 — Я,2ф2 =
н приравниваем нулю ее частные производные по х, у, z:
-|j- = 2x + 2Я,,л: + 2А,2* = 0,
Отсюда Ki — 2y, K2 — 2(z—l), и остается решить систему
Одно очевидное решение х = у = z = 0. Если же л: ^ 0, то третье
уравнение можно заменить на
1 + 2J/ + 2 B-1) = 0.
Из первых двух имеем y = z, так что
1 1 1
41 Л±
ЗАДАЧИ
115
Квадрат расстояния каждой из двух найденных точек а, Ь до точки
119
с = @,0,1) равен "Г + Те" + Iff^1' так что именно в них н
Рис. 1.8-2.
достигается искомый минимум; в точке же @,0,0) реализуется ло-
локальный максимум расстояния (рис. 1.8-2).
¦Ri), заданная в поляр-
ЗАДАЧИ
1. Показать, что функция f(x) (R2-
ных координатах <р, г условиями
r(l— r)f при 0<ф<2я,
О при остальных значениях ф и г,
непрерывна на каждом луче, исходящем из начала координат, но
не непрерывна в самом начале координат.
2. Показать, что функция f{x) (/?2—*-V?i), непрерывная на каж-
каждой дифференцируемой линии, исходящей из начала координат, не-
непрерывна и в самом начале координат.
3. Пусть функция Я(ф)—дифференцируемая периодическая
функция аргумента ф с периодом 2я. Показать, что функция f(x)
(R2-*-Rt), заданная в полярных координатах ф, г формулой
а) имеет производную по любому лучу, исходящему из начала
координат, и эта производная равна Я(ф);
¦б) имеет производную по прямой ф = фо тогда и только то-
тогда, когда Цфо + л) = —Мфо);
в) дифференцируема в начале координат тогда н только то-
тогда, когда Я,(ф)= asin (ф +р), Где а и р — постоянные.
116 гл. i. производные первого порядка 4
4. Показать, что если функция F(t, |) {R2-*-Ri) имеет непрерыв-
непрерывную производную по i, то функционал
dt.
определенный в пространстве R(a, b) вещественных непрерывных
функций х = x(t), a ^ t ^ Ь, является дифференцируемым и его
дифференциал равен
Б. Написать дифференциальное уравнение для линии быстрей»
шего подъема функции у = f{xhjct) {R^-^Ri).
6. Какие линии уровня функции р(х,—а)р(х, a) (R2-+R1) вы-
выпуклы, какие имеют точки перегиба, какие разбиваются на пару
овалов?
7. Если числовая функция f{x) (GaX-*~Y) принимает одина-
одинаковое значение в двух точках а и Ь, то на любом пути L, соединяю-
соединяющем эти точки, хотя бы в одной точке производная функции f(x)
по L обращается в 0. Приведите пример векторной функции (хотя бы
Ri-*-Rs), для которой аналогичный факт не имеет места.
8. Пусть Q — наименьшее выпуклое замкнутое множество, со-
содержащее все значения функции f (/), а ^ t ^ b, f: [а, Ь] -*¦ У, /(а) =*
= f (b). Показать, что 0 е Q.
9. Рассматривая поверхность эллипсоида вращения как поверх-
поверхность уровня функции р{х, а) +р(х, Ь), показать, что лучи света,
выходящие нз фокуса а и отражающиеся от поверхности эллипсои-
да,/Собираются во втором фокусе Ъ.
10. Найти для функционала из задачи 4 стационарные точки.
11. Проанализировать характер стационарных точек для функ-
функционала из задачи 4 для случая а=0, 6=1, F{t, |)=|3— (I + 1J|.
12. Найти условно стационарные точки для функционала
I
jx>(t)dt,
при условия
13. Итерационный метод разыскания решения уравнения f(x)=Q
(f: X -*- Y) состоит в следующем. Имея некоторое исходное значение
Х\ = а, где f'(a) есть обратимый онератор, пишут уравнение отно-
относительно Хъ.
{x2-a) = 0. A)
17 задачи 1 п
Это уравнение дало бы истинное значение корня уравнения /(*)=0,
если бы f(x) была линейной функцией. В общем случае решение Хг
уравнения A) есть некоторая новая точка, в которой, возможно,
/(xj) имеет более близкое к 0 значение, чем в точке а. Из (-1) имеем
*2 = а -[/'(в)]/(а). B)
Формула B) подсказывает, что следует рассмотреть последователь-
последовательность
или даже более грубую, но более простую
*«+, = *„- V ^Г1 f(xn). C)
Показать, что при выполнении условий
\Г (а) II sup ИП*)-Пя)В<4"
|дс-а|<г *
I [Г ЮГ1/(«)!<¦?.
последовательность C) сходится к решению уравнения f(x) = О,
которое обнаруживается в шаре радиуса г с центром в а.
14. Показать, что функция j/=|x| (X-*~Rt) не дифференци-
дифференцируема при х = 0.
15. Показать, что в гильбертовом пространстве функция y=|x|
дифференцируема при х Ф 0.
16. Показать, что в пространстве 1\ числовых последовательно-
оо
стей x==Ki, ...i in. ...} с |х|=21 |5а[<°° Функция у=\х\
1
(/i -*¦ R\) не дифференцируема ни в одной точке.
17. Для выяснения расположения ветвей кривой в R2
2 w о)
0<ft,m<JV
при лг\,О*) имеется следующее правило. Следует в уравнение A)
подставить у = АхтЕ, где А и г — неизвестные постоянные, ?-*-!
при х\0; в получившемся уравнении
У akmAmxk+rmE=0 B)
0<k,m<N
определить г = гь из условия, что среди имеющихся показателей
k + rom наименьший, положим р, встречается по меньшей мере
*) Символ х\0 означает: х стремится к нулю, убывая.
118
ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
18
дважды (например, пользуясь диаграммой показателей, пример ко-
которой приведен на рис. 1.3-1 *)); разделить уравнение B) на дср и
положить в результате х = 0; утверждается, что каждому простому
вещественному корню Ао ф 0 по-
получившегося уравнения
2 «¦
¦km'
C)
Диаграмма показателей,
для урайнения
*330
Рис. 1.3-1.
ния, у кривой A) имеется иетвь вида
отвечает вещественная ветвь кри-
кривой A) с уравнением у = Аохг'Е.
Обосновать последнее утвер-
утверждение.
18. (Продолжение.) Если Ао —
кратный корень уравнения C), то
кривая A) не обязана иметь вет-
ветви с уравнением у = АохТ'Е. Од-
Однако если при этом положить в A)
y = Aoxr<>(l + BxsE) и аналогич-
аналогичным путем найти значения Во н
«о, то, если Во будет простым
корнем соответствующего уравне-
уравне19. Показать, что функции у = f(x) (GaX-*~Ri) с непрерыв-
непрерывной производной f'(x) (G-*-L(X)) образуют алгебру St(G), замк-
нутую относительно нормы
20. (Продолжение.) Совокупность ](а) всех функций
f(x) e St(G), для которых в данной точке a&G выполняются ус-
условия {(а) =0, р(а) = 0, образует замкнутый идеал в алгебре
Sl(G). Показать, что фактор-алгебра 21/7 (а) изоморфна простран-
пространству X* всех линейных непрерывных функционалов на Л с нулевым
умножением и с формально присоединенной единицей.
21. (Продолжение.) Формальным дифференцированием при
х = а е G называется линейный функционал D в алгебре St (G),
непрерывный по ее норме, удовлетворяющий условию
Для случая, когда X есть гильбертово пространство Н, пока-
показать, что из f(x) e/(e) следует Df = 0.
22. (Продолжение.) Показать, что в полном гильбертовом про-
пространстве X = Н любое формальное дифференцироваиие при х = а
в алгебре §1@) есть дифференцирование в точке а по некоторому
*) Подробнее см. Г. Е. Шилов, Особые точки алгебраических
кривых на плоскости, УМН 5, вып. 5 A950), стр. 180—192.
26 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 119
вектору у:
пр г- f
23. Привести пример функции f(x) {G с: X -*¦ L (X, У)), у кото-
которой для любого heX функция f(x)h (G->~Y) дифференцируема,
в то время как сама функция f(x) не дифференцируема.
24. Привести пример функции f(x,y) (/?2-»-/?i), не дифферен-
дифференцируемой при х = О, у которой имеется производная по любому
направлению, исходящему из точки 0, равная 0. Показать, что из
существования у функции f(x) (/?„ ->¦ Ri) нулевой производной по
каждому (дифференцируемому) пути, выходящему из точки 0, уже
следует дифференцируемость функции [(х) в этой точке.
25. Привести пример функции f(x) (//-»-/?i) (H — бесконечно-
бесконечномерное гильбертово пространство), не дифференцируемой при х—0,
у которой имеется нулеаая производная по каждому дифференци-
дифференцируемому пути, выходящему из точкв 0.
26. Показать, что производная от оператора инверсии / (х) =
= 2g- (в гильбертовом пространстве Н) имеет вид
\х — о |
Т(хI\х — хо\2, где Т(х)—ортогональный оператор (т. е.
(Т(х)р, T(x)q) — (р, q) для любых р и q из Н).
Историческая справка
Уже создатели анализа бесконечно малых вполне понимали, что
диффереицирование функций приводит к линейным аыражениям от-
относительно приращений коордииат, и пользовались этой возможностью
сведения сложных задач к простым; именно в линеаризации, реше-
решении задачи на линейном уровне и последующем возвращении к ко-
конечным величинам с помощью интегрирования и был весь смысл
открытия Ньютона и Лейбница. Техника полных дифференциалов
была развита Эйлером A730-е гг.). Однако без теории пределов —
если не созданной, то систематизироааниой лишь Коши в начале
XIX века — линеаризация в XVII и XVIII веках представлялась
внутренне противоречивой; математики того времени, по-видимому,
считали, что линейны в малом сами рассматриваемые функции и
что их дифференциалы и есть их приращения, получающиеся при
каких-то «чрезвычайно малых» дифференциалах — приращениях
аргументов. Эта точка зрения, естественно, ие могла быть проведе-
проведена сколько-нибудь последовательно, что весьма затрудняло обосно-
обоснование анализа и предоставляло простор для уничтожающей критики
со стороны философов. Например, Беркли, после критики «яаных
софизмов» с ньютоновыми флюксиями (производными), говорит
даже: «Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию...
не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».
Гегель, философ другого направления, связывал методы бесконечно
малых с открытыми им диалектическими законами мышления и
трактовал дифференцирование как отрицание (конечной величины),
а интегрирование — как отрицание отрицания; с этой точки зрения
весь анализ бесконечно малых представился как результат примене-
применения диалектики к математике; при этом стало понятным, почему
120 ГЛ. I. ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
все имевшиеся тогда в анализе «доказательства» Оыли неприемлемы
с точки зрения формальной логики, — ничего иного и не могло быть
при не формальных исходных положениях, Справедлиаость приве-
приведенных соображений Гегеля тем ие менее не продвигала анализ бес-
бесконечно малых ни на шаг вперед; для его плодотворного развития
на определенном этапе стала необходимой конкретная формализа-
формализация исходных построений. О возможности такой формализа-
формализации думали выдающиеся математики XVHI века — Эйлер, Да-
ламбер, Лагранж; объявлялись академические конкурсы иа
построение логически безупречной системы анализа. Одна-
Однако, лишь в XIX веке, с накоплением достаточного факти-
фактического материала, нужная формализация была достигнута у Коши
и Вейерштрасса. И тогда анализ бесконечно малых, освободившись
от формальных противоречий, стал доступен гораздо более широкому
кругу исследователей и его развитие пошло вперед с невиданной
ранее быстротой и эффективностью. Главная заслуга Коши как раз
и была в том, что он рассмотрел дифференциал функции не как ее
приращение, а как главную линейную часть ее приращения; точная
формулировка этого понятия была осиоваиа у Коши на понятии
предела, которое им и было положено в основание всего исчисления
бесконечно малых. Вейерштрасс^добавил сюда технику рассуждений
с е и 6, что, в частности, позволило исправить некоторые слишком
поспешные рассуждения Коши. На протяжении XIX века многими
авторами, от Коши до Гурса, формировались различные идеи диф-
дифференциального исчисления функций нескольких переменных, вклю-
включая теорию неявных функций, зависимых и независимых функций,
якобианов (последние были введены К- Якоби в 1833 г. первона-
первоначально для получения общего правила замены переменных в крат-
кратных интегралах, см. гл. 3). В 1911—1913 гг. было-даио несколько
вариантов определения дифференциала от функционалов (Фреше;
Гато; см. П. Л е в и, Конкретные проблемы функционального ана-
анализа, «Наука», 1967, ч. I, гл. 2); после внедрения в математику идеи
нормированного пространства A920—1922) основным осталось
определение Фреше A.23). Оио открыло путь для распространения
дифференциального исчисления на функции, определенные в беско-
бесконечномерных пространствах. Соответстиующее обобщение теоремы
о неявной функции было получено Гильдебрандтом и Грейвсом
A927).
Задачи на определение экстремумов решались с помощью диф-
дифференциального исчисления .уже во времена Ньютона и Лейбница
(а даже раньше — Ферма, 1629). Метод множителей в задачах иа
условный экстремум был описай Лагранжем в 1797 г. Для функцио-
функционалов, заданных в иормирбваииом пространстве и при наличии ко-
конечномерной связи, ои был установлен Л. А. Люстерииком в 1934 г.
ГЛАВА 2
ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Теорию высших производных для функции у = f(x) (GczX-*~Y)
можно строить или исходя из индуктивного определения /<п)(х) =
= [/<п~1)(*)]', или исходя из выделения в приращении функции
вслед за главными линейными членами главных квадратичных, ку-
кубичных и т. д. членов. Оба подхода, как мы увидим в §' 2.4, при
соответствующих предположениях непрерывности равноправны.
Вначале мы рассматриваем числовые функции от п веществен-
вещественных переменных (§ 2.1); получаемый здесь классический конкретный
материал послужит иам базой для формирования общих понятий ;И
предложений. В общей теории, где и аргумент и функция прини-
принимают значения в многомерных пространствах, появляется то новое
обстоятельство, что значения высших производных принадлежат все
более и более далеким пространствам; в то же время высшие диф1
фереициалы естественно связываются не столько со степенными,
сколько с полилинейными симметричиыми формами от дифференциа-
дифференциалов аргументов. Важным результатом, основанным на этих рас-
рассмотрениях, является теорема Фробеииуса (§ 2.5): условием разре-
разрешимости дифференциального уравнения первого порядка #' =.
= F(x,y) оказывается некоторое условие на функцию F(x,y), ко-
которое тесно связано со свойством симметрии второго дифференциала
как билинейной формы от дифференциалов аргументов. Поскольку
в переводе на классический язык теорема Фробениуса дает условия
разрешимости системы уравнений первого порядка в частных про-
производных, она, как и теорема о неявной функции, является одним
из самых мощных средств анализа.
§ 2.1. Высшие производные числовой функции
п переменных
2.11. а. Если частные производные -^-, ...,
числовой функции f(xu ..., хп): G cRn-+Ri, диффе-
дифференцируемой во всех точках области G, также являются
дифференцируемыми функциями (G cr Rn -*¦ R\), то мы
можем составить вторые частные производные, которые
122 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.11
обозначаются так:
df(x)
(
х{ \
К
Продолжая дифференцирование (если возможно),
можно составить частные производные третьего порядка
д I дЧ(х) \ dsf(x)
^[-ЩЩ-)^ дхкдх,дх, • четвеРтого
dxk дх{ дх} ) — дхр dxk dxt
'
б. Согласно приведенному определению у функции п
переменных может существовать п производных перво-
первого порядка, п2 производных второго порядка, я3 произ-
производных третьего порядка и т. д. На самом деле число
различных (т. е. не совпадающих в данной точке) про-
производных каждого данного порядка меньше; оказывает-
оказывается, что очередность, в которой берутся производные,
для достаточно хороших функций безразлична, так что,
d*f d2f T,
например, -?—4=— — ~q—q—• Имеет место Следующая
теорема:
Теорема. Если функции qJqx « вхдх СУЩР~
ствуют в окрестности точки а = {alt ..., ап} и непре-
непрерывны в самой точке а, то
dxt дх, дх, dxt
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать i = 1, / = 2. Выделяя зависимость f (x)
лишь от Xi и х2, будем писать далее f(x) = f(xit x2).
Рассмотрим выражение
Л„ а2 + h2) — f (a, + ft,, a2) —
—/(а„ a2 + h2) + f(ait cQ. A)
2.Ц § 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 123
Его можно рассматривать как приращение функции
Ф (*,) = /(*„ a2 + h2)-f{xlt а2)
при изменении Х\ от щ до а{ -f- Л,. По теореме Лагранжа
имеем
w = Ф (а, + /г,) — Ф (а,) = Ф' (а, + 6,/г,) /г, =
при некотором 6i, 0 < 61 < 1. Применяя теорему «Па-
гранжа еще раз, уже по переменному х2, получаем
с некоторым 62, 0 < 62 < 1. Однако ту же величину w
можно рассмотреть и как приращение функции
*(х2) = f{a\+ hi, x2) — f(alt x2)
при изменении х2 от а2 до а2 + h2. Снова используя
формулу Лагранжа, мы найдем, что
/^ C)
с некоторыми Ti и т2, 0 < Tj < 1, 0 < т2 < 1.
Приравнивая B) и C) и сокращая на hxh2, полу-
получаем
, a2 + 8г/г2) _ d'f (Ql + т^!, a2 + x2h2)
dx2 dxt dxi dx2
Устремим здесь /г1 и h2 к нулю; в силу предположе-
предположения о непрерывности функций а i и - ^ при дс=а,
получаем в пределе
d*f(a)' _
что и требовалось.
в. Для производных высшего порядка независимость
от порядка дифференцирования (в предположении об их
существовании и непрерывности в точке х = а) доказы-
доказывается последовательным применением теоремы б.
124 гл. 2, высшие производные 2.12
Например,
д / d*f \ д i d*f \
\дх дх1\дх1дх2) dxi\dx2dxlj
дх\дх2 дх1\дх1дх2) dxi\dx2dxlj дх1дх2дх1
( \ (
дх1 дх2 \dxi) дх2дхг \dxl
г. Если функция f(xu ...| хп) есть многочлен от
*ь .«.. хп степени, меньшей k, to, очевидно, все произ-
производные порядка k (и выше) от функции f(x) равны
п
нулю. В частности, для линейной функции f (х)= 2 ctft
равны нулю уже все вторые производные функции f(x),
2.12. Высшие дифференциалы.
а. Первый дифференциал функции y=f(xi,... ,хп)%
GczRn-bRi равен по 1.22 C)
и представляет собой функцию от переменных х=
={хи ..., хп} и ?fx={d-»:i, .... dxn}, линейную по аргу-
аргументу dx. Рассматривая A) как функцию только от х,
мы можем по аналогичному правилу сосчитать ее вто~
рой полный дифференциал a(dy):
Возникает функция от переменных хг и йх4, зависящая
от dXi уже квадратичным образом.
Продолжая аналогично, получаем третий полный
дифференциал
2.13 § 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 125
который представляет собой уже кубическую форму от
аргумента dx, и так далее; s-й полный дифференциал
функции y=f(x) определяется по рекуррентной фор-
формуле
и представляет собой форму s-й степени от координат
вектора dx. Наряду с определенными выше полными
дифференциалами йу, d2y, d3y, ... рассматривают и част-
частные высшие дифференциалы. Так, выражение
dXldx2 dx2dxi
называется вторым частным дифференциалом функции
y=f(x), отвечающим дифференциалам dx2 и dx\ незави-
независимых переменных. Аналогично строится определение
частных дифференциалов и в. общем случае.
б. Если функция \{Х\ хп) есть многочлен от
Х\, ... ,.хп степени, меньшей k, то, в соответствии с 2.11 г\
все дифференциалы порядка k (и выше) от функции
f(x) равны нулю. В частности, для линейной функции
п
f(x)—2iCix{ равен нулю уже второй полный диффе-
4=1
ренциал функции f(x). Часто используются соотноше-
соотношения d?Xi=Q. Все сказанное справедливо, когда xt яв-
являются независимыми переменными; если х{ — функции
от других аргументов, эти равенства, вообще говоря, не
имеют места.
2.13. Формула Тейлора. Высшие дифференциа-
дифференциалы используются для уточнения вопроса о поведении
функции в окрестности данной точки. А именно, при
условии существования соответствующих дифференциал
лов имеет место ряд все более точных формул:
i = dy (a) + -g- d2y (a) + о (| dx p),
126 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.14
где lim о (| dx |m)/1 dx |m = 0. Все эти формулы являются
dx->0
следствиями общей формулы Тейлора
dy{a) + J^mdy(a + edx). A)
Вывод формулы Тейлора будет дан в 2.41. А в 2.43
будет доказано следующее предложение: если в обла-
области G с Rn для функции у (х) имеет место при некото-
некотором т равенство
п п
'2 ]] (ptl{x)dxtdx, +...
с непрерывными коэффициентами q>i(x), уц(х), ... и
равномерно бесконечно малой o(|d#|m), то функция
y=f(x) дифференцируема в области G и разложение
B) есть ее разложение по формуле Тейлора.
Это предложение устанавливает эквивалентность
прямого подхода к определению высших производных
и подхода, основанного на выделении из приращения
функции последовательно членов первого, второго и т. д.
порядков малости.
2.14. Поведение числовой функции в
окрестности данной точки с точностью до
малых второго порядка.
а. При т = 1 формула Тейлора превращается в оп-
определение дифференцируемой функции и выделяет глав-
главную линейную часть приращения функции.
При т = 2 формула Тейлора, написанная в форме
у {а + dx) — у {а) — dy (a) =
i. 1=1
выделяет главную квадратичную часть приращения
функции, остающегося после выделения главной линей-
линейной части; эта главная квадратичная часть и дается
2.14 § 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 127
квадратичной формой
1.1=1 '
б. Квадратичная форма B) может быть положи-
положительной при всех dx ф О, как это имеет место, напри-
например, для случая
Q(dc)=2(d*,J.
Если квадратичная форма Q(dx)= 2 Qudxidxi
t, /=Г
положительна, то пусть С > О есть ее минимальное зна-
значение на единичной сфере |dx| = l; тогда для любых
dx мы имеем
dx I I dx \ JL dx.dx
\dx\\— " '
i, /=i
откуда
Q {dx) =2 <7// d^/ dxj ^ С | dx |2.
Поэтому, если второй дифференциал d2y(a) есть по-
положительная квадратичная форма от dx, то для задан-
заданного е > 0 при всех достаточно малых dx^O мы имеем
2
т. е.
Ay — dy> О, Д# > dy.
Это означает, что график функции y = f(xu ..., хп)
в окрестности точки х = а лежит над касательной пло-
плоскостью
(У.266) (рис. 2.1-1).
128
ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2.14
в. Аналогично, если форма d2y(a) отрицательна при
всех йхфО (например, для d2y = —^i(dxiJ), то при
х,
Рис. 2.1-1.
Рис. 2.1-2.
всех достаточно малых dx Ф О мы имеем Ay < dy,
а значит, график функции y = f (хи ..., хп) в окрест-
окрестности точки х=а лежит
под касательной плоскостью
(рис. 2.1-2).
г. Квадратичная форма
d2y(a) может быть положи-
положительной при одних значени-
значениях dx и отрицательной при
других значениях dx (на-
(например, форма d2y(a) =
т п \
= ^idx2,— 2 dx2,); этозна-
г=1 /=m+l 7
чит, что при одних значе-
значениях dx будет At/ > dy, a
при других Лу < dy. Гео-
Геометрически график функции
у =з Дх) в окрестности точки д: =.о будет иметь «седло-
«седлообразную» форму, частично располагаясь над касатель-
касательной плоскостью, а частично — под касательной плоско-
плоскостью (рис. 2.1-3).
Рис. 2.1-3.
2.14
§ 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
129
д. Может быть и вырожденный случай, когда форма
d2y(a), будучи в целом неотрицательной (неположитель-
(неположительной), обращается в нуль на некоторой прямой (или на
целой совокупности прямых); тогда о поведении графи-
графика функции у (х) вдоль этой прямой (или этих прямых)
нельзя уже судить по ее второму дифференциалу и сле-
следует привлекать высшие дифференциалы.
Пусть, например, у=у(х) = y(xit x2) и известно, что
d2y ^0 и что для данной точки а= (аи a2) в плоскости
хи х2 имеется только одна прямая,
положим /, на которой d*y=O.
Тогда поверхность у—у(х) в
окрестности точки а будет иметь
вид открытого кверху желоба, иду-
идущего по направлению прямой /.
При учете малых высшего порядка
этот желоб может обнаружить еще
некоторое изгибание вдоль пря-
прямой /; так, если на прямой / выра-
выражение d3y Ф 0, то, поскольку нечет-
нечетная форма d3y вдоль прямой I ме-
меняет знак, график функции у(х) вдоль прямой I пере-
переходит с одной стороны касательной плоскости на дру-
другую, что и дает форму искривления желоба (рис.
2.1-4).
е. В алгебре существует правило (правило Сильве-
Сильвестра), позволяющее непосредственно по коэффициентам
п
квадратичной формы Q(g) — 2 Qatili узнавать, ка-
кой из указанных случаев имеет для нее место. Именно,
следует вычислить п определителей
Рис. 2.1-4.
б„ =
<7п • • • Я\п
Qni • • • Qnn
Правило Сильвестра говорит: если все определители
6i, 62, ..., Ьп положительны, то и форма Q(|) положи-
положительна; если 6i < 0, бг > 0, бз < 0, ..., то форма Q(Q
отрицательна; если все числа 6j отличны от нуля, но их
знаки чередуются каким-либо иным образом, то форма
нринимает значения обоих знаков. Если какой-либо из
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
f.fi
определителей 6к равен нулю, признак Сильвестра не
дает определенного ответа; требуется более тщательное
рассмотрение. Вывод правила Сильвестра можно найти
в Л7.96.
Можно показать также, что форма Q(|) заведомо
принимает значения разных знаков, если хотя бы один
из определителей 6з, 64, бе, .., отрицателен (см. зада*
ж. Пример. Пусть у= f (х{, х2) = 3х,х2 — xf — *§. В этой
случае
3*2-3*?, ¦g^-
''
d2y = -
— 6*i, 62
5*2 dxt
• 3dXi dXt — 6*2
6*, 3
3 — 6x2
D)
= 9D*,**-!).
На рис 2.1-5 показаны области в плоскости х,, х3, где величины
6i и 6» не обращаются в 0 и на основании правила Сильвестра
можно высказывать определенные утверждения относительно пове-
поведения функции f(*i, хг).
Рассмотрим точки, к которым это. правило не применимо. Пре-
Прежде всего, на оси Хг мы имеем 6i = —6xt = 0. Если теперь поме-
поменять ролями оси координат и считать хг первой координатой, то,
так как в этом случае 6Г= —6*2 ф 0, каждой точке @, *2), *2#0,
будет соответствовать седлообразная точка графика. В точке @, 0)
перестановка осей уже не помогает; но здесь «Ру = Ых^йх^, эта фор-
форма меняет знак, и, следовательно, точке @, 0) также отвечает седло-
седлообразная точка графика. В точках гиперболы 4*jX2 = I, где 6j =0,
второй дифференциал становится пропорциональным полному квад-
квадрату линейной формы, именно:
-6*,(<**.J + 2
— 6 IV*Tdx, -r=
\ 2 V*,
dx2 - 6*2 (d*2J
2
-х, dXl+
—
при *,>0,
при *,<0.
На прямых, вдоль которых соответствующая линейная форма обра-
обращается в нуль, анализ поведения функции требует привлечения чд«е
% гл. числовая •этиданя
ков третьего порядка. Этими прямыми являются
!X| —__mf dxa = О, или
1
2 у — Х|
= 2xt йх\ при xt > 0;
0, или dx2 = 2xt dx^ при xt < 0.
Здесь dxi и ffxj означают приращения координат вдоль прямой E),
Можно обозначить dxi =^Хг — хи dx^ = X%— х2, где (хкХз) -*
Рис. 2.1-5.
точка гиперболы (Jfi, Х^) — текущая точка прямой, так что урав<
неяия E) получат вид
Чтобы узнать, как себя ведет вдоль этих прямых функция
У(х\, хг), дифференцируем еще раз равенство D):
Если dx2 =
i, то
При xi f# —Ч2 форма d*y не вырождена, н графиком функции
у(х) в окрестности таких точек является «искривленный желоб»
L32 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.1*
того типа, что изображен на рис. 2.1-4. Если же Х\ = —xh (следо-
(следовательно, и дг2 = —'/г), то вдоль линии йхг = —dxt мы имеем
dy = 0, d2y = 0, d3y = О, н, следовательно, многочлен 3-й степени
у(х) на этой прямой принимает постоянное значение; график же
функции у(х) в окрестности точки (—'/г, —'/г) представляет собою
также желоб, но уже без искривления по своему направлению.
2.15. Полученные результаты дают признаки, позво-
позволяющие в некоторых случаях выяснить характер стацио-
стационарных точек A.81 а).
а. Пусть а е G — стационарная точка числовой
функции y=f(x): Rn-*Ri. Предположим, что функция
f(x) дважды дифференцируема в области С Тогда
f'(a)=O и касательная плоскость к поверхности y=f(x)
в точке (a, f(a)) горизонтальна. Рассмотрим в точ-
п
ке а второй дифференциал d2f{a) = -^ J) дх дх dxtdxl
dxi
функции f(x). Если квадратичная форма d2f(a) положи-
положительна, то, по 2.14 6, график функции f(x) в окрестности
точки а лежит над касательной плоскостью; другими
словами, f(a -f- dx) ^ f(a) для достаточно малых значе-
значений \dx\, или, что то же, точка а является точкой
локального минимума (рис. 2.1-6) функции f(x). Если
df=O. d*f<0
df=0, d*f>0
Рис. 2.1-6. Рис. 2.1-7.
квадратичная форма d2f(a) отрицательна, то, по анало-
аналогичным соображениям, точка а есть точка локального
максимума функции f(x) (рис. 2.1-7). Если квадратич-
квадратичная форма d2f(a) неопределенна, т.е. принимает в лю-
любой окрестности точки а значения разных знаков, то
стационарная точка а не является экстремальной
(рис. 2.1-8).
Если же форма d2f(a) вырождается (например, то-
тождественно обращается в 0), то можно опять-таки по-
попробовать рассмотреть высшие дифференциалы. Однако
для высших дифференциалов уже нет таких простых
2.16 "S 2Д. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 133
критериев знакоопределенности, каким для второго диф-
дифференциала является правило Сильвестра, и приходится
рассматривать их непосредственно, подобно тому как
мы это делали в предыдущем примере.
df=D, dsf знаконвопреШлен
Рис. 2.1-8.
б. Пример. Для функции f (х) = Зх{х2 — х\ — х\ стацио-
стационарные точки определяются из уравнений
так что имеются две стационарные точки: а^ = а^ = 0 и af^ =
= aj2) = I. Характер этих стационарных точек мы анализировали
в 1.81 в; мы внделй там, что вторая есть точка максимума, первая
же не является экстремальной. В 1.81 в эти результаты были полу-
получены с помощью более или менее простых подсчетов. Но если обра-
обратиться ко второму дифференциалу функции и правилу Сильвестра,
то эти результаты получаются уже без всякого труда: точка ар* =
= Oj == 1 находится в области, где 6i < 0, бг > 0, т. е. в области,
где форма d2f(a) отрицательна, и поэтому представляет собою точ-
точку максимума; точка аУ' = а^ = 0 находится в области, где 62<О,
н поэтому экстремума не дает.
Таким образом, рассмотрение второго дифференциа-
дифференциала может дать существенное упрощение по сравнению
с непосредственным анализом поведения функции
в окрестности данной стационарной точки.
2.16. Эти методы можно распространить и на неявно
заданные функции.
а. Пусть функция У=у(х) задана уравнением
Ф(*1, ..., хп, у) = 0, A)
причем в точке {a, b\={ait ..., ап, Ь} выполнены уело*
вия теоремы о неявной функции 1.53, а сама функция
134 ГЛ. % ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ В.ЗД
Ф{щ, ..., Кп, у) имеет * окрестности точки {а, Щ иепре-
рывные производные до порядка т по всем аргументам.
Тогда, как 'будет показано (для более общего случая)
в 2.36, и неявная функция у=у{х) в некоторой окрест-
окрестности точки а имеет непрерывные производные до по-
порядка т. Используя эту теорему, мы можем найти в точ-
точке х=а все дифференциалы функции у(х) до поряд-
порядка т, не решая уравнения A) относительно у. Будем
рассуждать так. Если в уравнение A) подставить вме-
вместо у его решение у(х) (существующее в силу теоремы
о неявной функции)^ то получится функция от п пере-
переменных Х\, ..., хп, тождественно равная нулю в неко-
некоторой окрестности точки а. Тогда и все дифференциалы
этой функции равны нулю. Вычисляем их поочередно;
при вычислении первого дифференциала пользуемся
теоремой об инвариантности (неважно, является ли у
независимым переменным или функцией):
в частности,
Отсюда
— результат, который мы могли бы написать ещев?.55,
когда мы находили частные производные неявной функ-
функции.
б. В частности, для разыскания стационарных точек
функции у(х) мы теперь должны рассмотреть систему
и + 1 уравнений с п + 1 неизвестными Xi=au ,,,,
=Оп, У Ь
Ф( ¦•-. хп,
, хп, у)
дхх —
.*..Хп,у) _
о,
D)
2.1в S 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 13S
Дифференцируя уравнение B) сле^ющий раа и
помня, что Xi «„ — независимые переменные, тая
что d2xt — 0 Bil26), а «/ — функция от них, находим
d
дх„ду
О. E)
Полагая в этом соотношении х — а, у — b и исполь-
используя C), получаем
Г п
1 V1 32Ф (а, Ь)
- ЭФ (д, ft) I to/ftr,
)
]36 ГЛ. % ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.16
Если (а, Ь) — стационарная точка, то dy(a) = 0 и соот-
соотношение (о) принимает простой вид:
п
) , , , дФ(а,
id дх. dxt l ! "• ЩГ
Отсюда
ду '• /==1
эту квадратичную форму относительно dxi и нужно ана-
анализировать для выяснения характера данной стационар-
стационарной точки.
Продолжая далее дифференцирование равенства E),
можно получать формулы для высших дифференциалов,
однако мы не будем здесь этим заниматься.
в. Пример. Найдем стационарные точки функции у = у(х)
(U\-+R\), определяемой уравнением
Ф (х, у) = -V3 + у3 — Зху = 0. (8)
Для определения стационарных точек, согласно б, мы должны
решить уравнение (8) совместно с уравнением
= O.V ~"~ О// === yJi \s*)
Исключая у, получаем бикубическое уравнение
хз + хе _ 3.V3 _ 0_
Теперь стационарные точки легко находятся:
Xi = yi = 0, хг = ^2, уг «= ^4.
В точке @, 0) не выполнены условия теоремы о неявной функции, и
дальнейшее вычисление бесполезно. Имея в виду анапиз второй
стационарной точки {\^2, V^}, найдем второй дифференциал
функции у{х), но не по формуле F), а непосредственно. Мы имеем
Зх2 их + Зу2 dy - Зх dy -3ydx=* 0j
35.17 S 2.1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ 137
сокращая иа 3 н дифференцируя дальше, находим
2х их* + 2у dy* + у2 d2y —dxdy — x d2y — dydx = 0.
В стационарной точке dy = 0, поэтому остается лишь
2х dx2 + у2 d2y -xd2y = 0,
откуда
dy = Д 2 d*(
следовательно, в точке дг = ]/Т функция у(х) имеет локальный
максимум.
2.17. Привлечение вторых дифференциалов позволяет
в принципе выяснять и характер условно стационарных
точек. Мы рассмотрим здесь лишь задачу об условном
экстремуме функции y=f(x) з= f(xt, .... хп) при одном
условии: ф(х) == ф(лг1, .... хп)=с (ф: Rn~^Ri) в обла-
области G cz Rn. Пусть х=а=(аи ..., ап)—условно ста-
стационарная точка; предположим, что она является
обыкновенной точкой как поверхности ц>(х)==с, так и
поверхности f(x) = b(=f(a)); эти условия выполнены,
например, если д ф 0, ^ =т^ 0, что мы и предпо-
ложим для дальнейшего. Равенства 1.83B), которые
можно записать в форме
grad f(a) = l grad <p (a),
показывают, что в точке х=а поверхности уровня ф=с
и /=6 имеют общую касательную плоскость. Разрешая
оба уравнения f—b и ф—с относительно л:и, получаем
для этих поверхностей соответственно уравнения
причем для a'=(ai йп-i) имеем g(a')~\p(a')=an.
Будем также предполагать, что I > 0, изменяя
в противоположном случае направление оси хп на об-
обратное. Тогда и для всех точек х, достаточно близких
к а, будем иметь I > 0.
ОХ л
Будем, далее, предполагать, что функции f(x) и
<p(#), следовательно, g(x') и ^(х') B.16} дважды
Ш гл- 21 ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ JJJ
дифференцируемы. Тогда справедливы соотношения
ю-*
Теорема. В указанных предположениях рассмо-
рассмотрим квадратичную форму
эта форма положительно определена, то точка а
есть точка условного максимума функции f{x) при усло-
условии ф(х) = г, если форма B) отрицательно определена,
то точка а есть точка условного минимума функции f(x);
если форма B) не является определенной, то точка а
не является точкой условного экстремума функции f (x).
Доказательство. Допустим, что формз B) по-
положительно определена. Тогда, учитывая, что g{a') —
=\|?(а'), g'{a')=ty(a'} при достаточно малых h'=
={ЛЬ h} ф 0 {/) (^) (
=={ЛЬ ..., hn-\} ф 0, мы имеем g{x/) > ip(^) (ср.
2.14 6}.. Далее, из условия . I' > 0 (справедливого
при всех ж, достаточно близких к а) мы выводим, что
1(я?, iHjf»< f (х". g^')> (^ ?= «О- Но- точка « ¦(х'))
лежит на поверхности у(х)=су а точка (х', g(x')) ле-
лежит на поверхности f(x)=b, так что правая часть по-
последнего неравенства равна Ь. Мы видим, что всюду
в достаточно малой окрестности точки а на поверхности
у(х}—с (кроме самой точки о) выполняется неравен-
неравенство f(x), <C Ь. Отсюда и следует,-что точка а есть точка
условного максимума функции f(x) при условии ф(*) =
— с. Остальные две возможности рассматриваются со-
совершенно аналогично. Теорема доказана.
В случае линейной связи у(х)=е (даже при
ф: J?n -*• Rh) существует критерий т&г» или иного харак-
?24 § 2.2. ОБЩЕЕ «ШРЕдеЯЕНИЕ «ШСШИХ ПГОИЗВОДНЫХ 13»
тера $ксж>вного экстремума до диагональным мннорам
некоторого определителя, составленного из велвчдо
¦g/д" • и коэффициентов в уравнениях связи {Л7.98).
§ 2.2. Общее определение высших производных
2.21. а. Как мы уже хорошо знаем, для функции
f(x): GaX-*Y линейный оператор f(«)i X-+Y
деляется из равенства
Предположим, что f'{x) существует в каждой точке
х е G. Тогда /'{*) есть функция, ставящая в соответ-
соответствие каждой точке хеЬ оператор JT —¦• У. Простра*
ство L(X, Y) всех линейных непрерывных операторов,
действующих из X в Y, мы обозначил здесь через Y\
(а само Y — через ?0). Таким образом, \{х) есть У0-знач-
ная функция от х, a f'(x) есть Угзначная функция от х.
Определим теперь оператор f"{<a) из равеистяа (если
оно возможно^
Тогда fin) будет лияеёным веп^ерквным оператором,
действующим из^в Yi. Пространство L(X, Yj) всех та-
таких операторов обозначим через Yt. Если f {%) суще-
существует для любого х е G, то она будет У2-ана«шов функ-
функцией от х. Продолжая далее, мы нриходим к следую-
следующему общему определению.
Определение. Пусть Yg=L{X, yp_i) <p=
= 1, 2,...); лииейный оператор ft&(a): X—+Yv~\ назы-
называется р-й провцводюй от функции f{x) (бсХ-» FD)
е гочке x:=:«, если справедливо представление
f{p-l)(a + h)-fp-l){a) = fp\a)h + o{h) (AeJQu A)
Все слагаемые в обеих частях равенства здесь 1принад-
лежат к пространству Y^-u Таким образом, ^(ш) е Ур.
Коротко можно написать
140 ГЛ. Ss ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.22
и это приводит определение р-й производной в конечном
счете к определению первой производной.
б. Функция y=f(x) (GcX-*Y), имеющая при
х=а е G производные до порядка р включительно, на-
называется р раз дифференцируемой, короче, р-дифферен-
цируемой в точке а; если она имеет производные до по-
порядка р включительно в каждой точке области G cz X,
то она называется р раз дифференцируемой (р-диффе-
ренцируемой) в области G. Функция f(x), имеющая при
х = а (при каждом jteG) производные любого порядка
р = 1, 2, ..., называется бесконечно дифференцируемой
в точке а (в области G).
в. Если функция f(x) имеет в точке а производные
до порядка k, а ее k-я производная имеет в этой же точ-
точке производные до порядка пг, то функция f(x) при
х=а имеет производные до порядка k-\- m и
C)
Действительно, если пг=\, то сказанное есть просто
определение функции, дифференцируемой k -f-1 раз;
в общем случае сформулированный результат легко до-
доказывается по индукции.
Обращение полученного предложения очевидно: если
функция f(x) дифференцируема k + m раз при х=а, то
fW(x) дифференцируема m раз и также имеет место
формула C).
2.22-. Если X=RU то всякий линейный оператор
X —> Y отождествляется естественно с элементом про-
пространства У, так что мы имеем У = Y0=Yi = Y2==...
A.14в). Поэтому для функции f(x) вещественного пере-
переменного х со значениями в пространстве У все произ-
производные f'(x), f"(x) также принимают свои значения
в пространстве У. (Мы встречались уже с этим фактом
в 012.54.)
2.23. Рассмотрим случай X=Rn, Y=R\. Здесь
Yl=L(Rn, Я,)=Я„, Y2 = L(Rn, Rn) = Rn> и т.д. Опера-
Оператор f(x) может быть задан п составляющими:
2.24 § 2.2, ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 141
этот оператор действует на вектор смещения h=dx—
={dxu .... dxn} по формуле 1.22 E):
дх.
Существование f'(x) влечет существование указанных
производных (но не наоборот; см. задачу 3 к гл. 1).
Существование и непрерывность f'(x) равносильны
существованию и непрерывности указанных производ-
производных A.47 в).
Применяя те же соображения к производной f"(x),
получаем:
Существование f"(x) означает дифференцируемость
всех функций a , .... я и влечет, в частности,
наличие всех частных производных второго порядка
¦я ? (но не обратно!); существование и непрерыв-
непрерывность f"(x) в области G равносильны существованию и
непрерывности всех частных производных второго поряд-
порядка дхдх в °^Ласти G- Продолжая таким же образом,
мы видим, что существование оператора /<р>(х) означает
дифференцируемость всех частных производных порядка
р — \ у функции f(x), в частности, влечет существова-
существование всех частных производных порядка р (не обратно!),
а существование и непрерывность оператора fipi(x) в об-
области G равносильны существованию и непрерывности
всех частных производных порядка р от функции f(x)
в области G.
2.24. Полилинейные и степенные формы.
а. С помощью линейного оператора А\\ Х-> Y=Y0 и
вектора ht e X можно образовать вектор A\hx e Уо-
С помощью линейного оператора А<?. X-*Yi=L(X, Yo)
и вектора h2^X образуется оператор A2h2^ L(X, Yo),
и, далее, с помощью вектора hi e X можно образовать
выражение {A2h2)h\ e У. Это выражение есть У0-знач-
ная билинейная форма от векторов Aj и h2. Продол-
Продолжая аналогично, с помощью линейного операто-
оператора Ар: X-* Ур_1 = L(X, Ур_2) и векторов hu ..., hp
142 гл. г- высшие производные 2.24
пространства X можно образовать выражение
p-i ... А,тв{.• .{\AJtp)hp-x) ... ft,)e= Yo,
которое представляет собою У0-значную р-линейную
форму от векторов hu ..., h^.
б. Если Ар: Х-> Ур_1 —ограниченный линейный опе-
оператор, то, в соответствии с общим определением нормы
оператора @12.61 б), имеет место оценка
следовательно,
sop \ AJhp ...ht K|| Apt A)
l*il<" l*pl<»
С другой стороны, пусть В, 0 ¦< в < I,— фиксирован-
фиксированное число; если дан оператор Ар: X -* Yp-\, то суще-
существует вектор hp, \hp\ = l, для которого 1ИРАР[| ^
^ 6ЦЛр||; далее, имеется вектор Лр_ь lAp_ij = l, для ко-
которого [HpApAp-ifl % ©ЦЛрАр|| ^ ^iHpH; продолжая это
построение, мы придем к последовательности нормиро-
нормированных .векторов hp, ..., hu для которых выполняется
неравенство
Отсюда
sup \Aphp...ht\>Qf>[\APl
и так как 0g(O, 1) произвольно, то
sup ЫА---Л||>МД B)
1М<>
Сравнивая A) и B), получаем, что
ЦЛрИ= sup J ЛрАр ... ft, 1.
в. Если положить fei= ... —hp=h, то мы полу-
получим степенную форму
• • • ft.
Форма Aphp...hi называется симметричной р-фор-
мой, если ее значение не изменяется при любой переста-
перестановке векторов hi,..., hv.
2.24 § 2.2. ОБЩЕЕ .ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИЙ ПРОИЗВОДНЫХ 143
Значения полилинейной симметричной формы
Apkp. ..hi можно найти, зная значения соопветствую-
щей степенной формы Aph ... h. Вот простоя, хотя, быть
может, не самый экономный способ такого вычисления.
Имея векторы hlt ,.., hp, рассмотрим значения степен-
степенной формы Aph...h на векторе h—ht + ... + Лре Х$
где k\ -\-,., -f- kp=p, (k) означает комплекс из р чисел
ki > 0, .... /fep^O, а к>эффициенты с*(... »^ образо-
образовавшиеся после упорядочения аргументов (допустимого
вследствие предположенной симметрии формы) и при-
приведения подобных членов, — целые положительные чис-
числа. Заменим в форме (I) аргумент hi на 2Аг, тогда спра-
справа в каждом слагаемом формы (I) появится множитель
2*\ принимающий наибольшее значение 2? на члене
Aphi ... hf.
Эту форму обозначим через "(II). Разность (Ш) =
=2рA) — (II) уже не содержит члена, содержащего
р раз аргумент Ль остальные же члены по-прежнему
имеют целые положительные коэффициенты. Заменяя
в форме (Ш) снова ht на 2ku получаем форму (IV),
в коэффициентах которой во сравнению с {III) появ-
появляются множители — степени двойки, причем наиболъ*
ший из них есть 2*-1. Тогда разность (У)=2р-1(Ш) —
(IV) не содержит слагаемы?, содержащих р — 1 раз
аргумент ht. Продолжая так далее, после р — 1 анало-
аналогичных операций мы получим форму (VI), в которой
слагаемые, имея целые положительные коэффициенты,
содержат аргумент hx не более чем по одному разу. Да-
Далее таким же образом в форме (VI) можно освободить-
освободиться от слагаемых, содержащих более чем по одному разу
аргументы h2, .,., hp. В итоге получается форма (VII),
слагаемые которой, имея целые положительные коэффи-
коэффициенты, содержат аргументы hi, ..., hp не более чем по
одному разу. А это значит, что форма (VII) состоит
лишь нз одного слагаемого:
(VII)—СрЛрАр... А,,
144 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.24
где ср есть целое положительное число. Но по построе-
построению форма (VII) есть линейная комбинация значений
степенной формы Av№)... А(') при некоторых специаль-
специально выбранных векторах hM (именно Ш')=Н1 + ... + Ар,
Л<2)=2А, + ... + А„ АC>=22А, + ... + Ар и т. д.).
Этим и доказано утверждение.
г. Следствие. Для симметричной р-формы Aphp..«
... hi из условия Aph ... A = О (для всех A e X) выте-
вытекает, что Ар = 0.
Действительно, из Aph... А = 0 и в следует, что
Aphp.. ,h\ =6 для любых hu .... hp из X; а тогда по б
имеем ||ЛР|| = 0.
д. Следствие. Для каждого р существует такая
постоянная Ср > 0, что для любой р-формы
ЦЛР||= sup |ЛРАР... А, КСР sup |ЛА... А |.
IAI^I |Л|^1 |Л|<1
Действительно, согласно в любая р-форма Avhv... h\
представляется в виде вполне определенной линейной
комбинации степенных форм Avh№.. .W), причем век-
векторы АИ принадлежат фиксированному шару, откуда и
вытекает оценка
| ЛРАР ... Л, |<СР sup | ЛрА ... Л |.
Если внимательно проследить за доказательством в, то можно
оценить постоянную СР. Число слагаемых построенной линейной ком-
комбинации не превосходит рг, векторы /t(i) по норме не превосходят
2р-р, и коэффициенты не превосходят 2*\, отсюда
Cp<2ps-2p-p3.
е. Следствие г можно усилить следующим образом:
Пусть для симметричной р-формы Aphp.. .ht извест-
известно, что при А -> 0
Aph... h = o(\hf).
— иначе говоря, для любого в > 0 существует такое
6 > 0, что при | А | < б выполняется неравенство
|ЛРА... А|<е|АГ C)
Тогда Ар = 0.
Действительно, если Ар Ф 0, то по г имеется вектор
Ао е X, для которого Aph0,.. Ао = / Ф 0, Тогда на луче
2.25 § 2.2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 145
h ±= th0 (О < t < oo) имеем
..h = t"Aph0... ho = t4 = \h\pj~,
что противоречит C); поэтому в действительности
Л„ = 0.
2.25. Дифференциалы высших порядков.
а. Пусть функция у = f(x) (G с: X —> Y) р раз диф-
дифференцируема при х = а. С помощью оператора Г (о)?
X -> У и вектора /ге! можно образовать линейную
форму
Это — первый дифференциал функции f(x) при х = а,
отвечающий смещению h A.23). Далее, с помощью опе-
оператора f"{a): X-+ Yi и векторов h\ и h2 можно образо-
образовать билинейную форму f"(a)h2hi. Соответствующая ей
квадратичная форма
называется вторым дифференциалом функции f(x) при
х = а, отвечающим смещению h. Таким образом мы по-
построим все дифференциалы вплоть до дифференциала
р-го порядка
получающегося из р-линейной формы fW(a) hp ... hi при
hi = ... = hv = h.
б. Найдем выражения этих дифференциалов для
функции y = f(x): Rn-*Ri. В этом случае, полагая
A, =(dx[V dxW), мы имеем
Пусть теперь h2 = (dx[2) dx^>). Тогда
ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
что при hi = h2 = h = (rfje,, ..., <&с„| приводят к у
же выражению для второго дифференциала функции
f(x) в точке а:
которое было введено нами в 2.12. Аналогично, для
р-го дифференциала функции f{x) при х=а получаем
совпадение с ее р-м дифференциалом, определенным
в 2.12.
2.26. Частные производные высших во-
рядков н частные дифференциалы. Пусть
и$>остравст«© X представлено в виде прямой суммы q
замкнзгш* BO-AfipocTpaHCTB Xi + . -. + ^«- Соответствен-
Соответственно вектор х^Х представляется в виде x=xi ¦+... + хф
Х{ еХ,-, i = 1, ..., <7- Пусть функция f (x): G с X -> У
дифференцируема р раз в области G.
GsejaTOp f (а) действует, как мы знаем, аз щ»-
страаства X в пространство У; его сужение на поднро-
странство X,- совпадает с частной проиэво&ной (
axi
функции f(x) по подпространству Xt A.47 г). Этот опе-
оператор, по самому смыслу, применяется к векторам
hi e Xi. Функция ¦ ^ ¦ определена в области G н
вместе с функцией ? (х) допускает дальнейшее диффе-
дифференцирование; ее частная производная по подпростран-
подпространству Xt обозначается через ¦-. ^1 . Этот оператор,
OXI oxi
естественно, применяется к векторам А,- е Х{. Продол-
Продолжая далее, мы получаем возможность определить част-
частные производные вида -з -^К—. Для этих операто-
ров имеют смысл выражения -~z—-^-s— Л«, ... Ы ,
1 ОХ) »• • ОХ, I Р
'р 1
hit eXtt, ..., hi e^, которые называются частными
дифференциалами функции f(x) no подпространствам
Xit ... Xip, соответствующими смещениям й^, .*M Л»р.
§ 2.3. свойства высших производных М?
Для функции конечного числа веществениыж пере-
переменных (Ж = &п) эти определения обобщают определе-
определения высших частйых производных {2. it} и дифферен-
дифференциалов B.12).
§ 2.3. Свойства высших производных
2.31. а. Пусть линейный оператор А отрбражает про-
пространство X в пространство Fp_i B.24), так что можно
рассмотреть полилинейную форму
.. хи xlt ..., хр <= X, A)
и соответствующую степенную форму Ах... х, х^Х.
Теорема. Если форма A) симметрична, то функ-
функция f(x) = Ах... х бесконечно дифференцируема и
Р(х)=рАх ... х€= К,,
р— I раз
p—k раз
= 0
B)
Доказательство. По свойству полилинейности
формы j4xp ... Х[ имеем
... х + ^лЛ ... х + Ах ... хй + о (Л)
и в еилу симметрии формы Ахр ... хх
f(x + h)-f (x) = pAx^jch + о (А);
р—I раз
таким образом,
f (х) = рАх ... х.
р—J р«з
Далее можно действовать ио индукнда», преднолагая,
что для формы Ах ... х формулы B) справедливы, и
р—I раз
учитывая, что для р = \ результат был доказав еще
в tai а—б.
148 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Дальнейшие утверждения б, в и г для р = 1 были
доказаны соответственно в 1.32 а, б и в, и доказатель-
доказательства их для любого /7 = 1, 2, ... легко проводятся по
индукции.
б. Если функции f(x): V с X -> У и g(x): VczX-+Y
дифференцируемы р раз при x = oeV, то и s(х) =
= f (*)+ в(х) дифференцируема р раз при х — а и
иными словами, для любого /ге!
s<p>(а) й_.. ._h = f<р>(а)^^ + g(P)(а)Ь_^Ь-
р раз р раз р раз
в. Если функция у(х): V -> У дифференцируема р
раз при х = а^ V и А — линейный непрерывный опе-
оператор, действующий из пространства У в пространство Z,
то функция г{х)= Ау(х) также р раз дифференцируема
при х.== а и ?<р)(а) = Л</(р)(а), или, что то же, для лю-
любого хё!
2<р> (a)h ... h = AyiP) (a)h .. ._h.
p раз р раз
г. Пусть У ееть прямая сумма подпространств
Уць .... У(п>, таи что любая функция у(х): V ~* У обла-
обладает составляющими
V-+Yw, .... У(П)(х): V->Y(n).
Если при этом У — полное пространство, а подпро-
подпространства У(ц, ..., y(nJ замкнуты, то из р-кратной диф-
ференцируемости функции у (х) при х = а следует
р-кратная дифференцируемость при х — а и каждой со-
составляющей y(i) {x) (j = 1, ..., п); при этом
г<9е { } означают набор составляющих функции г/<р> (х):
V—*YP B.21 а) в естественном разложении простран-
пространства Yp в прямую сумму A.14 е)
Обратно, из р-кратной дифференцируемости при
= а всех составляющих уц)(х), ..., у&)(х) вытекает
2.32 § 2.3. СВОЙСТВА ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 149
р-кратная дифференцируемое™ при х = а и самой функ-
функции у(х).
2.32. Симметрия второй производной.
а. Пусть у = f (х) (G с X -> У)— дважды дифферен-
дифференцируемая функция. Составим билинейную форму f"(a)hk
от векторов h и k пространства X. Покажем, что эта би-
билинейная форма симметрична, т. е. для любых векторов
hub. имеет место равенство
f"(a)hk = f"{a)kh. A)
Для доказательства рассмотрим выражение
Его можно рассматривать как приращение функции
при изменении х от а до а -\- h. По теореме о среднем
1.42 е находим
< sup |Ф'(а + 6Л)-Ф'(а)||Л|. B)
o<e<i
Для заданного е > 0 найдем 6 > 0 такое, чтобы из не-
неравенства |Л|< 6 следовало
В дальнейших формулах будем брать |ft|^6/2, \k\^
^ 6/2 и через еь ег, ... обозначать величины (векторы,
операторы) с нормой меньшей е(|АЦ-|й|)
^ 6/2 и через еь ег, ... обознач
операторы) с нормой, меньшей е(|АЦ|й|).
Мы имеем Q>f(x) — f'(x + k) — f (x), так что
Ф'(а + Bh) = f'(a + k + 6h) -fr {a + Щ
= U' (а + k + б*) - Г (а)) - [f (a + 6ft) - V (а)) =
= If (a) (k + 6Л) + 8,1 - [Г (а) 6Л + е2] = f" (a) k + 2е3.
Аналогично
поэтому
ISO гш5 *. вшзшйЕ шюишэданш
и, такта образом,
sup | Ф'(а
т. е„ правая часть в B) является величиной более вы-
высокого порядка малости, чем (lft]+lfel'JB.
G другой стороны,
ф' (a) h = f" (а)М -f 64Л,
поэтому справедливо
Меняя местами Ник, иолучаем
Отсюда по 2.24е находим
f"(a)hk=f"(a)kh,
что и утверждалось.
б. Симметрия смешанных производиbixv
Для дважды дифференцируемой функции х/=/(ж)
(G czX-z-Y), заданной в области G прямой суммы
X = Xt + Х2 пространств Хх и Х& определены {2.26)
частные производные второго порядка
совпадающие с результатами соответствующих суже-
сужений оператора f (х) B.26).
Для этих операторов имеют смысл выражения
представляющие собою векторы иространства Y.
Поскольку в силу а имеем
для любых Л] и Л2 из X, то, в частности, получается
равенство
для рассматриваемых
§ 2-3- сюгааюв* высших: производных Ш
в. Для функция. f{xu x2): #г-*У ч#едошшх перемен*
ных хк п х2 (Z, = Z2 = ^,) операторы -gig- и -g|g.
принимают в каждой -сочке х = {х& xj значения в том» же
пространстве F» а равенство {3} показывает, что эти
значения совпадают:
Равенство D) имеет место во всяком случае, если суще-
существует f"(x), т. е. B.23) если функции Ц&-, 4^
являются дифференцируемыми. Это условие включает
в себя, в частности, существование производных —~^-
d2f (x)
и —^V^-» поэтому потучеввая здесь теорема имеет
иной характер, чем теорема 2.11 аг где равенство D)
устанавливалось при условиях, которые использовали
только свойства дх g и д^ д^ • без привлечения дру-
других вторых производных. (Зато там требовалась суще-
существование этих производных в окрестности точки -а и не-
непрерывность в самой точке а; такого рода предположе-
предположений в общей теореме а мы не делаем.)
г. Симметриявысшвхпроизводных. Пусть
функция y = f{x) (GcX-*Y) является р-дифферен-
даруемой (р ^ 2) пр=и х = а; покажем, что форма
симметринпа. Предположим, что аналогичное утвержде-
утверждение справедливо для всякой (р — I)-дифференцируемой
функции. Тогда мы можем написать
/W {а) hp ... Л =± g<"-D (a) V» •••*!. E)
где g(x) = f(x)kp есть (р — I) -дифференцируемая
функция при х = а. Поэтому в вьграженитт E), согласно
предположению индукции, можно переставдать аргу-
аргументы /гр_1, ... „ h\. Но можно написать и так:
где w(x) = fip-l)(x)hp,..h2 есть 1-дифференцируемая
1S2 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.33
функция при х = а; здесь можно переставлять любые
аргументы hv ... h2. Так как р > 2, то в итоге допустима
любая перестановка векторов hu ..., hv, что и требуется.
2.33. Высшие производные от обобщен-
обобщенного произведения. Пусть, как в 1.34 б, в обла-
области G пространства Т заданы дифференцируемые функ-
функции x(t): G-*X' и y(t): G-*Y и их обобщенное
произведение t,(t) = {x(t),y{t)): G-+Z. Теперь мы пред-
предположим, что эти функции р раз дифференцируемы, и
докажем, что функция ?(/) также р раз дифферен-
дифференцируема.
Для первой производной произведения {x(t), y(t))
мы получили в 1.34 б формулу
причем операторы в правой части имеют указанный там
смысл:
?' (*) dt = <*' (t) dt, у (*)> + (Ж @, у' (t) dt).
Тем самым эти операторы являются снова обобщенными
произведениями и в случае р ^ 2, по доказанному,
снова дифференцируемы по t. Используя формально ме-
метод записи 1.34 б, находим, что
?-40 = <*"(/). */(*)> + <*'@, */'(<)>.+
+ (x'(t),y'(t)J + {x{t), у" (t)). A)
Индексы 1 и 2 у средних слагаемых поставлены потому,
что эти слагаемые имеют различный смысл, в чем не-
нетрудно убедиться, используя запись в дифференциалах:
tr (t) h2ht = (х" (О Mi. у (<)> + <*' @ К у' @ л,> +
+ <*' @ ft., у' @ Ы+ <* @, у" @ Mi>. B)
Все четыре слагаемых в правой части A) снова яв-
являются обобщенными произведениями, что позволяет
при р > 2 продолжать дифференцирование. После р
шагов мы получим формулу
, у (t)) + <*<»-') {t), у'@>, + • • •
-»> @, у' @>„ + (^(р-2) @. у" @>i + • • •
@. у" @>р(р-1) + ... + <х @, у{р) @>- C)
§ 2.3. свойства высших производных 153
Здесь одинаково записанные слагаемые с различными
индексами имеют различный смысл, выявляющийся при
записи в дифференциалах:
... А„
-2> (О Ар ... Аз, У" (О Mi> + • • •
р_2 ... А„ y"(t)hphp-i) + ¦¦•
... А,>. D)
Если же образовать соответствующую степенную
форму, положив Aj = ... = hp = А, то, используя сим-
симметрию смешанных производных, мы получим более
простую формулу:
... А =
Р раз
р—1 раз
+ р{рх~2Х) (хС-2>(ОЛ^^А, у'(ОАА) + ...
х2 ^
р—2 раз
... +<*(/), y^^hj^Ji), E)
Р раз
или, в символической записи,
?<Р> (/) = <*<Р) (Q, у (ф + р (Jp-l)(t), у' Щ) +
+ Р(Р72Х)<*<р-8)о.f/"@> + .• • + <*(о,^<р)ю> F)
(формула Лейбница); следует, однако, иметь в виду, что
смысл эта формула имеет только в реализациях D) и
E).
2.34. Высшие производные сложной функ-
функции.
Теорема. Пусть у = у(х) (G а X-> Y)—функ-
Y)—функция, р раз дифференцируемая при х = а, и z = z(y)
(Wcz<Y-*Z) —функция, р раз дифференцируемая при
y = b = f(a)eW; тогда сложная функция z[y(x)] —
г= ?(дс) (U с: X —> Z) р раз дифференцируема при х = а.
164 гж я. высшие преизводашв 9.35
Доказательство. Пусть q^p; предполагая
теорему справедливой доя номера q— \, докажем ее
для номера q. При q = 1 теорема была доказана в 1.3Э:
Первая производная функции |(ж), согласно 1.33, имеет
вид
Первый множитель есть композиция р раз дифферен-
дифференцируемой функции yi(x) и q—1 раз дифференцируемой
функции г'(у); согласно шредполоокеяню индукции этот
множитель есть q — 1 раз дифференцируемая функция
от х. Второй множитель, очевидно, есть р — 1 раз диф-
дифференцируемая функция от х. В силу 233 все произве-
произведение есть q — 1 раз дифференцируемая функция от х.
Отсюда Цх^ есть q раз дифференцируемая функция от
х, что и требовалось.
2.35. Высшиепроизводныеобратногоопе-
р а т о р а. Пусть, как в 1.35 б, лг е L(E/, V)— обратимый
линейный оператор,- действующий из пространства И
в пространство V, а х~1: V—* U—обратный к х опера-
оператор. Покажем, что функция х~1 имеет производные по х
любого порядка р.
Для р = 1 это было доказано в t.35 в, причем была
получена формула
d (*-•)= -x-lhx-K A)
Саму производную (лг1)' можно записать в виде обоб-
обобщенного произведения
которое понимать следует, конечно, в смысле (I). Если
предположить, что функция JT1 дифференцируема р раз,
то, согласно 2.32, и функция (х~1)' будет дифференци-
дифференцируема р раз, т. е. лг1 дифференцируема р -J- 1 раз. Так
как для р = 1 утверждение справедливо, то приведен-
приведенное рассуждение показывает, что оно справедливо для
любого р = 1,2,..., что и требовалось.
2.3&. Высшие производные неявной функ->
ции.
а. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы
о неявной фушщш IS&: задана функция г= Ф(х, у)
(У {Ж У |t. \y-b\<p}-»Z),
gg7 § 2-3. CSOBCTBft ВЫСШИХ ЙРОИЭВОДНЫХ 155
причем Ф{а, &) = © « оператор —^ ' у непрерывен по
х и у и обратим при х = а, у = А. Тогда, если функция
Ф(х>у) Р Раз дифференцируема в окрестности V, то и
неявная функция у(х), являющаяся решением уравне-
уравнения Ф(х, у(х)) = Ъ, у{а)===Ъ, и существующая в силу
теоремы 1.53, также р раз дифференцируема.
Доказательство. Пусть q ^ р; предполагая
теорему справедливой для номера q— 1, докажем ее для
номера д. При q = 1 теорема была доказана в 1.54,
причем была получена формула
у w—I ay J ах •
Первый множитель есть композиция q — 1 раз диф-
дифференцируемой (по предположению индукции и по 2.31 б)
функции х—*{х,у{х)}, р — 1 раз дифференцируемой
функции—**' и бесконечно дифференцируемой функ-
функции взятия обратного оператора B.55); второй множи-
множитель есть композиция той же функция х-*{х, у{х)} и
р — 1 раз дифференцируемой функции —^' . По 2.34
оба множителя q — I раз дифференцируемы, во 2.33
q — 1 раз дифференцируемо и их произведение.
Отсюда у (х) является q—1 раз дифференцируемой,
а У(х) — Q Раз дифференцируемой функцией, что и тре-
требовалось доказать.
б. В частности, обратная функция y = f{x), опреде-
определяемая из уравнения х = q(y), а = <${Ь) с обратимым
оператором q>'(b) A.56$, р раз дифференцируема, если
р раз дифференцируема функция tp{y).
2.37. а. В 1.64 мы свели теорему о дифференцируе-
мости по параметру Я, неподвижной точки сжимающего
отображения А (и, Я) (t/ X Л -> V) к теореме 1.55 о диф-
ференцнруемости неявной функции. Используя вместо
теоремы 1.55 теорему 2.36 а, получаем следующее уси-
усиление теоремы 1.64 на случай высших производных:
Теорема. Пусть А (и, Я)—сжимающее отображе-
отображение замкнутой области UczX в себя, представляющее
собою р раз дифференцируемую функцию от %; тогда
неподвижная точка а = y(h) отображения А представ'
ляет собою р раз дифференцируемую фдшцаю от к.
156 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
б. Этот факт, в свою очередь, позволяет соответ-
соответственно обобщить теорему 1.65, а именно: если правая
часть дифференциального уравнения
и начальное условие
!/Ро.Ч*ф(Ч B)
являются р-дифференцируемыми функциями параметра
Я, то и решение y = y(t, Я) уравнения A) с условием
B) является р-дифференцируемой функцией от Я.
в. Аналогичными свойствами дифференцируемое™ по
Я обладают и производные от решения y(t, Я). Так, если
функция O(t, у, Я) является в рассматриваемой обла-
области р раз дифференцируемой функцией от аргумента
(у, Я), то (по бив силу самого уравнения A)) функция
является р раз дифференцируемой по Я. То же
относится к дальнейшим производным от решения
УA> Ц, уравнения для которых получаются дифферен-
дифференцированием по t уравнения A) в предположении соот-
соответствующей гладкости функции Ф (t, у, Я).
§ 2.4. Теорема Тейлора и ее обращение
2.41. а. Теорема Тейлора. Пусть y = f(x)
(VaX-+Y)—функция, определенная в шаре V —
= {х: \х — а| < г} пространства X, со значениями
в пространстве Y, имеющая производные до порядка р.
Тогда для \ h \ < г имеет место формула Тейлора
р раз
где
И f(P) M -
Доказательство. При фиксированном h, |h\<rt
рассмотрим функцию вещественного переменного t
2.41 § 2.4, ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ 157
По теореме о производной сложной функции 2.34 функ-
функция <p(f) имеет вместе с функцией f(x) производные до
порядка р; при этом
Ф" (t) = f" {a + th) hh, Ф" @) = f" (a) hh,
ф(Р)(t) = f(p)(a + th)h ... h, ф<">@) = f<")(a)h... h.
p раз р раз
Для функции ф (t) справедлива формула Тейлора 012.54 в
ФA) = ф @) + Ф'@) + y«P"@) + • • •
^ C)
где Qp — остаточный член, который можно записать
в интегральной форме
1
о
или, после выделения под интегралом слагаемого ф(р> @),
1
J AG-i)T ^(р)«)-ч>(р)@)]rfl+
о
1
= I (' ® [ф<р> (|) — ф<р) @)] d% + -7 ф(р) @)-
о
В свою очередь, для величины
Rp=-\ A(P-i)i' [ф(р)A)-'
ISS гл. s. высшие производные
справедлива оценка
Поскольку <jpW@) = f(P>(a)ft ... А, равенство A) дока-
заве.
6. Следствие. Если функция /<Р)(Л:) непрерывна
при х = а, то для любого е > 0 найдется такое б > О,
что при всех Ael, |/z[.<;&, будет выполняться нера-
неравенство
т. е. величина \RP\ имеет более высокий порядок мало-
малости по сравнению с ]h\тр.
Для доказательства, пользуясь непрерывностью
/<р)(лг) в точке х = а, при заданном е > 0 достаточно
определить 6 > 0 так, чтобы из | h | < б следовало
|| f<p)(x)-f<p>(a)||<:ep!.
2.42. Обращениетеоремы Тейлор а. Формула
Тейлора показывает, что приращение функции f(x), p
раз дифференцируемой в области V, может быть ло-
локально аппроксимировано степенной формой от вектора
смещения h (степени р). Справедливо ли обратное; если
дана функция f(x): V—*Y, приращение которой
f(x + h) — f(x) локально аппроксимируемо степенной
формой от вектора смещения k в том смысле, что имеет
место представление
р раз
где
Rp = o{\hf),
то можно ли утверждать, что эта функция (хотя
бы) р раз дифференцируема? (Естественно, что
2,43 § 2.4. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ Щ)
здесь Oi{x), ..., ар{х) являются линейными операто-
операторами; ai(x): V-*Yu ..., ар(х): V-*YP, как в 2J24.)
Вообще говоря, это неверно {задача 6). Но если
предположить, что функции ai(x), ,.., ар(х) непре-
непрерывны, а отношение Rvj\h\v стремится к 0 равномерна
по х, то высказанное утверждение оказывается справед-
справедливым. Доказательство мы дадим ниже, в 2.44.
2.43. Разностные схемы.
а. Пусть дана последовательность из р (^2) эле-
элементов йь ..., ар,— чисел или векторов какого-нибудь
линейного пространства. Из этой последовательности
образуем «разностную схему порядка р» — треугольную
таблицу
вп о,2 ... aUp-i
ар-У, I °p-
apl
по следующему правилу!
a\2 =a21 — Щ\> а22 = йЯ —
т. е. в лервом столбце таблицы вьгаисываются сами эле-
элементы п\, ..., йр, а начиная со второго столбца, каждый
элемент таблицы есть разность двух элементов преды-
предыдущего столбца (из последующей строки и из данной).
Элемент alv называется результатом разностной схемы.
Мы обозначим его через Z = Z(a{ ар). Далее мы
выясним некоторые свойства функции Z(fli, ..., ар).
б. Функция Z{au ..., Op) линейно зависит от после*
довотельности аи ..., а,; иначе говоря, для любы*
«1. • •., ар, bi, .,., bp и чисел аир имеем
Z (аа, + Р*>„ .... aap+№p)=aZ (а„ ..., flp)+pZ F„ .... Ьр).
Действительно, каждая операция взятия разности
удовлетворяет аналогичному условию, следовательно, и
результат удовлетворяет ему.
160 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.43
в. Пусть k есть О или натуральное число; тогда при
k<p — l
Z(l\ 2k, ..., pfe) = 0.
Доказательство проведем индукцией по р. Для р = 2
единственным значением k является 0 и непосредствен-
непосредственный подсчет показывает, что
Z(l°, 2°) = 1-1=0.
Допустим, что утверждение справедливо для значе-
значений р = 2, 3, ..., q — 1; покажем, что оно справедливо
также и для р = q. Нас интересует величина Z(\h, 2h, ...
..., qh), k <C q — 1. В соответствующей разностной
схеме отсечем левый столбец; мы получим, очевидно, но-
новую разностную схему порядка q—1, определяемую
q — 1 элементами 2й —-1*, ..., qh —(q — l)ft и имеющую
тот же результат. Заметим теперь, что для любого m =
= 1 q-l
(m + l)ft - tnk =
Все показатели В правой части строго меньше, чем
q — 2 = (q—1)—1, так как k<q — \. Отсюда сле-
следует в силу б и предположения индукции, что
Z{\k, 2",..., qk) = ZBk-lk, .... qk-(q-l)k) =
утверждение доказано.
г, Имеет место равенство
Z{\p~\ 2Р'\ .... рр-1) = (р-1)\.
Действительно, образуем первые разности и восполь-
воспользуемся, как и выше, равенством
(т + 1)р~' - тР{1^2)
Tit —= 1 j • • • ) р "**"" I•
Результат разностной схемы порядка р—1, образован-
образованной слагаемыми в правой части, начиная со второго, ра-
2.44 § 2.4, ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ 161
вен нулю в силу в. Поэтому второй столбец исходной
схемы без изменения результата можно заменить чле-
членами (р — 1) т.р~2. Таким же образом в третьем столбце
можно ограничиться членами (р—I) (р — 2)тР~3;
дойдя.до /?-го столбца, мы получаем (р— 1)!, что и тре-
требовалось.
2.44. Переходим к обращению теоремы Тейлора.
Теорема. Допустим, что при всех xgV и всех до-
допустимых h выполняется соотношение
... +ap(x)hJ^Lh + Rp(x,h), A)
р раз
где функции а^х), ..., Ор (х) ограничены и непрерывны
в V, а остаточный член Rp(x, h) обладает следующим
свойством: для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что
при любом х е V и | h | < 6
\Rp(x,h)\<t\hf. B)
Тогда функция f(x) в области V дифференцируема
р раз и ак(х) = -^-!^(х) (А: = 1 р).
Доказательство. Так как выражение A) допу-
допускает выделение главной линейной части, именно a\(x)h,
то функция f(x), во всяком случае, один раз дифферен-
дифференцируема и f'(x)= a{(x). Предположим, что она диффе-
дифференцируема m раз (пг < р) и выполнены равенства
°i U) — f (х)' • • • • аш (х) = -^ f(m) (x); покажем, что она
дифференцируема и т + 1 раз и ат+х =
венство A) мы можем написать в форме
т раз №+1 раз
162 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.44
причем для любого « > 0 существует такое б >¦ О, что
лри х^Цн \h\<$
\Rm+l{x,h)\<*\hr+i D)
в силу iB) и предположенной ограниченности функций
ат+2{х), ..., ар(х). Наряду с соотношением ^3) спра-
справедливы также соотношения:
m раз га+1 раз
+ /?т+1(>: + Л, ft), E)
в котором прн | & |< б
*««*,!;*.+ *, ft)i<ei*r*. F)
и
/' (х) (Л + ft) +-I
. G)
;
ra+d а»аз
в котором при |ft + fe|<6
;. Л + k)|< e1 ft + ft ГЛ (8)
Прибавляя к равенству C) равенство E) и вычитая
|*авенс1во G), находим, что
in раз
§ 2*> ТЕОРЕМА ТЕИ'ЛОРЙ W ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ
я» ваз и» раз
+ аи+, (* + h) k^k - [am+l (x) (h +k) ... jh +k)-
m+l раз m+r Раз
- am+i (x) h^Jif + R'm+i (x, hr к), (9)
m+l раз
где пр» | h |< 6, | k | < 6, 1 h + k |< б
. Л, А)|<еО АГ^Ч^Г'Ч! А+АРИ'1>. A0)
Так как функция ат+1(х) по условию непрерывна,
можно выбрать число 6)^6 такое, что при } А | ^^ бд
I am+i (x + h) — am+l (x) \ <e;
поэтому вместо (9) можно написать также
0 = П* + Л) А - f'{X)k+±f"(x + h)kk-
т раз
1
m! _____
m P?3 m раз
am+i(x)k ... k — am+,(*)(h + k) ...(h + k)
раз
+ am+1 (x) ^Ji + R"(x, h, k), A1)
m+l раз
где Щ№ тех же ограничениях на х, h, k
I R" {х, К k) Kl jRUi (*. А, А> | + • I A |m+1. |Ь2)
Заменяя здесь к на 2fe, 3&,.»..,, (/&+ 1)А, получаем
164 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.44
вместе с A1) систему m + 1 соотношений
m!
1
m!
¦¦±rUlm4x)(h + 2k) ... (h + 2k)-f™(x)h...
m раз
+ am+l (xJk ...2k- am+l(x)(h + 2k) ... (Л + 2k) +
) h^Ji + R" {x, h, 2k) = 0,
m+l раз /
m раз
ш Раз m раз
m+l раз
m+l раз
+ am+1 (x) h^Ji + R" (x, h, (m +l)k) = 0.
m+l раз
Будем преобразовывать эту систему равенств следую-
следующим образом. Вычтем из каждого последующего равен-
равенства предыдущее; мы получим вторую систему, состоя-
состоящую уже из т равенств. Третья система, построенная
аналогично, будет состоять из m — 1 равенств; наконец,
последняя, (m + l)-я система будет состоять лишь из
одного равенства, которое мы и хотим явно выписать.
2,44 § 2.4. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ 165
Очевидно, что для каждого слагаемого в равенствах
можно построить результат независимо как результат
соответствующей разностной схемы (т -\- 1)-го порядка.
Первые слагаемые образуют столбец (записанный как
строка)
, 2f'(x
и соответствующий результат разностной схемы, по
2.43 бив, равен 0.
Аналогично будет обстоять дело с дальнейшими сла-
слагаемыми, кроме последних. Именно, нам следует рас-
рассмотреть столбцы (выписываемые здесь как строки)
m раз m раз
A4)
m раз
(X) {k^k
m+1 раз m+' Раз
2mk ... k - (ft + Щ ... {ft + 2k), ..., (m+\)mk ...k-
m+\ раз m+l Раз m+1 раз
-(h + (m+l)k)...(h + (m+l)k)}. A5)
m+1 раз
В силу 2.43 г, где положено р — т -\- 1, результат
разностной схемы для столбца A3) равен
+ h)k ... k.
т раз
В столбце A4), раскрывая скобки и пользуясь по-
полилинейным свойством формы f(m)(x)h... ft, мы можем
оставить лишь члены —f<m^(x)k ... k{\m, 2m,...
..., (т-\-1)т] (остальные, в силу 2.43 в, в результате
дадут нуль); согласно 2.43 г мы получим в результате
k ... k.
т раз
166 гл. 5, высшие производные
В разностях, образующих столбец A5), сокращаются
старшие, (т -|- 1)-е степени k. Члены степени ^ т — I
можно не учнтьшатв, как и в столбце A4). Таким обра-
образом, не изменяя результата соответствующей разностной
схемы, столбец A5) можно заменить столбцом
{№ЦНкк
т раз
2m(m+l)hk ...k (m+l)Cm4- \)mhk...k),
m раз m раз
у которого результат равен
— ат+1 (хЦт-f I)!hk ... k.
т раз
В итоге мы приходим к соотношению
[р>(* +Л)-/<т>(*)]?... k =
т раз
= (т + 1)! ат+1 (х) ftk^J + R, A6)
т раз
в котором
Ст • 2е(| k |m+l +1hfm+l +1k + h |m+1)
при I2(m+I) 2^|Ту
Тогда для всех k, имеющих норму, равную норме h,
а это означает, что m-форма от k
{[/С"> (х + h)- /w (ж)] - (ю + 1I ат+1 (х) Щ k^_k
щ. раз.
на сфере радиуса \Н\ н« превосходит по норме
С'тВ\fe|m+1. Но тогда на сфзере радиуса 1 эта же форма
не превосходит величины С^е| h |, В; сияу 2.24 д для
соответствующего оператора получаем неравенство
2.61 § 2.S. ТЕОРЕМА ФРОВЕНИУСА If7
Так как постоянная Ст не зависит от к, отсюда следует
дифференцируемость функции ртЦх) и соотношение
что нам и требуется. Полагая m = 1, ..,, р—1, при-
приходим к справедливости утверждения теоремы.
§ 2.5. Теорема Фробениуса
2.51. Постановка задачи. Мы будем рассма-
рассматривать дифференциальное уравнение вида
у'(х) = Ф(х,у(х)). A)
Неизвестная функция у(х) должна быть определена
хотя бы в некоторой окрестности заданной точки а нор-
нормированного пространства X и принимать значения
в нормированном пространстве У. Чтобы эта задача
имела смысл, необходимо предположить, что функция
Ф(х, у) определена в произведении каких-либо областей
U э а пространства X и V пространства У и принимает
свои значения в том же пространстве, в котором должна
принимать значения у'(х), т. е. в пространстве L(X, У).
К уравнению A) присоединяется начальное условие
y(a)?=be=V. B)
Если X = Ru то A) представляет собой обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение. В этом случае, как
мы знаем из 1.61—1.62, существует, окрестность точкн а,
в которой искомое решение у{х) существует и един-
ственно при определенных ограничениях на гладкость
функции Ф(х, у) {непрерывность, условие Липшица по
у, дифференцируемость). В общем случае, когда X Ф Яи
одни только условия гладкости на функцию Ф(х, у),
даже сколь угодно жесткие, не являются достаточными
для разрешимости уравнения A): функция Ф(#, у)
должна удовлетворять некоторым специальным уравне-
уравнениям.
Разберем частный случай, когда X = R2, У = Ru
При этом уравнение A) эквивалентно системе двух
168 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.51
уравнений с частными производными
¦**^ = Ф,(*,.*.*).
ду (xi, х2) .*. , ,
^Г «±Ы*1> Х2, у).
Предположим, что функции Ф] и Ф2 дифференци-
дифференцируемы в рассматриваемой области U X V; тогда реше-
решение у(хи х2), если оно имеется, является уже дважды
дифференцируемой функцией и потому удовлетворяет
условию симметрии второй производной B.32 в):
д*у _ д*у
дхх дх2 дхг дхг *
Используя уравнения C), мы получаем
д д
в Т| / Л* ЛМ ft й Л* ЛМ \\ | , Л Т| / *^ Л0 ff Ж V Л0 ||
= ***! V-*li -*2, у \л\, л2))— з ^2\-*1> -*2> г/\*1' •*2/^1
что вместе с C) приводит к соотношению
и х2, у),
которое, таким образом, необходимо выполняется, если
решение системы C) существует. Для данного решения
У(х\, х2) оно выполняется тождественно по всем значе-
значениям Х\ и х2 и у(х\, х2), а если для любой тройки п\, а2,
Ь, где {аЛ, а2} е?/, Ь е V, существует решение, удовле-
удовлетворяющее условиям у(ах, а2)=Ь, то соотношения C)
выполняются тождественно по всем значениям Х\ = аь
х2 = а2, у = Ъ.
Этот пример приводит нас к формулировке необхо-
необходимых условий разрешимости уравнения A) и в общем
случае. Если существует решение у{х) уравнения A),
а функция Ф(х, у) дифференцируема в области U X V,
то функция у(х) на самом деле дважды дифференци-
дифференцируема, и, следовательно, выполняется условие симметрии
второй производной 2.32 а: для любых h и k из X
y"(x)hk = y"{x)kh.
2.52 § 2.5. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 169
Используя уравнение A), раскрывая полную производ-
производную и снова используя A), получаем соотношение
(?+¦?•)**-(?+$•)**¦ <4>
которое необходимо должно выполняться при любых h
и k, если имеется какое-то решение уравнения A); бо-
более того, соотношение D) должно выполняться при лю-
любых х = а, у = Ь, если уравнение A) имеет решение
у(х), удовлетворяющее любым заданным условиям
У(х) = Ь.
2.52. Предположим сначала, что решение уравнения
A) с условием B) существует в некоторой окрестности
W = {х: \х — а\<.г) точки а, и установим некоторые
его свойства.
Пусть пеХ — произвольный вектор, |Л|<г; рас-
рассмотрим решение у (х) на луче x(t) = а + tn, 0 ^ t ^ 1.
На этом луче у(х) представляет собой функцию число-
числового параметра t е[0, 1]. Обозначим <p(t)= y[x(t)].
Тогда <p'(t) = y'[x(t)]x'(t) = y'[x(t)]h и уравнение A)
принимает вид
q>'(*) = <D(a + tt, Ф@)Л. E)
Это — обыкновенное дифференциальное уравнение
для функции (p(t), зависящей от аргумента /е[0, 1].
При / = 0 имеем <р@) = у (а) = Ь, так что к уравнению
E) присоединяется начальное условие
*. F)
Если функция Ф(х, у) дифференцируема в области
UXV, то и функция Ф(а + th, q>(t))h, фигурирующая
в уравнении E), дифференцируема (по t), так что урав-
уравнение E) удовлетворяет обычным условиям существова-
существования и единственности решения дифференциального урав-
уравнения с данным начальным условием. Отсюда мы де-
делаем вывод, что решение уравнения E) с условием F)
может быть лишь единственным. Следовательно, и зна-
значения решения уравнения A), с условием B), опреде-
определяются единственным образом на каждом луче х =
= а + th, следовательно, единственным образом в ок-
окрестности точки а. Более того, наш результат дает воз-
возможность восстановить это решение, если известно, что
170 гл. 2. высшие производные 2.83
оно существует: нужно лишь на каждом луче х=а + th
проинтегрировать уравнение E) при условии F) и по-
положить у [x(t)] = <p(tf).
2.53. Предположим теперь, что о разрешимости урав-
уравнения A) ничего не известно, и будем строить его реше-
решение. Как это делать, нам известно: следует на каждом
луче х = a-\-th, O^f^L, интегрировать уравнение
E) с условием F). В это уравнение входит параметр h.
Теорема о решении обыкновенного уравнения с пара-
параметром (t-61) дает нам возможность утверждать, что
существуют числа 6>0 и р>0 и дифференцируемая
по t функция <р(?; А), которая при всех t, h, 0 ^ t ^ 6,
1^1 ^ р, является решением задачи E) — F).
Ограничиваясь пока одним лучом х = а + th, при
заданном ^о мы положим Хо = а -}- toh и. определим ве-
величину -у(хо)= <р(*о, h). Следует показать, что 'значение
у(х0) зависит только от самого х0, а не от t0 и h в от-
отдельности. Пусть k — вектор, коллинеарный с ft, и trfi =
= tok. Функции <p(f, h) и ф(т, k) являются соответ-
соответственно решениями уравнений E) и
Ф'(т, k) = Ф (a -f xk, Ф (т, k)) k G)
при одном и том же начальном условии F). Сделаем
в {7) замену независимого переменного x = t-~ и обо-
*0
значим Ф(^, k) = $(t). Тогда ф'@ =
так что функция ф(/) удовлетворяет уравнению
которое совпадает с уравнением E). В силу теоремы
единственности ф@= ф(*> Щ, откуда ф(то, k)= ty.(t0) —
= $(to, h) = y(x0), что нам и требуется.
Итак, функция у(х) определена однозначно на
каждом луче х = а + th при 0</^6 и |ft|<;p. Тем
самым она определена однозначно в целой окрестности
точки а (именно в шаре \х — а|<1 бр). По доказанному,
в самой точке а функция у(х) имеет производную по
каждому лучу, исходящему из точки а, и значение этой
производной на любом векторе АеХ совпадает
с Ф(а, b)h.
2.54 * «Л ТЕОРШИА ФРОБЕНИУСД 171
2.54. Покажем теперь, что если Ф(х, у) удовлетво-
удовлетворяет условию D) и имеет производные второго порядка,
то функция у(х) в некоторой окрестности точки а диф-
дифференцируема и по направлениям, отличным от направ-
направления луча, идущего из точки а в точку х.
Пусть у — {х&Х: х = а + th + sk} — двумерная
плоскость, образованная неколлинеарными векторами h
и k. На этой плоскости мы построим сначала функцию
ф(/, s), удовлетворяющую уравнению A) и начальному,
условию B), а затем убедимся, что она совпадает (на-у),
с функцией у(х), определенной в предыдущем пункте.
С этой целью заметим, что если искомое решение
у(х) уравнения A) с условием B) существует, то функ-
функция <р(/, s) = у (а + th + sk) удовлетворяет системе двух
уравнений с частными производными
-J- = У'(х)х'Щ -Ф(*, у) h=Ф(а + th + sk, Ф)h,
с начальным условием
Ф@, О) = у{а) = Ь,
или, короче,
-^-=Ф1(/, s, ф), <Ъ*-Ф(
(8)
(Векторы h и k входят в систему (8) как параметры.)
Теперь отбросим предположение о существовании ре-
решения у{х) и будем сразу рассматривать систему (8)
с условием
<р<о, о)=г>. (9)
Легко проверить, что функции Oi(t,s,q>) и Фг(*,s,ф)
удовлетворяют некоторому соотношению, вытекающему
из условия симметрии D), В самом деле, очевидно, что
дФг дФ ,. дФг дФ ,.
172 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.54
Далее, вычислим -д-^-Ф2. Это есть главная линейная
0ф
часть приращения функции <I>i(tf, s, q>), когда ф получает
приращение Фг, т. е. главная линейная (относительно
Фг) часть разности
Ф, (t, s, ф + Ф2) — Ф, (t, s, ф) =
= [Ф(а + th -f sk, ф + Ф2) — Ф(а + tt + sk, ф)] Л.
Так как функция Ф{х, у) дифференцируема, эта глав-
главная линейная часть совпадает с -gr^h, а значит, и
с ^-®kh. Аналогично -^-Ф1=—ФМ.
Таким образом, равенство D) можно переписать
в форме
разумеется, этого следовало н ожидать, если вспомнить
пример из 2.51.
Переходим к решению системы (8). В силу второго
из уравнений (8) функция $(s)= ф@, s) удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению
Ц*, ф) A1)
и начальному условию ф@) = ф@, 0) = Ь. (Это — то са-
самое уравнение, которое рассматривалось в 2.52, хотя
это нам сейчас и не важно.) В силу теоремы 1.61 суще-
существуют такие 6i > 0, 6i ^ 6 и pi > 0, pi s$ p, что для
всех значений |Л|<рь |&|<pi на отрезке 0^s^6i
решение i|> (s) имеется. Далее, на прямой s = s0^ [0, 6i]
в плоскости {t, s) рассмотрим обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение
U , s0)) A2)
с начальным условием
Ф@, so) = *(*»). A3)
Снова в силу теоремы 1.61 найдутся такие рг > 0,
р2 < pj и б2 > 0, 62 < бь что при всех \h\ < р2, \k\ < р2,
J.54 § 2.5. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 173
s0 e [0, бг] задача A2) — A3) будет разрешима на от-
отрезке <е[0, 6J. В силу 2.37 б решение <р(?, s) дважды
дифференцируемо по параметру s, а в силу 2.37 в и
da>(t,s) .. da>(t,s)
~gl— дифференцируема по s; в свою очередь —-^—-
дифференцируема по t A.66) и все указанные производ-
производные непрерывны. Покажем, что <p(f, s) удовлетворяет
уравнению
Для доказательства образуем функцию
yp(t, 8)=*>?А.-Ф2Ц, s, Ф(/, s)).
По построению
s, ф@,5)) =
= -^-Ф2@, s, ф) = 0. A5)
Далее,
Используя симметрию смешанной производной B.32 в)
и раскрывая во втором члене полную производную,
получаем
t s) дФг дФг dtp
_
dt ~~ dsdt dt д<р dt
Отсюда с помощью A0) следует, что
ay aot . дФ1 дц> дФ2 дФ2
dt ~ us ~*~ ~д^~ ds dt дф ф'
дФ1
дф дФх дФх ф
ds ds дф 2
dq> ds ds дф
s г/ дф v '
Как видим, функция Чг(/, s) удовлетворяет обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению A6) с начальным
дф \
174 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.83
условием A5); отсюда, по теореме единственности, сле-
следует, что W(t, s)s==0, и равенство A4) доказано.
Таким образом, функция <p(f, s) удовлетворяет
в квадрате t е [0, бг], s e [0, бг] обоим уравнениям си-
системы (8). Поэтому функция z(x)= y(t, s) (x — a-\-
-{- th -f- sk) в плоскости у является решением уравне-
уравнения A) с условием B), а значит, совпадает там с по*
строенной в 2.53 функцией у(х). Следовательно, функ-
функция у(х), как и z(x), дифференцируема при х = a-\~th
по направлению вектора k и
У'(х)к = ^§^- = Ф2Ц, 0, ф) = Ф(а:, у) к. A7)
2.55. Мы можем теперь сформулировать основную
теорему параграфа.
Теорема (Фробениус). Пусть функция Ф(х, у) оп-
определена в произведении областей U с X и V czY и
принимает значения в пространстве Uy^Y; пусть, да-
далее, функция Ф(х, у) дважды дифференцируема в об-
области U X V и удовлетворяет в этой области соотноше-
соотношению
для любых векторов k и h пространств X и Y.
Тогда существуют число б > 0 и такая функция
у — у(х): X-*Y, которая в шаре \х — а\ < б удовлет-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
у'(х) = Ф(х, у(х))
иначальному условию (ael/.ieK)
у{а) — Ь.
В указанном шаре решение у(х) может быть лишь
единственным.
Доказательство. Из 2.53 мы знаем, что в неко-
некоторой окрестности точки а существует функция у(х),
у (а) = Ь, которая по 2.54 имеет в каждой точке х произ-
производную по любому направлению, удовлетворяющую ус-
условию A7). По условию функция Ф(х, у) представляет
собой при каждом значении х и у = у (х) линейный опе-
оператор, действующий из пространства X в пространство У.
2.61 § 2.6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 17S
и непрерывно зависящий от х. Но тогда, в силу 1.48 г,
функция у(х) является дифференцируемой и ее произ-
производная совпадает е оператором Ф(х, у). Теорема дока-
доказана.
2.56. С у щ е ствование первообразной. Пред-
Предположим, что функция Ф(х, у) в условиях теоремы 2.55
не зависит от у, так что мы имеем дело с уравнением
у'(х) = Ф(х), у{а) = Ь. (I)
Это есть задача об отыскании первообразной для функ-
функции Ф(х) (X-+L(X, У)), т. е. такой функции у(х), про-
производная которой совпадает с Ф(х). Подобная задача
разрешима не для любой функции Ф(х). Необходимым
условием существования первообразной является сим-
симметрия второй производной у(х), что приводит к равен-
равенству
Ф'()Ь Ф'()кН he=X, Jfeel B)
Из теоремы 2.55 следует, что выполнение равенства B)
является также и достаточным условием для существо-
существования первообразной в некоторой окрестности точки а.
§ 2.6. Системы уравнений с частными производными
и геометрические приложения
2.61. а. Рассмотрим систему дифференциальных урав-
уравнений вида
ду(хи ...,хп) m , л
-fa **M*if •••• Ха> У)
с неизвестной функцией у(х)=== у(хх хп), которая
разыскивается в окрестности данной точки а = (alt ...
..., а„)е/?„, принимает значения в пространстве Y и
¦удовлетворяет начальному условию
у(а) = 6еУ. B)
Относительно функций Ф,(хи ..., хп, у) предполагается,
что они определены в произведении областей. U\ X • •«
*..Х?Л»ХУ| Ui^au Уэб (i=l,,i.,n) и при
J76 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.61
любых значениях х,-е 1/,- и yeV представляют собой
линейные операторы Хг-*Ь(Х{, У). В этом случае си-
систему A) можно записать в форме одного уравнения
у'{х) = Ф(х,у): X->L(X,Y), C)
где {/ = ?/, X ¦¦• XUn<=Rn, ®{x,y)h=j?i(bi{x, y)hu
h = {hu ..., hn] e /?„, после чего вся ситуация оказы-
оказывается частным случаем той, которая покрывается тео-
теоремой Фробениуса 2.55. Необходимое условие разреши-
разрешимости 2.51 D), так же как и для системы 2.54 (8) или
2.51 C), можно преобразовать к виду
./-! «И4>
Теперь теорема Фробениуса в применении к данному
случаю утверждает: если функции Фг(хи .... хп, у)
дважды дифференцируемы и в области U X V удовле-
удовлетворяют условиям D), то для любой точки а& U и лю-
любого b ^ V найдется такое б > О, что в шаре \х—а\ <б
будет существовать решение у = у(х) системы A) при
начальном условии B) и такое решение будет един-
единственным.
б. Для системы более простого вида
ду(*ь
E)
ду(х\, .... хп) .
этот результат, разумеется, также справедлив; мы отме-
отметим только, что условие D) принимает здесь совсем про-
простой вид:
в. В общую схему входят и системы с несколь-
несколькими неизвестными функциями zh(x): G cRn-> Yk,
2 62 5 26- УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ J77
k=l, .... т:
-q^ = fki (Xl> • • ¦» Хп> Zb • • • > 2ТО)
i— I, ..., п; k—l т, G)
и произвольными начальными условиями
zk(x° x°n) = z°<=G (k = l, .... m). (8)
Как следует из а (где нужно положить У равным пря-
прямой сумме У\ + • • • + Ут), необходимое и достаточное
условие разрешимости задачи G) — (8) при любых на-
начальных данных в области определения функции fhi(x, z)
выражается равенствами
дхр + Zl дг, liP~ dxi + Zl dz, I'1 W
(k = l, .... m; t, /7=1, ..., n).
2.62. Геометрическая интерпретация. Для
обыкновенного дифференциального уравнения
у' = Ф(х, y)(x<=U<=Ru yeEVcRJ A)
имеется известная геометрическая интерпретация:
каждой точке {х0, у0} области U у^ V cz R2 сопоставляет-
сопоставляется прямая линия
у - у 0 = Ф (х0, у о) (х — х0), B)
и разыскивается кривая, проходящая через заданную
точку {а, Ъ) е U X У и в каждой своей точке {х0, уо}
имеющая предписанную касательную B). Теорема о су-
существовании и единственности решения обеспечивает,
при некоторой гладкости функции Ф(х, у), разреши-
разрешимость этой задачи и единственность ее решения.
Аналогичную геометрическую интерпретацию можно
указать и для общего уравнения
у' = Ф(х,у) {x<=UaX, y<=V<=Y).
Здесь каждой точке {х0, у0} е U X ^ сопоставляется ли-
линейное многообразие в пространстве X X У
у — Уо = Ф (*oi У о) (х — *о) C)
|78 ГЛ. S. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЙ 2.63
и разыскивается функция У = у(х), у(а)==Ь, график
которой в пространстве X X У («интегральное многооб-
многообразие») обязан в каждой своей точке {хо, уо} иметь каса-
касательной плоскостью A.26 в) соответствующее линейное
многообразие C). В этом случае уже не любая функ-
функция Ф(х, у) (хотя бы и произвольно большой гладко-
гладкости) приводит к разрешимой задаче; мы знаем, что
должно быть выполнено (необходимое и достаточное)
условие 2.51 D).
Простейший нетривиальный пример осуществляется
уже для X = R2, Y = R\. В этом случае в области
U X V (U с R% V с= #i) в каждой точке [x°v х% у0) за-
задается плоскость, проходящая через эту точку:
и разыскивается поверхность у = у(хи х2), которая про-
проходит через данную точку {ai, a2, b) e U X У и в каж-
каждой своей точке {л^, х\, у^ имеет касательную пло-
плоскость, предписанную уравнением D). И эта задача
имеет решение не для всякой пары функций <Di (х1г х2, у)
и Фг(*1, xz, у), а лишь для такой, которая (при условии
дифференцируемое™ до второго порядка) удовлетво-
удовлетворяет известному уже нам соотношению
дф1 i дф| m дФ2 | дФ2 щ
В 2.63—2.64 указываются еще некоторые геометриче-
геометрические задачи, связанные с теоремой Фробениуса.
2ЛЗ. а. Пусть для каждой точки х из некоторой об-
области V czRn задана (п— 1)-мерная плоскость у(х)^х,
непрерывно зависящая от х; требуется построить функ-
функцию w = f(x): V—*Ri,.y которой любая поверхность
уровня f(x)= С.в каждой своей точке xeV касалась
бы плоскости ?(*)• Поскольку задача, как всегда, реша-
решается локально, мы можем предположить, что в области
V все плоскости у(х) не содержат прямых, парал-
параллельных оси хп (изменяя в противном случае нумера-
нумерацию осей). Поэтому здесь будет удобнее несколько из-
изменить обозначения: координату хп обозначить через t/,
а через х обозначить набор остальных коордийат
{*ь ..., xn-i}. Тогда каждая точка области V получит
2.63 в 2.6, УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 179
обозначение {х, у}. Вместо у(х) будем, естественно, пи-
писать y(*, У)> Уравнение плоскости у(х°, у0) имеет вид
п—\
У-У0=21Фг(х°, у0)(xt -х% A)
причем функции Ф,-(х, у) по условию задачи известны.
Будем предполагать, что они дважды дифференцируемы.
Искомое решение теперь записывается в виде w —
==f(x, У)- Предположим, что решение w = f(x, у)
имеется. Фиксируем точку а е Rn-u лежащую в проек-
проекции на Rn-\ области V cz Rn, и рассмотрим да, у). Оче-
видно, что д Ф 0, иначе прямая х — а входила
бы в состав некоторой поверхности уровня функции
f(x, у), что по условию не имеет места. Заметим, далее,
что вместе с функцией f(x, у) и любая функция
F(f(x> У)) является решением нашей задачи; мы можем
воспользоваться этим произволом, чтобы получить ре-
решение f(x, у), которое (хотя бы на некотором участке Д
прямой х = а, которым мы в дальнейшем и ограни-
ограничимся) удовлетворяло бы условию f(a, y) = y. Поэтому
уравнение поверхности уровня функции f(x, у), прохо-
проходящей через точку {а, Ь} ^ Д, имеет вид f (х, у) = Ь. По
теореме о неявной функции это уравнение в окрестности
точки {а, Ь) равносильно некоторому уравнению у =
= у(х, Ь). Касательная плоскость к этой поверхности
в любой точке {х°, у0} имеет вид
Поскольку плоскости B) и A) совпадают, функция
у(х, Ь) должна удовлетворять системе уравнений
Ф>(х,у), /=1. .... n-U C)
с начальными условиями
У (а, Ь) = Ь. D)
По теореме Фробеняуса решение задачи C)—14) суще-
существует тогда и только тогда, когда выполнены условия
180 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.64
интегрируемости (i, / = 1, ..,, п — 1)
1 дФ,(х,у) дФ,(х,у)
= axt + ду ф^,у). (б)
Таким образом, условие E) необходимо для разре-
разрешимости поставленной задачи. Покажем, что оно яв-
является и достаточным, по крайней мере, в некоторой
окрестности точки {а, Ь). Если условия E) выполнены,
то, по теореме Фробениуса, для любого Ь существует
в некоторой окрестности точки а решение у (х, Ь) систе-
системы C), удовлетворяющее условию D). Ясно, что при
этом д"'—— 1; значит, уравнение у—у{х, Ь), соглас-
согласно теореме о неявной функции, можно разрешить отно-
относительно Ь, так что оно оказывается эквивалентным не-
некоторому уравнению вида b=f(x, у). Мы утверждаем,
что функция f (x, у) есть искомая функция. Действитель-
Действительно, касательная плоскость к поверхности f(x, y)=b та
же, что и к поверхности у=у(х, Ь), т.е. это есть пло-
плоскость B); но в силу уравнений C) плоскость B) сов-
совпадает с плоскостью A), что нам и требуется.
б. Если п — 1 = 1, т. е. п — 2, система C) состоит
лишь из одного уравнения и разрешима всегда. Таким
образом, для плоской области V с заданной для каждой
точки {х, у) прямой у(х, у) всегда можно указать функ-
функцию f(x, у), для которой все линии уровня f(x,y)—C
(хотя бы в некоторой окрестности заданной точки) в ка-
каждой своей точке касаются соответствующей прямой
у(х,у). (Конечно, нужно потребовать некоторой глад-
гладкости для углового коэффициента прямой у(х, у).) Если
п > 2, то, как мы видели, аналогичная задача не всегда
разрешима.
2.64. Пусть для каждой точки х из области V с Rn
заданы п линейно независимых векторов gi(x), ...
¦ ¦ ¦, gn(x) (достаточно гладким образом зависящих от
х). Спрашивается, возможно ли в области V ввести
такую новую систему координат wu ..., wn, чтобы со-
соответствующие координатные линии — т. е. линии, вдоль
которых изменяется только одна из величин wit ..., wn,
например Wj, а остальные остаются постоянными, — ка-
2.64 § 2-6. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 18]
сались в каждой своей точке соответствующего вектора
Если такая система функций wk(x\, ..., хп) (k=
= 1, ..., п) имеется, то каждая поверхность уровня
йуй=С в любой своей точке касается соответствующих
векторов gi , gk-u gk+u .... gn и тем самым имеет
заданную касательную плоскость, именно натянутую иа
векторы gi,..., gk-i, gk+u ..., gn-
Обратно, если для k=l, ..., п мы сумеем найти до-
достаточно гладкую функцию wu{x), любая поверхность
уровня которой в каждой своей точке касается плоско-
плоскости, натянутой на векторы gu ..., gk-u gk+u • ¦ •, gn, то
задача будет решена, так как в этом случае каждая ко-
координатная линия Wi = C\ byft_1 = Cft_b wk+i =
=Cfe+i, ..., wn=Cn касается в каждой своей точке век-
вектора gk- Мы видим, что наша задача в принципе све-
сведена к предыдущей. При и=2 решение задачи всегда
существует (при нужных условиях гладкости), при
п >¦ 2 существование решения требует выполнения неко-
некоторых условий интегрируемости, которые мы сейчас по-
получим. Уравнение плоскости, натянутой на векторы
Ы°)(°) (°) gn(x°), имеет вид
=0, A)
где gn (x0) — составляющие вектора gt(x°).
Пусть Aik(x°) есть алгебраическое дополнение к эле-
элементу gik(xP) «X«-матрицы llgij(x°)||. Тогда, разверты-
развертывая определитель в левой части уравнения A) по пер-
первому столбцу, мы можем уравнение A) переписать
в виде
i-*? 8п
или же, при Ank(x°) ф 0 (что можно принять без огра-
ограничения общности в силу предположенной линейной не-
независимости векторов gi),
п-\
Afi
хп хп Zi Аи (*°) \ i
182 ГЛ. 2, ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.65
Таким образом, функции Ф,(д^, #°), фигурирующие
в уравнении 2.63 A), определены. В данном случае они
зависят еще от индекса k (=1, ..., и). Имея эти функ-
функции, мы должны проверить выполнение условий 2.63 E),
и если для каждого k=l, ..,, п они выполняются (и
только в этом случае), то наша задача разрешима, во
всяком случае локально.
2.65. Система, для которой условия теоремы
Фробениуса не выполняются. Рассмотрим систему урав-
уравнений
дгк
-gf-^fki^i хп' г\- •' - гт) *'==1 n.k=l,.... го) A)
в области UX. У• U с К"» У с #т, причем условия теоремы Фро-
Фробениуса
dfki t dfkP j V dfk
kp
уже не будем предполагать выполненными тождественно во всей
области U X У, так что совокупность S точек {*, г), где выполняют-
выполняются соотношения B), представляет собою лишь некоторое многообра-
многообразие в UX, V меньшей..размерности. В .этом Случае система A) уже
ие обладает решением с произвольно заданными начальными дан-
данными
^erl/, zkD ..., *?)= г\еК (к = 1 т), C)
так как всякое решение должно лежать целиком в многообразии S.
' Но, вообще говора, не череа любую точку многообразия S проходит
какое-либо решение; оказывается, что кроме условий B) должен
выполняться еще целый ряд условий. Для исследования получаю-
получающихся возможностей' в имея в виду необходимость многократных
последовательных дифференцирований, мы предположим теперь, что
функции fht в A) являются бесконечно дифференцируемыми. Будем
писать.равенства B) короче в виде
*)=а D)
Пусть 2 = г(х) есть некоторое решение системы A); как мы
знаем, оно удовлетворяет н системе D). Продифференцируем ка-
каждое из уравнений системы D), в которую подставлено г = z(x),
по любому нз аргументов х( и заменим возникающие производные
дгк
«5— их выражениями из системы A); мы получим из D) новую
ах1
систему конечных соотношений, которой должно удовлетворять ре-
2J65 § 2-6- УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ J83
шение г{х); мы обозначим ее так:
?<|>(х, г)=0. E)
Применяя к системе E) такую же схему рассуждений, выводим
яэ E) новую систему уравнений
43)(*,z) = 0; F)
продолжая этот процесс неограниченно, мы получаем последова-
последовательность систем уравнений
4S)(*. z) = 0, s=l,2 G)
каждой нз которых необходимо удовлетворяет решение г(х).
Рассмотрим теперь многообразие W всех точек {х, г), удовлетво-
удовлетворяющих всем системам уравнений G). Оно может быть пустым;
оно может быть вырожденным в том смысле, что оно не содержит
ни одной «поверхности» вида z — z(x), определенной хотя бы над
какой-нибудь подобластью области О. В этих случаях тем более
нет нн одного решения у системы A). Подлежит дальнейшему рас-
рассмотрению только тот случай, когда многообразие W не является
вырожденным, т. е. содержит-некоторые «поверхности». Этн поверх-
поверхности суть кандидаты в решения системы A). Для выяснения во-
вопроса о существовании таких кандидатов мы можем рассмотреть
якобиеву матрицу
I dzk I ' '"' a ' '••••M)
с т столбцами и с бесконечным числом строк. В каждой точке
(х, г) е W эта матрица имеет некоторый ранг, не превосходящий т;
найдем такую точку {a, b) e W, в которой ранг матрицы / дости-
достигает максимального значения, например г, г ^Z т. По соображе-
соображениям непрерывности минор r-го порядка, отличный от нуля в точке
{а, Ь), будет отличным от нуля н в некоторой окрестности этой точ-
точки. По теореме о ранге 1.74 6 для любого конечного числа уравнений
системы G) можно указать такую окрестность Q точки {о, Ь), в ко-
которой геометрическое место точек {х, г), удовлетворяющих этим
уравнениям, представляется снстемой уравнений вида
/ /\ ' г+1' ""' т)' ' '
где Ф/ (a, br+l bm) — bj, j= 1,.... г, с дифференцируемыми
функциями Фл- в правой части. Функции Q>j определены в некоторой
окрестности Q("+™-') точки (а, Ьг+\, .... bm) ^Rn+m-r и принимают
значения в окрестности Q(r) точки (bit ..., br) e Rr, так что Q =
— Q(r) X Q<n+m-r). С увеличением числа рассматриваемых уравне-
уравнений системы G) окрестность Q может уменьшаться, н, вообще го-
говоря, нет уверенности, что имеется окрестность Q, в которой бес-
бесконечная система G) эквивалентна системе (9).
184 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2.65
Теорема (Веблен и Томас). Если у точки {а,Ь}е№ суще-
существует такая окрестность Q вида Q<r> X Q<"+m-r), в которой беско-
бесконечная система G) эквивалентна конечной системе (9), то у систе-
системы A) имеется решение г = г(х) с г (а) — Ъ.
Доказательство. По условию, если уравнения системы (9)
продифференцировать по Xi и заменить получающиеся производные
дгк
-г— их выражениями из системы A), то получающиеся соотне-
соотнесу
шеиия
дФ/ (х, z) ^ дФ/ (х, г)
'А(*z)" a*t + It L 'и (*2) <10>
(t-= 1, .... n; /= 1,.... r)
будут выполняться на всем многообразии W (в пределах окрест-
окрестности Q).
Рассмотрим следующую систему уравнений для неизвестных
функций гт+1 (х), ..., гт (х):
dzk
-g^- = Fki(xt,..., xn, zr+1, .... гт) A1)
(i=l, .... п; k = r+l т),
где функции F/1,- получены из функций fkt, участвующих в систе-
системе A), подстановкой, вместо аргументов Z\ гТ их выражений (9)
через аргументы х, гг+1, .... гш. Покажем, что в окрестности
Q(n+m-r) для системы (П) выполнены условия теоремы Фробениуса.
Действительно, мы имеем на Q(«+»»-••)
p=l
2.65 § 26- УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 185
где на предпоследнем шаге использованы равенства A0). Анало-
Аналогично на Q("+m-r>
дх. + 2л dz, Fls дх.
По построению на множестве W выполняются, в частности, ра-
равенства (k = 1, ..., т; i, s=l, .... п)
^f aflu i V df
p=l p
подставляя в ннх выражения (9), находим, что на Q^n+m~r) совпа-
совпадают правые части равенств A2) и A3), что нам и нужно.
В силу 2.61 в система A1) допускает решение [г,+1 (*),...
..., zJJ,(x)}, определенное, возможно, в некоторой меньшей окрест-
окрестности Q^crQ*"', удовлетворяющее условиям
Мы утверждаем, что система функций z (x) = {z( (x), ..., гт(х))
вида
2, (х) = Фг (х, z°r+1 (х), .... z°m (*)),
гг(х) = Фг(х, z°r+1(x) z°m(x)).
является решением системы A), удовлетворяющим условию
z (а) = Ь. Действительно, указанными функциями по построению
удовлетворяются уравнения системы A) при k^r + l. При k <r
имеем по A0)
dzk
дх,
р=г+1
так что удовлетворяются н эти уравнения. Теорема доказана.
186 гл. г. высшие производные 1
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если среди определителей Сильвестра четного
порядка B.14 е) хотя бы один отрицателен, то соответствующая
квадратичная форма неопределенна (меняет знак), независимо от
значений и знаков остальных определителей.
2. Написать вторую производную для функции лг1 B.35).
3. Написать втору» производную для функции у = f{x), обрат-
обратной к дважды дифференцируемой обратимой функции х = ф(«)
B.366).
4. Пусть в точке се G cz X реализуется условный максимум
для функции f(x): G-*-Rt при условии tpfx)=>CsZ A.82а).
Пусть функция ^.{х); G-*-2 удовлетворяет условиям г|э(а) =ф(а),
я]з'(а) = ф'(а), а /'(а): Х-*-К — обратимый оператор.
Показать, что точка а есть условно стационарная точка для
функции f{x) л ври условии ${х)=С. Однако ее характер может
быть любым -(максимум, минимум, отсузггеве экстремума).
5. Показать, что двувараметрическое семейство винтовых линий
в Rs (ф—аргумент, г и а— параметры)
х = г cos (ер — а), у = г sin (g> — а), г —А (г) ф
имеет ортогональные поверхности тогда и только тогда, когда
А (Г) ев О*
6. Для функции f (х) = х3 sin — прн л: =j? 0, | Л | < 1 х | можно
записать разложение
f-(x + A)— f (х) + а. (*) Л + а2 (аг) -^ + о (Лг). A)
Для * == 0 имеем также
Л3 sin j= 0 + 0-Л+ ()•-— +о(Л2),
так что равенство A) справедливо и при х = 0, если положить
/@) *= 0, ai@) = Ог @) =0. Однако f(x) не имеет второй произ-
производной при х = 0. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой
2.44.
7. Сформулировать и доказать условие разрешимости для урав-
уравнения
где Л = X) + Xi есть разложение яространства X в прямую сумму.
8. Дано отображение д — у(х) гильбертова пространства И в
себя, допускающее производные первого и. второго порядка. Извест-
Известно, что у'(х) — сТ(х), где с — постоянная и Т(х)—ортогональный
оператор. Показать, что Т(х) не зависит от х и отображение у(х)
есть комбинация сдвига, растяжения и поворота.
9. Дано отображение у(х): Н-*-Н, допускающее производные
первого и второго порядка. Известно, что у' {х)л =
-г——
18 ЗАДЛЯИ ШГ
где Хо — фиксированный вектор и Т(х)—ортогональный оператор.
Показать, что у(х) есть комбинация инверсии
X —
сдвига, растяжения и поворота.
10. Отображение $К*)*: И-*^Н называется конформный, если
у'(х) = с{х)Т&), где cf*X — числовая функция, Т(*) — ортогональ-
ортогональный оператор. Показать, что для дважды дифференцируемого кон-
конформного отображения д(х}~ и любых трех взаимно ортогональных
векторов ft, k, I выполняется соотношение {y"hb, t/t):=O.
11. (Продолжение;) В- предположениях предыдущей задачи по-
показать, что tf'hk = \iy'k + vjr^ft, и найти коэффициенты ц- и v.
12. (Продолжение.) Для трижды дифференцируемого конфори-
ного отображения у,{х). и р(ж} = —т-т- показать, что р"(ж)й? = 0
С \Х)
для любой пары ортогональных векторов А и &
13. (Продолжение.) Показать, что p"hk = a(h, k), где a=const.
14. (Продолжение.) Показать, что р(х) — а\х — JCo|2 + P, где
а и Р — постоянные.
15. (Продолжение.) Показать, что для соответствующих точек
х и у(х) (у(х)—конформное отображение) выполняется соотно-
соотношение
где JKo, Уо — фиксированные точки, у, в — постоянные.
16. (Продолжение.) Рассмотреть уравнение
\dy\=c{x)]dx\
на луче, ведущем из точки Хо, и, интегрируя его, показать, что в вы-
выражении функции р(х) (задача 14) или а == 0, или Р = 0.
Замечание. Этот результат, в соединении с результатами
задач 8 и 9, показывает, что любое конформное отображение гиль-
гильбертова пространства в себя приводится к комбинации сдвига, рас-
растяжения, поворота и инверсии (Неванлинна).
17. Система
dz (х, у) __ дг (х, у) _ 2
дх ' ду —z
совместна, она имеет очевидное решение г(х, у) г= 0. Однако необ-
необходимое условие совместности 2.61 D) не выполнено. Чем объяснить
кажущееся противоречие с теоремой 2.61а?
18. Показать, что система уравнений с одной неизвестной функ-
функцией z = z(xu ..., хп)
имеет решение z(x) с любыми начальными условиями z0 = z(xo)
тогда и только тогда, когда все функции fj(z) (/ = 1, .,., п) отли-
отличаются друг от друга лишь числовыми множителями.
188 ГЛ. 2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Историческая справка
Создатели анализа бесконечно малых Ньютон и Лейбниц
использовали дифференциалы высшего (второго) порядка, состав-
составляя и решая обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее
рассмотрение высших дифференциалов было предпринято Эйлером
A730), а окончательно обосновано (с помощью теории пределов)
Коши спустя век. Перенесение теории на функции в нормированных
пространствах стало возможным после определения дифференциала
Фреше A911). Обращение формулы Тейлора имеется, в частности,
в книге Л. А. Люстерника и В. И. Соболева «Элементы функцио-
функционального анализа» (М., 1965). Классическая теорема Фробеииуса
(для функций у(х): Rn-*-Rm), явившаяся в свое время A876)
важным этапом общей теории систем линейных уравнений с частны-
частными производными первого порядка, была обобщена на функции в
нормированных пространствах М. Кернером A933), для уравнения
t/ = Ф(х,у) — Ж. Дьедоине A960, общий случай). Теорема Вебле-
на и Томаса была опубликована в 1926 г.
ГЛАВА 3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В МНОГОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Интегрирование функций многомерного аргумента — одно из мо-
могущественных средств математики. Современные абстрактные тео-
рни интегрирования нмеют дело с функциями на пронзвольном мно-
множестве с заданной на нем счетно-аддитивной мерой. Имея в виду
применения к собственно аналитическим проблемам, мы в общей
схеме ограничиваемся сравнительно простыми множествами («на-
(«нагруженными пространствами»), где теория интеграла может быть
построена по образцу одномерного интеграла Римаиа, что нам
позволяет не касаться вопросов, связанных со счетной аддитив-
аддитивностью меры. В применении этой схемы к случаю n-мериого евкли-
евклидова пространства получается классическая теория кратных инте-
интегралов (§ 3.5), поверхностных интегралов (§ 3.6), далее рассматри-
рассматриваются несобственные интегралы (§.-3.7).
Для простоты мы проводим изложение для вещественио-знач-
ных функций. Однако почти все выводы без изменения сохраняются
для функций со значениями в линейном нормированном простран-
пространстве, за редкими исключениями вида C.14 G))
тХ inf f(x) < f f ix) dx < mX sup f (x).
x * x
Но и для этой формулы в случае функций со значениями в линей-
линейном нормированном пространстве имеется замена C.14 (8)).
§ 3.1. Интеграл Римана на нагруженном пространстве
3.11. Прежде чем начинать построение интеграла для
функций от многомерного аргумента, напомним опреде-
определение интеграла для функции f(x) одного переменного
х, меняющегося в промежутке а ^ х ==S Ь @9.13).
Обозначим через П разбиение промежутка а
на части:
Положим AXi=xi+1—xf и d (П) = max Ax{. Отметим
в промежутке #,• ^ х ^ х»+4 произвольную точку |« н
Ш ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.12
составим интегральную сумму
Число // называется интегралом Римана от функции
f(x) по отрезку [а, Ь], если для любого е > О найдется
такое б > 0, что при каждом разбиении П с d(R) < б
имеет место неравенство
|/f-Sn(f)l<8.
Эквивалентное определение можво сформулировать
и на языке последовательностей. Рассмотрим последова-
последовательность разбиений Hi, П$г... промежутка [а, Ь] такую,
что ??(Щ) —*0; будем ее называть неограниченно из-
измельчающейся. Если для любой такой последователь-
последовательности {П/j числа Snk(f) имеют фиксированный предел,
не зависящий от выбора самой последовательности Пь
и промежуточных точек |j, то • этот предел называется
определенным интегралом от функции f(x) по проме-
промежутку [а, Ь\:
ь
1
f{x)dx= limSnfc(/)-
а
Наконец, еще одно эквивалентное определение мож-
можно построить в терминах общей схемы предела по
направлению @4.12). Рассмотрим множество Е, состоя-
состоящее из разбиений П с отмеченными точками; для задан-
заданного б > 0 обозначим через Е6 подмножество тех раз-
разбиений П е Е, для которых d(U) < б. Подмножества
Ее при различных б определяют направление в Е, кото-
которое мы обозначим d(R) ->0. Интеграл от функции f(x)
есть предел Jf ее' интегральных сумм по этому напра-
направлению; он существует одновременно с интегралами If
h
и [ f(x)dx и имеет равное с ними значение.
а
Доказывается, что интеграл существует, например,
для непрерывной функции f(x).
3.12. Переходим к общему определению интеграла
Римана. Вместо отрезка а <; х < Ъ мы рассмотрим те^
перь произвольное множество X Вместо совокупности
3.13 § 3.1. ИНТЕГРАЛ НА .НАГРУЖЕННОМ .ПРОСТРАНСТВЕ Щ
промежутков отрезка fa, Ь] будем рассматривать систе*
Му Щ,= <&,(Х) некоторых надмножеств множества X, удо-
удовлетворяющих следующим условиям:
а. Само X и пустое множество входна- в систему Ш,
б. Если АА ^ % Ase %¦, to и пересечение А}А2 вхо-
входит в 21.
в. Если Л, е 21, Л е 21, Л, с: Л, то существуют мно-
множества Л2, .... Лр в системе 21 такие, что Л =»
:=Л1 U Л2 0 ... U Лр, причем Аи ..,, Ар попарно не пе-
пересекаются.
Система 21 подмножеств множества X, удовлетво-
удовлетворяющих условиям а, б, в, называется полукольцом. Так,
система всех промежутков на отрезке [а, Ь] представляет
собою пример полукольца множеств.
Далее будем считать, что X есть метрическое про-
пространство и полукольцо 21 (X) удовлетворяет условию!
г. Для любого б > О существует разложение множе-
множества X в конечное объединение непересекающихся мно-
множеств Аи ..., Ар из 91 (Х| с диаметрами ==^6,
При выполнении условия г метрическое пространство
X предкожваасгаю ЦОЗ.93)^ поскольку в «ем для каждого
б > 0 имеется ковеявая й-сеть.
Формулируем, наконец, последнее условие на яолу-
кольцо -Й!
д. Для каясдаго мишкегава А^Ш ющэБделево неот-
неотрицательное -шел® жА так, что «ря йял»чйи разложения
где Л], ..., Ат хвяам *з й ш те шмеют ашнарио
точек, .си-рлведливо .равенство
(условие аддитивности).
Чисдо даЛ будем называть мерой множества А. Сами
множесшвьа Л е 21 лри выпшшенлн усаовнн с — д будем
называэъ ^я-ией^влгхд, мет,рдчвс?ое в^ося^анство X —ма-
гружешшм црастрашжвом, & аолувдальцо М с ме^юй
ячеек шА — погружением ^юстранства X
3.13. Олределенде интеграл-а. Пусхь дана
функция /.?»$, онределенная на нагруженном простран*
стве X. Пусть П означает разбиение множества X на
р ячеек Л ь ,.,, Л^ не нмвющих аоваряо общих точек»
192 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.13
У каждой из этих ячеек At через d(Ai) обозначим ее
диаметр — верхнюю границу расстояний между точками
ячейки; обозначим, далее, через d(U) максимальную
величину диаметров ячеек At.
В каждой ячейке Аг выберем произвольно точку |4 и
составим интегральную сумму
Число
/af= J f(x)dx B)
x,«
называется интегралом от функции f(x) no простран-
пространству X с погружением Щ, если для любого 8 > О най-
найдется ' такое б > О, что при каждом разбиении П
с ^(П) < б имеет место неравенство
\hf-Sn{f)\<B.
Это определение, как мы видим, совершенно анало-
аналогично первому определению интеграла от функции f(x)
по отрезку.
Второе определение можно таким же образом сфор-
сформулировать на языке последовательностей. А именно,
рассмотрим произвольную последовательность разбие-
разбиений III Щ пространства X, у которой d(IIfe)-*0;
будем называть ее неограниченно измельчающейся. Если
для любой такой последовательности {Щ} числа Snk(f)
имеют фиксированный предел, не зависящий от выбора
самой последовательности {Щ} и точек ?*, то этот пре-
предел и называется интегралом от функции f no нагружен-
нагруженному пространству X.
Наконец, третье определение можно дать в терминах
предела по направлению. Пусть Е есть множество всех
разбиений (с отмеченными точками) пространства X;
для заданного б > 0 через Е6 обозначается подмноже-
подмножество тех разбиений П, для которых rf(II) <C б. При раз-
разных б соответствующие подмножества Е6 вложены одно
в другое, а пересечение всех Ей пусто; следовательно,
подмножества Е6 определяют направление в Е; мы обо-
обозначим его, естественно, через а(П)-*0. Интеграл от
8.1* $ 3.J. ИНТЕГРАЛ НА НАТРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ J93
функции f(x), no определению, есть предел интеграль-
интегральных сумм по направлению d(U) -* 0.
Эквивалентность всех трех приведенных определений
вытекает из общих свойств предела по направлению
(ср. 04.66).
Функция f(x), обладающая интегралом по простран-
пространству Х.с нагружением 51, называется интегрируемой на X
с нагружением 51 или просто интегрируемой, если про-
пространство X и его нагружение 91 фиксированы; знак 91
при интеграле в таких случаях будем опускать.
3.14. Приведем некоторые общие свойства интеграла
в предположении только его существования, не опираясь
на какие-либо свойства функций, к которым он приме-
применен. Доказательства этих свойств проводятся по той же
схеме, что и в 09.15 для интегралов от функций на от-
отрезке, предельным переходом от интегральных сумм, и
могут быть здесь опущены.
а. Функция f(x) == С (постоянная) интегрируема по
нагруженному пространству X и
¦ СпгХ. A)
б. Если функция f(x) интегрируема по нагруженному
пространству X, то для любой константы С функция
Cf(x) также интегрируема по пространству X и
(x)dx. B)
в. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по на-
нагруженному пространству X, то их сумма f(x) -\-g(x)
также интегрируема по X и
J [fix) + g{x)]dx= J f (x)dx + / g(x)dx. C)
X XX
г. Всякая интегрируемая по нагруженному простран^
ству функция ограничена на X.
А. Если интегрируемые по пространству X функции
f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству f(x)
$f(x)dx<jg(x)dx. D)
f94 ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ &|$
В частности, если функции f{x) и \f(x)\ интегрируем!*
по X, то
\jf(x)dx
\х
Если значения функции f{x), интегрируемой на про'
стрпнстве X, заключенье в границах c^f(x)^C, то
сшХ< | f (х)ОД <С/пЯ. F)
х
Например,- всегда
Ы f(x)-mX^f f(x) dx < sup f (x) ¦ mX. G)
Х X Х
Для функций со значениям» в нормированном пространстве
формулы F) и G) могут быть заменены следующей (О12.52ж):
(8)
где Е — множество всех значений функции f ($) на X и V (Е) —
замкнутая выпуклая оболочка множества В.
е. Наконец, приведем еще одну теорему, доказатель-
доказательство которой дословно повторяет доказательство теоре-
теоремы 09.72 с заменой отрезка [а, 6} на нагруженное про-
пространство X.
Теорема. Если последовательность интегрируемых
функций h(x), h{*), ... сходится к некоторой функции
f(x) равномерно на нагруженном пространстве X, то
f(x) также интегрируема и
jf{x)dx=\im (fAx)dx.
Аналогичная теорема справедлива для ряда интегри-
интегрируемых функций q>i{x) + фг(дг> + ...
3.15. Некоторые конкретные реализации
интегр ала.
а. Если в качестве пространства X взять отрезок
[а, Ь], в качестве ячеек А — любые промежутки (с вклю-
включением граничных точек илн исключением их), а в ка-
качестве меры ячейки А — длину соответствующего проме-
8Л« $ 3.1. ИНТЕГРЖЯ НА НАГРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 195
жутка, мы придем к обычному определению интеграла
для функции одного переменного.
б. Пусть пространство X есть брус в л-мерном про-
пространстве:
В качестве ячеек рассмотрим любые подбруеы
A czX:
А = {х*=Х: а,
а также множества, выделяемые неравенствами,
чающимиея нз написанных здесь заменой некоторых
ков ^ на <. Мерой ячейки А будем называть ее ев-
евклидов объем:
Можно без особого труда проверить, что условия
3.12 а — д здесь выполнены. Правда, формальное дока-
доказательство выполнения условия 3.12 д несколько кропот-
кропотливо, но мы с легкой совестью можем его опустить,
поскольку в 3.17 будет доказано более общее предло-
предложение. Интеграл, получающийся при этой конструкции,
называется п-кратным интегралом Римана и обозна-
обозначается
J f(x)dx= / ••• J ffo. ••-. xn)dxi ... dxn.
3.16. Леммы о полукольцах. Последний при-
пример допускает существенное обобщение: имея нагружен-
нагруженные пространства Хи ..., Хп, можно построить нагру-
в
женное пространство Я = Ц Я"* так же, как и-мерный
брус строится из одномерных отрезков. Но для реализа-
реализации этой идеи, чему посвящен 3.17, необходимо провести
некоторую подготовку.
а. Лемма. Если множества А{ Ak из по-
полукольца % попарно не пересекаются и содержатся
в некотором множестве А е % то в % существуют
196 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
множества Bh+i fir такие, что
Л,и ... [)Ak\JBk+l[) ... иВг = Д О)
причем слагаемые слева также попарно не пересекаются.
Доказательство. При k^=l это утверждение
входит в определение полукольца C.12в). Допустим,
что оно справедливо для некоторого числа k, и дока-
докажем его для числа k-\- 1. У нас имеются непересекаю-
непересекающиеся множества Аи ..., Ak, Ak+l из полукольца 91,
содержащиеся в множестве Ле1. По предположению
индукции в 51 существуют множества Bh+l, ..., Вг, даю-
дающие разложение A). Множество АМ1 не пересекается
с множествами Аи .-.., Ak, поэтому оно содержится
в объединении Bk+l U ... U Br, так что мЫ имеем
Ak+l = Ak+lBk+l\) ... [}Ak+lBr. B)
По определению полукольца можно написать разло-
разложения
C)
где слагаемые справа принадлежат к 51 и попарно не
пересекаются. Подставляй C) в A) и используя B),
получаем в итоге
) ... l)B[Pf),
что и требуется.
б. Лемма. Пусть имеется конечная совокупность
множеств Аи ..., Ah полукольца 21. Утверждается, что
в 91 существуют непересекающиеся множества Ви ...
л р
..., Вр такие, что [J At = \J В/ и каждое из множеств
i=! /=-1
At (i=l, ..,, k) есть объединение (некоторых из) мно-
множеств Bj.
Доказательство. Для ft==l предложение оче-
очевидно: можно положить Bi=At. Допуская его справеД-
3.17 § 3.1. ИНТЕГРАЛ НА HAFPyjREHHOM-.JBPOCTPAHCTBB 197
ливость для некоторого натурального k, докажем, что
оно верно для k -\- \. По предположению индукции в 91
существуют непересекающиеся множества В\\ ...,ВР
k p
такие, что \jAt=\jB]k) и каждое из множеств Аи
1=1 /=!
t=l, ..., k, представляется в виде объединения неко-
некоторых из множеств flf. По определению полукольца
для каждого множества B(jk) можно написать разложе-
разложение на непересекающиеся слагаемые, первым из кото-
которых является В(/' П Лй+1:
ВТ = {Bf П Ak+l) U Bn U ... U BjPl (j = 1 р). D)
Далее, по лемме а множество Ак+1 можно представить
в виде объединения непересекающихся слагаемых из 91,
первыми р из которых являются пересечения Лй+1 с мно-
множествами В/*', / = 1, ..., р:
Ам-1 = (Ak+i П B\k)) U ... U (^+i П Bf) U В, U ... U В,- E)
Теперь рассмотрим совокупность всех множеств, уча-
участвующих слагаемыми в разложениях D) и E). Все
эти множества принадлежат к полукольцу 21 и попарно
не пересекаются. Ясно, что каждое из множеств
Аи ..., Ak+l представляется в виде объединения неко-
некоторых из этих множеств. Лемма доказана.
3.17. Произведение нагруженных про-
пространств. Пусть имеются нагруженные пространства
Хи ..., Хп; рассмотрим произведение Z множеств
^ь ..., Хп, т. е. совокупность всех комплексов
х = (xt, ..., хп). Введем в него структуру нагруженного
пространства. Для простоты ограничимся случаем п=2,
причем будем обозначать Xt=X, X2=Y.
Ячейками пространства Z=X X У будем называть
произведения С=А X В ячеек пространств X и У. Их
совокупность обозначим через 91 (Z). Покажем, что
U(Z) также является полукольцом. Все пространство
Z—X X У входит в систему 21B), поскольку X е 91 (X),
У<=21(У). Если С1=А1ХВи С2=Л2 Х^2 —Две ячей-
ячейки на Z, то CiC2=AiA2 X B1B2 также есть ячейка на Z.
Пусть А = Л, X Bt €= t(Z) и С= Л X В е % (Z),
гл. at интегрирование
причем Ct cz С. Это значит, что At cz A, Bid В. Тогда
мы найдем непересекающиеся ячейки AtY ..., Ар в
ЩХ), В2, ..., Вд в Щ?}, так что
Но тогда
есть представление ячейки Л X В в виде объединения
ячейки At X $1 и еще некоторого числа непересекаю-
непересекающихся ячеек. Отсюда следует, что 21B) есть полуколь-
полукольцо, аксиомы 3:12 а — в выполнены.
Пространство Z метркзуетея обычным образом как
произведение метрических пространств, например, во
формуле @3.16):
Pi*i X 91, х2 X 0s> = VV(*i. *2)-fV(#b Уа)-
Если X=^i U ... U А*, и У=В! U ... U Вд — разло-
разложения пространств X и, У на непересекающиеся ячейки-
с диаметрами ^ 6, то Z= (Л, X ^0 U (At X fis) U .. •
... EJ (Ар X ^«) представляет собой разложение про-
пространства Z на непересекающиеся ячейки с диаметрами
^ б Y2, так что аксиома $.12 г также выполнена.
Наконедг для ячейки С=А X В положим тС=
=тА-тВ. Покажем, что онределенная таким образом
*мера ячеек ^в Z удовлетворяет аксиоме аддитивности
3.12 д. Пусть
C^AXB=(AXBdU ... U(AftXBfe) A)
— разбиение ячейки С на непересекающиеся ячейки.
Представим А в биде объединения A=At U ... U Ah,
возможно, пересекающихся слагаемых.
По 3.166, в %{Х) существуют непересекающиеся
ячейки Аг, ..., Ар такие, что А=\}А{ и каждая из
ячеек At есть объединение некоторых из ячеек Af. Ана-
Аналогично, в 5С(У) существуют непересекающиеся ячейки
3.18 S 3.1. ИНТЕГРАЛ НА НАГРУЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |ОД
J§t, ..., Вщ такие, что B=\jBj и каждая из ячеек В%
1 ^
есть объединение некоторых из ячеек Bt. Мы запишем
соответствующие разложения так:
Г S
Теперь представление A) можно записать в виде
При этом
". ~ ч
тС= тпА' тпВ = 2Li fftAi • 2j
i=i 7=4
С другой стороны,
2 m Hi X Я*) = S
= S B m^°\ B
l=\\ r ) \ s
так как, поскольку ячейки At X Bt взаимно не пересе-
пересекаются, каждое слагаемое справа совпадает ровно с од-
одним из слагаемых слева и наоборот. Отсюда и следует
требуемое равенство
Таким образом, произведение нагруженных про-
пространств допускает также структуру нагруженного про-
пространства. Указанная здесь структура называется произ-
произведением погружений пространств X и Y. По индукции
построение может быть распространено аа любое число
множителей.
3.18. Простые множества.
а. Конечные объединения ячеек нагруженного про-
пространства будем называть простыми множествами.
В силу 3.16 6 каждое простое множество Р можно
представить как конечное объединение непересекающих-
непересекающихся ячеек.
200 ГЛ. S. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.18
б. Лемма. Если имеются простые множества Р и
Q и P=Al U ... U Ар, Q=Bt V...[)Bq — ux предста-
представления в виде объединений попарно непересекающихся
ячеек, то из включения Р с Q следует
ЦтЛ^ЦтВ,. A)
Доказательство. Так как Р cz Q, то и At c= Q,
следовательно,
причем слагаемые в правой части не пересекаются.
Отсюда по 3.12д
tnAt = 2 rn(AtBi,.
/=i
При фиксированном / ячейки А{В] не пересекаются; по
3.12в имеются непересекающиеся ячейки 6(Д ..., в)!
такие, что
в,=(л,в,) и ... и (APBi) и вТ и ... и fiir/) (/=-1 я)-
Отсюда по 3.12д
p
Поэтому
imBi^jj jjm (AtB,) = Ъ [2 т(ЛгВу)) = S mAu
что и требовалось доказать.
в. В частности, если P = Q, мы получаем
2 m А — 2 тб,. B)
г=1 /-=1
Поэтому мы можем определить для каждого простого
множества Р число гпР как сумму мер составляющих
9.18 S ЗА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ Jjfli
его непересекающихся ячеек; равенство B) гарантирует
однозначность этого определения.
г. Неравенство (I) справедливо и в случае, если
ячейки Bj пересекаются (при сохранении остальных ус-
условий). Действительно, в силу S.16 б мы можем найти
набор непересекающихся ячеек Бт (г=1, ..., s), из ко-
которых можно составить каждую ячейку В;, причем
{jBi = [jBr. При этом мера каждой Bj равна сумме
/ г
мер содержащихся в ней Д., а сумма мер всех Bj не
меньше, чем сумма мер всех Вг, поскольку каждая ячей-
ячейка Вг в какой-то из б3- содержится. Теперь мы имеем
t=l 1=1 г=1
и, в силу а,
р s ^ q
2 tnAi < 2 ™
<=1 r=l /=l
что и требуется.
д. Если простое множество Р есть объединение, воз-
возможно, пересекающихся ячеек Ви .,., В„, то имеет ме-
место неравенство
шР < 2
/
Действительно, по г можно найти такие непересекаю-
непересекающиеся множества Ai,...,Ap, что y}Ai = P = \jBl;
i i
тогда, в силу определения в и результата г, имеем
Р Q
тР — 2 tnAt < 2 пгВ,,
i=i /=i
что и требуется.
§ 3.2. Теоремы существования
В этом параграфе будет доказано существование ин-
интеграла для непрерывных функций и для функций с не-
небольшим — в смысле, который будет точно указан, —
множеством точек разрыва.
202 ГЛ, 8, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
S.21. Здесь мы покажем, что при доказательствах
существования интеграла можно ограничиться лишь раз-
разбиениями, последующими к достаточно мелким.
Как обычно, разбиение ГГ множества X называется
последующим по отношению к разбиению П, если ячей-
ячейки разбиения П являются объединениями (без общих то-
точек) ячеек разбиения П'. Для каждого разбиения П и
любого б > 0 имеется последующее разбиение П'
с d(U') < б; для получения такого разбиения мы рас-
рассмотрим любое разбиение П" с d(H") < б, существую-
существующее по S.12 г, и образуем разбиение П из всевозможных
пересечений ячеек П и ячеек П".
а. Лемма. Пусть имеется разбиение П и при неко-
некотором е > 0 для любого последующего разбиения П*
выполняется неравенство
|Sn(f)-Sn'(f)|<e.
Если III — другое разбиение, обладающее аналогии'
ным свойством, т. е. такое, что для любого последую'
щего разбиения П{ справедливо неравенство
то
I Sn(f)-Sn,(f) |< 28.
Доказательство. Рассмотрим новое разбиение
Пг, состоящее из пересечений ячеек разбиений П и Ш
с произвольно отмеченными точками. Разбиение Пг яв-
является последующим и по отношению к разбиению П и
по отношению к разбиению Пь По условию имеем
|Sn(f)-Sn,(f)|<e,
откуда и следует требуемое неравенство A).
б. Следствие. Если при любом е > 0 существует
такое б > 0, что для любого разбиения нагруженного
пространства X с <2(П) <. б и для любого последующего
разбиения П' выполняется неравенство
то функция f{x) интегрируема на пространстве X,
3.22 § 3.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 203
Действительно, при выполнении условий следствия
для любых двух разбиений П н П| с rf(II) < б и
rf(II) < б, согласно а, выполняется неравенство
Таким образом, для интегральных сумм Sn (/) и напра-
направления d(Tl) -* 0 выполнен критерий Коши, который и
обеспечивает существование интеграла.
3.22. Теорема существования интеграла
для непрерывной функции.
а. Пусть Р — подмножество метрического простран-
пространства X. Обозначим через
«,(Р. б)= sup |f(*')-/(*"H
х'ер. х»еР
колебание функции f(x) на множестве Р с: X.
б. Пусть Р сг X — некоторое простое множество с ме-
мерой тР C.18в) и n = {P=(j аЛ— его разбиение на
ячейки без общих точек. Интегральную сумму по мно-
р
жеству Р, т.е. сумму вида l&ffedmAi, €удем обозна-
обозначать через Sn(f, P), сохраняя обозначение Sn(f) для
случая Р—Х. nycTbo=maxdiam>4t.
Лемма. Для всякого последующего разбиения П'
указанного множества Р
I Sn (f, Р) - Sn> if, P) I < ©, (Р, б) mP. A)
Доказательство. Пусть
где Ai = {J Atl. Часть интегральной суммы Sn' (f, P),
приходящаяся на ячейку Ait имеет вид
Для соответствующего слагаемого f(%i)mAi ин-
интегральной суммы Sn(f,P) (li^Ai) справедливо
я-, ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ --„
304 Я.23
неравенство
6) mA{,
откуда и следует A).
Следующая теорема является основной. Определения
и результаты а, б используются в ней в предположении,
что Р=Х. Случай Р ел, Р ФХ нам понадобится
в дальнейшем C.24).
в. Теорема.- Всякая равномерно непрерывная
функция f(x), определенная на нагруженном простран-
пространстве X, интегрируема.
Доказательство. Для заданного е > О можно
найти такое б > 0, что щ(Х, б) < в/BпгХ). Поэтому
для любого разбиения П с <2(П) < 6 и для любого по-
последующего разбиения IF неравенство A) имеет след-
следствием неравенство
\Sn'tf)-Sn(J)\<<i>f(X, 6)mX<e,
и остается применить 3.21 б.
г. Следствие. На нагруженном компакте X вся-
всякая непрерывная функция интегрируема.
Действительно, всякая непрерывная функция f(x) на
компакте X является равномерно непрерывной @5.17),
и результат следует из в.
3.23. Нам понадобятся интегралы и от некоторых
разрывных функций со сравнительно небольшим множе-
множеством точек разрыва. Для характеристики таких мно-
множеств введем "следующие определения:
а. Пусть А — подмножество метрического простран-
пространства ХихеХ — любая точка. Число
р(х, А)= inf p(x, у)
называется расстоянием от точки х до множества А.
б. Множество
: р(х, А)<Ь]
назовем р-окружением множества А с: X.
5.24 § SA ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 205
в. Множество А с X называется лежащим строго
внутри множества В czX, если при некотором в > 0
имеет место включение U6(A) cz В.
г. Пусть А и В — два подмножества в метрическом
пространстве X. Положим
d(A, B)= inf р(*. у).
хч=А
уев
Ясно, что d(A, В) =0 тогда и только тогда, когда у мно-
множеств А а В имеется хотя бы одна общая предельная
точка; в противном случае d(A, В) > 0.
Очевидно, если А лежит строго внутри В, то
d(A, Х — В) >0, и обратно, если а(А, X — В) > 0, то
А лежит строго внутри В.
д. Множество Z в нагруженном пространстве X на-
называется нуль-множеством, если при любом е > 0 его
можно заключить строго внутрь конечного объединения
р
ячеек Аи ..., Ар с 2 m^i < e-
е. Объединение Z конечной совокупности нуль-мно-
нуль-множеств Zx, ..., Zn есть снова нуль-множество: действи-
действительно, если Zk содержится строго внутри объединения
ячеек A\k), ..., Af?, k = 1, ..., п, то Z содержится
внутри объединения ячеек А[*\ .... ЛУ|,..., А\п) Л'"^;
если при этом ячейки Л/й) взяты так, что
п Ч
то 2 2 tnAf' < е, что и требуется.
fc=i i=i
3.24. а. В теории интеграла в случае функций одного
переменного х, а ^ х ^ Ь, устанавливалась интегрируе-
интегрируемость кусочно-непрерывных функций — функций, имею-
имеющих лишь конечное множество точек разрыва на отрез-
отрезке [а, Ь] @9.16).
Аналогом этой теоремы для функций на нагружен-
нагруженном пространстве является следующая теорема:
Теорема. Пусть X — нагруженное пространство и
Z с X — некоторое нуль-множество. Всякая ограничен-
ограниченная функция f(x), равномерно непрерывная вне любого
окружения множества Z; интегрируема на Х%
206 гл- У ИНТЕГРИРОВАНИЕ ^Л^
Доказательство. Мы покажем, что ври любом
е > 0 существует такое д > 0, что для любого разбие-
разбиения П с rf(II) <6и для любого исследующего разбие-
разбиения И* выполняется неравенство
тогда утверждение теоремы будет следовать из 3.2Гб.
Пусть M=sup|f(x)|. Для любого е "> 0 по условию
существуют ячейки Аи ..., Ар с 2 mAf <? г/DМ), объ-
/=1
единение которых содержит множество Z строго внутри
р
себя. Положим B = X — {jAP По 3.23г d(Z,B) на
в= 2р > 0. Функция f(x) равномерно непрерывна вне
р-окружения множества Z; поэтому существует такое
т > 0, что из р(х', х") < 2т, *?. (Е В, дс" е В, следует
1/(•*') —/(*")! < е/BтХ). Будем рассматривать любое
покрытие П пространства X с d(Tl) < 6 =min (т, р) и
любое последующее покрытие И'.
Всю совокупность ячеек С\, ..., Сп разбиения П
разделим на два класса. В первый класс отнесем те
ячейки, которые целиком лежат в объединении ячеек
'Аи ..,, Ар, во второй — все остальные ячейки, кото-
которые тем самым заведомо пересекаются с множест-
множеством В.
Ячейки второго класса целиком располагаются вне
р-окружения множества Z, поскольку их диаметр мень-
меньше, б^р и они содержат точки, отстоящие от Z больше
чем на 2р. -Пусть Р есть объединение ячеек первого клас-
класса и Q — объединение ячеек второго класса. Соответ-
Соответственно разобьем на два класса ячейки Dt последующе-
последующего разбиения П'; в первый класс отнесем те ячейки, ко-
которые содержатся в множестве Р, во второй класс — те,
которые содержатся в множестве Q. Оценим раз-
разность между интегральными суммами 5д(/) и Sw{f). Мы
имеем
|Sn(f)-Sn'(/)|<1Sn(f, Р)l + lSir(f, P)\ +
+ \Sntf7Q)-Sw(f,Q)\.
3.24 § 3.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 20?
Первые два слагаемых оценим с помощью леммы
3.186:
р
JJ^^\, A)
~—}¦; B)
Dt<=P *=1
далее, по лемме 3.226
I Sn (f, Q) - 5n-(f, Q)f <<»f (Q, 6)mX<^JmX =|. C)
Из (I), Щ к (З) следует, что
что и требуется.
б. Следствие. Ограниченная функция /(Jt), от-
отличная от 0 лишь на нуль-множестве 2 нагруженного
пространства X, интегрируема на Хг и ее интеграл ра-
равен О.
Действительно, функция f(x} равна 0 и, следователь-
следовательно, равномерно непрерывна вне любого окружения мнв-
жества Z; ее интегрируеиость следует из теоремы а. Да-
Далее, используя обозначения этой теоремы, заметим, что
Sfftf) = SD(/, РУ + Snif, Q) = Snff, P),
так как на множестве Q с: X — UP{Z) функция f{x)
равна 0. Отсюда и из (I) следует, что
и, значит,
[f(x)dx= Hm
J й(П)-
в. Следствие. Пусть Пь Пг, ... — последователь-
последовательность разбиений нагруженного пространства X с
<*(П„) -*0, a tnn[Z} — сумма мер тех ячеек разбиения
Пп, которые содержат точки некоторого фиксированного
нуль-множества Z. Тогда тя (?)-»¦ 0«
808 Гл. з, интегрирование в.2в
Действительно, mn(Z) есть интегральная сумма для
функции f(x), равной 1 на множестве^ и 0 вне множе-
множества Z, если для ячейки С{, содержащей точки множе-
множества Z, в качестве отмеченной точки gi выбирать имен-
именно какую-либо точку из Ct Л Z. Поэтому утвержде-
утверждение в следует из б.
3.25. Для случая компактного нагруженного про-
пространства X условия теоремы 3.24 можно сформулиро-
сформулировать несколько проще, не интересуясь специально равно-
равномерной непрерывностью функции вне окружений данно-
п> нуль-множества. Сначала установим лемму:
а. Л е м м а. На нагруженном компакте X ограни-
ограниченная функция f(x), у которой все ее точки разрыва
образуют нульмножество Z, равномерно непрерывна вне
любого окружения множества Z.
Доказательство. Допустим противное: для не-
некоторых б > 0 и е > 0 существует последовательность
точек х?п, х"а (л=1, 2,...) такая, что p(x^,Z)^6,
р«, Z)>6, р(л?, *?)<¦?. |ftoi)-f(j?)l>e. Так как
X — компакт, то, переходя в случае необходимости к
подпоследовательностям, можно считать, что последова-
последовательности х'п и х2. имеют некоторый общий предел г.
Тем самым точка г является точкой разрыва, функции
f(x) (ср. 05.17 6) и, следовательно, входит в Z. Но из
неравенств р{х?п, Z)^6 легко следует, что и p(z, Z)^ б;
а это противоречит тому, что Z — множество всех точек
разрыва функции f(x). Лемма доказана.
б. Теорема. Если совокупность Z точек разрыва
ограниченной функции f(x) на нагруженном компакте X
является нуль-множеством, то функция f(x) интегри-
интегрируема на X.
Доказательство. По лемме а функция /(х) рав-
равномерно непрерывна вне любого окружения множе-
множества Z; остается применить 3.24 а.
§ 3.3. Жордановы множества
3.31. а. Подмножество G нагруженного пространства
с нагружением 91 называется жордановым множеством
(точнее, жордановым относительно нагружения Щ, если
его граница, т. е. совокупность точек, принадлежащих
§ 3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА 209
одновременно и к замыканию О, и к замыканию X—Q,
есть нуль-множество. Замкнутые жордановы множества,
обладающие всюду плотным подмножеством внутренних
точек, называются также жордановыми телами.
Характеристическая функция /G (х) множества G —
т. е. функция, равная 1 при х е G и равная 0 при
х ф. G, — имеет своими точками разрыва точки границы
множества G. Поэтому, если G — жорданово множе-
множество на нагруженном компакте X, то функция %g(x) ин-
интегрируема C.25 6). Интеграл от функции %g(x) назы-
называется объемом множества G и обозначается через \G\
(или, при необходимости, через |G|a).
б. Ячейки в нагруженном компакте X могут не быть
жордановыми множествами (см. задачу 7). Но если
данная ячейка А является жордановым множеством, то
ее объем \А\ равен исходной мере пгА этой ячейки. Дей-
Действительно, рассмотрим интегральную сумму для функ-
функции %а (х), построенную по произвольному разбиению П.
Если в качестве отмеченных точек ?,- в ячейках из П,
пересекающихся с А, брать точки из Л, то значение этой
суммы окажется равным сумме мер всех таких ячеек и,
следовательно, будет не меньше, чем мера ячейки А.
Если же в тех слагаемых интегральной суммы, которые
пересекаются с дополнением X — А, в качестве точек |3-
взять точки из X — А, то значение интегральной суммы
окажется равным сумме мер ячеек разбиения П, цели-
целиком лежащих в А, и, следовательно, будет не больше,
чем мера ячейки А. Так как по условию ячейка А жор-
данова, ее объем, т. е. интеграл от ее характеристиче-
характеристической функции как предел чисел, не меньших меры А, и
чисел, не больших меры А, равен мере ячейки А, что и
утверждалось.
в. Нагруженное пространство, в котором все ячейки
жордановы, т. е. имеют границами нуль-множества, бу-
будем называть нормально нагруженным пространством,
а соответствующее нагружение — нормальным погруже-
погружением. Мы показали в б, что в нормально нагруженном
пространстве объем \А\ каждой ячейки А равен ее мере
гпА. Для объема жорданова множества G в нормально
нагруженном пространстве употребляется, наряду с сим-
символом \G\, также, символ mG,
2Ш ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если повторить рассуждения б для любого жордаво*
ва множества G, то мы получим, что в нормально на-
гружепнам пространстве объем каждого жорданова
множества G не меньше, чем сумма объемов цп> F) вхо-
входящих в него ячеек {любого) разбиения Ш, и не боль-
больше, чем сумма объемов pn'{G) пересекающихся с ним
ятем ^любого) ршб&ения П* Поэтому, переходя к точ-
ник грают, имеем
(I)
а так как множество G жордавово, т. е. функция %а{х}
интегрируема, на самом деле в A} стоят знаки равен-
равенства:
В часгаости, для любого жорданова множества G и
любого b7>Q (b<L\G\), можно указать такие простые
множества Р и Q (объединения непересекающихся
ячеек), что Р a G с: Q и
lQI<[G| + e, \P\>\G\-z.
г. Лемма. В нормально нагруженном пространстве
для.каждой ячейки. А и любого &> 0 можно указать
пр&съое множество Р, содержащее строго внутри себя
ячейку: А и такоег что тР < тА -\- е.
Доказательство. Пусть Г—граница ячейки A-t
тогда Г является нуль-множеством. По определению оно
лежит строго внутри конечного объединения ячеек
Аи .... Ар с суммой мер, меньшей е. Простое множе-
множество Р=А U Ai U ... U А9 содержит ячейку А уже стро-
строго внутри себя. Мера его, по 3J8e, не превосходит
тА -\- mAt -J-... '4- тА9 ^ тА -\- е, что и требуется,
д. В- нормально нагруженном пространстве X опреде-
определение нудь-множества 3.23 д можно упростить. Именно,
в таком пространстве X множество Z аХ является нуль-
множествомг если для любого а > 0 существует конеч-
р
ное объединение ячеек Аи .,,, Ар с ^шА^<е, по-
3.32 § 3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА fijj
/срывающее Z (не обязательно содержащее Z строго
внутри).
Для доказательства достаточно заметить, что при на-
наличии указанного покрытия имеется и другое покрытие,
которое получается на основании г: каждую ячейку Aj,
/== i, ..., р, заменяем простым множеством Pj, tnPj ^
^ mAj-\- е/р, содержащим Aj строго внутри себя; объ-
объединение множеств Р, есть простое множество Р, содер-
содержащее строго внутри себя все ячейки Aj ш, в частности,
множество Z имеющее меру, не превосходящую в.
Более того, множество Z аХ является нуль-множе-
нуль-множеством, если для любого ъ > О существует жорданово
множество Ge Z3 Z с \Gt\ < «. Действительно, если для
заданного е > О вды нашли множество Ge zd Z с | Ge\ <C
<. e, то, по в, можно найти простое множество Qe =э G
с | QE | < 2ег, так как е > 0 произвольно, то, тю преды-
предыдущему, Z есть нуль-множество, что и требуется.
3.32. Теорема, а. Пересечение Gi Л G2 двг/л: дасор-
дановых множеств С\ и С2 есть жорданово множество.
б. Объединение G\ U G2 двух жордановых множеств
G\ и G2 есть жорданово множество, и если G\ и G2 не
пересекаются, то
\Gll)G2\=\Gl]+\G2]. A)
в. Дополнение Е — G жорданова множества G до
оюорданова множества EzdG есть жорданово множе-
множество, и
\E-G\=\E\-\G\. {2)
Доказательство, а. Граница Gi fl G2 не может
содержать точек, внутренних одновременно "для Gi и С2
или одновременно для их дополнений. Поэтому граница
G\ П G2 содержится в объединении границ множеств G\
и G2 и является нуль-множеством в силу 3.23 е. Следо-
Следовательно, множество Gi П G2 жорданово.
б. Граница G\ U G2 по тем же причинам содержится
в объединении границ множеств G\ и G2 и является
нуль-множеством; следовательно, множество Gx U G2
жорданово. Если множества G\ и G2 не пересекаются, то
212 ГЛ. 8; ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.33
XGl(*)-f XOlM = XOlUO,M и, по ЗЛ4в,
в. По тем же причинам граница Е — G лежит в объ-
объединении границ ? и О, так что множество Е — G жор-
даново. В силу б имеет место равенство \Е — G\ +
+ |G| = |?'|, откуда и следует B).
3.33. Интеграл по жорданову множеству.
а. Пусть f(x) —ограниченная функция на нагружен-
нагруженном компакте X, \[(х) | ^ М, a GczX— жорданово
множество с границей Г. Определим интеграл от функ-
функции f (х) по множеству G с помощью формулы
*)<**• A)
Если функция f{x) непрерывна на G, исключая некото-
некоторое нуль-множество Z, то функция f(x)%G(x) непрерыв-
непрерывна на всем пространстве X, исключая нуль-множество
Z U Г. Поэтому, согласно теореме 3.25 6, интеграл A)
существует.
В^частности (что легко проверить и непосредствен-
непосредственно), для интеграла по жорданову множеству справед-
справедливы все правила 3.14 а — е; при этом в оценках число
тХ, фигурирующее в 3.14, следует заменить на \G\.
Можно добавить к ним ^следующее:
б. Если функция f(x) интегрируема на непересекаю-
непересекающихся жордановых множествах Gt и G2 нагруженного
компакта X, то она интегрируема и на их объединении,
причем
J f(x)dx= $f{x)dx+ jf(x)dx.
G,uot at Gt
Доказательство очевидно из разложения
8.83 § 3.3. ЖОРДАНОВИ МЙОЖЁСТВА 2ff
Множества Gi и G2 могут и пересекаться, но лишь
по нуль-множеству, в частности, множества G\ и G2 мо-
могут иметь общие граничные точки (но не внутренние!).
Отсюда следует, что объемжордановамножества GilN'2
равен сумме объемов Gi и G2, если Gt и G2 не имеют
общих внутренних точек.
Разумеется, приведенные предложения справедливы
и для любого (конечного) числа слагаемых G\ Gh,
не имеющих попарно общих внутренних точек.
в. В нормально нагруженном пространстве C.31 в)
интеграл от функции f(x) по множеству G можно опре-
определить независимо от интеграла по всему пространству.
Жордановым разбиением множества G назовем произ-
произвольный набор жордановых множеств Еи ..., Es, не
имеющих общих внутренних точек и удовлетворяющих
s
условию (J Et = G. Для каждого жорданова разбие-
ния П составим интегральную сумму
,\, B)
где ?,- — некоторая точка из Ej. Пусть d(II) =
=max diam Ej.
Теорема. При сформулированном выше условии
на функцию интеграл A) является пределом интеграль-
интегральных сумм B) по любой последовательности разбиений
Пь П2, ... с d(nn) -* 0.
Доказательство. Интегральная сумма B) есть
интеграл по X от функции /п(*)> равной f(|j) при
х^ Ej и 0 вне множества G. Эта функция интегрируема,
поскольку она непрерывна вне Z и границ всех жорда*
новых множеств Ej, а все эти множества в совокупности
образуют нуль-множество C.25 6) Z\. Пусть Ль...
..., Ар — какая-либо система непересекающихся ячеек,
содержащая внутри себя множество Z\, с суммой мер,
р
меньшей е/DМ), и пусть />= (J А{. Так как X — нор-
мально нагруженное пространство, то Р — жорданово
множество C.32 6) и |Р| =тР <с е/DМ). Функция f(x)
вне любого окружения множества Zt равномерно непре-
непрерывна C.25 а); для заданного е >• 0 найдется такое
ГЛ, », ИНТЕГРИРОВАНИЕ
114
d > 0, что
при d(H)<fi. Потому на основании б
ifx>dx Sn(f'G)r
J f(x)%Q{x)dx— j /nl
x x
J
P
J
X-P
j \fW-fn(x)\dx<
X-P
AM
2mX
откуда и следует утверждение.
Для функции f{x), непрерывной на жордановом
множестве G, сразу получаем оценку
, G)
S[fW-fu(x)]dx
C)
г. Определение в можно трактовать таким образом-
Жорданово множество G в нормально нагруженном про-
пространстве X само является нагруженным пространством,
ячейками в нем служат жордановы подмножества мно-
множества G (или даже только пересечения ячеек А сг X
с множеством G), а мерой — их объемы. Из 3.32 следует
выполнение всех аксиом 3.12 а — д. Интеграл от функ-
функции f(x) no G, как нагруженному пространству, и есть
интеграл от функции f(x)%a(x) по жорданову множе-
множеству G в смысле определения о. Есяи при этом функ-
функция f (x) определена только на С, то ее всегда можно
считать определенной и на всем Xt полагая, например,
?(H^G
§ 3.3. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА 215
д. Наконец, можно яайти интеграл от функции f(x\
по жорданову множеству G следующим образом. Пусть
Пь Щ ...—произвольная последовательность разбие-
разбиений компакта X с а"(пп) -* 0; обозначим черезХ}*\ , ¦..
...» €f) те ячейки разбиения Пп, которые целиком яо-
пали в множество С, и пусть $"'еС/' — произвольно
выбранная точка. Тогда суммы
kn
ЪН&^р D)
при п-+оо имеют пределом интеграл (I).
Действительно, написанные суммы являются интег-
интегральным суммами для функции f(x)%G(x) по разбие-
разбиению П„, если в ячейках Л^п) отмечаются точки %^\
а в остальных ячейках — точки, не принадлежащие мно-
множеству G. Так как функция Цх)%в(х) интегрируема на
Х(а), то суммы D) имеют пределом ее интеграл, т.е.
в соответствии с определением а, интеграл от функции
f(x) no множеству G.
е. Эквивалентные нагружения. На одном
и том же метрическом пространстве X р-ассмотрим два
нагружения, т. е. два полукольца 91 и 33, состоящие из
ячеек ЛеЯиВеШс мерами пгА и цВ, соответствен-
соответственно удовлетворяющими условиям 3.12 а — д. Нагружения
21 и 53 называются эквивалентными, если всякая функ-
функция f(x), интегрируемая на пространстве X с нагруже-
нием 91, интегрируема на X и с нагружением S3, и обрат-
обратно, причем
J f(x)dx= J f(x)dx. E)
X. Я X, ©
Ниже приводится критерий эквивалентности двуя
нормальных нагружений.
Теорема. Если каждая ячейка 4еЯ есть жорда*
ново множество в нормальном нагружений S3, причем
тА=\А\<&, а каждая ячейка В е S3 есть жорданово
множество в нормальном нагружений SI, причем цЛ=
= |В|«, та нагружения 91 и ю эквивалентны.
Доказательство. Ввиду симметрии определе-
определения и условия достаточно рассмотреть случай, когда
216 РЛ- 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
функция f(x) интегрируема на пространстве X с нагру-
жением % и доказать, что при выполнении условий тео-
теоремы она интегрируема на л с нагружением 93, причем
имеет место равенство E). Пусть }(х) —функция ука-
указанного вида и 2f(?/)nfi/ (li^Bj) — ее интеграль-
интегральная сумма относительно нагружения 93. Эту же сумму
можно. записать в виде ^filj^Bj^. При измельчении
разбиения последняя сумма, согласно в, имеет предел,
равный интегралу от f(x) в нагружении 21; тем самым
оказывается, что функция f(x) интегрируема и в нагру-
нагружении S3 и интегралы от нее в обоих нагружениях сов-
совпадают, что и требуется.
ж. Пример. В 3.15 б в n-мерном брусе X было вве-
введено нагружение с помощью системы подбрусов^
А = {х<=Х: а,<*,<§, аЛ<хЛ<р„} F)
(где знаки ^ разрешалось заменять на <), с мерой
подбруса А, равной его объему vA. Возьмем здесь в ка-
качестве бруса X n-мерный куб
а ячейками будем считать только подбрусы следующего
специального вида:
«7 = 0, 1, 2, ...; р„ slt ..., Рп, sre = 0, ±1, ±2, ...,
1 0=1, ...,n)
(где знаки ^ разрешается заменять на <). Систему
всех брусов В обозначим через 58. Брусы В предста-
представляют собой либо кубы с ребром 1/29, либо части гра-
границ таких кубов. Если отвлечься от границ, два куба из
системы S3 или вовсе не пересекаются, или один из них
содержит другой, и в последнем случае меньший куб
может быть дополнен до большего кубами из систе-
системы S3 того же (что и меньший) размера. Отсюда сле-
следует, что система 93 образует полукольцо. Мерой ячей-
ячейки В, как и раньше, будем считать ее объем vB. Таким
образом, система 53 определяет догружение; ада хотим
3,34 S 3.3. ЖОРДАЙвЮЫ МНОЖЕСТВА 217
показать, что нагружение В эквивалентно исходному на-
гружению, которое мы обозначим через 51.
Для доказательства достаточно проверить, что каж-
каждый подбрус А F) является жордановым множеством
в нагружении 93 и что |Л|© = vA. Первое ясно из того,
что граница любого бруса А при любом е > 0 очевид-
очевидным образом может быть покрыта конечным числом ку-
кубов системы S3 с суммарным объемом < е. Далее, для
бруса А можно построить два бруса Р и Q, которые со-
составлены из кубов системы S3, так что Р cr A cr Q и
объемы брусов Р, A, Q отличаются друг от друга менее
чем на е. Отсюда, в силу 3.32 в,
I А \в = sup | Р \в — sup vP = vA,
что и требуется.
Аналогичное построение можно провести для лю-
любого куба X = {x(BRn: | *i — CjKd, ..., \хп — а|<#
с ячейками вида
с теми же допустимыми значениями q, pu slt ..., рп, sn.
3.34. Повторный интеграл.
а. Пусть X и У — два нагруженных пространства и
XX У= W — их произведение с нагружением 3.17.
Для ячеек А сХ, В cnY с границами Т(А)сХ,
T(B)cz Y граница ячейки Ау< В czW, как легко видеть,
лежит в множестве (Г(Л)Х В)[)(А X Г (В)). Если при
этом Г (Л) лежит строго внутри объединения ячеек
А\, ..., Ар, а Т(В) лежит строго внутри объединения
ячеек fij Bq, то (Г(Л)Х В) [}(А X T(fi)) лежит
строго внутри объединения ячеек
(Л,ХЯ)и ... i)(APXB)l)(AXB1)[) ... \}{АХВ„)
с суммой мер не большей, чем
mAxmB + ,.. + mAptnB + тАтВ{ + ... + mAmBq =
mAA mB + mAy2i тВА .
Отсюда легко следует, что если ячейки А и В жорда-
новы, то и ячейка А X В жорданова. Поэтому, если X и
218 гл, s. инштиройдвие
Y — нормально нагруженные пространства, то и W =
= X X У— также нормально нагруженное пространство.
6. Пусть f(w)nf(x, у)—функция, определенная на
некотором множестве f/ с if X F и равномерно непре-
непрерывная на нем..
Теорема. Если множества U жорданово и при каж-
каждом фиксированном уgF совокупность Х, = {хеX:
je X У S #} («горизонтальное сечение множества Е/»)
также является жорданавым множеством в X, то функ-
функция
интегрируема по у и
l B)
I/
Доказательство. Пусть Их, Пу — разбиения
пространств X и У на ячейки Д*, Bj, диаметры которых
не превосходят б. Тогда произведения Л,- X В) образуют
разбиение XX У на ячейки с диаметрами ^6^2. Пе-
Пересечения (Агу^В^(\и образуют жорданово разбие-
разбиение П множества U с dA1)^6^2. Пересечения
Д П Ху образуют жорданово разбиение Ilv множества
Ху с d(Hy) < 6.
Согласно 5.35C)
Положим в этом неравенстве у = tjj e Б^, умножим на
В и просуммируем по /:
^ Of F) mXmY.
В двойной сумме выделим слагаемые, для которых
Л,- X Bj (ячейки, которым принадлежат точки (|ь щ))
содержат точки границы множества (Л: Так как
3.34 § 33. ЖОРДАНОВЫ МНОЖЕСТВА
U — жорданово множество, то сумма мер vF)
этих ячеек, в силу 3.24 в, стремится к нулю вместе
с 6. Если каждое такое слагаемое заменить на
f(li,i\})fn[(AiXBj)CW], то сумма изменится, самое
большее, на 2MvF). Поэтому
< &f F) mXmY 4- 2Mv F). C)
Вычитаемое в левой части C) представляет собой инте-
интегральную сумму, имеющую пределом величину
J / (w) dw.
и
Значит, первая сумма при б —»¦ 0 имеет предел, а так как
она является интегральной суммой для функции F{y)
по нагруженному компакту Y, можно заключить, что
функция F(y) интегрируема и имеет место равенство {2),
Теорема доказана.
Равенство B) можно переписать в виде
lf(x,y)dxdy=lt \f(x,y)dx\dy. D)
U Y {xv i
Интеграл справа называется повторным интегралом. Ра-
Равенство D) позволяет свести вычисление интеграла по
множеству U dW к вычислению повторного, содержа-
содержащего интегрирования по множествам Ху и Y в отдель-
отдельности.
в. Заменяя в условии теоремы X на У, получаем сле-
следующий результат:
Теорема. Если каждое множество Yx = {y^Y:
х\у е[/} («вертикальное сечение множества ?/») яв-
является жордановым (в У), го функция
Ф(х)= J f(x, y)dy
интегрируема по х и
*Я. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.85. Интегралы, зависящие от парамет-
р а. Здесь будут рассмотрены интегралы вида
A)
где X — нагруженное пространство, at — параметр, из-
изменяющийся в некотором метрическом пространстве Т.
Предполагается, что функция f(x, t) интегрируема
по х при каждом t eT. Наша задача состоит в изуче-
изучении свойств функции Ф@'> в первую очередь — условий
ее непрерывности, а затем, при специальных предполо-
предположениях относительно пространства Т, — ее интегрируе-
интегрируемости и дифференцируемости.
Для случая, когда X — [а, Ь], соответствующие во-
вопросы были рассмотрены в 09.81—84.
а. Доказательство теоремы о непрерывности Ф@
можно провести по образцу 09.81.
Теорема. Если функция f(x, t) равномерно непре-
непрерывна на метрическом пространстве Ху^Т, иными сло-
словами, если величина
<of {X X Т, 6) в sup | / {xf, t') - f (*", *") |
стремится к нулю при б-»0, то функция Ф@ равно-
равномерно непрерывна на пространстве Т.
Доказательство. Для заданного е >0 найдем
такое бо > 0, чтобы при б<бо имело место неравенство
&ЛХХТ, 6)<г/тХ. Пусть р(/',Г) < б < б0; тогда
| Ф (О - Ф (*") | =
J [/ (д:, /') - / (х,
\f(x, t')-f(x, nidx^VfiXXT, 6)mX
x
и, следовательно,
оф(Т, 6)нэ sup
что и доказывает равномерную непрерывность функции
Ф(*) на пространстве Т.
б. Предположим теперь, что не только X, но и Т яв-
является нагруженным пространством с мерой ц. Тогда
3.3S § 3.3. ЖОРДДНОВЫ МНОЖЕСТВА 221
функция ФA)> как всякая равномерно непрерывная
функция на нагруженном пространстве, интегрируема
по t {3.22в).
Теорема. При указанных предположениях
J <D(Q<tt_ J ( J f{x, t)dx\dt = J ( J f(x, t)dt\dx. B)
T T (X ) X (T J
Доказательство. Пространство XXT также яв-
является нагруженным пространством с мерой ячеек С =
= АХВ, равной тА-цВ {3.17). Функция f{x, t), рав-
равномерно непрерывная на X X Т, интегрируема на нем
{3.22 в). Равенство B) выражает теперь просто правило
сведения интеграла к повторному, установленное в 3.34.
в. Пусть теперь параметр t изменяется в линейном
нормированном пространстве Т и функция f{x, t) при
каждом х е X и t = t0 обладает производной ^ "
в смысле 1.23.
Теорема. Если функция дП?1)(XXT-+XXL(Л)
непрерывна по аргументу t при t = to равномерно по
х е X, то функция Ф {t) дифференцируема и
ddt i
tUx
dt
¦dx. C)
Доказательство. Используем разложение, вы-
вытекающее из 1.42 г:
f{x,t) = f{x,to)-l
где
Интегрируя почленно, получаем
Ш. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ «38
Поскольку
щричем e-*0, к©гда \t—?o\-r+Q в силу равномерней во *
непрерывности ^— при f = *о, функция Ф (f)
^ «ьщелешие сяавяой линейной части по t —10,
равной янтетраду в дравой части ^C^ лримшенн&му
к вектору i — i®. Это и дсжазьй^ает утверждение.
г. Следствие. В предположениях в для любогош-
правлешиш х m пространстве Т из существования и не-
прерывтжти производной ?' следует дифферен-
цируемосл) функции Q>(t) no направлению х и равенство
8.36. Дельта - o6f азвие последователь-
последовательности. Точку у иа1ружеянот пространства К будем
называть жордашвай яотвй, «если для любого S > 0 су-
существует жорданово множество U диаметра ^ 6, содер-
содержащее точку а/ схрого внутри. Последовательность ин-
интегрируемых неотрицательных функций Di(x), D2(x),...
будем называть дельта-образной последовательностью
для точки $(, аеяя яла лнобшго жордаиова множества U,
содержащего точку у строго внутри, выполняются пре-
предельные соотношения
1) lim \Dn(x)dx=l,
2) lim f Оп(х)йх=Ъ.
Тогда для любой функции fix), для которой see про~
изведения f{x)D^(x) интегрируемы на пространстве X и
которая непрерывна при х = у, тыполпяется-соотноше-
тыполпяется-соотношение
lim \Dn{x)f{x)dx =
&4f § 3.4, ОТОБРАЖЕНИЯ ШГРУЖЕННВПС ПРОСТРАНСТВ 23
Доказательство можни нршеств по образцу доказа-
доказательства гаответствующей теоремы 012.45 6, заменив
в кем функцию Dn(xr у) на В„$х), отрезок Q—на на-
нагруженное пространств® X в. окрествееть &*(#)—на
жордатво множество U, содержащее точку д. строго
внутри и тавота малого диаметра, чтобы все значения
футащии ffyty на множестве U ояягичаугась от f(gft не
бояее чет на ааданнше число & > 0.
§ 3.4. Отображения нагруженных пространств
3.41. а. Пусть X — нагруженное пространства с по-
полукольцом % ячеек А и мерой тА„ Мера, как мы знаем,
есть неотрицательная и аддитивная функция ялеек.
Кроме меры,, бывают и другие аддитивные функ-
функции ячеек, принимающие» возможно» значения обоих
знаков.
Аддитивность функции ячеек Ф(А), так же как и ад-
аддитивность меры тА, выражается равенством
... +Ф(ЛР), A)
которое должно иметь BfecTO всякий1 ра^ когда ячейка А
есть объединение непересекающихся ячеек А\, ..., Ар.
Функция Ф(Ау называется усиленно а&дптиеятШ, если
равенство A) имеет место также и для ячеек Аи..,Ар,
пересекающихся попарно лишь по нуль-множествам.
Будем; предполагать в дальнейшем, что Ф(А) = @
для каждой ячейкк А с тА ¦= (к
б. Примером^ являетт функция ячеек
где f(x) (рзвшшерно) непрерьшиая функция на нор-
нормально нагруженном проетрйистве JL Ее усшьеянаж aot-
дитивйоеть следует из З-.ЗЗ & Есии функция ffa} прянк-
мает зяачен№ разных зиадаов». то в функция Ф{А)
приншйает зиачкния разных знаков. Если тА == &, то,
очевидно^, » Ф$А} = 0.
в. Для ^усиленна) аддтаившлх функций яч^к Ci-(A]t
и Фг(Л) линейная комбинация ai©j (Л)«4-®^s(^-) |ttf к
f?4 ГЛ* ^ ИНТЕГРИРОВАНИЙ 8.4f
02 — вещественные коэффициенты) снова есть функция
ячеек, и притом, как легко видеть, (усиленно) аддитив-
аддитивная функция. Таким образом, (усиленно) аддитивные
функции ячеек образуют линейное пространство.
г. Если шА > 0, то частное Ф(А)/шА называется
средним значением функции Ф(А) на ячейке А.
3.42. а. Будем говорить, что последовательность
ячеек Аи .... As, ... стягивается к точке i/eX при
s -> оо (и записывать это так: As—*y), если точка у на-
находится внутри или на границе каждой ячейки As, и лю-
любой шар с центром в точке у содержит эти ячейки, на-
начиная с некоторого номера.
б. Пусть As—*-у; если последовательность чисел
Ф(Л8)/тЛ8 (тД, > 0) имеет предел, не зависящий от
выбора последовательности As с mAs > 0, стягиваю-
стягивающейся к точке у, то этот предел называется плотностью
функции Ф(Л) в точке у. Плотность функции ячеек обо-
обозначается соответствующей малой буквой. Таким обра-
образом,
As-*y тЛ»
в. Из неравенства 3.14 G) для функции ячеек B)
mif{x)-mA^O(A) = f f(x)dx^supf (x) ¦ mA
А А А
и непрерывности f(x) на X следует, что функция ячеек
B) обладает плотностью, равной в каждой точке i/eX
значению f(y). Кроме того, по самому определению
функции Ф(Л) она есть интеграл по ячейке А от своей
плотности. Оказывается, на полном нормально нагру-
нагруженном пространстве X последний факт носит общий ха-
характер: как мы покажем в 3.44, всякая (усиленно) ад-
аддитивная функция ячеек Ф(Л), обладающая (равно-
(равномерно) непрерывной плотностью <р(*), восстанавливает-
восстанавливается по своей плотности интегрированием по ячейкам.
3.43. а. Лемма. Если функции ячеек Ф1 (А) и Фг(Л)
имеют в точке у плотности соответственно (pi (у) и фгA/),
то при любых вещественных <ц и ссг функция ячеек
Ф(Л)= a^i(>l)-f сс2Ф2(Л) имеет в точке у плотность
¦8:43 5 3.4. отображения нагруженных пространств 225
Доказательство следует из соотношения
Ф(Л) _ Ф,(Л) Ф2(Л)
тА ' тА 2 тА '
если в нем перейти к пределу при А —*¦ у.
-б. Лемма. Если при разбиении ячейки А с тА > О
на непересекающиеся (пересекающиеся по нуль-множе-
нуль-множествам) ячейки Аи ..., Ар среднее значение (усиленно)
аддитивной функции Ф в каждой из ячеек Л3- с mAj > О
по абсолютной величине меньше некоторой величины у,
то среднее значение этой функции Ф и на ячейке А по
абсолютной величине меньше у.
Доказательство. Из соотношений
<Y. ....
tnAp
вытекает, что
\Ф{А\)\^~утА\, ..., |Ф(Л,
таким образом,
I = утА,
откуда
I ф (Л) |
тА ^ "
что и требовалось.
в. Лемма. Если плотность <р(х) аддитивной (тем
более усиленно аддитивной) функции ячеек Ф(А) в пол-
полном нагруженном пространстве X тождественно равна О,
то и сама функция Ф(А) равна 0 на каждой ячейке А.
Доказательство. Пусть для некоторой ячейки
А = А\, mAx~>Q, мы имеем Ф(Л1) = 0. Тогда v =
|()|
Произведем разбиение ячейки Ах на меньшие ячейки
с диаметрами, меньшими 1. По лемме б среди этих
меньших ячеек найдется хотя бы одна — обозначим ее
через Л2, — на которой среднее значение функции Ф по
модулю не меньше у. Аналогично произведем разбиение
ячейки Л2 на меньшие ячейки с диаметрами, меньшими
'/г, и среди этих ячеек найдем одну — обозначим ее
Аз, — на которой среднее значение функции Ф по
226 ГЛ. 8. ИНТЕГРИРОВАНИЙ
модулю также не меньше у- Продолжим построение не-
неограниченно; мы получим последовательность ячеек, дна-*
метры которых стремятся к 0 и в каждой из которых
средняя плотность функции Ф по модулю не меньше у.
Так как пространство X по условию полно, то по 03.74 а
существует такая точка у е X, что в любой шар с цент-
центром в этой точке попадают все ячейки Ль As,... ,AS,...,
начиная с некоторой, причем точка у лежит в замыка-
замыкании всех этих ячеек. Таким образом, последовательность
Ah ..., As, ..., стягивается к точке у. По усло-
условию мы имеем Hm\Q>(At\fmAa — О; но по построе-
S->oo
нию |Ф(Лв) \JthAg ^ у"> 0. Полученное противоречие
показывает, что ячейки А с тА > 0, для которой
Ф(Л) Ф 6, не существует. Лемма доказана.
3.44. Теорема. Если аддитивная (тем более уси-
усиленно аддитивная) функция ячеек Ф(А) имеет непре-
непрерывную на X плотность ф(х), то для любой ячейки А
Ф(А)= j <p{x)dx. (I)
А
Доказательство. Рассмотрим новую функцию
ячеек
А
Как мы видели в 3.41 бив 3.42 в, эта функция адди-
аддитивна и имеет своей плотностью функцию <р(*). Раз-
Разность Ф(Л)—\Р(/4) есть снова аддитивная функция
ячеек C.41 в), и по 3.43 а ее плотность равна 0. В силу
леммы 3.43 в эта разность сама равна нулю на каждой
ячейке Л; таким образом,
ф(*Мх, B)
А
что и требовалось.
3.45. Будем рассматривать отображение х — Q(u)
нормально нагруженного полного пространства U с ме-
мерой ячеек цВ в нормально нагруженное полное про-
пространство X с мерой, ячеек тА. Отображение 6 предпо-
предполагается однозначным, непрерывным и жордановым, т. е
переводящим каждую ячейку В положительной меры
9.46 5 W. ОТОБРАЖЕНИЯ НАГРУЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 227
пространства U в жордаиово множество 6(ZJ) положи-
положительной меры пространства X, причем ячейки Вг и Bs
без общих внутренних точек — в жордановы множества
Q(Bt) и Q(B2) также без общих внутренних точек. Бу-
Будем, кроме того, предполагать, что Q(U)= X. Опреде-
Определим на ячейках В пространства U функцию
Ф(В)=-т(в(В)).
(Поскольку множество 6 (В) является жордановым на
X, число т(в(В)) — ]$(В) | тем самым однозначно опре-
определено.) Функция Ф(В) в силу 3.33 г аддитивна. Пред-
Предположим, что у нее имеется плотность
которая является непрерывной функцией от и. Эта функ-
функция ф(«) называется коэффициентом искажения меры р,
при отображении 0.
Каждой непрерывной функции f(x), определенной на
пространстве X, можно поставить в соответствие непре-
непрерывную функцию g(u) = f(Q(u)) на пространстве U.
Зная коэффициент q>(«) искажения меры ц при отобра-
отображении в, можно связать интеграл от f(x) по простран-
пространству X с интегралом от некоторой функции по простран-
пространству U; именно, имеет место формула
jf(x)dx=jg(u)<p(u)du. A)
х и
Для доказательства рассмотрим аддитивную функцию
ячеек В a U
jf(x)d
е(в)
и найдем ее плотность. Мы имеем для цВ > О
J f(x)dx J f(x)dx
ПВ) в (В)
J
в (В) m (€ (В))
~~ тф(В)) ' цВ
B)
Пусть ячейка В стягивается в точку и. В силу непре-
непрерывности отображения 6 жорданово множество 6^В)
стягивается в точку х = 6{и). Так как функция f(x)
228 гл. з. интегрирование 3.51
непрерывна, первое из отношений в правой части B)
имеет предел, равный f(x). Второе отношение по усло-
условию имеет предел ф(«). Таким образом, функция \РE)
имеет плотность, равную f(x)q>(u) = g(«)q>(«), которая
непрерывна на U. По теореме 3.44 на каждой ячейке
пространства U и, в частности, на самом пространстве U
можно написать формулу восстановления функции обла-
области по ее плотности:
?(?/)= J f{x)dx- J g{u)<p(u)du,
к и
что и требовалось.
§ 3.5. Интеграл Римана в евклидовом пространстве
8.51. а. В брусе
мы установили структуру нагруженного пространства
C.15 б), принимая за меру ячейки
А = {х<=Х: а^дс^р,, ..., а„<х„<р„} A)
п
ее евклидов объем | А | = Ц ф/ — а;). То же относится
к ячейкам, получающимся из данной заменой некоторых
из знаков ^ на <Z, т. е. отбрасыванием из А некото-
некоторых участков границы.
б. Множество 2 является нуль-множеством в X
C.24 д), если при любом е > 0 оно содержится строго
внутри конечного объединения непересекающихся ячеек
(I) с суммой объемов ^ е. Границы наших ячеек яв-
являются нуль-множествами, так как, например, пло-
плоскость Xj = y при любом е > 0 и любом С > 0 содер-
содержится строго внутри ячейки
{х <= Rn: ах < хх < Ьи ...
..., y — Се < Xj < y + Се, ..., ап < хп < Ьп]
с объемом, равным (&i — «i). ..2Ce.. .(bn—ап), кото-
который при надлежащем выборе С можно сделать ^ е. Та-
Таким образом, пространство X является нормально на-
нагруженным C.31 в). Поэтому, на основании 3.31 д, при
3.51 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229
определении нуль-множества Z можно рассматривать
любые покрытия Z ячейками с суммарной мерой =g: e,
а не только содержащие Z строго внутри.
в. Покажем, что множество в X, выделяемое уравне-
уравнением вида
xi = q>(x'), х' = {хи ..., *,_,, x{+i хп),
с непрерывной функцией ф, заданной на брусе
В' =={х<= /?„_,: ai<^i<fti. • ••> flt
или на его компактном подмножестве К', есть нуль-мно-
нуль-множество в X.
Зафиксируем произвольное е *> 0 и, используя рав-
равномерную непрерывность функции ф на К', найдем та-
такое б > 0, чтобы из \х' — у'\ ^ б, х' е К', у' <= К', сле-
следовало |ф(д:') —<р(у') |^ е. Разобьем брус В' на ячейки
А] с dO4})<6.
В каждом непустом множестве A'if\Kf выберем про-
произвольным образом точку ?; и рассмотрим в /?„ брус
Bi = {x<=Rn: ф(|/)-е<д;г<ф(|/) + е, х' е А]}.
Из определения числа б следует, что каждая точка на-
нашей поверхности, проектирующаяся в А\, принадлежит
брусу Bj. Поэтому наша поверхность принадлежит объ-
объединению всех Bj. С другой стороны, их суммарная мера
не превосходит 2е 2 mA'i ^ 2emB'. Поскольку е произ-
произвольно, утверждение доказано.
г. Далее, геометрический образ в X, отвечающий па-
параметрическому представлению
|
{(Mi «ft) = u<=UczRk, k<n, B)
xn = fn(uu ••-, «ft) J
где U есть компактное множество в Rh, а функции
ft (и), ..., fn(«) имеют в области U непрерывные первые
производные, есть также нуль-множество. Действитель-
Действительно, по теореме о ранге 1.74 б у каждой точки «е(/
имеется окрестность, в которой уравнения B) эквива-
эквивалентны одному или нескольким уравнениям вида A) и,
?30 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
следовательно, определяют нуль-множество в Rn.
Используя теорему о конечном покрытии, получаем, что
и образ в Rn всего компакта U является нуль-множе-
нуль-множеством. Утверждение доказано.
д. Из в следует, что каждое множество СсХс Rn,
выделяемое неравенствами вида
• *•» xt-i, xt+i, ..., хп), t=l, ..., п
(с возможной заменой знаков ^ на <), является жор-
дановым в X и поэтому имеет объем, который, как и ра-
кее, мы обозначаем через \G\. Этот объем |GJ не зави-
зависит от выбора бруса X с: Rn, содержащего множество G;
поэтому мы будем называть величину \G\ объемом мно-
множества G в n-мерном пространстве J?n»
е. Отметим некоторые простые свойства объемов
в /?*~ Если множество G cr Rn имеет объем, то любой
его сдвиг G -\- a, a e Rn, имеет тот же объем. Это сле-
следует из того, что ячейки в Rn, с помощью которых мы
измеряем объемы (т. е. брусы), допускают любые сдвиги
и не меняют при сдвигах своих объемов.
Если Е d Rn —- некоторое множество, а Я — положи-
положительное число, то через КЁ мы будем обозначать гомоте-
гомотетию, т. е. сжатие или растяжение множества Е с коэф-
коэффициентом Лис центром в начале координат. Если G —*
жорданово множество, то и KG — жорданово множе-
множество, и объемы этих множеств связаны соотношением
\%G\=%n\G\, поскольку это соотношение выполняется
для любого бруса.
Комбинируя гомотетию и сдвиг, получаем соотноше-
соотношение \K{G + a)\ = \KG + a\= №\G\*).
Несколько более сложным является доказательство
того факта, что объемы жордановых множеств не ме-
меряются при ортогональных преобразованиях (поворо-
(поворотах); оно будет дано в и. Предыдущее рассуждение не
переносится непосредственно на этот случай, поскольку
*) Если запас ячеек позволяет производить не любые нх сдвиги
и растяжения, а только те, которые определяются, например, ра-
рациональными значениями параметров а и Я, то требуемое равен-
равенство получается с помощью дополнительной операции перехода к
пределу.
8.SJ § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2S1
результат поворота бруса — прямоугольного параллеле-
параллелепипеда с ребрами, параллельный и осям, — уже не ест*
брус.
ж. Лемма. Куб, полученный ортогональным преоб-
преобразованием кубического бруса Q со стороной 1 (а сле-
следовательно, объема 1), имеет также объем \.
Доказательство. Пусть S есть шар с центром
в начале координат, объема 1; для заданного е>О-и
достаточно малого h можно указать тело Т, составлен-
составленное из N = N(h) кубических брусов со стороной h без
общих внутренних точек, содержащееся внутри шара
A + e)S и содержащее шар A—e)S. Объем тела-Т
заключен между объемами этих шаров:
еГ. C)
Произведем в пространстве ортогональное преобразова-
преобразование т. Куб Q перейдет в куб xQ, объем которого мы обо-
обозначим через v. Кубические брусы со стороной h, со-
составляющие тело Т, перейдут в кубы, гомотетичные кубу
%Q с коэффициентом Л, и, в силу е, будут иметь объемы
hnv. Шары {I —e)S я A -f- еM .перейдут сами в себя.
Тело Т перейдет в тело %Т, составленное из того же
числа N(h) кубов со стороной h без общих внутренних
точек, содержащееся в шаре A -f: eM и содержащее
шар A — e)S. Его объем N(h) -hnv также заключен ме-
между объемами этик шаров:
A - е)" < N (ft) hav < A + e)n. D)
Из неравенств C) и D) имеем
Так ка* е > 0 можно было взять произвольно, то v—L,
что и утверждалось.
з. Лемма. Объем прямоугольного параллелепипеда
не меняется при ортогональном преобразовании.
Доказательство. Если ребра данного прямо-
прямоугольного параллелепипеда соизмеримы, то он может
быть составлен из кубов, и результат следует из лем-
леммы ж (и 3.336). Прямоугольный параллелепипед с яе-
соизмеримыми ребрами может быть аппроксимирован
(в смысле длишл ребер, а следовательно, и в смысле
232 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.51
объема) прямоугольными параллелепипедами с соизме-
соизмеримыми ребрами, что дает доказательство леммы в об-
общем случае.
и. Теорема. Объем | G | - жорданова множества
G с Rn не меняется при ортогональном преобразовании.
Доказательство. Для заданного е >0 найдем
тела Gz с: G, Gf r> G, составленные из брусов без общих
внутренних точек, так что
После ортогонального преобразования т множества
Q7 с: G с: Gt перейдут соответственно в xG^czxGczxGt,
причем, по лемме з (и 3.33 б), |tG+| = |G*| |[
•= | GT |; следовательно,
= |Ge+|<|G| + e. F)
Из F) следует, что 11 G | — | xG 11 ^ e. Так как е > О
произвольно, то | xG | == | G |, что и требуется.
к. Следующая простая лемма связывает характери-
характеристику нуль-множеств в Rn в терминах меры с их харак-
характеристикой в терминах метрики.
Лемма. Пусть Z ¦— нуль-множество в брусе X с Rn.
Для любого г > 0 и любого б > 0 можно найти такое
простое множество В аХ с мерой ^ е, которое содер-
содержит множество Z строго внутри и само содержится в
Ь-окружении множества Z.
Доказательство. Согласно определению, для за-
заданного е > 0 существует такое простое множество
Р а X, которое содержит множество Z строго внутри и
имеет меру <; е. Это простое множество Р есть объеди-
объединение конечного числа брусов, которые можно считать
замкнутыми; вместе с ними является замкнутым и само
Р. Обозначим через 5 подмножество в Р, состоящее из
точек х, отстоящих от Z на расстоянии ^ б. Множе-
Множество 5 замкнуто. Каждую точку xeS заключим в (от-
(открытую) ячейку диаметра < 6/2; все такие ячейки об-
образуют покрытие множества S, и мы можем выбрать
из этого покрытия конечное покрытие множества S.
Объединение всех ячеек конечного покрытия представ-
8.52 § 3.S. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 233
ляет собою некоторое простое множество Q. Разность
В = Р — QP есть также простое множество; оно содер-
содержит Z строго внутри себя и не содержит ни одной точки
множества S, т. е. содержится в б-окружении множе-
множества Z, что и требуется.
3.52. а. Мы определили объемы «-мерных жордано-
вых множеств в Rn. Рассмотрим некоторое ft-мерное ли-
линейное многообразие Rh в Rn. В нем можно ввести ска-
скалярное произведение, заимствованное из пространства
Rn, и построить ортогональный базис gi gu', далее,
используя брусы — прямоугольные параллелепипеды
с ребрами, параллельными векторам gi, .... gh, — уста-
установить структуру нагруженного пространства и по-
построить измерение объемов, как было указано в 3.51,
(для k — п). Объем жорданова множества G cz Rh усло-
условимся обозначать через | G \ ь В силу 3 51 и число | G | &
не зависит от выбора ортогонального базиса gi, ..., gh,
так как любой другой базис получается из данного орто-
ортогональным преобразованием, не меняющим, по доказан-
доказанному, объемов жордановых множеств. Это открывает
принципиальную возможность сведения интегралов крат-
кратности п к интегралам меньшей кратности. Примером ее
использования являются теоремы элементарной геоме-
геометрии о вычислении объемов некоторых тел путем умно-
умножения высоты на площадь основания.
б. Рассмотрим ограниченную область G cz Rn, гра-
граница которой состоит из конечного числа поверхностей
с уравнениями вида хг = чч(хи ..., х*_ь Xi+\, ..., хп),
где ф< — непрерывные функции своих аргументов. Такая
область представляет собой жорданово тело C.51 д), на
котором действует схема интегрирования, указанная
в 3.33.. Проекция Е области G на координатную пло-
плоскость xi xn-i также является жордановым телом
(в Rn-i), (поскольку каждая точка границы Е есть
проекция какой-то точки границы тела G) и граница Е
вместе со всей границей G допускает разложение на ко-
конечное число частей, описываемых уравнениями, разре-
разрешенными относительно какой-либо координаты (причем
надо положить хп = 0).
Примем проекцию Е области G за нагруженное про-
пространство X' (в пространстве Rn-\) с соответствующими
234
ГЛ. 8, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.52
ячейками. Проекция области G на ось хп лежит в неко-
некотором отрезке, который мы примем за нагруженное про-
пространство Xм с обычными ячейками-промежутками.
Тело G лежит в прямом произведении X' и Xм; в этом
прямом произведении Х'Х.
Х-^, превращенном в на-
нагруженное пространство по
яравилу 3.17, ячейки имеют
ту же меру, что и в самом
пространстве /?«.
в. Вертикальные сечения
тела СсХ'Х^", вообще
говоря, могут иметь слож-
сложный вид. Предположим по-
пока, что каждая прямая, па-
параллельная оси хп и прохо-
Рнс. 3.5-1. дящая через G, пересекает
область G по одному отрез-
отрезку, вьщеляемому, налример, неравенствами вида
(может быть, вырождающемуся в точку) (рис. 3.5-1).
Теорема. В указанном предположении для всякой
непрерывной функции fi,x)==f(xu ..., хп), заданной
в области G, справедливо равенство
dx'. A)
Этот результат позволяет свести вычисление инте-
интеграла по n-мерной области к вычислению однократного
интеграла и к вычислению интеграла по (п — 1) -мерной
области.
Для доказательства достаточно в общей теореме
3.34 в положить U = G, X = Е, У = [а„, Ьп], Ух
«= {хп е « ' '}
8,53 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 235
Выше мы фактически проверили выполнение всех ус-
условий этой теоремы.
г. Если область G имеет более сложную форму (пря-
(прямые, параллельные оси хп и проходящие через G, пере-
пересекают область G более чем по одному отрезку), но мо-
может быть разложена в конеч-
конечное объединение областей Gu
G2, ... рассмотренного вида,
пересекающихся только по об-
общим границам (рис. 3.5-2), то
интеграл по области О можно
представить в виде суммы ин-
интегралов по соответствующим
простым областям и.к каждо-
каждому из них применить тот же
прием вычисления.
3.53. Примеры.
а. Рассмотрим случай п—
=2. Теорема 3.52 в в этом
случае позволяет записать ин-
интеграл гго двумерной области G (рис. 3.5-3) через два
однократных интеграла:
ь . ч><*) л
jf(x,y)dxdy= П J f(x,y)dy\dx. A)
О Х=а 1»а=Ф (х) J
Если интегрирование ведется по прямоугольнику со
сторонами, параллельными координатным осям (рис.
3.5-4), то пределы внутреннего интеграла постоянны:
Ф (х) = a, if (я) = Р; поэтому
ь . р ч
J j J f{x,y)dy\dx.
x=a \y=a I
Ряс. 8.5-2.
Q
Так, если
f(x, y)dxdy
{x,y: 3<*<4, 1 <sr<2}, f (x, У) =
Г
G
236
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.63
б. Если область G не является прямоугольником со
сторонами, параллельными осям координат, то надо учи-
учитывать зависимость пределов внутреннего интеграла
от х.
О
Р
а х
Рис. 3.5-3.
Рис. 3.5-4.
Для примера вычислим интеграл от функции f(x,y) = х2/у! по
области G, ограниченной прямыми х = 2, у = х и гиперболой
ху = 1 (рис. 3.5-5). Проекция области С на ось х совпадает с от-
отрезком [1, 2]. При фиксированном значении * на этом отрезке пря-
прямая, параллельная оси у, пересекает область С по отрезку 1/х ^
<Г у <: *. В силу формулы A)
У
I
dy
dx--
I
О
1 2
Рис. 3.5-5.
Заметим, что при выводе формулы 5.52 A) мы могли
бы производить внутреннее интегрирование не по коор-
координате хп, а по какой-либо другой координате из числа
Хи ..., хп-1. Выбор того или иного порядка интегриро-
интегрирования, безразличный в принципе, может, однако, при-
приводить к вычислениям большей или меньшей сложности.
3.53 S З.Б, ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 237
Если бы в предыдущем примере мы зафиксировали вначале
не х, а у, то соответствующая горизонтальная прямая пересекала бы
область G по отрезку
— <*<2 при -g-^if^l, #<*<2 при
поэтому вычисления приняли бы следующий вид:
1
J.
1 X3
J *2
dx
i\
y=i(
0=1 I *=
dy +
-3-4- dy-
У 3 lx=y
-d*
if
у
12
4 •
в. Приведем теперь пример вычисления тройного ин-
интеграла путем сведения его к цепочке однократных.
Найти интеграл
1
dx dy dz
где область G есть тетра-
тетраэдр, ограниченный плоскостя-
плоскостями * = 0, у — 0, z = 0,
у г= 1 (рис. 3.5-6).
Проекцией Р тетраэдра С
на плоскость х, у является тре-
треугольник, ограниченный в этой
плоскости прямыми х = 0,
у = 0, х -\- у = 1. Вертикаль-
Вертикальная прямая, проходящая через
фиксированную точку (*, у),
пересекает область О по от-
отрезку 0<z<l — х — у. Поэтому,
I
dx dy dz
[1-х-у
Р I *=0
Рис. 3.5-6.
согласно формуле A),
dz
dxdy.
га, а, «шчЕгриРОВАнив
3JB3
Вычисляем внутренний интеграл:
1-х-у
Г
dt
J
2
4)'
Полученную функцию от х и у кы должны проинтегрировать по об*
ласти Р: Проекция Р.на ось х есть отрезок О ^ х «SJ 1. Фиксируем х
на этом отрезке; соответствующая прямая, параллельная оси у,
пересекает Р по отрезку 0 ^ у ^ 1 — х. Отсюда
jt=O I jj=O
г. Интеграл Днрнхяе. Установим -формулу Ди-
Дирихле
I ... I J f{xi) dxx dx2 ... dxn =
° ° °
сводящую п-кратньгй неопределенный интеграл функции
одного переменного к однократному. Для п = 1 эта фор-
формула очевидна. Предположим, что она верна для ка-
какого-либо натурального п, и докажем ее для следующего
значения п -j- 1. С этой целью вычислим интеграл
х
хп+1
J
tn+H
8.54 § 3.55 ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 29S
Наружное интегрирование ведется по координате хп+\
от О до х (рис. 3.5-7). Внутреннее, при фиксированной
+ ведется по координате
от 0 до хп+\. В результате
мы приходим к интегралу
по внутренней части тре-
треугольника ОАВ. Сведем его
к двум однократным, но так,
что наружное интегрирова-
интегрирование будет производиться по
координате g, которая меня-
меняется от 0 до х, а внутрен-
внутреннее — но координате хп+и
которая, в пределах тре-
треугольника ОАВ, меняется
при фиксированном g в пределах от *n+i=? до xn+i—x.
Таким образом, можно написать
/ =
/
та-
6=0
-If^dx,
n+l
Вычисление внутреннего интеграла дает
Я.
и, следовательно,
X
пГ(и)
что и требуется.
3.54. а. Принцип Кавальер и. Если использо-
использовать «горизонтальные сечения» жорданова тела G, то
можно прийти к другому способу преобразования
и-кратного интеграла — в виде композиции (л — 1)-
кратного и однократного. Предположим, что в 3.526
S40
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИИ
3.64
область G такова, что проекция на Е ее пересечения
Еу с любой плоскостью хп = у есть жорданово множе-
множество в жордановом теле Е (рис. 3.5-8). Тогда формула
3.34 D) дает
О У [Ву
f(xlt .... хп-и y)dxu ....
Kn-1 I
dy,
причем У есть проекция области G на ось хп.
Внутренний интеграл является интегралом по сече-
сечению Еу. В частности, при / (х) == 1 мы получаем следую-
следующий достаточный признак
равенства объемов двух тел
(указанный Кавальери):
Если два тела G<"> и G<2>
для каждого у имеют гори-
горизонтальные сечения Еу^ и
Еу2) одинаковой площади, то
объемы этих тел одинаковы.
Особенно простой слу-
случай получается, когда все
сечения имеют одинаковую
площадь S. Тогда
G| =
Рис. 3.5-8.
б. Уравновешивающая
плоскость и центр тя-
тяжести. Пусть имеется плоскость ш в пространстве R3; двум полу-
полупространствам, на которые она разбивает /?з, произвольным образом
отнесем знаки + и —.В механике для материальной точки
М{х, у, г) ейз, несущей массу т, произведение т на расстояние
р(М, ш) от точки М до плоскости ш, снабженное знаком е(М) того
полупространства, в котором находится точка М, называют ста-
статическим моментом точки М относительно плоскости ы. Для тела
Ccftc плотностью, массы ц(М) *) статическим моментом относи-
относительно плоскости и называется величина
Р (G, и) = J J Г е (М) р (М, и) ц (М) их dy йг. A)
*) С точки зрения математики масса m(Q), содержащаяся в об-
области Q, есть некоторая специальная аддитивная функция обла-
области Q, а плотность ц(М) массы m{Q) есть плотность этой аддитив-
откуда
8.54 S 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 241
Плоскость ш называется уравновешивающей для тела G, если
P(G,a) = 0.
Найдем для тела G уравновешивающую плоскость ш вида
г = z0. Для точки М (х, у, г) и любой плоскости z = z0, относя полу-
полупространству г>г0 знак +, мы имеем e(Af)p(M, ш) = г— zOl так
что в данном случае
P(G, <в)= J JJ (г-го)ц(М)йхйуйг.
о
Приравнивая это выражение нулю, находим для г0 уравнение
| Г Г |iz их йу йг = го Г Г ц их йу йг,
в о
j j J цг их йу йг
I I J ц их йу йг
О
Величина I I ц их йу йг есть полная масса тела G, кото-
0
рую мы всегда будем считать положительной.
Мы видим, в частности, что среди семейства параллельных пло-
плоскостей г = const существует одна и только одна уравновешиваю-
уравновешивающая плоскость. Аналогично, можно выделить уравновешивающие
плоскости в любом другом семействе параллельных плоскостей. На-
Например, имеются уравновешивающие плоскости к = х0 и у = уо,
причем
Г Г Г цх их йу йг Г I Г цу их йу йг
xo—fj-. , у«=~гг? • B)
I I J ц их йу йг I I J ц йх йу йг
иой функции в смысле 3.42 б:
ИМ)
В силу теоремы 3.44 масса m(Q) восстанавливается через свою
плотность ц(М), в предположении ее непрерывности, по формуле
m(Q)= Г |i (M)uv.
242 Гл- У интегрирование 8.54
Для однородного тела (ц,(*,0,г) = const) формулы соответственно
упрощаются:
[\\xdxdydz
О
[[idxdydz' ° j^dxdydz
а
I \ Г zdxdydz
о
dz
C)
dxdgdz
В знаменателях этих выражений стоит, очевидно, объем тела G.
Точка с координатами х0, Уо, «о называется центром тяжести
тела G. Замечательно, что через нее проходит любая уравновеши-
уравновешивающая плоскость. Для доказательства этого утверждения предпо-
предположим, что Хв = |/о == *о = О (чего всегда можно достигнуть сдви-
сдвигом тела), иными словами, что
f f f »xdxdydz= Г f j pydxdydz= ( I J i*zdxdgdz = (). D)
б о о
Теперь надо проверить, что любая плоскость о», проходящая через
начало координат, является уравновешивающей.
Плоскость ы можно задать единичным нормальным к ней век-
вектором m = (cosо, со&р, cosy)- Припишем полупространствам, яа
которые плоскость «а разбивает пространство Яз. знак» + и — так,
чтобы знак + получило то полупространство, в которое направлен
вектор m (и знак — противоположное). Тогда расстояние от точ-
точки М{х,у, г) до плоскости со, с учетом указанного знака, будет
выражаться формулой
Поэтому для момента тела О относительно плоскости и мы полу-
получаем
Р (G, и) = | Г (х cos a + у cos p + z cos у) ц dx dy dz = О
о
в силу равенств D).
Приведенные рассуждения справедливы, конечно, и для тел
в пространстве Rn с любым п= 1,2, ...
Для вычисления выражений B) или C), определяющих коор-
диаатк центра тяжести, естественно использовать принцип Кавалье-
ри. Так, для последнего из выражений C), производя внутреннее
интегрирование по горизонтальному сечению тела О, мы полу-
получим в результате площадь S{z) соответствующего горизонтально-
горизонтального сечения тела G, и выражение соответствующей координаты Zo
8.65 S S.8, ИНТЕГРАЛ ,РИМАЙА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 243
преобразуется к отношению двух однократных интегралов
zStydz
J
где г] и «s—ашмякаты нижней н верхней точек-тела </. Аналогич-
Аналогичный прием, разумеется, годятся н для остальных вьюаженнй B)
и C).
8.55. fc-мерный объем fc-мерного парал-
параллелепипеда.
а. По определению k-мерным параллелепипедом, на-
натянутым на векторы gt gk {в любом линейном про-
пространстве), называется совокупность Р* векторов х, опи-
описываемых формулой
(см. рис. 3.5-9 для k = 3).
Если в ^-мерном пространстве Ян, порожденном век-
векторами gi gk, введено скалярное произведение, то
Рис. 3.5-9.
по 3.51 а в его брусах можно ввести структуру нагру*
женного пространства: в силу 3.51 д параллелепипед Pj,
становится жордановым множеством, и, следовательно,
244 гл. з. интегрирование 3.S8
ему можно поставить в соответствие число Vh (Рь) —
его ft-мерный объем.
Пусть имеется система конечномерных пространств
/?] с Я2 с ... с /?„, порожденных соответственно одним,
двумя, ..., п первыми векторами из заданной совокуп-
совокупности п линейно независимых векторов gu ..., gn(e /?„),
и в каждом из этих пространств скалярное произведе-
произведение заимствовано из самого широкого пространства Rn.
Между объемами V\, ..., Vn параллелепипедов Р\,.. <
..., Рп, натянутых на векторы g\\ gu g2; ...; gu g*
..., gn, возникает связь, которую мы сейчас выявим. По-
Поскольку объемы не меняются при ортогональных преоб-
преобразованиях E.5/ и), можно расположить оси в про-
пространстве Rn так, чтобы векторы g\, ..., gn-i лежали
в гиперплоскости хп = 0.
Горизонтальное сечение параллелепипеда
<l, /=1, .... п)
на «высоте» хп — у имеет вид
Ey = {x€=Rn: x==a,g-1+ ... + «V-ig^-i + an(y)gn,
0<af<l, f=l n — 1}
и представляет собою результат сдвига на постоянный
вектор an(y)gn нижнего основания
?о = {х е= Rn: x = algl+ ... +an_,g-n_,}.
Поэтому все сечения Еи имеют одинаковую площадь
(равную Vn-i). Таким образом,
где mY = hn есть длина проекции вектора gn на ось
у = хп, т. е. высота параллелепипеда Рп. Итак, объем
параллелепипеда равен произведению площади любого
горизонтального сечения, в частности площади основа-
основания, на высоту. Итерируя этот результат и используя
8.55 S 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 245
очевидное равенство V\ = ht —\gt\, получаем
Vn = Vn-lhn = Vn-2hn.1hn= ...
... =F,ft2... An = A,A2... hn. A)
б. Используя формулу A), уже чисто алгебраиче-
алгебраическими средствами можно доказать (Л8.73), что
vn=УЩ07ёЖ= \Щ ф 11. B)
где VP — i-я координата вектора gj в произвольном (но
фиксированном) ортонормальном базисе пространства
Яг,
в. По 3.52 а ft-мерный объем ft-мерного параллелепи-
параллелепипеда, построенного на векторах gh ..., gk в Rn, можно
вычислить, оставаясь в пределах ft-мерного линейного
многообразия Rh, натянутого на векторы gu ..., gh, со
скалярным произведением, заимствованным из Rn. Это
приводит к формуле
Ц. ^,. ....*. C)
Напомним здесь, что имеет место равенство:
где jW']';;.ftife — минор ft-ro порядка матрицы ||Jrt|
(i=l, ..., n; /=1, .... ft), построенный на строках
с номерами ix, ..., ik (JI8.73).
Ниже с помощью формулы D) мы выведем некото-
некоторые свойства ft-мерного объема, используемые в даль-
дальнейшем.
г. Для объема параллелепипеда, построенного на
векторах gu ..., gh, будем использовать также символ
Ifei, •••> gk]\- (Символ [gi, ..., gh] без знаков || по
бокам, также имеет смысл, но о~ нем говорить сейчас не
будем.)
Если векторы gt gt ортогональны каждому из
векторов gi+l gk, то
= l[gi, •¦•. gt]\\lSi+u •¦•• gk]\-
246
гя, з, интегрирование
8.88
Действительно, в этом случае
lift. •¦•» gk\\ =
(gi,gi) .... (gi,gt) 0
О
... (gi.gt)
... О
0 ••• О
1, gt+i) ... (gi+u
0
(gl, gl) ... (gl, gt)
(gkr gt+l) • • • (gk, gk)
lgl+l, gt+l) • • • (gl+l> gk)
(gi, gl) ... (gi, gl)
4to и требовалось.
д. ?слы с — постоянное число, то
(gk, gi+l) -•• • (gk, gk)
U ••-. gt]\\[gl+l, •••.
+ Cg» g2, . . .,
, ft, • "» gk\ I.
что следует непосредственно из D) и свойств миноров.
Отсюда легко вывести, что объем k-мерного паралле-
параллелепипеда не меняется при добавлении к любому поро-
порождающему его вектору g, (i=l, ..., k) линейной ком-
комбинации других порождающих векторов.
e.I7pu\gl\^M,...tlgk\<M, |A,J<m IM<m
(m ^ I, M ^ m) объемы параллелепипеда, натянутого
на векторы gx + hu ..., gk-\-hk, и параллелепипеда,
натянутого на векторы glt ..., gk, связаны соотношением
f-1Q, |6|<1, E)
где Сп — фиксированная постоянная (Cn^.3n2(nlf).
п
Действительно, пусть gt = 2 <Hfii, h} = 2 h/et —
разложения векторов gt и hj по ортонормированному
базису {et}. Обозначим через (/) мультииндекс (<,, ..., ik),
где it < ... < ik; пусть / = (/„ ..., jft) — любая
3.BS § 3.5, ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 247
перестановка чисел it, ..., «4; пусть е Обозначает ее
знак. Тогда
где, обозначая через v также любую перестановку
чисел ilt ..., ik, имеей
2 +fS
WW \ (!)
причем через Л„ обозначена постоянная
а
к
Таким образом,
=I to, га,.... a! F= Лт^2й-'е„ i в, к i.
Аналогично получаем
62,
Складывая полученные равенства, приходим к E).
243
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.66
3.56. Дальнейшие примеры.
а. Объем симплекса. По определению ^-мер-
^-мерным симплексом, натянутым на векторы gi, ...., gh
(в любом линейном пространстве), называется совокуп-
совокупность Eft векторов х, описываемых формулой
...+akgk,
A)
(выпуклая оболочка точек g\, ..., gh и 0). Аналогично
3.55 а, ft-мерные симплексы в евклидовом пространстве
/?„ имеют ^-мерные объемы. Ме-
Между объемами |Si|, |E2|, ...
.... |2„| симплексов Si, ?2, ...
.-.., Zn, натянутых соответствен-
соответственно ла векторы gi; gu gi; ...;
gi gn, имеется определен-
определенная связь, которую мы сейчас
установим.
Назовем высотой симплекса
Ей длину Ай перпендикуляра, опу-
опущенного из конца вектора gk на
подпространство Rh-u порожден-
порожденное векторами gi, ..., gk-i
(рис. 3.5-10). Симплекс ih за-
задается условиями A); его сечение плоскостью, парал-
параллельной /?ft_i и отстоящей от Eft-i на расстоянии s, за-
задается условиями
х
Рис. 3.5-10.
(/=1, .... k—l),
ft-i
Очевидно, это сечение также представляет собою сим-
симплекс, отличающийся от Sft_i лишь сдвигом и гомотетией
с коэффициентом s/hk. Поэтому площадь этого сечения,
согласно 3.51 е, равна I j-l 12ft_, |.
Отсюда по принципу Кавальери 3.54 имеем
^ids-T-iZfc-a
3.88 S 3.S. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 249
Но так как, очевидно, 12i | = Ai —\gl I, мы получаем
I У I I у \hn _
n!
Сравнивая с формулой объема параллелепипеда 3.55A),
получаем
б. Объем n-мерного шара. Обозначим
Так как шары одинаковой размерности гомотетичны
между собой, то \Sn(r)\ — r"Sn(l) — Cnrn, где С„ —кон-
—константа, которую нам нужно найти. Пересекая шар Sn(r)
гиперплоскостью х„==А,
где|Л|<>, мы получим
в сечении (п — 1)-мерный
шар радиуса У?2 — h2
(рис. 3.5-11). В соответ-
соответствии с принципом Ка-
вальери 3.54а
\Sn(r)\ =
!-Л2) 2 dh.
Рис. 3.5-11.
Произведем здесь подстановку h — г sin 8; мы полу-
получим @11.54)
Я/2
-Я/2
250
Отсюда
Гл, а. интегрирований
г4
Сп-х
Поскольку C, = S,A) = 2, мы имеемС8
mi)
ТB)
•=п,
'-^п и вообще
i
Г»
Таким образом,
B)
3.57. Коэффициент искажения объема
при дифференцируемом отображении.
а. Пусть х = х(ы)—дифференцируемое отображение
ограниченной области U cz Rn в ограниченную область
Л с: /?„; более подробно отображение х(и) записывается
равенствами
М)
A)
В силу 3.5/ б образ границы любого бруса В czU есть
нуль-множество в области X, таким образом, отображе-
отображение х(и) переводит любой брус В в жорданово множе-
множество х(В). Мы ставим своей целью вычисление коэффи-
коэффициента искажения меры C.45)
3.57 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ gff
Если х(и) есть линейное отображение, то х(В) есть па-
параллелепипед, ребра которого получаются отображением
х(и) из ребер бруса В. Пусть брус В имеет ребра
(А»„ 0, ..., 0),
(О, Ди2, .... 0),
(О, 0, ...,
а отображение х — х(и) имеет вид
+ • • • + а1пип,
Тогда ребра бруса В переходят соответственно в векторы
(аи, <hi oni)Mu
, С22, ..., С„2)ДЫ2,
и объем параллелепипеда х(В) оказывается равным
C.55 в)
B)
Поэтому
и этой же величине равен коэффициент искажения меры,
б. Рассмотрим теперь- произвольное дифференци-
дифференцируемое отображение х(и). В данной точке aet/ вы-
выделим главную линейную часть -
х(а + Ды) = х1 (а) Да + о (Ды). C)
Оператор xr(a)(Ril—> Rn) задается матрицей Якоби
A.25 а)
dxt(a) дхп(а)
а«, • * * аи,
Эх, (а)
Теорема. Для дифференцируемого отображен
ния х(и) коэффициент искажения объема метет быть
252 гл.. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ З.В7
вычислен по формуле
Ф (с) в lim ЩШ = | det х? (с) |. D)
Доказательство будет проведено в несколько
этапов. Вначале мы докажем справедливость предель-
предельного соотношения D) для случая, когда брусы В, стя-
стягивающиеся к точке а, являются кубами. Далее будет
видно, что оно справедливо для любых брусов и даже
любых жордановых множеств В, стягивающихся к точ-
точке а C.58 б).
в. Предположим сначала, что отображение х'(а)
не вырождено, так что det>:'(u)=^ 0. По теореме об об-
обратной функции 1.56 существует область V, содержащая
1очку а, которая отображается диффеоморфно на об-
область WczX, содержащую точку b = х(а).
Когда переменный вектор h^Rn пробегает куб Q =
=| —-g-^x^-g-, i=l,..., п >, вектор x'(a)h про-
пробегает невырожденный параллелепипед 5 с объемом
JS| = |detx'(c) |. Вследствие невырожденности парал-
параллелепипед 5 содержит внутри себя шар некоторого ра-
радиуса с > 0. Фиксируем произвольно е > 0 и рас-
рассмотрим се-окружение 5СЕ параллелепипеда 5. Все это
окружение покрывается самим параллелепипедом 5 и
сдвигами параллелепипедов eS, сохраняющими общие
точки с самим S, поскольку каждый из них содержит
шар радиуса се. Таким образом, все это се-окружение
содержится в параллелепипеде A + еM. Для объема
множества 5СЕ получаем неравенство
По соображениям подобия для любого кубического
бруса А с ребром б получаем, что объем себ-расширения
параллелепипеда х'(а)А допускает оценку
\(x'(a)AU\<(l+E)n\x'(a)A\ =
Теперь по заданному е > 0 найдем б > 0 такое,
чтобы J3 равенстве C) величина о (Аи) при любом |Ды|<
<6]/я допускала оценку |о(Ды) | ^ се|Ды|. Пусть
A czV — любой кубический брус со стороной б, содер-
3.57 S »-6. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 253
жащий точку 0 внутри или на границе, и В = а + А.
При ЛеД точка с + h отстоит от точки а не далее чем
на б Yn t и> следовательно, вектор x{a-\-h) отстоит от
вектора х(а)-\~x'(a)h не далее чем на себ, т. е. нахо-
находится в себ-окружении параллелепипеда Ь + х'(а)А.
В силу приведенных выше рассуждений это позволяет
оценить сверху |*(?)| через \В\:
|. E)
Чтобы оценить |х(В)| через \В\ снизу, будем рассу-
рассуждать так.
Обозначим через b + D параллелепипед, концентри-
концентрический с параллелепипедом Ь-\-х'(а)А и подобный ему
с коэффициентом подобия 1 — е. Очевидно, что D =
= х'(а)С, где а + С — кубический брус, концентриче-
концентрический с кубическим брусом а + А и получающийся из
а + А преобразованием подобия с тем же коэффициен-
коэффициентом 1 — е.
Пусть и = и(х)—обратная функция к функции х(и),
так что а = и(Ь). Функция и(х) дифференцируема в об-
области W, и
fc U'(b)k + o(k). F)
Для заданного е > 0 найдем б > 0 так, чтобы вели-
величина o(k) в равенстве F) допускала оценку |о(?)|^г
^е|^| при всяком |&|<б. Можно считать, конечно,
что это то самое б, которое приводит к неравенству E).
Оператор и'(Ь) отображает параллелепипед S обратно
в кубический брус Q, а параллелепипед D — в кубиче-
кубический брус С. Образ параллелепипеда b + D при отобра-
отображении х -* и (х) содержится в еб-расширении куба а-{- С
и тем более содержится в кубе В; иными словами,
u(b + x'{a)C)czB,
или, что то же,
Отсюда вытекает неравенство для объемов
254 гл- а. интегрирование
Сводя воедино неравенства E) и G), мы можем, таким
образом, утверждать, что для любого е>Ои любого
кубическего бруса В с ребром б ;< д{е), содержащего
точку с, справедлива двусторонняя оценка
Это доказывает теорему в случае detx'(c)^ 0.
г. Пусть теперь detx'(a) = O, но х'(а)Ф0. В этом
случае оператор х'(а) отображает куб Q в вырожден-
вырожденный параллелепипед S — x'(a)Q. Обозначим через ' г,
0 < г <с п, ранг матрицы хг{а). Параллелепипед S ле»
жит в некоторой r-мерной плоскости у и содержит г-мер-
ный шар с центром в начале координат некоторого ра-
радиуса с. По заданному е > 0 найдем такое 6 > 0, чтобы
в равенстве C) величина о(Дд) допускала при любом
Аи = ft, \h\< 6, оценку \o(h) jsg: ce|A|; таким образом,
при йеХ вектор х(а + h) находится в себ-окружении
параллелепипеда Ь -}- х'(а)А. Но в пределах плоскости y
все это себ-окружение, как иве, лежит в пределах не-
некоторого параллелепипеда Т, имеющего (г- мерный)
объем sg A +е)'"|й} J5|r. Кроме того, указанное себ-
окружение содержит и точки вне плоскости у, все они
заведомо попадают в произведение параллелепипеда Т
на шар радиуса еб в ортогональном к плоскости у
(п — г)-мерном подпространстве пространства Rn. По-
Поэтому объем области х(В) не превосходит величины
Таким образом, в данном случае
При В-+а, или,, что то же, при е->0, получаем
В->а
д. Нам осталось рассмотреть случай, когда х'(а)=0,
так что оператор х'(а) отображает куб Q в одну точ-
точку — начало координат пространства X. По заданному
е > 0 найдем такое б > 0, чтобы в равенстве C) вели-
величина о (ft) допускала оценку |о(А)| <:«|А| при любом'
8.58 § 3.5, ИНТЕГРАЛ РИМАИА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
\h\ < 6. Таким образом, при |й| < 6 вектор (J)
находится на расстоянии, меньшем ед, от точки х\а) =Ь.
Следовательно, в данном случае образ х{В) бруса В
лежит в пределах шара радиуса еб с центром в точке Ь.
Значит,
и при В-*а j(e—> ()) величина j #¦ имеет преде-
пределом 0. Таким образом, во всех случаях
В->а ' '
и теорема б полностью доказана.
3.58. Замена переменных в кратном ин-
интеграле. Теперь, используя теорему 3.45, мы можем
сформулировать основное правило замены переменных
в кратном интеграле.
а. Теорема. Пусть х—х(и) — дифференцируемое
жорданово C.45) отображение компактного жорданова
тела U czRn на компактное жорданово тело X cr Rn,
причем внутренность тела U отображается на внутрен-
внутренность тела X, а граница тела U — «а границу тела X.
Пусть функция f(x) непрерывна на множестве X. Тогда
имеет место формула
jf(x)dx=jg(u)detx'(u)du, A)
х и
где g(u) = f(x(u)).
¦Доказательство. Если U есть куб в Rn, резуль-
результат получается соединением теорем 3.45 и 3.57 6, учиты-
учитывая, что в этом случае в качестве ячеек можно взять
некоторую совокупность кубов, лежащих в U C.33ж).
Если V есть простое множество — конечное объедине-
объединение кубов без общих внутренних точек, — требуемый
результат получается суммированием равенств типа A),
написанных для каждого из этих кубов.
Рассмотрим общий случай, когда U есть произволь-
произвольное жорданово тело. Для заданного е > 0 найдем от-
открытое простое множество Q cr Rn, содержащее грани-
границу Z. тела X строго внутри себя и имеющее меру ^е.
ГЛ. 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Полный прообраз FczU множества X—QX есть замкну-
замкнутое множество в U, которое не пересекается с грани-
границей W тела U, так что 6 = d(F, W) > 0 C.23г). Теперь,
пользуясь леммой 3.51 к, найдем простое множество
Р cztJ меры геГе, содержащее W строго внутри и само
содержащееся в б-окружении W. Разность U — Р есть
простое множество, которое отображается в жорданово
множество Y cz X, содержащее множество X — Q, так
что т(Х—У) ^ tnQ ^ е. Теперь мы можем написать
J f(x)dx,
J
X-Y
g(u)uetx'{u)du
V
— J g (и) det *' (u) rfu + J g (") det x' (u) du.
U-P P
Так как U — P — простое множество, то по доказанному
J g (и) det х' (и) du = J / (x) rfx.
U-P .
Поскольку m(X —
e, mP^.e, мы имеем
J f(x)dx
X-Y
<max|/(x)|e,
f g(u) det x*(u)du
p
Отсюда
/(x)rfx- Jg(u)detx'(")rf«
|f(x)i-max|detx'(u)|-e.
\l
< max| f (x) |A + max| det x'(u) |) • e,
x v
и так как е > 0 произвольно, то справедливо равен-
равенство A), что и требовалось.
б. Вернемся теперь к формуле 3.57 D)i
В->а
\detx'{a)\,
B)
3.59 § З.Б. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 267
доказанной нами ранее для случая кубических брусов В.
Пусть Ви В2 By, ... — любая последовательность
жордановых тел положительной меры тВу= \ВЧ\, стя-
стягивающихся к точке а. По доказанному в а мы имеем
j х (Bv) | = J dx¦ - J | del *' (u) | du;
*(BV) Bv
следовательно, в силу непрерывности х'(и),
таким образом, формула B) верна не только для кубов,
но и для любых жордановых тел В, стягивающихся
к точке а. В дальнейшем вместо обозначения |det>4|
будем писать \А\.
3.59. Примеры.
а. Площадь плоской фигуры в поляр,яых коор-
координатах. Рассмотрим плоскую фигуру (жорданову область)
Xft {x,у). Ее площадь выражается интегралом
\\
dxdy. A)
~х~
Если перейти к полярным координатам
х = г cos ф, у = г sin ф,
то мы будем иметь
| а (Г, ф) | \уг У<р\ |81Пф ГСО8ф| ''
поэтому для соответствующей области V в плоскости г, ф
S— f f dxdy= f f rdrdy. B)
X V
Допустим, что область X ограничена двумя лучами ф = о и
Ф = р и кривой г = г(ф) (рис. 3.5-12). Тогда, преобразуя" интеграл
B) к повторному с внутренним интегрированием по г, находим
f IТГ I 11
rdrdq>=* I \ I rdr }йф=я-5- I г2 (ф)Йф;
эту формулу мы получили в свое время непосредственно @5,62).
268-
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
&5S
б. Плашсадь фигуры G, .ограниченной* кривей
* 1 (ж^О, у^О) и осями координат. Пред-
Предполагается, что показатели 2/Я и 2/ц —- вещественные положитель-
положительные числа.
Вначале переходим к новым переменным х1^ = X, у1^ = У,
имея в виду .использовать в дальнейшем полярную систему коорди-
координат. Соответствующая область Q в X*, У-плоскости ограничена1 так-
также осями координат и четвертью окруж-
окружности X2 + У2 = 1. При этом
д(х,у) |__
Э(ДГ. У)
О
а
следовательно,
-И
G
Рис. 3.5-12.
J J
Далее, переходя к полярным координатам X — г cos ф, У = г sin q>,
находим сп 011.54:
находим, используя ОН
я/2 1
Г Г
J J
Я/2
\ '
где В(р, q)—бета-функция Эйлера, a T(s)—гамма-функция Эйле-
Эйлера @11.54).
Частные случаи (рис. 3.5-13):
Я = И = 1 (дуга окружности): S = -г
[г = 2 (отрезок прямой): S
(дуга астроиды): S — -j -^щ
32*
8.Б9 § 3.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 259
в. Сферические координаты в Ra. В трехмерном ев-
евклидовом пространстве R3 с прямоугольными координатами х, у, г
Рис. 3.5-13.
систему сферических координат образуют следующие величины
(рис. 3.5-14):
г — расстояние от точки О до точки М(х, у, z);
G — угол луча ОМ с положительным направлением оси z;
Ф —угол между проекцией ОР луча ОМ на плоскость х,уп
положительным направлением осн х.
Мы имеем, очевидно,
При этом
д (х, у, г)
д(х,в,ч>)
г = г cos в,
х ¦= г sin в cos ф, C)
у «= г sin в sin ф.
sin в cos ф г cos 6 cos ф — г sin в sin ф
sin 6 sin ф г cos в sin ф г sin в cos ф = г2 sin в.
cos в — г sin в О
Поэтому для соответствующих друг другу областей G — в коор-
координатах х, у, г— и U — в координатах г, в, ф — имеем
/1\
y> 2) dxdy dz
Г* sinQdrdQ d<f>
где в правой части аргументы х, у, г должны быть заменены вх
выражениями C).
г. Найтн объем тела G с: R3, зная его сечення Sy полуплоско-
полуплоскостями ф = const е [0, 2эт] (ф — третья сферическая координата, в)
(см. рис, 3.5-15).
ГЛ, 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В сферических координатах мы имеем
10|= J J f dxdydz = J J f
3.69
a
2Л
Ф-0 I Sm
J
В полуплоскости 5фвведем прямоугольные координаты z = rcos6,
р = г sin 0. Тогда для соответствующей области Сф в плоско-
плоскости р, г
f f
f f rsinQrdrdQ
J J p dz dp.
Интеграл справа есть горизонтальная ко-
Рис. 3.5-15.
Рис. 3.5-16.
ордината рс(ф) центра тяжести фигуры Сф C.54 6), умноженная на
площадь |Сф | этой фигуры. Таким образом, получаем
2Л
|C|=J
Наша задача решается, еслн для каждого ф е [0,2я] мы знаем
площадь фигуры Сф и расстояние рс(ф) ее центра тяжести от
оси г.
Так, для тора Т, показанного на рис. 3.5-16, имеем |Сф|=яа2»
Рс (Ф) = ft поэтому
3.61
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
261
§ 3.6. Интеграл по поверхности
3.61. Определение интеграла по поверх-
поверхности.
а. Пусть ;х=ф(м) {Rk~* Rn) —-отображение, опреде-
определенное в некоторой области О с /?* и имеющее там не-
непрерывную производную. Пусть Get/ — замкнутое
жорданово подмножество. Множество S=jc(G) cz Rn
мы назовем k-мерной поверхностью в Rn.
Мы хотим дать определение поверхностного инте*
грала
jf(x)dS A)
s
от функции f(x), заданной и непрерывной на S.
Соответствующий интеграл по плоской области S мо-
может быть истолкован как полная масса этой области,
если f(x) представляет собой плотность массы в точ-
точке х. Аналогично, интеграл A) должен иметь смысл
массы всей поверхности S, если f(x) есть ее плотность.
В частности, наше определение для Цх) s= \ будет
определением площади поверхности S. '¦
Во избежание взаимного налегания существенных ча-
частей поверхности S отображение ж—<р(а) мы будем
предполагать взаимно од-
однозначным, кроме, быть
может, нуль-множества
ZczG.
б. Переходим к точ-
точным определениям. Возь-
Возьмем произвольное жорда-
жорданово разбиение П=={?г}
множества С; пустьй(П),
как обычно, обозначает
максимальный из диамет-
диаметров множеств Е{. В ка-
каждом множестве Ег зафиксируем произвольным обра-
образом точку g4 и рассмотрим в пределах множества Et
«касательное» линейное отображение
Рис. 3.6-1.
Образ Е{ множества Ег при этом отображении являет-
является жордановым подмножеством в соответствующем
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.61
^-мерном линейном многообразии. Множества Е обра-
образуют «черепичное» покрытие поверхности S (рис, 3.6-1).
Приписывая каждой «черепице» Е* равномерную «плот-
«плотность» /(ф(Ю), мы найдем, что «вес» всего «черепично-
«черепичного покрытия» равен
i
Найдем теперь величину |?i|fc. Отображение
х = ф(и) в подробной записи имеет вид
¦Rn)
*п = Фп(«1. •••» «ft)-
Производная ф'(") есть линейный оператор
с матрицей
ди.
аи.
Пусть сначала ?* представляет собой прямоугольный па-
параллелепипед Bt с ребрами
g1=(Au1, 0 0), )
Тогда ф'F|)-61
на векторах
= { 0, 0 Аи*). J
1 есть параллелепипед, построенный
Его ^-мерный -объем |Ei|h, согласно 3.55 а, равен квад-
квадратному корню из суммы квадратов всех миноров ft-ro
порядка матрицы ф'(ы), умноженному на A«i...Auft.
В соответствии с 3.55 г эту величину обозначим так:
3.61 $ 8,6, ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 263
Любое жорданово множество Е, согласно 3.31 в, опреде-
определенным образом составляется из ячеек В}; при фиксиро-
фиксированном t величина <j>'(?i) постоянна; поэтому, совершая
соответствующую процедуру для Eit получаем, что фор-
формула C) остается справедливой и для любых жордано-
вых множеств:
Сумма B), таким образом, записывается в виде
она представляет собой интегральную сумму для инте-
интеграла
J|[^f4&]\ (Б,
Так как функция Цу(и)) в |[-2|^- i§i^ непре-
рывны на С, интегральные суммы D) стремятся к инте-
интегралу E) при d(U) -*0. В соответствии с этим мы при-
приходим к определению
|[^fЦ^]\ F)
В частности, ^-мерной мерой или, проще, площадью
поверхности S мы назовем интеграл F) с f(x) ^ 1,т. е.
величину
в. Необходимо проверить корректность приведенного
определения, т. е. его независимость от выбора парамет-
параметров, представляющих поверхности S. Пусть, наряду
с представлением лс=ф(и), u^G, имеется представле-
представление той же поверхности S с помощью отображения х=*
=il)(i>)( где параметр и пробегает область VczRh, при-
причем параметры и и v связаны взаимно обратными
264 гл- * ИНТЕГРИРОВАНИЕ
соотношениями
и — и (о), v = о (и) (8)
с дифференцируемыми функциями ы(о) и v(u). Такие
представления x=q>(u) и x=ijj(t>) будем называть экеи*
валентными.
Согласно определению
Произведем в правой части (9) по правилу 8.58 а за-
замену переменных (8). Тогда мы получим
J
Но в силу 1.33 б
det2
(О
Отсюда следует, что
чем и доказана инвариантность значения интеграла сле-
слева при переходе к эквивалентному представлению по-
поверхности S.
3,62 5 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 265
3.62. Частные случаи.
а. Пусть k=\; мы имеем дело с кривой L=
={x=x(t) (R\ -*Rn), a ^ t ^ b\ a n-мерном простран-
пространстве /?„. Матрица x'(t) имеет в данном случае один
столбец [x\{t)t .... х^Щ и
= jf(x(t)) I? %[x'{{t)Ydt,
a 1=1
У ^[xWfdt.
*1
Формулы 3.61 F) и G) принимают соответственно вид
A)
B)
Обе эти формулы, соответственно для интеграла от
функции f(x) no линии L и для длины самой линии L,
известны нам еще из 09.91 (g=s) и 09.63.
б. При k = 2 -мы имеем дело с двумерной поверх-
поверхностью
S = {х = ф(и, v) (R2-*/?„), (и, v)eGc/?г}.
Матрица ж7 (и, о) имеет в данном случае два столбца
EL, — /_E?l J??»l u JEfL — Jdr« ar«l /ч\
ди~\ди'"" d« J И dv~\dv9"-' dv]' K°'
Величина [-^-. -^--]| есть квадратный корень из сум*
мы " квадратов миноров 2-го порядка мат-
матрицы х'(и, о). Впрочем, в этом случае выражению
U-, -^-11 — площади параллелограмма, построенного
на векторах C), — можно придать и иной вид; именно,
366
ГЛ. 3; ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ЗЛ2
если ш есть угол между векторами -^ и -^, то
|г дх дх~\\ | ах н ах | . I ах | а« i,/-
-=—, -о—1| = 1-я-* -r~ sina = |--j— -=— VI —-'
IL ам a» j | | aw 11 а» 1 | ви \ а» |г
где
ди
Р —/— -?i) V g*' gXi
\du' dv} jU du dv *
ax
ar> / •
i=l
Таким образом, интеграл 3.61 F) записывается при k = 2
в виде
J f (*) dS == J f (х (ы, о)) VEG — F*du dv, D)
S О
а площадь поверхности S C.61 G)) — в виде
| S | = J dS = J ]fEG -Pdu dv. E)
в. При k = n — 1 мы имеем дело с (и — 1)-мерной
поверхностью S = {х = ф («,,..., «n_i) (i?n_! -> i?n), (м„...
..., «„-О еСсi?n-i^ Матрица q)'(ы) имеет и — 1
столбец и п строк:
"• &*,-,
3.62
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
267
Вектор
d<Pi (и)
д<р„ (и)
<Pi (и)
д<[>п (и)
dun-i
Idui dun-t
называется векторным произведением векторов
-^Л-, .... -. ф . Он, очевидно, нормален к каждому
dun-t
dq> (и)
де> (и) •
вектору ^и (т. е. нормален к самой поверх-
поверхности S в Rn), и его длина есть как раз величина
1~3и~' " '' диФ I г ^аким образом, в данном случае
интеграл от функции f(x) по поверхности вычисляется
по формуле
jf(<V(u))\N\du. F)
Площадь поверхности S получается, как и всегда, при
/гз 1:
u. G)
г. Отметим часто встречающийся случай, когда по'-
верхность S задана уравнением
хп =
или, что то же, системой вида
xi — хи
268
При этом
«1
1 0 .
О 1 .
ГЛ. 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
.. о 4*-
. о
дф
О О
д<р
dxn-i
¦<-«•(«¦¦?+••¦+•« .э?г-«О-
Отсюда
Для интеграла 3.6/ F) от функции f(x) по поверхно-
поверхности S получается выражение
jf(x)dS=
д. Пусть, наконец, ft=«, так что роль поверхности^
играет область в n-мерном пространстве. Матрица ф'(и)
имеет п строк и п столбцов; объем параллелепипеда,
да> да>
построенного на векторах -^-, ¦•-, q~> равен модулю
(
ее определителя. Формулы 3.61 F), G)
\s
„ ..., м„)
превращаются теперь в обычные формулы Замены
менных в n-кратном интеграле 3.58 A),.
3.63
S 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ
269
3.63. Примеры.
а. Найдем » R3 площадь участка сферы радиуса. R между
двумя меридианами <pi<q><q>i и двума параллелями 6i<6<6
(рис. 3.6-2).
Рис. 3.6-2.
Рис. 3.6-3.
В сферических координатах к = R sin 6 cos <p, y = R sin 6 sin ф,
г=»/{со8б CJ>9 в) имеем
дх
дф
дх
Ж
ду_
дф
Ж
dz
дф
дг
Ж
#f sin6 cos <j) О
# cos в cos f /?cos6sin<p —
так что
В частности, дли всей сферы 0 ^ ф < 2я,
- q>i) (cos e, - cos e
в<я получаем
270
гл. з. интегрирование
3.63
б. Найдем площадь тора, полученного вращением вокруг оси г
окружности радиуса а, первоначально находящейся в х, г-плоско-
стн и имеющей центр в точке х = Ь (Ь> а), у = 0, г = 0.
Параметрическое представление тора легко получить непосред-
непосредственно (см. рис. 3.6-3^:
х = (Ь + a cos я]>) cos <р, у = {Ь + a cos t|>) sin qp, г = а sin i|j;
углы <р и ф меняются в пределах от 0 до 2я. Учитывая, что
дх ду дг
дг
— (b + a cos t|>) sin ф, (b + a cos я|>) cos ф, О II
— a sin t|> cos ф, — a sin t|> sin ф, a cos ф 1'
находим
В результате
2Я 2л 2л 2л
"И J
0 0 0 0
а. Площади подобных поверхностей. Две fe-мер-
ные поверхности Si k-Sz, которые можно задать соответственно диф-
дифференцируемыми отображениями
X = ф (и),
(и).
di])=a J | F
(х е Rn, Ь > 0), аргумент и, как обычно, пробегает жорданову об-
область GcRh), называются подобными, с коэффициентом подобия Ь.
Найдем, какова связь между их площадями. Площади их выра-
выражаются по формуле 3.61 G):
Вынося коэффициент Ь из каждого из А; столбцов миноров, входя-
входящих в подынтегральное выражение в B), мы получаем, что
\S2\ = bk\Sl\.
Таким образом, отношение площадей k-мерных подобных поверхно-
поверхностей равно k-й степени коэффициента подобия.
3.64 § 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 271
3.64. Площадь поверхности как предел
площадей вписанных многогранных по-
поверхностей.
а. Длину кривой мы определили в свое время как
предел длин вписанных ломаных. Оказывается, что и
площадь поверхности можно определить как предел
площадей вписанных в нее многогранных поверхностей
при неограниченном измельчении их граней. Но не вся-
всякая последовательность вписанных многогранных по-
поверхностей с гранями, размеры которых неограниченно
уменьшаются, пригодна для получения площади поверх-
поверхности (см. задачу 5). Мы укажем сейчас некоторые
типы специальных последовательностей вписанных мно-
многогранных поверхностей, площади которых имеют пре-
пределом площадь данной поверхности.
Пусть S={x=q>(u), «el/c Rk} — ^-мерная поверх-
поверхность в и-мерном пространстве. Предполагается, что от-
отображение <р(«) в замкнутой области U имеет невыро-
ждающуюся непрерывную производную <р'(«), так что
сумма квадратов всех миноров &-го порядка матрицы
<р'(и) не меньше некоторой положительной постоянной
с2. Это последнее требование можно выразить еще и
так: если gi gk — базисные векторы в простран-
пространстве Rk, то во всей области U выполнено неравенство
№ ¦?
или же так: для любого б > О
<р' (и) t>gk] | >сб\ A)
б. Пусть Q={«i < «1 < pi, .... ak < uk < Pfe} —
^-мерный куб, лежащий в области ?/, и Pi — oci=..«
...=pfe — a,k=h. Его можно .разбить на k\ равновели-
равновеликих ^-мерных симплексов C.56 а) по следующему пра-
правилу. Пусть gu ..., gk — ребра куба Q, исходящие из
фиксированной вершины Р, например из вершины
щ—а\, .... «ft===ctft. Пусть ti, ..., ife — произвольная пе-
перестановка чисел 1, ..., k. Рассмотрим векторы
272 гл- 3- интегрирование 3.64
Эти векторы заполняют некоторый симплекс Qt ... tk
с вершинами в точках Р, Р + #,,, Р + gfl + gi2, • ¦ •
.... P-f-g^-f ... -\-gik- Объем этого симплекса по
3.56 а равен
так что все симплексы Qit...ik равновелики. Покажем,
что каждая точка куба Q попадает хотя бы в один из
этих симплексов. Для данной точки *eQ определим
номера i"i, .... in так, чтобы в представлении
+ckeik, с?>0, Scj<1, B)
числа ci шли, не возрастая: С\ ^ с2 ^ ... ^ ch. Тогда
мы утверждаем, что точка х — Р принадлежит сим-
симплексу Q/(... ip т.е. справедливо представление
C)
где Я,>0 (t = I,..., *), Х,+ ... +%*<!. Действи-
Действительно, равенство C) можно написать и в форме
сравнивая с B), мы видим, что можно положить
с1 = Я1+ ... +^*> c2 = X2-f ... -f Я4, .... cft =
Отсюда находим
и при этом
^¦1 + • • • + Л* = С\ ^ 1,
так что действительно х — Р лежит в Qj,... tk. В част-
частности, мы видим, что симплексы Qt ...ik не имеют но-
3.64 § 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 273
парно общих внутренних точек, поскольку сумма их
объемов равна hk, т. е. равна объему всего куба Q.
в» Рассмотрим теперь симплекс Qi ... i . Его вер-
вершины Р, Р -f gtl, .... Р + gh -f .... -f gik при отобра-
отображении ф(«) переходят в некоторые k -f 1 точек на по-
поверхности S, которые мы обозначим ф(Р), q(Pi^> •••
..., ф(Р/, ... ik)- Эти & -{- 1 точек определяют, в свою
очередь, симплекс (f(Qtl ... ,ft) в пространстве /?„, впи-
вписанный в поверхность S в том смысле, что все его
вершины лежат на этой поверхности. Таким образом,
в поверхность S можно вписать k\ симплексов ф(Q,,... <А).
Если теперь рассмотреть разбиение П пространства Rk
на кубы Q(/) с ребрами А, отобрать из них те, которые
содержатся целиком в области U, разделить каждый
такой куб на k\ равновеликих симплексов Qin/ t и
построить соответствующие симплексы ф/Q*/' , V то
в целом все построение" даст нам некоторую много-
многогранную поверхность Пл, все вершины которой лежат
иа поверхности S, т. е. поверхность, вписанную в S.
г. Вычислим площадь многограиной поверхности Пй.
Объем симплекса ф@</>...4 )» имеющего вершины q>(P),
(P^i ••>> 4>(Pti---ik)f равен величине
D)
Для заданного е>0 найдем б>0 так, чтобы при
\и'— ы"|^б выполнялось неравенство
Если кубы Q(/> выбраны так, что их диаметры не пре*
восходят б, то по теореме о среднем 1.42 F)
Ш ГЛ, 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.64
где le^l^e, i==l, ..., k. Подставляя эти выражения
в D) и используя 3.55 д, е, получаем
.... ф(р/)«+ • • • + «©+•«*] f=
ш IК (р/)«?+е<' • • • •ф' (р/) «в
где Л1 =
Выражение Crte6(M + ебJ* в можно записать в виде
р-' 6 =C'nsb2%, | в, |<| в |< 1.
Переставляя векторы в первом слагаемом и вынося
его за скобку, находим, что
г
х
откуда следует, с учетом невырожденности оператора
ф'(«) A), ЧТО
или
-in^w ^wn V
3.64 § 3& ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 275
Используя неравенства У\ + ц < 1+ 4f и | [ф (Р,) g™, ...
• • •, ЧР (Pt) g\P | < D4k = Dk | Q</>_ h \ k\, находим
^:i|Qif...lJ. E)
Суммируя эти соотношения по всем симплексам Q'/',.. г
(при фиксированном /), получаем
Если теперь просуммировать результат по всем /, то
придем к равенству
- 21W (р,) «у ф' (я,) 4"] I+Ч"*, I v |. G)
Первое слагаемое в правой части есть не что иное, как
интегральная сумма, фигурировавшая в определении
площади поверхности в 3.61 б (см. также 3,33 в). При
е-*0 эта сумма имеет пределом площадь поверхности;
второе же слагаемое, очевидно, стремится к 0. Таким об-
образом, построенные нами многогранные поверхности
имеют пределом своих площадей площадь самой поверх-
поверхности, что и утверждалось.
д. Пусть на поверхности S и в некоторой ее окрест-
окрестности задана кусочно-непрерывная функция f(x), огра-
ограниченная по модулю числом М. Если перед сложением
равенств F) умножить /-е равенство на число /(/>№), то
вместо G) мы получим
276 ГЛ. 3L ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.65
где |9з| ^ 1. Первое слагаемое в правой части имеет
пределом при е-»-0 поверхностный интеграл
Левая часть отличается на-бесконечно малую от ин-
интеграла функции f(x) по многогранной поверхности Щ,
поскольку для равномерно непрерывной функции f(x)
J f(x)dS -2 f (/>">) S |Ф@</>... Л|
Щ I «I
2
"¦'•(«?1) UKI
(«?..-1»)
(О./
f
<e
при достаточно малом А;, а для кусочно-непрерывиой
функции это рассуждение можно проводить для каждо-
каждого куска поверхности S, на котором функция f(x) рав-
равномерно непрерывна, и сложить результаты.
Таким образом, интеграл по поверхности S от л/йбой
кусочно-непрерывной функции f(x) может быть получен
как предел интегралов от этой функции по определен-
определенным многогранным поверхностям, аппроксимирующим
поверхность S.
3.65. Слой, порожденный ^-мерной пол
верхностью.
а. Пусть S — двумерная дифференцируемая поверх-
поверхность в #з. В каждой ее точке проведем нормаль A.26 6}
и отложим на ней в обе стороны от поверхности отре-
отрезок длиной А. Полученное трехмерное тело Vh(S) назы»
ваетея слоем толщины 2h, порожденным поверхно-
поверхностью S.
Пусть L — дифференцируемая линия в R%. В каждой
ее точке х проведем нормальную плоскость и выделим
ва ней круг радиуса h с центром в точке х. Получен-
Полученное трехмерное тело Vh(L) называется слоем толщины
2ft, порожденным линией L,
3.65 S 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 277
б. Эти простые определения следующим образом об-
обобщаются на случая fo-мерной поверхности в простран-
пространстве Rn.
Пусть S есть 6-мерная поверхность в Rn, S=
={х е Rn, x=y(u), «el/c Rk), или, подробнее,
*i = <Pi(«i» •••» «*). 1
(О
Xn^VniUl, ••-. Щ)- J
Предполагается, что функция х=<р(«) или, что то
же, функции q>i(«i, .... uh), ..., фп(«ь ..-, «л) обла-
обладают непрерывными производными первого и второго
порядка в области U.
В каждой точке х поверхности S имеется ^-мерная
касательная плоскость Пи (и -— к) -мерная нормальная
плоскость (ортогональное дополнение к П). Выделим
в нормальной плоскости шар радиуса h с центром
в точке х. Объединение этих шаров образует некоторое
n-мерное множество Vfc(S), которое и называется п-мер-
ным слоем толщины 2А, порожденным поверхностью S.
в. В некоторых случаях n-мерный слой, порожден-
порожденный поверхностью S, допускает «каноническое» парамет-
параметрическое представление, а именно представление в виде
*1=М«1 Uk, Vk+1, .... »„) = /,(«, О),
' B)
Xn=fn(Ui Uk, Ok+l, .... Vn)=fn(u, О), .
где fi, ..., fn — функции с непрерывными первыми про-
производными, определенные в области t/ X Qh с Яп^ Здесь
U cz Rh — исходная область изменения параметров и=
= («1 uk), a Qh—(и — к) -мерный шар радиуса h
с центром в точке »=0, v=(vh+i, ..., vn). Система
функций B), кроме того, должна быть такой, чтобы:
1) при v=0 функции fi(u, 0), ..., fn(u, 0) совпадали:
соответственно с функциями q>i («),... ,q>n(«). дающими
параметрическое представление поверхности S; 2) при
фиксированном и&0 функции B) давали изометриче-
изометрическое представление . (п — й)-мерного шара с центром
в точке х — ф(«) е S.
При наличии отображения B) легко сосчитать ве-
величину модуля определителя ¦-." "*. в точках
О \Ui, ..., Vn)
__, ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ „ fiK
поверхности S, т. е..при значениях Vh+i =... — vn = 0.
Модуль определителя, как мы знаем E.56), равен объему
образа ячейки п\ ^ «i ^ ах -f б, ..., ah ^ uh ^ ah -f б,
О < fft+i ^6, ..., 0 < vп ^ б при отображении х—
=/'(", ^). деленному на объем самой этой ячейки, рав-
равный бп. Отображение f'(u,-v) при (и, v) = (au ,.., ah,
О,..., 0) переводит ячейку {ах ^ «i ^ ах + б, ..., ah^
^ uh ^ c^ -f S) cz t/ в параллелепипед в касательной
плоскости к поверхности о с ребрами -х-*- б, ..., -^— б,
а ячейку @ ^ vk+i ^ б, .,., 0 ^ vn ^ б) с= Vh объема
Ь"~к — в некоторую ячейку в нормальной плоскости,
того же объема бп~Л. Для отношения объемов получаем
C.55 г)
vn)\— 6"
дч
Отсюда следует, в частности, что отображение B) —
если оно существует — взаимно однозначно (и взаимно
дифференцируемо) в некоторой окрестности каждой
обыкновенной точки поверхности S, т. е. такой точки,
в которой J-j^-. •••! "Т»! r^k Таким образом, в точ-
точках поверхности S имеем
dux ... duk =
dux ... duk,
d(uv .... uk)
т. е. произведение якобиана a, "" \ на dux, ...
.... duk равняется площади элемента поверхности S.
г. Если значение v=(vk+l, ..., vn) Ф 0 фиксирова-
фиксировано, а «= («1, , Uk) пробегает множество U, то функ-
функции B) описывают некоторую ^-мерную поверхность
Sv, которую естественно назвать «параллельной» S. Так
как образы ячейки (ах ^ «, ^ ах + б, .... ak ^ uh ^
< ak + 6) е= t/ и ячейки (bft+i < оЛ+, < 6ft+, -f б, ...
,.., bn ^ t»„ ^ bn -f б) е V при отображении f уже,
вообще говоря, не лежат в ортогональных плоскостях
§ 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 279
(fe-мерной и (n — k) -мерной), произведение
д ( ''" о ) ^Ц|> • • •' ^Uh не пРеДставляет собою эле-
элемента поверхности So. Но если отображение хг~у(и)
A) таково, что и при v Ф 0 образы указанных ячеек
лежат в ортогональных плоскостях, то предыдущее рас-
рассуждение полностью сохраняется и выражение
я, "" 'п\ duu ..., duk будет площадью элемента по-
О [fill, ...» Vn)
верхности Sv.
д. Интегрирование какой-либо функции F(x) по слою
Wh(S) в общем случае производится по правилу 3.58а:
J FWx- J
C)
Произведем интегрирование по переменным и при фик-
фиксированных v; мы получим функцию
\ul...duk. D)
Если при отображении f поверхности S» остаются
ортогональными к соответствующим шарам м=const, то
интеграл D), в силу сказанного выше, есть интеграл
по поверхности S». Для всего интеграла C) мы полу*
чаем выражение
J F(x)dx= j<t>(v)dv, E)
Qh
которое можно трактовать так: от функции F(x) вычис-
вычисляется интеграл по поверхности S», а результат затем
интегрируется по шару Qh- В общем случае, когда по-,
верхность Sv не ортогональна шарам «=const, равен-
равенство E), конечно, остается справедливым, но величину
<D(f) уже нельзя считать интегралом от функции F(x)
по поверхности Sv. Можно только утверждать, на оснО-*
вании теоремы 3.35 а о непрерывной зависимости инте-
интеграла от параметра, что функция Ф(о) в E) непрерыв-
непрерывна и, в частности, при v -* 0 имеет пределом величину
Ф@), которая есть интеграл от функции F(x) по по-
поверхности S.
280 ГЛ4 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.68
е. В некоторых случаях существование каноническо-
канонического представления B) слоя l^h(S) очевидно. Например,
пусть S есть (п—1)-мерная сфера радиуса г в Rn,
с центром в точке 0, или участок этой сферы положи-
положительной площади. Тогда л-мерный слой Wh(S) (ft < r),
порожденный этой сферой, есть область, полученная из
шара радиуса г -+- ft выбрасыванием внутреннего кон-
концентрического шара радиуса г — ft. Каноническая пара-
параметризация B) получается из произвольной параметри-
параметризации сферы
()
добавлением в правой части i-й строки слагаемого
Vnffifr (|»n| ^h). Шары «=const представляют собою
отрезки радиальных лучей длины 2ft; поверхности Sv
(—h sg: v ^ ft < г) являются соответствующими участ-
участками сфер радиуса г -\- v, которые радиальными лучами
пересекаются также ортогонально. Поэтому в данном
случае равенство E) означает, что интеграл от функции
F(x) no слою Wh{S) может быть получен интегрирова-
интегрированием функции F(x) no соответствующему участку сферы
Sv и затем интегрированием по v в пределах от г — ft
до г + ft-
ж. Установим здесь одно достаточное условие локаль-
локального существования канонического представления B)
для общей А-мерной поверхности:
Теорема. Если для k-мерной поверхности S c= Rn
можно указать в каждой нормальной плоскости у(х)
ортонормальный базис из векторов gh+i{x), ..., gn(x),
обладающих непрерывными производными по х, то у ка-
каждой точки Хо е S существует окрестность, в которой
слой Wh(S) допускает каноническое параметрическое
представление.
Доказательство. Пусть еи ..., еп — исходный
ортонормальный. базис в Rn, пусть
— параметрическое представление поверхности S вбли-
вблизи точки хо в этом базисе. Рассмотрим систему
3.65 * 36, ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 281
функций
х, = ф, («„ ..., uk) + ot+1 (gfc+1, е,) + ... + vn {gn, ei), |
Очевидно, что при fft+i= ... =vn—0 мы получаем сно-
снова точку х поверхности S. При фиксированных щ, ...
..., «а к вектору, идущему в точку х на поверхности S,
добавляется вектор p=i>ft+igft+i -+¦.. .•-+¦ vngn, лежащий
в нормальной плоскости у(х), причем, если параметры
Wft+i, .... vn описывают шар радиуса г в Rn-h, вектор
х + р описывает изометричный шар радиуса г в пло-
плоскости у(х) с центром в точке х. По в в обыкновенных
точках поверхности S определитель матрицы
~'дA' '"' ) отличен от 0, так что отображение F)
в некоторой окрестности такой точки взаимно однознач-
однозначно, что нам и требуется.
з. Покажем, что в окрестности каждой обыкновенной
точки х поверхности S возможно указать в нормальной
плоскости у(х) базис, требуемый теоремой ж.
Теорема. Для каждой обыкновенной точки хо=
—<р(ы0) поверхности S существует окрестность UodRh,
в которой можно определить ортонормированные век-
векторные функции ?,-(<р(н)), /"—ft + 1. • • •. w> c непрерыв-
непрерывными производными, лежащие в нормальной плоско-
плоскости у(х).
Доказательство. Возьмем .произвольный орто-
нормальный базис gh+i(xo), •. ¦, gn(xo) в плоскости y(*<>)•
Затем для любой другой точки jteS образуем в пло-
плоскости у{х) векторы qh+i(x), \.., qn(x), проектирую-
проектирующиеся на плоскость v(¦*<>) соответственно в векторы
gh+i(x0), ..., gn{xo). Утверждается, что в некоторой
окрестности точки х0 такие векторы существуют и опре-
определяются единственным образом. Искомые векторы
gft+i(x:), .... gn(x) мы затем получим ортонормализа-
цией найденных векторов qk+i(x), ..., qn(x). Для опре-
определения вектора qh+)(x) мы должны написать систему
282 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.63
уравнений
G)
1, .... n — k).
Для о е С/ czRk, у1 еДв рассмотрим отображение пары
(и, у1) в /?„ по формулам
(8)
= (^/ — gk+i(x0), gn(xo)).
Это отображение линейно по #, и его производная по у
определяется матрицей из координат векторов
Чз,(ф(«)), .... яМ<Р(")Ь 8h+i(x0), .... gn(x0). Эта мат-
матрица, во всяком случае при ы=и0, не вырождена; зна-
значение и=и0 соответствует обычной точке поверхности,
в которой векторы ф1(ф(ио)) фл(ф(ио)) линейно не-
независимы, а векторы gfc+i(*o)t •••, gn(Xo) образуют op-
тонормальный базис в нормальной плоскости y(*o), и
поэтому
gk+i(xQ), ...
(Ф («о)), • • •, % (Ф ("о))] IФ 0.
Кроме того, при и=ио и f/j==gft+j(-"':o) левые части си-
системы (8) становятся равными 0. По теореме о неявной
функции 1.53 в некоторой окрестности точки «о суще-
существует единственная вектор-функция у}{и), обращающая
левые части системы (8) тождественно в 0 и равная
gk+j{x0) при ft=«0. Полагая Gft+j(«)=f/(j)(w). получаем
решение системы уравнений G), что нам и требовалось.
Эти функции <jh+j(u) являются непрерывными и диф-
дифференцируемыми функциями от и вследствие дифферен-
цируемости функций ^г(ф(н)) (поверхность S была
предположена дважды дифференцируемой) и теоремы
о неявной функции.
3.66 S 3.6. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 288
Ортонормализируя систему qk+i(u), мы получаем
функции gk+j(u)> снова непрерывные и дифференцируе-
дифференцируемые, так как коэффициенты ортонормализации линейно
выражаются через отношения скалярных произведений
векторов (<7й+*(м)) к детерминантам вида
(Л7.51); эти детерминанты непрерывно зависят от и и
при и=«0 обращаются в 1, так что в некоторой окрест-
окрестности точки «о заведомо отличны от 0. Теорема дока-
доказана.
3.66. Площадь поверхности как предел
средней площади порожденного ею п-мер-
ного слоя!
а. Пусть S — двумерная дифференцируемая поверх-
поверхность в /?з и Wh (S) — порожденный ею слой толщины.
2h C.65а). Объем этого слоя, деленный на 2ft, называет-
называется средней площадью слоя; довольно естественное пред-
предположение, заведомо оправдывающееся для случая, ко-
когда S cz Rs есть плоскость, состоит в том, что, при h-*0
средняя площадь слоя имеет пределом площадь поверх-
поверхности S.
Аналогично, пусть L — дифференцируемая линия в
Яз и Wh(L) — порожденный ею слой толщины 2ft
C.65 а). Объем этого слоя, деленный на nft2, называет-
называется средней длиной слоя, и здесь можно предположить,
что, как и в случае, когда L a R3 есть прямая, средняя
длина слоя при ft —* 0 имеет пределом длину линии L.
б. Оба эти предположения оказываются справедли-
справедливыми; мы сформулируем сейчас общую теорему для
ft-мерной поверхности в Rn-
Пусть SczRn — fe-мерная поверхность и Wh(S) —
порожденный ею слой толщины 2ft. Объем этого слоя,
деленный на объем (п — k) -мерного шара радиуса ft,
называется средней площадью слоя (при k > 1; если
же k=l, то он называется средней длиной слоя).
Теорема. Если п-мерный слой Wh(S) толщины
h ^ /to, порожденный поверхностью S, допускает кано-
каноническое параметрическое представление 3.65 B), то
средняя площадь слоя при h-+Q имеет предел, равный
площади поверхности S.
284 гл. з. интегрирование 3.66
Доказательство. Объем слоя Wh(S) записы-
записывается интегралом 3.65 C) (F(x) = 1):
С I л is. t \ I
J I С/ \W|, • • •» ^П/ I
t/xvft
Произведем интегрирование по переменным ы при фик-
фиксированных у; мы получим функцию
d(h,...,U)
Г1
rfu*
Функция Ф(рл+|, ..., в„) непрерывно зависит от своих
аргументов. Если функцию Ф проинтегрировать до шару
Vh, а затем результат разделить ria объем шара, мы
получим, с одной стороны, среднюю площадь слоя Sh,
а с другой — среднее значение функции Ф {vh+i, .... vn)
в шаре Vh. Это последнее при h -* 0 стремится к значе-
значению функции Ф(рь+1, .... vn) в точке vk+t— ... =оп=
=0. Таким образом, средняя площадь слоя имеет пре-
предел, равный
ф<° "-Jlifc ::•:") L*4-*
L
Используя полученное выше C.65 в) значение яко-
якобиана
(fi, ¦'-. fn) I на поверХНОСТИ s, находим, что
О [и,, ..., Vn) |
а это и есть площадь поверхности S.
в. Пример. Найдем площадь поверхности (и — 1)-
мерной сферы S=Sn_i(r) радиуса г в /?„. Как мы ви-
видели в 3.65е, «-мерный слой Wh(S), порожденной этой
сферой, есть область, полученная из шара Qr+h радиуса
г + h выбрасыванием внутреннего концентрического
шара Qr4l радиуса г — h. Объем \Qr\ шара радиуса г
в о-мерлом пространстве, согласно 3.566, имеет вели-
величину
г(т+')
3.71 § 3.7, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 285
Применяя теорему б, находим, что площадь поверхности
(п— 1)-мерной сферы радиуса г в Rn равна
.,„„
2А
г. Комбинируя результаты теорем б и 3.65 з, мы при-
приходим к следующему выводу:
Если поверхность S={x=<p(u), «e U cz Rh} задана
дважды дифференцируемой функцией <р(«) ($й-*/?п)
и точка х0 — обыкновенная точка этой поверхности, то
существует такая окрестность G точки х0, в которой
можно построить'п-мерный слой Wh (S) толщины 2ft, по-
порожденный поверхностью S, и площадь той. части по-
поверхности, которая лежит в окрестности G, может быть
найдена как предел при h —> 0 средней площади слоя.
Возникает вопрос: справедлива ли такая теорема ие в локаль-
локальном смысле, а в целом для всей поверхности S? Этот вопрос связан
с топологическими рассмотрениями, например с отсутствием само-
самопересечений у слоя Wh{S), и слишком сложен, чтобы рассматри-
рассматривать его в нашем курсе.
§ 3.7. Несобственные интегралы
3.71. Основные определения. Мы построили
определение интеграла для ограниченных функций, опре-
определенных на ограниченной области (жордановом мно-
множестве) пространства Rn- Здесь мы расширим это опре-
определение на случаи: а) локально ограниченной функции
в неограниченной замкнутой области (интеграл 1-го
рода); б) неограниченной функции в ограниченной зам-
замкнутой области (интеграл 2-го рода) и в) неограничен-
неограниченной функции в неограниченной замкнутой области
(интеграл 3-го рода). Мы называем здесь замкнутой
областью замкнутое множество с всюду плотным мно-
множеством внутренних точек.
а. Пусть в неограниченной замкнутой области GczRn
задана допустимая, т. е. ограниченная на каждом
ограниченном множестве кусочно-непрерывная функция
/(*); мы желаем дать определение несобственному
288 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.71
интегралу 1-го рода
If=ff(x)dx. A)
а
Возьмем произвольную последовательность ограничен-
ограниченных замкнутых областей Gi с: G2 с:... с= Gm cr ... cG
с тем условием, что для любого шара Vp={x e /?„:
\х\ <: р} найдется такое т, что область Gm (значит, и
каждая последующая) содержит множество Vp П G. Та-
Такую последовательность областей будем называть исчер-
исчерпывающей. Интегралы
U=\f{x)dx B)
существуют. Если последовательность Im{f) при т—*оо
имеет (конечный) предел, не зависящий от выбора ис-
исчерпывающей последовательности областей Gm, то мы
говорим, что интеграл A) существует (или сходится),
и полагаем по определению
If == J / (х) dx = lfm J f {x) dx. C)
a m->0° am
Если же интегралы Im(f) при т-*ооне имеют предела,
то мы будем говорить, что интеграл A) расходится.
б. Г1усть в ограниченной замкнутой области G cr Rm
задана допустимая функция f(x); это означает здесь,
лто существует такое нуль-множество ZczG, что вне
•любого его окружения C.23 6) функция f(x) ограничена
и кусочно-непрерывна.
Мы желаем дать определение несобственному инте-
интегралу 2-го рода
If=$f(x)dx. D)
а
Возьмем произвольно последовательность жордано-
вЫх множеств Gi cr G2 с:... cr G таких, что любое до~
полнительное множество G — Gm содержит Z строго вну-
внутри себяч и содержится в некотором ет-окружении мно-
множества Z, причем ет->0 при т~*оо. Такую последова-
последовательность множеств Gi с: G2 с= ... будем навывать
8.71 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫВ ИНТЕГРАЛЫ
исчерпывающей. Если у интегралов
/«@ =//(*)<** E)
при т -* оо существует предел, не зависящий от выбора
последовательности множеств Gm, то мы говорим, что
интеграл D) существует, или сходится (в противопо-
противоположном случае — расходится), и полагаем по опреде-
определению
// шш, J f (Х) dx = lim J f {x) dx, F)
Q Off.
в. Пусть в неограниченной замкнутой области GczRn
задана, возможно, неограниченная функция f(x). Точ-
Точнее, мы предположим, что в каждом шаре Vp=
={хе/?„; }лг| <: р} имеется такое нуль-множество Zp,
что на разности Vp и любого окружения Zp функция
f(x) ограничена и кусочно-непрерывна. Такие функции
будем здесь называть допустимыми. Определение «не-
«несобственного интеграла 3-го рода»
If={f(x)dx G)
:__ f
строится следующим образом. Будем называть последо-
последовательность Gi cr G2 c= ... с= G ограниченных жордано-
вых областей исчерпывающей, если для любого шара
Vp={x s Rn- \x\ <; р} и для любого в > 0 найдется та-
такое пг, что область Gm (значит, и каждая последующая)
содержит множество Vp Г| G, за вычетом е-окружения
множества Zp, причем, если эта область Gm при каком-
либо pi > p содержится в шаре VPl, она не содержит
е-окружения и множества ZPl. Тогда интегралы
(x)dx (8)
определены; если у этих интегралов при т —> оо суще-
существует предел If, не зависящий от выбора исчерпываю»
щей последовательности областей Gm, то мы говорим,,
что интеграл G) существует, или сходится (а в проти-
противоположном случае — расходится), и полагаем да
288 ГЛ, 3, ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.72
определению
lim \f(x)dx. (9)
г. Построение исчерпывающих последовательностей
во всех трех случаях а, б, в обладает той особенностью,
что если G\CzG2cz... и Gi cz G'% cz ... — две такие
последовательности (для одного какого-нибудь типа не-
несобственного интеграла), то любая область Gm из пер-
первой последовательности содержится в некоторой области
Gm' из второй последовательности, и наоборот. По-
Поэтому, имея две указанные исчерпывающие последова-
последовательности, всегда можно построить смешанную исчерпы-
исчерпывающую последовательность
Отсюда следует, что из наличия предела интегралов
типа B) по каждой исчерпывающей последовательно-
последовательности уже следует совпадение этих пределов: предел по
смешанной последовательности A0) должен совпадать
и с пределом по последовательности G\ cz G2 cr ... и
с пределом по" последовательности G\d G^a ..., от-
откуда с необходимостью следует равенство этих пре-
пределов.
д. Таким образом, во всех случаях определение не-
несобственного интеграла If от допустимой функции f(x)
приведено к определению предела последовательности
собственных интегралов от функции f(x) по произволь-
произвольной исчерпывающей последовательности областей. От-
Отсюда следует, в частности, что несобственный интеграл,
как и собственный, обладает линейным свойством: если
он сходится для некоторых функций fi(x) и h(x), то он
сходится и для любой линейной комбинации Cifi(x) -fj
-f- С2Ы*) (ci и с2 — числа) и
3.72. Несобственные интегралы от неот-
неотрицательных функций и абсолютная схо-
сходимость.
а. Если функция f(x), сверх условий 3.71, неотрица-
неотрицательна, f(x)^ P,jro определения всех несобственных ин-
<8t?2 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ш
тегралов 3.7J а—в упрощаются. А именно, достаточно
рассмотреть собственные интегралы типа B) лишь для
какой-либо одной исчерпывающей последовательности
областей Gm и выяснить только, являются ли эти инте-
интегралы в совокупности ограниченными. В силу отмеченного
в 3.71 г соотношения между любыми исчерпывающими
последовательностями областей, из ограниченности
интегралов B) на последовательности Gm и неотри-
неотрицательности функции f(x) следует ограниченность ин-
интегралов типа B) и на-любой другой исчерпывающей
последовательности областей. А ограниченность после-
последовательности Imf вместе с соотношением I\f ^ /2/ ^ ...
означает существование предела последовательности
чисел Imf по каждой исчерпывающей последовательно-
последовательности областей, откуда, в силу 3.71 г, и вытекает суще-
существование соответствующего несобственного интеграла.
б. Пусть 0 ^f(x)^. g(x) и обе функции допустимы-
C.71 в). Если существует интеграл по области, G от
g(x), то существует и интеграл по области G от f(x),
причем If ^ Ig. Действительно, интегралы от g(x) по
исчерпывающей последовательности областей имеют
предел и поэтому ограничены сверху числом Ig; по-
поэтому ограничены сверху тем же числом Ig и интегралы
от функции f(x) по этой последовательности областей;
отсюда и из а следует, что существует интеграл // и вы-
выполнено неравенство // ^ Ig, что и утверждалось.
Как следствие получаем: если O^f(x)^. g(x)—до-
g(x)—допустимые функции и интеграл для f(x) no области G
расходится, то расходится и интеграл по этой области
от функции g(x).
Приведенные здесь результаты в совокупности обра-
образуют признак сравнения для несобственных интегралов.
в. Если fix)—неотрицательная допустимая функция
и интеграл If = IGf no области G сходится, то интеграл
IQf no любой меньшей области QczG также сходится,
причем IQf ^ IGf. Действительно, если %q(x) — характе-
характеристическая функция области Q, то функция х«(х)/(*)
допустима вместе с функцией f(x) и удовлетворяет не-
неравенству 0 <; %Q(x)f(x)^f(x)', применяя а, получаем
что и требуется.
290 гл. э. интегрирование 3,72
Как следствие получаем: если интеграл по области Q
от допустимой функции f(x)^O расходится, то расхо~
дится также интеграл от }(х) по любой большей обла-
области G Z3 Q.
г. Если для допустимой функции f(x)^sO сходятся
интегралы по жордановым множествам G' и G", то
' интеграл от нее по множеству G' U G" = G тоже схо-
сходится.
Заменяя G" на G" — G' Г) G", можно привести ут-
утверждение к случаю, когда жордановы множества G' и
G" не пересекаются. Пусть G'm — исчерпывающая после-
последовательность жордановых множеств для области G' и
G'm — для области G". Тогда, очевидно, множества
G'm U G'm образуют исчерпывающую последовательность
для множества G.
Обратно, всякая исчерпывающая последовательность
Gm для множества G порождает две последовательности
G'm — G' П Gm и G'm = G" П Gm, которые, очевидно, яв-
являются исчерпывающими для областей G' и G".
Мы имеем по 3.33 б
J /Mdx= $f{x)dx+ $f{x)dx, A)
L
oL о"
и так как интегралы справа имеют пределы, то и инте-
интеграл слева имеет предел. Отсюда, по 3.71 г, следует су-
существование интеграла от функции f(x) и по области
С = С U G". В частности, для непересекающихся обла-
областей G' и G" мы получаем предельным переходом из
A) равенство
J
ог
Разумеется, полученный результат легко распростра-
распространяется и на любое (конечное) число жордановых обла-
областей G', G",..., GW.
д. Принцип локализации. Пусть задана неог-
неограниченная допустимая функция f(x)^O в ограничен-
ограниченной замкнутой области G с Rn. Если для каждой точки
as 0 существует окрестность V(a), в которой функция
3.72 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 291
f(x) интегрируема (т. е. несобственный интеграл от f(x)
2-го рода по V(a) сходится), то функция f(x) интегри-
интегрируема и во всей области G; если же хотя бы у одной
точки b^G существует окрестность V(b), в которой
функция f(x) не интегрируема, то она не интегрируема
и во всей области G.
Доказательство. Имея для каждой точки seG
окрестность V(a), в которой функция f(x) интегрируема,
выберем из этого набора окрестностей конечное покры-
покрытие V(a{), ..., V(ah) области G. Но тогда в силу г она
интегрируема и на их объединении G, что и требовалось
доказать.
Если в окрестности V(b) функция f(x) не интегри-
интегрируема, то она не интегрируема и во всей области G
в силу в.
е. Абсолютно сходящиеся интегралы.
Пусть f(x) — допустимая функция, заданная в области
G с: /?„. Предположим, что имеется неотрицательная
допустимая функция g(x), интеграл от которой по G
сходится. Тогда, если \f(x)\^ g{x), то функции f(x) и
\f(x)\ также интегрируемы по области G, причем
jfMdx <jlf(x)\dx<jg(x)dx. B)
9 0 0
Для доказательства возьмем произвольную исчерпы--
вающую последовательность жордановых множеств
Gi cz G2 cz ... cz G; мы лолучим при k < m
jf(x)dx- jf(x)dx = J f(x)d
< J \f(x)\dx< J g{x)dx=* jg(x)dx- jg(x)dx.
Qm-°k am-°k °m °k
Правая часть полученного неравенства неотрицательна
и стремится к нулю при k -> оо, m -> оо в силу сходимо-
сходимости интеграла от g(x). В силу критерия Коши суще-
существует также предел интегралов от функции f'(x) по об-
областям Gm; это означает, по 3.71 в, и существование ин-
интеграла по области G от функции f(x). Существование
интеграла от \f(x)\ следует из б. Переходя к пределу
292 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.73
при т —» оо в неравенстве
\ f (x)dx < J | f(x) I rfx< J g (x) dx,
3m °m °m
получаем требуемое неравенство B).
Интеграл от функции f(x), удовлетворяющей всем
высказанным условиям, называется абсолютно сходя-
сходящимся. Интересно отметить, что в Rn, вообще говоря, не
существует интегралов, сходящихся не абсолютно (см.
задачу 6).
3.73. Примеры.
а. Пусть на полуоси 0 < а ^ г < оо задана функция
O кусочно-непрерывная на каждом конечном
отрезке a^.r^.b. Полагая r2== .2 х\*=\ xf, получаем
допустимую функцию f(г) = fу 1/ 2^). определен-
определенную в /?„. Рассмотрим ее в области G =< хе/?„: \х\~^а,
X ' 1
~ " >, где 2 —.некоторое заданное множество поло-
жительной площади на единичной сфере простран-
пространства /?„. Поставим вопрос о сходимости несобствен-
несобственного интеграла 1-го рода
1
Hr)dx. A)
В качестве исчерпывающей последовательности областей
возьмем области Gm — lxeRn: a<|x|<m, -Д|-е2>.
Интеграл от функции f(r) по области Gm вычисляется
по правилу 3.65 а, именно
$f(r)d(rl,)\dr,
rX J
.где множество pS: лежит на сфере радиуса г. Так как на
этой сфере функция f(r) постоянна, то внутренний ин-
3.73 § 37. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 293
теграл, согласно 3.63 в, равен
В результате мы получаем
Для выяснения вопроса о сходимости интеграла (Ц
мы должны устремить здесь т к + оо. Но тем самым
вопрос о сходимости этого интеграла приводится к во-
вопросу о сходимости в Ri несобственного интеграла
(г) г»-1 dr.
Например, используя результат 011.11 а, мы можем ска-
сказать, что интеграл
f *L
о
сходится при а > п и расходится при а ^ п. Заметим,
°то результат не зависит от выбора множества' 2 на еди-
единичной сфере в Rn, определяющего область G (лишь бы
множество 2 имело положительную площадь).
В силу признака сравнения 3.72 б при тех же усло-
условиях сходится или расходится интеграл
/рг. B)
о
где в(х) — допустимая функция, имеющая при |д:|—> оо
положительный предел. Если в(х) лишь ограничена при
|х|->оо, то на основании признака сравнения 3.72 6
можно утверждать только, что интеграл B) сходится
при а > п.
б. Пусть в промежутке 0 < г «g; b задана функция
f(r)^O, кусочно-непрерывиая на каждом отрезке а ^
^ г ^ Ь [а > 0) и, возможно, неограниченная при
п
г—>0. Полагая г2=^х2, = \х?, получаем допустимую
«=1
функцию f(r) = f[\/ S*f). определенную при
g94 гл. з. интегрирование 3.73
О < |х\ <i Ь в Rn- Рассмотрим ее в области G=< x e Rn,
О < | х | ^ Ь, -Дт- ell, где 2 — некоторое множество
положительной меры на единичной сфере в Кп, и по-
поставим вопрос о сходимости несобственного интеграла
2-го рода
\{r)dx. C)
о
Р качестве исчерпывающей последовательности областей
возьмем области
eERn:
Аналогично а, имеем
ь
J f(r)dx = |S| J /(г)г» dr.
Gm r-I/m
Таким образом, вопрос о сходимости интеграла C)
приводится к вопросу о сходимости в R\ несобственного
интеграла 2-го рода
ь
Например, используя результаты 011.22 а, получаем, что
интеграл
С dx
J ra
сходится при а < я и расходится при а ^ п.
В силу признака сравнения 3.72 б при тех же усло-
условиях сходится или расходится интеграл
е (*)¦?-. D)
о
где в(х)—допустимая функция, имеющая при х-*0 по-
положительный предел. Если же функция В(х) только ог-
ограничена при х—*0, то, пользуясь признаком сравнения
3.73
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
295
3.72 6, можно утверждать лишь, что интеграл D) при
а <. п сходится.
- в. Как следствие из а и б, получаем, что интеграл
3-го рода от функции 1/г° по «телесному углу»
л = /хе р -Д-еЛИгде 2, как и выше, множество
I 1*1 J
положительной меры на единичной сфере в Rn) не су-
существует ни при каком а.
г. Требуется проанализировать сходимость интеграла
Я
-dx dy
E)
и1
области.
в каждой из областей G, (t = 1,2,3), изображенных на рис. 3.7-1.
Рассмотрим вначале область G\.
При любом положительном е и достаточно большом р сектор
{х, у е /fa е < у/х < 1 — е, х > р} принадлежит этой
В указанном секторе подынте-
подынтегральное выражение не мень-
меньше, чем С/г2 при некотором
С > 0. Следовательно, инте-
интеграл E) по этому сектору и
тем более по области Gi расхо-
расходится в силу а и признака срав-
сравнения 3.72 6. Области б2 при-
принадлежит сектор {х, у е /fa
0 < ylx sg 1-е, /¦«? 1}; в этом
секторе подынтегральное выра-
выражение также не меньше, чем
С/г2 с некоторым С > 0, и ин-
E) б О
fl
торым >
теграл E) по области Ог так
же расходится. Что же касает-
касается области G3, то в ней можно взять расширяющуюся последователь-
последовательность прямоугольников "Cm = {х, у е /fa 1 ^ х ^ от, 0 < у ^ 1},
исчерпывающую эту область. При этом мы имеем
Л ^V^~ dx dy < J J ? dx dy < J J "F dx dy
ura
Так как правая часть рграничена при от ¦
сти С3 оказывается сходящимся.
- оо, интеграл E) по обла-
д. Рассмотрим в ограниченной замкнутой области
GczRn поверхность S = {х = ф (и), uezUcz Rh),
296 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
определяемую дважды дифференцируемой функцией
ф(ы) без особенностей (последнее означает, что матри-
матрица ф'(ы) не вырождена). Пусть p=p(x,S) означает рас-
расстояние от точки х до поЁерхности S. Выясним, при ка-
каких а является интегрируемой в области G функция
Применим принцип локализации 3.72 д, в силу кото-
которого достаточно рассмотреть вопрос о существовании
интеграла в произвольно малых окрестностях каждой
точки леС Для каждой точки аф S имеется окрест-
окрестность, в которой функция \lpa(x, S) ограничена и, сле-
следовательно, интегрируема. Рассмотрим точку а е S.
В сщу 3.65 ж существует слой Wft(S), содержащий не-
некоторую окрестность V(a) и описываемый параметрами
(u,v) = {ul,...,uk; vk+u ..... ,vn), HG(/(e)ct/,
таким образом, что функции
Хп = Хп(и, V)
при vh+i ='... =± vn == 0 дают представление участка
S(a) поверхности S (в указанной окрестности точки а),
а при фиксированных и = (щ, ..., uh\— изометрическое
отббражеБие' (п — ft) -мерного шара | v | ^ Л2 на шар ра-
радиуса h с центром в точке а, расположенный в нормаль-
нормальном к поверхности S-,. («—г?)^мернрм подпространстве.
Интеграл от любой (ограниченной) функции f(x) по
этому слою может быть записан по правилу 3.58:
J /(*>**= J ш.(и,,))\.$$ у;;;;;}.\dudv.
Wh(S) U(a)XQh
п
Величина р2(х, S) в данном случае совпадает с 2 v2,.
k+\ '
Возьмем в качестве последовательности допустимых
областей Gm области вида
Gm={xeWk{S): x—x(u, v), и е U(a), -i-<| v |<л}.
3.74 § 37. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 297
Тогда
J
где
Функция Ф(и) имеет пределом при | о|=
+i
площадь поверхности S(a) C.65 д). Согласно 3.73 6 ин-
интеграл F) имеет предел при m —*¦ оо тогда и только
тогда, когда а<п — ft. Тем самым функция l/f)a(x,'S)
оказывается интегрируемой в области G тогда и только
тогда, когда а < и — ft'.
3.74. Несобственные интегралы с пара-
параметром.
а. Теория несобственных интегралов с параметром,
описанная в ОНА для одномерной области интегриро-
интегрирования, распространяется без осложнений и на много-
многомерные области. Рассмотрим несобственный интеграл
1-го рода
/ A)
сходящийся при всех значениях параметра 7, из некото-
некоторого множества Л. Интеграл A) называется равномерно
сходящимся на Л, если для любого е > 0 существует
такое р > 0, что для любой ограниченной области
QczG, не содержащей точек шара Vp={x^Rn: \x\^
^ р}, выполняется неравенство
J f {x, Я,) dx < e.
298 гл. з. интегрирование 3.74
б. Аналогично рассматривается несобственный инте-
интеграл 2-го рода с параметром Я е Л:
=//(*, *)dx. B)
Функция f(x, Я) предполагается при любом ЯеЛ огра-
ограниченной и кусочно-непрерывной в ограниченной замк-
замкнутой области G с Rn вне любого окружения фиксиро-
фиксированного (не зависящего от Я) нуль-множества Z с G,
Несобственный интеграл B) называется равномерно схо-
сходящимся на Л, если для любого е > 0 существует такое
б > 0, что для любого множества Q, содержащего мно-
множество Z строго внутри себя и содержащегося в б-окру-
жении множества Z, выполняется неравенство
ff(x,X)dx
в. Аналогично строится определение и равномерно
сходящегося на Л несобственного интеграла 3-го рода,
которое, за ненадобностью в дальнейшем, мы опускаем.
Следующие теоремы для интеграла 1-го рода дока-
доказываются совершенно аналогично тому, как они дока-
доказываются для одномерной области @11.43—45).
г. Пусть Л — метрическое пространство и функция
f(x, Я) равномерно непрерывна на каждом произведении
AX(Gf] Vp). Если интеграл A) сходится равномерно
на А, то /(Я) является непрерывной функцией от %.
д. Если А — нагруженное пространство и функция
f(x, Я) непрерывна по совокупности х, Я на каждом про-
произведении ЛХ(С Л V), а интеграл A) сходится равно-
равномерно на А, то несобственный интеграл от функции
Л
по области G сходится и
J( jf(x,k)dx)db*=fl jf(x,k)dK\dx.
Л I О J О I Л J
е. Теорема. Если Л — линейное нормированное
пространство и функция f(x, Я) обладает производной
3.75 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 299
¦ gi , непрерывной по (х, К) на каждом произведе-
произведении Л X (G П Vp), а интеграл
г д}(х,г> dx
о
сходится равномерно на А, то интеграл A), если он схо-
дится хотя бы при одном К = Яо s Л, — сходится при
всех ЯеЛ, представляет собою дифференцируемую
функцию и
Для доказательства вместо теорем 09.84 и 09.77, ис-
использованных в 011.45, следует взять теоремы У.46 и
3.35 в, в которых, вместо производных по Ri, речь идет
о производных по нормированному пространству.
ж. Простейшим признаком равномерной сходимости
интеграла A), как и в 011.47 а, является наличие ин-
интегрируемой мажоранты — допустимой функции F(x)^
^ 0, удовлетворяющей условиям
F(x)^\f(x, К)\ для всех Яе=Л,
I
F(x)dx<oo.
о
з. Для интегралов 2-го и 3-го рода теоремы, анало»
гичные в — ж для интегралов 1-го рода, доказываются
теми же приемами.
3.75. Сведение многократных несобст-
несобственных интегралов к однократным. Мы изу-
изучим здесь для простоты случай п = 2; общий случай
рассматривается аналогично.
а. В пространстве R2 рассмотрим неотрицательную
кусочно-непрерывную функцию f (x, у). Допустим, что на
каждом конечном отрезке —с ^j^c у нее имеется
интегрируемая мажоранта, т. е. такая кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывная функция Fc(x) ^ 0, что
JFc(x)dx <oo, f(x,y)^Ft(x) A)
300 ГЛ. 3. ИНТЕ1ФИРОВАНИЕ 3.76
и пусть, кроме того, функция
со
Ф<У)= J f(x, y)dx B)
—со
(существование которой обеспечено признаком сравне-
сравнения 3.72 6) кусочно-непрерывна на каждом отрезке
— с ^ у ^ с.
Теорема. При высказанных условиях существова-
существование какого-нибудь одного из интегралов
lf(x,y)dx\dy
—оо *
C)
влечет существование другого и их равенство.
Доказательство. Из наличия интегрируемой ма-
мажоранты вытекает равномерная сходимость интеграла
B) в любом промежутке — с ^.у ^.с и равенство
{
—оо ' —с
jf{x,y)dy\dx =
с *
Де \ ас
U(x,y)dy rf* = lim f \f(x,y)dxdy. D)
_ Jc i e-*-_Je_i
Если сходится первый из интегралов C), то правая
часть D) остается ограниченной числом / при всех с;
это влечет, существование второго интеграла и неравен-
неравенство Л ^ I. Если сходится второй из интегралов C), то
левая часть D) ограничена при любом с числом /i; сле-
следовательно, при любых а и с тем же числом h ограни-
ограничен интеграл
а с
J J fix, y)dxdy,
откуда следует существование первого из интегралов
C) и неравенство / ^ lt. Таким образом, существова-
существование одного из интегралов C)~ влечет за собой как суще-
существование второго, так и оба неравенства / ^ /i, h ^ /,
т. е. равенство / = h, что и требуется.
3.75 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ gOl
б. Пусть даны функции g(x)^0 (— оо<*<оо)
и h(y)^O (— оо <; у <z оо), кусочно-непрерывные и
такие, что при некоторых а и с интегралы
J g{x)dx и \h(y)dy
заведомо положительны. Положим f(x, у)= g(x)h{y).
Теорема. При высказанных условиях существова-
существование интеграла
(б)
я.
равносильно существованию обоих интегралов
оо оо
/,— /ffWdx и l^\h{y)dy; F)
—оо —оо
при этом имеет место равенство
О0 ОО
J/ f (х. y)rfxrfy- j g(x)dx J A(y)^. G)
к -» -«,
Доказательство. При любых а и с имеет место
равенство
ас ас
j J f(x, y)dxdy^ j g{x)dx J h(y)dy. (8)
—e —с —а — с
Если существует интеграл E), то левая часть равен-
равенства (8) при любых а и с ограничена сверху числом /.
Переходя к пределу при а -* оо, с ±= с0, получаем суще-
существование первого из интегралов F); переходя к пре-
пределу при с —»¦ оо, получаем существование второго ин-
интеграла и неравенство I~^hh- Если существуют ин-
интегралы F), то правая часть равенства (8) ограничена
сверху числом IJ& отсюда следует существование ин-
интеграла E) и неравенство / «? Л/г. В любом из случаев
имеют место оба неравенства /^ fj2, /1B ^ Л т. е. ра^
венство / = Л/2, что и требуется.
302 ГЛ- 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.7в
8.76. Замена переменных в несобствен-
несобственных интегралах. Мы снова ограничимся для про-
простоты случаем п = 2 и неотрицательной кусочно-непре-
кусочно-непрерывной функцией f(x, у).
а. Рассмотрим сходящийся интеграл
l=jjf(x,y)dxdy. A)
о
Пусть область G в плоскости х, у (ограниченная или
нет) дифференцируемым отображением х = х(и, v),
у = у (и, v) переходит в область Q в плоскости и, v
(также ограниченную или нет). Покажем, что суще-
существует интеграл
f(x{u, v), y(u, v)) -j^gJJ- dudv B)
Q
и его значение совпадает со значением интеграла /.
Исчерпывающая последовательность областей Gx a
cG2cz...czG при отображении х = х(и, v), у =
= у (и, v) переходит, очевидно, в исчерпывающую по-
последовательность областей Qj c= Q2 с= .. с= Q. Приме-
Применяя правило замены переменных 3.57 к области Gm, на-
находим
\\f{x, y)dxdy=jjf(x{u, v), у (и, v)
Устремим т к + оо. Левая часть последнего равенства
в силу сходимости интеграла A) имеет предел, рав-
равный /; следовательно, правая часть имеет этот же пре-
предел; отсюда, в соответствии с 3.72 а, мы заключаем, что
существует интеграл B) и что он совпадает с интегра-
интегралом {I).
б. Пример. Используя определение гамма-функции {ОН.51)
Г(с)=
о
и результат S.75 €, мы получаем
о
J e-y-1 dy=j\ в"*"VV dxdy. C)
3.77 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 303
Перейдем к новым координатам
х = и{\— v), y=uv. D)
Отображение D) переводит первую четверть плоскости х, у в полу-
полуполосу 0^u<oo, O^f^l на плоскости и, v и обратно. При
этом
I д(и, о) Iй"! —и и I
В силу а имеем
оо 1
Г (а) Г F)= J Je-"ua+6-2(l-o)fl-Iob-1urfudo =
оо I
= J е-ипа+Ь-! йи J о6 A - v)a~l dv = Г (а + 6) В (а, 6);
о о
мы получили заново соотношение между гамма-функцией и бета-
функцией. Первоначальный вывод 011.53, проходящий целиком в
рамках функций одного переменного, оказывается более сложным,
чем вывод, основанный на обращении к функциям двух переменных.
3.77. Несобственные интегралы с пере-
менной особенностью.
а. В дальнейшем нам придется иметь дело с интегра-
интегралами с переменной особенностью, которые имеют вид
где |* — у\ означает расстояние от точки х е /?„ до
точки у е i?n, a G a Rn есть ограниченная область.
Функция f(x, у) предполагается ограниченной и непре-
непрерывной в области G X Я, Я сг /?п-
При y^G и а>0 интеграл (I) является несоб-
несобственным интегралом 2-го рода и, по 3.73 б, сходится
(абсолютно), если а < п.
Хотя интеграл A) является несобственным интегра-
интегралом с параметром, однако общая теория интегралов
с параметром, изложенная в 3.74, здесь не применима,
так как особенность в интеграле A) не фиксирована,
а определяется положением параметрической точки у.
Поэтому свойства интеграла A) мы будем выводить пу-.
тем прямого анализа, не обращаясь к общей теории 3.74*
б. Лемма. Если а < п, то для любого е > 0 суще-
существует такое бо > 0, что для любого шара V6 радиуса
304
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.77
б ^ бо выполняется неравенство
la
/(«.¦»
их
B),
Доказательство. Функция /(*, у), непрерывная
по совокупности аргументов х, у, ограничена, так что,
например \f(x, у) |^ С. В силу сходимости интеграла от
-——-, по заданному е > О найдется число т > 0 та-
\х — у)а
кое, что для шара Vx(y) радиуса т с центром в точке у
будет выполняться неравенство
Г Их, у)
dx
..J. lx —
vx (и)'
y\°
причем число т не зависит от выбора точки у. Нам
остается рассмотреть шары с центрами в других точках.
Если шар Vp (j/i) лежит целиком внутри шара V1(y), то
для V6 = Vp(yi) неравенство B), очевидно, имеет ме-
место. Далее, вне шара Vz^(y) функция * „ ограни-
ограничена, например, числом К. Поэтому интеграл от нее по
любому шару Vp с центром вне шара Угх/з(у) и радиу-
радиусом р < т/3 (такой шар не имеет общих точек с шаром
У*1з(у)) не превосходит величины К| Vp | = КЙ„рп
(йп — объем единичного шара в Rn), что меньше е при
достаточно малом р, например при р *$ б <С т/3. Но вся-
всякий шар радиуса р < т/3, если он не лежит целиком
внутри шара Vt(p)i имеет центр вне шара Vzxniy)- По-
Поэтому для любого шара Vp(ffi) радиуса, р < 6, где бы
ни был его центр, неравенство B) имеет место, что и
требуется.
в. Здесь мы установим теорему о непрерывности
функции F(y) A).
Теорема. Если f(x, у) непрерывна по совокуп-
совокупности аргументов х, у, причем а<п, то функция
непрерывна.
3.77
§ 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
305
Доказательство. С помощью леммы б для
заданного е > 0 найдем б > 0 так, чтобы для любого
шара Vf, радиуса б выполнялось неравенство
I
\*-
C)
Введем обозначение " ' „ = ф(*, у). Фиксируем
\*-у\
произвольную точку у0 е Н. Пусть | у — у01 < 6/2. Тогда
\F(y)~F (Уо) I = J [ф (х, у) - Ф (х, у0)] dx
J [ф(*> У) — ф(
°-vb («el
J \<t>(x,y)\dx + J
> У) — ф(*> Uo)]dx
J [ф (•«. У) — Ф (*. Уп)] d*
D)
В области И G— Ve(jfo). ^^^«(Уо)} функция
ф(л:, у) непрерывна по совокупности переменных х, у;
по теореме 3.35 а последний интеграл в правой части D)
представляет собой непрерывную функцию от у. В част-
частности, по заданному е мы можем указать такое р < 6/2,
что при \у — #о|<Р будет иметь место неравенство
J [ф(*, У) — 4>(х, yo)]dx
—
3*
E)
Из неравенств C) — E) вытекает, что при | у—у01 < р
Таким образом, функция F{y) непрерывна в точке у0-
Так как у0 — произвольная точка области Н, то F(y)
всюду непрерывна, что и требовалось.
306 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.77
г. Интегрирование несобственного ин-
интеграла с переменной особенностью по па-
параметрической точке.
Теорема. Если а <. п и точка у пробегает k-мер-
ную поверхность S ограниченной площади A ^ k < п),
то
Доказательство. Заметим, что, в силу тео-
теоремы в, внутренний интеграл в левой части равенства
F) является непрерывной функцией от у, чем обеспе-
обеспечено существование и всего интеграла в левой части.
В правой части внутренний интеграл, как функция от х,
определен только в точках х, не лежащих на поверхно-
поверхности S; при приближении точки х к поверхности S зна-
значение внутреннего интеграла, вообще говоря, неограни-
неограниченно возрастает, так что весь интеграл в правой ча-
части — несобственный, с множеством особых точек подын-
подынтегральной функции, совпадающим с поверхностью S.
Поэтому существование интеграла в правой части зара-
заранее не очевидно;- вместе с равенством F) оно будет
вытекать из наших рассуждений.
Как и выше, обозначим ф(л;, у) = ' у а . Для до-
доказательства существования интеграла в правой части
мы должны рассмотреть последовательность собствен-
собственных интегралов
/m= J ( | ф(*. y)dy\dx (m= I, 2, ...),
а-вт (s )
где области Bm стягиваются к множеству S. В каждом
интеграле lm, по теореме 3.35 б, можно переменить по-
порядок интегрирования:
•-Л J
s Ко-в„
Внутренний интеграл обозначим через Fm(y)- Пока-
Покажем, что при гп —* се функция Fm (у) равномерно в Н
3.77 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 307
стремится к функции
F{y) = J<P(*> y)dx.
Разность между F(y) и Fm(y) представляется как
интеграл по области Вт:
j G)
Для заданного е > 0, пользуясь леммой б, найдем
б > О так, чтобы для всякого шара Vp радиуса р ^ А
имело место неравенство
Разобьем интеграл G) на сумму двух интегралов:
первый по. той части В'т области Вт, которая попадает
в шар Vp (у), а второй — по оставшейся части Вт. В силу
выбора числа б
J
\f{x,y)\dx<±
независимо от значения т. В области В"т функция
<р(я, у) ограничена (постоянной, не зависящей от т)\
поскольку объем области Вт => В"т стремится к 0 цри
т -> оо, мы можем указать такое N, что при т> N
Таким образом, для всех значений m > N
\F(y)-Fm(y)\<i
. y)\ttx+
причем эта оценка выполняется независимо от поло-
положения точки у е Н, Итак, последовательность F^Xy)
308 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.77
равномерно сходится к F(y). По 3.14 е отсюда следует,
что /т имеет предел, равный значению
V(x, y)dx\dy.
S [ О J
Мы доказали тем самым как существование инте-
интеграла в правой части равенства F), так и само это ра-
равенство.
д. В теоремах в, г условие непрерывности функции
\{х, у) по аргументам xsO, у^Н можно ослабить,
заменив его следующими предположениями:
1) функция f(x, у) ограничена при *е G, «/е //;
2) при любом б > 0 функция f (х, у) непрерывна по
совокупности аргументов х, у в области G X Ч —
— {х,у: \х — у\<8).
Действительно, в указанных предположениях мы мо-
можем написать
\x-yf \х
При достаточно малом у > 0 показатель степени в зна-
знаменателе все ещё не будет превосходить п, в то же
время числитель оказывается непрерывным по совокуп-
совокупности х, у всюду в О X W, и теоремы в, г остаются спра-
справедливыми.
е. Легко проверить, что теоремы в, г с дополнением д
справедливы также для функций f(x, у), принимающих
значения в нормированном линейном пространстве.
Можно применять их, например, для произведения чис-
числовой функции f(x, у) на вектор е(х, у) —единичный,
вектор, направленный из точки х в точку у. Эти вектор-
векторные функции даже при непрерывной функции f(x, у),
вообще говоря, теряют непрерывность при х-*у.
ж. Дифференцирование несобственного
интеграла с переменной особенностью по
координатам параметрической точки.
Теорема. Если функция f(x,'y) непрерывна по
совокупности аргументов xeG, i/efl и обладает
производной '^'у' f также непрерывной по совокуп-
совокупности аргументов х, у (или хотя бы удовлетворяющей
3.77 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
условиям д), то при а < и — 1
309
f(*,y)
,
г
f(x,y)
\*-у\а
dx.
(8)
Доказательство. Пусть, как и раньше, ф(лс, у)=
' ,а • Простой подсчет показывает, что
ду, \x-yf \х-у\°+1 \х-у\ |*-j,r
где через ю,- обозначен угол между вектором у — х и
у-й координатной осью. Отсюда
, у)
a cos б>
что вместе с ограниченностью функций f(x, у) и ^ у'
приводит к оценке
х,у)
в которой С\ — некоторая постоянная. В силу этой
оценки при а •< п — 1 интеграл по аргументу х от'функ-
от'функции ¦ ф 1р у> абсолютно сходится.
"У/
Чтобы доказать требуемое утверждение, будем дей-
ствовать следующим образом. Мы построим функцию
Ф6(х, у), ограниченную, непрерывную по совокупности
аргументов х, у и обладающую производной—^—-—,
также непрерывной по совокупности х, у, для которой
равномерно по у выполняются соотношения
Нш Г фв (ж, у) dx = f ф (ж, у) dx,
hm j —\ dx— —LLLzLdx.
e-»o J дУ, J dyt
(9)
310
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.77
Пусть, далее,
F (У) — j Ф (*. У) dx, F6 (у) = J фб {х, у) dx,
Эф (х, у)
ду,
dx.
По теореме 3.35 г имеем
*¦¦ У)
"У)
Соотношения (9) можно записать в форме
HmFe(y) =
6->0
dx.
Но тогда, в силу теоремы о почленном дифференциро-
дифференцировании последовательности функции A.46), функция F(y)
дифференцируема по у, и
D
Рис. 3.7-2.
что нам и требуется.
Остается построить функ-
функцию фв(л;, у), обладающую
указанными свойствами.
Рассмотрим функцию
г А,(г)==
1/г при /->6,
В— г2А при 0<г<б,
где А и В подобраны так, чтобы при переходе значе-
значения г через 6 не произошло нарушения непрерывности
и дифференцируемости функции Лб(г) (рис. 3.7-2). Оче-
Очевидно, при этом выполняются неравенства
A0)
-3- @<г<оо).
8.77 § 3.7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Положим теперь
зц
Мы имеем
д<р6{х,у)
df(x, у)
Из неравенств A0) вытекает, что
дфб (*. У)
\х-у\а+1
с некоторыми постоянными С2 и С3» Отсюда следует,
что при заданном е > 0 можно так выбрать б, что,
независимо от положения точки у&Н, будет выпол-
выполняться неравенство
J
У) — Ч>б(х, y)]dx
— 4>и(х, y)]dx
J |<Р(*. У)Ых+ J
УбЫ Vb(y)
Точно так же, уменьшая, если надо, б > 0, можно
добиться выполнения неравенства
Г Гд<р(х,у) д%(х,у)
1Ы—^r
<в
независимо от положения точки у^Н. Итак, соотно-
соотношения (9) установлены, н теорема доказана полностью.
312 ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ЗАДАЧИ *)
1. Привести к однократному интегралу выражение
/ = J ... J j xt ... xnf{xi)dx, ... dxn.
ХП~° *2=0 X(=<>
2. Вычислить интеграл
/= j ... je-Alx-*dx.
*«
где А (х, х) — положительно определенная квадратичная форма.
3. Выразить интеграл
через однократный.
4. Свести к однократному поверхностный интеграл
J
где Sn-i A) есть сфера радиуса 1 в Ra.
5. (Пример Шварца.) На вертикальном прямом круговом
цилиндре (радиус основания 1, высота 1) вводятся естественно ци-
линдринеские координаты f и г, 0<f < 2л, 0 г^ z ^ 1. На гори-
зо'нтальиых сечениях z = 2kh, k— 0,1,2,..., отмечаются точки
<р = 0, 2а, 4а, ...; на сечениих г == Bft + \)h, k = 0, 1, 2
отмечаются точки ср = а, За, 5а, ... (ft и а заданы). Две соседние
точки сечения г = mh и лежащая посредине над ними точка сече-
сечения 2= (m+ l)ft определяют треугольник, вписанный в цилиндр С.
Показать, что многогранник, составленный из всех этих треугольни-
треугольников,'при неограниченном уменьшении ft н а неограниченно прибли-
приближается к поверхности цилиндра, но его площадь может иметь лю-
любой предел, не меньший \С\.,
в. Показать, что если интеграл от (кусочно-иепрерывиой н ло-
локально ограниченной) функции f(x), взятый по неограниченной об-
области G a Rn, сходится, то он сходится абсолютно. Как это увя-
увязывается с существованием не абсолютно сходящнхсн интегралов
на [0, оо)?
*) Много интересных примеров кратных интегралов рассмо-
рассмотрено в III томе «Курса дифференциального и интегрального исчи-
исчисления» Г. М. Фихтенгольца.
12 ЗАДАЧИ 313
7. Рассмотрим следующее нагружеиие отрезка [а,Ь]: ячейками
считаются всевозможные (рбычные) промежутки, а также их пере-
пересечения с множеством Р рациональных точек илн с множеством Q
иррациональных точек отрезка [а,Ь\, мерой промежутка считается
его длина, мерой его пересечения с множеством Q — также его дли-
длина, мера его пересечения с множеством Р принимается равной 0.
Проверить все свойства нагружения и указать в нем нежордановы
ячейки.
8. Показать, что центр тяжести прямого кругового коиуса
(в /?3) любого углового раствора находится над егр основанием на
одной трети высоты. Если угловой раствор конуса стремится
к нулю, то конус в пределе обращается в отрезок. Однако центр
тяжести отрезка находится на его середине. Чем объяснить этот
разрыв непрерывности?
9. Обозначим через Sr(k, п, е) часть сферы ST(n) =
= [х е R.n'- |*| = г), выделяемую неравенствами
|F*. *)|<е, е>0,
где Ь\, ..., hi, —ортонормированные векторы. Показать, что
lim \Sr(k.n,t)\ .
10. Обозначим через Vt(k, n, е, р) часть шара Vr (n)
х е Rn: | х К г), выделяемую неравенствами
где Ь\, ..., Ьн — ортонормированные векторы. Показать, что
пТ» \VT(n)\ "К
II. В пространстве Rn сферические координаты г, <pt,
..., фп— | вводятся по формулам
x2 — r sin ф| cos фг»
хя = г sin ф] sin <p2 cos <p3>
xn— i = r sin ф! sin ф2 ... sin ffn-z cos фп-1.
xn = r sin ф! sin ф2 ... sin фп-2 sin фп-1-
Доказать, что
det d(* xn) e rB_, sinB_2 ф| sinn_3 ф2 _ sin фя_1
12, Доказать, что в гильбертовом пространстве непрерывных
функций /.(*) на отрезке о^х^б квадрат объема параллеле-
параллелепипеда, построенного на векторах ft (x), ...,-fn (х), выражается
314
ГЛ. 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
13
величиной
dxt...dxn.
13. Выражение
J" J"
Хп)
называется п-кратным преобразованием Фурье функции . f (#).
.Показать, что преобразование Фурье, сферически симметричной
функции является сферически симметричной фуикцией.
14. При »=?3 преобразование Фурье сферически симметричной
функции f(x) записать в виде однократного интеграла.
15. Показать, что для абсолютно интегрируемой сферически
симметричной функции f (х) при п = 3 ее преобразование Фурье
<р(о) есть дифференцируемая функция.
16. Показать, что преобразование Фурье от функции
где в показателе форма ^ aikxixk noJIo5KH'rejfbHO определена,
равно nnl2eDla)liiD4VD, где
О о, ... ап
<det||a/ft||,
Историческая справка
Двойной интеграл (по ограниченной плоской области) появился
впервые у Эйлера A770); Эйлер дал правило его вычисления путем
сведения к повторному интегралу. Эйлер, а затем и Лагранж рас-
рассматривали и тройные интегралы. Каждый из них предложил и не-
некие правила для замены переменных; при ближайшем рассмотрении
эти правила оказались неполными, и правильный прием был указан
впервые М. В. Остроградским A836) для двойных и тройных ин-
интегралов и Якоби A841) для интегралов любой кратности; именно
в связи с задачей о замене переменных Якоби и ввел функциональ-
функциональные определители — якобианы, как их назвал Сильвестр.
Общая теория измерения объемов (в п-мерном пространстве)
развита Жорданом в его «Курсе анализа» A882—1887).
Хотя площадь кривой поверхности умели вычислять через двой-
двойные интегралы еще в XVIII веке (Эйлер 1770), однако её точного опре-
определения долгое время не было; считалось, что ее можно определить
как предел площадей вписанных многогранников, и лишь Г. Шварц
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 315
A870) своим поразительным примером заставил задуматься над
необходимостью иметь точное определение. Оно было дано (через
«черепичное покрытие» и через «поверхностный слой») Жорданом
в том же «Курсе».
В 1894 г. Стилтьес ввел новое понятие интеграла, отличающееся
от классического понятия интеграла Римана тем, что равные интер-
интервалы на осн имели разную «меру» и даже отдельные точки могли
нестн положительную меру; интеграл же получался из интегральных
сумм, как и у Римана, предельным переходом. Это определение
разрабатывалось затем многими авторами. Но появление в 1902 г.
интеграла Лебега, перенесенного в 1913 г. Радоном с оси на много-
многомерное пространство, переместило интересы математиков в сторону
вопросов, связанных со счетно-аддитивной мерой, и интеграл Рн-
маиа — Стиятьеса, требующий лишь конечной аддитивности меры
(а в случае, когда мера принимает значения разных знаков. — до-
дополнительного условия ограниченности ее вариации), остался-в тени.
Он сохранил свое значение в вопросах, касающихся непрерывных
функций; так, в 1909 г. Ф. Рисе получил общее выражение линей-
линейного функционала в пространстве непрерывных функций на отрезке,
а затем в 1913 г. Радой — на п-мерном компакте, в форме интеграла
по конечно-аддитивной мере.
Аддитивные функции областей в физике встречаются весьма
часто. Некоторые ученые считают, что вообще имеют реальное зна-
значение лишь функции областей, а функции точки являются аб-
абстрактными понятиями, не соответствующими реальной действитель-
действительности (см., например, статью В. И. Смирнова и С. Л. Соболева
«Николай Максимович Гюнтер» в книге: Н. М. Г ю н т е р, Теория
потенциала и ее применения, ГИТТЛ, 1953). Так, температура в дан-
данной точке или плотность массы суть абстрактные понятия, соответ-
соответствующие реальным понятиям — количеству тепла или количеству
массы в объеме, содержащем данную точку.
В 1938—1943 гг. конечно-аддитивные меры рассматривали (с бо-
более общих позиций) А. А. Марков и А. Д. Александров. Наше по-
построение общей схемы интеграла также идет в духе идей интеграла
Римана — Стилтьеса. О связи между конечно-аддитивиой и счетио-
адднтивной мерами на n-мерном компакте см: Г. Е. Шилов и
Б. Л. Г у р е в и ч, Интеграл, мера и производная, 2-е изд., «Наука»,
1967, гл. 2.
Рассмотренная схема ие переносится на бесконечномерные про-
пространства, что, в общем, не так и удивительно: бесконечномерный
шар содержит бесконечное множество геометрически равных и не-
непересекающихся шаров меньшего радиуса; поэтому, если мы же-
желаем, чтобы геометрически равные шары имели равные объемы, мы
неизбежно придем к трудностям. С другой стороны, объем есть
интеграл от функции, равной 1 в соответствующей области, так что
трудности с объемами становятся трудностями в теории интеграла.
На самом деле теория интегрирования в бесконечномерных про-
пространствах существует, но она настолько не похожа на обычную
теорию, что объединение нх в едином изложении представляется
нецелесообразным (см.: Г. Е. Шилов и Фан Дык Тннь, Интег-
Интеграл, мера я производная на линейных пространствах, «Наука», 1967,
и указанную там литературу).
ГЛАВА 4
СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
Между дифференциальными и интегральными операциями для
функций нескольких переменных существуют связи, обобщающие ту
йязь, которая для функций одного переменного выражается фор-
формулой Ньютона — Лейбница. С одной из таких связей" мы уже
встречались в предыдущей главе, когда определяли плотность адди-.
тивной функции областей и строили по плотиости саму аддитивную
функцию. Имеются и другие связи, в которых существенную роль
'начинает играть граница рассматриваемой области (как для одного
переменного — концевые точки отрезка). В случае функций несколь-
нескольких переменных эти связи описываются формулами Остроградского,
Грина, Стокса. Первоначально они записывались в обычной число-
числовой, или «скалярной», форме. Позднее в связи с проблемами мате-
математической физики возник так называемый векторный анализ со
специфическими векторными дифференциальными операциями (гра-
(градиент, дивергенция, .ротор). А затем выяснилось, что задачи вектор-
векторного анализа по существу и есть задачи о тех или иных формах
связи между дифференцированием и интегрированием (в простран-
пространстве). Но язык векторного анализа был значительно удобнее и на-
нагляднее, чем классический «скалярный» язык математиков, что при-
привело к «векторной» перестройке всего этого раздела дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления. С другой стороны, и векторный
анализ освободился от физической специфики, а набор его диффе-
дифференциальных операций оказался естественным и в определённом
смысле*'исчерпывающим набором дифференциальных операций 1-го
порядка. Отметим, что классический векторный анализ в существен-
существенной своей части (ротор) вынужден действовать в трехмерном про-
пространстве (или двумерном). Для первых приложений к математиче-
математической физике этого было достаточно. Однако для дальнейших физиче-
физических приложений оказываются необходимыми многомерные обобщения;
да и сама математика не удовлетворяется таким положением и ищет
общие формулировки, пригодные для любой размерности. И оказы-
оказывается, что векторный анализ может быть обобщен на высшие раз-
размерности; как именно — об этом будет речь в седьмой главе.
§ 4.1. Формула Остроградского
4.11. Поток векторного поля и его гидро-
гидромеханическая интерпретация. Пусть в обла-
бти G пространства Rs задано непрерывное векторное
поле R = R(x), т. «. каждой точке поставлен в соответ-
4.11 § «.I. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 317
ствие вектор R{x), непрерывно зависящий от точки х.
(Понятие векторного поля, возникшее в физике, совпа-
совпадает с математическим понятием векторной функции.)
Рассмотрим в области О кусочно-гладкую поверхность
S с нормальным единичным вектором ш(х), непрерывно
меняющимся на каждом гладком куске поверхности S.
Выражение
W{R{х), S)=ff{m{х), R(x))dS A)
s
называется потоком поля R(x) через поверхность S.
Эта величина допускает простую механическую ин-
интерпретацию. Именно, будем считать, что область G за-
заполнена движущейся средой («жидкостью») и вектор
R(x) в каждой точке х есть
скорость частицы жидкости
в точке х. Подсчитаем коли-
количество жидкости, протекаю-
протекающей через поверхность S за
промежуток времени dt.
Выделим на поверхности
S элементарную площадку
dS; пренебрегая изменением
вектора Я (ж) на площадке
dS, мы можем считать, что Рис- 4-1'1-
жидкость, протекающая че-
через площадку dS за время dt, заполняет цилиндр с ос-
основанием dS и образующей R(x)dt (рис. 4.1.-1). Объем
этого цилиндра равен dS\R(x) |cos(m, R)dt =*
= (R,m)dSdt.
Суммируя полученные величины по всем площадкам
dS, найдем, что количество жидкости, протекающей за
время dt через всю поверхность S, равно
dt Ц (m, R)dS = dt • W(R, S).
s
Таким образом, поток W(R, S) может быть истолко-
истолкован как скорость (объемная) течения жидкости через
всю поверхность S или же, поскольку эта скорость не
зависит от времени, как количество жидкости, протекаю-
протекающей через эту поверхность за единицу времени.
318 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.11
При этом, поскольку (т(х), R(x))> О, когда т(х) и
R(x) образуют острый угол, и (т{х), R{x))<.Q, если
т(х) и R{x) образуют тупой угол, интеграл A) дает
нам в действительности не абсолютное количество жид-
жидкости, протекающей через поверхность S за единицу
времени, а алгебраическую сумму количества жидкости,
протекающей в сторону нормали, со знаком +, и коли-
количества жидкости, протекающей в противоположную сто-
сторону, со знаком —.
Рассмотрим теперь интеграл A) в случае поверхно-
поверхности S, ограничивающей некоторую область V cr G, при-
причем вектор нормали т(х) бу-
будем направлять во внешнюю
сторону по отношению к V
(рис. 4.1-2). Такие поверхно-
поверхности, разделяющие простран-
пространство на две части — внутрен-
внутреннюю (область V) и внешнюю,
будем называть в дальнейшем
замкнутыми (ср. замкнутый
контур), что не следует сме-
смешивать с метрической замкну-
Рис. 4.1-2. тостью, т. е. с принадлежно-
принадлежностью к множеству S всех его
предельных точек. Интеграл от функции f (x) по замкну-
замкнутой поверхности S в R3 будем обозначать так:
x)dS.
В случае замкнутой поверхности движение жидкости
в сторону нормали означает, что в соответствующем ме-
месте поверхности жидкость вытекает из области V, а. дви-
движение в противоположную сторону — что в соответ-
соответствующем месте жидкость втекает в V, Сам же инте-
интеграл A) дает разность между количеством жидкости,
вытекающей из области за единицу времени, и количе-
количеством жидкости, втекающей в область за это же время.
Если интеграл A) равен нулю, то в область втекает
жидкости столько же, сколько и вытекает. Если же этот
интеграл отличен от нуля, то указанные количества
различны, В частности, если интеграл (I) положителен,
4.Ц S 4.1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО ai9
то вытекает жидкости больше, чем втекает. Это указы-
указывает на наличие внутри области V источников — таких
мест, где жидкость каким-то образом создается (как,
например, при таянии снега образуется вода). Числен-
Численную величину интеграла A) в этом случае можно истол-
истолковать как общую мощность источников жидкости в об-
области V. Если интеграл A) отрицателен, то втекает
жидкости больше, чем вытекает; внутри этого объема
должны быть стоки — места, где жидкость исчезает (на-
(например, испаряется). Стоки, конечно, также можно на-
называть источниками, если допускать и отрицательные
количества жидкости. Поэтому интеграл A) можно ин-
интерпретировать как общую мощность источников, рас-
расположенных в области V, а отношение этого интеграла
к объему | V | области V — как среднюю мощность
источников в области V. Фиксируем в пределах обла-
области G точку у и будем рассматривать последователь-
последовательность областей Vu ..., Vh, ..., ограниченных поверх-
поверхностями Si, ..., Sft, ..., стягивающуюся к точке у.
Число W(R, Vk)/\Vh\, как сказано выше, представляет
собой среднюю мощность источников в области Vk. До-
Допустим, что при k —> оо эта средняя мощность стремится
к определенному пределу р = р(у), не зависящему от
выбора областей Vk (лишь бы они стягивались к точ-
точке у). Число р(у) естественно называть истинной мощ-
мощностью (или плотностью) источников поля R(x) в точ-
точке у. Этот предел называется дивергенцией или расходи-
расходимостью поля R(x) в точке у. Итак, по определению
div R {у) = lira j~ § (m, R) dS B)
j
в предположении, что указанный предел существует.
Зная дивергенцию, т. е. мощность источников поля
R(x) в каждой точке, мы можем интегрированием полу-
получить мощность источников этого поля во всем объеме V.
Обозначим ее через E(R(x), V)\ по определению
E{R(x), n=
Так как процесс стационарен (R (х) не меняется со
Временем), то вся образующаяся жидкость должна
820 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ' И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4Д2
перетекать через границу; это соображение приводит
к физически понятному равенству
J J J div R (x) dv = $ (m, R) dS. C)
V S
4.12. Теперь мы переходим к строгой теории.
а. Приведенное в 4.11 определение потрка векторного
поля можно без существенных изменений перенести на
случай пространства Rn. Пусть в области G с Rn за-
задано кусочно-непрерывное векторное поле R = R(x).
Для любой кусочно-гладкой (п—1)-мерной поверхно-
поверхности ScG с заданным непрерывным вектором единич-
единичной нормали tn(x) *) можно определить поток поля R
через поверхность S по формуле
W{R, S)=J(m(jc), R{x))dS.
s
Как и в 7?з, поверхность S cz R называется. замкнутой,
если она разделяет пространство Rn на две части — вну-
внутреннюю и внешнюю. Интеграл по замкнутой поверхно-
поверхности будем обозначать кратко через ф, хотя в соответ-
ствии с обозначением $ в 7?з, следовало бы в Rn пи-
писать
п—\
Поток поля R через замкнутую поверхность, ограни-
ограничивающую некоторую область V, с нормалью, направ-
направленной наружу, представляет собою функцию области V:
W {R, S) *= Wv (R) = $ <m, R) dS. A)
s
б. Теперь обратим внимание на то, что функция
WV(R) является усиленно аддитивной функцией обла-
области V. Напомним, что функция Q>(V) области V назы-
называется усиленно аддитивной C,41 а), если для любых
*) Вообще говоря, Не для всякой гладкой поверхностя 5 даже
в /?з существует непрерывный вектор единичной нормали (зада-
(задача 15). Существование такого вектора есть определенное" ограниче-
ограничение на S («ориентируемость» ее; см. подробнее ч. 3, гл. 8).
4.12 § *1- ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 321
двух областей Vt и Vs без общих внутренних точек (мо-
(может быть, с общим участком границы) с объединением V
выполняется равенство
Ф(У}=Ф(У1) + Ф(У^ B)
Усиленная аддитивность потока A) основана на том,
что нормальный вектор т всегда должен быть направ-
направлен во внешнюю часть пространства; поэтому в каждой
точке общей части границ областей V\ и V^, если она
имеется (рис. 4.1-3) величины (т, R) для границы V\ и
Рис. 4.1-3.
^2 будут иметь противоположные знаки, соответствую-
соответствующие части двойных интегралов Wv,(#) и Wy,(R) сокра-
сократятся и результат: будет представлять собою интеграл
по границе всей области V.
Однако такое рассуждение годится для областей до-
достаточно простой формы. При сколько-нибудь сложной
форме областей 1^ и V^ доказательство равенства B),
становится далеко не: столь простым. Поэтому мы бу~
дем рассматривать сейчас лишь некоторые специальные
области, где аддитивность функции A) будет очевид-
очевидной. А именно, мы рассмотрим фиксированный брус
X cz Rn, фиксированную область — жорданово тело
V cz X с кусочно-гладкой границей 5 и семейство W(V)
всех жордаловых множеств U, получающихся пересече-
пересечениями с V подбрусов, бруса X. «Семейство ,91 (X) есть,
очевидно, полукольцо C.12); множества U образуют
еио ячейки; принимая за меру ячейки U ее объем \-U\,
822 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 413
получаем полукольцо с мерой, так что V становится на-
нагруженным пространством и даже нормально нагружен-
нагруженным C.51 б). Каждая ячейка U, как и сама V, имеет
кусочно-гладкую границу S(U). Функция
a(R)= §(m(x), R(x))dS
sun
на ячейках Ue$l(V) является, как мы только что ви-
видели, усиленно аддитивной, и мы можем применить
•к ней результаты 3.41—3.44. В частности, плотность
функции WV(R) в точке jgV, согласно определению
3.42 б, есть предел (если он существует)
sun
В данном случае мы обозначаем этот предел через
6ivR(y), Предположим, что величина divR{y) суще*
ствует в каждой точке у е V и представляет собою не-
непрерывную функцию от у. Тогда .имеет место равенство
3L4 A)
ф (т, R) dS е= Wv (R) = J* divi? {у) dy,
sun и
и тем самым равенство 4.11 C) оказывается доказан-
доказанным при высказанных условиях на поток V?V(R). Заме*
Тим, что мы доказали его сразу в n-мерном простран-
пространстве Rn;
4.13. Результат 4:12 основывался на предположении,
что дивергенция поля R{x), т. е. величина
lim™ §{m,R)dS, A)
V~*V S{U)
существует и является непрерывной функцией точки.
Но для каких векторных полей можно гарантировать
существование предела A)? Ответ на этот вопрос
мы дадим в дальнейшем D.16); именно,.мы увидим, что
дивергенцией, притом непрерывной, заведомо обладают
векторные поля, составляющие которых имеют непреч
рывные производные. Для доказательства мы исполь-
используем одну из важнейших формул, связывающих объем*
4.13
$ 4.1. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
823
ные и поверхностные интегралы, — формулу Остроград-
ского.
Известная формула Ньютона — Лейбница (см. 09.32)
ь
связывает производную и интеграл для функции одного
переменного. Одним из важнейших ее многомерных об-
обобщений и является формула Остроградского.
В n-мерном евклидовом пространстве Rn выберем ка-
какой-либо ортонормированный базис в\, ..., еп, так что
скалярное произведение векторов х = (хь ..., хп) и
у = {у\ уп) будет записываться стандартной фор-
формулой
(х, у) = +
Рассмотрим в пространстве Rn область G, ограниченную
кусочно-гладкой поверхностью S. Таким образом-, по-
поверхность S может быть представлена как объединение
конечного числа своих частей Sp (р = 1, ..., q) без об-
общих внутренних (относительно S) точек; для каждой
внутренней точки xeSp имеется окрестность V (в Rn),
в пределах которой поверхность Sp представима пара-
параметрическими уравнениями вида
Xi = <Pi(u,, .... urt_i), ?=1 п,
с функциями q>i(u), «==(«i, ..., «n-i), обладающими
непрерывными первыми производными, причем ранг ма-
матрицы Якоби at \ К равен п—1.
|| о \U\, ..., tin—I) II
Вектор
(и)
(«)
dun-i ' dun-i
как мы видели в 3.62в, нормален в каждой точке kgS
к поверхности S, кроме точек стыков поверхностей S
(где он определен неоднозначно, а потому не будет нами
рассматриваться). В силу предположения о ранге
324 ГЛ, «. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.13
матрицы Якоби вектор N имеет всюду ненулевую дли-
длину. Нормируя его, мы получим вектор
B)
определенный уже только с точностью до знака. Из двух
возможных направлений выберем внешнее по отношению
к области G. Теперь вектор т(и) определен однозначно;
будем называть его единичным нормальным вектором
к поверхности S .в точке и. Обозначим через toj угол
вектора m с осью ху, тогда
-f- ... -f-е„ cos со„. C)
Пусть в области С задана функция Р(х) = Р(хи ...
,.., хп), непрерывная и обладающая непрерывной про-
производной gj-« Тогда имеет место формула (вывод кото-
которой будет дан в 4.14)
§ cos со, • Р (х) dS. D)
Функция cos coA определена на всей поверхности S,
кроме точек стыка поверхностей Sf, на каждой из ча-
частей Sj она непрерывна, следовательно, кусочно-непре-
кусочно-непрерывна на всей S, что обеспечивает существование по-
поверхностного интеграла в правой части.
Заменяя в D) обозначение Р(к) на Pk(x) и сумми-
суммируя соответствующие формулы по k от 1 до п, мы полу-
получим формулу Остроградского:
= § (cos со,Р, (л:) + ... + cos v>nPn (x)) dS. E)
При п = I область G становится отрезком, ее гра-
граница S переходит в две точки и поверхностный интеграл
в правой части D) естественно заменяется на разность
значений функции Р(х) в этих точках; мы приходим
к формуле Ньютона — Лейбница. В общем случае, как
мы видим, формула Остроградского приводит объемный
4.13 § «•'• ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 325
интеграл специального вида к интегралу по поверхности,
ограничивающей этот объем.
Обратим внимание на правило составления этой фор-
формулы. Справа, в поверхностном интеграле, каждая функ-
функция Pk(x) умножается на соответствующую составляю-
составляющую нормального вектора пг; слева, в объемном инте-
интеграле, каждая функция Pk(x) дифференцируете? по
соответствующей координате. Можно сказать, что пере-
переход от правой части равенства E) к левой части полу-
получается заменой знаков cos ©й на знаки -=—- и заменой
поверхностного интеграла на объемный.
При Pk (х) 2== xh эта формула приводит к интересному
результату, именно:-
и
n\G\ = &^icos&b-xkdS. F)
g s *=i
Таким образом, объем области G может быть выражен
через некоторый поверхностный интеграл по границе
этой области.
Другое полезное следствие формулы D). получится,
если мы умножим обе ее части на базисный вектор е&
и просуммируем результаты по k\ так как
п
=-gr ad Р (х), JJ-cos щеЛ = т = т ix),
мы получим
J gr ad P (x) dx = §m (x) P (x) dS G)
— один из векторных вариантов формулы Остроград-
Остроградского.
Полагая здесь Р(х)= 1, приходим к равенству
иными словами, среднее значение единичной нормали
для (кусочно-гладкой) поверхности, ограничивающей об-
область V, всегда равно нулю.
326 гл- 4- СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.14
4.14. Переходим к выводу формулы 4.13 D), след-
следствием которой является формула 4.13 E). Обозначим
через Q проекцию области G на координатную пло-
плоскость #!,,.,, Хп~\-
а. Предположим временно, как и в 3.52 в, что об-
область G удовлетворяет следующему условию:
(*) Каждая вертикальная прямая либо не пересе-
пересекает G, либо имеет с G один общий отрезок (быть мо-
может, вырождающийся в точку).
Указанный отрезок выделяется неравенствами
где функции ф и •ф непрерывны. Условимся обозначать
'(
( )
Часть SR поверхности S, выделяемую уравнением
хп = Ф(*/Ь назовем верхней частью S, а часть SH, вы-
выделяемую уравнением хп = ф(дг'), назовем нижней ча-
частью S. На верхней части SBr в тачках, где определен
вектор гп, имеет место неравенство (т, еп)^0; на ниж-
нижней части SH выполняется противоположное неравен-
неравенство: (гп, еп}^ 0. Таким образом, как следует из 3.62 г,
(ш, ^) =
(х е SH).
Используя последовательно правило преобразования
кратного интеграла к повторному C.52 в) и определен
ние поверхностного интеграла, мы получим
dxi) + •¦• +\дхп-1
4.18 § 4J. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 327
fP{x)cos(ondS.
Таким образом, формула 4.13 D) доказана в предполо*
жении выполнения условия (*).
б. Как и в 3.52 е, можно рассмотреть более общий
случай, Допустим, что область О есть объединение об«!
ластей О|, ..., Gh без общих внутренних точек, каждая
из которых удовлетворяет условию («)> для каждой из
них напишем формулу D) и сложим результаты; сумма
объемных интегралов по областям Qh даст объемный
интеграл по области О, а сумм! поверхностных интегра»
лов по границам S) областей Gj даст поверхностный инч
теграл по границе S области G, поскольку слагаемые»
отвечающие интегралам по частям границ областей G},
проходящим внутри G, взаимно уничтожаются, как ука*
зывалось выше.
Вместе с формулой 4.13 D) оказывается справедли-
справедливой в общем случае и формула 4.13 E) Остроградского.
4.15. Теперь мы покажем, что дивергенция поля
Я(х) <=* {Pt(x), ..., Рп(х)} существует и непрерывна,
если составляющие /\(*), .... ^п(^) поля R(x) обла-
обладают непрерывными производными. Для этого напишем
для области G формулу Остроградского 4.13 E);
(m, R)dS4sj> (cos ю,/>1 + ... + cos со„Р„) US
Аддитивная функция области G, стоящая в правой ча-
части, имеет плотность C.42в), равную подынтегральной
328 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.1в
функции:
Но тогда и поток поля R, стоящий в левой части A),
имеет ту же самую плотность, а значит,
Hni -±r §(,)(y) ^ + +
v-*'lU}sm ' B)
чем и доказано наше утверждение. Вместе с тем полу-
полученное равенство выражает дивергенцию поля R в яв-
явном виде.
4.16. Случай л = 2; формула Грина. В случае
я = 2 область <? есть плоская фигура, ограниченная ку-
кусочно-гладким контуром L. Если положить R =
=*R(x,y)=e1M(x, #H-<?s№, у), где М(х, у) и
^(х» У)—функции с непрерывными первыми производ-
производными, то формула Остроградского запишется в виде
Я (?
О
где m — единичный .нормальный вектор к контуру L, на-
направленный во внешнюю сторону по отношению к об-
области G (рис. 4.1-4). Криво-
Криволинейный интеграл справа
пока не связан с каким-ли-
каким-либо выбором обхода контура
L, поскольку еще не выбра-
выбрана параметризация контура.
Возьмем за параметр длину
дуги s, отсчитываемую в по-
положительном направлении
Рис. 4,1-4. обхода (т. е. против часовой
стрелки); тогда ведущий
вектор г кривой L, а также векторы R и т станут функ-
функциями от s и будет иметь место равенство
(s), R(s))ds.
4.16 8 <•'• ФОРМУЛАг ОСТРОГРАДСКОГО 329
Далее мы утверждаем, что
(m, R)ds = §Mdy — Ndx.
Действительно, единичный касательный к контуру L
вектор т = ~ имеет составляющие ¦?=cos (т, e,)t ^t=
<=cos(t, е2), так что dx — ds cos {%, e,)t dy = ds cos (т, е*)
и, следовательно,
ф М dy — N dx = Ф [Af cos (т, е2) — ^V cos (т,-е,)] rfs =
L L
[Af cos (m, в() -f N cos (/и, e2)] rfs = Ф (m, /?) rfs.
? i
Теперь формула Остроградского, принимает вид
в этой форме она называется формулой Грина.
При М=зх, j N^sy слева получается удвоенная
площадь области О. Таким образом,
Ранее эта формула была получена @9.94) другим спо-
способом.
Заменяя в B) М на N, а N на — М, получаем
C)
Если опять ввести в качестве параметра на линии L
длину дуги s, то мы будем иметь
= §(M~ + N-?jL)ds = §(T, R)ds,
i L
где т, как и выше, обозначает единичный вектор, каса-
касательный к контуру L, Таким образом, мы приходим
330 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.17
к другому-виду записи формулы Остроградского при
О X
где R жвШ, N)—вектор-функция с составляющими
м(х, у), N(x, у), имеющими непрерывные производные
в области б.
4.17. Функции с векторными значениями.
Составляющие поля R «= {^ь .... Рп] не обязательно
должны быть числовыми функциями: все выводы, приве-
приведенные в 4.11—4.16, остаются полностью справедливыми
5для функций Р}{х) со значениями, например, в каком-
'либо банаховом пространстве В. Разумеется, при этом
по-прежнему требуется, чтобы функций Р}{х) были не-
непрерывными и чтобы при любом фиксированном значе-
значении./ функция Р}{х) обладала непрерывной производ-
производной по х*. В частности, справедлива формула Остроград-
Остроградского 4.13 E) в виде
J S%гй*~§
О *—1
Снова соблюдается отмеченное уже нами в 4.13 пра-
правило: при переходе от правой части к левой составляю-
составляющие cos со? вектора т заменяются на символы диффе-
дифференцирования по соответствующим координатам, а по-
поверхностный интеграл — на объемный.
Наконец, ори п = 2, R ?= {М, Щ .сохраняются оба
варианта формулы Остроградского 4.16 (!) и 4.16 D):
4.18. Интересные следствия из 4.17 получаются уже
для функций Pj(x) со значениями в конечномерном про-
пространстве. Рассмотрим векторное произведение в fa
4.21
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
двух векторов q =(<?ь q2, Яъ) и R = (Qb Q2, Q3):
Я\
Qi
n\tlm
Q3 <
e2
Q2
e3
e3
«7з
Qa
e2
Qa Q2
22
<72
> r% —
Qi Qa
e, e3
Q, Qa
+ <7з
^3
e2
Q
г Qi
e2 <
Qa <
•
г,
p =
Тогда формула 4.77A) приводит к результату
з
т, /?] dS = Ц 2 cos ctfe ¦,
s
cos «i cos eta cos a3
Q2(jc) Q3(x)
dS-
¦JJJ
dx =
f Г f \(dQz dQA (dQt dQ3\ (dQ2
0
a
QaW
Выражение <Pb [m, R] dS называется вращением вектор-
s
ного поля R(x) no границе S области G. В 4.24 мы вы-
выясним геометрический и механический. смысл этого по-
понятия.
§ 4.2. Вихрь векторного поля
4.21. Градиент и потенциал.
а. Пусть в области G czRm задана кусочно-гладкая
линия L = {jteRn: x = x(t), а ^ t ^.b} без особых
точек (т. е. x'(t) нигде не обращается в нуль). Тогда
332 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.21
на линии L можно ввести натуральный параметр —
длину дуги s; вектор х = х' (s) при этом оказывается
единичным касательным вектором к линии L. Пусть,
кроме того, в области G задано непрерывное векторное
поле R = {Pi(х), ..., Рп(х)}. Число
J (t(s), R{s))ds = J P.rfx, + ... + Pndxn A)
L L
называется интегралом поля R no линии L.
¦ Если поле R интерпретировать как поле силы (на-
(например, силы тяготения), то выражение A) получает
истолкование как работа силы R на пути L. Во многих
задачах механики существенно, чтобы работа силы не
зависела от пути L, а зависела "бы только от его началь-
начальной и конечной точек. Так бывает не всегда, и мы по-
поставим следующий;, чисто математический: вопрос: при
каких условиях на поле.Ц [т. е. на Ри ..., Рп) инте-
интеграл.поля R по любому пути L cz G определяется только
началом и концом h и не зависит от самого L?
б. Пусть поле R есть поле градиента некоторой ска-
скалярной функции ф(Ж), т. е.
В этом случае интеграл поля R по любому пути L опре-
определяется только началом А и концом В пути L, по-
поскольку
в в
J (т, R)ds= | Р,dxt + ... + Р„</х„ =
A
В
C)
При наличии равенств B) поле R называется потенци-
потенциальным, а функция ф (#) — его потенциалом. Равен-
Равенство C) на языке механики читается так: работа потен-
потенциального силового поля R = {Pi, ..., Рп} на пути L из
точки А в точку В равна разности потенциалов в точ-
точках В а А.
4.21
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
ззэ
в. Справедливо обратное утверждение:
Теорема. Если интеграл поля R по любому пути L
в области G зависит лишь от начала и конца L, то R —
потенциальное поле.
Доказательство. Фиксируем в области G точ-
точку Л и положим для любой другой точки В =».
= B{xlt.... хп)
в
Ф(в) = ф(х„ .... хя) = J (т, R)ds, D)
л
с интегрированием по любому пути, ведущему в области
G из А в В; поскольку по условию интеграл поля не за-
зависит от пути, функция ф(В) определена однозначно.
Покажем, что
it А.
Для этого составим производную от
функции ф по какому-либо направле-
направлению К, определяемому; единичным век-
вектором ё. Возьмем точку В\ на луче,
выходящем из точки, В в направле-
направлении К (рис. 4.2-L), и составим отно-
отношение
Рис. 4.2-1.
\В,-В\ •
Можно считать, что величина ф(В0 есть интеграл
роля R по пути АВВу с прямолинейным отрезком BBt.
Тогда
ф(В,)-ф(в)_ t f'
IB.-BI -|B,-B|J V
есть среднее значение функции (т, R) = (е, R) на от-
отрезке BBi. При приближении Bi к. В это среднее зна-
значение имеет предел (е, R{B)). Следовательно, производ-
производная функции ф"по направлению X в точке В существует и
В частности,
?<f (В) _
—7— =
834 ГЛ, 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.22
Это и означает, что вектор R(B) совпадает с градиен-
градиентом функции <р D) в точке В. Теорема доказана.
Отметим еще, что у заданного векторного поля R мо-
может существовать лишь единственная, с точностью до
постоянного слагаемого, потенциальная функция <р. Дей-
Действительно, если •ф — любая другая потенциальная функ-
функция поля R, то по формуле C) мы имеем
в
ф(В)-Ч>(Л) = J(t, R)ds = <p(B),
А
откуда
ф {В) = ф (В) + ф (А) = ф (В) + const,
что и требуется.
г. Теперь вопрос, поставленный в а, приведен к сле-
следующему: при каких условиях на функции Pi(x), ...
..., Рп(х) существует функция ф(х) такая, что
-? E)
Ответ на этот вопрос, по крайней мере для доста-
достаточно малых или хотя бы односвязных областей про-
пространства Rn, нам уже известен B.61-6). Именно, необ-
необходимым и достаточным условием существования функ-
функции ц>(х), удовлетворяющей условиям E), в некоторой
окрестности точки х = а является выполнение тожде-
тождественных соотношений
Заметим, что в неодносвязных областях это условие уже
не является достаточным (задача 6).
4.22. Циркуляция векторного поля. Пусть
L = АСВ и U = АС'В — две (кусочно-гладкие) линии,
соединяющие в области G a Rn две заданные точки А
и В (рис. 4.2-2). Идя по линии L от А к В и возвра-
возвращаясь в Л по линии Z/, мы опишем замкнутый контур
Г = АСВС'А. При этом для произвольного непрерыв-
4.23 § 4-2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 335
ного векторного поля R имеем
V ACB BC'A
г
§{x,R)ds. A)
г
Интеграл поля R по какому-нибудь замкнутому кон-
контуру L называется циркуляцией поля R по этому кон-
контуру.
Равенство (I) показывает, что вопрос о независимо-
независимости интеграла поля от пути интегрирования равносилен
вопросу о том, при каких условиях циркуляция поля по
любому замкнутому контуру равна
0. Значит, ответ на этот последний
вопрос тот же, что и на преды-
предыдущий, именно: циркуляция по-
поля R по любому замкнутому кон-
контуру в области G равна 0 тогда
и только тогда, когда поле R по-
потенциально в области О. В доста-
точно малых или же односвязных
областях ответ приводится к вы-
выполнению соотношений 4.21 F).
, 4.23. Еще одна механическая задача.
Пусть в области G пространства R3 задано векторйое
поле Я (я). Мы интерпретируем его сейчас, аналогично
4.11, как поле скоростей частиц
движущейся жидкости. Представим
себе следующий идеализированный
механический эксперимент. Внесем
в область G маленькое цилиндри-
цилиндрическое колесико Q с большим коли-
количеством лопастей по ободу, имею-
имеющее возможность свободно вра-
вращаться вокруг произвольно фикси-
Рис. 4.2-3. рованной оси; направление оси бу-
будем задавать единичным вектором /
(рис. 4.2-3). Действуя на лопасти, частицы жидкости
приведут колесико Q во вращение с какой-то угловой
скоростью w(Q, l,A), зависящей (в данной точке А обла-
области G) от направления вектора /. Условимся о правиле
336 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.23
знаков (считая, что система координат — правая);
угловую скорость колесика .мы "будем считать положи-
положительной или отрицательной в зависимости от того, вра-
вращается ли оно против часовой стрелки или по часовой
стрелке, если смотреть на него с конца вектора I (на-
(начало которого в точке А — в центре колесика Q). Изме-
Изменяя всевозможными способами направление вектора /
(при сохранении положения начала А), мы будем полу-
получать различные — по абсолютной величине и по знаку —¦
значения угловой скорости; в каком-то положении /о
вектора I угловая скорость ио вращения станет наиболь-
наибольшей. Вихрем (или ротором) поля R в точке А назы-
называется в этом случае вектор 2<о0/о.
Определение вихря векторного поля в такой «меха-
«механической» форме нельзя считать корректным с матема-
математической точки зрения. (Оно основывается на несфор-
несформулированных гипотезах о характере влияния частиц
жидкости на лопасти; оно не указывает, что делать, если
максимальная угловая скорость обнаружится на двух
различных положениях осн колесика Q; наконец, остает-
остается неясной роль размеров Q.) Попробуем облечь егб
в строгую математическую форму.
Вращательное действие частиц жидкости на лопасть
колеслка Q определяется составляющей вектора R вдоль
линии действия лопасти, ины-
иными словами, величиной (х(М),
R(M)), где х{М)—единичный
вектор, касательный к окруж-
окружности вращения лопасти и на-
"х правленный в положительную
сторону (рис. 4.2-4). Суммар-
Суммарное действие всех частиц на
лопасти и приводит колесико
во вращение; наиболее есте-
Рис. 4.2-4. ственно предположить, что
линейная скорость v каждой
точки его обода равна среднему арифметическому из
всех величин (т, Л), иными словами, интегралу по бо-
боковой поверхности ? колесика Q:
4.24 § 4-2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЗЭ7
где г — радиус окружности обода, h — толщина ко-
колесика Q.
Чтобы получить величину угловой скорости враще-
вращения, нужно разделить полученную величину линейной
скорости на радиус окружности обода; так как объем
| Q \ колесика Q равен nr2h, то для искомой угловой ско-
скорости мы получим выражение
COtlJ, /) = •
Если мы желаем получить характеристику вращения,
относящуюся не к окружности колесика, а к самой точ-
точке А, нужно в полученном выражении устремить к нулю
радиус колесика и его толщину и найти предел вели-
величины co(Q, /).
Пусть т(М) —единичный нормальный вектер в точ-
точке М обода.' Поскольку тройка т, т, / ориентирована
так же, как тройка осевых векторов еи е2, е3 (система
координат — правая!), мы можем написать, что т =
= [/, mj; далее по циклическому свойству смешанного
произведения находим, что (х, R) = ([/, т], R) =
= (I, [т, /?]). Отсюда
со (у, 1) — -тггх-г\ I и, \т, K\)aa=irli. -r^-rj J[m, R]ds\.
На основании цилиндра Q векторы т и / колли-
неарны, т. е. (/, [tn, R]) = 0; поэтому выражение справа
не изменится, если вместо интеграла по боковой поверх-
поверхности цилиндра мы напишем интеграл по полной его по-
поверхности S:
R]dS\.
4.24. Теперь мы можем уже прибегнуть к строгому
математическому языку.
а. Пусть в области G с: R3 задано непрерывное
векторное поле R = {Pi(x), Pz(x), Рз(х)}. Рассмот-
Рассмотрим область Q cz G, ограниченную кусочно-гладкой
338 гл, 4. связь интегрирования и дифференцирования 4.24
поверхностью 5 с внешней нормалью т. Выражение
[т, R]dS A)
уже встречалось нам в 4.18; оно, как мы помним, на-
называется вращением поля R по границе S области Q.
По тем же соображениям, что и для потока в 4.12 б, вра-
вращение есть усиленно аддитивная функция области G.
б. Назовем отношение вращения поля R'no замкну-
замкнутой поверхности S к объему \Q\ ограниченной ею обла-
области Q средним вращением поля R в области Q. Пусть
область Q стягивается в точку yeG. Если при этом
среднее вращение поля R в области Q имеет предел, не
зависящий от вида области Q, стягивающейся в точку у,
то он называется вихрем (или ротором) поля R в точке у
и обозначается rot R(y). Таким образом,
rot Я (у) = lira -тщ-Шт» R]dS.
Мы видим, что rot/?(у) есть плотность усиленно ад'
дитивной функции (L)—вращения поля R по границе
области Q. В отличие от потока и дивергенции, враще-
вращение и вихрь являются уже не скалярными, а вектор-
векторными функциями (соответственно — области и точки).
в. Заменяя в рассуждении 4.12 скалярное произ-
произведение (т, R) на векторное [т, R] и учитывая 4.18, на-
находим: если xotR(y) существует и является непрерыв-
непрерывной функцией точки у е G, то имеет место равен-
равенство
Ш
rot R (у) dy = $[m, R]dS
Q S
для любой области Q cz G и ее кусочно-гладкой гра-
границы S.
г. Используя теорему Остроградского, можно дока-
доказать существование вихря и его непрерывность в пред-
предположении, что составляющие Pi, Рг, Р3 поля R име*
ют непрерывные производные. Действительно, в этом
4.25 § 4-2- ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
случае, согласно формуле 4.18 B),
339
cos ю2 cos о>з
Рх
s
dS-
-ш
д
dxt
Pi
дх2
дх3
dx dy dz
и, следовательно,
rotR(y) =
т, R] dS
(У) дР2 (у)
4.25. Вернемся к мысленному механическому экспе-
эксперименту, описанному в 4.23. Если rot R (А) существует,
то для угловой скорости колесика Q с осью / мы полу-
получаем предельное выражение
v>(Q,l) = ~(l, rotR(A)).
Пусть 0 есть угол между векторами / и rot(
Тогда, в силу определения скалярного произведения,
откуда вытекают следующие заключения:
а. Величина eo(Q, 0 принимает в точке А наиболь-
наибольшее значение, именно равное у | rot R (А) \, когда вектор I
направлен по вектору rot/?(А). (При этом положении
оси колесико Q получает наибольшую угловую скорость;
мы подтверждаем этим справедливость первоначального
«механического» определения вихря как вектора, напра-
направленного по оси вращения с наибольшей угловой
340 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.2в
скоростью и по длине, равного удвоенной величине мак-
максимальной угловой скорости.)
б. Для направлений I, ортогональных к вектору
rot/?(А), величина ©(Q, /) равна 0 (в этих направле-
направлениях колесико Q совсем не будет вращаться).
в. Для остальных направлений оси величина co(Q, I)
принимает значения между — у | rot R (Л) | и -g-1 rot R (А) |.
4.26. Формула С то кс а. Как мы видели в 4.24,
вихрь векторного поля R с дифференцируемыми состав-
составляющими Pi, Pa, Pa имеет следующее координатное вы-
выражение:
rotR-
«I
д
дхх
Pi
«2
д
дР1
дРг
дР
Если в области в, где определено поле R, его вихрь
равен нулю, то в этой области
ЁЕ1. EH-
дх, ' дхг
дх3
дх2
Если область С при этом достаточно простая, напри-
например односвязная, то, как было доказано в 4.22, цирку-
циркуляция поля R
равна 0 на любом замкнутом контуре L. Обратно, если
циркуляция поля R по произвольному замкнутому кон-
контуру в области G равна 0, то, в силу 4.22, имеют место
равенства B) и, следовательно, вихрь поля R равен 0.
Если rot R Ф 0, то и циркуляция поля R, вообще го-
говоря, отлична от нуля. Но так как обе эти величины яв-
являются определенными характеристиками вращательных
свойств поля R, то естественно ожидать, что между ними
должна существовать связь. Такая связь, дается в фор-
формуле Стокса.
4.26
§ 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
341
В 4.24 г для векторного поля R={Pi, P2, Я3} с не-
непрерывным ротором в области Q, ограниченной куеочно-
гладкой поверхностью S, была установлена формула
R]dS,
C)
где m — единичный вектор внешней нормали.
Возьмем в качестве области Q прямой цилиндр вы-
высоты Н (рис. 4.2-5), в основании которого лежит об-
область U, расположенная
в плоскости а и ограни-
ограниченная контуром L. Обо-
Обозначим через / единичный
вектор, нормальный к
плоскости а, и через т —
единичный вектор, орто-
ортогональный к /, касатель-
касательный к боковой поверхно- Рис. 4.2-5.
ста цилиндра Q и напра-
направленный в положительную (относительно /) сторону.
Пусть, далее, S есть полная и 2 — боковая поверхности
цилиндра Q. Тогда
= J J (/, [m, R))dS =
= \j ([/, w], R) dS = J J (t, R)dS, D)
X X
так как на основаниях цилиндра Q векторы / и т кол-
линеарны. Обозначим через Uh сечение цилиндра Q пло-
плоскостью, параллельной основаниям и проходящей на вы-
высоте h. над нижним основанием, а через Lh — контур се-
сечения Uh. Тогда для любых функций F(x) и g(x)
н
= ${l, [m,
J S
0 iv
Н
n jrg(x)ds\dh;
о lik J
342 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.26
в частности,
н
J J J (/, rot R)dx = J f J J (/, rot 7?) dS]dfc,
Я
JJ(t, R)dS=jl §(r, ?)dsW
Разделим эти равенства на Я и перейдем затем
к пределу при Н-+0. Так как для любой непрерывной
функции Ф(Л) в силу теоремы о среднем
я
то в силу равенства D) и равенства C), умноженного
скалярно на /,
j J (I, rot R) dS = | (t, /?) rfs. E)
V L
Полученная формула называется формулой Стокса
для плоской области U. Она связывает вихрь поля R
с циркуляцией эхого поля по контуру L, ограничиваю-
ограничивающему область U. Для дифференцируемого поля R фор-
формула E) может быть выведена значительно проще.
Именно, выберем координаты так, чтобы контур L ле-
лежал в плоскости х, у. Тогда
/ = A,0,0), (I, rot R) = ^jL—д-^-
и формула E) принимает вид
U L
т. е. совпадает с известной уже формулой 4.16 D).
Можно написать и более общую формулу Стокса, от-
относящуюся уже не к участку плоскости, а к ориенти-
ориентируемой (т. е. обладающей непрерывным вектором еди-
единичной нормали) поверхности U, ограниченной (кусоч-
(кусочно-гладким) контуром L (рис. 4.2-6):
J J (/, rot R) dS = § (т, R) ds. F)
V L
4.26
5 4.2. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
343
Рис. 4.2-6.
Здесь I = 1(М) означает единичный вектор, ортогональ-
ортогональный к поверхности U в точке М; ка этот раз он не по-
постоянен, а изменяется вместе с точкой М. Вектор t по-
прежнему является единичным касательным вектором
к контуру L, направленным
в положительную {относи-
{относительно I) сторону. Если на-
направить вектор т в противопо-
противоположную сторону, правая часть
равенства F)_ изменит знак,
равенство уже не будет иметь
места.
При сколько-нибудь силь-
сильном искривлении поверхности
U приведенное правило согла-
согласования направления норма-
нормали и направления обхода граничного контура перестает
быть достаточно определенным^ и должно быть замене-
заменено следующим, более точным: ориентируемую поверх-
поверхность U всегда можно разбить на достаточно малые
куски Ui, .... Up, ограни-
ограниченные соответственно зам-
замкнутыми контурами' Li, ...
.... Lp с направлениями об-
обхода, согласованными меж-
между собой в том смысле, что
на участке контура Lu сов-
совпадающем с участком кон-
контура L, направление задает-
задается одним и тем же каса-
касательным вектором, а по об-
общему участку границы ча-
частей Li и L} направления противоположны (рис. 4.2-7);
тогда нормальный вектор т должен быть на куске {/*
направлен так, чтобы с его вершины обход по контуру
Li казался бы производимым против часовой стрелки.
Возможность такого согласования для всех ориентируе-
ориентируемых поверхностей доказывается в топологии; в этом
курсе мы пользуемся только простейшими поверхностя-
поверхностями, где такая возможность очевидна.
Доказательство формула F) можно провести сле-
Доказательство формулы F) можно провести еле-
344 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.81
плоских областей, она остается справедливой для
ориентируемой многогранной поверхности (поверхности,
составленной из конечного числа плоских кусков, на-
например треугольников). Далее, заданную кривую по-
поверхность (имеющую непрерывную или кусочно-непре-
рывиую касательную плоскость) можно представить Пак
предел вписанных в нее многогранных областей ?/п, со-
составленных из треугольников C.64г). Записывая фор-
формулу F) для каждой из областей {/„ и затем переходя
к пределу при п —*¦ оо, мы и получаем формулу F) в
общем случае C.64 д).
Если разделить равенство E) на площадь области U
н затем стянуть контур L на плоскости а в точку А, то
в пределе мы получим соотношение
(/, rot R (A)) ^lim-rLi (*, R) ds. G)
V-+A I ul j°
Это — также важная формула, выражающая проек-
проекцию ротора поля R на заданное направление / через
циркуляцию поля R.
§ 4.3. Оператор Гамильтона
4.31. Описанные выше определения расходимости
векторного поля R(x) D.15)
и вихря векторного поля R(x) D.23)
rot R (у) = lim -Дт I [m, R] dS (e R3)
V->y
наводят на мысль о возможности общего определения,
содержащего приведенные как частные случаи. Такое
общее определение имеется и формулируется следую-
щим образом.
Пусть в области G пространства X = Rn задано опе-
операторное поле Т(х); точнее говоря, задана функция
Т.(х), значение которой при каждом xeG есть линей»
ный оператор, действующий из пространства X в некото-
4.31 § <-3. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 345
рое фиксированное банахово пространство У. Сейчас
нам будет удобнее писать вектор-аргумент слева от
знака оператора; таким образом, при любом ?еА
функция qT(x) со значениями в У определена для всех
.v s G. Будем далее предполагать, что функция Т (х) не-
непрерывна (по операторной норме) в области С; тогда и
функция qT(x) непрерывна в G%npn любом ?еХ и,
более того, непрерывна по совокупности аргументов
q i= X и х е G. Пусть в области G выделена замкнутая
кусочно-гладкая поверхность Г, ограничивающая неко-
некоторую подобласть V с объемом \V\; пусть т(|) озна-
означает единичный вектор внешней нормали в точке | е Г
и ЙГ(|)— элемент поверхности Г.
Величина
§ (е=У) (I)
называется потоком операторного поля. 7"(-дг) через по-
поверхность Г. Как и раньше, поток поля Т(х) через по^
верхность Г является (усиленно) аддитивной (У-знач-
ной) функцией области У. Плотность потока поля Т(х)
в точке А с: G
W (А) = lim -j^rj m {%) Т (I) dT (|) (e У), B)
если она существует, называется гамильтонианом поля
Т(х) в точке А. Оператор V (набла *)) перехода от поля
Т(х) к плотности его потока называется оператором Га-
Гамильтона. Переход к пределу в правой части равен-
равенства B) производится, естественно, по метрике про-
пространства У. Если VT(A) существует всюду в области G
и является (кусочно)-непрерывной (У-значной) функ-
функцией от точки А, то, как и в 4.12, функция области
Wt (T) восстанавливается по своей плотности VT(x) по
формуле
Wr {Т) ^§ га (Е) Т (I) dT (I) = J V7" (х) dv {x). C)
*) Набла — старинный музыкальный инструмент, имеющий фор-
форму опрокинутого треугольника.
346 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.3J
Теперь мы покажем, что если операторное поле Т(х)
не только непрерывно в области G, но и обладает в G
непрерывной производной, то величина WT(A) суще-
существует в каждой точке А е G, и получим для VT(A)
явное выражение. Лусть еи .,,, е„ — ортонормальный
базис в пространстве X и аи ..., ап — углы вектора
m(g) с базисными. векторами. Мы имеем тA) =
= cos си -ei -f-... + cos an -en и, следовательно,
m (I) T (|) — cos Ol • e([ (g) + ... + cos an - enT (|).
По обобщенной формуле. Остроградского 4.17 A) мы
имеем
п
*ЮГ в) Л1 ft)и § Scosaft • еьТ(\
Отсюда следует существование предела B) и явная
формула
Таким образом, выражение \Т(А) получается фор-
формальной заменой в выражении вТ(х) составляющих век-
вектора q на знаки дифференцирования по соответствую-
соответствующим переменным. Соответственно записи вектора q
в виде q = Y,ehqh оператор V можно записать в виде
V==^)eft-^—, как его и ввел впервые Гамильтон.
Формула D) могла бы быть принята и за определе-
определение оператора Гамильтона. Однако при таком опреде-
определении следовало бы доказывать, что получающееся вы-
выражение не зависит от выбора ортонормального базиса
е\ еп. Принятое нами прямое определение B) не
связано с выбором базиса»
4.33
§ 4.3. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
347
4.32. Примеры.
а. Пусть Р(х) есть векторное поле в области G cz
czX = Rn, и оператор Т{х): X~+Rt действует по фор-
формуле дТ (*) = (д, Р (*)). Полагая Р{х) = {Р, (х), ..., Рп (х)},
для соответствующей величины V7" (х) е= (V, Р{х)) мы
находим
таким образом, операция div является частным случаем
операции V.
б. Пусть Р(х) есть векторное поле в области G cz
czX = R3, а оператор Т(х): X—>R3 действует по формуле
е, е2
Ч\ Чъ
\(х\ Р2{х)
„ д д
Заменяя знаки qu q2, q3 на -^-, -^—,
выражение оператора
Яз
е2
д
е3
д
дх2 дх3
Р2(х) Р3(х)
получаем
==rotP;
таким образом, операция rot также является частным
случаем операции V.
в. Пусть Р{х) есть скалярное поле в области G cz
aX = Rn и оператор Т{х): Х->Х действует по формуле
qT{x) = q • Р(х). Здесь для соответствующей величины
VT (х) = \Р (х) мы находим
ft=i
fc=i
Значит, и градиент есть частный случай операции га-
гамильтониана.
4.33. Применение оператора V к произве-
произведениям. Для применения линейного оператора V
к произведению операторов вида TiT2 в классическом
348 ГЛ. «, СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.33
векторном анализе имеется следующее правило. Услав-
Уславливаются, что если дана конкретная запись выражения
VT(x), в которой некоторые аргументы (скалярные или
векторные поля и пр.) поставлены впереди символа V,
а другие — за этим символом, то оператор V действует
именно на те аргументы, которые стоят за ним (т. е.
именно их дифференцирует), и не действует на те, кото-
которые стоят перед ним. Например, в записи (Р, V)Q бпе-
ратор V действует на Q и не действует на Р. Иногда
употребляют и другое обозначение: независимо от по-
порядка записи аргументов, у тех из них, на которые не
Действует символ V, пишут дополнительный индекс с.
указывающий, что эти аргументы играют роль постоян-
постоянных. Например, запись (V, PC)Q означает, что V дей-
действует на Q и не действует на Р. В таких случаях ста-
стараются преобразовать выражение VT(x), если это воз-
возможно, так, чтобы аргументы с индексом с встали впе-
впереди символа V; тогда в соответствии с нашим условием
индекс с можно будет, опустить, так как само положе-
положение соответствующего аргумента будет указывать на то,
что он считается постоянным. В указанном примере для
этого достаточно просто переставить V и Рс\ тогда, счи-
считая Р вектором, .a Q скаляром, мы получаем
(V, Рс) Q = (Рс, V).Q = (Рс, VQ) = (Р, grad Q).
Теперь правило, о котором идет речь, формулируется
следующим образом: результат действия оператора Га-
Гамильтона на произведение двух множителей равен сум-
сумме двух слагаемых, в каждом из, которых оператор Га-
Гамильтона действует лишь на один из множителей; в од-
одном слагаемом — на первый, в другом — на второй.
Для уточнения этой несколько расплывчатой форму-
формулировки и превращения ее в точное утверждение мы
рассмотрим конечномерные пространства X = Rn, Y, Z,
U, V cz L(X, Z), WaL(X, U) с заданными билиней-
билинейными отображениями:
X: V и W в L(X, Y),
V: V и Z в У,
Л: W и U в У,
причем для любого вектора q e X и любых операторов
4.34 § *А ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 349
jR c= V и S с W выполнено основное соотношение
S AqR = RV qS. A)
Пусть далее операторы R = R(x) и S = S(x) зави-
зависят от параметра х, пробегающего область G а X, при-
причем обладают в G непрерывными производными первого
порядка. Согласно 4.32 операторы R(x) и S(x) допу-
допускают применение оператора" V, причем
VR{x)(=Z, VS{x)<=U.
Теорема. При перечисленных выше условиях опе-
оператор Г(х)= #(*)Х S(x) допускает применение опера-
оператора V, причем
V (R (х) X S (х)) = S (х) Л VR (х) + R (х) V VS (х). B)
Доказательство. Оператор Т(х) является диф-
дифференцируемым по х/ 0"=1 я) в силу 1.346, причем
Используя соотношение A), получаем
Отсюда
п
V(#(x)XS(x)) =
что и требуется.
4.34. Примеры.
а. Пусть R(x) и S(x)—скалярные поля в области
GdX = Rn; найдем grad(/?(x) -S(x)).
Для любого вектора q e А имеем, очевидно,
850 ГЛ., 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.34
Это соотношение можно рассматривать как частный
случай соотношения 4.33 A) при соответствующей кон-
конкретизации участвующих там пространств и билинейных
операций (именно, следует положить X=Y = Z = fJ=,
= Rn, V==WczL(Rn)—совокупность операторов ум-
умножения на число, X — умножение чисел, V и Л — ум-
умножение числа на вектор). Применяя формулу 4.33 B),
находим
grad (R (х) S (*)) = V (RS) = S (х) • VR (x) + ВД • VS (х) =
= S (х) • grad R{x) + R (x) • grad 5 (х). A)
Короче, используя первоначальную формулировку пра-
правила, можно действовать так:
V (RS) = V (ад + V (RSC) = Rc • VS + SCVR =
= /?gradS + Sgrad R.
б. Пусть R (x) — скалярное поле, S(x) — векторное
поле в Rn; найдем div(/?(x)S(x)). Мы имеем аналогично
предыдущему
div(#S)=(V,(#S))=7?(V,S)-j-S(V, R)=R div S+S div R. B)
в. При n = 3 имеем также
rot (RS) = [V, RS] = R [V, S] - [S, VR] =
= RwtS — [S,gradR].
г. Пусть R(x) н S [x) — векторные поля в G. Для
любого вектора q&X мы имеем
(q,[R,S)) = (S,[g, R)) = -(R, [q,S]), C)
l<7, [R, S]] = R(q, S)-(R, q)S = -S(q, R)+(S, q)R; D)
отсюда
div [/?, S] = (V, [#, S]) = E, [V, #]) - (R, [V, S]) =
= (S, rot R)-(R, rot S), E)
rot [#, S] = [V, [/?, 5]] = R (V, S) - (R, V) 5 - S (V, #) +
-HS,V)# = #divS-Sdiv#-(?, V)S + (S, V)/?. F)
Выражение (/?, VM в координатах записывается так;
3 ^t
аналогичную запись имеет и выражение (S, V) R.
4.35 § <-3, ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 351
4.35. Операторы второго порядка. Пусть
в области G пространства X = Rn задана функция Т(х),
значение которой при каждом х е G есть билинейный
оператор, действующий из X X X в банахово простран-
пространство У, так что имеет смысл билинейная форма pqt(x)
(реХ, qeX). Будем считать Т(х) непрерывной функ-
функцией от х, так что pqT(x)—непрерывная функция по
совокупности аргументов р, q, x.
Согласно 4.31 можно определить выражение VqT(x),
линейное относительно q. В предположении дифферен-
цируемости функции Т(х), выбрав произвольно ортонор-
мальный базис в\ еп в X, мы можем написать
Если теперь Т(х) дважды дифференцируема в обла-
области G, то и аргумент q можно заменить на V, определив
выражение VVf(x); в том же базисе еи ..., еп это вы-
выражение записывается в виде
Можно поступить иначе; сначала заменить q на V,
а затем р на V; мы получим
^ (х)), B)
что совпадает с A) в силу независимости смешанных
производных от порядка дифференцирования. Можно
рассмотреть сопряженную форму qpT(x); производя
в ней замену р на V и q на V (в любом порядке), мы
снова придем к выражению A) или равному ему B).
В действительности результат зависит лишь от квадра-
квадратичной формы qqT(x), что вытекает из следующей
леммыз
352 *"Л. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ AM
Лемма. Если для двух билинейных операторов
Ti(x) и Т2(х) при выполнении указанных условий имеем
qqTl(x)ssqqT2{x),TO
Доказательство. Рассмотрим оператор Т(х)=з
= Тх(х)—Т2(х). Для билинейных форм мы имеем
(р + q) (р + q)T = ррТ + pqT + qpT + qqT. Но по ус-
условию (р + q){p + q)T = О, ррТ = 0, qqT = 0, поэтому
Заменяя здесь р и q на V и используя сказанное выше,
находим
откуда wr,(x)= Wr2(x), что и требовалось.
4.36. Если Р(х)—скалярная функция, мы можем об-
образовать следующие выражения:
(а) (V, V)P = V2P = (V, SIP) = div grad P;
(б) [V,V]P = [V, VP] = rotgradP (в /?3).
Если Р (х) — векторное поле, мы можем построить
выражения:
(в) (
(г) V (?,/>) = grad div P;
/ (в
(е) [V,[V,/>]]=*= rot rot Я
Если V заменить на обычный вектор q, то результаты
операций (б) и (д) в силу правил векторной алгебры
обратятся в 0.
Поэтому мы приходим * выводу: для всякого скаляр-,
кого поля Р(х) в /?з
rot grad Р (х) = 0, A)
и для всякого векторного поля Р(х) в Я3
= 04 B)
4.41
§ 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
353
Равенства A) ц. B), полученные из общих сообра-
соображений, можно проверить и непосредственной выкладкой:
rotgradP(x) =
div rot P (х)*=
дхх
ар
dxi
а
дхг
а
dxt
Pi
дх2
дР
дхг
а
дхг
а
дх3
р*
dxi
дР
дхз
а
дх3
в
дх3
Рз
= 0,
= 0,
где Р (х) = ехРл (х) + е-2Р2 (х) + е3Р3 (х).
Рассмотрим операцию (а). Поскольку для вектора
заменяя составляющие вектора q на производные по со-
соответствующим координатам, мы получаем
C)
Полученный дифференциальный оператор второго по-
рядка называется оператором Лапласа; это — один из
важнейших дифференциальных операторов математиче-
математической физики.
Операцию, (е) можно выразить через (в) и (г). Ис-
Используя формулу 4.35' D), находим
[V, [V, Р]] = V (V, Р) - (V, V) Р = gr ad div P - ФР. D)
§ 4.4. Некоторые типы векторных полей
4.41. Сферически симметричные поля,
а. Рассмотрим скалярное поле в /?п, заданное прл
фиксированном х и меняющемся у формулой
и (У) = №, г
- х | = Л/ % (yi -
Г 1=1
A)
354 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.41
где функция f (г) определена при г > О, непрерывна и
обладает непрерывной производной. Так как функция
и (у) зависит лишь от расстояния от у до фиксирован-
фиксированной точки х, поле и называется сферически симметрич-
симметричным полем с центром симметрии в х.
б. Вычислим градиент сферически симметричного
поля и {у). Мы имеем по 1.37 б
откуда
grad,f (г) =
Мы поставили у знака градиента индекс у, чтобы ука-
указать, по каким именно координатам производится диф-
дифференцирование. Введя единичный вектор е(х, у), на-
п
правленный от х к у, так что 2 (xt ~ Ut) ei = re (x, у),
мы можем записать искомый градиент также в форме
(r) = P(r)«(*.0). B)
в. Вообще, любое векторное поле Р(х) вида
<р(г) -е(х,у), где г —\у — х\, а ф(г)—числовая функ-
функция, называется сферически симметричным векторным
полем с центром симметрии х. Так как по данной (не-
(непрерывной) функции ф(г), решая дифференциальное
уравнение Г(г)= ф(г)> можно восстановить функцию
/(/¦), то всякое непрерывное сферически симметричное
векторное поле потенциально, т. е. оно является (при
х Ф у) градиентом некоторого скалярного сферически
симметричного поля с тем же центром симметрии.
г. Найдем расходимость сферически симметричного
векторного поля Р{у)= ty(r)e(x, у). Удобнее написать
P(x) = q>(r)re(x, у), где ф(г) = ^{г)/г. Мы имеем по
4.34 6
div» Р {у) — (V, ф (г) re (x, у)) = q> (r) (V,, re (x, у)) +
+ (re (х, у), Увф (г)) = ф (г) diVy re (x, у) +
4.41 S 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 355
Но
" " at _ \
diVj, re (х, у) = diVj, J] {yt - Xl) е< = У {У* *" = «,
gradvq>(r)=*q/(r)e(x,y),
поэтому
В каком случае diVj,P(*/) = 0? Решая дифферен-
дифференциальное уравнение
находим
где С — произвольная постоянная.
Итак, среди сферически симметричных векторных
полей поля вида
^fi- C)
и только они обладают нулевой (при у ?=0) расходи-
расходимостью.
Поток поля C) через сферу Sp радиуса р с центром4
в точке х равен
§(m,P)dS =
где | Si | — площадь поверхности единичной сферы. Та-
Таким образом, внутри сферы Sp все же имеется источник
поля Р(у); очевидно, что он может быть расположен
только в самой точке х.
д. Между прочим, при п = 3 и С = —т, т > 0, поле C)
Р f,л Се (*¦ У) _ тое (У' *)
совпадает с полем тяготения точечной массы т, находящейся в. точ-
точке х (закои Ньютона!). Мы видим, что закон Ньютона можно дока-
доказать, исходя из естественных предположений, что искомое поле
должно быть сферически симметричным и иметь единственным ис-
источником точечную массу. (В двумерном мире сила тяготения
должна быть обратно пропорциональна первой степени расстояния,
в п-мерном — обратно пропорциональна (п—1)-й степени рас-
расстояния.)
356 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.42
е. При п = 3 вихрь сферически симметричного век-
векторного поля Р{у) при у Ф х равен 0 вследствие нали-
наличия потенциала. Вращение поля Р(у) по любой сфере Sp
с центром в точке х равно 0 (поскольку [т, Р] = 0), по-
поэтому нет вихря и при у = х.
4.42. Ньютоново поле.
а. По закону Ньютона в трехмерном пространстве сила при-
притяжения, с которой масса т, сосредоточенная в точке х, действует
на единичную массу, находящуюся в точке у,' имеет вид
где \х — у\ —длина отрезка от х до у, а е(у,х) — единичный век-
вектор, нрправленный из. точки у к точке х; предполагается, естествен-
естественно, что точка у отлична от точки х.
Поле F (у) сферически симметрично (с центром симметрии х)
и, как мы видели в 4.41 в, потенциально. В даииом случае потен-
потенциал поля F(y), очевидно, равен
B)
б. Если поле тяготения порождается не одной, а несколькими
точечными массами ти ..., т*, расположенными в точках
Xi Xh, то каждая из иих действует на единичную массу, нахо-
находящуюся в точке у, по формуле, аналогичной формуле A). По
закону сложения сил совокупное действие всех этих масс изобра-
изображается векторной суммой
при условии, что точка у не совпадает ни с одной из точек
<«=1 к).
Поле C) также потенциально, с потенциальной функцией
в. Представим себе теперь сплошное распределение массы:
в ограниченной области G czR3 для каждой (жордановой) области
V czG задана ее масса m(V), являющаяся усиленно аддитивной
функцией области V. Напомним понятие о плотности массы. Для
заданной области AV, содержащей Д/п единиц массы, мы опреде-
Д/я .. ~.\
ляем среднюю плотность массы как отношение . . „. = ц (ДК).
Фиксируем теперь некоторую точку х и рассмотрим последователь-
последовательность областей ДV|, .... ДУ,, .... стягивающуюся при s -> оо к точ-
точке х. Для каждой из этих областей имеется некоторое значение
4.42 § 4-4 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 357
|л(ДУ«) средней плотности массы. Предположим, что при любом
выборе такой последовательности областей числа |i(AV«) имеют
при s-*-oo фиксированный предел ц — ц(лс) = Иш ц(К«"), ие зави-
зависящий от выбора последовательности Д V,. В этом' случае получен-
полученную величину |л(х) называют (истинной) плотностью массы в точ-
точке х.
Допустим, что в области V рассматриваемая масса обладает
(кусочно) непрерывной плотностью ц(х).. Составим выражение поля
тяготения, создаваемого этой массой.
¦ Разобьём область V на некоторое число малых областей &Vt
(« = 1, ..., k). и обозначим через Дт< массу, заключенную в обла-
области AVi. Естественно считать, что сила &Fi(y)', действующая на еди-
единичную массу в точке у со стороны элемента массы Лт<, такова же,
как если бы этот элемент был сосредоточен в какой-либо одной
точке области AV,, например в точке xt. Это позволит использовать
для выражения силы &Ft(y) формулу C), Суммируя по индексу i
и переходя к пределу, получаем искомое выражение полной силы
тяготения:
, Г
J
{x)e(y,X)
\Х-У\*
Иитеграгг E) определен, как для точек yt находящихся вие об-
области V, так и-для точек у, находящихся внутри этой .области.
Ё последнем слу«ае- интеграл становится несобственным, однако
он сходится абсолютно, поскольку величина 1* — у\ в знаменатель
входит во.второй степени C.73 6).,
Поле F(y) E) называют ньютоновым полем в Us.
г. В n-мерном пространстве ньютоновым полем на-
называют векторное поле, определеннее при y^Rn фор-
формулой
[^^-dXt F)
где V cz Rn — ограниченная область, \i(x)—кусочно-не-
\i(x)—кусочно-непрерывная функция.
Покажем, что поле F) обладает потенциалом и этот
потенциал равен
Для этого достаточно проверить, что gradf(y)— F(y).
358 гл- *¦ СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.42
Применяя к интегралу G) теорему 3.77 ж и поль-
пользуясь равенством 4.41 B):
y n-2 \x-y\"~2
П
. du, n — i
i=i .. -2 U-j
мы находим, что
n-2 \х-ц\п-^
=J,I
При n = 2 функцию 1/((и — 2)| х — ^ Г ^ надо заме-
заменить на In A/| x — y[).
д. Найдем теперь дивергенцию ньютонова поля.
Можно ожидать, что она будет связана с функцией
ц(х), поскольку мы уже видели, что источниками поля
тяготения являются создающие его массы.
Если точка у лежит на положительном расстоянии от
области V, то дифференцирование интеграла F) по ко-
координатам точки у можно произвести под знаком инте-
интеграла (S.35 г), так как вместе с функцией l/\x — y\n~i
он имеет производные любого порядка. Как следствие,
для дивергенции этого интеграла мы получаем на ос-
основании 4.41 г, что
Если точка у лежит в области V, то интеграл F)
представляет собою несобственный интеграл 2-го рода
с «переменной особенностью» C.77 а). Для диффе-
дифференцирования таких интегралов используется теорема
3.77 ж.
4.42 $ *¦*¦ НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 359
Однако в данном случае эта теорема не применима,
поскольку она требует в знаменателе показателя мень-
меньшего, чем п—1. Поэтому мы будем действовать иначе,
именно, мы найдем сначала поток поля F(y) F) через
замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторую
область Q; затем разделить его на объем \Q\ этой об-
области и будем стягивать область Q к фиксированной
тэчке. При вычислении потока можно воспользоваться
теоремой 3.77 г:
Внутренний интеграл представляет собою поток поля,
единичной массы, помещенной в точке х, через поверх-
поверхность S. Если точка х находится вне области Q, ограни-
ограниченной поверхностью S, этот поток равен нулю, так как
поле точечной массы не имеет источников вне самой
массы. Если точка х находится внутри области Q, то по-
поток не зависит от формы области Q и равен потоку че-
через сферу Si радиуса 1 с центром в точке *, который
легко вычисляется:
где |Si| есть площадь поверхности единичного шара
в Rn.
Таким образом, в этом случае
Функция \i(x) предполагалась (кусочно) непрерывной!
в точках ее непрерывности мы имеем
= Ит
368 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.42
Равенство (8) и выражает искомую связь между расхо-
расходимостью поля тяготения и плотностью массы, создаю-
создающей это поле.
е. Хотя поле F(y) F) обладает дивергенцией, это не
означает, что существуют производные --, . Мы по-
кажем, что если функция ц(х) в окрестности точки
х = Уо непрерывна и имеет непрерывные частные про-
производные, то функции д -¦ существуют и непрерывны
при у~у0.
Лемма. Для любой дифференцируемой функции
f(r), где r — \x — y\, x<=Rn, у <= Rn, имеет место ра-
равенство
Доказательство. Мы имеем по 4.41 B)
Vj(r) = grudyf(r) = f'(r)e(x, у);
заменяя здесь у на х, находим
V,f (r)=grad J(r) = f'(r)e{y, x) = - \yf (r),
что и требуется.
ж. Для доказательства дифференцируемое™ поля
F(y) F) предположим сначала, что функция \i(x) не-
непрерывна и обладает непрерывными производными не
только в окрестности точки х = у, но всюду в области
У, а на границе V обращается в 0. Представим поле
F(y) в форме градиента (г), затем, пользуясь теоремой
3.77ж, внесем градиент под знак интеграла и применим
доказанную только что лемму; затем преобразуем подын-
подынтегральную функцию с помощью 4.34 A):
— V ' Г У- (*>dx
r
\x-
n-2
4.42 § *•¦¦ НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 361
К первому из получившихся интегралов применим
теорему Остроградского 4ЛЗ G):
поскольку на границе S области V функция ц. (я) обра-
обращается в нуль. Таким образом,
п — 2 J у
и теперь наличие непрерывных первых производных
у поля F(y) вытекает из теоремы 3.77ж и. наших
предположений относительно функции ц(х).
з. Пусть теперь известно лишь, что функция ц(х)
имеет непрерывные ' производные в некоторой окрест-
окрестности точки Уо, например при \х— уо\ <С 26. Рассмо-
Рассмотрим дифференцируемую функцию f(r), определенную
при г ^ 0, равную 1 при 0 <; г ^ б и 0 при г ^ 26.
Тогда функция ni(*) = n{*)f(|* — Уо\) удовлетворяет
условиям oic и соответствующее ньютоново поле
)dx
обладает непрерывными производными всюду в Rn. Да-
Далее мы имеем
-Г (у) = Г
J
\x-y\n "'
Так как функция ц(х) —р.Ё (а:) обращается в нуль при
\х — уо\ <. б, то поле f(y) —^(i/), согласно д, имеет
в окрестности точки у0 производные всех порядков. От-
Отсюда следует, что поле F(y)=F*(y) -\- (F{y) —F*(y))
в точке #о имеет непрерывные производные, что и ут-
утверждалось.
и. В таком случае, если F = {Fi Fn) = grad f,
то, как было-показано в 4.15,
$62 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.43
Вспоминая (8), мы получаем для ньютонова поля F(y)
классическую формулу Пуассона
справедливую, как мы показали, в любой точке у,
в окрестности которой функция ц(х) имеет непрерывные
производные.
к. Эта формула, в частности, показывает, как напи-
написать частное решение уравнения Пуассона
где g(y)—известная функция, заданная в ограничен-
ограниченной области V cz /?n, a f (у) — неизвестная функция в той
же области. А именно, если в уравнение A0) подста-
подставить ньютоновский потенциал массы с плотностью
~-g(y)/\Si\, то, по доказанному, это уравнение будет
удовлетворяться в тех точках у, в окрестности которых
функция g(y) обладает непрерывными производными.
л. Что касается ротора ньютонова поля F(y) F), то
он равен 0, поскольку поле F(y) потенциально и можно
применить 4 36 A).
4.43. Поле Био и Савара.
а. Пусть v{x) — векторное поле в области V с Rs,
ограниченной кусочно-гладкой поверхностью S; соответ-
соответствующим ему полем Био и Савара называется вектор-
векторное поле
Если через область V течет электрический ток с плотностью
v (х) = и (х) ^ (где dq(x) — количество влектрического аа-
ряда в объеме dx, а и(х) —его скорость), то, по закону Био и Са-
Савара, возбуждаемое етим током магнитное поле вычисляется по фор-
формуле A), чем и объясняется название поля.
б. Поле G(y) A), вообще говоря, имеет ненулевой
вихрь и потому не обладает потенциальной функцией.
Но можно построить еещорный потенциал этого поля,
4.43 § 4.4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 363
т.е. такое векторное поле /(*/), что G(«/)=rot/(«/).
А именно, положим
ПУ)= f ?!;*!**. . B)
Согласно теореме 3.77ж и правилу 4.34 в,
rot J(y) = [V,J (у)]
= |vr J -j^
что и требуется.
в. Найдем величину div/(y). Действуя аналогично
и используя лемму 4.42 е, а также теорему Остроград-
Остроградского, находим, в предположении дифференцируем ости
v(x),
г. Теперь мы сделаем относительно поля v(x) сле-
следующие предположения:
(•) div v (х) е= 0 («электрические заряды не возни-
возникают и не уничтожаются»);
(**) на границе S области VI выполняется равенство
(т(х), \(х))—0 («граница составлена из линий тока;
заряды не выходят из области V и не входят в нее»).
364 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.49
Как показывает равенство C), из условий (*), (**)
следует, что
di/() O. D)
д. Найдем вихрь и расходимость поля Био и Савара-
G (у) 0)> считая выполненным условия •(*) и (**}.
Учитывая D), мы находим, используя 4.36 D):
rot G (у) = [V, [V, /] I = V (V, /) - (V, V) / =,
= V div / {у) - V2/ (у) = - V2/ {у).
Но составляющие поля J(y) имеют вид ньютоновских
потенциалов-, если J = {JU J2, /3} и v = {v,, y2, Vg}, то
% (A-1.2.3).
В 4.42 е мы видели, что для дифференцируемой функ-
функции ц(х)
(в R3).
Отсюда У2/(«/)==: — 4nv(y), и, следовательно»
rot G {у) = Апх (у). E)
Можно сказать, что вихри магнитного поля тока указы-
указывают направление тока, возбуждающего данное магнит-
магнитное поле.
Что касается дивергенции поля Био и Савара A),
она равна нулю, поскольку G(y)=rotJ(y), а диверген-
дивергенция всякого вихря равна 0 D.36 B)).
Подчеркнем в заключение противоположные свойства
поля Ньютона и поля Био и Савара: у первого вихрь
равен нулю, а дивергенция определяется по данным
функциям (плотность массы); у второго дивергенция
равна нулю, а вихрь определяется по данным функциям
(плотность тока); первое обладает скалярным потен-
потенциалом (и не обладает векторным, так как имеет нену
левую дивергенцию); второе обладает векторным потен-
потенциалом и не обладает скалярным.
4,61 в <-5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 365
§ 4.5. Гармонические поля и функции
4.51. Гармонические поля.
а. Векторное поле Н(х), заданное в области Vcr/?3
и обладающее в ней непрерывными производными
~— (/=1,2,3), называется гармоническим, если всю-
ОХ»
ду в области V
хШЯ(х) = 0, rot#(*) = 0. A)
Ньютоново поле D.42) в области, свободной от масс,
и поле Био и Савара D.43) в области, свободной от то-
токов, являются гармоническими полями.
б. Понятие гармонического поля можно ввести и для
векторных полей в n-мерном пространстве. Именно, диф-
дифференцируемое поле H(x)==(Hi(x) #n(*)} будем
называть гармоническим в области V cr Rn, если всюду
в области V
дН. дН,
Дальнейшее изложение будет вестись для гармониче-
гармонического поля в односвязиой области V cz Rn. Прежде все-
всего, из C) вытекает -D.21 г), что поле Н потенциально,
другими словами, существует (дважды дифференцируе-
дифференцируемая) функция h(x) такая, что
Условие B) может быть записано, как условие иа
функцию Ъ(х):
y^y^ = 0. E)
а* а
Всякая (дважды дифференцируемая) функция Н(х),
которая в области V удовлетворяет уравнению E), на-
называется гармонической функцией в области V. Таким
образом, потенциальная функция гармонического век-
векторного поля является гармонической функцией. А по*
366 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.52
скольку в силу 4.21 г для вектора Н (х) =grad h(x) все-
всегда выполняются равенства C), справедливо и обрат-
обратное: градиент всякой гармонической функции представ-
представляет собою гармоническое векторное поле.
4.52. Формулы Грина. Пусть в области V cz Rn
с кусочно-гладкой границей S даны скалярное диффе-
дифференцируемое поле ty(x) и векторное дифференцируемое
потенциальное поле R (х) = grad <p (х). По 4.34 6 мы
имеем
div <t>R = (V, $R) = oKV, R) + (-/?, Уф) = я|> Л«Р
Интегрируя обе части равенства по области С и при-
применяя к левой части формулу Остроградского 4.13 E),
получаем
J
v
ф -|^ dS == J ф Дф dJtr + J (V(p,
так что
г с г» л„
5 A)
(первая формула Грина). Меняя здесь местами ф и ф
и производя вычитание, получаем вторую формулу
Грина:
S. B)
4.53. Теорема.
а. ?слы на границе области V гармоническая функция
h(x) равна нулю, то /i(x)ssO всюду внутри области V.
б. Если две гармонические функции совпадают на
границе области V, то они совпадают и внутри обла-
области V.
в. Если гармоническое поле Н(х) на границе обла-
области V имеет всюду нулевую составляющую (m, H), то
поле Н(х) внутри области V тождественно равно 0.
г. Если два гармонических поля Н^х) иН2(х) имеют
всюду на границе области V совпадающие нормальные
4.54 § «-3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 367
составляющие (пг, Н\) и (m, Hz), то эти поля совпадают
внутри области V.
Доказательство. Пусть h(x)—гармоническая
функция в области V. Положим в формуле Грина
4.52 A) <р=ф=/г; тогда ДА вя 0, и если выполнено пред-
предположение а, то интеграл по границе обращается в 0.
Таким образом, формула 4.52 A) в данном случае при-
приводит к выводу, что
Jl
Но тогда V/z=grad h(x)=0 в области V, и, значит,
функция h(x) есть постоянная; а так как на границе
она по условию равна 0, то она равна 0 и всюду в об-
области V. Таким образом, доказано утверждение а.
Пусть Н(х) —гармоническое поле в области V. По-
Положим в формуле Грина 4.52 A) ф=ф=Л(д:), где
h(x)—потенциал поля Н(х). Тогда снова Д<р=О, и,
да>
если выполнено предположение в, величина ~7Г~==*
= (m, H) на границе области V обращается в 0, так
что и весь интеграл по S равен 0. Формула 4.52 A)
теперь приводит к выводу, что
J | VA fdx= J| H(x)p
V
откуда и следует, что Н (х) = 0 в области V. Таким об-
образом, доказано в.
Утверждения б и г следуют из а и в, поскольку раз-
разность двух гармонических функций (полей) есть также
гармоническая функция (гармоническое поле).
4.54. Дальнейшие следствия формул
Грина.
а. Если Н{х) — гармоническая функция в области V,
то
f
<I)
Действительно, положим в формуле Грина 4,52 B)
= h, ф = 1; мы немедленно получаем A).
868 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.84
б. Теорема. Значение гармонической функции
Л (л!) в центре у шара WczV равно среднему арифме-
арифметическому из ее значений на границе 2 шара W:
B)
x
Доказательство. Пусть WczV и QczW — шары
с центром в точке у радиусов соответственно г и р,
р<г, с границами 5V и 2р. Обозначим К,-р = № — Q.
Граница 5 области Frp есть объединение \ и 2р, при-
причем оператор -g производная по внешней нормали
на границе области W — совпадает с ^ на ^ и с - —
на 2р.
В> формуле Грина 4.52 B) положим V=Vr(h ф=Л,
Ч1== г?! как мы знаем D.51а), эта последняя
функция является гармонической по х при х^= у. Тогда
в формуле 4.52 B) объемный интеграл исчезает, и мы
получаем
д 1
или же
По а исчезают первые слагаемые в обеих частях ра-
равенства, Для вторых слагаемых, введя множитель l/|St|
(¦[Si|—площадь поверхности единичной сферы в /?„),
мы находим
4JSS § *8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 369
Заметим, что m-4S,| = |S,|, Pn-M5i|==|Sp|. Устрем-
Устремляя р к 0 и пользуясь непрерывностью функции п(х)
при х=аО, приходим к искомому равенству B).
в. Гармоническая функция h(x), определенная во
всем пространстве /?„ и равномерно стремящаяся к О
при \х\ —* оо, равна тождественно 0.
Действительно, для любой точки у е /?„, по б, зна-
значение h(y) есть среднее арифметическое из значений
функции hpc) на поверхности шара радиуса г с цент-
центром в точке у. Если г -*• оо, то по условию значения
функции 1г(х) на поверхности шара равномерно стре-
стремятся к 0. Но тогда стремится к нулю и среднее ариф-
арифметическое этих значений. Так как это последнее не за-
зависит от г (оно равно h(y)), оно само есть 0, что и
утверждалось.
4.55., Представление гармонической
функции внутри шара через ее граничные
значения. Пусть W с: Rn— шар радиуса г с центром
в- точке г, расположенный внутри области, в которой
определена гармоническая функция h(x). В силу 4.53 6
значения гармонической функции h(x) внутри шара W
однозначно определяются ее значениями на границе 2
этого шара; мы желаем установить явную формулу,
дающую значение функции h(x) в любой внутренней
точке у чере,з граничные значения. Для у=г это было
сделано в- 4.54 6; мы рассмотрели там шар QczW
с центром в z и к области W — Q применили формулу
Грина 4.52 B), где было положено Ф = й, Ч> = 2 ;
при этом объемный интеграл исчез (так как обе эти
функции гармоничны в W — Q), а поверхностные весьма
упростились вследствие постоянства функции ty(x) на
границах W и Q. Для уф г эта идея в неизменном виде
ие годится, так как функция 1/|х — г\п~2 уже не по-
постоянна иа 2; но, оказывается, можно вычесть из фB)
такую гармоническую функцию tyo(x), что' разность
Ф(х)»<||)(х) —%(%) будет уже постоянной на 2, и то-
тогда построение пройдет.
Без ограничения общности можно считать, что центр
2 шара W совпадает с началом координат простран-
пространства Rn; тогда уравнение сферы 2Т имеет вид |х|=г.
370 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.S5
Обозначим у*== -туУ- Утверждается, что для хе ^.
отношение расстояний \х — у*\ и \х — у\ постоянно.
Действительно, если хеЕ„ то {х, х)=г2 и (х, «/*)==
так что
\х-У\*
Поэтому функция
постоянна (даже равна 0) на сфере
Теперь заметим, что функция
является гармонической всю^у в W. Положим в фор-
формуле Грина 4.52 B) V=fl^ — Q, где Qc:V — шар с цент-
центром в у и радиусом р, ф=/цх), я1?=Ч/'(ж). Тогда, как и
в 4.54 б, объемный интеграл исчезнет, и мы получим
где -д— означает дифференцирование по радиусу, веду-
ведущему из точки у в точку х на сфере 2Р радиуса р
с центром в у. Далее,
(х)
-wdS>
ч-1_>0 яри
0 при р -*> 0,
при р-*0.
4.Б6 § 4-5- ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 371
Переходя к пределу при р-*0, мы находим
дЧ? (х)
Остается вычислить —~ ¦ на сфере Бг. Так как эта
сфера есть поверхность уровня функции УР{х) и ^(х)
возрастает при движении внутрь сф«ры QP (у) — оо), то
—-L-L— _ |grad W |. При | х | = г, используя A,), имеем
Х-у Г" Х-:
\х-у\п \у\п~2 \х-у'\п
х~у li/|2 x~v*
х-у\п г2 \х-у\п
B)
Таким образом, искомая формула (при 2 = 0)
имеет вид
(х) .».
|S,|r | \x-v\"
она называется формулой Пуассона.
4.56. Следствия из формулы Пуасеона.
а. Предположим, что гармоническая функция Л (дг)
на границе 2 шара W удовлетворяет неравенствам
Утверждается, что этим же неравенствам функция h(x)
удовлетворяет и внутри шара- W. Действительно, «ядро
Пуассона*
в шаре W положительно; поэтому, записывая фор-
формулу Пуассона для неотрицательных на границе шара
372 ГЛ. t. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.6в
гармонических функций В — h(x) и h(x)-^A, находим
В - h(y)= § Р{х, у)(В - h(x))dS >0,
, y)(h(x)-A)dS>0,
?
что и требуется.
Таким образом, для любой гармонической функции
максимум и минимум ее в шаре W достигаются на гра-
границе этого шара.
б. Формула Пуассона 4.55 C) имеет вид интеграла
с параметром у. Так как функция Р(х, у) A) допускает
неограниченное дифференцирование по координатам
точки у, то можно применить теорему 3.35 г; в силу
этой теоремы функция h(y), стоящая в левой части фор-
формулы Пуассона, сама оказывается бесконечно диффе-
дифференцируемой по у. Итак, всякая гармоническая функ-
функция бесконечно дифференцируема в любой точке обла-
области своего определения.
в. В силу равенства
каждая производная гармонической функции есть также
гармоническая функция.
В частности, составляющие гармонического поля
H(x)={Hi(x), .... Нп(х)\, кйк производные of гармо-
гармонической функции h(x) —потенциала поля Н(х}
D.51 б), сами являются гармоническими функциями.
г. Если гармоническое поле Н(х) определено во всем
пространстве /?„ и lim Я(х) = О, то /7(дг) = О. Дей-
ствительно, каждая составляющая поля Н(х) стремится
к 0 при |х| -¦ оо; в силу в эти составляющие являются
гармоническими функциями, и нам остается применить
4.54 в.
д. Пусть теперь на сфере 2, ограничивающей
шар W, задана произвольная (непрерывная) функция
К(х); определим внутри шара W функцию Н(у) по фор-
формуле
2 1
4.66 $ «-6. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 3?3
Мы утверждаем, что h (у) — гармоническая функция.
Чтобы это доказать, достаточно убедиться в том, что
ядро Пуассона Р(х, у) является внутри шара W гармо-
гармонической функцией (по у), поскольку требуемые диффе-
дифференцирования функции h(y) по у можно проводить под
знаком интеграла. Мы знаем, что функция
5
гармоническая D.51а); в силу в ее производные — так-
также гармонические функции; поэтому гармонической1
(по у) является и функция
1
что нам и требуется-
е. Покажем теперь, что построенная в д внутри
шара W функция h(y) при. приближении внутренней
точки у к граничной точке jco имеет предельное значение,
равное А(дго).
Для этого покажем, что ядро Пуассона Р(х, у) при
У—Ут~*хо обладает свойствами дельта-образной после-
последовательности C.36), именно, свойствами Р(х,ут) >0
(что очевидно) и
2) J P{x, ymLS{x)-*0 при
где 2' есть поверхность ?, из которой выброшена про-
произвольно малая окрестность V точки х0.
374 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.56
Выполнение 1) следует из формулы Пуассона 4.55 B)
при подстановке в нее в качестве h(x) гармонической
функции, тождественно равной 1. Выполнение 2) сле-
следует из соотношения
m->co
llzzlMmL
I * Vm I
которое выполняется равномерно по хе2 — U ввиду
того, что \ут\ -*г и \х — ут\ ^ const > 0 вне U.
Теперь, применяя 3.36, получаем
Iim <Б Р {х, ут) % {х) dS (х) = Л (хо),
m->oo «J
что и требуется.
ж. Теорема. Для любой функции Х(х), заданной и
непрерывной на сфере 2 с: Rn, существует единственная
функция h(y), определенная в шаре W, ограниченном
сферой 2, непрерывная в (замкнутом) шаре W, гармо-
гармоническая внутри W и совпадающая на сфере Б с функ-
функцией К(х).
Доказательство. Функция h(y), удовлетворяю-
удовлетворяющая требуемым свойствам, построена нами в д и е. Нам
остается доказать единственность такой функции. Тео-
Теорема 4.53 б к данному случаю не может быть примене-
применена, поскольку в ее доказательстве предполагалось, что
участвующие там функции дважды дифференцируемы
всюду в W (включая и границу шара), в то время как
рассматриваемые здесь функции могут обладать даже
первыми производными, не непрерывными в замкнутом
шаре W. Будем проводить доказательство следующим
образом. Прежде всего, достаточно доказать, что при
Я(х) =0 единственная функция h(y), удовлетворяющая
условиям теоремы, тождественно равна 0. Пусть г — ра-
радиус шара W и h(y) удовлетворяет условиям теоремы
при Я (х) s== 0. Для заданного е > 0, в силу равномер-
равномерной непрерывности функции h(y), можно найти концен-
концентрическую сферу 2г_в радиуса г — б, б > 0, во всех точ-
точках которой выполняется неравенство \h(y) | ^ е. Тогда
по следствию а, примененному к шару Wf-n с границей
2г_в, неравенство |Л(у)| ^ е выполняется и для всех
#е Wr-6. Устремляя е к 0 и, соответственно, б к 0, мы
видим, что h(y ^0 внутри W, что и требовалось.
4.67 § 4.8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 378
з. Теорема. Пусть в шаре W czRn имеется после'
довдтельность функций ht(y), .... hm{y), ..., непрерыв-
непрерывных в W и гармонических внутри W, равномерно в W,
сходящаяся к некоторой функции h(y). Утверждается,
что фуншия h(y) также непрерывна в W и гармонична
внутри W.
Доказательство. Функции hm(y), согласно д, в
и ж, могут быть представлены в форме
hm(y)^§P(x,y)hm(x)dS.
Перейдем в этой фор муле, к пределу при пг -*¦ оо; мы
получим
h(y) = $P(x,y)h(x)dS,
причем функция h(y) непрерывна в замкнутом шаре W.
Но тогда, по д, функция h(y) оказывается и гармониче-
гармонической внутри шара W, что н требовалось.
4.57. Представление гармонического
поля внутри шара через значения нор-
нормальной составляющей не границе шара.
а. Пусть W с Rn — шар радиуса г с центром в точ«
ке г, расположенный внутри области V, в которой опре-
определено гармоническое поле Н(у). В силу 4.53 г поле
Н(у) внутри шара W однозначно определяется по зна-
значениям его нормальной составляющей на границе S
шара W; мы желаем дать явное правило для построе-
построения поля И (у) по его нормальной составляющей на
границе.
Пусть h(y) —потенциал поля Н(у), т.е. та гармони-
гармоническая функция, для которой H(y)==eradh(y); очевид-
очевидно, нормальная составляющая поля Н(у) на S совпа-
совпадает с нормальной производной функции h(y) на 2.
Если мы сможем восстановить функцию h(y) внутри
шара W по значениям ее нормальной производной на 2,
то затем по формуле Н (у) —grad h (у) мы сможем опре*
делить и само поле И (у). Поэтому задача о восстало*
влении гармонического поля в W по его нормальной со*
ставляющей на Z приводится к задаче о восстановлении
гармонической функции в W по значениям ее нормаль-
нормальной производной на 2,
376 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.57
б. Пусть h(y) S3 h(yu .... у„)—гармоническая
функция в шаре W с Н„. Утверждается, что функция
п
Ф iy) = У1 У( а также является гармонической функ-
цией в шаре W.
Действительно, мы можем функцию (р(у) вместе
с функцией h (у) неограниченно дифференцировать
D.56 6), и производные g являются гармонически-
гармоническими вместе с самой h(y) D.56в). Поэтому
в. Функция.ф(у) (б) может быть записана также
в форме ц>(У)=={у9 gradЛ). Будем предполагать далее
(это не ограничит общности), что z=0, г=1. Положим"
у—рх, |х| = 1, 0 ^ р ^ 1; тогда, функцию ф(у) можно
, v dhipx) «.
представить в виде фш) = р—2 * Отсюда следует,
что функция h(y) может быть найдена по функции ф(у)
с помощью интегр'ала
JP _,_ ..
A)
с произвольным значением h @)«
С другой стороны, полагая р=1, находим
т. е. гармоническая функция ф(у) на границе шара W
совпадает с нормальной производной функции h(y). От-
Отсюда вытекает следующий способ восстановления функ-
функции h(y) по ее нормальной производной на 2: по значе-
значениям - ^ ¦ восстанавливаем с помощью формулы
Пуассона 4.55 C) функцию ф(у).; затем, зная <р(у), по
формуле A) получаем функцию h(y).
г. Покажем, что описанный прием позволяет не
только восстанавливать известную гармоническую функ-
4.87 § 4-5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ 377
цию h(y) по значениям ее нормальной производной на
2; но и строить гармоническую функцию, имеющую
произвольно предписанные значения h(x) нормальной
производной на 2, удовлетворяющие единственному ус-
условию
= 0, B)
необходимость которого вытекает из. 4.54 а.
Пусть задана функция Х(х), непрерывная на 2 и
удовлетворяющая условию B). Положим
(х. y)b(x)dS,
где Р (х,, у) — ядро Пуассона. В силу 4.56 д,- е функция
ф(у) непрерывна,, в (замкнутом) шаре W, гармонична
внутри W н на границе совпадает с функцией й(х).
Кроме того, нз B) вытекает, что
Положим, далее,
р
¦dT + h@) C)
с произвольным значением А@); так как функция ф(у)
дифференцируема при ^=0 и ф@)=0, интеграл C) су-
существует. Покажем, что функция h(y) C) является
гармонической функцией внутри W, непрерывной в замк-
замкнутом шаре W. Последнее, очевидно, вытекает из не-
непрерывности функции ф(ик)/т; при этом граничные зна-
значения функции h(y) даются формулой
D)
Для доказательства гармоничности функции h(y),
имея в виду 4.56 д, нам достаточно убедиться, что она
воспроизводится внутри шара W по формуле Пуассона
из' своих граничных значений D). Мы им-еем, полагая
S78 ГЛ. 4, СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.Б7
для простоты А@) =0,
Но функция ф(т?/)/т является гармонической вместо
с функцией у(у) (при фиксированном t)j поэтому вну*
тренний интеграл равен <p(T^)/t, и, после подстановки
|=рт, мы находим
в
что и требовалось.
Наконец, мы имеем * ¦??*' «* Я\Ш, t откуда прн
р = 1 находим -~$~- = ф (ж) *= А. {х), что и завершает
доказательство.
д. Резюмируем результаты б — а в виде следующей
теоремы:
Теорема. Для любой функции А,(х), заданной и
непрерывной на сфере ? с Rn « удовлетворяющей ус~
ловию
существует функция h(y}^ определенная и непрерывная
в шаре W, ограниченном сферой Е, гармоническая вну-
внутри W и обладающая непрерывной производной №
(xsE, 0<р < 1), обращающейся при р=1 в (),
Любая другая функция с теми же свойствами может от-
отличаться от h.(y) только на постоянное слагаемое.
Существование требуемой функции h(y) мы устано-
установили в г. Ее единственность, с точностью до постоянного
слагаемого, следует из «,
4.62 § *-6. ПОСТРОЕНИЕ ПО ВИХРЮ И РАСХОДИМОСТИ 379
§ 4.6. Построение векторного поля в R3 по его
вихрю и расходимости
4.61. Пусть в некоторой ограниченной области VaR3
даны векторное поле R(y) и скалярное поле Ь(у). Спра-
Спрашивается, можно ли построить в области V векторное
поле Q(y), обладающее свойствами
rotQ(y) = R(y)? A)
Если это возможно, то как описать все те векторные
поля, которые удовлетворяют уравнениям A)?
Эта задача называется задачей о построении вектор-
векторного поля по его вихрю и расходимости или обратной
задачей векторного анализа.
Мы будем предполагать, что заданные поля R(y) и
Ь(у) дифференцируемы в области V. Кроме того, потре-
потребуем, чтобы расходимость поля R(y) равнялась нулю
всюду в V, а на границе V обращалась в нуль нор-
нормальная составляющая R(y)- Первое из этих условий
является необходимым для разрешимости нашей задачи,
поскольку divrotQ(y)—0 для любого поля Q(y). Что
касается второго условия, то оно вызвано лишь мето-
методом решения (см. по этому поводу ниже, 4.66).
4.62. Вначале будет построено одно частное решение
системы A).
Рассмотрим случай, когда данное поле R(y) равно
нулю, так что система A) сводится к более простой си-
системе
rotQ(y) = 0. B)
Нам известно одно решение этой системы. Именно,
построим поле тяготения массы с плотностью — ~^Ъ(х)
D.42E)):
По доказанному в 4.42 д н л
rot F fa) = О,
гак что поле F(y) C) дает нам частное решение систе-
системы B),
380 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.вЗ
4.63. Рассмотрим второй случай, когда данное ска-
скалярное поле Ь(у) равно нулю, так что система A) сво-
сводится к системе
div Q (у) == 0, rot Q (у) = R (у). D)
И здесь нам известно одно частное решение. Именно,
построим поле Био и Савара для тока с плотностью
— l f
\х-у\*
По доказанному в 4.43 5 и в силу наложенных на
поле R(y) ограничений имеем
div G (у) = 0, rot G(y) = R (у),
так что поле G (#) дает нам частное решение системы D).
4.64. Используя построенные поля F{y) и G(y), по-
положим
F)
Для поля Qo(#) мы получаем
div Q0(y) = 6ivF(y) + div G (у)=Ну),
rot Qo (y) = rot F {y) + rot G{y) = R (y).
Таким образом, поле Q0(y) является частным реше-
решением системы A). Пусть Qj(#) — любое другое частное
решение системы A) и
Для поля Н(у) мы находим
div Н (у) = div Q, (у) - div Qo (У) = 0,
rot Н (у) = rot Q, (f/) — rot Qofo) — 0»
и, следовательно, Н.{у)—гармоническое поле D.51).
Обратно, если И (у) — гармоническое поле и Qt(y) =
=Qo(y}+И (у) „то
div Q, (у) = div Qo {у) + div H(y) = b (у),
rot Q, (#) = rotQote) + rot
4.65 S «6. ПОСТРОЕНИЕ ПО ВИХРЮ И РАСХОДИМОСТИ 381
так что поле Qi(y) является вместе с полем Qo(y) ре-
решением Системы A). Мы получаем следующую теорему:
Теорема. При указанных условиях система A)
обладает решениями. Одно из них дается формулой F),
остальные получаются прибавлением любого гармониче-
гармонического поля.
4.65. Можно подчинить искомое решение Q(y) даль-
дальнейшим условиям, которые определят его уже одно-
однозначно.
Например, пусть для искомого поля Q(y) задана
в каждой точке х на границе S области V нормальная
составляющая (Q(x), m(x)).
Записывая решение Q(y) в форме Qo(y) +#(#), где
Qo(y) —построенное решение F), а Н(у) —гармониче-
—гармоническое неизвестное поле, мы получаем для этого поля
И.(у) известную нормальную составляющую на S:
(Я{х), т{х)) = (Q{x), т(х)) - (Q0{x), m(х)). G)
Если область V есть шар W, то в силу 4.57 а н д гар-
гармоническое поле Н(х), удовлетворяющее условию G),
существует и единственно; вместе с ним существует н
единственно и решение системы A).
Аналогично, на основании 4.56 ж решение этой си-
системы существует и единственно при задании на гра-
границе шара W значений потенциала поля И (х) (или поля
Q(x), если оно становится гармоническим у границы V).
Однако в' общем случае, когда область V не есть
шар, существование н единственность "решений при ка-
каком-либо из сформулированных условий есть вопрос уже
значительно более сложный; он представляет собой один
из важнейших вопросов теории уравнений с частными
производными (первая или вторая краевая задача для
уравнения Лапласа), и мы не касаемся его в этой
книге*).
Еще один тип условия состоит в том, что искомое
поле Q(y), рассматриваемое во всем пространстве Rn,
должно равномерно стремиться к О при \у\-+оо. Оче-
Очевидно, что этим свойством обладает построенное нами
решение Qo(y), поскольку выражения C) н E), содер-
*) См.,- например, И. Г. Петровский, Лекции, об уравнениях
с частными производными, изд. 5, «Наука», 1970.
382 ГЛ. 4, СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4.66
жащие в знаменателе величину | х — у \2, прямо показы-
показывают, что соответствующие интегралы стремятся к 0 при
\у\ -> оо. Мы утверждаем, что другого решения системы
A), обладающего этим свойством, не существует. В са-
самом деле, разность между таким решением и решением
Qo(y) есть гармоническое поле; а по 4.56г гармониче-
гармоническое поле, стремящееся к 0 при \у\ —» оо, есть тожде-
тождественный 0, откуда и следует единственность решения
системы A) в рассматриваемом классе полей.
4.66. Задача о построении поля по расходимости и
вихрю может быть сформулирована и в локальной фор-
форме: требуется построить поле Q(y), удовлетворяющее
уравнениям 4.61 A) в окрестности данной точки уо& V;
при этом известно, что div/?(#) = О, но не делается ни-
никаких предположений относительно нормальной состав-
составляющей поля R(y) на границе области V.
Эта задача сводится к построению в окрестности
точки у0 хотя бы одного поля G(y), для которого
rot G(y)=R(y). Действительно, имея такое поле, мы
обозначим (p(y)=div G(y), и тогда искомое решение
Q(y) получится как сумма поля G(y) и ньютонова
поля с плотностью —-^ (Ь (у) — <р (у)).
Составляющие Gt(y), G2(y), G3(y) искомого поля G (у)
по составляющим Rt(y), R2(y), Ra(y) поля R(y) можно
задать в окрестности точки У0 = {у^ у\\ #3)« например,
по формулам
у»
Уг У\
J #i(#i» Ун T3)dT3-f J /?3(т,, у2,
У°Э У\
Действительно, из этих формул легко шлучается, что
6 задачи 383
используя условие div/?=W"^~Jy~ "r"cb~===0' на*одим:
Уг
двг dGi _
Уг
-J "
4
f
4
что нам и требуется.
ЗАДАЧИ
1. Найти вихрь поля Р(А)= {(р)х(А), где р есть расстояние
точки А от фиксированной прямой к, а т(.Д) — единичный вектор,
ортогональный к X и к перпендикуляру из точки А на прямую К.
В каком случае rot Р(А) зз О?
2. Для однопараметрического- семейства кривых на плоскости
в предположениях достаточной гладкости доказать соотношение
div т = — ft,
где т — единичный нормальный вектор, a ft — кривизна кривой
семейства в соответствующей точке.
3. Показать, что векторное поле R в Rs, обладающее ортого-
ортогональными поверхностями, удовлетворяет соотношению
(/?, rot R) =э 0.
4. Пусть (/?, rot /?) в 0. Проведем через данную точку А ли-
линию L, ортогональную к линиям поля R, и через каждую точку М
линии L — кривую \{М), касающуюся в каждой своей точке век-
вектора rot R. Доказать, что получающаяся поверхность S ортого-
ортогональна к полю R.
5. Пусть (R, rot R) — 0. Построить однопараметрическое семей-
семейство поверхностей, ортогональных к полю R.
6. Векторное поле R = {X, К} на плоскости R% — 0 с
dY
удовлетворяет условию-^— = -^—, однако не обладает потенциалом,
определенным во всей области определения поля. Чем объяснить
кажущееся противоречие "с теоремой 4.21 г?
384 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ J
7. Поле R(M)= г.1 ... в Яз — {0} имеет нулевую диверген-
дивергенцию. Пользуясь сферой радиуса 1 с центром в начале координат,
из которой выброщена малая окрестность фиксированной точки, по-
показать, что поле R(M) не имеет векторного потенциала.
8. Вычислить ньютоново поле, создаваемое однородным шаром
массы 1 радиуса т с центром в начале координат.
9. Показать, что неотрицательная гармоническая функция h(x)
в шаре радиуса г с центром в начале координат пространства /?»
удовлетворяет неравенству Харнака
10. Показать, что гармоническая функция, неотрицательная во
всем пространстве Rn, постоянна.
11. Пусть известно, что гармоническая функция h(y) в шаре
WcRn радиуса т удовлетворяет неравенству \h(y)\^.M. Пока»
зать, что в центре г шара W выполняется неравенство
12. Пусть известно, что гармоническая функция h(y) в области
VcRn удовлетворяет неравенству \h(y)\^ M. Доказать, что
в любой внутренней замкнутой области WczV удовлетворяется
неравенство
| grad Л fer) j< СЛГ,
где С не зависит от выбора функции h(y).
,.13. Если бесконечная совокупность гармонических функций
{Ь(у)}= В равномерно ограничена в области V с: /?„, то можно вы-
выбрать последовательность ht(y), 1ъ(у), ... функций из. В, кото-
которая- равномерно сходится в каждой внутренней замкнутой области
WczV.
;J4. Показать, что монотонно убывающая последовательность
ht(y) ^ hi(y) ^ ... гармонических функций в шаре М<»", схо-
сходящаяся в центре шара, сходится во «сей uiape и имеет пределом
гармоническую функцию.
15. Можно ли применить формулу Стокса к листу Мёбиуса?
Историческая справка
Формулы, связывающие интеграл по границе области с интегра-
интегралом по своей области, были найдены:
формула 4.16 C) («формула Грииа») — Эйлером в 1771^-»
1772 гг., Грином в 1828 г.;
формула 4.13 E) («формула Остроградского») — для очень
частного случая Гауссом в 1813 г., Остроградским в 1828 г.
(я = 3) и в 1834 г. (любое л);
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 385
формула 4.26 F) («формула Стокса») — Томсоном в 1849 г.;
Стоксом она была включена в ежегодный конкурсный математиче-
математический экзамен в Кембридже, который Стоке проводил с 1849 по
1882 г.;
формулы 4.52 A) и B) («формулы Грина»)—Грином в 1828 г.
Разумеется, в первоначальном виде все эти формулы писались
в обычных обозначениях, без векторов. Векторное исчисление по-
появилось у Гамильтона (основной его труд «Трактат о кватернионах»
вышел в 1853 г.) как составная часть его теории кватернионов.
В современной терминологии кватернионы образуют четырехмерную
алгебру над полем /?i с базисом I, I, /, k и правилами умножения
i? j*k* 1 ij jik jk kj kiik j
j ; j j, j j , j
Для кватерниона а + Ы + cj + dk число а образует, по Гамнльто-
ну, «скаляр», а Ы + cj -\-dk — «вектор» (здесь Гамильтон и вво-
вводит эти термины впервые). Умножение векторов, как кватернионов,
приводит к равенству
(b2i + c2j + d2k) = (Ьф2 + clCi + d,rfs) +
— d2bi) +k(blc2~-
в котором мы видим одновременно и «скалярное» и «векторное»
произведения векторов.
Кватернионный оператор Гамильтона
а ¦ д 1 • д i и д
дх ' ду дг
действует на векторную функцию / = ш + jv + kw по формальному
правилу умножения кватернионов и дает результат
(ди , dv , dw \ . . I dw dv
) + к ду
В скалярной части мы видим дивергенцию (со знаком минус),
известную еще со времен Эйлера; векторная часть — ротор — во
время Гамильтона была еще новинкой, и физический смысл ее
был неясен. Мечтой Гамильтона было создание теории функций
кватернионного переменного, обобщающей нечисление функций ком-
комплексного переменного. Однако надежды, возлагаемые на кватер-
кватернионы, не оправдались. Алгебранческая часть теории Гамильтона ока-
оказалась целиком включенной в быстро развивающуюся теорию матриц.
Из аналитической части был выделен «бескватерниоиный» векторный
анализ (Дж. Гнббс, 1881), который стал играть важную роль в ма-
математической физике. И если до Гнббса многие выдающиеся ученые
относились с осторожностью к векторам (так, Дж. Максвелл, творец
теории электромагнетизма, не воспользовался векторным нечислением
и основные уравнения электродинамики писал впервые A873) в ска-
авдрном виде), то уже Г. Герц, пваяедователь Максвелла, пишет эти
336 ГЛ. 4. СВЯЗЬ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
урадаенвя в вршрачкой векторной форме (ШЮ):
Я В дуг
at at
(для вакуума). У этой системы уравнение имеется, между прочим,
решение в виде Н — F(x — ct)f, Е = F(x—Щк с произвольней
функцией F; оно представляет собой поперечною волну с профи-
профилем F, распространяющуюся вдоль оси дс со скоростью с. Экслери-
мевтаяьюое создание Герцем таких вола, а вслед за тем изобретение
радио А, С. Попетым A^5) явили схйой блестящее подтверждение
теории Максвелла и свидетельство огромной роли иатематикя в науч-
научном прогрессе.
Потенциальная функция для ньютонова поля была указана
еще s 1773 г. Лаграяжем. Уравнение Дм = 0 встречалось у Эйле-
Эйлера, не систематическое рассмотрение нашло у Лапласа (с 1782).
Уравнение Д« = —4лр. для ньютонова поля было выведено Пуассо-
Пуассоном в 1813 г.; им же было дано построение гармонической (термин
Лапласа) функции в шаре но ее значениям на границе шара. По-
Построение гармонической функции по граничным значениям ее нор-
нормальной производной было выполнено К. Нейманом в 1877 г. Со-
Современное состояние краевых задач для гармонических функций
описано, например, в книге И. Г. Петровского «Лекции об уравне-
уравнениях с частными производными», изд. 5, «Наука», 1970.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОТ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
К ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ
МНОГООБРАЗИЯМ
ГЛАВА 5
КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия — точнее, дифференциальная геометрия — уже на
двумерной поверхности в трехмерном пространстве богата идеями,
фактами, постановками задач, допускающих широкое обобщение;
она служит вместе с тем естественным полем приложения методов
математического анализа. Многие достаточно общие факты более
естественно излагать для многомерной поверхности, и мы так и бу-
будем делать при возможности. Первая квадратичная форма (§ 5.1)
вводит метрику на m-мерной поверхности в и-мерном евклидовом
пространстве, заимствуя ее в бесконечно малом из вмещающего
пространства. На первое. время такая метризация поверхности не
оставляет желать ничего лучшего. Вторая квадратичная форма
(§ 5.2), используемая для вычисления кривизны кривых, лежащих
на поверхности, требует уже, чтобы размерность- поверхности лишь
на ] отличалась от размерности вмещающего пространства. Через
вторую квадратичную форму вводится и кривизна самой поверхно-
поверхности — одна из важнейших характеристик поверхности; поверхности
с кривизной, различной по знаку, обладают существенно разными
геометрическими свойствами. Далее, метрика на поверхности поз-
позволяет выявить ее связность, т. е. зависимость локальных свойств
от положения точки поверхности. Через связность определяются
геодезические линии (§ 5.4), параллельный переносе по поверхности
(§ 5.6), а в конечном счете и кривизна, как результат поворота
вектора, параллельно переносимого вдоль замкнутого контура. Кри-
Кривизна оказывается внутренним качеством поверхности, т. е. зависит
лишь от метрики (т. е. первой квадратичной формы) и не зависит
от характера вложения поверхности в окружающее пространство.
§ 5.1. Первая квадратичная форма
5.11. В п-мерном пространстве Rn m-мерная поверх-
поверхность Р задается п функциями, выражающими коорди-
координаты хи ..., хп текущей точки поверхности через пара-
параметры щ ит, причем параметрическая точка и=
= («1, ..., ит) пробегает некоторую область U cz Rm:
=Х1(Ы1) ..., tlm),
A)
Хп — Xn\U\, ..., U
390 ГЛ. 5, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Б. II
Предполагается, что функций #i(«b ...,#»,(«) доста-
достаточное число раз дифференцируемы (в начале каждого
параграфа указывается сколько именйо). Уравнения A)
можно заменить одним векторным уравнением
Г = Г («) = {*! (U), ,.., *„(«))•
При этом формально допускается, что двум разным па-
параметрическим точкам «=(«), , iff ит) и ы'=е=*
= («i, ..,, ит) может отвечать одна и та же точка по-
поверхности Р. Однако, чтобы избежать сложностей, свя-
связанных с самопересечениями, мы будем такие ситуаций
исключать из рассмотрения. Простейшее предположе-
предположение, которое мы примем и которое обеспечивает локаль*
ную взаимную однозначность отображения и—* г (и), со-
состоит в том, что ранг матрицы Якоби
B)
в некоторой точке ы° области U равен т. Пусть, напри-
например, отличен от нуля минор
.... ыт)
&*„
'" дщ
дхп
''' дит
Oxt
дщ '
дхх
дхт
" дщ
дхт
ди„
ди„
Тогда, как видно, из 1.74 б, в некоторой окрестности V
Точки ы° = («у, ..., «J},) отображение A) взаимно одно-
однозначно, т. е.- разным точкам («ь ..., ит) и (ы{, ..., и'т)
области V отвечают разные точки, поверхности Р. В этой
окрестности V изменения параметров мы и будем рас-
рассматривать нашу поверхность. Разумеется, тем самым
мы встаем на локальную точку зрения — поверхность
рассматривается только в окрестности фиксированной
точки, — но для первоначальных теорем теории поверх-
поверхностей и этого вполне достаточно.
5.13 § 5.1, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 391
5.12. Итак, пусть в данной точке ы° е U ранг матри-
матрицы 5.11 B) равен т. Отсюда следует, что векторы
= дит \ дит ' "" дит J
в соответствующей точке М поверхности Р линейно не-
независимы. Эти векторы, помещенные началом в точку М,
располагаются в касательной плоскости к поверхности
Р; вектор г$ касателен к линии, на которой координа-
координата щ меняется, а остальные координаты щ, i ф j,
остаются постоянными.
Построим касательный вектор к любой линии L на
поверхности Р, проходящей через данную точку М.
Линию L можно задать параметрическими уравне-
уравнениями
/= 1, ..., т,
г = г(и,@, .... ыт@).
Будем предполагать функции щA) дифференцируемы-
дифференцируемыми. Тогда по теореме о производной сложной функции
1.33 6
ALX—lOL
dt~Zidu, dt
Равенство B) можно истолковать как разложение век-
вектора -тт- по базисным векторам rt гт в точке М.
Аналогично, для дифференциала dr вектора r(t) имеет
место равенство
т
5.13. Как мы знаем из 016.19, длина дуги кривой L
между точками, отвечающими значениям . параметра
t =я а и t ==. х, записывается интегралом
392 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕНЕЩДЙАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.13
и, следовательно,
В частности, на поверхности Р имеем
(т т \ т т
2 г,- duh ^ rk duk)= 2 2 glkdu, duk, A)
где gjk =(Г}, г„). Квадратичная форма в правой части
A) называется первой квадратичной формой поверх*
ности Р и обозначается коротко G=G(u; du). Если из-
известна первая квадратичная форма, т. е. известны коэф-
коэффициенты gih как функции от точки М поверхности Р
или, что то же, от параметров и\, ..., um, то длину дуги
линии L между точками А и В, отвечающими значе-
значениям а и Ь параметра t, можно найти по формуле
6 Ь 1 m m
t /1 fel
B)
/=n
Если в точке М пересекаются две линии Lx и L2, ле-
жащие на поверхности Я. и определяемые соответствен-
соответственно уравнениями ы;. — u(fn(t), ы/==«B)(/) (/=1, п),
то по первой квадратичной форме можно найти угол ме-
между ними (т. е. угол «в между соответствующими каса-
касательными):
cos со =
Первая квадратичная форма является, очевидно, по-
положительно определенной (по самому построению; кро-
кроме того, ее главные миноры являются детерминантами
Грама для линейно независимых векторов и поэтому
m
положительны). Определим для векторов И0 = 2 ii"r/
/=i
(t=l, 2) в касательной плоскости к поверхности Р
5.14 § Б.Ч. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 393
скалярное произведение (И1), r$)) g по формуле
Мы утверждаем, что это скалярное произведение сов
падает с обычным скалярным произведением (И1), И2)
тех же векторов в пространстве Rn. Действительно,
if/¦*)=
I
m m
Таким образом, первая квадратичная форма восста-
восстанавливает на касательной плоскости в координатах
1ь • • •. Sm исходную евклидову метрику пространства Rn.
5.14. Пусть имеются две поверхности Ж1* и Ж2> и
между их точками установлено взаимно однозначное со-
соответствие так, что длина любой линии на поверхности
Ж1) совпадает с длиной соответствующей линии на по-
поверхности Ж2>. Такое взаимно однозначное соответствие
между поверхностями Ж1) и Ж2> будем называть изо-
метрией.
Теорема. Для того чтобы поверхности Ж1» и Ж2>
были изометричными, необходимо и достаточно, чтобы
существовали такие их параметрические представления
/<•> = И'> («„ .... ит), г® = г© (и, ыт)
в одной и той же области U изменения параметров
«,, , ыт, что функции gW = (гО*. /¦{¦>) соответственно
совпадают с функциями gfk = (rf\ rfy.
Доказательство. Если указанные параметриче-
параметрические представления поверхностей Р'1' и Р<2> имеются, то
длины соответствующих друг другу кривых на /W и Р<2)
выражаются одинаковыми интегралами типа 5.13 B) и
поэтому совпадают, так что поверхности Ж1) и Р<2> изо-
метричны. Обратно, если поверхности Ж1' и Ж2) изомет-
ричны, то в соответствующих друг другу параметриче-
параметрических представлениях при любом т должно выполняться
394 ГЛ, 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ &I8
равенство
/
в Г /, k a r l.k
Дифференцируя по т, находим, что
2
при любых «/, так как через данную точку М на по-
поверхностях ДО1) или ЯС по любому направлению можно
провести кривую. Из тождественного равенства форм
следует равенство соответствующих коэффициентов этих
форм, что и требовалось.
Относительно изометрических поверхностей говорят
также, что они изгибаемы друг на друга. В основе этого
названия лежит геометрически наглядное свойство из-
изгибаемости цилиндра на плоскость (в /?з). Свойства
поверхности, не меняющиеся при всевозможных ее изги-
изгибаниях, причисляют к внутренней геометрии поверхно-
поверхности; аналитически, чтобы некоторое свойство относилось
к внутренней геометрии, необходимо и достаточно, что-
чтобы оно могло быть выражено через функции gjk(u).
Свойства поверхности, меняющиеся при ее изгибании
(например, кривизны линий на поверхности), называют-
называются внешними свойствами.
В случае линии, т.е. при т=1, указанное разделе-
разделение не имеет смысла: любые две дифференцируемые
линии изометричны. Для /п=2 вопрос о том, какие по-
поверхности изометричны, а какие не изометричны, имеет
реальный смысл; плоскость и цилиндр изгибаются друг
на друга (локально), а плоскость и сфера, как мы уви-
увидим далее, не изгибаются друг на друга E.33). При
тп > 2 изгибаемость двух поверхностей друг на друга
уже сравнительно редкое явление E.35).
5.15. Двумерные поверхности в /?з- Будем
обозначать координаты в Rs, как обычно, через х, у, г,
а параметры ии и2, определяющие положение точки М
на поверхности Р, как правило, через и, v, так что си-
система 5.11 A) примет вид
x = x{ut v), y =
5,1-5 § 5Д. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 39S
или, в векторной форме,
r = r(u, v)={x(u, о), у(щ в), г{ил0%.
Производные от ведущего вектора поверхности
г (и, v) по параметрам ы и v обозначаются через ruufVf
так что
f дх (и, у) ду (и, у) дг (и, у) \
а~\ дн ' ди ' ди J»
_ f дх (и, у) ду (и, у) дг{и, v) \
°~\ dv ' ду ' &v У
Коэффициенты первой квадратичной формы, да Гаус-
Гауссу, обозначаются так:
Б = (ги, г„), F — (ru, rv), G{rv, rv),
так что вся первая квадратичная форма имеет вид
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2. A)
Примеры, а. Пусть Я —плоскость, совпадающая с коордн-
цатной плоскостью х, у. Принимая за параметры точки М коорди-
координаты хну, находим
г=*{х,у,О}, гх = {1,0,0}, гу=*{0,\,Щ, ds8 = d*2 + d^. B)
б. На той же плоскости можно взять в качестве параметров
полярные координаты ф и р. Тогда
г = {р cos ф, р sin ф, 0},
Гф = {— р sin ф, р cos ф, 0}, rp = {cos ф, sin g>. О},
в. На .цилиндре С радиуса а (рис. 5.1-1) принимаем за пара-
параметры точки М длину дуги и окружное™ нижнего основания, от-
отсчитываемую от точки А в указанном направлении, и аппликату г.
Тогда
(к, г) = < a cos —, a sin —, г >,
ги = { - sin ij-, cos i, 0 J, гг = {О, О, 1}.
E=l, f = 0, C=l,
2. D)
S96 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.15
Коэффициенты первой квадратичной формы таковы же, каковы
у плоскости в прямоугольных координатах; это аналитически под-
подтверждает (локальную) изгибаемость плоскости иа цилиндр.
M(u,z)
Рис. 5.1-1.
Рис. 5.1-2.
г- На конусе К за параметры точки М принимаем полярный
угол ф и расстояние р по образующей от вершины (рис. 5.1-2). Если
угол между осевой линией конуса и образующей равен а, то
г (ф, р) = {р sin а cos ф, р sin а sin ф, р cos о},
г,р = {— р sin а sin ф, р sin а cos ф, 0},
Гр = {sin а cos ф, sin а sin ф, cos а},
Е = (г<р, гф) = р2 sin2 а, F = (гф, гр) = 0,
G —(гр, гр)= 1,
rfs2 = p2 sin2 а d<p2 + dp2. (Б)
Если заменить здесь координату ф на новую координату
—
•ф
то форма rfs2 примет вид р2 йф2 + rfp2, что совпадает
с первой квадратичной формой плоскости в полярных координатах
с точностью до обозначения координат. Таким образом, конус и
плоскость также изгибаются друг на друга; этот факт хорошо из-
известен в элементарной геометрии.
д. На сфере S радиуса R (рис. 5.1-3) возьмем обычные сфериче-
сферические координаты ф и 6. В этом случае
г (ф, 6) = {R sin 6 cos ф, R sin 6 sin ф, R cos 6},
Гф = {— R sin 6 sin ф, R sin 6 cos ф, 0},
гв = {R cos G cos ф, R cos 6 sin q>, — R sin G},
E=(V \) = R2 sin2 e> F = (V re) = °-
2
Ve
ds2 = R* sin2 в d«p2 + R2 dQK
F)
S.16
$ 5.1. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
397
е. Рассмотрим поверхноеть вращения Р, вокруг оси г, опреде-
определяемую уравнением р = p(z), где р — расстояние точки Л1 до
Рнс. 5.1-3.
Рис. 5.1-4.
оси г. Примем за параметры точки М величину z и полярный
угол <р (рнс. 5.1-4). Тогда
г B, ф) = {р (z) cos ф, р (г) sin <p, г),
Гг =» {pz COS ф, p2silKp, 1},
/¦ф = {—psin ф, рсОБф, 0},
rfS2 = (p2 + l)d22 + p2rfV^. G)
ж. Интересный частный случай поверхности вращения представ-
представляет катеноид — поверхность вращения вокруг оси г цепной линии
(catena — цепь (лат.)):
(см. рис. 5.1-5). Применительно к катеноиду формула G) имеет
вид
rfs2 = ch2 -~ (rfz2 + A:2 dq>2).
(8)
з. Геликоид, или винтовая поверхность, образуется поворотом
луча р в плоскости х, у с одновременным пропорциональным подъ-
подъемом всего луча над этой плоскостью (рис. 5.1-6). Таким образом,
принимая за параметры точки М иа геликоиде ее расстояние р вдоль
луча от начальной точки в .поляриьш угол, (р (т. е. угол поворота
398 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ S.19
луча от его начального положения), имеем
' (Р. ф) = (Р cos ф. Р sln Ф. *Ф>.
гр = {cos-ф, sin ф, 0}, Гф = {— р sin <p, p cos ф, k),
Если положить p = fesh-jr, то в координатах v, ф выражение
для ds2 примет вид
ch2 j- dv2 + k2 cha j-
ch2 -^ (dv2
(9)
Правая часть в (9) совпадает (с точностью до обозначения
параметров) с первой квадратичной формой для катеноида (8). Мы
Рис. 5.1-5.
Рис. 5.1-6.
приходим к несколько неожиданному выводу: катеноид изгибается
на геликоид. Изгибание происходит так, что линии постоянного ф
на геликоиде (т. е. последовательные положения вращающегося
луча) налагаются иа линия постоянного ф иа катеноиде (т. е. на
его образующие — меридианы); линиям же z = С иа катеноиде (его
параллелям) отвечают линви р = С на гелжоиде (винтовые ли-
линии). Горловой линии катеионда г = 0 отвечает на геликоиде
ось г. Подчеркнем, что здесь, как я всегда в вопросах изгибания,
речь идет об изометричностн частей поверхностей; изометричность
в целом ие имеет места.
5.16. В предыдущих рассмотрениях метрическая фор-
форма на поверхности получалась в конечном счете из
метрики вмещающего евклидова пространства. Однако
это не обязательно. Можно на m-мерной поверхности
5.21
S 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
г — г(ии ..., ыт) задавать метрику {т. е. форму
rfs2 = 2 gii йщ dut и каким-либо иным образом, не
связывая ее с метрикой вмещающего пространства. От
формы 2 gijduiduf требуется лишь, чтобы она была
симметрична и положительно определена. Важный при-
пример такой метрики на гиперболоиде x^-f-y2 — z2 = —р2
пространства Rs будет приведен в 5.54.
§ 5.2. Вторая квадратичная форма
5.21. Кривизна кривой на поверхи/эсти.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением слу-
случая п—т -f-1 (можно сказахь, случая л-мерной поверх-
поверхности в (л+ I)-мерном евклидовом пространстве Rn+i)f
причем метрика заимствуется из метрики Rn+i- При этой
можно говорить о нормальном векторе поверхности
в данной точке; он определен в прежних предположе-
предположениях о дифференцируемое™ ведущего вектора
г(ыь ..., ип) и о полном ранге якобиевой матрицы
"л/1"*" "+> однозначно с точностью до числового
множителя. Аналитически нормальный вектор N в дан-
данной точке М поверхности Р может быть задан как век-
торное произведение п базисных векторов г, =-^j-,...
..., гп = -0^- касательной плоскости C.62в):
гп] —
ax,
дип
ди„
Вектор iV можно нормировать, разделив его на собствен-
собственную длину, после чего получается единичный нормаль-
нормальный вектор m=m(u), определенный уже с точностью
до коэффициента ±1. В пределах малой, окрестности
точки М мы фиксируем в каждой точке вектор m (и)
так, чтобы функция пг(и) была непрерывной.
400 ГЛ. 5, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.22
5.22. Начиная с этого момента будем предполагать,
что ведущий вектор г (и) поверхности имеет непрерыв-
непрерывные производные (по параметрам щ, .... ип) до вто-
второго порядка включительно. Рассмотрим кривую L на
поверхности Р, заданную уравнениями
«, = «,(/) un==un(t), a<*<6,
r = r(u1(t), ..., un{t)),
где функции Uj(t) обладают также непрерывными про-
производными до второго порядка. Нас интересует кривиз-
кривизна этой кривой в фиксированной точке А е Р, отвечаю-
отвечающей значению t=a. Для вычисления кривизны перей-
перейдем на кривой L к натуральному параметру s — длине
дуги, отсчитываемой от некоторой заданной точки Ао.
Напомним @16.22), что для кривой, на которой введен
натуральный параметр s, справедлива формула
d2r(A) , „
а если — \ ф 0, то
Здесь т — единичный касательный вектор к кривой L,
v — единичный вектор, расположенный в соприкасаю-
соприкасающейся плоскости ортогонально к вектору т, k — кривиз-
кривизна кривой L. Прямая в соприкасающейся плоскости,
определяемая вектором v, называется главной нормалью
к кривой L.
Учитывая, что кривая L лежит на поверхности Р, мы
находим, что
-^L=JL(_EL\==J_(xr duA —
ds2 ds \ds) ds\jLi I ds I
5.22 §" 5г- ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 401
где используется обозначение rjk = du rQ . Умножая
A) скалярно на вектор т, получаем
* \ dui йиь
I 2> m I ==
i
поскольку (r;, m) = 0. Введем обозначение blk = (rjk, m).
Форма
n
B^sB(u', du) = 2 bjk dUf duk B)
называется второй квадратичной формой поверхности Р.
п
Вспоминая, что ds2= ^j glkdUjduk = G(u, du) есть
первая квадратичная форма поверхности Р, получаем
окончательно
п
2 bjk (и) dui
\ds2' ) G (и, d«) "
/.fa-i
(формула Менье). Формула Менье приводит к следую-
следующим выводам:
а. Если по некоторому направлению [dufi вторая
квадратичная форма В (и, du) отлична от 0, то для лю-
любой кривой на поверхности Р, касающейся в точке А
вектора dus, справедливо неравенство (—-А—, пг)фО.
\ as I
d2r
В этом случае -j-j- = kv Ф 0, поэтому кривая L имеет
в точке А ненулевую кривизну, и формула Менье при-
приводится к виду
(kv, m) — kcos(v, m) = Gx. ' . C)
Таким образом, для направлений {dUj}, для которых
В (и, du) Ф 0, кривизна соответствующей кривой на по-
поверхности определяется величинами: и, (/ = 1, ..., п)
(точка поверхности), du, (/= 1, ...,п) (направление
касательной прямой) и v (направление главной нор-
нормали). В частности, все кривые на поверхности Р, про-
проходящие через данную точку А в данном направлении
402 гл- 5- КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.22
[dUj}r у которых одна и та оке соприкасающаяся пло-
плоскость и В (и, йи)ф 0, имеют и одну и ту же кривизну.
б. Из всех кривых, проходящих на поверхности Р че-
через данную точку А в данном направлении (фиксиро-
(фиксированы Uj и duj), с B(u,du) ф О, наименьшую кривизну
имеет кривая, у которой соприкасающаяся плоскость со-
содержит вектор т, так что |cos(v, m) | = 1. В качестве
такой кривой можно взять норма-льное сечение поверх-
поверхности — кривую, образованную пересечением поверхно-
поверхности Р и (двумерной) плоскости, проходящей через век-
векторы m и dr = 2 r/ dUf.
Кривизна такой кривой
получается по формуле
. \.B{u,du)\
Kn G(u,du) '
/ Ъ*-Ч/ Более употребительно
определение кривизны
^ / \ нормального сечения в
* форме
это выражение называет-
ся нормальной кривизной
поверхности Р в точке А по направлению {duj}; оно
имеет знак +» если векторы m и v направлены в одну
и ту же сторону, и имеет знак — в противоположном
случае; иначе говоря, нормальная кривизна оказывается
положительной, если кривая изгибается в сторону нор-
нормального вектора, и отрицательной, если она изгибается
в противоположную сторону.
Из C) и D) вытекает, что кривизна любой кривой
связана с кривизной соответствующего нормального се-
сечения равенством ^
k cos (v, m) = kN. E)
Радиусы кривизны Rl и Rn кривой L и соответствую-
соответствующего нормального, сечения связаны равенством
RNcos(v, m) = RL. F)
Отсюда вытекает следующее геометрическое свойство
(рис. 5.2-1):
6.23 § 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 4Ш
в. (Теорема Менье.) На соприкасающуюся пло-
плоскость кривой L центр кривизны CN соответствующего
нормального сечения N проектируется в центр CL ее кри-
кривизны.
Это последнее свойство, непосредственно вытекаю-
вытекающее из формулы F), может быть использовано для оп-
определения положения центра нормальной кривизны, если
известен центр кривизны какой-либо кривой, проходя*
щей через данную точку кривой в том же направлении.
г. Все высказанные предложения справедливы для
тех направлений {dUj}, у которых В (и, du) ф 0. Рассмо-
Рассмотрим теперь направление {duj}, для которого В (и, du) =
= 0. Будем называть такое направление асимптотиче-
асимптотическим направлением на плоскости П (по причинам, кото-
которые выяснятся в 5.24 е). Для кривой L = {г = г(и),
u = u(s)), проходящей на поверхности Р через точку А
в асимптотическом направлении, имеет место ра-
равенство
I
Это значит: или кривизна кривой L в точке А равна 0,
л?- (А\ /fir
или же, если — г ^ 0> то вектор -т-% = kv (A) Aeotcut
в плоскости П. Так как и вектор т(Л) лежит в плоско-
плоскости П, то соприкасающаяся плоскость кривой L в точке А
лежит в касательной плоскости П к поверхности Р.
В частности, кривизна всякой плоской кривой, проходя*
щей в асимптотическом направлении и не лежащей в ка-
касательной плоскости П, равна 0; так, нормальное сече-
сечение в асимптотическом направлении заведомо имеет ну-
нулевую кривизну.
5.23. Второй квадратичной форме можно придать и
непосредственный геометрический смысл. Именно, раз-
разлагая приращение ведущего вектора г(и) при переходе
из точки и в близкую точку и + du по формуле Тейлора,
мы имеем (с точностью до малых второго порядка)
п
Ar ss г (и + Аи) — г (и) = j^rt du, +
n
+ 4- У rikdu,duh +
404 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.23
откуда
(Дг,
/.*-!
Таким образом, форма В {и, du) с коэффициентом 1/2
совпадает с главной квадратичной частью проекции век-
тора Дг на вектор т, т. е. с отклонением поверхности Р
Эллиптическая точка
Гипеоболическая точка.
Параболическая точка Точна уплощения
Рис. 5.2-2.
от своей касательной плоскости. При' этом положитель-
положительным направлением считается направление вектора т.
При изменении направления вектора т на противопо-
противоположное вся форма В (и, du) меняет знак, меняют знак
и кривизны всех линий на поверхности в точке А. Мож-
Можно сказать, что форма В (и, du) имеет указанный гео-
геометрический смысл с точностью до знака.
Например, если п = 2 и форма В (и, du) в данной
точке А является знакоопределенной, то поверхность Р
располагается (в некоторой окрестности точки А) по
одну сторону от касательной плоскости; если же форма
В (и, du) в точке А является (невырожденной) знаконе-
определенной, то поверхность Р (в любой близости от
точки А) частично располагается по одну сторону от ка-
Б.24 § 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 405
сательной плоскости, частично — по другую сторону.
В первом случае точка А называется эллиптической точ-
точкой поверхности, во втором — гиперболической, так как
в первом случае поверхность в окрестности точки А
имеет характер эллиптического, а втором — гиперболи-
гиперболического параболоида (с точностью до малых 2-го по-
порядка).
Если же в точке А форма В (и, du) оказывается вы-
вырожденной, то это означает, что в окрестности точки А
поверхность имеет характер параболического цилиндра.
Такая точка на поверхности называется параболической.
Если в точке А форма В (и, du) тождественно обра-
обращается в нуль, поверхность с точностью до малых 2-го
порядка совпадает со своей касательной плоскостью,
отклоняясь от нее лишь на малую большего, чем 2-й, по-
порядка. Такая точка называется точкой уплощения.
Все указанные типы точек представлены на рис. 5.2-2.
5.24. Зависимость кривизны нормальных
сечений от направления на касательной
плоскости.
а. Формулу кривизны нормального сечения
и _ B(u.du) m
Rn~ G(u,du) {Ч
мы постараемся упростить, перейдя к новой системе ко-
координат на касательной (я-мёрной) плоскости П в дан-
данной точке А поверхности Р. А именно, найдем в этой
плоскости ортонормированный базис g\, .... gn, в ко-
котором форма В примет канонический вид
B(u,du)=
где gi, ..., In— новые координаты вектора dr=
/=i
Поскольку форма G(u, du) есть просто квадрат длины
вектора иг, она в новом базисе представится суммой
квадратов координат:
/•=1
406 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ g.24
В новом базисе формула A) примет вид
2 Х/ссмРф,, B)
где fj — угол вектора dr с базисным вектором gj. На-
Направления векторов gj называются главными направлен
ниями на касательной плоскости П. Числа ^j суть кри-
кривизны соответствующих нормальных сечений; они назы-
называются главными кривизнами поверхности П в точке А.
Формула B) называется формулой Эйлера.
б. Если в точке А все числа Я,- одного знака, то фор-
форма В (и, du) знакоопределена; мы назовем такую точку
(как и для п = 2) эллиптической. В эллиптической точ-
точке все нормальные сечения изогнуты в одну и ту же сто-
сторону (по отношению к вектору т). В точке А, для кото-
которой среди чисел Я,,- есть и положительные и отрицатель-
отрицательные (но нет равных 0), одни нормальные сечения изги-
изгибаются в одну сторону, другие — в другую; такую точку
мы назовем (как и для п = 2) гиперболической. Если
хотя бы одно из чисел Я,- есть О, точка А называется па-
параболической. НаконеД, если все Kj равны 0, точка А на-
называется точкой уплощения.
п
Число # = — У] Я/ называется средней кривиз-
п
ной поверхности Р в точке А. Число К = П й/ назы-
/=i
вается полной кривизной поверхности Р в точке А. При
п = 2 в эллиптической точке К > 0, в гиперболической
точке К <. 0, в параболической точке К = 0.
в. Для n-мерной плоскости Р cz Rn+i в каждой ее
точке А все нормальные сечения представляют собою
прямые линии; поэтому для плоскости вторая квадратич-
квадратичная форма тождественно равна 0.
Обратно, если у некоторой п-мерной поверхности
Р с: Rn+i вторая квадратичная форма тождественно об-
обращается в 0, то Р оказывается п-мврной плоскостью.
Действительно, если (rkj, m) = 0 при k, j = 1, ,,,., п, то
f.24 § 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 4Ш
из равенства (г,-, т) = 0 дифференцированием получаем
(rj,mk) = —(rjh,m}=0, откуда mh = О при всех k =
= 1, .... я; следовательно, вектор m не изменяется на
поверхности Р. Пусть г0 — вектор, ведущий в фиксиро-
фиксированную точку поверхности Я, а г — вектор, ведущий
в произвольную точку этой поверхности. Тогда мы имеем
(г — г„, m)j = (r}, т) = 0 (/ = 1, ..., п), так что вели-
величина (г — го, т) не меняется на поверхности Р\ а по-
поскольку при г = г0 она равна нулю, то (г — г0, т) = О
при всех значениях г. Последнее уравнение есть уравне-
уравнение плоскости, проходящей через конец вектора /о орто-
ортогонально к вектору т.
В частности, для «-мерной плоскости Р с: Rn+i все
главные кривизны равны 0, вместе с ними равны 0 сред-
средняя кривизна и полная кривизна.
г. В пространстве Rn+i для участка n-мерной сферы
радиуса R с центром в точке г0 и нормалью, направлен-
направленной от центра, мы имеем г — ro = Rm, г,- = Rm^ от-
отсюда следует, что (r^, rn) = R (m.j, т) = 0, и, значит,
b/k = {rik, т) = (/> m)k — (г/, mk) —
— — (rjt mk) = — ~ (г„ rk) = — -^ glk.
Если же нормаль к сфере направлена к центру, то
blh = -g glk. Таким образом, в любой системе координат
на участке сферы радиуса R коэффициенты второй квад-
квадратичной формы пропорциональны (с коэффициентом
± 1/R) соответствующим коэффициентам первой квад-
квадратичной формы. Оказывается, это свойство характери-
характеризует сферу. А именно, пусть известно, что для некоторой
поверхности Р с Rn+1 выполнено соотношение
bik=±-j?gik U, k = l, ... t n, R — постоянное, знак
фиксирован). Из этого условия следует, что
bjk ={rik, m)=— (/> mk) = ± -д gik =
и значит, /nft = ^ p-/ft {k= 1, ..., «). Последнее рав-
равносильно тому, что вектор т±-^г на поверхности Р
408 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.24
не изменяется. Обозначим его через ± -к г0. Тогда
\г — ro]= R\m\= R, и мы видим, что поверхность Р
действительно лежит на сфере радиуса R с центром
в точке г0.
д. Для участка сферы радиуса R все нормальные се-
сечения представляют собою окружности радиуса R
с центром в центре сферы. Поэтому все нормальные кри-
кривизны сферы совпадают друг с другом и равны кривизне
большого круга 1/R. Эта же величина 1/R есть средняя
кривизна в каждой точке сферы. Полная кривизна, как
произведение п главных кривизн, для сферы равна l/Rn.
Заметим, что обе эти величины остаются постоянными
на всей сфере.
е. Индикатриса Дюпена. Если в касательной
плоскости П на луче {dUj}, выходящем из точки А и об-
образующем углы q)j с векторами gj(a), мы отложим отре-
отрезок p^=YRn (гДе Rn = l/\kN\— радиус кривизны со-
соответствующего нормального сечения), мы получим по-
поверхность с уравнением
или, что то же,
п п
' 2Li hi cos ф/ = ^j hi\i ^ | В {и, du) I = 11
B{u,du)=± 1.
Эта поверхность 2-го порядка или пара таких поверх-
поверхностей (индикатриса Дюпена) дает наглядное представ-
представление о зависимости кривизны нормальных сечений от
направления касательного вектора {йщ} на плоскости П.
При п=2 индикатриса Дюпена для эллиптической точки
есть эллипс, для гиперболической точки — пара гипер-
гипербол, для параболической точки, не являющейся точкой
уплощения, — пара параллельных прямых.
Асимптотические направления на плоскости П — на-
направления, в которых вторая квадратичная форма равна
нулю, — отвечают бесконечно удаленным точкам инди-
5.35 § 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА <10Э
катрисы Дюпена. В этих направлениях идут асимптоты
индикатрисы, откуда произошло и название самих этих
направлений.
5.25. а. Укажем, как вычислять главные кривизны и
находить главные направления в исходных координатах
«1, .... ип. Эта задача может быть истолкована как за-
задача об одновременном приведении формы G(u, du)
к сумме квадратов координат и формы В (и, du) — к ка-
каноническому виду. Как известно из линейной алгебры
(Л 10.32), для этого нужно составить систему уравнений
.... A)
(bnn-iignn)dun = O. J
Корни уравнения
Ьн—Vgu •¦•• Ьщ
bn\ — Mm ¦•¦ bnn
= 0 B)
дают канонические коэффициенты формы В (и, du), т. е.
числа к\, ..., кп в 5.24 B). Если в A) заменить ц на Kj,
то полученная система будет иметь нетривиальное ре-
решение (dw^*, ... , duW), которое представляет собой со-
соответствующий базисный вектор g} (с точностью до мно-
множителя).
Известно, что уравнение B) имеет п вещественных
корней (считая каждый корень столько раз, какова его
кратность), а система A) для каждого вещественного
корня kj имеет столько линейно независимых решений,
какова кратность этого корня. В случае п различных
корней А.,, .... Я„ получаются п однозначно определен-
определенных главных направлений; если же какой-либо из кор-
корней, положим Л.1, имеет кратность выше первой, напри-
например кратность pi, в соответствующем pi-мерном подпро-
подпространстве произвольный базис из pi взаимно ортогональ-
ортогональных направлений может быть принят за систему главных
направлений.
б. Пусть
410 ГЛ. S, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.26
есть разложение на множители многочлена в левой ча-
части равенства B). В частности, мы имеем
(— 1)" ап = A,j ... К„а0 == Ка0,
где К — полная кривизна поверхности Р в точке А
E.246).
Свободный цлен ап многочлена B) получается, если
положить в этом многочлене ц =» 0; мы видим, что ап
совпадает с det В — определителем второй квадратичной
формы. Коэффициент ао получается, если многочлен B)
разделить на цп и перейти к пределу при ц —* со; про-
производя деление на ц в каждом столбце и переходя к пре-
пределу, получаем, что а0 совпадает с определителем det G
первой квадратичной формы, взятый со знаком (—1)п.
Поэтому для полной кривизны К получается формула
5.26. Случай и = 2, примеры. При и = 2 приняты следую-
следующие обозначения:
д2г дгт д2г
Гп=1йг = Г'"" Tl2~dudv = ruJ" г^ = ^^- = ''о«"
Ь\\^={Т\\у /П) ^* Lrf b\2 S8BS (f"l2» /n) ^ Af, ^22 аая (^22i W) =* iV,
так что
о)
Система 6.25 A) имеет вид
} B)
(М — (if) d« + (ЛГ — jiG) dv = 0, J
? уравнение 5.25 B) — вид
L-цВ ^-йП = () C)
Вычислим вторую квадратичную форму для поверхностей, указан-
указанных в примерах 5./5.
а. Для плоскости г = 0 в любой системе криволинейных коор-
координат «, г всегда (r,«, n) = (ruv,n) = (rvv, и) = 0, так что L=M—
= N = 0, B(u,du)mzO. Кривизна всех нормальных сечений рав-
равна 0 (ср. 5.24в).
б. В примерах 5.16 б—ж представлены поверхности враще-
вращения; мы рассмотрим сразу общую поверхность вращения E.15 е). В
6.26
S 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
411
координатах z, ф имеем
г = {р (z) cos ф, р (z) sin ф, г),
Г г = (Рг COS ф, рг Sin ф, 1}, Гф = {— р Sin ф, р COS ф, 0),
N-
рг cos ф pz sin ф 1
— р sin ф р cos ф 0
. —р {cos ф, su«p, — рг).
N
{— cos ф, — sin ф, рг}
m==W)
г
\гг Sin ф, 0}, Гщ = {—рг Sin ф, pz COS ф, 0},
РФ = {— р cos ф, — р sin ф, 0},
I .
В (и, du)= —
Ргг
¦dz* +
\Л+Рг
Лр2.
Поскольку в координатах г, ф первая квадратичная форма также
имеет вид суммы квадратов E.15 е):
то направления координатных линий г, ф являются главными на-
направлениями. Нормальным сечением, проведенным в направлении
линии г, очевидно, является меридиан. Нормальным сечением, про-
йеденным в направлении - параллели ф = const, вообще говоря, бу-
будет не сама параллель ф = const, а другая кривая, совпадающая с
параллелью, лишь если вектор т в даииой точке ортогонален к оси г.
Центр кривизны параллели находится иа оси г, центр кривизны нор-
нормального сечения, по теореме Менье E.22 в), проектируется на плос-
плоскость параллели в ее центр, так что и сам находится иа оси враще-
вращения (теорема Монжа) (см. рис. 5.2-3). Уравнение C) принимает вид
-И-о,
откуда
Ргг
D)
412 ГЛ. 6. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.26
Таким образом,
9гг
E)
2Я = ц, + ц2 =
-РРгг+0+Рг).
F)
Полная кривизна К положительна в тех точках, в которых
рп < 0, т. е. там, где кривая р = р(г) вогнута к осн вращения, и
отрицательна там, где р« > 0, т. е. там, где кривая р = р(г) об-
обращается выпуклостью к оси вращения.
в. Каковы те поверхности вращения, у которых полная кри-
кривизна равна 0? Из выражения полной кривизны E) для таких по-,
верхиостей находим ргг = 0, откуда
р = ог + Ь; такая поверхность есть
конус при а Ф 0 и цилиндр при а = О/
Ь > 0. В обоих случаях образующая
поверхности является нормальным се-
и>) чением нулевой кривизны.
г. Каковы те поверхности враще-
вращения, у которых средняя кривизна рав-
равна 0? Здесь мы должны решить уравне-
уравнение рри = 1 + р\. Вводя подстановку
рг = ы(р), находим, что
Ргг = «г = «рРг — «рМ, Р«рИ = 1 + И2,
А
- и,'
L
/
/
ж
г
\
У/
и, значит,
Рис. 5.2-3.
и du
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим
1п У\ + и2 = In p -f In С, откуда /l + и* = Ср и, далее,
u=pz = VC2p2 — 1. Полагая Cp — cht, Cdp — shtdt, получаем
dt=Cdz; интегрируя второй раз, находим t "'- -1 ~
окончательно
= С (г — г0), откуда
= -^"cnC (z —z0).
Искомая поверхность оказывается катеноидом E./5ае).
д. Проанализируем еще пример 5.15 э — геликоид. В координа-
координатах р, ф, указанных в этом примере, мы имели
гр — {cos ф, sin ф, 0}, г,р = {— р sin ф, р cos ф, k},
527
Отсюда
§ 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
413
i j ft
cos <p sin ф О
= {ft sin ф, — k cos ф, р}.
— р sin ф р cos ф ft
N {ft sin ф, — ft cos ф, р}
Далее,
грр = 0, гРф = {— sin ф, cos ф, 0}, Гфф = {— р cos ф, — р sin ф, 0},
ft
.. т) = - ¦r7====F, N = (Гфф, т) = 0.
p. m)—0,
Уравнение C) В случае геликоида принимает вид
ft
/ft2 +
= 0;
решая его, находим
Отсюда видно, что средняя кривизна геликоида также равна 0.
Индикатриса Дюпена представляет собою пару равносторонних ги-
гипербол ?^ — ^2 = ±
р
——т
В направлении образующего луча
кривизна нормального сечеиии равна 0, так что по этому лучу про-
проходит асимптота индикатрисы; поэтому главные направления на ге-
геликоиде в каждой точке (не лежащей иа оси г) составляют углы
по 45° с направлением образующего луча.
Между прочим, геликоид является единственной линейчатой по-
поверхностью (т. е. поверхностью; полученной перемещением прямой
линии) со средней кривизной, равной 0 (см. задачи 8—10).
Полная кривизна геликоида отрицательна:
ft2
5.27. Геометрический смысл средней кри-
кривизны. По формуле Эйлера 5.24 B) кривизна kN лю-
любого нормального сечения N поверхности Р в точке А
выражается формулой
kN = 2 A,/Cos2<p,-.
Найдем среднее интегральное из всех значений kN по
всем направлениям нормальных сечений в касательной
плоскости П в точке А. По соображениям симметрии
414 ГЛ, 5, КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.28
среднее значение величин cos2<pj одинаково для веея
значений / = 1, ...., я. Так как 2 cos2qpj= J, то сред-
нее значение каждой из функций cos2 f j, очевидно, равно
1/га. В итоге среднее интегральное всех кривизн оказы-
п
вается равным — Л.kjt т. е. средней кривизне поверх-
ности Р в точке А.
В частности, наибольшая из всех главных кривизн
есть в то же время и наибольшая пзвсех нормальных
кривизн в данной точке; то же относится и к наимень-
наименьшей из всех кривизн. При п = 2, когда имеются всего
две главные кривизны, одна из них может быть охарак-
охарактеризована как наибольшая из всех нормальных кри-
кривизн, а другая — как наименьшая вз всех нормальных
кривизн. При п > 2 остальные кривизны также могут
быть охарактеризованы в экстремальных терминах; ср.
Л10.24.
5.28. Геометрический смысл полной кри-
кривизн ы. Для плоской кривой кривизна в данной точке А
Рис. 5.2-4.
может бить определена как скорость поворота касатель-
касательного вектора, или, что то же, как скорость поворота нор-
нормального вектора в точке А. Эта величина есть предел
отношения поворота нормального вектора на малой дуге
As, содержащей точку А, к самой этой дуге, когда дуга
стягивается к точке А. Угол поворота нормали в свою
очередь может быть определен как ддняа Лф соответ-
соответствующей дуга единичной окружности (рис 5.2-4) с цен-
центров в произвольной точке О.
5.28 § 5.2. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 445
Это построение обобщается на случай л-мерной по-
верхности в («+ 1)-мерном пространстве следующим
образом. Рассмотрим малую область AS поверхности Р,
содержащую точку А и определяемую-некоторой малой
областью изменения параметров AG с: Rn. В каждой
точке Me AS рассмотрим вектор единичной нормали
т(М); перенесем все эти векторы началом в фиксиро-
фиксированную точку О н обозначим через AQ область на еди-
единичной сфере, покрываемую концами этих векторов. Эта
область называется сферическим отображением обла-
области AS. Она тем больше, чем больше разброс направле-
направлений векторов пг (М) в точках М е AS, т. е. чем больше
искривлена поверхность Р у точки А. Гаусс определил
в свое время A828) кривизну и(Л) (двумерной) поверх-
поверхности Р в точке А как предел отношения площадей
|AQ|/|ASf при AS-* A
Попробуем связать при любом п гауссову кривизну
х= Ига с с введенными нами характеристиками
&s-*a IASI г г
кривизны поверхности Р в точке А. Площадь jASj уча-
участка AS, как известно C.62в), выражается формулой
|AS|=JV(«)l<*tt= J|[r, rn]\du.
до до
Так как ведущим вектором области AQ является век-
вектор пг(и) с той же областью AG изменения параметров
ы=т(ыь •••, «п), .то площадь |AQ| области AQ выра-
выражается aHarforn4Hofi формулой:
lK, ..., mn\\du,
АО АО
В соответствии с 'определением Гаусса мы получаем
\ \[mt mn]\du
bS + A 1**°) AS-+A \\[г„ .... rn]\dtl
) юп№\
rn(A)]\
416 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Вычислим [nti(А), ..., тп(А)].. Поскольку вектор т},
как производная единичного вектора, ортогонален к т,
можно записать
Используя линейное свойство определителя, дающего
выражение для векторного произведения C.62в), нахо-
находим
, .... т„] = ГЦ &?'/*,
L *i
= det||b/||[ri, ..., rn].
С другой стороны, дифференцируя тождество (rh /и)==0,
мы находим
О = (г,, /и),- = (п, m;) + (rl/f т) = (rf, )
Следовательно,
п
Ъи — — S &ygfJl, /, / — 1 п. A)
По теореме о детерминанте произведения матриц мы
имеем
В результате
в силу 5.256. Таким образом,
5.31 § 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ^>©РМ «7
и гауссова кривизна поверхности Р в точке А оказы-
оказывается совпадающей с модулем полной кривизны по-
поверхности Р в этой же точке А.
5.29. Линии кривизны.
а. Если в данной точке А поверхности Р корни
Ль ..., Лп различны, то они остаются различными и
в некоторой окрестности точки А (так как корни урав-
уравнения непрерывно зависят от коэффициентов, 1.59в); по-
поэтому главные направления остаются однозначно опре-
определенными и в окрестности точки А. Таким образом,
в окрестности точки А определяются п взаимно ортого-
ортогональных полей направлений. Система 5.25 A) при фи-
фиксированном корне ц = Kj является системой дифферен-
дифференциальных уравнений /-го поля. Интегральные кривые
/-го поля называются линиями кривизны, отвечающими
корню %j. Линии кривизны образуют п взаимно ортого-
ортогональных семейств. Как вытекает из 2.64, при п = 2
можно на поверхности Р в окрестности точки А перейти
к новой системе координат и, v, в которой линии кри-
кривизны станут координатными линиями. В этой системе
координат первая и вторая квадратичные формы примут
канонический вид — сразу в целой окрестности точки А:
G = gu(u> v)du2-\-g^{u, i»)do2,
B = bn{u, v)du2 + b2S(u, v)dvi.
При п > 2 одновременное приведение форм G и В к ка-
каноническому виду в целой окрестности точки А, вообще
говоря, невозможно.
' б. П р и м е р. Для поверхности врашения, как мы видели в
5J26 6, главными направлениями являются направления меридиана
и параллели; следовательно, сеть меридианов и параллелей является
сетью линий кривизны. В вершинах поверхности, т. е. в точках ее
пересечения с осью вращения, эта сеть имеет особенность, т. е. пере-
перестает быть координатной сетью; в этих точках, если поверхность
остается дифференцируемой (как, например, эллипсоид вращения),
обе главные кривизны становятся одинаковыми.
§ 5.3. Связь первой и второй квадратичных форм
5.31. Деривационные формулы Гаусса и
Вейнгартена. Названные формулы описывают из-
изменение, векторов Г} и m с изменением точки на поверх-
418 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
нести, подобно тому как формулы Френе @16.27) опи-
описывали изменение векторов сопровождающего базиса
с изменением точки на кривой. Мы имеем
<*",/= 1 п), (I)
(/==1, .... п),(П
*=1
где Tjj{A), $и{А), Щ(А) — некоторые коэффициенты.
Оказывается, что все эти коэффициенты выражаются че-
через коэффициенты первой и второй квадратичных форм
поверхности в точке А и через их производные. Коэффи-
Коэффициенты yj мы встречали уже в 5.28; они удовлетворяют
системе уравнений 5.28 A):
l2gik C)
Для решения этой системы используем матрицу Hg^ll,
обратную к матрице WgijW.
Умножим C) на gis и просуммируем по /; так как
1 при k = s,
„р„ ьф*. <4>
то при последующем суммировании по k остается лишь
член, отвечающий значению k = s, и мы получаем
Таким образом, коэффициенты Ц выражаются через ко-
коэффициенты первой и второй квадратичных форм.
Коэффициенты pfj в равенстве A) легко найти, ум-
умножив это равенство скалярно на т:
, m)==pt/. F)
Таким образом, величины §ц совпадают с коэффициен-
коэффициентам» Ьц второй квадратичной формы.
&31 * S3- СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Сложнее обстоит дело е коэффици
жая скалярно (I) на rs, находим, что
Сложнее обстоит дело е коэффициентами Т%. Умно-
Умно(I)
G)
Дифференцирование равенства fa, rs) = gts rro U/ дает
^ (8)
Совершая здесь циклическую перестановку индексов,
получаем последовательно
^ A0)
Складывая $8) и (-10) и вычитая (9), находим
Теперь будем решать уравнения G) относительно
величин Г*/. Для'этого заменим в G) индекс суммиро-
суммирования k на р, умножим G) на g^ и просуммируем по s.
Учитывая равенства D), получаем
5=1 S—1
Таким образом, коэффициенты Г^{ выражаются толь-
только через коэффициенты первой квадратичной формы и
их производные. Это весьма важный факт, показываю-
показывающий, что коэффициенты Yklf, в отличие от Р4/ и Щ, при-
принадлежат к внутренней геометрии поверхности.
Коэффициенты Ffj,» наз.ываются символами Кристтз*
феля, 1-го роди, коэффициенты Г?.— символами Кри*
стофеля 2-го рода. И те и другие называются также ко~.
эффицментами связности, так как они помогают связы-
связывать геометрические характеристики поверхности в близ-
близких ее точках определенными дифференциальными урав-
уравнениями*, о чем будет речь дальше. Как коэффициенты
r,j, s, так и коэффициенты Г^ симметричны по индек-*
420 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.32
сам i и /; для величин Гц, а — (rijt rs) это следует из ра-
равенства Гц = гн, а для величин Г*; — из симметрии Г,-^ s
и уравнения A2).
Формулы A), при указанных значениях коэффициен-
коэффициентов Tktj и Pjj, называются формулами Гаусса; форму-
формулы B), при указанных значениях коэффициентов ь),—
формулами Вейнгартена.
5.32. Связь между коэффициентами пер-
первой и второй квадратичных форм. Коэффи-
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не незави-
независимы. Наличие связей между ними вытекает из равен-
равенства смешанных производных высший порядков от век-
векторов г (и) и ш(и) (в предположении их существования
и непрерывности) и деривационных формул Гаусса и
Вейнгартена. В самом деле,
^ A)
Из совпадения левых частей этих формул следует, что
= S 1йг
S-Л. l p=l '
Подставляя сюда величины Г/р, rip и rtij, rtii из формул
Faycca и Вейнгартена, получаем
s=l
fi.32 $ 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 421
Так как векторы rs и т линейно независимы, то
из D) следует равенство для каждой из составляющих:
I р=1 ' р=1
(формула Гаусса),
p=i
(формула Петерсона — Кодацци).
Формулу E) можно переписать так:
Умножим еще на gsl и просуммируем по индексу s.
Тогда, обозначая
мы получим
Теперь вставим в эту формулу известные значения для
(М и („W из 5.31 C) и F):
Обозначая BtJwk[ = blkbii — bjkbu, окончательно полу-
получаем формулу
которая также называется формулой Гаусса.
422 ГЛ. *. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Выражение Вц, ы = Ь1кЬц—Ь^Ьц есть минор второго
порядка в симметричной матрице В = \\Ъщ\\, построен-
построенный на строках с номерами t и / и столбцах с номе-
номерами k и I.
В правой части равенства (8) стоит выражение, за-
зависящее только от коэффициентов первой квадратичной
формы и от их производных E.31). Таким образом, все
миноры второго порядка матрицы второй квадратичной
формы определяются однозначно по первой квадратич-
квадратичной форме. Обратно, из равенства (8) и равенства F)
получаются равенства D) и C) и в конечном счете
равенство величин, стоящих в правых частях A) и B).
В свою очередь, равенство ^
— гпн приводит также к двум соотношениям между ве-
величинами gij и btj. Мы имеем
Меняя местами i и / и приравнивая составляющие полу-
получившихся выражений, получаем равенства
На самом деле оба эти равенства уже не представляют
собою новых соотношений, а могут быть алгебраически
выведены из уже имеющихся. Для вывода соотноше-
соотношения (9) исходим из равенства 5.31 (8)
5.32 « Б.З. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 42$
из которого следует, что
*=1 ' р=1 p
или, если поменять местами индексы i и /,
Формулу F) Петерсона — Кодацци можно написать
в виде
пЧч, p-f
откуда следует, что
S.k agfeq V .pr
Ь=1 /• r=l
С другой стороны, равенство 5.31 C)
п
приводит к формуле
g °1 дит
которая позволяет равенство A1) переписать в виде
Изменяя здесь знаки, умножая на gs<1 и суммируя по q,
приходим к равенству (9),
424 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.88
Чтобы убедиться в справедливости соотношения A0),
достаточно в него подставить выражения 5.31 E) и
5.31 F)
тогда это соотношение примет вид
2 2 blkgkpbpi = 2S blkgkpbpt. A2)
ft=l p=l fc=l P=I
Соотношение A2), очевидно, выражает тот факт, что
матрица BG~lB симметрична; но это следует и непосред-
непосредственно из симметрии матриц ВиС
5.33. Вторая квадратичная форма в общем случае не
определяется однозначно по первой квадратичной форме:
например, у плоскости и у цилиндра первые квадратич-
квадратичные формы (в определенных системах координат) сов-
совпадают, а вторые — различны (у плоскости вторая квад-
квадратичная форма есть нулевая форма, у цилиндра — не
нулевая).
Но доказанные теоремы позволяют по первой квад-
квадратичной форме получить ценную информацию о второй
квадратичной форме.
а. Рассмотрим сначала случай п = 2, когда обе
формы задаются матрицами второго порядка. Согласно
формуле Гаусса, по первой квадратичной форме мы мо-
можем найти определитель второй квадратичной формы,
именно:
det В = б12.12 =
Зная det б, мы можем найти по 5.25 C) и полную кри-
кривизну поверхности:
к ^_ det В
Л
det G
р о *
_
?83 * 8.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 425
Таким образом, полная кривизна двумерной поверх-
поверхности может быть найдена однозначно по одной первой
квадратичной форме. Отсюда следует, далее, что полная
кривизна в данной точке двумерной поверхности не из-
изменяется при изгибании поверхности (теорема
Гаусса).
б. Из теоремы Гаусса непосредственно следует, что
кусок плоскости (К = 0) нельзя изогнуть на кусок
сферы (К > 0) или катеноида (К <. 0).
в. Если рассматривать двумерную поверхность Р =
= Р2 с метрикой, не заимствованной из содержащего
эту поверхность евклидового пространства /?8, а задан-
заданной независимо (например, для поверхности Pi, распо-
расположенной в Rn при п > 3, с метрикой, индуцированной
этим Rn, то вся теория кривизны кривых на Р2 (§ 5.2)
уже не работает, второй квадратичной формы нет.
Однако величину К мы сможем вычислить по фор-
формуле B). Будем ее называть «формальной полной кри-
кривизной», она принадлежит к внутренней геометрии
поверхности. Естественно возникает вопрос, какой геоме-
геометрический смысл имеет эта «формальная кривизна». По-
Поскольку рассмотрения, связанные с нормалями к по-
поверхности, в данном случае исключены, величине К уже
нельзя приписать смысла, связанного со сферическим
отображением E.28); ее нельзя интерпретировать и как
произведение главных кривизн за отсутствием самих
этих кривизн. Тем не менее геометрический смысл у ве-
величины К имеется; мы найдем его в 5.63.
г. Рассмотрим теперь случай п > 2. Предположим,
что какой-либо из миноров третьего порядка матрицы В,
например определитель матрицы
I
21
h р, р, И
°31 °32 °3311
отличен от нуля. Мы утверждаем, что в этом случае все
элементы Ьц, Ьп, ..., ?зз определяются по форме G од-
однозначно, с точностью до знака (общего для всех эле-
элементов). Действительно, по теореме Гаусса а, нам из-
известны все алгебраические дополнения Вц, Bi2, .... Bs3
соответственно к элементам bn, b^, ..., Ьзз- Так как эти
4Й6 ГЛ. S. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ &33
алгебраические дополнения, поделенные на det Вз, со*
ставляют элемев
няя к равенству
ставляют элементы обратной матрицы Вз , то, приме-
В3В3 = Ез
теорему о произведении определителей, находим
det В3 det|| Bik ||(det В3)~3 =1 (/, k = 1,2,3),
откуда
(
и, следовательно, det B3 мы знаем с точностью до знака.
Но, зная det.B3 и числа Bjk, мы знаем матрицу Вз1,
а следовательно, и матрицу Вз.
В указанном случае без ограничения общности мож-
можно считать, что матрица
Ьп *tt|
I
также не вырождена и что Ьц Ф 0. Фиксируем знак
у элемента Ьц; тогда фиксируются и знаки остальных
элементов матрицы В3. Рассмотрим матрицу
Ъ2\ йм й2
bji b}2 bj
с некоторыми / и k. Если она не вырождена, то эле-
элементы ее также определены однозначно (на этот раз
выбор знака фиксирован выбором знака у Ьц). Если же
она вырождена, т. е. ее определитель равен 0, то третья
строка есть линейная комбинация двух первых (так как
det В2 Ф 0) и коэффициенты этой линейной комбинации,
по формулам Крамера, выражаются через миноры вто-
второго порядка; следовательно, эти коэффициенты из-
известны, а с ними известны и первые два элемента
третьей строки. Применяя аналогичное рассуждение
к столбцам и используя известные элементы первых
двух столбцов, получаем возможность восстановить все
три элемента третьего столбца. Тем самым мы видим,
что при наличии хотя бы одного ненулевого минора
&.34 $ 5.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 427
третьего порядка матрица В восстанавливается по ма-
матрице й(и) однозначно с точностью до знака.
д. Результат г можно сформулировать и несколько
иначе. Именно, матрица В восстанавливается по матрице
G(u) однозначно с точностью до знака, если на поверх-
поверхности Р в данной точке имеются по крайней мере три
ненулевые главные кривизны. Тогда в каноническом ба-
базисе из главных векторов gj gn {5.24 а) соответ-
соответствующий главный минор третьего порядка матрицы В
отличен от 0, т. е. ранг этой матрицы не менее 3, и
остается применить результат г.
5.34. Построение поверхности по первой
и второй квадратичным, формам.
Теорема (Бонне). Пусть даны две п X п-матрицы-
фунщии G = \\gij(u)\\, В = \\bij(u)\\, заданные в обла-
области V cz Rn и обладающие в ней непрерывными произ-
производными до третьего порядка включительно. Матрица
G(u) предполагается положительно определенной, ма-
матрица В (и) предполагается связанной с матрицей G(u)
формулами ¦ Гаусса 5.32 (8) и Петерсона — Кодацци
5.32 F). Утверждается, что для любой точки «°е V су-
существует окрестность 0 = U(u°)cz V, в которой опреде-
определена такая еектор-функция г = г(и), что для соответ*
ствующей поверхности Я = {геRn+i' г = г(«), ие^)
матрицы G(u) и В (и) являются матрицами соответ-
соответственно первой и второй квадратичных форм E.13 и
5.22). При этом поверхность Р определена с точностью
до положения в пространстве; точнее, две поверхности
r = rW(u), г = г<2)(ы), удовлетворяющие условиям тео-
теоремы, во всяком случае, в некоторой окрестности точки
и0 могут быть совмещены путем движения в простран-
пространстве /?п+ь с возможным отражением.
Доказательство. Напишем систему дифферент
циальных уравнений для неизвестных йектор'функций
г\(и) гп(и),пг(и):
k=\
428 ГЛ. 6. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.S4
где коэффициенты Ь</(ы) суть заданные элементы ма-
матрицы В, а Г*;(ы) и й/(ы) получаются из элементов
51
р ;) /) у
матриц G и В по правилам, указанным в 5.31.
Для решения этой системы применим теорему Фро-
бениуса B.55). Условия интегрируемости; требуемые
этой теоремой, здесь выполнены — они совпадают с ус-
условиями Гаусса и Петерсона — Кодацци, которые,
кстати, и возникли в результате приравнивания, смешан-
смешанных производных. В силу теоремы Фробениуса система
A) имеет, и притом единственное:, решение для любой
системы начальных данных rj и т°. Возьмем произволь-
произвольную точку и0 е V и найдем п векторов rj e /?n+I, удовле-
удовлетворяющих условиям
(r°t, г*) = Я„(и°) (г, /=1, -.-, «). B)
Такие векторы r°t (t = l, ..., п) можно отыскать даже
в п-мерной плоскости /}„ = {хе/?„+1: хп+1 = 0). Дей-
Действительно, матрица ||gij{u°)\\ положительно определена
и симметрична; поэтому существует квадратный корень
из нее, т. е. л X «-матрица \\1ц\\ такая, что ||?*/|р=
=11 ?</ (ы°) II*)- Теперь ясно, что в качестве искомых
векторов r°t (/= 1 п) можно взять строки матрицы
Ilij/ll» дополненные на (п -f- 1)-м месте нулем, т. е.
ri ==(бп» • • •» ь{п> Oj.
После того, как определены начальные векторы
г\, ..., г°п, положим т@> = @, 0 О, 1)е= Rn+l. Пусть
rt(u) (i=l, ..., п) и т(и) (ы е U c=F) есть решение
системы A) при указанных начальных условиях, опре-
определенное в некоторой окрестности Ut точки и0. Из сим-
симметрии коэффициентов Г?/(ы) и Ьц(и) по индексам i
дг, дг,
и / следует, что -з-^ = -^-'« это в свою очередь озна-
ОН t OU
Ui
*) Матрица || ц^ (ы°) || в ортонормальрюм базЕ1се из собствен-
собственных векторов в|, ..., еп приводится к диагоиалыюму виду с поло-
жительиымЕ! элемеЕ1тами Л], ..., Лп иа диагонали. В качестве ма-
матрицы || \ц || можно взять матрицу, которая в том же базисе
е еп имеет диагональную форму с элементами TT YT
иа диагонали.
S.34 § 5-3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 429
чает в силу 2.56, что в некоторой окрестности U a (Jt
точки ы° существует векторная функция г = г(и) =
~г(щ, ..., ип), для которой
¦%^-г, («„....«„). C)
причем можно считать, что г(ы°)=0. Мы утверждаем,
что поверхность Р, определяемая уравнением г — г(и),
является искомой. Для этого нам нужно проверить, что
матрицы первой и второй квадратичных форм для по-
поверхности Р совпадают соответственно с заданными ма-
матрицами G(u) и В (и). Из уравнений A) мы имеем
дг\_
fc=l
. rs) + bst (m, r{).
du, (du,
ч (r*« m) + ьч(m- m)
k—l k—l
D)
Рассмотрим эти равенства как систему дифферен-
дифференциальных уравнений относительно функций (rt, rs),
(гi, m), (m, m) (i,s=l, в). У системы D) есть
решение:
. (г/. = 0, (т, ш)э1. E)
Действительно, в силу 5.37 G) и 5.31 (8)
430 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ R.34
так что первое из уравнений D) удовлетворяется функ-
функциями E). Второе уравнение удовлетворяется функ-
функциями E) на основании определения b) E.31 E)), тре-
третье — очевидным образом. Функции E) удовлетворяют
начальным условиям (r°, rj) = gis(«°), (r^, m°) = 0,
(т°, т°)=1. В силу теоремы единственности 2.52 мы
имеем (rit rs)^gu(u), (ru m)s=0, (m, m)=l во всех
точках и из некоторой окрестности точки ы°.
Таким образом, (G(u)du, du) есть первая квадратич-
квадратичная форма поверхности Р, a tn(u) —единичный нор-
нормальный вектор к ней. Коэффициент (rih m) второй
квадратичной формы получается теперь из первого из
уравнений A):
и мы видим, что форма (В du, du) совпадает со второй
квадратичной формой поверхности Р. Таким образом,
существование искомой поверхности установлено; нам
остается проверить ее единственность с точностью до по-
положения в пространстве.
Этот факт будет следовать из единственности ре-
решения системы A), которой удовлетворяют векторы rt
и т для каждой из поверхностей РA), РB) с задан-
заданными матрицами G и В, если, кроме коэффициентов
Г?/, Ъц и bki, будут фиксированы также начальные зна-
значения г° и пР. Но если две поверхности РA) = {г=г^ (и)}
и Р<2) = {г = гB) (и)} с соответственно одинаковыми
квадратичными формами сдвинуть в пространстве Rn+i
(и, может быть* произвести отражение) так, чтобы при
некотором ы°совместились их точки г0'1' и.г0B), а также
векторы г5(П, т0(|) —с векторами r°tB\ mOB>, то началь-
начальные данные у каждого из решений r^>, mA) и rf\ mB)
системы C) окажутся одинаковыми, а это позволит
применить теорему единственности. В результате полу-
получается, что векторы г{р(и) и rl^(u), а также т<'> (и) и
тB> (и) совпадают при всех значениях и из некоторой
окрестности точки и0. Но тогда в этой же окрестности
5.86 5 S.3. СВЯЗЬ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 431
совпадают векторы г*1) (и) и г<2>(ы), поскольку фикси-
фиксировано начальное значение г°<1>=г°<2>. Нам остается
заметить, что две системы векторов г\1) и rf> с одина-
одинаковыми значениями скалярных произведений (r\l\ rffl=
=(r|2), rf>) всегда можно совместить ортогональным
преобразованием (движением с возможным отраже-
отражением)*). Теорема доказана.
5.35. Жесткость многомерных поверхно-
поверхностей. Одним из интересных следствий теоремы Бонне
является жесткость широкого класса многомерных по-
поверхностей, т. е. невозможность их нетривиального — от-
отличного от движения с возможным отражением — изги-
изгибания. Речь идет здесь о классе n-мерных поверхностей
в (я-Ь 1)-мерном пространстве при п "> 2, обладающих
в данной точке по меньшей мере тремя ненулевыми
главными кривизнами. Для таких поверхностей по 5.33
по первой квадратичной форме однозначно с точностью
до знака определяется вторая квадратичная форма и,
следовательно, по 5.34 однозначно восстанавливается
сама поверхность с точностью до движения с отраже-
отражением.
5.36. Теорема Бонне показывает, что аналитическим
эквивалентом геометрического понятия n-мерной поверх-
поверхности (достаточно гладкой) в пространстве /?n+i яв-
является пара квадратных п X «-матриц-функций 1|?«(и)||
и ||&г,(ы)||, связанных формулами Гаусса и Петерсона.
Можно ли произвольно задать одну из этих матриц, например
матрицу G = ||gij(«)|| (разумеется, симметричную и положительно
определенную), и затем подобрать вторую матрицу В = Ц ?,-;(и)||
так, чтобы удовлетворялись условия теоремы Бонне? Иными слова-
словами, всякая ли «X «-матрица С = \\ gij(u)\\ (симметричная, положи-
•) Если {e'/'j и {ef*} — системы, полученные ортонор-
малнзацией данных систем {rj''j н [ff^], то искомое ортогональ-
ортогональное преобразование есть то, которое переводит систему {ej1'}
в {е|2)}. Действительно, элементы матрицы ортонормализации —
следовательно, и обратной матрицы — определены однозначно и за-
зависят лишь от скалярных произведений (г^\ '/1))г==(г<2'» ff^)
(Л7М2). Линейное преобразование, переводящее каждое ej1' в
еу {i=l, .... я), переводит друг в друга и соответствующие ли-
нейные комбинации, в частности векторы г^' в векторы г^К
432 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 8.41
тельно определенная, какое-то число раз дифференцируемая) может
служить матрицей первой квадратичной формы некоторой поверх-
поверхности в пространстве Rn+i?
На этот счет имеется теорема Жане A926)—Э. Картана
A927): в предположении аналитичности коэффициентов ga{u) до-
доказывается, что существует соответствующая «-мерная поверхность
(определенная локально, т. е. в достаточно малой области значе-
значений параметров и— (щ, ..,, ип)), но, вообще говоря, не в
(п-\- 1) -мерном, а в — дГ 'Мерном евклидовом пространстве,
, п(п+1) _
и в общем случае снизить это число —^—^—- нельзя. В частности,
для формы от двух переменных и», и% искомая двумерная поверх-
2-3 „
иость находится уже в пространстве размерности —^—»3, как и
было сказано в постановке задачи, и имеется, следовательно, тре-
требуемая вторая квадратичная форма; однако уже для формы от
трех переменных щ, и2, «з искомая трехмерная поверхность нахо-
3-4 .
дится .в пространстве размерности —-— = 6, причем для некоторых
форм, как показывает Картан, вмещение в пространство размерно-
размерности 4 или 5 невозможно, и, следовательно, искомой второй квадра-
квадратичной формы не существует. См. по этому поводу кингу: Э. Кар-
Картан, Внешние дифференциальные формы и их геометрические при-
приложения, изд. МГУ, 1962, стр. 214—227, а также обзор:
М. Л. Г р о м о в и В. А. Р о х л и н, Вложения и погружения в рима-
новой геометрии, УМН 25, № 5 A970).
§ 5.4. Геодезические лииии и связанные с ними
координатные системы
5.41. Геодезические линии.
а. Пусть поверхность Р„ a Rn+i задана ведущим век-
вектором г = г (и), и = (щ, .... м„)е V с: Rn. Рассмотрим
кривую L = {г е Rn+i- г = r(u(s)), a ^ s ^ b} с задан-
заданным на ней натуральным параметром s — длиной дуги,
отсчитываемой от некоторой фиксированной точки. Раз-
d г
ложим вектор кривизны -t-j- в некоторой точке М кри-
кривой L на составляющие по базису гь ..., гп, т. Мы
имеем
dV __ й idr\ _dr, dr dut
" " ~ds \ds) ~~ds2
i
ds1
5.41 S «•«¦ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 433
д2г
Заменяя выражения -?—^—= /"</ по формуле Гаусса
5.37A), находим
%¦
<¦>
Первое слагаемое в правой части A) лежит в касатель-
касательной плоскости П„ и называется вектором геодезической
кривизны кривой L в точке М; второе слагаемое, нор-
нормальное к П„, называется вектором вынужденной кри-
кривизны. Составляющие вектора геодезической кривизны
йи, d2u,
содержат, кроме —j— и -j^-, символы Кристофеля вто-
второго рода rfj, выражающиеся, в свою очередь, через
коэффициенты первой квадратичной формы, и потому
не изменяются при изгибании поверхности Р„. Состав-
Составляющие вектора нормальной кривизны выражаются че-
через коэффициенты второй квадратичной формы и по-
потому, вообще говоря, изменяются при изгибании поверх-
поверхности Рп-
б. Кривая L называется геодезической линией на по-
поверхности Р„, если в каждой ее точке ее геодезическая
кривизна равна 0. Таким образом, свойство кривой
быть геодезической линией не нарушается при изгиба-
изгибании поверхности. Приведенное определение, очевидно,
эквивалентно следующему: кривая L есть геодезическая
линия, если в каждой ее точке, где кривизна отлична от
нуля, ее главная нормаль совпадает с нормалью к по-
поверхности в этой же точке.
в. На плоскости вынужденная кривизна всякой ли-
линии равна 0; поэтому геодезическая кривизна любой
кривой равна ее полной кривизне. Для геодезической
линии это означает, что ее полная кривизна тождествен-
434 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Б.42
но равна 0. Такими линиями на плоскости являются
прямые и только они.
г. Геодезические линии на цилиндре и на конусе
легко найти, навернув на эти поверхности плоскость
с сеткой прямых — ее геодезических линий и воспользо-
воспользовавшись инвариантностью геодезических при изгибании.
На цилиндре прямые линии плоскости перейдут в его
образующие, параллели и винтовые линии (рис. 5.4-1).
Рис. 5.4-1.
Рис. 5.4-2.
На конусе плоские прямые перейдут или в его образую-
образующие (таковыми после изгибания станут те прямые, ко-
которые до изгибания проходили через прообраз вер-
вершины), или же в некоторые кривые, спускающиеся до
определенной параллели и затем снова уходящие на-
наверх (рис. 5.4-2).
д. На сфере дуги больших кругов обладают главной
нормалью, направленной к центру сферы и тем самым
коллинеарной с нормалью к сфере. Поэтому дуги боль-
больших кругов являются геодезическими на сфере, и не-
немного погодя E.42 6) мы увидим, что всякая геодезиче-
геодезическая на сфере есть дуга большого круга.
Еще один пример (геодезические на поверхности
вращения) мы рассмотрим в 5.47.
5.42. Дифференциальные уравнения гео-
геодезических линий.
а. Определение геодезических линий, приведенное
в 5.41, интересно еще и тем, что оно может быть пере-
перенесено и на n-мерные поверхности Рп с метрикой, не
обязательно заимствованной из евклидова пространства
5.42 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 436
Rn+u а с метрикой, заданной произвольной симметрич-
симметричной и положительно определенной (дифференцируемой)
матрицей
G = Uth{u)l f,*= I п.
В этом случае мы определяем геодезические линии
как такие линии на поверхности Рп, для которых обра-
обращаются в нуль выражения
2 *.^
принадлежащие к внутренней геометрии поверхности.
Таким образом, в любом случае, для геодезической
линии удовлетворяются уравнения
которые, обратно, для Р„ с: Яп+ь могут служить опреде-
определением геодезической линии. Система B) представляет
собою систему п обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка для п функций Ui(s), ...
..., un(s) с явно выделенными вторыми производными
и с квадратичными относительно первых производных
правыми частями.
Теорема. Если в окрестности данной точки
Afo=(«°f... ,ы?)функции gn(u) имеют непрерывные про-
производные, то по каждому направлению {du\, ..., dun)
из точки Мо выходит одна и только одна геодезическая
линия.
Доказательство. Для заданной точки Мо =
t={u°v ..., u°) и заданного направления {dui dun)
рассмотрим формально систему уравнений B) с началь-
начальными условиями
«*<°>=«2. ^r = vl' k=i,...,n, C)
где числа v°k пропорциональны числам duk и нормиро-
нормированы условием
436 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Так как функции Г?, (и) = ^ [
по условию непрерывны, а квадратичные относительно
производных правые части в системе B) удовлетворяют
по аргументам —j^- условию Липшица, можно приме-
применить теорему существования и единственности решения
(ср. 013.42 и 013.51), в силу которой у системы B)
с начальными условиями C) существует, и притом
единственное, решение m = uL(s), 0 ^ s sg: s0, i= 1, ...
..., п. Этому решению отвечает кривая L на поверхно-
поверхности Рп, проходящая через точку М в направлении {<1щ}.
Если мы покажем, что формальный параметр s на этой
кривой L представляет собой длину дуги, то отсюда и
из B) будет следовать, что L — геодезическая линия.
Таким образом, мы должны проверить равенство
Вдоль линии L мы имеем
а
г\ "8ц "U; "ui dw^
dui
Подставляя выражения вторых производных из си-
системы B) и используя формулы 5.31G) и (8)
.- и
находим
п
u. rfs rfs ds
- V о Fv irk ^L^L^L^vi ^tL^L dUk\\
Zi gki\ Zi V '/ ds ds ds ">" «/ ds ds ds /
ft, X=l У-i, j=*l J
Б.43 * 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 437
ft
? г,*,
dut du,
' ds ds
n
*. Л 1=1
duk
ds
r
1 </л
I
n
+ s
d«? d«^
ds ds
n
r»
dut
ds
dul dii/ duk
•* ds ds ds
dut duj duk
ds ds ds
i. I, fc=l
так как выписанные суммы отличаются лишь обозначе-
обозначением индексов. Таким образом, l'(s)s=0, /(s)s=/(O)=»
п du, @) du, @)
gi/(u@)) -jr jfe—= 1, ЧТО И
/. >=>
б. Из полученного результата, в частности, вытекает,
что дугами больших кругов на сфере исчерпывается весь
запас геодезических линий. Действительно, если на гео-
геодезической линии L фиксировать точку М и провести
через М дугу большого круга Г по направлению ли-
линии L, то, по доказанной теореме единственности, дуга Г.
должна полностью совместиться с линией L.
в. Можно показать, что существует такая окрестность V точ-
точки М, в которой через каждую точку А проходит одна и только
одна геодезическая, исходящая из точки М; более того, любые две
точки А и В в U соединяет одна и только одна геодезическая, вся
дуга которой от А до В целиком лежит в V (см. задачи 12 н 13).
5.43. Геодезические параллели.
а. Пусть L — линия на двумерной поверхности Р%.
Проведем через каждую точку М линии L в ортогональ-
ортогональном к L направлении на поверхности Рг геодезическую
линию y(M)- В силу теоремы 5.42 а для каждой точки М
такая геодезическая существует и единственна. На каж-
каждой такой линии отложим от точки М в фиксированном
направлении одну и ту же дугу ш, отсчитывая ее от точ-
точки М. Геометрическое место концов получающихся гео-
геодезических дуг образует линию Lw, которая называется
геодезической параллелью к линии L на расстоянии w.
Оказывается, что все геодезические параллели Lw, 0 ^
^ w ^ е, ортогональны к геодезическим линиям у(М).
Мы докажем это утверждение сразу для п-мерного
случая.
438 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.43
б. Пусть на n-мерной поверхности f» = {re Rn+i'
г = r(u), ue(/c Rn) выделена (п — 1)-мерная доста-
достаточно гладкая подповерхность Ln-i- В каждой точке
М е Ln-\ определено ортогональное направление на по-
поверхности Р„. Пусть у(М)—геодезическая линия, выхо-
выходящая из М ортогонально к Ln_i. Отложим на линии
у(М) в определенном направлении фиксированную
дугу w *). Геометрическое место полученных точек на-
называется геодезически параллельной к Ln_i подповерх-
ностью на расстоянии w и обозначается через L"-i>
Теорема. Для каждой точки Мое Ln_, существует
окрестность V{M0), в которой всякая подповерхность
JL^_i пересекает все геодезические у(М) под прямым
углом.
Доказательство.-Подповерхность Ln_i в общем
случае задается Системой уравнений с п — 1 параме-
параметрами Tl Т„-1
A)
причем ранг матрицы Якоби д /^ "" "т _ \ в точке Мо
и, следовательно, в некоторой ее окрестности равен п—1.
Предположим, что в точке Мо отличен от нуля минор
дип
dxt •¦
дхп-i
дип
' dxn-i
Тогда, по теореме об обратной функции, мы можем из
последних га — 1 уравнений системы A) выразить пара-
параметры ть •. •, Tn-i как функции от «2 ип и затем
подставить в первое уравнение; полученное уравнение
•) Теорема 1.61 гарантирует существование такого б > 0 и та-
такой окрестности V заданной точки Мо на поверхности Р„, что гео-
геодезические линии у(^). исходящие из любой точки М в окрест-
окрестности V ортогонально к Рп, будут определены во всяком случае
Для всех значений ос |да|< б. (В теореме 1.61 речь идет об урав-
уравнении первого порядка; но уравнение высшего порядка приводится
к уравнению первого порядка, как указано в 013.51.)
5.43 * §•*• ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 439
подповерхности Ln-i будет иметь вид
Un-i). B)
Теорема 2.36 а обеспечивает такую же гладкость функ-
функции B), какая была у правых частей системы A). Те-
Теперь в окрестности точки Мо в качестве параметров, оп-
определяющих положение любой точки MeLn4l можно
принять величины
v1 = ul — <р(ы2 Mn_i), о2 = ы2, ..., с„ = и„,
поскольку якобиан матрицы д |°*'''" °"? тождественно
„ дг(М„) ' ' дг(М0)
равен единице. Векторы —^ —-^— касатель-
ны к координатным линиям параметров v2 vn, про-
проходящим на поверхности »i =* 0, т. е. на подповерхно-
подповерхности Ln-i, и, следовательно, располагаются в касатель-
касательной плоскости к той подповерхности.
Рассмотрим теперь при некотором е > О всевозмож-
всевозможные наборы чисел шь ..., wn с условиями
где v\=u\, ..., v^==u^. Поставим в соответствие каж-
каждому указанному набору wu ..., wn точку М поверхно*
сти Рп по следующему правилу: полагая Vi ^0, v2 =
= w2 vn = а>„, находим точку М' на подповерх»
ности Ln-u затем иа геодезической линии у(М') нахо-
находим точку М на расстоянии ш1 от М (по направленной
дуге). Координаты vt vn точки М являются непре^
рывными и дифференцируемыми функциями перемен*
ного W\ и параметров ш2, ..., wn, поэтому якобиан ма«.
трицы д^ ^ > является непрерывной функцией от
^ь •.., к'п. Покажем,- что он отличен от нуля в точке
Мо. Для этого следует проверить, что в этой точке век-»
дг (v) dr (v) „ т т
торы д ¦ я линейно независимы. Но в точ-
г CW\ UWfi
ке Мо векторы -^-, ..., -^- совпадают с векторами
~-, ..., -з—, лежащими в касательной плоскости к подпо*
верхности Ln-i и линейно независимыми; вектор же
440 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.44
¦ т ¦¦ имеет длину 1, направлен ортогонально к Ln-i и,
тем самым, линейно независим с -q^~> •-•* ~q^~- От-
Отсюда следует, что величины w\, ..., wn также могут
быть взяты в окрестности точки Мо за новые параметры.
В этой системе координат мы имеем |^
= 1, так как wi есть длина дуги. Далее, общему урав-
уравнению геодезических 5.42 B)
г* dW{
в нашем случае удовлетворяет система функций w\ = s,
w2 = С2, ..., wn = Сп; подставляя их в уравнения C),
получаем, что в системе параметров ш1 wn вели-
величины Гп (k—\, ..., п) равны 0. Но тогда и
Поскольку Г11.,-!(^ + ^§?) 4gJ
функция gu(w) оказывается постоянной на каждой ли-
линии, где постоянны w2, .... wn, т. е. на каждой геодези-
геодезической у(^')- Так как в точке М' кривая у(М') по по-
построению ортогональна к Ln-u так что gi«@)=: 0, то и
при всех W\ также gis(ffi>)= 0. Это и означает, что гео-
геодезическая y(^') ортогональна к геодезической парал-
параллели L%-\. Теорема доказана.
Построенная нами на поверхности Рп в окрестности
точки Мо система координат ш1 wn называется по-
полугеодезической системой с базой Ln-i-
5.44. Используем полугеодезическую систему коорди-
координат для доказательства следующего экстремального
свойства геодезических линий:
а. Теорема. Рассмотрим на поверхности Рп геоде-
геодезическую линию y, проходящую через достаточно близ-
близкие точки А и В, а также все другие {спрямляемые) ли-
линии р, проходящие на поверхности Рп через точки А и В
в малой окрестности линии у. Утверждается, что среди
S.44
§ 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
441
всех этих линий геодезическая линия у имеет наимень-
наименьшую длину.
Доказательство. Проведем через точку А под-
поверхность Ln_i ортогонально к линии у и примем Ln_i
за базу полугеодезической системы координат в окрест-
окрестности точки А. Линия у станет одной из координатных
линий полугеодезической системы. Считая, что точка В
и линия р умещаются в той малой области на поверх-
поверхности Рп, где действует построенная полугеодезическая
система, напишем выражение для длины р:
в
s(p) =
= J
gi}(w)dwldw,—
i. 1=1
В /~ п
J у dwf+Yi g,l(w)dwldwr
A I. /=2
Последнее равенство объясняется тем, что gn = 1, gis = О
(.« = 2, ..., п). Заметим теперь, что (п—1)Х(П~")*
Рис. 5.4-3.
п) является положительно
матрица || gt, (w) || (/, /=2,
определенной. Поэтому
в
s ф) > J dwx = о», (В) - ш, (Л) = s (у),
что и требовалось.
442 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ S<45
б. 3 а м е ч а и и е. На цилиндре С, кроме геодезической — вин-
винтовой, соединяющей точки А н В, имеются и более короткие (на-
(например, отрезок АВ). Противоречия t теоремой а нет, так как в ней
речь шла о сравнении длин геодезической у и лишь достаточно
близких кривых.
в. Замечание. На сфере S рассмотрим геодезическую—ме-
геодезическую—меридиан, идущий от южного полюса А через северный О и заканчи-
заканчивающийся после этого в некоторой точке В (рнс. 5.4-4). Через С
обозначим первую точку пересечения меридиана АОВ с парал-
параллелью |3, на которой лежит точка Я. В любой окрестности этой гео-
геодезической есть линия, соединяющая А и В и более короткая, чем
дуга АОВ. Таковой является, например, линия АС'В, где С лежит
на параллели 6 в заданной близости от точки С, АС есть дуга ме-
меридиана и С'В — дуга большого круга. Дуга АС и АС, очевид-
очевидно, равны, но дуга С'В короче, чем дуга СВ, так как хорда СВ
короче хорды СВ-г диаметра параллели р.
Здесь кажущееся противоречие с теоремой а объясняется тем,
ято геодезическая АСВ сляшкем «длинна», чтобы ее можно было
включить в полугеодезическую систему координат, которая, как мы
знаем, строится лишь локально, в окрестности даииой точки.
5.45. Вычисление основных характери-
характеристик двумерной поверхности в полугеоде-
полугеодезической системе параметров.
а. Мы уже видели в 5.43 6, что в полугеодезической
системе координат величины Гп и Fu.s равны 0. Вычис-
Вычислим для двумерной поверхности Р2 оставшиеся вели-
величины Г*/ и Гг/,5. Как мы установили в 5.43 6, первая
квадратичная форма в полугеодезической системе пара-
параметров щ, w2 имеет вид
rfs2 = dw\ -f g22 (wv ад2) dw\.
Поэтому в выражениях для символов Кристофеля пер-
первого рода
г { (dSls ,
41.s— 2\dWj "*" dw(
сохраняются лишь такие члены, в которых среди индек
сов i, /, s= 1, 2 имеются по крайней мере два, равные %
Таким образом, обозначая для сокращения feO^i» ^
wi = w, w2 = u, мы имеем
Г»2, 1==Г211 i =0, ГJ, ГG
2
¦\gu.
B.4S 5 &4 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 443
2
Далее, используя формулу Г*у = 2 Г^. sg*ft и учитывая,
^=i
f 1 о |
что обратной к матрице \\gtj || =j „ „ | является ма-
. 11-01
трица || g*k |=| Q l/Q J, находим
ri '
122= 2"
22 2"
6. Вычислим теперь в полугеодезической системе
полную кривизну поверхности Р2. Для этого сначала
найдем определитель Бе, i2 второй квадратичной формы
по формуле 5.33A):
12
I- p=l J
Здесь сохраняются лишь члены с s = 2 и ,р = 2. Мы
получаем
G
2
GGWW-
G*
ol
/-2
Gw
4G
"и i
2 '
1
' 4
ol
G '
Полная кривизна К поверхности Р2 оказывается, таким
образом, равной
к_ В\%П _ О 1 Gi
G ~
2G """ 4 G2 '
Это выражение можно записать еще компактнее, если
заметить, что
(VG)W = y G-4'GW, (\TG)WW = - 4- G~%Gl + i- G-'/'
4 Ga "^ 2 О
444 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.46
так что мы получаем
V \У G/jDW /Г)\
* = ~ B)
Таким образом, в полугеодезической системе_координат
на двумерной поверхности Р2 функция YG связана
с кривизной дифференциальным уравнением
(Vg)ww + kVg=o. О)
5.46. Восстановление первой квадратич-
квадратичной формы по заданной полной кривизне.
Рассмотрим поверхность Р = Ръ у которой в каждой
точке М известна полная кривизна К = К(М). Фикси-
Фиксируем на поверхности точку Мо и построим в окрестности
этой.точки специальную полугеодезическую систему ко-
координат — такую полугеодезическую систему, в которой
базой является геодезическая же линия L и параметр
w2 = и вдоль этой линии есть дуга, отсчитываемая от
фиксированной точки (например, от Мо). Первая квад-
квадратичная форма теперь принимает вид
(w, u)du\
где
G@,u)=l, VG(O,u)=L A)
Подставляя в общее уравнение геодезических 5.42B)
„й dwi
i
dss ~~ jU ж" ds ds
известные функции ш, = 0, w2 = s, получаем Г^@, н) =
= Г^ @, и) = 0. Отсюда и Г^ , @, и) = ?„1^ @, и) +
+ «Г,2Г|2@, и) = 0. Так как (по 5.45 а) Г^ @, ы)-=
¦== — -jGw@, и), то в данном случае и
))w = O. B)
В уравнении, которому удовлетворяет полная кри-
кривизна E.45C)),
{V) V" 0 C)
8.47
§ 5.4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
445
будем рассматривать К как известную функцию (от w
и и), а У~П как неизвестную функцию тех же пара-
параметров. Для дифференциального уравнения второго по-
порядка C) у нас имеются начальные условия A), B),
которые позволяют однозначно восстановить функцию
G(w, и) в указанной окрестности точки Мо. Мы полу-
получаем, в частности, следующую теорему единственности:
Теорема. Если для двух поверхностей Р2 и Р2
в специальных полугеодезических системах полная кри-
кривизна К выражается одной и той же функцией от коор-
координат, то эти поверхности изометричны; изометрия за-
задается отображением, сохраняющим специальные полу-
полугеодезические координаты.
Очевидно и обратное: если поверхности Р2 и Pi изо-
изометричны, то в соответствующих друг другу полугеоде-
полугеодезических системах координат полная кривизна на обеих
поверхностях выражается од-
одной и той же функцией 5.45
B) от коэффициентов первой
квадратичной формы и, следо-
следовательно, от координат.
5.47. В заключение этого параг-
параграфа рассмотрим один важный при-
пример.
Геодезические на по-
поверхности вращения. На по-
поверхности вращения с образующей
р => р(г) E.15е) меридианы, очевид-
очевидно, являются геодезическими лини-
линиями, поскольку главная нормаль к
меридиану совпадает с нормалью к
поверхности. Семейство параллелей и
меридианов поверхности вращения
является естественной полугеодезиче--
ской системой с базой — любой из па-
параллелей; роль координат выполняют ,
длина дуг^ вдоль меридиана и поляр- ^ис- &-4-
ный угол (рнс. 5.4-5).
В этих координатах первая квадратичная форма имеет вид
E.15 е)
ds2 = dw^ -f- G doft.
где G = p2. Уравнения геодезических
2
•=— V. Г
ds ds
446 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
с учетом значений коэффициентов Г*у E,45 а) приводятся и виду
B)
Обозначим через ш угол геодезической линии с мериднаиом.
Рассматривая бесконечио малый треугольник с гипотенузой ds и ка-
катетами dm и pdq) (рис. 5.4-6), мы сразу по-
получаем
рфа. C)
Теорема (Клеро). Бдсм» геодезиче-
геодезической линии на поверхности вращения вы-
выполняется равенство р sin и = const.
Доказательство. Вдоль любой
геодеэивеской (в силу уравнений B) и |3)>>
7r-pd~ (P shl «>)« = (P*«Psb = 2pp*<ps + P2<pss = О,
что и доказывает теорему.
Геометрическое поведение геодезиче-
ских, в силу теоремы Клеро, таково: каждая
Рис. 5.4-6. геодезическая Yi отличная от меридкава,
при уменьшении значения р поворачивается
так, что угол с меридианом увеличивается; если .при некотором
р = pmin этот угол, в .силу уравнения Клеро р stn a *= с, должен
стать прямым, тогда, вообще говоря, геодезическая у касается
соответствующей параллели и далее возвращается в область
больших значений р (рис. 5.4-5). Но бывают н исключения (см.
задачи 6 и 7).
§ 5.5. Двумерные поверхности постоянной кривизны
5.51. Двумерные поверхности постоянной полной кри^
визны /C=const обладают многими своеобразными свой-
свойствами. Используя теорему 5.46, можно утверждать,
что все поверхности данной постоянной полной кривиз-
кривизны К локально изгибаются друг на друга. При этом,
поскольку можно взять произвольно начальную точку
Мв и направление базисной геодезической, изгибание
можно осуществить при произвольном задании на по-
поверхностях Р и Р пары соответствующих друг другу то-
точек Мо и jQo и пары выходящих из этих точек напра-
направлений. Любая достаточно малая часть поверхности по-
постоянной полной кривизны может быть изогнута на
другую часть этой же поверхности при заданной паре
CJ2 § 6-8- ДВУШРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Ш№Щ«Ш КРИВИЗНЫ 4gf
соответствующих точек и выходящих та них напра-
направлений.
Уравнение 5.45 C), связывающее кривизну К и
функцию G(w, и) в полугеодезической системе коор-
координат,
с начальными данными на базисной геодезической
, B)
T^j=l, (УС@,ы))ш = 0,
для К=* const имеет следующие решения:
Х = 0: G(ay, u)=l, ds2=*dw2 + du2; A)
Я>0:
rfs = da;2 + cos2 У~К w du2; B)
K<0: /=^
rfs2 = rfa;2 + ch2 /^^ w du\ C)
Простейшим примером поверхности нулевой полной
кривизны является плоскость; мы видим теперь, что
всякая поверхность нулевой полной кривизны локально
изгибается на плоскость.
Простейшим примером поверхностн постоянной по-
положительной полной кривизны является двумерная сфе-
•ра радиуса R; при этом /C=l/J?2 E.24 д). Мы доказали
теперь, что всякая поверхность положительной постоян-
постоянной кривизны К локально изгибается на сферу (радиу-
(радиуса l/V"R).
Пример двумерной поверхности постоянной отрица-
отрицательной кривизны, на которую, следовательно, изги-
изгибается локально любая поверхность той же отрицатель-
отрицательной кривизны, дается в 5.52.
5.52. Мы укажем здесь пример поверхности постоянной отрица-
отрицательной кривизны, которая является поверхностью вращения. Как
¦мы видели в 5.266, полная кривизна поверхности вращения с обрач
зующей р = р (z) записывается по формуле
к Ргг
448 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.62
Будем считать —К = Q > О постоянной. Для p(z) получается
дифференциальное уравнение 2-го порядка
Ргг = <?рО+РгJ- A)
Полагаем pz = u(p), pzz = uppz = UpU; тогда уравнение A) при-
приводится к виду
uP« = Qp(I+u2)« или
Интегрируя, находим
_±_J
2 1 + и*
или же
Дальнейшее интегрирование возможно в конечном виде, если С -— I.
В этом случае мы получаем
, Qp2 dp VQp . V\ — Qp2 .
«2 =———, и ——— = ± , . dz—±-—r— dp.
1 — Qp2 dz VI — Qp2 VQp
Для интегрирования применяем подстановку VQ p = sin G, VQ dp =
= cos G rfG. Тогда мы получаем
. I cos2G 1 Г dG "I
- во = ± —^=r I Sin G CD I,
YQ LsinG J
sin G
1-
z — z0 = ±
T%(lnlterll+cose)-
Поскольку выбор постоянной z0 не отражается bj форме поверх-
поверхности (а определяет лишь положение ее относительно оси г), мож-
можно положить ее равной 0. Два уравнения
z=±— /inltg — 1+cosGJ, p = —LsinG B)
дают нам параметрическое представление меридиана искомой по-
поверхности. Сама искомая поверхность вращения (рнс. 5.5-1) распо-
располагается в пределах цилиндра р г^ l/V~Q, причем выходит к по-
поверхности этого цилиндра только при sin 9 = 1, так что cos 6 = О,
G
In
= 0, z = 0. Кроме того, если G-*¦ 0, то р-*¦ 0, г-* ±оо.
2
Кривая B) называется трактрисой*). Известно, что отрезок
ее касательной до оси z сохраняет постоянную длину.
*) От латинского слова «trahere» — тянуть, увлекать, от кото-
которого происходит и слово «трактор». Если представить себе, что
осн z их на рис. 5.5-1 лежат на земле и что из точки О вдоль
оси z двигается трактор, то привязанная к нему тросом тележка,
находящаяся первоначально в точке А, будет описывать трактрису
(рис. 5.5-2).
5.53 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 449
Поверхность, которую мы получили, называется псевдосфе-
псевдосферой. На ней (во всяком случае, в малых частях) реализуется гео-
геометрия Лобачевского (прямыми геометрии Лобачевского будут
геодезические иа псевдосфере). Псевдосфера имеет при г —0 особен-
особенности. Оказывается (теорема Гильберта), в трехмерном простран-
пространстве ие существует поверхности с постоянной кривизной К < О без
Рис. 5.5-1.
Рис. 5.5-2.
особенностей (и без края). Такой поверхности ие существует, даже
если вместо К = const < 0 предположить К ^ const <0 (H. В. Ефи-
Ефимов, 1965; см. его статью в УМН XXI, № 5 A966), 3—58).
5.53. Итак, семейство поверхностей, содержащее плоскость, сфе-
сферы всевозможных радиусов R и псевдосферы со всевозможными Q,
дают нам «канонические» поверхности постоянной полной кривизны;
всякая поверхность постоянной полной кривизны локально изгибается
иа соответствующую (т. е. имеющую ту же полную кривизну)
каноническую , поверхность. Можно поставить вопрос и о полном
описании двумерлых поверхностей постоянной полной кривиз*
иы — уже с точностью ие до изгибания, а до положения в простраи-
' стве. Для случая К Ф 0 эта задача довольно трудная, и мы ие бу-
будем здесь ее затрагивать*). Что же касается случая К = 0, то
здесь положение много проще; поверхности нулевой полной кри-
кривизны в Ri допускают полное описание. Эти поверхности назы-
называются развертывающимися (подразумевается «развертывающимися
иа плоскость»). К числу развертывающихся поверхностей относятся,
*) По поводу поверхностей вращения постоянной кривизны
в #з см. В. Ф. Каган, Основы теории поверхностей, т. 2, ГИТТЛ,
1948.
450 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.53
как мы знаем, круговой цилиндр и круговой конус E.27 в)_ Но и
любой цилиндр с произвольной направляющей кривой г = r(t) и
произвольным образующим вектором е также развертывается на
плоскость; действительно, вектор е можно считать единичным, а на-
направляющую кривую можно взять ортогонально к вектору е и
в качестве параметра на ней взять длину дуги; тогда первая квад-
квадратичная форма цилиндра окажется совпадающей с первой квадра-
квадратичной ^формой плоскости в прямоугольных координатах. Любой
конус с произвольной вершиной О и произвольной направляющей
кривой также развертывается на плоскость; действительно, можно
считать образующий вектор конуса е, исходящий из вершины, еди-
единичным и считать его функцией от дуги а, описываемой им по ко-
иусу; тогда аналитическое выражение конуса будет иметь вид г =
= r(o,t) =te(a) с первой квадратичной формой ds2 = dt2 + tsdo2.
Таким образом, все конические поверхности оказываются изомет-
ричными друг другу и, в частности, изометричиыми плоскости (кото-
(которая есть, очевидно, частный случай конической поверхности).
Еще один тип развертывающейся поверхности строится следую-
следующим образом. Рассмотрим произвольную пространственную кри-
¦вую L и поверхность Я2, образованную всеми касательными прямыми
к кривой L; мы утверждаем, что эта поверхность Р% также имеет
нулевую полную кривизну.
Действительно, пусть г = г(а)—уравнение кривой L с нату*
ральнъш параметром а; тогда поверхность Р% можно задать пара-
параметрическим представлением р(сг, /)= г (а) + tro. Построим первую
квадратичную форму поверхности Р% Мы имеем ра = ra + traa =
= x + tk(a)v, p, = га = т; отсюда Е = (г„, /•„') = 1 + t2k2(a),
F — (Ри> Pt) = 1, С = 1.Мы видим, что первая квадратичная форма
поверхности Р% зависит только от кривизны k(a) кривой L. Но суще-
' ствует и плоская кривая ? с той же самой кривизной k(a), как
функцией от дуги о @16.42). Соответствующая поверхность каса-
касательных — плоская и в то же время изометрична поверхности Р2,
так как имеет такую же первую квадратичную форму; тем самым Рг
изгибается на плоскость и имеет, следовательно полную кривизну,
равную 0.
Заметим, что кривая L здесь может лежать не в ^?з, а в любом
евклидовом пространстве Rn (и даже в гильбертовом).
Покажем, что в Rs приведенное описание исчерпывает уже все
поверхности нулевой полной кривизны.
Теорема. Всякая поверхность Р нулевой полной кривизны, ле-
лежащая в пространстве R$, есть или цилиндр, или конус, или поверх-
поверхность касательных к пространственной кривой.
Доказательство. Поскольку наша поверхность Р лежит
в Rs, мы можем ввести на рассматриваемом ее участке координат-
координатную сеть из линий кривизны E.29 а). По условию произведение
ktki двух главных кривизн всюду иа Р равно 0. Если иа этом
участке обе главные кривизны k\ и kt равны тождественно нулю, то
и у любого нормального сечения кривизна равна 0, так что любая
ортогональная сеть состоит из линий кривизны. Если же в рассмат-
рассматриваемой точке одна из кривизн отлична от нуля, то она будет
отличной от нуля и в окрестности, и тогда сеть из линий кривизны
определяется однозначно E.29 а).
5.53 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 451
Пусть вдоль линий кривизны, отвечающих главным направле-
направлениям с кривизной k\ = О, изменяется параметр и, а вдоль ортого-
ортогональных линий — параметр гг. Первая квадратичная форма в коор-
координатах и, v приводится к виду Е du2 + G dv2, а вторая — к виду
Ldu2 + Ndv2. Поскольку главные кривизны k\ =0 и k2 суть корни
уравнения (L — ц?) (/V — цС) = 0, мы имеем L = k\E = 0. От-
Отсюда (ти,ги) = — (т,гии) = — L = 0, (mu,rv) = —(m,ruv) =
= —М = 0 и, следовательно, ти = 0. Таким образом, вектор т
вдоль каждой линии v = corjst остается постоянным. Но тогда ка-
касательная плоскость к поверхности Р вдоль линии v = const может
перемещаться лишь параллельно самой себе; в таком случае она
вовсе ие может изменяться, так как из (т,г)и = (т,ги)=0 сле-
следует (т, г) — const = (т, г0) (г0 — фиксированный начальный век-
вектор), откуда вытекает, что г — гв лежит в касательной плоскости По,
проведенной в точке г0. Итак, каждая линия v = const — плоская.
Покажем, что она на самом деле прямая. Так как вдоль линии
v = const вектор т не меняется, mu = 0, то (mv)u = (mu)v = 0.
так что вектор mv постоянен вдоль линии v — const. Вектор mv
лежит в касательной плоскости, т. е. в плоскости По, и ортогонален
к линии v = const, так как (mv, ru) = (m, ru)v — (т, ги_ „) =
= 0 — М = 0. Таким образом, нормаль к линии v = const в пло-
плоскости По имеет постоянное направление; но это может быть лишь
в том случае, если линия v == const — прямая.
Теперь мы видим, что вся поверхность Р составлена из пря-
прямых линий — координатных линий v = const. Такие поверхности
называются линейчатыми. Но далеко не всякая линейчатая поверх-
поверхность имеет нулевую кривизну (например, геликоид — линейчатая
поверхность с отрицательной полной кривизной, 5.27 д). Мы снова
пользуемся тем, что координатные линии и = const, v = const опре-
определяют в каждой точке главные направления. Фиксируем точку В
на поверхности Р. Пусть р = p(v)—уравнение координатной ли-
линии /, проходящей через В ортогонально к координатной прямой
v = const, а е = e(v) —единичный вектор, который в каждой точке
линии / направлен по соответствующей прямой v = const, т. е. по
вектору ru = ru(v). Ясно, что e(v) = a(t>)ru(v). Поэтому ev =
,= aruv + o-vTu, (ev,tn) =a.(ruv,m)^-av(ru,m)=Q, так что век-
вектор ev лежит в касательной плоскости к поверхности Р.
Если е„ = 0, то e(v)se — постоянный вектор, а вся поверх-
поверхность Р есть цилиндр с направляющей р = р(и) и образующим век-
вектором е. Если же е„ Ф 0, то этот вектор е„ лежит в касательной
плоскости к поверхности Р и допускает разложение
ev = Я (v) e (v) + ц (v) po (v).
При этом коэффициент ц(о) отличен от тождественного нуля; иначе
вектор е„ был бы коллинеарен с самим вектором е, а так как произ-
производная единичного вектора всегда ему ортогональна, то это озна-
означало бы, что ev = 0, в противоречии с предположением. Итак, бу-
будем считать, что ц(и)^=0. Фиксируем произвольную (дифференци-
(дифференцируемую) функцию g(v) и рассмотрим кривую р = {q{v) = p(v) +
+ g{v)e(v)}, лежащую иа поверхности Р. Мы имеем
Чху = Ро + gve + gev = A + gV) Pv + (gv + kg) e. (I)
452 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6.S4
Положим теперь g (а) = —. Тогда первое слагаемое в пра-
правой части A) обращается в нуль. Если и второе слагаемое равно
нулю, то вектор q(v) постоянен, т. е. q(v)=q0. Но в этом случае
любая из образующих p(i>) -\-te(v) (—го ¦< / < го) проходит через
фиксированную точку <?о при значении t — g (v) = j-г-; перед
нами — конус. Остается рассмотреть случай, когда gv + kg ф 0. То-
Тогда кривая Р при указанном выборе фуикцин g(v) касается в каждой
точке указанной образующей. Но это означает, что каждая из пря-
прямых v = const иа поверхности Р касается линии р\ иными словами,
Р представляет собой поверхность касательных к кривой (i. Это и
есть требуемое утверждение.
Заметим, что уже в R* существуют двумерные поверхности, изо-
метричиые плоскости, ио не принадлежащие к указанным типам (см.
задачу 14).
5.54. Мы приведем здесь еще один пример двумер-
двумерной поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Метрика на этой поверхности, в отличие от всех преды-
предыдущих примеров, не будет заимствована из вмещающе-
вмещающего поверхность евклидова пространства.
а. Рассмотрим в трехмерном евклидовом простран-
пространстве /?з неопределенную квадратичную форму
{г, г) = х\ + х\ — х\ (г = x,e, + х2е2 + х3е3),
соответствующую билинейной симметричной форме
(ГО>, г<2>) =
Вектор г называется псеёдовещественным, если
(г, г) > 0, псевдомнимым, если (г, г) < 0, и изотроп-
изотропным, если (г, г)=0. Псевдовещественный (псевдомни-
(псевдомнимый, изотропный) вектор остается псевдовещественным
(псевдомнимым, изотропным) при умножении на любое
вещественное число (=7^0). Псевдовещественный век-
вектор г называется нормированным, если (г, г) = 1; псев-
псевдомнимый вектор г называется нормированным, если
(г, г)=—1. Любой псевдовещественный (псевдомни-
(псевдомнимый) вектор г допускает нормировку путем умножения
на некоторое положительное число.
Два вектора гО, г<2> называются псевдоортогональ-
псевдоортогональными, если (гС), гB))=0; в частности, изотропный век-
то'р псевдоортогонален самому себе. Если неизотропный
вектор г псевдоортогонален к векторам р, q, ,,., то он
5.54 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 453
не является от них линейно зависимым, так как из соот-
соотношения r=Cip + C2<7 + ... ¦следует {r,r)=Ci{r,p)-\-
+ d{r, ?> + ... =0.
Если вектор r=r(t) зависит (дифференцируемым
образом) от параметра t, то вектор dr=rtdt лежит на
касательной прямой к соответствующей кривой (в точке
дифференцирования). Если вектор зависит от двух па-
параметров и, v и описывает поверхность Р, то вектор
dr=rudu -f- rvdv лежит в касательной плоскости к по-
поверхности Р. Если векторы /"О и г<2> зависят (дифферен-
(дифференцируемо) от каких-либо параметров, то
в частности,
d{r,r) = 2{r,dr).
Поверхность
l-xl = -<? (Q>0), A)
которую еледовало бы назвать «псевдомнимой сфе-
сферой» — а мы будем называть короче «псевдосферой», —¦
есть двуполостный гиперболоид, одна полость которого
лежит в полупространстве х3 ^ Q, а другая — в полу-
полупространстве хъ ^ —Q. Мы будем рассматривать толь-
только верхнюю полость и.обозначим ее через Р. Дифферен-
Дифференцируя уравнение (г, г)=—Q2, находим {г, dr)=0. Это
значит, что вектор г псевдоортогонален к касательной
плоскости к поверхности Р, проведенной через его ко-
конец. Можно назвать вектор г псевдонормальным к Р.
Нормированным псевдонормальным вектором служит
вектор m—r/Q, поскольку (т,/и) ==-^ (г, г) = — 1.
Мы утверждаем, что вектор dr — псевдовеществен-
псевдовещественный; т. е. {dr, dr) > 0. Действительно, мы имеем
*i dx\ + х2 dx2 — х3ах3= (г, dr)=0; далее,
(xadx3f = (Xl dxx + хг
= D -<F){dx\ + dx$<x\{dx\ +
откуда
dx\ < dx\ + dx\, {dr, dr) = dx\ + dx\ - dx\ > 0,
что и требовалось.
454 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.54
Таким образом, квадратичная форма {dr, dr) на по-
поверхности Р (точнее, в касательной плоскости к Р в лю-
любой фиксированной точке) положительно определена.
Мы принимаем ее за метрическую форму поверхности Р.
Это означает, что, введя произвольно на поверхности Р
параметры щ и щ, мы полагаем
ds2 = gu du2 + 2gl2 dux du2 + g22 du\,
где
eu = {r,,r,) (/,/=i,2).
б. Пусть теперь Р — любая поверхность, для кото-
которой форма (г, г) индуцирует положительную форму
ds2. В каждой точке поверхности Р рассмотрим базис-
базисные векторы п. г2 в касательной плоскости и единичный
лсевдонормальный вектор ш. Как в 5.31, можно напи-
написать деривационные формулы
v ~ - 1
ri]== *"
2
m
1 B)
ft=i
где знак ~ указывает, что данный коэффициент вы-
вычисляется для поверхности, метрика которой заимство-
заимствована из формы (г, г). Псевдоумножая эти равенства на
rs и пг, мы находим
<т,. rs) = i Ц <rv rs) = i pfcta = - <m, r/s),
поскольку вектор rs лежит в касательной плоскости и
из (т, rs) = 0 следует
О = (т, г,),- = {nij, rs) + (m, r]s).
Величины {гц, rs} = TntS можно выразить через коэф-
коэффициенты первой квадратичной формы gij, как и
5.54 § 5.5. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 455
в 5.31A1):
Г./,s — (гц, rs) — -j\-^- + -щ- ^-J.
Отсюда следует, что и коэффициенты Г?/ можно выра-
выразить через коэффициенты первой квадратичной формы:
5=1
В общей формуле для «формальной» полной кривизны
двумерной поверхности Р E.33B))
2 Г 2 ~t
=l '- р=1 J
А= 2^ (О)
^11^22-^12
коэффициенты Г*, вычисляются через g{. по формулам
Мы видим, что для вычисления К в формуле C) в дан-
данном случае можно положить Г?/ = Тц . Теперь вспо-
вспомним, что числитель в формуле C) для евклидовой по-
поверхности получается путем приравнивая выражений
rihj и Tj-ft,-, использования деривационных формул и вы-
выделения составляющей по базисным векторам в каса-
касательной плоскости. Все эти действия без изменения про-
проводятся и для деривационных формул B), после чего,
как в 5:32 G), мы получаем
* p=I
где
456 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.61
Обозначим еще Ьц = {гц, т). Тогда мы получаем
К = ~ЗГ'
8\\822. — g\2
(Напомним, что в евклидовом случае вместо Р</ =
=—(r,-j, m) мы имели $ц=(гц, т). Из-за этой раз-
разницы в знаке окончательный результат в числителе со-
содержал выражение ЬцЬ\2—&I2-)
в. До сих пор приведенное вычисление относилось
к любой двумерной поверхности, на которой форма
(г, г) индуцирует положительную форму ds2.
Теперь-сосчитаем коэффициенты Ьц для псевдосфе-
псевдосферы. Ё этом случае r=Qm и
Гк I ЧЧ ПРИ i =
b,
так что
{ 0 при
Отсюда
6,/ = <г|/.т> = -
(Напомним, что для сферы радиуса R в любой системе
координат мы имели bit — -jrgif E.24г).\
Следовательно, в данном случае
так что поверхность Р с метрикой (dr, dr) действитель-
действительно является поверхностью постоянной отрицательной
полной кривизны.
§ 5.6. Параллельное перенесение векторов и теорема
Леви-Чивита
5.61. Пар алл ел ьное перенесение векто*
ра по поверхности. При параллельном перенесе-
перенесении в пространстве вектор, касательный к поверхности,
5.62 § 5.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ 457
вообще говоря, перестает быть касательным. В диффе-
дифференциальной геометрии вводится специфическое пони-
понимание термина «параллельное перенесение» — по отно-
отношению к самой поверхности, а не к объемлющему ее
пространству.
Пусть на поверхности Рп с: Rn+i задана дифферен-
дифференцируемая линия L={r=r(u), u=(ult ..., un) = u(t),
в ^ / < i} и в каждой ее точке вектор a(t) в касатель-
касательной плоскости Пп, дифференцируемый по t, так что
п
с (*) = 2 at @ п (и @), где о* (/) — дифференцируемые
f=i
функции. Найдем дифференциал вектора аA) при пере-
переходе в точку, отвечающую значению параметра t + dt.
п п
Мы имеем do=2 rkdak + S atTiiduf, и по формуле
Гаусса 5.5/A)
п
da=5
Первое слагаемое этой суммы называется геодезиче-
геодезическим дифференциалом вектора a(t) и обозначается че-
через Da. Второе слагаемое называется вынужденным
дифференциалом вектора a(t). Составляющие геодези-
геодезического дифференциала, как видно из их структуры, за-
зависят, кроме пг, duu daiy только от символов Гц и
потому не изменяются при изгибании поверхности Рп.
Составляющая по нормали — вынужденный дифферен-
дифференциал — зависит от коэффициентов второй квадратичной
формы и, вообще говоря, изменяется при изгибании по-
поверхности.
5.62. а. Будем говорить, что вектор a(t) параллель-
параллельно переносится вдоль линии L, или точнее: геодезически
параллельно, если его геодезический дифференциал
в каждой точке линии L равен 0. Иными словами, век-
вектор a(t) переносится параллельно, если его полный,
дифференциал целиком- приводится к вынужденному.
458 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.62
В свете сказанного ясно, что понятие параллельного пе-
перенесения вектора вдоль линии принадлежит к внутрен-
внутренней геометрии поверхности и не зависит от изгибания.
Составляющие параллельно переносимого вектора, как
видно из равенства A) и определения параллельного
перенесения, удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений
или
п.
Эта система представляет собою систему обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений с неизвестными
функциями oh(<) (k=l, ..., п) и известными (вдоль
данного пути) коэффициентами. В силу основной тео-
теоремы существования и единственности решения такой
системы, по начальным значениям йй(^о) (&=1, •¦•,п)
однозначно определяется результат параллельного пе-
переноса по крайней мере в некоторой окрестности на-
начальной точки.
б. Мы привели определение параллельного переноса
для случая л-мерной поверхности Рп в пространстве
Rn+v, но теперь, поскольку оно дано в терминах вну-
внутренней геометрии, оно может быть сформулировано
для поверхности Рп, метрика которой задается произ-
произвольной формой ds2; например, если поверхность Рп ле-
лежит в евклидовом пространстве Rq, q~Z> п, ее метрика
может быть заимствована из этого пространства (как
в 5.16), и соответственно определяется параллельный
перенос.
в* Пусть L с= Рп — геодезическая линия и а — еди-
единичный касательный вектор к линии L. Если ведущий
вектор г линии L задай при помощи натурального па-
параметра s — длины дуги, r=r(s), то можно написать
dr dub ¦ du. (s)
o = a(s) = —= 2:rfe-^- , так что ak (s) = *5 . Под-
Подставляя это выражение в уравнение геодезической
5.62 § S-6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ 459
5.42 B)
dak (s) ^ d2uk (s)
~d~s = ds2^^
'/ ds ds Zd
"i ds •
t, 1=1 l, i=\
убеждаемся, что для вектора a(s) удовлетворяется ус-
условие параллельного переноса. Итак, единичный каса-
касательный вектор геодезической линии L переносится
вдоль нее параллельно.
г. В общем случае, если вдоль линии L cz Рп пере-
переносятся параллельно два вектора a (t) и 6@, то их
скалярное произведение остается постоянным. Это сле-
следует' из того, что d(a, b) = (da, 6) + (a, db)—O, так
как дифференциалы параллельно переносимых векторов
сводятся к вынужденным и нормальны к касательной
плоскости.
Отсюда следует, что при параллельном перенесении не
меняется длина любого вектора | a(t) | =Y(a(t), a(t)), a
(а @, ь @)
также и угол между векторами, равный arccos \аи\\\ъи\\'
д. На и-мерной плоскости Рп вынужденные диффе-
дифференциалы отсутствуют и полный дифференциал вектора
a(t) сводится к геодезическому дифференциалу; если
этот последний равен 0, то и полный дифференциал ра-
равен 0, откуда следует, что вектор a{t) переносится без
изменения — параллельно в классическом смысле слова.
е. На цилиндре и на конусе в R3 параллельное пе-
перенесение может быть получено разворачиванием этих
поверхностей на плоскость и параллельным перенесе-
перенесением на плоскости. Так, на цилиндре параллельно пере-
переносимый вектор a(t) будет сохранять постоянный угол
с образующими и параллелями (рис. 5.6-1). На конусе
мы. встречаемся с новым интересным обстоятельством:
вектор,- первоначально направленный по образующей и
параллельно обнесенный по направляющей окружности,
возвращается в исходную точку повернутым по отноше-
отношению к образующей, в чем легко убедиться непосред-
непосредственно, рассмотрев развертку конуса на плоскость
(рис. 5.6-2).
460 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5 63
ж. Аналогичное явление имеет место при параллель-
параллельном перенесении вдоль параллели на сфере. Мы не мо-
можем, правда, развернуть сферу на плоскость, но мы
РазВвртна
Рис. 5.6-1.
можем построить конус, касающийся сферы вдоль парал-
параллели; поскольку набор касательных плоскостей вдоль
этой параллели у конуса и сфе-
сферы один и тот же, а парал-
параллельное перенесение требует
лишь знания касательных пло-
плоскостей поверхности вдоль
РазВертка
В
Рис 5.6-2.
Рис. 5.6-3.
пути перенесения, то результат перенесения будет оди*
наковым для конуса и для сферы (рис. 5.6-3).
5.63. Теорема Леви-Чйвита. Мы видели в пре-
предыдущих примерах, что. при параллельном перенесении
вектора по замкнутому контуру он, вообще говоря, не
возвращается в исходное положение, а оказывается ло-
5.63
§ 5.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
461
вернутым относительно исходного положения на неко-
некоторый угол. Мы ставим своей задачей вычислить этот
угол в случае двумерной поверхности.
Введем на рассматриваемом участке поверхности
Р2 с Ra полугеодезическую систему координат w, и
с первой квадратичной формой E.45 а)
ds2 = dw2 -+- G (w; и) du2.
Пусть-L— замкнутый кусочно-гладкий контур, по ко-
которому единичный вектор р мы будем переносить
параллельно в положительном направлении (т. е. от век-
вектора г\ = rw к вектору г2 = ги, или, что то же, от поло-
положительного направления линии u=const к положитель-
положительному направлению линии co=const). Обозначим через 5
область, ограниченную контуром L на поверхности Р2,
а через со — угол между век-
векторами р и rw, отсчитывае-
отсчитываемый от вектора rw в поло-
положительном направлении
(рис. 5.6-4). Нас интересует
величина
Л© = ф da>.
Рис. 5.6-4.
Поскольку (р, rw) =
= cos со, мы имеем
— sin (oda>— (dp, rw) -)- (p, drw} = (p, Drw), так как
у параллельно переносимого вектора р только вынуж-
вынужденный дифференциал может быть отличен, от нуля, а у
вектора rw существен только геодезический дифферен-
дифференциал. Последний можно вычислить (см. 5.6/) по формуле
В данном случае a — rw, так что с^ = I, % = 0 и, значит,
462 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.64
Далее, в полугеодезической системе E.45 а) Гп = Г12==
«= Гп = 0, Fi2 = -n -jr-; в итоге
1 Gm л__
Таким образом,
р, y-^-rfu • ru\ = -^-^-du • sinco
Отсюда
Полученное выражение мы преобразуем по фор-
формуле Грина 4.16 C); вспоминая, далее, что элемент
dS поверхности Яг вычисляется по формуле dS =
У EG — F2dwdu = YG dw du, окончательно получаем
J 2f
/g 2
1_?^
2 Л V Vg
Я
s-
в силу формулы для полной кривизны в полугеодезиче-
полугеодезической системе координат 5.45 A). Мы получили следую-
следующую теорему:
Теорема (Леви-Чивита). В результате параллель-
параллельного перенесения по (малому) замкнутому контуру L
каждый вектор поворачивается на угол, равный инте-
интегралу от полной кривизны поверхности по области S,
ограниченной контуром L.
5.64. Контур L может допускать и угловые точки.
Рассмотрим, в частности, контур L, образованный тремя
геодезическими линиями, образующими в точках пере-
5.64
§ 5.6. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
463
сечения А, В, С углы а, |3 и y (Рис- 5.6-5). Наряду с пе-
перемещаемым параллельно по контуру L единичным
вектором р, рассмотрим второй единичный вектор е, пе-
перемещаемый по следующему правилу: в начальный мо-
момент векторы р и е находятся в вершине А и напра-
направлены вдоль стороны АВ; затем они параллельно пере-
перемещаются по стороне АВ до вершины В; здесь вектор е
поворачивается в положи-
положительном направлении на
угол я — р, становясь ка-
касательным к стороне ВС;
далее векторы е и р па-
параллельно перемещаются
по геодезической ВС до
вершины С, где вектор е
поворачивается на угол
я—у» становясь касатель-
касательным к стороне С А; далее
векторы р и е перемеща-
перемещаются параллельно по гео-
геодезической СА до верши-
вершины А, где вектор е пово«
рачивается на угол я—а,
возвращаясь в исходное
свое положение. Так как при перемещении по геоде-
геодезическим углы между векторами р и е не меняются
E.62г), окончательное расхождение между векторами р
и е получится только за счет поворотов вектора е у вер-
вершин Л, Б, С и будет составлять величину Зя — (а -+-
H~P4"Y)- В сумме с поворотом Да» самого вектора р
мы получим отклонение вектора е от первоначального
Положения на величину До -+- Зя — {а + Р + y) • Н° на
самом деле в результате всех перемещений вектор е воз-
возвращается в исходное положение и его полный поворот
равен 2я. Мы получаем уравнение
2я = До + Зя — (а + р -f Y)>
откуда
J J Kds.
s
Таким образом, мы доказали теорему Гаусса:
сумма углов геодезического треугольника ABC равна
Рис. 5.6-5.
= 3T+ J J
464 гл- 5- КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
двум прямым углам с некоторой поправкой, положи-
положительной на поверхности положительной кривизны и от-
отрицательной на поверхности отрицательной кривизны;
для поверхностей постоянной кривизны эта поправка
пропорциональна площади, ограниченной геодезическим
треугольником.
ЗАДАЧИ
1. Написать выражение полной кривизны для поверхности
г = г(х,у).
2. То же для поверхности, заданной неявным уравнением
F(x, у, г) = 0.
3. То же для поверхности с метрической формой rfs2 =
= <p{u,v)(dui-\-dv'i).
4. Дано семейство поверхностей вращения, полученное смеще-
смещением одной из них вдоль осн. Строится новая поверхность вращения
с той же осью, ортогонально пересекающая все поверхности семей-
семейства. Доказать что гауссова кривизна К этой поверхности удовлетво-
удовлетворяет соотношению К = —К, где К есть гауссова кривизна поверх-
поверхности семейства в той же точке.
5. Найти геодезическую кривизну меридианов и параллелей на
поверхности вращения.
6. Горловая линия на катеноиде является геодезической. Как ве-
ведет себя геодезическая у, проходящая через точку Л(р, <p), не лежа-
лежащую на горловой линии, под таким углом ю к меридиану, что
р sin о т= ро, где ро — радиус горловой линии? Учесть, что касание
ею горловой линии запрещено теоремой единственнбстн для геодези-
геодезических, а пересечение — теоремой Клеро; последняя запрещает гео-
геодезической у коснуться также какой-либо другой параллели кате-
катеноида.
7. Описать те параллели на произвольной поверхности вращения,
вблизи которых наблюдается поведение геодезических, аналогичное
указанному в задаче 6.
8. Пусть L — линейчатая поверхность r(u,v) = /?(«) + vl(u')'
<или, что то же, однопараметрическое семейство прямых Я(«)). Для
близких прямых %(и), К(и + Ди) из этого семейства на прямой Х(и)
найдем точку М{и, Аи), в которой реализуется минимум расстоянии
до прямой К(и -j- Ди) (считая, что все прямые Я.(и) не параллель-
параллельны). Показать, что при Ам-*-0 точка М^и, Дм) стремится к предель-
предельному положению М(и) («центр» прямой %(и)). Геометрическое мес-
место центров образует стрищионную линию поверхности- L.
9. Стрикционная линия на однополостном гиперболоиде пере-1
секает образующие под острым углом. Показать, что если стрнк-
ционная линия пересекает образующие ортогонально, то всякая дру-
другая ортогональная траектория образующих отсекает на них вместе
со стрикционной линией равные отрезки.
10. (Продолжение). Показать, что единственная линейчатая по-
поверхность со средней кривизной, равной 0, есть геликоид.
И. Доказать, что если одна из главных кривизн Ки %ц, ...
поверхности S в Rn постоянна, то поверхность есть огибающая се-
17 ЗАДАЧИ 465
мейства сфер равного радиуса (или семейства плоскостей); при
этом не существует поверхности, у которой две главные кривизны
выли бы постоянны, отличны от 0 и друг от друга (А. Г. Костю-
чеико).
12. Доказать, что для обыкновенной точки М поверхности
S czRn существует такая окрестность U, в которой через каждую
точку А проходит одна и только одна геодезическая, исходящая из
точки М.
13. Доказать, что для обыкновенной точки М поверхности
S czRn существует такая окрестность U, в которой любые две точ-
точки Л и В соединяет одна и только одна геодезическая, вся дуга
которой от Л до В целиком лежит в U.
14. Показать, что поверхность S в пространстве /?4 = R
R(u,v)=r(u) + p(v), г (и) е $>. p{v)<=Rf\
где г (и) и р(и) описывают независимо друг от друга фиксирован-
фиксированные кривые в своих плоскостях, сама нзометрична плоскости, но
может не содержать ни одного отрезка.
15. Пусть яр = {г = {*i(u), .... хп(и)}, и=(щ, .... ир) &
ебс Rp] cz Rn есть р.-мерная поверхность в /?„. Элементарным
нормальным сечением, поверхности Яр в точке М е пр, определяе-
определяемым касательным вектором dr = {dxi, ..., dxn] и каким-либо нор-
нормальным вектором т, называется кривая пересечения поверхно-
стя Яр н двумерной плоскости, натянутой .на векторы dr н т. По-
Показать, что для поверхности л2= {г = {uj, u2, u\, u^Jj e /?4 в точке
@,0,0,0) по касательному вектору {1,0,0,0} нет ни одного эле-
элементарного нормального сечения.
16. Для той же поверхности пр, точки М и касательного век-
вектора dr полным нормальным сечением называется геометрическое
место точек пересечения поверхности Яр и (п — />+1) -мерной пло-
плоскости, натянутой на вектор dr и все п — р линейно независимых
нормалей к поверхности Яр в точке М. Доказать, что в обыкновен-
обыкновенной точке поверхности зХр (т. е. в такой, что rang -^—^Р) для
каждого касательного вектора dr соответствующее полное нормаль-
нормальное сечение есть гладкая кривая на поверхности яр.
17. Для той же поверхности ЯР обозначим через mp+i, ..., тп
ортонормнрованную систему нормалей в точке А1, зависящую -от
параметров и дифференцируемым образом. Показать, что дерива-
деривационные формулы для Гг и /Л; могут быть записаны в виде
s=l s=p+I
s=l s=p+l
466 ГЛ, 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 18
18. Для той же поверхности яр показать, что формула Гаусса
5.32 (8) сохраняется, если под В;/, ki понимать сумму миноров 2-го
порядка, построенных на строках с номерами i н / и столбцах
с номерами k и / по всем матрицам ||б^A, s = p-\-1, ..., п.
19. Для той же поверхности пр проверить, учитывая формулы
из задачи 17, справедливость следующих соотношений, обобщающих
формулы Петерсона 5.32 F), а также 532 (9) н A0):
п
_ \ rs Ь -+¦ | X j(^).,(v, s)
V=p+I
s=I s=P+l
20. Показать, что р.-мерная поверхность пр cr i?n может быть
построена однозначно с точностью до движения по известным
матрицам ||g,|||, |*/У1' 1^*'*'1» Удовлетворяющим соотношениям
задач 18 и 19, причем так, что
g~H = (rV rl)> b™ =" (rip mv) (v => /? + 1 n),
где г ^ r («) — ведущий вектор поверхности nk, rt = ¦ - ,
d2r{u) . , , .
r4~~d—5—' mv (v ==/'+'••••. n) — ортонормированная си-
система нормалей.
21. Для конуса К = 0 н по 5.63 после параллельного обнесения
по замкнутому контуру вектор должен возвращаться в исходное по-
положение. Однако, это не так E.61). В чем дело?.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 467
Историческая справка
В 1697 г. в письме к Лейбницу И. Бернулли поставил задачу,
которую можно считать первой дифференциально-геометрической
задачей: каковы кривые на данной поверхности, на которых реали-
реализуется минимум расстояния (по поверхности) между двумя задан-
заданными точками? Эти кривые И. Бернуллн назвал геодезическими лн
ннями. Уравнения геодезических линий на любой поверхности были
написаны Эйлером и Лагранжем в 1770-х гг. Тогда же Эйлер ука-
указал формулу для распределения кривизны нормальных сечений, а
также определил все поверхности, наложимые на плоскость. Линии
кривизны и асимптотические линии были введены Монжем в трак-
трактате «Приложения анализа к геометрии» A795); Дюпен и Менье,
имена которых связаны с кривизной кривых на поверхности,—
ученики Монжа. Главное значение для современной теории поверх-
поверхностей имела работа Гаусса «Общее исследование кривых поверх-
поверхностей» A827). В ней введены обе основные квадратичные формы,
полная кривизна (с помощью сферического отображения) и дока-
доказана теорема об ее инвариантности при изгибании. Эту теорему
Гаусс справедливо считал столь важной, что дал ей название theo-
rema egregium («превосходная, необыкновенная теорема»). Принци-
Принципиальное значение имеет введенное Гауссом понятие внутренней гео-
геометрии поверхности как совокупности ее свойств, не меняющихся
при изгибании. Гаусс нашел и внутреннее описание кривизны че-
через сумму углов геодезического треугольника. Формула Гаусса для
дифференцирования базиса касательных векторов, вместе с форму-
формулой русского математика К. М. Петерсона A853) для производной
нормали *) (все это — в скалярной форме, так как векторов тогда
еще не существовало), составили систему основных уравнений тео-
теории поверхностей. С помощью этих уравнений Бонне A867) уста-
установил теорему об однозначной определенности поверхности по ее
основным квадратичным формам.
Изгибаемость геликоида на катеноид подмечена впервые, по-
видимому, Днни A865). Псевдосфера построена Бельтрами в 1872 г.
Параллельный перенос вектора по поверхности определен в 1917 г.
Леви-Чивита, который с помощью параллельного обведения вектора
по замкнутому контуру выразил кривизну поверхности. Теорема
Леви-Чивита явилась обобщением теоремы Бонне A867), в которой
геодезический треугольник Гаусса заменен любой замкнутой кривой,
а сумма его углов — интегралом от геодезической кривизны контура.
Систематическое изложение многомерной днфференцнальной гео-
геометрии имеется в книгах: Эйзенхарт, Риманова геометрия, ИЛ,
1948; Схоутен и Строй к, Введение в новые методы дифферен-
дифференциальной геометрии, Гостехиздат, т. 2, 1956.
*) Эта же формула была найдена позднее итальянскими мате-
математиками Кодаццн и Майнарди.
ГЛАВА 6
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
В конце пятой главы, в задаче о ианшичееком представлении
поверхности постоянней отрицательной крдаизяы, мы увидели, что
метризация поверхности с помощью метрики вмещающего ее евкли-
евклидова пространства: становится стеенителытон, к будет лучше, если
мы сможем рассматривать поверхность как некий самостоятельный
объект, не связывая его заранее ни с каким вмещающим простран-
пространством и вводя метрику внутренним образом. Это и есть идея рима-
нова пространства. Само определение дается в § 6.3, после некото-
некоторых необходимых сведений из тензорной алгебры (§ 6.1) и понятия
элементартего дифференцируемого многообразия (§6.2). Вообще,
дифференцируемое многообразие — один из важнейших объектов
современного математического ан-ализа. Однако мы здесь не даем
общего определения дифференцируемого мттгообразргя; имея в виду
лишь локальную точку зрения, мы определяем элементарное диффе-
дифференцируемое многообразие (диффеоморфное шару) и, соответствен-
соответственно, элементарное римяново пространство, с которым и работаем
в дальнейшем. Общее определение дифференцируемого многообра-
многообразия будет дано в третьей части. Здесь наша основная цель — введе-
введение и изучение тензора кривизны (§ 6.5), его связей с кривизной
классической поверхности, рассматриваемой как элементарное рима*
ново пространство, и, в обобщение рассмотрений гл. 5, локальное
описание рнмановых пространств постоянной кривизны (§ 6.6).
§ 6.1. Алгебраическая теория тензоров
6.11. В книге Л5.6, мы уже говорили о тензорах1
в п-мерном пространстве. Напомним основные опреде-
определения.
В я-мерном линейном пространстве Яп можно вво-
вводить различные системы базисных векторов; мы будем
обозначать их е,, ..., еп; еу, .... еп,; ег, .... еп„
и т. д. Каждый вектор х может быть разложен по ба«
эисным векторам, так что
6.12 § 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 469
Индексы у координат вектора мы будем писать все-
всегда наверху-, а наличие или отсутствие штрихов укажет
на принадлежность координат соответствующему бази-
базису. Условимся, далее, не писать (но подразумевать)
символ суммы в тех случаях, когда индекс суммирова-
суммирования встречается в выражении под знаком суммы два-
дважды, один раз вверху, другой — внизу. Так, равенства
A), переписываются в виде
х = %let = %1'е., = 11"е.„ = ...
Элементы матрицы перехода от базисд (e.J к базису te.,1
обозначим через pj,, так что
(суммирование по индексу i, индекс i' имеет любое
фиксированное значение от 1 до п).
Элементы матрицы обратного перехода обозначаем
через pf, так что
(суммирование по /', индекс / фиксирован). Матрица Jpf
обратна к матрице fpj'.f» что можно записать равен-
равенствами
1 при I = г,
О при 1ф],
В дальнейшем будем обозначать через b\ элементы
единичной матрицы: б'==1 (/= 1, ..., п), б{ = 0 при
* ф j. Тогда равенства B) можно записать в форме
Произведение матриц р\„ и р\.
есть матрица перехода от базиса 1еЛ к базису [erj.
6.12. Теперь введем определение тензора.
а. Каждый тензор есть некоторая совокупность чисел,
зависящая от системы координат и преобразующаяся
при изменении системы координат по определенному
470 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.12
правилу, которое мы сейчас сформулируем. Начнем
с примера, от которого легко будет перейти к общему
определению.
Тензор Т, дважды ковариантный и один раз контра-
вариантный, есть набор п3 чисел Т% (i, j, k=\, ..., п),
зависящих от выбора базиса и преобразующихся при
переходе от базиса ех е„ к базису ev, ..., еп, по
правилу
с подразумеваемым суммированием в правой части по
?, /, k. В правой части два раза участвуют выражения
вида р\, — элементы матрицы перехода от базиса [ev\ к
базису {ег] и один раз — выражения р% — элементы
матрицы перехода от базиса {ek} к базису {ek'}. Цн-
дексы у самого тензора ставятся целесообразным обра-
образом, чтобы обеспечить выполнение правила суммиро-
суммирования; в данном случае индексы i, j, i', ]', стоящие
внизу, называются ковариантными, индексы k, k', стоя-
стоящие наверху, — контравариантными.
Определение A) выдерживает любое допустимое пре-
преобразование координат. Пусть мы имеем третий базис
ei" еП"\ тогда, с одной стороны, должно быть
jk» __ Dt Dt ok"Tk B)
а с другой стороны, должно быть,
I ;„/„ — Pi«Pj»Pk' I Vi>. V3)
Но нетрудно видеть, что с учетом A) равенство C)
влечет B) и обратно. Действительно, из C) и A) следует
в силу равенства pli,,p\, — p\,, и двух аналогичных. Таким
образом, определение тензора Г?/ корректно.
Задать тензор Т можно, например, так: в данном
базисе еи ..., еп назначить его составляющие Тц произ-
произвольно, а в любом другом базисе еу, ..., еп' определить
их по формулам A). Приведенные рассуждения дока-
доказывают корректность такого определения.
6J2 § 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 471
б. Аналогично для любых целых т^О и
определяется тензор jTJ.J ;;; ^ (или короче Г.]'), m раз
ковариантный и s раз контравариантный. А именно,
так называется система nm+s чисел, заданная в каждом
базисе и преобразующаяся при переходе от базиса [eft
к базису [et'} по формуле
Число m + s называется рангом тензора Т. Если
m = s —Q, то тензор Т имеет нулевой ранг; он пред-
представляет собой число, не зависящее от базиса.
Тензор т[1'" (s считается равным тензору такого же
строения Qj1"" Js, если для любого фиксированного
набора индексов iu ..., im, ju ..., /, соответствующие
составляющие совпадают в любой системе координат;
Т\1'" Is =Q(I ¦" [s. Впрочем, достаточно проверить такое
I "* m I ••" m
совпадение в одной какой-либо системе, так как в этом
случае совпадение составляющих в другой системе
получается из тензорного закона преобразования. За-
Заметим еще, что порядок индексов существен: вообще
говоря,
Tku ф Tit Ф TL
Смысл слов «контравариантный», «ковариантный»
объясняется просто: «ковариантный» значит преобра-
преобразующийся так же, как векторы базиса {et}, с помощью
коэффициентов р\,\ «контравариантный» значит пре-
преобразующийся противоположно, с помощью коэффи-
коэффициентов р'\
в. Тензор T'i)'... называется симметричным по нижним
индексам i, j, если T'ii'... = T)Y..., и антисимметричным
по этим индексам, если Л/'... = — Т)}'.... Достаточно
проверить свойство симметрии (антисимметрии) тензора
в одной какой-либо системе координат; соответствующее
свойство в другой системе выполняется в силу тензор-
тензорных формул преобразования; например, для случая
472 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.13
симметрии
тУ-'г... = PyPi— т\'{...= р\'р\'т'Ц"... = Т'г'г...
Аналогичное определение симметрии (антисиммет-
(антисимметрии) может быть дано для пары верхних (контрава-
риантных) индексов. Но симметрия по верхнему и ниж-
нижнему индексам, Т['.'.'. = Т)'.'.'., уже не имеет абсолютного
смысла, она не сохраняется при переходе к другой си-
системе координат.
г. Примером тензора, один раз контравариантного
(короче однокоитравариантного), является набор коор-
координат данного вектора х. Действительно, мы имеем
откуда
?=р&,
что и представляет собою закон .преобразования одно-
контравариантного тензора.
Аналогично, коэффициенты 1г линейной формы
L(x)=/j?» представляют собою однокоаариантный тен-
тензор; элементы а[ матрицы линейного оператора — тен-
тензор второго ранга, один раз ковариантный и один раз
контравариантный (JJ5.63).
д. Символ б,- также представляет собою тензор,
один раз контра- и один раз ковариантный; действи-
действительно, равенство
6*; = р\,рХЦ
имеет место по определению bkt в силу свойств матриц р?„
6.13. Действия с тензорами. Для тензоров
вводятся следующие операции:
а. Умножение тензора на число и сло-
сложение двух тензоров одинакового строе-
строения. Пусть, например, даны два тензора Tff и Qktj, оба
дважды ковариаитных и один раз -контравариантных,
и два числа аир. Образуем в каждой системе коор-
координат числа 3%, складывая при фиксированных i, j, k
T\ PQ^ В Sf
% р фр j
соответствующие величины aT\t и PQ^. Величины Sft,
определенные таким образом в любой системе коорди-
координат, образуют также тензор, дважды ковариантный и
6ДЗ § 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 473
один раз контравариантный, поскольку
б. Поскольку сложение тензоров и умножение их на
числа приводятся к сложению составляющих и их ум-
умножению на числа, для этих операций- выполняются
коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный за-
законы.
В частности, тензоры данного строения образуют ли-
линейное пространство. Поскольку тензор с m индексами
имеет п™ составляющих, размерность пространства тен-
тензоров с m индексами равна пт.
в. Умножение двух тензоров любогх)
строения. Например, умножим тензор Тц, дважды
ковариантный, на тензор S*; один раз ковариантный и
один раз контравариантный. Для этого умножим в ка-
каждой системе координат при фиксированных i, j, k, I
соответствующие составляющие Ttj и Slk. Мы получим
величины C^ijk = TtlSlk, зависящие от четырех индек-
индексов. Эти величины, определенные в каждой системе ко-
координат, образуют тензор, поскольку
и этот тензор — трижды ковариантный и один раз кон-
контравариантный. Аналогично определяется умножение
любых двух тензоров; тензор-произведение вбирает
в себя все ковариантные и все контравариантные ин-
индексы обоих множителей.
Следует заметить, что умножение тензоров, вообще
говоря, не коммутативно. Например, произведение»тен-
произведение»тензоров Si и Tj имеет составляющую, соответствующую
номерам i=\ и /=2, равную SiT2, а произведение тен-
тензоров Т{ и S] имеет составляющую, соответствующую
тем же номерам i=l и 7=2, равную S2Tl
г. Свертывание тензора по верхнему и
нижнему индексам. Эта операция применяется
к тензорам, имеющим по меньшей мере один контрава-.
474 гл- 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.13
риантный и один ковариантный индекс. Пусть, напри-
например, дан тензор Тц. Свернуть его по индексам i и k
означает: составить в каждой системе координат при
фиксированном индексе / числа
Здесь по индексу i в правой части подразумевается
суммирование. Полученные величины Qj, построенные
в любой системе координат, снова образуют тензор;
действительно, из равенства
1 i'i' Pi'"l'Pk l Ц
вытекает, что
= ЛДО7* = p',T'tl - p',Qr
Что получится, если свернуть тензор Т[ по обоим его
индексам? Величина Т\ не имеет ни одного индекса,
т. е. представляет собой одно число для каждой системы
координат, и это число не меняется при переходе из од-
одной системы координат в другую, т. е. является инвари-
инвариантом. Это подтверждается, независимо от предыдущего,
прямой выкладкой:
Таким образом, операция свертывания тензоров (по
одной, а может быть, и по нескольким парам индексов)
может приводить к получению инвариантов.
д. Переброс коэффициентов р\ из одной
части равенства в другую. Пусть дано равен-
равенство
рг& = тг, A)
где величины S' и Т1' могут иметь и другие индексы.
Предполагается, что индекс if свободный, т. е. не уча-
участвует в суммировании с другим индексом ir. Мы
утверждаем, что это равенство эквивалентно равенству
т. е. что коэффициенты pf можно перебросить из одной
части равенства в другую, переставив индексы. Дей-
6.14 § 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 475
ствительно, умножая равенство A) на р\, и суммируя
по i', мы получим
со свободным индексом k, который, можно, конечно,
заменить на i.
е. Сокращение на коэффициенты pf. Пусть
дано равенство
i;1pi:qi, B)
где величины S1 и Q* могут иметь и другие индексы.
Индекс I' предполагается свободным.
Покажем, что равенство B) эквивалентно равенству
т. е. что на коэффициенты pf можно «сократить».
Действительно, умножим равенство B) на р\, и сумми-
суммируем по k; мы получим
со свободным индексом k, который можно заменить
на /.
6.14. Решение тензорных уравнений.
а. Рассмотрим линейную систему уравнений
Rtlsl:r = Ty:.., A)
где Rif и ТУ... — некоторые тензоры указанного строе-
строения, причем det||/?t/||^= 0. Система A) позволяет при
каждом наборе верхних и "нижних индексов одно-
однозначно определить числа S1..'.''. Тем самым числа S[.\"
однозначно определяются для каждой системы коорди-
координат. Покажем, что эти числа снова образуют тензор.
При вычислениях ограничимся случаем тензора Т1Г
и неизвестных величин Si4. В силу A)
или же, согласно 6.13 д, е,
476 гл- 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6. J
из единственности решения системы A) в базисе {et)
следует, что
а это и означает, что величины SlQ образуют тензор.
б. Совершенно аналогичное рассуждение показы-
показывает, что и уравнения
где R и 7 —тензоры указанного строения, det (| /?/ jj=?^O,
det|/?''|| ф О, a S.'.'. — неизвестные величины, имеют
своими решениями тензоры S." указанного строения.
в. Другой пример доставляется системой уравнений
r:::*|»=s:::, B)
где ?,к, ..., ?fe суть п линейно независимых одноконтра-
1 п
вариантных тензоров, так что det||| ||=И=0, а индексы
у тензоров S'.'.'. совпадают с соответствующими ин-
индексами величин 7J" k, замененными многоточиями.
Система B) позволяет при всех значениях невыпи-
санных индексов определить однозначно величины Т"'. k-
Покажем, что Т'.'.'. k есть тензор того же типа, что и S'.'.\,
с дополнительным ковариантным индексом k. Проведем
выкладку для определенности для тензоров S?q и ве-
величин T?Qk. Переходя к базису {е?}, можно написать
if m Qin' pm /x.w t.k mm fetfe'
qPm^.r'q ^rq— J rQkf ~JrqkPk-f '
Smr г q rn' k
==PPPP
i rqk>
откуда, в силу единственности решения системы B)
в новой системе координат,
1 r'q'k' = Pr'Pq'Pm Pk'1 rqV
что и требуется.
6.Г5 § 6.1, АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 477
г. Можно рассмотреть более сложную систему
Г... *.k т о-«.
...kmC,t\ =О...,
t i a
где ?ft — система линейно независимых векторов, г\т —
система линейно независимых векторов, а замененные
многоточиями индексы у тензоров S'\\ такие же, как
«7
на соответствующих местах у тензора Т'.'.'. km. В этом
случае Т[" km оказывается тензором такого же строения,
что и S..'., с двумя дополнительными ковариантными
индексами k и т.
Для доказательства положим
r:;.kmt = R\:\m, C)
мы имеем R\\\ т *{" = S'.W, и по доказанному в в R'.'.'. т
I i «7 i
при каждом / есть тензор того же строения, что и S.'.'.,
Ч
с одним дополнительным ковариантным индексом т.
Применяя теперь в к уравнению C), приходим к тре-
требуемому утверждению относительно величины T.'.'.kn»
Очевидно, что аналогичный результат будет иметь место
и для еще более сложных систем, например, вида
r::.kmri\mir=s::. в т. д.
ill Щ
6.15. Бивектор.
а. Пусть ? и ц — два вектора. Тензор
называется бивектором, порожденным векторам^ ? и г\.
Составляющие бивектора f11 суть миноры 2-го порядка
в матрице
IV I2 ... Iя
г,1 ц2 ... if
B)
из координат векторов ? и щ. Ясно, что бивектор f не
изменится, если к вектору tj прибавить вектор |
478
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.15
с любым числовым множителем. Таким образом, по би-
бивектору f, т. е. по минорам матрицы B), сами векторы |
и т) не определяются однозначно.
Поставим вопрос: какую геометрическую информа-
информацию о векторах ? и т) дает нам знание бивектора f?
б. Прежде всего, по составляющим бивектора f мы
можем однозначно определить плоскость векторов ? и
т). Действительно, условием принадлежности вектора
т=т'"е,- к плоскости ?, т) является выполнение равенства
вида т—Cig-|-С2т], или, что то же, линейная зависи-
зависимость строк матрицы
I"
г,"
т"
C)
Иначе говоря, ранг матрицы C) должен быть меньшим
3, так что все миноры 3-го порядка этой матрицы рав-
равны 0. Разлагая миноры 3-го порядка
1 I1 I
Т]
г)*
по последней строке и приравнивая результаты нулю,
получаем ряд условий принадлежности вектора т к пло-
плоскости |, т], выраженных через миноры 2-го порядка
матрицы C), т.е. через составляющие бивектора f.
в. Заменим векторы ? и г\ на их линейные комбина-
комбинации
= ct"t _|_ '2 ' } D)
и найдем бивектор, порожденный векторами р и q:
а22т/
a,,
a2.
«22 I И
\l
Таким образом, в результате подстановки D) бивектор
[?, т]] получает числовой множитель det ||a,-,-||. Назовем
6.16 § 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 479
пары |, т] и р, q D) равновеликими, если det ||ctj.jll = 1.
Для равновеликих пар составляющие бивектора f оди-
одинаковы: [р, q]ij==[l, т)]Ч Можно разбить все пары век-
векторов |, т) в их плоскости у на взаимно непересекаю-
непересекающиеся классы равновеликих пар; тогда можно сказать,
что составляющие бивектора [|, г\] определяют одно-
однозначно, во-первых, плоскость у и, во-вторых, тот класс
равновеликих пар, который содержит пару |, т). Любой
другой класс можно получить, умножая бивектор [|, ц]
на надлежащее число.
6.16. Мет рический тензор. Скалярное произ-
произведение (х, у) в пространстве Rn может быть введено
как значение G(x, у) некоторой билинейной формы,
симметричной (G(x, y) = G(y, x)) и положительно опре-
определенной {G(x, x) > 0 при хФО). В координатной
форме G(x, у) имеет вид
(u)S2 gi,i4guZ4, ()
где x=^iei, у=цзе}, gij — некоторые числа.
Можно сказать, что задание формы G(x,y) равно-
равносильно заданию тензора gij, дважды ковариантного,
симметричного (ga=gji) и положительно определенно-
определенного (gijpi,* > 0 при | ф 0). Действительно, при наличии
такого тензора ga выражение A) для любой пары век-
векторов (одноконтравариантных тензоров) представляет
собою числовую величину, которая удовлетворяет аксио-
аксиомам скалярного произведения. Тензор gu с указанными
свойствами называется метрическим тензором. Наличие
метрического тензора ga превращает аффинное про-
пространство Rn в евклидово пространство, в котором воз-
возможно измерять длины векторов и углы между ними,
площади фигур и объемы тел.
Матрица ga не вырождена, поскольку она положи-
положительно определена, а потому имеет обратную матри-
матрицу gih:
= Ы[, i, k = l п. B)
В силу 6.14 числа gih образуют дважды контрава-
риантный тензор. Если взять, к примеру, произвольный
480
гл- 6- РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.17
тензор 7|у (указанного строения), то тензоры
т =Tk 0 Tks = Tk pis Trks — TksPlr
называются сопряженными с Т\, относительно тензора^.,.
Заметим, что для тензора gi{ существует в про-
пространстве Rn базис, в котором
-{
0 при / ФI,
1 прн / =-•/,
именно базис, ортогональный и нормированный по от-
отношению к скалярному произведению A). Эти числа
обозначают также Ьц.
6.17. а. В евклидовом пространстве /?„ площадь па-
параллелограмма, построенного на векторах | и ц, может
быть выражена через составляющие бивектора [g, tj].
Действительно, площадь S этого параллелограмма вы-
вычисляется по формуле 3.55 B):
S2-
(Б, Б) (Б. ч)
(ч. I) (ч. п)
Переставляя индексы i и /, а также Л и I, получаем
I1 I1
. B)
C)
Из A) и B) следует, что
Б* I'll!* I
ч1 ч' II ч* ч
Далее, переставляя в C) индексы k и I, находим, что
Б1
1 Ч
D)
ч' ч'
I' I'HE'
ч'
Ч* П1
в.17
§ 6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ
481
E)
и, значит,
gik ёи III* I1
8ik 8и II *)' *l'
Формула E) и дает искомое выражение S через соста-
составляющие бивектора [|, *j].
б. Величина Gijihi=gihgji~gjhgii представляет со-
собой минор в матрице Ilgt-j||, построенный на строках
с номерами i и / и столбцах с номерами k и I. По своей
структуре эта величина есть тензор, четырежды кова-
риантный.
Тензор Gjj, ы называется производным метрическим
тензором. Из формулы E) видно, что площадь парал-
параллелограмма, построенного на векторах | и tj, зависит не
от самих этих векторов, а только от бивектора [%, г\].
Поэтому имеет смысл понятие «площадь бивектора»,
как число, равное площади любого параллелограмма
в классе всех параллелограммов, определяемых данным
бивектором. Если площадь бивектора {?, tj] равна 1, он
называется единичным бивектором; все параллелограм-
параллелограммы, определяемые этим бивектором, имеют площадь,
равную 1. Любой другой бивектор [?, т], скажем пло-
площади S, в той же плоскости у получается из единичного
бивектора умножением на число S.
в. Тензор Gijthi в силу самого своего определения
антисимметричен по индексам / и /, антисимметричен
по индексам k и I и не меняется при одновременной за-
замене i на k и j на /. Он удовлетворяет еще одному со-
соотношению, называемому тождеством Риччи:
G/y.fti + G/fc.H-f GM.y, = 0. F)
Слагаемые в этой сумме получаются при циклической
перестановке трех первых индексов при ^фиксированном
четвертом. Так как это тождество с тензорами, то его
достаточно доказать в одной какой-либо системе коор-
координат. Возьмем систему координат, в которой тензор
gii имеет составляющие бг^, равные 0 при 1ф\ и 1 при
Равенство F) в этой системе координат принимает
вид
482
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.18
Если 1ф1, l?=j, 1фК в выписанных определителях вто-
вторые столбцы равны 0 и равенство удовлетворяется.
Пусть / совпадает с одним каким-либо из индексов i,
/, k. Вследствие симметрии по i, j, k достаточно пред-
предположить, что l=i, 1Ф\, 1фк. Тогда в среднем опреде-
определителе второй столбец равен нулю; сумма первого и
третьего принимает вид
О 1
Ь,ь О
6ft/ О
О 1
0
0
1
1
"*"
1
0
1
0
+
0
1
0
1
Пусть I совпадает с двумя какими-либо из индексов I,
I, k; для определенности l=i—j, 1фк,. Тогда сумма
трех определителей принимает вид
= 0.
Наконец, если l=i=]=k, то все определители обра-
обращаются в нуль, поскольку все они состоят лишь из еди-
единиц. Таким образом, тензор Giji ы действительно удовле-
удовлетворяет тождеству Риччи.
6.18. Тензоры типа Риччи.
а. Четырежды' ковариантный тензор Tijt ы назы-
называется тензором типа Риччи, если для него выполняются
следующие соотношения:
Тц.ы — — Тц,ы (антисимметрия по i и /); A)
T{i,ki — Tki,ti (симметрия по парам /, / и k, /); B)
Тц, м + Tlk, и + Tkl, ,i = 0 (тождество Риччи). C)
Из A) и B) следует антисимметрия по индексам
k и /:
Тц. ik — Tik, tf = — Tki, ц = — Тц. kt- D)
Примером тензора типа Риччи служит производный
метрический тензор G^w F.17в). С другими важными
примерами мы встретимся далее.
Очевидно, тензоры типа Риччи можно умножать на
числа и складывать; в результате снова получаются тен-
тензоры типа Риччи.
б. Пусть дан бивектор г=[х, у], г*}=?*г\* — &г\*.
Рассмотрим свертку тензора Риччи 7^-р ы и двух равных
6.18 § 6-l- АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 483
бивекторов z:
Т(г, z) = Tlhklzllzkt. E)
В каждой системе координат эта свертка есть число,
зависящее от бивектора z.
Оказывается, что все составляющие тензора типа
Риччи однозначно определяются по результатам свер-
сверток E) со всевозможными бивекторами г.
Для доказательства достаточно проверить, что ра-
равенство T(z, z) = 0 влечет Тц,ы = 0) при всех i, /, k, I.
Пусть известно, что
Т (г, z) = Ttl. klzilzkt = Ttl, ы (ГУ - IV) ги =
Меняя местами во втором слагаемом индексы i и / и
затем заменяя Tj{- kl на — Тцъ ы, мы находим
так что
Поступая аналогично с множителем zkt = %kr\l — |'t)fe,
получаем
Это равенство должно выполняться при всех значениях
I1, ..., I", тI, ..., т)" и всех значениях /, /, k, l от 1
доп. Фиксируем i = k, /==/ и положим х = @, ...
..., 1, ..., 0), у = @ 1, ..., 0); мы получим для
i i
любых i, j
Тч.ц = 0. F)
Фиксируем / = k, j ФI и положим х = @, ..., 1, .... 0),
у = @, ..., 1, ..., 1, ..., 0); мы получим
Тц, и + Тцш I/ = 0.
В силу свойства B) это приводится к равенству
^/.«==0 G)
484 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
при любых г и / ф I. Используя A) и D), находим
также, что
/*, U — и (о)
при любых i и 1ф\. Фиксируем i=#=fe, \ф1 и положим
*=<о. -..,/ 1,..., о),
У = @, ..,, 1 1, ..., 0)
мы получим
Тц, kt + Tkli и + TiU щ + Tklt i} = 0.
В силу B) это соотношение сводится к
Т.. ., J.T., .. — О fQ\
1 i], WT' ft/, il — "• \p)
Меняя местами i и / и используя A), получаем
Г|1.« + Г|*.И = О- A°)
Напишем еще равенство, непосредственно вытекающее
из A),
Тц.ы + Тц.ы = П, (И)
и три равенства (9) — A1) сложим; в силу тождества
Риччи C) вторые слагаемые в сумме дадут нуль, и по-
после сокращения на 3 получаем, что при гфк, \ф1
Ta,ki = 0. A2)
В соединении с F) и G) это означает, что все соста-
составляющие тензора Тцг м равны 0, и утверждение дока-
доказано.
§ 6.2. Элементарное дифференцируемое многообразие
6.21. а. Пусть М есть множество, равномощное шару
в ft-мерном пространстве Rn- Таким образом, можно
ввести на М вещественные координаты хх, ..., хп, так
что точка х= (хх, ..., хп) будет описывать в простран-
пространстве Rn открытый шар. Наряду с координатами
Xх, ..., хп будем рассматривать на М также любые
другие координаты хх', ..., хп',. связанные с Xх, .. .,хп
S 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ 485
взаимно однозначно соотношениями вида
X •3== X уХ у •* • ф } X ))
X — X \Х | • • • у ОС jj
A)
где функции л^'С*1. • •., х") обладают непрерывными про-
производными до порядка N, а матрица U . •••. х) не
о \х , •. •, х )
вырождается. Такие системы координат назовем допу-
допустимыми. Множество М = Мп, n, снабженное набором
допустимых систем координат, назовем элементарным
дифференцируемым многообразием размерности п (ко-
(короче, и-мерным), класса Dp, (или просто N).
Если допускаются лишь такие системы координаты
Xх, .... хп, для которых функции A) бесконечно диф-
дифференцируемы, то многообразие М, по определению,
принадлежит классу /)«,.
б. Два дифференцируемых многообразия М\ и М2
размерностей щ и п^ и классов N\ и А^г соответственно
считаются эквивалентными, если nl=n2=n и N\ =
=N2=iN. Тогда между точками этих многообразий
можно установить такое взаимно однозначное соответ-
соответствие, при котором координаты точки многообразия Мг
являются функциями класса N от координат соответ-
соответствующей точки многообразия М\. Более того, соответ-
соответствие можно установить так, что эти функции будут ли-
нейнымн. Действительно, координаты на многообразии
Mj устанавливают соответствие между МЛ и шаром
в /?п и тб же делают координаты на многообразии М2;
но всякие два шара в /?,„ можно перевести друг в друга
с помощью сдвига и сжатия, т. е. с* помощью линейных
функций.
6.22. Примеры.
а. Является ли открытый круг в плоскости диффе-
дифференцируемым многообразием?
Ответ. Вопрос лишен смысла, пока не указаны до-
допустимые системы координат.
б. Является ли дифференцируемым многообразием
круг в плоскости, описываемой полярными координатами
р < 1, 0 ^ <р «г: 2л, считая допустимыми координатами
486 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.23
все те, которые связаны с р и ф зависимостями типа A)
фиксированного класса DN?
Ответ. Нет. Множество значений параметров 0^
^р<1,0<ф^2я не есть открытый круг в плоско-
плоскости р, ф, где р и ф считаются прямоугольными коорди-
координатами.
в. Является ли дифференцируемым многообразием
круг в плоскости, выделяемый неравенством в прямо-
прямоугольных координатах х2 + У2 < 1, причем допустимы-
допустимыми координатами считаются х и у и те, которые связаны
с х и у зависимостями типа A) фиксированного клас-
класса DN?
Ответ. Да, является.
г. Является ли дифференцируемым многообразием
множество М на плоскости, выделяемое условиями
(рис. 6.2-1)
*;>0: у — х, 0<х< 1,
с координатой s (длина дуги), отсчитываемой от точ-
точки О вправо со знаком -}-, влево со знаком —, и с до-
допустимыми координата-
координатами — любыми функциями
a^=q>(s), имеющими не-
непрерывные производные
до порядка N, причем
Ответ. Да, является.
Оно эквивалентно мно-
многообразию М] =
= {— 1^2" < s < УЩ или
даже многообразию М2—
= {— 1 <«< 1} на вещественной оси с такими же до-
допустимыми системами координат.
6.23. Некоторое свойство, выраженное в координа-
координатах х1, ..., хп, называется абсолютным или геометриче-
геометрическим свойством многообразия М, если оно имеет такое
же выражение и в любой другой допустимой системе ко-
координат.
а. Например, будем считать, что последовательность
точек А\, ..., Ат, ... многообразия М сходится к точ-
точке А этого многообразия (в записи Ат-*А), если в не-
6.23 § 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ 487
которой системе координат х1, .... хп имеем при т—>-<х>
х1 (Ат) -> х1 (А), .... хп (Ат) -> хп (А).
Тогда в любой другой допустимой системе коорди-
координат Xх', .... х* имеем также
Xi'(Am)r*xl'(A), ..., х"'(Ат)-*х"'{А)
в силу непрерывности дифференцируемых функций
xl'(xx, ..., хп). Таким образом, свойство Ат-+А есть
абсолютное свойство многообразия М.
б. Пусть х1=х*A) (»=1, .... и; а < * < Ъ) —на-
—набор k раз дифференцируемых функций; геометрическое
место L соответствующих точек (х1 (t), ..., хп (t)) e Af
назовем k раз дифференцируемой кривой на многооб-
многообразии М. При переходе к другим координатам получаем
... *»(/)) (/'= 1, ..., п);
это — также набор k раз дифференцируемых функций
от t, если только k ^ N. Таким образом, понятие «ft раз
дифференцируемая кривая на многообразии М» являет-
является абсолютным при k ^. N.
в. Точка А = [х' (t0), ..., хп(tQ)} e L с М на кри-
п
вой L называется обыкновенной, если Л. —х > О,
?=1
л
и особой, если ^. —,. = 0. Поскольку в любой
другой системе координат
их1' (t) _ у ах'" dxl (/)
| ^l" dt '
мы видим, что точка А, особая на кривой L в одной си-
системе координат на М, будет особой на кривой L и в
любой другой системе координат. Таким образом, поня-
понятие «особая точка», а вместе с ним и понятие «обык-
«обыкновенная точка» являются абсолютными.
г. Аналогично, при k ^ N является абсолютным по-
понятие «k раз дифференцируемая s-мерная поверхность
Р на многообразии М»; так называется геометрическое
488 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.24
место точек, определяемых в координатах х1, ..., хп си-
системой уравнений cs<n параметрами
x? = >t{h /,), i = l, .... п, / = (/„ .... ts)<=Gc:Rs,
где функции х' (А, • • ¦» '?) имеют непрерывные произ-
производные до порядка k.
д. Точка А е Р называется обыкновенной точкой по-
поверхности Р с= М, если ранг матрицы ¦ , pa-
, pall &t' И
вен s (числу параметров), и называется особой, если
ранг этой матрицы меньше s. В силу равенства 1.33 G)
I дх1' 1 II ах1' III! дх1II
at' I
и вытекающего из него соотношения между минорами
s-ro порядка левой части и минорами s-ro порядка вто-
второго множителя правой части, точка Л, особая на по-
поверхности Р в координатах [х{\, будет особой и в коор-
координатах {*''}. Таким образом, понятие «особая точка»
на поверхности, а вместе с ним и понятие «обыкновен-
«обыкновенная точка» также являются абсолютными,
6.24. Касательное пространство. Пусть
А е Мп — фиксированная точка. Рассмотрим дифферен-
дифференцируемую кривую L—{x е М: х*=х{У), а ^ t sc: b\ на
многообразии Мп, проходящую через эту точку. Набор
чисел (g1 ln), где
по определению, образует касательный вектор к кри-
кривой L в точке А. Такие касательные векторы заполняют,
очевидно, все и-мерное пространство Rn, так как любой
вектор (I1, .... I") e Rn является касательным к неко-
некоторой кривой L с: М„, например к кривой
проходящей через точку А при t=0. Пространство /?„
при указанном сопоставлении обозначается Т„(у4) и на-
называется касательным пространством к многообразию
М„ в точке А. Базисом этого пространства являются
§ 6-2- ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ
векторы, касательные к кривым
*'(*) = *'(Л)+ # (/, /=1 п)
(«координатные линии, проведенные через точку Л»).
Каждое допустимое преобразование координат
xi' = xi'(x1, ..., хп) приводит к некоторому линейному
преобразованию в касательном пространстве в точке Л.
А именно, мы имеем в системе координат х1'
fl. dxi'(A)_ у dxl'(A) dx'jA) ,, ,
ё dt A дх1 dt Р'ё'
где pf = т~^-. Чтобы увязать этот результат стен-
дх
зорными правилами, необходимо написать еще формулы
соответствующего преобразования базисных векторов.
Новый базисный вектор е{> представляет собой каса-
касательный вектор к новой координатной линии хУ, т. е.
касательный вектор к линии х1' — х1' (Л), ..., х1' = х''(А) +
+1, .... хп' = хп' (А). При этом
дх1' dxl(A\_n дх1' dxl(A) . дх11' dxl (A)
дх1 dt ~^"-".дх{ dt дх1 dt '
и, следовательно, для этой линии
^ \ЛА), A)
где Jр\,(А)| — матрица обратная к матрице |р|'(Л)|]; эта
обратная матрица, как следует из 1.33 б, состоит из
дх^ (А)
элементов р\, = —г-. Умножая A) на е{ и суммируя
по /, находим
Таким образом, величины Ъ* образуют одноконтрава-
риантные тензоры в касательном пространстве в точ-
точке А. Для М =Мп N функции pf (р\Л имеют порядок
гладкости ^ N — 1.
Мы можем определить далее тензор произвольного
строения в касательном пространстве Т„(Л). Например,
тензор Тц (Л) есть система п3 чисел, зависящая от
490 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.25
системы координат на Мп и при переходе от координат
х\ ..., хп к координатам х1', ..., хп' преобразующаяся
по формулам
1 i'i' Pi'fyPk l W
где, как и выше,
nt . дх1 (А) дх'(А)
Pi'~ дх1' ' Pi'~ дхГ '
Таким образом, в касательном пространстве ТП(Л) мо-
может быть реализована вся тензорная алгебра, описан-
описанная в § 6.1.
6.25. Тензорное поле.
а. Если в каждой точке х е М„ задан тензор фикси-
фиксированного строения, например тензор Тц{х), и его со-
составляющие имеют производные по координатам до по-
порядка т, мы говорим, что задано на многообразии Мп
тензорное поле Т%{х) порядка гладкости га. Из основ-
основного соотношения
и наличия у функций р\,(х), р\,{х), />*'(*) производных
до порядка N — L следует, что при m ^L N — 1 свой-
свойство поля Tkii(x) иметь производные до порядка тесть
абсолютное свойство.
б. Пусть, например, на многообразии Мп класса N
задана'Числовая функция f(x), имеющая по координа-
координатам хх, ..., хп непрерывные производные до порядка
m <. N включительно. Можно сказать, что функция f (x)
определяет на многообразии Мп тензорное поле нуле-
нулевого ранга.
Составим в каждой точке х е Мп величины
df(x) д[М df (x) .
дх1 ' дх2 ' ¦¦¦' дх" •
мы утверждаем, что они образуют тензорное поле пер-
первого ранга, именно один раз ковариантное поле поряд-
порядка гладкости га — 1. В самом деле, в другой системе
координат Xх', ..., хп>
df(x) _ df(x) дх' __ , df(x)
дх1' ~ дх1 дх1' Pi' дх1 '
6.26 § 6.2. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ 491
а это и есть закон преобразования составляющих одно-
ковариантного тензора. Что же до порядка гладкости,
то ясно, что из га-кратной дифференцируемое™ функ-
функции f(x) следует (га — 1)-кратная дифференцируемость
, „ df (x)
функции —-J-.
в. Можно рассматривать тензорные поля, определен-
определенные и не на всем многообразии Мп, а на линии или
поверхности в М„; определение порядка гладкости поля
сохраняется и в этих случаях.
Тензорные поля порядка гладкости т, заданные на
всем Мп или же на одной и той же линии или поверх-
поверхности, можно складывать между собою, умножать друг
на друга и свертывать (в каждой точке); мы будем
получать при этом снова тензорные поля порядка глад-
гладкости га.
6.26. Однако дифференцирование тензора по коорди-
координатам- (вдоль линии или поверхности, где он задан) уже
не приводит к тензорным величинам.
Пусть Г{»'" [т (х) — дифференцируемое тензорное
поле.
Найдем формулу преобразования для величин
дт'\ '.'¦' к
дхг
Обозначая р\,т. = —t,X r, (и аналогично другие вто-
ОХ ОХ
рые производные), мы получаем
дт'\'"'т , . , ч
дх'' дх'' \Pi[ ''' P'ft h "' Im h — hl
hh I'm dT'\'-'-'% ,
-+>\-'fz/rA"'Г"-- A)
492 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6,31
Если бы в этой сумме был только первый член, преоб-
разоваиие величин —~г— производилось бы по тен-
тензорному закону (к имеющимся индексам присоединился
бы еще один ковариантный индекс г). Однако наличие
членов, содержащих вторые производные, усложняет
закон преобразования. Количество дополнительных чле-
членов равно числу индексов у исходного тензора. Каждый
ковариантиый индекс дает член с множителем вида
р\,г,, каждый контравариантный индекс дает член с
множителем вида р?грТг,. Например-, для производных
одноконтравариантного тензора |г" имеем
|^ |^ B)
или, учитывая, что dxk' — p%dxk,
Для дважды ковариантного тензора gij(x) имеем
§ 6.3. Элементарное риманово пространство
6.31. а. Элементарное дифференцируемое многообра-
многообразие Мп называется элементарным рамановым простран-
пространством, если на Мп задано тензорное дважды ковариант-
ное поле ga(x), которое в каждой точке является
симметричным (ёц(х) — gji(x)) и положительно опреде-
определенным. Последнее означает, что для любого ненулеврго
одноконтравариантного тензора ?*(*) имеет место не-
неравенство
б. Два элементарных римановых многообразия Mi и
М2 называются эквивалентными или изометрическими,
если на них можно ввести допустимые координаты так,
что величины gij(x) будут выражаться одинаковыми
функциями От координат как на Ми так и на М%. Мы
6.31 § 6.3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО 493
встречались уже с этим' понятием в теории поверхно-
поверхностей — там изометрия, по вполне естественным геоме-
геометрическим причинам, называлось изгибипием.
в. В элементарном римановом многообразии М„
для двух касательных векторов (одноконтравариатетных
тензоров) ? = {?'(*)} и ц = {цг(х)} можно определить
скалярное произведение F.16}
вводящее метрику — длины векторов и углы между
ними —' в каждое касательное пространство Тп(х).
В частности, для базисных векторов касательного
пространства Т„ (х) имеем
— равенство, которое служило ранее определением чи-
чисел gtj.
г. Метрика в касательных пространствах позво"
ляет ввести метрику и на самом многообразии М„. А
именно, элемент дуги кривой L={x^Mn: хг — хг{г),
a^.t ^.b} в точке Pel мы определим ло формуле
ds2 = gt, (P) dxl dx' = | dxlet p.
Тогда длина всей кривой L между точками А и В, от-
отвечающими значениям параметра t = а и t'= b соот-
соответственно, вычисляется по формуле
в ь
s= J
А а
„t, ч dxl(t) ^
где !(*)==—Jt' Это выражение, в силу его тензор-
тензорного характера, уже не зависит от системы координат.
Если кривая L не имеет особых точек (тензор \l(t) не
обращается в 0), то длина дуги s от точки А до теку-
текущей точки P = P(t) как функция t имеет ненулевую
производную; поэтому существует обратная функция
i—t(s), последовательно, кривая может быть задана,
как в обычной дифференциальной геометрии, натураль-
натуральным параметром s — длиной дуги.
494
ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
6.32
д. Измерение площадей и объемов на римановом
пространстве проводится тем же приемом, что и на по-
поверхности в евклидовом пространстве Rn-
Пусть, например, имеется двумерная поверхность
Q = {xeMn: xi — xi(и, v), (u,o)eQcR2}. Тогда диф-
дифференциалы du и dv определяют в касательном про-
пространстве 1п(х) элементарный параллелограмм со сто-
сторонами
дх , дх^ , дх , дх' ,
~т ах^~=^ а аи * &'i и -у av —== ^ av * с/
и с площадью F.17 а)
дх , дх
.do"
5«
дх
дх
дх
дх
-к—dv, s—dv\
dv dv j
A)
где
ldx_ j)xA p ldx_ dx\ r (d*_ &x\
"la«' du)' ~~ \ du ' dv}' U ~ \ dv ' dv)'
Интегрируя величину dS по области Q, получаем пло-
площадь этой области
S(Q)= | J VEG — F2 du dv.
й
6.32. Параллельный перенос. Введем теперь
понятие параллельного переноса одноконтравариантного
тензора |г" вдоль кривой L = (хе М„, хг = x'(t), a ^
^ t ^ b). В теории поверхностей параллельный пере-
перенос был определен из некоторого геометрического по-
построения, в результате которого было получено диффе-
дифференциальное уравнение 5.62 A) с коэффициентами Г^;.,
выражающимися определенным образом через вели-
величины gij. Здесь мы определяем параллельный перенос
как решение дифференциального уравнения
где Г^. (х) — некоторые функции от х. Эти функции
Tti(x) выбираются с таким расчетом, чтобы скалярное
6.32 § 6-3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО 495
произведение тензоров %' и ц1 (как и при параллельном
переносе векторов на поверхности) не менялось при
параллельном перенесении вдоль любой линии L, иначе
говоря, чтобы вдоль любой линии L величина
<?.ч) = &/&У B)
оставалась неизменной. Для определения коэффициен-
коэффициентов Г?;(х) продифференцируем B):
О = rf(g»;|V) = d8tjl4 + ёи <%Ч + gal1 drjf.
Вставим здесь выражение dgii=-Q^rdxr и выражения
rf|' из A) и rftj' из аналогичного равенства, причем из-
изменим индексы суммирования так, чтобы всюду фигури-
фигурировали лишь dxT, %?, if:
дй
О = -$- l"rfdx' - giFe&xf dxr - gp
Отсюда, в силу произвольности полей |, г\, а также
пути L,
Обозначая
Г =е Г'
pr, q в iq* pr'
это же равенство записываем в форме
дхг
Наложим на величины Гг/ (и тем самым на Г*/, k) усло-
условие lij = Гц, т. е. условие симметрии по индексам i, /;
тогда из равенств
496 Wl- 6. РИМАНОВА РЕОМЕИЧЗД «,33
складывая два первых соотношения и вычитая третье,
находим,
Коэффициенты Г,,, R теперь определены однозначно.
Вместе с ними определены однозначно и коэффициенты
где ||g**||, как обычно, есть обратняя матрица, по отно-
отношению к Il^jjll. Будем выбирать в дальнейшем коэффи-
коэффициенты Гц,* и It/ именно по формулам D), <5). Заме-
Заметим, что в силу этих формул величины Г^_ k и Гц
являются симметричными не i и /. Тем самым обеспечи-
обеспечивается построение параллельного переноса вдоль любой
кривой L по формулам A), лереноса, который не будет
изменять скалярного произведения B). В частности, он
не будет изменять длин векторов (одноконтравариант*
ных тензоров) и углов между ними.
Кроме того, дифференциальное уравнение парал-»
лельного переноса A) — лилейное однородное уравне-
уравнение, так что его решения можно складывать и умножать
на числа, получая снова решения. Отсюда следует, что
если вдоль кривей L параллельно переносится вектор
l(t), то вдоль этой кривой параллельно переносится и
вектор Cl(t) при любой постоянной С; вместе с векто*
рами ?(/) и i)(t) параллельно переносится вдоль кри-
кривой L и их сумма ^.(/) 4- лЮ-
6.33. Коэффициенты Г,3-, h выражаются через произ-
производные тензора. gi3- и потому при переходе к новым ко-
координатам преобразуются не по тензорному закону. Ис-
Используя формулу 6.26 D), мы можем написать
§ 6.3, ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РНМАНОВО ПРОСТРАНСТВО 7
Изменяя индексы суммирования в двух последних сла-
слагаемых так, чтобы везде фигурировали величины gik,
находим
Теперь для коэффициентов Т% мы получаем
*/'/'—ё 1t'f',s'
Формула преобразования, как мы видим, не тензорная:
мешает последний член, содержащий вторые производ-
производные ««штрихованных координат по штрихованным.
Впрочем, в случае линейного преобразования координат
этот член исчезает, так что при линейном преобразова-
преобразовании величины T^j преобразуются, как составляющие
тензора -с соотштътеующими индексами {два раза ко- и
один раз контравариантлого) < Вместе с общей форму-
формулой {[) будет полезна формула для второй производ-
производной:
ok — „ft г*' _ ni Di pft (ox
Pi'I' — Pk'1 i'j' Pi'Pj'1 Ц- W
&34. Абсолютный дифференциал одно-
контра вариантного тензора. Пусть вдоль
линии L с: Мп задано поле одноконтравариантного тен-
тензора |'@-. Определим его абсолютный дифференциал
/?|* по формуле
В силу 6.32 равенство абсолютного дифференциала
нулю означает, что тензор |* переносится вдоль линии L
параллельно.
Найдем формулу преобразования абсолютного диф-
дифференциала при переходе к другим координатам. Мы
498 ГЛ. 6, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 8.35
имеем по 6.33
fi % + p%mlk dx™ +
+{р\-р\'рХ^ч+rtri-r) р'Лгр1' dxS =*
= pX d\h + p%nlk dx™ + VrVefiI*#dx' +
^'dxt) +
Скобка во втором члене преобразуется путем замены
вторых производных по формуле 6.33 B):
+eppi'pfirj;,. - «идет», -.о,
и в итоге
Dp = ft DP-
Это равенство означает, что абсолютный дифференциал
одноконтравариантного тензора (в отличие от обычного
дифференциала) также является одноконтравариантным
тензором.
Как следствие -мы получаем такое утверждение: если
одноконтравариантный тензор переносится параллельно
вдоль кривой в одной системе координат, то он перено-
переносится вдоль нее параллельно и в любой другой системе
координат.
6.35. Геодезические линии.
а. Определение. Линия L = {леА1в: xi = xi(t),
а ^ t sg; b} на многообразии Мп называется геодезиче-
геодезической, если единичный касательный вектор ~5J"===T'(S)
переносится вдоль этой линии параллельно.
Из сказанного выше ясно, что определение геодези-
геодезической линии есть внутреннее определение, не завися-
зависящее от системы координат.
б. Поделив уравнение 6.32 A) на ds и подставив
%>к~хк —~Jf~• получаем дифференциальное уравнение
геодезических линий:
ds2 ~ l4\x) ds ds •
6.41 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 499
Отсюда, как в 5.42, получаем основную теорему су-
существования и единственности геодезических линий:
Теорема. Если коэффициенты Г*/ (д:) непрерывны
в точке А <= Мп, то через эту точку в каждом направле-
направлении (определяемом, например, единичным вектором т)
проходит одна и только одна геодезическая.
в. Далее, как в 5.44, можно повторить построение
(п—1)-мерной поверхности, геодезически параллельной
к данной (п —1) -мерной поверхности П„_1 с Мп_и и
доказать, что она ортогональна к геодезическим, орто-
ортогонально пересекающим Пп-ь Этот факт, в свою оче-
очередь, приводит к экстремальному свойству геодезических
линий: среди всех кривых, соединяющих достаточно
близкие точки многообразия Мп, геодезическая имеет
наименьшую длину.
г. Для двумерного риманова многообразия М2 мож-
можно повторить определение формальной кривизны из
5.33 а:
s=i
— S\:
12
и так же, как в 5.63, установить ее связь с параллель-
параллельным обнесением вектора по замкнутому контуру. Далее,
как в 5.51, можно установить также локальную изоме-
трию многообразия М2 постоянной кривизны и соответ-
соответствующей канонической поверхности (плоскости, сферы,
псевдосферы). Мы имеем в виду в дальнейшем (§§ 6.5,
6.6) обобщить соответствующие определения и построе-
построения на п-мерный случай. Но удобнее будет рассмотреть
вначале геометрию более общего пространства — про-
пространства с аффинной связностью.
§ 6.4. Пространство с аффинной связностью
6.41. а. Пусть Мп есть элементарное дифференцируе-
дифференцируемое многообразие размерности п и класса N.
Мы снова хотим определить параллельный перенос
одноконтравариантного тензора ? вдоль дифференци-
дифференцируемой линии L = {ite Mn: x* = xl(t), a ^t ^ Ь) как
500 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.41
решение уравнения
'dx*. A)
Но на этот раз в пространстве Мп не задан метрический
тензор gij, поэтому коэффициенты Г*/(х) можно подчи-
подчинить единственному условию — чтобы результат парал-
параллельного переноса не зависел от выбора системы коор-
координат. Это заставляет предъявить такие требования.
к закону преобразования величин if/, которые обеспе-
обеспечивают тензорный характер результата параллельного
переноса. При наличии римановой метрики, когда Г*/
определяются однозначно условием сохранения скаляр-
скалярного произведения параллельно Переносимых векторов и
симметрии по i и /, мы получили в 6.33 формулу преоб-
преобразования
и уже из нее, не обращаясь более к метрике, вывели
тензорный характер результата параллельного переноса.
Можно ожидать, что условие B) является не только до-
достаточным, но и необходимым условием тензорного
свойства параллельного переноса. Проверим это вы-
выкладкой. -Пусть известно, что решение уравнения A)
при любых начальных данных Е*(Л) имеет тензорный
характер. Тогда в новой системе координат х1', ..., хп'
мы имеем,, с одной стороны,
dlk = - Г*Е' dxi = - T*tip\.pi,V dxi',
с другой стороны
— Pk'm'
Сравнивая обе части равенства и учитывая, что ре-
результаты должны быть справедливы при любых ?'' и
dxv, находим
или, что то же,
что и требовалось.
6.41 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 501
Числа r*/(*)j заданные в каждой системе коор-
координат и удовлетворяющие правилу перехода B), назы-
называются коэффициентами аффинной связности многооб-
многообразия Мп.
б. Два многообразия Мп и Мп с коэффициентами
аффинной связности Г*/ и Т% называются аффинно
эквивалентными, если можно ввести на Мп и Мп (до-
(допустимые) координаты так, что коэффициенты Г*; и Г*/
будут одинаковыми функциями от координат как на Мя,
так и на Мп.
в. Коэффициенты Г*/(*) можно в некоторой си-
системе координат задать произвольно, а в любой другой
системе координат определить по формулам B),г
Корректность такого определения (иными словами, со-
сохранение формул типа B) при выполнении двух после-
последовательных переходов к новым ^координатам) следует
из тензорного характера результата параллельного пе-
переноса и доказанной единственности коэффициентов
Гц при данном параллельном переносе.
г. Связность F = [Tij {х)} на многообразии Мп
называется симметричной, если
в любой системе координат. Но достаточно требовать
выполнения этих равенств в какой-либо одной системе
координат, потому что в любой другой системе коорди-
координат эти равенства будут тогда выполняться автомати-
автоматически в силу формул B). Вообще говоря, связность Г
не обязана быть симметричной, хотя бы на том основа-
основании, что мы можем задать коэффициенты Гц (х) в одной
системе координат произвольно и, в частности, с нару-
нарушением симметрии. В общем случае разность
мы будем называть кручением связности Г(/. Вели-
Величины Si] образуют уже тензор, так как
502 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.42
Если S?/ = 0, т. е. связность Г симметрична, мы будем
также говорить, что связность Г не имеет кручения.
О геометрическом значении, кручения мы будем гово-
говорить далее, в 6.45. Очевидно, что многообразие Мп с аф-
аффинной связностью без кручения не эквивалентно мно-
многообразию Йа, у которого аффинная связность обла-
обладает ненулевым кручением.
д. Если на многообразии Мп имеется риманова ме-
метрика gn(x) и аффинная связность строится по форму-
формулам 6.32 D), E):
то эта связность называется римановой.
Но аффинная связность может существовать и без
римановой метрики. Так, риманова связность всегда
симметрична по нижним индексам (Г?/ (х) = Т% (х)),
а произвольная связность, как мы видели, вовсе не обя-
обязана быть симметричной.
6.42. а. В пространстве аффинной связности уже
нельзя говорить о сохранении скалярного произведения
векторов при параллельном перенесении. Но линейные
свойства переносимых векторов сохраняются: если имеет
место равенство
то и после параллельного переноса всех трех векторов
|, ц, ?, по любой кривой L, проходящей через точку А,
будет иметь место аналогичное равенство
Этот факт непосредственно следует из линейности урав-
уравнения параллельного переноса 6.32 A).
Как следствие получаем, что линейно независимые
векторы |, т), ... после параллельного переноса остают-
остаются линейно независимыми.
б. В пространстве с аффинной связностью нельзя го-
говорить и о сохранении длины вектора при параллельном
переносе. В противоположность тому, что имело место
в римановом пространстве, в пространстве с аффинной
связностью у точки А может существовать сколь угодно
6.43 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 503
малая окрестность, в пределах которой в результате па-
параллельного переноса составляющие вектора ? могут
стать произвольно большими (см. задачу 5). Можно ут-
утверждать лишь следующее: если в качестве параметра
на кривой L взять величину s такую, что \ds\^
^ Cmax|dx^| (например, «формальную дугу», опреде-
п
ленную условием ds2= 2 {dx'f), то в пределах участ-
участка 0 ^ s ^ /г, где h — фиксированное число, состав-
составляющие параллельно переносимого вектора | будут
ограничены величиной, не зависящей от выбора дуги L,
а зависящей только от h. Для доказательства положим
o=SaftJ, так что
fc=i
Тогда, считая, что величины |Г*;(х)| ограничены по-
постоянной С], получаем
< с- 21 rj/ w I < «с.е- - с2,
г?, (х) *L
i; i
и, следовательно,
или
d In о
Отсюда
п
о ^ O(je^aS ^ 0qC s , Oq = ^,1 [^ \Л)\ i A)
откуда и следует утверждение.
6.43. Рассмотрим риманову связность евклидова ли-
линейного пространства Мп — Rn. В этом пространстве су-
существует система координат, в которой метрическая
504 ГЛ, 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
форма имеет вид (dxlJ+ ... +(rfx"J, так что все коэф-
коэффициенты gij(x) постоянны (нули и единицы) и, следо-
следовательно, все коэффициенты связности Г*/ (л:) равны 0.
В других системах координат коэффициенты Гц(х) бу-
будут, вообще говоря, отличными от 0 (напомним, что за-
закон преобразования Г*/ — не тензорный). Однако и
в других системах координат евклидова пространства Rn
сохранится нечто специфическое, не выполняющееся
в аффинно не эквивалентных ему многообразиях. Во-
первых, коэффициенты Г?/ {х) будут симметричными по
нижним индексам, как и при любой римановой связ-
связности. Во-вторых, будет выполнено следующее свойство,
называемое абсолютным параллелизмом: результат па-
параллельного переноса вектора | не зависит от пути,
а лишь от начала й конца; или, иначе говоря, при па-
параллельном обносе по замкнутому контуру вектор | воз-
возвращается в исходное положение. Действительно, в си-
системе координат, где Гг/(л:) = О, это следует из опреде-
определения параллельного переноса как решения системы
уравнений
</?* = -Г?, UHW,
сводящейся в этой системе координат к виду
и имеющей решение
lk = const;
последнее и означает, что при параллельном переносе
координаты вектора не меняются. В любой другой си-
системе координат приведенное утверждение выполняется
в силу абсолютного характера параллельного переноса:
если в одной какой-нибудь системе координат вектор
после параллельного обноса по замкнутому контуру
возвращается в исходное положение, то и в остальных
системах координат будет то же явление.
Покажем, что этими свойствами связности обладает
только евклидово пространство:
Теорема. Если аффинная связность Т%{х) в п-
мерном многообразии Мп гладкости N симметрична,
N — 2 раза дифференцируема и приводит к абсолют-
6.43 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 505
ному параллелизму, то многообразие Мп аффинно экви-
эквивалентно евклидову пространству Rn.
Доказательство. Мы найдем такую новую си-
систему координат хУ, ..., хп/ в пространстве М„, в ко-
которой r?-V(*)=o.
Выберем базис еи ..., еп касательного простран-
пространства в фиксированной точке А е Мп и перенесем эти
векторы параллельно в другую точку В е Мп. Резуль-
Результаты будут определены однозначно в силу предположе-
предположения о наличии абсолютного параллелизма и будут об-
образовывать базис в касательной ллоскости в точке В,
так как параллельный перенос не нарушает линейной
независимости F.42). Обозначим составляющие полу-
получающихся векторов (в исходной системе координат) че-
через ?*(*', ..., х"), т=\, ..., п. Таким образом-,
d?* = -Г?, (*)?* (*)«/*',
т т
или, что то же,
Новую систему координат х1', ..., хп' мы построим
следующим путем. Сначала рассмотрим систему диф-
дифференциальных уравнений
где х1', .... хп' — пока что формальные независимые
переменные. Мы покажем, что эта система при началь-
начальных условиях
xk(A) = 0 {k = l п) C)
однозначно разрешима, так что в некоторой окрестно-
окрестности начала координат пространства (ху хп') опреде-
определены функции
хх = ф1 {*'', .... хп'), ..., хп = IP" (*»', .... j^'), D)
удовлетворяющие системе B) и условиям C). Мы уви-
увидим, что выполняется неравенство tfet'f х ,, Д?=0; то^да
I) дх' II
506 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.43
в окрестности точки А уравнения D) можно будет об-
обратить:
х*' = ^(х1 Xя),
*"'= *"(*', .... *"),
и, таким образом, каждой точке (х1, ..., хп) в окрест-
окрестности точки А поставить в соответствие числа
х1', ..., хп'\ теперь, в силу сказанного, эти числа могут
быть приняты за новые координаты.
Приступая к выполнению этого плана, начнем с про-
проверки однозначной разрешимости задачи B)—C). Для
этого достаточно проверить выполнение условия теоремы
Фробениуса 2.55, которое в данном случае имеет вид
P (b,r,s=l п). E)
Но в силу A),
dlk dlk
tp тлк t-ifp r fp pft fc'tP
s — — I iph fe i ягр fe • ipS S i
r s r ux s r s
а так как Г*р = Гр,-, то
и условие E), таким образом, выполнено.
Итак, существует система функций хк = xk (jc?\ ...
..., я"'), удовлетворяющая уравнениям B) и началь-
начальному условию C). Эти функции имеют гладкость на
единицу более высокую, чем функции |*(дг' х"),
s
и, значит, на две единицы выше гладкости функций
Ткц{х); иными словами, функции х*(х1' хп) диф-
!дх^ II
—7i"
= Aе1|||й(д:)||=^ 0, и тем самым доказано, что величины
S
xv, ..., хп', во всяком случае локально, могут служить
новыми координатами на многообразии М. В новых
6.44 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 507
координатах имеем
s s dx s dx
т. е. параллельно перенесенные векторы являются
базисными. Условие параллельного переноса имеет вид
(ft™ _— F1^/ /?' Иу^'
s a
Так как ?й' = 6*', то мы получаем,
5
и в силу произвольности dx1'
что и требовалось.
6.44. Геодезические линии многообразия
с аффинной связностью.
а. Определение геодезической линии, принятое нами
в римановом пространстве, переносится на случай про-
пространства аффинной связности в следующей формули-
формулировке: геодезическая линия есть кривая, для которой ка-
касательный вектор после параллельного переноса в лю-
любую точку остается касательным.
Это определение является, очевидно, внутренним.
Рассмотрим геодезическую линию 1={хеМ„: jc'=
= х' (t), a ^ t ^ b}, исходящую из точки А. Пусть
а' = *dj. ¦ и |г'(<)—результат параллельного переноса
вектора а* вдоль кривой L в точку, отвечающую значе-
значению t. Тогда
где K(t)—некоторый числовой множитель. Введем на
линии L новый параметр т так, чтобы dt = K{()dr,
т(Л) = 0; после перехода к параметру т будем иметь
т. е. для кривой L, параметризованной посредством т,
уже касательный вектор ¦ *d переносится парал-
508 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.44
лельно. Параметр тг назовем каноническим параметром
на геодезической L. Подставляя |' = -^- в уравнение
параллельного переноса и деля на dx, получаем канони-
ческое уравнение геодезической линии:
б. Теперь мы можем обобщить на многообразия
с аффинной связностью теорему о существовании и
единственности геодезических линий:
Теорема. В пространстве Мп с аффинной связно-
связностью, коэффициенты которой Г^{х) непрерывны, через
каждую точку А в любом направлении проходит одна и
только одна геодезическая.
Доказательство. Фиксируем точку А и выходя-
выходящее из нее направление, которое в данной системе ко-
координат задается вектором Ь*. Решаем систему уравне-
уравнений A) при начальных условиях х'@) = х{ (А), — д^-—
= Ь'. Утверждается, что набору функций х' = яг(т),
полученных при решении, соответствует на Мп геодези-
геодезическая линия. Действительно, вектор —:—, касательный
к этой линии, в силу уравнений A) параллельно пере-
переносится вдоль пее, а это и означает, что данная ли-
линия — геодезическая.
Допустим, что имеется другая геодезическая Е, про-
проходящая через точку А в том же направлении, со своим
каноническим параметром т. Для нее удовлетворяется
уравнение A) с начальными условиями
х{@) = ?(А), -^-ХЛ B)
Но из решения х*(т), имеющегося у нас, можно полу-
получить очевидным образом и некоторое решение #*(t),
да
удовлетворяющее условиям B), по формуле л?(т) =
= х*(Кх). Б силу теоремы единственности имеем ж'(т) =
*=дс!'(т)== х'(Ят); таким образом, кривая, отвечающая
уравнению х1 = хЦх), есть та же кривая L.
6.45 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 509
6.45. Геометрический смысл кручения
аффинной связности. Пусть Мп — многообразие
с аффинной связностью Тц(х), имеющее, вообще говоря,
ненулевое кручение Si/ = Г?/ — Т%. Из фиксированной
точки А выпустим две геодезические L? и ?ч по направ-
направлениям, определенным линейно независимыми векто-
векторами | == ф] иг) = {т]г} (рис. 6.4-1).
Пусть т — канонический параметр на геодезической
dx* (A)
Ц такой, что —dx~==^t' и ®— канонический параметр
~ » г dx' (A) i .. . я
на геодезической Ln такой, что —-jg— = ц . Из точки л
векторчт] перенесем параллельно вдоль геодезической L%
до точки В, определяемой некоторым значением пара-
параметра т =-р > 0; результат обозначим через rj. Из
точки" Б по направлению этого вектора ц выпустим гео-
геодезическую Lrj. Аналогично, вектор % из точки А пере-
перенесем параллельно вдоль геодезической L4 до точки D,
определенной тем же значением параметра 6 = р, и по
направлению полученного вектора § выпустим геодези-
геодезическую L%. На геодезической Ьц введем аналогично ка-
канонический параметр 0, на геодезической ?g— канони-
канонический параметр т так, чтобы иметь
dxl (D) _ ~ их1 (В) _ „
510 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.45
Наконец, найдем на геодезической L^ точку С, опреде-
определяемую значением 6 = р, и на геодезической L% точ-
точку Е, определяемую значением т = р.
Если бы это построение мы проводили в линейном
пространстве Rn (с нулевой связностью), то получился
бы параллелограмм и точки С и Е совпали бы. В общем
случае (r*j Ф О) они окажутся различными; оценим их
отклонение друг от друга.
Приращение координаты xh вдоль любой геодезиче-
геодезической линии можно написать в форме
Дх: =-5— f+ -5--Я-2-ЧГ + о(т2) =
где т — канонический параметр, а значения производных
и коэффициентов Г*/ берутся в начальной точке.
В частности, при переходе из точки А в точку В
имеем
Алв (**) = 1"9 ~ i Г?, (Л) Z%У + о (р2), B)
а при переходе из точки В в точку С
Две (**) = Пк9 ~ 4"Г^ (fi) ^'"-П'Р2 + о (р2). C)
Здесь т] есть результат параллельного переноса век-
вектора tj:
^^^-Г^^ч'^ + о^О. D)
Поскольку вычисление ведется с точностью до малых
второго порядка, а при подстановке D) в C) предстоит
еще умножение на р, мы можем в D) ограничиться
малыми первого порядка и, в частности, заменить dx1
величиной &АВх!, которая в силу B) равна |'р с точ-
точностью до малых второго порядка. Кроме того, в фор-
формуле C) можно взять вместо Г^ (В) и rj' значения Г^ (Л)
и т/. В результате получаем
Двс*й = П*Р ~ Г^ч'б'р2 - ^ Г^ч'ч'Р8 + о (р2). E)
6.46 § 6.4. ПРОСТРАНСТВО С АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 511
Общее же приращение координаты хк на пути ABC
будет иметь вид
(!fe+rf) p-IVlW-y r^'I'p2-! IfylW + о (p2). F)
Аналогичный результат для приращения координаты хк
на пути ADE получается заменой координат | на коор-
координаты г\:
(r\k+lk) р-Г^пУ-уГ^тЛJ—^ W+o (P2). G)
Отсюда видно, что разность координат хк в точках С
и Е равна
х" (Е) - х* (С) = Г»у (Е/ч* - Б'чО р2 + о (р2) =
о (р2)
и определяется в главной части тензором кручения Sf/ (Л).
6.46. Параллельный перенос любого тен-
тензора.
а. Параллельный перенос одноконтравариантного
тензора {|г} из точки А по кривой L = {x^Mn: хг =
= х1 (t), a sg; rf ^ Ь} определяется, как мы знаем, урав-
уравнением
A)
с известными значениями ^()
Пусть теперь дан одноковариантный тензор {т]г(/1)}.
Определим параллельный перенос его по той же кри-
кривой L из условия, чтобы инвариант ?й (х) r\h (x) при лю-
любом {?*} оставался постоянным. Это требование озна-
означает, что d(?ftT]ft) = 0, или
?*dife+dE4 = O- B)
Подставляя rf|ft из уравнения A), находим (заменяя
в первом слагаемом индекс суммирования к на i), что
612 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ в.46
и, так как равенство выполняется для любого век-
вектора I1,
ft r**/ C)
Это уравнение при начальном условии гц = т),(Л) по-
позволяет найти т\г(х) в любой точке линии L (в окрест-
окрестности точки А).
Обратно, если функции Щ{(х) определяются из урав-
уравнения C), то выполняется и уравнение B), откуда сле-
следует сохранение величины ?k(x)r)h(x), так что выпол-
выполняется поставленное нами условие параллельного пере-
переноса.
Покажем, наконец, что получающийся в каждой си-
системе координат набор величии r\i(x) имеет тензорный
характер. По условию величины r\i(A) образуют тензор,
и поэтому величина ?,h{A)i\h(A) не меняется при пере-
переходе к любой другой системе координат. По доказан-
доказанному, она не меняется и вдоль кривой L, так что в точ-
точках кривой L величина ^(х)щ.{х) также не зависит от
системы координат. Но тогда, решая систему линейных
уравнений
1*
с п ппщ&т независимыми тензорами lfe(jc) ?*(¦*)»
1 п
мы получаем в качестве решения {tji(x), ..., i\n(x)} од-
ноковариантный тензор {6,14в), что и требуется.
б. Мы могли бы начать с определения параллельного
переноса одноковариантного тензора % по формуле C)
и определить параллельный перенос одноконтравариант-
ного тензора из условия сохранения инварианта ?*'т]г-.
Тогда для параллельного переноса тензора ?* получи-
получилась бы, конечно, формула A).
в. Теперь аналогичным способом определим парал-
параллельный перенос вдоль кривой L любого тензора Т.
Пусть для определенности тензор Т определяется со-
составляющими Т%, т. е. имеет два ковариантных и один
контравариантиый индекс. Тогда, беря два одноконтра-
вариантных тензора |*, tj3" и один одноковариантный
6,46 § 6.4, ПРОСТРАНСТВО G АФФИННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 513
тензор ?й, мы сможем составить инвариант ТкфЫЪк-
Определим параллельный перенос тензора Т% усло-
условием постоянства этого инварианта, что приводит к ра-
равенству rfG'*/|<T)^fe) = 0t или
Подставляя выражение для дифференциалов dg'; dr\it
rfgft из соответствующих формул параллельного пере-
переноса одноконтравариантных и одноковариантных тензо-
тензоров A) и C), получаем
Изменяем индексы суммирования так, чтобы везде
стояли члены рг\^; тогда, в силу их произвольности,
они могут быть отброшены, и мы приходим к соотно-
соотношениям
йТки = (ГМ + Г%Т% - Г%ГИ) dx\ D)
Аналогично, для тензора любого строения ТкУ'~ кР
w~
hT
E)
Структура слагаемых получающегося выражения та-
такова. Число слагаемых равно общему числу индексов
тензора Т. В каждом из этих слагаемых второй нижний
индекс у Г один и тот же, q, совпадающий с индексом
у множителя dx?. У тензора Т все его индексы таковы
же, каковы они в левой части, за исключением одного,
который заменен на индекс суммирования s, и соответ-
соответственный индекс суммирования стоит у символа Г — или
сверху, если индекс s — нижний индекс у Т, или на пер-
первом месте' внизу, если индекс s — верхний индекс у Т.
А тот свободный индекс, который заменен на s, ставится
на соответствующее — единственное свободное — место
у символа Г.
И' обратно, если параллельный перенос тензора
Г*/ (А) определяется формулой D), то выполняется, и
514 ГЛ. 6i РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.46
равенство ^(Г^|'т}'?4) = О, так что величина r^g'tj'S* не
меняется вдоль кривой L при параллельном переносе
1\ ц}, Ь.
При этом мы получаем поле величины Tjf(x), тен-
тензорный характер которой проверяется, например, так:
поскольку величина Т^%'г^к не меняется вдоль кри-
кривой L в любой системе координат, мы имеем
и так как |', V, gft могут быть взяты произвольно, то
что и требуется.
г. Предыдущее определение непригодно для тензора
нулевого ранга, т. е. числа Т, заданного в точке Л и не
зависящего от системы координат. Мы определяем ре-
результат его параллельного переноса в любую точку
В е Мп как то же самое число Т, заданное в точке В
в любой системе координат.
д. Будем говорить, что тензорное поле Т^х), задан-
заданное на линии L cz Мп, инвариантно относительно парал-
параллельного переноса вдоль этой линии, если для любой
точки А е L результат Т(х) параллельного переноса
тензора Т(А) в любую точку хе! совпадает с Т(х).
Если поле Т(х) задано на всем многообразии Мп и ин-
инвариантно относительно параллельного переноса вдоль
любой линии L, будем говорить, что поле Т(х) инвари-
инвариантно относительно параллельного переноса на всем М„.
Простейшим примером поля, инвариантного относи-
относительно параллельного переноса на М„, служит поле по-
постоянной Т — тензора нулевого ранга.
Другим примером является поле смешанного тен-
тензора б} (х), составляющие которого в любой системе ко-
координат в любой точке х е Мп равны 0 при i Ф / и
1 при I = j. Действительно, по в мы имеем
db\ (х) = (Г?Л - ТМ dxq = (Г{9 - T[q) dxq = О,
откуда и следует требуемое.
e.47 § 6-4- пространство с аффинной связностью 515
е. Докажем теперь, что в римановом пространстве
Мп метрический тензор gy инвариантен относительно
параллельного переноса по всему М„. Обозначим через
§ij(x) результат параллельного переноса тензора gu(A)
по некоторой линии L, Согласно определению в для лю-
любой пары параллельно переносимых векторов ?(лг) и
т) (х) мы должны иметь
§ц(х)?(х)ц'(х) = const.
Но по определению параллельного переноса в римано-
римановом пространстве этим свойством обладает сам тензор
gii(x) F.32). Отсюда мы имеем ^(х)== gu(x). Можно
подтвердить этот факт и прямой выкладкой. По фор-
формуле D) имеем
откуда следует, что величины §ц{х), совпадающие
с gtj(x) при х = А, совпадают с ga(x) и при любом
*€еЛГ„.
ж. Поле дважды контравариантного метрического
тензора gik(x), определяемого системой уравнений
6.16 B)
()'4) = 6b F)
также инвариантно относительно параллельного пере-
переноса по Мп, что следует непосредственно из инвариант-
инвариантности полей gtl(x) и 6f и единственности решения си-
системы F).
6.47. Абсолютное дифференцирование.
Пусть на многообразии Мп с аффинной связностью
Гц(х) имеется произвольное (дифференцируемое) тен-
тензорное поле Т(х), Для простоты будем считать тензор
Т{х) один раз контра- и один раз ковариантньш; нали-
наличие других верхних и нижних индексов лишь удлинит
выкладку, не меняя ее сути.
а. Определим абсолютный дифференциал тензора
Т*(х), вычитая из его обычного дифференциала на
пути dx9 результат параллельного переноса по этому
516 ГЛ. 6. РИМАНОЙА ГЕОМЕТРИЯ 6.47
пути:
DTk (х) = dli ~ A%Г* - T%n)dx"..
Таким образом, равенство ?>Г/(лг) = О вдоль некоторой
линии L равносильно условию параллельного перене-
перенесения тензора Т\ (х) вдоль этой линии.
Для цензора любого строения f^iy-h абсолютный
дифференциал определяется аналогично:
Теорема. Абсолютный дифференциал тензора
Tktl '\р есть тензор того строения, что и сам тензор
Доказательство будем вести для простоты для тен-
тензора вида Тк. Преобразуем выражение DTr, ийюльЗуя
формулу 6Л4 C)
и ее же с заменой штрихованных индексов на нештри-
хованные:
Мы получаем
= dTr -
d
p\,p« dT* + rt.,pf dx'pt'T? + p\.p%Q dxV* -
4
что и требуется.
в.61 § 6.5. КРИВИЗНА Б17
б. Абсолютный дифференциал Г? можно записать
также в виде
DT) =V?Ar*t A)
где выражение
называется абсолютной или ковариантной производной
тензорного поля Т*(х) по координате Xя. Как решение
тензорного уравнения A), величины S7qT* снова обра-
образуют тензор, имеющий на один ковариантный индекс (а)
больше, чем сам тензор Ti. Стоит вспомнить в связи
со сказанным, что обычные производные тензорного
поля, т. в. величины -g-§-, ие составляют тензора F.26).
в. В риманбвом пространстве наряду с ковариант-
ковариантной производной рассматривают также и контравари-
антную производную:
fa?) C)
Здесь gr? есть дважды контравариантный метрический
тензор F.16). Контравариантная производная тензора Г
есть тензор, имеющий на один контравариантный ин-
индекс больше, чем сам тензор Т.
§ 6.5. Кривизна
6.51. Коммутатор двух дифференцирова-
дифференцирований. Пусть в пространстве Мп с аффинной связностью
Гц выделена двумерная поверхность Р = {хе Мп. х'=
= х1 (и, v), (и, у) е G d R2}, содержащая точку А =
= А («о, Ро) • Обозначим через d (обычный) дифферен-
дифференциал какого-либо тензорного поля Т(х) в направлении
линии и (на которой координата v постоянна):
._. дт . дТ дх* .
dT = — du = —du,
ди дх* ди.
и через д. аналогичный дифференциал вдоль линии vt
518 Г Л, б, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ в.51
Дифференциалы d и 3 коммутируют, так как
Обозначим теперь через D и D соответствующие аб-
абсолютные дифференциалы. Оказывается, что они,
вообще говоря, не коммутируют; вычислим их коммута-
коммутатор DD — DD в применении к векторному полю | =.
= {!'(*)}• Согласно определению 6.34
dxl) + TlPl{df
^r Mfc d*1 + rL tek dxl + rUkd (dxl) +
+ Tlp, df dx' + rj,,rfif?* rf*f rfJc7-
Выражение D(BQ) получается при замене в получен-
полученном выражении d на 3 и обратно. Если теперь вычесть
/)@|г) из D(D%) и использовать коммутативность сим-
символов d и 3,то мы получим
ldx' + (*, /^)I
* t^) fc f ^ (i)
Используя обозначение
^L ti «^. B)
равенство A) можно переписать в виде
^R^kfdx'dx*. C)
В формуле C) слева стоит одноконтравариантный тен-
тензор (как результат абсолютных дифференцирований
одноконтравариантного тензора). Справа выражения |лг
6.52 § 6,5- КРИВИЗНА 513
dxl, Sxi имеют тензорный характер (одноконтравариантг
ные тензоры). Они могут быть взяты произвольно, так
как выбор вектора |ft е Тп (х) и координат и, v в на-
нашей власти. Поэтому в силу 6.14 г величина Rltj k яе-
ляется тензором, трижды ковариантным и один раз кон-
травариантным. Из формул B) видно, что этот тензор
антисимметричен по индексам i и /:
Тензор R = Rl k называется тензором кривизны про-
странства Мп с аффинной связностью Г*/.
6.52. Кривизна" и абсолютный паралле-
параллелизм. Допустим, что. в пространстве Мп связность Г
порождает абсолютный параллелизм F.43). Тогда, имея
в данной точке А вектор |, мы можем построить в ок-
окрестности точки А векторное поле К*), однозначно оп-
определенное параллельным переносом вектора |. Если
теперь при построении тензора R использовать в каче-
качестве поля g(x) именно это поле, полученное параллель-
параллельным перенесением вектора ?, то, поскольку абсолютный
дифференциал параллельно переносимого вектора есть
нуль, мы получим ?>| = 0, Л| = 0, и, следовательно,
левая часть равенства 6.51 C) равна нулю:
Rltthlkdx'dxi=:0. A)
Поскольку |ft, dxlr Sxi выбираются произвольно, это
означает, что
\H
Итак, кривизна пространства Мп с абсолютным парал-
параллелизмом равна 0.
Покажем, что верно и обратное. Пусть известно, что
кривизна пространства Мп с некоторой аффинной связ-
связностью Г?; тождественно равна нулю. Рассмотрим се-
семейство гладких кривых, соединяющих две данные точ-
точки А и В; каждая отдельная кривая этого семейства оп-
определяется фиксированным значением параметра т, меня-
меняющегося от 0 до 1, а ее точки определяются значением
620 ГЛ. 6.. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.6t
параметра t, изменяющегося также от 0 до 1:
*, т),
Рассмотрим в точке А вектор g и покажем, что резуль-
результат параллельного переноса его в точку В по кривой
x=x(t, х) @ «^ t s^ 1) не зависит от значения х <= [0,1].
Обозначим через D абсолютный дифференциал вдоль
кривых семейства (т. е.. по t при фиксированном х) и
через D — абсолютный дифференциал по х при фикси-
фиксированном L Так как по условию вектор g переносится
параллельно, то D% = 0. Из условия R ез 0 теперь сле-
следует, что
так что и вектор В% параллельно переносится вдоль
каждой кривой семейства. Но при t = 0 вектор | =
= |@, т) и точка х = х@, х) = А фактически не зави-
зависит от т, поэтому при t = 0
Dg = dg - Г??' @, т) -^ Л = 0.
Значит, вектор ?>g(l, т), как результат параллельного
переноса, тоже равен нулю. С другой стороны,
Dg(l, T)=rf|*(l, t) + rj,(l, xriZx'd, т),
и так как в данном случае Sxi = (Г, то из Л|^A, т) = 0
следует <У|A, t)= 0, т. е. вектор 1A, т) не зависит от т.
Мы доказали следующую теорему:
Теорема. Пространство Мп с аффинной связно-
связностью тогда и только тогда обладает абсолютным парал-
параллелизмом, когда его кривизна равна 0.
Используя 6.43, мы можем высказать новый крите-
критерий того, что аффинная связность в пространстве М„
эквивалентна римановой связности евклидова простран-
пространства:
Теорема. Пространство М„ с аффинной.связностью
тогда и только тогда аффинно эквивалентно п-мерному
евклидову пространству, когда его кривизна и его кру-
кручение тождественно равны 0.
6.53 § б-5- КРИВИЗНА 521
Существуют пространства с аффинной связностью»
у которых при нулевом кручении имеется ненулевая
кривизна и наоборот.
Примером пространства с нулевым кручением и не-
ненулевой кривизной служит любое риманово простран-
пространство (или поверхность), не изометричное евклидову про-
пространству. Пример пространства с нулевой кривизной и
ненулевым кручением строится сложнее (см. задачу 4).
6.53. Изменение координат вектора при
обнесении его по замкнутому контуру.
а. Пусть в пространстве Мп с дважды дифференци-
дифференцируемой аффинной связностью Г(х) выделена двумерная
поверхность Р без особых точек:
х =.х(и, v) е Мп, (и, v) e G с /?2.
Будем переносить некоторый вектор g параллельно по
кривым L, проходящим на поверхности Р через фикси-
фиксированную точку Ли таким, у которых формальная дли-
длина s, получающаяся интегрированием вдоль кривой L
выражения ds = \fdu2 + dv2, остается меньшей некото-
некоторой постоянной А (формальная длина не имеет абсо-
абсолютного смысла, но мы сейчас действуем в фиксирован-
фиксированной системе координат). Все эти кривые находятся на
поверхности Р в окрестности U точки А, выделяемой не-
неравенствами | и — и (А) |< А, | v — v (А) |< А. На любом
таком пути L координаты xl(s) удовлетворяют неравен-
неравенствам
\dxl\ = \-~du+^-dv\^2Ctds, A)
где C = maxl l-gj-1, 1-^- 1. Отсюда для приращений
координат х1 (считая от точки А, где s — 0) получаются
неравенства
| Д*' (s) | = | х1 (s) - х1 @) | < 2ds < 2С, А. B)
Коэффициенты Г*/(д;) на этом же пути L удовлетво-
удовлетворяют неравенствам
|?| C)
522 ГЛ. 6» РШ4АНОВА ГЕОМЕТРИЯ
или более точным
или еще более точным
@)
дхт
Ах"
6*53
D)
E)
где константа С3 оценивается через первые, а константа
С4 через вторые производные функций Г*/(я) в окрест-
окрестности U. Составляющие вектора ?(«), результата парал-
параллельного перенесения вектора |, удовлетворяют нера-
неравенству, вытекающему из 6.42 A):
|j'(s)|<C,|6|aC
y i
откуда, используя C), находим, что
и, следовательно,
Наконец, мы утверждаем, что верно неравенство
F)
G)
(8)
Действительно, Дху = J rfxy, и поэтому
/(*)'
J {[Г?, (х) - Т1, @)] I' {х) + Г?у @) [б1 (*) - ?'1} dx1
§ 6.5. КРИВИЗНА 523
Вместе с оценками D), F), C) и (8) эта и приводит
к требуемому неравенству
б. Пусть теперь L е Р — замкнутый путь формаль-
формальной длины ^ h, возвращающийся в точку А. Будем об-
обносить вектор | = {?'},. взятый произвольно в точке А,
по пути L. В пространстве Мп без абсолютного паралле-
параллелизма вектор | в результате обнесения получит прира-
приращение А|, которое мы желаем оценить. Полное прира-
приращение координаты gl выразится по формуле
М1 = ? dg' = _ j> г», (х) lp (х) dx1. A0)
L L
В силу E)
а по (9)
S
I" (х) = lP~j rpkif (х) dx1 = I" - Тры @) t hxl + О (s2).
о
Отсюда
[Р о и] х
Li
X [Г - Тры @) |ft Дл:' + О (s2)] dx; =
dx' +
O(A3).
Первое слагаемое, очевидно, равно 0. Мы получаем
1 - (гь @) г^ @) - ^) g* § дх' л^ + о (а3). A1)
624 гл. е. риманова геометрия 6.63
Во внутреннем интеграле перейдем к параметрам
Инг». Применяя формулу Грина 4.16C), получаем
дх'@) дхЧ0)
Л С f
\}}
о
j§ A2)
с
Множитель в квадратных скобках есть бивектор
F.15), построенный на векторах ^ ' и *р ; мы
обозначим его через х1'. Положим, далее,
о = J J du dv;
в
так как в пределах области G каждая из координат и,
v изменяется не более чем на А, то эта величина есть
малая второго (или более высокого) порядка по срав-
сравнению с h.
Равенство (И) преобразуется теперь к виду
A3)
где значения функций Г и их производных взяты
в точке А. Если в правой части поменять местами ин-
индексы i и / и умножить на —.1, то, в силу антисимме-
антисимметрии тензора xfi, правая часть не изменится. Взяв по-
полусумму равенства A3) и того, которое получается
после указанного преобразования, мы найдем
6.64 5,6.5. КРИВИЗНА 525
или же
А!1 = 4 Ml- *SVV + ° №• <' 4>
Таким образом, с точностью до малых третьего порядка
поворот вектора | выражается формулой A4), где
главную роль играет тензор кривизны Rltj ft.
6.54. Тензор кривизны в римановом про-
пространстве. В римановом пространстве, где коэффи-
коэффициенты Г*/ определены по формуле 6.32 E)
и, в частности, симметричны по индексам i, /, тензор
кривизны
обнаруживает дальнейшие свойства симметрии.
Рассмотрим четырежды ковариантный тензор
dxi
(ft1
Заметим, что для n-мерной поверхности в (п + 1
ном евклидовом пространстве составляющие тензора
Кц.ы суть миноры матрицы второй квадратичной
формы E.32 (8)). Мы утверждаем, что в общем случав
тензор /?,j, ы есть тензор типа Риччи F.18). Действи-
Действительно, тензор Rijt ы вместе с тензором /?f/, s антисим-
антисимметричен по индексам i и /. Далее, мы утверждаем,
что индексы I, / и k, l можно переставить парами:
Rtu и = Rki. а- В самом деле,
526 гл- е- РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6*55
Альтернируя полученное выражение по i и /, получаем
1 / d*glt d%t d%k d%k \
*"'kl 2 V dxi dx* dxl dxk dxidxl + dxl dJ I
Получевное выражение очевидным образом допускает
замену пары i, \ на к, I в силу симметрии тензора gsp
и римановой связности Г'й.
Проверим, наконец, выполнение тождества Риччи.
Мы имеем
ят*? ЛТ^ Л Г® Л"Г*^ ЛТ® ЛТ^
в* в/ ¦ •/ IR ¦ /к /* |
- n,rspi + щг;к - r?krp,+ry*r'i - rf,TU = о
в силу симметрии символов Г*/ по нижним индексам.
Свертывая это равенство с тензором gsi, получаем вы-
выполнение тождества Риччи для тензора RiSt ы, что и тре-
требуется.
6.55. Кривизна и угол поворота парал-
параллельно обносимого вектора. Для риманова
пространства формула 6.53 A4) допускает дальнейшее
уточнение.
а. В римановом пространстве можно определить
площади участков, двумерных поверхностей, заданных,
например, уравнениями
xi = xi(u,v),
(и, u)eQcR2,
используя для этой цели формулу 6.31 A)
A)
где
? \ди ' ди}' Г \ди' dv)f U \dv * dv )'
Если от координат и, v перейти к новым координатам
6.Б5 S 6.5. КРИВИЗНА $27
й, 5, то в новых координатах элемент площади будет
иметь вид (ср. 3.61 в)
dS = VEG -F2dudv = У EG - F2\ 4|ffftdu d5' B)
Если новые координаты п, v подобраны так, что
то в координатах ы, 5 будем иметь
dS = dUdv. D)
Чтобы выполнялось условие C), положим й = <р (и, v),
5
= v; тогда
д (и, v)
ди dv
О 1
ди
и достаточно в качестве <р выбрать функцию
(и, о) —J
Именно в такой системе координат п, v — которые мы
снова обозначим через и, v — будем рассматривать фор-
формулу 6.53 A4). В этих координатах о есть риманова.
площадь области, ограниченной контуром L. В этих же
координатах имеем EG — F2 = 1, так что бивектор
х*1(А) — хгэ, построенный на векторах ^ ' и ур ¦ ¦-
и фигурирующий в 6.53 A4), становится единичным би-
бивектором.
б. Далее от оценки приращения координат, данной
в 6.53, мы можем перейти к вычислению угла поворота
вектора после обнесения его по замкнутому контуру L.
тт т+ » дх дх
На плоскости П, определяемой векторами -^ и -g^-
(т. е. на плоскости бивектора xij), мы установим поло-
положительное направление отсчета углов от направления
возрастания параметра и к направлению возрастания
параметра v. В этой плоскости мы фиксируем единич-
единичный вектор | и вектор г\, полученный из вектора | врач
щением на 90° в положительном направлении.
528 ГЛ. 6, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 6.Б5
После параллельного обнесения вектора | по кон-
контуру получится результат, который мы обозначим через
g + А|« Разложим вектор Ag на сумму трех составляю-
составляющих вида
где коэффициенты Ai, Д2) Аз — вещественные числа,
а вектор ? ортогонален к плоскости П. При этом фор-
формула 6.53 A4)
дает нам
А, = (|, Д|) = (|, А, • I) =
= \8iplP{R\,. kl*x"a+O(h*)) =
так как в силу антисимметрии тензора Rtj, нр по индек-
индексам к. и р первое слагаемое справа равно нулю.
Обозначим через <р угол, отсчитываемый от вектора |
к вектору g + Ai| + A24 (т. е. к проекции вектора g -f- A?
на плоскость П) в положительном направлении. Имеем
(рис. 6.5-1)
(г), Д2Т1) A + 0 (Л3)) *= (П, М) A +
+ О №) =
§p . E)
Бивектор g*»!*1 — |рч* определяет ту же плоскость П и
в ней площадь 1 (так как | и ц ортогональны и норми-
нормированы), так что он совпадает с бивектором х1К Чтобы
перейти к этому бивектору, в равенстве E) переставим
индексы к и р и возьмем полусумму-получившихся ра-
равенств; . мы найдем, с учетом антисимметрии тензора
в.бв S 6.6. КРИВИЗНА 529
Rii, ар по Л и р,
Для самого угла <р = arctg(tgq>) = tg<p + O(tg3q>) мы
получаем аналогичное выражение:
в. Если разделить полученную формулу на о (счи-
(считая, что а имеет в точности второй порядок малости по
сравнению с А) и перейти к пределу при стягивании
контура L к точке А, мы получим
Полученная скалярная величина
называется кривизной риманова
пространства Мп в точке А в дву-
двумерном направлении, определяемом у й1
единичным бивектором xii, и обо- Рис. 6.5-1.
значается через К.
г. Наконец, в качестве единичного бивектора х1*
можно взять любой бивектор xi} в той же плоскости П,
разделенный на его площадь. Используя формулу
6.17 E), для произвольного бивектора х1* находим
где Gijt kp = gihgjp — gjkgtp есть производный метриче-
метрический тензор F.176) в точке А.
6.56. Связь кривизны по двумерному на-
направлению и кривизны соответствующих
двумерных поверхностей. Вычислим по фор-
формуле 6.55 (8) кривизну римаиова пространства в дву«.
мерном направлении, определяемом координатной дву-
двумерной поверхностью Рц = {х е Мп; х1 = и, х2 = v,
хй ¦= ... = хп = 0}. Тогда бивектор х*> определится ми-
минорами матрицы
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
630 ГЛ» б, РОМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
и будет иметь ненулевые составляющие лишь при зна-
значениях i = I, j = 2, где лг12 == 1, и i = 2, / = 1, где
х21 = —1. Поэтому для кривизны /С получается выра-
выражение
у __
#12. 12 *Ь ^?2Ь Я — Bit, 21
Gl2, 12 + Gji, 21 — Cl2, 21 — C
2i, 12
Но так как оба тензора R и G антисимметричны по пер-
первой паре и по второй паре индексов и не меняются при
перемене этих пар местами, то мы получим
* A)
12, 12
В частности, если все риманово многообразие Мп
двумерно, п — 2, эта формула дает выражение гауссо-
гауссовой кривизны многообразия ЛТ2 F.35 е). Геометрически
это легко понять: на многообразии М величина К, по
формуле 6.55 (8), есть предел отношения угла поворота
параллельно обносимого вектора к площади, ограни-
ограниченной обходимым контуром, а это и есть гауссова кри-
кривизна поверхности М2 E.63).
В общем случае (/i > 2) гауссова кривизна коорди-
координатной поверхности Р\2, вообще говоря, не задается вы-
выражением A). Дело в том, что параллельный обвод
вектора по контуру L имеет на многообразии Мп не тот
смысл, что на поверхности Лг, как на самостоятельном
двумерном многообразии: в первом случае он опреде-
определяется значениями всех Г?;, что, в частности, имеет
следствием тот факт, что переносимый вектор выходит
из касательной плоскости к поверхности Рц\ во втором
случае параллельный обвод определяется только зна-
значениями П/ с I, /, k = 1, 2, ... и переносимый вектор
остается в касательной плоскости к поверхности Р\ъ.
Например, когда многообразие Мп есть евклидово про-
пространство Rn, а поверхность Pi2 есть участок двумерной
сферы в Rn, мы сталкиваемся именно с таким положе-
положением: параллельный перенос в евклидовом простран-
пространстве по любому замкнутому контужу, в том числе и
лежащему на сфере, возвращает вектор в исходное по-
положение, а параллельный перенос по замкнутому кон-
контуру на двумерной сфере, как самостоятельной римано-
6.66 $ 6.6. КРИВИЗНА Б31
вой поверхности, не возвращает переносимый вектор,
вообще говоря, в исходное положение E.62ж).
Докажем это же утверждение аналитически.. В силу
6.54 A) числитель в формуле A) для кривизны К мно-
многообразия Мп по двумерному направлению Рц равен
J? „ 1
a 12,12 2
(
2 \ dx1 dx2 dx* dx1
с суммированием по всем s и р от 1 до п. С другой сто-
стороны, в выражении для гауссовой кривизны R поверх-
поверхности Р\2
tf12> 12
где G,2, i2=Ci2,12, числитель ^i2, i2 равен
d'gt2 \ .
"** dx1 dx2 ) "*"
l / g2gi2 d*g22 d*gll
2\dxl dx2 dx1 dx1 dx2 dx2
причем суммирование производится только по тем ин-
индексам аир, которые равны 1 и 2.
Можно поставить вопрос: существует лн в многооб-
многообразии Мп для каждого бивектора Х1'(А) такая двумер-
двумерная поверхность Р, у которой касательная плоскость
в точке А определяется бивектором х*ЦА), а гауссова
кривизна есть кривизна многообразия Мп по соответ-
соответствующему двумерному направлению? (Так, в предыду-
предыдущем примере в евклидовом пространстве Rn в качестве
такой поверхности следует взять плоскость, определяе-
определяемую бивектором х*''(А).) На этот вопрос мы Дадим сей-
сейчас положительный ответ.
Предположим, что в рассматриваемой точке А вы-
выполняется условие Г*;(Л) = 0 (i, /, k = i, ..., п).
Тогда, очевидно, равенства A) — C) с учетом D) дают
нам R = К, т. е. кривизна многообразия М по двумер-
двумерному направлению х1, х2 совпадает с гауссовой кривиз-
кривизной координатной поверхности Лг. Но более того, в ука-
указанном случае для любого бивектора x*i можно указать
двумерную поверхность Р, удовлетворяющую требуе-
532 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ в.61
мому условию. А именно, предположим для простоты,
что х*(А)= 0 (i = 1, .... я), и для данного бивектора
хН(А) совершим линейное преобразование координат
х1 = а\,х1'г переводящее плоскость бивектора х*'(А)
в координатную плоскость х1', х2". Так как при линей-
линейном преобразовании координат величины Гц преобра-
преобразуются по тензорному закону F.33), то в системе ко-
координат {х'} также будет Г*/'(Л) = 0. По доказан-
доказанному, координатная поверхность ж1', х2' будет иметь
кривизну, равную кривизне многообразия М„ по дву-
двумерному направлению, определяемому бивектором хц.
Нам остается показать, что если в данной системе
координат х\ ..., хп равенства Г*/(Л) = 0 не выпол-
выполнены, то всегда можно найти другую систему координат
х1', ..., хп', в которой они уже будут выполнены. Счи-
Считая, как и выше, xl{A)— ... = хп(А)= 0, можно, на-
например, положить
с неопределенными пока коэффициентами а\, и bkirfr.
Тогда
ъ_дхЦА) k и =^?44i_&ft
Pk'~ dxk' —ak" PI'r dxi' дхГ — °i'r
и, полагая
IT,, (A) = р\.р\,р%Т\, (A) - pl,p%(, - 0,
мы получаем, после сокращения на р\„ уравнение
рЧг='Ьк1Г==а',а1,Ц}{А). E)
Выбирая невырожденную матрицу а\, произвольно
(например, а^ = о^) и находя коэффициенты Ъ\,{. по
формулам E), мы и получаем искомую систему коорди-
координат, в которой Г*'/'(/4) = 0.
§ 6.6. Римаиовы пространства постоянной кривизны
6.61. Пусть L есть некоторая и-мерная поверхность
в (п -f Г)-мерном евклидовом пространстве Rn+u задан-
заданная обычными уравнениями
х' = х*(щ, .... ип), « = («!, ...» un)fsGczRn.
6.62 § 6.6 ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 533
Рассматривая поверхность L как риманово многооб-
многообразие с метрикой, заимствованной из пространства Rn+u
найдем ее кривизну в двумерном направлении, опреде-
определяемом некоторым бивектором х*К По формуле 6.55 (8)
Но в данном случае составляющие тензора кривизны
Rii.hi, как мы уже отмечали, совпадают с минорами
Вц, ы второй квадратичной формы поверхности L, и, та-
таким образом,
6.62. Вычислим кривизну К в случае, когда L есть
сфера радиуса г с центром в начале координат:
При этом радиус-вектор пропорционален нормали:
x — rtn. A)
По формуле Вейнгартена 5.31 B)
д/п .о дх , . ч
подставив сюда х из A), находим
% (а=1, ..., п),
откуда bar = б?. Но тогда коэффициенты второй квадра-
квадратичной формы Ьц, связанные с Ь% соотношением 5.3/C)
принимают вид
т. е. оказываются пропорциональными коэффициентам
первой квадратичной формы. Поэтому
I
•/• *• ^-2 *JU Л*
534 ГЛ, б, РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
и формула 6.61 B) дает нам
Таким образом, сфера радиуса г в (га-f1) -мерном
пространстве имеет во всех точках и по любому двумер-
двумерному направлению одну и ту же кривизну К = I//
6.63. Риманово пространство Мп будем называть
пространством постоянной кривизны, если его кривизна
в любой точке и по любому двумерному направле-
направлению *}
*4«*t* A)
K
Gil. kixl'xkl
есть постоянная величина. Мы утверждаем, прежде все-
всего, что в этом случае справедливо соотношение
Ri,.ki = KGtl,kl. B)
Действительно, положим Ti}> hl=RiJt hl — KGiit M.
Вместе с тензорами Rij, ы и Gijt ы тензор Г,;, ы является
тензором типа Риччи. Согласно A) для любого бивек-
бивектора x{i имеет место равенство
Применяя теорему 6.18 6, получаем, что в любой
точке х&.Мп тензор fijih}(x) имеет все составляющие,
равные 0, откуда и вытекает B).
6.64. Далее, предположим, что пространство Мп
имеет положительную постоянную кривизну К—\/г2,
г > 0. Мы утверждаем, что в таком случае простран-
пространство Мп локально изометрично сфере радиуса г в
(п 4- 1) -мерном евклидовом пространстве Rn+i. Для
доказательства определим тензор Ьц(х) по формулам
bt,(x)^-jgt,{x). A)
Покажем, что для матриц llgij(*)ll и ||&у(*)|| выполне-
выполнены предпосылки теоремы Бонне 5.34, т. е. удовлетво-
удовлетворяются уравнение Гаусса 5:32 (8) и уравнение Петер-
сона — Кодацци 5.32 F). Действительно, миноры Bijiki
матрицы H&ijIJ в силу определения Ьц A) и равенства
6.65 S 6-6 ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 535
6.63 B) удовлетворяют соотношению
Вц, ы ~ т? Gil, kt==: Rii. kit
и тем самым выполнено соотношение Гаусса. Подлежа-
Подлежащая проверке формула Петерсона — Кодацци 5.32 F)
имеет вид
дЬц dbik __ 8 я
дхк дх'
Подставляя сюда значения Ьц из A), приходим к ра-
равенству
Но
d8ik
и для доказательства B) остается вычесть одно из этих
равенств из другого.
В силу теоремы Бонне 5.34 в пространстве /?„+1
существует поверхность L = {х е #„+1: х — х (ии .... ип)},
для которой выражение S^/^"«^"/ представляет со-
собой первую, а 2 Ьц йщ dut — вторую квадратичные
формы. Для этой поверхности L мы имеем &* = — gikbtj=*
— «-!,„ —.f.}. откуда <*_,;? i^
далее, из -^-^m+yjcj== 0 следует, что т=— — (х—х0),
откуда \х — хо\ = г. Итак, поверхность L, изометричная
многообразию Мп, есть сфера радиуса г.
6.65. Переходим теперь к построению риманова про-
пространства Мп с постоянной отрицательной кривизной
/С=—д2, q > 0. Будем распространять на (n-j- 1) -мер-
-мерный случай конструкцию, приведенную в 5.54, где по-
постоянная отрицательная кривизна была реализована на
536 ГЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
гиперболоиде в трехмерном пространстве, с метрикой,
зэимствованнной из формы (х, х) = х\ -f- х\ — х\.
Обозначим через Н гиперболоид (х1J -f- •¦¦ -\-{xnf—
— (jtrt+lJ= —p2 в (п -f-1)-мерном евклидовом про-
пространстве Rn+i- Внесем в него метрику, заимствован-
заимствованную из псевдоскалярного произведения (х, у)=х1у1 + у.
... + хпуп — xn+1yn+l. Мы утверждаем, прежде всего,
что на Н эта метрика положительно определена, иными
словами, что форма
dxxdxx + ... + dxndxn
для касательных векторов к поверхности Н принимает
лишь положительные значения. Действительно, мы
имеем иа Н
xxdxl + ... +
Отсюда по неравенству Коши — Буняковского
^f = (хх dxl + *.. + хп dxnf <
f + ... + {xnf) l(dx>f + ... + (dx«f]
... +{dx"J\,
и, следовательно,
(U
что и утверждалось.
6.66. Пусть, далее, L означает любую n-мерную по-
поверхность в конусе {х, х) <z 0, для которой выполняется
неравенство 6.65 A), и, следовательно, форма (х, у)
индуцирует положительно определенную метрику. Для
таких поверхностей вектор псевдонормали т удовлетво-
удовлетворяет неравенству (га, га) <с 0, так как иначе форма
(х, х), будучи положительной в n-мерной касательной
плоскости и неотрицательной на псевдоортогональном
к ней векторе га, была бы неотрицательной во всем
Яп+1, что не имеет места.
Найдем кривизну поверхности./-, как риманова про-
пространства, по двумерным направлениям [dx, dyjfK Для
этого напишем сначала формулы Гаусса и Вейнгартена
для ведущего вектора поверхности х*=х(ии .... м„)
6.07 S 6.6. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 637
(в произвольном параметрическом задании):
Х
Обозначим Ь{}={х^, т). Как и в случае поверхности
в евклидовом пространстве, мы имеем (т, х,)=0,
(т}, хь) + (га, *#)=<), откуда
Далее, как и в 5.32, мы получаем
fe^
Правая часть в B) представляет собою тензор кривиз-
кривизны Rijt ы. Подставим в левую часть значения коэффи-
коэффициентов p,j, которые в отличие от евклидова случая,
когда Pi,- == (xij, m) = Ьц, здесь определяются из соот-
соотношения
Ьц — {x{h т) = р|; (m, m> = — р„.
Тогда вместо минора второй квадратичной формы, по-
построенного на строках i, k и столбцах /, /, как было
в евклидовом случае, здесь мы получим тот же минор,
но со знаком минус, т. е.
Rti, ы = — Вцз kt.
Искомая величина — кривизна риманова пространства!,
по двумерному направлению х{> — оказывается равной
Bu,ktldx,dy]4{dx,dy\kl
Gti,kildx,dy]l>ldx,dy]kl'
6.67. В частности, для псевдосферы
L = {х е Rn+1: {х, х) = - р2}
мы имеем х = рт, откуда
533 ЕЛ. 6. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ $.68
так что &*==-^**; отсюда Ьц = (х,р га) = — b$g}k ¦»=»
= gij, и, следовательно,
Подставляя в C), получаем
#L
Таким образом, псевдосфера L дает нам пример
n-мерного риманова многообразия с кривизной, постоян-
постоянной по всем двумерным направлениям и равной
-1/р2.
6.68. а. Обратно, пусть дано рнманово пространство
Мп с кривизной, которая во всех точках и по всем
двумерным направлениям постоянна и отрицательна,
К——q2, q > 0. Покажем, что такое пространство Мп
изометрично налагается на часть псевдосферы L cz Rn+\.
б. Нам понадобится теорема Бонне для поверхности
в пространстве Rn+i с римановой метрикой, заимство-
заимствованной из формы {х, х).
Эта теорема формулируется следующим образом:
Теорема. Пусть имеются пу^п-матрицы G=*
= \\gij(u)\\ и В=НМи)||, «=(« «n)<=GcRn,
удовлетворяющие условию
и условию
Тогда в пространстве Rn+t существует п-мерная поверх*
ность L с (положительно определенной) метрикой,
заимствованной из псевдоскалярного произведения
в.68 § 6.6. ПРОСТРАНСТВ 1 ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 539
(*. У), " для которой матрица G есть матрица первой,
а матрица В — матрица второй квадратичной формы.
Доказательство идет по той же схеме, что и в евкли-
евклидовом пространстве E.34). Пишется система уравнений
где b^gkp ~ — bjp с неизвестными векторными функция-
функциями Xi(u) и ш(и). Условия интегрируемости этой систе-
системы совпадают как раз с A), B). Поэтому существует
решение х{(и), пг(и) и оно единственно при задании
начальных условий Xi(u0) и ш(и0), удовлетворяющих
соотношениям
(х{ (ы0), х{ (и0)) = gtl (щ), m (и0) = (О О, 1).
Далее определяется функция х(и) из условий
Эта поверхность и оказывается искомой, что проверяет-
проверяется тем же рассуждением, что и в 5.34.
в. Переходим теперь к доказательству утвержде-
утверждения а. В пространстве Мп с постоянной по двумерным
направлениям кривизной
мы имеем, согласно 6.63,
Rii. kl = ~ Фбц. kl-
Положим btj=—qgy и проверим, что для форм Ьц и
gn удовлетворяются условия теоремы Бонне в псевдо-
псевдоевклидовом пространстве (б). Действительно, по по-
построению
ЬцЬи — bikbih — q2 (gt/gki — gtkg n) — q2Gti, ki = — Rti. kh
т. е. выполнено условие A).
Проверка выполнения условия B) производится точ-
точно так же, как в 6.64.
540 ГЛ. в. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ I
Итак, условия теоремы Бонне выполнены. Следова-
Следовательно, существует поверхность Lcri?n+1. с метрикой,
заимствованной из формы (х, х), и для которой WgijW
есть матрица первой, а ||6«|| — второй квадратичной
формы. Для этой поверхности L мы имеем Ь^
b откуда bf = q61; следовательно,
и, значит,
m = q(x — х0).
Отсюда
, . / т т
{X — х0, х — х0) — \—, — ф
так что поверхность L лежит на псевдосфере {х, х) —
¦= — 1/q2, сдвинутой иа вектор х0.
Таким образом, гиперболоид (х, х)=—\lq2 с метри-
метрикой, индуцированной формой (х, х), является канониче-
канонической моделью риманова пространства постоянной отри-
отрицательной кривизны —q2.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что- две сферы Sx и S2 разного радиуса в /?з нег
изйметричны, но аффннно эквивалентны (т. е. в некоторых системах
координат на Sx и S2 коэффициенты римаиовой связности выра-
выражаются одинаковыми функциями от координат).
i. Проверить формулу ковариантиого дифференцирования для
произведения тензоров:
3. Проверить формулу ковариантного дифференцирования для
свертки тензоров:
4. На плоскости фиксированы два взаимно ортогональных век-
векторных поля. В каждой точке два вектора поля определяют местный
базис. Определим параллельный перенос любого вектора условием
постоянства его местных кординат. Показать, что соответствующая
связность будет иметь нулевую кривизну, ио, вообще говоря, ненуле-
ненулевое кручение.
5. В плоской области G положим Г{, {x) = f(x) и все осталь-
остальные Г*у=О. Определить f(x) так, чтобы при многократном обходе
произвольно малому контуру, окружающему данную точиу А с О,
параллельно переносимый вектор (в смысле связности Г*у) приобре-
приобретал бы неограниченно возрастающие координаты.
0 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 541
6. В данной точке А пространства Мп аффинной связности вы-
выберем произвольно п линейно независимых векторов ей ..., qn. Пусть
¦U — та окрестность точки А, любую точку В которой можно соеди-
соединить с точкой А одной и только одной геодезической \{А,В)Г про-
проходящей в U (задача 12 к гл. 5). Геодезическая \(А,В) определяется
своим касательным вектором в точке А, например вектором
п
t, = 2 S'^j- Пусть Хв — значение в точке В того канонического па-
«+1
раметра на У {А, В), который определяется равенством — ' = |.
Примем за новые координаты точки В числа х1' = тв • |'. Показать,
что в этих координатах Г^у (А) = 0.
Историческая справка
Основные понятия римановой геометрии ведут начало от лек-
лекции Римана «О гипотезах,* лежащих в основаниях геометрии» (L854,
опубл. 1867). В ней Риман соединил идею и-мериого пространства
с гауссовой идеей задания метрики на поверхности с помощью ква-
квадратичной формы от дифференциалов коордииат. В этой же лекции
Риман дал и некоторое определение кривизны, которое в аналитиче-
аналитической форме было развито Кристофел^м A869). Наиболее .подходя-
.подходящим аналитическим аппаратом римановой геометрии оказался тен-
аорный анализ, созданный Г. Риччи в 1880-х гг. («Методы абсолют-
абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» — сводная
работа Г. Риччи и его ученика^ Т. Леви-Чивита, 1901). В частности,
Риччи и Леви-Чивита указали канонические формы римановых про-
пространств постоянной кривизны. И. Шур заметил A903), что если
в каждой точке римаиова пространства Мп кривизна одинакова по
асем двумерным направлениям, то она не меняется и от точки к
точке. Тензорный язык оказался весьма полезным в общей' теории
относительности Эйнштейна A915), причем, однако, от положительно
определенной метрической формы ds2 пришлось перейти к неопреде-
неопределенной (с одним отрицательным квадратом в каноническом представ-
представлении). В 1917 г. Леви-Чивита и Схоутен ввели в риманову геомет-
геометрию понятие параллельного переноса и с его помощью дали новое вы-
выражение тензора кривизны. Пространства с аффинной связностью
были введены Схоутеном и Г. Вейлем в 1918 г. Дифференцируемые
многообразия появились впервые у Уитни A936).
ГЛАВА 7
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
Математический анализ на дифференцируемых многообразиях —
весьма обширная в настоящее время область математики, область,
в которой скрещиваются идеи и методы разных направлений иауки.
Мы ограничиваемся здесь одним, но важным разделом теории: имен-
именно распространением на* случай элементарного дифференцируемого
многообразия той связи между дифференцированием и интегрирова-
интегрированием, которая в пространстве /?з давалась формулой Стокса (гл. 4),
а также постановкой и решением соответствующих прямых и обрат-
обратных задач. Многомерным аналогом классического векторного аиа-
лиза является, конечно, тензорный анализ, с участием тензоров лю-
любого ранга (причем для наших задач важны именно ковариантиые
тензоры — полилинейные формы). Оказывается, что разнородные
векторные дифференциальные операции — градиент, дивергенция,
вихрь — находят свое обобщение в одной-единствеиной дифферен-
дифференциальной операции над полями полилинейных форм — антисиммет-
антисимметричном дифференцировании (§ 7.2). Формула Стокса приобретает
общий и вместе с тем совершенно прозрачный вид: интеграл по
области от дифференциала некоторой формы равен интегралу по гра-
границе этой области от самой формы (§ 7.3). Глава завершается об-
обобщением обратной задачи векторного анализа — задачи о восста-
восстановлении векторного поля по дивергенции и вихрю: теперь эта за-
задача переходит в задачу о (локальном) восстановлении формы по
ее дифференциалу и кодифференциалу, которая решается, в общем,
несложно, с использованием в конечном счете методов векторного
анализа (§ 7.4).
§ 7.1. Антисимметричные формы
7.11. а. Мул ьтинумерация. Номером будем на-
называть любое натуральное число 1, 2, ... Мультиноме-
ром, точнее, (k-n)-номером будем называть любую по-
последовательность (i) = (t'i - ift) из k номеров, не пре-
превосходящих числа п. Номера iu ..., fo называются со-
составляющими (k-n)-номера @ = ('ь •••» &)• Два (k-n)-
номера
(О=(ч '*) и (/) == (ь • •»»/*)
7.11 5 М- АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ 543
считаются одинаковыми, если ii=/t, ..., ih—jk, и раз-
различными, если хотя бы для одного номера р <: к имеет
место неравенство 1рФ}р. Мультиномер (i) = (tt,'..., ih)
называется упорядоченным, если h <* h ^ ... ^ к,
строгим, если все номера t'i t'h различны, строго
упорядоченным, если ii < i2 < ... < i\. Можно подсчи-
подсчитать, что при заданных кип имеется всего пк различ-
различных (к-п)-номеров, C*+ft_i упорядоченных, п(п—1)..,
...(п — к-\-\) строгих и Сп строго упорядоченных.
В частности, для к=\ имеется п A-п)-номеров, которые
представляют собою просто номера 1, ..., п; хотя пре-
предыдущие определения к ним непосредственно неприло-
жимы, все они считаются строго упорядоченными. Для
к=п имеются пп различных (п-п) -номеров, C"n-i упоря-
упорядоченных, п\ строгих и только один (С" = l) строго упо-
упорядоченный, именно (п-п)-номер A, 2, ..., п.). Отметим
еще п строго упорядоченных ((п— 1)-п)-номеров:
A,2,3 п), A,2,3 п) A,2,3, .... А),
где знак ~ означает, что данная составляющая должна
быть вычеркнута из всей совокупности чисел, выписан-
выписанных в скобке. При k > n уже не остается ни строгих,
ни тем более строго упорядоченных (к-п) -номеров.
б. Любой (k-n)-номер (i) = (ii ih) можно пре-
превратить в улорядоченный (k-n)-номер (a) = (ai,... ,аь)
некоторой перестановкой составляющих; эта перестанов-
перестановка называется ордированием и обозначается О (i). Стро-
Строгий (к-п) -номер (i) ордированием переводится в строго
упорядоченный (к-п)-номер (а), и сама перестановка
0A) в этом случае определена однозначно. Число
E"'.V. °ft^Ea'...с?' по определению, есть знак этой пере-
становки. Если дана к X ^-матрица I! a' II, у которой
II pi)
строки занумерованы номерами /=1, .... к, а столб-
столбцы — номерами ар, р=\, ..., к, ai ¦< ... < «ft, то ее
детерминант вычисляется по формуле
...< A)
'ft
(суммирование по веем мультиномерам (i), для кото-
которых О (i) = («)).
644 ГЛ, 7. ДИФФИ>ЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7Л2
в. Мультиномер (/') = (/j /„_*), составляющие
которого дополняют составляющие строгого {к-п) -номе-
-номера (t) = (l'i. • ..1 4) до полного набора номеров 1,2, ...
..., п, называется дополнительным к (k-n)-номеру (i).
Этот мультиномер (/) определен однозначно, если по-
потребовать его упорядоченности.
г. Для примера (он потребуется в дальнейшем) вы-
вычислим знак перестановки, ордирующей (п-п) -номер
(си, ..., ak, Рь ..., Pn-fc), где (Р) = (рь ,.., Р„-ь) есть
строго упорядоченный мультиномер, дополнительный
к строго упорядоченному мультиномеру (а) == (аь .. •
..., а*). Ордирование указанного (п-п)-номера можно
произвести следующим путем. Во-первых, переведем но-
номер as, стоящий на А-м месте, на его собственное место
с номером ад. Число а& не меньше k вследствие строгой
упорядоченности мультиномера (а). Для этой операции
потребуется a*— к' инверсий (перестановок соседних
номеров), которые не изменят взаимного расположения
номеров р3-. Далее мы переводим номер аь_1 с места
с номером k— 1 на место с номером ак-i ^ k— 1, для
чего требуется ah-i — (k—1) инверсий; продолжая так
далее, последним переведем номер ai с первого места
на место с номером ai, используя ai — 1 инверсий.
А когда все номера сц, ..., а& встали на свои места,
автоматически оказываются на своих местах и номера
Рь . * •¦, Pn-ft, поскольку они не меняли своего взаимного
расположения и обязаны занять все оставшиеся места.
В итоге для ордирования мультииомера (аь .... а&,
Рь ..., p«-ft) нам потребовалось
инверсий. Отсюда
7.12. Полилинейные формы.
а. Функция А (х, .... х) от k векторов х, .... х неко-
I ft. lft
торого линейного пространства R называется полили-
нейной, точнее, k-линейной, если она линейна по ка-
7.12 S 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ 545
ждому из аргументов при фиксированных значениях
остальных.
б. В пространстве /?„ А-лииейшде функции назы-
называются k-формами, число k называется степенью фор-
формы. Найдем общий вид fe-формы А (х, ..., х) в п-мер-
I п
ном пространстве Rn. Для этого выберем произвольно
базис еь ..., ег. н обозначим координаты вектора х
в этом базисе через I1, ..., I". Тогда, в силу свойства
полилинейности,
А (Y y\ А I 7, h\?>i 7, % kfi. \
== S !'¦ •.. 11Ще{1 е{к)= Ц etnl1» ... |Ч A)
(i) 1 к l U) 1 ft
где aa) = A(e{l, ..., elh). Очевидно и обратное: всякая
функция от векторов х, ..., х пространства Rn, записы-
записывающаяся через координаты этих векторов в виде пра-
правой части A) с произвольно взятыми коэффициентами
fl(i), представляет собой fe-форму.
в. Очевидно, fe-формы в пространстве Rn можно
складывать и умножать на числа (как функции), полу-
получая при этом снова fe-формы. Таким образом, fe-формы
в Rn составляют новое линейное пространство. Его ба-
базис образуют fe-формы |'" ... |Ч количество которых
равно количеству (fe-n)-номеров (i), т.е. числу пк
G.11а). Линейная независимость этих fe-форм следует
из единственности представления A): полагая в нем
# = ?/, ..., х — в)., с необходимостью приходим к
i ь
выражению а</)== Л(е^, ..., e/fe). Таким образом, раз-
размерность пространства всех k-форм в Rn равна nk.
г. Рассмотрим, как преобразуются коэффициенты a(i)
при переходе к новому базису е{, = р'{,е{ F.11). В этом
случае
%'ГА{в* — %)=
it ib - t i i* If.
546 ГЛ. 7t ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7ЛЗ
Таким образом, коэффициенты Щ{) образуют k-ка-
вариантный тензор.
д. Введем еще понятие 0-формы: по определению
0-форма есть функция от x^Rn, равная постоянной.
Все 0-формы образуют, таким образом, пространство
размерности 1.
7.13. Антисимметричные А-формы.
а. Антисимметричными называются такие k-фориы
А(х, ..., х), которые при каждой перестановке двух
1 п
своих аргументов изменяют знак.
Антисимметричные &-формы, очевидно, также можно
складывать и умножать на числа, получая снова анти-
антисимметричные &-формы. Таким образом, антисимметрич-
антисимметричные &-формы составляют подпространство в простран-
пространстве всех &-форм.
б. Пусть
А(х x)==Sfl(i)|f»...|'*
I ft (О 1 к
— некоторая антисимметричная &-форма. Поскольку
O(i) = A(eil, ..., eift), коэффициенты а$) антисимметрич-
антисимметричны относительно составляющих ii ih (k-n) -номе-
-номера (i), т.е. изменяют знак при перестановке двух со-
составляющих этого (й-n)-номера; в частности, если этот
(k-n) -номер (i) не является строгим, т. е. имеет две оди-
одинаковые составляющие, коэффициент с(,) равен 0.
Поскольку при k > п вообще нет строгих (й-п)-номе-
ров, всякая антисимметричная k-форма с k>n есть
тождественный нуль, ксли й<[п, то e(i) = e°I|*'°*a(a),
где (а) = О@, и теперь можно преобразовать форму
А{х, ..., х) к виду
2
(i)
2 «to 2
(о) l >ОAЫа)
S(aAa)( X), A)
(a) I ft
7.14
5 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
547
где
Dla)(x, ..., х) =
!"• ... f»
1 ft
|«* ... Iе*
I ft
B)
Формы Z)(a){x, ..., х) B), очевидно антисимметрич-
1 п
ные, называются каноническими антисимметричными
^-формами; число их равно числу строго упорядоченных
(k-n) -номеров (a) = (ai а&), т. е. С* G.11 а) .Так
как коэффициенты ща) в A) определены единственным
образом, a(a) = A(eai, .... е„й), то формы D(a) линейно
независимы и тем самым образуют базис в подпро-
подпространстве всех антисимметричных k-форм. Отсюда сле-
следует, что размерность этого подпространства равна С*.
в. Единственная (с точностью до линейной зависи-
зависимости) антисимметричная n-форма (СЦ = 1) имеет вид
п)(х *) =
1 л
I1 ... I1
г...V
Если пространство Rn евклидово и координаты |*
взяты в ортонормальном базисе, то абсолютная вели-
величина значения формы D<i,...,„)(*, ..., х) имеет геомет-
1 л
рический смысл объема параллелепипеда, построенного
на векторах х, ..., х.
1 л
г. Определение антисимметричности непосредственнр
неприложимо к 0-формам и к 1-формам. Тем не менее
мы будем эти формы по определению включать в число
антисимметричных.
7.14. Альтернация k- фор мы.
а. Пусть А (х, ,.,, х) — произвольная fe-форма; поло-
* ft
жим по определению
AltA(x, ...,
1
A)
648 ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.14
с суммированием по всем строгим (k-ri) -номерам (i).
Таким образом, в правой части стоит среднее арифме-
арифметическое из значений А (х, ..., х) по всем перестанов-
', *k
кам (й-й)-номера A, ..., k) со знаками этих переста-
перестановок. В результате снова получается ?-форма, которая
называется альтернацией исходной ft-формы А (х,..., х).
i k
Эта форма уже антисимметрична, какова бы ни была
исходная форма А(х, ..., х). Действительно, рассмот-
1 к
рим, например, перестановку х и х. Выделим справа
! 2
сумму двух слагаемых
s = e\::.\:м:.:[к.А{х х,.... х,...,
\:л\м:.:
«¦*.
с фиксированными положениями остальных номеров
3, ..., ft. При перестановке х и х сумма этих слагае-
1 2
мых перейдет в сумму
= •!,¦..'.\'..'.i:..'ikkA(x х, ..., х, ..., х
е::м::А(х.. х,
. )
', I 2 'ft
— е! ".:. 2'.м:.:и.А{х х, ..., х, ..., л;) —
— e\'.:.\:.:i:.:uA(x х,.... х,.... *)=—s.
Отсюда видно, что и все выражение АИ Л (л;, ..., х)
меняет знак при перестановке л: и я.
1 2
Если форма Л (л; х) с самого начала антисим-
1 п
метричиа, то при альтернации она переходит в себя,
так как в сумме A) все слагаемые одинаковы:
!
1 h
л:, .... х) = А{х, ..., х).
7.15
§ 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
549
б. Найдем для примера Alt |'« ... |;*, где (J) =
=(/i. ••¦> /^ — фиксированный (А-я,)-номер. Мы имеем,
согласно определению,
**?¦¦¦ 1"-
(D
¦•¦?
ft1' ...
и
6V
ft1»
к
B)
(V)
Если мультиномер (/) строго упорядочен, например,
Ц) = {а) = (щ, ..., ak), то мы получаем окончательно
К'
1 к
, .... х), C)
k
где Да)(* *) — каноническая антисимметричная
форма {7AS).
в. Отметим еще очевидное линейное свойство аль-
альтернации: для двух fe-форм At(x х) и А2(х, ..., х)
1 k I k
и любых двух чисел с, и а2
Alt (а, Л1 + о2А) = «1 Alt Ai + а2 АН Д,. D)
7.15. Тензорные произведения полилиней-
полилинейных форм.
а. Пусть имеются fe-форма А(х, .,., д:) и т-форма
В{х, ..., х). Тензорным произведением их называется
1 го
(& + >я)-форма С(х, ..., д: ), определяемая равенством
1 ft+ro
C(x, .... х ) = А{х, ..., х)В{ х , ..., х )
I *+m 1 к ft+l *+т
Равенство A) короче обозначается так: С =
A)
sso
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.15
б. Так как тензорное произведение выражается через
обычное числовое произведение значений форм, то оно
обладает свойством линейности: если А = ахАх + а2А2, то
в. Даже если А и В — антисимметричные формы, то
форма А X В не обязана быть антисимметричной. Же-
Желая получить антисимметричную форму, мы альтерни-
альтернируем тензорное произведение; в результате получается
новая форма
B)
D(x х ) = Alt[A(x, .... х)В(х , .... х )
I k+m 1 ft ft+1 k+m
которая короче обозначается D=A Л В и называется
альтернированным тензорным произведением форм А и
В (подчеркнем, что оно определено для любых формЛ
и В — не только для антисимметричных!).
г. Вычислим для примера А А В, где
Согласно определению
• • • S •
ft+m
Используя 7.14C), получаем
1
(k + m)!
k+m
fc fe+l
i
ft+m
1
(k + m)\
(V)
l
ft+m
ft k+l
!
ft+m
C)
д. Альтернированное тензорное произведение есть
линейная операция вместе с тензорным произведением
7.15 § 7Л. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ 551
и альтернацией: если A=aiA\ -f а2Л2, то
(а,Л, + а2А2) А В = Alt {(й,Л, + а2А2) ХВ} =
= Alt (М, X В + Мг X В) = о, А А В + о2Л2 Л В,
и аналогично для случая В=Ъ\В\ -(- Ьг^г-
е. Для линейных форм А — 2 g<|'i В = 2 &/|' вы-
полняется антикоммутативный закон
ААВ = -ВАА. D)
Учитывая, что свойство линейности доказано, достаточ-
достаточно проверить D) для одночленных форм.Л=?», ?=?J,
Мы имеем
Г Л I1 = Alt |'б' = 1 (|'|' - Б'б1) = - Alt |V = -1' Л Б1.
12 ' 1 2 12 12
Для форм высших порядков равенство D) заменяется
более сложным (см. задачу 10).
ж. Покажем, что альтернированное тензорное произ-
произведение обладает свойством ассоциативности, т. е. для
любых форм А, В и С выполняется равенство
{ААВ)АС = АА{ВАС). E)
Достаточно проверить это на базисных одночленных
формах
поскольку для перехода к общему случаю можно вос-
воспользоваться доказанным уже линейным свойством.
Форма А А В уже найдена выше C). Составим теперь
произведение [А А В) А С. Мы имеем
(AAB)AC = A\t[(AAB)XC] =
552 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
Снова применяя 7.14(9% получаем
7.15
1
(к + /)!
(V)
Г'
k+1+m
l
k+l+m
k+l+m
ft+г+т
Переставим строки полученного определителя так,
чтобы они шли в исходном порядке t"i, ¦ • ¦, к, /ь ¦ ¦., }г,
это дает
Г'
(V)
ft+i+m
ft+Z+m
fc+J+m
Г
fe+f+m
Полученный определитель уже не зависит от мультино-
мера (v); все слагаемые под знаком суммы стали оди-
одинаковыми. Их число,. равное числу, всех строгих номет
ров (v), равно {к-\-1)\, и поэтому окончательно
1
(к + I + т\)
ft+I+m
k+l+m
F)
Ясно, что тот же. результат получится и при вычислении
Л Л E Л С), так что ассоциативный закон для анти-
тле
7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ
553
симметричного тензорного произведения обоснован. Та-
Таким образом, выражение А Л В Л С и ему аналогичные
с большим числом множителей имеют однозначный
смысл.
7.16. Каноническая запись антисиммет-
антисимметричных форм.
tit
а. Для трех одночленных форм |', |', | \ в част-
частности, получаем в соответствии с 7.14 C)
*.
i1'
-*w
Продолжая аналогично, находим для любых ilt .,
Г'Л... A6'ft
A)
Если мультиномер (i) = (a) = (aJt ..., ak) строго упо-
упорядочен, то форма Alt g1' ... g'fc с точностью до мно-
множителя совпадает с базисной антисимметричной формой
ДЛдг, ..., х) G.14 6). Поэтому всякую антисимметрии-
1 k
ную k-форму А{х, ..., х) можно записать в виде
А{х х) = 2 a(a)|a' Л ...ЛБв*
B)
с однозначно определенными коэффициентами ща). Ра-
Равенство B) называется первой канонической записью
антисимметричной формы А{х, ..., х).
1 k
б. Антисимметричную форму можно, конечно, запи-
записать и в виде
А{х, .... *) = 2
1 k (О
C)
с суммированием по всем строгим (k-n) -номерам @ =
= (*'i. ••-, 4), но в такой записи коэффициенты %>,во-
%>,вообще говоря, не определены однозначно. Если мы по-
потребуем, чтобы в записи C) коэффициенты щ$ зави-
554 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.16
сели от мультиномера (i) антисимметрично, т. е. меняли
бы знак при перестановке двух его составляющих, то
тогда запись C) будет уже однозначной и коэффициен-
коэффициенты %) легко выразить через коэффициенты aia) одно-
однозначной записи B). Именно, в указанном предположе-
предположении имеем
А{х, .... х) = 2ош!г'Л ••• Л€?* —
i ft («)
= 22 a(nl'1 Л ... Л &'»;
(о) О@(«>
используя антикоммутативность операции Л для линей-
линейных форм и антисимметрию коэффициентов aw, находим
А(х х) = 2 2 а(о)|а1Л...Л|а* =
1 ft (а) ОИЫа)
= kl 2 «(„)!"' Л ...Л|а*.
(а)
откуда
б Л! D)
Обратно, имея представление B), можно перейти
к представлению C), положив
Равенство C) при условии антисимметричности коэф-
коэффициентов a(iy называется второй канонической записью
антисимметричной формы А(х, ..., х).
1 k
в. Запись C) с антисимметричными а^ имеет то
преимущество перед записью B), что ее коэффициен-
коэффициенты fl(i) (однозначно определенные условием антисиммет-
антисимметрии в каждой системе координат) являются k-кова-
риантными тензорами. Действительно, в новых коорди-
координатах V'= PliV мы имеем
r /
nih л... л i\
2
(О
7.16 § 7.1. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ 555
так что можно положить
При этом коэффициенты о(Г) антисимметричны относи-
относительно составляющих мультиномера (Г), т. е. именно
они являются искомыми коэффициентами преобразован-
преобразованной формы. Тем самым доказан тензорный характер ве-
величин й(,).
Итак, если в каждой системе координат заданы ан-
антисимметричные (по составляющим мультиномера (/))
величины О({) и выражение
2
не зависит от выбора системы координат, то a(i) обра-
образуют k-ковариантный тензор. Что касается коэффициен-
коэффициентов ща) в формуле B), то правило их преобразования
к новым координатам совсем иное (см. задачу 12).
г. Так как при фиксированном (f) = (м, ..., ih)
формы
А(х, .... *) = ?''Л ... А%'"
антисимметричны G.15 е), то и любая их линейная ком-
комбинация
«¦=2сA)|''Л...Лб'* F)
представляет антисимметричную форму. Если при этом
коэффициенты с^ антисимметричны по составляющим
(k-n) -номера (i), мы получаем форму ы сразу в кано-
каноническом виде C). Если же коэффициенты с^ симмет-
симметричны хотя бы по одной паре составляющих, например,
если сц ik=Citt tk, то форма F) тождественно
равна 0. Действительно, в этом случае сумма каждой
пары слагаемых
556 гл- 7- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
с фиксированными индексами *3» • • •. i*. обращается
в нуль:
s = citi3... ik(l' Д 6 * + 12 А ? •) Л |'8 Л • • • Л ?** =0,
откуда следует, что и вся форма F) равна нулю.
д. В общем случае от записи F) можно перейти
к канонической записи B) следующим образом:
2
(a)
л... л 14
где
Далее по формуле E) можно найти для формы F) и
каноническую запись C):
2 си,!1! Л ... Л б1* = S «(Z)^1 Л ... Л lift,
где O(i) = O0) = (о) и
O(i)=(a)
—f S
§ 7.2. Дифференциальные формы
7.21. Определение дифференциальных
форм.
а. Пусть Afn — «-мерное элементарное дифференци-
дифференцируемое многообразие класса р>\ F.21). В каждой
точке х е Мп имеется касательное пространство
Т„ (х) — «-мерное линейное пространство из касатель-
касательных векторов к кривым, проходящим через точку х.
Преобразование координат хг'= х*'(х1, ..., хп) в про-
пространстве Мп индуцирует в Т„(д:) линейное преобразо-
<f.21 5 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ S57
Q V
ванне векторов по формуле ?'' = pf?*» где р]' = —r-j-.
В каждом пространстве Тп(лс) можно строить полили-
полилинейные формы от векторов %i=dxi н, в частности, анти-
антисимметричные &~формы
А{х; dx dx) = 2 a(i> (*)«**'• ... dxifs. A)
i k (i) i fc
k
Пользуясь результатами 7.16 а, б, всякую антисимме-
антисимметричную fe-форму на пространстве Т„(*) можно записать
в виде
А {х; dx dx) = 2 а(|) (*)rf*'« Л ... Л d*'* B)
1 к (О
с коэффициентами ац)(х), антисимметричными относи-
относительно составляющих i\, .... 1ь (Л-я)-номера (/), или же
в виде
А{х] dx dx) = 2 a(e) (x)dxu* Л ... Л ^л:"*, C)
1 к (а)
где О( < ... < ak. Вообще, любая антисимметричная
At-форма
со (*; dx dx) = 2 fr«)(jc)rfjc'« Л ... Л d*4 D)
1 ft (i)
коэффициенты которой суть функции с непрерывными
производными до порядка г, заданная в любой системе
координат и при этом имеющая инвариантный смысл
(не зависящий от выбора системы координат), назы-
называется антисимметричной дифференциальной k-формой
гладкости г на многообразии Мп.
б. Чтобы говорить об инвариантном смысле выраже-
выражения D), нужно прежде всего иметь правило преобразо-
преобразования коэффициентов Ьф(*) при переходе к новой си-
системе координат. Допустим сначала, что величина %)
является &-ковариантным тензором, так что
558 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.22
Тогда в силу основных свойств антисимметричных
fc-форм в Rn G.15)
= |Sp('j... р1/ b{i) (x) S pjj ...р^Лл
(j) (/) 'i 'ft <"
«S^iW^'A ... Л Ac1*,
так что форма D) имеет инвариантный смысл. Заме-
Заметим, что форма D) может иметь инвариантный смысл
и при более сложном, не тензорном, законе преобразо-
преобразования коэффициентов b(i>(#), примеры чего мы увидим
в дальнейшем. Число г — порядок гладкости коэффи-
коэффициентов b(iy(x)—будет предполагаться в дальнейшем
достаточным для производимых выкладок.
в. Приведенный вывод показывает, в частности, как
можно строить на многообразии дифференциальные
формы. В одной какой-либо системе координат х* мы
можем взять выражение
*> = 2 hi) (х) rfx1' Л • •. Л dx'k
с произвольными антисимметричными достаточно глад-
гладкими коэффициентами Ьф(х), а затем в любой другой
системе координат х1' положить
i' i'
со = 2 hn (x)dx l Л • •. Л dx *,
in
где b(ir)(x) получаются из Ь^(х) по правилу преобразо-
преобразования &-ковариантного тензора.
г. Антисимметричные дифференциальные Л-формы
на многообразии Мп {п ^ 1) образуют линейное про-
пространство бесконечной размерности,
7.22. Дифференцирование дифференци*
альных форм.
а. Пусть
<о = S *((« x)dx** д ... д йх1ь A)
7.22 § М- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 559
— антисимметричная дифференциальная Аг-форма на
многообразии Мп. Рассмотрим выражение
A... Л*Л B)
дЬ(П (х)
Хотя коэффициенты ——г— уже ие имеют, вообще го-
говоря, тензорного характера F.26\, тем не менее напи-
написанное выражение, как мы сейчас увидим, имеет инва-
инвариантный смысл вместе с самой формой ю и тем самым
представляет собою новую антисимметричную диффе-
дифференциальную форму, уже с k +1 аргументами. Эта
(&+1)-форма называется дифференциалом формы оз.
б. Для доказательства инвариантности выражения
ды допустим сначала, что Ъ^{х) есть й-ковариантный
тензор. Тогда по 6.26 (I)
/Л р) ... р*ЪЬт (х)+ ...+р'}... р'^р% bt (x\
1,//?... рЧ( (дс) p'V/ ... р} dx' Л dx/l Л ...
... p^dx7 Adxh A-.. A
560 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.22
+ РЧ. Ур*% (х) dx' Л dxh л <*х'2 А ... А <**'* + ...
Hi i /,
... + ph p1 p\ <*) dx1 A dx'1 A • • • Л d*'*-1 A dx1*. C)
/'* ' 'ft
Теперь заметим» что коэффициенты p'l ,р*p'lb(l){x) сим-
симметричны по номерам / и /» действительно, меняя их
местами, а затем заменяя ? иа 1\ и i\ на /', получаем
/ t
pbp р — р}.р}рр}.
f*i hi h1 I i '4
Поэтому, согласно 7.16 г, второе слагаемое в сумме C)
обращается в 0. Аналогично обращаются в нуль и все
следующие слагаемые этой суммы, и мы получаем
что и доказывает инвариантный смысл выражения B).
в. Русть теперь 6<«(*) — произвольные коэффи-
коэффициенты, заданные в каждой системе координат так, что
форма A) имеет инвариантный смысл. Используя 7.16д,
запишем форму A) в виде
= S
(/) A ... A
где коэффициенты
являющиеся составляющими Л'Ковариа'нтного тензора
G.16 в), уже антисимметричны. Поэтому форма
2Ц%А ... A
(/) (в)
7.22 § 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМ» 561
по доказанному, имеет инвариантный смысл. Но
дЬф (х)
JL V -/, - н аьт w
дх
О @=0 (Л
следовательно, инвариантный смысл имеет форма
дщ —
S S [Si S
(a) O(/)=(a)L s O(i)=O<J)
Поскольку выражение в квадратной скобке не зависит
от конкретного выбора (/) с О(/)=(а), форма дщ при-
приводится к виду
(a)
(О s
что и требовалось доказать.
г. Легко убедиться, что операция дифференцирова-
дифференцирования линейна: для любых &-форм <0| и со2 и любых
чисел О| и Oj
5 (aid)] + О2©2) = fli дщ + Oj ^»2-
Это вытекает немедленно из линейности операции диф-
дифференцирования -д-|- в множестве функций.
д. Дифференцирование антисимметричного тензор-
тензорного произведения производится по формуле
д (со, Л %) — дщ Л % + (—1)* Щ Л дщ, D)
562 ГЛ, 74 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 723
где Л —степень формы щ. Действительно, пусть
Щ = S Да) Ми* Л ... Л </*"*.
(а)
«2 = 2 ft в) Wrf**1 Л ... Л ЛеЧ
(ft
©1 л «>2 == 2 2 f(а) (*) fte> W rfjfa| л ...
(а) Ф)
... Л rfxa* Лrf/1 Л ...
Тогда по определению
(a) @)
(о) (В)
= дю, Л со2 + ю, Л (— 1)
поскольку для получения дв^ нужно dx1 перевести через
dx\ .... e*
\ .
е. Нам будет полезна формула, которая предста-
представляет собою частный случай формулы D):
а (и A dxm) = да Л dxm. E)
Второе слагаемое формулы D) здесь отсутствует в силу
равенства
7.23. Примеры.
а. Для 0-формы (o=f(x) имеем
i
Полученное выражение всегда инвариантно, так как
есть одноковариантный тензор F.24 б).
7.23 § 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ФОРМЫ БбЗ
б. Для 1-формы <о = 2 f{ (xLxl инвариантность
означает, что ft(x) есть одноковариантный тензор. Мы
имеем
Построим для формы да первую каноническую запись
7.16B). Пусть (сО^сц, а2), где а, < а2. Тогда по 7.16д
8'
В данном случае cft = - 'l f , поэтому
=
и, следовательно,
= 2
O,<Oj
в. Для (п — 1)-формы <о, взятой сразу в первой
канонической записи 7.16B)'.
мы имеем
... Adxn—a2(x)dxl Adx*A ...Adxn+ ..«
... +(-l)n-ian(x)dxl A ... Adxn~\
—\dxlAdx*A ... Л d*" - ^
отсутствие остальных слагаемых объясняется тем, что
dxl A dxl = 0. Далее, переставляя первый множитель dxl
на i-e место, находим
г. Дл^ п-формы а форма да>, как всякая антисим-
антисимметричная (я-т- 1)-форма, тождественно равна нулю.
564 гл- 7- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.?4
7.24. Теорема Пуанкаре.
а. Лемма. Для любой антисимметричной диф-
дифференциальной формы со на многообразии Мп
д2© н= д (да) зз О,
Доказательство. Пусть
<о =¦ S /<«> (*) <**"' Л ... Л d*°*.
(о)
Тогда, согласно определению 7.22 с,
(о)
(О) « /
Коэффициенты получившейся формы симметричны по
индексам i и /; поэтому, в силу 7.16 г, форма д2 со рав-
равна 0, что и требуется.
Теорема Пуанкаре, которую мы будем доказывать
в в, есть (локальное) обращение этой леммы: оказы-
оказывается, если форма со такова, что <Эсо за 0, то в окрест-
окрестности любой точки *еМ найдется такая форма 6, что
д9=со. Вначале рассмотрим еще одну лемму.
б. Лемма. Если дифференциальная антисимметрич-
антисимметричная k-форма со = 2 й(а) dx°l Л ... Л dx** на многооб-
(а)
разии Мп такова, что дсо—0 о ш не содержит dxn, то ее
коэффициенты аа не содержат хп.
Доказательство. Мы имеем
*>-2 S ^-dx'Adx^ Л ... Л dxa>-
(о) / *
где через coi обозначена форма, не содержащая dxn.
Так как по условию до>=?=О, то каждый коэффициент
в полученной форме после приведения подобных членов
7;24 3 7.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 565
равен 0. Выделенные члены в правой части не имеют
других, себе подобных; отсюда "(в)'** звр, что и тре-
требовалось.
в. Теорема (Пуанкаре). Если антисимметричная
k-форма to (k^l) в некоторой области многообразия
Мп удовлетворяет уравнению ды—0, то в окрестности
каждой точки этой области существует (k — 1) -форма 6
такая, что дв=<а.
Доказательство. При я=1 и k > 1 теорема
тривиальна, а при fe=l сводится к утверждению: вся-
всякая 1-форма f(x)dx есть дифференциал некоторой О-фор-
мы Q(x). Это утверждение очевидно: искомая 0-форма
X
может быть задана выражением 6(*) = J /(?)d?. Да"
лее, предполагая теорему верной для всех А-форм в лю-
любом (п—1)-мерном многообразии Мп-п будем доказы-
доказывать ее для произвольной &-формы <а= 2 fte)(x)dxa' A
(а)
А ••• Л dxak в многообразии М„.
В форме се выделим явно члены, содержащие dxn:
w — dxn Ащ + в>2; A)
здесь Mi есть (k — 1)-форма, а ш^ есть Л-форма, не со-
содержащие йхп. Дальнейшее построение будем вести
в окрестности данной.точки x§ — {x\i •--. *o)- Без огра-
ограничения общности можно считать д^= ... ==д:^==0.
Через д0 будем обозначать дифференцирование по пе-
переменным х1, ..., хп~1. Сужение формы ю на поверх-
поверхность *п=0 представляет собой &-форму юг, в которой
положено *п=0; обозначим эту форму через юь. Пока-
Покажем, что ^о(<»о) =0; действительно,
0 = да — да 1,п=0= dx" А 5со, \хп^0 + дощ |яя=0 +
& B)
Заметим, что для любой формы у оператор дифферен-
дифференцирования д0 перестановочен с подстановкой д:п=;0,
так что (до\)о—до(уо). Поверхность х"=0 сама являет-
является (п — 1) -мерным дифференцируемым многообразием.
Б66 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.24
Применяя предположение индукции, находим, что в не-
некоторой окрестности точки 0 на поверхности xn=Q су-
существует (k — 2)-форма 6о (от переменных хх, ...
.,., *"-'), для которой
АА> "^ *%• C)
Будем разыскивать требуемую форму 0 в окрестности
точки 0 среди (k — 1)-форм, не зависящих от dxn. Для
всякой такой формы мы можем написать
^ D)
где до6 представляет собой форму, также не содержа-
содержащую dxn, а символ -^рг означает, что в форме 6 произ-
произведено дифференцирование по хп каждого коэффициен-
коэффициента. Поскольку решается уравнение еЮ=со, из сравнения
A) и D) видно, что было бы полезно вначале решить
уравнение
56 ._.
Уравнение E) можно рассматривать как систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых
величины х1, ..., хп~1 играют роль параметров, а число
неизвестных функций равно числу коэффициентов в фор-
форме 6 (и в ом). Для получения единственного решения
нужно к E) еще присоединить начальное условие. В ка-
качестве такового выберем
е^=0=е0, F)
где 6о есть решение уравнения C).
По основной теореме существования для уравнения
с параметрами A.65) решение системы E) с условия-
условиями F) существует в некоторой окрестности точки 0 и
дифференцируемо по параметрам х1, ..,, хп~1.
Покажем, что уже для получающейся формы 6 вы-
выполняется равенство Й6=со. Действительно, рассмотрим
форму ф=с50 — со. Ее коэффициент при dxn равен
ssQ. Используя условие дсо=О, находим, что
д(о=0. Поэтому, в силу леммы б, коэффи-
коэффициенты формы ф не содержат ж". Положим яп=0, тогда
7.25 § 7-2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 567
в силу начального условия F)
ф = (<Э6 —03I^0 =
= dx" А -!§г [по + д<р |^=0 - <а |^0 =- дово - щ = 0.
Следовательно, ф^О в окрестности точки 0 и найден-
найденная нами форма ф удовлетворяет уравнению дв = ю,
что и требуется.
Форма 6 построена нами в данной системе коорди-
координат. Мы можем определить ее теперь в любой другой си-
системе координат по правилу, описанному в 7.21 в. При
этом следует проверить, что и в любой другой системе
координат имеет место равенство дв = оз. Но для инва-
инвариантной дифференциальной формы, какой стала теперь
форма 6, ее дифференциал по 7.22 6 также имеет инва-
инвариантный смысл. Поэтому равенство дб, == со, получен-
полученное в исходной системе координат, справедливо и в лю-
любой другой системе координат, что и завершает доказа-
доказательство.
7.25. Применения к векторному анализу.
а. Вспомним основные дифференциальные операции
классического векторного анализа в трехмерном про-
пространстве Яз. В ортонормальных координатах #', х2, х3
скалярному полю q>(x) ставится в соответствие вектор-
векторное поле градиента
-. ?-. &¦).
Векторному полю W — (Wu W% Ws) ставится в соот-
соответствие векторное поле ротора D.24 г)
т* аг> ш* dwA
и скалярное поле дивергенции
Все эти определения можно рассматривать как част-
частные случаи определения дифференциала для диф-
ференцальных форм, притом даже в «-мерном про-
пространстве. Так, если скалярное поле q>(x) сопоставить
с О-формой ф(*), то ее дифференциал ду(х) есть
568 ГЛ. Т. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.28
1-форма 2j ~Т*Г ***' G-23 а), и, таким образом, ои
t
может быть сопоставлен с векторным полем gradq>(*)=
Ч-утт > "л^г» -?»\ ¦ Если векторное поле W—(Wt,.... Wn)
ox1 ' дхг дхь I r \ !>••••" я/
сопоставить с 1-формой (о= ^iWl(x)dx{, то по 7.23 6
a<(J
эта форма при « = 3 имеет три существенные соста-
составляющие, равные составляющим вектора rot IP. А если
это же векторное поле W = (tt^i, ..., Wn) сопоставить
с (п-1)-формой С= S
... Л dx11 (где знак л показывает, что соответствующий
множитель отсутствует), то мы будем иметь по 7.23 в
е^ ••• Adx"'
что соответствует скалярному полю
Равенство д2у = 0 для скалярного поля (р может
быть теперь записано как rot grad cp = 0. Равенство
д2со = 0 для векторного поля W(x) в пространстве Яз
может быть записано как равенство divrot W(x)— 0.
б. Векторное поле f = {fi(x), ..., fn(x)}, являю-
являющееся градиентом скалярного поля 6(я), называется по-
потенциальным полем D.216), а функция В(х)—потен-
В(х)—потенциалом поля f. Из теоремы Пуанкаре мы получаем:
Следствие. Если в области G пространства Rn для
l-формы f — ^jft(x)dx' выполняется условие
i
или, что то же G.236),
7.25 S 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМН 569
то у каждой тонки ж е б существует окрестность, в ко-
о
торой поле f(x) потенциально, иначе говоря, окрестность,
в которой существует такое скалярное поле В(х), что
f ж* grad 0 или, что то.же,
tt{X}
дх1 '
Этот результат не является новым для нас—мы
получили его еще в 4.21 г из теоремы Фробениуса.
в. Рассмотрим (п— 1)-форму
о = 2(-1)'~! fi (х)dxl Л . • • /\dxf Л • • • Л d*h
с дивергенцией
п ,
div © ^ д® — ^ —- dxl Л • • • Л dxn.
Если существует (п — 2)-форма G такая, что дв = ю, то
div и = 0, и обратное также справедливо (во всяком
случае, локально) в силу теоремы Пуанкаре. При п = 3
з
(п — 2)-форма 0 представляет собой 1-форму 2 Qt(x)dx*
/=i
или же векторное поле @1,02,63), причем дВ ассоции-
ассоциируется с векторным полем rot 0. Векторное поле W =
= (Wt, W2, №3), являющееся ротором некоторого век-
векторного поля 0 = (Bi, 62, 0s), называется векторно-по-
тенцшльным, а поле 0 называется векторным потен-
потенциалом поля Ф D.43 б). Из теоремы Пуанкаре мы по-
получаем:
Следствие. Если в области О пространства R3
векторное поле W—(Wt, W2, W3) удовлетворяет условию
то у каждой точки Me G существует окрестность, в ко-
которой поле W векторно-потенциально, иначе говоря, ок-
окрестность, в которой существует такое векторное поле В,
что W = rot 0 или, что то же,
П7 __- 3 __ ^°8 wr , ГО| ОИз пгг ___ ОР| ООг
'"^аЖ IF» ^«""""^"'aF1 ^3~ а^ "~ dx3 *
570 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.31
Этот результат нам также известен D.66). Соб-
Собственно, идея построения 4.66, должным образом обоб-
обобщенная, и приводит к доказательству теоремы Пуан-
Пуанкаре.
§ 7.3. Интегральные теоремы
7.31. Интегрирование дифференциаль-
дифференциальных форм.
а. Обозначим через Ih единичный куб в А-мерном
евклидовом пространстве Rh, выделенный в ортонор-
мальных координатах и1 uh неравенствами
Для функции f(u), определенной и непрерывной в
кубе Ih, существует ^-кратный интеграл Римана C.156)
if(u)du= Km
N
где, как обычно, П — {АЩ — разбиение куба Ih на
брусы bJu, I == 1, ..., N; \А'и\—объем бруса АШ;
d(H)—наибольший из диаметров брусов Aju в разбие-
разбиении П; |j — произвольная точка бруса Д^и. Всегда
можно считать, что брус Аш определяется векторами
Ль .... hh, исходящими из общего начала |3-. Поэтому
величина 2/(i/)l^«J оказывается равной значению
/•и
линейной антисимметричной формы ю(ы; dul duk) =
=5 f(u)dul Л ... Л duh при и = I,- на векторах du =
— hi duh = hh G.13в). Мы приходим к естествен-
естественному определению интеграла от ^-линейной антисим-
антисимметричной формы ш:
jj j A)
Очевидно, что полученный интеграл от формы ю об-
обладает обычными линейными свойствами интеграла от
обычной функции: интеграл от суммы двух форм равен
сумме интегралов, и числовой множитель можно выно-
выносить за знак интеграла от формы.
7.31 S 7-3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 571
б. В дальнейшем (д) мы определим интеграл от
^-линейной антисимметричной формы
© = 2 Ad (x) dxl> А ... Л их1* B)
it) v '
по некоторым «допустимым поверхностям» в и-мерном
элементарном дифференцируемом многообразии Мп, ко-
которые мй сейчас определим.
Множество S с: Мп мы будем называть допустимой
k-поверхностью, если оно может быть представлено
с помощью уравнений вида
x'^cpV. .... и*) л" = фп(«1, ..., А C)
где функции ф1, .... фп определены, непрерывны и об-
обладают непрерывными первыми производными в кубе Ih.
Не предполагается, что отображение C) взаимно од-
однозначно или что оно не вырождено (т. е. что якобиева
д(ф'. .... «в») .. D
матрица —— ^~ имеет всюду ранг к). В частности,
д{и1,.... и")
допустимой ^-поверхностью может быть точка, а также
поверхность без углов; например, функции
xl = u1cos2nu2, х2 — и1 sin2nu2, х3= ... —хп = 0
отображают квадрат /2 на круг в пространстве Rn, так
что круг принадлежит к числу допустимых 2-поверхно-
стей. Заметим еще, что определение допустимой поверх-
поверхности в Мп имеет, очевидно, абсолютный смысл, не за-
зависящий от специального выбора координат в Мп.
в. Подчеркнем, что допустимая поверхность есть не
только геометрический образ в многообразии Мп, но
вместе с ним и система определяющих его уравнений
C). Пока что мы должны считать различными поверх-
поверхность S, представленную уравнениями типа C), и ту
же (в смысле геометрического образа) поверхность S',
представленную другими уравнениями типа C), Так,
отрезок х1 = и, х2 = и, 0 г?С и г?С 1, на плоскости /?2 не
то же самое, что отрезок на той же плоскости, пред-
представленный уравнениями х1 = v2 -\-v — 1, х2= е>2 +
•j-w — 1, 0 ^ о ^ 1. Но, с другой стороны, сохранять
такие различия безоговорочно представляется нецеле-
нецелесообразным: все-таки нас интересуют геометрические
672 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.31
характеристики поверхностей. Следует определить, в ка-
каком случае две допустимые поверхности мы должны
считать «одинаковыми». То первое, что приходит в го-
голову — считать две поверхности, представленные урав-
уравнениями вида C), «одинаковыми», если они совпадают
как геометрические места точек в М„, — на деле ока-
оказывается неудобным, так как переход от одного типа
уравнений C) к другому с помощью достаточно хоро-
хорошего преобразования координат в кубе /к не обеспечи-
обеспечивается еще совпадением геометрических мест. Поэтому мы
принимаем другое определение «одинаковости» или, лучше
«эквивалентности» допустимых поверхностей, а именно:
Поверхность S, представленная уравнениями C), ко*
роче, S = {xeAfn: х = ф(и), «е/к} называется эк-
эквивалентной поверхности 5={хеМп: x=ty(v), oe/*}
(в записи S~S), если существует диффеоморфизм (т.е.
взаимно однозначное, взаимно непрерывное и взаимно
дифференцируемое отображение) куба Ih на себя, v *=
— v(u), такой, что ф(ы)= ij3(y(«)), и якобиан отобра-
отображения v (и) положителен.
При таком определении соотношение эквивалентно-
эквивалентности становится возвратным (S эквивалентна самой себе),
симметричным (если S эквивалентна S, то S эквива-
эквивалентна S) и транзитивным (если S эквивалентна S, a S
эквивалентна S, то 5 эквивалентна S), так что все до-
допустимые ^-поверхности разбиваются на взаимно непе-
непересекающиеся классы эквивалентных ^-поверхностей.
Рассмотренные выше отрезки на плоскости /fa х1 = и,
х* = и, Ог^иг^ 1, и х1 = у2 + v — 1, х2 = г>2 + у— 1,
0^ v sg; 1, эквивалентны; а, например, отрезки а:1 = и,
х2 =,и, 0 < и sg 1, и х1 = у3, х2 = р3, 0 ^ v < 1, не
эквивалентны, так как в данном случае мы имеем u—vb,
что не является диффеоморфизмом отрезка /' (обратное
отображение не всюду дифференцируемо).
Мы должны еще показать, что определение эквива-
эквивалентности имеет абсолютный смысл на многообразии Мп,
т. е. не зависит от выбора в Мп допустимой системы
координат.
Пусть поверхности S=={jeeAfn: х = <р(и), ые/*] и
§ = {хеМ„: х —i}>(i>)> v^Ik] эквивалентны в коорди-
координатах х = (х1, ..., хп), и пусть х1' — х1'(х1, ..., хп)~
7.31 S 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Б73
новая допустимая система координат. Уравнения х1 ==¦
¦==ф'(«) можно записать в виде xl'=x1'[ф1 (и), ..., ф"(«)],
и аналогично уравнения x'=«=^'(y) могут быть записаны
в виде х1' = х1' [ф1 (v), ..., ф" (v)]. Системы функций
Ф^(и) и -ф*' (с) также обладают непрерывными первыми
производными. При этом для v = v(u) имеем ф''(о)=»
так что и в новых координатах поверхности S и S
эквивалентны.
г. Наряду с определением эквивалентности двух
^-поверхностей S = {х е Мп: х = ф(и), не/'} и 5 =
= {лее Мп: х = ф(о), t» e /h} применяется определение
их антиэквивалентности, которое отличается от опреде-
определения эквивалентности тем, что фигурирующий в нем
диффеоморфизм v = v(u) имеет не положительный,
а отрицательный якобиан. Отношение антиэквивалент-
антиэквивалентности является симметричным, но не транзитивным, по-
поскольку из антиэквивалентности S и S, S и § следует
аквивалентность S и 5. Антиэквивалентность переходит
в эквивалентность после дополнительного диффеомор-
диффеоморфизма куба Ih с отрицательным якобианом,- например,
переводящего и1 в 1 — и1 и не меняющего остальные
координаты.
д. Переходим к определению интеграла от &-линей-
ной антисимметричной формы <о B) по допустимой &-по-
верхности S с= Мп C).
Мы полагаем
Ц)
... л
ди
Из тензорной инвариантности подынтегрального выра-
выражения следует независимость интеграла от выбора си-
системы координат в Мп.
574 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.31
Преобразуя правую часть D), получаем
J «>=J ?/,<>(<Р (")>!>}•;;.* dJLl...dJLtdu*/\...Aduk=
S гк (i) II) ' дих дх k
/ft (О
J S I^I ... duk
/ft (O
e. Покажем, что значение полученного интеграла не
изменяется при переходе от поверхности S к эквива-
эквивалентной поверхности S. Пусть и — u(v) — диффеомор-
диффеоморфизм куба Ih, приводящий от представления * = (р(ы)
поверхности S к представлению х = -§(v) поверхностиS.
Используя правило дифференцирования сложной функ-
функции A.33 6)
и правило замены переменных в кратном интеграле
C.58 а)
/ft
перейдем в интеграле E) от переменных и к перемен-
переменным v; это даст
/ft («
/* (О
что и требуется.
7.S2 S 7-3- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 675
ж. Очевидно, что интеграл от «-формы © по допу-
допустимой «-поверхности S обладает обычными линейными
свойствами интеграла.
з. Интегралы от данной «-формы © по дайной я-по-
верхности S и по антиэквивалентной ей поверхности,
очевидно, различаются знаком.
7.32. Примеры.
а.. Допустимой О-поверхностыо в пространстве Мп
является, очевидно, точка х = ф@)—образ точки 0, ко-
которой является куб /°. Интегралом Q-формы f(x) по оп-
определению является число f(q>@)).
б. Допустимой 1-поверхностью в пространстве Мп
является, вообще говоря, линия — образ, отвечающий
системе уравнений
*• = ф«(ы), .... х"=жф»(и), 0<ы<1. A)
Интеграл от 1-формы a = ^?tfi(x)dxi no 1-поверхности
A) есть обычный криволинейный интеграл @9.91)
$h(X{u))^du. B)
Если в пространстве Мп введена риманова метрика
я
gu(x) и кривая A) невырождена, т. е. ^Д—^ц ) >0»
i
то на ней можно ввести в качестве натурального па-
параметра длину дуги s, Os^ss^S; тогда интеграл B)
можно записать также в виде
C)
где через / обозначен вектор (М-*)» •••» Ы*))» а через
х = I —г-, ..., —т-\ — единичный касательный вектор
к кривой L. В векторном анализе (в пространстве /?„)
выражение C) называют интегралом векторного поля
по кривой L D.21).
g76 гл- 7- ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.33
в. Рассмотрим еще интеграл от (п — 1)-формы
A ... Л Л? Л ... Adxn D)
n
i==l
по допустимой (n — 1)-поверхности S, описываемой
уравнениями
1 веГ1,
Этот интеграл имеет вид
J J 2
S /П-1 fe=l
Соответствующим понятием векторного анализа яв-
является поток векторного поля / по поверхности S
D.12 а). Чтобы убедиться в этом, будем рассуждать
так. Пусть даны п — 1 векторов в евклидовом простран-
пространстве Rn, имеющих в ортонормальном базисе еи ..., еп
координаты
1 ' 1 I* П-1* ' П-1 П-1
Как мы помним C.62в), выражение
V... V
[х, ..., х] =
I п-1
п-1
v... v
I п-1
41
I'
V ... V
1 п-1
• • • « •
*п *п
Ь • • • ё
1 п-1
называется векторным произведением векторов х, ..., х.
1 л
7.32
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Б77
В евклидовом пространстве со скалярным произведе-
произведением
(п п \ п
V t'/> V *.//> I V /t' «Л
2л ь et> 2л Л ei j = ^i \s » Л)
вектор [л;,... ,л;] ортогонален к каждому из векторов х,
I п-1 /
а длина его есть (п—1)-мерный объем паралледепит
педа, построенного на этих векторах.
Предположим, что допустимая (я—1)-поверхность
S е Мп не вырождена, т. е. ранг матрицы Якоби
д (х1 х")
—.\ ' "" ' всюду равен п — 1. Тогда векторы
дип~1'
линейно независимы. Эти векторы лежат в касательной
плоскости к поверхности S (в данной ее точке), и нор-
нормальный вектор N в этой же точке можно определить
как их векторное произведение:
а*1 дх1
аи»
dun~l.
Соответственно единичный нормальный вектор в этой
точке имеет вид
т-
W
S78
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.32
Евклидовым элементом поверхности S называют
объем dS (п — 1) -мерного параллелепипеда, построен-
построенного на векторах dx, ..., dx (ср. 3.62в), т. е. длину век-
1 п~Л
тора N. Поток векторного поля f(x) = (fi(x), ..., fn(x))
по поверхности S в римановом пространстве Мп по оп-
определению есть интеграл
/П—1
J
дх'
ди1 •¦
дхп
дх1
'" ди»-1
дх"
ди1
dul... А*»-1. E)
Мы видим, что интеграл от (п — 1) -формы © D) по
(п—1)-поверхности S в римановом лространстве Мп
совпадает с потоком поля Да:) через эту поверхность,
что и утверждалось.
Мы провели рассуждение для случая, когда отобра-
отображение х = х(и) не вырождается. Но левая часть ра-
равенства E) имеет смысл независимо от отображения
х = х(и), если поверхность S кусочно-гладкая, т. е. мо-
может быть разложена на конечное число частей, в каж-
каждой из которых она имеет (свое) параметрическое пред-
представление х — х(и) без вырождения. Правая часть ра-
равенства E) имеет смысл сама по себе и при вырожден-
вырожденном отображении х = х(и). Покажем, что для кусочно-
гладкой поверхности S, представленной отображением
х = х(и) (/"-'—*S), которое может вырождаться лишь
на гранях куба /п~1, равенство E) сохраняется. Дей-
Действительно, в указанных предположениях оно будет
справедливым для куба /?7\ концентрического с ку-
кубом /"-' и имеющим ребра длины 1 — е, и его образа
дг(/"еГ') = 5(е) (соответствующие интегралы определяют-
определяются без труда); переходя к пределу при е -» 0, получаем
требуемое.
7.33 * 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 579
7.33. Цепи и границы.
а. Формула Стокса — Пуанкаре, которую мы выве-
выведем в 7.38, свяжет интеграл от (k -f 1)-формы да по до-
допустимой (k -f- I)-поверхности в Мп с интегралом от са-
самой формы ю по границе этой области, подобно тому
как классическая формула Ньютона — Лейбница
ь
= f(b)-f{a) A)
связывала интеграл от дифференциала функции f(x)
по отрезку со значениями самой функции f(x) на гра-
границе отрезка.
Мы должны определить, что такое граница (k -f l)-
поверхности S. Во-первых, эта граница будет представ-
представлять собою некоторую совокупность ^-поверхностей, па-
параметризация которых выводится по определенным пра-
правилам из имеющейся параметризации поверхности S.
Тем самым в соответствии с 7 31 д определяется и ин-
интеграл формы © по каждой из этих ^-поверхностей. Во-
вторых, для составления интеграла от формы ш по всей
границе некоторые из указанных интегралов будут скла-
складываться со знаками -f, а другие со знаками — (как
и в формуле A)). Точное определение границы и бу-
будет состоять в указании правила для составления ее
^-мерных частей и соответствующего правила знаков.
В связи со сказанным введем определение цепи.
Цепью, точнее, к-цепью называется формальная сумма
т
вида с=21сА. где Sb ..., Sm— -допустимые &-по-
верхности в Мп, а еь ..., ет — числа, равны 0, -f-1, или
—1. По существу же цепь с задает схему интегрирова-
интегрирования любой fe-формы а»:
с
Выражение B) называется интегралом от формы ш
по цепи с.
m p
2 2
б. Две fe-цепи с — 2 fySj и с' = 2 в/S/ называют-
ся эквивалентными, если для любой fe-формы о,
580 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.33
непрерывной на Мп, имеет место равенство
Очевидно, две цепи, отличающиеся друг от друга
лишь порядком слагаемых, эквивалентны. Далее, если
цепь с' получается из цепи с заменой какой-либо &-по-
верхности Si на эквивалентную ^-поверхность St
G.31 в), то цепь с' также эквивалентна цепи с G.31 е);
то. же будет, если цепь с' получается из цепи с заменой
какой-либо ft-поверхности S,- на антиэквивалентную
^-поверхность Si с одновременной заменой соответствую-
соответствующего коэффициента е,- на —е, G.31 з).
в. Определение границы будет дано не только для
допустимых ^-поверхностей, но и для fc-цепей. Граница
цепи с обозначается через дс.
Пусть сначала с есть куб /* с: /?„. Куб 1к есть до-
допустимая /г-поверхность с представлением
*' = «', ..., xk — uk, xk+l= ... =л:п==0,
0<ы?<1, i — \, .... k.
Положим для t=l, ..., k
'<1, /=1, .... Г,..., k),
'<1, j=l, ..., 7, .... k).
Множества /* о и /?, i являются (k — 1)-мерными гранями
куба lk.
Они являются допустимыми (к — 1 ^поверхностями
при следующем параметрическом представлении:
7.34 § 7-3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ggj
Положим по определению
of=i R-1)' ii о+(- Di+1it j - is s (- Di+aii».
j=l i=l a=0
Пусть jc — л; (ы) есть параметрическое представление лю-
любой допустимой ft-поверхноети S. Здесь мы полагаем
Наконец, для любой fe-цепи с == 2 o»S; мы полагаем
m.
ас = 2 a/^S/.
/=1
7.34. Лемма. Из с~с следует дс ~ дЪ.
Доказательство. Пусть сначала с есть ?-по«
верхность S в параметрическом представлении
x' = <pV, •••, «*), /=1, .... п, ые/*, A)
а с = S — та же ^-поверхность в другом представлении
А /=1, ..., п, t>e/ft, B)
где iHw) = <Р(ы(о)), причем отображение « = ы(и), или
в подробной записи,
«•-«•(f1, ..., vk) )
является диффеоморфизмом куба Ih. Поскольку отобра-
отображение ы= u(v) в главной части линейно и не вырож-
вырождено, оно каждую внутреннюю точку куба /й переводит
снова во внутреннюю точку и, следовательно, точку гра-
границы в точку границы. Применяя это же рассуждение
к (k — 1)-мерным граням, получаем, что отображение
и — u(v) переводит внутреннюю точку грани во вну-
внутреннюю точку соответствующей грани и в целом каж-
каждую грань переводит в грань. Из взаимной однозначно-
однозначности отображения u(v) следует, что оно переводит непе-
непересекающиеся грани снова в непересекающиеся, иначе
7.41 $ 1-*- КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 595
так что величина е\ \\\tn у^еЦ§{Л есть я-ковариант-
ный тензор. С другой стороны, а({) представляет собой
fe-ковариантный тензор G.16в), a gU— дважды контра*
вариантный тензор; поэтому свертка D) дает (п— &)-ко-
вариантный тензор, что и требовалось показать.
В ортогональном базисе имеем gi} — gtj = бу, и
формула D) превращается в
При заданном (/) имеет смысл рассматривать лишь
мультиномера (/), дополнительные к (/). Если О (I) = (а),
O(j) = (y), то Щг) = -гг е "' "*а(а) G.16E)), и поскольку
имеется лишь один строго упорядоченный мультиномер
(а), дополнительный к (у), то
U — Ckn ~ \[^ а, ... а^ 1 ... ft ... n
Выражение под знаком внутренней суммы уже не за-
зависит от мультиномера (/), поскольку, по 7.11 B),
о,...ай 1... * ... n _ at...ak 1 ... ft ... n
'l-'fe 'i-'ft-Vi —V«_ft a1...afeca1...aftv,.-Vn_
— ea1...aftY,...:vn_ft—I" U
Таким образом,
rt уд ,*(*-М)
а по 7.16A0)
Полагая теперь Cftn = (—1) 2 . . , мы найдем
что совпадает с формулой B).
7.34
§ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
разлагая последний определитель по /-й строке, мы по-
пойм' (о1,,.., а,..., а*)
лучаем что и величина 5 — ' и минор
ди1
dv1
ди'-1
dv1
du'+i
dv*
ди"
dv
ди
dvl~
du'+l
ди"
dv'1
dux
dvi+i '"
ди'-1
ddvuZ"
dvi+i '"
ди"
ди1
dv"
ди'-1
dvk
ди*1
dv"
du"
D)
dv1 dv ' dv1'*'1 dv"
отличны от нуля, причем минор D) имеет знак
(-l^sign^1'-" °*>
при всех значениях и1, ..., о'-', vt+i, ..., v".
Но, как видно из возможностей, представлен-
ных на рис. 7.3-1, величина
du'{vl «-•-»*> положи-
dv'
тельна, если а = р = О или
а = Р=1, и отрицательна,
если а = 0, р = 1 или а = 1,
Р = 0. Таким образом, функ-
ция
dv1
имеет
знак (-1)а+р.
Отсюда следует, что ото- рис 7.з-1.
бражение грани /* о в грань
/* р по формулам A) есть диффеоморфизм при четном
а Ц- Р + «" + /'« антидиффеоморфизм при нечетном а+Р+
+/+./. Поэтому k-поверхности ч|э (/* р) — -ф (и (/* а)) и
(—1)а+6+/+/ф(/^. а) эквивалентны.
584 гл- 7- ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.35
В результате находим, что
dS=i 2(-)'+аф(/*а),
(=1 а=0
2 S(D>W,) i 2()
/=1 0=0 i=l а=0
и, следовательно, д5 ~ dS.
Отсюда на основании определения эквивалентности
цепей сиси следует эквивалентность дс и дс, что и
доказывает лемму.
Для О-цепи с, которая представляет собой конечную
алгебраическую сумму отдельных точек с целыми ко-
коэффициентами, по определению полагаем дс = 0.
7.35. Следующая лемма п.б форме напоминает лемму
7.24 а.
Лемма. Для любой k-цепи с имеем д2с
Достаточно рассмотреть случай k~^2 и c=S =
При этом
a=0
Символ /^, а означает (k — 1)-поверхность с представле-
представлением
х»*1—и', ....
Согласно общему правилу
7.86 § 73. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ $$5
где (/* а)/, э есть № — 2)-поверхность с представлением
.. .==л:п=0}, A)
если / < /, и представлением
= ...==х«=«0}, B)
если /^/. Таким образом,
*/» = 2222 (-1)'+п+/+э(/?. „);.э. C)
г=1 а=о /=1 р=о р
Фиксируем в этой сумме слагаемое (/f.cJ/.pC заданными
а, р, I, j, причем j < i. Оно имеет вид A). Рассмотрим
теперь слагаемое (//,р)*-1,а. Так как в нем /— 1 >
то его выражение дается формулой B):
(//+1. <Ш. з — I* е ^?п* * = Ы , ..., ДС ==Р, ..., ДС =
Мы видим, что (//, р)*. „=(/*. «О/, р- Таким образом, каж-
каждое слагаемое суммы C), в котором второй латинский
индекс меньше первого, аннулируется в сумме с другим
слагаемым, у которого второй латинский индекс больше
или равен первому. В результате вся сумма C) равна О,
что и требовалось.
Цепь с, граница которой равна 0, называется циклом.
Доказанная лемма утверждает, что всякая граница
есть цикл.
7.36. Теорема. Пусть « есть (п — \)-форма, диф-
дифференцируемая в кубе /" cr Rn. Тогда
J ©. A)
n
Доказательство. Без ограничения общности
форму « можно взять в виде
<u = f(x)dxl Л ... Л dxl Л ... Л dx". B)
586 л- 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.36
При этом
а© = (-1)'-' &&¦ dx1 Л ... Л dxl Л ... ЛЛс.
По правилу преобразования интеграла в повторный
мы имеем
ln
=(-1)' [ \ [ ^^-dxl \dxl ... dxl~ldxl+i ... dxn
,n-i l о J
... dxn. C)
С другой стороны, как мы знаем,
где /"а есть (п—1 ^поверхность с представлением
xl = ul, ..., xi — a хп — ип~1 (а = 0, 1). D)
Поэтому
;„о
Приведение этих интегралов к обычным (п — 1)-
кратным интегралам производится с помощью пред-
представления D). Так как в ;-м слагаемом мы имеем
dx> = 0, то из всей суммы остается лишь слагаемое
с / = I, ибо только в этом случае подынтегральное
7.37 § 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 587
выражение может не равняться нулю. Таким образом,
J а>==(—1)' J /(*', .... О, ..., xn)dx +
и теорема доказана.
Формула E) на самом деле есть просто формула
Остроградского 4.13 E), сформулированная на языке
дифференциальных форм для случая, когда область ин-
интегрирования есть n-мерный куб.
7.37. Лемма. Для дифференциальной k-формы «(я)
операция д и переход к новым переменным х =
= х(и) (и —(и1, .... и,т)) перестановочны: можно
вначале совершить замену переменных, а затем взять
операцию д (уже по новым переменным).
Доказательство. Пусть сначала форма ю есть
функция @-форма) /(*). Тогда мы имеем
С другой стороны, совершая дифференцирование после
замены переменных, мы получаем
что совпадает с предыдущим выражением. Таким обра-
образом, для 0-форм утверждение леммы справедливо. Да-
Далее действуем по индукции: предположим, что лемма
верна для любой fe-формы, и докажем ее для любой
588 гл- 7- ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.38
(k -\- 1) -формы. Без ограничения общности можно рас-
рассмотреть лишь (? + 1)-форму вида a Adxs, где о» есть
fe-форма. Тогда по 7.22 ж
д(<* л ^)[и]=а«,[ы] Л S-JJ**'. A)
С другой стороны,
(© Л dx°) [и] = ю [и] Л ^ [и],
и так как д2 = 0, то, дифференцируя по переменным и
и применяя предположение индукции, находим
д [(© Л dx3) [и]] = д{т [и]) Л dxs [и] =
^ B)
Сравнивая A) и B), убеждаемся в справедливости
леммы.
7.38. Теорема (Стокса — Пуанкаре). Пусть ю —
дифференцируемая (k — 1) -форма в области G с Мп
и с — любая k-цепь в G. Тогда
J д&= J
CO.
ёс
Доказательство достаточно провести для случая,
когда цепь с есть допустимая fc-поверхность S. Пусть
х = х(и)—параметрическое представление S, причем
параметры и, как обычно, пробегают весь куб /й. Со-
Согласно определению 7.31 г интеграла от формы и по
лемме 7.37
J дп(х)= / (<М*))[и]= J д[
С другой стороны,
7.39 f 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 589
и справедливость теоремы вытекает из равенства
являющегося результатом теоремы 7.36 (для п — к).
7.39. Частные случаи теоремы Стокса—-
Пуанкаре.
а. к = 1. В этом случае цепь с есть 1-цепь. Допу-
Допустим для простоты, что с представляет собой линию L,
т. е. образ х = ф(м) отрезка /• = {«: 0 ^ и ^ 1}:
L = {* е= /?„: л:» = чр» (ы), ...,*" = Ф" (и)}.
где ф'(") —как обычно, функции с непрерывными про-
производными. Граница отрезка /' есть цепь из двух то-
точек 0 и 1, первая со знаком —, вторая со знаком +• По-
Поэтому граница линии L есть цепь из двух точек
фA) — ф@). Форма о является 0-формой (o = /(jt) и
п
да = У! * dx1. Мы получаем формулу
i
— хорошо известное обобщение формулы Ньютона —
Лейбница на криволинейные интегралы.
б. к = 2. В этом случае цепь с есть 2-цепь. Пусть
для простоты с = S есть образ х = ф(м) квадрата
/г = {(и», ы2)е /?2: 0 < «• < 1, 0 < и2 < 1}:
S = {jc е= /?„: х1 = ф1 (и1, ы2), ..., хГ = фп («', ы2)}.
Граница квадрата /2 есть цепь /|, о + /г, i'— /I, t — /?. о-
Интегрирование по этой цепи состоит в том, что мы
должны взять интегралы по и1 при и2 = 0 со знаком +»
интеграл по и2 при и1 = 1 со знаком +, интеграл по ы1
при и2 = 1 со знаком — и интеграл по и2 при и1 = О
со знаком —; в результате получается интеграл по
вамкнутому контуру квадрата I2 в положительном на-
690
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
7.39
правлении (рис. 7.3-2). Соответственный смысл имеет
интегрирование по цепи dS (рис. 7.3-3). Форма ю в дан-
п
ном случае есть 1-форма ^ft(x)dx', и для нее
При и = 3 форме да можно поставить в соответствие
векторное поле
-?b- -Eh- ЁЬ.
дх2 ' дх1 дх3 '
дх3
дх1 У
Согласно 7.32 в интеграл от формы ды по поверхно-
поверхности 5 есть поток векторного поля rot/ через эту
-и,
Рис. 7.3-2.
Рис. 7.3-3.
поверхность. При этом направление нормали к поверх»
ности 5 определяется векторным произведением век-
веккасательных соответственно к линиям
р
торов -0-т и 4
семейства и2 = С и ы1 = С и направленных в сторону
возрастания параметров. Поэтому в правой системе ко*
ординат согласование направления нормали и направ-:
ления обхода граничного контура осуществляется по
правилу: с конца вектора т обход граничного контура
кажется производимым против часовой стрелки (рис.
7.3-4). Мы получаем классическую формулу Стокса
4.26 E) i
J (rot /, m)rfS= J(f,T)rfr.
s г
7.39 § 7.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 591
В классической формуле Стокса речь идет о кусоч-
кусочно-гладкой поверхности S с кусочно-гладкой границей Г,
Формула, полученная нами, имеет дело с гладкой по-
поверхностью, граница которой содержит не более четырех
угловых точек; чтобы перейти к общему случаю, до-
достаточно заметить, что кусочно-гладкая поверхность
с кусочно-гладкой границей
всегда может быть разрезана
на конечное число частей, пред-
представляющих собою гладкие по-
поверхности с четырьмя углами
на границе; записывая полу-
полученную формулу Стокса для
каждой из этих частей и
складывая результаты, мы
получим формулу Стокса Рис. 7.3-4.
в классической общности.
в. k = п. В этом случае цепь с является n-цепью, и
для простоты пусть с = С есть образ х — ф(д;) куба
/» = {«б^: 0 < и1 <g 1, .... О < ип < 1}:
G = {x<==Rn:xl = 94ul ы"),..., хп = <рп{и1,..., ип)}.
Предположим, что якобиан отображения х = ^р(м) не-
неотрицателен и обращается в 0 лишь на множестве Z
размерности =SS n — 2. Тогда внешняя нормаль к грани
/?, а куба /п всюду, кроме множества Z П /?, а будет пе-
переходить во внешнюю нормаль к соответствующему
куску Sj, a границы С Так как внешняя нормаль
к грани /"а коллинеарна к базисному вектору et,
а именно она представляет собой вектор
то соответствующий вектор внешней нормали к куску S{,a
может быть задан выражением
592 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
Форма ю в данном случае есть (п — 1)-форма
а,— 2 (—l)*~l/y(x)dxi Л ... Л dxb-i А ,**/+' Л ... Л Агп,
которой мы сопоставляем векторное поле f = {flf..., /„}.
Согласно 7.32 в интеграл J <в равен потоку по-
ля f через поверхность S|tO с единичной нормалью
rni.a = Nl,al\Ni,a\, где
иначе говоря, J (/, miwV)dS= J to. Поэтому
s,
7. а
K'U
п 1
С другой стороны, мы имеем
Таким образом, формула Стокса в данном случае при-
приводится к виду
s о /=i
и представляет собою формулу Остроградского
a
7:41 § 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 593
В этой формуле область G предполагается обладаю-
обладающей кусочно-гладкой границей S. В общей формуле A)
граница имеет несколько специальный вид (образ гра-
границы куба не может быть очень «угловатым», так что,
например, не может получиться многогранник с боль-
большим числом граней). Как и в б, от областей, участвую-
участвующих в формуле A), к любой области G с кусочно-глад-
кусочно-гладкой границей можно перейти, разрезав область G на
некоторое число частей, допускающих применение фор-
формулы Стокса, записав формулу A) для каждой из них
и сложив результаты; мы не будем углубляться в эти
вопросы.
§ 7.4. Кодифференцирование
7.41. Сопряженная форма.
а. Пусть в пространстве /?„ введено скалярное про-
произведение с помощью метрического тензора gtj. Тогда
среди всех базисов естественно выделяется класс орто-
нормальных базисов {еа}, для которых (еа, ер) = 6ар.
Антисимметричную форму А (х, ..., х) всегда можно
записать в виде 7.16 B):
А(х *) = 2 й<а>|°« Л •.. Л |а*.
1 k (а)
где суммирование ведется по строго упорядоченным
мультиномерам (а) = (аь .... а&).
Определим сопряженную форму *А от п — k аргу-
аргументов, положив в любом ортонормальном базисе
*А{х, .... Jc) = 25,v,f>A...A Ъ\ A)
1 «—k (v) I n—к
где (у) —(Уь ••-, Yn-ft)— дополнительный к (а) G.1 Jв)
и также строго упорядоченный мультиномер, а
B)
б. Можно непосредственно показать, что определе-
определение A) — B) не зависит от выбора ортонормалыюго ба-
базиса (задача 16). Мы поступим иначе: будет дано дру-
другое определение сопряженной формы, н притом сразу
для любого базиса; инвариантность этого определения
ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
будет следовать из его тензорной записи, а само оно
в случае ортонормальных базисов будет сводиться к оп-
определению A) — B). С этой целью запишем форму А
в виде 7.16 C):
А(х, .... х) = 2 яш!*1 Л ... Л l\
1 ft W
с суммированием по всем строгим {k-ri) -номерам (/),
причем коэффициенты а$) представляют собой антисим-
антисимметричные функции (k-n) -номера (t). Положим
/«Л...Л|/"-*> C)
)
п—ft
23
(/)
где
2
@
::: tk
D)
В этой формуле G==detjjgf,/]|, а (^„ — постоянная,
значение которой будет указано ниже.
Покажем, что определение C)—D) дает (п — к)-ко-
вариантиын тензор. Мы имеем
далее,
i ...ft
е
'i~-Hh ¦••¦
«;•••'*
откуда
Следовательно,
ei ... ft ... n
:e't-*ft-i«-
Pi'-Pi'
pi ---pi
... k ... n
1 "• 'ft "•/n—ft
7.41 $ 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 595
так что величина ej •••fn Vdet|g.J есть и-ковариант-
ный тензор. С другой стороны, c(i) представляет собой
Л-ковариантный тензор G.16в), a g*i — дважды контра*
вариантный тензор; поэтому свертка D) дает (п — ?)-ко-
вариантный тензор, что и требовалось показать.
В ортогональном базисе имеем g*} = ga = 6ij, и
формула D) превращается в
Ь,п — С.п 2 о,пе' ¦••*. -,• .
(') • в 1 п я
При заданном (/) имеет смысл рассматривать лишь
мультиномера (/), дополнительные к (/). Если О (I) = (а),
O(j) = (\), то О@ = -^-8"';;;"*а(а) G.16E)), и поскольку
имеется лишь один строго упорядоченный мультиномер
(а), дополнительный к (у), то
и __ Ckti ~ \[^ а, ... ttfc I ... ft ... п
(О '
Выражение под знаком внутренней суммы уже не за-
зависит от мультиномера (/), поскольку, по 7.11 B),
eei-"a*el ••• * — n =eai — akel — k ¦•• n =
Таким образом,
а по 7./6A0)
Полагая теперь Ckn = (— 1) 2 . . , мы найдем
biy) = (-lf°%a),
что совпадает с формулой B).
596 гл> 7- ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.42
в. Примеры. Сопряженной к 0-форме С (постоян-
(постоянной) является /мрорма
CV Л ... Л 1".
п
Сопряженной к 1-форме 2 aiV является (п — 1)-форма,
t—1
которая в ортонормальном базисе имеет вид
2(-1/ а? Л ... Л б1 Л Г+1 Л ... Л I".
г. В общем случае имеют место равенства
*{аА + ЬВ) = а(*А) + Ь(*В) E)
(А и В — антисимметричные А*-формы, а и Ъ — числа) и
п(п+1)
*(*Л) = (-1) 2 А F)
Равенство E) очевидно. Равенство F) следует из ра-
равенства
7.42. Сопряженная форма в римановом
прост р анстве.
а. Теперь для данной дифференциальной /г-формы
ю=2 ali)(x)dxlt Л ••• Adxik =
= 2a(a)(jc)rfjcn'A ... ЛЛе°* A)
(a)
в элементарном римановом пространстве М„ мы опре-
определим сопряженную (п — А)-форму * и равенством
* и = 2 Ьи) (х) dx1* Л ... Л dxln-k ss
« S 6(v, (ж) rfjcv« Л ... Л dxy"-k, B)
где, в соответствии с 7.41 D),
ft №+1)
A) («)
§ 7A КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 597
Если в данной точке система координат {**} рртонор-
мальна, т. е. gtj = gU = dtl, то, как и в 7.416, можно
написать более простую формулу:
&<v>M = (-l)S<4«)W. D)
где (у) — вполне упорядоченный мультиномер, дополни-
дополнительный к (а).
б. В соответствии с 7.41 г имеют место равенства
а1(*щ)-\-а2{*щ) E)
для любых антисимметричных fe-форм щ и «^ и любых
постоянных ах и о2,
п(п+\)
*(*(о)==(—1) 2 <о (€)
для любой антисимметричной Л-формы ©.
7.43. а. Введем теперь операцию сопряженного диф-
дифференцирования, или кодифференцирования антисим-
антисимметричной формы на римановом пространстве. Эта опе-
операция определяется равенством
би = * с? * и. (I)
б. Кодифференциал Амрормы есть п—(l-\-(n—k)) =
= {k—1)-форма. В частности, кодифференциал 0-формы
есть 0. Кодифференциал 1-формы co = S//(*)^</ есть
0-форма; вычислим ее в ортонормальных координатах:
* (о= ? (-1)'/,(*)<**' Л ... Л dxi-> Л dxi+t д >#> д dxnt
598 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.44
в. Кодифференциал, как и операции d и *, является
линейной операцией. Далее, из 7.42 F) и ассоциатив-
ассоциативного свойства вытекает, что
& = (* д *)(* д *) = (* д)(* *)(д *) =
(*д)(-1) 2 (Э •) = (_!) 2 (*д)(<?*) =
ам(х)Aх^А ... Л <**"* =
(п)
7.44. Оператор Лапласа.
а. Важную роль играет оператор дб + йд. Мы пока-
покажем, что в п-мерном евклидовом пространстве этот опе-
оператор в любом ортонормированном базисе, с точностью
до постоянного множителя, есть оператор Лапласа для
каждого коэффициента формы:
О)
Очевидно, достаточно рассмотреть при доказатель-
доказательстве лишь одночленные формы. При этом без ограниче-
ограничения общности (изменяя при необходимости нумерацию
координат) одночленную форму со мы можем взять
в виде
(o = c(jc)rfjc'A ... /\dxk. B)
Для формы B) мы имеем
1++* ... Adx",
... /\dx«,
/•=1
A ... ЛЛс'Л ... Adxn,
7.44 § 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 599
где знак dxi показывает, что множитель dxi должен
быть пропущен. Далее,
n(n+l)
= (_1) 2
X ^' Л ... Л dxi д ... Adxk Л dx» • (-1)*"'. C)
Аналогично
п
^-(-ifdx^A ... AdxkAdx",
p=ft+l
Л dx" Л ... )
p=k+i
* 5 *
A ... Adx1 A ... Ad*k
600 ГЛ. 7. .ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.45
Л ... Л di1 Л ... Л <***. D)
При сложении C) и D) двойные суммы сокращаются,
и мы находим
что и требовалось.
б. В общем случае (римаиово пространство и любая система ко-
координат) оператор до + 6д называют оператором Лапласа — Бель-
трами. Выражение оператора Лапласа — Бельтрами состоит из двух
слагаемых; в первом к форме о применяется оператор V'Vi
F.47 б,в), во втором фигурирует тензор кривизны риманова про-
пространства (см. Ж- Де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ,
1956, стр. 172—174).
7.45. Построе-ние формы ю по данным дш
и 6ш.
а. Пусть на римановом многообразии Мп заданы
(k — 1)-форма ц и (Л-f-1)-форма К; спрашивается, су-
существует ли ft-форма со такая, что бш = ц, ди> = Я?
Если форма to существует, то 6ц = 62ю = 0 и
дК = д2ы = 0, так что в общем случае равенства
дц = 0, 6Я = 0 являются необходимыми для существо-
существования искомой формы.
Оказывается, эти условия являются и достаточными,
во всяком случае в предположении, что форма ц и К
финитны, т. е. их коэффициенты обращаются в 0 вне
некоторого компактного множества в пространстве Мп.
Мы приводим в г простое доказательство *) этого
утверждения для случая, когда Мп = Rn есть «-мерное
линейное пространство. (В общем случае доказатель-
доказательство много сложнее; см., например, книгу Ж. де Рама
«Дифференцируемые многообразия», ИЛ, 1956, гл. 5.)
*) Предложенное И. Я- Дорфман.
7,45 § 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 601
б. Рассмотрим вначале частный случай, когда фор-
форма К есть тождественный нуль.
Выберем в пространстве /?„ ортонормальный базис
и положим ц(*)= S РаМйх*1 А ... Adxak~l,
(а)
Вычислим дф и бф. Мы имеем по 3.77ж
(а)
X
X dxl Л dx"' Л ... Л dxak-i.
Обозначим через ф) = (Рь ..., Ря-*-ц) мультиномер,
дополнительный к (а), и через V^^iy) величину
). Тогда
j
X
x rf*' л ^' л .... л
602 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.45
Л • • • Л dA-*+« +
Л d& Л ... Л </А-*+«. (I)
По условию функции \\ftiy) обращаются в 0 вне
некоторого шара S. Обозначая v = (vi, ..., v^) единич-
единичную внешнюю нормаль к поверхности шара S и при-
применяя теорему Остроградского, находим
J
es
С другой стороны,
Таким образом, оба интеграла в A) равны нулю. По-
Поэтому
6<р = * д * ф = 0.
Используем далее формулу 6д + д6 = —(—1) 2 А
G.44E)). Величину Аф в данном случае можно полу-
получить из 4.42(9), именно:
= Sn B - nJ nfa) (x) dxai Л ... Л rf*°*-« = Sa B - я)
7.45 § 7.4. КОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 603
где Sn — поверхность единичной сферы в /?„. Следова-
тельно, 6д<р = —(—1) 2 Лф = (/г —2)Sn(—I
п (п+1)
(—П 2
Полагая <а= , „. „—да, находим 6@ = 11, ди> =
(П — I) Оп
(
что и требовалось.
в. Рассмотрим другой частный случай: дана (k + \)~
форма Я, с дк = О и (k— 1)-форма ц^О; мы желаем
найти 6-форму со так, чтобы иметь да = К, 6со = О.
Форма *Х имеет степень n — k— 1; для нее
б(*я,) = *а**я, = (—1) 2 *ая,=о.
По доказанному в б, существует (п — /г)-форма g, для
которой
6g = *K, dg = 0.
Покажем, что й-форма и = * g является искомой. Дей-
Действительно,
в (п+1)
d© = *6**g=(— 1) 2 *б^ = Л,
п(п+»
что и требуется.
г. В общем случае для заданной финитной (k — 1)-
формы ц с 6|д, = 0 и заданной финитной (k + 1>-формы К
с дК = 0 мы найдем сначала ft-формы щ и с^, для
которых
бсо, = ц, до, = 0,
6(о2 = 0, дю2 = Л,
а затем сложим их. Полученная форма
ю = и, + ю2 B)
дает решение поставленной задачи, так как
5со = да2 — X, 6а = 6k>j = ц.
д. Исследуем вопрос о единственности решения.
Пусть для данных форм ц и Я, существуют две Л-формы
© и Q такие, что
да = dQ == Л, бю = 6Q = ц.
604 ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ 7.45
Тогда форма 0 = Я — со удовлетворяет соотношениям.
ае = О, 68 = 0. C)
Формы 6, для которых выполняются условия C), на-
называются гармоническими формами. Если форма 8 яв-
является гармонической, то А8 = е(<?6 + 6д)8 = 0, так
что все коэффициенты гармонической формы суть гар-
гармонические функции. (Обратное, вообще говоря, не-
неверно: коэффициенты гармонической формы не могут
быть произвольными гармоническими функциями, так
как они связаны между собою равенствами, вытекаю-
вытекающими из C).)
Найденное нами решение B) имеет, очевидно, коэф-
коэффициенты, стремящиеся к нулю при |*|—> то. Если дру-
другое решение Q .также обладает этим свойством, то и
гармоническая форма 6 = Q — со также обладает этим
свойством. Но гармоническая функция, стремящаяся кО
при |х|-*оо, есть тождественный 0 D.54 в). Поэтому
в классе всех k-форм, коэффициенты которых стремятся
к 0 при |х|-*оо, найденное решение единственно.
е. Полученному результату можно придать еще сле-
следующую форму:
Теорема. Каждая k-форма Q с финитными dQ = K
и 6Q = ц может быть представлена в виде суммы f -\-g
двух k-форм f и g, причем df = 0, 6g = 0. Это пред-
представление единственно в классе всех k-форм, коэффи-
коэффициенты которых стремятся к нулю при \х\—»¦ оо.
Для доказательства заметим, что, поскольку дК = 0
и 6fi = 0, можно построить такую форму со = coi + сог,
что
6g>i = ц, дк>1 = Q,
6ю2 = 0, дю2 = К.
В силу доказанной уже единственности формы ш и Q
совпадают, что и дает искомое представление Я = wi +
+ юг- Оно единственно в указанном классе форм по тем
же соображениям, что и выше.
ж. Рассмотренная нами задача является прямым об-
обобщением задачи о построении векторного поля по
вихрю и расходимости. Действительно, в трехмерном
евклидовом пространстве обычные операции векторного
анализа gradqv div/ и rotf, как легко убедиться, могут
в ЗАДАЧИ 605
быть следующим образом выражены через д, 6 и *
(с точностью до знака):
grad<p = d<p, divf = *d*f s=6f, rotf==*df.
Пусть теперь заданы (финитные) функции и(х)
([/g/?3-»«i) и ВД (U<=Rt-*Rz) с div/?(x)==O
и требуется построить векторное поле f, для которого
divf=«, rot f=/?. Мы можем данное скалярное поле и
трактовать как 0-форму, а потому, как для любой
0-формы, мы имеем бы = 0. Другое заданное векторное
поле R будем трактовать как 1-форму с 6R = 0 или, что
то же, d(*R)=*=0. Тогда поставленная задача равно-
равносильна отысканию векторного поля или 1-формы f, для
которой 6f = ф, *(df) =R или df = *R. Но это и есть
применительно к данному случаю рассмотренная нами
в а общая задача, и, значит, она разрешима (для фи-
финитных функций и(х) и R(x)) в силу г; ее решение
в силу д единственно в классе всех векторных полей
f (х), стремящихся к нулю при \х\—* оо.
ЗАДАЧИ
1. Формы вида Е(а) (*....,*)= 2 !'¦••! *симметричны;
они называются элементарными симметричными k-формами. Показать,
что каждая симметричная fc-форма представляется однозначное виде
линейной комбинации форм Е(аУ
2. Какова размерность пространства симметричных fc-форм в /?„?
3. Показать, что каждая билинейная форма А(х,х) представ-
1 2
ляется в виде суммы симметричной и антисимметричной билиней-
билинейных форм.
4. Показать, что не всякая fe-форма при к > 2 представляется
в виде суммы симметричной и антисимметричной fc-форм.
5. Положим для любой fe-формы А (х, .... х)
Synii4(A;,.... х)= -ггУ] А(х,.... х).
Показать, что Sym А (х, ..., х) — симметричная форма: если
А(х, ..., х) симметрична, то Sym^ = A и обратно.
I К
6. Упорядоченный (к:п)-щ>мер (а), всегда можно записать
в виде
(о) = A,...j__b 2,...^_2,..., п,.... п),
Р, раз *р7*Раз р„ раз
60& ГЛ. 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
где числа р1 рп заключены в пределах
Совокупность (р,,..., pft) называется характеристикой мультнно-
мера (а). Показать, что
Syml'1... I<*-Sym|a'...|a*«p'l-::ft'1 Ela) (x *),
i k i k "' l ft
где (о)=»0(/), (pi,..., pn) — характеристика мультиномера (a),
E(a) — симметричная элементарная форма (задача 1).
7. Симметрическим тензорным произведением fe-формы А и
/п-формы В называется (й + т)-форма
А V В¦•= Sym (A X В).
Показать, что операция V дистрибутивна со сложением и ассо-
ассоциативна.
8. Показать, что
| ' V ••• V 6 * = —-—г; -?(a) (*• • • •» х) = Sym 6 ' ... I к.
9. Показать, что всякая антисимметричная (п— 1)-форма в Rn
может быть представлена в форме
I1 ... I' с1
А(х,.... х )=
I п-\ Ъп ... |" ап
1 п-1
где о1,..., а" — фиксированные (для данного базнса) числа.
10. Проверить формулу
где k — степень формы А.
И. Пусть Р = ||flij|| — обратимая «Хя-матрица и Р'1 — обрат-
обратная к ней. В матрице Р возьмем минор М на строках и столбцах
с номерами 1, ..., k, в матрице Р~1 — минор Т на строках н столб*
цах с номерами k+l, .... п. Доказать, что Т = Af/detP.
12. Показать, что коэффициенты а^ второй канонической записи
антисимметричной формы G.16 а) при изменении системы координат
|' = Р('&' преобразуются по формуле
(а)
где (рг) и (Pt,) — строго, упорядоченные мультиномера, дололннтель»
ные к мультиномерам (а) и (а').
В частности, коэффициенты 6* (п — 1)-формы
А(х x)^^(-l)l~1bVA ... л|'Л ... Л1"
1 П—1 i
18 ЗАДАЧИ
преобразуются, как одноконтраварнантные тензоры
с «весом» 1/detP.
13. Для общей дифференциальной формы
можно определить три дифференциала:
Dco = у. У, — dx dx * ... dx ,
dco = Sym Dco, dco = Alt Dco.
Показать, что для антнсимметрнчной формы со дифференциал д
совпадает с дифференциалом, определенным в 7.22.
14. Показать, что
. /V4 t ,-¦-'•
15. Показать, что d (©t X Юг) = do>i V% + »i V d(S>2.
16. Пусть Л = 2 й(а)| l Л •.. Л I к и в каждом ортонор-
(П) - Sa
мальном базнсе положено ^(у) = (~0 '"(a)i Где (у) ~ строго
упорядоченный мультиномер, дополнительный к (а). Показать пря-
прямым вычислением, что форма 2 ^(v)? 'Л •¦• Л| п~к инва-
(V)
рнантна относительно ортогональных преобразований коордннат.
17. Для любой &-формы а> Ф 0 на элементарном дифференци-
дифференцируемом многообразии Мп указать ft-цепь с, для которой j © ф 0.
с
18. Показать, что для любой ft-цепи с с дс = 0 и любой fe-формы
© с Зю = 0 на многообразин Мп имеет место равенство
608 гл- 7- ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
Историческая справка
Многомерное обобщение теоремы Стокса получено впервые Пу-
Пуанкаре в III томе его «Йебесной механики» A889). Затем новую
формулировку этой теоремы, уже вполне близкую к современной, дал
Э. Картан A899), создавший исчисление антисимметричных диффе-
дифференциальных форм; алгебраическая часть этого исчисления ведет на-
начало от «Учения о протяженности» Грассмана A844, 1861), где,
между прочим, впервые появилось «л-мерное пространство». Понятие
кодифференцяала формы было введено Брауэром для евклидова
пространства A906) и Вейтценбоком для рнманова пространства
A923). Задача о построении дифференциальной формы по ее диффе-
дифференциалу н кодифференцналу была поставлена и решена (для ри-
манова пространства) Ж. де Рамом в его книге «Дифференцируе-
«Дифференцируемые многообразия» A956).
Указания и ответы к задачам
К главе 1
1. Указание. Рассмотреть последовательность точек
фп = 1/л, Гп = 1/л.
2. Указание. Из всякой последовательности {<рт ря) -*• 0 @ ^
^ ф» ^ 2я) можно выделить подпоследовательность |<р„ , Рп.]> У
которой числа <рл имеют предел.
3. Указание, а) у линейна на каждом луче; б) эта линейная
функция на прямой не должна иметь излома; в) если она диффе-
дифференцируема, 'она должна совпадать со своей главной линейной
частью.
4. Указание. Использовать теорему о среднем (OJ2.26).
5. Ответ.
dx2 дх2
dx, df '
дхх
в. Ответ. Уравнение
Цх - а)* + уЩх + а») + у*\ = Ь*
при Ь < а иэображает_пару распавшихся кривых, при Ь == а — лемни-
лемнискату, при a<b<a Vi — кривую с четырьмя точками перегиба, при
Ъ~^а у2 — выпуклую кривую.
7. Ответ. Например,
*i = cos ф, х2 = sin <р, О ^ <р ^ 2я.
8. Указание. Использовать формулу Ньютона — Лейбница.
9. Указание. Использовать три факта: а) градиент функции г
есть единичный вектор; б) диагонали ромба пересекаются под пря-
прямым углбм; в) градиент ортогонален к поверхности уровни.
10. Указание. Если для любой функции h{t) eCT(a,b) н не-
некоторой функции g{t) eCr(a,b) выполняется равенство
ь
то g(t) 5= 0.
CIO УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ Ц
Ответ. Решения функционального уравнения
11. Ответ. хх (/) = - -g- (t + 1) —локальный максимум; xs(/)
— (/ -f-1) — локальный минимум.
12. Отеег. *(/) ¦¦ 1.
13. Указание. При указанных условиях оператор
является сжимающим; ср. доказательство теоремы 1.53.
14. Указание. Рассмотреть эту функцшо на какой-нибудь прямой,
проходящей через начало координат.
15. Указание. В гильбертовом пространстве ]х\= V (х, х).
W. Указание. Взять смещение в форме @, ..., О, А, 0, ...),
|ft| < б. Использовать общий вид линейного функционала в Л.
17. Указание. Заменить в уравнении A) у на AqX?* и показать,
что полученное уравнение
удовлетворяется значениями х ¦= 0, и = I, причем
ди г '
далее использовать теорему о неявной функции.
18. Указание. Заменить в A) у на ЛоХ*' (l -f- Boxs'u); далее дей-
действовать, как в задаче 17.
19. Указание. Использовать 1.34г и 1.46.
20. Указание. Все функции f (х) с фиксированным значением f'(a)
входят в один и тот же класс.
21. Указание. Если функция f(x) e Щ равна 0 в окрестности V
точки х, а функция h(x) е Щ равна 0 вне V, причем h[a) = 1, ре-
результат получается применением функционала D к f(x)-h(x). Пока-
Показать, что любая функция f(x) e/(a) есть предел по норме Ш функ-
функций, обращающихся в нуль в окрестности точки о.
22. Указание. По задаче 20
23. Ответ. Например, оператор /(*) в окрестности луча, опреде-
определяемого базисным вектором еп, можно задать формулами
f n*|*| при U|<l/n,
rW==l x при |*|>l/n,
а в остальной части пространства положить f(x) ==0.
К.ГЛАВЕ 2
24. Ответ. Например, на луче с аргументом <р функцию f^x, у)
задать графиком типа, показанного на рис. У-1. Тогда в плоскости
{х, у) по дифференцируемой линии, отвечающей точкам максимума
указанных кривых, функция }(х,у) имеет в начале координат ненуле-
ненулевую производную.
25. Указание. Использовать идею построения в задаче 24; задать
искомую функцию на луче, определяемом базисным вектором еп,
графиком типа, показанного иа рис. У-1.
26. Указание. Использовать 1.34 в.
К главе 2
1. Указание. В соответствующем четномерном подпространстве
произведение характеристических корней оператора отрицательно,
следовательно, имеются положительные и отрицательные корни, а
они и есть канонические коэффициенты формы.
2. Ответ.
3. Ответ.
ч>"Шя = -[/'Ml4-ГМ [/'Wl-'P-f/'(*)]-'<7. Р. я е У.
4. Указание. Первая часть следует из теоремы об условном эк*
стремуме. Для построения примера рассмотреть функцию у = #2
(/?2—»-/?i) при условиях Х2*=>Сх\ с различными С.
Б. Указание. Применить критерий 2.63 а.
в. Указание. Функция п\(х) и а2{х) не непрерывны.
7. Ответ.
ху т ду j ' \дху ^ ду
(А„ *,€=*,).
8. Указание. Продифференцировать соотношение (у'Л, y"k) «a
«= %2(И,К) по любому вектору / и полученное равенство процнкли-
ровать по Л, k, I. Используя произвол в выборе I, Получить равенство
y"hk e= 0.
9. Указание. Сначала произвести инверсию! использовать зач
дачу 26 к гл. 1.
612 УКАЗАНИЯ И ОТЛЕТЫ К ЗАДАЧАМ 10
1$. Указание. Равенство (y'h, y'k) = 0 дифференцировать по /
и затем циклировать по A, k, I.
II. Указание. Использовать тот факт, что в задаче 10 вектор /
можно взять произвольным ортогональным к h н ft.
Ответ.
V{x)k V{x)h
»—ЩГ V=ST~
1.2. Указание. Продифференцировать по любому / равенство за-
задачи 11, учитывая найденные значения и н v, и убедиться, что век-
вектор-функция p'^k-i/h симметрична по / и h. Использовать незави-
независимость y'h и у'1.
13. Указание. Сначала проверить, что p"hk = a(x) (ft,ft). Затем
продифференцировать по любому / н использовать симметрию третьей
производной.
14. Указание. Проинтегрировать результат задачи 13.
1Б. Указание. Применить результат задачи 14 к отображению
у(х) и к обратному отображению.
16. Указание. При а Ф 0, р Ф 0 функция
dt
!+Р
о
представляет собою трансцендентную функцню, а из результата за-
задачи 15 видно, что эта функция —'алгебраическая.
17. Ответ. Теорема 2.61 а дает необходимое условие разреши-
разрешимости системы при любых начальных условиях (в окрестности дан-
данной точки). Приведенная система не имеет решений с начальными
условиями 2@,0) = е > 0.
18. Указание. Использовать теорему 2.61 а.
К гл аве 3
х
I. Ответ. I — ¦—¦ J (х* - «Т f (и) du.
о
эт
2. Ответ. / =
'detlMH
ОО
3. Ответ. / = 5„-,A) J rn-4{r)dr.
о
1
4. Ответ. I = 5„_2 A) j / (Л) Kl - Л2
-I
а*
6. Указание. I ПАа |/2я == 1 + С -р- + .
I К ГЛАВЕ 4 613.
6. Указание. Можно выбрать исчерпывающую последователь-
последовательность областей с поочередным преобладанием положительных значе-
значений функции f(x) или же отрицательных ее значений.
На [0, оо) другое определение сходимости интеграла (меньше сво-
свободы в выборе допустимых областей).
7. Ответ. Например, множество Р представляет собою нежор-
данову ячейку.
8. Указание. Предельный отрезок нельзя считать однородным.
9. Указание. Достаточно рассмотреть случай k = 1; использовать
принцип Кавальери и соотношение @12.476)
Я/2
Г COS2"/ dt
J cos2" tdt
о
10. Указание. То же.
11. Указание. Использовать принцип Кавальери и индукцию
по п.
12. Указание. Аппроксимировать функции fi(x), .... fB(*) ку-
кусочно-постоянными. Использовать 3.55 в.
13. Указание. Интегрирование провести вначале по сфере ра-
радиуса г и затем по г от 0 до оо. Для сферически симметричной функ*
цни f(x) вя g(r) получить формулу
«р(а)| J J
14. Ответ.
ОО
<=~ rg(r)slnprdr, p=|0|-
Р J
15. Указание. Использовать правило дифференцирования несоб-
несобственного интеграла по параметру C.74 е).
16. Указание. В новом базисе записать данную форму в виде
суммы квадратов. Использовать метод 015.32.
К г лаве 4
1. Ответ.
rotP(/l)=[pcp'(p)+2<p(p)]g.
где ф (р) *= , g — единичный вектор вдоль прямой X. Равен-
Равенство rot Р(А) -» 0 имеет место яри /(р) = С/р.
614 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ fc
2. Указание. Для кривой у = <р(х) кривизна выражается фор-
формулой
Использовать формулу 4.15 B).
3. Указание. Если уравнение семейства поверхностей взять в
форме <р(Л1) = С, то условие задачи записывается равенством
grad <p = W?.
Для исключения Я, н ф применить операцию rot.
4. Указание. Образовать на поверхности S замкнутый контур из
линии L, двух кривых у(М) и произвольной дуги и применить тео-
теорему Стокса.
5. Указание. Использовать задачу 4.
6. Указание. Область неодносвязна; локальный потенциал
arctg (у/х) не продолжается во всю область как однозначная
функция.
7. Указание. Применить к указанной области формулу Стокса.
8. Ответ,
0. Указание. Использовать неравенство
10. Указание. Перейти в неравенстве задачи 9 к пределу прн
г-*-оо.
11. Указание. В формуле Пуассона перейти к градиенту и оце-
оценить gr&dP(X,y) при у = г.
12. Указание. Для внутренних шаров фиксированного радиуса
применить результат задачи 11 и затем использовать теорему о ко-
конечном покрытии.
13. Указание. Учитывая результат задачи 12, применить теорему
Арцела.
14. Указание. Использовать неравенство задачи 9 и результат
задачи 11.
15. Ответ. Нет, так как на нем нет непрерывного нормального
вектора.
К гл аве 8
1. Ответ.
2
*-_ гхх2.уи~гху
10
К ГЛАВЕ 6
61S
1
tf If D D
Гхх Гху гхг г.
Fyx Fyy FyX Fj
17 17 17 I?
rzx rzg гжг г-.
F» Fy Fz 0
1 /а*1пф(ц, у) , Эг1пф(а,с)
2. Ответ
8. Ответ.
4. Указание. Использовать формулу 5.26 E).
6. Ответ.
Лпар *= _ r> ==¦» ^мео *= О»
в. Ответ. Геодезическая наворачивается на катеноид, неограни?
ченно приближаясь к его горловой линии (рис. У-2).
У*
Рис. У-2.
7. Ответ. Для дифференцируемой функции z(p) — те в только те
параллели, на которых функция z(p) достигает минимума, отлич*
ного от 0.
8. Указание. Координата центра такова;
9. Указание. В рассматриваемом случае уравнение етривднон-
иой линия имеет вид
[ /«I2 {Ruu. lu) + I lu I2 (Як. 'o«) - 2 (/?„, « (/«, /««) - 0.
10. Указание. Показать, что в условиях задачи стрикцноиная лн«
иия пересекает образующие ортогонально. Принять ее за направляю»
щую и показать, что оиа — прямая.
616 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К 3A3U4AM И
11. Указание. Проинтегрировать уравнение
dm *=\dr
вдоль данной линии кривизны.
12. Указание. Каждрй точке В касательного пространства П(А)
поставить в соответствие точку С на многообразии по следующему
правилу: из точки касания А по вектору АВ выпустить геодезиче-
геодезическую и ввести иа ней канонический параметр так, чтобы производная
по нему в точке А совпадала с вектором АВ; взять точку, соответ-
соответствующую значению т = 1. (Это отображение называют экспоиен-
той.) Показать, что его производная не вырождена.
13. Указание. Использовать результат задачи 12, взять доста-
достаточно малую шаровую окрестность точки А.
14. Указание. Составить форму dsa. Если г(и) н p(v) описывают,
например, окружности, отрезков на поверхности S нет.
15. Указание. Геометрическое место точек пересечения данной
поверхности Яг и любой двумерной нормальной плоскости состоит
из изолированных точек.
1в1 Указание. Без ограничения общности можно считать базис-
базисные векторы касательной плоскости совпадающими с первыми / ба-
базисными векторами пространства Rn- Тогда любой нормальный еди-
единичный вектор имеет вид
т=@, .... О, Ю|+ь •••! «„),
где
Используя теорему о" неявной функции, выразить координаты точек
полного нормального сечеиня в виде функций одного параметра.
17. Указание. Использовать метод 5.3/.
18. Указание. Провести вычисление, аналогичное 5.32.
19. Указание. То же.
20. Указание. Действовать аналогично доказательству теоремы
Бонне 534.
21. Указание. На конусе есть особая точка.
К главе в
1. Указание. Использовать сферические координаты.
2. Указание. Использовать определение ковариантных произ-
производных.
3. Указание. То же.
4. Указание. При таком определении связности имеет место абсо-
абсолютный параллелизм; но построение 6.45 может привести к значи-
значительному расхождению точек Св?.
5. Указание. Использовать дифференциальное уравнение парал-
параллельного переноса.
6. Указание. Соответствующее отображение касательного про-
пространства на многообразие переводит обычное дифференциррвание
в точке А в ковариантное.
18
К ГЛАВЕ 7
в*7
К гл ав е 7
1. Указание. Использовать равенство 2 t= S 2
<<") (о) О(П=*а)
2. Ответ. C*+ft_r
3. Указание. Рассмотреть А (х, х) + А (х, х) и А (х, х) — А (х, х).
1 » 2 1 12 2 1
4. Указание. Сравнить размерности трех соответствующих про-
пространств.
5. Указание. Первое утверждение проверяется выкладкой, третье
вытекает из первого.
в. Указание. Разложить форму Sym 6 ' ... 6 '* по элементар-
элементарным симметричным формам. Сравнить при них коэффициенты.
7. Указание. Проверить на базисных формах, аналогично 7.15.
Использовать результат задачи 5.
8. Указание. Итерировать результат задачи 5, написанный для
форм первой степени.
9. Указание. Использовать 7.136.
10. Указание. Использовать формь1 вида ? ' Л ... Л I *.
11. Указание.
и ... aift
"fti
"ftfe
e,ft
ь ft+i
flln
аЫ
0
"kn
0
0
1
p-i,
12. Указание. Использовать задачу 11.
13. Указание. Использовать 7.16 C).
14. Указание. Использовать задачу 8.
15. Указание. То же.
16. Указание. Использовать задачи 11 и 12, считая, что Р — орто-
ортогональная матрица.
17. Указание. Сначала рассмотреть одночленную форму.
18. Указание. Использовать теорему Стокса — Пуанкаре.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная сходимость несоб-
несобственного интеграла 288
Абсолютные свойства 486
Абсолютный дифференциал 515
— параллелизм 504
Аддитивности условие 191
Альтернация 547
Антисимметричная форма 546
-> каноническая 547
Антиэквивалентные поверхности
573
Асимптотическое направление
403
Аффинная связность 501
— — симметричная 501
Гармоккчес*,ое поле 365
Геликоид 397
Геодезическая кривизна 433
Геодезические линии 432, 498,
507.
— параллели 437
Геодезический дифференциал 457
Гиперболическая точка 405
Главные кривизны 406
— направления 406
Гладкая линия 51
Гомотетия 230
Градиент 27, 30
Граница множества 208
— цепи 581
График 12, 13
Бивектор 477
— единичный 481
Брус 195
Векторное поле 317
— произведение 267
Ветви кривых 117
Вихрь 338
Внутренняя геометрия 394
Вращение векторного поля 331
Вторая квадратичная форма 399
Вынужденная кривизна 433
Гамильтониан 345
Гармоническая функция 365
Дельта-образная последователь-
последовательность 222
Деривационные формулы 417
Дивергенция 319
Дифференциал 27, 30
— абсолютный 497
— высший 124, 145
частный 125
—, его инвариантность 44
— формы 559
— частный 50
Дифференциальная форма 556
сопряженная 593
Дифференциальное уравнение 85
Дифференцирование 30
— формальное 118
Дифференцируемое многообразие
элементарное 484
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
619
Допустимая область 285—287
— поверхность 571
Допустимые системы координат
485
Жесткость многомерных поверх-
поверхностей 431
Жорданова точка 222
Жордаиово множество 208
— отображение 226
— тело 209
Коэффициенты связности 419
Кривизна вынужденная 433
— гауссова 415
формальная 425
— геодезическая 433
— кривой на поверхности 399
— полная 406
— риманова пространства в дву-
двумерном направлении 529
— средняя 406
Кривизны главные 406
Кристофеля символы 419
Кручение связности 501
Замена переменных в интервале
255
Замкнутая поверхность 320
Изгибание 394
Изометрия поверхностей 393
Индикатриса Дюпена 408
Интеграл 189, 191
— векторного поля 332
— Дирихле 238
— л-кратный 195
— повторный 219
— по жордаиову множеству 212
— по поверхности 261
Интегрирование дифференциаль-
дифференциальных форм 570
Исчерпывающая последователь-
последовательность 286
Итерационный метод 116
Каноническая запись антисим-
антисимметричной формы 1-я 553
2-я 554
Канонический параметр 508
Касательная 33
Касательное пространство 488
Катенонд 397
Ковариантность 470
Кодифференциал 597
Композиция функций 17
Коитравариаитность 470
Коэффициент искажения 227
Лемниската 15
Линия быстрейшего подъема 39
— кривизны 417
— уровня 14
Лист Мёбиуса 384
Максимум локальный 107, 132
условный 109
Матрица Якоби 32
Мера 191
Минимум локальный 107, 132
условный 109
Мультиномер 542
— дополнительный 644
— строгий 543
— строго упорядоченный 543
— упорядоченный 643
Нагружение 191
— нормальное 209
Нагруженное пространство 191
— —, произведение 199
Неподвижная точка S3
Неравенство Харнака 384
Несобственный интеграл 1-го ро*
да 286
2-го рода 287
3-го рода 2Й7
с переменной особенностью
'303
Неявная функция 67
— —, ее производная 73
620
алфавитный указатель
Номер 542
Нормальная кривизна 402
Нормальное сечение 402
полное 465
элементарное 465
Нормальный вектор 267, 399
Нормально нагруженное про-
пространство 209
Нуль-миожество 205
Ньютоново поле 356
Обратная задача векторного ана-
анализа 379
— функции 66
Обратное отображение 47
Обратный элемент 47
левый 47
—г — правый 47
Объем жорданова множества 209
— параллелепипеда 243
— симплекса 248
— тора 260
— шара 249
Овалы Кассини 15
Оператор Гамильтона 344
— Лапласа 353, 598
— Лапласе — Бельтрами 600
Ордироваиие 543
Ориентируемость 320
Отображение 12
— жорданово 226
— конформное 187
— обратное 47
— сжимающее 60
— сферическое 415
Параболическая точка 405
Параболоид вращения 13
— гиперболический 13
— эллиптический 13
Параллелепипед ^-мерный 243
Параллельное перенесение 456,
494,500
Первая квадратичная форма 392
Плотность 224
Площадь прверхности 261
— — сферы 269
тора 270
Поверхность вращения 397
— уровня 14
Поле Био и Савара 362
— гармоническое 365
— Ньютона 356
Полилинейная форма 141, 544
антисимметричная 546
симметричная 142
Полный прообраз 97
Полугеодезическая система ко-
координат 440
Полукольцо 191
Последующее разбиение 202
Потенциал 332
Потенциальное поле 332
Поток векторного поля 317
Правило Сильвестра 129
Преобразование Фурье л-кратное
314
Пример Шварца 312
Принцип Кавальери 239
— локализации для несобствен-
несобственных интегралов 290
Проектор 19
Произведение обобщенное 22
Производная 30
— вдоль линии 51
— высшего порядка 121, 139
— ковариаитная 517
— контравариантная 517
— неивной функции 73
— обратной функции 74
— по направлению 37-
— по подпространству 61
— частная 27
Простое множество 199
Прямая сумма 19
Прямое произведение 16
Псевдосфера 449, 537
Разностная схема 159
, ее результат 159
Ранг тензора 471
Расстояние от точки до множе-
множества 204
Расходимость 219
Риманово пространство постоян-
постоянной кривизны 534
элементарное 492
Ротор 338
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
621
Свертывание тензора 473
Связность аффинная 501
— риМанова 502
Симметричная форма элементар-
элементарная 605
Симметрия второй производной
149
— высших производных E1
— смешанных производных 150
Симплекс 248
Складка 104
Слой 277
Среднее значение функции
224
Статический момент 242
Стационарная точка 107
Степенная форма 142
Стрикциоияая линия 464
Сферически симметричное поле
353
Сферические координаты 259,
313
Тензор 469
— антисимметричный 471
— кривизны 519
— метрический 479
производный 481
— симметричный 471
— типа Риччи 482
Тензорное иоле 490
— произведение форм 549
альтернированное 550
Тензорные уравнения 475
Теорема Бонне 427
— Веблена и Томаса 184
— Гаусса (о геодезическом тре-
треугольнике) 463
(о полной кривизне) 425
— Гильберта 449
— Жане —Э, Картана 432
— Кяеро 446
— Леви-Чивита 460
— Менье 403
— о неявной функции 68
— о ранге 99
— о среднем 54
— Фробенитса 174
Тождество Пуанкаре 564
— Риччи 481
Тождество Стокса — Пуанкаре
588
Трактриса 448
Умножение тензоров 473
Уплощения точка 405
Уравнение Пуассона 362
Уравновешивающая плоскость
241
Усиленно аддитивная функция
223
Условие Липшица 59
Формула Вейнгартена 420
— Гаусса 421
деривационная 420
— Грина 328, 366
— Менье 401
— Остроградского 324
— Петерсона — Кодацци 421
— Пуассона 362, 371
— Стокса 340
— Тейлора 125
— Эйлера 406
Функция 11
— аддитивная 191
— векторная 12
— вещественная 12
— дифференцируемая 25, 26,
28
по подпространству 62
р раз 140
— интегрируемая 193
— линейная 18
— непрерывная 15
— неявная 67
— п вещественных переменных
12
— обратная 66
— одного вещественного пере-
переменного 12
— сложная 17
— усиленно аддитивная 223
— характеристическая 209
— числовая 12
622
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Характеристика мультиномера
606
Характеристическая функция 209
Центр прямой 464
— тяжести 242
Цепь 579
Цикл 585
Циркуляция 334
аффинная
многообразия
Эквивалентность
501
Эквивалентные
485
— нагружения 215
— поверхности 572
— римановы пространства 492
— цепи 579
Экстремум 107
— условный 108
Эллиптическая точка 409
Частная производная 27
высшего порядка 146
Частный дифференциал 50
высшего порядка 146
Ядро отображения 97
Якобиан 32
Ячейка 191