В. А. СВЕТЛОВ
ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
Как следует мыслить
Как следует убедительно говорить и писать
Как следует принимать эффективные решения
Как следует общаться и разрешать конфликты
О чем рассказывают нам сказки и мифы
Издательство
Русского Христианского гуманитарного института
Санкт- Петербург
1995

УДК 16
ББК 87-4
С24
Светлов В. А.
С24 Практическая логика. — С.-Петербург: Изд-во
РХГИ, 1995, — 472 с: ил.
Представляет новую модель учебника по логике.
Рассчитан на развитие практических навыков мыслить, писать и
говрить, принимать решения, разрешать конфликты.
Содержит большое число разбираемых примеров.Используется
оригинальная техника решения логических задач.
Подготовлен на основе читаемых курсов по логике для специалистов
самого разнообразного профиля.
Рассчитан на студентов, аспирантов, молодых ученых, а
также лиц, специализирующихся в области психологии
межличностных отношений, управления, маркетинга,
составления рекламных текстов, разрешения конфликтов и споров.
ISBN 5—88812—001—4
ISBN 5—88812—001—4 © Светлов В. А., 1995
© Русский Христианский
гуманитарный институт, 1995
© Ошеренко А. М., макет, 1995

Светлане и Денису посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Ни одна наука не может развиваться, не подвергая
периодической ревизии и переоценке свой предмет, цели и
методы. Сказанное относится и к логике. Ушли в прошлое
те времена, когда под влиянием успехов символической
логики ее сторонники гордо провозглашали, что она не имеет
никакого отношения к мышлению и другим формам
существования человека. Потребности создания искусственного
интеллекта, среди прочего, заставили отказаться от данной
установки. Все более очевидным становится тот факт, что
прогресс вычислительной техники невозможен без учета
особенностей мышления и других психических функций
человека. Человек, снова, как и в период возникновения
логики, становится главным предметом этой науки.
Преподавание логики должно, очевидно, учитывать
указанную переоценку. Настоящее учебное пособие предлагает
вариант перестройки логики как учебной дисциплины,
учитывающий следующие три главные особенности: во-первых,
последовательный характер формирования интеллекта и его
операционный характер; во-вторых, комбинаторный,
вероятностный, информационный и поведенческий аспекты
совершаемых человеком интеллектуальных действий;
в-третьих, значительный вес недедуктивных рассуждений в
интеллектуальных преобразованиях. Это дает возможность
не только по-новому изложить традиционную и
символическую логику, но и расширить содержание последней,
включив такие разделы, как принятие решений, общение и
разрешение конфликтов, риторику,структурный анализ
сказок и мифов. Только ограничения, связанные с объемом
книги, не позволили реализовать программу «логика с
человеческим лицом» исчерпывающим образом.
Пользуясь случаем, хочу отдать дань уважения тем
мыслителям, чьи идеи были использованы при работе над этой

книгой. Жану Пиаже A896—1980) я обязан пониманием
фундаментальной связи логики, психологии и алгебры. Его
концепция последовательного развития интеллекта
используется при изложении традиционной логики. Льюис Кэррол
(Чарльз Доджсон A832—1898)) научил меня понимать
традиционную логику не как собрание скучных догм, а как
веселую и поучительную символическую игру. В книге
предлагается обобщение известного метода диаграмм Л. Кэррола,
а также используются кэрроловские силлогизмы и сориты.
Рудольф Карнап A891 —1970) навсегда определил мой
интерес к проблемам теории вероятностей, семантической
информации и индукции. Этот интерес способствовал более
глубокой интерпретации силлогистики, недедуктивной
демонстрации и некоторых других разделов.
Особук} признательность я хочу выразить заведующему
кафедрой логики С.-Петербургского университета
профессору Я. А. Слинину, читавшему в рукописи все мои основные
сочинения и поддержавшего все мои проекты, включая и
данный.
Мне также приятно поблагодарить профессора кафедры
алгебры РГПУ им. А. И. Герцена М. М. Лесохина за
конструктивные консультации и всех студентов математического
факультета этого университета, в общении с которыми
рождался и совершенствовался замысел этой книги.
Наконец, я хочу поблагодарить ректора Христианско-гу-
манитарного института Д. К. Бурлаку за предложение
опубликовать данную книгу, редактора И. П. Палкину за
квалифицированную подготовку рукописи к изданию.
Читателю, выбравшему эту книгу для изучения логики,
я позволю себе адресовать следующие слова Л. Кэррола,
которые не устарели и сегодня. Методы логики, с которыми
вы познакомитесь, «позволят вам обрести ясность мысли,
способность находить собственное, оригинальное решение
трудных задач, выработают у вас привычку к
систематическому мышлению, что особенно ценно, умение обнаруживать
логические ошибки и находить изъяны и пробелы тех, кто
не пытался овладеть увлекательным искусством логики.
Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вао> *.
В. А Светлов
Кэррол Л. История с узелками. М., 1973. С. 193.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕЦЕНЗЕНТА
Рецензируемое пособие представляет собой солидную
монографию, насчитывающую 435 страниц машинописи и
состоящую из 10 глав. Пособие задумано, с одной стороны, как
альтернатива всем существующим учебникам по логике, С
другой стороны — как дополнение к ним, их расширение. В
соответствии с этим замыслом находится и структура работы
В. А. Светлова. Первые пять глав содержат альтернативное
изложение материала учебников по традиционной логике;
шестая глава посвящена символической логике;
заключительные четыре главы содержат наиболее актуальные в
настоящее время практические приложения теоретической
логики: логику принятия решения, логику разрешения
конфликтов, логику риторики, а также весьма оригинально
трактуемое автором философско-культорологическое ее
приложение: логику мифов и сказок. Наличие последних глав
оправдывает название учебного пособия: «Практическая
логика».
Работа В. А. Светлова оригинальна не только в
структурном отношении, но и с точки зрения подхода к излагаемому
материалу. Так, у автора имеется своя концепция
традиционной логики, поэтому соответствующие главы и параграфы
его пособия весьма отличны от тех, которые мы привыкли
видеть во всех знакомых нам учебниках. Например, в основу
разъяснения того, что такое понятие и суждение, он кладет
теорию классов и теорию отношений, вводит в рассмотрение
универсум, и каждое понятие фигурирует у него вместе со
своим дополнением к универсуму, а суждение — вместе со
своим обращением и дополнением к универсуму. Эти главы
предстают в технически несколько усложненном, но зато и
в более полном виде. Особенно это касается операций над
суждениями и соотношений логического квадрата: в отличие
от других учебников, в рецензируемом пособии принимаются
во внимание исключающие и выделяющие суждения. Силь-

ное впечатление производит параграф, посвященный
частотной интерпретации логического квадрата. Это вполне
самостоятельная разработка автора, который является, как
известно, одним из ведущих отечественных специалистов в
области индуктивной логики. В главе о понятии хочется
отметить своеобразную трактовку определения: последнее
задается как последовательное дихотомическое деление
определяемого понятия. Такой способ определения был
распространен в древности (см., например, диалоги Платона), но
ныне он основательно забыт. Его возрождение на технически
новой основе следует поставить в заслугу автору
рецензируемого пособия.
В главе «Дедуктивные умозаключения» изложена
оригинальная теория простого категорического силлогизма,
коренным образом отличающаяся от всех более или менее
знакомой силлогистики Аристотеля. Она имеет своим истоком
построения английского математика и логика Льюиса Кэр-
рола, но сформулирована с опорой на современную
семантическую теорию возможных миров. Не приходится удивляться
уникальности подбора материала и глубине его разработки
в главе, посвященной недедуктивным умозаключениям,
учитывая сказанное о том, что автор является видным
специалистом по индуктивной логике. В главе, где рассматривается
символическая логика, излагается теория логики
высказываний и логикц предикатов, причем тоже не вполне обычным
образом. Основной особенностью тут является представление
формул логики высказываний и логики предикатов в виде
деревьев. Техника построения таких деревьев позволяет
решать проблему разрешения для формул логики
высказываний и предикатов способом более экономным, чем
составление семантических таблиц или приведение формул к КНФ
и ДНФ.
Следует также высоко оценить главы, в которых автор
рассматривает логику принятия решений и логику общения
и разрешения конфликтов. Их высокому уровню
способствует его профессиональное знакомство с вероятностной
логикой. Риторика стала очень популярным предметом изучения
и использования как на Западе, так и у нас. Знакомство
учащихся с нею является поэтому очень желательным. Глава
работы В. А. Светлова под названием «Логика риторики»
вполне может восполнить этот пробел в их образовании.
Особенный интерес представляет последняя глава пособия,
где содержится оригинальная концепция структуры мифа и

сказки, отличная от соответствующих концепций В. Я.
Проппа и французских структуралистов.
Говоря о рецензируемой работе В. А. Светлова в целом,
следует оценить ее как выдающуюся не только с точки
зрения ее новизны и оригинальности, но и с точки зрения
богатства переработанного и использованного материала,что
свидетельствует о недюжинной эрудиции автора в области
логики и смежных наук. Пособие написано ясным,
доступным для студентов языком, с «железной»
последовательностью изложения материала. Большим достоинством пособия
является обилие примеров и упражнений. Автор приложил
много усилий для того, чтобы подобрать великолепные
примеры и упражнения из античной мифологии, русской и
зарубежной классической литературы.
Целью данного учебного пособия не является, как я
понимаю, полная замена всех уже существующих учебников
по логике. Оно является очень ценным добавлением к ним,
существенно расширяющим и углубляющим подготовку
учащихся в этой области. В первую очередь, оно может быть
рекомендовано учащимся естественных факультетов,
имеющих элементарную подготовку по математике. Его изучение,
помимо всего прочего, поможет им в гуманитаризации своего
образования. Но возможно и встречное движение: пособие
В. А. Светлова можно рекомендовать студентам
гуманитарных факультетов с тем, чтобы они смогли глубже постигнуть
основы логики, понять, в чем заключается ее близость не
только с математикой, но и с науками о человеке.
Мною, как рецензентом, были сделаны автору некоторые
замечания по тексту рукописи пособия, которые были, в
основном, учтены им при ее доработке. Так, например,
я отмечал некоторую переусложненность текста в главах
о суждении и недедуктивных умозаключениях.
Но в целом у меня сложилось весьма высокое мнение о
рецензируемом учебном пособии. Считаю, что работа В. А.
Светлова «Практическая логика» заслуживает как можно
более быстрого опубликования в печати.
Каждый, кто приобретет и не пожалеет времени на ее
чтение, значительно расширит свои мыслительные,
поведенческие и коммуникативные способности и, что не менее
важно, испытает истинное интеллектуальное наслаждение,
столь редкое для литературы подобного рода.
Я. А Слинин

ГЛАВА I. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
КАК ОРГАНОН ПОЗНАНИЯ, ПОВЕДЕНИЯ
И ОБЩЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА
«Человек не обладает инстинктивно тем,
чем он должен быть, ему надлежит это
обрести».
Г. В. Ф. Гегель. Философия права.
1. ЦЕЛЬ И ПРЕДПОСЫЛКИ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Слова великого немецкого мыслителя, вынесенные в
эпиграф, выражают главную проблему и основной
отличительный признак человеческого существования. Человеку
большую часть своей жизни приходится самому создавать себя —
самому определять смысл своей жизни и самому добиваться
его осуществления. Именно из решения этой
фундаментальной проблемы и возникает то, что обычный человек называет
своей судьбой. Конструирование рациональных способов
решения данной проблемы, учитывающее психологические и
социальные составляющие человеческого поведения,
образуют главную цель практической логики.
Практическая логика не является каким-то специальным
разделом общей логики. Под этим термином в данной книге
понимается целенаправленное использование логического
знания для анализа и решения значимых для человека
проблем — мыслительных, поведенческих и
коммуникационных. В силу этой своей ориентации практическая логика
самым тесным образом связана со всеми гуманитарными
дисциплинами. Синтетический характер практической
логики проявляется также в том, что кроме логических она также
использует и математические языки — теории вероятностей,
теории групп, теории графов. Это делает создаваемые ею
модели универсальными и чрезвычайно эффективными.
8

Хотя очерченное предназначение логики и кажется
необычным для дисциплины, обычно определяемой как наука о
правильном мышлении, оно не является абсолютно новым.
Две с половиной тысячи лет назад рождение и бурное
развитие логики было обязано именно установке на познание
законов человеческого существования.
Свои теоретические предпосылки практическая логика
находит в фундаментальных особенностях человеческого
существования — его противоречивости, проблемности,
альтернативности, сознательном характере и социальной
обусловленности.
Оно противоречиво, как противоречиво все, что
существует. Чтобы обрести себя, человек должен обрести мир.
Чтобы стать самим собой, надо научится быть другим, т. е.
быть с другими и для других. Это рождает проблемность,
альтернативность, социальный и сознательный характер
бытия человека. Из всего многообразия ответов,
постулируемых социальным и культурным окружением, на вопросы кем
быть?, как быть?, с кем быть?, каким быть? каждый
должен выбрать те, которые более всего отвечают его
природе. Для этого надо уметь не только формулировать цели,
но также уметь предвидеть последствия своего выбора, уметь
оценивать их с точки зрения определенных общезначимых
критериев. Только в этом случае выбор является осознанным
и свободным.
Всем перечисленным особенностям человеческого
существования практическая логика стремится придать вид
определенных логических законов (инвариантов), составляющих
ее теоретический базис. Возникает вопрос: как соотносятся
эти предполагаемые законы практической логики с
известными законами правильного мышления? Ответ на этот
вопрос содержится в следующем параграфе.
2. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ: ПРИРОДА И ФУНКЦИИ
«Всякое знание, независимо от того,
является ли оно научным или просто
вытекающим из здравого смысла, представляет —
явно или скрыто — систему принципов
сохранения»
Жан Пиаже. Психология интелекта
Теоретическую основу любой науки составляют законы
сохранения, которым подчиняются ее объекты. Закон инер-

ции в механике, закон сохранения веса в химии, золотое
правило нравственности в этике — самые известные примеры
законов сохранения. Существуют такие законы и в логике.
Традиционный взгляд на данную проблему сводится к
перечислению четырех «основных» законов правильного
мышления — противоречия, тождества, исключенного
третьего, достаточного основания — и в их более или менее
подробной демонстрации. Сообщается, что отрицающие друг
друга мысли не могут быть вместе ни истинны, ни ложны
(закон противоречия) что каждая мысль должна быть равна
сама себе (закон тождества), что из двух противоречащих
друг другу мыслей одна и только одна истинна (закон
исключенного третьего), что всякая истинная мысль должна
быть обоснована (закон достаточного основания).
Теоретическая неудовлетворенность стандартного взгляда
на логические законы вызвана следующими причинами.
Во-первых, все перечисленные законы считаются
законами правильного мышления. При этом мало обращается
внимания на то, что человек мыслит большей частью
неправильно и только методом проб и ошибок добирается до
истины. Ограничивающим условием является также
отнесение данных законов только к сфере мышления. Совершенно
непроясненным остается вопрос о существовании законов
деятельности человека, понимаемой более широко, чем
только мыслительная.
Во-вторых,4 не учитывается тот факт, что закон
достаточного основания таковым, т. е. законом, в сущности, не
является. Лишь в исключительных случаях человек обладает
достаточными основаниями для мысли, действия, принятия
решения и т. д. Гораздо чаще ему приходится действовать на
основании неполных, несовершенных, даже ложных данных
и предпосылок. Это относится и к составлению прогнозов,
постановке диагнозов, судебным разбирательствам, научным
исследованиям, историческим оценкам и т. п. Но сказанное
имеет место и в обычной жизни человека. Следует также
заметить, что истинность известного принципа «из лжи
следует все, что угодно (включая любую истину)» делает
ложь самым достаточным основанием. Но с этим, кроме
лжецов из известной серии книг Р. Смаллиана *, вряд ли
кто-нибудь согласится.
1 Смаллиан Р. 1) Как же называется эта книга? М., 1981; 2) Принцесса
или тигр? М., 1985; 3) Алиса в стране смекалки. М., 1987.
10

В-третьих, остальные три закона (с указанной
формулировкой закона противоречия) выражают, в сущности, одну и
ту же мысль — ни одна вещь не может принадлежать
одновременно какому-либо классу и его дополнению (классу
с противоречивыми признаками). Встает, следовательно,
вопрос о достаточности данных законов. Его решение требует
выхода за пределы правильного мышления и, кроме того,
поиска структуры, в терминах которой можно было бы
объяснить как формальные свойства законов, так и их
взаимозависимость.
Многократно отмечалось, что двойственность (бинар-
ность, дуальность, оппозиционность) — неотъемлемая черта
всей реальности, как материальной, так и идеальной. Нет
ничего, что не содержало бы явно или скрыто разделения на
два полюса, направления, силы, тенденции и т. п. Верх и
низ, левое и правое, плюс и минус, инь и ян, сакральный и
мирской и тому подобные термины (антонимы) наполняют
наш язык и дают свидетельство двойственности всего, что
может быть в нем выражено.
Меньше обращалось внимание на то, что вместе с
двойственностью реальности нам всегда дана некоторая форма
целостности, в пределах которой эта двойственность
определяется. Бессмысленно говорить о двойственности чего-либо,
не указывая, о двойственности какой целостности идет речь.
Логическим аналогом любой формы целостности
выступает универсум — тот класс вещей, на элементах которого
определяются все дальнейшие преобразования. В алгебре
универсум обычно именуется универсальным классом. Если
мы, например, собираемся обсуждать наших знакомых, то
универсумом выступает класс «знакомые». Если мы решаем
элементарные арифметические задачи, то универсумом
является класс целых чисел.
Самым абстрактным аналогом двойственности в логике
выступает разбиение (разделение) универсума на два
взаимоисключающих и совместно исчерпывающих его класса.
Если я утверждаю «Яблоко спелое», то тем самым я разбиваю
универсум «яблоки» на два указанных класса — «спелые
яблоки» и «неспелые яблоки». Сложение обоих классов дает
нам универсум: «спелые яблоки» + «неспелые яблоки» -
«яблоки». Очевидно, что один и тот же универсум может
быть разбит на классы с указанными характеристиками по
самым разным основаниям. Так, «яблоки» могут быть
разделены на «вкусные» и «невкусные», «дорогие» и «недорогие»,
«зрелые» и «незрелые» и т. д.
11

Допустим, все яблоки разбиты на красные и некрасные.
Класс «красные яблоки» отличается от класса «некрасные
яблоки» своей большей определенностью, конкретностью.
Ведь ясно, что среди красных яблок могут находится только
красные яблоки, тоща как среди некрасных яблок могут
находиться яблоки зеленого, желтого и иного некрасного
цвета. Из двух взаимоисключающих и совместно
исчерпывающих универсум класса тот, который не имеет
определенного содержания и обозначается словом, начинающимся, как
правило, с частицы «не», называется дополнением. Итак,
некрасные ябуюки являются дополнением красных яблок до
универсума «яблоки».
Одним из свойств двойственности, выраженным на
логическом языке, является запрет на существование вещей,
одновременно обладающих свойствами какого-либо класса и
его дополнения. Именно в этом состоит рациональное
содержание закона' противоречия, который мы сформулируем
следующим образом.
Закон противоречия: Ни одна вещь из данного
универсума не может принадлежать одновременно какому-либо
классу и его дополнению (область пересечения любого класса со
своим дополнением пуста).
Понимая под вещью все, что может быть предметом
мысли, все, что может быть названо, мы получаем в форме
закона противоречия утверждение, распространяющееся на
все, что существует.
Согласно выдающемуся американскому психологу
Дж. Келли 1, человек смотрит на мир посредством созданных
им на основе закона противоречия особых биполярных
признаков, названных конструктами, структурирующими как
реальность, так и саму личность. Конструкт
честный/нечестный позволяет дифференцировать не только людей на
соответствующие классы, но и возможные действия самого
субъекта и тем самым фиксировать его нравственную
позицию (выбор).
В более широкой перспективе можно говорить о
классификационной функции закона противоречия. Определить
местонахождения какой-либо вещи, найти смысл жизни,
сформулировать мысль можно только предварительно
структурировав, согласно этому закону, соответствующий универ-
Kelly George A. A Theory of Personality: The Psychology of Personality
Constructs. New York, 1963.
12

сум. Не сделав этого, нельзя провести различие или
установить тождество мыслимых вещей, с которых начинается
всякая умственная деятельность.
Двойственность реальности является причиной другого ее
фундаментального свойства — обратимости. Если есть
некоторый процесс, протекающий в каком-то направлении, то
всегда есть ему обратный. Если есть некоторая сила,
отношение, то всегда есть обратная им сила и обратное
отношение. Центробежная сила уравновешивается
центростремительной, движение по поверхности — силой трения. Если
одна вещь выше другой, то вторая ниже первой, если один
человек умнее другого, то второй глупее первого. Если одна
величина равна другой, то и вторая равна первой. Ни одна
система не может существовать сколько-нибудь
продолжительное время, если взаимодействие ее частей не состоит из
уравновешивающих друг друга прямых и обратных
преобразований. Любая экологическая система существует
устойчиво, если только существует баланс между ее динамическими
составляющими. Уменьшение численности зайцев ведет к
уменьшению численности лисиц, что вызывает рост
численности зайцев и, как следствие, увеличение численности
лисиц. Увеличение численности лисиц ведет к уменьшению
численности зайцев, и весь процесс повторяется. Все
описанные колебания совершаются около некоторой точки
равновесия, фиксирующей в чистом виде нейтрализацию прямых
и обратных тенденций.
Как и двойственность, обратимость составляет
необходимое условие существования как живых, так и неживых
систем. Самым важным следствием обратимости является
способность всех систем возвращаться в исходное состояние,
сохранять свою устойчивость, определенность. В логике
данное следствие формулируется в виде закона тождества. Этот
закон мы приведем в следующей формулировке.
Закон тождества: Любая вещь из данного универсума
остается равней самой себе, если и только если каждое
примененное к ней преобразование аннулируется ему
обратным (последовательное выполнение прямого и обратного
преобразования равняется нулевому преобразованию).
Если к 2 прибавить 7, а затем из суммы вычесть 7, то мы
получим исходное число 2. Если 2 разделить на 7, а затем
полученную дробь умножить на 7, то мы также будем иметь
исходное число 2. Сохранение числа 2 обязано
исключительно наличию в каждом примере прямого и обратного преоб-
13

разований. В первом примере — сложению и вычитанию, во
втором — делению и умножению.
Такое понимание закона тождества обладает большими
эвристическими возможностями. Во-первых, эта
формулировка делает несостоятельными обвинения данного закона в
пустоте содержания, в тривиальной констатации, что
некоторая вещь равна самой себе. На самом деле, содержание
закона тождества бесконечно разнообразно, как
разнообразно число преобразований, в которых участвуют вещи. Во-
вторых, этот закон по своему содержанию близок к
известному второму началу термодинамики, так как фактически
утверждает, что в природе невозможны процессы,
протекающие только в одном направлении, т. е. не имеющие
уравновешивающих их обратных сил, тенденций и т. п.
Закон тождества можно также рассматривать как частный
случай такого свойства реальности, как симметрия.
Интересно отметить, что даже отношения людей подчиняются
принципам симметрии. Упоминавшееся золотое празило
нравственности представляет собой простейший, но не единственный
принцип такой симметрии: не делай другому того, чего не
хочешь, чтобы сделали тебе.1
Реальность не только двойственна, обратима, но и
альтернативна. Последнее свойство не менее фундаментально,
чем первые два. Буквально оно означает, что реальность в
своем становлении имеет всегда множество возможностей
достижения некоторого конечного состояния. Одна и та же
мысль может быть выражена разными словами. Одна и та же
задача решается, как правило, разными способами. Дети
одних и тех же родителей обладают, как свидетельствует
опыт, разными наследственными признаками. Число таких
примеров можно умножать неограниченно.
В логике свойство альтернативности выражается в
возможности разбиения универсума на произвольное число
классов, соответствующее числу допустимых способов
представления признака, общего всем элементам универсума.
Требования, которые налагаются на альтернативные
представления, сводятся к тому, чтобы пересечение любых двух
классов было пусто, а сумма всех полученных классов
составляло универсум. Выполнение этих требований
гарантирует, что существующие вещи попадут по крайней мере в
один из полученных классов.
1 Гуссейнова Л. Золотое правило нравственности. М., 1982.
14

Требования, накладываемые на альтернативные классы,
мы будем называть критерием полноты. Именно он и
составляет рациональное содержание закона исключенного
третьего, который мы приведем в следующей формулировке.
Закон исключенного третьего: Множество
альтернативных классов вещей (гипотез, способов достижения цели,
решений проблемы и т. п.) является полным (содержит
существующие вещи, включает истинную гипотезу,
правильное решение проблемы и т. д.), если и только если оно
представляет разбиение соответствующего универсума на
множество взаимоисключающих и совместно
исчерпывающих его классов (гипотез, способов достижения цели,
решений и т. п.) 1.
Итак, все три закона отражают фундаментальные
свойства реальности — ее двойственность, обратимость и
альтернативность и выражаются в логически развитом мышлении
в виде операций с универсумом. Эти законы находят свое
выражение и в действиях, поступках людей. Стоит отметить
следующие наиболее важные виды связи логических законов
с человеческим существованием.
Многократно отмечалось и экспериментально
подтверждалось, что все мы сознательно или бессознательно
стремимся иметь согласованные, т. е. не противоречащие друг другу,
взгляды, мнения, оценки, суждения. Аналогично и для
наших отношений друг с другом. Наличие противоречия
порождает конфликт и тем самым создает стимул для
реорганизации содержащей его системы. Если некто желает выпить
сладкого чая, но обнаруживает, что дома никаких сладостей
нет, то он, чтобы разрешить возникший конфликт, должен
либо отказаться от своего желания, либо отправиться на
поиски сладкого. Если А любит Ву а В не любит А, то А и В
не могут долго находиться в подобных не соответствующих
ДРУГ другу отношениях. Внутри данной системы отношений
обязательно возникают силы, стремящиеся устранить
несоответствие либо изменением отношения А к В, либо
отношение В к Л, либо тем и другим. Иными словами, конфликты
и лежащие в их основе противоречия играют роль движущих
мотивов в постоянной перестройке наших взглядов, оценок,
желаний, суждений, мнений и отношений. В этом состоит
конструктивная роль противоречий в человеческом
существовании.
См.: Newell Л. Unified Theories of Cognition. Cambridge, 1991. P. 97—98.
15

Добиваясь согласованности своих взглядов и отношений,
мы стремимся тем самым достигнуть наивысшей самооценки,
т. е. максимального подтверждения своей личностной
определенности, тождественности, устойчивости. Давно
отмечено, что человек способен преодолевать величайшие
трудности, только если он уверен в правоте своего дела. Наоборот,
отсутствие согласованности ведет к низкой самооценке, к
разрушению личностной определенности, тождественности,
устойчивости.
Как наличие противоречия в посылках лишает их всякой
познавательной ценности (из таких посылок выводимо все,
что угодно), так и наличие противоречия в наших взглядах
и отношениях лишает нас личностной определенности.
Необходимым и достаточным условием отсутствия
противоречия является симметричность, т. е. эквивалентность прямых
и обратных отношений системы. Быть тождественным
самому себе означает быть субъектом симметричных отношений.
При этом конкретное содержание отношений не имеет
никакого значения. Два человека имеют высшую степень
самооценки как в том случае, коща они любят друг друга, так и
в том случае, когда они ненавидят друг друга или
безразличны друг к другу. В том, что стабильность личностной
определенности обусловлена степенью симметричности
отношений между людьми, проявляется связь закона тождества с
человеческим существованием.
Проектируя свое будущее, каждый из нас мыслит его в
виде определенного множества альтернатив. При этом все
они различаются нами не только по своей значимости
(полезности) , но и по вероятности своего осуществления.
Особенностью человеческого существования является
стремление конструировать такое множество альтернатив, которое
включало бы альтернативу с наивысшей вероятностью, т. е.
указывало бы достоверное событие. Нет ни одного человека,
который не хотел бы знать свою судьбу с определенностью.
Нет ни одного ученого или следователя, который не желал
бы, чтобы в множество его гипотез не входила истинная. Нет
ни одного игрока, который не мечтал бы о том, чтобы его
ставки оказались верными. Иными словами, каждый человек
интуитивно или осознанно стремится выполнить критерий
полноты. Следовательно человеческое существование
подчиняется закону исключительного третьего.
Даже простой анализ показывает, что нет никаких
оснований ограничивать сферу действия рассматриваемых зако-
16

нов только мышлением. Их действие рассматривается как
минимум на все человеческое существование.
До сих пор остается дискуссионным вопрос о
достаточности данных законов. Правильный ответ на этот вопрос мы
видим в теоретико-групповой интерпретации логических
законов, поскольку только она дает максимально общее
решение поставленной проблемы.
Одним из лучших неформальных определений группы (в
алгебраическом смысле) является следующее: «Группу
можно определить как некоторое множество действий, или
операций А, В,,.,у которые могут объединяться вместе — делай
сначала А, затем В. Действие, представляющее результат
объединения каких-либо действий, также должно быть
членом группы; процесс объединения обычно называют
"умножением". Недействие (отсутствие действия, нулевое
действие. — B.C.) следует считать членом группы (ее
нейтральным элементом). Каждое действие должно быть
обратимым, при этом объединение какого-либо действия со
своим обращением должно давать недействие, т. е.
возвращение к исходному действию. Наконец, результат некоторой
последовательности действий... не должен зависеть от
порядка их объединения» 1.
Если в качестве элементов взять операции отрицания
(дополнения), обращения, отрицания обращения и
тождества (нулевого действия), то мы получим группу,
порождающую все логические преобразования. Это открытие было
сделано Ж. Пиаже при исследовании операций,
специфичных для интеллекта *. Эта группа представляет структуру,
лежащую в основе всех наших интеллектуальных действий,
структуру, к которой тяготеет умственное развитие каждого
человека. Она дает объяснение внутренней симметрии не
только рассматриваемых логических законов, но и всего
.видимого разнообразия мыслительных действий. Отметим
также, что данная группа является всего лишь одним из
возможных конкретизации еще более фундаментальной
группы — группы четырех Клейна. Одна из модификаций
группы четырех Клейна применяется при анализе
диалектической структуры сказок и мифов (см. главу X).
1 Candy R, "Structuctures" in Mathematics // Structuralism: An Introduction.
Oxford, 1973, P. 144—145.
2
Пиаже Жан, Избранные психологические труды. М., 1969. С. 567-— 612.
17

Пусть TV = отрицание, R = обращение, С = отрицание
обращения (обращение отрицания), / = тождество.
Структура, образованная перечисленными операциями, была
названа Ж.Пиаже группой INRC.
Первое свойство группы требует, чтобы результат
объединения операций снова был одной из исходных операций.
Пусть знак «х» обозначает объединение (умножение)
операций и имеет приблизительно тот же смысл, что и союз «и».
Проведем проверку данного свойства (интерпретация группы
в целом будет приведена после рассмотрения ее законов).
NR = С, отрицание х обращение = отрицание обращения.
NC = Л, отрицание х отрицание обращения = обращение.
RC = 7V, обращение х отрицание обращения = отрицание.
RC = /, отрицание х обращение х отрицание
обращения = тождество.
NRCN = N, отрицание х обращение х отрицание
обращения х отрицание = обращение.
И т. д.
Смысл рассмотренного свойства состоит в том, что любую
последовательность операций всегда можно заменить
равнозначным результатом их последовательного выполнения,
опять принадлежащим исходному множеству операций.
Второе свойство группы требует наличия тождественного
преобразования. В рассматриваемой группе таким
преобразованием является операция /. Проведем проверку данного
свойства.
IN = N, тождество х отрицание = отрицание.
IR = R, тождество х обращение = обращение.
1С = С, тождество х отрицание обращения - отрицание
обращения.
INR = NR ш С, тождество х отрицание х обращение
¦ отрицание х обращение = отрицание обращения.
INRC = RC - /, тождество х отрицание х обращение
х отрицание обращения = тождество.
И т.д.
Итак, применить тождественное преобразование означает
оставить все без изменения.
Третье свойство требует, чтобы для каждой операции,
являющейся ее элементом, существовала ей обратная
операция. При этом объединение (последовательное выполнение)
прямой и обратной операции должно давать тождественное
преобразование. Особенностью группы INRC является то,
что каждая исходная операция обратна самой себе. Проведем
проверку данного свойства.
18

AW ¦ /, отрицание х отрицание - тождество.
RR = /, обращение х обращение = тождество.
СС - /, отрицание обращения х отрицание обращения -
тождество.
// « /, тождество х тождество « тождество.
Из данного свойства следует, что тождество может быть
получено двумя разными способами — как отрицание
отрицания и как обращение обращения. На этом различии
основано различие между логикой классов с дополнением в
качестве отрицания и логикой отношений с обращением в
качестве собственной операции отрицания (логика
отношений включает, конечно, и операцию дополнения).
Четвертое свойство требует, чтобы порядок объединения
операций не влиял на их конечный результат (свойство
ассоциативности). Проведем проверку данного свойства.
N(RC) = (NR)C = R(NC) = /, отрицание х (обращение
х отрицание обращения) = (отрицание х обращение) х
отрицание обращения - обращение х (отрицание х
отрицание обращения) - тождество.
Очевидно, что ассоциативность является логическим
аналогом свойства альтернативности.
Итак, все свойства группы выполняются. Связь всех
операций, согласно данным свойствам, указана на рис. 1.
Рассмотрим простую интерпретацию группы в целом.
Пусть даны величины А и В такие, что А больше В, (А>В).
Тогда операция R трансформирует А>В в отношение В<А,
операция N переводит А>В в отношение Л<В, операция С
преобразовывает А>В в отношение В>А (рис. 2).
Все свойства группы можно проверить движением вдоль
соответствующей линии диаграммы на рис. 2.
Развитое логическое мышление, структуру которого
отображает группа INRC, основывается на четырех
элементарных операциях — отрицании (дополнении), обращении,
19

А>В
В>Л
В<Л
Л<В
Рис. 2
отрицании обращения и тождестве. Все эти операции в
равной мере необходимы и вместе достаточны для
порождения всех логических преобразований, свойственных
человеческому интеллекту.
Группа INRC синтезирует две основные ступени
интеллектуального развития каждого человека. Первая из них
связана с овладением операциями с классами, что
соответствует логике понятий. Вторая ступень связана с развитием
навыков формирования и преобразования отношения, чему
соответствует логика суждений. Синтез обеих ступеней
предполагает умение оперировать как классами, так и
отношениями, что отражается в способности строить отрицания
обращений (обращение отрицаний) и соответствует логике
умозаключений. Структура последней и выражается группой
INRC.
Группа INRC снимает вопрос о приоритете каких-либо
законов в качестве основных в том смысле, что в
полноценном логическом мышлении операции отрицания, обращения,
отрицания обращения и тождества взаимно зависимы и
уравновешены. Никакое свойство или комбинация
каких-либо двух свойств недостаточны для порождения логики
умозаключений как высшей способности мыслить.
С учетом симметричной зависимости и уравновешенности
всех элементов структуры имеет смысл говорить не об
отдельных логических законах, а об инвариантных чертах
развитого мышления. К ним относится способность строить
классы и тем самым использовать операцию дополнения;
способность строить отношения и тем самым использовать
операцию обращения; способность строить дополнения
обращений и тем самым использовать операцию отрицания
обращений; способность строить дополнения дополнений,
обращения обращений и другие комбинации операций, ведущих
к тождеству, и тем самым использовать тождественные
преобразования.
20

Человек, развивший указанные способности, достигает
самого важного результата в изучении логики — он начинает
мыслить и действовать творчески.
3. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ И СТРУКТУРА
УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
Сделать логику инструментом познания, поведения и
общения означает связать ее с необходимыми условиями
человеческого существования.
Первое из таких условий — способность мыслить, т. е.
строить идеальные образы реальности, и действовать в
соответствии с ними. Подробный анализ этой способности и,
вместе с тем, ответ на первый вопрос данного пособия («как
следует мыслить?») — содержится в главах II—VI. Две идеи
являются основополагающими в этом анализе: идея Жана
Пиже, что логика умозаключений представляет синтез
логики классов и логики отношений (логики понятий и логики
суждений соответственно); все чаще выдвигаемая идея, что
не вывод из аксиом и даже не натуральный вывод, а вывод,
основанный на информационной связи посылок и
заключений, характерен для человеческого интеллекта *.
Использование этих идей позволило найти новое решение некоторых
старых проблем и главным образом добится единства в
технике решения задач традиционной и символической
логики, дедуктивной и недедуктивной демонстрации.
Оказалось естественным применение вероятностных методов. В
главе IV дано перспективное обобщение метода диаграмм
Л. Кэррола.
Человек мыслит, решая проблемы, делая выбор среди
какого-то множества альтернатив. Конструирование
альтернатив, оценка их полезностей и возможностей, выбор
наилучшей альтернативы — все эти операции каждый человек
на интуитивном уровне выполняет многократно даже в
течение одного дня. Научить делать все это осмысленно —
в этом состоит основная цель седьмой главы. Иными словами,
она дает ответ на вопрос: как следует принимать
эффективные решения?
Johnson-Laird P. N. Reasoning without logic // Reasoning and Discourse
Processes. London, 1986. P. 13—49.
21

Человек — социальное существо. Общение с себе
подобными является необходимым условием его существования.
Общаясь, человек становится субъектом разнонаправленных
и разнозначащих отношений. Это создает предпосылки для
возникновения конфликтов и стимулы для реорганизации
тех структур общения, которые их породили. Последние
выполняют роль движущей силы общения, постоянной
перестройки отношений между его субъектами. Обсуждается три
способа решения задач по общению — с помощью теории
графов, теории вероятностей и теории игр. Все эти проблемы
обсуждаются в главе VIII и дают ответ на вопрос: как следует
общаться и успешно разрешать конфликты?
Тема общения продолжается в главе IX, но с новой точки
зрения: как следует убедительно говорить и писать? Ответ
на этот вопрос дает древнее искусство риторики.
Последовательно анализируются все этапы построения риторической
(убеждающей) речи — изобретение мыслей, расположение
мыслей и словесное выражение мыслей. Важной
разновидностью риторической речи является спор. В рассматриваемой
главе предложена формализация этого древнейшего
искусства и постоянного спутника человеческой жизни.
Нет ни одного человека, который бы не слышал или не
читал сказок и мифов. Нет ни одной культуры, которая бы
не создавала-того или другого. При этом независимо от места
и времени наблюдается удивительное совпадение
большинства сказочных и мифологических сюжетов в своей
глубинной структуре. О,твет на вопрос: о чем рассказывают нам
сказки и мифы? — до сих пор остается дискуссионным и
открытым для различных обобщений. В главе X предложена
версия, обобщающая широко известные формулы В. Я.
Проппа и К. Л. Леви-Строса. Здесь же дается решение старой
проблемы — логически непротиворечивого воспроизведения
диалектических противоречий, что оказалось необходимым,
так как все сказки и мифы имеют диалектическое
содержание.
Таким образом, говоря о практической логике, мы имеем
в виду, во-первых, более операциональную трактовку
традиционных логических тем и логической техники,
максимальное сближение их с потребностями «человека
думающего». Во-вторых, это название мы понимаем как расширение
обычной логической тематики за счет включения разделов,
относящихся к «человеку действующему», «человеку
общающемуся» и «человеку говорящему и пишущему».
22

ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ
«Так как мы способны познавать внешние
предметы только через посредство
имеющихся у нас идей, размышления над ними
составляют, быть может, самое важное в логике,
ибо на этом зиждется все остальное».
Ар но А., Николь Я. Логика, или ис-
куство мыслить.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПОНЯТИИ
Мы понимаем какую-либо вещь, включая окружающий
мир, самих себя, свои и чужие поступки, полностью, если
используемые нами слова и словосочетания выражают
понятия об этой вещи. Любая вещь осознается нами как данная
вещь только благодаря соответствующему понятию. «То, что
мы называем человеком, — отмечал Б. Спиноза, — состоит
в его соответствии с общей идеей, которую мы имеем о
человеке» 1. Все, что существует в качестве наших мыслей,
упорядочивается, организуется как единое целое
посредством той системы понятий, которой мы владеем. Одно и тоже
событие, интерпретированное в разных системах понятий
(обвинителя и защитника на суде, например), превращается
в различные, а иноща и противоречащие друг другу факты.
Понятия — логические атомы нашей интеллектуальной
деятельности, опорные пункты здравого и научного смысла.
Умственное развитие ничего иного, в сущности, и не
представляет, как способность переосмысливать старые и
конструировать новые понятия в соответствии с изменяющимися
условиями жизни. Только понятия придают нашим словам
адекватное значение, а речь превращают в осмысленное
рассуждение.
Спиноза Б. Избранные произведения в 2-х томах. М., 1957. Т. 1. С. 119.
23

Мы имеем понятие о некоторой вещи, если знаем
и можем словесно выразить, какие условия необходимы и
вместе достаточны для ее однозначного определения
(обозначения, указания).
Каждое условие конституирует некоторый класс
удовлетворяющих ему вещей, причем эти вещи необязательно
должны существовать реально. Делимость целых чисел на 2
порождает класс четных чисел. Условие «сказочный герой»
продуцирует класс самых разнообразных вымышленных
персонажей.
Все вещи, образующие один класс, считаются
тождественными (неразличимыми) относительно этого условия. Числа
2, 4, 6 тождественны относительно условия «быть четным
числом»; «Евгений Онегин», «Капитанская дочка» и «Руслан
и Людмила» тождественны относительно условия «автор —
А. С. Пушкин».
Для конструирования понятий важны не всякие условия,
а только необходимые и достаточные. Условие необходимо
относительно некоторого класса, если все вещи из этого
класса и, возможно, некоторые вещи из его дополнения
(противоречащего ему класса) выполняют его. Класс
шоколадных конфет включен в класс сладких вещей, но не равен
ему, так как существуют сладкие вещи, не являющиеся
шоколадными конфетами. Поскольку все шоколадные
конфеты сладкие, а кроме них имеются и другие сладкие вещи,
то условие «сладкая вещь» необходимо для шоколадных
конфет.
Условие достаточно относительно некоторого класса, если
некоторые, а может быть все, вещи из этого класса
выполняют и ни одна вещь из его дополнения не выполняет это
условие. Условие «быть шоколадной конфетой» достаточно
для включения в класс сладких вещей, поскольку все
шоколадные конфеты сладкие и ни одна несладкая вещь не
является шоколадной конфетой.
Необходимость и достаточность можно определить и в
терминах свойств. Если некоторая вещь не может
существовать без данного свойства, тогда оно является необходимым
для существования этой вещи. Например, делимость на 2
есть необходимое свойство четных чисел.
Если из существования некоторого свойства следует
существование данной вещи, то оно является достаточным для
этой вещи. Чтобы асфальт стал мокрым, достаточно дождя в
городе.
24

Не каждое необходимое условие является достаточным и
не каждое достаточное условие является необходимым.
Дождь в городе есть достаточное условие мокрого асфальта,
но не необходимое (возможны и другие причины, кроме
дождя). Быть сладкой вещью есть необходимое, но не
достаточное условие для шоколадных конфет. Однако делимость
на 2 является необходимой и достаточной одновременно для
четности целых чисел.
Для конструирования понятий особое значение имеет
случай, когда достаточность формируется из необходимых
условий. Например, каждое из условий «быть
четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы»
только необходимо для определения квадрата. Любая пара
названных условий также только необходима. И только все
вместе они необходимы и достаточны для определения класса
квадратов.
В самом общем виде процесс конструирования понятий
протекает как поиск такого числа необходимых условий,
которое было бы достаточно для однозначного определения
требуемого класса вещей. Особенности этого процесса будут
рассмотрены ниже.
Ни одно понятие не существует независимо, не будучи
включенным в какое-либо более общее понятие и не
противостоя в нем своему дополнению. Например, класс
шоколадных конфет включен в класс сладких вещей и противостоит
всем сладким вещам, не являющимися шоколадными
конфетами. Определение понятий требует, таким образом, умения
включать и исключать классы, строить классификации.
В силу того, что каждое понятие выражает сумму каких-
то необходимых условий, все понятия носят нормативный
характер. Это означает, что в той реальности, в которой
живет и действует человек, не только понятия должны
соответствовать вещам, но и вещи должны соответствовать
своим понятиям. Любая вещь, изготовленная человеком,
несет отпечаток того понятия, которым он руководствовался
в процессе его создания. Именно потому, соответствует та
или иная вещь, тот или иной поступок определенному
понятию, различают «красивое» и «безобразное», «дорогое»
и «дешевое», «умное» и «глупое», «законное» и «незаконное».
Подобная относительность оценок, особенно заметная при
сравнении различных культур или разных эпох одной
культуры, показывает, что понятия не являются простыми
слепками вещей. В понятиях человек не только отражает мир,
но и выражает свое отношение к нему.
25

Нормативный характер понятий означает также, что
могут существовать понятия, для которых еще не открыты
соответствующие вещи. Такая ситуация часто имеет место в
науке, где сначала выдвигаются гипотезы и только затем
совершаются открытия.
Благодаря отражению классов вещей, понятия не
являются наглядными образованиями. Данное свойство отличает
их от чувственных образов и представлений, которые к тому
же всеща зависят от реальных вещей как своих внешних
причин.
Итак, ковда мы говорим о понятиях, то имеем в виду
знание, которое является: общим и не наглядным, так как
отражает свойства классов вещей; необходимым, так как
выражает условия, без которых невозможно понимание
мыслимых вещей; конструктивным, так как требует
определенной умственной деятельности; классификационным по своей
природе, так как основано на отношении включения и
исключения классов; нормативно-ценностным, так как
связано с конкретными культурными предпосылками и
выражает активное отношение человека к окружающему миру.
2. СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ.
ОБОБЩЕНИЕ И ОГРАНИЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ
Распространенная точка зрения состоит в том, что можно
мыслить какое-либо одно понятие как нечто единичное и
независимое. Однако, это неверно. Если я хочу мыслить
понятие «яблоки», то не могу это сделать иначе, как
противопоставляя его своему дополнению — понятию «неяблоки»
в пределах объединяющего их оба понятия «фрукты». Не
противопоставляя друг другу яблоки и неяблоки, я не смогу
провести между ними логическую границу и, тем самым, не
смогу определить, какие фрукты являются яблоками, а какие
нет. Не мысля яблоки включенными в класс фруктов, я не
смогу противопоставить их всем неяблокам и, следовательно,
также не смогу определить, какие фрукты называются
яблоками. Нельзя понять что такое справедливость, не
противопоставляя ее несправедливости в пределах всех возможных
отношений между людьми.
Пусть А обозначает рассматриваемое понятие, —Л —
дополнение, И — объединяющее А и -А понятие. Если
вернуться к примеру с яблоками, то А = яблоки, —А -
26

неяблоки, И = фрукты. Все эти понятия образуют систему,
согласно следующему уравнению: И=АН-А). Графически
данное уравнение может представлено двумя способами
(рис. 1).
И
Л
-л
или
Рис. 1
и
Л -Л
Продолжая пример с яблоками, получаем: фрукты
яблоки + неяблоки. Графически:
Фрукты =
яблоки
неяблоки
или
яблоки
неяблоки
Итак, элементарная мыслительная система состоит из
данного понятия, его дополнения и объединяющего их
понятия, которое мы будем называть родовым (подчиняющим).
Фундаментальная роль родового понятия состоит в том,
что оно обозначает универсум — тот класс вещей, в терминах
которого определяется рассматриваемое понятие. Универсум
играет ту же роль, что и общий знаменатель при сложении
и вычитании простых дробей. Как нельзя правильно сложить
или вычесть простые дроби, не приведя их предварительно
к общему знаменателю, также нельзя осуществить любое
преобразование понятия, не определив предварительно его
универсум. Универсум задает предметную область
логических действий с понятием, связывает в одно целое все части
рассуждения. Универсум любой мысли (понятия, суждения,
умозаключения) состоит как минимум из двух взаимно
.исключающих и совместно исчерпывающих его классов.
Число таких классов может быть сколь угодно большим. Как
мы увидим, оно зависит только от числа условий, делящих
универсум на такие классы. Если имеется п условий, то
общее число классов, из которых состоит универсум,
равно 2п.
Как и всякая мысль, понятие нечто утверждает в качестве
истинного положения дел и нечто исключает в качестве
ложного положения дел. Поскольку каждое понятие
определяется в терминах некоторого универсума, то в качестве
утверждаемых и исключаемых положений дел выступают
27

определенные классы этого универсума. Если И = фрукты,
А = спелые яблоки, то А утверждает существование спелых
яблок и исключает все фрукты, не являющиеся спелыми или
яблоками, или и тем и другим одновременно.
Совокупность необходимых условий, выражаемую
каждым понятием, мы будем называть его содержанием. Те
классы вещей универсума, которые выполняют условия
содержания, мы будем называть объемом понятия. Так,
условия «быть живым существом», «быть разумным» составляют
содержание понятия «человек». Класс всех живых существ,
выполнящий эти условия, образует объем данного понятия.
Содержание и объем понятия принято считать его самыми
главными логическими характеристиками. Действительно,
мыслить понятие означает мыслить содержание и объем
данного понятия. Преобразовать каким-либо образом
понятие означает преобразовать его объем и содержание.
Содержание понятия следует рассматривать как способ
определения его объема. Понятия с разным содержанием
могут иметь один и тот же объем. Классическим в этой связи
является пример немецкого логика Г. Фреге об утренней и
вечерней звезде как понятиях с разным содержанием
(разными условиями наблюдения), но с одним и тем же
объемом — классом, состоящим из планеты Венера. Понятия,
означающие еуммы 1 + A + 1) и A + 1) + 1, делают это
по-разному и имеют, следовательно, разное содержание, но
один и тот же объем — класс, состоящий из числа 3. Все
синонимы могут рассматриваться как понятия с разным
содержанием (разным словесным выражением), но
одинаковым объемом. Главный вывод такой: если содержание
понятия однозначно определяет его объем, то обратное не верно.
Иными словами, из равенства объемов не следует с
необходимостью равенство содержаний сравниваемых понятий.
Если несколько человек независимо друг от друга совершили
одно и тоже открытие, то это не означает, что они исходили
из одних и тех же предпосылок и следовали одному и тому
же методу. В подобном соотношении содержания и объема
проявляет себя альтернативность нашего мышления, т. е. его
способность разными способами достигать поставленной
цели, разными словами выражать одну и ту же мысль.
Допустим, даны два понятия, Аи В, имеющие один и тот
же универсум. В каких отношениях могут находиться их
содержания и объемы? Имеется ли закон, которому эти
отношения подчиняются? Очевидно, что содержания А и В
28

могут либо совпадать, либо частично пересекаться, либо не
пересекаться, либо включаться одно в другое. Аналогично и
для соотношения объемов. Имеется также закон, которому
подчиняется отношение между содержаниями и объемами
понятий 1. Этот закон утверждает, что если два понятия
имеют один и тот же универсум, то если объем одного из них
составляет часть объема другого, то содержание второго
понятия составляет часть содержания первого. Иными
словами, включения содержаний и объемов понятий с одним
и тем же универсумом носят обратный характер. Более
наглядно данный закон обратного соотношения между
объемами и содержаниями понятий можно представить в форме
следующих утверждений:
Пусть А и В -— понятия с одним и тем же универсумом.
Тогда:
1. Если объем понятия А является частью объема понятия
В, то содержание В является частью содержания А.
2. Если содержание понятия А является частью
содержания понятия В, то объем В является частью объема Л.
Вся проблема теперь состоит в том, что считать
единицами содержания и объемов и как выразить их включения. При
этом наибольшая трудность касается сравнения содержания
понятий, так как для объемов данная проблема решается
обычным теоретико-множественным способом. Единицами
объемов понятий выступают классы. Объем понятия А
составляет часть объема понятия В, если и только если каждый
элемент объема А является элементом объема Б.
Напрашивающееся решение считать единицей
содержания отдельное необходимое условие, предлагаемое
традиционной логикой, является узким и приводит к
многочисленным парадоксам. Более плодотворным будет взгляд на
содержание понятия как на сообщаемую им (семантическую)
информацию 2. В этом случае единицей содержания
выступают исключаемые из универсума классы. Основная идея
информационной трактовки состоит в следующем. Чем
больше некоторое понятие исключает классов из универсума, тем
больше сообщаемая этим понятием информация
(относительно данного универсума), тем богаче его содержание.
См.: Войшвилло Е. К. Понятие как форма мышления. М., 1989. С. 136.
Более подробно об этом см.: глава IV, 2.
29

Рассмотрим пример. Пусть И = яблоки, Л = условие,
определяющее спелость, В = условие, определяющее
сладость. Данные условия делят универсум на следующие классы
(рис.2).
И - яблоки
-Л
~—-^
В -В В -В
A) B) C) D)
Рис. 2
Условия Л и В делят универсум на четыре взаимно
исключающих и совместно исчерпывающих класса: И - A)
+ B) + C) + D), такие, что A) - спелые и сладкие яблоки,
B) = спелые и несладкие яблоки, C) в неспелые и сладкие
яблоки, D) = неспелые и несладкие яблоки.
Сформулируем следующие три понятия: С = спелые
яблоки, D = спелые и сладкие яблоки, Е = спелые или сладкие
яблоки. Если исходить из числа условий, как это принято в
традиционной логике, то может показаться, что как понятие
D богаче по содержанию понятия С (что верно), так и
понятие Е богаче по содержанию понятия С (что неверно).
Этот критерий не позволяет также сравнить содержание
понятий D иЕу которое хотя и состоит из одинакового числа
условий, тем не менее различно.
Информационное определение содержания понятий
позволяет сделать следующие выводы. Понятие С исключает
существование неспелых (как сладких, так и не сладких)
яблок, т. е. исключает классы C) и D). Сообщаемая С
информация равна сумме исключаемых классов, т. е. равна
сумме C) + D). Понятие D исключает существование
неспелых и несладких, или тех и других яблок одновременно.
Следовательно, оно исключает классы B), C) и D).
Сообщаемая этим понятием информация равна сумме
B) + C) + D). Понятие Е исключает существование
неспелых и несладких яблок одновременно, т. е. исключает класс
D). Сообщаемая этим понятием информация равна D).
Сравнение информации, сообщаемой всеми тремя
понятиями, показывает, что содержание Е является частью
содержания как С, так и D; что содержание С является частью
содержания D.
30

Согласно закону обратного отношения между объемами и
содержаниями понятий, получаем:
1. Содержание Е является частью содержания С и D.
Содержание С является частью содержания Z).
Следовательно, понятие D является самым богатым по содержанию.
2. Объем D является частью объема С. Объем С является
частью объема Е. Следовательно, понятие Е является самым
большим по объему.
Графически полученные результаты выглядят так (рис. 3).
Включения по содержанию:
Включения по объему:
D
С
Е
Е
С
D
Рис.3
Умение определять отношения объемов и содержаний
понятий позволяет осуществлять операции обобщения и
ограничения понятий.
Обобщением понятия называют конструирование нового
понятия с большим объемом, чем данное (с меньшим
содержанием, чем данное).
Ограничением понятия называют конструирование нового
понятия с меньшим объемом, чем данное (с большим
содержанием, чем данное).
Из рассмотренного примера следует, что понятие С
обобщает понятие D, а понятие Е обобщает как понятие Z), так
и понятие С. И обратно, понятие С ограничивает понятие Еъ
а понятие D ограничивает понятие С и тем самым также
понятие Е.
Рассмотрим несколько примеров на обобщение
(ограничение) понятий.
Пример 7.
Выяснить, связаны ли отношением обобщения
(ограничения) следующая пара
европейские языки; D ••
ские языки.
понятий: С - люди, знающие все
люди, знающие все живые европей-
31

Пусть И = люди, знающие европейские языки, Л = все,
В = живые.
Условия Л и В делят универсум на следующие четыре
класса:
И = люди, знающие
европейские я зыки
Имеем: И = A) + B) + C) + D), вде A) = люди, знающие
все живые европейские языки, B) = люди, знающие все
мертвые европейские языки, C) = люди, знающие не все
живые европейские языки, D) = люди, знающие не все
мертвые европейские языки.
Понятие С исключает людей, знающих не все
европейские языки (как живые, так и мертвые), т. е. исключает
классы C) и D). Содержание С эквивалентно сумме классов
C) + D).
Понятие D исключает людей, знающих все мертвые
европейские ~языки, а также знающих не все европейские
языки, т. е. исключает классы B), C) и D). Содержание D
равно сумме B) + C) + D).
Содержание понятия С является частью содержания
понятия D. Следовательно, объем С больше объема D, т. е.
понятие С обобщает понятие D.
Пример 2.
Решить указанную в предыдущем примере задачу для
следующей тройки понятий: С = число, делящееся на 4 и 7,
D - число, делящееся на 4 или на 7 (или на оба
одновременно), Е = число, делящееся либо на 4, либо на 7.
Пусть И = делящиеся числа: А = на 4, В = на 7. Имеем:
И = делящиеся числа
32

Получаем: И - A) + B) + C) + D), где A) = числа,
делящиеся на 4 и на 7, B) = числа, делящиеся на 4, но не
на 7, C) = числа, делящиеся на 7, но не на 4, D) = числа,
делящиеся не на 4 и не на 7.
Понятие С исключает все числа, не делящиеся на 4 или
на 7, на 4 и на 7 одновременно, т. е. исключает классы B),
C) и D). Содержание данного понятия равно сумме B) +
C) + D).
Понятие D исключает все числа, не делящиеся на 4 и 7
одновременно (все остальные комбинации допускаются), т.
е. исключают класс D). Содержание понятия D равно D).
Понятие Е исключает все числа, делящиеся на 4 и 7
одновременно и не делящиеся на 4 и 7 одновременно, т. е.
исключает классы A) и D). Содержание данного понятия
равно сумме A) + D).
-Содержание понятия D является частью содержания С и
частью содержания Е. Следовательно, объем D больше
объема С и больше объема Е. Иными словами, понятие D
обобщает как понятие С, так и понятие Е. Но ни содержание
С не является частью содержания Е> ни содержание Е не
является частью содержания С. Следовательно, понятия С и
Е не находятся в отношении обобщения (ограничения).
Пример 3. (см.: Ивлев Ю. В. Логика. М., 1992. С. 158-159).
Решить указанную в первом примере задачу для
следующей пары понятий: С = число, которое делится на 2, но не
делится на 16, и D = число такое, что если оно делится на 2,
но не делится на 3, то оно не делится на 16.
Пусть И = делящиеся числа, А «• на 2, В = на 3, С - на
16. Данные условия делят универсум на следующие классы:
И = делящиеся числа
А -А
В -В
-с с -с
A) B) C) D)
Имеем: И = A) + B) + C) + D) + E) + F) + G) + (8),
где A) = числа, делящиеся на 2, на 3 и на 16; B) = числа,
делящиеся на 2 и на 3, но не делящиеся на 16; C) = числа,
2 Зак. 210
33

делящиеся на 2 и на 16, но не делящиеся на 3; D) = числа,
делящиеся на 2, но не делящиеся на 3 и на 16; E) = числа
не делящиеся на 2, но делящиеся на 3 и на 16; F) = числа,
не делящиеся на 2 и на 16, но делящиеся на 3; G) = числа,
делящиеся на 16, но не делящиеся на 2 и на 3; (8) = числа,
не делящиеся ни на 2, ни на 3, ни на 16.
Понятие С исключает все числа, которые делятся на 2 и
на 16 одновременно, т. е. исключает классы A) и C).
Понятие D исключает все числа, которые делятся на 2,
не делятся на 3 и делятся на 16, т. е. исключает класс C).
Содержание понятия С равно сумме A) + C). Содержание
понятия D равно C). Сравнивая содержания обоих понятий,
делаем вывод, что содержание D является частью содержания
С. Следовательно, объем понятия D больше объема понятия
С, т. е. понятие D обобщает понятие С (понятие С
ограничивает понятие D).
Иноща возникает вопрос: существуют ли пределы
обобщения и ограничения понятий? На этот вопрос мы дадим
следующий ответ. Относительно данного универсума и
делящих его условий существует предел как обобщения, так
и ограничения понятий. Пределом обобщения выступает
родовое понятие, пределом ограничения — любой отдельный
класс, представляющий конечный результат деления
универсума.
При снятии указанного условия никаких логических
границ обобщению и ограничению понятий, по всей видимости,
нет. С информационной точки зрения обобщить какое-либо
понятие означает найти его логическое следствие, потому что
только содержание следствий является частью содержания
посылок. Поскольку процесс познания протекает как процесс
обобщения существующих знаний, то вряд ли следует
ожидать, что когда-нибудь мы будем иметь далее не обобщаемые
пределы естественного и гуманитарного знания. Также нет
никаких логических препятствий для ограничения понятий.
Для этого достаточно присоединить к существующему
содержанию понятия какое-либо новое условие. Например, пусть
дано понятие «Льюис Кэррол». Добавляя к его содержанию
последовательно условия «человек с псевдонимом»,
«преподаватель математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде»,
«автор всемирно известных сказок об Алисе», «автор
оригинальной логической теории», «застенчивый и заикающийся
человек», мы будем получать понятия, все более
ограничивающие объем исходного понятия. При этом следует учиты-
34

вать, что нам ничто не мешает увеличивать число условий
сколько угодно долго.
Понятие, обозначающее универсум, мы назвали родовым,
подчиняющим. Все остальные понятия, обозначающие
какие-либо части универсума, принято называть видовыми
(подчиненными).
Объем родового понятия, т. е. универсум, всегда больше
объема любого видового понятия. Содержание любого
видового понятия всегда богаче содержания родового понятия. Из
истинности видового понятия всегда следует истинность
родового понятия, но обратное неверно !. Из истинности
понятия «образованный человек» следует истинность понятия
«человек», но из истинности последнего не следует с
необходимостью истинность первого (не каждый человек
является образованным). Причина подобной истинностной
асимметрии в том, что видовое понятие представляет только
достаточное условие истинности родового, а родовое —
только необходимое условие истинности видового.
Объем любого понятия может быть представлен в виде
родовой иерархии, в которой каждое понятие, кроме
родового, подчиняется вышестоящим и, в свою очередь, подчиняет
все нижестоящие. Такое представление объема понятий
называется классификацией и будет рассмотрено ниже.
3. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОНСТРУИРОВАНИЮ
(ОПРЕДЕЛЕНИЮ) ПОНЯТИЙ
Понятия не являются врожденными или автоматически
приобретаемыми в опыте. Они — продукт специальной
умственной деятельности, которую мы будем называть
конструированием (определением). Сконструировать понятие в
общем случае означает выяснить его содержание и объем.
Определяя понятия, мы, с одной стороны, приписываем
словам нужное значение, а с другой — познаем суть вещей.
«Определение, — отмечал Аристотель, — имеет целью
назвать сущность каждого предмета и говорит, что предмет
хорош, плох или еще какой-нибудь» 2.
Понятие считается истинным, если и только если каждый элемент его
ооъема выполняет все условия его содержания. В противном случае
понятие считается ложным.
Аристотель. Сочинения в 4-х томах. М., 1983, Т. 4. С. 298.
2* 35

Понятие, которое требуется сконструировать, называется
дефиниендумом (лат. definiendum), сокращенно dfd.
Понятия (условия), с помощью которых конструируется дефини-
ендум, называется дефиниенсом (лат. definiens), сокращенно
dfn. Дефиниенс состоит из родового и видовых понятий.
Процесс конструирования понятий удобно представить в
виде следующего алгоритма.
1. Сравниваем мыслимую вещь, понятие о которой
необходимо сконструировать, с другими вещами подобного рода
и фиксируем множество необходимых условий, такое, что
одно из них подчиняет все остальные, а все подчиненные
условия не зависят одно от другого.
2. То условие, которое подчиняет все остальные, является
родовым, все остальные условия — видовыми. Находим
соответствующий родовому понятию универсум.
3. Строим дерево определения согласно следующим
правилам:
1) Каждое видовое условие (понятие) разбивает
универсум на два класса — выполняющий данное условие и
выполняющий его дополнение.
2) Новый шаг разбиения всегда начинается с класса,
удовлетворяющего предыдущему видовому условию. Классы,
являющиеся дополнениями, в разбиении универсума более
не участвуют. Число шагов разбиения должно быть равно
числу видовых условий. Общее число результатов разбиения
универсума равно 2Л, где п — число видовых условий. Число
фактически полученных классов равно п+1.
4. Устанавливаем достаточность видовых условий для
содержания конструируемого понятия. Критерием
достаточности служит равенство dfd=dfn, согласно которому dfd и dfn
являются необходимыми и достаточными друг для друга. В
противном случае имеет место либо dfd>dfn, что означает
слишком узкое определение (видовых условий в содержании
понятия больше, чем требуется), либо dfd<dfn, что означает
слишком широкое определение (видовых условий в
содержании понятия меньше, чем требуется).
Рассмотрим несколько примеров конструирования
понятий согласно указанному алгоритму.
Пример 1.
Допустим, требуется сконструировать понятие «квадрат».
Сравнивая эту вещь с другими четырехугольными фигурами,
фиксируем в качестве необходимых условий — «быть четы-
36

рехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные
углы». Первое из них является родовым. Следовательно,
универсум состоит из класса четырехугольников. Условие
«иметь равные стороны» разбивает универсум на класс
«четырехугольники с равными сторонами» и его дополнение —
класс «четырехугольники с не равными сторонами». Первый
из них включает не только квадраты, но и ромбы.
Следовательно, не всякий четырехугольники с равными сторонами
является квадратом. Поэтому, требуется дальнейшее
разбиение универсума с помощью условия «иметь равные углы»,
которое отделяет ромб от квадратов. Дерево определения
понятия квадрат представлено на рис. 4.
И = четырехугольники
с равными с неравными
сторонами сторонами
с равными с неравными
углами углами
(квадраты)
Рис. 4
Полное определение квадрата звучит так: «Квадрат — это
четырехугольник (родовое условие) с равными сторонами
(первое видовое условие) и с равными углами (второе
видовое условие). Нетрудно проверить, что понятие «квадрат»
сконструировано правильно. Чтобы убедиться в этом,
достаточно поменять местами дефиниендум и дефиниенс.
Получаем: «Четырехугольник с равными сторонами и углами — это
квадрат». Истинность этого утверждения несомненна.
Следовательно, истинно dfd = dfn.
Слишком широким определением квадрата было бы
определение либо с одним из указанных видовых условий, либо
с дефиниенсом, состоящим из одного родового условия.
Слишком узким было бы определение, содержащее, сверх
указанных родового и видовых условий, по крайней мере еще
одно условие. Например, определение «квадрат — это
четырехугольник» является слишком широким, так как
дефиниенс распространяется не только на квадраты, но и на другие
четырехугольные фигуры — ромбы, трапеции и т. д.
Наоборот, определение «Квадрат — это четырехугольник с
равными сторонами и углами, начерченный на бумаге» является
37

узким, так как условие «быть начерченным на бумаге» не
является необходимым и, следовательно, избыточно.
Квадраты можно не только чертить, но и изображать другими
способами, и не только на бумаге, но и на другом материале»
Пример 2.
Допустим, необходимо сконструировать понятие
«себялюбец». Если обратиться к авторитету Аристотеля, то
необходимыми условиями себялюбца являются: «быть человеком»,
«делать все ради самого себя», «иметь выгоду». Первое из
этих условий родовое, поэтому универсумом является класс
людей. Дерево определения понятия «себялюбец» приведено
на рис. 5.
И - люди
делающие все не делающие все
ради самих себя ради самих себя
с выгодой без выгоды
(себялюбцы)
Рис.5
Полное определение Аристотеля звучит так:
«Себялюбец — это тот, кто все делает ради самого себя в том, что
приносит выгоду» *. Нетрудно убедиться, что данное
определение сконструировано ^правильно, т. е. что выполнено
равенство dfd = dfn.
Пример 3.
Допустим, мы хотим определить понятие шара, учитывая
способ его образования. С этой точки зрения необходимыми
условиями являются: «быть геометрическим телом», «быть
образованным вращением полукруга (круга)», «вокруг своего
диаметра». Первое из этих условий является родовым.
Следовательно, универсум состоит из геометрических тел.
Дерево определения представлено на рис. 6.
Полное определение шара таково: «Шар — это
геометрическое тело, образованное вращением полукруга (круга)
вокруг своего диаметра». Меняя местами дифиниендум и
1 Аристотель. Сочинения в 4-х томах, М., 1983, Т. 4. С. 371.
38

И = геометрические тела
образованные вращением
полукруга (круга)
не образованные вращением
полукруга (круга)
вокруг своего
диаметра
(шары)
не вокруг своего
диаметра
Рис. 6
дефиниенс, убеждаемся, что полученное определение
является корректным.
Пример 4.
Допустим, мы хотим сконструировать понятие
«естественного права». Согласно авторитету в этой области Т.
Гоббсу, необходимыми условиями естественного права
являются: «решения, принимаемые людьми», «свободно», «по
использованию своих сил», «по своему усмотрению», «для
сохранения собственной жизни». Первое из указанных
условий — родовое. Дерево определения естественного права
приведено на рис. 7.
И = решения, принимаемые людьми
свободно не свободно
по
использованию своих сил
не по
использованию своих сил
не по своему
усмотрению
для сохранения не для сохранения
собственной жизни собственной жизни
(естественное право)
Рис. 7
Полное определение: «Естественное право... есть свобода
всякого человека использовать собственные силы по своему
усмотрению для сохранения собственной жизни» 1. Легко
Гоббс Т. Сочинения в 2-х томах. М., 1991, Т. 2. С. 98.
39

убедиться, что данное определение правильно по крайней
мере с точки зрения идеалов XVII в.
Пример 5.
Допустим, требуется сконструировать понятие
«натуральные числа». Это можно осуществить двумя способами.
Согласно первому, для этого необходимо и достаточно
ограничить универсум «целые числа» условием «не быть
отрицательным» (рис. 8).
И = целые числа
неотрицательные отрицательные
(натуральные числа)
Рис. 8
Согласно второму способу, необходимо и достаточно
указать алгоритм построения натуральных чисел из данного
натурального числа (нуля или единицы). Упрощенный
вариант такого определения приведен на рис. 9.
И « целые числа
начинающиеся не начинающиеся
с нуля с нуля
возрастающие ровно не возрастающие
на единицу ровно на единицу
(натуральные числа)
Рис. 9
Оба способа конструирования понятия «натуральные
числа» отличаются лишь набором видовых условий. Принцип
же конструирования является одинаковым. Данное
обстоятельство, может быть, и не приходилось специально
подчеркивать, если бы не проводимое иногда в логической
литературе принципиальное различие между данными
определениями. Полное определение: «Натуральные
числа — это целые неотрицательные числа» (первый вариант)
и «Натуральные числа — это ряд целых чисел,
начинающийся с нуля и возрастающий ровно на единицу» (второй
вариант). Оба определения корректны и поэтому
взаимозаменяемы.
40

Пример б.
Рассмотрим пример конструирования понятия с
неопределенным универсумом. Допустим, необходимо определить
понятие «одна вещь предшествует другой» безотносительно
к природе вещей и самого отношения «предшествует». В
таких случаях в качестве универсума выступает множество
произвольных вещей. Дерево определения приведено на
рис. 10.
И * произвольные вещи
никакая вешь некоторые вещи
не предшествует предшествуют
сама себе сами себе
если одна вещь пред- если одна вещь
предшествует второй, а вто- шествует второй, а
вторая третьей, то первая рая третьей, то первая
предшествует третьей не всегда предшествует
третьей
(класс вещей, одна из
которых предшествует
другой)
Рис. 10
Если взять в качестве универсума сконструированного
понятия класс действительных чисел, тогда отношение
«предшествует» превращается в отношение «меньше, чем».
Если за универсум принять класс временных точек (секунд,
минут, часов и т. п.), тогда отношение предшествования
становится отношением «раньше, чем». Возможны и другие
интерпретации отношения «предшествует» и его универсума.
Пример 7.
Интересно сравнивать рассматриваемый метод
конструирования понятий с «диалектическим» методом определения
понятий Сократа. Разберем характерный сократовский
диалог *.
Некто Евтидем готовился к государственной деятельности
и был уверен, что способен отличить справедливое от неспра-
Ксенофонт Афинский. Сократические сочинения. М.-Л., 1935. С. 139—
41

ведливого. Сократ выразил желание убедиться в такой
способности Евтидема и предложил заносить справедливые
действия в графу «дельта» (начальная буква греческого слова
«справедливость»), а несправедливые — в графу «альфа»
(начальная буква греческого слова «несправедливость»).
На вопрос Сократа, куда занести ложь, обман, воровство,
похищение людей для продажи в рабство, Евтидем уверенно
ответил, что все эти поступки следует занести в графу
«альфа» и что ни один из них не может принадлежать графе
«дельта». Первым определением несправедливости можно
считать, следовательно, такое: «Несправедливость — это
ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их
продажи в рабство».
Тогда Сократ задал другой вопрос: будет ли
несправедливым обращение в рабство и продажа жителей
несправедливого неприятельского города. Евтидем отвечал отрицательно,
признавая тем самым такое действие справедливым.
Аналогично он отвечал на вопросы Сократа о том, можно ли
обманывать неприятеля, с которым находишься в состоянии
войны, а также воровать и грабить его добро.
В итоге все указанные поступки были перенесены из
графы «альфа» в графу «дельта», если они совершались в
отношении врагов. Соответственно, следует новое
определение, уточняющее первое. «Несправедливость — это ложь,
обман, воровство и похищение людей с целью их продажи в
рабство, совершаемые в отношении друзей, и эти же
поступки являются справедливыми, если они совершаются по
отношению к врагам».
В третий раз Сократ спросил, всегда ли нужно быть
правдивым со своими друзьями. И хотя Евтидем поначалу
ответил утвердительно, Сократ быстро его переубедил. Ибо,
по мнению Сократа, военачальник может солгать своим
солдатам о приближении подкрепления, чтобы поднять их
Дух; отец может обманом заставить больного сына принять
необходимое лекарство; некто может предотвратить
самоубийство своего друга, украв у него меч или другое оружие.
Наконец, Сократ спросил: «Кто несправедливее:
обманывающий друзей добровольно или невольно?». Евтидем
ответил, что добровольный лжец несправедливее невольного.
Интерпретируя добровольный обман как намерение
навредить, получаем окончательное определение справедливости.
«Несправедливость — это ложь, обман, воровство и
похищение людей с целью их продажи в рабство, совершенные в
отношении друзей с целью им навредить».
42

Для реконструкции сократовского определения
несправедливости выберем в качестве универсума поступки людей.
Видовыми условиями будут: «представлять обман, ложь,
воровство, похищение людей с целью их продажи в рабство»,
«совершенные в отношении друзей», «с целью им навредить».
Дерево определения понятия «несправедливость» приведено
на рис. 11.
И = поступки людей
представляющие обман, не представляющие обмана,
ложь, воровство, и похи- лжи, воровства, и
похищение людей с целью щения людей с целью
их продажи в рабство их продажи в рабство
совершенные
в отношении
друзей с целью
совершенные
в отношении
врагов с целью
помочь
A)
навредить
B)
помочь
C)
Рис. 11
навредить
D)
Из указанных на рис. 11 четырех исходов первый и
четвертый представляют собой случаи справедливости,
второй и третий — случаи несправедливости. Определение
несправедливости, к которому подвел своего собеседника
Сократ, соответствует только второму случаю.
Следовательно, определение с помощью дерева является более полным,
позволяющим учитывать все возможные случаи. В остальном
оба метода идентичны. Знаменитые сократовские вопросы
следует рассматривать как способы поиска необходимых
условий для содержания определяемого понятия.
Рассмотренные примеры показывают, что
конструирование понятий представляет однотипный процесс и не зависит
от их специфики: мы ищем универсум и необходимые
условия, которые были бы вместе достаточны для однозначного
обозначения объема конструируемого понятия и выражения
его содержания. Поскольку выбор универсума и видовых
условий неоднозначен, то к ним предъявляется требование
необходимости и совместной достаточности. Только это
требование отделяет понятия от описаний, характеристик, по-
43

яснений и тому подобных операций, для которых
необходимость и достаточность условий не является обязательной.
В логической литературе определения принято
классифицировать по разным основаниям. Мы не будем обсуждать эту
достаточно специальную тему, отсылая читателя к
соответствующей литературе 1. Сделаем лишь несколько замечаний
по поводу разделения определений на реальные и
номинальные, с одной стороны, явные и неявные — с другой.
Реальные и номинальные определения различаются на
том основании, что первые определяют вещь, а вторые — ее
имя. Учитывая, что между вещью и ее именем нет
необходимой связи, такое различие в принципе правомерно. Вместе
с тем стоит отметить, что разделение определений на
реальные и номинальные является функциональным, зависящим
только от того, в каком направлении мы движемся по
периметру треугольника, указанного на рис. 12.
Имя как
дефиниендум
Номинальное
определение
Вещь как Дефиниенс
дефиниендум Реальное
определение
Рис. 12
Определяя имя, т. е. устанавливая то значение, в котором
мы будем его использовать, мы так или иначе определяем
вещь, которую оно обозначает. И обратно, определяя вещь,
мы так или иначе определяем обозначающее ее имя.
Взаимосвязь реальных определений объясняется тем, что их
дефиниенсы совпадают. Утверждение Конфуция: «когда,
совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить
ошибку» 2 — следует считать номинальным определением,
т. е. определением имени «совершенная ошибка». Утвержде-
* Горский Д. Я. Определение. М., 1974; Попа К. Теория определения. М.,
1976.
2 Древнекитайская философия. М., 1972. Т. 1. С. 168
44

ние же «совершенная ошибка — это неисправленная ошибка»
является реальным определением, т. е. определением такой
вещи (поступка), как «совершенная ошибка». Оба
определения имеют один и тот же дефиниенс: «неисправленная
ошибка».
Неявные определения противопоставляются явным либо
на том основании, что дефиниенс и дефиниендум вообще не
выделены в качестве самостоятельных частей, либо на том
основании, что в качестве дефвдшенса выбран или список
аксиом, или описание алгоритма построения дифиниендума,
или просто некоторый контекст.
Первая возможность неявных определений отпадает по
причине самопротиворечивости. Если нет дифиниендума или
дефиниенса, или того и другого, то вряд ли имеет смысл
говорить об определении.
Вторая возможность неявных определений основана на
том, что дефиниенс не определяет однозначно дефиниендум.
Именно в этом состоит смысл определений с помощью
аксиом, контекстов или алгоритмов построения дефиниен-
дума. Но это означает, что неявные определения — это
слишком широкие определения. Любое неявное определение
можно, следовательно, превратить в явное, добавив
соответствующее число необходимых условий. Примером неявного
определения может служить данное выше определение
класса вещей, предшествующих друг другу. Оно становится
явным при конкретизации универсума и соответствующей
интерпретации отношения «предшествует».
Итак, сконструировать, или определить, понятие о какой-
либо вещи означает найти подходящий универсум и с
помощью видовых условий ограничить его до класса,
содержащего только определяемую вещь. Приведенный в начале
параграфа алгоритм позволяет сделать это достаточно
эффективно.
4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ИХ ОБЪЕМАМИ
Понятия можно различать по разным основаниям, но
практическое значение имеет лишь классификация,
основанная на соотношении их объемов. По этому основанию
различают следующие виды понятий.
45

1. Равнозначные понятия. Объемы таких понятий
полностью совпадают. По этой причине их часто называют также
равнообъемными, эквивалентными, тождественными,
равносильными. Из истинности (ложности) одного равнозначного
понятия следует с необходимостью истинность (ложность)
всех других. Равнозначны понятия «похвала» и «способ
изъяснять величие добродетели какого-нибудь человека»
(Аристотель), «скупость» и «неумеренное желание и любовь
к богатствам» (Б. Спиноза), «человеколюбие» и «такое
состояние человека, когда в сердце у него содержится радостная
любовь к другим людям» (Лао-цзы). Все синонимы выражают
равнозначные понятия. О них можно также сказать, что в
равной мере каждое из них подчиняет другое или что каждое
из них является следствием другого. Правильно построенное
определение, как мы видели, состоит из равнозначных
понятий.
2. Пересекающиеся понятия. Объемы таких понятий
частично пересекаются, что и послужило основанием для их
названия. Однако более правильно было бы назвать понятия
с частичным пересечением объемов независимыми, потому
что из истинности (ложности) одного из них не следует с
необходимостью ни истинность, ни ложность остальных.
Понятия «богатый» и «плачущий» — пересекающиеся, или
независимые. Из того, что некто является богатым, не
следует с необходимостью, что он плачущий человек, так же
не следует, что он есть неплачущий человек. Есть богатые,
которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное
также верно. Среди плачущих есть как богатые, так и
небогатые люди. Независимые понятия играют чрезвычайно
важную роль во всех разделах научного знания, и особенно
в теории вероятностей. Требование независимости понятий
является обязательным при классификации, а также при
конструировании понятия (для видовых условий).
3. Понятия, находящиеся в отношении
(однонаправленного) подчинения. В отличие от равнозначных понятий, для
которых отношение подчинения действует в обе стороны,
существуют понятия, только одно из которых подчиняет.
Подчиняющее понятие называется, как мы знаем, родовым.
Подчиненные понятия называются видовыми. Ложность
переносится от родового к видовому, но не обратно. Наоборот,
истинность переносится от видового к родовому, но не
обратно. Отношение родо-видового подчинения следует отличать
от отношения целого к части. Если каждый вид обладает
46

свойствами рода, то части не обладают свойствами целого.
Например, каждый учащийся обладает свойствами
приобретающего знания, но ни один палец чьей-либо руки не
обладает свойствами всей руки.
Назовем любые два понятия сравнимыми, если можно
указать общий для них универсум. Пусть А и В будут
сравнимыми понятиями. Рассмотренные три вида отношений
между понятиями графически могут быть изображены
следующим образом (рис. 13).
Случаи полного или частичного пересечения
объемов двух сравниваемых понятий
А
в
л
в
А и В
равнозначные понятия (А
подчиняет В, В
подчиняет А)
Аи В —
пересекающиеся
(независимые) понятия
Рис. 13
А подчиняет В,
но В не
подчиняет А
Рассмотренные случаи отношений между понятиями
принято называть случаями совместимости. Такое определение
является слишком широким, так как сама совместимость
делится на совместимость по истинности и совместимость по
ложности. Следовательно, требуется уточнить, о каком виде
совместимости идет речь при анализе указанных трех видов
отношений. Мы будем называть понятия совместимыми по
истинности, если и только если они могут быть вместе
истинны, и совместимыми по ложности, если и только если
оеи могут быть вместе ложны. Мы будем также считать
понятия полностью совместимыми, если и только если они
совместимы по истинности и по ложности. Все три указанных
вида отношений между понятиями удовлетворяют
приведенному определению, т. е. все они представляют случаи полной
совместимости.
Проанализируем теперь случаи, когда объемы
сравниваемых понятий не пересекаются.
1. Противоречащие понятия. Объемы таких понятий не
только не пересекаются, но также вместе исчерпывают объем
ближайшего родового понятия. Каждое из противоречащих
47

понятий представляет поэтому дополнение (логическое
отрицание) другого (до ближайшего универсума).
В русском языке противоречащие понятия образуются,
как правило, посредствам частицы «не», присоединяемой к
данному понятию: «высокий человек» и «невысокий человек»
относительно понятия «человек»; «синий» и «несиний»
относительно понятия «цвет»; «радость» и «нерадость»
относительно понятия «чувство»; «деньги» и «неденьги»
относительно понятия «средство платежа».
Противоречащие понятия не могут быть вместе ни истинны,
ни ложны. Если одно из них истинно (ложно), то другое с
необходимостью ложно (истинно). Отрицающее понятие не
имеет, как правило, конкретного содержания. Например, если
дана последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, утверждение, что
это число есть не 2, равносильно утверждению, что это число
есть или 1, или 3, или 4, или 5. Но какое конкретно число —
сказать нельзя. Содержание отрицающих понятий всегда
выражается дизъюнкцией (соединением союзом «или») в
исключающем смысле каких либо условий (понятий).
2. Противоположные понятия. Объемы таких понятий не
пересекаются, вместе они не исчерпывают объем
ближайшего родового понятия, а выражаемые ими свойства являются
полярными. Мы будем называть два свойства полярными,
если они одинаково удалены в противоположных
направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале
свойств. В русском языке многие противоположные понятия
выражаются с помощью антонимов. Противоположными
являются понятия «консерватор» и «радикал» относительно
нейтральной точки — понятия «центрист», «северный полюс»
и «южный полюс» относительно нейтральной точки —
понятия «экватор». Не всегда можно словесно выразить
указанную нейтральную точку, но она всегда существует. Для
шкалы, изображенной на рис. 14, противоположными
относительно точки 3 будут точки 1 и 5, точки 2 и 4
соответственно. Относительно точки 2 противоположными будут
точки 1 и 3, относительно точки 4 — точки 3 и 5.
12 3 4 5
I 1 1 1 1
Рис. 14
48

Интересно отметить, что этические концепции
Аристотеля и Конфуция построены на допущении существования
нейтральной, или средней, точки для всех нравственных
качеств. Так, у Аристотеля читаем: «Благородство —- это
середина между кичливостью и приниженностью»,
«щедрость — среднее между расточительностью и скупостью»,
«негодование — середина между завистью и злорадством» *.
Аналогично у Конфуция: «Такой принцип, как "золотая
середина", представляет собой высший принцип» 2.
Противоположные понятия не могут быть вместе
истинны, но могут быть вместе ложны. Последнее условие
отличает противоположные понятия от противоречащих. Для
противоположных понятий всегда существует какая-то
альтернатива, из истинности которой следует совместная
ложность противоположных понятий. Данный человек может
быть и не высокого и не низкого, а среднего роста.
3. Соподчиненные понятия. Объемы таких понятий не
пересекаются, вместе они не исчерпывают объема родового
понятия. Различие между противоположными и
соподчиненными понятиями вызвано только одним условием —
соподчиненные понятия не выражают противоположных свойств.
Соподчиненными являются понятия «стол» и «стул»
относительно понятия «мебель», «лейтенант» и «капитан»
относительно понятия «офицер», «фиолетовый» и «синий»
относительно понятия «цвет». Согласно рис. 14, соподчиненными
относительно всей шкалы являются точки 1 и 2, 1 и 3, 1 и
4, 2 и 3, 2 и 4, 2 и 5, 3 и 4, 3 и 5, 4 и 5.
Как и противоположные, соподчиненные понятия не
могут быть вместе истинны, но могут быть вместе ложны, так
как не исчерпывают совместно объема ближайшего родового
понятия.
Рассмотренные случаи для двух сравниваемых понятий
графически представлены на рис. 15.
Рассмотренные случаи обычно квалифицируются как
случаи несовместимости понятий. Такое определение является
слишком широким, как и при рассмотрении совместимых
понятий. Требуется уточнить, о каких видах
несовместимости идет речь.
1 Аристотель. Сочинения в 4-х томах. М.* 1983, Т. 4. С. 320, 321, 322.
2 Древнекитайская философия. М., 1973, Т. 1. С. 153*
49

Случаи пустого пересечения объемов
двух сравниваемых понятий
А
в=-л
в
в
А и В —
противоположные понятия
А и В —
противоположные понятия
Рис. 15
Аи В — соподчи-
ненные понятия
Как и совместимость, несовместимость может быть по
истинности и по ложности. Мысли несовместимы по
истинности, если и только если они не могут быть вместе истинны,
и несовместимы по ложности, если и только если они не
могут быть вместе ложны. Мы будем называть два понятия
полностью несовместимыми, если и только если они
несовместны по истинности и по ложности. Из рассмотренных
случаев только противоречащие понятия являются
полностью несовместимыми. Мы будем называть два понятия
частично несовместными, если и только если они
несовместимы только по истинности. Противоположные и
соподчиненные понятия являются частично несовместными.
Итак, рассмотрев различные варианты соотношения
объемов понятий, мы получили шесть различных видов
отношений между понятиями. Из них первые *ри представляют
случаи полной совместимости, последние три — случаи
полной и частичной несовместимости. Данная схема деления
понятий является общепринятой в логической литературе.
Но является ли она полной?
Во-первых, в ней отсутствуют частично совместимые
понятия, т. е. понятия, совместимые только по истинности.
То, что такие понятия существуют доказывает следующее
рассуждение.
Рассмотрим два противоположных понятия — «умный»
и «глупый». Сформулируем дополнение (логическое
отрицание) каждого из них. Получаем «неумный» и
«неглупый». Последние два понятия являются частично
совместимыми. Они одновременно истинны, если данный
человек «среднего» ума. Но они не могут быть вместе
ложными, так как в противном случае были бы вместе
истинны противоречащие им понятия — «умный» и «глу-
50

пый». Но, как мы знаем, противоположные понятия не могут
быть вместе истинны *.
То же можно сказать и о соподчиненных понятиях.
Рассмотрим понятия «белый» и «синий». Их отрицаниями
будут понятия «небелый» и «несиний». Последняя пара
понятий одновременно истинна, если вещь, допустим,
оранжевого цвета. Но она не может быть одновременно ложной,
так как в противном случае были бы одновременно истинны
противоречащие им понятия «белый» и «синий». Но так как
эти понятия соподчиненные, то это невозможно.
Итак, все понятия, являющиеся отрицаниями
противоположных и соподчиненных понятий, частично совместимы.
Приведенная схема также неполна в следующем смысле.
Существуют понятия, которые одновременно обладают
признаками противоречивости и противоположности. Речь идет
о таких парах понятий, как «мужчина» и «женщина»,
«учитель» и «ученик», «муж» и «жена», «обманщик» и «жертва
обмана», «потенциальная энергия» и «кинетическая
энергия», «потребительская стоимость» и «меновая стоимость» и
т. д. Каждая пара таких понятий исчерпывает объем своего
родового понятия (признак противоречивости), выражает
полярные свойства (признак противоположности), имеет
пустую область пересечения своих объемов (признак
противоречивости и противоположности). Кроме того, каждая пара
таких понятий либо вместе истинна, либо вместе ложна, так
как выражает взаимно обратные отношения, т. е. мы
получаем еще один случай полной совместимости.
Например, объемы понятий «муж» и «жена» исчерпывают
вместе объем родового понятия «супруг». Вместе с тем
пересечение объемов понятий «муж» и «жена» пусто, так как
не существует супругов, которые одновременно являлись и
мужьями, и женами. Вместе с тем, данная пара понятий
выражает полярные степени различия родового понятия.
Наконец, оба понятия вместе либо истинны, либо ложны,
ибо некто может быть мужем тогда и только тогда, когда он
имеет жену (никто не может быть мужем, не имея жены,
или быть женой, не имея мужа).
Как будет показано, понятия, одновременно
противоречащие и противоположные, играют исключительную роль в
диалектических контекстах (см. главу X).
Отношения между всемя четырьмя понятиями соответствуют
отношениям логического квадрата (см. гл. III, 5).
51

Приведенные уточнения и добавления показывают, что
общепринятая классификация понятий в зависимости от
отношений между их объемами требует дополнительного
анализа и обобщения 1.
5. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПОНЯТИЯМИ.
ПОНЯТИЕ КАК ИНВАРИАНТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Под логическими операциями с понятиями мы будем
понимать способы преобразования одних понятий в другие.
К ним относятся: сложение, умножение, вычитание, деление
и классификация понятий. Для большей ясности рассмотрим
указанные операции с двумя понятиями, обозначенными
символами А и В.
Сложением (объединением) понятий А и В называется их
преобразование в понятие, объем которого включает (без
повторения) все элементы объемов как А, так и В. Пусть «+»
обозначает операцию сложения понятий.
1. А и В — равнозначные понятия. Тоща А+В=А=В, т. е.
результат сложения таких понятий равен любому из них.
Как частный случай имеем: А+А=А. Например, «сиеста» +
«полуденный отдых» = «сиеста» - «полуденный отдых».
«Сиеста» + «сиеста» - «сиеста». Таким образом, сложение
двух равнозначных понятий не приводит к удвоенной сумме,
как это имеет место при сложении натуральных чисел.
Иными словами, сложение понятий не обладает свойством
итерации (прибавления).
2. А и В — пересекающиеся понятия. Тогда А+В=(А или
В, или Аи В вместе). Например, «вкусные вещи» + «сладкие
Одним из вариантов решения данной проблемы является деление
понятий сначала на совместимые и несовместимые по истине, а затем на
совместимые и несовместимые по лжи. Тогда в класс совместимых по
истине и лжи попадают равнозначные, пересекающиеся, находящиеся
в отношении родо-видового подчинения, одновременно противоречащие
и противоположные понятия. В класс совместимых по истине, но
несовместимых по лжи, попадают понятия, являющиеся отрицанием
противоположных и соподчиненных понятий. В класс несовместимых
по истине, но совместимых по лжи, попадают соподчиненные и
противоположные понятия. Наконец, в класс несовместимых по истине и лжи
попадают противоречащие понятия.
Данная классификация показывает, что для анализа всех возможных
случаев требуется учитывать соотношения объемов рассматриваемых
понятий как друг к другу, так и к общему универсуму.
52

вещи» = «вкусные или сладкие вещи, или вкусные и сладкие
одновременно».
3. А — родовое, В — видовое понятие. Тогда А+В=А.
Например, «человек» + «образованный человек» = «человек».
4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А+В=И.
Например, «солнечный день» + «несолнечный день» = «день».
5. А и В — противоположные понятия. Тогда А+В=(А или
В, но не А и В вместе). Например, «радостный человек» +
«печальный человек» = «радостный или печальный человек,
но не то и другое вместе».
6. АиВ — соподчиненные понятия. Тогда А+В=(А или В,
но не оба вместе). Например, «сосна» + «береза» = «сосна или
береза, но не то и другое вместе». Данный случай совпадает
с предыдущим.
7. АиВ — частично совместимые понятия. Тогда А+В=И.
Например, «неумные люди» + «неглупые люди» = «люди».
8. А и В — противоречащие и противоположные понятия
одновременно. Тогда А+В=И. Например, «мужчина» +
«женщина» = «человек».
Умножением (пересечением) понятий А и В называется
их преобразование в понятие, объем которого включает
только общие для А и В элементы. Пусть «х» обозначает
операцию умножения понятий.
1. А и В — равнозначные понятия. Тогда ЛхВ=А=В, как
и при сложении. Например, «любовь» х «наслаждение
вещью и соединение с нею» ¦ «любовь» - «наслаждение
вещью, соединению с нею» (согласно Б. Спинозе).
2. А и В — пересекающиеся понятия. Тогда ЛхВ=(А и В
одновременно). Например, «счастье» х «неожиданность» =
«неожиданное счастье».
3. А — родовое, В — видовое понятие. Тогда ЛхВ=В.
Например, «любовь» х «сильное чувство» = «любовь».
4. А и В — противоречащие понятия. Тогда АхВ = 0, где
символ 0 означает понятие с пустым (недопустимым)
объемом. Например, «синий» х «несиний» - 0, так как
невозможно существование цвета, который был бы синим и
несиним одновременно.
5. А и В — противоположные понятия. Тогда АхВ =0,
как и в предыдущем случае. Например, «любовь» х
«ненависть» = 0.
6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда АхВ = 0, как
и в предыдущем случае. Например, «любовь» X
«безразличие» = 0.
55

7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда Ах В
= понятие, представляющее отрицание как А, так и В
(нейтральная точка на шкале отношений между Л и В).
Например, «неумные» х « неглупые» = «люди среднего ума».
8. А и В — противоречащие и противоположные понятия
одновременно. Тогда АхВ=И, как и при сложении подобных
понятий. Данные понятия являются единственными,
сложение и умножение которых дает универсум. Например,
«мужчина» х «женщина» = «человек».
Вычитанием (разностью) понятия В из понятия А
называется их преобразование в понятие, объем которого состоит
из элементов объема А, противоречащих понятию В, т. е.
обладающих свойством -В. Пусть «/» обозначает операцию
вычитания понятий.
1. А и В — равнозначные понятия. Тогда А/В=В/А=0. В
качестве частного случая имеем А/А=Ф. Например,
«зависть» / «печаль по поводу счастия друзей» = «печаль по
поводу счастия друзей» / «печаль» = 0 (согласно Сократу).
«Печаль» / «печаль» - 0.
2. А и В — пересекающиеся понятия. Тоща А/В =(А и -В),
В/А=(В и -А). Например, «справедливость» /
«недействие» - «справедливое действие», «недействие» /
«справедливость» = «несправедливое действие».
3. А — родовое, В — видовое понятие. Тогда А/В=(А и
—В), В/А=0. Например, «чувство» / «ненависть» - «все
чувства, не являющиеся ненавистью». Этот случай
вычитания тождествен конструированию дополнения понятия В до
универсума И = А. «Ненависть» / «чувство» = 0.
4. А и В — противоречащие понятия. Тоща А/В=А,
В/А-В. Например, «храбрость» / «нехрабрость» =
«храбрость», «нехрабрость» / «храбрость» = «нехрабрость».
5. А и В — противоположные понятия. Тогда А/В=А9
В/А=В, как и в предьщущем случае. Например, «любовь» /
«ненависть» = «любовь», «ненависть» / «любовв» =
«ненависть».
6. А и В — соподчиненные понятия. Тоща А/В=А> В/А=В,
как и в предыдущем случае. Например, «любовь» /
«безразличие» = «любовь», «безразличие» / «любовь» =
«безразличие».
7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А/В=—Ъ,
В/А=—А. Например, «неумные люди» / «неглупые люди» «
«глупые люди», «неглупые люди» / «неумные люди» = «умные
люди».
54

8. А и В — противоречащие и противоположные понятия
одновременно. Тогда А/В=А> В/А=В. Например, «муж» /
«жена» = «муж», «жена» / «муж» = «жена».
В логике понятие деления употребляется в двух
значениях — как операция, обратная умножению классов, и как
синоним классификации. Ниже деление понятий
рассматривается в первом смысле. В отличие от других операций,
деление не является строго определенной операцией, т. е. ее
выполнение не всегда приводит к однозначному результату,
поэтому оно обычно не рассматривается в учебниках по
логике. Для полноты анализа мы рассмотрим и эту
операцию.
Делением понятия на другое понятие, входящее в первое
в качестве одного из сомножителей, называется их
преобразование в понятие, состоящее из всех сомножителей, за
исключением того, на которое производилось деление. Пусть
«:» обозначает операцию деления.
1. А и В — равнозначные понятия. Тогда (ЛхВ):А=
=(АхВ):В=А=В (первый вариант); (АхВ):А=(АхВ):В=И
(второй вариант). В качестве частного случая имеем А:А=А
(первый вариант), АгА^И (второй вариант). Приведем один
пример. «Студент» : «студент» = «студент» (первый вариант),
«студент» : «студент» = «учащийся» (второй вариант).
2. А и В —- пересекающиеся понятия. Тогда С4хВ):А=В,
(АхВ):В=А. Например, («утро» х «солнце») : «утро» =
«солнце», («утро» х «солнце») : «солнце» = «утро».
3. Л — родовое понятие, В — видовое понятие. Тогда
(ЛхВ):А=В, (АхВ):В=В (первый вариант); (АхВ):В=А
(второй вариант). Например, («мебель» х «стул») : «мебель» =
«стул», («мебель» х «стул») : «стул» = «мебель» (первый
вариант), («мебель» х «стул») : «стул» = «мебель» (второй
вариант).
4—6. Для противоречащих, противоположных и
соподчиненных понятий операция деления не выполняется, так как
логическое произведение таких понятий всегда пусто.
7—8. А и В — или частично совместимые, или
противоречащие и противоположные одновременно понятия. Тогда
САхВ):А=В, (Ах В) :В=А. Приведем еще один пример, («муж»
х «жена») : «муж» = «жена»; («муж» х «жена») : «жена» =
«муж».
Операцией, синтезирующей все ранее рассмотренные,
является классификация.
55

Классификацией понятия называется конструирование
видовых по отношению к нему понятий на основании
определенного множества условий. Результатом классификации
является родо-видовая иерархия понятий, раскрывающая
объем классифицируемого понятия.
Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем
основные требования к классификации понятий.
Понятие «благо», согласно Аристотелю,
классифицированное на основании условия «находиться в», имеет
следующие виды (рис. 16):
Благо
находящееся
в душе
находящееся
в теле
(добродетели) (здоровье)
Рис. 16
находящееся
вне души и
тела
(богатство)
Если выбрать в качестве основания условие «смысл
блага», то, согласно Аристотелю, будет иметь место следующая
классификация (рис. 17).
Благо
ценимое хвалимое как возможность
сохраняющее
или создающее
другое благо
(ум) (добродетели) (богатство) (гимнастика)
Рис. 17
Рассмотренные классификации построены на изменении
условия, выступающего основанием классификации.
Каждый член такой классификации представляет соподчиненное
понятие. Подобные классификации принято называть
классификациями по видоизменению основания.
Возможны также классификации, члены которых
представляют противоречащие понятия. Такие классификации
принято называть дихотомическими (делящими на двое).
Пример дихотомической классификации также можно найти
у Аристотеля (рис. 18).
56

Благо
всегда
заслуживающее
избрания
(справедливость)
не всегда
заслуживающее
избрания
(богатство)
Рис. 18
Основанием дихотомических классификаций служит
принцип логического отрицания (дополнения,
противоречия) членов классификации.
Возможны также классификации, в которых
используются несколько оснований. Их называют последовательными
классификациями. Пример последовательной
классификации, также принадлежащей Аристотелю, приведен на
рис. 19.
Благо
являющееся
целью
(здоровье)
не являющееся
целью
совершенной
(счастье)
несовершенной
(справедливый нрав)
Рис. 19
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать
несколько основных требований к классификации.
1. Объем классифицируемого понятия должен быть равен
сумме объемов членов классификации на каждом шаге. В
противном случае либо будет пропущено какое-то видовое
понятие, либо будет присутствовать какое-то избыточное
видовое понятие. В первом случае мы имеем неполную
классификацию, во втором — классификацию с лишними
членами. Примером первой будет классификация людей на
счастливых и несчастных, так как пропущен класс людей,
не являющихся ни первыми, ни вторыми. Примером второй
ошибки будет классификация людей на счастливых,
несчастливых и несчастных. Первые два понятия исчерпывают
57

объем классифицируемого понятия «люди», и,
следовательно, понятие «несчастные» избыточно в данной
классификации.
2. Каждый шаг классификации должен проводиться
только по одному основанию. В противном случае члены
классификации не будут исключать друг друга. Например,
классификация людей на богатых и плачущих произведена по двум
основаниям сразу. Члены такой классификации не
исключают друг друга, так как могут существовать богатые, которые
плачут. Правильной будет классификация, осуществляемая
в два шага (рис. 20).
Люди
плачущие неплачущие плачущие неплачущие
Рис. 20
Интересный и дискуссионный пример нарушения второго
правила классификации содержит известный
древнегреческий парадокс — тяжба Протагора с Еватлом 1.
Содержание спора сводится к следующему. У известного
софиста Протагора был ученик Еватл, обучавшийся праву.
По заключенному между учителем и учеником договору
Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае,
если он выиграет свой первый процесс. Но, закончив
обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Когда терпение
Протагора иссякло, он подал на своего ученика в суд. Таким
образом, Еватл столкнулся с необходимостью вступить в свой
первый процесс.
Свой иск Протагор аргументировал следующим образом.
Каким бы ни было решение суда, Еватл будет обязан
заплатить за обучение. Ибо он либо выиграет, либо проиграет
процесс; если выиграет, то заплатит в силу договора; если
проиграет, то заплатит согласно решению суда.
Ответ Еватла был не менее аргументированным.
Действительно, он либо выиграет, либо проиграет процесс. Если
Иван А. А. 1) По законам логики. М., 1983. С, 185—188; 2) Искусство
мыслить. М., 1990. С. 194—196.
58

выиграет, то не обязан платить по решению суда; если
проиграет, то не должен платить в силу договора.
Парадокс данного спора состоит в том, что при любом
исходе судебного процесса Протагор и Еватл имеют равные
логические основания требовать удовлетворения своих
взаимоисключающих намерений (рис. 21).
Еватл
проигрывает
процесс
выигрывает
процесс
посуду
платит
Еватл
по договору
платит
Протагор
по суду
платит
Протагор
I
аргументы Еватла
аргументы Протагора
Рис. 21
по договору
платит
Еватл
Даже беглого взглада на рис. 21 достаточно, чтобы
оценить логические последствия парадоксальности спора
Протагора с Еватлом. Его итоги, связанные с каким-либо одним
решением суда, не являются несовместимыми и,
следовательно, могут быть одновременно истинными. Именно такую
возможность демонстрируют аргументы обоих участников
спора.
Причина парадокса также очевидна. Классификация
результатов судебного процесса проведена сразу по двум
основаниям — «платить по решению суда» и «платить по
договору». Для устранения парадокса необходимо признать оба
условия независимыми и классификацию выполнять
последовательно. Непарадоксальная структура спора имеет
следующий вид (рис. 22).
Цифры «О» и «1» на рис. 22 обозначают вероятности
соответствующих исходов. Те из них, которые отмечены
цифрой «О», неосуществимы по условиям спора. Исходы*
отмеченные цифрой «1», по условиям спора осуществляются
обязательно. Таким образом, спор Протагора с Еватлом в
зависимости от решения суда имеет два возможных исхода.
Если Еватл проигрывает процесс, то он платит Протагору по
суду и не платит по договору» Если Еватл выигрывает
59

Еватл
проигрывает
процесс
¦——
О
не платит
по суду
О
платит не платит
по договору по договору
выигрывает
процесс
О
платит
по суду
не платит
по суду
О
платит не платит
по договору по договору
Рис. 22
процесс, то он не платит Протагору по суду, но платит по
договору. Как интерпретировать эти исходы? Оставляя
подробный анализ для главы, посвященной принятию решений
(см. гл. VII, 6), подведем итоги. Если Еватл проигрывает
судебный процесс, то он выигрывает спор, а Протагор про-
игрывает;если Еватл выигрывает судебный процесс, то он
проигрывает спор, а Протагор выигрывает. Оба исхода
исключают друг друга и не могут быть вместе истинны.
Следовательно, парадокса нет, так как классификация возможных
результатов спора проведена по правилам логики. Некоторое
недоумение может вызвать обратная связь между результатами
судебного разбирательства и исходами спора. Эту связь легко
сделать прямой, если классификацию начать с условия
«платить по договору», а не с условия «платить по решению суда».
Указанные требования к классификации формально
можно выразить следующим образом. Пусть А, В, и С — члены
классификации на каком-то шаге и пусть И обозначает объем
классифицируемого понятия. Тогда первое требование
сводится к выполнению равенства И^Л+Я+С, а второе — к
выполнению равенств: АхВ=Ф, ЛхС=0, ВхС=Ф.
Если все условия, на основании которых
классифицируется какое-либо понятие, необходимы, тоща данная
операция тождественна конструированию (определению) понятий.
Пределом классификации в этом случае выступает
требование достаточности оснований (условий) классификации.
Классификация обеспечивает синтез всех ранее
рассмотренных логических операций — сложения, умножения,
вычитания и деления. Пусть А — родовое, В — видовое понятие.
Так как А подчиняет В> то между объемами этих понятий
существует отношение включения. Из существования отно-
60

шения включения следует, что А обозначает наименьший
верхний класс, а В — наибольший нижний класс
образованной родо-видовой иерархии, содержащей как А, так и В.
Следовательно, имеет место: А=А+В> В-АхВ (рис. 23).
А=А+В
В^АхВ -В=-ВхА
Рис. 23
Из рис. 23 следует, что для того, чтобы сложить понятия
В и — В, необходимо прежде умножить А на В и А на —В
соответственно.
Чтобы умножить А на В и А на -В> необходимо
предварительно сложить В и — Ву чтобы получить А.
Эти рассуждения доказывают взаимосвязь операций
сложения и умножения, а также их необходимость и
достаточность для построения классификации.
Взаимозависимость операций вычитания и деления
следует из того факта, что они представляют операции обратные
сложению и умножению соответственно.
Взаимосвязь операций сложения, умножения, вычитания
и деления делает наше мышление независимым от
наблюдаемой реальности. Обладая обратимостью, мышление
становится интериоризованным и символическим процессом,
способным достигать целостности и законченности независимо
от конкретных начальных условий. Обратимость лежит в
основе всех инвариантов, или принципов сохранения, с
формулировки которых начинается любая наука. Понятие
представляет один из инвариантов логического мышления.
Правильно сконструировать понятие — то же самое, что
определить его как инвариант операций сложения,
умножения, вычитания и деления относительно данного универсума.
Мы будем говорить, что некоторое понятие представляет
инвариант указанных логических операций, если существует
такой универсум И, что
1) это понятие, будучи сложенным или умноженным на
любое другое понятие, принадлежащее И, дает в результате
понятие, принадлежащее И;
2) это понятие, умноженное на И, дает это же понятие;
3) этому понятию соответствует одно и только одно
понятие, называемое логическим отрицанием
(дополнением), сложение с которым дает И;
61

4) это понятие, будучи умноженным на само себя, снова
дает само себя;
5) сумма этого понятия с любым другим понятием, не
являющимся его дополнением, не зависит от порядка, в
котором они сгруппированы.
Ограничение, указанное в пункте 5, означает, что в
операциях с понятиями коммутативность и ассоциативность
последних не является универсальной.
Для классификации, изображенной на рис. 23,
перечисленные условия выполняются: И = А
1. В+(-В)=А, Вх-В=0.
2. ВхА=В, -ВхА=-В.
3. В+(-В)=А, т. е. В=А/-В.
4. ВхВ=В, -Вх-В=-В.
5. В+(В+В)=(В+В)+В, -В+(-В+(-В))=(-В+(-В))+(-В).
Но при сложении В и —В последнее условие в общем не
выполняется. Например, В+(-В+В)=В+0+В, но (В+В)+(-В)=
Невыполнение последнего условия в общем виде
означает, что логические операции с понятиями еще не образуют
группу в обычном (алгебраическом) смысле и что одних
только операций с понятиями недостаточно для полной и
эффективной деятельности мышления. Причина этой
ограниченности лежит в природе самих понятий — в их
способности отражать только классы мыслимых вещей, т. е. только
их тождественность относительно тех или иных условий.
Различие и тем самым упорядоченность вещей относительно
этих же условий в терминах понятий выражены быть уже не
могут.
Итак, не существует понятия, не включенного в более
общее, или родовое понятие. В отношении «род — вид»
каждое понятие приобретает свою определенность. Поэтому
конструирование понятия равносильно конструированию
классификации, в терминах которой только и может
существовать данное понятие. Родо-видовая иерархия
оказывается, таким образом, существенной чертой нашего мышления.
Обобщение и ограничение понятий были бы невозможны,
если бы подобные иерархии не существовали.
Четыре логические операции — сложение, умножение,
вычитание и деление — необходимы и достаточны для
построения любой классификации. Неразрывная связь
понятия и классификации позволяет определить понятие как
инвариант указанных логических операций. С этой точки
62

зрения понятие — это такая мысль, объем которой при
сложении, умножении, вычитании и делении всегда остается
одним и тем же (относительно данного универсума).
Понятия представляют опорные пункты нашего
понимания окружающего мира и самих себя, но еще не весь процесс
понимания в целом. Обладая только понятиями, мы не
можем анализировать отношения между мыслимыми
вещами. Выполнение этой задачи требует умения образовывать
суждения.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Можно ли понимать какую-либо вещь, не определяя ее
в терминах необходимых и достаточных условий?
2. Укажите необходимые и достаточные условия
следующих явлений, свойств, предметов:
а) зимнее утро;
б) нечетное число;
в) справедливость;
г) равные величины;
д) образованный человек;
е) мысль.
3. Выражают ли следующие слова одни и те же понятия:
а) педагог, преподаватель, учитель;
б) неконечное, бесконечное, безмерное;
в) несвобода, рабство, неволя;
г) едный, неимущий, неимеющий;
д) невойна, мир, перемирие;
е) параллельные линии, непересекающиеся линии.
4. Изменится ли содержание понятия «Марс» после того,
как на нем побывают люди?
5. Изменится ли объем понятия «завтрак» после того, как
он будет съеден?
6. Какие из перечисленных понятий находятся в
отношениях рода и вида?
а) час, сутки;
б) кислород, газ;
в) прямая, отрезок прямой;
г) город, центр города;
Д) тысяча рублей, сто рублей.
7. Изобразите графически, как соотносятся объемы
нижеследующих понятий:
63

а) геометрия Евклида, неевклидова геометрия, геометрия
Лобачевского, геометрия Римана;
б) мысль, слово, дело;
в) вежливый, приятный, обходительный;
г) дед, отец, сын, внук;
д) забежал, вошел, вбежал, ввалился;
е) дом, здание, квартира, комната.
8. Попробуйте установить, корректны ли следующие
толкования слов в качестве определений:
а) наследовать — получить в наследство от кого-либо
что-либо;
б) лучший — самый хороший;
в) отличный — очень хороший, превосходный;
г) хороший — имеющий положительные свойства;
д) дарить — давать что-либо в качестве подарка,
безвозмездно;
е) друг — человек, который стремится не отстать от
людей, делающих ему добро (Сократ);
ж) друг — тот кто любит и взаимно любим
(Аристотель) ;
з) любить — желать кому-нибудь того, что считаешь
благом, ради него, а не ради самого себя, и стараться по мере
сил доставлять ему эти блага (Аристотель).
9. Для нижеследующих понятий выполните операции
сложения, умножения, вычитания и деления (для каждой
пары отдельно):
а) натуральное число, четное число;
б) море, озеро;
в) звезда, планета;
г) нерадость, непечаль;
д) здоровье, болезнь;
е) веселый, радостный;
ж) хитрец, плут;
з) справедливость, честность.
10. Есть ли ошибка, а если есть, то какая, в
нижеследующих рассуждениях: «Одна жрица не позволяла своему сыну
говорить политические речи, сказав: "Если ты будешь
говорить справедливое, тебя возненавидят люди, а если
несправедливое — боги", что, по мнению Аристотеля, совместимо
со следующим утверждением: «Но можно также сказать, что
должно говорить такие речи, ибо если ты будешь говорить
справедливое, тебя полюбят боги, если несправедливое —
люди» (Аристотель. Риторика).
64

11. Попробуйте разрешить следующий спор. Крокодил
выхватил у египтянки, стоявшей на берегу Нила, ее ребенка.
На просьбу матери вернуть ребенка крокодил выдвинул
условие: мать должна угадать, отдаст крокодил ребенка или
нет. Если мать угадает, то крокодил возвращает ребенка;
если не угадает, то ребенок остается у крокодила. Подумав,
мать ответила, что крокодил не отдаст ей ребенка. Выслушав
мать, крокодил сообщил, что он не может отдать ей ребенка
по следующим основаниям. Мать говорит либо правду, либо
неправду. Если она угадала, то крокодил не должен отдавать
ей ребенка, так как в противном случае это не было бы
правдой. Если же сказанное матерью — неправда, то она не
угадала и он не должен отдавать ей ребенка по уговору. Мать
не согласилась с доводами крокодила. По ее мнению, если
она угадала, то ребенок должен быть возвращен ей по
уговору, а если не угадала, то ребенок должен быть
возвращен, так как в противном случае ее ответ не будет неправдой.
3 Зак. 210

ГЛАВА III. СУЖДЕНИЕ
«Помыслив вещи посредством идей, мы
сопоставляем эти идеи; обнаруживая, что
одни из них соответствуют друг другу, а
другие нет, мы связываем их либо разделяем.
Это называется утверждать или отрицать, а
в общем — выносить суждение».
Л. Арно, П. Николь. Логика, или
искусство мыслить
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СУЖДЕНИИ
Если понятия — атомы интеллектуальной деятельности,
то, продолжая эту аналогию, мы можем сказать, что
суждения — ее молекулы. Как молекулы представляют
мельчайшие частицы вещества, так и суждения, связывая понятия,
являются элементарными формами мыслительной
деятельности. Любое понятие определяется в форме некоторого
суждения. Рассуждение в целом представляет процесс
порождения одних суждений из других. С помощью понятий
мы раскрываем значение естественных или искусственных
знаков, указываем классы, к которым принадлежат или не
принадлежат мыслимые нами вещи. С помощью суждений
мы получаем возможность выражать разнообразные
отношения между мыслимыми вещами.
Ни одна вещь не может существовать, не вступая в
отвечающие ее природе отношения с другими вещами.
Свойства вещей могут проявляться только в их отношениях друг
к другу. Узнать, является ли данное белое кристаллическое
вещество кислым, сладким, соленым, горьким или
безвкусным, можно, лишь попробовав его на язык, т. е. установив
соответствующее отношение между этим веществом и
вкусовыми рецептором. «Не зная, что говорят люди, — утвер-
66

ждал Конфуций, — нельзя узнать людей» 1. Познание
людей, иными словами, требует установления
соответствующего отношения между изучающим и изучаемыми
индивидами.Познание вещи равносильно поэтому познанию ее
отношений к другим вещам. Конструирование понятий о
вещах невозможно без выражения в терминах суждений
отношений этих вещей друг к другу. Как вещи не существуют
вне своих отношений друг к другу, так и понятия не
существуют вне выражающих эти отношения суждений.
Мы имеем суждение о некоторой вещи, если и только
если знаем и можем выразить словесно ее отношение к
какой-либо другой вещи, включая и ее отношение к самой
себе.
Задать некоторое отношение на множестве элементов
какого-либо класса означает упорядочить их согласно
условию, выражаемому этим отношением. Вне зависимости от
содержания отношения упорядоченность элементов сводится
к требованию различия мест, занимаемых ими. Если 1
меньше 2, то 2 не может быть меньше или равно 1. Если А —
отец В, то В не может быть отцом А. Если С тяжелее D, то
D не может быть тяжелее С. Во всех этих примерах место,
занимаемое первым и вторым элементами, различаются
своим порядком, т. е. являются упорядоченными. Задать
отношение в самом общем смысле и означает упорядочить
элементы какого-либо класса согласно определенному
условию. Этому утверждению не противоречит существование
разнообразных отношений тождества (равенства) ¦ Последние
определяются как результат композиции (умножения)
обратно упорядоченных отношений. Например, сказать, что А
равно В — то же самое, если сказать, что А больше (меньше)
В и В больше (меньше) А одновременно.
Из сказанного следует два принципиальных отличия
суждений от понятий. Для понятий исходным является
допущение тождества, неразличимости вещей, рассматриваемых в
качестве элементов их объемов. Порядок, в котором
рассматриваются эти элементы, не имеет никакого значения. Для
суждений исходным является допущение различия,
упорядоченности вещей, рассматриваемых в качестве элементов их
объемов. Изменение порядка вещей ведет к изменению
Древнекитайская философия. В 2-х томах, М., 1972. Т. 1. С. 174.
3* 67

смысла суждения. В этом состоит первое отличие суждений
от понятий. Второе отличие есть следствие первого. Для
понятий логическое отрицание равносильно образованию
дополнения. Для суждений мы имеем два вида логического
отрицания — дополнение и уничтожение различия, которое
достигается построением симметричного исходному
отношения. Дополнение дает суждение, противоречащее исходному.
Уничтожение различия приводит к образованию суждения
эквивалентности. Суждение «Л умнее В» в первом смысле
отрицается суждением «Неверно, что А умнее В» или
суждением «Л не умнее В». Во втором смысле суждение «Л умнее
В» отрицается суждением «5 умнее Л», и оба вместе делают
истинным суждение «Аи В оба умны в одинаковой степени».
Различие между суждениями и понятиями обусловлено,
таким образом, различием уровней отражения реальности.
С помощью понятий мы отражаем реальность в терминах
включения и исключения классов. С помощью суждений мы
научаемся отражать отношения между мыслимыми вещами.
Как и понятия, суждения не совпадают с выражающими
их грамматическими конструкциями. Основной языковой
формой выражения суждений служит повествовательное
предложение. Считается, что всякое суждение выражается в
том или ином предложении, но обратное верно только для
повествовательных предложений. Мы не станем
придерживаться этого категорического мнения и будем считать, что
любое законченное предложение явно или неявно выражает
некоторое суждение. Ничто не мешает считать, что вопросу
«Кто здесь?» соответствует суждение «Я не знаю, кто здесь
находится, но хочу это узнать». Аналогично приказу
«Следуйте за мной!» соответствует суждение «Я хочу, чтобы вы
тотчас же последовали за мной».
В зависимости от того, имеет ли место выражаемое
суждением отношение, можно говорить об истинности,
ложности или неопределенности суждений. Суждение «Л любит
В» истинно, если и только если между А и В имеет место
указанное отношение, ложно в противном случае и
неопределенно, если нет ни первого, ни второго.
Каждое суждение выражает также определенное
коммуникативное отношение между старым, известным знанием
(предикатом суждения) и новым, неизвестным знанием
(субъектом суждения). Известное знание служит
своеобразным фильтром, через который происходит оценка нового
знания. Предикат определяет логические границы субъекта
68

суждения, отвечает на вопросы, что, где, как и почему оно
обозначает, служит аргументом за и против включения в
состав старого знания. Связывая или разъединяя новое и
старое знание, суждения, таким образом, обеспечивают
преемственность в развитии представлений и наше понимание
всякого нового сообщения. Мы можем поэтому сказать, что
суждения отражают упорядоченность не только реально
существующих вещей, но и наших знаний о них.
Итак, когда мы говорим о суждениях, то имеем в виду
знание, которое обозначает как некоторое отношение между
мыслимыми вещами, так и упорядоченность самих знаний
по шкале «новое, требующее доказательства знание —
старое, доказанное знание»; является в зависимости от того,
выполняется или нет обозначаемое отношение, истинным,
ложным или неопределенным; выражается каким-либо
предложением, не обязательно повествовательным; является
конструктивным, так как не совпадает со своей грамматической
формой и для своего выявления требует специальной
умственной деятельности.
2. ПРОСТЫЕ СУЖДЕНИЯ
Суждения принято делить на простые и сложные.
Суждение считается простым, если ни одна его правильная часть
сама не является суждением. Сложные суждения состоят из
нескольких простых, соединенных различными логическими
союзами — «и», «или», «если... то», «если и только если»,
«или... или». Предложение «Сегодня тихо и пасмурно»
выражает сложное суждение, состоящее из двух простых
«Сегодня тихо», «Сегодня пасмурно», соединенных союзом «и».
Сложным суждением считается также отрицание любого
простого суждения, вводимого оборотом «Неверно, что» и его
различными грамматическими эквивалентами.
Фундаментальный факт, характеризующий отношение между
простыми и сложными суждениями, состоит в том, что последние
всегда могут быть сведены к первым, но обратное неверно.
По этой причине в данной главе рассматриваются только
простые суждения. Сложные суждения анализируются в
главе, посвященной логике высказываний и предикатов.
Любое простое суждение состоит из четырех
функционально различных частей: 1) субъекта суждения — класса
69

вещей, о котором нечто утверждается или отрицается;
2) предиката суждения — класса вещей, который
утверждается или отрицается относительно субъекта данного
суждения; 3) утвердительной или отрицательной связки — «есть»
или «не есть», соединяющей или разъединяющей субъект и
предикат суждения; 4) слов «все», «некоторые», «ни один»,
стоящих, как правило, перед субъектом суждения и
указывающих на то, какая часть объема субъекта принадлежит
или не принадлежит объему предиката.
Субъект и предикат суждения называются его терминами
и являются ни чем иным, как логическим подлежащим и
сказуемым соответственно. Их нельзя путать, конечно, с
грамматическими подлежащим и сказуемым. В суждении
«Люди же, воздающие равным за равное, не оскорбляют, а
мстят» (Аристотель) субъектом является понятие «люди,
воздающие равным за равное», а его предикатом — понятие
«люди, не оскорбляющие, а мстящие». Грамматическим же
подлежащим является слово «люди», а сказуемым —
словосочетание «не оскорбляют, а мстят».
Связка «есть» или «не есть» выражает качественный
аспект суждения — его утвердительную или отрицательную
форму соответственно.
Слова «все», «некоторые», «ни один» характеризуют
количественный аспект суждения — соотношение объемов
субъекта и предиката. Суждение считается общим, если оно
начинается со слов «все» или «ни один». Суждение является
частным, если оно начинается со слова «некоторые». В общих
суждениях по крайней мере субъект рассматривается во всем
объеме. В частных суждениях, как будет показано, объем
субъекта может определиться и полностью, и частично.
Пусть А обозначает субъект суждения, В — его предикат.
Комбинация качественных и количественных возможностей
дает следующую классификацию простых суждений (рис. 1).
Примером общеутвердительного суждения «Все А есть В»
является высказывание «Все люди хотят быть счастливыми».
Высказывание «Я люблю читать детективы» также следует
считать общеутвердительным, так как его субъект
рассматривается во всем объеме. Все так называемые единичные
суждения, субъект которых грамматически выражается
единственным числом, с логической точки зрения являются
общеутвердительными.
Примером общеотрицательного суждения «Ни одно А не
есть В» является высказывание «Ни один человек не хочет
быть несчастным».
70

Простые суждения
Утвердительные
(А есть В)
Отрицательные
(А не есть В)
Общие
(Все А есть В)
Частные
(Некоторые А
есть В)
Общие
(Ни одно
не есть В)
Частные
(Некоторые А
не есть В)
Рис. 1
Примером частноутвердительного суждения «Некоторые
А есть В» является высказывание «Некоторые люди
презирают опасности».
Примером частноотрицательного суждения «Некоторые А
не есть В» является высказывание «Некоторые люди не
боятся совершать смелые поступки».
Каждое суждение может быть представлено в виде
соотношения объемов его терминов. За исключением
выделительных суждений (с частицей «только» перед субъектом), все
остальные не имеют однозначного представления.
Общеутвердительное суждение «Все А есть В» может быть
представлено двумя способами (рис. 2).
Все А есть В
Рис. 2
Согласно первому способу (левая диаграмма рис. 2),
объемы субъекта и предиката полностью совпадают. Это
имеет место в двух случаях. Во-первых, когда суждение «Все
Л есть В» представляет корректное определение субъекта А.
Например, согласно Аристотелю, изобретательность «состоит
в способности делать то, что направлено к предложенной
цели, и достигать ее» *. Поскольку это корректное
определение, объемы субъекта «способность, называемая
изобретательностью» и предиката «способность делать то, что
направлено к предложенной цели, и достигать ее» полностью
Аристотель. Сочинения в 4-х томах. М., 1983. Т. 4. С. 189.
71

совпадают. Во-вторых, объемы субъекта и предиката могут
совпадать полностью, если предикат общеутвердительного
суждения относится только к его субъекту. В этом случае
подразумевается или присутствует явно частица «только»
или ее грамматические эквиваленты. Например, если мы
хотим приписать предикат «быть способным отличать добро
от зла» человеку и только ему, то должны выразить эту
мысль следующим образом: «Только человек способен
отличать добро от зла». Структура подобных суждений такова:
«Только (все) А есть В». Отметим, что частица «только»
всегда делает тот термин, к которому она относится,
необходимым условием другого термина. Для
общеутвердительных суждений это означает совпадение объемов субъекта и
предиката, если эта частица относится к субъекту суждения.
Ибо в этом случае субъект и предикат становятся равно
необходимыми условиями истинности друг друга. Если же
частица «только» относится к предикату, то это равносильно
обычному общеутвердительному суждению, так как в таких
суждениях предикат по определению является необходимым
условием истинности субъекта. Иными словами, суждение
«Все А есть только В» равносильно суждению «Все А есть В».
Согласно второму способу представления (правая
диаграмма рис. 2), объем субъекта полностью включен в объем
предиката, но не равен ему. Этот вариант представления
следует предпочитать в тех случаях, когда нет специального
доказательства равнообъемности субъекта и предиката или
когда очевидно, что объем субъекта составляет лишь часть
объема предиката. Возьмем суждение «Дети любят
мороженое». Оно не является определением, в нем не утверждается,
что только дети любят мороженое. Следовательно, объем
предиката «люди, любящие мороженое» включает объем
субъекта «люди, являющиеся детьми», но не равен ему. Это
означает, что, кроме детей, существуют люди других
возрастных категорий, также любящие мороженое.
В общеотрицательных суждениях термины несовместимы
друг с другом. Поэтому их объемы не пересекаются. Однако
общеотрицательные суждения можно различать по
характеру несовместимости. Так, когда мы говорим, что «Ни одно А
не есть В», то это может означать или то, что А и В —
противоречащие понятия, как в суждении «Ни один добрый
человек не является недобрым», или то, что А и В —
противоположные понятия, как в суждении «Ни один добрый
человек не является злым», или то, что А и В — соподчи-
72

ненные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек
не является равнодушным». Все эти случаи отражены на
рис. 3.
Ни одно А не есть В
А
В
А
В
А
В
А и В — противо- А и В — противо- А и В — соподчи-
речашие понятия положные понятия ненные понятия
Рис.3
Слово «некоторые» в утвердительных суждениях может
пониматься либо как «некоторые или все», либо как «неко-
Некоторые (или все) А есть В
А, В
Рис. 4
Некоторые (но не все) А есть В
А
В
В
А
А
В
А
В
А
В
Рис.5
Только некоторые А есть В
А
В
Рис. 6
73

торые, но не все», либо как «только некоторые». Все три
варианта отражены на рис. 4, 5, 6 соответственно.
Мысля «некоторые» как «некоторые или все», мы
подразумеваем равную допустимость всех четырех случаев,
указанных на рис. 4. Интерпретируя «некоторые» как
«некоторые, но не все», мы мыслим равную допустимость только
двух случаев, указанных на рис. 5. Только третий вариант
интерпретации слова «некоторые» в утвердительных
суждениях имеет однозначное представление. Суждение
«Некоторые из вас могут решить эту задачу» может пониматься или
как «некоторые или все», если задачи подобного типа уже
решались и техника их решения усвоена, или как
«некоторые, но не все», если задачи подобного типа еще не решались
и техника их решения не известна, или как «только
некоторые», если все, способные решить эту задачу, находятся
среди тех, кому предстоит ее решать.
В отрицательных суждениях слово «некоторые» также
может пониматься тройственным образом: либо как
«некоторые или ни один», либо как «некоторые, но не ни один»,
либо как «только некоторые». Эти варианты приведены на
рис. 7, 8, 9 соответственно.
Некоторые (или не одно) А не есть В
Ни одно А не есть В
А
в
А
В
А
В
А
В
А
В
Рис. 7
Из рис. 7—9 следует, что только третий вариант
интерпретации слова «некоторые» в отрицательных суждениях
имеет однозначное представление. Выбор среди этих
вариантов диктуется контекстом или специальным анализом, как
и для утвердительных суждений. Суждение «Некоторым из
вас не решить эту задачу» может пониматься либо как
«некоторые или ни один», если задача новая и трудная, либо
как «некоторые, но не ни один», если задача простая или
известная, либо как «только некоторые», если все, кто не
способен решить эту задачу, находятся среди тех, кому она
адресуется.
74

Некоторые (но не ни одно) Л есть В
А
В
Л
-J3
Рис.8
Только некоторые Л не есть В
А
-в
Рис.9
С целью придания выражаемой мысли необходимой
точности, очень часто в устной и письменной речи используются
обороты «Все, за исключением...», «Некоторые, кроме...»,
«Никто (ничто), кроме...» и их всевозможные
грамматические эквиваленты. Встает вопрос: можно ли подобные
исключающие мысли выразить в терминах простых суждений?
Несложный анализ показывает, что это возможно. Для этого
достаточно, сохранив качественный и количественный
параметры суждения, заменить субъект суждения на
противоречащее ему понятие, а предикат оставить без изменений.
Ниже приведены образцы переводов исключающих
суждений на язык простых суждений (над чертой — исключающее
суждение, под чертой — результат перевода).
Все, за исключением А, есть В.
Все -А есть В.
Все целые числа, за
исключением нечетных, делятся на 2 без
остатка.
Все четные числа делятся на 2
без остатка.
Ни один, кроме А, не есть В.
Ни один -А не есть В.
75

Никто, кроме вас, не способен
сделать это,
Ни один человек, не
являющийся вами, не способен сделать это.
Некоторые, помимо А, есть В.
Некоторые —А есть В.
Некоторые яблоки, помимо
привезенных на прошлой неделе,
свежие и вкусные.
Некоторые яблоки, привезенные
не на прошлой неделе, свежие и
вкусные.
Некоторые, кроме А, не есть В.
Некоторые —А не есть В.
Некоторые книги, кроме
детективов, не являются легкими для
чтения.
Некоторые книги, не
являющиеся детективами, не легки для
чтения.
3. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ
Как и понятия, суждения не совпадают со своим
языковым выражением и требуют поэтому специального анализа
для своей формулировки. Чтобы сформулировать понятие,
его необходимо сконструировать. Чтобы сформулировать
суждение, его надо, по выражению Л. Кэррола, привести к
нормальной форме, т. е. указать в явном виде все его
основные характеристики. Привести суждение к нормальной
форме означает:
1. Установить, какое понятие является субъектом
суждения.
2. Установить, какое понятие является предикатом
суждения.
3. Определить универсум суждения — класс вещей,
разновидностями которого являются субъект и предикат.
76

4. Заменить глагол, управляемый субъектом суждения,
там, где это необходимо, сочетанием слов, начинающихся со
слов «есть» или «не есть».
5. Определить знак количества суждений, т. е.
установить, с какого из слов «все», «ни один», «некоторые» должно
начинаться суждение.
6. Расположить полученные сведения в порядке, в
котором формулируются все простые суждения: знак
количества — субъект — связка — предикат.
Рассмотрим несколько примеров приведения суждений к
нормальной форме.
1) Повинную голову и меч не сечет.
1. Субъект — «раскаявшийся».
2. Предикат — «подлежащий наказанию».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни один раскаявшийся человек не есть человек,
подлежащий наказанию.
2) «Только там, ще в составе населения средние (слои. —
В. С.) имеют перевес либо над обеими крайностями, либо
над одной из них, государственный строй может
рассчитывать на устойчивость» *.
1. Субъект — «государственный строй, при котором
средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями,
либо над одной из них».
2. Предикат — «государственный строй, могущий
рассчитывать на устойчивость».
3. Универсум — «государственный строй».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни один государственный строй, при котором средние
слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо
над одной из них, не есть государственный строй, могущий
рассчитывать на устойчивость.
3) Есть люди, которые любят только себя.
1. Субъект — «люди».
2. Предикат — «любящие только себя».
Аристотель. Сочинения в 4-х томах. М., 1983. Т. 4. С. 511.
77

3. Универсум — «живые существа».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «некоторые».
6. Некоторые живые существа, являющиеся людьми, есть
живые существа, любящие только себя.
4) 5 больше 4, но меньше 6.
1. Субъект — «равные 5».
2. Предикат — «больше 4, но меньше 6».
3. Универсум — «натуральные числа».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все натуральные числа, равные 5, есть числа, которые
больше 4, но меньше 6.
5) Люблю грозу в начале мая.
1. Субъект — «называющие себя "я"».
2. Предикат — «любящие грозу в начале мая».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все люди, называющие себя «я», есть люди, любящие
грозу в начале мая.
6) Лишь несколько дней стояла этой осенью теплая и
солнечная погода.
1. Субъект — «дни этой осени».
2. Предикат' — «теплые и солнечные дни».
3. Универсум — «дни».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «некоторые».
6. Только некоторые дни этой осени есть дни, которые
были теплыми и солнечными.
7) Не всегда можно положиться на этого человека.
1. Субъект — «этот человек».
2. Предикат — «человек, на которого не всегда можно
положиться».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Бее люди, называемые «этот человек», есть люди, на
которых ке всегда можно положиться.
8) Никогда не говори «никоща».
78

1. Субъект — «житейская ситуация».
2. Предикат — «ситуация, в которой следует говорить
"никогда"».
3. Универсум — «ситуации».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни одна житейская ситуация не есть ситуация, в
которой следует говорить «никогда».
9) «Лишь самые умные и самые глупые не могут изке-
ниться» (Конфуций) .
1. Субъект — «самые умные и самые глупые».
2. Предикат — «которые не могут измениться».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Только (все) самые умные и самые глупые есть люди,
которые не могут измениться.
10) Если ночью ударит мороз, то пруд в нашем саду
покроется льдом.
1. Субъект — «ночи, когда случается мороз».
2. Предикат — «ночи, когда пруд в нашем саду
покрывается льдом».
3. Универсум — «ночи».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все ночи, когда случается мороз, есть ночи, когда пруд
в нашем саду покрывается льдом.
11) Или вы соглашаетесь с моим предложением, или бы
теряете все, чем владеете.
1. Субъект — «люди, называемые "вы"».
2. Предикат — «люди, или соглашающиеся с моим
предложением-, или теряющие все, чем владеют».
3* яиверсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все люди, называемые «вы», есть люди, или
соглашающиеся с моим предложением, или теряющие все, чем они
владеют.
1 Древнекитайская философия. М., 1972. Т. 1. С. 171.
79

12) Все люди, кроме праведников, относятся к категории
временно живущих.
1. Субъект — «праведники».
2. Предикат — «относящиеся к категории временно
живущих».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все люди, не являющиеся праведниками, есть люди,
относящиеся к категории временно живущих.
13) Неверно, что никто не любит никого.
1. Субъект — «человек».
2. Предикат — «не любящий никого».
3. Универсум — «живые существа».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Неверно, что ни один человек не есть живое существо,
не любящее никого.
14) Как хороши, как свежи были розы.
1. Субъект — «розы».
2. Предикат — «были хороши и свежи».
3. Универсум — «цветы».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все цветы, являющиеся розами, есть цветы, которые
были хороши и свежи.
15) Вам, и только вам, я могу довериться.
1. Субъект — «человек, не являющийся вами».
2. Предикат — «человек, которому я могу довериться».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни один человек, не являющийся вами, не есть человек,
которому я могу довериться.
Рассмотренные примеры показывают, что к нормальной
форме приводимы не только простые, но и сложные суждения
(примеры 2, 4, 6, 9, 10, 11, 13, 14), имеющие несколько
субъектов или предикатов. Умение приводить к нормальной
форме необходимо не только для прояснения логической
структуры суждений, но также для их правильных логиче-
80

ских преобразований и, в конечном счете, для построения
правильных умозаключений.
4. ЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУЖДЕНИЙ
Каждое суждение выражает некоторое отношение и тем
самым некоторый вид упорядоченности, различия,
асимметрии мыслимых вещей. Для суждения равенства данное
утверждение также справедливо, так как любое равенство
определяется в терминах соответствующих неравенств.
Сказать, что Л и В — люди одинакового ума, равносильно
сказать, что Л умнее (глупее) В и В умнее (глупее) А
одновременно.
Асимметричная природа простых суждений заставляет
различать два вида отрицания: 1) отрицание как построение
дополнения и 2) отрицание как снятие различия, т. е.
построение симметричного исходному суждения. Отрицание
суждения «Л умнее В» в первом смысле дает нам суждение
«Неверно, что Л умнее В», что равносильно суждению «Л не
умнее В». Суждения, находящиеся в отношении дополнения,
образуют, как известно, противоречие и, следовательно, не
могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Отрицание
суждения «Л умнее В» во втором смысле дает нам суждение «Я
умнее Л». Из обоих суждений следует с необходимостью
истинность суждения равенства «Л и В умны в одинаковой
степени». Таким образом, суждения, отрицающие друг друга
в первом смысле, вместе образуют противоречие, тогда как
суждения, отрицающие друг друга во втором смысле и
одновременно истинные, образуют суждение равенства. В
этом состоит фундаментальное различие между обоими
видами отрицания.
Различие и взаимосвязь обоих видов отрицания суждений
определяют особенности логических преобразований
последних. Логические преобразования суждения позволяют понять
его как целостную мысль, порождаемую определенным
множеством обратимых трансформаций его частей — субъекта
и предиката. Основу логических преобразований суждений
составляет умение находить дополнение субъекта или
предиката и фиксировать прямое и обратное различие между
субъектом и предикатом.
Чтобы определить, какие преобразования необходимы и,
вместе с тем, достаточны для понимания суждения как
81

целостной мысли, рассмотрим возможные отношения между
субъектом и предикатом (рис. 10).
в -в
Рис. 10
Отношения A) и B), с одной стороны, C) и D), с другой,
различаются лишь обратным направлением
упорядоченности. Такие отношения принято называть обратными. Если
прямое и обратное отношения, выражаемые некоторым
общеутвердительным суждением, совпадают, тогда субъект и
предикат эквивалентны друг другу, т. е. мы имеем дело с
суждением равенства. Логическое преобразование,
позволяющее по данному отношению находить ему обратное,
принято называть обращением.
Отношения A) и C) различаются между собой тем, что
связывают один и тот же субъект с противоречащими
предикатами. Если субъект находится в некотором отношении к
предикату (дополнению предиката), тогда он всегда
находится в определенном отношении к дополнению этого предиката
(предикату). Логическое преобразование, позволяющее по
данному отношению субъекта к предикату (дополнению
предиката) находить отношение этого же субъекта к
дополнению предиката (предикату), принято называть
превращением.
Отношения A) и D) различаются между собой не только
обратным направлением упорядоченности, но и тем, что
связывают субъект с противоречащими предикатами.
Следовательно, данный случай синтезирует два предыдущих. Мы
будем говорить, что отношения A) и D) образуют
противопоставление, или контрапозицию. Логическое
преобразование, позволяющее по данному отношению находить ему
противостоящее, принято называть противопоставлением
(контрапозицией). Чтобы получить противопоставление,
достаточно, как следует из рис. 10, выполнить превращение и
обращение в указанном порядке.
Самый важный результат состоит в том, что указанных
трех преобразований, за некоторым исключением,
достаточно для конструирования из данного суждения, выражающего
82

некоторое отношение между субъектом и предикатом,
суждений, выражающих все остальные отношения между его
терминами. Учитывая производный характер
противопоставления, необходимый преобразованиям являются только
превращение и обращение. Это полностью соответствует двум
видам отрицания простых суждений. Таким образом,
понимать простое суждение как некоторую целостность, как
инвариант своих частей означает уметь подвергать его
указанным трем преобразованиям. Рассмотрим их
последовательно.
ПРЕВРАЩЕНИЕ
Всякое отношение субъекта суждения к предикату
уравновешивается его определенным отношением к дополнению
этого же предиката. Если я знаю, что интересующая меня
книга лежит на моем письменном столе, то я должен также
знать, что этой книги нет во всех местах, которые не
являются моим письменным столом. Обратно, если я знаю,
что нужная книга находится в комнате, но ее нет во всех
местах, которые не являются моим письменным столом, то
я должен знать, что она находится на моем письменном
столе. Иными словами, если некоторый предикат
принадлежит субъекту, то должно быть истинно, что дополнение этого
предиката не принадлежит данному субъекту. Превращение
представляет преобразование, позволяющее по известному
отношению субъекта к предикату определять отношение
субъекта к дополнению этого предиката. Для совершения
превращения необходимо и достаточно заменить на
противоречащие связку и предикат данного суждения, оставив его
количественную характеристику без изменений.
Все общеутвердительные суждения превращаются в
общеотрицательные, и наоборот (горизонтальная черта отделяет
суждения, находящиеся в отношении превращения).
Все А есть 2?.
Ни одно А не есть -В.
Каждому из нас свойственно лю-
бить кого-нибудь.
Ни одному из нас не свойственно
не любить кого-нибудь.
Все А есть —В.
Ни одно А не есть В.
83

Каждому из нас свойственно не
любить кого-нибудь.
Каждому из нас не свойственно
любить кого-нибудь.
Все -А есть В.
Ни одно —А не есть —В.
Все неудачники любят ссылаться
на обстоятельства.
Ни один неудачник не любит не
ссылаться на обстоятельства.
Все -А есть -В.
Ни одно —А не есть В.
Все неудачники любят обвинять
не себя.
Ни один неудачник не любит
обвинять себя.
Для общеутвердительных суждений с частицей «только»
приведем один пример:
Только А есть В.
Только А не есть -В.
Только горы могут быть лучше
гор.
Только горы не могут не быть
лучше гор.
Все частноутвердительные суждения превращаются в ча-
стноотрицательные суждения, и наоборот.
Некоторые А есть В.
Некоторые А не есть -В.
Некоторым из нас свойственно
ошибаться.
Некоторым из нас не
свойственно не ошибаться.
Некоторые А есть -В.
Некоторые А не есть В.
84

Некоторым из нас свойственно
не ошибаться.
Некоторым из нас не
свойственно ошибаться.
Некоторые -А есть В.
Некоторые -А не есть -Я.
Некоторые неправильные реше-
ния нам дорого стоят.
Некоторые неправильные
решения не являются для нас
дешевыми.
Некоторые -А есть -В.
Некоторые -А не есть В.
Некоторые неправильные реше-
ния непростительны.
Некоторые неправильные
решения нельзя простить.
Для частных суждений с частицей «только» приведем
один пример:
Только некоторые А есть В.
Только некоторые А не есть —Б.
Только некоторым улыбается
счастье.
Только некоторые не являются
людьми, кому не улыбается
счастье.
Из приведенных примеров следует, что превращение
представляет симметричное преобразование. Причина
подобной симметрии в том, что замена связки на
противоречащую ей равносильно замене предиката на противоречащий
ему. Следовательно, если осуществить обе замены, то мы
снова получим исходные суждения по принципу «отрицание
отрицания дает утверждение». Превращение позволяет
любое утвердительное суждение выразить в отрицательной
форме, и наоборот. Знание данного преобразования
усиливает выразительные возможности нашего языка и стирает
жесткое различие между утверждением и отрицанием.
85

ОБРАЩЕНИЕ
Каждое отношение имеет не всегда совпадающее с ним и
не всегда следующее из него с необходимостью обратное
отношение. Из того, что 3 больше 2, следует, что 2 меньше 3.
Но из того факта, что я люблю кого-то, не следует с
необходимостью, что этот кто-то также любит меня. В
первом примере прямое и обратное отношения не совпадают,
но обуславливают друг друга. Во втором примере прямое
отношение никак не определяет существования обратного
отношения. Анализ логического содержания не может
считаться поэтому полным, если не известно прямое и обратное
отношение субъекта к предикату. Обращение представляет
преобразование, позволяющее по известному отношению
субъекта к предикату находить ему обратное. Для этого
необходимо и достаточно поменять субъект и предикат
местами и там, ще это необходимо, изменить знак количества
суждения.
Обращение общеутвердительных суждений распадается
на два случая. Если объемы субъекта и предиката совпадают
полностью, то обратное отношение предиката к субъекту
совпадает с исходным отношением субъекта к предикату.
Если же объем предиката больше объема субъекта, то
обратное отношение предиката к субъекту формируется в виде
частноутвердительного суждения.
1. Объемы субъекта и предиката совпадают.
Только А есть В.
Только В есть А.
Только приятное быстро
кончаете^
Только то, что быстро
кончается, приятно.
Только А есть -Б.
Только —В есть А.
Лишь человек не может
примириться с тем, что у кого-то есть
преимущества перед ним.
Лишь не могущие примириться
с тем, что у кого-то есть
преимущества перед ним, есть люди.
86

Только -А есть В.
Только В есть -А
Только будучи немолодым,
начинаешь понимать, сколько упу-
щено возможностей,
Только те, кто начинает
понимать, сколько упущено
возможностей, уже немолодые.
Только -А есть -В.
Только -В есть -А.
Только не умеющие любить не-
способны на великодушие,
Только те, кто не способен на
великодушие, не умеет любить.
2. Объем предиката включает объем субъекта, но не равен
ему.
Все А есть В.
Некоторые В есть А.
Все осенние дни в этом году
пасмурные.
Некоторые пасмурные дни в
этом году — осенние.
Все А есть —В.
Некоторые — В есть А.
Умные люди не выставляют пе-
ред другим свои преимущества.
Некоторые из тех, кто не
выставляет перед другими свои
преимущества, умные люди.
Все —А есть В.
Некоторые В есть -А.
Все нечестные люди трусливы.
Некоторые из трусливых
людей — нечестные.
Все —А есть — В.
Некоторые — В есть —А.
87

Для не знающего, куда плыть,
нет попутного ветра.
Некоторые, не имеющие
попутного ветра, не знают, куда
плыть.
Обращение общеотрицательных суждений является
симметричным преобразованием.
Ни одно А не есть В.
Ни одно В не есть А.
Ни одно доброе дело не забыва-
ется.
Ни одно забываемое дело не
является добрым.
Ни одно А не есть —В.
Ни одно —В не есть А.
Ни одна печаль не беспричинна.
Ни одно беспричинное состояние
не является печалью.
Ни одно —А не есть В.
Ни одно В не есть —А
Ни один непотерянный даром
день не напрасен.
Ни один пустой день не является
непотерянным.
Ни одно —А не есть —В.
Ни одно —В не есть —А.
Ни одна неприятность не
беспроблемна
Ни одна беспроблемная
ситуация не является неприятной.
Обращение частноутвердительных суждений разделяется
на три случая в соответствии с интерпретацией слова
«некоторые»: 1) некоторые или все; 2) некоторые, но не все;
3) только некоторые. В первом случае обратное отношение
88

совпадает с исходным, во втором и третьем нет. Приведем
по одному примеру для каждого из трех случаев.
Некоторые (или все) А есть В.
Некоторые (или все) В есть А.
Некоторые молодые люди любят
шутить.
Некоторые любящие шутить —
молодые.
Некоторые (но не все) А есть В.
Некоторые (или все) В есть А.
Некоторые молодые люди любят
классическую музыку.
Некоторые любящие
классическую музыку — молодые люди.
Только некоторые А есть В.
Все А есть В.
Только несколько мгновений
длится наше счастье.
Наше счастье — мгновение.
Частноотрицательные суждения, как правило, не
обращаются. Причина в том, что простая перестановка местами
субъекта и предиката искажает смысл исходного суждения.
Например, ложно следующее обращение:
Некоторые люди не являются
мошенниками.
Некоторые мошенники не есть
люди.
Преодолеть данное затруднение можно, если частноотри-
цательное суждение сначала превратить в частноутверди-
тельное, перенося отрицание со связки на предикат, и только
затем совершить обращение. Например:
1. Некоторые люди не являются мошенниками
(допущение).
2. Некоторые люди есть немошенники A, превращение).
3. Некоторые немошенники есть люди. B, обращение).
89

Как мы увидим ниже, такое обращение частноотрица-
тельных суждений совпадает фактически с их
противопоставлением.
Обращение выделительных частоотрицательных
суждений также допустимо согласно указанному способу.
Например:
Только некоторые люди не явля-
ются мошенниками.
Все немошенники есть люди.
Рассмотренные примеры убеждают, что полное
понимание смысла простого суждения требует его обязательного
обращения. Причина этого в природе большинства простых
суждений, требующих как прямого, так и обратного
«прочтения» их содержания.
Отношение субъекта к предикату уравновешивается,
таким образом, не только определенным отношением субъекта
к дополнению предиката, но также обратным отношением
предиката к субъекту. Существует логическое
преобразование, объединяющее превращение и обращение и
синтезирующее тем самым все указанные отношения субъекта и
предиката. Оно называется противопоставлением или контр-
апозицией.
ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ (КОНТРАПОЗИЦИЯ)
Каждое отношение субъекта к предикату порождает
определенное отношение дополнения предиката к субъекту.
Если в данный момент я нахожусь в библиотеке и читаю
«Книгу перемен», то все люди, находящиеся в этой
библиотеке, но не читающие данную книгу, не являются мною. Из
рис. 10 следует, что для того, чтобы получить
противопоставление, необходимо сначала совершить превращение и только
затем обращение. К этой последовательности мы добавим
еще одно превращение, чтобы получить суждение,
противостоящее исходному, но совпадающее с ним своим качеством.
Полная формула получения противопоставления такова:
Превращение + обращение + превращение =
противопоставление.
Порядок, в котором должны совершаться преобразования
слева от знака равенства, являются существенными. Все
другие комбинации не дают противопоставления. Сравним в
этой связи две последовательности преобразований:
90

1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2. Ни один храбрый человек не есть человек, не
пользующийся уважением A, превращение).
3. Ни один человек, не пользующийся уважением, не
является храбрым B, обращение).
4. Все не пользующиеся уважением — нехрабрые люди
C, превращение).
В приведенной последовательности первый и четвертый
члены (суждения) находятся в отношении
противопоставления. Но этого нельзя сказать о следующей
последовательности преобразований:
1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые
люди A, обращение).
3. Некоторые из пользующихся уважением не являются
нехрабрыми людьми B, превращение).
4. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые
люди C, превращение).
Причина отсутствия противопоставления во второй
последовательности является некоммутативность в общем случае
превращения и обращения,1 т. е. их чувствительность к
порядку выполнения.
Рассмотрим примеры противопоставления для разных
видов суждений.
1. Общеутвердительные суждения
Для общеутвердительных суждений, у которых объем
предиката больше объема субъекта, имеем следующие
примеры.
Все А есть В.
Все —В есть —А
Все кошки грациозны.
Все не грациозные животные —
не кошки.
Все А есть —В.
Все В есть —А
Настоящие друзья не разлуча-
ются.
Все, кто разлучаются, не
настоящие друзья.
91

Все —А есть В.
Все -В есть А.
Все неудачники любят обвинять
не себя.
Все не любящие обвинять себя
— удачливые люди.
Все —А есть —В.
Все В есть А.
Несладкие булочки всегда
невкусные^
Вкусные булочки всегда
сладкие.
Для общеутвердительных суждений, у которых субъект и
предикат эквивалентны, противопоставляется не только
субъект отрицанию предиката, но и предикат отрицанию
субъекта.
Только А есть В.
Все -В есть -А
Все -А есть -В.
Только лягушки квакают.
Все, кто не квакает, не лягушки.
Все нелягушки не квакают.
Только А есть —В.
Все В есть —А
Все — А есть В.
Только влюбленные не замеча-
ют часов.
Все замечающие часы — не
влюбленные.
Все невлюбленные замечают
часы.
Только —А есть В.
Все -В есть А
Все А есть -В.
92

Только неблагодарность достой-
на презрения.
Все, что недостойно презрения,
является благодарностью.
Благодарность недостойна
презрения.
Только —А есть —В.
Все В есть А.
Все А есть В.
Только нехотящие суть
незнающие^
Все знающие есть хотящие.
Все хотящие есть знающие.
Противопоставление общеутвердительных суждений
выявляет следующую закономерность. Если истинно, что
субъект обладает некоторым признаком, обозначаемым
предикатом, тогда должно быть истинно, что противоречащий ему
признак присущ только дополнению субъекта.
2. Частноутвердительные суждения
Частноутвердительные суждения противопоставлению,
как правило, не подвергаются. Это вызвано трудностями
обращения частоотрицательных суждений и, как следствие,
трудностями получения дополнения предиката исходного
суждения в качестве субъекта противопоставляемого
суждения. Например, из суждения «Некоторые Л есть В» мы можем
получить только суждение «Некоторые В не есть -Л», что
конечно, не соответствует цели данного преобразования.
Сказанное истинно и для выделительных частноутверди-
тельных суждений.
3. Общеотрицательные суждения
Противопоставление отрицательных суждений
совершается по схеме:
1. Ни одно А не есть В (допущение).
2. Все А есть —В A, превращение).
3. Некоторые -В есть А B, обращение).
4. Некоторые -В не есть -А C, превращение).
Противопоставление, совершаемое по данной схеме,
называется противопоставлением с ограничением, так как в
этом преобразовании посылка (допущение) общая, а заклю-
93

чение частное. Рассмотрим несколько примеров
противопоставления с ограничением.
Ни один рак не есть щука.
Некоторые нещуки не есть
нераки.
Ни одно доброе дело не забыва-
ется.
Некоторые незабываемые дела
не являются недобрыми.
Ни одно излишество не полезно.
Некоторые неполезные страсти
не являются умеренными.
Ни одно нужное дело не стоит
откладывать.
Некоторые дела, которые не
стоит откладывать, не являются
ненужными.
4. Частноотрицательные суждения
Противопоставление частноотрицательных суждений
совершается по схеме:
1. Некоторые А не есть В (допущение).
2. Некоторые А есть —Б A, превращение).
3. Некоторые -В есть А B, обращение).
4. Некоторые -В не есть -А C, превращение).
Рассмотрим несколько примеров.
Некоторые А не есть /?.
Некоторые -В не есть -А.
Некоторые удовольствия не
необходим^
Некоторые необходимые
действия не являются
неудовольствием.
Некоторые А не есть —В.
Некоторые В не есть —А.
94

Некоторые наши шаги не явля-
ются непреждевременными.
Некоторые преждевременные
действия не являются нашими
шагами.
Некоторые —А не есть В.
Некоторые -В не есть В.
Некоторая небрежность в одеж-
де не случайна.
Некоторые неслучайности не
являются порядком в одежде.
Некоторые —А не есть —Б.
Некоторые В не есть —Б.
Некоторые лгуны не являются
счастливыми.
Некоторые несчастливые не
являются правдивыми.
Противопоставление выделительных частноотрицатель-
ных суждений совершается по схеме:
Только некоторые А не есть В.
Ни одно —В не есть —А.
Например:
Только некоторые птицы не под-
ражают человеческому голосу.
Ни одно летающее существо, не
подражающее человеческому
голосу, не есть нептица.
В качестве заключения попробуем конкретизировать
высказанный ранее тезис о необходимости рассмотренных
преобразований для понимания суждения как целостной мысли.
Асимметричная природа простых суждений является той
причиной, которая вынуждает нас искать для данного
отношения субъекта к предикату целый ряд уравновешивающих
его и тем самым создающих целостную картину отношений.
Как нельзя понимать полностью сложение без вычитания
или наоборот, так нельзя понимать суждение без превраще-
95

ния, обращения и противопоставления его терминов. Смысл
данных преобразований и состоит в том, чтобы посредством
перегруппировки частей суждения составить мнение о его
содержании в целом. Следует, однако, указать на
формальную недостаточность этих преобразований в достижении
указанной цели. Как уже отмечалось, превращение и
обращение не коммутативные преобразования.
Противопоставление суждений также не является однозначным
преобразованием, так как определяется в терминах превращения и
обращения. Эти и другие ограничения свидетельствуют, что
изученные преобразования еще не составляют группу
симметричных преобразований содержания суждения и поэтому
допускают его частичную утрату или искажение. Требуется,
по-видимому, более полная теория простых суждений.
5. СОВМЕСТИМЫЕ И НЕСОВМЕСТИМЫЕ СУЖДЕНИЯ.
ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
Суждения, как и понятия, могут быть совместимыми и
несовместимыми. Необходимым условием выяснения
совместимости/несовместимости данных суждений является
одинаковость их терминов. Иными словами, сравниваемые
суждения могут отличаться друг от друга качественно и
количественно, но они не могут состоять из разных терминов*
Напомним: совместимость может быть как по истинности,
так и по ложности; тоже и для несовместимости. Суждения
полностью совместимы, если они могут быть вместе как
истинны, так и ложны. Суждения частично совместимы, если
они могут быть вместе только истинны. Суждения полностью
несовместимы, если они не могут быть вместе истинны или
ложны. Суждения частично несовместимы, если они не могут
быть вместе только истинны. Имеется несколько случаев
совместимости и несовместимости суждений. Рассмотрим их
последовательно.
Любые два суждения совместимы полностью, если они
эквивалентны, т. е. каждое из них является необходимым
следствием другого (каждое из них подчиняется другому).
Эквивалентные суждения вместе либо истинны, либо ложны.
С помощью ранее рассмотренных логических
преобразований из данных суждений можно получить эквивалентные,
если они совершаются без ограничений (по количеству).
96

Любые два суждения совместимы полностью, если только
одно из них является необходимым следствием другого
(только одно подчиняется другому). Все частные суждения
являются следствием подчиняющих их суждений. Обратное
следование, конечно, неверно. Из истинности общего суждения
«Все дни на прошлой неделе были пасмурными» следует
истинность суждения «Некоторые дни на прошлой неделе
были пасмурными», но обратное утверждение не является
необходимо истинным. Аналогично из истинности общего
суждения «Ни один ящик моего стола не закрывается»
следует истинность суждения «Некоторые ящики моего стола
не закрываются». Но если из истинности частных суждений
не следует истинность общих суждений, то из ложности
частных суждений всегда следует ложность подчиняющих их
общих суждений. Соответственно из ложности общих
суждений не следует с необходимостью ложность подчиненных
им частных суждений. Если ложно «Некоторые ящики моего
стола закрываются», то также ложно «Все ящики моего стола
закрываются». Из ложности «Ни на одном из стульев в этой
комнате нельзя сидеть» не следует ложность «На некоторых
из стульев в этой комнате нельзя сидеть».
Любые два суждения совместимы частично, если они не
следуют друг из друга, но могут быть вместе истинны.
Данный вид совместимости характерен для частных
суждений, отличающихся друг от друга лишь качеством. Суждения
«Некоторые нацитки утоляют жажду» и «Некоторые напитки
не утоляют жажду» не следуют друг из друга, но могут быть
вместе истинны. Однако частично совместимые суждения не
могут быть вместе ложными, потому что противоречащие им
общие суждения не могут быть вместе истинными.
Несовместимость простых суждений делится на два вида.
Любые два суждения несовместимы полностью, если и только
если они не могут быть вместе ни истинны, ни ложны, т. е.
образуют противоречие. Противоречащим данному
суждению будет это же суждение, предваряемое словами
«Неверно, что...». Эти слова порождают внешнее отрицание
суждения, которое всегда может быть внесено во внутрь
отрицаемого суждения по следующей схеме (с произвольным
распределением знаков отрицания субъекта и предиката):
«Неверно, что все А есть В» равносильно «Некоторые А
не есть В».
«Неверно, что некоторые А есть В» равносильно «Ни одно
А не есть В».
4 Зак. 210 97

«Неверно, что некоторые А не есть В» равносильно «Все
А есть В».
«Неверно,что ни одно А не есть В» равносильно
«Некоторые А есть 2?».
«Неверно, что только А есть В» равносильно «Только
некоторые А не есть В».
«Неверно, что только некоторые А есть В» равносильно
«Только А не есть В».
«Неверно, что только некоторые А не есть В» равносильно
«Только А есть В».
«Неверно, что только А не есть В» равносильно «Только
некоторые А есть В».
«Неверно, что все, кроме Ау есть В» равносильно
«Некоторые, кроме А, не есть В».
«Неверно, что некоторые, кроме А, есть В» равносильно
«Ни один, кроме А, не есть В».
«Неверно, что некоторые, кроме А, не есть В»
равносильно «Все, кроме А, есть Въ.
«Неверно, что ни один, кроме А, не есть В» равносильно
«Некоторые, кроме А> есть В».
Напомним, что как для совместимых, так и для
несовместимых суждений требуется, чтобы они состояли из
одинаковых терминов. Это условие обязательно для
выделительных и исключающих суждений также. В качестве примеров
противоречащих суждений можно привести следующие: «Все
рыболовы любят преувеличивать свои достижения» и
«Некоторые рыболовы не любят преувеличивать свои достижения»;
«Ни одно путешествие не обходится без приключений» и
«Некоторые путешествия обходятся без приключений»;
«Только эти картины написаны мастером» и «Только
некоторые из этих картин не написаны мастером»; «Только эти
часы не ходят точно» и «Только некоторые из этих часов
ходят точно»; «Все задачи, кроме логических, мне скучны»
и «Некоторые задачи, кроме логических, мне не скучны»;
«Ни один ребенок, кроме моих собственных, не пристает ко
мне с вопросами» и «Некоторые дети, кроме моих
собственных, пристают ко мне с вопросами».
Любые два суждения несовместимы частично, если они
не могут быть вместе истинны, но могут быть оба ложны.
Такой вид несовместимости называется
противоположностью. Для противоположных суждений, как и для
противоположных понятий, всегда существует третья возможность
истинности. Противоположными являются общеутверди-
98

тельные и общеотрицательные суждения, состоящие из
одних и тех же терминов. Так, противоположны следующие
пары суждений: «Всякое страдание есть зло» и «Ни одно
страдание не есть зло»; «Только люди улыбаются» и «Только
люди не улыбаются»; «Все люди, за исключением мудрецов,
стремятся к славе» и «Все люди, за исключением мудрецов,
не стремятся к славе». Если оба противоположных суждения
ложны, тогда истинны оба противоречащие им частные
суждения. Например, очевидно ложной является первая пара
противоположных суждений. Соответственно одновременно
истинны следующие частные суждения, противоречащие
общим: «Некоторое страдание есть зло» и «Некоторое
страдание не есть зло».
Простой схемой, позволяющей для любого суждения
находить совместимые и несовместимые с ним суждения,
является логический квадрат (рис. 11).
Все А есть В
противоположность Ни одно А не есть В
подчинение
Некоторые А есть В
частичная
совместимость
Рис. 11
подчинение
Некоторые А не
есть В
Логический квадрат несовместим лишь с
интерпретациями «некоторые, но не все» и «некоторые, но не ни один».
Дополненный превращением, обращением и
противопоставлением, логический квадрат позволяет установить все
совместимые и несовместимые с данным суждения.
Пусть дано следующее базисное множество суждений:
1. Все А есть В.
2. Все А есть -Я.
3. Все -А есть В.
4. Все -А есть -В.
5. Ни одно А не есть В.
6. Ни одно А не есть -В.
7. Ни одно -А не есть В.
8. Ни одно -А не есть -В.
4* 99

9. Некоторые А есть В.
10. Некоторые А есть -J3.
11. Некоторые -А есть 2?.
12. Некоторые -Л есть -В.
13. Некоторые А не есть В.
14. Некоторые Л не есть -В.
15. Некоторые —Л не есть В.
16. Некоторые -А не есть -2?.
17. Все В есть Л.
18. Все В есть -Л.
19. Все -В есть Л.
20. Все -В есть -Л.
21. Ни одно В не есть Л.
22. Ни одно В не есть -А
23. Ни одно —В не есть Л.
24. Ни одно -В не есть -А.
25. Некоторые В есть А.
26. Некоторые Б есть -А.
27. Некоторые -2? есть А.
28. Некоторые —5 есть —А.
29. Некоторые Б не есть А.
30. Некоторые Б не есть —А
31. Некоторые -В не есть А
32. Некоторые — В не есть —А
Допустим, истинно суждение 1 из приведенного
множества. Тоща суждения 6, 20 и 23 также истинны, так как они
эквивалентны первому. Суждение 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30 и
31 также истинны, потому что они подчиняются первому.
Суждения 2, 5, 18, 21 ложны, так как они противоположны
первому, Суждения 10, 13, 27, 32 ложны, потому что они
противоположны первому. Истинностный статус суждений
остается неопределенным.
Предположим, истинно суждение 9. Тогда суждения 14,
25 и 30 истинны, так как они эквивалентны девятому.
Суждения 2, 5, 18 и 21 ложны,так как противоречат
девятому. Истинностный статус остальных суждений остается
неопределенным.
Из допущения ложности какого-либо суждения также
следует некоторое распределение истинностных значений.
Допустим, ложно суждение 11. Тоща ложны суждения 16,
26, 29, так как они эквивалентны одиннадцатому. Суждения
4, 7, 17, 22 истинны, так как они противоречат
одиннадцатому. Суждения 12, 15, 25, 28, 30, 31 истинны, так как
100

частично совместимы с одиннадцатым, которое ложно.
Истинностный статус остальных суждений остается
неопределенным.
Логический квадрат для выделительных суждений
сохраняет все свои свойства (рис. 12). Поскольку это утверждение
не очевидно, рассмотрим простое доказательство.
Только А есть В Только Л не есть В
Только некоторые Только некоторые
А есть В А не есть В
Рис. 12
Пусть универсум состоит из чисел 1, 2 и 3, А обозначает
признак «эти числа», В — признак «четное число». Пусть
под «этими числами» понимается множество, состоящее из
числа 2. Тогда суждения «Только А есть В» и «Только
некоторые А есть В» оба истинны, а суждения «Только А не
есть В» и «Только некоторые А не есть В» оба ложны. Пусть
под «этими числами» понимается множество, состоящее из
чисел 1 и 3. Тогда суждения «Только А есть В» и «Только
некоторые А есть В» оба ложны, а суждения «Только А не
есть В» и «Только некоторые А не есть В» оба истинны. Это
доказывает выполнимость отношения противоречия между
суждениями, соединенными диагоналями логического
квадрата на рис. 12.
Допустим, при указанном универсуме под «этими
числами» понимается множество, состоящее из чисел 1 и 2. Тогда
суждения «Только А есть В» и «Только А не есть В» оба
ложны, а суждения «Только некоторые А есть В» и «Только
некоторые А не есть В» оба истинны. Следовательно, для
первой пары выделительных суждений выполняется
отношение противоположности, для второй пары выделительных
суждений — отношение частичной совместимости.
Объединяя полученные результаты, получаем, что для
выделительных суждений, различающихся лишь
количественно, справедливо и отношение подчинения: только из
истинности общего суждения следует истинность частного,
101

только из ложности частного суждения следует ложность
общего.
Итак, мы доказали выполнимость отношений
противоречия, противоположности, частичной совместимости и
подчинения и для выделительных суждений.
Любое выделительное суждение может быть выражено в
терминах простых суждений. «Только А есть В»
эквивалентно «Все А есть Б» и «Все —А есть —2?». Суждение «Только
А не есть В» эквивалентно «Все А есть -В» и «Все -А есть
В». Суждение «Только некоторые А есть В» эквивалентно
«Некоторые А есть В» или (в неисключающем смысле)
«Некоторые -А не есть Б». Суждение «Только некоторые А
не есть В» эквивалентно «Некоторые А не есть В» или (в
неисключающем смысле) «Некоторые —А есть В».
Допуская истинность или ложность какого-либо
выделительного суждения, мы получаем определенное
распределение истинностных значений на базисном множестве простых
суждений, сформулированном на стр. 99—100. Например,
если истинно суждение «Только А есть В», то также истинны
суждения 4, 6, 7, 17, 20, 22, 23 как ему эквивалентные.
Суждение 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30, 31 истинны как
подчиненные данному. Все остальные суждения соответственно
ложны. Из истинности суждения «Только некоторые А есть
В» следует истинность суждений 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30, 31
как ему эквивалентных и ложность суждений 2, 3, 5, 8, 18,
19, 21 как ему противоречащих.
Логический квадрат выполняется также и для
исключающих суждений (рис. 13).
Все, кроме А, есть В Ни один, кроме А, не
есть Б
Некоторые, Некоторые,
кроме А, есть В кроме А, не есть В
Рис. 13
Каждое исключающее суждение может быть выражено в
терминах простых суждений. Из истинности суждения «Все,
кроме А, есть В» следует истинность суждений 3, 8, 19, 24
102

как ему эквивалентных, истинность суждений 10, 11, 16, 18,
26, 27, 29, 32 как ему подчиненных, ложность суждений 12,
15, 28, 31 как ему противоречащих, ложность суждений 4,
20 как ему противоположных.
Итак, отношение совместимости/несовместимости
является обязательным не только для простых, но и для
выделительных и исключающих суждений. Кроме того, любое
выделительное или исключающее суждение может быть
редуцировано к некоторому подмножеству множества
простых суждений, указанного на стр. 99—100.
6. ЧАСТОТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ЛОГИЧЕСКОГО КВАДРАТА.
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО КВАДРАТА
Все простые суждения обладают определенной
количественной характеристикой, выражаемой соответствующими
словами «все», «некоторые», «ни один». Эту характеристику
можно сделать более точной, если построить, например,
частотную интерпретацию простых суждений. Мы не будем
обсуждать все детали решения этой проблемы, а ограничимся
анализом ее небольшого фрагмента — логического квадрата.
С этой целью рассмотрим следующую простую модель.
Пусть дана урна с шарами красного и синего цвета. Пусть
п обозначает число вытащенных из урны шаров, т — число
красных вытащенных шаров, (п—т) — число синих
(некрасных) вытащенных шаров. Каждое простое суждение опреде^
ляет некоторое значение чисел т и (п—т), т. е. некоторое
значение абсолютной частоты вытащенных красных или
синих шаров. Рассматривая числа /пи (п—т) по отношению
к числу п, получаем значения относительных частот
вытащенных красных и синих шаров — т/п и (п—т)/п
соответственно. Из сказанного следует главная особенность
предлагаемой интерпретации: в ней учитываются только
вытащенные шары. Пусть А обозначает признак
«вытащенный шар», В — признак «красный шар», -В — признак
«синий шар». С учетом этих обозначений и обстоятельства,
что невытащенные шары не рассматриваются, получаем
следующую таблицу перевода простых суждений на язык
абсолютных и относительных частот (Табл. 1).
Интерпретация «Некоторые или все» и «Некоторые или
ни один» поглощают все остальные. С учетом этого замеча-
103

Суждение
Все А есть В
Некоторые (или все)
А есть В
Некоторые (но не
все) А есть В
Только некоторые А
есть В
Только А есть В
Ни одно А не есть В
Некоторые (или ни
один А не есть Б)
Некоторые (или ни
один А не есть Б)
Только некоторые А
не есть В
Относительная
частота
красных шаров
т
0<
0<
0<
m
m
0 < (n
0< (п
0< (п
= п
m < п
m < п
m < п
— п
= 0
— т) < п
— т) < п
- т) < п
Таблица
1
Абсолютная
частота
красных шаров
т = п
п
0 <т <
п
0 <т <
п
0 <т <
/г
т = п
п
т = 0
/г
0 <(тг-т)
тг
0 <(п-т)
п
0 < (n-m)
п
п
п
п
п
п
п
п
0
п
< п
< п
< п
ния логический квадрат для вытаскиваемых красных шаров
будет иметь следующий вид (рис. 14).
Логический квадрат для вытаскиваемых синих шаров
•будет зеркальным отображением предшествующего квадрата
(рис. 15).
Допустим, число вытащенных шаров больше нуля, т. е.
п>0. При этом допущении истинно следующее основное
уравнение логического квадрата:
104

0 <т <
п
0 <(л-т)
п
а
п
п
0
п
< п
X.
0
п
о<<
Рис. 14
п
X
п
и <
[л-т) < п
п
т < п
п
Рис. 15
п/я + 0/п + т/п + (п-т)/п = 1 (*)
Смысл уравнения (*) состоит в том, что допущение
истинности/ложности любого значения частоты,
представляющего тот или иной вид простого суждения, превращает его
в тождество. Все такие допущения вместе образуют корни
уравнения (*). Рассмотрим следующие случаи,
доказывающие истинность последнего утверждения.
Если истинна частота п/п, тогда ложны частоты 0/п,
(п—т)/п и п/т + т/п = п/п. Следовательно, истинно п/п +
0 + 0 + 0 = 1. Если истинна частота т/пу тогда истинна или
ложна частота п/п. Если частота п/п истинна, тоща мы
возвращаемся к рассмотренному случаю. Допустим, частота
п/п ложная. Из истинности т/п следует ложность частоты
0/п. Кроме того, (п-/п)/п=1—/п/п. Следовательно, истинно
0 + 0 + т/п + 1 - т/п - 1.
Если истинна частота 0/п, тогда ложны частоты п/п, т/п,
0/п+(п-т)/п=п/п> вде п/п обозначает частоту признака,
противоречащего признаку с частотой 0/п. Следовательно,
истинно 0 + 0 + 0 + п/п = 1.
Если истинна частота (п—т)/п, тоща истинна или ложна
частота 0/п. Если частота 0/п истинна, то мы имеем
предшествующий случай. Допустим, частота 0/п ложная. Из
истинности (п-т)/п следует ложность частоты п/п,
т/п=1 — (п—т)/п. Следовательно, истинно 0 + 0 + 1 —
(п-т)/п+ (п-т)/п= 1.
105

Допущения ложности соответствующих частот
возвращают нас к рассмотренным случаям. Их анализ поэтому
опускается.
Предложенная частотная интерпретация является
элементарной. Она, в частности, не позволяет различать
некоторые виды частных суждений. Но ее преимущества
несомненны. В ее терминах легко доказываются основные свойства
логического квадрата, а сам он сводится к простому
уравнению, корнями которого выступают допущения
истинности/ложности соответствующих частот. Данная
интерпретация доказывает также необходимую связь логических
преобразований простых суждений с тем фрагментом
объективной реальности, который может быть выражен на языке
абсолютных и относительных частот.
7. ПРОСТЫЕ СУЖДЕНИЯ И ПУСТЫЕ КЛАССЫ
Выражая некоторое отношение между субъектом и
предикатом, простое суждение негласно связано с допущением,
что объемы субъекта и предиката не являются пустыми
классами. Напомним, что объем какого-либо термина
эквивалентен пустому классу, если и только если этот термин
самопротиворечив или противоречит каким-либо истинным
положениям. Что измениться в истинностных свойствах
простых суждений, если отказаться от требования непустоты
объемов их терминов?
Пусть субъектом является класс «эти стулья»,
предикатом — класс «виды мебели, пригодные для сидения».
Сформулируем суждение «На всех этих стульях можно сидеть».
Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тоща данное
суждение истинно, хотя в действительности нет ни одного из
«этих стульев». В общем случае для истинности
общеутвердительного суждения достаточно выполнения любой одной
из следующих возможностей; 1) субъект и предикат истинны;
2) только предикат истинный; 3) субъект и предикат оба
ложные. Следовательно, данное суждение истинно не только
тогда, когда нет одного из «этих стульев», но и тоща, когда
вообще нет ни одного вида мебели, годного для сидения.
Рассмотрим суждение «Ни на одном из этих стульев
нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст.
Тоща данное суждение истинно, ибо для этого достаточно
выполнения одной из следующих возможностей: 1) только
субъект истинный; 2) только предикат истинный; 3) субъект
106

и предикат оба ложные. Следовательно, рассматриваемое
суждение истинно не только тогда, когда нет ни одного из
«этих стульев», но и тогда, когда имеются какие-то виды
мебели, пригодные для сидения.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев
можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст.
Тогда данное суждение ложно, потому что для его
истинности необходимо, чтобы субъект и предикат были оба истинны
хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». Но так
как этот класс пуст, то рассматриваемое суждение ложно.
Данное суждение также ложно, когда только предикат
ложный или когда субъект и предикат оба ложные.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев
нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст.
Тогда данное суждение ложно, так как для его истинности
требуется одновременная истинность субъекта и дополнения
предиката, хотя бы для одного из элементов класса «эти
стулья». При всех остальных комбинациях это суждение
ложно.
Объединяя полученные результаты, получаем следующие
выводы. Общеутвердительные и общеотрицательные
суждения при допущении пустых классов более не является
противоположным, так как могут быть вместе истинны.
Частноутвердителыше и частноотрицательные суждения
при допущении пустых классов не является более частично
совместимыми, так как могут быть вместе ложными.
Общеутвердительные суждения при допущении пустых
классов более не подчиняют частноутвердительные, а
общеотрицательные суждения более не подчиняют
частноотрицательные, так как общие суждения могут быть истинны, а
частные ложными в одно и то же время. Становится
незаконным поэтому обращение с ограничением
общеутвердительных суждений и контрапозиция с ограничением
общеотрицательных суждений.
Отношение противоречия между соответствующими
параметрами общих и частных суждений сохраняет свою силу.
Законными остаются и все логические преобразования, не
ведущие к ограничению своих результатов. Логический
квадрат редуцируется к следующей системе отношений, на
которой отсутствие линии между какими-либо точками означает
отсутствие каких-либо отношений между ними (рис. 16).
107

Все А есть В Ни одно А не есть В
Некоторые Некоторые
А есть В Ане есть В
Рис. 16
8. КОММУНИКАТИВНАЯ ПРИРОДА СУЖДЕНИЙ
Суждения выражают отношения не только между
мыслимыми вещами, но и между индивидами, адресующими эти
суждения друг другу. В отношения» последнего вида
проявляется коммуникативная природа суждений — их
использование с целью сообщения и получения новой информации.
Характерной чертой всякой коммуникации является
начальное познавательное неравенство тех, кто сообщает
информацию, и тех, кто ее получает. Именно такое неравенство
создает стимул для объединения источника информации и ее
потребителя в одно коммуникативное целое. Книга
прочитывается до конца только в том случае, если она сообщает
новую информацию как для ума, так и для сердца. В
противном случае никакого диалога писателя с читателем
быть не может. В процессе коммуникации, т. е. передачи
информации, происходит выравнивание информационного
потенциала участвующих сторон. И как только такое
выравнивание происходит, коммуникация лишается своего
основного стимула и теряет по крайней мере информационный
смысл. Отмеченные особенности коммуникации находят
отражение и в структуре суждений — в особом
коммуникативном статусе субъекта и предиката суждения, в их
информационном различии.
Коммуникативное назначение субъекта суждения состоит
в том, чтобы обозначать новое знание, истинность которого
еще требует своего доказательства. Коммуникативное
назначение предиката суждения, наоборот, состоит в том, чтобы
обозначать старое, известное знание, истинность которого
уже доказана. Коммуникативный смысл суждения в целом
выражается в связи со старым, в синтезе того, что известно,
исследовано, с тем, что еще не известно, не исследовано. С
этой точки зрения высказывать суждение означает опреде-
108

лять, доказывать, объяснять, истолковывать нечто новое,
проблематичное на основании известного, непроблематично-
го, разделяемого всеми участниками коммуникативного
процесса.
Чтобы суждение выполнило свою коммуникативную
задачу, оно должно удовлетворять следующим требованиям.
Во-первых, субъект суждения должен обозначать либо
новое, ранее неизвестное знание, либо известное, но по
каким-то причинам требующее нового истолкования,
объяснения, доказательства. В любом случае субъект суждения
должен представлять познавательную или эмоциональную
проблему, трудность, загадку, а его предикат
соответственно — решение проблемы, трудности, отгадку. В противном
случае нет причины коммуникации и ее главного
результата — получения новой информации. В утверждении «Любовь
есть сон» (Ф. И. Тютчев) субъект «любовь» обозначает
именно загадку, тогда как предикат «сон» — ее (очередную)
отгадку. Ученый, десятки раз ставивший какой-либо опыт и
получавший одинаковые результаты, не может не
заинтересоваться исходом, ранее не имевшим места. В этом случае
именно новый результат становится предметом дальнейшего
анализа ученого, его коммуникации с природой.
Во-вторых, чтобы объяснение, понимание, истолкование
и тому подобные формы коммуникации состоялись,
необходимо, чтобы предикат суждения был более известен, чем его
субъект. Мать, объясняющая маленькому сыну, что «Тигр —
это большая полосатая кошка», предполагает, что
последнему известно,что такое кошка, что такое полосы, что такое
большое животное (большой предмет). В противном случае
коммуникация невозможна, как например, в рассказе А. П.
Чехова «Экзамен на чин», когда на вопрос экзаменатора:
«Какое правление в Турции?» — был дан ответ: «Известно
какое... турецкое».
В-третьих, предикат суждения должен быть менее
проблематичным, чем субъект, т. е. должен иметь больше
оснований считаться истинным знанием, чем субъект. В
противном случае предикат не может выполнить функцию
аргумента, обосновывающего истинность субъекта суждения.
Так, по мнению героя рассказа А. П. Чехова «Письмо к
ученому соседу», жизнь людей на Луне невозможна, в
частности, потому, что «она существует только ночью, а днем
исчезает». Этот аргумент соответствует показаниям наших
органов чувств, но он является ложным с точки зрения
нашего разума.
109

В-четвертых, предикат суждения должен признаваться
истинным всеми участниками коммуникации. В противном
случае одни и те же факты, положения могут оцениваться
одновременно как истинные и как ложные. На вопрос
Джульетты, как Ромео попал в ее сад, последний отвечает:
Я перенесся на крыльях любви:
Ей не преграда — каменные стены,
Любовь на все дерзает, что возможно,
И не помеха мне твои родные.
Любовь выступает в глазах Ромео и Джульетты тем
единственным аргументом, которым только и можно
объяснить их неожиданную и опасную встречу. Любое наказание
достигает своей цели только тоща, когда его справедливость
признается не только теми, кто наказывает, но и тем, кого
наказывают.
Выполнение указанных требований гарантирует
эффективность коммуникации, т. е. гарантирует новое назначение,
сообщаемое субъектом, должно быть принято или не принято
в старое знание, обозначаемое предикатом.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Приведите к нормальной форме следующие суждения:
а) Вверх по лестнице, ведущей вниз.
б) Круглый стол с острыми углами.
в) Один ум хорошо, а два лучше.
г) С глаз долой — из сердца вон.
д) С милым рай и в шалаше.
е) Свято место пусто не бывает.
ж) Без меня меня женили.
з) Сколько веревочку не вить, а концу быть,
и) С кем поведешься, от того и наберешься.
2. Постройте превращение, обращение и контрапозицию
для каждого из предыдущих упражнений.
3. Найдите противоречащее, противоположное и
подчиненное суждения для следующих суждений:
а) Все, что можешь отдать, и является твоим богатством.
б) Человек по природе своей самолюбив.
в) Ни один человек не может быть счастлив в этом мире,
если он не научился жить в соответствии с тем, что он делает.
110

г) Человек свободный, живущий среди невежд, старается,
насколько возможно, отклонять от себя их благодеяния
(Б. Спиноза).
д) Не желай другому того, чего не желаешь самому себе.
е) Благоразумный человек считает себя ответственным
только за то, что налагается на него обязанностями (Адам
Смит).
ж) Нельзя требовать от других того, чего сам не можешь
или не хочешь сделать.
з) Человек может спешить, но он никогда не должен
ничего делать наспех.
и) Ни один человек не принимается за что бы то ни было,
не опираясь на то или другое мнение, которое служит для
него мотивом его действия (Джон Локк).
4. Что можно сказать о значении истинности
предложений в следующих множествах при допущении, что первое
предложение в каждом множестве истинно?
1. Человек от природы не склонен мыслить.
2. Некоторые люди от природы не склонны к мышлению.
3. Ни один человек от природы не есть человек, не
склонный к мышлению.
4. Некоторые, не склонные к мышлению, есть люди.
5. Все, склонные к мышлению, есть не люди.
1. Ни одно доброе дело не забывается.
2. Некоторые забываемые дела не являются добрыми.
3. Ни одно забываемое дело не является недобрым.
4. Все добрые дела забываются.
5. Некоторые добрые дела забываются.
1. Некоторые общие понятия о совершенствовании
законодательства бесспорно необходимы для государственного
человека.
2. Некоторые общие понятия, бесспорно необходимые для
государственного человека, есть общие понятия о
совершенствовании законодательства.
3. Ни одно общее понятие о совершенствовании
законодательства не есть понятие, бесспорно необходимое для
государственного человека.
4. Все общие понятия о совершенствовании
законодательства бесспорно необходимы для государственного человека.
5. Некоторые небесспорно необходимые понятия для
государственного человека являются общими.
1. Ни одно дело, сделанное наполовину, не есть сделанное
Дело.
111

2. Все сделанные дела не сделаны наполовину.
3. Некоторые дела, сделанные наполовину, не являются
сделанными делами.
4. Некоторые сделанные дела есть наполовину сделанные
дела.
5. Некоторые сделанные дела есть не наполовину
сделанные дела.
5. Укажите, какие суждения истинны, а какие ложны или
неопределенны и почему, при допущении, что первое
суждение из приведенного множества истинно.
1. Здравый смысл — самый лучший из всех смыслов.
2. Ни один смысл, являющийся здравым, не является не
самым лучшим из всех смыслов.
3. Все не самые лучшие из всех смыслов являются
нездравым смыслом.
4. Ни один не самый лучший из всех смыслов не является
здравым.
5. Некоторые самые лучшие из всех смыслов есть здравые
смыслы.
6. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, есть самые
лучшие из всех смыслов.
7. Некоторые самые лучшие из всех смыслов не являются
нездравыми.
8. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, не есть не
самые лучшие из всех смыслов.
9. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, есть не
самые лучшие из всех смыслов.
10. Некоторые не самые лучшие из всех смыслов не
являются нездравыми смыслами.
11. Некоторые нездравые смыслы — не самые лучшие из
всех смыслов.
12. Некоторые не самые лучшие из всех смыслов есть
здравые смыслы.
13. Ни один из самых лучших смыслов не является
здравым.
14. Ни один здравый смысл не является самым лучшим
их всех смыслов.
15. Все здравые смыслы есть лучшие из всех смыслов.
16. Все самые лучшие из всех смыслов — нездравые
смыслы.
6. Можно ли сформулировать мысль, не содержащую
суждение? Аргументируйте свой ответ.
JJ2

7. Сохраняется ли отношение подчинения между общим
и частным суждениями с одними и теми же терминами, если
слово «некоторые» интерпретировать так, как указано на рис.
5 и 6 для утвердительных суждений и на рис. 8 и 9 для
отрицательных суждений? Аргументируйте свой ответ.
8. Попробуйте проверить истинность превращения,
обращения и контрапозиции в терминах частотной
интерпретации простых суждений. Расширьте с этой целью таблицу
перевода простых суждений на язык абсолютных и
относительных частот.

ГЛАВА IV. ДЕДУКТИВНЫЕ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
«Необходимость умозаключения
коренится в ограниченности человеческого ума».
Л. Лрно и Я. Николы Логика, или
искусство мыслить.
«Мы еще не поняли многих вещей,
которые можно постичь только разумом.
Посредством умозаключений можно решить такие
задачи, которые ставили в тупик всех, кто
искал их решение с помощью своих чувств».
А Конан Дойлы Пять апельсиновых
зернышек. (Из разговора Шерлока
Холмса с доктором Ватсоном).
«Для доказательства, так же как и для
сомнения, нужно совершать умозаключения,
т. е. находить следствия по данным
основаниям и находить основания по данным
следствиям».
И. Е. Орлов. Логика естествознания.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ УМОЗАКЛЮЧЕНИИ,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ И ОПРОВЕРЖЕНИИ
Если понятия — атомы, а суждения — молекулы нашей
умственной деятельности, то, завершая эту аналогию, можно
сказать, что умозаключения — это и есть сама умственная
деятельность. Рассуждать, задавать вопросы, искать ответы,
объяснять, предсказывать, доказывать, опровергать,
убеждать, подвергать сомнению, просить, требовать, разрешать,
запрещать — все эти и другие формы мыслительной
деятельности имеют вид определенных умозаключений. Мы вправе
поэтому утверждать, что мыслить и делать
умозаключения — одно и то же.
114

Логическая универсальность умозаключений
представляет собой результат синтеза логики классов, порождаемой
преобразованием понятий, и логики отношений,
порождаемой преобразованиями суждений. В этом синтезе обе логики
сохраняют свои особенности, но между ними возникает
взаимная дополнительность до более универсальной логики
умозаключений. Синтез, в частности, состоит в том, что
достигается равновесие между отрицанием как дополнением,
характерном для логики классов, и отрицанием как снятием
различия, характерном для логики отношений. Оба вида
отрицания образуют единую систему обратимых
преобразований, обладающую свойствами алгебраической группы *.
Наше мышление на уровне умозаключений приобретает
возможность осуществлять без каких-либо принципиальных
ограничений все преобразования с классами и отношениями
и тем самым строить максимально общие модели
исследуемой реальности.
Мышление, достигнув способности конструировать
умозаключения, становится формальным, или символическим,
в полном смысле этого слова. Непосредственный анализ
действительности, свойственный, например, детям в раннем
возрасте, заменяется анализом понятий и суждений о
реальности. Мы не проверяем лично, да и большей частью не
способны сделать это физически, все, что нам сообщается.
Но мы способны установить истинность или ложность
требуемых суждений в процессе умозаключений. Вряд ли когда-
либо удастся измерить температуру внутри Солнца
непосредственно. Однако с определенной погрешностью это можно
сделать с помощью соответствующих умозаключений, не
покидая поверхности Земли. Благодаря способности к
умозаключениям, человек преодолевает свою привязанность к
наблюдению как самому достоверному источнику знания.
Формальный характер умозаключений открывает
возможность узнать ненаблюдаемую, но тем не менее реальную
сферу нашего бытия — законы природы и общества. Процесс
познания, как свидетельствует история, возможен лишь на
пути совершенствования формальной стороны нашего
мышления.
Благодаря умозаключениям, наше мышление, и это
является развитием его формальной способности, приобретает
гипотетический характер. Каждая вещь мыслится не только,
Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1969. С. 567—612.
115

как она «есть», но и как она «могла быть» и как она «может
быть». Другими словами, каждая вещь мыслится в единстве
со всеми возможностями прошлого, настоящего и будущего
бытия. Возможное, гипотетическое играет в мышлении не
меньшую роль, чем действительное, достоверное. Реальность
всеща открывается мыслящему уму в виде комбинаций
каких-то возможностей, которые он формулирует на языке
гипотез, предположений и из которых он стремится выбрать
наиболее правдоподобную.
Умение мыслить реальность как принципиально
гипотетическую систему событий связано с комбинаторной
природой нашего мышления, с его способностью строить
классификации классификаций и тем самым учитывать все
возможные альтернативы развития. Пусть А обозначает
суждение «Подул сильный ветер», В — суждение «Тучи
заволокли небо». Обычная дихотомическая классификация
этих суждений приводит к следующим результатам: 1) А и
В оба истинны, 2) А истинно и В ложно, 3) А ложно и В
истинно, 4) А и В оба ложны. Если полученные результаты
подвергнуть новой классификации по основанию
«существует», то получим 24=16 возможностей реализации событий,
обозначаемых суждениями А и В. В множество этих
возможностей попадает как та альтернатива, согласно которой оба
события имеют место, так и та, согласно которой ни одно из
них не имеет место. Таким образом, мы получаем 16 гипотез
о возможности развития событий, но и, что самое главное,
исчерпывающий перечень логических связей суждений А и
В друг с другом. Это означает, что сформулировать какое-
либо суждение о связи А и В — то же самое, что выбрать из
множества всех альтернатив некоторое подмножество.
Иными словами, умозаключать — означает выбирать, решать
некоторую комбинаторную задачу.
Более распространенным является определение
умозаключения как деятельности, позволяющей получать новое
знание из уже имеющегося. На этом основании в каждом
умозаключении выделяют: 1) суждения, обозначающие
исходное знание и называемое посылками; 2) суждения
(суждение) , обозначающие новое знание и называемое
заключением; 3) подразумеваемые или явно сформулированные
правила получения нового знания из данного (заключения
из посылок). В повседневных рассуждениях такие правила
обычно только подразумеваются. При логическом анализе
подобные правила тщательно обсуждаются и формулируются
в явном виде.
116

Исходное знание может быть знанием либо причин,
законов, либо их следствий. Соответственно новое знание
также может быть двоякого вида. Если нам известны
причины, то новым знанием будет знание их следствий. Если нам
известны следствия, то новым знанием будет знание их
причин.
В зависимости от того, ищем ли мы по известным
причинам их следствия, или наоборот — по известным следствиям
их возможные причины, принято различать два вида
умозаключений — дедуктивные и недедуктивные.
Когда мы выводим из данного знания его необходимые
следствия, то мы умозаключаем дедуктивно (от лат. deduc-
tio — выведение). Дедуктивно умозаключать не означает
ничего иного, как умение находить (выводить) необходимые
следствия из данных суждений. По этой причине дедукцию
иногда определяют как обоснование необходимых условий
истинности данного знания.
Когда мы ищем на основании данного знания о некотором
событии его возможную причину, то мы используем
недедуктивные умозаключения. Среди них важнейшими
считаются индуктивные умозаключения и умозаключения по
аналогии. Типичным примером индуктивного
умозаключения, или индукции (от лат. inductio — наведение), является
поиск для наблюдаемых фактов, объясняющих их причин и
законов. Поскольку никакого однозначного пути от фактов
к их причинам или законам нет, то процесс индукции
представляет, в сущности, процесс выдвижения догадок,
гипотез и их последующего испытания и выбора наиболее
правдоподобной. Если некоторое событие объясняется или
предсказывается на основании структурного,
функционального или какого-то другого сходства с другим и уже
изученным событием, то в этом случае имеет место умозаключение
по аналогии, или просто аналогия (от греч. analogia —
соответствие, сходство, подобие). Делать недедуктивные
умозаключения означает или искать возможные причины,
или предсказывать что-либо на основании возможных
причин. В любом случае отличительным признаком
недедуктивных умозаключений является поиск достаточных условий
истинности исходного или предсказываемого знания.
В итоге мы имеем две обратно направленные стратегии
познания. Одна из них сводится к обоснованию необходимых
условий нашего знания и осуществляется посредством
дедуктивных умозаключений. С помощью дедукции из принятых
117

аксиом мы выводим теоремы, из установленных законов или
причин — их необходимые следствия. Если посылки
истинны, правила вывода также истинны, то и дедуктивные
заключения необходимо истинны. Обратная стратегия
состоит в открытии достаточных условий нашего знания.
Двигаться в этом направлении означает делать догадки, выдвигать
гипотезы, испытывать их и отбирать наиболее
правдоподобные. Здесь не может быть достоверных заключений, но
только вероятные. С помощью индукции и аналогии мы
совершаем открытие новых законов и причин и, тем самым,
качественно расширяем сферу нашего знания.
Указанные стратегии носят исчерпывающий характер.
Для любого данного события они дают ответы на такие
вопросы, как «Почему оно произошло?» и «Что следует
ожидать от его осуществления?». Эти вопросы, как и ответы
на них, характеризуют самые существенные элементы
нашего понимания любой вещи. Ибо понимать — не означает
ничего иного, как знать причины и их следствия.
Оба вида знания могут быть получены только посредством
умозаключений. С помощью умозаключений мы открываем
для себя мир невидимый, неслышимый и неосязаемый, но не
менее реальный, чем мир, воспринимаемый чувствами.
Умозаключения не только открывают нам этот мир, но и
позволяют в нем успешно ориентироваться, различая истину,
ложь, разные степени правдоподобия.
Когда мы ищем истину, мы доказываем. Когда
разоблачаем ложь, опровергаем. Доказательство и опровержение
невозможны без умозаключений, но не сводятся к ним.
Необходимо также знать правила, которым подчиняется
истинное знание, ложное знание, правдоподобное знание.
Без этих правил невозможно ни доказательство, ни
опровержение ни в дедуктивном, ни в недедуктивном смыслах.
Доказательство и опровержение являются составной
частью более общей теории аргументации (демонстрации), или
риторики. Анализ этой теории будет дан в одной из
следующих глав.
Итак, коща мы говорим об умозаключениях, то имеем в
виду умственную деятельность, которая обеспечивает нас
необходимыми и достаточными условиями истинности
исходного знания; связывает в одно целое понятия и суждения;
имеет комбинаторную и гипотетическую природу;
объединяет отрицание как дополнение и отрицание как снятие
различия; позволяет искать истину, разоблачать ложь, опреде-
118

лять различные степени правдоподобия; позволяет познавать
причины, законы и их необходимые следствия; обладает
наивысшими приспособительными возможностями, носит
конструктивный, в высшей степени творческий характер в
не имеет в своем развитии никаких принципиальных
ограничений.
2. ОТНОШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ
Назначение всех дедуктивных умозаключений состоит в
выводе необходимых следствий из данных посылок.
Следствие или следствия принято называть заключением. Более
строго определить посылки и заключение можно так.
Суждения, являющиеся вместе достаточным условием
истинности какого-либо другого, необязательно отличающегося от
каждого из них, называются посылками умозаключения.
Если выводимое суждение является необходимым условием
истинности данных посылок, то оно называется заключением
(дедуктивного) умозаключения. Но что делает некоторое
суждение необходимым следствием других суждений,
включая и самого себя? Ответить на этот вопрос означает задать
отношение логического следования. Ибо если нет логического
следования одних суждений из других, то нет и дедуктивного
умозаключения. Если есть дедуктивное умозаключение, то
истинно и отношение логического следования, есть посылки
и заключение.
Существуют разные толкования отношения логического
следования. Желая достигнуть универсальности в изложении
различных тем, мы при его определении будем исходить из
идей, лежащих в основе теории семантической
информации *.
Каждое суждение, если оно не логически истинно и не
логически ложно, разрешает какое-либо состояние дел и
одновременно исключает все состояния дел, несовместимые
с разрешенным. Вместо слов «состояние дел» мы будем
пользоваться словами «возможный мир». Сказать, что все
одуванчики желтого цвета, означает допустить
существование возможного мира с желтыми одуванчиками и исключить
из рассмотрения все возможные миры с нежелтыми одуван-
Гришкин И. И, Понятие информации: Логико-методический аспект. М.,
1973. С. 33—72.
119

чиками. Семантическая информация, содержащаяся в
суждении, прямо пропорциональна числу исключаемых этим
суждением возможных миров. По этой причине все
логически истинные суждения обладают нулевым значением
семантической информации, так как ничего не исключают.
Логически ложные суждения, наоборот, сообщают бесконечно
много информации, так как исключают все возможности.
Сказать «Если сегодня вторник, то сегодня вторник»
означает сообщить нулевую информацию, так как данное суждение
логически истинно. Сказать «Сегодня среда и сегодня
несреда» означает сообщить бесконечно много информации, так
как данное суждение логически ложно.
В тех возможных мирах, которые данным суждением
разрешаются, оно истинно. В тех возможных мирах,.которые
это суждение исключает, оно ложно.
Пусть А обозначает субъект суждения, В — его предикат.
Будем, как и прежде, считать, что если термин встречается
без знака отрицания, то он истинный, а если со знаком
отрицания, то ложный. А и В порождают множество из
четырех возможных миров, которые для удобства
пронумерованы (рис. 1).
-А
в -в в -в
A) B) C) D)
Рис. 1
В первом возможном мире истинны оба термина. Во
втором возможном мире только А истинно, в третьем истинно
только 2?, в четвертом оба термина ложные.
Суждения «Все А есть В» эквивалентно суждению «Все
—В есть —Л» и несовместимо с суждением «Все А есть — В».
Следовательно, данное суждение разрешает возможные
миры A) и D) и исключает мир B). Можно также сказать, что
суждение «Все А есть В» истинно в мирах A) и D) и ложно
в мире B). Вопрос о том, истинно ли рассматриваемое
суждение в мире C), остается открытым.
Суждение «Ни одно А не есть В» эквивалентно суждению
«Все А есть —В» и суждению «Все В есть —А» и несовместимо
с суждением «Все А есть В». Следовательно, данное суждение
истинно в мирах B) и C) и ложно в мире A). Вопрос об
120

истинности или ложности рассматриваемого суждения в мире
D) остается открытым.
Суждение «Некоторые А есть В» разрешает возможный
мир A) и, следовательно, истинно в нем. Данное суждение
-исключает или мир B), или мир C), или их оба. Но вопрос
о том, какая из указанных возможностей реализуется, в
общем случае остается неопределенным. Также
неопределенным остается вопрос об истинности или ложности
рассматриваемого суждения в мире D).
Суждение «Некоторые А не есть В» разрешает возможный
мир B), т. е. истинно в нем, и одновременно исключает или
мир A), или мир D), или их оба. Какая из этих
возможностей истинна — решить в общем случае нельзя. Также нельзя
определить, истинно или ложно рассматриваемое суждение
в возможном мире C).
Примем соглашение, что если некоторый возможный мир
разрешается данным суждением, то линия, соединяющая
соответствующие термины, отмечается знаком «+»; если
исключается, то линия, соединяющая соответствующие
термины, отмечается знаком «о»; если возможный мир не
разрешается и не исключается, то линия, соединяющая
соответствующие термины, отмечается знаком «?».
Каждое простое суждение может быть представлено в виде
множества отмеченных указанными знаками возможных
миров. Для простых суждений, состоящих из терминов А и
В, получаем следующее представление (рис. 2—5).
Суждения, содержащие термины со знаком отрицания,
представляются аналогично.
Все Л есть В
Рис. 2
Ни одно А не есть В
Рис.3
121

Некоторые А есть В
Рис. 4
Некоторые А не есть В
Рис.5
Если субъект связан с предикатом (отрицанием
предиката) знаком «-ь> и он же связан с отрицанием предиката
(пердикатом) знаком «о», то мы имеем дело с общим
суждением. Если субъект связан с предикатом (отрицанием
предиката) знаком «+» и он же связан с отрицанием предиката
(предикатом) знаком «?», то мы имеем дело с частным
суждением.
Учитывая сказанное, суждения, состоящие из терминов А
и В, более компактно можно представить следующим
образом (рис. 6—9).
Приведенные рисунки в наглядной форме воспроизводят
различие между общими и частными суждениями, с одной
Все А есть В
-В
Рис. 6
122

стороны, утвердительными и отрицательными
суждениями — с другой.
Суждения типа «Все А есть В» утверждают связь терминов
А и В (отмечается знаком «4») и одновременно исключают
связь А с -В (отмечается знаком «о»). Следовательно, вся
диаграмма с одинаковым успехом может читаться как «Все
А есть В» и как «Ни одно А не есть -J5», что доказывает
законность превращения общеутвердительных суждений.
Суждения типа «Некоторые А есть В» утверждают связь
А с В (отмечается знаком «о»), но не исключают при этом
связь А с -В (отмечается знаком «?»), что подтверждает
законность превращения частноутвердительных суждений.
Сравнивая рассмотренные случаи, мы убеждаемся, что
общеутвердительное и частноутвердительное суждения,
состоящие из одних и тех же терминов, сходны в том, что
разрешают один и тот же возможный мир. Одновременно они
отличаются друг от друга тем, что общеутвердительное
суждение исключает противоположную альтернативу, а ча-
етноутвердительное суждение не исключает. То, что это
различие носит принципиальный характер, подтверждает
следующее высказывание одного из героев А. Кристи: «Один
из основных принципов судебного разбирательства гласит:
если можно доказать наличие альтернативной версии,
согласующейся с имеющимися фактами, обвиняемый должен быть
оправдан». Судебное обвинение, иными словами, должно
Формулироваться только в терминах истинных общих
суждений.
Сказанное действительно также для общеотрицательных
а частноотрицателышх суждений.
123

Сравнение утвердительных и отрицательных суждений
показывает их симметрию относительно друг друга. Это
легко устанавливается сравнением рис. 6—9.
Прежде чем сформулировать определение логического
следования, основанное на понятии семантической
информации, рассмотрим простой пример, разъясняющий его смысл.
Пусть дано суждение «Все спелые яблоки есть яблоки».
Универсум этого суждения состоит из класса всех фруктов,
субъект — из класса спелых яблок, предикат — из класса
всех яблок. Получаем следующее множество возможных
миров (рис. 10).
И = фрукты
Л = яблоки -Л = неяблоки
В = спелые -В = неспелые В = спелые -В = неспелые
(АВ) (А-В) (-АВ) (-А-Я)
Рис. 10
На рис. 10 термины, заключенные в круглые скобки,
обозначают образованные ими возможные миры. Класс
спелых яблок включен в класс всех яблок. Следовательно,
понятие «яблоко» является необходимым следствием понятия
«спелое яблоко». Оба понятия связаны, иными словами,
отношением логического следования. Как определить это
отношение в терминах возможных миров?
Легко проверить, что субъект суждения «Все спелые
яблоки есть яблоки» разрешает множество, состоящее из
одного возможного мира {(АВ)}> и исключает все остальные
{(А—В), (—А?), (—А—В)}. Предикат этого суждения
разрешает множество {(АВ)У (А—В)} и исключает все остальные
{(—AS), (—А—В)}. Рассматривая субъект как посылку, а
предикат как заключение, получаем два важных результата.
Во-первых, множество возможных миров, разрешаемых
посылкой, составляет подмножество множества возможных
миров, разрешаемых заключением. Во-вторых, множество
исключаемых заключением возможных миров составляет
подмножество множества исключаемых миров,
исключаемых посылкой. Для удобства эти включения отражены на
рис. 11.
В том случае, если посылка и заключение эквивалентны
друг другу, имеет место взаимное включение разрешаемых
124

Посылка
«Спелое яблоко»
Разрешает {(ЛВ)}
Исключает {(-АВ),
{А-В)у (-А-В)}
Направление
включения
с
2
Заключение
«Яблоки»
Разрешает
{(АВ), (А-В)}
Исключает
{(-AS), (-A-B)}
Рис. 11
(исключаемых) множеств возможных миров, т. е. их
равенство.
Кратко смысл логического следования можно выразить
так. Посылки должны разрешать кое-что из того, что
разрешает заключение, но не больше. Заключение должно
исключать кое-что из того, что исключают посылки, но не больше.
Пусть X и У обозначают любые непустые множества
суждений. Имеет место следующее определение логического
следования:
У логически следует из X (является необходимым
условием X), если и только если A) множество возможных
миров, разрешаемых X, представляет подмножество
множества возможных миров, разрешаемых Y, и B) множество
возможных миров, исключаемых У, является
подмножеством множества миров, исключаемых X.
Отношение логического следования делает заключение
необходимым условием истинности посылок и вводит тем
самым важную асимметрию в их истинную зависимость друг
от друга. Если заключение ложно, то по крайней мере одна
из посылок также ложна. Если заключение истинно, то
отсюда не следует с необходимостью ни истинность, ни
ложность посылок. Другими словами, истинное заключение
совместимо как с истинными, так и ложными посылками.
Вернемся к суждению «Все спелые яблоки — яблоки».
Допустим, данные нам фрукты — яблоки. Тогда заключение
«яблоки» истинно независимо от того, истинна или ложна
посылка «спелые яблоки». Допустим теперь, что данные нам
Фрукты — не яблоки. Тогда заключение ложно, а из его
ложности с необходимостью следует ложность посылки. Ибо
если данный фрукт не является яблоком, то он тем более не
может быть спелым яблоком. Итак, суть асимметрии,
устанавливаемой отношением логического следования, состоит в
125

том, что истинность заключения необходима для истинности
посылок. Эта асимметрия исчезает, если посылки и
заключения эквивалентны друг другу. В этом случае истинность
заключения необходима и достаточна для истинности
посылок.
Отношение логического следования в случае истинности
посылок гарантирует истинность заключения. На этом
основании многие рационалисты считали, что при выборе
надлежащих посылок одних только дедуктивных рассуждений
достаточно для познания всей природы. Так ли оправданы
эти надежды? Информационная трактовка отношения
логического следования позволяет дать такой ответ. Дедуктивные
умозаключения действительно гарантируют перенос
истинности с посылок на заключение, но при этом происходит
неизбежная потеря информации. При последовательном
выведении следствий каждое новое следствие не может
исключать больше, чем ему предшествующее. Поэтому чем
длиннее цепь дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее
из них. Рассмотрим в этой связи простой пример. Напомним,
что семантическая информация суждения пропорциональна
числу исключаемых им возможных миров. Допустим,
универсум состоит из фруктов. Тогда семантическая
информация суждения «Данный фрукт — спелое яблоко» равна 3,
суждения «Данный фрукт — яблоко» равна 2, суждения
«Данный фрукт — фрукт» равна 0.
Между тем все три суждения связаны отношениями
логического следования: из первого следует второе и из второго
следует третье. Таким образом, если истинно первое, то с
необходимостью истинны второе и третье. Будучи все
истинными, они все имеют разное информационное содержание,
убывающее по мере увеличения длины цепи следствий. По
этой причине вывод одних только истинных следствий нельзя
считать исчерпывающим критерием дедуктивного
рассуждения. Необходимо также учитывать информативность
выводимых следствий. Из рассмотренного примера следует также,
что своеобразным пределом дедуктивного рассуждения
выступает логически истинное суждение, наподобие «Данный
фрукт — фрукт». Информативность таких суждений равна
нулю. Следовательно, все попытки получать знание о мире
с помощью одной только дедукции обречены по крайней мере
на информационное бесплодие.
126

3. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
С ОДНОЙ ПОСЫЛКОЙ
Одним из оснований, по которому различаются
дедуктивные умозаключения, служит число посылок. Умозаключения
с одной посылкой называют непосредственными, с двумя или
более посылками — опосредованными. Непосредственные
умозаключения — это обычные преобразования суждений, о
которых говорилось в предыдущей главе, но
рассматриваемые с более широкой точки зрения.
Два простых суждения образуют умозаключения, если
1) все четыре термина являются видами одного и того же
универсума;
2) по крайней мере одно из данных суждений являются
необходимым условием истинности другого, т. е. является
заключением другого суждения.
Назовем доказательство, что два суждения образуют
умозаключение, решением этого умозаключения. Решить
умозаключение с одной посылкой означает доказать, что между
двумя суждениями существуют отношение логического
следования.
Комбинаторный базис решения умозаключения образует
дерево возможных миров, образованное из терминов
посылки. Пусть X и У представляют переменные, чьими
значениями выступают буквы А, В, С,..., обозначающие термины
суждений как со знаками отрицания, так и без них. Это
означает, что вместо, например, X можно подставлять как
А, так и -А, как В, так и -Я. Аналогично и для У. Пусть
X обозначает субъект посылки, а У— ее предикат. Вершиной
дерева умозаключения может быть субъект посылки (прямая
форма), предикат посылки (обратная форма), отрицание
предиката посылки (обратно-противоположная форма).
Примеры таких деревьев приведены на рис. 12.
Y -Y X -XX
а) Прямая форма б) Обратная форма в)
Обратно-противоположная форма
Рис. 12
127

Чтобы решить умозаключение, сначала необходимо
перенести информацию, содержащуюся в посылке, на дерево
умозаключения. Действия этого вида будут регулироваться
правилами маркировки путей дерева. Затем необходимо
совершить обратное действие — перенести информацию,
содержащуюся на дереве, на язык простых суждений и
сформулировать, таким образом, заключения.
В качестве знаков маркировки будут использоваться
ранее введенные знаки «+», «о» и «?», обозначающие
соответственно разрешаемый возможный мир, исключаемый
возможный мир, не разрешаемый и не исключаемый возможный
мир. Вместо слов «возможный мир» при формулировке
правил маркировки будет использоваться более краткий термин
«путь».
ПРАВИЛА МАРКИРОВКИ
Ml. Если посылка имеет вид «Все X есть У», то путь от
X к У маркируется знаком «+», а противоположный ему путь
от X к — У — знаком «о». Пример см. на рис. 6.
М2. Если посылка имеет вид «Ни один X не есть У», то
путь от X к — У маркируется знаком «+», а противоположный
ему путь от X к У — знаком «о». Пример см. на рис. 7.
МЗ. Если посылка имеет вид «Некоторые X есть У», то
путь от X к У маркируется знаком «+», а противоположный
ему путь от X к — У — знаком «?». Пример см. на рис. 8.
М4. Если посылка имеет вид «Некоторые X не есть У», то
путь от X к - У маркируются знаком «+», а противоположный
ему путь от X к У — знаком «?». Пример см. на рис. 9.
Допустим, посылка имеет вид «Только X есть У».
Поскольку она эквивалентна суждениям «Все X есть У» и «Все
У есть X», то данный случай сводится к двукратному
применению правила Ml (рис. 13).
Только X есть У
Рис. 13
Допустим, посылка имеет вид «Только некоторые X есть
У». Так как она эквивалентна суждению «Все У есть X», то
данный случай подчиняется правилу Ml.
128

Допустим, посылка имеет вид «Только некоторые X не
есть У». Так как она эквивалентна суждению «Все — У есть
X», то данный случай подчиняется правилу Ml.
Допустим, посылка имеет вид «Все, кроме X, есть У». Она
эквивалентна суждению «Все —X есть У», которое
подчиняется правилу Ml.
Допустим, посылка имеет вид «Не один, кроме X, не есть
У». Она эквивалентна суждению «Ни один -X не есть У», и
следовательно, подчиняется правилу М2.
Допустим, посылка имеет вид «Некоторые, кроме X, есть
У». Она эквивалентна суждению «Некоторые -X есть У» и
подчиняется правилу МЗ.
Допустим, посылка имеет вид «Некоторые, кроме X, не
есть У». Она эквивалентна суждению «Некоторые —X не есть
У» и подчиняется правилу М4.
Таким образом, какое бы простое суждение ни
фигурировало в качестве посылки, сообщаемая им информация
полностью переносится с помощью правил маркировки на дерево
умозаключения. Это утверждение истинно и для суждений,
начинающихся со слов «Неверно, что...» и их эквивалентов,
выражающих внешнее отрицание. Ибо мы знаем из
предыдущего обсуждения, что внешнее отрицание, перенесенное
вовнутрь, трансформирует общие суждения в частные и
наоборот. Следовательно, и в этом случае мы не выходим за
пределы указанных правил маркировки.
ПРАВИЛА ВЫВОДА
81. Для получения заключения достаточно рассмотреть
любую одну из трех форм дерева умозаключения — прямую,
обратную или обратно-противоположную. Умозаключение
не имеет решения, если и только если не следует никакого
заключения из всех трех форм дерева умозаключения.
82. Если в рассматриваемом дереве путь от X к У
маркирован знаком «+», а противоположный ему путь от X
к - У — знаком «о», то в качестве заключения следует «Все
X есть У» или (в неразделительном смысле) «Ни один X не
есть - У».
83. Если в рассматриваемом дереве путь от X к У
маркирован знаком «+», а противоположный ему путь от X
к —У — знаком «?», то в качестве заключения следует
«Некоторые X есть У», или (в неразделительном смысле)
«Некоторые X не есть - У».
5 Зак. 210 129

В4. Из любых других распределений знаков «+», «о» и «?»
кроме указанных в правилах В2 и ВЗ, из рассматриваемого
дерева ничего не следует.
Различие между правилами В2 и ВЗ основано на различии
между общими и частными суждениями. Как мы знаем, из
истинности общих суждений следует истинность
подчиненных им частных суждений, но обратное неверно. Сейчас мы
можем доказать этот факт строго.
Пусть даны два суждения: «Все А есть В» и «Некоторые
А есть В». Первое из них подчиняет второе. Следовательно,
второе является логическим следствием первого (рис. 14).
Все А есть В
Разрешает {(АВ)}
Исключает {(А-В)}
Включение
=
Некоторые А
есть В
Разрешает {(АВ)}
Исключает {0}
Рис. 14
Согласно рис. 14, суждения «Все А есть В» и «Некоторые
А есть В» разрешают один и тот же возможный мир.
Следовательно, их разрешающие способности одинаковы. Однако
указанные суждения отличаются своими исключающими
особенностями. Общее суждение исключает
противоположный случай, а частное нет (исключает пустое множество).
Так как пустое множество является подмножеством любого
множеста, но не наоборот, то выполняются оба условия
логического следования, то есть суждение «Некоторые А есть
В» логически следуют из суждения «Все А есть В»9 но
обратное не имеет места.
Сформулированных правил маркировки и вывода
достаточно, чтобы сделать заключение из любого простого
суждения. Поскольку каждое суждение тривиально является
следствием самого себя, то мы мы будем считать заключением
только то суждение, которое отличается от самой посылки
либо качеством, либо количеством, либо и тем и другим.
Можно предложить следующий алгоритм решения
умозаключений с одной посылкой.
1. Формулируем посылку на естественном языке.
2. Приводим посылку к нормальной форме.
130

3. Формулируем посылку символически.
4. Строим из терминов посылки дерево умозаключения
(прямую, обратную или обратно-противоположную форму).
5. Маркируем ветви дерева согласно правилам Ml—М4.
6. Выводим заключение (не совпадающее с посылкой)
согласно правилам В1—В4.
Рассмотрим несколько примеров решения умозаключения
с одной посылкой.
Пример 1.
1. Все, кто всерьез жаждет обрести прочные знания,
должны работать упорно.
2. Все молодые люди, всерьез жаждущие обрести прочные
знания (А) у есть молодые люди, которые должны работать
упорно (В).
3. Все А есть В.
4—5.
А В -В
6. Заключение: 1) Ни один молодой человек, всерьез
жаждущий обрести прочные знания, не есть молодой
человек, который не должен работать упорно (превращение
посылки); 2) Некоторые молодые люди, которые должны
работать упорно, есть молодые люди, всерьез жаждущие
обрести прочные знания (обращение посылки); 3) Все
молодые люди, которые не должны работать упорно, есть молодые
люди, всерьез не жаждущие обрести прочные знания
(контрапозиция посылки) 1.
Пример 2.
1. Некоторые сладкие вещи неполезны для здоровья.
2. Некоторые сладкие вещи (А) не есть вещи, полезные
Для здоровья (В).
3. Некоторые А не есть В.
4-5.
Для большей ясности рассматриваются все формы дерева
умозаключения.
5* 131

6. Заключение: 1) Некоторые сладкие вещи есть вещи,
которые вредны для здоровья (превращение посылки); 2)
Некоторые вредные для здоровья вещи есть сладкие вещи
(обращение посылки); 3) Некоторые вредные для здоровья
вещи не являются несладкими вещами (контрапозиция
посылки) .
В нижеследующих примерах ссылки на характер
преобразования опущены.
Пример 5.
1. Только несдержанные люди берутся за все.
2. Только несдержанные люди (А) есть люди, берущиеся
решать все проблемы (В).
3. Только А есть В = Все А есть В и Все В есть А.
4—5.
-А
-В
-А
6. Заключение: 1) Ни один несдержанный человек не есть
человек, не берущийся решать все проблемы; 2) Ни один
человек, берущийся решать все проблемы, не есть
сдержанный человек; 3) Ни один сдержанный человек не есть
человек, берущийся решать все проблемы; 4) Ни один не
берущийся решать все проблемы человек не есть сдержанный
человек.
Пример 4.
1. Только некоторые люди исполняют свои обещания.
2. Только некоторые разумные существа, относящиеся к
людям (Л), есть разумные существа, исполняющие свои
обещания (В).
3. Только некоторые А есть В = Все В есть А.
4-5.
В А -А
-А
в
-В
В
-В
132

6. Заключение: 1) Ни одно разумное существо,
исполняющее свое обещание, не есть разумное существо, не
являющееся человеком; 2) Некоторые разумные существа,
являющиеся людьми, исполняют свои обещания; 3) Ни одно
разумное существо, не являющееся человеком, не есть
разумное существо, исполняющее свои обещания.
Пример 5.
1. Ни одно критическое замечание в мой адрес не
оставляет меня равнодушным.
2. Ни одно замечание в мой адрес, являющееся
критическим (А), не есть замечание, оставляющее меня
равнодушным (В).
3. Ни одно А не есть В.
4-5.
6. Заключение: 1) Все критические замечания в мой адрес
есть замечания, не оставляющие меня равнодушным; 2) Все
замечания, оставляющие меня равнодушным, есть замечания
не в мой адрес; 3) Некоторые замечания, не оставляющие меня
равнодушным, не есть некритические замечания в мой адрес.
Пример 6.
1. Санкт-Петербург расположен северо-западнее Москвы.
2. Все города, называемые Санкт-Петербургом 04), есть
города расположенные северо-западнее городов, называемых
Москвой (В).
3. Все А есть В.
4-5.
6. Заключение: 1) Ни один город, называемый
Санкт-Петербургом, не есть город, не расположенный северо-западнее
Москвы; 2) Некоторые города, называемые Москвой, есть
города, расположенные юго-восточнее городов, называемых
Санкт-Петербургом; 3) Все города, не расположенные
северо-западнее Москвы, есть города, не называемые
Санкт-Петербургом.
133

Пример 7.
1. Существуют неопознанные летающие объекты.
2. Некоторые летающие объекты (А) есть неопознанные
объекты (В).
3. Некоторые А есть В.
4-5.
б* Заключение: 1) Некоторые летающие объекты не есть
опознанные объекты; 2) Некоторые неопознанные объекты
есть летающие объекты.
Пример 8.
1. Коща видишь человека, который не обладает
мудростью, взвесь свои собственные поступки (Конфуций).
2. Все люди, видящие человека, который не обладает
мудростью (А), есть люди, которые должны взвешивать свои
собственные поступки (В).
3. Все А есть В.
4—5.
6. Заключение: 1) Ни один человек, видящий кого-либо,
не обладающего мудростью, не есть человек, который не
должен взвешивать свои собственные поступки; 2)
Некоторые люди, которые должны взвешивать свои собственные
поступки, есть люди, видящие человека, не обладающего
мудростью; 3) Все люди, которые не должны взвешивать свои
собственные поступки, есть люди не видящие человека,
который не обладает мудростью.
Пример 9.
1. Неверно, что если принимать каждого по заслугам, то
никто не избежит кнута 1.
Отрицание известного утверждения Гамлета (Акт П, сцена 2)
134

2. Некоторые люди, которых принимают по заслугам (А),
есть люди, избежавшие кнута (В).
3. Некоторые А есть В.
4—5.
6. Заключение: 1) Некоторые люди, которых принимают
по заслугам, не есть люди, не избежавшие кнута; 2)
Некоторые люди, избежавшие кнута, есть люди, которых
принимают по заслугам.
Пример 10.
1. Ложно, что некоторые пираты не пили ром.
2. Все разбойники, называемые пиратами (А), есть
разбойники, пившие ром (В).
3. Все А есть В.
4—5.
б. Заключение: 1) Ни один разбойник, называемый
пиратом, не есть разбойник, не пивший ром; 2) Некоторые
разбойники, пившие ром, были пиратами; 3) Все разбойники,
не пившие ром, есть не пираты.
Пример 1L
1. Неправда, что только взрослые любят сладкое.
2. Только некоторые из людей, называемых взрослыми
(А), не есть люди, любящие сладкое (В).
3. Только некоторые А не есть В = Все — В есть А.
4—5.
6. Заключение: 1) Некоторые из людей, называемых
взрослыми, есть люди, не любящие сладкое; 2) Некоторые
135

люди, любящие сладкое, есть невзрослые люди; 3) Все люди,
не любящие сладкое, есть взрослые люди.
Пример 12.
1. Кроме неразумных людей, никто не надеется на
невозможное.
2. Все люди, кроме неразумных, (Л), есть люди, не
надеющиеся на невозможное (В).
3. Все, кроме А> есть В = Все -А есть В.
4-5.
6. Заключение: 1) Все разумные люди не надеются на
невозможное; 2) Некоторые из людей, не надеющихся на
невозможное, есть разумные люди; 3) Все люди, надеющиеся
на невозможное, есть неразумные люди.
Итак, каждое умозаключение с одной посылкой — это тот
или иной вид преобразования суждения, но выраженный в
терминах отношения логического следования. Так как
преобразований несколько, то и заключений также несколько.,
при этом некоторые из них могут быть эквивалентны друг
другу. Выбор одного из них диктуется целями
преобразования суждения. Если такой цели нет, тоща рассматриваются
все возможные заключения.
Несмотря на всю важность, дедуктивные умозаключения
с одной посылкой еще не выводят нас за пределы
преобразований суждений, т. е. еще не являются умозаключениями в
строгом смысле слова.
4. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
С ДВУМЯ ПОСЫЛКАМИ (СИЛЛОГИЗМЫ)
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками,
известные более как силлогизмы (греч. syllogismos — «сосчиты-
вание»), были впервые детально проанализирована
Аристотелем. С тех пор решение силлогизмов составляет
важнейшую часть любого учебника по традиционной логике.
Три простых суждения образуют силлогизм, если
136

1) Все шесть терминов являются видами одного и того же
универсума;
2) одна из посылок содержит субъект заключения и
исключаемый термин, другая — предикат заключения и
исключаемый термин; исключаемый термин в заключении
отсутствует (по этой причине он так и называется);
3) Все суждения связаны отношением логического
следования таким образом, что одно из них (заключение) является
необходимым условием истинности двух других (посылок).
Посылки силлогизма пишутся, как правило, одна над
другой и отделяются горизонтальной чертой от заключения.
Например:
Все росинки на солнце сверкают.
Эта капелька на солнце не
сверкает.
Эта капелька — не росинка.
Пусть А обозначает субъект заключения, В —
исключаемый термин, С — предикат заключения. В приведенном
примере эти буквы имеют следующее значение: А ¦ эта
капелька, В « капелька, сверкающая на солнце, С -
капелька, являющаяся росинкой. Весь силлогизм в символической
записи выглядит следующим образом:
Все С есть В
Все А есть —В
Все А есть -С
Порядок посылок в силлогизме несущественен, так же,
впрочем, как несущественно, каким термином А или С,
обозначается субъект заключения. Существенным для
любого силлогизма является правильное определение
исключаемого термина В, который может входить в посылки как со
знаком отрицания, так и без него. Основная функция
исключаемого термина — связывать посылки, выполняя
своеобразную роль промежуточной станции между началом и
концом путешествия. Чтобы правильно определить
исключаемый термин, необходимо найти понятие, входящее в обе
посылки. Других таких понятий в силлогизме не должно
быть.
Для правильного решения силлогизма важное значение
имеет выполнение пункта 1 определения силлогизма, т. е.
нахождение единого универсума для всех шести терминов.
137

Если такой универсум определить нельзя, то силлогизм
решения не имеет. Например, подавляющее большинство
начинающих изучать логику пытается сделать вывод из
следующего силлогизма Л. Кэррола:
Сахар сладкий.
Все дети любят сладкое.
не обращая внимание на то, что посылки этого силлогизма
не имеют общего универсума. В первой посылке говорится о
продуктах питания, во второй — о людях. Напомним, что
универсум должен представлять объем ближайшего родового
понятия.
Следующий алгоритм позволяет быстро и надежно
привести любой силлогизм к виду, удобному для формального
решения.
1. Формулируем посылки силлогизма.
2. Приводим обе посылки к нормальной форме и
определяем универсум силлогизма. Если такой находится,
переходим к следующему пункту.
3. Ищем понятие, которое входит в обе посылки в
утвердительной или отрицательной форме. Если такое понятие
есть и оно единственное, то это исключаемый термин.
Обозначим его буквой В.
4. Рассматриваем первую посылку. То понятие, которое
не является исключаемым термином, определяем как
субъект заключения и обозначаем буквой Л.
5. Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое
не является исключаемым термином, определяем как
предикат заключения и обозначаем буквой С.
6. Формулируем обе посылки в символической форме и
решаем силлогизм.
7. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение
с символического языка на естественный.
Чтобы работать с данным силлогизмом, необходимо знать
правила решения силлогизма. Как и в случае с одной
посылкой, такие правила разделяются на правила
маркировки и правила вывода заключения. Прежде чем их
сформулировать, введем понятие силлогистического дерева.
Комбинаторный базис решения силлогизма образует
силлогистическое дерево, вершиной которого может быть
субъект заключения (прямая форма), предикат заключения
(обратная форма), отрицание предиката заключения (обрат-
138

но-противоположная форма). Пусть переменные X и У
пробегают по обозначениям А и С как со знаками отрицания,
так и без них. Различные формы силлогистического дерева
могут быть представлены следующим образом (рис. 15).
-у
-У У -У X -
а) Прямая форма б) Обратная форма в)
Обратно-противоположная форма
Рис. 15
Обязательным условием правильного построения
силлогистического дерева является среднее положение
исключаемого термина, оправдывающее его функцию связующего
звена.
В качестве знаков маркировки используются ранее
введенные знаки «+», «о», «?». Для удобства сохранена система
обозначений правил маркировки и правил вывода.
ПРАВИЛА МАРКИРОВКИ
MML Маркировка путей силлогистического дерева
начинается с вершины и проводится с помощью правил
маркировки Ml—М4 для умозаключений с одной посылкой.
Первой используется та посылка, которая содержит термин,
обозначающий вершину дерева.
ММ2. Если в результате первой маркировки какой-либо
один путь от вершины к среднему узлу отмечен знаком «+»,
а противоположный ему путь — знаком «о» или «?», то во
второй маркировке участвует только первый путь
(отмеченный знаком «+»).
ММЗ. Если в результате первой маркировки оба пути от
вершины к средним узлам отмечены знаком «?», то данная
форма силлогистического дерева во второй маркировке не
участвует.
ММ4. Если субъект второй посылки совпадает с
термином, обозначающим средний узел, и соединен с вершиной
знаком «+», то разрешается маркировка нижней половины
силлогистического термина в соответствии с правилами
маркировки Ml—М5 для умозаключений с одной посылкой.
139

ПРАВИЛА ВЫВОДА
BBL Пусть путь от вершины X к среднему узлу (В или
—В) и путь от среднего узла к конечному узлу У оба
маркированы знаком «+».
а) Если путь из вершины и среднего узла,
противоположный маркированным знаком «+», оба отмечены знаком «о»,
то в качестве заключения силлогизма следует суждение «Все
X есть У» или «Ни одно X не есть - У».
б) Если путь из вершины к среднему узлу,
противоположный маркированному знаком «+», отмечен знаком «?» и путь
из среднего узла, противоположный маркированному знаком
«+», отмечен знаком «о», то в качестве заключения
силлогизма следует суждение «Некоторые X есть У» или суждение
«Некоторые X не есть — У».
в) При всех других комбинациях знаков маркировки
данное силлогистическое дерево заключения не имеет.
ВВ2. Правило ВВ1 применяется к любой из трех форм
силлогистического дерева. В том случае, если ни из прямой,
ни из обратной, ни из обратно-противоположной форм
силлогистического дерева ничего не следует, данный силлогизм
решения не имеет.
Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов
согласно указанному алгоритму. Силлогизмы заимствованы
из книги Л. Кэррола «Логическая игра» *.
Пример I.
1. Боль подтачивает силы человека.
Никакая боль не желательна.
2. Все ощущения, называемые болью, есть ощущения,
подтачивающие силы человека.
Ни одно ощущение, называемое болью, не есть
ощущение, которое желательно.
3—5. И = ощущения, В = болезненные, А =
подтачивающие силы человека, С - желательные.
6.
Все В есть А.
Ни одно В не есть С,
Некоторые А есть —С.
Некоторые А не есть С.
Некоторые —С есть А.
Некоторые С не есть -А.
1 Кэррол Л. Логическая игра. М., 1991, С. 57—62.
140

-A
ничего не следует
7. Заключение: 1) Некоторые ощущения, подтачивающие
силы человека, есть нежелательные ощущения; 2)
Некоторые ощущения, подтачивающие силы человека, не являются
нежелательными ощущениями; 3) Некоторые
нежелательные ощущения есть ощущения, подтачивающие силы
человека; 4) Некоторые нежелательные ощущения не есть
ощущения, не подтачивающие силы человека.
Пример 2.
1. Тем, кто лыс, расческа не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
2. Ни одно лысое существо не есть существо, которому
нужна расческа.
Ни одно живое существо, являющееся ящерицей, не есть
существо, имеющее волосы.
3—5. И = живое существо, В » лысое, А = С = являющееся
ящерицей.
6.
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть —В.
Все А есть -С.
Ни одно А не есть С.
Все С есть —А.
Ни одно С не есть А.
7. Заключение: 1) Все живые существа, которым нужна
расческа, есть не ящерицы; 2) Ни одно живое существо,
которому нужна расческа, не является ящерицей; 3) Все
ящерицы есть существа, которым не нужна расческа; 4) Ни одна
ящерица не есть живое существо, которому нужна расческа.
141

В дальнейшем ради краткости заключение будет
формулироваться только в утвердительной форме.
Пример 3.
1. Все невнимательные люди совершают оплошности.
Ни один внимательный человек не забывает своих
обещаний.
2. Все невнимательные люди есть люди, совершающие
оплошности.
Ни один внимательный человек не есть человек,
забывающий свои обещания.
3—5» И = люди, В = внимательные, А = совершающие
оплошности, С = забывающие о своих обещаниях.
6.
Все -В есть А.
Ни одно В не есть С.
Все С есть А.
-С А -А А -А
ничего не следует ничего не следует
7. Заключение: Все забывающие о своих обещаниях есть
люди, совершающие оплошности.
Пример 4.
1. Мне Джон не нравится.
Некоторым из моих друзей Джон нравится.
2. Все люди, называющие себя «я», есть люди, которым
Джон не нравится.
Некоторые мои друзья есть люди, которым Джон
нравится.
3—5. И - люди, В - которым Джон нравится, А -
называющие себя «я», С - мои друзья.
6.
Все А есть —А
Некоторые С есть В.
Некоторые С есть — А
142

r^
ничего не следует ничего не следует
7. Заключение: Некоторые мои друзья — это не я.
Пример 5.
1. Картошка — не ананас.
Все ананасы приятны на вкус.
2. Ни один овощ, называемый картошкой, не есть овощ,
называемый ананасом.
Все овощи, называемые ананасами, есть овощи, приятные
на вкус.
3—5. И «¦ овощи, В = называемые ананасами, А в
называемые картошкой, С = приятные на вкус.
6.
Ни одно А не есть В.
Все В есть С.
Все А есть -С.
Все С есть —А.
о,
ничего не следует
7. Заключение: 1) Все овощи, называемые картошкой,
неприятны на вкус; 2) Все овощи, приятные на вкус, не
картошка.
Пример б.
1. Ни одна булавка не имеет честолюбивых намерений.
Ни одна иголка — не булавка.
2. Ни одно изделие, называемое булавкой, не есть
изделие, имеющее честолюбивые намерения.
Ни одно изделие, называемое иголкой» не есть изделие,
называемое булавкой.
3—5. И = изделие, В ¦¦ называемые булавками, А -
имеющая честолюбивые намерения, С - называемые
иголками.
143

6.
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть В.
Некоторые —С есть —А.
А С
ничего не следует ничего не следует
7. Заключение: Некоторые неиголки есть изделия, не
имеющие честолюбивых намерений.
Пример 7.
1. Все эти блюда отлично приготовлены.
Некоторые блюда, если их плохо приготовить, вредны для
здоровья.
2. Все блюда, относящиеся к «этим», есть отлично
приготовленные блюда.
Некоторые плохо приготовленные блюда есть блюда,
вредные для здоровья.
3—5. И = блюда, В = отлично приготовленные, А = эти,
С = вредные для здоровья.
6.
Все А есть
Некоторые
Некоторые
А
в -в
ничего не следует
В.
—В
есть С.
С есть
С
**\
с
А
-А.
^в +
-А
-С
У^^В
ничего не следует
7. Заключение: Некоторые вредные для здоровья блюда
не принадлежат к числу этих блюд.
Пример 8.
1. Некоторые устрицы молчаливы.
Молчаливые существа не очень-то забавны.
144

2. Некоторые живые существа, называемые устрицами,
есть молчаливые существа.
Все молчаливые существа есть не очень забавные
существа.
3—5. И = живые существа, В = молчаливые, А = устрицы,
С - очень забавные.
6.
Некоторые А есть В.
Все В есть —С.
Некоторые А есть -С.
А с
А -А
ничего не следует ничего не следует
7. Заключение: Некоторые устрицы не очень-то
забавны.
Пример 9.
1. Все разумные люди ходят на ногах.
Все неразумные люди ходят на руках.
2. Все разумные люди есть люди, ходящие на ногах.
Все неразумные люди есть люди, ходящие на руках.
3—5. И = люди, В = разумные, А = ходящие на ногах, С я
ходящие на руках.
6.
Все В есть А.
Все — В есть С.
Все —С есть А.
-В
ничего не следует ничего не следует
7. Все, не ходящие на руках, ходят на ногах.
145

Пример JO.
1. Занимайтесь своим делом.
Эта ссора — не ваше дело.
2. Все ваши дела есть дела, которыми немедленно следует
заняться.
Ни одно дело, называемое «этой ссорой», не есть ваше
дело.
3—5. И = дела, В = ваши, А - которыми следует
немедленно заняться, С в эта ссора.
6.
Все В есть А.
Ни одно С не есть В.
в
-с
А
Некоторые А
. ? о
-Б Б"'
есть -С.
С
-Б
ничего не следует
7. Заключение: 1) Некоторые дела, которыми немедленно
следует заняться, не относятся к этой ссоре; 2) Некоторые
дела, не относящиеся к этой ссоре» есть дела, которыми
немедленно следует заняться*
Пример IL
1. Ни один мост не сделан из сахара.
Некоторые мосты красивы.
2. Ни одно сооружение, называемое мостом, не есть
сооружение, сделанное из сахара.
Некоторые сооружения, называемые мостами, есть
красивые сооружения.
3—5. И = сооружения, В = мосты, А = сделанные из сахара,
С = красивые.
6.
Ни одно В не есть А.
Некоторые В есть С.
Некоторые С есть -Л.
146

ничего
A
Г* — Г1 ,4
V.» \* им.
не следует
С
-С
ничего не следует
7. Заключение: 1) Некоторые красивые сооружения не
сделаны из сахара.
Пример 12,
1. Ни одна загадка, которая имеет решение, не интересует
меня.
Все эти загадки неразрешимы.
2. Ни одна имеющая решение загадка не есть загадка,
интересующая меня.
Все эти загадки есть неразрешимые загадки.
3—5. И - загадки, В = имеющие решение, А =
интересующие меня, С « эти загадки.
6.
Некоторые В не есть А.
Все С есть — В.
Некоторые —С есть — А.
С
-С
ничего не следует ничего не следует
7. Заключение: Некоторые из загадок, не являющиеся
этими, не интересует меня.
Пример 13.
1. Некоторые сорта герани красного цвета.
Все эти цвета красные.
2. Некоторые сорта герани есть цветы красного цвета.
Все эти цветы красного цвета.
3—5. И = цветы, В - красного цвета, А - сорта герани,
С • эти.
б.
Некоторые А не есть В.
Все С есть В.
?
147

ничего не следует ничего не следует
7. Заключения нет, т. е. данный силлогизм решения не
имеет.
5. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЫЛОК В СИЛЛОГИЗМАХ
Выведение заключений, или необходимых следствий из
данных посылок, составляет прямую и основную задачу
дедуктивного умозаключения. Но не единственную.
Обратной задачей является нахождение всех или некоторых
посылок, из которых следует данное заключение. Следует
помнить', что одно и то же заключение может следовать из
разных посылок. Поэтому решая обратную задачу
дедуктивного умозаключения, мы находим только достаточные
условия истинности рассматриваемого заключения. Исключение
составляет тот случай, когда заключение и посылки
эквивалентны друг другу.
Пусть X — субъект суждения, рассматриваемого в
качестве предполагаемого заключения, У — его предикат, В —
исключаемый термин. В случае отсутствия двух посылок
обратная задача для силлогизма сводится к поиску таких
двух суждений, одно из которых связывало бы X с В> а
второе — В с У. Когда необходимо восстановить одну
посылку, тогда ищут суждение, связывающее В либо с Х> либо с У.
Допустим, отсутствует обе посылки и предполагаемое
заключение имеет вид общеутвердительного суждения «Все
X есть У». Так как заключение общее, то и обе посылки
также должны быть общими. Первая из них должна быть
эквивалентна суждению «Все X есть В» или «Все X есть -В»,
вторая должна быть соответственно эквивалентна суждению
«Все В есть У» или «Все -В есть У». Если отсутствует одна
посылка, то задача упрощается, так как по имеющейся
посылке легко установить, какое суждение необходимо
добавить.
Допустим, отсутствуют обе посылки и предполагаемое
заключение имеет вид частноутвердительного суждения
«Некоторые X есть У». В этом случае первая посылка
148

(относящаяся к верхней части дерева) может быть как
общей, так и частной. Вторая посылка может быть только
общей. Если первая посылка общая, то она может иметь вид
«Все В есть X» или «Все -В есть X». Вторая посылка
соответственно должна иметь вид «Все В есть У» или «Все
—В есть Y». Если первая посылка частная, то она должна
быть эквивалентна суждению «Некоторые X есть В» или
«Некоторые X есть -В». Вторая посылка имеет вид, как и
предыдущем случае. Если отсутствует одна посылка, то мы
получаем упрощенный вариант рассмотренного случая.
Если предполагаемое заключение имеет вид
общеотрицательного суждения «Ни одно X не есть У», то, превратив его
в общеутвердительное, возвращаемся к рассмотренному
случаю.
Если предполагаемое заключение имеет вид частноотри-
цательного суждения «Некоторые X не есть У», то, превратив
его в частноутвердительное, возвращаемся к рассмотренному
случаю.
Рассмотрим несколько примеров на нахождение двух
посылок.
Пример 1.
Пусть дано суждение «Все А есть -С» в качестве
предполагаемого заключения. Так как оно общее, то обе посылки
должны быть общими. Первая из них может быть
эквивалентна либо суждению «Все А есть Б», либо суждению «Все А
есть — В». Выберем второй вариант. Тоща вторая посылка
должна быть эквивалентна суждению «Все —В есть —С».
Проверяем наши рассуждения.
Все А есть -В.
Все —В есть —С
Все А есть —С.
-5
с -с
Пример 2.
рр
Пусть дано суждение «Ни одно А не есть —С» в качестве
предполагаемого заключения. Так как заключение общее, то
°бе посылки должны быть общими. Первая из них может
149

быть эквивалентна либо суждению «Все А есть 2?», либо
суждению «Все А есть —В». Пусть первая посылка
эквивалентна суждению «Все А есть В». Тоща вторая посылка
должна быть эквивалентна суждению «Все В есть С».
Проверяем наши рассуждения.
Все А есть В.
Все В есть С.
Ни одно А не есть -С
Пример 3.
Пусть дано суждение «Некоторые А есть С» в качестве
предполагаемого заключения. Так как заключение частное,
то первая посылка должна быть либо частной, либо общей с
исключаемым термином в качестве субъекта. Рассмотрим
первую возможность. Если первая посылка частная, то она
должна быть эквивалентна либо суждению «Некоторые А
есть Б», либо суждению «Некоторые А есть — В». Если
выбирается первое суждение, то вторая посылка должна быть
эквивалентна общему'суждению «Все В есть С». Рассмотрим
вторую возможность. В этом случае первая посылка должна
быть эквивалентна либо суждению «Все В есть А», либо
суждению «Все -В есть Л». Выберем второе суждение. Тогда
вторая посылка должна быть эквивалентна суждению «Все
—В есть С».
Проверим наши рассуждения.
Первая возможность.
Некоторые А есть В.
Все В есть С.
Некоторые А есть С.
С -С
150

Вторая возможность.
Все -В есть А
Все —В есть С.
Некоторые А есть С.
Восстановление одной посылки ничего нового к
рассмотренной процедуре не добавляет, так как является ее
составной частью.
Кроме формальных требовании, к поиску посылок,
начиная с Аристотеля, предъявляется и одно содержательное.
Именно: исключаемый термин должен обозначать истинную
причину связи субъекта и предиката в заключении. В
противном случае заключение, будучи правильным формально,
остается недоказанным по существу. Сравним два
силлогизма.
Каждый брошенный вверх
камень испытывает воздействие
силы тяжести Земли.
Каждое тело, испытывающее
воздействие силы тяжести Зем-
ли, стремится упасть на нее.
Каждый брошенный вверх
камень стремится упасть на
Землю.
Каждый брошенный вверх
камень отклоняется от своего
естественного места.
Каждое тело, отклоняющееся от
своего естественного места,
стремится вернуться к нему
(т. е. упасть на Землю).
Каждый брошенный вверх
камень стремится вернуться к
своему естественному месту (т* е.
упасть на Землю).
151

Оба силлогизма имеют одинаковое заключение, но только
первый сегодня считается истинным объяснением. Причина
этого в том, что в физической картине мира Галилея —
Ньютона, пришедшей на смену физике Аристотеля и его
последователей, истинной причиной падения тел на Землю
называется не их стремление вернуться к естественному
месту, а сила земного притяжения. Из всего этого следует,
что нельзя смешивать формальную выводимость заключения
из посылок и его доказательство. Последнее, кроме
выводимости, требует выполнения дополнительных условий (см. об
этом параграф 7 настоящей главы).
6. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ТРЕМЯ И БОЛЕЕ
ПОСЫЛКАМИ (СЛОЖНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ)
Силлогизм называется сложным, если в нем более двух
посылок. Посылки сложных силлогизмов формулируются
всегда в виде общих суждений. Тем не менее возможен вывод
и с одной частной посылкой (см. правило вывода ВВВ2).
Рассмотрим сначала пример, а потом укажем общий
алгоритм решения сложных силлогизмов.
Пусть дан следующий силлогизм:
1. Ни одно С не есть D.
2. Все А есть D.
3. Все В есть С.
Все А есть -В.
В каждом правильно построенном сложном силлогизме
должно быть два различных термина, которые входят в
посылки только один раз и образуют соответственно субъект
и предикат заключения. В нашем примере такими
терминами являются А и В. Все остальные термины, именно С и D,
являются исключаемыми, так как их единственная функция
состоит в том, чтобы связать субъект и предикат заключения.
Таким образом, в сложных силлогизмах имеется более
одного исключаемого термина.
Найдя два термина, входящие в посылки один раз,
выбираем любой из них в качестве вершины силлогистического
дерева. Пусть А будет таким термином. Из терминов
силлогизма строим силлогистическое дерево и маркируем его ветви
в соответствии с правилами Ml—M4. Получаем:
152

A -i
+/\о Вторая посылка
/Г -?> J
Первая °/Ччч"
С -С -|
о//\+ Третья посылка
Двигаясь от вершины А по путям, отмеченным знаком
«+», и принимая во внимание, что все противоположные им
пути отмечены знаком «о», читаем окончательный ответ —
«Все А есть -В».
Если выбрать в качестве вершины силлогистического
дерева термин В, то мы получим контрапозицию первого
заключения, именно суждение «Все В есть -А».
В
+/\о
-С
D -Z)
Оба заключения эквивалентны друг другу.
Следовательно, достаточно получить какой-либо один из них.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать
следующий общий алгоритм решения сложных силлогизмов.
1. Формулируем посылки сложного силлогизма.
2. Приводим посылки к нормальной форме.
3. Определяем универсум силлогизма и обозначаем
термины в алфавитном порядке.
4. Записываем все посылки в символической форме и
решаем силлогизм.
5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение
с символического языка на естественный.
Поскольку сложный силлогизм — это умноженный
простой силлогизм, то правила маркировки, вывода, заключения
не имеют принципиальных отличий от соответствующих
правил для простых силлогизмов.
ПРАВИЛА МАРКИРОВКИ.
МММ1. Маркировка путей силлогистического дерева
начинается с вершины и проводится с помощью правил Ml—
153

М4. Первой используется та посылка, которая содержит в
качестве субъекта термин, обозначающий вершину дерева.
МММ2. Каждая посылка используется только один раз и
только для продолжения пути, отмеченного знаком «+», т. е.
пути, отмеченные знаком «о», дальнейшей маркировке и
продолжению не подлежат.
ПРАВИЛА ВЫВОДА.
8881. Если существует путь от вершины
силлогистического дерева X до какого-либо конечного узла У, отмеченный
знаком «+», а все противоположные ему пути отмечены
знаком «о», то в качестве заключения следует суждение «Все
X есть У».
8882. Если существует путь от вершины
силлогистического дерева X до какого-либо конечного узла У, отмеченный
знаком «+», и первый противоположный путь (т. е.
исходящий из вершины) отмечен знаком «?», а все остальные
противоположные ему пути отмечены знаком «о», то в
качестве заключения следует суждение «Некоторые X
есть У».
Решение сложных силлогизмов имеет две особенности.
Во-первых, для них обратная и обратно-противоположная
форма силлогистического дерева совпадают. Во-вторых,
частная посылка должна быть не только единственной, как и
в простом силлогизме, но должна использоваться первой. В
противном случае силлогизм не имеет решения.
Рассмотрим несколько примеров, используя сложные
силлогизмы Л. Кэррола *
Пример 1.
AI. Малые дети неразумны.
2. Тот, кто способен укрощать крокодилов, заслуживает
уважения.
3. Неразумные люди не заслуживают уважения.
B) 1. Люди, называемые малыми детьми, есть
неразумные люди.
2. Все люди, способные укрощать крокодилов, есть люди»
заслуживающие уважения.
3. Все неразумные люди есть люди, не заслуживающие
уважения.
1 Кэррол Л. История с узелками. М., 1973, С. 291—304.
154

C) И = люди, А - малые дети, В - неразумные, С =
способные укрощать крокодилов, D - заслуживающие
уважения.
D)
1. Все А есть В.
2. Все С есть D.
3. Все Б есть — D.
Все Л есть -С.
Все С есть —А.
-Л
E) Заключение: 1) Все малые дети не способны укрощать
крокодилов; 2) Все, способные укрощать крокодилов, не
являются малыми детьми.
Пример 2.
A) L Мои кастрюли — единственные из принадлежащих
мне вещей, которые сделаны из олова.
2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны.
3. Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы.
B) 1. Только некоторые из моих вещей, именно
кастрюли, есть вещи, которые сделаны из олова.
2. Все мои вещи, являющиеся вашими подарками, есть
чрезвычайно полезные вещи.
3. Ни одна моя вещь, являющаяся кастрюлей, не есть
вещь, которая полезна.
C) И - мои вещи, А - кастрюли, В - сделанные из олова,
С ¦ ваши подарки, В = чрезвычайно полезные.
D)
1. Все В есть А.
2. Все С есть D.
3. Ни одно А не есть Р.
Все В есть -С.
Все С есть -В.
J55

E) Заключение: 1) Все мои вещи, сделанные из олова,
есть не ваши подарки; 2) Все ваши подарки сделаны не из
олова.
Пример 3.
AI. Ни один из товаров, который был куплен и оплачен,
не находится более в продаже в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров нельзя вынести из магазина,
если на нем нет ярлычка с надписью «Продано».
3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка с надписью
«Продано», если он не куплен и не оплачен.
B) 1. Ни один из товаров в этом магазине, который был
куплен и оплачен, не есть товар, который находится в
продаже в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров, если на нем нет ярлычка с
надписью «Продано», не есть товар, который можно вынести
из этого магазина.
3. Ни один из товаров в этом магазине, если он не куплен
и не оплачен, не есть товар, на котором имеется ярлычок с
надписью «Продано».
C) И в товары в этом магазине, А = купленные и
оплаченные, В = находящиеся в продаже, С - имеющие
ярлычок с надписью «Продано», D = которые можно вынести
из этого магазина.
D)
1. Ни одно А не есть В.
2. Ни одно -С не есть D.
3. Ни одно —А не есть С.
Все В есть -Z)
Все D есть -В
E) Заключение: 1) Все товары в этом магазине,
находящиеся в продаже, нельзя вынести из этого магазина; 2) Все
товары, которые можно вынести из этого магазина, не
находятся в продаже.
156

В D
А -А С -С
o/\+ +/\°
С -С А -А
o/\ + q/ \+
D -D В -В
В следующих примерах пункт 2, связанный с приведением
к нормальной форме посылок, опускается.
Пример 4.
A) 1. Вещи, продаваемые на улице, не имеют особой
ценности.
2. Только дрянь можно купить за грош.
3. Яйца большой гагарки представляют большую
ценность.
4. Лишь то, что продается на улице, и есть настоящая
дрянь.
B)—C) И = вещи, А » продаваемые на улице, В «
имеющие особую ценность, С = дрянные вещи, D = которые
можно купить за грош, Е = яйца большой гагарки.
D)
1. Все А есть — В.
2. Только С есть D
есть -D.
3. Все Е есть В.
4. Все —А есть —С.
Все Е есть
Все D есть
Е
в -в
оА +
А -А
С -С
А
О / N
в
= Все -С
-л
-Е
E) Заключение: 1) Яйца большой гагарки нельзя купить
за грош; 2) Все вещи, которые можно купить за грош, не
яйца большой гагарки.
757

Пример 5.
A) 1. Ни одна историческая поэма не останется не
признанной людьми с тонким вкусом.
2. Ни одна современная поэма не свободна от аффектации.
3. Все ваши поэмы написаны о мыльных пузырях.
4. Ни одна аффектированная поэма не находит признания
у людей с тонким вкусом.
5. Ни одна древняя поэма не написана о мыльных
пузырях.
B)—C) И = поэмы, А - интересные, В - получившие
признание у людей с тонким вкусом, С = современные, D =
аффектированные, Е = ваши, И = написанные о мыльных
пузырях.
D)
1. Ни одно А не есть —Б.
2. Ни одно С не есть — D.
3. Все Е есть Н.
4. Ни одно D не есть В.
5. Ни одно —С не есть И.
Все А есть -Е.
Все Е есть -А.
E) Заключение: 1) Все интересные поэмы написаны не
вами; 2) Все ваши поэмы не интересны.
Пример 6.
A) 1. Ни один муж, дарящий жене новые платья, не
может быть несговорчивым.
2. Аккуратный муж всегда возвращается домой к чаю.
3. Жене нелегко приводить в порядок одежду мужа, если
он имеет обыкновение вешать свою шляпу на газовый рожок.
158

4. Хороший муж всеща дарит жене новые платья.
5. Ни один муж не может быть несговорчивым, если жена
не следит за его одеждой.
6. Неаккуратный муж всеща вешает свою шляпу на
газовый рожок.
B)—C) И = мужья, А - дарящие жене новые платья,
В - несговорчивые, С - аккуратные, D - всегда
возвращаются домой к чаю, Е = вешающие свою шляпу на газовый
рожок, Я = за одеждой которых жене легко следить, К -
хорошие.
D)
в
0/
Е
1. Ни
2. Все
3. Все
4. Все
5. Ни
б. Все
Все Х
одно А не есть 2?.
С есть D.
? есть —Я.
iC есть -А.
одно —Я не есть -Л.
—С есть Е.
есть 2>.
Все -D есть —К*
К
+/\ о
А -А
/^\ +
+ УЧ
гг гг
-Е
С -С
о/\+
с -с
я -я
Л -В
о/\+
/>
E) Заключение: 1) Все хорошие мужья всеща
возвращаются домой к чаю; 2) Все не возвращающиеся домой к чаю
мУжья есть нехорошие мужья.

7. ДЕДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ
«Тот, кто хочет что-то обосновать, должен
рассмотеть, при существовании чего будет
существовать обсуждаемый предмет (ибо,
если доказано, что то налицо, будет доказано и
существование обсуждаемого предмета). Тот
же, кто хочет что-то опровергнуть, должен
рассмотреть, что же существует, если
существует обсуждаемый предмет, ибо, если мы
докажем что то, что следует из обсуждаемого
предмета, не существует, то мы опровергнем
и обсуждаемый предмет».
Аристотель. Топика.
Если умозаключение составляет суть умственной
деятельности, то доказательство и опровержение образуют ее
важнейшие цели. Доказывая, мы ищем истину; опровергая, мы
разоблачаем ложь. Именно поиски истины и разоблачение
лжи превращают умозаключение в доказательство или
опровержение соответственно. Мы будем называть
доказательством любое умозаключение, из посылок которого с
необходимостью следует истинность обсуждаемого суждения.
Соответственно опровержением будем считать любое
умозаключение, из посылок которого с необходимостью следует
ложность обсуждаемого суждения.
Между доказательством и опровержением существует
определенная симметрия. Если мы доказываем истину, то
одновременно опровергаем все несовместимые с ней ложные
суждения. Наоборот, опровергая какую-либо ложь, мы тем
самым доказываем противоречащей ей истину. Эта
симметрия показывает, что между доказательством и
опровержением нет жесткой границы. Различие между ними
функциональное.
Существуют три канонических вопроса, на которые
необходимо дать ответ прежде, чем начинать доказательство или
опровержение. Первый вопрос — что именно следует
доказывать или опровергать? Второй вопрос — на основании чего
следует доказывать или опровергать? Третий вопрос — как
именно следует доказывать или опровергать?
Отвечая на первый вопрос, мы формулируем тезис (от
греч. thesis — утверждение) доказательства или
опровержения, т. е. суждение, истинность или ложность которого
должна обосновываться. Отвечая на второй вопрос, мы формх*
лируем аргументы (от лат. argumentum — довод, основание)
доказательства или опровержения, т. е. суждение, с по-
160

мощью которых обосновывается истинность или ложность
тезиса. Отвечая на третий вопрос, мы формулируем
демонстрацию (от лат. demonstratio — показывание)
доказательства или опровержения, т. е. то умозаключение, с помощью
которого логически связываются тезис и аргументы.
Доказательство и опровержение невозможны хотя бы без
одной из указанных частей. В самом деле, если нет тезиса,
то мы не знаем, что доказывать или опровергать; если нет
аргументов, то мы не знаем, с помощью каких суждений
доказывать или опровергать тезис; если нет демонстрации,
то мы не знаем, как построить процесс доказательства или
опровержения тезиса, чтобы он был логически
убедительным.
В качестве тезиса может быть выставлено любое
суждение, истинность или ложность которого нуждается в
обосновании. Тезисом может быть теорема, гипотеза, судебная
версия, предсказание, истинность или ложность которых еще
предстоит установить. Суждение, противоречащее тезису,
называется антитезисом. Из истинности тезиса следует
ложность антитезиса. Из ложности тезиса следует истинность
антитезиса. Обратное с некоторым ограничением также
верно. Следовательно, доказательство истинности тезиса можно
заменить в некоторых случаях опровержением ложности
антитезиса, а опровержение ложности тезиса —
доказательством истинности антитезиса.
В качестве аргументов могут выступать любые суждения,
если они, во-первых, истинны и, во-вторых, имеют
отношение к обосновываемому тезису. Например, при
доказательстве какого-либо морального суждения вряд ли будет
уместным приведение в качестве аргумента истинного закона
всемирного тяготения Ньютона. Истинность аргументов
доказывается всегда независимо от тезиса. Подбор аргументов
требует в большинстве случаев глубокого проникновения в
суть решаемой проблемы, богатого воображения и тонкой
интуиции.
По типу используемых умозаключений демонстрации
можно разделить на дедуктивные и недедуктивные. Следует,
однако, помнить, что всякая демонстрация — это нечто
большее, чем используемое в ней умозаключение. Как
отмечал В. ф. Асмус, демонстрация — это умозаключение об
Умозаключении 1, так как она связывает умозаключение с
Асмус В. ф. Логика. М., 1947, С. 345—346&
6 За* 21° 161

определенными условиями его истинности и ложности.
Разделим дедуктивную демонстрацию на дедуктивное
доказательство и дедуктивное опровержение и рассмотрим их
последовательно.
ДЕДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть Т обозначает тезис, — Т = антитезис, А —
множество аргументов, -А — дополнение (отрицание) аргументов.
Дедуктивное доказательство может совершаться прямо или
косвенно. Прямое доказательство — обоснование того, что
тезис является логическим следствием представленных
истинных аргументов. Прямое доказательство имеет вид
следующего умозаключения:
Из А логически следует Т.
А истинно. A)
Т истинно.
Простейшим примером прямого доказательства является
силлогизм, посылки которого необходимо истинны. В этом
случае посылки превращаются в аргументы, а заключение
силлогизма — в тезис.
При косвенном доказательстве обосновывается ложность
антитезиса, из чего делается вывод, что тезис истинный.
Ложность антитезиса может быть обоснована двумя
способами. Согласно первому, из антитезиса выводится или
следствие, несовместимое с аргументами, или противоречие. В том
и другом случае имеются основания сделать вывод о
ложности антитезиса и истинности тезиса. Доказательство имеет
вид следующего умозаключения:
Из — Т выводимо или следствие,
несовместимое с А, или
противоречие.
А истинно. B)
Т истинно.
Для косвенного доказательства вторым способом
требуется сначала сформировать множество таких альтернатив,
чтобы они, во-первых, исключали друг друга; во-вторых,
вместе исчерпывали все возможные решения обсуждаемой
проблемы и, следовательно, содержали истинное решение;
в-третьих, включали тезис как один из вариантов решения.
Если с помощью аргументов удается исключить все альтер-
162

нативы, кроме обозначаемой тезисом, то истинность
последнего доказывается косвенно. Рассматриваемое
доказательство имеет вид следующего умозаключения:
Истинно или Т, или Ti,
или Тг, ..., или ТЛ.
А несовместимо с Ti, T2, ..., TV
А истинно. C)
Т истинно.
Считается, что прямое доказательство убедительнее
косвенного. С этим необходимо согласиться. При прямом
доказательстве мы конструируем тезис, а при косвенном лишь
доказываем невозможность существования антитезиса. Из
прямого доказательства всегда следует косвенное, но
обратное в общем неверно.
ДЕДУКТИВНОЕ ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Дедуктивное опровержение различают в зависимости от
того, что опровергается — тезис, аргументы или
демонстрация. Если опровергается тезис, то доказывается его ложность.
Если опровергаются аргументы, или демонстрация, то
обосновывается только недоказанность тезиса, которую нельзя
путать с его ложностью. Тезис может быть истинным, даже
если аргументы ложные.
Тезис можно дедуктивно опровергнуть прямым и
косвенным способом. Прямое опровержение имеет вид следующего
умозаключения:
Из Т выводимо или следствие,
несовместимое с А, или
противоречие.
А истинно. D)
Т ложно.
Косвенное опровержение, как и косвенное
доказательство, может быть выполнено двумя способами. Во-первых,
можно использовать умозаключение:
Из А логически следует -Т.
А истинно. E)
Т ложно.
Во-вторых, можно рассуждать и следующим образом:
*• 163

Истинно или — Т, или Ti,
ИЛИ Т2, ..., ИЛИ Т/2.
А несовместимо с Ti, T2, ..., Тп
А истинно. F)
Т ложно.
По причинам, указанным для доказательства, прямое
опровержение считается более предпочтительным, чем
косвенное. Опровержение аргументов и демонстрации
обосновывает не ложность тезиса, а только его недоказанность.
Опровержение аргументов имеет вид следующего
умозаключения:
Из А следует Т.
А ложно (противоречиво). G)
Т не доказано.
Недоказанность тезиса означает, что мы не можем
приписать ему ни значение «истинно», ни значение «ложно».
Доказывая ложность аргументов нашего оппонента, мы
лишаем его возможности категорически утверждать истинность
обсуждаемого тезиса.
Опровержение демонстрации строится в виде следующего
умозаключения:
Из А не следуют логически
ни Т, ни -Т.
А истинно. (8)
Т не доказано.
Эффект опровержения демонстрации тот же, что и
опровержения аргументов — обоснование недоказанности тезиса.
Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное
значение имеет истинность аргументов. Она необходима как
для доказательства, так и для опровержения. Кроме того,
необходимо также, чтобы или тезис, или антитезис являлся
логическим следствием аргументов. Эти две особенности
определяют специфику дедуктивного доказательства и
опровержения. Рассмотрим несколько примеров дедуктивной
демонстрации.
Пример 1.
Построить прямое доказательство тезиса Т = Ни одно В
не есть С. Ищем истинные аргументы, из которых данный
164

тезис следует с необходимостью. Пусть такими аргументами
будут суждения: Ai = Ни одно В не есть —D, A2 - Все D есть
—Е, Аз = Ни одно -Е не есть С. Строим сложный силлогизм
и проверяем его:
Ai e Ни одно В не есть -D.
А2 = Все D есть -Е.
Аз = Ни одно —Е не есть С.
Т = Ни одно В не есть С.
Так как аргументы истинны и тезис является их
необходимым следствием, то мы имеем требуемое доказательство.
Пример 2.
Построить первым способом косвенное доказательство
тезиса Т = Некоторые В есть С на основании следующих
истинных аргументов: Ai = Все D есть В, А2 = Все D есть С.
Допускаем временно истинность антитезиса — Т = Ни одно
В не есть С и проверяем его совместимость с указанными
аргументами:
-Т = Ни одно В не есть С.
Ai - Все D есть В.
кг - Все D есть С.
Противоречие.
Так как аргументы истинны и несовместимы с
антитезисом, то следует вывод, что данный тезис истинный.
Пример 3.
Построить прямое опровержение тезиса Т = Некоторые
В не есть С. Ищем истинные аргументы, которые были бы
несовместимы с данным тезисом. Пусть такими
аргументами являются суждения: Ai = Все -D есть — В, А2 = Все
-С есть -D. Строим силлогизм и проверяем наличие
совместимости:
Т = Некоторые В не есть С.
Ai = Все — D есть — В.
Аг - Все —С есть — D.
Противоречие.
Так как аргументы истинны и несовместимы с тезисом,
то последний опровергается.
165

Пример 4.
Построить первым способом косвенное опровержение
тезиса Т = Все В есть С. Допускаем истинность антитезиса
-Т - Некоторые В не есть С и ищем истинные аргументы,
из которых он следует с необходимостью. Допустим такими
аргументами являются: Ai = Некоторые -D есть В, Аг = Ни
один — D не есть С. Строим силлогизм и проверяем его
корректность:
Ai = Некоторые -D есть В.
Аг = Ни один —D не есть С.
-Т - Некоторые В не есть С.
Так как аргументы истинны и антитезис является их
необходимым следствием, то тезис ложен.
Пример 5.
Построить вторым способом косвенное доказательство
тезиса Т ¦ Все В есть С. Известно, что альтернативами Т
являются: Ti = Все В есть Су, Тг = Все В есть С 2. Также
известно, что все три тезиса исчерпывают все возможные
решения обсуждаемой проблемы и, кроме того, исключают
друг друга. Ищем аргументы, которые были бы истинны и
исключали Ti и Тг. Пусть такими аргументами являются
суждения: Ai = Ни одно D не есть — В, Аг = Ни одно D не
есть Су, Аз = Ни одно D не есть С2. Строим два сложных
силлогизма для доказательства несовместимости и с
указанными аргументами соответственно:
Ti = Все В есть С/.
Ai = Ни одно D не есть -В.
Аг = Ни одно D не есть С\.
Ti опровергается.
Т2 = Все В есть С2.
Ai = Ни одно D не есть —В.
Аз = Ни одно D не есть С2.
Тг опровергается.
Так как аргументы истинны и несовместимы с Ti и Тг,
то оба эти тезиса исключаются как ложные, а тезис Т
доказывается как истинный.
166

Пример 6.
Построить вторым способом косвенное опровержение
тезиса Т = Все В есть С. Составляем список взаимно
исключающих и совместно исчерпывающих обсуждаемую проблему
альтернатив, в число которых входит антитезис — Т = Ни
одно D не есть С. Пусть такими альтернативами являются
следующие суждения: Ti = Ни одно В не есть С/, Тг в Ни
одно В не есть С2- Ищем истинные аргументы, исключающие
как Ti, так и Тг. Пусть такими аргументами являются
суждения: Ai = Некоторые В есть С/, Кг - Некоторые В есть
С2. Строим два силлогизма для проверки несовместимости
указанных аргументов с тезисами Ti и Тг:
Ti = Ни одно В не есть С/.
Ai = Некоторые В есть С\.
Противоречие.
Т2 = Ни одно В не есть Сг.
Кг = Некоторые В есть Сг.
Противоречие.
Так как аргументы истинны и исключают тезисы Ti и Тг,
то антитезис — Т является истинным. Из истинности
антитезиса —Т следует ложность тезиса Т.
Пример 7.
«Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезь-
янских племен мартышек, орангуташек и т. п. Простите
меня, старичка, но я с Вами касательно этого пункта не
согласен и могу Вам запятую поставить. Ибо, если человек,
властитель мира, умнейшее из дыхательных существ,
произошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него был
бы хвост и дикий голос». (А П. Чехов. Письмо к ученому
соседу).
Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в
котором И = живые существа, В = люди, С = произошедшие
от обезьян, D = имеющие хвост и дикий голос.
Опровергаемым тезисом является суждение «Все люди произошли от
обезьян», т. е. Т = Все В есть С. Первым аргументом является
суждение «Все живые существа, произошедшие от обезьян,
обязаны иметь хвост и дикий голос», т. е. Ai = Все С есть D.
Вторым аргументм следует считать суждение «Люди не
имеют хвоста и дикого голоса», т. е. Кг = Ни одно В не есть
167

D. Второй аргумент в явном виде не присутствует в
рассуждении, но подразумевается как самоочевидный факт.
Опровержение строится как доказательство
несовместимости по истине тезиса с аргументами Ai и А2, т. е. по схеме
D). Для проверки построим следующее сложное
умозаключение:
Т = Все В есть С.
Ai = Все С есть D.
кг - Ни одно В не есть D.
Все В есть -В.
Заключение силлогизма свидетельствует о
несовместимости его посылок. Так как герой рассказа признает истинными
оба аргумента и так как несовместимые суждения вместе
истинными быть не могут, то тезис необходимо является
ложным. Опровержение в целом имеет вид следующего
умозаключения:
Из Т и Ai выводимо суждение
«Все В есть D».
Аг несовместимо с суждением
«Все В есть D».
А\ и Аг истинны.
Т ложно.
В отличие от чеховского героя мы посчитали бы первый
аргумент ложным. В этом случае опровержение теряет свою
силу, т. е. ложность тезиса остается недоказанной.
Пример 8.
Все, что требует
желудок, тело
или ум, —
все человеку представляет ГУМ
(В. В. Маяковский).
Приведенный рекламный текст содержит прямое
доказательство, в котором И = магазины, В = с товарами для
желудка, С = которые стоит посещать, D = называемые
ГУМом. Мы не ошибемся, если в качестве тезиса выставим
суждение «ГУМ стоит посетить», т. е. Т = Все D есть С.
Первым аргументом является суждение «Магазины, в
которых есть товары для желудка, тела и ума, стоит посещать»,
т. е. Ai = Все В есть С. Вторым аргументом, учитывая цель
рекламы, будет суждение «Только в ГУМе имеются товары
168

для желудка, тела и ума», т. е. А 2 = Только D есть 2?. Прямое
доказательство предполагает логическое следование тезиса
из истинных аргументов. Для проверки этого построим
следующий простой силлогизм:
Ai = Все В есть С.
А2 - Только D есть В.
Т = Все D есть С.
Силлогизм является правильным. Следовательно,
доказательство выглядит так
Из Ai и Аг логически следует Т.
Ai и Аг истинны.
Т истинно.
Пример 9.
«Снова завладеть однажды благом лучше, чем никогда не
утрачивать его. Ибо мы лучше ценим его благодаря
воспоминанию о том времени, когда были лишены его. Поэтому
лучше выздороветь, чем не быть больным». (Т. Гоббс.
Сочинения в 2-х томах. М., 1989, Т. 1. С. 246).
Приведенное рассуждение содержит прямое
доказательство, в котором И = люди, В = снова завладевшие однажды
потеряным благом, С = ценящие вернувшееся благо выше,
чем благо никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию
о том времени, когда были лишены его, D = выздоровевшие,
Е = ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье,
никогда не терявшееся. Тезисом является суждение «Все
выздоровевшие есть люди, ценящие вернувшееся здоровье
выше, чем здоровье, никогда не терявшееся», т. е. Т = Все D
есть Е. Суждение «Все люди, снова завладевшие однажды
потеряным благом, есть люди, ценящие вернувшееся благо
выше, чем благо, никогда не терявшееся, вследствие
воспоминаний о том времени, когда были лишены его» является
первым аргументом, т. е. Ai = Все В есть С. Суждение «Все
выздоровевшие есть люди, снова завладевшие однажды
потеряным благом» представляет собой второй аргумент, т. е.
Аг = Все D есть В. Суждение «Все ценящие вернувшееся
благо выше, чем никогда не терявшееся, благодаря
воспоминанию о том времени, когда были лишены его, есть люди,
Ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье никогда
не терявшееся», представляет третий аргумент, т. е. Аз - Все
С есть Е. Для проверки следования силлогизма из перечис-
169

ленных аргументов построим следующий сложный
силлогизм:
Ai = Все В есть С.
А2 - Все D есть В.
Аз = Все С есть Е.
Т = Все D есть Е.
Так как тезис следует из указанных аргументов и так как
последние истины, то справедливо следующее
умозаключение:
Из Ai, A2 и Аз логически
следует Т.
Ai, A2 и Аз истинны.
Т истинно.
Пример 10.
«То, — говорит он (стоик Зенон Китийский. — В. С.), что
лишено души и разума, не может породить из себя
одушевленное и владеющее разумом. Мир же порождает
одушевленное и владеющее разумом. Следовательно, мир должен
быть одушевленным и владеющим разумом» 1.
Приведенное рассуждение содержит прямое
доказательство тезиса, в котором И = вещи, В = лишенные души и
разума, С = способные породить из себя нечто одушевленное
и владеющее разумом, D = являющееся миром. Тезисом
выступает суждение «Мир есть одушевленная и владеющая
разумом вещь», т. е. Т = Все D есть —В. Первый аргумент —
суждение «Ни одна вещь, лишенная души и разума, не есть
вещь, способная породить из себя нечто одушевленное и
владеющее разумом.», т. е. Ai » Ни одно В не есть С. Второй
аргумент — суждение «Мир порождает одушевленное и
владеющее разумом», т. е. А2 = Все D есть С. Проверяем
следование тезиса из названных аргументов:
Ai = Ни одно В не есть С.
А2 - Все D есть С.
Т - Все D есть -В.
Так как тезис следует из аргументов и последние,
согласно Зенону, истинны, то справедливо умозаключение:
1 Цицерон. Философские трактаты. М„ 1985. С. 107.
170

Из Ai и Аг логически следует Т.
Ai и Аг истинны.
Т истинно.
В приведенном доказательстве бесспорным является
второй аргумент. Истинность первого аргумента сомнительна с
научной точки зрения. Поэтому хотя тезис и следует из
аргументов, его доказанность остается под вопросом.
Пример 11.
«Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что
остается, называют абсолютным пространством; при этом все
отношения, следующие из расположения тел и расстояний
между телами, исчезли вместе с телами. Кроме того, такое
пространство является бесконечным, неподвижным,
неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенный связей и
различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны,
или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть
просто ничто. Единственное несущественное затруднение
состоит в том, что оно протяженно, а протяженность —
положительное качество. Но что это за протяженность, я
спрашиваю, которая не может быть ни разделена, ни
измерена, любая часть которой недоступна ни чувственному
восприятию, ни воображению?... Чистый интеллект также
ничего не знает об абсолютном пространстве. Эта способность
находится в соотношении только с духовнымии
непротяженными вещами, такими, как наши мысли, их модусы, страсти,
добродетели и т. п. Уберите из абсолютного пространства
само название, и от него ничего не останется ни в чувстве,
ни в воображении, ни в интеллекте» *.
В приведенном рассуждении содержится опровержение
введенного И. Ньютоном понятия абсолютного пространства.
В этом рассуждении И = вещи и их отношения друг к другу,
В = существующие, С = наблюдаемые, измеримые,
познаваемые, D - образующие абсолютное пространство. Тезисом
выступает суждение «Абсолютное пространство существует»,
Т = Все D есть В. Первый аргумент — суждение «Все
существующие вещи есть вещи, наблюдаемые, измеряемые,
познаваемые», Ai = Все В есть С. Второй аргумент —
суждение «Абсолютное пространство есть вещь, но не
познаваемая, не измеряемая, не наблюдаемая», Аг в Все D есть
Ееркли Д. Сочинения. М., 1978. С. 379.
171

—С. Опровержение строится как доказательство
несовместимости тезиса с истинными аргументами. Для проверки
построим следующий сложный алгоритм:
Т = Все D есть В.
Ai = Все В есть С.
А2 = Все D есть — С.
Все D есть -D.
Из несовместимости тезиса и аргументов и истинности
последних следует знаменитое опровержение Дж. Беркли:
Из Т и Ai следует «Все D
есть С».
А2 несовместимо с «Все D
есть С».
Ai и А2 истинны.
Т ложно.
Таким образом, Дж. Беркли рассуждал в приведенном
отрывке согласно схеме D).
Пример 12.
«—Общие рассуждения! — продолжал Пигасов: — смерть
моя эти общие рассуждения, обозрения, заключения! Все это
основано на так называемых убеждениях; всякий толкует о
своих убеждениях и еще уважения к ним требует, носится с
ними... Эх!
И Пигасов потряс кулаком в воздухе. Пиндалевский
рассмеялся.
— Прекрасно! — промолвил Рудин: — стало быть,
по-вашему, убеждений нет?
— Нет — и не существует.
— Это ваше убеждение?
— Да.
— Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на
первый случай.
Все в комнате улыбнулись и переглянулись.»
(Я. С. Тургенев. Рудин).
Приведенный диалог интересен тем, что один из его
участников, Пигасов, пытаясь обосновать свою точку зрения,
приводит самопротиворечивое множество аргументов и тем
самым оставляет свой тезис без доказательства. Чтобы
увидеть это, формализуем процесс рассуждения. Пусть И =
рассуждения, В = общие, С = пустые, D = основанные на
172

убеждениях. Тезис, который Пигасов пытается обосновать,
представляет суждение «Все общие рассуждения — пустые»,
Т = Все В есть С. Убеждения, согласно Пигасову, составляют
необходимое условие истинности общих рассуждений.
Первым аргументом поэтому является суждение «Все общие
рассуждения есть рассуждения, основанные на убеждениях»,
Ai - Все В есть Z). Вторым аргументом является мысль
Пигасова о том, что убеждений не существует. Эту мысль
выражает суждение «Все рассуждения, основанные на
убеждениях, есть пустые (т. е. несуществующие) рассуждения»,
Аг - Все D есть С. К этим аргументам, в пылу полемики,
Пигасов добавил еще один, разрушивший построенную
демонстрацию. Таким аргументом стала мысль, что некоторые
убеждения существуют. Эта мысль выражается суждением
«Некоторые рассуждения, основанные на убеждениях, есть
непустые (т. е. существующие) рассуждения», Аз =
Некоторые D есть -С. Для того, чтобы проверить противоречивость
выдвинутых аргументов, построим следующий сложный
силлогизм
Ai = Все В есть D.
А2 в Все D есть С.
Аз = Некоторые D есть —С.
Противоречие.
Итак, аргументы Пигасова образуют противоречие. Как
мы знаем, любое суждение является логическим следствием
противоречивой системы посылок. Следовательно, тезис
Пигасова следует из его аргументов и все его рассуждение
соответствует схеме G):
Из Ai, A2, A3 следует Т.
Из Ai, A2, A3 вместе образуют
противоречие.
Т не доказано.
Еще раз убеждаемся, что логически следовать из
аргументов не означает с необходимостью доказываться этими
аргументами.
Пример 13.
«Установив такое начало (что мир есть тело в высшей
степени совершенное, упорядоченное. — В. С), мы можем
непосредственно из него сделать тот вывод, что если тела,
составляющие вселенную, должны по природе своей обладать
173

движением, то невозможно, чтобы движения их были
прямолинейными и вообще какими бы то ни было, кроме как
круговыми; основание этого просто и ясно. Ведь то, что
движется прямолинейным движением, меняет место, и если
движение продолжается, то движущееся тело все больше и
больше удаляется от своей исходной точки и от всех тех мест,
которые оно последовательно прошло; а если такое движение
ему естественно присуще, то оно с самого начала не
находилось на своем естественном месте, и значит, части вселенной
не расположены в совершенном порядке; однако мы
предполагаем, что они подчинены совершенному порядку; значит
невозможно допустить, чтобы им, как таковым, по природе
было свойственно менять места, т. е., следовательно,
двигаться прямолинейно» *.
В приведенном рассуждении Галилея объединены вместе
прямое и косвенное доказательство естественности кругового
движения. Пусть И = движения, В = естественные, С =
круговые, D - подчиненные совершенному порядку.
Доказываемым тезисом служит суждение «Естественное движение
является круговым», т. е. Т = Все В есть С. Первый
аргумент — суждение «Естественное движение подчиняется
совершенному порядку», т. е. Ai ¦ Все В есть D. Второй
аргумент — суждение «Движение, подчиненное
совершенному порядку, является круговым», т. е. Аг = Все D есть С.
Прямое доказательство требует, чтобы тезис следовал из
аргументов. Проверим это.
Ai = Все В есть D.
кг = Все D есть С.
Т - Все В есть С.
Итак, тезис из аргументов следует и последние истинны.
Следовательно, имеет место умозаключение:
Из Ai и А2 логически следует Т.
^Ai и Аг истинны.
Т истинно.
Косвенное доказательство строится как обоснование
невозможности прямолинейного движения, т. е. как
обоснование ложности антитезиса.
Галилео Галилей, Избранные труды в 2-х томах. М., 1964, Т. 1
С. 115—116.
174

Антитезисом является суждение «Некоторые
естественные движения не являются круговыми», т. е. -Т =
Некоторые В не есть С. Для косвенного доказательства требуется
несовместимость аргументов с антитезисом. Проверяем это
условие:
—Т = Некоторые В не есть С.
Ai = Все В есть D.
Аг = Все D есть С.
Противоречие.
Аргументы несовместимы с антитезисом и истинны.
Следовательно, имеет место следующее умозаключение:
Из —Т, Ai, A2 выводимо
противоречие.
Ai и А2 истинны.
Т истинно.
Косвенное доказательство в общем является избыточным,
когда имеется прямое. Но вместе, как свидетельствует
рассуждение Галилея, они усиливают психологическое
восприятие истинности тезиса. А это иногда не менее важно, чем
логически обоснованное доказательство.
Более подродно о связи логики и психологии
доказательства и опровержения будет рассказано в главе, посвященной
риторике.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите, если это возможно, следующие кэрроловские
силлогизмы.
1) Он дал мне пять фунтов стерлингов.
Я был в восторге.
2) Он всегда поет меньше часа.
Слушать пение в течение часа утомительно.
3) Ни один лентяй не достоин славы.
Некоторые художники — не лентяи.
4) Все бледные люди флегматичны.
Только те, кто бледен, имеют поэтическую внешность.
5) Ричард вне себя от гнева.
Никто, кроме Ричарда, не может ездить верхом на этой
лошади.
175

6) Предусмотрительные путешественники имеют при
себе деньги на мелкие расходы.
Непредусмотрительные путешественники теряют свой
багаж.
7) Золото тяжелое.
Ничто, кроме золота, не заставит его замолчать.
8) Скучные люди наводят тоску.
Когда скучный человек собирается уходить из гостей, его
никогда не просят остаться.
9) Все совы приятны.
Некоторые извинения неприятны.
10) Некоторые барашки распускаются на вербе.
Все барашки кудрявые.
11) Некоторые лысые люди носят парики.
У всех детей свои волосы.
12) Ласки иногда спят.
Все животные иногда спят.
2. Решите следующие кэрроловские сложные силлогизмы.
1) 1. Всякий, кто находится в здравом уме, может
заниматься логикой.
2. Ни один лунатик не может быть присяжным
заседателем.
3. Ни один из ваших сыновей не может заниматься
логикой.
2) 1. Никто не станет выписывать газету «Тайме», если
он не получил хорошего образования.
2. Ни один дикообраз не умеет читать.
3. Те, кто не умеет читать, не получили хорошего
образования.
3) 1. Яркие цветы всегда благоухают.
2. Я не люблю цветов, выросших на открытом воздухе.
3. Ни один цветок, выросший на открытом воздухе, не
имеет бледной окраски.
4) 1. Мой доктор разрешает мне есть лишь не очень
калорийные блюда.
2. То, что я могу есть, вполне подходит для ужина.
3. Свадебные пироги всегда очень калорийны.
4. Мой доктор разрешает мне есть все, что подходит
для ужина.
5) 1. Ни у одной продаваемой здесь книги, кроме тех книг,
которые выставлены на витрине, нет золоченого обреза.
2. Все авторские издания снабжены красным
ярлычком.
176

3. Все книги с красными ярлычками продаются по цене
от 5 шиллингов и выше.
4. Лишь авторские издания выставляются на витрине.
6) 1. Те, что нарушает свои обещания, не заслуживают
доверия.
2. Любители выпить очень общительны.
3. Человек, выполняющий свои обещания, честен.
4. Ни один трезвеник не ростовщик.
5. Тому, кто общителен, всегда можно верить.
7) 1. Все авторы литературных произведений, постигшие
природу человека, умные люди.
2. Ни одного автора нельзя считать истинным поэтом,
если он не способен волновать сердца людей.
3. Шекспир написал «Гамлета».
4. Ни один автор, не постигший природу человека, не
способен волновать сердца людей.
5. Только истинный поэт мог написать «Гамлета».
8) 1. Любая моя мысль, которую нельзя выразить в виде
силлогизма, поистине смешна.
2. Моя мечта о сдобных булочках не стоит того, чтобы
ее записывать на бумаге.
3. Ни одну мою несбыточную мечту нельзя выразить
в виде силлогизма.
4. Мне не приходило в голову ни одной действительно
смешной мысли, о которой бы я не сообщил своему
поверенному.
5. Я только и мечтаю, что о сдобных булочках.
6. Я никогда не высказывал своему поверенному ни
одной мысли если она не стоила того, чтобы ее записать на
бумаге.
9) 1. Животные, которые не брыкаются, всегда
невозмутимы.
2. У осла нет рогов.
3. Буйвол всегда может перебросить вас через ограду.
4. Животных, которые брыкаются, не легко
проглотить.
5. Животное, у которого нет рогов, не может
перебросить вас через ограду.
6. Все животные, кроме буйвола, легко приходят в
ярость.
3. Можно ли считать логическое следование тезиса из
аргументов достаточным условием его истинности?
Аргументируйте свой ответ.
177

4. Определите в каждом из приведенных ниже отрывков
вид доказательства или опровержения. Проверьте
правильность заключения.
«Количество движения, получаемое беря сумму
количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и
разность, когда они совершаются в стороны
противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою.
Так как по закону III (третий закон движения Ньютона —
В. С.) действие и противодействие между собой равны и
противоположны, то по закону II (второй закон движения
Ньютона. — В. С.) они производят равные изменения
количеств движения, направленные в противоположные стороны.
Таким образом, если движения двух тел направлены в одну
сторону, то что приложится к количеству движения тела,
идущего впереди, то вычтется из количества движения тела,
за ним следующего, и сумма количеств движения обоих тел
останется прежняя. Если же тела движутся в
противоположные стороны, то вычтется поровну из количеств движения
каждого из них, и следовательно, разность количеств
движения, направленных в обратные стороны, останется без
перемены» (Ньютон И. Математические начала натуральной
философии. М., 1989. С. 45—46).
«Сальвиати. Если память не изменяет мне, первый
аргумент, приведенный синьором Симпличио, таков. Земля не
может двигаться кругообразно, так как подобное движение
было бы для нее насильственным, а потому не могло бы
продолжаться вечно; далее, объяснение, почему оно было бы
насильственным, заключалось в том, что, будь оно
естественным, части Земли также естественно вращались бы, что
невозможно, так как этим частям по природе присуще
прямолинейное движение вниз. На это отвечу так: мне бы
желательно, чтобы Аристотель выразился точнее,
утверждая, что части Земли также двигались кругообразно; ведь это
кругообразное движение можно понимать двояко: во-первых,
так, что всякая частица, отделившаяся от своего целого,
двигалась бы кругообразно вокруг естественного центра,
описывая свои маленькие кружочки; во-вторых, так, что при
вращении всего шара вокруг своего центра в двадцать четыре
часа и части также вращались бы вокруг того же центра в
двадцать четыре часа. Первое было бы несообразностью не
меньшей, чем если бы кто сказал, что всякой части круга
надлежит быть кругом... Но если оно понимается во втором
178

смысле, т. е. что части, подражая целому, естественно
движутся вокруг центра всего шара в двадцать четыре часа, то
я утверждаю, что они это и делают, и вам (собеседникам —
В. С.) вместо Аристотеля надлежит доказать, что этого нет».
(Галилео Галилей. Избранные труды в 2-х томах. М., 1964.
Т. 1. С. 232).
«В самом деле, если планеты переносятся вокруг Солнца
вихрями, то число вихрей, расположенных в смежности с
какою-нибудь планетою, должны быть одной с ней
плотности, как уже сказано выше. Таким образом, вся материя,
расположенная на орбите Земли, должна иметь ту же
плотность, как Земля, та же материя, которая лежит между
орбитою Земли и орбитою Сатурна, должна иметь или такую
же плотность, или большую, ибо для того, чтобы строение
вихря могло сохраняться, необходимо, чтобы менее плотные
части были ближе к центру, более плотные — дальше от
центра... Таким образом, вся притом значительно большая
часть вихря, расположенная снаружи земной орбиты, будет
обладать плотностью, а значит, и силою инерции на каждый
объем материи не меньшею, нежели плотность и сила
инерции Земли.
Следовательно, проходящие через вихрь кометы будут
встречать громадное сопротивление, которое и проявилось
бы весьма ощутительно, если только оно не оказалось бы
достаточным, чтобы поглотить и прекратить движение.
Чрезвычайно же правильное движение комет показывает,
что они подвержены даже в малейшей степени
ощутительному сопротивлению. Отсюда следует, что кометы
совершенно не проникают в такую среду, которая обладала бы каким
бы то ни было сопротивлением или какою бы то ни было
инерцией...» (Ньютон Я. Математические начала
натуральной философии. М., 1989. С. 16—17).
«Рассмотрим в первую очередь последствия принятия
иррационализма. Иррационализм настаивает на том, что не
столько разум, сколько чувства и страсти являются основной
движущей силой человеческих действий... Мое твердое
убеждение состоит в том, что это иррационалистическое
выпячивание страстей и эмоций должно в конечном счете приводить
к тому, что нельзя определить иначе, как преступление. Я
считаю так, потому что такое выпячивание страстей
представляет собой в лучшем случае одну из форм смирения
перед иррациональной природой человеческого бытия. В
179

худшем же случае оно есть выражение презрения к
человеческому разуму, из чего следует обращение к принуждению
и грубой силе как последним арбитрам в любом споре»
(Поппер К. Открытое общество и его враги. М., 1992. Т. 2.
С. 270).

ГЛАВАУ
НЕДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
«Вся трудность физики, как будет видно,
состоит в том, чтобы по явлениям движения
распознать силы природы, а затем по этим
силам объяснить остальные явления».
Исаак Ньютон. Математические
начала натуральной философии.
«Всякое индуктивное умозаключение есть
только обратное применение дедуктивного
умозаключения. Обладая известными
частными фактами или явлениями,
выраженными в предложениях, мы придумываем какое-
нибудь общее предположение, выражающее
существование закона или причины; и
выводя частные результаты из этого
предполагаемого общего предложения, мы наблюдаем,
согласуются ли они с имеющимися фактами.
Значит, всегда употребляется гипотеза,
сознательно или бесознательно...»
Основы науки: Трактат о логике и
научном методе Стенли Джевонса.
1. ПРОБЛЕМА ИНДУКЦИИ
Отличительная черта всякой индукции — вывод
необходимых заключений из известных и истинных посылок,
объяснение с помощью установленных причин их следствий. Но
как доказывается истинность самих посылок? Как становятся
известными причины наблюдаемых явлений? Если
предположить, что истинность посылок доказывается также
дедуктивно, то есть что они являются следствием других и, как
правило, более общих утверждений, то эта не дает ответа на
поставленный вопрос, а только передвигает его на новый
Уровень. Ибо мы снова должны спросить себя, откуда мы
181

знаем, что и новые посылки также истинны.
Принципиальный ответ может состоять лишь в том, чтобы допустить
существование недедуктивных умозаключений, с помощью
которых мы можем отобрать наиболее вероятных кандидатов
на роль истинного закона или причины. Недедуктивно
мыслить и не означает ничего иного, как в согласии с опытом
отгадывать, придумывать, предполагать, изобретать
гипотезы, дающие объяснение какому-либо факту, событию,
явлению. Гипотезы, выдержавшие проверку, становятся
посылками дедуктивных умозаключений, пока не обнаружится
новый факт, требующий выдвижения и проверки новых
гипотез. Этот процесс не может быть остановлен или как-то
радикально изменен. Нет прямого, т. е. дедуктивного, пути
от частных фактов к общим и причинам. Поэтому человек
обречен по мере расширения своего опыта изобретать и
проверять гипотезы, чтобы найти новое объяснение или
решение. И поскольку каждый из нас делает это ежедневно,
то мы можем предположить, что недедуктивное мышение
более свойственно человеку, чем дедуктивное.
Все недедуктивные умозаключения принято делить на
индуктивные и умозаключения по аналогии. Последние
являются разновидностью первых, так как обладают некоторой
спецификой. Рассмотрим сначала особенности индуктивных
умозаключений.
Все индуктивные умозаключения связаны с решением
проблемы индукции, одной из труднейших и интереснейших
в истории познания. Ученый сталкивается с новыми
фактами, которые не объясняются на основании существующих
законов. Возникает необходимость открытия нового закона
или уточнения старых. Произошло преступление.
Необходимо раскрыть его, то есть построить убедительную версию
случившегося. В поведении какого-либо человека возникли
неожиданные изменения. Знакомые этого человека
попытаются отгадать их причину. Все эти ситуации воспроизводят,
хотя и в разных терминах, одну и ту же проблему. Есть
факты, которые нельзя объяснить существующими
способами, так как причины или законы, которым они подчиняются,
неизвестны. Встает вопрос: как на основании единичных
фактов, событий получить знание управляющих ими законов
и причин? Данный вопрос выражает суть проблемы
индукции — проблемы восхождения от знания единичного к
знанию общего. Вся трудность решения этой проблемы состоит
в невозможности сформулировать однозначный алгоритм ее
решения.
182

Простой пример поясняет смысл проблемы индукции.
Пусть Г обозначает выпадение герба иР(Л - вероятность
выпадение герба. Допустим, дана монета, вероятность
выпадения герба которой неизвестна. В первом бросании выпал
герб. Какое устойчивое значение вероятности на основании
данного факта мы можем предположить? Так как выпал
герб, то исключается гипотеза, что устойчивое значение
вероятности выпадения герба равна нулю, но все остальные
значения из этого интервала 0<Р(Г) < 1 допустимы. Доказать,
какое из этого бесконечного числа значений вероятности
истинно, и означает решить данную индукционную
проблему.
В процессе дедукции из посылок выводят заключения, и
первые более известны, чем вторые. При индукции,
наоборот, заключения, точнее следствия, брлее известны, чем их
посылки. Дедукция связана с предположением, что все
альтернативы данным посылкам ложны. Индукция, наоборот,
связана с предположением, что допустимо любое количество
гипотез, лишь бы они были совместимы с объяснимыми
фактами. При дедукции мы движемся в направлении
отношения логического следования — от истинности посылок к
их истинным следствиям. При индукции наше движение
является обратным — от истинных следствий к их правдобо-
добным посылкам. На этом основании индукцию часто
определяют как обратную дедукцию. Это правильное, но узкое
определение. Оно не учитывает того обстоятельства, что
могут быть не только необходимые, но и ненеобходимые
следствия. Последний вид следствий дедукцией не
охватывается. В процесее дедукции мы не можем отбросить ни
одного следствия, если оно логически следует из посылок. В
процессе индукции люб^я посылка может быть отброшена,
заменена другой, лишь бы она была совместима с рассмари-
ваемыми фактами. Выражаясь метафорически, мы можем
сказать, что при дедукции знание, выражаемое посылками,
подчиняет себе реальность; при индукции, наоборот,
реальность, выраженная в знании фактов, подчиняет себе знание,
выражаемое посылками. Дедукция, рассмативаемая вместе с
индукцией, приобретает новую особенность. Индуктивно
обоснованные посылки имеют не достоверный, а
гипотетический характер. Вместо дедукции из аксиом мы получаем
Дедукцию из гипотез или, как принято говорить,
гипотетически-дедуктивную систему знания (рис. 1)
183

Индукция
гипотез
Факты, требующие
объяснения и
предсказания
Объясняющие и
предсказывающие
гипотезы
Дедукция объяснений
и предсказаний
Следствия
(объясненные и
предсказанные факты)
Рис. 1
Знак = на рис. 1 означает, что соответствие
дедуцированных следствий фактам, требующим объяснения или
предсказания, всегда находится под вопросом. Та гипотеза, чье
следствие согласуется с фактами, считается подтвержденной
и временно принимается. Все гипотезы, чьи следствия не
согласуются с фактами, отбрасываются как отвергнутые.
Можно выделить следующие обязательные стадии
функционирования гипотетико-дедуктивной системы.
1. В соответствии с фактами, требующими объяснения или
предсказания, и, возможно, другими данными изобретаются
гипотезы о характере предполагаемой причины или закона.
Минимальное число возможных гипотез равно двум — самой
гипотезе и ее дополнению (логическому отрицанию).
Максимальное число возможных гипотез ничем, кроме
соображения удобства при проверке, не ограничивается.
2. Если рассматриваемая гипотеза не имеет логических
следствий, релевантных для объясняемых и
предсказываемых фактов, то осуществляется необходимая дедукция
(вопрос о нелогических следствиях пока анализироваться не
будет). В окончательном списке остаются только те гипотезы,
которые обладают указанными следствиями.
3. С помощью техники обратной вероятности, которая
объясняется в следующем параграфе, определяется, какая из
гипотез наиболее вероятна (правдоподобна) относительно
данных фактов.
4. Если ни одна из гипотез не получила необходимого
подтверждения, следовательно, истинная гипотеза не попала
в первоначальный список. В этом случае происходит
возвращение к первой стадии и все повторяется вновь.
При решении проблемы индукции мы сталкиваемся с
необходимостью, во-первых, определять вероятности гипотез
184

и, во-вторых, вероятности предсказаний, основанных на этих
гипотезах. В соответствии с этим различают два вида
индуктивных умозаключений. К первому из них относятся те
умозаключения, с помощью которых определяется наиболее
вероятная гипотеза. Ко второму виду относятся
умозаключения, позволяющие определять вероятности предсказаний
различных единичных событий. Теоретический базис обоих
видов индуктивных умозаключений составляет принцип
обратной вероятности, который играет для недедуктивных
умозаключений ту же роль, что и понятие логического
следования для дедуктивных умозаключений.
2. ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
История познания содержит много оригинальных попыток
найти общее решение проблемы индукции. Из них особого
внимания заслуживает принцип обратной вероятности,
известный также как концепция вероятности гипотез (причин,
законов), как концепция индуктивной вероятности *.
Пусть дано некоторое суждение А, а Р(А) обозначает его
вероятность. Как понимать выражение Р{АI С точки зрения
принципа обратной вероятности вероятность любого
суждения выражает некоторую меру его истинности. Если А
истинно, то Р(А)=\. Если А ложно, то PG4)=0. Если А не
истинно и не ложно, то оно правдоподобно и значение
вероятности А лежит в интервале 0<Р(Л)<1.
Пусть даны два суждения: А и В. Как связаны между собой
их вероятности? Ответить на этот вопрос просто, если А и В
связаны каким-либо логическим отношением. Допустим, В
является логическим следствием А. Тогда, предполагая А, мы
всегда будем иметь В. Поэтому вероятность В при условии,
что дано Ау равна 1. Это записывается как Р(В/А)=\, где
знак «/» отделяет суждение В от его условия А. По этой
причине вероятности вида Р(А), Р(В) принято называть
абсолютными (безусловными), а вероятности вида Р(В/А) —
условными. Если В несовместимо с А и РС4)>0, то Р(В/А)=О.
Если А и В эквивалентны, то Р(А)=Р{В) и Р(А/В)=Р(В/А)=1.
Вероятность того, что суждения А и В истинны
одновременен современном состоянии этой концепции см.: Светлое В. А.
Современные индуктивные концепции. Логико-методологический анализ. Л.,
1988, С. 163—188.
J85

но, равна произведению Р(А)Р(В), если эти суждения
независимы, и произведению Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В), если они
зависимы. Напомним, что два суждения считаются
независимыми, если и только если из истинности или ложности
одного из них логически не следует ни истинность, ни
ложность другого. Вероятность, что А или В истинно, или
оба вместе истинны, равна Р(Л)+РE)-Р(АВ), где Р(АВ)
обозначает вероятность одновременной истинности суждений
А и В. Если А и В исключают друг друга, тогда Р(А?)=О и
вероятность того, что А или В истинно, равна Р(А)+Р(В).
Сказанное суммируется следующим множеством аксиом,
достаточным для вероятностных вычислений.
PL 0<РС4)<1.
Р2. Если В логически следует из Аи Р(А)>0> то Р(В/А)=1.
РЗ. Если А и В независимые суждения, то Р(АВ) =
Р(А)Р(В).
Р4. Если А и В исключают друг друга, то Р{А или
В)=Р(А)+Р(В).
Первая аксиома, Р1, устанавливает интервал значений
вероятности произвольного суждения А. Вторая аксиома, Р2,
определяет вероятность логических следствий при
допущении, что посылки не являются ложными. Третья аксиома,
РЗ, позволяет определить вероятность одновременной
истинности нескольких суждений. Эту аксиому также называют
аксиомой умножения вероятностей. Четвертая аксиома, Р4,
указывает условие, при котором вероятности можно
складывать. Поэтому ее часто называют аксиомой сложения
вероятностей.
Рассмотрим два важных следствия приведенных аксиом.
Пусть дано произвольное суждение А. Чему равна
вероятность его дополнения —Л? Чтобы узнать ответ, заменим в
Р4 суждение В на —А. Получаем Р(А или -Л)=1, так как
сложное суждение А или—А является логически истинным.
Следовательно, истинно 1=Р(А)+Р(-А). Откуда следует, что
Р(-А)=\-Р(А).
Вторым важным следствием является обсуждаемый
принцип обратной вероятности. Но прежде, чем остановиться на
его содержании, рассмотрим кратко, в чем состоит принцип
прямого применения вероятности.
Допустим, у нас имеется монета, при бросании которой
вероятность выпадения герба точно известа. Этому случаю
соответствует предположение, что имеется только одна
гипотеза о значении вероятности герба и она истинна. Опреде-
186

лим вероятность выпадения герба как причину, а
вероятности наблюдаемых относительных частот как ее следствия.
Прямое применение вероятности означает, что если мы
знаем вероятность (причину), то мы всегда можем
определить вероятность любого значения относительной частоты
(следствия). Пусть вероятность выпадения герба известна и
равна 1/2. Чему равна вероятность, что в пяти бросаниях
монеты герб выпадет пять раз? Ответить на этот вопрос
означает решить задачу прямого применения вероятностей.
Так как событие «В пяти бросаниях монеты выпало пять
гербов» может реализоваться всего одним способом, и так как
все бросания независимы, то, согласно РЗ, следует, что
Итак, прямое применение вероятности основывается на
следующем методологическом принципе: если известна
причина, то мы всегда можем узнать ее следствие. Здесь под
причиной понимается устойчивое значение вероятности
интересующего нас события, а под следствием — ее
наблюдаемое проявление — фиксируемая в опыте относительная
частота. Из закона больших чисел мы знаем, что по мере
увеличения числа испытаний наблюдаемая частота
стремится совпасть с устойчивым значением вероятности.
Смысл обратного применения вероятности основывается
на принципе, обратном только что сформулированному: если
нам известны следствия, то мы можем выдвигать
предположения об их причине и выбирать из них наиболее
правдоподобное. Само же обратное применение вероятности означает
нахождение по известной из опыта относительной частоте
устойчивого значения вероятности.
Более точно принцип обратной вероятности можно
сформулировать так:
Вероятность причины (устойчивого значения
вероятности) на основании следствия (наблюдаемой частоты)
пропорциональна произведению абсолютной вероятности этой
причины на условную вероятность следствия относительно
Данной причины:
Р (Причина/Следствие) » Р (Причина) Р
(Следствие/Причина) A)
Знак «»» обозначает здесь отношение пропорциональности.
187

Чтобы получить вероятностный аналог A), введем новые
обозначения. Пусть Я обозначает гипотезу об устойчивом
значении вероятности интересующего нас события, Е —
некоторое наблюдаемое событие, вероятность которого мы
хотим определить. Мы будем говорить, что Р(Я) является
априорной (доопытной, начальной) вероятностью гипотезы
Я, РШ/Е) — апостериорной (послеопытной) вероятностью
гипотезы Я, Р(Е/Ю — правдоподобием гипотезы Я.
Априорная вероятность гипотезы указывает меру ее истинности
до проведения опыта, апостериорная вероятность — после
проведения опыта — наблюдения события Е. Правдоподобие
гипотезы выражает меру истинности наблюдаемого события
Е при предположении, что его причина, указываемая Я,
истинна. Эта вероятность интересна тем, что иллюстрирует
очень важный гносеологический принцип: то, что мы
наблюдаем, не является абсолютно объективным, а всегда
обусловлено определенными допущениями или гипотезами о
причинах наблюдаемого.
С учетом сделанных разъяснений и обозначений получаем
вероятностный аналог A):
, Р(Щ>0 B)
Содержание B) можно прочитать так: апостериорная
вероятность причины, обозначаемой Я, пропорциональна
произведению априорной вероятности этой причины,
умноженной на ее правдоподобие, и обратно пропорциональна
вероятности ее предполагаемого следствия.
Как указывалось, минимальное число гипотез равно
двум — самой гипотезе и ее дополнению. Пусть -Я
обозначает дополнение гипотезы Я. Очевидным обобщением B)
выступает
Р(Н/?)= Р(Н)Р(Е/Н)
П ' ; Р(Н)Р(Е/Н)+Р(-Н)Р(Е/-Н) К0)
Формула C) принципиально ничем не отличается от B)
и говорит, что вероятность причины на основании следствия
должна рассматриваться относительно суммы вероятности
этой причины и ее дополнения на основании одного и того
же следствия.
Теперь допустим, что имеется несколько взаимно
исключающих и совместно исчерпывающих базисное знание
гипотез #ь Я2, ..., Ял. В этом случае C) обобщается до
188

Существуют и другие обобщения C), но они здесь
рассматриваться не будут. Формула D) позволяет находить
вероятности гипотез и тем самым позволяет решать
индуктивные умозаключения первого вида.
Нас могут интересовать не только вероятности гипотез,
но и вероятности предсказываемых событий. Пусть Еп,т
обозначает, что в п испытаниях было m успешных исходов.
Иными словами, Еп,т обозначает относительную частоту
т/п рассматриваемого события. Зная вероятность Еп,т мы
можем вычислить вероятность успеха в п+1 испытании, то
есть вероятность события ?л+1,т+ь или вероятность
относительной частоты m+1/rt+l. Из D) следует, что эта
вероятность равна
Р(Еп+1 ,?
/=1
En.m)=l E)
Формулы D) и E) вместе с обосновывающими их
логико-математическими и методологическими положениями
образуют концепцию обратной вероятности (вероятности
гипотез, индуктивной вероятности). Ее основным тезисом
является признание сложной концептуальной природы
вероятности гипотез и совершаемых на их основе предсказаний.
Эта вероятность не сводится ни к наблюдаемым частотам, ни
к логическим особенностям языка, в терминах которого
описывается индуктивное умозаключение, ни к личной вере
исследователя в правоту или ложность рассматриваемой
гипотезы, а скорее объединяет их и выражает в некоторой
интегральной форме. Это — источник и слабости, и силы
концепции обратной вероятности. Слабость заключается в
том, что в некоторых случаях очень сложно определить
вероятность гипотезы, закона или причины достаточно
надежно, а сила — в том, что, будучи чувствительными к
концептуальным допущениям, индуктивные вероятности мо-
гут отражать влияние не только непосредственно наблюдае-
189

мых факторов, но и более фундаментальных факторов,
скрытых, как правило, от наших глаз. Сила индуктивных
вероятностей состоит также в том, что они представляют
собой гибкий инструмент познания. Изменяясь в
соответствии с накапливаемыми данными, индуктивные вероятности
позволяют успешно учиться на опыте и, что самое главное,
исправлять допущенные ранее ошибки и неточности.
3. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПЕРВОГО ВИДА:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГИПОТЕЗ.
Рассматриваемые индуктивные умозаключения имеют
следующий общий вид. Произошло событие Е и имеется
несколько альтернативных гипотез о его причинах или
законах, которым он подчиняется: #i, #2, ..., #п. Необходимо
определить наиболее вероятную гипотезу (причину, закон).
Допустим, что априорные вероятности гипотез одинаковы
и событие Е происходит ровно один раз. Тогда формулы C)
и D) принимают более простой вид:
Из F) и G) следует, что главным элементом в
определении вероятностей гипотез является их правдоподобие.
Напомним, что правдоподобие гипотезы Я относительно
события Е обозначает вероятность появления Е, если истинна
причина, указываемая Я. Согласно F) и G), вероятность
того, что причина события Е указывается гипотезой Я или
Я/, пропорциональна ее правдоподобию, деленному на сумму
правдоподобий всех рассматриваемых гипотез.
В тех случаях, когда рассматриваются
последовательности повторяющихся и независимых испытаний (опытов), то
правдоподобия вычисляются согласно следующим формулам.
Пусть дана последовательность из п одинаковых и
независимых испытаний с двумя возможными исходами («успех»
или «неудача»). Такая последовательность генерируется,
например, бросанием монеты. Пусть Еп,т обозначает
событие т/п — относительную частоту т успешных исходов в п
190

испытаниях. Пусть х обозначает вероятность успеха, A-х) —
вероятность неудачи согласно данной гипотезе Я,
CW*=n\/т\(п-т)\ — общее число возможностей
осуществления события Еп,т, равное числу сочетаний из п по т. При
этих допущениях правдоподобие гипотезы Я равно:
х)/2"т, т = 0, 1, 2,..., п. (8)
Допустим, монета бросалась пять раз и два раза выпадал
герб. Тогда рассматриваемым событием будет ?5,2.
Допустим, Я = вероятность выпадения герба равна 1/4. Тогда
правдоподобие этой гипотезы относительно происшедшего
события равно:
РШ5,2/Я)=С?A/4JC/4K=5!/2!3!х 1/16x27/64=
=270/1024=0,264
Пусть дана последовательность из п одинаковых и
независимых испытаний с к возможными исходами, А>2. При к=Ь
такая последовательность генерируется бросанием игральной
кости. Так как имеется к возможных исходов, то событие
Еп,т представляет некоторую комбинацию из
Emi, Em2t..., Етк возможных исходов, где mi, тг,..., тк —
целые неотрицательные числа и mi+m2+-.+m^=m. Согласно
гипотезе Я каждый возможный исход Ет имеет некоторую
вероятность хи такую, что *1+х2+...+х*=1. Общее число
возможностей осуществления события Еп,т равно
rt!/mi!m2!...#u!. При этих допущениях правдоподобие
гипотезы Я равно:
Р(Еп,т/Ю=п\/т\\т21..гпк1хщхт2...хтк (9)
При m=mi+m2 формула (9) эквивалентна (8).
Предположим, что в четырех бросаниях игральной кости
три раза выпало шесть очков и один раз два очка. Тогда
событие ?4,т эквивалентно следующему распределению:
Ет]= 0, Ет2= 1, Етз= 0, Етл= 0, Ет5= 0, Ет= 3
Допустим, Я = вероятность выпадения шести очков равна
3/8, а всех остальных — 1/8. Из формулы (9) следует:
РШ4,т/Я)=4!/О!1!ОЮ!О!3!хA/8)оA/8IA/8)°A/8)ОA/8H
C/8K*=4х 1/8x27/512=0,026
191

Определим понятия подтверждения и дисподтверждения
гипотезы. Мы будем говорить, что гипотеза Я
подтверждается событием Е, если и только если
РШ/Е)>Р(Н); (Ю)
что гипотеза Я дисподтверждается событием Е если и только
если
Р(Н/Е)<Р(Ю; (И)
что гипотеза Я не подтверждается и не дисподтверждается
событием Е, если и только если
РШ/Е)=Р(Ю. A2)
Рассмотрим несколько примеров индуктивных
умозаключений рассматриваемого вида.
Пример L
Брошенная один раз монета выпала гербом (Л, т. е.
Е=Е\У\. Истинное значение вероятности выпадения герба
неизвестно, но имеется пять гипотез относительно этого
значения. Н\: Р(Л=0, Нг\ Р(Л=1/4, #з: Р(Л=1/2, На:
Р(Л=3/4, Hs: Р(Г)=1. Все гипотезы равновероятны, Р(Н\)=
Р(Я2)=Р(Яз)а8Р(Я4)=Р(Я5)яг1/5. Какое значение
вероятности выпадения герба, то есть какая причина, наиболее
вероятно на основании 2si,i?
Правдоподобия гипотез равны соответственно:
Р(?г1,1/Я4)=3/4, PCEi,i/#5)-l. Их сумма равна:
0+1/4+1/2+3/4+1=10/4.
Так как априорные вероятности гипотез равны, то
используем формулу G). Получаем: РШ\/Е\У\)=О,
// // /1,0=3/10,
Сумма апостериорных вероятностей всех гипотез равна 1.
Это означает, что какая-то одна из них указывает на
истинное значение вероятности (истинную причину события Е).
Результаты вычислений показывают, что Н\ опровергается,
Нг дисподтверждается, Яз не подтверждается и не
дисподтверждается, На и Не подтверждаются событием Е. Но
апостериорная вероятность Hs больше апостериорной
вероятности На. Следовательно, Hs более вероятна в качестве
истинной причины события Е.
192

Пример 2.
В четырех бросаниях монеты один раз выпал герб.
Следовательно, В=Е4,з. Какая из гипотез #2, #з, #4, ^5
наиболее вероятна относительно Е1 Допустим снова, что все
гипотезы равновероятны до проведения испытаний. Из (8)
следует:
РШ4,з/#2)=с|A/4KC/4)=4х 1/64x3/4=3/64
Р(?:4,з/Яз)=с|A/2KA/2)=4х 1/8x1/2=16/64
РШ4,з/Я4)=с|C/4KA/4)=4х27/64х 1/4=27/64
Р(?4,з/#5)=с|AK@)=4х 1x0=0.
Сумма правдоподобий всех гипотез равна 46/64.
Следовательно, Р(Я2/^4,з)-3/46, Р(#з/?4,з)=16/46,
/>(#4/?4,з)=27/46, />(#5/?4,з)=О.
Априорная вероятность каждой из гипотез равна 1/4.
Следовательно, Нг дисподтверждается, #з и #4
подтверждаются, а #5 опровергается. Из #з и #4 более вероятной
является #4. Значит, эта гипотеза более вероятна в качестве
причины Е.
Пример 3.
Десять раз бросается монета с неизвестным значением
герба. Имеется гипотеза о его возможном значении, И:
Р(Л=2/5. Дополнением Н будет предположение —Н:
Р(Г)=3/5. Требуется определить для каждого т = 0, 1,2, ...,
10 апостериорные вероятности каждой из гипотез. Допустим,
что гипотезы равновероятны, Р(Я)=Р(-Н)=1/2.
Вычислим сначала отношение правдоподобий Н и — Н
друг к другу:
_C%B/5)mC/5)n~m J2/5)mC/5)n~m
,) С^C/5)тB/5)п~т C/5)mB/5)/2"m
Из формулы C) следует:
п,т/ Н)+Р{Еп,т/ -
Р{-Н/Еп,т)=1-Р(Н/Еп.т).
7 Зак. 210

Результаты вычислений представлены в табл. 1.
Таблица 1
Изменение апостериорных вероятностей гипотез Я и -Я с
равными априорными вероятностями в зависимости от
изменения значения m в последовательности из 10 бросаний
монеты.
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
РШ/Ею,т)
0,98295
0,96245
0,91929
0,83505
0,69231
0,50000
0,30769
0,16195
0,08071
0,03755
0,01705
Р(—Н/Ею,т)
0,01705
0,03755
0,08071
0,16495
0,30769
0,50000
0,69231
0,83505
0,91929
0,96245
0,98295
Из таблицы 1 следует, что гипотеза Я подтверждается
если в 10 бросаниях монеты зафиксирована хотя бы одна из
следующих частот выпадения герба — 0/10,1/10, 2/10, 3/10,
4/10. Ее дополнение подтверждается, если зафиксирована
хотя бы одна из частот — 6/10, 7/10, 8/10, 9/10, 10/10. Обе
гипотезы индуктивно независимы при частоте 5/10.
Подтверждение Н влечет дисподтверждение -Я и наоборот. Можно
сделать следующий вывод: когда мы сравниваем
апостериорные вероятности некоторой гипотезы и ее дополнения, то их
изменения носят противоположный характер.
Пример 4.
В трех бросаниях игральной кости один раз выпало три
очка и два раза шесть очков. Следовательно, Етг0, Ет2=®>
?тз=1> Emf^, Ents^y Епц-2. Имеются две гипотезы о
вероятностях выпадения очков. Согласно первой, кость
симметричная и вероятность выпадения каждого очка равна 1/6.
Следовательно, Н\: Х1=х2=хз=х4=х5=хб=1/6. Согласно второй
гипотезе центр тяжести кости немного смещен в сторону
194

шести очков, #2: xi=x2s=x3=x4=5SX5=l/7, *б=2/7. Априорные
вероятности гипотез одинаковы. Какая из них более вероятна
относительно ?? Ответ следует из применения формул (9)
и F).
-3x1x1x1/6x1x1x1/36=3/216=0,0139
Р(?;/Я2)=3!0!0!1!0!0!2!хA/7HA/7HA/7)A/7HA/7)°B/7J
=3x1x1x1/7x1x1 х 4/49=12/343=0,0350
Сумма правдоподобий гипотез равна 0,0489.
Следовательно, P(#i/?)=O,284 и Р(Я2/?)=0,716. Итак, Нг более
вероятна, чем #i. Кроме того, Нг подтверждается, тогда как Н\
дисподтверждается.
Рассмотрим несколько примеров, когда априорные
вероятности гипотез не равны.
Пример 5.
В комнате имеется несколько урн с шарами красного и
синего цвета. Известно, что в некоторых урнах
относительная частота красных шаров равна 4/5, а в остальных — 3/8.
Вероятность выбрать урну с относительной частотой 3/8
равна 2/3. Из произвольно выбранной урны наугад был
вытащен красный шар. Из урны какого вида более всего
вероятно произведено вытаскивание этого шара?
В данной задаче вид урны следует интерпретировать как
возможную причину осуществивщегося события —
вытаскивания красного шара. Поскольку видов урны два, то мы
имеем две возможные причины. Априорные вероятности этих
причин неодинаковы, что говорит о разных начальных
условиях, в которых они должны сравниваться. Пусть Н\
обозначает урны с относительной частотой красных шаров 4/5 и
^2 — урны с относительной частотой красных шаров 3/8.
Их априорные вероятности равны соответственно 1/3 и 2/3.
Это означает, что до всякого опыта гипотеза Н\ менее
правдоподобна, чем гипотеза Яг. Сможет ли опыт изменить
эту априорную несимметричность?
Правдоподобия гипотез равны: Р{Е/Н\)=4/5,
^>Ш/Я2)г=3/8, где Е обозначает случайное вытаскивание
красного шара из произвольно выбранной урны. Гипотезы
^1 и Я2 логически исключают друг друга. Из формулы C)
следует:
195

PjHi)P(E/Hi)
P(Hi)P(E/Hi)+P(H2)P(E/H2)'
1/3x4/5
1/3x4/5+2/3x3/8"
P(H2/E)=l-P(Hi/E) = 15/31.
Итак, хотя априори Н\ менее вероятна, чем Яг, она более
вероятна апостериори. Гипотеза Н\, кроме того, получила
подтверждение, так как Р(Н\/Е)=О,516>Р(Н\)жО,3339 а
гипотеза Яг —дисподтверждение, так как Р(Я2/?)=0,484
<Р(Я2)=О,667. Неточно выбранные априорные вероятности
были заменены более точными апостериорными
вероятностями. Именно в изменении вероятностей наших базисных
допущений о мире и состоит смысл фразы «учиться на
опыте». Более полно эта мысль иллюстрируется следующим
примером.
Пример б.
За исключением значений априорных вероятностей, все
остальные условия, как и в третьем примере. Пусть Р(Я)=0,8
и Р(-Я)=0,2. Априорное доверие к Я, таким образом,
значительно выше, чем к ее дополнению.
Имеем:
Р{Н/Еп,т) = Р(Н)Р(Еп,т/Н) Q,j
1п,т) Р(-Н)Р(Еп,т/-Н) 0,:
0,8x22m"n
Р(Н/Еп,т) =
0,8x22m~n+0,2x32m~/1
Остальные данные указаны в табл. 2.
Из табл. 2 следует, что частоты 0/10, 1/10, 2/10, 3/10,
4/10 подтверждают гипотезу —Я и дисподтверждают
гипотезу -Я. Частоты 6/10, 7/10, 8/10, 9/10, 10/10
подтверждают гипотезу —Я и дисподтверждают гипотезу Я. Частота
5/10 не подтверждает и не дисподтверждает ни одну из этих
гипотез. Как и в случае с равным априорными
вероятностями, апостериорные вероятности изменяются в зависимости
от результатов опыта. Эти изменения демонстрируют
важный факт теории умозаключений: апостериорная
вероятность истинной гипотезы при неограниченном увеличении
196

числа независимых испытаний достигает единицы, а
апостериорные вероятности всех ее альтернатив — нуля как своих
пределов.
Таблица 2
Изменение апостериорных вероятностей гипотез Я и -# с
неравными априорными вероятностями @,8 и 0,2
соответственно) в зависимости от изменения значения т в
последовательности из 10 бросаний монеты.
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
РШ/Ею,т)
0,99568
0,99034
0,97852
0,95294
0,90000
0,80000
0,64000
0,44138
0,25980
0,13550
0,06487
-РШ/Е\о,пд
0,00432
0,00966
0,02148
0,04706
0,10000
0,20000
0,36000
0,55862
0,74010
0,86450
0,93513
Пример 7.
Пусть дана игральная кость, стороны с нечетными очками
которой окрашены в желтый цвет, а стороны с четными
очками — в голубой. Имеются две гипотезы о вероятностях
выпадения очков. Согласно первой, вероятность выпадения
всех очков одинаковая и равна соответственно 1/6. Согласно
второй гипотезе, вероятность выпадения шести очков равна
2/6, а остальных очков — 2/15. Обе гипотезы имеют равные
априорные вероятности. Допустим, при бросании кость вы-
йала голубой стороной. Подтверждается ли вторая гипотеза?
Пусть И обозначает первую гипотезу, -Я — вторую, Е —
выпадение голубой стороной. В голубой цвет окрашена сто-
Рона с двумя, четырьмя и шестью очками. Следовательно, Е
эквивалентно или Ег, или Е4, или Ев, где Ей i = 2, 4, 6,
обозначают сторону с соответствующим числом очков. По
Условию Р(
197

Имеем:
Р(Е/Н)=Р(Е2/Н)+Р(Е4/Ю+Р(Еь/Н)=1/6+1/6+1/6=1/2
Р(?/~Н)=Р(Е2/-Н)+Р(Е4/-ГО+Р(Еб/-Н)=2/15+2/15+2/6=3/5
Р(?г/Я)+/)Ш/-Н)=1/2+3/5-11/10
Следовательно, РШ/Е)=6/11=0,545 и Р(-Н/Е)=5/11=0,455.
Так как Т>Ш/Е)>Р(Н) и Р(-Н/Е)<Р(-Н), то делаем вывод,
что вторая гипотеза не подтверждается.
4. МЕТОДЫ ОТКРЫТИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ ДЖ. СТ. МИЛЛЯ
КАК ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
О ВЕРОЯТНОСТЯХ ГИПОТЕЗ
Джону Стюарту Миллю A806—1873), одному из
корифеев логики и методологии XIX в., принадлежит попытка
создать одинаково убедительную теорию доказательства как
для математических, так и для нематематических наук *•
Если для первых, по мнению Милля, более или менее
удовлетворительной теорией доказательства является
силлогистика Аристотеля, то для вторых никакой теории
доказательства, дающей достоверные заключения, не существует.
Обобщив результаты трудов своих предшественников, Милль
попытался исправить эту асимметрию. Им было
сформулировано пять методов открытия и доказательства причинной
связи, которые, по его замыслу, должны были поставить
гуманитарные и естественные науки на надежную основу, а
их заключения сделать убедительными для всех.
Рассмотрим эти методы последовательно, но прежде
укажем, что Милль понимал под причинной связью. Согласно
Миллю, событие А является причиной события В> если и
только если A) В является необходимым условием
существования An B) —В является необходимым условием
существования —А. Данным определением исключаются ситуации,
в которых событие А есть, а события В нет, а также ситуации,
в которых события А нет, а событие В есть. Иными словами,
если А и В связаны причинной связью, то они в равной
Милль Д. С. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1900.
198

степени необходимы друг для друга. Это объясняет, почему
Милль одно и то же событие часто называет и причиной и
следствием одновременно.
МЕТОД СХОДСТВА
«Если два или более случая подлежащего исследованию
явления имеют общим лишь одно обстоятельство, то это
обстоятельство, в котором только и согласуются все эти
случаи, есть причина (или следствие) данного явления» *.
Следующее шутливое рассуждение иллюстрирует данный
метод. Позавчера утром черная кошка перебежала мне
дорогу, и к вечеру у меня испортилось настроение. Вчера днем
и в другом месте черная кошка снова перебежала мне дорогу,
и к вечеру у меня опять было скверное настроение. Я делаю
вывод, что черная кошка, вероятнее всего, является
причиной моего плохого вечернего настроения, так как она
представляет единственное общее обстоятельство последних двух
дней.
Сразу же отметим, что наш анализ преследует цель найти
общее решение поставленных Миллем проблем, не
зависящее от вероятностей конкретных событий и даже от того,
могут ли они вообще быть интерпретированы вероятностным
образом.
Сформулируем данный метод на языке индуктивных
умозаключений о вероятностях гипотез. Пусть Е обозначает
исследуемое явление, АВ — первую последовательность
предшествовавших Е событий, АС — вторую
последовательность предшествовавших Е событий. Умозаключение в целом
имеет следующий вид. Если события АВ и АС
предшествовали появлению события Еь то правдоподобно считать А
причиной Е.
ИзА,В,СиЕ можно образовать 24==1б возможных миров,
в которых могут быть истинны или ложны обозначаемые
этими буквами события. Если известны вероятности
возможных миров, в сумме равные 1, тогда легко вычислить
вероятности интересующих нас комбинаций. Весь вопрос в том,
как распределить вероятности возможных миров. Ведь в
общем случае это можно сделать бесконечным числом
способов.
Милль Д С. Указ, соч. С. 373.
199

Примем следующий принцип распределения
вероятностей возможных миров: эквивалентные (симметричные)
возможные миры, представляющие одну и ту же частоту
знака отрицания, должны иметь равные вероятности.
Несмотря на свою простоту, этот принцип настолько
фундаментальный, что без всякого преувеличения можно
сказать — без его выполнения никакое успешное познание из
опыта невозможно.
Рассмотрим возможные миры (АВ-С), {Л-ВС), (-АВС).
Несмотря на то, что в этих мирах разные буквы входят со
знаком отрицания, сами миры является эквивалентными
(симметричными). Причина симметрии — в представлении
одной и той же частоты знака отрицания, именно 1/3.
Возможные миры (Л—В—С), (-АВ—С) и (—Л—ВС) также
симметричны, но уже относительно частоты 2/3. Возможный
мир (ABC) эквивалентен только самому себе относительно
частоты 0/3. Возможный мир (—А—В—С) также
эквивалентен только самому себе относительно частоты 3/3.
Кратко данный принцип мы будем называть принципом
симметрии, имея в виду симметрию возможных миров
относительно некоторого значения частоты знака отрицания.
Данный принцип должен выполняться для любого числа
неисключенных условиями умозаключения возможных
миров. Минимальное число таких возможных миров равно
единице. В этом и только в этом случае он автоматически
получает вероятность 1.
Симметричное распределение вероятностей в указанном
смысле осуществляется только над теми возможными
мирами, которые не исключаются условиями решаемой задачи. В
нашем случае исключению подлежат возможные миры
(АВС—Е), (АВ—С-Е), (А—ВС—Е), так как, по определению
причинной связи, Е является необходимым условием
существования предшествовавших событий АВ и АС. По этим же
соображениям исключается возможный мир (-А-В-СЕ),
так как, по этому же определению, одно из событий А, В или
С является необходимым условием существования Е.
В итоге мы получаем следующее распределение
вероятностей возможных миров для проверки справедливости
метода сходства (табл. 3).
Поясним процесс распределения вероятностей.
Распределение знаков отрицания по четырем терминам дает
следующие значения относительных частот: 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Принцип симметрии вынуждает нас считать все эти частоты
равновероятными. Следовательно, каждая из них получает
200

Таблица 3.
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки метода сходства
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
АВСЕ
АВ-СЕ
А-ВСЕ
А-В-СЕ
А-В-С-Е
-АВСЕ
-АВС-Е
-АВ-СЕ
-АВ-С-Е
-А-ВСЕ
-А-ВС-Е
-А-В-С-Е
1/5
1/15
1/15
1/20
1/15
1/15
1/20
1/20
1/15
1/20
1/15
1/5
вероятность 1/5. Частоту 0/4 представляет только один
возможный мир — (АВСЕ). По этой причине его вероятность
равна 1/5. Частоту 1/4 представляет возможные миры под
номерами 2, 3, 6. Так как симметричные миры должны иметь
равные вероятности, то каждый из них получает вероятность
1/15. Для проверки вероятности симметричных возможных
миров полезно сложить, чтобы убедиться, что их сумма равна
вероятности представляемой относительной частоты.
Проверяем: 1/15+1/15+1/15=1/5. Значит, распределение
вероятностей проведено правильно.
Частоту 2/4 представляют возможные миры под номерами
4, 7, 8, 10. Поскольку их четыре, то каждый из них получает
вероятность 1/20. Если сложить эти вероятности, то мы
получим 1/5 — вероятность частоты 2/4.
Частоту 3/4 представляют возможные миры под номерами
5, 9, 11. Каждый из них получает вероятность 1/15 и в сумме
они также дают 1/5.
Частоту 4/4 представляет только один возможный мир,
(—Л—В—С—Е). Его вероятность поэтому равна 1/5.
Если сложить вероятности всех возможных миров, то мы
получим 1, что означает, что распределение вероятностей
проведено правильно.
201

Если известны вероятности возможных миров, то легко
вычисляются вероятности, условные и безусловные, любого
термина, выразимого в терминах А, В, С, Е. Абсолютная
вероятность события равна сумме вероятностей тех
возможных миров, членом которых он является. Например, мы
хотим вычислить вероятность события ЛВ без каких-либо
условий. Получаем:
Р(АВ)=РШСЕ)+Р(АВ-СЕ)=1/5+1/\5=4/15.
Абсолютные вероятности остальных событий
вычисляются аналогично.
Для вычисления условных вероятностей перепишем
формулу B) следующим образом:
9 Р(Е)>0, A3)
где Я и ? могут обозначать любые события. Согласно A3),
условная вероятность события равна результату деления
вероятности этого события вместе с условием на вероятность
условия. Так, условная вероятность события В при условии
А равна
После этих разъяснений вернемся к теме обсуждения. Нас
интересует, может ли А считаться вероятной причиной
события Е. Нас интересует, следовательно, значение
вероятности Р(А/Е) в сравнении, во-первых, с априорной
вероятностью А у Р (А) и с вероятностью дополнения А относительно
Е, Р(-А/Е). Из табл. 3 следует: Р04)=27/60=0,45, Р(-А) =
=1-Р(А)=0,55, Р04/?)=23/33=0,697, Р(-А/Е)=1-Р(А/Е)=
=0,303. На основании этих вычислений можем сделать
однозначный вывод: при указанных условиях метод сходства
гарантирует, что событие А в качестве причины события Е
более вероятно, чем все его альтернативы, выражаемые
событием -А Из вычислений следует также, что Е
подтверждает А и одновременно дисподтверждает -А. Если бы А
предшествовало Е в большем числе случаев, чем
рассматривалось, тогла результаты подтверждения и дисподтвержде-
ния были бы более контрастными. Иными словами, чем
больше наблюдается подтверждающих гипотезу событий, тем
выше ее апостериорная вероятность в качестве причины
202

(закона) этих событий. В этом состоит основная идея метода
сходства.
Отметим, что заключение, полученное с помощью метода
сходства, перестает быть необходимым и может быть даже
ложным при несимметричных распределениях вероятностей
возможных миров. Допустим, например, такое
распределение: вероятность возможного мира (-АВСЕ) равна 1, а всех
остальных возможных миров — 0. Такое распределение не
является симметричным, но оно удовлетворяет условиям
метода сходства. Следует: Р(А)=Р(А/Е)=О, Р(-А)=Р(-А/Е)=1.
Вместо подтверждения А в качестве причины Е мы получили
опровержение этого предположения. Данный пример
свидетельствует о том, что симметричное распределение
вероятностей является необходимым условием не только метода
сходства и всех остальных методов Милля, но и всякого
другого метода познания из опыта.
МЕТОД РАЗЛИЧИЯ
«Если случай, в котором исследуемое явление наступает,
и случай, в котором оно не наступает, сходны во всех
обстоятельствах, кроме одного, встречающемся лишь в
первом случае, то это обстоятельство, в котором одном только
и разнятся эти два случая, есть следствие, или причина, или
необходимая часть причины явления» *.
В качестве примера можно привести следующее
умозаключение. Если утром я пью кофе, то весь день у меня
хорошее настроение. Сегодня я не пил утром кофе, и весь
день у меня плохое настроение. Следовательно, кофе,
выпитый утром, является причиной хорошего дневного
настроения.
Сформулируем данный метод в индуктивных терминах.
Пусть Е обозначает исследуемое явление, -Е — его
отсутствие, ABC — события, предшествовавшие Е, —ABC —
события, предшествовавшие -Е. Умозаключение в целом
имеет следующий вид: если события ABC предшествовали
событию Е и события -ABC предшествовали событию -Еу
то правдоподобно считать А причиной Е.
Условие, по которому после ABC наблюдалось событие Е,
исключает возможный мир (АВС-Е). Условие, по которому
после -ABC наблюдалось событие -Е, исключает возмож-
Милль Д. С. Указ. соч. С. 314.
203

ный мир {—АВСЕ). Исключается также возможный мир
{-А-В-СЕ), так как он утверждает, что событию Е не
предшествовали ни А, ни В, ни С. С учетом этих исключений
и принципов симметрии получаем следущее распределение
вероятностей (табл. 4).
Таблица 4.
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки метода различия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
АВСЕ
АВ-СЕ
АВ-С-Е
А-ВСЕ
А-ВС-Е
А-В-СЕ
А-В-С-Е
-АВС-Е
-АВ-СЕ
"~ J\xJ — \s ~~ JLj
-А-ВСЕ
-А-ВС-Е
-А-В-С-Е
6/30
3/30
1/30
3/30
1/30
1/30
2/30
1/30
1/30
2/30
1/30
2/30
6/30
Из табл. 4 следует: PG4)=17/30-0,567, Р(-А)=0,433,
РМ/Я>=13/15=0,867, р(-А/Е)=ОДЗЗ.
Таким образом, событие А более вероятно в качестве
причины Е, чем событие —А. Это отражается в том, что Е
подтверждает А и одновременно дисподтверждает —А.
Индуктивное содержание метода различия сводится к
следующей идее: если некоторое наблюдаемое событие
исключает гипотезу или понижает ее апостериорную
вероятность, то должна возрастать апостериорная вероятность
логического отрицания этой гипотезы. Иными словами, мы
имеем индуктивный аналог закона исключенного третьего.
Отметим, что заключение метода различия перестает
быть необходимым и может быть даже ложным при
несимметричных распределениях вероятностей возможных миров.
Доказательство этого утверждения выносится в качестве
упражнения.
204

СОЕДИНЕННЫЙ МЕТОД СХОДСТВА И РАЗЛИЧИЯ
Пытаясь объединить преимущества накопления
подтверждающих примеров и исключения ложных гипотез, Милль
формулирует соединенный метод сходства: «Если два или
более случая возникновения явления имеют общим лишь
одно обстоятельство, и два или более случая
невозникновения того же явления имеют общим только отсутствие того
же самого обстоятельства, то это обстоятельство, в котором
только и разнятся оба ряда случаев, есть или следствие, или
причина, или необходимая часть причины изучаемого
явления» *.
В качестве примера рассуждения согласно соединенному
методу сходства и различия можно привести следующее
умозаключение. В прошлом году на этом месте я собрал
много грибов, и в этом году на этом же месте я также собрал
много грибов. В других местах ни в прошлом, ни в этом году
я столько грибов не собирал. Следовательно, это место
является причиной большого числа грибов.
Сформулируем рассматриваемый метод в индуктивных
терминах. Пусть Е обозначет исследуемое явление, АВ и
АС — события, предшествовавшие возникновению Е, — АВ
и — АС — события, предшествовавшие невозникновению Е
(возникновению -Е). Умозаключение в целом имеет
следующий вид: если события АВ и АС предшествовали
последовательно событию Еу а события —АВ и — АС — событию — Е>
то правдоподобно считать А причиной Е.
Условия соединенного метода сходства и различия
исключают (АВС-Е), (АВ-С-Е), (А-ВС-Е), (-АВСЕ),
(-АВ-СЕ), {-А-ВСЕ), (-А-В-СЕ). С учетом этих
исключений и принципов симметрии получаем следующее
распределение вероятностей (табл. 5).
Из табл. 5 следует: />С4)=17/30=0,567, Р(-Л)=0,433,
Р(А/Е)-\, Р(—А/Е)=О. Таким образом, гипотеза, что
событие А является причиной Е, не только получила
подтверждение. Она превратилась в достоверное утверждение.
Логическое отрицание этой гипотезы получило нулевое значение
апостериорной вероятности, то есть оказалось
опровергнутым. Максимальное подтверждение требует, следовательно,
опровержения всех альтернатив. Такой результат, как мы
видели, не следует из методов сходства или различия, ис-
МиллъД. С. Указ. соч. С. 317—318.
205

Таблица 5
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки соединенного метода сходства и различия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
АВСЕ
АВ-СЕ
А-ВСЕ
А-В-СЕ
А-В-С-Е
-АВС-Е
-АВ-СЕ
-А-ВС-Е
-А-В-С-Е
6/30
3/30
3/30
3/30
2/30
3/30
2/30
2/30
6/30
пользуемых отдельно друг от друга. По этой причине
соединенный метод сходства и различия следует считать удачным
методологическим открытием.
МЕТОД ОСТАТКОВ
«Если из явления вычесть ту его часть, которая, как
известно, из прежних индукций, есть следствие некоторых
определенных предыдущих (обстоятельств. — В. С), то
остаток данного явления должен быть следствием остальных
предыдущих (обстоятельств. — В. С.)» 1.
Примером рассуждения по методу остатков может
служить следующее умозаключение. Я смешал два белых
порошка и смесь бросил в стакан с водой. Раствор получился
кисло-сладким на вкус. При этом я точно знаю, что одним
из компонентов является сахарный песок. Я делаю вывод,
что причиной кислого вкуса вероятнее всего является
аскорбиновая кислота.
Сформулируем данный метод в индуктивных терминах.
Пусть Е\ и Е2 обозначают части исследуемого явления,
АВ — предшествующие события, такие, что В, как
установлено, является причиной Ег* Умозаключение имеет
следующий вид: если события АВ предшествовали появлению Е\Е2
и при этом известно, что В есть причина Ег> то
правдоподобно считать А причиной Е\.
Первое условие метода исключает возможные миры, в
которых есть АВ, но нет Е\ или Ег, или Е\ и Ег вместе. Этим
1 Милль Д. С. Указ. соч. С. 319.
206

же условием исключается возможный мир в которых есть Е\
и Ег, но нет АВ. Второе условие исключает возможные миры,
в которых есть В, но нет Ег или, наоборот, есть Ег, но нет
В. С учетом этих исключений и принципов симметрии
получаем следующее распределение вероятностей (табл. 6).
Таблица б
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки метода остатков
1
2
3
4
5
6
7
ABEiEz
A-BEi-Ez
А-В-Е1-Е2
-ABEiEz
-АВ-ЕгЕг
-A-BEi-Ez
-A-B-E1-E2
2/10
1/10
1/10
2/10
1/10
1/10
2/10
Из табл. 6 следует: />С4)=0,4, Р(-А)=0,6, Р(А/Е\)=
=Р(—А/Е\)=0,5. Таким образом, гипотеза, что Л есть
причина Е1, немного, но подтверждается, а ее дополнение диспод-
тверждается.
Как и для предыдущих методов, заключение метода
остатков перестает быть необходимым и может быть даже
ложным при несимметричных распределениях вероятностей
возможных миров.
Индуктивный статус метода остатков является более
проблематичным, чем статус других методов Милля. Когда
гипотеза представляет собой сложное суждение, состоящее
из нескольких простых суждений как своих логических
частей, причем у сама гипотеза, и некоторые ее части
подтверждаются, то отсюда не следует с необходимостью, что
и другие части этой гипотезы также подтверждаются. Они
могут подтверждаться, но могут быть также индуктивно
нейтральными или даже дисподтверждаться. Общий эффект
подтверждения гипотезы может погашать дисподтверждение
ее отдельных частей. К этому необходимо добавить, что
общий результат подтверждения никогда не равен вследствие
взаимозависимости всех частей сумме их подтверждений.
Данный метод поднимает ряд сложных индуктивных
проблем, решение которых еще предстоит искать.
207

МЕТОД СОПУТСТВУЮЩИХ ИЗМЕНЕНИЙ
«Всякое явление, изменяющееся определенным образом
всякий раз, когда некоторым особенным образом изменяется
другое явление, есть либо причина, либо следствие этого
явления, либо соединено с ним какою-либо причинной
связью».1
В качестве иллюстрации рассуждения согласно данному
методу можно привести следующее умозаключение. Если я
прочитаю одну серьезную книгу, то поумнею на
определенную величину. Если прочитаю две серьезных книги,
поумнею на еще большую величину. Следовательно, чтение
серьезных книг есть причина изменения (моего) ума.
Сформулируем данный метод в индуктивных терминах.
Пусть А\ и Аг обозначают величины явления А, Е\ и Ег —
величины явления Еу такие, что А\*Аг и Е\&Е2. Пусть А
является необходимым условием своих величин. Допустим,
далее, что А\ предшествует Е\ и Аг предшествует Ег.
Умозаключение в целом таково: если А есть необходимое
условие величин А\ и Аг, Е есть необходимое условие
величин Е\ и Ег, причем А\&Кг и Ех&Ег, и если А\
предшествует Е\ и Аг предшествует Ег, то правдоподобно
считать А причиной изменения Е.
Условиями данного метода исключаются все возможные
миры, в которых есть А\ или Аг (или оба), но нет А, есть Е\
или Ег (или оба), но нет Е, есть А\ > но нет Е\, есть Аг, но
нет ЕгУ есть Е\у но нет А\, есть Ег, но нет Аг. С учетом этих
исключений и принциов симметрии получаем следующее
распределение вероятностей (табл. 7).
Таблица 7
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки метода сопутствующих изменений
1
2
3
4
5
6
7
АА1А2ЕЕ1Е2
АА1А2-ЕЕ1Е2
АА1-А2ЕЕ1-Е2
А-А\ -А2Е-Е1-Е2
А-А1-А2-Е-Е1-Е2
-А-А\ -А2Е-Е\-Е2
-А-А\ -А2-Е-Е\ -Е2
1/6
1/6
1/6
1/6
1/12
1/12
1/6
Милль Д. С. Указ. соч. С. 322.
208

Из табл. 7 следует: />(Л)=3/Ф=0,75, Р(-А)=0,25,
/>(Л/?)=6/7= =0,857, Р(-А/?)=0,143. Таким образом,
гипотеза о том, что изменение величины Л есть причина
изменения величины Еу подтверждается, а ее дополнение диспод-
тверждается. Добавим, что изменения могут быть как
прямыми, так и обратными. Для данного метода
симметричное распределение вероятностей также является
необходимым условием. В противном случае его заключение
перестает быть необходимым и может быть ложным.
Рассмотренные методы исчерпывают список методов
открытия и доказательства причинной связи Милля. Сделаем
общий вывод.
Анализ показал, что в той формулировке, в которой
Милль приводит свои методы, они является индуктивно
ложными. Для их истинности необходимо симметричное
распределение вероятностей. В этом и только в этом случае
мы можем использовать эти методы для открытия и
доказательства причинной связи.
Милль также ошибался, когда резко противопоставил
методы открытия и доказательства причинной связи методу
выдвижения и испытания гипотез на том основании, что
первые является методами «прямой индукции», а второй —
косвенной и поэтому более проблематичной индукции. На
самом деле никакая «прямая индукция» невозможна, потому
что опыт не состоит из одних наблюдаемых явлений, а всегда
предполагает какие-то теоретические и методологические
допущения. Определение причинности, которым пользуется
Милль, и является таким допущением. Оно лишает
наблюдение безусловной достоверности. Соответственно и заклю-
чания методов Милля также оказываются зависящими от
данного определения причинной связи. Еще более отдаляет
нас от непосредственного, прямого усмотрения причинных
связей допущение о симметричном распределении
вероятностей. Следовательно, всякое познание из опыта является
косвенным, зависящим от внеопытных допущений и
предположений. Принципиального различия между методом
выдвижения и испытания гипотез и методами открытия и
доказательства причинной связи нет также потому, что, как было
показано, последние без каких-либо ограничений
формулируются в терминах испытания гипотез.
В остальном рассмотренные методы представляют
несомненный интерес и, как отмечалось, ставят ряд важных
индуктивных проблем.
209

5. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ВТОРОГО ВИДА:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРЕДСКАЗАНИЙ,
Основная задача индуктивных умозаключений второго
вида — это определение вероятности осуществления какого-
либо события, если известно, сколько раз оно происходило и
не происходило в прошлом. Поскольку речь идет о
вероятностях не наступивших событий, то мы имеем дело с
вероятностями предсказаний. Кроме определения вероятности
предсказываемого события, мы можем оценить точность
самого предсказания, чтобы решить вопрос о принятии или
непринятии гипотезы, на основании которой это
предсказание совершается.
Имеется глубокая связь между индуктивными
умозаключениями первого и второго рода. С помощью первых мы
познаем на основании накопленного опыта, какие из
предполагаемых причин, законов наиболее вероятны. С помощью
вторых мы познаем наиболее вероятные следствия
индуктивно установленных причин и законов.
Предсказания событий разделяются на два случая в
зависимости от того, известна вероятность их осуществления или
не известна.
Случай, когда вероятность осуществления события
известна, соответствует прямому применению вероятности. Мы
пользуемся формулами (8) и (9) для вычислений абсолютных
вероятностей событий. Вероятность предсказания
вычисляется согласно формуле условной вероятности A3).
Независимо от конкретных условий решаемой задачи мы получаем
один и тот же результат: вероятность предсказываемого
события всегда равна известному значению вероятности
осуществления этого события. Допустим, монета бросалась п
раз и га раз выпал герб. Пусть Еп,т обозначает это событие.
Допустим далее, что вероятность выпадения герба известна
и равна х. Чему будет равна вероятность выпадения герба в
п+1 бросании монеты? Ответ очевиден — эта вероятность
равна х. Чтобы увидеть это, обозначим выпадения герба в
п+1 бросании монеты посредством Еп+1,т+1. Согласно A3)
получаем:
/Г<п,т)
р. . =Х.
Вероятность выпадения герба в п+1 бросании монеты
равна известному значению вероятности х. Отсюда следует
210

важный вывод: если вероятность предсказываемого события
известна, то она не зависит от результатов прошлых
испытаний. Следовательно, никакого познания из опыта мы не
имеем. И причина этого в том, что вероятность
интересующего нас события известна. Вопрос состоит в том, всегда ли
мы точно знаем вероятности происходящих событий. Если
такой уверенности нет, тоща мы имеем дело со вторым
случаем предсказаний.
В тех ситуациях, когда значение вероятности
предсказываемого события неизвестно, необходимо иметь гипотезы
относительно предполагаемого значения. Предсказываемая
вероятность будет равна взвешенному среднему всех
выдвинутых гипотез с их апостериорными вероятностями в
качестве весов. Вычисления проводятся согласно формулам (8),
(9) и E). Главный результат предсказаний с неизвестным
значением вероятности состоит в следующем: чем больше
опыт, т. е. чем длиннее последовательность испытаний, тем
ближе предсказываемая вероятность к своему истинному
значению. В отличие от первого случая здесь мы имеем
познание из опыта.
Рассмотрим несколько примеров предсказаний с
неизвестным значением вероятности.
Пример L
В пяти бросаниях монеты два раза выпал герб. Было
выдвинуто две равновероятных гипотезы о вероятности
выпадения герба: Н\: />(Л=2/5, Нг\ РСО-1/2.
Какова вероятность выпадения герба в шестом бросании
монеты? Другими словами, какова вероятность события Еь,ъ
на основании события ?5,2? Согласно E), F) и (8) получаем
=0,525x2/5+0,475x1/2=0,448,
ще
^(^5,2/Я1)=С?B/5JC/5K=1Ох4/25х27/125=О,3456
^(?5,2/#2)=С?A/2JA/2K= 10x1/4x1/8=0,3125
211

Р(Н21Е5,г) = 1 -P(#i /?5,2)=0,475
P(E6,3/HiEs,2) =
Пример 2. (пример С. Джевонса) '.
Имеется урна с шарами белого и черного одета. Какова
вероятность вытаскивания белого шара, если известно, что
было вытащено с возвращением три белых и один черный
шар и если имеется три равновероятных гипотезы об
относительной частоте белого шара: Ни дс=1/4, Нг: *=2/4, Ну.
jp-3/4.
Имеем:
P(Esa/ Е4,ъ)=Р{Н\/Еа,ъ)Р(.Е5а1 Н\Еа,ъ)+
=0,065x1/4+0,348x2/4+0,587x3/4=0,63,
P(?4,3/#i)=d(l/4KC/4)=4x 1/64x3/4=0,047
/>(?4,3/#2)=dB/4KB/4)=4x8/64x2/4=0,250
/>(?4>3/#3)=dC/4K(l/4)=4x27/64xl/4=0,422
Р(?4>з/#1)+Р(?4.з/#2)+Р(?4)з/#з)=0O19
О 047
^^=
Основы науки: Трактат о логике и научном методе Стенли Джевонса.
СПб., 1881, С. 212—214.
212

Пример J.
Бросается монета, вероятность выпадения герба которой
неизвестна. Имеется две гипотезы о значении этой
вероятности: Ну. х=О,4, #2: *=0,6. Гипотезы имеют неравные
априорные вероятности: P(#i)=0,9, P(#2)=0,l. Какова
вероятность относительной частоты выпадения герба 3/5, то есть
вероятность события En,m, где m/n=3/5, в 10, 20, 40, 60, 80
и 100 бросаниях монеты?
Следует:
Р(Еп+1 ,m+1 /Entm)=
п,т)Р(Еп+1 ,т+1 /Н\ЕПут) +
+Р(Н2/Еп,т)Р(Еп+1 ,т+1 /НгЕп.т) =
_0,06+B/3Jт~пх0,36
(*)
0,1+B/3Jт"пхО,9
Результаты вычислений согласно (¦) отражены в табл. 8.
Таблица 8
Изменение вероятности предсказания Р(Еп+\ ,m+i /En%ni) в
зависимости от изменения значений п и т.
п
0
10
20
40
60
80
100
т
0
6
12
24
36
48
60
P(En+l,m+l/En,m)
0,420
0,440
0,472
0,548
0,587
0,597
0,599
213

Таблица 8 дает ответ на поставленный вопрос и
одновременно показывает один из самых важных результатов
индуктивного познания: вероятность предсказываемого
события по мере расширения опыта неуклонно стремится совпасть
с устойчивым значением наблюдаемой относительной
частоты, т. е. с частотой 3/5. Одновременно гипотеза,
предсказывающая вероятность, совпадающую с наблюдаемой
относительной частотой, получает высокое подтверждение, а ее
альтернатива — высокое дисподтверждение, именно
P(#iA?ioo,6O)=aO,9999 и/> (#2/^100,60) =0,0001. Сравнивая эти
апостериорные вероятности гипотез с их априорными
вероятностями, мы убеждаемся, что опыт исправил априорную
асимметрию гипотез.
В итоге мы получаем следующую картину, которую
полезно сравнить со схемой гипотетико-дедуктивного знания,
изображенной на рис. 1. Наблюдаемое в опыте значение
относительной частоты подтверждает гипотезу #2, дисподт-
верждает гипотезу Н\. Вероятность предсказываемой
частоты по мере расширения опыта стремится совпасть с
устойчивым значением наблюдаемой частоты. Подтверждение
истинной гипотезы и возрастающая точность предсказаний
оказываются процессами, взаимосвязанными и
поддерживающими друг друга (рис. 2).
Подтверждение #2, i>(#2/?ioo,6o)=0,9999
Дисподтверждение Н\, Р(#1/?юо,бо)=0,0001
Индукция ^^ \ Дедукция
Наблюдаемая Предсказываемая
относительная « вероятность 0,599
частота 0,6
Рис.2
Иногда требуется оценить интервал апостериорных
вероятностей, позволяющий принять гипотезу в качестве
истинной. Следующий пример показывает, как это можно сделать
в простейших случаях.
Пример 4.
Монета бросалась 10 раз. Имеется две гипотезы о
вероятности выпадения герба: Н\\ лс=4/10, Нг\ х=6/10. Априорные
вероятности гипотез одинаковые. Допустим, что гипотеза
214

считается индуктивно истинной, т. е. может быть принятой,
если ее апостериорная вероятность больше 1-е, где ?=0,1.
Какова вероятность принятия Н\, Нг в качестве индуктивно
истинных гипотез? Ответ содержится в табл. 9. Пояснения
приведены ниже.
Таблица 9
Зависимость принятия равновероятных гипотез Н\ и Яг от
параметра принятия ?=0,1 в десяти бросаниях монеты
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(ElO,m/Hl)
0,0060
0,0403
0,1209
0,2150
0,2508
0,2007
0,1115
0,0425
0,0106
0,0016
0,0001
Р{Ею,т/Н2)
0,0001
0,0016
0,0106
0,0425
0,1115
0,2007
0,2508
0,2150
0,1209
0,0403
0,0060
?=0,1
Принимается
т
Ни одна из
гипотез не
принимается
Принимается
Hz
Параметр ?=0,1 задает интервал, в который должна
попасть апостериорная вероятность гипотезы, чтобы быть
принятой, [1—0,1, 1]. Нижним пределом для Н\ будет
относительная частота 2/10, так как Р(Н\/Е\ъ,г)=О>9\9~0,9.
Соответственно нижним пределом для Нг будет частота 8/10,
так как P(#2/#io,2)=O,919«O,9. Следовательно, при ?=0,1
дяя принятия Н\ и Нг в 10 бросаниях монеты и при равных
априорных вероятностях достаточно соответственно т =
0. 1,2 и т-8, 9, 10.
Вероятность принятия истинной гипотезы (Н\ или Нг)
подсчитывается следующим образом. Hi истинна, если т =
0» 1, 2. Складываем правдоподобия Н\ при этих значениях
и* и умножаем на 1/2 — априорную вероятность этой
гипотезы. Получаем: @,0060+0,0403+0,1209) х 1/2=0,0836.
Нг истинна, если т = 8, 9, 10. Складываем правдоподобия
при этих значениях т и умножаем на 1/2 — априорную
вероятность данной гипотезы. Получаем: @,1209+0,0403+
+0,0060) х 1/2=0,0836. Истинной гипотезой может быть Н\
215

или #2. Следовательно, вероятность принятия истинной
гипотезы равна: 0,0836+0,0836=0,1672.
Вероятность принятия ложной гипотезы подсчитывается
аналогично. Н\ является ложной, при т = 8, 9, 10. Откуда
следует: @,010640,0016+0,0001) х 1/2=0,00615. #2 является
ложной, при т = 0, 1,2, что также дает 0,00615. Складывая
обе вероятности, получаем общую вероятность принятия
ложной гипотезы, Н\ или Нг\ 0,00615+0,00615=0,0123.
Вероятность непринятия ни одной из гипотез может быть
вычислена также, как это делалось в предыдущих двух
случаях, или вычитанием из 1 вероятности принятия
истинной и ложной гипотез вместе: 1—0,1672—0,0123=0,821.
Из табл. 9 следует, что десяти бросаний монеты
недостаточно для принятия какой-либо полной гипотезы.
Вероятность непринятия ни одной из гипотез достаточно высока,
что означает необходимость дальнейшего увеличения числа
испытаний.
Вопрос о принятии гипотез можно решать не только на
основании попадания их апостериорных вероятностей в
заранее заданный интервал, но и на основании точности
предсказаний. Для этого необходимо ввести параметр оценки
точности предсказания \Р(Еп+\ т+\/ЕпУт)-х\<?, где
0<?<0,1. Пусть ?=0,1. Попробуем с его помощью оценить
точность предсказаний из табл. 8. Интервал, в который
должны попасть успешные предсказания, равен [0; 0,1],
х=0,6. Остальные данные указаны в табл. 10.
Таблица 10
Оценка точности предсказаний устойчивого значения
относительной частоты на основании данных из табл. 8 е =0,1
п
0
10
20
40
60
80
100
т
0
6
12
24
36
48
60
P(En+i,m+l/En,m)
0,420
0,440
0,472
0,548
0,587
0,597
0,599

Абсолютная
ошибка
0,180
0,160
0,128
0,052
0,013
0,003
0,001
Оценка точности
предсказания
Неточное
Неточное
Неточное
Точное
Точное
Точное
Точное
216

Из табл. 10 следует, что при ?=0,1 и значениях пит,
равных или больших п=40, т=24, все предсказываемые
вероятности удовлетворяют выдвинутому критерию и
должны считаться успешными.
Итак, для обоих индуктивных умозаключений
характерна зависимость их истинности от числа проведенных
испытаний. Эту зависимость более точно можно выразить
следующим образом.
Пусть Р(#)>0, Р(Еп,т/Ю*Р(-Еп>т/-11). Тогда для
индуктивных умозаключений первого вида при п-»<» следует,
что вероятность того, что апостериорная вероятность
гипотезы Н будет больше любого фиксированного числа е>
0<?<0,5, равна 1:
lim P{P(HlEn,m)>\-e) = \. A4)
При этих же допущениях для индуктивных
умозаключений второго вида следует, что расхождение предсказываемой
вероятности и устойчивого значения относительной частоты
будет меньше любого фиксированного числа е, также
равна 1:
\Р{Еп+\,т+\1Еп,т)-х\<еЛ=\. A5)
л»бо I I J
На основании A4) и A5) можно сделать общий вывод,
что индуктивные умозаключения могут быть достоверными
в любых практически значимых границах. Если дедуктивное
умозаключение не может обосновать свои собственные
посылки и полностью зависит от специальных доказательств
их истинности, то индуктивные умозаключения позволяют
корректировать свои посылки в соответствии с результатами
опыта и добиваться их истинности с любой желаемой
степенью точности. Иными словами, индукция обладает
свойством самокоррекции своих посылок. Таким свойством не
обладает никакой другой вид умозаключений. Именно
благодаря этому свойству, индуктивные умозаключения
становятся незаменимыми в тех ситуациях, в которых необходимо
учиться на опыте в самом непосредственном смысле этого
слова.
6. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО АНАЛОГИИ.
Рассуждения, в которых заключение делается на
основании структурного, функционального или какого-либо иного
217

сходства сравниваемых вещей, принято называть
умозаключениями по аналогии. Принцип всякой аналогии: если
сравниваемые вещи сходны в одном отношении, следовательно,
они могут быть сходны и в других отношениях. Если передо
мной лежат две книги, написанные одним и тем же автором,
и если одну из них я прочитал и не получил никакого
удовольствия, то я вправе предположить, что и вторая книга
этого автора также не доставит мне удовольствия. Другие
возможные формулировки принципа аналогии — сходные
причины имеют сходные следствия, сходные следствия
имеют сходные причины, подобное производит подобное. Очень
редко заключения рассуждений по аналогии бывают
достоверными. По этой причине они относятся к недедуктивным
умозаключениям.
Решающее условие всякого рассуждения по аналогии —
наличие сходства сравниваемых вещей. Но что означает, что
некоторые вещи сходны? Мы будем говорить, что любые две
вещи сходны, если и только если они обладают по крайней
мере одим общим свойством или отношением или, что то же
самое, они принадлежат по крайней мере к одному и тому
же классу. Если вещи обладают общим свойством или
отношением необходимо, тогда их сходство также является
необходимым. В противном случае сходство не является
необходимым. Люди необходимо обладают признаком «разумное
животное». Следовательно, их сходство относительно
данного признака также является необходимым. Но этого нельзя,
например, утверждать относительно признака «иметь
приятную внешность».
Пусть А и В обозначают сравниваемые вещи, С и D —
свойства, которыми эти вещи могут обладать. Типичное
умозаключение по аналогии имеет следующий вид:
Вещи А и В необходимо или
ненеобходимо обладают общим
свойством С (необходимо или
ненеобходимо сходны
относительно С).
Вещь В необходимо или ненеоб-
ходимо обладают свойством Р. A6)
Вероятность, что вещь А
обладает свойством />, больше
вероятности, что А не обладает
свойством Д P(D/A)>P(-D/A).
218

Умозаключение A6) включает две возможности —
свойства принадлежат вещам необходимо и свойства не
принадлежат вещам необходимо. Рассмотрим обе возможности
последовательно.
Из значений Л, В, С и D можно построить 2*=*\Ь возможных
миров, из которых по условию A6) исключаются возможные
миры, содержащие вместе Л и -С, 5 и -С, В и -D.
Применение принципов симметрии к оставшимся возможным мирам
дает следующее распределение вероятности (табл. 11).
Таблица 11
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки умозаключения по аналогии с необходимыми свойствами
1
2
3
4
5
6
7
8
ABCD
A-BCD
A-BC-D
-ABCD
-A-BCD
-A-BC-D
-А-В-CD
-A-B-C-D
2/10
1/10
1/10
1/10
1/10
1/10
1/10
2/10
Из табл. 11 следует: />«)Л4)=3/4=О,75, P(-D/A)-0,25.
Это означает, что условие A6) выполняется.
Докажем, что заключение A6) истинно, даже если
свойства ненеобходимо принадлежат сравниваемым вещам. В
этом случае ни один из возможных миров не исключается и,
согласно принципам симметрии, мы получаем следующее
распределение вероятностей (табл. 12).
Таблица 12
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки умозаключения по аналогии с ненеобходимыми
свойствами
1
2
3
4
5
6
7
8
ABCD
ABC-D
AB-CD
AB-C-D
A-BCD
A-BC-D
А-В-CD
A-B-C-D
12/60
3/60
3/60
2/60
3/60
2/60
2/60
2/60
9
10
11
12
13
14
15
16
-ABCD
-ABC-D
-AB-CD
-AB-C-D
-A-BCD
-A-BC-D
-А-В-CD
-A-B-C-D
3/60
2/60
2/60
3/60
2/60
3/60
3/60
12/60
219

Из табл. 12 следует: />ШЛ4)=2/3=0,667, P(-D/A)-O,333.
Таким образом, при симметричном распределении
вероятностей даже с ненеобходимыми свойствами умозаключение по
аналогии является корректным. Это в общем неудивительно,
так как при симметричном распределении вероятностей
максимально сходные возможные миры получают наивысшую
вероятность.
Можно ли увеличить степень достоверности заключения
по аналогии? Умозаключение по аналогии превращается в
дедуктивное умозаключение, если к его условиям
добавляется допущение, что свойство D является необходимым
следствием свойства С. В этом случае исключаются
возможные миры, содержащие вместе С и — D. Для необходимых
свойств (см. табл. 11) это дает следующее распределение
вероятностей (табл. 13).
Таблица 13.
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки умозаключения по аналогии с необходимыми
свойствами и допущением, что D является необходимым следствием
свойства С
1
2
3
4
5
6
ABCD
A-BCD
-ABCD
-A-BCD
-A-B-CD
-A-B-C-D
2/10
1/10
1/10
2/10
2/10
2/10
Из табл. 13 следует: P(DlA)=\, P(-D/A)=0. Согласно
полученному заключениию, свойство D необходимо
принадлежит вещи А. Хотя данное заключение и является
максимально достоверным, его уже трудно назвать заключением
по аналогии. Оно является типичным дедуктивным
заключением. Таким образом, если мы хотим сохранить специфику
рассуждений по аналогии, мы не должны требовать
чрезмерной достоверности их заключений.
Допустим теперь, что свойства ненеобходимо
принадлежат сравниваемым вещам, но свойство D по-прежнему
является необходимым следствием свойства С. Эти условия
порождают следующее распределение вероятностей (табл. 14).
Из табл. 14 следует: />(Z)A4)=23/3(H),767, P(-D/A)=O,233.
При этом полученные значения выше соответствующих значе-
220

Таблица 14
Распределение вероятностей возможных миров для
проверки умозаключения по аналогии с ненеобходимыми
свойствами и допущением, что D является необходимым
следствием свойства С
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ABCD
AB-CD
AB-C-D
A-BCD
A-B-CD
A-B-C-D
-ABCD
-AB-CD
-AB-C-D
-A-BCD
-A-B-CD
-A-B-C-D
12/60
4/60
3/60
4/60
3/60
4/60
4/60
3/60
4/60
3/60
4/60
12/60
ний из табл. 12. Таким образом, допущение о том, что
предсказываемое свойство является необходимым следствием
общего для сравниваемых вещей свойства, повышает
вероятность заключения по аналогии даже тогда, когда сходство
этих вещей не является необходимым.
Как и индуктивные умозаключения, умозаключения по
аналогии требуют в качестве необходимого условия своей
истинности симметричного распределения вероятностей.
Именно такое распределение вероятностей предопределяет
успешность рассуждения по аналогии. Ведь только
симметричное распределение вероятностей приписывает сходным
возможным мирам, представляющим одну и ту же частоту,
не только равные, но и наивысшие вероятности. Иными
словами, принцип аналогии заложен в механизм познания
из опыта, так сказать, изначально. Это заключение
подтверждает мнение тех психологов и нейрофизиологов, которые
Утверждают, что способность учиться на опыте, делать
аналогии является врожденной, т. е. предопределена
механизмами работы нашего головного мозга.
Как и от индуктивных умозаключений, от
умозаключений по аналогии не следует требовать максимальной
достоверности, так как стремление к такой цели ведет к
тривиальным заключениям. Основная задача, решаемая
Умозаключениями по аналогии, как и всеми индуктивными
221

умозаключениями, состоит в качественном расширении
наших знаний, в открытии новых перспектив и горизонтов. Для
решения подобных задач важны не столько
высоковероятные, сколько высокоинформативные предположения,
допущения, гипотезы, что, конечно, не освобождает нас от
последующей проверки результатов аналогии или индукции
и либо отбрасывания их как ложных, либо принятия как
истинных или правдоподобных.
7. ВЕРОЯТНОСТНАЯ СИЛЛОГИСТИКА
С вероятностной точки зрения все, что существует,
связано друг с другом посредством условной вероятности. Для
любых двух суждений X и Y, которые могут быть и
вероятностными утверждениями, мы имеем три различающихся
случая вероятностной связи: 1) P(X/Y)=\\ 2) P(X/Y)=O;
3) 0<Р(Х/У)<1. Первые два случая характерны для
дедуктивной зависимости, последний — для недедуктивной
зависимости. Самый удивительный результат вероятностного
анализа состоит в том, что хотя существуют суждения,
которые не связаны друг с другом дедуктивно, но не
существует суждений, не связанных друг с другом вероятностным
образом, если и только если речь идет о суждениях как
элементах одного и того же вероятностного универсума —
множества возможных миров, образованных из терминов
суждений, с соответствующим распределением вероятностей.
Если все суждения связаны друг с другом в вероятностном
смысле (дедуктивно или недедуктивно), тогда мы можем
принять следующее базисное определение:
Суждение X следует в вероятностном смысле из суждения
У, если и только если истинно
0<Р(Х/У)<1. A7)
Опеределение A7) позволяет существенным образом
расширить наши представления об умозаключениях. В этом
параграфе мы обсудим результаты такого расширения
применительно к дедуктивным умозаключениям с двумя
посылками — силлогизмам.
Пусть, как и прежде, А обозначает субъект заключения,
С — предикат заключения, В — исключаемый термин.
Вывести заключение в вероятностном смысле из посылок
какого-либо силлогизма означает определить вторичную
вероятность условной вероятности Р(С/А), где Л и С могут
222

входить как со знаками отрицания, так и без них. Силлогизм
имеет дедуктивное заключение, если и только если
вторичная вероятностть последнего равна 1. Во всех остальных
случаях силлогизм имеет недедуктивное заключение.
Из А, В и С можно образовать 23=8 возможных миров,
значение вероятностей которых позволяет вычислить
вероятность заключения согласно следующим двум базисным
формулам:
Р{АВС)+Р(А-ВС)
^Р(В/А)Р(С/АВ)+Р(-В/А)Р(С/А-В) _
Р(В/А)+Р(-В/А) { }
=Р(В/А)Р(С/В)+Р(-В/А)Р(С/-В)
при условии, что как Р(С/В), так и Р(С/-В) вычисляются
только относительно А.
Аналогично доказывается, что
Р(С/-А)=Р(В/-А)Р(С/В)+Р(-В/-А)Р(С/-В) A9)
при условии, что как Р(С/В), так и /ЧС/-В) вычисляются
только относительно —А
Формулы A8) и A9) позволяют вывести заключение —
дедуктивное или недедуктивное — из любой комбинации
двух посылок, состоящих из трех различных терминов, один
из которых является исключаемым.
Рассмотрим несколько примеров, в которых для большей
ясности приведены два варианта доказательства — общий и
с числовыми значениями соответствующих вероятностей.
Для большей простоты во всех примерах принимается
допущение, согласно которому все возможные миры имеют
одинаковые вероятности.
Пример 7.
Все А есть В. Р(В/А)=1.
Все В есть С. Р(С/В)=1.
Все А есть С. Р(С/Л)-1.
Доказательство.
1. Из A8) следует: Р(СЛ4)=1х1+0х [0<Р(С/-?)<1]=1.
223

2. Посылки исключают возможные миры, содержащие А
и —В, В и -С. Принимая во внимание только А, получаем
следующее распределение вероятностей:
1. ABC 1
Откуда следует: Р(В/А)=1У Р(С/#)=1, 0<Р(С7-В)<1,
/1/1
Пример 2.
Некоторые А есть В. 0<Р (В/А) < 1.
Все В есть С. Р(С/В)=1
Некоторые А есть С. 0<Р (С/А) < 1.
Доказательство.
1. Из посылок дополнительно следует
/
Из A8) следует:
Р(С/А)=[(КР(В/А)<1] X 1+[0<Р(-В/А)<1] X [0<Р(С/—
2. Первая посылка ничего не исключает. Вторая
исключает все возможные миры, содержащие В и —С.
Относительно А получаем следующее распределение вероятностей:
1.АВС 1/3
2. А-ВС 1/3
3. Л-?-С 1/3
Отсюда следует:
Р(ЯЛ4)=1/3, Р(С/#)=1, Р(-В/А)=2/3, Р(С/-В)=1/2,
Р(СЛ4)=1/Зх 1+2/3x1/2=2/3.
Пример 3.
Все -А есть Я. />(Б/-А)=1.
Некоторые Д есть С. 0<Р(С/?)<1.
Дедуктивного решения нет. 0<Р(С/-А)<1.
Доказательство.
1. Из посылок дополнительно следует:
/ /
/(В/ЛH, 0<Р(С/?)<1.
Из A9) следует: Р(С/-А)=1х [0<Р(С/Я)<1]40х [0<
(С/Д)<1]
2. Первая посылка исключает все возможные миры,
содержащие —А и -В. Вторая посылка ничего не исключает.
Относительно -А получаем следующее распределение
вероятностей:
1. -ABC 1/2
2. -АВ-С 1/2
224

Отсюда следует: РB?/-А)=1, Р(С/Б)=1/2, />(-В/-А)Ч),
Р(С/А)= =1 х 1/2+0x0=1/2, Р(С/-А)=Р(С/Я)=1/2.
Пример 4.
Ни одно Л не есть В. Р(-В/А)=1
Ни одно В не есть С. Р(—С/В)=1
Некоторые -А есть -С. 0<Р(-С/-А)<1
Доказательство.
1. Из посылок дополнительно следует:
(KPU5/-A)<1, 0<Р(-Я/-Л)<1, 0<Р(—С/—В)<\.
Согласно A9) имеем:
Р(-С/-А)=[0<Р(В/-А)<1] х\+[0<Р(-В/-А)<\] х
х[0<Р(-С/-В)<\].
2. Первая посылка исключает все возможные миры,
содержащие А и В, вторая — все возможные миры, содержащие
В и С. Относительно -А получаем следующее распределение
вероятностей:
1. -АВ-С 1/3
2. -А-ВС 1/3
3. -А-В-С 1/3
Отсюда следует:
Р(В/-А) - 1/3, ?(-В/-А) = 2/3, Р(-С/-Я>-1/2,
Р(-С/-А)=1/3+2/Зх 1/2=2/3.
Пример J.
Некоторые А есть Д.
Некоторые В есть С. 0<Р(С/?)<1
Дедуктивного решения нет. (КР(С/Л)<1
Доказательство.
1. Из посылок дополнительно следует:
Согласно A8) получаем: Р(С/А)=[0<Р(В/А)<1] х [0<
</)(С/^)<1] + [0<Р(-В/АХ1]х[0<Р(-С/В)<1].
2. Обе посылки ничего не исключают. Относительно А
следует:
1.АВС 1/4
2. АВ-С 1/4
3. Л-ЯС 1/4
4. Л-Я-С 1 /4
8 Зак. 210 225

В результате получаем: РС#М)=1/2, Р(С/?)=1/2,
Р(-В/А)=1/2, Р(С/-Я)=1/2, Р(СЛ4)=1/2х 1/2+1/2x1/2=1/2.
Пример б.
Ни одно -А не есть В. />(-#/-Л)=1
Все С есть — В. Р(—В/С)=1
Некоторые А есть - С. 0<Р (- С/А) < 1
Доказательство.
1. Из посылок дополнительно следует: 0<Р(В/А)<19
Р(-С/В)=1У 0<Р(-В/А)<1, 0<Р(-С/-В)<1.
Согласно A8) получаем: P(-C/A)=[O<P(B/A)<l]xl+
0(В/А)<1] х [(КР(-С7—Я)<1].
2. Первая посылка исключает все возможные миры,
содержащие —А и Ву вторая — все возможные миры,
содержащие С и В. Относительно А имеем следующее распределение
вероятностей:
1.АЯ-С 1/3
2. А-ВС 1/3
3. Л-Я-С 1/3
Откуда следует: Р(В/А)=1/3, Р(-С/В)=1У Р(-В/А)=2/39
P(-C/-B)=l/2y P(-C/-A)=l/3x 1+2/3x1/2=2/3.
Пример 7.
Ни одно Л не есть Б. Р( -В/А)=1
Ни одно -Д не есть С. Р(—С/— Д)=1
Все Л есть -С. Р(-СЛ4>=1
Доказательство.
1. Из посылок дополнительно следует: Р(В/А)=О,
(С/1
Согласно A8) получаем: Р(-С/А)=Ох [0<Р(-С/В)<1]+1х 1-1.
2. Первая посылка исключает все возможные миры,
содержащие А и В, вторая — возможные миры, содержащие
—В и С. Относительно -Л следует:
1.Л-Я-С 1
Соответственно получаем:
P(B/A)ssOi P(-ClB) относительно А не определяется,
Р(-#А4)=1, Р(-С/-В)=1> Р(-С/А)=Ох [Р(С/-Д>=?]+1 х 1-1.
Следует отметить, что, хотя дедуктивные заключения
силлогизмов и формулируются в виде некоторых
утверждений об условных вероятностях суждений, сами эти
заключения следуют из посылок с необходимостью. Иными словами,
226

вероятность того, что вероятностное заключение 0<Р(С/А)< 1
истинно, равна 1. В. Н. Костюк был первым, кто ясно указал
на то, что недедуктивные рассуждения должны изучаться
дедуктивными средствами *. Фактически это означает
введение нового, более высокого уровня распределения
вероятностей, контролирующего исходный, первый уровень
распределения вероятностей. Как оказывается, без такого контроля
невозможно построить разумную теорию недедуктивных
умозаключений.
Следующее простое рассуждение доказывает
необходимость вторичного распределениия вероятностей.
Пусть X представляет произвольное вероятностное
утверждение о связи терминов А и В; У представляет
вероятностное утверждение о связи В и С; Z представляет
вероятностное утверждение о связи Ли С. Термины А, В, С могут
входить с любым распределением знаков отрицаания. Таким
образом, суждения X, У, Z обозначают вероятности первого
уровня.
Ввести вторичное распределение вероятностей означает
задать распределение вероятностей по всем возможным
мирам, составленным из X, У, Z. Если суждение Z является
необходимым следствием суждений X, Y, тогда возможный
мир (XY—2Z) получает нулевую вероятность. В противном
случае этот возможный мир имеет ненулевое значение
вероятности.
Правдоподобие Z относительно X и У вычисляется
согласно формуле
и равно 1 тогда и только тогда, когда Z является
необходимым следствием X и У. Во всех остальных случаях
правдоподобие Z меньше 1. Так, в примере 1 Х=[Р(В/А)=1],
Y=[P(C/B)=\], Z=[P(C/A)=l] и P(Z/XY)=\\ в примере 3
*-[РГЯ/-Л]«1], Y=[(RPfC/fO<l], Z=[0<P(C/-A) и
P(Z/XY)<\ (при равной вероятности возможных миров
вероятность P(ZlXY)=\ll).
Костюк В. Н. Элементы модальной логики. Киев, 1978. С. 108.
227

8. НЕДЕДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
И ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Как было выяснено, доказательство и опровержение
представляют собой важнейшие цели нашей умственной
деятельности. Без них любое умозаключение превращается в чисто
формальную игру ума. Доказывая, мы ищем истину;
опровергая, разоблачаем ложь.
В соответствии с типом умозаключения все
доказательства и опровержения были разделены на дедуктивные и
недедуктивные, к последним относятся индуктивные и по
аналогии. Первые анализировались в предыдущей главе. Здесь мы
постараемся ответить на вопрос: «В каком смысле возможно
недедуктивное доказательство и опровержение?»
Дедуктивно доказать тезис означает обосновать, что он
является необходимым следствием истинных аргументов —
аксиом, принципов, законов, определений. Дедуктивно
опровергнуть тезис означает обосновать, что он несовместим с
истинными аргументами или, что то же, доказать, что
антитезис является необходимым следствием истинных
аргументов. И при доказательстве, и при опровержении
аргументы должны быть не только истинны, но и уместны для
целей аргументации. Закон всемирного тяготения Ньютона
уместен в рассуждениях о гравитационных явлениях, но не
о нравственных явлениях.
Исчерпывает ли дедуктивная аргументация все виды
доказательства и опровержения? Нет, конечно. Существует
огромное число ситуаций, в которых имеет смысл говорить
о недедуктивном доказательстве и опровержении. К ним, в
первую очередь относятся ситуации подтверждения,
опровержения и дисподтверждения гипотез. Аргументами в этом
случае являются факты, тезисом — объясняющая гипотеза.
В отличие от дедуктивной аргументации здесь не тезис
является следствием аргументов, а аргументы, как правило,
являются логическим следствием выдвинутой гипотезы.
Если для дедуктивной аргументации истинность
аргументов и логическое следование из них тезиса или антитезиса
оказываются вместе достаточными, то этого нельзя сказать
о недедуктивной аргументации. Здесь аргументы могут быть
истинны и представлять логическое следствие тезиса и тем
не менее не доказывать его. Они могут быть только более
или менее благоприятными для тезиса. Цель дедуктивной
аргументации состоит в том, чтобы выводить из истинных
228

посылок истинные следствия. Цель недедуктивной
аргументации — искать для истинных следствий наиболее
правдоподобные (вероятные) посылки. Правдоподобие как мера
истинности играет в недедуктивной аргументации
центральную роль.
Чтобы отделить недедуктивную аргументацию от
дедуктивной, изменим символику. Пусть Е обозначает некоторое
множество аргументов (свидетельство в индуктивной
терминологии), Я — тезис (гипотезу). Назовем вероятность
Р(Н/Е) правдоподобием тезиса Н относительно аргументов
Е. В подавляющем числе случаев Н не является логическим
следствием Е и тем самым не является максимально
правдоподобным относительно Е. Поэтому разумно исследовать:
увеличивают, уменьшают или оставляют без изменений
правдоподобие Я представленные аргументы Е. Эти
размышления оправдывают следующие определения.
Аргументы Е недедуктивно доказывают тезис Я, если и
только если
Р(Н/Е)>Р(Н). B0)
Аргументы Е недедуктивно опровергают тезис Я, если и
только если
Р(Н/Е)<Р(Н). B1)
Аргументы Е недедуктивно не доказывают и не
опровергают тезис Я, если и только если
Р(Н/Е)=Р(Н). B2)
Согласно B0), аргументы Е благоприятны для тезиса Я,
так как они увеличивают его правдоподобие в сравнении с
априорным (начальным) правдоподобием этой гипотезы.
Согласно B1), аргументы Е неблагоприятны для тезиса Я, так
как они уменьшают правдоподобие тезиса в сравнении с его
априорным правдоподобием. Согласно B2), аргументы Е
индуктивно нейтральны для Я, так как они не увеличивают
и не уменьшают правдоподобие тезиса в сравнении с
априорным правдоподобием.
Введем понятие дедуктивного опровержения в новой
терминологии.
Аргументы Е дедуктивно опровергают тезис Я, если и
только если
Р(Н/Е)=0. B3)
229

Пусть -Я обозначает антитезис. Из B0) следует
косвенное недедуктивное опровержение антитезиса -Я; из B1) —
его косвенное недедуктивное доказательство; из B2) —
опровержение способа демонстрации, так как доказывается,
что между Я и Е нет логической связи; из B3) — косвенное
дедуктивное доказательство антитезиса -Я.
Если Р("Я)=1, Р(Е)=1, то Я и Е — истинные суждения;
если Р(Н)=0, Р(Е)=О, то Я и Е — ложные суждения; если
0<Р(Н)<1, 0<Р(Е)<\, тоНиЕ — правдоподобные суждения.
Фундаментальное отличие правдоподобных суждений от
истинных и ложных состоит в том, что они могут изменять
свою вероятность. Истинные и ложные судения таким
свойством не обладают. Истину и ложь можно рассматривать как
пределы изменения правдоподобия.
Базисными формулами при решении задач недедуктивной
аргументации является следующие:
Р(Н)=Р(НЕ)+Р(Н-Е) B4)
Р(-Я) = 1-Р(Я) B5)
Р(Е)=Р(НЕ)+Р(-НЕ) B6)
Р(-Е) = \-Р(Е) B7)
B8)
Р(-Н/Е)= 1 -Р(Н/Е) B9)
-75Г C0)
/>(-#/-?)= 1 -Р(Н/-Е) C1)
ЩЩЩ C2)
^\ ~Р(Е/Н) C3)
C5)
Для упрощения изложения при вычислениях не будем
делать специальных ссылок на используемые формулы.
Все умозаключения, используемые при недедуктивной
аргументации, можно разделить в зависимости от вида рас-
230

сматриваемой ситуации. Это, во-первых, ситуации, в
которых аргументы логически следуют из тезиса. Во-вторых,
ситуации, в которых аргументы и тезис несовместимы по
истине. В-третьих, ситуации, в которых аргументы и тезис
эквивалентны. В-четвертых, когда они взаимно исключают
друг друга. Особый интерес представляют ситуации, в
которых имеется несколько альтернативных аргументов или
тезисов и необходимо среди них выбрать наиболее
правдоподобные. Каждую из указанных ситуаций можно далее
разделить в зависимости от того, являются ли аргументы
истинными, правдоподобными или ложными.
Предложенная классификация не является, конечно,
исчерпывающей. Она, в частности, не включает методы
открытия и доказательства причинной связи Милля,
умозаключения по аналогии. Все эти пропуски легко могут быть
восстановлены. Цель предложенной классификации состоит
в том, чтобы дать общее представление о специфике
недедуктивной аргументации.
I. Аргументы логически следуют из тезиса, P(ElH)-\.
Собраны факты, свидетельства. Придуманы гипотезы, из
которых логически следуют суждения об этих фактах,
свидетельствах. Как будет меняться правдоподобие гипотез,
если свидетельства оказались истинными, правдоподобными,
ложными? Ответ на этот вопрос дают следующие
умозаключения (везде предполагается, что Н правдоподобно,
Из Я следует Еу Р(Н-Е)=О.
? истинно, Р(Е)Ш1. C6)
Е не доказывает и не опровергает
недедуктивно Я, Р(Н/Е)=Р(Н)
Заключение C6) может показаться удивительным:
истинные аргументы не изменяют правдоподобия той гипотезы, из
которой они выводятся в качестве необходимого следствия.
Однако ничего удивительного здесь нет. Истина передается
только в направлении действия отношения логического
следования. Кроме того, умозаключение C6) подтверждает
известное правило, согласно которому истинное следствие не
зависит от своих посылок или, что то же, истина следует из
чего угодно. Но если следствие не зависит от своих посылок,
то они и не изменяют их правдоподобие. Условиям C6)
соответствует следующее распределение вероятностей:
231

1. НЕ 1/2
2. Н-Е О
3. -НЕ 1/2
4. -Н-Е О
Следует Р(Н/Е)=Р(Н)=\/2> что оправдывает заключение
C6). Соответственно, данное заключение истинно и при
других числовых значениях вероятностей, удовлетворяющих
условиям C6) ¦
Из Я следует ?, P(H-E)=Q.
Е правдоподобно, 0<Р(Е)<1. C7)
Е недедуктивно доказывает
Я, Р(Н/Е)>Р(Н).
Умозаключение C7), называемое принципом обратной
индукции, является наиболее распространенным в
гуманитарных и естественных науках. Содержание C7) выражают
следующие утверждения.
A. Если Р(Н )=cons\, P(E)^P(H), то Р(Н/Е)^\.
B. Если P(H)=cons\y P(E)^ly то Р(Н/Е)^Р(Н).
C. Если Р(Н )=const, Р(Е)^ОУ то Р(Н/Е)-»0.
Из утверждений А и В следует, что правдоподобие Е
лежит в интервале Р(Н)<Р(Е)<\ и не может быть меньше
априорного правдоподобия гипотезы. Правдоподобие
гипотезы достигает максимума при Р(Е)=Р(Н). Отсюда следует,
что малоправдоподобные гипотезы могут высоко
подтверждаться только малоправдоподобными следствиями. Условиям
C7) удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
1.НЕ 1/3
2. Н-Е О
3. -НЕ 1/3
4. -Н-Е 1/3
Следует Р(Н>1/3, Р(Н/Е)=1/2. Следовательно,
заключение C7) выполняется. Недедуктивное доказательство Н
влечет косвенное недедуктивное опровержение этой
гипотезы. В самом деле, из приведенного распределения следует
также Р(-Н) =2/3, Р(-Н/-Е)=\/2У что, согласно
определению B1), означает недедуктивное опровержение Я
аргументами Е.
Из Я следует Е, P(H-E)=Q.
Е ложно, Р(Е)=О. C8)
—Е недедуктивно
опровергает Я, Р(Н/-~Е) = 0.
232

Умозаключение C7) характеризует ситуацию
приведения к абсурду — выведение ложных следствий для
опровержения той гипотезы, из которой они следуют. Иными
словами, неправдоподобные следствия делают неправдоподобными
и свои гипотезы. Условиям C8) соответствует следующее
распределение вероятностей:
1. НЕ О
2. Н-Е О
3. -НЕ О
4. -Н-Е 1
Следует Р(Н/-Е)=О, что оправдывает заключение C8).
II. Аргументы не следуют логически из тезиса,
но совместимы с ним, Р(НЕ)&0.
Если гипотеза имеет дедуктивное следствие, то истинно
Р(Н/Е)=1. Но что можно сказать о бесконечном числе
случаев, для которых истинно 0<Р(Е/Н)<П Если
вероятность Я больше нуля, значит между ними имеется
определенное сходство, позволяющее считать Е недедуктивным
следствием Я.
Условие 0<Р(Е/Н)<1 исключает из рассмотрения
возможность, когда Е истинно, так как истина, как объяснялось,
является следствием любого суждения. Условие
совместимости Я и Е исключает из рассмотрения возможность, когда Е
ложно. Остается следующая возможность:
Е не следует из Я,
но совместимо с Я, Р(НЕ)*0.
Е правдоподобно, 0<Р(Е)<1 C9)
Е недедуктивно доказывает Я, если
и только если Р(Е/Н)>Р(Е).
Согласно C9) гипотеза может подтверждаться и
недедуктивными следствиями. Необходимым и достаточным
условием для этого является требование Р(Е/Н)>Р(Е). Как его
интерпретировать? Буквально оно означает, что вероятность
аргументов ?", рассматриваемых безотносительно к Я,
меньше вероятности этих же аргументов, рассматриваемых
относительно данной гипотезы. Иными словами, аргументы Е
более правдоподобны, когда они рассматриваются вместе с
гипотезой, чем без нее. Такой факт может говорить только
об одном — гипотеза содержит правдоподобное объяснение
Данных аргументов.
233

Требование Р(Е/Н)>Р(Е) эквивалентно в свою очередь
требованию Р(Е/Н)>Р(Е/-Н). Следовательно, гипотеза
подтверждается недедуктивными следствиями, если и только
если вероятность Е относительно Я больше вероятности Е
относительно дополнения Я. Другими словами, Е должно
быть более правдоподобно относительно Я, чем относительно
всех ее альтернатив, выражаемых дополнением -Я.
Требование Р(Е/Н)>Р(Е/—Н) выполняется в том и
только в том случае, если симметричные возможные
миры, представляющие одну и ту же частоту, имеют
равные вероятности. Именно такое распределение
вероятностей обеспечивает успешное познание из опыта.
Следовательно, гипотеза подтверждается своими
недедуктивными следствиями, если и только если она
позволяет учиться на опыте.
Следующие распределения вероятностей дают примеры
нарушения и выполнения указанных требований:
1. НЕ 1/4 2/6
2. Н-Е 1/4 1/6
3. -НЕ 1/4 1/6
4. -Н-Е 1/4 2/6
(*) (*¦)
Из распределения (*) следует Р(Е)=Р(Е/Н)=\12>
Р(Н)=Р(Н/Е)=1/2. Таким образом, данное распределение
вероятностей не выполняет требования симметричности и не
обеспечивает познания из опыта. Из распределения (**)
следует Р(Е)=1/2, Р(Е/Н)=2/ЪУ P(H)=l/2f P(H/E)=2/3.
Данное распределение выполняет все требования и позволяет
познавать из опыта.
К сказанному добавим, что если выполняется требование
Р(Е/Н)>Р(Е), то автоматически выполняется требование
аналогии между Яи?, Когда мы можем учиться на опыте,
то это предполагает в качестве необходимого условия и
наличие аналогии между гипотезой и ее свидетельством.
III. Аргументы и тезис несовместимы по истине друг с
другом, Р(НЕ)=О.
Между гипотезой и свидетельством или аргументами
могут быть отношения не только совместимости, но и
несовместимости. Как влияет в этом случае изменение
истинностного значения аргументов на правдоподобие гипотезы?
Ответ на этот вопрос дают следующие умозаключения:
234

Я и Е несовместимы, Р(НЕ)=О.
? истинно,/Y?>1. D0)
Е дедуктивно опровергает Я, Р(Н/Е)=О.
С помощью D0) обеспечивается прямое дедуктивное
опровержение гипотезы, а также косвенное дедуктивное
доказательство ее дополнения. Так как из Р(Н/Е)=0 следует
Р(-Н/Е)=\. Условиям D0) соответствует следующее
распределение вероятностей:
1. НЕ 0
2. Н-Е 0
3. -НЕ 1
4. -Н-Е 0
Следует Р(Н/Е)=О и P(-HlE)=\> что оправдывает
заключение D0). Так как Р(Н)*4) и Р(Н/Е)=0, то следует, что
Е не опровергает недедуктивно гипотезу Я.
Я и Е несовместимы, Р(НЕ)=0.
Е правдоподобно, 0<Р(Е)<1. D1)
Е опровергает Я дедуктивно, Р(Н/Е)=0,
и недедуктивно, Р(Н/Е)<Р(Н).
Из D0) и D1) вместе следует, что в случае
несовместимости Я и Е для опровержения Я достаточно выполнения
условия Р(Е)>0. Если же аргументы только правдоподобны,
тогда гарантируется и дедуктивное, и недедуктивное
опровержение. Условиям D1) соответствует следующее
распределение вероятностей:
1. НЕ 0
2. Н-Е 1/3
3. -НЕ 1/3
4. -Н-Е 1/3
Следует Р(Н)=Л1Ъ и Р(Н/Е)=0, что оправдывает
заключение D1). Так как Р(-Н)=ЦЪ и Р(-Н/Е)=\, то с помощью
данного умозаключения можно также косвенно доказать как
дедуктивно, так и недедуктивно дополнение
рассматриваемой гипотезы.
Я и Е несовместимы, Р(НЕ)=0,
Е ложно, Р(Е)=0. D2)
Е не доказывает Я ни дедуктивно, ни
недедуктивно.
Умозаключение D2) воспроизводит известный принцип:
из ложности какого-либо одного из несовместимых суждений
235

не следует с необходимостью истинность другого. Условиям
D2) соответствует следующее распределение вероятностей:
1. НЕ О
2. Н-Е 1/2
3. -НЕ О
4. -Н-Е 1/2
Следует Р(Н)=1/2 и P(HlE) = не определяется, что
оправдывает заключение D2).
IV. Аргументы и тезис эквивалентны, Р(Н—Е)=Р(—НЕ).
Случай, когда тезис и аргументы эквивалентны, является
достаточно редким. Если гипотеза универсальная, то ее
эквивалентность со свидетельством вообще исключается. Для
полноты анализа эту ситуацию мы тем не менее рассмотрим.
Е и Я эквивалентны, Р(Н—Е) =
Е истинно, Р(Е)=\. D3)
Е и Я доказывают друг друга
Е и Я доказывают друг друга
дедуктивно, Р(Н/Е)=Р(Е/Н)=\.
Умозаключение D3) представляет результат объединения
C6) вместе со своим обращением (которое не
анализировалось). Условиям D3) соответствует следующее
распределение вероятностей:
1.НЕ 1
2. Н-Е О
3. -НЕ О
4. -Н-Е 1/2
Следует Р(Н)=Р(Е)=Р(Н/Е)=Р(Е/Н)=1У что оправдывает
заключение D3).
Е и Я эквивалентны, Р(Н-Е) =
=Р(-НЕ)=О.
Е правдоподобно, 0<Р(Е)<1. D4)
Е и Я доказывают друг друга
дедуктивно, Р(Н/Е)=Р(Е/Н)=1, и
недедуктивно, P(H/E)>P(H)t P(E/H)>P(E)
Умозаключение D4) представляет результат объединения
C7) и его обращения (которое не рассматривалось).
Условиям D3) соответствует следующее распределение
вероятностей:
1. НЕ 1/2
236

2. Н-Е О
3. -НЕ О
4. -Н-Е 1/2
Следует Р(Н)=Р(Е)=\П, Р(Н/Е)=Р(Е/Н)=1, что
оправдывает заключение D4). Таким образом, если суждение
только правдоподобно, тоща оно доказывает себя и
дедуктивно, и недедуктивно. Следовательно, не всеща повторение
какой-либо одной и той же мысли можно считать
бессмысленным.
Эквивалентность включает также и случай ложности
тезиса и аргументов.
Е и Я эквивалентны, Р(Н-Е) -
=Р(-НЕ)=О.
Сложно, Р(Е)=О. D5)
—Я дедуктивно опровергает Е>
Р(Е/-Н)=О.
—Е дедуктивно опровергает Я,
Р(Н/-Е)=О.
Умозаключение D5) представляет результат объединения
C8) со своим обращением (которое не рассматривалось).
Данное суждение можно рассматривать как вероятностный
аналог контрапозиции суждений. Условиям D5)
соответствует распределение вероятностей, приведенное для C8).
V. Аргументы и тезис взаимно исключают друг друга,
Р(НЕ)==Р(-Н-Е)=О.
Аргументы и тезис могут быть не только несовместимы
друг с другом, но также и исключать друг друга. Взаимное
исключение представляет логическое отрицание
эквивалентности. Ответ на вопрос, как изменяется правдоподобие
гипотез в зависимости от истинностного значения
свидетельства, дает следующее умозаключение:
Я и Е взаимно исключают
ДРУГ друга, Р(НЕ)=Р(-Н-Е)=О.
? истинно, Р(?>=!. D6)
Е дедуктивно опровергает Я, Р(Н/Е)=О.
Заключение D6) эквивалентно заключению D0).
Истинность какого-либо суждения влечет дедуктивное
опровержение всех несовместимых с ним суждений, включая и те,
которые он исключает. Распределение вероятностей для D6)
совпадает с распределением вероятностей для D0).
237

Я и Е взаимно исключают
друг друга, Р(НЕ)=Р(-Н-Е)=О.
Е правдоподобно, 0<Р(Е)<1. D7)
Е опровергает Я дедуктивно, Р(Н/Е)=О>
и недедуктивно, Р(Н/Е)<Р(Н).
Заключение D7) эквивалентно заключению D1). Как и
в предыдущем случае, это означает, что при указанных
условиях принципиального различия между
несовместимостью и взаимным исключением нет. Условиям D7)
удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
1. НЕ О
2. Н-Е 1/2
3. -НЕ 1/2
4. -Н-Е О
Следует Р(Н)=1/2, Р(Н/Е)=О, что оправдывает
заключение D7).
Я и Е взаимно исключают
ДРУГ друга, Р(НЕ)=Р(-Н-ЕН).
Е ложно, Р(ЕИ). D8)
—Е дедуктивно доказывает Я,
Р(Н/-Е)=\.
Умозаключение D8) характеризует единственный
случай, когда взаимное исключение не совпадает с
несовместимостью. Это несовпадение становится наглядным, если
сравнить умозаключения D2) и D8). Только при взаимном
исключении мы можем заключать от ложности одного
суждения к истинности другого. Условиям D8) удовлетворяет
следующее распределение вероятностей:
1.НЕ О
2. Н-Е 1
3. -НЕ О
4. -Н-Е О
Следует Р(Н}=Р(Н/-Е)=19 что оправдывает
заключение D8).
VI. Выбор среди аргументов и тезисов на основании
сравнения их априорного правдоподобия.
Допустим, имеется несколько аргументов в защиту одного
и того же тезиса, причем тезис является логическим
следствием каждого из этих аргументов. Какой аргумент в этой
238

ситуации следует предпочесть? Ответ дает следующее
умозаключение:
Из Е\ следует Я, Р(-НЕО=О.
Из Ег следует Я, P(-HEi)=b.
Е\ более правдоподобно, чем
Ег, Р(Е\)>Р(Ег)>0. D9)
Ei более правдоподобно относительно
Ег, чем Р(Е\/Н)>Р(Ег/Н).
Рассматриваемая ситуация характерна для дедуктивной
аргументации. Однако она интересна тем, что, несмотря на
дедуктивные отношения между Я, Е\ и /?2, решающим
условием оказывается различие априорных правдоподобий
сравниваемых аргументов. Согласно D9), когда тезис
следует сразу из нескольких аргументов, необходимо
предпочитать те из них, которые обладают большим начальным
правдоподобием. Именно такие аргументы более вероятны в
качестве истинных причин.
Условиям D9) удовлетворяет следующее распределение
вероятностей:
1. НЕ\Ег 1/10
2.НЕ\-Е2 6/10
3. Н-Е\Ег 1/10
4. Н-Е\-Ег 1/10
5. -Н-Е\-Ег 1/Ю
Следует Р(Е\/Ю=7/9, Р(?2/Я)=2/9, P(?i)=7/10,
Р(?2)=2/10. Кроме того, истинно Р(Н/Е\)=Р(Н/Ег)=1. Эти
вероятности оправдывают заключение D9).
Сохраняется ли в силе заключение D9), если тезис не
является логическим следствием представленных
аргументов, но совместим с каждым из них? Ответ на этот вопрос
дает следующее умозаключение.
Я не следует Ей Р(-НЕ\)*0.
Я не следует Ег, Р(-НЕг)^0.
Я совместимо с Е\ и Ег, Р(НЕ\Ег)*0.
Е\ более правдоподобно, чем Ег*
Р(ЕО>Р(Е2) E0)
Е\ более правдоподобно относительно Я,
чем Ег, Р(Е\/Ю>Р(Ег/Ю.
Умозаключение E0) характерно для недедуктивной
аргументации. Однако D9) и E0) имеют одно и то же
заключение — аргументы с большим правдоподобием безотноси-
239

тельно к тезису более правдоподобны и относительно тезиса,
если тезис и аргументы совместимы друг с другом. Условиям
E0) удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
1. НЕ\Ег 1/10
2.НЕ\-Ег 2/10
3. Н-Е\Ег 1/Ю
4. Н-Е\-Ег 1/Ю
5. -НЕ\Ег 1/10
6. -НЕ\-Ег 2/10
7. -Н-Е\Ег 1/10
8. -H-Ei-Ei 1/Ю
Следует Р(Е\)=6/10у Р(Ег)-4/10, Р(Е\/Н)-6/109
Р(Е2/Н)=4/Ю. Также следует P(H/Ei)=P(H/E2)=l/2y что
оправдывает заключение E0).
Допустим, даны аргументы, из которых следует несколько
тезисов. Какой из тезисов следует предпочесть, если каждый
из них доказывается дедуктивно и относительно них обладает
поэтому высшим правдоподобием? Ответ на этот вопрос дает
следующее умозаключение.
Из Е следует #ь Р(-Н\Е)=0.
Из Е следует Яг, Р(-НгЕ)=О.
Н\ более правдоподобно,
чем #2, Р(Н\)>РШг). E1)
Е более правдоподобно относительно Яг,
чем относительно Hi, Р(Е/Н\)<Р(Е/Нг).
Согласно E1) тот тезис обеспечивает большее
правдоподобие аргументу, который обладает меньшей начальной
вероятностью. Иными словами, если из какого-либо множества
аргументов следует несколько тезисов, то предпочитать
следует тезис с наименьшей начальной вероятностью, или, что
то же, с наивысшей начальной информативностью. Именно
такие тезисы обеспечивают аргументам наибольшее
правдоподобие. Условиям E0) соответствует следующее
распределение вероятностей:
1. Н\НгЕ 1/10
2. Н\Нг-Е 1/10
3. Н\-Нг-Е 6/10
4. -Н\Нг-Е 1/10
5. -Я1-Яг-?: 1/10
Следует /Y#i)=8/10, /Y#2)=3/10, P(E/H\)=\I%,
P(E/H2)=l/3, P(H\IЕ)=Р(Нг1 Е)=\, что оправдывает
заключение E1).
240

Для тезисов, не являющихся логическими следствиями
каких-либо аргументов, заключение, аналогичное E1),
получить нельзя.
Умозаключения E0) и E1) позволяют сделать общий
вывод. Когда имеется несколько альтернативных аргументов,
с которыми рассматриваемый^ тезис совметим, мы должны
выбирать аргументы с большим априорным правдоподобием.
Именно относительно такого тезиса аргументы обладают
наивысшим правдоподобием. Кратко суть обоих умозаклю-
чениий можно выразить так: мы должны стремиться к
наиболее вероятным посылкам и к наименее вероятным
следствиям — тогда наша аргументация будет наиболее
убедительной.
Допустим, тезис является следствием нескольких
аргументов. Увеличивается ли их правдоподобие, если они
рассматриваются одновременно относительно тезиса? Ответ на
этот вопрос дает следующее умозаключение.
Из Е\ следует Я, Р(-НЕ\)=0.
Из Е2 следует Я, Р(-ЯЕ2)=0.
Е\ и Ег правдоподобны,
0)l, 0<Р{Ег)<\.E2)
(Е\Е2) менее правдоподобно
относительно Я, чем Е\ или Ег
относительно Я по отдельности, Р(Е\Ег/Н)<
l /=1, 2.
Умозаключение E2) оправдывает правило аргументации,
согласно которому, если имеется несколько аргументов в
защиту тезиса, то каждый аргумент должен выставляться
независимо от других.
Условиям E0) соответствует следующее распределение
вероятностей:
I. НЕ\Ег 2/8
г.НЕ\-Ег 1/8
3. Н-Е\Ег 2/8
4. Н-Е{-Е2 1/8
5. -Н-Е1-Е2 2/8
Следует Р(Е\1Н)=Р(Ег/Н)=\П, Р(Е\Ег1Н)=\1Ъ, что
оправдывает заключение E2).
Допустим, из одних и тех же аргументов следует
несколько тезисов. Увеличивается ли их правдоподобие, если тезисы
рассматриваются одновременно? Ответ на этот вопрос дает
следующее умозаключение.
241

Из Е следует Н\у Р(-Н\Е)=О.
Из Е следует Яг, Р(-НгЕ)=О.
Е правдоподобно, 0<Р(Е)<1 E3)
Е более правдоподобно относительно
Ш\Нг) у чем относительно Н\ или #2
относительно по отдельности,
Р(Е/Н\Нг)>Р(Е/НО, z=l, 2.
Умозаключение E3) оправдывает правило аргументации,
согласно которому рекомендуется выставлять все тезисы, так
как рассматриваемые все вместе они повышают
правдоподобие приведенных аргументов. Условиям E0) соответствует
следующее распределение вероятностей:
1. Н\НгЕ 2/8
2. Н\Нг-Е 2/8
Ъ.Н\-Нг-Е 1/8
4. -Н\Нг-Е 1/8
5. -Н\-Нг-Е 2/8
Следует Р(Е/Н\)=Р(Е/Н2)=2/5, Р(Е/Н\Н2)=1/2, что
оправдывает заключение E3).
Умозаключения E2) и E3) характерны для дедуктивной
аргументации. Их недедуктивными аналогами является
следующие умозаключения:
Из Я следует Е\у Р(Н-Е\)=0.
Из Я следует Ег, Р(Н-Е2)=0.
Н правдоподобно, 0<Р(Н)<1. E4)
Н более правдоподобно относительно
{Е\Ег)> чем относительно Е\ или Е2
по отдельности,
P(H/E\E2»P(HlEi)t Ы, 2.
Согласно E4), правдоподобие гипотез монотонно
возрастает вместе с увеличением числа подтверждающих ее
свидетельств. Эквивалентность заключений E3) и E4)
доказывает симметричность недедуктивного доказательства: если
аргументы увеличивают правдоподобие гипотезы, то и
гипотеза увеличивает правдоподобие своих свидетельств.
Доказательство истинности E4) такое же, как и E3). Поэтому
оно опускается.
242

Из #i следует ?, Р(Н\ -00.
Из #2 следует Е, Р(Нг-Е)=0.
Н\ и Нг правдоподобны, (ХР(Я/)<1, г=1,2 E5)
(Н\Нг) менее правдоподобно
относительно Е, чем Н\ или #2 относительно is по
отдельности, Р(Н\Нг/Е)<Р(Н[/Е), M, 2.
Согласно E5), каждую гипотезу рекомендуется
доказывать отдельно, так как только в^том случае их
правдоподобие относительно свидетельства выше. Заключение E5)
эквивалентно заключению E2), т. е. отношение
недедуктивного опровержения симметрично, как и отношение
недедуктивного доказательства. Если свидетельство уменьшает
правдоподобие гипотезы, то и гипотеза уменьшает правдоподобие
свидетельства. Доказательство E5) аналогично
доказательству E2).
Допустим, имеется несколько альтернативных гипотез,
образующих полное множество, т. е. такое множество,
которое необходимо содержит истинную гипотезу. Пусть каждая
гипотеза из это множества имеет некоторое логическое
следствие. Как изменится правдоподобие гипотез, если
правдоподобие следствия одной из гипотез будет больше
правдоподобия следствий всех остальных гипотез? Ответ на этот
вопрос дает следующее умозаключение.
Н\ и Нг образуют полное
множество, Р(Н\)+Р(Нг)=1.
Из Нг следует Ей Р(Н\-Е\)=0.
Из Нг следует Ег, Р(Нг-Ег)=0.
Правдоподобие Е\ больше правдо-
подобия Ег, Р(Е\)>Р(Ег) >0. E6)
Правдоподобие Н\ относительно Е\
больше правдоподобия Нг
относительно Е2, Р(Н\/Е\)>Р(Нг/Ег).
Умозаключение E6) характеризует одну из самых
распространенных ситуаций недедуктивной аргументации. С
логической точки зрения она представляет индуктивный
вариант метода исключения дедуктивной аргументации. E6)
интересно тем, что объединяет две важнейшие индуктивные
стратегии — подтверждение истинной гипотезы и
опровержение (исключение) ложных гипотез. Условиям E6)
удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
\.Н\-НгЕ\Ег 1/10
2. Н\-НгЕ\-Ег 7/10
243

3. -Н\НгЕ\Ег 1/10
4. -Н\Нг-Е\Ег 1/10
Следует P(?i)=9/10, р(?2)=3/10, Р(Н\/Е\)=Ъ/9,
Р(Нг/Е2)=*2/Ъ. Полученные вероятности оправдывают
заключение E6). Это умозаключение истинно при любом
числе п альтернативных гипотез, образующих полное
множество, п>2.
Допустим, дано произвольное множество суждений А,
В, ..., М, последовательно связанных друг с другом
отношений недедуктивного доказательства Р(В/А)>Р(В),
Р(С/В)>Р(С)У... Можно ли в этом случае говорить о
транзитивности отношения недедуктивного доказательства?
Можно, если и только если вероятностный универсум
следующего умозаключения является симметричным.
Р(В/А)>Р(В)
Р(С/В)>Р(С)
P(DIC)>P(D) E7)
P(D/A)>P(D)
Символы в E7) могут обозначать произвольные
суждения. Главное условие — чтобы они находились в
последовательном отношении недедуктивного доказательства. Не
требуется, чтобы посылки формулировались только в
общеутвердительных суждениях.
Допустим для простоты доказательства, что каждое
последующее суждение является необходимым следствием
предыдущего суждения. В этом случае условиям E7)
удовлетворяет следующее распределение вероятностей.
1. ABCD 1/5
2. -ABCD 1/5
3. -A-BCD 1/5
4. -A-B-CD 1/5
5. -A-B-C-D 1/5
Следует Р(В/А)=\У Р(В)=2/5У Р(С/В)=1У Р(С)=3/59
P(D/C)=\y P(D)=4/5, P(DlA)=\, что оправдывает
заключение E7).
Рассмотрим несколько примеров недедуктивной
аргументации.
Пример 1.
«Доводы, которые заставляют меня сомневаться в том,
чтобы естественные виды могли изменяться так же внезапно,
как иногда изменялись домашние расы, и окончательно
отвергнуть тот чудесный способ их изменения, который
244

предлагает м-р Майварт, — следующие. Согласно всему
нашему опыту, внезапные и резко выраженные изменения
проявляются у наших домашних рас как единственные
случаи и через длинные промежутки времени. Если такие
изменения появлялись в естественном состоянии, они, как
было пояснено ранее, весьма легко исчезали бы вследствие
различных случайных причин и в силу последующего
скрещивания; то же оказывается верным и по отношению к
домашним породам, если только эти внезапные изменения
не будут особенно тщательно охраняться и изолироваться
человеком. Отсюда предложенный м-ром Майвартом способ
внезапного возникновения нового вида обязательно
потребовал бы, вопреки всяким аналогиям, того допущения, что
несколько таким чудесным образом измененных особей
появилось одновременно в одной и той же области. Это
затруднение, как и в случае бессознательного отбора человеком,
устраняется по теории постепенной эволюции сохранением
большого числа особей и истреблением большого числа
особей, изменившихся в обратном направлении». (Дарвин Ч.
Происхождение видов путем естественного отбора. Книга для
учителя. М., 1986. С. 174—175).
Спор Ч. Дарвина со своим оппонентом можно представить
в виде соперничества двух конкурирующих гипотез: Н\ »
виды животных изменяются постоянно путем естественного
отбора (гипотеза Ч. Дарвина), #2 в виды животных
изменяются внезапно и сразу, благодаря некоторой внутренней силе
самих животных (гипотеза Майварта).
Свидетельством, поддерживающим Н\ и чрезвычайно
правдоподобным, благодаря многочисленным наблюдениям,
является утверждение Е\ = большое число особей
сохраняется, если их изменения происходят в благоприятном
направлении, и истребляется, если их изменения происходят в
неблагоприятном направлении. Свидетельством Ег,
поддерживающим #2, является утверждение что новые виды
появляются внезапно и независимо от изменения внешних
условий жизни животных. Правдоподобие Ег Ч. Дарвин
подвергает сомнению на том основании, что такие изменения
очень редко наблюдаются, и только через длинные
промежутки времени, и что они очень неустойчивы, легко
исчезают под воздействием внешних факторов.
Допустим, что #i и #2 составляют полное множество
гипотез, т. е. что одна из них необходимо истинна. Тогда
Р(Н\)+Р(Нг)=1. Подвергая сомнению правдоподобие
свидетельства Ег, Ч. Дарвин тем самым доказывает, что
245

Р(Е\)>Р(Е2)>0. Учитывая, чтоЕ\ и Ег является логическими
следствиями соответствующих гипотез, получаем условия
умозаключения E6). В качестве заключения следует
Р(Н\/Е\)>Р(Нг/Ег), т.е. гипотеза об естественном отборе
доказывается сильнее, чем ее альтернатива.
Пример 2.
«— Интересно, что он там высматривает? — спросил я
(доктор Ватсон. — В. С), показывая на дюжего, просто
одетого человека, который медленно шагал подругой стороне
улицы, вглядываясь в номера домов. В руке он держал
большой синий конверт, — очевидно, это был посыльный.
— Кто, этот отставной флотский сержант? — сказал
Шерлок Холмс...
— Как же Вы догадались? — спросил я.
— О чем? — хмуро отозвался он.
— Да о том, что он отставной флотский сержант?...
— Мне легче понять, чем объяснить, как я догадался...
Даже через улицу я заметил на его руке татуировку —
большой синий якорь. Тут уже запахло морем. Выправка у
него военная, и он носит баки военного образца. Стало быть,
перед нами флотский. Держится он с достоинством, пожалуй,
начальственно. Вы должны были бы заметить, как высоко он
держит голову и как помахивает своей палкой, а с виду он
степенный мужчина средних лет — вот и все приметы, по
которым я узнал, что он был сержантом» (Конан Дойль А
Этюд в багровых тонах // Англия. М., 1991. С. 19—21).
Приведенный отрывок содержит один из типичных
примеров применения великим сыщиком своего «дедуктивного»
метода. Попробуем этот пример проанализировать и понять,
как Шерлок Холмс смог угадать правильное заключение,
которое затем полностью подтвердилось.
Благодаря своей способности наблюдать Холмс быстро
подметил основные приметы и составил из них свидетельство
(аргумент) Е = этот человек сильный, степенный, средних
лет, просто одет, имеет морскую татуировку, военную
выправку, баки военного образца, держится начальственно,
служит посыльным.
Мы не ошибемся, если скажем, что для Холмса данное
свидетельство было только правдоподобным, так как
формировалось на основании визуальных примет. Таким образом,
0
()
Догадка Холмса представляет гипотезу Н - этот
человек — отставной сержант флота. Здесь возникают два во-
246

проса. Во-первых, почему появилась именно эта гипотеза?
Во-вторых, доказывается ли она установленным
свидетельством? Хотя логики не любят отвечать на вопросы, подобные
первому, относя их к психологии творчества, мы рискнем
дать следующий ответ. Интуитивно или осознанно Холмс
исходил из требования, что гипотеза, претендующая на
статус истинной, должна придавать свидетельству большее
правдоподобие, чем все ее возможные альтернативы. Именно
выдвинутая гипотеза и отвечает данному требованию. В
самом деле, не быть отставным сержантом флота и иметь при
этом морскую татуировку, военную выправку, баки военного
образца, держаться начальственно, служить посыльным
выглядит малоправдоподобным сочетанием. Однако все
перечисленные приметы становятся весьма правдоподобными при
допущении, что данный человек когда-то был сержантом
флота. Иными словами, для Холмса очевидным стало
неравенство Р(Е/Н)>Р(Е/-Н), где Н обозначает его догадку,
—Н — все ее альтернативы, Е — приметы, составившие
свидетельство. Итак, логический смысл всякой догадки
состоит в том, чтобы сделать обсуждаемое событие
максимально правдоподобным.
Гипотеза Н была выдвинута Холмсом для объяснения
свидетельства Е. Следовательно, она не может быть
несовместимой с этим свидетельством. Она также не может быть
эквивалентной свидетельству или быть его логическим
следствием. В противном случае доктор Ватсон, а вместе с ним
и мы, читатели, без труда смогли догадаться, кем ранее был
посыльный. Остаются две возможности — свидетельство Е
является или логическим, или нелогическим следствием Я.
Первая возможность соответствует умозаключению C7),
вторая — умозаключению C9). И в том и в другом случае
гарантируется недедуктивное доказательство гипотезы Н
свидетельством Е. Таким образом, независимо от того,
мыслил ли Холмс согласно C7) или согласно C9), его догадка
получает недедуктивное доказательство. К тому, что Холмс
сказал своему другу, он мог бы добавить, что если некоторая
догадка повышает правдоподобие обсуждаемого события,
факта, то симметрично и событие, факт подтверждают эту
Догадку.
Пример 3.
«-— Вот что, Ватсон, — промолвил он (Шерлок Холмс. —
В. с.) — мы оставим вопрос, кто убил Стрэкера, и будем
247

думать, что произошло с лошадью. Предположим,
Серебряный (имя лошади — В. С.) в момент преступления или
немного позже ускакал. Но куда? Лошадь очень привязана
к человеку. Предоставленный самому себе, Серебряный мог
вернуться с Кингс-Пайленд или убежать в Кейплтон. Что
ему одному делать в поле? И уж, конечно, кто-нибудь да
увидел бы его там. Теперь цыгане, — зачем им было красть
его?... Украсть ее — большой риск, а выгоды — никакой. Это
вне всякого сомнения.
— Где же Серебряный?
— Я уже сказал, что он или вернулся в Кингс-Пайленд
или поскакал в Кейплтон. В Кингс-Пайленде его нет. Значит,
он в в Кейплтоне. Примем это за рабочую гипотезу и
посмотрим, куда она нас приведет. Земля, как заметил
инспектор, высохла и стала тверже камня, но местность
слегка понижается к Кейплтону, и в той лощине ночью в
понедельник, наверное, было очень сыро. Если наше
предположение правильно, Серебряный скакал в этом
направлении, и там нужно искать его следы.
Беседуя, мы быстро шли вперед и через несколько минут
спустились в лощину. Холмс попросил меня обойти ее справа,
а сам взял левее, но не успел сделать и пяти-десяти шагов,
как он закричал мне и замахал рукой. На мягкой глине у
его ног виднелся отчетливый конский след. Холмс вынул из
кармана подкову, которая как раз пришлась по отпечатку.
— Вот что значит воображение, — улыбнулся Холмс...
Мы представили себе, что могло бы произойти, стали
проверять предположение, и оно подтвердилось» (Конан Дойль А.
Серебряный. // Из досье Шерлока Холмса. Мм 1991. С. 129).
В предыдущем примере гипотеза выдвигалась для
объяснения существующего свидетельства. В этом примере
гипотеза предлагается для того, чтобы найти подтверждающее
или дисподтверждающее ее свидетельство.
Пропал известный во всей Англии рысак Серебряный, а
его тренер Стрэкер найден убитым. Холмс ставит задачу
найти в первую очередь пропавшую лошадь и выдвигает
последовательно четыре гипотезы о ее возможном
местонахождении. Н\ = Серебряный остался в поле, рядом с местом
преступления; Нг = Серебряный вернулся в конюшню в
Кингс-Пайленд; #з = Серебряный убежал в Кейплтон (место,
где находится конюшня конкурента); #4 = Серебряного
украли цыгане. Так как никаких других гипотез не
предлагалось, то будем считать, что перечисленные гипотезы обра-
248

зуют полное множество. Следовательно, истинно
Р(Н\ )+Р(Н2)+Р(Нз)+Р(Н4)=1.
Свидетельствами, подтверждающими эти гипотезы, были
бы соответственно следующие факты: Е\ = Серебряный
пасется в поле, Ег = Серебряный в Кингс-Пайленде, Еъ ш
Серебряный в Кейплтоне, Е* = Серебряный у цыган. Встает
вопрос о правдоподобии этих свидетельств. Холмс подвергает
сомнению Е\, так как лошадь долго оставаться без человека
не может и, кроме того, ее бы заметили; правдоподобие Ег
приравнивается нулю, так как Серебряный в родную
конюшню не возвращался; правдоподобие Е$ также приравнивается
нулю, потому что украсть известного рысака большой риск
и его невозможно потом продать. В итоге имеет место
P(Ei)+P(E2)+P(E4)=0.
Е\ является логическим следствием #i, но Р(Е\)=О.
Согласно D8) гипотеза Н\ опровергается. Аналогично Р(Ег)=О
опровергает #2, Р(Е4)=0 опровергает #4- Опровержение #ь
#2, #4 косвенно доказывает, согласно E6), гипотезу Яз. Но
проблема для Холмса заключается в том, что конюшня в
Кейплтоне уже осматривалась и Серебряного там не нашли.
Поэтому Холмс временно допускает, что #з истинна, и ищет
свидетельство, подтверждающее ее прямо, т. е. ищет Еъ.
Скоро такое свидетельство в виде отпечатков Серебряного
обнаруживается. Очевидно, что правдоподобие Еъ больше
нуля.
Объединяя все полученные данные, получаем
расширенный вариант умозаключения E6):
Н\, #2, Нъ и #4 образуют полное множество,
Р(НО+Р(Н2)+Р(Нъ)+Р(Н4)=1.
Из #i следует Е\, Р(Н\-Е\)=О.
Из #2 следует Ег, Р(Нг-ЕгН).
Из Нъ следует Еъ, Р(Нъ-Еъ)=О.
Из #4 следует Еа, Р(Н4-Е4)=О.
Правдоподобие Еъ больше
правдоподобия всех остальных свидетельств,
Р(Еъ)>Р(Ед, г=1, 2, 4.
Правдоподобие Нъ относительно Еъ
больше правдоподобия всех остальных
гипотез относительно своих
свидетельств, Р(Нъ/Еъ)=\>Р(Н1/Е0, г-1, 2, 4.
Заключение Холмса подтвердилось полностью, когда
Серебряного нашли в Кейплтоне.
249

Итак «дедуктивный метод» Шерлока Холмса на самом
деле представляет обычный гипотетико-дедуктивный метод,
широко известный во времена А. Конан Дойля. Этот метод
может использоваться как для объяснения уже
существующих фактов, так и для поиска новых. На этом основании мы
должны отклонить обвинение, что Шерлок Холмс был против
современной логики *. Наоборот, именно ей он обязан своими
поражающим открытиями и проницательными догадками.
Пример 4.
«Посещение пчелами необходимо для оплодотворения
некоторых видов клевера... Только шмели посещают красный
клевер, так как другие пчелы не могут добраться до его
нектара... Отсюда мы вправе с большой вероятностью
заключить, что, если бы здесь род шмелей вымер или стал бы очень
редок в Англии, и красный клевер стал бы также очень
редким или совсем исчез. Число шмелей в стране зависит в
значительной степени от численности полевых мышей,
истребляющих их соты и гнезда... Но число мышей, как всякий
знает, в значительной степени зависит от количества
кошек... Отсюда становится вполне вероятным, что присутсвие
большого числа животных кошачьей породы в известной
местности определяет, через посредство, во-первых, мышей,
а затем шмелей, изобилие в этой местности некоторых
цветковых растений!» (Дарвин ?. Происхождение видов
путем естественного отбора. Книга для учителя. С. 60—61).
В данном отрывке Ч. Дарвин иллюстрирует идею
взаимозависимости животных и растений. Элементами
рассматриваемой системы выступают кошки, полевые мыши, шмели,
красный клевер. Пусть А обозначает красный клевер, В —
шмелей, С — полевых мышей, D — кошек.
В качестве первой посылки выступает утверждение, что
шмели представляют собой необходимое условие
существования красного клевера. Следовательно, истинно
Р(В/А)>Р(А). В качестве второй посылки следует
утверждение, что численность шмелей контролируется полевыми
мышами. Следовательно, истинно Р(В/С)>Р(В). Третьей
посылкой выступает суждение, что численность мышей в
местах проживания человека контролируется кошками.
Следовательно, истинно P(C/D)>P(C).
1 Хинтикка Я. Хинтикка М. Шерлок Холмс против современной логики:
к теории поиска информации с помощью вопросов // Язык и
моделирование социального взаимодействия. М., 1987. С. 265—281.
250

Согласно E7), из указанных посылок с необходимостью
следует суждение P(AlD)>P(A), т. е., что существование
кошек опосредованным образом (через мышей и шмелей)
влияет на существование красного клевера (в местах
проживания человека).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Возможно ли, кроме индуктивного и по аналогии,
какое-либо иное обоснование посылок?
2. Почему необходимо различать вероятности и частоты
событий?
3. Чем отличаются вероятности наблюдаемых событий от
вероятностей гипотез?
4. Чем различаются принципы прямого и обратного
применения вероятности и почему нельзя ограничиться каким-
либо одним принципом?
5. Попробуйте самостоятельно доказать (вывести из
аксиом) формулы C) и D).
6. Изменится ли ваше предположение о симметричности
монеты, если при ее бросании десять раз подряд выпал герб
и 1) вероятность выпадения герба вам известна, 2)
вероятность выпадения герба вам точно не известна?
7. В комнате стоит пять урн с шарами красного и синего
цвета. В первой урне имеется 10 красных и 90 синих шаров;
во второй урне — 20 красных и 80 синих шаров; в третьей
урне — 50 красных и 50 синих шаров; в четвертой урне —
80 красных и 20 синих шаров; в пятой урне — 90 красных и
10 синих шаров. Вероятность выбора любой урны
одинаковая. Все вытащенные шары возвращаются обратно в ту урну,
из которой они были вытащены. Из какой урны более
вероятно вытащить подряд:
1) пять красных шаров;
2) четыре красных и один синий шар;
3) три красных и два синих шара;
4) два красных и три синих шара;
5) один красный и четыре синих шара;
6) пять синих шаров?
251

8. Каким методом открытия и доказательства причинной
связи Милля соответствует следующие рассуждения?
1) Много будешь знать,скоро состаришься.
2)
Змея Юпитера просила,
Чтоб голос дать ей соловья.
Исполнил Юпитер Змеи прошенье;
Прекрасным соловьем Змея моя запела,
И стая было птиц отовсюду к ней подсела;
Но, воззряся в певца, все с дерева дождем.
Кому понравится такой прием?
«Ужли вам голос мой противен?» —
В досаде говорит Змея.
«Нет, — отвечал скворец, — он звучен, дивен.
Поешь, конечно, ты, не хуже соловья;
Но, признаюсь, в нас сердце задрожало,
Когда увидели твое мы жало...
(Я. А. Крылов. Змея)
3) Как волка ни корми, он все равно в лес смотрит,
4) Каков поп, таков и приход.
5)
Мужик на лето в огород
Наняв Осла, приставил
Ворон и воробьев гонять нахальный род.
Осел был самых честных правил:
Но Мужику барыш был с огорода плох.
Осел, гоняя птиц, со всех ослиных ног,
Такую поднял скачку,
Что в огороде все примял и притоптал.
Увидя тут, что труд его пропал,
Крестьянин на спине ослиной
Убыток выместил дубиной.
«И ништо! — все кричат, — скотине поделом!
С его ль умом
За это дело браться?»
А я скажу, не с тем, чтоб за Осла вступаться;
Он, точно, виноват (с ним сделан и расчет).
Но, кажется, не прав и тот,
Кто поручил Ослу стеречь свой огород.
(Я. А. Крылов. Осел и огород)
9. Чем отличаются вероятности предсказаний от
вероятностей гипотез?
10. Какова вероятность выпадения герба, если в десяти
бросаниях монеты герб не выпал ни разу и 1) монета
252

симметричная; 2) вероятность выпадения герба равна либо
О, либо 1/2?
11. Решите задачу из примера 4, параграфа 5, со следю-
щим условием: априорные вероятности Н\ и Нг равны
соответственно 0,9 и 0,1.
12. Оцените убедительность следующего рассуждения по
аналогии.
«Человек назван древними малым миром, — и нет спора,
что это название уместно, ибо как человек составлен из
земли, воды, воздуха и огня, так и тело земли. Если в
человеке есть кости, служащие ему опорой, и покровы из
мяса — в мире есть скалы, опоры земли; если в человеке
есть кровяное озеро, — там, где легкое растет и убывает при
дыхании, — у тела земли есть свой океан, который также
растет и убывает каждые 6 часов, при дыхании мира; если
от названного кровяного озера берут начало жилы, которые,
ветвясь, расходятся по человеческому телу, то точно также
и океан наполняет тело земли бесконечными водными
жилами. В теле земли отсутствуют сухожилия, которых нет
потому, что сухожилия созданы ради движения, а так как
мир находится в постоянном равновесии, то движения здесь
не бывает, и так как не бывает движения, то и сухожилия
не нужны. Но во всем прочем они весьма сходны». (Леонардо
да Винчи. Избранные произведения. М.-Л., 1935. С. 252)
13. Определите схему и правильность умозаключений,
содержащихся в нижеприведенных текстах.
«— Как же вы (Вопрос д-ра Ватсона Шерлоку Холмсу. —
В. С.) узнаете, кто он (владелец шляпы. — В. С)?
— Только путем размышлений.
— Размышлений над этой шляпой?
— Конечно.
— Вы шутите! Что можно извлечь из этого старого,
рваного фетра?
Холмс взял шляпу в руки и стал пристально разглядывать
ее проницательным взглядом, свойственным ему одному.
— Конечно, не все достаточно ясно, — заметил он, — но
кое-что можно установить наверняка, а кое-что
предположить с разумной долей вероятия. Совершенно очевидно,
например, что владелец ее — человек большого ума и что
три года назад у него были изрядные деньги, а теперь настали
253

черные дни. Он всеща был предусмотрителен, заботился о
завтрашнем дне, но мало-помалу опустился, благосостояние
его упало, и мы вправе предложить, что он пристрастился к
какому-нибудь пороку, — может быть, и пьянству.
По-видимому, из-за этого и жена его разлюбила...
— Дорогой Холмс...
— Но в какой-то степени он еще сохранил свое
достоинство, — продолжал Холмс, не обращая внимание на мое
восклицание. —Он ведет сидячий образ жизни, редко
выходит из дому, совершенно не занимается спортом. Это человек
средних лет, у него седые волосы, он мажет их помадой и
недавно подстригся. Вдобавок я почти уверен, что в доме у
него нет газового отопления.
— Вы, конечно, шутите, Холмс.
— Ничуть. Неужели даже теперь, когда я все рассказал,
вы не понимаете, как я узнал об этом?
— Считайте меня идиотом, но должен признаться, что я
не в состоянии уследить за ходом ваших мыслей. Например,
откуда вы взяли, что он умен?
Вместо ответа Холмс нахлобучил шляпу себе на голову.
Шляпа закрыла его лоб и уперлась в переносицу.
— Видите, какой размер! — сказал он. — Не может быть
совершенно пустым такой большой череп.
— Ну, а откуда вы взяли, что он обеднел?
— Этой шляпе три года. Тогда были модными плоские
поля, загнутые по краям. Шляпа лучшего качества.
Взгляните-ка на эту шелковую ленту, на превосходную подкладку.
Если три года назад человек был в состоянии купить дорогую
шляпу и с тех пор не покупал ни одной, значит, дела его
пошатнулись.
— Ну ладно, в этом, пожалуй, вы правы. Но откуда вы
могли узнать, что он человек предусмотрительный, а в
настоящее время переживает душевный упадок?
— Предусмотрительность — вот она, — сказал он,
показывая на петельку от шляпной резинки. — Резинки не
продают вместе со шляпой, их нужно покупать отдельно. Раз
этот человек купил резинку и велел прикрепить к шляпе,
значит, он заботился о том, чтобы уберечь ее от ветра. Но
когда резинка оторвалась, а он не стал прилаживать новую,
это значит, что он перестал следить за своей наружностью,
опустился. Однако, с другой стороны, он пытался замазать
чернилами пятна на шляпе, то есть не окончательно потерял
чувство собственного достоинства.
— Все это очень похоже на правду.
254

— Что он человек средних лет, что у него седина, что он
недавно стригся, что он помадит волосы — все станет ясным,
если внимательно посмотреть на нижнюю часть подкладки в
шляпе. В лупу видны приставшие к подкладке волосы,
аккуратно срезанные ножницами парикмахера и пахнущие
помадой. Заметьте, что пыль на шляпе не уличная — серая
и жесткая, а домашняя — бурая, пушистая. Значит, шляпа
большей частью висела дома. А следы влажности на
внутренней ее стороне говорят о том, как быстро потеет ее
вледелец, потому что не привык много двигаться.
— А как вы узнали, что его разлюбила жена?
— Шляпа не чищена несколько недель. Мой дорогой
Ватсон, если бы я увидел, что ваша шляпа не чищена хотя
бы неделю и вам позволяют выходить в таком виде, у меня
появилось бы опасение, что вы имели несчастье утратить
расположение вашей супруги...
— Но откуда вы знаете, что в его доме нет газа?
— Одно-два сальных пятна на шляпе — случайность. Но
когда я вижу их не меньше пяти, я не сомневаюсь, что
человеку часто приходится пользоваться сальной свечей, —
может быть он поднимается ночью по лестнице, держа в
одной руке шляпу, а в другой оплывшую свечу. Во всяком
случае от газа не бывает сальных пятен... Вы согласны со
мною?» (Конан Дойль А Голубой карбункул //Из досье
Шерлока Холмса. М., 1991. С. 21—24).
«— Послушайте меня, Ватсон, — сказал он (Шерлок
Холмс. — В. С), когда убрали со стола. — Садитесь в это
кресло, и я изложу вам то немногое, что мне известно. Я не
знаю, что мне делать. Мне нужен ваш совет. Закуривайте,
я сейчас начну.
— Пожалуйста.
— Так вот, вас поразили два пункта в рассказе молодого
Маккарти; меня они настроили в его пользу, а вас
восстановили против него. Во-первых, то, что отец закричал "Коу",
не видя его. Во-вторых, что умирающий помянул крысу. Он
пробормотал несколько слов, но сын уловил лишь одно. Наше
расследование должно начаться с этих двух пунктов.
Предположим, что все сказанное юношей — абсолютная правда.
— А что такое "Коу"?
— Очевидно, он звал кого-то другого. Он считал, что сын
в Бристолле. Сын совершенно случайно услышал этот зов.
Криком "Коу" он звал того, кто назначил ему свидание. Но
"Коу" — австралийское слово, оно в ходу только между
255

австралийцами. Это доказывает, что человек, с которым
Мак-Карти должен был встретиться у Боскомского омута,
был австралийцем.
— Ну а крыса?
— Шерлок Холмс достал из кармана сложенный лист
бумаги, рассправил его на столе.
— Это карта штата Виктория, в Австралии, — сказал он.
Я телеграфировал прошлой ночью в Бристоль, чтобы мне ее
прислали. Он прикрыл ладонью часть карты. — Прочтите-
ка, — попросил он.
— Рэт (крыса, (англ.) — В. С), — прочитал я. — Крыса?
— Л теперь? — Он поднял руку.
— Балларэт.
— Совершенно верно. Это и произнес умирающий, но
сын уловил только последний слог. Он попытался рассказать
об убийце. Такой-то из Балларэта». {Конан Дойль А Тайна
Боскомской долины // Из досье Шерлока Холмса. М., 1991.
С. 51—52).
«Когда мы наблюдаем, что одно тело действует на другое
на расстоянии, то прежде чем принять, что это — действие
прямое и непосредственное, мы обыкновенно исследуем, нет
ли между телами какой-либо материальной связи; и если
находим, что тела соединены нитями, стержнями или каким-
либо механизмом, способным дать нам отчет в наблюдаемых
действиях одного тела на другое, мы предпочитаем скорее
объяснить действия при помощи этих промежуточных
звеньев, нежели допустить понятие о прямом действии на
расстоянии.
Так, когда мы, дергая за проволоку, заставляя звонить
колокольчик, то последовательные части проволоки сначала
натягиваются, а затем приходят в движение, пока, наконец,
звонок не зазвонит на расстоянии посредством процесса, в
котором принимали участие все промежуточные частицы
проволоки одна за другой. Мы можем заставить колокольчик
звонить на расстоянии и иначе, например, нагнетая воздух
в длинную трубку, на другом конце которой находится
цилиндр с поршнем, движение которого передается звонку.
Мы можем также пользоваться проволокой, но вместо того,
чтобы дергать ее, можем соединить ее на одном конце с
электрической батарейкой, а на другом — с электромагнитом
и, таким образом, заставим звонить колокольчик
посредством электричества.
256

Здесь мы указали три различных способа приводить
звонок в движение. Но во всех этих способах есть то общее,
что между звонящим лицом и звонком находится
непрерывная соединительная линия и что в каждой точке этой линии
совершается некоторый физический процесс, посредством
которого действие передается с одного конца линии на
другой. Процесс передачи — не мгновенный, а постепенный;
так что, после того, как на одном конце соединительной
линии дан импульс, проходит некоторый промежуток
времени, в течение которого этот импульс совершает свой путь,
пока не достигнет другого конца.
Ясно, следовательно, что в некоторых случаях действие
между телами на расстоянии можно объяснить себе тем, что
в ряду тел, занимающих промежуточное пространство,
совершается ряд действий между каждыми двумя смежными
телами ряда; и сторонники действия посредствующей среды
спрашивают: не разумнее ли в тех случаях, когда никаких
посредствующих агентов мы не замечаем, — не разумнее ли
будет, говорят они, допустить в этих случаях существование
среды, которую можно указать пока не можем, нежели
утверждать, что тело действовать там, где его нет.
Кому свойства воздуха незнакомы, тому передача силы
посредством этой невидимой среды будет казаться столь же
непонятной, как и всякий другой пример действия на
расстоянии, и однако в этом случае мы можем объяснить весь
процесс и определить скорость, с которой действие
передается от одного участка среды до другого.
Почему не можем мы допустить, что знакомый нам способ
сообщения движения посредством толчка и тяги нашими
руками является типом и наглядным примером всякого
действия между телами, даже в тех случаях, когда мы не
можем заметить между телами ничего такого, что видимо
принимало бы участие в этом действии» (Максвелл Д, К.
Речи и статьи: О действиях на расстоянии. M.-JL, 1940.
С 55—57).
«Спрашивается, каков смысл этих жертвоприношений
при заключении договоров и произнесении клятв? Почему
состоявшееся соглашение или принесенную клятву стороны
скрепляют тем, что убивают животное, разрезают его на
куски, становятся на них ногами или проходят между ними,
мажут свое тело кровью животного? Для объяснения этих
обрядов были выдвинуты две теории; одну из них можно
назвать теорией возмездия, а другую — сакраментальной,
9 Зак- 21° 257

или очистительной. Рассмотрим сначала первую. По этой
теории, убийство животного и разрезывание его на куски есть
символ возмездия, которое ожидает человека, нарушившего
договор или преступившего клятву: он погибает
насильственной смертью, подобно принесенному в жертву животному...
Но спрашивается, как можно теорией возмездия объяснить
особенность еврейского и греческого обряда, которая состоит
в том, что приносящие в жертву проходят между частями
убитого животного и становятся на них ногами? Поэтому
Робертсон-Смит предложил такое толкование обряда,
которое можно назвать сакраментальным, или очистительным.
Он предполагает, что "стороны становятся между частями
животного, символизируя этим свое приобщение к
мистической жизни жертвы". В подтверждение этой теории он
ссылается на соблюдение того же обычая в других случаях,
к которым неприменима идея наказания или возмездия, но
которые если не всегда, то, по крайней мере, часто могут
быть объяснены как способы торжественного очищения. Так,
в Беотии формой общественного очищения служило
разрезание собаки на части и прохождение между этими частями.
Возвращаясь теперь к нашему исходному пункту, можно
поставить вопрос: что лежало в основании древнееврейской
формы заключения договора путем прохождения между
частями жертвенного животного — идея возмездия или идея
очищения? Иными словами, был ли это символический
способ призывания смерти на голову клятвопреступника, или
же это магическое средство очищения договаривающихся
сторон от пагубных влияний, самозащиты против некоторой
угрожающей им опасности? Все остальные приведенные мной
случаи обращения к этому обряду говорят в пользу
очистительного, или охранительного, значения еврейского обычая:
ни один из этих примеров не может быть истолкован в духе
теории возмездия, ибо некоторые из них полностью
исключают возможность такого толкования, а другие не могут быть
поняты иначе, как с точки зрения очистительной, или
охранительной, теории, как об этом иногда прямо
свидетельствуют те самые племена, которые соблюдают данный
обычай, а именно арабы и чины» (Фрэзер Джеймс Дж. Фольклор
в Ветхом Завете. М., 1986. С. 178—184).

ГЛАВА VI. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
И ПРЕДИКАТОВ
«И хотя давно уже некоторые
выдающиеся мужи выдвинули идею некоего
универсального языка, или универсальной
характеристики... никто, однако, не попытался
создать язык, или характеристику, в которой
одновременно содержалось бы искусство
открытия и искусство суждения... Когда же я
отдался этому исследованию более усердно, я
поневоле натолкнулся на ту замечательную
идею, что можно придумать некий алфавит
человеческих мыслей и с помощью
комбинаций букв этого алфавита и анализа слов, из
них составленных, все может быть открыто и
разрешено».
Г. В. Лейбниц. История идеи
универсальной характеристики.
«То, что может быть познано в
математике и математическими средствами, можно
дедуцировать из чистой логики».
В. RusseL Introduction to mathematical
philosophy.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЛОГИКЕ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ
Идея создания универсального логического языка, столь
образно выраженная Г. В. Лейбницем и Б. Расселом, лежит
в основе всей современной логики. Заменить операции с
мыслями чисто формальными действиями со знаками
некоторого базисного языка, сформулировать надежные правила
открытия и доказательства новых истин, которые можно
было бы применять чисто механически, вывести из
небольшого числа достоверных аксиом законы всех остальных
наук — эти цели вдохновляли не одно поколение логиков,
9* 259

философов и математиков. Лишь в первой трети нашего
столетия К. Геделем была показана неосуществимость этой
идеи в полном объеме. Но как часто бывает в истории,
именно попытки осуществить эту нереализуемую идею —
освободить человечество от мук творчества — привели к
созданию современной логики.
Современная логика — это символическая логика.
Принципиальное отличие ее от традиционной лучше всего
выражает следующее определение. Символическая логика — это
логика, использующая искусственные, формализованные
языки. В таких языках все используемые знаки и правила
оперирования с ними тщательно определяются. Каждый
введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило
трактуется однозначно. Благодаря такой определенности,
удается точно выражать логическую структуру рассуждений,
логические связи между ними, эффективно преобразовывать
одни рассуждения в другие. Именно эти особенности
обеспечили широкое использование символической логики в
исследованиях по основаниям математики, искусственному
интеллекту, информатике, лингвистике и многим другим областям
научного знания.
В настоящее время символическая логика представляет
достаточно обширную и дифференцированную совокупность
теорий и исследований. Тем не менее можно выделить логику
высказываний и ее расширение — логику предикатов в
качестве общего базиса.
Логика высказываний и логика предикатов основаны на
определенных допущениях и общих понятиях. Рассмотрим
их последовательно.
Исходным в логике высказываний является понятие
высказывания. Последнее обозначает любое предложение,
выражающее некоторое суждение. Одно и то же высказывание
может выражаться разными предложениями.
В отличие от традиционной логики и логики предикатов
внутренняя структура высказываний во внимание не
принимается. Учитывается только логическое значение
высказывания — истинность и ложность. Высказывание считается
истинным, если истинно образующее его содержание
суждение. В противном случае высказывание считается ложным.
Таким образом, предложение «5 больше 3» выражает
истинное высказывание, потому что истинно соответствующее
суждение. Предложение «3 больше 5», наоборот, выражает
260

ложное высказывание, потому что ложно соответствующее
суждение.
В логике высказываний допускается, что каждое
высказывание либо истинно, либо ложно. Нейтральные в
логическом отношении высказывания не рассматриваются. Кроме
того, принимается допущение, что ни одно высказывание не
может быть истинным и ложным одновременно.
Вторым по значению в логике высказываний является
понятие логического союза (связки). В естественном языке
логические союзы выражаются словами «не», «если..., то»,
«или», «либо..., либо», «если и только если», «ни..., ни» и их
многочисленными синонимами. С помощью логических
союзов образуются сложные высказывания. Высказывание
считается простым (элементарным), если и только если оно не
содержит логических союзов. В противном случае
высказывание является сложным. Высказывание «Сегодня среда» —
простое. Высказывание «Сегодня среда или четверг» —
сложное,так как состоит из двух простых высказываний «Сегодня
среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или».
Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда»,
так как оно представляет отрицание простого высказывания
«Сегодня среда» с помощью логического союза «неверно,
что...», эквивалентного союзу «не».
Важнейшее допущение логики высказываний состоит в
том, что логическое значение любого сложного
высказывания однозначно определяется логическими значениями
образующих его простых высказываний. Например, если
высказывание «Сегодня среда» истинно, то ложно высказывание
«Неверно, что сегодня среда» и истинно высказывание «Или
сегодня среда, или сегодня четверг».
Указанное допущение логики высказываний фактически
означает, что каждое сложное высказывание представляет
некоторую функцию от логических значений образующих
его простых высказываний. При этом возможны следующие
три случая зависимости логического значения сложного
высказывания от логических значений составляющих его
простых высказываний. Во-первых, сложное высказывание
может быть истинно независимо от того, как распределены
логические значения простых высказываний (все истинны,
все ложны, или некоторые истинны и некоторые ложны).
Во-вторых, сложное высказывание может быть ложно
независимо от распределения логических значений простых
высказываний. Наконец, сложное высказывание может быть
261

истинно при одних распределениях логических значений и
ложно при других. Высказывания, которые истинны при
любых распределениях логических значений своих простых
высказываний, принято называть логически истинными.
Высказывания, которые ложны при любых распределениях
логических значений своих простых высказываний, принято
называть логически ложными. Высказывания, которые
истинны при. одних распределениях и ложны при других,
принято называть фактически истинными. Высказывание
«Сегодня среда или не среда» — логически истинное, так как
оно истинно в любой день недели. Высказывание «Сегодня
среда и не среда» — логически ложное, так как оно ложно в
любой день недели. Высказывание «Сегодня среда»
фактически истинное, так как оно истинно по средам и ложно во все
остальные дни.
Простым высказываниям соответствуют
пропозициональные (лат. propositoio — высказывание) переменные, которые
будут обозначаться заглавными буквами латинского
алфавита: А, Ву С,... С помощью логических союзов из
пропозициональных переменных будут строиться формулы логики
высказываний, обозначающих сложные высказывания. Мы
будем придерживаться соглашения, что переменная,
входящая в формулу без знака отрицания, обозначает истинное
высказывание; переменная, входящая в формулу со знаком
отрицания, обозначает ложное высказывание.
Как будет показано, все задачи логики высказываний так
или иначе связаны с построением алгоритма, позволяющего
определить для произвольной формулы, обозначает ли она
логически истинное, логически ложное или фактически
истинное высказывание.
Логика предикатов представляет обобщение логики
высказываний, позволяющее учитывать логические связи не
только между простыми высказываниями, но и между
субъектами и предикатами последних. Логика предикатов
объединяет вместе особенности традиционной логики и логики
высказываний и, таким образом, представляет чрезвычайно
эффективную логическую теорию. Указанное обобщение
достигается за счет введения новых базисных понятий и
допущений.
Как и в традиционной логике, важную роль в логике
предикатов играет понятие универсума. Без задания
универсума невозможна интерпретация формул логики
предикатов — их квалификация как истинных и ложных.
262

Понятие субъекта в логике предикатах заменяется
понятием терма, под которым понимают имя (знак),
обозначающее либо конкретную, либо произвольную вещь универсума.
В первом случае термом является имя собственное —
«Москва», «А. С. Пушкин» и т. п., во втором — так называемая
индивидная (предметная) переменная х, у,..., обозначающая
произвольную вещь универсума. Иногда в объем понятия
терма включают и различные функциональные знаки,
обозначающие какие-либо специфические операции —
сложение, умножение и т. п.
Понятие предиката определяется как логическая функция
одного или нескольких термов в зависимости от того,
выражается ли данным предикатом свойство или отношение.
Элементарные предикатные выражения будут обозначаться
следующим образом: Ах = произвольная вещь х универсума
И обладает свойством А; —Ах - произвольная вещь х
универсума И не обладает свойством А (обладает свойством
не-А); Аху = произвольные вещи х и у универсума И
находятся в отношении А друг к другу; — Аху = произвольные
вещи универсума И не находятся в отношении А друг к другу
(находятся в отношении не-А друг к другу).
К исходным знакам языка логики предикатов
добавляются также так называемые кванторы (лат. quantum — сколько)
существования и (все) общности, выполняющие ту же роль,
что и слова «некоторые» и «все» в традиционной логике
соответственно. Вместо слов «все х универсума И...» мы
будем писать (х) и ставить этот знак перед тем предикатным
выражением, к которому он относится: (х)Ах = все х
универсума И обладают свойством А; (х)(у)Аху = все х и все у
универсума И находятся в отношении А друг к другу. Вместо
слов «некоторые х универсума И...» мы будем писать знак
(Ех) и ставить этот знак перед тем предикатным
выражением, к которому он относится: (Ех)Ах = некоторые х
универсума И обладают свойством А; (Ех) (Еу)Аху = некоторые х и
некрторые у находятся в отношении А друг к другу.
О произвольной формуле логики предикатов мы можем
судить как об истинной или ложной, если и только если: (а)
задан универсум, (б) каждому терму, обозначающему имя
собственное, поставлен в соответствие определенный
элемент универсума, (в) каждый терм, не обозначающий имя
собственное, функциональный символ, обозначает
произвольный элемент универсума, (г) каждому предикатному
знаку поставлено в соответствие свойство или отношение,
263

(д) каждому пропозициональному выражению, входящему в
формулу, приписано определенное логическое значение
(истина или ложь). При выполнении всех этих условий говорят
о том, что рассматриваемая формула логики предикатов
получила интерпретацию. Для сравнения укажем, что в
логике высказываний интерпретацией формулы называется
распределение логических значений образующих ее
пропозициональных переменных.
Формула логики предикатов является логически
истинной, если и только если она истинна при всех возможных
интерпретациях; является логически ложной, если и только
если она ложна при всех возможных интерпретациях;
является фактически истинной во всех остальных случаях.
Как и в логике высказываний, все задачи логики
предикатов так или иначе связаны с построением алгоритма,
позволяющего устанавливать, к какому из указанных
классов относится рассматриваемая формула. Однако, как было
доказано, для логики предикатов построить общий алгоритм
нельзя. Этим логика предикатов принципиально отличается
от логики высказываний, для которой построение подобного
алгоритма возможно. Из сказанного не следует, что в логике
предикатов невозможны доказательства.
Итак, когда мы говорим о логике высказываний и логике
предикатов, то имеем в виду искусственные
(формализованные) языки, позволяющие по определенным правилам из
одних выражений чисто формально получать новые
выражения без каких-либо ссылок на их содержание; при этом в
логике высказываний учитываются только логические связи
между простыми высказываниями, тогда как в логике
предикатов дополнительно учитываются субъектно-предикат-
ные отношения простых высказываний.
Обсуждаемая в данной главе логика предикатов
официально именуется логикой предикатов первого порядка
(ступени). Подразумевается, что переменные относятся только к
вещам универсума, но не к их свойствам или отношениям.
Поскольку никакой другой логики предикатов
рассматриваться не будет, то признак «первого порядка» будет
опускаться.
2. ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Язык логики высказываний включает три вида знаков
(символов).
264

1. Знаки для обозначения высказываний
(пропозициональные переменные): Л, В, С,..., А\, В\9 Ci, ...
2. Знаки для обозначения логических союзов:
«—» — знак отрицания (читается «не», «неверно, что...»);
«&» — знак конъюнкции (читается «и»);
«V» — знак дизъюнкции (читается «или»);
«-»» — знак импликации (читается «если..., то»);
««-»» — знак эквивалентности (читается как «тогда и
только тогда, когда»);
«<-/>»— знак исключающей дизъюнкции (читается как
«либо..., либо»).
3. Знаки для обозначения скобок:
( — левая скобка,
) — правая скобка.
Иных знаков, кроме указанных в пп. 1—3, в логике
высказываний нет. Из перечисленных знаков можно
образовывать формулы — знаковые эквиваленты простых и
сложных высказываний согласно следующему определению:
1. Пропозициональная переменная есть формула.
2. Если А — произвольная формула, то -Л — тоже
формула.
3. Если А и В —произвольные формулы, то (А&В),
(AVB), (А-*В), (А *-*В), (А *^ В) — тоже формулы.
Иных формул, кроме указанных в пп. 1-3, в логике
высказываний нет. Следовательно, такие выражения, как (Л,
(&Л), G4V), (-Л), формулами не являются. В каждой
формуле со скобками число левых и правых скобок должно быть
одинаковым.
Некоторые части формулы могут быть сами формулами.
В этом случае говорят о подформулах данной формулы.
Например, подформулами формулы ((А&В) -> (А у В))
являются формулы (А&В) и (А у В), формулы А и В, а также вся
формула, так как считается, что она является частью самой
себя.
В формуле (А&В) подформулы А и В называются
конъюнктами. Эти же подформулы в формуле (AVB) называются
дизъюнктами. В формуле (А-+В) подформулу А принято
называть ее антецедентом (лат. antecedens —
предшествующий), а подформулу В — ее консеквентом (лат. consequ-
ens — следствие).
В каждой формуле, если в ней более одной переменной,
имеется логический союз, который считается главным. Если
265

в формуле один логический союз, то он и является главным.
Если в формуле несколько логических союзов, главным
считается тот, который при ее построении вводится
последним. Например, в формуле (А^В) единственным и главным
логическим союзом является V; в формуле (A-*(AVB))
главным логическим союзом является -», так как именно он
вводится последним.
Любую формулу логики высказываний можно превратить
в истинное или ложное высказывание, если заменить
входящие в нее переменные истинными или ложными
высказываниями (не обязательно простыми). Если некоторая
переменная входит несколько раз, то соответствующее ей
высказывание должно подставляться во все места ее
вхождения. Кроме этого, необходимо также знать точный смысл
логических союзов, объединяющих простые высказывания в
одно сложное.
3. СЕМАНТИКА (СМЫСЛ) ЛОГИЧЕСКИХ СОЮЗОВ
Для вычисления логического значения сложного
высказывания необходимо знать не только логические значения
образующих его простых высказываний, но также смысл
соединяющих их логических союзов. Этот смысл задается
следующими определениями.
1. Отрицанием формулы А называется формула —А,
которая истинна, если А — ложна, и ложна, если А —
истинна.
Смысл данного определения поясняет таблица:
А
и
л
-А
л
и
Первый столбец таблицы указывает все возможные
логические значения формулы А — истина (и) и ложь (л).
Второй столбец содержит соответствующие логические
значения формулы -Л. Мы видим, что отрицающие друг друга
формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если
одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом
переменная А может обозначать как простое, так и сложное
высказывание.
266

2. Конъюнкцией формул А и В называется формула
(А&В), которая истинна тогда и только тогда, когда истинна
формула А и истинна формула В. Смысл данного
определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А&В)
и
л
л
л
Каждая формула может быть либо истинной, либо
ложной. Следовательно, для двух формул мы имеем четыре
возможности: А и В обе истинны; А истинна, но В ложна; А
ложна, но В истинна; А и В обе ложны. В общем, если
имеется п формул, то существует 2п возможностей их
истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (А&В)
получает значение «истина» только в случае совместной
истинности формул А и В. Во всех остальных случаях она
получает значение «ложь».
Пусть А = «я вставил ключ в замок», В = «дверь
открылась». Тогда высказывание «Я вставил ключ в замок, и дверь
открылась» представляет конъюнкцию (А&В) и истинно
тогда и только тогда, когда истинно высказывание «Я вставил
ключ в замок» и истинно высказывание «Дверь открылась».
Если же хотя бы одно из них ложно, то ложно и образованное
из них конъюнктивное высказывание.
Конъюнкция считается самым сильным логическим
союзом, так как для своей истинности требует истинности
каждого конъюнкта. В естественном языке конъюнкция,
кроме союза «и», выражается также союзами «вместе с»,
«как.., так и», «не только..., но и», «..., хотя и» некоторыми
другими.
В формализованном языке перестановка местами
конъюнктов не ведет к изменению логического значения
формулы. Иными словами, формулы (А&В) и (В&А) эквивалентны
(имеют одно и то же логическое значение). В естественном
языке конъюнктивная связь часто выражает упорядоченную
последовательность событий и перестановка местами ее
членов искажает смысл всего высказывания. Высказывания «Он
почистил зубы и лег спать» и «Он лег спать и почистил зубы»
вряд ли кто-нибудь посчитает эквивалентными.
267

3. Дизъюнкцией формул А и В называется формула
которая истинна тогда и только тогда, когда истинна
хотя бы одна из них. Смысл данного определения поясняет
таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
и
и
и
л
Согласно определению формула (AVB) ложна, если и
только если ложны все ее дизъюнкты. Во всех остальных
случаях она истинна. Пусть А = «я отдыхаю», В = «я читаю
книгу». Высказывание «Я отдыхаю или я читаю книгу»
ложно, если и только если я не отдыхаю и не читаю книгу.
Во всех остальных случаях оно истинно. Определенная таким
образом дизъюнкция носит неисключающий характер —
могут быть одновременно истинны все ее члены. В
естественном языке, кроме союза «или», неисключающая
дизъюнкция выражается словами «и/или», «... или..., или оба». В
отличие от конъюнкции дизъюнктивные члены могут
переставляться в любом порядке без потери смысла как в
формализованном, так и в естественном языке.
4. Импликацией формул А и В называется формула
(А-+В), которая ложна тогда и только тогда, когда А истинна,
а В ложна, и истинна во всех остальных случаях. Смысл
данного определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А-В)
и
л
и
и
Из таблицы следует, что импликация истинна однозначно
в двух случаях: или ее антецедент (формула А) ложен, или
ее консеквент (формула В) истинен.
В естественном языке союз «если..., то» может выражать
причинную связь, временную последовательность событий,
связь условия и средства ее достижения, условие какого-либо
договора или соглашения. Однако в логике высказываний
данному союзу придается только одно значение, которое
268

зафиксировано таблицей: антецедент есть только
достаточное условие истинности консеквента, консеквент есть только
необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой
асимметрии перестановка местами членов импликации в
общем случае неправомерна. Достаточно с этой целью
сравнить следующие два высказывания: «Если пойдет дождь, то
я раскрою зонт» и «Если я раскрою зонт, то пойдет дождь».
Б естественном языке высказывание «Если Л, то В может
выразиться такими синонимами, как «Л достаточно для В»>
«В необходимо для Л», «Л, только если В», «В, если А».
5. Эквиваленцией формул А и В называется формула
(А+-*В), которая истинна тогда и только тогда, когда
формулы А и В обе истинны или ложны одновременно. Смысл
данного определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А*->В)
и
л
л
и
Из таблицы следует, что формулы А и В эквивалентны,
если и только если каждая из них необходима и достаточна
для истинности другой формулы. Или, что то же, если
истинна как прямая импликация 04-»/?), так и ей обратная
(Я-»Л).
В естественном языке эквивалентность формул А и В
может выражаться оборотами «Л необходимо и достаточно
для В», «В необходимо и достаточно для Л», «Л равносильно
В», «Л, если и только если В», «Из Л следует В ииз В следует
Л».
Эквивалентные формулы могут переставляться местами
без потери смысла высказывания, которое они образуют.
6. Исключающей дизъюнкцией формул А и В называется
формула (А<-^В), которая истинна тогда и только тогда, когда
либо А истинно и В ложно, либо А ложно и В истинно. Смысл
данного определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А*?В)
л
и
и
л
269

Исключающая дизъюнкция представляет собой
отрицание эквивалентности и отличается от неисключающей
дизъюнкции только одним условием — запрещением
одновременной истинности всех дизъюнктов. В естественном языке
исключающая дизъюнкция чаще всего выражается словами
«либо..., либо». В терминах исключающей дизъюнкции
обычно формулируются альтернативные объяснения, версии
какого-либо события, одно из которых обязательно должно
быть истинно, а все остальные ложны.
Знание смысла логических союзов позволяет
осуществлять перевод с естественного языка на искусственный, т. е.
на язык логики высказываний. Алгоритм такого перевода
следующий. Сначала отыскиваются простые высказывания.
Каждое из них обозначается новой буквой, если и только
если оно не эквивалентно уже обозначенным
высказываниям. Затем фиксируются логические союзы, связывающие
простые высказывания. Наконец, конструируется формула,
каждая переменная которой обозначает некоторое простое
высказывание, а сама она выражает логическую структуру
переводимого выражения. Чтобы сделать процесс перевода
более понятным, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
«Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал,
обязательно живи в определенном месте» (Конфуций).
Простые высказывания: А = твои родители живы, В = тебе
не следует уезжать далеко, С = ты уехал, D = тебе
обязательно следует жить в определенном месте.
Логические союзы: -», &.
Логическая структура: (G4-»2?)&(C-»Z))).
Пример 2.
«Добродетель, милый мой студент, не делится на части;
или она есть, или ее нет» (О. Бальзак. Отец Горио).
Простые высказывания: А = добродетель, милый мой
студент, не делится на части, В = добродетель есть.
Логические союзы: <-**», &,—.
Логическая структура: (А&(В<^ -В)).
Пример 3.
«Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как
внушив людям, что если они выскажут тебе всю правду, ты
не будешь на них в обиде, но когда каждый сможет говорить
270

тебе правду, тебе перестанут оказывать должное почтение»
(Я. Макиавелли, Государь).
Простые высказывания: А = ты внушишь людям, В = они
выскажут тебе всю правду, С = ты не будешь на них в обиде,
D - ты оградишь себя от лести, Е = каждый сможет говорить
тебе правду, Я = люди перестанут оказывать тебе должное
почтение.
Логические союзы: -», &.
Логическая структура:
Пример 4.
«Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ за
зло лежит на всемогущем боге, либо мы свободны и
ответственны, а бог не всемогущ» (А Камю. Бунтующий человек).
Простые высказывания: А = альтернатива известна; В =
мы свободны, С = ответ за зло лежит на всемогущем боге,
D = мы ответственны, Е = бог всемогущ.
Логические союзы: &, — ,«А
Логическая структура: (А&((-В &C)*-*>(B&D&-E))).
Пример 5.
Анна и Денис любили друг друга.
Простое высказывание: А = Анна и Денис любили друг
друга (Было бы ошибкой считать, что здесь мы имеем дело
со сложным высказыванием: свойство «любили друг друга»
не может быть приписано ни Анне, ни Денису в отдельности,
а только им обоим вместе).
Логические союзы: нет. Логическая структура: А.
Пример б.
Желание возникает из разума, только если оно не может
быть чрезмерным.
Простые высказывания: А = желание возникает из разума,
В = желание не может быть чрезмерным.
Логические союзы: ->.
Логическая структура: (А-*В).
Пример 7.
Только одно из высказываний А, В и С истинно.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: «А
Логическая структура: (А***В+ьС).
Пример 8.
По крайней мере одно из высказываний А, В и С истинно.
271

Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: V.
Логическая структура: (AVBvC).
Пример 9.
Только одно из высказываний А, В и С ложно.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: -, ++>.
Логическая структура: (—А*4* -2?«-^~-С).
Пример 10.
Только два из высказываний Л, В и С истинны.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: &, «-'Ч
Логическая структура: ((А&В)+ь(А&С)+ь(В&О).
Пример 11.
Только два из высказываний Л, В и С ложны.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: —, &, <-Ч
Логическая структура: ((-А&-В)+Ц-А&-С)*-
(-В&-С)).
Пример 12,
Самое большее два из высказываний Ау В и С истинны.
Простые высказывания: А, В> С.
Логические союзы: v, <-ч
Логическая структура:
4. ПОНЯТИЕ ЛОГИЧЕСКИ ИСТИННОЙ, ЛОГИЧЕСКИ
ЛОЖНОЙ И ЛОГИЧЕСКИ НЕЙТРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
Логическое значение каждой формулы логики
высказываний представляет собой определенную функцию от
логических значений се переменных. Различают три вида
подобной функциональной зависимости и в соответствии с этим —
три класса формул логики высказываний.
Формула имеет логическое значение «истина» независимо
от распределения логических значений своих переменных —
все истинны, все ложны или только некоторые истинны, а
все остальные ложны. Такие формулы мы будем называть
272

логически истинными, т. е. истинными только благодаря
своей логической структуре. Формула (Av—A) является
логически истинной независимо от того, какое высказывание
обозначает знак А. Логически истинные формулы ничего
не исключают и тем самым не несут никакой информации.
Сказать «Сегодня пойдет дождь или не пойдет дождь»
означает сообщить нулевую информацию о данном погодном
явлении. Обладая нулевой информативностью, логически
истинные формулы вместе с тем максимально вероятны.
Даднос обстоятельство объясняет, почему логически
истинные формулы следуют из любых посылок, включая ложные.
Иными словами, логическая истина является всеобщим
следствием.
Формула имеет логическое значение «ложь» независимо
от логических значений своих переменных. Такие формулы
мы будем называть логически ложными. Они ложны только
в силу своей логической структуры. Формула (А&—А) ложна
независимо от того, что обозначает переменная А. Логически
ложные формулы исключают все возможные состояния дел
и тем самым сообщают максимальную информацию. Однако
вероятность таких формул всегда равна нулю. Если
логическая истина является всеобщим следствием, то логическая
ложь, наоборот, является всеобщей посылкой. Иными
словами, из лжи следует все, что угодно, включая и истину.
Формула истинна при одних значениях своих переменных
и ложна при других. Такие формулы мы будем называть
нейтральными. Нейтральные формулы всегда нечто
разрешают и нечто исключают, т. е. сообщают информацию,
которая истинна при одних условиях и ложна при других.
Сказать «Хлеб — полезный продукт» означает сообщить
фактически истинную информацию, ибо в пределах срока
годности хлеб действительно является полезным продуктом,
но за их пределами он перестает быть таковым. Вероятность
нейтральных формул всегда больше нуля и меньше единицы.
При рассмотрении недедуктивных умозаключений
выражаемые такими формулами высказывания назывались
правдоподобными.
Итак, все формулы логики высказываний делятся на
логически истинные, логически ложные и нейтральные.
Принято объединять логически истинные и нейтральные
формулы в класс выполнимых формул — формул, могущих иметь
логическое значение «истина». Соответственно логически
273

ложные формулы принято называть невыполнимыми, ибо
они ни при каких обстоятельствах не могут иметь логическое
значение «истина».
Простейшим методом, позволяющим распознавать вид
формулы, является построение таблицы истинности. Для
этого сначала выписываются все распределения логических
значений переменных рассматриваемой формулы, затем
вычисляется логическое значение всей формулы в соответствии
с ее структурой. Приведем несколько примеров построения
таблицы истинности и определения вида формулы. Если
последний столбец таблицы, относящийся ко всей формуле,
будет содержать только значение «истина», тогда
рассматриваемая формула является логически истинной; если
последний столбец будет содержать только значение «ложь», то
рассматриваемая формула является логически ложной; если
последний столбец будет содержать хотя бы одно значение
«истина» и хотя бы одно значение «ложь», то
рассматриваемая формула является нейтральной.
Пример 1.
Формула: (A-*(AvB)).
Таблица истинности:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(Av?)
и
и
и
л
(A-»(Av?))
и
и
и
и
Объяснение. Первые два столбца таблицы содержат все
возможные распределения логических значений переменных
Л и В. Третий столбец указывает логическое значение
подформулы (AVB), вычисленное согласно таблице для
логического союза v. Последний столбец указывает логическое
значение формулы (А-*(АУВ)), вычисленное согласно
таблице для ->. Он содержит только логическое значение
«истина». Следовательно, рассматриваемая формула является
логически истинной.
Пример 2.
Формула: ((А
274

Таблица истинности:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А->В)
и
л
и
и
-А
л
л
и
и
(-AVB)
л
и
л
л
-(-AVB)
л
и
л
л
((А-»В)&-
(-AVB))
л
л
л
л
Объяснение. Как и в предыдущем примере, мы имеем две
переменных и, следовательно, четыре возможных
распределения значений истинности. Сначала вычисляется
логическое значение подформулы (А -»?), затем — подформулы
— (—AVB) и, наконец, всей формулы. Последний столбец
содержит только значения «Ложь». Следовательно,
рассматриваемая формула является логически ложной.
Пример 3.
Формула: ((А
Таблица истинности:
А
и
и
и
и
л
л
л
л
в
и
и
л
л
и
и
л
л
с
и
л
и
л
и
л
и
л
л
л
л
л
л
л
л
л
(А^С)
и
л
и
л
и
и
и
и
л
л
л
л
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
Объяснение. В рассматриваемой формуле три
переменных — А, В и С. Следовательно, имеется восемь возможных
распределений значений истинности. Последний столбец
содержит только значения «истина». Поэтому данная формула
является логически истинной.
Пример 4.
Формула: (А&(В-*А)).
Таблица истинности:
275

А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(В-А)
и
и
л
и
(А&(В-»А))
и
и
л
л
Объяснение. Последний столбец таблицы содержит как
значения «истина», так и значения «ложь». Следовательно,
рассматриваемая формула является нейтральной.
С помощью таблиц истинности можно решить любую
задачу логики высказываний. Однако этот метод становится
неэффективным при возрастании числа переменных.
Например, для шести различных переменных требуется составить
таблицу, имеющую 64 строки. Поэтому в следующих
параграфах будет предложен практически более удобный метод,
связанный с построением и упрощением деревьев,
выражающих логическую структуру формул. Для более быстрого
усвоения этого метода введем понятие равносильной
формулы. Назовем две и более формулы, необязательно состоящие
из одних и тех же переменных, равносильными, если
независимо от распределения значений истинности их логические
значения совпадают. Для доказательства равносильности
каких-либо формул достаточно построить их таблицы
истинности и сравнить последние столбцы. В качестве
самостоятельного упражнения предлагается проверить следующие
равносильности.
Пусть X и У — произвольные формулы логики
высказываний.
X равносильно — (—X) (двойное отрицание
формулы равносильно самой формуле) A)
(Х-»У) равносильно (-XV у) B)
(Х<->У) равносильно (-XV У) & (ХУ- У) C)
(X *^У) равносильно (XV У) & (-XV - У) D)
-(Х&У) равносильно (-XV-У) E)
-(XV У) равносильно (-Х&-У) F)
-(Х-*У) равносильно (Х&-У) G)
С помощью данных равносильностей можно исключать
формулы с двойным отрицанием, содержащие знаки ->, «-*,
*^>, вносить отрицание вовнутрь формул. В следующем
параграфе эти равносильности используются для
представления формул в виде деревьев.
276

5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ
Каждая формула логики высказываний может быть
представлена не только аналитически, но и графически — в виде
дерева, воспроизводящего его логическую структуру. Опыт
показывает, что умение графически представлять структуру
формул значительно облегчает решение большинства задач
логики высказываний.
Графически изобразить структуру какой-либо формулы
означает построить дерево формулы согласно следующим
правилам.
Ш. Дерево формулы строится сверху вниз, начиная с
представления главного логического союза формулы и
продолжается до тех пор, пока каждая конечная ветвь не будет
содержать только переменную или ее отрицание.
П2. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид (Х&У), где X и У — произвольные формулы логики
высказываний. Тогда ветвь дерева, в которую входит (X&Y),
продолжается рисунком
ПЗ. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид (Xv Y). Тогда ветвь дерева, в которую входит (XVУ),
продолжается рисунком
X Y
П4. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
(Х-> У). Тогда ветвь дерева, содержащая (А> У),
продоле
вид
жается рисунком
-X
П5. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид (x*-*Y). Тогда ветвь дерева, содержащая С*>->У),
продолжается рисунком
277

П6. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид (Х<-** У). Тогда ветвь дерева, содержащая (Х<^ У),
продолжается рисунком
П7. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид — (X&Y). Тогда ветвь дерева, содержащая — (X&Y),
продолжается ри сунком
П8. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид -(XVУ). Тогда ветвь дерева, содержащая -Qfvy),
продолжается рисунком
-X
П9. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид — (X-+Y). Тогда ветвь дерева, содержащая -(Х-*У),
продолжается рисунком
X
-У
ШО. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид — (Х*-> Y). Такая формула равносильна формуле (X*-**?),
Поэтому ветвь дерева, содержащая - (X*+>Y), продолжается
согласно правилу П6.
ПН. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид - (X+&Y). Такая формула равносильна формуле CY«-*Y),
Поэтому ветвь дерева, содержащая ~-(X+J*Y)> продолжается
согласно правилу П5.
П12. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет
вид —(—ЛГУ. Такая формула равносильна формуле Х>
Поэтому ветвь дере ва, содержащая - (X), продолжается формулой
X.
П13. Если ветвь дерева содержит две и более формулы,
по крайней мере одна из которых в качестве главного
логического союза содержит v, тогда все остальные формулы
последовательно присоединяются к каждой из образующихся
ветвей.
278

В качестве иллюстрации правила П13 рассмотрим случай,
когда две формулы — (AVB) и (С-»?>) — принадлежат одной
и той же ветви. Дерево, образованное этими формулами,
согласно правилам П13, ПЗ и П4, имеет следующий вид:
В
v ИЛИ
-С D -С D
Большая часть приведенных правил основана на равно-
сильностях, введенных в предыдущем параграфе, и является
их графическим аналогом. Согласно этим правилам, все виды
логических связей сводятся к двум — конъюнктивной и
дизъюнктивной. Если переменные связаны конъюнктивно, то
они соединяются одной линией. Если переменные связаны
дизъюнктивно, тогда они соединяются разными линиями,
исходящими из общей вершины. Иными словами,
конъюнктивно связанные переменные принадлежат к одной и той же
ветви; дизъюнктивно связанные переменные — разным
ветвям, исходящим из общей вершины.
Рассмотрим несколько примеров представления формул в
виде деревьев. Ссылка на правила в виду их элементарного
характера опускается.
Пример L
Формула: G4&C8VC)).
Дерево формулы:
Пример 2.
Формула: (АУ(В&О).
Дерево формулы:
В
Пример 3.
Формула: (А&В&С).
Дерево формулы:
279

Пример 4.
Формула: (AVBVC).
Дерево формулы:
Пример 5.
Формула: (А-*(В&О)
Дерево формулы:
В
-А В
I
С
Пример 6.
Формула:
Дерево формулы:
-А -В
Пример 7.
Формула: (А-*(АУВ)).
Дерево формулы:
-А
Пример 8.
Формула: С4-»B?-»Л)).
Дерево формулы:
-А -в
Пример 9.
Формула: (G4&C4-
Дерево формулы:
280

-А А В
I
-В
Пример 10.
Формула: (((А->В)&-В)-*-А).
Дерево формулы:
А В -А
I
-В
Пример 11.
Формула: (((AVB)&-B)-*A).
Дерево формулы:
-А В
I
Пример 12.
Формула: «(А->В)&(В-*С))^(А-*О).
Дерево формулы:
Пример 13.
Формула:
Дерево формулы:
Пример 14.
Формула:
Дерево формулы:
281

А
I
В
Пример 15.
Формула: ((Л-»(Я-»С))-
Дерево формулы:
А А
I |
В -В
I
-с
Пример 16.
Формула: С4«->С4&Л)).
Дерево формулы:
-А
I
А
В
-В
-А
-А
Пример 17.
Формула: (A+MAVA)).
Дерево формулы:
Как следует из рассмотренных примеров, представление
формулы в виде дерева совершается в порядке, обратном
тому, как происходит конструирование формулы. Он
начинается с главного логического союза и продолжается до тех
пор, пока ветви дерева не будут содержать только
переменные или их отрицания.
282

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ
Для определения вида формулы логики высказываний
достаточно обследовать ветви дерева, представляющего ее
структуру. При этом возможны следующие три случая.
1. Каждая ветвь дерева содержит некоторую переменную
вместе с ее отрицанием, т. е. является противоречивой
ветвью. В этом случае формула является логически ложной.
Например, формула ((AvB)&— (~A-*B)) логически ложна,
так как каждая ее ветвь содержит переменную вместе с ее
отрицанием:
А
1
1
-л
1
1
-в
в
1
1
-л
1
1
-в
2. Существует по крайней мере две ветви с общей нулевой
вершиной (вершиной, не содержащей переменных и не
продолжающей какую-либо ветвь), одна из которых
содержит в качестве единственного узла какую-либо переменную,
а другая также в качестве единственного узла содержит ее
отрицание. В этом случае формула является логически
истинной. Простейший пример логически истинной формулы
указывает дерево:
Л -Л
3. Либо только некоторые ветви являются
противоречивыми, либо ни одна из ветвей не является противоречивой и
не существует ни одной пары ветвей с общей нулевой
вершиной, одна из которых содержит переменную, а
другая — ее отрицание. В этом случае формула является
нейтральной.
Рассмотрим несколько примеров на определение вида
формулы.
Пример 1.
Формула: (AV(B->-A)).
Дерево формулы:
283

л -в -л
Вид формулы: логическая истина.
Пример 2.
Формула: -(А-*(АУ-А)).
Дерево формулы:
А
I
-А
Вид формулы: логическая ложь.
Пример 5.
Формула: ({А у В) -» 0#v (А
Дерево формулы:
А В -А
I
-В
Вид формулы: логическая истина.
Пример 4.
Формула: G4-»(?-»G4-»C))).
Дерево формулы:
-А -В -A i
Вид формулы; нейтральная.
Пример 5.
Формула: (((A&(BvC))^A)*->B).
Дерево формулы:
Вид формулы: нейтральная.
284

7. НАХОЖДЕНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ СЛЕДСТВИЙ
Если формула символизирует посылки какого-либо
рассуждения, то нас интересует, что из нее следует с
необходимостью. Поскольку каждая формула имеет бесконечное
множество следствий, то нас обычно интересуют лишь
нетривиальные следствия. Мы будем называть следствие
нетривиальным, если оно не подчиняется никакому другому
следствию рассматриваемой формулы.
Процесс нахождения нетривиальных следствий
равносилен упрощению дерева формулы согласно следующим
правилам.
У1. Ветви вида
заменяются на ветви вида
У2. Ветви вида
заменяются на ветви вида X. Правила У1 и У2 допускают
инверсию, т. е. любая ветвь вида X может быть конъюнктив-
но или дизъюнктивно расширена неограниченное число раз.
УЗ. Ветви вида
X х
I I
У Z
заменяются на ветви вида
Частные случаи правила УЗ: ветви вида
X XX X X
285

заменяются на ветви, содержащие только формулу X.
Допускается также обратное по отношению к УЗ правило: ветви
вида
X
могут заменяться на ветви вида
У4. Ветви вида
X
I
-X
исключаются.
У5. Ветви вида
или
X
I
Z
У
-Z
заменяются на ветви вида
]Г У
Частный случай правила У5: ветви вида
X -X
У
заменяются на ветви вида
х у
У6. Ветви вида
х
I
У
могут заменяться на ветви вида
286

У
I
X
У 7. Ветви вида
могут заменяться на ветви вида
Конечная цель упрощения дерева формулы — получить
дерево с наименьшим из возможных числом ветвей,
исходящих из общей вершины, и с наименьшим числом
неповторяющихся переменных или их отрицаний в каждой из ветвей.
Из приведенных правил следует, что логически истинные
и логически ложные формулы упрощению не подлежат.
Рассмотрим несколько примеров нахождения
нетривиальных следствий согласно указанным правилам. Знак => будет
указывать этапы упрощения дерева анализируемой
формулы.
Пример 1.
Формула: ((AVB)&(B-*
Дерево формулы:
А
-В
Упрощенное дерево:
А в
1 =>
А
-А)).
А
-—
А
В
-В А
—""—-—-.
А
1 ->
В
Нетривиальное следствие: А.
Пример 2.
Формула: (КА&В)-*О&В).
Дерево формулы:
В
-л -в
287

Упрощенное дерево:
В
-А
Нетривиальное следствие: (B&(-AvC)).
Пример 3.
Формула: ((С-+А)&(А-*В)&С).
Дерево формулы:
С
-С
-А
Упрощенное дерево:
в -А в
С
\
А
I
В
Нетривиальное следствие: (А&В&С).
Пример 4.
Формула: (В&(А-*(А-*(В-*С)))).
Дерево формулы:
В
-А -А
Упрощенное дерево:
-В
В
Нетривиальное следствие:
Пример 5.
Формула: ((А-+В) & (С-*В) & ((В&С) -*А))).
Дерево формулы (здесь и далее противоречивые ветви
вычеркиваются с самого начала):
288

в
Нетривиальное следствие: (-CXS).
Пример 6.
Формула: ((A->B)->((AVC)-*B))
Дерево формулы:
Нетривиальное следствие: следствий нет, так как
формула является логически истинной.
Пример 7.
Формула: (С&((А&В)«~» (B&A))&D)
Дерево формулы:
С
I
D
А -Л -В
Упрощенное дерево:
С
I
D
Нетривиальное следствие: (C&D).
10 Зак. 210 289

Пример 8.
Формула: (- (А&В) v (-A&D&C)) & (- A v - ((А&В) V
Дерево формулы:
Упрощенное дерево:
Нетривиальное следствие: —А.
Следующая серия задач заимствована из книг Р. М. Смал-
лиана «Как же называется эта книга?» (М., 1981) и
«Принцесса или тигр?» (М., 1985).
Пример 9.
Один из А и В рыцарь (всегда говорит правду), а другой
лжец (всегда говорит ложь). А утверждает: «По крайней мере
один из нас лжец». Кто из них рыцарь, а кто лжец?
Для задач подобного типа примем соглашение: если
какая-то буква (А, Я,...), пишется без знака отрицания, то она
обозначает рыцаря, если со знаком отрицания — лжеца.
Формализация условий задачи дает следующий
результат:
Эта формула дизъюнктивно объединяет два допущения:
А — рыцарь, и следовательно, то, что он говорит, правда, и
А — лжец, и следовательно, то, что он говорит, ложь.
Утверждение А равносильно формуле (—AV—В).
Дерево формулы:
290

-Л -В Л
I
В
Упрощенное дерево:
А
I
-в
Нетривиальное следствие: (А&-В), т. е. А — рыцарь, а
В — лжец.
Пример 10.
Путник спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?». Тот ответил
неразборчиво. Тогда путник обратился к В: «Что сказал АЪ>.
«А сказал, что он лжец» — ответил В.
«Не верьте В\ Он лжет!» — вмешался С.
Кто из В и С рыцарь и кто лжец? Если некто говорит о
самом себе, что он лжец, значит он утверждает
противоречие. Следовательно, то, что сказал Ау символизируется
формулой (А&-А). Полностью условия задачи выражаются
следующей формулой:
«C&-B&-(A&-A))V(-C&B&-(-(A&-A)))).
Дерево формулы:
Нетривиальное следствие: (С&-Б), т. е. С — рыцарь и
В — лжец.
ю* 291

Пример П.
Путник спросил у А: «Сколько рыцарей среди вас?». А
ответил неразборчиво. Тогда путник обратился к В: «Что
сказал АЪ>
В ответил: «Л сказал, что среди нас один рыцарь».
Тогда С закричал: «Не верьте В\ Он лжет!»
Кто из В и С рыцарь и кто лжец?
Так как только рыцарь мог сказать, что среди них один
рыцарь, то утверждение А символизируется следующей
формулой: (А&—В&—С). Полностью условия задачи выражаются
формулой:
((C&-B&-A&-(A&-B&-C))v(-C&B&A&-(-
-(А&-В&-С)))).
Дерево формулы:
С -С
I I
-В В
I I
-А А
-А В С А
I
-В
-С
Упрощенное дерево:
С
I
-в
-А
Нетривиальное следствие: (-А&-В&С), т. е. А и В —
лжецы, а С — рыцарь.
Пример 12.
А говорит: «Я лжец или В рыцарь». Кто из А и В рыцарь
и кто лжец?
Условия задачи символизируются следующей формулой:
((A&(-AVB))V(-ASc-(-AvB))).
292

Дерево формулы:
Л -А
I
-ABA
I
В
Упрощенное дерево:
в
Нетривиальное следствие: (А&В), т. е. А и В — оба
рыцари.
Пример 13.
Из троих (Ау В и С) один рыцарь, один лжец и один
нормальный человек (иногда говорит правду, иногда ложь).
Кто кем является, если А утверждает: «Я нормальный
человек»; В его поддерживает: «Это правда»; С называет себя
ненормальным.
Изменим систему обозначений. Пусть Ар обозначает, что
А — рыцарь, Ан — что А — нормальный человек, Ал — что
А — лжец. Для остальных участников индексация такая же.
Утверждение А эквивалентно дизъюнкции (Ан^АЛ)9 так
как рыцарь не может назвать себя нормальным человеком.
Утверждение В эквивалентно дизъюнкции (BpVB^, так как
в противном случае А должен быть рыцарем, что
невозможно. Утверждение С эквивалентно констатации истинности
Ср> так как лжец не мог назвать себя ненормальным
человеком. Полностью условия задачи символизируются
следующей формулой:
((Ан\/Ал) & (BpVBH) &Ср).
Дерево формулы:
Ан
Вр
Упрощенное дерево (учитывая, что среди А, В и С только
один рыцарь, один лжец и один нормальный человек):
295

I
Ал
L
Нетривиальное следствие: (АЛ&ВН&СР), т. е. А — лжец,
В — нормальный человек, С — рыцарь.
Пример 14.
Любой, кто желает жениться на принцессе, должен
угадать, в какой комнате она находится. Имеется две комнаты,
в каждой из которых может находиться либо принцесса, либо
тигр. Это означает, что правильный выбор гарантирует
свадьбу, неправильный выбор — смерть. На двери каждой
комнаты висит табличка. На обеих табличках написано: «В
обеих комнатах находятся принцессы». Если в первой
комнате принцесса, то надпись истинная, если же тигр, то
ложная. Если во второй комнате принцесса, то надпись
ложная, если же тигр, то истинная.
В какой из комнат (первой или второй) принцесса, а в
какой тигр, учитывая, что в одной из комнат находится
принцесса, а в другой тигр?
Пусть III означает, что принцесса в первой комнате,
Пг — что она во второй. Соответственно Ti означает, что
тигр в первой комнате и Т2 — что тигр во второй. — Щ или
—Пг будет обозначать отсутствие принцессы в
соответствующих комнатах, — Ti или — Т2 — отсутствие тигра в
соответствующих комнатах.
Условия задачи символизируется формулой:
&(Т2->Ш1&П2))).
Дерево формулы:
12
Упрощенное дерево:
294

-IIi П2
i => I
-T2 T,
Нетривиальное следствие: Ш2&Т1), т. е. принцесса
находится во второй комнате, тигр — в первой.
Пример 15.
Имеется две комнаты, в каждой из которых может
находиться принцесса или тигр. На табличке первой двери
написано: «Либо в этой комнате тигр, либо принцесса в другой
комнате». На табличке второй двери написано: «Принцесса
в другой комнате». Обе таблички одновременно либо
истинны, либо ложны.
В каждой комнате принцесса, учитывая, что хотя бы в
одной комнате она должна быть?
Условия задачи символизируются формулой:
Дерево формулы:
П, -III
1
Ti П2 -Ti
I
-п2
Упрощенное дерево:
П1
I
п2
Нетривиальное следствие: (П1&П2), т. е. в обеих
комнатах по принцессе.
Пример 16.
В одной из комнат находится принцесса, в другой — тигр,
третья — пустая. Кто где находится, если известно, что
1) надпись на двери, за которой принцесса, истинна;
2) надпись на двери, за которой тигр, ложна;
3) надпись на двери пустой комнаты может быть как
истинной, так и ложной;
4) на двери первой комнаты написано: «Третья комната
пуста»;
5) на двери второй комнаты написано: «Тигр сидит в
первой комнате»;
295

6) на двери третьей комнаты написано: «Эта комната
пуста».
Кто в какой комнате находится?
Условие, что третья комната пустая, означает, что в ней
нет ни принцессы, ни тигра. Следовательно, данное условие
символизируются формулой (-П3&-Т3). Полностью
условия задачи символизируются формулой:
&<-Пз&-Тз)&- <-Пз&-Тз)) v
У(Пз&(-П3&-Тз)&(Т1&- (-Щ&-Тз))&(Т2&-Т1))).
Дерево формулы:
П1
I
Т2
I
-т,
-Пз
I
-Тз
Упрощенное дерево:
П,
I
т2
I
-Пз
4
Нетривиальное следствие: Ш1&Т2&-П3&-Т3)> т. е.
принцесса в первой комнате, тигр во второй, третья —
пустая.
Пример 17.
Претендент на руку принцессы должен угадать, не
открывая, в какой из шкатулок — золотой, серебряной или
свинцовой лежит ее портрет. На крышке каждой из шкатулок
выгравированы два высказывания. На золотой шкатулке: 1)
«Портрет не здесь»; 2) «Портрет в серебряной шкатулке». На
серебряной шкатулке: 1) «Портрет не в золотой»; 2)
«Портрет в свинцовой». На свинцовой шкатулке: 1) «Портрет не
здесь»; 2) «Портрет в золотой».
296

На одной шкатулке оба высказывания истинны; на другой
оба ложны; на третьей оно истинное, другое ложное. Портрет
находится в одной из шкатулок.
Пусть А обозначает, что портрет в золотой шкатулке, В —
портрет в серебряной, С — портрет в свинцовой. Первая пара
высказываний символизируется формулой (—А&В), вторая
пара высказываний — формулой (—Л&С), третья пара
высказываний — формулой (-С&4).
Условия задачи символизируются следующей формулой:
(«-A&B)&(A&-C)&(-C&-A)V(C&A))V
v((-A&B)&XC&-A)&((-A&-C)V(A&-C))v
V((-A&O&(A&-B)&((-C&-A)v(C&A))V
>V((-A&C)&(C&-A)&(--A&-B)v(A&B))v
v((-C&A)&(A&-B)&((-A&-C)v(A&C))v
\/{(-C&A)&{A&-C)8i{(-A&-B)\i{A&B))).
Дерево формулы:
-А
1
С
1
С
1
-А
1
-А
1
-В
-С
1
1
А
1
А
1
В
Упрощенное дерево (учитывая, что портрет может
находиться только в одной шкатулке):
С
I
-А
I
-В
Нетривиальное следствие: (-А&-В&С), т. е. портрет
находится в свинцовой шкатулке.
297

8. ВЫЯВЛЕНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ ДОПУЩЕНИЙ,
ПРИ КОТОРЫХ ИСТИННА РАССМАТРИВАЕМАЯ ФОРМУЛА
Обратной по отношению к нахождению нетривиальных
следствий является задача выявления нетривиальных
допущений, при которых истинна рассматриваемая формула* Мы
будем называть допущение какой-либо формулы
нетривиальным, если оно не подчиняется никакому другому
допущению, из которого следует эта формула. Частным случаем
данной задачи является восстановление пропущенных
посылок.
При выявлении нетривиальных допущений используются
правила упрощения, указанные в предыдущем параграфе.
Конечная цель упрощения в данном случае состоит в том,
чтобы получить формулу, имеющую вид дизъюнкции, в
которой нет одинаковых дизъюнктов, а в дизъюнктах нет
повторяющихся переменных: каждый дизъюнкт указывает
допущение, при котором истинна рассматриваемая формула.
В качестве дизъюнктов выступают переменные или их
конъюнкции. Предельно простым допущением является какая-
либо одна переменная или ее отрицание.
Логически истинные и логически ложные формулы
рассматриваться не будут по причинам, указанным в
предыдущем параграфе.
Приведем несколько примеров выявления нетривиальных
допущений, указывая для ясности и тривиальные.
у
Пример 1.
Формула: ((A*J*B)v (A&B)).
Дерево формулы:
Упрощенное
А
1
1
-в
дерево:
А
-А
1
1
В
А
I
1
В
--^
В
Нетривиальные допущения: (AVB), т. е. рассматриваемая
формула истинна при допущении или А, или В, или
Пример 2.
Формула: (А<-+В)
298

Дерево формулы:
Нетривиальные допущения: (A&B)V(— Л&—В), т.е.
рассматриваемая формула истинна при допущении или (А&В),
или (-Л&-Я), или при допущении всей дизъюнкции.
Пример 3.
Формула: (((A&B)vC)-»C)
Дерево формулы:
Нетривиальные допущения: (-^4v-?vC), т. е.
рассматриваемая формула истинна при допущении или -А, или —В>
или С, или (-AV-B), или (-^v-C), (-?v-C), или при
допущении всей дизъюнкции.
Пример 4.
Формула: (((A&-B)-*C)-*(CVB).
Дерево формулы:
-ССВ
I
А
i
i
-В
Упрощенное дерево:
А С В
Нетривиальные допущения: (АЧВ^С).
Пример 5.
Формула: (((A+J*B)-*(-B&C)*-*-C).
299

Дерево формулы:
-С С
А -А -А
I I I
В -В В
I
Нетривиальные допущения:
(A&B&-C)V(-A&-B&-C)V(-A&B&C).
Пример б.
Формула: ((A&B)v(A&-B)v(-A&B)).
Дерево формулы:
Нетривиальные допущения: (А у В).
Пример 7.
Формула: ((А&В&С)v(-A&B&C)v (А&-Б&С)).
Дерево формулы:
А
|
1
В
I
1
С
-А
1
1
•
1
С
А
500

Упрощенное дерево:
в
Нетривиальные допущения: (C&B)v(C&A).
Пример 8.
Формула: (((А-*В)&В)->А).
Дерево формулы:
Упрощенное дерево:
-в
Нетривиальные допущения:
Пример 9.
Командир осажденной крепости послал три следующих
сообщения:
1. Если нам удастся получить продовольствие, то нам не
будет угрожать смерть от голода.
2. Если нам не удастся получить продовольствие, то или
нам будет угрожать смерть от голода, или мы попытаемся
прорвать кольцо окружения.
3. Если нам будет угрожать смерть от голода, то мы
попытаемся прорвать кольцо окружения. (Калбертсон
Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств. М., 1965
С. 214).
Можно ли сформулировать сообщение, эквивалентное
трем указанным, но более простое в логическом смысле?
Ответить на этот вопрос означает найти более простые
допущения, которым были эквивалентны все три сообщения.
Пусть А в нам удастся получить продовольствие, В - нам
не будет угрожать смерть от голода. С в мы попытаемся
прорвать кольцо окружения. Все три сообщения
символизируются следующей формулой:
Дерево формулы:
301

-л в
В В А В Л
С С С
Упрощенное дерево:
В
Нетривиальные допущения: (B&A)v(B&C)> т.е. все три
сообщения истинны, если истинно допущение «Нам удастся
получить продовольствие, и нам не будет угрожать смерть
от голода» или допущение «Нам не будет угрожать смерть
от голода, и мы попытаемся попытаться прорвать кольцо
окружения».
Пример 10.
Алхимик, посаженный в тюрьму за ересь, получил шесть
секретных сообщений, закодированных с помощью овощей,
вложенных в суп; они касались его намерения превратить
свинец в золото.
1. Ваше намерение превратить свинец в золото будет
осуществлено. Королева утвердит вашего зятя настоятелем
к 1 апреля 1457 г. Ваше обвинительное заключение будет
передано настоятелю к этому времени.
2. Ваше намерение превратить свинец в золото не будет
осуществлено. Королева не утвердит вашего зятя
настоятелем к 1 апреля 1457 г. Обвинительное заключение не будет
передано настоятелю к этому времени.
3. Ваше намерение превратить свинец в золото будет
осуществлено. Королева утвердит вашего зятя настоятелем
к 1 апреля 1457 г. Обвинительное заключение не будет
передано настоятелю к этому времени.
4. То, что следует далее, неверно. Или ваше намерение
превратить свинец в золото будет осуществлено, или
королева утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г.,
или обвинительное заключение не будет передано к этому
времени.
5. По крайней мере одно из предыдущих сообщений
истинно.
302

6. Полученная вами информация абсолютно надежна
(Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых
устройств. С. 215—216).
Все шесть сообщений символизируются следующей
формулой:
Подформула: — (A<rJ*B*-b-C) равносильна конъюнкции
двух эквиваленций: (А++В) и (?<-»-С). С учетом этого
замечания получаем следующее дерево:
А
1
1
В
-А
1
1
-В
А
В
А
|
1
В
-А
|
1
-В
В
1
1
-с
-Б
1
1
С
с -с -с с
Упрощенное дерево:
-С С
-С А
-А А
Нетривиальные допущения: (A*-+B)v(А*-*С), т. е.
содержание всех шести сообщений можно свести к двум: «Ваше
намерение превратить свинец в золото будет осуществлено
равносильно тому, что королева утвердит вашего зятя
настоятелем к 1 апреля 1457 г.» или «Ваше намерение превратить
свинец в золото будет осуществлено равносильно тому, что
ваше обвинительное заключение будет передано настоятелю
к этому времени».
Пример П.
Путешественник попал в плен к жестоким туземцам и
был поставлен перед дилеммой: умереть от яда либо сгореть
заживо. Чтобы сделать этот выбор, путешественник должен
произнести только одну фразу — если при этом он скажет
правду, его отравят, а если солжет — сожгут заживо. Какую
фразу должен произнести путешественник, чтобы избежать
смерти?
Пусть А = умереть от яда, В = сгореть заживо. Основные
элементы ситуации выбора можно формализовать
следующим образом.
Путешественник говорит «меня отравят», и это правда:
303

(А&(А-*А>)
Путешественник говорит «меня отравят», и это ложь:
Путешественник говорит «меня сожгут», и это правда:
(В&(В-»А))
Путешественник говорит «меня сожгут», и это ложь:
Все возможности выбора символизируются следующей
формулой:
Дерево формулы:
Ветви дерева, символизирующие возможности, связанные
с ответом «меня отравят», упрощаются до
Таким образом, если путешественник произнесет «меня
отравят», то независимо от того, говорит ли он правду или
ложь, ему не избежать смерти: если он скажет правду, его
отравят, если солжет, — сожгут заживо.
Ветви дерева, символизирующие возможности, связанные
с ответом «меня сожгут», являются противоречивыми и
вычеркиваются. Таким образом, если путешественник
произнесет «меня сожгут», то независимо от того, говорит ли он
правду или ложь, он избежит смерти. Пусть л обозначает
логическое значение «ложь». Тогда ветви дерева, связанные
с ответом «меня сожгут», упрощаются до
л л
Полностью упрощенное дерево выглядит так:
304

в
Итак, нетривиальным допущением, позволяющим
избежать смерти, будет «меня сожгут».
Приведем несколько примеров на нахождение
пропущенных посылок.
Пример 12.
Из формулы (А->В) требуется получить формулу С.
Какую необходимо добавить (нетривиальную) посылку,
чтобы была истинна импликация (С4-*?)-»С)?
Ответ на этот вопрос дает упрощение дерева указанной
импликации:
А С
I
-В
Нетривиальные посылки: (А&В), С, ((A&B)VC).
Пример 13.
Найти недостающие посылки для вывода формулы G4-»-
В) из формулы -А. Образуем импликацию (-А->(А-*-В)).
Строим и упрощаем дерево этой формулы:
-А -В
Нетривиальные посылки: -А, -В, (-AV-B).
Пример 14.
Найти недостающие посылки для вывода формулы С#-»С)
из формулы А. Образуем импликацию (А-*(В-*О). Строим
и упрощаем дерево этой формулы:
-А -5 С
Нетривиальные посылки: -Л, -Ву С, (-Л№-?), (
, (-Av-BVC).
Пример 15.
Найти недостающие посылки для вывода формулы
(С4->2?)&О4-»С)) из формулы В. Строим импликацию
(В-*((А-*В)&(А-*С))) и упрощаем ее дерево:
305

-В -А
Нетривиальные посылки: -Л, -Я, С, (-Av-B), (-BVC),
), (-AV-BVC).
9. ПОНЯТИЕ ДЕДУКТИВНОГО УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
И ВЫВОДА В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Общее представление о дедуктивном умозаключении бнь
ло изложено ранее (см. гл. IV, 1). Отличительная черта
дедуктивных умозаключений, рассматриваемых в логике
высказываний, состоит в том, что в них учитываются
логические связи только между простыми высказываниями.
Внутренняя, т. е. субъектно-предикатная структура
последних игнорируются. Назначение дедуктивных
умозаключений тем не менее остается неизменным: с их помощью из
посылок выводятся необходимые следствия.
Каждое умозаключение, сформулированное в языке
логики высказываний, можно представить в виде кратной
импликации
(Xi->(X2->. . . (Xn-*Y) . . .)), (8)
в которой антецедент Хи i = 1» 2,..., п, обозначает i-тую
посылку, консеквент У — заключение. Формула (8)
читается: если (истинны) X/, Х2,..., Хп, то (истинно) У. В качестве
посылок и заключения могут фигурировать как простые, так
и сложные высказывания.
Пусть дана формула ((А&В) -»(В-*А)). Если в качестве Xi
взять (А&В), а в качестве У — формулу (В->А), то исходная
формула сводится к импликации вида (Xj->Y). Если же в
качестве X] взять (А&В), в качестве Хг — формулу Я, в
качестве У — формулу А> то исходная формула принимает
вид (Xi-*(X2->Y)).
Мы будем говорить, что формула, представленная в виде
кратной импликации, выражает (правильное, корректное)
дедуктивное умозаключение, если и только если консеквент
этой импликации является необходимым следствием ее
антецедентов. Доказательство этого факта мы будем называть
выводом заключения из посылок. Иными словами, доказать
какое-либо умозаключение означает построить вывод его
заключения из его посылок. В соответствии с делением
306

доказательств на прямые и косвенные правила вывода также
принято делить на прямые и косвенные.
ПРАВИЛА ПРЯМОГО ВЫВОДА
Пусть рассматриваемое умозаключение представлено в
виде кратной импликации по формуле (8). Назовем деревом
посылок дерево, выражающее логическую структуру
формулы (Х]&Х2& . . . Хп)у и деревом заключения — дерево,
выражающее логическую структуру заключения У.
81. Если в результате упрощения дерево заключения
воспроизводит конъюнктивно входящую часть дерева
посылок (для дерева с одной ветвью — по крайней мере одну
переменную; для деревьев с более чем одной ветвью — по
крайней мере одну переменную из каждой ветви), тогда
заключение следует из посылок с необходимостью.
82. Если в результате упрощения дерево посылок
воспроизводит дизъюнктивно входящую часть дерева заключения
(по крайней мере одну полную ветвь — от вершины до
основания), тогда заключение следует из посылок с
необходимостью.
83. Если в результате упрощения дерево посылок и дерево
заключения воспроизводит одно и то же дерево (с одним и
тем же количеством ветвей и набором переменных или их
отрицаний на каждой из них), тогда посылки и заключение
следуют друг из друга с необходимостью.
84. Если в результате упрощения в дереве посылок
оказались вычеркнутыми все ветви дерева, то независимо от
вида дерева заключения заключение следует из посылок с
необходимостью.
85. Если умозаключение состоит только из заключения и
если в результате упрощения дерево последнего содержит
хотя бы одну пару переменных с общей нулевой вершиной,
одна из которых является отрицанием другой, тогда данное
заключение является необходимым ( логически истинным).
86. При всех других, кроме указанных в правилах
BIBS, отношениях между упрощенными деревьями посылок и
заключения заключение из посылок не следует с
необходимостью.
Рассмотрим несколько примеров прямого вывода.
Пример /.
1. Умозаключение: ((А&В)-*А).
2. Посылки: (А&В). Заключение: А.
307

3. Дерево посылок:
А
В
Дерево заключения: А.
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В1#
Пример 2.
1. Умозаключение: ((А&В)-*В).
2. Посылки: (А&В). Заключение: В.
3. Дерево посылок:
А
в
Дерево заключения: В.
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В1.
Пример 3.
1. Умозаключение: (А-*(А&В)).
2. Посылки: А. Заключение: (А&В).
3. Дерево посылок: А.
Дерево заключения:
А
I
В
4. Заключение не следует из посылки согласно
правилу Вб.
Пример 4.
1. Умозаключение: (A->(AVB)).
2. Посылки: А. Заключение: (AVB).
3. Дерево посылок: А.
Дерево заключения:
А в
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В2.
Пример 5.
1. Умозаключение: (B->(AVB)).
2. Посылки: В. Заключение: (AVB).
308

3. Дерево посылок: В.
Дерево заключения:
В
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В2.
Пример 6.
1. Умозаключение: ((AVB)->A).
2. Посылки: (AVB). Заключение: А.
3. Дерево посылок:
А В
Дерево заключения: А.
4. Заключение не следует из посылки согласно правилу
В6.
Пример 7.
1. Умозаключение: (А<-+(А&А)).
2. Посылки: А. Заключение: (А&А).
3. Дерево посылок: А.
Дерево заключения:
А
=> А
4. Заключение следует из посылки и посылка следует из
заключения согласно правилу ВЗ (посылка и заключение
являются равносильными формулами).
Пример 8.
1. Умозаключение: (A++(AvA)).
2. Посылки: А. Заключение: G4V.4).
3. Дерево посылок: А.
Дерево заключения:
4. Заключение следует из посылки и посылка следует из
заключения согласно правилу ВЗ.
Данный и предыдущий примеры доказывают, что
несколько конъюнктивных или дизъюнктивных вхождения
одной и той же переменной равносильно ее единственному
вхождению.
309

Пример 9.
1. Умозаключение: (((AvB)&(Av-B))<
«A&B)v(A&-B))).
2. Посылки: «AVB)&(Av-B)).
Заключение: ((A&B)V(A&-B))).
3. Дерево посылок:
4. Заключение следует из посылки и посылка следует из
заключения согласно правилу ВЗ.
Пример 10.
1. Умозаключение: (А-*(В->А)).
2. Посылки: А. Заключение: (В-*А).
3. Дерево посылок: А.
Дерево заключения:
-В
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В2,
Пример 1L
1. Умозаключение: (А-*(В-*А).
2. Посылки: А, В. Заключение: А.
3. Дерево посылок:
А
В
Дерево заключения: А.
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В1.
Данный и предыдущий примеры доказывают, что посылки
можно соединять как логическим союзом ->, так и
логическим союзом &. Оба вида соединения посылок являются
эквивалентными.
310

Пример 12.
1. Умозаключение: (В->(А->А).
2. Посылки: 2?, А. Заключение: А
3. Дерево посылок:
В
Дерево заключения: А.
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В1.
Данный и предыдущий примеры свидетельствуют о том,
что посылки можно переставлять.
Пример 13.
1. Умозаключение: (А->(А-*В)).
2. Посылки: А. Заключение: (А-+В).
3. Дерево посылок: А.
Дерево заключения:
-А В
4. Заключение не следует из посылки согласно
правилу В6.
Сравнивая этот и предыдущий примеры, можно сделать
вывод о том, что перестановка местами заключения и
посылок в общем случае неверна.
Пример 14.
1. Умозаключение: ((А<-*В)<г+((А+В)&(В+А))).
2. Посылки: (А++В). Заключение: ((А-*В)&(В->А)).
3. Дерево посылок:
А
В
Дерево заключения:
-А
1
1
-В
-А
1
1
-В
—»»^
А
j
1
В
4. Посылка и заключение в равной мере следуют друг из
друга согласно правилу ВЗ.
311

Пример 15.
1. Умозаключение: ((А&(А->В))-*В).
2. Посылки: А, (А->В). Заключение: В.
3. Дерево посылок:
А
в
Дерево заключения: В.
4. Заключение следует из посылок согласно правилу В1.
Пример 16.
1. Умозаключение: ((-В&(А->В))->-А).
2. Посылки: — Въ (А-*В). Заключение: —А.
3. Дерево посылок:
-В
-А
Дерево заключения: —А
4. Заключение следует из посылок согласно правилу BL
Умозаключение из примера 15 воспроизводит ситуацию
прямого дедуктивного доказательства, из примера 16 —
ситуацию прямого дедуктивного опровержения.
Пример 17.
1. Умозаключение: (<А-*(В&-В)-*-А).
2. Посылки: А, (В&-В). Заключение: -А
3. Дерево посылок: 0.
Дерево заключения: -А.
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В4.
Пример 18.
1. Умозаключение: {{А-*В)&(В-*С))-*(А-*О).
2. Посылки: 04-»Я), (В->С). Заключение: (А->С).
3. Дерево посылок:
-А
Дерево заключения:
312

4. Заключение и посылки в равной мере следуют друг из
друга согласно правилу ВЗ.
Пример 19.
1. Умозаключение: ((А&(А-*В)&(В-*С))-*С)).
2. Посылки: (Л-»?), СЯ-»С), А. Заключение: С.
3. Дерево посылок:
в
I
С
I
А
Дерево заключения: С.
4. Заключение следует из посылки согласно правилу В1.
Пример 20.
1. Умозаключение: ((А-*(В&С))++(А-*В)&(А-*О).
2. Посылки: (А-*(В&О). Заключение: ((А-*В)&(А-*С)).
3. Дерево посылок:
В
I
С
Дерево заключения:
-А В
I
С
4. Заключение и посылка в равной мере следуют друг из
друга согласно правилу ВЗ.
Пример 21.
1. Умозаключение: (((A-»C)&(B-*C)&(AVB)-*O).
2. Посылки: G4-»C), (B->C)> (AVB). Заключение: С.
3. Дерево посылок:
Дерево заключения: С.

4. Заключение следует из посылок согласно правилу В1.
Пример 22.
1. Умозаключение: (((AVB)&(A-*C)&(B-*D)-*(CVD)).
2. Посылки: (AvB)y (А-*С)У (B-+D). Заключение: (CVD).
3. Дерево посылок:
С D
I I
А В
-В -D -А С
Дерево заключения:
С D
4. Заключение следует из посылок согласно правилу В1.
Пример 23.
1. Умозаключение:
(((А-+В) & (C->D) & (AVC) &- IB&D)) -> (Я-М) & Ф-»С))
2. Посылки: G4-»?), (C-»?>), (AVC). Заключение: (В->А),
3. Дерево посылок:
А -5
I I
-Z) С
I I
-С -А
I I
В D
Дерево заключения:
4. Заключение следует из посылок согласно правилу В1.
314

Вывод заключения из посылок составляет смысл прямого
доказательств. Косвенное доказательство строится как вывод
несовместимости отрицания заключения с посылками. Пусть
А обозначает посылку, В — заключение. Косвенно доказать,
что В следует из А, означает построить вывод формулы
-(А&-В).
Пусть даны две произвольные формулы X и Y и построены
их упрощенные деревья. Мы будем называть конъюнктивным
расширением дерева формулы X деревом формулы У
построение дерева формулы (X&Y). В нижеследующих правилах
косвенного вывода термин «дерево» везде употребляется в
смысле «упрощенное дерево».
Назовем ветвь дерева замкнутой, если она содержит хотя
бы одну переменную вместе со своим отрицанием. Каждая
замкнутая ветвь — противоречивая ветвь. Замкнутые ветви
будут отмечаться знаком «_».
ПРАВИЛА КОСВЕННОГО ВЫВОДА
КВ1. Если в результате конъюнктивного расширения
дерева посылок деревом отрицания заключения каждая ветвь
объединенного дерева оказалась замкнутой, тогда
заключение следует из посылок с необходимостью.
КВ2. При всех других результатах конъюнктивного
расширения дерева посылок, чем указано в КВ1, заключение не
является необходимым.
КВЗ. Если умозаключение допускает прямое и обратное
применение правила КВ1, тоща его посылки и заключение
представляют равносильные формулы.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример I.
1. Умозаключение: ((А-*-А)-*-А).
2. Посылки: С4->— А). Заключение: —А. Отрицание
заключения: А.
3. Дерево посылок:
=> — J
Дерево отрицания заключения: А.
4. Объединенное дерево:
-А
315

5. Единственная ветвь объединенного дерева замкнута.
Следовательно, заключение следует из посылок согласно
правилу КВ1.
Пример 2.
1. Умозаключение: (—А-*—(А-*—А)).
2. Посылки: -А. Заключение: (А-*-А). Отрицание
заключения: -(А->-А).
3. Дерево посылок: -А.
Дерево отрицания заключения: А
4. Объединенное дерево:
-А
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Нетрудно убедиться, что умозаключения из обоих
рассмотренных примеров допускают обратное применение
правила КВ1. Следовательно, их посылки и заключения
равносильны друг другу.
Пример 3.
1. Умозаключение: (((А+В)->((А&С)-*(В&С))).
2. Посылки: {А-*В). Заключение: ((А&С)-*(В&О).
Отрицание заключения: -((А&С)-*(В&С)).
3. Дерево посылок:
-А в
Дерево отрицания заключения:
Л
4. Объединенное дерево:
-А~*
\
\
Л
1
1
с
1
-в
с
1
1
-Б
^ ^
"•—-
1
1
А
С
1
—В
316

5. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Пример 4.
1. Умозаключение: (((А->В)-*((А&С)-*(В&С))).
2. Посылки: 04-»Я), (А&С). Заключение: (В&С).
Отрицание заключения: -(В&С).
3. Дерево посылок:
в
I
А
I
с
Дерево отрицания заключения:
-В -С
4. Объединенное дерево:
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Пример 5.
1. Умозаключение: ({(А&С)-*{В&С))-*(А&В)).
2. Посылки: ((А&С)-*(В&С)). Заключение: (А-*В).
Отрицание заключения: — (А-*В).
3. Дерево посылок:
-А -С В
Дерево отрицания заключения:
А
4. Объединенное дерево:
317

-А -С В
—В —В —В
5. Средняя ветвь объединенного дерева не замкнута.
Следовательно, согласно правилу КВЗ заключение не
является необходимым.
Пример 6.
1. Умозаключение: (((A-*B)&(C-*D))&(-BVD)-*-(AvQ).
2. Посылки: (А-»В)У {C-*D), (-BVD). Заключение: -(AVQ.
Отрицание заключения: (AVC).
3. Дерево посылок:
-А
I
-С
-В
-D
Дерево отрицания заключения:
А С
4. Объединенное дерево:
-А
I
-С
-В
-D
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Пример 7.
Доказать прямым и косвенным способом следующее
умозаключение. Если никто, кроме Л, В и С, не участвовал в
ограблении и если А не виновен или В виновен, то С виновен,
318

и если А не виновен, то С не виновен. Следовательно, А
виновен.
Пусть вхождение какой-либо переменной без знака
отрицания означает виновность, а со знаком отрицания —
невиновность. Тогда приведенное умозаключение
символизируется формулой:
Прямое доказательство.
1. Посылки: ((-Л^)-»С), (-А-+-С). Заключение: А.
2. Дерево посылок:
Дерево отрицания заключения: А.
3. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1
(независимо от виновности остальных участников А виновен
бесспорно).
Косвенное доказательство.
1. Дерево посылок:
А
-В
Дерево заключения: —А.
2. Объединенное дерево:
А
3. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
10. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ (ПЕРВОГО ПОРЯДКА)
Если мы попытаемся с помощью логики высказываний
доказать умозаключение «Каждый человек любит
кого-нибудь. Я — человек. Следовательно, я люблю кого-нибудь»,
то у нас не получится вывода. Причина этой неудачи — в
игнорировании логикой высказываний субъектно-предикат-
ной структуры простых высказываний. Возникает вопрос:
319

возможна ли логика, сохраняющая все достоинства логики
высказываний и одновременно позволяющая делать выводы,
учитывающие внутреннюю структуру простых
высказываний? Логика предикатов является той минимальной
логической системой, которая позволяет делать такие выводы.
Пусть дан некоторый универсум И. Образующие его вещи
обладают свойствами и находятся в разнообразных
отношениях друг с другом. Чтобы конструировать высказывания о
свойствах вещей и их отношениях, необходимо расширить
алфавит логики высказываний новыми знаками. Прежде чем
такое расширение произвести, выскажем несколько
предварительных замечаний.
Если мы хотим обозначить высказывание, чья субъектно-
предикатная структура нас не интересует, мы будем
использовать известные пропозициональные переменные А, Ву С,...
Допустим, мы хотим сказать, что некоторая вещь
обладает свойством А Здесь различаются два случая: 1)
собственное имя данной вещи известно и 2) собственное имя
данной вещи не известно. Для первого случая мы будем
использовать знаки а, й, с,... Для второго случая мы будем
использовать знаки х, у, z,... Выражение Аа читается «вещь
а из универсума И обладает свойством А». Выражение Ах
читается «произвольная вещь х из универсума И обладает
свойством А». Фундаментальное различие между обоими
случаями состоит в том, что выражение вида Аау АЬ,... мы
можем оценивать как истинные или ложные, а выражения
вида Ах, Ау,... не можем. Например, пусть И = пищевые
продукты, А = сладкий, а = сахар, Ь = соль. Тогда выражение
Аа = «сахар сладкий» истинно, а выражение АЪ = «соль
сладкая» ложно. Но сказать, что Ах = «произвольный
пищевой продукт сладкий» истинно или ложно мы не можем, так
как не знаем, о каком пищевом продукте идет речь. Знак х
обозначает любую съедобную вещь или, как говорят,
«пробегает» все вещи рассматриваемого универсума». По этой
причине знаки х, уу z,...принято называть индивидными
переменными, на место которых может быть подставлено
любое имя собственное вещи из данного универсума.
Соответственно знаки а, Ъу с,... принято называть индивидными
константами, подставляемыми вместо индивидных
переменных и превращающих выражения логики предикатов в
истинные или ложные высказывания.
Допустим, мы хотим сказать, что некоторая вещь
находится в определенном отношении к другой вещи. Здесь также
различаются указанные выше два случая. Выражение вида
320

Аху означает «произвольные вещи х и у из универсума И
находятся в отношении А друг к другу». Сказать о Аху
истинно оно или ложно мы не можем, так как не известно,
какие вещи обозначают переменные хиу. Пусть И = люди,
а - дети, Ь - зубные врачи, А = любит. Тоща неопределенное
с истинностной точки зрения выражение Аху превращается
в ложное высказывание Aab = дети любят зубных врачей.
Выражения вида Ах принято называть одноместными
предикатами. Их отличительная особенность в том, что они
обозначают свойства вещей. Выражения вида Аху принято
называть двухместными предикатами. Их особенностью
является то, что они обозначают бинарные отношения.
Возможно существование n-местных предикатов вида Ап,
обозначающих n-местные отношения.
Из сказанного ясно, что предикаты — это логические
функции, отображающие собственные имена вещей
(индивидные константы) в множество логических значений {и, л}.
Пусть универсум состоит из трех вещей, каждая из
которых имеет свое имя, И = {а, А, с}. Если мы хотим сказать,
что все вещи нашего универсума обладают свойством А> то
это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно
построить конъюнкцию: (Аа&АЬ&Ас), которая истинна, если
и только если истинны все ее члены. Во-вторых, можно
использовать специальное сокращение, называемое
квантором (все) общности и ставящееся перед тем выражением,
количественную характеристику которого оно определяет:
(х)Ах. Выражение (х)Ах читается «каждый х обладает
свойством А», «для всех х имеет свойство А». Выражение — (х)Ах
читается «неверно, что каждый х обладает свойством А».
Если мы хотим сказать, что некоторые вещи из нашего
универсума обладают свойством А, то также можем сделать
это двумя способами. Во-первых, можно построить
дизъюнкцию (АаУАЬчАс), которая истинна, если и только если
истинен по крайней мере один ее член. Во-вторых, мы можем
использовать специальное сокращение, называемое
квантором существования и ставящееся перед тем выражением,
количественную характеристику которого оно определяет:
(Ех)Ах. Выражение (Ех)Ах читается «существует такой х,
который обладает свойством А», «по крайней мере для одного
х имеет место А». Выражение -(Ех)Ах читается «неверно,
что существует такой х, который обладает свойством А».
Алфавит логики предикатов включает знаки следующего
вида.
1. Знаки для обозначения высказываний:
11 Зак.210 321

А, В, C,...,A\yBi, Си...
2. Знаки для обозначения логических союзов:
«-» — знак отрицания;
«&» — знак конъюнкции;
«v» — знак дизъюнкции;
«-»» — знак импликации;
«<-*» — знак эквивалентности;
«<нь» — знак исключающей дизъюнкции.
3. Знаки для обозначения n-местных предикатов:
Ап, Вп, Cn, A\ny Bin, Cin,..., n>\
4. Знаки для обозначения индивидных переменных:
х, у, z,..., XI, уи zu...
5. Знаки для обозначения индивидных констант (имен
собственных):
а, Ьу су ...у а\, b\, ciy...
6. Знаки для обозначения кванторов общности и
существования:
Ос), (Ех)
7. Знаки для обозначения n-местных функций:
/, g, A,..., /i, gi, Ai,...
8. Технические знаки:
( — левая скобка;
) — правая скобка;
, — запятая.
Иных знаков, кроме указанных в пп. 1—8, в логике
предикатов нет.
В логике предикатов понятие субъекта заменяется
понятием терма. Более точно терм определяется следующим
образом:
1. Индивидная константа есть терм*
2. Индивидная переменная есть терм.
3. Если/— n-местный функциональный знак и *i,...,fo —
термы, то fitly...Лгд — терм.
4. Никаких других термов, кроме указанных в пп. 1—3,
в логике предикатов нет.
Формулы логики предикатов порождаются согласно
следующему определению:
322

1. Antii,...,tn)9 вде Лп — n-местный предикат, ti,...9tn —
произвольные термы, есть формула логики предикатов.
2. Пропозициональная переменная есть формула логики
предикатов.
3. Если А и В — формулы логики предикатов и х
индивидная переменная, то -А, (А&В), (AvB), (A-+B),
(Л«-^В), (А<-ЬВ), (х)А, (Ех)А — формулы логики предикатов.
Иных формул, кроме указанных в пп. 1—3, в логике
предикатов нет.
В формулах вида (х)А и (Ех)А выражение Л, которое
может и не содержать переменной х, называется областью
действия соответственно кванторов общности и
существования. В формуле (х) (Еу)Аху областью действия квантора
существования (Еу) является выражение Ахуу областью
действия квантора общности (х) — выражение (Еу)Аху. В
формуле (х) (Ах->Вх) областью действия квантора общности
(х) является выражение (Ах->Вх).
Назовем вхождение индивидной переменной х связан-
ныму если и только если х совпадает с вхождением в квантор
(х) vum (Ex), или находится в области действия по крайней
мере одного из них. Всякое иное вхождение переменной х
называется свободным.
В формуле (х)Аху переменная х связана, а переменная у
свободна. Одна и та же переменная может входить в формулу
свободно и связанно одновременно. Например, в формуле
(х)Аху&(у)Ву переменная у входит свободно в конъюнкт
(х)Аху и связанно в конъюнкт (у) By.
Если некоторая формула содержит вхождения свободных
переменных, то на их место могут подставляться термы.
Пусть A(t/x) обозначает операцию подстановки терма t на
место свободной переменной х в формуле Ах. Результатом
подстановки становится формула At. Итак, A(t/x)++At.
Чтобы подстановка оказалась правильной, необходимо
выполнять следующие условия.
1. Если t — индивидная константа, то подстановка
проводится без ограничений.
2. Если t — индивидная переменная, то ни одно вхождение
t не должно оказаться связанным в результате подстановки
t на место переменной х в Ах.
Подстановка (x)Ax(z/y)<-+(x)Axz является правильной.
Подстановка (х)Ах(х/у)++(х)Ахх является неправильной.
В логике высказываний для определения вида формулы
достаточно построить ее таблицу истинности, т. е. достаточно
И • 323

рассмотреть все возможные распределения логических
значений, образующих ее переменных. В логике предикатов
этого недостаточно, так как кроме пропозициональных
переменных ее формулы содержат предикатные символы,
индивидные переменные и константы, кванторы общности и
существования. Каждый из этих знаков интерпретируется
особым образом. Мы будем говорить, что формула логики
предикатов имеет интерпретацию, если и только если:
1. Задан универсум интерпретации И.
2. Каждой индивидной константе поставлен в
соответствие некоторый элемент (вещь) И.
3. Каждому n-местному предикатному символу Ап
поставлено в соответствие некоторое свойство или отношение
между элементами И.
4. Каждой пропозициональной переменной приписано
некоторое логическое значение — «истина» или «ложь».
5. Индивидные переменные пробегают универсум И.
Если некоторая формула получила интерпретацию, то,
согласно следующим правилам, можно вычислить ее
логическое значение.
1. Логические значения формул вида -А> (А&В)> (AVB),
(А-+В), (А<-*В), (A+J*B) вычисляются согласно правилам
логики высказываний.
2. (х)Ах получает значение «истина», если и только если
формула Ах получает значение «истина» для каждого
элемента И; в противном случае (х)Ах получает значение
«ложь».
3. (Ех) Ах получает значение «истина», если и только если
формула Ах получает значение «истина» хотя бы для одного
элемента И; в противном случае (Ех)Ах получает значение
«ложь».
Формула, содержащая свободные переменные, не может
получить никакого логического значения. Для вычисления
логического значения таких формул необходимо свободные
переменные заменить константами.
Формула логики предикатов считается выполнимой, если
и только если она истинна хотя бы при одной интерпретации;
является логической истиной, если и только если истинна
при всех интерпретациях; является логической ложью, если
и только если она ложна при всех интерпретациях.
В отличие от логики высказываний формализация
выражений естественного языка средствами логики предикатов
является более сложной.
324

Рассмотрим в этой связи несколько примеров.
Пример /.
1. a, by с — имена спортивных команд (индивидные
константы). А2 = выиграл (двухместный предикат).
2. а выиграл у Ъ : Aab.
b выиграл у а : Aba.
а выиграл у Ъ и Ъ выиграл у с : (Aab&Abc).
а выиграл у b или с : (AaWAac).
а выиграл либо у Ь> либо у с : (АаЬ+ЬАас).
Если а выиграл у Ь, то с выиграл у а : {Aab-*Аса).
Ъ не выиграл у с, но выиграл у а : (-Abc&Aba).
Пример 2.
1. И = люди, х — индивидная переменная. А - теряющий,
В = находящий, С = счастливый.
2. Все обладают свойством терять: (х)Ах.
Некоторые обладают свойством терять: (Ех)Ах.
Некоторые не обладают свойством находить: (Ех) —Вх.
Не все счастливы: — (х)Сх.
Никто не счастлив: (х)-Сх.
Неверно, что некоторые не обладают свойством терять:
-(Ех)-Ах.
Все либо теряют, либо находят: (х) (Ах+ь>Вх).
Либо все теряют, либо все находят: (х)Ах+Мх)Вх.
Если некоторые теряют, то все находят: (Ех)Ах->(х)Вх.
Каждый теряющий и находящий счастливы: (х)
((Ах&Вх)-*Сх).
Все теряющие есть находящие: (х)(Ах-*Сх).
Некоторые теряющие не являются счастливыми: (Ех)
(Ах&-Сх).
Только теряющие есть находящие: (х) ((Ах-*Вх)&(—Ах-*—Вх)).
Только некоторые находящие счастливы:
(Ех) (Вх&Сх)&(Ех) (Вх&-Сх)
Пример 3.
1. И = люди, х, у — индивидные переменные. Аху = х
любит у.
2. Каждый любит каждого: (х) (у) Аху.
Не каждый любит каждого: - (х) (у)Аху.
Каждый любит не каждого: (х) — (у)Аху.
Не каждый любит не каждого: - (х) - (у) Аху.
Никто не любит всех: (х) (у) — Аху.
325

Не все не любят всех: - (х) (у) -Аху.
Не все не любят не всех: — Ос) — (у) —Аху.
Все любят кого-нибудь: (х) (Еу)Аху.
Не все любят кого-нибудь: - (х) (Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любим всеми: (х) - (Еу)Аху.
Все не любят кого-нибудь: (х) (Еу) -Аху.
Неверно, что кто-нибудь любим всеми: (х) (—Еу)Аху.
Все не любят кого-нибудь: (х) (Еу) -Аху.
Кто-нибудь не любим не каждым: - Ос) (Еу) -Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любим не каждым: —(х)
(-Еу)-Аху.
Кто-нибудь любит кого-нибудь: (Ех) (Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любит кого-нибудь: -(Ех)
(Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любим кем-нибудь: (Ех) —
(Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любит кого-нибудь и неверно,
что кто-нибудь любим кем-нибудь: — (ЕхУ — (Еу)Аху.
Кто-нибудь не любит кого-нибудь; (ЕхУ (Еу) -Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любит кого-нибудь: -(Ех)
(Еу) -Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любим кем-нибудь: (Ех)-
(Еу)-Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любит кого-нибудь и неверно»
что кто-нибудь не любим кем-нибудь: — (Ех) — (Еу) —Аху.
Пример 4.
1. И - люди. ху у — индивидные переменные, а, Ъ —
индивидные константы. Аху т х учитель у.
2. Если а учитель Ь, то а чей-то учитель: Aab-* (Еу)Аау.
Если а учитель Ъ, то Ъ чей-то ученик: Aab-* (Ex)Axb.
Каждый чей-то учитель и чей-то ученик:
Ос) (Еу)Аху&(Ех) (Еу)Аху
Или Ь ученик а, или Ъ свой собственный ученик: AdbvAbb.
Если все свои собственные учителя, то а свой собственный
учитель и Ь свой собственный учитель: (х)Ахх-*(Ааа&АЪЬ).
Каждый — учитель кого-нибудь тогда и только тоща,
когда кто-нибудь — ученик каждого: (х) (Еу)Аху*~*
(Еу)(х)Аху.
Неверно, что если а не учитель й, то Ъ не чей-то ученик:
-(-АаЬ-*-(Ех)АхЪ)
326

Рассмотрим несколько примеров вычисления логических
значений формул логики предикатов при фиксированной
интерпретации их знаков.
Пример I.
Вычислить логическое значение формул (х)хАх, (ЕхУхАх
при следующей интерпретации: И = {1, 2}, Ах = х — четное
число, АA) = л, ЛB) = и, вде, как и прежде, и = истина, л
- ложь.
Пусть х - 1. Тогда (х)Ах = АA) = л. Пусть х - 2. Тогда
(хМх =АB) = и. Так как не для каждого значения х формула
{х)Ах истинна, то в данной интерпретации она ложна. С
другой стороны, формула (Ех)Ах в данной интерпретации
истинна, так как она истинна при х = 2.
Пример 2.
Вычислить логическое значение формулы (х) (Еу)Аху при
следующей интерпретации: И - {а, 6}, Аху = х любит уу Ааа =
и, АаЪ = л, Aba = л, Abb - и.
Допустим, х ~ а. Тогда (Еу)Аау = Ааа = и. Допустим, х =
А. Тогда (Ey)Aby e Л*? - и. Следовательно,
Ос) (Ду)Лху = Ааа&АЬЬ = и&и = и.
Таким образом, при указанной интерпретации формула
(х) (Еу)Аху истинна для каждого значения х. Следовательно,
она истинна в данной интерпретации.
Пример 3.
Вычислить логическое значение формулы (Ех)Ах->(х)Ах
при следующей интерпретации: И = {1, 2}, Ах - х — нечетное
число, АA) = и, АB) = л.
(Ех)Ах = АA) АB) = и л = и. (х)Ах = АA)&АB) = и&л -
л. Следовательно, (Ех)Ах->(х)Ах = и-»л = л.
Таким образом, при данной интерпретации
рассматриваемая формула ложна, так как истинна не для всех
значений х.
Пример 4.
Вычислить логическое значение формулы
АаЬ->(Ех) (Еу)Аху при следующей интерпретации: И = {а, Ь}>
Аху = х учитель у, Ааа = л, АаЪ = и, Aba = л, Abb = л.
Пусть х - а. Тогда (Еу)Аау = АаЪ - и. Следовательно,
ЛйШ) (iEtyM
y и-»и ¦ и.
327

Таким образом, при указанной интерпретации
рассматриваемая формула истинна.
В следующих двух примерах доказываются результаты,
которые будут использоваться в дальнейшем.
Пример 5.
Докажем равносильность: — (х)Ах+->(Ех)— Ах. Допустим,
истинно -(х)Ах. Тогда существует интерпретация, при
которой по крайней мере один элемент универсума не обладает
свойством А. Пусть константа а является именем этого
элемента. Тогда истинно — Аа и тем самым истинно (Ех) —Ах.
Обратное утверждение доказывается аналогично.
Пример 6.
Докажем равносильность: (х)Ах*-*—(Ех) — Ах. Допустим,
имеется интерпретация, при которой истинно (х)Ах и
(Ех)— Ах. Из истинности (х)Ах следует, что все элементы
универсума обладают свойством А. Из истинности (Ех) -Ах
следует, что по крайней мере один элемент универсума не
обладает свойством А. Получаем противоречие, из которого
следует, что такой интерпретации не существует,
следовательно, -(Ех)-Ах является необходимым следствием (х)Ах.
Обратное утверждение доказывается аналогично.
Итак, отрицание любого квантора равносильно замене его
на противоположный при одновременном отрицании области
его действия.
11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ
Каждая формула логики предикатов может быть
представлена в виде дерева, отражающего ее логическую
структуру. С этой целью используется следующий алгоритм.
1. Исключаем кванторы существования согласно
следующим правилам:
а) Каждый квантор существования, не находящийся в
области действия квантора общности, заменяется новой
индивидной константой, ранее не входившей в формулу.
Например, (Ех)Ах заменяется на Аа. (Ех)АхЬ заменяется на
АаЪ. (Ех) (Еу)Аху заменяется на Acd.
б) Если квантор существования находится в области
действия квантора общности, то он заменяется новой
функцией (функциональным символом), ранее не входившей в
328

формулу. Такая функция будет напоминать о том, что
переменная квантора существования зависит каким-то
образом от переменной квантора общности. При этом конкретный
вид зависимости нас интересовать не будет. Например,
(х)(Еу)Аху заменяется на (x)Axf(x). (x)(Ey)(Ez)Axyz
заменяется на (x)Axf(x)gix). (x)(y)(Ez)Axyz заменяется на
(x)iy)Axyf(xy).
2. Исключаем кванторы общности при условии, что
каждая индивидная переменная является связанной. Если
формула содержит свободные вхождения переменных, то
последние заменяются на индивидные константы. Например,
Ах-*(Еу)Ау заменяется на Аа-*АЬ. Ах -*(у)Ау заменяется на
Аа-*Ау, где индивидная переменная у является связанной.
3. Строим дерево формулы согласно правилам Ш—П13
и упрощаем его согласно правилам У1—У7 логики
высказываний.
Рассмотрим в этой связи несколько примеров.
Пример L
1. Формула: (х)(Ах-*(Ех)Вх).
2. Исключение квантора существования: (х) (Ах-*Вfix)).
3. Исключение квантора общности: (Ax-*Bf(x)).
4. Дерево формулы:
-Ах Bf(x)
Пример 2.
1. Формула: (х) (у) ((Ez) (Axz&Ayz) -»(Em) Cxyu).
2. Исключение кванторов существования:
(х) (у) ((Axf(xy) &Ayf(xy)) -*Cxyg(xy))
3. Исключение кванторов общности:
(Axf(xy) &Ayf(xy)) ^Cxyg(xy))
.4. Дерево формулы:
-Axf(xy) -Ayf(xy)) Cxyg(xy)
Пример 3.
1. Формула: (х)((Ах&Вх)-*Сх)-»(Ех)(Ах&-Вх).
2. Исключение кванторов существования:
(х) ((Ах&Вх) -»Сх) -> (Аа&-Ва)
329

3. Исключение кванторов общности: ((Ах&Вх)->Сх)
>(Аа&-Ва).
4. Дерево формулы:
-Ах -Вх Сх Аа
I
-Ва
Пример 4.
1. Формула: (Ех) (Еу)Аху.
2. Исключение кванторов существования: АаЪ.
3. Дерево формулы: Aab.
Пример 5.
1. Формула: (Ех)(у)Аху-*(у)(Ех)Аху.
2. Исключение кванторов существования:
(у) Аау* (у) Af{y) у.
3. Исключение кванторов всеобщности: Aay-*Af(y)y.
4. Дерево формулы:
-Аау Af{y)y
12. ПОНЯТИЕ ДЕДУКТИВНОГО УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
И ВЫВОДА В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
Как и в логике высказываний, каждое умозаключение в
логике предикатов может быть представлено в виде кратной
импликации. Если консеквент такой импликации следует с
необходимостью из антецедентов, то умозаключение
является правильным. Доказательство правильности
умозаключения мы будем называть выводом заключения из посылок.
В отличие от логики высказываний в логике предикатов
нельзя указать алгоритм, позволяющий за конечное число
шагов определить правильность произвольного
умозаключения. Невозможность построения такого алгоритма видна хотя
бы из того факта, что логически истинная формула логики
предикатов истинна при любой интерпретации, включая и
бесконечные универсумы. Однако для логически истинных
формул логики предикатов такой алгоритм указать можно.
Он сводится к косвенному способу доказательства. Ибо если
330

исходная формула логически истинна, тогда ее отрицание
должно быть логически ложной формулой. Обратное также
верно. Следовательно, достаточно доказать, что отрицание
рассматриваемой формулы логически ложно, чтобы сделать
вывод о ее логической истинности.
Назовем ветвь дерева формулы логики предикатов
замкнутой, если и только если она содержит хотя бы одну
пропозициональную переменную вместе со своим
отрицанием или хотя бы один n-местный предикатный знак Хп вместе
со своим отрицанием — Хп такие, что либо а) каждый из них
содержит п связанных переменных (не обязательно
различных), либо б) если кроме связанных переменных имеются
также константы или функциональные знаки, то оба в
результате правильных подстановок термов вместо
связанных переменных могут быть приведены к виду Xtt... tn и
—Хь ... tn (порядок следования термов является
существенным) . Замкнутые ветви будут отмечаться знаком «_».
ПРАВИЛА КОСВЕННОГО ВЫВОДА В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
КП1. Если в результате конъюнктивного расширения
посылок деревом отрицания заключения все ветви
объединенного дерева оказались замкнутыми, то заключение
следует из посылок с необходимостью.
КП2. Если умозаключение допускает прямое и обратное
применение правила КП1, то его посылки и заключение
эквивалентны друг другу.
КПЗ. При всех других, кроме указанных в КП1,
результатах конъюнктивного расширения дерева посылок
заключение не следует из посылок с необходимостью.
Рассмотрим несколько примеров косвенного
доказательства в логике предикатов.
Пример 1.
1. Умозаключение: (((х) (Ах-*Вх) & (Ех) -Вх) -»(Ех) -Ах).
2. Посылки: Ос) (Ах->Вх), (Ех)-Вх. Заключение:
(Ех) —Ах. Отрицание заключения: (х)Ах.
3. Дерево посылок:
-Ах Вх -Ах
-Ва -Ва -Ва
Дерево отрицания заключения: Ах.
4. Объединенное дерево:
S31

-Ах
-Ва
I
Ах
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КШ.
Пример 2.
1. Умозаключение: ((x)(y)(Ay+(Bxr>Cxy))&(Ab&Bab)-*Cab).
2. Посылки: (Ос) (у) (Ау*(Вху*Сху))> Ab, Bab.
Заключение: Cab. Отрицание заключения: —Cab.
3. Дерево посылок:
-Ay -Bxy Сху Сху
III I
ДЬ. Ab Ab => Ab
I I I
Bab Bab Bab
Дерево отрицания заключения: —Cab.
4. Объединенное дерево:
Сху Cab
I I
Ab Ab
I => I
Bab Bab
-Cab —Cab
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КШ.
Пример 3.
1. Умозаключение:
((х) (Ах-* (Вх&Сх)) & (Ex) (Ax&Dx) -> (Ex) (Dx&Cx))
2. Посылки: (х)(Ах-*(Вх&Сх)), (Ex)(Ax&Dx).
Заключение: (Ex)(Dx&Cx)). Отрицание заключения: (x)(-DxV-Cx).
3. Дерево посылок:
332

Дерево отрицания заключения:
Вх
I
Сх
I
Ла
Da
-Вх
4. Объединенное дерево:
Вх Вх
I I
Сх Са
I I
Ла => Ла
I I
Da Da
-Dx -Сх —Dol —Ьд
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КПЬ
Пример 4.
1. Умозаключение:
2. Посылки: (Ех)(Ах&(у)(Ву-*Сху))у (х)(Ах->(у){Dy>-Cxy)).
Заключение: (x)(Bx->-Dx). Отрицание заключения:
(x)(Bx&Dx).
3. Дерево посылок:
Дерево отрицания заключения:

4. Объединенное дерево:
Аа
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КШ.
Пример 5.
1. Умозаключение: (Ex)Ax-*(x)(AxvBx).
2. Посылка: (Ех)Ах. Заключение: (x)(AxVBx). Отрицание
заключения: (х)(-Ах&-Вх).
3. Дерево посылок: Аа.
Дерево отрицания заключения:
-АЬ
I
-въ
4. Объединенное дерево:
Аа
5. Единственная ветвь объединенного дерева не замкнута.
Следовательно, согласно правилу КПЗ, заключение не
является необходимым или, что то же, умозаключение
неправильное.
Пример 6.
1. Умозаключение: (Ey)(x)Axy->(z)(Eu)Azu.
2. Посылки: (Еу) (х)Аху. Заключение: (z) (Eu)Azu.
Отрицание заключения: (Ez) (и) -Azu.
3. Дерево посылок: Аха.
Дерево отрицания заключения: —Abu.
4. Объединенное дерево:
Аха Aba
I * I
-Abu —Aba
334

5. Заключение следует из посылок согласно правилу КП1.
Пример 7.
1. Умозаключение: {Ех)Ах-*(Еу)Ау.
2. Посылки: (Ех)Ах. Заключение: (Еу)Ау. Отрицание
заключения: (у)—Ау.
3. Дерево посылок: Аа.
Дерево отрицания заключения: — Ау.
4. Объединенное дерево:
Аа Аа
-Ау —Аа
5. Заключение следует из посылки согласно правилу КП1.
Пример 8.
1. Умозаключение: (Еу)(х)Аху+(х)Ц5у)Аху.
2. Посылки: (Еу)(х)Аху. Заключение: (х) {Еу)Аху.
Отрицание заключения: (Ех) (у) -Аху.
3. Дерево посылок: Аха.
Дерево отрицания заключения: -АЬу.
4. Объединенное дерево:
Аха Aba
-Л:
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КП1.
Пример 9.
1. Умозаключение: (х)(Еу)Аху->(ЕуУ(х)Аху.
2. Посылки: (х) (Еу)Аху. Заключение: (Еу) (х)Аху.
Отрицание заключения: (у) (Ех) -Аху.
3. Дерево посылок: Axf(x).
Дерево отрицания заключения: — Ag(y)y.
4. Объединенное дерево:
Axf(x)
I
-Ag(y)y
5. Никакая подстановка термов не делает ветвь
объединенного дерева замкнутой. Следовательно, согласно правилу
КПЗ, заключение не является необходимым, а
умозаключение правильным.
335

Пример JO.
1. Умозаключение: (х)(Ах&Вх)<-*(х)Ах&(х)Вх.
2.1. Посылки: (х)(Ах&Вх). Заключение: (х)Ах&(х)Вх.
Отрицание заключения: ((Ex) -Axv(Ex) -Вх)*-+Ех)
(-Axv-Bx).
3.1. Дерево посылок:
Ах
I
Вх
Дерево отрицания заключения:
-Аа -Ва
4.1. Объединенное дерево:
Ах Аа
I
=> Ва
-Аа -Ва —4а —Ва
5.1. Заключение следует из посылки согласно правилу
КП1.
2.2. Посылки: (х)Ах&(х)Вх. Заключение: (х)(Ах&Вх).
Отрицание заключения: (Ех)(-AxV—Bx).
3.2. Дерево посылок:
Ах
I
Вх
Дерево отрицания заключения:
-Аа -Ва
4.2. Объединенное дерево:
Ах
-Аа
5.2. Заключение следует из посылки согласно правилу
КП1.
6. Умозаключение является правильным согласно КП2.
336

Пример 11,
1. Умозаключение: (x)Axv(x)Bx-*(x)(AxVBx).
2. Посылки: (x)AxV(x)Bx. Заключение: (x)(AxVBx).
Отрицание заключения: (Ех)(-Ах&-Вх).
3. Дерево посылок:
Ах Вх
Дерево отрицания заключения:
-Аа
-Ва
4. Объединенное дерево:
Ах Вх Аа Ва
I I => | |
—Аа -Аа —Аа —Вл
I I
-Ва -Ва
5. Заключение следует из посылки согласно правилу КП1.
Пример 12.
1. Умозаключение: (х) (AxVBx)-*(x)AxV(x)Bx.
2. Посылки: (x)(AxVBx). Заключение: (x)Axv(x)Bx.
Отрицание заключения: (Ех)-Ах &(Ех)-Вх.
3. Дерево посылок:
Ах Вх
Дерево отрицания заключения:
-Аа
i
4. Объединенное
Ах
1
1
-Аа
1
1
-ВЬ
-вь
дерево:
Вх
|
1
-Аа =>
1
1
-ВЬ
Аа
1
1
-Аа
1
1
Ва
I
1
-Аа
|
-ВЬ
337

5. Не все ветви объединенного дерева замкнуты.
Следовательно, заключение согласно правилу КПЗ, не является
необходимым, а умозаключение правильным.
Пример 13.
1. Умозаключение: (Ех) (Ах&Вх) -»(Ех)Ах& (Ех) Вх.
2. Посылки: (Ex) (Ах&Вх). Заключение: (Ех)Ах&(Ех)Вх.
Отрицание заключения: (х)— AxV(x) — Вх.
3. Дерево посылок:
Аа
Ва
Дерево отрицания заключения:
-Ах -В.
4. Объединенное дерево:
Аа
\
Ва =>
-Ах -Вх —А
к
Аа
i
1
Ва
^—^«_
а —Ва
5. Заключение следует из посылок согласно правилу КШ.
Пример 14.
1. Умозаключение: (Ех)Ах&(Ех)Вх-*(Ех) (Ах&Вх).
2. Посылки: (Ех)Ах&(Ех)Вх. Заключение: (Ех) (Ах&Вх).
Отрицание заключения: (x)(~Axv—Bx).
3. Дерево посылок:
Аа
ВЪ
Дерево отрицания заключения:
-Ах -Вх
4. Объединенное дерево:
338

Аа Аа
I I
въ => въ
-Ах -Вх —Да -Ва
5. Не все ветви объединенного дерева замкнуты.
Следовательно, согласно правилу КПЗ, заключение не является
необходимым, а умозаключение правильным.
Пример /5. (Этот и следующий примеры заимствованы
из книги: Чень ?., Ли Р. Математическая логика и
автоматическое доказательство теорем. М., 1983. С. 93—95)
1. Умозаключение: Таможенные чиновники обыскивают
каждого, кто въезжает в страну, кроме высокопоставленных
лиц. Некоторые люди, способствующие провозу наркотиков,
въезжали в страну и были обысканы исключительно людьми,
также способствующими провозу наркотиков. Никто из
высокопоставленных лиц не способствовал провозу наркотиков.
Следовательно, некоторые из таможенников способствовали
провозу наркотиков.
2. Формализация посылок и заключения: Ах - «х въезжал
в страну», Вх = «х был высокопоставленным лицом», Сху -
«у обыскивал х», Dy - «у был таможенником», Их = «х
способствовал провозу наркотиков». И = люди.
(х) «Ах&-Вх)->(Еу) (Cxy&Dy)&(Ex) (Шх&Ах&(у) (Сху^Ну))&
& (х) (#*-> -Вх) -> (Ex) (Hx&Dx)
3. Посылки: (х) ((Ах&-Вх) -»(Еу) (Cxy&Dy),
(Ex) ((Нх&Ах& (у) (Сху^Ну)),
4. Заключение: (Ex) (Hx&Dx).
Отрицание заключения: (x)(-Hxv-Dx).
5. Дерево посылок:
Caf(a)
I
Df(a)
I
Ha
I
Aa
I
Hf(a)
I
5J9

6. Дерево отрицания заключения:
-Их -Dx
7. Объединенное дерево:
Cafia) Caf(a)
I
Df(a)
8. Заключение следует из посылок согласно правилу
КШ.
Пример 16.
1. Умозаключение: Студенты суть граждане.
Следовательно, голоса студентов суть голоса граждан.
2. Формализация посылок и заключения: И - люди. Ах -
«х — студент», Вх = «х — гражданин», Сху - «* есть голос у».
(у) (Ау^Ву) -> (х) ((Еу) (Ау&Сху) -> (Ez) (Bz&Cxz))
3. Посылки: (у)(Ау->Ву).
4. Заключение: (х) ((Еу) (Ау&Сху) -* (Ez) (Bz&Cxz)).
Отрицание заключения: (Ех) ((Еу) (Ау&Сху) -* (z) —?zV - Cxz)).
5. Дерево посылок:
-Ay By
6. Дерево отрицания заключения:
АЬ
I
Cab
7. Объединенное дерево:

ль
Ab
Cab
Ль
Cab
Ль
8. Заключение следует из посылок согласно правилу КП1.
Пример 17.
1. Проверить правильность умозаключения: Если все А
есть В, то ни одно С не есть D. Если некоторые А есть В, то
некоторые С не есть D. Но все С есть D. Следовательно, ни
одно А не есть В.
2. Посылки: Ос)(Ax-*Bx)-*(x)(Cx->-Dx),
(?*) (Cx&-Dx),
3. Заключение: (х)(Ах->-Вх). Отрицание заключения:
(Ех)(Ах&Вх).
4. Дерево посылок:
Дерево отрицания заключения:
Аа
Ва
5. Объединенное дерево:
-Са
-Da
-Аа
I
Аа
-Ва -Аа
Аа
I
М
Аа
-Ва
I
Аа
I
Ша
6. Так как заключение является необходимым, то
умозаключение правильное.
341

Пример 18.
1. Проверить правильность умозаключения: Если
некоторые А есть В, а некоторые нет, то некоторые С не есть D.
Если все С есть D, то либо некоторые А есть В> либо
некоторые Н не есть К. Но все С есть D и все Н есть /С,
Следовательно, все А есть Б.
2. Посылки:
((Ex) (Ах&Вх)&(Ех) (Ах&-Вх))-*(Ех) (Cx&-Dx),
Ос) (Cx-»Dx) -»((Я*) Ux&i?x) +Ь(Ех) (Нх&-Кх)),
3. Заключение:
Отрицание заключения: (Ех)(Ах&-Вх).
4. Дерево посылок:
I
АЪ
5. Дерево отрицания заключения:
Ас
I
-Вс
6. Объединенное дерево:
Вс
\
АЪ
ВЪ
-Не
—da —he.
7. Так как заключение является необходимым, то
умозаключение правильное.
Пример 19. (См. КэрролЛ. История с узелками. М., 1973.
С. 361)
1. Проверить правильность сорита:
342

Не терпит жирного Джек Спрэт,
А постного — жена,
Но вместе, что им ни подай,
Съедают все до дна.
2. И = блюда, Ах = «х — жирное блюдо», Вх = «х —
постное», Сх = «х, съедаемое Джеком Спрэтом», Dx = «*,
съедаемое женой Джека Спрэта».
3. Посылки: (х)(Сх-*-Ах)у (x)(Dx-*-Bx), (x)(AxVBx).
4. Заключение: (x)((Cx&Dx)->(AxVBx)). Отрицание
заключения: (Ex)(Cx&Dx&-Ax&-Bx)).
5. Дерево посылок:
-Ш -5jc -dx -
6. Дерево отрицания заключения:
Са
I
Da
-Ва
7. Объединенное дерево:
S. Так как заключение является необходимым, то сорит
правильный.
343

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Укажите соотношение объемов понятий «традиционная
логика», «символическая логика», «логика высказываний» и
«логика предикатов».
2. Оставляет ли символическая логика место для
творчества, интуиции в мыслительных действиях? Если да, то в чем
именно? Если нет, то почему?
3. Формализуйте в терминах логики высказываний
следующие выражения.
а) Только в среду или четверг мы освободились и
принялись за работу.
б) Выбираем ли мы одну ценовую политику или
другую, ни уровень занятости, ни качество потребления
существенно не изменится.
в) Сколько веревку не вить, а концу быть.
г) Требуется значительное терпение, чтобы
заниматься логикой.
д) Наш уровень жизни возрастет, только если
инфляция вновь не сделает скачок вверх.
е) Не место красит человека, а человек место.
ж) «Если я долго не приезжал в город, то, значит, я
был болен или что-нибудь случилось со мной, и они оба
сильно беспокоились» (А Я. Чехов).
з) Если не будут увеличены налоги, то количество
свободных денег будет расти, если, конечно, не возрастут
цены.
- 4. Используя технику упрощения деревьев, найдите
нетривиальные следствия (примеры заимствованы из книги: Смал-
лиан Р. М. Алиса в стране смекалки. М., 1987. С. 17—29).
а) Кто украл варенье? Известно, что могли украсть
Мартовский Заяц, Болванщик или Соня; Мартовский Заяц
утверждает, что он не крал; Болванщик заявил, что украл
один из них; Соня — что по крайней мере один из них
(Мартовский Заяц или Болванщик) говорил правду, но не
оба.
б) Кто украл муку? Известно, что муку могли украсть
Мартовский Заяц, Болванщик или Соня. Мартовский Заяц
заявил, что муку украл Болванщик. Известно также, что
МУКУ украл лишь один и что именно он дал правдивые
показания.
344

в) Кто украл перец? Известно, что перец могли
украсть Мартовский Заяц, Болванщик или Соня. Крадущие
перец никогда не говорят правды. Мартовский Заяц заявил,
что Болванщик невиновен. Болванщик заявил, что Соня
невиновна.
г) Кто же украл перец? Под подозрение попали
Грифон, Черепаха Квази утверждал, что виновен Омар.
Известно, что ни один невиновный не лгал и ни один виновный
не говорил правды.
д) Кто украл сахар? Сахар был обнаружен в доме
Герцогини, и, как показало расследование, украла его либо
Герцогиня, либо ее кухарка, но не обе вместе. Герцогиня
заявила, что кухарка не крала сахар. Кухарка заявила, что
сахар украла Герцогиня. Тот, кто украл сахар, лгал.
е) Кто украл соль? Кражу могли совершить Гусеница,
Ящерка Билль или Чеширский кот. Гусеница заявила, что
соль съел ящерка Билль. Последний подтвердил это.
Чеширский Кот заявил, что он никогда не ел соль. По крайней мере
один из них лгал и один говорил правду.
ж) Кто украл сковороду? В число подозреваемых
попали Лягушонок, Лакей-Лещ и Валет Червей. Лягушонок
заявил, что украл Лакей-Лещ. Лакей-Лещ это отрицал.
Валет Червей сознался, что он украл. Не более чем один
подсудимый лгал.
з) Кто украл поваренную книгу? Могли украсть
кухарка, Герцогиня или Чеширский Кот. Герцогиня заявила,
что украл Чеширский Кот. Последний с этим согласился.
Кухарка отрицала, что она украла поваренную книгу. Лгал
тот, кто украл поваренную книгу и по крайней мере один из
остальных обвиняемых говорил правду.
к) Кто украл поваренную книгу второй раз?
Подозрение пало на Герцогиню, кухарку и Чеширского Кота. Были
сделаны те же заявления, что и в прошлый раз (см.
предыдущий пример). Лгал тот, кто украл поваренную книгу.
Двое других обвиняемых либо оба солгали, либо оба сказали
правду.
л) Кто украл молоко, масло и яйца? Украсть могли
Мартовский Заяц, Болванщик и Соня. Мартовский Заяц
заявил, что масло украл Болванщик. Болванщик утверждает,
что яйца украла Соня. Соня созналась, что она украла
молоко. Кто украл масло, говорил правду. Тот, кто украл
яйца, лгал. Кто что украл?
и) Кто украл крендели? Виновен либо Грифон, либо
Черепаха Квази. Герцогиня заявила, что Грифон не крал
345

крендели, на что кухарка возразила, что Грифону случалось
красть другие вещи. Чеширский Кот утверждал, что
Черепаха Квази никогда ничего не крал. Гусеница на это
заметила, что Чеширскому Коту случалось красть вещи.
Мартовский Заяц заявил, что кухарка и Чеширский Кот говорят
правду. Соня заявила, что кухарка и Гусеница говорят
правду. Болванщик утверждал, что Чеширский Кот или
Гусеница, или оба говорят правду. Валет Червей заявил, что
кухарка и Болванщик оба говорят правду. Белый Кролик
добавил, что Ящерка Билль говорит правду, а Валет Червей
лжет. Ящерка Билль, со своей стороны, заявил, что либо
Мартовский Заяц, либо Соня говорят правду, а может быть,
и оба. По поводу всех этих заявлений Алиса заметила, что
Белый Кролик и Гусеница дали показания, которые либо оба
истинны либо оба ложны. Замечание Алисы оказалось
правдивым.
5. В качестве примеров на нахождение нетривиальных
допущений решите следующие две задачи.
а) В комнате с узником две двери: «дверь свободы» и
«дверь смерти» — и двое стражников, один из которых всегда
говорит правду, а другой ложь. Какой следует задать вопрос,
чтобы стать свободным?
б) Узник находится в комнате с двумя дверьми, как и
прежде, но с одним слугой. Этот слуга либо всегда говорит
правду, либо всегда лжет, либо иноща говорит правду, либо
иногда лжет. Он никогда не высказывается противоречиво:
каждое его утверждение однозначно либо истинно, либо
ложно. Какой следует задать вопрос, чтобы стать свободным?
6. Докажите прямым или косвенным способом следующие
умозаключения:
(((С-*А) & (А-»В) &С) -*В)
(((А-»В) & (С&А)) -*(BVD))
«((A->B)vC)&-B&-C)-»-A)
(((A&D)->-C)&(BVE)-*(A&D)&(-C-*-(A&D))-*(BvE)-*
-(A&D))
{{{A\i-C)-*B)8lA8i{A\i-D)-*{E8iK))-*(E&K) В)
((«A&B)VC)&((B&A)-*D)&-D)-*(C&-D))
((- A& ((CVA) ->B) & WD) ((DVE) -»C)) ->#)
((((B&C) -*D) &C) -
346

7. Формализуйте в терминах логики предикатов
следующие выражения.
а) Каждый автор имеет хотя бы одну книгу, которую
он хотел бы переписать заново.
б) Всякому случается попадать в неожиданные
ситуации, но не каждый выходит из них достойно.
в) Если ты даешь кому-нибудь что-нибудь, то тем
самым ты оказываешь услугу и вправе надеяться на
благодарность.
г) Каждый человек мыслит. Следовательно, некоторые
животные мыслят.
д) Все люди любят, чтобы с ними обходились вежливо,
но только некоторые из них вежливы сами.
е) Некоторые животные живут на свободе, а некоторые
нет.
ж) Если 3. Фрейд прав, то человек в своей основе
иррациональное существо.
з) Все товары, купленные на прошлой неделе, за
исключением товаров фирмы Nt оказались
некачественными.
8. Докажите косвенным способом следующие
умозаключения.
(Ос) ОАх Вх)+~Сх)&(Ех) -{-Ах&-Вх))->(Еу) -Су
((x)((Ax-»-Bx>&(Ex>(Cx&Dx>y->(Ex)(Cx&-Ax)
((х) ((Ах&Вх) -*Сх) &Ва& (х)Ах) -*Са
(Ос) ((AxVBx)->(Cx&Dx})&- (x) (Dx&Cx))-*(Ex) -Bx
(х) (Ах -> -Вх) -> - (Ех) (Ах&-Вх)
((х) ((Ах-*Вх)&(Ех) (Cx&-Dx))&(x) (-HxVAx)-*(Ex)
(Сх&-Нх)
(- (Ex) (Axa&-Bxb)&-(Ex> (Схс&СЬхШх) (Bdx-+Cxe)-*
-(Adb&Cec).

ГЛАВА VII. ЛОГИКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
«Всякий предмет осматривай со всех
сторон. Всякое деяние осматривай со стороны
его вреда и его пользы. При всяком деянии
рассматривай, сколькими способами оно
может быть сделано и который из этих способов
лучший. Рассматривай причины всякого
явления и могущие от него быть следствия».
Л. Н. Толстой. Правила развития
обдуманности.
«Неопределенность — постоянная
спутница людей, вышедших на широкую дорогу
цивилизации».
А. Дж. Тойнби. Постижение истории.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ
«Правила для развития обдуманности» Л. Н. Толстого,
вынесенные в эпиграф, выражают суть процесса принятия
решения. Делать выбор между разными способами
достижения поставленной цели на основании сравнения их
возможных следствий — значит принимать решение. Многие
психологи утверждают, что принятие решений и сознательное
поведение настолько глубоко связаны друг с другом, что в
сущности это один и тот же процесс. Привычные действия
не требуют осознания. Сознание «включается» лишь тогда,
когда происходит нарушение сложившегося стереотипа,
становится невозможным продолжение ранее начатого
действия. Пробную блокаду привычного действия принято
называть проблемой. Именно появление проблемы инициирует
сознательный акт поведения как средство ее решения. По-
348

следний в классической форме был описан Джоном Дьюи в
книге «Как мы мыслим» 1.
1. Определяем (идентифицируем) проблему.
2. Конструируем (изобретаем) альтернативные способы
решения проблемы.
3. Выбираем лучшую альтернативу.
Определить, или идентифицировать, проблему означает
выяснить причину блокады. В некоторых случаях это сделать
достаточно легко. Если поездка за город откладывается из-за
дождя, то причина блокады очевидна. Если же некоторый
человек внезапно ломает прежний о<браз жизни, то причины
могут быть самые разные.
После того как причина блокады установлена, начинается
этап изобретения возможных действий, направленных на
решение возникшей проблемы. Это наиболее творческая
часть процесса принятия решения. Именно по способности
изобретать такие действия, психологи различают шаблонное
(нетворческое) и нешаблонное (творческое) мышление 2.
Каждое возможное действие, направленное на решение
возникшей проблемы, мы будем для краткости называть
альтернативой. Изобретение альтернатив составляет ту часть
процесса принятия решения, которая зависит от субъекта,
принимающего решение, его опыта, интуиции, желания.
Однако в каждом процессе принятия решения есть то, что не
зависит от субъекта, имеет объективный характер. Мы будем
называть факторы, не зависящие от субъекта, принимающего
решение, объективными событиями. Такие факторы часто
называют также состояниями природы. В примере с поездкой
за город дождь является объективным событием, или
состоянием природы.
Иногда вероятности объективных событий известны,
иногда неизвестны. В последнем случае субъекту,
принимающему решение, приходится давать свои, личные
вероятностные оценки, которые принято называть субъективными
вероятностями.Как и объективные вероятности, они должны
выполнять аксиомы исчисления вероятностей (см. гл. V, 2).
1 Переведена на русский язык под названием «Психология и логика
мышления». (М., 1919. С. 1 — 12).
2 Боно Э. де. Рождение новой идеи. М., 1976; Акофф Р. Искусство
решения проблем. М., 1982.
349

В зависимости от того, известны объективные или
субъективные вероятности событий или нет, различают принятие
решений в условиях определенности, риска и
неопределенности. Если известно с достоверностью, какое из событий
осуществится, тогда мы принимаем решение с
определенностью. Вы знаете дни и часы работы магазина и с полной
определенностью принимаете решение о его посещении. Если
же ни одно из событий, от которых зависит принятие
решения, не является достоверным, но вероятности их известны,
тогда мы принимаем решение с риском. Если известно, что
вероятность дождя равна 0,4, то вопрос о поездке за город
воспроизводит типичную ситуацию принятия решения с
риском. Когда ни объективные, ни субъективные вероятности
событий неизвестны, решение принимается в условиях
неопределенности. В этом случае используются специальные
критерии. Решая вопрос о покупке нового товара, о
потребительских свойствах которого у вас нет никакой
предварительной информации, вы принимаете решение в условиях
неопределенности. К перечисленным видам следует добавить
принятие решений в условиях конфликта. В этом случае
субъекту, принимающему решение, противостоит не какое-
либо объективное событие, а такой же целеустремленный и
умный субъект: альтернативы разрабатываются с учетом
ответных ходов обоих соперников. Этот вид принятия
решения анализируется в следующей главе.
Последний этап принятия решения состоит в выборе
лучшей альтернативы из имеющихся. Чтобы сделать выбор
разумно, субъект, принимающий решение, должен знать, к
каким исходам (следствиям, результатам) приводит каждая
альтернатива и какова их полезность для него. Полезности
исходов могут выражаться в самых разнообразных
единицах — деньгах, времени, расстоянии, весе, степени
желательности и т. д. Она может быть положительной и
отрицательной. В первом случае субъект, принимающий решение,
отражает величину полезности исходов в числах больше
нуля, во втором случае — в числах меньше нуля.
Нейтральные по полезности приравниваются к нулю. Таким образом,
определить полезность исходов означает отразить степень их
субъективной значимости на определенной числовой шкале.
Выбирай ту альтернативу, которая обладает
наивысшей полезностью, — таково основное правило принятия
решения. Фактически оно означает, что из всех возможных
решений проблемы субъект должен выбирать то, которое, с
350

его точки зрения, при данных объективных условиях
является наиболее эффективным.
Итак, когда мы говорим о принятии решения, то имеем в
виду определенное действие, направленное на решение
возникшей проблемы и выражающееся в конструировании
альтернативных способов решения и выборе из них наиболее
эффективного.
2. ДЕРЕВО РЕШЕНИЯ И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
Чтобы принять решение, нужно обладать определенной
информацией. Существует простой и наглядный способ
представления такой информации — дерево решения.
В общем случае построить дерево решения означает
определить:
1. Множество альтернативных действий, каждое из
которых указывает один из возможных способов решения
рассматриваемой проблемы,
Ai, A2,..., Am.
2. Множество объективных, т. е. не зависящих от
субъекта, принимающего решение, событий (обстоятельств,
условий), влияющих на исходы альтернатив, одно из которых
обязательно должно осуществиться,
Oi, О2,..., On.
3. Множество вероятностей (вероятностных оценок)
объективных событий, влияющих на исходы альтернативных
действий
= 1
4. Множество исходов (результатов, следствий)
альтернативных действий в зависимости от того, какое из
объективных событий произойдет (общее число исходов равно тхп),
Си, Cl2,..., Cln, C21,..., C2n,..., Cmb—» Cmn,
5. Множество субъективных значений исходов для лица,
принимающего решение, называемых также их полезностя-
ми,
351

,..., и(С2п),...,
Полученные данные располагаются в виде следующего
дерева:
альтернативы
исходы и их
вероятности
исходы и их
полезности
Знаком «#» обозначается вершина дерева, а также те
ветви, выбор которых зависит только от лица,
принимающего решение. Знаком «о» обозначаются ветки, выбор которых
зависит только от объективных обстоятельств. На таких
ветвях обычно указываются и необходимые вероятности.
Каждая ветвь дерева заканчивается указанием
соответствующего исхода и его полезности. Дерево решения
изображается, как правило, горизонтально.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример I.
Имеется 1000 рублей и две альтернативные возможности
вложения денег: в банк Bi или в банк Бг. Банк Bi
выплачивает 120% годовых, банк Бг — 125% годовых.
Имеем: Ai = вложить деньги в банк Bi, A2 = вложить
деньги в банк Бг, Аз = деньги никуда не вкладывать. В этом
примере нет никаких событий, не зависящих от субъекта,
принимающего решение. Пусть полезность каждого действия
измеряется только деньгами. Тогда h(Ai)=h(Ci)=Ci=1200
рублей, и(А2)=и(С2)=С2=1250 рублей, и(Аз)=и(Сз)=Сз=:1000
рублей. Дерево решения имеет следующий вид:
h(Ci)=1200 рублей
и(С2)=1250 рублей
и(Сз)=1000 рублей
352

Пример 2.
Молодому человеку предстоит поездка на автобусе из
одного района города в другой. У него нет проездного билета,
и он должен решить, покупать ему билет или нет. Если он
купит билет, то потратит 10 рублей. Если не купит, то
сэкономит 10 рублей. Однако с вероятностью 0,2 на данной
маршрутной линии может появиться контролер. Это событие
вносит элемент риска, так как штраф за безбилетный проезд
составляет 180 рублей.
Имеем: Ai = покупать билет, Аг в не покупать билет. Oi =
контролер появится, Ог ¦ контролер не появится. P(Oi)M),2.
Р(Ог)Н),8. Си = билет куплен, контролер появился. Ci2 =
билет куплен, контролер не появился. С21e билет не куплен,
контролер появился. С22 - билет не куплен, контролер не
появился. Допустим, полезность исходов измеряется только
деньгами. Тоща и(Сп) в -10 рублей, и(С12) в -10 рублей,
и(С21) в -180 рублей, и(С22) = 10 рублей (отрицательные
значения полезности означает потерю, положительные —
приобретение). Дерево решения имеет следующий вид:
-10 рублей
-10 рублей
_ -180 рублей
А2 _
10 рублей
Пример 3.
Желающим предлагается сыграть в одну из следующих
двух игр. Первая игра: бросается симметричная монета. Если
выпадает герб, игрок получает 100 рублей. Если выпадает
цифра, игрок отдает 15 рублей. Вторая игра: бросается
симметричная монета. Если выпадает герб, игрок получает
10 рублей, если цифра, игрок отдает 1 рубль.
Имеем: Ai = играть в первую игру, А2 e играть во вторую
игру, Аз - отказаться играть. Oi ¦ выбирает герб, 02 =
выпадает цифра, P(Oi) = Р(Ог) - 0,5. Си - выбрана первая
игра и выпал герб. Сп ¦ выбрана первая игра и выпала
цифра. С21 = выбрана вторая игра и выпал герб. С22 ¦
выбрана вторая игра и выпала цифра. Допустим, полезность
исходов измеряется только деньгами. Тоща h(Ci 1) - 100
рублей, и(С12) - -50 рублей, и(С21) в 10 рублей, и(Сг2) = -1
рубль. Дерево решения имеет следующий вид:
12 Зак. 210 353

100 рублей
-50 рублей
10 рублей
-1 рубль
0 рублей
Пример 4.
«Много лет назад, когда человека, задолжавшего кому-
нибудь деньги, могли бросить в долговую тюрьму, жил в
Лондоне один купец, имевший большое несчастье задолжать
большую сумму денег некоему ростовщику. Последний —
старый и уродливый — влюбился в юную дочь купца и
предложил такого рода сделку: он простит долг, если купец
отдаст за него свою дочь.
Несчастный отец пришел в ужас от подобного
предложения. Тогда коварный ростовщик предложил бросить жребий:
положить в пустую сумку два камешка, черный и белый, и
пусть девушка вытащит один из них. Если она вытащит
черный камешек, то станет его женой, если же белый, то
останется с отцом. В обоих случаях долг будет считаться
погашенным. Если же девушка откажется тянуть жребий, то
ее отца бросят в долговую тюрьму, а сама она станет нищей
и умрет с голоду.
Неохотно, очень неохотно согласились купец и его дочь
на это предложение. Этот разговор происходил в саду, на
усыпанной гравием дорожке. Когда ростовщик наклонился,
чтобы найти камешки для жребия, дочь купца заметила, что
тот положил в сумку два черных камня. Затем он попросил
девушку вытащить один из них, чтобы решить таким образом
ее участь и участь ее отца». (Боно Э. де. Рождение новой
идеи. С. 11).
Рассмотрим всю ситуацию с точки зрения дочери купца.
Ее проблема состоит в том,чтобы спасти отца от долговой
тюрьмы, а себя от брака с ростовщиком. Возможными
действиями девушки являются: Ai = отказаться участвовать в
заведомо нечестном пари, Кг = отказаться участвовать в пари
с одновременным разоблачением мошенничества
ростовщика, Аз = принять участие в пари на условиях ростовщика,
А4 = принять участие в пари, ответив хитростью на хитрость.
354

Обстоятельством, вносящим элемент риска в данный процесс
принятия решения, является возможность разоблачения
ответной хитрости девушки. Пусть Oi = хитрость девушки
удается, Ог = хитрость девушки не удается. P(Oi) = х,
Р(О2) = A-х). Ci= С 2= С42= отец в долговой тюрьме,
девушка нищая. Сз в долг отца аннулируется, девушка
выходит замуж за ростовщика. С41 = долг отца аннулируется,
девушка не выходит замуж за ростовщика. Допустим,
полезности указанных исходов выражаются следующими
объединенными единицами материального и морального ущерба:
h(Ci) = и(Сг) =и(С42) = -100, и(Сз) = -50, и(С41) = 100.
Дерево решения имеет следующий вид:
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
СУБЪЕКТИВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПОЛЕЗНОСТЕЙ
Не всегда субъект, принимающий решение, имеет под
рукой надежные объективные данные о вероятностях
событий и полезностях исходов. Но даже, имея такие данные,
субъект так или иначе вынужден интерпретировать их со
своей точки зрения, исходя из существа рассматриваемой
проблемы, своих интересов, опыта и возможностей. Иными
словами, субъекту в подавляющем числе случаев приходится
давать субъективную оценку всех элементов дерева решения.
Вычисление объективных вероятностей и полезностей
является самым важным элементом в такой интерпретации.
Рассмотрим некоторые приемы вычислений.
Если дерево решения включает события, наступление
которых не зависит от субъекта, то он желает знать их
вероятности. Он может, конечно, воспользоваться
какой-нибудь статистикой. Но, во-первых, ее может и не быть под
рукой. Во-вторых, она может вообще отсутствовать из-за
уникальности рассматриваемого события. Как должен
поступать субъект, принимающий решение, в таких случаях?
12* 355

Наиболее распространенный метод вычисления
субъективных вероятностей состоит в следующем. Пусть О является
событием, субъективную вероятность которого необходимо
вычислить. Берем любую игру,генерирующую случайные
исходы (бросание симметричной монеты, игральной кости и
т. п.), и задаем себе вопрос, что для нас более
предпочтительно, заключить пари на то, что выпадет, допустим, герб,
или на то, что вероятность события О равна 0,5. Если мы
предпочитаем заключить пари о выпадении герба, тогда
субъективная вероятность события О для нас меньше 0,5.
Если же нам одинаково предпочтительны оба пари, тогда и
только тогда мы можем сделать вывод, что Р(О)=О.5.
Результат Р(О)<0,5 заставляет нас искать другую игру, вероятность
исходов которой меньше 0,5. Описанная процедура
продолжается до тех пор, пока не будет найдена игра, заключить
пари на которую так же предпочтительно, как и заключить
пари на то, что вероятность события О равна некоторому
числу из интервала @,1).
Очевидно, что если субъективная вероятность того, что
событие О произойдет, равна х, тогда субъективная
вероятность того, что О не произойдет, должна быть равна A-х).
Допустим, деловому человеку требуется попасть из
Санкт-Петербурга в Москву. Он может лететь самолетом или
ехать поездом. Если в Москве нет тумана, то перелет займет
1 час, если туман — 10 часов. Безотносительно к тому, есть
в Москве туман или нет, скорый поезд прибывает в Москву
через 8 часов. Допустим, время, сэкономленное на дороге,
является для нашего делового человека единственной
полезностью. Чтобы принять верное решение, он должен знать
вероятность, с которой в Москве случаются туманы. Однако
он этого не знает и пытается вычислить субъективную
вероятность данного события. Допустим, он предпочитает
игру, чей случайный исход равен 0,5, — пари, что в Москве
будет туман с вероятностью 0,5. Из этого следует, что
субъективная вероятность обсуждаемого события для
делового человека меньше 0,5. Тоща он сравниваает возможность
сыграть в игру, чей случайный исход, допустим, равен 0,1,
с пари, что субъективная вероятность тумана в Москве равна
0,1. Предположим, что оба пари ему предпочтительны в
одинаковой степени. Тогда следует, что субъективная
вероятность тумана в Москве равна 0,1. Соответственно,
вероятность, что тумана в Москве нет, равна A-0,1)=0,9.
Зная субъективную вероятность события, влияющего на
принятие решения, деловой человек строит следующее дерево:
356

Ai
A2
0^5 '—-
0,1 _
-10
-— -1
-8
-8
вде Ai e выбрать самолет, Аг ¦ выбрать скорый поезд. Oi ¦
в Москве туман, 02 = в Москве нет тумана. P(Oi)=0,l и
Р(О2)=0,9. Си = лететь самолетом, в Москве туман. Ci2 ¦
лететь самолетом, в Москве нет тумана. С21 e ехать поездом,
в Москве туман. С22 = ехать поездом, в Москве нет тумана.
Так как время, сэкономленное в пути, является
единственной полезностью, то и(Сц)=-10, и(С12)ш-1, и(С21)=-8,
и(С22)=-8.
Рассмотрим теперь, как вычислять полезности исходов. В
этом случае необходимо руководствоваться следующими
правилами.
П1. Относительно любых двух исходов субъект,
принимающий решение, должен или предпочесть один другому, или
признать их равноценными.
П2. Если один исход предпочитается другому, то его
полезность должна быть больше полезности последнего.
ПЗ» Бели имеются три таких исхода, что первый из них
предпочитается второму, второй — третьему, то первый
исход должен также предпочитаться третьему.
П4. Если имеются три таких исхода, что первый
предпочитается второму, второй — третьему, то существует
некоторое значение вероятности х, такое что субъекту,
принимающему решение, безразлично, выбирать второй исход или
заключать пари на получение первого исхода с вероятностью
х и третьего исхода с вероятностью A-х).
Применение данных правил приводит к построению
функции полезности исходов дерева решения. Приведем
поясняющий пример 1.
Некий молодой человек, увидев на противоположной
стороне улицы привлекательную девушку, решает,
переходить ему улицу, чтобы познакомиться с ней и в перспективе
жениться на ней, или не переходить. Пересечение улицы
Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений. М.
1962, С. 90-91
357

является небезопасным делом: имеется вероятность быть
сбитым машиной.
Пусть Ai = переходить улицу, Аг = не переходить улицу.
Oi - быть сбитым, 02 = не быть сбитым. P@i)=x, Р<02)-A -х).
С\ 1 = быть сбитым при переходе, Ci2 - благополучно перейти
улицу, С2 = не переходить улицу. Пусть значения полезно-
стей исходов учитывают возможность жениться на
привлекательной девушке, быть сбитым и остаться холостым:
и(Сц)--10, и(С12)=Ю, и(Сг)=? Дерево решения имеет
следующий вид:
Допустим, молодой человек, руководствуюсь правилами
Ш—ПЗ, приходит к выводу, что для него жениться на
привлекательной девушке более предпочтительно, чем
остаться холостым^ и остаться холостым €олее
предпочтительно, чем быть сбитым машиной. Оба предпочтения порождают
следующее упорядочение полезностей исходов: и<С12)>
и(С2)>и(СиК
По условиям задачи полезности исходов С\г и Си
известны, в значение полезности исхода Сг не известно. Чтобы
его вычислить, обратимся к правилу П4. Согласно этому
правилу, значение полезности и(С2> равно при некотором
значении х взвешенной смеси исхода Ci2 с вероятностью х
и исхода Си с вероятностью A-я), т.е. и<С2Ни(С12)х*
+и<Сн)<1-*Ы<Ьс+ (-1ОН1-л;)=20х -10.
Итак, мы получили, что я{С2)в20х-10- Иными словами,
значение полезности исхода Сг определяется исключительно
значением субъективной вероятности благополучного
перехода улицы. При х=1 и<С2)=и(С12), при х=0 и<С2)=и(Сц),
Во всех остальных случаях значение полезности
располагается где-то между указанными величинами. Таким образом,
задача вычисления оказалась сведенной к задаче вычисления
субъективной вероятности. Кроме того, рассматривая
вероятностные оценки в качестве аргументов, мы получаем для
приведенного упорядочения исходов некоторую функцию
полезности.
Теперь допустим, что для молодого человека быть
холостым более предпочтительно, чем быть женатым, и быть
358

женатым более предпочтительно, чем быть сбитым. В этом
случае упорядочение исходов имеет следующий вид: и(С2>>
>и(С12>>и(Сц). Согласно правилу П4, составляем уравнение
и решаем его: и(С12)=и(С2)х+и(Сц) A-х), и(С2> = 20/х -10.
И для данного упорядочения исходов задача вычисления
полезности С2 свелась к вычислению субъективной
вероятности благополучного перехода через улицу. Как и в первом
случае, вероятностные оценки определяют функцию
полезности рассматриваемых исходов, отличающуюся по своим
значениям от функции, определенной первым
упорядочением. В частности, хотя при л?=1 h(C2)=:h(Cii), но при х-»0
иССг)-*00. Соответственно значение лИ) исключается.
Иными словами, если молодой человек желает остаться
холостым, то даже гарантированный переход через улицу
обладает наименьшей полезностью. Наоборот* чем больше риск
быть сбитым при переходе, тем больше для него значение
полезности исхода «не переходить улицу и остаться
холостым». Таким образом, расчеты лишь подтверждают
упорядочение исходов.
Приведенные правила вычисления полезностей
позволяют обходиться беа коикретных числовых значений.
Достаточно лишь установить между исходами отношение
предпочтения. Допустим, мы имеем следующее упорядочение:
1Г<С12>>и(С2)>и(Сц). Приравниваем наивысшее значение
полезности единице, наименьшее значение — нулю.
Получаем 1>и(С2)>& Далее действуем по известному правилу:
составляем и решаем уравнение тл(С2)шв(С\^х + и(Сц) A -х)
— х. Мы получили, что значение полезности исхода Сг
совпадает со значением субъективной вероятности
благополучного перехода улицы. Определенная таким образом
функция полезности в качественном отношении ничем не
отличается от ранее рассмотренных.
4. ОЖИДАЕМОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОЛЕЗНОСТИ.
УПРОЩЕНИЕ ДЕРЕВА РЕШЕНИЯ.
ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ.
Допустим, игроку необходимо сделать выбор между двумя
играми. Первая игра: игрок бросает симметричную монету и
выигрывает 100 рублей, если выпадает герб, и проигрывает
50 рублей, если выпадает цифра. Вторая игра: игрок бросает
359

ту же монету и выигрывает 5 рублей, если выпадет герб, и
проигрывает 2 рубля, если выпадет цифра.
В этом примере Ai = играть в первую игру, Кг ш играть
во вторую игру. Oi e выпадает герб, 02 = выпадает цифра.
P(Oi)=P(O2)=0,5. Сц - в первой игре выпадает герб, С\г -
в первой игре выпадает цифра, С21 - во второй игре выпадает
герб, С22 в во второй игре выпадает цифра. Пусть полезность
исходов измеряется только деньгами. Тоща и(Сц)=100,
и(С12)ав-50, и(С21)ш5, и(С22)=-2. Дерево решения имеет
следующий вид:
Ai
A2
Каждая альтернатива имеет два возможных исхода,
зависящие от того, какое объективное событие произойдет —
выпадет герб или цифра. Следовательно, оценивая
альтернативы, мы должны как-то учитывать вероятности и
полезности исходов. Простым приемом, позволяющим сделать это,
является вычисление ожидаемого значения альтернативы по
известным вероятностям и полезностям ее исходов.
Ожидаемое значение альтернативы равно взвешенной сумме
значений ее исходов, вде в качестве весов выступают
вероятности соответствующих исходов. Так, ожидаемое значение Ai
равно 0,5х10(Ж),5х(-50)=25. Ожидаемое значение кг
равно 0,5х5-Ю,5х(-2)=1,5.
О чем говорит ожидаемое значение той или иной
альтернативы? Оно не является действительным значением
полезности. Это тот результат, который можно ожидать в среднем
при многократном бросании монеты, причем он тем точнее,
чем больше бросаний монеты производится.
Вычисление ожидаемых значений полезности позволяет
упрощать дерево решения.
Усложним наш пример с бросанием монеты. Добавим
третью альтернативу: если монета выпадает гербом, то игрок
получает 200 рублей, а если цифрой, то проигрывает 100
рублей. Если монета первый раз выпадает гербом, то игроку
разрешается бросить правильную игральную кость. При
выпадении шести очков игрок получает 1000 рублей, в
противном случае проигрывает 400 рублей.
360

Новым объективным событием, от которого зависит выбор
альтернатив, является игральная кость. Имеем: Оз =
выпадает шесть очков, 04 = выпадает любое очко, кроме шести»
Р(Оз)=1/6, Р(О4)=5/6. Сз1 = выпадает герб и шесть очков,
Сз2 ¦ выпадает герб и любое очко, кроме шести, Сзз -
выпадает цифра, а затем герб, Сз4 = выпадает цифра, а затем
снова цифра. и(СзО = 1000, и(Сз2)=-400, и(Сзз)=200,
и(Сз4)=-Ю0. В целом дерево решений имеет следующий вид:
Аз
0,5
¦
Oj
0,5
. ¦
0^5
03^—-.
_-—
" ¦ .
——_
1/6^
0,5__
оз—
- 100
- -50
- 5
- -2
^ 1000
- -400
- 200
- -100
Ожидаемые значения первой и второй альтернатив нам
известны. Вычислим ожидаемое значение полезности третьей
альтернативы. Сначала примем во внимание последнее
бросание монеты и игральной кости. Получаем 1 /6 х 1000+5/6 х
х (-400)=-166,7; 0,5х200+0,5х(-100)=50.
С этими и предыдущими значениями полезности дерево
решения упрощается:
Ai
Так как альтернатива Аз содержит точку ветвления, то
продолжаем наши вычисления: 0,5х (-166,7)+0,5х50=-58,3.
Окончательный вариант упрощенного дерева имеет
следующий вид:
361

Итак, упростить дерево решения означат вычислить там,
ще неизвестны действительные значения полезности,
ожидаемые значения полезности альтернатив. Только после
приведения дерева к упрощенному виду можно производить
выбор среди альтернатив, т. е. принимать решение в
собственном смысле слова.
Основное правило принятия решения было
сформулировано английским математиком Т. Байесом (XVIII в.):
принимай ту альтернативу, чья ожидаемая или действительная
полезность больше. С этим правилом мы уже сталкивались
при обсуждении техники вычисления полезностей исходов
(см. П2).
Согласно основному правилу принятия решения, в
последнем примере мы должны предпочесть альтернативу Ai,
т. е. выбрать первую игру. Только Ai гарантирует в среднем
выигрыш. Прочие альтернативы ведут также в среднем к
проигрышу, причем наиболее значительный ожидает игрока
при выборе Аз.
5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ,
РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В зависимости от того, известны вероятности объективных
событий, влияющих на решение, или нет, различают три
вида решения проблем: 1) принятие решения в условиях
определенности, когда достоверно известно, какое из
событий произойдет; 2) принятие решения в условиях риска,
когда вероятности событий известны, но ни одно не
происходит с достоверностью; 3) принятие решения в условиях
неопределенности, когда вероятности событий неизвестны.
Рассмотрим их последовательно.
Принимать решение в условиях определенности —
означает знать, какое из событий произойдет обязательно.
Выбирается та альтернатива, которая при данном событии
имеет наивысшее значение полезности для субъекта,
принимающего решение. Если мы знаем, что дождь пойдет с
362

определенностью, то из двух альтернатив: Ai = брать зонт и
А2 = не брать зонт — предпочтение, без всякого сомнения,
будет отдано первой как имеющей относительно данного
события наивысшее значение полезности. Однако если с
определенностью известно, что дождя не будет, тогда
предпочтение будет отдано другому решению. Первый пример
параграфа 2 воспроизводит ситуацию принятия решения в
условиях определенности. В этом примере полезность
альтернатив выражается в денежных единицах. Следовательно,
решая вопрос о вложении денег (банк Bi или банк Бг),
следует предпочесть альтернативу Аг, так как она
гарантирует наибольшее значение полезности.
Знание событий с достоверностью представляет
исключение. Поэтому самой распространенной ситуацией является
принятие решений в условиях риска — ^вероятности событий
известны, но ни одна из них не является максимальной.
Коща решение принимается в условиях риска, дерево
решения включает ветви с вероятностями. Поэтому дерево
решения сначала упрощается до тех пор, пока не %дут
известны ожидаемые значения полезностей каждой из
альтернатив. Затем выбирается альтернатива с наибольшим
значением ожидаемой полезности.
Упрощение дерева решения из второго примера 2 дает
следующий результат:
Так как первая альтернатива имеет большее значение
ожидаемой полезности, то ее и следует предпочесть, т. е.
молодому человеку следует купить билет. В противном
случае он рискует потерять гораздо больше.
Упрощение дерева из третьего примера 2 дает следующий
результат:
25
В этом примере следует предпочесть первую
альтернативу, т. е. выбрать первую игру.

В четвертом примере параграфа 2, как нетрудно
подсчитать, девушке имеет смысл выбирать альтернативу А4 в том
случае, если субъективная вероятность ее контрхитрости
больше 0,25. Допустим, для примера, что х=0,3. Тоща дерево
решения упрощается до вида
-100
-40
Из всех приведенных альтернатив А* имеет наибольшее
значение ожидаемой полезности. Следовательно, девушке
имеет смысл ответить хитростью на хитрость ростовщика
(что и рекомендует Эдвард де Боно в качестве примера
творческого решения данной проблемы).
Итак, принять решение в условиях риска означает
выбрать ту альтернативу, которая имеет наибольшую
ожидаемую полезность для данных объективных событий.
Под неопределенностью в теории принятий понимается
отсутствие всяких знаний о вероятностях объективных
событий. Такая ситуация, как и полная определенность, весьма
редка, но все-таки возможна. Как действовать в таком
случае?
Предложенные способы решения легче всего объяснить с
помощью конкретного примера.
Директор фабрики, чтобы увеличить прибыль, должен
выбрать одно из двух действий: Ai = выпустить новый товар,
Аг = модернизировать старый. Объективными событиями»
влияющими на выбор, являются: Oi = производство должно
быть расширено, Ог = производство должно остаться в
прежнем объеме. Вероятности этих событий директору
неизвестны, так как подобный товар ранее не выпускался. Си в
новый товар выпущен, производство расширено. С\г ¦ новый
товар выпущен, производство оставлено в прежнем объеме.
Сг\ = модернизирован старый товар, производство
расширено. С22 « модернизирован старый товар, производство
оставлено в прежнем объеме. Была вычислена ожидаемая прибыль
в единицах годового дохода (млн. рублей): и(Сп)=50,
и(С12)=30, и(С21)=25, и(С22)-Ю. Дерево решения имеет
следующий вид:
364

А2
Приведенное дерево не содержит никаких вероятностей
объективных событий. Поэтому директору следует
принимать решение, основываясь на следующих критериях и
здравом смысле руководителя.
КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА !
Согласно этому наиболее оптимистичному критерию,
объективные события всеща благоприятствуют субъекту,
принимающему решение. Следовательно, сначала для каждой
альтернативы оставляем исходы с максимальным значением
полезности. В результате исходное дерево упрощается до:
Затем из оставшихся альтернатив выбираем ту, которая
имеет наивысшее значение полезности, т. е. выбираем Аь
Оптимизм, присущий данному критерию, может быть
уменьшен введением различных коэффициентов
осторожности. Например, пусть директор считает, что вероятность
максимальной прибыли для каждой альтернативы равна 0,7.
Тоща 0,7x50+0,3x30=44 и 0,7x25+0,3x10=20,5. В этом
случае исходное дерево упрощается до:
С данными коэффициентом осторожности директор снова
должен предпочесть альтернативу Аь
Этот и следующие критерии носят имена их авторов. Л. Гурвиц,
А. Вальд, Л. Сэвидж — крупные специалисты в области теории
принятия решений и теории игр.
365

КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА
Данный критерий противоположен только что
рассмотренному, так как основан на допущении, что объективные
события всегда против субъекта, принимающего решение.
Согласно этому критерию, следует предпочитать для каждой
альтернативы исходы с минимальными значениями
полезности и уже среди них выбирать альтернативу, обладающую
наибольшим значением полезности. Согласно данному
критерию, исходное дерево упрощается до:
и выбирается альтернатива Ai как обладающая большей
полезностью.
КРИТЕРИЙ СЭВИДЖА
Данный критерий основан на предположении, что
субъект, принимающий решение, может испытывать сожаление
после того, как решение принято и то или иное событие
произошло. Следовательно, субъекту желательно
минимизировать величину сожаления до принятия решения. Величина
сожаления равна разнице между максимально возможным
значением и актуальным значением полезности исхода для
данного действия и события.
Вернемся к исходному дереву. Если директор выбирает Ai
и произойдет Oi, то он получит максимум из того, что
возможно. Следовательно, величина сожаления в этом случае
равна: 50-50=0. Если директор выбирает А2 и произойдет
событие Oi, то величина сожаления будет равна: 50—25=25.
Теперь допустим, что директор выбирает Ai, но происходит
событие 02. Тоща величина сожаления снова равна нулю:
30—30=0. Если директор выбирает А2 и происходит событие Ог,
тогда величина сожаления равна: 30—10=20. В итоге
исходное дерево превращается в следующее дерево сожаления:
___ 0
0
25
20
366

Дерево сожаления упрощается согласно следующему
правилу: для каждой альтернативы отыскиваются исходы с
максимальным значением сожаления; остальные
отбрасываются. Упрощенное дерево сожаления имеет следующий вид:
Если директор желает застраховать себя от сожаления, то
ему следует выбрать альтернативу Аь
КРИТЕРИЙ ЛАПЛАСА
Данный критерий носит имя известного французского
математика П. Лапласа, но фактически он был известен еще
в античные времена. Суть критерия проста: когда нет
оснований считать одни события более (менее) вероятными, чем
другие, тогда их следует считать равновероятными. Этим
критерием вводятся вероятности событий и порождается
следующее дерево решения:
А2
которое упрощается до:
40
17,5
Согласно общему правилу принятия решения, директор
должен выбрать альтернативу Ai как обладающую
наибольшим значением ожидаемой полезности (прибыли).
В приведенном примере все критерии рекомендуют
выбирать первую альтернативу. Такой результат является
случайным совпадением. На самом деле рекомендуемые выборы,
как правило, не совпадают. В качестве подтверждения
рассмотрим другой пример *.
1 Shuchman Л. Scientific Decision Making in Business: Readings in Operations
Research for Nonmathematicians. New York, 1963, P. 313—332.
367

На скачках каждый участник имеет следующие
альтернативы: Ai = не заключать пари; Аг ¦ заключать пари, что
лошадь займет первое место; Аз = заключить пари, что
лошадь займет второе место; А4 = заключить пари, что
лошадь займет третье место. Объективными событиями
являются: Oi = лошадь заняла первое место; Ог ш лошадь
заняла второе место; Оз = лошадь заняла третье место; 04 =
лошадь проиграла (не заняла ни одного призового места) ¦ Не
выписывая всех исходов, что предлагается сделать читателю,
приведем дерево решения (значения полезностей
измеряются в долларах):
Для применения критерия Гурвица допустим, что
коэффициент осторожности равен 0,5. Оставив для каждой
альтернативы самый худший и самый лучший исходы, получаем
368

Ai
которое упрощается до:
Критерий Гурвица рекомендует выбирать альтернативу с
наибольшим значением полезности. Такой альтернативой
является А2.
Чтобы применить критерий Вальда, оставим для каждой
альтернативы исходы с наименьшим значением полезности.
Получаем следующее дерево:
Ai О
А2
А4 -Г
Согласно данному критерию, среди наихудших исходов
надо найти альтернативу с наибольшим значением
полезности. Таковой альтернативой является Ai.
Для применения критерия Сэвиджа строим сначала
дерево сожалений:
369

Oi
Ai
Оставляя для каждой альтернативы максимальное
значение сожаления, упрощаем дерево сожалений:
Ai _ 8
Согласно критерию Сэвиджа, мы должны чыбрать из
наибольших значений сожаления наименьший.
Следовательно, нам следует выбрать Аз.
37 Q

Если признать все события равновероятными, как того
требует критерий Лапласа, коща после очевидных
вычислений получаем следующее дерево решения:
А,
Применяя общее правило принятия решения, получаем,
что нам следует выбрать А4, так как только эта альтернатива
обладает наивысшим значением полезности*
Итак, согласно критерию Гурвица, нам следует
заключить пари на первое место. Согласно критерию Вальда,
лучше всего вообще не заключать пари. Критерий Сэвиджа
рекомендует заключить пари на второе место. Наконец,
согласно критерию Лапласа, вероятнее всего, что лошадь
займет третье место. Какой выбор сделать в данном случае?
Ответ на этот вопрос после теоретического анализа следует,
очевидно, искать, опираясь уже на здравый смысл и личный
опыт.
6. ДОЛЖЕН ЛИ БЫЛ ЕВАТЛ ПЛАТИТЬ ЗА СВОЕ
ОБУЧЕНИЕ?
(Анализ одного парадокса в терминах теории принятия решений)
Содержание парадокса и предварительный анализ были
изложены ранее (см. гл. II, 5). Было установлено, что спор
Протагора с Еватлом в зависимости от решения суда имеет
два альтернативных исхода. Если Еватл проигрывает
процесс, то он платит Протаюру по суду и не платит по договору.
Если Еватл выигрывает процесс, то он не платит Протагору
по суду, но платит по договору.
Как интерпретировать указанные исходы? Ответ на этот
вопрос составляет содержание данного параграфа.
Имеются три возможности интерпретации. Во-первых,
можно считать, что независимо от решения суда Протагор
выигрывает спор, поскольку в случае проигрыша в суде Еватл
платит за обучение по суду, а в случае выигрыша — по
договору. Однако это не верно, потому что при этом не
371

учитывается обратная направленность платежных действий,
входящих в одну и ту же альтернативу. Во-вторых, если
принять последнее замечание к сведению, можно считать,
что обратная направленность платежей по суду и по договору
приводит к общему нулевому исходу независимо от решения
суда. Однако и эта возможность неверна, потому что
упускает из виду начальное состояние спора, именно, что Еватл
является должником Протагора. Учет этого фактора рождает
третью возможность, которую необходимо исследовать более
подробно.
Пусть X обозначает стоимость обучения Еватла у
Протагора. По условиям спора Еватл прошел курс обучения у
Протагора, но не заплатил за него. Следовательно, Еватл
приобрел X единиц стоимости, а Протагор потерял X единиц
стоимости или, что то же самое, приобрел -X единиц
стоимости.
Рассмотрим первую альтернативу: Еватл платит за
обучение по суду и не платит по договору. Отметим, что
освобождение Еватла от платы за обучение по суду или по
договору равносильно внесению этой платы самим Протаго-
ром в форме соответствующих издержек, понесенных в
процессе обучения. Согласно данной альтернативе, имеет
место следующая цепочка платежей. Еватл — владелец X
единиц стоимости по условию спора; Еватл платит Протагору
X единиц стоимости по суду: X—X = 0; Еватл освобождается
от уплаты за обучение по договору: 0+Х=Х. Общий исход
спора для Еватла в данном случае положительный: он
сохраняет начальные X единиц стоимости, т. е. не платит
Протагору за свое обучение и, таким образом, выигрывает спор.
Эта же альтернатива с точки зрения Протагора выглядит
так. Протагор — владелец —X единиц стоимости по условию
спора; Еватл платит Протагору по суду за обучение X единиц
стоимости: -X+JW); Еватл освобождается от платы за
обучение по договору, т. е. платит Протагор: 0-Х=-Х. Общий
исход для Протагора, согласно данной альтернативе,
отрицательный: он не получает платы за обучение от Еватла, не
возмещает свои издержки и тем самым проигрывает спор.
Рассмотрим теперь вторую альтернативу: Еватл не платит
по суду, но платит за обучение по договору. С точки зрения
Еватла, имеет место следующая цепочка платежей. Еватл —
владелец X единиц стоимости по условиям спора; Еватл
освобождается от платы за обучение по суду: X—(НХ; Еватл
платит Протагору за обучение по договору: Х-Х=0. Общий
исход для Еватла, согласно данной альтернативе, отрица-
372

тельный: он вынужден заплатить Протагору за свое обучение
и, таким образом, проиграть спор.
С точки зрения Протагора, имеет место следующая
цепочка платежей. Протагор — владелец -X единиц стоимости
по условиям спора; Еватл освобождается от платы за
обучение по суду: — Х+0=—X; Еватл платит за обучение по
договору: -Х+Х=0. Общий исход спора для Протагора,
согласно данной альтернативе, положительный: он получает от
Еватла плату за обучение, покрывает свои издержки и,
таким образом, выигрывает спор.
Для большей ясности все платежи сведены в таблицу.
Участники спора
Платежи в начале
спора
Решение суда
Плата по суду
Плата по договору
Окончательные
платежи
Итоги спора
Бватл
X
Проиграл
Х-Х
х-х+х
X
Выиграл
Выиграл
Х-0
Х-О-Х
0
Проиграл
Протагор
-X
Проиграл
-Х+0
-Х+О+Х
0
Выиграл
Выиграл
-Х+Х
-х+х-х
-X
Проиграл
В условиях спора не содержится никакой информации о
шансах на победу его участников. В этой ситуации разумно
допустить, что как Протагор, так и Еватл имеют равные
шансы на выигрыш.
Другими словами, победа любого из них представляет
случайное событие. В этом состоит логическое содержание
рассматриваемого спора, которое, как очевидно, не исчерпывает
всей проблемы. Чтобы увидеть это, расширим рамки нашего
анализа и допустим, что Протагор еще только раздумывает,
подавать ему в суд на Еватла или нет. Допустим также, что
между решением суда и исходами спора установлена прямая
связь (см. об этом с. 60).
В этой ситуации имеются следующие возможности.
Протагор либо подает в суд на Еватла, либо не подает. Если не
подает, то теряет не только X единиц стоимости, но и
определенную часть своей репутации как учителя.
Обозначим этот исход как Сь Если Протагор подает в суд на Еватла,
373

то, как уже установлено, он с равной вероятностью может
выиграть или проиграть судебный процесс. Обозначим этот
сложный исход, включающий две возможности, как Сг* Если
Протагор выигрывает процесс, то он не только компенсирует
X единиц стоимости, но и подтверждает свой авторитет как
учителя. Обозначим этот исход как С\г> Если Протагор
проигрывает процесс, то он не только теряет X единиц
стоимости, но и подрывает свою репутацию как учителя.
Обозначим этот исход как Сгг* Очевидно, что полезность
исходов Ci, С21 и С22 для Протагора неодинакова. Отобразим
полезности указанных исходов на шкалу от 0 до 1 таким
образом, что и(С21)=1, и(С22)=О. Остается вычислить
полезность исхода Сь Допуская, что значение полезности Ci
находится между 0 и 1, получаем следующее упорядочение:
и(С21)>и.(С1)>и(С22). Подставляя числовые значения,
получаем: 1>и(СО>0, откуда следует, что h(Ci)=x (x —
некоторое значение вероятности). Итак, значение полезности того,
что Протагорие лодаст в суд та Еватла., равно субъективной
вероятности этого исхода.
Построим дерево решения с точки зрения Протагора.
Пусть Ai = подавать в суд на Еватла, А2 = не подавать в .суд
на Еватла. Дерево решения имеет следующий вид:
1
В приведенном дереве значение х лежит в интервале
@,1), исходы С21 и С22 равновероятны ввиду случайного
выигрыша участников спора. Приведенное дерево
упрощается до:
Из анализа упрощенного дерева немедленно следует, что
для того, чтобы Протагор предпочел Ai альтернативе Аг, т. е.
подал в суд на Еватла, субъективная вероятность Аг должна
быть меньше 0,5. Можно ^большой уверенностью
предположить, что одних только требований престижа будет
достаточно, чтобы приписать Кг вероятность, меньшую 0,5. Ины-
374

ми словами, очень вероятно, что даже при равных с Еватлом
шансах выиграть Протагор подаст на нега в суд.
Таким образом, теория: принятия решений позволяет
учитывать, кроме логических, также и психологические
условия поведения человека.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Попробуйте привести дополнительные аргументы в
защиту тезиса, что совершать осознанное действие и
принимать решение — это одно и то же. Если вы не согласны с
данным тезисом, приведите контраргументы.
2. Попробуйте сформулировать нетворческую* и
творческую альтернативы ^решенини- следующей проблемы.
Требуется четырьмя прямым» линиями соединить девять точек,
образующих квадрат, не отрывая карандаша от бумаги (см.
рисунок) (Р: Акофф\ Искусство решения проблем; М., 1982.
С. 1Г—14$.
3. Постройте дерево решения с учетом указанных И. А.
Крыловым альтернатив, вероятностей и полезностей исходов
в следующей басне.
КОТ И ПОВАР
Какой-то Повар, грамотей,
С поварни побежал своей
В кабак (он набожных был правил
И в этот день по куме тризну правил),
А дома стеречи съестное от мышей
Кота оставил.
Но что же, возвратясь, он видит? На полу
Объедки пирога; а Васька-Кот в углу,
Припав за уксусным бочонком,
Мурлыча и ворча, трудился над курчонком.
«Ах ты, обжора! ах, злодей! —
Тут Ваську Повар укоряет, —
Не стыдно ль стен тебе, не только что людей?
(А Васька все-таки курчонка убирает.)
375

Тут ритор мой, дав волю слов теченью,
Не находил конца нравоученью,
Но что ж? Пока он пел,
Кот Васька все жаркое съел.
А я бы повару иному
Велел на стенке зарубить:
Чтоб там речей не тратить по-пустому,
Где нужно власть употребить.
4. Проанализируйте в терминах принятия решений
следующие рассуждения:
а) Одна жрица не позволяла своему сыну говорить
политические речи на том основании, что если он будет
говорить справедливое, его возненавидят люди, а если
несправедливое — боги. На что сын, согласно Аристотелю, мог
бы ответить, что он может говорить политические речи, так
как если он будет говорить справедливое, то его полюбят
боги, если несправедливое — люди (Аристотель.
Риторика // Античные риторики. М., 1978. С. 116).
б) Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на
берегу Нила, ее ребенка. На просьбу матери вернуть ребенка
крокодил выдвинул условие: мать должна угадать, отдаст он
ребенка или нет. Если мать угадает, то крокодил возвращает
ребенка; если не угадает, ребенок остается у крокодила.
Подумав, мать ответила, что крокодил не отдаст ей ребенка.
Выслушав мать, крокодил сообщил, что не может
отдать ей ребенка по следующим причинам. Мать говорит
либо правду, либо неправду. Если мать угадала, то крокодил
не должен отдавать ей ребенка, так как в противном случае
это не было бы правдой. Если же нет, то мать не угадала, и
он не должен отдавать ей ребенка по уговору.
Мать не согласилась с доводами крокодила. По ее
мнению, если она угадала, то ребенок должен быть
возвращен ей по уговору, а если не угадала, то ребенок должен
быть также возвращен, так как в противном случае ее ответ
не будет неправдой.

ГЛАВА VIII. ЛОГИКА ОБЩЕНИЯ
И РАЗРЕШЕНИЯ КОНФЛИКТОВ
«Так как приятно все согласное с
природой, а все родственное соответствует друг
другу по природе, то по большей части все
родственное и подобное приятно, например,
человек приятен для человека, лошадь для
лошади, юноша для юноши, откуда и
произошли поговорки, что сверстники веселят
сверстника, что всякий ищет себе
подобного...».
Аристотель. Риторика.
«Если мы любим какой-нибудь подобный
нам предмет, то мы стараемся, насколько
возможно, сделать так, чтобы и он нас
любил».
Б. Спиноза. Этика.
«Конфликт составляет начальный смысл
бытия-для-других».
/. P. Sartre. Being and nothingness.
I. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ОБЩЕНИИ
И РАЗРЕШЕНИИ КОНФЛИКТОВ
Почему люди всегда ищут себе подобных? Почему они
стремятся к соответствию, согласованности своих мыслей,
поступков и отношений с другими людьми, включая самих
себя? Почему тем не менее конфликты являются
неотъемлемой частью человеческого существования? Среди многих
ответов на эти вопросы, данных в разное время и разными
авторами, особого внимания заслуживают два. Один из них
377

получил название теории когнитивного диссонанса *,
другой — теории структурного баланса восприятия и оценки
межличностных отношений 2. Обе теории были подвергнуты
тщательному анализу, многократным экспериментальным
проверкам и различным обобшениям.
Согласно теории когнитивного диссонанса, человек не
просто обладает определенными знаниями, убеждениями,
представлениями о себе, других людях, вещах, событиях и
т. п. Каждый человек стремится к тому, чтобы все эти
когнитивные элементы (когниции, в терминологии Л. Фес-
тингера>, во-первых, соответствовали реальности и,
во-вторых, соответствовали друг яругу* В противном случае
человек попадает в состояние когнитивного диссонанса
(несоответствия, противоречия). У молодого человека,
начавшего курить, возникает диссонанс между желанием
казаться мужественным и знанием о вредных последствиях
этой тржвычки.
Основное допущение теории* когнитивного диссонанса
состоит в том, что человек, находящийся в состоянии
когнитивного диссонанса, будет разными способами стремиться
уменьшить или устранить его полностью. Молодой
курильщик может сделать это двумя способами. Во-первых, он
может уменьшить субъективное значение вредных
последствий курения, сославшись на получаемое удовольствие,
имидж смельчака, презирающего опасности, информацию о
том, что некоторые заядлые курильщики дожили до глубокой
старости и т. п. Во-вторых, он может бросить курить. Какую
из этих альтернатив выберет молодой человек? Данный
вопрос не является основным для теории когнитивного
диссонанса. Главное состоит в том, что молодой человек должен
сделать выбор*
Теория структурного баланса расширяет концепцию
когнитивного диссонанса, включая в число ее базисных
элементов не только когниции, но и межличностные отношения.
Соответственно понятие «когнитивный диссонанс»
заменяется на более общее понятие «структурный дисбаланс».
Основное допущение теории структурного баланса
состоит в следующем. Если в некоторой системе межличностных
1 Festinger A A Theory of Cognitive Dissonance. Stanford, 1957.
2 Heider F. The Psychology of Interpersonal Relations. Ney York, 1959.
P. 174—217.
378

отношений нет состояния баланса (соответствия), тогда
возникают силы, стремящиеся эту систему сбалансировать
посредством изменения отношений внутри системы, когниций
субъектов или того и другого одновременно. Если же никакие
изменения невозможны, то в несбалансированной системе
будет возрастать напряжение. Например,
несбалансированной является система отношений «Л любит В. В безразличен
к А». Состояние баланса может быть достигнуто либо
изменением отношения А к В, либо отношения В к -А, либо тем
и другим.
Обе теории в разных терминах утверждают, в сущности,
одно и то же: если когниций какого-либо человека
несовместимы друг с другом или с реальностью, если его отношения
с самим собой или с другими людьми не сбалансированы, то
он находится в состоянии конфликта и вынужден развить
деятельность по его разрешению или устранению. С этой
точки зрения конфликт представляет собой не
деструктивную, а конструктивную силу, именно — движущую силу
человеческого поведения, тот жизненный импульс, без
которого невозможна никакая активность.
Понятие «конфликт» достаточно многозначно. Мы будем
понимать под конфликтом любое несоответствие мыслей,
желаний, намерений, действий и их результатов,
отношений людей либо друг к другу, либо реальности,
становящееся причиной направленных действий по его уменьшению,
разрешению или устранению. Конфликт представляет
особую разновидность асимметрии, присущей всей природе, и
может без всякого, лреувеличения назван движущей силой
человеческого поведения.
Несмотря на бесконечное разнообразие видов конфликта,
существует всего лишь одно требование к их рациональному
разрешению. Неформально оно звучит так: любой конфликт
переходит в стадию (не обязательно эффективного)
разрешения, если и только если его субъекты (элементы)
оказываются в равных (симметричных) отношениях друг
с другом. Только при таких отношениях люди обладают
равными возможностями воздействия друг на друга или на
какую-то вещь. Только лри таких отношениях люди
достигают максимума комфорта, свободы, состояния безопасности.
Неудивительно поэтому, что все мы стремимся к общению с
себе подобными и избегаем всех неравноценных ситуаций.
Парадокс, одаако, состоит в том, что по независящим от
человека причинам он не может пребывать в бесконфликт-
379

ном состоянии бесконечно долго. Большая часть жизненного
универсума человека изменяется независимо от него. Чтобы
выжить, ему приходится периодически перестраивать свои
отношения, открывать новых друзей и новых врагов, т. е.
разрешать одни конфликты, становиться субъектом и
объектом других.
Итак, когда мы говорим об общении, то имеем в виду не
некоторое статическое состояние, а динамический процесс,
целью которого является достижение баланса, соответствия
всех элементов коммуникационной системы, а движущей
причиной — присущий этой системе конфликт.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕНИЮ
В ТЕРМИНАХ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Задачи по общению (разрешению конфликтов) можно
решать различными методами. Наиболее простым и
эффективным является анализ в терминах теории графов 1.
Введем несколько предварительных понятий.
Линейный граф, или просто граф, состоит из конечного
непустого множества неупорядоченных точек А, В, С, ...,
некоторые пары которого соединены линиями.
Неупорядоченные пары точек обозначаются АВ, АС, ...
Направленный графу или диграф, есть граф, все или
некоторые пары точек которого упорядочены (отображают
отношения). Упорядочные пары точек обозначаются AjB, /U,...
В паре АЬ первым элементом является точка А, в паре Ав
первым элементом является точка В.
Каждая точка графа или диграфа обозначает некоторый
элемент коммуникативной системы — субъекта, вещь, идею»
ценность, свойство и т. д. Неупорядоченная пара точек
обозначает ненаправленную связь, упорядоченная пара точек —
направленую связь. Мы будем называть связь позитивной»
если она выражает некоторую форму единства элементов
коммуникационной системы — подобие, принадлежность,
включенность, симпатию, обладание и т. п. Связь будет
называться негативной, если она выражает некоторую форму
Horary F., Norman JR., Cartwright D. Structural models: An Introduction to
the Theory of Directed Graphs. New York, 1965. P. 339—361.
380

разъединения элементов. Позитивные связи будут
обозначаться знаком «+», негативные связи — знаком «—».
Означенный графу или s-граф, есть граф, некоторые
линии которого обозначены как позитивные, а все остальные
как негативные.
Означенный диграф, или s-диграф, есть диграф,
некоторые линии которого обозначены как позитивные, а все
остальные как негативные.
Примеры графа, диграфа, s-графа, s-диграфа приведены
на рис. 1.
s-диграф
Путем графа называется множество линий графа вида
АВУ ВС, ..., DE, где точки А, В, С, ..., А Е различны.
Цикл графа состоит из указанного пути вместе с линией
ЕА (линией, объединяющий первый и последний элементы
пути). Длина цикла равна числу линий в нем.
Путем диграфа называется множество упорядоченных
линий линий вида А&, вЬ9 ..., Dky где точки А, Ву С, Dy E
различны.
Цикл диграфа состоит из указаного пути вместе с линией
Ё*А.
Полуциклом диграфа называется множество линий,
образованное взятием точно одной линии из каждой пары ?в или
ВАУ ВЬ или СЪ9 ..., Dk или ЕЬ, ЁА или АЁ.
Каждый цикл необходимо является полуциклом.
Полуцикл длиной 2 необходимо образует цикл.
Диграф, изображенный на рис. 2, имеет следующие
полуциклы:
1. А&, 1Х\ (является циклом).
2. Ab, Ё&9 ЙА (не является циклом).
3. J&, DB, ЙА (не является циклом).
Назовем знаком цикла результат произведения знаков его
линий.
381

Рис. 2
Определение: s-граф сбалансирован, если и только если
все его циклы имеют позитивный знак.
Рассмотрим следующие четыре 5-графа (рис. 3).
А + С
а)
Все четыре 5-графа, изображенные на рис. 3, имеют один
и тот же цикл: АВ, ВС, СА. Вычисление знака каждого из
них дает следующий результат:
а)
б>
в) (+)х (+)*(-)=*(-)
г) (->х(->х (->=(->.
Согласно определению баланса s-графа, первые два s-rpa-
фа на рис. 3 сбалансированы, последние два — нет.
Рассмотрим следующие два 5-графа (рис. 4).
В
В
-
С
Каждый из
циклов:
1.
2.
3.
4.
5.
АВ, ВС,
АВ, BD,
ВС, CD,
AC, CD,
АВ,
ВС,
+
'*
а)
s-графов,
СА
DA
DB
DA
CD, DA
-
С
Рис. 4
изображенных на
+
-
D
б)
рис. 4, имеет семь
382

6. AB, BD, DC, CA
7. ВС, CA, AD, DB.
Вычисление знаков циклов доказывает, что первый s-
граф на рис. 4 сбалансирован, второй — нет.
Определение: s-диграф сбалансирован, если и только если
все его полуциклы имеют позитивный знак.
Рассмотрим следующие три s-диграфа (рис. 5).
В в в
С А С
а) б) в)
Рис. 5
Каждый из диграфов, изображенных на рис. 5, содержит
три полуцикла:
l.At, CA
«э« AS, jdC-, Су А
Вычисление знаков ^-диграфов показывает, что только
средний из них сбалансирован,
5-графы и s-диграфы представляют собой графические
интерпретации известных треугольников (и состоящих из
них более сложных фигур) межличностных отношений Ф.
Хайдера. Вернемся к ^-диграфам на рис. 5. Пусть А и С —
субъекты, В — вещь или идея, к которой оба субъекта имеют
определенные отношения. При этих условиях s-диграф 5а)
читается: если два субъекта симпатизируют друг другу, но
противоположным образом относятся к чему-то значимому
для них третьему (т. е. к В), тогда вся система отношений
является несбалансированной, s-диграф 56) читается: если
два субъекта не симпатизируют друг другу и при этом
противоположно относятся к чему-то значимому для них
третьему, то вся система отношений является
сбалансированной. s-диграф 5в) читается: если два субъекта
противоположным образом относятся друг к другу и чему-то
значимому для них третьему, то вся система отношений является
несбалансированной.
Назовем несбалансированную систему межличностных
отношений конфликтной. Основное свойство всех
конфликтных систем состоит в следующем. Если некоторая система
отношений оказалась несбалансированной, то в ней возни-
3S3

кают силы, стремящиеся вывести данную систему из
состояния конфликта посредством изменения либо отношений
между элементами, либо знаков отношений, либо того и
другого вместе. Данное свойство является универсальным.
Кроме того оно позволяет прогнозировать возможные
способы разрешения конфликтов.
Рассмотрим несколько примеров по определению
конфликтов и возможных способов их разрешения.
Пример 1.
Является ли конфликтной система «У меня болит зуб»?
Элементы: А = я, В = зуб, С == боль.
s-граф:
Интерпретация: так как речь идет о моем зубе, связь
между А и В отмечена знаком «+»; так как зуб болит, связь
между В и С отмечена знаком «+»; так как зубная боль мне
неприятна, связь между Аи С отмечена знаком «-».
Цикл системы: АВ, ВС, СА.
Знак цикла: (+)х(+)х(-)=(-).
Ответ: система является конфликтной.
Пример 2.
Перечислить все возможные способы разрешения
конфликта, содержащегося в системе «У меня болит зуб», и
указать наиболее вероятные из них.
Определение числа возможных способов разрешения
какого-либо конфликта эквивалентно следующей
комбинаторной задаче. Если имеется цикл (полуцикл) длиной л, то
число возможных способов получения этим циклом позитив-
ногр знака равно 2п/2= =2<п~**. Общее число возможных
способов разрешения конфликта для s-графа равно числу
способов получения наибольшим циклом (циклом с
наибольшей длиной) позитивного знака; для s-диграфа равно числу
способов получения наибольшим полуциклом, позитивного
знака.
Система «У меня болит зуб» имеет один цикл: АВ> ВС,
СА. Следовательно, общее число способов разрешения кон-
384

фликта, содержащегося в данной системе, равно 2<3~1)вг4.
Перечислим их:
1. (+)х(+)х (+)=(+)
2. (+)х(-)х (-)=(+)
3. (-)х(+)х (-)=(+)
4. (-)х(-)х (+)=(+)
Интерпретация.
1. Я не удаляю и не лечу больной зуб, но изменяю
негативное отношение к зубной боли на позитивное.
2. Я вылечиваю больной зуб. Негативное отношение к
зубной боли не изменяется.
3. Я удаляю больной зуб, не вылечивая его. Негативное
отношение к зубной боли не изменяется.
4. Я удаляю больной зуб даже после его лечения. Изменяю
негативное отношение к зубной боли на позитивное.
Из всех возможных способов разрешения конфликта
наиболее вероятными при обычных условиях следует считать
второй и третий.
Пример 3.
Доказать: «Кто воображает, что то, что он ненавидит,
уничтожается, будет чувствовать удовольствие» (Спиноза Б.
Избранные произведения. Т. 1. М., 1957. С. 473).
Элементы: А = человек, В = вещь, С = состояние
устойчивости. Условия: А негативно относится к В, между В и С
негативная связь.
Тезис: А позитивно относится к С, или что следующий
5-диграф является единственно возможным:
В
А * V
Доказательство. Полуциклы s-диграфа: Х&, ВС, ?А.
Знаки первых двух линий известны по условию, общий знак
полуцикла должен быть позитивным. Составляем уравнение:
(-)х(-)х (?)=(+), решая которое, получаем, что
упорядоченная пара СА. должна иметь знак (+). Что и требовалось
доказать.
Пример 4.
Доказать: «Если мы воображаем, что кто-либо причиняет
удовольствия предмету, который мы ненавидим, то мы будем
и его ненавидеть. Наоборот, если мы воображаем, что он
13 Зак. 210 385

причиняет этому предмету неудовольствие, мы будем любить
его» (Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. С. 475).
Элементы: А = мы, В = вещь, С = произвольный человек,
не принадлежащий к нам.
В приведенном рассуждении содержатся две теоремы.
Условиями первой являются: А негативно относится к В, С
позитивно относится к В. Условиями второй теоремы
являются: А негативно относится к В> С негативно относится к
В. Первый тезис: А негативно относится к С. Второй тезис:
А позитивно относится к С. Иными словами, требуется
доказать единственность следующих s-диграфов
соответственно:
В В
А - С Л + С
Доказательство. Оба s-диграфа имеют один и тот же
полуцикл: Afe, BV, СА.. Для первого из них в качестве
уравнения получаем (—)х(+)х (?)=(+), решая которое
получаем, что упорядоченная пара СА. должна иметь знак (-)•
Для второго s-диграфа в качестве уравнения получаем
(-) х (-) х (?)=(+), решение которого дает нам знак (+). Что
и требовалось доказать.
Пример 5.
Найти все возможные способы разрешения конфликта в
басне И. А. Крылова «Стрекоза и муравей».
Попрыгунья Стрекоза
Лето красное пропела;
Оглянуться не успела,
Как зима катит в глаза.
Злой тоской удручена
К Муравью ползет она:
«Не оставь меня, кум милой!
Дай ты мне собраться с силой
И до вешних только дней
Прокорми и обогрей!» —
«Кумушка, мне странно это:
Да работала ли ты в лето?», —
Говорит ей Муравей.
«До того ль, голубчик, было?
В мягких муравах у нас
Песни, резвость каждый час.
Так, что голову вскружило». —
«А, так ты...» — «Я без души
Лето целое все пела». —
386

«Ты все пела? это дело:
Так поди же, попляши!».
Элементы: А = Муравей, В = Стрекоза, С - труд, s-диграф
басни:
Полуцикл: ЛЗ?, jffC, €~A. Знак полуцикла: (-)х(-)
х (+)=(+).
Интерпретация. Муравей и Стрекоза противоположным
образом относятся к труду. Следовательно, негативное
отношение Муравья к Стрекозе логически обоснованно. В
противном случае имел бы место конфликт. Назовем способ
разрешения конфликта, указанный И. А. Крыловым,
первым. Другими возможными способами являются: (—)х(+)
х (-)=(+). Муравей меняет свое отношение к труду на
негативное, но продолжает негативно относиться к Стрекозе,
так как та изменила свое отношение к труду на позитивное.
(+) х (—) х (—)=(+). Муравей меняет свое отношение к труду
на негативное и позитивно относится к Стрекозе, так как та
продолжает негативно относиться к труду: (+) х (+) х (+)=(+).
Стрекоза меняет негативное отношение к труду на
позитивное и, как следствие, Муравей начинает позитивно
относиться к Стрекозе.
Второй способ разрешения конфликта представляет
зеркальное отображение первого (Муравей выполняет функции
Стрекозы, Стрекоза — функции Муравья). Третий способ
основан на трансформации Муравья в лентяя и
возникновении на этой основе чувства симпатии между обоими героями.
Четвертый способ представляет инверсию третьего. Только
здесь Стрекоза меняет на обратное свое отношение к труду.
Если исходить из общей задачи басни — поучать, давать
наставление, то совершенно очевидно, что И. А. Крылов
предложил наиболее убедительный способ разрешения
конфликта.
Пример 6.
Выразить с помощью s-диграфов стадии формирования и
разрешения конфликта, изображенного в басне И. А.
Крылова «Лисица и виноград».
13* 387

Голодная кума Лиса залезла в сад;
В нем винограду кисти рделись.
У кумушки глаза и зубы разгорелись,
А кисти сочные, как яхонты горят;
Лишь та беда, висят они высоко:
Отколь и как к ним ни зайдет,
Хоть видит око,
Да зуб неймет.
Пробившись попусту час целой,
Пошла и говорит с досадою:
«Ну что ж! На взгляд-то он хорош,
Да зелен — ягодки нет зрелой:
Тотчас оскомину набьешь».
Элементы: А - Лисица, В в виноград, s-диграф,
соответствующий началу басни:
-> в
Полуцикл и его знак: л2?, i&, (+)x(—)=(—).
Интерпретация: Лисице нравится виноград, но он ей
недоступен.
s-диграф, соответствующий концу басни:
-> В
Полуцикл и его знак: Л&, 2&, (-)х (-)=(+).
Интерпретация: Лисица меняет позитивное отношение к
винограду на негативное и тем самым разрешает возникший
конфликт.
Пример 7.
Найти все возможные способы разрешения конфликта в
басне И. А. Крылова «Ворона и Лисица»:
Вороне где-то бог послал кусочек сыру;
На ель Ворона взгромоздясь,
Позавтракать совсем уж собралась,
Да призадумалась, а сыр во рту держала.
На ту беду Лиса близехонько бежала;
Плутовка к дереву на цыпочках подходит;
Вертит хвостом, с Вороны глаз не сводит
И говорит так сладко, чуть дыша:
«Спой, светик, не стыдись! Что, ежели, сестрица,
При красоте такой и петь ты мастерица, —
Ведь ты б у нас была царь-птица!».
Вещуньина с похвал вскружилась голова,
388

От радости в зобу дыханье сперло, —
И на приветливы Лисицины слова
Ворона каркнула во все воронье горло:
Сыр выпал — с ним была плутовка такова.
Элементы: А - Ворона, В -» сыр, С = Лисица, s-диграф
басни:
в
л < - > с
Полуциклы системы и их знаки:
1.А5, B~ty (?A= (+)х(-)х (-)=(+).
2. А&, вЬ, (SA = (+)х(-)х (+)=(-).
3. А&, вЬ, (й = (+)х(+)х (-)=(-).
4. А&, &СУ (ТА - (+)х(+)х (+)=(+).
У,
6. aS, б&, (Та
т.Авувсу <Та
8. AJ3, 5&, Ct4
9. АИ, 5i4
Ю. вЬ, (Тв= (-)х (+>=(-).
п. At, (Та- (+)х(-)=(-).
Интерпретация. Вороне сыр нравится, и он ей
принадлежит. Лисе сыр также нравится, но он ей не принадлежит.
Ворона верит обманным речам Лисы, отношение последней
к Вороне негативное, так как содержит умысел отобрать сыр.
Возможные способы разрешения конфликта:
1. Знаки линий АВ и СА меняем на негативные. Знак
Bt2 меняем на позитивный. Иными словами, Лиса обманом
отбирает сыр, вызывая негативное отношение к себе со
стороны Вороны. Этот способ указан И. А. Крыловым.
2. Знаки линий СА и ЙС меняем на негативные. Иными
словами, Ворона перестает верить Лисе, а последняя, увидев
это, отказывается от попытки получить сыр.
3. Знаки АС и ЙС меняем на позитивные. Иными словами,
Ворона делится сыром с Лисой и Лиса начинает позитивно
относиться к Вороне (отказывается от умысла отобрать весь
сыр).
4. Знаки А?, АВ, ЙС меняем на негативные, а знак Сл —
на позитивный. Иными словами, Ворона и Лиса обе отказы-
389

ваются от сыра и, как следствие, начинают позитивно
относиться друг к другу.
Поскольку общее число способов разрешения конфликта
определяется по наибольшему полуциклу, то приведенные
способы исчерпывают все возможные варианты. Читателю
предлагается самостоятельно обсудить их достоинства.
Пример 8.
Доказать, что действия отца в следующем описании были
логически обоснованными. «Ребенок плохо прибавлял в весе
и не хотел есть. Его родители применяли обычный метод.
Они сердились и постоянно приставали к нему: "Мама хочет,
чтобы ты съел то-то или то-то", "Папа хочет, чтобы ты вырос
и стал сильным человеком".
Обращал ли мальчик внимание на эти просьбы? Примерно
столько же, сколько вы обращаете на одну из песчинок на
песчаном пляже...
В конце концов он (отец. — В. С) понял свою ошибку и
сказал самому себе: "Чего хочет мальчик? Как мне связать
то, что я хочу, с тем, чего хочет он?".
Когда он стал рассуждать таким образом, все пошло
хорошо. У мальчика был трехколесный велосипед, на
котором он любил ездить взад и вперед по тротуару перед домом
в Бруклине. Через несколько домов на этой улице жил, как
выражаются в Голливуде, "бука" — мальчик более старшего
возраста, который стаскивал нашего малыша с его
велосипеда и катался на нем сам.
Естественно, что ребенок с плачем бежал к матери, и ей
приходилось выходить на улицу, снимать "буку" с
велосипеда и снова сажать на него своего ребенка. Это повторялось
почти каждый день.
Чего хотел мальчуган? Чтобы ответить на этот вопрос, не
нужно быть Шерлоком Холмсом. Его гордость, его гнев, em
стремление к ощущению собственной значительности — все
самые сильные эмоции его натуры — побуждали его взять
реванш, ударить "буку" изо всех сил по носу. И когда отец
сказал ему, что в один прекрасный день он сможет
хорошенько отдубасить старшего мальчишку, если только будет есть
то, что ему дает мама, когда отец обещал ему это, проблема
питания перестала существовать» (Карнеги Д. Как
завоевывать друзей и оказывать влияние на людей... Минск, 1990*
С. 65).
Элементы: А - малыш, В в отец, С = пища, D e физическая
сила, необходимая для наказания обидчика.
390

s-граф, выражающий конфликт:
Цикл и его знак: АВ, ВС, СЛ = (+) х (+) х (-)=(-).
s-граф, соответствующий разрешенному конфликту:
В + С
D
Так как негативные знаки в последнем s-графе
отсутствуют, то все его циклы позитивные, а сам он является
сбалансированным (бесконфликтным). Содержательно
данный s-граф читается следующим образом. Малыш хочет
стать физически сильным и отомстить своему обидчику. Но
физическая сила позитивно связана с пищей, которую ему
готовят родители. Чтобы избежать несоответствия между
своей целью и негативным отношением к пище, малыш
меняет последнее на позитивное. Конфликт, таким образом,
успешно разрешается.
Пример 9.
В цитированной книге «Как завоевывать друзей и
оказывать влияние на людей...» Д. Карнеги предложил множество
правил, позволяющих предупреждать или разрешать
конфликты в самых разнообразных сферах человеческих
взаимоотношений. Проанализируем типичное правило из серии
«Девять правил, соблюдение которых позволяет
воздействовать на людей, не оскорбляя их и не вызывая у них чувства
обиды» (Указ. соч., С. 193—222): «Начинайте с похвалы и
искреннего признания достоинств собеседника».
Данное правило Д. Карнеги иллюстрирует следующим
примером. Фирма «Уорк компани» заключила контракт на
строительство и отделку большого служебного здания в
Филадельфии. Здание было почти готово, когда один из
субподрядчиков, изготавливавший бронзовые украшения для
фасада, заявил, что не сможет поставить их вовремя.
Задержка грозила огромными финансовыми убытками из-за срыва
установленного контрактом срока строительства. Переговоры
по телефону, споры, препирательства ничего не дали. Тогда
391

фирма решила командировать своего сотрудника У. П. Гоу в
Нью-Йорк, на завод бронзовых изделий.
Войдя в кабинет президента фирмы бронзовых изделий,
Гоу сначала обратил его внимание на то, что он носит очень
редкую фамилию, затем рассказал о своем благоприятном
впечатлении о заводе. Во время обхода завода похвалил
разработанную президентом систему производства, отметил
новые станки, изобретенные президентом фирмы. В
результате Гоу был приглашен на завтрак, после которого получил
заверение в том, что заказ фирмы «Уорк компани» будет
выполнен в срок. «Гоу получил все, что ему было нужно,
даже не заикнувшись о своей просьбе».
Данный пример указывает наиболее эффективный, с
точки зрения Д. Карнеги, способ разрешения конфликта.
Проанализируем его.
Элементы: А = заказ фирмы «Уорк компани», В =
руководство фирмы «Уорк компани», С = президент фирмы
бронзовых изделий, D = встреча представителя руководства
«Уорк компани» с президентом фирмы бронзовых изделий.
5-граф, характеризующий суть конфликта:
Цикл и его знак: АВУ ВС, СЛ = (+)х(+)х (-)=(-).
Интерпретация. Заказ фирмы «Уорк компани» не может
быть выполнен в срок из-за отказа субподрядчика поставить
вовремя бронзовые украшения. По этой причине связь между
А и С отмечена знаком (-). Руководство фирмы «Уорк
компани» заинтересовано в позитивном решении возникшей
проблемы. Поэтому связи между А и В> В и С отмечены
знаком (+).
5-граф, характеризующий неудачное для фирмы «Уорк
компани» разрешение конфликта:
Цикл и его знак: АВ, ВС, СА - (+)х(-)х (-)=(+).
392

Интерпретация. Упреки, препирательства не привели к
изменению позиции президента фирмы бронзовых изделий.
Продолжение данной стратегии становилось бессмысленным
из-за ее устойчивости: чем больше длились взаимные
обвинения, тем непреклоннее становилась позиция президента
бронзовых изделий.
s-траф, характеризующий удачное для фирмы «Уорк ком-
пани» разрешение конфликта:
D
Циклы и их знаки:
АВ, ВС, СА = (+) х (+) х (+)=(+).
ВС, CD, DB = (+) X (+) х (+)=(+).
АВУ BD, DC, СА = (+) X (+) х (+) х (+)=(+).
Интерпретация. Умело приведенная встреча Гоу с
президентом фирмы бронзовых изделий не только сбалансировала
всю систему отношений, но и привела к нужному для фирмы
«Уорк компани» исходу.
Таким образом, разрешение конфликта само по себе еще
не гарантирует наилучшего исхода. Все правила Д. Карнеги
говорят о том, что из всех возможных способов разрешения
конфликтов лучший тот, который гарантирует отсутствие
негативных знаков между элементами коммуникационной
системы. Ибо, как отметил в свое время Б. Спиноза,
«ненависть никогда не может быть хороша» 1.
3. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕНИЮ
Несмотря на свою эффективность, решение задач по
общению в терминах теории графов имеет одно
принципиальное ограничение. Оно не позволяет сравнивать
однородные связи (позитивные и негативные) элементов
коммуникативной системы по их величине. Какая-то вещь может
одного человека приводить в восторг, а другому она
покажется только интересной. Не учитывая подобные нюансы,
1 Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. С. 559.
393

нельзя анализировать ситуации общения, в которых наряду
с позитивными и негативными отношениями встречаются
отношения безразличия или в которых одна и та же вещь
(субъект, ценность, идея и т. п.) одновременно оценивается
и позитивно и негативно.
Преодоление указанного ограничения требует
использования языков, позволяющих учитывать не только знаки, но
и величины отношений. Лучшим для этих целей является
вероятностный язык 1.
Рассмотрим сначала коммуникативную систему,
состоящую из двух субъектов — А и В. Все возможные связи между
ними задаются некоторым распределением вероятностей
возможных миров (АЯ), (А—В), (-АВ), (—А-В). Сумма
вероятностей всех возможных миров должна быть равна 1.
Допустим, нас интересует отношение А к В. В этом случае
мы учитываем только те возможные миры, в которые А
входит без знака отрицания, т. е. миры (АВ) и (А—В). Мы
будем говорить, что отношение А к В непротиворечиво
(бесконфликтно), если и только если
Р(АВ)+Р(А-В)=1. A)
Если же нас интересует отношение В к А, тогда
учитываются только те возможные миры (АВ) и (—АВ). Отношение
В к А непротиворечиво, если и только если
Р(АВ)+Р(-АВ)=1. B)
Допустим, нас интересует отношение А к В и отношение
В к А. В этом случае принимаются во внимание лишь те
возможные миры, в которые или А, или В> или А и В вместе
входят без знака отрицания, т. е. миры (АВ), (А—В) и (—АВ).
Отношения А к В и В к А образуют непротиворечивую
коммуникативную систему, если и только если
Р(А-В)=Р(-АВ). C)
Требования A) и B) определяют баланс для
коммуникативных систем, состоящих из одного субъекта и одной вещи.
В таких системах можно определить отношение только от
субъекта к вещи. Обратное отношение, как правило,
отсутствует. Требование C) дает определение баланса для систем,
в которых, кроме прямого, возможно и обратное отношение.
О вероятностях, возможных мирах см. гл. V.
394

Мы будем говорить, что А безразличен к 2?, если и только
если
Р(А#)=РО4-Я)=0,5. D)
Иными словами, безразличие А к В определяется как
равная вероятность для А быть с В и не быть с В, обладать
В или не обладать В. Аналогично В безразличен к Ау если и
только если
Р(АВ)=/>(-АВ)=0,5. E)
Безразличие представляет нейтральную точку на
некоторой шкале отношений, по одну сторону которой
располагаются все позитивные отношения, по другую — все
негативные. Пусть любовь является самым сильным из позитивных
отношений, а ненависть — самьщ сильным из негативных.
Между ними располагаются все остальные отношения
(рис. 6).
Любовь Безразличие Ненависть
позитивные негативные
отношения отношения
Рис. 6. Шкала отношений
Мы будем говорить, что А позитивно относится к Ву если
и только если 0,5<Р(АЕ) < 1 и 0<Р(А-В)<0,5; что А
негативно относится к В, если и только если 0<Р(АВ)<0,5 и
0,5<Р(А-В) < 1. Аналогично В позитивно относится к А, если
и только если 0,5<Р(АВ) < 1 и 0<Р(-АВ)<0,5, что В
негативно относится к А, если и только если 0<Р(АВ)<0,5 и
0,5<Р(~АВ)<1.
Из сказанного следует, что А любит В, если и только если
Р(АВ)=1 и РС4-?)=0; что В любит А, если и только если
Р(АВ)=1 и Ж—АВ)=О; что А ненавидит В, если и только если
Р(АВ)=О и Р(А-В)=1; что В ненавидит Ау если и только если
Р(АВ)=О и />(~-А0)=1.
Рассмотрим наиболее интересные сочетания разных типов
отношений.
1. А любит Ву и В любит А. Р04-Я)=Р(-АВ)Ц). Система
бесконфликтна.
2. А любит Я, но В ненавидит А.
Система конфликтна.
395

3. А любит В, но В безразличен к А.
=0,5. Система конфликтна.
4. А ненавидит В> и В ненавидит А. Р(А-В)=Р(-АВ)=1.
Система бесконфликтна.
5. А ненавидит В9 но В безразличен к А. Р(А-В)=1&
*Р(-АВ)=0,5. Система конфликтна.
6. А безразличен к В> и В безразличен к А. Р(А-В)=
=Р(-АВ)=0у5. Система бесконфликтна.
7. А любит Ву и В без любви, но позитивно относится к
А. РС4-Я)=0*Р(-АВ)>0. Система конфликтна.
8. А ненавидит 2?, но В позитивно относится к А.
Р(А-В)=1*Р(-АВ)<0у5. Система конфликтна.
9. А безразличен к Б, но В позитивно относится к А.
PG4-J?)=0,55*P(-AB)<0,5. Система конфликтна.
10. А безразличен к В> но В негативно относится к А.
РС4-#)=О,5*Р(-АВ)>0,5. Система конфликтна.
Равенства A)—C) позволяют прогнозировать отношения
субъектов. Например, если А позитивно относится к В, то А,
чтобы избежать конфликта, должен негативно относиться к
—В (отрицанию В) у согласно A), и аналогично Ву чтобы
избежать конфликта, должен позитивно относиться к А9
согласно C). Если В безразличен к А, то он должен быть
безразличен также и к -Л, согласно B), и одновременно А
должен быть безразличен к Б, согласно C).
На основании A) и B) можно ввести новый,
психологически более оправданный критерий бесконфликтного
состояния любой коммуникативной системы. Отметим сначала,
что из A) и B) следует Р(А) - 1 и P(J5)=1. Это необходимо
и достаточно для Р(-А/А)=О и Р(-В/В)=0. На основании
данных фактов получаем следующее определение.
Определение. Коммуникативная система из двух и более
субъектов бесконфликтна, если и только если вероятность
отношения каждого из них к самому себе максимальна
(равна 1).
Иными словами, если каждый субъект некоторой
коммуникативной системы любит (ценит, уважает и т. п.) самого
себя, то такая система не содержит конфликта. И обратно,
если система бесконфликтна — значит каждый ее субъект
относится к самому себе с максимальной степенью любви,
уважения и т. п.
Допустим, коммуникативная система состоит из трех
субъектов: Ау В и С. Известны отношения А к В и В к С.
Требуется определить, какое отношение А к С или С к А
396

гарантирует отсутствие/наличие конфликта в системе в
целом. В данном случае базисным является равенство
Р(АВС)+Р(АВ-С)+Р(А-ВС)+Р(А-В-С)=1. F)
(I) (II) (III) (IV)
Каждый компонент F) для удобства пронумерован
римскими цифрами.
Из F) следует:
Следовательно, А позитивно относится к Б, если и только
если 0,5<A)+(Н)<1; А негативно относится к Б, если и
только если 0< A)+(Н)<0,5; А безразличен к Ву если и только
если A)+(И)=О,5; А любит В, если и только если A)+(Н)=1
и (III)+(IV)=O; А ненавидит В, если и только если A)+(П)=0
и (III)+(IV)=1.
Аналогично и для отношения А к С. А позитивно
относится к С, если и только если 0,5<A)+(Ш)<1; А негативно
относится к С, если и только если 0< A)+(Ш)<0,5; А
безразличен к С, если и только если A)+(Ш)=0,5; А любит С, если
и только если A)+(Ш)=1 и (II)+(IV)=O; А ненавидит С, если
и только если A)+(Ш)=0 и (II)+(IV)=1.
Из F) также следует,что В позитивно относится к С, если
и только если 0,5<A)<1; В негативно относится к С, если и
только если 0< A)<0,5; В безразличен к С, если и только если
(I) = 0,5; В любит С, если и только если (II) =0; В ненавидит
С, если и только если AL).
При решении некоторых задач по общению
вероятностным способом следует помнить, что все виды отношений
между субъектами могут быть подвергнуты
противопоставлению. Если, например, В и С относятся друг другу
позитивно, то — В и —С также связаны позитивной связью.
Рассмотрим наиболее интересные сочетания отношений
системы из трех субъектов (или двух субъектов и одной
вещи).
1. А любит В. В любит С. А любит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: A)+(И)=1 и
<IH)+(IV)=0; (П)-0; A)+(Ш)-1. Подстановка в F) дает:
1+0+0+0=1.
В данной коммуникативной системе отношение А к С
является логическим следствием отношений А к В и В к С.
Но таким свойством, как мы увидим, обладают не все виды
отношений. Другими словами, отсутствие конфликта явля-
397

ется лишь необходимым условием логического следования
отношений.
2. А любит В. В любит С. А безразличен к С.
Система конфликтна. Доказательство: A)+(И)=1 и
(III)+(IV)=0; (Ш=0; A)+(Ш)=0,5. Никакая подстановка в F)
без противоречия невозможна.
3. А любит В. В ненавидит С. А ненавидит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: A)+(П)=1 и
(III)+(IV)=O; A)=0; A)+(Ш)=0. Подстановка в F) дает:
0+1+0+0=1.
4. А любит В. В ненавидит С. А безразличен к С.
Система конфликтна. Доказательство: A)+(П)=1 и
(III)+(IV)=0; (I)=0; A)+(Ш)=0,5. Никакая подстановка в F)
без противоречия невозможна.
5. А ненавидит В. В любит С. А ненавидит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: A)+(И)=0 и
(III)+(IV)=1; (И)=0; A)+(Ш)=0. Подстановка в F) дает:
0+0+0+1=1.
6. А ненавидит В. В ненавидит С. А любит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (D+dD^O и
(III)+(IV)=1; A)=0; A)+(Ш)=1 и (II)+(IV)=0. Подстановка в
F) дает: 0+0+1+0=1.
7. А любит В. В безразличен к С. А любит С.
Система конфликтна. Доказательство: A)+(П)=1 и
(III)+(IV>=0; (I)=(II)=0,5; A)+(Ш)=1 и (II)+(IV)=0. Никакая
подстановка в F) без противоречия невозможна.
8. А безразличен к В. В любит С. А ненавидит С.
Система конфликтна. Доказательство: A)+(И)=0,5=
=(III)+(IV); (II)=0; A)+(Ш)=1. Никакая подстановка в D)
без противоречия невозможна.
9. А ненавидит В. В безразличен к С. А ненавидит С.
Система конфликтна. Доказательство: A)+(Н)=0 и (Ш)+
+(IV)=1; (I)=(II)=0,5; A)+(Ш)=О и (II)+(IV)=1. Никакая
подстановка в F) без противоречия невозможна.
10. А безразличен к В. В ненавидит С. А ненавидит С.
Система конфликтна. Доказательство: A)+(П)=0,5=:(И1)+
+GV); A)=0; A)+(Ш)=0и (II)+(IV)=1. Никакая подстановка
в (о) без противоречия невозможна.
П. А любит В. В безразличен к С. А безразличен к С.
Система бесконфликтна. Доказательство: A)+(Н)в1 и
(III)+(IV)=0; A)=(II)=O,5; <1)+(Ш)=0,5. Подстановка в F)
дает: 0,5+ +0,5+0+0=1.
12. Л безразличен к В. В любит С. А безразличен к С.
398

Система безконфликтна. Доказательство:
=(IH)+(IV); (H)-O; A)«-(Ш)=©,5. Подстановка в F) дает: 0,5
+ 0 + 0 + 0,5-1.
13. А безразличен к В. В ненавидит С. А безразличен к С
Система безконфликтна. Доказательство: <D+(IIH),5; (I)^;
A)+(Ш)=0,5. Подстановка в F) дает: 0 + 0,5 + 0,5 + 0 - 1.
Рассмотренные примеры показывают, в частности, что
если мы безразличны к чему-нибудь (кому-нибудь), то мы
можем без противоречия любить или ненавидеть того, кто
безразличен к этому чему-нибудь {кому-нибудь). Можно
также быть безразличным к тому, кто любит или ненавидит
то (кого), к чему (кому) мы сами безразличны *.
Однако в общем случае отношения любви я безразличия,
ненависти и безразличия не коммутативны, иными словами,
для каждой пары таких отношений важен порядок их
действия.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Согласно 3. Фрейду, если человек испытывает
какой-нибудь патогенный (несовместимый с системой базисных
принципов) аффект и не может обеспечить его нормальную
нейтрализацию, то наиболее вероятным способом
самозащиты психики человека от возникшего конфликта становится
вытеснение патогенного аффекта в сферу бессознательного,
Вытесненный аффект продолжает существовать и
периодически активизируется, посылая от себя в сознание своего
искаженного заместителя — симптом. Симптом избавлен от
критики сознания и вместо разрешения конфликта наступает
период бесконечного страдания. Так возникают неврозы,
причина которых скрыта от больных.
Проанализируем эту точку зрения. Элементами
коммуникативной системы являются: А = больной, В = система
базисных принципов больного, С = патогенный аффект. Для
возникновения конфликта между патогенным аффектом,
перенесенным в сферу бессознательного, и сознанием
больного необходимо следующее распределение знаков
отношений: А позитивно связано с В и с С, но между В и С
негативная связь. В терминах вероятностей это равносильно;
Исследование коммуникативных систем, содержаащих позитивные и
негативные отношения, выносится в качестве самостоятельного
упражнения.
399

+(IV))<0,5. Никакая подстановка в (б) указанных значений
без противоречия невозможна. Это доказывает наличие
конфликта.
Как объяснялось, для конфликтных треугольников
существует всего лишь четыре возможных способа разрешения.
Сформулируем их.
1. Патогенный аффект осознается и признается законным
полностью, нередко сублимируясь в выдающиеся достижения
науки и искусства. Имеем: 0,5<(A)+(П))<1, 0,5<A)<1,
0<(Ш<0,5, 0,5<(A)+(Ш))<1,0<((II)+(IV))<0,5.
Подстановка в F) дает: 0,5 < A)-Ю,5 > (И)+0,5 > (Ш)+0,5 > (IV)-l.
2. Патогенный аффект осознается и признается
незаконным с точки зрения базисных принципов больного.
Получаем: 0,5<(A)+(Н))<1, 0<A)<0,5, 0<(A)+(Ш))<0,5.
Подстановка в F) дает: 0,5 > A)-Ю,5 < (И)+0,5 > (Ш)-Ю,5 > <IV)-L
3. Больной отвергает систему базисных принципов,
несовместимую с патогенным аффектом, и позитивно относится к
последнему. Имеем: 0<(A)+(Ш)<0,5, 0<A)<0,5, 0,5<(A)+
+(Ш))<1. Подстановка в F) дает: 0,5>A)+0,5>(П)+0,5<
4. Больной устанавливает совместимость патогенного
аффекта с системой базисных принципов, но отвергает и то, и
другое. Получаем: 0<((I)+(II))<0,5, 0,5<(IV)<l, 0<((I)+
+(Ш))<0,5. Подстановка в F) дает: 0,5>A)+0,5>(II)-Ю,5>
Из указанных возможных способов разрешения
невротического конфликта 3. Фрейд наилучшим считал первый и
второй.
Пример 2.
«Кто воображает, что предмет его ненависти получил
неудовольствие, будет чувствовать удовольствие; наоборот,
если он воображает его получившим удовольствие, будет
чувствовать неудовольствие: и каждый из этих аффектов
будет тем больше или меньше, чем больше противоположный
ему аффект в том, что он ненавидит» (Спиноза Б. Избранные
произведения. М., 1957. Т. L С. 474—475).
Элементы: А = первый субъект, В = второй субъект
системы, С = удовольствие.
В утверждении Б. Спинозы содержатся две теоремы.
Первая из них соответствует коммуникативной системе 6,
вторая — системе 5. Так как обе системы бесконфликтны,
то утверждение Б. Спинозы корректно. Остается доказать
400

лишь ту часть утверждения, которая касается зависимости
величин соответствующих отношений.
Следующее дерево определяет структуру зависимости
указанных трех элементов:
Пусть Р(С/А) обозначает величину удовольствия,
испытываемую субъектом А. Из дерева вероятностей следует, что
она в общем случае равна
P(C/A)=P(ABC)+P(A-BC)=xy+a-x)z.
Вероятность х характеризует величину позитивного
отношения А к В, вероятность A-х) — величину негативного
отношения А к В. Вероятности у и z выражают величину
удовольствия, получаемого В и -В соответственно.
Величина удовольствия, испытываемая А, максимальна,
т. е. Р(С/А)=1 истинно в двух случаях: либо при xy^l, либо
при A— x)z=l. Первый случай означает, что А получает
максимум удовольствия, потому что А любит В и В получает
максимум удовольствия. Второй случай означает, что А
получает максимум удовольствия, потому что А ненавидит
В и В получает максимум неудовольствия. Этот второй
случай соответствует утверждению Б. Спинозы, что
величина удовольствия, получаемого А, прямо пропорциональна
величине неудовольствия, получаемого В тоща, когда В
становится предметом негативного отношения А. В итоге
получаем следующее утверждение: если A—x)z-»l, то
Р(С/А)-»1. Доказательство следует из того факта, что
х+A-х)=1. Поэтому если истинно (l-x)z-»l, то истинно
также х-»0 и ху-»0.
Величина неудовольствия, испытываемого А>
максимальна, т. е. Р(СА4)=0 истинно только в одном случае: ху=О и
A—y)z=O. Это возможно либо тогда, коща х=1 и у^О, либо
тогда, когда х=0 и z=0. Первая возможность говорит о том,
что А испытывает максимум неудовольствия, потому что А
любит В, а В получает максимум неудовольствия. Вторая
возможность говорит о том, что А имеет максимум
неудовольствия, потому что А ненавидит В, т. е. любит -Я, а -В
не получает никакого удовольствия. Вторая возможность
соответствует утверждению Б. Спинозы о том, что величина
401

неудовольствия, испытываемого А, обратно
пропорциональна величине удовольствия, получаемого В тогда, когда В
является предметом ненависти Л. Имеет место: если истинно
х-»0 и z-»0, то Р(СЛ4)-»0. Доказательство следует из факта,
что при я-»0 истинно ху-*О, а при z-»0 истинно A— x)z->0.
Следовательно, xy±(l-x)z-*0 также.
Итак, утверждение Б. Спинозы корректно во всех
рассмотренных смыслах.
4. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕНИЮ
В ТЕРМИНАХ ТЕОРИИ ИГР
Существует большой класс ситуаций общения, в которых
действия субъектов являются не просто конфликтными, но и
основанными на предвидении тех действий, которые каждый
из них собирается сделать. К ним прежде всего относятся
различные виды соперничества, начиная от игры в шахматы
и кончая военными столкновениями. Взаимная рефлексия
действий и контрдействий является обязательной для
ситуаций соперничества, соревнований, конкуренции и т. п. Играя
в шахматы, я должен каждое свое действие совершать не
только с учетом расположения своих и чужих фигур, но и с
учетом возможных действий и контрдействий своего
соперника. При этом предполагается, что мы оба разумные
субъекты и совершаем только такие действия, которые нам
выгодны. Существует специальный раздел общей теории
принятия решений, называемой теорией игр, исследующий
принятие решений в условиях соперничества. Из всех видов
противоборства наиболее изучен тот, при котором интересы
соперников являются противоположными, т. е. выигрыш
одного в точности совпадает с проигрышем другого.
Математической моделью таких ситуаций служит игра двух лиц с
нулевой суммой 1.
Мы будем называть игрой двух лиц с нулевой суммой
такую модель конфликта:
1. Имеется два игрока (участника, соперника).
2. Выигрыш одного равен проигрышу другого.
3. Оба игрока обладают некоторым множеством
альтернатив (стратегий), причем каждому из них известны
альтернативы своего соперника.
1 Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. М., 1961. С. 89—124.
402

4. Обоим игрокам известны платежи, связанные с выбором
каждым из них тех или иных альтернатив.
5. Каждый игрок из любых двух платежей способен либо
предпочесть один другому, либо признать их равноценными,
т. е. каждый из них обладает некоторой функцией
предпочтения. Оба игрока, другими словами, знакомы с функциями
предпочтения друг друга.
Понятие платежа эквивалентно понятию полезности в
общей теории решений.
Для объяснения дальнейших деталей мы воспользуемся
примером *. Альберт и Билли являются соперниками в
следующей игре. У каждого из них имеется три карточки
разного цвета: у Альберта — зеленая, темно-красная и
оранжевая; у Билли — красная, голубая и желтая. Игра
заключается в одновременном вытаскивании обоими
игроками по одной карточке. Платежи игроков зависят от того,
какие карточки будут вытащены (рис. 7).
красная
3
4
-5
Билли
голубая
2
-1
2
желтая
4
-2
5
зеленая
Альберт темно-красная
оранжевая
Рис. 7. Матрица платежей.
Платежи осуществляются в фунтах стерлингов. Если
платеж указан в матрице положительным числом, то платит
Билли, если отрицательным — платит Альберт. Матрица
платежей читается следующим образом. Допустим, Альберт
вытаскивает зеленую карточку. Если Билли достанет
красную карточку, то платит Альберту 3 фунта; если голубую,
то 2 фунта, если же желтую, то 4 фунта. Остальные строчки
читаются аналогично.
Возникает вопрос: если Альберт и Билли считают себя
разумными людьми, как они должны играть в эту игру?
1 Nicholson M. Rationality and the Analysis of International Conflict.
Cambridge University Press. 1992. P. 90—91.
403

Поскольку карточки достаются одновременно, то ни один из
них не знает с достоверностью, какую карточку вытащит его
соперник. На первый взгляд данная игра более выгодна
Альберту, так как из восьми возможных платежей пять в его
пользу. Однако такое допущение неверно. Допустим,
Альберт вытаскивает оранжевую карточку. Если Билли достанет
желтую, то Альберт получит пять фунтов, но если Билли
вытащит красную, то Альберт потеряет пять фунтов.
Подобные колебания платежей не устраивают Альберта. Ему
хочется иметь стратегию получения выигрыша независимо
от действий Билли. Как было доказано фон Нейманом и
О. Моргенштерном, такая стратегия существует.
Альберт должен исходить из того, что матрица платежей
известна и Билли. Следовательно, на каждое действие
Альберта, направленное на получение максимальной прибыли,
Билли будет отвечать действием, сводящим этот выигрыш до
минимума. Поэтому для Альберта лучшей стратегией будет
выбор альтернативы, гарантирующий максимальный
выигрыш среди минимально возможных. С этой целью он
рассматривает последовательно каждый ряд платежной
матрицы и отмечает наихудшие для себя платежи, из которых он
затем выбирает наибольший. Практически вся процедура
состоит в том, чтобы найти наименьшее число в каждом ряду
платежной матрицы и выбрать из них наибольшее.
Руководствуясь этим правилом, Альберт исследует матрицу
платежей и выписывает наименьшие для себя выигрыши из
каждого ряда: 2, —2, —5. Из них наибольшим числом является
2. Следовательно, чтобы получить максимальный выигрыш
среди минимальных возможных, Альберт должен вытащить
зеленую карточку. Таким образом, независимо от действий
Билли Альберт гарантирует получение пусть небольшого, но
выигрыша. Правило, которому должен следовать Альберт,
называется максимином (максимизацией минимума). При
принятии решений в условиях неопределенности данное
правило соответствует критерию Вальда — выбирай из
худших вариантов лучшие.
Проанализируем теперь данную игру с точки зрения
Билли. Как и Альберт, Билли хочет действовать разумно.
Поэтому он будет всячески стремиться минимизировать свой
возможный максимальный проигрыш. С этой целью он
последовательно исследует колонки платежной матрицы и
выписывает свои максимальные проигрыши, среди которых
отмечает наименьший. В результате он получает следующий
ряд чисел: 4, 2, 5. В этом ряду 2 является наименьшим.
404

Правило, которому должен следовать Билли, называется
минимаксом (минимизацией максимума). Руководствуясь
этим правилом, Билли должен вытаскивать голубую
карточку.
Итак, мы видим, что гарантированный результат для
Альберта — минимальный выигрыш двух фунтов совпадает
с гарантированным результатом для Билли — максимальным
проигрышем двух фунтов. Тот элемент матрицы, который
обеспечивает равенство правил максимина и минимакса,
принято называть точкой равновесия, а альтернативы,
гарантирующие эту точку, стратегией равновесия. В нашем
примере точкой равновесия выступает число 2, а стратегия
равновесия — Альберт вытаскивает зеленую карточку,
Билли — голубую. Для игр с нулевой суммой точка равновесия
обозначает цену игры. В рассматриваемом примере она
является положительным числом. Следовательно, данная игра
выгодна для Альберта и невыгодна для Билли.
Правило максимина, требующее выбирать из
минимальных выигрышей максимальный, предполагает, что
ваш соперник никогда не рискует и заботится лишь о том,
чтобы уменьшить ваш выигрыш. Если ваш соперник
обладает другими качествами, это правило не работает. Но
поскольку оно составляет идейную основу всей теории игр,
то его защищают аргументами такого рода: разумные
люди — это люди, при всех обстоятельствах стремящиеся
увеличить свой выигрыш и уменьшить выигрыш своих
соперников. Такое допущение представляет, конечно,
очень сильную идеализацию человеческих действий. Тем
не менее для определенного класса ситуаций
соперничества правило максимина работает.
Не каждая игра имеет точку равновесия. Обозначим
игроков буквами А и В. Эти же буквы с индексами будут
обозначать доступные каждому из игроков альтернативы. В
следующей игре не существует точки равновесия, т. е. нет
ни одного элемента матрицы платежей, который был бы
наименьшим в своем ряду и наибольшим в своей колонке
(рис. 8).
Если какая-то игра не имеет точки равновесия, значит не
существует и стратегий равновесия, т. е. в разных случаях
необходимо выбирать разные альтернативы. Иными словами,
при отсутствии чистых стратегий необходимо пользоваться
смешанными стратегиями. Существует простой алгоритм
нахождения оптимальной смешанной стратегии для каждого
игрока.
405

в
Ai
Аг
Si
-3
-2
Вг
2
-6
Рис. 8
Вернемся к игре на рис. 8. Иа первом шаге вычитаем
меньшие платежи из больших в каждом ряду и в каждой
колонке. Получаем
В
-3
-2
=1
2
-6
=8
=5
=4
На втором шаюе меняем местами результаты вычитания.
Получаем
В
-3
-2
8
2
-6
1
4
5
На третьем шаге определяются вероятности альтернатив
каждого из игроков. С этой целью А складывает 4 и 5 и делит
каждое слагаемое на сумму. Аналогично поступает В.
Получаем следующие вероятности
Вг
Ai
Аг
-3
-2
8/9
2
-6
1/9
4/9
5/9
Полученные вероятности означают, что А в каждых
девяти играх должен в среднем отдавать предпочтение пер-
406

вой альтернативе четыре раза, второй — пять раз. Игрок В
в каждых девяти играх должен в среднем отдавать
предпочтение первой альтернативе восемь раз, второй — один раз.
Цена игры для А определяется согласно следующему
рассуждению. Когда В выбирает альтернативу В\ с
вероятностью 8/9, А проигрывает 3 единицы платежа с
вероятностью 4/9 и проигрывает 2 единицы платежа с вероятностью
5/9. Когда В выбирает альтернативу Вг, А выигрывает 2
единицы платежа с вероятностью 4/9 и проигрывает 6
единиц платежа с вероятностью 5/9. Общий ожидаемый
выигрыш А равен:
Цена игры для
Л=8/9D/9(-3)+5/9(-2))+1/9D/9B)+5/9(-6))=
=-198/81=-2,44.
Полученная цена игры означает, что, играя в данную
игру, А будет проигрывать в среднем 2,44 единицы платежа.
Цена игры для В определяется аналогично. Когда А
выбирает альтернативу А\ с вероятностью 4/9, В
проигрывает 3 единицы платежа с вероятностью 8/9 и проигрывает
2 единицы платежа с вероятностью 1/9. Коща А выбирает
альтернативу Аг с вероятностью 5/9, В выигрывает 2
единицы платежа с вероятностью 8/9 и 6 единиц платежа с
вероятностью 1/9. Общий ожидаемый выигрыш В равен:
Цена игры для
Б=4/9(8/9C)+1/9(-2))+5/9(8/9B)+1/9F))=198/81=2,44.
Итак, играя в данную игру, В будет выигрывать в среднем
2,44 единицы платежа. Поскольку выигрыш В равен
проигрышу А, то мы имеем игру с нулевой суммой, но не равными
шансами для обоих участников.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример J.
Сын совершил проступок, и отец размышляет,
наказывать его или нет. При этом отцу известно, что сын может
согласиться с наказанием, а может и не согласиться. Как
поступить отцу?
Пусть А = отец, В = сын. Тогда А\ = наказывать, Аг = не
наказывать, В\ = соглашаться с наказанием, Вг = не
соглашаться с наказанием.
Вычислим матрицу платежей в единицах морального
удовлетворения: 0 = отец и сын не имеют никаких претензий
407

друг к другу, 1 = сын имеет претензии к отцу, — 1 ¦ отец
имеет претензии к сыну. Полностью матрица платежей
имеет следующий вид:
Ai
Аг
Вх
0
-1
В
Вг
1
0
Из приведенной матрицы следует существование точки
равновесия — числа 0, соответствующего выбору
альтернатив А\ и В\. Это означает, что лучшей стратегией в
разрешении возникшего конфликта является выбор такого
наказания, с которым был бы согласен и отец и сын.
Пример 2.
Вы собираетесь купить некоторую вещь за 10000 рублей
у уличного торговца. Вы знаете, что он может продать вам
вещь, настоящая цена которой вдвое меньше. Какое решение
вам следует принять?
Пусть А = вы, В = уличный торговец. Соответственно
А\ - купить, Аг = не купить, В\ = предложить вещь
стоимостью 10000 рублей, Вг = предложить вещь стоимостью 5000
рублей. Имеет место матрица платежей (учитывается только
теряемая стоимость):
Вг Вг
Ai | 0 -5000
А
Аг 0 0
Данная игра имеет точку равновесия — число 0,
соответствующее выбору Аг и Вг* Это означает, что вам лучше
воздержаться от покупки, так как вы исходите из того, что
деньги терять понапрасну нельзя.
Пример 3.
Допустим, что все условия такие же, как и в предыдущем
примере, за исключением одного. Критерием ваших действий
становится приобретаемая стоимость. В этом случае
платежная матрица имеет следующий вид:
408

Точкой равновесия в этой игре является платеж,
соответствующий выбору А1 и Вг. Иными словами, вы согласны даже
Вг В2
Ai
А2
10000 5000
0 0
на обман со стороны торговца, так как главное для вас —
приобрести стоимость.
Пример 4.
Американский психолог Э. Берн в книге «Игры, в которые
играют люди. Люди, которые играют в игры» (Л., 1992)
утверждает, что наше Я (эго) может находиться в трех
состояниях — Родителя, Взрослого и Ребенка. Первое из них
выполняет роль критика, судьи, цензора. Второе
ответственно за объективную оценку происходящего. Третье состояние
проявляет себя либо в послушном поведении, либо в
спонтанном, бунтарском, творческом порыве.
Основная гипотеза Э. Берна состоит в том, что общение
субъектов происходит без конфликтов, если и только если их
стимулы и реакции исходят либо из одних и тех же Я-состо-
яний, либо из состояний Родителя и Ребенка. При этом все
акты общения должны быть явными, или вербализованными.
Допустим, в согласии с Э. Берном, что состояние
Взрослого имеет психологическое преимущество перед состоянием
Родителя и Ребенка. Получаем следующую платежную
матрицу для двух общающихся субъектов А и В:
Родитель
Взрослый
Ребенок
Родитель
0
1
0
В
Взрослый
-1
0
-1
Ребенок
0
1
0
Число 0 в данной матрице означает психологическую
гармонию соответствующих состояний. Число -1 означает,
409

что если субъект А находится в состоянии Родителя
(Ребенка), а субъект В — в состоянии Взрослого, то субъект В
обладает преимуществом перед субъектом А. Наоборот,
число 1 означает, что субъект А, находящийся в состоянии
Взрослого, получает преимущество перед субъектом В.
Данная игра имеет точку равновесия, соответствующую
платежу выбора состояния Взрослого как субъектом А, так и
субъектом В. Согласно этой стратегии, когда на ваш вопрос
«Где моя тетрадь?» (состояние Взрослого) отвечают «Не надо
быть растяпой!» (состояние Родителя), необходимо вызвать
в себе не состояние Родителя («Сам растяпа!»), не состояние
ребенка («Наверное, я ее потерял»), а состояние Взрослого
(«Она лежит под твоей книгой»).
Пример 5.
А и В играют в следующую игру: они одновременно
показывают друг другу пальцы, не более двух. Если оба
показывают по одному пальцу, то В платит .4 50 рублей; если
оба показывают по два пальца, то В платит А 20 рублей; если
число пальцев разное то В платит А 100 рублей. Перед
каждым показыванием А платит В в качестве компенсации
35 рублей. Справедлива ли данная компенсация? Какой
стратегии следует придерживаться В!
Пусть А\ = А показывает один палец, Аг - А показывает
два пальца, В\=Впоказывает один палец, Вг-Впоказывает
два пальца. Получаем следующую матрицу платежей:
Вг
50
20
В
Вг
20
100
Al
Данная игра не имеет точки равновесия. Следовательно,
В должен пользоваться смешанной стратегией. Вычисление
вероятностей альтернатив обоих игроков дает следующие
результаты (см. с. 411).
Если А будет показывать все время один палец, то средние
потери В составляют: 8/11x50+3/11x20=41,81.
Если А будет показывать все время два пальца, то средние
потери В составят: 8/11x20+3/11x100=41,81.
410

Ai
A2
JBl
50
20
3/11
В
Вг
20
100
8/11
8/11
3/11
Чтобы сделать игру справедливой, т. е. одинаково
выгодной как для А, так и для В, В должен потребовать в качестве
компенсации не 35 рублей, а 41 рубль 81 коп.
5. ЛОГИКА ОБРАЗОВАНИЯВ КОАЛИЦИЙ
В КОНФЛИКТНЫХ СИТУАЦИЯХ
«Коалиция представляет собой
объединение сил двух или более субъектов (индивидов
или групп) против некоторого противнка в
оющем конфликте».
Caplow Th. Elementary Sociology.
Неоднакратно отмечалось и экспериментально
подтверждалось, что многие конфликты развиваются с привлечением
третьх сторон и образованием коалиций против общего
противника. Образование коалиций характерно в военных,
политических дипломатических конфликтах, но
наблюдается также в повседневном общении.
Нааиболее изученными оказались коалиции «два против
одного» *. Подобные коалиции возникают в конфликтных
триадах, когда два противника объединяют свои силы для
борьбы с третьим членом триады.
Для логического анализа образования коалиций в
конфликтных триадах введем следующие допущения.
Д1. Члены конфликтной триады, которые будут
обозначаться А, В и С, могут различаться своей силой (военной,
экономической, политической, моральной и т. д.). Более
1 Caplow Th. A Theory of Coalitions in Triad // American Sociological Review.
Vol. 21. 1956. P. 489—493.
Gamson W. A Theory of Coalition Formation // American Sociological
Review. Vol. 26. 1961. P. 373—382.
411

сильный член получает возможность контролировать более
слабых.
Д2. Каждый член конфликтной триады стремится
контролировать других членов этой триады.
ДЗ. Сила членов конфликтной триады аддитивна, т. е.
сила коалиции равна сумме образующих ее членов.
Д4. Выигрышной считается та коалиция, чья сила больше
силы противостоящего ей члена конфликтной триады.
Д5. Каждый член конфликтной триады предпочитает
выигрышную коалиции невыигрышной, а среди выигрышных
ту, которая возможна с наиболее слаабым противником.
Последнее допущение представляет основное правило
образования коалиций в конфликтных триадах.
Согласно Д1, члены конфликтной триады могут раазли-
чаться своей силой, что является основанием для
образования различных коалиций. Рассмотрим в этой связи типичные
ситуации.
Ситуация 1.
Силы А, В и С равны; А=В=С.
В этом простейшем, хотя и редком случае, допустимы все
возможные коалиции — АВ, АС, ВС. Каждый член
конфликтной триады стремится объединиться с равным ему по силе
противником и противопоставить созданную коалицию
третьему члену триады.
Доказательство.
С равной вероятностью А, В и С могут предпочитать друг
друга. Следовательно, имеет место следующее распределение
предпочтений
1. ABC
2.АВ-С
3. А-ВС
4. А-В-С
5. -ABC
6. -АВ-С
7. -А-ВС
8. -А-В-С
все комбинации которого равновероятны, а последняя из них,
восьмая, может игнорироваться как иррелевантная для
анализа коалиционных задач. Первая и вторая комбинации
эквивалентны АВ, первая и третья — АС, третья и пятая —
ВС. Следовательно, равное распределение сил членов
конфликтной триады порождает раавное распределение
предпочтений и тем самым равные шансы всех возможных коалиций.
412

Ситуация 2.
Силы В и С равны и каждый из них слабее А, но
объединенные силы В и С превосходят Л; ?=С, Л>?, Л< СВ+С).
Хотя при указанном распределении сил А сильнее В и С,
рассматриваемых по отдельности, но, в конечном счете, он
оказывается в проигрыше, так как В и С выгодно образовать
коалицию против А. Иными словами, сила А становится
причиной его слабости.
Доказательство.
При данном распределении сил А будет стремиться к
объединению с В или С, что исключает четвертую
комбинацию предпочтений; В будет стремиться заключить союз с С,
а С будет стремиться объединиться с В, что исключает
вторую, третью, шестую и седьмую комбинации
предпочтений. Оставшиеся, первая и пятая, комбинации эквивалентны
ВС. Следовательно, при данном распределении сил и
предпочтений коалиция ВС наиболее вероятна.
Данный пример иллюстрирует очевидное правило,
согласно которому та коалиция более вероятна, в которой оба
членаа одновременно предпочитают друг друга.
Ситуация 3.
Силы В и С равны, но А слабее каждого из них по
отдельности; В=С, А<В.
В данной ситуации слабость А создает для него реальное
основание обраазовать выигрышную коалицию либо с В,
либо с С. Таким образом, быть слабым в конфликтной триаде
не всегда означает быть проигравшим.
Доказательство.
При указанном распределении сил А будет стремиться к
союзу с В или С, что исключает четвертую комбинацию
предпочтений; В будет стремиться увеличить свою силу
союзом с Ау аналогично и для С, что исключает пятую,
шестую и седьмую комбинации. Оставшиеся, первая, вторая
и третья, комбинации эквивалентна АВ^АС. Следоваатель-
но, в рассматриваемой ситуации наиболее вероятны
коалиции или АВ, или АС.
Ситуация 4.
Силы В и С равны, но А сильнее их объединения; В=С,
А>(В+С).
В этой ситуации В и С не имеют никакого желания
объединяться друг с другом, ибо их совместная сила все равно
413

не превышает силы А. Аналогично А не имеет никакого
мотива для объединения сБиС, так как он сильнее их обоих,
вместе взятых. Следовательно, при данном распределении
сил и предпочтений никакая коалиция невозможна.
Доказательство.
А не стремится к объединению ни с В, ни с С.
Следовательно, исключаются первая, вторая и третья комбинации
предпочтений. В не желает объединения с С, а С не желаает
объединения с В, что исключает первую и пятую комбинации
предпочтений. Оставшиеся, четвертая, шестая и седьмая
комбинации не эквивалентны ни одной из возможных
комбинаций — АВ, АС или ВС. Следовательно, ни одна из
соответствующих им коалиций невозможна.
Рассматриваемая ситуация характерна для диктаторских
режимов, когда один человек (группа) контролирует всю
ситуацию и по этой причине не желает вступать в какие-либо
коалиции с теми, кого он контролирует.
Ситуация 5.
А сильнее В> В сильнее С, но А слабее объединенных сил
В и С; А>В>С, А<(В+С).
Данная ситуация аналогична второй в том, что несмотря
на свою силу А оказываается в проигрыше. Взаимное
предпочтение В и С друг друга обеспечивает им выигрышную
коалицию против А.
Доказательство.
При указанных условиях А будет стремиться к союзу с С,
что исключает вторую и четвертую комбинации
предпочтений; В также будет стремиться к объединению с С, а С
аналогично будет предпочитать В, что исключает вторую,
третью, шестую и седьмую комбинации. Следовательно,
коалиция ВС при данных условиях является наиболее
вероятной.
Ситуация б.
А сильнее В, В сильнее С и А сильнее объединенных сил
В и С; А>В>С, А>(В+С).
Данная ситуация аналогична четвертой. Поскольку А
контролирует всех своих своих противников и сильнее их
вместе взятых, то он не намерен вступаать ни в какие
коалиции. Доказательство аналогично вышеприведенному.
414

Ситуация 7.
А сильнее В, В сильнее С, но объединенная сила В и С
равна силе А; А>В>С, А=(В+С).
При указанном распределении сил А будет стремиться к
союзу с С. Аналогично С будет искать союза с А.
Следовательно, наиболее вероятной коалицией является АС.
Доказательство.
Стремление А к союзу с С исключает вторую и четвертую
комбинацию предпочтений; стремление С к союзу с А
исключает пятук5 и седьмую комбинацию предпочтений.
Оставшиеся, первая, третья и шестая, комбинации эквивалентны
АС. Следовательно, АС является самой вероятной коалицией
при даанных условиях.
Ситуация 8.
Силы В и С равны, их объединение равно силе А; В=С,
А=(В+С).
В данной ситуации А буджет искать союза с В или С, так
как силы последних равны. Аналогично В и С будут
добиваться союза с Л, так как их объединение друг с другом не
создает выигрышной коалиции. Следовательно, наиболее
вероятна коалиция АВ или АС.
Доказательство.
Стремление А к союзу с В или С исключает четвертую
комбинацию предпочтений; стремление В или С к союзу с А
исключает пятую, шестую и седьмую комбинацию
предпочтений. Оставшиеся, первая, вторая и третья, комбинации
эквивалентны ABVAC. Следовательно, АВ или АС наиболее
вероятны в качестве коалиции при данных условиях.
Рассмотрим один содержательный пример *. По
свидетельству Г. Зиммеля, общим правилом у инков было
разделение только что покоренного племени на две примерно
равные части и назначение для управления ими своих
руководителей. Чтобы вызвать среди них острое
соперничество и предотвратить тем самым образование выигрышной
коалиции против руководителя, управлявшего всей
завоеванной территорией, оба начальника нааделялись слегка
различающимися полномочиями (статусом).
При этом инки рассуждали так. Как одинаковые, так и
сильно различающиеся полномочия легко могли вынудить
1 Wolff 1С Я. The Sociology of Georg Simmel. Clencoe. 1950. P. 165—166.
415

обоих руководителей к образоваанию коаалиции против
общего начальника и внести тем самым диссонанс в
управление всей территорией. При равных полномочиях вероятнее
всего одинаковое распределение ответственности при
принятии какого-либо решения. При сильном различии
полномочий лидерство одного руководителя также не вызвало бы
никакой конфронтации у другого. Только небольшое
различие в полномочиях провоцирует на взаимные претензии быть
единоличным лидером.
Эти рассуждения можно интерпретировать следующим
образом. Пусть А обознаачает руководителя всей
завоеванной территорией, В и С — подчиненных ему руководителей.
То, чего добивались инки, соответствует ситуации 6, коща
общий руководитель наделен диктаторскими полномочиями
и никакие коалиции между Л, В и С невозможны.
Случай с равными полномочиями соответствует ситуации
2, согласно которой В и С могут образовать выигрышную
коалицию А.
Случай с резким различием полномочий соответствует
ситуации 5, согласно которой В я С могут образовать
выигрышную коалицию против А.
Чтобы не допускать выигрышной коалиции против А,
инки с самого наачала порождаали ситуацию 6.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Укажите, как соотносятся объемы понятий
«когнитивный диссонанс», «структурный дисбаланс», «конфликт» и
«противоречие».
2. Докажите любым способом следующие теоремы из
«Этики» Б. Спинозы.
1) «Если мы воображаем, что вещь, которая
обыкновенно причиняет нам неудовольствие, имеет что-либо
сходное с другой вещью, обыкновенно причиняющей нам столь
же большое удовольствие, то мы будем в одно и то же время
и ненавидеть, и любить ее» (Спиноза Б. Указ. соч. С. 470) ¦
2) «Если мы воображаем, что кто-либо причиняет
любимому нами предмету удовольствие, мы будем
чувствовать к нему любовь. Наоборот, если воображаем, что он
причиняет ему неудовольствие, будем чувствовать к нему
ненависть» (Указ. соч. С. 474).
416

3) «Если мы воображаем, что кто-либо получает
удовольствие от чего-либо, владеть чем может только он один,
то мы будем стремиться сделать так, чтобы он не владел
этим» (Указ. соч. С. 482).
4) «Чем более аффект, который, по нашему
воображению, питает к нам любимый нами предмет, тем более мы
будем гордиться» (Указ. соч. С. 483).
5) «Ненависть увеличивается вследствие взаимной
ненависти и, наоборот, может быть уничтожена любовью»
(Указ. соч. С. 490).
3. Разрешим ли, на ваш взгляд, следующий парадокс. А
и В — поклонники девушки С. Почему тогда, восхищаясь С,
они будут испытывать друг к другу неприязнь?
4. Постройте платежную матрицу для возможных
действий героев басни И. А. Крылова «Волк на псарне»:
Волк ночью, думая залезть в овчарню,
Попал на псарню.
Поднялся вдруг весь псарный двор.
В минуту псарня стала адом.
Мой волк сидит, прижавшись в угол задом,
Зубами щелкая и ощетиня шерсть,
Глазами, кажется, хотел бы всех он съесть;
Но, видя то, что тут не перед стадом,
И что приходит, наконец,
Ему расчесться за овец, —
Пустился мой хитрец в переговоры.
«Послушай-ка, сосед, —
Тут ловчий перервал в ответ, —
Ты сер, а я, приятель, сед,
И волчью вашу я давно натуру знаю;
А потому обычай мой:
С волками иначе не делать мировой,
Как снявши шкуру с них долой».
И тут же выпустил на Волка гончих стаю.
5. Проанализируйте в терминах теории игр спор Прота-
гора с Еватлом и крокодила с матерью (см. гл. VIII, 6).
6. Проанализируйте в терминах образования коалиций
следующее рассуждение. «В чужой по обычаям и языку
стране завоевателю следует также сделаться главой и
защитником более слабых соседей и постараться ослабить
сильных, а кроме того, следить за тем, чтобы в страну
как-нибудь не проник чужеземный правитель, не уступающий ему
силой» (Макиавелли Я. Государь. М., 1990. С. 8).
14 Зак. 210

ГЛАВА IX. ЛОГИКА РИТОРИКИ
«Итак, определим риторику как
способность находить возможные способы
убеждения относительно каждого данного
предмета».
Аристотель. Риторика.
«Таким образом, все построение
убедительной речи основывается на трех вещах:
доказать правоту того, что мы защищаем;
расположить к себе тех, перед кем мы
выступаем; направить их мысль в нужное для дела
сторону».
Марк Туллий Цицерон. Об ораторе.
«Наконец, скажем, что цель общей
риторики состоит в том, чтобы раскрыть все
способности ума, дать рассудку и нравственному
чувству надлежащее направление, возбудить
и усилить в душах учащихся живую любовь
ко всему благородному, великому и
прекрасному, и вместе с тем научить выражать сии
чувства».
Коишнский Я. Общая риторика.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О РИТОРИКЕ
Мы рассуждаем риторически, когда стремимся устно или
письменно склонить кого-либо, включая и самих себя, к
некоторой точке зрения или вызвать нужное нам действие,
принять требуемое решение. Как это сделать наилучшим
образом — и составляет смысл риторической речи. Ее задачи
и правила в канонической форме были сформулированы
Цицероном: «Все силы и способности оратора служат
выполнению пяти задач: во-первых, он должен приискать
содержание для своей речи; во-вторых, расположить найденное по
порядк-у, взвесив и оценив каждый довод; в-третьих облечь
418

и украсить все это словами; в-четвертых, укрепить речь в
памяти; в-пятых, произнести ее с достоинством и
приятностью. Далее я узнал и понял, что прежде чем приступить к
делу, надо вначале расположить слушателей в свою пользу,
далее разъяснить дело, после этого установить предмет спора,
затем доказать то, на чем мы настаиваем, потом
опровергнуть возражения; а в конце речи все то, что говорит за нас,
развернуть и возвеличить, а то, что за противника,
поколебать и лишить значения» *.
В каждой риторической речи можно выделить автора, его
аудиторию и обращение. Все вместе они образуют так
называемый риторический треугольник (рис. 1).
Обращение
Автор z_ _\ Аудитория
Рис. 1
Автор риторической речи — тот человек (группа людей),
который убеждает аудиторию совершить некоторое действие,
занять определенную позицию, принять нужное решение.
Аудитория риторической речи — тот человек (группа
людей), которому автор адресует свое обращение. Один и тот
же человек (группа людей) может совмещать функции
автора и аудитории. Обращение — те тезисы, которые автор
предлагает аудитории, и те аргументы, с помощью которых
он убеждает аудиторию в истинности своих тезисов и
ложности им противоречащих или противоположных.
Когда Моська из известной басни И. А. Крылова отвечает:
«Пускай же говорят собаки: "Аи Моська! знать она сильна,
что лает на Слона!"», то она выступает автором, собаки —
ее аудиторией, нападки на Слона — аргументом, признание
ее силы — тем тезисом, в истинности которого она хочет
убедить аудиторию.
Когда я уговариваю себя захватить зонт в связи с
непогодой, то я выступаю и автором, и аудиторией одновременно,
возможность промокнуть — аргументом, взять зонт —
требуемым тезисом (действием).
1 Марк Туллий Цицерон. Об ораторе // Тритрактат об ораторском
искусстве. М., 1972. С. 112.
14* 419

То, что объединяет элементы риторического треугольника
в одну систему, мы будем называть риторической проблемой.
Только наличие риторической проблемы создает автора,
аудиторию и обращение. Формулировку риторической
проблемы и ее решение мы будем называть риторической
деятельностью, а те правила, которым она подчиняется, —
риторикой.
В соответствии с традицией все риторические правила
делятся на правила, относящиеся к изобретению
необходимых мыслей; правила, регулирующие расположение
изобретенных мыслей; правила словесного выражения мыслей,
позволяющего воздействовать на разум и на чувство
аудитории. К риторическим правилам мы причисляем правила
спора, так как последний представляет разновидность
риторической речи, в которой автор и аудитория периодически
меняются своими ролями. Рассмотрим все эти правила
последовательно.
2. ИЗОБРЕТЕНИЕ ОБРАЩЕНИЯ
Риторическая деятельность начинается с осознания
риторической проблемы — кто, кого, в чем должен убеждать или
подвергать сомнению, восхволять или порицать, защищать
или осуждать. Ответ на вопрос кто? определяет автора, на
вопрос кого? — аудиторию, на вопрос в чем? — обраще-
ние.Каждый из данных вопросов конкретизирует одну из
вершин риторического треугольника (рис* 2).
В чем?
Кто? Z- X Кого?
Рис. 2
Если вернуться к примеру с Моськой, то получим
следующие ответы (рис. 3).
Признать сильной
Моська ^ ^у^ Собаки
Рис.3
420

Ответы на указанные вопросы определяют главное
предложение обращения. После его конструирования
риторическая деятельность протекает в виде его распространения.
Распространить предложение означаетт уточнить его
элементы и присоединить полученные сведения в виде
дополнительных предложений к главному. Главное предложение
вместе с уточняющими его дополнительными образует
простой период — основную единицу риторической речи. Таким
образом, изобретение обращения сводится к построению
одного или нескольких связанных друг с другом простых
периодов.
Первой целью распространения является формулировка
аргументов, убеждающих аудиторию в том или ином
риторическом тезисе (действии). Сформулировать аргументы
означает ответить на вопрос, почему? аудитории следует
поддерживать автора. Аргументы присоединяются к
главному предложению в качестве причинных придаточных
предложений.
Второй целью распространения главного предложения
является формулировка различных условий, обстоятельств,
места и времени совершения риторического действия.
Требуемые мысли рождаются как ответы на вопросы когда?9 где?,
при каких условиях? и вводятся в структуру главного
предложения в качестве различных определений и уточнений
подлежащего.
Третьей целью распространения главного предложения
следует считать создание положительного образа автора
риторической деятельности. Эта цель особенно важна, если
целью обращения является рекламное действие.
Необходимые мысли представляют ответ на вопрос почему вы
(аудитория) должны доверять мне (автору)?. Он также вводится
в структуру главного предложения в качестве уточняющего
обстоятельства.
Попробуем реконструировать процесс изобретения
обращения на нескольких примерах.
Пример 1.
Печенье не черствеет!
Питательнее, выгоднее булки!
Продает Моссельпром.
Отделения в каждом переулке.
(В. В. Маяковский)
421

Главное предложение возникает при ответе на указанные
первые три вопроса, т. е. при конкретизации вершин
риторического треугольника:
Покупать печенье
Моссельпром у^ ^х Жители и гости Москвы
Главное предложение: Моссельпром предлагает
жителям и гостям Москвы покупать печенье.
Хотя главное предложение и выражает суть ритотической
проблемы, оно еще малоэффективно, так как не указывает
аргументов, почему нужно покупать печенье. Другими
словами, главное предложение требует распространения.
Аргументы: печенье не черствеет, питательнее и выгоднее
булки. Место возможной покупки: отделения в каждом
переулке.
Присоединив полученные сведения к главному
предложению, получаем распространенное предложение:
Моссельпром, отделения которого в каждом переулке, предлагает
покупать печение, потому что оно не черствеет,
питательнее и выгоднее булки.
На этом процесс изобретения мыслей можно считать
законченным. Проблемы изложения и слововыражения
мыслей будут рассматриваться в следующих параграфах.
Пример 2.
С разбором выбирай друзей.
Когда корысть себя личиной дружбы кроет, —
Она тебе лишь яму роет.
(Я. А. Крылов)
Конкретизация вершин риторического треугольника дает
следующее главное положение: автор (И. А. Крылов)
просит читателей разборчиво выбирать друзей.
Распространение главного предложения состоит в указании аргументов,
почему необходимо разборчиво выбирать друзей. Аргументы:
в противном случае можно поплатиться жизнью.
Распространенное предложение звучит следующим
образом: автор просит читателей разборчиво выбирать себе
друзей, так как в противном случае они рискуют
поплатиться жизнью.
422

Пример 3.
Кто б ни был ты, о мой читатель,
Друг, недруг, я хочу с тобой
Расстаться нынче как приятель.
(А С. Пушкин)
В приведенном отрывке А. С. Пушкин обращается к
читателю романа «Евгений Онегин». Цель обращения —
прощание. Главное предложение: я хочу расстаться с
тобой. Вопросы с кем?, с каким?, каким образом?, когда?
уточняют предмет расставания: читатель, мой, друг, недруг,
как приятель, нынче.
Распространенное предложение имеет следующий вид: я
хочу расстаться с тобой, мой читатель, друг, недруг,
нынче как приятель.
Итак, искусство изобретения мыслей сводится к умению
задавать вопросы и давать на них ответы.
Изобрести мысли необходимо, но еще недостаточно для
решения риторической проблемы. Найденные мысли еще
необходимо правильно расположить, а также надлежащим
образом выразить их словесно.
3. ИЗЛОЖЕНИЕ ОБРАЩЕНИЯ
Правильно изложить обращение не менее важно, чем
изобрести его отдельные части (периоды). Привести их во
внутреннее соответствие, найти для каждой части свое
место — такова цель данной стадии риторической деятельности.
В развернутой форме изложение включает, как правило,
следующие части.
Введение. Автор стремится вызвать доверие у аудитории
к самому себе, своему обращению, готовность выслушать
изложение до конца и поддержать свои тезисы.
Обозначение темы обращения. В тех случаях, коща тема
обращения сложна для восприятия или аудитория настроена
неоднозначно, автор кратко формулирует свою тему перед
началом изложения. Тем самым он закрепляет ее в сознании
аудитории, что помогает более быстрому пониманию всех
частей и облегчает достижение главной цели обращения.
Повествование. Основная часть изложения.
Представляются факты в их систематической связи друг с другом и темой
обращения. Формулируются тезисы.
423

Доказательство и опровержение. Приводятся
аргументы, доказывающие изложенные факты, сформулированные
тезисы, и опровергаются точки зрения, противоречащие или
противоположные авторской.
Заключение. Содержит резюме выдвинутых аргументов.
Автор стремится возбудить у аудитории необходимый
эмоциональный отклик на изложенное обращение.
Не каждое обращение содержит указанные части. Их
наличие зависит от темы обращения, автора, аудитории,
места, времени и других условий риторической речи.
Цель введения может быть достигнута разными
способами. Во-первых, автор обращения может продемонстрировать,
почему важно дая аудитории то, что он собирается сказать
или написать. Тем самым он устанавливает положительную
связь между собой и аудиторией. При этой стратегии автору
следует тщательно продумать ответ на вопрос: почему то,
что он хочет сказать, важно и для аудитории?
Во-вторых, можно исходить из интересов аудитории. В
этом случае автор апеллирует не к своему опыту, знанию, а
к потребностям аудитории. Их удовлетворение он делает
своей главной целью. При выборе данной стратегии автору
полезно продумать ответ на вопрос: что он может
предложить для решения проблем аудитории?
В-третьих, можно объединить интересы автора и
аудитории. Такая стратегия достигает, как правило, наибольшего
эффекта. При выборе такой стратегии уместно продумать
ответ на вопрос: что автор и аудитория вместе могут
сделать для решения их общей проблемы?
Иногда аудитория состоит из людей, явно или скрыто
настроенных против автора или темы его обращения, или
против того и другого вместе. В такой ситуации необходимо
предварительно разобраться в причинах конфронтации,
установить степень их объективности и в соответствии с этим
решить, что следует сделать для установления
дружественных контактов с аудиторией. Дать ли новую информацию
или воздействовать на чувства и моральные принципы
аудитории? В любом случае рекомендуется начать с вопросов с
большим согласием и лишь после их рассмотрения
переходить к вопросам с меньшим согласием. Полезно также с
самого начала добиться согласия относительно используемых
критериев оценок.
Примером первой стратегии является следующее
обращение к читателям: «Чтобы правильно понять данный труд, его
424

следует рассматривать не как метафизический и тем более
не как теологический трактат, а единственно и
исключительно как научную работу» *.
В этом обращении автор исходит из предположения, что
научный характер его работы более важен для читателя, чем
все другие.
Примером второй стратегии может служить обращение,
типичное для рекламных изданий: «Вы найдете у нас то, что
ищите». Интересы аудитории (покупателей) являются в
данном случае приоритетными для автора (рекламодателя).
В качестве примера третьей стратегии можно привести
следующее обращение к читателям: «Плодотворное влияние
великих философских систем заключается не в том, что
философ становится для нас авторитетом, а в том, что,
подняв нас на свои плечи, он открывает нам новые горизонты
и заставляет строить новое, более широкое мировоззрение,
чем то, какое было возможно в его время» 2. Использование
местоимения «нас» сближает автора и читателей в решении
нелегкой задачи — чтении «Критики чистого разума» И.
Канта.
Повествование, т. е. изложение фактической стороны
дела, осуществяется посредством описания. Описание всегда
следует предмету, событию, явлению, отражает ритм их
развития и упадка.
Всякое описание, претендующее на полноту, должно
иметь начало, середину и конец.
Начало описания строится как обращение к предмету
описания или как указание времени, места, обстоятельств,
имени героя и т. п. Например: «Итак, она звалась Татьяной»
(А. С. Пушкин); «Зима!... Крестьянин торжествуя, на
дровнях обновляет путь» (А. С. Пушкин); «Мужик, на лето в
огород наняв Осла, приставил ворон и воробьев гонять
нахальный род» (И. А. Крылов).
Середина описания может состоять из нескольких частей
и включает все, что хочет сказать автор. Если предмет
описания неодушевленный, то последовательно
рассматриваются все его части, состояния, изменения во времени. Если
одушевленный — то также последовательно описываются его
1 Шарден П. Т. де. Феномен человека. М., 1987- С- 36.
2 Лосский Я. О. Предисловие переводчика // Кант И. Критика чистого
разума. СПб, 1993. С. 7.
425

действия, состояния, размышления. Единственное правило,
которое здесь следует соблюдать, — следовать естественному
ритму предмета описания. Например:
Кончен пир, умолкли хоры,
Опрокинуты амфоры,
Опрокинуты корзины,
Не допиты в кубках вины,
На глазах венки иззмяты, —
Лишь курятся ароматы
В опустевшей светлой зале...
(Ф. Я. Тютчев)
Конец описания может представлять авторское
обращение к предмету описания, моральную сентенцию,
уподобление или противопоставление, повторение начала описания,
обобщение. Главное требование к концу описания — полнота
повествования. Например: «Стой же ты, утес могучий!» (Ф.
И. Тютчев); «И я скажу — совет хорош, не ложно; да плыть
на парусах без ветру невозможно» {И. А. Крылов).
После изложения фактов следуют аргументы, с помощью
которых указываются причины описанных явлений, отвер*-
гаются противоречащие и противоположные точки зрения.
Логические вопросы аргументации рассматривались ранее *.
Здесь мы остановимся на риторических аспектах
аргументации.
Когда истинность одних утверждений доказывается на
основании других, ранее установленных, тогда имеет место
аргументация (изобретение и использование аргументов).
Сказанным определяется главная особенность аргументов.
Ими могут быть только те утверждения, которые истинны
или правдоподобны и которые признаются таковыми как
автором, так и его аудиторией.
Все аргументы делятся на аргументы «от лица» и
аргументы «от вещей». Первые порождаются вопросами типа
кто?, какого пола?, возраст?, какими профессиями
владеет? и т. п. Вторые -— вопросами типа почему?, где?, когда?,
как?, посредством чего?, что это?, из каких частей
состоит?, какие имеет виды?, с чем подобно?, от чего
отличается? и т. п. В качестве аргументов могут выступать
различные примеры и свидетельства.
Данная часть изложения также обычно делится на
начало, середину и конец.
См.: гл. IV, 7; V, 8.
426

В начале формулируется тезис. Тезис выставляется либо
автором, либо навязывается ему его оппонентами.
В середине приводятся аргументы, доказывающие тезис и
опровергающие антитезис, — причины, следствия, примеры,
свидетельства.
В конце или повторяется тезис, или приводится его
основное следствие.
Рассмотрим несколько примеров *.
Пример 1.
Начало. Тезис: Наука делает человека благородным.
Причина: Ибо она, образуя ум, имеет
сильное влияние на образ мыслей и
поступки.
Середина Причина причины: А образованный ум
не может колебаться в выборе между
низким и благородным.
Пример: Философ Эзоп, будучи рабом,
пользовался уважением своего господина.
Конец. Заключение: Итак, учение есть путь к
благородству.
Пример 2.
Начало. Тезис: Должно умерять страсти.
Причина: Ибо следствия
пылких страстей пагубны.
Сравнение: Человек —
корабль в море; страсти —
Середина ветры; умеренные
направляют к желанной цели, бури
разбивают корабль.
Пример 1: Страсть к
завоеваниям губит
честолюбцев — Наполеон.
Пример 2: Страсть к
наслаждениям убивает душу и
тело — Сарданапал.
1 Первые два примера заимствованы из: Кошанский Н. Общая риторика.
СПб, 1829. С. 83.
427

Конец. Заключение: Напротив, тихие и умеренные
движения сердца благодетельны для человека.
Пример 3.
Начало. Тезис: Трудолюбие приносит пользу.
Причина 1: Труд — отец любого богат-
Середина
ства.
Причина 2: Праздность — мать всех
пороков.
Конец. Заключение: Начать трудиться никогда не поздно.
Заключение, как и аргументы, бывают двоякого рода.
Одно относится «к вещам», другое — «к чувствам». Первое
состоит в кратком повторении сути дела, но с большей
энергией и пафосом. Другое — в возбуждении
соответствующих чувств у аудитории. В любом случае цель заключения
состоит в том, чтобы закрепить и усилить риторический
эффект предыдущих частей изложения. В баснях
заключение формулируется в виде «морали», в судебных речах — в
виде повторения тезиса или его основного следствия, в
лирических стихах достаточно часто — в виде повторения
первых строк.
Итак, правильно расположить части обращения означает
для его автора вызывать к себе уважение, возбудить интерес
к теме обращения, дать исчерпывающее описание и
обоснование, суметь кратко выразить в заключении все изложенное
ранее, но с еще большим чувством.
Мысли изобретены и расположены. Риторическая
деятельность вступает в новую стадию — слововыражение.
Между мыслью и словом нет однозначной связи. Одна и та
же мысль может быть выражена разными словами. Одно и
то же слово может возбуждать разные мысли.
Слововыражение, кроме поиска слов, точно передающих ту или иную
мысль, должно создавать определенное настроение,
ассоциации, порождать образы, вызывать желания, связывать
автора и аудиторию общим чувством.
4. СЛОВОВЫРАЖЕНИЕ ОБРАЩЕНИЯ
Когда автор рассматривает слова «обман»,
«надувательство», «мистификация» в качестве языковых эквивалентов
мысли «намеренное или ненамеренное заблуждение», то он
вступает в стадию слововыражения. Словесное выражение
428

мыслей менее всего регулируется правилами. Однако
некоторые рекомендации, как лучше выразить в слове мысль,
риторика дает.
Искусство выражать мысль устно или письменно в общем
случае означает умение владеть слогом (стилем)? Обычно
требуется, чтобы слог был ясным (предмет обдуман со всех
сторон, значение каждого слова твердо установлено),
убедительным (все мысли логически связаны друг с другом и с
темой обращения), понятным (все слова имеют однозначное
толкование по крайней мере для данной аудитории),
воздействующим на чувства и воображение. Первые три
требования — логико-грамматического характера. Последнее —
чисто риторическое. Для его выполнения следует уметь
пользоваться тропами и фигурами..
Тропы и фигуры — главные средства украшения языка,
возбуждения чувств, разжигания воображения. Рассмотрим
их последовательно.
Троп (греч. trope — поворот, перемена) — любое
изменение логического значения слова, любое использование
слова в его несобственном значении. Употребить троп
означает придать слову несвойственное ему значение на
основании некоторого критерия. Обычно различают следующие
критерии для образования тропов — подобие, качество,
количество и противоположность.
Основным тропом по подобию является метафора (букв,
«перенос»). Наш язык буквально насыщен метафорами:
кисть винограда, ручка двери, ножка стола, природа
жаждет, воспламененный страстью, луга смеются, каменное
сердце, золотая осень, золотые руки, небо нахмурилось. В
основе всякой метафоры лежит сравнение. Если можно
сравнить какие-либо две вещи — значит, можно построить и
метафору. Например: лев как царь зверей (сравнение); лев —
царь зверей (метафора). Употребить метафору означает
увидеть подобие между вещами с разными родовыми
признаками, соединить вместе то, что как правило, не соединяется.
Глубинная функция метафор связана с потребностью
человека объяснять окружающие его вещи в терминах своего
личного опыта и делить тем самым их понятными.
Главным тропом по качеству является метонимия (букв,
«переименование»). Если какие-либо две вещи связаны
некоторым образом, то имя каждой из них может
использоваться вместо имени другой. Метонимия также
распространена в нашей речи. Примеры: читать Пушкина (т. е.
сочинения А. С. Пушкина), обнажить меч (т. е. начать вой-
429

ну), наполнить чашу Вакхом (т. е. вином), соединиться
узами Гименея( т. е. вступить в брак), жить трудами (т. е.
на деньги, полученные за труд), съесть тарелку супа (т. е.
суп, налитый в тарелку).
Для метонимии характерно использование:
предыдущего вместо последующего, и наоборот;
действия вместо причины, и наоборот;
создателя вместо созданного, и наоборот;
знака вместо значения, и наоборот;
содержимого вместо содержащего, и наоборот;
владельца вместо собственности, и наоборот;
свойства вместо вещи, и наоборот;
места вместо вещи, и наоборот;
времени вместо вещи, и наоборот.
Разновидностью метонимии является синекдоха (букв,
«подразумеваемое^») — главный троп по количеству.
Примеры: иметь хлеб (т. е. изобилие), быть Крезом (т. е. очень
богатым), иметь колеса (т. е. автомобиль), иметь крышу (т.
е. дом), иметь голову (т. е. ум), человек (т. е. люди). Для
синекдохи характерно использование:
рода вместо вида, и наоборот;
целого вместо части, и наоборот;
единственного числа вместо множественного, и наоборот;
абстрактного вместо конкретного, и наоборот;
собственного имени вместо нарицательного, и наоборот.
Основным тропом по противопоставлению является
ирония (букв, «притворство») — употребление слова в
противоположном значении. «иОтколе, умная, бредешь ты,
голова?" — Лисица, встретяся с Ослом, его спросила» (И. А.
Крылов). Не менее распространенным тропом данного вида
является антитеза (букв, «противоположение») —
противопоставление. «Богатый и в будни пирует, а бедный и в
праздники горюет» (пословица). Когда противоположные
мысли объединяются, тогда возникает оксюморон (букв,
«остроумно-глупое») — соединение в одном словосочетании
слов с противоположным значением. Примеры: мудрое
безумие, темный свет, горькая радость; дорога вверх, ведущая
вниз.
Указанные тропы не исчерпывают всего списка.
Желающие разобраться более детально должны обратиться к
специальной литературе *.
1 Дюбуа Ж. и др. Общая риторика. М., 1988. С. 168—260.
430

Использование тропов предполагает умение
преобразовывать понятия. Все метафоры основаны на умножении
понятий. Метонимия и синекдоха предполагают умение
образовывать родовые понятия, находить их виды. Ирония,
антитеза и оксюморон невозможны без умения
конструировать противоположные и противоречащие понятия.
Объединяющей все тропы структурой является пропорция.
Рассмотрим метафору «золотая осень». Запишем ее в виде
пропорции:
осень золото
время года драгоценный металл
Пропорция читается: отношение осени к временам года
равно отношению золота к драгоценным металлам. Из
пропорции следует:
золото
осень = время годах z =
драгоценный металл
= время года, обладающее свойствами золота.
В полученном определении видовой признак «обладать
свойствами золота» не является собственным для родового
понятия «время года», т. е. не свойственно ему по основному
смыслу. Следовательно, метафора представляет
определение, в котором видовой признак не является собственным для
родового.
Если метафора требует знания всех членов пропорции,
строится посредством умножения ее членов, то при
метонимии и синекдохе задан, как правило, только один член
пропорции. Отношение его частей и составляет суть данных
тропов.
Рассмотрим метонимию «съесть тарелку». Она образуется
пропорцией:
суп _ содержимое
тарелка "~ содержащее*
Употребление содержащего вместо содержимого и создает
данный троп. Рассмотрим синекдоху «иметь крышу». Она
образуется пропорцией:
часть
целое'
431

Употребление части вместо целого образует данный троп.
При иронии один член пропорции должен быть
действительным отношением, другой — провозглашаемым. При этом
члены, расположенные на одной диагонали, должны
совпадать, а расположенные на другой — быть антонимами.
Вернемся к примеру из басни И. А. Крылова «Лисица и
Осел». Ирония обращения Лисицы к Ослу «Отколе, умная,
бредешь ты, голова?» возникает из следующей пропорции:
ум Осел
Осел глупость
в которой правый член характеризует действительное
(подразумеваемое) отношение, а левый член — провозглашаемое
отношение. Пропорция читается: ум присущ Ослу в той же
степени (провозглашается), в какой Ослу присуща в
действительности глупость (подразумевается).
При антитезе по крайней мере один член пропорции
состоит из антонимов. Рассмотрим антитезу «Ты богат, я
очень беден» (А С. Пушкин). Ее порождает пропорция:
я ты
бедность богатствоФ
Примером антитезы, в которой все члены базисной
пропорции состоят из антонимов, является приводившаяся
пословица «Богатый и в будни пирует, а бедный и в праздники
горюет»:
богатый _ в будни пирует
бедный ~~ в праздники горюет"
При оксюмороне верхние или нижние члены пропорции
состоят из антонимов, а противоположные им совпадают.
Рассмотрим оксюморон «горькая радость». Он
порождается пропорцией:
горечь радость
состояние души ~~ состояние души*
Если с помощью тропов изменяются значения слов, то с
помощью фигур изменяется значение словосочетаний и
предложений. Риторической фигурой называется любое
отступление от некоторой общепринятой нормы. Как и в случае с
тропами, это делается для воздействия на воображение и
чувства аудитории.
432

Все фигуры принято делить на фигуры мысли и фигуры
речи, понимая под этим разные приемы усиления мыслей и
более эффектного их словесного выражения.
Среди фигур, усиливающих наши мысли, наиболее часто
принимаемыми являются:
Риторический вопрос — вопрос, задаваемый автором не
для получения ответа, так как он очевиден для аудитории,
а для большего убеждения аудитории.
Уступка — соглашение автора с противоположной точкой
зрения с целью более эффектного ее опровержения.
Предварение — автор сам формулирует возможные
возражения своих оппонентов и сам на них отвечает.
Сомнение — автор спрашивает себя, с чего начать, что
сказать, чем закончить и т. д. не потому, что не знает ответов
на эти вопросы, а потому, что стремится увеличить степень
доверия аудитории к себе и своему обращению.
Обращение — автор вопросом что бы вы сделали на моем
месте? как бы меняется местами с аудиторией, побуждая ее
более активно следить за его мыслью, более энергично
поддерживать его.
Разделение — указание видов вместе рода, частей вместо
целого.
Среди фигур, усиливающих эффект словесного
выражения мыслей,наиболее часто применяются следующие.
Анафора — повторение звуков, слов, оборотов в начале
нескольких предложений. «Кто клеветы про нас не сеет? /
Кто нас заботливо лелеет? (А С. Пушкин).
Эпифора — повторение звуков, слов, оборотов в конце
нескольких предложений. «Милый друг, и в этом тихом
доме / лихорадка бьет меня. Не найти мне места в тихом
доме / возле мирного огня» (А. А. Блок).
Повторение связывающих частей — многократное
употребление каких-либо связывающих частиц. «И в одиночестве
жестоком сильнее страсть ее горит, / и об Онегине далеком
ей сердце громче говорит» (А. С. Пушкин).
Повторение слова подряд или через несколько слов.
«Всегда скромна, всегда послушна, всегда как утро весела»
(А С. Пушкин).
Повторение слова в разных падежах или употребление
слов с общим корнем. «Живя, умей все пережить» (Ф. И.
Тютчев). «Ворона каркнула во все воронье горло» (И. А.
Крылов).
433

Инверсия — повторение слов, оборотов в обратном
порядке. «Не для того живем, чтобы есть; а для того едим, чтобы
жить» (пословица).
Бессоюзная связь. «Откажут — мигом утешался;
изменят — рад был отдохнуть» (А С. Пушкин).
Совпадение последнего слова предыдущей мысли с первым
словом последующей. «За сим расстанемся, прости! Прости
ж и ты, мой спутник странный...» (А С. Пушкин).
Умолчание — легко восстанавливаемый аудиторией
пропуск в авторской речи. «Нет, я хотел... быть может, вы... я
думал, что уж барону время умереть» (Л. С. Пушкин).
Омонимия — употребление одинаково звучащих слов с
разными значением. «И прерывал его меж тем разумный
толк без пошлых тем...» (А С. Пушкин).
Синонимия — употребление неодинаково звучащих слов
с одним и тем же значением. «О рьяный конь... то смирный,
ласково-ручной...» (Ф. И. Тютчев).
Рассмотренные тропы и фигуры не исчерпывают всего
богатства риторических способов слововыражения. Лучшим
учебником в этом отношении следует считать русскую
поэзию и прозу.
Подбор тропов и фигур завершает основную часть
риторической деятельности. Мысли изобретены, расположены и
выражены. Реакция аудитории даст ответ, насколько
успешно все это было сделано.
5. ЛОГИКА СПОРА
«...Пусть лучше лира у меня скверно
настроена и звучит не в лад, пусть нестройно
поет хор, который я (Сократ. — В, С.)
снарядил, пусть большинство людей со мной не
соглашается и спорит, лишь бы только не
вступить в разногласие и в спор с одним
человеком — с собою самим».
(Платон. Горгий).
Спор — разновидность риторической речи, такая, что его
участники отстаивают несовместимые точки зрения по
какой-либо теме и каждый из них устно или письменно
стремится убедить другого в истинности своей позиции.
Другими словами, автор и аудитория периодически
меняются местами (ролями).
Можно выделить следующие элементы спора:
434

1) тему, относительно которой отстаиваются
несовместимые точки зрения, мнения, позиции;
2) участников — лиц, выдвигающих и защищающих
несовместимые точки зрения, мнения, позиции;
3) допустимые действия (вопросы и ответы), совершаемые
участниками спора;
4) правила, регулирующие проведение, т. е.
определяющие список допустимых действий и условий (критерии)
победы в споре.
Наиболее важной частью каждого спора являются
правила, по которым он ведется *. Более точно правила,
регулирующие спор, можно разделить на правила, определяющие
последовательность разрешенных действий, которые в
дальнейшем будут называться ходами и контрходами; правила,
определяющие формирование банка аргументов каждого
участника; правила, определяющие условия выигрыша
(проигрыша) в споре.
ПРАВИЛА СПОРА
А. Список и последовательность разрешенных ходов я
контрходов.
Каждый участник спора имеет право:
1. Выдвигать любое суждение, имеющее отношение к теме
спора, в качестве тезиса или аргумента в форме утверждения
(ход «выдвигаю») или в форме вопроса (ход «разве не так,
что...?»).
2. Соглашаться с любым суждением, высказанным другим
участником (ход «согласен»).
3. Подвергать сомнению любое суждение, высказанное
другим участником (ход «приведите аргументы, докажите»).
4. Отвергать любое суждение, высказанное другим
участником (ход «не согласен»).
5. Взять назад любое суждение, высказанное ранее (ход
«беру назад»).
Каждый участник спора обязан:
Логической технике спора посвящена обширная литература.
Дальнейшее изложение основано на результатах анализа: Hamblin С. L Fallacies.
London. 1970. P. 253—282; Barth E. M., Krabbe E. C. W. From Axiom to
Dialogue. New Work, 1982; Walton D. N. Informal Fallacies. Amsterdam,
1987. P. 142—146.
435

6. На ход собеседника «выдвигаю», «разве не так, что...?
отвечать контрходами «согласен», «не согласен» или
«приведите аргументы».
7. На ход «приведите аргументы» отвечать контрходами
«выдвигаю» или «разве не так, что...?».
8. На ход «согласен» отвечать контрходами «выдвигаю»
или «разве не так, что...?».
9. На ход «не согласен» отвечать контрходом «выдвигаю»,
«разве не так, что...?», «приведите аргументы» или «беру
назад».
10. На ход «беру назад» отвечать контрходами «согласен»,
«не согласен» или «приведите аргументы».
11. На ход «разве не так, что...?» отвечать контрходами
«согласен» или «не согласен».
B. Правила формирования банка аргументов.
1. Участник, сделавший ход «выдвигаю» или «согласен»,
заносит соответствующее суждение в свой банк аргументов.
2. Участник, сделавший ход «беру назад», вычеркивает
соответствующее суждение из своего банка аргументов.
3. Ни одно суждение не может быть взято участником
спора назад, если доказано, что оно является следствием его
банка аргументов.
4. Если доказано, что некоторое суждение является
следствием банка аргументов какого-либо участника, то оно
включается в этот банк в качестве нового члена.
5. Ход «приведите аргументы», сделанный участником
относительно некоторого суждения, помещает его в банк
аргументов оппонента.
C. Правила выигрыша (проигрыша).
1. Участники заранее договариваются о времени, которое
они могут потратить на спор и в течение которого он
считается действительным.
2. Выигрывавшим считается участник, который первым
докажет, что его тезис является логическим следствием
банка аргументов его оппонента или что банк аргументов
последнего содержит противоречие.
3. Если в отведенное время никто из участников не
выигрывает, спор заканчивается ничьей.
Приведенные правила не являются полными в том
смысле, что охватывают все ситуации спора. Но они достаточны
для иллюстрации его техники.
436

Пусть X обозначает произвольное суждение. Указанные
в правилах ходы можно формализовать следующим образом:
X « выдвигаю, предлагаю, утверждаю суждение X;
-X = беру назад суждение X;
Х\ = согласен, что суждение X истинно (имеет место);
—XI = не согласен, что X истинно (имеет место);
XI = приведите аргументы, докажите суждение X;
IX = разве не так, что суждение X истинно?
Рассмотрим несколько примеров спора, заимствованных
из известных басен И. А. Крылова.
Пример 1.
Крестьянин и змея
Мужик с Змеею подружился.
Известно, что Змея умна:
Так вкралась к Мужику она,
Что ею он и клялся и божился.
С тех пор все прежние приятели, родня,
Никто к нему ногой не побывает.
«Помилуйте, — Мужик пеняет, —
За что вы все покинули меня!
Иль угощать жена вас не умела?
Иль хлеб-соль моя вам надоела?» —
«Нет, — кум Матвей сказал ему в ответ, —
К тебе бы рады мы, сосед,
И никогда ты нас (об этом слова нет)
Не огорчил ничем, не опечалил:
Но что за радость, рассуди,
Коль, сидя у тебя, того лишь и гляди,
Чтобы твой друг кого, подползши, не ужалил?».
Участники спора — Мужик и кум Матвей,
представляющий интересы родственников. Тема спора — ходить или не
ходить в гости к Мужику, заведшему нового друга — Змею.
Мужик отстаивает тезис Т - следует продолжать ходить ко
мне в гости. Кум Матвей защищает антитезис — Т - не
следует продолжать ходить к Мужику в гости. Используемые
обоими участниками аргументы: Ai = жена умела вас
угостить, Аг = нам было чем вас угостить, Аз - Змея может нас
ужалить. Последовательность ходов и контрходов приведена
в табл. 1.
Выдвинутый кумом Матвеем решающий аргумент Аз
принимается Мужиком и, согласно правилу В\, включается
в его банк аргументов. Следовательно, согласно правилу С2,
кум Матвей выигрывает данный спор.
437

Таблица I
„ Кум Матвей
1. —Т (выдвигаю
антитезис -Т)
3. (А1&А2)! (согласен как с
Ai, так и с А2).
5. (Аз-»-Т) (выдвигаю
импликацию: если Змея
может ужалить, то к тебе в
гости лучше не ходить).
Мужик
2. -Т? (приведите
аргументы).
?(AivA2) (разве Ai или Аг
не имело место).
4. Аз! (согласен, что Аз
истинно).
Пример 2.
Свинья под Дубом
Свинья под Дубом вековым
Наелась желудей до сыта, до отвала;
Наевшись, выспалась под ним;
Потом, глаза продравши, встала
И рылом подрывать у Дуба корни стала.
«Ведь это дереву вредит, —
Ей с Дубу Ворон говорит, —
Коль корни обнажишь, оно засохнуть может». —
«Пусть сохнет, говорит Свинья, —
Ничуть меня то не тревожит;
В нем проку мало вижу я;
Хоть век его не будь, ничуть не пожалею,
Лишь были б желуди: ведь я от них жирею». —
«Неблагодарная! — промолвил Дуб ей тут, —
Когда бы вверх могла поднять ты рыло,
Тебе бы видно было,
Что желуди на мне растут».
Участники спора — Свинья, с одной стороны, Дуб и
Ворон, с другой. Тема спора — подрывать корни Дуба или
не подрывать. Ворон и Дуб отстаивают тезис Т - корни Дуба
подрывать нельзя. Свинья защищает антитезис — Т «¦ корни
Дуба подрывать можно. Используемые аргументы: Ai * Дуб
может засохнуть, Аг = я нуждаюсь только в желудях.
Последовательность ходов и контрходов приведена в табл. 2.
Дуб и Ворон выигрывают данный спор, потому что
Свинья, соглашаясь с аргументом Ai (принимая его в свой
438

Таблица 2
Свинья
Всщон и Дуб
1. — Т (выдвигаю
антитезис -Т).
3. Ai! (согласна Ai).
А2 (выдвигаю аргумент
А2)-
2. Т1 (не согласны с -Т).
Ai (выдвигаем Ai).
4. А2! (согласны с Аг).
Но Ai и А2 несовместимы
друг с другом.
банк аргументов), делает тем самым банк аргументе» про-
тиворечивым.
Пример 3.
Паук и Пчела
Купец на ярмарку привез полотны;
Они такой товар, что надобно для всех.
Купцу на торг пожаловаться грех:
Покупщиков отбою нет; у лавки
Доходит дело иногда до давки.
Увидя, что товар так ходко идет с рук,
Завистливый Паук
На барыши купца прельстился;
Задумал на продажу ткать,
Купца затеял подорвать
И лавочку открыть в окошке сам решился.
Основу основал, проткал насквозь всю ночь,
Поставил свой товар на диво,
Засел, надувшися, спесиво,
От лавки не отходит прочь
И думает: лишь только день настанет,
То всех покупщиков к себе он переманит.
Вот день настал: но что ж? Проказника метлой
Смели и с лавочки долой.
«Вот, — говорит, — жди праведной награды!
На весь я свет пошлюсь, чье тонее тканье:
Купцово иль мое?» —
«Твое: кто в этом спорить смеет? —
Пчела ответствует. — Известно то давно;
Да что в нем проку, коль оно
Не одевает и не греет?»
Участники спора — Паук и Пчела. Тема спора — полезна
ли ткань Паука. Паук отстаивает тезис Т - моя ткань
полезна. Пчела защищает антитезис — Т = твоя ткань
бесполезна. Аргументы участников спора: Ai - моя .ткань тоньше,
439

Аг = ткань должна одевать и греть. Последовательность ходов
и контрходов указана в табл. 3.
Таблица 3
Паук
1. Т (выдвигаю тезис Т).
3. Ai (выдвигаю аргумент
Ai).
Пчела
2. Т? (приведите
аргументы).
—Т (выдвигаю антитезис
-Т).
4. Ail (согласна с Ai).
(Ai-*(-A2-»-T))
(выдвигаю: из Ai следует, что твоя
ткань не одевает и не греет
и, следовательно,
бесполезна).
Так как Паук принимет аргумент Ai, Пчела немедленно
выигрывает спор. Ибо, хотя ткань Паука и тоньше, но она
не одевает и не греет и, следовательно, бесполезна.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Возможна ли нериторическая речь? Аргументируйте
свой ответ.
2. Распространите следующие предложения:
Юность — лучшее время жизни.
Опыт — наш лучший учитель.
Добродетель — путь к счастью.
Праздность рождает пороки.
3. Проанализируйте расположение частей в басне И. А.
Крылова «Фортуна в гостях». Выделите в каждой части
простые периоды и образующие их главные предложения:
На укоризну мы Фортуне тароваты:
Кто не в чинах, кто не богат,
За все, про все ее бранят,
А поглядишь, так сами виноваты.
Слепое счастие, шатаясь меж людей,
Не вечно у вельмож гостит и у царей,
Оно и в хижине твоей,
440

Быть может, погостить когда-нибудь пристанет:
Лишь время не терять умей,
Когда оно к тебе заглянет;
Минута с ним одна, кто ею дорожит,
Терпенья годы наградит.
Когда ж ты не умел при счастье поживиться,
То не Фортуне ты, себе за то пеняй
И знай,
Что может, век она к тебе не возвратится.
Домишка старенький край города стоял;
Три брата жили в нем и не могли разжиться:
Ни в чем им как-то не спорится.
Кто что из них ни затевал,
Все остается без успеха,
Везде потеря иль помеха;
По их словам, вина Фортуны в том была.
Вот невидимкой к ним Фортуна забрела
И, тронувшись их бедностью большою,
Им помогать решилась всей душою,
Какие бы они ни начали дела,
И прогостить у них все лето.
Все лето: шутка ль это!
Пошли у бедняков дела другой статьей.
Один из них хоть был торгаш плохой,
А тут, что ни продаст, ни купит,
Барыш на всем большой он слупит;
Забыл совсем, что есть наклад,
И скоро стал, как Крез, богат.
Другой в Приказ пошел: иною бы порою
Завяз он в писарях с своею головою;
Теперь ему со всех сторон Удача:
Что даст обед, что сходит на поклон, —
Иль чин, иль место схватит он;
Посмотришь, у него деревня, дом и дача.
Теперь вы спросите: что ж третий получил?
Ведь, верно, и ему Фортуна помогала?
Конечно: с ним она почти не отдыхала.
Но третий брат все лето мух ловил,
И так счастливо,
Что диво!
Не знаю, прежде он бывал ли в том горазд:
А тут труды его не втуне.
Как ни взмахнет рукой, благодаря Фортуне,
Ни разу промаху не даст.
Вот гостья между тем у братьев нагостилась
И дале в путь пустилась.
Два брата в барышах: один из них богат,
Другой еще при том в чинах; а третий брат
Клянет судьбу, что он Фортуной злою
Оставлен лишь с сумою.
Читатель, будь ты сам судьею,
Кто ж в этом виноват?
441

4. Попробуйте найти тропы и фигуры в следующих
лирических стихотворениях Ф. И. Тютчева:
Полдень
Лениво дышит полдень мглистый;
Лениво катится река,
И в тверди пламенной и чистой
Лениво тают облака.
И всю природу, как туман,
Дремота жаркая объемлет;
И сам теперь великий Пан
В пещере нимф покойно дремлет.
И чувства нет в твоих очах,
И правды нет в твоих речах,
И нет души в тебе.
Мужайся, сердце, до конца:
И нет в творениях творца!
И смысла нет в мольбе!
5. Попробуйте самостоятельно усилить или ослабить
правила спора за счет включения или исключения каких-либо
вопросов и ответов к ним.
6. Проанализируйте структуру спора персонажей из басни
И. А. Крылова «Муха и Пчела»:
В саду, весной, при легком ветерке,
На тонком стебельке
Качалась Муха, сидя,
И на цветке Пчелу увидя,
Спесиво говорит: «Уж как тебе не лень
С утра до вечера трудиться целый день!
На месте бы твоем я в сутки захирела.
Вот, например, мое
Так, право, райское житье!
За мною только лишь и дела:
Летать по балам, по гостям;
И молвить, не хвалясь, мне в городе знакомы
Вельмож и богачей все домы».
«Все это знаю я, — ответствует Пчела. —
Но и о том дошли мне слухи,
Что никому ты не мила,
Что на пирах лишь морщатся от Мухц,
Что даже часто, где покажешься ты в дом,
Тебя гоняют со стыдом». —
«Вот, — Муха говорит, — гоняют! Что ж такое?
Коль выгонят в окно, так я влечу в другое».

ГЛАВА X. ЛОГИКА МИФА И СКАЗКИ
«Все волшебные сказки однотипны по
своему строению».
& Я. Пропп» Морфология сказки.
«Приходится признать, что изучение
мифов приводит нас к противоречивым
заключениям. В мифе все может быть; кажется, что
последовательность событий в нем не
подчиняется правилам логики и нарушает законы
причинности. Любой субъект может иметь
здесь любой предикат, любые мыслимые
связи возможны, и при этой кажущейся
произвольности одни и те же мифы с теми же
отличительными чертами и зачастую с теми
же подробностями встречаются во многих
областях земного шара. Встает вопрос: если
содержание мифов абсолютно случайно, как
объяснить их сходство в разных местах
Земли?»
К. Леви-Строс. Структурная
антропология.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СТРУКТУРНОМ АНАЛИЗЕ
МИФОВ И ВОЛШЕБНЫХ СКАЗОК.
Неутихающие дискуссии специалистов по фольклору,
мифологии, культуре, антропологии, истории, философии,
психологии, лингвистике о том, что такое миф и сказка,
породили множество разнообразных толкований. Мы
обсудим те из них, которые основаны на так называемом
структурном анализе.
Цель структурного анализа, где бы он ни проводился,
заключается в выявлении структуры изучаемого объекта.
Под структурой обычно понимается внутренний закон,
обеспечивающий устойчивое единство элементов исследуемого
объекта. По этой причине структурный анализ решает, как
443

правило, две основные задачи. Во-первых, определяет
элементы, из комбинации которых состоит изучаемый объект.
Во-вторых, формулирует закон связи этих элементов.
Кажется само собой разумеющимся считать элементами
сказок и мифов их сюжеты.
Однако, как было показано В. Я. Проппом в отношении
русской волшебной сказки * и К. Леви-Стросом в отношении
мифов американских индейцев2, сюжеты представляют
слишком сложные единицы, чтобы считаться элементами. В
каждом сюжете есть не только постоянные, но и переменные
величины. Например, ущерб, наносимый герою, с описания
которого начинается почти каждая сказка, образует
постоянную величину. Конкретные виды этого ущерба и способы
его нанесения, определяющие своеобразие каждой сказки,
представляют переменную величину.
Согласно В. Я. Проппу, действительными элементами
волшебной сказки является функции ее героев. Число таких
функций ограничено (равно 31), их последовательность
всегда одинакова, а все вместе они образуют структуру сказки.
Упорядоченный характер последовательности функций
образует закон их связи. В самом общем виде он может быть
выражен следующим образом:
A)
Решая аналогичную задачу в отношении мифов, К. Ле-
ви-Строс сужает число функций, рассматриваемых в
качестве элементов, до четырех и более точно определяет закон
их последовательности.
Пусть Fx обозначает негативную функцию (роль), Fy —
позитивную функцию, а и Ь — героев мифа. Согласно К.
Леви-Стросу, содержание мифа распадается на две
взаимосвязанные ситуации — начальную и конечную. В начальной
ситуации один герой выполняет негативную функцию и
Нанесение
ущерба •
герою
Промежуточные
* действия
героя
Восстановление
-* нанесенного
ущерба
Пропп В. Я. Морфология сказки. Изд. 2-ое. М., 1969. (Первое издание —
в 1928 г.).
Леви-Строс К. Структура мифов. // Структурная антропология. М.»
1983. С. 183—207.
444

становится вредителем, другой герой выполняет позитивную
функцию и превращается в жертву. Таким образом,
начальная ситуация фиксирует отношение нанесения ущерба одним
героем другому, что записывается как Fx(a):Fy(b).
Формализация читается: а наносит ущерб b и превращает
последнего в свою жертву. В конечной ситуации происходит
инверсия функций и перестановка местами героев таким образом,
что тот, кто был жертвой в начальной ситуации,
превращается во вредителя, а тот, кто был вредителем, становится
жертвой. Таким образом, конечная ситуация также
воспроизводит отношение нанесения ущерба, но уже с учетом
указанных инверсий и перестановок. Конечная ситуация
формализуется следующим образом: Fx(b):Farl(y). Она
читается: Ъ наносит ущерб а таким образом, что негативный
герой а «уничтожается», а нанесенный им ущерб
восполняется. Об этом говорит то, что позитивная функция у
становится субъектом мифа и выполняет роль уничтожителя
героя-вредителя а.
Приблизительное равенство начальной и конечной
ситуации и образует, согласно К. Леви-Стросу, структуру мифа:
Fx(a):Fy(b)~Fx(b):Fa~l (у). B)
Формулу B) можно прочитать так: ущерб, наносимый
негативным героем мифа, нетрализуется приблизительно
таким же ущербом, наносимым позитивным героем в конце
мифа.
Имееется сходство и различие между формулами A) и
B). Сходство состоит в том, что в разных терминах они
воспроизводят один и тот же шаблон, по которому строятся
все мифы и сказки: если негативный герой нарушает
начальное равновесие, то позитивный герой обязательно его
восстанавливает, как правило, с некоторым перевесом для себя.
Обе формулы различаются уровнем логической
отработанности. Формула A) родилась в результате сравнительного
анализа большого числа сказок. И тем не менее ей не хватает
логической завершенности. Не все из выделенных 31
функций является необходимыми. Некоторые из них дублируют
друг друга, некоторые находятся в отношении подчинения,
некоторые варьируются. Иными словами, формула A) еще
в большей степени зависит от различных нелогических
допущений. Все эти особенности отмечал и сам В. Я. Пропп.
Формула B) в логическом отношении более совершенна.
По предположению К. Леви-Строса, порождаемая этой фор-
445

мулой система преобразований выполняет законы
алгебраической теории групп. Из этого, по его мнению, следуют два
вывода. Во-первых, каждая функция, входящая в B),
необходима, а вместе они достаточны для порождения любого
мифологического текста. Во-вторых, мышление
первобытного человека столь же логично, как и мышление современного
человека.
С предположением К. Леви-Строса о тесной связи его
формулы с теорией групп расходится мнение некоторых
исследователей. «К несчастью, эта формула (структуры
мифа К. Леви-Строса. — В. С.) никогда не объяснялась. По этой
видимости, вместо того, чтобы рассматривать ее буквально,
нам следует считать эту формулу выражением, лишь
ассоциативно связанным с определенными математическими
понятиями, но не эквивалентным ни одному из них. Без
точного определения эта формула остается средством
риторики, но не анализа» *.
Определенные основания для такой оценки имеются: не
все функции, как предполагал К. Леви-Строс, являются на
самом деле необходимыми. Результат разрешения мифа, т.
е. Fa (у) у такой функцией не является. По этой причине
связь B) и теории групп действительно является
ассоциативной.
Означает ли отмеченное формальное ограничение, что
формула мифа и сказки, точно воспроизводящая их
структуру и удовлетворяющая самым строгим формальным
требованиям, невозможна? Все мифы и сказки имеют
диалектическую природу2. Поэтому, чтобы дать положительный
ответ на данный вопрос, необходимо предварительно решить
проблему, ставшую камнем преткновения для специалистов
по логике и диалектике, — проблему логически корректного
воспроизведения структуры диалектического противоречия.
1 Horary F. Hage P. Structural Models in Anthropology. Cambridge. 1983.
P. 131.
2 Голосовкер Я. Э. Логика мифа. М., 1987; Маранда П. Кенгас-Маранла
Э. Структурные модели в фольклоре // Зарубежные исследования по
семиотике фольклора. М., 1985. С. 194—260.
446

2. ДИАЛЕКТИЧЕСКОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕ:
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ.
Созданная Гегелем диалектическая концепция развития,
для которой «нет вообще абсолютно ничего, в чем мы не
имели бы и не были бы вынуждены обнаружить
противоречие» *, оказалась несовместимой с законом противоречия.
Гегель и его последователи обошли возникшую проблему,
провозгласив существование высшей — диалектической —
логики. Их оппоненты, прежде всего представители
символической логики, подвергли сомнению возможность
существования особой, отличной от символической, логики. В
процессе обсуждения появилась и компромиссная точка зрения,
допускающая одновременное и раздельное существование
диалектической и формальной логики со своим особым
предметом и своими особыми задачами. Общей чертой всех этих
альтернатив является отрицание возможности какого-либо
конструктивного анализа проблемы диалектического
противоречия. Отдельные попытки провести такой анализ успеха
не имели 2.
Между тем проблема диалектического противоречия
имеет однозначное и строгое решение при взгляде на диалектику
как множество преобразований, подчиняющихся
специальным законам сохранения 3.
Пусть дан произвольный универсум вещей И. Определим
на нем непустое бинарное отношение строгого порядка
R(AeiAi), e*i. Нетрудно убедиться, что такое отношение
допускает только четыре связанных друг с другом
преобразования.
Во-первых, можно изменить на обратный порядок
субъектов, не изменяя их реляционных качеств. Обозначим эту
инверсию буквой С. Во-вторых, можно инвертировать
реляционные качества субъектов, не изменяя порядок самих
субъектов. Обозначим эту инверсию буквой К. В-третьих,
1 Гегель Г. В. Ф. Энциклопедия философских наук. М., 1974. Т. 1. С. 227.
2 См., например: Диалектическое противоречие. М., 1979; Диалектика
отрицания отрицания. М., 1983.
3 Более подробно см.: Светлое В. А. Диалектическое противоречие как
логическая проблема (реабилитация «Науки логики» Гегеля) // Логика
и развитие научного знания. СПб, 1992. С. 128—142.
447

можно изменить на обратный порядок субъектов и
инвертировать также их реляционные качества. Такая инверсия
соответствует результату последовательного выполнения в
любом порядке С- и К- инверсий. Обозначим ее буквой М.
Наконец, можно перевести данное отношение в само себя, т.
е. оставить без изменения порядок субъектов и их
реляционные качества. Это — тождественная инверсия. Обозначим
ее буквой Т.
Таким образом, С-инверсия переводит отношение
R(Ae,Ai) в отношение R (Аи Ае); ^-инверсия переводит
указанное отношение в отношение R~l (Ае, Ai); М-инверсия
переводит данное отношение в отношение R (Аи Ае)\ Г-ин-
версия переводит исходное отношение в отношение R(Ae> Ai).
Пусть, например, R(Ae, Ai) = «Ае больше Ai». Применение
к этому отношению С-инверсии дает «Ai меньше Ае»;
применение iC-инверсии дает «Ае меньше Ai»; применение М-
инверсии дает «Л/ больше А?»; применение Т-инверсии дает
«Ае больше Ai».
Между всеми четырьмя инверсиями существует взаимная
связь, такая, что вместе они образуют группу (в
алгебраическом смысле) взаимно обратимых преобразований (рис. 1).
R(Ai, Ae)
Порядок этой группы равен числу инверсий, т. е. четырем.
Другие свойства группы проверяются движением вдоль
соответствующих линий диаграммы.
Ассоциативность: С(КМ)=(СК)М=К(СМ).
Тождественность: СКМ=Т, ТС=С, ТК=К, ТМ=М.
Обратимость: СС=7\ КК=ТУ ММ=Т, ТТ=Т (каждый
элемент группы сам себе обратен).
Композиция: СК=*М, СМ=К, МК=С (композиция, т. е.
умножение, любых двух инверсий, исключая Т-инверсию,
дает третью инверсию данной группы).
Группа четырех, выполняющая указанные выше
свойства, представляет пример известной клейновской группы
четвертого порядка. Важность этой группы состоит в том, что
448

ее свойства необходимы и достаточны для формулировки
законов диалектики как законов сохранения введеных
инверсий. Для наших целей будет достаточно определить
понятия диалектического противоречия, диалектического
отрицания, отрицания отрицания, а также провести различие
между внутренними и внешними диалектическими
противоречиями.
Мы будем называть два понятия диалектически
противоположными, если и только если они являются
противоречащими и противоположными одновременно (о таких понятиях
см. гл. II, 4). Диалектически противоположные понятия
представляют результат С-инверсии.
Каждая пара диалектически противоположных понятий
образует диалектическое противоречие. Это противоречие
выражается в том, что по своим реляционным качествам его
субъекты несовместимы друг с другом, т. е. Л^А/, но
отношения, в которых они находятся, эквивалентны друг другу,
т.е. R(Ae, А)*-»/?^/, Ae). Таким образом, С-инверсия
порождает не только диалектические противоположности, но
и диалектические противоречия.
Мы будем называть диалектическое противоречие
внутренним, если оно представляет непосредственное,
выражаемое одним субъектом, единство диалектических
противоположностей; внешним, если оно представляет опосредованное,
выражаемое разными субъектами, единство
противоположностей, (рис. 2).
Ae)
Ae
Рис.
ли
Ае)
2
^Ai
R (Аи Ад
Отношения R(Ae, Ae) и Rrx(Ae> Ae) (на рис. 2 указано
только первое из них) выражают внутреннее противоречие
субъекта А»; отношения RiAu Ад и Л (Л/, Ад (на рис. 2
указано только первое из них) выражают внутреннее
противоречие субъекта Аи Отношения R(Ae> Ад и Rr*(Ai9 Ae)
выражают внешнее диалектическое противоречие между
субъектами Ае и Аи
Связь внутреннего и внешнего обнаруживается в том, что
каждое внутреннее отношение можно разложить на
внешние, а из внешних синтезировать внутреннее. Пусть «о»
обозначает композицию (умножение) отношений. Соглано
рис. 2, имеют место следующие равенства:
15 Зак.210

R(Ae, Ae)=R~l<Ae, Ae)=R{Ae, At)oRA(Aiy Ae).
R(Aiy Ai)=R-l(Ai, Ai)=R(Au Ae)oR'l(Ae, At).
Например, «человек» разлагается на отношения
«мужчина» и «женщина», «равно» — на отношения «больше» и
«меньше», «полная механическая энергия» — на отношения
«потенциальная энергия» и «кинетическая энергия»,
«рынок» — на отношения «купля» и «продажа».
Разрешение диалектического противоречия требует
«взаимного перехода противоположностей друг в друга». В
теоретико-групповом истолковании это требование равносильно
последовательному выполнению С- и if-инверсий или, что
то же, выполнению М-инверсии. Смысл М-инверсии состоит
в изменении на обратный как порядок субъектов, так и их
реляционных качеств, т. е. в постановке субъектов в
симметричные отношения. Если С-инверсия порождает
диалектическое противоречие, тождество субъектов с их
одновременным различием, то М-инверсия обеспечивает
разрешение диалектического противоречия, тождество без
различия, т. е. полное тождество противоположностей, или
их «взаимный переход друг в друга».
Мы будем называть отношения, порождаемые М-инвер-
сией, диалектически отрицающими друг друга, так как
только эта инверсия меняет на противоположные и место, и
качество субъектов. Иными словами, только эта инверсия
дает максимальную степень отрицательности отношений.
Таким образом, шаг от возникновения диалектического
противоречия до его разрешения представляет шаг от С-ин-
версии к М-инверсии и выражается в трансформации
отношения Л М/, Ае) в отношение R(Au Ae).
Результат разрешения диалектического противоречия
равен результату композиции отношений, достигших стадии
диалектического отрицания, и подчиняется закону
раскручивающейся спирали R2n(Ae> Ae), где л — число витков
спирали для субъектов, способных находиться в
симметричных отношениях, и R}n(Ae> Ak), e&k для субъектов, не
способных находиться в симметричных отношениях.
Для субъектов, которые могут находиться в
симметричных отношениях, при п=1 имеет место: R(Ae,
Ai)oR(AuAe)=R2(Aei Ае). Отношение R(Ae> АО можно
интерпретировать как тезис (в гегелевском смысле), отношение
Л 04/, Ае) — как антитезис. Результат композиции отноше-
450

ние R2(Ae, Ae) можно интерпретировать как результат
синтеза тезиса и антитезиса, или как результат двойного
отрицания тезиса (на что указывает показатель степени
отношения).
Рассмотрим пример. Пусть R (Л, В) = «А обманщик Б».
Тогда R1 (Ву А) = «В жертва обмана Л». Отношения R(A, В)
и Л1 (Б, А) представляют диалектические
противоположности родового отношения «обман». Возникшее диалектическое
противоречие между А и В разрешается только тогда, когда
отношение «Б жертва А» трансформируется в отношение «В
обманщик А», т. е. в отношение R(Б, А). Если это
произойдет, тогда будет истинно как R(Л, В), так и R(В, А), а также
их композиция R(A, B)oR(By A)=R2(A, Л)= - «Л свой
собственный обманщик». Отношение R2(A, А) объединяет как
качество тезиса «Л обманщик», так и качество антитезиса «Л
жертва обмана» и тем самым представляет их настоящий
диалектический синтез.
Для субъектов, которые не могут находиться в
симметричных отношениях, разрешение диалектических
противоречий носит аналогичный характер. Требуется только
введение дополнительных субъектов. Например, если R(A, В) -
«Л отец В», то диалектической противоположностью этого
отношения будет R~l(B> Л) = «Б сын Л», а диалектическим
отрицанием — отношение R(B, С) = «Б сын С».
Соответственно синтез отношений R(A9 В) и R(B, С) равен результату
композиции: Д(Л, Б)оЖБ, C)=R2(A, C)= «Л дед С». Быть
дедом означает быть отцом отца, т. е. объединять качество
тезиса «отец» и качество антитезиса «сын (ставший отцом)».
Итак, теоретико-групповое истолкование диалектики не
требует ни отказа от законов символогической логики, ни их
модификации. Диалектическая противоречивость адекватно
выражается в терминах инверсий отношений. Это в общем
было понятно и Гегелю, отмечавшему, что «Противоречие
выступает только там, где есть отношение» *.
3. ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА СКАЗОК И МИФОВ
Проделанный в предыдущем параграфе анализ позволяет
предложить формулу, выражающую структуру большинства
сказок и мифов и в то же время лишенную формальных
1 Гегель Г. В. Ф. Сочинения. М., 1932. Т. X. С. 371.
15' 451

ограничений, присущих формулам В. Я. Проппа и К. Леви-
Строса.
Пусть А и В — субъекты отношения R(-y -),
определяющего развитие какого-либо сказочного или мифологического
сюжета. Тогда независимо от содержания этого сюжета он
имеет следующую структуру:
RС4, В) : R (Я, А) < R(B, A) : R2C4, A). C)
Формула C) почти полностью соответствует леви-стро-
совской формуле мифа B). Первая часть формулы, R(A, В)
: R~l(B, А), характеризует начальную ситуацию сказки или
мифа, т. е. возникновение и развитие диалектического
противоречия между субъектами А и В. Вторая часть формулы,
R(В, А) : R2(A, A)> характеризует конечную ситуацию
сказки или мифа, т. е. возникновение и развитие
диалектического противоречия между А и В. Вся формула читается
следующим образом. Если А своими действиями нарушает
равновесие, то В обратными действиями восстанавливает
равновесие. При этом результат разрешения
диалектического противоречия может быть двоякого рода. Во-первых,
отношение R2(A, А) может означать, что А наносит самому
себе какой-либо (физический, моральный) ущерб.
Во-вторых, это же отношение может означать, что действия А
оказались успешными и принесли ему какой-то вид выгоды.
Какой из данных результатов имеет место — зависит от
содержания мифа и сказки.
Рассмотрим несколько примеров.
СКАЗКА О РЫБАКЕ И РЫБКЕ (А С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Случайно пойманная стариком золотая
рыбка просит вернуть ей свободу и обещает дорогой откуп.
По мнению старика, случившееся настолько выходит за
рамки обычной человеческой жизни — поймана не простая,
а золотая рыбка, владычица синего моря, что он
отказывается от вознаграждения и отпускает рыбку в море.
По-другому оценивает происшедшее старуха (жена старика). С ее
точки зрения, услуга, оказанная стариком рыбке, должна
быть оплачена, и она последовательно требует в качестве
откупа новое корыто, новую избу, звание дворянки, царицы
и морской владычицы. Первые четыре требования
удовлетворяются, пятое — нет. Более того, оно не просто не
выполняется, а лишает старуху всех прежних приобретений,
возвращает ее к землянке и разбутому корыту.
452

Анализ. Основу сюжета сказки составляет возникновение,
развитие и разрешение диалектического противоречия
между благодарностью и щедростью того, кому оказана услуга,
и корыстным использованием этих качеств тем, кто ее
оказал. Субъектами противоречия являются соответственно
рыбка и старуха. Старик введен в сказку лишь для
объяснения, каким образом старуха получила право на требование
вознаграждения от рыбки. Рыбка приобретает в этом
противоречии качество «благодарность и щедрость к тому, кто
вернул свободу», а старуха — качество «неблагодарность и
жадность к тому, кто получил свободу и должен за нее
заплатить».
Отношение старухи к рыбке диктуется исключительно
жаждой наживы, власти. Обратное отношение рыбки к
старухе обусловлено желанием отблагодарить за возвращенную
свободу. Развитие противоречия происходит в форме роста
величин образующих его противоположных качеств.
Жадность и неблагодарность старухи возрастают с каждым
удовлетворенным требованием. Аналогично возрастают щедрость
и благодарность рыбки. Пределом количественного роста
величин противоположных качеств становится требование
старухи сделать ее морской владычицей, а рыбку — ее
постоянной служанкой. Смысл этого требования сводится к
тому, что рыбка в качестве благодарности за свое
освобождение должна пожертвовать своей же свободой. Но платой
за свободу не может быть сама свобода. По этой причине
рыбка отказывается удовлетворить последнее требование
старухи. Отказавшись выполнить требование старухи, рыбка
инвертирует свое качество «благодарность и щедрость к тому,
кто вернул свободу», на противоположное качество
«неблагодарность и жадность к тому, кто вернул свободу». Но как
только такая инверсия происходит, рыбка и старуха
оказываются в симметричных, т. е. эквивалентых, но обратно
направленных отношениях жадности и неблагодарности друг
к другу. Такие отношения диалектически отрицают друг
друга, а их достижение характеризует стадию
диалектического противоречия.
Пусть С обозначает старуху, Р — рыбку, Ж (С, Р) —
отношение жадности и неблагодарности старухи к рыбке,
Б(Р, С) — отношение благодарности и щедрости рыбки к
старухе, Ж(Р, С) — отношение жадности и неблагодарности
рыбки к старухе.
Начальная ситуация, т. е. возникновение и развитие
противоречия, задается пропорцией отношений Ж (С, Р) : Б(Р, С).
453

Конечная ситуация, т. е. разрешение противоречия,
возникает в тот момент, коща отношение Б(Р, С)
трансформируется в отношение Ж(Р, С). Синтез отношений Ж (С, Р) и
Ж(Р, С) порождает отношение Ж2(С, С), которое
представляет главный результат разрешения противоречия. Ж2(С, С)
буквально означает: старуха является жертвой своей
собственной жадности. В более широком контескте этот результат
означает, что всякая жадность и неблагодарность
уничтожается ими же самими порожденными и обратно
направленными жадностью и неблагодарностью. Следовательно, конечная
ситуация задается пропорцией отношений Ж(Р, С) : Ж2(С, С).
В целом структура сказки имеет следующий вид:
Ж(С, Р) : Б(Р, С) < Ж(Р, С) : Ж2(С, С).
Вся формула читается так: ущерб, нанесенный рыбке
жадностью и неблагодарностью старухи, равен или меньше
ущерба, нанесенного старухе жадностью и неблагодарностью
рыбки.
Развитие и разрешение противоречия носит
спиралевидный характер: жадность и неблагодарность старухи к рыбке
(тезис) отрицаются жадностью и неблагодарностью рыбки к
старухе (антитезис) и синтезируется в жадности и
неблагодарности старухи по отношению к самой себе (синтез). В
сказке эта спираль выражена художествееными
средствами — как возвращение старухи в исходное состояние, к
землянке и разбитому корыту, т. е. в состояние нищеты. Но
эта нищета уже является следствием самоуничтожения
жадности и неблагодарности старухи, т. е. ее социального
падения, и поэтому должна отличаться от нищеты как следствия
старости, с описания которого начинается сказка.
СКАЗКА О ПОПЕ И О РАБОТНИКЕ ЕГО БАЛДЕ (А С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Жадный и хитроватый поп заключает с
Балдой договор: за три щелчка по лбу Балда обязуется в
течение года усердно выполнять обязанности повара, конюха
и плотника. Надежды попа на то, что Балда не справится со
своими обязанностями, не оправдываются. По совету
попадьи поп поручает Балде рискованное для человека задание:
собрать с чертей несуществующий оброк за три года. Черти
устраивают Балде испытание, из которого он выходит
победителем. Выполнив поручение попа, Балда требует расплаты.
Поп получает три щелчка и теряет способность говорить и
мыслить.
454

Анализ. Сюжет сказки основан на двух однотипных
противоречиях, одно из которых включено в другое как условие
его разрешения. Общим является противоречие между
хозяином, пытающимся хитростью избавить себя от расплаты по
договору, и работником, честно выполняющим свои
обязанности и желающим получить установленную плату.
Подчиненным является противоречие между соперниками, один из
которых принципиально не может вести честную борьбу.
Субъекты общего противоречия — поп и Балда с
реляционными качествами соответственно «хитрый хозяин» и
«честный работник». Субъекты подчиненного противоречия —
нечистая сила (черти) и Балда с реляционными качествами
соответственно «нечестный соперник» и «честный соперник».
Общее противоречие возникает в момент заключения
договора, ибо уже тоща поп надеется, что Балда не сможет
добросовестно выполнять свои многочисленные и трудоемкие
обязанности. Фактически выполняемый перечень
последних — повар, конюх, плотник и нянька — можно
рассматривать как этапы количественного роста величин
противоположностей этого противоречия. Вершиной этого роста
становится поручение попа собрать с чертей оброк за три
года и согласие Балды выполнить его: хирость попа и
честность Балды достигают максимума. Но здесь же рождается
новое противоречие, которое было названо подчиненным.
Никакого оброка черти попу в действительности не
должны. Нечистая сила также известна своей хитростью и
способностями, превосходящими возможности человека. Но
Балда как добросовестный работник не может не выполнить
данное ему поручение. Поэтому он сразу инвертирует свое
качество «честный соперник» на противоположное качество
«нечестный соперник» и тем самым переводит противоречие
между собой и нечистой силой в стадию разрешения.
Хитрости и способности нечистой силы Балда противопоставляет
хитрость и способность человека: не выиграв ни одного
состязания, Балда том не менее искусно создает видимость
своих побед.
Выполненное Балдой последнее поручение делает
неизбежным разрешение общего противоречия.
Продемонстрированная Балдой хитрость в отношении нечистой силы
автоматически распространяется и на попа как автора данного
поручения. Это означает, что для Балды поп и черти стали
частями одного общего функционального субъекта «хитрый
хозяин». Поэтому, когда Балда противопоставляет хитрости
455

чертей свою хитрость, он одновременно противопоставляет
ее также хитрости попа. В результате поп и черти, с одной
стороны, Балда, с другой, оказываются в симметричных
отношениях друг к другу.
Пусть П обозначает попа, Б — Балду, Х(П, Б) — хитрость
попа по отношению к Балде, Ч(Б, П) — честность Балды по
отношению к попу, Х(Б, П) — хитрость Балды по отношению
к попу и чертям.
Начальная ситуация задается пропорцией отношений
Х(П, Б) : Ч(Б, П).
Конечная ситуация возникает в тот момент, когда Балда,
выполнив все поручения, инвертирует свое отношение к попу
на обратное, т. е. на отношение Х(Б, П). Синтез отношений
Х(П, Б) и Х(Б, П) порождает отношение Х2(П, П),
представляющее главный результат разрешения противоречия.
Буквально Х2(П, П) означает, что поп и его
помощники-черти стали жертвой собственной хитрости. В более широком
контексте оно означает, что всякая хитрость уничтожается
ею же самой порожденной и обратно направленной
хитростью.
Структура сказки имеет следующий вид:
Х(П, Б) : Ч(Б, П) < Х(Б, П) : Х2(П, П).
Полученная формула читается: ущерб, причиненный
Балде хитростью попа, меньше или равен ущербу,
причиненному попу хитростью Балды.
Спиралевидный характер разрешения основного
противоречия сказки очевиден. В начале сказки и в ее конце поп
показан человеком, лишенным способности здраво мыслить
и говорить, т. е. критически оценивать ситуацию; но в конце
сказки поп лишается этой способности уже физически в
результате собственной недальновидной хитрости.
СКАЗКА О ЦАРЕ САЛТАНЕ (А С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Из трех сестер царь Салтан выбирает в
жены ту, которая обещает ему родить сына-богатыря. Из
зависти к сестре, ставшей царицей, две другие сестры и их
мать клевещут на нее и пытаются уничтожить ее и
родившегося царевича, бросив их в бочке в океан. Растущий не по
дням, а по часам царевич сначала спасает себя и мать, затем
заколдованную в лебедя девицу. Спасенная девица делает
царевича князем большого города, помогает ему три раза
тайно — в виде комара, мухи и шмеля — посетить отца
456

Салтана, приобрести чудо-белку, чудо-богатырей и
чудо-жену. Салтан, прослышав про необыкновенного князя и его
чудеса, решается, наконец, посетить его. Встретившись с
ним, Салтан узнает своих жену и сына. Тетки и бабка
раскаиваются в своих проступках и, будучи наказаны еще
ранее, отпускаются домой с миром.
Анализ. В основе сюжета лежит общее противоречие,
порождаемое отношением «зависть». Его субъектами
являются тетки и бабка царевича, с одной стороны, царевич и
его мать, с другой. Первые приобретают реляционное
качество «завистник», вторые — качество «жертва зависти».
Этапами количественного роста противоположностей
общего противоречия являются попытки теток и бабки
помешать воссоединению Салтана с его женой и сыном. Первая
попытка заключалась в намерении физически уничтожить
царевича и царевну; вторая — в намерении
воспрепятствовать отъезду Салтана рассказом о чудо-белке; третья #—
помешать отъезду Салтана рассказом о чудо-богатырях;
четвертая и последняя — задержать Салтана рассказом о
чудо-царевне. Этим попыткам царевич противопоставил
деятельность, направленную на уничтожение их последствий.
Сначала он спасает себя и мать, затем свою будущую жену
и становится князем большого города. Потом
последовательно приобретает все чудеса света, способные привлечь
Салтана к встрече с сыном и женой. Таким образом, царевич
восстанавливает соответствующий своему званию образ
жизни и, кроме того, нейтрализует все попытки завистниц
помешать воссоединению с отцом.
Каждая указанная попытка и ее нейтрализация должны
рассматриваться как возникновение и разрешение
подчиненного общему противоречия. По числу попыток можно
говорить о четырех подчиненных противоречиях. Все они
разрешаются по одной и той же схеме: зависти теток и бабки
противопоставляется зависть царевича и царицы к теткам и
бабке. В результате тетки и бабка наказывают себя,
приобретая тот или иной вид уродства, а царевич, кроме чудес
света, добивается устранения всех препятствий к встрече с
отцом.
Пусть Ц обозначает царевича и его мать, Т — его теток
и бабку, 3(Т, Ц) — отношение зависти теток и бабки к
царевичу и его матери, Ж(Ц, Т) — отношение «царевич
является вместе со своей матерью жертвой зависти теток и
бабки», 3(Ц, Т) — отношение зависти царевича и его матери
к теткам.
457

Начальная ситуация характеризуется пропорцией
отношений 3(Т, Ц) : Ж(Ц, Т), конечная ситуация — пропорцией
отношений 3(Ц, Т) : 32(Т, Т). Отношение 32(Т, Т)
появляется как синтез отношений 3(Т, Ц) и 3(Ц, Т) и буквально
означает, что тетки и бабка стали жертвами своей
собственной зависти. В более широком контексте данный результат
означает, что всякая зависть уничтожается ею же самой
порожденной и обратно направленной завистью.
Структура сказки имеет следующий вид:
3(Т, Ц) : Ж(Ц, Т) < 3(Ц, Т) : 32(Т, Т).
Полученная формула читается: ущерб, нанесенный
тетками и бабкой царевичу и его матери, меньше или равен
ущербу, нанесенного царевичем и его матерью теткам и
бабке.
Спиралевидный характер разрешения противоречия
выражается в том, что до возникновения противоречия
завистницы были просто нравственными уродами, после же его
разрешения они стали также и физическими уродами.
СКАЗКА О МЕРТВОЙ ЦАРЕВНЕ И СЕМИ БОГАТЫРЯХ
(А С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Царица, претендующая на звание первой
красавицы, однажды узнает, что молодая царевна-падчерица
красивее ее. Воспылав черной завистью, царица принимает
решение тайно погубить царевну. Первая попытка — связать
и оставить ее одну в лесу не удается: девушка остается жить
и попадает под защиту семи богатырей. Вторая попытка —
отравить — удается. На розыски пропавшей царевны
пускается жених — королевич Елисей. С помощью различных сил
природы он находит гроб своей невесты, разбивает его, и
царевна оживает. Царица, узнав о воскрешении своей
соперницы, умирает.
Анализ. Основу сюжета составляет противоречие между
жизнью и смертью. Его субъектами являются соответственно
царица-мачеха и царевна-падчерица с реляционными
качествами «несущая смерть» и «жертва смерти».
Царица решает вернуть себе звание первой красавицы,
убив свою соперницу. Так возникает противоречие. Этапами
его развития являются попытки мачехи достигнуть своей
цели.
Первая попытка заканчивается изгнанием царевны из
отцовского дома. Тем самым цель царицы достигнута только
наполовину: царевны нет, но она продолжает жить. Вторая
458

попытка приводит к гибели царевны и полному
осуществлению замысла царицы. Реляционные качества субъектов
противоречия достигают максимальной величины. Но именно в
этот момент королевич спасает царевну и происходит
инверсия ее качества: из жертвы она превращается в несущую
смерть. Такое превращение закономерно, потому что
подготовлено всем предыдущим развитием сюжета. Царица
олицетворяет ложную красоту, царевна — истинную. Жизнь
ложной красоты равносильна смерти истинной красоты, и,
наоборот, жизнь истинной красоты означает гибель ложной.
По этой причине воскрешение царевны ставит ее и царицу
в симметричные отношения.
Пусть М обозначает мачеху, П — падчерицу, С(М, П) —
отношение «мачеха несет смерть падчерице», Ж(П, М) —
отношение «падчерица является жертвой мачехи», С(П,
М) — отношение «падчерица несет смерть мачехе».
Начальная ситуация характеризуется пропорцией
отношений С(М, П) : Ж(П, М), конечная ситуация —
пропорцией отношений С(П, М) : С2(М, М). Отношение С2(М, М)
появляется как результат композиции отношений С(М, П)
и С(П, М). Буквально оно означает, что мачеха является
причиной собственной смерти (своим собственным убийцей).
В более широком контексте оно означает, что всякая смерть
уничтожается ею же порожденной и обратно направленной
смертью.
Структура сказки имеет следующий вид:
С(М, П) : Ж(П, М) < С(П, М) : С2(М, М).
Полученная формула читается: ущерб, нанесенный
мачехой падчерице, меньше или равен ущербу, нанесенного
падчерице мачехой.
Спиралевидный характер разрешения противоречия
сказки обнаруживается в том, что до его возникновения царица
была мертва только духовно, а после его разрешения —
также и физически.
СКАЗКА О ЗОЛОТОМ ПЕТУШКЕ (А С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Постаревшему и некогда грозному царю
Дадону осмелевшие соседи мешают жить в покое. Мудрец
дарит царю золотого петушка, который своим криком пре-
дупреждует о возможном направлении неприятельского
нападения. Восхищенный Дадон обещает мудрецу исполнить
первую же его просьбу. Однажды по поднятой петушком
тревоге царю приходится посылать сначала двух своих сы-
459

новей с войском, а затем и ехать самому. Прибыв на место
предполагаемого сражения, Дадон находит погибшими в
междоусобной войне своих сыновей и их войско. Встречает
также шамаханскую царицу, увидев которую, тут же
забывает и смерть своих сыновей, и цель похода. На просьбу
мудреца отдать ему царицу Дадон отвечает отказом и в
перепалке убивает его. При въезде в город петушок клюет
царя в темя, и тот умирает. Шамаханская царица бесследно
исчезает.
Анализ. Сюжет сказки основан на противоречии между
верностью и предательством. Его субъектами являются
петушок и царь Дадон с реляционными качествами «жертва
предательства» и «предатель». Петушок олицетворяет
военную и житейскую верность долгу и слову. Дадон —
вероломство и предательство.
Противоречие возникает в тот момент, когда царь просит
о помощи в защите от внешних врагов и получает ее от
мудреца в виде золотого петушка. В эпизоде с шамаханской
царицей реляционные качества Дадона и петушка достигают
максимальной величины. Царь полностью забывает об
убитых сыновьях, пирует с царицей, везет ее в столицу. Между
тем, предупреждения петушка о гибельности встречи с
царицей были самыми тревожными. Убийство Дадоном
мудреца становится его последним актом предательства. Петушок
меняет свое качество «жертва предательства» на
противоположное качество «предатель». Поставленный когда-то на
защиту Дадона и его царства от врагов, петушок после
убийства своего хозяина превращается в первого врага царя.
Дадон и петушок оказываются симметричных отношениях.
Пусть Д обозначает царя Дадона, П — золотого петушка,
ПР(Д, П) — предательство Дадоном петушка, Ж(П, Д) —
отношение «петушок — жертва предательства Дадона»,
ПР(П, Д) — отношение «предательство петушком Дадона».
Начальная ситуация характеризуется пропорцией
отношений ПР(Д, П) : Ж(П, Д), конечная ситуация —
пропорцией отношений ПР(П, Д) : ПР2(Д, Д). Отношение ПР2(Д,
Д) появляется как результат композиции отношений ПР(Д,
П) и ПР(П, Д) и буквально оно означает, что Дадон является
причиной собственного предательства. В более широком
контексте оно означает, что всякое предательство
уничтожается им же порожденным и обратно направленным
предательством.
Структура сказки имеет следующий вид:
460

ПР(Д, П) : Ж(П, Д) < ПР(П, Д) : ПР2(Д, Д).
Полученная формула читается: ущерб, нанесенный Дадо-
ном петушку, меньше или равен ущербу, нанесенного
петушком Дадону.
Спиралевидный характер разрешения противоречия
нашел отражение в изображенной логике предательства: оно
начинается с посторонних (соседи Дадона), переходит на
близких и доверенных лиц (сыновья, мудрец) и
заканчивается предательством самого себя.
МИФ О ЦАРЕ МИДАСЕ
Сюжет мифа. Мидас, царь Фригии, славился своим
богатством. Однажды ему удалось напоить заблудившегося
Силена — любимого демона плодородия бога Дионисия и
увести его в свой дворец. Силен рассказал Мидасу о
существовании неведомой земли, населенной крупными животными
и людьми — великанами. Эти люди построили много городов
и жили в золотых домах с золотой мебелью. Мидас загорелся
желанием жить в золотом доме. В награду за спасение
Силена Дионис обещал исполнить любое желание Мидаса.
Долго не раздумывая, Мидас попросил, чтобы все, к чему он
прикоснется, становилось золотым. Недолгой была радость
Мидаса, так как в золото превращались также пища и вода.
Чтобы не умереть от голода и жажды, Мидас был вынужден
просить Диониса забрать свой дар.
Анализ. Основу сюжета составляет возникновение и
разрешение противоречия, свойственного стремлению
безраздельного господства. Поскольку золото является символом
власти, то обладание им равносильно обладанию всем. Пока
Мидас был обыкновенным царем, он господствовал над
золотом. Ситуация изменилась на обратную, когда Дионис
исполнил желание Мидаса. Теперь золото стало господствать
над Мидасом. Синтез этих двух отношений порождает
главный результат мифа: Мидас становится жертвой своей
неуемной алчности и чуть не погибает от голода и жажды.
Пусть М обозначает Мидаса, 3 — золото, В(М, 3) —
власть Мидаса над золотом, ПC, М) — подчинение золота
Мидасу, ВC, М) — власть золота над Мидасом.
Начальная ситуация характеризуется пропорцией
отношений В(М, 3) : ПC, М), конечная ситуация возникает
тогда, когда Дионис выполняет просьбу Мидаса, т. е. когда
отношение ПC, М) инвертируется в отношение ВC, М).
461

Синтез обоих отношений дает отношение В2(М, М), которое
буквально означает, что Мидас становится жертвой своего
собственного стремления к абсолютной власти.
Структура мифа имеет следующий вид:
В(М, 3) : ПC, М) < ВC, М) : В2(М, М).
Полученная формула читается: ущерб, причиненный
желанием Мидаса господствать над золотом, меньше или равен
ущербу, причиненному абсолютной властью золота над Ми-
дасом.
Спиралевидный характер разрешения противоречия
проявляется в том, что до его возникновения золото
удовлетворяло потребности Мидаса как человека и как царя, а после
его разрешения едва не стало причиной его гибели.
Следовательно, если в начале мифа Мидас верит в абсолютные
возможности золота, то после его разрешения у него такой
веры уже нет.
МИФ О ТИРЕСИИ
Сюжет мифа. Тиресий, сын нимфы Харикло, случайно
увидел Афину обнаженной во время купания, а это
категорически запрещалось смертным. В наказание Афина вырвала
Тиресию глаза. Будучи подругой Афины, мать Тресия
попросила у богини прощения за неумышленный поступок
сына. Афина сжалилась над Тиресием и возместила потерю
зрения способностью понимать волю богов, голоса птиц и
зверей, видеть грядущее. Так Тиресий стал одним из самых
известных прорицателей.
Анализ. Основу сюжета составляет возникновение и
разрешение противоречия, свойственного несправедливому
наказанию. Проступок Тиресия был неумышленным. Поэтому
понесенное им наказание оказалось чрезмерным. Просьба
матери пробуждает у Афины чувство вины перед Тиресием
за чересчур суровое наказание. Взаимная вина Тиресия и
Афины друг перед другом освобождает их обоих от этого
чувства.
Пусть Т обозначает Тиресия, А — Афину, В(Т, А) — вину
Тиресия перед Афиной, У (А, Т) — ущерб, нанесенный
Тиресием Афине, В (А, Т) — вину Афины перед Тиресием,
В2(Т, Т) — освобождение Тиресия от чувства вины.
Начальная ситуация характеризуется пропорцией
отношений В(Т, А): У (А, Т). Конечная ситуация возникает после
разговора матери Тиресия с Афиной. Так как Афина
соглашается удовлетворить просьбу матери, то отношение У(А,Т)
462

инвертируется в отношение В (А, Т). Синтез отношений В(Т,
А) и В (А, Т) порождает отношение В2(Т, Т), которое
буквально означает, что вина Тиресия перед Афиной
нейтрализуется виной Афины перед Тиресием.
Структура мифа, следовательно, такова:
В(Т, А) : У (А, Т) < В(А, Т) : В2(Т, Т).
Полученная формула читается: вина Тиресия
компенсируется обратной виной Афины перед ним с выгодой для него.
В самом дел, человеческое зрение не помогло Тиресию
избежать неприятного инцидента. Зрение, которым
наградила его Афина, приравняло его к богам.
Спиралевидный характер разрешения противоречия
очевиден. В начале мифа Тиресий обладает обычным зрением,
свойственным каждому человеку. В конце мифа Тиресий —
обладатель божественного зрения.
МИФ ОБ ЭДИПЕ
Сюжет мифа. Фиванскому царю Лаю была предсказана
Аполлоном смерть от руки собственного сына. Пытаясь
избежать такого наказания, Лай приказывает своей жене
Иокасте избавиться от новорожденного, предварительно
проколов ему сухожилия у лодыжек. Однако мальчик остался
жив и попал к бездетному царю Полибу, который назвал его
Эдипом (букв. — «с опухшими ногами»). Эдип случайно
узнает, что он приемный сын и пытается узнать о своих
настоящих родителях. Дельфийский оракул вместо ответа
сообщает Эдипу, что тот должен убить своего отца и
жениться на своей матери. В ужасе Эдип покидает приемных
родителей, чтобы попытать счастья на чужбине. Однако
предсказание сбывается. В случайной ссоре Эдип убивает
своего отца, не подозревая об этом. Освободив Фивы от
Сфинкса, становится их царем и женится на своей матери,
также не подозревая об этом. У них рождаются два сына и
две дочери. Двадцать лет царствовал Эдип в Фивах, пока на
город не обрушились различные несчастья. Дельфийский
оракул называет причину несчастий — убийца Лая живет в
Фивах. Эдип проводит расследование и устанавливает, что
он — убийца. Иокаста, узнав, кто был ее мужем последние
двадцать лет, кончает жизнь самоубийством. Эдип
выкалывает себе глаза и через некоторое время покидает Фивы с
любимой дочерью Антигоной в поисках лучшей доли.
Сыновья Эдипа остаются в Фивах в надежде занять царский
463

трон. Эдип проклинает сыновей и предрекает им гибель в
междоусобной войне. Эдип также предвидит, что в будущей
войне афинян с фиванцами победа на той стороне, на чьей
земле он найдет последнее прибежище. На земле Афин Эдип
заканчивает свой жизненный путь. Оба его предсказания
сбываются.
Анализ *. Основу сюжета составляет возникновение и
разрешение противоречия, свойственного способности
человека предвидеть свою судьбу. Человеку только кажется, что
он предвидит свою судьбу и управляет ею» На самом деле его
собственная судьба скрыта от него. Эдип не смог, хотя и
пытался, избежать ни одного из предсказанных ему роковых
действий — отцеубийства и женитьбы на матери. Только
отказавшись от своего зрения, а вместе с ним и от
человеческой самонадеянности, Эдип достигает высшего уровня
познания — он начинает предвидеть свою судьбу и судьбу
других людей.
Пусть Э обозначает Эдипа, С — судьбу, СЛО, С) —
слепоту Эдипа в отношении к своей судьбе, 3(С, Э) —
зрячесть судьбы в отношении Эдипа, СЛ(С, Э) — слепоту
судьбы в отношении Эдипа, СЛ2(Э, Э) — прозрение (слепоту
слепоты) Эдипа.
Начальная ситуация характеризуется пропорцией
отношений СЛО, С) : 3(С, Э), говорящей о невозможности
обмануть судьбу, с одной стороны, и слепоте человеческих
усилий сделать это — с другой. Противоречие достигает
апогея в тот момент, когда Эдип в ходе расследования узнает
правду и переходит в стадию разрешения, когда Эдип лишает
себя зрения. Отношение 3(С, Э) инвертируется в отношение
СЛ(С, Э), так как Эдип прозревает и начинает предвидеть
свою судьбу и судьбу других людей. Синтез отношений
СЛО, С) и СЛ(С, Э) порождает отношение СЛ2(Э, Э),
которое буквально означает прозрение Эдипа —
уничтожение его слепоты в отношении своей судьбы слепотой судьбы
в отношении Эдипа. Конечная ситуация характеризуется
пропорцией отношений СЛО, С) : СЛ2(Э, Э).
Структура мифа имеет следующий вид:
СЛО, С) : 3(С, Э) < СЛО, С) : СЛ2О, Э).
1 См. также: Голосовкер Я. Э. Логика мифа. М., 1987, С. 53—54.
464

Формула читается: слепота в отношении своей судьбы
компенсируется с выгодой для него слепотой судьбы в
отношении Эдипа в результате его прозрения.
Спиралевидный характер разрешения противоречия, как
и в мифе о Тиресии, проявляется в качественной
трансформации понятий «видеть» и «понимать». В начале миф — это
человеческая способность, в конце мифа — божественная.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Проанализируйте следующие сказки Г. X. Андерсена:
«Соловей», «Стойкий оловяный солдатик», «Сказка о гадком
утенке», «Принцесса на горошине».
2. Используя «Мифологический словарь» (М., 1991),
проанализируйте миф о Кассандре, о циклопе Полифеме, о
грехопадении человека.
3. Попробуйте самостоятельно применить изложенную
технику анализа к другим литературным текстам — басням,
рассказам, повестям, романам.

ЛИТЕРАТУРА
1. Аккоф Р. Искусство решения проблем. М., 1982.
2. Аристотель, Сочинения в 4-х томах. М., 1971—1983.
3. Аристотель. Риторика // Античные риторики. М., 1978. С. 15-164.
4. Арно А, Николь Я. Логика, или искусство мыслить. М., 1991.
5. Асмус В. Ф. Логика. М., 1947.
6. Безменова Н.А. Очерки по теории и истории риторики. М., 1991.
7. Берн Э. Игры, в которые играют люди. Люди, которые играют в
игры. Л., 1988.
8. Боно Э. де. Рождение новой идеи. М., 1976.
9. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи. Принципы.
Методология. М., 1980.
10. Вейтгеймер М. Продуктивное мышление. М., 1987.
11. Вильяме Дж. Д. Совершенный стратег, или Букварь по теории
стратегических игр. М., I960.
12. Вошиеилло Е. К Понятие как форма мышления. М., 1989.
13. Вошиеияло Е. К Символическая логика: Классическая и
релевантная. М., 1989.
14. Гетманоеа А Д. Логика. М„ 1986.
15. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
16. Голосовкер Я. А Логика мифа. Мм 1987.
17. Горский Д. Л. Логика. М., 1963.
18. Горский Д. Л. Определение. М., 1974.
19. Гроссман Я., Магнус В. Группы и их графы. М., 1971.
20. Грешилов А.А. Как принять наилучшее решение в реальных
условиях. М., 1991.
21. Древнекитайская философия. В 2-х томах. М., 1972—1973.
22. Дюбуа Ж., Эделин Ф., Клинкенберг Ж.-М., Мэнге Ф., Тринон А
Общая риторика. М., 1986.
466

23. Ивин А А По законам логики. М., 1983.
24. Ивин А А Искуство правильно мыслить. М., 1990.
25. Ивлев Ю. В. Логика. М., 1992.
26. Карнвги Д. Как завоевывать друзей и оказывать влияние на людей.
Как вырабатывать уверенность в себе и влиять на людей, выступая
публично. Как перестать беспокоиться и начать жить. Минск. 1990.
27. Кемени Дж.> Снел Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную
математику.
28. Кириллов В. Я., Старченко А А Логика. М., 1987.
29. Клини С. Математическая логика. М., 1973.
30. Кондаков Я. И. Логический словарь-справочник. М., 1975.
31. Костюк В. Я. Элементы модальной логики. Киев, 1978.
32. Кошанский Я. Общая риторика. СПб., 1829.
33. Кэррол Л. Символическая логика // История с узелками. М., 1973.
С. 189—361.
34. Кэррол Л. Логическая игра. М., 1991.
35. Леви-Строс К Структурная антропология. М., 1983.
36. Логика. Минск. 1974.
37. Льюис Р. Д, Райфа X. Игры и решения. М., 1961.
38. Маранда Я., Кенгас-Маранда Э. Структурные модели в
фольклоре // Зарубежные исследования по семиотике фольклора. М., 1985.
С. 194—260.
39. Мельников В. Я. Логические задачи. Киев; Одесса, 1989.
40. Меськов В. С, Карпинская О. Ю., Лященко О. В., Шрамко Я. В.
Логика: Наука и искусство. M.t 1992.
41. Науман Э. Принять решение — но как? М., 1987.
42. Орлов Я. Е. Логика естествознания. М.-Л., 1925.
43. Пиаже Жан. Избранные психологические труды. М., 1969.
44. Поварин С. И. Искусство спора. Пг., 1923.
45. Пропп В. Я. Морфология сказки. М., 1969.
46. Райфа Г. Анализ решений. М., 1977.
47. Свинирв В. И. Логика. М., 1987.
48. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики
теории множеств. М., 1965.
49. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981.
467

50. Смаллиан Р. Принцесса или тигр? М., 1985.
51. Смаллиан Р. Алиса в стране смекалки. М., 1987.
52. Спиноза Б. Избранные произведения в 2-х томах. М., 1957.
53. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М., 1961.
54. Теория метафоры. М., 1990.
55. Уемов А. Я. Задачи и упражнения по логике. М., 1961.
56. Фестингер Л. Введение в теорию диссонанса // Философия.
Логика. Язык. М., 1987. С. 18—47.
57. Формальная логика. Л., 1977.
58. Фреге Г. Мысль: Логическое исследование // Современная
зарубежная социальная психология. Тексты. М., 1984. С. 97—110.
59. Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980.
60. Хинтикка Я. Хинтика М. Шерлок Холмс против современной
логики // Язык и моделирование социального взаимодействия. М., 1987.
С. 265—281.
61. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений.
М., 1962.
62. Черч А Введение в математическую логику. М., 1960 Т. 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора 3
Предисловие рецензента 5
Глава I. Практическая логика как органон познания,
поведения и общения человека 8
1. Цель и предпосылки практической логики 8
2. Логические законы: природа и функции 9
3. Основные вопросы и структура учебного пособия 21
Глава П. Понятие 23
1. Общее представление о понятии 23
2. Содержание и объем понятия. Обобщение и
ограничение понятий 26
3. Основные требования к конструированию
(определению) понятий 35
4. Виды понятий в зависимости от отношений
между их объемами 45
5. Логические операции с понятиями. Понятие как
инвариант логических операций 52
Глава III. Суждение 66
1. Общее представление о суждении 66
2. Простые суждения 69
3. Нормальная форма простых суждений 76
4. Логические преобразования суждений 81
5. Совместимые и несовместимые суждения.
Логический квадрат 96
6. Частотная интерпретация логического квадрата.
Основное уравнение логического квадрата 103
7. Простые суждения и пустые классы 106
8. Коммуникативная природа суждений 108
Глава IV. Дедуктивные умозаключения 114
1. Общее представление об умозаключении, доказательстве
и опровержении 114
2. Отношение логического следования 119
3. Дедуктивные умозаключения с одной посылкой 127
4. Дедуктивные умозаключения с двумя посылками
(силлогизмы) 136
5. Восстановление посылок в силлогизмах 148
6. Дедуктивные умозаключения с тремя и более
посылками (сложные силлогизмы) 152
469

7. Дедуктивное доказательство и опровержение 160
Глава V. Недедуктивные умозаключения 181
1. Проблема индукции 181
2. Принцип обратной вероятности 185
3. Индуктивные умозаключения первого вида: определение
вероятностей гипотез 190
4. Методы открытия и доказательства причинной связи
Дж. Ст. Милля как индуктивные умозаключения
о вероятностях гипотез 198
5. Индуктивные умозаключения второго вида:
определение вероятностей предсказаний 210
6. Умозаключения по аналогии 217
7 Вероятностная силлогистика 222
8. Недедуктивное доказательство и опровержение ... . 228
Глава VI. Логика высказываний и предикатов . 259
1 Общее представление о логике высказываний
и предикатов 259
2. Язык логики высказываний 264
3. Семантика (смысл) логических союзов 266
4. Понятие логически истинной, логически ложной и
логически нейтральной формулы. Равносильные формулы 272
5. Представление формул логики высказываний
в виде деревьев . 277
6. Определение вида формул, представленных в виде деревьев 283
7. Нахождение нетривиальных следствий 285
8. Выявление нетривиальных допущений, при которых
истинна рассматриваемая формула 298
9. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода
в логике высказываний . . 306
10. Язык логики предикатов (первого порядка) 319
11. Представление формул логики предикатов в виде деревьев 328
12. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода
в логике предикатов 330
Глава VII. Логика принятия решений 348
1. Общее представление о принятии решений 348
2. Дерево решения и его элементы 351
3. Определение численных значений субъективных
вероятностей и полезностей 355
4. Ожидаемые значения полезности. Упрощение дерева
решения. Основное правило принятия решений .... 359
5. Принятие решений в условиях полезности определенности,
риска и неопределенности 362
6. Должен ли был Еватл платить за свое обучение?
(Анализ одного парадокса в терминах теории
принятия решений) 371
Глава VIII. Логика общения и разрешения конфлик тов 377
1 Общее представление об общении и разрешении
конфликтов 377
2. Решение задач по общению в терминах теории графов . . 380
3. Вероятностный анализ задач по общению .393
4. Анализ задач по общению в терминах теории игр 402
5. Логика образоваания коалиций в конфликтных ситуациях .411
470

Глава IX. Логика риторики .418
1. Общее представление о риторике ....418
2. Изобретение обращения 420
3. Изложение обращения 423
4. Слововыражение обращения 428
5. Логика спора 434
Глава X. Логика мифов и сказок 443
1. Общее представление о структурном анализе мифов
и волшебных сказок 443
2. Диалектическое противоречие: теоретико-групповой анализ 447
3. Диалектическая природа сказок и мифов 451
Литература 466

Учебное издание
Светлов Виктор Александрович
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Лицензия № 071122
от 04.01.1995 г.
Сдано в набор 01.11.94. Подписано в печать 16.02.95. Формат
84x1081/32. Бум. типографская. Гарнитура Тайме. Печать высокая.
Усл. печ. л. 29,50. Тираж 5000 экз. Заказ № 210
По вопросам оптовых закупок обращаться по адресу: 190068,
Санкт-Петербург, Вознесенский пр., д. 346, Издательство Русского
христианского гуманитарного института. Тел: (812) 315-70-86.
Факс:(812K15-39-17
Отпечатано с готовых диапозитивов в ордена Трудового Красного
Знамени ГП «Техническая книга» Комитета Российской Федерации по
печати. 198052, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29

:;:Ш>:;^
Русский Христианский гуманитарный институт (РХГИ) — |
негосударственное высшее учебное заведение, со- §
зданное в 1989 г. (старое название — Высшие |
Гуманитарные Курсы). |
Учредителями РХГИ являются: \
— Российская Академия образования |
— Санкт-Петербургская Духовная Академия |
— Институт русской литературы (Пушкинский
Дом)
РХГИ — бесприбыльная организация: доход от всех
видов деятельности не распределяется в
интересах учредителей, реинвестируясь
непосредственно в образовательное учреждение. Цель РХГИ —
создание в Санкт-Петербурге центра
христианского просвещения и возрождения русской
культуры, путь ее достижения — разработка и
реализация модели гуманитарного образования
качественно нового типа. Новизна последней
обусловлена концепцией целостного гуманитарного
образования, признанием христианского
миропонимания основой гуманитарного образования
и избранием русской культуры в качестве
основного объекта и цели учебного процесса.

лжжжтжшшшшшшшшшшш
Целостное гуманитарное образование предполагает
выбор определенной специализации только на
фоне широкого общегуманитарного знания. Для
этого учебный процесс строится как пятилетнее
изучение истории мировой культуры, так что
каждый учебный год посвящен определенной
I культурно-исторической эпохе (древность,
средневековье и т. д.), а история литературы,
искусства, философия, политическая и религиозная
жизнь рассматриваемых периодов преподаются
синхронно. Этот метод «погружения в
культуру» позволяет выявить логику
культурно-исторического процесса и осознать духовный облик
каждой эпохи.
В РХГИ действуют следующие отделения:
— русской истории и культуры
— богословия
— искусствоведения
— классической филологии
— романо-германской филологии
| — философии
I — культурологии
ОТДЕЛЕНИЕ РУССКОЙ ИСТОРИИ И КУЛЬТУРЫ
Готовит специалистов, которые способны
анализировать, развивать и пропагандировать русскую
гуманитарную культуру в свете ее вековых
традиций и духовных идеалов Православия и в
контексте ее связей с мировой культурой. Програм-

жтжжшшжтж<^^
ма основана на культурологическом подходе в \
осмыслении русской истории, в результате чего 1
слушатели получают цельное представление об |
отечественной культуре и могут конкретизиро- |
вать свои знания по направлениям: Русская
литература и язык, Русская история, Русская
философия, Русское искусство.
ОТДЕЛЕНИЕ ИСКУССТВОВЕДЕНИЯ
На широкой основе общегуманитарного образования |
ставит своей задачей подготовку искусствоведов |
нового типа, не только ориентирующихся в |
истории человеческого духа и обладающих зна- |
ниями истории искусств, но и способных участ- I
вовать в управлении и функционировании ис- |
кусства в современной культуре в качестве гидов, |
экспертов, консультантов, критиков, организа- |
торов выставочной деятельности и менеджеров |
искусства. Это обеспечивается преподаванием |
ряда предметов, не изучавшихся ранее в нашей |
стране на отделениях подобного рода. Особен- |
ность обучения на факультете в изначальной |
обращенности к европейскому лицу русской |
культуры и искусства, к их духовным православ- |
ным истокам. Основы общегуманитарного и об- |
щеискусствоведческого образования закладыва- |
ются на первом этапе обучения (бакалавриат), |
который завершается выбором специализации по %
\ направлениям: Художественная критика, Ис- |
тория западно-европейского искусства, История \
%
ттжштжжжтжжжжхж

яжжжжтжтшшжжжштжжтт
русского искусства, Организация выставочной
деятельности и менеджмент искусства.
1 ОТДЕЛЕНИЕ БОГОСЛОВИЯ
И РЕЛИГИОЗНОЙ ПЕДАГОГИКИ
Первый опыт светского богословского образования в
России. Программа отделения сочетает цикл
гуманитарного образования университетского типа
с циклом богословских и церковно-исторических
дисциплин духовных семинарий и академий, что
дает возможность выпускнику отделения,
успешно закончившему полный курс обучения,
получить высшее богословское образование.
Большинство преподавателей — профессора и доцента
Санкт-Петербургской духовной академии. Одна-
f ко преподают на отделении и богословы Рим-
| ско-католической, Лютеранской церквей. Для
преподавания иных религий (ислама, иудаизма)
приглашаются специалисты, подготовленные
соответствующими религиозными структурами и
являющиеся представителями данного
исповедания. Задача отделения — подготовить препо-
| давателей средних учебных заведений по предметам
религиозной тематики, а также специалистов,
нуждающихся в богословском образовании
(работников архивов, библиотек, музеев,
журналистов, редакторов и др.), которые смогли бы
преподавать и изучать религию в связи с общей
историей культуры. Богословско-педагогическое
отделение является не только образовательной

mmmm$L
структурой, но и научно-исследовательским и |
координацинным центром
межконфессиональных отношений. Слушатели отделения
участвуют в работе Христианского
междисциплинарного центра по изучению новых религиозных
движейий, Института миссиологии и
экуменизма при СПбДА и РХГИ. К обучению на
отделении допускаются все желающие из числа
слушателей РХГИ, независимо от конфессиональной
принадлежности, национальности и пола.
ОТДЕЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЛОЛОГИИ
Призвано обеспечить потребность в преподавателях
древнегреческого и латинского языков, античной
истории и литературы для гимназий, лицеев,
иных средних специальных учебных заведений.
Обучение основано на работе с оригинальными
текстами. Хорошая информированность
слушателей в области истории, искусства, философии,
литературы, религиозной практики античных
цивилизаций дает возможность выпускникам
отделения готовить курсы, связанные с
осмыслением античной культуры в целом.
ОТДЕЛЕНИЕ РОМАНО-ГЕРМАНСКОЙ
ФИЛОЛОГИИ
(английская, немецкая, французская специализации)
Ориентировано на выпуск специалистов в области
романо-германских литератур, которые могут
1 осмысливать свой предмет в свете основных тен-

денций развития мировой культуры. Предметы,
изучаемые на специализации, являются
типическими для подобных отделений
университетов. В то же время основательное ознакомление
слушателей не только с литературой стран
изучаемого языка, но с широкой панорамой их
культурно-исторической жизни дает возможность
готовить специалистов нового типа, во-первых,
помимо преподавания собственно
филологических дисциплин вести курсы по
остродефицитным в настоящее время предметам — история
(теория) мировой культуры; во-вторых, готовых
к работе в специализированных средних
учебных заведениях в качестве преподавателей
страноведческих и историко-культурных дисциплин.
С этой целью большинство курсов данного
профиля читаются на отделении на оригинальном
языке.
ОТДЕЛЕНИЯ ФИЛОСОФИИ, КУЛЬТУРОЛОГИИ,
РЕЛИГИОВЕДЕНИЯ
Готовят специалистов, которые смогут преподавать
гуманитарные дисциплины, а также вести
исследования в различных областях
гуманитарного знания. В основу обучения положен анализ
тенденций и идей мировой философии:
русской — на отделении философии,
западно-европейской — на отделении культурологии,
восточной — на отделении религиоведения.

Основательная культурологическая подготовка,
подробное ознакомление с историей религиозных
учений различных эпох и народов дает
возможность выпускникам этих отделений готовить
учебные курсы различного профиля — по
истории и теории мировой и отечественной культуры,
религиоведческой тематике, собственно
философским дисциплинам — логике, антропологии,
истории философии, этике, эстетике и др.
^