Предисловие
Глава I. Практическая логика как органон познания, поведения и общения человека
2. Логические законы: Природа и функции
3. Основные темы и структура учебного пособия
Глава II. Понятие
2. Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий
4. Виды понятий в зависимости от отношений между их объемом и содержанием
5. Логические операции с понятиями. Понятие как инвариант логических операций
Глава III. Суждение
2. Простые суждения
3. Нормальная форма простых суждений
4. Логические преобразования суждений
5. Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат
б.Частотная интерпретация логического квадрата. Основное уравнение логического квадрата
7. Простые суждения и пустые классы
8. Коммуникативная природа суждений
Глава IV. Дедуктивные умозаключения
2. Отношение логического следования
3. Дедуктивные умозаключения с одной посылкой
6. Восстановление посылок в силлогизмах в простых случаях
7. Восстановление посылок в силлогизмах в сложных случаях
8. Дедуктивное доказательство и опровержение
9. О квантификации предиката простого суждения
10. О решении сложных силлогизмов с посылками из трех и более различных терминов
11. Силлогистика без экзистенциальных допущений
Глава V. Недедуктивные умозаключения
2. Принцип обратной вероятности
3. Индуктивные умозаключения первого вида: определение вероятностей гипотез
4. Методы открытия и доказательства причинной связи Дж. Ст. Милля как индуктивные умозаключения о вероятностях гипотез
5. Индуктивные умозаключения второго вида: определение вероятностей предсказаний
6. Умозаключения по аналогии
7. Вероятностная силлогистика
8. Недедуктивное доказательство и опровержение
9. О некоторых парадоксах индуктивной вероятности
10. Абдукция
Глава VI. Логика высказываний и предикатов
2. Язык логики высказываний
4. Понятие логически истинной, логически ложной и логически нейтральной формулы. Содержание и объем высказывания
5. Представление формул логики высказываний в виде деревьев
6. Определение вида формул логики высказываний, представленных в виде деревьев
7. Нахождение нетривиальных следствий и допущений
8. Понятие дедуктивного умозаключения в логике высказываний
9. Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний
11. Представление формул логики предикатов в виде деревьев
12. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода в логике предикатов
Глава VII. Логика научного познания
2. Основной цикл научного познания
3. Изобретение гипотез
4. Испытание гипотез
5. Завершение цикла научного познания. Проблема научного прогресса
Глава VIII. Логика принятия решений
2. Дерево решения и его элементы
3. Определение численных значений субъективных вероятностей и полезностей
4. Ожидаемое значение полезности. Упрощение дерева решения. Основное правило принятия решения
5. Принятие решений в условиях определенности, риска и неопределенности
Глава IX. Логика общения и разрешения конфликтов
2. Решение задач по общению в терминах теории графов
3. Вероятностный анализ задач по общению
4. Анализ задач по общению в терминах теории игр
5. Логика образования коалиций в конфликтных ситуациях
6. Логика аффективных конфликтов Бенедикта Спинозы
1. Общее представление об аргументаци
3. Изобретение обращения
4. Изложение обращения
5. Словесное выражение обращения
6. Правила аргументации
7. Логический базис теории аргументации
8. Главная теорема аргументации
Глава XI. Логика диалектики
2. Формальная реконструкция «Учения о бытии» Гегеля и вывод основных прогрессий «Науки логики»
Глава XII. Логика мифа и сказки
2. Диалектическая природа сказок и мифов
Приложение. Решение трех классических парадоксов
2. Движется ли летящая стрела
3. Парадокс лжеца
Литература
Текст
                    Практическая логика
В. А. Светлов
щдслельство научной 11 PFf*f*


В. А. Светлов Практическая логика Москва Издательство Нобель Пресс
УДК 101 ББК87 В11 В. А. Светлов В11 Практическая логика / В. А. Светлов - М.: Lennex Corp, — Подготовка макета: Издательство Нобель Пресс, 2013. - 624 с. ISBN 978-5-518-32161-8 Пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для студентов и аспирантов естественнонаучного и гуманитарного циклов. Рассчитано на углубленное изучение теоретических оснований логики и возможностей ее практического применения для решения многочисленных задач в области научного познания, анализа и разрешения конфликтов, риторики и аргументации. В пособии излагаются основы традиционной и символической логики логики высказываний и предикатов. Логика рассматривается как органон решения насущных проблем познания, поведения и общения. Такой подход продолжает традицию включения логики в общую исследовательскую и педагогическую парадигму научного знания , восходящую к Аристотелю, и полностью соответствует современным тенденциям по исследованию искусственного интеллекта. Содержит большое число примеров из научной и художественной литературы. Предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, а также всех, кто самостоятельно изучает логику и ее приложения. ISBN 978-5-518-32161-8 О Издательство Нобель Пресс, 2013 ©В. А. Светлов, 2013
В. А. СВЕТЛОВ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для студентов и аспирантов естественнонаучного и гуманитарного циклов. Рассчитано на углубленное изучение теоретических оснований логики и возможностей ее практического применения для решения многочисленных задач в области научного познания, анализа и разрешения конфликтов, риторики и аргументации. В пособии излагаются основы традиционной и символической логики — логики высказываний и предикатов. Логика рассматривается как органон решения насущных проблем познания, поведения и общения. Такой подход продолжает традицию включения логики в общую исследовательскую и педагогическую парадигму научного знания , восходящую к Аристотелю, и полностью соответствует современным тенденциям по исследованию искусственного интеллекта. Содержит большое число примеров из научной и художественной литературы. В пособии применена оригинальная техника решения логических задач традиционной и современной логики. Пособие может быть использовано в качестве справочного пособия. Предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, ученых, а также всех, кто самостоятельно изучает логику и ее приложения.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Глава I. Практическая логика как органон познания, поведения и общения человека 11 1. Цель, предпосылки и предмет практической логики 11 2. Логические законы: Природа и функции 13 3. Основные темы и структура учебного пособия 23 Глава II. Понятие 26 1. Общее представление о понятии 26 2. Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий 29 3. Основные требования к конструированию(определению) понятий 39 4. Виды понятий в зависимости от отношений между их объемом и содержанием 48 5. Логические операции с понятиями. Понятие как инвариант логических операций 62 Глава III. Суждение 77 1. Общее представление о суждении 77 2. Простые суждения 80 3. Нормальная форма простых суждений 88 4. Логические преобразования суждений 90 5. Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат 103 б.Частотная интерпретация логического квадрата. Основное уравнение логического квадрата 117 7. Простые суждения и пустые классы 120 8. Коммуникативная природа суждений 122 Глава IV. Дедуктивные умозаключения 127 1. Общее представление об умозаключении, доказательстве и опровержении 127 2. Отношение логического следования 131 3. Дедуктивные умозаключения с одной посылкой 148 4. Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (силлогизмы) 155 5. Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложныесиллогизмы) 165 6. Восстановление посылок в силлогизмах в простых случаях 172 7. Восстановление посылок в силлогизмах в сложных случаях 179 8. Дедуктивное доказательство и опровержение 184 9. О квантификации предиката простого суждения 199
10. О решении сложных силлогизмов с посылками из трех и более различных терминов 203 11. Силлогистика без экзистенциальных допущений 213 Глава V. Недедуктивные умозаключения 227 1. Проблема индукции 227 2. Принцип обратной вероятности 230 3. Индуктивные умозаключения первого вида: определение вероятностей гипотез 235 4. Методы открытия и доказательства причинной связи Дж. Ст. Милля как индуктивные умозаключения о вероятностях гипотез 244 5. Индуктивные умозаключения второго вида: определение вероятностей предсказаний 255 6. Умозаключения по аналогии 262 7. Вероятностная силлогистика 267 8. Недедуктивное доказательство и опровержение 273 9. О некоторых парадоксах индуктивной вероятности 296 10. Абдукция 303 Глава VI. Логика высказываний и предикатов 328 1. Общее представление о логике высказываний и предикатов 328 2. Язык логики высказываний 334 3. Семантика (смысл) логических союзов 335 4. Понятие логически истинной, логически ложной и логически нейтральной формулы. Содержание и объем высказывания 342 5. Представление формул логики высказываний в виде деревьев 353 6. Определение вида формул логики высказываний, представленных в виде деревьев... 361 7. Нахождение нетривиальных следствий и допущений 363 8. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода в логике высказываний 374 9. Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний 388 10. Язык логики предикатов (первого порядка) 393 11. Представление формул логики предикатов в виде деревьев 403 12. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода в логике предикатов 405 Глава VII. Логика научного познания 421 1. Общее представление о научном познании 421 2. Основной цикл научного познания 425 3. Изобретение гипотез 427 4. Испытание гипотез 429 5. Завершение цикла научного познания. Проблема научного прогресса 432
Глава VIII. Логика принятия решений 439 1. Общее представление о принятии решений 439 2. Дерево решения и его элементы 441 3. Определение численных значений субъективных вероятностей и полезностей 446 4. Ожидаемое значение полезности. Упрощение дерева решения. Основное правило принятия решения 450 5. Принятие решений в условиях определенности, риска и неопределенности 453 6. Должен ли был Еватл платить за свое обучение? (Анализ одного парадокса в терминах теории принятия решений) 462 Глава IX. Логика общения и разрешения конфликтов 467 1. Общее представление о логике общения и разрешения конфликтов 467 2. Решение задач по общению в терминах теории графов 469 3. Вероятностный анализ задач по общению 484 4. Анализ задач по общению в терминах теории игр 495 5. Логика образования коалиций в конфликтных ситуациях 504 6. Логика аффективных конфликтов Бенедикта Спинозы 513 Глава X. Логика аргументации (риторики) 533 1. Общее представление об аргументаци 533 2. Структура аргументации (риторический квадрат) 536 3. Изобретение обращения 538 4. Изложение обращения 541 5. Словесное выражение обращения 546 6. Правила аргументации 552 7. Логический базис теории аргументации 558 8. Главная теорема аргументации 565 Глава XI. Логика диалектики 572 1. Теоретико-групповой анализ диалектического противоречия 572 2. Формальная реконструкция «Учения о бытии» Гегеля и вывод основных прогрессий «Науки логики» 589 Глава XII. Логика мифа и сказки 599 1. Общее представление о структурном анализе мифов и волшебных сказок 599 2. Диалектическая природа сказок и мифов 602 Приложение. Решение трех классических парадоксов 615 Литература 623
ПРЕДИСЛОВИЕ Мы забываем о законе природы, гласящем, что гибкость ума является наградой за опасности, тревоги и превратности жизни. Существо, которое живет в совершенной гармонии с окружающими условиями, превращается в простую машину. Природа никогда не прибегает к разуму до тех пор, пока ей служит привычка и инстинкт. Там, где нет перемен и необходимости в переменах, разум почивает. Только те существа обладают им, которые сталкиваются со всевозможными нуждами и опасностями. Герберт Уэллс. Машина времени Ни одна наука не может развиваться, не подвергая периодической ревизии и переоценке свой предмет, цели и методы. Сказанное относится и к логике. Ушли в прошлое те времена, когда приверженцы логики как «науки о правильном мышлении», с одной стороны, и как «науки о формальных исчислениях», с другой стороны, считая только свою точку зрения безусловно истинной, страстно обвиняли друг друга в непонимании природы логики, стратегических путей ее развития и преподавания. Непредвзятому читателю все эти недавние дискуссии кажутся наивными и непродуктивными. Ибо совершенно очевидно, что не существует ни «правильного мышления», всегда приводящего к безусловно истинным результатам, ни «абсолютно формального исчисления», независимого от своей предметной интерпретации, онтологических, познавательных и ценностных установок его создателя и пользователя и также гарантирующего получение истинных результатов. Во-первых, потому что нет тех абсолютных истин и безупречных методов их достижения, существование которых могло бы послужить оправданием поиска науки о «правильном мышлении». Во-вторых, потому что наше мышление в принципе нельзя освободить от жесткой зависимости от различных неформальных (биологических, психологических и социальных) особенностей познающего субъекта, а вместе с ней и от ошибок, возвратов, избыточности, противоречий, интуитивных озарений и прочих не очень любимых логиками «нелогичных» эффектов. В-третьих, потому что даже самое полное формальное исчисление — это множество допущений, истинность которых, по определению, не может быть более достоверной, чем истинность их следствий в данной предметной области. Следовательно, каждое такое исчисление в определенной степени произвольно и субъективно. Неудивительно поэтому, почему одних только правильных син-
таксических преобразований недостаточно даже для построения теории перевода с одного естественного языка на другой. Все это означает, что наше мышление в своей основе скорее «неправильно», чем «правильно». Будучи формальным, оно, тем не менее, всегда привязано к области своей интерпретации и больше зависит от верификации своих эмпирических следствий, нежели от истинности принимаемых допущений. Оно дает нам объективные результаты, но всегда в субъективной форме. Гораздо чаще, чем нам кажется, наше мышление нелинейно, некумулятивно, немонотонно и совместимо с противоречиями. Только благодаря способности к рефлексии, коррекции и обучению на опыте «неправильное» мышление с течением времени может становиться более «правильным», никогда, впрочем, не достигая этого предела в абсолютном смысле. Следует поэтому признать, что законы традиционной логики и формальных исчислений, привычно рассматриваемые в качестве законов и рецептов «правильного» мышления, — это не более чем схемы, лишь указывающие пределы возможного, допустимого многообразия мыслительных актов, но ничего не говорящие о том, каким мышление должно быть на самом деле. По этой причине их никак нельзя считать законами реально осуществляющегося мышления и поведения. Реальный процесс мышления настолько сложен и своеобразен, что полное понимание определяющих его нелинейную динамику законов пока еще представляет задачу далекого будущего. Об этом свидетельствуют также серьезные трудности, с которыми столкнулись создатели искусственного интеллекта, попытавшиеся отождествить интеллектуальные операции с логическими. Эти трудности однозначно свидетельствуют о том, что требуется принципиально новый подход к решению данной проблемы, уже вне понимания логики и как «науки о правильном мышлении» и как «науки о формальных исчислениях». Необходимо вернуть в логику человека, способного заблуждаться и исправлять свои ошибки, быть субъектом аффективных, когнитивных и поведенческих акций и реакций, признать за ним способность к спонтанности, нелинейности и самокоррекции. Разделившись на множество различных и самостоятельных теорий, представители которых уже сейчас с трудом понимают друг друга и с не меньшим трудом находят применение своим построениям, современная логика утратила также практический, то есть в буквальном смысле деятельный, характер своего существования. Она перестала быть также необходимым интеллектуальным орудием познания, поведения и общения, чем преимущественно являлась в период своего возникновения, перестала искать принципиальные ответы на фундаментальный со времен Аристотеля вопрос «ради чего?». Человек, проблемы его существования перестали для нее быть приоритетными.
Качественно новый уровень развития логики возможен только при условии возврата этой науки к проблеме человека, ее самого тесного сотрудничества со всеми другими науками, то есть при выполнении логикой своего главного предназначения. Человек — главный элемент социального, технического и информационного прогресса. Знание о том, как он мыслит, принимает решения и действует в социальной и природной среде, становится сейчас главным условием сохранения его как вида, так и всего живого на Земле. Человек снова становится ведущей темой научного анализа, главной целью индустриального и социального прогресса, и логика не может игнорировать эту фундаментальную особенность нашего времени. В некотором смысле указанный подход представляет возрождение античного понимания логики как специфической деятельности познающего человека, направленной на создание, трансформацию, коррекцию и расшифровку смыслов социальных и природных явлений. Человек — субъект, то есть актер и одновременно режиссер этого процесса. Он может ошибаться, находить и исправлять ошибки и неточности, двигаться в смысловом пространстве в любых направлениях, возвращаться и корректировать ранее полученные результаты, радикально изменять допущения и начинать все сначала, никогда не зная с полной достоверностью, чем весь этот процесс завершится. Как это ни парадоксально, но именно в нелинейности, неспособности мышления действовать по раз и навсегда заданной схеме, и заключается причина его неограниченной творческой силы. Изучение механизмов и стратегий творческого мышления и бытия действующего человека станет, как представляется, определяющим направлением развития логики в XXI столетии. Такое понимание, как показывает исторический экскурс, не очень расходится с интерпретацией логики как аналитики в широком смысле слова (ср., например, «Органон» Аристотеля, «Новый Органон» Фрэнсиса Бэкона, «Новый Восстановленный Органон» Уильяма УэвеллаI. Но логика по своему предназначению представляет не только универсальный метод конструирования нового знания. Одновременно она является тем единственным языком, в терминах которого наиболее вероятен 1 Сказанное перекликается с утверждением русского логика И. Е. Орлова о необходимости создания логики естествознания, обобщающей традиционную и символическую логики, высказанным почти 80 лет назад. «Но вполне исчерпанной свою задачу логика может считать только тогда, когда она изложит, кроме учения о доказательстве, также ars inveniendi (искусство делать открытия), то есть методы эксперимента и методы построения гипотез. Наиболее общие понятия естествознания, как, например, причинность, материя, энергия и проч., должны быть рассмотрены в логике, так как то или иное содержание, вложенное в указанные понятия, определяет тот или иной метод разработки наук». Орлов И. Е. Логика естествознания. М.-Л., 1925. - С. 65. Если в логику естествознания И. Е. Орлова включить социогуманитарные понятия и проблемы, тогда мы получим основные темы и цели «Практической логики».
давно ожидаемый великий синтез математических, естественных и гуманитарных наук. Чтобы выполнить эту миссию, логика не должна обособляться от всех других наук, считать себя самодостаточным знанием, способным развиваться исключительно за счет решения своих внутренних проблем. Наоборот, как свидетельствует история познания, прогресс логики всегда был обусловлен попытками решения прежде всего нелогических проблем. Преподавание логики, очевидно, не может не учитывать назревшие изменения в развитии и преподавании данной науки, формирующегося пересмотра ее места в системе общенаучного знания. Настоящее учебное пособие представляет программу, в которой изложение логики подчинено указанной выше общей перспективе. С этой целью главное внимание при объяснении логических тем уделяется прежде всего следующим особенностям поведения человека: во-первых, последовательному и операциональному характеру формирования интеллекта; во-вторых, комбинаторному, вероятностному, информационному и поведенческому аспектам совершаемых человеком интеллектуальных действий; в-третьих, значительному весу недедуктивных умозаключений в его рассуждениях. Принятие во внимание всех этих особенностей заставило по-новому изложить традиционную и символическую логики, представив их содержание в виде последовательно связанных друг с другом уровней формирования единого интеллекта, и расширить содержание логики как учебной дисциплины, включив такие разделы, как принятие решений, общение и разрешение конфликтов, риторику, структурный анализ сказок и мифов в качестве тем, достойных интереса, теоретического и практического применения. В более широкой перспективе предложенная программа, названная для краткости «практическая логика», обозначает контуры новой парадигмы не только преподавания, но и развития самой логики. Вместо унылого комментирования законов «правильного мышления» или конструирования очередного исчисления с неопределенной интерпретацией, данная программа указывает стратегически более важную и актуальную альтернативу — исследование законов целостного (аффективно-когнитивного, коммуникативного и поведенческого уровней) существования человека, построение и исследование моделей поведения человека2. Соответственно вместо Интересным свидетельством того, что данная тенденция приобретает общенаучный характер, стало программное заявление и последовавшая за этим серия специальных исследований группы английских математиков о необходимости обобщения теории игр в терминах теории драмы. См.: Howard. Nigel, P. G. Bennett, J. W. Bryant and M. Bradley. Manifesto for a Theory of Drama and Irrational Choice // J. Opl. Res. Soc. Vol. 44. 1992. - P. 99-103. Howard. Nigel. Drama Theory and its Relation to Game Theory // Group Decision and Negotiation. Vol. 3. 1994. - P. 187-206, 207-253. Howard. Nigel. Confrontation Analysis: How to Win Operations Other than War. CCRP. Department of Defense, Washington DC. 1999.
изобретения все более изощренных, но все более далеких от действительного человеческого мышления схем вывода, практическая логика предлагает единую технику анализа информации исходных данных (посылок), позволяющую решать все дедуктивные и недедуктивные задачи, и близкую той, которая используется как обычным человеком, так и реально работающим менеджером или ученым. Такая альтернатива включает логику в общий поток современных гуманитарных и естественнонаучных исследований, ставит перед ней абсолютно новые и имеющие большое социальное и научное значение задачи и тем самым выводит ее на качественно новый уровень развития. Данное учебное пособие можно рассматривать как первый шаг в этом направлении. Пользуясь случаем, хотим отдать дань уважения тем мыслителям, чьи идеи были использованы при работе над этой книгой. Жану Пиаже A896-1980) я обязан пониманием фундаментальной связи логики, психологии и алгебры. Его концепция последовательного развития интеллекта используется при изложении традиционной логики. Символическая логика анализируется как завершающий этап в формировании этой способности. Льюис Кэрролл (Чарльз Доджсон A832-1898)) научил нас понимать традиционную логику не как собрание скучных догм, а как веселую и поучительную символическую игру. В книге предлагается оригинальная версия известного метода диаграмм Л. Кэрролла, а также используются кэрролов- ские силлогизмы и сориты. Рудольф Карнап A891-1970) навсегда определили наш интерес к проблемам теории вероятностей, семантической информации и индукции. Этот интерес способствовал более глубокой интерпретации силлогистики, недедуктивной демонстрации и некоторых других разделов. Для большей полноты и отражения специфики практической логики мы включили главы — «Логика научного познания» и «Логика диалектики», новый параграф — «О некоторых парадоксах индуктивной вероятности». Были расширены или написаны заново параграфы, посвященные восстановлению посылок, доказательству и опровержению, вероятностному анализу задач по общению. В настоящее пособие включены новые результаты, связанные с восстановлением посылок в сложных случаях; с решением силлогизмов с посылками из трех и более различных терминов; с решением силлогизмов, посылки которых состоят как из простых, так и сложных суждений; с построением симметричного универсума, в котором законы логического квадрата выполняются для всех эквивалентных суждений; с определением объема и содержания простых и сложных суждений; с квантификацией предиката простого суждения; с выводом заключений из посылок с пустыми терминами; с решением некоторых парадоксов.
10 Была продолжена работа по более точному выражению принципиальных положений и определений, конструированию новых примеров, выявлению ошибок и опечаток. Настоящее издание настоящего учебного пособия, как мы надеемся, даст самое полное и точное представление о логике как инструменте познания, поведения и общения и, возможно, откроет новую страницу в ее более чем 2500-летнем развитии. И если это произойдет, значит, главная цель, ради которой была написана это пособие, будет достигнута. Читателю, выбравшему эту книгу для изучения логики, мы позволим себе адресовать следующие слова Л. Кэрролла, которые не устарели и сегодня. Методы логики, с которыми вы познакомитесь, «позволят вам обрести ясность мысли, способность находить собственное, оригинальное решение трудных задач, выработают у вас привычку к систематическому мышлению, и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические ошибки и находить изъяны и пробелы у тех, кто не пытался овладеть увлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас»3 Данное пособие рекомендуется читать последовательно, начиная с первой главы и по крайней мере до девятой главы включительно. Читатель постепенно осваивает логический язык, проблемы и технику решения задач. Подготовленным читателям настоящее пособие можно читать в любой последовательности, а также использовать его в качестве справочника. Кэрролл Л. История с узелками. М., 1973. - С. 193.
11 I. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА КАК ОРГАНОН ПОЗНАНИЯ, ПОВЕДЕНИЯ И ОБЩЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА Человек не обладает инстинктивно тем, чем должен быть, ему надлежит это обрести. Г. В. Ф. Гегель. Философия права. 1. ЦЕЛЬ, ПРЕДПОСЫЛКИ И ПРЕДМЕТ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Слова великого немецкого мыслителя, вынесенные в эпиграф, выражают главную проблему и основной отличительный признак человеческого существования. Человеку большую часть своей жизни приходится самому создавать себя — самому определять смысл своей жизни и самому добиваться его осуществления. Именно из решения этой фундаментальной проблемы и возникает то, что обычный человек называет своей судьбой. Конструирование рациональных способов решения данной проблемы, учитывающее психологические и социальные составляющие человеческого поведения, образуют главную цель практической логики. Практическая логика не является каким-то специальным разделом общей логики. Под этим термином в данной книге понимается целенаправленное использование логического знания для анализа и решения значимых для человека проблем — мыслительных, поведенческих и коммуникативных. В силу этой своей ориентации практическая логика самым тесным образом связана со всеми гуманитарными дисциплинами. Синтетический характер практической логики проявляется также в том, что кроме логических она использует и математические языки — теории вероятностей, теории групп, теории графов. Это делает создаваемые модели универсальными и чрезвычайно эффективными. Основное допущение практической логики состоит в том, что человеческое существование представляет результат взаимодействия каждого из нас со своей физической и социальной средой. Факторы, от которых зависит наше существование, все вместе образуют, по выражению Курта Левина4, «жизненное пространство», своеобразный универсум человеческого существования. *Lewin К. A Dynamic Theory of Personality. London. 1935.
12 Универсум существования человека — все то, что служит объектом его размышления, воли и действия и разделяется им в согласии со своими потребностями и интересами на «свое» и «чужое», «нужное» и «ненужное», «желательное» и «нежелательное» и так далее Исследование универсума существования человека, законов его формирования и трансформаций составляет специфический предмет практической логики, так как является доказанным фактом, что поведение человека представляет функцию изменения универсума его существования. Именно по этой причине все модели практической логики создаются с учетом человека не только как мыслящего, но и как коммуникативного и действующего существа. К особенностям практической логики следует отнести и используемую ею технику получения нового знания. Эта техника в максимальной степени соответствует тому способу, которым осуществляется наше повседневное мышление, — мы достигаем нового знания посредством реструктуризации доступной информации и отбрасывания всего, что либо является самопротиворечивым, либо противоречит нашим базисным допущениям. Из оставшейся информации мы принимаем во внимание и то, что относительно наших допущений кажется нам наиболее вероятным и поэтому неинформативным, и то, что таким вероятным не кажется и представляется по этой причине самым информативным. Именно результат подобной реструктуризации мы и считаем новым знанием. Применяемая техника получения нового знания является универсальной, так как включает как дедуктивные, так и недедуктивные методы извлечения релевантной информации, и конструктивной, так как позволяет сделать это за конечное число шагов без привлечения какой-либо дополнительной информации. Хотя очерченное предназначение логики и кажется необычным для дисциплины, обычно определяемой как наука о правильном мышлении, оно не является абсолютно новым. Две с половиной тысячи лет назад рождение и бурное развитие логики было обязано именно установке на познание законов человеческого существования. Свои теоретические предпосылки практическая логика находит в фундаментальных особенностях человеческого существования — его противоречивости, проблемности, альтернативности, сознательном характере и социальной обусловленности. Оно противоречиво, как противоречиво все, что существует. Чтобы обрести себя, человек должен обрести мир. Чтобы стать самим собой, надо научиться быть другим, то есть быть с другими и для других. Это рождает проблемность, альтернативность, социальный и сознательный характер бытия человека. Из всего многообразия ответов, постулируемых социальным и культурным окружением, на вопросы кем быть?, как быть?, с кем быть?, каким быть? каждый должен выбрать те, которые более всего отвечают его природе. Для этого надо уметь не только формулировать цели,
13 но также уметь предвидеть последствия своего выбора, уметь оценивать их с точки зрения определенных общезначимых критериев. Только в этом случае выбор является осознанным и свободным. Всем перечисленным особенностям человеческого существования практическая логика стремится придать вид определенных логических законов (инвариантов), составляющих ее теоретический базис. Возникает вопрос: как соотносятся эти предполагаемые законы практической логики с известными законами правильного мышления? Ответ на этот вопрос содержится в следующем параграфе. 2. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ: ПРИРОДА И ФУНКЦИИ Всякое знание, независимо от того, является ли оно научным или просто вытекающим из здравого смысла, представляет — явно или скрыто — систему принципов сохранения. Жан Пиаже. Психология интеллекта. Теоретическую основу любой науки составляют законы сохранения, которым подчиняются ее объекты. Закон инерции в механике, закон сохранения веса в химии, золотое правило нравственности в этике — самые известные примеры законов сохранения. Существуют такие законы и в логике. Традиционный взгляд на данную проблему сводится к перечислению четырех «основных» законов правильного мышления: противоречия, тождества, исключенного третьего, достаточного основания — и к их более или менее подробной демонстрации. Сообщается, что отрицающие друг друга мысли не могут быть вместе ни истинны, ни ложны (закон противоречия), что каждая мысль должна быть равна сама себе (закон тождества), что из двух противоречащих друг другу мыслей одна и только одна истинна (закон исключенного третьего), что всякая истинная мысль должна быть обоснована (закон достаточного основания). Теоретическая неудовлетворительность стандартного взгляда на логические законы вызвана следующими причинами. Во-первых, все перечисленные законы считаются законами правильного мышления. При этом мало обращается внимания на то, что человек мыслит большей частью неправильно и только методом проб и ошибок добирается до истины. Ограничивающим условием является также отнесение данных законов только к сфере мышления. Совершенно непроясненным остается вопрос о существовании законов деятельности человека, понимаемой более широко, чем только мыслительная.
14 Во-вторых, не учитывается тот факт, что закон достаточного основания таковым, то есть логическим законом, в сущности, не является. Лишь в исключительных случаях человек обладает достаточными основаниями для мысли, действия, принятия решения и так далее Гораздо чаще ему приходится действовать на основании неполных, несовершенных, даже ложных данных и предпосылок. Это относится и к составлению прогнозов, постановке диагнозов, судебным разбирательствам, научным исследованиям, историческим оценкам и т. п. Но сказанное имеет место и в обычной жизни человека. Следует также заметить, что истинность известного принципа «из лжи следует все, что угодно (включая любую истину)» делает ложь самым достаточным основанием. Но с этим, кроме лжецов из известной серии книг Р. Смаллиана5, вряд ли кто-нибудь согласится. В-третьих, остальные три закона (с указанной формулировкой закона противоречия) выражают, в сущности, одну и ту же мысль: ни одна вещь не может принадлежать одновременно какому-либо классу и его дополнению (классу с противоречащим признаком); каждая вещь либо обладает в данный момент времени и в данном отношении каким-либо свойством, либо не обладает. Встает, следовательно, вопрос о достаточности данных законов. Его решение требует выхода за пределы интерпретации логики как науки о«правильном мышлении» и, кроме того, поиска структуры, в терминах которой можно было бы объяснить как формальные свойства законов, так и их взаимозависимость. Многократно отмечалось, что двойственность (бинарность, дуальность, оппозиционность) — неотъемлемая черта всей реальности, как материальной, так и идеальной. Нет ничего, что не содержало бы явно или скрыто разделения на два полюса, направления, силы, тенденции и т. п. Верх и низ, левое и правое, плюс и минус, инь и ян, сакральный и мирской и тому подобные термины (антонимы) наполняют наш язык и дают свидетельство двойственности всего, что может быть в нем выражено. Меньше обращалось внимания на то, что вместе с двойственностью реальности нам всегда дана некоторая форма целостности, в пределах которой эта двойственность определяется. Бессмысленно говорить о двойственности чего-либо, не указывая, о двойственности какой целостности идет речь. Логическим аналогом любой формы целостности выступает универсум — тот класс вещей, на элементах которого определяются все дальнейшие преобразования. В алгебре универсум обычно именуется универсальным классом. Если мы, например, собираемся обсуждать класс людей, образующий «наших знакомых», то универсумом выступает класс «знако- 5 Смаллиан Р. 1) Как же называется эта книга? М., 1981; 2) Принцесса или тигр? М., 1985; 3) Алиса в стране смекалки. М., 1987.
15 мые». Если мы решаем элементарные арифметические задачи, то универсумом является класс целых чисел. Самым абстрактным аналогом двойственности в логике выступает разбиение (разделение) универсума на два взаимоисключающих и совместно исчерпывающих его класса. Если я утверждаю: «Яблоко спелое», то тем самым я разбиваю универсум «яблоки» на два указанных класса — «спелые яблоки» и «неспелые яблоки». Сложение обоих классов дает нам универсум: «спелые яблоки» + «неспелые яблоки» = «яблоки». Очевидно, что один и тот же универсум может быть разбит на классы с указанными характеристиками по самым разным основаниям. Так, «яблоки» могут быть разделены на «вкусные» и «невкусные», «дорогие» и «недорогие», «зрелые» и «незрелые» и так далее Допустим, все яблоки разбиты на красные и некрасные. Класс «красные яблоки» отличается от класса «некрасные яблоки» своей большей определенностью, конкретностью. Ведь ясно, что среди красных яблок могут находиться только красные яблоки, тогда как среди некрасных яблок могут находиться яблоки зеленого, желтого и иного некрасного цвета. Из двух взаимно исключающих и совместно исчерпывающих универсум класса тот, который не имеет определенного содержания и обозначается словом, начинающимся, как правило, с частицы «не», называется дополнением. Итак, некрасные яблоки являются дополнением красных яблок до универсума «яблоки». Одним из свойств двойственности, выраженным на логическом языке, является запрет на существование вещей, одновременно обладающих свойствами какого-либо класса и его дополнения. Именно в этом состоит рациональное содержание закона противоречия, который мы сформулируем следующим образом. Закон противоречия: Ни одна вещь из данного универсума не моэюет принадлежать одновременно какому-либо классу и его дополнению (область пересечения любого класса со своим дополнением пуста); ни одна вещь не моэюет в данное время и в данном отношении обладать и не обладать каким-либо свойством (быть и не быть субъектом какого-либо отношения). Понимая под вещью все, что может быть предметом мысли, все, что может быть названо, то есть иметь имя, мы получаем в форме закона противоречия утверждение, распространяющееся на все, что существует. Согласно выдающемуся американскому психологу Дж. Келли6, человек смотрит на мир посредством созданных им на основе закона противоречия особых биполярных признаков, названных конструктами, структурирующими как реальность, так и саму личность. Конструкт чест- 6 Kelly George A, A Theory of Personality: The Psychology of Personality Constructs. New York, 1963.
16 ный/нечестный позволяет дифференцировать не только людей на соответствующие классы, но и возможные действия самого субъекта и тем самым фиксировать его собственную нравственную позицию (выбор). В более широкой перспективе можно говорить о классификационной (дихотомической) функции закона противоречия. Определить местонахождение какой-либо вещи, найти смысл жизни, сформулировать и доказать мысль можно только предварительно структурировав, согласно этому закону соответствующий универсум. Не сделав этого, нельзя провести различие или установить тождество мыслимых вещей, то есть нельзя выполнить операции, с осуществления которых начинается всякая умственная деятельность. Двойственность реальности является причиной другого ее фундаментального свойства — обратимости. Если есть некоторый процесс, протекающий в каком-то направлении, то всегда есть ему обратный. Если есть некоторая сила, отношение, то всегда есть обратная им сила и обратное отношение. Центробежная сила уравновешивается центростремительной, движение по поверхности — силой трения. Если одна вещь выше другой, то вторая ниже первой, если один человек умнее другого, то второй глупее первого. Если одна величина равна другой, то и вторая равна первой. Ни одна система не может существовать сколько-нибудь продолжительное время, если взаимодействие ее частей не состоит из уравновешивающих друг друга прямых и обратных преобразований. Любая экологическая система существует устойчиво, если только существует баланс между ее динамическими составляющими. Уменьшение численности зайцев ведет к уменьшению численности лисиц, что вызывает рост численности зайцев и, как следствие, увеличение численности лисиц. Увеличение численности лисиц ведет к уменьшению численности зайцев, и весь процесс повторяется. Все описанные колебания совершаются около некоторой точки равновесия, фиксирующей в чистом виде нейтрализацию прямых и обратных тенденций. Как и двойственность, обратимость составляет необходимое условие существования как живых, так и неживых систем. Самым важным следствием обратимости является способность всех систем возвращаться в исходное состояние, сохранять свою устойчивость, определенность. В логике данное следствие формулируется в виде закона тождества. Этот закон мы приведем в следующей формулировке. Закон тождества'. Любая вещь из данного универсума остается равной самой себе (сохраняет себя, остается инвариантной, неизменной), если и только если результат любого примененного к ней преобразования аннулируется ему обратным (для каэюдого преобразования существует ему обратное, такое что их последовательное выполнение равняется нулевому преобразованию).
17 Если к 2 прибавить 7, а затем вычесть 7, то мы получим исходное число 2. Если 2 разделить на 7, а затем полученную дробь умножить на 7, то мы также будем иметь исходное число 2. Сохранение числа 2 обязано исключительно наличию в каждом примере прямого и обратного преобразований. В первом примере — сложению и вычитанию, во втором — делению и умножению. Такое понимание закона тождества обладает большими эвристическими возможностями. Во-первых, эта формулировка делает несостоятельными обвинения данного закона в пустоте содержания, в тривиальной констатации, что некоторая вещь равна самой себе. На самом деле содержание закона тождества бесконечно разнообразно, как разнообразно число преобразований, в которых участвуют вещи. Во-вторых, этот закон по своему содержанию противоположен известному второму началу термодинамики, так как фактически утверждает, что в природе невозможны процессы, протекающие только в одном направлении, то есть не имеющие уравновешивающих их обратных сил, тенденций и т. п. Закон тождества можно также рассматривать как частный случай такого свойства реальности, как симметрия. Интересно отметить, что даже отношения людей подчиняются принципам симметрии. Упоминавшееся золотое правило нравственности представляет собой простейший, но не единственный принцип такой симметрии: не делай другому того, чего не хочешь, чтобы сделали тебе7. Реальность не только двойственна, обратима, но и альтернативна. Последнее свойство не менее фундаментально, чем первые два. Буквально оно означает, что реальность в своем становлении имеет всегда множество возможностей достижения некоторого конечного состояния. Одна и та же мысль может быть выражена разными словами. Одна и та же задача решается, как правило, разными способами. Дети одних и тех же родителей обладают, как свидетельствует опыт, разными наследственными признаками. Число таких примеров можно умножать неограниченно. В логике свойство альтернативности выражается в возможности разбиения универсума на произвольное число классов, соответствующее числу допустимых способов представления признака, общего всем элементам универсума. Требования, которые налагаются на альтернативные представления, сводятся к тому, чтобы пересечение любых двух классов было пусто, сумма всех полученных классов составляла универсум, а рассматриваемая вещь обязательно принадлежала какому-то подмножеству этих классов и не принадлежала его дополнению. Выполнение этих требований гарантирует, что классифицируемые вещи, явления окажутся членами по крайней мере одного из полученных классов и никогда не будут принадлежать противоречащим друг другу множествам классов. Основная ошибка 7 Гуссейнов А. Золотое правило нравственности. М., 1982.
18 при соблюдении данного закона состоит в том, что формируемый класс альтернатив является неполным, то есть не включает класс или классы, содержащие решение исходной проблемы. Например, такая ошибка имеет место, если следователь по тем или иным причинам не включил в список подозреваемых лиц подлинного виновного; врач при лечении больного не включил в число возможных причин заболевания истинную причину; ученый не включил в список проверяемых гипотез истинное допущение. Требования, накладываемые на альтернативные классы, мы будем называть критерием полноты. Именно он и составляет рациональное содержание закона исключенного третьего, который мы приведем в следующей формулировке. Закон исключенного третьего (полноты): Множество альтернативных классов вещей (гипотез, способов достижения цели, решений проблем и т. п.) является полным (содержит классифицируемые вещи, включает истинную гипотезу, правильное решение проблемы и так далее), если и только если оно представляет разбиение соответствующего универсума согласно закону противоречия на множество взаимоисключающих и совместно исчерпывающих его классов (гипотез, способов достижения цели, решений и т, п.) . Итак, все три закона отражают фундаментальные свойства реальности — ее двойственность, обратимость и альтернативность и выражаются в логически развитом мышлении в виде операций с универсумом. Эти законы находят свое выражение и в действиях, поступках людей. Стоит отметить следующие наиболее важные виды связи логических законов с человеческим существованием. Многократно отмечалось и экспериментально подтверждалось, что все мы сознательно или бессознательно стремимся иметь согласованные, то есть не противоречащие друг другу, взгляды, мнения, оценки, суждения. Аналогично и для наших отношений друг с другом. Наличие противоречия порождает конфликт и тем самым создает стимул для реорганизации содержащей его системы. Если некто желает выпить сладкого чая, но обнаруживает, что дома никаких сладостей нет, то он, чтобы разрешить возникший конфликт, должен либо отказаться от своего желания, либо отправиться на поиски сладкого. Если А любит В, а В не любит А, то А и В не могут долго находиться в подобных не соответствующих друг другу отношениях. Внутри данной системы отношений обязательно возникают силы, стремящиеся устранить несоответствие либо изменением отношения А к В, либо отношение В к А, либо тем и другим. Иными словами, конфликты и лежащие в их основе противоречия играют роль движущих мотивов в постоянной перестройке наших взглядов, оценок, желаний, суждений, мне- См.: Newell A. Unified Theories of Cognition. Cambridge, 1991. - P. 97- 98.
19 ний и отношений. В этом состоит конструктивная роль противоречий в человеческом существовании. Добиваясь согласованности своих взглядов и отношений, мы стремимся тем самым достигнуть наивысшей самооценки, то есть максимального подтверждения своей личностной определенности, тождественности, устойчивости. Как наличие противоречия в посылках лишает их всякой познавательной ценности (из таких посылок выводимо все, что угодно), так и наличие противоречия в наших взглядах и отношениях лишает нас личностной определенности. Необходимым и достаточным условием отсутствия противоречия является симметричность, то есть эквивалентность прямых и обратных отношений системы. Быть тождественным самому себе означает быть субъектом симметричных отношений. При этом конкретное содержание отношений не имеет никакого значения. Два человека имеют высшую степень самооценки как в том случае, когда они любят друг друга, так и в том случае, когда они ненавидят друг друга или безразличны друг другу. В том, что стабильность личностной определенности обусловлена степенью симметричности отношений между людьми, проявляется связь закона тождества с человеческим существованием. Проектируя свое будущее, каждый из нас мыслит его в виде определенного множества альтернатив. При этом все они различаются нами не только по своей значимости (полезности), но и по вероятности своего осуществления. Особенностью человеческого существования является стремление конструировать такое множество альтернатив, которое включало бы альтернативу с наивысшей вероятностью, то есть указывало бы достоверное событие. Нет ни одного человека, который не хотел бы знать с определенностью, что его ждет в начатом им деле. Нет ни одного ученого или следователя, который не желал бы, чтобы в множество его гипотез не входила истинная. Нет ни одного игрока, который не мечтал бы о том, чтобы его ставки оказались верными. Иными словами, каждый человек интуитивно или осознанно стремится выполнить критерий полноты. Следовательно, человеческое существование подчиняется закону исключенного третьего. Даже простой анализ показывает, что нет никаких оснований ограничивать сферу действия рассматриваемых законов только мышлением. Их действие рассматривается как минимум на все человеческое существование. До сих пор остается дискуссионным вопрос о достаточности данных законов. Правильный ответ на этот вопрос мы видим в теоретико- групповой интерпретации логических законов, поскольку только она дает максимально общее решение поставленной проблемы.
20 Одним из лучших неформальных определений группы (в алгебраическом смысле) является следующее: «Группу можно определить как некоторое множество действий или операций А, 5,..., которые могут объединяться вместе — делай сначала А, затем В. Действие, представляющее результат объединения каких-либо действий, также должно быть членом группы; процесс объединения обычно называют «умножением». Недействие (отсутствие действия, нулевое действие. — В. С. и И. 77.) следует считать членом группы (ее нейтральным элементом). Каждое действие должно быть обратимым, при этом объединение какого-либо действия со своим обращением должно давать недействие, то есть возвращение к исходному действию. Наконец, результат некоторой последовательности действий... не должен зависеть от порядка их объединения»9. Если в качестве элементов взять операции отрицания (дополнения), обращения, отрицания обращения и тождества (нулевого действия), то мы получим группу, порождающую все логические преобразования. Это открытие было сделано Ж. Пиаже при исследовании операций, специфичных для интеллекта10. Эта группа представляет структуру, лежащую в основе всех наших интеллектуальных действий, структуру, к которой тяготеет умственное развитие каждого человека. Она дает объяснение внутренней симметрии не только рассматриваемых логических законов, но и всего видимого разнообразия мыслительных действий. Отметим также, что данная группа является всего лишь одним из возможных примеров более фундаментальной группы четырех Клейна. Одна из модификаций группы четырех Клейна применяется при анализе диалектической структуры сказок и мифов (см. главу XII). Пусть N = отрицание, R = обращение, С = отрицание обращения (обращение отрицания), / = тождество. Структура, образованная перечисленными операциями, была названа Ж. Пиаже группой INRC. Первое свойство группы требует, чтобы результат объединения операций снова был одной из исходных операций. Пусть знак «х» обозначает объединение (умножение) операций и имеет приблизительно тот же смысл, что и союз «и». Проведем проверку данного свойства (интерпретация группы в целом будет приведена после рассмотрения ее законов). NR = С, отрицание х обращение = отрицание обращения. NC = R, отрицание х отрицание обращения = обращение. RC = N, обращение х отрицание обращения = отрицание. NRC = /, отрицание х обращение х отрицание обращения = тождество. 9 Candy R. «Structures» in Mathematics // Structuralism: An Introduction. Oxford, 1973. _P. 144-145. 10 Пиаже Жан. Избранные психологические труды. М., 1969. - С. 567-612.
21 NRCN = N, отрицание х обращение х отрицание обращения х отрицание = отрицание. И так далее Смысл рассмотренного свойства состоит в том, что любую последовательность операций всегда можно заменить равнозначным результатом их последовательного выполнения, опять принадлежащим исходному множеству операций. Второе свойство группы требует наличия тождественного преобразования. В рассматриваемой группе таким преобразованием является операция /. Проведем проверку данного свойства. IN = N, тождество х отрицание = отрицание. IR = R, тождество х обращение = обращение. 1С = С, тождество х отрицание обращения = отрицание обращения. INR = NR = С, тождество х отрицание х обращение = отрицание х обращение = отрицание обращения. INRC = NRC = I, тождество х отрицание х обращение х отрицание обращения = тождество. И так далее Итак, применить тождественное преобразование означает оставить все без изменения. Третье свойство требует, чтобы для каждой операции, являющейся ее элементом, существовала ей обратная операция. При этом объединение (последовательное выполнение) прямой и обратной операции должно давать тождественное преобразование. Особенностью группы INRC является то, что каждая исходная операция обратна самой себе. Приведем проверку данного свойства. NN = /, отрицание х отрицание = тождество. RR = I обращение х обращение = тождество. СС = /, отрицание обращения х отрицание обращения = тождество. // = /, тождество х тождество = тождество. Из данного свойства следует, что тождество может быть получено двумя принципиально разными способами - как отрицание отрицания и как обращение обращения. На этом различии основано различие между логикой классов с дополнением в качестве отрицания и логикой отношений с обращением в качестве собственной операции отрицания (логика отношений включает, конечно, и операцию дополнения). Четвертое свойство требует, чтобы порядок объединения операций не влиял на их конечный результат (свойство ассоциативности). Проведем проверку данного свойства.
22 N (RC) = (NR) С = R (NC) = I, отрицание х (обращение х отрицание обращения) = (отрицание х обращение) х отрицание обращения = обращение х (отрицание х отрицание обращения) = тождество. Очевидно, что ассоциативность является логическим аналогом свойства альтернативности. Итак, все свойства группы выполняются. Связь всех операций, согласно данным свойствам, указана на рис. 1. R С Рис. 1. Рассмотрим простую интерпретацию группы в целом. Пусть даны величины А и В такие, что А больше В, (А>В). Тогда операция R трансформирует А>В в отношение В<А, операция N переводит А>В в отношение А<В, операция С преобразовывает А>В в отношение В>А (рис. 2). Все свойства группы можно проверить движением вдоль соответствующей линии диаграммы на рис. 2. А>В R В<А В>А А<В Рис. 2. Развитое логическое мышление, структуру которого отображает группа INRC, основывается на четырех элементарных операциях — отрицании (дополнении), обращении, отрицании обращения и тождестве. Все эти операции в равной мере необходимы и вместе достаточны для порождения всех логических преобразований, свойственных человеческому интеллекту.
23 Группа INRC синтезирует две основные ступени интеллектуального развития каждого человека. Первая из них связана с овладением операциями с классами, что соответствует логике понятий. Вторая ступень связана с развитием навыков формирования и преобразования отношений, чему соответствует логика суждений. Синтез обеих ступеней предполагает умение оперировать как классами, так и отношениями, что отражается в способности строить отрицания обращений (обращение отрицаний) и соответствует логике умозаключений. Структура последней и выражается группой INRC. Группа INRC снимает вопрос о приоритете каких-либо законов в качестве основных в том смысле, что в полноценном логическом мышлении операции отрицания, обращения, отрицания обращения и тождества взаимозависимы и уравновешены. Никакое свойство или комбинация каких- либо двух свойств недостаточны для порождения логики умозаключений как высшей способности мыслить. С учетом симметричной зависимости и уравновешенности всех элементов рассматриваемой структуры имеет смысл говорить не об отдельных обособленных логических законах, а об инвариантных чертах развитого (системного) мышления. К ним относится способность строить классы и тем самым использовать операцию дополнения; способность строить отношения и тем самым использовать операцию обращения; способность строить дополнения обращений и тем самым использовать операцию отрицания обращений; способность строить дополнения дополнений, обращения обращений и другие комбинации операций, ведущих к тождеству, тем самым использовать тождественные преобразования. Не менее важно также то, что преобразования группы INRC необходимы и достаточны не только для интеллектуальных, но и для иных действий человека. Самыми интересными интерпретациями данной групп можно считать законы диалектического анализа и развития (гл. XI) и формирования сказочных и мифологических сюжетов (гл. XII). Иными словами, инвариантность нашего мышления представляет частный случай общей инвариантности нашего существования. Поэтому человек, развивший указанные способности, достигает самого важного результата в изучении логики - он начинает мыслить, общаться и действовать творчески. 3. ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ И СТРУКТУРА ПОСОБИЯ Сделать логику инструментом познания, поведения и общения означает связать ее с необходимыми условиями человеческого существования. Первое из таких условий — способность мыслить, то есть строить идеальные образы реальности, и действовать в соответствии с ними. Под-
24 робный анализ этой способности содержится в главах II—VI. Две идеи являются основополагающими в этом анализе: идея Жана Пиаже, что логика умозаключений представляет синтез логики классов и логики отношений (логики понятий и логики суждений соответственно); все более настойчиво отстаиваемая специалистами по когнитивной психологии идея, что не вывод из аксиом и даже не натуральный вывод, а вывод, основанный на информационной связи посылок и заключений, характерен для человеческого интеллекта11. Использование этих идей позволило найти новое решение некоторых старых проблем и главным образом добиться единства в технике решения задач традиционной и символистической логики, дедуктивной и недедуктивной демонстрации. Оказалось естественным применение вероятностных методов (глава V). В главе IV развита перспективная модификация метода диаграмм Л. Кэрролла, значительно облегчающая решение силлогизмов и расширяющая границы его применения. Поведение человека сходно с поведением ученого, утверждают не без основания многие психологи. Но научное познание обладает и самостоятельным интересом. В главе VII дан специальный анализ основного цикла научного познания: исходная проблема — изобретение гипотез — испытание гипотез — конструирование новой или модификация старой теории — новая проблема. Данную главу можно рассматривать как краткое введение в современную логику и методологию науки. В этой же главе обсуждаются некоторые итоги длящейся уже более 20 лет дискуссии по проблеме правдоподобия (близости к истине) научных теорий. Человек мыслит, решая проблемы, делая выбор среди какого-то множества альтернатив. Конструирование альтернатив, оценка их полезно- стей и возможностей, выбор наилучшей альтернативы — все эти операции каждый человек на интуитивном уровне выполняет многократно даже в течение одного дня. Научить делать все это осмысленно - в этом состоит основная цель восьмой главы. Человек — социальное существо. Общение с себе подобными является необходимым условием его существования. Общаясь, человек становится субъектом разнонаправленных и разнозначащих отношений. Это создает предпосылки для возникновения конфликтов и стимулы для реорганизации тех структур общения, которые их породили. Конфликты выполняют роль движущей силы общения, постоянной перестройки отношений между его субъектами. Обсуждаются три способа решения задач по общению — с помощью теории графов, теории вероятностей и теории игр. Все эти проблемы рассматриваются в главе IX. 11 Johnson-Laird P. N. Reasoning without logic // Reasoning and Discourse Processes. London, 1986.-P. 13-49.
25 Тема общения продолжается в главе X, но с новой точки зрения: как следует убедительно говорить и писать. Ответ на этот вопрос дает древнее искусство риторики. Последовательно анализируются все этапы построения риторической (убеждающей) речи — изобретение мыслей, расположение мыслей и словесное выражение мыслей. Важной разновидностью риторической речи является спор. В рассматриваемой главе предложена формализация этого древнейшего искусства и постоянного спутника человеческой жизни. В прямом смысле неразрешимой оказалась проблема соотношения логических и диалектических противоречий. Подобный тупик, среди прочего, свидетельствует о необходимости поиска принципиально новых подходов к решению данной проблемы. В главе XI развивается взгляд на диалектику как множество преобразований, подчиняющихся специальным законам сохранения. Такой подход совместим со всеми требованиями обычной логики, представляя фактически новую область ее приложения, максимально соответствует замыслам основоположников диалектики и в то же время удовлетворительно решает все задачи диалектического анализа и развития. Нет ни одного человека, который бы не слышал или не читал сказок и мифов. Нет ни одной культуры, которая бы не создавала того или другого. При этом независимо от места и времени наблюдается удивительное совпадение большинства сказочных и мифологических сюжетов в своей глубинной структуре. Ответ на вопрос: о чем рассказывают нам сказки и мифы, до сих пор остается дискуссионным и открытым для различных обобщений. В главе XII предложена версия, обобщающая широко известные формулы В. Я. Проппа и К. Леви-Строса и учитывающая диалектическое содержание сказок и мифов. Таким образом, говоря о практической логике как новой программе развития и обучения основам этой науки, мы имеем в виду, во-первых, эвристическую и максимально приближенную к мышлению обычного человека трактовку традиционных логических тем и логической техники, максимальное сближение их с потребностями «человека думающего». Во- вторых, это название мы понимаем как расширение обычной логической тематики за счет включения разделов, относящихся к «человеку действующему», «человеку общающемуся» и «человеку говорящему и пишущему».
26 ГЛАВА П. ПОНЯТИЕ Так как мы способны познавать внешние предметы только через посредство имеющихся у нас идей, размышления над ними составляют, быть может, самое важное в логике, ибо на этом зиждется все остальное. Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить. 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПНЯТИИ Мы понимаем какую-либо вещь, включая окружающий мир, самих себя, свои и чужие поступки, полностью, если и только если используемые нами слова и словосочетания выражают понятия об этой вещи. Любая вещь осознается нами как данная вещь только благодаря соответствующему понятию. «То, что мы называем человеком, — отмечал Б. Спиноза, — состоит в его соответствии с общей идеей, которую мы имеем о человеке»12. Все, что существует в качестве наших мыслей, упорядочивается, организуется как единое целое посредством той системы понятий, которой мы владеем. Одно и то же событие, интерпретированное в разных системах понятий (обвинителя и защитника на суде, например), превращается в различные, а иногда и противоречащие друг другу факты. Понятия — логические атомы нашей интеллектуальной деятельности, опорные пункты здравого и научного смысла. Умственное развитие ничего иного, в сущности, и не представляет, как способность переосмысливать старые и конструировать новые понятия в соответствии с изменяющимися условиями жизни. Только понятия придают нашим словам адекватное значение, а речь превращают в осмысленное рассуждение. Мы имеем понятие о некоторой вещи, если и только если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе достаточны для ее однозначного определения (обозначения, указания). Каждое условие конституирует некоторый класс удовлетворяющих ему вещей, причем эти вещи необязательно должны существовать реально. Делимость целых чисел на 2 порождает класс четных чисел. Условие «сказочный герой» продуцирует класс самых разнообразных вымышленных персонажей. Все вещи, образующие один класс, считаются тождественными (неразличимыми) относительно этого условия. Числа 2, 4, 6 тождественны от- 12 Спиноза Б. Избранные произведения: В 2-х т. М., 1957. Т. 1 . - С. 119.
27 носительно условия «быть четным числом»; «Евгений Онегин», «Капитанская дочка» и «Руслан и Людмила» тождественны относительно условия «автор — А. С. Пушкин». Для конструирования понятий важны не всякие условия, а только необходимые и достаточные. Принято называть то условие необходимым для какой-либо вещи, без наличия которого невозможно ее существование как данной вещи. Условие «быть сладкой вещью» необходимо для конфет, так как невозможно существование несладких конфет (в обычном понимании). Необходимое условие нельзя не только исключить, но и ослабить, усилить или модифицировать каким-то иным образом без образования противоречия в существовании рассматриваемой вещи. Необходимо то, что иначе быть не может {Аристотель). Принято называть то условие достаточным для какой-либо вещи, из наличия которого всегда следует ее существование как вещи с данным качеством. Условие «быть конфетой» достаточно для того, чтобы быть сладкой вещью. Отрицание достаточного условия в отличие от отрицания необходимого может быть совместимо с существованием данной вещи. Например, условие «быть пирожным», несовместимое с условием «быть конфетой», также достаточно для того, чтобы быть сладкой вещью. Необходимость и достаточность можно определить и в терминах свойств. Если некоторая вещь не может существовать без данного свойства, тогда оно является необходимым для существования этой вещи. Например, делимость на 2 есть необходимое свойство четных чисел. Если из существования некоторого свойства вещи следует существование какого-нибудь другого свойства данной вещи, то оно является достаточным. Чтобы асфальт, покрывающий улицы, стал мокрым, достаточно дождя в городе. Не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Дождь в городе есть достаточное условие мокрого асфальта, но не необходимое (возможны и другие причины, кроме дождя). Быть сладкой вещью есть необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы шоколадной конфетой. Однако делимость на 2 является необходимой и достаточной одновременно для четности целых чисел. Для конструирования понятий особое значение имеет случай, когда достаточность формируется из необходимых условий. Например, каждое из условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы» только необходимо для определения квадрата. Любая пара названных условий также только необходима. И только все вместе они необходимы и достаточны для обозначения класса квадратов. В самом общем виде процесс конструирования понятий протекает как поиск такого множества необходимых условий, которое было бы дос-
28 таточно для однозначного обозначения требуемого класса вещей. Особенности этого процесса будут рассмотрены ниже. Ни одно понятие не существует независимо, не будучи включенным в какое-либо более общее понятие и не противостоя в нем своему дополнению. Например, класс конфет включен в класс сладких вещей и противостоит всем сладким вещам, не являющимся конфетами. В свою очередь, класс сладких вещей противостоит классу несладких вещей, образуя еще более общий класс просто вещей13. Следовательно, каждое понятие продуцирует определенную классификацию иерархически упорядоченных понятий и не только «вверх», в сторону обобщения, но и «вниз», в сторону конкретизации, ограничения. Например, класс конфет можно ограничить до класса шоколадных конфет с дополнением «нешоколадные конфеты». Определение понятий требует, таким образом, умения складывать и делить (ограничивать) классы, то есть строить классификации. Так как каждое понятие выражает сумму каких-то необходимых условий, то все они носят нормативный характер. Это означает, что в той реальности, в которой живет и действует человек, не только понятия должны соответствовать вещам, но и вещи должны соответствовать своим понятиям. Любая вещь, изготовленная человеком, несет отпечаток того понятия, которым он руководствовался в процессе его создания. Именно по основанию, соответствует та или иная вещь, тот или иной поступок определенному понятию, различают «красивое» и «безобразное», «дорогое» и «дешевое», «умное» и «глупое», «законное» и «незаконное». Подобная относительность оценок, особенно заметная при сравнении различных культур или разных эпох одной культуры, показывает, что понятия не являются простыми слепками вещей. В понятиях человек не только отражает мир, но и выражает свое отношение к нему. Нормативный характер понятий означает также, что могут существовать понятия, для которых еще не открыты соответствующие вещи. Такая ситуация часто имеет место в науке, где сначала выдвигаются гипотезы и только затем совершаются открытия. Благодаря свойству отражать классы вещей, понятия не являются чувственно наглядными построениями. Данное свойство отличает их от чувственных образов и представлений, которые к тому же всегда зависят от реальных вещей как своих внешних причин. Итак, когда мы говорим о понятиях, то имеем в виду знание, которое является: общим и концептуальным, так как отражает свойства классов вещей; необходимым, так как выражает условия, без которых невозможно 1 В логике «вещью» принято называть все, что может иметь имя (может быть обозначено тем или иным образом). При этом не имеет значения, существует ли обсуждаемая вещь реально или только в чьем-либо воображении, является ли она материальным или идеальным объектом.
29 понимание мыслимых вещей; конструктивным, так как требует определенной умственной деятельности; классификационным по своей природе, так как основано на отношении включения и исключения классов; нормативно-ценностным, так как связано с конкретными культурными предпосылками и выражает активное отношение человека к окружающему миру. 2. СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ. ОБОБЩЕНИЕ И ОГРАНИЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ Распространенная точка зрения состоит в том, что можно мыслить какое-либо одно понятие как нечто единичное и независимое. Однако это неверно. Если я хочу мыслить понятие «яблоки», то не могу это сделать иначе, как противопоставляя его своему дополнению — понятию «неяблоки» в пределах объединяющего их оба понятия «фрукты». Не противопоставляя друг другу яблоки и неяблоки, я не смогу провести между ними логическую границу и тем самым не смогу определить, какие фрукты являются яблоками, а какие нет. Не мысля яблоки включенными в класс фруктов, я не смогу противопоставить их всем неяблокам и, следовательно, также не смогу определить, какие фрукты называются яблоками. Нельзя понять, что такое справедливость, не противопоставляя ее несправедливости в пределах всех возможных отношений между людьми. Пусть А обозначает рассматриваемое понятие, —А — дополнение, U — объединяющее А и —А понятие. Если вернуться к примеру с яблоками, то А = яблоки, -А = неяблоки, U = фрукты. Все эти понятия образуют систему, согласно следующему уравнению: U = А + (—А). Данное уравнение может быть представлено двумя равнозначными способами аналитически и графически (рис. 1). Универсум U= понятие А + дополнение —А или
30 Продолжая пример с яблоками, получаем конкретный пример приведенного равенства: Фрукты (универсум) = яблоки (понятие) + неяблоки (дополнение) Итак, элементарная мыслительная система, с формирования и последующего обогащения различными преобразованиями которой начинается мышление каждого человека, состоит из данного понятия, его дополнения и объединяющего их понятия, которое мы будем называть родовым (включающим, обобщающимI4. Фундаментальная роль родового понятия состоит в том, что оно обозначает универсум — тот ближайший обобщающий класс вещей, в терминах которого определяется рассматриваемое понятие. Универсум играет ту же роль, что и общий знаменатель при сложении и вычитании дробей. Как нельзя правильно сложить простые дроби, не приведя их предварительно к общему знаменателю, так же нельзя осуществить любое преобразование понятия, не определив предварительно его универсум. Дипломаты, прежде чем проводить переговоры, сначала обязательно определяют формат встречи, который и выступает универсумом их действий. Универсум понятия, суждения или умозаключения задает предметную область логических действий над ними. Способность определять универсум рассматриваемой мысли посредством образования ее дополнения является важнейшим свидетельством развитости мышления. Человек, который под влиянием рекламы видит в лотерее средство только выигрыша, не сформировал универсума всех исходов данной игры и обречен в ближайшем будущем на сильное разочарование. Универсум любой мысли (понятия, суждения, умозаключения) состоит как минимум из двух взаимно исключающих и совместно исчерпывающих его классов. Число таких классов может быть сколь угодно большим. Как мы увидим, оно зависит только от числа условий, делящих универсум на такие классы. Если имеется п условий, то общее число классов, из которых состоит универсум, равно 2п. Как и всякая мысль, понятие нечто утверждает в качестве истинного положения дел и нечто исключает в качестве ложного положения дел. Поскольку каждое понятие определяется в терминах некоторого универсума, то в качестве утверждаемых и исключаемых положений дел выступают определенные классы этого универсума. Если U = фрукты, А = спелые яблоки, то А утверждает существование спелых яблок и исключает все фрук- 14 «Я называю родом то, благодаря чему различающиеся между собой вещи называются тождественными по сущности». —Аристотель. Соч. в 4-х томах. Т. 1. М., 1976. - С. 259.
31 ты, не являющиеся спелыми или яблоками или и тем и другим одновременно. Совокупность необходимых условий, выражаемую каждым понятием, принято называть его содержанием. Те классы вещей универсума, которые выполняют условия содержания, принято называть объемом понятия. Так, условия «быть живым существом», «быть разумным» составляют содержание понятия «человек». Класс всех живых существ, выполняющий эти условия, образует объем данного понятия. Содержание и объем понятия принято считать его самыми главными логическими характеристиками. Действительно, определить понятие означает узнать его содержание и объем. Преобразовать каким-либо образом понятие означает преобразовать его объем и содержание. Содержание понятия следует рассматривать как способ задания его объема. Понятия, имеющие один и тот же объем, могут иметь разное содержание. Классическим в этой связи является пример немецкого логика Г. Фреге об утренней и вечерней звезде как понятиях с разным содержанием (разными условиями наблюдения), но с одним и тем же объемом — классом, состоящим из планеты Венера. Понятия, обозначающие суммы 1 + A + 1)иA + 1)+ 1, делают это по-разному и имеют, следовательно, разное содержание, но один и тот же объем — класс, состоящий из числа 3. Все синонимы могут рассматриваться как понятия с разным содержанием (разным смыслом), но одинаковым объемом (значением). Главный вывод такой: если содержание понятия однозначно определяет его объем, то обратное неверно. Иными словами, из равенства объемов не следует с необходимостью равенство содержаний сравниваемых понятий. Если несколько человек независимо друг от друга совершили одно и то же открытие, то это не означает, что они исходили из одних и тех же предпосылок и следовали одному и тому же методу. В подобном соотношении содержания и объема проявляет себя альтернативность нашего мышления, то есть его способность разными способами достигать поставленной цели, разными словами выражать одну и ту же мысль. Допустим, даны два понятия, А к В, имеющие один и тот же универсум. В каких отношениях могут находиться их содержания и объемы? Имеется ли закон, которому эти отношения подчиняются? Очевидно, что содержания А и В могут либо совпадать, либо частично пересекаться, либо не пересекаться, либо находиться в отношении однонаправленного подчинения. Аналогично и для соотношения объемов. Имеется также закон, которому подчиняется отношение между содержанием и объемом понятий1 . Этот закон утверждает, что если два понятия имеют один и тот же универсум, то если объем одного из них составляет часть объема другого, то содержание второго понятия составляет часть содержания 15 См.: Войшвилло Е. К. Понятие как форма мышления . М., 1989. - С. 136.
32 первого. Иными словами, включения содержаний и объемов понятий с одним и тем же универсумом носят обратный характер. Данный закон также утверждает, что понятие с большим объемом (меньшим содержанием) является необходимым следствием понятия с меньшим объемом (большим содержанием). Обратное следование, конечно, неверно. Только понятия, имеющие равные объемы (содержания), являются необходимыми следствиями друг друга. В более широкой перспективе закон обратного отношения объема и содержания представляет одну из специальных формулировок отношения логического следования для понятий, суждений и умозаключений (подробно данное отношение анализируется в гл. 1У, 2). Более наглядно данный закон обратного соотношения между объемами и содержаниями понятий можно представить в форме следующих утверждений. Пусть А и В — понятия с одним и тем же универсумом. Тогда: 1. Если объем понятия А является частью объема понятия В, то содержание В является частью содержания А, 2. Если содержание понятия А является частью содержания понятия В, то объем В является частью объема А, Вся проблема теперь состоит в том, что считать элементами содержаний и объемов и как выразить их включения. При этом наибольшая трудность касается сравнения содержания понятий, так как для объемов данная проблема решается обычным теоретико-множественным способом. Элементами объемов понятий выступают классы. Объем понятия А составляет часть объема понятия В, если и только если каждый элемент объема А является элементом объема В . Напрашивающееся решение считать элементом содержания отдельное необходимое условие, предлагаемое традиционной логикой, является узким и приводит к многочисленным парадоксам. Более плодотворным будет взгляд на содержание понятия как на сообщаемую им (семантическую) информацию16. В этом случае элементом содержания выступают исключаемые из универсума классы. Основная идея информационной трактовки состоит в следующем. Чем больше некоторое понятие исключает классов из своего универсума, тем больше сообщаемая этим понятием информация (относительно данного универсума), тем богаче его содержание. Информационная интерпретация содержания невозможна без аналогичной интерпретации объема понятий. С этой точки зрения объем понятия образуют все классы, в которых оно истинно, а его содержание — все классы, в которых оно ложно. Иными словами, объем понятия (суждения и 16 Более подробно об этом см. главу IV, 2.
33 умозаключения также, добавим) — это сумма всех условий его истинности, а содержание —сумма всех условий его ложности. Как будет ясно из дальнейшего обсуждения, все виды понятий, суждений и умозаключений, а также все отношения между ними определяются исключительно комбинацией элементов объема и содержания. Для обозначения содержания и объема произвольного понятия X будет использоваться следующая формула: Понятие X = содержание / объем, в которой вместо слов «содержание» и «объем» будут подставляться соответствующие классы (возможно пустые) универсума согласно следующим равенствам: Содержание понятия X = U - объем понятия X. Объем понятия X = U- содержание понятия X. Содержание понятия Х+ объем понятия X = ?/. Возможны следующие три принципиально различных случая отношения между объемом и содержанием произвольного понятия X: 1. Содержание Х= U, объем X = 0; Х= U/0 (понятие X обладает максимальным содержанием и пустым объемом). На диаграмме понятие с пустым объемом является подмножеством понятия с наименьшим непустым объемом. 2. Содержание X = 0, объем X = U; X = 0/U (понятие X обладает пустым содержанием, но максимальным объемом). 3. 0 < содержание Х< U, 0 < объем X<U\ (объем и содержание понятия Хне пусты и, следовательно, не максимальны). Свойства перечисленных случаев исследуются ниже (см. параграф 4 настоящей главы). Рассмотрим пример. Пусть U = яблоки, А = условие, определяющее спелость, В = условие, определяющее сладость. Данные условия делят универсум на следующие классы (рис. 2). в A) А -5 B) яблоки в C) --—. -А -В D) Рис. 2
34 Условия А и В делят универсум на четыре взаимно исключающих и совместно исчерпывающих класса: С/= A) + B) + C) + D), такие, что A) = спелые и сладкие яблоки, B) = спелые и несладкие яблоки, C) = неспелые и сладкие яблоки, D) = неспелые и несладкие яблоки. Сформулируем следующие три понятия: С = спелые яблоки, D = спелые и сладкие яблоки, Е = спелые или сладкие яблоки. Если исходить из числа условий, как это принято в традиционной логике, то может показаться, что как понятие D богаче по содержанию понятия С (что верно), так и понятие Е богаче по содержанию понятия С (что неверно). Этот критерий не позволяет также сравнить содержания понятий D и Е, которые хотя и состоят из одинакового числа условий, тем не менее сообщают различную информацию. Информационная интерпретация содержания понятий позволяет сделать следующие выводы. Понятие С исключает существование неспелых (как сладких, так и несладких) яблок, то есть исключает классы C) и D). Сообщаемая С информация равна сумме исключаемых классов, то есть равна сумме C) + D). Следовательно, С = C) + D) / A) + B). Понятие D исключает существование неспелых и несладких или тех и других яблок одновременно. Следовательно, оно исключает классы B), C) и D). Сообщаемая этим понятием информация равна сумме B) + C) + D). Значит, D = B) + C) + D) / A). Понятие Е исключает существование неспелых и несладких яблок одновременно, то есть исключает класс D). Сообщаемая этим понятием информация равна D). Следовательно, Е = D) / A) + B) + C). Сравнение информации, сообщаемой всеми тремя понятиями, показывает, что содержание Е является частью содержания как С, так и D; что содержание С является частью содержания D. Согласно закону обратного отношения между объемом и содержанием понятий, получаем: 1. Содержание Е является частью содержания Си/). Содержание С является частью содержания D. Следовательно, понятие D является самым богатым по содержанию. 2. Объем D является частью объема С. Объем С является частью объема Е. Следовательно, понятие Е является самым большим по объему. Графически полученные результаты представлены на рис. 3. Умение определять отношения объемов и содержаний понятий позволяет осуществлять операции обобщения и ограничения понятий. Обобщением понятия называют конструирование нового понятия с большим объемом, чем данное (с меньшим содержанием, чем данное). Ограничением понятия называют конструирование нового понятия с меньшим объемом, чем данное (с большим содержанием, чем данное).
35 Включения по объему Включения по содержанию Рис. 3 Из рассмотренного примера следует, что понятие С обобщает понятие Д а понятие Е обобщает как понятие Д так и понятие С. Обратно, понятие С ограничивает понятие Е, а понятие D ограничивает понятие С и тем самым также понятие Е. Рассмотрим несколько примеров на обобщение (ограничение) понятий. Пример 1 Выяснить, связана ли отношением обобщения (ограничения) следующая пара понятий: С = люди, знающие все европейские языки; D = люди, знающие все живые европейские языки. Пусть U = люди, знающие все европейские языки, А = знающие живые языки. Условие А делит универсум на следующие два класса: U= люди, знающие все европейские языки А О) —А B) Имеем: U = A) + B) , где A) = люди, знающие все живые европейские языки, B) = люди, знающие все мертвые европейские языки. Понятие С ничего не исключает, так как его обьем совпадает с универсумом, то есть С исключает пустой класс 0. Значит, С= 0/U. Понятие D исключает людей, знающих все мертвые европейские языки, то есть исключает класс B). Следовательно, D = B) / A). Содержание понятия С является частью содержания понятия Д так как пустой класс является элементом любого класса. Следовательно, объем С больше объема Д то есть понятие С обобщает понятие D.
36 Пример 2 Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующей тройки понятий: С = число, делящееся на 4 и 7, D = число, делящееся на 4 или на 7 (или на оба одновременно), Е = число, делящееся либо на 4, либо на 7. Пусть U= делящиеся числа: А= на 4, В = на 7. Имеем: в A) и= - А ^\ деляи -В B) ^иеся числа -А В C) -5 D) Рис. 3 Получаем: С/ = A) + B) + C) + D), где A) = числа, делящиеся на 4 и на 7, B) = числа, делящиеся на 4, но не на 7, C) = числа, делящиеся на 7, но не на 4, D) = числа, не делящиеся на 4 и на 7. Понятие С исключает все числа, не делящиеся на 4 или на 7, на 4 и на 7 одновременно, то есть исключает классы B), C) и D). Значит, С = B) Понятие D исключает все числа, не делящиеся на 4 и 7 одновременно (все остальные комбинации допускаются), то есть исключают класс D). Следовательно, D = D) / A) + B) + C). Понятие Е исключает все числа, делящиеся на 4 и 7 одновременно и не делящиеся на 4 и 7 одновременно, то есть исключает классы A) и D). Значит, Е = A) + D) / B) + C). Содержание понятия D является частью содержания С и частью содержания Е. Следовательно, объем D больше объема С и больше объема Е. Иными словами, понятие D обобщает как понятие С, так и понятие Е. Но ни содержание С не является частью содержания Е, ни содержание Е не является частью содержания С. Следовательно, понятия СиЕяе находятся в отношении обобщения (ограничения). Пример 3 (см.: Мелев Ю. В. Логика. М., 1992. С. 158-159). Решить указанную в первом примере задачу для следующей пары понятий: D = число, которое делится на 2, но не делится на 16, и Е = число такое, что если оно делится на 2, но не делится на 3, то оно не делится и на 16.
37 Пусть U = числа, делящиеся на 2, В = на 3, С = на 16. Данные условия делят универсум на следующие классы: = делящиеся числа Имеем: ?/= A) + B) + C) + D), где A) = числа, делящиеся на 2, на 3 и на 16; B) = числа, делящиеся на 2 и на 3, но не делящиеся на 16; C) = числа, делящиеся на 2 и на 16, но не делящиеся на 3; D) = числа, делящиеся на 2, но не делящиеся на 3 и на 16 . Понятие D исключает все числа, которые делятся на 2 и на 16 одновременно, то есть исключает классы A) и C). Значит, Z) = A) + C) / B) + D). Понятие Е исключает все числа, которые делятся на 2, не делятся на 3 и делятся на 16, то есть исключает класс C). Следовательно, Е = C) / A) + B) + D). Содержание понятия D равно сумме A) + C). Содержание понятия Е равно C). Сравнивая содержания обоих понятий, делаем вывод, что содержание Е является частью содержания D. Следовательно, объем понятия Е больше объема понятия Д то есть понятие Е обобщает понятие D (понятие D ограничивает понятие Е). Иногда возникает вопрос: существуют ли пределы обобщения и ограничения понятий? На этот вопрос мы дадим следующий ответ. Относительно данного универсума и делящих его условий существует предел как обобщения, так и ограничения рассматриваемых понятий. Пределом обобщения выступает родовое понятие, пределом ограничения — любой отдельный класс, представляющий конечный результат деления универсума. При снятии указанного условия никаких логических границ обобщению и ограничению понятий, по всей видимости, нет. С информационной точки зрения обобщить какое-либо понятие означает найти его логическое следствие, потому что только содержание следствий является частью содержания посылок. Поскольку процесс познания протекает как процесс обобщения существующих знаний, то вряд ли следует ожидать, что когда- нибудь мы будем иметь далее не обобщаемые пределы естественного и гуманитарного знания. Также нет никаких логических препятствий для ограничения, то есть конкретизации, понятий. Для этого достаточно присое-
38 динить к существующему содержанию понятия какое-либо новое условие. Например, пусть дано понятие «Льюис Кэрролл». Добавляя к его содержанию последовательно условия «человек с псевдонимом», «преподаватель математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде», «автор всемирно известных сказок об Алисе», «автор оригинальной логической теории», «застенчивый и заикающийся человек», мы будем получать понятия, все более ограничивающие объем исходного понятия. При этом следует учитывать, что нам ничто не мешает увеличивать число условий, а вместе с ней и степень конкретизации, до любого желаемого нами предела. Понятие, обозначающее универсум, мы назвали родовым, подчиняющим. Все остальные понятия, обозначающие какие-либо части универсума и тем самым виды родового понятия, принято называть видовыми (подчиненными). Объем родового понятия, то есть универсум, всегда больше объема любого видового понятия. Содержание любого видового понятия всегда богаче содержания родового понятия. Из истинности видового понятия всегда следует истинность родового понятия, но обратное неверно17. Из истинности понятия «образованный человек» следует истинность понятия «человек», но из истинности последнего не следует с необходимостью истинность первого (не каждый человек является образованным). Причина подобной истинностной асимметрии в том, что видовое понятие представляет только достаточное условие истинности родового, а родовое — только необходимое условие истинности видового. Объем любого понятия может быть представлен в виде родовой иерархии, в которой каждое понятие, кроме родового, подчиняется вышестоящим и, в свою очередь, подчиняет все нижестоящие. Такое представление объема понятий называется классификацией и будет рассмотрено ниже. 17 Понятие можно считать истинным (корректно определенным), если и только если каждый элемент его объема выполняет все условия его содержания. В противном случае понятие следует считать ложным..
39 3. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОНСТРУИРОВАНИЮ (ОПРЕДЕЛЕНИЮ) ПОНЯТИЙ И я предоставляю тебе распорядиться любым названием как тебе угодно: разъясни лишь, к чему именно относишь ты то имя, которое произносишь. Платон. Хармид. Понятия не являются врожденными или автоматически приобретаемыми в опыте. Они — продукт специальной умственной деятельности, которую мы будем называть конструированием (определением). Сконструировать понятие в общем случае означает задать (выяснить) его содержание и объем. Определяя понятия, мы, с одной стороны, приписываем словам нужное значение (указываем их объем), а с другой — познаем суть вещей (разъясняем их сущность). «Определение, — отмечал Аристотель, — имеет целью назвать сущность каждого предмета и говорит, что предмет хорош, плох или еще какой-нибудь»18. Понятие, которое требуется сконструировать, называется дефиниен- думом (лат. definiendum), сокращенно dfd. Понятия (условия), с помощью которых конструируется дефиниендум, называется дефиниенсом (лат. definiens), сокращенно dfn. Дефиниенс состоит из родового и видовых понятий. Один и тот же дефиниендум может быть задан с помощью разных дефиниенсов. Процесс конструирования понятий удобно представить в виде следующего алгоритма. 1. Сравниваем мыслимую вещь, понятие о которой необходимо сконструировать, с другими вещами подобного рода и фиксируем множество необходимых условий, такое, что одно из них подчиняет все остальные, а все подчиненные условия не зависят одно от другого. 2. То условие, которое подчиняет все остальные, является родовым, все остальные условия — видовыми. Находим соответствующий родовому понятию универсум. 3. Строим дерево определения согласно следующим правилам: 3.1. Каждое видовое условие (понятие) разбивает универсум на два класса — выполняющий данное условие и выполняющий его дополнение. 3.2. Новый шаг разбиения всегда начинается с класса, удовлетворяющего предыдущему видовому условию. Классы, являющиеся дополнениями, в разбиении универсума более не участвуют. Число шагов разбиения должно быть равно числу видовых условий. Общее число результатов 18 Аристотель. Сочинения: В 4-х т. М., 1983. Т 4. - С. 298.
40 разбиения универсума равно 2", где п — число видовых условий. Число фактически полученных классов равно п + 1. 4. Устанавливаем достаточность видовых условий для содержания конструируемого понятия. Критерием достаточности служит равенство dfd = dfn, согласно которому dfd и dfn являются необходимыми и достаточными друг для друга. В противном случае имеет место либо dfd>dfn, что означает слишком узкое определение (dfn содержит только достаточные условия как, например, в определении «сладости — это конфеты», ибо ясно, что вещь может не быть конфетой, но быть при этом сладкой), либо dfd<dfn, что означает слишком широкое определение (dfn содержит только необходимые условия как, например, в определении «конфеты — это сладости», так как очевидно, что кроме конфет имеются и другие сладости). Рассмотрим несколько примеров конструирования понятий согласно указанному алгоритму. Пример 1 Допустим, требуется сконструировать понятие «квадрат». Сравнивая эту вещь с другими четырехугольными фигурами, фиксируем в качестве необходимых условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы». Первое из них является родовым. Следовательно, универсум состоит из класса четырехугольников. Условие «иметь равные стороны» разбивает универсум на класс «четырехугольники с равными сторонами» и его дополнение — класс «четырехугольники с неравными сторонами». Первый из них включает не только квадраты, но и ромбы. Следовательно, не всякий четырехугольник с равными сторонами является квадратом. Поэтому требуется дальнейшее разбиение универсума с помощью условия «иметь равные углы», которое отделяет ромбы от квадратов. Дерево определения понятия квадрат представлено на рис. 4. U = четырехугольники с равными с неравными сторонами сторонами с равными с неравными углами углами (квадраты) Рис.4
41 Полное определение квадрата звучит так: «Квадрат — это четырехугольник (родовое условие) с равными сторонами (первое видовое условие) и с равными углами (второе видовое условие)». Нетрудно проверить, что понятие «квадрат» сконструировано правильно. Чтобы убедиться в этом, достаточно поменять местами дефиниендум и дефиниенс. Получаем: «Четырехугольник с равными сторонами и углами — это квадрат». Истинность этого утверждения несомненна. Следовательно, истинно dfd = dfn. Другим дефиниенсом при определении квадрата может быть такое: «Четырехугольник с равными сторонами и диагоналями». Нетрудно убедиться в эквивалентности обоих дефиниенсов. Слишком широким определением квадрата было бы определение с дефиниенсом, состоящим только из необходимых условий. Например, определение «Квадрат — это четырехугольник» является слишком широким, так как дефиниенс включает (обозначает) не только квадраты, но и другие четырехугольные фигуры — ромбы, трапеции и так далее Слишком узким определением квадрата было бы определение, содержащее условия, которые вместе только достаточны. Например, узким является определение «Квадрат — это нарисованный на бумаге четырехугольник с равными сторонами и углами», так как оно содержит только достаточное условие. Пример 2 Допустим, необходимо сконструировать понятие «себялюбец». Если обратиться к авторитету Аристотеля, то необходимыми условиями себялюбца являются: «быть человеком», «делать все ради самого себя», «иметь выгоду». Первое из этих условий родовое, поэтому универсумом является класс людей. Дерево определения понятия «себялюбец» приведено на рис. 5. U = люди делающие все не делающие все ради самих себя ради самих себя с выгодой без выгоды (себялюбцы) Рис. 5
42 Полное определение Аристотеля звучит так: «Себялюбец — это тот, кто все делает ради самого себя в том, что приносит выгоду»19. Нетрудно убедиться, что данное определение сконструировано правильно, то есть что выполнено равенство dfd = dfn. Пример 3 Допустим, нам следует дать определение понятия «шар», учитывая способ его образования. С этой точки зрения необходимыми условиями являются: «быть геометрическим телом», «быть образованным вращением полукруга (круга)», «вокруг своего диаметра». Первое из этих условий является родовым. Следовательно, универсум состоит из геометрических тел. Дерево определения представлено на рис. 6. U = геометрические тела образованные вращением не образованные вращением полукруга (круга) полукруга (круга) вокруг своего не вокруг своего диаметра диаметра (шары) Рис. 6 Полное определение шара таково: «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга (круга) вокруг своего диаметра». Меняя местами дефиниендум и дефиниенс, убеждаемся, что полученное определение является корректным. Пример 4 Допустим, мы хотим сконструировать понятие «естественное право». Согласно авторитету в этой области Т. Гоббсу, необходимыми условиями естественного права являются: «решения, принимаемые людьми», «свободно», «по использованию своих сил», «по своему усмотрению», «для сохранения собственной жизни». Первое из указанных условий — родовое. Дерево определения естественного права приведено на рис. 7. 19 Аристотель, Сочинения: В 4-х т. Т. 4. М., 1983. - С. 371.
43 U = решения, принимаемые людьми свободно не свободно по использова- не по использованию своих сил нию своих сил по своему не по своему усмотрению усмотрению для сохранения не для сохранения собственной жизни собственной жизни {естественное право) Рис.7 Полное определение: «Естественное право... есть свобода всякого человека использовать собственные силы по своему усмотрению для сохранения собственной жизни»20. Легко убедиться, что данное определение правильно по крайней мере с точки зрения идеалов XVII в. Пример 5 Допустим, требуется сконструировать понятие «натуральные числа». Это можно осуществить двумя способами. Согласно первому, для этого необходимо и достаточно ограничить универсум «целые числа» условием «не быть отрицательными» (рис.8). U = целые числа неотрицательные отрицательные {натуральные числа) Рис.8 Согласно второму способу, необходимо и достаточно указать алгоритм построения натуральных чисел из данного натурального числа (нуля или единицы). Упрощенный вариант такого определения приведен на рис. 9. 20 Гоббс Г. Сочинения: В 2-х т. М., 1991. Т 2. С. 98.
44 U = целые числа начинающиеся с нуля не начинающиеся с нуля возрастающие ровно не возрастающие на единицу ровно на единицу {натуральные числа) Рис.9 Оба способа конструирования понятия «натуральные числа» отличаются лишь набором видовых условий. Принцип же конструирования является одинаковым. Данное обстоятельство, может быть, и не приходилось специально подчеркивать, если бы не проводимое иногда в логической литературе принципиальное различие между данными определениями. Полное определение: «Натуральные числа — это целые неотрицательные числа» (первый вариант) и «Натуральные числа — это ряд целых чисел, начинающийся с нуля и возрастающий ровно на единицу» (второй вариант). Оба определения корректны и поэтому взаимозаменяемы. Пример 6 Рассмотрим пример конструирования понятия с неопределенным универсумом. Допустим, необходимо определить понятие «одна вещь предшествует другой» безотносительно к природе вещей и самого отношения «предшествует». В таких случаях в качестве универсума выступает множество произвольных вещей. Дерево определения приведено на рис. 10. U= произвольные вещи никакая вещь не предшествуют сама себе некоторые вещи предшествуют сами себе если одна вещь предшествует второй, а вторая третьей, то первая предшествует третьей (класс вещей, одна из которых предшествует другой) если одна вещь предшествует второй, а вторая третьей, то первая не всегда предшествует третьей Рис. 10
45 Если взять в качестве универсума сконструированного понятия класс действительных чисел, тогда отношение «предшествует» превращается в отношение «меньше, чем». Если за универсум принять класс временных точек (секунд, минут, часов и т. п.), тогда отношение предшествования становится отношением «раньше, чем». Возможны и другие интерпретации отношения «предшествует» и его универсума. Пример 7 Интересно сравнить рассматриваемый метод конструирования понятий с «диалектическим» методом определения понятий Сократа. Разберем характерный сократовский диалог21. Некто Евтидем готовился к государственной деятельности и был уверен, что способен отличить справедливое от несправедливого. Сократ выразил желание убедиться в такой способности Евтидема и предложил заносить справедливые действия в графу «дельта» (начальная буква греческого слова «справедливость»), а несправедливые — в графу «альфа» (начальная буква греческого слова «несправедливость»). На вопрос Сократа, куда занести ложь, обман, воровство, похищение людей для продажи в рабство, Евтидем уверенно ответил, что все эти поступки следует занести в графу «альфа» и что ни один из них не может принадлежать графе «дельта». Первым определением несправедливости можно считать, следовательно, такое: «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью продажи в рабство». Тогда Сократ задал другой вопрос: будет ли несправедливым обращение в рабство и продажа жителей несправедливого неприятельского города. Евтидем отвечал отрицательно, признавая тем самым такое действие справедливым. Аналогично он отвечал на вопросы Сократа о том, можно ли обманывать неприятеля, с которым находишься в состоянии войны, а также воровать и грабить его добро. В итоге все указанные поступки были перенесены из графы «альфа» в графу «дельта», если они совершались в отношении врагов. Соответственно, последовало новое определение, уточняющее первое. «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их продажи в рабство, совершаемые в отношении друзей, и эти же поступки являются справедливыми, если они совершаются по отношению к врагам». В третий раз Сократ спросил, всегда ли нужно быть правдивым со своими друзьями. И хотя Евтидем поначалу ответил утвердительно, Сократ быстро его переубедил. Ибо, по мнению Сократа, военачальник может солгать своим солдатам о приближении подкрепления, чтобы поднять их дух; отец может обманом заставить больного сына принять необходимое лекарство; любой может предотвратить самоубийство своего друга, 21 Ксенофонт Афинский. Сократические сочинения. M-JL, 1935. - С. 139-145.
46 украв у него меч или другое оружие. Наконец, Сократ спросил: «Кто несправедливее: обманывающий друзей добровольно или невольно?». Евтидем ответил, что добровольный лжец несправедливее невольного. Интерпретируя добровольный обман как намерение навредить, получаем окончательное определение несправедливости. «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их продажи в рабство, совершенные в отношении друзей с целью им навредить». Для реконструкции сократовского определения несправедливости выберем в качестве универсума поступки людей. Видовыми условиями будут: «представлять обман, ложь, воровство, похищение людей с целью их продажи в рабство», «совершенные в отношении друзей», «с целью им навредить». Дерево определения понятия «несправедливость» приведено на рис. 11. U= поступки людей представляющие обман, ложь, воровство и похищение людей с целью продажи их в рабство не представляющие обмана, лжи, воровства и похищения людей с целью продажи их в рабство совершенные в отношении друзей с целью совершенные в отношении врагов с целью помочь навредить помочь навредить A) B) C) D) Рис. 11 Из указанных на рис. 11 четырех исходов первый и четвертый представляют собой случаи справедливости, второй и третий — случаи несправедливости. Определение несправедливости, к которому подвел своего собеседника Сократ, соответствует только второму случаю. Следовательно, определение с помощью дерева является более полным, позволяющим учитывать все возможные случаи. В остальном оба метода идентичны. Знаменитые сократовские вопросы следует рассматривать как эвристиче-
47 ские приемы поиска необходимых условий для содержания определяемого понятия. Рассмотренные примеры показывают, что конструирование понятий представляет однотипный процесс и не зависит от их специфики: мы ищем универсум и необходимые условия, которые были бы вместе достаточны для однозначного обозначения объема конструируемого понятия и выражения его содержания. Поскольку выбор универсума и видовых условий неоднозначен, то к ним предъявляется требование необходимости и совместной достаточности. Только это требование отделяет понятия от описаний, характеристик, пояснений и тому подобных операций, для которых необходимость и достаточность условий не является обязательной. В логической литературе определения принято классифицировать по разным основаниям. Мы не будем обсуждать эту достаточно специальную тему, отсылая читателя к соответствующей литературе22. Сделаем лишь несколько замечаний по поводу разделения определений на реальные и номинальные, с одной стороны, явные и неявные — с другой. Реальные и номинальные определения различаются на том основании, что первые определяют вещь, а вторые — ее имя. Учитывая, что между вещью и ее именем нет необходимой связи, такое различие в принципе правомерно. Вместе с тем стоит отметить, что разделение определений на реальные и номинальные является функциональным, зависящим только от того, в каком направлении мы движемся по периметру треугольника, указанного на рис. 12. Вещь как дефиниендум Имя как дефиниендум Реальное определение Номинальное определение Дефиниенс Рис. 12 Определяя имя, то есть устанавливая то значение, в котором мы будем его использовать, мы так или иначе определяем вещь, которую оно обозначает. И обратно, определяя вещь, мы так или иначе определяем обозначающее ее имя. Взаимосвязь реальных и номинальных определений объясняется тем, что их дефиниенсы совпадают. Утверждение Конфуция: «Когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить 22 См.: Горский Д. П. Определение . М., 1974; Попа К. Теория определения. М., 1976.
48 ошибку»23 — следует считать номинальным определением, то есть определением имени «совершенная ошибка». Утверждение же «совершенная ошибка — это неисправленная ошибка» является реальным определением, то есть определением такой вещи (поступка), как «совершенная ошибка». Оба определения имеют один и тот же дефиниенс: «неисправленная ошибка». Неявные определения противопоставляются явным, либо на том основании, что дефиниенс и дефиниендум вообще не выделены в качестве самостоятельных частей, либо на том основании, что в качестве дефиниен- са выбран или список аксиом, или описание алгоритма построения дефи- ниендума, или просто некоторый контекст. Первая возможность неявных определений отпадает по причине самопротиворечивости. Если нет дефиниендума или дефиниенса, или того и другого, то вряд ли имеет смысл говорить об определении. Вторая возможность неявных определений основана на том, что дефиниенс не определяет однозначно дефиниендум. Именно в этом состоит смысл определений с помощью аксиом, контекстов или алгоритмов построения дефиниендума. Но это означает, что неявные определения — это слишком широкие определения. Любое неявное определение можно, следовательно, превратить в явное, добавив соответствующее число необходимых условий. Примером неявного определения может служить данное выше определение класса вещей, предшествующих друг другу. Оно становится явным при конкретизации универсума и соответствующей интерпретации отношения «предшествует». Итак, сконструировать, или определить, понятие о какой-либо вещи означает найти подходящий универсум и с помощью видовых условий ограничить его до класса, содержащего только определяемую вещь. Приведенный в начале параграфа алгоритм позволяет сделать это достаточно эффективно. 4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ИХ ОБЪЕМОМ И СОДЕРЖАНИЕМ Понятия можно различать по разным основаниям, но практическое значение имеет лишь классификация, основанная на соотношении их объемов и содержаний. По этому основанию различают следующие виды понятий. 23 Древнекитайская философия: В 2-х т.М., 1972. Т 1. - С 168.
49 1. Эквивалентные понятия (понятия, находящиеся в отношении взаимного следования значения истинности). Объемы (и содержания) таких понятий полностью совпадают. По этой причине их часто называют также равнообъемными, равнозначными, тождественными, равносильными. Такие понятия вместе либо истинны, либо ложны (либо все неопределенны, если хотя бы одно из них неопределенно). Из истинности (ложности, неопределенности) одного эквивалентного понятия следует с необходимостью истинность (ложность, неопределенность) всех других. Эквивалентны понятия «похвала» и «способ изъяснять величие добродетели какого-нибудь человека» (Аристотель), «скупость» и «неумеренное желание и любовь к богатствам» (Б. Спиноза), «человеколюбие» и «такое состояние человека, когда в сердце у него содержится радостная любовь к другим людям» (Лао-цзы). Все синонимы выражают равнозначные понятия. О них можно также сказать, что в равной мере каждое из них подчиняет другое, или что каждое из них является необходимым следствием другого. Дефиниендум и дефиниенс правильно построенного определения, как мы видели, состоит из равнозначных понятий. 2. Независимые (частично пересекающиеся) понятия. Объемы (и содержания) таких понятий частично пересекаются, что и послужило основанием для их именования частично пересекающимися. Однако более правильно было бы назвать понятия с частичным пересечением объемов независимыми, потому что из истинности (ложности) любого одного из них не следует с необходимостью ни истинность, ни ложность всех остальных. Понятия «богатый» и «плачущий» — частично пересекающиеся, или независимые24. Из того, что некто является богатым, не следует с необходимостью, что он плачущий человек, так же как не следует с необходимостью, что он есть неплачущий человек. Есть богатые, которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное так же верно. Среди плачущих есть как богатые, так и небогатые люди. Независимые понятия играют чрезвычайно важную роль во всех разделах научного знания, и особенно в теории вероятностей. Требование независимости понятий является обязательным при классификации, а также при конструировании понятия (для видовых условий). 3. Понятия, находящиеся в отношении однонаправленного следования истинности (ложности). В отличие от эквивалентных понятий, для которых отношение следования истинности действует в обе стороны, существуют понятия, только одно из которых передает свою истинность (ложность) другому. То понятие, из истинности которого следует истинность другого понятия (но не 24 От названия получившего известность в начале 90-х годов телевизионного сериала «Богатые тоже плачут».
50 обратно), принято называть видовым. То понятие, из ложности которого следует ложность другого понятия (но не обратно), называется родовым. Объем родового понятия всегда включает в себя объемы всех подчиненных ему видовых понятий. Наоборот, содержание любого видового понятия включает в себя в качестве своей части содержание подчиняющего его родового понятия. Асимметрия включений объемов и содержаний порождает асимметрию в истинностной зависимости рассматриваемых понятий. Истинность переносится от видового понятия к родовому, но не обратно. Наоборот, ложность переносится от родового понятия к видовому, но не обратно. Если истинно, что некто есть образованный человек, тогда истинно, что он просто человек (обратное, конечно, в общем неверно). Если же ложно, что некто является человеком, тогда ложно, что он образованный человек (обратное, конечно, в общем неверно). Подобная асимметрия объясняется тем, что только родовое понятие является согласно закону обратного отношения объема и содержания необходимым следствием видового, но не наоборот. Отношение родо-видового подчинения (следования) необходимо отличать от отношения между целым и его частями. Если каждый вид обладает всеми свойствами рода, то ни одна часть не обладает свойствами всего целого. Например, каждому автомобилю присущи все необходимые свойства средства передвижения, но ни одно автомобильное колесо не обладает свойствами всего автомобиля. Назовем любые два понятия сравнимыми, если можно указать общий для них универсум. Пусть А и В будут сравнимыми понятиями. Рассмотренные три вида отношений между понятиями графически могут быть изображены следующим образом (рис. 13). Случаи полного или частичного пересечения объемов двух сравниваемых понятий В В А и В — эквива- А и В — частично пере- А — родовое (подчи- лентные понятия секающиеся (независи- няющее) понятие, В — (А подчиняет В, В мые) понятия (ни А не видовое (подчинен- подчиняетЛ) подчиняет В, ни В не ное) понятие подчиняет Л) Рис. 13
51 Рассмотренные случаи отношений между понятиями принято называть случаями совместимости. Такое определение является слишком широким, так как сама совместимость делится на совместимость по истине (по объему) и совместимость по лжи (по содержанию). Следовательно, требуется уточнить, о каком виде совместимости идет речь при анализе указанных трех видов отношений. Понятия совместимы по истине, если и только если они могут быть вместе истинны, или, что то же, их объемы по крайней мере частично пересекаются; совместимыми по лжи, если и только если они могут быть вместе ложны, или, что то же, их содержания по крайней мере частично пересекаются. Мы будем также считать понятия полностью совместимыми, если и только если они совместимы по истине и по лжи. Все три указанных выше вида отношений между понятиями удовлетворяют приведенному определению, то есть эквивалентные, независимые и родо-видовые понятия представляют случаи полной совместимости. Проанализируем теперь случаи, когда объемы сравниваемых понятий не пересекаются. Такие понятия принято называть несовместимыми. Но как и совместимость, несовместимость может быть как по истине, так и по лжи. Понятия несовместимыми по истине, если и только если они не могут быть вместе истинны, или, что тоже, их объемы не пересекаются; несовместимыми по лжи, если и только если они не могут быть вместе ложны, или, что то же, их содержания не пересекаются. Понятия несовместимы полностью, если они несовместимы и по истине и по лжи, и несовместимыми частично, если они несовместимы только по истине. Противоречащие понятия Объемы (и содержания) таких понятий не пересекаются, но вместе они исчерпывают объем ближайшего родового понятия. Каждое из противоречащих понятий представляет поэтому дополнение (логическое отрицание) другого (до ближайшего универсума). То, что является объемом для одного противоречащего понятия, для другого представляет содержание, и наоборот. По этой причине противоречащие понятия не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одно из них истинно (ложно), то другое с необходимостью ложно (истинно). Значит, противоречащие понятия несовместимы полностью, то есть несовместимы ни по истине, ни по лжи. В русском языке противоречащие понятия образуются, как правило, посредством частицы «не», присоединяемой к данному понятию: «высокий человек» и «невысокий человек» относительно понятия «человек»; «синий» и «несиний» относительно понятия «цвет»; «радость» и «нерадость»
52 относительно понятия «чувство»; «деньги» и «неденьги» относительно понятия «средство платежа». Одно из отрицающих понятий, как правило, не имеет конкретного (определенного) содержания. Например, если дана последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, утверждение, что это число есть не 2, равносильно утверждению, что это число есть или 1, или 3, или 4, или 5. Но какое конкретно число — сказать нельзя. Содержание подобных понятий всегда выражается дизъюнкцией (соединением союзом «или») в исключающем смысле каких-либо условий (признаков). Противоположные понятия Противоположность — наибольшее различие {Аристотель). Объемы противоположных понятий не пересекаются, но содержания пересекаются, вместе они не исчерпывают объем ближайшего родового понятия, а выражаемые ими свойства одинаково удалены в противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств. В русском языке многие противоположные понятия выражаются с помощью антонимов. Противоположными являются понятия «консерватор» и «радикал» относительно нейтральной точки — понятия «центрист», «северный полюс» и «южный полюс» относительно нейтральной точки — понятия «экватор». Не всегда можно словесно выразить указанную нейтральную точку, но она всегда существует. Для шкалы, изображенной на рис. 14, противоположными относительно точки 3 будут точки 1 и 5, точки 2 и 4 соответственно. Относительно точки 2 противоположными будут точки 1 и 3, относительно точки 4 — точки 3 и 5. 12 3 4 5 Рис. 14 Интересно отметить, что этические концепции Аристотеля и Конфуция построены на допущении существования нейтральной, или средней, точки для всех нравственных качеств. Так, у Аристотеля читаем: «Благородство — это середина между кичливостью и приниженностью», «щедрость — среднее между расточительностью и скупостью», «негодование — середина между завистью и злорадством»25. Аналогично у Конфуция: 25 Аристотель. Сочинения: В 4-х т. М., 1983. Т 4. - С. 320, 321, 322.
53 «Такой принцип, как "золотая середина", представляет собой высший принцип»26. Так как объемы противоположных понятий не пересекаются, то они не могут быть вместе истинны. Но поскольку их содержания пересекаются, то они могут быть вместе ложны. Последнее условие отличает противоположные понятия от противоречащих. Из истинности одного противоположного понятия всегда следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из противоположных понятий следует только неопределенность относительно значения истинности другого. Значит, противоположные понятия несовместимы только по истине. Например, если данный человек высокого роста, то он не может быть среднего или низкого роста. Но если неверно, что данный человек высокого роста, то отсюда не следует с необходимостью, что он низкого роста. Он может оказаться человеком среднего роста. Для противоположных понятий всегда существует какая-то альтернатива, из истинности которой следует совместная ложность противоположных понятий. Например, данный человек может быть и не высокого и не низкого, а среднего роста. Соподчиненные понятия Такие понятия несовместимы, но они не являются ни противоречащими, ни противоположными. Их объемы, как и у противоположных понятий, не пересекаются, но содержания пересекаются, вместе не исчерпывают объема родного понятия. Между собой противоположные и соподчиненные понятия различаются только одним условием — соподчиненные понятия не выражают полярных свойств. Соподчиненными являются понятия «стол» и «стул» относительно понятия «мебель»; «лейтенант» и «капитан» относительно понятия «офицер»; «фиолетовый» и «синий» относительно понятия «цвет». Согласно рис. 14, соподчиненными относительно всей шкалы являются точки 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 2 и 5, 3 и 4,3 и 5, 4 и 5. Как и противоположные, соподчиненные понятия не могут быть вместе истинны, но могут быть вместе ложны, так как их содержания пересекаются. Из истинности одного соподчиненного понятия всегда следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из соподчиненных понятий следует только неопределенность относительно значения истинности другого. Значит, соподчиненные понятия также несовместимы только по истине. Например, если данная вещь синего цвета, то она не может быть вещью красного цвета; но если неверно, что данная вещь синего цвета, то отсюда не следует, что она обязательно красного цвета. Соподчиненные понятия, только если они вместе не исчерпывают универсум, 26 Древнекитайская философия: В 2-х т.Т. I. M., 1972. - С. 153.
54 могут быть вместе ложны. Например, данная вещь может быть и не синего и не красного, а желтого цвета. Рассмотренные случаи для двух сравниваемых понятий графически представлены на рис. 15. Случаи пустого пересечения объемов двух сравниваемых понятий А -пА=В А В А В А и В — противоре- А и В — противополож- А и В — соподчинен- чащие понятия ные понятия ные понятия Рис. 15 Рассмотрев различные варианты соотношения объемов понятий, мы получили шесть различных видов отношений между понятиями. Из них первые три представляют случаи полной совместимости, последние три — случаи полной и частичной несовместимости. Данная схема деления понятий является общепринятой в логической литературе. Но является ли она полной? Во-первых, в ней отсутствуют частично совместимые понятия, то есть понятия, совместимые по истине и несовместимые по лжи. То, что такие понятия существуют, доказывает следующее рассуждение. Рассмотрим два противоположных понятия — «умный» и «глупый». Сформулируем дополнение (логическое отрицание) каждого из них. Получаем «неумный» и «неглупый». Последние два понятия являются частично совместимыми. Они одновременно истинны, если данный человек «среднего» ума. Но они не могут быть вместе ложными, так как в противном случае были бы вместе истинны противоречащие им понятия — «умный» и «глупый». Но, как мы знаем, противоположные понятия не могут быть вместе истинны27. То же можно сказать и о соподчиненных понятиях. Рассмотрим понятия «белый» и «синий». Их отрицаниями будут понятия «небелый» и «несиний». Последняя пара понятий одновременно истинна, если вещь, 27 Отношения между всеми четырьмя понятиями соответствуют отношениям логического квадрата (см.: главу III, 5 ).
55 допустим, оранжевого цвета. Но она не может быть одновременно ложной, так как в противном случае были бы одновременно истинны противоречащие им понятия «белый» и «синий». Но так как эти понятия соподчиненные, то это невозможно. Итак, все понятия, являющиеся отрицаниями противоположных и соподчиненных понятий, частично совместимы по истине. Приведенная схема также неполна в следующем смысле. Существуют понятия, которые одновременно обладают признаками противоречивости и противоположности. Речь идет о таких парах понятий, как «мужчина» и «женщина», «учитель» и «ученик», «муж» и «жена», «обманщик» и «жертва обмана», «потенциальная энергия» и «кинетическая энергия», «потребительная стоимость» и «меновая стоимость» и так далее Каждая пара таких понятий исчерпывает объем своего родового понятия (признак противоречивости), выражает полярные свойства (признак противоположности), имеет пустую область пересечения своих объемов (признак противоречивости и противоположности). Кроме того, каждая пара таких понятий либо вместе истинна, либо вместе ложна, так как выражает взаимно обратные отношения, то есть мы получаем еще один случай полной совместимости. Например, объемы понятий «муж» и «жена» исчерпывают вместе объем родового понятия «супруг». Пересечение объемов понятий «муж» и «жена» пусто, так как не существует супругов, которые одновременно являлись и мужьями, и женами. Вместе с тем данная пара понятий выражает полярные степени различия родового понятия. Наконец, оба понятия вместе либо истинны, либо ложны, так как они обозначают прямое и обратное отношения, ибо ясно, что некто может быть мужем тогда и только тогда, когда он имеет жену (никто не может быть мужем, не имея жены, или быть женой, не имея мужа). Как будет показано, понятия, одновременно противоречащие и противоположные, играют исключительную роль в диалектических контекстах (см. главу XI). Приведенные уточнения и добавления показывают, что общепринятая классификация понятий в зависимости от отношений между их объемами требует дополнительного анализа и обобщения. Кроме приведенной классификации понятий возможна также их классификация, основанная на величине сообщаемой ими информации (относительно универсума сравнения): X = U/0, то есть X — логически ложное, ложное во всех классах универсума, самопротиворечивое понятие, сообщающее максимум информации и поэтому имеющее пустой объем;
56 X= 0/U, то есть X—логически истинное, истинное во всех классах универсума, не сообщающее никакой информации понятие и поэтому имеющее объем, равный универсуму. X— содержание < U /объем > 0, то есть X—фактически истинное (ложное) понятие (истинное в одних классах универсума и ложное в других), сообщающее ограниченную информацию и поэтому имеющее содержание, меньшее универсума, и непустой объем. Относительно U = яблоки примером логически ложного, то есть максимально информативного понятия будет: X = яблоко, спелое и неспелое одновременно (ложно во всех классах универсума). Относительно этого же универсума примером логически истинного, то есть максимально неинформативного понятия будет: X = яблоко, спелое или неспелое (истинно во всех классах данного универсума). Понятие X— спелое яблоко относительно указанного универсума истинно, когда оно истинно в одних классах универсума и ложно в других. Значит, понятия в зависимости от пустоты содержания и объема делятся на следующие три класса: Логически ложные понятия = и = 0 Фактически истинные/ложные понятия <и >0 Логически истинные понятия = 0 = и Объем: Знание отношений понятий по объему позволяет определять виды совместимости и несовместимости и тем самым логические свойства сравниваемых понятий. Рассмотрим в этой связи несколько примеров. Отметим, что во многих из них ради ясности содержание понятий формулируется в виде суждений. Например, вместо того чтобы сказать, что А = сегодняшний день, который является понедельником, мы будем говорить, что А = сегодня понедельник. Пример 1 Установить, в каких отношениях совместимости и несовместимости находятся следующие понятия: А = не сегодня и не вчера; В = не завтра и не вчера; С = завтра. Пусть U= дни.
57 U= дни вчера не вчера I /^ не сегодня сегодня не сегодня не завтра не завтра завтра не завтра A) B) C) D) Для решения этой и подобных ей задач рекомендуется познакомиться с операциями сложения и умножения понятий (см. гл. II, 5). Все эти операции производятся с объемами понятий. В данной задаче А = {A) + C) + D)}х{B) + C) + D)}= C) + D); В = {B) + C) + D)}х{A) + B) + D)}= B) + D); С=C). Из приведенных вычислений следует, что объемы АиВ частично пересекаются (класс D) является общим элементом), объем С полностью включен в объем А, объемы В и С не пересекаются. Объемы А, В и С совместно не исчерпывают U. Следовательно, понятия^ и В — независимые, понятия А и С находятся в отношении родо-видового подчинения (А — родовое, С — видовое понятие), понятия В и С — соподчиненные: с в = и Пример 2 Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех понятий: А = не сегодня или не послезавтра; В = не вчера и [послезавтра или не сегодня]; С = [не завтра, но и не вчера] или послезавтра. Напоминаем, что операции, заключенные в скобки, выполняются первыми. Пусть U = дни.
U= дни вчера не сегодня сегодня не завтра I не послезавтра A) 58 не вчера не сегодня не завтра завтра не завтра не после- не после- после- не послезавтра завтра завтра завтра B) C) D) E) Здесь U= A) + B) + C) + D) + E); А = {A) + C) + D) + E)} + {A) + B) + C) + E)} = U; В = {B) + C) + D)} х{D) + [A) + C) + D) + E)]} = C) + D) + E); С = {[A) + B) + D) + E)]х[B) + C) + D) + E)]} + {D)} = B)+ D)+ E). Из вычислений следует, что объем А совпадает с универсумом, объем С частично пересекается с объемом В, но сумма объемов В и С не исчерпывает U. Следовательно, А обобщает как В, так и С (является для них родовым понятием); В и С — независимые понятия. Истинна поэтому следующая диаграмма: = A = U Пример 3 Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех понятий: А = [неверно, что послезавтра не четверг] или завтра не вторник; В = [неверно, что сегодня не вторник] или послезавтра не среда; С = сегодня вторник и не среда. Пусть U= дни.
59 U= дни сегодня вторник сегодня не среда завтра не вторник послезавтра не среда послезавтра четверг со сегодня не вторник сегодня среда сегодня не среда завтра завтра завтра не вторник вторник не вторник послезавтра послезавтра послезавтра не среда среда не среда послезавтра послезавтра послезавтра не четверг не четверг не четверг B) C) D) ЗдесьС/=A) А = -,{B) + C) + D)} + {A) + B) + D)} = A) + B) + D); В = -,{B) + C) + D)} + {A) + B) + D)} = A) + B) + D); С = {B) + C) + D)} х {A) + C) + D)} = C) + D). Из приведенных вычислений следует, что объемы понятий Аи В равны друг другу, объем понятия С частично пересекается с объемом как А, так и В. Следовательно, А и В — эквивалентные понятия, а понятие С является независимым по отношению как к А, так и В. Все вместе они исчерпывают универсум. В итоге получаем следующую диаграмму: А, В- > С 4 > = и Пример 4 Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех понятий: ^ = 2 + 2>4;5 = 2 + 2<4;С = 2 + 2^6. Пусть U = результаты сложения числа 2 с самим собой.
60 U = результаты сложения числа 2 с самим собой = 4 (О Здесь U= A); А = 0; В = 0; С = A) = U. Откуда следует, что объемы А и В совпадают друг с другом, так как представляют пустые классы; объем понятия С равен универсуму. Следовательно, А и В — эквивалентные понятия, видовые по отношению к понятию С. И поскольку пустой класс является подклассом наименьшего непустого класса (так как обладает наибольшим содержанием из сравниваемых понятий), то истинна следующая диаграмма: А, В = с= и Данный пример доказывает, что понятия с пустым объемом не только равнозначны, но и являются видовыми понятиями по отношению к понятиям с непустым объемом. Пример 5 Решить указанную в примере 4 задачу, но без исключения из универсума противоречащих условиям задачи возможностей. Получаем следующее разбиение универсума: U = результаты сложения числа 2 с самим собой Здесь?/=A) + B Л = B) + C); ф 6 A) ) + C) + (< = 6 B) >4 <4 C) D)
61 В = D); C=(l) Из вычислений следует, что объемы А и С частично пересекаются и совместно исчерпывают универсум, объем В полностью включен в объем С, но ему не равен. Объемы А и В не пересекаются. Это означает, что понятия А и С — независимые, понятие С — родовое, а понятие В — видовое, Аи В — соподчиненные понятия: 4—А- —> С В = и Следует отметить, что включение / исключение ложных возможностей из универсума радикально меняет отношения между сравниваемыми понятиями. Более общий вывод состоит в том, что сравнивать по содержанию и объему можно не только истинные (непротиворечивые), но и ложные (противоречивые) понятия. Первым, кто указал на возможность сравнения ложных понятий (теорий) по содержанию и объему, был К. Поппер (см. более подробно об этом гл. УП, 5). Пример 6 Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех понятий: А = число, меньшее 100 или 80; В = число, большее 80, но меньшее 100; С = число, равное или меньшее 80. Пусть U= числа. <80 < 100 A) U=числа = 80 >80 < 100 < 100 = 100 > 100 B) C) D) E) Здесь U= A) + B) + C) + D) + E); А = {A) + B) + C)} + {A)} = A) + B) + C); В = {C) + D) + E)}х{A) + B) + C)}= C); С=A) + B). Из приведенных вычислений следует, что объемы понятий В и С делят объем понятия А на две взаимно исключающие и совместно исчерпывающие области. Следовательно, относительно А понятия В и С — проти-
62 воречащие. В то же время объем понятия А меньше универсума. Поэтому относительно всего универсума понятия В и С не являются противоречащими, а только соподчиненными. Диаграмма имеет следующий вид: А В С = и Пример 7 Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех понятий: А = число, меньшее или большее 100; В = число, большее 80, но не равное или меньшее 100; С = число, меньшее или равное, или большее 100, но неверно, что меньшее или равное, или большее 80. Для решения этой задачи используем разбиение универсума из предыдущей задачи (см. пример 6). Получаем: С/= A) + B) + C) + D) + E); А = {A) + B) + C)} + {E)} = A) + B) + C) + E); = С/х0 = 0. Из вычислений следует, что все понятия находятся в последовательном родо-видовом подчинении, так как пустой объем понятия С включен в наименьший объем непустого понятия В, а объем последнего включен в объем понятия А, Объем А не равен универсуму. Итоговая диаграмма выглядит следующим образом: = U 5. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПОНЯТИЯМИ. ПОНЯТИЕ КАК ИНВАРИАНТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Когда в наших рассуждениях мы используем союзы 'и' и 'или' (или их разнообразные эквиваленты), то осознанно или бессознательно мы выполняем соответственно операции умножения и сложения. Если я утвер-
63 ждаю, что сегодня пасмурно и холодно, то я умножаю сегодняшние пасмурные дни на сегодняшние холодные дни, имея ввиду, что сегодняшний день является и пасмурным и холодным одновременно. Если же я утверждаю, что сегодня пасмурно или холодно, то я складываю сегодняшние пасмурные дни с сегодняшними холодными днями, подразумевая, что сегодня может быть или только пасмурно, или только холодно, или пасмурно и холодно одновременно. Операция вычитания понятий представляет разновидность операции умножения. Вычесть из сегодняшних пасмурных дней холодные дни означает умножить сегодняшние дни на нехолодные дни. Таким образом, базисных логических операций всего две —умножение и сложение. Производными следует считать операции вычитания, деления и классификации (разбиения универсума на совместно исчерпывающие и взаимно исключающие классы). Более строго под логическими операциями мы будем понимать определенные способы преобразования одних понятий в другие. К ним относятся: сложение, умножение, вычитание, деление и классификация понятий. Для большей ясности рассмотрим указанные операции с двумя понятиями, обозначенными символами Аи В. Слоэюением (объединением) понятий А и В называется конструирование понятия, объем которого включает (без повторения) все элементы объемов как А, так и В. Пусть «+» обозначает операцию сложения понятий. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А + В = А = В, то есть результат сложения таких понятий равен объему любого одного из них. Как частный случай имеем: А + А= А. Например, «сиеста» + «полуденный отдых» = «сиеста» = «полуденный отдых». «Сиеста» + «сиеста» = «сиеста». Таким образом, сложение двух равнозначных понятий не приводит к удвоенной сумме, как это имеет место при сложении натуральных чисел. Иными словами, сложение понятий не обладает свойством итерации (прибавления). 2. А и В — частично пересекающиеся (независимые) понятия. Тогда А + В = (вещи, обладающие свойствами А и В одновременно, + обладающие только свойствами А + обладающие только свойствами В). Например, «вкусные вещи» + «сладкие вещи» = «вещи, вкусные и сладкие одновременно, + только вкусные (вкусные, но не сладкие) + только сладкие (сладкие, но не вкусные)». 3. А —родовое, В — видовое понятие. Тогда А + В = А. Например, «человек» + «образованный человек» = «человек». 4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А + В = U. Например, «солнечный день» + «несолнечный день» = «день».
64 5. А и В — противоположные понятия. Тогда А + В = (А либо В, но не А и В вместе). Например, «радостный человек» + «печальный человек» = «радостный или печальный человек, но не то и другое вместе». 6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда А + В = (А или В, но не оба вместе). Например, «сосна» + «береза» = «сосна или береза, но не то и другое вместе). Данный случай совпадает с предыдущим. 7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А + В = U. Например, «неумные люди» + «неглупые люди» = «люди». 8. А и В — противоречащие и противоположные понятия одновременно. Тогда А + В = U. Например, «мужчина» + «женщина» = «человек». Умножением (пересечением) понятий А и В называется конструирование понятия, объем которого включает только общие для А и В элементы. Часто данную операцию также определяют как вычисление общей области пересечения умножаемых понятий. Пусть «х» обозначает операцию умножения понятий. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А х В = А = В, как и при сложении, то есть областью пересечения эквивалентных понятий является объем любого одного из них. Например, «любовь» х «наслаждение вещью и соединение с нею» = «любовь» = «наслаждение вещью и соединение с нею» (согласно Б. Спинозе). А х А= А как частный случай. 2. А и В — частично пересекающиеся {независимые) понятия. Тогда А х В = (вещи, обладающие свойствами А и В одновременно). Например, «счастье» х «неожиданность» = «неожиданное счастье». 3. А —родовое, В — видовое понятие. Тогда А х В = В, то есть областью пересечения в данном случае выступает объем видового понятия. Например, «любовь» х «сильное чувство» = «любовь». 4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А х В = 0, где символ 0 означает понятие с пустым (недопустимым) объемом. Например, «синий» х «несиний» = 0, так как невозможно существование цвета, который был бы синим и несиним одновременно. 5. А и В — противоположные понятия. Тогда А х В = 0, как и в предыдущем случае. Например, «любовь» х «ненависть» = 0. 6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда А х В = 0, как и в предыдущем случае. Например, «любовь» х «безразличие» = 0. 1. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А х В = понятие, представляющее отрицание как А, так и В (нейтральная точка на шкале отношений между А и В). Например, «неумные» х «неглупые» = «люди среднего ума». 8. А и В — противоречащие и противоположные понятия одновременно. Тогда А х В = 0, если операция умножения определяется для объемов А и В, и А х В = U, если операция умножения определяется для отно-
65 шений, в которых находятся А и В. В первом случае «мужчина» х «женщина» = 0; во втором —«мужчина» х «женщина» = «человек». Вычитанием (разностью), допустим, понятия В из понятия А называется конструирование понятия, объем которого состоит из элементов объема А, противоречащих понятию В, то есть обладающих свойством -В, Данную операцию можно также определить как вычисление области пересечения объема понятия, из которого вычитают, с объемом дополнения (логического отрицания) вычитаемого понятия. Пусть «/» обозначает операцию вычитания понятий. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А/В = В/А = 0. В качестве частного случая имеем А/А = 0. Например, «зависть» / «печаль по поводу счастья друзей» = «печаль по поводу счастья друзей» / «печаль» = 0 (согласно Сократу). «Печаль» / «печаль» = 0. 2. А и В — частично пересекающиеся {независимые) понятия. Тогда А/В = (А и —iB)9 В/А = (В и -лА). Например, «справедливость» / «недействие» = «справедливое действие», «недействие» / «справедливость» = «несправедливое недействие». 3. А —родовое, В — видовое понятие. Тогда А/В = (А и -гб), В/А = 0. Например, «чувство» / «ненависть» = «все чувства, не являющиеся ненавистью». Этот случай вычитания тождествен конструированию дополнения понятия В до универсума U — А. «Ненависть» / «чувство» = 0. 4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А/В = А, В/А = В. Например, «храбрость» / «нехрабрость» = «храбрость», «нехрабрость» / «храбрость» = «нехрабрость». 5. А и В — противоположные понятия. Тогда А/В = А, В/А = В, как и в предыдущем случае. Например, «любовь» / «ненависть» = «любовь, «ненависть» / «любовь» = «ненависть». 6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда А/В = А, В/А = В, как и в предыдущем случае. Например, «любовь» / «безразличие» = «любовь», «безразличие» / «любовь» = «безразличие». 7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А/В = —ьб, В/А = —Л. Например, «неумные люди» / «неглупые люди» = «глупые люди», «неглупые люди» / «неумные люди» = «умные люди». 8. А и В — противоречащие и противоположные понятия одновременно. Тогда А /В = А, В/А = В, если вычитание определяется для объемов А и В и А/В = В/А= 0, если вычитание определяется для отношений, в которых находятся А и В. Например, «муж» / «жена» = «муж», «жена» / «муж» = «жена» в первом случае и «муж» / «жена» = «жена» / «муж» = 0 во втором случае. В отличие от других операций, деление как операция, обратная умножению классов, не является строго определенной. Поэтому оно обычно
66 не рассматривается в учебниках по логике. Для полноты анализа мы рассмотрим и эту операцию. Делением понятия на другое понятие, входящее в первое в качестве одного из сомножителей, называется конструирование понятия, состоящего из всех сомножителей, за исключением того, на которое производилось деление. Пусть «:» обозначает операцию деления. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда (А х В) : А = (А х В) : В = А = В (первый вариант); (А хВ) : А = (А хВ) : В = U (второй вариант). В качестве частного случая имеем А : А = А (первый вариант); А : А = U (второй вариант). Приведем один пример: «студент» : «студент» = «студент» (первый вариант), «студент» : «студент» = «учащийся» (второй вариант). 2. А и В — пересекающиеся понятия. Тогда {А х В) : А = В, (А х В) : В = А. Например, («утро» х «солнце») : «утро» = «солнце», («утро» х «солнце») : «солнце» = «утро». 3. А —родовое понятие, В — видовое понятие. Тогда (А х В) : А = В, (А х В) : В = В (первый вариант); (А х В) : В = А (второй вариант). Например, («мебель» х «стул») : «мебель» = «стул», («мебель» х «стул») : «стул» = «стул» (первый вариант), («мебель» х «стул») : «стул» = «мебель» (второй вариант). 4-6. Для противоречащих, противоположных и соподчиненных понятий операция деления не выполняется, так как логическое произведение таких понятий всегда пусто. 7-8. А и В — частично совместимые, или противоречащие и противоположные одновременно понятия, интерпретируемые как взаимно обратные отношения. Тогда (А х В) : А =В, (А х В) : В = А. Приведем пример: («муж» х «жена») : «муж» = = «жена»; («муж» х «жена») : «жена» = муж». Операцией, синтезирующей все ранее рассмотренные, является классификация. Классификацией понятия в традиционном смысле называется конструирование видовых по отношению к нему понятий на основании определенного множества условий (оснований). Результатом классификации в этом смысле является родо-видовая иерархия понятий, раскрывающая объем классифицируемого понятия. С информационной точки зрения классификация представляет разбиение объема классифицируемого понятия (универсума) на множество совместно исчерпывающих и взаимно исключающих классов на основании заданных условий. При этом одну и ту же классификацию (разбиение) можно получить на основании различных множеств условий точно так же, как один и тот же объем может быть задан с помощью разных определений содержания понятия. Классификацию нельзя путать с делением какой-либо вещи на части, так как видовые клас-
67 сы обладают всеми признаками родового класса, а части никогда не обладают признаками целого (автомобильное колесо является частью автомобиля, но не обладает свойствами всего автомобиля, тогда как, например, класс «легковой автомобиль» обязательно обладает всеми признаками родового класса «автомобиль». Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем основные требования к классификации понятий. Понятие «благо», согласно Аристотелю, классифицированное на основании условия «находиться в», имеет следующие виды (рис. 16): Благо находящееся находящееся находящееся в душе в теле вне души и тела {добродетели) {здоровье) {богатство) Рис. 16 Если выбрать в качестве основания условие «смысл блага», то, согласно Аристотелю, будет иметь место следующая классификация (рис. 17). Благо ценимое хвалимое как возмож- сохраняющее ность или создающее другое благо {ум) {добродетели) {богатство) {гимнастика) Рис. 17 Рассмотренные классификации построены на изменении условия, выступающего основанием классификации. Каждый член такой классификации представляет соподчиненное понятие. Подобные классификации принято называть классификациями по изменяющемуся основанию. Возможны также классификации, члены которых представляют противоречащие понятия. Такие классификации принято называть дихотомическими (делящими надвое). Пример дихотомической классификации также можно найти у Аристотеля (рис. 18).
68 Благо .— всегда не всегда заслуживающее избрания заслуживающее избрания (справедливость) (богатство) Рис. 18 Основанием дихотомических классификаций служит принцип логического отрицания (дополнения, противоречия) членов классификации. Возможны также классификации, в которых используются несколько оснований. Их называют последовательными классификациями. Пример последовательной классификации, также принадлежащей Аристотелю, приведен на рис. 19. Благо являющееся целью (здоровье) не являющееся целью совершенной (счастье) несовершенной (справедливый нрав) Рис. 19 Возможны также классификации, в которых условия представляют сложные признаки (признаки, соединенные базисными союзами «и» и «или», обозначающими операции умножения и сложения соответственно). В таких случаях сложные признаки разделяются до образования простых. С помощью последних строится классификация по обычным правилам (в качестве примеров см. примеры 1-И6 п. 4). Рассмотренные примеры позволяют сформулировать несколько основных требований к классификации. 1. Множество условий (оснований) классификации не должно быть противоречивым, а объем классифицируемого понятия (универсум) не должен быть пустым классом. При нарушении любого из этих условий классификация теряет свой смысл (ее результатом будет пустой класс).
69 2. Члены классификации должны представлять несовместимые по истине (непересекающиеся) классы и их логическая сумма на каждом шаге разбиения долэюна быть равна объему классифицируемого понятия (универсуму). В противном случае либо будет пропущено какое-то видовое понятие, либо будет присутствовать какое-то избыточное видовое понятие. В первом случае мы имеем неполную классификацию, во втором — классификацию с лишними членами. Примером первой будет классификация людей на добрых и жестоких, так как пропущен класс людей, не являющихся ни первыми, ни вторыми. Избыточность результатов классификации возможна в двух смыслах: члены классификации являются лишними, потому что они A) поглощаются другими членами как более общими понятиями («нежестокие» поглощают «добрых»); B) не соответствуют принятому основанию классификации (в делении дней на «солнечные», «пасмурные» и «счастливые» последний член является избыточным, если в качестве основания выступают погодные условия). 3. Каждый шаг классификации должен проводиться только по одному условию (основанию). В противном случае члены классификации не будут исключать друг друга и их сумма не будет равна универсуму классификации. Например, классификация людей на богатых и плачущих произведена по двум основаниям сразу. Члены такой классификации, будучи независимыми понятиями, не исключают друг друга, так как могут существовать богатые, которые плачут. Правильной будет классификация, осуществляемая в два шага (рис. 20). U = люди богатые небогатые плачущие неплачущие плачущие неплачущие Рис. 20 4. Классификация считается законченной, если и только если при ее построении использованы все условия (основания) и все ветви, которые оказались противоречивыми (число которых в случае выполнения требования 1 может быть нулевым, но не может быть равно общему числу ветвей), вычеркнуты.
70 Интересный и дискуссионный пример нарушения третьего правила классификации содержит известный древнегреческий парадокс — тяжба Протагора с Еватлом28. Содержание спора сводится к следующему. У известного софиста Протагора был ученик Еватл, обучавшийся праву. По заключенному между учителем и учеником договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если он выиграет свой первый процесс. Но, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Когда терпение Протагора иссякло, он подал на своего ученика в суд. Таким образом, Еватл столкнулся с необходимостью вступить в свой первый процесс. Свой иск Протагор аргументировал следующим образом. Каким бы ни было решение суда, Еватл будет обязан заплатить за обучение. Ибо он либо выиграет, либо проиграет процесс; если выиграет, то заплатит в силу договора; если проиграет, то заплатит согласно решению суда. Ответ Еватл а был не менее аргументированным. Действительно, он либо выиграет, либо проиграет процесс. Если выиграет, то не обязан платить по решению суда; если проиграет, то не должен платить в силу договора. Парадокс данного спора состоит в том, что при любом исходе судебного процесса Протагор и Еватл имеют равные логические основания требовать удовлетворения своих взаимоисключающих намерений (рис. 21). Даже беглого взгляда на рис. 21 достаточно, чтобы оценить логические последствия парадоксальности спора Протагора с Еватлом. Его итоги, связанные с каким-либо одним решением суда, не являются несовместимыми и, следовательно, могут быть одновременно истинными. Именно такую возможность демонстрируют аргументы обоих участников спора. Еватл проигрывает процесс выигрывает процесс по суду платит Еватл по договору по суду платит платит Протагор Протагор I I по договору платит Еватл аргументы Еватла аргументы Протагора Рис.21 28 См.: Ивин А. А. 1) По законам логики М., 1983. С 185-188; 2) Искусство мыслить. М., 1990.-С. 194-196.
71 Причина парадокса также очевидна. Классификация результатов судебного процесса проведена сразу по двум основаниям — «платить по решению суда» и «платить по договору». Для устранения парадокса необходимо признать оба условия независимыми и классификацию выполнять последовательно. Непарадоксальная структура спора имеет следующий вид (рис. 22). Цифры «О» и «1» на рис. 22 обозначают вероятности соответствующих исходов. Те из них, которые отмечены цифрой «О», неосуществимы по условиям спора. Исходы, отмеченные цифрой «1», по условиям спора осуществляются обязательно. Еватл проигрывает процесс платит по суду не платит по суду платит не по платит договору по договору выигрывает процесс платит по суду не платит по суду платит не по платит договору по договору Рис. 22 Таким образом, спор Протагора с Еватлом в зависимости от решения суда имеет два возможных исхода. Если Еватл проигрывает процесс, то он платит Протагору по суду и не платит по договору. Если Еватл выигрывает процесс, то он не платит Протагору по суду, но платит по договору. Как интерпретировать эти исходы? Оставляя подробный анализ для главы, посвященной принятию решений (см. гл. VIII, 6), подведем итоги. Если Еватл проигрывает судебный процесс, то он выигрывает спор, а Протагор проигрывает; если Еватл выигрывает судебный процесс, то он проигрывает спор, а Протагор выигрывает. Оба исхода исключают друг друга и не могут быть вместе истинны. Следовательно, парадокса нет, так как классификация возможных результатов спора проведена по правилам логики. Некоторое недоумение может вызвать обратная связь между результатами судебного разбирательства и исходами спора. Эту связь легко сделать прямой, если классификацию начать с условия «платить по договору», а не с условия «платить по решению суда». Если все условия, на основании которых классифицируется какое- либо понятие, необходимы, тогда данная операция тождественна конст-
72 руированию (определению) понятий. Пределом классификации в этом случае выступает требование достаточности оснований (условий) классификации. К отмеченным особенностям классификации следует добавить еще одну, играющую существенную роль в логическом анализе. Классификация позволяет представить универсум в виде логической суммы некоторого множества альтернативных возможностей (развития событий, действий, описаний и так далее). Каждая ветвь классификации символизирует одну такую возможность. Как отчасти уже было показано (см. примеры предыдущего параграфа) и более полно будет продемонстрировано, знания этих возможностей необходимо и достаточно для решения всех логических, комбинаторных, вероятностных, информационных задач и задач по принятию решений. Иными словами, правильно выбранный универсум и корректно построенная классификация позволяют нам решать любые задачи нашего существования. Классификация обеспечивает синтез всех ранее рассмотренных логических операций — сложения, умножения, вычитания и деления. Пусть А — родовое, В — видовое понятие. Так как А подчиняет 5, то между объемами этих понятий существует отношение включения. Из существования отношения включения следует, что А обозначает наименьший верхний класс, а В — наибольший нижний класс образованной родо-видовой иерархии, содержащей как А, так и В. Следовательно, имеет место: А = А + В,В = АхВ (рис. 23). А=А+В В = АхВ Рис. 23 Из рис. 23 следует, что для того чтобы сложить понятия В и —ъб, необходимо прежде умножить АиаВиАиа —\В соответственно. Чтобы умножить А на В и А на -ъб, необходимо предварительно сложить В и —.5, чтобы получить А, Вычесть из понятия А понятие В (соотв. понятие —\В) означает вычеркнуть ветвь, соединяющую А с В (соотв. ветвь, соединяющую А с —l8), то есть означает умножить А на —? (соотв. умножить А на В), Разделить произведение (АхВ) на В и произведение (Ах-^В) на —ьб, чтобы получить А, означает сложить результаты умножения А на В и А на (АхВ) + (Ах-?)= А.
73 Эти рассуждения доказывают взаимосвязь операций сложения, умножения (вычитания) и деления, а также их необходимость и достаточность для построения классификации. Взаимосвязь операций сложения, умножения, вычитания и деления делает наше мышление независимым от наблюдаемой реальности. Обладая обратимостью, мышление становится интериоризованным и символическим процессом, способным достигать целостности и законченности независимо от конкретных начальных условий. Обратимость лежит в основе всех инвариантов, или принципов сохранения, с формулировки которых начинается любая наука. Понятие представляет один из инвариантов логического мышления. Правильно сконструировать понятие — то лее самое, что определить его как инвариант операций сложения, умножения, вычитания и деления относительно данного универсума. Мы будем говорить, что некоторое понятие представляет инвариант указанных логических операций, если существует такой универсум С/, что: 1) это понятие, будучи сложенным или умноженным на любое другое понятие, принадлежащее С/, дает в результате понятие, принадлежащее и-, 2) это понятие, умноженное на С/, дает это же понятие; 3) этому понятию соответствует одно и только одно понятие, называемое логическим отрицанием (дополнением), сложение с которым дает U; 4) это понятие, будучи умноженным на само себя, снова дает само себя; 5) сумма этого понятия с любым другим понятием, не являющимся его дополнением, не зависит от порядка, в котором они сгруппированы. Ограничение, указанное в пункте 5, означает, что в операциях с понятиями коммутативность и ассоциативность последних не является универсальной. Для классификации, изображенной на рис. 23, перечисленные условия выполняются: 2.ВхА=В,-ВхА=-тВ. 3.5 + (-тЯ) = А, то есть В = Однако ассоциативность операций сложения и вычитания еще не является полной, так как истинно ((В + В) I В)^(В + (В/В)). Это означает, что логические операции с понятиями еще не образуют группу в обычном (алгебраическом) смысле и что одних только операций с понятиями недоста-
74 точно для полной и эффективной деятельности мышления. Причина этой ограниченности лежит в природе самих понятий — в их способности отражать только классы мыслимых вещей, то есть только тождественность последних относительно тех или иных условий. Различие и тем самым упорядоченность вещей относительно этих же условий в терминах понятий выражены быть уже не могут. Итак, не существует понятия, не включенного в более общее, или родовое понятие. В отношении «род — вид» каждое понятие приобретает свою определенность. Поэтому конструирование понятия равносильно конструированию классификации, в терминах которой только и может существовать данное понятие. Родо-видовая иерархия оказывается, таким образом, существенной чертой нашего мышления. Обобщение и ограничение понятий были бы невозможны, если бы подобные иерархии не существовали. Четыре логические операции — сложение, умножение, вычитание и деление — необходимы и достаточны для построения любой классификации. Неразрывная связь понятия и классификации позволяет определить понятие как инвариант указанных логических операций. С этой точки зрения понятие — это такая мысль, объем которой при сложении, умножении, вычитании и делении всегда остается одним и тем же (относительно данного универсума). Понятия представляют опорные пункты нашего понимания окружающего мира и самих себя, но еще не весь процесс понимания в целом. Обладая только понятиями, мы не можем анализировать отношения между мыслимыми вещами. Выполнение этой задачи требует умения образовывать суждения. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ 1. Можно ли понимать какую-либо вещь, не определив ее в терминах необходимых и достаточных условий? 2. Укажите необходимые и достаточные условия следующих явлений, свойств, предметов: а) зимнее утро; б) нечетное число; в) справедливость; г) равные величины; д) образованный человек; е) мысль. 3. Выражают ли следующие слова одни и те же понятия:
75 а) педагог, преподаватель, учитель; б) неконечное, бесконечное, безмерное; в) несвобода, рабство, неволя; г) бедный, неимущий, неимеющий; д) невойна, мир, перемирие; е) параллельные линии, непересекающиеся линии. 4. Изменится ли содержание понятия «Марс» после того, как на нем побывают люди? 5. Изменится ли объем понятия «завтрак» после того, как он будет съеден? 6. Какие из перечисленных понятий находятся в отношения рода и вида? а) час, сутки; б) кислород, газ; в) прямая, отрезок прямой; г) город, центр города; д) тысяча рублей, сто рублей. 7. Изобразите графически, как соотносятся объемы нижеследующих понятий: а) геометрия Евклида, неевклидова геометрия, геометрия Лобачевского, геометрия Римана; б) мысль, слово, дело; в) вежливый, приятный, обходительный; г) дед, отец, сын, внук; д) забежал, вошел, вбежал, ввалился; е) дом, здание, квартира, комната. 8. Попробуйте установить, корректны ли следующие толкования слов в качестве определений: а) наследовать — получить в наследство от кого-либо что-либо; б) лучший — самый хороший; в) отличный — очень хороший, превосходный; г) хороший — имеющий положительные свойства; д) дарить — давать что-либо в качестве подарка, безвозмездно; е) друг — человек, который стремится не отстать от людей, делающих ему добро (Сократ); ж) друг — тот, кто любит и взаимно любим (Аристотель); з) любить — желать кому-нибудь того, что считаешь благом, ради него, а не ради самого себя, и стараться по мере сил доставлять ему эти блага (Аристотель), 9. Для нижеследующих понятий выполните операции сложения, умножения, вычитания и деления (для каждой пары отдельно): а) натуральное число, четное число;
76 б) море, озеро; в) звезда, планета; г) нерадость, непечаль; д) здоровье, болезнь; е) веселый, радостный; ж) хитрец, плут; з) справедливость, честность. 10. Есть ли ошибка, а если есть, то какая, в нижеследующих рассуждениях: «Одна жрица не позволяла своему сыну говорить политические речи, сказав: "Если ты будешь говорить справедливое, тебя возненавидят люди, а если несправедливое — боги", что, по мнению Аристотеля, совместимо со следующим возможным ответом сына: "Но можно также сказать, что должно говорить такие речи, ибо если ты будешь говорить справедливое, тебя полюбят боги, если несправедливое — люди" {Аристотель. Риторика). 11. Попробуйте разрешить следующий спор. Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу Нила, ее ребенка. На просьбу матери вернуть ребенка крокодил выдвинул условие: мать должна угадать, отдаст крокодил ребенка или нет. Если мать угадает, то крокодил возвращает ребенка; если не угадает, то ребенок остается у крокодила. Подумав, мать ответила, что крокодил не отдаст ей ребенка. Выслушав мать, крокодил сообщил, что он не может отдать ей ребенка по следующим основаниям. Мать говорит либо правду, либо неправду. Если она угадала, то крокодил не должен отдавать ей ребенка, так как в противном случае это не было бы правдой. Если же сказанное матерью — неправда, то она не угадала и он не должен отдавать ей ребенка по уговору. Мать не согласилась с доводами крокодила. По ее мнению, если она угадала, то ребенок должен быть возвращен ей по уговору, а если не угадала, то ребенок также должен быть возвращен, так как в противном случае ее ответ не будет неправдой.
77 ГЛАВА III. СУЖДЕНИЕ Помыслив вещи посредством идей, мы сопоставляем эти идеи; обнаруживая, что одни из них соответствуют друг другу, а другие нет, мы связываем их либо разделяем. Это называется утверждать или отрицать, а в общем — выносить суждение. А. Арио, П. Николъ. Логика, или искусство мыслить. 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СУЖДЕНИИ Если понятия — атомы интеллектуальной деятельности, то, продолжая эту аналогию, мы можем сказать, что суждения — ее молекулы. Как молекулы представляют мельчайшие частицы вещества, так и суждения, связывая понятия, являются элементарными формами мыслительной деятельности. Любое понятие определяется в форме некоторого суждения. Рассуждение в целом представляет процесс порождения одних суждений из других. С помощью понятий мы раскрываем значение естественных или искусственных знаков, указываем классы, к которым принадлежат или не принадлежат мыслимые нами вещи. С помощью суждений мы получаем возможность выражать разнообразные отношения между мыслимыми вещами. Ни одна вещь не может существовать, не вступая в отвечающие ее природе отношения с другими вещами. Свойства вещей могут проявляться только в их отношениях друг к другу. Узнать, является ли данное белое кристаллическое вещество кислым, сладким, соленым, горьким или безвкусным, можно, лишь попробовав его на язык, то есть установив соответствующее отношение между этим веществом и вкусовыми рецепторами. «Не зная, что говорят люди, — утверждал Конфуций, — нельзя узнать людей»29. Познание людей, иными словами, требует установления соответствующего отношения между изучающим и изучаемыми индивидами. Познание вещи равносильно поэтому познанию ее отношений к другим вещам. Конструирование понятий о вещах невозможно без выражения в терминах суждений отношений этих вещей друг к другу. Как вещи не существуют вне своих отношений друг к другу, так и понятия не существуют вне выражающих эти отношения суждений. 29 Древнекитайская философия; В 2-х т.Т. 1. М., 1972. - С. 174.
78 Мы имеем суждение о некоторой вещи, если и только если знаем и можем выразить словесно ее отношение к какой-либо другой вещи, включая и ее отношение к самой себе. Задать некоторое отношение из множества элементов какого-либо класса означает упорядочить их согласно условию, выражаемому этим отношением. Вне зависимости от содержания отношения упорядоченность элементов сводится к требованию различия мест, занимаемых ими. Если 1 меньше 2, то 2 не может быть меньше или равно 1. Если А — отец В, то В не может быть отцом А. Если С тяжелее Д то D не может быть тяжелее С. Во всех этих примерах места, занимаемые первым и вторым элементами, различаются своим порядком, то есть являются упорядоченными. Задать отношение в самом общем смысле и означает упорядочить элементы какого-либо класса согласно определенному условию. Этому утверждению не противоречит существование разнообразных отношений тождества (равенства). Последние определяются как результат композиции (умножения) обратно упорядоченных отношений. Например, сказать, что А равно В, — то же самое, если сказать, что А больше (меньше) В и В больше (меньше) А одновременно. Из сказанного следуют два принципиальных отличия суждений от понятий. Для понятий исходным является допущение тождества, неразличимости вещей, рассматриваемых в качестве элементов их объемов. Порядок, в котором рассматриваются эти элементы, не имеет никакого значения. Для суждений исходным является допущение различия, упорядоченности вещей, рассматриваемых в качестве их субъектов. Изменение порядка вещей ведет к изменению смысла суждения. В этом состоит первое отличие суждений от понятий. Второе отличие есть следствие первого. Для понятий логическое отрицание равносильно образованию дополнения. Для суждений мы имеем два вида логического отрицания — дополнение и уничтожение различия, которое достигается построением симметричного исходному отношению. Дополнение дает суждение, противоречащее исходному. Уничтожение различия приводит к образованию суждения эквивалентности. Суждение «А умнее 5» в первом смысле отрицается суждением «Неверно, что А умнее 5» или суждением «А не умнее 5». Во втором смысле суждение «А умнее 5» отрицается суждением «5 умнее А», и оба вместе делают истинным суждение «А и В оба умны в одинаковой степени». Различие между суждениями и понятиями обусловлено, таким образом, различием уровней отражения реальности. С помощью понятий мы отражаем реальность в терминах включения и исключения классов. С помощью суждений мы научаемся отражать не только эти, но и все другие отношения между мыслимыми вещами.
79 Как и понятия, суждения не совпадают с выражающими их грамматическими конструкциями. Основной языковой формой выражения суждений служит повествовательное предложение. Считается, что всякое суждение выражается в том или ином предложении, но обратное верно только для повествовательных предложений. Мы не станем придерживаться этого категорического мнения и будем считать, что любое законченное предложение явно или неявно выражает некоторое суждение. Ничто не мешает считать, что вопросу «Кто здесь?» соответствует суждение «Я не знаю, кто здесь находится, но хочу это узнать». Аналогично приказу «Следуйте за мной!» соответствует суждение «Я хочу, чтобы вы тотчас же последовали за мной». В зависимости от того, имеет ли место выражаемое суждением отношение, можно говорить об истинности, ложности или неопределенности суждений. Суждение «А любит 5» истинно, если и только если между А и В имеет место указанное отношение, ложно в противном случае и неопределенно, если нет ни первого, ни второго. Каждое суждение выражает также определенное коммуникативное отношение между старым, известным знанием (предикатом суждения) и новым, неизвестным знанием (субъектом суждения). Известное знание служит своеобразным фильтром, через который происходит оценка нового знания. Предикат определяет логические границы субъекта суждения, отвечает на вопросы, что, где, как и почему оно обозначает, служит аргументом за и против включения в состав старого знания. Связывая или разъединяя новое и старое знание, суждения, таким образом, обеспечивают преемственность в развитии представлений и наше понимание всякого нового сообщения. Мы можем поэтому сказать, что суждения отражают упорядоченность не только реально существующих вещей, но и наших знаний о них. Итак, когда мы говорим о суждениях, то имеем в виду знание, которое обозначает как некоторое отношение между мыслимыми вещами, так и упорядоченность самих знаний по шкале «новое, требующее доказательства знание — старое, доказанное знание»; является в зависимости от того, выполняется или нет обозначаемое отношение, истинным, ложным или неопределенным; выражается каким-либо предложением, не обязательно повествовательным; является конструктивным, так как не совпадает со своей грамматической формой и для своего выявления требует специальной умственной деятельности.
80 2. ПРОСТЫЕ СУЖДЕНИЯ Суждения принято делить на простые и сложные. Суждение считается простым, если ни одна его правильная часть сама не является суждением. В противном случае оно является сложным. Сложные суждения состоят из нескольких простых, соединенных различными логическими союзами — «и», «или», «если... то», «если и только если», «или... или». Предложение «Сегодня тихо и пасмурно» выражает сложное суждение, состоящее из двух простых «Сегодня тихо», «Сегодня пасмурно», соединенных союзом «и». Сложным суждением считается также отрицание любого простого суждения, вводимого оборотом «Неверно, что» и его различными грамматическими эквивалентами. Фундаментальный факт, характеризующий отношение между простыми и сложными суждениями, состоит в том, что последние всегда могут быть сведены к первым, но обратное, конечно, неверно. В данной главе рассматриваются только простые суждения. Сложные суждения анализируются в главе, посвященной логике высказываний и предикатов. Любое простое суждение состоит из четырех функционально различных частей: 1) субъекта суждения — класса вещей, о котором нечто утверждается или отрицается; 2) предиката суждения — класса вещей, принадлежность субъекта к которому утверждается или отрицается; 3) утвердительной или отрицательной связки — «есть» или «не есть», соединяющей или разъединяющей субъект и предикат суждения; 4) знака количества - слов «все», «некоторые», «ни один», стоящих, как правило, перед субъектом суждения и указывающих на то, какая часть объема субъекта принадлежит или не принадлежит объему предиката. Субъект и предикат суждения называются его терминами и являются не чем иным, как логическим подлежащим и сказуемым соответственно. Их нельзя путать, конечно, с грамматическим подлежащим и сказуемым. В суждении «Люди же, воздающие равным за равное, не оскорбляют, а мстят» (Аристотель) субъектом является понятие «люди, воздающие равным за равное», а его предикатом — понятие «люди, не оскорбляющие, а мстящие». Грамматическим же подлежащим является слово «люди», а сказуемым — словосочетание «не оскорбляют, а мстят». Связка «есть» или «не есть» выражает качественный аспект суждения — его утвердительную или отрицательную форму соответственно. Синонимами слов «есть» и «не есть» служат соответственно глаголы «суть» и «не суть», «присуще» и «не присуще», «обладает» и «не обладает», «является» и «не является».
81 Слова «все», «некоторые», «ни один» характеризуют количественный аспект суждения — соотношение объемов субъекта и предиката. Синонимами слова «все» являются слова «всякий», «каждый». Слово «некоторые», как будет показано, не имеет однозначной интерпретации и его синонимами могут быть такие обороты, как «по крайней мере один или все», «существует», «по крайней мере один, но не все», «только некоторые». Синонимами слова «ни один (одна, одно)» служат слова «никто», «ничто», «ни за что», «нигде», «никогда». Суждение считается общим, если оно начинается со слов «все» или «ни один». Суждение является частным, если оно начинается со слова «некоторые». В общих суждениях по крайней мере субъект рассматривается во всем объеме. В частных суждениях, как будет показано, объем субъекта может определяться и полностью, и частично. Пусть А обозначает субъект суждения, В — его предикат. Комбинация качественных и количественных возможностей дает следующую классификацию простых суждений (рис. 1). Простыесуждения Утвердительные {А есть В) Отрицательные {А не есть В) Общие Частные Общие Частные (Все А есть В) (Некоторые (Ни одно А (Некоторые А А есть В) не есть В) не есть В) Рис. 1 Примером общеутвердительного суждения «Все А есть 5» является высказывание «Все люди хотят быть счастливыми». Высказывание «Я люблю читать детективы» также следует считать общеутвердительным, так как его субъект рассматривается во всем объеме. Все так называемые единичные суждения, субъект которых грамматически выражается единственным числом, с логической точки зрения являются общеутвердительными. Примером общеотрицательного суждения «Ни одно А не есть 5» является высказывание «Ни один человек не хочет быть несчастным». Примером частноутвердительного суждения «Некоторые А есть 5» является высказывание «Некоторые люди презирают опасности».
82 Примером частноотрицательного суждения «Некоторые А не есть является высказывание «Некоторые люди не боятся совершать смелые поступки». Каждое суждение может быть представлено в виде соотношения объемов его терминов. За исключением выделительных суждений (с частицей «только» перед субъектом), все остальные не имеют однозначного представления. Общеутвердительное суждение «Все А есть 5» может быть представлено двумя способами (рис. 2). Все А есть В А, В В А Рис. 2 Согласно первому способу (левая диаграмма рис. 2), объемы субъекта и предиката полностью совпадают. Это имеет место в двух случаях. Во- первых, когда суждение «Все А есть 5» представляет корректное определение субъекта А. Например, согласно Аристотелю, изобретательность «состоит в способности делать то, что направлено к предложенной цели, и достигать ее»30. Поскольку это корректное определение, объемы субъекта «способность, называемая изобретательностью» и предиката «способность делать то, что направлено к предложенной цели, и достигать ее» полностью совпадают. Во-вторых, объемы субъекта и предиката могут совпадать полностью, если предикат общеутвердительного суждения относится только к его субъекту. В этом случае подразумевается или присутствует явно частица «только» или ее грамматические эквиваленты. Например, если мы хотим приписать предикат «быть способным отличать добро от зла» человеку и только ему, то должны выразить эту мысль следующим образом: «Только человек способен отличать добро от зла». Структура подобных суждений, которые принято называть утвердительными общевыделительными, такова: «Только (все) А есть 5». Они представляют сложные суждения. Рассматриваемое выделительное суждение эквивалентно следующим двум простым суждениям: «Все А есть 5» и «Все В есть А» и истинно только тогда, когда они оба вместе истинны (соответственно ложно, если ложно хотя бы одно из них). Добавим, что суждение «Только А есть 5» эквивалентно суждению «Только —Л есть -гб». 30 Аристотель. Сочинения: В 4-х т. М., 1983. Т 4. - С. 189.
83 Отметим, что частица «только» всегда делает тот термин, к которому она относится, необходимым условием истинности другого термина этого же суждения. Если данная частица стоит перед субъектом общеутвердительного суждения, это означает, что субъект становится необходимым условием истинности предиката данного суждения, а поскольку предикат фактически или необходимо является таковым по условию, то в результате объемы субъекта и предиката полностью совпадают31. Если же частица «только» относится лишь к предикату, то суждение «Все А есть только 5» можно считать эквивалентным суждению «Все А есть 5», если и только если никаких иных терминов, кроме А и В, в рассматриваемом универсуме (то есть в его разбиении) не присутствует. В противном случае данные суждения могут оказаться не эквивалентными друг другу. Согласно второму способу представления (правая диаграмма рис. 2), объем субъекта полностью включен в объем предиката, но не равен ему. Этот вариант представления следует предпочитать в тех случаях, когда нет специального доказательства равнообъемности субъекта и предиката или когда очевидно, что объем субъекта составляет лишь часть объема предиката. Возьмем суждение «Дети любят мороженое». Оно не является определением, в нем не утверждается и не подразумевается, что только дети любят мороженое. Следовательно, объем предиката «люди, любящие мороженое» включает объем субъекта «Люди, являющиеся детьми», но не равен ему. Это означает, что, кроме детей, существуют люди других возрастных категорий, также любящие мороженое. В общеотрицательных суждениях термины несовместимы друг с другом. Поэтому их объемы не пересекаются. Однако общеотрицательные суждения можно различать по характеру несовместимости. Так, когда мы говорим, что «Ни одно А не есть 5», то это может означать или то, что А и В — противоречащие понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является недобрым», или то, что А и В — противоположные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является злым», или то, что А и В — соподчиненные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является равнодушным». Случай, когда А и В — противоречащие понятия, соответствует отрицательному общевыделительному суждению «Только А не есть 5» или, что то же, суждению «Только —Л не есть Все эти случаи отражены на рис. 3. 31 Более точное различие между выражениями «возможно присуще», «действительно присуще» и «необходимо присуще» требует введения модальных операторов. См. по этому поводу гл. 1У, 12.
84 Ни одно А не есть В А В А В Рис. 3 Слово «некоторые» в утвердительных суждениях может пониматься либо как «некоторые или все», либо как «некоторые, но не все», либо как «только некоторые». Все три варианта отражены на рис. 4, 5, 6 соответственно. Некоторые (или все) А есть В А, В В А А В А В Рис.4 Некоторые (но не все) А есть В А Л В А В Рис. 5 Только некоторые А есть В А ' В Рис. 6
85 Мысля «некоторые» как «некоторые или все», мы подразумеваем равную допустимость всех четырех случаев, указанных на рис. 4. Интерпретируя «некоторые» как «некоторые, но не все», мы мыслим равную допустимость только двух случаев, указанных на рис. 5. Только третий вариант интерпретации слова «некоторые» в утвердительных суждениях имеет однозначное представление: выделительное суждение «Только некоторые А есть 5» эквивалентно суждению «Все В есть А». Суждение «Некоторые из вас могут решить эту задачу» может пониматься или как «некоторые или все», если задачи подобного типа уже решались и техника их решения усвоена, или как «некоторые, но не все», если задачи подобного типа еще не решались и техника их решения неизвестна, или как «только некоторые», если все, способные решить эту задачу, находятся среди тех, кому предстоит ее решить. В отрицательных суждениях слово «некоторые» также может пониматься тройственным образом: либо как «некоторые или ни один», либо как «некоторые, но не ни один», либо как «только некоторые». Эти варианты приведены на рис. 7, 8, 9 соответственно. Из рис. 7-9 следует, что только третий вариант интерпретации слова «некоторые» в отрицательных суждениях имеет однозначное представление: суждение «Только некоторые А не есть 5» эквивалентно суждению «Все —\В есть А». Выбор среди этих вариантов диктуется контекстом или специальным анализом, как и для утвердительных суждений. Суждение «Некоторым из вас не решить эту задачу» может пониматься либо как «некоторые или ни один», если задача новая и трудная, либо как «некоторые, но не ни один», если задача простая или известная, либо как «только некоторые», если все, кто не способен решить эту задачу, находятся среди тех, кому она адресуется. Некоторые (или ни^одно) А не есть В А В А В А В А -,В А В Рис.7
86 Некоторые (но не ни одно) А не есть В А ^В А В Рис.8 Только некоторые А не есть В А Рис. 9 С целью придания выражаемой мысли необходимой точности очень часто в устной и письменной речи используются обороты «Все, за исключением...» и их всевозможные эквиваленты. Встает вопрос: можно ли подобные исключающие мысли выразить в терминах простых суждений? Несложный анализ показывает, что это возможно. Для этого достаточно, сохранив качественный и количественный параметры суждения, заменить субъект суждения на противоречащее (противоположное, соподчиненное) ему понятие, а предикат оставить без изменений. Ниже приведены образцы переводов исключающих суждений на язык простых суждений (над чертой — исключающее суждение, под чертой — результат перевода). Все, за исключением А, есть В. Все целые числа, за исключением нечет- ных, делятся на 2 без остатка. Все -лА есть В. Все четные числа делятся на 2 без остатка. Ни один, кроме А, не есть В. Никто, кроме вас, не способен сделать это. Ни один —А не есть В. Ни один человек, не являющийся вами, не способен сделать это
87 Некоторые, помимо А, есть В. Некоторые -лА есть В. Некоторые, кроме А, есть В. Некоторые яблоки, помимо привезенных на прошлой неделе, свежие и вкусные. Некоторые -Л не есть В. Некоторые яблоки, привезенные не на прошлой неделе, свежие и вкусные. Некоторые книги, кроме детективов, не легки для чтения. Некоторые книги, не являющиеся детективами, не легки для чтения. Выделительные и исключающие суждения не являются несовместимыми, что доказывают следующие схемы переводов этих видов суждений друг в друга (суждение над чертой эквивалентно обоим суждениям одновременно под чертой). Только А есть В. Ни один, кроме А, не есть В. Ни один, кроме В, не есть А. Только А не есть В. Все, кроме А, есть В. Ни один, кроме -ъб, не есть А, Только некоторые А есть В. Все, кроме А, не есть В, Некоторые, кроме В, не есть А, Только некоторые А не есть В. Все, кроме А, есть В, Ни один, кроме —ьб, не есть А. Приведем один содержательный пример: Только честные справедливы. Никто, кроме честных, не справедлив. Ни один, кроме справедливых, не честен. Из сказанного ясно, что всякое выделительное суждение можно выразить в терминах исключающих суждений. Но обратное в общем неверно.
88 Поэтому является ложным распространенное толкование, например, суждения «Ни один, кроме А, не есть 5» как «Только А есть 5». Первое из этих суждений может быть истинно, а второе тем не менее ложно (например, когда ложно частное суждение «Некоторые В не есть А»), 3. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ Как и понятия, суждения не совпадают со своим языковым выражением и требуют поэтому специального анализа для своей формулировки. Чтобы сформулировать понятие, его необходимо сконструировать. Чтобы сформулировать суждение, его надо, по выражению Л. Кэрролла, привести к нормальной форме, то есть указать в явном виде все его основные характеристики. Привести суждение к нормальной форме означает: 1. Установить, какое понятие является субъектом суждения. 2. Установить, какое понятие является предикатом суждения. 3. Определить универсум суждения — класс вещей, разновидностями которого являются субъект и предикат. 4. Заменить глагол, управляемый субъектом суждения, там, где это необходимо, сочетанием слов, начинающихся со слов «есть» или «не есть». 5. Определить знак количества суждений, то есть установить, с какого из слов «все», «ни один», «некоторые» должно начинаться суждение. 6. Расположить полученные сведения в порядке, в котором формулируются все простые суждения: знак количества— субъект — связка — предикат. Рассмотрим несколько примеров приведения суждений к нормальной форме. 1) Повинную голову и меч не сечет. 1. Субъект — «раскаявшийся». 2. Предикат — «подлежащий наказанию». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «не есть». 5. Знак количества — «ни один». 6. Ни один раскаявшийся человек не есть человек, подлежащий наказанию. 2) «Только там, где в составе населения средние (слои. — В. С. и К П.) имеют перевес либо над обеими крайностями, либо над одной из них, государственный строй может рассчитывать на устойчивость»32. 32 Аристотель. Сочинения: В 4-х т. Т. 4. М., 1983.-С. 511.
89 1. Субъект — «государственный строй, при котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них». 2. Предикат — «государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость». 3. Универсум — «государственный строй». 4. Связка — «не есть». 5. Знак количества — «ни один». 6. Ни один государственный строй, при котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них, не есть государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость. 3) Есть люди, которые любят только себя. 1. Субъект — «люди». 2. Предикат — «любящие только себя». 3. Универсум — «живые существа». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «некоторые». 6. Некоторые живые существа, являющиеся людьми, есть живые существа, любящие только себя. 4) 5 больше 4, но меньше 6. 1. Субъект — «равные 5». 2. Предикат — «больше 4, но меньше 6». 3. Универсум — «натуральные числа». 4. Знак количества — «все». 6. Все натуральные числа, равные 5, есть числа, которые больше 4, но меньше 6. 5) Люблю грозу в начале мая. 1. Субъект — «называющий себя "я"». 2. Предикат — «любящие грозу в начале мая». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «все». 6. Все люди, называющие себя «я», есть люди, любящие грозу в начале мая. 6) Лишь несколько дней стояла этой осенью теплая и солнечная погода. 1. Субъект — «дни этой осени». 2. Предикат — «теплые и солнечные дни». 3. Универсум — «дни». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «некоторые». 6. Только некоторые дни этой осени есть дни, которые были теплыми и солнечными.
90 7) Не всегда можно положиться на этого человека. 1. Субъект — «этот человек». 2. Предикат — «человек, на которого не всегда можно положиться». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «все». 6. Все люди, называемые «этот человек», есть люди, на которых не всегда можно положиться. 8) Никогда не говори «никогда». 1 Субъект — «житейская ситуация». 2. Предикат — «ситуация, в которой следует говорить "никогда"». 3. Универсум — «ситуация». 4. Связка — «не есть». 5. Знак количества — «ни один». 6. Ни одна житейская ситуация не есть ситуация, в которой следует говорить «никогда». 9) «Лишь самые умные и самые глупые не могут измениться» (КонфуцийK3. 1. Субъект — «самые умные и самые глупые». 2. Предикат — «которые не могут измениться». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «все». 6. Только (все) самые умные и самые глупые есть люди, которые не могут измениться. Рассмотренные примеры показывают, что к нормальной форме приводимы не только простые, но и сложные суждения (примеры 2, 4, 6, 9) имеющие несколько субъектов или предикатов. Умение приводить к нормальной форме необходимо не только для прояснения логической структуры суждений, но также для их правильных логических преобразований и, в конечном счете, для построения правильных умозаключений. 4. ЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУЖДЕНИЙ Каждое суждение выражает некоторое отношение и тем самым некоторый вид упорядоченности, различия, асимметрии мыслимых вещей. Для суждения равенства данное утверждение также справедливо, так как любое равенство определяется в терминах соответствующих неравенств. Сказать, 33 Древнекитайская философия: В 2-х т. Т. 1. М., 1972. - С. 171.
91 что А и В — люди одинакового ума, равносильно сказать, что А умнее (глупее) В и В умнее (глупее) А одновременно. Асимметричная природа простых суждений заставляет различать два вида отрицания: 1) отрицание как построение дополнения и 2) отрицание как снятие различия, то есть построение симметричного исходному суждения. Отрицание суждения «А умнее 5» в первом смысле дает нам суждение «Неверно, что А умнее 5», что равносильно суждению «А не умнее 5». Суждения, находящиеся в отношении дополнения, образуют, как известно, противоречие и, следовательно, не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Отрицание суждения «А умнее 5» во втором смысле дает нам суждение «5 умнее А». Из обоих суждений следует с необходимостью истинность суждения равенства «А и В умны в одинаковой степени». Таким образом, суждения, отрицающие друг друга в первом смысле, вместе образуют противоречие, тогда как суждения, отрицающие друг друга во втором смысле и одновременно истинные, образуют суждение равенства. В этом состоит фундаментальное различие между обоими видами отрицания. Различие и взаимосвязь обоих видов отрицания суждений определяют особенности логических преобразований последних. Логические преобразования суждения позволяют понять его как целостную мысль, порождаемую определенным множеством обратимых трансформаций его частей — субъекта и предиката. Основу логических преобразований суждений составляет умение находить дополнение субъекта или предиката и фиксировать прямое и обратное отношение между субъектом и предикатом. Чтобы определить, какие преобразования необходимы и вместе с тем достаточны для понимания суждения как целостной мысли, рассмотрим возможные отношения между субъектом и предикатом (рис. 10). D) Рис. 10 Отношения A) и B), с одной стороны, C) и D) — с другой, различаются лишь обратным направлением упорядоченности. Такие отношения принято называть обратными. Если прямое и обратное отношения, выражаемые некоторым общеутвердительным суждением, совпадают, тогда субъект и предикат эквивалентны друг другу, то есть мы имеем дело с суждением равенства (объемов).
92 Логическое преобразование, позволяющее по данному отношению субъекта к предикату (предиката к субъекту) находить ему обратное отношение предиката к субъекту (субъекта к предикату), принято называть обращением. Отношения A) и C) различаются между собой тем, что связывают один и тот же субъект с несовместимыми (противоречащими, противоположными или соподчиненными) предикатами. Если субъект находится в некотором отношении к предикату (дополнению предиката), тогда он всегда находится в определенном отношении несовместимости с дополнением этого предиката (предикатом). Логическое преобразование, позволяющее по данному отношению субъекта к предикату (дополнению предиката) находить отношение этого лее субъекта к дополнению предиката (предикату), принято называть превращением. Отношения A) и D) различаются между собою не только обратным направлением упорядоченности, но и тем, что связывают субъект с несовместимыми друг с другом предикатами. Следовательно, данный случай синтезирует два предыдущих. Мы будем говорить, что отношения A) и D) образуют противопоставление, или контрапозицию. Логическое преобразование, позволяющее по данному отношению находить ему противостоящее, принято называть противопоставлением (контр апозицией). Чтобы получить противопоставление, достаточно, как следует из рис. 10, выполнить превращение и обращение в указанном порядке. Самый важный результат состоит в том, что указанных трех преобразований, за некоторым исключением, достаточно для конструирования из данного суждения, выражающего некоторое отношение между субъектом и предикатом, суждений, выражающих все остальные отношения между его терминами. Учитывая производный характер противопоставления, необходимыми преобразованиями являются только превращение и обращение. Это полностью соответствует двум видам отрицания простых суждений. Таким образом, понимать простое суждение как некоторую целостность, как инвариант своих частей означает уметь подвергать его указанным трем преобразованиям. Рассмотрим их последовательно. Превращение Всякое отношение субъекта суждения к предикату уравновешивается его определенным отношением к дополнению этого же предиката. Если я знаю, что интересующая меня книга лежит на моем письменном столе, то я должен также знать, что этой книги нет во всех местах, которые не являются моим письменным столом. Обратно, если я знаю, что нужная книга
93 находится в комнате, но ее нет во всех местах, которые не являются моим письменным столом, то я должен знать, что она находится на моем письменном столе. Иными словами, если некоторый предикат принадлежит субъекту, то должно быть истинно, что дополнение этого предиката не принадлежит данному субъекту полностью или частично. Превращение представляет преобразование, позволяющее по известному отношению субъекта к предикату определять отношение субъекта к дополнению этого предиката (или наоборот). С его помощью мы можем одну и ту же мысль выразить как в утвердительной, так и в отрицательной форме. Данное преобразование стирает, следовательно, жесткую грань между утверждением и отрицанием. Для совершения превращения необходимо и достаточно заменить на противоречащие связку и предикат данного суждения, оставив его количественную характеристику без изменения. Все общеутвердительные суждения превращаются в общеотрицательные, и наоборот (горизонтальная черта отделяет суждения, находящиеся в отношении превращения). Все А есть В. Каждому из нас свойственно любить кого- нибудь Ни одно А не есть -.5. Ни одному из нас не свойственно не любить кого-нибудь. Все А есть Каждому из нас свойственно не любить каждого. Ни одно А не есть В. Ни одному из нас не свойственно любить каждого. Все —и4 есть В. Все неудачники любят ссылаться на обстоятельства. Ни одно -лА не есть Ни один неудачник не любит не ссылаться на обстоятельства. Все -тА есть Все неудачники любят обвинять не себя. Ни одно —Л не есть В. Ни один неудачник не любит обвинять себя. Для общеутвердительных суждений с частицей «только» приведем один пример:
Только А есть В. 94 Только новые горы могут быть лучше ста- рых гор. Ни одно А не есть —&. Только новые горы не могут не быть лучше старых гор. Все частноутвердительные суждения превращаются в частноотрица- тельные суждения, и наоборот. Некоторые А есть В. Некоторым из нас свойственно ошибаться. Некоторые А Некоторые из нас не свойственно не оши- не есть S. баться. Некоторые А есть Некоторым из нас свойственно не ошибаться. Некоторые А не есть В, Некоторые из нас не свойственно ошибаться. Некоторые —Л есть В. Некоторые неправильные решения нам дорого обходятся. Некоторые —А не есть —&. Некоторые неправильные решения не являются для нас дешевыми. Некоторые —Л есть Некоторые неправильные решения непростительны. Некоторые —А не есть В. Некоторые неправильные решения нельзя простить. Для частных суждений с частицей «только» приведем один пример: Только некоторые А есть В. Только некоторым из нас улыбается счастье. Только некоторые А не есть —ьб. Только некоторые из нас не являются теми, кому не улыбается счастье.
95 Из приведенных примеров следует, что превращение представляет симметричное преобразование. Причина подобной симметрии в том, что замена связки на противоречащую ей равносильна замене предиката на несовместимый (противоречащий, противоположный или соподчиненный) с ним. Следовательно, если осуществить обе замены, то мы снова получим исходное суждение по принципу «отрицание отрицания дает утверждение». Превращение позволяет любое утвердительное суждение выразить в отрицательной форме, и наоборот. Знание данного преобразования усиливает выразительные возможности нашего языка и стирает, как отмечалось, жесткое различие между утверждением и отрицанием. Обращение Каждое отношение имеет не всегда совпадающее с ним и не всегда следующее из него с необходимостью обратное отношение. Из того, что 3 больше 2, следует, что 2 меньше 3. Но из того факта, что я люблю кого-то, не следует с необходимостью, что этот кто-то также любит меня. В первом примере прямое и обратное отношения не совпадают, но обуславливают значение истинности друг друга. Если одно из них истинно (ложно), то и другое обязательно истинно (ложно). Во втором примере прямое отношение никак не определяет значение истинности обратного отношения (последнее может быть как истинным, так и ложным). Анализ логического содержания суждения не может считаться поэтому полным, если не известно прямое отношение субъекта к предикату и обратное отношение предиката с субъекту. В широком смысле только гармоничный синтез прямых и обратных отношений обеспечивает устойчивость существования каждой вещи, включая и человека Обращение представляет преобразование, позволяющее по известному отношению субъекта к предикату находить ему обратное. Для обращения необходимо и достаточно поменять субъект и предикат данного суждения местами и там, где это необходимо, изменить знак его количества. Обращение общеутвердительных суждений распадается на два случая. Если объемы субъекта и предиката совпадают полностью, то обратное отношение предиката к субъекту совпадает с исходным отношением субъекта к предикату. Если же объем предиката больше объема субъекта, то обратное отношение предиката к субъекту формулируется в виде частно- утвердительного суждения. 7. Объемы субъекта и предиката совпадают полностью. Только А есть В. Только приятное быстро кончается. Только В не есть А. Только то, что быстро кончается, приятно.
96 Только некоторые А Лишь человек не может примириться с тем, есть -iB. что у кого-то есть преимущество перед ним. Только некоторые Лишь не способные примириться с тем, что . у кого-то есть преимущество перед ними, есть люди. Только некоторые Только будучи немолодым, начинаешь по- -лА есть В. нимать, сколько упущено возможностей. Только некоторые Только те, кто начинает понимать, сколько В не есть —А. упущено возможностей, уже не молоды. Только некоторые —А Только не умеющие любить, не спо- есть —\В. собны на великодушие. Только некоторые S не Только те, кто не способен на велико- есть -тА. душие, не умеют любить. 2. Объем предиката включает объем субъекта, но не равен ему. Все А есть В. Все осенние дни в этом году пасмурные. Некоторые В Некоторые пасмурные дни в этом году выдались есть А. осенью. Все А есть Умные люди не выставляют перед дру- гими свои преимущества. Некоторые —лВ есть А Некоторые из тех, кто не выставляет перед другими свои преимущества, — умные люди. Все -лА есть В. Все нечестные люди трусливы. Некоторые В есть —А. Некоторые из трусливых людей нечестны. Все —А есть —\В. Для не знающего, куда плыть, нет по- путного ветра. Некоторые —& есть —А. Некоторые, не имеющие попутного ветра, не знают, куда плыть. Обращение общеотрицательных суждений является симметричным преобразованием.
97 Ни одно А не есть В. Ни одно доброе дело не забывается. Ни одно В не есть А. Ни одно забываемое дело не является добрым. Ни одно А не есть S. Ни одна печаль не беспричинна. Ни одно —& не есть А, Ни одно беспричинное состояние не является печалью. Ни одно —А не есть В. Ни один не потерянный даром день не напрасен Ни одно В не есть —А. Ни один пустой день не является непотерянным. Ни одно -лА не есть —лВ. Ни одна неприятность не беспроблемна. Ни одно —& не есть -лА. Ни одна беспроблемная ситуация не является неприятной. Обращение частноутвердительных суждений разделяется на три случая в соответствии с интерпретацией слова «некоторые»: 1) некоторые или все; 2) некоторые, но не все; 3) только некоторые. В первом случае обратное отношение совпадает с исходным, во втором и третьем нет. Приведем по одному примеру для каждого из трех случаев. Некоторые (или все) Некоторые молодые люди любят шутить. А есть В. Некоторые (или все) Некоторые любители шуток молоды. В есть А. Некоторые (но не все А) есть В. Некоторые молодые люди любят клас- сическую музыку, а некоторые нет. Некоторые (или все) В есть А. Некоторые любители классической — музыки молодые люди.
Только некоторые А есть В. 98 Только несколько мгновений длится наше счастье. Все В есть А. Наше счастье — мгновение . Частноотрицательные суждения, как правило, не обращаются. Причина в том, что простая перестановка местами субъекта и предиката искажает смысл исходного суждения. Например, ложно следующее обращение (мошенниками могут быть только люди): Некоторые люди не являются мошенниками. Некоторые мошенники — не люди. Преодолеть данное затруднение можно, если частноотрицательное суждение сначала превратить в частноутвердительное, перенеся отрицание со связки на предикат, и только затем совершить обращение и новое превращение для приведения к соответствию результата обращения исходному суждению. Например: 1. Некоторые люди не являются мошенниками (допущение). 2. Некоторые люди есть немошенники. A, превращение). 3. Некоторые немошенники есть люди. B, обращение). 4. Некоторые немошенники не есть нелюди C, превращение; обращение первого суждения). Первое и четвертое суждения находятся в отношении обращения, и, как будет показано ниже, противопоставления также. Обращение выделительных частноотрицательных суждений также допустимо согласно указанному способу. Например: Только некоторые люди не являются мошенниками. Все немошенники — люди. Рассмотренные примеры убеждают, что полное понимание смысла простого суждения требует его обязательного обращения. Причина этого в асимметричной природе большинства простых суждений, требующих как прямого, так и обратного «прочтения» их содержания. Отношение субъекта к предикату уравновешивается, таким образом, не только определенным отношением субъекта к дополнению предиката, но также обратным отношением предиката к субъекту. Существует логи-
99 ческое преобразование, объединяющее превращение и обращение в одно и синтезирующее тем самым все указанные отношения субъекта и предиката. Оно называется противопоставлением, или контрапозицией. Противопоставление (контрапозиция) Каждое отношение субъекта к предикату порождает определенное отношение дополнения предиката к субъекту. Если в данный момент я нахожусь в библиотеке и читаю «Книгу перемен», то все люди, находящиеся в этой библиотеке, но не читающие эту книгу, не являются мною. Данное преобразование является основной логической схемой рассуждения ученых, медиков и сыщиков: если истинно предположение //, то должны быть истинны следствия (симптомы, улики, факты) Е; но, как оказалось или было доказано, следствия Е ложны; значит, сделанное предположение Н также ложно. Но обычные люди также рассуждают аналогичным образом: например, если вчера был вторник, значит, сегодня должна быть среда; но сегодня не среда. Следовательно, вчера был не вторник. Из рис. 10 следует, что для того, чтобы получить противопоставление, необходимо сначала совершить превращение и только затем обращение. К этой последовательности мы добавим еще одно превращение, чтобы получить суждение, противостоящее исходному, но совпадающее с ним своим качеством. Полная формула противопоставления, следовательно, такова: Противопоставление = превращение + обращение + превращение. Порядок, в котором должны совершаться преобразования слева от знака равенства, является существенным. Все другие комбинации не дают противопоставления. Сравним в этой связи две последовательности преобразований: 1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение). 2. Ни один храбрый человек не есть человек, не пользующийся уважением A, превращение). 3. Ни один человек, не пользующийся уважением, не является храбрым B, обращение). 4. Все не пользующиеся уважением — нехрабрые люди C, превращение; противопоставление первого суждения). В приведенной последовательности первый и четвертый члены (суждения) находятся в отношении противопоставления. Но этого нельзя сказать о следующей последовательности преобразований: 1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение). 2. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди A, обращение). 3. Некоторые из пользующихся уважением не являются нехрабрыми людьми B, превращение).
100 4. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди C, превращение). Причиной отсутствия противопоставления во второй последовательности является некоммутативность в общем случае превращения и обращения, то есть их чувствительность к порядку выполнения. Рассмотрим примеры противопоставления разных видов суждений. 1. Общеутвердительные суждения Для общеутвердительных суждений, у которых объем предиката больше объема субъекта, имеем следующие примеры. Все А есть В. Все кошки грациозны. Все —\В есть -тА. Все неграциозные животные — не кошки. Все А есть —iff. Настоящие друзья не разлучаются Все В есть —А. Все, кто разлучаются, не настоящие друзья. Все —А есть В. Все неудачники любят обвинять не себя Все —\В есть^4. Все не любящие обвинять не себя, — удачливые люди. Все —А есть -iB. Несладкие булочки всегда невкусные. Все В есть А, Вкусные булочки всегда сладкие. Для общеутвердительных суждений, у которых субъект и предикат эквивалентны, противопоставляется не только субъект отрицанию предиката, но и предикат отрицанию субъекта. Только А есть В. Только лягушки квакают. Все —лВ есть —А. Все неквакающие — не лягушки. Все —А есть -lS. Все не лягушки не квакают. Только А есть -гб. Только влюбленные не замечают часов. Все В есть —А. Все замечающие часы — не влюбленные. Все -А есть В, Все невлюбленные замечают часы Только -лА есть В. Только неблагодарность достойна презрения. Все -iB есть А, Все не достойное презрения —благодарность.
101 Все А есть —.5. Благодарность не достойна презрения Только —А есть —\В. Только нехотящие суть незнающие. Все В есть А. Все знающие есть хотящие. Все А есть 5. Все хотящие есть знающие Противопоставление общеутвердительных суждений выявляет следующую закономерность. Если истинно, что субъект обладает некоторым признаком, обозначаемым предикатом, тогда должно быть истинно, что противоречащий ему признак присущ только дополнению субъекта. 2. Частноутвердительные суждения Частноутвердительные суждения противопоставлению, как правило, не подвергаются. Но использование общей формулы противопоставления позволяет применять данное преобразование и к частноутвердительным суждениям. Результат противопоставления в этом случае совпадает с результатом обращения. Например, из суждения «Некоторые А есть 5» мы можем получить только суждение «Некоторые В есть А». Для выделительных частноутвердительных суждений сказанное также истинно. Следовательно, для любых частных суждений обращение и противопоставление представляют тождественные преобразования. 3. Общеотрицательные суждения Противопоставление общеотрицательных суждений совершается по схеме: 1. Ни одно А не есть В (допущение). 2. Все А есть —& A, превращение). 3. Некоторые —& есть А B, обращение). 4. Некоторые —& не есть —Л C, превращение; противопоставление первого суждения). Противопоставление, совершаемое по данной схеме, называется противопоставлением с ограничением, так как в этом преобразовании посылка (допущение) общая, а заключение частное. Рассмотрим несколько примеров противопоставления с ограничением. Ни один рак не щука. Некоторые не щуки — не раки. Ни одно доброе дело не забывается. Некоторые незабываемые дела не являются недобрыми.
102 Ни одно излишество не полезно. Некоторые неполезные страсти не являются умеренными. Ни одно нужное дело не стоит откладывать. Некоторые дела, которые не стоит откладывать, не являются ненужными. 4. Частноотрицательные суждения Противопоставление частноотрицательных суждений совершается по схеме: 1. Некоторые А не есть В (допущение). 2. Некоторые А есть —& A, превращение). 3. Некоторые В есть А B, обращение). 4. Некоторые —лВ не есть -ъ4 C, превращение; противопоставление первого суждения). Рассмотрим несколько примеров. Некоторые А есть В. Некоторые удовольствия не необходимы. Некоторые S не есть —А. Некоторые ненеобходимые ощущения не являются неудовольствиями. Некоторые А не есть Некоторые наши шаги не являются преждевременными Некоторые В есть —А. Некоторые преждевременные действия не наши шаги. Некоторые —А не есть В. Некоторая небрежность в одежде не случайна. Некоторые —? не есть А. Некоторые неслучайности не относятся к порядку в одежде. Некоторые —А не есть Некоторые лгуны не счастливы. Некоторые В не есть А, Некоторые несчастливые не правдивы.
103 В качестве заключения попробуем конкретизировать высказанный ранее тезис о необходимости рассмотренных преобразований для понимания суждения как целостной мысли. Асимметричная природа простых суждений является той причиной, которая вынуждает нас искать для данного отношения субъекта к предикату целый ряд уравновешивающих его и тем самым создающих целостную картину отношений. Как нельзя понимать полностью сложение без вычитания или наоборот, так нельзя понимать суждение без превращения, обращения и противопоставления его терминов. Смысл данных преобразований и состоит в том, чтобы посредством перегруппировки частей суждения составить мнение о его содержании в целом. Следует, однако, указать на формальную недостаточность этих преобразований в достижении указанной цели. Как уже отмечалось, превращение и обращение не коммутативные преобразования. Противопоставление суждений также не является однозначным преобразованием, так как определяется в терминах превращения и обращения. Эти и другие ограничения свидетельствуют, что изученные преобразования еще не составляют группу симметричных преобразований содержания суждения и поэтому допускают его частичную утрату или искажение. Требуется, по- видимому, более полная теория простых суждений. 5. СОВМЕСТИМЫЕ И НЕСОВМЕСТИМЫЕ СУЖДЕНИЯ. ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ Суждения, как и понятия, могут быть совместимыми и несовместимыми. Напомним: совместимость может быть как по истине, так и по лжи; то же и для несовместимости. Суждения полностью совместимы, если они могут быть вместе как истинны, так и ложны. Суждения частично совместимы, если они могут быть вместе только истинны. Суждения полностью несовместимы, если они не могут быть вместе истинны или ложны. Суждения частично несовместимы, если они не могут быть вместе истинны. Имеется несколько случаев совместимости и несовместимости суждений. Рассмотрим их последовательно. Любые два суждения совместимы полностью, если они эквивалентны, то есть каждое из них является необходимым следствием истинности (ложности, неопределенности) другого. Эквивалентные суждения, как и понятия, имеют одинаковый объем и одинаковое содержание^. 34 О вычислении содержаний и объемов суждений см. гл. ГУ, 2. Напоминаем: элементы (классы) объема указывают условия истинности, а элементы (классы) содержания — условия ложности рассматриваемого предмета мысли.
104 Из приведенного определения следует, что эквивалентные суждения вместе либо истинны, либо ложны, либо неопределенны. С помощью превращения, обращения и контрапозиции из данных суждений можно получать им эквивалентные, если эти преобразования совершаются без ограничений по количеству (примеры см. выше для соответствующих преобразований). Любые два суждения совместимы полностью, если только одно из них является необходимым следствием истинности (ложности) другого. Суждение, истинность которого определяет истинность другого суждения принято называть подчиняющим, а суждение, истинность которого зависит от истинности другого суждения, принято называть подчиненным. Подчиняющее и подчиненное суждения связаны асимметричным образом в следующем смысле. Объем подчиняющего суждения полностью включен в объем подчиненного суждения, а содержание подчиненного суждения является частью содержания подчиняющего суждения. По этой причине из истинности подчиняющего суждения всегда следует истинность подчиненного, но обратное в общем неверно. Наоборот, из ложности подчиненного суждения всегда следует ложность подчиняющего, но обратное также в общем неверно. Все частные суждения являются необходимым следствием подчиняющих их общих суждений. Простые общие суждения представляют следствие подчиняющих их общевыделительных суждений. Обратные следования, конечно, неверны. (Ниже приведены примеры односторонних следований, число которых может быть увеличено за счет превращения, обращения и контрапозиции.) Из «Все А есть 5» следует «Некоторые А есть 5» и «Некоторые —А есть —ь8». Из «Все А есть —¦#» следует «Некоторые А есть —lS» «Некоторые —А есть 5». Из «Все -лА есть 5» следует «Некоторые —\А есть 5» и «Некоторые А есть —\В». Из «Только А есть 5» следует «Все А есть 5», «Все -А есть —¦?», «Некоторые А есть 5», «Некоторые —\А есть —lS» и «Только некоторые А есть 5». Из «Только А есть —?» следует «Все А есть —15», «Все —\А есть 5», «Некоторые А есть —lS», «Некоторые —\А есть 5» и «Только некоторые А есть —lS». Например, из истинности общего суждения «Все дни на прошлой неделе были пасмурными» следует истинность суждения «Некоторые дни на прошлой неделе были пасмурными», но обратное утверждение не является необходимо истинным. Аналогично из истинности общевыделительного суждения «Только ящики моего стола не закрываются» следует ис-
105 тинность суждения «Ни один ящик моего стола не закрывается», а также следует истинность суждения «Некоторые ящики моего стола не закрываются». Из ложности частного суждения «Некоторые ящики моего стола не закрываются» следует ложность общего суждения «Ни один ящик моего стола не закрывается», а также следует ложность общевыделительного суждения «Только ящики моего стола не закрываются». Соответственно из ложности подчиняющих суждений не следует с необходимостью ложность подчиненных им простых и частных суждений. Если суждение «Только на стульях в этой комнате нельзя сидеть» ложно, то значение истинности таких суждений, как «Ни на одном из стульев в этой комнате нельзя сидеть» и «На некоторых из стульев в этой комнате нельзя сидеть» остается неопределенным. Любые два суждения совместимы полностью, если они независимы, то есть когда значение истинности любого одного из них никак не определяет значение истинности другого. Объемы и содержания таких понятий частично пересекаются. Из приведенного определения следует, что независимые суждения, как и понятия, могут быть истинны и ложны в любой комбинации. Следовательно, из истинности или ложности любого одного из независимых суждений не следует с необходимостью ни истинность, ни ложность всех остальных. Частичное пересечение содержаний независимых суждений говорит о том, что они могут быть вместе ложны, а частичное пересечение их объемов, что они могут быть вместе истинны. Независимыми являются, например, следующие пары суждений (в симметричном универсуме35): а) «Некоторые А есть 5» и «Некоторые —\А есть 5»; б) «Некоторые А есть 5» и «Некоторые -ъ4 есть —¦?»; в) «Некоторые А есть —&у> и «Некоторые —Л есть г) «Некоторые А есть —&» и «Некоторые —Л есть д) «Все А есть 5» и «Все —\А есть -ъВ»; е) «Все А есть —?» и «Все —\А есть ж) «Все -лА есть 5» и «Все —Л есть Число примеров независимых суждений легко увеличить за счет превращения, обращения и контрапозиции указанных. В симметричном универсуме не является независимой такая пара суждений, как «Все А есть 5» и «Все —Л есть 5». Причина этого в том, что логическое следствие первого из них — суждение «Некоторые —\А есть —iB» опровергает второе, а логическое следствие второго из них — суждение «Некоторые А есть —¦?» опровергает первое. Следовательно, оба этих 35 То есть в универсуме, в котором для эквивалентных суждений выполняются все законы логического квадрата. Более подробно об этом см. гл. 1У, 2.
106 суждения не могут быть вместе истинны. Значит, они не являются независимыми. К независимым следует отнести также суждения с разными универсумами. Например, независимыми являются суждения Л. Кэрролла «Незрелый художник не напишет ничего подлинно ценного» и «Некоторые картины свидетельствуют о зрелости их авторов», потому что универсум первого из них состоит из художников, а универсум второго — из произведений живописи. Любые два суждения совместимы частично, если они могут быть вместе истинны, но не могут быть вместе ложными (то есть они совместимы только по истине). Объемы таких понятий частично пересекаются, а содержания нет. Данный вид совместимости характерен для частных суждений, отличающихся друг от друга лишь качеством: а) «Некоторые А есть 5» и «Некоторые А не есть 5»; б) «Только некоторые А есть 5» и «Только некоторые А не есть 5». Например, суждения «Некоторые напитки утоляют жажду» и «Некоторые напитки не утоляют жажду» не следуют друг из друга, но могут быть вместе истинны. Однако частично совместимые суждения не могут быть вместе ложными, потому что противоречащие им общие суждения не могут быть вместе истинными. Несовместимость простых суждений делится на три вида. Любые два суждения несовместимы полностью, если и только если они не могут быть вместе ни истинны, ни ложны, то есть образуют противоречие. Ни объемы, ни содержания таких противоречащих суждений не пересекаются. Из приведенного определения следует, что объем каждого из таких суждений образует содержание противоречащего ему суждения, а содержание каждого их них — объем противоречащего ему суждения соответственно. Противоречащим данному суждению будет это же суждение, предваряемое словами «Неверно, что...». Эти слова порождают внешнее отрицание суждения, которое всегда может быть внесено вовнутрь отрицаемого суждения по следующей схеме (с произвольным распределением знаков отрицания субъекта и предиката): «Неверно, что все А есть 5» равносильно «Некоторые А не есть 5». «Неверно, что некоторые А есть 5» равносильно «Ни одно А не есть «Неверно, что некоторые А не есть 5» равносильно «Все А есть «Неверно, что ни одно А не есть 5» равносильно «Некоторые А есть
107 «Неверно, что только А есть 5» равносильно «Только некоторые А не есть «Неверно, что только некоторые А есть 5» равносильно «Только А не есть 5». «Неверно, что только некоторые А не есть 5» равносильно «Только А есть 5». «Неверно, что только А не есть 5» равносильно «Только некоторые А есть 5». «Неверно, что все, кроме А, есть 5» равносильно «Некоторые, кроме А, не есть 5» и «Некоторые —Л не есть 5». «Неверно, что некоторые, кроме А, есть 5» равносильно «Ни один, кроме А, не есть 5» и «Ни один —Л не есть 5». «Неверно, что некоторые, кроме А, не есть 5» равносильно «Все, кроме А, есть 5» и «Все -ъ4 есть 5». «Неверно, что ни один, кроме А, не есть 5» равносильно «Некоторые, кроме А, есть 5» и «Некоторые —Л есть 5». Напомним, что как для совместимых, так и для несовместимых суждений требуется, чтобы они состояли из одинаковых терминов. Это условие обязательно для выделительных и исключающих суждений также. Для выполнения отношения противоречия между выделительными суждениями в указанной интерпретации необходимы дополнительные условия, о которых речь пойдет ниже. В качестве примера противоречащих суждений можно привести следующие: «Все рыболовы любят преувеличивать свои достижения» и «Некоторые рыболовы не любят преувеличивать свои достижения»; «Ни одно путешествие не обходится без приключений» и «Некоторые путешествия обходятся без приключений»; «Только эти картины написаны мастером» и «Некоторые, но не все, из этих картин или только они не написаны мастером»; «Только эти часы не ходят точно» и «Некоторые, но не все, из этих часов или только они ходят точно»; «Все задачи, кроме логических, мне скучны» и «Некоторые задачи, кроме логических, мне не скучны»; «Ни один ребенок, кроме моих собственных, не пристает ко мне с вопросами» и «Некоторые дети, кроме моих собственных, пристают ко мне с вопросами». Любые два суждения несовместимы частично, если они не могут быть вместе истинны, но могут быть оба ложны (то есть они совместимы только по лжи). Такой вид несовместимости порождается противоположностью или соподчинением. Объемы противоположных и соподчиненных суждений не пересекаются, а содержания пересекаются, что и объясняет их свойства. Для противоположных и соподчиненных суждений, как для противоположных и соподчиненных понятий, всегда существует третья возможность истинности.
108 Противоположными суждениями могут быть только общие суждения с одинаковыми терминами и противоречащими связками. Противоположными суждениями в симметричном универсуме являются: а) «Все А есть 5» и «Все А есть —¦?»; б) «Все А есть 5» и «Все —Л есть 5»; в) «Все А есть —&» и «Все —\А есть —S»; г) «Только некоторые А есть 5» и «Только некоторые А есть д) «Только А есть 5» и «Только А есть е) «Только А есть 5» и «Только -ъ4 есть Так, противоположны следующие пары суждений: «Всякое страдание есть зло» и «Ни одно страдание не есть зло»; «Только люди улыбаются» и «Только люди не улыбаются»; «Все люди, за исключением мудрецов, стремятся к славе» и «Все люди, за исключением мудрецов, не стремятся к славе». Если оба противоположных суждения ложны, тогда истинны вместе противоречащие им частные суждения. Например, очевидно ложной является первая пара противоположных суждений. Соответственно одновременно истинны следующие частные суждения, противоречащие общим: «Некоторое страдание есть зло» и «Некоторое страдание не есть зло». В отношении соподчинения находятся несовместимые суждения, одно из которых является простым, а другое входит в качестве части в какое- нибудь сложное (выделительное) суждение. Соподчиненными в симметричном универсуме являются следующие суждения: а) «Только некоторые А есть 5» и «Некоторые —Л есть 5»; б) «Только некоторые А есть —&» и «Некоторые —\А есть —\В»\ в) «Только А есть 5» и «Некоторые А есть —ьб», «Некоторые —Л есть «Все А есть —ь8», «Все —Л есть 5»; г) «Только А есть —S» и «Некоторые А есть 5», «Некоторые —Л есть , «Все А есть 5», и «Все —Л есть —&». Например, в отношении соподчинения находятся суждения «Только мудрость добродетельна» и «Существует мудрость, не являющаяся добродетелью» или «Ни одна мудрость не добродетельна». Допустим, сравниваемые суждения состоят из терминов, обозначающих одни и те же классы общего для них универсума. Тогда простой методической схемой, позволяющей для любого суждения находить совместимые (кроме независимых) и несовместимые (кроме соподчиненных) с ним суждения, является логический квадрат (рис. и).
109 ъ с о Противоположность Все S есть Р ^ Ни Подчинение Некоторые S есть Частичная совместимость одно 5 не есть Подчинение Некоторые S не есть Р Рис. И 1. Противоречащие (полностью несовместимые) суждения соединяются диагоналями (левой и правой); 2. Противополоэюные (частично несовместимые) суждения соединяются верхней горизонтальной линией; 3. Суждения, подчиняющие друг друга (полностью совместимые), соединяются левой и правой вертикальными линиями (верхнее суждение подчиняет нижнее); 4. Частично совместимые (по истине) суждения соединяются нижней горизонтальной линией. Независимые, а также соподчиненные суждения, как следует из их определения, сравнивать с помощью логического квадрата нельзя. Пусть знаки иу л, ? обозначают соответственно истину, ложь и неопределенность рассматриваемого суждения. Пусть знаки и и л, выделенные полужирным шрифтом, обозначают значения истины и лжи, задаваемые по условию. Тогда в зависимости от того, какое суждение, расположенное на одной из вершин логического квадрата, истинно, ложно или неопределенно по условию, возникают различные распределения значений истинности: и л и
по л и и л Логический квадрат вместе с превращением, обращением и противопоставлением позволяет решать и более общую задачу — вычисление значений истинности произвольного множества суждений, если известна истинность или ложность одного из сравниваемых суждений. Для этого с помощью указанных преобразований все сравниваемые суждения сначала приводятся к виду, эквивалентному исходным суждениям, но удобному для использования логического квадрата (субъекты и предикаты суждений стоят на одинаковых местах). Затем методом попарного сравнения определяется, какие суждения эквивалентны, частично совместимы, противоречат, противоположны или соподчинены и независимы друг от друга. Наконец, на основании установленных отношений между суждениями вычисляются значения истинности самих суждений (по правилам логического квадрата). В том случае, когда суждение нельзя квалифицировать ни как истинное, ни как ложное, оно считается неопределенным. При вычислении значений истинности суждений полезно использовать нижеследующую таблицу, в которой представлены все виды совместимых и несовместимых суждений и их истинностное значение в зависимости от допущения истинности /ложности одного из них (табл. 1). Таблица 1 X и Y— произвольные суждения X эквивалентно Y Y— необходимое следствие Х9 но не наоборот X и Y не зависят друг от друга X и Y противоречат друг другу Хи Y противоположны друг другу X и Y частично совместимы друг с другом X истинно Y истинно Y истинно Y неопределенно Y ложно Y ложно Yнеопределенно ложно Y ложно Y неопределенно Yнеопределенно Y истинно Yнеопределенно Y истинно истинно X истинно X неопределенно X неопределенно Сложно Сложно X неопределенно ложно Сложно Сложно ^неопределенно X истинно X истинно Пусть дано следующее базисное множество суждений:
Ill 1. Все А есть В. 2. Все А есть—\В. 3. Все—\А есть В. 4. Все —А есть —¦?. 5. Ни одно А не есть В 6. Ни одно А не есть 7. Ни одно —и4 не есть В, 8. Ни одно —\А не есть —&. 9. Некоторые ^4 есть В. 10. Некоторые Л есть —\В. 11. Некоторые —Л есть 5. 12.. Некоторые —и4 есть —&. 13. Некоторые ^4 не есть В. 14. Некоторые Л не есть —¦#. 15. Некоторые —\А не есть 5. 16. Некоторые —Л не есть —$. 17. Все В есть Л. 18. Все В есть—А. 19. Все—& есть А. 20. Все —& есть —^4. 21. Ни одно В не есть А. 22. Ни одно 5 не есть -А. 23. Ни одно —& не есть А. 24. Ни одно —\В не есть —^4. 25. Некоторые 5 есть ^4. 26.Некоторые 5 есть —Л. 27. Некоторые —lS есть А. 28. Некоторые —lS есть —Л, 28. Некоторые —¦# есть —\А. 30. Некоторые В не есть —^4. 31. Некоторые —& не есть А. 32. Некоторые —? не есть —\А. Допустим, истинно суждение 1 из приведенного множества. Тогда суждения 6, 20 и 23 также истинны, так как они эквивалентны первому. Суждения 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30 и 31 также истинны, потому что они подчиняются первому. Суждения 2, 5, 18, 21 ложны, так как они противоположны первому. Суждения 10, 13, 27, 32 ложны, потому что они противоречат первому. Истинностный статус остальных суждений остается неопределенным. В симметричном универсуме из истинности суждения 1 следует дополнительно ложность суждений 3, 8, 19 и 24. Предположим, что истинно суждение 9. Тогда суждения 14, 25 и 30 истинны, так как они эквивалентны девятому. Суждения 2, 5, 18 и 21 ложны, так как противоречат девятому. Истинностный статус остальных суждений остается неопределенным. Из допущения ложности какого-либо суждения также следует некоторое распределение истинностных значений. Допустим, ложно суждение 11. Тогда ложны суждения 16, 26, 29, так как они эквивалентны одиннадцатому. Суждения 4, 7, 17, 22 истинны, так как они противоречат одиннадцатому. Суждения 9, 14, 25, 30 истинны, так как частично совместимы с одиннадцатым и не могут с ним быть одновременно ложными. Истинностный статус остальных суждений остается неопределенным. Рассмотрим другой пример. Допустим, даны следующие пять суждений: 1. Честность — лучшая политика. 2. Не всякая честность — лучшая политика. 3. Не существует лучшей и честной политики.
112 4. Никакая нечестная политика не является нелучшей. 5. Единственная худшая политика — нечестная. Приводим первое суждение к нормальной форме: Все S есть Р, где S = честная, Р = лучшая и U = политика. Символизируем остальные суждения из списка, используя обозначения терминов первого суждения. Строим таблицу значений истинности всех суждений в зависимости от значений истинности, задаваемых по условию (табл. 2): Таблица 2 1. 2. 3. 4. 5. Все Sесть Р Некоторые S есть -\Р Ни один Р не есть S Ни один —iiS не есть -iP Только -iP есть -uS и л л л 7 Л И 7 7 Л Л И 7 7 Л И Л л л 7 Л И И 7 Л 7 7 Л 7 7 Л И 7 И Л 7 7 7 Л 7 И Л Л Л И 7 7 7 7 Л Объяснение: При решении этой задачи сделано допущение о симметричности универсума, то есть об обязательном выполнении эквивалентными суждениями всех законов логического квадрата (более подробно об этом допущении см. гл. 1У, 2). Тогда суждения 1 и 2 противоречат друг другу и совместно исчерпывают определенный универсум. Следовательно, если одно из них истинно (ложно), другое ложно (истинно); если одно из них неопределенно, другое также неопределенно. Суждения 1 и 3 противоположны друг другу. Значит, если одно из них истинно, то другое ложно, но обратное неверно. Кроме того, они оба могут быть одновременно ложны. Следовательно, если одно из них ложно, значение истинности другого неопределенно. Суждения 3 и 4 независимые, то есть ни одно из них не определяет значение истинности другого. Суждения 3 и 4 оба вместе подчиняют суждение 2, а суждение 5 подчиняет суждение 1. Следовательно, если суждения 5, 3 и 4 истинны, то также соответственно истинны суждения 1 и 2, и если суждения 1 и 2 ложны, то подчиняющие их суждения также ложны. Во всех остальных случаях их отношения неопределенны. Суждения 2и5,3и5,4и5 попарно не противоположны, но несовместимы друг с другом по истине. Следовательно, они не могут быть вместе истинны, но могут быть вместе ложны. Из истинности любого одного суждения из каждой пары следует ложность другого, но из его ложности следует только неопределенность другого. Данный пример и ему подобные можно решать методом, который использовался при сравнении понятий, то есть посредством сравнения содержания и объемов суждений (более подробно этот вопрос обсуждается в гл. 1У, 2).
113 Пусть U = простые суждения, А = Все S есть Р, В = Некоторые S есть —\Р, С = Ни одно Р не есть S, D = Ни одно —iS не есть —.Р, E = Только —\Р есть —iiS. Строим классификацию: U = простые суждения Имеем: С/= A) + B) + C) + D) + E) + F); А= C) + D) + E) + F) / A) + B); В = A) + B) / C) + D) + E) + F); С = A) + B) + E) + F) / C) + D); D = A) + B) + D) + F) / C) + E); Е=B) + C) + D) + E) + F) / A). Из этих вычислений следует подтверждение сделанных ранее выводов о совместимости / несовместимости рассматриваемых суждений: 4 Л <-Е > —>?> Г» = и Умение решать задачи, подобные только что разобранной, является особенно актуальным для тех специалистов (например, юристов), которые по роду своей работы обязаны сравнивать какие-либо тексты с другими текстами, считающимися в силу тех или иных обстоятельств или условий истинными. Логический квадрат для выделительных суждений сохраняет все свои свойства, но с некоторыми ограничениями. Дело в том, что суждение «Только некоторые А есть 5», интерпретируемое как «Все В есть А» и достаточное для обычных логических преобразований, в строгом смысле не образует противоречия с суждением «Только А не есть 5» (они оба могут быть вместе и ложны и истинны). Аналогично и для пары «Только некоторые А не есть 5» и «Только А есть 5». Поэтому для доказательства, что законы логического квадрата выполняются и выделительными суждения-
114 ми, необходимо определенное ограничение в интерпретации частных выделительных суждений. В качестве такого ограничения выступает следующее допущение: из суждений «Некоторые А есть 5», «Некоторые А есть —ьб», «Некоторые —iA есть 5» и «Некоторые —Л есть —\В» первые два должны быть всегда истинны, а последние два всегда ложны. Данное допущение можно сформулировать иначе: в том универсуме, в котором рассматриваются выделительные суждения, должна существовать хотя бы одна вещь, обладающая свойствами субъекта А и предиката В, субъекта А и дополнения предиката -В и не должно существовать ни одной вещи, обладающей свойствами дополнения субъекта -лА. Если такое допущение принимается, тогда суждение «Только некоторые А есть 5» эквивалентно сложному суждению «Некоторые А есть и не есть В или только А есть 5», или «Некоторые, но не все А есть В, или только А есть 5». Соответственно суждение Только некоторые А не есть 5» эквивалентно сложному суждению «Некоторые А есть и не есть В или только А не есть 5», или «Некоторые, но не все А есть В, или только А не есть 5». Напомним, что обычные частные суждения интерпретируются аналогичным образом. Суждение «Некоторые (или все) А есть 5» эквивалентно суждению «Некоторые, но не все А есть В или все А есть 5» и тем самым равносильно суждению «Некоторые А есть и не есть В или все А есть 5», а суждение «Некоторые (или ни один) А не есть 5» эквивалентно суждению «Некоторые, но не все А есть В или ни одно А не есть 5» и тем самым равносильно суждению «Некоторые А есть и не есть В или ни один А не есть 5». В случае принятия указанного допущения выделительные суждения выполняют все законы логического квадрата (рис. 12). Только А есть В Некоторые А есть и не есть В или только А есть В Только А не есть В Некоторые А есть и не есть В или только А не есть В Рис. 12
115 Поскольку это утверждение неочевидно, рассмотрим простое доказательство. Пусть универсум состоит из чисел 1, 2 и 3, А обозначает признак «эти числа», В — признак «четное число». Пусть под «этими числами» понимается множество, состоящее из числа 2. Тогда суждения «Только А есть 5» и «Только некоторые А есть 5» оба истинны, а суждения «Только А не есть 5» и «Только некоторые А не есть 5» оба ложны. Пусть под «этими числами» понимается множество, состоящее из чисел 1 и 3. Тогда суждения «Только А есть 5» и «Только некоторые А есть 5» оба ложны, а суждения «Только А не есть 5» и «Только некоторые А не есть 5» оба истинны. Это доказывает выполнимость отношения противоречия между суждениями, соединенными диагоналями логического квадрата на рис. 12. Допустим, при указанном универсуме под «этими числами» понимается множество, состоящее из чисел 1 и 2. Тогда суждения «Только А есть 5» и «Только А не есть 5» оба ложны, а суждения «Только некоторые А есть 5» и «Только некоторые А не есть 5» оба истинны. Следовательно, для первой пары выделительных суждений выполняется отношение противоположности, для второй пары выделительных суждений — отношение частичной совместимости. Объединяя полученные результаты, получаем, что для выделительных суждений, различающихся лишь количественно, справедливо и отношение подчинения: только из истинности общего суждения следует истинность частного, только из ложности частного суждения следует ложность общего. Итак, мы доказали выполнимость отношений противоречия, противоположности, частичной совместимости и подчинения и для выделительных суждений (при указанных ограничениях в интерпретации). Любое выделительное суждение может быть выражено в терминах простых суждений. «Только А есть 5» эквивалентно обоим суждениям «Все А есть 5» и «Все —\А есть —&» одновременно. Суждение «Только А не есть 5» эквивалентно обоим суждениям «Все А есть —¦?» и «Все —Л есть 5» одновременно. В обычной интерпретации суждение «Только некоторые А есть 5» эквивалентно «Все В есть А», суждение «Только некоторые А не есть 5» эквивалентно «Все —\В есть А». Допуская истинность или ложность какого-либо выделительного суждения, мы получаем определенное распределение истинностных значений на базисном множестве простых суждений, сформулированном на стр. 43. Например, если истинно суждение «Только А есть 5», то также истинны суждения 1 и 4, 6 и 7, 17и 20, 22 и 23 как попарно ему эквивалентные. Суждения 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30, 31 истинны как подчиненные данному. Все остальные суждения соответственно ложны как несовместимые с ним
116 (некоторые комбинации этих суждений будут противоречить, а некоторые будут противоположны или соподчинены данному суждению). Из истинности суждения «Только некоторые А есть 5», интерпретируемого обычным способом («Все В есть А»9)9 следует истинность суждений 4, 7, 17, 22 как ему эквивалентных, истинность суждений 9, 14, 25, 30, как ему подчиненных; ложность суждений 2, 3, 5, 8, 11, 16, 18, 19, 21, 24 26, 29 как ему противоречащих или частично несовместимых. Истинностный статус остальных суждений остается неопределенным. Из истинности суждения «Только некоторые А есть 5», интерпретируемого как «Некоторые А есть и не есть В или только А есть 5», следует истинность суждений 9, 10, 13, 14, 25, 27, 30, 32 и/или попарная истинность 1 и 4, 6 и 7, 17и 20, 22 и 23 как ему подчиненных, ложность суждений 11, 16, 26, 29 как ему противоречащих и ложность суждений 12, 15, 28, 31 как исключаемых допущением, обеспечивающим совместимость данного выделительного суждения с законами логического квадрата. Логический квадрат выполняется также и для исключающих суждений (рис. 13). Все, кроме А9 есть В Некоторые, кроме А9 есть В Ни один, кроме А9 не есть В Некоторые, кроме А9 не есть В Рис. 13 Каждое исключающее суждение может быть выражено в терминах простых суждений. Из истинности суждения «Все, кроме А, есть 5» следует истинность суждений 3, 8, 19, 24 как ему эквивалентных, истинность суждений 10, 11, 13, 16, 26, 27, 29, 32 как ему подчиненных, ложность суждений 4, 7, 17, 22 как ему противоположных, ложность суждений 12, 15, 28, 31 как ему противоречащих. Истинность остальных суждений является неопределенной.
117 Итак, отношения совместимости / несовместимости действительны не только для простых, но и на выделительных и исключающих суждений. Кроме того, любое выделительное или исключающее суждение в случае своей истинности может быть редуцировано к некоторому подмножеству множества простых суждений, указанного выше. 6. ЧАСТОТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО КВАДРАТА. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО КВАДРАТА Все простые суждения обладают количественной характеристикой, выражаемой соответствующими словами «все», «некоторые», «ни один». Эту характеристику можно сделать более точной, если построить, например, частотную интерпретацию простых суждений. Мы не будем обсуждать все детали решения этой проблемы, а ограничимся анализом ее небольшого фрагмента — логического квадрата. С этой целью рассмотрим следующую простую модель. Пусть дана урна с шарами красного и синего цвета. Пусть п обозначает число вытащенных из урны шаров, т — число красных вытащенных шаров, (п—т) — число синих (некрасных) вытащенных шаров. Каждое простое суждение определяет некоторое значение чисел т и (п-т), то есть некоторое значение абсолютной частоты вытащенных красных или синих шаров. Рассматривая числа т и (п—т) по отношению к числу п, получаем значения относительных частот вытащенных красных и синих шаров — т/п и (п—т)/п соответственно. Из сказанного следует главная особенность предлагаемой интерпретации: в ней учитываются только вытащенные шары. Пусть А обозначает признак «вытащенный шар», В — признак «красный шар», —\В — признак «синий шар». С учетом этих обозначений и обстоятельства, что невытащенные шары не рассматриваются, получаем следующую таблицу перевода простых суждений на язык абсолютных и относительных частот (табл. 3).
118 Таблица 3 Суждение Все А есть В Некоторые (или все) А есть В Некоторые (но не все) А есть В Только некоторые А есть В Только А есть В Ни одно А не есть В Некоторые (или ни один) А не есть В Некоторые (но не ни один) А не есть В Только некоторые А не есть В Только А не есть В Абсолютная частота красных шаров т = п 0<т<п 0<т<п 0<т<п т = п т = 0 0 < (п-т) < п 0 < (п-т) < п 0 < (п-т) < п т = 0 Относительная частота красных шаров т = п п п 0<т<п п 0<т<п п т = п п п п /77=0 0 п п 0 < (п - т) <п п 0 < (п - т) < п п 0<(п-т) <п п /77=0 0 п п Интерпретация «некоторые или все» и «некоторые или ни один» поглощают все остальные. С учетом этого замечания логический квадрат для вытаскиваемых красных шаров будет иметь следующий вид (рис. 14). п п 0 <т<п п п 0 < (п-т) < п п Рис.14
119 Логический квадрат для вытаскиваемых синих шаров будет зеркальным отображением предшествующего квадрата (рис. 15). п О < (п-т) < п п п п О <т<п п Рис.15 Допустим, число вытащенных шаров больше нуля, то есть п > 0. При этом допущении истинно следующее основное уравнение логического квадрата: п/п + 0/п + т/п + (п — тIп == 1 (*) Смысл уравнения (*) состоит в том, что допущение истинности/ложности любого значения частоты, представляющего тот или иной вид простого суждения, превращает его в тождество. Все такие допущения вместе образуют корни уравнения (*). Рассмотрим следующие случаи, доказывающие истинность последнего утверждения. Если истинна частота п/п, тогда ложны частоты 0/п, {п-т)/п и п/п + т/п = п/п. Следовательно, истинно п/п +0 + 0 + 0 = 1. Если истинна частота т/п, тогда истинна или ложна частота п/п. Если частота п/п истинна, тогда мы возвращаемся к рассмотренному случаю. Допустим, частота nln ложная. Из истинности т/п следует ложность частоты 0/п. Кроме того, (п—т)/п = \—т/п. Следовательно, истинно 0 + 0 + т/п + 1—т/п = 1. Если истинна частота 0/п, тогда ложны частоты п/п, т/п, 0/п + {п— т)/п, где п/п обозначает частоту признака, противоположного признаку с частотой 0/п. Следовательно, истинно 0 + 0 + 0 + п/п = 1. Если истинна частота (п-т)/п, тогда истинна или ложна частота 0/п. Если частота 0/п истинна, то мы имеем предшествующий случай. Допустим, частота 0/п ложная. Из истинности (n-m)/n следует ложность частоты
120 n/n, mln = 1— (n — m)ln. Следовательно, истинно 0 + 0 + \—{n—m)/n+(n—m)/n = 1. Допущения ложности соответствующих частот возвращают нас к рассмотренным случаям. Их анализ поэтому опускается. Предложенная частотная интерпретация является элементарной. Она, в частности, не позволяет различать некоторые виды частных суждений. Но ее преимущества несомненны. В ее терминах легко доказываются основные свойства логического квадрата, а сам он сводится к простому уравнению, корнями которого выступают допущения истинности/ложности соответствующих частот. Данная интерпретация доказывает также необходимую связь логических преобразований простых суждений с тем фрагментом объективной реальности, который может быть выражен на языке абсолютных и относительных частот. 7. ПРОСТЫЕ СУЖДЕНИЯ И ПУСТЫЕ КЛАССЫ Выражая некоторое отношение между субъектом и предикатом, простое суждение негласно связано с допущением, что объемы субъекта и предиката не являются пустыми классами. Напомним, что объем какого- либо термина эквивалентен пустому классу, если и только если этот термин самопротиворечив или противоречит каким-либо истинным положениям. Что изменится в истинностных свойствах простых суждений, если отказаться от требования непустоты объемов их терминов? Пусть субъектом является класс «эти стулья», предикатом — класс «виды мебели, пригодные для сидения». Сформулируем суждение «На всех этих стульях можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение истинно, хотя в действительности нет ни одного из «этих стульев», просто потому, что ложно противоречащее ему суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». В общем случае для истинности общеутвердительного суждения достаточно выполнения любой одной из следующих возможностей: 1) субъект и предикат истинны; 2) только предикат истинный; 3) субъект и предикат оба ложные. Следовательно, данное суждение истинно не только тогда, когда нет одного из «этих стульев», но и тогда, когда вообще нет ни одного вида мебели, годного для сидения. Рассмотрим суждение «Ни на одном из этих стульев нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение истинно, так как ложно противоречащее ему суждение «На некоторых из этих стульев можно сидеть». В общем случае для истинности общеотрицательного суждения достаточно выполнения одной из следующих возмож-
121 ностей: 1) только субъект истинный; 2) только предикат истинный; 3) субъект и предикат оба ложные. Следовательно, рассматриваемое суждение истинно не только тогда, когда нет ни одного из «этих стульев», но и тогда, когда имеются какие-то виды мебели, пригодные для сидения. Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение ложно, потому что для его истинности необходимо, чтобы субъект и предикат были оба истинны хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». Но так как этот класс пуст, то рассматриваемое суждение ложно. Данное суждение также ложно, когда только предикат ложный или когда субъект и предикат оба ложные. Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение ложно, так как для его истинности требуется одновременная истинность субъекта и дополнения предиката, хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». При всех остальных комбинациях это суждение также ложно. Объединяя полученные результаты, получаем следующие выводы. Общеутвердительные и общеотрицательные суждения при допущении пустых классов более не являются противоположными, так как могут быть вместе истинны. Частноутвердительные и частноотрицательные суждения при допущении пустых классов не являются более частично совместимыми, так как могут быть вместе ложными. Общеутвердительные суждения при допущении пустых классов более не подчиняют частноутвердительные, а общеотрицательные суждения более не подчиняют частноотрицательные, так как общие суждения могут быть истинны, а частные ложными в одно и то же время. Становится незаконным поэтому обращение с ограничением общеутвердительных суждений и контрапозиция с ограничением общеотрицательных суждений. Отношение противоречия между соответствующими параметрами общих и частных суждений сохраняет свою силу. Законными остаются и все логические преобразования, не ведущие к ограничению своих результатов. Логический квадрат редуцируется к следующей системе отношений, на которой отсутствие линии между какими-либо точками означает отсутствие логических отношений между ними (рис. 16). Техника вывода необходимых заключений из посылок с пустыми терминами подробно обсуждается в главе 1У, 11.
122 Все S есть Р Ни одно S не есть Р Некоторые S есть Р Некоторые S не есть Р Рис. 16 8. КОММУНИКАТИВНАЯ ПРИРОДА СУЖДЕНИЙ Суждения выражают отношения не только между мыслимыми вещами, но и между индивидами, адресующими эти суждения друг другу. В отношениях последнего вида проявляется коммуникативная природа суждений — их использование с целью сообщения и получения новой информации. Характерной чертой всякой коммуникации является начальное познавательное неравенство тех, кто сообщает информацию, и тех, кто ее получает. Именно такое неравенство создает стимул для объединения источника информации и ее потребителя в одно коммуникативное целое. Книга прочитывается до конца только в том случае, если она сообщает новую информацию как для ума, так и для сердца. В противном случае никакого диалога писателя с читателем быть не может. В процессе коммуникации, то есть передачи информации, происходит выравнивание информационного потенциала участвующих сторон. И как только такое выравнивание происходит, коммуникация лишается своего основного стимула и теряет по крайней мере информационный смысл. Отмеченные особенности коммуникации находят отражение и в структуре суждений — в особом коммуникативном статусе субъекта и предиката суждения, в их информационном различии. Коммуникативное назначение субъекта суждения состоит в том, чтобы обозначать новое знание, истинность которого еще требует своего доказательства. Коммуникативное назначение предиката суждения, наоборот, состоит в том, чтобы обозначать старое, известное знание, истинность которого уже доказана. Коммуникативный смысл суждения в целом выражается в связи со старым, в синтезе того, что известно, исследовано, с тем, что еще не известно, не исследовано. С этой точки зрения высказывать
123 суждение означает определять, доказывать, объяснять, истолковывать нечто новое, проблематичное на основании известного, непроблематичного, разделяемого всеми участниками коммуникативного процесса. Чтобы суждение выполнило свою коммуникативную задачу, оно должно удовлетворять следующим требованиям. Во-первых, субъект суждения должен обозначать либо новое, ранее неизвестное знание, либо известное, но по каким-то причинам требующее нового истолкования, объяснения, доказательства. В любом случае субъект суждения должен представлять познавательную или эмоциональную проблему, трудность, загадку, а его предикат соответственно — решение проблемы, трудности, отгадку. В противном случае нет причины коммуникации и ее главного результата — получения новой информации. В утверждении «Любовь есть сон» (Ф. И. Тютчев) субъект «любовь» обозначает именно загадку, тогда как предикат «сон» — ее (очередную) отгадку. Ученый, десятки раз ставивший какой-либо опыт и получавший одинаковые результаты, не может не заинтересоваться исходом, ранее не имевшим места. В этом случае именно новый результат становится предметом дальнейшего анализа ученого, его коммуникации с природой. Во-вторых, чтобы объяснение, понимание, истолкование и тому подобные формы коммуникации состоялись, необходимо, чтобы предикат суждения был более известен, чем его субъект. Мать, объясняющая маленькому сыну, что «Тигр — это большая полосатая кошка», предполагает, что последнему известно, что такое кошка, что такое полосы, что такое большое животное (большой предмет). В противном случае коммуникация невозможна, как, например, в рассказе А.П. Чехова «Экзамен на чин», когда на вопрос экзаменатора: «Какое правление в Турции?» — был дан ответ: «Известно какое... турецкое». В-третьих, предикат суждения должен быть менее проблематичным, чем субъект, то есть должен иметь больше оснований считаться истинным знанием, чем субъект. В противном случае предикат не может выполнить функцию аргумента, обосновывающего истинность субъекта суждения. Так, по мнению героя рассказа А. П. Чехова «Письмо к ученому соседу», жизнь людей на Луне невозможна, в частности, потому, что последняя «существует только ночью, а днем исчезает». Этот аргумент соответствует показаниям наших органов чувств, но он является ложным с точки зрения нашего разума. В-четвертых, предикат суждения должен признаваться истинным всеми участниками коммуникации. В противном случае одни и те же факты, положения могут оцениваться одновременно как истинные и как ложные. На вопрос Джульетты, как Ромео попал в ее сад, последний отвечает:
124 Я перенесся на крыльях любви: Ей не преграда — каменные стены, Любовь на все дерзает, что возможно, И не помеха мне твои родные. Любовь выступает в глазах Ромео и Джульетты тем единственным аргументом, которым только и можно объяснить их неожиданную и опасную встречу. Любое наказание достигает своей цели только тогда, когда его справедливость признается не только теми, кто наказывает, но и тем, кого наказывают. Выполнение указанных требований гарантирует эффективность коммуникации, то есть гарантирует, что новое знание, сообщаемое субъектом, будет принято или не принято в старое знание, обозначаемое предикатом. Вопросы и упражнения I. Приведите к нормальной форме следующие суждения: а) Вверх по лестнице, ведущей вниз. б) Круглый стол с острыми углами. в) Один ум хорошо, а два лучше. г) С глаз долой — из сердца вон. д) С милым рай и в шалаше. е) Свято место пусто не бывает. ж) Без меня меня женили. з) Сколько веревочку не вить, а концу быть, и) С кем поведешься, от того и наберешься. П. Постройте превращение, обращение и контрапозицию для каждого суждения из предыдущего упражнения. III. Найдите противоречащее, противоположное и подчиненное суждения для каждого из следующих суждений: а) Все, что можешь отдать, и является твоим богатством. б) Человек по природе своей самолюбив. в) Ни один человек не может быть счастлив в этом мире, если он не научился жить в соответствии с тем, что он делает. г) Человек свободный, живущий среди невежд, старается, насколько возможно, отклонять от себя их благодеяния (Б. Спиноза). д) Не желай другому того, чего не желаешь самому себе. е) Благоразумный человек считает себя ответственным только за то, что налагается на него обязанностями (Адам Смит). ж) Нельзя требовать от других того, чего сам не можешь или не хочешь сделать. з) Человек может спешить, но он никогда не должен ничего делать наспех.
125 и) Ни один человек не принимается за что бы то ни было, не опираясь на то или другое мнение, которое служит для него мотивом его действия (Джон Локк). IV. Что можно сказать о значении истинности предложений в следующих множествах при допущении, что первое предложение в каждом множестве истинно? 1.1. Человек от природы не склонен мыслить. 2. Некоторые люди от природы не склонны к мышлению. 3. Ни один человек от природы не есть человек, несклонный к мышлению. 4. Некоторые, несклонные к мышлению, есть люди. 5. Все, склонные к мышлению, есть не люди. 2.1. Ни одно доброе дело не забывается. 2. Некоторые забываемые дела не являются добрыми. 3. Ни одно забываемое дело не является недобрым. 4. Все добрые дела забываются. 5. Некоторые добрые дела забываются. 3.1. Некоторые общие понятия о совершенствовании законодательства бесспорно необходимы для государственного человека. 2. Некоторые общие понятия, бесспорно необходимые для государственного человека, есть общие понятия о совершенствовании законодательства. 3. Ни одно общее понятие о совершенствовании законодательства не есть понятие, бесспорно необходимое для государственного человека. 4. Все общие понятия о совершенствовании законодательства бесспорно необходимы для государственного человека. 5. Некоторые небесспорно необходимые понятия для государственного человека являются общими. 4.1. Ни одно дело, сделанное наполовину, не есть хорошо сделанное дело. 2. Все хорошо сделанные дела не сделаны наполовину. 3. Некоторые дела, сделанные наполовину, не являются хорошо сделанными делами. 4. Некоторые хорошо сделанные дела есть наполовину сделанные дела. 5. Некоторые хорошо сделанные дела есть не наполовину сделанные дела. V. Укажите, какие суждения истинны, а какие ложны или неопределенны и почему, при допущении, что первое суждение из приведенного множества истинно. 1. Здравый смысл — самый лучший из всех смыслов.
126 2. Ни один смысл, являющийся здравым, не является не самым лучшим из всех смыслов. 3. Все не самые лучшие из всех смыслов являются нездравым смыслом. 4. Ни один не самый лучший из всех смыслов не является здравым. 5. Некоторые самые лучшие из всех смыслов есть здравые смыслы. 6. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, не есть не самые лучшие из всех смыслов. 7. Некоторые самые лучшие из всех смыслов не являются нездравыми. 8. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, не есть не самые лучшие из всех смыслов. 9. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, есть не самые лучшие из всех смыслов. 10. Некоторые не самые лучшие из всех смыслов не являются нездравыми смыслами. 11. Некоторые нездравые смыслы — не самые лучшие из всех смыслов. 12. Некоторые не самые лучшие из всех смыслов не являются здравыми. 13. Ни один из самых лучших смыслов не является здравым. 14. Ни один здравый смысл не является самым лучшим из всех смыслов. 15. Все здравые смыслы есть лучшие из всех смыслов. 16. Все самые лучшие из всех смыслов — нездравые смыслы. VI. Можно ли сформулировать мысль, не содержащую суждение? Аргументируйте свой ответ. VII. Сохраняется ли отношение подчинения между общим и частным суждениями с одними и теми же терминами, если слово «некоторые» интерпретировать так, как указано на рис. 5 и 6 для утвердительных суждений и на рис. 8 и 9 для отрицательных суждений? Аргументируйте свой ответ. VIII. Попробуйте проверить истинность превращения, обращения и контрапозиции в терминах частотной интерпретации простых суждений. Расширьте с этой целью таблицу перевода простых суждений на язык абсолютных и относительных частот.
127 ГЛАВА IV. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ Необходимость умозаключения коренится в ограниченности человеческого ума А. Арно и П. Николь. Логика, или искусство мыслить. Мы еще не поняли многих вещей, которые можно постичь только разумом. Посредством умозаключений можно решить такие задачи, которые ставили в тупик всех, кто искал их решение с помощью своих чувств. А. Конан Дойль. Пять апельсиновых зернышек. (Из разговора Шерлока Холмса с доктором Ватсоном). Для доказательства, так же как и для сомнения, нужно совершать умозаключения, то есть находить следствия по данным основаниям и находить основания по данным следствиям. И. Е. Орлов. Логика естествознания. Общее представление об умозаключении, доказательстве и и опровержении. 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ УМОЗАКЛЮЧЕНИИ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ И ОПРОВЕРЖЕНИИ Если понятия — атомы, а суждения — молекулы нашей умственной деятельности, то, завершая эту аналогию, можно сказать, что умозаключения — это и есть сама умственная деятельность. Рассуждать, задавать вопросы, искать ответы, объяснять, предсказывать, доказывать, опровергать, убеждать, подвергать сомнению, просить, требовать, разрешать, запрещать — все эти и другие формы мыслительной деятельности имеют вид определенных умозаключений. Мы вправе поэтому утверждать, что мыслить и делать умозаключения — одно и то же. Логическая универсальность умозаключений представляет собой результат синтеза логики классов, порождаемой преобразованием понятий, и логики отношений, порождаемой преобразованиями суждений. В этом синтезе обе логики сохраняют свои особенности, но между ними возникает взаимная дополнительность до более универсальной логики умозаключений. Синтез, в частности, состоит в том, что достигается равновесие между отрицанием как дополнением, характерном для логики классов, и отрица-
128 нием как снятием различия, характерном для логики отношений. Оба вида отрицания образуют единую систему обратимых преобразований, обладающую свойствами алгебраической группы36. Наше мышление на уровне умозаключений приобретает возможность осуществлять без каких либо принципиальных ограничений все преобразования с классами и отношениями и тем самым строить максимально общие модели исследуемой реальности. Мышление, достигнув способности конструировать умозаключения, становится формальным, или символическим, в полном смысле этого слова. Непосредственный анализ действительности, свойственный, например, детям в раннем возрасте, заменяется анализом понятий и суждений о реальности. Мы не проверяем лично, да и большей частью не способны сделать это физически, все, что нам сообщается. Но мы способны установить истинность или ложность требуемых суждений в процессе умозаключений. Вряд ли когда-либо удастся измерить температуру внутри Солнца непосредственно. Однако с определенной погрешностью это можно сделать с помощью соответствующих умозаключений, не покидая поверхности Земли. Благодаря способности к умозаключениям, человек преодолевает свою привязанность к наблюдению как самому достоверному источнику знания. Формальный характер умозаключений открывает возможность узнать ненаблюдаемую, но не менее реальную сферу нашего бытия — законы природы и общества. Процесс познания, как свидетельствует история, возможен лишь на пути совершенствования формальной стороны нашего мышления. Благодаря способности и умозаключениям наше мышление, и это является развитием его формальной способности, приобретает гипотетический характер. Каждая вещь мыслится не только как она «есть», но и как она «могла быть» и как она «может быть». Другими словами, каждая вещь мыслится в единстве со всеми возможностями своего прошлого, настоящего и будущего бытия. Возможное, гипотетическое играет в мышлении не меньшую роль, чем действительное, достоверное. Реальность всегда открывается мыслящему уму в виде комбинаций каких-то возможностей, которые он формулирует на языке гипотез, предположений и из которых он стремится выбрать наиболее правдоподобную. Умение мыслить реальность как принципиально гипотетическую систему событий связано с комбинаторной природой нашего мышления, с его способностью строить классификации классификаций и тем самым учитывать все возможные альтернативы развития. Пусть А обозначает су- 36 Пиаже Жан. Избранные психологические труды. М., 1969. - С. 567-612.
129 ждение «Подул сильный ветер», В — суждение «Тучи заволокли небо». Обычная дихотомическая классификация этих суждений приводит к следующим результатам: I) А и В оба истинны, 2) А истинно и В ложно, 3) А ложно и В истинно, 4) А и В оба ложны. Если полученные результаты подвергнуть новой классификации по основанию «существует», то получим 24 = 16 возможностей реализации событий, обозначаемых суждениями А и В, Во множество этих возможностей попадает как та альтернатива, согласно которой оба события имеют место, так и та, согласно которой ни одно из них не имеет места. Таким образом, мы получаем не только 16 гипотез о возможности развития событий, но и, что самое главное, исчерпывающий перечень логических связей суждений А и В друг с другом. Это означает, что сформулировать какое-либо суждение о связи АиВ — то же самое, что выбрать из множества всех альтернатив некоторое подмножество. Иными словами, умозаключать — означает выбирать, решать определенную комбинаторную задачу. Более распространенным является определение умозаключения как деятельности, позволяющей получать новое знание из уже имеющегося. На этом основании в каждом умозаключении выделяют: 1) суждения, обозначающие исходное знание и называемые посылками; 2) суждения (суждение), обозначающие новое знание и называемые заключениями; 3) подразумеваемые или явно сформулированные правила получения нового знания из данного (заключения из посылок). В повседневных рассуждениях такие правила обычно только подразумеваются. При логическом анализе подобные правила тщательно обсуждаются и формулируются в явном виде. Исходное знание может быть знанием либо причин, законов, либо их следствий. Соответственно новое знание также может быть двоякого вида. Если нам известны причины, то новым знанием будет знание их следствий. Если нам известны следствия, то новым знанием будет знание их причин. В зависимости от того, ищем ли мы по известным причинам их следствия или, наоборот, по известным следствиям их возможные причины, принято различать два вида умозаключений — дедуктивные и недедуктивные. Когда мы выводим из данного знания его необходимые следствия, то мы умозаключаем дедуктивно (от лат. deductio — выведение). Дедуктивно умозаключать не означает ничего иного, как умение находить (выводить) необходимые следствия из данных суждений. По этой причине дедукцию иногда определяют как обоснование необходимых условий истинности данного знания. Когда мы ищем на основании данного знания о некотором событии его возможную причину, то мы используем недедуктивные умозаключе-
130 ния. Среди них важнейшими считаются индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии. Типичным примером индуктивного умозаключения, или индукции (от лат. inductio — наведение), является поиск для наблюдаемых фактов объясняющих их причин и законов. Поскольку никакого однозначного пути от фактов к их причинам или законам нет, то процесс индукции представляет, в сущности, процесс выдвижения догадок, гипотез и их последующего испытания и выбора наиболее правдоподобной. Если некоторое событие объясняется или предсказывается на основании структурного, функционального или какого-то другого сходства с другим и уже изученным событием, то в этом случае имеет место умозаключение по аналогии, или просто аналогия (от греч. analogia — соответствие, сходство, подобие). Делать недедуктивные умозаключения означает или искать возможные причины, или предсказывать что-либо на основании возможных причин. В любом случае отличительным признаком недедуктивных умозаключений является поиск достаточных условий истинности исходного или предсказываемого знания. В итоге мы имеем две обратно направленные стратегии познания. Одна из них сводится к обоснованию необходимых условий нашего знания и осуществляется посредством дедуктивных умозаключений. С помощью дедукции из принятых аксиом мы выводим теоремы, из установленных законов или причин — их необходимые следствия. Если посылки истинны, правила вывода также истинны, то и дедуктивные заключения необходимо истинны. Обратная стратегия состоит в открытии по крайней мере достаточных условий нашего знания. Двигаться в этом направлении означает делать догадки, выдвигать гипотезы, испытывать их и отбирать наиболее правдоподобные. Здесь не может быть, как правило, достоверных заключений, но только вероятные. С помощью индукции и аналогии мы совершаем открытие новых законов и причин и тем самым качественно расширяем сферу нашего знания. Указанные стратегии носят исчерпывающий характер. Для любого данного события они дают ответы на такие вопросы, как «Почему оно произошло?» и «Что следует ожидать от его осуществления?». Эти вопросы, как и ответы на них, характеризуют самые существенные элементы нашего понимания любой вещи. Ибо понимать — не означает ничего иного, как знать причины и их следствия. Оба вида знания могут быть получены только посредством умозаключений. С помощью умозаключений мы открываем для себя мир, невидимый, неслышимый и неосязаемый, но не менее реальный, чем мир, воспринимаемый чувствами. Умозаключения не только открывают нам этот
131 мир, но и позволяют в нем успешно ориентироваться, различая истину, ложь, разные степени правдоподобия. Когда мы ищем истину, мы доказываем. Когда разоблачаем ложь, опровергаем. Доказательство и опровержение невозможны без умозаключений, но не сводятся к ним. Необходимо также знать правила, которым подчиняется истинное знание, ложное знание, правдоподобное знание. Без этих правил невозможно ни доказательство, ни опровержение ни в дедуктивном, ни в недедуктивном смыслах. Доказательство и опровержение являются составной частью более общей теории аргументации (демонстрации), или риторики. Анализ этой теории будет дан в одной из следующих глав. Итак, когда мы говорим об умозаключениях, то имеем в виду умственную деятельность, которая обеспечивает нас необходимыми и достаточными условиями истинности исходного знания; связывает в одно целое понятия и суждения; имеет комбинаторную и гипотетическую природу; объединяет отрицание как дополнение и отрицание как снятие различия; позволяет искать истину, разоблачать ложь, определять различные степени правдоподобия; позволяет познавать причины, законы и их необходимые следствия; обладает наивысшими приспособительными возможностями, носит конструктивный, в высшей степени творческий характер и не имеет в своем развитии никаких принципиальных ограничений. 2. ОТНОШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ Назначение всех дедуктивных умозаключений состоит в выводе необходимых следствий из данных посылок или, наоборот, поиске таких посылок, из которых данные следствия выводятся необходимым образом. Следствие, или следствия, принято называть заключением. Более строго определить посылки и заключения можно так. Суждения, являющиеся вместе достаточным условием истинности какого-либо другого, необязательно отличающегося от каждого из них, суждения, называются посылками умозаключения. Если выводимое суждение является необходимым условием истинности данных посылок, то оно называется заключением (дедуктивного) умозаключения. Но что делает некоторое суждение необходимым следствием других суждений, включая и самого себя? Ответить на этот вопрос означает задать отношение логического следования. Ибо если нет логического следования одних суждений из других, то нет и дедуктив-
132 ного умозаключения. Если есть дедуктивное умозаключение, то истинно и отношение логического следования, есть посылка и заключение. Существуют разные толкования отношения логического следования. Желая достигнуть единообразия при решении различных проблем, а также более тесно связать предыдущее изложение с настоящим, при его определении мы будем исходить из идей, лежащих в основе теории логической (семантической) информации37. Как известно из главы II, логическая информация, сообщаемая понятием, то есть его содержание, прямо пропорциональна числу исключаемых им классов универсума. Соответственно все не исключаемые данным понятием классы образуют его объем по формуле: Понятие = содержание / объем = исключаемые классы / разрешаемые классы. При этом было установлено, что понятие Y является логическим следствием понятия X тогда и только тогда, когда объем X полностью включен в объем Y (содержание Y является частью содержания X) или, что то же, понятие Y является родовым, обобщающим понятие X (понятие X является видовым, ограничивающим понятие У). Аналогично и для суждений, но с необходимыми логическими и терминологическими отличиями. Вместо исключаемых и разрешаемых классов в теории семантической информации принято говорить об исключаемых и разрешаемых возможных мирах. Возможный мир, или возможное положение дел, — это любое непротиворечивое состояние (ветвь классификации, разбиения) универсума, в котором истинно или ложно рассматриваемое суждение. Каждый возможный мир, как будет показано, представляет логическую функцию от распределения значений истинности среди множества частных суждений, изображенных в виде дерева на рис. 1. 37 См.: Гришкин И.И. Понятие информации: Логико-методологический аспект. М., 1973.-С. 33-72.
133 U = простые суждения А- Рис. 1 Каждая из четырех ветвей дерева на рис. 1 символизирует определенное частное суждение: A) = Некоторые А есть В, B) = Некоторые А есть -.5 = Некоторые А не есть В, C) = Некоторые -Л есть В, D) = Некоторые -Л есть -.5 = Некоторые -Л не есть В. Каждое из этих частных суждений может быть истинно или ложно. Следовательно, всего возможно 16 различных распределений значений истинности, то есть 16 различных деревьев с информацией об истинности или ложности каждой ветви дерева, изображенного на рис. 1. Дерево с информацией об истинности или ложности каждой своей ветви представляет определенный возможный мир — элементарную единицу семантической информации любого (простого или сложного) суждения. Такие возможные миры более правильно называть сложными, или экзистенциальными, поскольку они представляют функции от значений истинности (существования) определенных частных суждений, именно функции от простых (исходных) возможных миров, порождаемых ветвями дерева на рис. 1. Сложные возможные миры будут обозначаться латинскими буквами, заключенными в круглые скобки. В терминах возможных миров решаются абсолютно все теоретические и практические задачи логики умозаключений. Для этого достаточно научиться вычислять значения истинности всех ветвей дерева на основании информации, сообщаемой посылками, и использовать означенное дерево по определенным правилам. Однако работать с деревьями, аналогичными изображенному на рис. 1, неудобно. Поэтому ниже будет предложен эквивалентный, но практически более эффективный метод решения задач логики умозаключений. По аналогии с логикой понятий имеет место следующая формула: Суждение = содержание /объем = исключаемые миры / разрешаемые миры. Существует четыре вида простых суждений. Рассмотрим последовательно, какие именно возможные миры каждое из них исключает и разре-
134 шает. При этом мы будем исходить из следующих основополагающих для всех последующих рассуждений допущений. Допущение непустоты универсума: в рассматриваемом универсуме должна существовать хотя бы одна вещь, обладающая свойствами субъекта (А) обсуждаемого суждения. Данное допущение исключает из 16 сложных возможных миров те 4 мира, в которых одновременно ложны частные суждения «Некоторые А есть 5» и «Некоторые А не есть 5». Главные следствия отказа от этого допущения будут обсуждаться специально (см. п. 10 данной главы). Допущение симметричности универсума: эквивалентные суждения симметричны относительно всех законов (преобразований) логического квадрата. Невыполнение данного допущения приводит среди прочего к следующей коллизии. Например, пусть истинно общеутвердительное суждение «Все А есть 5». Тогда истинно частное суждение «Некоторые А есть 5» и общее суждение «Все -лВ есть -А» как подчиненное и эквивалентное ему соответственно. Однако суждение «Все -\В есть —А» может быть истинно даже тогда, когда ложно подчиненное ему частное суждение «Некоторые -лВ есть —А» (просто потому что ложно противоречащее последнему суждение «Некоторые -i5 есть ^4»). Но тогда получается, что два эквивалентных суждения обладают разными свойствами: оба они истинны, но из подчиненных им частных суждений одно истинно, а другое ложно. Это означает, что не все требования логического квадрата выполняются для суждений, которые по определению должны обладать одинаковыми свойствами. Следовательно, рассматриваемый универсум не является симметричным относительно законов логического квадрата. Принимая допущение симметричности универсума, мы исключаем (после выполнения допущения непустоты) из оставшихся 12 сложных возможных миров еще 4. Окончательный универсум состоит, таким образом, из 8 сложных возможных миров. Введенные допущения не являются независимыми: из истинности допущения симметричности универсума следует истинность допущения непустоты, а из ложности последнего следует ложность первого. Основные шаги конструирования симметричного универсума следующие. Допустим, истинно частноутвердительное суждение «Некоторые А есть 5». В этом случае логический квадрат порождает следующее распределение значений истинности среди частных суждений (правая диагональ игнорируется):
135 Если исключить вершину логического квадрата, связанную с суждением «Ни одно А не есть 5», то логический квадрат превратится в логический треугольник: Исключение вершины, обозначающей суждение «Все А есть 5», оставляет линию, связывающую только частные суждения: Данная линия доказывает следующий фундаментальный факт для частноутвердительных суждений: истинность частноутвердительного суждения «Некоторые А есть 5» равносильна одновременной истинности самого этого суждения и неопределенности частично совместимого с ним суждения «Некоторые А не есть 5». Оба частных суждения состоят из одних и тех же терминов — субъекта А и предиката 5, но различаются качеством и значением своей истинности. Так как суждение «Некоторые А не есть 5» эквивалентно суждению «Некоторые А есть —lS», to всю информацию, которую выражает частно- утвердительное суждение «Некоторые А есть 5», мы можем представить в виде следующего маркированного дерева (рис. 2).
136 Некоторые А есть В А + /ч ? В Рис. 2 Левая ветвь дерева на рис. 2, отмеченная знаком «+», читается: суждение «Некоторые А есть 5» истинно. Правая ветвь рассматриваемого дерева, будучи отмеченной знаком «?», читается: значение истинности суждения «Некоторые А не есть 5» неопределенно (то есть последнее может быть как истинно, так и ложно). Рассматриваемое дерево позволяет вычислять значения истинности левой части дерева на рис. 1 с вершиной, обозначенной буквой А, Но что можно сказать о правой части этого дерева с вершиной —А, то есть о значениях истинности таких частных суждений, как «Некоторые —\А есть 5» и «Некоторые -ъ4 не есть 5»? Очевидный ответ состоит в том, что для этого необходимо и достаточно использовать обращение и противопоставление исходного суждения «Некоторые А есть 5» или, что то же, построить дополнительно два дерева — одно обратное и другое обратно-противо- пололожное дереву, изображенному на рис. 2. Назовем дерево суждения, символизирующее связь субъекта А с предикатов В и его дополнением —lS, прямым; связь предиката В с субъектом А и его дополнением —А, — обратным', связь дополнения предиката —& с субъектом А и его дополнением —А, — обратно-противоположным. Построение прямого дерева суждения эквивалентно выполнению его превращения, построение обратного дерева — выполнению его обращения, построение обратно-противоположного дерева — выполнению его противопоставления (контрапозиции). Главный результат состоит в том, что логическая сумма прямого, обратного и обратно-противоположного деревьев эквивалентна дереву на рис. 1:
137 В АВ А АА А АА A) B) A) C) B) D) Прямая Обратная Обратно- форма форма противоположная форма Рис. 3 Обозначения ветвей дерева на рис. 3 соответствуют обозначению этих ветвей на рис. 1. Сложив без повторения ветви на рис. 3, мы получим все ветви дерева на рис.1. Это доказывает тезис о необходимости и достаточности превращения, обращения и противопоставления для вычисления значений истинности всех частных суждений, образующих дерево на рис. 1, и тем самым для конструирования симметричного универсума. Из обращения истинного суждения «Некоторые А есть 5», совпадающего с его противопоставлением, следует истинность суждения «Некоторые В есть А» и неопределенность суждений «Некоторые В есть —\А», «Некоторые —\В есть А» и «Некоторые —& есть —Л». Следовательно, ветвь A) дерева на рис. 1 должна быть отмечена знаком «+», а ветви B), C) и D) этого же дерева — знаком «?». Суммируя все вычисления, получаем следующее окончательное распределение значений истинности, соответствующее истинности суждения «Некоторые А есть 5» (рис. 4). Некоторые А есть В А- Рис.4 Каждое из трех суждений на рис. 4, отмеченное знаком «?», может быть истинным и ложным. Следовательно, обсуждаемое суждение «Некоторые А есть 5», может быть истинно в любом из следующих восьми случаев, которые ранее были названы сложными (экзистенциальными) возможными мирами и которые для удобства обозначены латинскими буквами: Некоторые А есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D);
138 Однако из указанных восьми случаев два мира — (g) и (i) несовместимы с допущением симметричности универсума. В этих мирах одновременно истинны суждения «Все А есть 5» и «Все —Л есть 5». Из истинности суждения «Все А есть 5», которое эквивалентно суждению «Все —? есть —и4», должна следовать истинность суждения «Некоторые —А есть —¦?». Но последнее противоречит суждению «Все —А есть 5». Следовательно, миры (g) и (i) должны быть вычеркнуты из указанного списка как несимметричные с точки зрения требований логического квадрата. Окончательный список сложных и симметричных возможных миров, в каждом из которых истинно частноутвердительное суждение «Некоторые А есть 5», такой: Некоторые А есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D); Перечисленные шесть сложных возможных миров, в которых истинно суждение «Некоторые А есть 5», вместе образуют объем данного суждения (его логическое содержание можно будет вычислить после вычисления всех возможных миров, образующих симметричный универсум). Все эти шесть возможностей символизируются деревом на рис. 4 и в наиболее удобном для вычислений виде — деревом на рис. 2. Именно оно и будет использоваться при решении логических задач.. Общей формулой суждения «Некоторые А есть 5» будет, следовательно: Некоторые А есть 5 = 0/A) + B?) + C?) + D?); = (а) + (Ь) + (с) + (d) + (е) + (h). Приведенная формула читается следующим образом: суждение «Некоторые А есть 5» не исключает ни одной ветви дерева на рис. 1 и поэтому в терминах простых возможных миров имеет нулевое содержание; вместе с тем оно утверждает истинность первой ветви этого дерева, которая в терминах простых возможных миров образует его объем, и оставляет неопределенными все остальные ветви (их номера отмечены дополнительно знаком «?») указанного дерева. В терминах сложных возможных миров, как мы увидим, данное суждение имеет ненулевое содержание.
139 Допустим, истинно суждение «Все А есть 5». Из свойств логического квадрата следует такое распределение значений истинности среди частных суждений: Если исключить вершину логического квадрата, связанную с суждением «Ни одно А не есть 5» как избыточную для нашего анализа, то логический квадрат превратится в логический треугольник: Данный треугольник доказывает следующий фундаментальный факт для общеутвердительных суждений: истинность общеутвердительного суждения «Все А есть 5» равносильна одновременной истинности частноут- вердительного суждения «Некоторые А есть 5» и ложности частноотрица- тельного суждения «Некоторые А не есть 5». Все, что сообщает общеутвердительное суждение «Все А есть 5» о связи субъекта А с предикатом В и его дополнением —¦?, можно представить в виде следующего дерева (рис. 5). Все А есть В А о В Рис.5 Левая ветвь дерева на рис. 5, отмеченная знаком «+», читается: суждение «Некоторые А есть 5» истинно. Правая ветвь рассматриваемого де-
140 рева, будучи отмеченной знаком «о», читается: суждение «Некоторые А не есть 5» ложно. Вся диаграмма с одинаковым успехом может читаться как «Все А есть 5» и как «Ни одно А не есть —15», доказывая истинность превращения общеутвердительного суждения. Значения истинности остальных суждений, соответствующих ветвям дерева на рис. 1, определяются с помощью обращения и противопоставления суждения «Все А есть 5». В итоге мы получаем следующее окончательное распределение значений истинности рассматриваемого суждения (рис. 6). Все А есть В Рис. 6 Неопределенность суждения «Некоторые —Л есть 5» означает, что оно может быть как истинно, так и ложно. Следовательно, общая формула суждения «Все А есть 5» такова: Все А есть В = {B) / A) + C?) + D)}; = {B)/A)+C)+D)} +{B) + C)/A) + D)}; Дерево на рис. 5 в сжатом виде содержит все возможности истинности данного суждения. Поэтому при решении задач оно будет использоваться в качестве базисного. Суждение «Все А есть 5» обладает ненулевым содержанием в терминах как простых, так и сложных возможных миров. Допустим, истинно частноотрицательное суждение «Некоторые А не есть 5». Для этого суждения логический квадрат дает следующее распределение значений истинности среди частных суждений: и
141 Устранение избыточной части логического квадрата дает нам соответствующий логический треугольник: Исключение вершины, обозначающей суждение «Ни одно А не есть оставляет линию, соединяющую только частные суждения: Данная линия доказывает следующий фундаментальный факт для частноотрицательных суждений: истинность частноотрицательного суждения «Некоторые А не есть 5» равносильна одновременной истинности самого этого суждения и неопределенности частноутвердительного суждения «Некоторые А есть 5». Все, что сообщает частноотрицательное суждение «Некоторые А не есть 5» о связи субъекта А с предикатом В и его дополнением —ьб, можно представить в виде следующего дерева (рис. 7). Некоторые А не есть В А Рис.7 Левая ветвь дерева на рис. 7, отмеченная знаком «?», читается: част- ноутвердительное суждение «Некоторые А есть 5» неопределенно; правая ветвь, отмеченная знаком «+», читается: частноотрицательное суждение «Некоторые А не есть 5» истинно. Обращение рассматриваемого суждения, совпадающее с его противопоставлением, дает нам эквивалентное суждение «Некоторые —& не есть —Л». Следовательно, кроме первой ветви дерева на рис. 1, неопределенными являются также третья и четвертая ветви этого дерева (рис. 8).
142 Некоторые А не есть В А- Рис.8 Каждая из ветвей, отмеченная знаком «?», может быть истинна или ложна. Следовательно, частноотрицательное суждение «Некоторые А не есть 5» может быть истинно в следующих восьми случаях (сложных возможных мирах): Некоторые А не есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D); Однако из указанных восьми случаев два — (к) и (т) несовместимы с допущением симметричности универсума. В этих мирах одновременно истинны суждения «Все А есть —¦#» и «Все —Л есть —¦#». Из истинности суждения «Все А есть —?», которое эквивалентно суждению «Все В есть —А», должна следовать истинность частного суждения «Некоторые -\А есть 5». Но последнее противоречит суждению «Все —Л есть —¦?». Следовательно, данные миры несимметричны с точки зрения требований логического квадрата. Оба они вычеркиваются поэтому из объема суждения «Некоторые А не есть 5». Окончательный список возможных миров, в которых истинно рассматриваемое суждение, таков: Некоторые А не есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D); Общая формула суждения «Некоторые А не есть 5» выглядит следующим образом: Некоторые А не есть В= {0 / A?) + B) + C?) + D?)}; Приведенная формула читается следующим образом: суждение «Некоторые А не есть 5» не исключает ни одной ветви дерева на рис. 1 и по-
143 этому в терминах простых возможных миров имеет нулевое содержание; вместе с тем оно утверждает истинность второй ветви этого дерева, которая в терминах простых возможных миров образует его объем, и оставляет неопределенными все остальные ветви (их номера отмечены дополнительно знаком «?») указанного дерева. В терминах сложных возможных миров, как мы увидим, данное суждение имеет ненулевое содержание. Допустим, истинно общеотрицательное суждение «Ни одно А не есть 5». Из свойств логического квадрата следует такое распределение значений истинности среди частных суждений: Если исключить вершину логического квадрата, связанную с суждением «Все А есть 5» как избыточную, то логический квадрат превратится в логический треугольник: и Данный треугольник доказывает следующий фундаментальный факт для общеотрицательных суждений: истинность общеутвердительного суждения «Ни одно А не есть 5» равносильна одновременной истинности ча- стноотрицательного суждения «Некоторые А не есть 5» и ложности част- ноутвердительного суждения «Некоторые А есть 5». Все, что выражает общеотрицательное суждение «Ни одно А не есть 5» о связи субъекта А с предикатом В и его дополнением —ь8, можно представить в виде следующего дерева (рис. 9).
144 Ни одно А не есть В А о /\ + В Рис. 9 Левая ветвь дерева на рис. 9, отмеченная знаком «о», читается: суждение «Некоторые А есть 5» ложно. Правая ветвь рассматриваемого дерева, будучи отмеченной знаком «+», читается: суждение «Некоторые А не есть 5» истинно. Вся диаграмма с одинаковым успехом может читаться как «Ни одно А не есть 5» и как «Все А есть —ьб», доказывая истинность превращения общеутвеотрицательного суждения. Значения истинности остальных суждений, соответствующих ветвям дерева на рис. 1, определяются с помощью обращения и противопоставления суждения «Ни одно А не есть 5». В итоге мы получаем следующее окончательное распределение значений истинности рассматриваемого суждения (рис. 10). Ни одно А не есть В Рис. 10 Неопределенность суждения «Некоторые —Л есть —iB» означает, что оно может быть как истинно, так и ложно. Следовательно, общая формула суждения «Ни одно А не есть 5» такова: Ни одно А не есть В = {A) / B) + C) + D?)}; - {A)/B) + C) + D)} + {A)+ D) / B) + C)}; Дерево на рис. 9 в сжатом виде содержит все возможности истинности данного суждения. Поэтому при решении задач оно будет использоваться в качестве базисного. Суждение «Ни одно А не есть 5» обладает ненулевым содержанием в терминах как простых, так и сложных возможных миров. Логическая сумма возможных миров, образующая объемы любой пары противоречащих друг другу суждений, например, «Все А есть В» и
145 «Некоторые А не есть 5», или частично совместимых суждений «Некоторые А есть 5» и «Некоторые А не есть 5», дает нам универсум, симметричный относительно законов логического квадрата, для всех видов суждений, выразимых в терминах А и В (со знаками отрицания и без них) и удовлетворяющих требованию непустоты: С/= (а) + (Ь) + (с) + (d) + (е) + (h)+ (j) + (О- Тот факт, что объемы противоречащих суждений вместе исчерпывают данный универсум и область их пересечения пуста, доказывает невозможность их одновременной истинности и ложности. Сравнивая объемы частных суждений «Некоторые А есть 5» и «Некоторые А не есть 5» между собой, мы видим, что область пересечения их объемов не пуста и равна следующему подмножеству множества сложных возможных миров — {а, с, d, h}. Значит, эти суждения могут быть вместе истинны. С другой стороны, их содержания — соответственно миры {j, 1} и {Ь, е} не пересекаются. Значит, они не могут быть вместе ложны. Вместе оба эти факта доказывают частичную совместимость данных частных суждений и тем самым подтверждают свойства логического квадрата. Объемы противоположных суждений — «Все А есть 5» и «Ни одно А не есть 5» не пересекаются и поэтому они никогда не могут быть вместе истинны. Но их содержания — {а, с, d, h, j, 1} и {a, b, с, d, e, h} соответственно пересекаются. Значит, они могут быть вместе ложны. Все эти факты доказывают выполнимость законов логического квадрата в симметричном универсуме. Содержания и объемы основных видов простых суждений указаны ниже: Некоторые А есть В = (j) + A) / (а) + (Ь) + (с) + (d) + (е) + (h); Некоторые А есть -тД = (Ь) + (е) / (а) + (с) + (d) + (h) + (j) + A); Некоторые -А есть В = (с) + (е) + (h) / (а) + (b) + (d) + (j) + A); Некоторые -А есть -тВ = (d) + (h) + A) / (а) + (b) + (с) + (е) + Q); Некоторые, но не все А есть В = (b)+(e)+(j)+(l)/(a) + (с) + (d) + (h); Некоторые, но не все —А есть В = (c)+(d)+(e)+(h) + A)/(а) + (b) + G)? Все А есть В = (а) + (с) + (d) + (h) + (j) + A) / (b) + (e); Все А есть -.5 = (a) + (b) + (c) + (d) + (h) + A) / (j) + A); Все -А есть В = (а) + (b) + (c) + (e) + (j) / (Ф + (h) + A); Все -А есть -,? = (a) + (b) + (d) + (j) + A) / (c) + (e) + (h); Только некоторые А есть В = (a)+(b)+(c)+(d)+(j) + A) / (e) + (h); Только некоторые А есть —¦? = (a)+(b)+(c)+(d)+(e) + (j) / (h) + A); Только А есть В = (а) + (b) + (c) + (d) + (h) + (j) + A) / (e); Только А есть -.5 = (a) + (b) + (c) + (d) + (e) + (h) + (j) + /A). С помощью превращения, обращения и контрапозиции из приведенного списка суждений можно получать новые — эквивалентные или подчиненные им суждения.
146 Главный вывод состоит в том, что в определенном симметричном универсуме объем и логическое содержание любого простого суждения независимо от распределения знаков отрицания по его терминам могут быть выражены в виде определенной комбинации исключаемых и разрешаемых сложных возможных миров, представляющих функции от распределения значений истинности среди частных суждений, образующих дерево на рис. 1. При этом все эквивалентные суждения симметричны относительно всех законов (преобразований) логического квадрата. Данный результат позволяет ввести следующее общее определение отношения логического следования.. Пусть X и Y обозначают любые непустые множества суждений. Тогда множество суждений Y логически следует из множества суждений X (является необходимым условием X), если и только если A) множество возможных миров, разрешаемых X, представляет подмножество множества возможных миров, разрешаемых У, и B) множество возможных миров, исключаемых У, является подмножеством множества миров, исключаемых X. Очевидно, что данное определение представляет обобщение ранее введенного определения логического следования для понятий, а также закона обратного отношения объема и содержания понятий и их родовидового подчинения (глава II, 2, 4). Теперь допустим, что X и Y— два произвольных простых суждения. Если суждение Y является логическим следствием суждения X, то согласно общему определению отношения логического следования это означает, что: 1. Объем X полностью включен в объем Y; 2. Содержание ^полностью включено в содержание У. С целью демонстрации выясним, между какими из следующих суждений действует отношение логического следования: S = Некоторые А есть В, X = Некоторые А не есть В, Y— Некоторые, но не все А есть В, Z = Только некоторые А есть В, V= Все А есть В, W = Только А есть В, Напомним, что первое из них интерпретируется как «некоторые или все», а второе как «некоторые или ни один». Отношения включения между объемами и содержаниями рассматриваемых понятий позволяют сделать следующие выводы (отметим, что каждое суждение тривиально является логическим следствием самого себя):
147 Посылка S X Y Z V w Заключение (необходимое следствие) {S} {X) {S, X, Y} {S,Z} {S,V} {S,Z, V, W). Суждение W оказалось самым информативным из приведенного списка: оно имеет больше всех неэквивалентных самому себе логических следствий. Частные суждения S и X, наоборот, можно назвать самыми неинформативными суждениями из данного списка: кроме самих себя они не имеют никаких следствий. Данное обстоятельство свидетельствует о следующем среди прочих различии между общими и частными суждениями: только общие посылки увеличивают число нетривиальных суждений. К сказанному можно добавить, что противоречащие суждения (типа X и V) являются симметричными в следующем смысле: то, что для одного является содержанием, для другого — объемом и наоборот (что одно из них утверждает, другое отрицает и наоборот). Включения объемов рассматриваемых суждений можно представить и графически (рис. 11). <—s > z—> 4 X—> Рис. 11 Техника вывода необходимых следствий из нескольких посылок будет рассмотрена ниже. В целом мы вправе сделать следующий вывод. Введенное определение отношения логического следования распространяется как на понятия, так и на суждения и умозаключения. Оно образует фундамент всей дедуктивной логики (традиционной и современной). Отличаться могут только способы вывода заключений, удовлетворяющие этому отношению, но само оно является незыблемым для всех дедуктивных логик.
148 Отношение логического следования в случае истинности посылок гарантирует истинность заключения. На этом основании многие рационалисты считали, что при выборе надлежащих посылок одних только дедуктивных рассуждений достаточно для познания всей природы. Но так ли оправданы эти надежды? Информационная трактовка отношения логического следования позволяет дать следующий ответ. Дедуктивные умозаключения действительно гарантируют перенос истинности с посылок на заключение, но при этом происходит неизбежная потеря информации. При последовательном выведении следствий каждое новое следствие не может исключать больше, чем ему предшествующее. Поэтому чем длиннее цепь дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее из них. Рассмотрим в этой связи следующий пример. Напомним, что семантическая информация суждения пропорциональна числу исключаемых им возможных миров. Допустим, универсум является симметричным, то есть состоит из восьми определенных выше сложных возможных миров. Тогда семантическая информация суждения «Только А есть 5» равна 7/8, суждения «Все А есть 5» равна 6/8, суждения «Некоторые А есть 5» равна 2/8. При этом, как было продемонстрировано, все три суждения связаны отношением логического следования: второе является необходимым следствием первого, а третье — необходимым следствием как первого, так и второго. Таким образом, если истинно первое, то с необходимостью истинны второе и третье; если истинно второе, то обязательно истинно третье. Будучи все истинными, каждое из них имеет разное информационное содержание, убывающее по мере увеличения длины цепи следствий. По этой причине вывод одних только истинных следствий нельзя считать исчерпывающим критерием дедуктивного рассуждения. Необходимо также учитывать информативность выводимых следствий. Из рассмотренного примера следует также, что своеобразным пределом дедуктивного рассуждения выступает логически истинное суждение, наподобие «Некоторые А есть В или —&». Информативность таких суждений равна нулю. Следовательно, все попытки получить знание о мире с помощью одной только дедукции обречены по крайней мере на информационное бесплодие. 3. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ОДНОЙ ПОСЫЛКОЙ Одним из оснований, по которому различаются дедуктивные умозаключения, служит число посылок. Умозаключения с одной посылкой называют непосредственными, с двумя или более посылками — опосредованными. Непосредственные умозаключения — это обычные преобразова-
149 ния суждений, о которых говорилось в предыдущей главе, но рассматриваемые в терминах отношения логического следования. Два простых суждения образуют умозаключения, если: 1) все четыре термина являются независимыми понятиями с одним ближайшим общим универсумом; 2) по крайней мере одно из данных суждений является необходимым условием истинности другого, то есть его заключением. Назовем доказательство, что два суждения образуют умозаключение, решением этого умозаключения. Решить умозаключение с одной посылкой означает доказать, что между двумя рассматриваемыми суждениями существует отношение логического следования. Комбинаторный базис решения умозаключения образует дерево возможных миров, образованное из терминов посылки. Пусть X и Y представляют переменные, чьими значениями выступают буквы А, В, С, ..., обозначающие термины суждений как со знаками отрицания, так и без них. Это означает, что вместо, например, X можно подставлять как А, так и —Л, как В, так и —\В. Аналогично и для Y. Пусть ^обозначает субъект посылки, a Y — ее предикат. Вершиной дерева умозаключения может быть субъект посылки (прямая форма), предикат посылки (обратная форма), отрицание предиката посылки (обратно-противоположная форма). Примеры таких деревьев приведены на рис. 12 (который является копией рис. 3 данной главы). X Y -.7 \Y Прямая Обратная Обратно- форма форма противоположная форма Рис. 12 Чтобы решить умозаключение, сначала необходимо перенести информацию, содержащуюся в посылке, на дерево умозаключения. Действия этого вида будут регулироваться правилами маркировки путей дерева. Затем необходимо совершить обратное действие — перенести информацию, содержащуюся на дереве, на язык простых суждений и сформулировать, таким образом, заключения. В качестве знаков маркировки выступают ранее введенные знаки «+», «о» и «?», обозначающие соответственно истинный, ложный и неопределенный (простой) возможный мир. Вместо слов «возможный мир» или
150 «ветвь» при формулировке правил маркировки будет использоваться эквивалентный, но более удобный в этой процедуре термин «путь». Правила маркировки Ml. Там, где это необходимо, посылка с помощью преобразований приводится к виду, при котором субъект посылки совпадает с вершиной рассматриваемой формы дерева. М2. Если посылка имеет вид «Все X есть 7», то путь от Xк —17маркируется знаком «о», а противоположный ему путь от! кГ — знаком «+». Пример см. на рис. 5. МЗ. Если посылка имеет вид «Ни один X не есть 7», то путь от X к 7 маркируется знаком «о», а противоположный ему путь от X к -.7— знаком «+». Пример см. на рис. 9. М4. Если посылка имеет вид «Некоторые X есть 7», то путь от X к 7 маркируется знаком «+», а противоположный ему путь от X к —>7— знаком «?». Пример см. на рис. 2. М5. Если посылка имеет вид «Некоторые X не есть 7», то путь отХк —>7маркируется знаком «+», а противоположный ему путь от X к 7— знаком «?». Пример см. на рис. 7. Допустим, посылка имеет вид «Только X есть 7». Поскольку она эквивалентна суждениям «Все X есть 7» и «Все —тХесть —17», то из этих суждений выбирается то, которое соответствует рассматриваемому дереву. Допустим, посылка имеет вид «Только некоторые X есть 7». Так как она эквивалентна по соглашению суждению «Все 7 есть X», то данный случай подчиняется правилу М2. Допустим, посылка имеет вид «Только некоторые X не есть 7». Так как она эквивалентна по соглашению суждению «Все —X есть 7», то данный случай подчиняется правилу М2. Допустим, посылка имеет вид «Все, кроме X, есть 7». Она эквивалентна суждению «Все —тХесть 7», которое подчиняется правилу М2. Допустим, посылка имеет вид «Ни один, кроме X, не есть 7». Она эквивалентна суждению «Ни один —X не есть 7» и следовательно, подчиняется правилу МЗ. Допустим, посылка имеет вид «Некоторые, кроме X, есть 7». Она эквивалентна суждению «Некоторые —тХесть 7» и подчиняется правилу М4. Допустим, посылка имеет вид «Некоторые, кроме X, не есть 7». Она эквивалентна суждению «Некоторые —JC не есть 7» и подчиняется правилу М5. Таким образом, какое бы простое суждение ни фигурировало в качестве посылки, сообщаемая им информация полностью переносится с помощью правил маркировки на дерево умозаключения. Это утверждение истинно и для суждений, начинающихся со слов «Неверно, что...» и их эк-
151 вивалентов, выражающих внешнее отрицание. Ибо мы знаем из предыдущего обсуждения, что внешнее отрицание, перенесенное вовнутрь, трансформирует общие суждения в частные и наоборот. Следовательно, и в этом случае мы не выходим за пределы указанных правил маркировки. Заслуживает внимания небольшой комментарий по поводу указанной последовательности нанесения знаков маркировки. Если посылка представляет общее суждение, то первым всегда наносится его отличительный маркер — знак исключения «о». Это позволяет без колебаний на противоположной ветви поставить знак «+». Иными словами, напротив «о» всегда должен стоять «+». Обратная последовательность в общем случае является неверной. Если посылка является частной, то первым наносится его отличительный маркер — знак разрешения «+». Это позволяет без колебаний на противоположной ветви поставить знак «?». Другими словами, если знак «+» был поставлен первым, то напротив его должен стоять знак «?». Такая последовательность диктуется законами логического квадрата (см. гл. III, 5). Правила вывода В1. Для получения заключения достаточно рассмотреть любую одну из трех форм дерева умозаключения — прямую, обратную или обратно- противоположную. а) Если в рассматриваемом дереве путь от X к Y маркирован знаком «+», а противоположный ему путь от X к -.7— знаком «о», то в качестве заключения следует «Все X есть 7» или (в неразделительном смысле) «Ни один Хне есть -Т». б) Если в рассматриваемом дереве путь от X к Y маркирован знаком «+», а противоположный ему путь от X к -.7— знаком «?», то в качестве заключения следует «Некоторые X есть У» или (в неразделительном смысле) «Некоторые Хне есть —iF». в) Из любых других распределений знаков «+», «о» и «?», кроме указанных в пунктах а) и б) из рассматриваемого дерева ничего не следует. Различие между пунктами а) и б) основано на различии между общими и частными суждениями. Как мы знаем, из истинности общих суждений следует истинность подчиненных им частных суждений, но обратное в общем неверно. Сформулированных правил маркировки и вывода достаточно, чтобы сделать заключение из любого простого суждения. Поскольку каждое суждение тривиально является следствием самого себя, то мы будем считать заключением только то суждение, которое отличается от самой посылки либо качеством, либо количеством, либо и тем и другим. Можно предложить следующий алгоритм решения умозаключений с одной посылкой.
152 1. Формулируем посылку на естественном языке. 2. Приводим посылку к нормальной форме. 3. Формулируем посылку символически. 4. Строим из терминов посылки дерево умозаключения (прямую, обратную или обратно-противоположную форму). 5. Маркируем ветви дерева согласно правилам М1-М5. 6. Выводим заключение (не совпадающее с посылкой) согласно правилу В1. Рассмотрим несколько примеров решения умозаключения с одной посылкой. Пример 1 1. Все, кто всерьез жаждет обрести прочные знания, должны работать упорно. 2. Все молодые люди, всерьез жаждущие обрести прочные знания (А), есть молодые люди, которые должны работать упорно (В). 3. Все^4 есть В, 4-5. А В 6. Заключение: 1) Ни один молодой человек, всерьез жаждущий обрести прочные знания, не есть молодой человек, который не должен работать упорно (превращение посылки); 2) Некоторые молодые люди, которые должны работать упорно, есть молодые люди, всерьез жаждущие обрести прочные знания (обращение посылки); 3) Все молодые люди, которые не должны работать упорно, есть молодые люди, всерьез не жаж- дущие обрести прочные знания (контрапозиция посылки) . Пример 2 1. Некоторые сладкие вещи не полезны для здоровья. 2. Некоторые сладкие вещи (А) не есть вещи, полезные для здоровья (В). 3. Некоторые А не есть В. 4-5. 38 Все формы дерева умозаключения рассматриваются только в первых двух примерах.
153 А В 6. Заключение: 1) Некоторые сладкие вещи есть вещи, которые вредны для здоровья (превращение посылки); 2) Некоторые вредные для здоровья вещи есть сладкие вещи (обращение посылки, совпадающее с ее контрапозицией). Обратного заключения не существует (знак неопределенности на обеих ветвях). В нижеследующих примерах ссылки на характер преобразования опущены. Пример 3 1. Только несдержанные люди берутся за все. 2. Только несдержанные люди (А) есть люди, берущиеся решать все проблемы (В). 3. Только А есть В = Все А есть В и Все В есть А. 4-5. 6. Заключение: 1) Ни один несдержанный человек не есть человек, не берущийся решать все проблемы; 2) Ни один человек, берущийся решать все проблемы, не есть сдержанный человек; 3) Ни один сдержанный человек не есть человек, берущийся решать все проблемы; 4) Ни один не берущийся решать все проблемы человек не есть несдержанный человек. (Читателю предлагается прочитать все заключения в утвердительной форме.) Пример 4 1. Только некоторые люди исполняют свои обещания. 2. Только некоторые разумные существа, относящиеся к людям (А), есть разумные существа, исполняющие свои обещания (В). 3. Только некоторые А есть В = Все В есть А. 4-5.
154 6. Заключение: 1) Некоторые разумные существа, являющиеся людьми, исполняют свои обещания; 2) Ни одно разумное существо, исполняющее свое обещание, не есть разумное существо, не являющееся человеком; 3) Некоторые разумные существа, не исполняющие свои обещания, есть существа, не являющиеся людьми. Пример 5 1. Ни одно критическое замечание в мой адрес не оставляет меня равнодушным. 2. Ни одно замечание в мой адрес, являющееся критическим (А), не есть замечание, оставляющее меня равнодушным (В), 3. Ни одно А не есть В, 4-5. А В 4 д —ю 6. Заключение: 1) Все критические замечания в мой адрес есть замечания, не оставляющие меня равнодушным; 2) Все замечания, оставляющие меня равнодушным, есть замечания не в мой адрес; 3) Некоторые замечания, не оставляющие меня равнодушным, не есть некритические замечания в мой адрес. Пример 6. Неверно, что если принимать каждого по заслугам, то никто не избежит кнута39. 2. Некоторые люди, которых принимают по заслугам (А), есть люди, избежавшие кнута (В), 3. Некоторые А есть В, 4-5. А В ч АА 6. Заключение: 1) Некоторые люди, которых принимают по заслугам, не есть люди, не избежавшие кнута; 2) Некоторые люди, избежавшие кнута, есть люди, которых принимают по заслугам. Обратно-проти- 39 Отрицание известного утверждения Гамлета (акт II, сцена 2).
155 воположного заключения не существует, так как знак неопределенности расположен на обеих ветвях. Пример 7 1. Кроме неразумных людей, никто не надеется на невозможное. 2. Все люди, кроме неразумных (А), есть люди, не надеющиеся на невозможное (В). 3. Все, кроме А, есть В = Все -А есть В, 4-5. А В -.Я + 6. Заключение: 1) Некоторые неразумные люди надеются на невозможное; 2) Некоторые из людей, не надеющихся на невозможное, есть разумные люди; 3) Все люди, надеющиеся на невозможное, есть неразумные люди. Итак, каждое умозаключение с одной посылкой — это тот или иной вид преобразования суждения, но выраженный в терминах отношения логического следования. Так как преобразований несколько, то и заключений также несколько, при этом некоторые из них могут быть эквивалентны друг другу. Выбор одного из них диктуется целями преобразования суждения. Если такой цели нет, тогда рассматриваются все возможные заключения. Несмотря на всю важность, дедуктивные умозаключения с одной посылкой еще не выводят нас за пределы преобразований суждений, то есть еще не являются умозаключениями в наиболее интересном смысле слова. 4. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ДВУМЯ ПОСЫЛКАМИ (СИЛЛОГИЗМЫ) Дедуктивные умозаключения с двумя посылками, известные более как (простые) силлогизмы (греч. syllogismos — «сосчитывание», «выведение»), были впервые детально проанализированы Аристотелем. С тех пор решение силлогизмов составляет важнейшую часть любого учебника по традиционной логике. Три суждения образуют (простой) силлогизм, если 1) Все шесть терминов являются независимыми понятиями с одним ближайшим общим универсумом;
156 2) Одна из посылок содержит субъект заключения и исключаемый термин, другая — предикат заключения и исключаемый термин; исключаемый термин в заключении отсутствует (по этой причине он так и называется); 3) Все суждения связаны отношением логического следования таким образом, что одно из них (заключение) является необходимым условием истинности двух других (посылок). Посылки силлогизма пишутся, как правило, одна над другой и отделяются горизонтальной чертой от заключения. Например: Все росинки на солнце сверкают. Эта капелька на солнце не сверкает. Эта капелька — не сверкает. Пусть А обозначает субъект заключения, В — исключаемый термин, С — предикат заключения. В приведенном примере эти буквы имеют следующее значение: А = эта капелька, В = капелька, сверкающая на солнце, С = капелька, являющаяся росинкой. Весь силлогизм в символической записи выглядит следующим образом: Все С есть 5. Все А есть -.5. Все А есть Порядок посылок в силлогизме не существен, так же, впрочем, как несущественно, каким термином А или С, обозначается субъект заключения. Существенным для любого силлогизма является правильное определение исключаемого термина В, который может входить в посылки как со знаком отрицания, так и без него. Основная функция исключаемого термина — логическая связь субъекта и предиката заключения, то есть соединение посылок в одно смысловое целое. Чтобы правильно определить исключаемый термин, необходимо найти понятие, входящее в обе посылки. Других таких понятий в силлогизме не должно быть. Для правильного решения силлогизма важное значение имеет выполнение пункта 1 определения силлогизма, то есть нахождение ближайшего общего универсума для всех шести терминов. Если такой универсум определить нельзя, то силлогизм решения не имеет. Например, подавляющее большинство начинающих изучать логику пытается сделать вывод из следующего силлогизма Л. Кэрролла:
157 Сахар сладкий. Все дети любят сладкое. не обращая внимания на то, что посылки этого силлогизма не имеют (ближайшего) общего универсума. В первой посылке говорится о продуктах питания, во второй — о людях. Напомним, что универсум понятия должен представлять объем ближайшего родового понятия; универсум суждения — ближайший класс вещей, обобщающий оба его термина; универсум силлогизма — ближайший класс вещей, обобщающий все шесть его терминов. Следующий алгоритм позволяет быстро и надежно привести любой силлогизм к виду, удобному для формального решения. 1. Формулируем посылки силлогизма. 2. Приводим обе посылки к нормальной форме и определяем ближайший общий универсум силлогизма. Если такой находится, переходим к следующему пункту. Если такой универсум найти нельзя, значит данный силлогизм решения не имеет. 3. Ищем понятие, которое входит в обе посылки в утвердительной или отрицательной форме. Если такое понятие есть и оно единственное, то это исключаемый термин. Обозначаем его буквой В. Если такого понятия нет или оно не единственное, то данный силлогизм решения не имеет. 4. Рассматриваем первую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как субъект заключения и обозначаем буквой А. 5. Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как предикат заключения и обозначаем буквой С. 6. Формулируем обе посылки в символической форме и решаем силлогизм. 7. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с символического языка на естественный. Для решения силлогизмов необходимо знать правила. Как и в случае с одной посылкой, такие правила разделяются на правила маркировки и правила вывода заключения. Прежде чем их сформулировать, введем понятие силлогистического дерева. Комбинаторный базис решения силлогизма образует силлогистическое дерево, вершиной которого может быть субъект заключения (прямая форма), предикат заключения (обратная форма), отрицание предиката заключения (обратно-противоположная форма).
158 Пусть переменные X и Y пробегают по буквам А и С как со знаками отрицания, так и без них. Различные формы силлогистического дерева могут быть представлены следующим образом (рис. 13). X X -X Прямая форма Обратная форма Обратно- противоположная форма Рис. 13 Обязательным условием правильного построения силлогистического дерева является среднее положение исключаемого термина, оправдывающее его функцию связующего звена. В качестве знаков маркировки используются ранее введенные знаки «+», «о», «?». Для удобства сохранена система обозначений правил маркировки и правил вывода. Правила маркировки ММ1. Маркировка путей силлогистического дерева начинается с вершины и проводится с помощью правил маркировки М1-М5. Первой используется та посылка, которая содержит термин, обозначающий вершину рассматриваемой формы дерева. ММ2. Если в результате первой маркировки какой-либо один путь от вершины к среднему узлу отмечен знаком «+», а противоположный ему путь — знаком «о» или «?», то во второй маркировке участвует только первый путь (отмеченный знаком «+»). ММЗ. Если в результате первой маркировки оба пути от вершины к средним узлам отмечены знаком «?», то данная форма силлогистического дерева во второй маркировке не участвует и в выводе не используется. ММ4. После приведения второй посылки к виду, при котором ее субъект совпадает с термином, обозначающим средний узел, и соединен с вершиной знаком «+», разрешается маркировка нижней половины силлогистического термина в соответствии с правилами М2-М5.
159 Правила вывода 881. Пусть путь от вершины X к среднему узлу (В или -,B) и путь от этого же среднего узла к конечному узлу Y оба маркированы знаком «+». а) Если путь из вершины и путь из среднего узла, противоположные маркированным знаком «+», оба отмечены знаком «о», то в качестве заключения силлогизма следует суждение «Все X есть У» или «Ни одно X не есть —^Y». б) Если путь из вершины к среднему узлу, противоположный маркированному знаком «+», отмечен знаком «?» и путь из среднего узла, противоположный маркированному знаком «+», отмечен знаком «о», то в качестве заключения силлогизма следует суждение «Некоторые X есть 7» или суждение «Некоторые Xне есть -.У». в) При всех других комбинациях знаков маркировки данное силлогистическое дерево заключения не имеет. 882. Правило ВВ1 применяется к любой из трех форм силлогистического дерева. В том случае, если ни из прямой, ни из обратной, ни из обратно- противоположной форм силлогистического дерева ничего не следует, данный силлогизм решения не имеет. Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов согласно указанному алгоритму. Силлогизмы заимствованы из книги Л. Кэрролла «Логическая игра»40. Пример 1 1. Боль подтачивает силы человека. Никакая боль не желательна. 2. Все ощущения, называемые болью, есть ощущения подтачивающие силы человека. Ни одно ощущение, называемое болью, не есть ощущение, которое желательно. 3-5. U = ощущения, В = болезненные, А = подтачивающие силы человека, С = желательные. 6. Все В есть А. Все В есть —лС. Некоторые А есть —лС. Некоторые А не есть —лС. Некоторые -iC есть А, Некоторые —.С не есть —Л, 40 Кэрролл JI. Логическая игра. М., 1991. - С. 57-62.
160 А С -,С + /\? о/\+ +. .о С —iC л —iA A Ничего не следует 7. Заключение: 1) Некоторые ощущения, подтачивающие силы человека, есть нежелательные ощущения; 2) Некоторые ощущения, подтачивающие силы человека, не являются желательными ощущениями; 3) Некоторые нежелательные ощущения есть ощущения, подтачивающие силы человека; 4) Некоторые нежелательные ощущения не есть ощущения, не подтачивающие силы человека. Пример 2 1. Тем, кто лыс, расческа не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. 2. Ни одно лысое существо не есть существо, которому нужна расческа. Ни одно живое существо, являющееся ящерицей, не есть существо, имеющее волосы. 3-5. U= живое существо, В = лысое, А = нуждающееся в расческе , С = являющееся ящерицей. 6. Ни одно В не есть А. Ни одно С не есть —iB. Все А есть —>С Ни одно А не есть С. Все Сесть-vi. Ни одно С не есть А, С -,С -l4 A Ничего не следует 7. Заключение: 1) Все живые существа, которым нужна расческа, есть не ящерицы; 2) Ни одно живое существо, которому нужна расческа,
161 не является ящерицей; 3) Все ящерицы есть существа, которым не нужна расческа; 4) Ни одна ящерица не есть живое существо, которому нужна расческа. В дальнейшем, для краткости, заключение будет формулироваться только в утвердительной форме. Пример 3 1. Все невнимательные люди совершают оплошности. Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний. 2. Все невнимательные люди есть люди, совершающие оплошности. Ни один внимательный человек не есть человек, забывающий свои обещания. 3-5. U = люди, В = внимательные, А = совершающие оплошности, С = забывающие о своих обещаниях. 6. Все —лВ есть А. Ни одно В не есть С. Все С есть А. С С Ничего не следует Ничего не следует 7. Заключение: Все забывающие о своих обещаниях есть люди, совершающие оплошности. Пример 4 1. Мне Джон не нравится. Некоторым из моих друзей Джон нравится. 2. Все люди, называющие себя «я», есть люди, которым Джон не нравится. Некоторые мои друзья есть люди, которым Джон нравится. 3-5. U = люди, В = которым Джон нравится, А = называющие себя «я», С = мои друзья. 6.
162 LJ Ничего А /\ не следует Все А есть Некоторые Все С есть / и С А —А С есть В. -А. С ч. Ничего не следует 7. Заключение: Некоторые мои друзья — это не я. Пример 5 1. Картошка — не ананас. Все ананасы приятны на вкус. 2. Ни один плод, называемый картошкой, не есть плод, называемый ананасом. Все плоды, называемые ананасами, есть плоды, приятные на вкус. 3-5. U — плоды, В = называемые ананасами, А = называемые картошкой, С = приятные на вкус. 6. Ни одно А не есть В. Все В есть С. и Ничего А /ч не следует Все °/ 'АХ С 1 JL Л есть г } -А -Л. С ч, А -А Ничего не следует 7. Заключение: 1) Некоторые плоды, приятные на вкус, не картошка.
163 Пример 6 1. Ни одна булавка не имеет честолюбивых намерений. Ни одна иголка — не булавка. 2. Ни одно изделие, называемое булавкой, не есть изделие, имеющее честолюбивые намерения. Ни одно изделие, называемое иголкой, не есть изделие, называемое булавкой. 3-5. U — изделия, В = называемое булавками, А = имеющие честолюбивые намерения, С = называемые иголками. 6. Ни одно В не есть А. Все С есть В. Некоторые —>С есть —А. с ... \\ —iA Л -лА Ничего не следует Ничего не следует 7. Заключение: Некоторые неиголки есть изделия, не имеющие честолюбивых намерений. Пример 7 1. Все эти блюда отлично приготовлены. Некоторые блюда, если их плохо приготовить, вредны для здоровья. 2. Все блюда, относящиеся к «этим», есть отлично приготовленные блюда. Некоторые плохо приготовленные блюда есть блюда, вредные для здоровья. 3-5. U — блюда, В = отлично приготовленные, А = эти, С= вредные для здоровья. 6. Все А есть В. Некоторые -.2? есть С. Некоторые С есть —Л,
164 А С -,С Ничего не следует Ничего не следует 7. Заключение: Некоторые вредные для здоровья блюда не принадлежат к числу этих блюд. Пример 8 1. Некоторые сорта герани красного цвета. Все эти цветы красные. 2. Некоторые сорта герани есть цветы красного цвета. Все эти цветы красного цвета. 3-5. U= цветы, В = красного цвета, А = сорта герани, С = эти. 6. Некоторые А есть В, Все С есть В. С АА А -А Ничего не следует Ничего не следует Ничего не следует 7. Заключения нет, то есть данный силлогизм решения не имеет.
165 5. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ТРЕМЯ И БОЛЕЕ ПОСЫЛКАМИ (СЛОЖНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ) Силлогизм называется сложным, если в нем более двух посылок. Посылки сложных силлогизмов формулируются всегда в виде общих суждений. Тем не менее возможен вывод и с одной частной посылкой (см. правило вывода ВВВ2). Рассмотрим сначала пример, а потом укажем общий алгоритм решения сложных силлогизмов. Пусть дан следующий силлогизм: 1. Ни одно С не есть D. 2. Все А есть D. 3. Все В есть С. Все А есть В. В каждом правильно построенном сложном силлогизме должно быть два различных термина, которые входят в посылки только один раз и образуют соответственно субъект и предикат заключения. В нашем примере такими терминами являются А и В, Все остальные термины, именно Си/), являются исключаемыми, так как их единственная функция состоит в том, чтобы связать субъект и предикат заключения. Таким образом, в сложных силлогизмах имеется более одного исключаемого термина. Найдя два термина, входящие в посылки один раз, выбираем любой из них в качестве вершины силлогистического дерева. Пусть А будет таким термином. Из терминов силлогизма строим силлогистическое дерево и маркируем его ветви в соответствии с правилами М1-М4. Получаем: Первая посылка Вторая посылка Третья посылка Двигаясь от вершины А по путям, отмеченным знаком «+», и принимая во внимание, что все противоположные им пути отмечены знаком «о», читаем окончательный ответ — «Все А есть -.5».
166 Если выбрать в качестве вершины силлогистического дерева термин В, то мы получим контрапозицию первого заключения, именно суждение «Все В есть —А». Из терминов силлогизма строим силлогистическое дерево и маркируем его ветви в соответствии с правилами М1-М4. Получаем: Первая посылка Третья посылка Вторая посылка Оба заключения эквивалентны друг другу. Следовательно, достаточно получить какой-то один из них. Рассмотренный пример позволяет сформулировать следующий общий алгоритм решения сложных силлогизмов. 1. Формулируем посылки сложного силлогизма. 2. Приводим посылки к нормальной форме. 3. Определяем универсум силлогизма и обозначаем термины в алфавитном порядке. 4. Записываем все посылки в символической форме и решаем силлогизм. 5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с символического языка на естественный. Поскольку сложный силлогизм — это умноженный простой силлогизм, то правила маркировки и вывода заключения не имеют принципиальных отличий от соответствующих правил для простых силлогизмов. Правила маркировки МММ1. Маркировка путей силлогистического дерева начинается с вершины и проводится с помощью правил М1-М5. Первой используется та посылка, которая содержит в качестве субъекта термин, обозначающий вершину дерева. МММ2. Каждая посылка используется только один раз и только для продолжения пути, отмеченного знаком «+», то есть пути, отмеченные знаком «о», продолжению не подлежат.
167 Правила вывода 8881. Если существует путь от вершины силлогистического дерева X до какого-либо конечного узла 7, отмеченный знаком «+», а все противоположные ему пути отмечены знаком «о», то в качестве заключения следует суждение «Все X есть 7». 8882. Если существует путь от вершины силлогистического дерева X до какого-либо конечного узла 7, отмеченный знаком «+», и первый противоположный путь (то есть исходящий из вершины) отмечен знаком «?», а все остальные противоположные пути отмечены знаком «о», то в качестве заключения следует суждение «Некоторые X есть 7». Решение сложных силлогизмов имеет две особенности. Во-первых, для них обратная и обратно-противоположная форма силлогистического дерева совпадают. Во-вторых, частная посылка должна быть не только единственной, как и в простом силлогизме, но и использоваться первой. В противном случае силлогизм не имеет решения. Рассмотрим несколько примеров решения сложных силлогизмов41. Пример 1. AI. Малые дети неразумны. 2. Тот, кто способен укрощать крокодилов, заслуживает уважения. 3. Неразумные люди не заслуживают уважения. B) 1. Люди, называемые малыми детьми, есть неразумные люди. 2. Все люди, способные укрощать крокодилов, есть люди, заслуживающие уважения. 3. Все неразумные люди есть люди, не заслуживающие уважения. C) U = люди, А = малые дети, В = неразумные, С = способные укрощать крокодилов, D = заслуживающие уважения. D) 1. Все А есть В, 2. Все С есть D. 3. Все В есть —D. Все А есть —лС. Все Сесть —Л. 41 Кэрролл Л. История с узелками. М., 1973. - С. 291-304.
168 С E) Заключение: 1) Все малые дети не способны укрощать крокодилов; 2) Все способные укрощать крокодилов не являются малыми детьми. Пример 2 AI. Мои кастрюли — единственные из принадлежащих мне вещей, которые сделаны из олова. 2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны. 3. Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы. B) 1. Только некоторые из моих вещей, именно кастрюли, есть вещи, которые сделаны из олова. 2. Все мои вещи, являющиеся вашими подарками, есть чрезвычайно полезные вещи. 3. Ни одна моя вещь, являющаяся кастрюлей, не есть вещь, которая полезна. C) U = мои вещи, А = кастрюли, В = сделанные из олова, С = ваши подарки, D = чрезвычайно полезные. D) 1. Все В есть А. 2. Все С есть/). 3. Ни одно А есть D. Все В есть -.С. Все С есть С В
169 E) Заключение: 1) Все мои вещи, сделанные из олова, есть не ваши подарки; 2) Все ваши подарки сделаны не из олова. Пример 3 A) 1. Ни один из товаров, который был куплен и оплачен, не находится более в продаже в этом магазине. 2. Ни один из этих товаров нельзя вынести из магазина, если на нем нет ярлычка с надписью «Продано». 3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка с надписью «Продано», если он не куплен и не оплачен. B) 1. Ни один из товаров в этом магазине, который был куплен и оплачен, не есть товар, который находится в продаже в этом магазине. 2. Ни один из этих товаров, если на нем нет ярлычка с надписью «Продано», не есть товар, который можно вынести из этого магазина. 3. Ни один из товаров в этом магазине, если он не куплен и не оплачен, не есть товар, на котором имеется ярлычок с надписью «Продано». C) U = товары в этом магазине, А = купленные и оплаченные, В = находящиеся в продаже, С = с ярлычком с надписью «Продано», D = которые можно вынести из этого магазина. D) 1. Ни одно А не есть В, 2. Ни одно -.С не есть D. 3. Ни одно —Л не есть С. Все В есть —D. Все D есть -&. D E) Заключение: 1) Все товары в этом магазине, находящиеся в продаже, нельзя вынести из этого магазина; 2) Все товары, которые можно вынести из этого магазина, не находятся в продаже. В следующих примерах пункт 2, связанный с приведением посылок к нормальной форме, опускается.
170 Пример 4 AI. Вещи, продаваемые на улице, не имеют особой ценности. 2. Только дрянь можно купить за грош. 3. Яйца большой гагарки представляют большую ценность. 4. Лишь то, что продается на улице, и есть настоящая дрянь. B)-C) U = вещи, А = продаваемые на улице, В = имеющие особую ценность, С = дрянные вещи, D = которые можно купить за грош, Е = яйца большой гагарки. D) 1. Все А есть —&. 2. Только С есть D. 3. Bce?" есть В. 4. Все —А есть -iC. Все Е есть Все D есть D E) Заключение: 1) Яйца большой гагарки нельзя купить за грош; 2) Все вещи, которые можно купить за грош, не яйца большой гагарки. Пример 5. AI. Ни одна интересная поэма не останется не признанной людьми с тонким вкусом. 2. Ни одна современная поэма не свободна от аффектации. 3. Все ваши поэмы написаны о мыльных пузырях. 4. Ни одна аффектированная поэма не находит признания у людей с тонким вкусом. 5. Ни одна древняя поэма не написана о мыльных пузырях.
171 B)-C) U= поэмы, А = интересные, В = получившие признание у людей с тонким вкусом, С = современные, D = аффектированные, Е = ваши, Я = написанные о мыльных пузырях. D) 1. Ни одно А не есть 2. Ни одно С не есть 3. Все Е есть Я. 4. Ни одно D не есть В. 5. Ни одно -iC не есть Я. Все А есть —JE. Все Е есть —Л, E) Заключение: 1) Все интересные поэмы написаны не вами; 2) Все ваши поэмы не интересны. Пример 6 AI. Ни один муж, дарящий жене новые платья, не может быть несговорчивым. 2. Аккуратный муж всегда возвращается домой к чаю. 3. Жене нелегко приводить в порядок одежду мужа, если он имеет обыкновение вешать свою шляпу на газовый рожок. 4. Хороший муж всегда дарит жене новые платья. 5. Ни один муж не может не быть несговорчивым, если жена не следит за его одеждой. 6. Неаккуратный муж всегда вешает свою шляпу на газовый рожок.
172 B)-C) U = мужья, А = дарящие жене новые платья, С = аккуратные, D = всегда возвращающиеся домой к чаю, Е = вешающие свою шляпу на газовый рожок, Н = за одеждой которых жена следит, К = хорошие. D) 1. Ни одно А не есть В. 2. Все Сесть/). 3. Все Е есть^Я. 4. Все /Тесть А. 5. Ни одно —1# не есть -lS. 6. Все -.С есть Е. Все К есть D. Все —iD есть E) Заключение: 1) Все хорошие мужья всегда возвращаются домой к чаю; 2) Все не возвращающиеся домой к чаю мужья есть нехорошие мужья. 6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЫЛОК В СИЛЛОГИЗМАХ В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ Выведение заключений или необходимых следствий из данных посылок составляет прямую и основную задачу дедуктивного умозаключе-
173 ния, но не единственную. Обратной задачей является нахождение всех или некоторых посылок, из которых следует данное заключение. Если требуется найти все посылки для данного заключения, то мы сталкиваемся с задачей его доказательства, о чем речь пойдет в следующем параграфе. Все случаи восстановления посылок мы разделим на простые и сложные. К простым случаям мы отнесем те, в которых субъект заключения совпадает с субъектом одной из имеющихся посылок, вследствие чего данная посылка становится вершиной дерева доказательства, и/или заключение ослабляет посылки силлогизма. Соответственно к сложным случаям относятся те, в которых не выполняется хотя бы одно из указанных свойств. Допустим, дано умозаключение «Раб есть человек, а потому не следует держать его в неволе»42. Приводим его к нормальной форме: U = существа, В = люди, А = рабы, С = которых следует держать в неволе; Все рабы есть люди. Все А есть В. Ни один раб не есть существо, Ни одно А не есть С. которое следует держать в неволе. Очевидно, что из указанной посылки «Все А есть 5» заключение «Ни одно А не есть С» не может следовать с необходимостью и требуется по крайней мере еще одна посылка для его вывода. Как восстанавливать недостающую (-щие) посылку (-ки)? Сначала исследуем заключение «Ни одно А не есть С». Оно представляет общее суждение. Следовательно, все посылки также должны быть общими суждениями. Посылка «Все А есть 5» удовлетворяет этому условию. Обращаем также внимание на то, что субъекты посылки и заключения совпадают. Это означает, что дерево посылки должно стать верхней частью, а дерево заключения после замены субъекта А субъектом В (так как истинно, что все А есть В) — нижней частью объединенного дерева: Дерево посылки Дерево заключения 42 Все примеры, рассматриваемые в данном параграфе, заимствованы из: Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика. СПб., 1995. - С. 411-421.
174 Чтение нижней части объединенного дерева дает нам требуемую посылку — «Ни одно В не есть С», или «Ни одного человека не следует держать в неволе». Восстановленный силлогизм выглядит следующим образом: Все рабы есть люди. Все А есть В. Ни одного человека не следует Ни одно В не есть С. держать в неволе. Ни один раб не есть существо, Ни одно А не есть С. которое следует держать в неволе. Таким образом, восстановление пропущенной посылки и тем самым силлогизма было сведено к построению объединенного дерева, на основании информации, содержащейся в заключении и посылке. Двух посылок оказалось достаточно, чтобы получить заключение «Ни одно А не есть С». Но ничто не мешает получить это же заключение из большего числа посылок, построив соответствующий сложный силлогизм. Допустим, нас не удовлетворяет выявленная посылка «Ни одного человека не следует держать в неволе» отсутствием основания такого суждения. Рассуждаем следующим образом. Необходимым признаком каждого раба является быть человеком. Связь обоих признаков зафиксирована первой посылкой. Задаем вопрос: какой признак человека несовместим с его жизнью в неволе? Возможным ответом может быть следующий: обладать правом на свободу при отсутствии правонарушений, за которые изолируют от общества. Помня о том, что все посылки должны быть общими, получаем сложный силлогизм (термин D обозначает указанный выше признак): Все рабы есть люди. Все А есть В. Все люди есть существа, обладающие Все В есть D. правом на свободу при отсутствии правонарушений, за которые изолируют от общества. Ни одно существо, обладающее пра- Ни одно D не есть С. вом на свободу при отсутствии правонарушений, за которые изолируют от общества, не есть существо, которое следует держать в неволе. Ни один раб не есть существо, которое следует держать в неволе. Ни один А не есть С.
175 Построив соответствующее дерево, нетрудно убедиться в правильности полученного силлогизма. Рассмотрим несколько примеров на восстановление посылок. Пример 1 Дано умозаключение «Истинный философ не зависит от прихотей судьбы, так как он находит свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании». Приводим его к нормальной форме: U= философы, В = находящие свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании, А = истинные, С = зависящие от прихотей судьбы; Все А есть В, Ни одно А не есть С. Строим объединенное дерево: из нижней части которого следует, что недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно В не есть С», или «Ни один философ, находящий свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании, не зависит от прихотей судьбы». Пример 2 Дано умозаключение «Солона следует считать мудрым законодателем ввиду того, что он приспособил свои законы к характеру афинян». Приводим его к нормальной форме: U = люди, В = приспособившие свои законы к характеру афинян, А = Солон, С = мудрые законодатели; Все А есть В. Все А есть С. Строим объединенное дерево:
176 из нижней части которого следует, что недостающей посылкой должно быть суждение «Все В есть С», или «Всех людей, приспособивших свои законы к характеру афинян, следует считать мудрыми законодателями». Пример 3 Дано умозаключение «Не всякий совет благоразумен, так как многие советы не хороши». Приводим его к нормальной форме: U = пожелания, В = хорошие, А = советы, С = благоразумные; Некоторые А не есть В, Некоторые А не есть С. Если заключение частное, то только одна посылка может быть частной. Кроме того, она должна обозначать вершину объединенного дерева. Приведенная посылка «Некоторые А не есть 5» удовлетворяет этим условиям. Следовательно, восстанавливаемая посылка должна быть общей. Строим объединенное дерево: из нижней части которого следует, что второй посылкой должно быть суждение «Ни одно —S не есть С», или «Ни одно плохое пожелание не является благоразумным». Пример 4 Дано умозаключение: «Многие оспариваемые положения заслуживают тем не менее внимания, потому что многие из таких утверждений могут оказаться верными». Приводим его к нормальной форме: U — положения, В = могущие оказаться верными, А = оспариваемые, С = заслуживающие тем не менее внимания;
177 Некоторые А есть В. Некоторые А есть С. из нижней части которого следует, что второй посылкой должно быть суждение «Все В есть С», или «Все положения, могущие оказаться верными, заслуживают тем не менее внимания». Пример 5 Дано умозаключение: «Государству необходимо увеличить подоходный налог, так как оно должно быть готово к войне». Приводим его к нормальной форме: U = государства, В = которые должны быть готовы к войне, С = которым необходимо увеличить подоходный налог; Все А есть Все А есть С. Учитывая, что связь признаков «быть готовым к войне» и «необходимо увеличить подоходный налог» является неочевидной, мы должны объяснить ее, введя очевидные промежуточные переменные между В и С, то есть должны построить сложный силлогизм. Будем рассуждать следующим образом. Готовность к войне требует много денег. Чтобы иметь много денег, государству необходимо увеличить налоги, но таким образом, чтобы не подорвать ресурсы страны. По этой причине из всех налогов предпочтительным является подоходный, так как его увеличение затрагивает лишь состоятельную часть населения. Вводим дополнительные термины: D = которым требуется много денег, Е = увеличивающие налоги, Н = стремящиеся подорвать ресурсы своей страны, К = увеличивающие налог на состоятельную часть населения. Строим объединенное дерево:
178 из нижней части которого следует, что дополнительными посылками должны быть следующие суждения: «Все В есть ?>», «Все D есть Е», «Ни одно Е не есть Я», «Все -J/ есть К» и «Все К есть С». Читателю в качестве самостоятельного упражнения предлагается перевести все эти посылки на естественный язык. Кроме формальных требований к поиску посылок, начиная с Аристотеля, предъявляется и одно содержательное: исключаемый термин (исключаемые термины) должен обозначать истинную причину связи субъекта и предиката заключения. В противном случае заключение, будучи правильным формально, остается недоказанным по существу. Сравним следующие два простых силлогизма. Каждый подброшенный вверх камень испытывает воздействие силы тяжести Земли. Каждое тело, испытывающее воздействие силы тяжести Зем- ли, стремится упасть на нее. Каждый подброшенный вверх камень стремится упасть на Землю. Каждый подброшенный вверх камень отклоняется от своего естественного места (поверхности Земли). Каждое тело, отклоняющееся от своего естественного места, стремится вернуться к нему (упасть на Землю). Каждый подброшенный вверх камень стремится упасть на Землю.
179 Оба силлогизма имеют одинаковое заключение, но только первый сегодня считается истинным объяснением. Причина этого в том, что в физической картине мира Галилея — Ньютона, пришедшей на смену физике Аристотеля и его последователей, истинной причиной падения тел на Землю признается не их стремление вернуться к естественному месту, а сила земного притяжения. Из всего этого следует, что нельзя смешивать формальную выводимость заключения с его доказательством. Последнее, кроме выводимости, требует выполнения дополнительного ряда условий (см. п. 8). 7. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЫЛОК В СИЛЛОГИЗМАХ В СЛОЖНЫХ СЛУЧАЯХ Напомним, что к сложным случаям восстановления посылок были отнесены те, в которых субъект заключения не совпадает с субъектом ни одной из имеющихся посылок и/или заключение не ослабляет посылок силлогизма. Рассмотрим несколько примеров, показывающих, как можно использовать технику деревьев для решения подобных задач. Пример 1 Восстановить пропущенные посылки в следующем умозаключении. Ни один человек с нечистой совестью не спит спокойно. Уверенные в себе люди спят спокойно. Алгоритм решения подобных задач следующий. 1. Приводим к нормальной форме и формализуем имеющуюся посылку и заключение. Получаем: U — люди, А = уверенные в себе, В = с нечистой совестью, С = спящие спокойно. Ни одно В есть С. Все А есть С. 2. Строим базисное дерево доказательства, связывающее субъект заключения А с предикатом С как через термин В, так и через термин —?:
180 3. Маркировку ветвей построенного дерева начинаем с информации, содержащейся в посылке. Получаем: Из частично маркированного дерева следует, что его вершина (буква А) не может быть связана знаком «+» с буквой С посредством В, как того требует заключение, так как буквы В и С несовместимы. Однако буквы А и С можно связать знаком «+» посредством термина —ьб. Учитывая, что заключение рассматриваемого силлогизма общее, ветвь, связывающая А с —ьб, должна быть отмечена знаком "+", а ветвь, связывающая А с В — знаком «о». В результате получаем (ветви, исходящие из В, для большей ясности оставляем): Последней проблемой, которую остается решить, является вопрос, как быть со знаком «?», запрещающим делать заключения с использованием буквы В. Заменив «?» на «о», решаем и эту проблему. Полностью маркированное дерево доказательства имеет следующий вид:
181 4. Переводим информацию, сообщаемую деревом доказательства, на язык суждений. Верхняя часть дерева говорит нам, что первой недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно А не есть 5». Нижняя часть дерева сообщает нам, что независимо от информации, содержащейся в верхней части дерева, одновременно истинны следующие два суждения — «Ни одно В не есть С» и «Ни одно —& не есть —iC». Первое из них совпадает с имеющейся посылкой. Следовательно, второй недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно —iB не есть —.С». Но суждения «Ни одно В не есть С» и «Ни одно —\В не есть —iC» вместе эквивалентны суждению «Только В не есть С». Если это выделительное суждение истинно, то обязательно истинно и суждение «Ни одно В не есть С» (обратное в общем, конечно, неверно). Поэтому полный (восстановленный) силлогизм выглядит следующим образом: Ни одно А не есть В. Только В не есть С. Все А есть С. 5. Формулируем посылки и заключение восстановленного силлогизма на естественном языке. Ни один уверенный в себе человек не является человеком с нечистой совестью. Только люди с нечистой совестью не спит спокойно. Уверенные в себе люди спят спокойно. Пример 2 Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующего умозаключения. Все безупречное вызывает восторг. Все гениальное — безупречно. 1. U = творения, А = безупречные, В = вызывающие восторг, С = гениальные.
182 2.-3. 4. 5. Все А есть В. Все С есть А. Все С есть В, Только В есть Все В есть Все гениальное вызывает восторг. Лишь вызывающее восторг безупречно. Все гениальное — безупречно. Пример 3 Решить указанную в первом примере задачу для следующего умозаключения. Тем, кого любят, делают подарки. Только некоторым из тех, кого не любят, делают замечания 1. 2. U = люди, А = кого любят, В = кому делают подарки, С кому делают замечания. Все А есть В. Только некоторые -лА есть С.
183 2.-3. 4. 5. Все С есть -i Все ^ есть В. Все С есть —А = Только некоторые -лА есть С. Тем, кому делают замечания, не делают подарков. Тем, кого любят, делают подарки. Только некоторым из тех, кого не любят, делают замечания. Пример 4 Решить указанную в первом примере задачу для следующего умозаключения. Суеверные люди недооценивают себя. Многие из несуеверных людей добиваются своего. 1. U = люди, А = несуеверные, В = достойно ценящие себя, С = добивающиеся своего. Все —А есть Некоторые А есть С.
184 2.-3. 4. Все —А есть -lS. Все В есть С. Некоторые А есть С. 5. Суеверные люди недооценивают себя. Те, кто достойно оценивают себя, добиваются своего. Многие из несуеверных людей добиваются своего. 8. ДЕДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ Тот, кто хочет что-то обосновать, должен рассмотреть, при существовании чего будет существовать обсуждаемый предмет (ибо если доказано, что то налицо, будет доказано и существование обсуждаемого предмета). Тот же, кто хочет что-то опровергнуть, должен рассмотреть, что же существует, если существует обсуждаемый предмет, ибо если мы докажем, что то, что следует из обсуждаемого предмета, не существует, то мы опровергнем и обсуждаемый предмет. Аристотель. Топика. Если умозаключение составляет суть умственной деятельности, то дедуктивное доказательство и опровержение образуют одни из ее важнейших целей. Доказывая, мы ищем истину; опровергая, мы разоблачаем ложь. Именно поиски истины и разоблачение лжи превращают умозаключение в доказательство или опровержение соответственно. Мы будем называть дедуктивным доказательством любое умозаключение, из посылок которого с необходимостью следует истинность об-
185 суждаемого суждения. Соответственно дедуктивным опровержением будем считать любое умозаключение, из посылок которого с необходимостью следует ложность обсуждаемого суждения. Между дедуктивным доказательством и опровержением существует определенная симметрия. Если мы доказываем истину, то одновременно опровергаем все несовместимые с ней ложные суждения. Наоборот, опровергая какую-нибудь ложь, мы тем самым доказываем противоречащую ей истину. Эта симметрия показывает, что между доказательством и опровержением нет жесткой границы. Различие между ними функциональное. Существуют три канонических вопроса, на которые необходимо дать ответ прежде, чем начинать доказательство или опровержение. Первый вопрос: что именно следует доказывать или опровергать? Второй вопрос: на основании чего следует доказывать или опровергать? Третий вопрос: как именно следует доказывать или опровергать? Отвечая на первый вопрос, мы формулируем тезис (от греч. thesis — утверждение) доказательства или опровержения, то есть суждение, истинность или ложность которого должна обосновываться. Отвечая на второй вопрос, мы формулируем аргументы (от лат. argumentum — довод, основание) доказательства или опровержения, то есть суждения, с помощью которых обосновывается истинность или ложность тезиса. Отвечая на третий вопрос, мы формулируем демонстрацию (от лат. demonstratio — показывание) доказательства или опровержения, то есть то умозаключение, с помощью которого логически связываются тезис и аргументы. Доказательство и опровержение невозможны хотя бы без одной из указанных частей. В самом деле, если нет тезиса, то мы не знаем, что доказывать или опровергать; если нет аргументов, то мы не знаем, с помощью каких суждений доказывать или опровергать тезис; если нет демонстрации, то мы не знаем, как построить процесс доказательства или опровержения тезиса, чтобы он был логически убедительным. В качестве тезиса может быть выставлено любое суждение, истинность или ложность которого нуждается в обосновании. Тезисом может быть теорема, гипотеза, судебная версия, предсказание, истинность или ложность которых еще предстоит установить. Суждение, противоречащее тезису, называется антитезисом. Из истинности тезиса следует ложность антитезиса. Из ложности тезиса следует истинность антитезиса. Следовательно, доказательство истинности тезиса можно заменить в некоторых случаях опровержением ложности антитезиса, а опровержение ложности тезиса — доказательством истинности антитезиса. В качестве аргументов могут выступать любые суждения, если они, во-первых, истинны и, во-вторых, имеют отношение к обосновываемому тезису. Например, при доказательстве какого-либо морального суждения вряд ли будет уместным приведение в качестве аргумента истинного зако-
186 на всемирного тяготения Ньютона. Истинность аргументов доказывается всегда независимо от тезиса. Подбор аргументов требует в большинстве случаев глубокого проникновения в суть решаемой проблемы, богатого воображения и тонкой интуиции. По типу используемых умозаключений демонстрации можно разделить на дедуктивные и недедуктивные. Следует, однако, помнить, что всякая демонстрация — это нечто большее, чем используемое в ней умозаключение. Как отмечал В. Ф. Асмус, демонстрация — это умозаключение об умозаключении43, так как она связывает умозаключение с определенными условиями его истинности и ложности. Разделим дедуктивную демонстрацию на дедуктивное доказательство и дедуктивное опровержение и рассмотрим их последовательно. Дедуктивное доказательство Пусть Т обозначает тезис, -.Г антитезис, А — множество аргументов. Дедуктивное доказательство может совершаться прямо или косвенно. Прямое доказательство — обоснование того, что тезис является логическим следствием представленных истинных аргументов. Прямое доказательство имеет вид следующего умозаключения: Из А логически следует Т. А истинно. A) Г истинно. Простейшим примером прямого доказательства является силлогизм, посылки которого необходимо истинны. В этом случае посылки превращаются в аргументы, а заключение силлогизма — в тезис. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса, из чего делается вывод, что тезис истинный. Ложность антитезиса может быть обоснована двумя способами. Согласно первому, из антитезиса выводится или следствие, несовместимое с аргументами, или противоречие. В том и другом случае имеются основания сделать вывод о ложности антитезиса и истинности тезиса. Доказательство имеет вид следующего умозаключения: Из —\Т выводимо или следствие, несовместимое с А, или противоречие. А истинно. ^ ' Г истинно. 43 Асмус В. Ф. Логика. М., 1947. -С. 345-346.
187 Для косвенного доказательства вторым способом тре