о
о
2
m
>
>
09
п
^
^

В. А. Светлов
СОВРЕМЕННАЯ
ЛОГИКА
Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям
педагогического образования в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по специальности 540400 @50400)
«Социально-экономическое образование»
300.piter.com
Издательская программа
300 лучших учебников для высшей школы
в честь 300-летия Санкт-Петербурга
осуществляется при поддержке Министерства образования РФ
Москва • Санкт-Петербург • Нижний Новгород • Воронеж
Ростов-на-Дону • Екатеринбург • Самара • Новосибирск
Киев • Харьков • Минск
2006

ББК 87.4я7
УДК 16@75)
С24
Рецензенты:
Сморгунова В. Ю., доктор философских наук,
профессор РГПУ им. А. И. Герцена;
Стрельченко В. И., доктор философских наук, профессор,
зав. кафедрой философии РГПУ им. А. И. Герцена.
Светлов В. А.
С24 Современная логика. Учебное пособие. — СПб.: Питер, 2006. —
400 с: ил. — (Серия «Учебное пособие»).
ISBN 5-469-00876-2
Цель учебного пособия — дать представление о современной логике, раскрыть ее
познавательный и методологический потенциал. В книге представлены традиционная,
классическая и неклассическая символическая логика, а также теория и техника
логического анализа задач в естественном и формализованном языках. На многочисленных
примерах показано использование оригинальной техники решения логических задач.
Учебное пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для
специалистов самого разного профиля и соответствует требованиям Госстандарта.
Адресовано студентам, аспирантам, преподавателям, а также всем, кто
самостоятельно изучает логику.
ББК 87.4я7
УДК 16@75)
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы
то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 5-469-00876-2 © ЗАО Издательский дом «Питер», 2006

Содержание
Предисловие 6
Введение. Предмет и значение логики 7
Логика как наука о законах открытия, обоснования и сохранения
истины 7
Логические законы как принципы открытия, обоснования
и сохранения истины 15
Часть I. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА 35
Глава 1. Понятие 37
Определение понятия 37
Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий 41
Основные требования к определению понятий 53
Виды понятий 59
Логические операции с понятиями 70
Деление объема понятия (классификация) 74
Глава 2. Суждение 82
Определение суждения 82
Простые суждения 85
Нормальная форма простых суждений 92
Логические преобразования суждений 95
Превращение 95
Обращение 97
Противопоставление (контрапозиция) 99
Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат 102
Простые суждения и пустые классы....: 109
Коммуникативная природа суждений 111
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 114
Определение умозаключения 114
Отношение логического следования 118
Простые суждения и деревья 120
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками
(простые силлогизмы) 123
Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками
(сложные силлогизмы) 137
Восстановление посылок в простых энтимемах 145
Восстановление посылок в сложных энтимемах 152

4 __ Содержание
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 160
Общее представление о дедуктивном доказательстве
и опровержении 160
Дедуктивное доказательство 162
Дедуктивное опровержение 164
Главные логические ошибки 176
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 183
Определение риторики 183
Изобретение обращения 185
Изложение обращения 188
Словесное выражение обращения 193
Логика спора 198
Правила спора : 199
Часть И. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ 207
Глава 6. Логика высказываний 210
Основные определения и допущения логики высказываний 210
Синтаксис логики высказываний 213
Семантика логики высказываний '. 219
Определение логического отрицания 220
Определение конъюнкции 221
Определение слабой дизъюнкции 222
Определение импликации 223
Определение эквивалентности 224
Определение сильной дизъюнкции 225
Логически истинные, логически ложные и логически
нейтральные формулы 227
Отношение логического следования в логике высказываний 230
Основные законы логики высказываний 233
Деревья в логике высказываний 237
Правила образования деревьев в логике высказываний 237
Поиск нетривиальных следствий и допущений 241
Логика высказываний как исчисление 247
Основные модусы правильных умозаключений логики
высказываний 253
Условные умозаключения 253
Разделительные умозаключения 254
Условно-разделительные умозаключения 254
Правило дедукции (введение импликации) 255
Рассуждение от противного 256
Приведение к абсурду 256
Разбор случаев 257
Глава 7. Логика предикатов 261
Основные понятия и допущения логики предикатов 261

Содержание
Синтаксис логики предикатов 266
Семантика логики предикатов 272
Отношение логического следования в логике предикатов 277
Деревья в логике предикатов 280
Логика предикатов как исчисление 283
Основные законы логики предикатов 292
Закон удаления квантора общности 292
Закон введения квантора существования 292
Закон подчинения кванторов 292
Закон противоречия 292
Закон непустоты универсума логического квадрата 293
Законы взаимоопределимости кванторов 293
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака конъюнкции 293
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака дизъюнкции 293
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака импликации 294
Законы перестановки кванторов 295
Часть III. НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 297
Глава 8. Индуктивная логика 299
Основные определения и допущения индуктивной логики 299
Основные теоремы индуктивной логики 305
Глава 9. Модальная логика 331
Основные определения и допущения модальной логики
высказываний и предикатов 331
Базисная модальная логика 336
Модальная силлогистика 343
Модальный шестнадцатиугольник 343
Объемы простых модальных суждений 344
Решение модальных силлогизмов 348
Правила вывода (определения модальности заключения) 352
Глава 10. Парадоксы 365
Ахиллес и черепаха 365
Движется ли летящая стрела 368
Спор Протагора с Еватлом 370
Парадокс лжеца 374
Парадокс подтверждения К. Гемпеля 378
Парадокс индуктивной вероятностной поддержки К. Поппера 381
Bde ли лебеди белые? 385
Может ли ученик стать своим собственным учителем? 387

Предисловие
Основная цель настоящего учебного пособия состоит в том, чтобы
помочь студенту как естественного, так и гуманитарного профиля
самостоятельно овладеть методологией, языком и техникой современной
логики.
В пособии последовательно излагаются основные темы
традиционной, классической логики высказываний и предикатов, а также
неклассической — индуктивной и модальной логики. Во введении дается
определение современной логики, ее предмета, методов и задач. Такое
изложение материала позволит получить самое полное представление
о специфика данной науки.
Главный акцент сделан на раскрытии познавательного потенциала
логики. С этой целью теоретическая часть сведена к минимуму,
подробно объясняются все основные понятия, рассматривается большое
число примеров, позволяющих овладеть техникой логического анализа.
В пособие включена также специальная глава, посвященная анализу
и решению наиболее известных логических парадоксов.

Введение
Предмет и значение логики
Логика как наука о законах открытия, обоснования
и сохранения истины
Мы забываем о законе природы, гласящем, что гибкость ума
является наградой за опасности, тревоги и превратности
жизни. Существо, которое живет в совершенной гармонии
с окружающими условиями, превращается д простую машину.
Природа никогда не прибегает к разуму до тех пор, пока ей
служит привычка и инстинкт. Там, где нет перемен
и необходимости в переменах, разум почивает. Только те
существа обладают им, которые сталкиваются
со всевозможными нуждами и опасностями.
Герберт Уэллс «Машина времени»
В учебной и научной литературе долгие годы доминируют две точки
зрения на то, что такое логика и в чем ее предназначение.
Сторонники первой, распространенной в популярных изданиях,
убеждают своих читателей в том, что логика — это наука о законах и
формах правильного мышления, стандартам и идеалам которого
каждый из нас обязан следовать. Мышление обычного человека, считают
они, слишком многозначно, избыточно, непоследовательно,
недоказательно и часто противоречиво. Следование правилам логики
исправляет отмеченные «недостатки» и делает мышление «правильным» —
определенным, последовательным, непротиворечивым и
доказательным.
Сторонники второй точки зрения, преобладающей в научных
изданиях, идут дальше и полагают, что логика — это теория исчислений
(формальных дедуктивных системI, настолько превосходящая по своим
1 Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых
символических объектов из заданных, автоматический метод решения
научных, технических и иных проблем.

8 Введение
аналитическим возможностям обычное мышление, что не имеет к нему
уже никакого отношения. Свою главную цель они видят в создании
методологии решения научных проблем, вообще не требующей
обращения к смыслу выражений естественного языка. Достижению этой
цели должно помочь, считают сторонники данной интерпретации,
создание универсальной единообразной концепции логического вывода1.
Несмотря на широкое распространение в популярной, учебной и
научной литературе, оба взгляда на природу и назначение логики
следует, тем не менее, признать ограниченными по следующим причинам.
Представление о логике как идеальной модели мыслительных
актов возникло еще в античности в качестве* естественного желания
открыть лежащие в основе мышления законы и избавить, наконец,
человечество от ошибок, бесплодных споров и ссор. «Эта неправильность
ума [неспособность распознавать истину и ложь. — В. С] порождает
не только те заблуждения, которые проникают в науки. Она является
причиной большей части ошибок, совершаемых нами в повседневной
жизни: беспочвенных раздоров, безосновательных тяжб,
скоропалительных решений, непродуманных начинаний»2. Однако проблема
заключается в том, что даже самое безукоризненное выполнение
законов логики не гарантирует избавления человечества ни от ложных
выводов, ни от ссор, споров, конфликтов или войн. Более того, само
предположение о соответствии законам логики как критерии
«правильности» мышления ошибочно.
Известно, что правила нашего языка допускают существование
грамматически верно построенных утверждений, лишенных фактического
смысла. Примером может служить известное утверждение лингвиста
Л. В. Щербы: «Глокая куздра штеко будланула бокра и кудрячит бок-
ренка». Аналогично правила логики не запрещают существование
корректных, т. е. формально правильных, но тем не менее ложных
доказательств. В качестве примера приведем следующее логически
правильное, однако по сути ложное умозаключение: «Число четыре
умное. Умные числа четные. Значит, число четыре четное». Но, если ни
правила грамматики, ни правила логики не могут запретить
появление бессмысленных и бездоказательных утверждений, значит в
принципе неверно предположение о том, что «правильное» мышление есть
1 Логическим выводом называют рассуждение, с помощью которого из
посылок (исходных суждений) с помощью определенных правил получают
необходимое заключение (новое суждение).
2 Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить. — М, 1991. С. 9.

Предмет и значение логики
мышление, соответствующее законам логики и грамматики. Вместе
с ним неверна и идея «исправления» мышления. Можно лишь
заметить, со ссылкой на историю науки, что реальное мышление
прогрессирует благодаря именно тем «недостаткам», устранение которых
предлагается считать основной задачей изучения логики.
Историки и методологи науки неоднократно отмечали, что ученые
часто не могут объяснить, как именно они совершили то или иное свое
, открытие; что предпосылки, из которых исходят творцы нового
знания, нередко ошибочны. «Наиболее поразительным примером
[реабилитации теории, считавшейся опровергнутой. — В. С] является
принцип Карно. Карно установил его, исходя из ложных гипотез [прежде
всего неверного предположения, что теплота представляет особую
жидкость, теплород. — В. С.]... Теория Карно в ее первоначальном виде
выражала рядом с верными отношениями также и другие, которые
были неточны, являлись обломками старых идей. Клаузиус просто
откинул эти последние, как срезают у дерева засохшие ветви, и в
результате появился второй закон термодинамики»1. История науки
изобилует подобными примерами открытий, совершенных на основании
ложных допущений. Поэтому резонно предположить, что
«правильное» мышление, т. е. его соответствие законам логики, не является ни
необходимым, ни достаточным критерием достижения истины.
Понимание логики как теории исчислений и дедуктивного вывода,
лежащее в основе всей современной логики, возникло в начале XX в.
в результате интенсивного применения математических методов.
Достигнутые успехи оказались столь впечатляющими, что проблемы и
аппарат традиционной логики были признаны непригодными для ее
нового назначения. Главное назначение логики стали видеть в создании
общей теории вывода. «Теория формального вывода... составляет
основное содержание формальной [математической. — В. С] логики.
В силу этого определение формальной логики как науки о формах и
законах правильного мышления является слишком широким... Только
проблемы формального вывода составляют собственный предмет
формальной логики, который она не делит ни с какой другой наукой»2.
Общая теория вывода мыслилась ее создателями как
универсальное абстрактное исчисление, пригодное для механического вывода из
аксиом чистой логики истин любой прикладной науки. «Все, что можно
1 Пуанкаре Л. О науке. - М., 1983. С. 105.
2 Таванец П. В. Формальная логика и философия // Философские вопросы
современной формальной логики. — М., 1962. С. 5.

^10 Введение
познать в математике и с помощью математических методов, —
утверждал один из создателей современной логики Б. Рассел, — можно
вывести из чистой логики»1. Согласно такому исчислению традиционная
логика, зависимая от различных неформальных допущений, — всего
лишь один из возможных и отнюдь не самых совершенных вариантов.
«После того как в математической логике стали изучаться
исчисления, выявилась неединственность нашей привычной "классической"
логики, возможность и необходимость появления "других логик",
других способов правильного рассуждения, других дедуктивных средств.
Логические исчисления начали плодиться и размножаться... Теперь
оставался один шаг до появления общего понятия дедуктивной системы, в
которой правила вывода уже не обязаны иметь что-либо общее с
правилами умозаключений, с логикой рассуждений [выделено мною. — В. С.]»2.
Однако всем этим надеждам вряд ли суждено когда-либо сбыться.
Причина этого заключается как в невозможности построить единое для
всех наук исчисление, так и в специфической природе
умозаключений, называемых «дедукцией»3.
Казалось очевидным, что если найти небольшое число надлежащих
аксиом (самоочевидных первых положений какой-либо науки), то по
определенным правилам из них можно дедуцировать сколь угодно
большое число теорем — истинных утверждений о данной предметной
области. Это открывало путь к строгому и, главным образом, чисто
формальному решению всех научных проблем. Однако в первой трети
XX в. К. Геделем было доказано, что аксиоматизация достаточно
содержательных теорий принципиально не может быть1 полной. Какой
бы исчерпывающей ни была система аксиом, всякая теория,
включающая по крайней мере утверждения о натуральных числах, содержит
истинные утверждения, которые невозможно ни доказать, ни
опровергнуть средствами этой теории. «Даже если мы ограничимся теорией
натуральных чисел, невозможно найти систему аксиом и формальных
правил, из которых для каждого утверждения А всегда будет выводимо
либо само Л, либо его отрицание —А [читается как «неверно, что Л». —
В. С]»4. Это означает, что даже самая совершенная аксиоматизация
не гарантирует выводимость из принятых постулатов всех
необходимых истин (теорем).
1 Russell В. Introduction to mathematical philosophy. — London, 1924. P. 145.
2 Маслов С. Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. — М., 1986. С. 8.
3 Дедукция — правила вывода из данных посылок необходимых следствий.
4 Godel К. The modern development of the foundations of mathematics in the
light of philosophy // Collected Works III. - Oxford. 1995. P. 381.

Предмет и значение логики 1J_
Неполнота аксиоматизации развеяла также все надежды на
возможность формализации научного творчества. К. Гедель признал, что
вследствие его теорем о неполноте «программа замещения
математической интуиции правилами формального преобразования символов
нереализуема»1. «Математическое мышление, — поддержал его Алан
Тьюринг, — наряду с дедукцией требует умения сочетать две
способности — интуицию и изобретательность»2.
Дедукция рассматривалась основателями современной логики как
синоним математического мышления. Она всегда ценилась за то, что
позволяла из истинных посылок выводить только истинные следствия.
Однако мало кто придал значение тому факту, что в дедукции не
посылки управляют значением истинности следствий, а следствия —
значением истинности посылок3. Истинное заключение может следовать
как из истинных, так и из ложных посылок. Истинность заключения
не зависит от значения истинности посылок. В то же время ложное
заключение необходимо опровергает истинность хотя бы одной из
посылок, из которых оно следует. Следовательно, истинность посылок
зависит от истинности заключения, но не наоборот. Таким образом,
дедукция, на которую обычно возлагается столько надежд, не менее
проблематична в качестве метода поиска истин, чем любой
недедуктивный метод.
Если отвлечься от заведомо нереализуемых задач исправления
обычного мышления или замены его универсальным исчислением,
возникает вопрос: что же выступает подлинным предметом логики?
Очевидно, только то, чем она фактически занимается на протяжении всей
своей истории, а именно исследование проблемы истины — ее
природы, законов открытия, обоснования и сохранения.
Не требует особых доказательств утверждение, что главный
регулятивный принцип науки — достижение истины, т. е. познание
законов реальности, объяснение сих помощью одних фактов и
предсказание других. При этом единственным критерием «правильности»
научного мышления на всех уровнях признается только его истинность,
и роль последней настолько велика, что вне этого критерия наука
просто не существует.
1 Godel К. Is mathematics syntax of language? // Collected Works III. — Oxford.
1995. P. 346.
2 Turing A. M. Systems of logic based on ordinals // The undecidable. — New
York. 1965. P. 208-209.
3 Орлов И. Е. Логика естествознания. — M.; Л., 1925. С. 3.

^2 Введение
В отличие от естественных или гуманитарных наук, не связанных
непосредственно с исследованием истины, для логики это ведущая
и объединяющая тема. Нет ни одного раздела логики, который так или
иначе не был бы связан с проблемой определения истины,
принципами ее открытия, обоснования и сохранения. «В логике, — утверждает
Готтлоб Фреге, один из основателей современной логики, — термин
"истина" играет роль, подобную той, какую в этике играет термин "благо",
а в эстетике — "прекрасное"»1.
Одно из самых интригующих свойств истины заключается в том,
что она может следовать из любых допущений, т. е. никакие
предпосылки однозначно не гарантируют ее достижения. Путь к истине, как
правило, тернист, запутан и малопонятен даже для самих авторов.
«Правильное» мышление на самом деле возможно лишь как свободно
и творчески корректирующее себя «неправильное», ложное
мышление, как метод проб и ошибок, лишь асимптотически приводящий к
истине: «Когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется
совершить ошибку» {КонфуцийJ.
Метод проб и ошибок, перенесенный в область мысленных действий
и преобразованный интеллектом в метод изобретения и испытания
гипотез, представляет общий способ решения проблем в любой области
знания. «Тот, кто сталкивается с необходимостью открыть закон
природы, должен сначала изобрести как можно больше предположений,
прежде чем он натолкнется на правильное; а среди талантов,
способствующих его успеху, следует назвать богатое воображение, которое
позволит ему, рано или поздно, придумать гипотезу, соответствующую
действительному порядку природы... По этой причине реальные
открытия переплетены с бесполезными допущениями; подлинная
мудрость соседствует с фантастическим предположением; не изредка, в
особых случаях, но повсеместно и большей частью... Испытание ложных
догадок становится для большинства ученых единственным способом
натолкнуться на правильную»3.
В то же время истина безусловно зависит от собственных следствий.
Достаточно любому одному из них не получить подтверждения,
опровергается и сама истина. Значит всякая истина гипотетична и
асимметрична по своей природе: ее трудно открыть, но легко опровергнуть.
Истина и ложь — в равной степени необходимые и
взаимозависимые противоположности любого полноценного исследования. «Под-
1 Фреге Г. Логика и логическая семантика. Сб. трудов. — М, 2000. С. 307.
2 Древнекитайская философия: В 2 т. - М., 1972. Т. 1. С. 168.
3 Whewell W. Novum Organon Renovatum. - London, 1858. P. 78-79.

Предмет и значение логики 1_3
линная мысль истинна или ложна. Когда мы судим о ней, то познаем
ее как истину и отвергаем ее как ложь. Последнее высказывание,
однако, может привести к ошибочному заключению, будто отвергнутую
мысль как совершенно бесполезную надо как можно скорее предать
забвению. Наоборот, установление того, что некая мысль ложна,
может быть столь же ценно, что и установление истинности какой-либо
мысли. Собственно говоря, никакого различия между этими случаями
не существует. Считая некоторую мысль ложной, я признаю
некоторую [другую] мысль истинной, и тогда об этой последней мы говорим,
что она противоположна первой мысли»1.
Главное условие достижения истины — целостность мышления.
Мышление является целостным, если и только если оно способно
рассматривать любую ситуацию в единстве всех ее противоположных
причин, тенденций и следствий.
Целостным мышление становится в результате длительного опыта
по достижению гармоничного равновесия всех своих
противоположных способностей. Умение задавать вопросы уравновешивается
умением отвечать на них, умение анализировать — умением синтезировать
и т. д. Печальный пример отсутствия целостного мышления
продемонстрировал козел из басни Эзопа «Лисица и козел». Лисица, попав в
колодец, заманила туда козла, чтобы выбраться с его помощью, и,
освободившись, ответила начавшему упрекать ее в вероломстве «товарищу»:
«Эх ты! Будь у тебя столько ума в голове, сколько волос в бороде, ты
бы, прежде чем войти, подумал, как выйти».
Примером же целостного мышления в науке могут служить
рассуждения К. Гаусса о необходимой связи положительных и
отрицательных чисел. «Положительные и отрицательные числа, — пишет он, —
могут найти применение только там, где сосчитанному противостоит
нечто противоположное, что в соединении с ним дало бы в результате
нуль. Точнее говоря, это условие осуществляется только там, где
сосчитанное составляют не субстанции (сами по себе мыслимые
предметы), а отношения между двумя предметами. Постулируется при этом,
что предметы эти располагаются определенным образом в один ряд,
например А, В, С, D..., и что отношение между Аи В может мыслиться
равным отношению В к С и т. д. Здесь в понятие противоположности
не входит ничего больше, кроме перестановки членов отношения, так
что если отношение (или переход) от Л к В есть +1, то отношение В к А
должно быть выражено через -1. Так как такой ряд беспределен с обе-
1 Фреге Г. Указ. соч. С. 324.

Ы Введение
их сторон, то всякое реальное целое число представляет отношение
любого избранного началом члена к определенному члену ряда»1.
Указанные свойства истины в одно целое объединяет гипотетико-де-
дуктивная модель научного знания (ГДМ), согласно которой научное
познание носит циклический характер и включает следующие стадии.
1. Возникновение проблемы, не объясняемой существующими
истинами (наличным знанием).
2. Изобретение гипотезы (гипотетической истины), объясняющей
возникшую проблему.
3. Обоснование гипотезы.
4. По результатам испытания — либо отклонение гипотезы и
возврат ко второй стадии исследования, либо её принятие, возможно,
после некоторой модификации с последующей интеграцией в
существующее научное знание.
5. Возникновение новой проблемы, не объясняемой
интегрированным научным знанием.
Первая стадия ГДМ указывает причину появления новых истин —
новые проблемы, не решаемые прежним знанием. Вторую стадию,
следуя Ч. С. Пирсу, можно назвать абдукцией2. Третью и четвертую
стадии — индукцией. Дедукция служит необходимым условием всех
стадий ГДМ, так как она отвечает за сохранение истины.
Все логическое знание, согласно ГДМ, делится на три
исчерпывающие теории — логику открытия истины (абдукцию), логику
обоснования истины (индукцию) и логику сохранения истины (дедукцию).
Абдукция (теория открытия истины) — изучает необходимые и
достаточные условия изобретения объяснительных гипотез.
Индукция (теория обоснования истины) — исследует правила
подтверждения и опровержения изобретенных гипотез на опыте.
Дедукция (теория сохранения истины) — анализирует правила и
модусы, с помощью которых из изобретенных гипотез можно выводить
необходимые следствия и тем самым рассуждать, сохраняя истину
предпосылок.
Таким образом, логика — наука не о законах «правильного»
мышления или правилах построения исчислений, а о законах открытия, обо-
1 Кунтце Ф. Математика и точное изложение теоретико-познавательных
проблем // Новые идеи в философии. — СПб., 1914, № 11. С. 130.
2 «Существуют только три элементарных схемы рассуждения. Первая,
которую я называю абдукцией... заключается в том, чтобы предположить теорию,
которая объясняет все множество исследуемых фактов». Collected Papers of
Charles Sanders Peirce. - Cambridge, 1931-1958. Vol. 8. P. 209.

Предмет и значение логики 1_
снования и сохранения истины. Не правильное, а истинное мышление —
подлинный предмет этой науки. Логика всегда будет значима только
в той степени, в которой она будет учить методам открытия,
обоснования и сохранения истины. «Стало быть, мы можем сказать: логика есть
наука о наиболее общих законах бытия истины»1.
Логические операции составляют суть человеческого интеллекта.
Изучение логики позволяет ему завершить свое формирование как
автономной, саморазвивающейся и самокорректирующейся
целостности, достигнуть максимальной свободы от случайностей внешнего мира
и диктата внутренних авторитетов, свободно и творчески ставить и
решать любые проблемы.
Изучение логики значительно ускоряет развитие умственных
способностей, помогает интеллекту сначала овладеть операциями с
классами, что в традиционной логике примерно соответствует операциям
с понятиями. Затем приобрести способность к операциям с
отношениями, что в традиционной логике приблизительно соответствует
умению формировать и преобразовывать суждения. Наконец, оно
позволяет достигнуть синтеза операций с классами и отношениями и обрести
состояние интеллектуальной целостности, свободы и творчества. В
традиционной логике это соответствует способности к умозаключениям,
т. е. получению нового знания на основании известного.
Логические законы как принципы открытия,
обоснования и сохранения истины
Всякое знание, независимо от того, является ли оно научным
или просто вытекающим из здравого смысла, представляет —
явно или скрыто — систему принципов сохранения.
Жан Пиаже «Психология интеллекта»
Теоретическую основу любой науки составляют принципы (законы)
сохранения, которым подчиняются ее объекты. Законы сохранения
количества вещества, движения, энергии в физике, веса в химии —
самые известные примеры. Существуют законы сохранения и в логике.
Все они относятся к истине. Интеллектуальные операции никогда не
приводили бы к нужной цели, если бы не подчинялись определенным
принципам сохранения истины.
Но истина должна не только сохраняться. Она должна также
открываться и обосновываться. По этой причине методологически неверны
1 Фреге Г. Указ. соч. С. 307.

16 Введение
все решения, основанные на обособлении логики сохранения истины
(дедукции), логики обоснования истины (индукции и аналогии) и
логики открытия. Возникает вопрос, как совместить все эти логики в
одной теории? Возможно ли это в принципе? Традиционная логика дает
следующие ответы на данные вопросы.
По определению, рассуждения, сохраняющие истину, принято
называть дедукцией. Поскольку самих дедуктивных рассуждений
существует бесконечное множество, возникает вопрос о существовании
некоторых основополагающих принципов или даже одного такого,
управляющего разнообразием дедуктивных умозаключений. В
качестве кандидатов на роль подобных принципов мы исследуем
традиционные «законы правильного мышления» — тождества, противоречия,
исключенного третьего и достаточного основания. Этим законам в
учебной литературе уделяется, как правило, значительное внимание, так
как считается, что их соблюдение обеспечивает ясность и
определенность, непротиворечивость и последовательность, доказательность
наших рассуждений.
Сначала отметим, что первые три закона восходят к Аристотелю,
четвертый — к Демокриту и Г. Лейбницу. Аристотель (IV в. до н. э.)
называл законы противоречия («невозможно, чтобы одно и то же в одно
и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том
же отношении»1), тождества («ведь то, что сказывается об одном,
должно сказываться и о другом, а о чем сказывается одно, о том должно
сказываться и другое»2) и исключенного третьего («не может быть
ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а
относительно чего-то одного необходимо, что бы то ни было, одно либо
утверждать, либо отрицать»3) первыми недоказуемыми началами не
только познания, но и бытия в целом, полагая самым достоверным из
них закон противоречия. Аналогично Г. Лейбниц (XVII в.), следуя
Демокриту (V-IV вв. до н. э.), рассматривал «необходимость
достаточного основания» не только как гносеологический, но и как
онтологический закон: «ничего не случается без основания, почему это было
бы скорее (предпочтительнее), чем что-либо другое»4. Таким образом,
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. — М., 1976. С. 125.
2 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 2. - М., 1978. С. 497.
3 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. — М., 1976. С. 141.
4 Стяжкип Н. И. Формирование математической логики. — М., 1967. С. 227.
Ср. с утверждением Демокрита: «Ни одна вещь не возникает беспричинно, но
все возникает на каком-нибудь основании и в силу необходимости». — Мако-
вельский А. О. Досократики. — Казань, 1914. Ч. 1. С. 208.

Предмет и значение логики 1_7
основоположники логики, в отличие от большинства современных
авторов, не ограничивали данные законы одним лишь мышлением.
Для более полного анализа принципов сохранения истины
сформулируем базисное множество утверждений, исчерпывающих в
различных комбинациях возможные отношения между истиной и ложью.
Пусть Г обозначает истину, F— ложь, «->» — символ «следует»
(см. табл. 1). Истина и ложь справа и слева от знака «->» могут
различаться по содержанию. Пусть символ «-i» обозначает логическое
отрицание (читается как «неверно, что...»). Сделаем допущение, что
отрицание истины эквивалентно лжи, а отрицание лжи — истине.
Таблица 1
2. T->F 4.F-+F
Любое утверждение, приведенное в табл. 1, сохраняет истину, если
и только если ложно его отрицание. Значит, для сохранения истины
необходимо и достаточно, чтобы отрицание рассматриваемого
суждения из табл. 1 было ложно. Построим простую интерпретацию
утверждений, указанных в табл. 1, для иллюстрации сказанного. Примем в
качестве истины Г утверждение, что сегодня понедельник:
Т= «Сегодня понедельник».
Пусть А = «Сегодня понедельник», В = «Завтра не среда». Тогда
первое утверждение (табл. 1)
(А —> В) = «Если сегодня понедельник, то завтра не среда»
истинно, потому что его отрицание «Сегодня понедельник, но завтра
среда» ложно.
Пусть А = «Сегодня понедельник», С = «Завтра среда». Тогда
второе утверждение
(А -> С) = «Если сегодня понедельник, то завтра среда»
-(T-+F)
= F
ложно, потому что его логическое отрицание «сегодня понедельник
и завтра не среда» истинно.
Пусть D = «Сегодня вторник», Б = «Завтра не среда». Тогда третье
утверждение

. __ Введение
(D —> В) = «Если сегодня вторник, то завтра не среда»
истинно, потому что его отрицание «Сегодня вторник, но завтра не
среда» ложно.
Пусть D = «Сегодня вторник», С = «Завтра среда». Тогда четвертое
утверждение
(D —> С) = «Если сегодня вторник, то завтра среда»
истинно, потому что его отрицание «Сегодня вторник и завтра: среда»
в понедельник ложно.
Из четырех исследованных утверждений (табл. 1) при условии, что
сегодня — понедельник, только второе необходимо ложно, и
следовательно, только оно не сохраняет истину. Значит, рассуждение
необходимо сохраняет истину, если и только если оно в своем развитии —
выведении необходимых следствий — исключает возможность
собственного опровержения. Поскольку сохранение истины —
отличительная черта дедукции, то утверждение невозможности истинности
второго утверждения в табл. 1 можно назвать законом дедукции.
Закон дедукции. Истина рассуждения сохраняется тогда и только
тогда, когда его развитие исключает возможность своего
опровержения, т. е. появления лжи в качестве одного из необходимых
следствий, -.G->F)-
Как будет показано, остальные принципы сохранения истины
представляют необходимые следствия данного закона.
Закон тождества в учебной литературе обычно определяется так:
«Содержание любого высказывания должно быть определенным и
неизменным относительно контекста, в котором оно используется»1.
Более формальна следующая дефиниция:
«Всякое высказывание влечет (имплицирует) само себя... если
высказывание истинно, то оно истинно... каждое высказывание
является необходимым и достаточным условием своей собственной
истинности»2.
1 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 182.
2 Ивин А А, Никифоров А Л. Словарь по логике. — М, 1998. С. 340.

Предмет и значение логики
Полагают, что наши рассуждения должны выполнять данный закон,
потому что в противном случае их предмет перестает быть
определенным и устойчивым, может быть произвольно или непроизвольно
искажен или подменен. Распространенное в развитых языках явление
омонимии (наличие у одного слова нескольких, часто несовместимых,
значений) данным законом решительно исключается. Однако при всей
видимой убедительности подобного толкования закона тождества вряд
ли его можно принять без определенных оговорок. Целью многих
повседневных рассуждений, учебных занятий, научных дискуссий как
раз и оказывается уточнение и тем самым изменение первоначального
содержания определенных терминов. Юмор в принципе становится
невозможным, если нет смешения и толкования мыслей с разным
содержанием в одном и том же значении. Если же потребовать
безусловного выполнения закона тождества, как на том настаивают некоторые
авторы, мышление сразу же перестает быть творческим.
Размышляя о природе тождества, Аристотель признавал его
толкование в виде простого повторения одного и того же термина в одном
и том же значении малоэффективным и утверждал, что «выяснять...
почему вещь есть то, что она есть, значит, ничего не выяснять»1. Ведь
«искомое... остается более всего незамеченным в тех случаях, когда одно
не сказывается о другом»2. Как при сравнении то, чем измеряют,
должно отличаться от того, что измеряют, и все же оставаться
тождественным ему, так и подлинное тождество есть равенство различного, а не
одинакового по содержанию мыслей.
Допустим, каждая мысль либо истинна, либо ложна.
Две (и более) мысли тождественны, если и только если из
истинности (ложности) любой одной из них необходимо следует истинность
(ложность) другой.
Одно и то же значение истинности мыслей необходимо и
достаточно для их тождества в пределах одного и того же рассуждения. Однако
содержание мыслей не является необходимым условием их тождества
в пределах даже одного рассуждения. Достаточно вспомнить мучения
полицейского надзирателя Очумелова из рассказа А. П. Чехова
«Хамелеон», который ради «сохранения лица», т. е. личной
тождественности, должен был четыре раза менять собственную оценку
конфликтной ситуации на противоположную.
Одновременное выполнение первого (Г—> Т) и четвертого
утверждений (F-> F) из табл. 1 объясняет смысл тождества. Первое утвержде-
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. - М., 1976. С. 220.
2 Аристотель. Указ. соч. С. 221.

20 Введение
ние гарантирует, что правильное действие (истина) всегда приводит
к верному результату (истине), а четвертое — что неверный результат
может следовать только из ошибочного действия (лжи). Оба
утверждения необходимо истинны.
Тождество как принцип сохранения истины. Истина сохраняется,
если и только если в процессе развития истина выводится только из
истины (Г—» Г), а ложь — только из лжи (F—> F).
Допустим, А = «Сегодня понедельник», В = «Завтра вторник», С =
= «Завтра не среда». Из истинности (ложности) А следует истинность
(ложность) В, а из истинности (ложности) В следует истинность
(ложность) А. Значит, высказывания Аи В тождественны, а рассуждение,
утверждающее этот факт, необходимо истинно. Тождество
высказываний АиВ необходимо истинно, потому что его отрицание
необходимо ложно: сегодняшний понедельник становится незавтрашним
вторником, а сегодняшний непонедельник — завтрашним вторником.
Но А не тождественно С. Ибо хотя и верно, что из истинности А
следует истинность С, но из ложности А не следует ложность С; хотя
и верно, что из ложности С следует ложность Л, но при этом из
истинности С не следует истинность А.
Тождество становится полноценной интеллектуальной операцией
тогда, когда мышление достигает полной обратимости, когда для
каждой операции интеллект приобретает возможность выполнять ей
обратную и тем самым возвращаться в случае необходимости к причине
ошибки и исправлять ее. Установление тождества основано на
способности интеллекта к рефлексии. Чем более она развита, тем на более
отдаленных уровнях интеллект умеет достигать и сохранять тождество
между поставленной целью и условиями ее достижения.
Закон противоречия определяется в учебной литературе большей
частью так:
«В процессе рассуждения о чем-либо нельзя одновременно
утверждать и отрицать что-либо в одном и том же смысле, поскольку
образующиеся в этом случае суждения не могут быть вместе
истинными»1; «высказывание и его отрицание не могут быть одновременно
истинными... никакое высказывание не является одновременно
истинным и ложным»2.
Отметим, что подобные определения не совсем корректны с
формальной точки зрения, потому что противоречащие мысли не могут
быть вместе не только истинны, но и ложны. Если последнее условие —
1 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 184.
2 Ивин А. А.} Никифоров А. Л. Словарь по логике. — М., 1998. С. 220.

Предмет и значение логики
запрет на одновременную ложность — не выполняется, то
противоречие совпадает с противоположностью или соподчинением, что
неверно, так как все они представляют разные виды несовместимости.
Противоречие возникает тогда, когда из истинности (ложности)
одной мысли следует ложность (истинность) другой. Несовместимы
не только сами противоречащие мысли, но и все их следствия. Стало
быть, класс объектов, удовлетворяющих противоречащим друг другу
мыслям, всегда пуст (логически невозможен).
Две мысли противоречат друг другу, если и только если из
истинности {ложности) любой одной из них необходимо следует ложность
(истинность) другой.
Запрет на противоречия в наших рассуждениях обычно
обосновывается тем, что из противоречащих друг другу посылок можно вывести
любое заключение, и тем, что противоречие — признак путаного,
непоследовательного мышления. Противоречивое мышление часто
называют нелогичным, ошибочным и приписывают низшим или ранним
стадиям интеллектуального развития человека. Однако это не совсем
верно. С точки зрения европейцев, мышление аборигенов
противоречиво, но оно, тем не менее, по-своему очень последовательно и
эффективно1.
Для умственной деятельности противоречивость функционально
так же необходима, как и непротиворечивость. Выражаемые нами
мысли связаны с реальностью настолько опосредованно, что их прямое
толкование часто бывает бесполезным из-за неизбежно возникающих
противоречий. Так, например, противоречиво буквальное понимание
сказок, мифов, басен, притч, анекдотов, риторических тропов (скажем,
оксюморона — сочетания слов с противоположным значением в одном
стилистическом обороте). Однако мы с удовольствием читаем и
слушаем их, без труда понимаем суть. Эта доступность понимания
обусловлена интегральной непротиворечивостью подобных текстов,
доказывающих вполне очевидную истину — необходимость противодействия
всему, что нарушает порядок в природе (наказания порока).
Абсолютная непротиворечивость мышления была бы несовместима
с его творческой природой, способностью учиться на собственных
ошибках. Некоторые математики теперь не считают формальную
непротиворечивость теории абсолютным достоинством, а ее
доказательство — своей приоритетной задачей. «Взгляд на математику как на
формальную систему очень плодотворен, если осознавать его ограни-
1 Леви-Брюль Л. Первобытный менталитет. — СПб., 2002.

22 Введение
ченность... Непротиворечивость формальной системы, плодотворность
которой проверена экспериментально, перестает быть первостепенной
задачей. Выбор конкретно порождаемых текстов в такой системе... все
равно производится по неформализуемым правилам, которые важнее
формальной непротиворечивости, описываемой в терминах всех
поддающихся порождению текстов»1.
Противоречие — единственный достоверный симптом ошибочного
мышления и, соответственно, сигнал о необходимости ревизии всех
шагов рассуждения, которые привели к противоречию, и о надобности
выявить его причины, отыскать и исправить ошибки. Отсюда следует
позитивная роль противоречия. Только тогда, когда из допущения
следует противоречие, у нас есть все основания отказаться от него как от
необходимо ложного. В противном случае мы вынуждены считать его
истинным даже при отсутствии прямых доказательств. Как известно,
отрицание пятого постулата геометрии Евклида — «через точку вне
прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая
эту прямую» — не привело к противоречию с остальными аксиомами.
Это позволило Я. Больяи, К. Гауссу, Н. И. Лобачевскому и Г. Риману
обосновать возможность существования неевклидовых геометрий.
И хотя ни одна из них не находит непосредственного подтверждения
в повседневном зрительном опыте человека, отсутствие противоречия
в системах аксиом позволяет считать их все истинными.
Без допущения противоречия невозможны косвенные
доказательства, т. е. обоснования того, что если тезис истинный, то
несовместимый с ним антитезис должен противоречить исходным допущениям.
Например, доказать тезис «сегодня понедельник» можно прямо,
спросив кого-либо, какой сегодня день недели, и косвенно — опровергнув
сначала антитезис, что сегодня не понедельник.
Любые две мысли противоречат друг другу, если и только если
второе (Г—> F) и третье (F—> Т) утверждения из табл. 1 выполняются
вместе. Второе утверждение означает, что правильное действие (истина)
всегда порождает неверный результат (ложь), а третье утверждение —
что ошибочное действие (ложь) всегда приводит к верному результату
(истине). Вместе оба утверждения не могут быть ни истинны, ни
ложны, т. е. образуют противоречие.
Непротиворечивость как принцип сохранения истины. Истина
сохраняется, если и только если в процессе ее развития исключается
возможность следования как истины из лжи (F—> Г), так и лжи из истины
(T-+F).
1 Мании Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. — М., 1979. С. 160.

Предмет и значение логики 23
Допустим, А = «Сегодня понедельник», В = «Завтра не вторник», С =
= «Завтра среда». Аи В противоречат друг другу, потому что из
истинности (ложности) А следует ложность (истинность В). Обратное также
верно: из истинности (ложности) В следует ложность (истинность) А.
Значит, выполняется второе (Г—> F) и третье (F-+T) утверждения из
табл. 1. Если бы высказывания АиВ были вместе истинны, это
означало бы, что существуют дни, которые сегодня — понедельники, а
завтра — не вторники. Но таких дней нет. Значит, первое (Г—> 7)
утверждение, приведенное в табл. 1, не выполняется. Если бы высказывания
А и В были вместе ложны, это означало бы, что существуют дни,
которые сегодня — не понедельники, а завтра — вторники. Однако и таких
дней нет. Значит, четвертое (F —> F) утверждение в табл. 1 также не
выполняется.
Из сказанного следует, что противоречащие и тождественные друг
другу мысли взаимно несовместимы: если между данными мыслями
есть тождество, между ними не может быть противоречия; если есть
противоречие, не может быть тождества. Отрицание противоречия
вводит тождество, а отрицание тождества — противоречие. Если
неверно, что сегодня понедельник, но завтра не вторник, то верно, что
сегодня понедельник, и верно тогда и только тогда, когда завтра
вторник. Значит, законы тождества и противоречия — эквивалентные
принципы сохранения истины.
Высказывания Л и С не образуют противоречия. Хотя из
истинности А и следует ложность С, но из ложности А не следует истинность
С. Аналогичным образом из истинности С следует ложность А, но из
ложности С не следует истинность А. Значит Аи С могут быть
ложными одновременно, например когда истинно, что сегодня среда.
Очевидно, что закон противоречия необходимо следует из базисного
принципа сохранения истины. Если истина совместима только с самой
собой, то она не может противоречить себе. Если бы это было так,
истинным бы оказалось второе условие (Г—> F) из табл. 1. Но это невозможно.
Закон исключенного третьего определяется большинством авторов
однотипно:
«истинно или само высказывание, или его отрицание — третьего
не дано»1;
«истинно или само высказывание, или его отрицание»2.
1 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 186.
2 Ивин А. А., Никифоров Л. Л. Словарь по логике. — М, 1998. С. 104.

24 Введение
Подобные определения неточны, поскольку закон исключенного
третьего справедлив только для противоречащих друг другу мыслей.
Утверждая, что «сегодня понедельник или сегодня не понедельник»,
мы гарантируем, что одно из них необходимо истинно. Но утверждая,
что «сегодня понедельник или вторник», мы этого не гарантируем.
Скажем, если сегодня среда (или любой другой день, кроме
понедельника или вторника), то обе альтернативы последнего утверждения
ложные.
Если одно из противоречащих высказываний с непреложностью
истинно, как того требует закон исключенного третьего, то поиск
истины может осуществляться лишь двумя путями: либо прямым ее
доказательством из ранее доказанных или самоочевидных истин
(определений, аксиом), либо опровержением всех несовместимых с истинным
высказыванием.утверждений. Если истина не доказывается прямо из
ранее доказанных положений, то единственный способ ее
достижения — начать опровергать несовместимые с ней положения, т. е.
начать искать и исправлять ошибочные решения. Это означает, что рано
или поздно исправление ошибочных действий, основанное на
обратимости всех операций мышления, гарантирует достижение
поставленной цели.
Некоторые авторы подвергают сомнению универсальность закона
исключенного третьего. Однако приводимые аргументы не
выдерживают критики. Остановимся лишь на одном из них — невозможности
применять закон исключенного третьего к утверждениям о будущих
событиях.
При формулировке рассматриваемого аргумента ссылаются на
следующий отрывок из работы Аристотеля «Об истолковании»:
То же следует сказать о противоречии: все необходимо есть или не
есть, а также будет или не будет; но нельзя утверждать раздельно, что
то необходимо или другое необходимо. Я имею в виду, например, что
завтра морское сражение необходимо будет или не будет, но это не
значит, что завтра морское сражение необходимо будет или что оно
необходимо не произойдет; необходимо только то, что оно произойдет или
не произойдет1.
На основании приведенного, самого по себе справедливого,
рассуждения Аристотеля обычно делается вывод, что закон исключенного
третьего к будущим событиям не применим2.
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 2. - М., 1978. С. 102.
2 Фатиев Н. И. Логика. - СПб., 2002. С. 79. Ивип А. А., Никифоров А. Л.
Словарь по логике. - М., 1998. С. 105-106.

Предмет и значение логики 25
С таким заключением, однако, трудно согласиться. Рассмотрим
простую интерпретацию. Пусть Л = «Завтра морское сражение состоится»,
В в «Завтра морское сражение не состоится», Р — вероятностная мера.
Примем соглашение, что если абсолютная вероятность какого-либо
события равна 1, то оно необходимо; если его абсолютная вероятность
равна 0, то оно невозможно; если его абсолютная вероятность больше
О и меньше 1, то оно не необходимо и не невозможно.
Так как необходимо истинно, что случится А или В, справедливо
Р{Л или В} = Р{Л + В) = 1.
Равенство Р{А + В) = 1 представляет вероятностный аналог закона
исключенного третьего. При этом возможны следующие три
принципиально различных варианта выполнения данного закона.
1. Р{Л + В) - {Р(Л) = 1 + Р(В) = 0} = 1.
2. Р{Л + Я} = {Р(Л) = 0 + Р(Я)=1} = 1.
3. Р{Л + В} - {0< Р(Л) < 1 + Р(В) = 1 - Р(Л)} - 1.
Согласно первому варианту, завтрашнее морское сражение
необходимо состоится; согласно второму варианту — оно необходимо не
состоится (т. е. оно невозможно); согласно третьему варианту — оно состоится
или не состоится, но без необходимости каждой из альтернатив (если
Р(А) = Р(В) = 1/2, то завтрашнее морское сражение превращается в абсо-,
лютно случайное событие).
Аристотель справедливо утверждает, что из необходимости
сложного события {А или В}, т. е. из равенства Р{А + В} = 1, не следует ни
необходимость события Л, т. е. истинность равенства Р(А) = 1, ни
необходимость события В, т. е. истинность равенства Р(В) = 1 (хотя
обратное следование справедливо). Причина в том, что возможности Р{А) =
= 1 и Р(В) = 1 не противоречат друг другу и тем самым не
исчерпывают все альтернативы осуществления завтрашнего морского сражения.
Обе возможности одновременно ложны, если истинна третья
альтернатива — события Аи В оба не являются необходимыми: 0 < Р(А) < 1
и 0 < Р(В) < 1, так как Р(В) = 1 - Р(А). Но если возможности Р(А) = 1
и Р(В) = 1 не противоречат друг другу, к ним не применим и закон
исключенного третьего.
Для выполнения этого закона необходимо построить
исчерпывающую классификацию всех трех возможностей. Учитывая, что здесь
даны два основания — завтрашнее морское сражение «состоится» или
«не состоится», «с необходимостью» или «без необходимости», клас-

26 Введение
сификация получится двухступенчатой, а ее основные альтернативы —
сложными, состоящими из двух простых.
Завтра морское сражение с необходимостью или без
необходимости либо состоится — {Р(А) = 1 или 0 < Р(Л) < 1},
либо не состоится — {Р(В) = 1 или 0 < Р(Л) < 1}.
Возможна эквивалентная формулировка приведенного суждения
о завтрашнем морском сражении, в которой только первая
альтернатива будет сложной.
Завтра морское сражение состоится или не состоится
либо с необходимостью — {Р(Л) = 1 или Р(В) =1},
либо без необходимости — {0 < Р(А )< 1}.
Так как события Аи В взаимно исключают друг друга, а их
вероятность в сумме всегда равна 1, Р{А + В} = 1, то одно и только одно из них
обязательно осуществится (не осуществится) в будущем с
необходимостью или без необходимости. Значит, нет никаких оснований
считать, что закон исключенного третьего не применим к будущим
событиям, т. е. что он не выступает универсальным принципом сохранения
истины.
Важнейшее методологическое значение закона исключенного
третьего заключается в следующем: его правильное применение всегда
порождает множество взаимоисключающих и совместно исчерпывающих
базисное знание альтернатив, одна и только одна из которых истинна.
Подобное множество альтернатив принято называть полным, так как
оно всегда содержит среди них истинное решение.
Требование полноты. Множество взаимоисключающих и совместно
исчерпывающих базисное знание альтернатив называется полным, если
и только если одна из них истинна.
Каждый следователь стремится составить полный список
подозреваемых; каждый ученый — полный список гипотез исследуемого
явления; каждый врач — полный список возможных причин
заболевания. Ведь только в случае исчерпывающего перечня любой из них
может надеяться на решение своей специфической проблемы.
Подвергая альтернативные гипотезы проверке, отбрасывая или исправляя
ложные, рано или поздно истинное допущение будет обязательно
обнаружено. Например, полным будет следующее множество гипотез —
«сегодня понедельник, или вторник, или среда... или воскресенье».
Опровергнув ложность шести из них, мы получим доказательство ис-

Предмет и значение логики 27
тинности оставшейся, седьмой, т. е. получим ответ на вопрос, какой
сегодня день недели.
Полное множество с любым числом альтернатив всегда может быть
переформулировано в виде двух противоречащих альтернатив.
Обратное также верно. Например, вместо того, чтобы перечислять все
возможности «Сегодня понедельник, или вторник, или среда... или
воскресенье», допустимо сказать «Сегодня понедельник или не понедельник,
сегодня вторник или не вторник... сегодня воскресенье или не
воскресенье». Таким образом, закон противоречия и требование полноты
представляют эквивалентные и тем самым взаимозаменяемые условия.
Если невозможно, чтобы истина и ложь были вместе истинны, тогда
истинно, что они образуют полное множество. Это эквивалентно
требованию, чтобы из истины следовала только истина, а из лжи —
только ложь.
Требование полноты как принцип сохранения истины. Истина
сохраняется, если и только если она вместе со всеми своими
альтернативами образует полное множество.
Допустим, Л = «Сегодня понедельник», В = «Завтра не вторник», С =
«Завтра четверг». Высказывания Л и В образуют полное множество.
Значит необходимо истинно либо Л, либо В. Если истинно Л, то ложна
альтернатива «Завтра не вторник». Если истинно В, то истинна
альтернатива «Завтра не вторник». Если бы существовала какая-либо
третья альтернатива, тогда высказывания Л и В были бы одновременно
ложны. Но это невозможно, так как Л истинно, если сегодня
понедельники, а В истинно — если все остальные дни недели. Значит данные
высказывания образуют полное множество альтернатив.
Высказывания Л и С не образуют противоречия, хотя и не могут быть
вместе истинны. Поэтому неверно, что необходимо истинно либо Л,
либо С. Если истинно Л, то С ложно. Но если Л ложно, то С будет
неопределенным (может быть истинным, если сегодня среда, и ложным,
если сегодня, допустим, четверг). Так как Л и С взаимно не исключают
друг друга и совместно не исчерпывают все дни недели, то принцип
исключенного третьего для них не выполняется. Иными словами,
высказывания Л и С не образуют полного множества альтернатив.
Будучи эквивалентными принципами сохранения истины, законы
тождества и противоречия оба демонстрируют, что противоречащим
друг другу высказываниям ничего не соответствует в качестве
удовлетворяющего их вместе референта (объекта). Значит, чтобы мысли
имели некоторый общий референт, они должны быть
непротиворечивы. Если мысль непротиворечива, то она или истинна, т. е. соответ-

28 Введение
ствует своему референту, или ложна, т. е. не соответствует своему
референту. Поскольку закон исключенного третьего утверждает, что
ничего третьего между истиной и ложью нет и быть не может, его нужно
считать следствием законов тождества и противоречия.
Однако верно и то, что оба данных закона — следствия закона
исключенного третьего. Если необходимо, что мысль или истинна, или
ложна, не бывает так, чтобы она одновременно оказывалась истинной
и ложной, и необходимо истинно, чтобы из истины следовала только
истина, а из лжи — только ложь.
Следовательно, законы тождества, противоречия и исключенного
третьего — равнозначные принципы сохранения истины.
Все три закона представляют эквивалентные формулировки закона
дедукции. Если ложен закон тождества, закон противоречия или
закон исключенного третьего, тогда верно, что истина и ее отрицание
могут быть одновременно истинны или из истины следует ложь. Верно
и обратное. Значит, закон дедукции — это общий принцип сохранения
истины.
Сохранение истины — важнейшая, но не единственная цель научного
исследования: сначала истину надо открыть и обосновать.
Следовательно, одкого только закона дедукции недостаточно, чтобы объяснить
полный цикл существования истины:
«открытие—обоснование—сохранение—открытие». Гипотетико-дедуктивный метод познания
предлагает принципиальное решение данной проблемы. Истина
открывается как гипотеза, дающая лучшее объяснение факту, не объясняемому
другим знанием; обосновывается в решающих предсказаниях;
сохраняется на всех этапах открытия и обоснования посредством вывода
необходимых следствий, необходимых как для объяснения, так и для
предсказания. Значит, ГДМ объединяет вместе логику открытия
истины (абдукцию), логику обоснования истины (индукцию и аналогию)
и логику сохранения истины (дедукцию).
Закон дедукции известен. Сформулируем законы абдукции и
индукции, учитывая, что аналогия выступает частным случаем индукции.
Процессы открытия и обоснования истины необходимо связаны друг
с другом. Новая истина всегда открывается в попытке найти лучшее
объяснение уже существующих фактов. Поэтому открытие
совершается как поиск для данного факта лучшей объясняющей гипотезы, как
восхождение от следствия к гипотезе, а не наоборот. Стало быть, не
только обоснование, но и открытие новых истин происходят в процессе
анализа известных из опыта следствий и поиска для них лучших
объяснительных гипотез.

Предмет и значение логики !_?
Открытие истины не принято относить к фундаментальным целям
и разделам логики. Старая позитивистская догма о том, что «логика
открытия» не имеет прямого отношения к общей логике и может быть
интересна только психологам и историкам науки, молчаливо
разделяется подавляющим числом авторов учебников по логике. Открытие
истины признается творческим актом, не имеющим эффективного
(однозначно определяющего каждый шаг открытия) алгоритма. Тем
не менее представители традиционной логики косвенно соглашаются
с существованием проблемы открытия и обоснования истины, считая
одним из своих основных принципов так называемый закон
достаточного основания.
Отношение их к обоснованию истины более лояльно. Индукция
(вместе с аналогией) полагается частью общей логики, а обоснование
истины — ее фундаментальной целью, хотя изложение данной темы
ограничивается, как правило, адаптированными сведениями о
методах причинного анализа Дж. С. Милля1 и защитой закона
достаточного основания.
Одни авторы признают его: «В процессе рассуждения
достоверными следует считать лишь те высказывания, относительно истинности
которых могут быть приведены достаточные доводы (основания)»2.
Другие отвергают его в качестве закона логики3. Подобная
амбивалентность оценок объясняется тем, что отклоняющие его справедливо
полагают: закон достаточного основания нельзя считать принципом
сохранения истины. Признающие же фактически соглашаются, что этот
закон — принцип открытия и обоснования истины. Однако подобный
логический статус закона в той редакции, в которой обычно он
предстает, чрезвычайно сомнителен.
Закон достаточного основания защищают, как правило, потому, что
истина должна не просто декларироваться, а быть обоснованной. И под
обоснованием преимущественно понимается поиск для исследуемой
истины убедительных доводов, из которых она следовала бы с
необходимостью.
1 МилльДж. С. Система логики силлогической и индуктивной. Изложение
принципов доказательства в связи с методами научного исследования. — М.,
1914.
2 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 189.
3 «Отнесение закона достаточного основания к числу логических законов
лишено оснований». Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике. — М., 1998.
С. 96.

30 Введение
Допустим, необходимо обосновать высказывание В = «Завтра не
среда». Пусть обосновывающей посылкой будет утверждение А =
«Сегодня понедельник». Очевидно, что из истинности А следует
истинность В и, согласно закону достаточного основания, высказывание В
должно считаться доказанным. Обычно на этом обоснование
заканчивается и дальнейший анализ прекращается. Проблема, однако,
состоит в том, что любое высказывание обосновывается не только
истинными, но и ложными доводами.
Продолжим наш пример. Допустим, в качестве дополнительного
довода приводится утверждение С = «Сегодня воскресенье», которое
ложно, потому что Аи С несовместимы, но А истинно. Так как
высказывание В следует из С, то, согласно закону достаточного основания,
оно и в этом случае получает достаточное доказательство.
Обосновывающие доводы Аи С несовместимы друг с другом. Какой же из них
следует считать наиболее убедительным? Закон достаточного
основания рекомендует выбрать утверждение Л, так как только оно истинно.
Но этот ответ с логической точки зрения не имеет никаких
преимуществ перед выбором утверждения С в качестве убедительного довода.
Проблема заключается не в том, существуют ли доводы, достаточные
для обоснования истины, ибо ложь также достаточна для ее
обоснования, а необходима ли сама истина.
Правило «из лжи следует все, что угодно» не только делает поиск
достаточности обоснования тривиальной, если не бессмысленной,
процедурой, но и доказывает, что истина вообще не зависит от своих
дедуктивных предпосылок (доводов). Выполнение первого и третьего утверждения,
указанных в табл. 1, объясняет логический смысл независимости
истины от дедуктивных предпосылок.
Истина не зависит от своих дедуктивных предпосылок, если и
только если ее развитие удовлетворяет условиям (Г—> Т) и (F —> Т) одно-
временно.
Будучи независимой от своих предпосылок, всякая истина тем не
менее полностью зависит от своих необходимых следствий. Если хотя
бы одно из них оказывается ложным, опровергается вся истина в
целом. Второе утверждение из табл. 1 соответствует данному свойству
истины.
Для опровержения истины необходимо и достаточно доказательства
ложности по крайней мере одного ее необходимого следствия, т. е.
выполнимости (T-^F).
Не поиск достаточных аргументов, ибо оправдать можно все что
угодно, а вывод и проверка следствий — вот принципиальное решение

¦ Предмет и значение логики
проблемы обоснования любой истины. Такое решение обеспечивает
гипотетико-дедуктивный метод (ГДМ), который, как объяснялось,
объединяет открытие^ дедуктивное развитие и обоснование истины
в одну общую модель познания.
Если истина не зависит от своих дедуктивных предпосылок, то
последние могут быть только относительно истинными, или, как принято
говорить, правдоподобными высказываниями.
Произвольное высказывание S правдоподобно, если и только если оно
логически не истинно и не ложно, т. е. его вероятность лежит в
интервале 0 < P(S) < I.
Важное свойство правдоподобных высказываний — их способность
изменять свою вероятность в зависимости от изменения фактических
условий. Логически истинные и ложные высказывания таким
свойством не обладают, так как представляют логические константы, не
изменяемые опытом.
Предпосылки истины должны быть не только правдоподобными, но
они также обязаны предлагать возможное решение проблемы, задачи
и т. д., т. е. быть гипотезами.
Гипотеза — правдоподобное высказывание, содержащее
возможное решение рассматриваемой проблемы, обобщающее
анализируемые факты или объясняющее их причину.
Вероятность гипотезы должна быть по определению мерой ее
истинности.
Пусть Я обозначает гипотезу, -.Я — дополнение Я (логическую
сумму всех альтернатив Я); Р(Н) — вероятность гипотезы Я, Р(-*Н) —
вероятность всех альтернатив (дополнения) Я; Е — факт, требующий
объяснения. Как и гипотеза Я, факт ? не может быть логически
истинным или логически ложным событием (в первом случае факт Е не
требовал бы объяснения, во втором он был бы невозможным событием).
Объяснить какой-либо факт означает указать его предполагаемую
причину или закон, которому он подчиняется. Для этого стремятся
представить утверждение о причине или законе в качестве одной из
посылок определенного дедуктивного умозаключения, а заключение
об исследуемом факте — как его необходимое следствие. Объяснение,
иными словами, представляет дедукцию необходимых следствий
рассматриваемой гипотезы.
Гипотеза Я объясняет факт Е, если и только если истинность
следствия, объясняющего Е, представляет необходимое условие истинности Я.
Пусть фактом, требующим объяснения, будет Е= «Сократ смертен».
Если в качестве гипотезы выбрать предположение Я = «Все люди

32 Введение
смертны» и начальное условие /= «Сократ — человек», то объяснение
строится как следующее дедуктивное умозаключение (горизонтальная
черта, отделяющая посылки от заключения, читается «следовательно»):
Н = «Все люди смертны».
/ = «Сократ — человек».
Е = «Сократ смертен».
Если предположить, что объяснение ? ложно, тогда истинно
заключение «Сократ бессмертен». Из этого заключения и посылки «Все люди
смертны» следует «Сократ — не человек», что противоречит
начальному условию «Сократ — человек». Значит, заключение необходимо,
а объяснение логически корректно.
Стадия открытия новой истины не преследует цель формулировки
достоверного объяснения. Ее цель — изобретение новой истины, т. е.
нового объяснения причины исследуемого факта Е. Необходимые
требования к открытию новой истины указывает закон абдукции.
Закон абдукции. Гипотеза Н представляет новое объяснение факта
Е, если и только если:
1) без гипотезы Н факт Е не объясняется наличным базисный
знанием Б;
2) гипотеза Н логически совместима с фактом Е, Р(НЕ) > 0;
3) факт Е более правдоподобен относительно базисного знания Б
в случае принятия Н, чем в случае принятия любой из ее
альтернатив -,Н, Р(Е/НВ) > Р(Е/-,НВ).
Закон абдукции объясняет творческий (интуитивный) характер
большинства научных открытий. Истина открывается не в результате
постепенного накопления знаний или механической дедукции из
принятых аксиом, а в результате неожиданного «прозрения»,
наступающего при попытке найти для рассматриваемого факта лучшую
объясняющую гипотезу.
Известный «метод дедукции» Шерлока Холмса представляет
литературную интерпретацию закона абдукции. «Сколько раз я говорил
вам [обращение Шерлока Холмса к доктору Ватсону. — В. С], отбросьте
все невозможное, то, что останется, и будет ответом, каким бы
невероятным он ни казался»1.
Конраду Лоренцу, известному австрийскому этологу, однажды
потребовалось объяснить факт неожиданной агрессивности глухих со дня
1 Копан Дойль А. Знак четырех// Собр. соч.: В 10 т. — Волгоград. 1994. Т. 8. С. 38.

Предмет и значение логики 33
рождения индюшек по отношению к своим только что вылупившимся
птенцам:
Глухие индюшки совершенно нормально высиживали птенцов, как
и до того их социальное и половое поведение вполне отвечали норме.
Но когда стали появляться на свет их индюшата, оказалось, что
материнское поведение подопытных животных нарушено самым
драматическим образом: все глухие индюшки тотчас забивали насмерть своих
цыплят, как только те появлялись из своих яиц!1
Общепринятое предположение, что «индюшка, пока она сидит на
гнезде, должна быть постоянно готова с максимальной энергией
нападать не только на мышей, крыс, хорьков, ворон, сорок и т. д., но и на
своих сородичей... потому что онитак же опасны для ее выводка, как
и хищники»2, не объясняет указанного факта, так*как очевидно, что
дети индюшек не могут быть объектами агрессии своих матерей.
Сотрудники Конрада Лоренца были вынуждены разработать новую,
более правдоподобную гипотезу:
Если не предполагать, что у индюшки повреждено что-то еще,
кроме слуха, то такое поведение [агрессия глухих индюшек по отношению
к своим детенышам — В. С] можно объяснить одним: у нее нет ни
малейшей врожденной информации о том, как должны выглядеть ее
малыши. Она клюет все, что движется около ее гнезда, если оно не
настолько велико, чтобы реакция бегства у нее пересилила агрессию.
Только писк индюшонка — и ничто больше — посредством
врожденного механизма включает материнское поведение, одновременно
затормаживая агрессию3.
Абдукция не обладает свойством открывать необходимые истины.
Посылки абдуктивного рассуждения могут быть истинны, а
заключение, тем не менее, ложно. Плодотворность абдукции заключается в том,
чтобы изобрести новую истину. Но насколько обоснованной
предстает новая истина, решается с помощью индукции.
Хотя объясняемый факт Е и подтверждает гипотезу Я, этого
подтверждения, как правило, недостаточно для уверенности в
эмпирической надежности гипотезы. Исследователь может оказаться, как это
нередко бывает, предвзятым в отношении своей гипотезы. С целью
повышения объективности оценки открытия из проверяемой гипотезы
дедуцируют одно или несколько предсказаний и проводят наблюде-
1 Лоренц К. Агрессия (так называемое «зло»). — СПб., 2001. С. 154.
2 Лоренц К. Указ. соч. С. 153.
3 Лоренц К. Указ. соч. С. 154.
2-1742

34 Введение
ния или эксперименты. Если все сделанные предсказания
подтвердились на опыте, гипотеза считается подтвержденной в достаточной
степени. Если же хотя бы одно из предсказаний не подтвердилось,
гипотеза или отбрасывается, или модифицируется для проведения дальнейших
испытаний.
Пусть Fобозначает дополнительное решающее предсказание,
дедуцируемое из проверяемой гипотезы Я. Тогда справедливо следующее
определение.
Закон индукции. Гипотеза И принимается в качестве новой
истины, а все ее альтернативы -.Н получают опровержение, если и
только если:
1) решающее предсказание Гпредставляет необходимое
совместное следствие базисного знания Б, гипотезы Н и факта Е;
2) независимо от результата предсказания Fфакт Е подтверждает
гипотезу И относительно Б;
3) факт Е вместе с предсказанием F подтверждают гипотезу И
относительно В.
Продолжим анализ примера с глухими индюшками К. Лоренца. Для
обоснования новой гипотезы (объясняющей причину агрессии глухих
индюшек по отношению к своим детенышам) был проведен
эксперимент:
Если к индюшке, сидящей на гнезде, подтягивать на нитке, как
марионетку, натурально сделанное чучело индюшонка, то она клюет его
точно так же, как и глухая. Но стоит включить встроенный в эту куклу
маленький динамик, из которого раздается магнитофонная запись
«плача» индюшонка, нападение резко обрывается вмешательством
торможения, явно очень сильного, так же внезапно, как это описано выше на
примере цихлид и ланей. Индюшка начинает издавать типичные
призывные звуки, соответствующие квохтанью домашних кур1.
Эксперимент полностью подтвердил выдвинутую гипотезу о
причине агрессивного поведения глухих индюшек и превратил ее в
элемент достоверного научного знания. При этом следует учитывать, что
в науке любая истина, даже если она получила статус аксиомы, закона
или принципа, представляет лишь временно и условно принимаемое
допущение. Это не свидетельствует о ее ущербности. Наоборот,
благодаря своей относительности и гипотетичности она способна к
исправлениям, обобщениям и опровержению при обнаружении новых фактов.
В этом и заключается сущность научного прогресса.
1 Лоренц К. Указ. соч. С. 155.

Часть I
ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА

Что же касается учения об умозаключениях, то мы не нашли
ничего такого, что было бы сказано до пас, а должны были сами
создать его с большой затратой времени и сил.
Аристотель «О софистических опровержениях»
Традиционной логикой принято называть теорию силлогизмов,
созданную Аристотелем C84-322 до н. э.). В средние века она была
систематизирована схоластами и примерно в таком виде дошла до наших дней.
В большей части отечественных учебников традиционная логика до
сих пор излагается именно в той форме, которую ей придали
средневековые логики.
Силлогистика — исторически первая теория дедуктивного вывода.
Кроме силлогизмов к предмету традиционной логики принято также
относить суждения, из которых строятся силлогизмы, понятия, из
которых образуются суждения, доказательство и опровержение как
важнейшие функции силлогистических рассуждений.
Силлогистика не исчерпывает всех видов дедуктивных
умозаключений. У нее имеются и другие ограничения. Вместе с тем силлогистика
остается одной из самых точных и совершенных логических теорий.
Последние исследования в области развития интеллекта доказывают,
что она, кроме логических, имеет также определенные когнитивные
основания. Доказано, что между темами традиционной логики,
формами и целями мышления, основными ступенями и целями развития
интеллекта существует необходимая связь (табл. 2).
Таблица 2
Когнитивные основания традиционной логики
1
2
3
4
Темы
традиционной
логики
Понятие
Суждение
Умозаключение
Доказательство
и опровержение
Формы и цели
мышления
Логические атомы
умозаключений
Логические молекулы
умозаключений
Логическая форма
получения нового
знания
Открытие,
обоснование и сохранение
истины
Основные ступени и цели
развития интеллекта
Умение оперировать классами
Умение оперировать
отношениями
Умение синтезировать операции
с классами и отношениями
Преодоление эгоцентризма и
зависимости в получении нового
знания от внешней среды
С учетом сказанного, традиционная логика по-прежнему остается
современной логической теорией, а ее знание — важным элементом
общей культуры.

Глава 1
Понятие
Так как мы способны познавать внешние предметы только
через посредство имеющихся у нас идей {понятий. — В. С],
размышления над ними составляют, быть может, самое
важное в логике, ибо на этом зиждется все остальное.
А. Арно, П. Николь «Логика, или Искусство мыслить»
Определение понятия
В логике «вещью» принято называть все, что может иметь имя (все,
что может быть обозначено тем или иным образом). При этом не
имеет значения, существует ли обсуждаемая вещь реально или только
в чьем-либо воображении, является ли она материальным или
идеальным объектом. Мы понимаем какую-либо вещь исчерпывающим
образом, если и только если можем определить ее понятие. Одно и то же
событие, интерпретированное в разных системах понятий
(обвинителя и защитника на суде, например), превращается в различные, а иногда
и противоречащие друг другу факты. Понятия — логические атомы
нашей интеллектуальной деятельности, опорные пункты здравого и
научного смысла. Умственное развитие ничто иное, в сущности, и не
представляет, как способность переосмысливать старые и конструировать
новые понятия в соответствии с изменяющимися условиями жизни.
Понятия придают нашим словам адекватное значение, а речь
превращают в осмысленное рассуждение.
Понятие — мысль, обозначающая свойства вещи, каждое из
которых необходимо, а все вместе они достаточны для ее
однозначного определения (обозначения, указания) в рассматриваемом
отношении (качестве).
Из приведенного определения следует: чтобы сформировать понятие
о некоторой вещи, нужно знать ее свойства, но не всякие, а только
необходимые и вместе достаточные.

38 Часть 1. Традиционная логика
Необходимое свойство — такое свойство вещи, без которого ее
существование в рассматриваемом отношении (качестве)
невозможно.
Свойство «быть сладкой вещью» необходимо для того, чтобы
кондитерское изделие могло называться конфетой. Несладкое изделие
оценивается как брак и исключается из класса конфет. Вместе с тем
«быть шоколадной конфетой» не относится к разряду необходимых
свойств кбнфет. Каждый знает, что есть конфеты, сделанные не из
шоколада. Необходимое условие нельзя не только исключить, но и
ослабить, усилить или модифицировать каким-либо иным образом без
появления противоречия в существовании рассматриваемой вещи.
«Необходимо то, что иначе быть не может» (Аристотель).
Свойства бывают не только необходимыми или ненеобходимыми,
но и достаточными и недостаточными.
Достаточное свойство — такое свойство вещи, из наличия
которого всегда следует ее существование в рассматриваемом
отношении (качестве).
Так, свойство «быть конфетой» достаточно для того, чтобы некий
объект был сладкой вещью. Отрицание достаточного условия в
отличие от отрицания необходимого не противоречит существованию
данной вещи. Например, свойство «быть пирожным», несовместимое со
свойством «быть конфетой», достаточно для того, чтобы предмет
относился к классу «сладких вещей».
Не каждое необходимое условие бывает достаточным и не всякое
достаточное условие — необходимым. Дождь — достаточное условие
для мокрых улиц, но его нельзя считать необходимым (возможны
и другие причины, кроме дождя). Быть сладкой вещью есть
необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы считаться шоколадной
конфетой. Однако делимость на 2 необходима и одновременно
достаточна для существования класса четных чисел.
Для определения понятий особое значение имеет случай, когда
достаточность представляет функцию нескольких необходимых свойств.
Все вместе они выражают в этом случае сущность исследуемой вещи.
Сущность вещи — свойства вещи, каждое из которых
необходимо, а все вместе они достаточны для ее существования в
определенном отношении (качестве).
Поясним сказанное. Допустим, требуется дать определение
квадрата. Основной вопрос при определении любого понятия следующий —
что такое данная вещь? В нашем случае — что такое квадрат? Отве-

[лава 1. Понятие
чая на него, мы последовательно выдвигаем и проверяем на
необходимость и достаточность предположения (гипотезы).
Первое предположение. Квадрат — это плоская четырехугольная
геометрическая фигура.
Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один
квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической
фигурой? Ответ отрицательный. Значит, рассматриваемый признак
необходим.
Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская
четырехугольная геометрическая фигура — квадрат? Ответ отрицательный.
(Например, трапеция — плоская четырехугольная геометрическая
фигура, но не квадрат). Значит, хотя свойство «быть плоской
четырехугольной фигурой» необходимо, но оно недостаточно для
обозначения квадратов и только этих фигур. Недостаточность первого
предположения требует выявить по крайней мере еще один необходимый
признак.
Второе предположение. Квадрат — это плоская четырехугольная
геометрическая фигура, имеющая равные стороны.
Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один
квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической
фигурой с равными сторонами? Ответ отрицательный. Значит,
рассматриваемые признаки оба необходимы.
Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская
четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами — квадрат?
Ответ отрицательный. (Например ромб — плоская четырехугольная
геометрическая фигура с равными сторонами, но не квадрат.) Значит,
хотя оба свойства «быть плоской четырехугольной фигурой» и «иметь
равные стороны» и необходимы, но они недостаточны для
обозначения квадратов и только этих фигур. Недостаточность второго
предположения вынуждает искать дополнительный необходимый признак
и тем самым выдвигать новое предположение.
Третье предположение. Квадрат — это плоская четырехугольная
геометрическая фигура, имеющая равные стороны и углы.
Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один
квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической
фигурой с равными сторонами и углами? Ответ отрицательный.
Значит, все рассматриваемые признаки необходимы.
Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская
четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами и углами —
квадрат? Ответ утвердительный. Значит, свойств «быть плоской че-

40 Часть 1. Традиционная логика
тырехугольной фигурой», «иметь равные стороны» и «равные углы»
вместе достаточно для обозначения квадратов и только этих фигур.
В итоге мы достигли знания, называемого понятием квадрата, т. е.
знания, выражающего суть этой вещи.
Квадрат — плоская четырехугольная геометрическая фигура с
равными сторонами и углами.
Ни одно понятие не существует автономно, не будучи включенным
в какое-либо более общее понятие и не оказываясь
противопоставленным в его рамках своему дополнению (противоречащему понятию).
Например, класс конфет включен в класс сладких изделий и
противостоит всем сладким изделиям, не относящимся к конфетам. В свою
очередь, класс сладких изделий противостоит классу несладких изделий,
образуя еще более общий класс продуктов. Следовательно, каждое
понятие включено в определенную иерархию упорядоченных понятий.
Движение по ней «вверх» приводит к обобщению рассматриваемого
понятия, а движение «вниз» — к его ограничению. Например,
ближайшим обобщением понятия «четное число» служит понятие «целое
число», а одним из его возможных ограничений — «четное число,
делящееся на 5». Чтобы определять понятия, необходимо умение их обобщать
и ограничивать, складывать и вычитать классы, т. е. строить
классификации.
Поскольку каждое из понятий представляет сумму каких-либо
необходимых признаков, все они имеют нормативный характер. Стало
быть, в той реальности, в которой живет и действует человек, не
только понятия должны соответствовать вещам, но и'наоборот: вещи —
своим понятиям. Что бы ни изготовил человек, на всем лежит отпечаток
того понятия, которым он руководствовался в процессе создания вещи.
Именно по соответствию рассматриваемого предмета, события,
поступка системе определенных понятий различают «красивое» и
«безобразное», «дорогое» и «дешевое», «умное» и «глупое», «законное» и
«незаконное». Подобная относительность оценок, особенно заметная при
сравнении различных культур или разных форм, периодов одной
культуры, показывает: понятия — это вовсе не простые слепки вещей, в них
человек не только отражает мир, но и выражает свое отношение к нему.
Нормативный характер понятий означает также, что среди них
могут существовать такие, для которых еще не открыты или не созданы
искусственно соответствующие им вещи. Подобная ситуация нередко
встречается в науке, когда сначала выдвигаются гипотезы и только
затем совершаются открытия.

Глава 1. Понятие
Благодаря свойству обозначать классы вещей, а не отдельные вещи,
понятия не следует считать чувственно наглядными конструктами. Их
наличие до известной меры не зависит от существования внешней
реальности. Данное свойство отличает понятия от чувственных образов
и представлений, которые, к тому же, не могут не зависеть от
реальных вещей как своих внешних причин.
Содержание и объем понятия. Обобщение
и ограничение понятий
Традиционно под логическими элементами понятия как
мыслительной структуры имеют в виду его содержание и объем.
Содержанием понятия обычно называют множество существенных
свойств мыслимой вещи, разделенных на родовые и видовые признаки.
К родовым относятся все свойства, отвечающие на вопрос « Что это за
вещъ?>>1, к видовым — все свойства, отвечающие на вопрос «Какая это
вещь?».
Объемом понятия обычно называют класс вещей, удовлетворяющих
всем признакам содержания. Вернемся к понятию «квадрат». Пусть
признак «четырехугольник, изображенный на плоскости» относится
к родовым свойствам, а признак «геометрическая фигура с равными
сторонами и равными углами» — к видовым. Тогда содержание
понятия «квадрат» представляет пересечение множеств признаков:
{«четырехугольник, изображенный на плоскости»}
п {«геометрическая фигура с равными сторонами, геометрическая
фигура с равными углами»}.
Объем же этого понятия — класс всех четырехугольников,
удовлетворяющих требованиям содержания и относящихся поэтому к квадратам.
Несмотря на всю свою очевидность, традиционный подход был
подвергнут критике по двум основаниям.
Во-первых, его сторонники определяют содержание понятия как
«совокупность существенных признаков», упуская из виду
возможность их различной логической взаимосвязи. Это означает, что
возможны лонятия с одним и тем же числом признаков, но с разными
логическими свойствами.
1 «Я называю родом то, благодаря чему различающиеся между собой вещи
называются тождественными по сущности». — Аристотель. Сочинения: В 4 т.
Т. 1.-М., 1976. С. 259.

42 Часть I. Традиционная логика
Сравним для примера следующие два понятия: А = «вкусное и
спелое яблоко», В = «вкусное или спелое яблоко». Хотя их содержание
выражается с помощью одних и тех же признаков — «вкусный» и
«спелый», по своей логической структуре и свойствам понятия Аи В
значительно отличаются друг от друга. Например, понятие А исключает
все ситуации, когда яблоко может быть вкусным и неспелым, или
невкусным и спелым, или невкусным и неспелым. Понятие В исключает
только те случаи, когда яблоко невкусное и неспелое одновременно.
Следовательно, с логической точки зрения, понятие Л сообщает больше
информации, т. е. более определенно, чем понятие В; объем А
полностью включен в объем В, но ему не равен; из истинности А следует
истинность В, но обратное в общем неверно.
Во-вторых, приверженцы традиционной точки зрения
придерживаются некритически заимствованного из аристотелевской онтологии
и наивной теории множеств положения о том, что элементами объема
понятия выступают единичные вещи. Понятия действительно
определяют вещи. Но это определение всегда осуществляется в терминах
(необходимых и достаточных) свойств. И поскольку логическим
аналогом свойств выступают классы соответствующих вещей, то
подлинными элементами объема и становятся не сами вещи, а именно их классы.
Мы будем называть классом любое множество объектов, включая
и пустое, по отношению к которым субъект познания реагирует
идентичным образом, т. е. для него они все в заданном отношении
качественно эквивалентные элементы.
С этой точки зрения не существует никаких последних сущностей
(родов) вещей, выполняющих функцию последнего «носителя» свойств.
Любая подобная сущность может быть определена как свойство более
общей сущности.
Если кроме допущения, что элементами объема выступают
единичные вещи, основываться на требовании их реального существования,
из понятийного анализа придется исключить все мифологические,
сказочные и тому подобные существа, а также все вещи, строгое
доказательство бытия которых на момент обсуждения отсутствует или
представляется неубедительным. Невозможным становится выдвижение
гипотез, постановка и решение научных проблем, существование
науки в целом. Ведь получение знания о новых, еще неизвестных
объектах и есть ее главная задача.
Чтобы избежать указанных ограничений и достигнуть
максимальной целостности и всеобщности анализа, примем следующие три
соглашения.

Глава 1. Понятие 43
С. 1. С логической точки зрения существует только то, что не
содержит в себе противоречия.
С. 2. Классы вещей, а не единичные вещи, — исходные элементы
логического существования и, соответственно, анализа.
С. 3. Класс существует (задан), если и только если задан он сам со
всеми классами, обозначающими его разновидности, а также его
дополнение и объединяющий их оба более общий класс.
Согласно С. 1, принцип противоречия определяет границы
логического существования. Все, что противоречиво, логически невозможно
и поэтому не существует; наоборот, все, что непротиворечиво,
логически допустимо в качестве возможного положения дел и поэтому
существует1.
В соответствии с С. 2 понятия обозначают единичные вещи, но
определяют их всегда в терминах свойств. Поэтому не вещи, а классы —
логические корреляты свойств — служат элементами логического
существования и анализа. Например, логическое обсуждение достоинств
какого-нибудь кулинарного блюда означает исследование его свойств,
а значит — и класса всех блюд, обладающих ими. Несуществующие
вещи обладают логически невыполнимыми свойствами и
принадлежат пустому классу.
Как следует из С. 3, исходное в логике — отношение включения
класса в класс, а не принадлежности вещи классу. Класс существует
только в том случае, если задана вся иерархия включающих его и
включаемых им классов.
Принятые соглашения позволяют ввести необходимую коррекцию
в определения содержания и объема понятия.
Из С. 3 следует, что каждое понятие существует только как часть
более общей классификационной системы — классов вещей,
обозначаемых понятием, его дополнением и объединяющим их оба
универсальным классом, который ради краткости будем называть
универсумом (от лат. universum — вселенная, универсальный класс). Фрейм
такой системы изображен на рис. 1.1.
Например, если необходимо мыслить понятие «четные числа», то
это нельзя сделать иначе, как противопоставляя его своему дополне-
1 «Что мы понимаем под "возможным миром"? Просто мир, который может
описываться без противоречия. Сюда входят сказочные миры и вымышленные
миры самого фантастического рода при условии, что они описываются в
логически непротиворечивых терминах». — Карнап Р. Философские основания
физики. - М, 1971. С. 49.

44 Часть I. Традиционная логика
Понятие
Дополнение
понятия
Универсум =
Рис. 1.1. Фрейм понятия как системы
нию — противоречащему понятию «нечетные числа» в пределах
объединяющего их оба понятия «целые числа». Нельзя уяснить, что такое
справедливость, не противопоставляя ее несправедливости в пределах
всех возможных отношений между людьми и, следовательно, не зная
ни того ни другого1.
Значит, распространенное представление о том, что можно мыслить
какое-либо одно понятие как нечто единичное и независимое, неверно.
С психологической точки зрения, универсум — это аналог
антиципирующей схемы, в терминах которой человек объясняет и
предсказывает интересующие его события. Когда малышу, который, кроме
кошек и собак, не видел ни одного крупного животного, показывают
корову, тот уверенно называет ее собакой, потому что в его
антиципирующей схеме собака максимально соответствует по формальным
признакам новому для него животному2.
С логической точки зрения, универсум — это объем родового
(включающего, обобщающего, подчиняющего) понятия, позволяющего
определить рассматриваемое понятие. При правильно построенной
классификации универсум представляет полное множество альтернативных
решений рассматриваемой проблемы. Следовательно, его определение
и разбиение —необходимое условие решения любых логических задач.
Универсум (объем родового понятия) — ближайший обобщающий
класс, образованный в результате сложения объемов
рассматриваемого понятия и его дополнения.
Универсум любого понятия состоит как минимум из двух взаимно
исключающих и совместно исчерпывающих его классов. Число их
может быть сколь угодно большим. Как мы увидим, оно зависит только
от количества оснований, делящих универсум на такие классы. Если
1 «Как же может быть, что тебе ведомы справедливость и несправедливость,
если ты блуждаешь в этом вопросе вокруг да около и, как это очевидно, ни у
кого этому не обучался и сам не пришел к такому открытию? [вопрос Сократа
Алкивиаду. - В. С.]». — Платон. Собр. соч.: В 4 т. Т. 1. - М., 1990. С. 232.
2 Wadsworth B.J. Piaget's theory of Cognitive and Affective Development. — New
York. 1989. P. 13.

Глава 1. Понятие
имеется п оснований, то общее число классов, из которых состоит
универсум, равно 2".
Как и всякая мысль, понятие нечто утверждает в качестве
истинного положения и нечто исключает как ложное. В качестве
утверждаемых и исключаемых понятием положений выступают определенные
(возможно пустые) классы его универсума, называемые соответственно
его объемом и содержанием.
Объем понятия — все классы универсума, с которыми оно
совместимо (в которых оно истинно).
Содержание понятия — все классы универсума, с которыми оно
несовместимо (в которых оно ложно).
Содержание и объем понятия принято считать его самыми
главными логическими характеристиками. Действительно, определить
понятие — значит задать его содержание и объем, преобразовать — значит
изменить их.
Содержание понятия характеризует меру логической ложности
последнего. Чем больше понятие исключает классов универсума как
несовместимых с ним, тем более оно ложно, тем богаче его содержание.
Понятие обладает нулевым содержанием, если оно не исключает ни
одного класса универсума, и бесконечным — если исключает все
классы универсума. Понятие «вкусное или невкусное яблоко» имеет
нулевое содержание, так как совместимо со всеми классами универсума
«яблоки». Наоборот, понятие «вкусное и невкусное яблоко»
несовместимо ни с одним классом универсума «яблоки» и, следовательно,
обладает бесконечным логическим содержанием. Действительно, данное
понятие исключает все классы, в которых имеются вкусные или
невкусные яблоки. Тем самым оно исключает все классы универсума
«яблоки».
Содержание понятия выражает его логическую (семантическую)
информацию. Чем больше классов универсума понятие исключает, тем
более оно информативно, тем в большей степени оно устраняет
неопределенность. Но с увеличением информативности понятий
уменьшается степень их истинности. Каждый знает: чем информативнее
сообщение, тем оно интереснее, но тем и менее достоверно.
Объем представляет противоположную содержанию
характеристику, так как связан с мерой логической истинности понятия. Чем с
большим классов универсума оно совместимо, тем более истинно, тем больше
объем понятия. Если же оно не исключает ни одного класса
универсума, то обладает максимальным относительно этого универсума объе-

46 Часть I. Традиционная логика
мом и максимальной степенью истинности. Наоборот, если понятие
исключает все классы универсума, значит, обладает нулевым объемом
относительно данного универсума и минимальной степенью истинности.
Как следует из сказанного, изменение объема и содержания одного
понятия имеет обратно пропорциональный характер: увеличение
объема приводит к уменьшению содержания; увеличение содержания
понятия ведет к уменьшению его объема. Понятие с максимальным
содержанием имеет нулевой объем и представляет логическую ложь.
В качестве примера можно назвать понятие «вкусные и невкусные
яблоки». Понятие с максимальным объемом имеет нулевое содержание
и представляет логическую истину. Таковым будет понятие «вкусные
или невкусные яблоки».
Закон, фиксирующий такие обратно пропорциональные отношения,
получил название закона обратного отношения между содержанием
и объемом понятия. Он соблюдается только для тех понятий, которые
имеют общий универсум.
Закон обратного отношения между содержанием и объемом
понятия. Относительно одного и того же универсума:
1) увеличение содержания понятия уменьшает его объем,
уменьшение объема понятия увеличивает его содержание;
2) уменьшение содержание понятия увеличивает его объем,
увеличение объема понятия уменьшает его содержание.
Из этого закона можно сделать важный вывод. Допустим, даны два
понятия, объем одного из которых включен в объем другого. При этом
объемы понятий могут совпадать или не совпадать. Если объемы обоих
понятий совпадают, каждое из них есть необходимое следствие
другого; если объемы понятий не совпадают, то понятие с большим объемом
выступает необходимым следствием понятия Уменьшим объемом, но
не наоборот. Понятия «мужчина» и «сын» соответствуют первому
случаю, понятия «мужчина» и «высокий мужчина» — второму. Всякий
мужчина — чей-то сын, и каждый сын — мужчина. Поэтому, если
истинно одно, истинно и другое. Обратное также верно. Всякий высокий
мужчина есть просто мужчина, но не каждый мужчина обладает
высоким ростом. Из истинности понятия «высокий мужчина» следует
истинность понятия «мужчина», но обратное в общем неверно.
Сказанное означает, что закон обратного отношения объема и
содержания представляет одну из частных формулировок логического
следования — базиса всей дедуктивной логики.
• В учебной литературе под содержанием понятия обычно понимается
«совокупность существенных признаков», что нельзя признать точным.

Глава 1. Понятие 47
Во-первых, это — повторение определения понятия. Вместе с тем
«понятие» и «содержание понятия» — различные логические конструкты,
второе — структурная часть первого. Во-вторых, как уже отмечалось,
не учитывается и то, что не число признаков, а сообщаемая понятием
логическая информация есть важнейший признак содержания.
Знать содержание понятия означает знать его объем. Под последним
традиционно подразумевается «совокупность предметов, на которые
распространяется данное понятие». Но в этом случае объем не может
быть логической характеристикой понятия, так как предметы, на
которые оно распространяется, — часть реального мира tf существуют
независимо от данного понятия. Чтобы объем приобрел указанный
статус, его необходимо определить как все те классы универсума, с
которыми данное понятие совместимо.
Для аналитического выражения отношения между содержанием
и объемом произвольного понятия Я в универсуме [/будет
использоваться следующее уравнение:
понятие Я = содержание Я / объем Я. (* )
Члены уравнения (*) вычисляются согласно следующим равенствам
(знаки е и в обозначают соответственно операции сложения и
вычитания классов):
U = содержание Я ф объем Я;
Содержание Я' = U е объем Я;
Объем Я = U 0 содержание Я.
Пусть даны три понятия Л, В и С, причем U= «яблоки», Л = «спелые
и вкусные яблоки»; В = «спелые яблоки»; С = «спелые или вкусные
яблоки». Разделим универсум (построим классификацию), чтобы
вычислить содержание и объемы сравниваемых понятий (рис. 1.2).
В первый класс попали спелые и вкусные яблоки; во второй —
спелые и невкусные; в третий — неспелые и вкусные; в четвертый —
неспелые и невкусные яблоки одновременно. Следует обратить
внимание, что эта классификация исчерпывающая, а все классы попарно
U = «яблоки»
«спелые» «неспелые»
«вкусные» «невкусные» «вкусные» «невкусные»
A) B) C) D)
Рис. 1.2. Пример вычисления объема и содержания понятий

48
Часть I. Традиционная логика
несовместимы. Значит, она правильная, т. е. универсум представляет
полное множество.
Универсум задачи равен сумме всех четырех классов: [/=A+2 + 3 +
+ 4). Понятие А несовместимо со всеми классами универсума, в
которых имеются неспелые и/или невкусные яблоки. Значит А
несовместимо со вторым, третьим и четвертым классами и совместимо только
с первым классом: А = B + 3 + 4)/A). Понятие В несовместимо со
всеми классами универсума, в которых имеются неспелые яблоки, и
совместимо со всеми остальными: В = C + 4)/A + 2). Понятие С
несовместимо только с тем классом, в котором существуют как неспелые, так и
невкусные яблоки, т. е. с четвертым классом, и совместимо со всеми
остальными: С= D)/A + 2 + 3).
Сравнивая содержания и объемы понятий Л, В и С, убеждаемся, что
их изменение обратно пропорционально: уменьшение (увеличение)
содержания понятия увеличивает (уменьшает) его объем.
Аналогичный эффект демонстрирует и изменение объема. Понятие А имеет
наибольшее содержание, равное сумме классов B + 3 + 4), и наименьший
объем, равный A). Содержание понятия В, равное сумме C + 4), —
часть содержания понятия А. Поэтому объем Л, равный A), — это часть
объема понятия В, равного сумме A + 2). Наконец, содержание
понятия Су равное D), представляет часть содержания понятий как Л, так
и В. По этой причине С имеет наибольший объем, равный сумме A + 2 +
+ 3), и включает объемы понятий А и В. При этом сумма классов,
образующих содержание и объем одного и того же понятия, всегда
постоянна и равна числу классов универсума в целом.
Примем соглашение изображать содержания, объемы и
универсумы понятий замкнутыми прямоугольными фигурами. Тогда обратно
пропорциональные включения содержаний и объемов понятий Л, ВиС
из анализируемого примера можно представить следующим образом
(рисПЗ).
Обобщение и ограничение понятий — простейшие преобразования
объема и содержания понятий.
Включения
по содержанию
Включения
по объему
А
В
С
С
В
А
Рис. 1.3. Примеры обратного включения объема и содержания

Глава 1. Понятие
49
Обобщением ронятия называется конструирование нового
понятия с большим объемом (меньшим содержанием), чем исходное.
Ограничением понятия называется конструирование нового
понятия с меньшим объемом (большим содержанием); чем исходное.
Из рассмотренного выше примера следует, что понятие В обобщает
понятие Л, а понятие С обобщает как понятие Л, так и понятие В. Если
прослеживать в обратном порядке, понятие В ограничивает понятие
С, а понятие А ограничивает понятие В и тем самым также понятие С.
Рассмотрим несколько примеров на определение обобщающих
(ограничивающих) понятий.
Пример 1
Выяснить, связана ли отношением обобщения (ограничения)
следующая пара понятий: А = «Люди, знающие все европейские языки»; В =
= «Люди, знающие все живые европейские языки».
Пусть U = «люди» (рис. 1.4).
U = «люди»
«знающие все живые
европейские языки»
«не знающие всех живых
европейских языков»
«знающие
все мертвые
языки»
A)
«не знающие
всех мертвых
языков»
B)
«знающие
все мертвые
языки»
C)
«не знающие
всех мертвых
языков»
D)
Рис. 1.4
Получаем: [/=A + 2 + 3 + 4), где A) = «Люди, знающие все живые
и все мертвые европейские языки», B) = «Люди, знающие все живые
европейские языки и не знающие всех мертвых языков», C) = «Люди,
не знающие всех живых европейских языков, но знающие все мертвые
языки», D) = «Люди, не знающие ни всех живых, ни всех мертвых
европейских языков».
Понятие А несовместимо с людьми, не знающими всех живых или
всех мертвых европейских языков, или не знающими всех живых и всех
мертвых европейских языков одновременно. Следовательно, оно
исключает второй, третий и четвертый классы. Значит, А = B + 3 + 4)/A).
Понятие В несовместимо с людьми, не знающими всех живых
европейских языков. Следовательно, оно исключает третий и четвертый
классы. Значит, В = C + 4)/A + 2).

50
Часть I. Традиционная логика
Содержание понятия В — часть содержания понятия А.
Следовательно, понятие А ограничивает В, а понятие В обобщает Л, будучи для
него родовым (рис. 1.5).
Включения
по содержанию
Включения
по объему
А
В
В
А
Рис. 1.5
Данный пример интересен тем, что опровергает периодически
высказываемые сомнения в универсальности закона обратного
отношения объема и содержания. Грамматически содержание понятия В
отличается от содержания понятия А тем, что содержит дополнительный
признак «живые». Но это грамматическое добавление не означает
увеличения логического содержания понятия В. Значит, нет никаких
оснований для утверждения, будто объем понятия увеличивается
одновременно с увеличением его содержания.
Пример 2
Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующих трех
понятий: А = «Все солдаты храбрые», В = «Некоторые (не все) солдаты
храбрые».
Пусть U= «солдаты» (рис. 1.6).
U = «солдаты»
«все»
«храбрые» «нехрабрые»
(D B)
«не все»
«храбрые» «нехрабрые»
C) D)
Рис. 1.6
Получаем: [/=A + 2 + 3 + 4), где A) = «Все солдаты храбрые», B) =
«Все солдаты нехрабрые», C) = «Не все солдаты храбрые» =
«Некоторые солдаты храбрые, а некоторые нехрабрые», D) = «Не все солдаты
нехрабрые» = «Некоторые солдаты нехрабрые, а некоторые храбрые».
Понятие А несовместимо со всеми классами, в которых имеются
нехрабрые солдаты. Значит, оно исключает классы B), C) и D).
Следовательно, А = B + 3 + 4)/A).

Глава 1. Понятие
51
Понятие В несовместимо только с существованием всех нехрабрых
солдат. Поэтому оно исключает класс B). Следовательно, В = B)/A +
+ 3 + 4).
Содержание понятия В — часть содержания А. Значит, А
ограничивает В, а В обобщает Л, будучи для него родовым (рис. 1.7).
Включения
по содержанию
Включения
по объему
А
В
В
А
Рис. 1.7
Пример 3
Решить указанную в первом примере задачу для следующей пары
понятий: А = «Завтра морской бой действительно состоится»; В =
«Возможно, что завтра морской бой состоится»; С = «Завтра морской бой
необходимо состоится».
Пусть U = «завтрашний морской бой» (рис. 1.8).
U = «завтрашний морской бой»
«действительно
состоится»
«возможно состоится»
«действительно
не состоится»
«возможно не состоится»
«необходимо
состоится»
A)
«возможно
не состоится»
B)
«необходимо
не состоится»
C)
«возможно
состоится»
D) .
Рис. 1.8
Получаем: U = A + 2 + 3 + 4), где A) = «Морской бой, который
завтра обязательно состоится и тем самым действительно состоится,
и тем самым возможно, что состоится»; B) = «Морской бой, который
завтра действительно состоится, но без необходимости, т. е. возможно,
что состоится, но возможно, что и не состоится»; C) = «Морской бой,
который завтра не состоится с необходимостью и тем самым не
состоится в действительности и в возможности»; D) = «Морской бой,
который завтра действительно не состоится, но без необходимости, т. е.
возможно, что не состоится, но возможно, что и состоится».

52
Часть I. Традиционная логика
Понятие Л исключает классы C + 4), т. е. любую возможность того,
что завтрашний морской бой действительно не состоится. Значит Л =
Понятие В исключает класс C), т. е. возможность, что завтрашний
морской бой необходимо не состоится. Следовательно В = C)/A + 2 + 4).
Понятие С исключает классы B + 3 + 4), т. е. все варианты, согласно
которым завтрашний морской бой, возможно не состоится.
Следовательно С = B + 3 + 4)/A).
Содержание понятия В — часть содержания понятий А и С. Значит
понятие В обобщает оба эти понятия (Л и С оба ограничивают В).
Содержание понятия А — часть содержания понятия С. Следовательно
понятие Л обобщает С, а С ограничивает Л (рис. 1.9).
Включения
по содержанию
Включения
по объему
С
А
В
В
А
С
Рис. 1.9
Закономерен вопрос: существуют ли пределы обобщения и
ограничения понятий? Относительно данного универсума и заданного числа
оснований его деления существует предел как обобщения, так и
ограничения рассматриваемых понятий. Пределом обобщения выступает
родовое понятие, а ограничения — любой отдельный класс,
представляющий конечный результат деления универсума.
При снятии указанного условия никаких логических границ
обобщению и ограничению понятий, по всей видимости, нет. С
информационной точки зрения обобщить какое-либо понятие означает найти
его логическое следствие, потому что только содержание следствий
будет частью содержания посылок. Поскольку процесс познания
протекает как процесс обобщения существующих знаний, то вряд ли
следует ожидать, будто мы получим далее необобщаемые пределы
естественного и гуманитарного знания. Также нет никаких логических
препятствий для ограничения, т. е. конкретизации, понятий. Для этого
достаточно присоединить к существующему содержанию понятия
какое-либо новое условие. Например, добавляя к содержанию понятия

Глава 1. Понятие 53
«Льюис Кэрролл» последовательно условия «человек с псевдонимом»,
«преподаватель математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде»,
«автор всемирно известных сказок об Алисе», «автор оригинальной
логической теории», «застенчивый и заикающийся человек», мы
будем получать понятия, все более ограничивающие объем исходного
понятия. При этом следует учитывать, что ничто не мешает
увеличивать число условий, а вместе с ней и степень конкретизации до любого
желаемого предела.
Основные требования к определению понятий
И я предоставляю тебе распорядиться любым названием как
тебе угодно: разъясни лишь, к чему именно относишь ты то имя,
которое произносишь.
Платон «Хармид»
Понятия нельзя считать ни врожденными, ни автоматически
приобретаемыми в опыте. Они — продукт специальной умственной
деятельности, которую мы будем называть определением (конструированием).
Определить понятие в общем случае означает задать (выяснить)
его универсум, содержание и объем.
Определяя понятия, мы, с одной стороны, приписываем словам
нужное значение (указываем класс вещей, к которым они относятся), а с
другой — познаем суть вещей (разъясняем их сущность). «Определение, —
отмечал Аристотель, — имеет целью назвать сущность каждого
предмета и говорит, что предмет хорош, плох или еще какой-нибудь»1.
Понятие, которое требуется определить, часто называют дефиниенду-
мом (от лат. definiendum), сокращенно dfd. Понятие, с помощью
которого конструируется дефиниендум, соответственно называют дефи-
ниенсом (от лат. definiens), сокращенно dfn. Дефиниенс состоит из
родового понятия и ограничивающих его видовых понятий.
Формула определения: определяемое понятие = родовое понятие +
видовые признаки (ограничивающие родовое понятие до требуемого объема).
Процесс определения понятий удобно представить в виде
следующего алгоритма.
1. Сравниваем вещь, понятие о которой необходимо
сконструировать, с другими вещами подобного рода и определяем родовое по-
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. - М., 1983. Т. 4. С. 298.

54 Часть I. Традиционная логика
нятие, а также множество необходимых признаков,
ограничивающих его.
2. Находим соответствующий родовому понятию универсум.
3. Строим дерево определения по следующим правилам:
1) каждый видовой признак разбивает универсум на два класса —
выполняющий его свойства и выполняющий свойства его
дополнения;
2) новый шаг в классификации всегда начинается с класса,
удовлетворяющего предыдущему видовому признаку. Классы, вы-.
ступающие дополнениями, в разбиении универсума более не
участвуют. Число шагов должно быть равным числу видовых
признаков. Общее количество результатов равняется 2W, где
п — число видовых признаков. Фактически полученных
классов будет?? + 1.
4. Устанавливаем достаточность видовых признаков. Критерием
достаточности служит равенство dfd = dfn, согласно которому
dfd и dfn необходимы и достаточны друг для друга.
Достаточность проверяется перестановкой местами dfd и dfn. Если
при этом не возникает искажений смысла, дефиниендум и дефини-
енс считаются эквивалентными, а определение корректным. В
противном случае имеет место либо dfd > dfn, либо dfd < dfn. Если истинно
dfd > dfn, тогда отмечается слишком узкое определение. Это
означает, что dfn содержит только достаточные признаки, как, например,
в определении «сладости — это конфеты», ибо ясно, что продукт
может быть сладким, но не быть при этом конфетой. Если истинно dfd
< dfn, это слишком широкое определение. Стало быть, dfn содержит
только необходимые признаки, как, например, в определении
«конфеты — это сладости», так как очевидно, что кроме конфет есть и
другие сладости.
Рассмотрим несколько примеров конструирования понятий
согласно указанному алгоритму.
Пример 1
Допустим, необходимо определить понятие «себялюбец». Если
обратиться к авторитету Аристотеля, то необходимые признаки
себялюбца таковы: «быть человеком», «делать все ради самого себя», «иметь
выгоду». Первый из них родовой, поэтому в качестве универсума
выбираем класс людей. Дерево определения понятия «себялюбец»
приведено на рис. 1.10.

Глава 1. Понятие 55
U = «люди, делающие»
все ради не все ради
самих себя самих себя
с выгодой без
(себялюбцы) выгоды
Рис. 1.10
Полное определение Аристотеля звучит так: «Себялюбец — это тот,
кто все делает ради самого себя в том, что приносит выгоду»1.
Нетрудно убедиться, что оно сконструировано правильно, т. е. истинно
равенство dfd = dfn.
Пример 2
Допустим, мы хотим сконструировать понятие «естественное право».
Согласно авторитету в этой области Т. Гоббсу, необходимыми
признаками будут «решения, принимаемые людьми», «свободно», «по
использованию своих сил», «по своему усмотрению», «для сохранения
собственной жизни». Первый из указанных признаков — родовой. Дерево
определения естественного права приведено на рис. 1.11.
U= решения, принимаемые людьми
свободно не свободно
по использованию не по использованию
своих сил своих сил
по своему не по своему
усмотрению усмотрению
для сохранения не для сохранения
собственной жизни собственной жизни
(естественное право)
Рис. 1.11
Полное определение: «Естественное право... есть свобода всякого
человека использовать собственные силы по своему усмотрению для
сохранения собственной жизни»2. Легко убедиться, что оно
правильно — по крайней мере с точки зрения идеалов XVII в.
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. — М, 1983. С. 371.
2 Гоббс Т. Сочинения: В 2 т. - М, 1991. Т. 2. С. 98.

56 Часть I. Традиционная логика
Пример 3
Сравним рассматриваемый метод конструирования понятий с
«диалектическим» методом определения понятий Сократа. Разберем для
этого показательный сократовский диалог1.
Некто Евтидем готовился к государственной деятельности и был
уверен, что способен отличить справедливое от несправедливого. Сократ
выразил желание убедиться в наличии такой способности у Евтидема
и предложил ему все действия, которые он посчитает справедливыми,
заносить в графу «дельта» (начальная буква греческого слова
«справедливость»), а несправедливые — в графу «альфа» (начальная буква
греческого слова «несправедливость»).
На вопрос Сократа, куда занести ложь, обман, воровство,
похищение людей для продажи в рабство, Евтидем уверенно ответил, что все
эти поступки следует занести в графу «альфа» и что ни один из них не
может принадлежать графе «дельта». Первым определением
несправедливости можно считать, следовательно, такое: «Несправедливость —
это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью продажи в
рабство».
Тогда Сократ задал другой вопрос: будет ли несправедливым
обращение в рабство и продажа жителей неприятельского города. Евтидем
отвечал отрицательно, признавая тем самым такое действие
справедливым. Аналогично он отвечал на вопросы Сократа о том, можно ли
обманывать неприятеля, с которым находишься в состоянии войны,
а также красть у него.
В итоге все указанные поступки были перенесены из графы «альфа»
в графу «дельта», если они совершались в отношении врагов.
Соответственно, последовало новое определение, уточняющее первое:
«Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью
их продажи в рабство, совершаемые в отношении друзей, и эти же
поступки являются справедливыми, если они совершаются по
отношению к врагам».
Когда Сократ спросил, всегда ли нужно быть правдивым со своими
друзьями, Евтидем поначалу ответил утвердительно. Но Сократ быстро
его переубедил. Ибо, по мнению Сократа, военачальник имеет право
солгать своим солдатам о приближающемся подкреплении, чтобы
поднять их дух; отец может с помощью обмана заставить больного сына
принять необходимое лекарство; любой может предотвратить
самоубийство своего друга, украв у него меч или другое оружие.
1 Ксенофонт Афинский. Сократические сочинения. — М.; Л., 1935. С. 139-
145.

Глава 1, Понятие 5Z
Наконец, Сократ задал последний вопрос: «Кто несправедливее:
обманывающий друзей добровольно или невольно?». Евтидем
ответил, что добровольный лжец несправедливее невольного.
Интерпретируя добровольный обман как намерение навредить, получаем
окончательное определение несправедливости: «Несправедливость — это
ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их продажи в
рабство, совершенные в отношении друзей с целью им навредить».
Для реконструкции сократовского определения несправедливости
выберем в качестве универсума «поступки людей». Видовыми
условиями будут «представлять обман, ложь, воровство, похищение людей
с целью их продажи в рабство», «совершенные в отношении друзей»,
«с целью им навредить». Дерево определения понятия
«несправедливость» приведено на рис. 1.12.
U = поступки людей
представляющие обман, ложь, не представляющие обмана, лжи,
воровство и похищение людей воровства и похищения людей
с целью продажи их в рабство с целью продажи их в рабство
совершенные совершенные
в отношении в отнршении
друзей с целью врагов с целью
помочь навредить помочь навредить
A) B) C) D)
Рис. 1.12. Дерево сократовского определения понятия «несправедливость»
Из указанных на рис. 1.12 четырех исходов первый и четвертый
представляют собой случаи справедливости, второй и третий —
несправедливости. То определение несправедливости, к которому подвел своего
собеседника Сократ, соответствует лишь второму случаю. Значит, с
помощью дерева определить понятие удается более-полным образом,
позволяющим учитывать все возможные случаи. В остальном оба
метода идентичны. Знаменитые сократовские вопросы следует
рассматривать как эвристические приемы поиска необходимых признаков
определяемого понятия.
Рассмотренные примеры показывают, что конструирование понятий —
это однотипный процесс, не зависящий от их специфики: мы ищем
универсум и необходимые признаки, которые были бы вместе
достаточны для однозначного обозначения объема конструируемого
понятия. Поскольку выбор универсума и видовых признаков неоднозначен,

58 Часть I. Традиционная логика
то к ним предъявляются требования необходимости и совместной
достаточности. Только они отделяют понятия от описаний, характеристик,
пояснений и тому подобных операций, для которых необходимость и
достаточность условий не будет обязательной.
В логической литературе определения принято классифицировать
по разным основаниям. Мы не будем рассматривать эту достаточно
специальную тему: читатель может ознакомиться с ней в
соответствующей литературе1. Сделаем лишь несколько замечаний относительно
деления определений на реальные и номинальные — с одной стороны,
явные и неявные — с другой.
Реальные и номинальные определения различаются на том
основании, что первые определяют вещь, а вторые — ее имя. Учитывая, что
между вещью и ее именем нет необходимой связи2, такое различие
в принципе правомерно. Вместе с тем стоит отметить, что разделение
определений на реальные и номинальные представляется достаточно
условным, зависящим только от того, в каком направлении мы
движемся по периметру треугольника, указанного на рис. 1.13.
Имя как дефиниендум
Номинальное
определение
Вещь как Реальное Дефиниенс
дефиниендум определение
Рис. 1.13. Связь реального и номинального определения
Определяя имя, т. е. устанавливая то значение, в котором мы будем
его использовать, мы так или иначе определяем вещь, которую оно
обозначает. И наоборот, определяя вещь, мы так или иначе определяем
обозначающее ее имя. Взаимосвязь реальных и номинальных
определений обусловлена тем, что их дефиниенсы совпадают.
Приводившееся утверждение Конфуция: «Когда, совершив ошибку, не исправил ее,
это и называется совершить ошибку» — следует считать номинальным
1 См.: Горский Д. П. Определение. — М, 1974; Попа К. Теория определения. —
М., 1976.
2 «Никогда нельзя с определенностью заключать ни от наличия знака к
наличию обозначаемой вещи... ни от наличия знака к отсутствию обозначаемой
вещи...». — Лрно А:, Николь П. Логика, или искусство мыслить. — М, 1991. С. 47.

Глава 1. Понятие 59
определением (определением имени «совершенная ошибка»).
Утверждение же «совершенная ошибка — это неисправленная ошибка» —
реальное определение (определение такого феномена (поступка), как
«совершенная ошибка»). У обоих определений один и тот же
дефиниенс — «неисправленная ошибка».
Неявные определения противопоставляются явным либо на том
основании, что дефиниенс и дефиниендум вообще не выделены в
качестве самостоятельных частей, либо на том основании, что в качестве
дефиниенса выбран или список аксиом, или описание алгоритма
построения дефиниендума, или просто некоторый контекст.
Говорить о первом условии не представляется возможным,
поскольку оно самопротиворечиво: если нет дефиниендума, или дефиниенса,
или того и другого, то вряд ли имеет смысл говорить об определении.
Второе условие возникновения неявных определений
предполагает, что дефиниенс не определяет однозначно дефиниендум. Именно
в этом состоит смысл определений с помощью аксиом, контекстов или
алгоритмов построения дефиниендума. Но это означаем, что неявные
определения — слишком широкие. Любое неявное определение можно,
следовательно, превратить в явное, добавив соответствующее число
необходимых понятий.
Итак, сконструировать, или определить, понятие — значит найти
подходящий универсум и с помощью видовых понятий ограничить его
до класса, содержащего только определяемую вещь. Приведенный в
начале параграфа алгоритм позволяет сделать это достаточно эффективно.
Виды понятий
Понятия принято делить на виды по трем основаниям — количеству,
типу и признакам обобщаемых вещей. По количеству выделяются
понятия пустые и непустые, среди непустых — общие и единичные; по
типу обобщаемых вещей — собирательные и несобирательные,
конкретные и абстрактные, по характеру признаков — положительные и
отрицательные, относительные и безотносительные. Однако эта
классификация небезупречна. Учитывая, что анализ объема и содержания
любого понятия можно свести к выявлению отношений между
определенными классами универсума, указанная классификация, кроме
подразделения на пустые и непустые понятия, теряет всякий смысл.
Во-первых, как уже объяснялось, понятие можно считать пустым
только тогда, когда его содержание логически противоречиво, но не
в том случае, если оно обозначает нечто не существующее в реально-

60 Часть I. Традиционная логика
сти. Например, понятие «Баба-яга» нельзя считать пустым, хотя в
действительности подобных существ нет, так как определение этой
мифологической фигуры логически непротиворечиво и многие русские
сказки без нее теряют свой смысл.
Во-вторых, следует отметить, что нет и так называемых единичных
понятий, ибо все они общие, потому что у любого из них содержание
всегда касается всех элементов (классов) объема независимо от того,
пустое это понятие или непустое.
В-третьих, нет никакого смысла классифицировать понятия на
регистрирующие и нерегистрирующие, абстрактные и конкретные,
положительные и отрицательные, собирательные и несобирательные,
безотносительные и относительные. Понятия обозначают вещи, но
элементами их объемов выступают классы. С этой точки зрения
всякое понятие — нерегистрирующее (имеет неопределенное число
элементов объема), абстрактное (обозначает свойства определенного
класса вещей); положительное и отрицательное («красное» есть «не синее»,
«синее» есть «не красное»); несобирательное (относится к каждому
элементу объема) и относительное (имеет смысл только по
отношению к своему дополнению).
Учитывая сказанное, понятия лучше классифицировать по
следующим двум основаниям:
• абсолютному (вне зависимости от отношения понятий друг к
другу);
• относительному (в зависимости от отношения понятий другу
к другу).
В абсолютном смысле понятия делятся на три вида:
• логически истинные;
• логически ложные (пустые понятия);
• логические нейтральные (логически не истинные и не ложные
понятия).
Понятие логически истинно, если его объем равен сумме всех классов
универсума, а содержание — пустому классу.
Такие понятия совместимы со всеми классами универсума и тем
самым истинны во всех его альтернативах, что и оправдывает их
название. Их разрешающая сила максимальна, потому что их объемы
совпадают с универсумом. Соответственно, их исключающая сила
минимальна, так как они ничего не исключают и их содержание равно
пустому классу. Логически истинные понятия удовлетворяют
требованию полноты, т. е. содержат все альтернативы решения исходной

Глава 1. Понятие [ 61[
задачи. Например, понятия «сладкая или несладкая вещь», «солнечный
или несолнечный день», «сегодня вторник или не вторник»
выполняются во всех универсумах.
Понятие логически ложно, если его объем равен пустому классу, а
содержание — сумме всех классов универсума.
Такие понятия самопротиворечивы, несовместимы со всеми
классами универсума и тем самым ложны во всех его альтернативах, что
и оправдывает их название. Их разрешающая сила равна нулю, так как
их объем равен пустому классу, а исключающая сила максимальна,
потому что они исключают все классы универсума. Соответственно
их содержание равно сумме всех классов универсума. Например,
понятия «сладкая и несладкая вещь», «солнечный и несолнечный день»,
«сегодня вторник и не вторник» не выполняются ни в одном
универсуме.
Понятие логически нейтрально, если оно логически не истинно и
логически не ложно.
Такие понятия истинны в одних альтернативах универсума и ложны
во всех остальных. Понятие «понедельник или вторник» истинно только
по понедельникам и вторникам и ложно во все остальные дни недели.
Значит, оно логически нейтральное понятие. В отличие от логически
истинных и логически ложных понятий, которые представляют собой
константы, не способные изменять свое содержание и объем, у
логически нейтральных понятий содержание и объем могут изменяться.
В относительном смысле понятия подразделяются на виды в
зависимости от отношения их объемов и содержаний друг к другу. Для
более точных характеристик введем критерии совместимости понятий
согласно следующим определениям.
Понятия совместимы по истине, если и только если пересечение
их объемов не пусто (существует по крайней мере один класс
универсума, в котором они вместе истинны).
Понятия совместимы по лжи, если и только если пересечение их
содержаний не пусто (существует по крайней мере один класс
универсума, в котором они вместе ложны).
Понятия полностью совместимы, если и только если они
совместимы как по истине, так и по лжи.
Различают следующие виды совместимых понятий.
Эквивалентные понятия. Они имеют равные объемы и содержания,
которые полностью совпадают. По этой причине их часто называют
также равнообъемными, равнозначными, тождественными, равносиль-

62 Часть I. Традиционная логика
ными. Такие понятия вместе либо истинны, либо ложны (либо все
неопределенные, если хотя бы одно из них неопределенное). Из
истинности (ложности, неопределенности) одного эквивалентного понятия
непременно следует истинность (ложность, неопределенность) всех
других. Эквивалентны, например, понятия «похвала» и «способ
изъяснять величие добродетели какого-нибудь человека» {Аристотель),
«скупость» и «неумеренное желание и любовь к богатствам» (Б.
Спиноза).
Эквивалентные понятия могут быть вместе истинны и ложны,
поэтому они полностью совместимы. Все синонимы выражают
эквивалентные понятия. Каждое из них подчиняет другое, служит необходимым
следствием другого. Дефиниендум и дефиниенс правильно
построенного определения, как мы видели, всегда состоят из эквивалентных
понятий.
Независимые понятия. Их объемы и содержания частично
пересекаются. Данные понятия обычно называют частично пересекающимися.
Однако точнее их именовать независимыми, потому что из истинности
(ложности) какого-либо одного из них не следует с необходимостью ни
истинность, ни ложность всех остальных. Понятия «богатый» и
«плачущий» — частично пересекающиеся, или независимые1. Из того, что
некто богат, не следует с непреложностью, что он плачущий человек,
как не следует и то, что он неплачущий человек. Есть богатые,
которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное так же верно.
Среди плачущих есть как богатые, так и небогатые люди.
Независимые понятия могут быть вместе как истинны, так и
ложны, поэтому они полностью совместимы. Независимые понятия
играют чрезвычайно важную роль во всех разделах научного знания, и
особенно в теории вероятностей. Требование независимости понятий
обязательно при их классификации и определении.
Понятия, находящиеся в родо-видовом (однонаправленном)
подчинении. Объем родового (подчиняющего) понятия включает в себя
объем видового (подчиненного), но ему не равен. Вместе с тем
содержание видового понятия, наоборот, включает содержание родового,
хотя ему и не равно.
В отличие от эквивалентных понятий (отношение подчинения
двунаправленное) бывают такие, когда только одно из понятий
подчиняет другое(ие). Понятие, объем которого включает объем какого-либо
1 От названия получившего известность в начале 1990-х гг. телевизионного
сериала «Богатые тоже плачут».

Глава 1. Понятие 63
иного, принято называть родовым (подчиняющим). Понятие, объем
которого полностью включен в объем родового понятия, принято
называть видовым (подчиняемым). Каждое видовое понятие
представляет разновидность родового. Например: «австриец», «англичанин»,
«испанец», «итальянец», «немец», «француз», «швейцарец» —
неполный перечень видовых понятий по отношению к родовому «западный
европеец».
Асимметрия включений объемов и содержаний порождает
асимметрию рассматриваемых понятий по их истинности. Истина переносится
от видового понятия к родовому, но не обратно. Наоборот, ложь
переносится от родового понятия к видовому, но не обратно. Если
истинно, что некто — англичанин, тогда истинно, что он западный европеец,
но обратное следование неверно. Если же ложно, что некто —
западный европеец, тогда ложно, что он англичанин, но не наоборот.
Подобная асимметрия объясняется тем, что только родовое понятие, согласно
закону обратного отношения объема и содержания, будет
необходимым следствием видового.
Понятия, связанные отношениями родо-видового подчинения, могут
быть вместе истинны и ложны, поэтому они полностью совместимы.
Родо-видовое подчинение необходимо отличать от отношения
между целым и частями. Если каждый вид обладает всеми свойствами рода,
то ни одна часть не обладает свойствами всего целого. Например,
каждому автомобилю присущи все необходимые свойства механического
средства передвижения, но ни одно автомобильное колесо не обладает
свойствами всего автомобиля.
Все рассмотренные случаи совместимости объединяет то, что речь
в них идет о полностью совместимых понятиях. Эквивалентные,
независимые и находящиеся в отношении родо-видового подчинения
понятия полностью совместимы, поскольку могут быть как истинными,
так и ложными.
Пусть А и В — полностью совместимые понятия. Возможные
отношения между ними графически изображены на рис. 1.14.
Проанализируем теперь случаи, когда объемы сравниваемых
понятий не пересекаются. Такие понятия принято называть
несовместимыми. Как и совместимость, несовместимость может быть как по
истине, так и по лжи. Если два понятия несовместимы по истине, значит,
они никогда не могут быть вместе истинными. Если два понятия не-,
совместимы по лжи, следовательно, они никогда не могут быть вместе
ложными. Кроме того, несовместимость бывает полной и частичной.
Дадим точные определения несовместимости.

64
Часть I. Традиционная логика
А
В
А\лВ-
эквивалентные
понятия (А\лВ
взаимно подчиняют
друг друга)
АиВ-
независимые
понятия(ни А
не подчиняет В,
ни В не подчиняет А)
А — родовое
понятие, В —
видовое понятие
(толькоА
подчиняет В)
Рис. 1.14. Случаи совместимости двух сравниваемых понятий
Понятия несовместимы по истине, если и только если не
существует ни одного класса универсума, в котором они были бы
вместе истинны.
Понятия несовместимы по лжи, если и только если не
существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе
ложны.
Понятия несовместимы полностью, если и только если они
несовместимы ни по истине, ни по лжи.
Противоречащими называются понятия, чьи объемы и содержания
не пересекаются друг с другом, но вместе они исчерпывают универсум.
Каждое из противоречащих понятий представляет дополнение
(логическое отрицание) другого до ближайшего универсума. То, что
служит объемом для одного противоречащего понятия, для другого
представляет содержание, и наоборот. По этой причине противоречащие
понятия не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одно из
них истинно (ложно), то другое обязательно ложно (истинно).
Значит, противоречащие понятия несовместимы полностью, т. е.
несовместимы ни по истине, ни по лжи.
В русском языке такие понятия образуются, как правило,
посредством частицы «не», присоединяемой к определенному понятию:
«высокий человек» и «невысокий человек» — применительно к «человеку»;
«синий» и «несиний» — к «цвету»; «радость» и «не радость» — к
«чувству»; «деньги» и «не деньги» — к «средству платежа».
Одно из отрицающих понятий, как правило, не имеет конкретного
содержания. Например, отрицание утверждения «сегодня
понедельник» вводит неопределенность — «сегодня вторник, или среда... или
воскресенье». Какой именно сегодня день, на основании приведенного
отрицания сказать нельзя. Но существуют понятия, отрицания
которых столь же определенны, как и они сами. Например, «муж» и «жена»
образуют противоречащую пару относительно универсума «супруг».

Глава 1. Понятие
Противоположными называются понятия, чьи объемы, но не
содержания, не пересекаются и чьи признаки обозначают максимальные
степени различия анализируемого свойства.
«Противоположность — это наибольшее различие» (Аристотель).
Объемы противоположных понятий не пересекаются, зато
пересекаются содержания; вместе они не исчерпывают объем ближайшего
родового понятия, а выражаемые ими свойства одинаково удалены в
противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на
некоторой шкале свойств.
В русском языке противоположные понятия вместе с
противоречащими обычно объединяются в общий класс антонимов. С логической
точки зрения это не совсем правомерно, потому что противоречащие
и противоположные понятия обладают разными свойствами и, кроме
того, не исчерпывают вместе весь класс несовместимых понятий.
Выражаемые противоположными понятиями признаки часто называют
полярными, имея в виду, что они одинаково удалены в
противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой
шкале свойств. Противоположными будут понятия «консерватор» и
«радикал» при нейтральной точке «центрист»; таковы же «северный
полюс» и «южный полюс» относительно другой нейтральной точки —
понятия «экватор». Не всегда эту нейтральную точку можно выразить
словесно, но она непременно есть.
Интересно отметить, что этические концепции Аристотеля и
Конфуция построены на допущении наличия нейтральной, или средней,
точки для всех нравственных качеств. Так, у Аристотеля читаем:
«Благородство — это середина между кичливостью и приниженностью»,
«щедрость — среднее между расточительностью и скупостью»,
«негодование— середина между завистью и злорадством»1. Аналогично
у Конфуция: «Такой принцип, как "золотая середина", представляет
собой высший принцип»2.
Поскольку объемы противоположных понятий не пересекаются, они
не могут быть вместе истинны. Но так как пересекаются их
содержания, они могут быть вместе ложны. Последнее условие отличает
противоположные понятия от противоречащих. Из истинности одного
противоположного понятия всегда следует ложность другого, но
обратное неверно. Из ложности одного из противоположных понятий
следует только неопределенность в истинности другого. Противопо-
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 4. - М., 1983. С. 320-322.
2 Древнекитайская философия: В 2 т. Т. 1. - М, 1972. С. 153.
3-1742

66
Часть I. Традиционная логика
ложные понятия несовместимы только по истине. Например, если
некий человек высокий, он не может быть среднего или низкого роста.
Но если неверно, что этот человек высокого роста, отсюда вовсе не
следует, будто он низкорослый. Он может оказаться и человеком
среднего роста.
Для противоположных понятий всегда существует какая-то
альтернатива, из истинности которой следует совместная ложность этих
понятий. Например, человек может быть и не высокого, и не низкого,
а среднего роста.
Соподчиненными называются несовместимые понятия, которые не
противоречат и не противоположны друг другу (чьи объемы, но не
содержания, не пересекаются и чьи признаки не обозначают
максимальных степеней различия анализируемого свойства). Их примерами
служат понятия «стол» и «стул» — относительно понятия «мебель»;
«лейтенант» и «капитан» — относительно понятия «офицер»;
«фиолетовый» и «синий» — относительно понятия «цвет».
Как и противоположные, соподчиненные понятия не бывают
вместе истинными, но могут быть вместе ложными, так как их содержания
пересекаются. Из истинности одного соподчиненного понятия всегда
следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного
из соподчиненных понятий следует только неопределенность
другого. Соподчиненные понятия также несовместимы только по истине.
Если некая вещь синего цвета, то она не может быть красного цвета; но
если неверно, что она синяя, то отсюда не следует, будто она
обязательно красная. Соподчиненные понятия, только если они вместе не
исчерпывают универсум, могут быть вместе ложны. Например, вещь
может быть и не синего, и не красного, а желтого цвета.
Рассмотренные случаи несовместимости для двух сравниваемых
понятий графически представлены на рис. 1.15.
Итак, существует шесть различных видов отношений между
понятиями. Из них первые три представляют случаи полной
совместимости, последние три — случаи полной и частичной несовместимости.
А\лВ —
противоречащие
понятия
А
В
Лив —
противоположные
понятия
А
в\
А\лВ —
соподчиненные
понятия
Рис. 1.15. Случаи несовместимости двух сравниваемых понятий

Глава 1. Понятие
67
Данная схема деления понятий общепринята в литературе по логике.
Но исчерпывает ли она все явления?
В ней не учтены частично совместимые понятия, т. е. совместимые
по истине и несовместимые по лжи. То, что они есть, доказывает
следующее рассуждение.
Рассмотрим два противоположных понятия — «умный» и «глупый».
Сформулируем дополнение (логическое отрицание) каждого из них.
Получаем «неумный» и «неглупый». Последние два понятия —
частично совместимые. Они одновременно истинны, если некий человек
«среднего» ума. Но они не могут быть все ложными, так как в
противном случае были бы все истинны противоречащие им понятия —
«умный» и «глупый». Но, как мы знаем, противоположные понятия не
могут быть вместе истинными.
То же можно сказать и о соподчиненных понятиях. Например,
отрицанием понятий «белый» и «синий» будут соответственно понятия
«не белый» и «не синий». Последняя пара понятий одновременно
истинна, если вещь, допустим, оранжевого цвета. Но она не может быть
одновременно ложной, так как в противном случае были бы истинны
и противоречащие им понятия «белый» и «синий». Но поскольку
последние соподчиненные и тем самым несовместимые по истине, это
невозможно.
Итак, все понятия, служащие отрицаниями противоположных и
соподчиненных: понятий, частично совместимы по истине.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Определить логические отношения между следующими понятиями:
А = «логик», В = «предприниматель», С= «логик, занимающийся
предпринимательством», D = «предприниматель, занимающийся логикой»1.
Пусть U= «люди».
(/=«люди»
«логики»

«предприниматели»
A)

«непредприниматели»
B)
«нелогики»

«предприниматели»
C)

«непредприниматели»
D)
1 МигуновА. И. Визуальные метафоры и природа понятия
//Логико-философские иттудии-2. - СПб., 2003. С. 57-71.

68 Часть I, Традиционная логика
?/ = A + 2 + 3 + 4);
С=B + 3
?>=B + 3
Отношение объемов анализируемых понятий показано на рис. 1.16.
А
C,D
В
= и
Рис. 1.16
Из вычислений следует, что содержание понятия А — часть
содержания понятий С и Д а объемы С и D входят в объем А. Значит данные
понятия находятся в отношении родо-видового подчинения (А —
родовое, С и D — видовые понятия). Содержание же понятия В — часть
содержания понятия С и Д а объемы CwD — составляющие объема В.
Значит данные понятия находятся в отношении родо-видового
подчинения (В — родовое, Си D — видовые понятия). Понятия Аи В
независимы друг от друга, поскольку их объемы частично пересекаются.
Область пересечения объемов Аи В равна объему понятий Си D.
Очевидно, что понятия С и D эквивалентные.
Главный вывод состоит в том, что если истинны понятия С и Д то
одновременно истинны понятия А и В. Если ложно хотя бы одно из
понятий А и В, то ложны СиВ. Обратные подчинения неверны.
Данный пример интересен тем, что его автор (А. И. Мигунов)
убежден в том, что такое видовое понятие, как С (или D), не может иметь
двух не подчиненных друг другу родовых понятий (А и В). Основной
аргумент состоит в том, что понятие «логик, занимающийся
предпринимательством» не может быть видовым по отношению к понятию
«предприниматель». Согласно закону обратного отношения
содержание родового понятия должно полностью включаться в содержание
видового. Но, по мнению А. И. Мигунова, содержание понятия
«предприниматель» не является частью содержания понятия «логик,
занимающийся предпринимательством», и поэтому первое понятие не
может быть родовым. Однако это неверно.
Допустим, понятия В и С совместимы по истине и между ними
существует или отношение эквивалентности, или отношение независи-

Глава 1. Понятие
69
мости. Но и то и другое невозможно. Из истинности С следует
истинность Ву что доказывает их зависимость, но из истинности В не следует
обязательно истинность С, что опровергает их эквивалентность.
Значит ВиС связаны родо-видовым подчинением или они несовместимы.
Но они не могут быть несовместимыми: из истинности В не следует
непременно ложность С, а из истинности С — ложность В.
Следовательно, остается только одна возможность: понятия В и С связаны
отношениями родо-видового подчинения.
Так как понятия CnD эквивалентные, то все сказанное
распространяется и на взаимосвязь понятий А и D.
Пример 2
Определить логические отношения между следующими понятиями:
А = «вещи, которые если приятны, то и полезны», В = «вещи, которые
не приятны и не полезны», С = «вещи, которые если не полезны, то
приятны». Пусть U= «вещи».
?/=«вещи»
«приятные»
«полезные»
A)
«неполезные»
B)
«неприятные»
«полезные»
C)
«неполезные»
D)
?/= A + 2 + 3 + 4);
С=D)/A + 2 + 3).
Отношение объемов анализируемых понятий представлено на рис. 1.17.
В
А
С
^>
Рис. 1.17
Из вычислений следует, что понятия ВиС противоречат друг другу
(содержание одного равно объему другого), понятие В представляет
разновидность Л, так как содержание А — часть содержания В.

70
Часть I. Традиционная логика
Пример 3
Определить логические отношения между следующими понятиями:
А = «число, делящееся на 3», В = «число, делящееся на 5», С = «число,
делящееся на 15».
Пусть U =
= «числа».
«делится на 3»
«делится на 5»
«делится на
. (О
15»
«не делится
«не делится
B)
U- «числа»
на 5»
на 15»
«не делится на 3»
«делится на 5»
«делится на 15»
C)
«не делится
«не делится
D)
на
на
5»
15»
5
С
(
B
B
Отношение объемов анализируемых понятий дано на рис. 1.18.
Рис. 1.18
Из вычислений следует, что понятия А и В — независимые понятия
(их содержания и объемы частично пересекаются). Понятие С—
видовое по отношению как к Л, так и к В (содержание С включает
содержание как Д так и В и, следовательно, их обобщает).
Логические операции с понятиями
Когда в наших рассуждениях мы используем союзы «и», «или» и
частицу «не» (или их разнообразные эквиваленты), то осознанно или
бессознательно мы выполняем соответственно операции умножения,
сложения и вычитания.
Если я утверждаю, что «сегодня пасмурно и холодно», то я
«умножаю» случившиеся пасмурные дни на холодные и тем самым желаю
сказать, что сегодня пасмурно и холодно одновременно.

Глава 1. Понятие
Если настаиваю, что «сегодня пасмурно или холодно», то
«складываю» пасмурные дни с холодными, имея в виду одну из следующих
альтернатив: сегодня или только пасмурно, или только холодно, или
пасмурно и холодно одновременно.
Если я убежден, что «невозможно, чтобы сегодня было пасмурно и
холодно», значит, отрицаю такую альтернативу и утверждаю
истинность ее дополнения: «сегодня либо не пасмурно, либо не холодно, либо
не пасмурно и не холодно одновременно».
Таким образом, базисных логических операций всего три —
умножение, сложение и отрицание. Производной следует считать операцию
деления (классификации, разбиения универсума на совместно
исчерпывающие и взаимно исключающие классы). Для ясности
определение базисных операций дано для двух понятий, обозначенных
символами Л и В.
Пусть знак «+» обозначает операцию сложения понятий, знак «х» —
их умножение, знак «е» — вычитания, знак «-i» — логического
отрицания (читается как «неверно,.что»).
Допустим, для двух произвольных понятий А и В
последовательность символов (АВ) обозначает класс вещей, обладающих
свойствами А и В одновременно; (Л-iB) — класс вещей, обладающих
свойствами Л, но не обладающих свойствами В; (-АВ) — класс вещей, не
обладающих свойствами Л, но обладающих свойствами В; (—Л-^В) —
класс вещей, не обладающих свойствами ни А, ни В. Поскольку
понятия могут быть совместимыми и несовместимыми, рассмотрим
результаты сложения, умножения и вычитания для каждого вида
последовательно.
Сложить понятие А с понятием В означает сконструировать новое
понятие, объем которого состоит из всех (без повторения) классов
объемов как Л, так и В.
1. А и В — эквивалентные понятия.
Тогда Л + В = Л = В, т. е. результат сложения таких понятии равен
объему любого одного из них.
«Мужчина» + «сын» = «мужчина» = «сын».
Как частный случай получаем: А + А = А. Если 1 + 1 = 2, то «о^на
вещь» + «одна вещь» = «одна вещь». Сложение двух эквивалентных
понятий не приводит к удвоенной сумме, как это происходит при
сложении равных натуральных чисел.
2. А и В — независимые понятия.
Тогда Л + В = (АВ) + (Л-.В) + (-АВ) + (-А-^В).

22 Часть I. Традиционная логика
«Вкусные вещи» + «полезные вещи» = «вкусные и полезные вещи»,
или «вкусные, но не полезные вещи», или «невкусные, но полезные вещи»,
или «невкусные ji неполезные вещи».
3. А — родовое, В — видовое понятие.
Тогда А + В = А. .
«Утро» + «пасмурное утро» = «утро».
4. А и В — противоречащие понятия.
Тогда А + В = U.
«Дорогая вещь» + «недорогая вещь» = «вещь».
5. А и В — противоположные понятия.
Тогда А + В = (Л-iB) + (-АВ) (А или В, но не оба вместе).
«Вещь слева» + «вещь справа» = «вещь слева или справа».
6. А и В — соподчиненные понятия.
Тогда Л + В = (Л-iB) + (-АВ) = (А или В, но не оба вместе).
«Вещь желтого цвета» + «вещь синего цвета» =
= «вещь желтого или синего цвета».
7. А и В — частично совместимые понятия.
Тогда Л +B = U.
«Неумные люди» + «неглупые люди» = «люди».
Умножить понятие А на В означает сконструировать такое
понятие, объем которого состоит только из тех классов, которые
оказываются общими для объемов А и В.
1. А и В — эквивалентные понятия.
Тогда А х В = А = В, т. е. результат умножения таких понятий равен
объему любого одного из них.
«Мужчина» х «сын» = «мужчина» = «сын».
. Как частный случай рассматривается: А х А = А. Если 2 х 2 = 22 = 4,
то «две вещи» х «две вещи» = «две вещи». Умножение двух
эквивалентных понятий не приводит к увеличению их степени, как в случае
с умножением равных натуральных чисел.
2. А и В — независимые понятия.
Тогда А хВ = (АВ).
«Вкусные вещи» х «полезные вещи» = «вкусные и полезные вещи».
3. А —родовое, В — видовое понятие.

Глава 1. Понятие 73
Тогда А х В = В, т. е. областью пересечения выступает объем
видового понятия.
«Утро» х «пасмурное утро» = «пасмурное утро».
4. А и В — несовместимые (противоречащие, противоположные
или соподчиненные) понятия.
Пусть е обозначает пустое множество, тогда А х В = е, ибо область
пересечения всех несовместимых по истине понятий пуста.
«Добрые люди» х «недобрые люди» = «добрые люди» х «злые люди» =
«добрые люди» х «равнодушные люди» = е.
5. А и В — частично совместимые понятия.
Тогда А х В = (АВ).
«Неумные люди» х «неглупые люди» = «люди среднего ума».
Вычесть понятие В из понятия А означает сконструировать новое
понятие, объем которого состоит из всех классов объема А, не
обладающих свойством Л.
1. А и В — эквивалентные понятия.
Тогда AgB = BqA = q.
«Мужчина» е «сын» = «сын» е «мужчина» = е.
В качестве частного случая укажем А е А = е.
«Печаль» е «печаль» = е.
2. А й В — независимые понятия.
Тогда А е В = (Л-.В), В е А = (-АВ).
«Полезные вещи» е «вкусные вещи» = «полезные, но невкусные вещи».
«Вкусные вещи» е «полезные вещи» = «вкусные, по бесполезные вещи».
3. А — родовое, В — видовое понятие.
Тогда А е В = (Л-.В), В е А = е.
«Утро» е «пасмурное утро» = «непасмурное утро».
«Пасмурное утро» е «утро» = е.
4. А и В — несовместимые (противоречащие, противоположные,
соподчиненные) понятия.
Тогда AgB = A,BqA = B.
«Белая вещь» е «небелая вещь» = «белая вещь».
«Небелая вещь» е «белая вещь» = «небелая вещь».

74 Часть I. Традиционная логика
«Белая вещь» е «черная вещь» = «белая вещь».
«Черная вещь» е «белая вещь» = «черная вещь».'
«Желтая вещь» е «синяя вещь» = «желтая вещь».
«Синяя вещь» е «желтая вещь» = «синяя вещь».
5. А и В — частично совместимые понятия.
Тогда А е В = -Д В е А = -лА.
«Неумные люди» е «неглупые люди» = «глупые люди».
«Неглупые люди» е «неумные люди» = «умные люди».
Деление объема понятия (классификация)
Существует операция, синтезирующая сложение, умножение и
вычитание понятий. Она называется делением объема понятия, или его
классификацией. Целью классификации является определение всех
разновидностей делимого понятия. Формально деление — это
разбиение объема понятия на множество совместно исчерпывающих и
взаимно исключающих классов согласно некоторому множеству
оснований. Результатом данной операции оказывается родо-видовая иерархия
понятий, раскрывающая объем классифицируемого понятия.
Делением объема понятия, или классификацией, называется
определение всех его разновидностей согласно какому-либо множеству
оснований (видообразующих признаков).
Цель всякой классификации — установление всех видовых понятий
какого-либо одного понятия, выполняющего функцию родового.
Врачи делят людей на здоровых и больных, а последних — на
определенные классы по характеру и тяжести заболевания. Психологи делят
людей по типу психологической реакции, состояния, конституции.
Социологи разделяют людей по доходам, расходам, профессии,
отношению к некоему общественно значимому событию. Нет ни одного
человеческого действия, которое не было бы связано с
классификацией его итогов на полезные и бесполезные, целей — на значимые и
незначимые, трудностей — на преодолимые и непреодолимые.
Классификацию нельзя путать с делением какой-либо вещи на
части, поскольку видовые понятия обладают всеми признаками
родового, а части никогда не отмечены признаками целого. Лист — часть
дерева, но он не имеет свойств всего дерева.
Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем основные
требования к делению понятий.

Глава 1. Понятие 75
Если основанием деления понятия «благо» выбрать, согласно
Аристотелю, условие «находиться в», то благо имеет следующие виды
(рис. 1.19).
Благо
находящееся находящееся находящееся
в душе ' в теле вне души и тела
(добродетели) (здоровье) (богатство)
Рис. 1.19. Классификация понятия «благо» согласно условию «находиться в»
Если выбрать в качестве основания условие «смысл блага», то,
согласно Аристотелю, получится следующая классификация (рис. 1.20).
Благо
ценимое хвалимое как возможность сохраняющее
(ум) (добродетели) (богатство) или создающее
другое благо
(гимнастика)
Рис. 1.20. Классификация понятия «благо» согласно условию «смысл блага»
Рассмотренные классификации построены на изменении условия,
выступающего их основанием. Здесь каждый их член —
соподчиненное понятие. Подобные деления принято называть классификациями
по изменяющемуся основанию.
Возможны также классификации, члены которых представляют
противоречащие понятия. Это дихотомические (делящие надвое)
классификации. Пример их также можно найти у Аристотеля (рис. 1.21).
Благо
всегда заслуживающее не всегда заслуживающее
избрания избрания
(справедливость) (богатство)
Рис. 1.21. Пример дихотомической классификации
Основанием дихотомических классификаций служит принцип
логического отрицания (дополнения, противоречия) их членов.
Возможны также классификации, в которых используются
несколько оснований деления. Их называют последовательными
классификациями. Пример таковой, также принадлежащей Аристотелю, приведен
на рис. 1.22.

76 Часть I. Традиционная логика
Благо
являющееся целью не являющееся
(здоровье) целью
совершенной несовершенной
(счастье) (справедливый нрав)
Рис. 1.22. Пример последовательной классификации
Возможны также классификации, в которых основания деления
представляют сложные признаки — соединенные союзами «и» и «или»,
обозначающими операции умножения и сложения соответственно.
В таких случаях сложные признаки разделяются до образования
простых. С помощью последних строится классификация по обычным
правилам. Например, сложное основание «сегодня вторник или среда»
разделяется на два простых — «сегодня вторник» и «сегодня среда».
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать три основных
требования к классификации.
1. Члены классификации должны представлять несовместимые по
истине {непересекающиеся) классы, и их логическая сумма на каждом
шаге разбиения должна быть равна объему классифицируемого
понятия {универсуму).
Иначе либо будет пропущено какое-то видовое понятие, либо будет
присутствовать избыточное видовое понятие. В первом случае
отмечается неполная классификация, во втором — классификация с
лишними членами. Пример первой — деление всех людей только на добрых
и жестоких (пропущен класс тех, кто и не первые, и не вторые).
Классификация с лишними членами деления возможна в двух значениях.
Во-первых, некоторые ее члены могут поглощать других
(«нежестокие», например, поглощают «добрых»). Во-вторых, некоторые члены
классификации не соответствуют единому основанию деления (как при
делении дней на «солнечные», «пасмурные» и «счастливые»).
2. Каждый шаг классификации должен проводиться только по
одному основанию. В противном случае члены классификации не будут
исключать друг друга, а их сумма не окажется равной универсуму.
Например, деление людей на богатых и плачущих проведено по двум
основаниям сразу. Члены данной классификации, будучи
независимыми понятиями, не исключают друг друга, так как могут
существовать богатые, которые плачут. Правильной будет классификация,
осуществляемая в два шага (рис. 1.23).

Глава 1. Понятие 77
U = «люди»
«богатые» «небогатые»
«плачущие» «неплачущие» «плачущие» «неплачущие»
Рис. 1.23. Классификация людей на богатых и плачущих
3. Классификация считается законченной, если и только если при ее
построении использованы все основания и все ветви, которые оказались
противоречивыми, вычеркнуты.
Если все условия классификации необходимы, тогда данная
операция тождественна конструированию (определению) понятий.
Пределом классификации в этом случае выступает требование
достаточности оснований (условий) классификации.
Классификация позволяет сделать наглядными операции сложения,
умножения и вычитания произвольных величин и доказать их
взаимосвязь. Например, каждому из школьного курса алгебры известно,
чему равен квадрат суммы двух величин. Следующее дерево делает
доказательство этого утверждения до тривиальности очевидным.
i
U = «результаты возведения
в квадрат суммы (а + 6)»
«Движение вниз» по любой из ветвей приведенного «дерева»
равносильно выполнению умножения соответствующих классов,
признаков, величин. В рассматриваемом примере подобное движение по
первой ветви дает аа, по второй — ab, по третьей — ba, по четвертой ветви —
ЬЬ. После очевидных преобразований получаем величины a1, lab и Ь2.
«Движение по горизонтали» равносильно выполнению сложения
соответствующих классов, признаков и величин, полученных в
результате операции умножения. Если такое сложение произвести, получим
окончательный результат — {а2 + lab + b2).
Операция вычитания равнозначна исключению из структуры
«дерева» одной или более ветвей. Пусть дано следующее «дерево»:
U= яблоки
А = сладкие -Л = несладкие

78 Часть I. Традиционная логика
Вычесть из универсума «яблоки» сладкие яблоки означает
исключить из приведенного «дерева» левую ветвь и оставить в универсуме
класс несладких яблок. Вычесть из данного универсума несладкие
яблоки означает исключить правую ветвь указанного «дерева» и оставить
в универсуме только сладкие яблоки.
К отмеченным особенностям классификации следует добавить еще
одну, играющую существенную роль в логическом анализе.
Классификация позволяет представить универсум в виде
логической суммы некоторого множества альтернативных возможностей
(развития событий, действий, описаний и т. д.). Каждая ветвь
классификации символизирует одну такую возможность. Знания и преобразования
этих возможностей необходимо и достаточно для решения всех
логических, комбинаторных, вероятностных, информационных задач и
задач по принятию решений.
Пример 1
Решить следующую задачу. У двух приятелей А и В денег поровну.
Сколько денег должен А отдать В, чтобы у В было на 10 рублей больше?
Эту задачу обычно решают алгебраическим способом, составляя
соответствующее уравнение и получая в качестве решения 5 руб. Более
простым и понятным оказывается, однако, следующее решение (рис. 1.24).
10 руб. Юруб.
=>
Рис. 1.24
ч
Начинаем выполнение задания с конца. При равном количестве денег
требуется, чтобы В имел на 10 рублей больше, чем А Допустим, что
у В 10 руб., у А — 0 руб. (рис. 1.24, а). Следовательно, А должен для
этого отдать В 5 руб. (рис. 1.24, б). Данное решение, как и алгебраическое,
не зависит от стартового количества денег, имеющихся у приятелей.
Пример 2
Решить следующую задачу1.
Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий — 30,
французский — 42, английский и немецкий одновременно — 8, английский и
французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка вместе — 3.
1 Мельников В. Н. Логические задачи. — Киев; Одесса, 1989. С. 27.

Глава 1. Понятие 79
1. Сколько студентов не изучают ни одного языка?
2. Сколько студентов изучают только английский язык?
3. Сколько студентов изучают только немецкий язык?
4. Сколько студентов изучают только французский язык?
5. Сколько студентов изучают английский язык в том и только в том
случае, если они изучают немецкий язык?
6. Сколько студентов изучают английский язык в том и только в том
случае, если они изучают французский язык?
7. Сколько студентов изучают немецкий язык в том и только в том
случае, если они изучают французский язык?
Для ответов на вопросы построим классификацию (рис. 1.25). Пусть
А = 28 обозначает число изучающих английский язык, Я = 30 —
немецкий язык, Ф = 42 — французский язык. Соответственно символы
-А = 72, -i#= 70, -лФ = 58 обозначают число студентов, не изучающих
английский, немецкий и французский язык. Комбинации данных букв
или их отрицаний указывают на количество студентов, изучающих или
не изучающих соответствующие языки.
АН =
АНФ= А
3
A)
8
**—..
НчФ
5
B)
А =28
-—--——
= А-,ИФ =
10
C)
G =
У = 20
—^
А-.Н-.Ф
10
D)
100 студентов
—^
5
E)
Рис. 1.25
/ —~-~.
22"^
АН^Ф
17
F)
-,Л = 72
-—~—-^
-А-*Н =
24
G)
50
1-.Н-
26
(8)
По условию А = 28, Я = 30, Ф = 42. Значит -Л = 100 - 28 = 72, -itf =
= 100 - 30 = 70, -,Ф = 100 - 42 - 58.
По условию АН = 8, АФ = 10, АНФ = 3. Значит Л#-,Ф = 8-3 = 5,
Л-iH = 28 - 8 = 20, А-^НФ = АФ = 10, А-^Н-*Ф = 20 - 10 = 10.
По условию Я = 30, -ЛНФ = 5. Значит -АН = 30 - 8 = 22, -^АН-*Ф =
= 22 - 5 = 17, -А-тН = 72 - 22 = 50.
По условию Ф = 42. Значит -А-ЛФ = 42 - 3 - 10 - 5 = 24, -А-Л-пФ =
= 50 - 24 = 26.
Произведенные вычисления позволяют ответить на поставленные
вопросы (в круглых скобках указаны классы, удовлетворяющие
данному решению).

80 Часть I. Традиционная логика
1. 26 студентов не изучают ни одного языка (8).
2. 10 студентов изучают только английский язык D).
3. 17 студентов изучают только немецкий язык F).
4. 24 студента изучают только французский язык G).
5. 58 студентов изучают английский язык тогда и только тогда, когда
они изучают немецкий язык A+2 + 7 + 8).
6. 56 студентов изучают английский язык тогда и только тогда, когда
они изучают французский язык A+3 + 6 + 8).
7. 44 студента изучают немецкий язык тогда и только тогда, когда
они изучают французский язык A+4 + 5 + 8).
Пример 3
Кто и какое место занял в чемпионате университета по шахматам, если
только одна часть каждого следующего ответа истинна: А занял
первое место, а В — второе; С занял второе место, a D — четвертое; А занял
второе место, a D — третье.
Пусть буква с нижним индексом, скажем Av обозначает место,
которое занял по предположению тот или иной претендент. Отрицание
подобной буквы свидетельствует, что данный претендент не занял
указанного места. Пусть знак ¦ обозначает противоречивую ветвь
классификации (когда один и тот же претендент занимает разные места
или когда разные претенденты занимают одинаковые места) (рис. 1.26).
Рис. 1.26
Поскольку неизвестно, какая часть каждого ответа неверна,
сначала предполагаем, что первая верна, а вторая неверна, затем, что первая
неверна, а вторая верна. И так для каждого ответа. Вычеркивая
последовательно противоречивые ветви классификации, получаем, что А
занял первое место, В — четвертое, С — второе и D — третье. Значит в
первом и втором ответах верны первые части, в третьем — вторая часть.

Глава 1. Понятие 81_
Упражнения
1. Укажите необходимые и достаточные условия следующих явлений,
свойств, предметов:
а) зимнее утро;
б) нечетное число;
в) справедливость;
г) равные величины;
д) образованный человек.
2. Выражают ли следующие слова одни и те же понятия:
а) педагог, преподаватель, учитель;
б) неконечное, бесконечное, безмерное;
в) несвобода, рабство, неволя;
г) бедный, неимущий, не имеющий;
д) не война, мир, перемирие.
3. Изменится ли содержание понятия «Марс» после того, как на нем
побывают люди?
4. Изменится ли объем понятия «завтрак» после того, как он будет съеден?
5. Какие из перечисленных понятий связаны отношениями рода и вида?
а) час, сутки;
б) кислород, газ;
в) прямая, отрезок прямой;
г) город, центр города;
д) тысяча рублей, сто рублей.
6. Изобразите графически, как соотносятся объемы следующих понятий:
а) геометрия Евклида, неевклидова геометрия, геометрия Лобачевского,
геометрия Римана;
б) мысль, слово, дело;
в) вежливый, приятный, обходительный;
г) дед, отец, сын, внук;
д) забежал, вошел, вбежал, ввалился.
7. Корректны ли следующие толкования слов в качестве определений:
а) наследовать — получить в наследство от кого-либо что-либо;
б) лучший — самый хороший;
в) отличный — очень хороший, превосходный;
г) хороший — имеющий положительные свойства;
д) дарить — давать что-либо в качестве подарка, безвозмездно.
8. Для каждой пары следующих понятий выполните операции сложения,
умножения и вычитания:
а) натуральное число, четное число;
б) море, озеро;
в) звезда, планета;
г) не радость, не печаль;
д) здоровье, болезнь.

Глава 2
Суждение
Помыслив вещи посредством идей, мы сопоставляем эти идеи;
обнаруживая, что одни из них соответствуют друг другу,
а другие нет, мы связываем их либо разделяем. Это называется
утверждать или отрицать, а в общем — выносить суждение.
А. Арно, П. Николь «Логика, или искусство мыслить»
Определение суждения
Если понятия — атомы интеллектуальной деятельности, то,
продолжая эту аналогию, можно сказать, что суждения — ее молекулы.
Подобно тому, как молекулы представляют мельчайшие частицы
вещества, так и суждения, связывая понятия, оказываются элементарными
формами мыслительной деятельности. Любое понятие определяется
в виде некоторого суждения. Да и рассуждение в целом — это процесс
порождения одних суждений из других. С помощью понятий мы
раскрываем значение естественных или искусственных знаков,
указываем классы, к которым принадлежат или не принадлежат мыслимые
нами вещи. С помощью суждений мы выражаем разнообразные
отношения между мыслимыми вещами.
Ни одна вещь не существует, не вступая в отвечающие ее природе
отношения с другими вещами. Свойства вещей могут проявляться
только в их отношениях друг к другу. Узнать, является ли данное
белое кристаллическое вещество кислым, сладким, соленым, горьким или
безвкусным, можно, лишь попробовав его на язык, т. е. установив
соответствующее отношение между этим веществом и вкусовыми
рецепторами. Соответственно, знание какой-либо вещи предполагает знание
ее отношений с другими вещами. Конструирование понятий о вещах
невозможно без выражения в терминах суждений отношений этих
вещей друг к другу. Как вещи не существуют вне своих отношений друг
к другу, так и понятия не существуют вне выражающих эти
отношения суждений.

Глава 2. Суждение
Суждение — мысль, обозначающая отношение вещи к какой-либо
другой вещи и к самой себе.
Задать некоторое отношение из множества элементов некоторого
класса означает упорядочить их согласно условию, выражаемому этим
отношением. Вне зависимости от содержания данного отношения
упорядоченность элементов предполагает различение мест, ими
занимаемых. Если 1 меньше 2, то 2 не может быть меньше или равно 1. Если
А — отец В, то В не может быть отцом А. Если С тяжелее Д то D не
может быть тяжелее С. Во всех этих примерах места, занимаемые
первым и вторым элементами, различаются своим порядком, т. е.
упорядочены. Пониманию отношения как упорядочивания не противоречит
существование разнообразных отношений тождества (равенства).
Последние определяются как результат композиции (умножения)
обратно упорядоченных отношений. Например, сказать, что А равно В, — то
же самое, если сказать, что А больше (меньше) В и В больше (меньше)
А одновременно.
Из сказанного следуют два принципиальных отличия суждений от
понятий. Для понятий исходным служит допущение тождества,
неразличимости элементов их объемов. Порядок, в котором
рассматриваются эти элементы, не имеет никакого значения. Для суждений исходным
будет допущение различия, упорядоченности вещей, рассматриваемых
в качестве их субъектов. Изменение порядка вещей измененяет смысл
суждения. В этом состоит первое отличие суждений от понятий.
Второе отличие вытекает из первого.
Для понятий логическое отрицание равносильно образованию
дополнения. Для суждений мы имеем два вида логического отрицания —
дополнение и уничтожение различия, которое достигается
построением симметричного исходному отношению. Дополнение дает суждение,
противоречащее исходному. Уничтожение различия приводит к
образованию суждения эквивалентности. Суждение «А умнее В» в первом
смысле отрицается суждением «Неверно, что А умнее В» или
суждением «А не умнее В». Во втором смысле суждение «А умнее В»
отрицается суждением «В умнее Л», и оба вместе делают истинным суждение
«А и В оба умны в одинаковой степени».
Отличие суждений от понятий обусловлено, таким образом,
различием уровней отражения реальности. С помощью понятий мы
отражаем реальность как включение и исключение классов. С помощью
суждений учимся отражать не только эти, но и все другие отношения между
мыслимыми вещами.

84 . Часть I. Традиционная логика
Как и понятия, суждения не совпадают с выражающими их
грамматическими конструкциями. Основная языковая форма выражения
суждений — повествовательное предложение. Считается, что всякое
суждение выражается в том или ином предложении, но обратное верно только
для предложений повествовательных. Мы не будем столь
категоричны, поскольку, на наш взгляд, любое законченное предложение явно
или неявно выражает некоторое суждение. Ничто не мешает полагать,
что вопросу «Кто здесь?» соответствует суждение «Я не знаю, кто здесь
находится, но хочу это узнать». Аналогично приказу «Следуйте за
мной!» соответствует суждение «Я хочу, чтобы вы тотчас же
последовали за мной».
В зависимости от того, имеет ли место выражаемое суждением
отношение, можно говорить об истинности, ложности или
неопределенности данного суждения. Так, «А любит 5» истинно, если и только если
между А и В существует указанное отношение; ложно в противном
случае; неопределенно, если нет ни первого, ни второго.
Каждое суждение отражает, кроме того, определенное
коммуникативное отношение между старым, известным (предикат суждения)
и новым, неизвестным (субъект суждения) знаниями. Известное
знание служит своеобразным фильтром, через который происходит
оценка нового знания. Предикат определяет логические границы субъекта
суждения, отвечает на вопросы что? где? как? и почему? оно
обозначает, служит аргументом за и против включения в состав старого
знания. Связывая или разъединяя новое и старое знание, суждения,
таким образом, обеспечивают преемственность в развитии представлений
и наше понимание всякого неизвестного сообщения. Мы можем
поэтому сказать, что суждения отражают упорядоченность не только
реально существующих вещей, но и наших знаний о них.
Итак, когда мы говорим о суждениях, то имеем в виду знание, которое:
• обозначает как некоторое отношение между мыслимыми
вещами, так и упорядоченность самих знаний по шкале «новое,
требующее доказательства — старое, доказанное»;
• в зависимости от того, выполняется или нет обозначаемое
отношение, бывает истинным, ложным или неопределенным;
выражается каким-либо предложением, не обязательно
повествовательным;
• конструктивно, так как не совпадает со своей грамматической
формой и для своего выявления требует специальной
умственной деятельности.

Глава 2. Суждение 85
Простые суждения
В традиционной логике суждения принято делить на простые и сложные.
Суждение называется простым, если ни одна его правильная часть
сама не является суждением. В противном случае оно сложное.
Сложные суждения состоят из нескольких простых, соединенных
различными логическими союзами: «и», «или», «если, то», «если и
только если», «или, или». Предложение «Сегодня тихо и пасмурно»
выражает сложное суждение, состоящее из двух простых «Сегодня тихо»,
«Сегодня пасмурно», соединенных союзом «и». Сложным суждением
считается также отрицание любого простого суждения, вводимое
оборотом «неверно, что» и его различными эквивалентами.
Всякое сложное суждение может быть выражено в форме простого,
но обратное, конечно, неверно. В данной главе рассматриваются
только простые суждения. Сложные анализируются в главах,
посвященных логике высказываний и предикатов.
Простые суждения можно оценивать как истинные, ложные или
неопределенные.
Любое простое суждение состоит из четырех функционально
различающихся частей:
1) субъекта суждения — класса вещей, о котором нечто
утверждается или отрицается;
2) предиката суждения — класса вещей, принадлежность субъекта
к которому утверждается или отрицается;
3) утвердительной или отрицательной связки — «есть» или «не есть»,
соединяющей или разъединяющей субъект и предикат суждения
в некотором отношении;
4) знака количества — слов «все», «некоторые», «ни один», стоящих,
как правило, перед субъектом суждения и указывающих на то,
какая часть объема субъекта принадлежит или не принадлежит
объему предиката.
Субъект и предикат суждения называются его терминами и
выступают отологическим подлежащим и логическим сказуемым
соответственно. Их нельзя путать с грамматическим подлежащим и сказуемым.
В суждении «Люди же, воздающие равным за равное, не оскорбляют,
а мстят» {Аристотель) субъектом будет понятие «люди, воздающие
равным за равное», а предикатом — понятие «люди, не оскорбляющие,
а мстящие». Грамматическим же подлежащим выступает слово «люди»,
а сказуемым — «не оскорбляют, а мстят».

86
Часть I. Традиционная логика
Связка «есть» или «не есть» выражает качественный аспект
суждения — его утвердительную или отрицательную форму. Ее
синонимами служат «суть» и «не суть», «присуще» и «не присуще», «обладает»
и «не обладает», «является» и «не является».
Слова «все», «некоторые», «ни один» характеризуют
количественный аспект суждения — соотношение объемов субъекта и предиката.
Синонимы слова «все» — «всякий», «каждый». Слово «некоторые», как
будет показано, не имеет однозначной интерпретации и его
синонимами могут быть такие обороты: «по крайней мере один или все»,
«существует», «по крайней мере один, но не все», «только некоторые».
Синонимами слова «ни один (одна, одно)» служат «никто», «ничто», «ни
за что», «нигде», «никогда». Суждение считается общим, если оно
начинается со слов «все» или «ни один». Суждение принадлежит к
частным, если оно начинается со слова «некоторые». В общих суждениях
по крайней мере субъект рассматривается во всем объеме. В частных
суждениях объем субъекта может определяться и полностью, и частично.
Пусть 5 обозначает субъект суждения, Р — его предикат.
Комбинация качественных и количественных возможностей дает следующую
классификацию простых суждений (рис. 2.1).
Простые суждения
Качество
суждения
Утвердительные
(S есть Р)
Отрицательные
(S не есть Р)
Количество Общие Частные Общие Частные
суждения (все S есть Р) (некоторые (ни одно (некоторые
S есть Р) S не есть Р) S не есть Р)
Рис. 2.1. Виды простых суждений
Если суждение общее и утвердительное, его называют
общеутвердительным. Формула общеутвердительных суждений: «Все 5 есть Р>>.
Если суждение общее и отрицательное, его называют
общеотрицательным. Формула общеотрицательных суждений: «Ни одно 5 не есть Р>>.
Если суждение частное и утвердительное, его называют частноут-
вердительным. Формула частноутвердительных суждений:
«Некоторые 5 есть Р».
Если суждение частное и отрицательное, его называют частноот-
рицательным. Формула частноотрицательных суждений: «Некоторые
5 не есть Р».

Глава 2. Суждение 87
Дадим определение каждого вида простого суждения, приведем
примеры и пояснения.
Суждение называется общеутвердительным, если и только если
утверждается, что его предикат совместим с каждым элементом
объема субъекта, независимо от того, состоит ли этот объем из
бесконечного числа элементов, одного-единственного элемента
или вообще пуст.
Примерами общеутвердительного суждения «Все 5 есть Р» служат
высказывания «Все люди хотят быть счастливыми», «Каждое время
года хорошо по-своему», «Все треугольники — квадраты».
Высказывание «Я люблю читать детективы» также следует считать
общеутвердительным, так как его субъект рассматривается во всем объеме. Все
так называемые единичные суждения, субъект которых
грамматически выражается единственным числом, с логической точки зрения
общеутвердительные. Это свидетельствует об отсутствии однозначного
соответствия категорий грамматики и логики.
Объемы субъекта и предиката в общеутвердительном суждении «Все
5 есть Р» могут соотноситься друг с другом двумя различными
способами (рис. 2.2).
Все S есть Р
S,P
Рис. 2.2. Возможные отношения субъекта и предиката
в общеутвердительном суждении
Согласно первому способу (левая диаграмма на рис. 2.2), объемы
субъекта и предиката полностью совпадают. Это происходит в двух
случаях. Во-первых, когда суждение «Все S есть Р» представляет
корректное определение субъекта 5. Например, согласно Аристотелю,
изобретательность «состоит в способности делать то, что направлено
к предложенной цели, и достигать ее»1. Поскольку это корректное
определение, объемы субъекта «способность, называемая
изобретательностью» и предиката «способность делать то, что направлено к
предложенной цели, и достигать ее» полностью совпадают. Во-вторых,
объемы субъекта и предиката могут совпадать полностью, если
предикат общеутвердительного суждения относится только к его субъекту.
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. - М., 1983. Т. 4. С. 189.

88 Часть I. Традиционная логика
В этом случае подразумевается или присутствует явно частица
«только» или ее грамматические эквиваленты. Например, если мы хотим
приписать предикат «быть способным отличать добро от зла»
человеку и только ему, то должны выразить эту мысль следующим образом:
«Только человек способен отличать добро от зла». Структура
подобных суждений, которые принято называть утвердительными
общевыделительными, такова: «Только (все) 5 есть Р». Они представляют
сложные суждения. Рассматриваемое выделительное суждение
эквивалентно следующим двум простым: «Все S есть Р» и «Все Р есть 5»
и истинно только тогда, когда они оба вместе истинны
(соответственно ложно, если ложно хотя бы одно из них). Добавим, что суждение
«Только 5 есть Р» эквивалентно также суждению «Только -|5есть -.Р»,
которое эквивалентно, в свою очередь, суждениям «Все -.5 есть -iP»
и «Все -.Ресть -.5» одновременно.
Отметим, что частица «только» всегда делает тот термин, к которому
она относится, необходимым условием истинности другого термина
этого же суждения. Если данное слово стоит перед субъектом
общеутвердительного суждения, он становится необходимым условием
истинности предиката этого суждения, а поскольку предикат
фактически или необходимо таков по условию, то в результате объемы субъекта
и предиката полностью совпадают1. Если же «только» относится лишь
к предикату, суждение «Все 5 есть только Р» можно считать
эквивалентным суждению «Все 5 есть Р», если и только если никаких иных
терминов, кроме 5 и Р, в рассматриваемом универсуме не
присутствует. В противном случае данные суждения могут оказаться
неэквивалентными друг другу.
Согласно второму способу (правая диаграмма на рис. 2.2), объем
субъекта полностью включен в объем предиката, но неравен ему. Этот
вариант представления предпочтителен в тех случаях, когда нет
специального доказательства равных объемов субъекта и предиката или
когда очевидно, что объем субъекта составляет лишь часть объема
предиката. Вот, например, такое суждение: «Дети любят мороженое». Это
не определение, в нем не утверждается и не подразумевается, что только
дети любят мороженое. Следовательно, объем предиката «люди,
любящие мороженое» включает объем субъекта «люди, являющиеся
детьми», но не равен ему. Следовательно, кроме детей, существуют люди
других возрастных категорий, также любящие мороженое.
1 Более точное различие между выражениями «возможно присуще»,
«действительно присуще» и «необходимо присуще» требует введения модальных
операторов. См. гл. 9.

Глава 2. Суждение
89
Суждение называется общеотрицательным, если и только если
утверждается, что его предикат не совместим ни с одним
элементом объема субъекта.
Примерами общеотрицательного суждения «Ни одно 5 не есть Р»
служат высказывания «Никто по своей воле не хочет быть
несчастливым», «Никогда не поздно начать все сначала», «Ни один треугольник
не квадрат». Высказывание «Я не люблю читать детективы» следует
считать общеотрицательным, так как его предикат несовместим со
всеми элементами объема субъекта.
В общеотрицательных суждениях термины несовместимы друг с
другом. Поэтому их объемы не пересекаются. Однако
общеотрицательные суждения можно различать по характеру несовместимости. Так,
когда мы говорим, что «Ни одно 5 не есть Р», это может означать или
то, что 5 и Р— противоречащие понятия, как в суждении «Ни один
добрый человек не является недобрым», или то, что 5 и Р —
противоположные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не
является злым», или то, что 5 и Р — соподчиненные понятия, как в
суждении «Ни один добрый человек не является равнодушным». Случай,
когда S и Р — противоречащие понятия, соответствует отрицательному
общевыделительному суждению «Только 5 не есть Р» (или суждению
«Только -i5 не есть -iP>>). Все эти случаи отражены на рис. 2.3.
Ни одно S не есть Р
S
р
S
р
Рис. 2.3. Возможные отношения субъекта и предиката
в общеотрицательном суждении
В отличие от общих суждений, интерпретация частных более
неопределенна и требует разбора большего числа случаев.
Суждение называется частноутвердительным, если и только если
утверждается, что его предикат совместим по крайней мере с
одним из элементов объема субъекта.
Из приведенного определения следует, что «некоторые» в
утвердительных суждениях можно понимать либо как «некоторые или все»,
либо как «некоторые, но не все», либо как «только некоторые». Все
три варианта отражены на рис. 2.4.
Мысля «некоторые» как «некоторые или все», мы подразумеваем
равную допустимость всех четырех случаев, указанных на рис. 2.4.

90
Часть I. Традиционная логика
Некоторые (или все) S есть Р
Все S есть Р
Некоторые, но не все S есть Р
S,P
p
He только
S есть Р
P
Только
S есть Р
S
а)
б)
в)
г)
Рис. 2.4. Возможные отношения субъекта и предиката
в частноутвердительном суждении
Интерпретируя «некоторые» как «некоторые, но не все», мы полагаем
равную допустимость только случаев 2Лв или 2.4г. Лишь случай 2.4г
имеет однозначное представление: частновыделительное суждение
«Только некоторые 5 есть Р» эквивалентно суждению «Все Р есть 5».
Суждение «Некоторые из вас могут решить эту задачу» может
пониматься или как «некоторые или все», если задачи подобного типа
уже решались и техника их решения усвоена, или как «некоторые, но не
все», если задачи подобного типа еще не решались и техника их
решения неизвестна, или как «только некоторые», если все, способные
решить данную задачу, находятся среди тех, кому предстоит это сделать.
Суждение называется частноотрицательным, если и только если
утверждается, что его предикат несовместим по крайней мере
с одним из элементов объема субъекта.
Из данного определения следует, что в отрицательных суждениях
слово «некоторые» также может пониматься тройственным образом:
либо как «некоторые или ни один», либо как «некоторые, но не ни один»,
либо как «только некоторые». Эти варианты приведены на рис. 2.5.
Некоторые (или ни одно) S не есть Р
Ни одно S не есть Р Некоторые, но не ни одно S не есть Р
S
р
S
р
[s\ [р\
Не только
некоторые
Sесть Р
Только
некоторые
Sесть Р
S
р
а)
б)
в)
Д)
Рис. 2.5. Возможные отношения субъекта и предиката
в частноотрицательном суждении

Глава 2. Суждение
Из рис. 2.5 следует, что только случай 2.5г имеет однозначное
представление: суждение «Только некоторые 5 не есть Р» эквивалентно
суждению «Все —iP есть 5». Выбор среди этих вариантов диктуется
контекстом или специальным анализом, как и для утвердительных
суждений.
Суждение «Некоторым из вас не решить эту задачу» может быть
понято либо как «некоторые или ни один», если задача новая и
трудная, либо как «некоторые, но не ни один», если задача простая или
известная, либо как «только некоторые», если все, кто не способен
решить эту задачу, находятся среди тех, кому она адресуется.
Для придания выражаемой мысли необходимой точности очень
часто в устной и письменной речи используются обороты' «Все, за
исключением...» и их всевозможные эквиваленты. Возникает вопрос:
можно ли подобные исключающие мысли выразить простыми
суждениями? Несложный анализ показывает, что возможно. Для этого
достаточно, сохранив качественный и количественный параметры
суждения, заменить субъект суждения на противоречащее
(противоположное, соподчиненное) ему понятие, а предикат оставить без изменений.
Ниже приведены образцы переводов исключающих суждений на язык
простых (над чертой — исключающее суждение, под чертой —
результат перевода).
Формулы перевода исключающих суждений в простые
Все, за исключением 5, есть Р
Все -,? есть Р
Ни один, кроме S, не есть Р
Ни один -i5 не есть Р
Некоторые, помимо 5, есть Р
Некоторые -i5 есть Р
Некоторые, кроме S, не есть Р
Некоторые -i5 не есть Р
Выделительные суждения можно трансформировать в
исключающие. Следующие формулы перевода показывают, как это можно
сделать (суждение над чертой эквивалентно обоим суждениям под чертой).
Формулы перевода выделительных суждений в исключающие
Только S есть Р
Ни один, кроме 5, не есть Р
Ни один, кроме Р, не есть S

92 Часть I. Традиционная логика
Только Sне есть Р
Ни один, кроме S, есть Р
Ни один, кроме ОР> не есть S
Только некоторые S есть Р
Ни один, кроме 5, не есть Р
Ни один, кроме Р, не есть S
Только некоторые S не есть Р
Все, кроме 5, есть Р
Некоторые, кроме ОР, не есть S
Из сказанного ясно, что всякое выделительное суждение можно
преобразовать в исключающее. Но обратное в общем неверно.
Поэтому ложным будет распространенное толкование, например, суждения
«Ни один, кроме 5, не есть Р» как «Только 5 есть Р». Первое из этих
суждений может быть истинно, а второе ложно (например когда
ложно частное суждение «Некоторые Р не есть 5»).
Нормальная форма простых суждений
Как и понятия, суждения часто не совпадают со своим языковым
выражением, потому для их формулировкой требуется дополнительный
анализ. Чтобы сформулировать суждение, его надо, по выражению
Л. Кэрролла, привести к нормальной форме, т. е. указать в явном виде
все его основные характеристики. Привести суждение к нормальной
форме означает:
1. Установить, какое понятие выступает субъектом суждения.
2. Выявить, какое понятие служит предикатом суждения.
3. Определить универсум суждения — класс вещей,
разновидностями которого являются субъект и предикат.
4. Заменить глагол, относящийся к субъекту суждения, там, где это
необходимо, сочетанием слов, начинающихся с таких глагольных
связок — «есть» или «не есть».
5. Определить знак количества суждений, т. е. установить, с какого
из слов «все», «ни один», «некоторые» оно должно начинаться.
6. Расположить полученные сведения в порядке, в котором
формулируются все простые суждения: знак количества — субъект —
связка — предикат.
Рассмотрим несколько примеров приведения суждений к
нормальной форме.

Глава 2. Суждение , 93
1. Повинную голову и меч не сечет.
1. Субъект — «раскаявшийся».
2. Предикат — «подлежащий наказанию».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Нормальная форма: «Ни один раскаявшийся человек не есть
человек, подлежащий наказанию».
2. «Только там, где в составе населения средние [слои] имеют
перевес либо над обеими крайностями, либо над одной из них,
государственный строй может рассчитывать на устойчивость» (Аристотель),
1. Субъект — «государственный строй, при котором средние слои
не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над
одной из них».
2. Предикат — «государственный строй, могущий рассчитывать
на устойчивость».
3. Универсум — «государственный строй».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Нормальная форма: «Ни один государственный строй, при
котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими
крайностями, либо над одной из них, не есть государственный строй,
могущий рассчитывать на устойчивость».
3. Есть люди, которыелюбят только себя.
1. Субъект— «люди».
2. Предикат — «любящие себя и никого другого».
3. Универсум — «живые существа».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «некоторые».
6. Нормальная форма: «Некоторые живые существа,
являющиеся людьми, есть живые существа, любящие себя и никого
другого».
4. 5 больше 4, но меньше 6.
1. Субъект — «равные 5».
2. Предикат — «больше 4, но меньше 6».
3. Универсум — «натуральные числа».
4. Связка — «есть».

94 Часть I. Традиционная логика
5. Знак количества — «все».
6. Нормальная форма: «Все натуральные числа, равные 5, есть
числа, которые больше 4, но меньше 6».
5. Люблю грозу в начале мая.
1. Субъект — «называющий себя "я"».
2. Предикат — «любящие грозу в начале мая».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Нормальная форма: «Все люди, называющие себя "я", есть
люди, любящие грозу в начале мая».
6. Лишь несколько дней стояла этой осенью теплая и солнечная
погода.
1. Субъект — «дни этой осени».
2. Предикат — «теплые и солнечные дни».
3. Универсум — «дни».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «некоторые».
6. Нормальная форма: «Только некоторые дни этой осени есть дни,
которые были теплыми и солнечными».
7. Никогда не говори «никогда».
1. Субъект — «житейская ситуация».
2. Предикат — «ситуация, в которой следует говорить "никогда"».
3. Универсум — «ситуация».
4. Связка — «не есть». ,
5. Знак количества — «ни один».
6. Нормальная форма: «Ни одна житейская ситуация не есть
ситуация, в которой следует говорить "никогда"».
8. «Лишь самые умные и самые глупые не могут измениться»
(Конфуций).
1. Субъект — «самые умные и самые глупые».
2. Предикат — «которые не могут измениться».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Нормальная форма: «Только самые умные и самые глупые есть
люди, которые не могут измениться».

Глава 2. Суждение 95
9. Все люди, кроме праведников, относятся к категории временно
живущих.
1. Субъект — «праведник».
2. Предикат — «относящиеся к категории временно живущих».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Нормальная форма: «Все люди, не являющиеся праведниками,
есть люди, относящиеся к категории временно живущих».
Рассмотренные примеры показывают, что к нормальной форме
приводимы не только простые, но и сложные суждения, имеющие несколько
субъектов или предикатов (примеры 2, 4, 6). Осуществлять подобное
необходимо не только для прояснения логической структуры
суждений, но также для их правильных логических преобразований и, в
конечном счете, для построения правильных умозаключений.
Логические преобразования суждений
Логические преобразования суждения позволяют понять его как
целостную мысль, порождаемую определенным множеством обратимых
трансформаций его субъекта и предиката. Основу логических
преобразований суждений составляет умение находить дополнение (отрицание)
субъекта и предиката, прямое и обратное отношение между ними.
Различают три преобразования простых суждений, позволяющие
понять исчерпывающим образом их логическое содержание:
превращение, обращение и противопоставление.
Превращение
Всякое отношение субъекта суждения к предикату уравновешивается
определенным отношением субъекта к дополнению этого же предиката.
Если я знаю, что интересующая меня книга лежит на моем
письменном столе, то я должен согласиться с тем, что этой книги нет во всех
местах, которые не мой письменный стол. Наоборот, если я знаю, что
нужная книга находится в комнате, но ее нет во всех местах, которые
не являются моим письменным столом, то я должен согласиться, что
она находится на моем письменном столе. Иными словами, если
некоторый предикат совместим с субъектом, то должно быть истинно, что
дополнение этого предиката не совместимо с данным субъектом
полностью или частично.

96 Часть I. Традиционная логика
Превращение — логическое преобразование, позволяющее:
1) по данному отношению субъекта к предикату находить
отношение субъекта к дополнению предиката]
2) по данному отношению предиката к субъекту находить
отношение предиката к дополнению субъекта.
Превращение представляет преобразование, позволяющее по
известному отношению субъекта к предикату определять отношение субъекта
к дополнению этого предиката (и наоборот). Это требуется, чтобы одну
и ту же мысль можно было выразить как в утвердительной, так и в
отрицательной форме.
Чтобы совершить превращение, необходимо и достаточно заменить
связку и предикат данного суждения на противоречащие им, оставив
его количественную характеристику без изменения.
Все общеутвердительные (частноутвердительные) суждения
превращаются в общеотрицательные (частноотрицательные), и наоборот.
Приведем основные формулы и примеры (горизонтальная черта
отделяет суждения, находящиеся в отношении превращения).
Все S есть Р Все конфеты сладкие
Ни одно S не есть -iP Ни одна конфета
не есть несладкая
Только S есть Р Только четные числа делятся на 2
Только S не есть -iP Только четные числа не есть
числа, не делящиеся на 2
Некоторые S есть Р Некоторые птицы летают
Некоторые S не есть ~лР Некоторые птицы
не являются пелетающими
' Только некоторые S есть Р Только некоторые счастливы
Только некоторые S не есть -.Р Только некоторые не являются
несчастливыми
Из приведенных примеров следует, что превращение — это
симметричное преобразование. Причина подобной симметрии кроется в том, что
замена связки на противоречащую ей равносильна замене предиката на
несовместимый (противоречащий, противоположный или
соподчиненный) с ним. Следовательно, если осуществить обе замены, то мы снова
получим исходное суждение по принципу «отрицание отрицания дает
утверждение». Превращение позволяет любое утвердительное суждение
выразить в отрицательной форме, и наоборот. Знание данного
преобразования усиливает выразительные возможности нашего языка и стирает,
как отмечалось, жесткое различие между утверждением и отрицанием.

Глава 2. Суждение __ ?Z
Обращение
Каждое отношение имеет не всегда совпадающее с ним и не всегда
следующее из него с необходимостью обратное отношение. Если 3
больше 2, значит 2 меньше 3. Но из того факта, что я люблю кого-то, не
обязательно следует, что этот кто-то также любит меня. В первом
примере прямое и обратное отношения не совпадают, но обусловливают
значение истинности друг друга. Если одно из них истинно (ложно),
то и другое обязательно истинно (ложно). Во втором примере прямое
отношение никак не определяет значение истинности обратного
отношения (последнее может быть как истинным, так и ложным). Анализ
логического содержания суждения не может считаться поэтому
полным, если неизвестно прямое отношение субъекта к предикату и
обратное отношение предиката с субъекту. В определенном смысле
только синтез прямых и обратных отношений обеспечивает устойчивость
существования всего, в том числе и человека.
Обращение — логическое преобразование, позволяющее:
1) по данному отношению субъекта к предикату находить обратное
отношение предиката к субъекту,
2) по данному отношению предиката к субъекту находить обратное
отношение субъекта к предикату.
Обращение представляет преобразование, позволяющее по
известному отношению субъекта к предикату находить ему обратное.
Чтобы совершить обращение, необходимо и достаточно поменять
субъект и предикат местами и там, где это необходимо, изменить знак
количества суждения.
Обращение общеутвердительных суждений имеет два варианта. Если
объемы субъекта и предиката совпадают полностью, то обратное
отношение предиката к субъекту совпадает с исходным отношением
субъекта к предикату. Если же объем предиката больше объема субъекта, то
обратное отношение предиката к субъекту формулируется в виде част-
ноутвердительного суждения.
Только S есть Р Только лягушки квакают
Только Р есть S Только квакающие — лягушки
Все S есть Р Все ножи острые
Некоторые Р есть S Некоторые острые вещи — ножи
Некоторые S есть Р Некоторые дети — вундеркинды
Некоторые Р есть S Некоторые вундеркинды — дети
Ни один S не есть Р Ни один рак — не рыба
Некоторые Р не есть S Ни одна рыба - не рак
4-1742

98 Часть I. Традиционная логика
Обращение частноутвердительных суждений осуществляется тремя
способами в соответствии с интерпретацией слова «некоторые»:
• некоторые или все;
• некоторые, но не все;
• только некоторые.
В первом случае обратное отношение совпадает с исходным, во
втором и третьем — нет. Приведем примеры.
Некоторые (или все) , Некоторые молодые люди
S есть Р любят веселиться
Некоторые или все Некоторые из любящих
Р есть S веселиться — молодые люди
Некоторые (но не все) Некоторые молодые люди
S есть Р любят органную музыку
Некоторые (или все) Некоторые любители органной
Р есть S музыки — молодые люди
Только некоторые S есть Р Только некоторым из нас везет
Все Р есть S Все, кому везет, — люди
Частноотрицательные суждения не принято подвергать процедуре
обращения, поскольку обычная перестановка местами субъекта и
предиката искажает смысл исходного суждения. Например^ ложно такое
обращение.
Некоторые разумные существа — не мошенники
Некоторые мошенники — не разумные существа
Преодолеть данное затруднение можно, если частноотрицательное
суждение сначала превратить в частноутвердительное, перенеся
отрицание со связки на предикат, и только затем совершить обращение и
новое превращение для приведения к соответствию результата
обращения исходному суждению.
1. Некоторые разумные существа — не мошенники (допущение).
2. Некоторые разумные существа есть не мошенники A,
превращение).
3. Некоторые не мошенники есть разумные существа B,
обращение).
4. Некоторые не мошенники не есть неразумные существа C,
превращение = обращение яервого суждения).
Первое и четвертое суждения связаны обращением, а также, как
будет показано ниже, противопоставлением.

Глава 2. Суждение ш 99
Рассмотренные примеры убеждают, что полное понимание смысла
простого суждения требует его обязательного обращения. Причина
этого в асимметричной природе большинства простых суждений,
требующих как прямого, так и обратного «прочтения» их содержания.
, Отношение субъекта к предикату уравновешивается, таким образом,
не только определенным отношением субъекта к дополнению
предиката, но также обратным отношением предиката к субъекту. Существует
логическое преобразование, объединяющее превращение и обращение
в одну трансформацию и синтезирующее тем самым все указанные
отношения субъекта и предиката. Оно называется
противопоставлением, или контрапозицией.
Противопоставление (контрапозиция)
Каждое отношение субъекта к предикату порождает определенное
отношение дополнения предиката к субъекту. Данное преобразование —
основная логическая схема рассуждения ученых, медиков и сыщиков:
если истинно предположение Я, то должны быть истинны следствия
(симптомы, улики, факты) Е; но, как оказалось или было доказано,
следствия ? ложны; значит, сделанное предположение # также ложно.
Но и обычные люди рассуждают аналогичным образом: например, если
вчера был вторник, значит сегодня должна быть среда; но сегодня не
среда. Следовательно, вчера был не вторник.
Противопоставление (контрапозиция) —логическое
преобразование, позволяющее:
1) по данному отношению субъекта к предикату находить
отношение дополнения предиката к дополнению субъекта]
2) по данному отношению предиката к субъекУу находить
отношение дополнения субъекта к дополнению, предиката.
Чтобы противопоставить суждение, необходимо сначала совершить
его превращение и только затем обращение результата превращения.
К этому следует добавить еще одно превращение, дабы получить
суждение, противостоящее исходному, но совпадающее с ним своим качеством.
Полная формула противопоставления, следовательно, такова:
Противопоставление = превращение исходного суждения +
+ обращение результата превращения +
+ превращение результата обращения.
Порядок, в котором должны совершаться преобразования,
отмеченные справа от знака равенства, существенен. Все другие комбинации
не приводят к противопоставлению. Сравним в этой связи следующие
две последовательности преобразований.

100 Часть I. Традиционная логика
1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2. Ни один храбрый человек не есть человек, не пользующийся
уважением (превращение 1).
3. Ни один человек, не пользующийся уважением, не есть
храбрый (обращение 2).
4. Все не пользующиеся уважением — нехрабрые люди
(превращение 3 = противопоставление 1).
В приведенной последовательности первый и четвертый члены
(суждения) оказываются противопоставлеными. Но этого нельзя сказать
о другой последовательности преобразований.
1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди
(обращение 1).
3. Некоторые из пользующихся уважением не являются
нехрабрыми людьми (превращение 2).
4. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди
(превращение 3, не совпадающее с противопоставлением
первого суждения).
Причиной отсутствия противопоставления во второй
последовательности служит некоммутативность превращения и обращения, т. е.
их «чувствительность» к порядку выполнения.
Противопоставление общеутвердительных суждений совершается
по следующим формулам.
Только S есть Р Только лягушки квакают
Только -iP есть -.5
Все 5 есть Р
Только те, кто не квакает, —
не лягушки
Все кошки грациозны
Все -iP есть -iS Все, кто не грациозен, — не кошка
Противопоставление общеутвердительных суждений выявляет
следующую закономерность. Если истинно, что субъект обладает некоторым
признаком, обозначаемым предикатом, тогда должно быть истинно, что
противоречащий ему признак присущ только дополнению субъекта.
Частноутвердительные суждения противопоставлению не
подвергаются. Но использование общей формулы противопоставления,
которая приводилась выше, позволяет применять данное преобразование
и к частноутвердительным суждениям. Результат противопоставления
в этом случае совпадает с результатом обращения. Например, из
суждения «Некоторые 5 есть Р» можно получить только суждение
«Некоторые Ресть 5». Для выделительных частноутвердительных суждений
сказанное также истинно.

Глава 2. Суждение 101
Следовательно, для частных суждений любого вида обращение и
противопоставление представляют тождественные преобразования.
Противопоставление общеотрицательных суждений совершается по
схеме.
1. Ни одно S не есть Р (допущение).
2. Все S есть ->Р {превращение 1).
3. Некоторые -iP есть S (обращение 2).
4. Некоторые -.Р не есть -.5 (превращение 3 =
противопоставление с ограничением первого суждения).
Противопоставление, совершаемое по данной схеме, называется
противопоставлением с ограничением, так как в этом преобразовании
посылка (допущение) общая, а заключение частное.
Ни одно S не есть Р Ни один стул не есть стол
Некоторые -iP не есть -iS Некоторые не столы
не есть не стулья
Противопоставление частноотрицательных суждений не имеет
исключений.
Некоторые S не есть Р Некоторые мудрые счастливы
Некоторые -iP не есть -i5 Некоторые несчастливые
не есть немудрые люди
В качестве заключения попробуем конкретизировать высказанный
ранее тезис о необходимости рассмотренных преобразований для
понимания суждения как целостной мысли. Асимметричная природа
простых суждений — та причина, которая вынуждает нас искать для
данного отношения субъекта к предикату целый ряд
уравновешивающих его и тем самым создающих целостную картину отношений. Как
нельзя понимать полностью сложение без вычитания или наоборот,
так нельзя понимать суждение без превращения, обращения и
противопоставления его терминов. Смысл данных преобразований и состоит
в том, чтобы посредством перегруппировки частей суждения составить
мнение о его содержании в целом. Следует, однако, указать на
формальную недостаточность данных преобразований в достижении
указанной цели. Как уже отмечалось, превращение и обращение —
некоммутативные преобразования. Противопоставление суждений также
неоднозначно, так как определяется превращением и обращением. Эти
и другие ограничения свидетельствуют, что изученные преобразования
еще не составляют группу симметричных преобразований содержания
суждения и поэтому допускают его частичную утрату или искажение.
Необходима, по-видимому, более полная теория простых суждений.

102 Часть I. Традиционная логика
Совместимые и несовместимые суждения.
Логический квадрат
Допустим, сравниваемые суждения имеют общий универсум и состоят
из одинаковых терминов 5 и Р. Какие из них можно считать
совместимыми, а какие несовместимыми?
Суждения совместимы полностью, если они могут быть вместе как
истинны, так и ложны; совместимы частично, если они могут быть
вместе только истинны.
Суждения несовместимы полностью, если они не могут быть вместе
истинны или ложны; несовместимы частично, если они не могут быть
вместе истинны.
Требованию полной совместимости удовлетворяют несколько
видов отношений между простыми суждениями.
Любые два суждения совместимы полностью, если они:
• эквивалентны; или
• находятся в отношении одностороннего подчинения; или
• независимы друг от друга.
Объемы и содержания эквивалентных суждений полностью
совпадают. Поэтому все эти суждения вместе либо истинны, либо ложны,
либо неопределенны. При равенстве терминов для эквивалентности
необходимо совпадение связок и знаков количества. Если у
сравниваемых суждений субъекты и предикаты стоят на разных местах и
отличаются знаками отрицания, необходимо попытаться поставить
одинаковые термины на одно-и то же место. Допустим, даны два суждения: «Ни
одно 5 не есть Р» и «Все Р есть -i5». Эквивалентны ли они? Из
превращения первого суждения следует «Все 5 есть -»Р», а
противопоставления результата превращения — суждение «Все Р есть -i5», которое
эквивалентно второму суждению. Аналогично, из противопоставления
второго суждения следует «Все 5есть -iP», превращение которого
эквивалентно первому суждению «Ни одно 5 не есть Р».
Эквивалентные суждения взаимно подчиняют друг друга. Но бывают
и такие суждения, между которыми существуют отношения
одностороннего подчинения. Тогда объем подчиняющего суждения полностью
включен в объем подчиненного, и наоборот: содержание подчиняющего
полностью включает содержание подчиненного. По этой причине
истинность всегда переносится от подчиняющего к подчиненному, но не
в обратном порядке, а ложность — от подчиненного к подчиняющему,
и не иначе. Все общие суждения подчиняют частные. Например,
суждение «Все 5есть Р» подчиняет суждение «Некоторые 5есть Р», сужде-

Глава 2. Суждение 103
ние «Ни одно 5 не есть Р» — суждение «Некоторые 5 не есть Р». Из
истинности общего суждения всегда следует истинность подчиненного ему
частного, но не наоборот. Из ложности частного суждения всегда
следует ложность подчиняющего его общего суждения, и только так. Если
, истинно, что все в студенческой группе знают английский язык, верно,
что его знают и некоторые. Но из того, что некто из группы знает
также французский язык, не следует с необходимостью, что его знают все
члены группы. Аналогичным образом, если ложно, что все в группе
знают французский язык, непреложно не следует, что его не знает никто
из членов группы. Однако достаточно не знать французского языка
хотя бы одному члену группы, чтобы было ложно, что его знают все.
Объемы и содержания независимых понятий частично
пересекаются. По этой причине эти суждения могут быть истинны и ложны в
любой комбинации. Из истинности или ложности какого-либо одного из
независимых суждений не следует обязательно ни истинность, ни
ложность всех остальных. Частичное пересечение содержаний независимых
суждений показывает, что они могут быть вместе ложны, а частичное
пересечение их объемов — что они могут быть вместе истинны.
Независимыми оказываются все суждения одинакового качества и количества
с противоречащими или только субъектами, или субъектами и
предикатами одновременно. Например, следующие пары суждений
независимы: «Некоторые S есть Р» и «Некоторые -i5 есть Р»; «Некоторые 5
есть Р» и «Некоторые -.5 есть -iP»; «Все S есть Р» и «Все -.5 есть Р»;
«Все S есть Р» и «Все -i5 есть -iP».
Требованию частичной совместимости удовлетворяет одно
отношение между простыми суждениями.
Любые два суждения совместимы частично, если они могут быть
вместе истинны, но не могут быть вместе ложны (т. е. они совместимы
только по истине).
Объемы частично совместимых суждений частично пересекаются,
а содержания — нет. Данный вид совместимости характерен для
частных суждений, отличающихся друг от друга лишь качеством:
«Некоторые S есть Р>> и «Некоторые 5 не есть Р». Например, вместе истинны
суждения «Некоторые напитки утоляют жажду» и «Некоторые
напитки не утоляют жажду». Но они не могут быть вместе ложными, потому
что для этого должны быть истинны противоречащие им общие
суждения «Ни один напиток не утоляет жажду» и «Все напитки утоляют
жажду», что невозможно. Следовательно, указанная пара суждений
совместима только частично.
Требованию полной несовместимости удовлетворяет только один
вид отношений между простыми суждениями. '

104 Часть I. Традиционная логика
Любые два суждения несовместимы полностью, если они находятся
в отношении противоречия друг с другом.
Объемы и содержания противоречащих суждений не пересекаются,
а вместе они исчерпывают универсум. По этой причине объем и
содержание каждого из таких суждений образуют содержание и объем
противоречащего ему суждения соответственно. Противоречащие
суждения должны состоять из одинаковых терминов, иметь
противоположные связки и знаки количества. Например, отношение
противоречия связывает следующие пары суждений «Все 5есть Р» и «Некоторые
S не есть Р». «Ни одно 5 не есть Р» и «Некоторые 5 есть Р».
Примеры противоречащих друг другу суждений:
«Все рыболовы любят преувеличивать свои достижения» и
«Некоторые рыболовы не любят преувеличивать свои достижения»
«Ни одно путешествие не обходится без приключений» и
«Некоторые путешествия обходятся без приключений»
«Все задачи, кроме логических, мне скучны» и «Некоторые задачи,
кроме логических, мне не скучны»
«Ни один ребенок, кроме моих собственных, не пристает ко мне
с вопросами» и «Некоторые дети, кроме моих собственных, пристают
ко мне с вопросами».
Требованию полной несовместимости удовлетворяет также только
один вид отношений между простыми суждениями.
Любые два суждения несовместимы частично, если они находятся
в отношении противоположности.
Объемы противоположных суждений не пересекаются, а
содержания пересекаются, что и объясняет их свойства. Противоположные
суждения не могут быть вместе истинны, но могут быть вместе ложны.
Противоположными суждениями бывают только общие суждения с
одинаковыми терминами и противоречащими связками. Например, такова
следующая пара суждений «Все S есть Р» и «Ни одно 5 не есть Р».
Примеры противоположных суждений:
«Всякое страдание есть зло» и «Ни одно страдание не есть зло»
«Все люди, за исключением мудрецов, стремятся к славе»
и «Все люди, за исключением мудрецов, не стремятся к славе».
Если оба противоположных суждения ложны, тогда истинны
вместе противоречащие им частные суждения. Например, очевидно
ложной будет первая пара противоположных суждений. Соответственно
одновременно истинны следующие частные суждения,
противоречащие общим:

Глава 2. Суждение 105
«Некоторое страдание есть зло»
и «Некоторое страдание не есть зло».
Допустим, сравниваемые суждения состоят из одинаковых терминов
и имеют общий универсум. Существует простая методическая схема,
позволяющая определять совместимые (кроме независимых) и
несовместимые суждения, названная логическим квадратом (рис. 2.6).
противоположность
Все S есть Р к 71 Ни °ДН0 S не есть Р
подчинение противоречие подчинение
Некоторые S есть Р *- •—* Некоторые S не есть Р
частичная
совместимость
Рис. 2.6. Логический квадрат
Каждый угол логического квадрата соответствует определенному
виду простого суждения. Поскольку существуют только четыре вида
простого суждения, то для символизации отношений между ними был
выбран квадрат. Если бы этих видов было больше или меньше, то
потребовалась бы иная фигура.
Левая и правая диагонали логического квадрата соединяют
противоречащие, т. е. полностью несовместимые, суждения.
Верхняя горизонтальная линия соединяет противоположные, т. е.
частично несовместимые, суждения.
Левая и правая вертикальные линии соединяют суждения,
находящиеся в отношении одностороннего подчинения (верхнее суждение
подчиняет нижнее). Такие отношения полностью совместимы.
Нижняя горизонтальная линия соединяет частично совместимые
суждения.
Независимые суждения, как следует из их определения, с помощью
логического квадрата не сравниваются.
Логический квадрат вместе с превращением, обращением и
противопоставлением позволяет решать и более общую задачу — вычислять
значения истинности произвольного множества суждений, если
известна истинность или ложность какого-либо из сравниваемых.
Для этого с помощью указанных преобразований все сравниваемые
суждения сначала приводятся к виду, эквивалентному исходным
суждениям, но удобному для использования логического квадрата
(субъекты и предикаты суждений стоят на одинаковых местах). Затем методом

106
Часть I. Традиционная логика
попарного сравнения определяется, какие суждения эквивалентны,
частично совместимы, противоречат, противоположны или
соподчинены и независимы друг от друга. Наконец, на основании
установленных отношений между суждениями вычисляются значения
истинности самих суждений (по правилам логического квадрата). В том случае,
когда суждение нельзя квалифицировать ни как истинное, ни как
ложное, оно считается неопределенным.
Пример 1
Необходимо вычислить значение истинности второго, третьего,
четвертого и пятого суждения, если по условию задано, что первое
суждение из следующего списка истинно (ложно).
1. «Честность — лучшая политика» (Л. Кэрролл).
2. Не всякая честность — лучшая политика.
3. Не существует лучшей и честной политики.
4. Никакая нечестная политику не является нелучшей.
5. Единственная худшая политика — нечестная.
Сначала приводим первое суждение к нормальной форме:
все S есть Р, где S = «честная», Р = «лучшая» и U = «политика».
Формализуем остальные суждения из списка, используя
обозначения терминов первого суждения. Строим таблицу значений истинности
всех суждений в зависимости от значений истинности первого суждения
(табл. 2.1).
Таблица 2.1
1
2
3
4
5
Все S есть Р
Некоторые S есть -J3
Ни одно Р не есть S
Ни одно —S не есть -ьР
Только -тР есть -?
Т
F
F
F
?
F
Т
?
7
F
Объяснение: Суждения 1 и 2 противоречат друг другу и совместно
исчерпывают универсум U = «политика». Следовательно, если одно
из них истинно (ложно), другое ложно (истинно). Суждения 1 и 3 (что
становится очевидным после обращения последнего) противоположны
друг другу. Значит, если одно из них истинно, другое ложно, но
обратное неверно. Кроме того, они оба могут быть одновременно ложны.

Глава 2. Суждение
107
Следовательно, если одно из них ложно, значение истинности другого
неопределенно. Суждения 1 и 4 независимые, т. е. ни одно из них не
определяет значение истинности другого. Но суждение 4 подчиняет
суждение 2 (что становится очевидным после обращения обоих и
последующего превращения суждения 4), значение истинности которого
известно. Из ложности суждения 2 однозначно следует ложность
суждения 4, а из истинности суждения 2 следует только неопределенность
суждения 4. Суждение 1 подчиняется суждению 5 (что становится
очевидным после противопоставления суждения 5). Значит, если
суждение 1 истинно, суждение 5 неопределенно; а если оно ложно, то ложно
и суждение 5.
Пример 2
Решить указанную в примере 1 задачу для следующего списка суждений.
1. <<Век невежества — век любви к церемониям» {Конфуций).
2. Не всякое время любви к церемониям есть время знания.
3. Не существует времени презрения к церемониям, которое
одновременно было бы временем невежества.
4. Никакое время знания не есть время презрения к церемониям.
5. Существует время знания, которое не является временем
презрения к церемониям.
Приводим первое суждение к нормальной форме:
все S есть Р, где S = «время невежества»,
Р- «время любви к церемониям» и U= «время».
Вычисляем значения истинности всех суждений в зависимости от
значений истинности первого суждения (табл. 2.2).
Таблица 2.2
1
2
3
4
5
Все S есть Р
Некоторые Р есть S
Ни одно -тР не есть S
Ни одно —uS не есть -тР
Некоторые —S не есть -лР
Т
т
т
F
7
F
7
F
7
7
Объяснение: Суждение 1 подчиняет суждение 2. Значит, если оно
истинно, суждение 2 также истинно. Но если суждение 1 ложно, то
суждение 2 неопределенно. Суждения 1 и 3 эквивалентны друг другу.

108
Часть I. Традиционная логика
Следовательно, у них должны быть одинаковые значения истинности.
Суждения 1 и 4 независимые и не определяют значения истинности
друг друга. Но суждение 4 (что выявляется после его обращения и
превращения) противоположно суждению 3 и тем самым суждению 1.
Следовательно, из истинности суждений 1 и 3 должна следовать
ложность суждения 4. Из ложности суждений 1 и 3 следует только
неопределенность суждения 4. Суждения 1 и 3, с одной стороны, и суждение
5, с другой, независимые. Но суждение 5 подчиняется суждению 4.
Значит, если суждение 4 ложно или неопределенно, суждение 5 может
быть только неопределенным.
Пример 3
Решить указанную в примере 1 задачу для следующего списка суждений.
1. «Не быть богатым не всегда дурно» (М. Зощенко).
2. Быть богатым всегда дурно.
3. Всегда дурно, когда ты богат.
4. Когда ты не богат, всегда дурно.
5. Иногда недурно быть богатым.
Приводим первое суждение к нормальной форме:
некоторые -iS есть Р, где S = «ты богат», Р = «дурные (плохие)»
и U =* «периоды твоей жизни».
Вычисляем значения истинности всех суждений в зависимости от
значений истинности первого суждения (табл. 2.3).
Таблица 2.3
1
2
3
4
5
Некоторые -iS есть Р
Все S есть Р
Все S есть Р
Все -bS есть Р
Некоторые S есть -iP
Т
?
?
?
?
F
?
7
F
7
Объяснение: Суждение 1, с одной стороны, и суждения 2 и 3, с другой,
независимые. Значит, они не определяют значения истинности друг
друга. Суждение 4 подчиняет суждение 1. Значит, если суждение 1
истинно, то суждение 4 неопределенно, а если суждение 1 ложно, то
ложно и суждение 4. Суждения 1 и 5 независимые и не определяют
значений истинности друг друга.

Глава 2. Суждение 109
Простые суждения и пустые классы
Выражая некоторое отношение между субъектом и предикатом, простое
суждение негласно связано с допущением, что объемы субъекта и
предиката не представляют собой пустые классы. Напомним, что объем
какого-либо термина эквивалентен пустому классу, если и только если этот
термин самопротиворечив или противоречит каким-то истинным
положениям. Как изменятся свойства простых суждений, связанные с их
истинностью, если не требовать, чтобы объемы их терминов не были пусты?
Пусть субъектом выступает класс «эти стулья», предикатом — класс
«виды мебели, пригодные для сидения». Сформулируем суждение «На
всех этих стульях можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти
стулья» пуст. Тогда данное суждение истинно, хотя в действительности
нет ни одного из «этих стульев», просто потому, что ложно
противоречащее ему суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». В
общем случае для истинности общеутвердительного суждения
достаточно выполнения любой одной из следующих возможностей:
• субъект и предикат истинные;
• только предикат истинный;
• субъект и предикат оба ложные.
Следовательно, данное суждение истинно не только тогда, когда нет
одного из «этих стульев», но и тогда, когда вообще нет ни одного вида
мебели, годного для сидения.
Рассмотрим суждение «Ни на одном из этих стульев нельзя сидеть».
Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение
истинно, так как ложно противоречащее ему суждение «На некоторых
из этих стульев можно сидеть». В общем случае для истинности
общеотрицательного суждения достаточно выполнения одной из
следующих возможностей:
• только субъект истинный;
• только предикат истинный;
• субъект и предикат оба ложные.
Следовательно, рассматриваемое суждение истинно не только
тогда, когда нет ни одного из «этих стульев», но и тогда, когда имеются
какие-то виды мебели, пригодные для сидения.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев можно
сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное
суждение ложно, потому что для его истинности необходимо, чтобы субъект

110
Часть I. Традиционная логика
и предикат были оба истинны хотя бы для одного из элементов класса
«эти стулья». Но так как этот класс пуст, то рассматриваемое
суждение ложно. Данное суждение также ложно, когда только предикат
ложный или когда субъект и предикат оба ложные.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев нельзя
сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное
суждение ложно, так как для его истинности требуется одновременная
истинность субъекта и дополнения предиката хотя бы для одного из
элементов класса «эти стулья». При всех остальных комбинациях это
суждение также ложно.
Сопоставляя полученные результаты, получаем следующие
выводы. Общеутвердительные и общеотрицательные суждения при
допущении пустых классов более не будут противоположными, так как
могут быть вместе истинны.
Частноутвердительные и частноотрицательные суждения при
допущении пустых классов не будут более частично совместимыми, так как
могут быть вместе ложными.
Общеутвердительные суждения при допущении пустых классов
более не подчиняют частноутвердительные, а общеотрицательные
суждения более не подчиняют частноотрицательные, поскольку общие
суждения могут быть истинны, а частные — ложными в одно и то же
время. Становится незаконным обращение с ограничением
общеутвердительных суждений и контрапозиция с ограничением
общеотрицательных суждений.
Отношение противоречия между соответствующими параметрами
общих и частных суждений сохраняет свою силу. Законными
остаются и все логические преобразования, не ведущие к ограничению своих
результатов. Логический квадрат редуцируется к следующей системе
отношений, на которой отсутствие линии между какими-либо
точками означает отсутствие логических отношений между ними (рис. 2.7).
Все S есть Р
Некоторые S есть Р
Ни одно S не есть Р
Некоторые S не есть Р
Рис. 2.7. Логический квадрат для суждений с пустыми терминами

Глава 2. Суждение __ 111
Коммуникативная природа суждений
Суждения выражают отношения не только между мыслимыми
вещами, но и между индивидами, адресующими эти суждения друг другу.
В последнем случае проявляется коммуникативная природа
суждений — их назначение для сообщения и получения новой информации.
Характерная черта всякой коммуникации — изначальное
познавательное неравенство тех, кто сообщает информацию, и тех, кто ее получает.
Именно оно дает стимул для объединения источника информации и ее
потребителя в одно коммуникативное целое. Книга прочитывается до
конца только в том случае, если она несет новое как уму, так и сердцу.
В противном случае никакого диалога писателя с читателем быть не
может. В процессе коммуникации, т. е. передачи информации,
происходит выравнивание информационного потенциала участвующих сторон.
И как только это происходит, коммуникация лишается своего
основного стимула, теряя информационный смысл. Отмеченные
особенности коммуникации находят отражение и в структуре суждений — в
особом коммуникативном статусе субъекта и предиката суждения, в их
информационном различии.
Коммуникативное назначение субъекта суждения состоит в том,
чтобы обозначать новое знание, истинность которого еще требует
своего доказательства. Коммуникативное назначение предиката суждения,
наоборот, состоит в том, чтобы обозначать старое, известное знание,
истинность которого уже доказана. Коммуникативный смысл
суждения в целом выражается в связи со старым, в синтезе того, что
известно, исследовано, с тем, что еще не известно, не исследовано. Стало быть,
высказывать суждение означает определять, доказывать, объяснять,
истолковывать нечто новое, проблематичное на основании известного,
непроблематичного, разделяемого всеми участниками
коммуникативного процесса.
Чтобы суждение выполнило свою коммуникативную задачу, оно
должно удовлетворять следующим требованиям.
Во-первых, субъект суждения должен обозначать либо ранее
неизвестное знание, либо известное, но по каким-то причинам требующее
нового истолкования, объяснения, доказательства. Он должен
представлять познавательную или эмоциональную проблему, трудность,
загадку, а предикат суждения соответственно — решение проблемы,
трудности, отгадку. Иначе нет причины для коммуникации и для
появления ее главного результата, который состоит в получении новой
информации. В утверждении «Любовь есть сон» (Ф. И. Тютчев) субъект

112 Часть I. Традиционная логика
«любовь» обозначает именно загадку, тогда как предикат «сон» — ее
(очередную) отгадку. Ученый, десятки раз ставивший какой-либо опыт
и получавший одинаковые результаты, не может не заинтересоваться
исходом, ранее не имевшим места. Именно открытие становится
предметом дальнейшего анализа ученого, направляет его интерес к природе.
Во-вторых, чтобы объяснение, понимание, истолкование и тому
подобные формы коммуникации состоялись, необходимо, чтобы
предикат суждения был более известен, чем его субъект. Мать, объясняющая
маленькому сыну, что «Тигр — это большая полосатая кошка»,
предполагает, что последнему известно, что такое кошка, что такое полосы,
что такое большое животное (большой предмет). В противном случае
коммуникация невозможна, как, например, в рассказе А.П. Чехова
«Экзамен на чин», когда на вопрос экзаменатора: «Какое правление
в Турции?» был дан ответ: «Известно какое... турецкое».
В-третьих, предикат суждения должен быть менее проблематичным,
чем субъект, т. е. иметь больше оснований считаться истинным
знанием. В противном случае предикат не может выполнить функцию
аргумента, обосновывающего истинность субъекта суждения. Так, по
мнению героя рассказа А. П. Чехова «Письмо к ученому соседу», жизнь
людей на Луне невозможна, в частности, потому, что последняя
«существует только ночью, а днем исчезает». Этот аргумент соответствует
показаниям наших органов чувств, но он ложный с позиции разума.
В-четвертых, предикат суждения должен признаваться истинным
всеми участниками коммуникации. Иначе одни и те же факты,
положения могут оцениваться одновременно как истинные и как ложные.
На вопрос Джульетты, как Ромео попал в ее сад, последний отвечает:
Я перенесся на крыльях любви:
Ей не преграда — каменные стены,
Любовь на все дерзает, что возможно,
И не помеха мне твои родные.
Любовь выступает в глазах Ромео и Джульетты тем единственным
аргументом, которым только и можно объяснить их неожиданную
и опасную встречу. Любое наказание достигает своей цели только тогда,
когда его справедливость признается не только теми, кто наказывает,
но и тем, кого наказывают.
Выполнение указанных требований гарантирует эффективность
коммуникации — то, что новое знание, сообщаемое субъектом, будет
включено или не включено в известное, обозначаемое предикатом.

Глава 2. Суждение 113
Упражнения
I. Приведите к нормальной форме следующие суждения.
1. Вверх по лестнице, ведущей вниз.
2. Круглый стол с острыми углами.
3. Один ум хорошо, а два лучше.
4. С глаз долой — из сердца вон.
5. С милым рай и в шалаше.
II. Постройте превращение, обращение и контрапозицию для
каждого суждения из предыдущего упражнения.
III. Найдите противоречащее, противоположное и подчиненное
суждения для каждого из следующих суждений:
1. Все, что можешь отдать, и есть твое богатство.
2: Человек, и только человек, по природе своей самолюбив и
эгоистичен.
3. «Ни один человек не принимается за что бы то ни было, не
опираясь на то или другое мнение, которое служит для него
мотивом его действия» (Дж. Локк).
4. «Человек свободный, живущий среди невежд, старается,
насколько возможно, отклонять от себя их благодеяния» (Б. Спиноза).
5. «Благоразумный человек считает себя ответственным только
за то, что налагается на него обязанностями» (А. Смит).
IV. Что можно сказать о значении истинности предложений в
следующих множествах при допущении, что первое предложение в каждом
множестве истинно и ложно?
1. Человек от природы не склонен мыслить.
2. Некоторые люди от природы не склонны к мышлению.
3. Ни один человек от природы не есть человек, несклонный
к мышлению.
4. Некоторые, несклонные к мышлению, есть люди.
5. Все, склонные к мышлению, есть не люди.
1. Ни одно доброе дело не забывается.
2. Некоторые забываемые дела не являются добрыми.
3. Ни одно забываемое дело не является недобрым.
4. Все добрые дела забываются.
5. Некоторые добрые дела забываются.
V. Сохраняется ли отношение подчинения между общим и частным
суждениями с одними и теми же терминами, если слово «некоторые»
интерпретировать как «некоторые, но не все» для утвердительных
суждений и «некоторые, но не один» для отрицательных суждений?
Аргументируйте свой ответ.

Глава 3
Дедуктивные умозаключения
Мы еще не поняли многих вещей, которые можно постичь
только разумом. Посредством умозаключений можно решить
такие задачи, которые ставили в тупик всех, кто искал
их решение с помощью своих чувств.
А. Конан Дойль «Пять апельсиновых зернышек»
(Из разговора Шерлока Холмса с доктором Ватсоном)
Определение умозаключения
Если понятия — атомы, а суждения — молекулы нашей умственной
деятельности, то можно сказать, что умозаключения — это и есть ее
основная форма. Рассуждать, задавать вопросы, искать ответы,
объяснять, предсказывать, доказывать, опровергать, убеждать, подвергать
сомнению, просить, требовать, разрешать, запрещать — все облекается
в определенные умозаключения. Поэтому мы вправе утверждать, что
умозаключать и мыслить — одно и то же.
Умозаключение — способность мышления получать новое знание
на основании известного знания.
Возможность в процессе умозаключения выявлять новое знание
обусловлена синтезом логики классов, или понятий, и логики
отношений, или суждений. В этом синтезе обе логики сохраняют свои
особенности, но они еще и взаимно дополняют друг друга до более
универсальной логики умозаключений. Синтез, в частности, состоит в том,
что достигается равновесие между отрицанием как дополнением,
характерным для логики классов, и отрицанием как снятием различия,
присущим логике отношений. Оба вида отрицания образуют единую
систему обратимых преобразований, обладающую свойством
самодостаточности1. Наше мышление на уровне умозаключений
приобретает возможность осуществлять без каких-либо принципиальных огра-
1 Пиаже Ж. Избранные психологические труды. — М., 1969. С. 567-612.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 115
ничений все преобразования с классами и отношениями и тем самым
строить максимально общие модели исследуемой реальности.
Мышление, достигнув способности конструировать умозаключения,
становится формальным, или символическим, в полном смысле этого
слова. Непосредственный анализ действительности, свойственный,
например, детям в раннем возрасте, заменяется анализом понятий
и суждений о реальности. Мы не проверяем лично, да и большей
частью не способны осуществить это физически, все, что нам
сообщается. Но мы можем установить истинность или ложность требуемых
суждений в процессе умозаключений. Вряд ли когда-либо удастся измерить
температуру внутри Солнца непосредственно. Однако с определенной
погрешностью это осуществляется благодаря умозаключениям,
причем не надо покидать Землю. Благодаря способности к
умозаключениям человек преодолевает свою привязанность к наблюдению как
самому достоверному источнику знания. Формальный характер
умозаключений открывает возможность узнать ненаблюдаемую, но не
менее реальную сферу бытия — законы природы и общества. Процесс
познания, как свидетельствует история, возможен лишь при
совершенствовании формальной стороны мышления человека.
Благодаря умению делать умозаключения мышление человека (это
и означает развитие его формальной способности) приобретает
гипотетический характер. Каждая вещь мыслится не только как она «есть»,
но № какой она «могла быть» и «может быть» — в единстве со всеми
возможностями своего прошлого, настоящего и будущего бытия.
Возможное, гипотетическое играет в мышлении не меньшую роль, чем
действительное, достоверное. Реальность всегда открывается
мыслящему уму в виде комбинаций каких-то возможностей, которые он
формулирует на языке гипотез, предположений и из которых стремится
выбрать наиболее правдоподобную.
Умение мыслить реальность как принципиально гипотетическую
систему событий связано с комбинаторной природой нашего
мышления, с его способностью строить классификации классификаций и тем
самым учитывать все возможные альтернативы развития. Пусть А
обозначает суждение «Подул сильный ветер», В — суждение «Тучи
заволокли небо». Обычная дихотомическая классификация этих суждений
приводит к следующим выводам:
1) Л и В оба истинны;
2) Л истинно и В ложно;
3) Л ложно и В истинно;
А) Аи В оба ложны.

116 Часть I. Традиционная логика
Если полученные результаты подвергнуть новой классификации по
основанию «существует», то получим 24 = 16 возможностей реализации
событий, обозначаемых суждениями Л и В. В число этих возможностей
попадает как та альтернатива, согласно которой происходят оба
события, так и та, согласно которой нет ни одного из них. Следовательно, мы
получаем не только 16 гипотез о вероятном развитии событий, но и
(самое главное) исчерпывающий перечень логических связей суждений А
и В друг с другом. Это означает, что сформулировать какое-либо
суждение о связи А и В — то же самое, что выбрать из множества всех
альтернатив некоторое подмножество. Иными словами, умозаключать —
значит выбирать, решать определенную комбинаторную задачу.
В каждом умозаключении можно выделить:
• суждения, обозначающие исходное знание и называемые
посылками;
• суждения (суждение), обозначающие новое знание и называемые
заключениями]
• подразумеваемые или явно сформулированные правила
получения нового знания из данного (заключения из посылок).
В повседневных рассуждениях такие правила обычно только
подразумеваются. При логическом анализе они тщательно обсуждаются
и четко формулируются.
Исходное знание может быть знанием либо причин, законов, либо их
следствий. Соответственно и новое знание бывает двояким. Если нам
известны причины, то новым знанием будет знание их следствий. Если
же нам известны следствия, то новым знанием будет знание их причин.
В зависимости от того, ищем ли мы по известным причинам
следствия или, наоборот, по известным следствиям — их возможные
причины, принято различать два вида умозаключений — дедуктивные и
недедуктивные.
Дедуктивное умозаключение — вывод необходимых следствий
из известных причин.
Умозаключать дедуктивно (от лат. deductio — «выведение») не
означает ничего другого, как умение находить (выводить) необходимые
следствия из данных суждений. По этой причине дедукцию иногда
определяют как обоснование необходимых условий истинности
данного знания.
Наоборот, с помощью недедуктивных умозаключений на основании
„известных следствий ищут вероятные причины.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 117
Недедуктивное умозаключение — вывод возможной причины на
основании известных следствий.
Подробный анализ недедуктивных умозаключений дан в гл. 7. Здесь
укажем лишь их особенности.
Среди недедуктивных умозаключений важнейшими считаются
индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии. Типичным
примером индуктивного умозаключения, или индукции (от лат. inductio —
«наведение»), служит поиск для наблюдаемых фактов объясняющих
их причин и законов. Поскольку никакого однозначного пути от
фактов к их причинам или законам нет, то процесс индукции
представляет, в сущности, выдвижение догадок, гипотез, их последующее
испытание и выбор наиболее правдоподобной. Если некоторое событие
объясняется или предсказывается на основании структурного,
функционального или какого-то другого сходства с другим, уже известным
событием, это умозаключение по аналогии, или просто аналогия (от
греч. analogia — «соответствие, сходство, подобие»). Делать
недедуктивные умозаключения означает или искать возможные причины, или
предсказывать что-либо на основании вероятных причин. Как бы то
ни было, отличительный признак недедуктивных умозаключений —
поиск достаточных условий истинности исходного или
предсказываемого знания.
Таким образом, выделяются две обратно направленные стратегии
познания. Одна из них сводится к обоснованию необходимых
условий нашего знания и осуществляется посредством дедуктивных
умозаключений. С помощью дедукции из принятых аксиом мы выводим
теоремы, из установленных законов или причин — их необходимые
следствия. Если посылки и правила выводы истинны, то и
дедуктивные заключения будут обязательно истинными.
Обратная стратегия состоит в открытии достаточных условий
нашего знания. Двигаться в этом направлении означает делать догадки,
выдвигать гипотезы, испытывать их и отбирать наиболее
правдоподобные. Здесь не может быть, как правило, достоверных заключений,
но только вероятные. С помощью индукции и аналогии мы совершаем
открытие новых законов и причин и тем самым качественно
расширяем сферу нашего знания.
Указанные стратегии исчерпывающи: для любого данного события
они дают ответы на такие вопросы, как «Почему оно произошло?» и «Что
следует ожидать от его осуществления?». Эти вопросы, как и ответы
на них, характеризуют самые существенные элементы нашего пони-

118 Часть I. Традиционная логика
мания любой вещи. Ибо понимать — не означает ничего иного, как
знать причины и их следствия.
Отношение логического следования
Сущность всех дедуктивных умозаключений составляет отношение
логического следования, выражаемое в простейшем виде
утверждением «суждение /3 есть необходимое следствие суждения а». Именно это
отношение делает суждения необходимыми следствиями других
суждений (и себя самих также). Благодаря ему дедуктивные
умозаключения в случае истинности своих посылок способны гарантировать
истинные следствия. Если нет логического следования одних суждений
из других, не может быть и дедуктивного умозаключения. Если
умозаключение дедуктивно, задано отношение логического следования,
есть посылки и заключения.
Отношение логического следования упорядочивает все суждения
таким образом, что некоторые из них выполняют функцию посылок,
а остальные — их необходимых заключений.
Заключение называется дедуктивным, если и только если оно —
необходимое следствие всех посылок.
Следствие называется необходимым, если и только если его
дополнение (логическое отрицание) несовместимо с посылками.
Принимая во внимание проблему сохранения истины (см.
«Введение»), возможно определять отношение логического следования
просто как способность умозаключений сохранять истинность. Поскольку
этот признак не единственный, ниже даются несколько равнозначных
определений данного отношения.
Пусть а и /3 обозначают произвольные множества суждений (в
простейшем случае аи /3 обозначают суждения). Справедливо следующее
определение, в котором все три условия взаимозаменяемые:
Р логически следует из аф—дедуктивное заключение посылок а),
если и только если:
1) р — необходимое следствие а;
2) если а истинно, то /Зтакже истинно;
3) объем а полностью включен в объем ft (содержание /3 полностью
включено в содержание а).
Допустим, а= «Сегодня понедельник», /?= «Сегодня понедельник
или вторник». Докажем, используя введенное определение, что между

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 119
суждениями а и /3 существует отношение одностороннего
логического следования: /3 — дедуктивное следствие а, но не наоборот.
Логическим отрицанием /3 будет суждение -./3 = «Неверно, что
сегодня понедельник или вторник», которое эквивалентно суждению
«Сегодня или среда, или четверг... или воскресенье». Но -i/З очевидно
несовместимо с посылкой а. Значит, суждение /3 — необходимое, т. е.
дедуктивное следствие а. В то же время логическое отрицание а,
суждение -i« = «Неверно, что сегодня понедельник», совместимо с Д когда
сегодня означает вторник. Следовательно, а не может быть
дедуктивным следствием Д
Допустим, суждение а истинно. Тогда и суждение /3 также истинно,
потому что его отрицание -»/3 несовместимо с истинностью а. Значит,
/3 — необходимое и тем самым дедуктивное следствие а. Допустим
теперь, что /3 истинно, а «ложно. Ложность суждения а не опровергает
истинность Д Стало быть, а не может быть дедуктивным следствием Д
Объем суждения а равен классу «Сегодня первый день недели».
Содержание а — сумме всех остальных альтернатив: «Сегодня второй
день недели»... «Сегодня седьмой день недели». Объем суждения
/3равен сумме классов «Сегодня первый день недели» и «Сегодня второй
день недели». Содержание /3— сумме остальных возможностей:
«Сегодня третий день недели»... «Сегодня седьмой день недели». Из
сказанного следует, что объем суждения а включен в объем Д а
содержание последнего суждения есть часть содержания а. Значит, /3 —
необходимое и тем самым дедуктивное следствие суждения а. Из
этого также следует, что объем /3 не является частью объема а и
содержание а не есть часть Д Следовательно, суждение а не может быть
дедуктивным следствием суждения Д
Введенное определение отношения логического следования
распространяется как на понятия, так и на суждения и умозаключения. Оно
образует фундамент всей логики (классической и неклассической).
Различаются только способы вывода заключений, удовлетворяющие
этому отношению, но само оно принадлежит к незыблемым
основаниям логики как науки об открытии, обосновании и сохранении истины.
Отношение логического следования при истинности посылок
гарантирует истинность заключения. На этом основании многие
рационалисты считали, что при выборе надлежащих посылок одних только
дедуктивных рассуждений достаточно, чтобы познать всю природу. Но
оправданны ли эти надежды? Дедуктивные умозаключения
действительно гарантируют перенос истинности с посылок на заключение, но
при этом происходит неизбежная потеря логической информации. При

120 Часть I. Традиционная логика
последовательном выведении каждое новое следствие не может
исключать больше, чем ему предшествующее. Поэтому чем длиннее цепь
дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее из них.
Рассмотрим простой пример. Напомним, что логическая
информация суждения пропорциональна числу исключаемых им классов
универсума. Допустим, универсум состоит из восьми классов, образующих
объем суждения «Некоторые 5 есть Р». Тогда логическая информация
суждения «Только 5 есть Р» равна 6/8, суждения «Все 5 есть Р» — 4/8,
суждения «Некоторые 5 есть Р» — 0. И все три суждения связаны
отношением логического следования: «Некоторые S есть Р» следует из
суждения «Все 5 есть Р», а последнее представляет необходимое
следствие суждения «Только 5есть Р». Таким образом, если истинно
«Только S есть Р», то с необходимостью истинны «Все S есть Р» и
«Некоторые 5 есть Р». Будучи все истинными, каждое из них имеет разное
информационное содержание, убывающее по мере увеличения длины
цепи следствий. Это означает, что вывод одних только истинных
следствий нельзя считать исчерпывающим критерием дедуктивного
рассуждения. Необходимо также учитывать информативность выводимых
следствий. Из рассмотренного примера следует также, что
своеобразным пределом дедуктивного рассуждения выступает логически
истинное суждение, каковым в нашем примере служит «Некоторые 5 есть Р».
Информативность таких суждений равна нулю. Следовательно, все
попытки получить знание о мире с помощью одной только дедукции
обречены, по крайней мере, на информационное бесплодие.
Приведенное определение логического следования общее, но оно
еще неконструктивно, так как не указывает, как именно следует
искать дедуктивные следствия из посылок. В.следующем параграфе этот
недостаток устраняется. Предлагается простой алгоритм вывода всех
необходимых следствий из посылок, представляющих простые
суждения.
Простые суждения и деревья
Существует большое число методов вывода необходимых следствий
из посылок. Среди них наиболее известны следующие.
1. Традиционный — сведение дедуктивных умозаключений к
правильным фигурам и модусам. Он восходит к Аристотелю, позже
был усовершенствован средневековыми логиками и до сих пор
доминирует в учебной литературе.
2. Метод кругов Л. Эйлера.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
3. Метод диаграмм Дж. Венна.
4. Метод диаграмм и метод индексов Л. Кэрролла.
5. Метод семантических таблиц.
Традиционный метод требует механического запоминания большого
числа правил, фигур и модусов. Кроме того, он применим к
ограниченному виду суждений (с терминами без знаков отрицания). Методы
кругов Л. Эйлера, диаграмм Дж. Венна и Л. Кэрролла более
эффективны, но требуют при решении задач использования большого числа
рисунков. Метод индексов Л. Кэрролла представляет аналитический
вариант его же метода диаграмм и при большом числе посылок
становится плохо контролируемым. Использование метода семантических
таблиц невозможно без предварительного знания определенных
разделов символической логики, что в значительной степени лишает
традиционную логику самодостаточности.
Учитывая отмеченные ограничения, ниже предлагается простой, но
чрезвычайно эффективный метод поиска дедуктивных следствий. Он
возник при усовершенствовании метода диаграмм Л. Кэрролла и
основан на следующем фундаментальном свойстве логического квадрата:
Истинность любого общего суждения эквивалентна истинности
подчиненного ему частного суждения и ложности противоречащего
ему частного суждения.
Из истинности общеутвердительного суждения «Все 5 есть Р»
следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые 5
есть Р», что доказывает существование по крайней мере одной вещи,
обладающей свойствами 5 и Р, и ложность противоречащего ему
частного суждения «Некоторые 5 не есть Р», что доказывает невозможность
существования ни одной вещи, обладающей свойствами 5 и -«Р.
Из истинности общеотрицательного суждения «Ни один S не есть Р»
следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые
5 не есть Р», что доказывает наличие по крайней мере одной вещи,
обладающей свойствами 5 и -iP, и ложность противоречащего ему
суждения «Некоторые 5есть Р», а это подтверждает невозможность
существования вещей, обладающих свойствами 5 и Р.
Из истинности частного суждения «Некоторые 5 есть Р» следует
существование по меньшей мере одной вещи со свойствами 5 и Р, но
не следует никакой информации относительно существования вещей
со свойствами S и -iP.
Из истинности частного суждения «Некоторые 5 не есть Р» следует
существование по меньшей мере одной вещи со свойствами 5 и -iP, но

122 Часть I. Традиционная логика
не следует никакой информации относительно существования вещей
со свойствами 5 и Р.
Указанное свойство логического квадрата фактически означает
редукцию истинности общих суждений к определенному распределению
значений истинности частных суждений. Основываясь на этом
свойстве, каждое простое суждение можно символизировать в качестве
определенной структуры, которую мы будем называть деревом
означенных частных суждений.
В качестве базиса символизации выберем частные суждения
«Некоторые 5 есть Р» и «Некоторые 5 не есть Р». Они отличаются друг от
друга только типом связки. Если суждение «Некоторые 5 не есть Р»
превратить, то отрицание со связки перейдет на предикат и мы
получим эквивалентное ему суждение «Некоторые S есть -iP».
Суждения «Некоторые 5 есть Р» и «Некоторые S есть -iP» имеют
общий субъект 5 и противоречащие предикаты — Р и -iP. Их
объединение в общую структуру называется деревом (рис. 3.1).
S
Р -,Р
Рис. 3.1. Дерево простого суждения
Термин 5 — общий субъект для обоих суждений, поэтому он
обозначает вершину дерева. Предикаты Р и -чР несовместимы друг с
другом, но оба связаны с термином S. Эта часть информации
символизируется как расхождение ветвей дерева из общей вершины 5.
Однако дерево, изображенное на рис. 3.1, еще ничего не говорит о
логических свойствах самих частных суждений и свойствах
результирующего суждения. Для этого ветви дерева следует обозначить
определенными знаками истинности.
Пусть знак «+» обозначает истинность частного суждения, знак
«о» — его ложность, знак «?» — его неопределенность. Существуют
четыре вида простых суждений. Каждый из них может быть представлен
посредством определенной комбинации знаков «+», «о» и «?».
Результаты символизации простых суждений (вместе с итогами их
превращения) представлены ниже. На рис. 3.2 приведены рисунки
деревьев простых суждений.
Одно из преимуществ изображения простых суждений в форме
дерева — возможность их одновременного чтения как утвердительных,
так и отрицательных.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
123
Все S есть Р
Ни одно S не есть ->Р
S
Ни одно S не есть Р
Все S есть ->Р
S
Существует хотя бы одна вещь
со свойствами S и Р (левая ветвь).
Не существует ни одной вещи
со свойствами S и -Р (правая ветвь).
Некоторые S есть Р
Некоторые S не есть ->Р
Существует хотя бы одна вещь
со свойствами S и -лР (правая ветвь).
Не существует ни одной вещи
со свойствами S и Р (левая ветвь).
Некоторые S не есть Р
Некоторые S есть -.Р
Существует хотя бы одна вещь
со свойствами S и Р (левая ветвь).
Информация о существовании
вещей со свойствами S и -Р
отсутствует (правая ветвь).
Существует хотя бы одна вещь
со свойствами S и ->Р (правая ветвь).
Информация о существовании
вещей со свойствами S и Р
отсутствует (левая ветвь).
Рис. 3.2. Деревья простых суждений
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками
(простые силлогизмы)
Дедуктивные умозаключения вида:
Эта водоплавающая птица не крякает.
Все утки крякают.
Эта водоплавающая птица — не утка,
в котором ровно две посылки, принято называть простыми
силлогизмами (от греч. syllogismos — «сосчитывание», «выведение»). Посылки
отделяются от заключения, как правило, горизонтальной чертой —
графическим символом отношения логического следования (заключение
записывается под чертой). Силлогизм в целом читается следующим
образом: если истинны посылки «Эта водоплавающая птица не
крякает» и «Все утки крякают», то с необходимостью истинно и заключение
«Эта водоплавающая птица — не утка».
Создал теории силлогизмов Аристотель. Позже средневековые
схоласты придали ей совершенный по тем временам вид учебной
дисциплины, и с тех пор решение силлогизмов составляет важнейшую часть
любого курса традиционной логики.

124 Часть I. Традиционная логика
Формальное определение простого силлогизма таково:
Три суждения образуют простой силлогизм, если
1) три различных термина силлогизма {А, В и С), возможно, со
знаками отрицания, есть независимые понятия с одним общим
универсумом U\
2) одна из посылок содержит субъект заключения (А) и исключаемый
термин (Б), другая — предикатзаключения (С) и исключаемый
термин (В);
3) исключаемый термин (В) в заключении отсутствует;
4) все суждения связаны отношением логического следования так,
что одно из них (заключение) выступает необходимым условием
истинности двух других (посылок).
При решении силлогизмов существенное значение имеет
выполнение пункта 1 из определения силлогизма, т. е. нахождение
ближайшего общего универсума для всех трех терминов. Если его определить
нельзя, силлогизм решения не имеет. Например, подавляющее
большинство начинающих изучать логику пытается найти необходимое
заключение из посылок следующего силлогизма Л. Кэрролла:
Сахар сладкий.
Все дети любят сладкое.
?
При этом не обращается внимание на то, что посылки не являются
разновидностями (ближайшего) общего универсума. В первой
говорится о продуктах, во второй — о людях. Напомним, что универсум
понятия должен представлять объем ближайшего родового понятия;
универсум суждения — ближайший класс вещей, обобщающий оба его
термина; универсум простого силлогизма — ближайший класс вещей,
обобщающий все три его термина.
Продолжим анализ силлогизма о птицах. Согласно приведенному
выше определению, А обозначает субъект заключения, В —
исключаемый (средний) термин, С — предикат заключения. Функция
исключаемого термина В заключается в том, чтобы связать субъект и предикат
заключения в одно смысловое целое в соответствии со следующей
аксиомой силлогизма:
Из Л следует В и из В следует С.
Из Л следует С. ^ '
Аксиома силлогизма гласит, что после того, как термины Л и С связаны
термином В, последний может быть исключен из дальнейшего анализа.
Порядок посылок в силлогизме несущественен, впрочем
несущественно и то, каким термином — А или С — обозначается субъект за-

Глава 3, Дедуктивные умозаключения 125
ключения. Для любого силлогизма важно правильное определение
исключаемого термина В. Чтобы это было корректным, необходимо
найти понятие, входящее в обе посылки — возможно, со знаком
отрицания или без него. Других таких понятий в силлогизме не должно быть.
В приведенном примере: А = «птицы, принадлежащие к классу "этих
водоплавающих"», В = «птицы, которые крякают», С = «птицы,
являющиеся утками», U = «птицы». В символической записи силлогизм
выглядит следующим образом:
Ни одно Л не есть В.
Все С есть В.
Ни одно Л не есть С.
Чтобы решать силлогизмы, надо знать соответствующие правила.
Прежде чем их сформулировать, закончим анализ примера с птицами.
Допустим, мы не знаем, что следует из посылок в качестве
дедуктивного заключения. Как можно это выяснить, исходя только из
информации, сообщаемой посылками?
Так как буква А обозначает субъект заключения, то ищем посылку,
в которую она входит, и строим соответствующее ей дерево согласно
табл. 3.1 (см. далее). Получаем:
А
оА+
В -&
Отмечаем, что буква Л связана разрешающим знаком «+» с буквой -ъВ.
Значит, чтобы продолжить дерево, необходимо преобразовать
оставшуюся посылку таким образом, чтобы на месте ее субъекта также появилась
буква -ъВ. Только в этом случае будет выполнена аксиома силлогизма (*).
Вторая посылка имеет вид «Все С есть 5». Значит, достаточно ее
противопоставить, чтобы выполнить требование аксиомы (*).
Результат противопоставления таков: «Все -ьВ есть -iC». Создаем дерево этой
посылки и присоединяем его к уже построенному дереву первой
посылки. В итоге получается:
А
4+
в -.я
оА+

126 Часть I. Традиционная логика
О чем свидетельствует полученное дерево силлогизма? Оно
показывает, что все птицы, обладающие свойством Л, также обладают
свойством -iB, а все птицы, обладающие свойствами Л и -J3, обладают
и свойством -iC Отбрасывая в соответствии с требованием аксиомы
силлогизма (*) промежуточный термин -Д получаем, что все птицы,
обладающие свойством Л, необходимо обладают свойством -iC, т. е.
выводится заключение «Все Л есть -.С» или, после превращения, «Ни
одно Л не есть С».
Формально процесс вывода заключения строится так. Знак «о»
выполняет функцию нуля, так обозначает нулевую вероятность
существования обозначаемой им ветви дерева. Его умножение на любой другой
знак снова дает «о». Значит, вероятности продолжения ветвей ABC
и ЛВ-iC равны нулю. По этой причине все ветви, отмеченные знаком
«о», не имеют продолжений. Аналогичным образом и вероятность ветви
Л-тВСбыть продолженной нулевая, так как умножение «+» на «о» дает
«о». Поскольку сумма вероятностей для всех ветвей дерева всегда
равна 1, то следует, что вероятность для ветви Л-iB-iC максимальна, т. е.
составляет 1. В результате силлогистическое дерево принимает еледу-
. ющйй вид:
А
оА+
что и доказывает необходимость заключения «Все Л есть -.С» или, что
то же, «Ни одно Л не есть С>>.
Изменим первую посылку в нашем силлогизме:
Некоторые А не есть В.
Все С есть В.
Что следует?
Дерево первой посылки принимает следующий вид:
А
В -тЯ
Дерево второй посылки остается без изменения. Объединив оба
дерева в одно, получаем:

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 127
В
Как это можно понять? Знак неопределенности «?», которым
отмечено суждение «Некоторые А есть В», означает, что у нас нет
однозначной информации о том, связан ли термин А с В знаком «+» или
знаком «о». По этой причине нельзя исключить возможность связи А
с В и Сзнаком «+». И поскольку такой альтернативы исключить нельзя,
то независимо от знака «о», маркирующего суждение «Некоторые -лВ
есть С», необходимым может быть только заключение «Некоторые А
не есть С».
Все заключения делятся на несколько видов согласно следующему
определению.
Заключение называется прямым, если оно начинается с 4;
противоположным, если оно начинается с отрицания А, т. е. с -v4;
обратным, если начинается с С; обратнопротивоположным, если
оно начинается с отрицания С, т. е. с ->С.
Обратное заключение представляет результат обращения,
противоположное — результат отрицания субъекта прямого заключения,
обратно-противоположное — итог противопоставления прямого
заключения.
Прямое, обратное, обратнопротивоположное (или
противоположное) заключения вместе исчерпывают все возможные виды решений
силлогизма.
Правила решения силлогизмов можно разделить на правила
построения силлогистического дерева (табл. 3.1) и правила вывода
заключения (табл. 3.2).
Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов, посылки
которых не интерпретированы в естественном языке.
Пример 1
Доказать выводимость прямого заключения из следующих посылок:
Ни одно А не есть -J3.
Ни одно В не есть С.
Ни одно А не есть С.

128 Часть I. Традиционная логика
Таблица 3.1
Правила построения силлогистического дерева
1. Если опыт или интуиция сразу не подсказывают решение
силлогизма, последовательно строятся его деревья для вывода
заключения произвольного вида и в любом порядке.
2. Дерево силлогизма считается законченным, если и только если при
его построении использованы все посылки.
3. Дерево силлогизма строится из деревьев посылок согласно
шаблонам рис. 3.2, с использованием формул превращения, обращения
и противопоставления. Дерево частной посылки всегда
выбирается в качестве вершины дерева силлогизма.
4. Продолжается только та ветвь, которая отмечена знаком «+». Ни
одна из ветвей, отмеченных знаками «о» или «?», далее не
используется.
5. Вершиной и конечными узлами силлогистического дерева могут
быть только Л, -лАу С или -«С (и никогда В или —&). \
Таблица 3.2
Правила вывода заключения
1. Если в верхней и нижней частях силлогистического дерева —
только знаки «+» и «о», то заключение может быть как общим, так и
частным.
2. Если в верхней части дерева — знаки «+» и «?», а в нижней — «+>>,
«о», то заключение может быть только частным.
3. Ничего не следует из данной формы дерева силлогизма в качестве
необходимого заключения, если: а) оно не может быть закончено
из-за появления в верхней части двух знаков «?»; б) в его нижней
части имеется хотя бы один знак «?».
4. Силлогизм в целом не имеет решения, если и только если нет
прямого, обратного и обратнопротивоположного (или
противоположного) заключения.
Доказательство:
¦д.
оЛ +
с -.с

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 129
Пример 2
Доказать выводимость противоположного заключения из следующих
посылок:
Все В есть -А.
Все С есть —&.
Некоторые -Л не есть С.
Доказательство (после обращения первой и противопоставления
второй посылок):
Пример 3
Доказать выводимость обратного заключения из следующих посылок:
Все В есть -А.
Некоторые С не есть -J3.
Некоторые С не есть А.
Доказательство (после превращения второй посылки):
С
В -,В
о/\+
Л -Л
Пример 4
Доказать выводимость обратно-противоположного заключения из
следующих посылок:
Ни одно А не есть В.
Ни один С не есть В.
Некоторые -.С не есть А.
5-1742

130 Часть I. Традиционная логика
Доказательство (после противопоставления и обращения второй
посылки, обращения первой посылки):
+А?
В -.Я
оЛ+
А -А
Пример 5
Доказать, что следующий силлогизм не имеет решения:
Все А есть Я.
Некоторые Я есть С. /
Доказательство. Невозможность прямого, обратного,
противоположного, обратнопротивоположного заключений доказывают следующие
деревья:
А С
в s в
+А? +А?
С -iC А -Л
прямое заключение невозможно . обратное заключение невозможно
°/
Я —\В В —>Я
противоположное заключение обратнопротивоположное
невозможно заключение невозможно
Прямое, обратное и противоположное заключения не следуют с
необходимостью из приведенных посылок, потому что в нижней части
деревьев силлогизма стоят знаки «?». Обратнопротивоположное
заключение не следует, потому что дерево силлогизма не было
закончено из-за двух знаков «?», появившихся в верхней его части. Так как ни
прямое, ни обратное, ни обратнопротивоположное (или противополож-

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 131
ное) заключение из данных посылок невозможны, силлогизм в
принципе не имеет дедуктивного решения. Это и требовалось доказать.
Допустим, посылки силлогизма сформулированы в естественном
языке. В этом случае сначала приводим их к нормальной форме.
Определяем универсум силлогизма и находим исключаемый термин.
Следующий алгоритм позволяет быстро и надежно привести любой
силлогизм к виду, удобному для формального решения.
Таблица 3.3
Алгоритм решения простого силлогизма
1. Формулируем посылки силлогизма.
2. Приводим обе посылки к нормальной форме. Если невозможно
определить ближайший общий универсум силлогизма, значит, данный
силлогизм решения не имеет.
3. Формализуем посылки. Ищем понятие, которое входит в обе
посылки в утвердительной и/или отрицательной форме. Если такое
понятие есть и оно единственное, то это исключаемый термин.
Обозначаем его буквой В. Если такого понятия нет или оно не единственное,
то данный силлогизм решения не имеет. Рассматриваем первую
посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином,
определяем как субъект заключения и обозначаем буквой А.
Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое не является
исключаемым термином, определяем как предикат заключения и
обозначаем буквой С.
А. Создаем дерево силлогизма и решаем силлогизм.
5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с
символического языка на естественный.
Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов согласно
указанному алгоритму.1
Пример 1
Посылки Боль подтачивает силы человека.
Никакая боль не желательна.
Нормальная форма Все ощущения, называемые болью, есть
посылок ощущения, подтачивающие силы человека.
Ни одно ощущение, называемое болью,
не есть ощущение, которое желательно.
Формализация посылок U - «ощущения», В - «болезненные»,
Л = «подтачивающие силы человека»,
С - «желательные».
1 Кэрролл JI. Логическая игра. - М., 1991. С. 57-62.

132
Часть I. Традиционная логика
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
Пример 2
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Все Б есть Л.
Ни одно В не есть С.
А
+ А ?
/ \
В S
Все В есть А.
Ни одно В не есть С.
Некоторые А не есть С.
Боль подтачивает силы человека.
Никакая боль не желательна.
Некоторые ощущения, которые
подтачивают силы человека, нежелательны.
Тем, кто лыс, расческа не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
Ни одно лысое существо не есть существо,
которому нужна расческа.
Ни одно живое существо, являющееся
ящерицей, не есть существо, имеющее
волосы.
U = «живое существо», В = «лысое»,
А = «нуждающееся в расческе»,
С = «являющееся ящерицей».
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть -*В.
В
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть -.J5.
Некоторые А не есть С.
Тем, кто лыс, расческа не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
Тот, кто нуждается в расческе, —
не ящерица.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
133
Пример 3
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
Пример 4
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Все невнимательные люди
совершают оплошности.
Ни один внимательный человек
не забывает своих обещаний.
Все невнимательные люди есть люди,
совершающие оплошности.
Ни один внимательный человек не есть
человек, забывающий свои обещания.
U— «люди», В = «внимательные»,
А - «совершающие оплошности»,
С = «забывающие свои обещания».
Все -.J5 есть А
Ни одно В не есть С.
-Л
В
С -.С
Все —iB есть А.
Ни одно В не есть С.
Все —Л есть -iC.
Все невнимательные люди совершают
оплошности.
Ни один внимательный человек
не забывает своих обещаний.
Тот, кто не совершает оплошностей,
не забывает о своих обещаниях.
Картошка — не ананас.
Все ананасы приятны на вкус.
Ни один плод, называемый картошкой,
не есть плод, называемый ананасом.
Все плоды, называемые ананасами,
есть плоды, приятные на вкус.
U= «плоды», В = «называемые ананасами»,
А - «называемые картошкой»,
С = «приятные на вкус».
Ни одно Л не есть В.
Все В есть С.

134
Часть I. Традиционная логика
Дерево силлогизма
С
+А ?
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
Пример 5
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
В S
А -А
Ни одно А не есть В.
Все В есть С.
Некоторые С не есть А.
Картошка — не ананас.
Все ананасы приятны на вкус.
Существуют плоды, приятные на вкус
и не являющиеся картошкой.
Ни одна булавка не имеет честолюбивых
намерений.
Ни одна иголка — не булавка.
Ни одна вещь, называемая булавкой,
не является вещью с честолюбивыми
намерениями.
Ни одна вещь, называемая иголкой,
не является вещью, называемой булавкой.
U - «вещи», В = «называемые булавками»,
А = «имеющие честолюбивые намерения»,
С = «называемые иголками».
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть В.
В
о А +
А -Л
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть В.
Некоторые -.С есть -А.
Ни одна булавка не имеет честолюбивых
намерений.
Ни одна иголка — не булавка.
Существуют вещи, не являющиеся иголками
и не имеющие честолюбивых намерений.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
135
Пример 6
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
Все разумные люди ходят на ногах.
Все неразумные люди ходят на руках.
Все разумные люди есть люди,
ходящие на ногах.
Все неразумные люди есть люди,
ходящие на руках.
U- «люди», В = «разумные,
Л - «ходящие на ногах»,
С = «ходящие на руках».
Все В есть Л.
Все -.J3 есть С.
+/\ о
В iJ5
А°
/ \
Л -и4
Все В есть Л.
Все -iJ5 есть С.
Все-.Сесть Л.
Все разумные люди есть люди,
ходящие на ногах.
Все неразумные люди есть люди,
ходящие на руках.
Пример 7
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Все, кто не ходит на руках, ходит на ногах.
Занимайтесь своим делом.
Эта ссора — не ваше дело.
Все ваши дела есть дела, которыми
немедленно следует заняться.
Ни одно дело, называемое «этой ссорой», —
не есть ваше дело.
U= «дела», В = «ваши»,
Л = «которыми следует немедленно заняться»,
С = «эта ссора».
Все В есть Л.
Ни одно С не есть В.

136
Часть I. Традиционная логика
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
А
В -лВ
о/\+
С -iC
Все В есть А.
Ни одно С не есть В.
Некоторые Л есть -«С.
Занимайтесь своим делом.
Эта ссора — не ваше дело.
Пример 8
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево вывода
прямого заключения
Существуют дела, которыми следует
немедленно заняться и которые
не имеют отношения к этой ссоре.
Некоторые сорта герани красного цвета.
Все эти цветы красные.
Некоторые сорта герани — цветы красного
цвета.
Все эти цветы красного цвета.
U= «цветы», В = «красного цвета»,
А = «сорта герани», С= «эти».
Некоторые А есть В.
Все С есть В.
Дерево вывода
обратного заключения
Дерево вывода
противоположного заключения
у
-л
в
Л
в
с
Л
ч'
А
-А
"\
V
\
S

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 137
Нет решения Некоторые А есть В.
Все С есть В.
?
Интерпретация Некоторые сорта герани есть цветы
силлогизма красного цвета.
Все эти цветы красного цвета.
Дедуктивные умозаключения с тремя и более
посылками (сложные силлогизмы)
Силлогизм называется сложным, если в нем более двух посылок.
Последние формулируются, как правило, в виде общих суждений.
Возможен также вывод и с одной частной посылкой, если она образует
вершину дерева силлогизма. Сложные силлогизмы принято делить на
разные виды. Однако подобное деление излишне, поскольку способ
решения сложных силлогизмов любого вида един.
Рассмотрим сначала пример, а потом укажем общий алгоритм
решения сложных силлогизмов.
Допустим, дано:
1. Ни одно С не есть D.
2. Все А есть D.
3. Все В есть С.
Все А есть —iJ5.
В каждом правильно построенном сложном силлогизме должно быть
два различных термина, входящих в посылки только один раз и
образующих соответственно субъект и предикат заключения. В нашем
примере это А и В. Все остальные термины — Си D — исключаемые,
поскольку их единственная функция состоит в том, чтобы логически
связать субъект и предикат заключения. Таким образом, в сложных
силлогизмах имеется более одного исключаемого термина.
Найдя два термина, входящие в посылки один раз, выбираем любой
из них в качестве вершины силлогистического дерева, например А:
А
У\°
D -J)
в

138 Часть I. Традиционная логика
Двигаясь от вершины А по путям, отмеченным знаком «+», и
принимая во внимание, что все противоположные им пути отмечены
знаком «о», приходим к окончательному ответу: «Все Л есть -iB».
Если выбрать в качестве вершины силлогистического дерева
термин В, то мы получим противопоставление первого заключения,
суждение «Все В есть -тЛ»:
В
D -¦?>
о
А -Л
Оба заключения эквивалентны друг другу. Следовательно,
достаточно получить какой-либо один из них.
Кроме основного заключения, деревья сложных силлогизмов
позволяют выводить и промежуточные, если они интересны по тем или иным
причинам. Например, в рассматриваемом примере промежуточными
будут заключения «Ни одно А не есть С» и «Ни одно D не есть В».
Рассмотренный пример позволяет сформулировать алгоритм
решения сложных силлогизмов.
Таблица 3.4
Алгоритм решения сложного силлогизма
1. Формулируем посылки сложного силлогизма.
2. Приводим посылки к нормальной форме.
3. Определяем универсум силлогизма и обозначаем термины в
алфавитном порядке латинскими буквами.
4. Записываем все посылки в символической форме и решаем
силлогизм.
5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с
символического языка на естественный.
Поскольку сложный силлогизм — это умноженный простой, то
правила вывода заключения в данном случае принципиально не
отличаются от соответствующих правил, принятых для простых силлогизмов.
Но есть и некоторые особенности. Во-первых, для сложных
силлогизмов обратная и обратнопротивоположная формы дерева совпадают. Во-

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
139
вторых, частные посылки в таком силлогизме, как правило,
отсутствуют. Если же частная посылка входит, то она должна быть
единственной и, кроме того, она должна быть вершиной дерева, В противном
случае силлогизм не будет иметь решения.
Рассмотрим несколько примеров решения сложных силлогизмов1.
Пример 1
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
1. Малые дети неразумны.
2. Тот, кто способен укрощать крокодилов,
заслуживает уважения.
3. Неразумные люди не заслуживают
уважения.
1. Люди, называемые малыми детьми,
есть неразумные люди.
2. Все люди, способные укрощать
крокодилов, есть люди, заслуживающие
уважения.
3. Все неразумные люди есть люди,
не заслуживающие уважения.
U = «люди», А = «малые дети»,
В = «неразумные», С = «способные укрощать
крокодилов», D = «заслуживающие уважения».
1. Все Л есть Б.
2. Все С есть D.
3. Все В есть -.?>.
А
В
D -.D
С -.С
1. Все Л есть В.
2. Все С есть D.
3. Все В есть -iD.
Все А есть -iC
1. Люди, называемые малыми детьми,
есть неразумные люди.
1 Кэрролл Л. История с узелками. - М., 1973. С. 291-304.

140
Часть I. Традиционная логика
Пример 2
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
2. Все люди, способные укрощать крокодилов,
есть люди, заслуживающие уважения.
3. Все неразумные люди есть люди,
не заслуживающие уважения.
Малые дети не способны укрощать
крокодилов.
1. Мои кастрюли — единственные из
принадлежащих мне вещей, которые сделаны
из олова.
2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны.
3. Ни от одной из моих кастрюль нет
никакой пользы.
1. Только некоторые из моих вещей, именно
кастрюли, есть вещи, которые сделаны
из олова.
2. Все мои вещи, являющиеся вашими
подарками, есть чрезвычайно полезные
вещи.
3. Ни одна моя вещь, являющаяся кастрюлей,
не есть вещь, которая полезна.
и= «мои вещи», Л = «кастрюли»,
В = «сделанные из олова»,
С= «ваши подарки», D = «чрезвычайно
полезные».
1. Все Весть Л.
2. Все Сесть D.
3. Ни одно Л не есть D.
С
¦А.
D -i?)
оА+
Л -А
о
В -,В
1. Все Лесть А
2. Все Сесть Ь.
3. Ни одно А не есть D.
Все С есть

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
141
Интерпретация
силлогизма
Пример 3
Посылки
Нормальная форма
посылок
Формализация посылок
Дерево силлогизма
1. Мои кастрюли — единственные из
принадлежащих мне вещей, которые сделаны
из олова.
2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны.
3. Ни от одной из моих кастрюль нет
никакой пользы.
Ваши подарки сделаны не из олова.
1. Ни один из товаров, который был куплен
и оплачен, не находится более в продаже
в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров нельзя вынести
из магазина, если на нем нет ярлычка
с надписью «Продано».
3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка
с надписью «Продано», если он не куплен
и не оплачен.
1. Ни один из товаров в этом магазине,
который был куплен и оплачен, не есть
товар, который находится в продаже
в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров, если на нем нет
ярлычка с надписью «Продано», не есть
товар, который можно вынести из этого
магазина.
3. Ни один из товаров в этом магазине,
если он не куплен и не оплачен, не есть
товар, на котором имеется ярлычок
с надписью «Продано».
U= «товары в этом магазине»,
Л = «купленные и оплаченные»,
В = «находящиеся в продаже»,
С = «с ярлычком с надписью "Продано"»,
D = «которые можно вынести из этого
магазина».
1. Ни одно Л не есть В.
2. Ни одно -iC не есть D.
3. Ни одно -v4 не есть С.
В
о/\+ (см. след. с.)

142
Часть I. Традиционная логика
Интерпретация
силлогизма
Решение силлогизма 1. Ни одно А не есть В.
2. Ни одно -лС не есть D.
3. Ни одно —Л не есть С.
Ни одно В не есть D.
1. Ни один из товаров, который был
куплен и оплачен, не находится более
в продаже в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров нельзя вынести
из магазина, если на нем нет ярлычка
с надписью «Продано».
3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка
с надписью «Продано», если он не куплен
и не оплачен.
Ни один из товаров, еще продающихся
в этом магазине, нельзя вынести.
В следующих примерах пункт, связанный с приведением посылок
к нормальной форме, опускается.
Пример 4
Посылки 1. Ни одна интересная поэма не останется
непризнанной людьми с тонким вкусом.
2. Ни одна современная поэма не свободна
от аффектации.
3. Все ваши поэмы написаны о мыльных
пузырях.
4. Ни одна аффектированная поэма не
находит признания у людей с тонким вкусом.
5. Ни одна древняя поэма не написана
о мыльных пузырях.
Формализация посылок U - «поэмы», А = «интересные», В =
«получившие признание у людей с тонким вкусом»,
С= «современные», D =
«аффектированные», Е = «ваши», Я = «написанные о
мыльных пузырях».
1. Ни одно А не есть -J3.
2. Ни одно С не есть -uD.
3. Все ? есть Я.
4. Ни одно D не есть В.
5. Ни одно -.С не есть Я.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения
143
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
Пример 5
Посылки
7
/
в
у
/
с
А°
/ \
D -,.
\+
\
-,В
Е
А»
я -л/
\°
\
-уС
D
А -А
1. Ни одно Л не есть -J3.
2. Ни одно С не есть —iD.
3. Все ? есть Я.
4. Ни одно В не есть ?).
5. Ни одно -iC не есть Я.
Ни один ? не есть А.
1. Ни одна интересная поэма не останется
непризнанной людьми с тонким вкусом.
2. Ни одна современная поэма не свободна
от аффектации.
3. Все ваши поэмы написаны о мыльных
пузырях.
4. Ни одна аффектированная поэма не
находит признания у людей с тонким вкусом.
5. Ни одна древняя поэма не написана
о мыльных пузырях.
Ни одна ваша поэма не интересна.
1. Ни один муж, дарящий жене новые платья,
не может быть несговорчивым.
2. Аккуратный муж всегда возвращается
домой к чаю.
3. Жене нелегко приводить в порядок одежду
мужа, если он имеет обыкновение вешать
свою шляпу на газовый рожок.
4. Хороший муж всегда дарит жене новые
платья.
5. Ни один муж не может не быть
несговорчивым, если жена не следит за его одеждой.

144
Часть I. Традиционная логика
Формализация посылок
Дерево силлогизма
Решение силлогизма
Интерпретация
силлогизма
6. Неаккуратный муж всегда вешает свою
шляпу на газовый рожок.
U - «мужья», А = «дарящие жене новые
платья», В = «несговорчивые», С =
«аккуратные», D = «всегда возвращающиеся домой
к чаю», Е = «вешающие свою шляпу на
газовый рожок», Я = «за одеждой которых жена
следит», К= «хорошие».
1. Ни одно Л не есть В.
2. Все С есть D.
3. Все Е есть -,Я.
4. Все К есть Л.
5. Ни одно -i# не есть -J3.
6. Все-.Сесть ?
К
о
А -А
оЛ +
iJ5
+Ло
Я
D -.D
1. Ни одно Л не есть J5.,
2. Все С есть ?>.
3. Все Е есть -i#.
4. Все К есть Л.
5. Ни одно -гЯ не есть -.J5.
6. Все-1С есть ?.
Все К есть ?>.
1. Ни один муж, дарящий жене новые платья,
не может быть несговорчивым.
2. Аккуратный муж всегда возвращается
домой к чаю.
3. Жене нелегко приводить в порядок одежду
мужа, если он имеет обыкновение вешать
свою шляпу на газовый рожок.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 145
4. Хороший муж всегда дарит жене новые
платья.
5. Ни один муж не может не быть
несговорчивым, если жена не следит за его одеждой.
6. Неаккуратный муж всегда вешает свою
шляпу на газовый рожок.
Хорошие мужья всегда возвращаются
домой к чаю.
Восстановление посылок в простых энтимемах
Выведение заключений или необходимых следствий из данных
посылок составляет непосредственную, основную, но не единственную
задачу дедуктивного умозаключения. Другой служит нахождение всех
или некоторых посылок, из которых следует данное заключение.
Необходимость ее решения возникает из того, что большинство наших
рассуждений имеет сокращенный характер. Многие посылки
опускаются из-за их очевидности. Подобные рассуждения принято называть
энтимемами.
Энтимема — умозаключение с пропущенными посылками.
Если требуется найти все посылки для данного заключения, мы
сталкиваемся с задачей его доказательства, о чем речь пойдет в следующем
параграфе. Если только некоторые, то речь идет о восстановлении
посылок как таковых.
Отмечаются простые и сложные случаи восстановления посылок.
К простым отнесены те, в которых субъект заключения совпадает с
субъектом одной из имеющихся посылок, вследствие чего она становится
вершиной дерева доказательства и/или заключение ослабляет
посылки силлогизма. Соответственно сложными случаями считаются такие,
когда не выполняется хотя бы одно из указанных свойств.
Допустим, дано умозаключение «Раб есть человек, а потому не
следует держать его в неволе»1. Приведем его к нормальной форме: U =
«существа», В = «люди», А = «рабы», С = «которых следует держать
в неволе»:
Все рабы есть люди. Все Л есть В.
Ни один раб не есть существо, Ни одно Л не есть С.
которое следует держать в неволе.
1 Все примеры, рассматриваемые в данном параграфе, заимствованы из Мин-
то В. Дедуктивная и индуктивная логика. — СПб., 1995. С. 411-421.

146 Часть I. Традиционная логика
Очевидно, что из указанной посылки «Все А есть В» заключение
«Ни одно А не есть С» не может следовать с необходимостью и
требуется по крайней мере еще одна посылка для его вывода.
Как восстановить недостающую(ие) посылку(и)? Сначала
исследуем заключение «Ни одно А не есть С». Оно представляет общее
суждение. Следовательно, все посылки также должны быть общими
суждениями. Посылка «Все Л есть В» удовлетворяет этому условию. Обращаем
также внимание на то, что субъекты посылки и заключения
совпадают. Это означает, что дерево посылки должно быть верхней частью,
а дерево заключения после замены субъекта А субъектом В (так как
истинно, что все А есть В) — нижней частью объединенного дерева:
Дерево заключения
о,
LC
А
+До
S
Дерево посылки
Чтение нижней части объединенного дерева дает нам требуемую
посылку — «Ни одно В не есть С», или «Ни одного человека не следует
держать в неволе». Восстановленный силлогизм выглядит следующим
образом:
Все рабы есть люди. . Все А есть В.
Ни одного человека не следует Ни одно В не есть С.
держать в неволе.
Ни один раб не есть существо, Ни одно А не есть С.
которое следует держать в неволе.
Таким образом, восстановление пропущенной посылки и тем самым
силлогизма было сведено к построению объединенного дерева на
основании информации, содержащейся в заключении и посылке.
Двух посылок оказалось достаточно, чтобы получить заключение
«Ни одно А не есть С». Но ничто не мешает получить это же
заключение из большего числа посылок, построив соответствующий сложный
силлогизм.
Допустим, нас не удовлетворяет выявленная посылка «Ни одного
человека не следует держать в неволе» отсутствием основания такого
суждения. Мыслим так. Необходимый признак каждого раба — то, что
он человек. Связь обоих признаков зафиксирована первой посылкой.
Спрашивается: какой признак человека несовместим с его жизнью в не-

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 147
воле? Возможным ответом будет следующий: право на свободу, если
оно не создает угрозу для общества. Поскольку все посылки должны
быть общими, получаем сложный силлогизм (термин D обозначает
указанный выше признак):
Все рабы есть люди. Все Л есть В.
Все люди есть существа, обладающие Все В есть D.
правом на свободу при отсутствии
правонарушений, за которые изолируют
от общества.
Ни одно существо, обладающее правом Ни одно D не есть С.
на свободу, если оно не создает угрозу
для общества, не есть существо, которое
следует держать в неволе.
Ни один раб не есть существо, которое Ни одно А не есть С.
следует держать в неволе.
Создав соответствующее дерево, нетрудно убедиться в правильности
полученного силлогизма.
Рассмотрим несколько примеров на восстановление посылок.
Пример 1
Дано умозаключение «Истинный философ не зависит от прихотей
судьбы, так как он находит свое главное счастье в умственном и
нравственном совершенствовании». Приводим его к нормальной форме: U =
= «философы», В = «находящие свое главное счастье в умственном
и нравственном совершенствовании», А = «истинные», С =
«зависящие от прихотей судьбы».
Философ находит свое главное счастье Все А есть В.
в умственном и нравственном
совершенствовании.
Истинный философ не зависит Ни одно А не есть С.
от прихотей судьбы.
Строим объединенное дерево:
А
В S
Как следует из нижней части, недостающей посылкой должно быть
суждение «Ни один В не есть С», или «Ни один философ, находящий

148 Часть I. Традиционная логика
свое главное счастье в умственном и нравственном
совершенствовании, не зависит от прихотей судьбы».
Философ находит свое главное Все А есть В.
счастье в умственном и нравственном
совершенствовании.
Ни один философ, находящий свое Ни один В не есть С.
главное счастье в умственном
и нравственном совершенствовании,
не зависит от прихотей судьбы.
Истинный философ не зависит Ни одно А не есть С.
от прихотей судьбы.
Пример 2
Дано умозаключение «Солона следует считать мудрым законодателем
ввиду того, что он приспособил свои законы к характеру афинян».
Приводим его к нормальной форме: U = «люди», В =
«приспособившие свои законы к характеру афинян», А = «Солон», С = «мудрые
законодатели».
Солон приспособил свои законы Все А есть В.
к характеру афинян.
Солона следует считать мудрым Все А есть С.
законодателем.
Создаем объединенное дерево:
А
В ->В
Из нижней части следует, что недостающей посылкой должно быть
суждение «Все В есть С», или «Всех людей, приспособивших свои
законы к характеру афинян, следует считать мудрыми законодателями».
Солон приспособил свои законы Все А есть В.
к характеру афинян.
Всех людей, приспособивших свои Все В есть С.
законы к характеру афинян, следует
считать мудрыми законодателями.
Солона следует считать мудрым Все А есть С.
законодателем.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 149
Пример 3
Дано умозаключение «Не всякий совет благоразумен, так как многие
советы нехороши». Приводим его к нормальной форме: U =
«пожелания», В = «хорошие», А = «советы», С = «благоразумные».
Многие советы нехороши. Некоторые А не есть В.
Не всякий совет благоразумен. ' Некоторые А не есть С.
Если заключение частное, то только одна посылка может быть
частной. Кроме того, она должна находиться на вершине объединенного
дерева. Посылка «Некоторые А не есть 5» удовлетворяет этим
условиям. Следовательно, восстанавливаемая посылка должна быть общей.
Строим объединенное дерево:
А
?
Из нижней части следует, что второй посылкой должно быть
суждение «Ни одно -iB не есть С», или «Ни одно плохое пожелание не
является благоразумным».
Многие советы нехороши. Некоторые А не есть В.
Ни одно плохое пожелание Ни одно -.J3 не есть С.
не является благоразумным.
Не всякий совет благоразумен. Некоторые А не есть С.
Пример 4
Дано умозаключение: «Многие оспариваемые положения
заслуживают, тем не менее, внимания, потому что многие из таких утверждений
могут оказаться верными». Приводим его к нормальной форме: U =
= «положения», В = «могущие оказаться верными», А =
«оспариваемые», С = «заслуживающие, тем не менее, внимания».
Многие оспариваемые положения Некоторые А есть В.
могут оказаться верными.
Многие оспариваемые положения Некоторые А есть С.
заслуживают, тем не менее,
внимания.

150 Часть I. Традиционная логика
Строим объединенное дерево:
А
В -&
Как следует из нижней части, второй посылкой должно быть
суждение «Все В есть С», или «Все положения, могущие оказаться
верными, заслуживают, тем не менее, внимания».
Многие оспариваемые положения Некоторые А есть В.
могут оказаться верными.
Все положения, могущие оказаться Все В есть С.
верными, заслуживают, тем не менее,
внимания.
Многие оспариваемые положения Некоторые А есть С.
заслуживают, тем не менее, внимания.
Пример 5
Дано умозаключение: «Государству необходимо увеличить
подоходный налог, так как оно должно быть готово к войне». Приводим его
к нормальной форме: U = «государства», В = «которые должны быть
готовы к войне», С= «которым необходимо увеличить подоходный
налог».
Государство должно быть готово Все А есть В.
к войне.
Государству необходимо увеличить Все А есть С.
подоходный налог.
Учитывая, что связь признаков «быть готовым к войне» и
«необходимо увеличить подоходный налог» неочевидна, мы должны
объяснить ее, введя более ясные промежуточные между В и С переменные,
т. е. должны построить сложный силлогизм. Будем рассуждать
следующим образом. Готовность к войне требует много денег. Чтобы иметь
много денег, государству необходимо увеличить налоги, но таким
образом, дабы не подорвать ресурсы страны. По этой причине из всех
налогов предпочтительным будет подоходный, так как его увеличение
затрагивает лишь состоятельную часть населения. Вводим
дополнительные термины: D = «которым требуется много денег», Е = «увели-

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 151
чивающие налоги», Я = «стремящиеся подорвать ресурсы своей
страны», К = «увеличивающие налог на состоятельную часть населения».
Получаем объединенное дерево:
А
В -?
+Ао
Ло
я -,я
+/\о
К -JC
+Ао
Из нижней части следует, что дополнительными посылками
должны быть следующие суждения: «Все В есть D», «Все D есть ?», «Ни
одно Е не есть Я», «Все -1#есть А» и «Все А*есть С». Читателю в
качестве самостоятельного упражнения предлагается перевести все эти
посылки на естественный язык.
Кроме формальных требований к поиску посылок, начиная с
Аристотеля, предъявляется и одно содержательное: исключаемый термин
(исключаемые термины) должен обозначать истинную причину связи
субъекта и предиката заключения. Иначе заключение, будучи
правильным формально, остается недоказанным по существу. Сравним
следующие два простых силлогизма.
Каждый брошенный вверх камень Каждый брошенный вверх
испытывает воздействие силы камень отклоняется от
тяжести Земли. своего естественного места
(поверхности Земли).
Каждое тело, испытывающее Каждое тело, отклоняющееся
воздействие силы тяжести Земли, от своего естественного места,
стремится упасть на ее поверхность. стремится вернуться к нему.
Каждый брошенный вверх камень Каждый брошенный вверх
стремится упасть на ее поверхность. камень стремится упасть
на ее поверхность.

152 Часть I. Традиционная логика
Оба силлогизма имеют одинаковое заключение, но только левый
сегодня считается истинным объяснением. Причина в том, что в
физической картине мира Галилея—Ньютона, сменившей физику
Аристотеля и его последователей, истинной причиной падения тел на Землю
признается не их стремление вернуться к естественному месту, а сила
земного притяжения.
Итак, нельзя смешивать формальную выводимость заключения с его
доказательством, которое в традиционной логике кроме выводимости
требует выполнения дополнительных условий. О них будет сказано,
когда будут рассматриваться правила доказательства и опровержение.
Восстановление посылок в сложных энтимемах
Напомним, что к сложным случаям восстановления посылок были
отнесены те, в которых субъект заключения не совпадает с субъектом
ни одной из имеющихся посылок и/или заключение не ослабляет
посылок силлогизма. Рассмотрим несколько примеров, показывающих, как
можно использовать технику деревьев для решения подобных задач.
Пример 1
Восстановить пропущенные посылки в следующем умозаключении.
Ни один человек с нечистой совестью не спит спокойно.
Уверенные в себе люди спят спокойно.
Алгоритм решения подобных задач следующий.
1. Приводим к нормальной форме и формализуем имеющуюся
посылку и заключение. Получаем: U= «люди», А = «уверенные в себе», В =
= «с нечистой совестью», С = «спящие спокойно».
Ни одно В не есть С.
Все А есть С.
2. Создаем дерево доказательства, связывающее субъект
заключения А с предикатом С как через термин В, так и через термин -iB:
А
В -пЯ
С -пС С -пС
3. Маркировку ветвей построенного дерева начинаем с информации,
содержащейся в посылке. Получаем:

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 153
Из частично маркированного дерева следует, что его вершина (А)
не может быть связана знаком «+» с С посредством В, как того требует
заключение, так как В и С несовместимы. Однако Аи С можно связать
знаком «+» посредством -«В. Учитывая, что заключение
рассматриваемого силлогизма общее, ветвь, связывающая А с -iB, должна быть
отмечена знаком «+», а ветвь, связывающая А с В, — «о». В результате
получаем (ветви, исходящие из В, для большей ясности оставляем):
А
о/\+
R R
о/\+
Последней проблемой, которую нужно разрешить, остается вопрос,
как быть со знаком «?» в правой нижней части дерева, запрещающим
делать заключения с использованием В. Заменив «?» на «о», решаем и эту
проблему. Полностью маркированное дерево доказательства имеет
следующий вид:
А
о/\+
с -.с с -.с
4. Переводим информацию, содержащуюся в дереве доказательства,
на язык суждений. Верхняя часть показывает, что первой
недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно А не есть В». Нижняя
часть сообщает, что независимо от информации, содержащейся в
верхней части дерева, одновременно истинны следующие два суждения —
«Ни одно В не есть С» и «Ни одно -iB не есть -iC». Первое из них
совпадает с имеющейся посылкой. Следовательно, второй недостающей
посылкой должно быть суждение «Ни одно ->В не есть -iC». Но
суждения «Ни одно В не есть С» и «Ни одно -iB не есть -iC» вместе
эквивалентны суждению «Только В не есть С». Если это выделительное сужде-

154 Часть I. Традиционная логика
ние истинно, то обязательно истинно и суждение «Ни одно В не есть С»
(обратное в общем неверно). Поэтому полный (восстановленный)
силлогизм таков:
Ни одно В не есть С.
Только В не есть С.
Все А есть С.
5. Формулируем посылки и заключение восстановленного
силлогизма на естественном языке.
Ни один уверенный в себе человек не является человеком
с нечистой совестью.
Только люди с нечистой совестью спят спокойно.
Уверенные в себе люди спят спокойно.
Пример 2
Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующего
умозаключения.
Все безупречное вызывает восторг.
Все гениальное безупречно.
1. [/= «творения», А = «безупречные», В = «вызывающие восторг»,
С = «гениальные».
Все Л есть В.
Все Сесть Л.
2-3.
4.
С
+Ао
в
л -л
Все С есть В.
Только В есть Л.
Все С есть А.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 155
5.
Все гениальное вызывает восторг.
Лишь вызывающее восторг безупречно.
Все гениальное безупречно.
Пример 3
Решить указанную в первом примере задачу для следующего
умозаключения.
Тем, кого любят, делают подарки.
Только некоторым из тех, кого не любят,
не делают замечаний.
1. U = «люди», А = «кого любят», В = «кому делают подарки», С =
= «кому делают замечания».
Все А есть В.
2-3.
4.
Только некоторые -Л <
«^
В
есть (
С
? o/V
/ \ /
А -ЛА
В
Все С есть —iB
Все А есть J5.
с
У
/
л
\
\
\
Только некоторые -Л есть С.
5.
Тем, кому делают замечания, не делают подарки.
Тем, кого любят, делают подарки.
Только некоторым из тех, кого не любят, не делают
замечаний.
Пример 4
Решить указанную в первом примере задачу для следующего
умозаключения.

156 Часть I. Традиционная логика
Суеверные люди недооценивают себя.
Многие из несуеверных людей добиваются своего.
1. U = «люди», А = «несуеверные», В = «достойно ценящие себя»,
С = «добивающиеся своего».
Все —Л есть -J3.
Некоторые А есть С.
2-3.
А
+/
В
,С —\С С —\С
4.
А
+/V?
+/\о
Все -v4 есть -.Б.
Все В есть С.
Некоторые А есть С
5.
Суеверные люди недооценивают себя.
Те, кто достойно оценивают себя, добиваются своего.
Многие из несуеверных людей добиваются своего.
Пример 5
Решить указанную в первом примере задачу для следующего
умозаключения.
Некоторые мужественные люди вызывают уважение.
Всем мужественным людям хочется подражать.
1. 17= «люди», А = «мужественные», В = «вызывающие уважение»,
С = «которым хочется подражать».
Некоторые (или все) А есть В.
Все А есть С.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения 157
2-3.
U
+А+
А -и4
+/\о
В -.Я В S
С iC
4.
U
л
А -Л
В
+/\о
Некоторые (или все) А есть J5 = Все А есть Б
или некоторые, но не все А есть Б.
Неверно, что некоторые, но не все А есть В.
Все J5 есть С.
Все А есть С.
5.
Некоторые мужественные люди вызывают уважение.
Неверно, что некоторые, но не все мужественные люди
вызывают уважение,
Всем мужественным людям хочется подражать.
Упражнения
I. Решите следующие простые силлогизмы Л. Кэрролла.
1. Он дал мне пять фунтов стерлингов.
Я был в восторге.
2. Он всегда поет меньше часа.
Слушать пение в течение часа утомительно.
3. Ни один лентяй не достоин славы.
Некоторые художники — не лентяи.
4. Все бледные люди флегматичны.
Только те, кто бледен, имеют поэтическую внешность.
5. Ричард вне себя от гнева.
Никто, кроме Ричарда, не может ездить верхом на этой лошади.

158 Часть I. Традиционная логика
6. Предусмотрительные путешественники имеют при себе деньги на
мелкие расходы.
Непредусмотрительные путешественники теряют свой багаж.
7. Золото тяжелое.
Ничто, кроме золота, не заставит его замолчать.
8. Скучные люди наводят тоску.
Когда скучный человек собирается уходить из гостей, его никогда
не просят остаться.
9. Все совы приятны.
Некоторые извинения неприятны.
10. Некоторые барашки распускаются на вербе.
Все барашки кудрявые.
11. Некоторые лысые люди носят парики.
У всех людей свои волосы.
12. Ласки иногда спят.
Все животные иногда спят.
П. Решите следующие сложные силлогизмы Л. Кэрролла.
1) 1. Всякий, кто находится в здравом уме, может заниматься
логикой.
2. Ни один лунатик не может быть присяжным заседателем.
3. Ни один из ваших сыновей не может заниматься логикой.
2) 1. Йикто не станет выписывать газету «Тайме», если он не
получил хорошего образования.
2. Ни один дикобраз не умеет читать.
3. Те, кто не умеет читать, не получили хорошего образования.
3) 1. Яркие цветы всегда благоухают.
2. Я не люблю цветов, выросших на открытом воздухе.
3. Ни один цветок, выросший на открытом воздухе, не имеет
бледной окраски.
4) 1. Мой доктор разрешает мне есть лишь не очень калорийные блюда.
2. То, что я могу есть, вполне подходит для ужина.
3. Свадебные пироги всегда очень калорийны.
4. Мой доктор разрешает мне есть все, что подходит для ужина.
5) 1. Ни у одной продаваемой здесь книги, кроме тех книг, которые
выставлены на витрине, нет золоченого обреза.
2. Все авторские издания снабжены красным ярлычком.
3. Все книги с красными ярлычками продаются по цене от 5
шиллингов и выше.
4. Лишь авторские издания выставляются на витрине.
6) 1. Те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия.

Глава 3. Дедуктивные умозаключения [ 159
2. Любители выпить очень общительны.
3. Человек, выполняющий свои обещания, честен.
4. Ни один трезвенник — не ростовщик.
5. Тому, кто общителен, всегда можно верить.
7) 1. Все авторы литературных произведений, постигшие природу
человека, — умные люди.
2. Ни одного автора нельзя считать истинным поэтом, если он не
способен волновать сердца людей.
3. Шекспир написал «Гамлета».
4. Ни один автор, не постигший природу человека, не способен
волновать сердца людей.
5. Только истинный поэт мог написать «Гамлета».
8) 1. Любая моя мысль, которую нельзя выразить в виде силлогизма,
поистине смешна.
2. Моя мечта о сдобных булочках не стоит того, чтобы ее
записывать на бумаге.
3. Ни одну мою несбыточную мечту нельзя выразить в виде
силлогизма.
4. Мне не приходило в голову ни одной действительно смешной
мысли, о которой бы я не сообщил своему поверенному.
5. Я только и мечтаю, что о сдобных булочках.
6. Я никогда не высказывал своему поверенному ни одной мысли,
если она не стоила того, чтобы ее записать на бумаге.
9) 1. Животные, которые не брыкаются, всегда невозмутимы.
2. У осла нет рогов.
3. Буйвол всегда может перебросить вас через ограду.
4. Животных, которые брыкаются, не легко проглотить.
5. Животное, у которого нет рогов, не может перебросить вас через
ограду.
6. Все животные, кроме буйвола, легко приходят в ярость.
III. Восстановите пропущенные посылки в следующих умозаключениях:
1. Слово не воробей, вылетит — не поймаешь.
2. Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается.
3. Сколько веревку не вить, а концу быть.
4. Любишь кататься, — люби и саночки возить.
5. Красна птица перьем, а человек ученьем.

Глава 4
Дедуктивное доказательство
и опровержение
Тот, кто хочет что-то обосновать, должен рассмотреть, при
существовании чего будет существовать обсуждаемый предмет
(ибо если доказано, что то налицо, будет доказано
и существование обсуждаемого предмета). Тот же, кто хочет
что-то опровергнуть, должен рассмотреть, что же
существует, если существует обсуждаемый предмет, ибо если
мы докажем, что то, что следует из обсуждаемого предмета,
не существует, то мы опровергнем и обсуждаемый предмет.
Аристотель «Топика»
Общее представление о дедуктивном
доказательстве и опровержении
По типу используемого умозаключения доказательства и
опровержения делятся на Дедуктивные и недедуктивные. Недедуктивные
подробно анализируются в гл. 7. Здесь же будут рассмотрены
дедуктивные доказательства и опровержения силлогистического типа (о других
видах дедуктивных доказательств см. гл. 5, 6 и 8).
Если умозаключение — основная форма умственной деятельности,
то доказательство и опровержение представляют ее важнейшие цели.
Доказывая, мы ищем истину; опровергая — разоблачаем ложь. Именно
поиски истины и разоблачение лжи превращают умозаключение в
доказательство или опровержение соответственно.
Дедуктивное доказательство — умозаключение, из истинных
посылок которого с необходимостью следует истинность
обосновываемого суждения.
Дедуктивное опровержение — умозаключение, из истинных
посылок которого с необходимостью следует ложность
обосновываемого суждения.

Глава 4, Дедуктивное доказательство и опровержение 161^
Между доказательством и опровержением существует
определенная симметрия. Если мы доказываем истину, то одновременно
опровергаем все несовместимые с ней ложные суждения. Наоборот,
опровергая какую-нибудь ложь, мы тем самым доказываем противоречащую
ей истину. Эта симметрия показывает, что между доказательством
и опровержением нет жесткой границы. Различие между ними чисто
функциональное.
Существуют три канонических вопроса, на которые необходимо дать
ответ, прежде чем начинать доказательство или опровержение.
1. Что именно следует доказывать или опровергать?
2. На основании чего следует доказывать или опровергать?
3. Как именно следует доказывать или опровергать?
Отвечая на первый вопрос, мы определяем тезис (от греч. thesis —
утверждение) доказательства или опровержения, т. е. суждение,
истинность или ложность которого должна обосновываться.
Отвечая на второй вопрос, мы находим аргументы (от лат. argu-
mentum — довод, основание) доказательства или опровержения, т. е.
суждения, с помощью которых обосновывается истинность или
ложность тезиса.
Отвечая на третий вопрос, мы выбираем демонстрацию (от лат.
demonstrate — показывание) доказательства или опровержения, т. е. то
умозаключение, с помощью которого логически связываются тезис
и аргументы.
Доказательство и опровержение невозможны, если нет хотя бы
одной из указанных частей. Так, если отсутствует тезис, неизвестно, что
надо доказывать или опровергать; если нет аргументов, непонятно, с
помощью каких суждений нужно доказывать или опровергать тезис; если
нет демонстрации, мы не знаем, как построить процесс доказательства
или опровержения тезиса, чтобы он был логически убедительным.
Тезисом может быть любое суждение, истинность или ложность
которого нуждается в обосновании. В качестве тезиса выдвигаются
теоремы, гипотезы, судебные версии, предсказания, истинность или
ложность которых предстоит установить.
Суждение, противоречащее тезису, называется антитезисом. Из
истинности тезиса следует ложность антитезиса, а из ложности
первого — истинность второго. Следовательно, в некоторых случаях вместо
того, чтобы доказывать истинность тезиса, возможно опровергнуть
ложность антитезиса, или заменить опровержение ложности тезиса
доказательством истинности антитезиса.
6-1742

162 Часть I. Традиционная логика
В качестве аргументов могут выступать любые суждения, если они,
во-первых, истинны и, во-вторых, имеют отношение к
обосновываемому тезису. Например, при доказательстве какого-либо морального
суждения вряд ли будет уместным приведение в качестве аргумента
закона всемирного тяготения Ньютона. Истинность аргументов
доказывается всегда независимо от тезиса. Их подбор требует глубокого
проникновения в суть решаемой проблемы, богатого воображения
и тонкой интуиции.
Следует помнить, что всякая демонстрация — это нечто большее, чем
используемое в ней умозаключение. Как отмечал В. Ф. Асмус,
демонстрация — это умозаключение обумозаключений, ибо она утверждает не
только то, что тезис следует из аргументов, но и то, что аргументы
истинны. Доказательства или опровержения не будет, если тезис следует
из аргументов, а некоторые аргументы ложные, или аргументы
истинные, а тезис формально не следует из них.
Выделим в дедуктивной демонстрации дедуктивное доказательство
и дедуктивное опровержение и рассмотрим их.
Дедуктивное доказательство
Пусть Р обозначает тезис, -i/З — антитезис, а — множество аргументов.
Тезис и антитезис противоречат друг другу. Значит, при обосновании
истинности тезиса возможны две стратегии.
1. Доказательство, что тезис необходимо следует из
общепризнанных аргументов. Это называется прямым доказательством.
2. Доказательство, что из общепризнанных аргументов необходимо
следует ложность антитезиса. Тогда, согласно закону
исключенного третьего, устанавливают истинность тезиса. Это называется
косвенным доказательством.
Прокомментируем оба вида доказательства.
Прямое доказательство — демонстрация, целью которой служит
обоснование необходимого следования тезиса из ранее и
независимо доказанных аргументов.
Прямое доказательство представлено следующим умозаключением.
Из множества аргументов а выводим тезис Д.
Множество аргументов а истинно. / j \
Тезис Р истинный.
1 Асмус В. Ф. Логика. - М., 1947. С. 345-346.

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 163
Простейший пример прямого доказательства — силлогизм, посылки
которого необходимо истинны. В этом случае они выступают
аргументами, а заключение силлогизма — тезисом. Например:
а{ - Все А есть В (доказано ранее).
а2 = Все В есть С (доказано ранее).
Р = Все Л есть С (доказывается сейчас).
Демонстрация строится с помощью силлогистического дерева или
каким-нибудь иным образом.
В тех случаях, когда прямое доказательство невозможно или
затруднительно, используют косвенное.
Косвенное доказательство — умозаключение, целью которого
служит доказательство ложности антитезиса.
Ложность антитезиса может быть обоснована двумя способами.
Согласно первому, из антитезиса -i/J с помощью истинных аргументов а
выводится противоречие. Если это осуществимо, есть основания
сделать вывод о ложности антитезиса -i/З и истинности тезиса Д
Косвенное доказательство первым способом имеет вид следующего
умозаключения.
Из антитезиса -iK и а выводимо противоречие.
Множество аргументов а истинно. /2)
Тезис Р истинный.
В силлогистике косвенное доказательство первым способом строится
следующим образом. Допустим, дан силлогизм:
а{ = Все А есть В.
а2 = Все В есть С.
Р = Все Л есть С.
Сформулируем антитезис-i/?= «Некоторые Л не есть С». Построим
следующий сложный силлогизм:
а{ - Все А есть В (доказано ранее).
а2 - Все В есть С (доказано ранее).
-iP - Некоторые А не есть С (временное допущение).
Противоречие.
Из антитезиса -i/J = «Некоторые А не есть С», принятого в качестве
временного допущения, и аргумента с^ = «Все В есть С» выводим след-

164 Часть I. Традиционная логика
ствие «Некоторые Л не есть В». Но это следствие противоречит первому
аргументу а{ = «Все А есть В». Значит, рассматриваемые аргументы
несовместимы с отрицанием тезиса. Так как аргументы а{ и а2
истинны, то антитезис -i/З = «Некоторые А не есть С» ложен. Из ложности
антитезиса заключаем, что тезис /3 = «Все А есть С» истинный.
Для косвенного доказательства вторым способом антитезис -i/З
делится на множество альтернатив (частных случаев антитезиса -i/3): -ipv
-i/?2... -ij8n, обладающее следующими свойствами. Во-первых,
логическая сумма всех альтернатив -ij3j, -i/?2... -i/?w должна исчерпывать объем
антитезиса -|Д Во-вторых, все альтернативы должны взаимно
исключать друг друга. В-третьих, тезис /3 и все его альтернативы -i/?p -i/?2...
-|/?и должны вместе обозначать все возможные решения
рассматриваемой проблемы (соответствовать требованию полноты). Косвенное
доказательство строится как последовательный процесс исключения
с помощью истинных аргументов всех альтернатив тезиса Д
Рассматриваемое доказательство имеет вид следующего умозаключения:
Истинно одно и только одно из следующих предположений:
Д или -i/Jj, или -i/32... или -,рп.
Множество а несовместимо ни с -i/3r.. ни с ->/Зл.
Множество аргументов а истинно. C)
Тезис Р истинный.
Допустим, неизвестно, какой сегодня день недели. Выдвигаем семь
альтернативных гипотез, одна и только одна из которых истинная:
«Сегодня понедельник», или «Сегодня вторник»... или «Сегодня
воскресенье». Если с помощью различных аргументов удастся
опровергнуть первые шесть альтернатив, тогда доказывается, что сегодня
воскресенье.
Считается, что прямое доказательство убедительнее косвенного.
С этим необходимо согласиться. При прямом доказательстве мы
конструируем тезис из данных посылок, а при косвенном лишь доказываем
невозможность существования антитезиса. Из прямого доказательства
всегда следует косвенное, но обратное в общем неверно.
Дедуктивное опровержение
Дедуктивное опровержение различают в зависимости от того, что
опровергается — тезис, аргументы или демонстрация.
При опровержении тезиса доказывается его ложность.

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 165
При опровержении аргументов или демонстрации обосновывается
только недоказанность тезиса, которую нельзя путать с его ложностью.
Тезис может быть истинным, даже если аргументы ложные.
Опровержение имеет вид следующего умозаключения:
Из тезиса Р выводимо следствие, несовместимое с а,
. или противоречие. ...
Множество аргументов а истинно. ^ '
Тезис K ложный.
Опровержение аргументов и демонстрации обосновывает не
ложность тезиса, а только его недоказанность. Оно принимает вид такого
умозаключения:
Из аргументов а выводим тезис р.
Множество а ложно (противоречиво).
Тезис Р не доказан.
Недоказанность тезиса означает, что мы не можем приписать ему
ни значение «истинно», ни значение «ложно». Доказывая ложность
аргументов нашего оппонента, мы лишаем его возможности
категорически утверждать истинность обсуждаемого тезиса.
Умозаключение E) показывает, что отношения «следовать с
необходимостью» и «доказывать» не являются в общем эквивалентными:
не все, что непременно следует, доказывается; но обратное всегда верно.
Опровержение демонстрации строится как умозаключение:
Из аргументов а не выводим ни тезис Д ни антитезис -*fi.
Множество аргументов а истинно.
Тезис Р не доказан.
F)
Эффект опровержения демонстрации тот же, что и опровержения
аргументов, — обосновывается лишь недоказанность тезиса.
Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное значение
имеет истинность аргументов. Она важна как для доказательства, так
и для опровержения. Кроме того, необходимо, чтобы или тезис, или
антитезис был логическим следствием аргументов. Эти две
особенности определяют специфику дедуктивного доказательства и
опровержения.
При построении доказательств и опровержений следует также
учитывать ряд особенностей.
1. Для доказательства общего тезиса необходимо и достаточно
опровержение частного антитезиса.

166 Часть I. Традиционная логика
2. Для опровержения общего тезиса необходимо и достаточно
доказательства частного антитезиса.
3. Для доказательства общего тезиса необходимы только общие
аргументы (относящиеся ко всем предметам универсума).
4. Для доказательства частного тезиса необходимо и достаточно
установить существование хотя бы одного объекта предмета
универсума, обладающего свойствами субъекта и предиката (для частно-
утвердительных суждений), и обладающего свойствами субъекта
и отрицания предиката (для частноотрицательных суждений).
Остальные рекомендации приводятся далее по ходу анализа
конкретных примеров.
Пример 1
Допустим, требуется доказать прямым способом тезис /3 = «Мы
хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе» {Франсуа
деЛарошфуко). Приводим тезис к нормальной форме: U= «люди», А =
= «люди, которые хотят услышать похвалу себе», С = «люди, которые
хвалят других», /3 = «Все А есть С».
Построить прямое доказательство указанного тезиса,
представляющего общеутвердительное суждение, означает обосновать, что
каждая вещь, обладающая признаком Л, также обладает и признаком С.
Но поскольку связь Аи С неочевидна, требуется доказательство. С чего
же его начинать? С поиска аргументов, проясняющих связь между
признаками А и С.
Если логический переход от субъекта тезиса А к его предикату С
неочевиден, его разбивают на несколько коротких, но зато более
выраженных переходов от А к X, от X к У... от Z к С (где X... Z — признаки,
отличающиеся как друг от друга, так и от Л и С), каждый из которых
формулируется в виде отдельного аргумента. Иными словами,
каждый аргумент — это некоторый ранее доказанный или очевидный в силу
каких-то других причин переход от одного признака к другому.
Минимальное доказательство требует всего двух аргументов — для
обоснования переходов от А к X и от X к С. В общем случае число
аргументов прямо пропорционально требованию очевидности, т. е. чем
более хотят прояснить доказательство, тем больше приводят
аргументов, очевидных для аудитории.
Общее направление их поиска задается следующим вопросом:
«Какое свойство X связывает Аи С, чтобы:
• свойство X было необходимо для А;
• свойство С было необходимо для X?».

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 167
Если признака X оказалось недостаточно для построения
очевидного доказательства, отыскивается новый признак Y: «Какое свойство
Усвязывает Хи С таким образом, что 1) свойство ^необходимо для X;
2) свойство С необходимо для У?». Поиск аргументов продолжается
до тех пор, пока переход от Л к С не будет представлен в виде цепочки
более коротких и очевидных переходов согласно известной аксиоме
силлогизма:
А —>X—> Y—>... —>Z—> С .„сч
А->С
В анализируемом примере признаком, промежуточным между Л и С
и удовлетворяющим указанным требованиям, будет X = «Люди,
которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании
своих реальных или мнимых достоинств». Так как промежуточный
признак один, появляются два аргумента:
• а{ = «Все люди, которые хотят услышать похвалу себе, есть люди,
которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном
признании своих реальных или мнимых достоинств»;
• а2 = «Все люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются
в публичном признании своих реальных или мцимых достоинств,
есть люди, которые хвалят других».
Строим и проверяем силлогизм:
ах = «Все А есть X».
а2 = «Все X есть С».
Р = «Все А есть С».
Так как аргументы истинны (очевидны) и тезис следует из них с
необходимостью, то его, согласно умозаключению A), следует считать
доказанным прямым способом.
Пример 2
Доказать первым косвенным способом тезис /?= «Мы хвалим обычно
лишь для того, чтобы услышать похвалу себе». Чтобы доказать таким
способом тезис, необходимо опровергнуть антитезис -./? = «Существует
человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит
других людей». Приведенный к нормальной форме (см. предыдущий
пример), антитезис символизируется следующим образом:
«Некоторые А не есть С».
Для опровержения антитезиса необходимо доказать, что подобных
людей существовать не может, т. е. что ни одному А не присуще
свойство -iC = «люди, которые не хвалят других». Это равносильно доказа-

168 Часть I. Традиционная логика
тельству, что А и -iC несовместимы. Несовместимость в косвенных
доказательствах становится критерием их успешности.
Для проверки несовместимости А и -«С допускаем, что антитезис
истинный: предположим, что существует хотя бы один человек,
который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других
людей, — и присоединяем его к уже известным аргументам (см. первый
пример) а{ и а2
Строим сложный силлогизм, где X = «Люди, которые отличаются
тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или
мнимых достоинств»:
-./3 = «Некоторые А не есть С».
а{ = «Все А есть X».
а2 = «Все X есть С».
Противоречие. Следовательно, антитезис -./3 ложен, а тезис Р истинный.
Из аргументов а{ и сс2следует суждение «Все Л есть С», которое
противоречит временно принятому антитезису «Некоторые Л не есть С».
Так как аргументы истинны, то ложным считается антитезис, из чего
согласно умозаключению B) следует косвенное доказательство
тезиса /3 = «Все А есть С».
Пример 3
Доказать вторым косвенным способом тезис /3 = «Мы хвалим обычно
лишь для того, чтобы услышать похвалу себе».
При косвенном доказательстве вторым способом антитезис
формулируется в виде множества взаимоисключающих альтернатив, которые
вместе с тезисом исчерпывают все решения поставленной проблемы.
Если тезис утверждает, что все люди, которые хотят услышать похвалу
себе, хвалят других людей, то его альтернативы таковы:
• -i/Jj = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе,
порицают других людей»;
• -i/?2 - «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе,
не хвалят и не порицают других людей».
Логическая сумма -ip{ и -i/?2 исчерпывает все возможные случаи
общего антитезиса ->/? = «Некоторые люди, которые хотят услышать
похвалу себе, не хвалят других людей».
Таким образом, при косвенном доказательстве вторым способом
задача сводится к опровержению не общего антитезиса, как при
косвенном доказательстве первым способом, а всех его частных случаев.
Приводим ->/?! и ->/?2 к нормальной форме: -пС{ = «люди, которые
порицают других»; -iC2 = «люди, которые не хвалят и не порицают

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 169
других», -i/Jj = «Некоторые Л есть-.6^», -ij82 = «Некоторые Л есть-|С2».
Для опровержения -i/Jj и -i/?2 необходимо доказать, что Л несовместимо
как с -iCj, так и с -iC2, а значит и с -iC. Напомним, что промежуточным
признаком выступает X = «Люди, которые отличаются тщеславием
и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых
достоинств». Имеем следующие аргументы: а{ = «Все Л есть X» и а2 =
= «Все Xесть С».
Строим и проверяем два силлогизма (для -i/Jj и -;/32 последовательно):
-i/3j = «Некоторые Л есть -iCx».
ах = «Все Л есть X».
а2 = «Все Xесть С».
Противоречие. Антитезис -./^ опровергается.
->/32 = «Некоторые Л есть -»С2».
at = «Все Л естьХ».
а2 = «Все Xесть С».
Противоречие. Антитезис -i/32 опровергается.
Из трех взаимно исключающих и совместно исчерпывающих
альтернатив Д -i/?j и -i/?2 последние две оказались опровергнутыми
(исключенными). Следовательно, тезис $ согласно умозаключению C)
можно считать косвенно доказанным.
Пример 4
Построить опровержение тезиса /?= «Число 4 простое». Приводим его
к нормальной форме: U = «натуральные числа», Л = «равные 4», С =
= «простые», /3 = «Все Л есть С».
Опровергнуть прямым способом тезис /3 означает обосновать
противоречивость (несовместимость) связи признаков Л и С. Ищем
признаки, необходимым образом связанные с Л и С: Х= «делиться только
на себя и на 1», У = «делиться на себя, на 1 и 2». Так как промежуточных
признаков два, то получаем три аргумента: а{ = «Только Сесть X»,
а2 = «Все Л есть У», а3 = «Ни один У не есть X».
Строим и проверяем сложный силлогизм:
/Н «Все Л есть С».
а, = «Только СестьX».
а2 = «ВсеЛ есть У».
«з = «Ни один Уне есть X».
Противоречие. Тезис Р опровергается.
Из аргументов av cc2 и а3следует истинность общего суждения: «Ни
одно Л не есть С». Из его истинности следует истинность частного суж-

170 Часть I. Традиционная логика
дения: «Некоторые Л не есть С», которое противоречит тезису /3 и
опровергает его.
Пример 5
«Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезьянских
племен мартышек, орангуташек и т. п. Простите меня, старичка, но я с
Вами касательно этого пункта не согласен и могу Вам запятую
поставить. Ибо, если человек, властитель мира, умнейшее из дыхательных
существ, произошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него
был бы хвост и дикий голос» (А. Я. Чехов «Письмо к ученому соседу»).
Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в котором
U = «живые существа», А = «люди», В = «произошедшие от обезьян»,
С = «имеющие хвост и дикий голос». Опровергаемым тезисом будет
суждение «Все люди произошли от обезьян», т. е. /3 = «Все А есть В».
Первым аргументом становится суждение «Все живые существа,
произошедшие от обезьян, обязаны иметь хвост и дикий голос», т. е. ах =
= «Все В есть С». Вторым аргументом следует считать суждение «Люди
не имеют хвоста и дикого голоса», т. е. а2 = «Ни одно А не есть С».
Второй аргумент в явном виде не присутствует в рассуждении, но
подразумевается как самоочевидный факт.
Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса
с аргументами а{ и av т. е. по схеме D).
Для проверки образуем следующее сложное умозаключение:
Р = «Все А есть J5».
а{ = «Все Лесть С».
а2 = «Ни одно А не есть С».
Несовместимость. Тезис /3 опровергается.
Из аргументов а{ и с^ следует истинность общего суждения «Ни одно
А не есть В» и тем самым истинность частного суждения «Некоторые
А не есть В». Из истинности последнего следует опровержение тезиса Д
В отличие от чеховского героя мы посчитали бы первый аргумент
ложным. В этом случае опровержение теряет свою силу, т. е. ложность
тезиса остается недоказанной.
Пример 6
Все, что требует
желудок, тело
или ум, —
все человеку представляет ГУМ (В. В. Маяковский).
Приведенный рекламный текст содержит прямое доказательство, в
котором U = «магазины», А = «с товарами для желудка, тела и ума», В =

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение ^171
= «которые стоит посещать», С = «называемые ГУМом». Мы не
ошибемся, если в качестве тезиса определим суждение «ГУМ — универмаг,
который стоит посетить», т. е. /3 = «Все С есть В». Первым аргументом
выступает суждение «Магазины, в которых есть товары для желудка,
тела и ума, стоит посещать», т. е. а{ = «Все А есть В». Вторым
аргументом, учитывая цель рекламы, будет суждение «Только в ГУМе имеются
товары для желудка, тела и ума», т. е. а2 = «Только С есть Л». Прямое
доказательство предполагает логическое следование тезиса из истинных
аргументов. Для проверки этого построим следующий простой силлогизм:
а{ = «Вре Л есть J3».
а2 = «Только С есть Л».
/3= «Все Сесть J3».
Силлогизм правильный. Следовательно, тезис /3 согласно
умозаключению A) доказан прямым способом.
Пример 7
«Снова завладеть однажды потерянным благом лучше, чем никогда не
утрачивать его. Ибо мы лучше ценим его благодаря воспоминанию
о том времени, когда были лишены его. Поэтому лучше выздороветь,
чем не быть больным».1
Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство, в
котором U= «люди», Л = «снова завладевшие однажды потерянным
благом», В = «ценящие вернувшееся благо выше, чем благо никогда не
терявшееся, благодаря воспоминанию о том Времени, когда были
лишены его», С = «выздоровевшие», D = «ценящие вернувшееся
здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся». Тезис — это
суждение: «Все выздоровевшие люди, ценящие вернувшееся здоровье выше,
чем здоровье, никогда не терявшееся», т. е. /3 = «Все Сесть D».
Суждение «Все люди, снова завладевшие однажды потерянным благом, есть
люди, ценящие вернувшееся благо выше, чем благо, никогда не
терявшееся, вследствие воспоминаний о том времени, когда были лишены
его» — первый аргумент, т. е. а{ = «Все А есть В». Суждение «Все
выздоровевшие есть люди, снова завладевшие однажды потерянным
благом» представляет собой второй аргумент, т. е. а2 = «Все С есть Л».
Суждение «Все ценящие вернувшееся благо выше, чем никогда не
терявшееся, благодаря воспоминанию о том времени, когда были
лишены его, есть люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье
никогда не терявшееся», представляет третий аргумент, т. е. а3 = «Все
1 Гоббс Т. Сочинения: В 2 т. - М., 1989. Т. 1. С. 246.

172 Часть I. Традиционная логика
В есть D». Для проверки следования тезиса из перечисленных
аргументов строим следующий сложный силлогизм:
а{ = «Все А есть Б».
а2 = «Все С есть А»,
а^ = «В есть D».
Р = «Все Сесть D».
Силлогизм правильный. Следовательно, тезис /3 согласно
умозаключению A) доказан прямым способом.
Пример 8
«То, — говорит он [стоик Зенон Китионский. — В. С], что лишено души
и разума, не может породить из себя одушевленное и владеющее
разумом. Мир же порождает одушевленное и владеющее разумом.
Следовательно, мир должен быть одушевленным и владеющим разумом»1.
Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство тезиса,
в котором U,= «вещи», А = «лишенные души и разума», В =
«способные породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», С =
= «представляющее собой мир». Тезисом выступает суждение «Мир
есть одушевленная и владеющая разумом вещь», т. е. /3 = «Все С есть
-v4». Первый аргумент — суждение «Ни одна вещь, лишенная души
и разума, не есть вещь, способная породить из себя нечто
одушевленное и владеющее разумом», т. е. а{ = «Ни одно А не есть В». Второй
аргумент — суждение «Мир порождает одушевленное и владеющее
разумом», т. е. а2 = «Все С есть В». Проверяем следование тезиса из
названных аргументов:
а{ = «Ни одно А не есть J5».
«2= «Все С есть J5».
Р = «Все С есть —А».
Так как тезис следует из аргументов и последние, согласно Зенону,
истинны, этот тезис следует считать доказанным. Но в приведенном
доказательстве бесспорен только второй аргумент. Истинность же
первого сомнительна с научной точки зрения. Поэтому хотя тезис и
следует из аргументов, его доказанность остается под вопросом.
Пример 9
«Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что остается,
называют абсолютным пространством; при этом все отношения,
следующие из расположения тел и расстояний между телами, исчезли вместе
1 Цицерон. Философские трактаты. — М., 1985. С. 107.

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 173
с телами. Кроме того, такое пространство является бесконечным,
неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенным
связей и различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны,
или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть просто
ничто. Единственное несущественное затруднение состоит в том, что оно
протяженно, а протяженность — положительное качество. Но что это
за протяженность, я спрашиваю, которая не может быть ни разделена,
ни измерена, любая часть которой недоступна ни чувственному
восприятию, ни воображению?.. Чистый интеллект также ничего не знает
об абсолютном пространстве. Эта способность находится в
соотношении только с духовными непротяженными вещами, такими как наши
мысли, их модусы, страсти, добродетели и т. п. Уберите из
абсолютного пространства само название, и от него ничего не останется ни в
чувстве, ни в воображении, ни в интеллекте»1.
В приведенном рассуждении опровергается введенное И. Ньютоном
понятие абсолютного пространства. Здесь U = «вещи и их отношения
друг к другу», А = «существующие», В = «наблюдаемые, измеримые,
познаваемые», С = «образующие абсолютное пространство». Тезисом
выступает суждение «Абсолютное пространство существует», /3 =
«Некоторые Сесть Л». Первый аргумент — суждение «Все существующие
вещи есть вещи, наблюдаемые, измеряемые, познаваемые», а{ = «Все
А есть В». Второй аргумент — суждение «Абсолютное пространство
есть вещь, но непознаваемая, неизмеряемая, ненаблюдаемая», а2 = «Все
С есть -iB». Опровержение строится как доказательство
несовместимости тезиса с истинными аргументами. Для проверки построим
следующий сложный силлогизм:
/3= «Некоторые Сесть Л».
а{ = «Все А есть Б».
«2 = «Все С есть -J3».
Противоречие. Тезис /3 опровергается.
Таким образом, Дж. Беркли рассуждал в приведенном отрывке
согласно умозаключению D).
Пример 10
«— Общие рассуждения! — продолжал Пигасов. — Смерть моя — эти
общие рассуждения, обозрения, заключения! Все это основано на так
называемых убеждениях; всякий толкует о своих убеждениях и еще
уважения к ним требует, носится с ними... Эх!
1 Беркли Дж. Сочинения. М, 1978. С. 379.

174 Часть I. Традиционная логика
И Пигасов потряс кулаком в воздухе. Пиндалевский рассмеялся.
— Прекрасно! — промолвил Рудин. — Стало быть, по-вашему,
убеждений нет?
— Нет — и не существует.
— Это ваше убеждение?
-Да.
— Как же вы говорите/ что их нет? Вот вам уже одно, на первый
случай.
Все в комнате улыбнулись и переглянулись» (Я. С. Тургенев «Рудин»).
Приведенный диалог интересен тем, что один из его участников,
Пигасов, пытаясь обосновать свою точку зрения, приводит
противоречивое множество аргументов и тем самым оставляет свой тезис без
доказательства. Чтобы увидеть это, формализуем процесс
рассуждения. Пусть U= «рассуждения», Л = «общие», В = «пустые», С=
«основанные на убеждениях». Тезис, который Пигасов пытается обосновать,
представляет суждение «Все общие рассуждения — пустые», /3 = «Все
А есть В».
Убеждения, согласно Пигасову, составляют необходимое условие
истинности общих рассуждений. Первым аргументом поэтому
оказывается суждение «Все общие рассуждения есть рассуждения,
основанные на убеждениях», а{ = «Все Л есть С». Вторым аргументом — мысль
Пигасова о том, что убеждений не существует. Она высказывается так:
«Все рассуждения, основанные на убеждениях, есть пустые (т. е.
несуществующие) рассуждения», а2= «Все Сесть В». К этим аргументам
в пылу полемики Пигасов добавил еще один, разрушивший
построенную демонстрацию. Им стала мысль, что некоторые убеждения
существуют. Она выражается суждением «Некоторые рассуждения,
основанные на убеждениях, есть непустые (т. е. существующие) рассуждения»,
Оз = «Некоторые Сесть -iB». Чтобы проверить противоречивость
выдвинутых аргументов, построим следующий сложный силлогизм:
а{ = «Все А есть С».
02= «Все С есть Б».
а3 = «Некоторые Л есть -«J3».
Множество аргументов а противоречиво.
Итак, аргументы Пигасова образуют противоречие. Как мы знаем,
любое суждение ?сть логическое следствие противоречивой системы
посылок. Следовательно, тезис Пигасова следует из его аргументов,
но ими не доказывается.
Еще раз убеждаемся, что логическое следование из аргументов не
означает доказательство.

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 1_75
Пример 11
«Установив такое начало [что мир есть тело в высшей степени
совершенное, упорядоченное. — В. С], мы можем непосредственно из него
сделать тот вывод, что если тела, составляющие Вселенную, должны
по природе своей обладать движением, то невозможно, чтобы
движения их были прямолинейными и вообще какими бы то ни было, кроме
как круговыми; основание этого просто и ясно. Ведь то, что движется
прямолинейным движением, меняет место, и если движение
продолжается, то движущееся тело все больше и больше удаляется от своей
исходной точки и от всех тех мест, которые оно последовательно
прошло; а если такое движение ему естественно присуще, то оно с самого
начала не находилось на своем естественном месте, и значит части
вселенной не расположены в совершенном порядке; однако мы
предполагаем, что они подчинены совершенному порядку; значит невозможно
допустить, чтобы им, как таковым, по природе было свойственно
менять места, т. е., следовательно, двигаться прямолинейно»1.
В приведенном рассуждении Галилея объединены вместе прямое
и косвенное доказательство естественности кругового движения. Пусть
U= «движения», А = «естественные», В = «круговые», С=
«подчиненные совершенному порядку». Доказываемым тезисом служит
суждение «Естественное движение является круговым», т. е. /3 = «Все А есть
В». Первый аргумент — суждение «Естественное движение
подчиняется совершенному порядку», т. е. а{ = «Все А есть С». Второй
аргумент — суждение «Движение, подчиненное совершенному порядку,
является круговым», т. е. с^ = «Все С есть В». Прямое доказательство
требует, чтобы тезис следовал из аргументов. Проверим это:
а{ = «Все Л есть С».
а2= «Все С есть 5».
/3= «Все Л есть J5».
Итак, тезис следует из аргументов, которые истинные.
Следовательно, истинность тезиса доказана прямым способом.
Косвенное доказательство строится как обоснование невозможности
прямолинейного движения, т. е. как обоснование ложности антитезиса.
Антитезисом будет суждение «Некоторые естественные движения
не являются круговыми», т. е. -i/З = «Некоторые А не есть В». Для
косвенного доказательства обязательное требование — несовместимость
аргументов с антитезисом. Проверим, выполняется ли это условие:
1 Галилей Г. Избранные труды: В 2 т. - М, 1964. Т. 1. С. 115-116.

176 Часть I. Традиционная логика
—ifi = «Некоторые Л не есть В».
а{ = «Все А есть С».
а2 = «Все Сесть J5».
Противоречие. Антитезис -i/З ложный. Тезис f$ истинный.
Аргументы несовместимы с антитезисом и истинны.
Следовательно, косвенно доказано, что тезис истинный.
Косвенное доказательство оказывается избыточным, когда имеется
прямое. Но вместе, как свидетельствует рассуждение Галилея, они
усиливают психологическое восприятие истинности тезиса. А это иногда
не менее важно, чем логически обоснованное доказательство.
Главные логические ошибки
Логические ошибки принято разделять на умышленные и
неумышленные. Умышленные бшибки называются софизмами (от греч. sophisma —
«уловка, хитрость»). Их цель — обеспечить беспроигрышную победу,
любым способом заставить оппонента признать свое поражение в
споре, дискуссии, суде. Неумышленные ошибки совершаются, как
правило, из-за незнания логики, вследствие продолжительного обсуждения,
сильного эмоционального напряжения, усталости и т. д.
Логических ошибок насчитывают несколько сотен, и нет смысла
перечислять их все. Чтобы построить понятную классификацию
логических ошибок, укажем сначала основные требования к корректному
(общезначимому) дедуктивному доказательству (опровержению).
В таком, по сути дела, идеальном доказательстве:
(I) Тезис остается неизменным на протяжении всего доказательства
или опровержения.
(II) Тезис понимается всеми участниками однозначно.
(III) Каждый аргумент доказывается независимо от других
аргументов и тезиса доказательства.
(IV) Все аргументы совместимы, уместны, относятся к
обсуждаемой проблеме. Тезис необходимо следует из аргументов.
Умышленное или неумышленное нарушение какого бы то ни было
из перечисленных требований приводит к определенной ошибке.
Примером нарушения требования (I) служит потеря или подмена
тезиса, т. е. введение в доказательство нового тезиса. Тезис
утрачивается чаще всего неосознанно. Его подмена совершается, как правило,
умышленно — превращается в уловку, с помощью которой автор
стремится увести обсуждение по тем или иным мотивам от насущной
проблемы к другой, часто с ней совсем не связанной.

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 177
Таблица 4.1
Ошибка «Потеря или подмена тезиса»
1. Доказывается тезис Р{.
2. Вводится новый тезис Р2.
3. Начинается обсуждение Рт
4. Тезис /3, остается без доказательства.
Подмена тезиса часто происходит в политических дискуссиях, когда
вместо обсуждения достоинств и недостатков предлагаемых программ
переключаются на обсуждение достоинств и недостатков их авторов.
Этой уловке способствует многозначность слов и явление омонимии.
Другим примером нарушения требования (I) служит такое
усиление тезиса, в результате чего он превращается в ложное утверждение.
Таблица 4.2
Ошибка «Кто много доказывает, тот ничего не доказывает»
1. Требуется доказать тезис Р{.
2. Вместо Р{ формулируется логически более сильная версия — тезис Р2.
3. Доказывается ложность тезиса Р2.
4. Ложность тезиса Р2 переносится па тезис Pv
Если тезис «Некоторые четные числа делятся на 3» усилить до
утверждения «Все четные числа делятся на 3», то это означает совершить
указанную ошибку. Для последнего утверждения легко привести
опровержение (например число 4 не делится на 3). Значит, усиленный тезис
доказывает излишне многое и поэтому ложен, из чего, впрочем, не
следует ложность тезиса «Некоторые четные числа делятся на 3».
Примером нарушения требования (II) будет умышленное или
неумышленное введение тезиса, относительно которого участники
доказательства не могут достигнуть однозначной интерпретации.
Таблица 4.3
Ошибка «Неоднозначный тезис»
1. Доказывается тезис Д
2. Тезис Р может интерпретироваться как 0, или как Р2... или как Рп.
3. Участники доказательства не могут добиться однозначного
толкования тезиса Д
4. Тезис Достается недоказанным.
Тезис «Культура есть благо» может доказываться только после того,
как будет установлен смысл, в котором употребляется термин
«культура»: идет ли речь о культуре в целом или о какой-нибудь ее
разновидности.
Типичным примером нарушения требования (III) служит так
называемый круг в доказательстве. То, что предполагается доказать, уже

178 Часть I. Традиционная логика
явно или неявно содержится в приведенных аргументах. Это
означает, что тезис не получает независимого обоснования.
Таблица 4.4
Ошибка «Круг в доказательстве»
1. Обсуждается тезис Д
2. Сначала доказывается, что тезис Р истинный, потому что аргумент a
истинный.
3. Затем доказывается, что аргумент а истинный, потому что тезис Р
истинный.
4. Тезис Р не получает независимого обоснования.
Рассуждение «Душа существует вечно, потому что она не может
умереть» содержит указанную ошибку. Аргумент «Душа не может
умереть» эквивалентен тезису «Душа существует вечно». Следовательно,
в содержании аргумента предполагается то, что должно быть
доказано. Если это так, тезис данным аргументом не доказывается.
Причиной нарушения требования (IV) служит отсутствие
необходимой связи аргументов и заключения. Аргументы должны быть
совместимыми друг с другом, уместными, необходимо связанными с
доказываемым тезисом. Это означает, что в корректном дедуктивном
доказательстве не принимаются во внимание аргументы,
несовместимые друг с другом или с тезисом, содержащие ссылки на эмоции,
угрозы, выгоду, мнение большинства или популярных артистов,
спортсменов и т. п. Также не учитываются аргументы, основанные на незнании
оппонентами каких-либо фактов или на пренебрежении их точкой
зрения, потому что они придерживаются противоположного мнения.
В следующем рассуждении один из аргументов несовместим с
тезисом, и по этой причине доказательство некорректно. «Ни одно
моральное обязательство не является универсальным, так как условна
всякая мораль, основанная на определенном историческом типе культуры.
Что признается в одной культуре, то отвергается в другой.
Универсальные моральные обязательства — миф. Мы должны быть терпимы
друг к другу, мы не можем утверждать, что мы правы, а они нет.
Каждый должен уважать ценности других»1. Несовместимы друг с другом
аргумент «Ни одно моральное обязательство не является
универсальным» и тезис «Каждый должен уважать ценности других». Если
истинно любое одно из них, то ложно другое.
Более многочисленны причины, по которым аргументы
совместимы с тезисом, но все-таки его не доказывают. Рассмотрим в этой связи
ряд типичных ошибок.
1 GenslerHJ. Introduction to Logic. - London, 2003. P. 338.

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 179
Таблица 4.5
Ошибка «Тезис не следует из аргументов»
1. Доказывается тезис Д
2. Приводится аргумент а.
3. Аргумент а иррелевантен для доказательства тезиса Д
4. Аргумент а не доказывает тезис Д
Если для доказательства тезиса «В этом году ожидается увеличение
военных столкновений» приводится аргумент «Планета Марс заняла такое-
то положение по отношению к Земле», то совершается указанная ошибка.
В рекламном призыве «Покупайте кофе марки X, потому что по
утрам его пьет звезда мирового футбола F» тезис «Покупайте кофе
марки X» не оказывается необходимым следствием приведенного
аргумента «По утрам кофе этой марки пьет звезда мирового футбола У».
В умозаключении «Никто не доказал, что Бог не существует,
следовательно, он существует» тезис «Бог существует» также не следует с
необходимостью из аргумента «Никто не доказал, что Бог не существует».
В утверждении «Мой оппонент верит, что на Марсе имеется жизнь.
Значит, ее там нет» тезис «На Марсе жизни нет» также не следует с
необходимостью из аргумента «Мой оппонент верит, что на Марсе жизнь существует».
Важную разновидность рассматриваемой ошибки образуют
рассуждения, построенные по принципу «После того — значит по причине
того». В умозаключениях подобного рода не учитывается необходимая
связь причины и следствия.
Таблица 4.6
Ошибка «После того — значит по причине того»
1. Исследуется причина события Д
2. Другое событие а предшествовало событию Д
3. Событие a — причина события Д
Примерами служат умозаключения: «Люди появились после
динозавров. Следовательно, люди произошли от динозавров», «Я
споткнулся о камень после того, как черная кошка перебежала мне дорогу».
Другую важную разновидность анализируемой ошибки образуют
ложные дилеммы.
Таблица 4.7
Ошибка «Ложная дилемма»
1. По предположению, истинно либо а, либо Д
2. На самом деле альтернативы аи Рмогут быть ложны.
3. Событие а ложно.
4. Заключение, что событие /3 истинно, неправомерно.

180 Часть I. Традиционная логика
Например, из следующих двух альтернатив ничего не следует с
необходимостью. Допустим, предполагается следующая дилемма:
истинно либо 2 + 2 = 3, либо 2 + 2 = 5. Но альтернатива 2 + 2 = 3 ложная.
Значит, истинна альтернатива 2 + 2 = 5.
Другой разновидностью отсутствия следования тезиса из
аргументов будет ошибка, возникающая в результате неправомерного переноса
свойств одной части или нескольких частей вещи на саму вещь, и
наоборот.
Таблица 4.8
Ошибка «Если каждая часть вещи обладает некоторым свойством,
значит и вещь в целом обладает этим же свойством»
1. Каждая часть вещи а обладает свойством Д
2. Вещь а обладает свойством Д
Примером рассматриваемой ошибки служат умозаключения: «Если
каждая деталь этого автомобиля совершенна, значит, совершенен и весь
автомобиль в целом»; «Если знаешь все английские слова из словаря
В. К. Мюллера, можешь свободно говорить по-английски».
Таблица 4.9
Ошибка «Если вещь обладает некоторым свойством, значит
и каждая ее часть также обладает этим свойством»
1. Вещь а обладает свойством Д
2. Каждая часть вещи а обладает свойством Д
Примером рассматриваемой ошибки служат обратные приведенным
выше умозаключения: «Если данный автомобиль совершенен, значит,
совершенна и каждая его деталь»; «Если можешь говорить свободно
по-английски, значит, знаешь все английские слова из словаря В. К. Мюллера».
Упражнения
I. Определите в каждом из приведенных ниже отрывков вид
доказательства или опровержения. Проверьте правильность заключения.
«Количество движения, получаемое, если взять сумму количеств '
движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда
они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от
взаимодействия тел между собою.
Так как по закону III [третий закон движения Ньютона. — В. С]
действие и противодействие между собой равны и противоположны, то по
закону II [второй закон движения Ньютона. — В. С] они производят
равные изменения количеств движения, направленные в
противоположные стороны. Таким образом, если движения двух тел направлены
в одну сторону, то что приложится к количеству движения тела, идуще-

Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение +
го впереди, то вычтется из количества движения тела, за ним
следующего, и сумма количеств движения обоих тел останется прежняя. Если же
тела движутся в противоположные стороны, то вычтется поровну из
количеств движения каждого из них, и, следовательно, разность количеств
движения, направленных в обратные стороны, останется без перемены»1.
«Сальвиати. Если память не изменяет мне, первый аргумент,
приведенный синьором Симпличио, таков. Земля не может двигаться
кругообразно, так как подобное движение было бы для нее
насильственным, а потому не могло бы продолжаться вечно; далее, объяснение,
. почему оно было бы насильственным, заключалось в том, что, будь оно
естественным, части Земли также естественно вращались бы, что
невозможно, так как этим частям по природе присуще прямолинейное
движение вниз. На это отвечу так: мне было бы желательно, чтобы
Аристотель выразился точнее, утверждая, что части Земли также
двигались кругообразно; ведь это кругообразное движение можно понимать
двояко: во-первых, так, что всякая частица, отделившаяся от своего
целого, двигалась бы кругообразно вокруг естественного центра,
описывая свои маленькие кружочки; во-вторых, так, что при вращении
всего шара вокруг своего центра в двадцать четыре часа и части также
вращались бы вокруг того же центра в двадцать четыре часа. Первое
было бы несообразностью не меньшей, чем если бы кто сказал, что
всякой части круга надлежит быть кругом... Но если оно понимается во
втором смысле, т. е. что части, подражая целому, естественно
движутся вокруг центра всего шара в двадцать четыре часа, то я утверждаю,
что они это и делают, и вам [собеседникам — В. С] вместо Аристотеля
надлежит доказать, что этого нет»2.
«В самом деле, если планеты переносятся вокруг Солнца вихрями,
то число вихрей, расположенных в смежности с какою-нибудь
планетою, должны быть одной с ней плотности, как уже сказано выше.
Таким образом, вся материя, расположенная на орбите Земли, должна
иметь ту же плотность, как Земля, та же материя, которая лежит между
орбитою Земли и орбитою Сатурна, должна иметь или такую же
плотность, или большую, ибо для того, чтобы строение вихря могло
сохраняться, необходимо, чтобы менее плотные части были ближе к центру,
более плотные — дальше от центра... Таким образом, вся, притом
значительно большая, часть вихря, расположенная снаружи земной
орбиты, будет обладать плотностью, а значит, и силою инерции на каждый
объем материи не меньшею, нежели плотность и сила инерции Земли.
Следовательно, проходящие через вихрь кометы будут встречать
громадное сопротивление, которое и проявилось бы весьма ощутительно,
если только оно не оказалось бы достаточным, чтобы поглотить и
прекратить движение.
1 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М, 1989.
С. 45-46.
2 Галилей Г. Избранные труды: В 2 т. - М, 1964. Т. 1. С. 232.

182 Часть I. Традиционная логика
Чрезвычайно же правильное движение комет показывает, что они
подвержены даже в малейшей степени ощутительному сопротивлению.
Отсюда следует, что кометы совершенно не проникают в такую среду,
которая обладала бы каким бы то ни было сопротивлением или какою
бы то ни было инерцией...»1
«Рассмотрим в первую очередь последствия принятия
иррационализма. Иррационализм настаивает на том, что не столько разум, сколько
чувства и страсти являются основной движущейся силой человеческих
действий... Мое твердое убеждение состоит в том, что это иррациона-
листическое выпячивание страстей и эмоций должно в конечном счете
приводить к тому, что нельзя определить иначе как преступление.
Я считаю так, потому что такое выпячивание страстей представляет
собой в лучшем случае одну из форм смирения перед иррациональной
природой человеческого бытия. В худшем же случае оно есть
выражение презрения к человеческому разуму, из чего следует обращение
к принуждению и грубой силе как последним арбитрам в любом споре»2.
II. Определите вид логической ошибки в следующих рассуждениях.
1. Библия сообщает нам истину, потому что она — слово Божье. Мы
знаем, что Библия — слово Божье, потому что об этом написано
в ней самой, а то, что в ней написано, истинно.
2. Мы должны проголосовать за этого кандидата, потому что он —
интеллигентный человек и имеет большой политический опыт.
3. Мой доктор советует мне похудеть и бросить курить. Но он сам
курит. Значит, я могу проигнорировать его совет.
4. Аристотель утверждает, что более тяжелое тело падает по
направлению к поверхности Земли более быстро, чем легкое тело. Раз
это говорит Аристотель, значит, данное утверждение истинно.
5. Каждая часть нашего организма имеет свою цель. Следовательно,
имеет цель и наш организм в целом.
6. Все знают, что летом тепло, а зимой холодно. Значит, так на самом
деле.
7. Атеизм абсурден. Атеисты утверждают, что Бог не существует,
потому что его нельзя увидеть. Но видел ли кто-либо электрон?
8. Дилемма фаталиста: «Если мне суждено умереть, то я умру — все
равно, позову врача или нет; а если мне суждено поправиться, я также
все равно поправлюсь — позову ли врача или нет. Но, конечно, что-
нибудь мне суждено — или умереть, или поправиться.
Следовательно, я умру или поправлюсь — все равно, вызову ли я врача или нет».
1 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М., 1989.
С. 16-17.
2 Поппер К. Открытое общество и его враги. — М., 1992. Т. 2. С. 270.

Глава 5
Доказательство и опровержение
как искусство риторики
Итак, определим риторику как способность находить
возможные способы убеждения относительно каждого данного
' предмета.
Аристотель «Риторика»
Таким образом, все построение убедительной речи
основывается на трех вещах: доказать правоту того, что мы
защищаем; расположить к себе тех, перед кем мы выступаем;
направить их мысль в нужную для дела сторону.
Марк Туллий Цицерон «Об ораторе»
Определение риторики
Кроме логических требований демонстрация подчиняется также и
различным социально-психологическим и литературным
закономерностям. В единстве всех логических и нелогических правил она
превращается в умение рассуждать риторически.
Мы рассуждаем риторически, когда стремимся устно или
письменно привлечь кого-либо на свою сторону или добиться того, чтобы
проявилось нужное нам действие, было принято желаемое решение,
причем нередко человеку приходится убеждать и самого себя. Как это,
сделать наилучшим образом — и составляет смысл риторической речи.
Ее задачи и правила в канонической форме были сформулированы
Цицероном:
Все силы и способности оратора служат выполнению пяти задач: во-
первых, он должен приискать содержание для своей речи; во-вторых,
расположить найденное по порядку, взвесив и оценив каждый довод;
в-третьих, облечь и украсить все это словами; в-четвертых, укрепить
речь в памяти; в-пятых, произнести ее с достоинством и приятностью.
Далее я узнал и понял, что прежде чем приступить к делу, надо вначале

184 Часть I. Традиционная логика
расположить слушателей в свою пользу, далее разъяснить дело, после
этого установить предмет спора, затем доказать то, на чем мы
настаиваем, потом опровергнуть возражения; а в конце речи все то, что
говорит за нас, развернуть и возвеличить, а то, что за противника,
поколебать и лишить значения1.
В каждой риторической речи можно выделить автора, его
аудиторию и обращение. Все вместе они образуют так называемый
риторический треугольник (рис. 5.1).
Обращение
Автор ^ -^ Аудитория
Рис. 5.1. Риторический треугольник
Автор риторической речи — тот человек (группа людей), который
убеждает аудиторию совершить некоторое действие, занять
определенную позицию, принять нужное решение. Аудитория риторической
речи — тот человек (группа людей), которому автор адресует свое
обращение. Один и тот же человек (группа людей) может совмещать
функции автора и аудитории. Обращение — те тезисы, которые автор
предлагает аудитории, и те аргументы, с помощью которых он убеждает ее
в истинности своих тезисов и ложности им противоречащих или
противоположных.
Когда Моська из известной басни И. А. Крылова отвечает: «Пускай
же говорят собаки: "Аи Моська! Знать она сильна, что лает на Слона!"»,
то она выступает автором, собаки — ее аудиторией, нападки на
Слона — аргументом, признание ее силы — тем тезисом, в истинности
которого она хочет убедить аудиторию.
Когда я уговариваю себя захватить зонт из-за непогоды, то выступаю
и автором, и аудиторией одновременно, возможность промокнуть —
аргументом, взять зонт — требуемым тезисом (действием).
Необходимость убеждения в истинности тезиса называется
риторической проблемой. Наличие ее ведет к появлению автора, аудитории
и созданию обращения. Формулировка риторической проблемы и ее
решение называются риторической деятельностью, а те правила,
которым она подчиняется, — риторикой.
. Риторика — правила решения риторических проблем.
1 Цицерон Марк Туллий. Об ораторе // Три трактата об ораторском
искусстве. - М, 1972. С. 112.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 1JB5
В соответствии с традицией все риторические правила делятся на:
1) правила, относящиеся к изобретению необходимых мыслей;
2) правила, регулирующие расположение изобретенных мыслей;
3) правила словесного выражения мыслей, позволяющего
воздействовать на разум и чувства аудитории.
К этим правилам необходимо добавить еще и правила спора, так как
последний представляет разновидность риторической речи, в которой
автор и аудитория периодически меняются своими ролями.
Рассмотрим эти правила.
Изобретение обращения
Риторическая деятельность начинается с осознания риторической
проблемы — кто, кого, в чем должен убедить или подвергнуть сомнению,
похвалить или подвергнуть порицанию, защитить или осудить. Ответ
на вопрос кто? определяет автора, на вопрос кого? — аудиторию, на
вопрос в чем? — обращение. Каждый из вопросов конкретизирует одну
из вершин риторического треугольника (рис. 5.2).
В чем?
Кто? ^ ^ Кого?
Рис. 5.2. Основные вопросы риторической проблемы
Если вернуться к примеру с Моськой, то ответы на поставленные
вопросы окажутся следующими (рис. 5.3).
Признать сильной
Моська *- х Собаки
Рис. 5.3. Басня И. А. Крылова «Слон и Моська» как пример
риторической проблемы
Данные ответы определяют главное предложение обращения, и после
его конструирования риторическая деятельность продолжается
распространением этого предложения — уточнением его элементов и
присоединением полученных сведений в качестве дополнительных
предложений к главному. Главное предложение вместе с уточняющими его
дополнительными образует простой период — основную единицу
риторической речи. Таким образом, изобретение обращения сводится

186 Часть I. Традиционная логика
к построению одного или нескольких связанных друг с другом
простых периодов.
Первой целью распространения служит формулировка аргументов,
убеждающих аудиторию в том или ином риторическом тезисе
(действии). Сформулировать аргументы означает ответить на вопрос,
почему аудитории следует поддерживать автора. Аргументы
присоединяются к главному предложению в качестве причинных придаточных
предложений.
Вторая цель распространения главного предложения —
формулировка различных условий, обстоятельств, места и времени
совершения риторического действия. Требуемые мысли рождаются как
ответы на вопросы когда? где? при каких условиях? и вводятся в структуру
главного предложения в качестве различных определений и
уточнений подлежащего.
Третьей целью распространения главного предложения следует
считать создание положительного образа автора риторической
деятельности. Это особенно важно, если обращение представляет собой
рекламное действие. Необходимые мысли возникают как ответ на вопрос
почему вы {аудитория) должны доверять мне {автору)? Он также
вводится в структуру главного предложения в качестве уточняющего
обстоятельства.
Попробуем реконструировать процесс изобретения обращения на
нескольких примерах.
Пример 1
1. Печенье не черствеет!
2. Питательнее, выгоднее булки!
3. Продает Моссельпром,
4. Отделения в каждом переулке {В. В. Маяковский).
Главное предложение складывается при ответе на указанные
первые три вопроса, т. е. при конкретизации вершин риторического
треугольника:
Покупать печенье
Моссельпром ^- -^ Жители
и гости Москвы
Рис. 5.4. Рекламный текст В. В. Маяковского как пример
риторической проблемы
Главное предложение: «Моссельпром предлагает жителям и гостям
Москвы покупать печенье». Хотя оно и выражает суть риторической

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 187
проблемы, все же недостаточно эффективно, так как не указывает
аргументов, почему нужно покупать печенье. Другими словами, главное
предложение требует распространения. Аргументы: печенье не
черствеет, питательнее и выгоднее булки. Место возможной покупки:
отделения в каждом переулке.
Присовокупив полученные данные к главному предложению,
получаем распространенное предложение: Моссельпром, отделения
которого в каждом переулке, предлагает покупать печенье, потому что
оно не черствеет, питательнее и выгоднее булки.
Можно считать, что на этом процесс выявления и формулирования
мыслей оказывается завершенным. Проблемы изложения и словесного
выражения мыслей будут рассматриваться в следующих параграфах.
Пример 2
1. С разбором выбирай друзей.
2. Когда корысть себя личиной дружбы кроет, —
3. Она тебе лишь яму роет (И. А. Крылов).
Конкретизация вершин риторического треугольника дает
следующее главное положение: автор (И. А. Крылов) просит читателейраз-
борчиво выбирать друзей. Распространение главного предложения
состоит в указании аргументов, почему необходимо разборчиво выбирать
друзей. Аргументы; в противном случае можно поплатиться жизнью.
Распространенное предложение звучит следующим образом: «Автор
просит читателей разборчиво выбирать себе друзей, так как в
противном случае они рискуют поплатиться жизнью».
Пример 3
1. Кто б ни был ты, о мой читатель,
2. Друг, недруг, я хочу с тобой
3. Расстаться нынче как приятель (А. С. Пушкин).
В приведенном отрывке А. С. Пушкин обращается к читателю
романа «Евгений Онегин». Цель обращения — прощание. Главное
предложение: я хочу расстаться с тобой. Вопросы с кем? с каким! каким
образом! когда? уточняют предмет расставания: читатель] мой, друг,
недруг) как приятель; нынче.
Распространенное предложение имеет следующий вид: «Яхочу
расстаться с тобой, мой читатель, друг, недруг, нынче как приятель».
Итак, искусство изобретения мыслей сводится к умению задавать
вопросы и давать на них ответы.

188 Часть I. Традиционная логика
Изобрести мысли необходимо, но еще недостаточно для решения
риторической проблемы. Их еще необходимо правильно расположить,
а также надлежащим образом выразить словесно.
Изложение обращения
Правильно изложить обращение не менее важно, чем придумать его
отдельные части (периоды). Привести их во внутреннее соответствие,
найти для каждой части свое место — такова цель данной стадии
риторической деятельности.
В развернутой форме изложение включает, как правило, следующие
части.
1. Введение. Автор стремится вызвать доверие у аудитории к
самому себе, своему обращению, готовность выслушать изложение до
конца и поддержать свои тезисы.
2. Обозначение темы обращения. В тех случаях, когда тема обращения
сложна для восприятия или аудитория настроена неоднозначно,
автор кратко формулирует свою тему перед началом изложения.
Тем самым он закрепляет ее в сознании аудитории, это помогает
более быстрому пониманию всех частей и облегчает достижение
, главной цели обращения.
3. Повествование. Основная часть изложения. Представляются
факты в их систематической связи друг с другом и темой обращения.
Формулируются тезисы.
4. Доказательство и опровержение. Приводятся аргументы,
доказывающие изложенные факты, сформулированные тезисы, и
опровергаются точки зрения, противоречащие или противоположные
авторской.
5. Заключение. Содержит резюме выдвинутых аргументов. Автор
стремится возбудить у аудитории необходимый эмоциональный
отклик на изложенное обращение.
Не каждое обращение содержит указанные части. Их наличие
зависит от темы обращения, автора, аудитории, места, времени и других
условий риторической речи.
Цель введения может быть достигнута разными способами.
Во-первых, автор демонстрирует, почему важно для аудитории то, что он
собирается сказать или написать. Тем самым он устанавливает
положительную связь между собой и аудиторией. При этой стратегии автору
следует тщательно продумать ответ на вопрос: почему то, что он
хочет сказать, важно и для аудитории!

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 189
Во-вторых, можно исходить из интересов аудитории. Тогда автор
апеллирует не к своему опыту, знанию, а к потребностям аудитории.
Их удовлетворение он делает своей главной целью. При выборе
данной стратегии автору полезно продумать ответ на вопрос: что он,
автор, способен предложить для решения проблем аудитории?
В-третьих, можно объединить интересы автора и аудитории. Такая
стратегия достигает, как правило, наибольшего эффекта. При выборе
такой стратегии уместно продумать ответ на вопрос: что автор и
аудитория вместе могут сделать для решения их общей проблемы?
Иногда аудитория состоит из людей, явно или скрыто настроенных
против автора, или темы его обращения, или против того и другого вместе.
В такой ситуации необходимо предварительно разобраться в причинах
конфронтации, установить степень их объективности и в соответствии
с этим решить, что следует сделать для установления дружественных
контактов с аудиторией. Дать ли новую информацию или
воздействовать на чувства и моральные принципы аудитории? В любом случае
рекомендуется начать с вопросов с большим согласием и лишь после
их рассмотрения переходить к вопросам с меньшим согласием.
Полезно также с самого начала добиться согласия относительно
используемых критериев оценок.
Примером первой стратегии служит следующее обращение к
читателям:
Чтобы правильно понять данный труд, его следует рассматривать не
как метафизический и тем более не как теологический трактат, а
единственно vL исключительно как научную работу1.
В этом обращении автор исходит из предположения, что научный
характер его работы более важен для читателя, чем все другие.
Примером второй стратегии может быть обращение, типичное для
рекламных изданий:
Вы найдете у нас то, что ищете.
Интересы аудитории (покупателей) в данном случае приоритетны
для автора (рекламодателя).
В качестве примера третьей стратегии приведем следующее
обращение к читателям:
Плодотворное влияние великих философских систем заключается не
в том, что философ становится для нас авторитетом, а в том, что, под-
1 Шардеп П. Т. Феномен человека. - М, 1987. С. 36.

190 Часть I. Традиционная логика
няв нас на свои плечи, он открывает нам новые горизонты и заставляет
строить новое, более широкое мировоззрение, чем то, какое было
возможно в его время1.
Использование местоимения «нас» сближает автора и читателей в
решении нелегкой задачи — чтении «Критики чистого разума» И. Канта.
Повествование, т. е. изложение фактической стороны дела,
осуществляется посредством описания, которое всегда следует предмету,
событию, явлению, отражает ритм их развития и упадка.
Всякое описание, претендующее на полноту, должно иметь начало,
середину и конец.
Начало описания строится как обращение к предмету описания или
как указание времени, места, обстоятельств, имени героя и т. п.
Например: «Итак, она звалась Татьяной» (А. С. Пушкин); «Зима!..
Крестьянин, торжествуя, на дровнях обновляет путь.» (А С. Пушкин); «Мужик,
на лето в огород наняв Осла, приставил ворон и воробьев гонять
нахальный род» (Я. А. Крылов).
Середина описания может состоять из нескольких частей и включает
все, что хочет сказать автор. Если предмет описания неодушевленный,
то последовательно рассматриваются все его части, состояния,
изменения во времени. Если одушевленный — также последовательно
описываются его действия, состояния, размышления. Единственное
правило, которое здесь следует соблюдать, — следовать естественному
ритму предмета описания. Например:
Кончен пир, умолкли хоры,
Опрокинуты амфоры,
Опрокинуты корзины,
Не допиты в кубках вины,
На глазах венки измяты, —
Лишь курятся ароматы
В опустевшей светлой зале... (Ф. И. Тютчев).
Конец описания может представлять авторское обращение к
предмету описания, моральную сентенцию, уподобление или
противопоставление, повторение начала описания, обобщение. Главное требование
к концу описания — краткое выражение главной цели повествования.
Например: «Стой же ты, утес могучий!» (Ф. И. Тютчев); «И я скажу —
совет хорош, не ложно; да плыть на парусах без ветру невозможно»
(И. А. Крылов).
1 Лосский Н. О. Предисловие переводчика // Кант И. Критика чистого
разума. - СПб., 1993. С. 7.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 191
После изложения фактов следуют аргументы, с помощью которых
указываются причины описанных явлений, отвергаются
противоречащие и противоположные точки зрения. Логические вопросы
аргументации рассматривались ранее1. Здесь мы остановимся на риторических
аспектах аргументации.
Когда истинность одних утверждений доказывается на основании
других, ранее установленных, тогда и можно говорить об аргументации
(изобретении и применении аргументов). Сказанным определяется
главная особенность аргументов. Ими могут быть только те
утверждения, которые истинны или правдоподобны и которые признаются
таковыми как автором, так и его аудиторией.
Все аргументы делятся на аргументы «от лица» и аргументы «от
вещей». Первые порождаются вопросами типа кто? какого пола?
возраст? какими профессиями владеет? и т. п. Вторые — вопросами типа
почему? где? когда? как? посредством чего? что это? из каких частей
состоит? какие имеет виды? с чем подобно? от чего отличается? и т. п.
В качестве аргументов могут выступать различные примеры и
свидетельства.
Данная часть изложения также обычно имеет начало, середину и конец.
В начале формулируется тезис. Он выставляется либо автором, либо
навязывается ему его оппонентами.
В середине приводятся аргументы, доказывающие тезис и
опровергающие антитезис, — причины, следствия, примеры, свидетельства.
В конце или повторяется тезис, или приводится его основное
следствие.
Рассмотрим несколько примеров2.
Пример 1
Начало. Тезис: Наука делает человека благородным.
Середина.
Причина: Ибо она, образуя ум, имеет сильное влияние на образ
мыслей и поступки.
Причина причины: А образованный ум не может колебаться в
выборе между низким и благородным.
Пример: Философ Эзоп, будучи рабом, пользовался уважением
своего господина.
Конец. Заключение: Итак, учение есть путь к благородству.
1 См.: гл. IV, 7; гл. V, 8.
2 Первые два примера заимствованы из: Кошанский Н. Ф. Общая риторика. —
СПб., 1829. С. 83.

192 Часть I. Традиционная логика
Пример 2
Начало. Тезис: Должно умерять страсти.
Середина
Причина: Ибо следствия пылких страстей пагубны.
Сравнение: Человек — корабль в море; страсти — ветры; умеренные
направляют к желанной цели, бури разбивают корабль.
Пример 1: Страсть к завоеваниям губит честолюбцев — Наполеон.
Пример 2: Страсть к наслаждениям убивает душу и тело — Сарда-
напал.
Конец. Заключение: Напротив, тихие и умеренные движения сердца
благодетельны для человека.
Пример 3
Начало. Тезис: Трудолюбие приносит пользу.
Середина.
Причина 1: Труд — отец любого богатства.
Причина 2. Праздность — мать всех пороков.
Конец. Заключение: Начать трудиться никогда не поздно.
Заключения, как и аргументы, бывают двоякого рода. Одни
относятся «к вещам», другие — «к чувствам». Первые состоят в кратком
повторении сути дела, но с большей энергией и пафосом. Вторые —
в возбуждении соответствующих чувств у аудитории. В любом случае
цель заключения состоит в том, чтобы закрепить и усилить
риторический эффект предыдущих частей изложения. В баснях заключение
формулируется в виде «морали», в судебных речах — как повторение
тезиса или его основного следствия, в лирических стихах — это
повторение первых строк.
Итак, правильно расположить части обращения означает для его
автора вызвать к себе уважение, возбудить интерес к теме обращения,
дать исчерпывающее описание и обоснование, суметь кратко выразить
в заключении все изложенное ранее, но с еще большим чувством.
Мысли изобретены и расположены в нужной последовательности.
Риторическая деятельность вступает в новую стадию — словесное
выражение. Между мыслью и словом нет однозначной связи. Одна и та
же мысль может быть выражена разными словами. Одно и то же слово
может возбуждать разные мысли. Словесное выражение, кроме
поиска слов, точно передающих ту или иную мысль, предполагает
создание определенного настроения, ассоциаций, порождение образов,
побуждение, связывание автора и аудитории единым чувством.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 193
Словесное выражение обращения
Когда автор рассматривает слова «обман», «надувательство»,
«мистификация» в качестве языковых эквивалентов мысли «намеренное или
ненамеренное заблуждение», он оказывается на стадии словесного
выражения. Она менее всего регулируется правилами. Однако
некоторые рекомендации; как лучше выразить в слове мысль, риторика дает.
Искусство выражать мысль устно или письменно в общем случае
означает умение владеть словом (стилем). Обычно требуется, чтобы
слог был ясным (предмет всесторонне осмыслен, значение каждого
слова точно установлено), убедительным (все мысли логически
связаны друг с другом и с темой обращения), понятным (все слова имеют
однозначное толкование, по крайней мере для данной аудитории),
воздействующим на чувства и воображение. Первые три требования —
логико-грамматического характера. Последнее — чисто риторическое.
Для его выполнения следует уметь пользоваться тропами и фигурами.
Тропы и фигуры — главные средства украшения языка,
возбуждения чувств, разжигания воображения. Рассмотрим их последовательно.
Троп (греч. trope — поворот, перемена) — любое изменение
логического значения слова, любое использование слова в его
непрямом значении.
Употребить троп означает придать слову несвойственное ему
значение по некоторому критерию — подобию, качеству, количеству и
противоположности.
Основной троп по подобию — это метафора (буквально «перенос»).
Наш язык насыщен метафорами: кисть винограда, ручка двери, ножка
стола, природа жаждет, воспламененный страстью, луга смеются,
каменное сердце, золотая осень, золотые руки, небо нахмурилось. В основе
всякой метафоры лежит сравнение. Если можно сопоставить какие-
либо две вещи — значит можно построить и метафору. Например: лев
как царь зверей (сравнение); лев — царь зверей (метафора). Употребить
метафору означает увидеть подобие между вещами с разными
родовыми признаками, соединить вместе то, что, как правило, не
соединяется. Глубинная функция метафор связана с потребностью человека
объяснять окружающие его вещи, обращаясь к своему личному опыту,
и делать тем самым их понятными.
Главный троп по критерию качества — метонимия (буквально
«переименование»). Если какие-либо две вещи связаны некоторым
образом, то имя каждой из них может использоваться вместо названия дру-
7-1742

194 Часть I. Традиционная логика
гой. Метонимия также распространена в нашей речи. Примеры:
читать Пушкина (т. е. сочинения А. С. Пушкина), обнажить меч (т. е.
начать войну), наполнить кубок Вакхом (т. е. вином), соединиться узами
Гименея (т. е. вступить в брак), жить трудами (т. е. на деньги,
полученные за труд), съесть тарелку супа (т. е. суп, налитый в тарелку).
Для метонимии характерно использование:
• предыдущего вместо последующего, и наоборот;
• действия вместо причины, и наоборот;
• создателя вместо созданного, и наоборот;
• знака вместо значения, и наоборот;
• содержимого вместо содержащего, и наоборот;
• владельца вместо собственности, и наоборот;
• свойства вместо вещи, и наоборот;
• места вместо вещи, и наоборот;
• времени вместо вещи, и наоборот.
Разновидность метонимии — синекдоха (буквально «подразумевае-
мость») — главный троп по количеству. Примеры: иметь хлеб (т. е.
изобилие), быть Крезом (т. е. очень богатым), иметь колеса (т. е.
автомобиль), иметь крышу (т. е. дом), иметь голову (т. е. ум), человек (= люди).
Для синекдохи характерно использование:
• рода вместо вида, и наоборот;
• целого вместо части, и наоборот;
• единственного числа вместо множественного, и наоборот;
• абстрактного вместо конкретного, и наоборот;
• собственного имени вместо нарицательного, и наоборот.
Основной троп по противопоставлению — ирония (буквально
«притворство»). Это употребление слова в противоположном значении.
«"Отколе, умная, бредешь ты, голова?" — Лисица, встретяся с Ослом,
его спросила» (И. А. Крылов). Не менее распространенный троп
данного вида — антитеза (буквально «противоположение»), или
противопоставление. «Богатый и в будни пирует, а бедный и в праздник
горюет» (пословица). Когда противоположные мысли объединяются,
тогда возникает оксюморон (буквально «остроумно-глупое») —
соединение слов с противоположным значением. Примеры: мудрое безумие,
темный свет, горькая радость; дорога вверх, ведущая вниз.
Указанные тропы не исчерпывают всего списка. Желающие
разобраться более детально должны обратиться к специальной литературе1.
1 Дюбуа Ж. и др. Общая риторика. - М, 1988. С. 168-260.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 195
Использование тропов предполагает умение преобразовывать
понятия. Так, на умножении последних основаны все метафоры.
Метонимия и синекдоха предполагают умение образовывать родовые
понятия, находить их виды. Ирония, антитеза и оксюморон невозможны
без умения конструировать противоположные и противоречащие
понятия. Объединяющей все тропы структурой оказывается пропорция.
Рассмотрим метафору «золотая осень». Запишем ее в виде
пропорции:
осень золото
время года драгоценный металл
Пропорция читается: отношение осени к временам года равно
отношению золота к драгоценным металлам. Из пропорции следует:
золото
осень = время года х =
драгоценный металл
= время года, обладающее свойствами золота.
В полученном определении видовой признак «обладать свойствами
золота» не принадлежит родовому понятию «время года», т. е. не
свойствен ему по основному смыслу. Следовательно, метафора
представляет определение, в котором видовой признак не является
собственным для родового.
Если метафора требует знания всех членов пропорции, строится
посредством умножения ее членов, то при метонимии и синекдохе
задан, как правило, только один член пропорции. Отношение его частей
и составляет суть данных тропов.
Рассмотрим метонимию «съесть тарелку». Она образуется такой
пропорцией:
суп _ содержимое
тарелка содержащее
Употребление содержащего вместо содержимого и создает данный
троп. Рассмотрим синекдоху «иметь крышу». Она образуется
пропорцией:
крыша _ часть
дом целое
Использование части вместо целого и образует данный троп. При
иронии один член пропорции должен быть действительным отноше-

196 Часть I. Традиционная логика
нием, другой — провозглашаемым. При этом члены, расположенные
на одной диагонали, совпадают, а расположенные на другой выступают
антонимами.
Вернемся к примеру из басни И. А. Крылова «Лисица и Осел».
Ирония обращения Лисицы к Ослу «Отколе, умная, бредешь ты, голова?»
возникает из следующей пропорции:
ум _ Осел
Осел глупость'
В ней правый член характеризует действительное
(подразумеваемое) отношение, а левый — провозглашаемое отношение. Пропорция
читается: ум присущ Ослу в той же степени (провозглашается), в
какой Ослу присуща в действительности глупость (подразумевается).
При антитезе по крайней мере один член пропорции состоит из
антонимов. Рассмотрим антитезу «Ты богат, я очень беден» (А. С. Пушкин).
Ее порождает пропорция:
я ты
бедность богатство
Примером антитезы, в которой все члены базисной пропорции
состоят из антонимов, служит приводившаяся пословица «Богатый и в
будни пирует, а бедный и в праздники горюет»:
богатый _ в будни пирует
бедный в праздники горюет
При оксюмороне верхние или нижние члены пропорции состоят из
антонимов, а противоположные им совпадают.
Рассмотрим оксюморон «горькая радость». Он порождается
пропорцией:
горечь __ радость
состояние души состояние души
Если с помощью тропов изменяются значения слов, то с помощью
фигур меняется значение словосочетаний и предложений.
Риторическая фигура — любое отступление от некоторой
общепринятой нормы.
Как и в случае с тропами, это делается для воздействия на
воображение и чувства аудитории.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 197
Все фигуры принято подразделять на фигуры мысли и фигуры речи,
учитывая разные приемы усиления мыслей и более эффектного их
словесного выражения.
Среди фигур, усиливающих наши мысли, наиболее часто
применяются следующие.
Риторический вопрос — вопрос, задаваемый автором не для
получения ответа, так как он очевиден для аудитории, а для большего ее
убеждения.
Уступка — соглашение автора с противоположной позицией,
чтобы более эффектно ее опровергнуть.
Предварение — автор сам формулирует возможные возражения
своих оппонентов и сам на них отвечает.
Сомнение — автор спрашивает себя, с чего начать, что сказать, чем
закончить и т. д., не потому, что не знает ответов на данные вопросы,
а потому, что стремится увеличить степень доверия аудитории к себе
и своему обращению.
Обращение — автор вопросом что бы вы сделали на моем месте! как
бы меняется местами с аудиторией, побуждая ее более активно
следить за его мыслью, более энергично поддерживать его.
Разделение — указание видов вместо рода, частей вместо целого.
Среди фигур, усиливающих эффект словесного выражения мыслей,
наиболее часто применяются следующие.
Анафора — повторение звуков, слов, оборотов в начале нескольких
предложений. «Кто клеветы про нас не сеет / Кто нас заботливо
лелеет?» (А. С. Пушкин).
Эпифора — повторение звуков, слов, оборотов в конце нескольких
предложений. «Милый друг, и в этом тихом доме / лихорадка бьет меня.
Не найти мне места в тихом доме / возле мирного огня» (А. А. Блок).
Повторение связывающих частей — многократное употребление
каких-либо связывающих частиц. «Ив одиночестве жестоком сильнее
страсть ее горит, / И об Онегине далеком ей сердце громче говорит»
(А. С. Пушкин).
Повторение слова подряд или через несколько слов. «Всегда скромна,
всегда послушна, всегда как утро весела» (А. С. Пушкин).
Повторение слова в разных падежах или употребление слов с общим
корнем. «Живя, умей все пережить» (Ф. И. Тютчев). «Ворона
каркнула во все воронье горло» (И. А. Крылов).
Инверсия — повторение слов, оборотов в обратном порядке. «Не для
того живем, чтобы есть; а для того едим, чтобы жить» (пословица).

198 Часть I. Традиционная логика
Бессоюзная связь. «Откажут — мигом утешался; изменят — рад был
отдохнуть» (А . С. Пушкин).
Совпадение последнего слова предыдущей мысли с первым словом
последующей. «За сим расстанемся, прости! Прости ж и ты, мой спутник
странный...» (А. С. Пушкин).
Умолчание — легко восстанавливаемый аудиторией пропуск в
авторской речи. «Нет, я хотел... быть может, вы... я думал, что уж барону
время умереть» (А. С. Пушкин).
Омонимия — употребление одинаково звучащих слов с разными
значениями. «И прерывал его меж тем разумный толк без пошлых тем...»
(А. С. Пушкин).
Синонимия — употребление неодинаково звучащих слов с одним
и тем же значением. «О рьяный конь... то смирный, ласково-ручной...»
(Ф. И. Тютчев).
Рассмотренные тропы и фигуры не исчерпывают всего богатства
риторических способов словесного выражения. Лучшим учебником
в этом отношении следует считать русскую поэзию и прозу.
Подбор тропов и фигур завершает основную часть риторической
деятельности. Мысли изобретены, приведены в порядок и выражены.
Реакция аудитории даст ответ, насколько успешно в.се это было сделано.
Логика спора
...Пусть лучше лира у меня скверно настроена и звучит не в лад,
пусть нестройно поет хор, который я [Сократ} снарядил,
пусть большинство людей со мной не соглашается и спорит,
лишь бы только не вступить в разногласие и в спор с одним
человеком — с собою самим.
Платон «Горгий»
Спор — разновидность риторической речи, такая, что его участники
отстаивают несовместимые точки зрения по какой-либо теме и
каждый из них устно или письменно стремится убедить другого в
истинности своей позиции. Другими словами, автор и аудитория
периодически меняются местами (ролями).
Можно выделить следующие составляющие спора:
1) тему у относительно которой отстаиваются несовместимые точки
зрения, мнения, позиции;
2) участников — лиц, выдвигающих и защищающих несовместимые
точки зрения, мнения, позиции;
3) допустимые действия (вопросы и ответы), совершаемые
участниками спора;

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 199
4) правила, регулирующие поведение, т. е. определяющие список
допустимых действий и условий (критерии) победы в споре.
Наиболее важная часть каждого спора — это правила, по которым
он ведется, или точнее, которыми он регулируется. Их можно разделить,
на правила, определяющие последовательность разрешенных действий,
которые в дальнейшем будут называться ходами и контрходами;
правила, определяющие формирование банка аргументов каждого участника;
правила, определяющие условия выигрыша (проигрыша) в споре.
Правила спора
А. Список и последовательность разрешаемых ходов и контрходов.
Каждый участник спора имеет право.
1. Выдвигать любое суждение, имеющее отношение к теме спора,
как тезис или аргумент в форме утверждения (ход «выдвигаю»)
или в форме вопроса (ход «разве не так, что...?»).
2. Соглашаться с любым суждением, высказанным другим
участником (ход «согласен»).
3. Подвергать сомнению любое суждение, высказанное другим
участником (ход «приведите аргументы, докажите»).
4. Отвергать любое суждение, высказанное другим участником (ход
«не согласен»).
5. Взять назад любое суждение, высказанное ранее (ход «беру назад»).
Каждый участник спора обязан.
1. На ход оппонента «выдвигаю», «разве не так, что...?» отвечать
контрходами «согласен», «не согласен» или «приведите аргументы».
2. На ход «приведите аргументы» отвечать контрходами
«выдвигаю» или «разве не так, что...?».
3. На ход «согласен» отвечать контрходами «выдвигаю» или «разве
не так, что...?».
4. На ход «не согласен» отвечать контрходом «выдвигаю», «разве
не так, что...?», «приведите аргументы» или «беру назад».
5. На ход «беру назад» отвечать контрходами «согласен», «не
согласен» или «приведите аргументы».
6. На ход «разве не так, что...?» отвечать контрходами «согласен»
или «не согласен».
В. Правила формирования банка аргументов.
1. Участник, сделавший ход «выдвигаю» или «согласен», заносит
соответствующее суждение в свой банк аргументов.

200 Часть I. Традиционная логика
2. Участник, сделавший ход «беру назад», вычеркивает
соответствующее суждение из своего банка аргументов.
3. Ни одно суждение не может быть взято участником спора назад,
если доказано, что оно почерпнуто из его банка аргументов.
^ 4. Если доказано, что некоторое суждение — из банка аргументов
какого-либо участника, оно включается в этот банк в качестве
новой составляющей.
5. Ход «приведите аргументы», сделанный участником
относительно некоторого суждения, означает помещение последнего в банк
аргументов оппонента.
С. Правила выигрыша (проигрыша).
1. Участники заранее договариваются о времени, которое они
могут потратить на спор, в течение которого он считается
действительным.
2. Выигравшим считается участник, который первым докажет, что
его тезис является логическим следствием банка аргументов его
оппонента или что банк аргументов последнего содержит
противоречие.
3. Если в отведенное время никто из участников не выигрывает, спор
заканчивается ничьей.
Приведенные правила неполны, поскольку не охватывают все
ситуации спора. Но они достаточны для иллюстрации его техники.
Пусть 5 обозначает произвольное суждение. Указанные в правилах
ходы можно формализовать следующим образом («-i» читается как
«неверно, что», «&» — как «и», «v» — как «или», <о» — как «если, то»):
S = выдвигаю, предлагаю, утверждаю суждение S:
-i5 = беру назад суждение 5;
S! = согласен, что суждение S истинно (имеет место);
-uS7 - не согласен, что S истинно (имеет место);
S? - приведите аргументы, докажите суждение 5;
?S = разве не так, что суждение S истинно?
Рассмотрим несколько примеров спора, заимствованных из
известных басен И. А. Крылова.
Пример 1
Крестьянин и Змея
Мужик с Змеею подружился.
Известно, что Змея умна:
Так вкралась к Мужику она,

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 201
Что ею только он и клялся, и божился.
С тех пор все прежние приятели, родня,
Никто к нему ногой не побывает.
«Помилуйте, — Мужик пеняет, —
За что вы все покинули меня!
Иль угостить жена вас не умела?
Или хлеб-соль моя вам надоела?» —
«Нет, — кум Матвей сказал ему в ответ, —
К тебе бы рады мы, сосед,
И никогда ты нас (об этом слова нет)
Не огорчил ничем, не опечалил:
Но что за радость, рассуди,
Коль, сидя у тебя, того лишь и гляди,
Чтобы твой друг кого, подползши, не ужалил?»
Участники спора — Мужик и кум Матвей, представляющий
интересы родственников. Тема спора — ходить или не ходить в гости к
Мужику, заведшему нового друга — Змею. Мужик отстаивает тезис /3 =
= «Ко мне следует продолжать ходить в гости». Кум Матвей защищает
антитезис -./? = «К Мужику не следует продолжать ходить в гости».
Аргументы участников спора: а{ = «Жена умела вас угостить», а2 =
«Нам было чем вас угостить», а3 = «Змея может нас ужалить».
Выдвинутый кумом Матвеем решающий аргумент с^ принимается
Мужиком и, согласно правилу 51, включается в его банк аргументов.
Следовательно, согласно правилу С2, кум Матвей выигрывает данный спор.
Последовательность ходов и контрходов в этом споре выглядит
следующим образом.
1. Кум Матвей. Выдвигаю антитезис: -чД
2. Мужик. Приведите аргументы: -i/З? Разве а{ или а2 не имело
места: ?(at v a2).
3. Кум Матвей. Согласен, что имело место как av так и а2: (а{8с а2)!
Но со своей стороны выдвигаю аргумент а3.
4. Мужик. Согласен с твоим аргументом: а^\
5. Кум Матвей. Если ты согласен с ау тогда ты должен согласиться
с тем, что из этого аргумента следует антитезис -чД а3 з -чД
Признавая истинность а3и импликации с^ э -чД ты должен признать
(по правилу modus ponens) истинность антитезиса -чД
Пример 2
Свинья под Дубом
Свинья под Дубом вековым
Наелась желудей досыта, до отвала;

202 Часть I. Традиционная логика
Наевшись, выспалась под ним;
Потом, глаза продравши, встала
И рылом подрывать у Дуба корни стала.
«Ведь это дереву вредит, —
Ей с Дубу Ворон говорит, —
Коль корни обнажишь, оно засохнуть может». —
«Пусть сохнет, — говорит Свинья, —
Ничуть меня то не тревожит;
В нем проку мало вижу я;
Хоть век его не будь, ничуть не пожалею,
Лишь были б желуди: ведь я от них жирею». —
«Неблагодарная! — промолвил Дуб ей тут, —
Когда бы вверх могла поднять ты рыло,
Тебе бы видно было,
Что эти желуди на мне растут».
Участники спора: Свинья — с одной стороны, Дуб и Ворон — с другой.
Тема спора — подрывать корни Дуба или не подрывать. Свинья
защищает тезис /3 = «Корни Дуба подрывать можно». Ворон и Дуб
отстаивают антитезис /} = «Корни Дуба подрывать нельзя». Аргументы
спорщиков: а{ = «Дуб может засохнуть», с^ = «Я нуждаюсь только в желудях».
Дуб и Ворон выигрывают данный спор, потому что Свинья,
соглашаясь с аргументом ах (принимая его в свой банк аргументов), делает
тем самым свой банк аргументов противоречивым и ее тезис остается
недоказанным.
Последовательность ходов и контрходов в этом споре выглядит
следующим образом.
1. Свинья. Выдвигаю тезис: Д
2. Ворон и Дуб. Не согласны с тезисом Д. Истинным оказывается
антитезис -.Д В его защиту выдвигаем аргумент а{, так как
истинна импликация аг з -чД
3. Свинья. Принимаю ваш аргумент: а{\ Добавляю к нему свой
аргумент а2.
4. Ворон и Дуб. Согласны с приведенным аргументом: а2! Но твой
банк аргументов в этом случае становится противоречивым и не
доказывает истинности тезиса Д Ибо из а{ з -i/Зи а2 з /3следует,
что аргументы ах и а2 несовместимы: а{ з -ia2.
Пример 3
Паук и Пчела
Купец на ярмарку привез полотны;
Они такой товар, что надобно для всех.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 203
Купцу на торг пожаловаться грех:
Покупщиков отбою нет; у лавки
Доходит иногда до давки.
Увидя, что товар так ходко идет с рук,
Завистливый Паук
На барыши купца прельстился;
Задумал на продажу ткать,
Купца затеял подорвать
И лавочку открыть в окошке сам решился.
Основу основал, проткал насквозь всю ночь,
Поставил свой товар на диво,
Засел, надувшися, спесиво,
От лавки не отходит прочь
И думает: лишь только день настанет,
То всех покупщиков к себе он переманит.
Вот день настал: но что ж?
Проказника метлой
Смели и с лавочки долой.
Паук мой бесится с досады,
«Вот, — говорит, — жди праведной награды!.
На весь я свет сошлюсь, чье тонее тканье:
Купцово иль мое?» —
«Твое: кто в этом спорить смеет? —
Пчела'ответствует. — Известно то давно;
Да что в нем проку, коль оно
Не одевает и не греет?»
Участники спора — Паук и Пчела. Тема спора — полезна ли ткань
Паука. Паук отстаивает тезис /3 = «Моя ткань полезна». Пчела
защищает антитезис -./? = «Твоя ткань бесполезна». Аргументы участников
спора: а{ = «Моя ткань тоньше», а2 = «Тонкая ткань не одевает и не
согревает». Так как Паук принимает аргумент av Пчела немедленно
выигрывает спор. Ибо, хотя ткань Паука и тоньше, но она не одевает
-и не греет и, следовательно, бесполезна.
Последовательность ходов и контрходов в этом споре выглядит
следующим образом.
1. Паук. Выдвигаю антитезис: Д
2. Пчела. Не согласна с твоим тезисом: /3?
3. Паук. Выдвигаю аргумент av
4. Пчела. Принимаю твой аргумент: а{\ Но из его истинности
следует истинность моего аргумента а2: ах э а2. Так как истинна
также импликация а2 d -чД то истинным будет антитезис -пД

204 Часть I. Традиционная логика
Упражнения
I. Распространите следующие предложения.
Юность — лучшее время жизни.
Опыт — наш лучший учитель.
Добродетель — путь к счастью.
Праздность рождает пороки.
II. Проанализируйте расположение частей в басне И. А. Крылова
«Фортуна в гостях». Выделите в каждой части простые периоды и
образующие их главные предложения.
На укоризну мы Фортуне тароваты:
Кто не в чинах, кто не богат,
За все, про все ее бранят,
А поглядишь, так сами виноваты.
Слепое счастие, шатаясь меж людей,
Не вечно у вельмож гостит и у царей,
Оно и в хижине твоей,
Быть может, погостить когда-нибудь пристанет:
Лишь время не терять умей,
Когда оно к тебе заглянет;
Минута с ним одна, кто ею дорожит,
Терпенья годы наградит.
Когда ж ты не умел при счастье поживиться,
То не Фортуне ты, себе за то пеняй
И знай,
Что, может, век она к тебе не возвратится.
Домишка старенький край города стоял;
Три брата жили в нем и не могли разжиться:
Ни в чем им как-то не спорится.
Кто что из них ни затевал,
Все остается без успеха,
Везде потеря иль помеха;
По их словам, вина Фортуны в том была.
Вот невидимкой к ним Фортуна забрела
И, тронувшись их бедностью большою,
Им помогать решилась всей душою,
Какие бы они ни начали дела,
И прогостить у них все лето.
Все лето: шутка ль это!
Пошли у бедняков дела другой статьей.

Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 205
Один из них хоть был торгаш плохой,
А тут, что ни продаст, ни купит,
Барыш на всем большой он слупит;
Забыл совсем, что есть наклад,
И скоро стал, как Крез, богат.
Другой в Приказ пошел: иною бы порою
Завяз он в писарях с своею головою;
Теперь ему со всех сторон Удача:
Что даст обед, что сходит на поклон -
Иль чин, иль место схватит он;
Посмотришь, у него деревня, дом и дача.
Теперь вы спросите: что ж третий получил?
Ведь, верно, и ему Фортуна помогала?
Конечно: с ним она почти не отдыхала.
Но третий брат все лето мух ловил,
И так счастливо,
Что диво!
Не знаю, прежде он бывал ли в том горазд:
А тут труды его не втуне.
Как ни взмахнет рукой, благодаря Фортуне
Ни разу промаху не даст.
Вот гостья между тем у братьев нагостилась
И дале в путь пустилась.
Два брата в барышах: один из них богат,
Другой еще притом в чинах; а третий брат
Клянет судьбу, что он Фортуной злою
Оставлен лишь с сумою.
Читатель, будь ты сам судьею,
Кто ж в этом виноват?
III. Определите виды тропов и фигур в следующем лирическом
стихотворении Ф. И. Тютчева.
Полдень
Лениво дышит полдень мглистый;
Лениво катится река,
И в тверди пламенной и чистой
Лениво тают облака.
И всю природу, как туман,
Дремота жаркая объемлет;
И сам теперь великий пан
В пещере нимф покойно дремлет.

206 Часть I. Традиционная логика
И чувства нет в твоих очах,
И правды нет в твоих речах,
И нет души в тебе.
Мужайся, сердце, до конца:
И нет в творении творца!
И смысла нет в мольбе!
IV. Попробуйте самостоятельно усилить или ослабить правила спора
за счет включения или исключения каких-либо вопросов и ответов к ним.
V. Проанализируйте структуру спора персонажей из басни И. А.
Крылова «Муха и Пчела».
В саду, весной, при легком ветерке,
На тонком стебельке
Качалась Муха, сидя,
И, на цветке Пчелу увидя,
Спесиво говорит: «Уж как тебе не лень
С утра до вечера трудиться целый день!
На месте бы твоем я в сутки захирела.
Вот, например, мое
Так, право, райское житье!
За мною только лишь и дела:
Летать по балам, по гостям:
И молвить, не хвалясь, мне в городе знакомы
Вельмож и богачей все домы».
«Все это знаю я, — ответствует Пчела. —
Но и о том дошли.мне слухи,
Что никому ты не мила,
Что на пирах лишь морщатся от мухи,
Что даже часто, где покажешься ты в дом,
Тебя гоняют со стыдом». —
«Вот, — Муха говорит, — гоняют! Что ж такое?
Коль выгонят в окно, так я влечу в другое».

Часть II
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
И ПРЕДИКАТОВ

И хотя давно уже некоторые выдающиеся мужи выдвинули
идею некоего универсального языка, или универсальной
характеристики, никто, однако, не попытался создать язык,
или характеристику, в которой одновременно содержалось бы
искусство открытия и искусство суждения... Когда же
я отдался этому исследованию более усердно, я поневоле
натолкнулся на ту замечательную идею, что можно придумать
некий алфавит человеческих мыслей и с помощью комбинаций
букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все
может быть открыто и разрешено.
Г. В. Лейбниц «История идеи универсальной характеристики»
То, что может быть познано в математике
и математическими средствами,
можно дедуцировать из чистой логики.
Б. Рассел «Введение в математическую философию»
Классическая (стандартная) символическая логика (логика
высказываний и предикатов) возникла на рубеже XIX-XX вв. как результат
реализации Готтлобом Фреге A848-1925), Бертраном Расселом A872—
1970), Альфредом Уайтхедом A861-1947) программы сведения
математики к логике и Давидом Гильбертом A862-1943) и его
последователями программы формализации всей математики. В новой логике
ее создатели видели главное средство изгнания парадоксов из теории
множеств, доказательство непротиворечивости всей классической
математики и ее полной независимости от психологических и опытных
допущений. Ни одна из поставленных программных целей не была
достигнута, и, как позже было доказано, этого нельзя было сделать по
принципиальным основаниям. Но новая логика получила право на
существование и стала развиваться уже по своим законам.
Долгое время логика высказываний и предикатов считалась
настолько универсальной и совершенной теорией, что никакие другие логики
не принимались во внимание или их рассматривали как курьез. Но в
последней трети прошлого столетия в связи с потребностями
конструирования искусственного интеллекта и программирования процесс
создания новых логик максимально активизировался, так что игнорировать
это явление было уже невозможно. Стало ясно: наступил новый,
«плюралистический» этап в развитии символической логики. Все ее новые
теории в итоге объединили под общим названием «неклассическая
логика».
О связи классической и неклассической логик будет сказано в
третьей части данной книги. Здесь же укажем основные части и разделы
стандартной логики высказываний и предикатов.

Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов 209
1. Синтаксис, правила построения формализованного языка.
2. Семантика: правила интерпретации выражений построенного
языка как осмысленных.
3. Правила вывода: правила, позволяющие из посылок
умозаключений выводить необходимые следствия.
Эти части признаны каноническими не только для классической,
но и для всех неклассических логик.
Два вида логик отличаются друг от друга следующими допущениями.
1. Значение истинности неквалифицированных высказываний
однозначно определяется значением истинности образующих их
простых (атомарных) высказываний.
2. Высказывания, имеющие одно и то же расширение (один и тот
же объем или одно и то же значение истинности), считаются
эквивалентными.
Если логика выполняет оба допущения, значит она классическая.
В противном случае — когда не выполняется хотя бы одно из
указанных допущений — ее следует отнести к разряду неклассических.

Глава 6
Логика высказываний
Основные определения и допущения логики
высказываний
Идея создания универсального логического языка, позволяющего
избавить человечество от мук творчества, лежит в основе всей современной
логики. Заменить операции с мыслями чисто формальными
действиями со знаками некоторого базисного языка, сформулировать
надежные правила открытия и доказательства новых истин, которые можно
было бы применять чисто механически, вывести из небольшого числа
достоверных аксиом законы всех остальных наук — эти цели
вдохновляли не одно поколение логиков, философов и математиков. Лишь
в 1-й трети XX в. К. Геделем была доказана неосуществимость этой
идеи в полном объеме. Но как часто бывает в истории, именно попытки
воплотить в жизнь недостижимое — заменить творческий поиск
рутинными преобразованиями символов — привели к созданию
современной логики, которая по существу есть логика символическая. Ее
назначение выражает следующее определение:
Символическая логика — это теория исчислений.
Исчислением принято называть формальный алгоритм построения
новых символических объектов из заданных. Знаки и правила
оперирования с ними в каждом исчислении тщательно определяются.
Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило
трактуется однозначно. Благодаря такой определенности удается точно
выражать логическую структуру рассуждений, логические связи
между ними, эффективно преобразовывать одни рассуждения в другие.
Именно эти особенности обеспечили широкое использование
символической логики в исследованиях по основаниям математики,
искусственному интеллекту, информатике, лингвистике и многим другим
областям научного знания.

Глава 6. Логика высказываний 211
В настоящее время символическая логика представляет достаточно
^обширную и дифференцированную совокупность теорий и
исследований. Тем не менее можно выделить логику высказываний и ее
расширение — логику предикатов в качестве общего базиса. В этой главе
анализируется логика высказываний (JIB).
Она основана на определенных базисных понятиях и допущениях.
Рассмотрим их. Исходным в Л В следует признать понятие
высказывания.
Высказывание Л В — предложение, выражающее простое или
сложное суждение.
Утверждение «Бессмертная любовь, рождаясь вновь, нам неизбежно
кажется другою» (В. Шекспир) обладает субъектом, предикатом,
связкой, знаком количества и тем самым выражает (простое) суждение.
Следовательно, оно представляет высказывание Л В. Выражение
«Бессмертная любовь» не обладает атрибутами суждения и поэтому не
является высказыванием ЛВ.
В отличие от традиционной логики и логики предикатов субъект-
но-предикатная структура высказываний в Л В не принимается во
внимание как не имеющая никакого значения для формализации
доказательств.
Субъектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не
учитывается.
Единственное свойство высказываний ЛВ, которое принимается во
внимание, — это их способность быть истинными или ложными
суждениями. Истину и ложь принято называть логическими значениями,
или значениями истинности высказываний Л В.
Высказывание Л В истинно, если и только если истинно
выражаемое им суждение. В противном случае высказывание Л В считается
ложным. .
Предложение «5 больше 3» — истинное высказывание, потому что
выражаемое им суждение истинно. Предложение «3 больше 5»,
наоборот, — ложное высказывание, потому что выражаемое им суждение
ложно.
Второе по значимости в логике высказываний — понятие
логического союза (связки).
В естественном языке логические союзы выражаются словами «не»,
«если... то», «или», «либо... либо», «если и только если», «ни... ни» и их
многочисленными аналогами. С помощью логических союзов из
простых высказываний образуются сложные высказывания.

212 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
Высказывание Л В считается сложным, если и только если оно со- .
держит вхождение хотя бы одного логического союза. В противном
случае высказывание простое.
- Высказывание «Сегодня среда» — простое, а «Сегодня среда или
четверг» — сложное, так как состоит из двух простых высказываний
«Сегодня среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или».
Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», так как оно
представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда» с
помощью логического союза «неверно, что».
В логике высказываний по соглашению допускается, что каждое
простое высказывания либо истинно, либо ложно. При этом
некоторые сложные высказывания — противоречивые — могут быть
одновременно истинными и ложными. Ниже объясняется, почему такие
высказывания называют логически ложными.
Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание Л В либо
истинно, либо ложно.
В логике высказываний также допускается, что логическое значение
любого сложного высказывания однозначно определяется значениями
истинности образующих его простых высказываний. Следовательно,
значение истинности любого сложного высказывания — функция
истинности значений истинности образующих его простых высказываний.
Значение истинности сложного высказывания Л В представляет
функцию истинности значений истинности составляющих его простых
высказываний.
Функции истинности представляют разновидность функций в
обычном понимании — правил, связывающих переменные, называемыми
аргументами функции, с другими переменными, называемыми ее
значениями. Аргументами и значениями функций истинности служат логические
значения — истина и ложь. Например, логическое отрицание есть од-
ноаргументная функция истинности. Если высказывание «Сегодня
среда» (аргумент функции отрицания) истинно (ложно), то ложно
(истинно) высказывание «Неверно, что сегодня среда» (значение
функции отрицания). Кроме одноаргументных функций в ЛВ встречаются
двух-, трех-... я-аргументные функции истинности. Логику
высказываний часто называют теорией подобных функций.
Простые высказывания определяют значение истинности сложного
высказывания тремя принципиально различными способами.
1. Сложное высказывание может быть истинно независимо от того,
все ли простые высказывания истинны, все ли ложны, или
некоторые истинны и некоторые ложны. Такие высказывания принято

Глава 6. Логика высказываний 213
именовать логически истинными, а также законами логики,
тавтологиями.
2. Сложное высказывание может быть ложным независимо от
распределения логических значений простых высказываний. Такие
высказывания называются логически ложными, а также
логическими противоречиями.
3. Сложное высказывание может быть истинно при одних
распределениях логических значений и ложно при других. Такие
высказывания принято называть правдоподобными {относительно
истинными).
Высказывание «Сегодня среда или не среда» — логически
истинное, так как оно истинно в любой день недели. Высказывание
«Сегодня среда и не среда» — логически ложное, так как оно ложцо в любой
день недели. Высказывание «Сегодня среда» правдоподобное, так как
оно истинно по средам и ложно во все остальные дни.
Как будет показано, все задачи Л В так или иначе связаны с
построением алгоритма, позволяющего определить для произвольного
высказывания, является ли оно логически истинным, логически ложным
или правдоподобным.
Синтаксис логики высказываний
Как и всякий язык, язык логики высказываний имеет определенный
алфавит и правила построения с его помощью последовательностей
знаков, называемых (правильно построенными) формулами.
Синтаксис ЛВ — алфавит и правила, определяющие:
1) какие знаки входят в множество символов алфавита логики
высказываний;
2) какие последовательности знаков представляют (правильно
построенные) формулы ЛВ.
Правильно построенная формула Л В — последовательность знаков,
которая может быть интерпретирована в качестве истинного или
ложного высказывания. Для краткости далее термин «формула» везде
употребляется в смысле «правильно построенная формула».
Полный алфавит Л В, необходимый для построения формул логики
высказываний, задается определением, которое приведено в табл. 6.1.
Пусть ф, ср, у... обозначают (мета)переменные, пробегающие по всему
множеству высказываний ЛВ1. Это означает, что вместо каждой из букв
1 ф читается как «фи», (р — как «пси», у— как «гамма».

214
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Таблица 6.1
Алфавит логики высказываний
1
2
3
4
5
6
7
Знаки для обозначения простых высказываний (атомарных
формул) — прописные начальные буквы латинского алфавита
А, В, С...
Знаки для обозначения логических союзов:
2.1. Знак логического отрицания: «неверно, что» -,
2.2. Знак конъюнкции: «и» &
2.3. Знак слабой дизъюнкции: «или» v
2.4. Знак импликации: «если... то... » d
2.5. Знак эквивалентности: «если и только если» =
2.6. Знак сильной дизъюнкции: «либо... либо...» *
Левая и правая скобки (для указания области действия
логических союзов)
Запятая (для разделения формул в посылках)
Знак для обозначения отношения логического следования:
«выводимо, следует»
Знак для обозначения логической лжи и замкнутой ветви
дерева формулы
G)
»
¦
Иных знаков, кроме указанных в п. 1-6, в логике высказываний нет
греческого алфавита можно подставлять любое простое или сложное
высказывание. Например, вместо переменной ф можно подставить
высказывание Л, или высказывание -А, или высказывание (Л з В) и т. д.
Аналогично для ср, у... Если в выражении -10 переменную ф заменить на
высказывание Л, то получится -тЛ, а если на ->Л, то возникнет
высказывание с двойным отрицанием -.-Л (эквивалентное Л). Заменяя в -10
переменную ф на (Л = В), получаем высказывание -л(А = В).
В терминах заданного алфавита ЛВ конструируются формулы —
символические эквиваленты простых и сложных высказываний —
согласно правилам табл. 6.2.
Для определения того, какие последовательности зкаков считать
формулами ЛВ, нужно ввести понятие подформулы. О ней говорят,
когда части какой-либо формулы сами являются формулами.
Например, формулы Л и В, (Л & В) и (Л v В), ((Л & В) z> (Л v В)) -
подформулы формулы ((Л & В) з (Л v В)), так как считается, что каждая
формула представляет часть самой себя.
Подформула — формула ЛВ, входящая в состав другой формулы ЛВ.

Глава 6. Логика высказываний 215
Таблица 6.2
Правила построения формул логики высказываний
Простые высказывания А, В, С... — формулы JIB
2
Если ф— (не обязательно атомарная) формула, то ->0 — тоже формула ЛВ
Если ф и (р — (не обязательно атомарные) формулы, то высказывания
(ф & (р\ (ф v ср), (ф з ф), (ф=(р),(ф * (р) — тоже формулы ЛВ
4.1. Атомарные формулы ЛВ со знаком отрицания или без него в скобки не
заключаются
4.2. В каждой формуле ЛВ со скобками число левых и правых скобок
должно быть одинаковым
Иных формул, кроме указанных в п. 1-4, в логике высказываний нет
Согласно определению формулы ЛВ, последовательность символов
((А & (А з В)) з В) — формула, а последовательности символов (A v & В),
(А) и (= В) - нет.
В выражении ((А & (А з В)) з В) к числу формул принадлежат, во-
первых, все ее атомарные подформулы — А и В, во-вторых, все ее
неатомарные подформулы — (А з В), (А & (А з В)), включая и саму
формулу ((А & (А з В)) з В), так как она также выступает подформулой
самой себя. Число левых скобок соответствует числу правых.
В выражении (A z> & В) переменные Л и В соединены подряд
идущими логическими союзами v и &, что нарушает пункт 3 определения
формулы Л В, согласно которому все указанные там логические союзы
бинарные. В выражении (А) атомарная формула Л взята в скобки, что
нарушает пункт 4.1 определения формулы Л В. Выражение (= В) не
соответствует сразу двум пунктам определения формулы Л В — 3 и 4.1.
В каждой неатомарной формуле имеется логический союз, который
считается главным. Это просто установить, если он вообще один.
Скажем, в формуле -А единственным и поэтому главным логическим
союзом служит знак «-.». Соответственно формула А выступает
подформулой формулы -А. В формуле же (А з (Av В)) главным логическим
союзом будет знак импликации, так как именно он при ее построении
вводится последним.
Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ — тот,
который при ее построении вводится последним.
Допустим, следует проверить, представляет ли последовательность
знаков ((Л & В & -,С) з ((В & -,С) v А)) формулу Л В, а также - какой
логический союз в ней главный.

216 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
С этой целью лучше всего построить дерево данной формулы. Оно
строится сверху вниз посредством последовательного выписывания
всех подформул, начиная с простых высказываний. Подчеркнутая
формула означает, что она есть подформула формулы, написанной
строчкой ниже. Количество таких «этажей» зависит от числа
включенных логических союзов. Если все подформулы исследуемой
последовательности знаков удовлетворяют правилам табл. 6.2, она
считается формулой ЛВ.
Дерево исследуемой формулы имеет следующий вид:
А
^АВ
Л(-АуВ) АВ ,
(А & (-Л v В)) (А = В)
((А &(-Лу В)) =з (Л з В))
((A &(-Av В)) d (^ В)) .
Главный логический союз в рассматриваемой формуле — знак
импликации.
В формуле ((Л & {-Л v В)) d (Л = В)) главный логический союз —
также знак импликации:
А (В
(А&В
В
&-
&-
С_
,С)
(В
((В
В
&
&
с_
-С)
л
V
Каждый логический союз имеет определенную область действия,
в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы.
Например, область действия знака отрицания в формуле —А
составляет подформула Л, в формуле -\(А & В) — подформула (А & В). В
формуле (A d (A v В)) область действия знака нестрогой дизъюнкции
образуют формулы А и Ву область действия знака импликации — формулы
Л и (Л v В).
Очевидно, что область действия главного логического союза
составляют все подформулы данной формулы ЛВ.
Область действия логического союза образуют все подформулы
данной формулы ЛВ, которые он связывает.
Если высказывание простое, или содержит только знаки
конъюнкции, или только слабой дизъюнкции, проблемы определения области

Глава 6. Логика высказываний 217
действия логических союзов, как правило, не возникает. Во всех иных
случаях она возникает. Выражение типа (А & В v С) неопределенно,
так как не указано, какие подформулы составляют область действия
знака конъюнкции, а какие — знака слабой дизъюнкции. Для
устранения указанной неопределенности вводятся скобки, разграничивающие
«полномочия» логических союзов: должно быть либо (А & (В v С)),
либо ((А & В) v С).
Скобки можно также рассматривать в качестве указания на то,
какое действие, обозначаемое тем или иным логическим союзом, следует
выполнять первым, какое вторым и т. д.
Типичная синтаксическая задача — формализация высказываний.
Алгоритм ее таков. В анализируемом высказывании сначала находят
все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым
символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных
высказываний. Затем определяют логические союзы, связывающие простые
высказывания. Наконец, конструируется формула, каждая атомарная
формула которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама
она выражает логическую структуру формализуемого высказывания.
Чтобы сделать процесс формализации более понятным, рассмотрим
несколько примеров.
Пример 1
«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется
малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми
несчастными людьми, потому что для счастья им нужно несметное
множество благ» {Франсуа де Ларошфуко).
Простые высказывания: А = «Всех счастливее в этом мире тот, кто
умеет довольствоваться малым», В = «Власть имущих надо считать
самыми несчастными людьми», С = «Честолюбцев надо считать
самыми несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное
множество благ».
Логические союзы: з, &.
Формула: (А э (D з (В & С))).
Пример 2
«Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал, обязательно
живи в определенном месте» (Конфуций).
Простые высказывания: А = «Твои родители живы», В = «Тебе не
следует уезжать далеко», С = «Ты уехал», D = «Тебе обязательно
следует жить в определенном месте».

218 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Логические союзы: D, &.
Формула: ((А э В) & (Сэ ?>)).
Пример 3
«Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть,
или ее нет» (О. Бальзак «Отец Горио»).
Простые высказывания: А = «Добродетель, милый мой студент, не
делится на части», В = «Добродетель есть».
Логические союзы: &, *, -i.
Логическая структура: (А & (В *
Пример 4
«Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как внушив людям,
что если они выскажут тебе всю правду, ты не будешь на них в обиде,
но когда каждый сможет говорить тебе правду, тебе перестанут
оказывать должное почтение» (Я. Макиавелли «Государь»).
Простые высказывания: А = «Ты внушаешь людям», В = «Они
выскажут тебе всю правду», С = «Ты не будешь на них в обиде», D = «Ты
ограждаешь себя от лести», Е = «Каждый сможет говорить тебе
правду», Н = «Люди перестанут оказывать тебе должное почтение».
Логические союзы: D, &.
Логическая структура: {D => (Л э (В э С)) & (J?z> Я)).
Пример 5
«Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ за зло лежит на
всемогущем боге, либо мы свободны и ответственны, а бог не
всемогущ» (А. Камю «Бунтующий человек»).
Простые высказывания: А = «Альтернатива известна»; В = «Мы
свободны (делать то, что пожелаем)», С = «Ответ за зло лежит на
всемогущем боге», D = «Мы ответственны (за все, что мы делаем)», Е = «Бог
всемогущ».
Логические союзы: &, *, -i.
Логическая структура: (А & ((-,5 & С) * {В & D &
Пример 6
«Анна и Денис любили друг друга».
Простое высказывание: А = «Анна и Денис любили друг друга». Было
бы ошибкой считать, что здесь мы имеем дело со сложным
высказыванием: свойство «любили друг друга» не может быть приписано ни Анне,
ни Денису в отдельности, а только им обоим вместе.

Глава 6. Логика высказываний ' 219
Логические союзы: нет.
Логическая структура: А.
Семантика логики высказываний
Любая формула остается не более чем последовательностью
абстрактных знаков, если нельзя установить, каков ее логический смысл. В
логике высказываний формула считается осмысленной, если ей можно
приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь».
Процедуру задания значений истинности атомарных формул и
вычисления значения истинности всей формулы принято называть
интерпретацией.
Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание
значений истинности всем ее атомарным подформулам, при
котором каждая из них получает значение «истина» или «ложь» (но не
оба вместе).
Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл»,
обоснование правил интерпретации формул составляет основную задачу
семантики как общего раздела логики. В настоящей книге этот анализ
ограничен формулировкой и обоснованием правил интерпретации
формул.
Семантика ЛВ — правила интерпретации формул ЛВ как
осмысленных (истинных или ложных) высказываний.
Интерпретация произвольной формулы ЛВ совершается в два
этапа. На первом выявляются значения истинности всех ее атомарных
подформул. Для этого каждая из них сопоставляется с определенным
простым высказыванием. На втором этапе вычисляется значение
истинности всей формулы по определенным правилам (таблицам
истинности).
Допустим, даны две формулы @з (р) и (ф * (р). Чтобы вычислить
значение их истинности, согласно п. 1 правил интерпретации сначала
необходимо сопоставить их с простыми высказываниями. Пусть
универсумом интерпретации служит множество натуральных чисел и ф =
= «5 больше 2», (р = «3 больше 4». Теперь, согласно п. 2 правил
интерпретации, можно вычислить значение истинности атомарных формул
ф и ср. Известные правила арифметики вынуждают приписать
формуле ф значение «истина», формуле (р — «ложь».
Так как формулы @з (р) и (ф * (р) обозначают сложные
высказывания, то для вычисления окончательного значения их истинности тре-

220
Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
Таблица 6.3
Правила интерпретации формул ЛВ
1. Каждой атомарной формуле интерпретируемой формулы
ставится в соответствие определенное простое высказывание из универсума
(области) интерпретации.
2. Каждой атомарной формуле приписывается значение «истина»
или «ложь» согласно тому, истинны или ложны выражаемые ими
простые высказывания.
3. Значение истинности всей интерпретируемой формулы Л В
вычисляется как функция значений истинности всех своих атомарных
формул (всех своих аргументов).
буется применение п. 3 правил интерпретации. Для этого необходимо
знать смысл соединяющих их логических союзов. Этот смысл задается
следующими определениями (Гобозначает истину, F— ложь).
Определение логического отрицания
Логическим отрицанием формулы ф называется противоречащая
ей формула -лф, которая истинна, если ф ложна, и ложна, если ф
истинна.
Назовем таблицей истинности формулы ф функцию истинности ф
от всех своих атомарных подформул. При этом формула ф может быть
как простым, так и сложным высказыванием.
Таблица истинности логического отрицания произвольной
формулы ф имеет следующий вид (для наглядности указаны аргументы и
значение каждой определяемой функции):
Аргумент
Ф
Т
F
Значение
-0
F
Т
Первый столбец таблицы (аргумент функции логического
отрицания) указывает все возможные логические значения формулы ф.
Второй столбец содержит соответствующие логические значения
формулы -10. Из таблицы следует, что логически отрицающие друг друга
формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одна из
них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом формула Сможет
обозначать как простое, так и сложное высказывание.

Глава 6. Логика высказываний
221
Пусть ф = «Я читаю книгу». Тогда -10 = «Неверно, что я читаю книгу».
Одно их этих высказываний необходимо истинно, а другое необходимо
ложно.
Следующие логические союзы определяются для двух произвольных
формул — фи ср, так как все они представляют собой двухаргументные
функции истинности.
Определение конъюнкции
Конъюнкцией формул ф и ср называется формула (ф & (р), которая
истинна, если истинны как ф, так и <р, и которая ложна во всех
остальных случаях.
Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул ф и (р
имеет следующий вид:
Первый
аргумент
Ф
Т
Т
F
F
Второй
аргумент
(Р
Т
F
Т
F
Значение
функции
(ф&ср)
Т
F
F
F
Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной.
Следовательно, для двух формул мы имеем четыре возможности:
• ф и (р обе истинны;
• ф истинна, но (р ложна;
• ф ложна, но (р истинна;
• фи (робе ложны.
В общем, если имеется п формул, то существует 2й возможностей их
истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (ф & (р)
получает значение «истина» только в случае совместной истинности
формул ф и (р. Во всех остальных случаях она получает значение «ложь».
Формулы, соединяемые знаком конъюнкции, принято называть
конъюнктами.
Пусть ф = «Я читаю книгу», (р = «Я слушаю музыку». Тогда
высказывание «Я читаю книгу и слушаю музыку» представляет
конъюнкцию указанных двух простых высказываний и истинно тогда и только
тогда, когда они оба истинны одновременно. В противном случае, т. е.

222
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
если ложен хотя бы один конъюнкт, то ложно и образованное из них
сложное высказывание.
Конъюнкция считается самым сильным логическим союзом, так как
для ее истинности требуется, чтобы были истинны все ее конъюнкты.
В естественном языке конъюнкция кроме союза «и» выражается
также союзами «а», «но», «вместе с», «как... так и», «не только... но и»,
«...хотя и», «а также...», «ни... ни» (в отрицательных суждениях), а
также некоторыми другими.
В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не
ведет к изменению логического значения формулы. Иными словами,
формулы (ф & (р) и ((р & ф) эквивалентны (имеют одно и то же
логическое значение). В естественном языке конъюнктивная связь часто
выражает упорядоченную последовательность событий, и перестановка
местами ее членов искажает смысл всего высказывания.
Высказывания «Я почистил зубы и лег спать» и «Я лег спать и почистил зубы»
вряд ли кто-нибудь посчитает эквивалентными.
Определение слабой дизъюнкции
Слабой дизъюнкцией формул ф и <р называется формула (ф v <р),
которая истинна, если истинна хотя бы одна из них, и которая
ложна, когда ложны как ф, так и ср.
Таблица истинности слабой дизъюнкции двух произвольных
формул ф и (р имеет следующий вид:
Первый
аргумент
Ф
Т
Т
F
F
Второй
аргумент
<Р
Т
F
Т
F
Значение
функции
@V<p)
т
Т
Т
F
Формулы, соединяемые знаком (слабой и сильной) дизъюнкции,
принято называть дизъюнктами.
Формула (ф v (р) ложна, если и только если ложны все ее
дизъюнкты. Во всех остальных случаях она истинна. Пусть ф = «Я читаю
книгу»1, ср = «Я слушаю музыку». Высказывание «Я читаю книгу или
слушаю музыку» ложно, если я одновременно не читаю книгу и не слушаю
музыку. Во всех остальных случаях оно истинно. Определенная таким

Глава 6. Логика высказываний
223
образом дизъюнкция носит нестрогий характер: могут быть одновре-*
менно истинны все ее дизъюнкты. В естественном языке кроме союза
«или» слабая дизъюнкция выражается словами «и/или», «или... или
оба», «хотя бы один», «по крайней мере». В отличие от конъюнкции
дизъюнкты могут переставляться в любом порядке без потери смысла
как в формализованном, так и в естественном языках.
Определение импликации
Импликацией формул ф и ср называется формула @z> ф), которая
ложна тогда, когда истинна ф и ложна <р, и которая истинна во всех
остальных случаях.
Таблица истинности импликации двух произвольных формул ф и (р
имеет следующий вид:
Первый
аргумент
Ф
Т
Т
F
F
Второй
Аргумент
(Р
Т
F
Т
F
Значение
функции
@D<?)
Т
F
Т
Т
В формуле (ф з (р) подформулу ф принято называть антецедентом
(лат. antecedens — «предшествующий»), подформулу (р — консеквен-
том (лат. consequens — «следствие»).
Из таблицы следует, что импликация безусловно истинна в двух
случаях — когда ее антецедент (формула ф) ложен или ее консеквент
(формула (р) истинен. Допустим, 0 обозначает причину («я нажал
выключатель»), а (р — ее следствие («лампочка зажглась»). Первая
строка таблицы показывает, что если наличествуют причина и ее следствие,
их необходимая связь истинна. Вторая строка таблицы означает, что
причина присутствует, а следствия нет. В этом и только в этом случае
принято говорить, что между ними нет необходимой связи (если есть
причина, всегда должно быть обусловленное ею следствие). Вторая
строка получает значение «ложь».Третья строка утверждает, что если
следствие наступило несмотря на отсутствие причины, то, стало быть,
существует иная, альтернативная причина (лампочка может загореться,
будучи подключенной к другой электрической цепи). Таким образом,
данная строка не опровергает необходимую связь следствия со своей

224
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
причиной и получает, соответственно, значение «истина». Четвертая
строка показывает, что отсутствие причины и ее следствия также не
опровергает их необходимой связи. Ведь если нет следствия, то не
должно быть и ее причины. Поэтому и четвертая строка получает значение
«истина».
Из сказанного ясно, что формула @э <р), где антецедент 0 = «5
больше 2» — истинное простое высказывание, а консеквент ср = «3
больше 4» — ложное высказывание, обозначает сложное высказывание.
В естественном языке союз «если... то» кроме причинной связи
может выражать временную последовательность событий, связь условия
и средства реализации события. В логике высказываний данному
союзу придается только то значение, которое зафиксировано таблицей:
антецедент есть только достаточное условие истинности консеквен-
та, консеквент есть только необходимое условие истинности
антецедента. Из-за такой асимметрии перестановка местами членов
импликации неправомерна. Чтобы понять это, достаточно сравнить следующие
два высказывания: «Если пойдет дождь, то я раскрою зонт» и «Если я
раскрою зонт, то пойдет дождь».
В естественном языке высказывание «Если 0, то <р» может выражаться
такими синонимами, как «0 достаточно для ср», «ср необходимо для 0»,
«0, только если <р», <«р, если 0»,«% потому что 0», «(р, так как 0», «когда 0,
тогда ср»> «0, значит (следовательно) ср».
Определение эквивалентности
Эквивалентностью формул ф и <р называется формула (ф=ср),
которая истинна тогда, когда формулы ф и ср обе истинны или ложны
одновременно, и которая ложна во всех остальных случаях.
Таблица истинности эквивалентности двух произвольных формул
0 и ср имеет следующий вид:
Первый
аргумент
0
Т
т
F
F
Второй
аргумент
<Р
Т
F
Т
F
Значение
функции
(Ф=<р)
Т
F
F
Т
Из таблицы следует, что формулы 0и ср эквивалентны, если и
только если каждая из них необходима и достаточна для истинности дру-

Глава 6. Логика высказываний
225
гой формулы. Или (то же самое) если истинна как прямая
импликация (ф з <р), так и ей обратная ((р з ф). Значит, эквивалентные
формулы ЛВ одновременно либо все истинны, либо все ложны. Если
истинно (ложно), что сегодня понедельник, значит, истинно (ложно), что
завтра будет вторник, послезавтра среда, вчера было воскресенье,
позавчера была суббота и т. п.
В естественном языке эквивалентность формул ф и ср может
выражаться оборотами «ф равносильно ср», «ф необходимо и достаточно для
ср», «ср необходимо и достаточно для 0», «ф равносильно ср», «ф, если
и только если ср», «0тогда и только тогда, когда ср», «из 0следует сри из
ср следует ф>>.
Эквивалентные формулы могут переставляться местами без
потери смысла высказывания, которое они образуют.
Определение сильной дизъюнкции
Сильной дизъюнкцией формул ф\лср называется формула (ф * ф),
которая истинна тогда, когда либо формула ф истинна и формула (р
ложна, либо формула ф ложна и формула ср истинна, и которая
ложна во всех остальных случаях.
Таблица истинности сильной дизъюнкции двух произвольных
формул фи (римеет следующий вид:
Первый
аргумент
Ф
Т
Т
F
F
Второй
аргумент
<Р
Т
F
Т
F
Значение
функции
(Ф*Ф)
F
Т
Т
F
Дизъюнкты формулы (ф * (р) часто называют альтернативами, имея
в виду, что один и только один дизъюнкт истинный или что
логическая сумма альтернатив образует полное множество.
Сильная дизъюнкция представляет собой логическое отрицание
эквивалентности. В отличие от слабой она запрещает одновременную
истинность всех или некоторых дизъюнктов, кроме одного, а также
запрещает их одновременную ложность. В естественном языке
сильная дизъюнкция чаще всего выражается словами «либо... либо». Из всех
возможных альтернатив «Либо сегодня понедельник, либо вторник...
либо воскресенье» истинна только одна, а все остальные ложны. При
8-1742

226
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
этом не могут быть истинными все вместе указанные альтернативы
или только некоторые из них, за исключением какой-либо одной.
Также невозможно, чтобы перечисленные альтернативы все были
ложными, одна из них обязательно должна быть истинной.
Из сказанного ясно, что формула (ф * <р), где ф = 5 > 2 — истинное
простое высказыввание и (р = 3 > 4 — ложное простое высказывание,
обозначает истинное сложное высказывание. С помощью таблиц
истинности логических союзов можно вычислять значение истинности
сложных высказываний. Допустим, дана формула -^(А & -«(В з С)),
значения истинности атомарных формул которой неизвестны.
Предположим, А = «Ничто не зависит от нас», В = «Тот, кто много работает»,
С = «Никто ничего не добивается». Перевод формулы на естественный
язык порождает сложное высказывание: «Неверно, что ничто не
зависит от нас, и ложно, что тот, кто много работает, ничего не добивается».
По допущению нам неизвестны значения истинности простых
высказываний. В этом случае строят таблицу истинности исследуемой
формулы. Такая таблица ничем не отличается от используемых для
установления истинности логических союзов. Она представляет
функцию истинности от всех своих атомарных подформул.
Таблица истинности формулы -.(Л & -i(B з Q) имеет следующий вид:
А
Т
Т
т
т
F
F
F
F
1
В
т
т
F
F
Т
Т
F
F
2
С
т
F'
Т
F
Т
F
Т
F
3
-,(A&-,(Bz>Q)
Т F F Т
F T T F
Т F F Т
Т F F Т
Т F F Т
Т F T F
Т F F Т
Т F F Т
7 6 5 4
Объяснение. В исследуемой формуле имеется три простых
высказывания — А, В и С. Значит, существует 23 = 8 возможных интерпретаций
(строк) их значений истинности. Первые три столбца (три аргумента
функции) символизируют данные возможности. Например, первая
строка таблицы означает, что все три высказывания вместе истинны;
восьмая строка — что они все вместе ложны.
Столбцы с четвертого по пятый указывают порядок и результат
вычисления значения истинности подформулы, управляемой
определенным логическим союзом. Каждый столбец размещается под тем
логическим союзом, в область действия которого входит анализируемая

Глава 6. Логика высказываний 227
подформула. Например, столбец D) содержит значение истинности
подформулы (В d С); столбец E) — значение истинности
подформулы -i(i? d С); столбец F) — значение истинности подформулы (А &
-iE з С)); заключительный столбец G) — значение истинности всей
формулы -.(Л & -i(B з С)). Интерпретация данной формулы
завершена. Каковы ее итоги?
Правильно построенная таблица истинности должна содержать все
возможные интерпретации истинности и ложности рассматриваемой
формулы. Анализ таблицы показывает, что исследуемая формула
ложна только в той интерпретации, которую указывает вторая строка —
атомарные формулы А, В истинны, атомарная формула С ложна. Во
всех остальных интерпретациях указанная сложная формула
истинна. Самую интересную интерпретацию представляет восьмая строка:
все три атомарные формулы ложны, но формула в целом, тем не менее,
истинна. Поскольку других интерпретаций нет и быть не может, мы
получаем исчерпывающую информацию о логических свойствах
исследуемой формулы.
Логически истинные, логически ложные и логически
нейтральные формулы
Все формулы ЛВ подразделяются на два взаимоисключающих и
совместно исчерпывающих класса — выполнимые и невыполнимые.
Среди выполнимых формул выделяются логически истинные и логически
нейтральные.
Таблица 6.4
Формулы логики высказываний
Выполнимые
Логически истинные
(тавтологии)
Логически нейтральные
(правдоподобные)
Невыполнимые
Логически ложные
(противоречивые)
Формула Л В считается выполнимой, если существует хотя бы одна
интерпретация (набор значений истинности атомарных формул), в
которой она истинна, и невыполнимой в обратном случае.
Формула называется логически истинной, если она истинна во всех
своих интерпретациях, т. е. при любых наборах значений истинности
своих атомарных формул. Такие формулы также часто называют
тавтологиями (от греч. tauto — «то же самое» и logos — «слово,
высказывание»), законами логики, логическими истинами, общезначимыми,
тождественно истинными. Вероятность логической истины всегда равна

228
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
единице, т. е. представляет константу. Логические истины максимально
достоверны, однако их семантическая информативность равна нулю.
Так, хотя истины типа «сегодня понедельник или не понедельник»
максимально достоверны, из анализа этого сообщения нельзя узнать,
какой же сегодня на самом деле день недели. Все тавтологии сводимы
к формулам вида (ф v -.0), где на место ф может подставляться любая
формула ЛВ.
Тавтологию представляет формула (-i(-x4 v -iB) э (А & В)). Ее
таблица истинности имеет следующий вид.
А
Т
Т
F
F
1
В
т
F
Т
F
2
(-l(-^Av-iB)^(A&B))
TF FF T T
F F T T T F
F T T F T F
F Т Т ТТ F
6 3 5 4 8 7
Восьмой, заключительный столбец формулы содержит только
значение «истина». Значит, какими бы ни были интерпретации, или
значения истинности атомарных формул Л и В, формула (-|(-тЛ v —iB) z>
(А & В)) всегда истинна.
Формула называется логически ложной (невыполнимой,
противоречивой, тождественно ложной), если не существует ни одной
интерпретации, т. е. набора значений истинности ее атомарных формул, в которой
она была бы истинна. Такие формулы выражают логические
противоречия. Вероятность логической лжи всегда равна нулю, т. е., как и
логическая истина, она представляет константу. Логически противоречивые
высказывания несут бесконечную величину семантической
информации. Истории барона Мюнхгаузена читать интересно, но ни одна из них
не достоверна. Все логически ложные формулы сводимы к формулам
вида (ф & -10), где на место Сможет подставляться любая формула Л В.
Логически ложной будет формула ((~iA vB)& -|(Л э В)). Ее
таблица истинности такова:
А
Т
Т
F
F
1
В
т
F
Т
F
2
((-v4 v В) & -у(А э В))
F T F F Т
F F F T F
Т Т F F Т
Т Т F F Т
3 4 7 6 5

Глава 6. Логика высказываний
229
Седьмой, заключительный столбец формулы содержит только
значение «ложь». Значит, какими бы ни были интерпретации, или значения
истинности атомарных формул А и В, формула ((-тЛ vB)& —з(Л э В))
всегда ложная.
Формула называется логически нейтральной, если существует хотя
бы одна интерпретация, в которой она истинна, и хотя бы одна
интерпретация, в которой она ложна. Это означает, что такие формулы не
могут быть логически истинными и логически ложными. Они лишь
относительно истинны и относительно ложны. Значение их
вероятности — величина переменная, колеблющаяся между нулем и единицей
и никогда не достигающая указанных пределов. Логически
нейтральные формулы правильнее называть правдоподобными.
Логически нейтральная формула — ((А = В) э (В * С)). Ее таблица
истинности имеет следующий вид.
А
Т
Т
т
т
F
F
F
F
1
В
т
т
F
F
Т
Т
F
F
2
С
т
F
Т
F
Т
F
Т
F
3
(И = я)э(Я*О)
Т F F
Т Т Т
F Т Т
F T F
F T F
F Т Т
Т Т Т
Т F F
4 6 5
Шестой, заключительный столбец формулы содержит как значение
«истина», так и значение «ложь». Значит, формула ((А = В) з (В * С))
не будет логически истинной и логически ложной. Следовательно,
она — логически нейтральная формула.
Алфавит логики высказываний включает шесть логических союзов.
Закономерен вопрос, достаточно ли их количества для формализации
любых утверждений естественного языка. Следующая теорема
доказывает, что для этих целей на самом деле требуются всего лишь три из
них — знаки отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Теорема 1. Функция истинности любой формулы Л В выразима
в терминах логических союзов -., &, v и логических констант Г
(истина) и F (ложь).
Доказательство. Пусть ф— формула ЛВ, представляющая
некоторую функцию истинности от атомарных формул Л и В. По определе-

230 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
нию, формула ф выполнима или невыполнима. Рассмотрим сначала
последнюю возможность.
Если формула ф невыполнима (логически ложная), тогда в
последнем столбце ее таблицы истинности содержатся только значения «ложь».
Значит, она определяет функцию, согласно которой каждая из
атомарных формул Аи В противоречит сама себе — (А & -A) v (В & -iS).
Если формула ф выполнима, тогда в последнем столбце ее таблицы
истинности содержится хотя бы одно значение «истина». Значит,
формула (^определяет функцию, согласно которой она эквивалентна
дизъюнкции некоторых или всех строк таблицы истинности со значением
«истина» - (А & В) v (А & -.В) v (-A & В) v (-v4 & -,5).
Объединяя оба случая, получаем, что независимо от того,
выполнима ли произвольная формула ф или невыполнима, ее функция
истинности выразима только знаками отрицания, конъюнкции и
дизъюнкции, QEDX.
Отношение логического следования в логике
высказываний
Отношение логического следования положено в основание всей
дедуктивной логики. Сказанное относится и к логике высказываний.
Пусть аи /3 обозначают соответственно множества формул,
образующих посылки и заключение доказательства в Л В. Тогда справедливо
следующее определение:
заключение р логически следует из посылок а, если и только если
в каждой интерпретации (в каждой строке таблицы истинности
формулы (аэ /3)), в которой истинно а, также истинно заключение Д.
Очевидны следующие свойства отношения логического следования
вЛВ.
Теорема 2. Заключение /3 логически следует из посылок а, если
и только если формула (а з /3) логически истинна (истинна во всех
своих интерпретациях).
Доказательство. Допустим, заключение /3 логически следует из
посылок а. В тех строках таблицы истинности, в которых истинны все
посылки а, также истинно и заключение /3 согласно определению
логического следования. В тех строках таблицы истинности, в которых
1 Аббревиатура от (лат.) quod erat demonstrandum — «что и требовалось
доказать».

Глава 6. Логика высказываний 231
по крайней мере одна из посылок ложна, конъюнкция посылок а
ложна, но формула (аз /3) истинна по определению импликации. Значит
формула (а з /3) истинна во всех строках таблицы истинности, т. е.
логически истинна.
Если формула (а з /3) логически истинна, тогда все строки ее
таблицы истинности содержат значение «истина» и, следовательно, во всех
строках, в которых истинны посылки а, истинно также и заключение /3.
Значит, /3 логически следует из a, QED.
Теорема 3. Заключение /3 логически следует из посылок а, если
и только если формула (а & -i/З) логически ложна (ложна во всех своих
интерпретациях).
Доказательство. Согласно теореме 2 заключение /3 логически
следует из посылок а, если и только если формула (аз /3) логически
истинна. Но формулы (аз /3) и (а & -i/З) противоречат друг другу, и если
одна из них истинна, другая должна быть ложной. Значит,
заключение /3 — логическое следствие посылок а тогда и только тогда, когда
формула (а & -i/З) ложна во всех строках таблицы истинности
формулы (аз /3), т. е. логически ложная. Обратное следование доказывается
аналогично, QED.
Рассмотрим следующее рассуждение, содержащее доказательство:
«Сегодня понедельник или вторник. Если вчера не было воскресенья
или понедельника, то неверно, что сегодня понедельник и неверно, что
сегодня вторник. Значит, вчера было воскресенье или был
понедельник». Формализуем его. А = «Сегодня понедельник», В = «Сегодня
вторник», С = «Вчера было воскресенье», D = «Вчера был
понедельник». Формализованное рассуждение имеет следующий вид:
(((A v В) & (-.(С v D) э (-Л & -J5))) з (С v D)).
Формулы а = [(A v В), -i(C v D) з (-А & -.В)] символизируют
посылки доказательства, формула /3 = (С v D) — его заключение.
Для проверки того, насколько приведенное доказательство
корректно, необходимо убедиться, что заключение логически следует из
посылок. Это можно сделать тремя разными способами.
Во-первых, следуя определению логического следования, можно
проверить, во всех ли строках таблицы истинности, в которых
истинны посылки а, также истинно и заключение /3. С этой целью
необходимо построить таблицу истинности для формул а и /3 (табл. 6.5).
В заключительном, двенадцатом столбце посылки а истинны в
первой, второй, третьей, пятой, шестой, седьмой, девятой, десятой и
одиннадцатой строках. Заключение /3 истинно в этих же строках и, кроме

232
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Таблица 6.5
А
Т
Т
т
т
т
т
т
т
F
F
F
F
F
F
F
F
1
В
т
т
т
т
F
F
F
F
Т
Т
Т
Т
F
F
F
F
2
С
т
т
F
F
Т
Т
F
F
Т
Т
F
F
Т
Т
F
F
3
D
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
4
((A vB)& (-.(С v D) D (-тЛ & -лВ)))
Т Т F T T F F F
Т Т F T T F F F
Т Т F T T F F F
Т FT F F F F F
Т Т F Т Т F F Т
Т Т F Т Т F F Т
Т Т F Т Т F F Т
Т FT F F F F Т
Т Т F T T T F F
Т Т F T T T F F
Т Т F T T T F F
Т FT F F T F F
FFFTTTTT
FFFTTTTT
FFFTTTTT
FFTFTTTT
5 12 7 6 И 8 10 9
(CvD)
T
т
т
F
Т
Т
Т
F
Т
Т
Т
F
Т
Т
Т
F
6
того, в тринадцатой, четырнадцатой и пятнадцатой строках. Значит,
в данной таблице истинности не существует ни одной строки, в
которой посылки абыли бы истинны, а заключение /3ложно.
Следовательно, если доказательство корректно, то невозможно, чтобы посылки
были истинны, а заключение ложно. Но именно в этом и состоит смысл
отношения логического следования.
Во-вторых, согласно теореме 2 можно проверить, представляет ли
импликация (сю /?) логическую истину. Для проверки этого
предположения построим таблицу истинности для данной формулы (табл. 6.6).
Из таблицы следует, что заключительный, тринадцатый столбец
содержит только значение «истина». Стало быть, импликация (az> /?)
представляет тавтологию, или логическую истину.
В-третьих, следуя теореме 3, можно проверить, совместимы ли
посылки с отрицанием заключения, т. е. будет ли формула (a & -ij3)
логической ложью. Для проверки этого предположения следует построить
таблицу истинности для конъюнкции посылок с отрицанием их
заключения (табл. 6.7).
Если заключение необходимо следует из посылок, то последние не
могут быть совместимы с его отрицанием. То, что это именнф так,

Глава 6. Логика высказываний
233
Таблица 6.6
А
Т
Т
т
т
т
т
т
' Т
F
F
F
F
F
F
F
F
1
В
т
т
т
т
F
F
F
F
Т
Т
Т
Т
F
F
F
F
2
С
т
т
F
F
Т
Т
F
F
Т
Т
F
F
Т
Т
F
F
3
D
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F,
4
((A v В) & (-i(C v D) э (-тЛ & -«Я») Z) (С v D)
Т Т F T T F F F Т Т
Т Т F T T F F F Т Т
Т Т F T T F F F Т Т
TFTFFFFFT F
Т Т F T T F F Т Т Т
Т Т F T T F F Т Т Т
Т Т F T T F F Т Т Т
TFTFFFFTT F
Т Т F Т Т Т F F Т Т
Т Т F Т Т Т F F Т Т
Т Т F Т Т Т F F Т Т
TFTFFTFFT F
F F F Т Т Т Т Т Т Т
FFFTTTTTT T
FFFTTTTTT T
F F Т F Т Т Т Т Т F
5 12 7 6 И 8 10 9 13 6
подтверждает табл. 6.7. Ее заключительный, четырнадцатый столбец
содержит только значение «ложь», что доказывает справедливость
сделанного предположения.
Таким образом, проверка показала, что заключение логически
следует из посылок, если и только если импликация (а з /?) логически
истинна.
Основные законы логики высказываний
Одно из важных свойств логических истин заключается в том, что они
выражают законы логики — принципы сохранения истины. Хотя число
логических истин и, стало быть, логических законов, бесконечно,
обычно выделяют некоторое конечное подмножество в качестве базисных
правил, позволяющих преобразовывать формулы. Ниже приводятся
и иллюстрируются те законы логики, которые будут применяться в
дальнейшем. Истинность любого из них легко проверить с помощью
соответствующих таблиц. Напомним, что вместо символов 0, <р и у,
выполняющих функцию метапеременных, могут подставляться любые
формулы логики высказываний.

234
Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Таблица 6.7
А
Т
Т
т
т
т
т
т
т
F
F
F
F
F
F
F
F
1
В
т
т
т
т
F
F
F
F
Т
Т
Т
Т
F
F
F
F
2
С
т
т
F
F
Т
Т
F
F
Т
Т
F
F
Т
Т
F
F
3
D
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
F
4
((A vB)& (-.(Cv D) э (-пА & -,Д))) & -, (Сv D)
Т Т F Т Т F F F F F Т
Т Т F Т Т F FF F F Т
Т Т F Т Т F F F F F Т
TFTFFFFF F T F
Т Т F T T F F T F F Т
Т Т F T T F F T F F Т
Т Т F T T F F T F F Т
TFTFFFFT F T F
Т Т F Т Т Т F F F F Т
Т Т F Т Т Т F F F F Т
Т Т F Т Т Т F F F F Т
TFTFFTFF F T F
F F F Т Т Т Т Т F F Т
F F F Т Т Т Т Т F F Т
F F F Т Т Т Т Т F F Т
F F T F T T T T F T F
5 12 7 6 И 8 109 14 7 13
Закон снятия двойного отрицания:
Согласно этому закону высказывание «Неверно, что неверно, что
сегодня понедельник» эквивалентно утверждению «Сегодня
понедельник». Двойное отрицание не изменяет начального значения
истинности высказывания: если оно было истинным (ложным), то в
результате двойного отрицания оно и остается истинным (ложным). Поэтому
двойное отрицание всегда может быть устранено и заменено обычным
утверждением.
Законы коммутативности (перестановочности) & и v:
Данные законы разрешают переставлять местами конъюнкты и
дизъюнкты, так как в итоге не изменяются значения истинности исходной
формулы. Согласно этим законам высказывание «Это яблоко вкусное и/или
спелое» эквивалентно высказыванию «Это яблоко спелое и/или
вкусное».

Глава 6. Логика высказываний 235
Законы ассоциативности (соединения) & и v:
Эти законы разрешают вычислять значение истинности формул,
состоящих только из конъюнктов или только из дизъюнктов, в любом
порядке, так как при этом не изменяются значения истинности исходной
формулы. Например, безразлично, вычисляется ли сначала значение
истинности высказывания (А & В), а затем высказывания ((А & В) & С),
или сначала высказывания (В & Q, а затем высказывания (А & (В & Q).
Сказанное аналогичным образом касается и дизъюнктивной формулы.
Законы дистрибутивности (распределения) & относительно v,
и наоборот:
Например, согласно данным законам высказывание «Стоял октябрь,
но было еще тепло или солнечно» эквивалентно высказыванию «Стоял
октябрь, но было еще тепло, или стоял октябрь, но было еще
солнечно». Законы дистрибутивности позволяют «выносить за скобки»
формулы, входящие во все конъюнкты или во все дизъюнкты, а также
совершать обратную операцию.
Законы идемпотентности (сохранения степени):
В соответствии с такими законами значение истинности сложных
высказываний с многократным вхождением одного и того же конъюнкта
(дизъюнкта) полностью определяется значением истинности одного
конъюнкта (дизъюнкта).
Законы удаления з, = и *:
@s ф)
((Ф& (р) V (-
(@ Э i(p) &

236 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Согласно приведенным законам формулы, содержащие логические
союзы з, = и^, могут равносильно заменяться на формулы,
содержащие только логические союзы -i, & и v. Например, высказывание
«Сегодня либо победим, либо проиграем» эквивалентно высказываниям
«Если сегодня победим, то не проиграем, а если проиграем, то не
победим», «Сегодня либо не победим или не проиграем, либо победим или
проиграем», «Сегодня либо победим и не выиграем, либо не победим,
но выиграем».
Законы де Моргана (отрицания конъюнкции и дизъюнкции):
-,@ Уф) = (-.0 & -i<p).
Согласно законам де Моргана высказывание «Неверно, что
сегодня ясно и/или тепло» эквивалентно высказыванию «Сегодня не ясно
или/и не тепло».
Законы поглощения:
@v@&<p)) = 0.
Согласно первому закону поглощения, конъюнктивная формула,
в которой один конъюнкт — 0 — логически сильнее, чем другой — @ v cp),
эквивалентна логически более сильному конъюнкту — 0. Согласно
второму закону поглощения, дизъюнктивная формула, в которой один
дизъюнкт — ф — логически слабее, чем другой — @ & <р), эквивалентна
логически более слабому дизъюнкту — ф. Значит, всякая формула
эквивалентна дизъюнкции своих самых слабых допущений и
одновременно эквивалентна конъюнкции своих самых сильных следствий.
Законы исключения (противоречащих конъюнктов и дизъюнктов):
(@&<p)v@&-i<p)) = 0;
По законам исключения формула, чьи дизъюнкты (конъюнкты)
имеют общий член — 0 — и отличаются друг от друга только одной
парой противоречащих подформул — (р и -i<p, эквивалентна общей для
них подформуле — 0.
Перечисленные законы логики создают базис для развития более
эффективного, чем таблицы истинности, метода решения логических
задач логики высказываний. Этот метод развивает технику анализа,
применявшуюся при решении силлогизмов традиционной логики.

Глава 6. Логика высказываний 237
Деревья в логике высказываний
Таблиц истинности достаточно для решения всех задач JIB. Но
практическое применение таблиц затрудняется быстрым ростом числа строк
в зависимости от увеличения числа атомарных формул. Напомним, что
эта зависимость описывается функцией 2", где п — число атомарных
формул. Например, для анализа формулы, включающей семь
атомарных формул, требуется таблица истинности из 27 = 128 строк. Было
создано множество методов, преодолевающих указанный недостаток
таблиц истинности (аксиоматические, натуральные, секвенциальные
исчисления). Ниже объясняется новый способ анализа и
преобразования формул ЛВ, названный в этой книге методом деревьев. Он
отличается универсальностью, простотой и эффективностью.
Каждая формула логики высказываний может быть представлена
не только аналитически, но и графически — в виде дерева,
воспроизводящего ее логическую структуру. Каждая ветвь такого дерева
указывает условие истинности рассматриваемой формулы, а все вместе
они составляют ее объем в традиционном смысле.
Графически изобразить структуру какой-либо формулы означает
построить ее дерево по определенным правилам. Все они, за исключением
правила П12, которое представляет частный случай правила ПИ, были
приведены в предшествующем параграфе как основные законы логики.
Правила образования деревьев в логике высказываний
Ш. Если формула имеет вид —i—10, тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулой ф:
Ф
П2. Если формула имеет вид (ф & <р), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви
формулами фи (р (коммутативность и идемпотентность формул фи
срподразумевается):
(ф&ср)
ПЗ. Если формула имеет вид (ф v <p), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается разветвлением на формулу фи на

238 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
формулу ср(коммутативность и идемпотентность формул 0и
(рподразумевается):
Ш. Если формула имеет вид @ з (р), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается разветвлением на формулу -10
и формулу ср:
П5. Если формула имеет вид @ = <р), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается ветвлением на формулы
@& ср) и (-10&-1<р):
0 -,0
П6. Если формула имеет вид @ * (р)} тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается разветвлением на формулу
@ & —i(p) и формулу (-10 & (р):
0
П7. Если формула имеет вид -i@ & ф), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается разветвлением на формулу
-10 и формулу —i(p:
-.(ф&ср)
-10 -i<p
П8. Если формула имеет вид -i@ v ф), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви
формулами -10 И -л(р.
-,@v<p)

Глава 6. Логика высказываний [ 239
П9. Если формула имеет вид -i@d <р), тогда дерево, в которое она
входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви
формулами -10и-1<р:
ШО. Если от общей вершины, включающей формулу ф, исходят две
ветви с формулами ф и <р, тогда обе эти ветви удаляются и дерево
продолжается формулой ф.
ф
П11. Если имеется пара ветвей вида ф и (ф & (р), тогда для
продолжения дерева остается только ветвь с формулой ф.
ф
Ф
П12. Если имеется пара ветвей типа (ф & (р) и (ф & -i<p), исходящих
от общей вершины 0, тогда для продолжения дерева остается только
формула ф.
<Р
П13. Если есть пара ветвей типа ф и (~*ф & <р), тогда для
продолжения дерева остаются ветви с формулами ф и <р.
I
П14. Ветвь, содержащая по крайней мере одну пару противоречащих
друг другу формул (не обязательно атомарных), называется замкнутой,

240
Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
отмечается знаком ¦ и не подлежит дальнейшему продолжению.
После своей идентификации замкнутая ветвь может быть удалена.
П15. Процесс конструирования дерева формулы начинается с
представления подформул, соединяемых главным логическим союзом
формулы, и продолжается до тех пор, пока все ее подформулы не будут
представлены в виде ветвей дерева, содержащих только атомарные
формулы или их отрицания.
Каждая ветвь правильно построенного дерева эквивалентна
конъюнкции всех атомарных формул и/или их отрицаний, содержащихся в ней.
Назовем такую ветвь полной. Каждое дерево эквивалентно
дизъюнкции всех своих полных ветвей.
Процесс конструирования дерева формулы завершается одним из
следующих возможных результатов:
1. Если дерево формулы включает хотя бы две ветви с нулевой
вершиной (без формул), одна из которых содержит атомарную
формулу, а другая — ее отрицание, значит, исходная формула —
логическая истина.
2. Если все ветви дерева формулы замкнуты, значит, исходная
формула — логическая ложь.
3. Если хотя бы одна ветвь дерева формулы не замкнута и нет ни
одной пары ветвей с нулевой вершиной, одна из которых
содержит атомарную формулу, а другая — ее отрицание, значит,
исходная формула — логически нейтральная.
Пример %. Построить дерево формулы
(((А з В) & (С v -А)) з (А з (В & О)).
Для большей ясности процесс конструирования в этом и
следующих двух примерах разделен на отдельные этапы с указанием справа
в скобках правил, на основании которых совершены преобразования.
1. (((Л э В) & (С v -И)) э (А э (В & С)))
')) (П4)
(-Л v~(J5 & С)) (П7, П4)
2.
3.
4.
(ПЗ, П4, П8)
5. -iB -iC -лА В (П13)
Дерево анализируемой формулы содержит две ветви с нулевой
вершиной и с формулами В и -.5, логически отрицающими друг друга.
Значит, эта формула — логическая истина.

Глава 6. Логика высказываний
241
Пример 2. Построить дерево формулы
@4dEvC))&-.(Cv
1.
2.
3.
> (В v С)) & -. (С v -v4) & -J5)
(A^(BvQ)
(
(-v4 v В v С)
&•
(П2)
(П4, П8)
4.
(П2, ПЗ, П14)
Все ветви дерева анализируемой формулы замкнуты. Значит, она —
логическая ложь.
Пример 3. Построить дерево формулы
(П2)
(ПЗ,П14)
(П10,П13)
Дерево анализируемой формулы содержит две незамкнутые ветви.
Хотя обе они имеют нулевую вершину, но не состоят из формул,
логически отрицающих друг друга. Значит, данная формула — логически
нейтральная.
Поиск нетривиальных следствий и допущений
Относительно любой нейтральной в логическом отношении формулы
каноническими будут два следующих вопроса: что из нее следует с не-
1.
2.
3.
4.
*^
J5
((-v4 v Б) &
(SvCv
-Л
^ 1 ^^-.
С -v4
А
(-.Б\
----^
¦
"**v
С
/Cv-v4)
В
С -Л

242 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
обходимостью? какие допущения достаточны для ее истинности?
Ответ на первый вопрос дает приведение формулы к конъюнктивной
нормальной форме, на второй — приведение формулы к дизъюнктивной
нормальной форме. В этом параграфе будет показано, что для ответа
на данные вопросы можно использовать метод деревьев.
Среди всех логических следствий особый интерес представляют
сильные, а среди всех допущений — слабые. Те и другие можно назвать
нетривиальными. Сильные следствия поглощают все слабые. Значит,
зная сильные, нам всегда становятся известны слабые, но не наоборот.
Слабые допущения интересны тем, что указывают минимальные
условия, при которых рассматриваемая формула истинна. Поиск сильных
допущений неизбежно приводит к парадоксу. Так как из лжи следует
все, что угодно, то она и должна быть признана единственным
допущением любого знания.
Формулы Л и (Л v В) обе оказываются необходимыми следствиями
формулы (А & В). Но А сильнее (A v В): из А следует (A v В), однако
из (A v В) не следует А. Следовательно, А — нетривиальное следствие;
зная Л, мы обязательно будем знать (A v В), но не наоборот. К
сказанному следует добавить также требование того, чтобы сильное следствие
не совпадало с посылкой исходной формулы.
Логическое следствие формулы нетривиально, если оно не
поглощается никаким другим ее следствием и не эквивалентно какой-
нибудь ее посылке.
Формула (A v В) следует как из допущения Л, так и из допущения
(А & В). Но из этих допущений А более слабое: из (А & В) следует Д
но обратное неверно. Следовательно, А — нетривиальное допущение.
Ведь очевидно, что формулу всегда легче доказать на основании более
сильного допущения, чем более слабого. Следует также добавить, что
нетривиальная посылка не должна совпадать с заключением исходной
формулы.
Допущение формулы нетривиально, если оно не поглощает
никаких других ее допущений и не эквивалентно самой формуле.
Частным случаем задачи поиска нетривиальных допущений
выступает восстановление пропущенных посылок.
Дерево формулы, построенное согласно правилам П1-П14,
позволяет эффективно находить нетривиальные следствия и допущения
логически нейтральной формулы.
Допустим, сконструировано дерево исследуемой формулы. Ее
необходимым следствием будет дизъюнкция любых ее конъюнктов по одно-

Глава 6. Логика высказываний 243
му из каждой ветви. Из них нетривиальными окажутся те, которые не
поглощаются никакими другими, и те, которые не совпадают с
посылками. Допущением формулы будет конъюнкция формул, эквивалентная
любой ее полной {от вершины до основания) ветви. Из них
нетривиальными будут те, которые не поглощают никаких других, и те, которые не
совпадают со всей формулой.
Дана формула ((А & —iB) & (Л v С) & -«(В & С)). Необходимо найти
все ее нетривиальные следствия и допущения.
Дерево формулы:
Просматривая дерево сверку вниз, обнаруживаем все необходимые
следствия формулы: -iB и (A v С). Ни одно из них не поглощает
другое. Но формула (A v С) — подформула рассматриваемой формулы.
Следовательно, только следствие -iB нетривиально.
Просматривая ветви дерева слева направо, находим все допущения
формулы, в случае истинности которых она необходимо истинна: (-лВ
& А) или (—iB & С). Ни одно их них не поглощает другое.
Следовательно, они оба нетривиальны.
Дана формула ((А э В) & (В э С)).
Дерево формулы: ^^Т"^-^
-v4 -А В
-.В С С
Просмотр дерева формулы по горизонтали (все комбинации по
одному конъюнкту из каждой ветви) выявляет наличие одного-един-
ственного нетривиального следствия — (-А v С). Такие следствия, как
(-А v В), (-]В v С), тривиальны, так как эквивалентны посылкам.
Следствия (-А v —Л v С), (-«Л v Cv С), {-Л v -iB v С), (-iB v В)
тривиальны, поскольку поглощается нетривиальным следствием (-А v С).
Анализ дерева формулы по вертикали позволяет найти все
допущения рассматриваемой формулы: {-Л & -iB), (~тЛ & Q, (В & С). Все они
нетривиальны, так как ни одно из них не поглощает другие.
Следующая серия задач на поиск необходимых следствий
заимствована из сочинений Р. М. Смаллиана «Как же называется эта книга?»
(М., 1981), «Принцесса или тигр?» (М., 1985) и «Алиса в стране
смекалки» (М, 1987).
Пример 1 (найти нетривиальное следствие)
Из троих (А, В и С) один рыцарь (всегда говорит правду), один лжец
(всегда лжет) и один нормальный человек (иногда говорит правду,

244 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
иногда ложь). Кто кем является, если Л утверждает: «Я — нормальный
человек»; В его поддерживает: «Это правда»; С называет себя
ненормальным.
Пусть Ар обозначает, что А — рыцарь, Ан — А нормальный человек,
Ал — А лжец. Для остальных участников индексация такая же.
Утверждение А эквивалентно дизъюнкции (Ая v Ал), поскольку
рыцарь не может назвать себя нормальным человеком. Утверждение В
эквивалентно дизъюнкции (Вр v Вя), так как в противном случае, т. е.
когда В — лжец, А должен быть рыцарем, что невозможно.
Утверждение С эквивалентно констатации истинности Ср, ибо лжец не мог
назвать себя ненормальным человеком. Полностью условия задачи
символизируются следующей формулой:
& -,(Лр & Вр) & -,(Лр & Ср) & -н(Бр & Ср)
& -,(АН & Вн) & -,{АН & Сн) & -ЧЯЯ & Сн)
& -,(АЛ & Вл) & -,(АЛ & Сл) & -,{ВЛ & Сл)).
Дерево формулы:
Нетривиальные следствия: (Ал & Вн & Ср), т.е. А— лжец, В —
нормальный человек, С — рыцарь.
Пример 2 (найти нетривиальное следствие)
Любой, кто желает жениться на принцессе, должен угадать, в какой
комнате она находится. Имеется две комнаты, в каждой из которых
может находиться либо принцесса, либо тигр. Это означает, что
правильный выбор гарантирует свадьбу, неправильный выбор — смерть.
На двери каждой комнаты висит табличка. На обеих табличках
написано: «В обеих комнатах находятся принцессы». Если в первой комнате
принцесса, то надпись истинная, если же тигр, то ложная. Если во
второй комнате принцесса, то надпись ложная, если же тмгр, то истинная.

Глава 6. Логика высказываний 245
В какой из комнат (первой или второй) принцесса, а в какой тигр,
учитывая, что в одной из комнат обязательно находится принцесса,
а в другой тигр?
Пусть Я1 означает, что принцесса в первой комнате, Я2 — что она во
второй. Соответственно Т{ означает, что тигр в первой комнате, и Т2 —
что тигр во второй. Символы -|Я1 или -i#2 будут обозначать
отсутствие принцессы в соответствующих комнатах, —iT{ или -»Г2 —
отсутствие тигра в соответствующих комнатах.
Условия задачи символизируется формулой:
((Я, &Т2&П{& П2)v (П2& Т{& (-J7, v-Я2))
&-|(Я1&Я2)&-,(Г1&Г2).
Дерево формулы:
я, я2
п2
-л2
Нетривиальные следствия: (Я2 & Tt), т. е. принцесса находится во
второй комнате, тигр — в первой.
Пример 3 (найти нетривиальное следствие)
Королева Пик (КР) думает, что Король Пик (К) думает, что она не в
своем уме. Кто из них в здравом уме, а кто — нет? (Находящиеся не в
своем уме обо всем судят превратно.) Допустим, отсутствие знака
отрицания перед буквами КР или К обозначает находящегося не в своем
уме.
Сначала формализуем, что думает Король Пик:
Теперь формализуем, что думает Королева Пик:
((КР & -.((#& -itfP) v (-JC & КР)))
v (-JCP & ((К & -JCP) v (-ЛГ & КР)))).
Дерево формулы: К.
Нетривиальное следствие: Король Пик не в своем уме.

246 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Пример 4 (найти нетривиальное допущение)
Командир осажденной крепости послал три следующих сообщения.
1. «Если нам удастся получить продовольствие, то нам не будет
угрожать смерть от голода».
2. «Если нам не удастся получить продовольствие, то или нам будет
угрожать смерть от голода, или мы попытаемся прорвать кольцо'
окружения».
3. «Если нам будет угрожать смерть от голода, то мы попытаемся
прорвать кольцо окружения»1.
Можно ли сформулировать сообщение, эквивалентное трем
указанным, но более простое в логическом смысле? Ответить на этот вопрос
означает найти более простые допущения, которым были бы
эквивалентны все три сообщения.
Пусть А = «Нам удастся получить продовольствие», В = «Нам не
будет угрожать смерть от голода», С= «Мы попытаемся прорвать
кольцо окружения». Все три сообщения символизируются следующей
формулой - ((А => В) & (-А з (-.В * С)) & (-.В з С)).
Дерево формулы:
В
Нетривиальные допущения: (В & А) или (В & С), т. е. все три
сообщения истинны, если истинно допущение «Нам удастся получить
продовольствие, и нам не будет угрожать смерть от голода» или допущение
«Нам не будет угрожать смерть от голода, и мы попытаемся прорвать
кольцо окружения».
Пример 5 (найти нетривиальное допущение)
Путешественник попал в плен к жестоким туземцам и был поставлен
перед дилеммой: умереть от яда или сгореть заживо. Чтобы сделать
выбор, путешественник должен произнести только одну фразу — если
при этом он скажет правду, его отравят, а если солжет — сожгут
заживо. Какую фразу должен произнести путешественник, чтобы избежать
смерти?
Пусть А = «умереть от яда», В = «сгореть заживо». Основные
элементы ситуации выбора можно формализовать следующим образом.
1 Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств. — М., 1965.
С. 214.

Глава 6. Логика высказываний 247
Путешественник говорит «меня отравят», и это правда — (А &г
(ЛзЛ)).
Путешественник говорит «меня отравят», и это ложь — (-|Л &
ЛэВ)).
Путешественник говорит «меня сожгут», и это правда — (В &
зЛ)).
Путешественник говорит «меня сожгут», и это ложь — (-iB &
Все возможности выбора, учитывая, что путешественник не может
в одно и то же время быть отравленным и сожженным,
символизируются следующей формулой:
(А & (А э A)) v (-v4 & (-v4 z> Я)) v
v (Я & (Я z> Л) & -.(Л & Я)) v (-J5 & (-.Я э Я)).
Дерево формулы:
чЯ
¦ ¦
После удаления противоречивых ветвей и применения правила П12
к оставшимся дерево формулы упрощается до следующего:
А В
Это означает, что если путешественник произнесет «меня отравят»,
то независимо от того, говорит ли он правду или ложь, ему не
избежать смерти: если он скажет правду, его отравят, если солжет —
сожгут заживо. Следовательно, чтобы гарантированно избежать смерти,
ему следует сказать «меня сожгут». Данное высказывание
представляет пропущенную посылку, которую путешественнику необходимо
добавить к условиям задачи, чтобы остаться в живых.
Логика высказываний как исчисление
Представить логику высказываний в виде исчисления — значит
сформулировать ее как полностью формализованную теорию,
допускающую только синтаксические преобразования. Большая часть этой
работы уже выполнена. Неформализованными остались только понятия
логического следования и логически истинной формулы. В ЛВ как

248 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
исчислении эти понятия заменяются своими синтаксическими
двойниками — понятием вывода и доказуемой формулы (теоремы
исчисления) соответственно. '
Для ЛВ были построены исчисления разного типа —
аксиоматические, натуральные, генценовские. Ниже конструируется исчисление
нового вида, основанное на методе деревьев, техника которого
объяснялась в предшествующих параграфах.
Алфавит ЛВ и правила построения формул ЛВ были указаны
ранее. Сформулируем правила прямого и косвенного вывода.
1. Если каждая ветвь дерева формулы <ресть конъюнкт какой-либо
ветви дерева формул фг ф2... фп (включая случай полного
совпадения ветвей), тогда формула (р прямо выводима из
последовательности формул фх, ф2... фп
2. Если каждая ветвь дерева формулы (фг ф2... фп & —i(p) замкнута,
тогда формула ср косвенно выводима из последовательности
формул ф{, ф2... фп.
Вывод произвольной формулы (риз последовательности формул ф{,
ф2,..., фп принято обозначать посредством специальной символизации
0,, ф2... фп h (р.
Это читается так: «из допущений ф{, ф2... фп выводима формула ср».
Если формула (р представляет логическую истину, то это
символизируется посредством
и читается: «ср — теорема (доказуемая формула)».
Пусть аи Д как и прежде, обозначают посылки и заключение
доказательства.
Доказательством заключения р в исчислении ЛВ называется
вывод р из множества посылок а.
Доказательство заключения /3считается прямым, если построен
прямой вывод /3 из множества посылок ос, и косвенным (от противного),
если построен косвенный вывод /3 из множества посылок а.
Пример 1
Доказать прямым и косвенным способом выводимость
(A dB), (CdD) ь (-.В v -,D) з (~Л v -.С).

Глава 6. Логика высказываний 249
Прямое доказательство
Дерево посылок: ^^_^^^
-А В
-,С D iC D
Дерево заключения:
В -Л -уС
D
Ветвь BD дерева заключения полностью совпадает с четвертой слева
ветвью дерева посылок, а ветви с формулами —Л и -«С дерева
заключения служат конъюнктами ветвей дерева посылок. Следовательно,
прямое доказательство данной формулы общезначимо. Проанализируем
это заключение более подробно.
Посылки общезначимого доказательства истинны. Это означает, что
хотя бы одна из ветвей дерева посылок должна быть истинна.
Предположим, истинна первая ветвь дерева посылок (-А & -iQ. Тогда истинны
вторая —Л и третья ветви —iC дерева заключения и тем самым
заключение в целом. Допустим, истинна вторая ветвь дерева посылок (-А & D).
Тогда истинным оказывается конъюнкт -Л и тем самым заключение
в целом. Допустим, истинна третья ветвь дерева посылок (В & -iC).
Тогда конъюнкт -»С и, стало быть, заключение в целом также будут
истинными. Теперь предположим, что истинна четвертая ветвь (В & D).
Тогда антецедент заключения ложен, а доказательство, однако,
истинно. Значит, каждая ветвь дерева посылок в случае своей истинности
гарантирует истинность заключения, и нет ни одного случая, чтобы
посылки были истинны, а заключение ложно.
Косвенное доказательство
Проверяем, совместимы ли посылки рассматриваемого доказательства
с отрицанием заключения. Для этого необходимо построить дерево
формулы, представляющей конъюнкцию посылок с отрицанием заключения.
((А э В) & (Сэ D) & i((-iJ5 v iD) э (-v4 v -,C)))
-,С D
Л Л
С С

250 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
Все ветви дерева замкнуты. Следовательно, посылки
несовместимы с отрицанием заключения. Итак, косвенное доказательство данной
формулы корректно.
Пример 2
Доказать: -.(Л = (В & С)), (С v -.В) ь (Л => -.В).
Прямое доказательство
Дерево посылок:
С
-А
В
Дерево заключения:
Прямое доказательство корректно, так как обе ветви дерева
заключения в качестве конъюнктов служат ветвями дерева посылок.
Значит, истинность любой ветви дерева посылок гарантирует истинность
заключения.
Косвенное доказательство
Проверяем, совместимы ли посылки с отрицанием заключения.
э -J5))
У
S
s
/
А
/\
^ X
-i<
&
^^
С
ч
(С
А
В
\
¦¦
-уВ
¦
Все ветви дерева замкнуты. Следовательно, посылки несовместимы
с отрицанием заключения. Значит, заключение необходимо следует из
посылок, а стало быть, косвенное доказательство данной формулы
корректно.
Пример 3
Доказать: ((-w4 => В) => (Л = С)), (?> & В), -,(Л & С)
(-.В & Q).

Глава 6. Логика высказываний
251
Прямое доказательство
Дерево посылок:
Дерево заключения:
В -лС
Обе ветви дерева заключения выступают конъюнктами ветвей
дерева посылок. Значит, прямое доказательство данной формулы
корректно.
Косвенное доказательство
Проверяем, совместимы ли посылки с отрицанием заключения.
{{{-Л d В) Z) (А = С)) & (?> & В) &
& -,(Л & С) & -,-i(-u4 з (-,5
D
В
A
-A
-&
А -г
С -1
С
D
В
¦
A
Q
Все ветви дерева замкнуты. Следовательно, посылки несовместимы
с отрицанием заключения. Значит, заключение необходимо следует из
посылок и, соответственно, косвенное доказательство данной формулы
корректно.
Одной из самых важных проблем при построении исчисления
любого вида оказывается вопрос о его полноте, т. е. вопрос о том, всякая
ли логически истинная формула ЛВ может быть доказуемой в
исчислении ЛВ. Иными словами, можно ли множество правил построения
деревьев формул П1^-П15 считать полным? Если это множество полно,

252 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
тогда их применение должно гарантировать, что всякая логически
истинная формула ЛВ доказуема, и наоборот, что всякая доказуемая
формула ЛВ логически истинна.
Справедливость данного' утверждения доказывают следующие две
теоремы.
Теорема 1. Если с помощью правил конструирования деревьев П 1-г-П 14
можно построить замкнутое дерево формулы (а & -i/З), тогда вывод
заключения /3 из посылок а будет общезначимым.
Доказательство. Допустим, вывод заключения /3 из посылок а не
общезначим и тем самым дерево формулы (а & -./?) не замкнуто. Тогда
существует по крайней мере одна ветвь, атомарные подформулы и/
или их отрицания которой не противоречат друг другу и
одновременно истинны. Так как ветвь не замкнута, а ее замыкание необходимо
для доказательства выводимости, она может быть далее продолжена
с помощью правил конструирования деревьев П1^-П15. Но каждое из
них основано на определенном законе логики — принципе сохранения
истины, и по определению не может привести к замыканию ветви.
Например, если выполняется конъюнкция (А & В), то она
продолжается формулами Л и В, каждая из которых также выполняется. Если
выполняется дизъюнкция (A v В), то она продолжается формулами А
или В, из которых по крайней мере одна истинна. Все остальные
формулы сводимы по своим структурным свойствам к конъюнкции и
дизъюнкции. Следовательно, если ветвь не замкнута, то ни одно из указанных
правил никогда не сделает ее замкнутой. Значит, если все ветви
дерева формулы (а & -i/З) замкнуты, тогда не существует ни одной ветви,
в которой посылки «были бы истинны, а заключение /3ложно.
Следовательно, вывод любой тавтологии Л В с помощью правил Ш-5-П15
всегда общезначим, QED.
Теорема 2. Если с помощью правил П1^-П14 можно построить
незамкнутое дерево формулы (а & -i/З), тогда вывод заключения /3 из
посылок а не будет общезначимым.
Доказательство. Если вывод заключения /3 из посылок а
общезначимый, тогда согласно Т4 дерево формулы (а & -i/З),
сконструированное в соответствии с правилами П1-г-П15, замкнуто. Не существует ни
одной ветви дерева, в которой были бы одновременно истинны
множества формул а и -|Д Следовательно, если дерево формулы (а & -./3)
не замкнуто, тогда вывод заключения /3 из посылок а не является
общезначимым, QED.
Теоремы 4 и 5 вместе свидетельствуют о необходимости и
достаточности правил П1-5-П15 для вывода тавтологий Л В. Стало быть, множе-

Глава 6. Логика высказываний 253
ство этих правил оказывается полным и с их помощью доказуема
любая тавтология ЛВ.
Основные модусы правильных умозаключений
логики высказываний
Все умозаключения ЛВ принято подразделять на условные и
разделительные. Каждый из указанных классов имеет свои разновидности, или
модусы. Если модус умозаключения правильный, значит
соответствующая ему формула представляет логическую истину (закон логики,
тавтологию). Ниже приводятся и иллюстрируются простейшие и
наиболее распространенные в практической аргументации модусы
правильных умозаключений логики высказываний. Проверка каждого из
них с помощью таблиц истинности или метода деревьев
предоставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.
Условные умозаключения
Условно-категорическим умозаключением называют
умозаключение, одна из посылок которого представляет категорическое
высказывание, а другая — условное (импликативное) высказывание.
Среди условно-категорических умозаключений выделяются две
разновидности: modusponens (утверждающий способ рассуждения) и modus
tollens (отрицающий способ рассуждения).
В утверждающем модусе доказывается истинность первого
антецедента условной связи, чтобы доказать истинность ее последнего кон-
секвента (следствия). В отрицающем модусе, наоборот, доказывается
ложность последнего консеквента условной связи, с тем чтобы
доказать ложность ее первого антецедента.
Формула утверждающего модуса условно-категорического
умозаключения:
В
Пример: «Если сегодня понедельник, будет лекция по логике. Но
сегодня действительно понедельник. Значит, сегодня будет лекция по
логике».
Формула отрицающего модуса условно-категорического
умозаключения:
(А з В), -,В

254 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Пример: «Если число три четное, оно должно делиться на два без
остатка. Но число три не делится на два без остатка. Значит, число три
нечетное».
Разделительные умозаключения
Разделительно-категорическим умозаключением называют
умозаключение, одна из посылок которого представляет
категорическое высказывание, а другая — разделительное высказывание.
Разделительно-категорические умозаключения принято разделять
на две разновидности: modus ponendo tollens (утверждающе-отрицаю-
щий способ рассуждения) и modus tollendo ponens (отрицающе-утвер-
ждающий способ рассуждения).
В утверждающе-отрицающем модусе доказывается истинность одной
из альтернатив для того, чтобы опровергнуть все остальные. В отрица-
юще-утверждающем модусе, наоборот, доказывается ложность
некоторых альтернатив с тем, чтобы доказать истинность всех остальных.
Формула утверждающе-отрицающего модуса
разделительно-категорического умозаключения:
(А * В), В
Пример: «Подброшенная монета выпадет либо гербом, либо
цифрой. Она выпала гербом. Значит, она не выпала цифрой».
Формула отрицающе-утверждающего модуса
разделительно-категорического умозаключения:
(А * В), -,В
Пример: «Отсюда можно выйти либо через дверь, либо через окно.
Но дверь заперта снаружи. Значит, отсюда можно выйти только через
окно».
Условно-разделительные умозаключения
Условно-разделительным умозаключением называют
умозаключение, посылки которого состоят из нескольких условных и
одного разделительного высказывания.
Подобные умозаключения используют, когда предстоит сделать
выбор из нескольких вариантов действий, способов решения задач и т. п.
В зависимости от числа дизъюнктов (альтернатив) разделительной

Глава 6. Логика высказываний 255
посылки говорят о дилеммах (двух альтернативах), полилеммах
(число альтернатив более двух). Для простоты изложения ограничимся
здесь дилеммами. Среди последних принято выделять простые и
сложные, конструктивные и деструктивные.
Формула простой конструктивной дилеммы:
Пример: «Если изучать логику, требуется время и терпение. Если
изучать английский язык, также требуется время и терпение.
Необходимо изучать логику или английский язык. Значит, требуется время
и терпение».
Формула сложной конструктивной дилеммы:
(CvD)
Пример: «Если плыть по реке, нужны лодки. Если ехать по шоссе,
требуются велосипеды. Необходимо плыть по реке или ехать по
шоссе. Значит, требуются лодки или велосипеды».
Формула простой деструктивной дилеммы:
(А з В), (А з С), (-,В v -иС)
Пример: «Если сегодня понедельник, то будет лекция по логике.
Если сегодня понедельник, то будут занятия по английскому языку.
Но сегодня не будет логики или не будет занятий по английскому
языку. Значит, сегодня не понедельник».
Формула сложной деструктивной дилеммы:
(-,Л v -.В)
Пример: «Если книга интересна, то она читается быстро. Если книга
полезна, то она читается постоянно. Но книга не читается быстро или
не читается постоянно. Значит, книга не интересна или не полезна».
Правило дедукции (введение импликации)
Если тезис имеет импликативную форму вида (А э В), то для его
обоснования достаточно доказать, что его консеквент (высказывание В)

256 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
выводим из конъюнкции множества аргументов а и его антецедента
(высказывания А). Умозаключение, позволяющее это сделать,
называется правилом дедукции.
Формула правила дедукции:
а, А \-В
a h (А э В)'
Пример: «Если из того, что это число кратно 2 и 15 (а) и делится на
10 (Л), доказуемо, что это число делится на 6 (В), тогда утверждение,
что если это число делится на 10, то оно делится на 6 (А э В), доказуемо
только из того, что это число кратно 2 и 15 (а)».
Рассуждение от противного
Для обоснования выводимости вида а ь /3 часто допускают ложность
тезиса Д т. е. истинность формулы -чД и проверяют, совместимо ли -чД
с множеством аргументов а. Если оказывается, что формула -чД
несовместима с аргументами а (конъюнкция а и -чД противоречива), тогда
делают вывод об истинности указанной выводимости. Такое
рассуждение лежит в основе косвенного вывода (косвенного доказательства).
Формула рассуждения от противного:
о;-»/?»-¦
Пример: «Чтобы доказать, что если сегодня понедельник, то завтра
вторник, можно рассуждать так. Допустим, завтра не вторник. Но это
допущение несовместимо с истинным утверждением, что сегодня
понедельник. Значит, завтра действительно вторник (если сегодня
понедельник)».
Приведение к абсурду
Если требуется опровергнуть тезис Д тогда подбираются такие
истинные аргументы а, с помощью которых можно вывести из конъюнкции
(а & j8) противоречие. Если это удается, тогда тезис /3считается
опровергнутым (относительно приведенных аргументов а).
Формула приведения к абсурду:
Пример: «Если необходимо доказать, что сегодня не вторник,
допускаем временно, что на самом деле сегодня вторник. Из этого допу-

Глава 6. Логика высказываний 257
щения и множества аргументов, из которых следует, что вчера было
воскресенье, выводим противоречие "сегодня понедельник и сегодня
вторник". Значит, принятое допущение неверно, а верно его
отрицание "сегодня не вторник"».
Разбор случаев
Если из допущения А выводимо следствие С, из допущения (случая)
В выводимо следствие С, тогда истинно, что следствие С выводимо из
дизъюнкции допущений (A v В). Сказанное означает, что
доказательство выводимости тезиса С из сложного аргумента (A v В) можно
свести к доказательству его выводимости из отдельных дизъюнктов — А
и Ву что и называется доказательством посредством разбора случаев.
Формула разбора случаев:
Аь-С
В\-С
{A v В) ь С
Пример: «Если сегодня понедельник, то завтра не четверг. Если
сегодня вторник, завтра не четверг. Значит, если сегодня понедельник
или вторник, то завтра не четверг».
Упражнения
I. Формализуйте в терминах логики высказываний следующие
выражения.
1. Только в среду или четверг мы освободились и принялись за
работу.
2. Выбираем ли мы одну ценовую политику или другую, ни уровень
занятости, ни качество потребления существенно не изменятся.
3. Есть только бытие, а небытия нет и не может быть.
4. Если не будут увеличены налоги, то количество свободных денег
будет расти, если, конечно, не вырастут цены.
5. Наш уровень жизни возрастет, только если инфляция вновь не
сделает скачок вверх.
II. Найдите нетривиальные следствия1.
1. Кто украл варенье? Известно, что могли украсть Мартовский Заяц
или Болванщик; Мартовский Заяц утверждает, что он не крал;
Болванщик заявил, что украл один из них, но не он; Соня — что по
крайней мере один из них (Мартовский Заяц или Болванщик)
1 Примеры заимствованы из книги: Смаллиан Р. М. Алиса в стране
смекалки. - М., 1987. С. 17-29.
9-1742

258 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
говорил правду, но не оба. Известно также, что Соня и
Мартовский Заяц не могли одновременно говорить правду.
2. Кто украл муку? Известно, что муку могли украсть Мартовский
Заяц, Болванщик или Соня; Мартовский Заяц заявил, что муку
украл Болванщик. Известно также, что муку украл лишь один и что
именно он дал правдивые показания.
3. Кто украл перец? Известно, что перец могли украсть Мартовский
Заяц, Болванщик или Соня. Крадущие перец никогда не говорят
правды. Мартовский Заяц заявил, что Болванщик невиновен.
Болванщик заявил, что Соня невиновна.
4. Кто же украл перец? Под подозрение попали Грифон, Черепаха
Квази и Омар. Грифон заявил, что Черепаха Квази невиновен, а
черепаха Квази утверждал, что виновен Омар. Известно, что ни один
невиновный не лгал и ни один виновный не говорил правды.
5. Кто украл сахар? Сахар был обнаружен в доме Герцогини, и, как
показало расследование, украла его либо Герцогиня, либо ее
кухарка, но не обе вместе. Герцогиня заявила, что кухарка не крала
сахара. Кухарка заявила, что сахар украла Герцогиня. Тот, кто украл
сахар, лгал.
6. Кто украл соль? Кражу могли совершить Гусеница, Ящерка Билль
или Чеширский Кот. Гусеница заявила, что соль съел Ящерка
Билль. Последний подтвердил это. Чеширский Кот заявил, что он
никогда не ел соли. По крайней мере один из них лгал и один
говорил правду.
7. Кто украл сковороду? В число подозреваемых попали Лягушонок,
Лакей-Лещ и Валет Червей. Лягушонок заявил, что украл Лакей-
Лещ. Лакей-Лещ это отрицал. Валет Червей сознался, что украл
он. Не более чем один подсудимый лгал.
8. Кто украл поваренную книгу? Могли украсть кухарка, Герцогиня
или Чеширский Кот. Герцогиня заявила, что украл Чеширский
Кот. Последний с этим согласился. Кухарка отрицала, что она
украла поваренную книгу. Лгал тот, кто украл поваренную книгу, и по
крайней мере один из остальных обвиняемых говорил правду.
9. Кто украл поваренную книгу второй раз? Подозрение пало на
Герцогиню, кухарку и Чеширского Кота. Были сделаны те же
заявления, что и в прошлый раз (см. предыдущий пример). Лгал тот, кто
украл поваренную книгу. Два других обвиняемых либо оба
солгали, либо оба сказали правду.
10. Кто украл молоко, масло и яйца? Украсть могли Мартовский Заяц,
Болванщик и Соня. Мартовский Заяц заявил, что масло украл
Болванщик. Болванщик утверждает, что яйца украла Соня. Соня
созналась, что она украла молоко. Кто украл масло, говорил
правду. Тот кто украл яйца, лгал. Кто что украл?

Глава 6. Логика высказываний 259
11. Кто украл крендели? Виновен либо Грифон, либо Черепаха Ква-
зи. Герцогиня заявила, что Грифон не крал кренделей, на что
кухарка возразила, что Грифону случалось красть другие вещи.
Чеширский Кот утверждал, что Черепаха Квази никогда ничего не
крал. Гусеница на это заметила, что Чеширскому Коту случалось
красть вещи. Мартовский Заяц заявил, что кухарка и Чеширский
Кот говорят правду. Соня заявила, что кухарка и Гусеница
говорят правду. Болван щи к утверждал, что Чеширский Кот, или
Гусеница, или оба говорят правду. Валет Червей заявил, что кухарка
и Болванщик оба говорят правду. Белый Кролик добавил, что
Ящерка Билль говорит правду, а Валет Червей лжет. Ящерка Билль,
со своей стороны, заявил, что либо Мартовский Заяц, либо Соня
, говорят правду, а может быть, и оба. По поводу всех этих
заявлений Алиса заметила, что Белый Кролик и Гусеница дали
показания, которые либо истинны, либо оба ложны. Замечание Алисы
оказалось правдивым/
III. В качестве примеров на нахождение нетривиальных допущений
решите следующие задачи:
1. В комнате с узником две двери: «дверь свободы» и «дверь
смерти» — и двое стражников, один из которых всегда говорит правду,
а другой ложь. Какой следует задать вопрос, чтобы стать свободным?
2. Узник находится в комнате с двумя дверьми, как и прежде, но с
одним слугЪй. Этот слуга либо всегда говорит правду, либо всегда
лжет, либо иногда говорит правду, либо иногда лжет. Он никогда
не высказывается противоречиво: каждое его утверждение
однозначно либо истинно, либо ложно. Какой следует задать вопрос,
чтобы стать свободным?
IV. Докажите прямым или косвенным способом следующие
умозаключения:
((Л & D) 6 iC), ((Я v E) э (Л & ?>)).
(-пСэ -.(Л & ?>)) э (Я v E) ь -,(Л & D).
((Л v iC) D Я), А ((Л v -iD) z> (? & К)) н ((? & К) v В).
((Л &B)v С), ((В & Л) з ?>), -¦?> ь (С & -.?>).
-А ((С v Л) э Я), (Л v ?>), ((?> v E) э С) н В.
((В & С) D ?>), С (- (В v ?>).
(-u4 v -J3) h ((A & В) э -пЯ).
V. (Задача Эйнштейна). Есть 5 домов, каждый разного цвета. В
каждом доме живет по одному человеку разных национальностей. Каждый

260 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную
марку сигарет и держит определенное животное. Никто из 5 человек
не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты
и не держит одинаковое животное.
Также известно следующее:
1. Англичанин живет в красном доме.
2. Швед держит собаку.
3. Датчанин пьет чай.
4. Зеленый дом стоит слева от белого.
5. Жилец зеленого дома пьет кофе.
6. Человек, который курит Pall Mall, держит птицу.
7. Жилец среднего дома пьет молоко.
8. Жилец из желтого дома курит Dunhill.
9. Норвежец живет в первом доме.
10. Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку.
11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит
Dunhill.
12. Курильщик сигарет Winfield пьет пиво.
13. Норвежец живет около голубого дома.
14. Немец курит Rothmans.
, 15. Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет
воду.
Доказать прямым и косвенным способом, что рыба принадлежит
немцу.

Глава 7
Логика предикатов
Основные понятия и допущения логики предикатов
Если попытаться с помощью логики высказываний доказать
корректное умозаключение «Каждый человек любит самого себя (А). Я —
человек (В). Следовательно, я люблю самого себя (С)», то общезначимого
вывода (А & В) н С не получится. С посылками (А & В) совместимо не
только заключение С, но и его отрицание. Значит, высказывание С не
является необходимым следствием (А & В). Причина этого не в
ущербности логики высказываний, а в ее ограниченности. Согласно одному
из ее допущений внутренняя структура простых высказываний не
учитывается. Поэтому неудивительно, что расширение возможностей
формализации было связано прежде всего с отказом от указанного
допущения. Это привело к созданию важного обобщения ЛВ,
названного логикой предикатов.
Логика предикатов — логика, созданная для анализа
умозаключений, в которых истинность заключения зависит не только от
истинности посылок, но также и от их внутренней логической структуры.
Для анализа внутренней структуры высказываний в логике
предикатов дополнительно к основным понятиям Л В были введены
следующие:
• универсум;
• имя собственное;
• предметная константа;
• предметная переменная;
• предикат, терм;
• предметная функция;
• квантор.
Кроме того, использование Л П требует принятия особых допущений.

262 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Как и в традиционной логике, в логике предикатов все вычисления
привязаны к понятию универсума.
Универсум U логики предикатов — класс объектов с заданными
свойствами и отношениями.
Он задает предметную область интерпретации анализируемого
рассуждения, позволяет вычислить его логическое значение. Одним из
мотивов возврата к универсуму стала необходимость ввести предмет
рассуждения в определенные смысловые границы. Если их не
задавать, то кванторные выражения (знаки количества в традиционной
логике) типа «для всех», «ни для одного» и «для некоторых» не
получают однозначной интерпретации и могут приводить к
двусмысленностям.
Чтобы обсуждать вещи универсума, необходимо для каждой из них
заручиться именем собственным (обозначает эту и только эту вещь).
Имя собственное в логике предикатов — термин, обозначающий
отдельную вещь универсума.
Логика предикатов, как и традиционная логика, связана с
допущением невозможности существования пустых имен, т. е. таких
терминов, которым в рассматриваемом универсуме ничего не соответствует
(которые не обозначают ни одной его вещи).
Допущение непустоты универсума — каждому имени
собственному должна соответствовать некоторая вещь универсума.
В логике предикатов не важно, каким именем обозначается та или
иная вещь, существенно, какая вещь обозначается. Поэтому если два
и более различных имени обозначают одну и ту же вещь, то
независимо от различия своих интенсионалов (смыслов) они считаются
экстенсионально взаимозаменяемыми. Например, «автор "Евгения
Онегина"» и «А. С. Пушкин» — экстенсионально взаимозаменяемые имена,
так как обозначают одного и того же человека. В противном случае
значение истинности высказывания будет зависеть от малейшего
изменения смысла контекста, в котором оно употребляется.
Допущение экстенсиональности — если два различных имени
обозначают одну и ту же вещь, они считаются
взаимозаменяемыми и обладают одним и тем же значением истинности.
Как и в логике высказываний, в логике предикатов сохраняется
допущение бивалентности.

Глава 7. Логика предикатов 263
Допущение бивалентное™ — каждое простое высказывание ЛП
либо истинно, либо ложно.
Из-за необходимости учитывать внутреннюю структуру
высказываний атомарные формулы ЛП значительно отличаются по своей
структуре от атомарных формул ЛВ. Напомним, что в ЛВ таковыми
считаются знаки (прописные буквы латинского алфавита), обозначающие
простое высказывание.
Допустим, задан некоторый универсум U. Относительно любой его
вещи ее имя собственное может быть известно или неизвестно. Если
оно известно, то данная вещь обозначается одной из строчных
начальных букв латинского алфавита я, Ь, с... и называется предметной
константой. Значение каждой предметной константы, т. е. обозначаемая
ею вещь, фиксировано и не может быть произвольно изменено.
Если же имя собственное вещи неизвестно, то она обозначается из
строчных конечных букв латинского алфавита х, у, z... называется
предметной переменной. Предметные переменные не имеют
фиксированного значения. Их главная функция состоит в том, чтобы обозначать
все вхождения одного и того же имени. Иными словами, на место
каждой предметной переменной одно и то же имя должно подставляться
столько раз, сколько отмечается ее вхождений.
Различие между предметными константами и переменными
поясняет следующий пример. Допустим, необходимо формализовать
утверждение, что некоторая вещь из универсума [/обладает свойством Р. Это
возможно осуществить двумя способами: либо как Ра, если а —
известное имя собственное вещи, либо как Рх, если имя собственное вещи
неизвестно. Выражение Ра читается: «Данная вещь а из универсума U
обладает свойством Р». Выражение Рх читается так: «Произвольная
вещь .г из универсума [/обладает свойством Р». Фундаментальное
различие между обоими случаями состоит в том, что выражения типа Ра,
РЬ... можно оценивать как истинные или ложные, а выражения Рх, Ру...
так оценивать нельзя.
Пусть U= «пищевые продукты», Р= «сладкий», а = «сахар», Ъ = «соль».
Тогда выражение Ра = «Сахар сладкий» истинно, а выражение РЬ =
«Соль сладкая» ложно. Сказать же, что Рх = «Произвольный пищевой
продукт сладкий» истинно или ложно, бессмысленно, потому что
неизвестно, о каком же именно пищевом продукте идет речь. Знак х
обозначает любую съедобную вещь или, как говорят, «пробегает» по всем
вещам рассматриваемого универсума. Значит, чтобы выражение ЛП,
содержащее вхождения предметных переменных, можно было интер-

264 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
претировать как истинное или ложное высказывание, их необходимо
заменить соответствующими им предметными константами.
Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая
вещь находится в определенном отношении к другой вещи. Здесь также
различаются указанные выше два случая. Выражение вида Rxy
означает «Произвольные вещи х и у из универсума [/находятся в
отношении Rjypyt к другу». Сказать об отношении Rxy, истинно оно или
ложно, нельзя до тех пор, пока не станет известно, какие именно вещи
обозначают переменные х и у. Пусть U= «числа», а = 3, Ь = 4, R =
«больше». Тогда неопределенное с точки зрения истинности выражение Rxy
превращается в ложное высказывание Rab = «3 больше 4».
Традиционно предикатом называется мысль, обозначающая либо
свойство, которым обладает или не обладает данная вещь, либо
отношение, в котором эта вещь находится или не находится к другим вещам.
В ЛП под предикатами понимаются логические функции,
отображающие имена собственные как свои аргументы в множество значений
истинности. Если в высказывании «Сахар сладкий» заменить
константу «сахар» предметной переменной, то результатом замены станет
функция «х — сладкий». Подстановка в данную функцию вместо х
различных имен собственных будет порождать истинные или ложные
высказывания в качестве ее значений. Если исключить случай, когда
предикат имеет нулевое множество аргументов, предикатом в
собственном смысле слова можно назвать любое высказывание, содержащее по
крайней мере одно вхождение предметной переменной. Пусть, как
и прежде, Г и F обозначают значения истинности.
Предикат—логическая функция, отображающая собственные
имена вещей (предметные константы) в множество логических
значений {Г, F).
Выражения вида Р1х принято называть одноместными (одноаргу-
ментными) предикатами. Их отличительная особенность состоит в том,
что они обозначают свойства вещей. Выражения вида Р2ху называют
двухместными (двухаргументными) предикатами. Их особенность
заключается в том, что они обозначают бинарные отношения. В общем,
выражения вида Рп принято называть п-местными предикатами,
обозначающими я-местные отношения, п > 0. В случае Р° предикатная
буква — знак простого высказывания ЛВ, которое по допущению бива-
лентности либо истинно, либо ложно. Так как атомарные формулы ЛВ
сводимы к виду Р°у то они все представляют собой атомарные
формулы ЛП.

Глава 7. Логика предикатов 265
Верхними индексами для обозначения местности предиката можно
и не пользоваться, так как число мест предиката легко определяется
по числу предметных переменных, которыми он управляет. Например,
Р3 означает, что после предикатной буквы Р должно стоять три
предметных переменных — Pxyz. В дальнейшем используется именно
данный вариант символизации.
Если требуется формализовать операцию, отображающую
множество предметных констант в это же множество по определенному
закону, тогда используют соответствующую ей предметную (т. е.
нелогическую) п-местную функцию. Известные арифметические действия —
сложение, вычитание, умножение и деление — выступают частными
случаями таких функций.
Двухместная функция сложения/(а, 6), определенная на множестве
натуральных чисел, устанавливает соответствие между парой
определенных натуральных чисел аиЬи новым числом с из этого же
множества как результатом их суммы: а + Ь = с. Например,/A, 2) = 3,/(/A, 2),
/A, 2)) = 3 + 3 = 6. Другие примеры я-предметных функций: g(b) =
= мать bf g(g(b)) = мать матери b = бабушка b, g(g(g(b))) = мать
бабушки b = прабабушка Ь. Функция /п при п = О обозначает предметную
константу.
Предметные константы и предметные переменные принято
объединять общим именем — простой терм (от англ. term). Понятие терма
обобщает понятие субъекта в традиционной логике. К числу сложных
термов относятся я-местные функциональные знаки, п > О,
сопровождаемые я-предметными константами или переменными в качестве
простых термов.
Объединение термов с предикатной буквой порождает атомарную'
формулу ЛП. Основное правило в этом процессе следующее: п-мест-
ной предикатной букве должно соответствовать п термов. Таким
образом, выражение Р3 не будет атомарной формулой ЛП, так как
предикатный символ не сопровождается тремя термами, а выражение вида
Pabxтаковой признать можно. Если t{... tn — произвольные термы, Рп —
произвольный ?2-местный предикат, то атомарная формула ЛП имеет
следующий канонический вид: PtV.4n n>0. Только атомарным
формулам ЛП и построенным из них сложным формулам можно
приписывать то или иное значение истинности.
Некоторые формулы ЛП с вхождениями предметных переменных
могут быть квантифицированы. Кванторы в ЛП играют такую же роль,
как и знаки количества — «все», «ни один», «некоторые» — в традицион-

266 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
ной логике. Они определяют количественные границы свойств и
отношений, обозначаемых предикатами.
Пусть универсум состоит из трех вещей, каждая из которых имеет
свое собственное имя, U = {а, Ь, с}. Если необходимо сказать, что все
элементы данного универсума обладают свойством Р, это можно
сделать двумя способами. Во-первых, построив конъюнкцию — (Ра & РЬ
& Рс), которая истинна, если и только если истинны все ее конъюнкты.
Во-вторых, использовав специальное сокращение, называемое
квантором общности и ставящееся перед той формулой (Рх — в данном
случае), количественную характеристику которой оно определяет: (х)Рх.
Формула Рх, перед которой поставлен квантор общности (х)Рх,
читается так: «Каждый х обладает свойством Р», «Для всех х имеет место
свойство Р». Формула —i(x)Px читается следующим образом:
«Неверно, что каждый х обладает свойством Р». Формула (х)-лРх означает:
«Ни один х не обладает свойством Р».
Если необходимо сказать, что некоторые вещи рассматриваемого
универсума обладают свойством Р, то это можно сделать также двумя
способами. Во-первых, построив дизъюнкцию (Pa v Pbv Рс), которая
истинна, если и только если истинен по крайней мере один ее дизъюнкт.
Во-вторых, использовав специальное сокращение, называемое
квантором существования и ставящееся перед тем выражением,
количественную характеристику которого оно определяет: (Ех)Рх. Формула
Рх, перед которой поставлен квантор существования (Ех)Рх} читается
«Существует такой х, который обладает свойством Р», «По крайней
мере для одного х имеет место Р». Формула-i(Er)Pr читается
«Неверно, что существует такой х, который обладает свойством Р». Формула
Pr означает «Некоторые х не обладают свойством Р».
Синтаксис логики предикатов
Синтаксис ЛП представляет расширение синтаксиса ЛВ и включает
перечень определяемых знаков алфавита ЛП (табл. 7.1) и правил
построения из них термов и формул ЛП (табл. 7.2).
Пусть, как и прежде, буквы греческого алфавита ф, ср, у... обозначают
произвольные формулы ЛП. То есть на место каждой из них следует
подставлять формулу ЛП столько раз, сколько отмечается вхождений
данной буквы.
По заданному в табл. 7.1 алфавиту ЛП можно конструировать
термы и формулы — символические эквиваленты простых и сложных
высказываний. Это делается по следующим правилам.

Глава 7. Логика предикатов
267
Таблица 7.7
Алфавит логики предикатов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Знаки для обозначения предметных констант
Знаки для обозначения предметных переменных
Знаки для обозначения л-местных предикатов, п > 0
Знаки для обозначения л-местных функциональных
символов, п > 0
Знаки для обозначения произвольных термов
Знаки для обозначения кванторов общности и существования
Знаки для обозначения логических союзов
7.1. Знак логического отрицания: «неверно, что»
7.2. Знак конъюнкции: «и»
7.3. Знак слабой дизъюнкции: «или»
7.4. Знак импликации: «если... то...»
7.5. Знак эквивалентности: «если и только если»
7.6. Знак сильной дизъюнкции: «либо... либо...»
Левая и правая скобки (для указания области действия
логических союзов)
Запятая (для разделения формул в посылках)
Знак для обозначения отношения логического следования:
«выводимо, следует»
Знак для обозначения логической лжи и замкнутой ветви
дерева формулы
Знак для обозначения равенства термов
a, b, с...
x,y,z...
Р", Q?, R"...
/,g",/*"...
tx...tn
(х\(Ех)
—\
&
V
э
III
,
ь
¦
=
Иных знаков, кроме указанных в п. 1-12, в логике предикатов нет
Для определения того, какие последовательности знаков из табл. 7.1
выступают формулами ЛП, введем понятие подформулы (оно
повторяет определение, приведенное для формул ЛВ).
Подформула —формулаЛП, входящая в состав другой формулыЛП.
Назовем логическим оператором формулы логический союз или
квантор, которые в нее входят. Тогда получим следующее определение.
Главный логический оператор неатомарной формулы ЛП —- союз
или квантор, который при ее построении вводится последним.
Как и в ЛВ, узнать, будет ли некая последовательность знаков
формулой Л П, можно достаточно легко, если сконструировать дерево
данной формулы. Правилами здесь служат правила образования формул
ЛП (табл. 7.2).

268 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
Таблица 7.2
Правила построения формул логики предикатов
Предметная константа и предметная переменная — термы ЛП
л-аргументная функциональная буква/1, п > О, сопровождаемая п термами,
ft\... m, — (сложный) терм ЛП
Ничто другое не является термом ЛП
Для всех п > О /2-местный предикат Р", сопровождаемый п термами, Рп_ ,„,
служит атомарной формулой ЛП
Терм /,, соединенный знаком «=» с другим термом /у, есть атомарная
формула ЛП
Ничто другое не является атомарной формулой ЛП
3
Любая атомарная формула ЛП — формула ЛП
4
Если ф — формула ЛП, то —\ф — также формула ЛП
5
Если фиср—формулы ЛП, то @& ф), @ v <р), @z><p)... (ф s (р),(ф* (р) —
также формулы ЛП
Если ф— формула ЛП и предметная переменная ? входит в ф, но ни квантор
общности (ф, ни квантор существования (Е?) не входят в ф, тогда (?H? —
также формула ЛП1
Если ф— формула ЛП и предметная переменная ? входит в ф, но ни квантор
общности (ф, ни квантор существования (Eg) не входят в 0, тогда
также формула ЛП
Иных формул, кроме указанных в п. 2-7, в логике предикатов нет
Допустим, необходимо проверить, представляет ли формулу ЛП
следующая последовательность знаков:
(x)(((Qx & (Ez)Pxz) & (у)(Рху з Rxay)) э Sax).
Напомним, что формула подчеркивается в том случае, если она
оказывается подформулой нижестоящей формулы.
Pxz Pxy Rxay
Ox (Ez) Pxz (Pxy з Rxau)
( Ox & (Ez)Pxz) (yMPxu d Rxay)
((Ox & (Ez)Pxz) & (y)(Pxyz>Rxau)) Sax
(((Ox&(Ez)Pxz) & (u)(Pxy з Rxay)) => Sax)
(x)(((Qx & (Ez)Pxz) & (y)(Pxyz> Rxay)) з Sax)
1 Метапеременная ?, вместо которой могут подставляться предметные
переменные ху у, г..., читается как «кси».

Глава 7. Логика предикатов 269
Дерево доказывает, что приведенное выражение есть формула ЛП;
поскольку Qx, Pxz, Rxay, Sax — формулы согласно правилам 2 и 3,
(Ez)Pxz — в соответствии с правилом 7, (Рху d Rxay), (Qx & (Ez)Pxz) —
по правилу 5, (у)(Рху з Rxay) — соответственно правилу 6, ((Qx &
(Ez)Pxz) & (у)(Рху з Rxay)) — по правилу 5, да и вся формула в целом —
это формула ЛП в соответствии с правилом 6.
Главный логический оператор в рассматриваемой формуле —
квантор общности (х), так как при построении дерева формулы он вводится
последним. Если бы не было этого квантора, главным логическим
оператором был бы знак конъюнкции &.
Следующее выражение нельзя считать формулой ЛП:
(x)(Pxz> (Ex)(Qx & Rxb))
Это объясняется тем, что, хотя выражения Рх} (Ex)(Qx & Rxb) и (?г з
(Ex)(Qx & Rxb)) и представляют собой формулы ЛП, все выражение в
целом таковым не будет формулой: к формуле (Px з (Ex)(Qx & Rxb))
нельзя применить правило 6, чтобы присоединить к ней квантор
общности (х), так как она уже содержит квантор существования (Ех).
Однако выражение (х)((Еу)Рху з (Ey)(-iPxy v Qxy)) — формула Л П.
Несмотря на наличие двух кванторов существования (Еу), их области
действия не пересекаются, и правило 7 образования формул ЛП не
нарушается. Дерево формулы имеет следующий вид.
Рху
Охи
Рху (—iPxy v Охи)
(Еу)Рхи (EyX-iPxu v Охи))
((Еи)Рхи з (Еу)(-^Рхи v Охи))
(х)((Еу) Рху з (Еу)(^Рху у Qxy))
Введем точные определения области действия логического союза
(повторяет определение для формул ЛВ) и квантора.
Область действия логического союза образуют все подформулы,
которые он связывает.
Область действия квантора составляет подформула, которая
начинается сразу после квантора.
В формуле (х)((Еу)Рху з (Еу)(-^Рху v Qxy)), которая
рассматривалась выше, областью действия первого квантора существования (Еу)

270 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
служит подформула (Еу)Рху; областью действия второго квантора
существования (Еу) — подформула (Ey)(—iPxy v Qxy); областью действия
квантора общности (х) — вся формула в целом.
Некоторые предметные переменные, совпадающие с переменной
квантора общности или существования, могут находиться в области
его действия. Если это так, вхождение данной переменной называется
связанным. В противном случае оно считается свободным.
Вхождение предметной переменнойхназывается связанным, если
и только если она является переменной квантора общности (?) или
квантора существования (Е?), или находится в области действия по
крайней мере одного из них. Всякое иное вхождение переменной ?
называется свободным.
В формуле (х)Рху предметная переменная х связана, а у свободна.
Одна и та же предметная переменная может входить в формулу
свободно и связанно одновременно. Например, в формуле (х)Рху & (y)Qy
предметная переменная у входит свободно в конъюнкт (х)Рху и
связанно в конъюнкт (y)Qy.
Допустим, дана формула ((Рх & (Ey)Qxy) v (z)(Qxzd Rxbz)). В
подформулу (Qxzz) Rxbz) переменныех и z входят свободно; в
подформулу (z)(Qxz d Rxbz) переменная z входит связанно, а переменная х —
свободно; в формулу в целом переменные у иг входят связанно, а
переменная х — свободно.
. Для формализации высказываний в Л В необходимо иметь знаки для
обозначения атомарных формул и такое множество логических союзов,
которое позволяет выражать все виды совместимости и
несовместимости между высказываниями. Формализация высказываний в ЛП
весьма сложна. Для ее осуществления необходимы:
• предикатные знаки, чтобы обозначить свойства вещей или их
отношения друг к другу;
• предметные константы, чтобы обозначить имена собственные
объектов; '
• предметные переменные, чтобы обозначить область действия
квантора общности или существования;
• функциональные знаки, чтобы обозначить операции над
константами.
Рассмотрим несколько примеров формализациивысказываний в ЛП.
Примем соглашение не ставить внешних скобок в формулах ЛП,
начинающихся с кванторов.

Глава 7. Логика предикатов 271
Пример 1
Пусть U = «люди»; х, у — предметные переменные; а,Ь — предметные
константы; Рху = «х — учитель у».
1. «Если а — учитель Ь, то а — чей-то учитель»: (Pab з (Еу)Рау).
2. «Если а — учитель Ь, то Ь — чей-то ученик»: (Pab э (Ех)РхЬ).
3. «Каждый — чей-то учитель и чей-то ученик»: (х)(Еу)Рху &
(Ех)(у)Рху.
4. «Ь — ученик а или Ь — ученик самого себя»: (Pab v Pbb).
5. «Если все — учителя самих себя, то а — учитель самого себя и b —
учитель самого себя»: (х)Рхх з (Раа & Pbb).
6. «Каждый — учитель кого-нибудь тогда и только тогда, когда кто-
нибудь — ученик каждого»: (х)(Еу)Рху = (Еу)(х)Рху.
7. «Неверно, что если а — не учитель Ь,то b — не чей-то ученик»:
Ы-iPab з -^(Ех)РхЪ)).
Пример 2
1. «Существует по крайней мере одна вещь со свойством Р»:
(Ех)Рх,
где U = «вещи»; Рх = «х обладает свойством Р».
Формула означает, что исключается ситуация, когда ни одна вещь
из универсума U не обладает свойством Р.
2. «Некоторые студенты выполняют все учебные задания»:
(Ex)(Pxb(y)(Qyz>Rxy)\
где U = «вещи»; Рх = «х— студент», Qy = «у — учебное задание»,
Rxy = «х выполняет у».
Формула означает, что существует по крайней мере один студент,
выполняющий все учебные задания.
- 3. «Только Гегель понимал "Науку логики"»:
Rah & (х)((-лх = а) э -,Rxb)),
где U= «вещи»; а = «Гегель», b = «Наука логики», Rxy = «х понимал у»,
(-ir = у) = «х не равен у».
Формула означает, что всякий иной человек, не Гегель, не понимает
его главный труд «Наука логики».
4. «Все, кроме равнодушных, любят кого-нибудь»:

272 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
где U = «существа»; Рх = «х — человек», Qy = «у — равнодушное
существо», Rxy = «х любит у».
Формула означает, что условие любить кого-нибудь необходимо для
того, чтобы быть неравнодушным человеком.
5. «Существует самое большее одна вещь со свойством Р»:
где U = «вещи»; Рх = «х обладает свойством Р».
Формула означает, что если каждая вещь х обладает свойством Р, то
всякая вещь г/, обладающая этим же свойством, равна вещи х.
6. «Существует точно одна вещь со свойством Р»:
где U = «вещи»; Рх = «х обладает свойством Р».
Формула означает, что существует по крайней мере одна вещь со
свойством Р и что таких вещей самое большее — одна.
7. «Существует не более двух вещей со свойством Р»:
(Х)(У)((РХ & Ру) &Ы = у)) & (Z)(PZ Z> ((X = 2) V (у = 2)))),
где U = «вещи»; Рх = «х обладает свойством Р».
Формула означает, что если две произвольные вещи х и у обладают
свойством Р и при этом не равны друг другу, то каждая вещь z со
свойством Р равна либо х, либо у.
Пример 3
Пусть U= «натуральные числа», Рх *= «х — нечетное число»,/(х) =
jc3, Eq(x, у) = «х равно г/», g(x) = «число, непосредственно следующее
зах».
1. «Если число нечетное, то возведение его в куб не изменяет его
нечетности»: (x)(Pxd (Pf(x) z> Px)).
2. «Для каждого натурального числа существует одно и только одно
число, которое ему предшествует»: (x)(Ey)(Eq(y,g(x)) & (z)(Eq(z, g(x))
z>Eq(y,z))).
3. «He существует натурального числа, за которым
непосредственно следует 0»: -,((?r)(??@, g(x))).
Семантика логики предикатов
Семантика ЛП, как и ее синтаксис, обобщает семантику ЛВ. Главной
проблемой здесь оказывается интерпретация формул как
осмысленных выражений.

Глава 7. Логика предикатов 273
Семантика ЛП — соглашения и правила, позволяющие
интерпретировать формулы логики предикатов как осмысленные, т. е.
истинные или ложные высказывания.
Для интерпретации формулы в ЛВ достаточно поставить в
соответствие ее «атомам» простые высказывания и построить таблицу
истинности. В логике предикатов это невозможно. Во-первых, потому, что
ее формулы кроме знаков, обозначающих логические союзы, содержат
знаки, символизирующие нелогические термины — предикатные
символы, предметные переменные и константы, функциональные
символы и кванторы общности и существования, интерпретация* которых
подчиняется особым правилам. Во-вторых, потому, что логически
истинные формулы ЛП должны быть общезначимы в любом
универсуме, включая универсум с бесконечным числом вещей.
Интерпретацией формулы ЛП называется:
1) определение значений всех ее нелогических терминов;
2) вычисление значения ее истинности в данном универсуме.
Понятие интерпретации формул Л П основано на расширении
(определении значения) нелогических терминов произвольной формулы Л П.
Расширением
• предметной константы в универсуме U называется та вещь, чьим
именем собственным она является]
• (свободной и связанной) предметной переменной в универсуме
U называется произвольная вещь U\
• предиката Р\ п > О, в универсуме U называется множество
элементов U, выполняющих данный предикат;
• функционального символа f1, n > О, в универсуме U называется
множество элементов U, удовлетворяющих аргументам и
значению обозначаемой им операции.
Расширение предметной константы и предметной переменной не
вызывает особых вопросов. Если в словарь формулы ЛП входит
константа а и переменная ху то расширением а в универсуме U = «герои
пушкинских произведений» должно быть некоторое имя собственное,
например «Татьяна Ларина», расширением х — любой элемент
универсума, который может быть подставлен на место х, включая и
указанное имя собственное.
Расширение предиката соотносимо с определением его объема в
традиционной логике. Стало быть, выяснить это расширение означает
вычислить объем предиката в заданном универсуме интерпретации.

274 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Если; объем предиката не пуст, он получает значение «истина», в
противном случае — значение «ложь».
Результат расширения произвольного предиката Р\ п > О, зависит
от того, обозначает ли он простое высказывание ЛВ (п = 0), свойство
(п = 1) или отношение (п > 1).
Если п = 0, предикат Р обозначает простое высказывание ЛВ,
которое либо истинно, либо ложно. В этом случае расширение предиката
Р сводится к доказательству Р1 = Гили Р1 = F.
Если п = 1, предикат Р1 обозначает свойство. В этом случае
расширением предиката Р окажется (возможно пустое) множество всех
элементов универсума, выполняющих его. Расширением предиката Рх =
«х — круглый» в произвольном универсуме будет множество всех
круглых вещей. Если оно не пусто, предикат Рх получает значение
«истина», Рх = Т; если же в заданном универсуме нет ни одной круглой вещи,
то предикат Рх приобретает значение «ложь», Рх = F. В
рассматриваемом случае процедура расширения предиката, обозначающего
свойство, сводится к отображению элементов I/, образующих его
расширение, во множество {Ту F).
Если п = 2, предикат Р отражает бинарное отношение. В этом
случае расширением этого предиката будет (возможно пустое) множество
всех упорядоченных пар элементов универсума, выполняющих
данное отношение. Расширением предиката Рху = «х меньше у на
единицу» в универсуме С/= {1,2,3,4,5} оказывается подмножество
упорядоченных пар чисел {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 5>} — таких, что каждое
левое из них меньше правого ровно на единицу. Чтобы образовать
множество упорядоченных пар, необходимо построить произведение
Ur\U = U2. Если расширение предиката, обозначающего бинарное
отношение, не пусто, он получает значение «истина», в противном
случае — «ложь». В рассматриваемом примере процедура расширения
предиката, обозначающего бинарное отношение, сводится к
отображению элементов f/2, образующих его расширение, во множество {Т, F).
Если п > 2, предикат Р обозначает я-местное отношение с числом
термов, большим двух. В этом случае расширение предиката Р1
образует (возможно пустое) множество всех я-ок элементов универсума,
выполняющих означенное им отношение. И в этом случае процедура
расширения предиката сводится к отображению последовательностей
упорядоченных элементов из множества, образованного я-ой степенью
[/:[/п[/п...п[/={/я,я>2,и образующих его расширение, во
множество {Ту F}. Например, в универсуме U= {1,2,3,4,5} расширением
предиката Pxyz = «у больше х и меньше z на единицу» будет множество

Глава 7. Логика предикатов 275
упорядоченных троек чисел {<1, 2, 3>, <2, 3, 4>, <3, 4, 5>}, которое
представляет собой подмножество множества всех троек: UnUnU^lP.
В общем случае построить расширение предиката Р", п > 0, означает
установить его соответствие с отображением произведения Un во
множество {T,F}.
Результат расширения произвольной функции/", п > О, зависит от
того, обозначает ли она предметную константу (п = 0) или я-местную
операцию (п > 1) в заданном универсуме интерпретации.
Если п = 0, функция/" обозначает предметную константу. Это
возвращает нас к проблеме расширения данной константы.
Если п = 1, функция/" обозначает одноместную операцию. В
универсуме U= «натуральные числа» функции/1 может соответствовать,
например, операция возведения в квадрат:/1 =х1. Расширением такой
функции будет следующая бесконечная последовательность
результатов возведения в квадрат: /41) = 1,/1B) = 4,/1C) = 9... Чтобы
вычислить расширение одноместной функции, необходимо построить
отображение (символизируется знаком «—>») множества элементов
универсума в это же множество элементов, U —>U.
Если п = 2, функция/7 обозначает двухместную операцию. В
универсуме [/= «натуральные числа» функции/2 может соответствовать,
например, операция сложения: У2 = (х + у). Расширением этой
функции будет следующая бесконечная последовательность результатов
сложения всех пар чисел:/2A + 1) = 2,.f(l + 2) = 3,/*B + 1) = 3... Для
вычисления расширения двухместной функции необходимо
построить отображение множества элементов универсума в это же
множество элементов, U2 —>U.
В общем случае построить расширение функции /", п > 0, означает
установить ее соответствие с отображением произведения Un во
множество элементов U.
Истинность квантифицированных высказываний также основана на
понятии расширения.
Произвольная формула (x)fx ЛП, главный знак которой — квантор
всеобщности, истинна в заданном универсуме, если формула/г истинна
в каждом своем расширении; аналогично формула (Ex)fx, главный знак
которой — квантор существования, истинна в заданном универсуме,
если формула fx истинна хотя бы в одном своем расширении.
Объединяет сказанное следующее определение.
Формула ЛП получает интерпретацию, если:
1) задан универсум интерпретации U\

276 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
2) определено расширение каждого ее нелогического символа в U\
3) формуле {x)fx, главный знак которой — квантор всеобщности,
приписано значение «истина», если формула fx истинна при
подстановке на место переменной х любой вещи из универсума U\
и приписано значение «ложь» в противном случае;
4) формуле (Ex)fx, главный знак которой — квантор существования,
приписано значение «истина», если формула fx истинна при
подстановке на место переменной х по крайней мере одной вещи из
универсума U\ и приписано значение «ложь» в противном случае;
5) формуле, главный знак которой —логический союз, приписано
значение истинности согласно правилу для этого логического союза.
Результатом интерпретации может стать любой из следующих
результатов: формула ЛП может быть истинна хотя бы в одной
интерпретации, истинна во всех интерпретациях, ложна во всех
интерпретациях. По аналогии с логикой высказываний получаем следующее
определение.
Формула ЛП
• выполнима, если и только если она истинна хотя бы в одной
интерпретации;
• логически истинна, если и только если истинна во всех интер-
! претациях;
• логически ложна, т. е. невыполнима, если и только если она
ложна во всех интерпретациях.
Рассмотрим несколько примеров интерпретации формул ЛП в
универсуме с фиксированным числом индивидов.
Пример
Вычислить значение истинности следующих формул в[/={а, 6}, где
a = «Сократ», Ъ = «Платон», Рху = «х старше у». При решении первых
двух задач указаны результаты и истинностные значения расширений
рассматриваемых формул.
(расширение формулы (х)[(у)Рху])
- ((Paa & Pab) & (Pba & Pbb))
(расширение формулы (х)(у)Рху)
(значения истинности элементов расширения)
= F(значение истинности формулы (х)(у)Рху)
2. (Ех)(у)Рху = (y)Pay v (y)Pby
(расширение (Ех)[(у)Рху])

Глава 7. Логика предикатов 277
= ((Раа & Pab) v (Pba & Pbb))
(расширение формулы (Ех)(у)Рху)
(значения истинности элементов расширения)
= (FvF)
= F (значение истинности формулы (Ех)(у)Рху)
3. (х)(Еу)Рху = (у)Рау & (у)РЬу
= ((Раа v Ряб) & (Pba v
4. (Ex)(Ey)Pxy =
= ((Ряд v Pab) v (Р&я v PW))
Объяснение. Известно, что Сократ был старше Платона. Поэтому
невозможно, чтобы Платон был одного возраста с Сократом или старше
Сократа. Кроме того, по очевидным причинам ни Сократ, ни Платон
не могли быть старше самих себя. Следовательно, из всех возможных
упорядоченных пар констант а и Ь, образующих расширение
двухместного предиката Рху, только пара Pab выполняет предикат Рху. Значит,
Pab получает значение «истина», а все остальные упорядоченные пары —
«ложь».
По определению, квантор общности вводит конъюнкцию
элементов расширения предиката Рху, а квантор существования — их
дизъюнкцию. Согласно правилам для конъюнкции и дизъюнкции
вычисляется значение истинности каждой формулы в целом.
В итоге только формула (Ех)(Еу)Рху истинна в указанном
универсуме при заданном значении констант и предикатного символа. Значит,
она истинна в данной интерпретации и тем самым выполнима, а все
остальные формулы в этой интерпретации ложны.
Отношение логического следования в логике
предикатов
Формула ЛП может быть истинна во многих интерпретациях, но
поскольку число универсумов интерпретации потенциально бесконечно,
то никто не может гарантировать, что не найдется хотя бы один, в
котором данная формула окажется ложной. Учитывая это
обстоятельство, в ЛП отношение логического следования принято определять

278 Часть II, Классическая логика высказываний и предикатов
следующим образом. Пусть а и Д как и прежде, обозначают
соответственно множества формул, образующих посылки и заключение
доказательства в Л П. "
Если а и р не содержат свободных вхождений предметных
переменных, тогда заключение р логически следует из посылок а, если
и только если невозможна (противоречива) интерпретация, в
которой а истинно, а заключение р ложно.
Отношение логического следования в ЛП сохраняет все свойства
отношения логического следования в Л В — рефлексивность,
несимметричность и транзитивность. Но оно обладает определенной
спецификой, которая связана с введением кванторов.
Кванторы общности и существования не являются независимыми.
Любой из них может быть определен через противоположный квантор.
Теорема 1. ь -^{х)фх = (Ех)-^фх.
Доказательство. Допустим, истинно -i(xHr. Тогда существует
интерпретация, при которой хотя бы один элемент универсума не
обладает свойством ф. Пусть константа а будет именем этого элемента. Тогда
истинно -10а и тем самым истинно {Ех)-^фх. Обратное утверждение
доказывается аналогичным образом. Следовательно, отрицание
квантора всеобщности равносильно введению квантора существования с
одновременным отрицанием всей области его действия, QED.
Теорема 2. ь (х)фх = -i(?r)-i0r.
Доказательство. Допустим, имеется интерпретация, при которой
истинно (х)фх и (Ех)-\фх. Из истинности (х)фх следует, что все
элементы универсума обладают свойством ф. Из истинности (Ех)-\фх
следует, что хотя бы один элемент универсума не обладает свойством ф.
Получаем противоречие, из которого следует, что такой интерпретации
не существует. Следовательно, -\(Ех)-\фх — необходимое следствие
(х)фх. Обратное утверждение доказывается аналогично, QED.
Итак, отрицание любого квантора равносильно замене его на
противоположный при одновременном отрицании всей области его
действия.
Отношения между кванторами соответствуют требованиям
логического квадрата традиционной логики (рис. 7.1).
Формулы, соединенные диагоналями, находятся в отношении
противоречия (вместе не могут быть ни истинными, ни ложными). Формулы,
соединенные вертикальными (левой и правой) линиями, — в
отношении подчинения (из истинности универсально квантифицированной
формулы следует истинность экзистенциально квантифицированной,

Глава 7. Логика предикатов 279
(?Х)фХ
Рис. 7.1. Квадрат отношений между кванторами
из ложности экзистенциально квантифицированной следует ложность
универсально квантифицированной; но обратные следования неверны).
Формулы, соединенные верхней горизонтальной линией, — в
отношении противоположности (вместе не могут быть истинными, но могут
быть ложными). Формулы, соединенные нижней горизонтальной
линией, — в отношении частичной совместимости (вместе не^могут быть
ложными, но могут быть истинными).
Если некоторая формула содержит вхождения свободных
переменных, то на их место могут подставляться термы. Пусть ф^х/t)
обозначает операцию подстановки терма t на место свободной переменной х
в формуле фх. Результатом подстановки становится формула фС по
правилу: <p(x/t) = фк.
Чтобы подстановка оказалась правильной, необходимо выполнить
следующие условия:
1. Если терм t — предметная константа, то подстановка проводится
без ограничений.
2. Если терм t — предметная переменная, то ни одно вхождение t не
должно оказаться связанным в результате его подстановки на
место переменной х в формуле фх.
Подстановка (Ex)Pxy(y/z) = (Ex)Pxz правильная, так как вхождение
переменной z не связанно в формуле (Ех)Рху. Подстановка (Ех)Рху(у/
х) = (Ех)Рхх неправильная, потому что терм х, подставленный вместо г/,
оказался связанным квантором (х). Неправильные подстановки
приводят к противоречию. Пусть Рху обозначает отношение «х больше у».
Пусть U= «натуральные числа». Тогда формула (Ех)Рхху полученная
в результате неправильной подстановки, означает, что «существует
такое натуральное число, которое больше самого себя», что очевидно
ложно.
Теорема 3. (х)фх н ф(а/х).
Доказательство. Допустим, существует интерпретация, при
которой истинно (х)фх и ложна формула фа, где константа а есть результат
подстановки вместо переменной х. Тогда истинна формула -пфа и,
значит, также истинна формула (Ех)-^фх. Но это противоречит допуще-

280 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
нию (х)фх. Отсюда следует, что такой интерпретации нет и универсально
квантифицированная переменная может заменяться любой
предметной константой, QED.
Теорема 4. ф(а/х) ь (Ех)фх.
Доказательство. Допустим, есть интерпретация, при которой
истинна формула фа, где константа а — результат подстановки вместо
переменной х, и ложна формула (Ех)фх. Но тогда истинны формулы -1(Ех)фх
и (х)-пфх. Из истинности фа следует истинность (Ех)фх, что
противоречит -А(Ех)фх и, стало быть, формуле (х)-^фх. Значит, указанная
интерпретация невозможна и из выполнимости формулы ф для
произвольной предметной константы следует истинность ее экзистенциальной
квантификации, QED.
Деревья в логике предикатов
Каждая формула логики предикатов может быть представлена в виде
дерева, отражающего ее логическую структуру. С этой целью
используются правила конструирования деревьев логики высказываний, к
которым добавляются правила исключения кванторов. Они применяются
к формуле еще до построения ее дерева (табл. 7.3).
Сделаем небольшие пояснения и приведем несколько примеров
конструирования деревьев формул с предварительным исключением
кванторов.
Таблица 7.3
Правила исключения кванторов
К1
Каждый квантор существования, не находящийся в области действия
квантора общности, заменяется новой предметной константой, ранее
не входившей в формулу
К2
Каждый квантор существования, находящийся в области действия
квантора общности, заменяется новой предметной функцией, ранее
не входившей в формулу
КЗ
Если формула содержит кванторы общности, то они исключаются с
условием, что каждая связанная предметная переменная по-прежнему
остается связанной, т. е. может быть при необходимости в дальнейшем заменена
на любую предметную константу или предметную функцию, служащую
элементом расширения предикатов формулы
К4
Если формула срдержит свободные вхождения переменных, то последние
заменяются последовательно на новые предметные константы, ранее
не входившие в формулу

Глава 7. Логика предикатов 281
Правило К1 характеризует ситуации, когда исключаемый квантор
существования не находится в области действия одного или
нескольких кванторов общности. Это означает, что такой квантор
существования указывает на элемент универсума, независимый от имеющихся
кванторов общности.
Поэтому согласно правилу К1:
• формула (Ех)фх заменяется на фа, если константа а ранее не
входила в ф;
• формула (Ех)фах — на фаЬ, если константа Ъ ранее не входила в ф\
• формула (Ех)(Еу)фаЬху — на формулу фаЪсд,, если константы с
и d ранее входили в формулу ф;
• формула (Ех){Еу){2)фху2 — на формулу B)фаЬг, если константы
а и Ъ ранее входили в формулу ф.
Правило К2 характеризует ситуации, в которых исключаемый
квантор существования находится в области действия по крайней мере
одного из кванторов общности. Тем самым вещь, обозначаемая
квантором существования, принадлежит области действия хотя бы одного
из кванторов общности. Ее подчинение символизируется введением
новой предметной функции, которая напоминает о том, что
переменная квантора существования зависит каким-то образом от переменной
квантора общности.
Значит, согласно правилу К2:
• формула (х)(Еу)фху заменяется на формулу (х)фх/(х);
• формула {х)(Еу)(Ег)фху2 — на формулу (xHxf(x)g(xy9
• формула {х){у){Ег)фхуг — на формулу (х)(у)фху/(ху);
• формула (Ех)(у)B)(р)(Ет)фхуял0 — на формулу (у){2){ь)фаую/{у1&I
если константа а ранее не входила в рассматриваемую формулу.
Правило КЗ позволяет снимать кванторы общности без
ограничений при условии, что их переменные остаются связанными и на их
место могут подставляться любые, простые или сложные, термы.
Следовательно, согласно правилу КЗ:
• формула (х)(у)фху сначала заменяется на формулу фху и если,
допустим, в универсуме U = {а, Ь) может быть далее заменена на
формулы фаа, или фаЬ, или фЪа, или фЬЪ\
• формула (х)(Еу)фху — сначала на формулу фх/(х) и, допустим,
в универсуме U = {а> Ь) может быть далее заменена на формулы
фа/(а) или фЬ/(Ь).

282 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
По допущению, понятия вывода и доказательства в ЛП
определяются для формул, не имеющих свободных вхождений предметных
переменных. Значение истинности таких переменных неопределимо.
Поэтому каждая из них заменяется, как и в случае с кванторами
существования, новой предметной константой, ранее не входившей в
формулу.
Поэтому согласно правилу К4:
• формула (фх э (Еу)фу) заменяется на формулу (фа э фЬ)> если
константы а и Ъ не входили ранее в формулу ф;
• формула (фх^ (у)фу) заменяется на формулу (фа э фу), если
константа а ранее не входила в формулу ф и где предметная
переменная у остается связанной.
Пример 1
1. Формула: (x)(Pxz> (Ex)Qx).
2. Исключение знака импликации: (х)(-*Рх v (Ex) Qx).
3. Исключение квантора существования: (х)(-,Рх v Qf(x)).
4. Исключение квантора общности: (—iPx v Qf(x)).
5. Дерево формулы:
-,Рх Qf(x)
Пример 2
1. Формула: (x)(y)(Ez)((Pxz & Pyz) z> (Ez)Qxyz)).
2. Исключение знака импликации и кванторов существования:
(x)(y)(Ez)(-,(Pxz & Pyz) v (Ez)Qxyz));
(х)(у)ЫРх/(ху) & Pyf(xy)) v Qxyg(xy)\ rzef(xy) *g(xy).
3. Исключение кванторов общности: (-^(Pxf(xy) & Pyf(xy)) v Qxyg(xy)).
4. Внесение отрицания внутрь формулы: (—iPxf(xy) v —iPyf(xy) v Qxyg(xy)).
5. Дерево формулы:
Qxyg(xy)
Пример 3
1. Формула: (х)(Рх& Qx) d^c)d (Ex)(Px& -,Qr).
2. Исключение знаков импликации:
-,(х)(Рх & Qx) -dRx)v (Ex)(Px & -iQr);
(?r)-,(Pr & Qr) z> Дг) v (?г)(Рдг & -,Qr);
(?г)(Рд: & Qr & -,Дг) v (Ex)(Px & -iQr).
3. Исключение кванторов существования:
(Pa &Qa& -^Ra) v (Pb &

Глава 7, Логика предикатов 283
4. Дерево формулы:
Ра РЪ
Qa -,Qb
-,Ra
Пример 4
1. Формула: (Ех)(Еу)Рху.
2. Исключение кванторов существования: РаЪ.
3. Дерево формулы:
РаЪ.
Пример 5
1. Формула: (Ех)(у)Рху э (у)(Ех)Рху.
2. Исключение знака импликации и кванторов существования:
-,(ExXy)Pxyv(y)(Ex)Pxy;
(x)(Ey)^Pxyv(y)(Ex)Pxy;
(x)^Pxf(x)v(y)Pg(y)y.
3. Исключение кванторов всеобщности: -лРх/(х) v Pg(y)y.
4. Дерево формулы:
-,Pxf(x) Pf(y)y
Логика предикатов как исчисление
Подобно JIB, логика предикатов может быть представлена как
исчисление — полностью формализованная теория, основанная на чисто
синтаксических преобразованиях деревьев формул. С этой целью ниже
обобщаются понятия вывода и доказательства ЛВ.
В отличие от ЛВ в логике предикатов нельзя указать алгоритм,
позволяющий за конечное число шагов определить общезначимость
произвольного умозаключения. Невозможность построения такого
алгоритма очевидна хотя бы потому, что логически истинная формула ЛП
должна быть истинна при любой интерпретации. Поскольку прямое
обследование всех универсумов, включая имеющие бесконечное число
элементов, невозможно, общим алгоритмом доказательства
общезначимости формул ЛП служит их косвенный вывод. Ибо если исходная
формула логически истинна, тогда ее отрицание должно быть
логически ложной формулой. Обратное также верно. Следовательно,
достаточно доказать, что отрицание рассматриваемой формулы логиче-

284 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
ски ложно, т. е. все ветви ее дерева замкнуты, чтобы сделать вывод о ее
общезначимости.
Определение косвенного вывода в ЛП ничем принципиально не
отличается от подобного определения в ЛВ.
Если каждая ветвь дерева формулы (ф,, ф2... фп &-i<p) замкнута,
тогда формула (р косвенно выводима из последовательности формул
Ф,,ф2...фп.
, Пусть а и Д как и прежде, обозначают посылки и заключение
доказательства.
Доказательством заключения /3 в исчислении ЛП называется
вывод р из множества посылок а.
Напомним, что доказательство заключения /3 считается косвенным
(от противного), если построен косвенный вывод /3 из множества
посылок а.
Рассмотрим несколько примеров косвенного доказательства в ЛП.
После исключения кванторов дерево доказательства формулы
строится согласно следующим правилам (табл. 7.4).
Правила П*1*П*12 ничем не отличаются от соответствующих
правил логики высказываний. Правило П*13 позволяет проверить,
представляют ли ранее введенные термы (константы и функции) расширение
формулы со связанной переменной. Правило П*14 обобщает
определение замкнутой ветви. Правило П*15 определяет порядок
построения дерева формулы ЛП.
Пример 1
1. Умозаключение: «Некоторые люди тщеславны. Никто не любит
тщеславных. Следовательно, некоторых людей никто не любит».
2. Формализация посылок и заключения: U = «люди», Рх = «х
тщеславен», Qxy = «х любит у».
(Ех)Рх, (x)(y)(Pxz> Qxy) ь (Ex)(y)Qxy.
3. Отрицание заключения:
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации (знак «=>»
символизирует этапы и результаты исключения):
(Ех)Рх=>Ра;
(х)(у)(Рх э Qxy) => (-,Px v Qxy);
(x)(Ey)^Qxy=>->Qxf(x).

Глава 7. Логика предикатов 285
Таблица 7.4
Правила конструирования деревьев в логике предикатов
Правила П*1н-П*12 такие же, как и правила П1-5-П12 в логике высказываний.
П*13. Если формула имеет вид 0?, где переменная ? связанная, тогда дерево,
в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви
формулой фа или формулой ф/а_ tfl, где константа а и функция/i... („уже входят
в рассматриваемую ветвь дерева:
0? или ф%
0я Ф/ч... <п
П*14. Ветвь дерева формулы логики предикатов замкнута, если и только если
она содержит хотя бы одну формулу ЛП вместе со своим отрицанием или хотя
бы один /2-местный предикатный знак F1 вместе со своим отрицанием -iP"
такие, что каждый из них содержит п связанных переменных (не обязательно
различных), а если кроме связанных переменных есть также константы или
функциональные знаки, то знаки Рп и -ьР" в результате правильных подстановок
термов вместо связанных переменных могут быть приведены к виду Pt\_.m
и -iP/i... м (порядок следования термов существенен). Замкнутые ветви
отмечаются знаком ¦.
П*15. Процесс конструирования дерева формулы начинается с представления
подформул, соединяемых главным логическим оператором формулы, и
продолжается до тех пор, пока все ее подформулы не будут представлены в виде
ветвей дерева, содержащих только атомарные формулы вида Рп ,л или их
отрицания.
5. Дерево косвенного доказательства:
Ра
Qxy
Qxf(x)
¦ ¦
Переменныехиу связаны кванторами общности (х) и (у). Они
истинны для любого значения хиу. Значит, допустима подстановка
любых термов вместо х и у в дерево доказательства. Для проверки
подставляем прежде всего те термы, которые уже входят в дерево
доказательства. Вершина дерева рассматриваемого доказательства содержит
такие термы, как а и/(х). Подставляя константу а и предметную
функцию/(х) вместо переменных хиу, видим, что все ветви дерева
исследуемого умозаключения оказались замкнутыми. Следовательно,
отрицание заключения несовместимо с посылками. Значит, рассматриваемое
умозаключение общезначимо.

286 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Пример 2
1. Умозаключение: «Всякий восхищается каким-нибудь артистом.
Каждый, кто восхищается кем-либо, уважает его. Следовательно,
существуют люди, которые уважают какого-нибудь артиста».
2. Формализация посылок и заключения: U= «люди», Рху = «х
восхищается у», Qy = «у — артист», Rxy = «x уважает у».
(x)(Ey)(Qy & Рху\ (х)(у)(Рху э Rxy) h (Ey)(Ex)(Qy & Rxy).
3. Отрицание заключения:
-,(Ey)(Ex)(Qy &Rxy) = (z/b(?r)(Qz/ & Rxy)
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(x)(Ey)(Qy & Рху) => (Qf(x) & Pxf(x));
(х)(у)(Рху z> Rxy) =>
Ш*)^0у v -Л&2/) => (-
5. Дерево косвенного доказательства:
Qf(x)
Pxf(x)
-тРху
-,Pxf(x)
¦ -,Q*/ ^Rxy
-iQftx) ¦
¦
Подстановка предметной функции/(х) вместо связанной
переменной у делает все ветви дерева рассматриваемого умозаключения
замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения несовместимо с
посылками. Значит данное умозаключение общезначимо.
Пример 3
1. Умозаключение: «Автомобиль — достижение
научно-технического прогресса. Следовательно, колесо автомобиля — колесо достижения
научно-технического прогресса».
2. Формализация посылок и заключения: U = «достижения», Рх =
= «х — автомобиль», Qy = «у — достижение научно-технического
прогресса», Rxy = «х есть колесо у».
(у)(Ру э Qy) ь (х)[(Еу)(Ру &Rxy)^ (Ez)(Qz & Rxz)].
3. Отрицание заключения:
-,(х)[(Еу)(Ру & Qxy) z> (Ez)(Qz & Rxz)]

Глава 7. Логика предикатов 287
= (Ех)^[(Еу)(Ру & Qxy) э (Ez)(Qz & Rxz)]
ш (Ех)-,[(Еу)(Ру & Qxy) & -.(EzXQz & Rxz)}
ш (Ех)[(Еу)(Ру &Rxy)& (z)(^Qz v ^Rxz)].
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(Ех)[(Еу)(Ру &Rxy)& (^Qz v -,Rxz)]
=> (Pb & i?fl6) & (iQz v
5. Дерево косвенного доказательства:
Pb
Rab
Последовательная подстановка константы b вместо переменных z и у
делает все ветви дерева рассматриваемого умозаключения
замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения несовместимо с
посылками. Значит, данное умозаключение общезначимо.
Пример 4
1. Умозаключение: «Каждый любит того, кто в кого-нибудь
влюблен. Татьяна Ларина любит Евгения Онегина. Следовательно, все
любят Татьяну Ларину».
2. Формализация посылок и заключения: U= «люди», Рху = «х
любит у», а = «Татьяна Ларина», b = «Евгений Онегин».
(x)(y)[(Ez)Pyz z> Pxy], Pab ь (х)Рха.
3. Отрицание заключения:
-л(х)Рха
= (Ех)-лРха.
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(x)(y)[(Ez)Pyz^Pxy]
=> [-,(Ez)Pyz v Pxy]
=> (-iPyz v Pxy);
=> -,Рса.

288 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов
5. Дерево косвенного доказательства:
-лРса
Pab
Рху
-,Рса
Ш Ш
Подстановка констант а, Ь и с вместо переменных у, гих
соответственно делает все ветви дерева рассматриваемого умозаключения
замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения несовместимо с
посылками. Значит, исследуемое умозаключение общезначимо.
Пример 5
1. Умозаключение: «Человек, который написал "Приключения Алисы
в Стране чудес", сочинял только необыкновенные сказки.
Следовательно, "Приключения Алисы в Стране чудес" — необыкновенная сказка».
2. Формализация посылок и заключения: U= «вещи», а =
«Приключения Алисы в Стране чудес», Рх = «х — человек», Qxa = «x написал
a»,Rx= «х — необыкновенная сказка».
(Ех)(((Рх & Qxa) & (у)((Ру & Qya) э (х - у)))
&(z)(Qxz-DRz))\-Ra.
3. Отрицание заключения: -^Ra.
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(Ех)(((Рх & Qxa) & (у)((Ру & Qya) э (х = у))) & (z)(Qxz z> Rz))
=> ((Pb & Qba) & (->Py v -^Qya v (b = y)) & (-,Qbz v Rz)).
5. Дерево косвенного доказательства:
Одновременная подстановка констант а и Ь вместо переменных z и у
соответственно делает все ветви дерева анализируемого умозаключе-

Глава 7. Логика предикатов 289
ния замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения
несовместимо с посылками. Значит, проверяемое умозаключение общезначимо.
Пример 6
1. Умозаключение: «Каждый, читающий больше других, более умен,
чем все остальные. Существует некто, отличный от всех остальных,
который читает больше всех. Следовательно, существует некто,
отличный от всех остальных, который умнее всех».
2. Формализация посылок и заключения: U= «вещи», Рху =
«считает больше, чем у»; Qxy = «x более умен, чем у».
(х)(у)((Рху & (-* = у)) э Qxy),
(Ех)(у)((-,х = у) d Рху) h (Ех)(у)«-л = у) э Qxy).
3. Отрицание заключения:
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
=> (—>Рху v -i(-o: = у) v Qxy)
=> (-J>xy v(x = y)v Qxy);
=> (i(-,a = y) v Pay)
=> ((« = #;
5. Дерево косвенного доказательства:
-,Pxy (x = г/) Qxy
-,Paf(a) (a=f(a)) Qaf(a)
10-1742

290 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Подстановка константы а и предметной функции/(а) вместо
переменных хиу соответственно делает все ветви дерева анализируемого
умозаключения замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения
несовместимо с посылками. Значит, данное умозаключение
общезначимо.
Пример 7
1. Умозаключение: «Каждый, кто читает книги, приобретает новые
знания. Следовательно, если не существует новых знаний, значит, никто
не читает никаких книг».
2. Формализация посылок и заключения: U= «вещи», Ру = «у —
книги», Qxy = «х читает y»,Rz = «z — новые знания», Sxz =.«х приобретает z».
(х)[(Еу)(Ру & Qxy) э (z)(Rz & Sxz)]
h -,(Ex)Rx-D(x)(y)(Py zi^Qxy).
3. Отрицание заключения:
(x)(y)(Py d
& -,(x)(y)(Py
= (x)-,Rx & (Ex)-,(y)(Py э -.Qxy)
^ (x)-,Rx & (Ex)(Ey)^(Py э -,Qxy)
= (x)-^Rx & (Ex)(Ey)(Py & Qxy).
4. Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(х)[(Еу)(Ру & Qxy) z> (z)(Rz & Sxz)]
=> (х)ЫЕу)(Ру & Qxy) v (z)(Rz & Sxz)]
=> (x)[(y)-,(Py & Qxy) v (z)(Rz & 5я>]
=> (*)[(У)(^У v -,Q*y) v (z)(& & Sxz)]
=> (-.Рг/ v -iQ^/ v (Rz &
(д:) -Лг & (Ex)(Ey)(Py &
=> (-i^fl & P6 &
5. Дерево косвенного доказательства:
-,Ra
Pb
Qab
¦^Qxy Rz
Sxz
Ra
Saa

Глава 7. Логика предикатов 291
Одновременная подстановка константы а вместо переменных хиг,
константы Ъ вместо переменной у делает все ветви дерева
анализируемого умозаключения замкнутыми. Следовательно, отрицание
заключения несовместимо с посылками. Значит, анализируемое
умозаключение общезначимо.
Следующие две теоремы доказывают, что всякая логически
истинная формула Л П доказуема в построенном исчислении (а обозначает
посылки доказательства, /3 — его заключение). Эти теоремы обобщают
соответствующие теоремы Т4 и Т5, приведенные в гл. 4.
Теорема 5. Если можно построить замкнутое дерево формулы (а &
-i/З), тогда вывод заключения /3 из посылок а общезначим.
Доказательство. Допустим, вывод заключения /3 из посылок а не
общезначим и тем самым дерево формулы (а & -i/З) не замкнуто. Тогда
существует хотя бы одна ветвь, атомарные подформулы и/или их
отрицания которой не противоречат друг другу и одновременно истинны.
Так как ветвь не замкнута, а ее замыкание необходимо для
доказательства выводимости, она может быть далее продолжена с помощью
правил конструирования деревьев П*1^-П* 15 логики предикатов. Но
каждое из правил П* 1^-П* 12 основано на определенном законе логики как
принципе сохранения истины и, по определению, не может привести
к замыканию ветви. Не ведет к замыканию дерева и применение
правила П* 13. Ибо если выполняется формула (?Ж, то ни один из ее
примеров типа фа, образующих расширение, не может противоречить
ранее введенным формулам.
Следовательно, если ветвь не замкнута, то ни одно из указанных
правил никогда не сделает ее замкнутой. Значит, если все ветви дерева
формулы (а & -i/З) замкнуты, тогда не существует ни одной ветви, в
которой посылки а были бы истинны, а заключение /3 ложно.
Следовательно, вывод любой тавтологии ЛП с помощью правил П*1-нП*15
всегда общезначим, QED.
Теорема 6. Если можно построить незамкнутое дерево формулы
(а & -i/З), тогда вывод заключения /3 из посылок а не общезначим.
Доказательство. Если вывод заключения /3 из посылок а
общезначим, тогда согласно Т5 дерево формулы (а & -i/З), построенное в
соответствии с правилами П*1+П*15, замкнуто. Не существует ни одной
ветви дерева, в которой были бы одновременно истинны множества
формул аи -|Д Следовательно, если дерево формулы (а & -i/З) не
замкнуто, тогда вывод заключения /3 из посылок а не может быть
общезначимым, QED.
ю*

292 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
Теоремы 5 и 6 вместе говорят о необходимости и достаточности
правил П*1-нП*15 для вывода тавтологий ЛП. Значит, множество этих
правил полное.
Основные законы логики предикатов
Как и в Л В, в логике предикатов существуют логически истинные
формулы, называемые тавтологиями или законами Л П. Ниже приводятся
и комментируются наиболее важные.
Закон удаления квантора общности
Общее правило, истинное для каждого ? должно быть истинно и для
отдельного случая я, служащего элементом расширения формулы ф?.
Если истинно высказывание «Все вещи универсума круглые», то
должно быть истинно высказывание «Вещь по имени а, принадлежащая
универсуму, является круглой»
Закон введения квантора существования
То, что истинно для отдельного случая я, выступающего элементом
расширения формулы ф^} должно быть истинно в качестве
произвольного примера подстановки предметной переменной ? формулы ф?. Из
истинности высказывания «Вещь я, принадлежащая универсуму,
круглая» следует истинность высказывания «Существует такая ?, что
истинно "? — круглая"»
Закон подчинения кванторов
Из истинности универсально квантифицированного высказывания
следует истинность экзистенциально квантифицированного высказывания;
из ложности экзистенциально квантифицированного высказывания
следует ложность универсально квантифицированного высказывания
Закон противоречия
Противоречащие друг другу высказывания не могут быть вместе ни
истинны, ни ложны

Глава 7. Логика предикатов 293
Закон непустоты универсума логического квадрата
В универсуме логического квадрата должна существовать хотя бы одна
вещь, выполняющая формулу 0? или ее отрицание -i0? (или и то и другое)
Законы взаимоопределимости кванторов
Каждый квантор может быть определен в терминах
противоположного ему квантора. Сказать «Все вещи из универсума круглые» означает
сказать «Неверно, что в универсуме существует хотя бы одна
некруглая вещь». Аналогично, сказать «В универсуме существует по
крайней мере одна круглая вещь» означает сказать «Неверно, что все вещи
из универсума некруглые»
Законы дистрибутивности кванторов относительно
знака конъюнкции
Высказывание «Все вещи в универсуме круглые и синие» эквивалентно
высказыванию «Все вещи в универсуме круглые, и все вещи в
универсуме синие». Значит, квантор общности дистрибутивен относительно
знака конъюнкции без ограничений
Из высказывания «В универсуме существует круглая и синяя вещь»
выводимо высказывание «В универсуме существует круглая вещь, и в
универсуме существует синяя вещь», но обратная выводимость в общем
неверна. Из того, что какая-то вещь круглая, а другая синяя, не следует
с необходимостью, что какая-то (возможно третья) вещь круглая и
синяя одновременно. Значит, квантор существования дистрибутивен
относительно знака конъюнкции с ограничением
Законы дистрибутивности кванторов относительно
знака дизъюнкции
Из высказывания «Все вещи в универсуме круглые, или все вещи в
универсуме синие» выводимо высказывание «Все вещи в универсуме
круглые или синие», но обратная выводимость в общем неверна. Например,
из того, что все целые числа — четные или нечетные, не следует, что

294 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
все целые числа — четные, или все целые числа — нечетные. Значит,
квантор общности дистрибутивен относительно знака дизъюнкции
с ограничением
- №44 v аЫ] э (?(# v
Высказывание «В универсуме существует круглая или синяя вещь»
эквивалентно высказыванию «В универсуме существует круглая вещь,
или в универсуме существует синяя вещь». Значит, квантор
существования дистрибутивен относительно знака дизъюнкции без
ограничений
Законы дистрибутивности кванторов относительно
знака импликации
Из высказывания «Для каждого числа, если оно четное, оно целое»
выводимо высказывание «Если каждое число четное, то каждое число
целое». Но обратная выводимость в общем неверна
Из высказывания «Если существует четное число, то существует
целое число» выводимо высказывание «Существует такое число, что
если оно четное, то оно целое». Но обратная выводимость в общем
неверна
Из высказывания «Существует такое число, что если оно четное,
то оно целое» выводимо высказывание «Если каждое число четное,
то существует целое число». Но обратная выводимость в общем
неверна
Из высказывания «Если существует четное число, то все числа
целые» выводимо высказывание «Для каждого числа, если оно четное,
оно целое». Но обратная выводимость в общем неверна
Из сказанного следует, что кванторы общности и существования
дистрибутивны относительно знака импликации лишь с
ограничением.

Глава 7. Логика предикатов 295
Законы перестановки кванторов
Кванторы общности и существования могут переставляться в любом
порядке, если они предшествуют формуле однородно, т. е. либо только
кванторы общности, либо только кванторы существования. В
противном случае возникает ограничение: независимый квантор
существования может свободно вводиться в область действия квантора
общности, но не может из нее свободно выводиться
Упражнения
I. Формализуйте в терминах логики предикатов следующие
высказывания.
1. Каждый автор имеет хотя бы одну книгу, которую он хотел бы
переписать заново.
2. Всякому случается попасть в неожиданные ситуации, но не
каждый выходит из них достойно.
3. Если ты даешь кому-нибудь что-нибудь, то тем самым ты
оказываешь услугу и вправе надеяться на благодарность.
4. Все люди любят, чтобы с ними обходились вежливо, но только
некоторые из них вежливы сами.
5. Татьяна любит всех, кроме самой себя.
II. Проверьте общезначимость следующих выводимостей.
(х)((Рх v Qx) э -Лг), (Erb(-J* & -.Qr) ь (Еу) -,Ry.
(х)(Рх^ -.Qr), (Ex)(Rx & Sx) h (Ex)(Rx & -.Рдг).
(x)((Px & Qx) d Rx), Qa, (x)Px \- Ra.
(x)((Px v Qx) э (Rx & Sx)), -,(x)(Sx & Rx) h (Ex) -,Qr).
(x)(Pxz> -nQr)V -,(Ex)(Px & Qx).
(x)(Pxz> Qx), (Ex)(Rx & -,5*), (x)(-,Nx vPx))
h (Ex)(Rx & -nNx).
-,(Ex)(Pxa & ^Qxb), -,(Ex)(Rxc & Rbx),
(x)(Qdxэ Rxe) ь ^(Pdb & Rec).
1 Метапеременная ?, вместо которой могут подставляться предметные
переменные л:, у} z... читается как «дзета».

296 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов
III. Формализуйте и докажите.
1. Каждый человек мыслит. Следовательно, некоторые двуногие
животные мыслят.
2. Татьяна любит Онегина. Онегин не любит Татьяну.
Следовательно, не всегда истинно, что если какой-то человек любит другого,
то и другой человек любит первого.
3. Если существует некто, кого любят все, то каждый любит кого-
нибудь.
4. Число 5 больше числа 3. Следовательно, число 3 не больше числа 5.
5. Эту девушку зовут Татьяна Ларина. Если вам не нравится Татьяна
Ларина, значит, вам не нравится эта девушка.

Часть
НЕКЛАССИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА

Возникновение неклассической логики принято объяснять как
результат критики классической символической логики и прежде всего
лежащего в ее основе отношения логического следования. Последнее, по
мнению критиков, обладает многими парадоксальными свойствами
и требует введения ограничений. Парадоксальными считаются,
например, такие свойства, как: «Из лжи следует все, что угодно», «Истина
следует из чего угодно» и такие высказывания, как «Если два больше
трех, то Луна сделана из зеленого сыра», которые логически истинны,
хотя между образующими их простыми высказываниями нет никакой
связи по смыслу.
Однако если вспомнить допущения, на которых построена
классическая логика высказываний и предикатов, то все эти парадоксы
можно объяснить тем, что она — логика функций истинности и
предназначена исключительно для объяснения истинностной связи высказываний.
Поскольку такая связь максимально широка, то за счет различных
ограничений, накладываемых на свойства отношения логического
следования, ее можно сделать чувствительной к любому заданному смыслу
высказываний. Например, были созданы логики, реагирующие на смысл
операторов «необходимо» и «возможно», «обязательно» и
«позволено», «знаю» и «верю» и т. п. Но так как все они образуются
посредством наложения ограничений на стандартную логику, то получается,
что каждая неклассическая логика — это ограниченная в том или ином
отношении классическая логика. Никакого антагонизма классической
и неклассической логик на самом деле не существует.
Учитывая важное методологическое и познавательное значение, в
части III приводится анализ двух неклассических логик —
индуктивной и модальной.

Глава 8
Индуктивная логика
Единственное, что заслуживает внимания в этом деле, — цепь
рассуждений от следствия к причине.
А. Конан Дойль «Знак четырех»
Всякое индуктивное умозаключение есть только обратное
применение дедуктивного умозаключения. Обладая известными
частными фактами или явлениями, выраженными
в предложениях, мы придумываем какое-нибудь общее
предложение, выражающее существование закона или причины;
и выводя частные результаты из этого предполагаемого общего
предложения, мы наблюдаем, согласуются ли они с имеющимися
фактами. Значит, всегда употребляется гипотеза, сознательно
или бессознательно...
«Основы науки: Трактат о логике и научном методе Стенли Джевонса»
Основные определения и допущения
индуктивной логики
Как объяснялось ранее (гл. 3), назначение индуктивного
умозаключения состоит в том, чтобы по известным следствиям находить их
наиболее вероятные причины. Анализ симптомов позволяет врачу
определить с большей или меньшей вероятностью характер заболевания;
сбор и исследование улик дают следователю основание
сформулировать версию преступления; изучение собранных фактов открывает
ученому возможность предсказать определенную закономерность. Но ни
в одном из указанных случаев заключение не становится
необходимым, т. е. не обладает максимальной вероятностью. Почему? Потому
что главная особенность всех недедуктивных умозаключений,
включая и индуктивные, заключается в том, что их посылки совместимы
как с выводимым заключением, так и с его отрицанием.
Для обозначения структурных частей умозаключений в
индуктивной логике принято использовать следующую терминологию. Посылки

300 Часть III. Неклассическая логика
(аргументы) индуктивных умозаключений называются
свидетельством. В качестве свидетельства могут выступать не только
единичные факты, но и теоретические допущения. Гипотезы о возможных
законах и причинах исследуемых фактов выполняют функцию
заключений (тезисов).
Отличительным признаком индуктивных умозаключений служит
то, что их заключение (гипотеза) и посылки (свидетельство) связаны
отношением индуктивного следования, которое в отличие от
отношения логического следования, сохраняющего истину посылок,
увеличивает правдоподобие гипотез по сравнению с их определенным
начальным уровнем.
Умозаключение называется индуктивным, если на его
посылках и заключении определено отношение индуктивного следования.
Логические и терминологические отличия дедуктивных и
индуктивных умозаключений друг от друга для ясности сведены в одну
таблицу (табл. 8.1).
Таблица 8.1
Сравнительный анализ дедуктивных и индуктивных умозаключений
Дедуктивное умозаключение
Посылки
Аргументы
Заключение
Тезис
Отношение логического
следования между посылками и
заключением
Индуктивное умозаключение
Свидетельство (факты, требующие
объяснения; теоретические допущения)
Гипотеза (объяснительное предположение)
Отношение индуктивного следования
между гипотезой и свидетельством
Индуктивная логика IL представляет объединение правил и теорем
дедуктивной логики DL, правил и теорем исчисления вероятностей Р
и двух правил индуктивного вывода Rj и Ru согласно следующему
определению:
IL = DL и Р и Rj и Rn.
Высказываниями индуктивной логики считаются все правильно
построенные формулы дедуктивной логики, теоремы исчисления
вероятностей и все высказывания, образованные с помощью правил Rj и Rn.
Пусть ф,сриу— произвольные высказывания индуктивной логики.
Следующие аксиомы и теоремы исчисления вероятностей Р образуют
вероятностную часть индуктивной логики IL:

Глава 8. Индуктивная логика 301
РЗ. Р(ф v <р) = Р(ф) + Р(ср) - Р(ф &
Р5. Р(ф/(р) = Р(ф)Р((р/ф)/Р((р), только если Р(ф) > 0.
Р6. (а) Рф = Р{ф & (р) + Р(-*ф & (р).
Р7. Р@ & (р) < Р(ф), если и только если
0<Р(ф< 1 иО<Р((^)< 1.
Р8. Если (ф& (р) — противоречивая конъюнкция, то Р(ф & ср) = О.
Пусть Р(ф) обозначает начальную (до приведения свидетельства)
вероятность гипотезы ф, Р(ф/(р) — вероятность этой же гипотезы после
приведения свидетельства (р. Если начальная вероятность гипотезы
Р(ф) равна 0, тогда гипотеза ф — логически ложное высказывание. Если
эта вероятность равна 1, тогда ф — логически истинное высказывание.
Если эта вероятность лежит в интервале 0 < Р(ф) < 1, тогда ф —
логически нейтральное или, как принято говорить в индуктивной логике,
правдоподобное, т. е. относительно истинное высказывание.
Фундаментальное отличие правдоподобных суждений от логически
истинных и ложных состоит в том, что они могут изменять свою
вероятность в зависимости от разных свидетельств. Будучи константами,
логически истинные и ложные суждения таким свойством не обладают.
Логическую истину и логическую ложь можно рассматривать как
пределы изменения правдоподобия.
Произвольное высказывание ф индуктивной логики
правдоподобно, если и только если его вероятность лежит в интервале
Все теоремы индуктивной логики связаны с формулировкой условий,
при которых возможно изменение правдоподобия гипотез. Отсюда
следует основное допущение индуктивной логики: ее высказывания
должны быть правдоподобными высказываниями.
Допущение индуктивной логики (ДИЛ). Все гипотезы и
свидетельства, из которых построены теоремы IL, если это специально
не оговаривается, — правдоподобные высказывания.
Всякая вероятность служит мерой. Что именно измеряют
вероятности Р(ф) и Р(ф/(р)? Мы будем называть вероятность Р(ф) априорным
(начальным, до приведения свидетельства (р) правдоподобием гипотезы
0, Р(ф/(р) — ее апостериорным (после приведения свидетельства (р)

302 Часть III. Неклассическая логика
правдоподобием. Априорное правдоподобие гипотезы измеряет
степень ее истинности как таковой, безотносительно к какому-либо
свидетельству. Апостериорное же правдоподобие — степень истинности
гипотезы, но уже после того, как приведено некоторое свидетельство.
Апостериорное правдоподобие в отличие от априорного представляет
переменную величину. Например, результатом состязания обвинения
и защиты в судебном процессе становится увеличение или уменьшение
апостериорного правдоподобия тезиса «X виновен». При этом
окончательный результат подобного состязания может быть прямо
противоположен начальному состоянию: тот, кого считали виновным,
может быть оправдан, а тот, кого считали невиновным, наоборот, обвинен.
Пусть 1(ф, ф) обозначает отношение индуктивного следования между
высказываниями фи (р. Этот символ читается следующим образом:
высказывание (гипотеза)ф индуктивно следует из высказывания
{свидетельства)^. Вместо «гипотеза 0 индуктивно следует из свидетельства
ср» можно также говорить, что свидетельство (р подтверждает гипотезу
фу т. е. повышает значение ее правдоподобия в сравнении с начальным
уровнем; что гипотеза ф позитивно индуцируется свидетельством (р;
что свидетельство (р благоприятно для гипотезы ф.
В отличие от отношения логического следования, согласно которому
истина посылок обязательно переносится на заключение, вследствие
чего отрицание последнего несовместимо с посылками, отношение
индуктивного следования не столь жесткое. Оно допускает
совместимость посылок как с заключением, так и с его отрицанием.
Назначение индуктивного умозаключения состоит не в том, чтобы переносить
истинность посылок на заключение, а в том, чтобы увеличивать степень
его истинности (правдоподобия).
Существует несколько вероятностных интерпретаций отношения
индуктивного следования. Наименее проблематичная из всех такова:
(R,) Высказывание ф индуктивно следует из высказывания (р, 1(ф, <р),
если и только если дедуктивно выводимо неравенство Р(ф/(р) >Р(ф).
Буквально неравенство Р(ф/(р) > Р(ф) означает, что свидетельство (р
подтверждает гипотезу ф, так как в его присутствии степень
правдоподобия гипотезы по сравнению с начальным уровнем возрастает.
Если имеет место Р(ф/(р) < Р{ф), то принято говорить, что
свидетельство ср дисподтверждает гипотезу ф, поскольку оно понижает
значение ее правдоподобия в сравнении с начальным уровнем.
Если имеет место Р(ф/(р) = Р(ф), значит свидетельство (р оказалось
индуктивно нейтральным для гипотезы фу так как оно не повышает и не
понижает степень ее правдоподобия относительно априорного уровня.

Глава 8. Индуктивная логика 303
Объединяя вместе случаи дисподтверждения и индуктивной
нейтральности гипотез, получаем из G?7), что высказывание ф индуктивно
не следует из высказывания ср, — это будет обозначаться как -i7@, ф)>
если и только если Р(ф/(р) < Р(ф).
Как дедукция основывается на отношении логического следования,
так и индукция — на отношении индуктивного следования. Оба вида
отношений, хотя и обладают некоторыми общими свойствами,
принципиально отличаются друг от друга. Исследуем их общие и
различные свойства более детально.
По соглашению, конъюнкция произвольных высказываний фи
q>индуктивной логики будет обозначаться как (фф).
Следующая теорема доказывает, что отношение индуктивного
следования может иметь место только между совместимыми по истине
высказываниями (вероятность конъюнкции которых больше нуля).
Теорема 1. 7@, ср) ь [Р(фср) > 0]
Доказательство:
1.7@, ер) — доп.
2. Р(ф/ф)>Р(ф)- из 1,R,
3. Р(фср) > 0 - из 2, Р5.
4. (фф) — логически непротиворечивая конъюнкция из 3, контрапо-
зиция Р8.
Согласно теореме 1, противоречащие друг другу, а также
противоположные высказывания не могут находиться в отношении
индуктивного следования. Наоборот, высказывания, связанные отношением
индуктивного следования, не могут противоречить друг другу.
Означает ли это, что отношения логического и индуктивного следования
идентичны?
Оба вида отношений сходны только в том, что они оба рефлексивны.
При этом отношение логического следования не симметрично, но тран-
зитивно, а отношение индуктивного следования симметрично, но не
транзитивно.
Необходимые и достаточные условия рефлексивности отношения
индуктивного следования указывает следующая теорема.
Теорема 2. ь 7@, ф) = [0 < Р(ф) < 1]
Доказательство:
1.7@, ф)- доп.
2. Р(ф/ф)>Р(ф)~ из 1,RV
3. О < Р(ф) < 1 - из 2, Р5.
4. ф — правдоподобное высказывание из 3.
5. О < Р(ф) < 1 - из 4, ДИЛ.

304 Часть 111. Неклассическая логика
6. Р(ф/ф) > Р(ф) - из 5, Р5.
7.1(ф, ф) - из 6, R,
Необходимые и достаточные условия симметричности отношения
индуктивного следования указывает следующая теорема.
Теорема 3. ь- 1(ф, ср) = 1(ср, ф)
Доказательство:
1.1(ф,ср) -доп.
2. Р(ф/ср)>Р(ф)-из i1Rl
3. Р(ф(р)/Р(ср) > Р{ф) - из 2, Р5.
4. Р(фср) > Р(ср)Р(ф) - из 3.
5. Р(фср)/Р(ф) > Р(ср) - из 4.
6. Р((р/ф)>Р((р)-из 5, Rv
7.1(ср,ф)-из 6,RL
Вторая часть теоремы 3 доказывается аналогично.
Из теорем 2 и 3 следует, что отношение индуктивного следования
рефлексивно и симметрично. Транзитивное ли оно, как и отношение
логического следования? Иными словами/всегда ли истинно
умозаключение следующего вида:
Из ср индуктивно следует ф. Р(ф/(р) > Р(ф)
Из ф индуктивно следует у. Р(у/ф) > Р(у) (*)
Из ср индуктивно следует у. Р(у/ф) > Р(у)
Легко показать, что посылки умозаключения (*) могут быть
истинны, а его заключение, тем не менее, ложным. Например, следующее
распределение вероятностей на базисных конъюнкциях, образованных
из произвольных высказываний индуктивной логики ср, ф и у
представляет контрпример для (*).
1. фуср
2. фу~~1(р
Ъ.ф-лу<р
4. 0-iV-i<p
1/20
• 5/20
1/20
1/20
5. —i0y<p
6. ->фу-1^
7. ->ф->у((.
8.-,ф-,у-
1/20
> 5/20
» 1/20
io 5/20
Из приведенного распределения вероятностей следует:
Р(ф/ср) = Р(фср)/Р((р) = 0,5 > Р@) = 0,4;
Р(у/ф) = Р(уф)/Р(ф) = 0,75 > Р(у) = 0,6;
Р(у/(р) = Р(уф)/Р(ср) = 0,5< Р(у) = 0,6.
Вычисления оправдывают посылки, но несовместимы с
заключением (*). Значит, отношение индуктивного следования, хотя и рефлек-

Глава 8. Индуктивная логика 305
сивно, и симметрично, но не транзитивно. И этим принципиально
отличается от отношения логического следования.
Основные теоремы индуктивной логики
Введем специальные обозначения для гипотезы и свидетельства. Пусть
Я обозначает гипотезу индуктивного умозаключения, Е —
свидетельство.
Связь отношений логического и индуктивного следования
раскрывают следующие теоремы.
Теорема 4. (? э Я) ь /(Я, Е)
Доказательство:
1.(?эЯ)-доп.
3. Р(Н/Е) = 1 - из 2, Р2.
4. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 3, ДИЛ.
5. /(Я, Е) - из 4, R,.
Теорема 4 выражает правило индукции как прямой дедукции.
Отношение индуктивного следования совпадает по направленности своего
действия с отношением логического следования. Согласно теореме 4,
всякая правдоподобная гипотеза, логически следующая из
свидетельства, им же и подтверждается, т. е. одновременно выступает
дедуктивным и индуктивным следствием одного и того же свидетельства.
Теорема 5. (Яэ Е) \- /(Я, Е)
Доказательство:
1.(Яз?)-.доп.
3. Р(Е/Н) - 1 - из 2, Р2.
4. Р(Е/Н) > Р(Е) - из 3, ДИЛ.
5. Р(Е/Н) = Р(Е)Р(Н/Е)/Р(Н) - из 4, Р5.
6. Р(Е/Н)Р(Н) = Р(Н/Е)Р(Е) - из 5.
7. Р(Н/Е)>Р(Н)~ из 4, 6.
8. /(Я, Е) - из 7, RL
Теорема 5 выражает правило индукции как обратной дедукции.
Отношение индуктивного следования действует в обратном от логического
следования направлении. Согласно теореме 5 правдоподобная
гипотеза всегда подтверждается своими дедуктивными следствиями.
Данная теорема распространена в гуманитарных и естественных
рассуждениях. Гипотетико-дедуктивная модель научного познания основана
на этой теореме.

306 Часть III. Неклассическая логика
Логическое содержание теоремы 5 раскрывают следующие
утверждения («->» означает здесь «стремится к»):
(A) Если Р(Н) = const и Р{Е) -> Р(Я), то Р(Н/Е) -> 1.
(B) Если Р(Н) = const и Р(Е) -> 1, то Р(Н/Е) -> Р(Н).
(C) Если Р(Е) = const и Р(Н) -> 0, то Р(Н/Е) -> 0.
Из утверждений (А) и (В) следует, что правдоподобие ? расположено
в интервале Р(Н) < Р(Е) < 1 и не может быть меньше степени
начального правдоподобия гипотезы Я. Правдоподобие гипотезы Я достигает
максимума при Р(Е) = Р(Н). Отсюда следует, что малоправдоподобные
гипотезы могут высоко подтверждаться только
малоправдоподобными следствиями. Из утверждения (С) следует, что при прочих равных
условиях чем меньше априорное правдоподобие гипотезы, тем меньше
ее апостериорное правдоподобие.
Но гипотезы могут подтверждаться не только дедуктивными, но
и недедуктивными следствиями. Об этом свидетельствует следующая
теорема.
Теорема 6. ь /(Я, Е) = [Р(Е/Н) > Р(Е/-,Н)]
Доказательство:
1./(#,?)-доп.
2. Р(Н/Е)>Р(Н)-из 1,Щ
3. Р(Н/Е) = Р(Н)Р(Е/Н)/Р(Е) - из Р5.
4. Р(Н/Е)Р(Е) = Р(Н)Р(Е/Н) - из 3).
5. Р(Е/Н)>Р(Е)- из 2,4.
6. Р(-пН/Е) < Р(-.Я) - из 2, Р2.
7. Р(^Н/Е) = Р(^Н)Р(Е/^Н)/Р(Е) - из Р5.
8. Р(-,#/?)Р(Е) = Р(-^Н)Р(Е/^Н) - из 7.
9. Р(?/-.Я) < Р(Е) - из 6 и 8.
10. Р(Е/Н) > Р(Е) > Р(?/-.Я) - из 5 и 9.
11. Р(Е/Н) > Р(Е/-,Н) - из 10.
ДЬказательство второй части теоремы 6 аналогично.
Согласно этой теореме гипотеза подтверждается своими
дедуктивными и недедуктивными следствиями. Необходимым и достаточным
условием для этого будет требование Р(Е/Н) > P(E/—iH). Как его
интерпретировать? Буквально оно означает, что степень правдоподобия
свидетельства Е относительно гипотезы Н выше степени его
правдоподобия относительно альтернатив Я. Данное требование выражает
закон абдукции (открытия новых истин — см. «Введение»).
Согласно этому закону для открытия новой истины важна не столько
абсолютная величина апостериорного правдоподобия гипотезы, сколько
разность между ее апостериорным правдоподобием и апостериорным

Глава 8. Индуктивная логика 307
правдоподобием всех ее альтернатив. Если эта разность
положительна, значит, объяснительный потенциал данной гипотезы выше
подобного потенциала всех ее альтернатив; значит она — лучший кандидат
на новую истину. Из теоремы 6 также следует, что гипотеза,
предлагающая лучшее объяснение свидетельства, одновременно получает
и большее подтверждение от этого свидетельства. Иными словами,
открытие и обоснование истины — логически взаимообусловленные
стадии познания.
Нетранзитивность отношения индуктивного следования означает,
что гипотеза не может подтверждаться индуктивными следствиями
собственных индуктивных следствий. Следующая теорема
доказывает, что при определенных условиях гипотеза подтверждается
дедуктивными следствиями собственных индуктивных следствий.
Теорема 7. /(Я, Е),(Н=К)^ I(K, Е)
Доказательство:
1./(#,?)-доп.
2. (Н=К)- доп.
3. Р(Н/Е)>Р(Н)- из 1, R,
4. Р(Я) = Р(К) - из 2.
5. Р{Н/Е) = Р(Н/Е) - из 4.
6. Р(К/Е) > Р(К) - из 3,4,5.
7.1(K, E) - из 6, RL
Теорема 7 означает, что свидетельство подтверждает все гипотезы,
логически эквивалентные исходной. Условием, препятствующим
возникновению транзитивности, служит логическая эквивалентность
гипотез Я и К Но если здесь ослабить условие (Я = К), заменив его на
одностороннюю импликацию (Яэ К), то эта теорема превратится в
индуктивно ложное умозаключение.
Следующая теорема оказывается двойственной по сравнению к
предыдущей: гипотеза индуктивно следует из всех свидетельств, логически
эквивалентных данному.
Теорема 8. /(Я, ?), (?= О) ь 1(Н,О)
Доказательство:
1./(Я,?)-доп.
2. (Е= О) -доп.
З.Р(Я/?)>Р(Я)-из1,К,
4.Р(?)=Р(О)-из2.
5. Р(Н/Е) - Р(Н/0) - из 4.
6. Р(Н/0)>Р(Н)- из 3,4, 5.
7. /(Я, О) - из 6, Rr

308 Часть III. Неклассическая логика
Ослабление условия (?= О) в теореме 8 приводит к возникновению
транзитивности отношения индуктивного следования.
Сформулируем несколько теорем, позволяющих вводить
конъюнкцию и дизъюнкцию гипотез и свидетельств без возникновения эффекта
транзитивности.
Пусть I (ф, ср) обозначает индуктивное следование высказывания ф
из (р относительно у, выполняющего функцию базисной причины
индуктивной выводимости между рассматриваемыми высказываниями.
Это позволяет ввести второе правило индуктивного следования:
(Rn) Высказывание ф индуктивно следует из высказывания <р
относительно высказывания у, / (ф, (р), если и только если дедуктивно
выводимо неравенство Р{ф/(ру) > Р(ф/у)-
Следующая теорема формулирует условия, при которых можно
вводить конъюнкцию гипотез, поддерживаемых одним и тем же
свидетельством.
Теорема 9. /(Я, ?), Ш(К, Е) ь I(HK, Е)
Доказательство:
1./(#,?)-доп.
2. IH(K, E) - доп.
4. Р(К/ЕН) > Р(К/Н) - из 2, R,,
5. Р{Н/Е)Р{К/ЕН) > Р(Н)Р(К/Н) - из 3,4.
6. Р(НК/Е) > Р(НК) - из 5, Р4.
7.1(HK, E) - из 6, Rr
В дедуктивной логике разрешается образовывать конъюнкции из
любых ранее выведенных из принятых допущений формул.
Аналогично в индуктивной логике для введения конъюнкции гипотез,
индуцируемых одним и тем же свидетельством, требуется, чтобы последнее
поддерживало каждую из них при допущении истинности всех
остальных. Например, согласно теореме 10 свидетельство Е поддерживает
гипотезу К при обязательном условии истинности гипотезы Я,
согласно теореме 11 — Е поддерживает Н при непременном условии
истинности К.
Теорема 10.1К{НУ ?), I(K, E) ь I(HK, E)
Доказательство:
2.1(K, E) - доп.
3. Р(Н/ЕК) > Р(Н/К) - из 1, Rn.
4. Р(К/Е)>Р(К)~ из 2, R,.

Глава 8. Индуктивная логика 309
5. Р(Н/ЕК)Р(К/Е) > Р(Н/К)Р(К) - из 3,4.
6. Р(НК/Е) > Р(НК) - из 5, Р4.
7.1(HK, Е) - из 6, R,.
Следующие две теоремы формулируют условия, при которых
можно вводить конъюнкцию свидетельств, подтверждающих одну и ту же
гипотезу.
Теорема 11.10(Н, Е), /(Я, О) к /(Я, ЕО)
Доказательство:
1. /О(Я, Е) - доп.
2. /(Я, О) - доп.
3./0(?,Я)-из1,ТЗ.
4. /(О, Я) - из 2, ТЗ.
5. Р(Е/НО) > Р(Е/О) - из 3, R,,
6. Р(О/Н)>Р(О) -из 4, R,
7. Р(Е/НО)Р(О/Н) > Р(Е/6)Р(О) - из 5,6.
8. Р(ЕО/Н) > Р(ЕО) - из 7, Р4.
9.1(ЕО, Я) - из 8, R,.
Ю./(Я,?О)-из9,ТЗ.
Теорема 12. /(Я, ?), /^Я, О) н /(Я, ?0)
Доказательство:
1. /(Я, ?) - доп.
2./?(Я,О)-доп.
3./(?,Я)-из1,ТЗ.
4./?(О,Я)-из2,ТЗ.
5. Р(Е/Н) > Р(Е) - из 3, R,.
6. Р@/НЕ) > Р(О/Е) - из 4, R,,.
7. Р(Е/Н)Р@/НЕ) > Р(Е)Р(О/Е) - из 5,6.
8. Р(Е0/Н) > Р(ЕО) - из 7, Р4.
9.1(Е0, Я) - из 8, R,.
10. /(Я, ?0) - из 9, ТЗ.
Правила введения дизъюнкции гипотез и свидетельств аналогичны
правилам введения их конъюнкции за исключением одного условия.
Свидетельство должно поддерживать каждую из гипотез при
допущении, что оно не поддерживает их все вместе. Согласно теореме 13
свидетельство Е поддерживает гипотезу К при допущении ложности
гипотезы Я, согласно теореме 14, Е поддерживает Я при допущении
ложности К.
Теорема 13. /(Я, Е), I _^(К, E)^I(HvK,E)
Доказательство:
1. /(Я, Е) - доп.

310 Часть III. Неклассическая логика
2. / Н(К, Е) - доп.
3. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 1, R,.
4. Р(К/Е-,Н) > Р(К/-,Н) - из 3, R,,.
5. Р(->Н/Е) < Р(-,Я) - из 3, Р2.
6. Р(^К/Е-,Н) < Р(-^К/-,Н) - из 4, Р2.
7. Р(-,Н/Е)Р(^К/Е-,Н) < Р(-^Н)Р(-,К/-,Н) - из 5, 6.
8. Р(-,Н-,К/Е) < Р(^Н~,К) - из 7, Р4.
9. P(HvK/ Е) > Р(Н v К) - из 8, Р2.
10. /(Я v К, Е)- из 9, R,.
Теорема 14. /_,/Я, ?), /(/С, ?) н /(Я v /С, ?)
Доказа/иельстнво:
2. /(#,-?) - доп.1
3. Р(Н/Е-,К) > Р(Н/-,К) - из 1, Rn.
4. ?(#/?) > P(iQ - из 2, R,.
5. Р(-,Я/?-.Я) < Р(-,Я/-,Я) - из 3, Р2.
6. Р(-,К/Е) < Р(-,К) - из 4, Р2.
7. Р(-^Н/Е-,К)Р(-^К/Е) < РС-,Я/-,Л)Р(-,Я) - из 5, 6.
8. Р(-,Н-,К/Е) < Р(-,Я-,Я) - из 7, Р4.
9. Р(Н vK/E)> Р(Н v iO - из 8, Р2.
Следующие две теоремы указывают условия введения дизъюнкции
свидетельств, подтверждающих одну и ту же гипотезу.
Теорема 15. /(Я,Е),I^?(Я, О) i- /(Я, ?vO)
Доказательство:
1./(Я,?)-доп.
2. 7^(Я, О) - доп.
3./(?,Я)-из1,ТЗ.
4.7 ?(О, Я) - из 2, ТЗ.
5. Р(Е/Н) > Р(Е) - из 3, R,.
6. Р( О/Н-.Е) > Р( О/-,?) - из 4, Rn.
7. Р(-.?/Я) < Р(-,?) - из 5, Р2.
8. Р(-^О/Н^Е) < Р(-,О/-,?) - из 6, Р2.
9. Р(-,?/Я)Р(-,О/Я-,?) < Р(-,Е)Р(-,О/-,Е) - из 7,8.
10. Р(-,Е-,О/Н) < Р^Е-,0) - из 9,8.
И. P(Ev O/H)>P(Ev О) - из 10, Р2.
I
Теорема 16. 7^0(Я, Е), 1(Н, О) ь /(Я, Е v О)
Доказательство:

Глава 8. Индуктивная логика 311
2.1(Н, О) -доп.
3.7 0(?,Я)-из1,ТЗ.
4.1@, Я) - из 2, ТЗ.
5. Р(Е/Н-,О) > Р(Е/-,О) - из 3, Rn.
6. Р(О/Н)>Р(О)- из 4, R,.
7. Р(^Е/Н-,О) < Р(-,Е/-,О) - из 5, Р2.
8. Р(-.О/Н) < Р(-,О) - из 6, Р2.
9. Р(-,Е/Н-,О)Р(-,О/Н) < P(-i?/-,O)P(-,O) - из 7,8.
10. Р(-,Е-,О/Н) < Р(-,Е-,О) - из 9, Р4.
11. Р(Е v О/Я) > Р(Е v О) - из 10, Р2.
12./(#,?vO)-H3ll,R,.
Введение дизъюнкции свидетельств требует, чтобы гипотеза
индуктивно следовала из каждого представленного свидетельства, но не из
всех них вместе.
Индуктивным аналогом теоремы дедукции служит следующая
теорема.
Теорема 17. О/(#, Е), 1Н (К, НЕ) к 1(Н э if, E)
Доказательство:
1. OI(H, E) - доп.
2.1Н (К, НЕ) - доп.
3. Р(Н) >Р(Н/Е)- из 1.R,.
4. Р(К/НЕ) > Р(К/Н) - из 2, R,,.
5. Р(ОК/Н) > Р(ОК/НЕ) - из 4, Р2.
6. Р(ОК/Н)Р(Н) > Р(ОК/НЕ)Р(Н/Е) - из 3,5.
7. Р(Я-,*0 > Р(НОК/Е) - из 6, P4.
8. Р(Я => /С/?) > Р(Яэ К) - из 7, Р2.
9.1(H z> К, Е)-из 8, Rv
Теорема 17 значительно отличается от своего дедуктивного
двойника. Согласно ей прямой переход от утверждений 1(К, НЕ) к
утверждениям I(Hz>K, E) и обратно неверен и требует выполнения
дополнительных огранивающих условий. Во-первых, антецедент Яимпликации
(Яэ К) не должен подтверждаться свидетельством Е. Во-вторых,
объединенное свидетельство НЕ должно индуцировать гипотезу А"
относительно гипотезы Я. Эти условия гарантируют, что вероятность
импликации Яэ if на основании свидетельства Е будет не меньше вероятности
гипотезы К на основании свидетельства НЕ.
Теорема, обратная семнадцатой, невозможна.
Докажем несколько теорем, имеющих преимущественно
методологическое значение. Следующие пять представляют индуктивную ин-

312 Часть 111. Неклассическая логика
терпретацию известных методов причинной связи Джона Стюарта
Милля1.
Метод сходства: «Если два или более случая подлежащего
исследованию явления имеют общим лишь одно обстоятельство, то это
обстоятельство, в котором только и согласуются все эти случаи, —
есть причина (или следствие) данного явления»2.
Пусть Еобозначает исследуемое явление; Н,КиМ— его возможные
причины (обстоятельства, при которых наблюдается Е). Пусть
конъюнкция ЯК" обозначает одновременную последовательность обстоятельств,
сопровождающих появление Е в первом случае, конъюнкция НМ —
обстоятельств, сопровождающих появление ? во втором случае. Тогда
следующее умозаключение выражает логическое содержание метода
сходства: «Если Я — единственное общее обстоятельство, при
котором имеет место ?, значит, Я есть возможная причина Е».
Однако в такой формулировке метод сходства будет индуктивно
ложным умозаключением. Одно из возможных дополнительных
допущений, позволяющих превратить ложное умозаключение в
истинное, — условие индуктивной независимости обстоятельства Я от
обстоятельств К и М. С учетом этого обстоятельства получаем следующую
индуктивную версию метода сходства.
Теорема 18.1{НКУ ?), /(ЯМ, ?), Р(Н-^К-^М/Е) > Р(Н-^К^М) н /(Я, Е)
Доказательство:
1.1(НК,Е)-д,оп.
2.1(HM, E) - доп.
3. P(H-iK^M/E) > Р(Н-^К-^М) - доп.
4. Р(НК/Е) > Р(НК) - из 1, R,.
5. Р(НМ/Е) > Р(НМ) - из 2, Rr
6. Р((НКМ ь НК-^М ь H-JCM ь Н-^К-^М)/Е) > Р(НКМ ь НК-^М ь
Н-^КМ ь Я-,/С-,М) - из 3,4, 5, Р6.
7. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 6, Р6.
1 8. /(Я, Е) - из 7, R,.
Метод различия: «Если случай, в котором исследуемое явление
наступает, и случай, в котором оно не наступает, сходны во всех
обстоятельствах, кроме одного, встречающегося лишь в первом
случае, то это обстоятельство, в котором одном только и разнятся
1 МилльД. С. Система логики силлогистической и индуктивной. Изложение
принципов доказательства в связи с методами научного исследования. — М.,
1914.
2 МилльД. С. Указ. соч. С. 354.

Глава 8. Индуктивная логика 313
эти два случая, есть следствие, или причина, или необходимая часть
причины явления»1.
Допустим, в двух сравниваемых случаях сходным обстоятельством
будет событие К; обстоятельством, встречающимся только в первом
случае, — событие Н. Отсутствие Н во втором случае означает
наличие обстоятельства -»#. Следующее умозаключение выражает
логическое содержание метода различия: «Ecjjh присутствие Н влечет
присутствие ?, а присутствие -зЯ влечет отсутствие Е при прочих равных
обстоятельствах, то Я есть причина Е».
Теорема 19.1(НК, ?), -п1(-ЛК, Е) ь /(Я, Е)
Доказательство:
1./(Я#,?)-доп.
2.-./(-ЛЖ, ?) - доп.
3. Р((Я-ЛС ь -ЛУ-Л)/?) => P(H-JK h -J/-JO - доп. доп.
4. Р(НК/Е) > Р(НК) - из 1, R,.
5. Р(-^НК/Е) < Р(^НК) - из 2, R,.
6. Р(Н-^К/Е) > Р(Н-,К) - из 3.
7. Р(НК + Н-пК/Е) > Р(НК + Я-.Я) - из 4, 6, Р6.
8. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 7, Рб.
9. Р(-Л-пК/Е) < Р(-.Я-,Я) ~ из 3.
10. Р((-^НК + -^Н^К)/Е) < Р(-^НК + -.Я-,/0 - из 5, 9, Р6.
11. Р(^Н/Е) < Р(-,Я) - из 10, Р6.
12. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 11, Р2.
13./(Я,?)-из8,12, Rr
Комментарий к доказательству теоремы 19. Дополнительное
допущение, введенное на третьем шаге доказательства, было разбито на
два (см. шаги 6 и 9), чтобы с их помощью охватить все возможные
индуктивные отношения между гипотезами Я, if и свидетельством Е. В
противном случае пришлось бы вводить девять отдельных допущений
подобного рода.
Соединенный метод сходства и различия: «Если два или более
случая возникновения явления имеют общим лишь одно
обстоятельство и два или более случая невозникновения того же явления
имеют общим только отсутствие того же самого обстоятельства, то
это обстоятельство, в котором только и разнятся оба ряда случаев,
есть или следствие, или причина, или необходимая часть причины
изучаемого явления»2.
1 МилльД. С. Указ. соч. С. 355.
2 МилльД С. Указ. соч. С. 359-360.

314 Часть III. Неклассическая логика
Данный метод не вызывает с индуктивной точки зрения никаких
возражений, если формализуется как объединение двух
предшествующих теорем.
Теорема 20.1(НК, ?), /(ЯМ, ?), -./(-.ЯА; ?),
^1(^НМ, ?), Р(Н-*К^М/Е) > P(H-JC-nM) ь /(Я, Е)
Доказательство:
1.1(HK, Е) - доп.
2. /(ЯМ, ?) - доп.
3. -./(-.ЯА*, ?) - доп.
4. -,/(-,ЯМ, ?) - доп.
5. Р(Н-^К^М/Е) > Р(Я-1#-,М) - доп.
6. /(Я, ?) - из 1, 2, 5, Т18; 1, 3 и 2,4, Т19.
Метод остатков: «Если из явления вычесть ту его часть, которая,
как известно из прежних индукций, есть следствие некоторых
определенных предыдущих [обстоятельств. — Б. С], то остаток
данного явления должен быть следствием остальных предыдущих
[обстоятельств. — Б. С.]»1.
Пусть Ни К обозначают две части одной общей причины, Ей О —
две части общего свидетельства. Метод остатков утверждает, что если
объединенная причина НК индуцируется общим свидетельством ЕО
и при этом, как доказано, часть общей причины if индуцируется частью
общего свидетельства О, то другая часть причины Я должна
индуцироваться оставшейся частью свидетельства Е. Однако в такой
формулировке метод остатков представляет индуктивно ложное
умозаключение. Если некоторое свидетельство индуцирует конъюнкцию гипотез,
то это не означает, что оно также индуцирует каждую из них в
отдельности. Аналогично, если некоторая гипотеза индуцируется составным
свидетельством, это также не значит, будто она обязательно
индуцируется каждой его частью в отдельности.
Чтобы метод остатков представлял правильное индуктивное
умозаключение, необходимо к общей индуктивной зависимости гипотез
от свидетельства добавить зависимость каждой из них только от
«своей» части свидетельства.
Теорема 21.1(НК, ЕО), -./(Я, О), -,/Я (К, ?-.0) ь /(Я, Е)
Доказательство:
1.1(НК,Е0)- доп.
2. -./(Я, О) - доп.
1 МилльД. С. Указ. соч. С. 361.

Глава 8. Индуктивная логика 315
4. Р(НК/ЕО) > Р(НК) - из 1, R,.
5. Р(Н/О)<Р(Н)- из 2, R,.
6. Р(-^Н/О) > Р(^Н) - из 5, Р2.
7. Р{^О/Н) > Р(-.О) - из 6, ТЗ.
8. Р(Н/-^О) > Р(Н) - из 7, ТЗ.
9. Р(К/Е^ОН) < Р(К/Н) - из 3, R,.
10. Р(-,#/?-.0Я) > Р(-.#/Я) - из 9, Р2.
11. Р(Н/^0)Р(-^К/Е^0Н) > Р(Я)Р(-.#/Я) - из 8,10, Р5.
12. Р(Н-,К/Е^0Н) > Р(^К/Н) - из 11, Р6.
13. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 4,12, Т6.
14. /(Я, ?) - из 13, R,.
Метод сопутствующих изменений: «Всякое явление,
изменяющееся определенным образом всякий раз, когда некоторым
особенным образом изменяется другое явление, есть либо причина,
либо следствие этого явления, либо соединено с ним какою-либо
причинной связью»1.
Пусть Е обозначает исследуемое явление, Е{ и Е2 — различные
степени интенсивности его проявления. Аналогично для предполагаемой
причины Я. Смысл метода сопутствующих изменений состоит в Том,
что если изменение интенсивности Н вызывает изменение
интенсивности Еу то Н — возможная причина Е.
Теорема 22. (Н{ v H2) v Я, (Е{ v Е2) = ?, I(HV Е{), 7(Я2, Е2) ь /(Я, Е)
Доказательство:
\.(Н{\] Н2) = Н -доп.
2. (Ех U Е2) = Е - доп.
3.I(HVEX) — доп.
4./(Я2,?2)-доп.
5.Р(Я1/?1)>Р(Я1)-изЗ,К1.
6. Р(Н2/Е2) > Р(Н2) - из 4, Rr
7. Р(НХ v H2/Ex v E2) > P(Hxv Я2) - из 5, 6, DL.
8. Р(Н/Е) > Р(Н) - из 1, 2, 7, DL
9. /(Я, Е) - из 8, R,.
Сформулируем несколько теорем, относящихся к индуктивному
доказательству. Напомним, что в этом случае свидетельство
выполняет функцию аргумента, а гипотеза — тезиса доказательства.
Допустим, есть несколько свидетельств в защиту одной и той же
гипотезы, причем последняя выступает логическим следствием
каждого из них. Степень же правдоподобия свидетельств различна. Какое
1 МиллъД. С. Указ. соч. С. 365.

316 Часть III. Неклассическая логика
из них в этой ситуации следует предпочесть? Ответ на этот вопрос дает
следующая теорема.
Теорема 23. Ех з Я, Е2 з Я, Р(Е^) > Р(Е2) ь Р(Е{/Н) > Р(Е2/Н)
Доказательство:
\.ЕХ зЯ —доп.
2. ?2зЯ —доп.
4. Р(Е{Н) > О - из 1,Т1.
5. Р(Е2Н) > О - из 2, Т2.
6. Р(ЕХ/Н) > Р(Е2/Н) - из 3,4, 5, Р5.
Рассматриваемая ситуация интересна тем, что когда между Я, Ех и Е2
имеют место указанные дедуктивные отношения, решающим условием
лучшего объяснения становится различие априорных правдоподобий
сравниваемых свидетельств. Если гипотеза является логическим
следствием нескольких свидетельству то, согласно теореме 23, она не
изменяет их априорного неравенства. Следовательно, при этих условиях
необходимо считать лучше объясняемыми те свидетельства, которые
более правдоподобны a priori.
Сохраняется ли в силе заключение теоремы 23, если гипотеза не
будет логическим следствием представленных свидетельств, но
совместима с каждым из них в отдельности? Утвердительный ответ на этот
вопрос дает следующая теорема.
Теорема 24. /(Я, ?,), /(Я, Е2), Р(Е,) > Р{Е2) ь Р{Е{/Н) > Р(Е2/Н)
Доказательство:
2./(Я,?2)-доп.
З.Р(?1)>Р(?2)-доп.
4.Р(Я?1)>0-из1,Т1.
5.Р(Я?2)>0-из2,Т1.
6. Р(Е{/Н) > Р(Е2/Н) - из 3,4, 5, Р5.
Теоремы 23 и 24 имеют одно и то же заключение: гипотезы не
изменяют априорное правдоподобие свидетельства, если они выступают
его дедуктивными или индуктивными следствиями.
Допустим, даны свидетельства, из которых следует несколько
гипотез. Какую из гипотез следует предпочесть, если степень их
правдоподобия различна? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 25. ?з HvEz>Hv Р(НХ) > Р(Н2) ь Р(Е/Н{) < Р(Е/Н2)
Доказательство:
1.?эЯ1 —доп.
2. ?зЯ2 — доп.

Глава 8. Индуктивная логика 317
З.Р(Я1)>Р(Я2)-доп.
4. Р(Н{Е)> 0-из 1,Т1.
5.Р(Я2?)>0-из2,Т1.
6. Р(Е/Н{) < Р(Е/Н2) - из 3,4, 5, Р5.
Согласно теореме 25, большее правдоподобие свидетельству
обеспечивает та гипотеза, которая обладает сначала меньшей вероятностью.
Иными словами, если из какого-либо свидетельства следует несколько
гипотез, то предпочесть следует гипотезу с наименьшей изначально
вероятностью или, равно, с наивысшей начальной информативностью.
Именно такие гипотезы обеспечивают свидетельству наибольшее
правдоподобие.
Заключение теоремы 25 справедливо и в том случае, если гипотезы
не выступают логическим следствием свидетельства, но им
индуцируются.
Теорема 26.1(HV ?), 7(Я2, ?), Р(Я,) > Р(Н2) ь Р(Е/Н{) < Р(Е/Н2)
Доказательство:
1./(tf,^)-доп.
2./(Я,?2)-доп.
З.Р(Я1)>Р(Я2)-доп.
4.Р(Я/?1)>Р(Я)-из1,111.
5. Р(Н/Е2) > Р(Н) - из 2, Rr
7.Р(Я2?)>0-из5,Т1.
8. Р{Е/НХ) < Р(Е/Н2) - из 3, 6, 7, Р5.
Теоремы 24,25 и 26 позволяют сделать общий вывод. Когда
существуют несколько альтернативных свидетельств, с которыми
рассматриваемая гипотеза совместима, нам следует выбирать свидетельство с
наибольшим априорным правдоподобием. Касательно такого свидетельства
гипотеза получает наивысшее правдоподобие. Когда имеется
несколько гипотез, каждая из которых следует из данного свидетельства, то,
наоборот, нужно предпочесть гипотезу с наименьшим начальным
правдоподобием. Кратко суть обеих теорем можно выразить так: в
индуктивных доказательствах надо стремиться к наиболее вероятным
посылкам и к наименее вероятным следствиям — тогда доказательство
будет максимально убедительным.
Допустим, из одного и того же свидетельства следует несколько
гипотез. Увеличивается ли их правдоподобие, если гипотезы
оцениваются все вместе, а не по отдельности? Отвечает на этот вопрос
следующее умозаключение.

318Часть III. Неклассическая логика
Теорема 27. ?з HvEz>H2 ь Р{Е/НХН2) > Р(ЕЩ), г = 1,2
Доказательство:
1 —доп.
1
2.?эЯ2 —доп.
З.Р(Я1?)>0-из1,Т1.
4.Р(Я2?)>0-из2,Т1.
5. Р(НгН2) < Р(Я.), г - 1, 2 - из Р7.
6. Р{Е/НХН2) > Р{Е/Щ, г - 1, 2 - из 3,4, 5, Р5.
Теорема 27 оправдывает правило, согласно которому в споре
рекомендуется выставлять все тезисы {гипотезы) вместе, так как это
повышает правдоподобие приводимых аргументов {свидетельств).
Допустим, гипотеза — это следствие нескольких свидетельств.
Увеличивается ли их правдоподобие, если они оцениваются все вместе
относительно данной гипотезы? Поясняет это следующая теорема.
Теорема28. ?рЯ,?2зЯь Р{ЕХЕ2/Н) < Р(?/Я), 2 = 1,2
Доказательство:
1.?1зЯ — доп.
2.?2зЯ-доп.
З.Р(Я?1)>.0-из1,Т1
4.Р(Я?2)>0-из2,Т1
5'. Р{ЕХЕ2) < Р{Е^ i = 1, 2 - из Р7.
6. Р{ЕХЕ2/Н) < Р(?/Я), f = 1, 2 - из 3,4,5, Р5.
Теорема 28 оправдывает правило спора, по которому если имеется
несколько аргументов {свидетельств) в защиту тезиса {гипотезы),
каждый аргумент {свидетельство) должен оцениваться независимо от
других.
Симметрична по отношению к теореме 28 следующая теорема.
Теорема 29. Яз Ev Яз Е2 ь Р{Н/ЕХЕ2) > Р(Я/?.), 2 = 1,2
Доказательство:
l.Hz)E{ — доп.
2. Яз?2 — доп.
З.Р(Я?1)>0-из1,Т1.
4.Р(Я?2)>0-из2,Т1.
5. Р{Е{Е2) < Р(?.), i = 1, 2 - из Р7.
6. Р{Н/Е{Е2) > Р{Н/Е{), 2 = 1,2 - из 3,4, Р5.
Как следует из теоремы 29, правдоподобие гипотезы монотонно
возрастает вместе с увеличением числа подтверждающих ее свидетельств.
Эквивалентность заключений теорем 28 и 29 доказывает
симметричность индуктивного доказательства: если свидетельство увеличивает

Глава 8. Индуктивная логика 319
степень правдоподобия гипотезы, то и последняя увеличивает меру
правдоподобия своего свидетельства.
Теорема 30. Нх з ?, #2 з Е ь Р(Н{Н2/Е) < Р(Н/Е), г = 1,2
Доказательство:
1.H{dE — доп.
2. #2 з ? — доп.
4.Р(#2?)>0-из2,Т1.
5. РСВД) < Р(Я,), г = 1, 2 - из Р7.
6. Р(Н{Н2/Е) < Р(Н/Е)У г = 1, 2 - из 3,4, 5, Р5.
В соответствии с теоремой 30, каждую гипотезу рекомендуется
доказывать отдельно от других, так как только в этом случае мера их
правдоподобия относительно свидетельства выше. Заключение
теоремы 30 симметрично заключению теоремы 29 в следующем: если
свидетельство уменьшает степень правдоподобия гипотезы, то и гипотеза
ведет к ослаблению его правдоподобия.
Допустим, существует несколько альтернативных гипотез,
образующих полное множество — такое, которое обязательно включает
истинную гипотезу. Пусть каждая гипотеза из этого множества имеет
некоторое логическое следствие, и априорные правдоподобия самих
гипотез и их свидетельств различны. Какая из гипотез получит
большее подтверждение? Ответ содержится в следующей теореме.
Теорема 31. Р(НХ) ь Р(Н2) = 1,^3 Ev H2 з ?2,
Р(НХ) > Р(Н2)+ Р(Н{/Е{) > Р(Н2/Е2)
Доказательство:
1. Р(Я,) + Р(Я2) = 1 - доп.
2. Я, э ?j — доп.
3. H2z> E2 — доп.
4Р(Я1)>Р(Я2)-доп.
5. Р(Я, -,?,) = 0 - из 2, Т1.
6.Р(Я2-,Е,) = 0-изЗ,Т1.
7.Р(Я,?1)>0-из2,Т1.
8. Р(Н2Е2) > 0 - из 3, Т1.
9. P(^) = Р(Я,?,) - из 1,2,5,7.
10. Р(Н2) - Р(Н2Е2) - из 1,3,6,8.
И. />(#,?,) > Р(Н2Е2) - из 4,9,10.
12. Р(.НХ/ЕХ) > Р(Н2/Е2) - из 11, Р4.
Теорема 31 представляет индуктивный вариант закона
исключенного третьего и характеризует одну из самых распространенных
ситуаций индуктивного доказательства: из нескольких взаимоисключающих

320 Часть 111. Неклассическая логика
гипотез подтверждается в большей мере та, чье априорное
правдоподобие сильнее априорного правдоподобия каждой из ее альтернатив.
Данная теорема интересна тем, что объединяет две важнейшие
индуктивные стратегии: подтверждение истинной гипотезы неизбежно
влечет дисподтверждение ложных гипотез. Эта теорема истинна при
любом числе я-альтернативных гипотез, образующих полное множество,
Допустим, что к ее условиям добавлено допущение, согласно
которому одно из свидетельств оказалось неправдоподобным. Тогда
независимо от различия априорных правдоподобий гипотез опровергается
та из них, чье свидетельство оказалось неправдоподобным.
Теорема 32. Р(Н{) ь Р(Н2) = 1)Я1э?1,Я2з?2,
Р(Е2) = О h Р{НХ/ЕХ) = 1, Р(Н2/Е2) = О
Доказательство:
1.Р(Я1)ьР(Я2)=.1-доп.
2. H{dEx- доп.
3. Н2 э Е2 — доп.
4. Р(Е2) = 0 - доп.
5.Р(#2?2) = 0-изЗ,4,Т1.
6.Р(Я1?1) = 1-из 1,2,5.
7. Р(Н2/Е2) = 0 - из 5, Р4.
/Е
Рассмотрим несколько примеров индуктивного доказательства из
научной и художественной литературы.
Пример 1
«Доводы, которые заставляют меня сомневаться в том, чтобы
естественные виды могли изменяться так же внезапно, как иногда изменялись
домашние расы, и окончательно отвергнуть тот чудесный способ их
изменения, который предлагает м-р Майварт, — следующие. Согласно
всему нашему опыту, внезапные и резко выраженные изменения
проявляются у наших домашних рас как единственные случаи и через
длинные промежутки времени. Если такие изменения проявлялись
в естественном состоянии, они, как было пояснено ранее, весьма легко
исчезали бы вследствие различных случайных причин и в силу
последующего скрещивания; то же оказывается верным и по отношению
к домашним породам, если только эти внезапные изменения не будут
особенно тщательно охраняться и изолироваться человеком. Отсюда
предложенный м-ром Майвартом способ внезапного возникновения
нового вида обязательно потребовал бы, вопреки всяким аналогиям,

Глава 8. Индуктивная логика 321
того допущения, что несколько таким чудесным образом измененных
особей появилось одновременно в одной и той же области. Это
затруднение, как и в случае бессознательного отбора человеком,
устраняется, по теории постепенной эволюции, сохранением большого
числа особей, более или менее изменяющихся в каком-либо благоприятном
направлении, и истреблением большого числа особей, изменявшихся
в обратном направлении»1.
Спор Ч. Дарвина со своим оппонентом можно представить в виде
соперничества двух конкурирующих гипотез: Н{ = «Виды животных
изменяются постоянно путем естественного отбора» (гипотеза Ч.
Дарвина), Я2 = «Виды животных изменяются внезапно и сразу, благодаря
некоторой внутренней силе самих животных» (гипотеза Майварта).
Свидетельством, поддерживающим Hv будет утверждение Е{ =
«Большое число особей сохраняется, если их изменения происходят в
благоприятном направлении, и истребляется, если их изменения происходят
в неблагоприятном направлении». Свидетельством ?2,
поддерживающим Hv становится утверждение «Новые виды появляются
внезапно и независимо от изменения внешних условий жизни животных».
Объяснительную способность гипотезы Н2 Ч. Дарвин подвергает
сомнению на том основании, что такие изменения очень редко
наблюдаются, и только через длинные промежутки времени, и что они очень
неустойчивы, легко исчезают под воздействием внешних факторов.
Допустим, что Н{ и #2 составляют полное множество гипотез
(значит, одна из них необходимо истинна). Тогда Р(Н{) + Р(Н2) = 1.
Сомнения Ч. Дарвина в объяснительной способности гипотезы Майварта
означают приписывание ей меньшего значения начального
правдоподобия: Р(Н{) > Р(Н2). Учитывая, что априорные правдоподобия
свидетельств Е{ и Е2 больше нуля, получаем условия умозаключения
теоремы 31. Из них следует Р(Н^/Е{) > Р(Н2/Е2), т. е. гипотеза о естественном
отборе, согласно доказательству Ч. Дарвина, подтверждается
существующими фактами сильнее, чем ее альтернатива.
Пример 2
«— Интересно, что он там высматривает? — спросил я [доктор Ват-
сон. — В. С], показывая на дюжего, просто одетого человека, который
медленно шагал по другой стороне улицы, вглядываясь в номера
домов. В руке он держал большой синий конверт, — очевидно, это был
посыльный.
1 Дарвин Ч. Происхождение видов путем естественного отбора. Книга для
учителя. - М., 1986. С. 174-175.
11-1742

322 Часть 111. Неклассическая логика
— Кто, этот отставной флотский сержант? — сказал Шерлок Холмс...
— Как же вы догадались? — спросил я.
— О чем? — хмуро отозвался он.
— Да о том, что он отставной флотский сержант?..
— Мне легче понять, чем объяснить, как я догадался... Даже через
улицу я заметил на его руке татуировку — большой синий якорь. Тут
уже запахло морем. Выправка у него военная, и он носит баки военного
образца. Стало быть, перед нами флотский. Держится он с
достоинством, пожалуй, начальственно. Вы должны были бы заметить, как
высоко он держит голову и как помахивает своей палкой, а с виду он
степенный мужчина средних лет — вот и все приметы, по которым я узнал,
что он был сержантом»1.
Приведенный отрывок содержит один из типичных, примеров
применения великим сыщиком своего «дедуктивного метода». Попробуем
проанализировать его и понять, как Шерлок Холмс смог угадать
правильное заключение, которое затем полностью подтвердилось. .
Благодаря своей способности наблюдать Холмс быстро подметил
основные приметы и составил из них свидетельство (свидетельство)
Е = «Этот человек сильный, степенный, средних лет, просто одет,
имеет морскую татуировку, военную выправку, баки военного образца,
держится начальственно, служит посыльным».
Мы не ошибемся, если скажем, что для Холмса данное
свидетельство было только правдоподобным, так как формировалось на
основании визуальных примет. Таким образом, 0 < Р(Е) < 1.
Догадка Холмса представляет гипотезу Н = «Этот человек —
отставной сержант флота». Здесь возникают два вопроса. Во-первых, почему
появилась именно эта гипотеза? Во-вторых, доказывается ли она
установленным свидетельством? Хотя логики не любят отвечать на
вопросы, подобные первому, относя их к психологии творчества, мы
рискнем дать следующий ответ. Интуитивно или осознанно Холмс исходил
из требования, что гипотеза, претендующая на статус истинной,
должна придавать свидетельству большее правдоподобие, чем ее
возможные альтернативы. Именно выдвинутая гипотеза и отвечает данному
требованию. В самом деле, не быть отставным сержантом флота и иметь
при этом морскую татуировку, военную выправку, баки военного
образца, держаться начальственно, служить посыльным выглядит
малоправдоподобным сочетанием. Однако все перечисленные приметы ста-
1 Копан Дойль Л. Этюд в багровых гонах // Собр. соч.: В 10 т. Т. 1. —
Волгоград, 1993. С. 19-20.

Глава 8. Индуктивная логика 323
новятся весьма правдоподобными при допущении, что данный
человек когда-то был сержантом флота. Иными словами, для Холмса
очевидным стало неравенство Р(Е/Н) > Р(Е/ОН), где Я обозначает его
догадку, ОН — все ее альтернативы, Е — приметы, составившие
свидетельство. Итак, логический смысл всякой догадки состоит в том, чтобы
сделать обсуждаемое событие максимально правдоподобным.
Гипотеза Я была выдвинута Холмсом для объяснения
свидетельства Е, с которым, соответственно, она не могла быть несовместимой.
Она также не могла быть эквивалентной свидетельству или выступать
его логическим следствием. В противном случае доктор Ватсон, а
вместе с ним и мы, читатели, без труда смогли бы догадаться, кем ранее
был посыльный. Остаются две возможности: свидетельство Е есть или
логическое, или нелогическое следствие Я. Первая возможность
соответствует условиям теоремы 5, вторая — теоремы 6. Ив том и в другом
случае гарантируется индуктивное доказательство гипотезы Я
свидетельством Е. Таким образом, независимо от того, мыслил ли Холмс
согласно теореме 5 или в соответствии с шестой теоремой, его догадка
получает индуктивное доказательство. К тому, что он сказал своему
другу, он мог бы добавить, что если некоторая догадка повышает
правдоподобие обсуждаемого события, факта, то по принципу симметрии
и событие, факт подтверждают эту догадку.
Пример 3
«— Вот что, Ватсон, — промолвил он [Шерлок Холмс. — В. С], — мы
оставим всшрос, кто убил Стрэкера [тренера скаковой лошади по
кличке Серебряный. — В. С], и будем думать, что произошло с лошадью.
Предположим, Серебряный в момент преступления или немного
позже ускакал. Но куда? Лошадь очень привязана к человеку.
Предоставленный самому себе, Серебряный мог вернуться в Кингс-Пайленд или
убежать в Кейплтон. Что ему одному делать в поле? И уж, конечно,
кто-нибудь да увидел бы его там. Теперь цыгане, — зачем им было
красть его?.. Украсть ее — большой риск, а выгоды — никакой. Это вне
всякого сомнения.
— Где же тогда Серебряный?
— Я уже сказал, что он или вернулся в Кингс-Пайленд или поскакал
в Кейплтон. В Кингс-Пайленде его нет. Значит, он в Кейплтоне.
Примем это за рабочую гипотезу и посмотрим, куда она нас приведет.
Земля, как заметил инспектор, высохла и стала тверже камня, но местность
слегка понижается к Кейплтону, и в той лощине ночью в понедельник,

324 Часть 111. Неклассическая логика
наверное, было очень сыро. Если наше предположение правильно,
Серебряный скакал в этом направлении, и там нужно искать его следы.
Беседуя, мы быстро шли вперед и через несколько минут
спустились в лощину. Холмс попросил меня обойти ее справа, а сам взял
левее, но не успел я сделать и пяти-десяти шагов, как он закричал мне
и замахал рукой. На мягкой глине у его ног виднелся отчетливый
конский след. Холмс вынул из кармана подкову, которая как раз пришлась
по отпечатку.
— Вот что значит воображение, — улыбнулся Холмс.
...Мы представили себе, что могло бы произойти, стали проверять
предположение, и оно подтвердилось»1.
В предыдущем примере гипотеза выдвигалась для объяснения
данного свидетельства. Здесь она предлагается, чтобы найти
подтверждающее или дисподтверждающее ее свидетельство.
Пропал известный во всей Англии рысак Серебряный, а его тренер
Стрэкер найден убитым. Холмс ставит задачу отыскать для начала
пропавшую лошадь и выдвигает последовательно четыре гипотезы о ее
возможном местонахождении. Н{ = «Серебряный остался в поле,
рядом с местом преступления»; Н2 = «Серебряный вернулся в конюшню
в Кингс-Пайленд»; Я3 = «Серебряный убежал в Кейплтон (место, где
находится конюшня конкурента)»; #4 = «Серебряного украли
цыгане». Так как никаких других гипотез не предлагалось, то будем
считать, что перечисленные образуют полное множество. Следовательно,
истинно Р(Н{) ь Р(Н2) ь Р(Н3) ь Р(Я4) = 1.
Свидетельствами, подтверждающими данные гипотезы, были бы,
соответственно, следующие факты: Е{ = «Серебряный пасется в поле»,
Е2 = «Серебряный в Кингс-Пайленде», Е3 = «Серебряный в Кейплто-
не», ЕА = «Серебряный у цыган». Возникает вопрос о правдоподобии
этих свидетельств. Холмс подвергает сомнению Ех, так как лошадь
долго оставаться без человека не может и, кроме того, ее бы заметили;
правдоподобие Е2 приравнивается к нулю, так как Серебряный в родную
конюшню не возвращался; правдоподобие ?4 также оказывается
равным нулю, потому что украсть известного рысака — большой риск, и
лошадь невозможно потом продать. В итоге получаем Р(Е{) ь Р(Е2) ь Р(Е4) =
= 0.
Е{ выступает логическим следствием Hv но Р{Е{) = 0. Значит,
гипотеза Я1 опровергается. Аналогично Р(Е2) = 0 опровергает #2, Р(?4) = 0
1 Конан Дойль Л. Серебряный // Собр. соч.: В 10 т. Т. 2. — Волгоград, 1993.
С. 165-166.

Глава 8. Индуктивная логика 325
опровергает Я4. Опровержение Hv Hv Я4 косвенно доказывает,
согласно теореме 30, гипотезу Я3. Но проблема для Холмса заключается в том,
что конюшня в Кейплтоне уже осматривалась, и Серебряного там не
нашли. Поэтому Холмс временно допускает, что Я3 истинна, и
пытается найти свидетельство, подтверждающее ее прямо, т. е. ищет Еъ.
Скоро такое свидетельство в виде отпечатков Серебряного
обнаруживается. Очевидно, что правдоподобие Еъ больше нуля.
Объединяя все полученные данные, получаем расширенный вариант
теоремы 32. Заключение Холмса подтвердилось полностью, когда
Серебряного нашли в Кейплтоне.
Упражнения
I. Изменится ли ваше предположение о симметричности монеты, если
при ее подбрасывании десять раз подряд выпал герб и а) вероятность
выпадения герба вам известна, б) вероятность выпадения герба вам
точно неизвестна?
II. В комнате стоит пять урн с шарами красного и синего цвета. В первой
урне 10 красных и 90 синих шаров; во второй — 50 красных и 80 синих; в
третьей урне — 50 красных и 50 синих шаров; в четвертой — 80 красных и
20 синих; в пятой урне — 90 красных и 10 синих шаров. Вероятность
выбора любой урны одинаковая. Все вытащенные шары возвращаются
обратно в ту урну, из которой они были вынуты. Из какой урны более
вероятно вытащить подряд:
1) пять красных шаров;
2) четыре красных и один синий шар;
3) три красных и два синих шара;
4) два красных и три синих шара;
5) один красный и четыре синих шара;
6) пять синих шаров?
III. Каким методам открытия и доказательства причинной связи Милля
соответствуют следующие рассуждения?
• Много будешь знать — скоро состаришься.
• Как волка ни корми, он все равно в лес смотрит.
• Каков поп, таков и приход.
IV. Оцените убедительность следующего рассуждения по аналогии.
«Человек назван древними малым миром, — и нет спора, что это
название уместно, ибо как человек сое*авлен из земли, воды, воздуха и огня,
так и тело земли. Если в человеке есть кости, служащие ему опорой,
и покровы из мяса — в мире есть скалы, опоры земли; если в человеке
есть кровяное озеро, — там, где легкое растет и убывает при дыхании, —
у тела земли есть свой океан, который также растет и убывает каждые

326 Часть 111. Неклассическая логика
б часов, при дыхании мира; если от названного кровяного озера берут
начало жилы, которые, ветвясь, расходятся по человеческому телу, то
точно так же и океан наполняет тело земли бесконечными водными
жилами. В теле земли отсутствуют сухожилия, которых нет потому,
что сухожилия созданы ради движения, а так как мир находится в
постоянном равновесии, то движения здесь не бывает, и так как не
бывает движения, то и сухожилия не нужны. Но во всем прочем они весьма
сходны»1.
V. Определите схему и правильность умозаключений, содержащихся
в нижеприведенных текстах.
1. « — Как же вы [вопрос д-ра Ватсона Шерлоку Холмсу. — В. С]
узнаете, кто он [владелец шляпы. — В. С.]?
— Только путем размышлений.
— Размышлений над этой шляпой?
— Конечно.
— Вы шутите! Что можно извлечь из этого старого, рваного фетра?
Холмс взял шляпу в руки и стал пристально разглядывать ее
проницательным взглядом, свойственным ему одному.
— Конечно, не все достаточно ясно, — заметил он, — но кое-что
можно установить наверняка, а кое-что предположить с разумной долей
вероятия. Совершенно очевидно, например, что владелец ее — человек
большого ума и что три 'года назад у него были изрядные деньги, а
теперь настали черные дни. Он всегда был предусмотрителен, заботился
о завтрашнем дне, но мало-помалу опустился, благосостояние его
упало, и мы вправе предположить, что он пристрастился к какому-нибудь
пороку, — может быть, и пьянству. По-видимому, из-за этого и жена
его разлюбила...
— Дорогой Холмс...
— Но в какой-то степени он еще сохранил свое достоинство, —
продолжал Холмс, не обращая внимания на мое восклицание. — Он ведет
сидячий образ жизни, редко выходит из дому, совершенно не
занимается спортом. Это человек средних лет, у него седые волосы, он мажет
их помадой и недавно подстригся. Вдобавок я почти уверен, что в доме
у него нет газового отопления.
— Вы, конечно, шутите, Холмс.
— Ничуть. Неужели даже теперь, когда я все рассказал, вы не
понимаете, как я узнал об этом?
. — Считайте меня идиотом, но должен признаться, что я не в
состоянии уследить за ходом ваших мыслей. Например, откуда вы взяли, что
он умен?
Вместо ответа Холмс нахлобучил шляпу себе на голову. Шляпа
закрыла его лоб и уперлась в переносицу.
1 Леонардо да Винчи. Избранные произведения. — М; Л., 1935. С. 252.

Глава 8. Индуктивная логика 327
— Видите, какой размер! — сказал он. — Не может быть совершенно
пустым такой большой череп.
— Ну, а откуда вы взяли, что он обеднел?
— Этой шляпе три года. Тогда были модными плоские поля,
загнутые по краям. Шляпа лучшего качества. Взгляните-ка на эту
шелковую ленту, на превосходную подкладку. Если три года назад человек
был в состоянии купить дорогую шляпу и с тех пор не покупал ни
одной, значит, дела его пошатнулись.
— Ну ладно, в этом, пожалуй, вы правы. Но откуда вы могли узнать,
что он человек предусмотрительный, а в настоящее время переживает
душевный упадок?
— Предусмотрительность — вот она, — сказал он, показывая на
петельку от шляпной резинки. — Резинки не продают вместе со шляпой,
их нужно покупать отдельно. Раз этот человек купил резинку и велел
прикрепить к шляпе, значит, он заботился о том, чтобы уберечь ее от
ветра. Но когда резинка оторвалась, а он не стал прилаживать новую,
это значит, что он перестал следить за своей наружностью, опустился.
Однако, с другой стороны, он пытался замазать чернилами пятна на
шляпе, т. е. не окончательно потерял чувство собственного
достоинства.
— Все это очень похоже на правду.
— Что он человек средних лет, что у него седина, что он недавно
стригся, что он помадит волосы — все станет ясным, если внимательно
посмотреть на нижнюю часть подкладки в шляпе. В лупу видны
приставшие к подкладке волосы, аккуратно срезанные ножницами
парикмахера и пахнущие помадой. Заметьте, что пыль на шляпе не
уличная — серая и жесткая, а домашняя — бурая, пушистая. Значит, шляпа
большей частью висела дома. А следы влажности на внутренней ее
стороне говорят о том, как быстро потеет ее владелец, потому что не
привык много двигаться.
— А как вы узнали, что его разлюбила жена?
— Шляпа не чищена несколько недель. Мой дорогой Ватсон, если
бы я увидел, что ваша шляпа не чищена хотя бы неделю и вам позволяют
выходить в таком виде, у меня появилось бы опасение, что вы имели
несчастье утратить расположение вашей супруги...
— Но откуда вы знаете, что в его доме нет газа?
— Одно-два сальных пятна на шляпе — случайность. Но когда я вижу
их не меньше пяти, я не сомневаюсь, что человеку часто приходится
пользоваться сальной свечой, — может быть, он поднимается ночью по
лестнице, держа в одной руке шляпу, а в другой оплывшую свечу. Во
всяком случае от газа не бывает сальных пятен... Вы согласны со
мною?».1
1 Конан Дойль А. Голубой карбункул // Собр. соч.: В 10 т. Т. 1. — Волгоград.
1993. С. 233-235.

328 Часть 111. Неклассическая логика
2.«— Послушайте меня, Ватсон, — сказал он [Шерлок Холмс — В. С],
когда убрали со стола. — Садитесь в это кресло, и я изложу вам то
немногое, что мне известно. Я не знаю, что мне делать. Мне нужен ваш
совет. Закуривайте, я сейчас начну.
— Пожалуйста.
— Так вот, вас поразили два пункта в рассказе молодого Мак-Карти;
меня они настроили в его пользу, а вас восстановили против него. Во-
первых, то, что отец закричал «Коу», не видя его. Во-вторых, что
умирающий помянул крысу. Он пробормотал несколько слов, но сын уловил
лишь одно. Наше расследование должно начаться с этих двух пунктов.
Предположим, что все сказанное юношей — абсолютная правда.
— А что такое «Коу»?
— Очевидно, он звал кого-то другого. Он считал, что сын в
Бристоле. Сын совершенно случайно услышал этот зов. Криком «Коу» он звал
того, кто назначил ему свидание. Но «Коу» — австралийское слово, оно
в ходу только между австралийцами. Это доказывает, что человек,
с которым Мак-Карти должен был встретиться у Боскомского омута,
был австралийцем.
— Ну а крыса?
Шерлок Холмс достал из кармана сложенный лист бумаги,
расправил его на столе.
— Это карта штата Виктория в Австралии, — сказал он. Я
телеграфировал прошлой ночью в Бристоль, чтобы мне ее прислали. Он
прикрыл ладонью часть карты. — Прочтите-ка, — попросил он.
— Рэт [крыса (англ.). — В. С], — прочитал я. — Крыса?
— А теперь? — он поднял руку.
— Балларэт.
— Совершенно верно. Это и произнес умирающий, но сын уловил
только последний слог. Он попытался рассказать об убийце. Такой-то
из Балларэта»1.
3. «Когда мы наблюдаем, что одно тело действует на другое на
расстоянии, то прежде, чем принять, что это — действие прямое и
непосредственное, мы обыкновенно исследуем, нет ли между телами какой-
либо материальной связи; и если находим, что тела соединены нитями,
стержнями или каким-либо механизмом, способным дать нам отчет
в наблюдаемых действиях одного тела на другое, мы предпочитаем
скорее объяснить действия при помощи этих промежуточных звеньев,
нежели допустить понятие о прямом действии на расстоянии.
Так, когда мы дергаем за проволоку, заставляя звонить
колокольчик, то последовательные части проволоки сначала натягиваются, а
затем приходят в движение, пока наконец звонок не зазвонит на расстоянии
1 Конан Дойль Л. Тайна Боскомской долины // Собр. соч.: В 10 т. Т. 1.
Волгоград. 1993. С. 186-187.

Глава 8. Индуктивная логика 329
посредством процесса, в котором принимали участие все
промежуточные частицы проволоки одна за другой. Мы можем заставить
колокольчик звонить на расстоянии и иначе, например нагнетая воздух в
длинную трубку, на другом конце которой находится цилиндр с поршнем,
движение которого передается звонку. Мы можем также пользоваться
проволокой, но вместо того, чтобы дергать ее, можем соединить ее на
одном конце с электрической батарейкой, а на другом — с
электромагнитом и таким образом заставим звонить колокольчик посредством
электричества.
Здесь мы указали три различных способа приводить звонок в
движение. Но во всех этих способах есть то общее, что между звонящим
лицом и звонком находится непрерывная соединительная линия и что
в каждой точке этой линии совершается некоторый физический
процесс, посредством которого действие передается с одного конца на
другой. Процесс передачи — не мгновенный, а постепенный; так что, после
того как на одном конце соединительной линии дан импульс,
проходит некоторый промежуток времени, в течение которого этот импульс
совершает свой путь, пока не достигнет другого конца.
Ясно, следовательно, что в некоторых случаях действие между
телами на расстоянии можно объяснить себе тем, что в ряду тел,
занимающих промежуточное пространство, совершается ряд действий между
каждыми двумя смежными телами ряда; и сторонники действия
посредствующей среды спрашивают: не разумнее ли в тех случаях, когда
никаких посредствующих агентов мы не замечаем, — не разумнее ли
будет, говорят они, допустить в этих случаях существование среды,
которую указать пока не можем, нежели утверждать, что тело может
действовать там, где его нет.
Кому свойства воздуха незнакомы, тому передача силы посредством
этой невидимой среды будет казаться столь же непонятной, как и
всякий другой пример действия на расстоянии, и, однако, в этом случае
мы можем объяснить весь процесс и определить скорость, с которой
действие передается от одного участка среды до другого.
Почему не можем мы допустить, что знакомый нам способ
сообщения движения посредством толчка и тяги нашими руками является
типом и наглядным примером всякого действия между телами, даже в
тех случаях, когда мы не можем заметить между телами ничего такого,
что видимо принимало бы участие в этом действии»1.
4. «Спрашивается, каков смысл этих жертвоприношений при
заключении договоров и произнесении клятв? Почему состоявшееся
соглашение или принесенную клятву стороны скрепляют тем, что
убивают животное, разрезают его на куски, становятся на них ногами или
1 Максвелл Д. К. Речи и статьи: О действиях на расстоянии. — М.; Л., 1940.
С. 55-57.
12-1742

330 Часть III. Неклассическая логика
проходят между ними, мажут свое тело кровью животного? Для
объяснения этих обрядов были выдвинуты две теории; одну из них можно
назвать теорией возмездия, а другую — сакраментальной, или
очистительной. Рассмотрим сначала первую. По этой теории убийство
животного и разрезывание его на куски есть символ возмездия, которое
ожидает человека, нарушившего договор или преступившего клятву:
он погибает насильственной смертью, подобно принесенному в жерт-
. ву животному... Но спрашивается, как можно теорией возмездия
объяснить особенность еврейского и греческого обряда, которая состоит в том,
что приносящие в жертву проходят между частями убитого животного
и становятся на них ногами? Поэтому Робертсон-Смит предложил
такое толкование обряда, которое можно назвать сакраментальным, или
очистительным. Он предполагает, что "стороны становятся между
частями животного, символизируя этим свое приобщение к мистической
жизни жертвы". В подтверждение этой теории он ссылается на
соблюдение того же обычая в других случаях, в которых неприменима идея
наказания или возмездия, но которые, если не всегда, то по крайней
мере часто могут быть объяснены как способы торжественного
очищения. Так, в Беотии формой общественного очищения служило
разрезание собаки на части и прохождение между этими частями.
Возвращаясь теперь к нашему исходному пункту, можно поставить
вопрос: что лежало в основании древнееврейской формы заключения
договора путем прохождения между частями жертвенного животного —
идея возмездия или идея очищения? Иными словами, был ли это
символический способ призывания смерти на голову клятвопреступника
или же это магическое средство очищения договаривающихся сторон
от пагубных влияний, самозащиты против некоторой угрожающей им
, опасности? Все остальные приведенные мной случаи обращения к
этому обряду говорят в пользу очистительного, или охранительного,
значения еврейского обычая: ни один из этих примеров не может быть
истолкован в духе теории возмездия, ибо некоторые из них полностью
исключают возможность такого толкования, а другие не могут быть
поняты иначе как с точки зрения очистительной, или охранительной,
теории, как об этом иногда прямо свидетельствуют те самые племена,
которые соблюдают данный обычай, а именно арабы и чины»1.
Фрэзер Дж.Дж. Фольклор в Ветхом Завете. - М, 1986. С. 178-184.

Глава 9
Модальная логика
Будучи интерпретирована с помощью системы «возможных
миров», модальная логика предстала не как искусственно
добавленный и ненужный довесок к классической логике, а как
естественное и органическое ее расширение.
Я. А. Слинин «Современная модальная логика»
Основные определения и допущения модальной
логики высказываний и предикатов
Современная модальная логика (модальная логика высказываний и
предикатов) возникла в начале XX в. в результате попыток создать
исчисление с более строгим, чем в обычной логике, отношением
логического следования1. Основатель современной модальной логики, Кларенс
Ирвинг Льюис, полагал, что общепринятое отношение логического
следования слишком либерально, поскольку допускает такие, по его
мнению, парадоксальные свойства, как «Ложное суждение влечет
любое суждение» и «Истинное суждение следует из любого суждения».
Чтобы их исключить, он определил отношение логического
следования как необходимо истинную (логически строгую) импликацию.
Замысел состоял в том, чтобы провести различие между необходимыми
и случайными истинами.
Случайно истинное высказывание, хотя оно и истинно в данное
время и при данных обстоятельствах, может быть ложно в другое время
и при других обстоятельствах. Необходимая истина истинна всегда
и,при любых обстоятельствах. И хотя подобное различие не внесло
особой ясности в решение проблемы устранения парадоксов логического
следования, объективно оно сделало понятия необходимости и
возможности предметом интенсивного логического анализа. В результате были
построены пять канонических исчислений с модальными операторами
1 Lewis С. I. A Survey of Symbolic Logic. - Berkeley, 1918.
12*

332 Часть III. Неклассическая логика
«необходимо» и «возможно» (системы SI, S2, S3, S4, S5). Появление
этих систем считается официальной датой рождения модальной
логики высказываний и предикатов.
Модальная логика была создана для выявления влияния
модальных операторов на дедуктивный вывод заключений из посылок. Такое
исследование оказалось необходимым потому, что модальности
невозможно выразить в терминах функций истинности. Например, из
истинности высказывания «Сегодня, возможно, пасмурно» не следует с
необходимостью истинность утверждения «Сегодня не может не быть
пасмурно», которое может быть как истинным, так и ложным.
Аналогично, из истинности высказывания «Я могу выпить чашку чая» не следует
с необходимостью истинность суждения «Я обязан выпить чашку чая».
Учитывая сказанное, справедливо следующее определение.
Модальная логика высказываний и предикатов — это теория
исчислений, изучающая общезначимость дедуктивных
умозаключений, посылки и заключения которых содержат модальные операторы.
По типу модальных операторов модальную логику обычно делят на:
• алетическую (исследует модальности «необходимо» и
«возможно»),
• деонтическую (исследует модальности «обязательно» и
«позволительно»),
• эпистемическую (исследует модальности «знаю» и «верю»),
• временную (исследует модальности «всегда» и «иногда») и др.
К настоящему времени построены и подробно изучены
многочисленные исчисления с указанными и иными модальностями1. Все они
представляют расширение классической логики высказываний или
предикатов.
В этой главе мы ограничимся расширениями Л В модальными
операторами, выражающими алетические модальности, — «необходимо»
и «возможно». Пусть знак ? символизирует необходимость, знак 0 —
возможность. Объединение произвольной формулы 0 ЛВ или ЛП с
операторами ? и 0 в зависимости от вхождения знака логического
отрицания читается следующим образом:
П0 означает «0 необходимо истинно»;
00 — «0, возможно, истинно»;
-iD0 — «неверно, что 0 необходимо истинно»;
1 Сличил Я. А. Современная модальная логика. Развитие теории алетических
модальностей A920-1960). — Л., 1976. Костюк В. Н. Элементы модальной
логики. — Киев, 1978.

Глава 9. Модальная логика 333
-.00— «невозможно, чтобы 0было истинно»;
П-.0 — «0 необходимо ложно»;
0-10 — «0, ВОЗМОЖНО, ЛОЖНО».
Высказывание ф или его отрицание образует область действия того
модального оператора, который стоит слева от него.
Необходимость и возможность — взаимозависимые модальности.
Каждая из них определяется через отрицание другой с
одновременным отрицанием области ее действия. Нижеприведенные
эквивалентности представляют правила отрицания операторов необходимости
и возможности (при построении доказательств они будут
обозначаться буквой М).
М2. -iD-10^00
M4.-iO-i0=D0
Примером первой эквивалентности служит высказывание
«Наличие жизни на Марсе не является необходимым тогда и только тогда,
когда возможно, что ее там нет». Примером второй — высказывание
«Отсутствие жизни на Марсе не является необходимым тогда и только
тогда, когда возможно, что она там есть». Примером третьей — «На
Марсе жизнь невозможна тогда и только тогда, когда необходимо, что
ее там нет». Примером четвертой эквивалентности — высказывание
«На Марсе невозможно отсутствие жизни тогда и только тогда, когда
необходимо, что она там существует».
Определение формулы модальной логики строится как расширение
соответствующих определений формул логики высказываний и
логики высказываний.
Определение формулы модальной логики
1. Если 0 — формула МЛ, то П0 —также формула МЛ.
2. Если 0 — формула МЛ, то 00 — также формула МЛ.
Примерно до середины XX в. модальная логика рассматривалась
в основном как узкоспециальное направление. Лишь с интерпретацией
основных категорий и результатов в терминах семантики возможных
миров в ней стали видеть важное расширение классической логики
высказываний и предикатов, обладающее глубоким
теоретико-познавательным смыслом и актуальным значением.

334 Часть 111. Неклассическая логика
Понятие возможного мира, восходящее к Г. В. Лейбницу1, — из
числа фундаментальных в современной модальной логике. Наш мир,
называемый актуальным, действительным, — всего лишь один из
бесконечного множества возможных миров.
Возможный мир — непротиворечивое и полное описание
альтернативного развития событий по сравнению с действительным
миром, в котором мы живем в настоящее время.
Некоторые из возможных миров могут быть чрезвычайно похожи
на действительный, другие радикально отличаются от него своими
свойствами. Главное требование, предъявляемое к возможным
мирам, — их непротиворечивость. Такое бывает, если все события,
которые они описывают, могут осуществиться одновременно.
Семантика возможных миров вскрывает принципиальное различие
между операторами возможности и необходимости. Назначение
первого из двух состоит в том, чтобы вводить в универсум рассмотрения
новый возможный мир. Наоборот, назначение оператора «необходимо» —
наполнять введенный возможный мир соответствующими объектами
(формулами).
Допущение множества возможных миров расширяет классическое
определение истины и определяет специфику модального
рассуждения. Истина и ложь не выступают теперь абсолютными
характеристиками. Истинность (ложность) высказывания обусловлены теперь
указанием на определенный возможный мир, в котором оно обладает
данным свойством. В другом возможном мире высказывание обладает
противоположным истинностным свойством.
Произвольное высказывание, возможно, истинно, если и только если
оно истинно по крайней мере в одномиз возможных миров; актуально
истинно, если и только если оно истинно в действительном мире;
необходимо истинно, если и только если оно истинно во всех возможных
мирах, включая и действительный. Сказанное составляет основное
допущение модальной логики.
Основное допущение (алетической) модальной логики.
Формула D0 истинна, если она истинна в каждом возможном мире.
Формула ф истинна, если она истинна в действительном мире.
1 «А так как в идеях Бога есть бесконечное множество возможных
универсумов, из которых осуществиться может лишь один, то необходимо достаточное
основание для выбора, которое определяет Бога скорее к одному, чем к
другому.» - Лейбниц Г. В. Монадология. Соч.: В 4 т. Т. 1. - М., 1982. С. 422.

Глава 9. Модальная логика 335
Формула 00 истинна, если она истинна по крайней мере в одном
из возможных миров.
Пусть знаки wl, w2, w3... обозначают различные возможные миры,
включая и действительный. Знак w без индекса символизирует
произвольный возможный мир.
В качестве базисных примем следующие правила удаления
операторов возможности и необходимости:
OR. О0(а>1) DR.
0(а>2), 0()
где w2 — новый где w2 — любой
мир в рассматриваемой мир из ранее введенных
ветви дерева формулы в рассматриваемую
ветвь дерева формулы
Правило OR требует, чтобы при снятии оператора 0 формула 0была
истинна в новом возможном мире, не совпадающем ни с одним из ранее
введенных. Число вводимых новых возможных миров должно
соответствовать числу удаляемых операторов возможности.
Правило DR требует, чтобы при снятии оператора ? формула
Доставалась истинной в любом из ранее введенных возможных миров.
Формула ф, истинная (ложная) в возможном мире wl, может
оказаться ложной (истинной) в мире w2. Отсюда следует, что отношение
противоречия и замкнутой ветви дерева формулы также обусловлены
понятием возможного мира.
В МЛ формула @ & -10) выражает противоречие, если и только если
как 0, так и -.0 истинны в одном и том же возможном мире со.
Это означает, что если формула 0истинна, скажем, в мире wl, а
формула -10 истинна в мире w2, то конъюнкция (ф & -10) не представляет
противоречия в МЛ. Иными словами, для образования противоречия
конъюнкты должны быть истинны в одном и том же возможном мире.
Сказанное позволяет ввести следующее правило замыкания:
ЗМ. 0 (w)
-.00»)
¦
Как и в классической логике высказываний и предикатов,
доказательства в МЛ могут быть прямыми и косвенными. Из-за большей

336 Часть III. Неклассическая логика
эффективности предпочтение отдано косвенным. Ниже везде
предполагается известным знание правил построения деревьев формул Л В.
Определение косвенного вывода в МЛ принципиально ничем не
отличается от подобного определения в ЛВ.
Если каждая ветвь дерева формулы (ф]3 ф2... фп & -^<р) после
удаления операторов возможности и необходимости замкнута, тогда
формула q> косвенно выводима из последовательности формул 0Г ф2... фп.
Пусть а и Д как и прежде, обозначают посылки и заключение
доказательства.
Доказательством заключения f$ в исчислении МЛ называется
вывод р из множества посылок а.
Базисная модальная логика
Интерпретация модальных операторов в терминах возможных миров
основана на определенных условиях достижимости одного мира из
другого. Всего таких условий три:
• рефлексивность {Reft),
• симметричность (Sym),
• транзитивность (Тг).
Пусть А обозначает бинарное отношение достижимости одного
возможного мира из другого.
1. Отношение достижимости рефлексивно, если и только если
каждый возможный мир достижим из самого себя, т. е. истинно wAw.
2. Отношение достижимости симметрично, если и только если для
всех пар различных индексов ij возможный мир жл достижим из
возможного мира т., и наоборот: возможный мир о;, достижим из
возможного мира wif т. е. истинно как wfiw., так и wAw{.
3. Отношение достижимости транзитивно, если и только если для
всех трех различных индексов i,j и k верно следующее:
достижимость возможного мира w. из возможного мира wi и достижимость
возможного мира а^из возможного мира w. означают следование
достижимости возможного мира wk из возможного мира wit т. е.
истинно, что из w^w. и wAwk следует w{Awk.
Понятие достижимости позволяет точнее определить понятия
истинности и ложности в терминах возможных миров.
Формула D0 истинна в возможном мире w\, если и только если
формула ф истинна в каждом возможном мире, достижимом из w\. Фор-

Глава 9. Модальная логика 337
мула D0ложна в возможном мире w\, если формула фложна по
крайней мере в одном из возможных миров, достижимых из w\.
Формула ф истинна, если и только если она истинна в
действительном мире. Формула фложна, если она ложна в действительном мире.
Формула 00 истинна в возможном мире w\, если и только если
формула ф истинна по крайней мере в одном из возможных миров,
достижимом из т\. Формула 00 ложна в возможном мире т\, если
формула 0 ложна по крайней мере в одном из возможных миров,
достижимом из w\.
В зависимости от того, какими свойствами из указанных обладает
отношение достижимости, возможны различные варианты модальной
логики высказываний. Наиболее универсальна та версия, в которой
выполняются все перечисленные выше Свойства достижимости.
Назовем эту версию базисной модальной логикой (БМЛ).
Модальная (алетическая) логика высказываний называется
базисной, если и только если выполняются все три условия
достижимости возможных миров — рефлексивность, симметричность и
транзитивность.
В техническом смысле БМЛ соответствует системе S5 К. И. Льюиса.
Она самая сильная, так как в ней выполняются все три свойства
достижимости, и одновременно наиболее либеральная, если учитывать
отсутствие ограничений при «передвижении» по возможным мирам: в
системе S5 каждый возможный мир достижим из каждого возможного
мира. Все остальные модальные системы могут быть образованы из S5
посредством наложения определенных ограничений на свойства
достижимости возможных миров.
Докажем несколько принципиальных теорем БМЛ, отличающих ее
от других вариантов модальной логики высказываний и предикатов.
{Доп. означает «допущение», отр. закл. — «отрицание заключения»,
ЛВ — «правила построения деревьев логики высказываний».)
Теорема 1.ОРьР
Доказательство:
1.аР(>1)-доп.
2. -iP (wl) — отр. закл.
3. wlAwl - Refl.
4. P(wi)- из 1,3, ПЛ
¦
Данная теорема утверждает: все, что необходимо, действительно
существует. При ее доказательстве используется свойство рефлексивно-

338 ] Часть III. Неклассическая логика
сти отношения достижимости. Благодаря этому свойству в возможном
мире wl, где истинна формула DP, после снятия оператора
необходимости ? оказывается истинной и формула Р. Обратная теорема неверна:
не все, что действительно истинно, оказывается необходимо истинным.
Теорема 2. DP \- DQP
Доказательство:
1.ПР(о;1)-доп.
2. -ПОР (wl) — отр. закл.
3.0-.ПР(а>1)-из2,М.
4. wlAw2 из 3, OR.
6.0-,Р(о;2)-из5, М.
7.P(w2)-H3l,A,DR.
8. w2Aw3 - из 6, OR.
9. -.Р (о>3) - из 6, OR.
10. wlAw3-из 4, 8, Тг.
11.Р(о>3)-из1, 10,П#.
¦
Данная теорема утверждает: все необходимое необходимо с
необходимостью. При ее доказательстве используется свойство
транзитивности отношения достижимости. Первое применение правила OR
позволяет достигнуть возможный мир w2 из возможного мира wl (шаг 4).
Второе применение правила OR гарантирует достижение возможного
мира w3 из возможного мира о>2 (шаг 8). Объединяя оба шага,
получаем, что возможный мир w3 достижим из возможного мира wl (шаг 10).
Обратная теорема также верна. Если нечто необходимо с
необходимостью, верно, что оно просто необходимо.
Теорема 3. 0Р \- ПОР
Доказательство:
1.0P(wl)-Ron.
2. -.ПОР (wl) - отр. закл.
3.0-1<>Р(а;1)-из2, М.
4. wlAw2 - из 3, OR.
6.wlAw3-H3l10R.
7.P(w2)-H3l,0R.
8.а-.Р(о>2)-из5,М.

Глава 9. Модальная логика ,339
9. w2Aw\ — из 4, Sym.
10. т2АшЪ - из 6, 9, 7V.
П.-,Р(о;3)-из8, 11,ПД.
¦
Данная теорема гласит: то, что возможно, необходимо возможно. При
ее доказательстве используются свойства симметричности и
транзитивности отношения достижимости. Согласно первому применению
правила 07? возможный мир w2 достижим из возможного мира wi (шаг 4).
Согласно второму применению правила OR возможный мир тюЪ
достижим из возможного мира w\ (шаг 6). Однако чтобы довести
доказательство до конца, необходимо попасть из мира w2 в мир w3. Для
этого, принимая во внимание свойство симметричности, следует сначала
вернуться из мира w2 в w\ (шаг 9), затем, пользуясь возможностью
достичь мир w\ из мира шЪ, попасть из w2 в w3, реализуя тем самым
свойство транзитивности отношения достижимости. Обратная теорема
также верна.
Все три теоремы позволяют определить базисную модальную логику
высказываний более формально:
БМЛ = S5 = ЛВ u M u {?/?, ОД, Refl, Sym, Tr).
Из приведенных теорем следует, что БМЛ обладает следующими
особенностями редукции модальных операторов. Формула,
предваряемая конечной последовательностью модальных операторов ? и 0,
эквивалентна формуле с модальным оператором, стоящим в этой
последовательности последним:
00... DP = DP
00... 0Р = 0Р, где 0 есть либо D, либо 0.
Исходя из сказанного, в БМЛ доказуемы следующие
принципиальные редукции:
Теорема 4. ь ПОР ^ DP
Теорема 5. ь D0P= 0P
Теорема 6. ь0ОР=ПР
Теорема 7. ь00Р = 0Р
Рассмотрим еще несколько теорем БМЛ. Для сокращения длины
доказательств шаги, фиксирующие достижимость одного мира из
другого, опускаются.
Теорема 8. П(Рз Q) ь (ПРз DQ)
Доказательство:
2. -.(??=) ??>) (w\)- отр. закл.

340 Часть III. Неклассическая логика
(о;1)-из2,ЛВ.
(wl) — из 4, М.
(w2) - из 5, OR.
(w2) — из 1,П#.
(w2) - из 3, ПЯ.
9. -.Р (w2) Q (w2) -из 7, ЛВ
¦ ¦
Эта теорема позволяет распределять оператор необходимости по
членам импликации (антецеденту и консеквенту), если последняя сама
необходимо истинна. Скажем, необходимо истинно: если число делится
на два, то оно четное. Тогда истинно: если данное число с
необходимостью делится на два, оно необходимо четное. Обратная теорема, однако,
не верна.
Теорема 9. П(Рз Q), -iOQ н -iP
Доказательство:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
-•0Q
Р
D-.Q
--Q
-.Р(о;1)
(wl)-
(wl)-
(wl)-
(wl)-
(wl)-
(wl)-
^Q(wl)
доп.
отр.
изЗ,
из 2,
из 5,
из1,
— из
закл.
ЛВ.
М.
1 1 D
1 1 Г\ ,
1 \±\.
7,ЛВ.
Данная теорема представляет вариант modus tollens алетического
умозаключения. Например, если необходимо истинно, что
высказывание «сегодня вторник» следует из высказывания «вчера был
понедельник», но вторник сегодня невозможен, тогда неверно, что вчера
был понедельник.
Теорема 10. П(Рз Q), ЪР ь 0Q
Доказательство:
1. D(PdQ) (а>1)-доп.
2. ОР (ш1)-д,оп.
3. —iOQ (^1) — 0ТР- закл.
4. Р (w2) - из 2, OR.

Глава 9. Модальная логика 341
5. O-.Q (о>1)-изЗ,М.,
6. -.Q (я>2) - из 5, DR.
7. (Рэ<2)
8. -iP (о>2) Q («Я) - из 7, ЛВ.
Данная теорема представляет вариант modus ponens алетического
умозаключения. Например, если необходимо истинно, что
высказывание «сегодня вторник» следует из высказывания «вчера был
понедельник», и возможно, что сегодня вторник, тогда также возможно, что
вчера был понедельник.
Теорема 11. П(Р & Q) ь DP & DQ
Доказательство:
1. D(P&Q) (о;1)-доп.
2. -,(ПР & ??>) (о>1) - отр. закл.
3.-.ПР(о>1) -.DQ (а>1)-и'з2,ЛВ.
4.0-,Р(а;1) 0-.Q (ю1)-изЗ,М.
5. -J>0»l) -.Q (ю1)-из4,0Л.
6. Р(а;1) Q (ю1)-из1,ПЛ,ЛВ.
Эта теорема свидетельствует: если конъюнкция необходимо
истинна, необходимо истинен и каждый ее конъюнкт. Обратная теорема
также верна. Например, если необходимо истинно, что данная вещь
круглая и синяя, необходимо, что она круглая, и необходимо, что она синяя.
Обратная теорема также верна.
Теорема 12. О (Р & Q) ь OP & 0Q
Доказательство:
1. 0(P&Q) (о>1)-доп.
2. -1 (ОР & 0Q) (о>1) - отр. закл.
-.0Q (а>1)-из2,ЛВ.
D-iQ (»1)-изЗ,М.
5. P(w2) Q (^2)-из1,0
6. -iP(a;2) -.Q (^2) - из 4, ПД.
Теорема утверждает, что если конъюнкция возможна, то возможным
будет и каждый ее конъюнкт. Например, если возможно, что данная
вещь круглая и синяя, возможно, что она круглая, и возможно, что она

342 Часть III. Неклассическая логика
синяя. Но обратная теорема неверна. Из того факта, что некоторая вещь
круглая, а некоторая, возможно другая, вещь синяя, не следует с
необходимостью, что возможна вещь круглая и синяя одновременно.
Теорема 13. DP v ??> ь П(Р v Q)
Доказательство:
1. DPvDQ (wl)-don.
2. -iD(P v Q) (wl) — отр. закл.
3. O-i(PvQ) (я;1)-из2, М.
4. 0(-.P&-,Q) (о;1)-изЗ,ЛВ.
5. -iP (w2) - из 4, ОД.
6. -.Q (^2) - из 4, ОД.
7. DP (о>1) - DQ (ю1) - из 1, ЛВ.
8. Р (о>2) - Q (w2) - из 5, 6, DR.
¦ ¦
Теорема доказывает, что если каждый дизъюнкт некоторой
дизъюнкции необходимо истинен в отдельности, тогда необходимо истинна и вся
дизъюнкция в целом. Например, если данная вещь необходимо
круглая или необходимо синяя, то необходимо истинно, что она круглая
или синяя. Но обратная теорема неверна. Необходимо истинно, что
монета выпадет гербом или цифрой. Но отсюда не следует, что она с
необходимостью выпадет гербом или необходимо выпадет цифрой.
Теорема 14. О (Р v Q) ь OP v 0Q
Доказательство:
O(PvQ) (wl)-zon.
-¦(О Р v OQ) (wl) - отр. закл.
(я;1)-из2,ЛВ.
(wl) — из 3, М.
(о;1)-из4,ЛВ.
(о;1)-из4,ЛВ.
(w2)-H3 1,0Д.
8.P(w2) Q (w2) - из 7, ЛВ.
9. -.Р (w2) -,Q (я#) - из 5, 6, DR.
ш ш
То, что не выполняется в случае с необходимостью, оказывается
верным, когда речь идет о возможности. Теорема 14 гласит: если возможна
некоторая дизъюнкция, возможен и каждый ее дизъюнкт в
отдельности. Например, если возможно, что данная вещь круглая или синяя,
возможно, что она круглая, или возможно, что она синяя. Обратная

Глава 9. Модальная логика 343
теорема также верна. Если возможен каждый дизъюнкт в
отдельности, то возможна и вся дизъюнкция в целом.
Теорема 15. -.ОР ь П(Рэ Q)
Доказательство:
1. -.ОР (о>1)-доп.
2. -пП(Рз Q) (wl) - отр. закл.
3. П-.Р (о;1)-из1,М.
4.0-.(Pz>Q) (о;1)-из2, М.
5. 0(Р & -.Q) (о>1) - из 4, ЛВ.
6.(Р&-,<2) О2) - из 5, Ой.
7. Р (о>2) - из 3, ЛВ.
8. -,B (а>2) - из 3, ЛВ.
9. -,Р (w2) - из 3, ?&
¦
Эта теорема символизирует один из парадоксов исчисления
строгой импликации К. И. Льюиса: из логически невозможной формулы
следует все, что угодно, включая необходимо истинную формулу. Это
говорит о том, что цель, которую К. И. Льюис поставил, не была
достигнута, — парадоксы логического следования не исчезли. Но зато
была создана модальная логика высказываний и предикатов
(последняя здесь не рассматривалась).
Модальная силлогистика
Модальный шестнадцатиугольник
Назовем суждение, начинающееся с оператора 0, проблематическим;
начинающееся с оператора ? — аподиктическим; без модального
оператора — ассерторическим. Кроме суждений этих трех видов бывают
и иные. Они будут указаны ниже.
Общеприняты следующие обозначения ассерторических суждений:
• А — общеутвердительного «Все 5 есть Р»,
• / — частноутвердительного «Некоторые 5 есть Р»,
• Е — общеотрицательного «Ни одно 5 не есть Р»,
• О — частноотрицательного «Некоторые S не есть Р».
Тогда символы ОЛ, 0/, 0?, ОО будут обозначать соответствующие
виды проблематических суждений, a Q4, ?/, ??, ПО —
аподиктических суждений.
Существует четыре вида простых суждений. Каждое из них может
быть ассерторическим, проблематическим или аподиктическим. Зна-

344 Часть HI. Неклассическая логика
чит, для объяснения отношений противоречия, противоположности,
несовместимости без противоречия и противоположности,
подчинения, независимости и частичной совместимости всех видов
модальных суждений требуется построить 12-угольную фигуру. Но для
объяснения базисных допущений модальной силлогистики потребуются еще
четыре вершины. В итоге для исчерпывающего объяснения необходим
модальный 16-угольник.
Укажем, какие виды модальных суждений находятся в отношении
противоречия:
• Л противоречит О; A)
• Е противоречит /; B)
• ОА противоречит ПО; C)
• 0? противоречит ?/; D)
• ПЛ противоречит О О; E)
• ?? противоречит 0/. F)
Разделим универсум простых модальных суждений согласно
указанным отношениям противоречия на несовместимые и совместно
исчерпывающие его классы, т. е. построим классификацию этих суждений
(рис. 9.1). Универсум равен сумме 10 классов. Объем любого
модального суждения равен сумме тех классов, в которые входит его знак
(сумма оставшихся классов указывает логическое содержание данного
суждения). Для простоты анализа указываются только объемы суждений.
U = простые модальные суждения
/
ПА
D/
А
/
0/
ОА
/\
\
оо
ОЕ D/
^ •
0/
ОА DO
ОЕ D/ ОЕ D/
0
ОО
-~——^
0/
ОА DO
DE
DO
ОЕ
A) B) C) D) E) F) G) (8) (9) A0)
Рис. 9.1. Классификация простых модальных суждений
Объемы простых модальных суждений
Л = A+2 + 3)
/=A + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)
?=(8 + 9 + 10)
0 = D+ 5+ 6+ 7+8+ 9+ 10)

Глава 9. Модальная логика 345
0Л = A + 2 + 3 + 4 + 5 + 8)
01= A + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
, 0Е= B + 4 + 6 + 8 + 9 + 10)
0О = B+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10)
ПЛ = A)
?/= A+3 + 5 + 7)
П?=A0)
ПО = F + 7 + 9+10)
Знание объемов модальных суждений позволяет быстро убедиться
в логической истинности следующих подчинений (следований):
ПЛ з Л; ПЕ з ?; П/з /; DO з О; G)
Лз/;?зО; (8)
Л з ОЛ; ?з 0?; /з 07; О з ОО; (9)
0Лз0/;0?з0О. A0)
Понятие возможности, которое использовалось выше (см. первый
параграф этой главы), назовем возможностью, совместимой с
необходимостью. Ее особенность состоит в том, что она подчиняется как
необходимости, так и действительности (см. формулы 7 и 9).
Существует также возможность, несовместимая с необходимостью.
Она делится на две разновидности. Согласно первой одновременно
возможны оба противоречащих друг другу суждения; согласно второй —
одновременно возможны оба противоположных или оба частично
совместимых суждения.
Первую разновидность возможности, несовместимую с
необходимостью, обычно определяют как случайность. Мы назовем ее
возможностью, совместимой с противоречием, или контрадикторной
случайностью. Пусть ее символизирует знак т. Справедливо следующее
определение (ф — произвольное суждение):
т ф = @0 & О-.0) (суждение ф контрадикторно случайно, если и
только если возможно как ф% так и противоречащее ему суждение -.0).
Согласно приведенному определению, контрадикторно случайность ф
означает не необходимость его истинности и не необходимость его
ложности.
Очевидно, что контрадикторно случайные суждения эквивалентны
своим контрадикторно случайным логическим отрицаниям:
тЛ = тО = B + 3 + 4 + 5 + 8); (И)
Ў?= т/ = B + 4 + 6 + 8 + 9). A2)

346 Часть III. Неклассическая логика
Сравнение объемов контрадикторно случайно возможных суждений
и возможных суждений, совместимых с необходимостью, показывает,
что между ними действуют следующие односторонние подчинения: .
(ЎЛ=етО)=)лЛ; A3)
A4)
A5)
(Ў?=Ў/) эО?; A6)
(т?= Ў/)=)<>/; A7)
(t?=t/)zdOO. A8)
Подчинения A3)-s-A8) доказывают, что возможность, несовместимая
с необходимостью, логически сильнее, чем возможность, совместимая
с необходимостью. Все, что выполняется для суждений, начинающихся
со знака Ў, также истинно для эквивалентных или подчиненных
суждений, начинающихся со знака 0. Они также доказывают: все, что не
выполняется для суждений, начинающихся со знака 0, ложно для
эквивалентных или подчиняющих суждений, начинающихся со знака Ў.
Возможность, несовместимая с необходимостью во втором смысле,
не имеет специального названия. Назовем ее возможностью,
совместимой с противоположностью, или контрарной случайностью (общих
и частных суждений). Пусть ее символизирует знак А. Справедливо
следующее определение:
А0 = @0 & 00*) (общее (частное) суждение ф контрарно случайно,
если и только если возможно как 0, так и противоположное ему
общее (частично совместимое частное) суждение — 0*).
Объемы контрарно случайных суждений, базисные следования и
эквивалентности указаны ниже:
( АЛ з.А?) = @Л & 0Е) = B + 4 + 8); A9)
= а О) = @/ & 0О) = B + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+ 9); B0)
= АО); B1)
(Ал = А?) = ((Тл = тО) & (Ў?= Ў/)); B2)
(АЛ = А?) = (тА & Ў О &Ў?&Ў/); B3)
( АЛ = А?) = @Л & 0О & ЪЕ & 07). B4)
Согласно определению, общие контрарно случайные суждения
исключают из универсума любые — общие и частные — суждения, перед
которыми стоит знак необходимости П. Иными словами,
дополнением общих контрарно случайных суждений служит дизъюнкция (ПА v
ПЕ v D7 v ПО). Дополнением частных контрарно случайных сужде-

Глава 9. Модальная логика 347
ний выступает дизъюнкция (ПА v ??). Для сравнения укажем, что
дополнением контрадикторно случайных суждений, что явствует из
определения A1 )* будет дизъюнкция (ПА v ПЕ v ПО), а согласно
определению A2) — дизъюнкция (Q4 v ПЕ v D7). Значит, контрарная
случайность общих суждений более строгая, нежели контрадикторная.
Напротив, контрарная случайность частных суждений логически слабее
контрадикторной случайности. Так как общие контрарно случайные
суждения исключают из универсума любые виды необходимых
суждений, такую случайность можно приравнять к абсолютной.
Абсолютная случайность логически сильнее всех остальных видов
случайности, а значит — и возможности, совместимой с необходимостью.
Все, что выполняется для общих суждений, начинающихся со знака *,
с необходимостью выполняется для эквивалентных или подчиненных
им, в начале которых стоят 0, т или А. Все, что не выполняется для
суждений, начинающихся со знака 0, Ў или * для частных суждений,
не выполняется для общих суждений, начинающихся со знака *.
Исключение составляют следующие два подчинения для частных суждений:
Ў7з(А/= АО); B5)
Ў Оэ(А/= АО). B6)
Подчинения B5) и B6) свидетельствуют, что частные
контрадикторно случайные суждения логически сильнее, чем частные
контрарно случайные суждения.
Обращение модальных суждений, начинающихся со знака П,
совпадает с законами обращения ассерторических суждений (см. гл. 2). Для
остальных модальных знаков ситуация обращения более
неопределенная.
Пусть АаЬ обозначает общеутвердительное суждение с субъектом а
и предикатом b; lab, Eab, Oab — частноутвердительное,
общеотрицательное и частноотрицательное суждения с этими же терминами
соответственно.
Тогда истинны следующие подчинения с обращением:
aAab з alba) B7)
aEab = aEba; B8)
alab = alba; B9)
-^(aOab з aOba); C0)
wAba); C1)
C2)
vIab=Ylba\ C3)

348Часть 111. Неклассическая логика
C4)
C5)
C6)
C7)
(vEba = vlab); C8)
C9)
*ЕЪа)\ D0)
D1)
D2)
Доказательства формул B7) -г- D2) элементарны и они
предоставляются читателю. Их результаты в обобщенной форме можно свести к
следующим утверждениям.
(А) Независимо от модального знака общеутвердительные
суждения обратимы только в частноутвердительные соответствующей
модальности.
(I) Независимо от модального знака частноутвердительные
суждения обратимы в частноутвердительные соответствующей модальности.
(Е) Общеотрицательные суждения с модальным знаком 0 или Ў
обратимы в общеотрицательные суждения соответствующей
модальности, но суждения с модальным знаком А необратимы в суждения
данной модальности.
(О) Частноотрицательные суждения с модальными знаками 0, Ў не
обратимы, но с модальным знаком * обратимы в суждения этой же
модальности.
Всю информацию о логических отношениях между модальными и
ассерторическими суждениями содержит следующий 16-угольник — гек-
кайдекаэдр (рис. 9.2; стрелками указаны отношения подчинения).
Не все отношения (всего их 120) между суждениями модального
16-угольника представлены графически. Остались неотображенными
отношения несовместимости ^независимости. Знание объемов
модальных суждений, определений модальных знаков и подчинений
позволяет легко восполнить данный пробел.
Решение модальных силлогизмов
Для решения ассерторических силлогизмов было достаточно двух
знаков истинности произвольного частного суждения — «+» и «о».
Первый их них обозначает его истинность, а второй — его ложность. Для
решения модальных силлогизмов, в число посылок которых могут вхо-

Глава 9. Модальная логика
349
тЕ=т/
Рис. 9.2. Модальный шестнадцатиугольник
дить и ассерторические суждения, требуются дополнительно
следующие знаки:
• ?+ = «необходимо истинно»;
• По = «необходимо ложно»;
• 0+ = «возможно истинно»;
• Оо = «возможно ложно».
В терминах перечисленных знаков истинности и ложности частных
суждений можно определить все виды общих модальных суждений.
Но сначала введем допущение непустоты модального универсума:
(ДН) в модальном универсуме субъекты общих и частных
ассерторических заключений фактически истинны (действительно
существуют), а субъекты общих и частных заключений с модальными
знаками ? и 0 необходимо истинны (необходимо существуют).
Фактическая или необходимая истинность субъекта заключения не
означает, что и приписываемый ему предикат также действительно или
необходимо существует. Связь субъекта с предикатом может быть
возможно, случайно (в обоих смыслах), фактически или необходимо
истинной. Таким образом, допущение непустоты ДН не противоречит
существованию различных модальных как общих, так и частных
суждений (посылок и заключений).
Из допущения непустоты ДН следует, что принципиальное
различие между общими суждениями состоит не в модальном знаке разре-

350 Часть III. Неклассическая логика
шаемого ими частного суждения (?+, «+» или 0+), а в модальном
знаке исключаемого ими частного суждения (По, «о» или Оо).
Суждение «ПВсе 5 есть Р» исключает суждение «ОНекоторые 5 не
есть Р» и разрешает суждение «ПНекоторые 5 есть Р». Аналогично
суждение вида «ПНи один 5 не есть Р» исключает суждение «ОНекоторые
S есть Р» и разрешает суждение «ПНекоторые 5 не есть Р».
Суждение «ОВсе S есть Р» исключает суждение «ПНекоторые 5 не
есть Р» и разрешает суждение «ОНекоторые 5 есть Р». Так и суждение
«ОНи один 5 не есть Р» исключает суждение «ПНекоторые 5 есть Р»
и разрешает суждение «ОНекоторые 5 не есть Р».
Все частные суждения независимо от модального оператора никаких
частных суждений не исключают. Этот факт символизируется знаком
неопределенности на той ветви, относительно значения истинности
или ложности которой нет никакой информации.
Деревья ассерторических суждений известны из предыдущего
обсуждения (см. гл. 3). Поэтому они здесь не воспроизводятся и не
комментируются.
Деревья основных видов модальных суждений приведены на рис. 9.3-
9.6.
DBce S есть Р йНекоторые S не есть Р
S „ „ S
Рис. 9.3. Деревья общих суждений с оператором необходимости
йНекоторые S есть Р йНекоторые S не есть Р
Р -.Р Р
Рис. 9.4. Деревья частных суждений с оператором необходимости
ОВсе S есть Р ОНи одно S не есть Р
S S
О+^-v. Оо Оо
Р -,Р Р
Рис. 9.5. Деревья общих суждений с оператором возможности
ОНекоторые S есть Р ОНекоторые S не есть Р
Р -,Р р
Рис. 9.6. Деревья частных суждений с оператором возможности

Глава 9. Модальная логика 351
Общие и частные суждения с модальными знаками Ў и * производ-
ны от суждений, деревья которых изображены на рис. 9.3-9.6. Каждое
из этих суждений представляет конъюнкцию противоречащих или
противоположных суждений. Значит, каждое из них может быть
представлено в виде двух независимых деревьев. Общее заключение
представляет результат конъюнкции заключений, полученных из каждого
дерева в отдельности (рис. 9.7-9.10).
т Все S есть Ps тНекоторые S не есть Р
Рис. 9.7. Дерево общеутвердительного суждения с оператором
контрадикторной возможности
тНи одно S не есть Р г т Некоторые S есть Р
Рис. 9.8. Дерево общеотрицательного суждения с оператором
контрадикторной возможности
± Все S есть Р = ± Ни одно S не есть Р
Рис. 9.9. Деревья общих суждений с оператором
контрарной возможности
± Некоторые S есть PsA Некоторые S не есть Р
Рис. 9.10. Деревья частных суждений с оператором
контрарной возможности
В ассерторической силлогистике ветвь объединенного дерева
считается противоречивой {логически ложной, исключаемой, замкнутой),
если она одновременно маркирована разрешающим и исключающим
существование знаками — «+» и, «о». Наличие модальных знаков
расширяет возможности образования противоречия.
Противоречие создается при наличии на одной и той же
объединенной ветви следующих комбинаций:

352 Часть 111. Неклассическая логика
[?+] х [Оо] = ¦ [0+] х [Do] =" ¦
[?+] х [о] = ¦ [+] х [По] = ¦
[?+-] х [Do] = ¦ [+] х [о] = ¦
Все остальные комбинации разрешающих и исключающих знаков
логического или фактического противоречия не создают.
Таблица умножения для разрешающих знаков выглядит следующим
образом:
[?+] х [?+] =?+. [+] х [+] = +.
[?+] х [+] = ?+. [+] х [0+] = +.
[?+] х [0+] = ?+. [0+] х [0+] = 0+.
Умножение знака неопределенности на любой разрешающий знак
вида ?+, «+» или 0+ оставляет неопределенность без изменения; на
любой исключающий знак вида По, «о» или Оо оставляет последний
без изменения.
При решении силлогизмов с проблематическими посылками знаки
суждений, образующих нижнюю и верхнюю ветви дерева
доказательства, необходимо также складывать согласно следующим правилам:
[Оо] + [?+] = D+. [Оо] + [D] = Оо.
[Оо] + [+] = +. [Оо] + [о] = о. '
[Оо] + [0+] = 0+. [Оо] + [Оо] = Оо.
Сложение знака неопределенности или знака противоречия с
разрешающим или исключающим оставляет модальность последних двух
знаков без изменения.
Модальные силлогистические деревья строятся аналогично
ассерторическим. Маркировка деревьев производится согласно правилам
ассерторической силлогистики и деревьям модальных суждений (рис. 9.3-
9.10).
Правила вывода (определения модальности заключения)
(МСВ) Пусть из рассматриваемых посылок следует общее или
частное ассерторическое заключение и произведение модальных знаков на
исключаемой ветви заключения противоречиво.
Тогда:
1. Если в верхней части дерева доказательства в качестве
исключающих знаков стоят По или «о», то знак модальности заключения

Глава 9. Модальная логика 353
(общего или частного) совпадает со знаком исключения в
нижней части дерева.
2. Если в верхней части дерева доказательства в качестве
исключающего знака стоит Оо, а в нижней части дерева — По, «о», или Оо,
то знак модальности заключения (общего или частного) равен 0.
3. Если заключение, модальность которого требуется определить,
не следует из ассерторических посылок или произведение
модальных знаков на исключаемой ветви заключения не образует
противоречия, тогда рассматриваемый модальный силлогизм
решения не имеет.
При решении силлогизмов с модальными знаками Ў и А
используются деревья посылок, изображенные на рис. 9.7—9.10 в качестве
дополнительных правил создания деревьев.
Докажем для демонстрации наиболее интересные модальные
силлогизмы, относящиеся к модусу Barbara первой фигуры.
Пример 1
П Все Л есть J5.
ПВсе В есть С.
П Все А есть С.
р
В S
П+/\По
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей ABC и А-^ВС
соответственно. Ветвь А-лВС необходимо ложная, так как ее верхняя часть A—iB
отмечена знаком По. Значит, знак ветви Л С равен результату
произведения знаков ветвей АВ и ВС: [?+] х [П+] = П+.
Знак эетви Л-iC равняется сумме знаков ветвей AB—iC и Л-iB-iC.
Ветвь Л->В-1 С необходимо ложная. Поэтому знак ветви A-iC равен
результату произведения знаков ветвей АВ и В-.С: [?+] х [По] = ¦.
Знаки ветвей Л С и А-лС вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме будет необходимым.

354 Часть 111. Неклассическая логика
Пример 2
? Все А есть В.
Все В есть С.
Все А есть С.
А А
?+/\По с> П+/\По
Б -.Б С -лС
+/\о
С iC
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
Знак ветви Л С равен сумме знаков ветвей ABC и Л-iBC. Ветвь Л-iBC
необходимо ложная, так как ее часть А-лВ отмечена знаком По.
Значит, знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ
и ВС: [П+]х [+] = ?+.
Знак ветви А-лС равняется сумме знаков ветвей AB-iC и Л-iB-iC.
Ветвь Л-iB-iC необходимо ложная. По этой причине знак ветви Л-iC
равен результату произведения знаков ветвей АВ и B-iC: [?+] х [о] = ¦.
Знаки ветвей АС и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме может быть только ассерторическим.
Пример 3
Все А есть В.
ПВсе В есть С.
?Все Л есть С.
А
* П+/\По
В -? С -.С
?+/\ По
Объяснение. Заключение «Все А есть С» необходимо следует из
посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
Знак ветви ЛСравен сумме знаков ветвей АВСиА-*ВС. ВетвьЛ-iBC
фактически ложная, так как ее часть Л-iB отмечена знаком «о». Значит,

Глава 9. Модальная логика 355
знак ветви Л С равен результату произведения знаков ветвей АВ и BQ
[+] х [?+] = ?+.
Знак ветви Л-»С равен сумме знаков ветвей AB—iC и Л-iB-iC. Ветвь
Л-iB-iC фактически ложная. Поэтому знак ветви Л-iС равен
результату произведения знаков ветвей АВ и B-iC: [+] х [По] = ¦.
Знаки ветвей Л С и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме будет необходимым.
Пример 4
ОВсе А есть В.
ОВсе В есть С.
ОВсе А есть С.
1
?+,
С
А
?+/\Оо «3
/ \
D —\D
Ало
-гС
А
0+/\0о
С -,С
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С». Определим знак модальности
заключения.
По допущению, знак ветви, к которой относится субъект
заключения, необходимо истинный. Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей
ABC и Л-iBC. Ветвь A—iBC возможно ложная, так как ее верхняя Часть
Л-iB отмечена знаком Оо. Знак ветви Л С равен результату
произведения знаков ветвей АВ и ВС, сложенному со знаком возможной
ложности ветви Л-.В: {[?+] х [0+] = Q+} + Оо = Оо.
Знак ветви Л-iC равен сумме знаков ветвей АВ-лС и Л-iB-iC. Ветвь
Л-iB-iC возможно ложная и знак ветви A—iC равен результату
произведения знаков ветвей ЛВ и B-iC, сложенному со знаком возможной
ложности ветви Л-iB: {[?+] х [Оо] = ¦} + Оо ='0о.
Знаки ветвей Л С и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме может быть только проблематичным.
Пример 5
ОВсе А есть В.
Все В есть С.
ОВсе А есть С.

356 Часть III. Неклассическая логика
А
V\0o
В -.Я
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
По допущению, знак ветви, к которой относится субъект
заключения, необходимо истинный. Знак ветви Л С равен сумме знаков ветвей
ABC и A-iBC. Ветвь Л-iBC возможно ложная, так как ее верхняя часть
Л-iB отмечена знаком Оо. Знак ветви Л С равен результату
произведения знаков ветвей АВ и ВС, сложенному со знаком возможной
ложности ветви А-^В\ {[?+] х [+] = ?+} + Оо = ?+.
Знак ветви А-^С равен сумме знаков ветвей ЛВ-iC и Л-|В-»С. Ветвь
Л-«В-1 С возможно ложная. Знак ветви Л-iC равен результату
произведения знаков ветвей АВ и B-iC, сложенному со знаком возможной
ложности ветви Л-.В: {[?+] х [о] = ¦} + Оо = Оо.
Знаки ветвей Л С и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме является проблематичным.
Пример 6
Все А есть В.
ОВсе В есть С.
А
+/\о ^> ? (ничего не следует)
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С», но модальный силлогизм
решения не имеет. Причина этого в том, что произведение знаков ветвей
АВ и В-|Сне создает противоречия. Следовательно, согласно правилу
вывода МСВ C), решения нет.

Глава 9. Модальная логика 357
Пример 7
?Все Л есть Я.
ОВсе В есть С.
ОВсе А есть С.
А
«* П-н/ХОо
В -J3 С -пС
0+/\0о
Объяснение. Заключение «Все А есть С» необходимо следует из
посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
Знак ветви Л С равен сумме знаков ветвей ЛВС и Л-iBC. Ветвь Л-iBC
необходимо ложная, так как ветвь Л-iB отмечена знаком По.
Следовательно, знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей
ЛВ и ВС: [?+] х [0+] = ?+.
Знак ветви Л-iC равен сумме знаков ветвей ЛВ-iC и Л-iB-iC. Ветвь
Л-iB-iC необходимо ложная. Значит, знак ветви Л-iC равен результату
произведения знаков ветвей АВ и B—iC: [?+] х [Оо] = ¦.
Знаки ветвей Л Си Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме может быть только проблематичным.
Пример 8
ОВсе Л есть Я.
?Все В есть С.
ОВсе Л есть С.
СИ
с
?+,
в
_
Л
А^
Оо "^
По
\
0+>
/
/
С
А
Л
\0о
\
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
По допущению, знак ветви, к которой относится субъект
заключения, необходимо истинный. Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей

358 Часть HI. Неклассическая логика
ABC и A—iBC. Ветвь Л-iBC возможно ложная, так как ее часть A—iB
отмечена знаком Оо. Значит, знак ветви Л С равен результату
произведения знаков ветвей АВ и ВС, сложенному со знаком возможной
ложности ветви Л-.В: {[П+] х [?+] = ?+} + Оо = 0+.
Знак ветви Л-»С равняется сумме знаков ветвей AB-iC и Л-lB-iC.
Ветвь Л-iB-iC возможно ложная. Значит, знак ветви Л-iC тождествен
результату произведения знаков ветвей АВ и B-iC, сложенному со
знаком возможной ложности ветви A-iB: {[?+] х [По] = ¦} + Оо = Оо.
Знаки ветвей АС и А-^С вместе гарантируют, что заключение в этом
силлогизме может быть только проблематичным.
Пример 9
?Все Л есть Я.
т Все В есть С.
О Все А есть С.
А А
?+/\По * П+/\0о
В -J3 С iC
0+/\0о
С -,С
А
?+/\СИо ^ ? (ничего не следует)
В -.Я
?/\П+
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности
заключения.
По определению, суждение « Ў Все В есть С» эквивалентно
конъюнкции противоречащих друг другу проблематических суждений «О Все
В есть С» и «О Некоторые В не есть С>>. Есть две возможности, для
анализа каждой из которых построены два дерева с одинаковой
вершиной Л. Присоединение суждения «О Все В есть С» к первой посылке
позволяет вывести заключение «О Все Л есть С», присоединение
суждения «О Некоторые В не есть С» к этой же посылке никакого
заключения не дает. Следовательно, из указанных посылок может следовать
только проблематическое заключение.

Глава 9. Модальная логика 359
Пример 10
тВсеЛ есть Я.
?Все В есть С.
О Все А есть С.
В -,?
С -,С
«=> ? (ничего не следует)
В -&
?/\П+
Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из
посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим знак модальности
заключения.
По определению, суждение « Ў Все В есть С» эквивалентно
конъюнкции противоречащих друг другу проблематических суждений «О Все В
есть С» и «О Некоторые В не есть С». Для анализа каждой из двух
возможностей сконструированы два дерева с одинаковой вершиной А.
Присоединение суждения «О Все В есть С» к первой посылке позволяет
вывести заключение «О Все Л есть С», присоединение суждения «О
Некоторые В не есть С» к этой же посылке никакого заключения не дает.
Следовательно, из указанных посылок может следовать только
проблематическое заключение.
Приведем без доказательства, сделать которое предоставляется
читателю, два дополнительных силлогизма с контрадикторно
случайными посылками:
Все А есть В. т Все А есть С.
т Все В есть С. Все В есть С.
О Все А есть С.
Пример 11
т Все А есть В.
тВсеЯестьС.
О Все А есть С.

360 Часть III. Неклассическая логика
А А
П+/\>о ^ П+/\0о
В -J5 С -.С
?/\П+ ¦=> ? (ничего не следует)
В S
?/\0+
С -iC
Объяснение. По определению, суждение « Ў Все А есть В»
эквивалентно конъюнкции противоречащих друг другу проблематичных
суждений «О Все А есть В» и «О Некоторые А не есть В». Аналогично
суждение « Ў Все В есть С» эквивалентно конъюнкции противоречащих друг
другу проблематичных суждений «О Все В есть С» и «О Некоторые В
не есть С». Это объясняет, почему приведены два силлогистических
дерева с одинаковой вершиной А. Первое соответствует суждению
«О Все А есть В», второе — суждению «О Некоторые А не есть В». Так как
термин А — субъект заключения, то ветви АВ и Л-iB получают знак ?+.
По правилам для силлогистических деревьев продолжению подлежат
только ветви, отмеченные каким-нибудь разрешающим знаком (в
данном примере — знаком ?+). При построении второго дерева суждение
«О Некоторые А не есть В» было превращено в суждение «О
Некоторые А есть -iB». Суждение «Ў Все В есть С» сначала было
противопоставлено в суждение «О Все -.Сесть ОВ» и затем обращено в суждение
«О Некоторые -iB есть -iC». Однако появление знака неопределенности
в нижней части дерева делает вывод заключения из данного дерева
неопределенным. По правилу МСВ B) из первого дерева следует
суждение «О Все А есть С».
Пример 12
А Все А есть В.
* Все Лесть С.
Все А есть С.
А А
?+/\0о ^> П+/\0о
В -J3 С iC
0+/\0о
С -.С

Глава 9. Модальная логика 361
В —\В f С
0о/\0+
Объяснение. По определению, суждение «А Все А есть В»
эквивалентно конъюнкции противоположных друг другу проблематических
суждений «О Все А есть В» и «О Ни одно А не есть В». Аналогично
суждение « А Все В есть С» эквивалентно конъюнкции
противоположных и проблематичных суждений «О Все В есть С» и «О Ни одно В не
есть С». Из истинности суждения «О Все А есть В» следует истинность
подчиненного ему суждения «О Некоторые А есть В». Это объясняет,
почему потребовалось два силлогистических дерева с одинаковой
вершиной А. Верхней части первого дерева соответствует суждение «О Все
А есть В», а верхней части второго дерева — «О Некоторые А есть В».
Так как термин А выступает субъектом заключения, то ветвь АВ в обоих
деревьях получает знак ?+. Вывод из обеих частей дерева
совершается по правилу МСВ B). Из первого дерева следует заключение «О Все
А есть С». Из второго дерева — заключение «О Некоторые Л не есть С».
Значит, верна и их конъюнкция, т. е. заключение «Ў Все Л есть С».
Пример 13
± Все А есть В.
а Все Весть С.
Все А есть С.
А %А '
/\0о ^ П+/\0о
В —iB С —\С
С iC
А
Ч0о ^ Оо
D D Г1 П
0о/\0+
С iC
Объяснение. По определению, суждение «*Все Л есть В»
эквивалентно конъюнкции противоположных друг другу суждений «О Все Л
есть В» и «О Ни одно Л не есть В». Аналогично суждение « * Все В есть

g62 Часть 111. Неклассическая логика
С» эквивалентно конъюнкции суждений «О Все В есть С» и «О Ни одно
В не есть С». Это объясняет, почему потребовалось два
силлогистических дерева с одинаковой вершиной А. Первое соответствует
суждению «О Все А есть В», второе — «О Ни одно А не есть В». Так как
термин А — субъект заключения, то ветвь АВ в обоих деревьях получает
знак ?+. Вывод из обоих деревьев совершается по правилу МСВ B).
В качестве заключения из первого следует суждение «О Все А есть С»,
из второго — «О Ни одно А не есть С». Значит, справедлива и их
конъюнкция «А Все А есть С».
Пример 14
?Все Л есть Я.
а Все В есть С.
а Все Л есть С.
А А
?+/\По ¦=> [И+/\0о
В —\В С —iC
0+/\0о
С iC
А А
?+/\0о ^ 0о/\П+
d —\В С —\С
0о/\0+
С iC
Объяснение. Суждение «А Все В есть С» по определению
эквивалентно конъюнкции противоположных проблематичных суждений
«О Все В есть С» и «О Ни одно В не есть С». По этой причине требуется
два силлогистических дерева. Первое включает суждение «О Все В есть
С», второе — «О Ни одно В не есть С». Вывод из обоих деревьев
совершается по правилу МСВ A). В качестве заключения следует как
суждение «О Все А есть С» (первое дерево), так и суждение «О Ни одно А
не есть С» (второе дерево). Их конъюнкция дает общее заключение
«А Все А есть С».
Пример 15
± Все А есть В.
ПВсе В есть С.
* Все А есть С.

Глава 9. Модальная логика 363
А А
П+/\0о ^ П+/\0о
В —\В С —\С
П+/\ По
С iC
Л
0о/\П+ ^ ? (ничего не следует)
В —\В
?/\п+
Объяснение. По определению, суждение «А Все Л есть В»
эквивалентно конъюнкции противоположных проблематичных суждений
«О Все Л есть В» и «О Ни одно Л не есть В». По этой причине требуется
два силлогистических дерева. Первое соответствует суждению «О Все А
есть В», второе — «О Ни одно А не есть В». Так как термин А — субъект
заключения, то ветви АВ и Л-iB получают знак ?+. Для завершения
первого дерева никаких преобразований второй посылки не
понадобилось. Во втором дереве эту посылку оказалось нужным
противопоставить. Появление знака неопределенности в нижней части дерева
сделало вывод из второго дерева неопределенным. Поэтому согласно правилу
МСВ B) из указанных посылок может следовать только заключение
«О Все Л есть С».
Приведем без доказательства, осуществить которое предоставляется
читателю, несколько дополнительных силлогизмов со смешанными
посылками:
А Все Л есть В. Все Л есть С.
Все В есть С. * Все Десть С.
О Все Л есть С. ?
± Все Л есть В. т Все Л есть С.
О Все В есть С. * Все Десть С.
О Все Л есть С. А Все А есть С.
* Все Л есть В. ОВсе Л есть С.
ОВсе В есть С. * Все В есть С.
ОВсе Л есть С. А Все Л есть С.
Упражнения
I. Докажите следующие теоремы:
1.

364 Часть III. Неклассическая логика
2. n-iPhD(P dP)
3. nPhOPz>O(P&Q)
4. нО(Р:э?>) = (ПРэОР)
5. П(П(Р э ПР) э ПР) ь (ОПР э ПР)
6. D(P = P)i-D(DP = nP)
7. h0@P&-,P)vD(P3DQ)
Ъ. h@-.PvOOQ)vO(PvQ
9. Р ь (ОППР э ПР)
10. hD(D(P3Q)vD(DQDP)
И. 1-П0Р=П0П0Р
II. Докажите следующие силлогизмы:
?Все Л есть В. , Некоторые Л есть С.
Ни одно Д не есть С. РВсе Б есть С.
Ни одно А не есть С. ПНекоторые А есть С.
ПВсе Л есть В. Некоторые А есть С.
Ни одно Д не есть С. РВсе Д есть С.
Ни одно Л не есть С. ПНекоторые Л есть С.
ПНекоторые Л есть В. ОНекоторые Л есть С.
Ни одно В не есть С. Ни одно J5 не есть С.
Некоторые Л не есть С. ОНекоторые Л не есть С.
?Некоторые Л есть В. т Некоторые Л есть С.
т Ни одно J5 не есть С. т Ни одно В не есть С.
т Некоторые Л не есть С. т Некоторые Л не есть С.
ПНи одно Л не есть В. ОВсе Л есть В.
Все С есть В. Ни одно С не есть В.
ПНи одно Л не есть С. ОНи одно Л не есть С.
?Все В есть Л. ОВсе J5 есть Л.
Все В есть С. Все 5 есть С.
ПНекоторые Л есть С. ОНекоторые Л есть С.

Глава 10
Парадоксы
Эти потрепанные и пустые парадоксы хороши
лишь для увеселения подвыпивших глупцов.
Шекспир «Отелло» (Акт II. Сцена II
В этой главе вниманию читателя предлагается анализ наиболее
известных логических парадоксов. Некоторые из них были
сформулированы еще в античности, некоторые — сравнительно недавно. Слово
«парадокс» греческого происхождения (para — «за пределами, вне, против»,
doxa — «мнение») и обозначает мысль, выражающую истину,
находящуюся за пределами обычного понимания, часто ему
противоположную. История познания свидетельствует, что именно такие мысли
становятся главными стимулами развития научного мышления в новом
направлении.
Ахиллес и черепаха
Зенон Элейский (V в. до н. э.) приводит четыре опровержения (апории —
«безвыходное положение») движения, основанные на возможности
бесконечной делимости пространства и времени. Одно из этих
опровержений получило название «Ахиллес и черепаха». Лучший бегун
Греции Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, после того как
она отползет от линии старта на некоторое расстояние в направлении
финиша, потому что «преследующему необходимо прежде всего прийти
в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное
всегда должно будет на какое-то расстояние опережать преследующего»2.
Парадокс допускает две интерпретации. Во-первых, Зенон мог иметь
в виду, что Ахиллесу сначала надо преодолеть половину расстояния
между собой и уползающей черепахой, затем четверть оставшегося
расстояния, затем его восьмую часть и т. д. до бесконечности. Но если
1 Перевод мой. — В. С.
2 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М., 1981. С. 199.

366 Часть 111. Неклассическая логика
это так, тогда Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху в
«конечное время». Такое заключение парадоксально.
Во-вторых, Зенон мог полагать, следуя своей апории «Дихотомия»,
что, прежде чем Ахиллес достигнет половины пути между собой и
черепахой, ему будет необходимо преодолеть его четверть, а для этого
пробежать восьмую часть и т. д. до бесконечности. Но если это верно,
тогда Ахиллес не сможет даже начать движение в «конечное время».
Данное заключение также парадоксально.
Обе интерпретации допускают обобщение: «Ни одно движение не
может быть закончено в Конечное время» и «Ни одно движение не
может быть начато в конечное время». Нетрудно увидеть, что оба
обобщения эквивалентны. Если истинно первое, то всегда истинно второе,
и наоборот. Значит, каждая из интерпретаций есть необходимое
следствие другой и они эквивалентны друг другу.
Доказательство Зенона символизирует следующее умозаключение.
1. Движение либо возможно, либо невозможно.
2. Если движение возможно, тогда Ахиллес может пробежать
бесконечное число непрерывно уменьшающихся отрезков
за конечное время.
3. Ахиллес не может пробежать бесконечное число непрерывно A)
уменьшающихся отрезков за конечное время, так как движение
не может начаться или, равно, никогда не может закончиться
в конечное время.
Значит, движение невозможно.
Умозаключение A) общезначимо, т. е. заключение следует из
указанных посылок. Но оно противоречит обыденному и научному опыту.
Значит, причина парадокса в недостоверности хотя бы одной из его
посылок. Первая из них указывает альтернативы доказательства,
список которых удовлетворяет требованию полноты. Значит, она истинна.
Вторая посылка также истинна, так как при допущении возможности
движения предел суммы s( 1/2 + 1/4 +... + 1/2п), где п —> ©о и s —
конечное расстояние, равен s. Сомнение может вызывать только третья
посылка. Основные доводы против ее истинности были высказаны
Аристотелем.
Согласно ему, «...ошибочно рассуждение Зенона, в котором
предполагается, что невозможно пройти бесконечное множество предметов или
коснуться каждого из них в конечное время»1, потому что «бесконеч-
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М., 1981. С. 183.

Глава 10. Парадоксы 367
ного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное
время, а бесконечного в отношении деления можно, так как само время
бесконечно именно в таком смысле»1. Делимость времени прямо
пропорциональна делимости расстояния. Это очевидно при рассмотрении
равномерного движения. Ведь в этом случае «все движение будет
проделано во столько разных промежутков времени, сколько таких
частей [расстояния. — В. С] будет в целом», и следовательно, «всякое тело,
движущееся с равной скоростью, необходимо проходит конечное
расстояние в конечное время»2.
Ложность третьей посылки разрушает доказательство Зенона, т. е.
лишает умозаключение A) всякой логической силы. Следующая
простая модель позволяет предсказывать, когда именно Ахиллес догонит
черепаху.
Пусть s обозначает расстояние, которое Ахиллесу необходимо
пробежать, чтобы догнать черепаху, t — время, которое ему необходимо на
это потратить. Из курса школьной физики известно, что они связаны
следующим уравнением:
v-s/t. B)
Допустим, скорость Ахиллеса равна vA = 10 м/с, скорость черепахи
v4= 0,1 м/с; скорости обоих бегунов постоянны и Ахиллес стартует
как только она отползет на 99 метров. Значит, sQ = 99 м. При этих
условиях Ахиллес догонит черепаху ровно через 10 секунд.
Доказательство:
t{=sQ/vA.
st = vfv
Ч = S\/VA = VW^)-
Общее время Г, необходимое Ахиллесу, чтобы догнать черепаху,
равно сумме всех временных отрезков tn:
Т = р0 /Щ [v4/vA + (v4/vAJ + (v4/vA)* + .... ]
= so/vA [ 1 + v4/vA + (v4/vAy + {v4/vAf + ...] C)
Откуда после подстановки начальных значений следует:
Т= 99 м/A0 м/с - 0,1 м/с) = 10 с.
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М, 1981. С. 183.
2 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М, 1981. С. 194.

368 Часть 111. Неклассическая логика
Значит, Ахиллес, бегущий с постоянной скоростью 10 м/с, догонит
черепаху, уползающую от него с постоянной скоростью 0,1 м/с, ровно
через 10 секунд после того, как преодолеет 100 м. Подставляя в C)
конкретные значения, получаем для первых трех отрезков времени:
Г- 9,9 с [1+0,01 +0,0001]
= 9,9 с + 0,099 с + 0,00099 с
= 9,99999 сек.
Это представляет достаточно хорошее приближение к 10 с,
полученным ранее. Соответственно общее расстояние, которое Ахиллес
должен будет преодолеть в указанные временные интервалы, равно
сумме пространственных отрезков:
5 = 99 м + 0,99 м + 0, 0099 м
= 99,9999 м,
что тоже оказывается хорошим приближением к расчетному значению
100 м.
Итак, данный парадокс разрешается, только если бесконечная
делимость пространства обусловлена одновременной бесконечной
делимостью времени (обратное также должно быть верно). Их отношение
дает нам производную, называемую скоростью.
Движется ли летящая стрела
Другое не менее известное опровержение возможности движения
представляет апория Зенона «летящая стрела». «Если всегда, — говорит он
(Зенон. — В. С.) — всякое тело покоится, когда оно находится в
равном себе месте, а перемещающееся тело в момент "теперь" всегда
находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна»1.
Содержание апории выражает следующее умозаключение:
1. Движение либо возможно, либо невозможно.
2. В каждый момент времени летящая стрела занимает место,
равное своей длине. D)
3. Если стрела занимает место, равное своей длине, она покоится.
Значит, летящая стрела покоится, что абсурдно. Поэтому
движение невозможно.
Заключение D) следует из приведенных посылок, но не
доказывается ими. Причина — ложность второй посылки.
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М, 1981. С. 199.

Глава 10. Парадоксы 369
Доказательство.
Допустим, расстояние, которое пролетает стрела, равно 50 м, длина
стрелы / равна 1 м. Все расстояние 5, пролетаемое стрелой, равно сумме
пятидесяти отрезков длиной 1 м: s = 50/.
Вторая посылка утверждает, что на каждом отрезке полета si (i= I,
2... 50), равном собственной длине /, стрела покоится, т. е. ее скорость
равна нулю, v = 0. Это равносильно утверждению истинности
конъюнкции следующих утверждений:
Если Sj = /, то v = 0;
Если 59 = /, то v = 0;
Если 53 = /, то v = 0;
Если 550 = /, то v = 0.
Из условия второй посылки и начальных допущений следует, что
стрела движется и ее длина больше нуля. Значит, антецедент каждого
утверждения Зенона ложен, так как si = / > 0 и tt;> 0 для всех г для всех
рассматриваемых отрезков. Из этого следует, что каждый отрезок
дистанции полета si (i = 1, 2... 50) включает не только длину стрелы, но
и расстояние, которое она преодолевает в соответствующий
промежуток времени. Это означает, что антецеденты зеноновских
утверждений должны быть модифицированы следующим образом.
- s =/;
Допустим, скорость полета стрелы равна 10 м/с. Тогда стрела
пролетает расстояние, равное своей длине / = 1 м, за 0,1 с. Значит, вторая
посылка с учетом модифицированных антецедентов эквивалентна
конъюнкции следующих утверждений:
Если Sj = /, то v = l/tx = 1 м /0,1 с =10 м/с;
Если 52 = / + sv то v = (/ + 5,)Д2 = 2 м / 0,2 с = 10 м/с;
Если 53 = / + st + 52, то v = (/ + Sj + s{)/t3 = 3 м / 0,3 с = 10 м/с;
ЕСЛИ 550 = / + 5, + 52 + ...+ S4g + S49,
то v = (/ + SjH- st + ... + 548 + sA9)/t50 = 50 м / 5 с = 10 м/с.
Из сказанного следует, что в каждый момент времени полета si (i = 1,
2... 50) стрела действительно занимает место, равное своей длине, но
так как она движется с ненулевой скоростью, то пролетаемое ею рас-
13-1742

370 Часть 111. Неклассическая логика
стояние всегда больше ее длины. Приведенные расчеты не зависят от
фактической длины стрелы. Требуется только, чтобы она не была
равна нулю.
Таким образом, данный парадокс разрешается, только если
принимается во внимание, что каждое «здесь» летящей стрелы включает не
только ее длину, но и все расстояние, которое она преодолевает в
рассматриваемый отрезок времени «теперь». Движение как бы
увеличивает место, занимаемой стрелой, на величину, пропорциональную ее
скорости. Поэтому нет никакого противоречия в известном
утверждении Гегеля, что «двигаться означает быть в данном месте и в то же
время не быть в нем — следовательно, находиться в обоих местах
одновременно»1.
Спор Протагора с Еватлом
Содержание спора сводится к следующему. У известного софиста
Протагора (V в. до н. э.) был ученик Еватл, обучавшийся праву. По
заключенному между учителем и учеником договору Еватл должен был
заплатить за обучение лишь в том случае, если он выиграет свой первый
процесс. Но, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах.
Когда терпение Протагора иссякло, он подал на своего ученика в суд.
Таким образом, Еватл столкнулся с необходимостью вступить в свой
первый процесс.
Свой иск Протагор аргументировал следующим образом. Каким бы
ни было решение суда, Еватл будет обязан заплатить за обучение. Ибо
он либо выиграет, либо проиграет процесс; если выиграет, то заплатит
в силу договора; если проиграет, то заплатит согласно решению суда.
Ответ Еватла был не менее аргументированным. Действительно, он
либо выиграет, либо проиграет процесс. Если выиграет, то не обязан
платить по решению суда; если проиграет, то не должен платить в силу
договора.
Парадокс данного спора состоит в том, что при любом исходе
судебного процесса Протагор и Еватл имеют равные логические основания
требовать удовлетворения своих взаимоисключающих намерений
(рис. 10.1). Причина парадокса также очевидна: Исходы любого
решения, принятого судом, не будут несовместимыми и, следовательно,
могут быть одновременно истинными. Именно о такой возможности
и свидетельствуют аргументы обоих участников спора. Это означает,
1 Гегель Г. В. Ф. Лекции по истории философии. Книга первая. — СПб., 1993.
С. 282.

Глава 10. Парадоксы
371
Еватл
проигрывает
процесс
выигрывает
процесс
по суду
платит
Еватл
по договору
платит
Прота гор
по суду
платит
Протагор
по договору
платит
Еватл
аргументы Еватл а
аргументы Протагора
Рис. 10.1. Парадоксальная классификация исходов
в споре Еватла с Протагором
что классификация результатов судебного процесса проведена с
нарушением по двум основаниям — «платить по решению суда» и
«платить по договору» одновременно.
Для устранения парадокса необходимо признать оба условия
независимыми и классификацию выполнить последовательно.
Непарадоксальная структура спора имеет другой вид (рис. 10.2).
Цифры «О» и «1» на рис. 10.2 обозначают вероятности
соответствующих исходов. Те из них, которые отмечены цифрой «0»,
неосуществимы по условиям спора. Исходы, отмеченные цифрой «1», по условиям
спора обязательно реализуются.
После правильного разбиения спор Протагора с Еватлом имеет только
два возможных исхода.
1. Если Еватл проигрывает процесс, то он платит Протагору по суду
и не платит по договору.
2. Если Еватл выигрывает процесс, то он не платит Протагору по
суду, но платит по договору.
Еватл
проигрывает
процесс
выигрывает
процесс
платит
по суду
платит не платит
по договору по договору
платит _ платит
по суду по суду
платит не платит
по договору по договору
Рис. 10.2. Непарадоксальная классификация исходов
спора Еватла с Протагором
13*

372 Часть III. Неклассическая логика
Как интерпретировать указанные исходы? Есть три возможности
интерпретации. Во-первых, можно считать, что независимо от
решения суда Протагор выигрывает спор: Еватл, проиграв дело, заплатит
ему за обучение по суду, а, выиграв, — по договору. Однако это
неверно, потому что при этом не учитывается эффект компенсации
платежных действий, составляющих одну и ту же альтернативу. Во-вторых,
если принять последнее замечание к сведению, можно считать, что
эффект компенсации платежей по суду и по договору ведет к общему
нулевому исходу независимо от решения суда. Однако и эта
возможность неверна, потому что упускается из виду начальное состояние
спора: Еватл — должник Протагора, а не наоборот. Учет этого фактора
рождает третью возможность, которую необходимо исследовать более
подробно.
Пусть ^обозначает стоимость обучения Еватла у Протагора. По
условиям спора Еватл прошел курс обучения, но не заплатил за него.
Следовательно, приобрел Vединиц стоимости, а Протагор потерял Vединиц
стоимости или, равно, приобрел -Vединиц стоимости.
Рассмотрим первую альтернативу: Еватл платит за обучение по суду
и не платит по договору. Отметим, что освобождение Еватла от платы
за обучение по суду или по договору равносильно внесению ее самим
Протагором в форме соответствующих издержек, которые были в
процессе обучения. Согласно данной альтернативе будет следующая
цепочка платежей: Еватл — владелец V единиц стоимости по условию
спора; Еватл платит Протагору Vединиц стоимости по суду: V - V = 0;
Еватл освобождается от уплаты обучения по договору: 0 + V = V.
Общий исход спора для него в данном случае положительный: он
сохраняет начальные V единиц стоимости, т. е. не платит Протагору за свое
обучение и таким образом выигрывает спор.
Эта же альтернатива с точки зрения Протагора выглядит
следующим образом. Протагор — владелец -Vединиц стоимости по условию
спора; Еватл платит Протагору по суду за обучение V единиц
стоимости: -V + V = 0; он освобождается от платы за обучение по договору,
т. е. платит Протагор: 0 - V = -V. Общий исход для Протагора,
согласно данной альтернативе, отрицательный: он не получает платы за
обучение от Еватла, не возмещает своих издержек и тем самым
проигрывает спор.
Рассмотрим теперь вторую альтернативу: Еватл не платит по суду,
но платит за обучение по договору. С точки зрения Еватла, имеет место
следующая цепочка платежей: Еватл — владелец V единиц стоимости
поусловиям спора; он освобождается от платы за обучение по суду:

Глава 10. Парадоксы
373
V - О = V; платит Протагору за обучение по договору: V - V = 0. Общий
исход для Еватла, согласно данной альтернативе, отрицательный: он
вынужден заплатить Протагору за свое обучение и таким образом
проиграть спор.
С точки зрения Протагора, возникает следующая цепочка платежей:
Протагор — владелец -Vединиц стоимости по условиям спора; Еватл
освобождается от платы за обучение по суду: -V + 0 = -V — и платит
за обучение по договору: - V + V = 0. Общий исход спора для
Протагора, согласно данной альтернативе, положительный: он получает от
Еватла плату за обучение, покрывает свои издержки и таким образом
выигрывает спор.
Для большей ясности варианты всех платежей сведены в таблицу.
Таблица 10.1
Суммарные платежи Еватла и Протагора
Участники спора
Платежи в начале
спора
Решение суда
Плата по суду
Плата по договору
Окончательные
платежи
Итоги спора
Еватл
V
Проиграл
V-V
V-V+ V
V
Выиграл
Выиграл
V-0
V-0-V
0
Проиграл
Протагор
-V
Проиграл
-F+0
-V+0+V
0
Выиграл
Выиграл
-V+V
-V+ V-V
—V
Проиграл
В условиях спора не содержится никакой информации о шансах на
победу его участников. В этой ситуации разумно допустить, что как
Протагор, так и Еватл имеют равные шансы на выигрыш.
Другими словами, победа любого из них представляет случайное
событие. В этом состоит логическое содержание рассматриваемого
спора, которое, как очевидно, не исчерпывает всей проблемы. Чтобы
увидеть это, расширим рамки нашего анализа и допустим, что
Протагор еще только раздумывает, подавать ему в суд* на Еватла или нет.
В этой ситуации возникают следующие возможности. Протагор либо
подает в суд на Еватла, либо не подает. Если не подает, то теряет не
только V единиц стоимости, но и определенную часть своей репутации
как учителя. Обозначим этот исход как Cv Если он подает в суд на
Еватла, то, как уже установлено, с равной вероятностью может выиграть
или проиграть судебный процесс. Обозначим этот сложный исход,
включающий две возможности, как С2. Если Протагор выигрывает, он

374 Часть III. Неклассическая логика
не только компенсирует V единиц стоимости, но и подтверждает свой
авторитет как учителя. Обозначим этот исход как С12. Если Протагор
проигрывает процесс, то он не только теряет Vединиц стоимости, но и
подрывает свою репутацию как учителя. Обозначим этот исход как С22.
Очевидно, что полезность исходов Cv C21 и С22 для Протагора
неодинакова. Отобразим полезности указанных исходов на шкалу от 0 до 1
таким образом, что и(С21) = 1, и(С22) = 0. Остается вычислить
полезность исхода Cv Допуская, что значение полезности С{ находится
между 0 и 1, получаем следующее упорядочение: и(С21) > и(Сх) < и(С22).
Подставляя числовые значения, получаем: 1 < и(С{) < 0, откуда следует,
что и(Сх) = х (х— некоторое значение вероятности). Итак, значение
полезности того, что Протагор не подаст в суд на Еватла, равно
субъективной вероятности этого исхода.
Построим дерево решения с точки зрения Протагора. Пусть A t =
подавать в суд на Еватла, А2 = не подавать в суд на Еватла. Дерево
решения имеет следующий вид:
Здесь значение*находится в интервале @,1), исходы С2{ и С22
равновероятны ввиду случайного выигрыша участников спора.
Приведенное дерево упрощается до:
Из анализа последнего следует: чтобы Протагор предпочел А{
альтернативе А2, т. е. подал в суд на Еватла, субъективная вероятность
последней должна быть меньше 0,5. Можно с большой уверенностью
предположить, что одних только соображений престижа будет
достаточно Протагору, чтобы приписать А2 вероятность, меньшую 0,5.
Иными словами, весьма вероятно, что даже при равных с Еватлом шансах
выиграть Протагор обязательно подаст на него в суд.
Парадокс лжеца
Популярный вариант парадокса таков. Допустим, некто говорит, что он
лжет. Что он утверждает на самом деле — истину или ложь? Если
допустить, что он говорит истину, тогда утверждаемое им истинно, и, еле-

Глава 10. Парадоксы 375
довательно, он лжет. Если же он лжет, то утверждаемое ложно, и тем
самым он говорит истину. Парадокс видят в том, что невозможно
однозначно определить значение истинности высказывания «Я лгу».
Пусть [/обозначает непустое подмножество множества всех
высказываний ЛВ. Тогда некоторые высказывания [/истинны (Г), остальные
ложны (F). Среди ложных высказываний некоторые амбивалентны,
т. е. истинны и ложны одновременно (Л), остальные нет.
Существование амбивалентных высказываний свидетельствует, что область
пересечения истинных и ложных высказываний не пуста. Справедливость
данного утверждения следует из того наблюдения, что ложные
высказывания могут иметь истинные следствия. Стало быть, справедливо U =
= TvFvA.
Яусть С обозначает высказывание Л В, не являющееся логической
истиной и ложью. Пусть высказывание В выступает референтом
(носителем) истины высказывания С. Мы скажем, что С истинно и
символизируем это как Г(С), если и только если С и референт его истины
В оба являются элементами одного и того же {эквивалентного) класса:
Т(С) = (СзВ) & (-.Сз -.5). A)
Из A) следует, что истина рефлексивна (выполняется Т(С) Z) Г(С)),
симметрична (истинна как прямая импликации Т(С) э Г(С), так и ей
обратная Т(С) с Т(С)) и транзитивна (всегда передается отношением
импликации). Значит, истина определяет отношение эквивалентности,
разбивая непустой универсум U на два взаимно исключающих и
совместно исчерпывающих класса, называемых классами
эквивалентности. Каждый из них характеризуется тем, что любые два элемента,
принадлежащие одному и тому же классу, совместимы друг с другом,
взаимно поддерживают друг друга, но любые два элемента,
принадлежащие разным классам, таким свойством не обладают.
Ложь не образует эквивалентного класса. Хотя она и симметрична,
однако не рефлексивна и не транзитивна. Характерным ее свойством
служит то, что рассматриваемое высказывание и референт его истины
принадлежат к разным и, значит, несовместимым эквивалентным
классам. Значит, если высказывание С ложно, оно оказывает поддержку
отрицанию референта истины В, а В — логическому отрицанию
высказывания С. Мы скажем, что высказывание С ЛВ ложно и
обозначим это как F(C), если и только если С и референт его истины В
представляют элементы разных эквивалентных классов:
F(C) = (Сэ^В) & (-.Вэ Q. B)

376 ' Часть III. Неклассическая логика
Как и ложь, амбивалентность также не образует эквивалентного
класса. Отношение амбивалентности симметрично и транзитивно, но не
рефлексивно. Его свойство — одновременная принадлежность
высказывания С каждому из эквивалентных классов. Мы говорим, что
высказывание С ЛВ амбивалентно (обозначается как Л(С)), если и только
если С и референт его истины В одновременно принадлежат разным
эквивалентным классам:
А(С) - Т(С) & F(C). C)
Допустим теперь, что высказывание С само выступает в роли
референта собственной истинности, т. е. С=В. Тогда A) и B) соответственно
трансформируются в следующие самореференциальные утверждения:
Г(С) = (С:э С) &("•<?з-^С) D)
-(Tz>T)&(Fz>F)
А(С) = (Cd-^C) & (-.Сэ С) E)
Согласно D) каждое из противоречащих друг другу высказываний
Си -лСслужит своим следствием в собственном эквивалентном классе.
Значит, каждое из них совместимо только с самим собой и только себе
оказывает поддержку. Подобную самореференцию можно назвать
позитивной, сохраняющей истинность высказывания С. Ее основное
свойство — поддержка высказыванием С самого себя независимо от того,
истинно оно или ложно.
Согласно E) как С, так и —iC принадлежат обоим эквивалентным
классам сразу и тем самым каждое из них истинно и ложно
одновременно, и, значит, амбивалентно. Следовательно, каждое из них совместимо
только со своим отрицанием. Такую самореференцию можно назвать
противоречивой, опровергающей как истинность, так и ложность
высказывания С. Ее главная характеристика — опровержение
высказыванием С самого себя независимо от того, истинно оно или ложно.
Высказывания, эквивалентные E), получили название парадокса
лжеца. Они нарушают требование непротиворечивости ЛВ и
оказываются поэтому парадоксальными. Среди множества предложенных
решений выделяются следующие два.
Согласно известным предложениям Б. Рассела A872-1970) и А. Тар-
ского A902-1983I, парадокс лжеца должен исключаться синтаксиче-
1 Russell В. Mathematical Logic as based on the theory of types // American journal
of mathematics. Vol. 30.1908. P. 222-262. Tarski A. Logic, semantics, metamathema-
tics. - London. 1956. P. 152-278.

Глава 10. Парадоксы 377
ски — посредством запрета на применение предиката «ложь» к
высказыванию (языку) того же семантического уровня, что и сам предикат.
Например, А. Тарский, чтобы парадокс лжеца не возник в языке Ln
уровня п > О, предложил применять предикат Fn только к языку
уровня LnV Всякое применение предиката Fn к языку Ln заранее
исключается как неправильно построенная формула. Однако подобная
элиминация вводит бессмысленную, бесконечную иерархию предложений
(языков) и, кроме того, исключает вместе с парадоксом лжеца и
свойство самореференции высказываний.
По мнению А. Гупты и X. Херцбергера, высказывание лжеца может
быть и истинным, и ложным, но не одновременно, а только
периодически1. Позже было показано, что такое допущение равносильно
оценке высказывания лжеца как семантически нейтрального утверждения2.
Но существование неистинных и неложных высказываний
противоречит допущению бивалентное™ ЛВ.
Таким образом, ни одно из рассмотренных предложений не решает
парадокс лжеца принципиально и конструктивно, без нарушения
основных требований ЛВ. Означает ли это, что он вообще не разрешим
в терминах основных допущений ЛВ?
Во-первых, следует отвергнуть семантическую нейтральность
высказывания лжеца. Определение амбивалентности E) представляет
частный случай определения ложности B). Значит, верно:
Стало быть, множество амбивалентных высказываний — это
подмножество логически ложных и, значит, просто ложных
высказываний. Следовательно, высказывание лжеца — пример ложного, но никак
не нейтрального высказывания. «Я лгу» означает только то, что я
отрицаю, что сам утверждаю (то, что я лгу), и ничего более. Значит,
утверждая «Я лгу», я утверждаю обычное противоречие, т. е. логическую ложь
и тем самым просто ложь. Если сказать, что высказывание лжеца
истинно, т. е. утверждать Г(Л), то это означает подтвердить:
утверждаемое представляет противоречие: Т(А) = А. Если сказать, что
высказывание лжеца ложно, т. е. утверждать F(A)} — значит, опровергнуть, что
утверждаемое есть противоречие, подтвердив тем самым, что оно выра-
1 Gupta A. Truth and Paradox //Journal of Philosophical Logic. Vol. 11.1982.
P. 1-60. HerzhergerH. Notes on Naive Semantics //Journal of Philosophical Logic.
Vol. 11. 1982. P. 61-102.
2 Priest G. Unstable Solutions to the Liar Paradox // Self Reference: Reflections
on Reflexivity, Dordrecht. 1987. P. 145-175.

378 Часть 1И. Неклассическая логика
жает логическую истину: F(A) = Tv F =Т. Следовательно, все
высказывания Л В, эквивалентные высказыванию лжеца, будут логически
ложными утверждениями, образующими область пересечения
истины и лжи, и их существование не противоречит допущению бивалент-
ности Л В.
Во-вторых, следует отказаться от идеи Б. Рассела и А. Тарского об
исключении свойства самореференции как синтаксической причине
высказываний лжеца. Лишить ЛВ этого свойства означает потерять
всякую возможность конструктивного обсуждения проблемы истины.
Быть истинным — находиться в позитивной самореференции (не
противоречить самому себе); быть ложным — в негативной
(противоречить самому себе). Устранить позитивную самореференцию — лишить
ЛВ непротиворечивости, устранить негативную самореференцию — не
дать ей возможность следить за выполнением требования
непротиворечивости.
Парадокс подтверждения К. Гемпеля
Трудно найти область логического знания более богатую на
различные парадоксы, чем концепция индуктивной вероятности. Как
показывает анализ, логической причиной большинства парадоксов служит
чувствительность отношения подтверждения к различного рода
неявным допущениям, нередко влияющим независимо от воли автора
концепции на результаты индуктивного анализа.
Одним из первых и самых известных стал парадокс подтверждения
Карла Гемпеля A905-1997I.
Пусть дано обобщение «Все вороны черные». Очевидно,
наблюдение черного ворона будет подтверждающим свидетельством для этого
обобщения. Но оно эквивалентно обобщению «Все нечерные вещи есть
не вороны», подтверждающим примером которого оказывается
наблюдение любого объекта, не являющегося черным и вороном
одновременно — например белого ботинка. Поскольку оба обобщения
эквивалентны друг другу, кажется парадоксальным, что гипотеза о воронах может
подтверждаться наблюдением произвольных объектов, которые не
вороны и не черные.
Причина рассматриваемого парадокса в чувствительности
отношения подтверждения к предметной области, или универсуму, на эле-
1 Hempel С. Studies in the Logic of Confirmation // Mind. 1945. Vol. 54. P. 97-
121.

Глава 10. Парадоксы 379
ментах которого оно определяется, не учтенной явным, т. е.
формальным, образом. Решить данный парадокс означает построить модель
подтверждения, в которой оно зависит от выбора универсума. Самый
простой способ сделать это — ввести допущение об универсуме в
свидетельство гипотезы. Рассмотрим поясняющий пример.
Пусть Я обозначает птицу, В — ворона, Ч — черное существо и пусть
обследованная область состоит из 1000 живых существ со следующим
количественным распределением признаков:
пчв
ПЧ-.В
п^чв
П-,Ч->В
= 80
= 20
= 20
= 280
-,ПЧВ
TTU D
-,П^ЧВ
->П-,Ч->В
= 0
= 200
= 0
= 400
Пусть даны следующие три гипотезы: Я = «Все вороны черные», —Л =
= «Некоторые вороны нечерные», Я' = «Все нечерные существа — не
вороны». Ясно, что —iH представляет логическое отрицание Я, а Я
эквивалентно Я'.
Допустим, имеются следующие свидетельства: Е{ = «Все
обследованные существа — черные вороны», Е2 = «Все обследованные
существа — нечерные вороны», Е3 = «Все обследованные существа — черные
не вороны», ЕА = «Все обследованные существа — нечерные не вороны».
Из таблицы с распределением признаков следует:
ОД-0,08 3
ОД) = 0,02 Р(Е4) = 0,68
Пусть имеются два альтернативных онтологических допущения о
типе универсума подтверждения: U{ = «Все обследованные существа —
птицы», U2 = «Все обследованные существа — не птицы». Задача
заключается теперь в том, чтобы проверить, существует ли зависимость
индуктивных вероятностей от выбора Ux или U2. Для этого вычислим
правдоподобие гипотез Я, -|Я, и Я' как безотносительно к
информации о типе универсума, так и с учетом ее.
Гипотеза Я эквивалентна Я'. Следовательно, все вычисления
равносильны для обеих гипотез:
Р(ЕХН) = 0,08
Р(Е2Н) = 0
Р(Е3Н) = 0,22
Р(Е^Н) = 0,68
P(EXHUX) = 0,08
Р(Е^Н)
Р(Е2->Н)
Р(?3-Я)
Р(Е4-,Н)
/>(?,-.#[.
= 0
= 0,02
= 0,22
= 0,68
Г,)-0

380 Часть III. Неклассическая логика
Р(Е2Ни{) = О P(E2^HUX) = 0,02
P(E3HUt) = 0,02 P(E^HU{) = 0,02
Р(?4Я?/,) = 0,28 Р(Е4^Них) = 0,28
P(EiHU2) - P(EnHU2) - 0, i - 1,..., 4.
Напомним, что в общем случае правдоподобие гипотезы Я
относительно свидетельства Еравно:
Р(Е/Н)= Р<?Я> .
Р(ЕН) + Р(Е-,Н)
Следовательно, истинно:
P(E{/HU{) = 1
Р(Е/Щ) °
Р(Е2/Н) = 0 2Щ
Я) = 0,5 Р(Е^/Них) = 0,5
= 0,5 P{EA/HUX) = 0,5
/) 014
Аналогично:
Н) = 0 P{EX/^HUX) = 0
Н)\ P(E/HU) 1
21
= 0,5 Р(Е^ШХ) = 0,5
= 0,5 P(E4/^HU,) = 0,5
2) = 0,i=1...4.
Полученные результаты свидетельствуют о следующем.
Правдоподобие гипотез действительно зависит от выбора универсума:
правдоподобие Я и -i# при переходе от универсума [/t, состоящего из птиц,
к универсуму Uv состоящему из не птиц, становится равным нулю.
Таким образом, только птицы оказываются индуктивно релевантными
при обсуждении гипотез о птицах. Этот вывод также подтверждается
тем фактом, что правдоподобие Н и -i# на основании свидетельств ?3
и ?4, относящихся к не птицам и не воронам, всегда равно 0,5 —
независимо от (ненулевого) распределения реальных частот.
Следовательно, гипотеза о черных птицах может подтверждаться или дисподтверж-
даться при наблюдении только черных или нечерных птиц.
Таким образом, при явной формулировке допущения о
рассматриваемом универсуме индуктивная вероятность гипотез становится
чувствительной к выбору предметной области, и, что самое главное,
подобная чувствительность находит свое явное выражение в вероятностях
гипотез. Но именно в этом и заключается смысл разрешения
парадокса подтверждения Гемпеля.

Глава 10. Парадоксы 381
Парадокс индуктивной вероятностной
поддержки К. Поппера
Один из последних по времени формулирования, но не менее
известных, — парадокс, выдвинутый Карлом Поппером A902-1994) совместно
с Д. Миллером.1 Цель парадокса — в доказательстве, что «Никакой
индуктивной вероятной поддержки не существует. Всякая вероятностная
поддержка дедуктивна»? В случае истинности этого доказательства
следовала бы невозможность вероятностного обсуждения индуктивных
проблем, т. е. невозможность концепции индуктивной вероятности.
Введем следующие определения. Пусть Я обозначает произвольную
(неистинную и неложную логически) гипотезу, Е — свидетельство.
Пусть далее /И(Я, ?) обозначает, что гипотеза Я позитивно
индуцируется (подтверждается, поддерживается) свидетельством ?; /"(Я, E) —
гипотеза Я негативно индуцируется (дисподтверждается, контрпод-
держивается) свидетельством ?; Iup(H, E) — иррелевантно
индуцируется (не подтверждается и не дисподтверждается) свидетельством Е
согласно следующим определениям:
/"(Я, ?), если и только если Р (Р/Е) > Р(Н) - A)
/"(#, ?), если и только если Р (Р/Е) < Р(Н) - B)
1иР(Н, ?), если и только если Р (Р/Е) = Р(Н) - C).
Доказательство Поппера строится по следующей схеме.
A. Вероятностная поддержка гипотезы Я свидетельством Е может
быть либо дедуктивной, либо индуктивной.
B. Логическое содержание Я относительно ? эквивалентно
конъюнкции двух факторов — (Я v E) и (Я v -i?). Первый из них включает то
содержание Я, которое следует из ? дедуктивно; второй — то
содержание Я, которое не следует из ? дедуктивно.
C. При наличии ? фактор (Hv E) может игнорироваться, так как
Р(Н v ?/?) = 1 и при Р(Н/Е) Ф1Ф Р(Е) вероятность Р(Н/Е) равна Р(Н v
-,?/?)Р(Я v ?/?; = Р(Н v -,Е/Е).
D. При указанных в посылке С условиях свидетельство ? всегда
негативно индуцирует фактор (Я v-i?), т. е. всегда истинно Р(Р v -i?/?)
<P(Hv -,?).
1 Miller D., Popper К. R. Proof of the Impossibility Inductive Probability//Nature.
1983. Vol. 393. P. 687-688.
2 Popper K. The Calculus of Probability forbids Ampliative Probabilistic
Inductive // Abstracts of the 7th Congress of Logic, Methodology and Philosophy of
Science. Salzburg, 1983. Vol. 1. P. 251.

382 Часть 111. Неклассическая логика
Тезис. Так как (Я v Е) постоянно поддерживается дедуктивно, а (Я v
-гЕ) постоянно контрподдерживается свидетельством ?, то ни одна
часть содержания Я относительно ?не получает индуктивной поддержки
со стороны Е. Другими словами, если вероятностная поддержка и
существует, то она всегда дедуктивна.
Решающей посылкой в доказательстве Поппера оказывается А. От
того, что понимается под дихотомией вероятностной поддержки на
дедуктивную и индуктивную, зависит принятие тезиса этого
доказательства.
По мнению Поппера, адекватное определение дедуктивной
вероятностной поддержки указывает следующая теорема.
Теорема 1. Если Р(Н) > 0, 0 < Р(Е) <1 и Я н ?, то /"(Я, Е).
Однако она определяет только достаточный критерий
подтверждения. Ведь очевидно, что свидетельство может подтверждать гипотезу,
даже если оно не является ее дедуктивным следствием. Необходимое
и достаточное условия подтверждения указывает другая теорема.
Теорема 2. /П(Я, ?), если и только если Р(Е/Н) > Р(?/-.Я).
Теорема 1 истинна, когда действительно Р(Е/Н) - 1 и Р(?/-.Я) = 0.
Теорема же 2 истинна не только в этих двух экстремальных случаях,
но и в бесконечном числе других, когда выполняется 1> Р(Е/Н) > Р(Е/
Для иллюстрации истинности теоремы 1 Поппер приводит пример.
Пусть дана симметричная игральная кость с распределением очков
и цветами сторон, указанными в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Иллюстрация следования теоремы 2 из теоремы 1
Цвет
Желтый
Голубой
Очки
1,3,5
' 2,4,6
Пусть?= «Кость выпала желтой стороной», Я= «В следующем
бросании выпадает 5 очков». Тогда следует: Р(Е) = 3/6, Р(Н) = 1/6, Р(Е/
Я) = 1, Р(?/-|Я) = 0, Р(Н/Е) = 2/6. Следовательно, выполняется как
теорема 1, так и 2. Более важно, что из истинности первой следует
истинность второй.
Для иллюстрации, что обратное следование не имеет места,
модифицируем пример Поппера. Пусть для той же игральной кости
распределение очков и цвета сторон задано табл. 10.3.
Пусть?= «Кость выпала желтой стороной», Я= «В следующем
бросании выпадет нечетное число очков». Тогда следует: Р(Е) = Р(Н) = 3/6,

Глава 10, Парадоксы
383
Таблица 10.3
Опровержение следования теоремы 1 из теоремы 2
Ц^ет
Желтый
Голубой
Очки
1,2,5
3,4,6
Р{Е/Н) = 4/6, Р(Е/-чН) = 2/6. Следовательно, выполняется теорема 2,
но не 1 (из истинности 2 не следует в общем случае истинность 1). Но
тогда ложно утверждение Поппера, что «всякая вероятностная
поддержка дедуктивна». Наоборот, дедуктивная вероятностная поддержка
в смысле теоремы 1 выступает частным случаем индуктивной
вероятностной поддержки в смысле теоремы 2. Следовательно, вопреки Поп-
перу мы должны сделать противоположный вывод: всякая
вероятностная поддержка индуктивна. Но если это так, то решающая посылка
попперовского доказательства А должна быть отброшена как ложная.
И тезис автора следует считать недоказанным.
Докажем ложность тезиса Поппера, предварительно формализовав его.
Теорема 3. Для всех Я и ?, если Р(Н/Е) Ф 1 Ф Р(Е) и если In(H wE, F),
I"(H v-,?, ?), то 1п>иР{Н, ?), где /"'">>(#, Е) обозначает негативную либо
иррелевантную индуцируемость Я на основании Е.
Доказать ложность теоремы 3 — это значит доказать возможность
следования из ее условий позитивной индуцируемости Я на основании Е.
Пусть «+», «-», «о» обозначают соответственно позитивную,
негативную и иррелевантную индуцируемость возможных миров {НЕ),
(Я-|?), (-ЛЕ) и (-|Я-.?) в соответствии с Е. Тогда условиям теоремы 3
соответствует распределение знаков индуцируемости, отраженное
в табл. 10.4.
Таблица 10.4
Распределение знаков индуцируемости для проверки теоремы 3
1
2
(НЕ)
+
+
(Н^Е)
-
0
ЬНЕ)
+
+
ЬН-JZ)
-
-
н
+ -0
+
(HvE)
+
(Яу-иЕ)
-
-
В правой части табл. 10.4 указаны знаки индуцируемости Я, (Я v ?),
(Я v-i?), на основании ?, вычисленные в результате сложения знаков
индуцируемости соответствующих возможных миров.
Согласно первой строке таблицы, свидетельство Е может
индуцировать Я позитивно, негативно и иррелевантно, потому что сложение
знаков индуцируемости (НЕ) и (H—iE) не дает однозначного ответа.

384 Часть III. Неклассическая логика
Конкретный знак индуцируемости зависит от принимаемого типа
распределения вероятностей. Поскольку в индуктивной концепции вероят-
. ностей принимается только симметричное распределение вероятностей
(так как только оно позволяет «учиться на опыте»), при указанных в
первой строке знаках индуцируемости гипотеза Я может индуцироваться Е
только позитивно. Этой строке соответствуют условие и заключение
теоремы 2.
Вторая строка таблицы воспроизводит ситуацию подтверждения,
когда Е выступает дедуктивным следствием Я, что соответствует услот
виям и заключению теоремы 1.
Объединяя полученные результаты, получаем следующую теорему.
Теорема 4. Для всех Яи?, если Р(Н/Е) Ф 1 Ф Р(Е), если истинно
симметричное распределение вероятности и если In(Hv Е,Е)и Г1(Н v-i?,
?), то I"(H, E).
Из табл. 10.3 получаем необходимые вероятности для проверки
первой строки табл. 10.4:
Р(НЕ/Е) - 4/6 > Р(НЕ) - 2/6, т. е. F(HE, E)
Р(Н--?/Е) = 0 < P(#-i?) - 1/6, т. е. /"(#-¦?, Е)
Р(-ЛЕ/Е) = 2/6 > Р(-.Я?) - 1/6, т. е. Р(-ЛЕ, Е)
Р(-,Я-,?/?) = 0 < Р(^Н-,Е) = 2/6, т. е. /"(-.Я-.Я, Е)
P(HvE/E) = 1 > P(HvE) = 4/6, т. е. I"(HvE, E)
P(Hv^E/E) - 2/3 < Р(Н v-,?) - 5/6, т. е. P(ffv-n?, E)
Р(Н/Е) - 4/6 > Р(Н) = 3/6, т. е. Р(Н, Е).
Из табл. 10.2 получаем вероятности для проверки второй строки
табл. 10.4:
Р(НЕ/Е) - 2/6 > Р(НЕ) = 1/6, т. е. /"(#?, Е)
Р(Н-пЕ/Е) = 0 = Р(Я-.?), т. е. /^(Я-.?, ?)
Р(гЛЕ/Е) = 4/6 > Р(-пЯЯ) = 2/6, т. е. Р(-ЛЕ, Е)
Р(-,Я-1?/?<) - 0 < Р(-,Я-,?) = 3/6, т. е. /;/(-пЯ-,?, Е)
Р(Н v ?/?> = 1 > Р(Н v ?) = 3/6, т. е. /"(Я v ?, ?)
Р(Я v -,?/?) = 1/6 < Р(Я v -?) = 4/6, т. е. /;/(Я v -.?, Е)
Р(Н/Е) = 2/6 > Р(Я) = 1/6, т. е. /"(Я, ?).
Из двух возможных распределений знаков индуцируемости табл. 10.4,
удовлетворяющих условиям теоремы 4, следует с необходимостью
позитивная индуцируемость Я на основании Е.
Но если теорема 4 истинна, то 3 — ложна, так как их условия
одинаковы, а заключения несовместимы. Из ложности теоремы 3 следует и
ложность тезиса Поппера о том, что всякая вероятностная поддержка
дедуктивна.

Глава 10. Парадоксы 385
Суммируя сказанное, можно сделать вывод, что причиной парадокса
в данном случае послужило недостаточно глубокое проникновение в суть
поставленной проблемы, что, в свою очередь, можно объяснить только
крайним антииндуктивизмом Карла Поппера.
Все аи лебеди белые?
В процитированной ранее статье К. Поппер приводит еще один
парадокс, направленный против вероятностной интерпретации индукции1.
Пусть Е = «Все лебеди в Австрии белые», Н{ = «Все лебеди белые»
(индуктивное обобщение), Н2 = «Все лебеди, за исключением лебедей
в Австрии, зеленые» (антииндуктивное обобщение). Формулируется
теорема:
Р(Н2/Е) Р(Н2)' О)
Согласно ей свидетельство Е индуктивно иррелевантно, т. е. никак
не влияет на отношение апостериорных и априорных вероятностей
индуктивной и антииндуктивной гипотез.
Равенство A) истинно, если и только если выполняется
0<Р(Е/Н1)-Р(Е/Н2)<1. B)
Из B) следует, что К. Поппер, защищая равенство A), мог исходить
либо из допущения
l, C)
либо из допущения
0<Р(Е/Н1)=Р(Е/Н2) = 1. D)
В соответствии с C) свидетельство ? сообщает обеим гипотезам
равное правдоподобие, значение которого меньше 1 и больше 0. В
индуктивном познании подобная ситуация возможна, но она малоинтересна
с методологической точки зрения. Ведь если некоторая гипотеза и ее
альтернатива равным образом правдоподобны, значит не достигнута
главная цель индуктивного обобщения: не найдена гипотеза, дающая
лучшее объяснение, чем все ее альтернативы.
Рассматриваемый случай свидетельствует, однако, о том, что
Поппер стремится доказать иной тезис. По его мнению, гипотезы с разны-
1 Popper К. Указ. соч. Р. 252.

386 Часть 111, Неклассическая логика
ми объяснительными способностями могут иметь равную высшую
степень правдоподобия. Последнее возможно, если истинно как Н{ + ?,
так иЯ2+?. Таким образом, К. Поппер отстаивает допущение D), а не
допущение C). Но подтверждает ли оно пример с лебедями?
Рассмотрим гипотезу Я2, так как для Н{ выполнение условия Н{ + Е
очевидно. Пусть утверждение -i? = «Все неавстрийские лебеди
зеленые» — обозначает отрицание свидетельства Е. Получается:
E)
и
Р(Н2) = Р(Н2 &Е)+ Р(Н2 & -,?). F)
Стало быть:
Из E) следует, что условие Н2\-Еи тем самым условие Р(Н2 & Е) = 1
не выполняется. Равенство G) позволяет вычислять правдоподобия
гипотез в подобных случаях.
Допустим, общее число лебедей равно 1000, причем 100 из них
находятся в Австрии. Пусть Р(Н{) = 0,6 и Р(Н2) = 0,4. Сформулируем три
следующих свидетельства:
Е{ = «Все 100 лебедей в Австрии белые».
Е2 = «Все 100 лебедей в Австрии белые и 1 неавстрийский лебедь
также белый».
Еъ = «Все 100 лебедей в Австрии белые и 1 неавстрийский лебедь
зеленый».
Результаты вычислений показывают, что:
= 1,5; (8)
Р(Н2)
Р(Н2/Е2) '
Р(Н2/Е3)
Согласно (8) априорные шансы индуктивной гипотезы Я1
расцениваются как 3:2. Свидетельство Е{ увеличивает их до 15:1, а Е2 делает их
максимальными (соответственно шансы Я2 нулевыми). Свидетельство

Глава 10. Парадоксы 387
Еу наоборот, лишает гипотезу Нх всяческих шансов быть истинным
индуктивным обобщением (и увеличивает шансы Н2 до максимума).
Это означает, вопреки доказательствам К. Поппера, что различные
свидетельства изменяют вероятности и шансы гипотез, и нет никаких
формальных оснований считать теорию вероятностей непригодной для
анализа проблемы индукции.
Может ли ученик стать своим собственным учителем?
Не было за последние 190 лет, прошедшие после публикации третьего,
последнего тома «Науки логики» Гегеля, более запутанной и
дискуссионной логической проблемы, чем формальная реконструкция
гегелевской диалектики и, в первую очередь, ее главного понятия —
«диалектическое противоречие».
Аристотелевскому началу начал бытия и познания — «невозможно,
чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще
одному и тому же в одном и том же отношении»1 — Гегель противопоставил
взаимно исключающее, но не менее достоверное начало бытия и всех
наук: «нет вообще абсолютно ничего, в чем мы не могли бы и не были
вынуждены обнаружить противоречие»2. И хотя идея о всеобщей
противоречивости высказывалась и до Гегеля, но никому не удавалось
разработать ее систематически, охватив концепцией глобального
развития все существовавшие в его время отрасли научного знания.
Вызов, брошенный философом, не мог остаться без ответа3. Все, кто
поверил в несовместимость формальной и диалектической традиций
анализа, были вынуждены становиться сторонниками одной из них
^противниками другой. Скрытым основанием веры в подобную
несовместимость следует считать предположение, что логическое и
диалектическое противоречие имеют одну и ту же структуру. В этом и
только в этом случае действительно необходимо выбирать между законом
противоречия (формальной логикой) и диалектическим
противоречием (диалектикой). И хотя такая дихотомия имеет многочисленных сто-
1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т.1. — М., 1976. С. 125.
2 Гегель Г. Ф.В. Энциклопедия философских наук: В 3 т. Т. 1. — М, 1974.
С. 227.
3 Сегодня преобладает следующая оценка гегелевской диалектики:
«...Причина признания Гегелем противоречий заключается в том, что он стремился
остановить рациональный спор, а вместе с ним научный и интеллектуальный
прогресс». — Поппер К. Открытое общество и его враги: В 2 т. Т. 2. — М, 1992.
С. 50.

388 Часть III. Неклассическая логика
ройников и поныне, она должна быть отвергнута вместе с допущением об
одинаковой структуре логического и диалектического противоречия.
Но и те, кто не поверил в несовместимость формальной логики и
диалектики, также не добились общепризнанных результатов. Об этом
свидетельствуют итоги многочисленных обсуждений различных
вариантов рациональной реконструкции основных понятий гегелевской
диалектики1.
В этой ситуации не остается ничего иного, как проанализировать
проблему соотношения логического и диалектического противоречия
с более общей точки зрения, чем это делалось до сих пор2.
Нелегко понять, почему многие исследователи, пытавшиеся
реконструировать формальными средствами диалектику Гегеля, не придали
серьезного значения тому, что все ее основные понятия, включая и
диалектическое противоречие, сформулированы в терминах теории
отношений. И что, следовательно, все удивительные на первый взгляд
свойства диалектического мышления и развития порождаются самыми
обычными преобразованиями различных отношений.
Пусть дан произвольный универсум U. Определим на нем непустое
бинарное отношение строгого порядка R(A, В). Нетрудно убедиться,
что оно допускает только четыре инверсии (перестановки) своих
элементов — субъектов А и В.
Во-первых, можно изменить на обратный порядок субъектов, не
затрагивая их реляционных, т. е. обусловленных данным отношением,
качеств. Обозначим эту инверсию буквой С. Во-вторых, можно
инвертировать реляционные качества субъектов, не изменяя порядка самих
субъектов. Обозначим такую инверсию буквой К. В-третьих, можно
изменить на обратный порядок субъектов и одновременно
инвертировать их реляционные качества. Это соответствует результату
последовательного выполнения в любом порядке С- и А*-инверсий. Обозначим
эту инверсию буквой М Наконец, можно перевести данное
отношение в само себя, т. е. не менять порядок субъектов и их реляционные
качества. Это — тождественная инверсия. Обозначим ее буквой Т.
Таким образом, С-инверсия трансформирует отношение R(A, В) в
отношение R~{(B, Л), которое принято называть обратным, или
просто обращением исходного отношения; if-инверсия переводит отно-
1 См.: Диалектическое противоречие. — М., 1979. Диалектика отрицания
отрицания. — М, 1983. Философия Гегеля: Проблемы диалектики. — М., 1987.
2 Светлов В. А. Диалектическое противоречие как логическая проблема.
(Реабилитация «Науки логики» Гегеля) // Логика и развитие научного знания. —
СПб., 1992. С. 128-142.

Глава 10. Парадоксы 389
шение R(A, В) в отношение R~{(A, В); М-инверсия преобразует
отношение R(A, В) в R(B, Л), которое принято называть симметричным
исходному; Г-инверсия переводит /?(Д В) в R(A, 5), т. е. оставляет без
изменения.
Пусть R(A, В) = «А больше В». Тогда применение С-инверсии
преобразует данное отношение в «В меньше Л»; применение if-инверсии
порождает «Л меньше 5»; М-инверсии — «В больше Л»; Г-инверсии —
оставляет исходное отношение без изменения, т. е. «Л больше В».
Между всеми четырьмя инверсиями существует взаимная связь, так
что вместе они образуют группу (в алгебраическом смысле) взаимно
обратимых преобразований (рис. 10.3).
R (А, В) К R~1 (А, В)
r\a,B) К R {А, В)
Рис. 10.3. Группа инверсий, необходимых и достаточных
для диалектического анализа
Порядок этой группы равен числу инверсий, т. е. четырем. Другие
свойства группы проверяются движением вдоль соответствующих
линий диаграммы.
Ассоциативность: С(КМ) = (СК)М = К(СМ).
Тождественность: СКМ = Т,ТС = С, ТК = К, ТМ = М.
Обратимость: СС = Г, КК = Т, ММ = Г, ТТ = Т (каждый элемент
группы — обратный по отношению к самому себе).
Композиция: СК = М, СМ = К, МК = С (умножение любых инверсий,
кроме Г, порождает третью инверсию данной группы).
Группа четырех, выполняющая указанные выше свойства, — пример
известной клейновской группы четырех, важность которой
заключается в том, что ее свойства необходимы и достаточны для
рациональной реконструкции диалектики Гегеля1.
Если диалектическое противоречие возникает и развивается в
некотором отношении, исходным пунктом диалектического анализа
должен стать анализ именно этого отношения.
1 Анализ «Учения о бытии» и вывод основных прогрессий «Науки логики»
см.: Светлов В. А. Практическая логика. — СПб., 2003. С. 651-662. В этой же
работе содержится диалектический анализ сказок А. С. Пушкина и некоторых
древнегреческих мифов (см. указ. соч., с. 663-680).

390 Часть III. Неклассическая логика
Каждое отношение, порождающее диалектическое противоречие,
является отношением строгого порядка, т. е. таким отношением, в
котором места, занимаемые его субъектами, различны.
В отношении «Л больше В» Ли В нельзя поменять местами, не
изменив радикально смысл. Все отношения строгого порядка
воспроизводят ситуацию неравенства своих субъектов, что и дает импульс для
возникновения и развития диалектического противоречия.
Рассмотрим, например, отношение «обучение». Оно истинно, если
существует хотя бы одна пара индивидов, один из которых выполняет
роль учителя, т. е. обучающего, а другой — ученика, т. е. обучаемого.
Данное отношение воспроизводит ситуацию познавательного
неравенства, так как учителем может быть только тот, кто знает больше своих
учеников. Обратно, учеником может быть только тот, кто знает
меньше своих учителей. Также ясно, что такое познавательное неравенство
служит необходимым условием истинности отношения «обучение».
Индивиды, обладающие равным познавательным статусом, не могут
быть субъектами данного отношения, т. е. они познавательно
независимые субъекты. «Каждый, кто идет в учебу, чтобы учиться какой-либо
науке, — отмечал И. Фихте, — предполагает, что учитель знает об этом
больше, чем он; иначе он не шел бы учиться; то же самое предполагает
и учитель, в противном случае он не принял бы этого предложения.
Но первый, конечно, не презирает себя из-за того, ибо он надеется
понять эту науку столь же хорошо, как и его учитель, и именно это и
является его целью»1.
Пусть индивиды А и В — субъекты отношения «обучение». Тогда
один из них — «учитель», другой — «ученик». Ясно, что в других
отношениях Аи В будут обладать иными реляционными качествами.
Допустим, А — учитель, а В — его ученик. Символически это можно
записать так:
R (Д В) = А - учитель В.
Назовем отношение «А учитель В» прямым. Ему обратным будет
тогда отношение R~{(B, A) = В — ученик А. Итак, анализ (родового)
отношения «обучение» мы свели к анализу его видовых отношений —
«учитель» и «ученик».
Ясно, что быть учителем и быть учеником — значит обладать
противоположными реляционными качествами, противоположным позна-
1 Фихте И. Ясное, как солнце, сообщение широкой публике о подлинной
сущности новейшей философии. Попытка принудить читателя к пониманию. — М.,
1837. С. 66.

Глава 10. Парадоксы 391
вательным статусом. Никто в одно и то же время в одном и том же
отношении не может совмещать оба эти качества. Следовательно,
истинно неравенство — А Ф В в отношении R = «обучение». "
В то же время ясно, что невозможно быть учителем, не имея хотя бы
одного ученика, так же как невозможно быть учеником, не имея хотя
бы одного учителя. Следовательно, истинна эквивалентность /?(Л, В)
<-> R~\B, A)f т. е. А будет учителем В тогда и только тогда, когда В —
ученик Л.
В итоге мы получили, что бытие учителя противоположно бытию
ученика и вместе оба они необходимы друг для друга. Но именно в этом
и состоит смысл диалектического противоречия: его
противоположности одновременно и исключают друг друга, и тождественны друг другу.
Назовем отношения R(A, В) и R~x(BfA) внешними диалектическими
противоположностями, так как А и В — различные индивиды, и
каждый из них выступает субъектом строго определенного реляционного
качества. Исходя из сказанного, получаем следующее определение:
Взаимно обратные отношения R(A, В) и R~[(B, А) образуют
внешнее диалектическое противоречие, если и только если: A)
А * В в отношении R и R(A} В) <-> Я (В, А).
Согласно одному из основных положений гегелевской диалектики
все, что существует, имеет определенное внутреннее основание.
Наоборот, всякое внутреннее основание требует внешнего проявления для
доказательства своей силы. Если некто считает себя учителем, то он
может подтвердить это, только найдя хотя бы одного ученика,
признающего его в качестве своего учителя. Обратно, если некто считает себя
учеником, то он может подтвердить свое намерение, только найдя хотя
бы одного учителя, признающего его в качестве своего ученика.
Разделение на внутреннее и внешнее касается и диалектических
противоречий: каждое внешнее из них представляет результат
проявления внутреннего. Разрешение внешнего противоречия порождает
новое внутреннее диалектическое противоречие, задавая тем самым
новый цикл диалектического развития (рис. 10.4).
Формально различие между внешними и внутренними
диалектическими противоречиями выражается в том, что в первых субъектами
Исходное Йешение Новое
внутреннее => И ^S =* внутреннее
е
противоречие противоречия противоречие
Рис. 10.4. Цикл диалектического развития

392 Часть III, Неклассическая логика
выступают разные индивиды, а во вторых — один и тот же. Иными
словами, внутренние диалектические противоречия порождаются
рефлексивными отношениями субъектов этих противоречий.
Пусть R(A, A) = «А — свой собственный учитель», R~1(Ay A) = «А —
свой собственный ученик». Назовем отношения R(A, А) и R~{(A, A)
внутренними диалектическими противоположностями согласно
следующему определению:
Взаимно обратные отношения R (А, Л) и R~l(A, Л) образуют
внутреннее диалектическое противоречие, если и только если: B)
А* А в отношении R, но R(A, Л) <-» R~l(A, A).
Реальное, т. е. внешнее, бытие Л как учителя состоит в том, что есть
по крайней мере один отличный от него индивид В, подтверждающий
и инициирующий бытие Л в данном качестве. Потенциальное, т. е.
внутреннее, бытие А как учителя означает, что он сам, а не кто-нибудь
другой, подтверждает и инициирует свое бытие в указанном качестве. Но
это невозможно, если А не будет относиться к самому себе как к
учителю и ученику одновременно, но не реально, иначе нарушается закон
логического противоречия, а потенциально1. Истина подобных
рефлексивных отношений состоит в том, что учитель всегда оценивает себя
не только своими «учительскими» глазами, но и глазами своих
учеников. Аналогично и ученик всегда оценивает себя не только со своей
ученической точки зрения, но и с точки зрения своих учителей.
Внутренние и внешние диалектические противоречия не существуют
изолированно друг от друга. Их взаимная связь может быть пояснена
графически (рис. 10.5).
R(A,B)
Я~1 (в, А)
Рис. 10.5. Связь внутренних и внешних диалектических противоречий
Содержание рис. 10.5 может быть выражено аналитически. Пусть «о»
обозначает композицию (умножение) отношений. Тогда истинно:
1 «Таким образом, способность к противоположностям наличествует в одно
и то же время, но сами противоположности не могут наличествовать в одно и то
же время; невозможно также, чтобы у одного и того же противоположные
состояния наличествовали в действительности в одно и то же время (например,
невозможно быть в одно и то же время и здоровым и больным)». —
Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. - М., 1976. С. 248-249.

Глава 10. Парадоксы 393
Д(Л, А) <-> д-чд А) = /г (Л, в) о д-чя> л);
я> л); C)
Д(В, В) <-» Д (В, В) = R~{(B, A)oR (Л, В).
Согласно C) любое внутреннее отношение можно разложить на
взаимно обратные отношения, а последние допустимо синтезировать в
определенное внутреннее отношение. Например, отношение «человек»
синтезируется из отношений «мужчина» и «женщина»; «супруг» —
«муж» и «жена»; отношение «рынок» синтезируется из отношений
«купля» и «продажа».
Противоположность качеств и одновременная взаимозависимость
субъектов диалектического противоречия создают основу для его
разрешения. Самое важное здесь в том, что независимо от конкретного
содержания исходного отношения разрешение диалектического
противоречия всегда происходит в одном' и том же направлении — как
выравнивание исходного неравенства субъектов, трансформация
взаимно обратных отношений в симметричные.
Если А — учитель В, то процесс обучения, а вместе с ним и
разрешения соответствующего познавательного противоречия длится до тех
пор, пока В не будет знать хотя бы столько же, сколько и А. Но стоит
этому произойти, обратное отношение Rr{(B,A) = В — ученик Л
трансформируется в 7?(В, А) = В — учитель Л, которое симметрично
исходному отношению /?(Л, В)= А — учитель В. Симметричность отношений,
в которых теперь находятся Л и В, показывает, что начального
познавательного неравенства — деления субъектов на «учителя» и
«ученика», служившего источником соответствующего диалектического
противоречия, более не существует. Иными словами, состояние
симметрии, в котором оказываются оба субъекта, свидетельствует о
разрешении диалектического противоречия.
Сказанное подтверждает следующий отрывок из повести братьев
Вайнеров «Визит к Минотавру», в котором описывается сцена
окончания учебы Антонио Страдивари у Никколо Амати.
«Страдивари начал стремительно бледнеть, а Никколо сказал
торжественно и грустно:
— Сегодня самый счастливый день моей жизни. И самый грустный,
потому что является он знамением моего конца. Ты ведь сварил вовсе
не лак Амати...
Антонио так рванулся из-за стола, что деревянная резная скамейка
упала на пол. Амати так же поспешно закончил:
— Это лак Страдивари. И он... лучше знаменитого лака Амати...
Антонио хрипло сказал:
— Учитель...

394 Часть III. Неклассическая логика
Амати перебил его:
— Не называй так больше меня, сынок. Ты больше не ученик. Ты
мастер, и сейчас я счастлив, что спустя века люди будут вспоминать
обо мне хотя бы потому, что я смог многому научить тебя. Ты сделал
гораздо больше, чем я»1.
Сказанное позволяет сделать следующее определение.
1. Внутреннее диалектическое противоречие разрешается тогда
и только тогда, когда разрешается внешнее диалектическое
противоречие.
2. Внешнее диалектическое, противоречие разрешается тогда D)
и только тогда, когда оба его субъекта оказываются в
симметричных (равных, но обратно направленных) отношениях друг
к другу.
Разрешение внешнего диалектического противоречия не влечет
уничтожения исходного внутреннего, если хотя бы один из прежних
индивидов снова способен стать субъектом первоначального
отношения. В результате возникает внутреннее противоречие более высокого
уровня, которое инициирует новый цикл диалектического развития.
В гегелевской диалектике новый цикл развития возникает в
результате (диалектического) отрицания отрицания (двойного отрицания).
Как хорошо известно, смысл диалектического отрицания в том, что
«каждое явление, развиваясь до конца, превращается в свою
противоположность»2. В нашем примере ученик, достигнув высот своего
учителя, превращается в свою противоположность — учителя. Учитель,
подняв ученика до своего уровня, превращается в свою
противоположность — ученика. Иными словами, разрешение диалектического
противоречия инвертирует реляционные качества его субъектов в
противоположные и тем самым ставит этих субъектов в диалектически
отрицающие отношения. Сказанное можно суммировать так:
Взаимно обратные отношения R(A, В) и R~l(B, А) превращаются
в диалектически отрицающие друг друга противоположности
тогда и только тогда, когда отношение R~l(B, А) трансформирует- E)
ся в отношение R(B, А) или, равно, когда внешнее диалектическое
противоречие достигает стадии разрешения.
Если известно, что отношения #(Л, В) и #(В, А) диалектически
отрицают друг друга, тогда легко вычислить отношение, выражающее ре-
1 Вайнер А.} Вайнер Г. Избранное: В 3 т. Т. 1. - М, 1991. С. 111.
2 Плеханов Г. В. Избранные философские произведения: В 5 т. Т. 1. — М,
1956. С. 572.

Глава 10. Парадоксы 395
зультат двойного отрицания. Интерпретируя R(A, В) как «тезис», R(B,
Л) как «антитезис», операцию композиции «о» как их «синтез»,
получаем по аналогии с C):
R (Л, В) о R(B, A) = Д2(Л, А) о R~2 (Л, А);
(в)
R (В, А) о Д(Л, В) - Д2(В, В) о Д (В, В).
Обобщением C) и F) выступает закон раскручивающейся спирали
R2n (Л, Л), где я — число витков спирали, для субъектов, способных
находиться в симметричных отношениях, и R2n(A, В), где В — любой
отличный от Л субъект, в противном случае.
Неформально сходство и различие между C) и F) можно пояснить,
сравнив содержание отношений #(Л, Л) и R2(A, Л). Первое из них
предполагает, что Л — учитель (и ученик) самого себя, второе — что Л
является учителем учителя (и учеником ученика) самого себя. Если
отвлечься от рефлексивной формы обоих отношений, их сходство состоит в том,
что Л в первом и во втором случае выступает учителем. Но в
отношении R2(Ay Л) это качество итерируется, указывая на главный
результат разрешения внешнего диалектического противоречия —
подтверждение Л своего бытия в качестве учителя. Ясно, что учитель только
тогда учитель, когда поднимает ученика до своего уровня, делая его
учителем, а самого себя — учителем учителя. Таким образом,
разрешение диалектического противоречия выражается, кроме прочего, в
двукратном увеличении степени исходного отношения и тем самым в
соответствующей итерации реляционных качеств.
Особую роль двукратного увеличения степени отмечал Гегель.
Квадрат, по его мнению, — «величина, выходящая вовне себя,
перемещающая себя во второе измерение и тем самым увеличивающая себя, но
увеличивающая себя согласно своей собственной, а не чужой
определенности. Она делает саму себя границей этого расширения, и в ее
иностановлении она, таким образом, относится лишь с собой»1.
Проинтерпретируем полученные результаты с учетом группы
взаимосвязанных инверсий, о которой было сказано выше. Все основные
понятия гегелевской диалектики были выражены соответственно
преобразованиям отношений. При этом ни одно из них не потребовало
выхода за пределы указанных четырех инверсий. Мы вправе поэтому
утверждать, что диалектические преобразования образуют группу
взаимозависимых трансформаций и подчиняются специальным законам
(инвариантам) сохранения.
1 Гегель Г. Ф. В. Энциклопедия философских наук. Т. 2. — М., 1975. С. 83.

396 Часть HI. Неклассическая логика
Нетрудно убедиться, что С-инверсия связывает отношения,
выражающие диалектические противоположности, и следовательно,
вызывает как внутренние, так и внешние диалектические противоречия.
Также легко проверить, что М-инверсия, ставя субъекты в
симметричные отношения, порождает отношение диалектического отрицания.
Даже умножение симметричных отношений, выражающее смысл
синтеза диалектически отрицающих противоположностей, не выводит нас
за пределы данной группы преобразований, так как получается хотя
и итерированное, но то же исходное отношение. Необходимым и
достаточным условием разрешения внутреннего и внешнего
диалектического противоречия оказывается выполнение iC-инверсии. В
гегелевской диалектике такой шаг объясняется как переход количественных
изменений в качественные. В нашем примере выполнение if-инвер-
сии полагает переход от отношения R~X(B,A) = B — ученик Л к
отношению R(B, Л) = В учитель Л. Но такая трансформация может произойти
только тогда, когда процесс обучения приведет к количественному
выравниванию знаний ученика и учителя. Как только подобное
равенство наступает, так Aw В оказываются субъектами симметричных
отношений, их реляционные качества инвертируются, а диалектическое
противоречие разрешается.
Итак, С-инверсия порождает диалектическое (внутреннее и
внешнее) противоречие; if-инверсия трансформирует диалектическое
противоречие в стадию разрешения; М-инверсия, представляющая
результат последовательного выполнения С- и if-инверсий, характеризует
момент разрешения диалектического противоречия, а композиция
связываемых М-инвёрсией отношений выражает результат его разрешения.
И поскольку ни одно из рассмотренных базисных диалектических
преобразований не выходит за пределы указанной группы инверсий,
мы можем с полной уверенностью заключить, что гегелевский вариант
диалектики полностью совместим с требованиями формальной логики.
Более того, он указывает абсолютно новое и совершенно
неисследованное направление формального анализа, честь открытия которого
принадлежит по праву именно Гегелю.
Свойства логических и диалектических противоположностей
суммированы в табл. 10.5.
Самое интересное свойство диалектических противоречий — в том,
что они, как это ни парадоксально, не нарушают закона противоречия
(формулируются логически непротиворечиво). Диалектической
противоположностью отношения «Л — учитель В» будет «В — ученик Л»,
логической противоположностью — отношение «Л — не учитель В»;

Глава 10. Парадоксы
397
Таблица 10.5
Свойства логических и диалектических противоречий
Логические противоположности
1. Не могут быть одновременно
истинны
2. Не могут быть одновременно ложны
3. Из истинности одной следует
ложность другой
4. Из ложности одной следует
истинность другой
Диалектические противоположности
1. Всегда истинны одновременно
2. Всегда ложны одновременно
3. Из истинности одной следует
истинность другой
4. Из ложности одной следует
ложность другой
диалектическая противоположность отношения «В — ученик А» — «А —
учитель В», логическая противоположность — отношение «А — не
учитель В». Из этого следует, что А не может в одно и то же время быть
и не быть учителем В, а В — учеником А. Кроме того, если истинно
(ложно), что А — учитель В, тогда ложно (истинно), что А — не
учитель В. Обратное также верно. Все эти заключения — следствия
закона логического противоречия. Но если истинно (ложно) отношение
«Л — учитель В», тогда также истинно (ложно) отношение «В —
ученик Л». Обратное также верно: оба отношения либо одновременно
истинны, либо одновременно ложны. Эти заключения — следствия
закона диалектического противоречия.
Разрешение диалектического противоречия образует
самостоятельный цикл развития — возвращение объекта к исходному качеству на
новом уровне. Одновременно воспроизводится в новой форме и
внутреннее противоречие, создающее стимул для развертывания нового
цикла развития, которое продолжается, пока объект не исчерпает все
возможности качественной трансформации в данном отношении.
Такое развитие принимает форму раскручивающейся спирали.
Пусть R(A, В) обозначает отношение «А — отец В», будучи тезисом —
исходным пунктом — развития. Антитезис — отношение R(B, C) = «B —
отец С», а синтез — квадрат исходного отношения «Л — отец В», т. е.
отношение «А — дед С». В данном примере синтезирующее качество «дед»
обобщает качество тезиса «отец», ибо всякий дед есть по определению
чей-то отец, и качество антитезиса «сын, ставший отцом». Быть дедом
означает быть прежде всего отцом (первый уровень), но не просто
отцом, а отцом сына, ставшего отцом, т. е. отцом отца (второй уровень).
Пусть «—»» представляет графический аналог отношения «отец»
и пусть имеется несколько субъектов мужского пола, последовательно
связанных этим отношением:

398 \ Часть HI. Неклассическая логика
А -> В -> С -> D -> Е -> F -> G -> Н -> I.
Противоречие первого уровня порождается отношением «отец» и
означает единство противоположных качеств (отношений) «отец» и «сын».
Субъектами этого противоречия выступают А и В, В и С, С и D, D и Е,
EhF,FhG,GhH,HhI.
Разрешение противоречия первого уровня создает противоречие
второго уровня — единство противоположных качеств (отношений)
«дед» и «внук». Субъектами этого противоречия будут
соответственно А и С, С и Е} Е и G, G и /. Качества «дед» и «внук» представляют
результаты отрицания отрицания качеств «отец» и «сын».
Разрешение противоречия второго уровня порождает противоречие
третьего — единство противоположных качеств (отношений)
«прапрадед» и «праправнук». Субъектами этого противоречия оказываются
соответственно АиЕ,Еи1. Качества «прапрадед» и «праправнук»
представляют результаты отрицания отрицания качеств «дед» и «внук».
Разрешение противоречия третьего уровня порождает
противоречие четвертого уровня — единство противоположных качеств
(отношений) «прапрапрапрадед» и «прапрапраправнук». Субъектами этого
противоречия выступают соответственно А и /. Их качества
представляют результаты отрицания отрицания качеств «прапрадед» и
«праправнук» соответственно.
Снова обозначим отношение «отец» буквой R. Тогда R2 будет
обозначать отношение «дед», R* — отношение «прапрадед», Т?8 — отношение
«прапрапрапрадед». Спираль разрешения внутреннего противоречия
отношения «отец», определенного на множестве мужчин, и состоящая
из трех циклов, изображена на рис. 10.6.
Рассматриваемый пример позволяет более подробно
прокомментировать связь внутренних и внешних диалектических противоречий.
Внешнее диалектическое противоречие первого уровня между
отношениями «отец» и «сын» порождается внутренним диалектическим
Рис. 10.6. Спираль разрешения диалектического противоречия «отец»

Глава 10. Парадоксы 399
противоречием, свойственным отношению «отец»: чтобы быть отцом,
необходимо иметь (по условию примера) сына. Поскольку никто не
может быть своим собственным сыном и отцом, то возникает
внутреннее противоречие. Разрешение его во внешнем не уничтожает первое,
а придает ему новую форму и более богатое содержание. Это означает,
что исходное внутреннее противоречие воспроизводится при каждом
новом внешнем разрешении в новом качестве согласно операции
отрицания отрицания.
Сравним результаты отрицания отрицания исходного качества
(отношения) «отец», разложив их предварительно на составляющие
признаки, один из которых должен характеризовать первоначальное качество.
Проделав эту операцию, получаем (знак «х» обозначает умножение
логических признаков).
1. Отец = мужчина х родитель сына (по условию).
2. Дед = отец х отец =
= отец х родитель сына.
3. Прапрадед = дед х дед =
= дед х отец х отец =
= дед х отец х мужчина х родитель сына.
4. Прапрапрапрадед = прапрадед х прапрадед =
= прапрадед х дед х дед =
= прапрадед х дед х отец х отец =
= прапрадед х дед х отец х мужчина х
х родитель сына.
Реляционный характер исходного качества «отец» задается
признаком «родитель, имеющий сына». Этот признак и связанное с ним
внутреннее противоречие воспроизводятся при каждом разрешении
последнего в новом качестве — отца, деда, прапрадеда и прапрапрапрадеда.
При этом отрицанию каждый раз подлежит старая форма, но не
содержание исходного качества. Например, качество «дед» отрицает
качество «отец» по форме, но не по содержанию, так как признаки отца —
«мужчина» и «родитель, имеющий сына» сохраняются без изменения
в качестве «дед».
Сказанное доказывает фундаментальную роль внутренних
диалектических противоречий в качестве источника развития, а также их
неразрывную связь с внешними диалектическими противоречиями как
формой своего развития и разрешения.

Виктор Александрович Светлов
Современная логика
Серия «Учебное пособие»
Главный редактор Е. Строганова
Заведующий редакцией Л. Винокуров
Руководитель проекта Е. Цветкова
Выпускающий редактор Е. Егерева
Литературный редактор Е. Трофимов
Художественный редактор Е. Дьяченко
Корректоры Л. Ванькаева, М. Котова
Верстка А. Полянский
Лицензия ИД № 05784 от 07.09.01.
ООО «Питер Принт», 194044, Санкт-Петербург, пр. Б. Сам пеон невский, д. 29а.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 005-93,
том 2; 95 3005— литература учебная.
Подписано в печать 01.08.05. Формат 60 х 90/16. Усл. п. л. 25.
Тираж 4000. Заказ № 1742.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Типография Правда 1906».
195299, С.-Петербург, Киришская ул., 2.
Тел.: (812) 531-20-00, (812) 531-25-55

СОВРЕМЕННАЯ ЛОГИКА
Светлов Виктор Александрович — доктор
философских наук, профессор Петербургского
государственного университета путей сообщения,
автор более 90 работ по истории, логике
и методологии науки, теории анализа
и разрешения конфликтов.
Данное пособие написано в соответствии с требованиями
Госстандарта. Оно подготовлено на основе авторских
курсов по логике, предназначенных для специалистов
самого разного профиля. В книге представлена
оригинальная техника решения логических
анализируется большое количество примеров.
Издание адресовано студентам, аспирантам^
преподавателям, ученым, а также всем,
кто самостоятельно изучает логику.
учебных заведений, обучающихся по специальное
540400 @50400) «Социально-экономическое
образование
Допущено Учебно-методическим объединён
по направлениям педагогического образований
в качестве учебного пособия для студентов
С^ППТЕР
ISBN 5-469-00876-2
Заказ книг:
197198, Санкт-Петербург, а/я 619
тел.: (812) 703-73-74, postbook@piter.com
61093, Харьков-93, а/я 9130
тел.: @57) 712-27-05. piter@kharkov.piter.com
9 785469 008767
www.piter.com — вся информация о книгах и веб-магазин