Автор: Никольский С.М. Потапов М.К. Решетников Н.Н. Шевкин А.В.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика математический анализ учебник издательство просвещение самоподготовка для поступления в вузы
ISBN: 978-5-09-021132-1
Год: 2009
Текст
Алгебра
и начала
математического
анализа
КЛАСС
УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ
Базовый и профильный уровни
МГУ «школе
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
8-е издание
Москва
«Просвещение»
2009
УДК 373.167.1: [512 + 517]
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
С. М. Никольский, М. К. Потапов,
Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07)
и Российской академии образования (№ 01-207/5/7д от 11.10.07)
Условные обозначения:
— начало материала, необязательного для
базового уровня
ф — окончание материала, необязательного для
базового уровня
1,3* — пункт для углубленного изучения
— факты, свойства, определения, формулы, которые
нужно помнить
1.2 — задания для базового уровня
6.8 — задания для профильного уровня
5.1° — задания для устной работы
3.7* — задания повышенной трудности
123 — задания для повторения
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс :
А45 учеб, для общеобразоват. учреждений : базовый и профил.
уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетни-
ков, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. —
430 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021132-1.
Учебник соответствует федеральным компонентам государственного
стандарта общего образования по математике и содержит материал как для
базового, так и для профильного уровня. По нему можно работать
независимо от того, по каким учебникам учились школьники в предыду-
щие годы.
Учебник нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вузы.
УДК 373.167.1: [512+517]
ББК 22.14я72 + 22.161я72
ISBN 978-5-09-021132-1
© Издательство «Просвещение», 2001
© Издательство «Просвещение», 2008,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2006
Все права защищены
_______ Глава I ' ts__
Корни, степени, логарифмы
' r 1 - С 1
J 2
§ 1. Действительные числа
1.1. Понятие действительного числа
Первые числа, с которыми вы познакомились в школе, — это
натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....
Множество натуральных чисел обладает тем свойством, что
сумма и произведение любых двух натуральных чисел являются на-
туральными числами, а разность и частное необязательно являются
натуральными числами.
Затем вы изучали целые числа. Множество целых чисел состо-
ит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа
«нуль»: ... -3, —2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .
Сумма, разность и произведение любых двух целых чисел явля-
ются целыми числами, а частное не всегда целое число. Вопросы,
связанные с делимостью целых чисел, рассмотрены в пп. 1.8—1.10.
Наконец, вы узнали, что есть рациональные числа. Число
называют рациональным, если его можно записать в виде дроби —,
где р — целое число, a q — натуральное.
Сумма, разность, произведение и частное любых двух рацио-
нальных чисел являются рациональными числами (на нуль делить
нельзя!).
Каждое рациональное число может быть разложено в бесконеч-
ную десятичную периодическую дробь (для нахождения этого раз-
ложения можно разделить уголком числитель дроби р на ее знаме-
натель q).
Верно и обратное: каждая периодическая дробь есть десятичное
разложение некоторого рационального числа.
Таким образом, рациональные числа имеют два представления
(две формы записи) — одно в виде дроби а другое в виде беско-
нечной десятичной периодической дроби.
Наряду с бесконечными десятичными периодическими дробя-
ми существуют и бесконечные десятичные непериодические дро-
би, которые называют иррациональными числами. Рациональные
и иррациональные числа составляют множество всех действитель-
ных чисел.
Таким образом, действительное число — это число, которое
можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если число
рациональное, то дробь периодическая; если число иррациональное,
то дробь непериодическая.
Итак, каждое положительное действительное число можно запи-
сать в виде ao,aia2...ocn... , а каждое отрицательное число — в виде —
a0,a1a2***an”* • При этом неотрицательное число ад или хотя бы одна
из цифр «1, а2
..., ап,... отличны от нуля. Число «нуль» можно запи-
сать в виде
О = 0,000... = +0,000... = -0,000... .
Вообще, каждое действительное число а имеет только одно де-
сятичное разложение, если бесконечные десятичные дроби с перио-
дом 9 не рассматривать.
Формально конечную десятичную дробь можно записать в виде
бесконечной десятичной периодической дроби двумя способами, на-
пример:
2,4 = 2,4000... = 2,4(0),
2,4 = 2,3999... = 2,3(9).
Однако принято бесконечные десятичные дроби с периодом 9 не
рассматривать, что позволяет, в частности, правильно сравнивать
периодические десятичные дроби.
Бесконечные десятичные дроби сравнивают по тем же прави-
лам, что и конечные десятичные дроби. Правила сложения, вычита-
ния, умножения и деления бесконечных десятичных дробей слож-
нее соответствующих правил для конечных десятичных дробей. Эти
правила требуют применения бесконечных процессов и представ-
ляют лишь теоретический интерес. Поэтому здесь они не приво-
дятся. Достаточно знать, что сумма, разность, произведение и част-
ное любых двух действительных чисел есть действительное число,
и притом единственное (на нуль делить нельзя!). На практике ариф-
метические действия с бесконечными десятичными дробями (т. е.
с действительными числами) выполняют приближенно, точно так
же как выполняют приближенно арифметические действия с конеч-
ными десятичными дробями.
С бесконечными десятичными дробями тесно связано измере-
ние отрезков. Если задан отрезок, длина которого принята за едини-
цу, то длина а любого отрезка АВ выражается бесконечной десятич-
ной дробью:
а =
Действительные числа
Это означает, что:
а0 — приближенная длина отрезка АВ с точностью до 1 с недо-
статком;
а0,ах — приближенная длина отрезка АВ с точностью до 0,1
с недостатком;
а0,аха2 — приближенная длина отрезка АВ с точностью до 0,01
с недостатком и т. д.
Произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому по-
ложительному числу — положительной десятичной дроби; обратно,
если дано любое положительное число, то можно указать отрезок
АВ, длина которого равна этому числу.
Действительные числа отождествляют с точками координатной
оси. Напомним, как это делается.
Зададим прямую, на которой вы-
брано направление, называемое по- 1—।—।—।—i—i—।—i—i—►
ложительным, и взята точка О, на- 0 1 х
зываемая начальной точкой коорди- * Рис. 1
натной оси. Зададим еще отрезок,
длину которого примем за единицу, — единичный отрезок (рис. 1).
Прямую, на которой выбраны начальная точка, положительное
направление и единичный отрезок, называют координатной осью.
На рисунке 1 координатная ось нарисована горизонтально, с поло-
жительным направлением, идущим вправо от точки О. Но вообще
говоря, координатная ось может быть расположена вертикально
или произвольно и положительное направление на ней можно вы-
брать так, как это удобно в каждом случае.
Начальная точка О делит координатную ось на два луча. Один
из них, идущий от точки О в положительном направлении, называ-
ют положительным, другой — отрицательным.
Каждой точке координатной оси поставим в соответствие дей-
ствительное число х по следующему правилу. Начальной точке О
поставим в соответствие число «нуль»
(х = 0); точке А, находящейся на по-
ложительном луче, поставим в соот-
ветствие число х, равное длине отрез-
ка О А (х = ОА), точке В, находящейся
ВО А
--1-1-!-1-1-1-1-1-1-►
0 1 X
Рис. 2
на отрицательном луче, поставим в соответствие число х, рав-
ное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «-» (х = -ОВ). Например,
на рисунке 2 точки А, О и В имеют координаты 3, 0 и —2 соответст-
венно. Пишут: А(3), 0(0), В (-2).
Определенную таким образом координатную ось называют ко-
ординатной осью х или коротко осью х. Пишут также: ось Ох. Чис-
ло х, соответствующее произвольной точке оси х согласно указан-
ному правилу, называют координатой этой точки. Для краткости
точку, имеющую координату х, называют точкой х. Буква х туш
быть заменена другой буквой, например буквами у, z, t, ..., и тогда
говорят об оси у, оси z, оси t и т. д.
Согласно указанному правилу верны утверждения:
1. Каждой точке оси х соответствует действительное число —
координата этой точки.
2. Две различные точки А и В оси х имеют различные коор-
динаты хх и х2.
3. Каждое действительное число есть координата некоторой
точки оси х.
Иначе говоря, установлено взаимно-однозначное соответствие
между точками оси Ох и действительными числами.
Замечание. Отметим, что точки, имеющие рациональные коор-
динаты, не заполняют полностью координатную ось — без иррацио-
нальных точек ось «дырявая». Если же рассматривать все точки,
имеющие и рациональные, и иррациональные координаты, то коор-
динатная ось перестанет быть «дырявой» — каждой ее точке соот-
ветствует действительное число.
Модуль, или абсолютную величину действительного числа а
обозначают | а |; по определению
а, если а > О
-а, если а < О
На координатной оси | а I есть расстояние от точки а до начала
координат (рис. 3).
|-2| = 2 |3,5| = 3,5
Зададим на плоскости две взаим-
но перпендикулярные оси коорди-
нат — ось х и ось у с равными еди-
ничными отрезками и пересекающиеся
-2 0 1 3,5 х в точке О, являющейся начальной
точкой каждой из этих осей.
Рис. 3 Говорят, что этим на плоскости
определена прямоугольная система ко-
ординат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по име-
ни французского математика и философа Р. Декарта (1596—1650),
введшего в математику это важное понятие.
Ось х называют осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точку О
пересечения осей координат называют началом координат. Плос-
кость, на которой задана декартова система координат, называют
координатной плоскостью.
Обычно ось абсцисс изображают в виде горизонтальной прямой,
направленной вправо, а ось ординат — в виде вертикальной пря-
мой, направленной вверх.
Пусть А есть произвольная точка координатной плоскости.
Проведем через точку А прямые, перпендикулярные осям коорди-
нат (рис. 4). Получим на оси х точку А19 а на оси у точку А2. Эти
точки называют проекциями точки А на оси координат. Абсциссой
точки А называют координату х точки Аг — проекции точки А на
ось х. Ординатой точки А называют координату у точки А2 — про-
Действительные числа
екции точки А на ось у. Абсциссу х
и ординату у точки. А называют коор-
динатами точки А.
Координаты точки записывают в
скобках рядом с буквой, обозначаю-
щей эту точку: А (х; у), причем на пер-
вом месте пишут абсциссу, а на вто-
ром — ординату. Например, точка А,
изображенная на рисунке 5, имеет абс-
циссу х = 4 и ординату у — 3, поэтому
пишут А (4; 3).
Отметим, что если на плоскости
задана прямоугольная система коор-
динат, то каждой точке А плоскости
приводится в соответствие пара чисел
(х; у) — пара координат точки А, и в
то же время произвольную пару чи-
сел (х; у) можно рассматривать как
пару координат некоторой точки А
плоскости.
Нужно иметь в виду, что если
пара состоит из разных чисел, то, по-
меняв эти числа местами, получим
другую пару, определяющую другую
точку плоскости. Поэтому часто пару
координат (х; у) точки А называют
упорядоченной парой чисел.
Итак, если на плоскости задана пря-
моугольная система координат хОу, то:
1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядо-
ченная пара чисел (пара координат точки);
2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные
упорядоченные пары чисел;
3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой
точке плоскости.
1.1° Какие числа называют:
а) натуральными; б)
г) иррациональными;
целыми; в) рациональными;
д) действительными?
1.2 Может ли:
а) разность отрицательных чисел быть положительным числом;
б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом;
в) произведение иррациональных чисел быть рациональным
числом?
8
1.3 ° В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно
представить в виде конечной десятичной дроби, а в каком слу-
чае нельзя?
1.4 Представьте каждую обыкновенную дробь в виде периодиче-
ской дроби:
. 1. 3. 1. 1. 3 . 1 _ 1. 2. 1. 2. 5. 7. JL
2485 25 125 3399997
1.5 * Представьте каждую периодическую дробь в виде обыкновен-
ной дроби:
а) 0,(3); 0,(1); 0,(5); 0,(7);
б) 0,(13); 0,(27); 0,(45); 0,(54);
в) 0,(128); 0,(123); 0,(945); 0,(138);
г) 0,0(3); 0,0(72); 0,00(13); 0,0(549);
д) 2,(8); 3,(14); 7,(12); 3,0(27);
е) 0,12(0); 3,37(0); 0,005(0).
1.6 ° Как сравнивают действительные числа:
а) с помощью координатной прямой;
б) по их десятичной записи?
1.7
Сравните числа:
а) | и 0,3; б)
О
д) | И 0,5; е)
з) -| и -0,(2);
5
л) —0,45 и ——;
11
•1 и 0,(3); в) 0,3 и 0,(3); г) 0,5 и -;
3 2
0,5 и 0,(5); ж) -- и -0,2;
5
и) -0,2 и -0,(2); к) -0,45 и -0,(45);
м) —— и —0,(46).
1.8 Расположите в порядке возрастания числа:
“>« 3?ЗД41;
б) -5,6789101112...; -5-; -5-; -5,(7); -5,9.
3 9
1.9 ° Верно ли, что каждой точке координатной оси соответствует
действительное число и каждому действительному числу соот-
ветствует точка координатной оси?
1.10 ° Верно ли, что любой упорядоченной паре действительных
чисел (х; у) соответствует единственная точка координат-
ной плоскости и каждой точке координатной плоскости соот-
ветствует единственная упорядоченная пара действительных
чисел (х; у)?
9
Действительные числа
1.11 Укажите на координатной оси числа а и —а, если: а) а = 3;
б) а = -4.
1.12 Вычислите расстояние между точками А (а) и В (Ь) коорди-
натной оси, если:
а) а = 5, b = -1; б) а = -7, Ъ = 8;
в) а = -13,5, b = -11; г) а = -55, b = -10.
1.13° а) В каком случае говорят, что задана прямоугольная система
координат?
б) Как называют оси Ох и Оу?
в) Что такое абсцисса точки; ордината точки?
1.14 Вычислите расстояние между точками А (хг; ух) и В (х2; у2)
координатной плоскости, если:
1.15 Найдите все числа х, для каждого из которых верно равенство:
а) |х|= 3; б) |х|= 5; в) |х- 3|= 2;
г)|х + 3|=5; д)|2х-3|=4; е)|Зх + 4|=2.
Укажите их на координатной оси.
1.16 Решите уравнение:
а) |х|= 10;
г) |3х| = 7;
ж) 12х - 5|= 7;
б) |х|= 9;
д) |х— 5| = 12;
з) |Зх + 5|= 8;
в) | 2х| = 3;
е) |х + 2|= 7;
и) 15х - 81 = 0.
1.17 * Решите уравнение:
а) ||х| - 2| = 10;
б) ||х| - 9| = 7.
1.18 * а) Докажите, что расстояние между точками А (хг) и В (х2)
вычисляется по формуле АВ = | х. — х21.
б) Докажите, что расстояние между точками А (х^, уг) и
В (х2; у2) вычисляется по формуле
АВ (х^ х2) + (i/j •
в) Докажите, что координата точки С (х) — середины отрезка
АВ, где А (хх) и В (х2), вычисляется по формуле х =
г) Докажите, что координаты точки С (х; у) — середины от-
резка АВ, где А (Хр уг) и В (х2; у2), вычисляются по фор-
мулам
У1 + ^2
2
д) Докажите, что если точка С (х) принадлежит отрезку АВ,
где A (Xj) и В (х2), и делит этот отрезок в отношении АС : СВ =
= тп: Пу то координата точки С вычисляется по формуле
ПХ. + ТПХ
1 £л
е) Докажите, что если точка С (х; г/) принадлежит отрезку
АВ, где А (хх; г/х) и В (х2; 1/2), и делит этот отрезок в отноше-
нии АС : СВ = тп : п, то координаты точки С вычисляются по
пх, + mx2 пу. + my2
формулам: х =------; у =-------.
m + п m + п
/— 3/—
1.19 * Докажите, что каждое из чисел V3 и v2 иррациональное.
1.20 Дан квадрат со стороной 1 см. Верно ли, что существует дей-
ствительное число, выражающее длину диагонали этого квад-
рата? Какое это число — рациональное или иррациональное?
1.2. Множества чисел.
Свойства действительных чисел
Напомним обозначения некоторых множеств чисел, которые
вам часто придется рассматривать.
N — множество всех натуральных чисел,
Z — множество всех целых чисел,
Q — множество всех рациональных чисел,
R — множество всех действительных чисел,
R+ — множество всех положительных действительных чисел.
[а; Ь] — отрезок — множество всех действительных чисел х,
удовлетворяющих двойному неравенству а х < Ь, или множество
точек оси х, состоящее из точек а и b и всех точек, находящихся
между ними.
Точки а и b называют концами отрезка [а; Ь]. Концы отрезка
[а; Ь] принадлежат этому отрезку.
(а; Ь) — интервал — множество всех действительных чисел х,
удовлетворяющих двойному неравенству а < х < Ъ, или множество
всех точек оси х, находящихся между точками а и Ъ.
[а; Ь) — полуинтервал — множество всех действительных чи-
сел, удовлетворяющих двойному неравенству а х < bf или множе-
ство точек оси х, состоящее из точки а и всех точек, находящихся
между точками а и Ъ.
(а; Ь] — полуинтервал — множество всех действительных чи-
сел, удовлетворяющих двойному неравенству а < х < Ъ, или множе-
ство точек оси х, состоящее из точки b и всех точек, находящихся
между точками а и Ь,
Действительные числа
Заметим, что у интервала (а; Ь) и полуинтервала [а; Ъ) буква b
может обозначать число или +оо, а у интервала (а; Ь) и полуинтерва-
ла (а; 6] буква а может обозначать число или —оо.
Наконец, интервал (—оо; +оо) — это множество всех действи-
тельных чисел или множество всех точек оси х.
Интервал (а; 6) может быть конечным, если а и b — данные
числа (или точки оси х), но может быть и бесконечным, если а или
b — это соответственно —оо или +оо.
Отрезок [а; Ь] всегда конечный. Отрезок определяется данными
числами а и b (или точками оси х).
Полуинтервалы [а; Ь) и (а; д] могут быть конечными и беско-
нечными.
Иногда для числовых отрезков, интервалов, полуинтервалов ис-
пользуют общее название — числовые промежутки (коротко, про-
межутки).
ПРИМЕР 1. На рисунке 6, а — и показаны числовые проме-
жутки и неравенства, которым удовлетворяют все числа х, принад-
лежащие этим числовым промежуткам.
а) отрезок [-1; 3]
-1<х<3
0 1 2 х
г) полуинтервал (-1; 1]
-1 <х<1
0 х
ж) интервал (~°°; +°°)
б) интервал (0; 1)
0<х<1
<//////////,
-3
д) интервал (-3;+°°)
х > -3
з) полуинтервал
[5; 4-оо) х > 5
в) полуинтервал [1; 2)
1<х<2
е) интервал (—°°; -2)
х< -2
///////// ,
и) полуинтервал
(-оо;-3] хС-З
Рис. 6
На этих рисунках конец промежутка, принадлежащий ему,
показан закрашенной точкой, а не принадлежащий ему — незакра-
шенной (часто говорят «выколотой») точкой. Иногда вместо штри-
ховки используют дуги. Так на рисунке 7 показаны отрезок [—1;
и интервал (—1; +оо).
Кроме отрезков, интервалов и по-
луинтервалов, рассматривают и дру-
гие множества чисел, их часто обо-
3]
значают буквами А, В, С, ... .
Рис. 7
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пус-
тым множеством. Его обозначают знаком 0.
Тот факт, что число принадлежит или не принадлежит множе-
ству чисел, записывают с помощью специальных знаков: е — при-
надлежит и й — не принадлежит. Если а является элементом мно-
жества А, то пишут а е А и говорят «а принадлежит А». Если b не
является элементом множества А, то пишут Ъ £ А и говорят «6 не
принадлежит А».
Объединением множеств А и В называют множество, состоящее
из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
Объединение множеств А и В обозначают A U В. Знак U происходит
от первой буквы латинского слова Union (объединение, союз).
Пересечением множеств А и В называют множество, состоя-
щее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и мно-
жеству А, и множеству В. Пересечение множеств А и В обозна-
чают А П В.
ПРИМЕР 2. а) Пусть А = [0; 2], В = [1; 3]. Тогда A U В =
= [0; 2] U [1; 3] = [0; 3], А 0 В = [0; 2] П [1; 3] = [1; 2].
б) Пусть А = [-1; 1], В = (1; 2). Тогда A U В = [-1; 1] U (1; 2) =
= [-1; 2), А П В = [-1; 1] П (1; 2) = 0.
Если любой элемент множества А является элементом множест-
ва В, то А называют подмножеством множества В. Пишут
А с В и говорят «А — подмножество В».
Считают, что пустое множество является подмножеством
любого множества.
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называют
конечным. Элементы конечного множества, состоящего из п элемен-
тов, можно занумеровать: av а2, а3, ..., ап. Если множество А состо-
ит только из одного элемента а, то пишут А = {а}; если из п элемен-
тов, то пишут А = {ар а2, ..., ал}.
Множество называют бесконечным, если для любого сколь
угодно большого натурального числа п в этом множестве найдется п
элементов.
Например, множество N натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ... беско-
нечно. Множество R действительных чисел тоже бесконечно.
Говорят, что множества А и В имеют равные (одинаковые)
мощности, если между элементами этих множеств можно устано-
вить взаимно-однозначное соответствие.
Например, между элементами двух множеств А = {1, 2, 3} и
В = {1, 4, 9} можно установить взаимно-однозначное соответствие
1, 2, 3
п U п
1, 4, 9.
Действ it те.-i ьн и v ч пела
Эти множества имеют равные мощности.
Говорят, что мощность множества А меньше мощности множе-
ства В, если между элементами этих множеств нельзя установить
взаимно-однозначное соответствие, но существует подмножество
В' с В, такое, что между элементами А и В' можно установить вза-
имно-однозначное соответствие.
Если А и В — конечные множества и А состоит из пх элемен-
тов, а В — из п2 элементов, то мощности А и В равны, если пх = п2,
и мощность А меньше мощности В, если п1 < п2.
Мощность конечного множества А меньше мощности бесконеч-
ного множества В.
Множество N всех натуральных чисел имеет мощность, одина-
ковую с множеством всех четных натуральных чисел. Ведь имеет
место взаимно-однозначное соответствие
1, 2, 3, ... п,
tl tl tl ... tl
2, 4, 6, ... 2n, ... .
Получился пример бесконечного множества, имеющего одина-
ковую мощность со своей частью.
Приведем еще пример. Множество всех натуральных чисел и
множество всех целых неотрицательных чисел имеют одинаковую
мощность. Взаимно-однозначное соответствие между их элементами
можно установить так:
1, 2, 3, 4, 5, ...
tl tl tl tl tl
О, 1, 2, 3, 4, ... .
Действительные числа обладают следующими свойствами, ко-
торые принято располагать по группам.
I. Свойства порядка.
1Г Для любых двух действительных чисел а и Ъ выполня-
ется и притом только одно из трех соотношений: а = д, а < Ь,
а> Ь.
12. Для любых двух действительных чисел: а и &, таких,
что а < Ь, найдется такое действительное число с, что а < с
и с < Ь, т. е. а < с < Ъ.
13. Если а < Ъ и Ь < с, то а < с (свойство транзитивности нера-
венств).
II. Свойства сложения и вычитания.
IIV а + b = Ъ + а (переместительное свойство сложения).
П2. (а + Ь) + с = а + (Ъ + с) (сочетательное свойство сложения).
г •
П3.
п4.
П5-
п6.
числа
Ш.
шг
П12.
ш3.
ш4.
*
шв.
ш6.
Если а <Ъ, то а + с < b + с для любого действительного
t .
Свойства умножения и деления
а • b = b • а (переместительное свойство умножения).
(а • Ь) • с = а • (Ь • с) (сочетательное свойство умножения)
а • 0 = О
ПЬ.
а
Ш8. (а + Ь)’С = а»е + Ь»с (распределительное свойство).
П10. Если а < b и с — положительное число, то а • с < Ь • с
V - - Г01 I •».» Li- .. *
IV. Архимедово свойство. 7 ** г*3’
Для любых чисел а и Ъ таких, что b > а > О существует нату-
ральное число п такое, что ап > Ъ.
V. Свойство непрерывности действительных чисел.
Для любой системы отрезков [ах; dj, [а2; &2], ...» [ап; дл], ...,
удовлетворяющей условиям: SJ- г г
1) а* а2 С ... < ал С ал + * ... < bn + j С Ьп ... < Ь2
2) |дп — ап | —> О при п —♦ оо, г-улгр »j.
существует, и притом единственная, точка, принадлежащая
всем отрезкам [ал; Ьл].
•V'
Замечание 1. Отметим, что первоначально архимедово свойство
было сформулировано для отрезков: отложив достаточное число раз
меньший из двух данных отрезков, всегда можно получить отрезок,
превосходящий больший из них.
Замечание 2. Отрезки, удовлетворяющие условию 1), называют
вложенными отрезками. Поэтому свойство V можно сформулиро-
вать следующим образом:
Для любой системы вложенных отрезков [ал; Ьл], длины кото-
рых стремятся к нулю при п —► оо, существует, и притом единствен-
ная, точка, принадлежащая всем отрезкам [ал; &л].
Подчеркнем, что множество рациональных чисел не обладает
свойством непрерывности (см. задачу 1.29). Ф
Действительные числа
1.21° Как обозначают множества:
а) натуральных чисел; б) целых чисел;
в) рациональных чисел; г) действительных чисел?
1.22 Запишите числовой промежуток с помощью неравенств:
а) [3; 5]; б) (3; 5); в) [3; 5);
г) (3; 5]; д) [3; +оо); е) (3; +оо);
ж) (—оо; 5); з) (-оо; 5].
Изобразите каждый из них на координатной оси.
1.23 С помощью знаков g и G запишите, какое из данных чисел
принадлежит данному числовому промежутку, а какое нет:
а) 2, -3, 0, [-2; 2); б) -5, 7, 2, (-5; 2);
в) -6, 0, 6, (-оо; 5); г) —5, 100, 0, [0; +оо).
1.24 Изобразите на координатной оси числовые промежутки А и В
найдите их объединение и пересечение, если:
а) А = [-3; 4], В = [0; 7);
в) А = (-оо; 2], В = [2; 5);
Д) А = [-2; 0), В = (0; 2];
б) А = (-оо; 0), В = (-3; 7];
г) А = (-7; 2), В = [0; 7);
е) А = (-5; 0], В = (-1; 3].
1.25* Докажите, что:
а) если а — Ъ > 0,
в) если 0 < а < Ъ,
д) если а < b < 0,
ж) если 0 < а < Ъ
з) если а > 0, b >
то а > Ь; б) если а - b < 0, то а < Ь;
то а2 < Ъ2; г) если а < Ъ и с < 0, то ас > be;
то а2 > о; е) если а < Ь, то а3 < о;
< с, то ab < с2;
0 и а2 < Ь2, то а < &.
1.26
Укажите на координатной оси все числа х, для каждого из ко-
торых верно неравенство:
а) |х | < 3;
г) | Зх| < 7;
ж) 12х — 31 > 5;
в)
е)
и)
Задайте множество решений неравенства в
или объединения промежутков.
12х | > 5;
|х + 3|^ 5;
| 5х — 41 С 6.
виде промежутка
1.27 Задайте с помощью знака модуля множество точек координат-
ной оси:
а) (-2; 2);
г) [-2; 4];
б) (-оо; —3] U [3; +оо);
Д) (-оо; -3) и (1; +оо);
в) [-5; 5];
е) (-10; 2).
1.28 * а) Установите взаимно-однозначное соответствие между эле-
ментами множеств N и И; N и Q.
б) Покажите, что между множествами всех точек прямой
и всех точек интервала (0; 1) можно установить взаимно-одно-
значное соответствие.
^16______________________________________
1.29* Докажите, что отрезки
(п g N, п +оо) вло-
женные. Имеют ли они общую точку? Если да, то какому числу
она соответствует — рациональному или иррациональному?
1.3*. Метод математической индукции
Доказательство справедливости утверждений, зависящих от на-
турального числа п, обычно проводят с помощью принципа матема-
тической индукции:
Если свойство, зависящее от натурального числа и, во-пер-
вых, верно при п — 1 и, во-вторых, из предположения, что оно
верно для п = fe, следует, что оно верно при п =• k + 1, то считают,
что это свойство верно для лщйрго натурального числа п.
Доказательство, основанное на принципе математической индук-
ции, называют доказательством по индукции или доказательством
методом математической индукции.
ПРИМЕР 1. Пусть надо доказать, что если а > О, то для любого
натурального числа п
ап > 0. (1)
Согласно принципу математической индукции, для того чтобы
считать верным неравенство (1) для всех натуральных п, достаточно
проверить выполнение двух утверждений:
1) неравенство (1) справедливо для п = 1;
2) если предположить, что для некоторого п = k неравенство (1)
справедливо, т. е. что имеет место неравенство ак > 0, то оно спра-
ведливо и для п = k + 1, т. е. имеет место неравенство ак + * 1 >0.
Утверждение 1 выполняется, потому что, положив в неравен-
стве (1) п = 1, получим неравенство а > 0, верное по условию.
Утверждение 2 тоже выполняется, ведь если предположить вер-
ным неравенство ак > 0, то после умножения его на положитель-
ное число а получим по свойству IIIq (п. 1.2) верное неравенство
а* + 1>0.
Таким образом, утверждения 1 и 2 выполняются. Но тогда со-
гласно принципу математической индукции неравенство (1) верно
для любого натурального числа п.
ПРИМЕР 2. Докажем, что для любого натурального числа п
сумма п первых нечетных натуральных чисел равна п2:
1 + 3 + ... + (2п - 1) = п2. (2)
Действи гельные числа
При п = 1 равенство (2) верно: 1 = I2.
Предположим, что равенство (2) верно при некотором п = k,
т. е. что верно равенство
1 + 3 + ... + (2/? - 1) = k2.
Докажем, что равенство (2) верно при п = k + 1, т. е. что
1 + 3 + ... + (2/г - 1) + {2k + 1) = {k + l)2.
Пользуясь нашим предположением, заменим сумму первых k
слагаемых на /?2:
1 + 3 + ... + (2ft - 1) + (2fe + 1) = k2 + (2fe + 1) = (k + I)2.
Тем самым доказано, что если равенство (2) верно при п = k, то
оно верно и при п = k + 1.
Тогда согласно принципу математической индукции равен-
ство (2) верно для любого натурального числа п.
ПРИМЕР 3. Докажем, что для любого числа Ь >-1 и любого на-
турального числа п справедливо неравенство
(1 + &)л > 1 + nb.
(3)
Действительно, так как (1 + fr)1 = 1 + д, то при п = 1 неравенст-
во (3) выполняется.
Предположим, что неравенство (3) выполняется при п = /г, т. е.
что верно неравенство
(1 + Ъ)к > 1 + kb.
Так как 1 + b > 0, то
(1 + Ь)к + 1 = (1 + ft)* • (1 + ft) >(1 + kb) •(1 + ft)=
= 1 + (k + 1) 6 + kb2 > 1 + (k + 1) ft,
т. e. мы доказали неравенство (3) для п = k + 1.
Но тогда согласно принципу математической индукции нера-
венство (3) верно при любом натуральном п.
Заметим, что не только доказательство приведенного в приме-
ре 1 свойства, но и определение n-й степени, строго говоря, надо да-
вать по индукции.
Например, говорят, что ап для натурального п есть число, кото-
рое определяется следующим образом:
п + 1 л/г „
а — и и л ~л • а
(4)
для любого натурального k.
Пользуясь этим определением, получим, например, что
а5 = а4 • а = а3 • а • а = а2 ^а^а-а — а-а*а-а - а.
ПРИМЕР 1. Докажем, что для любого действительного числа а
и любых натуральных чисел т и п справедливо равенство
„т ~п ~т + л /к\
а • а = а . (□)
Зададим произвольное натуральное число т и будем, как гово-
рят, вести индукцию по п.
При п = 1 равенство (5) верно по определению степени с нату-
ральным показателем (см. (4)):
Пусть теперь равенство (5) верно при п = k:
т + k
(6)
Тогда, применяя равенство (6), по определению степени (см. (4))
имеем
k
9
и мы доказали равенство (5) для п = k + 1.
Но тогда согласно принципу математической индукции ра-
венство (5) верно для любого натурального п при произвольно вы-
бранном т, т. е. равенство (5) верно для любых натуральных /пи п.
Замечание. Отметим, что оба шага в доказательстве методом
математической индукции очень важны, ни один из них нельзя
пропускать.
Покажем, к чему приведет пропуск первого шага в доказатель-
стве методом математической индукции. Рассмотрим «доказатель-
ство» заведомо неверного утверждения:
При любом натуральном п справедливо неравенство
2" + 1<2я. (7)
Сразу предположим, что неравенство (7) справедливо при п = k.
Умножая его на положительное число 2, получим, что оно верно и
для п = k + 1.
Отсюда еще нельзя сделать вывод, что неравенство (7) справед-
ливо для всех натуральных п, так как пропущенный первый шаг в
доказательстве по индукции показал бы, что неравенство (7) неверно.
Но и одного первого шага в доказательстве по индукции недо-
статочно. Даже проверка справедливости утверждения для несколь-
ких первых натуральных значений п еще не означает, что и для
всех следующих значений п оно верно.
Например, если в формулу р = п2 — п + 41 вместо п подставлять
числа 1, 2, 3, 4, 5, ...» то получаются простые числа:
при n = 1 р = I2 - 1 + 41 = 41,
при п = 2 р - 22 - 2 + 41 = 43,
при п = 3 р = 32 — 3 + 41 = 47, ... .
Действительные числа
Если, пропустив второй шаг в доказательстве методом матема-
тической индукции, утверждать, что эта формула при любом нату-
ральном п дает простое число, то получим неверное утверждение.
Действительно, подставляя в формулу р = п2- л + 41 натураль-
ные числа от 1 до 40, мы получим простые числа, но при п = 41
имеем р = 412 - 41 + 41 = 412 — составное число.
Заметим, что некоторые утверждения справедливы не для всех
п е N, а лишь для всех натуральных чисел, начиная с некоторого
натурального n0 > 1. В таких случаях надо проверить сначала спра-
ведливость утверждения для п = п0, а потом, что из справедливости
утверждения для п = k (где k п0) следует справедливость утверж-
дения для п = k + 1; и тогда это утверждение будет верно для любо-
го натурального п п0.
Например, докажем, что 2п > 2п + 1 для любого натурального
п 3.
Если п0 = 3, то 23 > 2 • 3 + 1.
Предположим, что для п = k (k > 3) справедливо неравенство
2* > 2* + 1 (8)
и докажем, что тогда для п = k + 1 справедливо неравенство
2* + 1 > 2k + 3.
Используя неравенство (8) и условие fe > 3, имеем:
2* + 1 = 2 • 2* > 2 (2k + 1) = 4/г + 2 =
= 2k + 3 + (2k - 1) > 2k + 3.
Следовательно, неравенство 2" > 2п + 1 справедливо для любого
натурального числа п 3.
1.30 ° а) Сформулируйте принцип математической индукции.
б) Справедливо ли утверждение для всех натуральных и, если
верно только одно из двух условий принципа математической
индукции?
1.31 Докажите методом математической индукции, что:
а) 0л = 0 для любого натурального п;
б) если 0 а < Ь, то ап < Ьп для любого натурального п;
в) anbn = (ab)n для любого натурального и;
г) (ап)т = апт для любых натуральных тип.
1.32 Докажите методом математической индукции, что:
а) общий член арифметической прогрессии {пл} вычисляется
по формуле ап = аг + (п - 1) d;
б) общий член геометрической прогрессии {Ьп} вычисляется по
формуле bn = bxqn ~ h
1.33
1.34
в) сумма первых п членов арифметической прогрессии {а }
2a.+ (n-l)d
вычисляется по формуле Sn = —1--------л;
2
г) сумма первых п членов геометрической прогрессии {Ь }
fe (оп - 1)
(q Ф 1) вычисляется по формуле S = —----.
q - 1
Верно ли, что для любого натурального п справедливо нера-
Пусть а < 0. Докажите по индукции, что:
а) ап > 0 при любом четном натуральном л;
б) ап < 0 при любом нечетном натуральном п.
Докажите по индукции, что для любого натурального п вы-
полняется равенство:
а) 1 + 2 + 3 + ..+ п = ("+ 1)п;
2
б) 2 4- 4 + 6 4- ... 4- 2п = п (л + 1);
в) 3 + 12 + ... + 3 • 4я ’1 = 4я - 1;
г) 4 + 0 + ... + 4 ♦ (2 - п) = 2п (3 - л);
д) 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ... + n (п + 1) = п(п + 1)(п 2)
е) 1 • 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + ... + п (Зп + 1) = п (п + I)2;
Указание. Пусть А(п) и В (л) — некоторые выражения. Дока-
зать равенство А (л) = В (л) для любого натурального л по
индукции можно так:
1) Убедиться, что равенство А(1) = В(1) выполняется.
2) Доказать равенство
A(k +
1)-А(/?) = В(/?+ 1) - В (/?).
(9)
1.36
3) Теперь из предположения А (Те) = В (k) и из равенства (9)
следует, что A (k 4- 1) = В (k 4- 1).
Тогда согласно принципу математической индукции доказы-
ваемое равенство верно для любого натурального л.
Докажите по индукции, что для любого натурального л вы-
полняется неравенство:
-v 2 4 2л 1
б)--------...----------> —;
3 5 2л 4- 1 2л
г) 4Л > 7л - 5.
21
Действительные числа
1.37 Докажите по индукции, что:
а) 1 + 2 + ... + п < и2, п е N, 2;
б) 2Л > 5n + 1, п е N, п 5;
в) 2п > п2, п е N, п 4;
г) 1-2-3-... -n> 2п~1, neN, п>3.
1.38 Докажите по индукции, что для любого натурального п спра-
ведливо неравенство:
. 1 + 1 + 1 + _________________1 1.
а) 1-3 3-5 5-7 *” (2п — 1)(2п + 1) < 2’
б) 1 + 1 + 1 ____________________1______< 1 #
Ь4 4*7 7-10 (Зп - 2)(Зп + 1) з’
в) 1 + 1 1 _____ 1______< 2.
В} 1-8 8-15 15-22 + ”‘ (7п-6)(7п+1) < 7*
ч 1 1 1 1 .
г) +-------+------+ ... +-----> 1.
n + 1 п + 2 п + 3 Зп+1
1.39
Докажите, что для любого натурального п выполняется равен-
ство:
2 п (п + 1)(2п + 1)Ш
... + п =-----------------------;
3 П2 (п + I)2
... + п —----------------.
4
1.40 Задача ал-Караджи (Иран, XI в.). Докажите, что для любого
натурального п верно равенство
1.41 Задача ал-Каши (XIV—XV вв.). Докажите, что для любого
натурального п верно равенство
I4 + 24 + З4 + ... + п4 = — (6п5 + 15п4 + 10п3 - п).
30
1.42 Задача Фаульхабера (Германия, 1580—1635). Докажите, что
для любого натурального п верно равенство
I5 + 25 + З5 + ... + п5 = — (2п6 + 6п5 + 5п4 - п2).
12
1.43 Докажите, что для любого натурального п:
а) 5п + 3 делится на 4; б) 7п + 5 делится на 6;
в) 5" + 6п - 1 делится на 10; г) 3” + 4" — 1 делится на 6;
д) 9” + 1 — 8п — 9 делится на 64; е) 7п +1 — 6п — 7 делится на 36.
22
О»* *'
1.44 Докажите, что:
а) 7п 4- 9 делится на 8 для лю-
бого нечетного натурального и;
б) 3” + 7 делится на 8 для лю-
бого четного натурального п.
1.45 На один из трех штырьков на-
сажены п различных колец
так, что большее кольцо лежит
ниже меньшего (на рисунке 8
п = 3). За один ход разреши- Я Рис. 8
ется перенести одно кольцо с
одного штырька на другой, при этом не разрешается большее
кольцо класть на меньшее. Докажите, что наименьшее чис-
ло ходов, за которое можно перенести все кольца с одного
штырька на другой, равно 2п - 1.
1.4. Перестановки
Произведение п натуральных чисел от 1 до п обозначают п\
• ••• -(л — 1) * п — п!
Например, 2! = 1 • 2 = 2, 3! = 1 • 2 • 3 = 6, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
Условились считать, что 1! = 1 и О! = 1.
Два элемента (две вещи, две буквы) хг и х2 можно расположить
(записать) двумя способами:
(1)
(2)
Будем говорить, что расположения (1) и (2) являются различны-
ми перестановками из двух элементов (хх и х2). Таким образом, из
двух элементов можно составить только две различные перестановки.
Из трех элементов хр х2, х3 можно составить только шесть пе-
рестановок:
На первом месте мы поставили букву хх и к ней приписали две
перестановки из остальных букв х2 и х3. Потом на первом месте мы
поставили букву х2 и к ней приписали две перестановки из осталь-
ных букв хх и х3. Наконец, на первом месте мы поставили букву х3
и к ней приписали две перестановки из остальных букв х2 ихг Все-
го получилось 3 • 2! = 3 • 2 • 1 = 3! перестановок. Других перестано-
вок нет.
23
Действительные числа
Рассмотрим теперь п элементов х19 х2, ...» хп. Они расположены
в порядке возрастания номеров и образуют определенную переста-
новку.
При другом расположении, например когда номера убывают:
хп, хп_19 ...» хг (п 2), они образуют другую перестановку.
Перестановка из п элементов — это расположение их в определен-
ном порядке. Таким образом, различные перестановки из п элемен-
тов соответствуют различным расположениям (в том или ином поряд-
ке) этих п элементов. Количество перестановок из п элементов обозна-
чают Рп (от фр. Permutation — перестановка) и читают: «пэ из эн».
Для любого натурального числа п справедлива формула
= п! (3)
Для п = 1 эта формула очевидно верна, для п = 2, 3 формула (3)
уже проверена. Докажем справедливость формулы (3) для всех
натуральных п методом математической индукции.
Для п = 1 эта формула справедлива: Рх = II = 1 (из одного эле-
мента можно составить только одну перестановку).
Предположим, что для п = k формула (3) справедлива, т. е.
Pfc = А?!
ft
Докажем, что тогда для п — k + 1 формула (3) тоже справедли-
ва, т. е.
Р* + 1 = (Л+1)!
Чтобы получить всевозможные перестановки из (k + 1) элемен-
тов: х19 х2, х3, ..., xk+ на первое место поставим какой-нибудь эле-
мент Х-. (j = 1, 2, 3, ...» k + 1), а за ним остальные k элементов, рас-
положенные всеми возможными способами. Количество таких
расположений (перестановок из k элементов), по нашему предполо-
жению, равно Pk = k\ Так как число элементов х,- равно (k + 1), то
количество перестановок из {k + 1) элементов равно
Pfc+1 = (fc+!).£! = (£+1)!
Тем самым на основании принципа математической индукции
доказана справедливость формулы (3) для всех натуральных п. •
1.46 Вычислите:
а) 5!; б) 6!;
2000!
1999!
15!
10!-5!
121-6!
ж)
51 + 61+ 7!
81-7! ’
1.47
Докажите, что для любого натурального п верно равенство:
а) п\ + (п + 1)! = п! (п + 2);
б) (п + 1)! — п! = и! п;
в) (п - 1)! + п! + (п + 1)! = (n + I)2 (п - 1)!;
г) (п + 1)! - л! + (п - 1)! = (п2 + 1) (п - 1)!;
(«+ 1)! _ „2 , (П - 1)! «I _ 1
Д) — Л "1“ П, е) — •
(п — 1)! пЛ (п + 1)! п(п + 1)
Запишите в виде дроби:
. 1 п2 + 5п
а)-----------------;
(п + 1)! (п + 3)!
. 1________k
B)(fe-1)! (/?+!)!’
г)
п + 2 Зп + 2 ф
п! (п + 1)1’
1 /г3+ fe
(k - 2)! (k + 1)!’
1.49° Что называют перестановкой из л элементов?
1.50 Выпишите все перестановки из чисел 4, 5, 6. Чему равно Р3?
1.51
1.52
1.53
1.54
Выпишите все перестановки из элементов хх, х2, х3, х4. Чему
равно Р4?
Верно ли, что:
а) Р5 = 5 • Р4; б) Р6 = 6 • Р5;
в) Лоо = * Р99; г) Рп = л • Рп _ j?
Вычислите:
а) Ло • Л» 0) Р12 : Р10-
Множество, состоящее из шести элементов хх, х2, х3, х4,
х5, хб, упорядочили всеми возможными способами. Сколько
таких способов? В скольких случаях:
а) элемент хг будет первым по порядку;
б) элемент хг не будет ни первым, ни последним;
в) элемент хх будет первым, а элемент хб будет последним;
г) элемент хх будет первым, а элемент х6 не будет последним;
д) элемент хг будет стоять рядом с элементом х6;
е) элемент хг не будет стоять рядом с элементом х6;
ж) элемент хх будет стоять перед элементом хб?
1.55* Сколькими различными способами можно усадить в ряд трех
мальчиков и трех девочек так, чтобы никакие два мальчика
и никакие две девочки не оказались рядом?
1.56* Задача-шутка. Как-то раз в воскресенье семеро друзей зашли
в кафе, уселись за один столик и заказали мороженое. Хозяин
кафе сказал, что если друзья в каждое следующее воскресенье
будут садиться по-новому и перепробуют все способы посадки,
то с этого момента он обещает кормить их мороженым бес-
платно. Удастся ли друзьям воспользоваться предложением
хозяина кафе?
Действительные числа
1.5. Размещения
Пусть даны три элемента
(1)
Рассмотрим все возможные пары элементов, составленные из них:
3’
(2)
Других пар нет. Очевидно, что любая из этих пар отличается от
других либо хотя бы одним элементом, либо порядком следования
входящих в них элементов. Говорят, что каждая такая пара есть
упорядоченная пара, т. е. упорядоченный набор из двух элементов,
составленный из трех данных элементов (1).
Пусть заданы п элементов
(3)
Из них при k С п можно составить наборы из k элементов, отли-
чающихся друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо поряд-
ком следования входящих в них элементов. Говорят, что каждый та-
кой набор есть упорядоченный набор из k элементов, составленный
из п данных элементов (3).
Размещением из п элементов xv х2, х3, ..., хп по k называют
любой упорядоченный набор из k элементов, составленный из дан-
ных п элементов.
Количество размещений из п элементов по k обозначают через
А* (от фр. Arangement — размещение) и читают: «а из эн по ка».
Очевидно, что А* = п, так как из п элементов выбрать один
элемент можно п способами.
Найдем — число размещений из п элементов по два. Вы-
брать первый элемент можно п способами, для каждого из них вы-
брать еще один элемент из оставшихся (п - 1) элементов можно
(п - 1) способами. Тогда из п элементов можно составить п (п - 1)
упорядоченных пар элементов, т. е.
А„ = п (п - 1).
(4)
Выше выписаны все 6 размещений из трех элементов хт, х2, х3
по два (см. (2)). Тот же результат получим по формуле (4): А% = 3-2.
Других размещений нет.
Вычислим А$. Как мы уже знаем, выбрать два элемента из п
можно = п (п — 1) способами. Присоединить к каждой выбранной
паре элементов еще один элемент из оставшихся (п — 2) элементов
можно (и - 2) способами, т. е. А3п — А% • (п — 2) = п (п — 1) (п — 2).
Аналогично А* = А„ • (п - 3) = п (п — 1) (п - 2) (п - 3).
26
кок
Для любого натурального числа k С п справедлива формула
А* = п(п - 1)(п - 2) •• (л. - fe + 1). . (5)
fl
Докажем формулу (5) методом математической индукции.
Заметим, что если k 2, то в правой части равенства (5) имеет-
ся k множителей, если k = 1, то А1 = п.
Будем вести индукцию по k.
При k = 1 равенство (5) справедливо, так как Л? = п.
Предположим, что для k = i равенство (5) справедливо, т. е. что
Aln = п (п — 1) (п — 2) • ... • (п - i + 1).
Докажем, что для k = i + 1 равенство (5) также справедливо, т. е. что
А^+1 = и (и - 1) (п - 2) • ... • (и — (Z + 1) + 1) =
= и (и - 1) (п - 2) • ... • (n - I).
По нашему предположению, выбрать группу из п элементов по i
можно А'п = п(п - 1) (и — 2) • ... • (n — i + 1) способами. Присоеди-
нить к каждой выбранной группе из i элементов еще один элемент
из оставшихся (п - i) элементов можно (n - Z) способами, т. е. дей-
ствительно
а'+1 = а‘
п п
(n - i) = n (п - 1) (п - 2) • ... • (n — i + 1) (п — £)•
Поэтому согласно принципу математической индукции для лю-
бого k п справедливо равенство (5), что и требовалось доказать. *1?
Заметим, что любое размещение из п элементов по п — это одна
из перестановок из п элементов, поэтому Апп = Рп-> т. е.
Апп = п (п - 1) (п - 2) • ... • 3 • 2 • 1 = п\
ПРИМЕР. Сколькими способами можно распределить два биле-
та на разные кинофильмы между семью друзьями?
Число способов, которыми можно распределить два билета на раз-
ные кинофильмы между семью друзьями, равно А* = 7 ♦ (7- 1) = 42.
Чтобы в этом убедиться, выпишем все возможные размещения
в виде двузначных чисел, первая цифра которых показывает, како-
му другу достался первый билет, вторая — какому второй:
12, 13, 14, 15, 16, 17,
21, 23, 24, 25, 26, 27,
71, 72, 73, 74, 75, 76.
В каждой из семи строк по 6 размещений — всего 7 • 6 = 42
размещения, т. е. число способов распределения двух билетов в дан-
ной задаче равно 42.
27
Действительные числа
1.57 Выпишите все размещения из четырех элементов хр х2, х3, х4
по два. Чему равно А2а?
1.58
Вычислите:
а) А2; б) А2;
Докажите, что А
г) А*;
Д) А?;
е) А*.
1.59
Вычислите:
k _ п!
п (тг - £)!’
е)
1.60 Сколькими различными способами можно распределить меж-
ду шестью лицами: а) две; б) три; в) четыре разные путевки
в санатории?
Найдите натуральное число х, для которого выполняется ра-
венство:
а) А2 = 72;
Л»
в) А2 + 1 =90;
д) А®., - А® . = 96;
б) А2 , = 110;
г) А® - А2 = 0;
е) Aj + j + А* = 144.
1.6. Сочетания
Сочетанием из данных п элементов по k называют любую груп-
пу из k этих элементов (1 k п).
Например, из трех элементов хр х2, х3 можно составить следу-
ющие сочетания по два элемента:
х2, х3.
Других сочетаний из рассматриваемых трех элементов по 2 нет.
Приведем сочетания из четырех элементов хр х2, х3, х4 по 3:
Подчеркнем, что понятие сочетания не связано с расположением
(порядком) элементов. Если в данном сочетании переставить каким-
либо образом его элементы, то оно (как сочетание) не изменится.
Число сочетаний из п элементов по k обозначают Ckn (от фр.
Combination — сочетание) и читают: «цэ из эн по ка».
g&28
Для любого натурального k С п справедлива формула
' 'га (^ ~ 1) * ••• * (га “ & 4* 1) • i
С, _. • •
!Mf»s"5S5a2aB5ssiiSaSKsaass®esSM5S5SSMS8eassaBS
(i)
Вычисляя число размещений, мы получили пары, отличающие-
ся порядком элементов, например ххх2 и х2хх. Из двух элемен-
тов можно составить две перестановки, т. е. Р2 упорядоченных
пар, поэтому А2п = Р2• С2, так как число размещений равно
количеству групп — С2, умноженному на число перестановок внут-
ри группы — Р2.
Для любого k С п количество размещений из п элементов по k
можно вычислить по формуле
Ak=P^Ch. (2)
л k п 4 '
Действительно, из п элементов можно составить С* групп по k
элементов, а в каждой группе можно выполнить Pk перестановок.
Таким образом, число всех размещений А„ равно произведению
числа групп С* и числа перестановок внутри этих групп РЛ, т. е.
справедлива формула (2). Следовательно,
k _ Ап _ га (п - • (n - fe + 1)
п~ Рк k\
что и требовалось доказать, ф
ПРИМЕР. Сколькими различными способами из семи участни-
ков математического кружка можно составить команду из двух че-
ловек для участия в олимпиаде?
Так как порядок, в котором будут выбраны два человека, без-
различен, то число равновозможных случаев составить команду
zi2 7*6 О1
равно С7 = ——- = 21.
Справедливы формулы
С* =----—----, (3)
п k!(n-k)l
Скп=С2-к, (4)
С‘ + Сп + 1=<+Л- (5)
Докажем их.
В самом деле,
л* _ га (и - 1) •... • (n - k + 1) _ га (п - 1)«... • (n - k + 1)(п - fe)!
k! ~ kT(n^ k)!
— п’
~ Л! (га - /г)!’
29
Действительные числа
Р^ _ ft * _ ___ft *_ — k
П~ k\(n- k)\ ~ (п- k)lkl~ п
Qk С^ + 1 _ +
п п k\(n-k)\ (/?+ 1)! (л — k- 1)
п\
k\(n - k- 1)!
k + 1 + n — k
(n - k)(k + 1)
n!(n + 1)
k\(k + l)(n - k - 1)! (n - k)
____________(ft + 1)!________________________________ Qk +1
(k + 1)! ((n + 1) - (fe + 1))!_______n+1’
что и требовалось доказать. •
Замечание. Выше числа С* определялись для k 1. Иногда
удобно рассматривать число С9, по определению равное 1:
С° = 1.
При k = 0 формула (1) не имеет смысла, но формула (3) имеет
смысл. В самом деле, так как считается, что 0! = 1, то
^,0 _ ft! _ ft! _ ।
п ~ 0!(л-0)! ” 1-л! “
Но тогда при k = 0 имеют смысл также и формулы (4) и (5):
Qn = _-Hl— — = — = J = (J°
п п\{п-п)\ л!-0! л!*1
С° +С0 + 1= 1 + п = С1
п п п + 1
Поэтому в дальнейшем при использовании чисел С* будем
пользоваться формулой (3), считая, что 0 С k < п.
1.62 Выпишите все сочетания из пяти элементов хх, х2, х3, х4, х5
по два. Чему равно С|?
1.63 Вычислите:
1.64 Используя равенство С* = С” к, вычислите:
С9 • 61 С8 • в! рю. г\ р11. Т.Л р199. \ Z41999
Vi0, UJ ^12» 1J '-'12’ v200’ '-'2000*
1.65 Сколькими способами можно распределить две одинаковые
путевки между пятью лицами?
1.66 Сколькими способами можно присудить шести лицам три оди-
наковые премии?
1.67 В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно:
а) назначить двух дежурных;
б) выбрать 28 человек для участия в осеннем кроссе?
3<!
1.69
1.70
1.68 Вычислите:
Вычислите
Докажите равенство:
а) С? + 20® + С? = 2С2п;
в) С*2
1.71 При встрече п друзей обменялись рукопожатиями. Определи-
те число рукопожатий.
1.72 В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым
по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите
число участников турнира.
1.7? В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими спо-
собами из них можно составить команду на районную олимпиа-
ду по математике, если от класса можно послать команду:
а) из четырех человек; б) от двух до четырех человек?
1.74 Найдите число всех подмножеств данного множества, содер-
жащего п элементов (п — любое натуральное число).
1,7*. Доказательство чис ловых неравенств
При доказательстве числовых неравенств используются следую-
щие утверждения, которые являются основными свойствами дейст-
вительных чисел (см. п. 1.2) или их следствиями:
1. Для любых действительных чисел а, b и с из справедливо-
сти неравенств а < Ь и Ъ < с следует справедливость неравенства
а < с (свойство транзитивности неравенств).
2. Для любых действительных чисел a, ft, с и d из справедли-
вости неравенства а < Ъ и с < d следует справедливость неравен-
ства а + с < b + d (одноименные числовые неравенства можно
почленно складывать). - —>
3* 3. Для любых положительных чисел о, Ь, с и d из справедли-
вости неравенств а < b и с < d следует справедливость неравенст-
ва ас < bd (одноименные числовые неравенства с положительны-
ми членами можно почленно перемножать), '{Л * 1
Дой('ТП1|гельные числа
4. Для любых действительных чисел а, b и с из справедливости
неравенства а < Ъ следует справедливость неравенства а + с <
• < b + с (к обеим частям неравенства можно прибавить любое число).
5. Для любых действительных чисел а, b и любого положи-
тельного числа с из справедливости неравенства а < Ъ следует
справедливость неравенства ас < Ьс (неравенство можно умно-
< жить или разделить на любое положительное число).
Отметим, что утверждения 1—5 остаются справедливыми, если в
них знаки строгих неравенств заменить на знаки нестрогих неравенств.
Рассмотрим примеры доказательства неравенств с помощью
свойств неравенств 1—5.
ПРИМЕР 1. Докажем, что для любых положительных чисел
а и Ъ справедливо неравенство
г
ab.
2
(1)
- " • • Г » - - л, и
- *
а и -Jb — действительные числа для любых положи-
Так как
тельных чисел а и Ь, то неравенство
(у/a -yjb) 0 (2)
справедливо для любых положительных чисел а и b (квадрат дейст-
вительного числа неотрицателен).
Применяя формулу квадрата разности и учитывая, что для лю-
бых положительных чисел а и b верны равенства
(4а) = а и (y/b)2 = Ь,
перепишем неравенство (2) в виде
а - 2 Vab + b 0. (3)
На основании утверждения 4 из справедливости неравенства (3)
следует справедливость неравенства
a + b>2y/ab. (4)
На основании утверждения 5 из справедливости неравенства (4)
следует справедливость неравенства (1), что и требовалось доказать.
Отметим, что левую часть неравенства (1) называют средним
арифметическим чисел а и Ь, а правую часть — средним геометри-
ческим чисел а и Ъ. Поэтому свойство, выраженное неравенст-
вом (1), формулируют так:
Среднее арифметическое двух положительных чисел не мень-
L J > ' ' • » ' << К * .
ше их среднего геометрического.
• гл Al v » 41 I -,г* < Л # в4 • f - S •
•»j А ° < . • . > , * . > * • J ( • • . . » » ш - г’Ч к • <* ( -ж- -Ь - * *4* “Ч** <**>* f '
i- А
ПРИМЕР 2. Докажем, что для любых положительных чисел х
справедливо неравенство
X + | > 2. (5)
Рассмотрим неравенство
(6)
в левой части которого записано среднее арифметическое положи-
тельных чисел х и —, а в правой — их среднее геометрическое. Сле-
•X*
довательно, неравенство (6) справедливо на основании неравенства
между средним арифметическим и средним геометрическим.
Но тогда на основании утверждения 5 справедливо неравен-
ство (5), что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 3. Докажем, что для любых положительных чисел а,
Ьис справедливо неравенство
(а + Ь)(Ъ + с) (а + с) > 8abc. (7)
Из справедливости неравенства для среднего арифметического
и среднего геометрического двух положительных чисел следует
справедливость неравенств
а + Ъ > 2
а + с 2 Jac,
Ъ + с 2 4bc.
Перемножая почленно эти неравенства, на основании утвержде-
ния 3 получим, что справедливо неравенство (7), что и требовалось
доказать.
ПРИМЕР 4. Докажем, что для любых положительных чисел
а и b справедливо неравенство
4 (а3 + Ь3) > (а + Ь)3. (8)
Рассмотрим выражение А — 4 (а3 + Ь3) - (а + Ь). Сначала преоб-
разуем его:
А = 4 (а + b) (а2 - ab + Ь2) - (а + Ь) (а2 + 2аЬ + Ь2) =
= (а + 6) (4а2 - 4аЬ + 4Ь2 -а2 - 2аЬ - Ь2) =
= (а + Ь) (За2 - 6ab + 3d2) = 3 (а + Ь) (а - Ь)2.
Так как а > 0 и Ъ > 0, то А > 0, т. е. доказана справедливость
неравенства
4 (а3 + Ь3) - (а + 6)3 > 0. (9)
По утверждению 4 из справедливости неравенства (9) следует
справедливость неравенства (8), что и требовалось доказать.
- 33
Действительные числа
ПРИМЕР 5. Докажем, что для любого натурального числа п
справедливо неравенство
(10)
4п2
(2п + I)2 2п 2п -I- 2
Левую часть неравенства (10) можно записать в виде
2
а правую — в виде —$-----.
4п2+ 4п
Так как 4n2 + 4n + 1 > 4п2 + 4п > 0 для любого натурального
числа п, то по утверждению 5
___2
4п2 ч
и неравенство (10) доказано.
ПРИМЕР 6. Докажем
справедливо неравенство
что для любого натурального числа п
2
(11)
Применяя неравенство
(10) и утверждение 2, получаем, что
2
(12)
Но правая
часть этого неравенства меньше —, поэтому
2
Деля обе части этого неравенства на 2, получим неравен-
ство (11). Справедливость неравенства (11) доказана.
Отметим, что, строго говоря, доказательство неравенства (12)
надо проводить методом математической индукции.
ПРИМЕР 7. Пусть а и Ъ — любые действительные числа, такие,
что а + & = 2. Докажем, что справедливо неравенство
а4 + Ь4 5= 2. (13)
Обозначим а — 1 4- с, тогда b = 1 -с, где с — некоторое действи-
тельное число, и
а4 + Ь4 = (1 + с)4 + (1 - с)4 = 2 + 12с2 + 2с4. (14)
Так как 2 + 12с2 + 2с4 > 2 для любого действительного числа с,
то из справедливости равенства (14) следует справедливость нера-
венства (13), что и требовалось доказать.
1.75° Сформулируйте свойства числовых неравенств.
1.76 Докажите, что для любых
справедливы неравенства:
действительных чисел а, Ь, с, х
и) (а2 - b2)2 4аЬ (а - Ь)2;
„ х2+9
б) —>х;
г) х4 - 4х2 + 5 > 0;
е) (а + Ь)2>4аЬ;
з) 2а2 + Ь2 + с2>2а(д + с);
к) а2 + Ь2 + с2 ab + Ъс + ас.
Для любых действительных чисел а, Ь, с, х докажите, что:
а) если а + b > 0, то а8 + Ь3 > a2b + ab2;
б) если а > 0, то а + — 2;
а
2 1
в) если а Ф 0, то а + —г- 2;
(Г
г) если ab > 0, то — + — 2;
Ь а
д) если а > 0, Ь > 0, то Job > ;
а + b
если
ab > 0, то (а + Ь)
ж)
если а >
0, то (1 + а)
з)
и)
к)
если а + 0, а Ф 0, b 0, то Д- + —— + -;
Ъ2 а2 а Ъ
если а> 0, Ь > 0, с > 0, то — + — + — ^а + fe + c;
с Ь а
если 0 < а < Ъ, то а8 < Ъ3.
1.78 Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треуголь-
ника меньше куба гипотенузы.
1.79 * Докажите, что:
. 1 3 5 79 1.
а) 2 4 6 * * 80 < 9*
2 4 6 240 1
3 5 7 “*241 11*
1.80 Задача Паппа Александрийского (III в.). Докажите, что если
, . ас
а, о, с и а — положительные числа и — > —, то выполняется
, b d
неравенство ad > be.
35
Действительны*» числа
1.81* Задача Евклида (III в.). Докажите, что если а — наибольшее
, j а с
из четырех положительных чисел а, Ь, с, а и — = —, то спра-
ведливо неравенство а + d > Ъ + с. & &
1.82* Докажите, что для любого натурального числа п справедливо
неравенство:
а) — + -J— + +... +---------< 1;
1-2 2-3 3-4 п • (п + 1)
б) 1 + 1 + 1 + + 1 < 1.
' 4*5 5-6 6-7 (п + 3) • (и + 4) 4’
. 1 + 1 + 1 + +__________________1_______< 1.
В) 1-5 5-9 9 13 (4n-3) (4n+1) С 4’
х 1 , 1 , 1 г L 1 1
Г) 22 * 42 62 (2п)2 2’
ч 1 , 1 , 1 , , 1 1
Д) З2 52 72 (2л+1)2 С 4*
1.83* Докажите, что для любых действительных чисел а и Ь:
а) если а + b = 3, то а2 + Ь2 > 4,5;
б) если а + b - 4, то а2 + Ъ2 8;
в) если а + b = 1, то а4 + Ь4 ;
8
г) если а + Ъ - 4, то а4 + Ъ4 32.
1.8*. Делимость целых чисел
1. Делимость натуральных чисел. Говорят, что натуральное
число п Rejiwvcsi (нацело) на натуральное число тп, если существует
такое натуральное число q, что справедливо равенство п - mq. Каж-
дое из чисел т и q называют делителем числа п. У каждого нату-
рального числа п > 1 есть два делителя 1 и п.
Если у натурального числа п > 1 нет других делителей, кроме 1
и и, то это число называют простым. Если у натурального числа п > 1
есть делители, отличные от 1 и п, то это число называют составным.
Ясно, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Справедлива основная теорема арифметики.
ТЕОРЕМА. Каждое натуральное число п > 1 можно предста-
вить единственным образом в виде произведения простых чисел.
< им w ь * gy м * jgw jy . м ь .лип I а а- к ж ш 4 ИИ 1Г> 4 Жж И -ДЩ *< > j ЛВ jPrrjy и Y
• у
Например, 13 = 13, 21 = 3 • 7, 36 = 2 • 2 • 3 • 3 = 22 • З2.
36
При решении многих задач используется следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если каждое из двух натуральных чисел а и Ь де-
лится на натуральное число с, то их сумма и разность делятся на с.
Если два натуральных числа т и п имеют наибольший общий
делитель d, то пишут d = (т, п). Если d = 1, то числа тип называ-
ют взаимно простыми числами.
Докажем, например, что числа 2005 и 2011 взаимно простые.
Если числа 2005 и 2011 имеют общий делитель d, то по теоре-
ме 1 их разность 6 делится на d. Таким образом, общие делители
чисел 2005 и 2011 надо искать среди делителей числа 6. Но 2005 не
делится ни на 2, ни на 3, ни на 6. Следовательно, (2005, 2011) = 1,
т. е. числа 2005 и 2011 взаимно простые, что и требовалось до-
казать.
Справедливо следующее утверждение.
ЛЕММА. Пусть натуральные числа т, п и q таковы, что
п - mq и п имеет делитель d такой, что (т, d) = 1, тогда число q де-
лится на d.
Например, 777 делится на 7, а (7, 3) = 1, тогда из равенства
777 = 3 • 259 следует, что 259 делится на 7.
2. Деление целых чисел с остатком. Разделить с остатком це-
лое число а на отличное от нуля целое число b — значит найти два
таких целых числа q и г, что
а — bq + г (1)
и
0 г < | Ъ |, (2)
и при этом число q называют неполным частным, число г — остатком.
Подчеркнем, что в этом определении г — число неотрицательное.
Если г = 0, то говорят, что число а делится на b нацело и тогда q
называют полным частным, а число b — делителем числа а.
Рассмотрим случай деления на натуральное число Ъ.
ТЕОРЕМА 2. Для любой пары чисел а е Z и Ъ е N существует
и притом только одна пара целых чисел г и q таких, что выполня-
ются условия (1) и (2).
Дока зательство.
1) Пусть а = 0, b е. N, тогда пара г = q = 0 удовлетворяет усло-
виям (1) и (2).
2) Пусть а е N, beN, тогда рассмотрим числа
b • 0, Ъ • 1, b • 2, Ъ • 3, ..., Ъ • /г, b • (k + 1), ...
Как следствие Архимедова свойства действительных чисел по-
лучим, что существует целое неотрицательное число k такое, что
bk < а < b (k + 1).
Действительные числа
Но тогда а = bk + г, где г = а — д/г О и г < д, так как
г = а - bk < b (k + 1) - bk = b.
Это значит, что нашлись q и г, удовлетворяющие условиям (1)
и (2).
3) Пусть а отрицательно и | а | е N, b 6 7V, тогда по доказанно-
му в пункте 2) существуют целые числа qx и гх, такие, что а | =
= bq^ + гг и О^г1<Ь.
Так как | а | = -а, то отсюда получаем, что —а — bqx + т\ или
а = -bqx - rr
Если Tj = 0, то обозначив q = получим, что справедливо ра-
венство а = bq + 0.
Если t-j > 0, то обозначив q = ~(qx + 1), г — b - получим, что
справедливо равенство а = bq + г, где 0 г < д.
Это значит, что нашлись целые числа q и г, удовлетворяющие
условиям теоремы.
Итак, показано, что для любых а е Z и b е N существует пара
целых чисел q и г, удовлетворяющая условиям (1) и (2). Докажем
теперь, что такая пара единственная.
Предположим противное: пусть справедливы два равенства:
а = bqx + гг и а = bq2 + г2, где 0 г\ < b и 0 г2 < Ь.
Тогда справедливо равенство
Г1 - г2 = 6 (92 - 91).
Предположим, что q2 > qv тогда из равенства (3) следует, что
j\ = b (q2 - qj + r2 b. Получилось противоречие с условием гг < Ь,
Если предположим, что q2 < q19 то тоже получим противоречие.
Следовательно, q2 = q19 но тогда и г\ = г2. А это означает, что пара q
и г единственная. Теорема 2 доказана.
При делении целого числа а на натуральное число m может по-
лучиться только m остатков: 0, 1, 2, 3, ... , m - 1. Поэтому множест-
во Z всех целых чисел можно разбить на m непересекающихся клас-
сов, в каждый из которых входят те и только те целые числа,
которые при делении на пг дают остаток г (г = 0, 1, 2, ... , ш - 1).
Это свойство целых чисел часто применяют при решении задач.
ПРИМЕР. Найдем все целые числа, которые при делении на 3
дают остаток 2, а при делении на 2 дают остаток 1.
При делении на 6 могут получиться остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ра-
зобьем множество всех целых чисел на ш непересекающихся клас-
сов чисел вида 6п + г, где г= 0, 1, 2, ..., 5.
Нетрудно убедиться, что лишь для чисел, имеющих вид 6п + 5,
где n е Z, выполняются оба условия задачи.
Ответ. Числа вида би + 5, где п е Z.
Х,38
1.84 Определите целые числа m, n, k и р, для которых справедливо
равенство:
а) 2т + п 3й + 1 • 57 • 712 = 27 " п • З7 • 5т +р • 7т + " + й;
б) 2Р ~ т . 75” • Зр • 7т + 4 = 21й • 27 • 5Р • 14” • 2”1.
1.85 Докажите, что числа:
а) 1997 и 1999; б) 1997 и 2002;
в) 2001 и 2006; г) 2003 и 2009
являются взаимно простыми числами.
1.86
Докажите, что дроби:
. 1997
а) ----
1999
2007 ч 2011
----; в) -------;
1999 2027
3333
3365
являются несократимыми.
1.87 Докажите, что произведение:
а) двух последовательных натуральных чисел делится на 2;
б) трех последовательных натуральных чисел делится на 6;
в) четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.
1.88 Найдите все целые числа, которые при делении и на 4, и на 3,
и на 2 дают остаток 1.
1.89 Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают
остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2
дают остаток 1.
1.90 Докажите, что сумма кубов трех последовательных натураль-
ных чисел делится на 9.
1.9*. Сравнения по модулю т
Описанный в конце п. 1.8 прием разбиения множества Z на
классы может быть описан с помощью нового понятия: сравнения
по модулю т.
Пусть т — данное натуральное число (т 2). Целые числа а
и Ъ называют сравнимыми по модулю т, если каждое из них при
делении на т дает один и тот же остаток г.
Иными словами, целые числа а и Ъ сравнимы по модулю ?п,
если разность а — Ь при делении на т дает остаток 0.
Для обозначения того, что целые числа а тх.Ь сравнимы по моду-
лю тп, используют такую форму записи:
а = Ъ (mod zn),
что читают так: «а сравнимо с Ъ по модулю тп». Знак = называют
знаком сравнения.
39
Де йствмтел ьн >» е числа
ПРИМЕР 1. 1) 100 = 1 (mod 9), так как 100 — 1 делится на 9;
2) 1000 = -1 (mod 11), так как 1000 - (-1) делится на 11.
Свойства сравнений очень похожи на свойства равенств. Сфор-
мулируем некоторые из них.
1. Если а = b (mod т) и b = с (mod тп), то а = с (mod т).
2. Если а = b (mod т) и с = d (mod тп), то: а) а + с =
= b + d (mod m); б) а - с = b - d (mod m); в) ас = bd (mod тп).
3. Если а = b (mod m), то ап = bn (mod m), п е N.
4. Пусть Рп (х) = апхп + ап _ ххп ” 1 + ... + ахх + а0 — многочлен
n-й степени от х с целыми коэффициентами. Тогда если
а = b (mod m), то Рп (а) = Рп (b) (mod т).
Приведем примеры применения сравнений.
ПРИМЕР 2. Докажем, что 622 - 1 делится на 7.
Так как 6 = —1 (mod 7), то 622 = (—I)22 (mod 7) (по свойству 3).
Так как (-1)22 = 1, то 622 = 1 (mod 7). Это означает, что 622 - 1 де-
лится на 7, что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 3. Найдем остаток от деления 229 на 11.
Так как 2° = -1 (mod 11), то (25)5 = (-1)5 (mod 11), т. е.
225 = -1 (mod 11). Так как 24= 5 (mod 11) и 229 = 225 • 24, то
229= 5-(-l)(mod 11), т. е. 229= -5 (mod 11). Так как —5 = 6 (mod 11),
то остаток от деления 229 на 11 равен 6.
ПРИМЕР 4. Докажем признак делимости на 9: если сумма
ап + ап _ j + ... + аг + а0 цифр натурального числа = апап _ х... а0 =
= ап • 10" + ап _ х • 10"“ 1 + ... + ах • 10 + а0 делится на 9, то и чис-
ло N делится на 9.
Пусть N = ап -10" + • Ю" “ 1 + ... + ах • 10 + а0 — натураль-
ное число, а0, а2, ...» ап — его цифры, ап 0. Рассмотрим много-
член n-й степени
Рп(х)= апхп
+ ахх
о
Так как 10 = 1 (mod 9), то N = Рп (10) = Рп (1) (mod 9), где
Рп(1) = ап + ап _ х + ... + ах + а0 (по свойству 4), т. е. при делении
на 9 число N и сумма его цифр имеют одинаковые остатки. В част-
ности, если сумма ап + ап х + ... + ах + а0 делится на 9, то и чис-
ло N делится на 9 (признак делимости на 9 доказан).
Из этого рассуждения вытекает, что верно и обратное утвержде-
ние: если число N делится на 9, то и сумма его цифр ап + ап_х +
+ ... + ах + а0 делится на 9.
40
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
1.100
Докажите признаки делимости на:
а) 10; б) 2; в) 5; г) 3; д) 9; е) 4; ж) 25.
Сформулируйте признак делимости на 11 и докажите его.
Верно ли, что целые числа а и Ь сравнимы по модулю тп,
если они принадлежат одному и тому же классу At (i = 0, 1,
2, ... , т — 1)?
Докажите свойства 1—4 сравнений.
Определите остаток от деления числа З25 на:
а) 10; б) 11; в) 13.
Не выполняя деления, определите остаток от деления числа
200420052006200720082009 на 9.
Пусть Рч (х) = х3 — 4х2 + 5х + 1. Определите последнюю циф-
ру числа Р3 (10200°).
Пусть Р2004 (x) = -*2004 “ х2003 + х2002 — х2001 ... — х + 1. Опре-
делите последнюю цифру числа Р2оо4 (ЮО2000).
Докажите, что квадрат любого натурального числа либо де-
лится на 9, либо при делении на 3 дает остаток 1.
Найдите последнюю цифру числа 9^.
1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными
Выясним, можно ли при помощи монет 2 р. и 5 р. заплатить за
покупку 12 р.
Если обозначить через х число монет по 2 р., через у — число
монет по 5 р., которые надо уплатить за покупку, то по условию за-
дачи должно выполняться равенство
2х + 5г/ = 12,
(1)
и задача свелась к нахождению целых решений уравнения (1).
Уравнение (1), а значит и наша задача имеют бесконечно много
решений:
1) х = 1, у = 2; 2) х = 6, у = 0; 3) х = -4, у = 4 ... .
Отметим, что отрицательное значение х (или у) означает, что по-
купатель получил сдачу в | х | монет по 2 р. (или в | у | монет по 5 р.).
Уравнение (1) является примером диофантовых уравнений —
уравнений с несколькими неизвестными, решения которых ищут-
ся в целых числах. Подобные уравнения возникают в некоторых
задачах математики, физики, экономики и т. д. Название «дио-
фантовы» дано им по имени древнегреческого математика Диофан-
та (Ш в.).
41
Действительные числа
Простейшее из диофантовых уравнений
степени:
ах + by = с,
уравнение первой
(2)
где а и b — целые отличные от нуля числа.
Если с = 0, то уравнение (2) имеет очевидное решение (0; 0).
Если с * 0 и уравнение (2) имеет решение (х0, у0), то целое чис-
ло axQ + by0 делится на d = (а, Ь), поэтому с также должно делиться
на наибольший общий делитель а и Ь. Следовательно, если с не де-
лится на наибольший общий делитель чисел а и Ь, то уравнение (2)
не имеет решений.
Например, уравнение Зх + бу = 5 не имеет решений, так как 5
не делится на 3 = (3, 6).
Если с делится на d — наибольший общий делитель чисел а
и Ъ9 то уравнение (2) можно упростить, разделив его на d. Получит-
ся уравнение
агх + Ьху = ср
где (ар Ьх) = 1, т. е. ах и Ь1 — взаимно простые числа.
Если уравнение (2) имеет решение (х0, у0) и (a, b) = 1, то все ре-
шения уравнения (2) задаются формулами
х = х0 + Ъп9 у = у0- ап,
(3)
где п — любое целое число.
Решение (х0, г/0) называют частным решением, а решение, за-
даваемое формулой (3), называют общим решением уравнения (2).
Действительно, если уравнение (2) имеет решения (х0, г/0)
и (хр j/j), то справедливы равенства
ах0 + Ьу0 =
axi + by, =
откуда получаем, что
a (Xj - х0) = b (у0 - yj.
(4)
Левая часть равенства (4) делится на а, следовательно, и правая
его часть делится на а, но так как (a, b) = 1, то на основании леммы
заключаем, что у0 - ух делится на а, следовательно, существует та-
кое целое число п, что у0 - ух = па, т. е. ух = yQ - па. Но тогда из ра-
венства (4) следует, что хг = х0 + Ьп. Следовательно, все решения
уравнения (2) задаются формулами (3).
Итак, если (a, b) = d 1 и с не делится на d9 то уравнение (2) не
имеет решений.
Если (a, b) = d Ф 1 ис делится на d, то, разделив уравнение (2)
на d, надо перейти к случаю (ар bx) = 1.
Прежде всего отметим, что частное решение иногда можно най-
ти подбором. Например, найдем частное решение уравнения
Зх + 5г/ = 13.
Так как (3, 5) = 1, то это уравнение имеет бесконечно много ре-
шений. Одно из них очевидно: х0 = 1, у0 = 2. Поэтому все решения
этого уравнения задаются формулами х = 1 + 5n, I/ = 2 - 3n, n е Z.
ПРИМЕР 1. Задача Л. Эйлера. Некий чиновник купил лошадей
и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 тале-
ру, а за каждого быка — по 21 талеру. Сколько лошадей и быков
купил чиновник?
Пусть чиновник купил х лошадей и у быков. Тогда
31x + 21t/= 1770. (5)
По смыслу задачи х и у натуральные числа. Так как 21 и 1770
делятся на 3, а 31 не делится на 3, то по теореме 1 и лемме (п. 1.8)
х делится на 3. Обозначив х = Зхр где xt — натуральное число, пе-
репишем уравнение (5) в виде
31Xj + 7у = 590,
откуда получим, что
590 - 7у 7у-
х =-------* = 19---2—
1 31 31
Очевидно, что хг будет натуральным числом, если 7у — 1 делит-
ся на 31. Наименьшее натуральное у, при котором это произойдет,
равно 9. При этом хг = 17, х = 51.
Итак, найдено частное решение уравнения (5): х0 = 51, i/0 = 9.
Другие решения найдет, выписав общее решение уравнения (5):
х = 51 + 21п, у = 9 - 31п, п g Z.
Так как у = 9 — наименьшее натуральное число, удовлетворяю-
щее условию задачи, то следующие натуральные значения у полу-
чим, беря п = -1, -2, -3, ... .
При п = -1 получим х = 30, у = 40; при п — -2 получим: х = 9,
у = 71; при п С -3 получим отрицательные значения х, которые не
удовлетворяют условиям задачи.
Таким образом, уравнение (5) имеет только 3 решения в нату-
ральных числах: (51; 9), (30; 40), (9; 71).
Ответ. Чиновник купил лошадей и быков 9 и 71, или 30 и 40,
или 51 и 9 соответственно.
Рассмотрим теперь диофантовы уравнения степени п (п> 1).
Прежде всего отметим два знаменитых диофантова уравнения:
уравнение Пифагора
X2 + у2 = г2 (6)
и уравнение Ферма
хл + уп = z\ п е N, п > 3, (7)
решения которых ищутся в натуральных числах.
Если считать, что х и у — длины катетов, az — длина гипотену-
зы прямоугольного треугольника, то каждое решение уравнения (6)
43
Действительные числа
задает стороны так называемого пифагорова треугольника, т. е. сто-
роны прямоугольного треугольника, длины всех сторон которого —
натуральные числа.
Большая (великая) теорема Ферма гласит: уравнение (7) не
имеет решений в натуральных числах. Эта теорема была сформули-
рована итальянским математиком П. Ферма более 300 лет назад,
а доказана лишь в 1993 г.
Отметим, что нет общих методов решения диофантовых уравне-
ний. Ниже приведены два частных метода решения простых дио-
фантовых уравнений.
Некоторые из них решаются с использованием разложения на
множители.
ПРИМЕР 2. Решим в целых числах уравнение
х2 - 4 г/2 = 5. (8)
Перепишем уравнение (8) в виде
(х - 2у) (х + 2у) = 5.
По условию х и у — целые числа, поэтому произведение целых
чисел равно 5 лишь в четырех случаях:
Решив каждую из этих систем, найдем все решения уравне-
ния (8) в целых числах:
(3; 1), (-3; -1), (3; -1), (-3; 1).
Ответ. (3; 1), (-3; -1), (3; -1), (-3; 1).
Некоторые диофантовы уравнения решаются выделением пол-
ных квадратов.
ПРИМЕР 3. Решим в целых числах уравнение
х2 + уг - 10х + 2у + 22 = 0. (9)
Перепишем уравнение (9) в виде
Так как х — 5 и у + 1 — целые числа, то сумма их квадратов
равна 4 = 22 лишь в четырех случаях
fx-5=2 (х-5=-2 fx-5=0 fx-5=0
[ г/ + 1 = 0, [ у + 1 = 0, [ у + 1 = 2, (у +1 = -2.
Решив каждую из этих систем, найдем все решения уравне-
ния (9) в целых числах:
(7; -1), (3; -1), (5; 1), (5; -3).
Ответ. (7; -1), (3; -1), (5; 1), (5; -3).
|Д44
1.101 Подберите частное решение диофантова уравнения первой
степени и запишите общее решение этого уравнения:
а) х + у = 5; б) 8х - у = 15; в) 5х 4- 7у = 17.
1.102 Объясните, почему не имеет решений в целых числах урав-
нение:
а) Зх + 12у = 5; б) 14х + 7у = 48; в) 2х + 10у = 27.
1.103 Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1180—1240 гг.).
Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за
каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две
горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голу-
бя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?
1.104
Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1703 г.). Купил некто
на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына,
утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всех куплено
80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил.
(1 алтын = 3 коп, 1 деньга — 0,5 коп.)
1.105 Найдите семь пифагоровых треугольников.
Решите в целых числах уравнение (1.106—1.107):
1.106
1.107
1.108
а) х (х + у} = 7;
в) (х + 2у) (2х - у) = -2;
д) 4х2 - у2 = 15;
а) х2 + у2 — 2х + 4у = -5;
в) ху + 4х - 2у - 11 = 0;
б) х (х - Зу) = 2;
г) ху - 2у + х = 3;
е) 9х2 + 16у2 = 25.
б) 4х2 + у2 - 4х + бу = -5;
г) ху - 2х - Зу + 1 = 0.
Докажите, что уравнение:
а) х2 - 4х + у2 4- 4у + 8 = 0 имеет единственное целочисленное
решение;
б) х2 - 4х + у2 +
4у -ь 9 = 0 не имеет решений.
§ 2. Рациональные уравнения
и неравенства
2.1. Рациональные выражения
Напомним, что одночленом называют число, букву, произведе-
ние букв и чисел, а многочленом — сумму нескольких одночленов.
Любой одночлен можно рассматривать как многочлен.
Например, За2Ь; а; 2; 0 — одночлены, За 4- 26; Зх2 — 4х 4- 5; 6;
0; с — многочлены.
45
Рациональные уравнения и неравенства
Многочлен называют нулевым, если он после приведения по-
добных членов превращается в число нуль.
Будем обозначать многочлены большими буквами латинского
алфавита А, В, С, D, ... .
Сумма, разность и произведение двух многочленов являются
многочленами. Если многочлен С представлен в виде
С = А • В,
где А и В — многочлены, то говорят, что многочлен С разложен на
множители А и В.
Разложение многочленов на множители бывает необходимо при
решении уравнений и других задач. Большую помощь в таких случа-
ях могут оказать изученные ранее формулы сокращенного умножения:
(а + Ь)2 = аг + 2аЬ + Ь2, (а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2,
(а + Ь)3 = а3 + За2Ь + Зад2 + Ь3, (а - Ь)3 = а3 - За2Ь + Зад2 - Ь3,
а2 - Ь2 = (а — Ь) (а + Ь),
а3 - Ь3 = (а - Ь) (а2 + ab + д2), а3 + Ъ3 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2).
Список формул сокращенного умножения можно продолжить.
В пункте 2.2 будут доказаны формулы для (а + д)п, ап - Ъп и
а2п ~ 1 + Ъ2п ~ 1 для любого натурального п.
Рассмотрим теперь частное двух многочленов.
Алгебраической дробью называют выражение — — частное от
деления многочлена А на ненулевой многочлен В, т. е. на много-
член, который после приведения подобных членов не обращается
в нуль. Алгебраические дроби подчинены правилам, выраженным
следующими равенствами:
для любого ненулевого многочлена С.
Таким образом, любой многочлен можно рассматривать как
алгебраическую дробь.
Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать
и делить по правилам:
1)
2)
3)
4)
A C
В D
A C
в: d
Aj_C
B*D*
A^D
BC\
где в правилах 1, 2, 3 В и D — ненулевые многочлены, в правиле 4
В, С и D — ненулевые многочлены.
Рациональным выражением называют выражение, в котором
несколько алгебраических дробей соединено знаками арифметиче-
ских действий, причем это выражение не содержит деления на ну-
левой многочлен.
тт За2 - 4 о с
Например,-------, За + 6 — рациональные выражения.
CL>
Если каждый одночлен многочлена является либо числом, либо
буквой, либо произведением числа и натуральной степени той же
буквы, то про такой многочлен говорят, что он «многочлен относи-
тельно одной буквы» или «многочлен от одной переменной». Приве-
дем примеры многочленов от одной переменной:
2х + 3, у3 - у - 4,5
За8 - 0,5
Аналогично определяют многочлен от двух, трех и т. д. пере-
менных. Приведем примеры многочленов от двух переменных:
х3 + 3i/4 + 4xi/2 - 1
Отметим, что в приведенных выше формулах сокращенного
умножения участвуют многочлены или произведения многочленов
от двух переменных.
Многочлен от нескольких переменных называют симметриче-
ским многочленом, если его вид не изменяется при любой переста-
новке этих переменных.
Например, многочлены х + г/, а2 + b2 — 1, zt и 5а3 + Gab + 5&3 —
симметрические многочлены от двух переменных, а многочлены
х + у + z, а3 + Ь3 + с3, Gzuv — симметрические многочлены от трех
переменных.
В то же время многочлены х - у, а2 — Ь2 и а3 + ab — Ь3 — не
симметрические многочлены.
Можно показать, что любой симметрический многочлен от двух
переменных х и у представим в виде многочлена от двух симметри-
ческих многочленов а = х + у и р = ху.
Покажем это для многочленов хп + уп, где п = 2, 3, 4:
1) х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = а2 - 2р;
2) х3 + у3 = (х + у)3 - Зху (х + у) = а3 - ЗаР;
3) х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (а2 - 2Р)2 - 2р2 = а4 - 4а2р + 2р2.
Эти формулы иногда применяются при решении уравнений, не-
равенств, систем.
Рациональные уравнения и неравенства
2.1°
2.2
2.3°
2.4
2.5
а) Что называют: одночленом; многочленом?
б) Можно ли любое число считать многочленом?
в) Является ли сумма, разность, произведение двух многочле-
нов многочленом?
Докажите справедливость следующих формул сокращенного
умножения:
а) (а + Ь + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2аЬ + 2ас + 2Ъс;
б) а4 - Ь4 = (а - Ъ) (а3 + а2Ь + аЬ2 + Ь3);
в) а? - Ь3 = (а - Ь) (а4 + а3Ъ + а2Ъ2 + ab3 + Ь4).
а) Что называют алгебраической дробью?
б) Является ли любой многочлен, любое число алгебраической
дробью?
в) Какое выражение называют рациональным выражением?
Приведите примеры рациональных выражений.
Сократите алгебраическую дробь:
v х2-1 х3 - 8 ч х4+27х ч х6-1
а) ----; б) ; в) —5-------; г) -------.
х + 1 х2 + 2х + 4 х2 + Зх х - 1
Приведите к знаменателю х2 — 25 алгебраическую дробь:
a) ; б) в) г) 2.
х + 5 х- 5 5-х
Упростите выражение (2.6—2.9):
б)
г)
2.8
2.9
а)
в)
а)
в)
а)
1 b
^2. . , ь.2 3 1,3 *
а + ab + b а — b
х2 - 2ху 1
(х - 2 у)3 2у - х*
fab 1) (д ~ 1) з
(fl2 — 1) (b — 1)
fa + bf - (а - bf
2b(3a2+b2) + ’
в)
1 1 2a
a - b b - a a2 - b2'
fa 4- b)3 + (a - b)3
2 ab fa2 4- 3b2)
6)
r)
6)
r)
6)
r)
m3 4- n3 2 (m 4- n)’
2(p 4- g) 2
P3-?3 <12-P2'
(a2 + ab - ac - be)2 .
fa2 4- 2ab 4- b2) fa2 - 2ac 4- c2)
(a2 4- ab 4- b2) fa ^bf fa± b)
(a3 - b3) (a2 - b2)
w xy 4- y2 .
2y2 (Х4-У)2’
(fl2 - ab 4- b2) fa 4- b)2 (fl - b)
(a3 4- b3) (a2 - b2)
2.10 * Из сборника задач П. А. Ларичева.
а) Упростите выражение
f - 4- Q3 + 3d3
— 2b а + 2b t а3 + За2д — 2ад2
и найдите его значение при а = 0,5, b = -1.
б) Упростите выражение
а + 2Ь
За - ЗЪ
Зс - а а2 — Ъс
2а -2с а2 - ас + be - ab
и найдите его значение при а = —, Ъ = — 1.
6
2.11 * Является ли симметрическим многочлен:
а) а2 + 2аЬ + Ь2-, б) а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3;
в) 5а2 + 562 - За3 - ЗЬ3 + 4а6; г) 2а2 + 362 - 4а3 - 5Ь3 + 6аЪ;
д) а2Ь2с2 — ЗаЬс + а + Ь + с + 1; е) abc — 4а + 46 - 4с + 1?
2.12 * Уравнение:
а) х2 + у2 - 6х - бу = 7 имеет решение (6; 7);
б) х2 + у2 — 2х - 2у — 3 = 0 имеет решение (3; 2).
Укажите еще одно решение этого уравнения.
2.13 * Докажите, что если f (х; у) — симметрический многочлен и
пара чисел (х0; yQ) является решением уравнения f (х; у) — 0,
то пара чисел (i/0; х0) также является решением этого урав-
нения.
2.2. Формулы бинома Ньютона,
суммы и разности степеней
В п. 2.1 отмечалось, что справедливы следующие формулы:
(а + Ъ) = а + &,
(а + Ь)2 = а2 + 2аЪ + Ь2,
(а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3.
Покажем, что
(а + Ь)4 = а4 + 4а3Ь + ба2Ь2 + 4а&3 + Ь4.
(1)
(2)
(3)
(4)
Действительно, применяя формулу (3) и перемножая многочле-
ны, имеем:
(а + Ь)4 = (а + Ь)3 (а + Ь) = (а3 + За2Ь + Зад2 + Ъ3) (а + Ь) =
= а4 + За3Ь + 3a2b2 + ab3 + а3Ь + За2Ь2 + ЗаЬ3 + Ъ4 =
= а4 + 4а3Ь + 6а2Ь2 + 4аЬ3 + Ь4.
49
Рациональные уравнения и неравенства
Рассматривая формулы (1) — (4), можно заметить, что при раз-
ложении (а + Ь)п в многочлен получается сумма членов ап, ап ~ гЬ,
ап~2Ь2, abn~\ Ъп с некоторыми коэффициентами. Для нахожде-
ния этих коэффициентов часто применяют треугольник Паскаля.
Он устроен так. В его нулевой строке стоит единица, в первой стро-
ке стоят две единицы, далее в каждой следующей строке по краям
стоят единицы, а каждое из оставшихся п — 1 чисел n-й строки
равно сумме двух чисел, записанных над ним в предыдущей строке.
Номер
строки
О
1
2
3
4
5
6
1
1 1
12 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
В частности, используя треугольник Паскаля, получим, что
(а + Ъ)5 = а5 + 5a4t> + 10а3Ь2 + 10а2Ь3 + 5аЬ4 + Ь&, (5)
(а + Ъ)6 = а6 + 6asb + 15aV + 20а3Ъ3 + 15а2Ь4 + 6abs + Ьв. (б)
Конечно, используя треугольник Паскаля можно найти раз-
ложение (а + Ь)п в многочлен для любого натурального п. Но этот
процесс для больших п достаточно трудоемок. Кроме того, надо обо-
сновать правильность треугольника Паскаля. Поэтому приведем
общую формулу.
Для любого натурального числа п справедлива формула, назы-
ваемая формулой бинома Ньютона:
(а + Ь)"=а" + C\an~1b + C2an~2b2 + ...+C"n~\ibn~1+bn, (7)
где С* — число сочетаний из n по k.
Слагаемые суммы в правой части называют членами разложе-
ния бинома Ньютона. Член ап называют нулевым членом разложе-
ния бинома Ньютона, далее идут первый, второй и т. д. члены до
n-го (равного Ьп) включительно; /?-й член бинома Ньютона имеет вид
C*a""V (k = 0, 1, п).
Формулу (7) можно записать еще так:
(а + Ь)" = X C*a"'fcb*.
Л» О
(?')
Правая часть равенства (7') читается так: сумма слагаемых
C^an~ kbk, взятая для всех целых k от 0 до п.
Числа называют также биномиальными коэффициентами.
w 50
---
Легко проверить, что коэффициенты Ск действительно равны
соответствующим числам n-й строки треугольника Паскаля. При
п = 1, 2, ... 6 формула (7) выражает приведенные выше равен-
ства (1) — (6).
Докажем формулу (7) для любого натурального п методом мате-
матической индукции. При п = 1 она верна:
Допустим, что формула (7) верна при некотором натуральном
(а + Ь)к = ак + С}ак ~ 1b + C?ak~ 2b2+C?ak~ 3b3 + ... + Ck~ 1abk~ г +bk. (8)
4 ' ft ft ft ft
Докажем, что тогда она верна и при п = k + 1.
В самом деле, применяя равенство (8), получим
(а + Ь)к + 1 = (а + Ь) (а + Ь)к =
= ак+х+ С\акЪ + С?а* “ *&2 + ... + Ckhabk +
ft ft ft
+ C°akb + C\ak~1b2 + ... + Cklabh+ bk + * =
ft ft ft
k + 1 . I Z^2 ft — lr2 | | /nrfe I 1
= a + Ck + i<z v + Ck + га b + ... + ^k + 1ab +b
Сумма в третьей строке сдвинута так, чтобы в столбцах стояли
подобные члены с одинаковыми произведениями ап ~ kbk + 1. Сумма
коэффициентов при них вычисляется по формуле С* + Ск + 1 = С**
приведенной в п. 1.6.
Таким образом, показано, что из справедливости формулы (7)
для п = k следует ее справедливость для п = k 4- 1.
На основании принципа математической индукции это означа-
ет, что равенство (7) верно для любых натуральных п.
Формулу (7) можно доказать комбинаторным способом. Рас-
смотрим сначала произведение:
(а + хх) (а + х2) ... (а + хл). (9)
Раскроем скобки в произведении (9):
п - 3
п - 2
(10)
Заменив все хт (т = 1, 2, ..., и) на Ь, получим
ffL
(а + Ь)" = ал+С1ап~1Ь + С2ап ’ 2Ь2 + С3ап * 3Ь3 + ... + С"-1аЬп~1 + Ъл,
х z п п п п
т. е. формулу (7).
51
Рациональные уравнения и неравенства
В самом деле, количество слагаемых в первых скобках равен-
ства (10) равно п = С* (каждое из них равно Ь). Слагаемые во вторых
скобках есть всевозможные сочетания из п элементов х2,...» хп по
два, их количество равно С2 (каждое из них равно Ь2). Слагаемые в
третьих скобках есть всевозможные сочетания из указанных элемен-
тов по три, их количество равно С2 (каждое из них равно Ь3) и т. д.
Как отмечено в п. 2.1, справедливы формулы:
а2 - Ъ2 = (а - Ь) (а + Ь),
а3 - Ь3 = (а - Ь) (а + аЬ + б2).
Оказывается, что для любого натурального числа п (п 2) спра-
ведлива формула
ап - Ьп = (а - Ь) (ап ‘1
(11)
Доказательство проведем методом математической индукции.
Для и = 2 равенство (11) справедливо:
а2 - Ь2 = (а - Ь) (а + Ъ).
Предположим, что равенство (11) справедливо для некоторого
натурального k, т. е. что справедливо равенство
ак - Ьк = (а - Ь) (ак ~1 + ак ~ 2Ь + ... + Ьк " *). (12)
Преобразуем разность ак + 1 - Ьк + 1:
а* + 1 _ +1 = +1 _ аЬк + аЬк - Ьк + 1 = а (ак - Ьк) + Ьк (а - Ь).
Применяя равенство (12), получим, что справедливо равенство
ak + 1 - bk + 1 - а(а- Ь)(ак'1 + ак~2Ь + ... + Ьк~1) + Ьк(а- Ь) =
= (а - Ь)(а(ак~ 1 + ак~2Ь + ... + Ь*-1) + Ък) =
= (а - Ь) (ак + ак~гЬ + ... + abk ~ 1 + Ьк),
т. е. получаем, что из справедливости равенства (11) для п = k сле-
дует его справедливость для п — k + 1. На основании принципа
математической индукции это означает, что равенство (12) справед-
ливо для любого натурального числа п > 2.
В п. 2.1 было отмечено, что справедлива формула:
а3 + Ь3 = (а + b) (а2 - ab + Ь2}.
Оказывается, что для любого натурального числа п справедлива
формула
а2п + 1 + Ьгп + 1^{а + Ъ)(а2п-а2п-1Ь + а2п-2Ь2-...-аЪ2п-1 + Ъ2п). (13)
Покажем, как из равенства (11) для любого натурального чис-
ла п следует равенство (13).
Обозначим с = — Ь, тогда Ь2п + 1 = —с2п + 1 и из формулы (11) имеем:
(14)
Заменив в равенстве (14) с на — Ь, получим равенство (13), ко-
торое называют формулой разложения на множители многочлена
а2п + 1 + Ь2п + Ч
Заметим, что многочлен а2п + Ъ2п нельзя разложить в произве-
дение многочленов, один из которых а + Ъ или а — Ъ. •
2.14
Напишите числа:
а) С^, ^2» С2 и сравните их с коэффициентами разложения
бинома (а + х)2;
и сравните их с коэффициентами разложения
бинома (а + х)
в) С9, Ci, С2, С2, С* и сравните их с коэффициентами разло-
4 4 4 4 1
жения бинома (а + х)4.
Убедитесь, что найденные в этом задании числа стоят в п-й
строке треугольника Паскаля (п = 2, 3, 4).
2.15 . Сколько членов в формуле бинома Ньютона при:
а) п — 3; б) п = 5; в) п = 7;
г) п = 4; д) п = 6; е) п = 8?
2.16 . Сколько членов в формуле бинома Ньютона при:
а) п = 21; б) п = 21 + 1,
где I — натуральное число? В каком из этих двух случаев
имеется средний член в формуле бинома Ньютона?
2.17 Напишите разложение по формуле бинома Ньютона:
а) (а + х)5; б) (а + х)6; в) (а + х)7.
2.18
Найдите коэффициент третьего члена в разложении по форму-
ле бинома Ньютона:
а) (а + х)6;
б) (а + х)
10.
в) (а + х)12.
2.19 Найдите коэффициент среднего члена в разложении по фор-
муле бинома Ньютона:
а) (а + х)8; б) (а + х)10; в) (а + х)16.
2.20 Найдите третий член разложения по формуле бинома Нью-
тона:
а) (а + I)8; б) (2а + З)9; в) (За - 5х)п.
Рациональные уравнения и неравенства
2.21 Найдите средний член разложения по формуле бинома Нью-
тона:
а) (а + З)6; б) (За - 4х)8; в) (5 + 2х)14.
2.22 Упростите выражение:
а) (а + Ь)3 - (а - Ь)3 - 2Ь3; б) (а + Ь)3 + (а - б)3 - 2а3;
в) (а + &)3 - (а3 + Ь3); г) (а - Ь)3 + (&3 - а3).
Докажите равенство (2.23—2.24):
2.23 а) (а - 1) (а + 1) (а2 + 1) (а4 + 1) (а8 + 1) = а16 - 1;
б) (Ь + с) (Ь2 + с2) (б4 + с4) (&8 + с8) = &16 ~ с18 (Ъ * с).
Ь - с
2.24 а) (Ь + 2) (&2 -26+4) (Ъ3 - 8) = Ь6 - 64;
б) (а - с) (а2 + ас + с2) (а3 + с3) + с6 = а6.
2.25* Сократите дробь:
2.26* Сократима ли дробь:
а)
1999 . г 1999
+ V
1997 , к1997 »
+ О
1999
1998
2.3*.
еление многочленов с остатком.
Алгоритм Евклида
Рассмотрим многочлены относительно одной переменной х,
т. е. многочлены вида
апхп + ап _ гхп " 1 + ... + ахх + а0, (1)
где а0, alf ...,an_ltan — данные числа, называемые коэффициентами
многочлена (1), коэффициент ап называют коэффициентом при стар-
шем члене, а коэффициент а0 — свободным членом. Если ап О, то
многочлен (1) называют многочленом степени п.
Например, коэффициенты многочлена 5х3 + 4х2 — 2х + 7 рав-
ны 5, 4, -2 и 7, коэффициент при старшем члене равен 5, свободный
член равен 7, степень многочлена равна 3.
й 54
к _
Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то этот много-
член есть нулевой многочлен (его степень не определяется).
Разделить многочлен А на многочлен В с остатком — значит
найти многочлены Q и R, такие, что выполняется равенство
А = Q • В + R, причем либо степень многочлена R меньше степени
многочлена В, либо R — нулевой многочлен. Многочлен Q называ-
ют частным (неполным частным), многочлен R — остатком. Если R
есть нулевой многочлен, то многочлен А делится на многочлен В
нацело и многочлен В называют делителем многочлена А.
Многочлен нулевой степени есть число, отличное от нуля. Лю-
бое число, отличное от нуля, можно рассматривать как делитель
любого многочлена. Например, число у есть делитель многочлена
х2 + 2х + 3, потому что х2 + 2х + 3 = i (7х2 + 14х + 21).
Деление с остатком многочлена А на ненулевой многочлен В
обычно выполняют уголком. Покажем, как это делается, на примерах.
ПРИМЕР 1. Разделим многочлен 2х4 — Зх3 + 2х2 — 7х + 5 на
многочлен х2 — Зх + 1:
2х4 - Зх3 + 2х2 - 7х + 5 | х2 - Зх +1
2х4 - 6х3 + 2х2 2х2 + Зх + 9
Зх3 + Ох2 - 7х
Зх3 - 9х2 + Зх
9х2 - 10х + 5
9х2 — 27х + 9
17х- 4
Итак, 2х4 — Зх3 + 2х2 - 7х + 5 = (2х2 + Зх + 9) (х2 - Зх +1) + 17х — 4.
При делении многочлена 2х4 — Зх3 + 2х2 — 7х + 5 на много-
член х2 — Зх + 1 получено неполное частное 2х2 + Зх + 9 и остаток
17х-4.
ПРИМЕР 2. Разделим
член х3 — 2х2 - 6:
С о
многочлен х —7х — 12х + 18 на много-
х5 + Ох4 - 7х3 + Ох2 - 12х + 18
х° - 2х4 + Ох3 — 6х2
| х3 - 2х2 + Ох - 6
х2 + 2х - 3
2х4-7х3 + 6х2- 12х
2х4 -4х3 + Ох2 - 12х
- Зх3 + 6х2 + Ох +18
— Зх3 + 6х2 + Ох +18
О
уранпёння и неравенства
Итак, х5 — 7х3 - 12х + 18 = (х3 - 2х2 - 6) (х2 + 2х - 3). Много-
член х5 - 7х3 - 12х + 18 разделился на многочлен х3 — 2х2 - 6 наце-
ло, получено частное х2 + 2х - 3 и остаток — нулевой многочлен.
Пусть даны два многочлена:
X
О»
Ьо
относительно х, причем апФ О, Ьт*0 и п т 1.
Наибольшим общим делителем многочленов А и В называ-
ют многочлен наибольшей степени k < т, на который делятся на-
цело и многочлен А, и многочлен В. Наибольший общий делитель
многочленов А и В обозначают НОД (А, В). Запись НОД (А, В) = 1
означает, что наибольший общий делитель многочленов А и В есть
единица, но тогда и любое действительное число, отличное от ну-
ля (любая константа, отличная от нуля), т. е. любой многочлен
степени 0, также есть наибольший общий делитель многочле-
нов А и В.
Если многочлен А делится на многочлен В нацело, т. е.
А = Q • В, то НОД (А, В) = В. Если же А не делится на В нацело, то
разделим с остатком многочлен А на многочлен В:
А = • В + R
где степень остатка Rt меньше степени многочлена В (Вг — ненуле-
вой многочлен). Теперь разделим В на Вх:
В — Q2 ’ + -^2»
где либо степень остатка В2 меньше степени многочлена Вх,
либо В2 — нулевой многочлен. Если В2 — нулевой многочлен, то
НОД (А, В) = Bv Если В2 — ненулевой многочлен, то продолжим
процесс последовательного деления многочленов с остатком. Этот
процесс конечен, так как степени многочленов Вр В2, ..., Rk _ х стро-
го убывают. В результате на k-м. шаге получим систему равенств:
(2)
Просматривая цепочку равенств (2) снизу вверх, находим, что
Rk _ х является делителем многочленов А и В. Больше того, Rk _ х
есть наибольший общий делитель многочленов А и В, так как если
просматривать цепочку равенств сверху вниз, то окажется, что лю-
бой делитель многочленов А и В является делителем Rk _ г Следова-
тельно, НОД (А, В) = Rk _ г
Проведенный процесс называют алгоритмом Евклида для мно-
гочленов, его используют для нахождения наибольшего общего де-
лителя двух многочленов.
НОД (А, В) есть последний неравный нулю остаток в алгоритме
Евклида.
ПРИМЕР 3. Найдем наибольший общий делитель многочленов
А = х3 + Зх2 + Зх + 2 и В = х3 + 2х2 + 2х + 1.
Применим алгоритм Евклида:
Здесь вместо записи равенств (2) применена более короткая
запись.
Искомый наибольший общий делитель данных многочленов
есть последний неравный нулевому многочлену остаток в алгоритме
Евклида, т. е.
НОД (А, В) = х2 + х + 1.
ПРИМЕР 4. Найдем наибольший общий делитель многочленов
А = х2 — х — ЗиВ = х+1.
Применим алгоритм Евклида:
Мы получили, что НОД (А, В) = —1, но тогда наибольший общий
делитель многочленов А и В есть любое действительное отличное от
нуля число. Принято писать, что НОД (А, В) = 1.
Рациональные уравнения и неравенства
Разделите уголком многочлен А на многочлен В (2.27—2.28),
2.27
2.28
2.29
2.30
если:
а) А = х3 -
б) А = х3+
в) А = х4 -
а) А = х5 -
б) А = х7 -
+ X3 + X2 + X + 1.
Найдите НОД (А, В), если:
что дробь несократима:
2.31
Докажите,
2.32 Найдите многочлен А, для
а) х12 - 1 = (х4 - 1) • А;
в) х12 - 1 = (х2 - 1) • А;
д) х12 - 1 = (х - 1) - А;
ж) х6 - 64 = (х - 2) • А;
которого верно равенство:
б) х12 - 1 = (х2 + 1) • А;
г) х*2 - 1 = (х + 1) А;
е) х° - 32 = (х - 2) • А;
з) х7 - 128 = (х - 2) • А.
2.4*. Теорема Безу
Пусть Рп (х) — многочлен относительно х степени п (п 1), т. е.
Рп (х) &пХ ”*
где а0, а19 ..., ап — данные числа, причем ап Ф 0. Если многочлен
Рл (х) разделить с остатком на двучлен х — а, то частное (неполное
частное) есть многочлен Qn_ х (х) степени п - 1, остаток R есть чис-
ло, при этом справедливо равенство
Pn(x) = (x-a)QZI_1(x) + B. (2)
Из равенства (2) следует, что многочлен Рп (х) делится нацело
на двучлен (х - а) только в случае R = 0.
*£58
ТЕОРЕМА Безу. Остаток R от деления многочлена (1) на дву-
член (х - а) равен значению многочлена Рп (х) при х = а, т. е.
R = Рп (а).
Доказательство. Если в равенство (2) вместо х подставить чис-
ло а, то получится, что Рп (а) = R, что и требовалось доказать.
Используя теорему Безу, равенство (2) можно записать в виде
Рп (х) = (х - a) Qn _ j (х) + Рп (а).
СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы многочлен (1) делился на дву-
член (х - а) нацело, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство Рп (а) = О.
Для нахождения частного Qn _ х (х) и остатка R часто применя-
ют метод деления уголком.
ПРИМЕР 1. Разделим многочлен Зх3 - 2х - 20 на двучлен х — 2:
Зх3 + Ох2- 2х- 20 | х- 2
Зх3 - 6х2 Зх2 + 6х +10
6х2- 2х
6х2 - 12х
10х- 20
10х - 20
0
Итак, Зх3 - 2х - 20 = (Зх2 + 6х + 10) (х - 20). Многочлен Зх3 -
- 2х - 20 разделился на двучлен х - 2 нацело, получено частное
Зх2 + 6х + 10 и остаток — нулевой многочлен.
Деление многочлена А = nnxrt + ап _ ххп "1 + ... + агх + а0 на дву-
член (х — а) часто записывают короче с помощью таблицы — схе-
мы Горнера. При этом, очевидно, коэффициент при старшем члене
частного (неполного частного) всегда будет равен коэффициенту ап
при старшем члене данного многочлена. Как находятся другие ко-
эффициенты частного (неполного частного), покажем на конкрет-
ном примере.
Разделим многочлен Зх3 + Ох2 - 2х - 20 на двучлен х - 2 с по-
мощью схемы Горнера. Запишем коэффициенты 3, 0, -2 и —20
данного многочлена в верхнюю строчку таблицы. Рядом с нижней
строчкой таблицы запишем число а = 2. В нижней строке таблицы
в результате вычислений получатся коэффициенты частного (непол-
ного частного) и остаток.
Как уже сказано выше, коэффициент при старшем члене част-
ного (неполного частного) будет равен коэффициенту 3 при старшем
члене данного многочлена — число 3 сносим в нижнюю строчку
таблицы. Далее 2 умножаем на 3 и прибавляем 0, результат 6 за-
писываем в следующую клетку таблицы; 2 умножаем на 6 и при-
бавляем -2, результат 10 записываем в следующую клетку табл и-
59
Рациональные уравнения и неравенства
цы; 2 умножаем на 10 и прибавляем -20, результат 0 записываем
в последнюю клетку таблицы. (Сравните выполняемые действия
с вычислениями при делении уголком в примере 1.)
3 0 -2 -20
3 6 10 0
Полученный результат означает, что коэффициенты частного
при х2, х и свободный член равны соответственно 3, 6, 10, а оста-
ток равен 0, что подтверждает результат, полученный делением
уголком.
ПРИМЕР 2, Найдем частное и остаток при делении многочлена
4. Q о
Р4 (х) = х + 2х - х 4- Зх - 1 на двучлен х - 3.
Применив метод деления уголком или схему Горнера, получим
х4 + 2х3 - х2 + Зх - 1 = (х - 3) (х3 + 5х2 + 14х + 45) + 134,
и поэтому неполное частное есть многочлен
а остаток — число
х3 + 5х2 + 14х + 45,
134.
ПРИМЕР 3. Найдем частное и остаток при делении многочлена
Р3 (х) = х3 - 6х2 + Их - 6 на двучлен х - 1.
Применив метод деления уголком или схему Горнера, получим
х3 - 6х2 + Их - 6 = (х - 1) (х2 - 5х 4- 6),
и поэтому частное есть многочлен х2 — 5х 4- 6, а остаток равен нулю.
Если требуется найти только остаток от деления многочлена
Рп (х) на двучлен (х - а), то можно пользоваться теоремой Безу.
ПРИМЕР 4. Найдем остаток от деления многочлена 2х4 - Зх2 -
- х 4- 5 на двучлен х 4- 1.
Па теореме Безу остаток R от деления многочлена Р4 (х) = 2х4 —
- Зх2 — х 4- 5 на двучлен х — (—1) равен значению многочлена Р4 (х)
при х = —1, т. е.
2.33 Разделите уголком и по схеме Горнера многочлен:
а) Зх3 - 4х2 — х - 6 на х - 1; на х - 2; на х - 3;
б) Зх4 4- 2х3 + 4х2 — 5 на х - (-1); на х 4- 2; на х 4- 3;
в) х4 - 81 на х 4- 3; на х - 3; на х 4- 1.
2.34 ° Сформулируйте теорему Безу.
2.35 С помощью теоремы Безу найдите остаток от деления много-
члена:
а) Зх3 - 2х2 - 4х - 5 на х - 1; на х - 2; на х - 3;
б) х4 + 2х3 + х2 + 5 на х - (-1); на х + 2; на х + 3;
в) х4 — 16 на х + 2; на х - 2; на х + 1.
2.36 С помощью теоремы Безу докажите, что многочлен:
а) 17х3 - 13х2 - 4 делится на двучлен х - 1 без остатка;
б) 5х4 + 2х3 + Зх2 — 6 делится на двучлен х + 1 без остатка;
в) х4 - Зх2 - 4 делится на двучлен х + 2 без остатка.
2.37 Найдите остаток от деления многочлена:
а) (х — 4)30 на х — 5; на х - 3;
б) (2х + З)9 на х + 2; на х + 1;
в) (Зх + 8)2000 на х + 3.
2.38 Выясните, делится ли без остатка многочлен:
а) 12х3 - 14х2 + 2 на двучлен х - 1;
б) х4 - Зх3 + х2 + 4 на двучлен х - 2;
в) х4 — х3 + х2 - х - 4 на двучлен х - 2;
г) х4 - х3 + х2 - х - 4 на двучлен х + 1.
2.5*. Корень многочлена
Число а называют корнем многочлена Рп (х), если при х = а
значение многочлена Рп (х) равно нулю: Рп (а) = О, т. е. если много-
член Рп (х) делится нацело на двучлен х - а.
Например, число 2 является корнем многочлена Р3 (х) = Зх3 -
- 2х - 20, так как Р3 (2) = 0. Это означает, что разложение этого
многочлена на множители содержит множитель х - 2 (см. пример 1
из п. 2.4):
Р3 (х) = (х - 2) (Зх2 + 6х + 10).
Любой многочлен Рп (х) степени n > 1 может иметь не более п
действительных корней.
ПРИМЕРЫ.
1) Так как многочлен Р2 (х) = Зх2 + 6х + 10 = 3 (х + З)2 + 7 > 0
для любого х, то этот многочлен не имеет действительных корней.
2) Многочлен Р3 (х) = Зх3 — 24 имеет только один действитель-
ный корень х = 2.
3) Многочлен Q2 (х) = х2 - 5х + 6 имеет два действительных
корня: хх = 2 и х2 = 3.
61
Рациональные уравнения и неравенства
ТЕОРЕМА 1. Если все коэффициенты а0, а19
ГИПС
..., ап (ап * О) мно-
гочлена
Рп (х) — ЛЛХ + (Ln _ |Х + ... + Л^Х + O.Q
(1)
целые числа и рациональное число — — — несократимая дробь
* .
р g. Z, qe N является корнем многочлена, то коэффициент а0
делится на р, а коэффициент ап делится на q.
Доказательство. Пусть рациональное число — — — несократи-
мая дробь, р g Z, q g N
есть корень многочлена Рп (х), т. е. пусть
справедливо числовое равенство
о
п
(2)
Умножим равенство (2) на qn:
+ arpq
(3)
Все слагаемые в левой части равенства (3) — целые числа. Их
сумма, а также сумма всех слагаемых, кроме последнего, делятся
на р, следовательно, последнее слагаемое aoqn делится на р, но тогда
а0 делится на р, так как qn не делится на р и числа р и q не имеют
общих делителей, отличных от 1. Сумма всех слагаемых, а также
сумма всех слагаемых, кроме первого, делятся на q, следовательно,
первое слагаемое апрп делится на q, но тогда ап делится на q, так
как рп не делится на q, что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 1. Выясним, какие рациональные корни имеет мно-
гочлен
Ра (х) = 6х3 + 7х2 - 9х + 2. (4)
Пусть рациональное число — несократимая дробь, peZ,
q g N | есть корень многочлена Р3 (х). Тогда на основании теоремы 1
можно заключить, что а0 = 2 делится на р, а а3 = 6 делится на q.
Значит, р равно одному из чисел 1,-1, 2, -2, a q равно одному из чи-
сел 1, 2, 3, 6. Это означает, что если у многочлена (4) есть ко-
рень — рациональное число, то этот корень содержится среди чисел
1, -1, 2, -2,
1 i 1 i 2 2 1 i
2 23 33 36 6
Выясним, какие из этих 12 чисел являются корнями много-
члена (4):
Р3 (1) = 6 • I3 + 7 • I2 - 9 • 1 + 2 * О,
Р3 (-1) = 6 • (-1)3 + 7 • (-1)2 - 9 (-1) + 2*0,
Р3 (2) = 6 • 2s + 7 22 - 9 • 2 + 2 * О,
Р3 (-2) = 6 (-2)3 + 7 • (-2)2 - 9 • (-2) + 2 = 0,
следовательно, числа 1, —1, 2 не являются корнями многочлена
Р3 (х), а число -2 является корнем этого многочлена.
Поиск остальных рациональных корней многочлена Р3 (х) мож-
но продолжить, подставляя оставшиеся восемь чисел в этот много-
член, но лучше разложить этот многочлен на множители:
Р3 (х) = 6х3 + 7х2 - 9х + 2 = (х + 2) (6х2 - 5х + 1).
2 11
Многочлен Р2 (х) = 6х - 5х + 1 имеет корни — и —, следователь-
11 2 3
но, многочлен Р3 (х) имеет корни -2, —, — и других корней не имеет.
11 23
Ответ. —2; —; —.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть коэффициент ап многочлена с целыми
коэффициентами
Рп (х) = хп + ап _ ххп “ 1 + ... + а4х 4- а0
равен 1, тогда если этот многочлен имеет корень — рациональное
число, то этот корень — целое число и является делителем свобод-
ного члена а0.
Доказательство. Пусть многочлен
Рп (х) = х" + ап _ гхп
+ ••• + CLjX +
имеет корень — рациональное число — — — несократимая дробь,
^7 I q
peZfqeN . На основании теоремы 1 можно заключить, что коэф-
фициент ал, равный 1, делится на q и свободный член а0 делится
на р. Но тогда q = 1, т. е. корень есть целое число р и оно является
делителем свободного члена а0, что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 2. Выясним, какие рациональные корни имеет много-
член Р4 (х) = х4 - х3 + 2х2 - Зх + 1.
Коэффициент а4 этого многочлена равен 1, следовательно, если
многочлен Р4 (х) имеет корни — рациональные числа, то эти числа
целые и они являются делителями свободного члена 1, т. е. рацио-
63
Рациональные уравнения и неравенства
нальные корни многочлена Р4 (х) следует искать среди чисел 1 и -1.
Вычислим Р4 (1) и Р4 (—1):
Р4 (1) = I4 - I3 + 2 • I2 - 3 • 1 + 1 = О,
Р4 (-1) = (-1)4 - (-1)3 + 2 • (-1)2 - 3 • (-1) +1 = 8*0.
Следовательно, многочлен Р4 (х) имеет единственный рацио-
нальный корень — число 1.
Ответ. 1.
Умение находить рациональные корни многочлена Рп (х) с це-
лыми коэффициентами помогает решать уравнения вида Рп (х) = 0.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
х5 - х4 - 4х3 + 5х2 + х - 2 = 0.
(5)
Коэффициент а5 многочлена
Р5 (х) = х5 - х4 - 4х3 + 5х2 + х - 2
равен 1, следовательно, если многочлен Р5 (х) имеет корни — ра-
циональные числа, то эти числа целые и являются делителями сво-
бодного члена -2, т. е. рациональные корни многочлена Р5 (х) сле-
дует искать среди чисел 1,-1, 2, -2. Так как Р5 (1) =1-1-4+5+
+ 1-2 = 0, то многочлен Р5 (х) имеет корень 1 и его можно разло-
жить на множители. Разделив многочлен Р5 (х) на двучлен х - 1,
получим
Р5 (Х) = ?4 (Х) (Х ~ 1)’ ГДе ?4 (х) = х< ~ 4х2 + X + 2.
Так как Р4(1)=1-4 + 1 + 2 = 0, то многочлен Р4 (х) имеет ко-
рень 1 и его разложение на множители имеет множитель х - 1.
Разделив многочлен Р4 (х) на двучлен х - 1, получим
Р4 (х) = Р3 (х) (х “ 1)» гДе Р3 (х) ~ х3 + х2 — Зх — 2,
Вычислим Р3 (1), Р3 (—1), Р3 (2) и Р3 (—2):
рз (1) = 1 + 1 - 3 - 2 = -3 * 0,
Р3 (-1) = -1 + 1 + 3- 2=1*0,
Р3 (2) = 8 + 4 - 6 - 2 = 4 * 0,
Р3 (—2) =-8+ 4 + 6- 2 = 0.
Так как Р3 (-2) = 0, то многочлен Р3 (х) имеет корень -2 и его
разложение на множители имеет множитель х + 2.
Разделив многочлен Р3 (х) на двучлен х + 2, получим
Р3 (х) = Р2 (х) (х + 2), где Р2 (х) = х2 — х — 1.
V п , х 1 + Тб 1- л/б п
Корни многочлена Р2 (х) есть хх =---и х2 =-----. Следова-
тельно, Р2 (х) = (х - хх) (х - х2).
gg64
Подводя итоги, получаем, что
Р-о М = (х - I)2 (х + 2) (х - х0 (х - х2).
Поэтому уравнение (5) имеет корни:
Очевидно, что других корней оно не имеет.
Ответ.
ПРИМЕР 4. Решим
Умножая обе части
ему уравнение
уравнение
3 . 2 2 1 /ч / £2\
х + — х = 0. (6)
3 9
уравнения (6) на 9, получим равносильное
9х3 + 6х2 - 1 = 0.
(7)
У многочлена Р3 (х) = 9х3 + 6х2 - 1 коэффициент а3 равен 9,
а свободный член равен -1. Если уравнение (7) имеет корень — ра-
циональное число — — — несократимая дробь, р е Z, q е N , то 9
делится на q и -1 делится на р, но тогда рациональные корни урав-
1 11 1
нения (7) надо искать среди чисел 1, -1, —,-, —,-. Вычислим
3 3 9 9
Так как Р»
3
= 0, то многочлен Р3 (х)
имеет корень — и его
разложение на множители имеет множитель
Разделив многочлен Р3 (х) на двучлен х-, получим
где Р2 (х) = 9х2
Р3 (х) = Р2 (х) х - -
Так как Р2 (х) — многочлен второй степени и его дискриминант
D = -27 < 0, то многочлен Р2 (х) не имеет действительных корней.
Поэтому уравнение (7) и, следовательно, уравнение (6) имеют
единственный действительный корень хх = —.
Ответ. -.
65
Рациональные уравнения и неравенства
2.39° Что называют корнем многочлена Рп (х), n 1?
2.40 Определите, является ли число:
а) 0; б) -1; в) 2; г) -2; д) 3; е) 1
корнем многочлена Р5 (х) = х5 + Зх4 - 5х3 - 15х2 + 4х + 12.
Какие множители содержит разложение многочлена Р5 (х) на
множители? Выпишите все рациональные числа, среди кото-
рых следует искать корни многочлена Р5 (х). Какие из этих
чисел являются корнями многочлена Р5 (х)?
2.41
2.42
2.43
Разложите многочлен Р (х) на линейные множители, если это
возможно (2.41—2.42):
а) Р (х) = 2х3 - х2 - 8х + 4; б) Р (х) = Зх3 — х2 — 6х + 2;
в) Р (х) = 2х3 - Зх2 4- 2х — 3; г) Р (х) = 2х3 - 8х2 4- х - 4.
а) Р (х) = х4 - 5х2 4- 4;
б) Р(х) = х4 - 8х2 -9;
в) Р (х) = х4 - 5х3 + 5х2 4- 5х - 6;
г) Р (х) = х4 + 2х3 + Зх2 4- 2х — 8.
Найдите все корни многочлена Р(х), если:
а) Многочлен Р (х) = х3 — 5х2 4- ах + b делится на х — 3 без
остатка, а при делении на х + 3 дает остаток -42.
б) Многочлен Р (х) = 2х3 4- ах2 + bx + 1 делится на х + 1 без
остатка, а при делении на х + 2 дает остаток —15.
в) Многочлен Р (х) = х3 4- ах2 4- Ьх + 16 делится на х — 4 без
остатка, а при делении на х 4- 1 дает остаток 15.
2.6. Рациональные уравнения
Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные
выражения относительно х, называют рациональным уравнением
с неизвестным х.
Например, уравнения 5х6 - 9х5 4- 4х2 — Зх 4- 1 = 0,
являются рациональными.
14-х
Напомним, что корнем (или решением) уравнения с неизвест-
ным х называют число, при подстановке которого в уравнение вмес-
то х получается верное числовое равенство. Решить уравнение —
значит найти все его корни или показать, что их нет.
При решении рациональных уравнений приходится умножать
или делить обе части уравнения на не равное нулю число, перено-
сить члены уравнения из одной части в другую, применять правила
сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате будет
получаться уравнение, равносильное предшествующему, т. е. урав-
нение, имеющее те же корни, и только их.
Уравнение вида
А (х) • В (х) = О,
где А (х) и В (х) — многочлены относительно х, называют распада-
ющимся уравнением.
Множество всех корней распадающегося уравнения есть объ-
единение множеств всех корней двух уравнений А (х) = О и В (х) = О.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
(х2 - 5х + 6) (х2 + х - 2) = О. (1)
Уравнение (1) распадается на два уравнения
X2 - 5х + 6 = О (2)
и
х2 + х - 2 = 0. (3)
Уравнение (2) имеет корни хг = 2 и х2 = 3, а уравнение (3)
имеет корни х3 =-2 и х4 = 1. Значит, уравнение (1) имеет корни
х1 = 2, х2 = 3, х3 = -2, х4 = 1 и других корней не имеет.
Ответ. —2; 1; 2; 3.
Уравнение вида
А (х)__р.
В(х) “ ’
(4)
где А (х) и В (х) — многочлены относительно х, обычно решают по
следующему правилу.
Находят корни уравнения А (х) = 0, затем проверяют, какие из
них обращают в нуль и какие не обращают в нуль знаменатель В (х).
Те из них, которые не обращают в нуль знаменатель В (х), и являют-
ся корнями уравнения (4), и других корней уравнение (4) не имеет.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
х2 + 4х - 21
х2 — х - 6
(5)
Сначала решим уравнение
х2 + 4х - 21 = 0. (6)
Оно имеет два корня Xj = 3 и х2 = -7. Подставив эти числа
в знаменатель левой части уравнения (5), получим
х2-х1-6 = 9- 3- 6 = 0,
х2 - х2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 * 0.
Это показывает, что число хг = 3 не является корнем уравне-
ния (5), а число х2 = —7 — корень этого уравнения.
Ответ. —7.
^67
Рациональные уравнения и неравенства
Уравнение вида
А(х) _ С (х)
В (х) D (х)
(7)
где А (х), В (х), С (х) и D (х) — многочлены относительно х, обычно
решают по следующему правилу.
Переносят все члены уравнения в одну сторону:
А (х) С (х) _ 0
В (х) D (х)
(8)
Пользуясь правилом вычитания алгебраических дробей, пере-
писывают уравнение (8) в виде
А (х) • D (х) - С (х) ♦ В (х) _
В (х) • D (х)
(9)
Решают уравнение А (х) • D (х) — С (х) • В (х) = О и отбирают из его
корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (9).
Они и только они и будут корнями уравнения (7).
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
х — 3
(10)
Перенеся все члены уравнения (10) в левую часть, получим
уравнение
х2 - 5х + 6
х - 3
2х + 3
1
(И)
Применяя правило вычитания алгебраических дробей, перепи-
шем уравнение (11) в виде
х - 5х + 6 - (2х + 3) (х — 3)
= О.
х — 3
Решим уравнение х2 — 5х + 6 - (2х + 3) (х — 3) = О.
Переписав это уравнение в виде х2 + 2х - 15 = О, найдем корни
этого уравнения хх = —5 и х2 = 3.
Число не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х2 обра-
щает. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень
х = -5.
Ответ. —5.
Замечание. Отклонение от сформулированного выше правила
может привести к потере корней или к приобретению посторонних
корней.
«^8
Найти корни рационального уравнения часто помогает замена
неизвестного.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
х8 + 4хв - 10х4 + 4х2 + 1 = 0.
(12)
Число 0 не является корнем уравнения (12), поэтому уравне-
ние (12) равносильно уравнению
х4 + 4х2 - 10 + -i- + -i- = 0.
хг х4
(13)
Обозначим t = х2 + —, тогда х4 + -i- = t2 — 2 и уравнение (13) пе-
репишется в виде х х
t2 + 4t - 12 = 0. (14)
Уравнение (14) имеет два корня хг = 2 и х2 = -6. Следовательно,
все корни уравнения (14) найдем, объединив все корни двух урав-
нений:
L о 2
у = 2 и х
2
Первое уравнение имеет два корня —1 и 1, а второе уравнение
не имеет действительных корней, поэтому уравнение (12) имеет
только два корня: —1 и 1.
Ответ. -1; 1. Ф
Замечание. Уравнения, подобные рассмотренному в примере 4,
называют возвратными. Их характерной особенностью является
совпадение коэффициентов при слагаемых, сумма степеней которых
равна степени многочлена. Так, в разобранном примере равны коэф-
фициенты при х8 и х°, х7 и х, х6 и х2, х5 и х3. Во всех подобных слу-
1 2 1
чаях замена переменной t = х ч— или t = х + —т- (как в примере 4)
X
упрощает решение уравнения.
2.44° а) Какое уравнение называют рациональным уравнением с не-
известным х?
б) Что называют корнем уравнения с неизвестным х?
в) Что значит решить уравнение?
г) Как решают распадающиеся уравнения?
д) Как решают уравнения вида - = 0, где А (х) и В (х) —
многочлены относительно х?
Решите уравнение (2.45—2.48):
2.45 а) (х ч- 1) (2х - 3) = 0; б) (Зх + 1) (х - 2) = 0;
в) (х2 - 1) (х + 3) = 0; г) (х2 - 4) (х + 1) = 0.
69
Рациональные уравнения в неравенства
2.46 а) (х2 - 7х + 10) (х2 - 5х + 6) = 0;
б) (х2 - х - 6)(х2 + 2х - 15) = 0;
в) х® - 1 = 0; г) х8 - 1 = 0.
Решите уравнение, используя замену неизвестного (2.49—2.50):
2.49* а) (х + 100)2 - 2004 (х + 100) - 2005 = 0;
б) (х2 - х)2 - 3 (х2 - х) + 2 = 0;
в) (х2 - 2х)2 - 2 (х - I)2 - 1 = 0;
г) (х2 - 10х)2 + 8 (х - 5)2 - 209 = 0;
2.50* а)
в)
2х4 + 5х3 + 6х2 + 5х + 2 = 0;
2х8 - Зх6 - х4 - Зх2 + 2 = 0;
б) Зх4 - 7х3 + 8х2-7х + 3 = 0;
г) 5х8-4х6 - 2х4 - 4х2 + 1 = 0.
Из сборника задач П. А. Ларичева. Решите уравнение
(2.51—2.52):
2.52* а) = 2- б) - +--------+ ——-------= ——;
х + а х — а 3 а ах — Ьх ах — abx а — b
где а и b — данные числа.
70
2.53
2.54
2.55
Решите уравнение (2.53—2.55):
а) х3 + 6х2 + 11х + 6 = 0;
в) х3 - 2х — 4 = 0;
д) х4 + х3 + 5х2 + 4х + 4 = 0;
а) 2х3 - х2 - 2х + 1 = 0;
в) Зх4 - Зх3 + 4х2 - х + 1 = 0;
д) 2х4 + 2х3 + 5х2 + х + 2 = 0;
б) х3 + 2х2 - 5х - 6 = 0;
г) х3 - 6х - 9 = 0;
е) х5 + Зх3 + 2х = 0.
б) Зх3 - х2 - 12х + 4 = 0;
г) х4 - 4х3 + 12х -9 = 0;
е) х4 — Зх3 + 6х — 4 = 0.
б)
2.7, Системы рациональных уравнений
Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные
выражения относительно х и р, называют рациональным уравнени-
ем с двумя неизвестными х и у. Если надо найти все пары чисел
(х; у), каждая из которых является решением каждого из данных
уравнений с двумя неизвестными х и у, то говорят, что надо решить
систему уравнений с двумя неизвестными х и у и каждую такую
пару называют решением этой системы.
Неизвестные могут обозначаться и другими буквами.
Аналогично определяется система уравнений, число неизвест-
ных в которой больше двух.
Если каждое решение первой системы уравнений является ре-
шением второй системы, а каждое решение второй системы уравне-
ний является решением первой системы, то такие системы называют
равносильными. В частности, равносильными считаются две систе-
мы, не имеющие решений.
Например, равносильны системы
h = 7-x иЬ=7-х (х + !/ = 1 (х + г/ = 1
|xi/ = 10 I х (7 - х) = 10, [x2 + i/2=—1 |х2 + у2 + х + у = 0.
Основным способом решения систем уравнений является способ
подстановки.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
Зх - у = 1
5х2 - 4ху + Зу2 = 9.
(1)
Выразив у через х из первого уравнения системы (1), получим
уравнение:
у = Зх - 1. (2)
71
Рациональные уравнения и неравенства
Подставив выражение Зх - 1 вместо у во второе уравнение сис-
темы (1), получим уравнение относительно х:
5х2 - 4х (Зх - 1) + 3 (Зх - I)2 = 9.
(3)
Решив уравнение (3), найдем его корни хг — 1 и х2 =
Под-
ставив найденные числа х, и х2 в уравнение (2), получим у. = 2
11
Следовательно, система (1) имеет два решения: (1; 2) и
иЛ
Ответ. (1; 2)
При решении систем иногда помогает сложение уравнений.
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
f х2 - 3x1/ = -2
11/2 + 5ху = 11.
(4)
Оставив без изменения первое уравнение системы и сложив пер-
вое уравнение со вторым, получим систему
6
7
равносильную системе (4).
Множество решений системы (5) состоит из всех решений двух
систем:
Решив каждую из этих систем, найдем все решения систе-
мы (4): (2; 1), (-2; -1),
Ответ. (2; 1), (-2; -1),
Найти решения системы часто помогает введение новых неиз-
вестных.
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
(ху - х + у = 1
1 2хгу2 - Зх2 + бху - Зу2 = 2.
(6)
Обозначив и - ху, v = х - у, перепишем систему (6) в виде
2 о 2
(7)
Решив систему (7) методом подстановки, найдем ее решения:
ur = 1, = 0 и «2 = 5, v2 = 4. Следовательно, множество решений
системы (6) состоит из всех решений двух систем:
J = 1 и = 5
[х- у = 0 [х- у = 4.
Решив методом подстановки каждую из этих систем, найдем
все решения системы (6): (1; 1), (-1; —1), (5; 1), (—1; -5).
Ответ. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
Уравнение вида ах2 + Ьху + су2 = 0, где а, Ъ, с — данные нерав-
ные нулю числа, называют однородным уравнением относи-
тельно неизвестных х и у.
Покажем на примере, как можно решать систему уравне-
ний, в которой есть однородное уравнение.
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
х2 + 4ху + Зу2 = О
х2 — 2х + у =
У 4
(8)
Так как никакая пара (х0; 0) не является решением систе-
мы (8), то система (8) равносильна системе
- 2х + у =
(9)
5
4*
2
Обозначив t = —, перепишем первое уравнение системы (9) в виде
(Ю)
Уравнение (10) имеет два корня tx = — 1 и t2 = -3, поэтому мно-
жество решений системы (8) состоит из всех решений двух систем:
2х +у =
5
4*
Решив каждую из этих систем, найдем все решения систе-
мы (8): (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),
(1,5; -0,5).
Ответ. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),
(1,5; -0,5).
73
Рациональные уравнения и неравенства
При решении некоторых систем помогает знание свойств сим-
метрических многочленов.
ПРИМЕР 5. Решим систему уравнений
(И)
Введем новые неизвестные а = х + г/ир = хг/, тогда, как показа-
но в п. 2.1, х4 4- i/4 = а4 - 4а2р 4- 2р2. Поэтому систему (11) можно
переписать в виде
а = 5
а4- 4а2р + 2р2 = 97.
(12)
Подставив 5 вместо а во второе уравнение системы (12), полу-
чим квадратное уравнение относительно Р:
Р2 - 50Р + 264 = О,
имеющее корни р1 = 6 и Р2 = 44.
Следовательно, множество решений системы (11) состоит из
всех решений двух систем: < х + У ~ § и
(ху = 6
Первая система имеет два решения х3 = 2, уг = 3 и х2 — 3,
у2 = 2, а вторая система не имеет действительных решений.
Следовательно, система (11) имеет два решения: (хг; уг) и
(х2» У 2)*
Ответ. (2; 3), (3; 2).
+ у = 5
| ху = 44.
ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений
4х — Зу = 5
256x4 + 81j/4= 97.
(13)
Сделав замену и = 4х и и = -Зу, перепишем систему (13) в виде
и 4- v — 5
и4 4- и4 = 97.
(14)
Как показано в примере 5, система (14) имеет два решения
иг = 2, I?! = 3 и и2 = 3, v2 = 2. Следовательно, система (13) имеет два
решения:
Ответ.
74
Решите систему уравнений (2.56—2.59):
2.56
а)
в)
2.57
а)
д)
2х2 - Зху + у2 = 12
У - 2х = -4;
Зх2 — 2ху + у2 = 6
х — 2у = 3;
у2 - Зху = -2
х2 + 5ху = 11;
х2 - 8у 4- 31 = О
у2 — 2х — 14 = О;
б)
г)
х2 - 7ху = 18
у2 + 5xz/ = -9;
х2 4- бу +14 = О
г/24-4х-1=0.
2.58
в)
х2 — 4ху + 4у2 = О;
б)
х2 - 2ху + у2= О;
4х — 4у
13
х2 + у2 = 90;
{ 2 , 2_ к
х +У -5
ху + х + у = 5;
ж)
X + у = ху
х2 + у2 — 4ху;
-у = 0,25x1/
2 4- у2 = 2,5x1/.
ф (4х2- 7ху+у2= 3
[ ху + 4х - 2у = 8;
х2 + 2ху - Зу2 = О
2 59* аЪ 1~ 10x1/ 4- 4у — 3
' 12x1/- 3x4-21/ = 1;
75
Рациональные уравнения и неравенства
2.8. Метод интервалов решения неравенств
Напомним, что решением неравенства с неизвестным х называ-
ют число, при подстановке которого в это неравенство вместо х по-
лучается верное числовое неравенство. Решить неравенство — зна-
чит найти все его решения или показать, что их нет.
В этом пункте будет рассмотрен общий способ решения нера-
венств вида
(х - Xj) (х - х2)
(х - х ) > О
9 9,
(1)
••• *
(2)
где хг < х2 < ... < хп, п — натуральное число (n > 1).
Отметим на оси Ох число х0 (рис. 9).
Точка х0 делит ось Ох на две части:
1) для любого х, находящегося “
справа от точки х0, двучлен х - х0
положителен;
Рис. 9
2) для любого х, находящегося слева от точки х0, двучлен
х - х0 отрицателен.
Это свойство двучлена лежит в основе метода интервалов.
Пусть, например, требуется решить неравенство
(х - хх) (х — х2) (х - х3) > О
(3)
или неравенство
(х - хх) (х - х2) (х - х3) < О,
(4)
где хх < х2 с х3.
Отметим на оси Ох точки хх, х2, х3
(рис. 10). Они делят ось Ох на четыре
интервала: (-оо; х.), (хх; х2), (х2; х3),
(х3; +оо).
Рассмотрим многочлен
х2
t Рис. 10
А (х) = (х - хх) (х - х2) (х - х8).
(5)
Очевидно, что для любого х, находящегося справа от х3, любой
двучлен в произведении (5) положителен, так как точка х находит-
ся правее точек хх, х2, х3. Поэтому и А (х) > 0 для любого х, принад-
лежащего интервалу (х3; +оо).
Для любого х, находящегося между точками х2 и х3, последний
множитель в произведении (5) отрицателен, так как х находится ле-
вее точки х3, а любой из остальных множителей положителен, так
как точка х находится правее точек Xj и х2. Поэтому и А (х) < 0 для
любого х, принадлежащего интервалу (х2; х3).
Аналогично рассуждая, получим, что А (х) > 0 для любого х
из интервала (хх; х2) и А (х) < 0 для любого х из интервала (—оо; хх).
и
76
о 1 о_______о » На этом рассуждении основан метод
X! х2 х3 х интервалов решения неравенств (3)
р -. и (4), состоящий в следующем: на
и ис* оси Ох отмечают точки хх, х2, х3, над
интервалом (х3; ч-оо) ставят знак «+», над интервалом (х2; х3) —
знак «—», над интервалом (хх; х2) — знак «+», над интервалом
(-оо; хх) — знак «—» (рис. 11).
Тогда множество решений неравенства (3) будет состоять из
всех интервалов, над которыми поставлен знак «+», а множество ре-
шений неравенства (4) будет состоять из всех интервалов, над кото-
рыми поставлен знак «-».
Отметим, что сами числа хх, х2 и х3 не являются решениями не-
равенств (3) и (4). Этим объясняется, что множества решений этих
неравенств состоят из интервалов, а не из отрезков или полуинтер-
валов. Числа хх, х2, х3 обращают в нуль многочлен (5). Эти числа
являются корнями многочлена. Таким образом, корни многочлена
А (х) не являются решениями неравенств (3) и (4).
Подобным образом можно решать неравенства (1) и (2).
Отметим, что фактически этим же методом мы решали неравен-
ства второй степени с положительным дискриминантом.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
(х - 1) (х - 2) (х - 3) > О.
(6)
Рис. 12
Будем решать неравенство (6) мето-
дом интервалов. Отметим на оси Ох
точки 1, 2, 3. Над интервалами (—оо; 1),
(1; 2), (2; 3), (3; +оо) справа налево
поставим поочередно знаки «+» и «-», начиная со знака «+» (рис. 12).
Множество всех решений неравенства (6) состоит из объедине-
ния интервалов (1; 2) и (3; +оо) (на рисунке 12 они показаны дугами).
Ответ. (1; 2) U (3; +оо).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(2 - х) (х2 - 4х + 3) (х + 1) > 0.
(7)
Разложив квадратный трехчлен на множители, перепишем не-
равенство (7) в виде
(2 - х) (х - 1) (х - 3) (х + 1) > 0. (8)
Умножив неравенство (8) на —1, получим равносильное ему не-
равенство
(х - (-1)) (х - 1) (х - 2) (х - 3) < 0. (9)
Остается решить неравенство (9), которое мы записали в нужном
для метода интервалов виде. Отметим на оси Ох точки -1, 1, 2, 3.
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений
Рациональные уравнения и неравенства
неравенства (9) или, что то же самое,
неравенства (7) состоит из объединения
интервалов (-1; 1) и (2; 3) (рис. 13).
Ответ. (-1; 1) U (2; 3).
-1 12 3
К Рис. 13
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
(х - 1)(х - 2)(х2 + х + 1) < 0. (10)
Так как дискриминант трехчлена х2 + х + 1 отрицателен, то
этот трехчлен положителен для всех действительных х. Поэтому не-
равенство (10) равносильно неравенству
(х - 1) (х - 2) < 0.
(11)
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех реше-
ний неравенства (11), а значит и неравенства (10), есть интервал (1; 2).
Ответ. (1; 2).
Рассмотрим решение неравенств вида (1) и (2), где не все хг,
х2, ..., хп различны. В этом случае произведение одинаковых
двучленов обычно записывают в виде степени этого двучлена.
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
(х - I)3 (х - 2)2 (х - З)4 (х - 4) < 0.
(12)
Неравенство (12) нельзя решать, как предыдущие неравенства,
так как некоторые из двучленов в левой части неравенства (12) воз-
ведены в степень, большую 1. Для решения таких неравенств обыч-
но применяют общий метод интервалов, состоящий в следующем:
отметим на оси Ох точки 1, 2, 3, 4, а затем в каждом из интервалов
(-оо; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; +оо)
исследуем знак многочлена
А (х) = (х - I)3 (х - 2)2 (х - З)4 (х - 4).
(13)
(14)
При исследовании знака многочлена над промежутком справа
от наибольшего корня этого многочлена ставят знак «+», так как на
этом промежутке все множители положительны. Затем, двигаясь
справа налево, при переходе через очередной корень меняют знак,
если соответствующий этому корню двучлен возведен в нечетную
степень, и сохраняют знак, если он возведен в четную степень, так
как знаки двучлена и его нечетной степени совпадают, а четная
степень двучлена всюду положительна, кроме корня этого двучле-
на. Над каждым интервалом поставим найденный знак «+» или «—».
Исследуем знак многочлена (14)
в каждом из интервалов (13). Над
интервалами (13) должны стоять зна-
ки, как на рисунке 14. Поскольку при
х > 4 все множители положительны, 81 Рис. 14
в точке 4 произведение меняет знак, так как разность (х — 4) возведе-
на в нечетную степень 1; в точках 3 и 2 произведение не меняет зна-
ка, поскольку разности (х - 3) и (х - 2) возведены в четную степень;
в точке 1 произведение меняет знак, так как разность (х — 1) возве-
дена в нечетную степень. Тогда множество всех решений неравен-
ства (12) будет состоять из всех интервалов, над которыми поставлен
знак «-». Поэтому множество всех решений неравенства (12) состоит
из объединения трех интервалов (1; 2), (2; 3) и (3; 4) (рис. 14).
Ответ. (1; 2) U (2; 3) U (3; 4). •
2.60°
2.61°
2.62°
Определите
а) х > 5;
Определите
а) х > -2;
знак выражения
б) х < 5.
знак выражения
б) х < —2.
х - 5, если:
х - (-2), если:
Определите знак выражения
а) х > -3; б) х < -3.
х + 3, если:
2.63 ° Если 1 < х < 3, то какой знак имеет двучлен:
а) х - 1; б) х - 3?
2.64 ° а) В чем заключается метод интервалов решения неравенств?
б) Какого вида неравенства решают этим методом?
2.65 Найдите все числа х, для каждого из которых
(X - 1)(х - 3)(х - 5) = 0.
Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак
произведения (х - 1) (х - 3) (х - 5) на каждом из полученных
интервалов. Укажите все значения х, для которых:
а) (х - 1) (х - 3) (х - 5) > 0; б) (х - 1) (х - 3) (х - 5) < 0.
2.66
По плану предыдущего задания решите неравенство:
а) (х - 1) (х - 4) (х - 9) > 0; б) (х - (-1)) (х - 3) (х - 5) < 0;
в) (х + 1) (х - 1) (х - 4) > 0; г) (х + 4) (х + 2) (х - 0) < 0;
д) (х + 5) (х + 3) (х + 1) > 0; е) (х + 4) (х + 3) х < 0.
2.67
Решите неравенство методом
а) (х2 + х) (х - 1) > 0;
в) (6х2 + 12х) (х + 4) < 0;
д) (х2 - 4) (х2 - 1) > 0;
ж) (х2 + 5х) (х2 - 9) < 0;
интервалов:
б) (Зх + 12) (х2 - 2х) < 0;
г) (2х2 - 16х) (4х + 4) > 0;
е) (х2 - 25) (х2 - 9) < 0;
з) (х2 + Зх) (х2 - 16) > 0.
2.68
Решите неравенство:
а) (х + 2) (3 - х) (х + 1) > 0;
в) (х - 1) (9 - х2) < 0;
д) (1 - х) (2 - х) (3 - х) > 0;
б) (х + 3) (2 - х) (х + 2) < 0;
г) (х - 3) (4 - х2) > 0;
е) (1 + х) (3 + х) (5 + х) < 0.
Рациональные уравнения и нераненсгна
2.69 * Найдите все числа х, для каждого из которых
(х - 1) (х - 2)z (х - 3) = 0.
Изобразите эти числа на координатной оси. Определите знак
произведения (х - 1) (х - 2)2 (х - 3) на каждом из полученных
интервалов. Укажите все значения х, для которых:
а) (х - 1) (х - 2)2 (х - 3) > 0; б) (х - 1) (х - 2)2 (х - 3) < 0.
2.70* По плану предыдущего задания решите неравенство:
а) (х + З)2 (х + 1) (х - 2) > 0; б) (х + 4) (х + 2) (х - З)2 < 0;
в) (х + 5)2 (х + 3) (х - 3)
д) (х2 - 4) (х - I)2 > 0;
<0;
г) (х + 2)2 (х + 5) (х - 5)2
е) (х2 - 9) (х + 2)2 < 0.
>0;
2.71 * Решите неравенство с помощью общего метода интервалов:
а) (х - I)3 (х + 2)2 (х - 4) > 0; б) (х - З)2 (х - 5)3 (х + 1) < 0;
в) (х + 3) (х + 4)2 (х + 5)3 < 0; г) (х - 1) (х - 2)2 (х - З)3 > 0;
д) (х + 5)5 (х - 2)2 (х + 4)4 > 0; е) (х + 4)4 (х - З)3 (х + 2)2 < 0.
2.72 * Решите неравенство:
а) (х2 - 4) (х2 - 5х + 6) > 0;
б) (х2 - 1) (х2 - 5х + 4) < 0;
в) (х2 - 7х - 8) (х2 + Зх + 2) > 0;
г) (х2 - 5х + 6) (х2 - Зх + 2) < 0;
д) х3 + х2 - 8х - 12 > 0;
е) х3 - 4х2 - Зх + 18 < 0;
ж) х4 + 5х3 + 10х2 + 20х + 24 > 0;
з) х4 — х3 - 5х2 - х - 6 < 0;
и) (х2 + 2х + 2) (х - 3) (х + 4) > 0;
к) (х2 + х + 3) (х + 3) (х - 4) < 0.
2.9. Рациональные неравенства
------------------. . ——— — -о— — I НМ W-ЖЗСЗ:
Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные
выражения относительно х, называют рациональным неравенством
с неизвестным х.
Например, являются рациональными неравенства
/ .ох л х-1 Л х2-5х + 5 1 , о
(х - 1) (х + 3) > 0, -- < 0, ------->----- + 2.
х + 3 х+ 1 х+ э
При решении рациональных неравенств приходится умножать
или делить обе части неравенства на не равное нулю число, перено-
сить члены неравенства из одной части в другую, применять пра-
вила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате
будет получаться неравенство, равносильное предшествующему,
т. е. неравенство, имеющее те же решения, и только их.
80
L
Рассмотрим рациональное неравенство
В(х)
(1)
где А (х) и В (х) — многочлены относительно х.
Легко видеть, что любое решение неравенства (1) есть решение
неравенства
А (х) • В (х) > 0. (2)
Действительно, если х0 есть решение неравенства (1), то спра-
л<* * * * * * * * * хо) л
ведливо числовое неравенство ------ > 0, означающее, что числа
В(х0)
А (х0) и В (х0) одного знака, т. е. что справедливо числовое не-
равенство А (х0) • В (х0) > 0, а это означает, что х0 есть решение
неравенства (2). Аналогично показывается, что любое решение не-
равенства (2) есть решение неравенства (1). Следовательно, неравен-
ства (1) и (2) равносильны.
Рассмотрим случай, когда многочлены А (х) и В (х) разлагают-
ся в произведения разных двучленов вида х - х0.
Все решения неравенства (1) можно получить, решив методом
интервалов неравенство (2). Учитывая это обстоятельство, часто не
переходят от неравенства (1) к неравенству (2), а говорят о примене-
нии метода интервалов к неравенству (1).
ПРИМЕР 1. Решим
неравенство
Рис. 15
Применяя метод интервалов (рис. 15),
находим, что множество всех решений
неравенства (3) состоит из объедине-
ния двух интервалов: (—оо; 2) и (3; +оо).
Ответ, (-оо; 2) U (3; +оо).
ПРИМЕР 2. Решим
неравенство
х2 - 2х - 3 л
----------< 0.
х2 — Зх + 2
Разложим на линейные множители квадратные трехчлены
х2 - 2х - 3 (5)
и
х2 - Зх + 2.
(6)
Квадратный трехчлен (5) имеет два корня х1 = -1 и х2 = 3 и раз-
лагается на линейные множители:
х2 - 2х - 3 = (х - (-1)) (х - 3).
Рациональные уравнения и неравенства
Квадратный трехчлен (6) имеет два корня хг = 1 и х2 = 2 и раз-
лагается на линейные множители:
х2 - Зх + 2 = (х - 1) (х - 2).
Следовательно, неравенство (4) можно переписать в виде
(х - (-1)) (х - 3) 0
(х - 1) (х - 2)
Применяя метод интервалов (рис. 16),
находим, что множество всех решений
неравенства (4) состоит из объедине-
ния двух интервалов: (—1; 1) и (2; 3).
& Рис» 16
Ответ. (-1; 1) U (2; 3).
Пусть теперь даны алгебраические дроби
Ах(х)
----- и
BJx)
Л2(х)
, гДе
В2(х)
УЦ (х), Вг (х), А2 (х), В2 (х) — многочлены относительно х. Рассмот-
рим рациональное неравенство
Aj (х) А2 (х)
В} (х) В2 (х)
(7)
Для решения неравенства (7) надо перенести все его члены в ле-
вую часть, вычесть дроби в левой части и, не сокращая полученную
дробь, привести неравенство (7) к виду
А (х) > q
В(х)
где А (х) и В (х) — многочлены относительно х.
Затем решить неравенство (8). Так как неравенства (7) и (8) рав-
носильны, то множества решений неравенств (7) и (8) одинаковы.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
(9)
Перенося дробь — в
неравенство х
левую часть и вычитая эту дробь, получим
х2 — 2х — 3
х (2х + 3)
(Ю)
равносильное неравенству (9). Разложив квадратный трехчлен х2 —
- 2х — 3 на линейные множители, перепишем неравенство (10) в виде
(х + 1) (х - 3)
3^1
х + —
2 J
(х - 0)
(И)
Ц82
Применяя к неравенству (11) метод интервалов (рис. 17), полу-
чим, что множество всех его решений есть объединение интервалов:
Я Рис. 17
(-1; 0) и (3; -Ьоо).
Ответ, -оо; U (-1; 0) U (3; 4-оо).
• ’;'4
Рассмотрим решение неравенства (1), когда многочлены А (х)
и В (х) разлагаются в произведения двучленов х - х0, где в чис-
лителе и знаменателе дроби имеются одинаковые двучлены.
В этом случае лучше от неравенства (1) перейти к равносильно-
му неравенству (2) и воспользоваться общим методом интерва-
лов (см. п. 2.8).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
(12)
Перенеся все члены неравенства в левую часть и складывая дро-
би, получим неравенство
х2 — 5х 4- 6 < q
(х + 3) (х - 2)
(13)
равносильное неравенству (12). Разложив квадратный трехчлен х2 —
-5x4-6 на линейные множители, перепишем неравенство (13) в виде
(х - 2) (х - 3)
(х + 3) (х - 2)
(14)
Теперь рассмотрим неравенство
(х - 2) (х - 3) (х 4- 3) (х - 2) < О,
(15)
равносильное неравенству (14). Перепишем его в виде
(х 4- 3) (х - 2)2 (х - 3) < 0.
(16)
И Рис. 18
Применяя общий метод интервалов
(рис. 18), получим, что множество всех
решений неравенства (16), а значит,
и равносильного ему неравенства (12)
есть объединение двух интервалов (—3; 2) U (2; 3).
Ответ. (—3; 2) U (2; 3).
Решить неравенство иногда помогает введение нового неизвестного.
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
(17)
Рациональные уравнения и неравенства
р
Обозначив t = х + 5х + 6, перепишем неравенство (17) в виде
t2- 6t + 10
t
(18)
Так как t2 - 6i + 10 = (г - З)2 + 1 > 0 для любых значений t, то
все решения неравенства (18) есть все t < 0, следовательно, множе-
ство решений неравенства (17) есть множество всех решений нера-
венства х2 + 5х + 6 < 0, т. е. множество (-3; -2).
Ответ. (-3; -2). •
2.73° Какое неравенство называют рациональным неравенством с не-
известным х?
2.74 Изобразите на координатной оси все числа, обращающие чис-
х — 1
литель и знаменатель дроби ---- в нуль. Определите знак
х - 2
дроби на каждом из полученных интервалов. Укажите все
числа х, для каждого из которых:
2.75 Решите с помощью метода интервалов неравенство:
Решите неравенство (2.76—2.78):
a)
Д)
2.78
б)
г)
е)
2 Л О. Нестрогие неравенства
Рассмотрим решение нестрогих неравенств
А(х) о
В(х) "
АЫ < Q
В(х)
(1)
(2)
где А (х) и В (х) — многочлены относительно х.
Множество всех решений неравенства
А(х)
В(х)
> 0 есть объедине-
ние множества всех решений неравенства
А(х)
В(х)
> 0 и множества
всех решений уравнения
А(х) = о
В(х)
Аналогично множество всех решений неравенства
-^«0
В(х)
есть объединение множества всех решений неравенства
А(х) < 0
В(х)
и множества всех решений уравнения
- г .
А(х)
В(х)
Рациональные уравнения и неравенства
Заметим, что если многочлен В (х), стоящий в знаменателе ал-
гебраической дроби в неравенствах (1) и (2), есть число 1, то приве-
денные выше утверждения применимы и для решения неравенств
А (х) 0 и А (х) 0, где А (х) — многочлен относительно х.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
(3)
Сначала решим уравнение
(4)
Его единственное решение х0=
Затем решим неравенство
(5)
Зх - 7 > 0.
Множеством всех решений неравенства (5) являются все х
Объединяя множества всех решений неравенства (5) и уравне-
ния (4), получаем, что множество всех решений неравенства (3) со-
ставляет полуинтервал
Ответ.
3
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
2х2 — х — 1 0.
(6)
Сначала решим уравнение
(7)
Оно имеет корни хг = - — и х2 — 1.
Теперь решим неравенство
2х - х — 1 < 0.
Неравенство (8) можно записать в виде
(8)
Решая его методом интервалов, получаем, что множество всех ре-
шений неравенства (8) составляет интервал ——; 1 . Объединяя мно-
жества всех решений неравенства (8) и уравнения (7), получаем, что
множество всех решений неравенства (6)
составляет отрезок
1 (рис. 19).
Ответ.
Рис. 19
86
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
Л„2 .
(9)
Сначала решим уравнение
Л „2
Оно имеет единственный корень х0 = —.
Теперь решим неравенство
9х2 - 6х + 1 < 0.
Неравенство (10) можно записать в виде
z ч2
(Ю)
Нет ни одного действительного числа х, удовлетворяющего это-
му неравенству, так как квадрат любого действительного числа не
может быть отрицательным. Поэтому неравенство (10) не имеет ре-
шений.
1
Итак, неравенство (9) имеет единственное решение х0= —.
Ответ. —.
3
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
Сначала решим уравнение
(х + 2) (х - 4) _ 0
(х + 3) X
(11)
(12)
Оно имеет только два корня хг = -2 и х2 = 4.
Теперь решим неравенство
(х + 2)(х — 4)
(х + 3) х
<0.
(13)
г ~ - 1 + >
-3-2 0 4 х
Рис. 20
Применяя метод интервалов, нахо-
дим, что множество всех решений не-
равенства (13) состоит из двух интер-
валов: (—3; -2) и (0; 4). Объединяя
множества всех решений неравенст-
ва (13) и уравнения (12), получаем множество всех решений нера-
венства (11): (-3; -2] U (0; 4] (рис. 20).
Ответ. (-3; -2] U (0; 4].
87
Рациональные уравнения и неравенства
2.80 ° Как решают нестрогие неравенства?
2.81 Проверьте, является ли число 1 решением неравенства:
а) Зх — 1 0; б) Зх - 5 > 0; в) 2х - 2 0;
ч 5х 4- 2 . п ч 1 - х Л ч х2 - 1 . Л
г) ---- < 0; д) ---- > 0; е) ----- < 0.
х - 5 х+1 х - 1
Решите неравенство (2.82—2.92):
2.82 а) 2х - 3 < 0; б)
в) 5х - 8 Зх — 1; г)
2.83 а) (х - 2) (х + 3) 0; б)
в) (х - 4) (х + 3) С 0; г)
2.84 а) х2 - 12х + 32 0; б)
в) 2х2 + х — 7 > 0; г)
2.85 а) -х2 + 2х - 1 5г 0; б)
в) Зх2 + 18х + 27 $ 0; г)
2.86 а) х2 - Зх + 5 > 0; б)
в) 8х2 - х + 1 0; г)
2.87 а) (х - 1) (х - 2) (х - 3) > 0;
в) (х + 1) (х + 2) (х + 3) 0;
д) (х2 + 2х + 1) (х - 1) 0;
2.88 * а) (х2 - 1) (х + 3) > 0;
в) (4 - х2) (7 - х) < 0;
2.89 * а) (х - 1) (х - 2)2 < 0;
в) (х2 + 2х + 1) (х - 1) 5= 0;
д) (х2 - 4х + 3) (х2 - 1) > 0;
2.90 а) —— > 0; б) —— S 0;
х - 1 2 — х
4х - 3 0;
2х — 4 =5 4х - 3.
(х - 2) (х + 3) «; 0;
(х + 4) (х - 3) 0.
х2 + 8х - 12 0;
Зх2 — 5х — 1 < 0.
—х2 + 4х - 4 0;
2х2 - 20х + 50 5 0.
х2 + 7х + 10 « 0;
4х2 - 5х + 6 ? 0.
б) (х - 2) (х + 2) (х - 3) «S 0;
г) (х2 - 4) (х + 5) > 0;
е) (х2 - 6х + 9) (х - 2) 0.
б) (12 - 5х) (х2 - 4х + 4) 0;
г) (х2 - 5х + 6) (х - 3) 0.
б) (х + 1) (х + 2)2 0;
г) (х2 - 6х + 9) (х - 2) « 0;
е) (х2 - Зх + 2) (х2 - 4) « 0.
\ Х - 8 Л А 8 “ 4х . Л
в) ----- 0; г) -----0.
2х + 3 о + х
2.91* а)
в)
2.92 а)
в)
Д)
(1 — х) (х + 2)
х - 3
2.11. Системы рациональных неравенств
Если надо найти все числа х, каждое из которых есть решение
одновременно всех данных неравенств, то говорят, что надо решить
систему неравенств с неизвестным х.
Чтобы решить систему неравенств, надо решить каждое нера-
венство системы, затем найти общую часть (пересечение) полу-
ченных множеств решений, которая и будет множеством всех ре-
шений системы.
Рассмотрим примеры решения систем рациональных неравенств.
ПРИМЕР 1.
Решим систему неравенств
' (х - 1) (х - 5) (х - 7) < О
< (х - 2) (х - 3) 0
х - 4
(1)
_СЕ
5
а)
б)
1 2 3 4 5 7 х
в)
Рис. 21
Применяя метод интервалов, на-
ходим, что множество всех решений
первого неравенства системы (1) со-
стоит из объединения интервалов:
(-оо; 1) и (5; 7) (рис. 21, а), а мно-
жество всех решений второго нера-
венства системы (1) состоит из объ-
единения интервалов: (2; 3) и (4; +оо)
(рис. 21, б). Следовательно, множест-
во всех решений системы (1) состав-
ляет интервал (5; 7) (рис. 21, в).
Ответ. (5; 7).
ПРИМЕР 2. Решим систему неравенств
х2 - 6х + 10 < О
(2)
Выделим полный квадрат в трехчлене
х2 - 6х + 10 = х2 - 2 • х • 3 + З2 + 1 = (х - З)2 + 1.
Тогда первое неравенство системы (2) можно записать так:
(х - З)2 + 1 < 0,
откуда видно, что оно не имеет решений.
Теперь можно не решать второе неравенство системы, так как
ответ уже ясен: система неравенств (2) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
g|89
Рациональные уравнения и неравенства
ПРИМЕР 3. Решим систему неравенств
[^40
s х + 3 (3)
[ (х + 1) (х — 3) (х — 6) < 0.
Сначала решим первое неравенство системы (3). Множество
всех его решений есть полуинтервал (-3; 5].
Затем решим второе неравенство системы (3). Множество всех
его решений состоит из объединения интервалов (-оо; —1) и (3; 6).
Отметим на координатной оси все решения первого и второго не-
равенств (рис. 22).
Следовательно, множество всех ре- ж
шений системы (3) состоит из объеди- -3 -1 3 5 6 х
нения промежутков (-3; -1) и (3; 5].
Ответ. (-3; -1) U (3; 5]. Рис* 22
Рассмотрим задачи, решение которых можно свести к решению
системы неравенств.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
(4)
Если х0 — корень уравнения (4), то справедливо числовое
равенство
(5)
Заметим, что сумма чисел и = х2 — 4х0 и и = 5х0 — х2, стоящих
под знаком модуля, равна числу х0, стоящему в правой части равен-
ства (5), т. е. равенство (5) имеет вид
и | + | v | = и + V.
(6)
Для чисел и и v равенство (6) справедливо тогда и только тогда,
когда и > 0 и и 0 одновременно. Это означает, что множество ре-
шений уравнения (4) состоит из всех решений системы неравенств
х2 - 4х > 0
—х2 + 5х 5s 0.
Множество всех решений перво-
го неравенства системы (7) есть объ-
единение двух промежутков (-оо; 0] U
U [4; +оо) (рис. 23, а).
Множество всех решений второго
неравенства системы (7) есть проме-
жуток [0; 5] (рис. 23, б).
Общая часть всех решений этих
двух неравенств и составляет множе-
ство всех решений системы (7), а значит
и уравнения (4): {0} U [4; 5] (рис. 23, в).
Ответ. {0} U [4; 5].
(7)
>>^//////////////^/^^^\>^
0 4 5
в)
Рис. 23
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
-Jx2 - 5х + 4 + yj-x2 + 4х- 3 < Зх - 2.
(8)
Если х0 — решение неравенства (8), то справедливо числовое
неравенство
Это означает, что числа х^ — 5х0 + 4 и -х2 + 4х0 - 3, стоящие
под знаками корней, неотрицательны, т. е. число х0 является реше-
нием системы неравенств
х2 - 5х + 4 О
—х2 + 4х - 3 0.
(9)
а)
УХУ • •• -ч- ////////^ ф \ХхУХХХХХхХХХХ>Х\
1 3 4
Рис. 24
Множество всех решений первого
неравенства системы (9) есть объеди-
нение двух промежутков (—оо; 1] U
U [4; 4-со) (рис. 24, а), а множество
всех решений второго неравенства
системы (9) есть промежуток [1; 3]
(рис. 24, б). Поэтому общую часть
всех решений этих двух неравенств и
составляет единственное число х0 = 1
(рис. 24, в).
Следовательно, если неравенст-
во (8) имеет решение, то им может
быть только число 1. Проверка показывает, что число 1 является
решением неравенства (8).
Ответ. 1. •
2.93° Что значит решить систему рациональных неравенств? Как
решают системы рациональных неравенств?
2.94° Является ли какое-нибудь из чисел -1; 1; 0; 2 решением си-
стемы рациональных
неравенств:
а)
(х - З)2 > О
(х - 2) (х - 5) < 0;
(х + 5)2 > 0
(х + 4) (х - 4) > 0;
х2 — 6х — 8 < 0
х2 - Зх + 5 > 0
>5?
91
Рациональные уравнения и неравенства
Решите систему неравенств (2.95—2.100):
2.95 а)
в)
(х +1) (х - 3) < О
(х + 2) (х - 1) < 0;
(х + 2) (х +1) > О
(х + 6) (х - 3) < 0;
х (х + 5) < О
(х- 1) (х—4) < О;
(х - 5) (х - 3) > О
(х + 3) (х - 4) < 0.
2.96 а)
f (х - 1) (х - 2) < О
I х (х - 3) > 0;
г)
(х +10) (х - 13) > О
(х + 8) (х - 12) < О;
в)
х2 - 9 > О
х С —2.
2.97 а)
г)
2.98 а)
в)
> О;
г)
(х - 2) (х - 3) £ О
(X + 1) (X
0.
(х + 2)(х- 1)
2.99 а) < х + 1
х + 3^0;
б)
(х- 2)(х + 3) о
X - 1
х + 2 < 0;
2.100
г)
а)
х2 - Зх + 4 < О
х2 + 5х — 14 > О
в)
г)
х2 < 49.
К
92
2.101 * При каких значениях а система неравенств:
ч / х2 - 4х - 12 > 0 J х2 - 4х - 12 С О
а) J । . б) 5 . .
[| х - а | < 3; (|х — а | < 3;
х (х2 - (а 4- 3) х 4- За =? О х |х2 - (а +1) х + а О
(| х — 41 > 2; (| х — 41 < 2
имеет единственное решение?
2.102 * При каких значениях а система неравенств:
(х2 - 8х + 15 > О
| х2 — (а + 4) х + 4а С О
а) имеет единственное решение; б) не имеет решений;
в) имеет бесконечно много решений?
2.103 * При каких значениях а система неравенств:
f х2 — х — 6 О
[ х2 - (а + 5) х + 5а < О
а) имеет единственное решение; б) не имеет решений;
в) имеет бесконечно много решений?
2.104 * Решите уравнение:
а) | х2 — 4х + 3 | + | —х2 4- 5х — 4 | = х — 1;
б) х2 — 5х 4- 6 | 4-1 -х2 4- 4х — 3 | = 3 - х;
в) | х2 - 10х 4- 24 | 4- | х2 - 9х 4- 20 | = -х 4- 4;
г) | х2 4- 5х - 24 | + | х2 - 9х 4- 8 | = 14х - 32;
е)
= 3x4-2;
2х — 5
2.105 * Докажите, что уравнение:
а) д/х2 - 4 4- д/1 - х2 = 1 + х; б) 4- д/4 ~ х2 = 2 — х;
в) х2 + 2х — 8 4- д/-х2 4- Зх - 2 = 3 - х;
г) д/х2 - 6х 4- 5 4- д/-Х2 4- 7х — 12 = 4 4- х
не имеет решений.
2.106 * Решите уравнение:
2.107 * Решите неравенство:
а) д/х24- х- 12 4- д/-х24- х 4- 6 > 9- х2;
б) д/х2 - х - 12 4- д/-х2 - х 4- 6 < х2 - 9.
93
Корень степени п
§ 3. Корень степени п
3.1. Понятие функции и ее графика
При рассмотрении количественных отношений явлений ре-
ального мира приходится иметь дело с числовыми значениями раз-
личных величин, например, времени, пути, скорости, объема, угла
и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин
всегда имеют постоянные числовые значения, у других — эти зна-
чения переменные. Такие величины называют соответственно по-
стоянными и переменными. Например, при равномерном движении
скорость v — постоянна, а время t и путь з — переменные, причем
s = vt.
Изучение явлений реального мира показывает, что переменные
величины не изменяются независимо друг от друга: изменение чис-
ловых значений одних влечет изменение значений других.
Будем рассматривать лишь пары переменных, значения одной
из которых (зависимой) изменяются в зависимости от значений вто-
рой (независимой). В приведенном примере естественно считать t
независимой переменной, s — зависимой, v — постоянной. Незави-
симую переменную называют еще аргументом, зависимую перемен-
ную — функцией. Поэтому можно сказать, что в приведенном при-
мере з есть функция t.
Приведем другие примеры.
1) Площадь круга S есть функция радиуса: S = itR2 (я — посто-
янная).
2) Объем V некоторого количества газа есть функция давления
С
этого газа р: V = — (с — постоянная).
3) Длина катета прямоугольного треугольника с заданной ги-
потенузой есть функция угла а, лежащего против этого катета:
а = с sin а (с — длина гипотенузы).
Примеры, когда одна величина является функцией другой,
можно продолжить. Принято говорить о функциях от аргумента,
который может быть временем, радиусом, углом и т. д.
В математике принято рассматривать одну величину как функ-
цию другой величины, не вникая в физическую сущность этих ве-
личин, и говорить о числовой функции числового аргумента. Вмес-
то слов «числовая функция числового аргумента» будем говорить
просто «функция».
Напомним определение функции. Оно предложено великим
русским математиком Н. И. Лобачевским (1792—1856) и немецким
математиком Л. Дирихле (1805—1859).
Пусть дано некоторое множество чисел X и пусть в силу некото-
рого вполне определенного закона (f) каждому числу х из множест-
91
ва X ставится в соответствие одно вполне определенное число у,
тогда говорят, что на X задана функция у = f (х).
Множество X называют областью определения функции у — f (х).
Множество всех значений зависимой переменной у называют обла-
стью изменения функции у = f(x).
Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ
(закон, правило) с помощью которого для каждого значения аргу-
мента х е X можно найти соответствующее значение у. Обычно этот
закон обозначают одной буквой, например Д и тогда пишут
У- f(x).
(1)
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, пишут
z/(x), а для сокращения записи (1) пишут /(х).
Закон f также называют функцией и говорят: задана функция f
на множестве чисел X или, коротко, задана функция /.
Отметим, что вместо пары букв х и у в определении функции
могут участвовать любые другие пары букв. Например, функцию Д
определенную на множестве X, можно записать в виде у = f (х),
х е X, так и в виде и = / (у), v е X, или даже в виде х = f (у), у е X.
Все эти записи характеризуют одну и ту же функцию.
Для области определения и области изменения функции f при-
няты обозначения D(f) и Е (/) соответственно.
Приведем примеры функций.
1) Пусть каждому действительному числу х поставлено в соот-
ветствие число г/, равное Зх. Этим соответствием задана функция
у = Зх с областью определения JR.
2) Пусть каждому действительному числу х поставлено в соот-
ветствие число у, равное х2. Этим соответствием задана функция
у = х2 с областью определения R,
3) Пусть каждому действительному отличному от нуля числу х
1 с
поставлено в соответствие число у, равное —. Этим соответствием
1
задана функция у — — с областью определения — множеством всех
отличных от нуля действительных чисел.
4) Если каждому действительному числу х поставлено в соот-
ветствие одно и то же действительное число с, то говорят, что зада-
на функция у = с с областью определения R.
Говорят также, что в примерах 1—4 функции заданы формула-
ми у = Зх, у = х2, у = у = с.
Кроме формулы, функцию можно задать и графиком. Каждая
функция, заданная при помощи формулы, имеет в декартовой сис-
теме координат свой график.
Корень степени п
Графиком функции у = / (х) называют множество всех точек
координатной плоскости хОу вида (х; f (х)), где х — любое число •
из области определения функции.
Ранее уже строились графики функций у = х (прямая), у = х2
(парабола), у = — (гипербола) (рис. 25, а—в).
Если график функции у = f (х) на некотором промежутке есть
непрерывная линия, то функцию называют непрерывной на этом
промежутке. Можно сказать и так:
функцию называют непрерывной на
промежутке, если она определена
в каждой точке этого промежутка
и малому изменению аргумента со-
ответствует малое изменение функ-
ции. (Формальное определение не-
прерывности функции будет дано
позже.) Приведем примеры: 1) функ-
ция у = х непрерывна на промежут-
ке Л; 2) функция у = х2 непрерывна
на промежутке 12; 3) функция у = —
X
непрерывна как на интервале (—оо; О),
так и на интервале (0; +оо). В точке
х = 0 она не определена. Ее график
состоит из двух ветвей.
Й1 Рис. 25
96
3.1° а) Сформулируйте определение функции. Приведите примеры
функций.
б) Что называют графиком функции у — f (х)?
в) Какую функцию называют непрерывной на промежутке?
Приведите примеры.
Найдите область определения функции (3.2—3.3):
Постройте график функции (3.4—3.7):
3.4 а) у — х; б) у = | х — 2 |; в) у = | х + 2 |; г) z/ = |x-2|+l.
3.2, Функция у = хп
Рассмотрим функцию
У = (1)
где п — некоторое данное натуральное число (п > 2). Для и = 2 это
есть функция у — х2, рассмотренная ранее. Для п = 3 это есть функ-
ция у = х3, для п = 4 — функция у = х4 и т. д.
Функция у = хп определена для любых х, т. е. область опреде-
ления этой функции есть множество R.
97
Корень степени п
Отметим свойства функции у = хп (п > 2) пока только для неот-
рицательных X.
1. Если х — О, то у = 0.
2. Если х = 1, то у = 1.
3. Если х > 0, то у > 0.
4. Функция у = хп является возрастающей для х 0.
5. Если х -* +оо, то у —* +оо.
6. Функция у = хп непрерывна.
Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из формулы (1). Они
означают, что график функции у = хп проходит через начало коор-
динат и точку (1; 1).
Свойство 3 следует из того, что если х > 0, то хп > 0.
Свойство 3 означает, что график функции у = хп для х > 0 рас-
положен выше оси Ох.
Свойство 4 следует из того, что если 0 < хг < х2, то хл < х2.
Свойство 5 очевидно. В самом деле, если х стремится к +оо, про-
бегая натуральные числа 1, 2, 3, ..., то у = хп тоже стремится к +оо,
пробегая числа 1п, 2”, Зл, .... Для остальных чисел х справедли-
вость этого свойства сохраняется.
Свойство 6 для п = 2 становится очевидным, если, например,
считать, что у есть площадь квадрата со стороной х. Ясно, что малое
изменение стороны квадрата влечет за собой малое изменение его
площади, а это и означает непрерывность функции у = х2 для поло-
жительных х.
Для п = 3 свойство 6 также становится очевидным, если, напри-
мер, считать, что у есть объем куба с ребром х. Ясно, что малое изме-
нение ребра куба влечет за собой малое изменение его объема, а это
и означает непрерывность функции у = х3 для положительных х.
Для других п свойство 6 надо доказывать, но это доказательст-
во мы проводить не будем.
Свойство 6 означает, что график функции у — хп — непрерыв-
ная линия.
Отметим еще, что на интервале (0; 1) выполняются неравенства
1 > х > х2 > х3 > х4 > ... . (2)
Действительно, умножая неравенство 1 > х на х > 0, получим
неравенство х > х2; умножая это неравенство на х > 0, получим не-
равенство х2 > х3 и т. д.
В силу неравенств (2) график функции у = х3 на интервале
(0; 1) расположен ниже графика функции у = х2, график функции
у = х4 расположен ниже графика функции у = х3 и т. д.
Далее, на интервале (1; +оо) выполняются неравенства
1 < х < х2
(3)
4“Никольский, 10 кл.
98
Я Рис. 26
Действительно, умножая нера-
венство 1 < х на х > 0, получим нера-
венство х < х2; умножая это неравен-
ство на х > 0, получим неравенство
х2 < х3 и т. д.
Неравенства (3) показывают, что
на интервале (1; +оо) график функции
у = х3 расположен выше графика функ-
ции у = х2, график функции у = х4
расположен выше графика функции
у = х3 и т. д.
На рисунке 26 в одной и той же
декартовой системе координат изобра-
жены графики функций у = х2, у = х3,
i/ = x4 пока только для неотрицатель-
ных значений х. Эти графики отражают
отмеченные выше свойства функций.
Рассмотрим теперь свойства функции у = хп на всей ее области
определения, т. е. для всех х е (—оо; +оо).
Очевидно, что
/ „ч2 2
в .6
8 „8
Вообще, если п = 2т (т е N) есть четное натуральное число
jf •
Действительно,
/ —\2т
2т
Следовательно
при четном п функция у — хп четная и ее график симметричен,
бтндсйтёльно
Напомним, что функцию /(х) на-
зывают четной, если для любого х из
ее области определения верно равен-
ство /'(-х) = f(x).
На рисунке 27 изображены гра-
фики функций у — х2 и у — х* для лю-
бых действительных значений х.
Для функций вида у = хп с нечет-
ными показателями степеней выпол-
няются уже другие равенства: (-х)3 =
Вообще если п = 2т + 1 (т е N)
есть нечетное натуральное число, то
Корень степени п
Действительно, (-х)2т + 1 = (-х)2/п • (-х) = х2т • (-1) • х = -х2т + *.
Следовательно,
при нечетном п функция у = хп нечетная и ее график симметри-
чен относительно начала координат|»»и»******'шИз»*8§***»*«иг
Напомним, что функцию f (х) называют нечетной, если для лю-
бого х из ее области определения верно равенство f (— х) = — f (х).
На рисунке 28 изображены гра-
фики функций у = х, у = х3, у = х5 для
любых действительных значений х.
Отметим, что если п = 2т (т g N)
есть четное натуральное число, то
функция у = х2т является убываю-
щей на промежутке (-оо; 0] и возрас-
тающей на промежутке [0; +оо). Эта
функция принимает все значения из
промежутка [0; +оо).
Если же п = 2т + 1 (т е N) есть
нечетное натуральное число, то функ-
ция у = х2т + 1 является возрастаю-
щей на промежутке (-оо; +оо), она
принимает все значения из проме-
жутка (-оо; +оо).
Рис. 28
3.8 ° а) Какова область определения функции у = х”?
б) Сформулируйте свойства функции у = хп.
3.9 ° Для каких натуральных значений п функция у = хл:
а) четная; б) нечетная?
3.10 Какие точки принадлежат всем графикам функций у = хп при:
а) любых натуральных п; б) любых четных п;
в) любых нечетных п?
3.11 Какова область значений функции у = х” при:
а) п = 3; б) п = 4; в) п четном; г) п нечетном?
3.12 В каких четвертях расположен график функции у = х” при:
а) п = 3; б) п — 4; в) п = 5;
г) п = 6; д) п четном; е) п нечетном?
3.13 Относительно чего симметричен график функции у = хп при:
а) п = 3; б) и = 4; в) п = 5;
г) п = 6; д) п четном; е) п нечетном?
4*
100
3.14 На каком промежутке возрастает функция:
а) у = х; б) у = х3; в) у = х5;
г) у = х2; д) у = х4; е) у = х6?
3.15 На каком промежутке убывает функция:
а) у = х2; б) у = х4; в) у = х8?
3.16 В одной системе координат постройте графики функций:
а) у = х2, у = х4, у = х6;
б) у = х, у = х3, у = х5;
в) у = х, у = х2, у = х3.
3.17 Выясните, какой из графиков двух функций расположен
выше другого на интервале (О; 1):
а) у = х и у = х2; б) у = х2 и у = х3;
в) у = х3 и у = х4; г) у = х4 и у = х5.
3.18 Выясните, какой из графиков двух функций расположен
выше другого на интервале (1; +оо):
а) у = х и у = х2; б) у = х2 и у = х3;
\ 3 4 \ 4 5
в) у = х и у = х ; г) у = х и у = х .
3.19 * Выясните, какой из графиков трех функций расположен выше,
а какой расположен ниже других на интервале (-1; 0):
а) у = х, у = х3, у = х5;
б) у = х2, у = х4, у = х6.
3.20* Выясните, какой из графиков трех функций расположен выше,
а какой расположен ниже других на интервале (—оо; -1):
а) у = х, у = х3, у = х5;
<я\ 2 4 6
б) у = X , У = X , у — X .
3.21* Найдите все значения х, при каждом из которых выполняется
неравенство:
3.22 Постройте график функции:
а) у = х12; б) у = х21; в) у = х40;
г) z/= х55.
3.3. Понятие корня степени п
Пусть дано натуральное число п, большее или равное 2 (п 2).
ci Корнем степени п из числа b называют такое число а (если.
оно существует), n-я степень которого равна Ь.
101
Корень степени п.
Мы уже знаем, что корень 2-й степени называют также квад-
ратным корнем.
Корень 3-й степени называют еще кубическим корнем.
ПРИМЕР 1. Равенства О3 = 0, I3 = 1, 23 = 8, З3 = 27, (-1)3 = -1,
(-2)3 — -8, (—З)3 = -27 показывают, что числа —3, —2, -1, 0, 1, 2, 3
есть кубические корни соответственно из чисел -27, -8, —1, 0, 1,
8, 27.
ПРИМЕР 2. Равенства О5 = 0, I5 = 1, 25 = 32, З5 = 243, (-1)5 = -1,
(-2)5 = —32, (-З)5 = -243 показывают, что числа -3, —2, —1, 0, 1, 2, 3
есть корни пятой степени соответственно из чисел -243, —32, —1, 0,
1, 32, 243.
ПРИМЕР 3. Равенства О4 = 0, I4 = 1, 24 = 16, З4 = 81, (-1)4 = 1,
(-2)4 = 16, (-3)4 = 81 показывают, что есть два числа 1 и -1, которые
являются корнями четвертой степени из 1; есть два числа 2 и —2,
являющиеся корнями четвертой степени из 16; есть также два чис-
ла 3 и -3, являющиеся корнями четвертой степени из 81. Далее,
0 есть корень четвертой степени из 0.
Не существует корня четвертой степени из отрицательного
числа, потому что четвертая степень любого действительного числа
есть число неотрицательное.
В следующем пункте будут получены общие заключения, кото-
рые согласуются с рассмотренными выше частными фактами.
3.23° Что называют:
а) квадратным корнем; б) кубическим корнем;
в) корнем пятой степени; г) корнем n-й степени
из числа Ь?
3.24 а) Сколько существует корней четвертой степени из числа:
1; 81; 0; 625?
б) Сколько существует корней пятой степени из числа: 0;
1; -1?
3.25 а) Выпишите все натуральные числа, кубы которых не пре-
вышают 10 000.
б) Выпишите все целые числа, четвертые степени которых не
превышают 100 000.
3.26 Сколько существует натуральных чисел, шестая степень кото-
рых не превышает 1 000 000?
3.27 Найдите ребро куба, если его объем равен:
а) 1 м3; б) 8 см3; в) 27 дм3;
г) 64 мм3; д) 1000 км3; е) 1 000 000 м3.
Ж; 102
Зх*____
3.28 ° Найдите число, куб которого равен:
а) -1; б) -8; в) 0,001; г) -±-.
27
3.29 Докажите, что число:
а) 3 есть корень третьей степени из 27;
б) -0,5 есть корень четвертой степени из 0,0625;
в) 7 — корень четвертой степени из 2401;
г) — 1- — корень третьей степени из -2—.
3.30
Проверьте, является ли число:
а) 6 корнем шестой степени из 46 656;
б) -3 корнем седьмой степени из 2187;
в) -3 корнем седьмой степени из -2187;
32
г) -0,4 корнем пятой степени из-----.
3125
3.31 Найдите кубический корень из числа:
а) 1000; б) 64 000 000; в) 125 000 000 000;
г) -0,001; д) 3-; е) -1—.
8 64
Докажите правильность решения.
3.32 Найдите корень четвертой степени из числа:
а) 0; б) 160 000; в) 62 500 000 000;
г) 0,0001; д) 1 • 1СГ12; е) 1,6 • 10Л
Единственный ли это корень?
3.33 Существует ли корень шестой степени из числа:
а) 1; б) 0; в) -1; г) 1,2; д) -1,8 106; е) 7,2 • 10-6?
Единственный ли это корень (если он существует)?
3.4. Корни четной и нечетной степеней
ТЕОРЕМА 1. Существует, и притом единственный, корень
нечетной степени из любого действительного числа Ь, при этом ко-
рень нечетной степени: а) из положительного числа есть число по-
ложительное; б) из отрицательного числа есть число отрицатель-
ное; в) из нуля есть нуль.
Доказательство. Применим графический метод. Отметим, что
любое нечетное число, большее 1, можно записать в виде 2ти + 1,
где т — натуральное число.
Построим в прямоугольной системе координат хОу график
функции у = х2т + 1 (рис. 29). Эта функция возрастает на промежут-
ке (—оо; +оо), принимая все значения от -оо до +оо, ее график — не-
прерывная кривая, проходящая через начало координат, симмет-
ричная относительно начала координат.
g!03
Корень степени п
Зададим произвольное число Ъ. Через точку В (О; Ъ) прове-
дем прямую у = д, параллельную оси Ох. Она пересекает график
функции у = х2т + 1 в одной и только в одной точке М, что следует
из возрастания функции у — х2т + Точка М имеет ординату у = Ь.
Абсциссу ее обозначим через х = а.
Таким образом, полученное число а есть единственное число,
для которого выполняется равенство а2т + 1 = Ь.
Если b > 0, то а > 0 (см. рис. 29). Если b < 0, то а < 0 (рис. 30).
Рис. 29
В Рис. 30
Наконец, если Ъ = 0, то и а = 0.
Итак, показано, что для любого действительного числа Ъ су-
ществует, и притом один, корень степени
2m +1 ГГ
чается как Vo.
2 т + 1, который обозна-
Теорема 1 доказана.
ПРИМЕРЫ.
^8 = 2, ^8 = -2, 100 000 = 10, ^-100 000 = -10.
ТЕОРЕМА 2. Существуют два и только два корня четной сте-
пени из любого положительного числа, которые отличаются
только знаками. Корень четной степени из нуля единственный
и равен нулю. Корня четной степени из отрицательного числа не
существует.
Доказательство. Отметим, что всякое положительное четное
число можно записать в виде 2т, где т — натуральное число. Если
любое число, отличное от нуля, возвести в четную степень 2т,
то получится положительное число. Если же нуль возвести в сте-
пень 2т, то получится нуль. Это и доказывает, что корень степени
2т из нуля единственный, равный нулю и что корня четной степе-
ни из отрицательного числа не существует.
jg 104
-а О 1 a x
В Рис. 31
Чтобы доказать первое утверж-
дение теоремы, применим графиче-
ский метод. Рассмотрим функцию
у = х2т. Она возрастает на промежут-
ке [0; +оо), принимая все значения от
0 до +оо, и убывает на промежутке
(—оо; 0], принимая все значения от
+оо до 0. Ее график — непрерывная
кривая, проходящая через начало ко-
ординат, симметричная относитель-
но оси Оу (рис. 31).
Зададим произвольное положи-
тельное число Ъ (Ь > 0). Через точку
В (0; Ь) проведем прямую, параллель-
ную оси Ох. Эта прямая пересекает график функции у = х2т в двух
и только в двух точках М и имеющих одну и ту же ординату Ь.
Абсциссы их в силу симметрии графика относительно оси Оу имеют
противоположные знаки. Точка N имеет положительную абсциссу,
обозначим ее через а (а > 0). Тогда точка М имеет отрицательную
абсциссу, равную -а. Очевидно, что
Л2т / Л\2т »
а = (-а) = и.
Итак, показано, что для каждого положительного числа b су-
ществуют два и только два корня степени 2т из Ь. Один из них —
положительный — обозначают как 2"\[b, другой — отрицательный —
обозначают так: (-2n\lb).
Корень степени 2т из нуля (как показано выше, единственный
равный нулю) обозначают как 2nVo = 0.
Теорема 2 доказана.
ПРИМЕРЫ.
% 16 = 2, -V16 = -2, Vo = 0,
V1 000 000 = 10, -®/1 000 000 = -10.
Отметим, что записи -J-16, У-81, ^/-1 000 000, ^/-13,2, ^/-0,1
не имеют смысла, потому что корень четной степени из отрицатель-
ного числа не существует.
Подведем итоги. Пусть т — данное натуральное число.
Существует, и притом только один, корень степени 2т + 1
из любого действительного числа Ъ. Его обозначают 2т + \!b, причем:
если b > 0, то 2т + \!b > 0,
если b = 0, то 2т + \!b = 0,
если b < 0, то 2т + \fb < 0.
105
Корень степени п
Существуют два и только два корня степени 2т из любого поло-
жительного числа Ъ, они отличаются только знаками.
Положительный корень обозначают 2n\[b, а отрицательный ко-
рень обозначают (-2"Vfc).
Нуль есть единственный корень степени 2т из нуля. Таким
образом, 2”У0 = 0.
Корень степени 2т из отрицательного числа не существует.
Замечание 1. В курсе математического анализа для высшей
школы существование точки М (в доказательстве теоремы 1)
и точек М и N (в доказательстве теоремы 2) доказывается на
основании свойства непрерывности действительных чисел.
Замечание 2. При подробном изучении комплексных чисел
показывается, что корни четной степени из отрицательных чисел
являются комплексными числами. Слова «корень четной степени
из отрицательного числа не существует» означают, что не существу-
ет действительного числа, являющегося корнем четной степени из
отрицательного числа. •
3.34° а) Сколько существует корней нечетной степени из любого
действительного числа?
б) Может ли корень нечетной степени из положительного
числа быть числом отрицательным?
в) Будет ли корень нечетной степени из отрицательного числа
числом отрицательным?
г) Чему равен корень нечетной степени из нуля?
3.35 Как обозначают корень нечетной степени из числа Ь?
3.56° Для любого ли действительного числа существует корень чет-
ной степени?
3.37° а) Существует ли корень четной степени: из положительного
числа; из нуля; из отрицательного числа?
б) Чему равен корень четной степени из нуля?
3.38 а) Как обозначают положительный корень четной степени из
положительного числа? Приведите пример.
б) Как обозначают отрицательный корень четной степени из
положительного числа? Приведите пример.
3.39° Почему не существует корней четной степени из отрицатель-
ного числа?
3.40 Покажите с помощью графика функции у = х3, что существу-
ет единственный кубический корень из числа:
а) 1; б) 5; в) 0; г) -3.
106
3.41 Прочтите выражение:
3.42 Имеет ли смысл запись:
a) ^5; б) в) V5; Г) д) У»; е) ^-0,17
3.43 Верно ли равенство:
а) а/^27 = -3; б) = -2;
в) ^64 = -4; г) V625 = -5?
3.44 Покажите с помощью графика функции у = х4, что:
а) существуют два действительных корня четвертой степени
из числа 3;
б) существует единственный действительный корень четвер-
той степени из числа 0;
в) не существует действительных корней четвертой степени
из числа -1.
3.45 Верно ли равенство:
а) 4716 = -2; б) в-Д = 1; в) 47-16 = -2; г) 4х1б = 2?
3.46 Имеет ли смысл выражение:
а) V35 - 62; б) ^27- 52; в) 7(~2)3; г) V(-8)e?
3.47 * Покажите с помощью графика функции у = х4, что существу-
ют следующие корни, и укажите их значение с точностью до
единиц:
а) 473; б) -V3; в) 4/2; г) -^2;
д) V6; е)
3.5. Арифметический корень
Пусть п — натуральное число и 2.
: J Неотрицательный корень степени п из неотрицательного
числа Ь (Ь 0) называют арифметическим корнем степени и.
. из "*S5SS?S5B*?5?5*?!?SI88?5!*??8983f
Как уже отмечалось в пункте 3.4, для нечетного п существует
только один корень из любого числа Ь. При этом он неотрицатель-
ный, если b > 0. Поэтому понятия корня нечетной степени из неот-
рицательного числа Ь и арифметического корня той же степени из
того же самого числа b совпадают.
107
Ко рейх» степени п
В случае же четного п, как уже отмечалось в пункте 3.4, суще-
ствуют два корня степени п из положительного числа Ъ. Один из
них положительный: nJb — это арифметический корень степени п
из д, а другой равен ему по абсолютной величине, но противополо-
жен по знаку: -п4ь, это не арифметический корень. Корень степени
п (п > 2) из нуля по определению есть арифметический корень сте-
пени п из нуля: Уо = 0. ..
Подчеркнем, что верны следующие утверждения:
1. Если Ь — неотрицательное число, ап — любое натуральное
число (п > 2), то запись Уб означает арифметический корень степе-
ни п из числа Ъ.
2. Если Ъ — отрицательное число, а п = 2т +1 (тп > 1) — не-
четное число, то запись т + \!ъ означает корень степени 2т + 1 из
числа б, но этот корень не является арифметическим корнем.
3. Если Ъ — отрицательное число, а п — 2т (т > 1) — четное
2m /7"
число, то запись V6 не имеет смысла.
ПРИМЕР 1.
а) Записи -Уз, Уо, А/б — это записи арифметических корней.
б) Записи —Уз, V—4, —Уб — это записи корней, не являющихся
арифметическими.
в) Записи -У-3, —У—1, У-5, V-11 не имеют смысла.
Заметим, что для отрицательного числа Ь справедливо равенст-
во 2т+\[ь = ~2т+vi&i*
Например, V-4 = - VS; V-7 = -V7.
^’^’ТЕОРЕМА if Для вдтУральногб числанеотрица-
тельного числа а справедливы равенства
Й : (1)
-к . Г J. -W » - * «Г» а м г*- . м м
Доказательство. Так как а — неотрицательное число, то Уа
есть по определению неотрицательное число, n-я степень которого
есть а. Это и выражается равенством (1).
Так как а > 0 — неотрицательное число, то, как показано в пунк-
те 3.2, ап 0 и Пл[а^ есть по определению неотрицательное число,
n-я степень которого есть ап. Таким числом является а, что и запи-
сано при помощи равенства (2). Подчеркнем, что другого неотрица-
тельного числа, n-я степень которого равняется ап9 нет.
Теорема 1 доказана.
108
ПРИМЕР 2.
a) (V2)4 = 2;
г) Vioo9 = юо;
6) (W = 7;
д) Vот = о.
в) (21Л)21 = 1;
€• A4 • t» мм ***. -э? 4: < » ♦ г» ф Э *и <к *Л Ь* •" <Л Ч Ц <• К«у ±м Л < л 1 У f «Ч*' 7 Л ’J
Ч - е
ТЕОРЕМА 2. Для натурального числа п (п 2) и неотрица-
тельных чисел а и b из равенства ап = Ъп следует равенство а = Ь.
Доказательство. Как показано выше, существует только один
корень n-й степени из неотрицательного числа. Поэтому для не-
отрицательных чисел из их равенства следует равенство корней
n-й степени из них, т. е. из равенства ап = Ьп следует равенство
п4^= "Ть7 . Учитывая, что а 0 и Ь > 0, и используя равенство (2),
получаем, что ‘Ча1 — а и = b, Следовательно, а = Ъ.
Теорема 2 доказана.
ТЕОРЕМА 3. Для натурального числа п (п > 2) и неотрица-
тельных чисел а, Ъ и с (с 0) справедливы равенства
(3)
(4)
S «
Доказательство. Из равенства (1) имеем
(Va • Ъ)п = а-Ь,
С4а n-Jb)n = (п4а)п (У/ЬУ = а-Ь.
Правые части полученных равенств равны. Следовательно, рав-
ны и левые их части: _______
(п4аГь}п = ("Уа •
Так как числа "У а • b и п4а • n-Jb неотрицательны, то, применяя
теорему 2, получаем, что справедливо равенство (3). Аналогично до-
казывается равенство (4).
Теорема 3 доказана.
ПРИМЕР 3.
a) V48 = V16 • 3 = V16 • 73 = 2 V3;
б) ^24 = Т^З = 37в • Зу/3 = 2^/3;
Д 109
Корень степени п
Замечание. Если п — нечетное число, то теоремы 1, 2 и 3 спра-
ведливы для любых действительных чисел а, b и с (с 0).
Кроме того, для натурального числа т и любого действительно-
го числа а справедливо равенство
потому что
2m + V(^ij
2т + 1 / Т
а = V-1
ПРИМЕР 4.
a) ^^27 = -V27 = -3; б) V-1 = -5Д = -i;
в) 3 М? = - V8 = -2; г) V-100 ООО = 105 = -10.
Доказанные в теоремах 1—3 свойства корней степени п исполь-
зуют для вынесения множителя из-под знака корня, внесения мно-
жителя под знак корня и при освобождении дроби от иррациональ-
ности в знаменателе.
ПРИМЕР 5.
a) V-135 = -V135 = -^5-33= -. з/б = -3 ^5;
б) -2 V3 = - V3 = -4л/24-3 = - V48;
3.48° а) Что называют арифметическим корнем степени п (п > 2) из
числа а?
б) Для каких чисел а е R введено понятие арифметического
корня степени п (п > 2) из данного числа а?
в) Сколько существует арифметических корней степени п
(п 2) из данного числа?
3.49 ° Верны ли для любого неотрицательного числа а и любого на-
турального числа п (и 2) равенства Va” = (”>/a)n = а?
3.50 ° Если ап = Ьл, то всегда ли а = b (п е N, п 2)?
3.51 Чему равен корень степени п (п > 2) из:
а) произведения неотрицательных чисел;
б) частного положительных чисел?
3.52 Чему равен 2т + V-a, если а е R?
3.53 Является ли записью арифметического корня выражение:
НО
Вычислите (3.54—3.59):
3.54 a) 3/(-8)2; б) V10 000; в) /2 16; r) /9-81.
3.55 а) /1000 - 4/160 000; б) V 3 200 000 + / 8000;
в) V 0,008 + / 0,0625; r)
V 81 V 125
3.56 a) /8-3/27;
г) / 81 • 16;
ж) /5-/125;
3.57 a) /2 (/4 +/500);
b) /0,81 з^Г9;
3.58. a) /8-/1;
в) s/4 • 3/8 • 3/^2;
3.59 a) (3/72)3 + (S/8)5;
3.60
a) 3/40; 6) /^64;
6) /125-27;
д) 3/2-3/4;
3) 3/9-3/24;
в) /1б • /625;
e) /ie-/2;
и) /io-3/ioo.
б) /5 (/2000 - /125);
r) /8 • / 1250.
6) 3/4-3/16;
r) /-У-/49-/49.
6) /Л - V-8-
Вынесите множитель из-под знака корня:
в) /-96; г) 3/54;
и) /32; к) /243;
Л) /1296; M) /50 625
3.61 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
3.62 Вычислите: ____ ______________________
а) /(-2)2; б) /(—5)4; в) /(/2 - I)2;
г) /(/2 - 2)2; д) 7(^2 - /З)2; е) /(/5 - /7)2.
3.63 Упростите выражение:
а) 3/32; б) 5/800; в) 30 3/А + | з|| + 5 3/144;
г) /80; д) /405; е) 8/320 + 3v108 - 3/32 - 2 3/40;
ж) /81-(4- /17)4; з) /0,001 - /0,000064.
3.64 Для каких чисел k справедливо равенство:
а) - I)2 = 1 - й; 6) 7(1 + k)2 = -1 - fe?
3.65 Упростите выражение /(х + I)4 , если:
а) х — любое действительное число; б) х — 1; в) х < —1.
111
Корень степени п
3.6. Свойства корней степени и
iwTEOPEMA 1. Для натуральных чисел’ т9 п. (m^2, п 2)
и неотрицательного числа а справедливы равенств!*!"!**!****
5!!sis!;isss!KsssiOsBy^№§!HKsi;iisi!Ki5;ill!IO <2^
*Э'.М4И$ШММ4
Доказательство. В силу того, что а > О, числа, стоящие в левых
и правых частях (предполагаемых пока) равенств (1) — (3), неотри-
цательны.
Метод доказательства этих равенств основан на применении
теоремы 2 п. 3.5, в силу которой если n-е степени неотрицательных
чисел равны между собой, то и сами числа равны между собой.
Если возвести отдельно левую и правую части предполагаемого
равенства (1) в степень п, то получим равные числа:
Следовательно, равенство (1) верно.
Если возвести отдельно левую и правую части предполагаемого
равенства (2) в степень тпп, то получим равные числа:
Следовательно, равенство (2) верно.
Если возвести отдельно левые и правые части предполагаемого
равенства (3) в степень тпп, то получим равные числа:
(ЯГ.№П.сда..,
( va) = а.
Следовательно, равенство (3)
Теорема 1 доказана.
ПРИМЕР 1.
а) 74®=(Л)3=23=8;
верно.
г) V V12 = V12:
в) \]б4 = ^2® = 7^= 2 72;
д) 716 = ТЗб = ^4 = 2.
Замечание. Если т и п — нечетные числа, то теорема 1 спра-
ведлива для любых действительных чисел а, в том числе и отрица-
тельных.
112
£ *
LB • *- . чЩ» О < j - ф , • w e • . , -_. •♦^»_-fk<e*^. Л иЛ
ТЕОРЕМА 2. Для натурального числа т и любого действи-
тельного числа а справедливо равенство
2"Va2m = | а |. (4)
Доказательство. Пусть а есть произвольное действительное чис-
ло. Тогда
I i2m л
а = I a I U.
Поэтому в силу равенства (2) п. 3.5
Следовательно, равенство (4) верно.
Теорема 2 доказана.
ПРИМЕР 2. а) 67(-3)6 = |-3| = 3; б) \'б4 = 151 = 5.
Замечание. Для любого натурального числа т и любого дейст-
вительного числа а справедливо равенство
Справедливость этого утверждения следует из замечания на
с. 109.
ТЕОРЕМА 3. Пусть а — положительное число, р — целое
число и п — натуральное число (п > 2). Тогда справедливо ра-
венство
\ а'' = ("7а)р.
(5)
Доказательство. Если р — натуральное число, то равенство (5)
уже доказано (см. (1)).
Если р = 0, то г\[ар = = 1, (Va)p= 1.
Следовательно, пу/ар = (n-Ja)p.
Если р < 0, то р = — |р |, где |р | — натуральное число. Тогда, ис-
пользуя определение степени с отрицательным целым показателем
и свойства корней степени п из положительного числа, получаем
б) 7^ = (л/Э)3 = З3.
Теорема 3 доказана.
ПРИМЕР 3. а) ^27~4 = (^27)’4 = З"4;
113
Корень степени п
3.66 ° а) Какие свойства корней степени п вам известны?
б) Чему равен 2т + Уа2”1 + 1, если а — любое действительное
число? 2т.
в) Чему равен т-\1а2т, если а — любое действительное число?
г) Справедливо ли равенство пу]ар ± (п4а)р, если п — натураль-
ное число (п >2), р — целое число, а — положительное число?
Вычислите (3.67—3.69):
3.67 а) (73)2; б) 7?; в) 71252; г) 'Vsi3;
д) ^49®; е) V272; ж) 416®; з) ®Уз24.
3.68 а) ^Э2; б) \252; в) Ув2; г) ^163;
д) 6<272; е) ^813; ж) 2°У49’°°; з) 3°У125100.
3.69 a) V81; б) Уб25; в) 7160 000; г) V0.0625;
д) У 729; е) 764 000 000; ж) вд/0,000729.
3.70 Упростите1:
3.71 Вынесите множитель из-под знака корня:
a) V80; б) V81; в) 7250; г) 7-648; д)
е) t/16c5d6, если с > 0, d > 0; ж) д/бх4, если х < 0; з) д/3х5г/.
3.72 Упростите выражение:
а) 72-74; б)7з-718; в) 58j2a 3/4Ь; г) ;
д) 72с2 е) 7®^ Уэ«2; ж) х7° 1W;
з) 7^. 7^ • 7^; и) 7аГ • 7аТ.
3.73 Внесите множитель под знак корня:
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выра-
жения имеют смысл.
114
Упростите выражение (3.74—3.77):
3.74
3.75
3.76
3.77
a) V27;
в) (Vafr7)1 2;
в)
в) 97б4;
г) (V^V)2.
г)
г) 12/81.
3.78 Запишите 4а {а 0) как корень:
а) четвертой степени;
в) десятой степени;
д) двенадцатой степени;
ж) двадцать четвертой степени;
б) шестой степени;
г) шестнадцатой степени;
е) восьмой степени;
з) тридцатой степени.
3.79 * Упростите числовое выражение:
а) 72-/3; б) V3V2; в) З^2^3; г)
д) ^2’Л : 372Л; е) 37324 5Л • ^2^4 Л-
3.80 Запишите в виде корней одной и той же степени три числа:
a) V3, -/2 и ®/б; б) V15 и V50.
3.81 Запишите множители в виде корней одной и той же степени
и упростите выражение:
\ 4 /» 3 v Г 6 » 9 / 12 /
а) >1а • Va; б) Vo • Vo; в) Vo • Vo; г) Vx • yi/.
3.7*. Функция y = '\[x (х > 0)
Пусть п (п 2) — натуральное число. Каждому неотрицатель-
ному числу х поставим в соответствие число у, равное арифметиче-
скому корню степени п из х. Иными словами, на множестве неотри-
цательных чисел зададим функцию .
у = п4х (X > 0). (1)
Таким образом, областью определения функции (1) является
множество неотрицательных чисел: х 0.
Отметим следующие свойства функции (1).
1. Если х = 0, то у = 0.
2. Если х > 0, то у > 0.
ч ▼ * Sг .5«
3. Функция у — п4х возрастает.
4. Если х —> +оо, то у —> +оо.
5. Функция у = п4х непрерывна.
115
Корень степени п.
Свойство 1 следует из того, что корень степени п из нуля равен
нулю.
Свойство 2 следует из того, что арифметический корень степени
п из положительного числа есть число положительное.
Докажем теперь свойство 3, т. е. докажем (способом от против-
ного), что если О хх < х2, то Vi < nJ~x2. Предположим, что най-
дутся числа хг и х2, такие, что
О хх < х2, но п^хг г\]х2 •
Учитывая, что эти числа неотрицательные, получим, что
сйу > ш*.
т. е. хх > х2, что противоречит неравенству 0 хг < х2. Следователь-
но, наше предположение неверно, а верно свойство 3.
Если х стремится к бесконечности, пробегая числа 1Л, 2Л, Зл,
4Л, ..., тл, ..., то у = п4х пробегает числа 1, 2, 3, 4, ..., т, ... и, оче-
видно, также стремится к +оо. Для других значений х это свойство
сохраняется.
Из перечисленных свойств функции (1) следует, что она имеет
область изменения [0; +оо).
Доказательство свойства 5 будет следовать из рассмотрения гра-
фика функции (1).
Перейдем к построению графика функции
Рассмотрим для у > 0 степенную функцию
п
х= I/
(1/^0)
(2)
и построим ее график (обозначенный на рисунке 32 буквой Г) в систе-
ме координат хОу следующим образом. Чтобы получить точку гра-
фика Г, соответствующую значению у (у 0), отметим на оси Оу точку,
соответствующую числу у; проведем через нее прямую, параллель-
ную оси Ох; отметим на оси Ох точ-
ку, соответствующую числу х (х ~ уп),
и проведем через нее прямую, парал-
лельную оси Оу. Пересечение этих
прямых — точка А (уп; у) — и есть
точка графика Г функции (2), соот-
ветствующая значению у.
Совокупность точек А (уп; у), со-
ответствующих любым неотрицатель-
ным I/, есть график функции х = уп
(у > 0), т. е. кривая Г (рис. 32).
Но для х > 0 и у 0 равенства (2)
и (1) выражают одну и ту же зави-
симость между х и у, Это показывает, что кривую Г можно рассмат-
ривать как совокупность точек А (х; п4х), и, следовательно, кри-
вая Г есть также график функции у = n*Jx для х О.
Итак, график функции у = п4х (х 0) есть часть графика функ-
ции х = уп для у 0.
Легко видеть, что график функции (1) отражает свойства 1—5
функции (1).
Действительно, график функции (1) проходит через начало ко-
ординат — свойство 1; график функции (1) расположен выше оси Ох
для х > 0 — свойство 2; график изображает возрастающую функ-
цию — свойство 3; при х —► +оо ординаты соответствующих точек
графика функции неограниченно возрастают — свойство 4; график
функции (1) есть непрерывная кривая — свойство 5.
Приведем еще два свойства арифметических корней.
6. Если х > 1, то п4х > 1.
7. Если 0 < х < 1, то 0 < п4х < 1.
Справедливость этих свойств следует из того, что ny0 = 0,
= 1, и того, что функция у = пу[х (х 0) возрастает.
На интервале (0; 1), т. е. для значений х, для которых
0 < х < 1, выполняются неравенства
(3)
Например, для этих х очевидны неравенства
С/х)6 = х3 < х2 = (Vx)6,
откуда и получаем, что у[х < ^/х. Аналогично
остальные неравенства (3).
В силу неравенств (3) график функции у =
доказываются и
у[х на интервале
(0; 1) расположен выше графика функции у = х, график функции
у = \ х расположен выше графика функции у = %х и т. д.
Далее, на интервале (1; +оо) выполняются неравенства
х >
(4)
Например, для этих х очевидны неравенства
(у[х)6 = х3 > х2 = (3^)6,
откуда получаем, что \х > Зу[х. Аналогично доказываются и осталь-
ные неравенства (4).
В силу неравенств (4) график функции у = у[х на интервале
(1; +оо) расположен ниже графика функции у = х, график функции
у = ^/х расположен ниже графика функции у = -/х и т. д.
117
Корень степени п
На рисунке 33 в одной и той же
декартовой системе координат хОу
изображены для х > О графики функ-
ций у = х, у = д/х, у = Зу[х.
3.82 Сформулируйте свойства функ-
ции у — nJx (х > 0). Какая кри-
вая является графиком этой
функции?
Рис. 33
3.83
Постройте график функции
(3.83—3.84):
а) х = 2у;
г) х = у3, у 0;
ж) х = 2«/2, 1/^0;
3.84 а) у = у[х; б) у = ^/х, х 0;
в) у = ^/х; г) у = х 0.
3.85
3.86
Известно,
Верно ли,
\ 3Л~ 1
что: a) ya > 1;
что а > 1; а > 0?
б)
Постройте график функции у —
\[х. С его
помощью найдите,
при каких х справедливо неравенство:
3.8*. Функция у = nJx
Если n = 2т (т е N) — четное число, то корень степени 2т
определен лишь для неотрицательных чисел. Поэтому областью
определения функции у = 2т4х является полуинтервал [0; +оо). Все
свойства и график этой функции рассмотрены в предыдущем пункте.
Если же п = 2т + 1 (т е N) — нечетное число, то корень степе-
ни 2т + 1 определен уже для всех действительных чисел.
При этом для неотрицательных чисел он является арифметиче-
ским корнем, а для отрицательных чисел он не является арифме-
тическим корнем, но его можно выразить через арифметический
корень. Так как ух для х > 0 является арифметическим корнем,
то для этих х отмеченные выше свойства функции у = п4х сохраня-
ются. А так как для х < 0 справедливо равенство
2т + 1Г“ _ 2т + 1/ТТТ
VX = — у I Х|,
то значение функции у =
отрицательного числа х.
х можно вычислить и для любого
П8
Поэтому функцию у = т + 4х можно рассматривать на множе-
стве всех действительных чисел, т. е. считать, что областью ее опре-
деления является множество R. На множестве R справедливо ра-
венство
следовательно, функция у = 2т + \[х является нечетной функцией
и ее график симметричен относительно начала координат. Функция
у = 2т*\[х имеет область изменения (-оо; +оо).
На рисунке 34 схематически изображен график функции
у = 2т + \[х для всех х е R (на рисунке т = 1).
Сформулируем свойства функции
(т g N, хе R).
(1)
1. Область определения функции (1) — множество R.
2. Область изменения функции (1) — множество R. I**»
3. Функция (1) г— возрастающая на множестве R.
•/4. Функция (1) нечетная.'-*^Н**1Ш***?*?*** * ’
5. Функция (1) непрерывная. * 1 2 3 * 5 J? £
На рисунке 35 в одной и той же системе координат изображены
графики функций у = г4х иу = Vx. Для сравнения на рисунке пока-
зан и график функции у = х.
3.87 Какова область определения функции у = п4х для:
а) четных п; б) нечетных п?
3.88 ° Для каких п (четных или нечетных) функция у = п4х являет-
ся нечетной?
119
Корень степени п
3.89 Какие точки принадлежат всем графикам функций у — п4х при:
а) четных п; б) нечетных п?
3.90 Постройте график функции:
а) у = *Vx; б) у = л/х; в) у = Vx.
3.91 Какова область изменения функции у — п4х при:
а) четном п; б) нечетном п?
3.92 Является ли функция у = 2т + \lx (т е N) возрастающей?
Постройте графики функций (3.93—3.94):
3.93 а) у = л/х; б) у = V-x; в) у = д/]х];
д) у = л/х- 2; е) у = д/2- х; ж) у =
а)
ж) у =
3.95* Найдите область определения функции:
а) у = J-x2 + 6х - 5 + t/х2 — 8х +15;
б) у = V12 + 4X- х2 + V^2- Зх - 10;
3.9*. Корень степени п из натурального числа * I
Пусть п (п 2) — натуральное число. Очевидно, что n-я сте-
пень натурального числа есть натуральное число. Но не всякое
натуральное число есть п-я степень некоторого натурального числа.
Например, среди натуральных чисел, не больших 100, только
четыре, т. е. 4%, являются кубами натуральных чисел, а именно:
I8, 23, З3, 43.
Среди натуральных чисел, не больших 1000, только 10, т. е. 1%,
являются кубами натуральных чисел, а именно; I3, 23, З3, ...» 103.
120
Мы видим, что среди больших натуральных чисел редко встре-
чаются n-е степени натуральных чисел.
Отметим следующий факт:
арифметический корень степени п (п > 2) из натурального числа
может быть или натуральным числом, или иррациональным
числом.
Таким образом, например, корни -/2, /5, ^/3, ^/7, *'/19 есть чис-
ла иррациональные.
Это утверждение при любом п > 2 доказывается так же, как
и для п = 2.
Если данное натуральное число не есть n-я (п > 2) степень нату-
рального числа, то из этого числа корень степени п точно не извле-
кается. Покажем, как можно приближенно извлечь корень степе-
ни п из натурального числа, не являющегося n-й степенью нату-
рального числа.
Ограничимся примером.
Вычислим приближенно с точностью до второго знака после запя-
той число 3у/17.
Мы знаем, что это число положительное. Оно имеет некоторое
десятичное разложение:
717 =
3
Вычислить приближенно с точностью до второго знака после
запятой (с недостатком) число у 17 — это значит определить числа
«о» ^1* ^2*
Рассмотрим числа О3, I3, 23, З3, ..., чтобы найти два стоящих
рядом, между которыми находится число 17. Очевидно,
8 = 23 < 17 < З3 = 27.
Следовательно, 2 < 3-J17 < 3 и а0 = 2.
Теперь рассмотрим числа
найдем среди них два стоящих рядом, между которыми находится
число 17.
Имеем 15,625 = 2.53 < 17 < 2,63 = 17,676, откуда
2,5 < 3Т17 < 2,6,
и, следовательно, 04 = 5.
Теперь рассмотрим с той же целью числа
2,53; 2,513; 2,523; 2,593; 2,63.
Д 121
Корень степени п
Оказывается, что
16,974... = 2,573 < 17 < 2,583 = 17,173...,
следовательно, а2 = 7.
Итак, V17 = 2,57 ... .
Как видно, использованный метод вычисления простой, но гро-
моздкий.
Электронные калькуляторы эти вычисления производят мгно-
венно. Точность результата определяется техническими возможно-
стями данного калькулятора.
Приближенные значения квадратных и кубических корней из
чисел также можно получить, используя соответствующие таблицы.
3.96 ° Может ли быть рациональным числом корень степени п (л > 2):
а) из простого числа; б) из натурального числа?
3.97 Что значит вычислить с точностью до третьего знака после
запятой (с недостатком) 3y[N, где N — простое число?
3.98 Если натуральное число N не есть куб натурального числа,
то является ли число 3JN иррациональным?
3.99
3.100
3.101
3.102
3.103
Имеются ли среди натуральных чисел от 100 до 200 четвер-
тые степени каких-либо натуральных чисел?
Является ли кубом натурального числа:
а) 0; б) 1; в) -8; г) 1000?
Докажите, что не существует рационального числа, куб ко-
торого равен:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5.
Докажите иррациональность числа:
а) ^/2; б) Зу[р, где р — простое число.
Является ли рациональным число:
a) -Д б) V^4; в) 37б; г) ^64?
3.104 Для каждого из чисел 7; 10; 17 найдите:
а) наибольшее натуральное число, куб которого меньше
данного числа;
б) наименьшее натуральное число, куб которого больше
данного числа;
в) наибольшее натуральное число, четвертая степень кото-
рого меньше данного числа;
г) наименьшее натуральное число, четвертая степень кото-
рого больше данного числа.
fig 122____________________________________________________________________________________________
3.105 Найдите два последовательных натуральных числа, между
которыми заключено число:
а) З73; б) ^4; в) ^20; г) УЗОО.
3.106 Вычислите с точностью до 1:
a) V175; б) ^241; в) ^105; г) ^273.
3.107 Проверьте справедливость неравенств:
а) 3 < ^/зб < 4; б) 7 < ^350 < 8;
в) 5,1 < V135 < 5,2; г) 3,5 < ^45 < 3,6.
3.108 Какое число является лучшим приближением У 96:
а) 4 или 5; б) 4,5 или 4,6?
3.109 Найдите приближенное значение кубического корня с точ-
ностью до первого знака после запятой (с недостатком) из
числа:
а) 3; б) 6; в) 8; г) 10.
3.110 Вычислите с точностью до третьего знака после запятой:
3.111
Вычислите с точностью до первого знака после запятой:
§ 4. Степень положительного числа
4.1. Степень с рациональным показателем
Вам уже знакомо понятие степени с целым показателем р.
Теперь определим степень с рациональным показателем |, где
р — целое число, a q — натуральное число, q 2.
Пусть а — положительное число, а у— рациональное число
(а 2). По определению число а в степени — есть арифметиче-
ский корень степени q из а в степени р, т. е. 1 ’•«
р .—
а9 = .
2 3 13
Например, 53 = З2 = 7?. 75 = ^7, 2 4 = ^2~я.
123
Степень положительней о числа
ТЕОРЕМА. Пусть а — положительное число, р — целое чис-
ло, k и д — натуральные числа, д > 2, k > 2. Тогда справедливы
равенства
Доказа г< ль< тво. По определению степени с рациональным по-
казателем и по теореме 3 (п. 3.6) имеем
р .—
а« = = (q4a)p =
тем самым равенство (1) доказано.
Докажем теперь равенство (2). По определению степени с ра-
циональным показателем и свойству корней q-й степени имеем
р ______ _______ pk
aq = = qylapk = aqk, и равенство (2) также доказано.
Применяя определение степени с рациональным показателем
и свойства корней g-й степени, получим, что
Тем самым доказано равенство (3).
Теорема доказана. Ф
ПРИМЕР.
/ \4
4|1| 3 1 12 6
а) 273 = ^273J = З4; б) 69 = 63; в) 2 3 = 2“4; г)5"3=52.
Замечание I. Если k и q — натуральные числа, ар — целое
число, то справедливо равенство Поэтому если г = ~, то
pk л ,
г = для любого натурального k.
Равенство (2) показывает, что определение степени с рацио-
нальным показателем аг не зависит от формы записи числа г, а за-
висит лишь от самого числа г. При любой форме записи данного
рационального числа г определение аг приводит к одному и тому же
I 124
— - ----- - _-L
числу. Если бы это было не так, то определение степени с рацио-
нальным показателем было бы противоречиво.
Замечание 2. Равенство (3) показывает, что определение степе-
ни с рациональным показателем содержит в себе определение степе-
ни с целым показателем.
4.1° а) Что называют степенью с рациональным показателем —
положительного числа а? *
б) Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.
Запишите в виде степени с рациональным показателем1 (4.2—4.3)
V^5;
V23.
^2ху3, \lsa2b3;
V(x-4)3.
Запишите в виде корней (4.4—4.6):
4.4
4.5
4.6
4.7
2 3 2 5 ^2 1 п т
а) З3, 46, 68, 7», 10°-6; б) а 3, с1,4, хп, х2, уп ,
где п е т е N и п > 2.
2
а) а“0,5, Ъ 3, с"2’5,
_ 1 _ 2
б)(а2-Ь)’2, (х + 2j/)-0’75, (l-2t/)5,
где п е N и п 2.
1_
(т - п2) п ,
Вычислите:
1 1
а) 252, 492,
3 2
б) 164, 273,
273, 16°’25, 1ОО0’5;
5 4
252’5, 83, 273 ;
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выра-
жения имеют смысл.
125
Степень положительного числа
_ 5
64 6, 32 '°’4;
1
д) (0,01)’2 • (6,25)-0’5.
4.8
Объясните, почему для любого положительного числа а верно
равенство:
4.2. Свойства степени
с рациональным показателем
ТЕОРЕМА 1. Положительное число а в степени с любым ра-
циональным показателем г положительно:
аг > 0. (1)
Доказательство. Запишем число г в виде
где q — натуральное число, g > 2, а р — целое (положительное,
отрицательное или нуль).
Так как а — положительное число, то, используя определение
степени с рациональным показателем и свойства корня q-й степени,
получим, что х
а** = у а > 0,
т. е. неравенство (1) верно при р = 1.
Далее, используя свойства степени положительного числа с це-
лым показателем, имеем при любом целом р:
£ ( 1Г
ar = а4 = J > 0,
т. е. теорема 1 доказана. •
ТЕОРЕМА 2. Пусть а — положительное число, а rv г2
иг — рациональные числа. Тогда справедливы свойства:
1. При умножении степеней с рациональными показателями
одного и того же положительного числа показатели степеней
складывают:
126
2. При делении степеней с рациональными показателями
одного и того же положительного числа показатели степеней
вычитают:
•»
* Л I / *
Г *43)
3. При возведении степени с рациональным показателем
положительного числа в рациональную степень показатели сте-
пеней перемножают:
JSKSn = L:
. • M \ »J t t ' • • . * • < ж Г * ’** ’*“ ч 'v • . *» V — ‘
’доказательство. Пусть rx и г
их в виде
рациональные числа. Запишем
2
где т и k — целые числа, п — натуральное число, п 2. Используя
определение степени с рациональным показателем, свойства арифме-
тических корней и свойства степени с целым показателем, получим
т. е. равенство (2) доказано.
Теперь на основании свойства 1 имеем
г «-г _о — 1
а, * а, = а — 1,
откуда следует равенство
(5)
Далее в силу свойства 1 и равенства (5) получим
и равенство (3) тем самым доказано.
Теперь докажем равенство (4).
Пусть fj и г2 — рациональные числа. Запишем их в виде
т k
Г1 = 7Г И Г2=Т’
где т и k — целые числа, п и I — натуральные числа (п > 2, Z > 2).
Используя определение степени с рациональным показателем и
свойства арифметических корней, имеем
и равенство (4) доказано.
Теорема 2 доказана.
127
Степень положите.ibiioro числа
ПРИМЕР 1.
1 1 11 £
б) З2 : З4 = З2 4 = З4 =
ТЕОРЕМА 3. пусть а и о — положительные числа, аг — ра-
циональное число. Тогда справедливы следующие свойства сте-
пени с рациональным показателем: Д*
1. Степень с рациональным показателем произведения по-
ложительных чисел равна произведению тех же степеней сомно-
жителей: -Ч - *1 «• v
2. Степень с рациональным показателем частного положи-
тельных чисел равна частному тех же степеней делимого и де-
лителя; , ч г ! 2 ?
\ ’ < -О /г
(ab)r = а
(7)
Доказательство. Пусть г = где q — натуральное число, q
ар — целое число. Тогда, используя определение степени с ра-
циональным показателем и свойства арифметических корней,
получаем
(аЬ)г = (аЪУ = ^(ab)p = ^ар-Ьр = • V&7 =ад -Ьч = аг -Ъг,
и равенство (6) доказано.
Аналогично доказывается равенство (7).
Теорема 3 доказана, ф
ПРИМЕР 2.
_ 2 2
а) (0,125) 3 • 8 3 =
2 2
(0,125-8) з=1“з = 1.
Й ТЕОРЕМА 4. Пусть число а > 1, а г — рациональное число.
Тогда' '<U5***^?*?***?a**JS!»5S!!*!••!»» * а 15? *!«? *:**?.--
ar > 1 при г > О,
О < ar < 1 при »- г < 0.
128
Доказательство. Запишем г в виде
где q — натуральное число (q > 2), а р — целое число.
Если а > 1, то верно неравенство
Если теперь г > 0, то р > 0 и
Если же г < О, то р = -1 р | < О, | р | > 0 и
=
1
На основании теоремы 1 аг > О.
Теорема 4 доказана. ф
Ч J Г i- < « I » . 'А Ч 41 < / У г- »
.ь ТЕОРЕМ Ai 5. Пусть число а > 1, а рациональные числа rt и г2
удовлетворяют неравенству rt < г2. Тогда <.
Доказательство. Используя свойства степени с рациональным
показателем, получаем
а2-а1= а1 (а2 Г1-1)>0,
потому что по теореме 1 а 1 > 0 при любом рациональном г\ (поло-
жительном, отрицательном или нуле) и по теореме 4 а2 ri — 1 > О
при г2 - г\ > 0. Следовательно, ах < а2.
Теорема 5 доказана, ф
ТЕОРЕМА 6. Пусть число а принадлежит интервалу (О; 1),
а рациональные числа гх и г2 удовлетворяют неравенству rt < г2.
Тогда г-*’'; '' '
(8)
Степень положительного числа
129
—____
Доказательство. Если О < а < 1, то а 1 > 1. Теперь, применяя
теорему 5, имеем (а-1) 1 < (а-1/2, откуда
(9)
Так как а 1 > Оиа 2 > 0, то, умножая неравенство (9) на а 1 • а 2,
получим справедливость неравенства (8).
Теорема 6 доказана. •
ПРИМЕР 3.
1 1
а) 23 < 22, так как 2 > 1 и i < i;
3 2
Л 1 1 1 1
, так как 0< — < 1 и - < —.
2 3 2
4.9 ° Может ли быть отрицательным числом степень с рациональ-
ным показателем положительного числа?
4.10 По какому правилу: а) умножают; б) делят степени с ра-
циональным показателем одного и того же положительного
числа?
4.11 По какому правилу возводят в степень с рациональным пока-
зателем степень положительного числа?
4.12 Чему равна степень с рациональным показателем:
а) произведения положительных чисел;
б) частного положительных чисел?
4.13 Если а > 1, то каким должно быть рациональное число г,
чтобы выполнялось неравенство:
a) ar > 1; б) ar < 1?
4.14 Сравните а' и а2, если а > 1 и рациональные числа гг и г2
таковы, что гх > г2.
4.15 Сравните а 1 и а2, если 0 < а < 1 и рациональные числа 1\
и г2 таковы, что > г2.
4.16 Пусть числа а и г таковы, что 0 < а < 1, г — рациональное
число. Докажите, что если:
а) г < 0, то ar > 1; б) г > 0, то О < ar < 1.
Д 130
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
Упростите выражение1 (4.17—4.20):
1 2 1 1
д) а 2 : у/a; е) z3 : 5y[z^; ж) 4у[т : т 2; з) ^/а: а 6
ab2
ж) \3а2Ь3) ;
21
д)
Вычислите:
г _2 -1^1
J5V5)"3-81 4J.
Упростите выражение:
дз-ь 3
| 3&з
Ь- 27
аг- 8а0,5
а - 16
а4 (а- 1)3
8
(Д+lf9 .
7 4 *
(а - 1)9 аз
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выра-
жения имеют смысл.
131
Степень положительного числа
4.23 Может ли значение выражения:
1з_ з
а) —----+ 0,25~1,5 — 9 (х - 2)° равняться 1;
1 2
б) -/ 2х° - 0,04~°’5 + 2 (х + 1)° равняться -4?
X? - 2x~s
4.3. Понятие предела последовательности
Напомним, что если каждому натуральному числу п поставлено
в соответствие по некоторому закону число хл, то говорят, что зада-
на числовая последовательность {хл}. Иногда вместо слов «числовая
последовательность {хл}» говорят «переменная величина хл, завися-
щая от натурального п» или, короче, «переменная хл».
Приведем примеры переменных величин, зависящих от нату-
рального п:
Переменную ап называют бесконечно малой, если она стре-
мится к нулю (ал —> 0) при неограниченном возрастании п.
Рассмотренные выше переменные хл, г/л, zn и ип — бесконечно
малые; хп и ип стремятся к нулю, принимая положительные значе-
ния; уп стремится к нулю, принимая отрицательные значения, а гп
стремится к нулю, меняя знак.
Величина vn стремится к 1.
Переменная Рл на самом деле есть постоянная, равная одному
и тому же числу а для любого п.
Что же касается величины wn, то она ни к какому числу не
стремится, принимая последовательно значения +1 и -1.
Дадим формальное определение бесконечно малой величины.
Переменную <хл, зависящую от натурального п, называют беско-
нечно малой, если, как бы ни было мало заданное положитель-
ное число е, найдется число N > 0 настолько большое, что для
всех натуральных п> N выполняется неравенство | <хп | < е. Ф
Дадим определение предела последовательности. Пусть задана
переменная хл. Если хп можно записать в виде суммы
Хл — д + (Хл (ц. 1, 2, 3, •••),
где а — некоторое число и <х„ — бесконечно малая, то говорят, что
9 I
хп имеет своим пределом число а или что хп стремится к числу а,
и пишут
или
lim х = а,
п —> +©о
х„ —► а (п —► +оо).
Очевидно, что если а_ — бесконечно малая, то ее предел равен
нулю:
lim а
0.
В частности, если ап = 0 для любого натурального п, то
а„ — бесконечно малая,
ft
ПРИМЕР.
в) lim а = lim (а + а ) — а (ал = 0);
п —»• +оо п —» +со п
г) предел wn = (~1)п при п —» +оо не существует.
Наряду с бесконечно малыми величинами рассматривают и бес-
конечно большие величины.
Переменную хп называют бесконечно большой, если, как бы ни
было велико число М > 0, найдется такое число N > 0, что для всех
натуральных п> N выполняется неравенство | хп | > М,
Если хп — бесконечно большая, то пишут
lim х„
п
или
Хп~+ оо (П —► +оо).
Если бесконечно большая величина хл, начиная с некоторого л,
становится положительной, то пишут lim х = +оо, если становит-
п —► +оо
ся отрицательной, то пишут lim х = -оо.
п +оо п
ПРИМЕРЫ бесконечно больших величин: хп = п; уп~ —п;
zn = (-1)” п; ип = п2.
При этом lim х = +оо, lim и — +оо, lim у = — оо.
П —► +оо П —► +оо П —> +оо
Что же касается величины zn, то про нее можно написать
9
lim zn — оо, но здесь нельзя символ оо заменить ни символом +оо,
П —» +оо
ни символом —ОО.
133
Степень положительного числа
♦
4.24
Какой величиной — бесконечно
шой — является переменная а„,
ч 1
а) ап = -
п
малой
если:
или бесконечно боль-
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
2000
п „
П
— „2.
п
32п
_2 ’
Представьте переменную ал в виде суммы постоянной и беско-
нечно малой, если:
а) а
п
2
Что значит, что переменная хп (n = 1, 2, 3, ...) имеет предел,
равный числу а? Приведите примеры.
Каким свойством обладает переменная х„, называемая беско-
нечно большой? Приведите примеры.
Что значит lim х = +оо
Найдите предел переменной, представив
стоянной и бесконечно малой:
б) lim - 2в)
а) Ит
ч .. п - 3
г) lim
п —* +<
з
д) Ит
Приведите примеры.
ее в виде суммы по-
„2
lim —
lim
\п + 5
2
Для заданного положительного е укажите такое число 7V, что
для переменной ал для всех натуральных п > N выполняется
неравенство I а„ < е, если:
неравенство I а
ч 1
а) «„ =
а
5
а
С помощью определения бесконечно малой величины (через е
и N) докажите, что переменная ап — бесконечно малая вели-
чина, если:
ч 1999
а) а„ =-----
2000 ч п
-----; в) а = —-------.
i + 10 пг + 1
Для заданного числа М > 0 укажите такое число 7V, что для
всех натуральных п > N выполняется неравенство | хп | > М,
если:
2.
100
л
п
2000
134
4.33
С помощью определения бесконечно большой величины (через
М и N) докажите, что переменная хп — бесконечно большая
величина, если:
а) хп = 5п;
Г> Хп
хп = -2 л;
п2 - 1000
4.4*. Свойства пределов
Переменные хп и уп можно складывать, вычитать, умножать
Хп
и делить, образуя переменные хп + уп\ хп- уп; хпуп; —. В случае
Уп
частного надо предполагать, что уп * 0 для любых п = 1, 2, 3, ... .
Справедливы следующие свойства пределов:
lim (хп-уп) =
lim х + lim у
lim хп - lim у
lim (хп- уп) =
lim х_ • И
(1)
(2)
(3)
В частности, если хп = с
lim (суп) =
— постоянная*!®!»»»»»»*»
lim с ' lim у = с • lim у
Если lim у„ 0, то
. ~ Л
lim —-
lim х
—+оо П
lim уп
Эти свойства надо понимать в том смысле, что если существуют
пределы, фигурирующие в правых частях равенств, то существуют
пределы и в левых частях соответствующих равенств и справедливы
сами равенства.
Добавим еще, что если lim х = оо, то lim — = 0; если
П —* +ОО п -* +00 Хп
lim хп = А (А * 0) и lim уп = оо, то Ит (хпуп) = оо; если
Л —* +оо л —> +оо л —> +оо
lim х„ = 0, то lim — = оо (х„ 0).
Л -fc* v п '
136
Степень положительного числа
Более сложный вопрос возникает при вычислении предела част-
х
ного —, когда и хп —► О, и уп —► 0 или когда хп —► оо и уп —* оо.
Уп
В таких случаях заранее невозможно сказать, чему равен предел.
В зависимости от свойств переменных хп и уп предел может быть
любым конечным или бесконечным числом1. Может также случить-
ся, что отношение не имеет никакого предела — ни конечного, ни
бесконечного.
Например, пусть = —, уп = Тогда, очевидно, хп -♦ О,
отношение
Если же хл
то
пределу не стремится.
= (-1)" ни к какому
ПРИМЕР 1. Найдем lim
п -* +оо П 4- 1
lim
п -* +оо
У дроби
и + 1
как числитель,
так и знаменатель стремятся
к бесконечности, и непосредственно нельзя сказать, к какому пре-
делу она стремится. Однако после деления числителя и знаменателя
на п обнаружилось, что числитель стремится к 1 и знаменатель
стремится к 1. Это дает возможность воспользоваться формулой для
вычисления предела частного.
ПРИМЕР 2. Найдем lim (п4 - ЮОп3 - 2n2 + 1).
п —* +оо X
lim (п4 — ЮОп3 - 2п2 + 1) = lim п4 11 - —у
П -* +ОО п —> +ОО I п П
Здесь сразу неясно, к чему стремится исходное выражение: пер-
вый член п4 стремится к +оо, а сумма -ЮОп3 — 2п2 стремится к -оо.
Но после вынесения за скобки п4 все проясняется: множитель п4
100
стремится к +оо, а множитель 1-------
\ п
Но тогда произведение стремится к +оо.
стремится к 1 0.
2
1 Символы +оо, -оо, оо удобно называть бесконечными числами, хотя это вовсе не
числа, и тогда обычные числа называют конечными числами.
9 136
ПРИМЕР 3. Найдем lim (^п + 2 - 3Jn).
П —» +QO
lim (VTT2 - = lim ------(V^>3 ~ (V^)3------=
n -* +o° « -* +o° (Vn + 2)2 + V« + 237n + (Vn)2
= Hm —----------- --------------= 0,
n - +TO (Vn + 2)2 + Vn + 23Vn + (Vn)2
так как знаменатель последней дроби стремится к +оо.
Не существует общего способа вычисления предела разности
двух переменных, каждая из которых стремится к +оо. В любом
случае приходится придумывать свой способ.
Приведем доказательство утверждений (1) — (4).
Пусть х„ = а 4- а„, и„ — b + В , где а„ и Вп — бесконечно малые. Тогда
fir fit I £• • /С- • £ • At
хп + Уп = а + Ь + («л + ₽„)’
хп - Уп = “ - b + (“л - Рл)>
хпУп = аЬ + («Рп + Ьап + «лРп)>
(Ь * О, уп * О, Ь + ₽„ * 0).
Утверждения (1) — (4) следуют из того, что выражения в скоб-
ках есть бесконечно малые. Надо считать очевидным, что сумма,
разность, произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.
Также произведение постоянной на бесконечно малую есть беско-
нечно малая. Наконец, дробь, у которой числитель бесконечно ма-
лая, а знаменатель стремится к числу, отличному от нуля, есть,
очевидно, бесконечно малая.
4.34
По каким правилам вычисляют пределы суммы, разности,
произведения и частного переменных хп и уп?
Найдите предел (4.35—4.37):
. .. п + 12 .. 2п + 1
a) hm ----------; б) hm -----------------
п —> +оо П + 11 п —> +оо 72 — 1
г)
з)
в)
ж)
в)
е)
и)
lim
п -* +оо
п3 - Зп2 + 1
___________ •
п5- 100п - 1’
. Зп3 — п + 1
б) hm —----------------;
п -> +оо 4п + п — 1
г) lim —з---------------.
П -» +оо п — 10п + 1
Степень положительного числа
137
11**1' , „I
4.37 a) lim (п3 - 10п2 + 2п);
П —> +ОО
в) lim (у/п + 1 - у[п);
П +ОО
б) lim (п4-ЮОп2-100);
П —* +оо
г) lim п2 + 6п - у]п2— 6п).
п —* +оо
4.5. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Рассмотрим геометрическую прогрессию
a, aq, aq2, ... , aqn ~ \ ... (а Ф 0, q Ф 0). (1)
Если q Ф 1, то сумма первых ее n членов находится так:
о „ . ___п-i а-аап а а „
Если | q | < 1, то прогрессию (1) называют бесконечно убывающей
геометрической прогрессией. Для такой прогрессии при п -* +оо сла-
гаемое —-— qn стремится к нулю, поэтому существует предел S :
1 — q
lim S_ =----- (I a I < 1).
Этот предел называют суммой бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии (1) и пишут:
а _ . __ . 2 . . - 1 .
т. е. приписывают выражению
а + aq + aq2 + ... + aqn~ * 1 4- ... , (2)
являющемуся суммой бесконечного числа членов, число--, назы-
ваемое его суммой. 1 - Q
Запись (2) называют также рядом и тогда число S = —-— назы-
1-д
вают суммой ряда и говорят, что ряд (2) сходится при | q | < 1.
Если | q | > 1, то при п —> +оо имеем qn—--► оо и Sn —► оо.
Если q = 1, то при п —> +оо
Sn = а + aq + aq2 + ... + aqn = па +оо.
Если q = -1, то
+оо. В этом случае говорят, что
т. е. Sn не стремится к пределу (не имеет предела). Из сказанного
следует, что если условие | q | < 1 не выполнено, то Sn не стремится
к конечному пределу при п —►
ряд (2) расходится. Ему не приписывают никакого числа.
138
U. .— I II
Вообще запись
""l” Л2 п — 1 *** * (^)
где ак — числа, называют рядом.
Сумму Sn = а0 + а1 + а2 + ••• + ап> где л — данное натуральное
число, называют частичной суммой ряда (3).
Если при п —> +оо частичная сумма ряда стремится к конечному
числу S( lim Sn = S), то говорят, что ряд (3) сходится к числу S,
п -► +ОО
и число S называют суммой ряда. При этом пишут
т. е. в случае сходимости ряда (3) выражение (3) понимается как
число S. В противном случае, т. е. если ряд (3) не сходится к конеч-
ному пределу, говорят, что ряд (3) расходится. •
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:
в) 1-1 + |-... + ( У Г) 0,1 + 0,01 + ...+(0,1)"+... .
Определите, сходится ли ряд и если сходится, то вычислите
его сумму:
а) 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 + 0,00008 + ... ;
б) 0,3 + 0,003 + 0,00003 + 0,0000003 + ...;
в) 0,32 + 0,0032 + 0,000032 + 0,00000032 + ...;
г) 0,2 + 0,4 + 0,8+1,64-....
Докажите, что число 0,(3) есть сумма ряда
0,3 + 0,03 + 0,003 + ... .
Запишите ряд, сумма которого равна
числу:
а) 0,(7); б) 0,(31); в) 0,0(25); г) 2,3(54).
Дан квадрат со стороной а. Его поло-
вину (площадью Si) закрасили, затем
половину оставшейся части квадра-
та (площадью S2) закрасили и т. д.
(рис. 36). Вычислите четыре первые
частичные суммы ряда + S2 4- S3 +
+ S4 + ... . Вычислите n-ю частичную
сумму ряда. Сходится ли этот ряд?
Если сходится, то какова его сумма?
Рис. 36
139
Степень положительного числа
а) б) в)
Рис. 37
4.43 * Стороны квадрата разделили на 3 равные части. На каждой
средней части во внешнюю область построили новый квадрат
и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изобра-
женная на рисунке 37, а. Затем каждую сторону полученной
фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней час-
ти построили новый квадрат во внешнюю область и эту сред-
нюю часть удалили. Получилась фигура, изображенная на
рисунке 37, б. Тем же способом получили третью фигуру
(рис. 37, в) и т. д.
а) Определите площадь Sn фигуры, полученной после и-го
преобразования, если а — сторона исходного квадрата.
б) Определите предел, к которому стремится площадь Sn фи-
гуры при п —> +оо.
4.44 * Стороны равностороннего треугольника разделили на 3 рав-
ные части. На каждой средней части во внешнюю область по-
строили новый равносторонний треугольник и эту среднюю
часть удалили (рис. 38, а). Затем каждую сторону полученной
gg!40
фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней час-
ти построили новый равносторонний треугольник во внеш-
нюю область и эту среднюю часть удалили (рис. 38, б). Тем же
способом получили третью фигуру (рис. 38, в) и т. д.
а) Определите периметр Рп и площадь Sn фигуры, полученной
после n-го преобразования, если сторона исходного треуголь-
б) Определите предел: lim Р . в) Определите предел: Ит S .
_ _ < • _ _ W If
4.6. Число е
М выполняется для любых п = 1, 2, ...; перемен-
! для любого и.
Говорят, что переменная хп ограничена сверху числом 7И, если
неравенство хп ~ "
ная хп не убывает, если хп
ТЕОРЕМА 1. Если переменная хп не убывает и ограничена
сверху числом М, то она имеет предел, равный некоторому числу
а, не превышающему М: lim хп~ а С М.
п —♦ +оо
Мы не доказываем эту теорему, но проводим ниже некоторое
неформальное пояснение к ней (полное доказательство приводится
в курсе математического анализа для высшей школы с использова-
нием свойства непрерывности действительных чисел).
Если на числовой прямой отме-
тить точки х19
(рис. 39), то каждая последующая
точка хп + 1 будет находиться правее
предыдущей хп или совпадать с ней,
и в то же время все точки хп будут
левее М или, может быть, какая-либо из них совпадет с М (но то-
гда, очевидно, и все следующие за ней точки совпадут с М).
Так как номеров п бесконечно много, то точки хп обязательно
должны сгущаться около некоторой точки а С М, которая и будет
пределом хп.
и точку М
и хг х2 xs
Рис. 39
п
ПРИМЕР 1. Переменная хп =
п . п + 1
----х л —--------; она ограничена сверху числом 1.
не убывает, потому что
Переменная
имеет предел, равный 1:
lim
lim
lim
т
Переменная хп
< х_ выполняется для любых п = 1, 2
Г Кг
ограничена снизу числом тп, если неравенство
< A
141
Степень положительного числа
Переменная хп не возрастает, если хп + 1^ хп для любого п.
Верна также теорема, доказательство которой аналогично дока-
зательству теоремы 1 (здесь оно не приводится).
ТЕОРЕМА 2. Если переменная хп не возрастает и ограничена
снизу числом т, то она имеет предел, равный некоторому числу А,
не меньшему m: lim хп= А > т.
ПРИМЕР 2. Если 0 < q < 1, то переменная qn убывает
(^п + 1 < дпу и ограничена снизу числом 0 (0 < qn). Поэтому на основа-
нии теоремы 2 существует предел
lim qn = А 0.
п —► +ОО
Замечание. Отметим, что на самом деле А = 0.
ПРИМЕР 3. Рассмотрим переменную ип =
Она имеет предел.
(п= 1,2,3,...).
Докажем это. Рассмотрим сначала переменную
(n = 1, 2, 3, ...).
Так
как v =
п
то, применяя неравен-
+ 2
ство (3) со с. 17 учебника, получим, что
п + 2
п(п + 2)?
Это означает, что переменная vn не возрастает. Переменная vn
ограничена снизу (например, числом 0), следовательно, по теоре-
ме 2 переменная vn имеет предел.
ип
Переменная ип =----, поэтому она имеет предел:
1+ -
lim и
lim v
п
lim v„.
п
п > +оо
Этот предел называют числом е:
е — lim
= 2,718281828459045... .
(1)
Щ 142
4.45° Сформулируйте теорему о существовании предела:
а) ограниченной сверху неубывающей последовательности;
б) ограниченной снизу невозрастающей последовательности.
4.46° Что такое число е?
4.47 Имеет ли предел переменная хп, если:
4.48* Представим себе,
что некоторый банк платит по вкладам
100% годовых независимо
1 год 100%, за — года 50%,
2
и т. д. Составьте формулу,
от
за
по
срока хранения вклада — за
1 Ю0% 1 осо/
— года-----, за----года 25%
3 3 4
которой можно найти число,
показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма
к концу года, если проводилось п -1 перевложение суммы на
— часть года. К чему стремится это число при п +оо?
4.7. Понятие степени
с иррациональным показателем
Пусть дано положительное число а, отличное от 1 (а > 0, а 1).
Мы уже знаем, как определяется число аа, если ос = г — число ра-
циональное. Теперь надо понять, как определяется число аа, если
а — число иррациональное. г-
Начнем с примера. Определим число 3^ . Рассмотрим последо-
вательность десятичных приближений числа V2 (с недостатком):
q = 1; г2 = 1,4; rg = 1,41; ... и последовательность чисел:
3q; З'2; 3Гз
(1)
Переменная х = Зг" не убывает, ограничена сверху (например,
числом З2), поэтому по теореме 1 из п. 4.6 она имеет предел. Под чис-
лом 3^ и понимают этот предел, к которому стремится последова-
тельность (1).
Теперь рассмотрим число а, такое, что а>0иа^1, и иррацио-
нальное число а. Пусть гх, г2, г3, ..., rk,... — рациональные числа, при-
ближения числа а с недостатком, такие, что С г2 С г3 С ... С С ... .
Степень положительного числа
Тогда под числом аа понимают предел, к которому стремится после-
довательность ari; а 2; а 3; а\ ..., т. е.
аа = lim аг*, где а = lim г..
Л—+оо k-t+oo К
.. lWh* hkb- BA * • r MM MM Wh WMK ^ШК WW MW ДЖИГ чивд <^м . I » i^Mb ВАК ЛИЧ 4^hi BUI
Замечание. В приведенном выше определении можно взять лю-
бую последовательность rk рациональных чисел, имеющую пре-
дел а. Значение аа будет одним и тем же для любых таких последо-
вательностей. Отметим, что 1а = 1 для любого а е R.
Таким образом, теперь определена любая действительная сте-
пень положительного числа. Отметим также, что 0“ = 0 для любого
положительного числа. Записи 0° и 0-0 (а > 0) не имеют смысла.
Можно доказать, что для числа а, такого, что а > 0 и а Ф 1,
и любых действительных чисел аир справедливы следующие
основные свойства степеней:
1.
2.
3.
4.
5.
а + В ла В
а г = а • ст.
а - В ос 1 В
а * = а : а .
аа • ₽=(аа)₽. н«к:: «НкЙ!
Если а > 1 и а < р, то аа < а . » А
Если 0 < а < 1 иа<Р, то аа > а. •
ПРИМЕР. Покажем, что 2^ 3 < 4.
Действительно, так как 2 > 1 и ^/3 < 2, то по свойству 4 получа-
ем 2^< 22= 4.
4.49 Между какими двумя соседними натуральными числами за-
/2
ключено число 2' ?
4.50 Постройте неубывающую последовательность, пределом кото-
рой является число 2Л (л = 3,1415926...).
4.51 Вычислите:
а)27з-22*7^; б) 9Л : 32л ' 1;
г) З7® • З1" Л д) 4" “ 2: 4” ’ 3;
4.52 Имеет ли смысл выражение:
з 1
а) О2; б) 0 3; в) 0'5+'3
д) (-3)72; е) -г75; ж) З75;
144
4.8. Показательная функция
Рассмотрим функцию
У = а*
(1)
где а> 0 и 1, на множестве рациональных чисел. Мы уже зна-
ем из п. 4.1, что для каждого рационального числа г определено
число аг. Этим функция (1) пока определена на множестве рацио-
нальных чисел.
График этой функции в системе координат хОу есть совокуп-
ность точек (х; аЛ), где х — любое рациональное число.
При а > 1 этот график схематически изображен на рисунке 40,
а при 0 < а < 1 — на рисунке 41. Мы изобразили эти графики то-
чечными линиями, чтобы подчеркнуть, что функции пока заданы
для рациональных чисел (точек), а рациональные точки не заполня-
ют полностью ось Ох.
У*
3
!/|
3*-
-1 о
1 2 X
1 2 х
В Рис. 40
К Риг. 41
Сначала отметим некоторые свойства построенных графиков,
доказанные уже в п. 4.2.
1. Каждый из графиков расположен выше оси Ох, потому что
при а > 0
а > 0 (2)
для любых рациональных значений х.
2. При а > 1 график функции у = ах изображает возрастающую
функцию, так как при а > 1
< а 2 для Xj < х2.
(3)
При этом
а —► 4-оо при х —► 4-оо
ах —► 0 при х —> -оо.
(4)
Например, если х стремится к 4-оо, пробегая числа О, 1, 2, 3, ... ,
то ах при а > 1 стремится к 4-оо, пробегая числа 1, а, а2, а3, ... .
145
Степень положительного числа
Если же х стремится к —оо, пробегая числа —1, —2, —3, —4, ..., то
ах стремится к 0, пробегая числа а"1, а-2, а-3, ....
3. При О < а < 1 график функции у = ах изображает убываю-
щую функцию, так как при таком значении а
При этом
аХ1 > а*2 для хх < х2.
ах -* О при х —> +оо,
ах —> 4-00 при х —оо.
(3')
(4')
Важно отметить, что оба точечных графика обладают еще тем
свойством, что их просветы можно пополнить точками (х; ах) для
иррациональных х так, что после пополнения получатся графики
функций, непрерывных на промежутке (-оо; ч-оо), т. е. определен-
ных для всех действительных х.
В полном курсе математического анализа доказывается, что та-
кое пополнение возможно, и притом единственным образом (доказа-
тельство мы опускаем).
В обоих случаях (а>1иО<а<1) полученную функцию, опре-
деленную на всей оси Ох, мы снова обозначаем
У — о,х*
Ее называют показательной функцией с основанием а.
При этом значения функции у = ах вычисляют для рациональных
х — 2- (q 2) по формуле ах = q^ap, а для иррациональных х по формуле
ах = limar*,
где {гА} — последовательность рациональных чисел, стремящихся к х.
График функции у = ах при а > 1 схематически изображен на ри-
сунке 42 и при О < а < 1 — на рисунке 43. Отмеченные выше свойства
(2), (3), (4), (3'), (4'), которые ранее были известны лишь для рацио-
нальных чисел х, хх, х2, сохраняются и для действительных чисел.
» Рис. 42
УЬ
Рис. 43
146
ДЬияЯг.
Теперь добавляется еще одно свойство: функция ах непрерывна
на промежутке (—оо; +оо).
На рисунке 44 в одной и той же декартовой системе координат
изображены графики функций у =
2 и у — 3 . А на рисунке 45 изоб-
Сохраняются также для любых действительных чисел х, хр х2
и другие важные свойства показательной функции:
л*1 a*l + *2 • (а > О, а Ф 1),
а*1: ц*2 а*1 *2 (а > 0, а & 1),
/ Х1хх2 ’ ”х1х2 / Л чх
(а ) — а 1 %) (а > 0, а & 1).
(5)
Докажем только свойство (5) для любых чисел. Пусть хг и х2 —
заданные действительные числа и ал, Рл (п = 1, 2, 3, ...) — по-
следовательности рациональных чисел, стремящихся соответст-
венно к хх и х2. Тогда
аХ1 • а*2 = lim аа* • lim а?к =
а*“*х1 0*~*х2
Функцию у = ех называют также экспоненциальной функцией
или коротко экспонентой. Отметим, что иногда экспоненциальной
функцией называют любую функцию у = ах (а > О, а Ф 1). •
Степень положительного числа
4.53° Перечислите свойства функции у = ах для:
а) а > 1; б) 0 < а < 1.
Какие свойства функции у — ах являются общими для этих
двух случаев?
4.54
Определите, возрастающей или убывающей является функция:
4.55 Сравните:
а) З3’4 и 3";
ж) 0,52 и 1;
Д)
в) З1’5 и 3°;
е) 0,3°’3 и 1;
и) пе и 3,22’8
4.56 В одной системе координат постройте графики функций у = 2х
и у — 4х. При каких значениях х точки первого графика рас-
положены выше (ниже) соответствующих точек второго гра-
фика?
4.57
4.58
В одной системе координат постройте графики функций
. При каких значениях х точки первого
графика расположены выше (ниже) соответствующих точек
второго графика?
В одной системе координат постройте графики функций
у = 3х и у =
функций?
. Каким свойством обладают графики этих
4.59 Определите графическим способом, сколько корней имеет
уравнение 2х = х2.
Постройте график функции (4.60—4.61):
4.60 a) j/ = 2x; б) у = 2~х; в) j/ = 2|x|;
г)у = 2х + 3; д)г/ = 2-х + 3; e)j/=2|x| + 8;
ж) j/= 2х — 1; з) j/ = |2x-l|; и) у = | 2х 1 - 2 |.
Ejl48
4.61
§5. Логарифмы
5.1. Понятие логарифма
По графику функции у = ах (а > 0, а 1) (см. рис. 42 и 43)
можно найти число аа для любого действительного числа а. Но этот
же график дает возможность решить и обратную задачу: для дан-
ных положительных чисел Ъ и а (а Ф 1) найти число а, такое, что
Ь = аа.
Для этого надо отметить на оси Оу точку, имеющую коорди-
наты (0; &), и через нее провести прямую у = Ь, параллельную
оси Ох, Она пересечет график функции у = ах в единственной точ-
ке М (рис. 46, а, б). Абсцисса а точки М и удовлетворяет условию
Ь = аа. Полученное таким образом число а единственное, удовле-
творяющее этому условию.
Следовательно, для любого положительного числа Ъ существу-
ет, и притом только одно, число а, такое, что b — аа. Это число на-
зывают логарифмом числа Ъ по основанию а.
149
Логарифмы
Логарифмом положительного числа Ъ по основанию а (а > О,
1) называют число а, такое» что Ь = аа. , <
Логарифм положительного числа Ъ по основанию а (а Ф 1,
а > 0) обозначают так:
Из определения логарифма очевидно следует, что для а > 0,
а Ф 1 и b > 0
log. b »
a 6fl = b.
Подчеркнем, что аа есть положительное число для любого а (по-
ложительного, отрицательного или нуля). Отсюда следует, что лога-
рифм отрицательного числа, так же как логарифм нуля, не сущест-
вует (не имеет смысла).
ПРИМЕРЫ вычисления логарифмов:
a) log2 1 = 0, так как 1 = 2°;
б) log0 01 0,01 = 1, так как 0,01 = 0,01 \
в) log3 27 = 3, так как 27 = З3;
г) log5 125 = 3, так как 125 = 53;
д) log10 0,001 = -3, так как 0,001 = 10“3.
Логарифм положительного числа b по основанию е называют
натуральным логарифмом числа b и обозначают 1пЬ, т. е. вместо
log- b пишут 1п &.
С-
ПРИМЕРЫ вычисления натуральных логарифмов:
a) In е3 = 3;
б) lni = -1;
в) 1п еп = л.
Логарифм положительного числа b по основанию 10 называют
десятичным логарифмом числа b и обозначают lg b, т. е. вместо
log10 b пишут lg Ъ.
ПРИМЕРЫ вычисления десятичных логарифмов:
a) lg 1 = 0, так как 1 = 10°;
б) 1g 10 = 1, так как 10 = 101;
в) 1g 100 = 2, так как 100 = 102;
г) 1g 1000 = 3, так как 1000 = 103;
д) 1g 0,1 = -1, так как 0,1 = 10-1;
е) 1g 0,01 = -2, так как 0,01 = 10"2;
ж) 1g 0,001 = -3, так как 0,001 = 10-3.
150
Замечание. В курсе математического анализа для высшей шко-
лы очевидный факт существования точки М в приведенных выше
рассуждениях доказывается на основании свойства непрерывности
действительных чисел. 1
5.1 ° Что называют логарифмом положительного числа Ъ по основа-
нию а (а > 0, а? 1)?
5.2 ° Существует ли логарифм нуля; отрицательного числа?
5.3 Докажите, что:
a) log2 8 = 3; б) log5 — = -2;
25
Вычислите (5.4—5.5):
в) log0.11 = 0.
5.4 a) log2 4;
г) log327;
ж) log10 100;
5.5 a) 210g23;
Г) 21Og2 3+ log25;
ж) 721og’ 8 *;
б) log2 16;
д) log4 1;
3) log553;
б) з'083®;
д) (31оВз7)2;
з) 10310810 5;
в) log3 3;
е) l°g5
и) log7 7°.
в) 71<>Вг9;
е) (32)'°Вз7;
и) ОД2'ог°110.
5.6° Логарифм по какому основанию называют: а) натуральным;
б) десятичным?
Как обозначают эти логарифмы?
Вычислите (5.7—5.9):
5.7 a) log е; б) log.?2;
г) 1пе; д) 1пе3;
ж) In е"; з) In -Je;
в) losc
и)
5.8 a) log10 10;
г) 1g 10;
ж) 1g 10";
5.9 a) log2 23;
г) 21083 5;
ж) е1п 3;
к) 10lgS;
б) logI0 100;
д) 1g 1000;
з) ig JiO;
б) log5 5б) 7;
Д) З'о8з9°;
з) е2 1,1 5;
л) 1021е3;
в) log100,l;
е) 1g 0,01;
и) IgVo^l.
в) log9 919";
и) е-2,п3;
м) 10~31g2.
151
Логарифмы
5.2. Свойства логарифмов
ТЕОРЕМА. Пусть а, М и АГ— положительные числа, при-
чем а Ф 1, и у — действительное число. Тогда справедливы ра-
венства J r oiX *- '.*«
Г *loga (M • N) = logaM Aloga№^y^«F^ : (1)
loga^=l0gaM-l0gaN, (2)
loga My = у loge M, (3)
Доказательство. Представим числа M и N следующим образом:
М = аа, где а = loga М,
Тогда М • N = аа • а*5 = aa + р, откуда
loga (М • N) = a + ₽ = loga М + loga N,
и мы доказали равенство (1).
Далее,
откуда
= a - ₽ = loga М - loga TV,
и мы доказали равенство (2).
Имеем также
MY = (aa)7 = aa\
откуда
loga М7 = a ♦ у = у loga М,
и мы доказали равенство (3).
Теорема доказана.
Указанные свойства логарифмов удобны для запоминания
в следующих формулировках:
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме
логарифмов этих чисел. b ,u. ir>, ; у
Логарифм частного положительных чисел равен разности ло-
гарифмов делимого и делителя.
Логарифм степени положительного числа равен произведению.
показателя степени на^логарифм этого числа.
1 <
152
ПРИМЕР 1.
a) log10 5 + log10 20 = log10 (5 • 20) = log10 100 = 2;
6) log3 54 - log3 2 = log3 y = log3 27 = 3;
в) log2 43 — 3 log2 4 = 3 • 2 — 6.
Для положительных чисел а, Ь и М, таких, что а 1 и Ъ Ф 1,
справедливо также следующее равенство:
loga М =
logbM
l°gb а
(4)
Это равенство называют формулой перехода логарифмов от од-
ного основания к другому.
Докажем равенство (4). В силу свойства (3) имеем
logfc alog“ М- loga М • logfe а.
Заменим aloga м равным ему числом М:
log& М = loga М • logfr а. (5)
Так как а Ф 1, то logb а * 0. Разделив правую и левую части ра-
венства (5) на logb а, получим равенство (4).
Заменив в равенстве (4) число М на число Ъ (Ь Ф 1) и учитывая,
что log& b = 1, получим равенство
loga Ь =
1
logj, а
ПРИМЕР 2.
а) 1Og3 25 = log5 25 = 2;
log35
6) log3 6 - —= log3 6 - log3 2 = log3 | = log3 3 = 1;
log„ 3 2
1 J
B) 5‘084 5 = 5log5 4= 4
5.10 Сформулируйте свойства логарифмов
запишите их в виде равенств.
Вычислите (5.11—5.18):
5.11 а) logg 4s; б) log3 92; в)
г) log7 494; д) log4 64“2; е)
положительных чисел,
logg 25-1;
logg 36'4.
153
Логарифмы
5.12 a) logj 2;
2
г) log3|;
О
5.13 a) log 2;
г) log г- 727;
ч О
в) logi 42;
log [—
416
б) logi 83;
2
Д) log3
б) logg д/2;
д) log^ 53;
в) log373^;
е) log5VF.
5.14 a) 410g23; б) 9log35; в) 49,og73;
г) 251о*б9; д) 8log27; е) 36loge2.
5.15 a) 2bg^3; б)
log3 2
г) 5 ' ; д)
5.16 a) log2 V16; б)
г) log г- 9; д)
3Л
5.17 a) log6 2 + log6 3;
в) logl5 5 + log15 3;
Д) log2 | + log2 10;
З10^7; в) (73)1овз5;
б‘О^3; е) (Уб)'"52-
log3 (27ТЗ); в) log5 ^5 J5;
log j 37128 72.
/2
6) log8 I + logg
< о
2
r) log4 - + log4 6;
e) logg ~ + logs 30.
5.18
a) log2 6 - log2 3;
в) log3 36 - log3 4;
41 49 1 7
д) lo^7 “ log7 77?;
6) log5 75 - log5 3;
r) log4 48 - log4 3;
e)
1 81 .
log о-----log 3
3 100 3
3
100*
5.19 Используя свойство (3) логарифмов, преобразуйте выражение:
a) log2 З2; б) log4 56; в) log3 45;
г) 2 log2 3; д) 31og47; е) 21og34.
5.20 Вычислите:
а) 2 log6 2 + log3 9; б) log5 100 - 2 log5 2;
в) 4 log12 2 + 2 log12 3; г) logn 484 - 2 logn 2.
5.21 * Докажите, что для Ь>0, а>0, а^1и любого у (у 0)
log = log yby.
а ‘
154
Пользуясь указанным свойством, вычислите:
a) log^ 1252; б) log^ 162; в) log^ 1252;
г) log73 493; д) log4 82; е) log25 1252;
ж) 1о£1оо 1о2л» 3) 1о&4 и) 1о£уз
5.22
Выразите через логарифмы по основанию 2 и упростите:
5.23
a) log3 5;
Д) log4 2;
и) log12;
4
Вычислите:
1
а) 210*52;
1
г) 10log21°;
б) log4 8;
е) log8 2;
к) log! 2;
1
Д) 51ов’5;
в) log59;
ж) log16 2;
л) log t 2;
16
В) 71ок27;
е) б10®2®.
г) log16 32;
з) log! 2;
2
м) log ! 2.
32
5.24
Найдите значение числового выражения:
2 log!
Вычислите (5.25—5.27):
5.25 а) б10*3625; б) 7log49 36;
5.26 a) log2 3'Ioga 4 • log- 25;
log2 4
в) log2 3 logg 2 • 72 log’3;
в) 421og62516.
log2 6 • log6 9 6lOg65.
l°g2 9
r) logy 8 • log8 7 • 3log9 4e.
5.27* a)
в)
r)
log,2 27
3 - log12 27
log3 135 log3 5
lo£»15 3 1°£»40б
• logg 16.
155
Логарифмы
5.3. Логарифмическая функция
Пусть а — положительное, не равное 1 число. Каждому поло-
жительному числу х поставим в соответствие число г/, равное лога-
рифму числа х по основанию а. Иными словами, на множестве по-
ложительных чисел определим функцию
у = loga х.
(1)
Функцию у = loga х называют логарифмической функцией. Облас-
тью ее определения является множество всех положительных чисел.
Построим график функции (1) при а > 1. Для этого сначала по-
строим в системе координат хОу график показательной функции
х = ау
для всех у е (-оо; +оо).
Каждая точка графика функции х = ау имеет координаты (ау; у).
А совокупность точек (ау; у), соответствующих любым действитель-
ным числам у, и есть график функции х = ау — кривая Г (рис. 47).
Заметим, что для х > О равенства
х = ау и у = loga х
выражают одну и ту же зависимость между х и у. При этом, когда у
пробегает любые действительные значения, х пробегает любые по-
ложительные значения (см. рис. 47). Поэтому можно считать, что
кривая Г есть также совокупность точек (х; loga х), соответствую-
щих любым положительным значениям х.
Иначе говоря, кривая Г, изображенная на рисунке 47, есть
одновременно и график функции х = ау (-оо < у < +оо), и график
функции у = loga х (х > 0).
yk УЬ
Рис. 48
Рис. 47
156
* -
9 Рис. 50
Если у непрерывно возрастает, пробегая интервал (—оо; +оо), то
х = ау, в свою очередь, непрерывно возрастает, пробегая интервал
(0; +оо). Верно и обратное утверждение.
Таким образом, при а > 1 функция у = loga х обладает следую-
щими свойствами:
1. Непрерывна и возрастает на промежутке (0; 4-оо).
2. Если х —> -f-оо, то у —* 4-оо; если х —► 0, то у —* —оо.
Так как loga 1 = 0, то из свойства 1 следует:
если х > 1, то у > 0;
если 0 < х < 1, то */ < 0.
На рисунке 48 изображен график функции у — loga х при 0 < а < 1.
Рассуждая аналогично, получим, что при 0 < а < 1 функция
у = loga х обладает следующими свойствами:
1. Непрерывна и убывает на промежутке (О; 4-оо).
2. Если х 4-оо, то у —* —оо; если х —* 0, то у —► 4-оо.
Так как loga 1 = 0, то из свойства 1 следует:
если х > 1, то у < О;
если 0 < х < 1, то у > О.
На рисунке 49 изображены графики функций у = log2 х и у = log3 х,
а на рисунке 50 — графики функций у = logj х и у = log х х.
2
5.28° а) Как называют функцию у = loga х (а > 0, а * 1)?
б) Какова область определения функции у = loga х?
в) На каком промежутке функция у = loga х непрерывна?
5.29 Для каких а функция у = logo х: а) возрастает; б) убывает?
Логарифмы
5.30 Для каких х функция у = loga х (а > 1):
а) положительна; б) отрицательна?
5.31 Для каких х функция у — loga х (0 < а < 1):
а) положительна; б) отрицательна?
5.32 В одной системе координат постройте графики функций:
а) у = log2 х и у = logx х; б) у = log3 х и у = logx х;
2 3
в) у = log4 X и у = logj X.
4
Перечислите общие, различные свойства этих двух функций.
5.33
Используя свойства логарифмической функции, сравните:
a) log2 3 и log2 5;
6) log2 - и log2
3 О
Y 1 11 1
г) logx - и logх
- 3 - 5
2 2
в) logx 3 и logx 5;
2
2
5.34 На каком числовом промежутке точки графика функции
у — log2 х расположены выше (ниже) соответствующих точек
графика функции у = log4 х?
Постройте график функции (5.35—5.36):
5.35 а) у = log2 х; б) у = log2 (-х); в) у = log2 | х |;
г) у = log2 (х - 3); д) у = log2 (-х + 3); е) у = log2| х 4- 2 |;
ж) у = | log2 х |; з) у = | log2 х - 2 |; и) у = | log2 (х - 2) - 11.
5.36 a)z/ = logxx; б) у = logx (-х); в) у = logx|x|;
2 2 2
г) у = logx(x- 1); д) у = logx(-x- 1); е) у = logjx- 1|;
2 2 2
ж) у = |logxх|; з) у = |logxx- 2|; и) у = |logx(x- 1)- 2|.
2 2 2
5.4*. Десятичные логарифмы
Пусть надо вычислить десятичный логарифм положительного
числа А. Запишем число А в стандартном виде:
А = а • 10*,
где 1 а < 10, k — целое число.
По свойству логарифмов
lg А = lg (а ' 10fe) = 1g а 4- 1g 10* = lg а 4- k.
(1)
Д 158
Число k называют характеристикой логарифма числа А, число
1g а — мантиссой логарифма числа А.
Характеристика есть число целое (положительное, отрицатель-
ное или нуль). Мантисса есть неотрицательное число, меньшее 1,
точнее, при а = 1 она есть нуль, а в остальных случаях — положи-
тельное число, меньшее 1.
Действительно, в силу возрастания функции у = 1g х из условия
1 С а < 10 следует:
0 = lg 1 С 1g а < 1g 10 = 1.
Сумму (1) обычно записывают специальным образом так, как
это будет видно из примеров.
ПРИМЕР 1. Вычислим 1g 0,123.
Запишем в стандартном виде число 0,123:
0,123 = 1,23 • 10~*.
Тогда 1g 0,123 = 1g 1,23 + (-1) « 0,0899 + (-1) =_-0,9101.
Удобно вести запись так: 0,0899 + (-1) = 1,0899, тогда приве-
денные вычисления можно записать так: 1g 0,123 = 1g 1,23 + (-1) ~
« 0,0899 + (-1) = 1,0899 = -0,9101.
ПРИМЕР 2. Вычислим 1g 373,2.
Так как 373,2 = 3,732 • 102, то 1g 373,2 = 1g 3,732 + 2 ~ 0,5719 +
+ 2 = 2,5719.
ПРИМЕР 3. Вычислим 1g 0,00324.
Так как 0,00324 = 3,24 • 10~3, то 1g 0,00324 = 1g 3,24 + (-3) »
~ 0,5105 + (-3) = 3,5105 = -2,4895.
Иногда приходится решать и обратную задачу: зная (прибли-
женно) десятичный логарифм числа, находить (приближенно) это
число.
Чтобы найти число А по данному 1g А, надо возвести число 10
в степень 1g А.
ПРИМЕР 4. Пусть 1g А ® 1,23. Найдем А.
А = 10lg А ~ 101 10°'23 ~ 101 • 1,698 = 16,98.
ПРИМЕР 5. Пусть 1g А ~ -1,23. Найдем А.
А = 101Е А « 10"1’23 = 10~2 • 1О0’77 = ~ - 0,05888.
102 102
Замечание. Здесь и далее мантиссы логарифмов и антилогариф-
мы чисел находятся приближенно при помощи таблиц, дающих
в ответе четыре значащие цифры. Калькулятор, выполняющий эти
операции, позволяет получать больше четырех значащих цифр.
159
Логарифмы
5.37 ° Что называют характеристикой и мантиссой десятичного ло-
гарифма?
5.38 Определите характеристику и мантиссу десятичного логарифма:
a) 1g 1999; б) 1g 2000; в) 1g 0,423;
г) 1g 0,035; д) 1g 345; е) 1g 0,0007.
С помощью таблиц мантисс логарифмов вычислите прибли-
женно (5.39—5.40):
5.39 a) 1g 3,54; б) 1g 35,4; в) 1g 354;
г) 1g 0,354; д) 1g 0,0354; е) 1g 3540.
5.40 a) 1g 7,28; б) 1g 39,8; в) 1g 756;
г) 1g 0,32; д) 1g 0,0572; е) 1g 0,00137.
5.41
5.42
С помощью таблиц антилогарифмов найдите приближенно А,
если (5.41—5.42):
в) 1g А = -0,52;
a) 1g А = 0,48;
г) 1g А =-1,52;
a) 1g А = 0,57;
г) 1g А = -0,44;
б) 1g А = 1,48;
д) 1g А = 3,48;
б) 1g А = 1,28;
д) 1g А = -1,28;
е) 1g А = -2,52.
в) 1g А = 2,54;
е) IgA =-2,72.
5.5*. Степенные функции
Функцию вида
У = х₽,
(1)
где р
цией.
данное действительное число,
называют степенной
£унк-
2
3
3
Например, степенными функциями являются функции у = х
2
У = X3
В зависимости от числа р каждая такая функция имеет свою
область определения. Однако любая степенная функция определена
во всяком случае на множестве положительных чисел, т. е. на
интервале (0; +оо).
Действительно, если дано положительное число х, то запись х^
имеет смысл — это есть положительное число — для любого дейст-
вительного числа Р (натурального, целого, рационального, иррацио-
нального), причем известно, как это число найти.
Поэтому для любого данного числа р на множестве (0; +оо) мож-
но задать функцию у = х^.
Л V 160
Если число р > 0, то принято считать, что 0^ = 0, поэтому при
любом Р > 0 точка х = 0 входит в область определения функции
у = х^, т. е. эта функция определена во всяком случае на полуинтер-
вале [0; +оо).
Если число р 0, то запись О1 не имеет смысла. Поэтому при
любом р 0 точка х = 0 не входит в область определения функции
у = хР.
Рассмотрим частные случаи степенных функций.
1. Пусть Р = п, где п — данное натуральное число. Степенные
функции
У = хп (2)
для натуральных чисел п уже изучались ранее. Каждая такая функ-
ция определена для всех действительных х, т. е. областью ее опре-
деления является числовой промежуток (—оо; +оо). Каждая такая
функция непрерывна на всей своей области определения и на полу-
интервале [0; +оо) возрастает, принимая все значения из промежут-
ка [0; +оо).
При п нечетном функция (2) нечетная, ее график симметричен
относительно начала координат. На рисунке 51 приведены графики
функций (2) для п = 1 и п = 3.
При п четном функция (2) четная, ее график симметричен отно-
сительно оси Оу, На рисунке 52 приведены графики функций (2)
для п = 2 и п = 4.
2. Пусть р = -п, где п — данное натуральное число. Степенная
функция
У = х~п (3)
при любом натуральном п определена для всех действительных чи-
сел х, кроме х = 0, т. е. областью ее определения является объеди-
Ч 161
Логарифмы
Рис. 53
Рис. 54
нение двух промежутков: (-со; 0) U (0; 4-оо). При любом натураль-
ном п функция (3) на промежутке (0; +оо):
1) непрерывна;
2) убывает, принимая все значения из промежутка (0; +оо);
3) у > 0 для любого х е (0; 4-оо);
4) у —► +оо при х —> 0;
5) у —► 0 при х —> 4-00.
Свойства этой функции для отрицательных х, т. е. для х е (—оо; 0),
следуют из того, что она четная при п четном и нечетная при и нечет-
ном. На рисунке 53 приведены графики функций (3) для п = 1
и п = 3, на рисунке 54 — для п = 2 и п = 4.
3. Пусть р = 0. Напомним, что запись 0° не имеет смысла, по-
этому область определения функции у = х° есть множество всех дей-
ствительных х Ф 0, т. е. объединение двух промежутков: (-оо; 0) U
U (0; 4-оо). Поскольку х° — 1 для любого х Ф 0, то график этой функ-
ции есть прямая у = 1 без точки (0; 1). На рисунке 55 эта точка по-
казана кружком.
4. Пусть р — даное нецелое поло-
жительное число. Степенная функция
У = (4)
при любом нецелом Р > 0 определена
для всех неотрицательных х, т. е. об-
ластью ее определения является по-
луинтервал [0; 4-оо). При любом неце-
лом р > 0 функция (4):
1) определена на промежутке
[0; 4-оо);
a 162
2) непрерывна на промежутке [0; +оо);
3) возрастает, принимая все значения из промежутка [0; +оо);
4) если х > 0, то у > 0;
5) если х —► +оо, то у —> +оо. .
На рисунке 56 приведены графики функций (4) для В = —
□ 5 3
и р = —.
3
5. Пусть р — данное нецелое положительное число. Степенная
функция
У = (5)
при любом нецелом р > 0 определена для всех положительных х,
т. е. областью ее определения является интервал (0; +оо). При лю-
бом нецелом р > 0 функция (5):
1) определена на интервале (0; +оо);
2) непрерывна на интервале (0; +оо);
3) убывает, принимая все значения из промежутка (0; +оо);
4) если х —► +оо, то у -* 0;
5) если х 0, то у —> +оо.
Я Рис. 56 S Рис* 57
На рисунке 57 приведены графики функций (5) для Р = —
3
и Р = Отметим, что характер убывания этих функций различный
2 3 2
при 0 < х < 1 и при х > 1, а именно х 2 > х-1 > х 3 при 0 < х < 1
_ з 2
и х 2 < х-1 < х 3 при х > 1 (см. рис. 57).
Замечание 1. В определении функций (4) и (5) можно считать,
что число р может быть и натуральным числом, но области опреде-
ления этих функций сужены: для функций вида (4) область опреде-
ления [0; +оо), а для функций вида (5) область определения (0; +оо).
Замечание 2. Свойства степенных функций (2) — (5) приведены
без доказательства; часть из них была доказана ранее (см., напри-
мер, § 3), остальные будут доказаны в дальнейшем.
Г 163
Логарифмы
Замечание 3. Если рассматривать функцию (1) при любом р
только для положительных х, то ее можно записать в виде
= (6)
где Ъ — любое положительное, не равное 1 число. Действительно,
используя свойства логарифмов, имеем
В частности, если Ъ = е, то формула (6) примет вид
(7)
Замечание 4. Любая степенная функция (1) обладает следую-
щим характерным для нее свойством: для любого действительного
числа р и любых положительных чисел Xj и х2 справедливо равенство
Действительно, используя равенство (7), свойства логарифмов
и показательной функции, имеем
В pin(x1-x2) p(lnxj + lnx2) pinxj р In х2 R R
(хх • х2)р = е - е - е -е = х£ • х£.
5.43 ° Какую функцию называют степенной? Приведите примеры
степенных функций.
5.44 е Входит ли число 0 в область определения функции у = х^,
если р > О?
5.45 е Какова область определения функции у = х , если:
а) р > 0; б) р^О?
5.46 ’ Какими свойствами обладает функция у = хл, п е N, если:
а) п — четное число; б) п — нечетное число?
5.47 ” Какими свойствами обладает функция у = х“”, neN, если:
а) л — четное число; б) п — нечетное число?
5.48 Постройте график функции:
а) у = х2; б) у = х4; в) у = х3;
г) у = х5; д) # = х-1; е) у = х~3;
ж) у = х“2; з) у = х"4.
5.49 В одной системе координат постройте графики функций:
1 з £ 4
а) у = х2 и у - х2; б) у = х3 и у = х3;
1 з 1_ 4
в) у = х 2 и у = х 2; г) у = х 3 и у = х 3.
;dj 164
л § 6. Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
6.1. Простейшие показательные уравнения
Пусть а — данное положительное, не равное 1 число, b — дан-
ное действительное число. Тогда уравнение
ах = b (1)
называют простей
им показательным уравнением.
ill х о/— 1 I
Например, уравнения 2=8, I — = 9, 5 = у 7, — I — 3,
\4)
25х = —25 являются простейшими показательными уравнениями.
Напомним, что корнем (или решением) уравнения с неизвест-
ным х называют число х0, при подстановке которого в уравнение
вместо х получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или показать,
что их нет.
Поскольку ах° > 0 для любого действительного числа х0, то при
b 0 не существует действительного числа х0, для которого было бы
справедливо числовое равенство ах° = Ь.
Если b > 0, то из определения и свойств логарифмов следует, что
числовому равенству aXQ = b удовлетворяет единственное число
хо = 1о8о ь-
Таким образом, уравнение (1):
1) при b < 0 не имеет корней;
2) при Ь > 0 имеет единственный корень х0 = loga b.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
-1 = 2. (2)
12 )
Так как 2 > 0, то это уравнение имеет единственный корень
х0= log! 2= -1.
Ответ. —1.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
3х = 5. (3)
Так как 5 > О, то это уравнение имеет единственный корень
хо = 1о2з
Ответ. log3 5.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
25х = -25.
Так как -25 < 0, то это уравнение не имеет корней.
Ответ. Нет корней.
165
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Для отыскания корня уравнения (1) при b > 0 это уравнение ча-
сто записывают в виде ах = аа, где а = loga b. Тогда очевидно, что
единственный корень этого уравнения, а значит и уравнения (1),
есть число а.
Так как уравнение (2) можно записать в виде
то его единственный корень х0 = —1.
Так как уравнение (3) можно записать в виде 3х = 310g3 , то его
единственный корень х0 = log3 5.
Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных преоб-
разований превращаются в простейшие показательные уравнения.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
5Х +2 - 2 • 5х - 3 • 5Х +1 = 200. (4)
Так как 5х + 2 = 25 • 5х, 5х +1 = 5 - 5х, то уравнение (4) можно пе-
реписать в виде
5х • (25 - 2 - 15) = 200
или в виде
5х = 52. (5)
Очевидно, что уравнение (5), а значит и уравнение (4), имеют
единственный корень х0 = 2.
Ответ. 2.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
(6)
Так как 2;£0 для любого числа х, то уравнение (6)
можно
3
2
уравнения (6) совпадают с корнями уравнения
переписать в виде 2х- 4*
— 9 =0, откуда видно, что
корни
-9=0.
(7)
Уравнение (7) можно переписать в виде
(8)
Так как уравнение (8) имеет единственный корень х0 = 2, то и
равносильное ему уравнение (6) имеет единственный корень х0 = 2.
Ответ. 2. S
166
6.1° Какое уравнение называют простейшим показательным урав-
нением?
6.2° Сколько корней имеет уравнение ах = д, а > 0, а 1, если:
а) д^О;
б) &>0?
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
Чему равен корень уравнения ах — Ь, если а > О, а 1, b > О?
Решите уравнение (6.4—6.8):
а) 2х = 25;
г) 3х = 9;
ж) (0,2)х= А;
а) 27х = 3; б)
г) (1) = 3; д)
У у
ж) 5х = 0; з)
а) 5х - 5х "* 1 = 100;
в) 32х+1-9х = 18;
д) 4Х +1 + 4х + 2 = 40;
(0,04)х = 0,2;
а) 3х = 4; б) 2х = 7; в) 5х = -.
2
а) 9 • 5х - 25 • 3х = 0;
б) 27 • 5х - 125 • 3х = 0;
в) 27 • 4х - 8 • 9х = 0.
6.2. Простейшие логарифмические уравнения
Пусть а — данное положительное, не равное 1 число, Ъ — дан-
ное действительное число. Тогда уравнение
loga х - b
(1)
х = 2 являют-
называют простейшим логарифмическим уравнением.
Например, уравнения log3 х = 3, log2 х = -5, log
ся простейшими логарифмическими уравнениями.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
167
По определению логарифма если число х0 удовлетворяет чис-
ловому равенству loga х0 = Ь, то число х0 есть причем это число
х0 = аь единственное. Таким образом, для любого действительного
числа b уравнение (1) имеет единственный корень х0 = аь.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
log1 х = -2.
(2)
з
Это уравнение имеет единственый корень х0 =
Ответ. 9.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
log2 х = у[2.
Это уравнение имеет единственный корень х0 = 2^2,
Ответ. 2^.
Для решения уравнения (1) его часто записывают в виде
(3)
loga х = loga a,
где a = аь. Тогда очевидно, что единственный корень этого уравне-
ния, а значит и уравнения (1), есть число а.
Так как уравнение (2) можно записать в виде
logj х = logj 9,
з з
то его единственный корень х0 = 9.
Так как уравнение (3) можно записать в виде
log2 х = log2
/2
то его единственный корень х0 = 2V .
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
log3 х = 3. (4)
Перепишем уравнение в виде
log3 X = log8 27.
Xq
Тогда очевидно, что уравнение (4) имеет единственный корень
= 27.
Ответ. 27.
W 168
Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных пре-
образований превращаются в простейшие логарифмические урав-
нения.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
5 log16 х - 3 log4 х + log2 х = -3.
(5)
Так как
log16 х =
log2x
log2 16
- log2 X
log х 1
log4x = - = ”log2 х, то
уравнение (5) можно переписать в виде
• log2 х = —3 или
в виде
1 1 1
log2 X = log2 —.
Тогда очевидно, что уравнение (5) имеет единственный корень
Ответ. —.
16
I
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
logg х + 51og4 х log3 х 4- 7 logg x = О.
(6)
Приводя все логарифмы к одному основанию, перепишем урав-
нение в виде
log? х •
(7)
Так как каждое слагаемое суммы, заключенной в скобки, поло-
жительно, то сумма не равна нулю. Поэтому уравнение (7), и значит
и уравнение (6), равносильны уравнению log| х = 0, имеющему
единственный корень х0 = 1. Следовательно, уравнение (6) имеет
единственный корень х0 = 1.
Ответ. 1. •
6.9 а) Какое уравнение называют простейшим логарифмическим
уравнением?
б) Сколько решений имеет уравнение loga х = b, если а > О,
а * 1, b е К?
Решите уравнение (6.10—6.15):
6.10 a) log2 х = 5; б) log3 х — 0,5;
г) log06х = 2; д) log03x = -l;
в) log5x = -l;
е) 1о£0,25 х = ” °’5*
169
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
6.11 a) log2 (log2 х) = 1;
в) log3 (log4 х) = О;
б) log3 (log2 х) = 1;
г) log5 (log2 х) = 0.
6.12 a) log16 х + log4 х + log2 х = 7;
б) log81 х + logg x + log3 x = 7;
в) 2 log2 (log2 x) + log0 5 (log2 x) = 1;
r) 2 log0 5 (log2 x) + log2 (log2 x) = -1.
6.13 a) log2 x + 2 log4 x + 3 log8 x + 4 log16 x = 4;
6) log3 x + 2 log9 x -I- 3 log27 x + 4 log81 x = 8;
в) log x + 2 log2 x + 4 log4 x + 6 log8 x = 12;
r) log x + 2 log3 x + 4 log9 x + 6 log27 x = 16.
6.14* a) log2 x + log3 x = log3 6;
6) log3 x + log4 x = 2 log4 12;
5
в) 2 log4 x - log5 X = 3 log^ -;
r) 2 log4 x - log6 x = 2 log 3.
6.15 a) log2 x + 5 log3 x log4 x + log| x = 0;
6) log| x + 2 log4 x log5 x + 6 logg x = 0;
в) logg x - 13 logg x log4 x + 22 log* * 2 x = 0;
r) log? x — 5 log„ x logQ x + 6 log? x = 0.
л 25 2u о <5
6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного
Рассмотрим решение уравнений, которые после замены неиз-
вестного превращаются в простейшие показательные или логариф-
мические уравнения.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
logg (4х - 3) = 2.
(1)
Введя новое неизвестное t = 4х — 3, перепишем уравнение (1)
в виде
log5 t = 2.
Это уравнение имеет единственный корень = 52 = 25. Чтобы
найти корень уравнения (1), надо решить уравнение
4х - 3 = 25.
(2)
170
Оно имеет единственный корень хг = 7. Следовательно, уравне-
ние (1) тоже имеет единственный корень хх = 7.
Замечание. Обычно решение уравнений вида (1) записывают
короче, не вводя нового неизвестного, а сразу пишут уравнение (2),
равносильное уравнению (1) и решают уравнение (2).
Ответ. 7.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
д2х2 — 4х + 2
2. з4*2-8х+з _ J =
(3)
Переписав уравнение (3) в виде 34х -8х+3 = 1, введем новое не-
известное t = 4х2 — 8х + 3. Тогда уравнение (3) можно переписать
в виде
3f = 1. (4)
Так как уравнение (4) имеет единственный корень = 0, то для
того, чтобы найти корни уравнения (3), надо решить уравнение
4х2 - 8х + 3 = 0.
Это уравнение имеет два корня х1= — и х2 = —, поэтому уравне-
ние (3) имеет те же корни. 2 2
3
2
Теперь рассмотрим решение уравнений, которые после введе-
ния нового неизвестного t превращаются в квадратные или рацио-
нальные уравнения с неизвестным t.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
4х - 3 • 2х + 2 = 0. (5)
Так как 4х = (2х)2, то уравнение (5) можно переписать в виде
(2х)2 - 3 • 2х + 2 = 0.
Введя новое неизвестное t = 2х, получим квадратное уравнение
t2- St + 2= 0,
которое имеет два корня Ц = 1, t2 = 2.
Следовательно, чтобы найти все корни уравнения (5), надо объ-
единить все корни двух уравнений
2х = 1 и 2х = 2.
Решив эти простейшие показательные уравнения, получим, что
все корни уравнения (5) есть х-. = 0 и х2 — 1.
Ответ. 0; 1.
171 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
1g2 х - 1g х - 12 = 0. (6)
Введя новое неизвестное t = 1g х, получим квадратное уравнение
t2 — t — 12 = 0, которое имеет два корня tr = —3, t2 = 4.
Поэтому, чтобы найти все корни уравнения (6), надо объеди-
нить все корни уравнений 1g х = —3 и 1g х = 4. Решив эти простей-
шие логарифмические уравнения, получим все корни уравне-
ния (6): хх = 10-3 = 0,001 и х2 = 104 = 10 000.
Ответ. 0,001; 10 000.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
Так как 4х ^0 для любого числа х, то уравнение
( / \2х
-13-
но переписать в виде 4х- 6*
(7)
(7) мож-
+ 6 =0, откуда вид-
2
но, что корни уравнения (7) совпадают с корнями уравнения
3
6-
3
3
Введя новое неизвестное t =
2 ''Я/ 2
ние б£ - 13£ + 6 = 0, имеющее два корня = — и t
3
, получим квадратное уравне-
3
о = —. Следова-
2 2
тельно, чтобы найти все корни уравнения (7), надо объединить кор-
ни двух уравнений:
3
3
и
Решив эти простейшие показательные уравнения, найдем все
корни уравнения (7): хг = —1 и х2 = 1.
Ответ. -1; 1.
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
1g (Зх + 1) + lg0,01 1g (Зх + 1)
(8)
Введя новое неизвестное t = 1g (Зх + 1) и учитывая, что 1g 0,01 = -2,
перепишем уравнение (8) в виде
(9)
Решив рациональное уравнение (9), получим, что оно имеет два
корня tY = -2 и t2 = 1* Чтобы найти все корни уравнения (8), надо
объединить корни двух уравнений
1g (Зх + 1) = -2 и 1g (Зх + 1) = 1.
172
Первое уравнение равносильно уравнению Зх + 1 = 10-2, имею-
щему единственный корень хх = — 0,33. Второе уравнение равно-
сильно уравнению Зх + 1 = 10, также имеющему единственный ко-
рень х2 = 3.
Следовательно, уравнение (8) имеет только два корня: хг = — 0,33
и х2 = 3.
Ответ. -0,33; 3. •
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
Решите уравнения (6.16—6.28):
а) log2 (Зх - 7) = 1;
в) logx (Зх — 2) = 0;
4
д) log1(x + 12)= -2;
2
-10-3
10х2 - 8х - 23
8х2 - 6х - 13
В) 78х-2 = 49;
е) 5*2-2х = 0,2.
б) log3(2x- 11) = 2;
г) logx(5x- 2) = -3;
2
е) log2 (7х - 5) = -2.
5х2 — 4х — 12__ q__ q
4х2- Зх-7_2= о
a) log5 (2х2 - Зх + 1,2) = -1;
в) logx (2х2 - 7х - 6) = -2;
4
б) log3 (Зх2 - 5х + 1)= 1;
г) log. (х2 - 17х + 9) = -3.
3
а) 9х - 5 • 3х + 6 = 0;
в) 92х - 2 • 9х - 3 = 0;
д) 16х - 17 • 4х + 16 = 0;
a) lg2 x-31gx + 2 = 0;
в) 3 lg2 x-51gx+2 = 0;
а) 5х + 2 • 5 х - 3 = 0;
в) 2х + 2~х - 2 = 0;
б) 4х - 3 • 2х + 3 = 0;
г) 32х - 8 • 3х - 9 = 0;
е) 4х - 3 • 2х + 2 = 0.
б) 21g2х — 51gx-7 = 0;
г) 5 lg2 x + 41gx-l = 0.
б) 7х + 2 • 71" х - 9 = 0;
г) 2х- 2"х - 3—= 0.
4
173
Показательные и логарифмические уравнения п неравенства
а)
3
- 2
x+1- 5
2
5
4 =
18
6.26
1 = 2
Igx-lg0,l 3
6.27
5 log3 х - 3 logx 3 = 2;
6.28
lg (3x - 2) lg (3x - 2) + lg 0,01
lg (9x - 8)
4
lg(9x - 8) + lg 0,001
lg(3x- 5) + 2
lg(3x~ 5)- 3
-------------= 5.
lg(x + 7) — 3
6.4. Простейшие показательные неравенства
Пусть а — данное положительное, не равное 1 число, Ъ — дан-
ное действительное число. Тогда неравенства
(1)
(2)
называют простейшими показательными неравенствами.
Например, неравенства
25х < -25
являются простейшими показательными неравенствами.
Напомним, что решением неравенства с неизвестным х называ-
ют число х0, при подстановке которого в неравенство вместо х полу-
чается верное числовое неравенство.
Решить неравенство — значит найти все его решения или пока-
зать, что их нет.
174
Поскольку ах° > 0 для любого действительного числа х0, то при
b С О неравенство aXQ > Ъ справедливо для любого действительного
числа х0, но нет ни одного действительного числа х0, для которого
было бы справедливо числовое неравенство ах° < Ь или числовое ра-
венство ах° = Ъ.
Таким образом, если b С О, то множество всех решений нера-
венства (1) есть интервал (-оо; +оо), а неравенство (2) решений не
имеет.
Если же Ъ > О, то неравенства (1) и (2) можно переписать в виде
(3)
и
ах < ах°,
(4)
где х0 = loga Ь.
Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а > 1. Так
как для такого а функция у = ах является возрастающей, то для лю-
бого числа х > х0 справедливо числовое неравенство ах > ах°, а для
любого числа х < х0 справедливо числовое неравенство ах<ах°.
Кроме того, равенство ах = ах° справедливо лишь при х = х0.
Таким образом, при b > 0 и а > 1 множество всех решений нера-
венства (3) есть интервал (х0; +оо), а множество всех решений нера-
венства (4) есть интервал (-оо; х0), где х0 = loga Ъ.
Пусть теперь О < а < 1. Так как для такого а функция у = ах
является убывающей, то для любого числа х > х0 справедливо чис-
ловое неравенство ах < ах°, а для любого числа х < х0 справедливо
числовое неравенство ах > ах°. Кроме того, равенство ах = ах° спра-
ведливо лишь при х = х0.
Таким образом, при Ъ > 0 и 0 < а < 1 множество всех решений
неравенства (3) есть интервал (—оо; х0), а множество всех решений
неравенства (4) есть интервал (х0; +оо), где х0 = loga b.
Приведенное выше решение простейших показательных нера-
венств можно дополнить графической иллюстрацией.
Рассмотрим графики функций у = ах и у = Ъ.
Ясно, что при b < О прямая у — b не пересекает график функции
у = ах, так как расположена под кривой у = ах (рис. 58, а, б). Поэто-
му для любых х выполняется неравенство (1) и нет таких х, для ко-
торых выполнялось бы неравенство (2).
При Ъ > 0 прямая у = b пересекает график функции у = ах
в единственной точке х0 = loga b.
Если а > 1, то для каждого х > х0 соответствующая точка
графика функции у = ах находится выше прямой у = Ь, а для каж-
дого х < х0 — ниже прямой у = Ъ (рис. 59).
О 175
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
б)
УЬ
Рис» 60
Если же 0 < а < 1, то для каждого х > х0 соответствующая точ-
ка графика функции у = ах находится ниже прямой у = Ь, а для
каждого х < х0— выше прямой у = b (рис. 60).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
2х <8.
(5)
Так как 8 > 0, то неравенство (5) можно переписать в виде
(6)
Так как 2 > 1, то функция у = 2х возрастающая. Поэтому реше-
ниями неравенства (6), а значит и неравенства (5), являются все
х < 3 (рис. 61).
Ответ, (-оо; 3).
Рис» 62
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(7)
Так как 5 > 0, то это неравенство (7) можно переписать в виде
bgj 5
з
(8)
Так как О
1, то функция
убывающая. Поэтому реше-
к3
ниями неравенства (8), а значит и не-
равенства (7), являются все х > logx5
(рис. 62). 3
Ответ, (logj 5; +оо).
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
2х < -1.
(9)
Рис. 63
Так как -1 < 0, то неравенст-
во (9) не имеет решений (рис. 63).
Ответ. Нет решений.
177
Показательные и логарифмические уравнении и неравенства
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
2х’2 + 2Х + * < 18. (10)
fl
Перепишем неравенство (10) в виде —1-21-2 <18 или в виде
2Х<23. ' (11)
Решениями неравенства (11), а значит и неравенства (10), явля-
ются все х < 3 (см. пример 1).
Ответ. (—оо; 3).
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
49 • 5х — 25 • 7х > 0.
(12)
Так как 7х 0 для любого числа х, то неравенство (12) можно
переписать в виде 49- 7х
> 0. Так как 49 • 7х > 0 для
любого числа х, то множество решений неравенства (12) совпадает
с множеством решений неравенства
/ \х / \2
5 15
(13)
Так как 0 < — < 1, то функция у =
убывающая, поэтому реше-
ниями неравенства (13), а значит и неравенства (12), являются все х< 2.
Ответ, (-оо; 2).
6.29°
6.30
6.31
6.32
6.33
Какое неравенство называют простейшим показательным не-
равенством?
Является ли число 1 решением неравенства:
а) 2х <3; б) 2х > 1; в) 2х < 1;
г) (0,5)х < 3; д) (0,1)х > 1; е) (0,2)х 0,2?
Решите неравенство (6.31—6.35)
а) 2х >4;
г) (0,5)х < -1;
а) 4х > 2;
г) 25х С 5;
а) 81 • 3х > 1;
б) 5х < 125;
д) (0,2)х> 1;
б) 9х С
О
Д) 4х < i;
б) 27 3х < 1;
д)
5
178
6.34 a)
в)
Д)
6.35 а)
в)
д)
2х * 2 + 2х > 20;
4Х + 1 + 4х > 1,25;
4Х-4Х-1<3;
9 • 7х - 49 3х > 0;
64 • 5х - 125 • 4х > 0;
49 • 4х- 16 • 7х>0;
б) 8 • 5х - 125 • 3х < 0;
г) 81 • 2х - 16 • 3х < 0;
е) 625 • 3х - 81 • 5х < 0.
6.5. Простейшие логарифмические неравенства
Пусть а — данное положительное, не равное 1 число, Ъ — дан-
ное действительное число. Тогда неравенства
loga х > Ь (1)
и
loga X < b (2)
называют простейшими логарифмическими неравенствами.
Например, неравенства
log2 х < 3, log1 х > -5, log0 5 х > -2,5
з
являются простейшими логарифмическими неравенствами.
Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде
loga X > loga х0 (3)
и
log„ х < loga х0, (4)
где х0 = а”.
Если а > 1, то функция у — loga х возрастает на всей своей облас-
ти определения, т. е. на интервале (0; +оо). Поэтому для любого чис-
ла х > х0 справедливо числовое неравенство loga х > loga х0, а для
любого числа х из промежутка 0 < х < х0 справедливо числовое нера-
венство loga х < logfl х0. Кроме того, равенство loga х = logfl х0 спра-
ведливо лишь при х = х0.
Таким образом, при а > 1 и любом действительном числе Ъ мно-
жество всех решений неравенства (3) есть интервал (х0; +оо), а мно-
жество всех решений неравенства (4) есть интервал (0; х0).
Если же 0 < а < 1, то функция у — loga х убывает. Поэтому
для любого числа х > х0 справедливо числовое неравенство loga х <
< loga х0, а для любого числа х из промежутка 0 < х < х0 справед-
ливо числовое неравенство loga х > loga х0. Кроме того, равенство
loga х = loga х0 справедливо лишь при х = х0.
Таким образом, при 0 < а < 1 и любом действительном числе Ъ
множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0),
а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0; +оо).
179
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Замечание. Подчеркнем, что при а > 1 решениями неравен-
ства (4), а при 0 < а < 1 решениями неравенства (3) являются все х,
меньшие, чем х0, но из области определения функции у = loga х,
т. е. все х из промежутка (О; х0).
Приведенное выше решение простейших логарифмических не-
равенств дополним графической иллюстрацией.
На координатной плоскости хОу рассмотрим графики функ-
ций у = loga х и у = Ь. Прямая у = Ъ пересекает график функции
у = loga х в единственной точке х0 = аь.
Если а > 1, то для каждого х > х0 соответствующая точка гра-
фика функции у = loga х находится выше прямой у = &, т. е. для
каждого х > х0 соответствующая ордината у = ах больше, чем орди-
ната а х°, а для каждого х из интервала 0 < х < х0 соответствующая
точка графика функции у = loga х находится ниже прямой у ~Ъ
(рис. 64).
УК
В Рис. 64
* Рис. 65
Если же 0 < a < 1, то, наоборот, для каждого х > х0 соответству-
ющая точка графика функции у — loga х находится ниже прямой
у = Ь, а для каждого х из интервала О < х < х0 соответствующая точка
графика функции у = loga х находится выше прямой у = b (рис. 65).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
log1x>-2. (5)
з
Так как -2 = logx 9, то неравенство (5) можно переписать в виде
з
logj х > logj 9. (6)
з з
180
Так как — < 1, то функция у = logx х убывающая. Поэтому мно-
з
жество всех решений неравенства (6), а значит и неравенства (5)
есть интервал 0 < х < 9 (рис. 66).
Ответ. (0; 9).
11РИМЕР 2. Решим неравенство
(7)
2
]
Так как — = log4 2, то неравенство (7) можно переписать в виде
log4 х > log4 2. (8)
Так как 4 > 1, то функция у = log4 х
возрастающая. Поэтому множество
всех решений неравенства (8), а зна-
чит и неравенства (7), есть интервал
(2; +оо) (рис. 67).
Ответ. (2; +оо).
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
log3 х - 3 log9 х - log81 х > 1,5. (9)
Так как
УЬ
log9x =
-2—= - logqX
2 2 3
logg.X = ;--- = ----— = - logo X,
81 log381 4 4 3
то неравенство (9) можно переписать
в виде
Ж Рис. 68
181
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
или в виде
log3 х < log3 -.
(Ю)
Так как 3 > 1, то функция у = log3 х возрастающая. Поэтому
множество всех решений неравенства (10), а значит и неравен-
ства (9), есть интервал 0 < х < — (рис. 68).
z \ 9
( 1
Ответ. 0; — .
\ 9 J
6.36 ° Какие неравенства называют простейшими логарифмически-
ми неравенствами?
6.37 Какие решения имеет неравенство loga х > loga b (Ь > 0), если:
а) а > 1; б) 0 < а < 1?
6.38 Какие решения имеет неравенство loga х < loga b (Ъ > 0), если:
а) а > 1; б) 0 < а < 1?
Решите неравенство (6.39—6.44):
6.39 a) log2x>l;
г) log9 х < 0;
6.40 a) log0 2 х > 1»
г) log0>6x^-l;
6.41 . а) 5 log2 х > 20;
г) 3 log0 2 х >
б) log3 х > -1;
д) log2 х > 0;
б) log0t3x>-l;
д) logo.7 х > °;
б) —4 log5 х < -12;
д) -6 log0.5 х < “О?
в) lg x < 2;
e) lg x < -2.
в) iog0д x < 2;
e) log0>5 x 0.
в)
e)
3 log7 x > 6;
~3 loSo.25 x 6-
6.42 a) log2 х + log4 х + log16 х > 3,5;
б) log3 х + log9 х + log27 x < —.
6.43 a)
6)
в)
г)
log2 x + 2 log4 X + 3 logg X > 6;
log3 x + 2 log9 x + 3 log27 x 3;
3 1Ogj2
5 log 3
x - 4 log2 x + 4 log4 x > 8;
x - 4 log ~ x + 4 logq x 8.
6.44 a) log2 x + log3 x < log3 6;
6) log3 x + log4 x > log4 12;
в) 2 log5 x - log2 x > log2 0,8;
r) log2 x - 2 log3 x < 4 log3 0,75.
182
6.6. Неравенства, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного
Рассмотрим неравенства, которые после замены неизвестного
превращаются в простейшие показательные или логарифмические
неравенства.
ПРИМЕР 1. Решим
неравенство
к Зх2 - 2х - 6 < 1
5
(1)
Введя новое неизвестное t = Зх2 — 2х — 6, перепишем неравен-
ство (1) в виде
5* < 5"1.
Так как 5> 1, то все решения этого неравенства есть все t<— 1.
Следовательно, множество решений неравенства (1) состоит их всех
решений неравенства
Зх2 - 2х - 6 < -1. (2)
Решив квадратное неравенство (2), найдем все его решения:
5
-1 < х < —. Они и являются решениями неравенства (1).
Замечание. Обычно при решении уравнений вида (1) не вводят
новое неизвестное, а пишут неравенство (2), равносильное неравен-
ству (1) и далее решают неравенство (2).
Ответ.
5
3
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
Iog0 5 (х2 - Зх + 2) > -1. (3)
Введя новое неизвестное t = х - Зх + 2 и заменив число —1 на
logo s 2* перепишем неравенство (3) в виде
log0>5 t > logo s 2-
Так как 0,5 < 1, то все решения этого неравенства 0 < t < 2.
Следовательно, все решения неравенства (3) есть решения нера-
венства
О < х2 - Зх + 2 < 2.
Решив это двойное неравенство, найдем все его решения:
0<х<1 и 2<х<3. Они и являются решениями неравенства (3).
Ответ. (0; 1) U (2; 3).
Теперь рассмотрим неравенства, которые после введения нового
неизвестного превращаются в квадратные или рациональные нера-
венства.
g 183
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
4х - 3 • 2х + 2 > О. (4)
Перепишем неравенство (4) в виде
(2х)2 - 3 • 2х + 2 > 0.
Введем новое неизвестное t = 2х, тогда неравенство (4) превра-
щается в квадратное неравенство с неизвестным t:
t2 - 3t + 2 > 0. (5)
Неравенству (5) удовлетворяют все t < 1 и все t > 2. Следова-
тельно, чтобы найти все решения неравенства (4), надо объединить
все решения двух неравенств: 2х < 1 и 2х > 2.
Все решения первого неравенства составляют интервал (-оо; 0),
а все решения второго неравенства составляют интервал (1; +оо).
Следовательно, множество всех решений неравенства (4) есть объ-
единение двух интервалов (—оо; 0) и (1; +оо).
Ответ, (-оо; 0) U (1; +оо).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
log2 х - 2 log2 х - 3 < 0. (6)
Введем новое неизвестное t = log2 х, тогда неравенство (6) пре-
вращается в квадратное неравенство с неизвестным t:
t2 - 2t - 3 < 0,
множество всех решений которого есть интервал -1 < t < 3. Поэтому,
чтобы найти все решения неравенства (6), надо решить двойное не-
равенство
-1 < log2 х < 3
или двойное неравенство
10g2 - < log2 X < log2 8.
Так как 2 > 1, то функция у = log2 х
возрастающая. Поэтому множество
всех решений неравенства (6) есть ин-
тервал — < х < 8 (рис. 69).
УЬ
& Рис. 69
Ответ.
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
(7)
Введем новое неизвестное t = 2х, тогда неравенство (7) превра-
щается в рациональное неравенство с неизвестным t:
(8)
184
Неравенству (8) удовлетворяют все t < -2 и все t из промежутка
1 < t < 4. Следовательно, чтобы найти все решения неравенства (7),
надо объединить все решения неравенств 2х < —2 и 1 < 2х < 4.
Первое из этих неравенств не имеет решений, а множество
всех решений второго неравенства есть интервал (О; 2). Значит,
множество всех решений неравенства (7) есть интервал (О; 2).
Ответ. (0; 2).
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
49.5з*-< _ 25 • 73х-4> 0.
(9)
Так как 7
> 0 для любых действительных х, то, разделив
г \ Зх - 4
О 4 5 1
неравенство (9) на 7 , получим неравенство 49- — — 25 > 0,
равносильное неравенству (9). Перепишем это неравенство в виде
/ хЗх-4 / х2
(Ю)
Так как —
1, то неравенство (10) равносильно неравенству
все решения которого есть все х < 2. Следовательно, все эти х
и являются решениями неравенства (9).
Ответ. (—оо; 2).
ПРИМЕР 7. Решим неравенство
25х + °-5 - 7 . 10х + 4х + °’5 > 0.
(11)
Перепишем неравенство (11) в виде
5 • 52х - 7 • 5х • 2х + 2 • 22х > 0.
(12)
Так как 4х Ф 0 для любого числа х, то неравенство (12) можно
переписать в виде 4х • 5 •
> 0. Так как 4х > 0 для
5
любого числа х, то множество решений неравенства (12) совпадает
с множеством решений неравенства
2 > 0.
(13)
Введя новое неизвестное
в виде
- 7« + 2 > 0.
перепишем неравенство
5/2
(13)
(14)
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Неравенству (14) удовлетворяют все t < — и все t > 1. Следова-
тельно, чтобы найти все решения неравенства (11), надо объединить
все решения двух неравенств
Решив эти простейшие показательные неравенства, найдем, что
все решения неравенства (11) есть все х < -1 и все х > 0.
Ответ, (-оо; —1) U (0; +оо). *
Решите неравенство (6.45—6.62):
5; 125
б)
6.46 а) (О,25)х
в)
6.47* а)
в)
6.48 а) 125 • 32х'7 - 27 • 52х“ 7 > 0;
в) 72 • 54х +2 - 50 • 64х +2 < 0;
д) 4 - 9®х “ 4 - 9 • 6вх “ 4 > 0;
б) 81 • 57х" 3 - 25 • 97х“ 5 < 0;
г) 162 • 23х+1 - 32 • З3х +1 >0;
е) 27 • 42х * 1 - 8 • 62х * 1 < 0.
6.49
б)
г)
б) 4х-1 + 26-2х< 10;
S 186
...
6.51 a)
в)
Д)
6.52 a)
в)
Д)
6.53 * а)
в)
г)
6.54 * а)
в)
6.55 а)
в)
6.56 а)
в)
Д)
6.57 а)
в)
6.58 а)
в)
6.59 а)
б)
в)
г)
log2 (Зх - 5) > 3;
log7 (5х - 4) > 0;
logo,5 (х - 4) < 1;
log4 (*2 ~ Зх) < 1;
log0>5 (*2 + 7х)
log5 (х2 - 2х - 3) < 1;
log2 х + 2 logj х logn х > 0;
б) log5(2x- 1)<-1;
г) log0 2 (Зх - 4) >-1;
е) log0>25(x-3)^-1.
б) log6 (х2 + 35х) > 2;
е) log1 (х2 — 4х — 5) -1.
7
б) log2 х - 4 logn х log12 х > 0;
log2 x - 6 log5 x log9 x > 0;
log2 x + 4 log4 x log5 x + 2 log2 x > 0.
log2 (x2 - 5x + 4) < 2;
logj (x2 - lOx + 9) > -2;
з
log2 (logg x) > 1;
log2 (log3 x) < 2;
4х - 3 • 2х + 1 + 8 0;
25х - 4 • 5х - 5 0;
(0,25)x - 5 • (0,5)x > -4;
lg (3x + 1)
6) log3 (x2 - 4x + 3) < 1;
r) logi (2x2 - 6x + 4) > —I.
4
6) log2 (log4 x) >-1;
r) log3(log2x)< 1.
lg (3x + 1) + lg 0,01
-----1-----+-----------i----------< -1
lg (9x + 10) lg (9x + 10) + lg 0,001
______4_______________6 > 5 •
lg (3x - 2) + 2 lg (3x - 2) - 3 "
6 6 < 5
lg (9x + 1) + 2 lg (9x + 1) - 3
Исторические сведения
6.60 a) 1g2 х - 1g х - 2 > 0;
в) 1g2 х — 1g х - 6 > 0;
6.61 а) ----------------— > 0;
lg х - 1g 0,1 1g x
в) Igx +--------------> -2;
lg x + lg 0,01
6) lg2 x + lg x - 2 < 0;
r) lg2 x + lg x - 6 < 0.
6.62 a) 4 ♦ 9х - 7 ♦ 12х + 3 • 16х > 0;
б) 3 • 9х - 5 • 6х + 2 • 4х < 0;
в) 15 • 9х + 16 • 15х - 15 • 25х > 0;
г) 6 • 4х + 5 • 6х - 6 • 9х С 0.
[сторические сведения
Древние греки за несколько столетий до нашей эры обнаружили,
что наряду с рациональными отрезками, т. е. отрезками, имеющими
длины, выражаемые рациональными числами, имеются также нера-
циональные отрезки, длины которых выражаются рациональными
числами только приближенно. Для точного выражения требуется
введение новых чисел. Греки, например, умели доказывать, что диа-
гональ квадрата со стороной длины 1 не выражается рациональным
числом. Таким образом, при решении математических задач стали
появляться иррациональные (нерациональные) числа. Такими, на-
пример, являются числа, квадраты которых равны 2, 3, 17. Приме-
ры таких чисел знал, а может быть, и впервые их открыл Пифа-
гор — знаменитый греческий математик VI в. до н. э.
Другой знаменитый математик древности — Архимед в III в. до
н. э. установил, что отношение длины любой окружности к ее диа-
метру, обозначаемое теперь буквой я, заключено между дробями
10 1
3— и 3—, точно определив три цифры после запятой числа я. Обо-
Л. Эйлер
значения иррациональных чисел я и е впервые ввел математик,
член Российской академии наук Леонард Эйлер в 1736 г.
Греки называли иррациональную величи-
ну, например корень из числа, не являющегося
квадратом натурального, «алогос», т. е. невы-
разимое словами. Арабы перевели этот термин,
означающий также слово «немой», как «асамм»,
а европейские переводчики с арабского переве-
ли это слово на латынь как surdus — глухой.
Но уже в XVI в. отдельные математики счита-
ли понятие иррационального числа равноправ-
ным с понятием рационального числа. В XVI в.
188
фламандский ученый Симон Стевин (1548—1620) писал: «Мы при-
ходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррацио-
нальных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но среди
чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо раз-
мышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».
В математике долго стояла проблема об общем определении
чисел, которые выражали бы длины произвольных отрезков. Эта
проблема до конца была решена только в XIX столетии. Выясни-
лось, что, например, в качестве таких чисел можно взять деся-
тичные дроби. Длина произвольного отрезка выражается положи-
тельной десятичной дробью, вообще говоря, бесконечной. Верно
и обратное утверждение: любая положительная десятичная дробь
(в том числе бесконечная) есть длина некоторого отрезка. Длина
отрезка тесно связана с понятием координатной оси.
Работая с числами, математики часто оперируют таким поняти-
ем, как бесконечное множество. Последовательность натуральных
чисел представляет простейший и самый естественный пример бес-
конечного множества (в математическом смысле), играющего важ-
ную роль в современной математике.
Последовательный, шаг за шагом, переход от п к п + 1, порож-
дающий бесконечную последовательность натуральных чисел, вмес-
те с тем лежит в основе одного из важнейших и типичных для мате-
матики рассуждений — метода математической индукции.
«Эмпирическая» индукция, применяемая в естественных нау-
ках, исходит из частного ряда наблюдений некоторого явления и
приходит к констатации общего закона, которому подчиняется явле-
ние в его различных формах. Степень уверенности, с которой закон
таким образом устанавливается, зависит от числа отдельных на-
блюдений и выводимых из них заключений. Часто подобного рода
индуктивные рассуждения бывают вполне убедительными.
Что касается математической индукции, то она резко отлича-
ется от эмпирической индукции. Подтверждение общего закона на
конечном числе случаев никоим образом не представляет собой до-
казательства в математическом смысле. В этом случае можно го-
ворить только о вполне разумной гипотезе, что рассматриваемая
закономерность верна. В математике закон может считаться дока-
занным лишь тогда, когда он выведен как неизбежное логическое
следствие из предпосылок, признаваемых справедливыми.
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, мож-
но составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.
Комбинаторика особенно бурно развивается в последние десяти-
летия. Методы комбинаторики используются для решения транс-
портных задач, например задач по составлению расписаний; для
составления планов производства и реализации продукции. Уста-
новлены связи между комбинаторикой и задачами линейного про-
граммирования, статистики и т. д. Комбинаторика используется
189
Исторические сведения
для составления и декодирования шифров и для решения других
проблем теории информации. Значительную роль комбинаторные
методы играют и в математических вопросах — теории групп и их
представлений, изучении оснований геометрии, неассоциативных
алгебр и т. д.
Как в геометрии неудобно всегда сводить решение задачи
к аксиомам, а удобнее пользоваться теоремами, так и в комбинато-
рике некоторые общие правила решения задач определенных типов
удобнее представлять в виде готовых формул, которым присвоены
специальные названия — перестановки, размещения и сочетания
Алгебра — часть математики, посвященная изучению буквен-
ных выражений и уравнений. Долгое время алгебра была частью
науки о числе — арифметики. Среди различных задач, которые ста-
вит жизнь, многие решаются одинаковыми способами. Используя
вместо чисел буквы, математики научились решать такие задачи
в общем виде. На этом пути и образовалась математическая наука —
алгебра.
Исторически зачатки алгебры были известны вавилонянам,
египтянам и грекам задолго до нашей эры. Сохранился египетский
папирус Ахмеса (XVII в. до н. э.) с решением алгебраических задач.
Диофант, греческий математик, живший в III в. в Александрии, на-
писал трактат «Арифметика», в котором он свободно обращался
с линейными и другими уравнениями.
В Средние века особенно активно алгебра развивалась в араб-
ских странах и Средней Азии. Само слово «алгебра» арабское (аль-
джебр) — впервые оно появилось в заглавии одного сочинения
Мухаммеда аль-Хорезми, узбекского математика и астронома.
На протяжении многих веков развитие арифметики и алгебры
сильно тормозилось, потому что математикам долго не удавалось
ввести в свои исследования удачные обозначения. Поэтому изложе-
ние математических работ выглядело громоздко.
Только начиная с XVI столетия постепенно в математику начали
вводить современные обозначения. Символы а2, а3, а4 и т. д. впервые
встречаются у французского ученого Рене Декарта (1596—1650).
Символ ап для произвольного числа п предложен английским уче-
ным Исааком Ньютоном (1643—1727).
Алгебра оперирует с буквенными выражениями. Буква в алгебре
часто обозначает произвольное число, принадлежащее некоторому
множеству чисел. Отсюда небольшой шаг к тому, чтобы под буквой
в алгебре понимать переменную величину, пробегающую некоторое
множество чисел. Величины, связанные между собой, например
при помощи алгебраического равенства, определяют функцию.
Определение функции, данное в наших учебниках, принадле-
жит русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792—
1856) и немецкому математику Петеру Дирихле (1805—1859).
Система координат дает возможность изобразить функцию гра-
фически — в виде линии. Но и, обратно, может оказаться, что ли-
ния, изображенная в системе координат, есть график некоторой
функции. Однако тогда ее изучение может быть сведено к изучению
соответствующей функции.
Таким путем мы изучали прямую, параболу и некоторые другие
линии.
Французский математик и философ Р. Декарт впервые приме-
нил метод координат к изучению геометрических вопросов. Это
привело к созданию новой науки — аналитической геометрии. На-
пример, графические методы решения линейных уравнений отно-
сятся к аналитической геометрии.
Еще ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить
приближенное значение квадратного корня из любого натурально-
го числа, а также решать квадратные уравнения. Это было связано
с решением задач о нахождении площадей земельных участков
и развитием астрономии. Однако у вавилонян еще не было понятия
отрицательного числа, и поэтому корни квадратного уравнения мог-
ли быть только положительными. В «Арифметике» Диофанта нет
систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ряд
задач, решаемых при помощи составления уравнений.
Задачи на квадратные уравнения встречаются и в трудах ин-
дийских математиков уже с V в. н. э. Квадратные уравнения клас-
сифицируются в трактате «Алгебра» аль-Хорезми. В нем приводят-
ся и способы их решения. Только в XVI в. благодаря исследованиям
французского математика Франсуа Виета (1540—1603) впервые
191
Исторические сведения
ВИД.
Архимед
уравнения второй степени, так же, впрочем,
как третьей и четвертой степеней, стали рас-
сматривать в буквенных обозначениях. Виет
впервые ввел буквенные обозначения не толь-
ко для неизвестных величин, но и для данных,
т. е. коэффициентов уравнений. Особенно це-
нил Виет открытые им формулы, называемые
теперь формулами Виета. Однако Виет призна-
вал только положительные корни.
Лишь в XVII в. после работ Р. Декарта,
И. Ньютона и других математиков решение
квадратных уравнений принимает современный
Параболу знал еще Архимед, математик и механик Древней
Греции. Он применял ее для решения ряда практических задач —
в судоходстве и военном деле. Парабола у = х2 и график функции
у = хп для п = 3, 4, 5, ... играют большую роль в математике. Изу-
чив свойства функции у = хп, мы получили представления о ее гра-
фике, который, в свою очередь, помог нам убедиться в существова-
нии, например, корней степени п из положительных чисел.
Способы извлечения корня степени п известны давно. Например,
хорезмский математик Биру ни (973 — ок. 1050) в своей книге «Ключ
арифметики» описывает способ извлечения корня с любым натураль-
ным показателем. Однако этот способ громоздок и неудобен. В XVI в.
голландский ученый С. Стевин предложил понимать п4а как степень
числа а с дробным показателем —. Равенство а° = 1 применял в нача-
ле XV в. самаркандский ученый аль-Каши. Независимо от него ну-
левой показатель степени ввел в XV в. Н. Шюке. Он же ввел и отри-
цательные целые показатели степени. Систематически нулевые,
отрицательные и дробные показатели степени стал применять
И. Ньютон.
Рациональная степень числа позволяет определить показатель-
ную функцию у = ах. Показательная функция имеет большое значе-
ние в математике. Существенный вклад в ее изучение внес
Л. Эйлер.
Логарифмы открыты в XVI в. в связи с быстрым развитием аст-
рономии, требовавшей сложных и точных вычислений. Француз-
ский математик Пьер Лаплас (1749—1827) писал, что «изобретение
логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь ...».
Изобретателем логарифмов считают шотландского математика
Джона Непера (1550—1617). Непер опубликовал оригинальные по
тем временам труды «Описание удивительной таблицы логариф-
мов» и «Построение удивительной таблицы логарифмов». В этих
трудах Непер дал объяснение свойств логарифмов и снабдил их таб-
лицами логарифмов величин, важных в практике вычислений.
192
По совету Непера английский математик Генри Бригс (1561—
1630) создал четырнадцатизначные таблицы десятичных логариф-
мов (1624), которыми пользуются до настоящего времени и зовут
бригговыми. С помощью таблицы логарифмов можно вычислять
произведение и частное чисел, возводить в степень, извлекать кор-
ни любых степеней.
Долгое время этот способ вычисления широко употреблялся на
практике. Еще быстрее подобные вычисления производились на
логарифмической линейке. Однако мы вступили в новую фазу
технического прогресса, когда электронная техника привела к воз-
можности производить вычисления моментально. Вычисления по
таблицам и с помощью логарифмической линейки теперь уже вы-
глядят допотопными.
С другой стороны, теоретическое значение понятия логарифма
по-прежнему остается важным. Полная теория логарифмов была
впервые получена в трудах Л. Эйлера.
Глава II
Тригонометрические формулы
Тригонометрические функции
Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «изме-
рение треугольников». Как вам известно из геометрии, синус, коси-
нус, тангенс и котангенс угла используются при решении треуголь-
ников, поэтому формулы для них называют тригонометрическими.
В курсе геометрии синус, косинус, тангенс и котангенс рассмат-
ривались для углов, не больших развернутого. В этой главе обобще-
но понятие угла и на него распространены понятия синуса, косину-
са, тангенса и котангенса.
§ 7. Синус и косинус угла
7.1. Понятие угла
Введем на плоскости прямоугольную систему координат хОу
с положительной полуосью абсцисс Ох, направленной вправо, и с
положительной полуосью ординат Оу, направленной вверх, и рас-
смотрим окружность радиуса R с центром в начале координат.
Пусть положительная полуось Ох пересекает окружность в точке А
и пусть на окружности дана еще точка В. Векторы О А и ОВ образу-
ют угол АОВ (рис. 70, а).
Будем считать, что наряду с фиксированными векторами О А и О В
есть еще вектор, начало которого — точка О, а конец — точка,
движущаяся по окружности. Этот вектор назовем подвижным век-
тором.
Используя язык механики, можно сказать,что угол АОВ полу-
чен поворотом подвижного вектора от вектора О А до вектора ОВ (на
рисунке 70, б стрелка показывает, как двигался подвижный вектор).
Отметим, что угол АОВ образован поворотом, при котором ко-
нец подвижного вектора, двигаясь по окружности, прошел дугу, не
большую полуокружности (см. рис. 70, б).
194
yl
уЬ
г)
Однако можно совершить и такой поворот, что конец подвиж-
ного вектора, двигаясь по окружности, пройдет дугу, большую, чем
полуокружность (рис. 71, а).
195
Синус и косинус угла
В тригонометрии принято считать, что любой поворот подвиж-
ного вектора образует угол.
Таким образом, при повороте подвижного вектора может обра-
зоваться как угол, меньший развернутого (см. рис. 70, б), так и
угол, больший развернутого (см. рис. 71, а).
Пусть подвижный вектор совершил такой поворот, что впервые
--------------------------->
его конечное положение (вектор ОВ) совпало с начальным положе-
нием (вектором ОА). Такой поворот называют полным оборотом
(рис. 71, б).
Поворот подвижного вектора может складываться из несколь-
ких полных оборотов и поворота, составляющего часть полного обо-
рота (рис. 71, в).
Любой поворот подвижного вектора может быть совершен в
двух противоположных направлениях: по часовой стрелке и против
часовой стрелки (рис. 71, г).
В тригонометрии принято считать углы, образованные поворо-
том подвижного вектора против часовой стрелки, положительными,
а углы, образованные поворотом подвижного вектора по часовой
стрелке, отрицательными.
Если подвижный вектор не совершил поворота, то будем счи-
тать, что образован нулевой угол.
1
Пусть подвижный вектор совершил поворот, равный —— части
полного оборота против часовой стрелки. В этом случае говорят, что
образован угол, градусная мера которого равна одному градусу,
или, короче, угол в один градус (пишут 1°).
Следовательно, совершив полный оборот против часовой стрел-
ки, получим угол в 360° (рис. 72, а), а совершив один полный обо-
рот по часовой стрелке, получим угол в —360° (рис. 72, б).
Совершив поворот в половину полного оборота против часовой
стрелки, получим угол в 180° (рис. 73, а); совершив поворот в четверть
полного поворота по часовой стрелке, получим угол в -90° (рис. 73, б).
d Рис. 74
Так как 450° = 90° + 360°, то, совершив поворот в четверть пол-
ного оборота против часовой стрелки, а затем еще полный оборот
против часовой стрелки, получим угол в 450° (рис. 74, а). Посколь-
ку -540° = -180° - 360°, то, совершив поворот в половину полного
оборота по часовой стрелке, а затем еще полный оборот по часовой
стрелке, получим угол в -540° (рис. 74, б).
Напомним, что 1' (одна минута) равна — части градуса, al"
60
1
(одна секунда) равна — части минуты. Заметим, что в вычислитель-
60
ной практике минуты и секунды часто записываются в виде деся-
тичных долей градуса.
Для любого действительного числа а существует, и притом
только один, угол, градусная мера которого равна а.
Этот угол отложен от начального вектора в положительном на-
правлении при а > 0 и в отрицательном при а < 0. При а = 0 это ну-
левой угол.
197
Синус и косинус угла
Отметим, что градусную меру любого угла а можно записать в виде
а = а0 + 360° * /г,
где а0 удовлетворяет неравенствам 0° < а0 < 360°, a k — некоторое
целое число.
Поэтому при k Ф 0 угол с градусной мерой а можно получить как
результат двух поворотов: в положительном направлении на угол
с градусной мерой а0 и на | k | полных оборотов в положительном
направлении при k > О и в отрицательном направлении при k < 0.
ПРИМЕР 1. Так как 2000° = 200° + 5 • 360°, то угол в 2000° можно
получить как результат двух поворотов: в положительном направле-
нии на 200° и в положительном направлении на 5 полных оборотов.
ПРИМЕР 2. Так как —2000° = 160° — 6 • 360°, то угол в —2000° мож-
но получить как результат двух поворотов: в положительном направ-
лении на 160° и в отрицательном направлении на 6 полных оборотов.
Замечание. Из сказанного выше ясно, что только в случае,
когда угол, рассматриваемый в тригонометрии, неотрицателен и не
больше развернутого, его можно отождествить с углом, рассматри-
ваемым в геометрии.
Поэтому введенное в этом пункте понятие угла является обоб-
щением понятия угла, рассматриваемого в геометрии.
7.1° Какой поворот называют полным оборотом?
7.2° а) Какой угол называют: нулевым; положительным; отрица-
тельным?
б) Какой угол называют углом в один градус? Сколько граду-
сов содержит полный оборот?
7.3 ° Для любого ли числа а существует угол, градусная мера кото-
рого равна а?
7.4 На рисунке 75, а — е изображен угол АОВ, полученный пово-
ротом подвижного вектора от вектора О А до вектора ОВ.
Сколько полных оборотов содержит угол АОВ?
7.5 Изобразите на координатной плоскости угол АОВ, полученный по-
воротом подвижного вектора от вектора О А до вектора ОВ на:
а) — полного оборота; б) 0,25 полного оборота;
2
3
в) - полного оборота; г) 1,75 полного оборота;
4
д) 1 полный оборот; е) 2,5 полного оборота
по часовой стрелке (против часовой стрелки). Определите гра-
дусную меру угла АОВ.
198
tf .Iflf
№ Рис. 76
199
Синус и косинус угла
С помощью транспортира изобразите на координатной плоско-
сти угол АОВ, полученный поворотом подвижного вектора от
вектора О А до вектора ОВ, если градусная мера этого угла
равна (7.6—7.7):
7.6 а) 60°; б) 120°; в) 200°; г) 245°;
д) 270°; е) 300°; ж) 380°; з) 420°.
7.7 а) -45°; б) -30°; в) -120°; г) -160°;
д) -270°; е) -300°; ж) -500°; з) -1000°.
7.8 Запишите градусную меру угла АОВ, изображенного на ри-
сунке 76, а—г.
7.9 Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит
угол, градусная мера которого равна:
а) 700°; б) -320°; в) 2000°; г) 3800°;
д) -600°; е) -800°; ж) -1500°; з) -2400°?
7.10 На рисунке 77, а—г изображен вектор ОВ (ОС, OD, ОЕ) —
конечное положение подвижного вектора после поворота на
некоторый угол от его начального положения — вектора О А.
И Рис. 77
200
а) Изобразите углы АОВ, АОС, AOD, АОЕ, имеющие наи-
меньшую по абсолютной величине градусную меру.
б) Запишите градусные меры всех возможных углов АОВ,
АОС, AOD, АОЕ. Например, все возможные углы АОВ на ри-
сунке 77, а можно записать в виде 90° + 360° • n, п е Z.
7.11 Постройте без помощи транспортира на координатной плоско-
сти углы:
а) 90°, 180°, 270°, 360°; б) 45°, 135°, 225°, 315°;
в) 60°, 120°, 240°, 300°; г) 30°, 150°, 210°, 330°;
д) -45°, -90°, -135°, -180°; е) -60°, -120°, -240°, -300°.
7.12 Укажите наименьший по абсолютной величине угол среди
данных углов:
а) 30° + 360° • п, где п 6 Z; б) —120° + 360° • п, где n е Z;
в) 270° + 360° • и, где п е Z; г) —270° + 360° • п, где п е Z;
д) 400° + 360° ♦ п, где п е Z; е) -700° + 360° • п, где п е Z.
7.13 Представьте следующие углы в виде а+ 360°-и, где
0° а < 360°, п — некоторое целое число:
а) 400°; б) -500°; в) 600°; г) -900°.
7.14 а) Постройте окружность радиуса 5 см с центром в начале
системы координат. Точку ее пересечения с положительной
полуосью Ох обозначьте Ао. Считая вектор ОА$ начальным
положением подвижного вектора, постройте вектор ОАа, где
а — градусная мера угла поворота подвижного вектора. Вы-
полните задание при а, равном: 0°; 30е; 45°; 60°; 90°.
б) Постройте точки, симметричные каждой точке Аа относи-
тельно: оси Ох; оси Оу; начала системы координат. Определи-
те углы поворота, при которых точка Аа переходит в постро-
енные точки.
7.2. Радианная мера угла
Пусть подвижный вектор совершил такой поворот против часо-
вой стрелки, что его конец, двигаясь по окружности, прошел рас-
стояние, равное радиусу R этой окружности. Тогда говорят, что об-
разован угол, радианная мера которого равна одному радиану, или,
короче, угол в один радиан.
Можно также сказать, что радиан — это величина центрально-
го угла окружности радиуса R, опирающегося на дугу длины R. Из
геометрии известно, что эта величина не зависит от R. Поэтому
обычно выбирают R — 1.
Поскольку длина окружности равна 2л/?, то, совершив один
полный оборот против часовой стрелки, получим угол в 2л радиан.
201
Синус и косинус угла
Следовательно, угол в 2л радиан и угол в 360° — это один и тот же
угол. Но тогда угол в 1°
2л
и угол в----радиан также один и тот же
360 180°
угол. Поэтому пишут: 360° = 2л радиан, 1 радиан =-----~ 57°17'45",
1° = радиан, -5 радиан = - — • 180° ~ -286°,
а радиан = — • 180°.
л
-360° = -2л радиан,
Слово «радиан» в таких записях обычно опускают, но подразу-
мевают его. Например, пишут: 180° =
180°
3
1°= — ~ 0,017453... .
180
7 л
Поскольку —— =
верти полного оборота
то, совершив поворот в три чет-
_ 3
2
по часовой стрелке, затем полный оборот по
часовои стрелке, получим угол
а)
» Рис. 78
(рис. 78, а).
m 17 Л Л , о п
Так как —— — — + 2- 2л, то, совершив поворот в восьмую часть
полного оборота против часовой стрелки, а затем два полных оборо-
17л
та против часовой стрелки, получим угол в------
4
(рис. 78, б).
Для любого действительного числа а существует, и притом
только один, угол, радианная мера которого равна а радиан и этот
угол отложен от начального вектора в положительном направлении
при а > 0 и в отрицательном при а < 0. При а = 0 это нулевой угол.
Отметим, что для любого угла его меру а (радиан) можно запи-
сать в виде а — а0 + 2 л/г, k е И, где ос0 (радиан) удовлетворяет нера-
венству 0 а0 < 2л, a k — некоторое целое число.
202
Поэтому при k 0 угол а можно получить как результат двух
поворотов: в положительном направлении на угол а0 и на | k | пол-
ных поворотов в положительном направлении при k > 0 и в отрица-
тельном направлении при k < 0.
19л
ПРИМЕР 1. Так как — =
4
Зл л л 19л
---1- 2 • 2л, то угол в-
4 4
можно полу-
чить как результат двух поворотов: в положительном направлении
на угол
Зл
и в положительном направлении на 2 полных оборота.
4
ПРИМЕР 2. Так как----л = — - 3 • 2л, то угол в-л можно
2 2 2
получить как результат двух поворотов: в положительном направле-
нии на угол | и в отрицательном направлении на 3 полных оборота.
Далее в этой главе будет рассматриваться в основном радианная
мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры утла.
Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла,
пользуясь приведенными выше соотношениями.
Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого
равна а радиан» говорить коротко «угол а».
7.15 а) Какой угол называют углом в 1 радиан?
б) Сколько радиан содержит полный оборот; половина полно-
го оборота; четверть полного оборота?
7.16 Выразите в радианах величину угла, градусная мера которого
равна:
а) 360°; 180°; 90°; 270°; 0°; б) 45°; 135°; 225°; 315°;
в) 60°; 120°; 240°; 300°; г) 30°; 150°; 210°; 330°;
д) -45°; -90°; -135°; -180°; е) -270°; -360°; -1800°.
7.17 Выразите в градусах величину угла, радианная мера которого
7.18 Известно, что л ~ 3,14159. Определите с недостатком с точ-
ностью до 0,01 радианную меру:
а) полного оборота; б) половины полного оборота;
в) четверти полного оборота; г) трети полного оборота.
203
Синус и косинус угла
7.19 Известно, что 1 радиан ~ 57°. Изобразите на глаз угол в 1; 2;
3; 4; 5; 6 радиан. Проверьте свой глазомер, измерив построен-
ные углы с помощью транспортира.
7.20 Какой угол больше:
а) 3 радиана или п радиан; б) 6 радиан или 2 л радиан?
7.21 Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит
угол, радианная мера которого равна:
.) -в«; 12«;-7к; « -0.5,; 31«;-13.2«; 21.7,7
7.22 Запишите в виде а + 2л • п, где п — некоторое целое число
(0 а < 2л), следующие углы:
а) 6,5л; б) -л; в) -12—л; г) -17 —л.
2 3 6
7.23 По рисунку 77 (см. с. 199) запишите:
а) наименьшую положительную радианную меру углов АОВ,
АОС, AOD, АОЕ;
б) наименьшую по абсолютной величине радианную меру
углов АОВ, АОС, AOD, АОЕ;
в) радианную меру всех возможных углов АОВ, АОС, AOD,
АОЕ. Например, все возможные углы АОВ на рисунке 77, а
можно записать в виде + 2лп, п е Z.
7.3. Определение синуса и косинуса угла
Далее рассматривается прямоугольная система координат хОу,
у которой положительная полуось Ох направлена вправо, а положи-
тельная полуось Оу направлена вверх. Напомним, что единичным век-
тором координатной оси Ох называют вектор, имеющий длину 1, на-
чало в точке О и направленный в положительном направлении оси Ох.
Единичной окружностью в тригонометрии называют окруж-
ность радиуса 1 с центром в начале системы координат хОу при
условии, что единичный вектор О А оси Ох принят за начальное по-
ложение подвижного вектора и что направление поворота против
часовой стрелки принято за положительное.
Пусть подвижный вектор, совершив поворот от вектора О А
до вектора ОВ, образует угол АОВ, радианная мера которого равна
а радиан. Точку В единичной окружности назовем точкой, соответ-
ствующей углу а (рис. 79), или, коротко, точкой а.
Заметим, что точка а единичной окружности для любого цело-
го числа k совпадает с точками а 4- 2л/?, где k — любое целое число.
204
Рис. 80
Число, равное ординате точки единичной окружности, соответ-
ствующей углу а, называют синусом угла а и обозначают sin а.
Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответ-
ствующей углу а, называют косинусом угла а и обозначают cos а.
Замечание. Для углов, радианная мера которых заключена
Л л
между 0 и —, приведенное определение синуса и косинуса угла сов-
падает с определением, известным из курса геометрии.
Из сказанного выше следует, что для любого угла а:
1) существует синус этого угла и притом единственный;
2) существует косинус этого угла и притом единственный.
Поэтому часто говорят, что sin а и cos а есть функции угла а.
ПРИМЕР 1. Вычислим sin 0 и cosO, sin — и cos—.
2 2
Углу 0 радиан соответствует точка А (1; 0), следовательно,
Зтг
sin 0 = 0, cos 0 = 1. Углу — радиан соответствует точка В(0; -1),
Зл 3 л
следовательно, sin— = —1, cos— = 0 (рис. 80).
2 2
ПРИМЕР 2. Найдем все углы а, для каждого из которых
sin а = 0.
Из определения синуса угла следует, что sin 0 = 0, sin я = 0,
sin (—л) = 0, sin 2л = 0, sin (-2л) = 0, sin Зл = 0, sin (—Зл) = 0, ...
(рис. 81, а, б), т. е.
sin kit = 0
для любого целого числа k.
В таких случаях говорят, что все углы а, для каждого из кото-
рых sin сх = 0, задаются формулой а = л/г, k е Z.
Ж 205
Синус и косинус угла
& Рис. 81
Таким образом, sin а = 0 для углов а = /гл, где k — любое целое
число. Для любых углов а, отличных от /гл, sin а Ф 0.
ПРИМЕР 3. Найдем все углы а
Из
определения
косинуса
для каждого из которых cos а = 0.
Л ъ
угла следует, что cos — = 0,
cos
л Зл
= 0, cos —
0, cos
Зл
г\ 5 л л
= 0, cos — = 0, cos
5л
2
= 0, ...
2
(рис. 82
= 0
для любого целого числа k,
В таких случаях говорят, что все углы а, для каждого из кото-
рых cos а = 0, задаются формулой а = —I- л/г, /г е Z.
Таким образом, cos а = 0 для
целое число. Для любых углов а
углов а = —к /гл, где /г — любое
2
отличных от — + /гл, cos а 0.
б)
$ Рис. 82
206
а значения си-
- = 60°, - = 90°
Так как 0 = 0°, — = 30°, —
6 4
ну сов и косинусов углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° известны из геомет-
рии, то получаем значения синусов и косинусов углов 0, —, —, —, —.
а 0 л 6 1 я л 3 2
sin а 0 1 2 У2 2 Уз 2 1
cos а 1 Уз 2 У2 2 1 2 0
Для углов, радианная мера которых заключена между 0 и —, их
синусы и косинусы можно находить приближенно с помощью таб-
лиц или электронных калькуляторов.
ПРИМЕР 4. Вычислим sin — и cos —.
Ук
330
$ Рис. 83
Так как — = л + —, то точки В и
4 4
Вх симметричны относительно начала
координат, поэтому координаты точек
В и Вх — противоположные числа
(рис. 83, а). Так как АЛОВ
—, то
4
точка Вх имеет координаты
2 ;
(см. таблицу), следовательно, точка В
2
2
имеет координаты
sin 330°
5л V2 5л
этому sm — = - —, cos — =
ПРИМЕР 5. Вычислим
и cos 330°.
Так как 330° = 360° - 30
то точ-
ки В и Вх (рис. 83, б) симметричны
относительно оси Ох, то абсциссы
точек В и Вх равны, а ординаты —
противоположные числа. Так как
ZAOB, = 30° = —то точка В, имеет
Синус и i.orimvc угля
* <.
координаты
координаты
(см. таблицу). Следовательно, точка В имеет
поэтому sin 330° = —
cos 330° =
1. Справедливы следующие свойства sin а и cos а.
Малому изменению угла а соответствует малое изменение си-
нуса и косинуса (рис. 84).
2. Для любых углов 04 и а2, таких, что
справедливо неравенство
sin 04 < sin а2. (2)
Покажем это. Пусть на координатной плоскости дана единичная
окружность. Для углов, удовлетворяющих условию (1), очевидно, что
ордината точки В19 соответствующая углу ар меньше ординаты точ-
ки В2, соответствующей углу а2, т. е. ух < у2 (рис. 84). По определению
синус угла есть число, равное ординате соответствующей точки еди-
ничной окружности, значит, справедливость неравенства уъ < у2 озна-
чает справедливость неравенства (2), что и требовалось доказать.
Аналогично показывается справедливость следующих утверж-
дений:
3. Для любых углов
справедливо неравенство
4. Для любых углов
справедливо неравенство
5. Для любых углов
справедливо неравенство
тс . _ Зл
04 и а2, таких, что — < 04 < а2
sin 04 > sin а2 (рис. 85).
04 и <х2, таких, что 0 04 < а2 < л,
cos 04 > cos а2 (рис. 86).
04 и а2, таких, что л < 04 < а2 < 2л,
cos 04 < cos а2 (рис. 87).
Рис. 84
&
208
а Рис. 87
Я Рис. 86
Свойства 2 и 3 означают, что фунция sin а на промежутке
возрастает, а на промежутке
Зл
2
убывает, а свойства 4
и 5 означают, что функция cos а на промежутке [0; я] убывает, а на
промежутке [я; 2я] возрастает.
7.24 а) Какую окружность в тригонометрии называют единичной
окружностью?
б) Какой вектор принят за начальное положение подвижного
вектора?
в) Какое направление поворота принято за положительное?
7.25 а) Какую точку единичной окружности называют точкой, со-
ответствующей углу а?
б) Что называют: синусом угла а; косинусом угла а?
в) Для какого угла а существует: sin а; cos а?
г) Единственный или нет для данного угла a: sin а; cos а?
7.26 Для каких углов а: a) sin а = 0; б) cos а = О?
7.27 Какие знаки имеют синус и косинус утла а, если точка еди-
ничной окружности, соответствующая углу а, расположена:
в I четверти; во II четверти; в III четверти; в IV четверти?
7.28 Найдите:
a) sin 0°; б) cos 0;
д) sin 180°; е) cos я;
и) sin 2я;
к) cos 360°;
в) sin 90°;
ж) sin 270°;
л) sin 0;
г» cos—;
2
ч Зя
з) cos—;
2
м) cos 0°.
209
Синус и косинус угла
7.29
7.30
7.31
7.32
7.33
7.34
7.35
7.36
Используя
a) sin 45°;
г) cos 30°;
Вычислите
а)
свойства прямоугольных треугольников, найдите:
б) cos—;
д) sin 60°;
в) sin—;
sin 120 ;
. 5я
sin—:
sin 225°;
cos
3
. 11л
sin----
2
сделав рисунок
б)
2п
cos —;
cos 150°;
б)
д)
cos
sin
cos
Зя
13я
е) cos—.
3
(7.30—7.32):
в) sin 135~;
ж) sin я;
. Зя
е) cos —
2
в) sin
, Зя
г) cos—;
4
з) cos 180г.
г) cos
13л
На миллиметровой бумаге постройте систему координат с еди-
ничным отрезком 10 см. Постройте окружность с центром в
начале координат, проходящую через точку (1; 0). Найдите
приближенно (с точностью до сотых):
a) sin 30°; б) cos 60°; в) sin 150°;
г) cos 150 , <д) sin 190 , е) cos 250 ,
ж) sin 250°; з) cos 300°; и) sin 300°.
а) На единичной окружности постройте точки Аи, соответст-
вующие углам а, равным 0, —, —, —, —. Найдите синусы и ко-
6 4 3 2
синусы этих углов.
б) Постройте точки, симметричные точкам Аа относительно:
оси Ох; оси Оу; начала системы координат. Определите ради-
анную меру углов, которым соответствуют построенные точ-
ки. Найдите синусы и косинусы этих углов.
Найдите синусы и косинусы следующих углов, где /? — любое
целое число
а)
— + 2л/?;
2
(7.35—7.36):
б)
д)
2
2л/г;
2л/?;
4л/?.
а)
л/?;
—л/?;
д)
2
2
210
7.37
Верно ли равенство:
a) sin
. л
— sm—;
2
б) cos
Л о
cos—?
4
7.38 Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие
углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Опреде-
лите знак синуса и знак косинуса для каждого из этих углов.
7.39 а) Если отмечать на единичной окружности точки, соответ-
ствующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, ...,
то могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?
б) Докажите, что если на единичной окружности отметить
точку, соответствующую углу, радианная мера которого есть
рациональное число, то она не соответствует никакому другому
углу, радианная мера которого есть другое рациональное число.
7.40
7.41
Определите знак числа:
a) sin 4;
б) cos
в) sin
г) cos (-4).
Выполняется ли равенство cos а = sin а при каком-нибудь а?
Проиллюстрируйте решение на рисунке.
7.42 Отметьте на единичной окружности все точки, соответствую-
щие углам а, для которых:
a) cos а > 0; б) cos а < 0; в) sin а 0; г) sin а 0.
Что больше (7.43—7.44):
7.43 a) sin 40° или sin—;
4
в) sin 120° или sin 130°;
д) sin 300° или sin 130°;
71
б) cos — или cos 60°;
ж) sin (-300°) или cos 120°;
Г)
е)
з)
Зл
cos — или cos л;
4
Зл л
cos — или cos —;
4 2
cos
13л
или sin
7.44
a) sin 3 или sin л;
в) sin 1 или sin (-1);
д) sin 1 или sin 2;
ж) sin 3 или cos 3;
б) cos 4 или cos 5;
г) cos (—2) или cos 2;
е) cos 2 или cos 3;
з) sin 3 или sin 5?
Определите знак произведения:
a) cos 130° • sin 170°;
sin----cos —;
4 3
17л
Зл
• cos
г)
11
cos---
л • sin
5л
Синус и косинус угла
211
Л ___
Упростите выражение (7.46—7.47):
7.46 а)
3cos0+ 2 sin--4 cos---7 sin (-л);
2 2
Зл
4
cos----3 sin
2
+ 4cos (—2л) - 2 sin(-Зл).
7.47
a)
6)
в)
г)
sin —ь cos
4
Зл
4
- 2 sin
. о ^л
+ 2cos —
3cos — - 2 sin —
3 3
о 7 л n . Зл
3 cos — + 2 sin----sin
2 sin
5л
2л
т
9л
sin
5л
4
„ 13л
7 cos—-
2
о 2л
- 8 cos —
7 л
7.4. Основные формулы для sing и cos а
ТЕОРЕМА 1. Для любого угла а справедливо равенство
sin2 а + cos2 а = 1. (1)
Это равенство называют основным тригонометрическим тожде-
ством.
Доказательство. Как известно, окружность радиуса 1 с центром
в начале координат имеет уравнение
x2 + i/2=l. (2)
Как следует из определения синуса и косинуса угла а, точка
В (х; г/), принадлежащая этой окружности и соответствующая
углу а, имеет координаты
х = cos а, у — sin а,
которые удовлетворяют уравнению (2). Подставляя их значения
в уравнение (2), получим равенство (1).
Теорема 1 доказана.
ПРИМЕР 1. Вычислим sin а, если cos а — — и угол а принадле-
жит интервалу л;
2
212
Из основного тригонометрического тождества следует, что
2
sin2 ос = 1 - cos2 а=1-
к 5
го интервала sin а < О, следовательно, sin а =
16
—. Для любого угла а из указанно-
16
СЛЕДСТВИЕ. Для любого угла а справедливы неравенства
| sin а | < 1,
| cos а | 1.
(3)
Действительно, так как cos2 а > 0 для любого угла а, то
sin2 а sin2 а + cos2 а,
откуда, применяя основное тригонометрическое тождество, полу-
чим, что sin2 а 1, или | sin а | 1.
Аналогично доказывается справедливость неравенства cos а | С 1.
Заметим, что неравенства (3) можно записать и в другой форме:
-1 < sin ссС 1,
cos а
ТЕОРЕМА 2. Для любого угла а справедливы равенства
cos (-а) = cos а,
sin (-а) = - sin а.
(4)
Доказательство. Точка В, соответствующая углу а, и точка Вп
соответствующая углу (—а), симметричны относительно оси Ох
(рис. 88). Поэтому абсциссы этих точек равны, а ординаты — проти-
воположные числа. Следовательно, справедливы равенства (4).
Г Рис. 88
Теорема 2 доказана.
ТЕОРЕМА 3. Для любого угла а и любого целого числа k
справедливы равенства
sin (а + 2л/г) — sin а,
cos (а + 2nfe) = cos а.
(5)
213
Синус и косинус угла
& Рис. 89
Доказательство. Углам а и а + 2nk соответствует одна и та же
точка В (на рисунке 89 k = -1) единичной окружности. Поэтому
справедливы равенства (5).
Теорема 3 доказана.
ПРИМЕР 3.
= sin — = 1;
\2
cos 300° = cos (360° - 60°
= cos — = 0;
б) cos-----Юте
I2
) = cos (-60°) = cos 60° = —;
2
I = sin (-60°) = -sin 60° = -
/3
2
Равенства (1), (4) и (5) являются основными формулами для
sin а и cos ос.
В дальнейшем нам понадобятся еще следующие формулы:
г)
sin 660° = sin (720° - 60°
sin (л + a) = -sin a,
cos (л + a) = - cos a.
(6)
Покажем, что эти равенства справедливы для любого угла а.
Действительно, точка В, соответствующая углу а, и точка Bt,
соответствующая углу a + л, симметричны относительно начала ко-
ординат (рис. 90). Поэтому и абсциссы и ординаты этих точек —
противоположные числа. Следовательно, справедливы равенства (6).
ПРИМЕР 4.
sin — = sin
4
. л
— sin — =
4
б) cos 225° = cos (180° + 45°) = - cos 45° =
в)
г)
sin 240° = sin (180° + 60°) = - sin 60° =
4л
cos — = cos
3
cos — =----.
3 2
§g214
7.48 Запишите основное тригонометрическое тождество.
7.49 ° Назовите наибольшее и наименьшее значения:
a) sin а; б) cos а.
7.50 Запишите основные формулы для sin а и cos а.
7.51
Существует ли такой угол а,
a) sin а = -1, cos а = —;
5
ч . 3 4
в) sin а = cos а = —;
5 5
для которого (7.51—7.52):
•а/2 V2
б) sin а = —, cos а =-----;
2 2
х . 12 5 €
г) sma =------; cos а =----i
13 13
7.52
г)
sin a = — V3;
Vii
sin a =------
б) cos а
д) cos ос
7.53
Может ли
косинус
угла быть равным:
в) sin а = —
е) cos а = -
sin —
х 21
а)-----
37
2
г)
sin —
cos —
Вычислите sin а, если:
X 1 /X
а) cos a = —, 0
a
б) cos
a
Зл
7.55 Вычислите cos a, если:
Я
a) sin a = 0,8, — < a < л;
6) sin a = -0,6, — < a < 2л.
7.56
7.57
7.58
7.59
Упростите выражение (7.56—7.59):
а) 1 - sin2 a; б) 1 - cos2 a; в) sin2 a — 1;
a)
a)
в)
r) cos2 a — 1.
(1 + sin a) (1 - sin a);
cos2 a — sin2 a + 1;
6) (cos a - 1) (1 + cos a);
r) 1 + sin2 a - cos2 a.
1 - sin2 a
_____
cos a
sin2 a
__________ •
1 + cos a
6)
r)
2 i
cos a - 1
. 2 »
sm a
cos2 a
—- 7’
sin a — 1
где угол a такой, что знаменатель не обращается в нуль.
а) 1 - sin2 a - cos2 a;
6) sin4 a - cos4 a;
в) sin4 a - cos4 a - sin2 a + cos2 a;
r) (sin a + cos a)2 + (sin a - cos a)2.
2 i a
ninr и мнчшус угла
7.60
7.61
7.62
7.63
7.64
7.65
7.66
7.67
7.68
7.69
7.70
7.71
Если 0 < а < — и sin а = 1 + /г, то какие значения может при-
нимать &? Определите cos а.
Вычислите:
а) -6 cos
- 2 sin
- 5 sin
4- cos
6) 3sin
- 4 cos
5 sin 7 л + cos (-11л).
Определите знак произведения:
a) sin 157° • sin 275° • sin (-401°) • sin 910° • sin 328°;
6) cos 73° • cos 140° • cos 236° • cos 301° • cos (-384°) • cos 1000°.
Найдите все углы а из интервала (0; 2л), для каждого из кото-
рых справедливо равенство:
а) | sin а | = sin а; б) | cos а | = -cos а.
Расположите в порядке возрастания числа:
a) sin (-55°), sin 600°, sin 1295°;
б) cos 653°, cos (-68°), cos 295°.
Сравните (7.65—7.67):
a) sin 91° и sin 92°;
в) sin 354° и sin 959°;
a) cos 101° и cos 157°;
в) cos 1000° и cos 2000°;
a) cos 1,6л и cos 1,68л;
в) cos 5,1л и cos 5л;
б) sin 195° и sin 200°;
г) sin 734° и sin (-1066°).
б) cos 190° и cos 200°;
г) cos 860° и cos 510°.
б) sin 4,5 и 0;
г) sin 1 и cos 1.
Докажите справедливость равенства:
a) sin (л — а) = sin а; б) cos (л - а) = -cos а;
в) sin (Зл - а) = sin а; г) cos (5л - а) — -cos а.
Упростите выражение:
a) sin (-а + л); б)
в) sin (а + 7л); г)
cos (л - а);
cos (а - 9л).
Вычислите:
a) sin
б) cos
в) sin
Отметьте точки единичной окружности, соответствующие
углам а, для каждого из которых выполняется равенство,
и задайте эти углы формулами (7.71—7.72):
a) sina=l; б) sina = -l; в) sina = 0;
г) cosa=l; д) cosa = -l; е) cos a = 0.
jgg 216
7.72
a) sin a =
sin a =
sin a =
r) sin a — -
sin a = -
sin a —-----
2
7.73
7.74
ж) cos a = —
k) cos a = -
Постройте угол
равен:
а) 0; б) i;
Постройте угол
равен:
a
л)
из
из
cos a =
cos a = -
промежутка —
г)
промежутка О
и)
m)
a
д)
cos a =
cos a = -
синус которого
л , косинус которого
3
1
7.5. Арксинус
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность. Если число а таково, что | а | < 1, то прямая у = а пересе-
кает правую полуокружность единичной окружности в единствен-
ной точке В. При этом вектор ОВ образует с вектором О А единст-
венный угол a
из промежутка
, синус которого равен а
(рис. 91). Этот угол обозначают arcsin а (читают:
«арксинус а»).
* Рис. 92
1 Напомним, что запись «угол а» есть краткая запись слов «угол, радианная
мера которого равна (X радиан».
217
Синус и косинус угла
Слово «арксинус» происходит от греческого слова арх — дуга. Име-
ется в виду дуга окружности, на которую опирается соответствую-
щий центральный угол.
ПРИМЕР 1.
a) arcsin 0 = 0;
V . 1 я
г) arcsin — - —
2 6
б) arcsin 1 = —;
2
на рисунке 92 а = —-
6 7
в) arcsin (—1) =---;
Арксинус числа а (| а | < 1) есть угол а из промежутка
синус которого равен а:
sin а = а.
Подчеркнем, что для любого числа а, такого, что:
1) | а | < 1, существует, и притом единственный, арксинус этого
числа;
2) | a s > 1, арксинус этого числа не существует, поэтому запись
arcsin а для такого а не имеет смысла.
Например, не имеют смысла записи arcsin 2 и arcsin
так
2
Из определения арксинуса следует, что если | а | < 1, то
sin (arcsin а) = а.
Рассмотрим несколько задач, при решении которых использу-
ется понятие арксинуса.
ЗАДАЧА 1. Для данного числа а,
все углы а, для каждого из которых
sin а = а. (1)
такого, что | а | < 1, найдем
Рассмотрим единичную окруж-
ность (рис. 93). Так как ln|< 1, то
прямая у = а пересекает окружность
в двух точках Вт и В2. При этом век-
тор OBj образует с вектором О А угол
а0 = arcsin а, а вектор ОВ2 образует
с вектором О А угол 0О = п - а0 -
= п - arcsin а.
Из определения синуса угла сле-
дует, что sin а0 = а. Очевидно, что все
а Рис. 93
углы, отличающиеся от а0 на любое целое число полных оборотов,
т. е. углы а — а0 + 2лп, где п е Z, удовлетворяют условию (1). Из
определения синуса угла следует, что sin р0 = а. Точно так же все
утлы, отличающиеся от р0 на любое целое число полных оборотов,
т. е. углы а = р0 + 2л/г, где k е Z, также удовлетворяют условию (1).
Легко видеть, что нет других углов а, удовлетворяющих усло-
вию (1).
Ответ, а = arcsin а + 2лп, n g Z; а = л - arcsin а + 2л/г, k е Z.
ПРИМЕР 2. а) Найдем все углы а, для каждого из которых
1
sma = —.
3
Все такие углы задаются формулами
1 1
а = arcsin — + 2лп, n g Z; а = л — arcsin — + 2л/?, k е Z.
3 3 1
б) Найдем все углы а, для каждого из которых sin а = —.
Все такие углы задаются формулами
а = arcsin i + 2лп, п g Z; а = л - arcsin - + 2л/?, k е Z. (2)
Так как arcsin — =
2
л .1 л 5л
—, а л — arcsin — — л----— —,
6 2 6 6
лы (2) можно записать так:
ос = — + 2лп, n g Z; а — — + 2л/?, k g Z.
6 6
то форму-
№ Рис. 94
ЗАДАЧА 2. Найдем все углы а,
для каждого из которых
sin а = 1. (3)
Рассмотрим единичную окружность.
Прямая у = 1 пересекает ее в единст-
венной точке В (рис. 94). При этом
вектор ОВ образует с вектором ОА
71
угол —. Условию (3) удовлетворяют
2
лишь углы а = —I- 2лп, п g Z.
2
Ответ, ос = — + 2лп, п е Z.
2
ЗАДАЧА 3. Найдем все углы а, для каждого из которых
sinoc = -l. (4)
Рассмотрим единичную окружность. Прямая у = — 1 пересекает
ее в единственной точке С (см. рис. 94). При этом вектор ОС образует
219
Синус и косинус угла
с вектором О А угол
. Условию (4) удовлетворяют лишь углы
а =------F 2тсп, п g Z.
2
Ответ, а =-------ь
2
2лп, п е Z.
ЗАДАЧА 4. Найдем все углы а, для каждого из которых
sin а = а (| а | > 1). (5)
Так как | а | > 1, то углов а, удовлетворяющих равенству (5), не
существует.
Ответ. Таких углов не существует.
7.75
Назовите угол из промежутка
а) 1;
б) -1; в) 0;
, синус которого равен:
2
7.76° Что называют арксинусом числа а? Для
ствует arcsin а, для каких нет?
каких чисел а суще-
7.77 Имеет ли смысл
запись:
a) arcsin—;
г) arcsin л;
ж) arcsin
б)
д)
з)
arcsin
в)
е)
arcsin—;
4
arcsin
. V5
arcsin —;
2
и)
arcsin
. 7Г
arcsin —;
3
Вычислите (7.78—7.79):
7.78
sin
arcsin— ;
2
в)
sin
arcsin- :
6)
г)
sin
arcsin
sin arcsin
д) sin (arcsin 0,3);
e) sin (arcsin (-0,3)).
7.79
a) arcsin 1;
r) arcsin —;
6)
Д)
arcsin (-1);
. V2
arcsin —;
2
ж) arcsin
arcsin
в)
e)
и)
arcsin 0;
. л/З
arcsin —;
2
arcsin
Й1 220
7.80
Сравните с нулем:
X -1 • Г 11
a) arcsin б) arcsin — ;
3 к 37
г) arcsin 0,9; д) arcsin (-0,2);
в) arcsin 0,2;
е) arcsin (-0,9).
7.81 С помощью арксинуса выразите все углы из промежутка
[0; л], соответствующие отмеченным точкам на единичной
окружности (рис. 95, а—в).
а)
S Рис. 95
1/1
в)
7.82 Постройте углы
д)
7.83
arcsin
arcsin
arcsin
arcsin
л - arcsin —
л - arcsin —
л - arcsin
л - arcsin
arcsin
arcsin —
Задайте формулами все углы а, для
a) sin а = 1;
1 • 1
г) sina = —;
б)
д)
sin а = -1;
sina =
л - arcsin
л — arcsin —
каждого из которых:
в)
е)
sin а = 0;
sina = —;
2
ж) sina = -
3)
sina = -
и)
sina = -
ч . 5
к) sina = —;
л)
sina = -
м)
3
1
sina = —.
6
3
221
Синус и косинус угла
7,6, Арккосинус
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность. Если число а таково, что | а | 1, то прямая х = а пересекает
ее верхнюю полуокружность в единственной точке В. При этом
вектор ОВ образует с вектором О А единственный угол а из проме-
жутка [0; л], косинус которого равен а (рис. 96). Этот угол обозна-
чают arccos а (читают: «арккосинус а»).
ПРИМЕР 1.
a) arccos 1 =
0;
б) arccos 0 =
в) arccos (-1) = л;
г) arccos — =
на рисунке 97 а = —
Арккосинус числа а (| а | 1) есть угол а из промежутка [0; л],
косинус которого равен а:
cos а = а.
Подчеркнем, что для любого числа а, такого, что:
1) |а|^1, существует, и притом единственный, арккосинус
этого числа;
2) | а | > 1, арккосинус этого числа не существует, поэтому
запись arccos а для такого а не имеет смысла.
Например, не имеют смысла записи arccos л и arccos (-4), так
как л > 1 и -4 < -1.
Из определения арккосинуса следует, что если | а | < 1, то
cos (arccos а) = а.
Рассмотрим несколько задач, при решении которых использу-
ется понятие арккосинуса.
gg222
fi Рис» 98
ЗАДАЧА 1. Для данного чис-
ла а, такого, что | а | < 1, найдем все
углы а, для каждого из которых
cos а = а. (1)
Рассмотрим единичную окруж-
ность (рис. 98). Так как | а | < 1, то пря-
мая х = а пересекает окружность в двух
точках: Вг и В2. При этом векторы
ОВ1 и ОВ2 образуют с вектором О А
углы а0 = arccos а и р0 = —arccos а.
Из определения косинуса угла
следует, что cos а0 = а и cos ро = а.
Очевидно, что все углы, отличаю-
щиеся от а0 на любое целое число полных оборотов, т. е. углы, рав-
ные а = а0 + 2лп, где 7t е Z, удовлетворяют условию (1). Точно так
же все углы, отличающиеся от р0 на любое целое число полных обо-
ротов, т. е. углы а = р0 + 2тг&, где keZ, также удовлетворяют усло-
вию (1). Легко видеть, что нет других углов а, удовлетворяющих
условию (1).
Ответ, а = arccos а + 2лп, п е Я; а = -arccos а + 2nk, keZ.
ПРИМЕР 2.
а) Найдем все углы а, для каждого из которых cos а = —.
Все такие углы задаются формулами §
а = arccos —F 2tctz, n е Z; а = —arccos — + 2itk, k e Z.
5 5
б) Найдем все углы а, для каждого из которых cos а = -
Все такие углы задаются формулами
а = arccos
+ 2тсп, n е Z;
4
(2)
Так как arccos
Зл
то формулы (2) можно записать так:
а = — + 2лп, и е Z; а = —— + 2itk, k е Z.
4 4
ЗАДАЧА 2. Найдем все углы а, для каждого из которых
cos а = 1. (3)
Рассмотрим единичную окружность (рис. 99). Прямая х = 1 пе-
ресекает ее в точке В, совпадающей с точкой А. Поэтому угол а0
между векторами ОВ и ОА равен 0, т. е. а0 = arccos 1 = 0.
223
Синус и косинус угла
Условию (3) удовлетворяют лишь
углы а = 0 + 2лп = 2лп, п е Z.
Ответ, а = 2лп, п е Z.
2лп, п g Z.
ЗАДАЧА 3. Найдем все углы а
для каждого из которых
cos а = -1.
а0 = arccos (-1) = тс.
(4)
Рассмотрим единичную окруж-
ность (см. рис. 99). Прямая х = — 1
пересекает ее в точке С, поэтому
угол а0 между векторами ОС и О А
равен л, т. е. осо = arccos (—1) = л.
Условию (4) удовлетворяют лишь углы а = л
Ответ, а = л + 2лп, п е Z.
ЗАДАЧА 4. Найдем все углы а, для каждого из которых
cos а = а (| а | > 1). (5)
Так как |а|> 1, то углов а, удовлетворяющих равенству (5),
не существует.
Ответ. Таких углов не существует.
7.84
Назовите угол из промежутка [0; л], косинус которого равен:
7.85
7.86
a) 1; б) -1; в) 0; г) д) ——; е) ——.
Z Z
Что называют арккосинусом числа а? Для каких а существует
arccos а, для каких нет?
Имеет ли смысл
a) arccos —;
запись:
г) arccos л;
Д)
arccos
arccos
ж) arccos
arccos
и)
arccos
arccos —;
3
arccos —;
4
Вычислите (7.87—7.88):
7.87
а)
cos
arccos — ;
2 1
cos
arccos
2
в)
cos
arccos — ;
cos
arccos
Д)
cos (arccos 0,7);
cos (arccos (-0,7)).
224
7.88
a) arccos 1;
7.89
7.90
г) arccos —;
ж) arccos
arccos
arccos (-1);
л/2
arccos —;
2
и)
в)
arccos
arccos 0;
arccos
Сравните с числом 0,5л::
\ 1
a) arccos —; б) arccos
4
г)
arccos
д) arccos 1;
в) arccos —;
7
е) arccos (— 1).
С помощью арккосинуса выразите
углы из промежутка
соответствующие отмеченным точкам на единичной
окружности (рис. 100, а—в).
УЬ
а)
Рис. 100
1/1
б)
Постройте углы (7.91—7.92)
7.91 а)
arccos
—arccos —
arccos
У
-arccos —
4
arccos
—arccos —
г)
arccos
-arccos —
7.92 a)
arccos
—arccos
arccos
- arccos
в)
arccos
, -arccos
r)
arccos
—arccos
225
Синус и косинус угла
cos а = —1;
7.93 Задайте формулами все углы а, для
a) cos а = 1;
каждого из которых:
в) cos а = 0;
г) cos а = —;
2
ж) cos а = —
Д)
cos а = —
V2
cos a =-----
ч V3
е) cos а = —;
2
] г
и) cos а = —-
2
ч 3
к) cos а = —
л)
cos а = —
3
м) cos а = —
6
7.7*. Примеры
использования
арксинуса и арккосинуса
Рассмотрим несколько задач, при решении которых использу-
ется арксинус или арккосинус.
ЗАДАЧА 1. Найдем все углы а, для каждого из которых
1 /14
sma > —. (1)
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность,
тт 1
Прямая у = — пересекает ее в точках
*4
В1 и В2, соответствующих углам а0= —
и р0 = — (рис. 101). При этом sin — =
6 6
5л 1
— sin----= —.
u Рис. 101
Пусть а — любой угол из промежутка
л 5л
(2)
Углу а соответствует точка В единичной окружности. Очевидно
что точка В лежит выше прямой у = —, поэтому ее ордината больше
чем —. Это означает, что sin а > — для любого угла а из промежутка (2).
Пусть точка С соответствует углу а из промежутка
5л « . л
(3)
8—Никольский, 10 кл.
*£226
тогда точка С лежит ниже прямой у — —. Это означает, что sina < —
для любого угла а из промежутка (3). 2
Из сказанного выше следует, что на промежутке длиной 2п от —
it ®
до 2л + — неравенству (1) удовлетворяют лишь углы а из промежут-
ка (2) и, кроме них, на промежутке от — до 2л + — нет других углов,
6 6
удовлетворяющих неравенству (1).
Очевидно, что если неравенству (1) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (2), то этому неравенству удовлетворяет и лю-
бой угол, отличающийся от а на 2лп, где п е Z. Это означает, что
неравенству (1) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного мно-
жества промежутков ~ + 2лп < a < + 2лп, n е 2, и, кроме них,
нет других углов, удовлетворяющих неравенству (1).
Ответ. — + 2лп < a < — + 2лп, п е Z,
6 6
УЬ
Рис. 102
(4)
ЗАДАЧА 2. Найдем все углы а
для каждого из которых
2
sina < —
3
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность.
2
Прямая у = — пересекает ее в точ-
3
ках Вг и В2» соответствующих углам
л - arcsin
о “
a0= arcsin
(рис. 102).
1, получим, что на промежутке длиной
2л от а0 до 2л + а0 неравенству (4) удовлетворяет любой угол а из
промежутка
Рассуждая, как в задаче
р0 < a < 2л + а0
(5)
и, кроме них, на промежутке от а0 до 2л + а0 нет других углов,
удовлетворяющих неравенству (4).
Очевидно, что если неравенству (4) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (5), то этому неравенству удовлетворяет и лю-
бой угол, отличающийся от а на 2лп, где п е Z. Это означает, что
неравенству (4) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного мно-
жества промежутков Ро + 2лп < a < 2л + а0 + 2лп, n g Z, и, кроме
них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (4).
Ответ, л — arcsin
2
+ 2лп, п g Z,
3
227
Синус и косинус угла
Рис. 103
ЗАДАЧА 3. Для данного числа а, такого, что | а | < 1, найдем
все углы а, для каждого из которых:
a) sin а > а; (6)
б) sin а < а. (7)
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность.
Прямая у = а пересекает ее в точ-
ках Вх и В2, соответствующих углам
а0 = arcsin а и р0 = л - arcsin а (на ри-
сунке 103 0 < а < 1).
Рассуждая, как в задачах 1 и 2,
получим:
а) Неравенству (6) удовлетворяют
лишь углы а из бесконечного множе-
ства промежутков
а0 + 2пп < а < 0О + 2лп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (6).
б) Неравенству (7) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного
множества промежутков
р0 + 2пп < а < 2л 4- а0 + 2лп, п е Zt
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (6).
Ответ, a) arcsin а 4- 2лп < а < л - arcsin а 4- 2лп, п е Z;
б) л - arcsin а 4- 2лп < а < 2л 4- arcsin а 4- 2лп, п е Z.
Заметим, что ответы задачи 3 включают ответы задачи 1
г 1( 2^
в случае а) при а — — и задачи 2 в случае б) при а = — .
ЗАДАЧА 4. Найдем все углы а, для каждого из которых
1
cos а > —.
2
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность.
„ 1
Прямая х = — пересекает ее в точках
Вх иВ2, соответствующих углам а0= —
3
и Ро= (рис. 104). При этом
cos — = cos
3
(8)
3
228
Пусть а — любой угол из промежутка
— < а < —.
(9)
Углу а соответствует точка В единичной окружности. Очевидно,
что точка В лежит правее прямой х = —, поэтому ее абсцисса больше
1 1
чем —. Это означает, что cos а > — для любого угла а из промежутка (9).
Пусть точка С соответствует углу а из промежутка
3
(Ю)
тогда точка С лежит левее прямой х = —, поэтому ее абсцисса мень-
ше чем —. Это означает, что cos а < — для любого угла а из проме-
жутка (10).
Из сказанного выше следует, что на промежутке длиной 2л от
неравенству (8) удовлетворяют лишь углы а из
промежутка (9) и, кроме них, на промежутке от-до 2л +
нет других углов, удовлетворяющих неравенству (8).
Очевидно, что если неравенству (8) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (9), то этому неравенству удовлетворяет и лю-
бой угол, отличающийся от а на 2лп, где п е Z. Это означает, что
неравенству (8) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного мно-
жества промежутков-----1- 2лп < а < —н 2лп, n g Z, и, кроме них,
3 3
нет других углов, удовлетворяющих неравенству (8).
Ответ. + 2лп < а < — + 2лп, п g Z.
3 3
ЗАДАЧА 5. Найдем все углы а, для каждого из которых
cos а < -0,3.
(И)
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность. Прямая х = -0,3 пересекает ее в точках Вг и В2, соответству-
ющих углам осо = arccos (-0,3) и р0 = -а0 = -arccos (-0,3) (рис. 105).
Рассуждая, как в задаче 4, получим, что на промежутке длиной
2л от -а0 до 2л + (~а0) неравенству (11) удовлетворяет любой угол а
из промежутка
осо < а < 2л - а0 (12)
229
Синус к косинус уела
Рис. 105
и, кроме них, на промежутке от -а0 до 2л + (-а0) нет других углов,
удовлетворяющих неравенству (11).
Очевидно, что если неравенству (11) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (12), то этому неравенству удовлетворяет и
любой угол, отличающийся от а на 2лп, где п е Z. Это означает, что
неравенству (11) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного мно-
жества промежутков а0 + 2лп < а < 2л - а0 + 2лп, п е Z, и, кроме
них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (11).
Ответ, arccos (-0,3) + 2лп < а < 2л - arccos (-0,3) + 2лп, п е И.
ЗАДАЧА 6. Для данного числа а, такого, что |а| < 1, найдем
все углы а, для каждого из которых:
a) cos а > а;
б) cos а < а.
(13)
(14)
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность. Прямая х = а пересекает ее в точках Вг и В2, соответствую-
щих углам а0 = arccos а и р0 = -а0 = -arccos а (рис. 106).
Рассуждая, как в задачах 4 и 5, получим:
а) Неравенству (13) удовлетворяют лишь углы а из бесконечно-
го множества промежутков
-а0 + 2лп < а < а0 + 2лп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (13).
б) Неравенству (14) удовлетворяют лишь углы а из бесконечно-
го множества промежутков
и
arccos а + 2лп, neZ;
кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (14).
Ответ, a) -arccos а
б) arccos а + 2лп <
Заметим, что ответы задачи 6 включают ответы задачи 4
случае а) при а = —
в
и задачи 5 (в случае б) при а = -0,3).
и£230
7.94 Задайте с помощью неравенств все углы а, которым соответст-
вуют выделенные точки единичной окружности (рис. 107,
а—з). Определите, какой из этих рисунков соответствует не-
равенству:
1) sin а > О; 2) sin а < 0;
Найдите все такие углы а, для каждого из которых (7.95—7.98):
б)
sin а
д)
sin а
sin а
2*
и)
к)
sin а
/2
2 ’
л)
sin а
м)
7.96 а)
cos а
б)
cos а
2*
cos а
cos а
Д)
cos а
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
3
231
Синус и косинус угла
ж) cos а > —;
2
к) cos а
7.97
ж) cos а > -0,8;
V 1
з) cos а < —;
2
1 &
л) cos а >------;
2
б) sin а < —;
4
д) cos а > 0,2;
з) cos а < -0,8.
и)
м)
7.98 a) sin а < 1; б)
д) sin а > 1; е)
sin а > -1;
sin а < -1,1;
V2
cos а >-----;
2
2
sina > —;
5
е) cos а < 0,2;
в) cos а < 1;
ж) cos а > 2;
г) cos а > -1;
з) cos а <-1,5.
7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса
Для любого числа а, такого, что |а| <1, справедливо равенство
arcsin (-а) = -arcsin а. (1)
Действительно, пусть а = arcsin а, тогда а g
и sin а = а.
Так как по свойству синуса угла sin (-а) = -sin а, то sin (—а) = -а.
Так как
-а | — | а | < 1 и -a g
то по определению арк-
синуса числа имеем -а = arcsin (-а).
Следовательно, arcsin (-а) = —arcsin а, т. е. справедливо равен-
ство (1).
Для любого числа а, такого, что | а 1, справедливо равенство
arccos (-а) = л - arccos а. (2)
Действительно, пусть а = arccos а, тогда а g [0; л] и cos а = а.
Так как по свойству косинуса угла cos (л - а) = -cos а, то cos (л - а) = -а.
Так как | — а | = | а | < 1 и л - a g [0; л], то по определению аркко-
синуса числа имеем arccos (-а) = л - а.
Следовательно, arccos (-а) = л - arccos а, т. е. справедливо ра-
венство (2).
ПРИМЕР 1.
a) arcsin
б) arcsin
l^l .1л
— = -arcsin — = —;
2) 2 6
J2\ . V2 л
— = -arcsin — = —;
2 ) 2 4
232
в) arccos
г) arccos
= л — arccos — = п-----
2 3
V2
л - arccos
Для любого угла a g
2л
3
Зп
3-
справедливо равенство
«. .via - »•. .»
2
2
4
arcsin (sin а) = а
(3)
Равенство (3) следует из определения арксинуса числа.
ПРИМЕР 2.
Вычислим arcsin
sin
Так как —
то arcsin
sin
2
6
ПРИМЕР 3
. 13л
Вычислим arcsin sm---
тт 13л
Поскольку ---
2
13л
лу (3). Но так как sin------------
arcsin
. 13л
sm-----
6
= arcsin
sin —
то нельзя сразу применить
= sin — и — е
форму-
то
2
•• . ? > V .F35 - Л <1 i Т j л * Т Н ' 1 ' л С’ •* И В < i.» 21 А *’ /
Для любого угла a g [0; л] справедливо равенство
arccos (cos а) = а.
(4)
Равенство (4) следует из определения арккосинуса числа.
ПРИМЕР 4. Вычислим arccos (cos -Ул").
Так как >/л g [0; л], то arccos (cos VtT) = VtT.
ПРИМЕР 5. Вычислим arccos (cos (—6)).
Так как —6 £ [0; л], то нельзя сразу применить формулу (4). Но
так как cos (-6) = cos (2л - 6), то arccos (cos (-6)) = arccos (cos (2л - 6)).
Так как 2л - 6 g [0; л], то arccos (cos (2л - 6)) = 2л - 6.
Следовательно, arccos (cos (—6)) = 2л — 6.
233
Тангенс к котангенс угла
7.99
7.100
Запишите формулы для арксинуса и арккосинуса.
Выразите через арксинус положительного числа:
a) arcsin (-0,1);
б) arcsin (—0,2);
в) arcsin (-0,9);
7.101
г) arcsin (3 - я);
д) arcsin
е) arcsin
Выразите через арккосинус положительного числа:
a) arccos (-0,1);
б) arccos (-0,2);
arccos (—0,9);
г) arccos (3 - л);
д) arccos
arccos
4
4
Вычислите (7.102—7.104):
7.102
arcsin
arccos
/2
2
Д)
arccos
arcsin
e)
7.103
arcsin
sin — ;
3
arccos
cos
Д)
7.104
arcsin
arccos
arcsin sin
arcsin
. 5л
sm —
ж) arcsin sin
arccos
cos
r)
5л
arcsin (sin 9);
arccos (cos (-8));
Д)
arccos
arccos
arccos
cos
5л
cos —
cos
5л
arccos (cos 9);
arcsin (sin (-3));
/2
2
в) arcsin (sin (-8));
e) arccos (cos (-3)).
2
2
Тангенс к котангенс угла
Определение тангенса и котангенса угла
Число, равное отношению sin а к cos а, называют тангенсом
угла а и обозначают tga, т. е.
sin а
cos а
234
Тангенс угла а определен для всех углов а, за исключением тех,
для которых cos а = 0. Поэтому в определении tg а исключаются все
углы
а = — + л/г, (1)
2
что для любого угла а, не совпадаю-
тангенс этого угла существует, и при-
где k — любое целое число.
Из определения следует,
щего ни с одним из углов (1)
том единственный. Поэтому часто говорят, что tg а есть функция
угла а.
Число, равное отношению cos а к sin а, называют котангенсом
угла а и обозначают ctga, т. е. •'<
•i - : riri»* it ‘ a cosa it L
ctg a =------.
sin a
Котангенс угла a определен для всех углов а, за исключением
тех, для которых sin a = 0. Поэтому в определении ctg а исключа-
ются все углы
a = л/г, (2)
где k — любое целое число.
Из определения следует, что для любого угла а, не совпадающе-
го ни с одним из углов (2), котангенс этого угла существует, и при-
том единственный. Поэтому часто говорят, что ctg а есть функция
угла а.
ПРИМЕР.
г) ctg 60° =
в) tg45°= sin45° = 1;
cos 45°
cos 60°
sin 60°
Тангенс угла — не существует, потому что cos — = 0, но сущест-
2 2
л
2*
вует котангенс угла
л
cos—
2
. л
sin—
2
Ш235
Тангенс и котангенс угла
Для угла 0°, наоборот, не существует котангенс, потому что
sin 0° = 0, но существует тангенс:
tg 0° =
sinO°
cosO°
О
1
Пусть на координатной плоскости хОу дана единичная окруж-
ность и прямая х ~ 1, касающаяся этой окружности в точке А —
конце единичного вектора оси Ох. На прямой х = 1 зададим коорди-
натную ось с тем же положительным направлением и таким же
единичным отрезком, что и на оси Оу, и начальной точкой А
(рис. 108). Назовем новую ось осью тангенсов.
Пусть дан угол а и пусть точка В единичной окружности —
точка, соответствующая углу а. Прямая ОВ пересекает ось танген-
сов в точке D. Докажем, что tg а равен координате точки D на оси
тангенсов.
Действительно, опустим из точки В перпендикуляр на ось Ох.
Получим подобные треугольники ОВС и ODA. Из подобия треуголь-
ВС AD m л
ников следует справедливость равенства — =-----. Так как О А — 1,
то из этого равенства следует справедливость равенства
AD = —
ОС
Если точка В находится в первой четверти (см. рис. 108) или
в третьей четверти (рис. 109), то в обоих случаях точка D находится
выше оси Ох и ее координата на оси тангенсов равна AD. Но в пер-
вом случае ВС = sin а, ОС = cos а и
л тч ВС sina ,
AD = — ---------- tg а,
ОС cos а
а во втором случае ВС = -sin а, ОС = -cos а и
А г, ВС — sin а .
AD = — =--------= tg а.
ОС — cos а
!/♦ I УЬ
Рис. 108
Рис. 109
. 236
:s гГ:
Рис. 110
3 Рис. 111
Если же точка В находится во второй четверти (рис. 110) или
в четвертой четверти (рис. 111), то в обоих случаях точка D нахо-
дится ниже оси Ох и ее координата на оси тангенсов равна -AD. Но
в первом случае ВС = sin а, ОС = -cos а и
л ВС sin а ,
AD = — =-------------= - tg а
ОС - cos а
а во втором случае ВС = -sin а, ОС = cos а и
л ВС - sin а .
AD — — =-----------= -tg а.
ОС cos а
Наконец, при а = 0 или а = л точка В совпадает с точкой
А (1; 0) или с точкой С (-1; 0) (рис. 112), и в обоих случаях точка D
совпадает с точкой А и ее координата на оси тангенсов равна нулю
и равна tg a: AD = 0 = tg а.
Тем самым во всех случаях доказано, что tg а равен координате
точки D на оси тангенсов.
Из доказанного утверждения следует справедливость следую-
щих свойств tg а:
Тангенс существует для любого
угла а, кроме тех, для которых соот-
ветствующие им точки В единичной
окружности лежат на оси Оу (соот-
ветствующие им прямые ОВ не пере-
секают ось тангенсов).
Для углов из интервала
справедливо свойство: малому изме-
нению угла соответствует малое изме-
нение координаты соответствующей
точки оси тангенсов, т. е. малому
И Рис. 112
237
Тангенс и котангенс угла
изменению угла соответствует малое
изменение тангенса (рис. 113).
Тангенс может принимать лю-
бые значения от -оо до +оо.
Для любых углов и а2, таких,
п п
справедливо не-
равенство tg otj < tg а2 (см. рис. 113).
Последнее свойство означает, что
функция tg а на интервале ” Т» Т
возрастает.
Пусть теперь на координатной плоскости хОу даны единичная
окружность и прямая у = 1, касающаяся этой окружности в точке
М — конце единичного вектора оси Оу, На прямой у = 1 зададим
координатную ось с тем же положительным направлением и таким
же единичным отрезком, что и на оси Ох, и начальной точкой М
(рис. 114). Назовем новую ось осью котангенсов.
Пусть дан угол а и пусть точка В единичной окружности —
точка, соответствующая углу а. Прямая ОВ пересекает ось котан-
генсов в точке D (см. рис. 114). Можно доказать, что ctg а равен ко-
ординате точки D на оси котангенсов (доказательство аналогично
доказательству подобного утверждения для тангенсов).
Из этого утверждения следует справедливость следующих
свойств ctg а:
Котангенс существует для любого угла а, кроме тех, для кото-
рых соответствующие им точки В единичной окружности лежат на
оси Ох (соответствующие им прямые ОВ не пересекают ось котан-
генсов).
Для углов из интервала (О; л) справедливо свойство: малому
изменению угла соответствует малое изменение координаты соот-
Рис. 114
2 Рис. 115
238
ветствующей точки оси котангенсов, т. е. малому изменению угла
соответствует малое изменение котангенса (рис. 115).
Котангенс может принимать любые значения от —оо до +оо.
Для любых углов ах и а2, таких, что 0 < 04 < а2 < л, справедли-
во неравенство ctgax > ctga2 (см. рис. 115).
Последнее свойство означает, что функция ctg а на интервале
(0; л) убывает.
8.1 ° Что называют: тангенсом угла а; котангенсом угла а?
8.2 Для каких углов а не существует: а) tg a; б) ctg a?
8.3 а) Если для угла а существует tg а, то единственный ли он?
б) Если для угла а существует ctg а, то единственный ли он?
Вычислите (8.4—8.6):
8.4 а) tgO; б) tg30°; в) tgг) tg60°;
4
д) ctg е) ctg 45°; ж) ctg з) ctg 90°.
6 3
8.5 а) tg 0° + ctg 45° - tg 45° + ctg 30°;
i 7C i 7C j 7C j 7C
6) ctg - - tg - + ctg - - tg -.
2 3 4 6
8.6 a) tg 180°;
Д) ctg (-45°);
в) ctg 270°;
ж) ctg 135°;
r) tg(-rc);
з) ctg
8.7 Какие знаки имеют тангенс и котангенс утла а, если точка
единичной окружности, соответствующая углу а, расположе-
на: в I четверти; во II четверти; в III четверти; в IV четверти?
8.8° а) Объясните, как можно определить tg а с помощью оси тан-
генсов.
б) Для каких углов а существует tg a?
в) Какие значения может принимать tg a?
8.9 Отметьте на оси тангенсов точки, соответствующие числам:
соответствующие
каждого из которых выполняется равенство
Отметьте точки единичной окружности
углам а, для
(8.10—8.11):
8.10 а) tga=l;
г) tg a = 4;
б) tg a = 2;
д) tg a = i;
239
Тангенс и котангенс угла
8.11 a) tga = -l; б) tga = -2; в) tga = -3;
г) tg a = -4; д) tg a = -i; e) tg a =
Л о
8.12° а)
Объясните, как можно определить ctg а с помощью оси ко-
тангенсов .
б) Для каких углов а существует ctg a?
в) Какие значения может принимать ctg a?
8.13 Отметьте на оси котангенсов точки, соответствующие числам:
0; 1; -1; 2; -2; VS; -л/З; -Д
3 3
Отметьте точки единичной окружности, соответствующие
углам а, для каждого из которых выполняется равенство
8.14
8.15
8.16
(8.14—8.15):
а) ctg a = 1; б)
г) ctg a = 4; д)
а) ctga = -l; б)
г) ctg a =-4; д)
Сравните:
а) tg 60° и tg 30°;
г) ctg — и ctg
4 3
ж) ctg 1 и ctg 2;
ctg a = 2; в) ctg a
ctg a = e) ctg a
ctg a = -2; в) ctg a
ctg a = e) ctg a
6) ctg 60° и ctg 30°;
д) tg 1 и tg 2;
з) ctg 2 и ctg 3;
3;
1
““ •
3
-3;
1
3
в) tg - и tg
4 3
e) tg 2 и tg 3;
и) tg 1 и ctg 2.
8.2. Основные формулы для tg a и ctg a
Основными
ормулами для tg a являются следующие фор-
ч.
мулы:
* * - —
tg(-a)--tga,
tg (a + лп) = tg a,
(1)
(2)
где n любое целое число.
Конечно, эти равенства верны только для таких углов а, для
которых имеют смысл правые и левые части.
Для любых углов а, для которых существует tg а, т. е. для
углов, отличных от углов а = ~ + nk, где k — любое целое число,
имеет смысл и tg (-а), и tg (а + лп).
Покажем справедливость равенств (1) и (2) для любого такого
угла а. Используя формулы для cos а и sin а, имеем
, , ч sin (-a) -sinа .
tg (-а) =---;—; =-------= - tg а.
cos (-a) cos а
240
Если n — четное число, т. е. п = 21, где I — целое число, то
, , , ч , , , о sin (а + 2к1) sin а , ~
tg (а + лп) = tg (а + 2п1) =----*------ =-------= tg а.
cos (а + 2nl) cos а
Если п — нечетное число, т. е. п = 21 + 1, где I е Z, то
, . х А z л lx sin (а + л + 2nZ) sin (а + л)
tg (а + лп) = tg (а + л + 2л/) =---------------- =----------- =
cos (а + л + 2л/) cos (а + л)
— cos а
Итак, равенство (2) доказано для любого целого числа п.
ПРИМЕР 1.
Основными формулами для ctg а являются следующие фор-
мулы: * ' 1^- - ь
> > ctg (-а) = -ctg а, U-m (3)
ctg (а + лп) = ctg а, (4)
где п — любое целое число.
Конечно, эти равенства верны только для таких углов а, для
которых имеют смысл правые и левые их части.
Для любых углов а, для которых существует ctg а, т. е. для уг-
лов, отличных от углов а = nk, где k — любое целое число, имеет
смысл и ctg (-а), и ctg (а + лп). Доказательство справедливости ра-
венств (3) и (4) для любого такого угла а аналогично доказательству
равенств (1) и (2).
ПРИМЕР 2.
а)
в)
г)
S 241
—i____
Тангенс и котангенс угла
Кроме основных формул, приведем еще несколько формул для
тангенса и котангенса.
Из определения тангенса и котангенса угла а следует справед-
ливость равенства
tg а • ctg а = 1 (5)
для всех углов а, для каждого из которых существует одновременно
и tg а и ctg а.
Левая часть равенства (5) существует для всех углов, за исклю-
чением тех, для которых или sin а = 0, или cos а = 0, поэтому фор-
мула (5) справедлива для всех углов
Докажем, что для всех углов а & — + л/г, k е Z, выполняется
равенство
, 2 , 1
tg а + 1 =---г~.
cos а
Действительно, используя определение тангенса и основное
тригонометрическое тождество, имеем
.2 1 sin2 а - sin2 а + cos2 а I
tg а +1 = —— + 1 =---------------= ——.
cos а cos а cos а
Аналогично доказывается, что для всех углов а n/г, k g Z,
справедливо равенство
ctg2 а + 1 = > 1 -.
sin а
8.17 а) Назовите основные формулы для tg а; для ctg а. Для каких
углов а они справедливы?
б) Для каких углов а справедливо равенство tg a ctg а =1?
Упростите выражение1 (8.18—8.20):
8.18 а)
tg (а 4- л) - tg (Р + 2л).
ctg (-р) - ctg (-а)
ctg (л - а) + tg (-а)
ctg (а + Зл) - tg (а 4- 2л)
8.19
sin (2л - а) sin (а - л) cos (а - 2л).
cos (2л - а) ctg (л - а) tg (Зл - а)
sin (л 4- а) sin (а - л) cos (2л - а) tg (Зл - а)
cos (л - а) cos (а - 5л) cos (2л 4- а) tg (-а - л)
1В заданиях 8.18—8.20 и 8.23—8.26 углы а и Р таковы, что данные числовые
выражения имеют смысл.
242
I иШ
8.20
1 - cos4 g — sin4 g
„’4 Q I 1
sm g — 2sin g + 1
6)
cos3 g - sin3 g
1 + sin g cos g
8.21 Определите знак выражения:
a) tg 71° tg 139° tg 235° tg 304° tg (-393°) tg 1000°;
6) ctg 282° ctg (-401°) ctg (-910°) ctg 140° ctg 240°;
в) cos 1 sin 3 tg 4 ctg 5 tg 2 tg 6;
r) tg 1,5 ctg 4,5 tg (-3,1) ctg (-3,1);
. sin 6 + cos (-4) o . sin (-8) + cos 9
AJ tg (-2) ctg (-4) ’ 6 coslltg(-9) *
8.22
Вычислите:
a) sin a, tg а и ctg a,
6) cos a, tg a и ctg a,
в) sin a, tg a и ctg a,
r) cos a, tg a и ctg a,
Л П 6
если 0 < a < — и cos a = —;
2 5
л . 1
если — < a < n и sin a = —;
2 2
Зл Л «
если n < a < — и cos a = -0,6;
2
если — < a < 2л и sin a = -0,8;
2
71
д) sin a, cos a и ctg a, если 0 < a < — и tga = 2,4;
e)
cos a,
sin a и tg a, если —
a < п и ctg a = -1;
ж) sin a, если — < a < 0 и tg a =-----
12
— и ctg a = 1.
з) cos a, если л
Упростите выражение (8.23—8.25):
8.23
а)
1 — cos2 g
1 - sin2 g ’
6)
sin2 g - 1
1 2 ’
1 - cos g
в)
2 sin g cos g
i *2 ’
1 - sin g
cos2 g
д) sin2 a + cos2 a + ctg2 a;
ж)
sin g sin p .
cos g cos p ’
sin2 g
cos g sin p
sin g cos p
8.24 a) sin P ctg p;
в) sin P : tg P;
д) cos2 a (1 + tg2a);
ж) . tga-Htg p;
ctg g + ctg p
6) tg a : ctg a;
r) cos a tg a;
e) 1 — sin2 a + ctg2 a sin2 a;
4 cos2 g - ctg2 g
• 2 x 2 *
sm g - tg g
243
Тангенс и котангенс угла
опк \ 1 - sm2 а . . , ~ч tg а
8.25 а) —----+ tg а ctg а; б) -------------т—;
1 - cos а tg а ctg а + tg а
в) sin2 р + tg2 Р--; г) —---------------ctg2 а - cos2 а.
cos р sin а
8.26 Докажите справедливость равенства:
ч 1 - cos а , 1 + cos а п / -• . х ,2ч
а) т---:— + ----:— = 2 (1 + tg а + tgz а);
1 + sm а 1 - sm а
1-sina , 1+sina о Z1 , , _ , ,2 ч
б) ------+ --------= 2 (1 + ctg а + ctg* а).
1 + cos а 1 - cos а
8.27 Вычислите:
a) tg (-80°) + tg (-70°) + tg (-60°) + ... + tg 60° + tg 70° + tg 80°;
6) ctg (-90°) + ctg (—70°) + ctg (-50°) + ... + ctg 50° + ctg 70° +
+ ctg 90°;
в) tg (-80°) tg (-70°) tg (-60°) • ... • tg 60° tg 70° tg 80°;
r) ctg 10° ctg 20° ctg 30° • ... • ctg 160° ctg 170°.
Отметьте точки единичной окружности, соответствующие
углам а, для каждого из которых выполняется равенство,
и задайте эти углы формулой (8.28—8.29):
8.28
8.29
а) tg a = 0;
в) tga = -l;
д) ctga= 1;
б) tga = 1;
г) ctg a = 0;
е) ctg a = -1.
д) ctg a = VS;
а) tg a =
ж) ctg a =
e) ctg a = -л/З;
8.3. Арктангенс
Рассмотрим на координатной
плоскости хОу единичную окруж-
ность и ось тангенсов. Для любого
действительного числа а прямая
у = а пересекает ось тангенсов в
единственной точке D (рис. 116).
Прямая OD пересекает правую
полуокружность в единственной точ-
ке В. При этом вектор О В образует с
вектором ОА единственный угол a
а Рис. 116
244
из промежутка
тангенс ко-
торого равен а (см. рис. 116). Этот
угол обозначают arctg а (читают:
«арктангенс а»).
ПРИМЕР 1.
a) arctg 0 = 0;
б) arctg 1 = —;
4
в) arctg (-1) —
4
(рис. 117).
Арктангенс числа а есть угол а из промежутка —;
гене которого равен а: \ 2
tga = а.
тан-
II одчеркнем, что для любого числа а существует, и притом
единственный, арктангенс этого числа. Из определения арктангенса
следует, что для любого числа а
tg (arctg а) = а.
ЗАДАЧА. Для данного числа a g R найдем все углы а, для
каждого из которых
tg а = a. (1)
Рассмотрим единичную окружность и ось тангенсов. Прямая
у = а пересекает ось тангенсов в единственной точке Dt а прямая OD
пересекает единичную окружность в двух точках: BY и В2 (рис. 118).
При этом вектор ОВХ образует с вектором О А угол a0 = arctg а,
а вектор ОВ2 образует с вектором О А угол 0О = л + а0. Углы а0 и р0
удовлетворяют условию (1). Очевидно,
что все углы а — а0 + 2nk, где k е Z,
и все углы а = р0 + 2лт, где т е Z,
также удовлетворяют условию (1).
Других углов, удовлетворяющих
условию (1), нет. Очевидно, что все
эти углы можно задать одной фор-
мулой :
а = arctg а + лп, п е Z.
Рис. 118
Ответ, а = arctg а + лп, п g Z,
Тангенс и котангенс угла
Ш' 245
-•у» v
ПРИМЕР 2. Найдем все углы а, для каждого из которых
tg а = 2.
Все такие углы а задаются формулой
а = arctg 2 + лп, п е Z.
ПРИМЕР 3. Найдем все углы а, для каждого из которых
Все такие углы а задаются формулой
а = arctg v3 + лп, п е Z. (2)
Так как arctg 7з = —, то формулу (2) можно записать так:
3
Л
а = — + лп, п е Z.
3
ПРИМЕР 4. Найдем все углы а, для каждого из которых
tg а = 0.
Все такие углы задаются формулой
а = arctg 0 + лп, п е Z.
Так как arctg 0 = 0, то формулу (4) можно записать так:
а = лп, п g Z.
(3)
(4)
(5)
Подчеркнем, что условию (3) удовлетворяют лишь углы, задан-
ные формулой (5), и никаких других углов, удовлетворяющих усло-
вию (3), нет.
8.30°
Назовите угол из промежутка
равен:
а) 1; б) 0;
в) -1;
г) л/З; д)
тангенс которого
8.31° а) Что называют арктангенсом числа а?
б) Для любого ли числа а существует arctg п?
Вычислите (8.32—8.33):
8.32 a) tg (arctg 1);
в) tg (arctg (-3));
6) tg (arctg 2);
д) tg (arctg л/З);
г)
e)
tg (arctg л);
tg
arctg
ж) tg (arctg 1999);
з) tg (arctg (-2000)).
246
8.33
8.34
8.35
a) arctg О;
д) arctg (-VS);
6) arctg 1;
e) arctg
ж)
в) arctg (-1);
arctg
r) arctg >/3;
Сравните с нулем:
a) arctg 1; б)
г) arctg (-1); д)
ж) arctg—; з)
2
arctg 2;
arctg (-2);
arctg я;
в) arctg 3;
е) arctg (-3);
и) arctg (-л).
Постройте угол:
a) arctg 1;
г) arctg (-1);
ж) arctg-;
б) arctg 2;
д) arctg (-2);
Ч X ( 2'
3) arctg —
в)
е)
и)
arctg 3;
arctg (-3);
arctg
8.36
Найдите все углы а, для каждого
a) tg а = О; б) tga= 1;
к) tg а = 5;
д) tg а = -73;
з) tg а = 2;
л) tg а =
из которых:
в) tga = —1;
и) tga = -3;
м) tg а = -i.
О
8.4*. Арккотангенс
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность и ось котангенсов. Для любого действительного числа а
прямая х- а пересекает ось котангенсов в единственной точке D
(рис. 119, а, б).
х — а (а > 0)
а)
х - а (а < 0)
б)
Рис. 119
247
Тангенс и котангенс угла
Прямая OD пересекает верхнюю
полуокружность в единственной точ-
ке В. При этом вектор О В образует
с вектором О А единственный угол а
из промежутка (0; я), котангенс ко-
торого равен а (см. рис. 119). Этот
угол обозначают arcctg а (читают:
«арккотангенс а»).
ПРИМЕР 1.
a) arcctg 0 = —; б) arcctg 1 = —
в) arcctg (-1) = — (рис. 120).
Рис. 120
Арккотангенс числа а есть угол а из промежутка (0; я),
котангенс которого равен а:
ctg ос = а.
Подчеркнем, что для любого действительного числа а существу-
ет, и притом единственный, арккотангенс этого числа.
Из определения арккотангенса следует, что для любого числа а
справедливо равенство
ctg (arcctg а) = а.
ЗАДАЧА. Для данного числа а найдем все утлы а, для каждого
из которых
ctg а = а. (1)
Рассмотрим единичную окружность и ось котангенсов. Прямая
х = а пересекает ось котангенсов в единственной точке В, а прямая
х = а (а > 0)
а)
Рис. 121
х = а (а < 0)
б)
г 248
_____
OD пересекает единичную окружность в двух точках: Вг и В2
(рис. 121, а, б).
При этом вектор ОВХ образует с вектором О А угол а0 = arcctg а,
а вектор ОВ2 образует с вектором О А угол р0 = arcctg а + п. Очевидно,
что условию (1) удовлетворяют как углы а0 и р0, так и любые углы,
отличающиеся от них на любое целое число полных оборотов, т. е.
условию (1) удовлетворяют углы
а = arcctg а + 2nk, keZ, и а = arcctg а + л + 2лтп, т g Z.
Других углов, удовлетворяющих условию (1), нет. Очевидно,
что все эти углы можно задать одной формулой:
а = arcctg а + лп, п е Z,
Ответ, arcctg а + лп, п g Z.
ПРИМЕР 2. Найдем все углы а, для каждого из которых
ctg а = 10.
Все такие углы а задаются формулой
а = arcctg 10 + лп, п е Z.
ПРИМЕР 3. Найдем все углы а, удовлетворяющие условию
ctg а — -1.
Все такие углы а задаются формулой
а = arcctg (-1) + лп, п g Z, (2)
Так как arcctg (—1) = —, то формулу (2) можно записать так:
4
Зл „
а =-----1_ п е Z.
4
8.37 Назовите угол из промежутка (0; л), котангенс которого равен:
8.38 а) Что называют арккотангенсом числа а?
б) Для любого ли числа а существует arcctg а?
Вычислите (8.39—8.40):
8.39 a) ctg (arcctg 1);
в) ctg (arcctg (-3));
д) ctg (arcctg л/з);
ж) ctg (arcctg 1999);
6) ctg (arcctg 2);
г) ctg (arcctg л);
e)
з)
ctg
arcctg
ctg (arcctg (-2000)).
249
Тангенс и котангенс угла
8.40
a) arcctg 0;
г) arcctg х/З;
б) arcctg 1;
д) arcctg (-х/З);
в) arcctg (-1);
. . хЗ"
е) arcctg—;
8.41
8.42
. х V3
ж) arcctg I---.
Сравните с числом 0,5л:
a) arcctg 1;
г) arcctg (-1);
X л
ж) arcctg —;
Постройте угол:
a) arcctg 1;
г) arcctg (-1);
б)
Д)
arcctg 2;
arcctg (-2);
arcctg тс;
8.43
ж) arcctg —;
б)
д)
arcctg 2;
arcctg (-2);
arcctg
в) arcctg 3;
е) arcctg (-3);
и) arcctg (-л).
в) arcctg 3;
е) arcctg (—3);
х х 1
и) arcctg —.
Найдите все углы
a) ctg а = О;
г) ctg а = х/3;
X X V3
ж) ctg а. = ——;
к) ctg а = 4;
а, для каждого из
б) ctg а = 1;
д) ctg а = -х/3;
з) ctg а = 2;
л)
ctg а =
8.5*. Примеры использования
арктангенса и арккотангенса
Рассмотрим несколько задач,
при решении которых используется
арктангенс или арккотангенс.
ЗАДАЧА 1. Найдем все углы а,
для каждого из которых
tga
(1)
Рассмотрим на координатной
плоскости хОу единичную окруж-
ность и ось тангенсов. Пусть точка D
имеет на оси тангенсов координату 1
и прямая OD пересекает правую по-
которых:
в)
е)
ctg а = -1;
ctg а -
7з
3 ’
и) ctga = -3;
X X 2
м) ctg а = —.
Г* 250
луокружность в точке Вр соответствующей углу а0= — (рис. 122)
. П 4
при этом tg — = 1.
4
Пусть а — любой угол из промежутка
4
2
(2)
поэтому ее координата на оси тангенсов
что tg а > 1 для любого угла а из проме-
Углу а соответствует точка В правой полуокружности. Пусть
прямая О В пересекает ось тангенсов в точке F. Очевидно, что точ-
ка F лежит выше точки D,
больше чем 1. Это означает
жутка (2).
Пусть а — любой угол
из промежутка
(3)
2 4
Углу а соответствует точка С правой полуокружности. Пусть
прямая ОС пересекает ось тангенсов в точке Е, Очевидно, что точ-
ка Е лежит ниже точки Р, поэтому ее координата на оси тангенсов
меньше чем 1. Это означает, что tg а < 1 для любого угла а из про-
межутка (3).
Отметим еще, что для углов — и - — тангенс не определен.
2 2
Из сказанного выше следует, что на промежутке длиной л от - —
2
It
до —> неравенству (1) удовлетворяют лишь углы а из промежутка (2)
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (1).
Очевидно, что если неравенству (1) удовлетворяет некоторый
угол ос из промежутка (2), то неравенству (1) удовлетворяет и любой
угол, отличающийся от а на лп, где п g Z.
Это означает, что неравенству (1) удовлетворяют лишь углы а
из бесконечного множества промежутков — + лп < а < — +яп, п g Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (1).
ЗАДАЧА 2. Найдем все углы а, для каждого из которых
(4)
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность и ось тангенсов. Пусть точка D имеет на оси тангенсов коорди-
;^251
Тангенс и котангенс угла
нату - — и прямая OD пересекает пра-
вую полуокружность в точке В, со-
ответствующей углу а0 = arctg
(рис. 123).
Рассуждая, как в задаче 1, полу-
чим, что на промежутке длиной л от
Д° ” неРавенствУ (4) удовлетворя-
ет любой угол а из промежутка
(5)
и, кроме них, на промежутке от до — нет других углов, удовлет-
воряющих неравенству (4). 2-2
Очевидно, что если неравенству (4) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (5), то этому неравенству удовлетворяет и лю-
бой угол, отличающийся от а на лп, где п е Z.
Это означает, что неравенству (4) удовлетворяют лишь углы а
из бесконечного множества промежутков - 4- лп < а < а0 + лп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (4).
Ответ.
лп < а < arctg
лп, п е Z.
ЗАДАЧА 3. Для данного числа а найдем все углы а, для каждо-
го из которых:
a) tg а > а; (6)
б) tg а < а. (7)
Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окруж-
ность и ось тангенсов. Пусть точка D имеет на оси тангенсов коорди-
нату а и прямая OD пересекает правую
полуокружность в точке В, соответст-
вующей углу осо = arctg а (рис. 124).
Рассуждая, как в задачах 1 и 2,
получим:
а) Неравенству (6) удовлетворя-
ют лишь углы а из бесконечного мно-
жества промежутков
осо + лп < а < — + лп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удов-
летворяющих неравенству (6).
252
б) Неравенству (7) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного
множества промежутков
- — + тип < а < а0 + лп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (7).
Ответ, a) arctg ос + лп < ос < — + лп, п е Z;
б) • + кп < а < arctg а + лп, п е Z.
ЗАДАЧА 4. Найдем
для каждого из которых
ctg а
все углы а,
(8)
Рис. 125
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность
и ось котангенсов. Пусть точка D име-
7з
ет на оси котангенсов координату —-
и прямая OD пересекает верхнюю полу-
окружность в точке Вх, соответствую-
щей углу а0= arcctg—= — (рис. 125).
Пусть а — любой угол из промежутка
/Л
О < а < —.
3
(9)
Углу а соответствует точка В верхней полуокружности. Пусть
прямая ОВ пересекает ось котангенсов в точке Е. Очевидно, что точ-
ка Е лежит правее точки D, поэтому ее координата на оси котанген-
л/з л/з
сов больше чем —. Это означает, что ctg а > — для любого угла а
3 3
из промежутка (9).
Пусть а — любой угол из промежутка
л
— < а < л.
(Ю)
3
Углу а соответствует точка С верхней полуокружности. Пусть
прямая ОС пересекает ось котангенсов в точке F. Очевидно, что точ-
ка F лежит левее точки Z>, поэтому ее координата на оси котанген-
V3 л/з
сов меньше чем —. Это означает, что ctg а < — для любого угла а
3 3
из промежутка (10).
253
Тангенс и котангенс угла
Отметим еще, что для углов Ойл котангенс не определен.
Из сказанного выше следует, что на промежутке длиной л от О
до л неравенству (8) удовлетворяют лишь углы а из промежутка (9)
и, кроме них, на промежутке от 0 до л нет других углов, удовлетво-
ряющих неравенству (8).
Очевидно, что если неравенству (8) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (9), то неравенству (8) удовлетворяет и любой
угол, отличающийся от а на лп, где п е Z. Это означает, что нера-
венству (8) удовлетворяют лишь углы а из бесконечного множества
промежутков лп < а < ^- + лп, п е Z, и, кроме них, нет других
углов, удовлетворяющих неравенству (8).
Ответ, лп < а < — + лп, п е Z.
3
ЗАДАЧА 5. Найдем все углы а, для каждого из которых
УЬ
ctg а
(И)
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность
и ось котангенсов. Пусть точка D име-
ет на оси котангенсов координату —
4
и прямая OD пересекает верхнюю по-
луокружность в точке В, соответству-
( 5
ющей углу а 0 = arcctg — (рис. 126).
I 4 у
Рассуждая, как в задаче 4, получим, что на промежутке длиной
л от 0 до л неравенству (11) удовлетворяет любой угол а из проме-
жутка
а рис. 126
о
(12)
и, кроме них, на промежутке от 0 до л нет других углов, удовлетво-
ряющих неравенству (11).
Очевидно, что если неравенству (11) удовлетворяет некоторый
угол а из промежутка (12), то неравенству (11) удовлетворяет и лю-
бой угол, отличающийся от а на лп, где п е Z.
Это означает, что неравенству (11) удовлетворяют лишь углы а
из бесконечного множества промежутков
а0 + лп < а < л + лп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (11).
Ответ, arcctg
+ лп < а < л + лп, п е
Z.
254
Л* •
Рис. 127
ЗАДАЧА 6. Для данного числа а
найдем все углы а, для каждого из
которых:
a) ctg а > а; (13)
б) ctg а < а. (14)
Рассмотрим на координатной плос-
кости хОу единичную окружность
и ось котангенсов. Пусть точка D име-
ет на оси котангенсов координату а
и прямая OD пересекает верхнюю по-
луокружность в точке В, соответству-
ющей углу а0 = arcctg а (рис. 127).
Рассуждая, как в задачах 4 и 5, получим:
а) Неравенству (13) удовлетворяют лишь углы а из бесконечно-
го множества промежутков
пп < а < а0 + пп, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (13).
б) Неравенству (14) удовлетворяют лишь углы а из бесконечно-
го множества промежутков
а0 + Tin < а < п + ли, п е Z,
и, кроме них, нет других углов, удовлетворяющих неравенству (14).
Ответ, а) пп < а < arcctg а + пп, п е Z*,
б) arcctg а + пп < а < п + пп, п е Z.
8.44
Задайте с помощью неравенств все углы а, которым соответству-
ют выделенные точки единичной окружности (рис. 128, а—з).
Определите, какой из этих рисунков соответствует неравенству:
1) tg а > 0;
4) tga <V3;
7) ctg а > 1;
2) tg а < 0;
5) tg а > 1;
8) ctg а > -73;
3) ctg а > 0;
6) tga>-l;
9) tga>^-.
Найдите все такие углы а, для каждого из которых (8.45—8.47):
255
Тангенс и котангенс угла
ж)
ж) ctg а > 3;
б) ctg а < 1;
д) ctg а > л/З;
з) ctga<-l;
л) ctg а > ->/3;
, 1
б) tg а > -
4
Ч 4- 1
д) ctg а >
з) ctg а < 2;
в)
е)
и)
м)
ctg а
ctg а
ctg а
ctg а < -л/з.
в) tg а > 2;
ч 4. 1
е) ctg а с
и) ctg а > 2.
8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса
Для любого действительного числа а справедливо равенство
arctg (—а) = -arctg а. ** ’ r (1)
Действительно, пусть а = arctg а, тогда а е
По свойству тангенса имеем
поэтому tg (—а) = -а.
tg (-а) = -tg а,
и tg а = а.
256
Так как -а е
то по определению арктангенса
arctg (-а) = -а.
Следовательно, arctg (-а) = -arctg а, т. е. справедливо равен-
ство (1).
Для любого действительного числа а справедливо равенство
arcctg (-а) = п - arcctg а. «> (2)
Действительно, пусть а = arcctg а, тогда а е (О; л) и ctg а = а.
По свойству котангенса имеем
ctg (л - а) = -ctg а,
поэтому ctg (л - а) = -а.
Так как л - а g (0; л), то по определению арккотангенса
arcctg (-а) = л - а.
Следовательно, arcctg (—а) = л — arcctg а, т. е. справедливо ра-
венство (2).
ПРИМЕР 1.
a) arctg (-1) = -arctg 1 = -—;
4
б) arctg (-л/З) = -arctg 7з = -—;
в) arcctg (-1) - л - arcctg 1 = л - — = —
4 4
г) arcctg (- л/3) = л - arcctg 7з = л - — =
2л
3
Для любого угла а е
справедливо равенство
arctg (tg а) = а.
(3)
Равенство (3) следует из определения арктангенса.
ПРИМЕР 2. Вычислим arctg tg
Так как - — е
3
то arctg
л
3
257
Тангенс н котангенс угла
ПРИМЕР 3. Вычислим arctg (tg 10).
Так как 10 G
то сразу применить формулу (3)
нельзя.
Но так как tg 10 = tg (10 - Зл) и 10 - Зл е
то
2 2)
arctg (tg 10) = arctg (tg (10 — Зл)) = 10 — Зл.
Для любого угла а е (0; л) справедливо равенство
< ।; д ‘ W Ml “Wilt? S'* 4 ’Й t? > . < х
(c^g d) =
(4)
Равенство (4) следует из определения арккотангенса.
ПРИМЕР 4.
Вычислим arcctg ctg — .
I 3 J
Так как — е
(0; л), то arcctg ctg —
ПРИМЕР 5.
Вычислим arcctg ctg
Так как — (0; л), то сразу применить формулу (4)
3
нельзя.
Но так как ctg
arcctg ctg
3
8.48
8.49
8.50
8.51
= ctg I л - — I = ctg
2л
, л. 2л
= arcctg ctg —
2л
2л
& T
Запишите формулы для арктангенса и арккотангенса.
Выразите через арктангенс положительного числа:
a) arctg (-2);
г) arctg (9 - Зл);
Выразите через арккотангенс положительного числа:
a) arcctg (-2); б)
г) arcctg (9 - Зл); д)
Вычислите (8.51—8.53).
a) arctg (-1); б)
6) arctg (-3);
д) arctg (-20);
в) arctg (2 — л);
e) arctg (-21л).
arcctg (-3);
arcctg (-20);
arcctg (-1);
г) arcctg (-V3);
arctg
9—Никольский, 10 кл.
arcctg (2 - л);
arcctg (-21л).
arctg (-л/З);
arcctg
3
s- 258
8.52 a) arctg tg— ;
6) arcctg
e) arcctg
r) arcctg ctg-----
4
ж) arctg tg -
Д) arctg tg
з) arcctg
и) arctg tg
ctg
8.53 a) arctg (tg 5);
r) arcctg (ctg (-7));
6) arcctg (ctg 5); в) arctg (tg (-7));
д) arctg (tg (-10)); e) arcctg (ctg (-10)).
й § 9. Формулы сложения
9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов
ТЕОРЕМА 1. Для любых углов аир справедливо равенство
cos (а - р) = cos а cos Р + sin а sin р. .»ji
I LL -У- »ЬГ I* Ш • - U «в 4W 'Л* Л» ГЛ1 в? >5 trt ? . ♦* •*# Л* Г' - Т. Г. • Г U’ ; и . . . V-
Теорему 1 формулируют так: косинус разности двух углов ра-
вен произведению косинуса первого угла на косинус второго угла
плюс произведение синуса первого угла на синус второго угла.
Доказательство. Пусть даны два угла аир. Пусть точка В
на единичной окружности соответствует углу а, а точка С —
углу р (рис. 129). Тогда, используя определение синуса и косинуса
угла, получаем, что точка В имеет координаты х = cos а, у = sin а,
а точка С — координаты х —
ет координаты (cos a; sin а),
(cos р; sin р).
cos р, у = sin р. Вектор а = ОВ име-
a вектор b = ОС имеет координаты
Вычислим скалярное произведе-
ние этих векторов:
а b = cos a cos Р + sin а sin р. (1)
Но, как известно из геометрии, ска-
лярное произведение двух векто-
ров равно произведению их абсолют-
ных величин на косинус угла между
ними. Обозначим через у угол меж-
ду векторами а и 5. Учитывая, что
| а | = | Ъ | = 1, получаем
a b = cos у. (2)
Формулы сложения
Ш 259
*-—*—*-
Отметим, что в геометрии под углом между векторами понима-
ют неотрицательный угол из промежутка от 0 до я. Таким образом,
О у < я.
Запишем углы а и р в виде а = а0 + 2я/г, р = р0 + 2я/, где
О С а0 < 2я, 0 р0 < 2я, a k и I — некоторые целые числа. Тогда мож-
но считать, что точка В соответствует углу а0, а точка С — углу Ро.
Очевидно, что либо у= а0 — р0 (рис. 130, а), либо у= р0 — а0 (рис. 130, б),
либо у= 2я — (а0 - Ро) (рис. 130, в), либо у= 2я - (Ро - а0) (рис. 130, г),
но в любом из этих случаев cos у = cos (а0 — Ро).
Так как cos (а - Р) = cos (а0 - Ро + 2я (k - Z)) = cos (а0 - р0), то
cos (а — р) = cos у. (3)
Тогда из равенств (3), (2) и (1) следует равенство
cos (а - р) = cos а cos р + sin а sin р.
Теорема 1 доказана.
t№ 260
ПРИМЕР 1. cos — = cos
12
71 7C . . 71 . 7t
cos — cos —I- sm — sm — =
3 4 3 4
ТЕОРЕМА 2. Для любых углов а и р справедливо равенство
SeSSiiiS!*** cos (ot + р) = cos a cos P - sin a sin P|Sb£SS3b*«&|£§№
SJWI® -.MtJwwiK W (РхлШЛж i-i j-’ 'r'- S# »? д 3® let wk 2Ж -v 'Ж Ж; wr .1 ' Wj5®<i£.- o* m>-* SL
Теорему 2 можно сформулировать так: косинус суммы двух уг-
лов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго
угла минус произведение синуса первого угла на синус второго угла.
Доказательство. Используя формулу косинуса разности двух
углов и формулы для sin а и cos а, имеем
cos (a + р) = cos (a — (~P)) = cos a cos (~P) + sin a sin (-p) =
= cos a cos P - sin a sin p.
Теорема 2 доказана.
ПРИМЕР 2. cos — = cos I — +
12 V6
Уз У2 _ 1 У2 = У2 (Уз - 1)
2 2 2 2 4
71 71 7t.7t.7C
— = cos — cos-sm — sm — =
4J 6 4 6 4
ПРИМЕР 3. Найдем наибольшее значение
А = cos a + Уз sin а. Вынося за скобки множитель
выражения
= 2, получим
3 .
— sin a
= 2 cos — cos a + sin — sin a =2 cos-----a
Так как наибольшее значение выражения cos---а равно 1
то наибольшее значение выражения cos a +
3 sin а равно 2.
9.1 Запишите формулу:
а) косинуса разности двух углов;
б) косинуса суммы двух углов.
Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором (9.2—9.4):
9.2 а) cos 15°; б) cos 75°; в) cos 105°.
9.3 а) cos — cos — + sin — sin —; 6) sin 10° sin 70° + cos 70° cos 10°.
8 8 8 8
261
Формулы сложения
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
ч п 6л . л . 6л . Зл . 7л Зл 7 л
a) cos — cos-sm — sm—; 6) sm — sm-cos — cos —
77 77 44 44
Упростите выражение:
a) cos а + — - cos а--------; б) cos
л
- cos
л
Вычислите cos (a + p) и cos (a - p), если sina = -, cosp =
0<a<—,0<p<—. 5
2 2
Докажите справедливость равенства:
a) cos а------I = sin а;
в) cos-------a
2
= -sina;
г) cos
Вычислите cos (a - p), если л < a
cos p = —.
Вычислите cos (a + p), если
cos a = -0,8, sin p = 0,2.
Вычислите:
ч cos2°cos28°—sin28°sin2°
a) ------------------------
cos 47 ° cos 2° + sin 47° sin2c
Упростите выражение:
а) cos (a + P) + cos (a ~~ P).
cos (a - P) - cos (a + P) ’
6)
4
— и
5
2
3л
2
Зл Зл
2’2
= -sina;
= sina.
. 2л Зл 2л Зл
sin — sm-------cos — cos —
5 5 5 5
. л . 7л л 7л
sm — sin-------cos — cos —
sina sin p - cos (a - P)
cos (a + P) - cos a cos p
9.12
9.13
9.14
Вычислите (9.12—9.13):
а) cos 135°; б) cos 15°;
а) cos 75° + cos 15°; б)
в) cos 135°
л 5л
cos-----cos---.
12 12
г) cos 150°.
Упростите выражение:
а)
cos (45° + a) cos (45° - a) - sin (45° - a) sin (45° + a);
2л
3
cos2 (60° + p) + cos2 (60° - p) + cos2 P;
cos
2л
3
cos2
+ cos
2
262
____
9.15 а) Косинус острого угла равен 0,2. Найдите косинус смежного
угла.
б) Синус острого угла равен —. Найдите синус смежного угла.
3
9.16 а) Найдите cos a cos р, если cos (а + р) = —, cos (а — р) = —.
5 2
б) Найдите sin а sin р, если cos (а + р) = -—, cos (а — р) = —.
3 5
9.17 а) Найдите cos (а + Р), если 0° < а < 90°, 180° < р < 270°,
1 л 1
cos а = sm В = —.
2 2 _
Л//*
б) Найдите cos (а — р), если — < а < 2л, sin а =-, cos р = -1.
9.18* Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
a) cos а — л/з sin а; б) cos а + sin а; в) cos а — sin а.
9.2. Формулы для дополнительных углов
Два угла аир, составляющие в сумме угол, равный —, назы-
вают дополнительными углами.
ТЕОРЕМА. Для любого угла а справедливы равенства
(1)
(2)
Доказательство. Используя формулу косинуса разности двух
углов, имеем
sin — sin а — 0 • cos а + 1 • sin а = sin а
и формула (1) тем самым доказана.
Докажем формулу (2), используя уже доказанную формулу (1).
Обозначим р = — — а, тогда по формуле (1)
sin р = cos
(3)
263
- -----
Формулы сложения
Теперь, подставляя в формулу (3) —• - а вместо Р, получим фор-
мулу (2): , ч
sin
2
= COS ОС.
Теорема доказана.
ПРИМЕР.
a) cos — = cos
2
= sin —;
б) sin — = sin
12
12
cos —.
12
9.19
Докажите формулы:
= — sin а;
2
= cos а.
9.20
9.21
9.22
9.23
Упростите выражение (9.20—9.22):
а)
г)
a)
r)
a)
cos
cos
sin
sin
cos
4
cos
2л
13
2
3
cos
sin
2
cos
sin
5
sin
2
sin
2
- 25°); д)
число через
синус или
!4°); в) sin (-90° - 31°);
.7°); е) cos (-90° - 22°).
косинус положительного
sin (90*
cos (90е
Выразите
угла, не превышающего 45°:
a) sin 80° = sin (90° - 10°) = ...
г) sin 440°; д) sin 792°;
з) cos 799°; и) cos 2005°.
9.24. Выразите число через синус
угла, не превышающего
4
б) cos —;
3
v 14л
е) cos---;
5
a) sin —;
ч . 13л
д) sm-—
5
или
sin 70°;
sin 1859
косинус
ч . 5л
в) sin —;
7
ч . 24л
ж) sm------
в) cos 82°;
ж) cos 444°;
положительного
ч 11л
г) cos ---
13
v 29л
з) cos ---
264
9.3. Синус суммы и синус разности двух углов
ТЕОРЕМА 1. Для любых углов а и Р справедливо равенство
f ;Й-?,^йсв м 4 - * <?
sm (а + Р) = »» а cos р + сое а sin PJSS5S5*5«S5b*!
ЯП ЕВ Vfc ЮР «Ж ЯМ <RX Mt Я* гШ ЯМ 4М ШЛ. ЯМ SM МА * ШЯ НЯ Шш ЛШ ЯШ IM ML Ш ж л ЯШ В* МЖ М ^В. Я* гв Г* * 4 * Я* MW IVt WL "М ЧЪ Мi WM W *-и W — / 4 ЧМ V. ъМ ч
Теорему 1 можно сформулировать так: синус суммы двух углов
равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс
произведение косинуса первого утла на синус второго.
Доказательство. Используя формулы для дополнительных уг-
лов и формулу косинуса разности двух углов, имеем
cos
sin (а + р) = cos
cos р + sin
sin P = sin a cos p
+ cos a sin
Теорема 1 доказана.
ПРИМЕР 1. sin — =
12
л л , к . л
sin — cos —F cos — sin — =
4 6 4 6
2
2
<6 + -% 2
ТЕОРЕМА 2. Для любых углов аир справедливо равенство
**«**£*»«Sit sin ~ Р) = sin d cos Р — cos a sin р. |52ee8»llfiJiai
Теорему 2 можно сформулировать так: синус разности двух
углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго
минус произведение косинуса первого угла на синус второго.
Доказательство. Используя формулу синуса суммы двух углов
и формулы для sin а и cos а, имеем
sin (а - р) = sin (а + (-Р)) = sin а cos (~Р) + cos а sin (~Р) =
= sin а cos р - cos а sin р.
Теорема 2 доказана.
ПРИМЕР 2. sin 15° = sin (45° - 30°) = sin 45° cos 30° -
„ ,Ko ; ono V2 v3 v'2 1 л/2(7з-1)
- cos 45 sin 30 = — ------• - = —-----
2 2 2 2 4
265
Формулы сложения
ПРИМЕР 3. Найдем наименьшее значение выражения
А = 3 cos а + 4 sin а. Вынося за скобки множитель л/ З2 + 42 = 5,
л Лз
/ \2 / \2
получим А = 5 -cosа + - since .
k 5 5 j
Так как
4
3
5
3
= 1, то найдется угол р такой, что sin а = —,
a cos а = -. Тогда А = 5 (sin р cos а + cos Р sin а) = 5 sin (р + а).
5
Так как наименьшее значение выражения sin (р + а) равно -1
то наименьшее значение выражения А равно -5. •
5
9.25
Запишите формулы:
а) синуса суммы двух углов;
б) синуса разности двух углов;
в) косинуса суммы двух углов;
г) косинуса разности двух углов.
9.26
Докажите справедливость равенства:
а)
в)
sin
sin
= cos а
— —cos а
б) sin (л — а) = sin а;
г)
* I Зп I
sin — + а = —cos а;
I 2 )
д) sin (45° + а) = cos (45° — а);
е) cos (45° + а) = sin (45° — а).
9.27
Вычислите (9.27—9.28):
a) sin 20° cos 10° + cos 20° sin 10°;
. л 4л . л 4л
б) sin — cos — + cos — sm —;
5 5 5 5
9.28
в) cos 80° sin 10° + sin 80° cos 10°;
ч Зл . л л . Зл
г) cos — sm —i- cos — sin —.
8 8 8 8
a) sin 75°; 6) sin 105°; в) sin 165°;
r) sin 195°.
Упростите выражение (9.29—9.30):
9.29
9.30
a) sin a4— - cos
4 J
a) —sin a----cos a;
2 2
V2
в) — (sin a + cos a);
4— ; 6) 2 cos a--------— 2 sin
4 J 3 J
— (cos a - sin a);
г) — sina +—cos a.
2 2
3
- 266
9.31
Вычислите:
7t Зл
б) sin(a—р), если — <а<л, жр<— и cos а = —0,2, cos р =-0,1.
9.32 Докажите справедливость равенства:
a) sin (a - Р) + sin (a + р) = 2 sin a cos p;
6) sin (a - P) sin (a + P) = sin* i 2 a - sin2 p.
9.33 * Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
а) 4 cos а - 3 sin a; б) 5 cos a + 12 sin a; в) sin a — 2 cos a.
9.4 . Сумма и разность синусов и косинусов
ТЕОРЕМА 1. Для любых углов аир справедливо равенство
PI КВ "J
sin a + sin р = 2 sin
—— cos
2
Теорему 1 можно сформулировать так: сумма синусов любых
двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих
углов на косинус их полуразности.
i ТЕОРЕМА 2. Для любых углов аир справедливо равенство
•я о . a - Р а+Р
sm a - sm р = 2 sm--cos---—.
2 2
Теорему 2 можно сформулировать так: разность синусов любых
двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности
этих углов на косинус их полусуммы.
ТЕОРЕМА 3. Для любых углов аир справедливо равенство
cos a + cos р = 2 cos
—cos---
2 2
Теорему 3 можно сформулировать так: сумма косинусов любых
двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы
этих углов на косинус их полуразности.
ТЕОРЕМА 4. Для любых углов аир справедливо равенство
Q a + p . a — р
cos a — cos P = -2 sm-— sm-----.
2 2
Формулы сложения
267
<1-2 -_._
Теорему 4 можно сформулировать так: разность косинусов лю-
бых двух углов равна взятому со знаком «—» удвоенному произведе-
нию синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Доказательство теорем 1, 2, 3, 4. Пусть
тогда
а = х + у у
Р = х - у.
Используя формулы косинуса суммы, косинуса разности, сину-
са суммы и синуса разности, получим
sin а + sin р = sin (х + у) + sin (х - у) =
= (sin х cos у + cos х sin у) + (sin х cos у — cos х sin у) =
= 2 sin х cos у = 2 sin
cos
sin а - sin p = sin (x + y) — sin (x — y) =
о • о а+р.а-0
= 2 cos x sin у = 2 cos-— sm-—;
= 2 cos x cos у = 2 cos
cos----
2
cos а - cos p = cos (x + y) - cos (x - z/) =
о • • Л • « + ₽ .
= -2 sm x sm у = -2 sm----— sm
2
Теоремы 1, 2, 3 и 4 доказаны.
ПРИМЕР.
ч.7 я .it о . л п о д/з V2 л/б
a) sm — + sin — =2 sm — cos — = 2------------------------ —;
12 12 3 4 2 2 2
6) cos 75° - cos 15° = -2 sin 45° sin 30° = -2 — • - = .
2 2 2
9.34 Запишите формулы:
а) суммы синусов;
в) суммы косинусов;
б) разности синусов;
г) разности косинусов.
Представьте в виде произведения (9.35—9.37):
9.35 a) sin 20° + sin 10°;
в) cos 70° + cos 20°;
ч it it
д) cos------cos —;
5 4
х . л . it
ж) sm-----sm —;
3 4
6) sin 60° - sin 30°;
г) cos 80° — cos 30°;
4 . л , . it
e) sm — + sm —;
14 3
X It It
3) cos — + cos —.
10 5
gg268
9.36 a) sin a + sin 3a; 6) cos 3a - cos a;
r) cos 7a + cos a; д) sin a + cos a;
9.37 a) cos 40° + cos 30° + cos 20° + cos 10°;
6) sin 5° + sin 10° + sin 15° + sin 20°.
в) sin 3a - sin 5a;
e) cos a — sin a.
9.38 Докажите справедливость равенства:
a) sin 50° + sin 10° — cos 20° = 0;
6) cos 48° + sin 18° - cos 12° = 0.
9.39 Вычислите:
v 5л it
a) cos — + cos —;
12 12
в) sm----F sin —;
12 12
7л л
cos-----cos —;
12 12
7л . л
sin-----sin —.
12 12
9.40
Докажите справедливость равенства:
v 5л 7л л . Зл
а) cos — + cos — = 0; б) sm------sin
12 12 5
9л
cos — + cos
14
. Зл
sin-----sm
10
2л
5
7 л
10
9.41* Вычислите:
а) cos 75° • cos 105°;
ч 75° 15°
в) cos-----cos-----;
б) sin 75° • sin 15°;
г) sin 105° • cos 15°.
9.42 Докажите справедливость равенства:
а) sin 35° + sin 25° = cos 5°; 6) cos 20° - sin 50° = sin 10°;
в) sin 87° - sin 93° - sin 59° + sin 61° = sin 1°.
9.43 * Докажите, что | sin a + cos a | C V2.
9.44 Представьте в виде произведения:
а)
1 + 2 sin a = 2
= 2 sin — + sin a
2
6) 1 - 2 cos a;
в) V3 - 2 sin a.
9.5. Формулы для двойных и половинных углов
_________I г - f • ' * Г „ • v . |Ч F Я Л . С * J ‘ . .1Я Я . 1'. - J J ДЛ I _
ТЕОРЕМА 1. Для любого угла а справедливо равенство
_ - л ЯВ» * ш MBS й л
- *' sin 2a = 2 sin a cos a.
Это равенство называют формулой синуса двойного угла.
Теорему 1 можно сформулировать так: синус двойного угла 2a
равен удвоенному произведению синуса угла а на косинус угла а.
269
Формулы сложения
Доказательство. Используя формулу синуса суммы двух углов,
получим
sin 2а = sin (а + а) = sin а cos а + cos а sin а = 2 sin а cos а.
Теорема 1 доказана.
ТЕОРЕМА 2. Для любого угла а справедливо равенство
8S555 5K55J2K!! cos ?а == cos2 а - sin2 а. •мим*!££!а£1а
Это равенство называют формулой косинуса двойного угла.
Теорему 2 можно сформулировать так: косинус двойного угла
2а равен квадрату косинуса угла а минус квадрат синуса угла а.
Доказательство. Используя формулу косинуса суммы двух
углов, получим
cos 2а = cos (а + а) = cos а cos а - sin а sin а = cos2 а - sin2 а.
Теорема 2 доказана.
з
ПРИМЕР 1. Найдем sin 2а и cos 2а, если sina = — и а принадле-
жит интервалу —; я .
Для любого угла а из указанного интервала cos а отрицателен
поэтому
cos a = —Jl - sin2 a = .
v 5
Следовательно,
24
sin 2a = 2 sin a cos a =-,
25
2 2 7
cos 2a = cos a - sin a = —.
25
ПРИМЕР 2. Докажем равенство cos — cos
4
Так как sin — 0, то левую часть доказываемого равенства пре-
образуем так:
4 sin — cos — cos — 2 sin — cos —
л 2л 5 5 5 5 5
cos — cos —
5
4 sin —
4 sin —
5
Учитывая, что
. 4л
sm —
5
= sin л —
. 4л
sin —
4 sin —
= sin—, окончательно име-
к
л 2л
ем: cos — cos —
5 5
что и требовалось доказать.
270
__
ТЕОРЕМА 3. Для любого угла а справедливо равенство
. 2 a 1 - cos a
sin — =--------------------------•
2
(1)
ТЕОРЕМА 4. Для любого угла а справедливо равенство
2 a 1 + cos a
cos — =--------------------------.
2 2
Доказательство теорем 3 и 4. Используя
двойного угла и основное тригонометрическое
a . 2
---sm
(2)
формулу косинуса
тождество, имеем
cos a = cos 2 • —
= cos2
a *
2
Складывая и вычитая эти равенства, получим
1 - cos a = 2 sin2
1 2 a -2
1 = COS — + sin
1 + cos a = 2 cos —
2
откуда и следуют формулы (1) и (2).
ПРИМЕР 3. Найдем cos
Применяя формулу квадрата косинуса половинного угла, имеем
cos —
8
V2
2
2
Так как 0 < — < —, то cos —
8 2 8
положителен и cos — =
ПРИМЕР 4. Найдем sin
если sin a = -
и угол а принад-
____4
2
a
2
a
Зл
лежит интервалу л; — .
Так как угол а принадлежит указанному интервалу, то cos a
отрицателен, и поэтому cos a =
sin2 a = -
Применяя формулу квадрата синуса половинного угла, получаем
. 2 ос 1 - cos a 8
Sin — = ------------------------ = —.
2 2 9
Легко видеть, что угол — принадлежит интервалу
, поэтому
, a m .а
sm- положителен. Теперь находим, что sin — =
271
Формулы сложения
9.45
9.46
9.47
9.48
9.49
9.50
9.51
Запишите формулы:
а) синуса двойного угла;
Запишите угол в виде 2а,
а) 30°; б) 90°; в)
Упростите выражение:
а) 2 sin 15° cos 15°;
ч с . л л
в) 5 sin — cos —;
12 12
Вычислите sin 2а, если:
ч ~ 1 Л л
a) sma = -, 0 < a < —;
2 2
б) косинуса двойного угла,
где a — некоторый угол:
г) д) 4л; е) л; ж) -
О
б) 4 sin 22°30' cos 22°30';
г) 4 cos (-15°) sin (-15°).
б)
1 л
cos a = —, — < a < л.
3 2
Упростите выражение (9.49—9.50):
а) cos2 15° - sin2 15°;
в) cos2 20° — sin2 20°;
б) sin2 15° - cos2 15°;
г) (sin a + cos a) (cos a — sin a).
6) 2 sin 50° sin 40°;
a)
cos2 15° - cos2 75°;
r) (sin 80° + sin 10°) (cos 80° - cos 10°).
Выразите cos 2a только через:
. 2 Л 2 Л
sin------cos —;
8 8
a) sin a, если 0 < a < —; 6) sin a, если — < a < л;
2 2
в) cos a, если 0 < a < —; r) cos a, если —• < a < л.
2 2
9.52 Если 0 < a < —, то что больше:
2
а) cos 2a или 2 cos a; б) sin 2a или 2 sin a?
9.53* Существуют ли утлы а, для каждого из которых выполняется
равенство sin 2a = 2 sin a 0 < a
9.54 Вычислите:
9.55
а) 1 - 2 sin2 б) 2 cos2 — - 1.
8 12
Упростите выражение:
а) sin a cos a cos 2a; 6) cos4 a - sin4 a;
в) (sin a + cos a)z (a * _ £ + > fe e Z).
1 + sin 2a 4
x cos 2a / л , ,
г) -------------(a ;* — + л&, k e Z);
sin a — cos a 4
д) 2 cos2 a — cos 2a;
e) cos 2a + 2 sin2 a.
272
9.56 Докажите справедливость равенства:
а) 2 sin (0,5л - a) sin а = sin 2а; б) sin4 а — cos4 а =-cos 2а;
в) (sin а + cos а)2 = 1 + sin 2а; г) (sin а - cos а)2 = 1 - sin 2а.
Запишите углы 30°; 180°; л;
угол.
2л в виде —, где а — некоторый
2
9.58 Чему равен квадрат:
а) синуса половинного угла;
б) косинуса половинного угла?
9.59 Вычислите sin—, если:
„ 2
. 1 Л п
a) cos а = -, 0 < а < —;
3 2
(X
9.60 Вычислите cos—, если:
. 1 2 Зл
a) sina = —, л < а < —;
3 2
б)
3 л
sina = —, — < a < л.
5 2
12 л
cos a =-----, — < a < л.
13 2
9.61 Упростите выражение:
\ о • 2 а ,
а) 2 sin — + cos а;
2
в) 4 sin2 — + 2 cos а + 3;
б) 2 cos2 — - cos a;
2
V . 2 Ct n , o
r) 4 cos------2 cos a + 3.
2
Докажите справедливость равенства (9.62—9.63):
9.62 a) (sin a + sin P)2 + (cos a + cos p)2 = 4 cos2 -—-;
2
6) (sin a - sin p)2 + (cos a - cos P)2 = 4 sin2 ———.
2
9.63 a) sin 2a (sin 2a + sin 2p) + cos 2a (cos 2a + cos 2p) = 2 cos2 (a - p);
6) sin 2a (sin 2a — sin 2p) + cos 2a (cos 2a — cos 2p) = 2 sin2 (a - P);
3 3 1
в) cos a sin a — sin a cos a = — sin 4a;
4
r) 2 sin 2a sin a + cos 3a = cos a;
д) 1 + 2 cos 2a + cos 4a = 4 cos2 a cos 2a;
e) 1 + 2 cos 3a + cos 6a = 4 cos2 — cos 3a;
2
ж) sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a;
з) cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a.
Вычислите:
< л 2л 4л
a) cos—cos—cos—;
9 9 9
л 2л 4л
6) cos — cos — cos —
9.64
ЛИ 273
Формулы сложения
9.6*. Произведение синусов и косинусов
ТЕОРЕМА. Для любых углов аир справедливы равенства:
sin a cos р — — (sin (а + р) + sin (а - Р));
(1)
cos а cos р = — (cos (а + Р) + cos (а - Р));
МЫ
sin а sin р = i(cos (а — Р) — cos (а + ?)).
2
(2)
(3)
Доказательство. Выпишем известные формулы синусов и коси-
нусов суммы и разности двух углов:
sin (а + Р) = sin а cos Р + sin р cos а;
sin (а - Р) = sin а cos Р - sin Р cos а;
cos (а + Р) = cos а cos Р - sin а sin Р;
cos (а - Р) = cos а cos Р + sin а sin р.
(4)
(5)
(6)
(7)
Сложив почленно равенства (4) и (5), имеем
sin (а + р) + sin (а - Р) = 2 sin а cos р,
откуда получаем справедливость равенства (1).
Сложив почленно равенства (6) и (7), имеем
cos (а + р) + cos (а - р) = 2 cos а cos р,
откуда получаем справедливость равенства (2).
Вычитая почленно из равенства (7) равенство (6), имеем:
cos (а - Р) - cos (а + Р) = 2 sin а sin р,
откуда получаем справедливость равенства (3).
ПРИМЕР 1. Вычислим cos — cos—.
8 8
Применив формулу (2), имеем
ПРИМЕР 2. Докажем справедливость равенства
sin 2а sin а + sin 4а sin а = sin 2а sin За.
(8)
и 274
Применив формулу (3), имеем
sin 2а sin а + sin 4а sin а = ~ (cos а — cos За) + i (cos За - cos 5а) =
= - (cos а - cos За + cos За - cos 5а) = — (cos а - cos 5а).
Преобразуем по формуле (3) правую часть равенства (8):
sin 2а sin За = — (cos (2а - За) - cos (2а + За)) =
2
1 1
= — (cos (-а) - cos 5а) = — (cos а — cos 5а).
Так как правая и левая части доказываемого равенства (8) рав-
ны одному и тому же выражению, то равенство (8) доказано.
9.65
Преобразуйте в сумму или разность:
a) cos За cos а;
г) cos а cos 2а;
б) sin 5а sin За;
д) sin 2а sin За;
в)
е)
sin 4а cos 2а;
sin а cos 4а.
9.66
Докажите, что:
5л . 6л л
cos----sm — cos —
28 35 35
п 5л . Зл
cos----cos — sm —
16 16 16
ч . 9л
a) sm —
28
б) cos —
-----sin —
2 2 5
42
4
9.67 Вычислите:
ч . 11л . 5л -х 13л 7 л х . 7л л
a) sm---sm—; б) cos--cos—; в) sm—cos—;
24 24 24 24 24 24
г) cos 63° cos 27° - sin 12° sin 48°;
x 11л Зл . 11л . 17л
д) cos--cos-----sm----sm-----.
56 56 42 42
9.68 Докажите справедливость равенства:
a) cos a cos 2а - cos За cos 4а = sin 2а sin 5а;
б) sin а sin 2а — sin За sin 4а = -sin 2а sin 5а;
в) sin а cos 2а - sin За cos 4а = -sin 2а cos 5а.
Докажите, что если а, р, у — углы треугольника, то выполня-
ется равенство (9.69—9.71):
9.69 * а) 4 cos — cos — cos — = sin a + sin В + sin y;
2 2 2
6) 4 sin — sin — cos — = sin a + sin p - sin y;
275
Формулы сложения
в)
г)
9.70* а)
б)
9.71* а)
б)
4 sin — sin — sin — +1 = cos a + cos В 4- cos y;
2 2 2
4 cos — cos — sin — - 1 = cos a + cos В - cos y.
2 2 2
sin2 a + sin2 p + sin2 у = 2 + 2 cos a cos P cos y;
cos2 a 4- cos2 P + cos2 у = 1 - 2 cos a cos p cos y.
sin 2a + sin 2p 4- sin 2y = 4 sin a sin p sin y;
cos 2a + cos 2p + cos 2y = -1 - 4 cos a cos p cos y.
9.7*. Формулы для тангенсов
7t
ТЕОРЕМА 1. Для любых углов а и 0, таких, что a & — + nk
- 4 2
„ ГА П т. V ~ П . ' „
2
равенство
a + Р ^ — + m, тп е Z, справедливо
2
i
Это равенство называют формулой тангенса суммы двух углов.
Доказательство. Используя определение тангенса, формулы си-
нуса и косинуса двух углов и условие a + р — 4- тш, п & Z9 имеем
tg (a 4-р) =
sin (a 4- р) _ sin a cos P 4- sin p cos a
cos (a 4- P) cos a cosp - sina sinp
7C Л
Так как по условию теоремы а Ф —н nk9 k е Z, р * — + nl9 I е Z
2 2
2
то cos a cos p Ф 0. Разделив числитель и знаменатель полученной
дроби на cos a cos р Ф 0, получим
sin a cos Р sin Р cos a
cos a cos p cos a cos p
cos a cos p sin a sin p
cos a cos p cos a cos p
tg a 4- tg P
1 - tg a tg p
Теорема 1 доказана.
ПРИМЕР 1. tg 75° = tg (45° + 30°) = tg 45° + tg 30°
1 - tg 45° tg 30°
276
ni от а п ч Л Л •г»’ * -
ГЕОРЕМА 2. Для любых углов аир, таких, что а *
2
- + 7C*,
2
равенство
2
143 9 » Mi ft ©в > SJ»«2I* % E Й
. - n
V»
tg(a-p) =
•А . «Ег \ * i М» /ч «ч * 1
1 4- itf ГУ ttf R
1 г l5 l5 Р
Доказательство
аналогично
доказательству теоремы 1.
ПРИМЕР 2. tg —- = tg
12
2
71
3
4
3 4
= 2-
2
ТЕОРЕМА 3. Для любых углов а, таких
справедливо равенство
’AtjW эч \ "А'ЧТЯВй »#» ’ • <
l« л г: а' '• » - » << •: э <£. и .. г 8
7Г 4 ‘ ‘№«7
tg — a
I 2
чмя< /
— t*+<r г* ••?»« 'Аля‘апвявжаж
— ULg U, ЧМ¥*Я«1ПЬ
в 14 ь xxtf;-&.* а п в sn a t?an « »з и »в ивв «я
Доказательство. Преобразуем левую часть равенства (1), поль-
зуясь формулами для sin----a
L 2
sin
2
cos
и cos
К
------сх
2
cos a
sin a
что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 3. tg — = tg
= ctg —.
2
ТЕОРЕМ Л 4. Для любого угла а, такого, что а Ф
и a # —ь яп, п е справедливо равенство
2 «1.
tg 2a =
2
9
Формулы сложения
Доказательство. Используя формулу тангенса суммы двух
углов, имеем
, о х / . tg а + tg а 2 tg а
tg 2а = tg (а + а) = —---------.
1 - tg а tg а 1 - tg2 а
Теорема 4 доказана.
ПРИМЕР 4. Найдем tg 2а, если tg а =
тангенса двойного угла:
—. Применим формулу
2
2- —
4
2
ТЕОРЕМА 5. Для любых углов а, таких, что а Ф п + 2nfe, k & Z,
справедливо равенство '!! '' - -
в В. v вг_ «М f4* h ВА MB Ml . 1 ВВ MB ^M Mi ИВ MB ^M ГГВ В Bl IM BB BBI ВМ . M BM IM MB —' ] i • AB AB «I k BB M bbb в
, a sin а
tg - = —-------
(2)
Для любых углов а, таких, что а * л + nn, neZ, справедливо
равенство
1 — cos а
(3)
Доказательство. По определению тангенса угла tg — =
. а
sin —
____2
а *
cos —
2
Умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 2cos —
2
а
(cos — 0, так как по условию а л + 2nk, k е Z), получим
а о . а а
sm — 2 sin — cos —
, а 2 2 2
tg — =---------=----------------
2 а п 2 а
Л cos — 2 cos —
2 2
sing
1 + cos а
поскольку 2 sin — cos — = sin а и 2 cos2 — = 1 + cos a.
2 2 2
Формула (2) доказана.
Доказательство формулы (3) аналогично.
Теорема 5 доказана.
^278
ПРИМЕР 5. tg 22,5° = tg —
2
sin 45°
/2
2
ТЕОРЕМА 6. Для любых углов а, таких, что а Ф п + 2nn, n е Z
справедливы равенства
. > 2 tg -
Е! 2
sina =------—; cos a =
2
2a
2
Доказательство. Для любых углов а, таких, что а Ф it + 2itn
п g И, существует tg — и cos 0, поэтому
2
о . a 2 a
2 tg — cos —
2 2
a
2 a
2 a
2
о . a a
2 sm — cos —
2 2
2 a , . 2 a
cos —I- sin —
2 2
sina
----= sm a.
Доказательство второй формулы аналогично.
Теорема 6 доказана.
Замечание. Из теоремы 4 следует, что для любых углов а к + 2пп
m, m e Zt справедлива формула tg a =
2
Таким образом, sin a, cos а и tg а можно выразить через тангенс
половинного угла.
9.72 Докажите: а) теорему 2; б) теорему 6.
Вычислите (9.73—9.75):
9.73
а) tg(60° + 45°); б) tg
+ ~ ; в) tg(60
4
9.74
tg (a + Р) и tg (a - р)
а)
5 2
если tg a = tg Р - -
3 5
tg 12°
б)
279
Формулы сложения
9.76
При каких значениях а верно равенство:
a) tg (45° + а) = 1-+ tg а ; б) tg (45° - а) =
1 - tga
1 - tg а 9
1 + tg а ’
9.77
а) Известно, что tg а = —
5
Докажите, что а + р = —.
tg₽ = -|, i<p<K.
б) Известно, что tga = —,
Докажите, что а + р = —.
4
О < а < i tg р = -0,4, -2L < р < 0.
9.78* Докажите справедливость равенства:
, 7 л , 5л , 7л , 5л -
б) tg— - tg— - tg— tg— = 1.
о о о о
9.79 Выразите через котангенс угла а, такого, что 0 < a < —:
ч , л , 5л ч , 4л ч . Зл 4
а) tg-; б) tg—; в) tg—; г) tg—.
9.80 Докажите справедливость равенства:
л л/г . „ , п .
если а —F —, k е Z, а * — + лп, п е
4 2 2
9.81
Вычислите tg 2a, если:
а) tg a = у; б) tg a =
ч . 3 4
д) sina = -, cos a = е
О О
в) tg a = 3; г) tg a = -4;
5 12
sina =-----, cos a = —.
13 13
9.82
Вычислите (9.82—9.83):
a) tgi; 6) tg^.
o 1Z
9.83
a)
6)
в)
r)
tg—, если sina =
если sina =
если sina =
tg—, если sina =
3 4
—, cos a =
5 5
12
13’
5
cos a = —;
13
12
13’
5
cos a =-----.
13
4 3
—, cos a = —;
5 5
Д 280
Докажите, что если а, р и у — углы треугольника, то справед-
ливо равенство (9.84—9.85):
9.84* a) tg а + tg р + tg у = tg a tg Р tg у;
б) ctg + ctg + ctg £ = ctg ctgctg-J.
M & ы и и
9.85* a) ctg а ctg Р + ctg а ctg у + ctg р ctg у = 1;
9.86 * Для углов а, таких, что а * — + —, п g Z, докажите справед-
ливость равенства 6 3
tg3a =
2
9.87 * Докажите справедливость равенства:
a) tg 40° + 7з = 4 sin 40°; б) ctg 70° - 7з = -4 cos 70°.
9.88 * Вычислите cos (а + 2Р), если:
5
12
Зл
§ 10. Тригонометрические функции
числового аргумента : <
КЖ .'MB *0' ПС- - «МВЬ»-ЯЛв-|" *4 1
Ранее уже вводилось общее понятие функции. При этом отмеча-
лось, что одна и та же функция может выражать зависимость меж-
ду разными физическими величинами, при этом в математике при-
нято рассматривать функцию у = f (х) как функцию числа х, не
вникая в физическую сущность величин х и у.
В §§ 7 и 8 говорилось о том, что синус, косинус, тангенс и ко-
тангенс есть тригонометрические функции угла. Многие вопросы
физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям,
аргументами которых могут быть различные физические величи-
ны — длина, время, температура и т. д.
В этом параграфе тригонометрические функции будут определе-
ны как функции числа.
Напомним, что для любого действительного числа х существует
угол, радианная мера которого равна х. Далее будем говорить коро-
че: для любого числа х существует угол в х радиан. При этом не бу-
дут различаться число х и угол в х радиан.
281
Тригонометрические функции числового аргумента
Функцию у = f (х) называют периодической, если существует
число Т 0, такое, что для любого х из области определения функ-
ции у = f (х) числа х 4- Т и х — Т также входят в область определе-
ния функции у = f (х) и выполняется равенство
f (х + Т) = f (х).
Число Т называют периодом функции у = f (х). Наименьший
положительный период /(х) называют ее главным периодом.
Обычно рассматривают положительные периоды.
Из данного определения следует, что для любого х из области
определения функции у = f (х) справедливо равенство
/ (х - Т) = / (х).
Действительно, функция у = f (х) определена в точке х — Т и по-
этому f (х) = f ((х - Т) + Т) = f (х - Т).
10.1.
Функция у = sin х
Если каждому действительному числу х поставлено в соответст-
вие число у, равное синусу угла в х радиан, то говорят, что этим
определена функция
у = sin х, (1)
называемая синусом числового аргумента х.
Областью определения функции (1) является множество всех
действительных чисел R, областью изменения — отрезок [—1; 1].
Отметим некоторые свойства функции у — sin х.
ЖИЖИ И И И ИИ ВИИ II VIИ ИМИ ИЯЖЯII ВИ ЯВЯМИВВвВВИВВИВЯНЗЯВИИМИММ ИИ К 91 в® ВИК Я1Й в
• • 1. Функция у = sin х нечетная. «И . w
2. Функция j/ = sinx периодическая с главным периодом 2л.
3. Функция у = sinx непрерывна на промежутке (-оо; +оо).
4. Функция у = sin х на отрезке
». ’ И V- J • * • л. Г " • Я *
возрастает, а на
отрезке
тс Зтс
___♦ _____
чаи
2’ 2
убывает.
1
Покажем справедливость этих свойств.
Как показано в п. 7.4, для любого а
sin (-а) = -sin а,
отсюда и следует справедливость свойства 1.
Там же показано, что для любого а выполняется равенство
sin (а + 2л) — sin а.
В п. 10.2 (задача 2) будет показано, что нет положительного числа
Т < 2л, для которого выполняется равенство sin (а + Т) = sin а для
282
любого а. Из сказанного, учитывая, что функция у = sin х определе-
на для всех х, и следует справедливость свойства 2.
Как показано в п. 7.3, малому изменению утла соответствует
малое изменение синуса, а это означает,
что функция у = sin х не
прерывна на промежутке (—оо; +оо). Тем самым показана справедли-
вость свойства 3.
Там
ах <
показано, что если углы
л
~, то справедливо неравенство
sin otj < sin ос2.
и а2 таковы, что
А это означает, что на отрезке —; — функция у = sin х возрастает.
функция
Аналогично показывается, что на отрезке —:
у = sin х убывает.
Тем самым доказана справедливость свойства 4.
Из свойств 2 и 4 следует, что функция у — sin х возрастает на
каждом из промежутков
п е И, убывает на
л
2
Л , г. Зл
каждом из промежутков —ь 2пп; —
Для построения графика функции у = sin х надо для каждого х
вычислить соответствующее значение у — sin х и точки (х; у) отме-
тить на координатной плоскости хОу. Совокупность этих точек об-
разует график функции у — sin х.
Однако эту работу выполнить невозможно, потому что ука-
занных точек бесконечно много. График функции у = sin х можно
построить приближенно, используя свойства этой функции и ее зна-
чения для некоторых х.
Построим сначала график функции у = sin х на отрезке О;
л
2
Приведем таблицу приближенных значений у = sin х для некото-
рых значений х из этого отрезка (табл. 1).
Таблица 1
X 0 л 24 л 12 л 8 о |а 5л 24 л 4
у — sin х 0 0,13 0,29 0,38 0,50 0,61 0,71
Ж » 4 ' _J* . X 7л 24 w | а Зл 8 5л 12 11л 24 N5 |Я
1 у = sin х 0,79 0,87 0,92 0,97 0,99 1
283
Тригонометрические функции числового аргумента
Отметим эти точки (х; у) на плос-
кости в данной прямоугольной систе-
ме координат хОу.
Учитывая, что на отрезке О; —
функция у = sin х непрерывно возрас-
тает от 0 до 1, соединим отмеченные
точки непрерывной линией. Получен-
ную непрерывную кривую (рис. 131)
можно рассматривать как прибли-
женный график функции у = sin х на
Рис. 131
отрезке 0; — .
Дополним этот график функции
у — sin х на отрезке
Учитывая, что sin х = sin (л - х), получаем, что на отрезке [0; л]
график функции у = sin х симметричен относительно прямой х = —.
Поэтому график функции у = sin х на отрезке [0; л] будет выглядеть
так, как на рисунке 132.
Зная график функции у — sin х на отрезке [0; л], легко его по-
строить на отрезке [—л; 0]. Действительно,
ункция у = sm х нечет-
ная, поэтому ее график на отрезке [-л; 0] симметричен относитель-
уь У^
Рис. 132 Рис. 133
Рис. 134
Ц284
но начала координат ее графику на отрезке [0; я]. Значит, он имеет
вид, как на рисунке 133.
Учитывая, что функция у = sin х периодическая с периодом 2л,
получаем график этой функции для всех х.
График функции у = sin х называют синусоидой. Она имеет
вид, как на рисунке 134, хотя на самом деле на нем изображена
лишь часть синусоиды.
10.1 ° В каком случае говорят, что задана функция у = sin х число-
вого аргумента х?
10.2 ° Сформулируйте свойства функции у = sin х.
10.3 а) Постройте график функции у — sin х по точкам на отрезке
[0; л].
б) Относительно какой прямой симметричен график функции
у = sin х на отрезке [0; л]?
10.4
а) Является ли функция у = sin х четной (нечетной)? Докажите.
б) Какое свойство графика функции у = sin х следует из дока-
занного утверждения?
в) Постройте график функции у = sin х на отрезке [—л; л], ис-
пользуя это свойство.
г) На каком промежутке функция у = sin х, х е [—л; л], поло-
жительна? отрицательна?
10.5° а) Какую функцию называют периодической?
б) Является ли периодом функции у = sin х число: 0, л, -л,
2л, -2л, Зл, -Зл, 4л, -4л?
в) Каков главный период функции у — sin х?
г) Какое свойство графика функции у = sin х следует из пе-
риодичности этой функции?
д) Как называют график функции у = sin х?
10.6
Определите промежутки возрастания (убывания) функции
у = sin х на отрезке:
а)
г) [0; 2л].
10.7
Сравните:
V . л
a) sm — и sm
sin
и sin
sin— и sin --
15 V ]
. 7л . 11л
sm— и sin-----
12 12
sin —
5
. 8л
sm —
. 4л
и sin —
и sin
285
Тригонометрические функции числового аргумента
10.8* Постройте график функции:
а) у = | sin х |; б) у = sin (л - х);
г) у = sin х
Д) У =
sin х - 0,5
в)
е)
у = 2 sin — cos—;
2 2
у — sin х — 1.
10.9* Сколько корней имеет уравнение:
a) sin х = х2; б) sin х = -х2; в) sin х =
г) sin х =
100 ‘
10.2. Функция у = cos х
Если каждому действительному числу х поставлено в соответст-
вие число г/, равное косинусу угла в х радиан, то говорят, что этим
определена функция
у = cos х, (1)
называемая косинусом числового аргумента х.
Областью определения функции (1) является множество всех
действительных чисел Л, областью изменения — отрезок [-1; 1].
Отметим некоторые свойства функции у = cos х.
1. Функция у = cos х четная.
2. Функция i/ = cosx периодическая с главным периодом 2л.
4. 3..,Функция у = cos х непрерывна на промежутке (-оо; +оо).
4. Функция у = cos х на отрезке [0; л] убывает, а на отрезке
[л; 2л] возрастает. 5JSS г
Покажем справедливость этих свойств.
Из п. 7.4 известно, что для любого а выполняется равенство
cos (-а) = cos а,
откуда и следует справедливость свойства 1.
Там же показано, что для любого а выполняется равенство
cos (а + 2л) = cos а.
Ниже (задача 1) будет показано, что нет положительного числа
Т < 2л, для которого выполняется равенство cos (а + Т) = cos а для
любого а. Из сказанного, учитывая, что функция у = sin х определе-
на для всех х, и следует справедливость свойства 2.
Как показано в п. 7.3, если углы аА и а2 таковы, что
0 < 04 < а2 то справедливо неравенство cos 04 > cos а2. А это
означает, что на отрезке [0; л] функция у = cos х убывает. Анало-
гично показывается, что на отрезке [л; 2л] функция у = cos х возра-
стает. Тем самым доказана справедливость свойства 4.
Из свойств 2 и 4 следует, что функция у = cos х убывает на каж-
дом из промежутков [0 + 2лп; л + 2лп], п е Z, возрастает на каждом
из промежутков [л + 2лп; 2л + 2лп], п е Z.
286
Так как
sin
л , . л
sm х cos —I- sm — cos x = cos x,
2 2
то из непрерывности на промежутке (-оо; +оо) функции у = sin х
следует непрерывность на промежутке (-оо; +оо) функции у = cos х.
Кроме того, отсюда же следует, что график функции у = cos х полу-
чается переносом графика функции у = sin х влево на —, поэтому
график функции у = cos х имеет вид, как на рисунке 135, на кото-
ром на самом деле изображена лишь часть графика.
График функции у = cos х называют косинусоидой.
| ЗАДАЧА 1. Докажем, что не существует положительного чис-
ла Г, меньшего 2л, такого, что для любого х выполняется ра-
венство
cos (х + Т) = cos х. (2)
Проведем доказательство методом от противного.
Предположим, что существует число Т (О < Т < 2л), такое, что
для любого х выполняется равенство (2). Тогда, в частности, оно вы-
полняется для х = 0, т. е. справедливо равенство
cos Т = 1. (3)
Как показано в п. 7.6 (задача 2), равенство (3) справедливо лишь
для Т= 2nk, ke Z, а наименьшее положительное из них равно 2л. По-
лучилось противоречие, т. е. не существует положительного числа
Т, меньшего 2л, такого, что для любого х выполняется равенство (2).
ЗАДАЧА 2. Докажем, что не существует положительного чис-
ла Т, меньшего 2л, такого, что для любого х выполняется равенство
sin (х + Т) = sin х. (4)
Так как равенство (4) можно переписать в виде
то из справедливости утверждения задачи 1 следует справедливость
утверждения задачи 2. •
287
Тригонометрические функции чмслоного аргумента
10.10 ° В каком случае говорят, что задана функция у = cos х число-
вого аргумента х?
10.11 ° Сформулируйте свойства функции у = cos х.
10.12 Постройте график функции у = cos х по точкам на отрезке
[0; я].
10.13
10.14°
10.15
а) Является ли функция у = cos х четной (нечетной)? До-
кажите.
б) Какое свойство графика функции у = cos х следует из до-
казанного утверждения?
в) Постройте график функции у = cos х на отрезке [—л; л],
используя это свойство.
г) На каком промежутке функция у = cos х, х е - ,
положительна? отрицательна?
а) Является ли периодом функции у = cos х число: 0; л; —л;
2л; -2л; Зл; -Зл; 4л; -4л?
б) Каков главный период функции у = cos х?
в) Какое свойство графика функции у = cos х следует из ее
периодичности?
г) Как называют график функции у = cos х?
Определите промежутки возрастания (убывания) функции
у = cos х на отрезке:
а)
L2
5л
2 ’
г) [0; 2л].
10.16
Сравните:
Зл
— и
а)
cos
cos
2л
cos
и cos
2л
д)
cos
cos
л 5л
— и cos—;
cos
5л
и cos
Зл
13л 23л
----и cos----
12 12
cos
cos
— и
9
10.17*
Постройте график функции:
а) у = | cos х |; б) у = cos (л - х);
г) у = cos | х |; д) i/ = cosx+l;
у - cos2----sin2
2
у = | cos х + 0,5 |.
2
10.18* Сколько корней имеет уравнение:
a) cos х — х2; б) cos х = —х2;
\ Х \ Х О
в) cosx=—; г) cosx—---?
10 100
2S8
W.3. Ф' Г.’.ция У = tg X
Л
Если каждому действительному числу х, отличному от х = — + л/г,
2
где k — любое целое число, поставлено в соответствие число у, равное
тангенсу угла в х радиан, то говорят, что этим определена функция
y = tgx, (1)
называемая тангенсом числового аргумента х.
Областью определения функции (1) является множество всех
действительных чисел х, отличных от х = —F л/г, где k е Z, об-
2
ластью изменения — интервал (-со; +оо).
Отметим некоторые свойства функции у = tg х.
2
1. Функция у — tg х нечетная.
Функция у = tg х периодическая с главным периодом л.
i и? г . .«с г . v < 5:;.* я« - ла 'f ilif 1 I ?F? ? л
Функция у — tg х непрерывна на интервале
3 . • Ч Н жиг• ГТ.1 } it;* * \ 1 - -1
Функция у = tg х возрастает на интервале -
= ’ » * s’ «'.-.А. . » Г - I. 3 i а
2 :2
Л. _Л
2’ 2 J
Покажем справедливость этих свойств.
Как показано в п. 8.2, для любого а, для которого существует
tg а, справедливо равенство
tg (-а) = -tg а,
откуда и следует справедливость свойства 1.
Там же показано, что для любого а, для которого существует tg а,
tg (а + л) = tg а.
В п. 10.4 (задача 1) будет показано, что не существует положи-
тельного числа Т < л, такого, что для любого а из области определе-
ния функции у = tg х выполняется равенство tg (а + Т) = tg а. Отку-
да, учитывая, что функция у = tg х определена для всех х, кроме
х = — + л/г, где k е Z, и следует, что она периодическая с перио-
дом л, т. е. справедливо свойство 2.
Как показано в п. 8.1, для углов из интервала
изменению угла соответствует малое изменение тангенса, а это
означает, что функция у = tg х непрерывна на интервале
Тем самым показана справедливость свойства 3.
28$)
Тригонометрические функции числового аргумента
Как показано в п. 8.2, если углы осх
и а2 таковы, что
а
Л X X
ос2 < —, то справедливо неравенство tgax<tga
2. Это
и означает, что на интервале
функция у = tg х возрастает
2
т. е. справедливо свойство 4.
Из свойств 2—4 следует, что функция у = tg х непрерывна
и возрастает на каждом из промежутков
тс , тс ,
----1- лп; — + пп
2 2
П G Z,
Теперь перейдем к построению графика функции у = tg х.
Построим его сначала на полуинтервале
. Приведем таб-
лицу приближенных значений функции у = tg х для некоторых х из
этого полуинтервала (табл. 2).
Таблица 2
X 0 ТС 24 тс 12 тс 8 тс 6 5 тс 24
у = tgx 0 0,13 0,27 0,41 0,58 0,77
X тс 4 7тс 24 к| те Зтс 8 5 тс 12 11ТС 24
у = tgx 1 1,3 1,73 2,41 3,73 7,6
Отметим эти точки (х; у) на координатной плоскости хОу. Учи-
тывая, что на полуинтервале 0; — функция у = tg х непрерывно
возрастает от 0 до +оо, соединим отмеченные точки непрерывной ли-
нией. Полученную непрерывную кривую (рис. 136) можно рассмат-
ривать как приближенный график функции у = tg х на полуинтер-
вале 0; — .
2 I
Зная график у = tg х на полуинтервале 0; —
2
его можно по-
строить на интервале
2
— . Действительно, функция у = tg х не-
четная, поэтому ее график на полуинтервале-----; 0 симметричен
\ 2
10“Никольский, 10 кл.
290
Рис. 138
К 291
Тригонометрические функции числового аргумента
относительно начала координат ее графику на полуинтервале
имеет
Следовательно, график функции у = tg х на интервале
вид, как на рисунке 137.
Наконец, учитывая, что функция у = tg х периодическая с пе-
риодом л, получим ее график для всех х. График функции у = tg х
называют тангенсоидой, он имеет вид, как на рисунке 138, на кото-
ром изображена часть графика.
Так как функция у = tg х не определена в точках — + лп, п е 2,
то тангенсоида имеет бесконечно много ветвей — частей ее графика
на интервалах
п е 2.
10.19° а) В каком случае говорят, что задана функция у = tg х чис-
лового аргумента х?
б) При каких значениях х определена функция у = tg х?
в) Сформулируйте свойства функции у = tg х.
10.20 Постройте график функции у — tg х по точкам на интервале
10.21° а) Является ли функция у = tg х четной (нечетной)? Дока-
жите.
б) Какое свойство графика функции у = tg х следует из до-
казанного утверждения?
в) Постройте график функции у = tg х на интервале
используя это свойство.
г) На каком промежутке функция у = tg х, х е -
положительна? отрицательна?
10.22.° а) Является ли периодом функции у = tgx число: 0; —; ;
л; -л; —; ; 2л; -2л?
2 2
б) Каков главный период функции у = tg х?
в) Какое свойство графика функции у = tg х следует из ее
периодичности ?
г) Как называют график функции у = tg х?
ю*
jj%292
10.23
10.24
Укажите три числовых промежутка, на каждом из которых
функция у — tg х возрастает.
Сравните:
a) tg и tg
ч . 7 л . 8 л
в) tg — и tg —;
У У
ч , к . 13л
д) tgHMtgir;
г) tg
е) tg
б) tgf-ijntgf-|
10.25* Постройте график функции:
а) У = I tg х |; б) у = tg | х ;
г) у = tg X - 1; д) у - I tg х - 11;
в) У = tg (л - х);
е) у = tg х cos х.
10.4. Функция у — ctg х
Если каждому действительному числу х, отличному от х = л/г,
где keZ, поставлено в соответствие число у, равное котангенсу
угла в х радиан, то говорят, что этим определена функция
i/ = ctgx, (1)
называемая котангенсом числового аргумента х.
Областью определения функции (1) является множество всех
действительных чисел х, отличных от х = л/г, где k е Z, областью
изменения — интервал (—оо; +оо).
Отметим некоторые свойства функции (1).
SlSrl. Функция ctgx нечетная.Se«8SSSSS»SSSe»iBee
2. Функция ctg х периодическая с главным периодом л.
3. Функция ctgx непрерывна на интервале (0; л).
SL 4. Функция ctgx убывает на интервале (0; л),
га* ЛР ЧВ' i 13В В* • * М Г-*** '• t Я ' Ь ЛЬ ЛЙ ВЛ ЯВ Ж 111 "7 ЛВ — Г-r. Ж' ~ । I?'-: fl-2 > I ' ' • ' * М ВЙ • М Я47 И л* «у г- 3 w ГУ U Ал
о I • : t и > > • 1 В t ’ "> щ.... i • % • г * « *"ь -г : . 4 . j-.e > .,Яв - тИ- Sa <5 -*. ус •
Покажем справедливость этих свойств.
Как показано в п. 8.2, для любого а, для которого существует
ctg а,
ctg (-а) = -ctg а,
откуда и следует справедливость свойства 1.
Там же показано, что для любого а, для которого существует ctg а,
ctg (а + л) = ctg а.
Ниже (задача 2) будет показано, что нет положительного числа
Т < л, такого, что ctg (а + Т) = ctg а для любого а из области опре-
деления функции у = ctg х. Откуда, учитывая, что функция у = ctg х
определена для всех х, кроме х = л/г, где й g Z, и следует, что она
периодическая с периодом л, т. е. справедливо свойство 2.
293
Тригонометрические функции числового аргумента
Так как
ctg х - tg
(2)
а функция у = tg х непрерывна на интервале
то из ра-
венств (2) следует, что функция у = ctg х непрерывна на интервале
(0; л). Тем самым показана справедливость свойства 3.
Как показано в п. 8.2, если углы схг и а2 таковы, что выпол-
няется неравенство 0 < < а2 < л, то справедливо неравенство
ctg > ctg а2. А это и означает, что на интервале (0; л) функция
у = ctg х убывает. Следовательно, свойство 4 справедливо.
Из свойств 2—4 следует, что функция у = ctg х непрерывна
и возрастает на каждом из промежутков (0 + лп; л + лп), п е Z.
Из равенств (2) следует, что график функции у = ctg х можно
получить из графика функции у = tg х так: надо перенести его впра-
7t
во на —, а затем отобразить симметрично относительно оси Ох. По-
этому график функции у — ctg х будет иметь вид, как на рисун-
ке 139. График функции у = ctg х называют котангенсоидой.
Так как функция у = ctg х не определена в точках х = пп, п е Z,
то котангенсоида имеет бесконечно много ветвей — частей ее гра-
фика на интервалах (лп; л + лп), п е Z.
ЗАДАЧА 1. Докажем, что не существует положительного числа
Т, меньшего л, такого, что для любого х из области определе-
ния функции у = tg х выполняется равенство
(3)
tg (х + Т) = tg х.
Рис. 139
Д 294
Проведем доказательство методом от противного. Предполо-
жим, что существует число Т (0 < Т < л), такое, что для любого х
выполняется равенство (3). Тогда, в частности, оно выполняется
для х = 0, т. е. справедливо равенство
tg Т = 0.
(4)
Как показано в п. 8.3 (пример 4), равенство (4) справедливо
лишь для Т = itk, keZ,a наименьшее положительное из них равно тс.
Получилось противоречие, т. е. не существует положительного числа Т,
меньшего тс, такого, что для любого х выполняется равенство (3).
ЗАДАЧА 2. Докажем, что не существует положительного чис-
ла Т, меньшего тс, такого, что для любого х из области определения
функции у = ctg х выполняется равенство
(5)
ctg (х + Т) = ctg х.
Так как равенство (5) можно переписать в виде
то из справедливости утверждения задачи 1 следует справедливость
утверждения задачи 2. ф
10.26° а) В каком случае говорят, что задана функция у — ctg х
числового аргумента х?
б) При каких значениях х определена функция у = ctg х?
10.2 7° Сформулируйте свойства функции у = ctg х.
10.2 8 Постройте график функции у — ctg х по точкам на интервале
(О; л).
10.2 9° а) Является ли функция у = ctg х четной (нечетной)? Докажите,
б) Какое свойство графика функции у = ctg х следует из до-
казанного утверждения?
в) Постройте график функции у = ctg х на множестве
(-л; 0) U (О; л), используя это свойство.
г) На каком промежутке функция у = ctg х, х е (0; л), поло-
жительна? отрицательна?
7t 7t
10.30 ° а) Является ли периодом функции у = ctg х число: 0; —; —;
Зл Зл п о о 2 2
л; -л; —;----; 2л; -2л?
2 2
б) Каков главный период функции у = ctg х?
в) Какое свойство графика функции у = ctg х следует из ее
периодичности ?
г) Как называют график функции у = ctg х?
295
Тригонометрические уравнения и неравенства
10.31 Укажите три числовых промежутка, на каждом из которых
функция у = ctg х убывает.
10.32 Сравните:
ч . л .6л
a) ctg — и ctg —;
б)
ctg
ч . 7л . 8л
в) ctg — и ctg —
ч . л . 13л
Д) ctg — и ctg-----
11 12
10.33 * Постройте график функции:
а) У = I ctg х |; б) у = ctg | х |;
г) у = ctg (л - х); д) у = ctg х + 1;
в) у = ctg х sin х;
е) у = | ctg х + 11.
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения
Функции у — sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют основ-
ными тригонометрическими функциями.
Кроме основных тригонометрических функций, иногда рас-
сматривают и следующие тригонометрические функции:
у = —-— и у = —-—. Первую из них называют секансом х и обо-
cos х sin х
значают у = sec х, а вторую называют косекансом х и обознача-
ют у = cosec х, т. е.
1
sec х =------,
cos х
1
cosec х =-------.
sin x
Основные тригонометрические функции являются функциями
числового аргумента х в том смысле, что они являются функциями
угла, радианная мера которого равна числу х. Говоря об основных
тригонометрических функциях, можно не различать число х и
угол, радианная мера которого равна х.
Уравнение
/(х) = а, (1)
где а — данное число, a f (х) — одна из основных тригонометрических
функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.
И 296
Говорят, что простейшее тригонометрическое уравнение (1)
имеет период Т > О, если функция у = f (х) имеет период Т. Очевид-
но, что если для некоторого простейшего тригонометрического
уравнения с периодом Т найдено некоторое решение х0, то любое
число xk = х0 + kT при любом целом k также является решением
этого уравнения. При этом множество всех решений вида xk — х0 +
+ kT, где k пробегает все целые числа, называют серией решений
этого уравнения и записывают в виде
Отметим, что в пп. 7.5, 7.6, 8.3 и 8.4 рассматривались задачи,
в которых надо было найти все значения углов, при каждом из кото-
рых значение соответствующей основной тригонометрической функ-
ции равнялось данному числу а. Хотя там речь шла об угле, подразу-
мевалось, что речь идет о числе — радианной мере этого угла.
В данном пункте можно обобщить решение задач из указанных
пунктов, переформулировав их как задачи решения уравнений
вида (1).
1. Уравнение sin х = а. Пусть дано простейшее уравнение
sin х = а.
Данное уравнение:
а) при — 1 < а < 1 имеет две серии решений:
xk = arcsin а + 2nk, k е Z, и xm = л - arcsin а + 2лтп,
(см. п. 7.5, задача 1).
Эти серии решений иногда записывают так:
хп — (—1)” arcsin а 4- лп, п е Z.
m g Z
При четном п = 2k получим серию решений
п = 2m + 1 получим серию решений хт;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
(см. п. 7.5, задача 2);
хй, а при нечетном
в) при а = — 1 имеет одну серию решений xk ~ - — 4- 2л/г, k е Z
(см. п. 7.5, задача 3);
г) при а > 1 и при а < — 1 не имеет решений (см. п. 7.5, задача 4).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение sin х = 0,2.
Уравнение имеет две серии решений:
хъ — arcsin 0,2 4- 2л/г, k е Z; xm = п - arcsin 0,2 4- 2лтп,
ft- Iftf
m е Z.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение sin х = -
Уравнение имеет две серии решений:
хь = arcsin
к
= л - arcsin
4- 2лтп,
m е Z.
297
Тригонометрические уравнения и неравенства
Так как
arcsin
то эти две серии решений уравнения
можно записать так:
х. = - — + 2я/г, keZ; х = — 4- 2пт, т е Z.
Ко 7 771 о
ПРИМЕР 3. Решим уравнение sin х = 0.
Уравнение имеет две серии решений: хк = arcsin 0 + 2nk, k g Z\
xm = n - arcsin 0 + 2nm, m g Z. Так как arcsin 0 = 0, то эти две серии
решений можно записать так: хк = 2я&, k g Z\ хт = я + 2ят, т g Z.
Обе серии решений уравнения можно объединить в одну серию:
хп - ЯП, П G Z.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение sinx= —.
2
। л
Так как ] sin х < 1, а — > 1, то уравнение не имеет решений.
2. Уравнение cos х = а. Пусть дано простейшее уравнение
cos х = а.
Данное уравнение:
а) при -1 < а < 1 имеет две серии решений:
хк = arccos а + 2як, k g Z, и хт = -arccos а + 2ят, т g Z
(см. п. 7.6, задача 1).
Эти серии решений иногда записывают так:
хк — ±arccos а + 2я/г, k g Z*,
б) при а = 1 имеет одну серию решений хк = 2як, k g Z
(см. п. 7.6, задача 2);
в) при а = -1 имеет одну серию решений хк = я + 2яй, k g Z
(см. п. 7.6, задача 3);
г) при а > 1 и при а <-1 не имеет решений (см. п. 7.6, задача 4).
ПРИМЕР 5. Решим уравнение cos х = 0,3.
Уравнение имеет две серии решений:
хк - arccos 0,3 4- 2я/г, k е Z; хт = -arccos 0,3 + 2ятп, иг е Z
V3
ПРИМЕР 6. Решим уравнение cosx = .
Уравнение имеет две серии решений: xk = arccos
2яА?
2
3
2
то эти две серии решений уравнения можно записать так:
х. = — + 2я&, k е Z; хт = - — 4- 2ятп, т g Z.
k з 9 т з
= -arccos
+ 2ятп, т е Z. Так как arccos
/3
2
2я
3
298
ПРИМЕР 7. Решим уравнение cos х = О.
Уравнение имеет две серии решений: хк = arccos О + 2л£, k g И;
= -arccos 0 + 2ятп, т е Z. Так как arccos О = —, то эти две се-
рии решений уравнения можно записать так: хк = —ь 2nk, k е Z;
xm = — + 2лтп, т g Z. Обе серии можно объединить в одну серию:
ПРИМЕР 8. Решим уравнение cos х = 1,2.
Так как | cos х | 1, а 1,2 > 1, то уравнение не имеет решений.
3. Уравнение tg х = а. Пусть дано простейшее уравнение
Это уравнение при любом а е R имеет одну серию решений
хк = arctg а + itk, k е Z (см. задачу из п. 8.3).
ПРИМЕР 9. Решим уравнение tg х — 0,7. Уравнение имеет одну
серию решений
ПРИМЕР 10. Решим уравнение tg х =----.
3
Уравнение имеет одну серию решений хк = arctg
3
k € Z, Так как arctg -
то эту серию можно записать так:
k
4. Уравнение ctg х = а. Пусть дано простейшее уравнение
ctg х = а.
Это уравнение при любом а е R имеет одну серию решений
хк = arcctg а + nk, k е Z (см. задачу из п. 8.4).
ПРИМЕР 11. Решим уравнение ctg х = 3.
Уравнение имеет одну серию решений
хк = arcctg 3 + 7гЛг, k е Z.
ПРИМЕР 12. Решим уравнение ctg х = —л/3.
Уравнение имеет одну серию решений
Так как arcctg (- л/З) =
то эту серию можно записать так:
k
299
Тригонометрические уравнения и неравенства
11.1 Какие уравнения называют простейшими тригонометрически-
ми уравнениями?
Решите уравнение (11.2—11.6):
11.2
a) sin х = 1;
г) cos х = 1;
ж) tg х = 1;
к) ctg х = 1;
11.3
а)
1
sinx = —;
2
б)
д)
3)
л)
б)
д)
sin х = -1;
cos х = -1;
tg х = -1
ctg x = -1;
V2
sinx = —;
2
42
sm x =-----;
2
з)
Л)
cosx =
cosx =
в)
е)
и)
м)
в)
е)
и)
м)
sin х = 0;
cos х = 0;
tg х = 0;
ctg x = 0.
4з
sinx = —;
2
4з
sin x =----;
2
7з
cosx = —;
2
4з
cosx =-----.
2
к)
cos X = -
11.4
6) tg x = V3;
4 x 4з
д) ctg x = —;
О
e) ctg x = д/З;
ж) ctg X = -
з) ctg X = -д/з.
11.5* a) sinx = i;
7
Д) tg x = 42;
11.6*a) sinx=—;
4
4 45
r) cos X =----
4
6)
1
COS X •
3
в) sin
r)
e) ctg x = 2;
ж) tg x = -5;
6) cos x =
д) sin x =
3)
в) sin x =
e) cos x =
3
cosx = —;
8
ctg x = —4.
1
sinx = —;
2
ж) cosx = —;
11.7* При каких значениях а имеет хотя бы одно решение уравнение:
a) sin х = а; б) cos х = а; в) tg х = а; г) ctg х = а?
11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного
Рассмотрим примеры решения уравнений, которые после введе-
ния нового неизвестного t — f (х), где f (х) — одна из основных три-
гонометрических функций, превращаются в квадратные либо ра-
циональные уравнения с неизвестным t.
300
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
2 cos2 х 4- 3 cos х 4- 1 = 0. (1)
Введем новое неизвестное cos х = t, тогда уравнение (1) превра-
щается в квадратное уравнение с неизвестным t:
2t2 + St + 1 = 0. (2)
Уравнение (2) имеет два корня = — 1 и t2 = Следовательно,
множество всех решений уравнения (1) есть объединение множеств
всех решений двух уравнений:
. 1
cos X = — 1 и COS X = .
2
Решая каждое из этих простейших тригонометрических урав-
нений, находим, что множество всех решений уравнения (1) состоит
из трех серий решений:
хт = я 4- 27С7П, т е Z\ х = — 4- 2тсп, п е. Z; хъ = 4- 2nk, keZ,
• ft fl К о
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
(sin х - 0,5) (sin х 4- 1) = 0.
(3)
Сделав замену неизвестного t = sin х, получим распадающееся
уравнение
(t - 0,5) (t + 1) = 0,
имеющее два решения = 0,5 и t2 = -1.
Множество всех решений уравнения (3) есть объединение мно-
жеств всех решений двух уравнений:
sin х = 0,5 и sin х = —1.
Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что мно-
жество всех решений уравнения (3) состоит из трех серий решений:
хт = — 4- 2птп, т е Z; х„ = — 4- 2пп, п е Z; х. = - — 4- 2nkf k е Z.
т Q п 6 k 2
Замену неизвестного в простых уравнениях, как в примере 2,
обычно не записывают, делая запись решения короче, как в примере 3.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
cos2 х = 1. (4)
Сначала перепишем уравнение в виде
(cos х - 1) (cos х 4- 1) = 0.
Множество всех решений уравнения (4) есть объединение мно-
жеств всех решений двух уравнений:
cos х = 1 и cos х = -1.
301
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что мно-
жество всех решений уравнения (4) состоит из двух серий решений:
хт = 2лтп, т е Z\ х„ = л + 2лп, п е Z.
т 7 7 п 7
Обе эти серии можно объединить в одну серию:
xk - nk, k е Z.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
" tgx_^5_ = 2. (5)
tg X
Введем новое неизвестное tg х = t. Уравнение (5) превраща-
ется в рациональное уравнение с неизвестным t:
t
имеющее два решения = 5 и = -3.
Значит, множество всех решений уравнения (5) есть объедине-
ние множеств всех решений двух уравнений:
tg х = 5 и tg х = -3.
Решая каждое из этих простейших тригонометрических урав-
нений, находим, что множество всех решений уравнения (5) состоит
из двух серий решений:
хт = arctg 5 + пт, т е Z; xn= -arctg 3 + лп, neZ.t
Рассмотрим примеры решения уравнений, которые после введе-
ния нового неизвестного t = ах + Ъ превращаются в простейшие три-
гонометрические уравнения с неизвестным t.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
sin Зх = 0.
Введем новое неизвестное Зх = t, уравнение (6) превраща-
ется в простейшее тригонометрическое уравнение с неизвестным t:
sin t = 0. (7)
Уравнение (7) имеет одну серию решений tn — лп, п с Z.
Следовательно, множество всех решений уравнения (6) нахо-
дится из условия
(6)
откуда находим все решения уравнения (7):
лл. г,
х = —, п е. Z.
п 3
Замену неизвестного в простых уравнениях, как в примере 5,
обычно не записывают, делая запись решения короче, как в приме-
рах 6 и 7.
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
cos [ 2х — — I = —1. (8)
Множество всех решений этого уравнения задается формулой
2х„ - — = л + 2пп, п € Z,
п 4 ’
откуда находим серию решений уравнения (8):
5л , „
хп------ь лп, п е Z,
п 8
ПРИМЕР 7. Решим уравнение
tg I - - х I = >/з. (9)
\ 4 )
Множество всех решений этого уравнения задается формулой
— — хп = — + лп, и е Z,
4 3
откуда находим все решения уравнения (9):
я
п 12
11.8
Решите уравнение (11.8—11.14):
a) sin х (sin х + 1) = О;
в) sin2 х - sin х = 0;
д) tg2 х - tg х = 0;
ж) ctg2 х - ctg x = 0;
6) cos x (cos x - 1) = 0;
г) cos2 x + cos x = 0;
e) tg2 x + tg x — 0;
з) ctg2 x + ctg x = 0.
11.9
a) sin2 x = 1;
r) ctg2 x = 1;
ж) tg2 x = 3;
\ 2 3
к) cos x = —;
4
6) cos2 x = 1;
x . 2 1
д) sm x=
4
v , 2 1
з) ctg x = —;
3
л) ctg2 x = 3;
в) tg2 x = 1;
x 2 1
e) cos x = —;
4
\ ♦ 2 1
и) sin x = —;
2
V , 2 1
M) tg X = -.
0
11.10
a) sin2 x - 4 sin x + 3 = 0;
в) sin2 x + 3 sin x + 2 = 0;
д) tg2x + 2tgx-3 = 0;
ж) 6 tg2 x - tg x - 1 = 0;
и) sin2 x + 2 sin x + 1 = 0;
11.11* a) tg2x-----------= 2,5;
tg x - 1
6) cos2 x + 5 cos x — 6 = 0;
r) 2 cos2 x + 5 cos x + 3 = 0;
e) 5 tg2 x + 6tgx+l = 0;
з) 4 tg2 x - 7 tg x - 2 = 0;
к) cos2 x — 2 cos x + 1 = 0.
6) 3 tg2 x + -5-1-= -0,5.
tg2 x - 1
303
Тригонометрические уравнения и неравенства
11.12
sin 2х = 1;
4
11.13
cos Зх = 0;
и)
ctg (-4х) = 1; м)
б)
sin — =
г)
cos
ctg
cos Зх = -
cos
ctg Зх -
Зл
. 4
Зл
4
2
6
2
2
3
11.14* a) sin2 х = —;
3
\ 2 1
г) cos х = —;
2 1
б) cos х = —;
5
д) tg2 х = 4;
\ • 2 1
в) sin х = —;
5
е) ctg2 х = 2.
11.3. Применение основных тригонометрических
формул для решения уравнений
В этом пункте на примерах показано применение некоторых
тригонометрических формул при решении уравнений.
1. Применение основного тригонометрического тождества.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
3 sin х = 2 cos2 х. (1)
Применяя основное тригонометрическое тождество sin2 х +
+ cos2 х = 1, перепишем уравнение (1) в виде
2 sin2 х + 3 sin х - 2 = 0. (2)
304
Введем новое неизвестное sin х = t, тогда уравнение (2) превра-
щается в квадратное уравнение с неизвестным t:
2t2 + 3t - 2 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет два корня = — и t2 = -2. Поэтому множе-
2
ство всех решений уравнения (2), а значит и уравнения (1), есть
объединение множеств всех решений уравнений:
1 . о
sm х = — и sm х = —2.
2
Все решения первого из них состоят из двух серий:
х = — + 2лт, т g Z; х = — + 2лп, п е Z.
т 6 п 6
Второе уравнение не имеет решений, следовательно, все реше-
ния уравнения (1) состоят из двух серий:
хт = — + 2лт, т g Z; х = —- + 2лп, п е Z.
т 6 п 6
2. Применение формул сложения.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
sin 5х cos Зх = sin Зх cos 5х.
(4)
Перенеся все члены уравнения (4) в левую часть и применив
формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение (4) в виде
sin 2х = 0. (5)
Все решения уравнения (5), а значит и уравнения (4), удовлет-
воряют условию
2хт = пт, т е Z.
ТП 1
Следовательно, уравнение (4) имеет одну серию решений
т е Z.
3. Понижение кратности углов. В некоторых случаях при реше-
нии тригонометрических уравнений бывает удобно синусы и косинусы
кратных углов выражать через синусы и косинусы самих этих углов.
ПРИМЕР 3. Решим уравение
sin 2х cos х + 2 sin3 х = 1. (6)
Применив формулу синуса двойного утла, перепишем уравне-
ние (6) в виде
2 sin х (cos2 х + sin2 х) = 1.
Применив основное тригонометрическое тождество, перепишем
это уравение в виде
sinx = —. (7)
2
305
am ।
Тригонометрические уравнения и неравенства
Уравнение (7), а значит и уравнение (6), имеет две серии решений:
хм = — + 2пт, mcZ; х„ = — + 2тш, п е Z.
m 6 л 6
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
cos 2х - sin х = 0. (8)
Применив формулу косинуса двойного угла, перепишем уравне-
ние (8)в виде
2 sin2 х + sin х - 1 = 0. (9)
Введем новое неизвестное sin х = i, тогда уравнение (9) превра-
щается в квадратное уравнение с неизвестным t:
имеющее корни tr = -1 и t2 = —.
Следовательно, множество всех решений уравнения (9) есть
объединение множеств всех решений двух уравнений:
sin х = -1
и sin х = —
Решая каждое из этих простейших тригонометрических урав-
нений, находим, что множество всех решений уравнения (9), а зна-
чит и уравнения (8), состоит из трех серий решений:
xk = - — + 2nk, k е Z\
хт = — + 2тст, т е Z; х = — + 2лп, n g Z.
т 6 ”6
уравнения. Если в уравнении имеется
4. Понижение степени
синус или косинус в четной степени, то, выражая квадраты си-
нуса и косинуса половинного угла через косинус угла, можно
понизить степень уравнения.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
sin2
cos2
(Ю)
Применяя формулы квадрата синуса и квадрата косинуса поло-
винного угла, перепишем уравнение (10) в виде
1 - cos 2
2
(И)
Так как cos 2
= cos
= sinx
a cos 2
2
2
2
= cos
2
= —sinx, то уравнение (11) можно переписать в виде
1
sm х = —
2
(12)
306
Множество всех решений уравнения (12), а следовательно
и уравнения (10), состоит из двух серий решений:
х. = — + 2nk, keZ; х = — + 2лп, п g Z. •
k 6 п 6
Решите уравнение (11.15—11.23):
11.15 а) 2 sin2 х = 3 cos х; б) 2 cos2 х + 3 sin х = 0;
в) 2 cos2 х + 2 cos х + sin2 х = 0; г) sin2 х + 2 cos х - 2 = 0.
11.16 a) sin 2х cos х — sin х cos 2х = 1;
б) sin Зх cos х + sin х cos Зх = 0;
в) cos 5х cos 4х + sin 5х sin 4х = 1;
г) cos 2х cos х — sin 2х sin х = —1;
д) cos 2000х cos 1999х + sin 2000х sin 1999х = 0,5;
е) sin 2001х cos 2000х - sin 2000х cos 2001х = -0,5.
11.17 a) sin х cos — + sin — cos x = 0;
3 3
6) cos x cos — - sin x sin —- = 1.
4 4
11.18* a) — sinxcos x =
2 2 2
в) sin x - VS cos x = 2;
д) sin x + cos x = -1;
д/з . 1 V3
б) —smx + —cosx=—;
2 2 2
г) V2cosx + v2 sinx = 1;
e) cos x + sin x = 0.
11.19
a) sin 2x cos x - 3 sin2 x = 0; 6)
в) cos 2x + cos x = 0; r)
д) 1,5 - 2 cos 2x = 5 cos x; e)
ж) 2 cos 2x — 3 = 8 cos x; з)
и) 2 sin (0,5л + 2x) + cos x = 3; к)
sin 2x cos x — 2 sin x = 0;
cos 2x - cos x = 0;
0,5 + 2 cos 2x = 3 sin x;
2 cos 2x — 5 - 8 sin x;
cos x + sin (1,5л + 2x) = 0.
5tc
11.20 a) 2 cos 2x + 4 sin x = 3. Является ли число — решением
этого уравнения?
7 7Г
б) 2 cos 2х + 3 = 4 cos х. Является ли число---решением
этого уравнения?
11.21 а) 3 cos 2х - 5 cos х = 1; б) 2 cos 2х + 4 sin х = 3.
Сколько решений имеет это уравнение на отрезке [0; 2л]?
Выпишите их.
307
Тригонометрические уравнении и неравенства
11.22 a) cos 2х + 3 sin х = 2. Укажите его наибольшее решение,
принадлежащее отрезку [-Зл; л].
б) cos 2х + 2 = 3 cos х. Укажите его наименьшее решение,
принадлежащее отрезку [-2,5л; —0,5л].
11.23* a) cos 4х + 6 sin2 х - 1; б) cos 4х + 6 cos2 х = 1.
11.4. Однородные уравнения
Уравнение
a sin х + b cos х = 0, (1)
где а Ф 0 и 5^0, называют однородным тригонометрическим урав-
нением первой степени.
Покажем, что при а * 0 и b * 0 уравнение (1) равносильно урав-
нению
a tg х + b = 0. (2)
Пусть х0 — корень уравнения (1), тогда справедливо числовое
равенство
a sin xQ + b cos х0 = 0. (3)
Из справедливости равенства (3) следует, что число cos xQ от-
лично от нуля (в противном случае, т. е. если cos х0 = 0, из равенст-
ва (3) следует, что и sin х0 = 0, но одновременно эти равенства вы-
полняться не могут). Разделив обе части равенства (3) на не равное
нулю число cos х0, получим, что справедливо равенство
a tg х0 + Ъ = 0. (4)
Равенство (4) означает, что число х0 есть корень уравнения (2).
Мы показали, что любой корень уравнения (1) является корнем
уравнения (2). Аналогично показывается, что любой корень уравне-
ния (2) является корнем уравнения (1). Следовательно, уравне-
ния (1) и (2) равносильны.
Так как а 0, то уравнение (2) можно переписать в виде
откуда находим
и уравнения (1):
все решения уравнения (2), а следовательно,
= arctg
+ лп, п е Z,
которые можно переписать в виде
Ц308
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
sin х + cos х = 0.
Уравнение (5) равносильно уравнению
tg х + 1 = О,
имеющему одну серию решений х = + ли, п е Z.
п 4
Следовательно, уравнение (5) имеет одну серию решений:
-----F лп, п е Z.
4
Уравнение
an sin” х + ал sin” “ 1 х cos х + aQ sin" “ 2 х cos2 х + ...
U _1_ zv -v z»z4on - 1 V 1 Z¥ „ п
... + ап _ j sin х cos х + ап cos х = О,
(6)
где п g N и хотя бы два из коэффициентов а0,
а отличны
от нуля, называют однородным тригонометрическим уравнением
степени п.
Рассмотрим уравнение (6) в случае а0 0. Так же как для одно-
родного тригонометрического уравнения первой степени, показыва-
ется, что в этом случае уравнение (6) равносильно уравнению
а0 tg” х + tg" “1 х + ... + ап — 0. (7)
Сделав замену неизвестного tg х = t в уравнении (7), получим
уравнение
aQtn + artn ~ 1 + ... + ап = 0. (8)
Если удастся найти все корни t2> ...» tk уравнения (8), то
остается решить каждое из уравнений
tg х — t19 tg х = t
2»
(9)
• ••» tg X — t^.
Тогда множество всех решений исходного уравнения (6) есть
объединение множеств всех решений всех уравнений (9).
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
3 sin2 х - 5 sin х cos х + 2 cos2 х = 0.
Уравнение (10) равносильно уравнению
3 tg2 x-5tgx + 2 = 0.
(Ю)
(ID
Сделав замену неизвестного tg х = t, получим квадратное урав-
нение
St2 - 5? + 2 = 0,
имеющее корни tr — 1 и t
Следовательно, множество всех решений уравнения (11) есть
объединение множеств всех решений двух уравнений:
, 1Х 2
tg х = 1 и tg х = —.
309
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решая каждое из этих простейших тригонометрических урав-
нений, находим, что множество всех решений уравнения (11), а зна-
чит и уравнения (10), состоит из двух серий решений:
х. = — + л/г, k g Z; хт — arctg — + лтп, т е Z.
п л TTL
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
sin3 х - sin2 х cos х - 4 sin х cos2 х + 4 cos3 х = 0. (12)
Уравнение (12) равносильно уравнению
tg3 х - tg2 x-4tgx + 4 = 0. (13)
Сделав замену неизвестного tg х = t, получим уравнение
t3 - t2 - 4t + 4 = 0,
имеющее корни = 1, t2 = 2, t3 = — 2.
Следовательно, множество всех решений исходного уравне-
ния (12) есть объединение множеств всех решений трех простейших
тригонометрических уравнений:
tg х = 1, tg х = 2, tg х = -2.
Решая каждое из этих простейших тригонометрических урав-
нений, находим, что множество всех решений уравнения (13), а зна-
чит и уравнения (12), состоит из трех серий решений:
— + яд, n g Z; arctg 2 + л/г, k g Z; -arctg 2 + лтп, т g Z. Ф
4
Замечание. В пункте 11.8 показан другой способ решения одно-
родных уравнений первой и второй степени.
11.24 Какое уравнение называют однородным тригонометриче-
ским уравнением первой степени? Приведите примеры.
11.25 * Какое уравнение называют однородным тригонометриче-
ским уравнением степени п? Приведите примеры.
Решите уравнение (11.26—11.27):
11.26
11.27
a) sin х - cos х = 0;
в) v3 sin х — cos x = 0;
д) sin x - VS cos x = 0;
a) sin x - 2 cos x = 0;
в) 2 sin x - cos x = 0;
д) 2 sin x - 3 cos x = 0;
6) sin x + V3 cos x = 0;
r) v3 sin x + cos x = 0;
e) V2 sin x + 5/2 cos x = 0.
6) sin x + 5 cos x = 0;
r) 5 sin x + cos x = 0;
e) 5 sin x + 3 cos x = 0.
11.28 * Докажите, что уравнение
sin X "4* sin X cos х -f* sin X COS X 4“ • • •
... "4" Q„____________1 Sin X COS X "4“ CLn COS X — 0,
9 4 L fl
310
где п е 7V, а0 Ф 0 и еще хотя бы один из коэффициентов а19
а29 ...» ап отличен от нуля, равносильно уравнению
а0 tgn х + ах tgn ~1 х + ... + ап = О.
Решите уравнение (11.29—11.31):
11.29 * a) sin2 х - 3 sin х cos х + 2 cos2 х = О;
б) sin2 х + 3 sin х cos х - 4 cos2 х = О;
в) 5 sin2 х - 7 sin х cos х + 4 cos2 х = 1;
г) 5 sin2 х - 17 sin х cos х + 4 cos2 х + 4 = 0;
д) 3 cos2 х - sin 2х = 0,5;
е) sin 2х + 5 sin2 х = 1,5.
11.30 * а) sin3 х - 2 sin2 х cos х - sin х cos2 х + 2 cos3 х = 0;
б) sin3 х - sin2 х cos x - 3 sin x cos2 x + 3 cos3 x = 0;
в) sin3 x — 7 sin x cos2 x - 6 cos3 x = 0;
r) sin3 x - 7 sin x cos2 x + 6 cos3 x = 0;
д) sin3 x + sin2 x cos r - 10 sin x cos2 x + 8 cos3 x = 0;
e) sin3 x + 2 sin2 x cos x - 5 sin x cos2 x — 6 cos3 x = 0.
11.31* a) 2 cos 4x - cos3 x = 2 — 16 cos2 x;
6) 4 sin2 x + sin 4x + 2 sin 2x sin 4x = 2;
в) cos 3x cos x - 2 cos 2x + 1 = 0;
r) sin 3x + 2 sin 3x cos 2x — sin x = 0.
11.5". Простейшие неравенства
для синуса и косинуса
Неравенства
и
/(х) > а
f (х) < а,
(1)
(Г)
где а — данное число, a f (х) — одна из основных тригонометри-
ческих функций, называют простейшими тригонометрическими
неравенствами.
Отметим, что в пп. 7.7 и 8.5 рассматривались задачи, в которых
надо было найти все значения углов, при каждом из которых значение
соответствующей основной тригонометрической функции было боль-
ше (меньше) заданного числа а. Хотя там речь шла об углах, подра-
зумевалось, что речь идет о числах — радианных мерах этих углов.
Учитывая сказанное, рассмотренные в пп. 7.7 и 8.5 задачи
можно переформулировать как задачи решения неравенств вида (1)
или (!')• Поэтому здесь можно подвести итог тому, что было сделано
311
Трнгоиомогричсскил уравнения н неравенства
ранее. Но сначала сделаем несколько общих замечаний, относящих-
ся к неравенствам (1) и (Iх).
Пусть y = f (х) — некоторая основная тригонометрическая функ-
ция с периодом Т > 0 и пусть дано неравенство (1).
Выберем промежуток длиной Г, и пусть множество всех реше-
ний неравенства (1) на этом промежутке есть интервал Хо = (а; р),
где а < р и р-а^Т.
Тогда, используя периодичность
функции у = f (х), получим
что множество всех решений неравенства (1) есть объединение
бесконечного множества всех интервалов Xk = (а + kT; р + /?Т), где
k — любое целое число. Это бесконечное объединение интервалов
будем называть серией интервалов и в дальнейшем будем записы-
вать в виде
Xk = (а + kT; Р + kT), keZ.
(2)
Таким образом, будем в дальнейшем говорить, что множество
всех решений неравенства (1) есть серия интервалов (2).
Заметим еще, что интервал длиной Т можно взять любым, но
обычно его выбирают таким, чтобы он удовлетворял двум условиям:
во-первых, он должен содержать промежуток, на котором для дан-
ной функции у = f (х) определен соответствующий arcsin а, или
arccos а, или arctg а, или arcctg а; во-вторых, чтобы множество всех
решений данного неравенства на этом промежутке представляло со-
бой один интервал.
1. Неравенства sin х > а и sin х < а.
Пусть дано простейшее неравенство
sin х > а. (3)
а) При -1 < а < 1 множество всех решений неравенства (3) есть
серия интервалов
Xk = (arcsin а + 2л/г; л - arcsin а + 2nk), k е Z (4)
(см. п. 7.7, задача 3).
б) При а > 1 неравенство (3) не имеет решений.
в) При а < -1 решением неравенства (3) является любое дейст-
вительное число.
г) При а = -1 решением неравенства является любое действи-
тельное число, отличное от - — + 2nk, k е Z.
2
Пусть дано простейшее неравенство
sin х < а. (5)
а) При -1 < а < 1 множество всех решений неравенства (5) есть
серия интервалов
Xk = (л - arcsin а + 2 лАг; 2л + arcsin а + 2л/г), k е Z (6)
(см. п. 7.7, задача 3).
** 312
yl
Рис. 140
б) При а > 1 решением неравенства (5) является любое действи-
тельное число.
в) При а = 1 решением неравенства (5) является любое действи-
ТС
тельное число, отличное от —ь 2 л/г, k g Z.
2
г) При а — 1 неравенство (5) не имеет решений.
Приведенные выше решения неравенств (3) и (5) можно допол-
а | < 1 (рис. 140). Из рисунка видно, что на проме-
нить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций
У
жутке длиной 2л (главный период функции у = sin х) от а0 = arcsin а
до 2л + а0 решениями неравенства (3) являются все х из промежутка
а0 < х < Ро,
а решениями неравенства (5) являются все х из промежутка
р0 < х < 2л + а0,
где ро = л - а0.
Из рисунка также видно, что на всей оси Ох решениями нера-
венства (3) являются все х из серии интервалов (4), а решениями не-
равенства (5) являются все х из серии интервалов (6).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
(7)
Так как —1 < —
2
1, то множество всех решений неравенства (7)
есть серия интервалов
k
arcsin — + 2л/г; л - arcsin — + 2л/г
2 2
2
Так как arcsin — =
2
то эту серию интервалов можно перепи-
сать в виде
k
5л
т
(см. п. 7.7, задача 1).
4 з 13
Тригонометрические уравнения и неравенства
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
2
sin х < —. (8)
3
2
Так как -1<-—<1, то множество всех решений неравен-
ства (8) есть серия интервалов
л - arcsin
+ 2л/?; 2л
arcsin
+ 2л/?
k е Z
(см. п. 7.7, задача 2).
Воспользовавшись равенством arcsin (—а) = -arcsin а (см. п. 7.8),
перепишем серию интервалов в виде
k ~
2 2
л + arcsin — + 2лЛ?; 2л - arcsin - + 2л/?
3 3
2. Неравенства cos х > а и cos х < а.
Пусть дано простейшее неравенство
cos х
(9)
а) При -1 < а < 1 множество всех решений неравенства (9) есть
серия интервалов
Xk = (-arccos а + 2n/?; arccos а + 2л/?), /? g Z
(Ю)
(см. п. 7.7, задача 6).
б) При а 1 неравенство (9) не имеет решений.
в) При а < — 1 решением неравенства (9) является любое дейст-
вительное число.
г) При а = -1 решением неравенства (9) является любое дейст-
вительное число, отличное от л + 2л/?, /? е Z.
Пусть дано простейшее неравенство
cos х < а.
(11)
а) При -1 < а < 1 множество всех решений неравенства (11)
есть серия интервалов
Xk = (arccos а 4- 2л/?; 2л - arccos а + 2л/?), k е Z
(12)
(см. п. 7.7, задача 6).
б) При а > 1 решением неравенства (11) является любое дейст-
вительное число.
в) При а < -1 неравенство (11) не имеет решений.
г) При а = 1 решением неравенства является любое действи-
тельное число, отличное от 2л/?, k g Z.
Приведенное выше решение неравенств (9) и (11) можно допол-
нить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций
314
Рис. 141
у = cos xvty = а, | a | < 1 (рис. 141). Из рисунка видно, что на проме-
жутке длиной 2л (главный период функции у = cos х) от р0 до
2л + р0 решениями неравенства (9) являются все х из промежутка
₽0 < Х < «О’
а решениями неравенства (11) являются все х из промежутка
а0 < х < 2л +ро,
где а0 = arccos а, а Ро = -а0.
Из рисунка также видно, что на всей оси Ох решениями нера-
венства (9) являются все х из серии интервалов (10), а решениями
неравенства (11) являются все х из серии интервалов (12).
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
cos х > -. (13)
2
Так как -1 < — < 1, то множество всех решений неравенства (13)
есть серия интервалов
keZ
(см. п. 7.7, задача 4).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
cos х < —0,3.
(14)
Так как -1 < -0,3 < 1, то множество всех решений неравен-
ства (14) есть серия интервалов
Xk — (arccos (-0,3) + 2л/г; 2л - arccos (-0,3) + 2л&), k g Z
(см. п. 7.7, задача 5).
Воспользовавшись равенством arccos (-а) = л — arccos а (см. п. 7.8),
перепишем серию интервалов в виде
Хк = (л - arccos 0,3 + 2л/г; л + arccos 0,3 + 2л&), k е Z,
315
Тригонометрические уравнения и неравенства
11.32
11.33
11.34
11.35
11.36
Какие неравенства называют простейшими тригонометриче-
скими неравенствами?
Решите неравенство (11.33—11.37):
б) sin х < О;
б) sin х >
д) sin х >
з) sin х <
л) sin х <
в) cos х > О; г) cos х < О.
V2 ч . д/з
—; в) sm х > —;
2 2
V2 . . Л
----; е) sin х > ;
2---2
V2 ч . 4з
—; и) sm х < —;
2 2
V2 ч . у/3
----; м) sm х < ,
2---2
а)
2
sm х > —;
3
2
sm х < —;
3
COS X
2
ж) cos х < —;
б)
Д)
б)
Д)
з)
л)
2
sm х > —;
3
2
sin х < —;
3
в) sin x > -0,4;
e) sin x < 0,4.
11.37
к)
COS X
3
cos x < —;
4
6)
Д)
cos X >
COS X >
COS X <
COS X <
3
в)
e)
и)
м)
7з
cos x > —;
2
V3
cos x >-----;
2
V3
cos x < —;
2
<3
COS X <-----.
2
cos x > —;
4
3
cos x < —;
4
в) cos x > —0,7;
e) cos x < 0,7.
11.6*. Простейшие неравенства
для тангенса и котангенса
1. Неравенства tg х > а и tgx < а.
Пусть дано простейшее неравенство
tg х > a. (1)
При любом а е R множество всех решений неравенства (1) есть
серия интервалов
(см. п. 8.5, задача 3).
arctg а + nk; — + nk
keZ
(2)
316
Пусть дано простейшее неравенство
tg х < а.
(3)
При любом а е R множество всех решений неравенства (3) есть
серия интервалов
+ я/?; arctg а + nk
(4)
(см. п. 8.5, задача 3).
Рис. 142
Приведенное выше решение
неравенств (1) и (3) можно допол-
нить графической иллюстраци-
ей. Рассмотрим графики функ-
ций z/ = tgx и у = а (рис. 142).
Из рисунка видно, что на про-
межутке длиной л (главный пери-
од функции у = tgx) от до
решениями неравенства (1) яв-
ляются все х из промежутка
а решениями неравенства (3) яв-
ляются все х из промежутка
о»
где а0 = arctg а.
Из рисунка также видно, что на всей оси Ох решениями нера-
венства (1) являются все х из серии интервалов (2), а решениями не-
равенства (3) являются все х из серии интервалов (4).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
tgx > 1.
(5)
Множество всех решений неравенства (5) есть серия интервалов
(см. п. 8.5, задача 1).
k
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(6)
Множество всех решений неравенства (6) есть серия интервалов
-— + nk; arctg
k е Z
(см. п. 8.5, задача 2).
317
Тригонометрические уравнения и неравенства
Воспользовавшись равенством arctg (—а) = —arctg а (см. п. 8.6),
перепишем эту серию интервалов в виде
— 4- л/г; - arctg — + л/г
2 2
k g Z.
2. Неравенства ctg х > а и ctg х < а.
Пусть дано простейшее неравенство
ctg х > а, (7)
При любом а е R множество всех решений неравенства (7) есть
серия интервалов
Xk = (л/г; arcctg а + л/г), k е Z (8)
(см. п. 8.5, задача 6).
Пусть дано простейшее неравенство
ctg х < а. (9)
При любом a g R множество всех решений неравенства (9) есть
серия интервалов
Xk = (arcctg а + л/г; л + л/г), k е Z
(см. п. 8.5, задача 6).
Приведенное выше решение
неравенств (7) и (9) можно до-
полнить графической иллюстра-
цией. Рассмотрим графики функ-
ций z/ = ctgx и у— а (рис. 143).
Из рисунка видно, что на
промежутке длиной л (главный
период функции у = ctg х) от О
до л решениями неравенства (7)
являются все х из промежутка
О < х < осо,
а решениями неравенства (9) яв-
ляются все х из промежутка
а0 < х < л,
(Ю)
ft Рис. 143
где а0 = arcctg а.
Из рисунка также видно, что на всей оси Ох решениями нера-
венства (7) являются все х из серии интервалов (8), а решениями не-
равенства (9) являются все х из серии интервалов (10).
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
ctg X
(11)
3
^318
Множество всех решений неравенства (11) есть серия интервалов
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
ctg х <
5
(12)
Множество всех решений неравенства (12) есть серия интервалов
arcctg
+ л/г; л + nk
keZ
(см. п. 8.5, задача 5).
Воспользовавшись равенством arcctg (-а) = л - arcctg а (см.
п. 8.6), перепишем эту серию интервалов в виде
или в виде
k&Z,
-arcctg — + лп; лп
п g Z.
Решите неравенство (11.38—11.42):
11.38 a) tg х > 0;
11.39 a) tg х > 1;
г) tgx>-l;
ж) tg х < 1;
к) tgx<-l;
б) tg х < 0; в) ctg х
б) tg х > VS;
д) tg х > -VS;
з) tg х < л/3;
л) tg х < -VS;
11.40 a) tg х > 2;
г) tgx<-2;
11.41 a) ctgx>l;
г) ctgx > -1;
б) tg х > -3;
д) tg х <-3;
б) ctg х > л/3;
д) ctg х > ->/3;
е) ctg х > - ,
» 319
Тригонометрические уравнения и неравенства
ж) ctg х < 1;
и)
к) ctg х < -1;
11.42 a) ctgx>2;
г) ctg х < 2;
л) ctg х < -73;
б) ctg х > -2;
д) ctg х <-2;
м)
ctg X <
ctg X <
в) ctg х > -0,9;
е) ctg х < —0,9.
з) ctg х < 43;
11.7*. Неравенства, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного
Рассмотрим примеры решения неравенств, которые после вве-
дения нового неизвестного t = f (х), где f (х) — одна из основных
тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо
рациональные неравенства с неизвестным t.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
cos2 х - 2,5 cos х + 1 < 0.
(1)
Введем новое неизвестное cos х = t, тогда неравенство (1) пре-
вращается в квадратное неравенство с неизвестным t:
t2 - 2,5t + 1 < О. (2)
Все решения неравенства (2) есть все t из интервала
Следовательно, множество всех решений неравенства (1) состо-
ит из всех решений двойного неравенства
1 о
— < cos х < 2.
2
Так как неравенство cos х < 2 выполняется при любых значени-
ях х, то остается решить неравенство
1
COS X > —.
2
(3)
Множество всех решений неравенства (3), а значит, и неравен-
ства (1) есть серия интервалов
Хп— - — + 2лп; — + 2лп
п I 3 3
п е Z.
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
tg х----— > 1.
tg х
(4)
320
Введем новое неизвестное tg х = t, тогда неравенство (4) превра-
щается в рациональное неравенство с неизвестным t:
(5)
t
Множество всех решений неравенства (5) есть объединение
всех t из интервала — 1 < t < О и всех t из интервала t > 2.
Следовательно, множество всех решений неравенства (4) есть
объединение всех решений двойного неравенства —l<tgx<On не-
равенства tg х > 2.
Множество всех решений двойного неравенства -1 < tg х < О
есть серия интервалов
п е Z,
а множество всех решений неравенства tg х > 2 есть серия интер-
валов
arctg 2 + тс#; — + nk
keZ.
Итак, множество всех решений неравенства (4) состоит из двух
серий интервалов:
пп
п е Z;
arctg 2 + nk;
keZ.
Теперь рассмотрим примеры решения неравенств, которые по-
сле введения нового неизвестного t = ах + Ъ превращаются в про-
стейшие тригонометрические неравенства с неизвестным t.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
(6)
Введем новое неизвестное t = 2x4-—, тогда неравенство (6) пере-
4
пишется в виде
cos t <
(7)
Множество всех решений неравенства (7) есть серия интервалов
— + 2пп < t < — + 2лп, п е Z.
4 4
321
Тригонометрические уравнения и неравенства
Следовательно, множество всех решений неравенства (6) нахо-
дим из условий
2лп, п G Z
4 4
откуда находим все решения неравенства (7):
пп
Итак, множество решений неравенства (6) есть серия интервалов
пп;
Замену неизвестного в простых случаях, как в примере 3, обыч-
но не записывают, делая запись решения короче, как в примере 4.
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
sin
(8)
Множество всех решений неравенства (8) находим из условий
5п о X л 7 л , о „
----h 2лп < < 1- 2лп, п е
4---2 4-4
откуда находим все решения неравенства (8):
Зл + 4ли < х < 4л + 4тш, п g Z.
Итак, множество решений неравенства (8) есть серия интервалов
Хп = (Зл + 4лп; 4л + 4лп), и е Z.
Решите неравенство (11.43—11.47):
11.43
sin2 х
11.44
х ч— sin х > 0;
2
х + — cos х > 0;
2
д) tg2 х - tg х < 0;
ж) ctg2 х — ctg x < 0;
e) tg2 x + л 3 tg x > 0;
з) ctg2 x + — ctg x > 0.
11 "Никольский, 10 КЛ.
322
- ш
11.45
11.46
a) sin2 х 4- 2,5 sin х + 1 < 0;
в) 2 cos2 х — Зл/З cos х + 3 < 0;
д) tg2 х - 3 tg х - 4 < О;
ж) ctg2 х - 4 ctg х + 3 < О;
a) sm х----------h 1 > 0;
sin х
в) cos х--------+ 1 < 0;
cos x
Д) tg x-----— 4- 3 < 0;
tg x
ж) ctg x---------< 0;
ctg x
6) sin2 x - 3,5 sin x - 2 > 0;
r) 2 cos2 x 4- 3 7з cos x + 3 > 0;
e) tg2 x + 3tgx + 2>0;
з) ctg2 x + 4 ctg x + 3 > 0.
6) sin x 4—-— + 5 < 0;
sin x
r) cos x 4-----4 > 0;
COS X
e) tg x----— > 0;
tg x
з) ctg x-----—I- 3 > 0.
ctg x
11.47
a)
в)
sin 2x > 0;
>0;
Д) tg (~2x) > 0;
ж) ctg -3x------> 0;
6) sin 3x < 0;
11.8*. Введение вспомогательного угла
Введение вспомогательного угла уже использовалось для преоб-
разования выражений в пунктах 9.1 и 9.3. Покажем, как его можно
применять для решения уравнений и неравенств.
Сначала рассмотрим уравнения вида
A sin х + В cos х = С, (1)
где А у В и С — данные числа и АВ Ф 0.
Так как А2 4- В2 > 0, то, разделив обе части уравнения (1) на
число -^А2 4- В2 #= 0, перепишем уравнение (1) в виде
a sin х 4- b cos х = с, (1')
А , В С
где а = ... Ъ = с - - —
7 А2 4-В2 Ja* +В*
Так как а2 4- b2 = 1, то можно подобрать такой угол а, что
а = sin а и b = cos а. Уравнение (!') можно записать в виде
cos х cos а 4- sin х sin а = с
или в виде
cos (х — а) = с.
(2)
^323
Тригонометрические уравнения и неравенства
Если подобрать такой угол 0, что а = cos 0 и Ь = sin 0, то уравне-
ние (1') можно записать в виде
sin (х + 0) = с. (3)
Таким образом, решение уравнения (1) сводится к решению
простейшего уравнения (2) или (3).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
cos х + sin х = 72. (4)
Разделив обе части уравнения (4) на -Jl2 +12 = 72, перепишем
его в виде
42 42 . -
— cos х + — sm х = 1.
2 2
гр V2 п
Так как — = cos — и
= sin—, то уравнение (4) можно запи-
сать в виде
cos xcos — + sin х sin — = 1
или в виде
cos
(5)
Все решения уравнения (5), а значит и уравнения (4), задаются
формулой
xk - = 2л/г, k е Z,
следовательно, уравнение (4) имеет одну серию решений
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
5 sin х - 12 cos х = О.
(6)
Разделив обе части уравнения (6) на число у52 +122 = 13, под-
берем такой угол а, что cos а ==
5
13
12 , 12
sm а = —, например а = aresm —
13 13
Тогда уравнение (6) перепишем в виде
sin (х - а) = 0.
(7)
Все решения уравнения (7) задаются формулой xk — а = лАг, k g Z,
откуда получаем, что уравнение (6) имеет единственную серию реше-
12
ний х. = arcsin — + nk. keZ.
* 13
11*
И 324
Теперь рассмотрим неравенства вида
A sin х + В cos х > С,
где А, В и С — данные числа и АВ Ф О.
Введение вспомогательного угла позволяет свести решение та-
ких неравенств к решению простейших неравенств.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
Разделив обе части неравенства (8) на число
репишем его в виде
(8)
2 = 2, пе-
sinx -
(9)
Так как — = cos —
2 3
в виде
= sin —, то неравенство (9) перепишется
sin
Все решения неравенства (10) задаются условиями
5л л л „ „
Отсюда получаем, что все
интервалов
3 6
решения
(Ю)
неравенства (8) есть серия
2
2
2
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
3 sin х — 4 cos х > 0. (И)
Разделив обе части неравенства (11) на 5, перепишем его в виде
3 4
— sin х--cos х > 0. (12)
5 5
Найдем угол а, такой, что cos а = —, a sina = —. Например,
4 5 5
a = arcsin —.
5
Тогда неравенство (12) перепишется в виде
sin (х - a) > 0. (13)
Все решения неравенства (13) задаются условиями
2пп < х - a < я + 2лп, п g Z.
Отсюда получаем, что все решения неравенства (11) есть серия
интервалов
(а + 2лп; п + а + 2лп), n g Z, где а = arcsin —.
Тригонометрические уравнения и неравенства
Введение вспомогательного угла позволяет решать уравнения
вида
A sin2 х + В sin х cos х = С
и неравенства вида
A sin2 х + В sin х cos х > С,
где А, В и С — данные числа и АВ ф 0.
Для этого надо сначала применить формулы двойного угла,
а затем ввести вспомогательный угол.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
2д/3 sin2 х - 2 sin х cos х = V3 + 1.
(14)
Применив формулы двойного угла, перепишем уравнение (14)
в виде
sin 2х + >/3 cos 2х =-1. (15)
Разделив обе части уравнения (15) на д/12 + (л/З)2 = 2, перепи-
шем это уравнение в виде
— sin2x + — cos2x — . (16)
2 2 2
Так как — = cos —,
2 3
в виде
а — = sin —, то уравнение (16) перепишется
2 3
sin I 2х + -| = (17)
\ з 2
Все решения уравнения (17) задаются формулами
2х. + — = + 2п/г, k е Z и 2хп + — = + 2лт, т е Z,
*36 "36
откуда получим, что уравнение (14) имеет две серии решений:
Л 7_ 7 ГУ 7л, Л»
х. =-----h nk, k g Z и x =-----+ nm , m g Z,
fi 4 "6
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
2 sin2 x + 2л/3 sin x cos x > V2 + 1.
(18)
Применив формулы двойного угла, перепишем неравенство (18)
в виде
V3 sin 2х - cos 2х > V2. (19)
Разделив обе части неравенства (19) на 2, перепишем его в виде
— sin2x - — cos2x > —. (20)
2 2 2
< 326
Так как — = cos —, a — = sin —, то неравенство (20) перепишет-
2 6 2 6
ся в виде
sin 2x-----
(21)
Все решения неравенства (21) задаются условиями
— + 2пп < 2х - — < — + 2тсп, п е Z.
4 6 4
Отсюда получаем, что все решения неравенства (18) есть серия
интервалов
5 л 11л
----1- пп; --+ пп
24 24
п е Z.
Приведенным выше способом решают также однородные триго-
нометрические уравнения и неравенства второй степени.
11.48
Решите уравнение (11.48—11.51):
a) sin х + cos х = V2; б) sin
ч . V2 ч .
в) sm х + cos x = —; г) sin
x - cos x =
x - cos x =
2 *
д) sinx- д/зcosx = 1;
e) \3 sinx — cosx = —1;
ж) sin x + д/З cos x = д/З;
з) V3 sin x + cos x = —VS.
11.49 a) 3 sin x + 4 cos x = 5;
в) 4 sin x - 3 cos x = 5;
д) 5 sin x + 12 cos x = 13;
ж) 12 sin x - 5 cos x = 13;
11.50 * a) 4 sin x — 5 cos x = 2;
в) 2 sin x + 3 cos x = 3;
д) 4 sin x + 5 cos x = -2;
ж) 2 sin x - 3 cos x = 0;
6) 3 sin x - 4 cos x = -5;
r) 4 sin x + 3 cos x — —5;
e) 5 sin x - 12 cos x = —13;
з) 12 sin x + 5 cos x — -13.
6) 3 sin x + 2 cos x = 3;
r) 5 sin x - 2 cos x = 2;
e) 3 sin x — 2 cos x = -3;
з) 5 sin x + 2 cos x = 0.
7з- 1;
11.51 * a) 2^3 sin2 x - 2 sin x cos x =
6) sin2 x - д/з sin x cos x = 1;
в) (2 + V3) sin2 x - (3 + 7з) sin x cos x + cos2 x = 0;
г) (1 + V3) sin2 x + 2л/з sin xcos x + (V3 - l)cos2 x = 0.
Решите неравенство (11.52—11.54):
11.52 * a) sin x + cos x > -42; 6) sin x - cos x < 42;
. . 42 . . 42
в) sin x + cos x >-; r) sin x — cos x > —;
2 2
327
Тригонометрические уравнении и неравенства
д) sin х +
л/З cos х > 1;
е) sin х —
V3 cos х < -1;
ж) 3 sin х - 4 cos х > 0; з) 5 sin х - 12 cos х < 0.
11.53* а) 2-Уз sin* 2 х + 2 sin х cos х > 7з + 1;
б) 2 sin2 х — 2>/3 sin х cos х > V2 — 1;
в) 2 sin2 х + 2д/з sin х cos х < д/2 + 1;
г) 2 sin2 х - 2>/з sin х cos х < 1 + V3.
11.54* а) 3 sin2 х + 2>/3 sin х cos х — 3 cos2 х < 0;
б) 3 sin2 х - 2>/з sin х cos х - 3 cos2 х > 0;
в) sin2 х - (л/з - 1) sin х cos х — 7з cos2 х > 0;
г) sin2 х + (7з - 1) sin х cos х - cos2 х < 0;
д) 3 sin2 х - 8 sin х cos х - 5 cos2 х > 0.
11.9*. Замена неизвестного t = sin х + cos х
Рассмотрим уравнения и неравенства, в которые входят выра-
жения sin х + cos х и sin 2х. Их удобно решать при помощи замены
неизвестного sin х + cos х = t, так как при этом
sin 2х = 2 sin х cos х = sin2 х + 2 sin х cos х + cos2 х — 1 =
= (sin х + cos х)2 — 1 = г — 1.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
2 sin 2х + sin х + cos х = 1.
Введем новое неизвестное sin х + cos х = t, тогда уравнение (1)
превращается в квадратное уравнение с неизвестным i:
2tz + t- 3 = 0.
Так как корни этого уравнения tx = 1 и t2= , то множество
решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух
уравнений:
- . 3
sin X + COS X = 1 и sin X + COS X =-.
2
Каждое из этих уравнений решаем введением вспомогательного
угла. При этом первое уравнение преобразуется к виду
cos
(2)
а второе — к виду
cos
(3)
328
Все решения уравнения (2) задаются формулами
Х- — —— + 2пп, п g Z\ х. — — = - — + 2л/г, k g Z
п 4 4 * 4 4
откуда получаем, что уравнение (2) имеет две серии решений:
хп = — + 2тсп, и е Z\ xk = 2itk, k g Z.
Так как
4
> 1, то уравнение (3) не имеет решений.
Итак, уравнение (1) имеет две серии решений:
7С
хп = — + 2пп, п g Z\ xk = 2nk, k e Z.
Если в уравнение входят выражения sin х — cos х и sin 2х, то де-
лают замену неизвестного sin х - cos х — t. При этом sin 2х = 1 - т.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
sin8 х — cos3 х = 3 sin х cos х - 1. (4)
Поскольку sin3 х - cos3 х = (sin х - cos х) (1 + sin х cos х), то,
введя новое неизвестное sin х — cos х = t, получим, что уравнение (4)
превращается в уравнение с неизвестным t:
t3 - 3t2 - 3t + 1 = 0.
Так как корни этого уравнения есть = -1, t2 = 2 - л/з и f 3 =
= 2 4- д/з, то множество решений уравнения (4) есть объединение
множеств решений уравнений
sin х - cos х = -1, sin х — cos х = 2 —
sin х - cos х = 2 + VS.
Каждое из этих уравнений решаем введением вспомогательного
угла. При этом уравнения перепишутся так:
cos
(5)
(6)
(7)
Уравнение (5) имеет две серии решений:
хт = 2лтп, т g Z;
П G Z.
- — + 2лп,
2
329 Тригонометрические уравнения и неравенства
--------------- I
Уравнение (6) имеет две серии решений:
xk = ” ~ + arccos (--/2 + ^/1,5) 4- 2nk9 k g Z\
x - - — - arccos (—-/2 + л/1’5) + 2яр, p e Z.
p 4
Поскольку — ^2 — д/1,5 < —1, то уравнение (7) не имеет решений.
Следовательно, уравнение (4) имеет четыре серии решений:
Х7И’ ХЛ’ xk и ХР-
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
1 х + cos х < 1. (8)
cos х, тогда неравенство (8) пре-
Введем неизвестное t = sin х
вратится в квадратное неравенство с неизвестным t:
л . о . л
(9)
Все решения неравенства (9) есть все t из промежутка
—2 < t < 1. Следовательно, множество всех решений неравенства (8)
совпадает с множеством решений двойного неравенства
—2 < sin х 4- cos х < 1. (Ю)
Вводя вспомогательный угол, перепишем неравенство (10) в виде
/х . Г п
(И)
I 47 2
Левое неравенство выполняется для любого действительного
числа х. Следовательно, все решения неравенства (11) совпадают со
всеми решениями неравенства
2
sin
I 47 2
Все решения неравенства (12) задаются условиями
2тш- — <х + — < — + 2лп, п е Z.
(12)
4 4 4
Отсюда получаем, что все решения неравенства (8) есть серия
интервалов
— + 2лп; 2пп
11.55 В каком случае при решении тригонометрических уравне-
ний и неравенств удобно применять замену неизвестного:
a) sin х 4- cos х = t; б) sin х — cos х = t?
Выразите sin х cos х через t в случаях а) и б).
330
11.56
11.57
Решите уравнение (11.56—11.58):
а) 2 sin х cos х + sin х + cos х = 1;
б) 2 sin х cos х - sin х — cos х = 1;
в) 2 sin х cos х + sin x - cos x = 3;
r) 2 sin x cos x — sin x + cos x = -1.
3
a) sin 2x + 3 sin x + 3 cos x = —;
4
6) sin 2x - 3 sin x - 3 cos x = —;
4
з
в) sin 2x + 5 sin x + 5 cos x = 1—;
4
1
r) sin 2x - 5 sin x - 5 cos x = —3—.
4
11.58 * a) sin3 x + cos3 x — sin 2x + 1; 6) sin3 x — cos3 x = sin 2x — 1.
11.59 * Решите неравенство:
a) sin 2x - 3 sin x - 3 cos x + 3 < 0;
6) sin 2x — sin x — cos x - 1 < 0;
в) sin 2x - 3 sin x + 3 cos x — 3 < 0;
r) sin 2x + sin x — cos x + 1 > 0.
Исторические сведения
Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригон» — тре-
угольник и «метрео» — измеряю) означает «измерение треугольни-
ков». Возникновение тригонометрии связано с развитием астроно-
мии и географии.
Начала тригонометрии обнаружены в сохранившихся докумен-
тах Древнего Вавилона, сведения тригонометрического характера
встречаются и в старинных памятниках других народов древности.
Древнегреческие ученые впервые поставили перед собою задачу
решения прямоугольного треугольника, т. е. определения его эле-
ментов по трем данным элементам, среди которых хотя бы один —
сторона треугольника. Для решения этой задачи Гиппарх (II в.
до н. э.) и Птолемей (II в. до н. э.) составили таблицы длин хорд, со-
ответствующих различным центральным углам круга постоянного
радиуса (через каждые пол градуса до 180°).
Понятия синуса, косинуса и тангенса угла возникли в гео-
метрии и астрономии. По существу, ими оперировали еще древние
математики, рассматривая отношения отрезков в треугольниках
и окружностях. Древнегреческий ученый Клавдий Птолемей для
своих астрономических исследований составил подробную, весьма
точную таблицу синусов углов, в течение многих веков служившую
средством для решения треугольников.
Исторические сведения
В XI—XIII вв. в трудах математиков Средней Азии, Закав-
казья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригоно-
метрии как отдельной науки. У индийских ученых линия синусов
именовалась «архаджива», что буквально означало «половина тети-
вы лука». Для угла а линия синусов — это хорда единичной окруж-
ности, соответствующая центральному углу 2а. Ее длина равна
2 sin а. В Индии были составлены таблицы значений синусов для
всех углов от 0 до 90° через каждые 3°45'. Эти таблицы были точнее
таблиц Птолемея. Об их высокой точности говорит тот факт, что
для синуса и косинуса 3°45' были вычислены значения
отличающиеся от истинных менее чем на 0,00000001.
100 466
1529 И 467
Косинус индийцы называли «котиджива», т. е. синус остатка
(до четверти окружности). В XV в. немецкий ученый Иоганн Мюл-
лер (1436—1476), известный в науке под именем Региомонтан, как
и другие математики, применял для понятия «косинус дуги х» ла-
тинский термин sinus complement!, т. е. синус дополнения, имея
в виду sin (90° — х). От перестановки этих слов и сокращения одного
из них (co-sinus) образовался термин «косинус», встречающийся
в 1620 г. у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя счетной
линейки.
В IX—X вв. ученые стран Средней Азии (ал-Хабаш, ал-Баттани,
Абу-л-Вефа и др.) ввели новые тригонометрические величины: тан-
генс и котангенс, секанс и косеканс. Понятия «тангенс» и «котан-
генс », как и первые таблицы этих новых тригонометрических вели-
чин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности,
а из учения о солнечных часах. Происхождение названия функции
тангенс (термин введен в 1583 г. немецким математиком Т. Фин-
ком), связано с геометрическим его представлением в виде отрезка
прямой. Латинское слово tangens означает касающийся (отрезок ка-
сательной). Термин «котангенс» был образован в средние века по
аналогии с термином «косинус». Все три термина вырабатывались
на протяжении веков и вошли во всеобщее употребление в первой по-
ловине XVII в.
В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела
способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее
развитие в средневековое время, в первую очередь на юго-востоке:
в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азер-
байджане и Таджикистане (Насир ад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Би-
руни), в Арабии (Ахмад Ибн-Абд аллах, ал-Баттани), а затем и в Ев-
ропе (Пейрбах, Иоганн Мюллер, Коперник, Рети). Большая заслуга
в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит
азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201—1274),
написавшему «Трактат о полном четырехстороннике».
Творения ученых этого периода привели к выделению тригоно-
метрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их
трудах еще не была введена необходимая символика, и поэтому раз-
витие тригонометрии происходило очень медленно.
Позднее и в Европе появились работы, посвященные вопросам
тригонометрии. В 1595 г. был написан труд немецкого богослова-
математика Варфоломея Питискуса «Тригонометрия, или Краткий
обзорный трактат о решении треугольников», в котором был впер-
вые введен термин «тригонометрия». В XV в. Региомонтан издал
«Пять книг о треугольниках всех видов». Этот труд сыграл важ-
ную роль в развитии тригонометрии. В XV—XVII вв. в Европе было
составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над
их составлением работали Н. Коперник (1473—1543), И. Кеплер
(1571—1630), Ф. Виет (1540—1603) и др. В России первые триго-
нометрические таблицы были изданы под названием «Таблицы
логарифмов, синусов и тангенсов к научению мудролюбивых тщате-
лей» (1703). В издании этих таблиц участвовал Леонтий Филиппо-
вич Магницкий (1669—1739).
Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда
Эйлера (1707—1783). Он, в частности, вывел все тригонометриче-
ские формулы из нескольких основных, установил несколько неиз-
вестных до него формул, ввел единообразные знаки. Впервые в его
трудах встречается запись sinx и др., доступно изложен вопрос
о знаках тригонометрических функций в каждом квадранте, уста-
новлены формулы приведения.
Уже во «Введении в анализ бесконечных» (1748) Л. Эйлер впер-
вые трактует синус, косинус и т. д. не как тригонометрические ли-
нии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометриче-
ские функции, которые он рассматривал как числовые величины.
Понимая аргумент тригонометрической функции не только как
угол или дугу, а как любую числовую величину, Л. Эйлер впервые
стал систематически излагать тригонометрию аналитическим пу-
тем. До него каждая тригонометрическая теорема доказывалась от-
дельно на основании соответствующего каждому случаю геометри-
ческого чертежа. Эйлер же выводил теоремы, исходя из небольшого
числа основных соотношений.
До Эйлера совсем редко рассматривались тригонометрические
функции дуг, превышающих л. Лишь в его трудах разрабатывает-
ся учение о тригонометрических функциях любого аргумента. На
основании трудов Л. Эйлера были составлены учебники тригоно-
метрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
* Глава III
Элементы теории вероятностей
Р(Л)
m
п
§ 12. Вероятность события • ЭИ
Результат (исход) опыта или наблюдения называют событием.
Пусть производится опыт, в результате которого может произойти
или не произойти некоторое событие; такие события называют слу-
чайными (или возможными) событиями.
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий слу-
чайные события. Здесь приводится элементарное введение в теорию
вероятностей.
Далее будем рассматривать только случайные события, но для
упрощения речи будем писать просто «события», опуская прилага-
тельное « случайные ».
Говоря о событиях, будем иметь в виду, что эти события связа-
ны с одним вполне определенным опытом.
12.1. Понятие вероятности события
ПРИМЕР 1. Рассмотрим следующий опыт: на стол бросается
монета (предполагается, что монета идеальная, т. е. она правильной
формы и состоит из однородного металла).
В результате опыта на верхней поверхности упавшей на стол
монеты обязательно будет либо герб, либо решка.
Появление герба назовем событием А, а появление решки — со-
бытием В. Так как нет никаких оснований предполагать, что одно
из событий А и В может произойти предпочтительнее, чем другое,
то события А и В называют равновозможными.
В результате рассматриваемого опыта обязательно произойдет
одно и только одно из событий А и В, и эти события А и В равновоз-
можны. Такие события назовем случаями.
Вероятность события А определим как отношение числа случа-
ев, благоприятствующих этому событию (т. е. появлению герба,
а таких случаев 1), к числу всех рассматриваемых случаев (таких
случаев 2).
Ц334
Вероятность события А принято обозначать Р (А) (буква Р
первая буква в слове Probabilitas — вероятность), поэтому
Р(А) =
Очевидно, что вероятность Р (В) события В также равна —:
Р(В) =
ПРИМЕР 2. Рассмотрим другой опыт: на стол бросается кубик,
на гранях которого отмечены очки 1, 2, ..., 6 (предполагается, что
кубик идеальный, т. е. это куб, состоящий из однородного материа-
ла), назовем такой кубик игральной костью.
В результате опыта на верхней грани упавшей на стол играль-
ной кости обязательно будет или 1, или 2, или 3, или 4, или 5, или
6 очков. Появление i очков (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), или, как говорят,
выпадание i ъчкъв, назовем событием А*. Так как нет никаких осно-
ваний предполагать, что одно из событий А19 А2, А3, А4, А5, А6 мо-
жет произойти предпочтительнее, чем любое другое, то эти события
называют равновозможными.
В результате рассматриваемого опыта обязательно произойдет
одно и только одно из событий Ait А2, А3, А4, А5, А6, и эти события
равновозможны; такие события назовем случаями.
Событию Ах благоприятствует только один случай, а именно
выпадание одного очка.
Вероятность Р (А^) события Ах определим как отношение числа
случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев:
Очевидно, что вероятность Р (АЛ события А; также равна —:
Р(А() = |, i = 1, 2.................6.
6
Рассмотрим в том же опыте еще события А, В, С и D: событие А
заключается в том, что при бросании игральной кости выпадает 6 оч-
ков, событие В — выпадает четное число очков, событие С — выпа-
дает или 3, или 5 очков, событие D — выпадает или 1, или 2, или 3,
или 4, или 5, или 6 очков.
Вероятность любого из этих событий определим как отношение
числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев.
Очевидно, что событию А благоприятствует один случай — вы-
падание 6 очков, событию В благоприятствуют три случая — выпа-
дание или 2, или 4, или 6 очков, событию С благоприятствуют два
случая — выпадание или 3, или 5 очков, событию D благоприятст-
вуют шесть случаев — выпадание или 1, или 2, или 3, или 4, или 5,
или 6 очков, поэтому
P(A)=i Р(В)=|
Р(С) =
P(D) = - = 1.
Д335
Вероятность события
ПРИМЕР 3. Ученика попросили назвать какое-либо натураль-
ное число, не превышающее 30. Какова вероятность того, что он на-
зовет число, делящееся на 3? не делящееся на 3?
Пусть событие А заключается в том, что будет названо число,
делящееся на 3, событие В заключается в том, что будет названо
число, делящееся на 3 с остатком 1, событие С заключается в том,
что будет названо число, делящееся на 3 с остатком 2. События А,
В, С таковы, что обязательно происходит одно и только одно
из этих событий. Событию А благоприятствует 10 случаев из 30,
10 1
поэтому В (А) = — = —, т. е. ученик назовет число, делящееся на 3,
„ 1
с вероятностью, равной —.
Пусть событие D заключается в том, что будет названо число,
не делящееся на 3. Событию D благоприятствуют 20 случаев из 30,
20 2
поэтому Р(В) = — = —, т. е. ученик назовет число, не делящееся
на 3, с вероятностью, равной —.
В любом опыте:
а) события At, А2, ..., Ап называют единственно возможными,
если в этом опыте обязательно происходит одно и только одно из них;
б) события С2, ...» Сп называют равновозможными, если
в этом опыте нет никаких оснований предполагать, что одно из них
может произойти предпочтительнее, чем любое другое;
в) событие называют достоверным, если в результате этого
опыта оно обязательно произойдет;
г) событие называют невозможным, если оно не может про-
изойти в этом опыте;
д) события А и В называют несовместными, если они не могут
произойти одновременно в этом опыте, или, как говорят, одно из со-
бытий А и В исключает другое;
е) события Вг, В2, ...» Bq называют несовместными, если каж-
дая пара из них несовместна в этом опыте.
Отметим, что если события единственно возможны, то они,
в частности, несовместны.
В примере 2 события Ар А2, А3, А4, А5, А6 единственно воз-
можны и равновозможны, события Аг, А3, А5, В единственно воз-
можны, но не равновозможны, события В и С несовместны, событие
D — достоверное, событие Е — «выпало 7 очков» — невозможное.
Теперь рассмотрим опыт, в результате которого обязательно
произойдет одно и только одно из п равновозможных событий
(1)
т. е. события (1) единственно возможны и равновозможны. Такие
события будем называть случаями.
В этом опыте можно еще рассмотреть события, заключающиеся
в том, что произойдет один из нескольких заранее выделенных слу-
чаев. Так, в примере 2 событие В заключается в том, что происхо-
дит один из трех случаев: выпадает или 2, или 4, или 6 очков; собы-
тие С заключается в том, что происходит один из двух случаев:
выпадает или 3, или 5 очков; событие А заключается в том, что про-
исходит один случай: выпадает 6 очков.
Пусть в рассматриваемом опыте событие А заключается в том,
что произойдет один из т заранее выделенных случаев (1), про эти
т случаев будем говорить, что они благоприятствуют событию А,
Вероятность события А определим как отношение числа т слу-
чаев, благоприятствующих событию А, к общему числу п рассмат-
риваемых случаев, т. е.
Р(А)=^.
Если нет случаев, благоприятствующих данному событию, т. е.
количество случаев, ему благоприятствующих, равно нулю (т = 0),
то такое событие является невозможным, его обозначают 0. Вероят-
ность невозможного события равна нулю:
Р(0) = j = 0.
Например, событие, заключающееся в том, что при бросании
игральной кости выпадет 7 очков, невозможное; его вероятность
равна нулю.
Если событию благоприятствуют все рассматриваемые случаи,
т. е. т = п, то такое событие является достоверным, его обозначают
Q, его вероятность равна 1:
Р(П)=£=1.
Например, при бросании кости событие, заключающееся в том,
что выпадет либо 1, либо 2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6 очков, до-
стоверное; его вероятность равна 1.
12.1 На примере опыта с бросанием монеты объясните, что озна-
чает: выпадание герба и решки — события равновозможные;
единственно возможные.
12.2 Бросают игральную кость. Являются ли события А — «выпа-
дание шести очков» и В — «выпадание четного числа очков»
равновозможными, единственно возможными?
12.3 В ящике лежат три шара, отличающиеся только цветом:
белый, черный, красный. Из ящика наудачу вынимают
один шар. Возможны три события: А — «вынут белый шар»,
е 337
Вероятность события
В — «вынут черный шар», С — «вынут красный шар».
Являются ли события А, В, С:
а) равновозможными; б) единственно возможными?
12.4 Бросают две монеты. Рассмотрим два события: А — «выпа-
ли два герба»; В — «выпала решка» (хотя бы на одной моне-
те). Являются ли события А и В:
а) равновозможными; б) несовместными?
12.5 а) Какое событие называют невозможным? Как обозначают
невозможное событие? Какова его вероятность?
б) Какое событие называют достоверным? Как обозначают
достоверное событие? Какова его вероятность?
12.6 Укажите невозможное и достоверное события среди собы-
тий, которые могут произойти при подбрасывании двух иг-
ральных кубиков: А — «выпали две шестерки»; В — «вы-
пало 1 очко»; С — «выпало любое число очков от двух до
двенадцати ».
12.7 а) Что называют вероятностью события?
б) Определите вероятность каждого из событий в заданиях
12.2—12.4, 12.6.
12.8
При игре в лото используются фишки с номерами от 1 до 90.
Наудачу вынимается одна фишка. Какова вероятность события:
а) А — «номер вынутой фишки делится на 10»;
б) В — «номер вынутой фишки делится и на 5, и на 9»;
в) С — «номер вынутой фишки меньше 100»;
г) D — «номер вынутой фишки 77»?
12.9 Три ученицы купили билеты в театр на три соседних места.
Какова вероятность того, что место первой ученицы окажет-
ся посередине, если она наудачу выберет один билет из трех?
12.10 а) Я задумал двузначное число. Какова вероятность того,
что вы угадаете это число с первого раза?
б) Я задумал двузначное число, записанное разными циф-
рами. Какова вероятность того, что вы угадаете это число
с первого раза?
12.11 Ученик задумал натуральное число не превышающее 100.
Какова вероятность того, что это число: а) четное; б) делится
на 4; в) делится на 10; г) при делении на 10 дает в остатке 7?
12.12 Используя некоторые из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторе-
ния, записали четырехзначное число. Какова вероятность
того, что вы угадаете это число с первого раза?
12.13 Четырехзначное число записали, используя цифры 1, 2, 3,
4, 5 (цифры числа могут быть одинаковые). Какова вероят-
ность того, что вы угадаете это число с первого раза?
338
12.14 Один игрок записал четырехзначное число, используя раз-
личные цифры, кроме О. Какова вероятность того, что вто-
рой игрок угадает это число с первого раза?
12.15 В ящике лежат 20 шаров, отличающихся только цветом:
7 белых и 13 черных. Из ящика наудачу вынимают один
шар. Какова вероятность события:
а) А — «вынут белый шар»; б) В — «вынут черный шар»;
в) С — «вынут красный шар»; г) D — «вынут белый или
черный шар»?
12.16 В ящике лежат 6 белых и 8 черных шаров — из них 2 белых
и 3 черных шара помечены звездочками. Из ящика наудачу
вынимают один шар. Какова вероятность того, что будет вы-
нут белый шар со звездочкой?
12.17 Четыре футбольные команды К19 К2, К4 вышли в полу-
финал мирового первенства. Специалисты считают, что их
силы примерно равны. Какова вероятность события:
а) А — «команды Кг и К2 выйдут в финал»;
б) В — «команда Кх получит «золото», а команда К2 — «се-
ребро »;
в) С — «команды заняли места с первого по четвертое в ука-
занном порядке: К4, К19 К3, К2»?
12.2. Свойства вероятностей событий
В этом пункте рассматриваются события, относящиеся к одно-
му опыту.
Суммой (объединением) событий А и В называют событие, за-
ключающееся в том, что происходит по крайней мере одно из собы-
тий А и В (или А, или В, или оба вместе). Сумму событий А и В
обозначают A U В.
ПРИМЕР 1. Если при бросании игральной кости событие А есть
выпадание или 1, или 2 очков, а событие В — выпадание или 2,
или 3 очков, то событие A U В заключается в выпадании или 1,
или 2, или 3 очков.
Запись U А2 U ... U Aq означает событие, заключающееся
в том, что происходит по крайней мере одно из событий Аи А2, ...
ПРИМЕР 2. Если при бросании игральной кости событие А есть
выпадание четного числа очков, событие В — выпадание числа оч-
ков, кратного 3, а событие С — выпадание числа очков, большего 4,
то событие A U В U С заключается в выпадании или 2, или 3, или 4,
или 5, или 6 очков.
Сумму двух несовместных событий А и В будем обозначать так:
А + В, а сумму п несовместных событий так: Аг + А2 + ... + АЛ.
Вероятность события
ПРИМЕР 3. Если при бросании игральной кости событие А есть
выпадание или 1, или 2 очков, а событие В — выпадание 3 очков,
то события А и В несовместные, поэтому события А + В есть выпа-
дание или 1, или 2, или 3 очков.
Произведением (пересечением) событий А и В называют собы-
тие, заключающееся в том, что происходят оба события и А, и В.
Произведение событий А и В обозначают А Г1 В или АВ.
Так, в примере 1 событие А А В заключается в выпадании
2 очков.
Запись Аг А А2 П ... А Ад (или А1А2...А<7) означает событие, за-
ключающееся в том, что происходят все события: и А19 и А2, ...» и Ад.
Так, в примере 2 событие А А В А С заключается в выпадании
6 очков.
Вероятности событий обладают следующими свойствами:
1. Вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам:
0^Р(А)С1.
2. Вероятность достоверного события Q равна 1:
P(Q) = 1.
3. Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сум-
ме вероятностей этих событий:
Р (А + В} = Р (А) + Р (В).
В самом деле, из определения, приведенного в п. 12.1, следует,
что вероятность Р (А), т. е. дробь —, неотрицательна и не больше 1.
71
Она равна нулю для невозможного события и единице для достовер-
ного события.
Пусть событию А благоприятствует т1 случаев, а событию
В — т2 случаев. Пусть при этом события А и В несовместны. Тогда
случаи, благоприятствующие событию А, отличны от случаев, бла-
гоприятствующих событию В, и, следовательно, событию А + В
благоприятствует тг + т2 случаев. Но тогда
т, т9 т. + то
Р(А) + Р(В) = -^ + -^= Р(А + В).
Л 1г 991г
По индукции доказывается, что если события Ах, А2, ..., Ап
несовместны, то
Р (А1 + А2 + ... + An) = Р (At) + Р (А2) + ... + Р {Ап).
Два единственно возможных события называют противополож-
ными.
Например, при бросании игральной кости события А (выпада-
ние четного числа очков) и В (выпадание нечетного числа очков) —
противоположные события; события С (выпадание 1 очка) и D (вы-
падание или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков) — противополож-
ные события.
| 340
Событие, противоположное событию А, обозначают А. Говорят
также, что событие А заключается в том, что в данном опыте собы-
тие А не произойдет. __
Очевидно, что события А и А несовместны, а их сумма — до-
стоверное событие: А + А = Q, поэтому
Р(А) + Р(А) = 1.
Отметим еще, что события А и В несовместны, если их пересе-
чение является невозможным событием, т. е. АВ = 0. Если события
А и В несовместны, то Р (АВ) = 0.
Покажем, что справедливо равенство
P(AUB) = P(A) + Р(В) - Р [АВ). (1)
Обозначим через А\В событие, заключающееся в том, что про-
исходит событие А, но событие В не происходит. Так как события А
и В\АВ несовместны и A U В — А 4- В\АВ, то
Р (A U В) = Р (А) + Р (В\АВ). (2)
Так как события В\АВ и АВ несовместны и очевидно, что
В = В\АВ + АВ, то
Р (В) = Р (В\АВ) + Р (АВ). (3)
Из равенств (2) и (3) следует равенство (1).
11 1
В примере 1Р (А) — —, Р (В) = —, Р (АВ) = -, поэтому по формуле (1)
3 3 6
Р (A U В) = - +
3
3
ПРИМЕР 4. Имеется 36 игральных карт. Из колоды наудачу
вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или
козырная карта, или туз?
Пусть событие А заключается в том, что вынута козырная кар-
та, событие В — «вынут туз». Тогда событие A U В — «вынута или
козырная карта, или туз», а событие АВ — «вынут козырной туз».
14 1
Ясно, что Р (А) = —, Р (В) = —, Р (АВ) = —, поэтому по формуле (1)
4 36 36
Р (A U В) = -
4
4
36
12.18 а) Что называют суммой (объединением) событий А и В?
Как обозначают сумму событий А и В? Как обозначают сум-
му несовместных событий А и В?
б) Бросают игральный кубик. Событие А заключается в вы-
падании или 3, или 4 очков, событие В — в выпадании
или 4, или 5 очков. В чем заключается событие A U В?
gg341
Вероятность события
12.19
12.20
12.21
12.22
12.23
12.24
12.25
в) Бросают игральный кубик. Событие А заключается в вы-
падании или 3, или 4 очков, событие В — в выпадании
или 5, или 6 очков. В чем заключается событие А + В?
а) Что называют произведением (пересечением) событий А
и В? Как обозначают произведение событий А и В?
б) Бросают игральный кубик. Событие А заключается в вы-
падании или 3, или 4 очков, событие В — в выпадании
или 4, или 5 очков. В чем заключается событие А П В?
в) Бросают игральный кубик. Событие А заключается в вы-
падании или 3, или 4 очков, событие В — в выпадании
или 5, или 6 очков. В чем заключается событие А А В?
а) Какое событие называют противоположным данному со-
бытию А?
б) Как обозначают событие, противоположное событию А?
в) Какими свойствами обладают вероятности событий?
г) Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого
события?
В чем заключается событие А, если событие А есть:
а) выпадание герба при бросании монеты;
б) выпадание шести очков при бросании игральной кости?
Бросают игральный кубик. Событие А заключается в выпа-
дании или 5, или 6 очков; событие В заключается в выпада-
нии четного числа очков. В чем заключаются события А\В
и В\А? Вычислите вероятности Р (А\В) и Р (В\А).
Бросают игральный кубик. События А, В, С, D заключаются
в выпадании числа очков: четного (событие А); кратного 3
(событие В); не равного 5 (событие С); не равного или 5,
или 1 (событие D). Верно ли, что:
a) A U В = С; б) A U В = D; в) С A D = В; г) С А А = А?
Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил о том,
какая сумма выпадает чаще при бросании трех игральных
костей — 9 или 10? Галилей правильно решил эту задачу.
Что ответил Галилей?
В некотором царстве, в некотором государстве живут прав-
долюбцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые
могут лгать или говорить правду, но не любят признаваться
в этом. Для получения правдивой информации о количестве
лжецов было проведено такое исследование. Каждого испы-
туемого спрашивали: «Вы лжец?» Прежде чем ответить, ис-
пытуемый подбрасывал монету так, чтобы результат этого
опыта был виден только ему одному. Если выпадал герб, то
он должен был сказать «да» (независимо от того, кем он яв-
ляется на самом деле). Если же выпадала решка, то он дол-
жен был правдиво ответить на вопрос (в этом случае исследо-
ватели не могли знать, кем на самом деле является
342
испытуемый, так как они не знали результата опыта с моне-
той). В результате исследования выяснилось, что 61% граж-
дан царства-государства ответили «да», остальные — «нет».
Сколько процентов граждан этого царства-государства явля-
ются лжецами, если были опрошены все граждане?
12.26 Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля
и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова
вероятность, что будет вынута или козырная карта, или
дама?
12.27 Имеется колода из 52 игральных карт. Из колоды наудачу
вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет выну-
та или козырная карта, или дама?
§ 13*. Частота. Условная вероятность
13.1*. Относительная частота события
Пусть в результате опыта может произойти событие А, имею-
щее вероятность р = Р (А), 0 < р < 1. Повторим опыт п раз, и пусть
при этом событие А произойдет т раз. Число ~ называют относи-
тельной частотой события А.
Имеет место замечательный факт, заключающийся в том, что
при больших п относительная частота события группируется возле
т а
числа рх — ~ р, иными словами, при достаточно больших п величи-
на — мало отличается от р.
п
Математики Ж. Бюффон и К. Пирсон провели многократ-
ные опыты с бросанием монеты. Их результаты приведены в таб-
лице 3.
Таблица 3
Число бросаний Число выпаданий герба Относительная частота выпадания герба
Бюффон Пирсон Пирсон 4040 12 000 24 000 2048 6019 12 012 0,5085 0,5046 0,5005
Как видно из таблицы, относительная частота выпадания гер-
ба, полученная в опытах Бюффона и Пирсона, мало отличается
Частота. Условная вероятность
от вероятности выпадания герба в указанном эксперименте, рав-
ной 0,5.
Не всегда удается определить вероятность р события априори
(от лат. a priori — независимо от опыта), как это имеет место с бро-
санием монеты или игральной кости. Но если возможно опыт повто-
рить п раз, то при большом п относительная частота события — мо-
жет рассматриваться как приближенное значение вероятности
(т ।
— ~ р этого события.
При большом количестве опытов относительная частота собы-
тия, как правило, мало отличается от вероятности этого события.
Эту закономерность называют статистической устойчивостью отно-
сительных частот.
Отметим, что, чем больше проводится опытов, тем реже встре-
чается сколько-нибудь значительное отклонение относительной час-
тоты от вероятности.
Замечание. Если относительную частоту события принять по
определению за приближенное значение вероятности этого события,
то получим так называемое статистическое определение вероят-
ности.
Приведенное в п. 12.1 определение вероятности событий назы-
вают классическим определением вероятности.
Существует еще и аксиоматическое определение вероятности,
в котором определение вероятности задается перечислением ее
свойств. При аксиоматическом определении вероятность задается
как функция Р (А), определенная на множестве М всех событий,
определяемых данным опытом, которая (для опытов с конечным
числом исходов) удовлетворяет следующим аксиомам:
1) 0 Р (А) 1 для любого события А из Af;
2) Р (А) = 1, если А — достоверное событие;
3) Р (А + В) = Р (А) + Р (В), если события А и В несовместны.
Теорию, изучающую вероятность событий лишь для опытов
с конечным числом исходов, называют элементарной теорией веро-
ятностей.
Конечно, существуют и опыты с бесконечным числом возмож-
ных событий. Теорию, изучающую вероятность таких событий, на-
зывают общей теорией вероятностей.
В общей теории вероятностей свойство 3 понимается в расши-
ренном смысле:
Р(Л1+а2
+ „.) = Р(А1) + Р(А2) + ....
Свойства 1—3 называют аксиомами Колмогорова теории веро-
ятностей. Именно А. Н. Колмогоров впервые в 1933 г. дал аксиома-
тическое построение теории вероятностей.
344
13.1 Проведите опыт с бросанием монеты 50 раз. Вычислите отно-
сительную частоту выпадания герба. Сравните свой результат
с результатами других учащихся вашего класса.
13.2 Проведите опыт с бросанием игральной кости 60 раз. Вычис-
лите относительную частоту каждого из событий: А — «выпа-
дание шести очков»; В — «выпадание четного числа очков».
13.3 Пятеро учащихся при бросании монеты 50 раз получили сле-
дующие данные (табл. 4):
Таблица 4
Ученик Число бросаний Число выпаданий герба Относительная частота выпадания герба
1 50 27 0,54
2 50 28 0,56
3 50 23 0,46
4 50 26 0,52
5 50 24 0,48
Вычислите относительную частоту выпадания герба во всех
250 опытах.
13,2*. Условная вероятность. Независимые события
ПРИМЕР 1. Пусть брошена игральная кость и стало известно,
что произошло событие А — выпало не меньше пяти очков. Какова
при этом условии вероятность события В, заключающегося в том,
что выпало 6 очков?
Если бы мы не знали, что произошло событие А, то вероятность
1
события В была бы равна —. Однако в задаче имеется дополнитель-
6
ная информация о том, что выпало или 5, или 6 очков, поэтому при
1
этом дополнительном условии вероятность события В равна —. Та-
2
кую вероятность называют условной вероятностью события В при
условии, что произошло событие А.
Пусть в результате опыта могут произойти п равновозможных
и единственно возможных событий, которые мы называем случая-
ми, а событиям А, В, АВ благоприятствуют соответственно т19 т2,
I из этих случаев.
Легко видеть, что если рассмотреть только т1 (т1 0) случаев,
благоприятствующих событию А, то случаи, благоприятствующие
событию АВ, имеются только в этих тг случаях (это будут те из
них, каждый из которых благоприятствует еще и событию В).
345
Час тота. Усланная вероятность
Условной вероятностью события В при условии, что произошло
событие А, называют отношение числа случаев, благоприятствую-
щих событию АВ, к числу случаев, благоприятствующих событию А.
Условную вероятность события В при условии, что произошло
событие А, обозначают РА (В). Поэтому РА (В) =
ПРИМ FTP 2. Вам нужно угадать номер квартиры вашего друга,
живущего в доме, в котором квартиры имеют номера с 1 по 40. Вам
известно лишь, что номер квартиры друга делится на 8. Какова ве-
роятность того, что вы угадаете нужный номер с первого раза?
Пусть событие Az — «номер квартиры f>, i = 1, 2, ... , 40. Ясно,
что событий А, всего 40, все они равновозможны и единственно воз-
можны, следовательно, имеется 40 случаев:
А.|, А-2» •••, A-^jq. (1)
Пусть событие А — «номер квартиры делится на 8». Этому со-
бытию благоприятствуют 5 из сорока случаев (1):
(2)
40*
Л8» Л16» Л24»
Пусть событие В — «нужный номер квартиры». Этому событию
благоприятствует только один из пяти случаев (2).
1
Поэтому РА (В) =—, т. е. вероятность того, что вы угадаете нужный
5
номер с первого раза, зная, что номер этой квартиры делится на 8,
1
равна —. Отметим, что если бы не было этой дополнительной инфор-
мации, то вероятность угадать нужный номер была бы равна —.
40
Так как вероятность события АВ равна —, то можно записать,
/ т I п
что Р (АВ) = - = — • —.
п п
т.
Множитель — есть вероятность события А, а второй множи-
тель — условная вероятность события В при условии, что произош-
ло событие А. Следовательно, верно равенство
Р (АВ) = Р (А) РА (В).
Аналогично показывается, что верно равенство
Р (АВ) = Р (В) Рв (А).
Если Р (В) > 0, то PR (А) = —ЛВ).
в Р(В)
Это означает, что условную вероятность события А при усло-
вии, что произошло событие В, можно было определить как отноше-
ние вероятности события АВ к вероятности события В.
Если В — невозможное событие, т. е. Р (В) = 0 (т2 — 0), то при-
нято считать, что Рв (А) = 0.
346
ПРИМЕР 3. Пусть при бросании игральной кости событие А —
выпадание четного числа очков, событие В — выпадание или 4, или
5, или 6 очков, событие С — выпадание 3 очков.
Тогда событие АВ есть выпадание или 4, или 6
2 1
Р(АВ)= — =—. События АС и ВС невозможные события,
6 3
очков и
поэтому
Р (АС) = О, В (ВС) = 0.
Так как Р (А) = -
то РА (В) = = -
л Р(А) 3
и РА (С) =
1 = 2
2 3
Р(АС)
Р(А)
Так как В (В) =
3 _ 1
6 2*
то
Рв (А) =
Р(АВ) = 1
В(В) 3
и Рв (С) =
В (ВС)
В (В)
1 = 2
2 3
Иногда вероятность Р (А) называют безусловной вероятностью,
чтобы отличать ее от условной вероятности Рв (А). Рассмотрим слу-
чай, когда Рв (А) = Р (А), т. е. случай, когда условная вероятность
события А совпадает с безусловной вероятностью события А, т. е.
когда на самом деле условная вероятность события А не зависит от
того, произошло или не произошло событие В. В этом случае
Р (АВ) = Р (А) Р (В). В случае, когда РА (В) = Р (В), также справед-
ливо равенство Р (АВ) = Р (А) Р (В).
События А и В (в рассматриваемом опыте) называют независи-
мыми, если справедливо равенство
Р (АВ) = Р (А) Р (В).
(3)
ПРИМЕР 4. Пусть одновременно бросают две монеты. Пусть со-
бытие А — это выпадание на первой монете герба, а на второй или
герба, или решки, событие В — это выпадание на второй монете
герба, а на первой или герба, или решки. Покажем, что эти события
независимы.
При бросании двух монет возможны только следующие случаи
(табл. 5):
Таблица 5
Случай
1
2
3
4
Первая монета
Герб
Герб
Решка
Решка
Вторая монета
Герб
Решка
Герб
Решка
Значит, всего (равновозможных и единственно возможных) слу-
чаев четыре. Из них событию А благоприятствуют случаи 1 и 2,
а событию В — случаи 1 и 3. Тогда
Р(А) = Р(В) = ^ =
4
347
Частота. Условная вероятность
Событие С = АВ — это выпадание герба на каждой монете. Это-
му событию благоприятствует только один случаи 1. Значит,
Р(О =
Теперь очевидно, что Р {АВ) = Р (А) Р (В). Справедливость этого ра-
венства означает, что события А и В независимы.
В практических вопросах для определения независимости собы-
тий редко обращаются к проверке равенства (3). Обычно для этого
пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте.
Хотя в примере 4 на основании равенства (3) показано, что собы-
тия А и В независимы, но интуитивно ясно, что выпадание герба на
одной монете не изменяет вероятности выпадания герба на другой
монете, т. е. эти события независимы и по интуитивным соображе-
ниям. Поэтому в практических вопросах независимость событий за-
ранее оговаривают.
ПРИМЕР 5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность по-
падания в мишень первым стрелком 0,6, а вторым — 0,5. Считая,
что попадание в мишень каждого из стрелков является независи-
мым событием (т. е. вероятность попадания в мишень каждым
стрелком не зависит от попадания или непопадания в мишень дру-
гим стрелком), определим вероятность попадания в мишень обоими
стрелками; хотя бы одним стрелком.
Пусть событие А есть поражение мишени первым стрелком,
В — вторым стрелком. Тогда событие АВ есть поражение мишени
обоими стрелками, событие A U В — хотя бы одним стрелком. Так
как Р (А) = 0,6, Р (В) = 0,5 и события А и В независимые, то по ра-
венству (3)
Р {АВ) = Р{А)Р (В) = 0,6 • 0,5 = 0,3.
Применяя формулу (1) (см. п. 12.2), получим
Р {A U В) = Р (А) + Р (В) - Р {АВ) = 0,6 4- 0,5 - 0,6 • 0,5 = 0,8.
Следовательно, вероятность попадания в мишень обоими стрел-
ками равна 0,3, а хотя бы одним стрелком — 0,8.
13.4 Что называют условной вероятностью события В при условии,
что произошло событие А? Как обозначают эту условную ве-
роятность?
13.5 Пусть бросают игральную кость. Событие А заключается в
выпадании не более 4 очков, событие В — в выпадании нечет-
ного числа очков. Вычислите вероятность: а) Р (А); б) Р (В);
в) Рв (А); г) РА (В).
13.6 В ящике находятся 15 шаров: 7 белых и 8 черных, из них
3 белых шара и 2 черных помечены звездочками. Опыт
состоит в том, что из ящика наугад вынимают один шар. Со-
бытие А заключается в том, что вынут белый шар, событие
В — «вынут черный шар», событие С — «вынут шар, поме-
ченный звездочкой». Вычислите вероятность:
а) Р(А); б) Р(В); в) Р(С); г) РС(А);
д) Рс (В); е) РА (С); ж) Рв (С); з) Рв (А).
13.7 В условиях предыдущей задачи определите, являются ли не-
зависимыми события: а) А и В; б) А и С; в) В и С.
13.8 В некотором опыте события А и В независимы и известны
вероятности Р (АВ) = 0,01, Р (В) = 0,2. Вычислите вероят-
ность Р (А).
13.9 На предприятии имеются два устройства, подающие сигнал
в случае аварии оборудования. Вероятность того, что в слу-
чае аварии подаст сигнал первая сигнализация, равна 0,95,
а вероятность того, что вторая, — 0,90. Считая, что подача
сигнала первым и вторым устройствами — независимые со-
бытия, найдите вероятность того, что при аварии подаст сиг-
нал хотя бы одна из сигнализаций.
13.10 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения
мишени первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,8. Считая,
что поражения мишени каждым из стрелков являются неза-
висимыми событиями, найдите вероятность события, заклю-
чающегося в том, что:
а) мишень поразят оба стрелка;
б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй;
в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый;
г) мишень не поразит ни один из стрелков;
д) мишень поразит хотя бы один из стрелков.
§ 14*. Математическое ожидание.
Закон больших чисел
14.1*. Математическое ожидание
Пусть в результате опыта происходит т единственно возмож-
ных событий Вх, В2, ... , Вш, имеющих вероятности р2, ..., рт
т
соответственно, причем У р. = 1.
1 = 1
Пусть имеется некоторая функция, связанная с этими события-
ми следующим образом: каждому событию она ставит в соответ-
ствие вполне определенное число хг Тогда говорят, что определена
349
Математическое ожидание. Закон больших чисел
случайная величина х, которая принимает значения xL с вероят-
ностью рг
Математическим ожиданием случайной величины х называют
число, обозначаемое М (х), равное сумме произведений значений
случайной величины на вероятности этих значений, т. е.
М(х)= £хрг
i = 1
Если значения случайной величины х имеют одну и ту же веро-
ятность р, то
тр=\, М(х)- X х. — = ~ (1)
i = i m m i = 1
т. е. в этом случае математическое ожидание случайной величины х
равно среднему арифметическому ее значений.
Говорят, что математическое ожидание случайной величины
есть среднее взвешенное (вероятностями) ее значений.
Математическое ожидание называют еще средним значением
случайной величины. Говорят и так: математическое ожидание слу-
чайной величины есть ее значение в среднем.
ПРИМЕР 1. Бросают игральную кость. Найдем математическое
ожидание величины х — числа выпавших очков.
Случайная величина х принимает значения, равные числу вы-
павших очков, т. е. значения 1, 2, ... , 6, причем каждое с вероятно-
стью —. По формуле (1)
6
т. е. при любом бросании игральной кости в среднем выпадает
3,5 очка.
Следовательно, искомое математическое ожидание равно 3,5.
ПРИМЕР 2. Два стрелка стреляют по мишени, состоящей из
трех областей. Попадание в первую область дает стрелку 3 очка,
во вторую — 2 очка, в третью — 1 очко, непопадание в мишень —
О очков. Законы распределения вероятности числа выбитых очков
для каждого из стрелков заданы таблицами 6 и 7, где х — число оч-
ков, выбитых первым стрелком, у — вторым. Определим, какой
стрелок в среднем лучше стреляет по этой мишени.
Таблица 6
Xi 3 2 1 0
Pi 0,5 0,1 0,2 0,2
Та бл и ца 7
Pi 3 2 1 0
Pt 0,3 0,55 0,1 0,05
350
Сравним искусство стрельбы стрелков по данной мишени по
числу очков, выбиваемых в среднем каждым стрелком, т. е. срав-
ним математические ожидания: М (х) = 3*0,5 + 2*0,1 + 1- 0,2 +
+ 0 • 0,2 = 1,9 и М {у} = 3 • 0,3 + 2 • 0,55 + 1 • 0,1 + 0 * 0,05 = 2,1.
Второй стрелок в среднем выбивает больше очков, т. е. второй стре-
лок стреляет в среднем лучше.
Понятие математического ожидания возникло в связи с изуче-
нием азартных игр. Приведем примеры.
ПРИМЕР 3. Игрок вносит в банк игорного дома 500 р. Бросают
игральную кость. По правилам игры игрок может получить 900 р.,
если случится событие — выпадет 6 очков; 600 р., если случится
событие А2 — выпадет или 4, или 5 очков; 0 рублей, если случится
событие A3 — выпадет или 1, или 2, или 3 очка.
Будем считать, что игрок получает х рублей, т. е. х — случай-
ная величина, которая может принимать значения xt = 900, х2 = 600,
х3 = 0 соответственно с вероятностями
Pi = Р (Ai> = Рг = Р (Аг> = |> Рз=Р (Аз) =
О О Z
где +р2 + р3 = 1.
Математическое ожидание случайной величины х равно
М(х) = 900 i + 600 • i + 0 • i = 350.
6 3 2
Математическое ожидание очень важный показатель игры.
Многочисленные опыты показывают, что число М (х) = 350 в нашем
случае есть та сумма, которую в среднем игорный дом выплачивает
каждому игроку. Но это означает, что каждый игрок в среднем те-
ряет 150 р.
ПРИМЕР 1. Игрок вынимает из колоды (в 36 карт) одну карту.
Он получает (т. е. выигрывает) 10 р., если вынет бубнового туза,
5 р., если вынет бубнового короля, и кладет на стол 1 р. (т. е. про-
игрывает, но можно сказать, что выигрывает —1 р.) в остальных
случаях.
Будем считать, что игрок получает х р., где х есть случайная
величина, которая может принимать значения х, = 10, х2 = 5,
1 1 34
Хо = -1 соответственно с вероятностями —, —, —.
3 36 36 36
Математическое ожидание величины х равно
М(х)= 10-
19
19
Это означает, что каждый игрок в среднем теряет — р.
351
Математическое ожидание. Закон больших чисел
ПРИМЕР 5. Задача Паскаля. Два игрока А и В согласились,
что в их игре вся ставка достанется тому, кто первый выиграет
5 партий. Но игра оказалась прерванной, когда игрок А имел 4 вы-
игрыша, а игрок В — 3 выигрыша. В каком отношении игроки
должны разделить ставку в этой прерванной игре (в каждой партии
выигрывает один из игроков — ничьих нет; вероятность выигрыша
каждого игрока в одной партии считается равной 0,5)?
Рассмотрим, какие случаи могли бы произойти, если бы игроки
сыграли еще две партии (независимо от их первоначальной догово-
ренности):
1) игрок В выиграет обе партии; 2) игрок В выиграет первую
партию, но проиграет вторую; 3) игрок В проиграет первую пар-
тию, но выиграет вторую; 4) игрок В проиграет обе партии.
По первоначальному соглашению всю игру выиграет первый
игрок в трех из этих четырех случаев, второй — лишь в одном.
Следовательно, вероятность события А (игрок А выиграл всю
3
игру) равна —, а вероятность события В (игрок В выиграл всю игру)
4
1
равна —.
Если ставка равна Ср., то игрок А получил бы хА р., где
хА — случайная величина, которая принимает значение С с вероят-
3 1
ностью — и значение 0 с вероятностью —, а игрок В получил бы
4 4
хв р., где хв — случайная величина, которая принимает значение С
1 Л 3
с вероятностью - и значение 0 с вероятностью —.
Найдем математическое ожидание величин хА и хв, т. е. най-
дем, сколько в среднем получил бы каждый игрок:
Следовательно, в среднем игроки разделили бы ставку в от-
ношении 3:1, поэтому ставку надо разделить в отношении
М (хА) : М (хв), т. е. в отношении 3:1.
14.1 Рулетка имеет 38 номеров, выпадание каждого из которых
единственно возможно и равновозможно. Если выпадет но-
мер, на который поставил игрок, то он получает свою ставку
обратно, плюс ту же сумму в 35-кратном размере, если нет, то
теряет свою ставку. Определите, сколько в среднем получает
каждый игрок в одной игре при ставке в 19 рублей.
Два стрелка стреляют по мишени, состоящей из трех облас-
тей. Попадание в первую область дает стрелку 5 очков, во
вторую — 10 очков, в третью — 20 очков. Законы распре-
деления числа выбитых очков для каждого из них заданы
таблицами 8 и 9, где х — число очков, выбитых первым
стрелком, у — вторым. Определите, какой стрелок лучше
в среднем стреляет по этой мишени.
Xi 5 10 20
Pi 0,3 0,4 0,3
Ut о 10 20
Pt 0,2 0,6 0,2
Будем называть игру справедливой, если в среднем будет оди-
наковым число очков или денег, получаемых каждым игро-
ком. Определите, является ли справедливой игра, описанная
в следующей задаче (14.3—14.6):
14.3 Подбрасываются две монеты. Игрок А получает 3 очка, если
выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В полу-
чает 2 очка, если выпадают герб и решка, 0 очков в других
случаях.
14.4 Подбрасываются две монеты. Игрок А получает 2 очка, если
выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В полу-
чает 1 очко, если выпадают герб и решка, 0 очков в других
случаях.
14.5 Подбрасываются две игральные кости. Игрок А получает 6 оч-
ков, если выпадает сумма, не большая 7 очков, 0 очков в дру-
гих случаях. Игрок В получает 7 очков, если выпадает сумма,
большая 7 очков, 0 очков в других случаях.
14.6 Игрок делает ставку и подбрасывает игральную кость. Если
выпадает 6 очков, то игрок получает свою ставку в /г-кратном
размере. Если нет — сделанная ставка достается игорному
дому. Рассмотрите случаи:
а) п = 4; б) п = 5; в) п = 6.
14.7 Подбрасываются две монеты. Игрок А получает а очков, если
выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В полу-
чает Ъ очков, если выпадают герб и решка, 0 очков в других
случаях. Найдите отношение а : д, при котором эта игра ста-
нет справедливой.
14.8 Задача Луки Пачоли (1494 г.). Двое игроков играют до трех
выигрышей. После того как первый игрок выиграл две пар-
тии, а второй — одну, игра прервалась. Спрашивается, как
справедливо разделить ставку 210 ливров (ливр — серебряная
монета).
^353
Математическое ожидание. Закон больших чисел
14.9 Задача Пьера Ферма (1654 г.). Пусть до выигрыша всей встре-
чи игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех пар-
тий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?
14.2*. Сложный опыт
Пусть производится несколько опытов. Опыты называют неза-
висимыми, если вероятность появления какого-либо события А
в каждом опыте никак не зависит от появления или непоявления
этого события в других опытах.
Например, первый опыт заключается в том, что подбрасывается
одна игральная кость, а второй — в том, что подбрасывается другая
игральная кость. Ясно, что вероятность появления, например, 6 оч-
ков в первом опыте никак не зависит от того, что произошло во вто-
ром опыте. Следовательно, эти опыты независимы.
Можно говорить о сложном опыте, заключающемся в том, что про-
изводятся п независимых опытов. Сложный опыт порождает новые
события, каждое из которых для п — 2 обозначается (А, В) и заклю-
чается в том, что в первом опыте произошло событие А, а во втором —
событие В. Совокупность всех упорядоченных пар (А, В) образует
множество всех событий, порождаемых данным сложным опытом.
Например, если первый опыт заключается в подбрасывании мо-
неты, а второй — в подбрасывании игральной кости, то эти опыты
независимы и пары событий (Г, 1), (Р, 1), (Г, 2), (Р, 2), (Г, 3), (Р, 3),
(Г, 4), (Р, 4), (Г, 5), (Р, 5), (Г, 6), (Р, 6), где Г — герб, Р — решка, обра-
зуют множество событий, порождаемых данным сложным опытом.
Для двух независимых опытов справедливо равенство
Р (А, В) = Р (А) Р (В),
(1)
т. е. для двух независимых опытов вероятность события (А, В), за-
ключающегося в том, что в первом опыте происходит событие А,
а во втором — событие В, равна произведению вероятностей собы-
тия А в первом опыте и события В во втором опыте.
В самом деле, считаем, что в первом опыте имеем равновозмож-
ные и единственно возможные случаи Ар А2, ..., Ап, а событию А
благоприятствуют т таких случаев. Таким образом, Р(А)= “.
Считаем также, что во втором опыте имеем равновозможные
и единственно возможные случаи Вр В2, ... , ВЛ, а событию В благо-
приятствуют I таких случаев. Таким образом, Р(В) = —.
k
Так как в сложном опыте может произойти только kn равновоз-
можных и единственно возможных случаев, а из них только ml слу-
чаев благоприятствуют событию (А, В), то
Р (А, В)=-=—--= Р(А) Р(В).
nk п k
1 п
a 354
Формула (1) обобщается на п независимых опытов
Р (Ар Л2, Ап) = Р (Ах) Р (А2) • ... • Р (Ап).
Если произведено п независимых опытов, то вероятность собы-
тия (Ар А2, ..., Ап) , заключающегося в том, что в первом опыте
произойдет событие А19 во втором — А2 и т. д., в п-м — Ап> равна
произведению вероятностей событий А19 Л2, ...» Ап соответственно
в первом, во втором, ..., в n-м опыте.
ПРИМЕР 1. Подбрасывается игральная кость 5 раз (т. е. произ-
водится сложный опыт, состоящий из 5 независимых опытов). Ка-
кова вероятность того, что одно очко выпадает только в первый,
четвертый и пятый раз?
Так как в первом, четвертом и пятом опытах вероятность выпа-
1
дания одного очка равна —, а во втором и третьем вероятность того,
6
5
что не выпадет одно очко, равна —, то искомая вероятность равна
6
ПРИМЕР 2. Задача де Мера. Какова вероятность того, что при
бросании игральной кости 4 раза хотя бы один раз выпадет 6 очков?
Вероятность того, что при четырехкратном бросании игральной
кости 6 очков не выпадет ни разу, равна
4
. Пусть в сложном
опыте — четырехкратном бросании игральной кости — событие А
заключено в том, что 6 очков не выпадет ни разу, а событие В —
6 очков выпадет хотя бы 1 раз. События А и В несовместные,
их сумма (объединение) — достоверное событие, поэтому В = А
и Р (В) = Р (А) = 1 -Р(А).
Отсюда следует, что вероятность того, что при четырехкратном
бросании игральной кости 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна
0,518.
14.10 Какие опыты называют независимыми? Приведите примеры.
14.11 Что более правдоподобно — выпадание, по крайней мере,
одной шестерки при 4-кратном бросании игральной кости
или выпадание, по крайней мере, пары шестерок при
24-кратном одновременном бросании двух костей?
355
Ма тематическое ожидание. Закон больших чисел
14.12 В каждом из двух ящиков лежат одинаковые шары двух
цветов: белые и черные. Опыт заключается в том, что из
каждого ящика не глядя берут по одному шару. Известно,
что вероятность взять белый шар из первого ящика равна а
(О < а < 1), а вероятность взять белый шар из второго ящика
равна Ь (О < b < 1). Какова вероятность того, что в результате
опыта будут вынуты: а) 2 белых шара; б) 2 черных шара;
в) 1 белый шар и 1 черный шар?
14.3й. Формула Бернулли. Закон больших чисел
Пусть в опыте вероятность события А равна р и опыт повторя-
ется п раз, при этом каждый повторяемый опыт независим от
остальных.
Тогда в этом сложном опыте вероятность события Ak, заключа-
ющегося в том, что событие А произойдет k раз (k С п), равна
РЛАЛ = Скркдп-к, (1)
заключаю-
где q = 1 — р. Обычно вместо Рп (Ак) пишут Рп (Z?).
Формулу (1) называют формулой Бернулли.
Действительно, так как в каждом простом опыте вероятность
появления события А равна р, то вероятность непоявления собы-
тия А равна q = 1 - р.
Пусть в сложном опыте произошло событие В
щееся в том, что в простых опытах с фиксированными номерами
...» lk произошло событие А, а в простых опытах с другими номе-
рами событие А не произошло. Так как опыты независимы, то веро-
ятность этого события равна произведению вероятностей
Р (В, , ) = ркап ~ к (см. п. 12.6).
1 £ * • • • »
Количество событий В^ { равно числу способов выбрать
k элементов из п, т. е. равно С" . Все события В.
п tp
событие Ак является объединением всех событий В
вероятность Рп (k) события Ak равна сумме вероятностей всех собы-
тий В, , . т. е. Р- (k) = Ck Dkan ~11
несовместны,
. . Поэтому
где q = 1 - р.
Тем самым формула (1) доказана.
ПРИМЕР 1. Пусть всхожесть семян некоторого растения рав-
на 90%. Найдем вероятность того, что из пяти посеянных семян
взойдут 3.
В данном примере р = 0,9, q = 1 — р — 0,1, п = 5, k = 3. Тогда
Р5 (3) = Сд • 0,93 • 0,1* 1 2 * * * * * В ~ 0,0729, т. е. есть вероятность того, что из
пяти посеянных семян взойдут 3, приближенно равна 7%.
(2)
Очевидно, что
ZPn(*) = i,
л= о
потому что события Ак несовместны и их сумма есть достоверное со-
бытие. Равенство (2) следует также из формулы бинома Ньютона:
i Р„ (k) = 1 Cknpkqn - к
k=О k=о
= (р + q)n = Г = 1.
Равенство (2) выражает первое свойство чисел Рп (к): для любо-
го натурального п сумма всех чисел Рп (k) равна 1.
Прежде чем сформулировать второе свойство чисел Рп (/г), рас-
смотрим конкретные примеры.
ПРИМЕР 2. В таблице 10 приведены приближенные значения
1
первых шести чисел P1Q(k) для р = —.
5
Таблица 10
k 0 1 2 3 4 5
Рю W 0,1074 0,2684 0,3020 0,2013 0,0880 0,02640
Мы видим, что числа Plo (k) с возрастанием k от 0 до т = пр —
= 10 • — = 2 возрастают, а для k> т убывают. Последовательность
5
чисел Р10 (k) можно было бы продолжить для А = 6, 7, 8, 9, 10. Но
это не сделано потому, что соответствующие этим k числа Р10 (/г)
очень малы, т. е. близки к нулю.
Здесь существенно то, что бблыпие из чисел Р10 (k) группируют-
ся около числа Р10 (ттг), где т = пр = 2.
ПРИМЕР 3. В таблице 11 приведены приближенные значения
2
всех чисел Рб (k) для р = —.
3
Таблица 11
k 0 1 2 3 4 5 6
Р6(К) 0,0014 0,0165 0,0823 0,2195 0,3292 0,2633 0,0878
Мы видим, что числа Р6 (&) с возрастанием к от 0 до т = пр —
2
= 6 • — = 4 возрастают, а для k > пг убывают. Здесь большие из чисел
3
Рб (k) группируются около Рб (тп), где т = пр = 4.
Математическое ожидание. Закон больших чисел
Сформулируем теперь второе свойство чисел Рп (fe).
Существует натуральное число zn, приближенно равное пр
(т ~ пр с точностью до 1), такое, что при возрастании k от О до т
числа Рп (h) возрастают, при k — т (иногда и при k = т + 1) достига-
ют максимума, а при дальнейшем возрастании k убывают. При этом
большие числа Р (k) группируются около максимального значения
Рп
В примерах 2 и 3, вычисляя значения Р„ (k), можно показать,
что дробь — (относительная частота появления события А) для й,
п
близких к /и, мало отличается от р.
Действительно, в примере 2 сумма Р10 (1) + Р10 (2) + Р10 (3)
есть, очевидно, вероятность того, что при рассматриваемом нами де-
сятикратном повторении опыта событие А произойдет либо 1,
либо 2, либо 3 раза. Это записывают так:
Р (1 « k « 3) = р1о (1) + Р10 (2) + р1о (3).
k - 2
Поскольку неравенство 1
k 3 можно записать так:
или так:
10
поскольку Р10 (1) + Р10 (2) + Р10 (3)
~ 0,7717, то пишут
Р
10
0,7717.
Это приближенное равенство означает, что при десятикратном
повторении опыта, в котором вероятность наступления события А
равна —, вероятность того, что относительная частота повторения
события А отличается от вероятности события А на величину, не
большую 0,1, приближенно равна 0,7717, что достаточно близко к 1.
В примере 3 сумма Р6 (3) + Р6 (4) 4- Р6 (5) есть, очевидно, веро-
ятность того, что при рассматриваемом нами шестикратном повто-
рении опыта событие А произойдет либо 3, либо 4, либо 5 раз. Это
записывают так:
P(3Kk<
5) = Р6 (3) + Р6 (4) + Р6 (5),
или так:
Р (| k - 4 | С 1) = Р (3) + Р (4) + Р (5) ~ 0,812,
или, наконец, так:
6>
0,812.
Это приближенное равенство означает, что при шестикратном
повторении опыта, в котором вероятность наступления события А
358
равна —, вероятность того, что относительная частота — события А
отличается от вероятности события А на величину, не большую —,
приближенно равна 0,812, что также достаточно близко к 1.
Эти примеры подтверждают так называемый закон больших
чисел.
Пусть в опыте вероятность появления некоторого события А
равна р. Тогда при многократном повторении опыта (считая эти
опыты независимыми) близка к 1 вероятность того, что относи-
тельная частота появления события А мало отличается от р.
Этот закон можно сформулировать более точно:
Для любых сколь угодно малых положительных чисел £ и 5
можно указать достаточно большое натуральное число и, такое, что
при n-кратном повторении опыта относительная частота — собы-
тия А, имеющего в каждом опыте вероятность р, отклоняется от р
меньше чем на £ с вероятностью, большей чем 1 — 5:
14.13 Всхожесть семян некоторого растения равна 90%. Найдите
вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут:
а) 0; б) 1
в) 2; г) 4; д) 5.
14.14 Монета подбрасывается 10 раз. Вычислите вероятность вы-
падания герба:
а) не более чем 2 раза; б) не более чем 3 раза.
14.15 Монета подбрасывается 20 раз. Вычислите Р20 (/г), если
k = 0, 1, 2, 3.
14.16 Имеется тест из четырех заданий. К каждому из заданий
даны 5 ответов для выбора. Контролирующее устройство
проверяет работу ученика по номерам выбранных ответов
и выставляет отметку:
5 — за выбор верных ответов во всех четырех заданиях;
4 — за выбор верных ответов в любых трех заданиях;
3 — за выбор верных ответов в любых двух заданиях;
2 — за выбор верного ответа лишь в одном задании;
1 — за выбор неверных ответов во всех четырех заданиях.
Ученик, не выполняя заданий, решил случайным образом
указать номера верных ответов в каждом из них. Какова ве-
роятность таким способом получить отметку:
а) 5; б) 4; в) 3; г) 2; д) 1?
Ш 359
_____
Исторические сведения
Исторические сведения
Еще в глубокой древности появились азартные игры. В Древней
Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрага-
лы (т. е. бросание костей из конечностей животных) и в игральные
кости (кубики с нанесенными на гранях точками). В средневековой
Европе азартные игры способствовали зарождению и становлению
комбинаторики и теории вероятностей.
Задачи о дележе ставки встречались уже в рукописных арифме-
тических учебниках XIII в. В них требовалось справедливо разде-
лить ставку между двумя игроками, если игра прервана по каким-
либо причинам. В работе итальянского математика Луки Пачоли
(1445—1514) «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношени-
ям и пропорциональности» (1494) она сформулирована так.
«Необходимо разделить ставку между игроками в том случае,
когда один имеет пять выигранных партий, а другой — две, догово-
рились же играть до шести выигранных партий».
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбина-
ций при игре в кости итальянский математик Никколо Тарталья
(1499—1557).
Задачи о дележе ставки оставались нерешенными до середины
XVII в., когда возникла переписка французских математиков Блеза
Паскаля (1623—1662) и Пьера Ферма (1601—1665), опубликован-
ная в Тулузе в 1679 г. В этой переписке оба ученых, хотя и несколь-
ко разными путями, приходят к верному решению таких задач,
деля ставку пропорционально вероятности выиграть всю ставку,
если игра будет продолжена.
Применив методы комбинаторики, Паскаль предложил реше-
ние задачи в общем случае, когда одному игроку остается до выиг-
рыша г партий, а другому — s партий. Полученное им решение дан-
ной задачи привело к введению в теорию вероятностей понятия
математического ожидания. Ферма со своей стороны нашел реше-
ние и для более сложного случая, когда игра происходит между
произвольным числом игроков.
В 1657 г. голландский математик Христиан Гюйгенс (1629—
1695) опубликовал печатную работу под названием «О расчете
в азартных играх», в которой он получил те
же результаты, что и Б. Паскаль и П. Ферма.
В предисловии Гюйгенс пишет: «Во всяком
случае, я полагаю, что при внимательном изу-
чении предмета читатель заметит, что имеет
дело не только с игрой, но что здесь заклады-
ваются основы очень интересной и глубокой
теории».
Первоначально задачи об азартных играх
решались средствами комбинаторики, разви-
тие которой связано с именами швейцарского
математика Якоба Бернулли (1654—1705), немецкого математика
Готфрида Лейбница (1646—1716) и члена Петербургской академии
наук Леонарда Эйлера (1707—1783). Однако и у них основную роль
играли приложения к различным играм.
Первые задачи по вычислению вероятностей появились в XVII в.
в работах Б. Паскаля, Я. Бернулли и др. Предметом дискуссий в это
время был вопрос о том, какие события можно считать равновероят-
ными в разных случаях определения вероятности. В силу неразра-
ботанности теории вычисление вероятностей иногда выполнялось
с ошибками. Например, задачу о вычислении вероятности того, что
две подбрасываемые одинаковые монеты упадут на одну и ту же сто-
рону, французский математик Д’Аламбер решил неверно, так как
считал, что опыт с двумя монетами имеет три равновозможных исхо-
да: обе монеты упадут на герб, обе монеты упадут на решку, одна из
монет упадет на герб, а другая на решку. На самом деле этот опыт
имеет четыре равновозможных исхода (см. п. 13.2, пример 4).
Английский математик Исаак Ньютон (1643—1727) дал
исчерпывающее решение следующей задачи, опираясь на формулу
Бернулли (см. п. 14.3).
«Какое из событий более вероятно:
1) появление по крайней мере одной шестерки при подбрасыва-
нии шести костей;
2) появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании
12 костей;
3) появление не менее трех шестерок при подбрасывании
18 костей?»
В некоторых странах уже более двухсот лет назад начали прово-
дить так называемую «генуэзскую лотерею». Желающие участ-
вовать покупали билеты, на которых были напечатаны числа от
1 до 90, и отмечали одно, два, три, четыре или пять из этих чисел.
В день розыгрыша из мешка, содержавшего номера от 1 до 90, вы-
таскивали случайным образом 5 номеров; выигрывали те и только
те билеты, все номера которых оказывались среди вытянутых.
Владелец выигравшего билета с одним отмеченным номером
получал в 15 раз больше стоимости билета; с двумя номерами —
в 270 раз; с тремя — в 5500 раз; с четырьмя — в 75 000 раз и с пятью
361
Исторические сведения
выигравшими номерами — в 1 000 000 раз больше стоимости биле-
та. Если же на билете был отмечен хотя бы один из невытянутых
в лотерее номеров, билет не выигрывал.
Так как вероятность угадать все пять чисел из 90 составляет
1- 2- 3- 4- 5 = 1
90 • 89 • 88 • 87 • 86 43 969 268 ’
то такой выигрыш возможен в среднем один раз из почти
44 000 000 попыток.
В середине XVIII в. Л. Эйлер в работе «Решение одного очень
трудного вопроса теории вероятностей» решил задачи об опреде-
лении вероятностей угадывания одного, двух, трех, четырех, пяти
чисел в генуэзской лотерее.
Кроме решения задач, связанных с различными играми и лоте-
реями, Л. Эйлер решал задачи, связанные с проблемами страхового
дела и демографии. Он сформулировал 6 важных задач демографии
и указал формулы для их решения. Приведем две его задачи.
«Найти вероятность того, что лицо возраста т лет проживет
еще п лет.
Из данной группы в М лиц данного возраста т лет найти число
лиц, которые проживут еще п лет».
Его идея решения подобных задач служит основой для
демографических расчетов и по сей день.
В XVIII в. и в начале XIX в. в работах Я. Бернулли, англий-
ского ученого А. Муавра, французских ученых П. Лапласа, С. Пу-
ассона и др. были доказаны первые теоремы теории вероятностей.
В XIX—XX вв. теория вероятностей получила дальнейшее разви-
тие в трудах российских ученых П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова,
А. А. Маркова.
После введения Андреем Николаевичем Колмогоровым (1903—
1987) аксиоматики в 1933 г. теория вероятностей — полноправ-
ная математическая наука, имеющая многочисленные применения
в естественных науках, технике, социологии, военном деле и т. д.
Задания для повторения
Данный раздел предназначен для повторения материала, изу-
ченного в девятилетней школе, и итогового повторения за курс
10 класса. В нем даны некоторые задачи выпускных школьных
экзаменов и конкурсных экзаменов в вузы страны. Список приня-
тых сокращений приведен в конце раздела.
Числа и вычисления
Вычислите (1—5):
1 (МГУЭСИ). а) Гб--3-1-2
l 9 4 /
г)
9900
1 + 21
4 9900
0,64-
0,8:
0,6
+ 0,125
495
Д)
20
99
15
0,097
1 - 0,01
4
243- 3 27 81
Ю Лл25
---44—
63 84 О1
---------: о1
-111:4-5
2 (МГАВТ). а)
0,24- — 0,5
15
3,57 : 3,5;
(-6—
, I 15
13
60
3
5
3 (РГОТУПС). а) 6^-3 — (0,562 + 0,138)
i 5 14 ,
3
5
5
-27 —
1 1 ъ
10,3 - 8— • -
Задания для повторения
4
5
6
7
8
9
10
11
(МГОПУ).
17
40
0,25.
а) 4,22 + 0,145 :
45
30
_7__ 11
12 60
33:4—
60
15
12
65
— + 33,022: 5^
: 6,4-3-0,24
(МГАХМ). Представьте в виде десятичной дроби обыкновенную
17 7
дробь: а) —; б) —.
20 8
Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную деся-
тичную периодическую дробь:
а) 2,(4); б) 3,(5); в) 2,(17); г) 2,1(7); д) 2,17(1).
Сравните числа:
•>П"<М2”! б>|„0,(7>; .) г)-11
и -0,3(4).
30
15
(МГУ, геол, ф-т)
а) Какое из чисел меньше: 2^10 или 6,(32)?
б) Какое из чисел больше: 2-J17 или 8,(24)?
в) Какое из чисел меньше: ^/47 или 713?
Определите, что больше:
а) (1 - Тз)'1 или (1 + З0'5)-2;
Вычислите:
а)
(УЗ)2 + (У? - Уз)(У7 + УЗ).
1 + 1 _ 2 А
7 49 49
6) (1 - л/2)-2 или (21,5 + З)'1.
„ (л/3 - 2л/2)(л/з + 2^2),
^7 1 ’
- - 0,125 + —
8 20
0,625 + — + 2° - 2-1
16
2
д)
(0,05)° + 0,75 - -
4
12
13
14
15
16
(РУДН). Вычислите, не пользуясь калькулятором:
(V6 + 11).
(РГАЗУ). Докажите равенство
7з + Тз +Vio+бТз = л/з +1.
(МГУ, почв. ф-т). Докажите, что число
((уз - w)2 + 7) ((Vs + V27)2 - 7)
целое и найдите это число.
(РЭА). Докажите, что данное число целое и найдите это число
a) (V2 - Vf) ((V? + У2)2- \lil) (V7 +
б)
в)
- V125 f+ + V125J- 9^;
((Ч/З - + V960] (fV3 + V5)2- 3 8Лб).
Вычислите: ------ .------
ч , x « J8+2-J7 V3 + V7 /z
а) (МГУ, геол. ф-т). 3» X. —=—- • V2;
V8-2V7
«X /1КЛ-Т.Т7 X 73 - 2^2 A 76 + >/2 /17
б) (МГУ, геол. ф-т). v .—+ 4 • - ---• J—
J3+ 2V2 V6~ ->/2 ’ 2
в) (МВВДИУ). [ Ш - Vs)(V4 + V10 + V25^;
г) (МТУСИ). ^4-2^3 Vl + Тз • Vi;
д) ^2- 72+ VS 72+72 + 73 • 72+ V3;
e) 731 • 7з-7з+7б • 73+73+7б • 76+7б;
ж) 772 - 1 V3 + 2T2;
Упрощение выражений
17 (РГОТУПС). Выполните действия: (х2 + 7х — 3) (5х - 2).
18 (СПГИЭА). Найдите коэффициент при х3 в выражении
(х - В)3 - (2х (3 + (х - В)2) - 10).
Задания для повтооения
19
20
Упростите выражение (19—24):
ч а3 + Ь3 + ЗаЬ(а + Ь) п л
а) -------------------2; б
(а + bf
(а - й)3 + (й - с)3 + (с - а)3 .
(а — b)(b - с)(с — а)
х а3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс ,
Д) »--------р----------------а - Ь
а + b + с — ab — Ьс — ас
(а2 - ab + Ь2)(а2 + 2ab + b2)(a + b) .
(а + Ь)2(а3 + Ь3) ’
(х + у + zf - х3 - у3 - z3
(х + у)(у + ?Их + г)
с - 1.
а)
а4 + а2Ь2 + Ь4
(а2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) *
в)
21
б)
(а2 + Ъ2 + аЬ)(а2 + b2 - ab)
т3 — 15m2
т3 + 27
3—71
п3+ 15п2
773 — 27 ,
(МВОКУ).
9т
777 + 3 ?
т + 3 -
п - 3
22
(РГОТУПС).
_________*3- j/3 + (X + т/2)(х2 + у) - ху (ху + 1)
(Зх + у)2 — Зх2 — 5ху х2 — ху + у2
23 (МГЗИПП). [ —— + 2 № „------— ] : f 1 + 4a^+ Ь.
\2а- Ь Ь2 - 4а2 2а + b) \ 4а2 - b
(ГАСБУ).
1_________1 | [ 25х3 + 12 х
<х-3 5х2+х + 3; 1д0х2+30х >
к f 1 + — А Г1: <6 + 5*2)2
I х — 3 5х2 + х + 3 J 5х4 — 45х2
25
Сократите дробь:
а) (ГУЗ). — ~,2х2~ 3;
2xz - х
б) (ГУЗ).
2 + х — Зх2 е
9х2 — 4
в) (РГАЗУ).
г) (ВАХЗ).
+ 4х2— 9х - 36
х2 + х — 12
д) (МГТУ СТАНКИН).
26
Упростите выражение (26—30):
а) (МГТА).
(МГУГК).
(МГУ ГК).
з
г)
(МГОУ).
(МГАВТ).
27
(МГУЭСИ)
28
29
30
2
в)
а)
(МГУ
а)
4а - Ь
(МГУ
почв. ф-т).
х - У3у Y
в)
х - %3у
х + -/Зу
(МГУГК).
- -Jab
(МГУК).
2
(ГАНГ).
0,001 - 64b*5
1 . л ль . 1Ль2
31
Упростите выражение и вычислите его значение:
а)
если а =
367
Задания для повторения
(МГУ, геол. ф-т)
Д)
32 (МГУ, геол. ф-т).
Линейные и квадратные уравнения
33 (МГАДИ). Решите уравнение:
ч . , D 21 ,17 , 13 л 1 D л п
а) Ах + В =----F — ч---, если А = —, В = -0,9.
40 24 15 3
б) Ах + В = - + 0,9 + —, если А = 10, В = -0,2.
9 45
31
35
36
(МГУЛ). Найдите х, если —---—
45 9
14 + 1,75
7
30
Решите уравнение (35—37):
а) (МГАУ). (х - 4): | (х - 7);
о 4
б) (РГОТУПС). 2х2 - х - 1 = 0;
в) (МВВДИУ). 2х2 - 5х - 3 = 0;
г) (МГАВТ). 2 (1 - 1,5х) + 2 (х - 2)2 = 1;
д) (МГТА). (х - 2) (1 - х) = х (4 - х).
а) (МГУ, хим. ф-т). | х | = 4 — х;
б) (МГУ, хим. ф-т). | х | = 2 - х;
в) (МГУ, физ. ф-т). 2|х+1| = 2 — х;
г) (МГУ, биол. ф-т). | х — 1 | + | 2х - 3 | = 2;
д) (МГУ, псих, ф-т). I 2х - 15 | = 22 - | 2х + 7 |;
е) (МГУ, геогр. ф-т). |2х + 8|-|х-5| = 12;
ж) (МГУ, геогр. ф-т). |2х + 9|-|х-б| = 15;
з) (МГУ, геогр. ф-т). | 5х — 3 | - | 7х — 4 | = 2х — 1.
368
37 а) (МГУ,
б) (МГУ,
в) (МГУ,
г) (МГУ,
Д) (МГУ,
экон. ф-т). 3 | х + 2 | + у? + 6х + 2 = О;
экон. ф-т). 3 | х + 11 + х2 + 4х - 3 = 0;
биол. ф-т), (х - 7)2 - | х - 71 = 30;
социол. ф-т). | х2 + Зх | = 2 (х + 1);
социол. ф-т). | х2 — Зх | — 2х — 4.
38
39
(МГАТХТ). Найдите произведение корней уравнения:
а) 4х2 + х - 3 = 0; б) 5х2 - 8х - 4 = 0.
а) Найдите коэффициент р в уравнении 2х2 + рх + 12 = 0, имею-
щем корень 3.
б) Найдите коэ
£фициент q в уравнении 2х2 + 6х + q — 0, имею-
щем корень —2.
в) Найдите коэффициент q в уравнении х2 + 7х + q = 0, имею-
щем корень 3.
г) При каком наибольшем значении а квадратное уравнение
х2 - (а + 3) х + а2 = 0 имеет корень 3?
40 При каком значении а уравнение:
а) х2 + ах + а - 1 = 0 имеет равные корни;
б) х2 - 10х + а = 0 имеет равные корни;
в) (а - 1) х2 - ах + а + 1 = 0 имеет два действительных корня;
г) ах2 + 2 (а + 1)х + а + 3 = 0 имеет два действительных корня?
41 а) В уравнении х2 - kx + 2 = 0 определите наибольшее значе-
ние k, при котором разность корней уравнения равна 1.
б) Найдите значение q в уравнении х2 — 6х + q = 0, один корень
которого больше другого на 4.
в) Найдите наибольшее значение р, при котором разность кор-
ней уравнения х2 + рх + 12 = 0 равна 1.
42 (МГТА). Найдите сумму корней уравнения
х - 1 = (х + Л1)(Л1 - х).
43 (МГУГК). Дано: х. и х2 — корни уравнения ах2 + Ъх + с = 0
11
(а ф 0). Составьте уравнение, корни которого — и —.
Х1 х2
44 (МГЗИПП). Найдите а, если равны корни уравнения
х2 - 2ах + а + 2 = 0.
45 а) При каком значении р равна 2 разность корней уравнения
х2 + 4х + р = 0?
б) Найдите коэффициент q в уравнении х2 — 2х + q = 0, корни
которого связаны соотношением 2х2 + хг = 3.
46 Даны два уравнения: х2 — 5х + р = 0, х2 - 7х + 2р = 0. Найдите
значение р, при котором один из корней второго уравнения
вдвое больше одного из корней первого уравнения.
369
Задания для повторения
47 При каком наименьшем целом положительном значении Ъ кор-
ни уравнения
(b + 1) х2 - 4Ьх + Ь - 5 = О
положительны?
48 (МГУЭСИ). Вычислите:
. (Х. + Х„)2 о
а) —5----—, где х. и х2 — корни уравнения х + 6х + 4 = 0;
Xj* Х2
б) —1----—, где хг и х2 — корни уравнения х + 5х + 1 = 0;
Xj • х2
В)
где xt и х2 — корни уравнения х2 — 5х + 4 = 0;
х. • х9 2
г) —1—, где х1 и х2 — корни уравнения -х + 2х + 6 = 0.
(Xj + х2)
49
50
(РЭА). а) Найдите значение р, если корни уравнения
2х2 — 5х + р = 0
Х2 Х1 65
удовлетворяют условию-----F — = —.
х. х„ 8
А
б) Найдите значение р, если корни уравнения
6х2 -I- Зх — р = 0
4 4 63
удовлетворяют условию хх • х2 + х2 • хх = —.
в) Найдите отрицательное значение д, если корни уравнения
Зх2 - 2qx - 15 = 0
з , з 530
удовлетворяют условию хх • х2 + х2 • хх =--.
г) Найдите положительное значение q, если корни уравнения
2х2
qx - 18 = 0
£ 65
х.? 324
удовлетворяют условию
(РЭА). а) При каком значении а сумма квадратов корней урав-
нения 2х2 - 10х + а = 0 равна 17?
б) При каком значении а сумма квадратов корней уравнения
в) При каком значении а разность квадратов корней уравнения
о 2 . „ . _ Л_____7 о
г) При каком значении а разность квадратов корней уравнения
13~Никольский, 10 кл.
370
Рациональные
авнения
Решите уравнение (51—55):
2х - 18
х2 - 13х + 36
2х2
Зх2 - 17х + 14
б)
51
52
53
54
55
56
57
58
59
Зх + 8 _ 6х - 9 _
7х - 3 14х + 44
Зх + 2 _ 6х - 21
7х - 17 14x4-16
Зх - 6 -
—о-------= 1;
х2 - 5х + 6
2х - 6 _ -
5х2-17х + 6~
г)
х2 - 13х + 43
х2- Их + 31
= 0;
4
х - 2
а) (МГАДИ).
б) (МГАХМ).
(МГУ, почв, ф-т)
Являются ли числа 1, -1, 2,
а) Р3 (х) = Зх3 + 8х2 + Зх - 2;
в) Р3 (х) = х3 - 2х2 - х + 2;
Среди каких рациональных
—2 корнями многочлена
б) Р3 (х) = Зх3 + 5х2 - 8;
г) Р4 (х) = х4 - 2х3 - 7х2 + 5х - 12?
чисел следует искать корни мно-
гочлена, если они существуют:
а) Р3 (х) = х3 - Зх2 + Зх - 2; б) Р3 (х) = 2х3 + Зх2 - 3;
в) Р3(х) = 2х3 + 2х2 - х - 1; г) Р4 (х) = х4- Зх3 + 2х2 + Зх-6?
Решите уравнение (58—59):
а) х3 - 4х2 + 6х - 3 = 0;
в) 2х3 - 4х2 - Зх + 6 = 0;
д) х4 - Зх2 - Их-21 = 0;
а) х3 + 2х2 - 5х - 10 = 0;
в) х3 - 4х2 + х - 4 = 0;
д) х4 + х3 - 4х2 + 2х - 12 = 0;
б) 4х3 + Зх2 + 1 = 0;
г) 2х4 - х3 — 6х2 + Зх = 0;
е) х4 — Зх3 + 2х2 + х — 3 = 0.
б) х3 - Зх2 - 4х + 12 = 0;
г) 2х3 - 15х2 4- 34х - 24 = 0;
е) х4 - 5х2 4-4-0.
371
Задания для повторения
Системы уравнений
Решите систему уравнений (60—62):
60
(МГУЭСИ)
ч f Зх + у = 13
a) S * о
I х - у - 3;
Г 2х 4- Зу = 165
I 5х 4- 2у = 330;
62
63
61
(МГАТХТ)
f —X 4- У — 2 = 14
При каком значении а система уравнений
Г 2х 4- Зу = 1
[3x4-1/ = 5;
Г 2х 4- Зу = 49
[ Зх 4- 2у = 46.
ах 4- Зу = 5
4х 4- (4 4- а)у = 10
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений;
в) имеет единственное решение?
При каком значении а система уравнений
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений;
в) имеет единственное решение?
ах + у = а
х 4- (2а 4-1) у = а 4- 2
При каком значении а система уравнений
2х 4- (а 4- 1)г/ = 5
(а 4- 2)х 4- 6г/ = 8 4- а
66
67
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений;
в) имеет единственное решение?
При каком значении а система уравнений
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений;
в) имеет единственное решение?
При каком наибольшем значении а система уравнений
{х 4- ау — а 4-1
(а 4- 1)х 4- 2у = а 4- 2
не имеет решений?
13*
Определите, при каких значениях k система уравнений:
f(fe + 2)x + 6z/ = 30- 5k
16х + (k + 7) у — 30;
J kx + 2y = k + 2
l(2fe + l)x + (fc + l)*/ = 2fc + l
имеет бесконечное множество решений; не имеет решений.
Решите систему уравнений (69—76):
геол. ф-т).
а) (МГУ,
б) (МГУ,
биол. ф-т).
(МГУ, хим. ф-т)
х2 - ху = 20у
5ху — 5у2 — 4х;
х + 2у — 6
Зх2 - ху + 4 г/2 = 48.
х2 + у2 + 2(х - у} + 2 = 0
z2 + xz + yz — 4 = 0;
I х2 + у2 + 4(х - у) + 8 = 0
[ z2 + xz + yz — 9 = 0.
(МГУ, геол, ф-т)
x4+i/2= 30
х2 +г/4= 30;
(x4+2z/2 = 15
[2х2 + у*= 15.
б)
(МГУ, физ. ф-т).
fx + # + xi/=7
} 1 г2 4- и2 + ™ -14
I у I Л» у •“* -L «
(МФТИ)
х2 - 6х - 2у - 1 = 0
у2 + 2х + 9у + 14 = О;
б)
г)
х2 - 4х + 4у + 27 = О
у2 + 2х + 8у +10 = О;
х2+7х—у +11 = О
у2 + Зх — у +15 = О.
(с + d)x + (с - d)y = 2с
а)
--------- = 2аЪ
б)
68
69
70
71
72
73
74
75
76
з
где а, Ъ, с, d — данные числа и | а | Ф | b |, cd Ф О.
373
Задания для повторения
Решение неравенств
77
Решите неравенство (77—102):
а) 5х + 7 > Зх + 20; б) 10х + 5 < 7х + 16;
в) Зх + 11 < 7х - 5; г) 11х-8>-х-13;
д) —х + 6 4х — 9; е) —2х + 3 5х — 12.
78
79
80
(МГАВТ). а) - (Зх - 1) >
а) (х - 2) (х - 3) > 0;
в) (х + 4) (х - 1) > 0;
д) х2 - 10х + 24 < 0;
ж) (х - 3) (х - 5) 0;
и) (х + 3) (х - 4) > 0;
л) х2 + 7х + 6 < 0;
б) (х - 4) (х - 6) < 0;
г) (х + 1) (х + 2) < 0;
е) х2 - 14х + 66 < 3 + 2х;
з) (х - 1) (х - ЗК 0;
к) (х + 5) (х + 2) 0;
м) х2 + 6х + 5 < 0.
81
82
83
84
(МГУЭСИ)
а) х2 - 6х + 5 < О. Укажите наименьшее целое решение.
б) х2 - 9х + 14 < 0. Укажите наибольшее целое решение.
(МГУ, почв, ф-т)
а) (х2 - 4х)2 > 16;
б) (4х2 + 4х)2 < 1.
а) (х - 1) (х + 4) (х + 5) > 0; б) (х - 4) (х - 6) (х + 1) < 0;
в) (х + 3) (х - 4) (х - 1) > 0; г) (х + 1) (х + 3) (х + 5) < 0;
д) (х2 - 1) (х2 + 4х + 4) (х + 5)3 > 0;
е) (х2 - 4) (х2 - 5х + 6) (х + I)5 < 0;
ж) (х2 + 3) (х2 + Зх - 4)3 (х - I)3 > 0;
з) (х2 + 1) (х2 + х + I)3 (х + б)5 < 0.
а) (| х | - I)2 > 2;
в) х2 < 2 | х + 11;
д) х2 + х - 12 < | х - 2
б) | х | - 2 > (х - 2)2;
г) 3|х- 11 > (х — I)2;
е) (х + 2)|х+ 3|> 1.
85 (МГУ, ВМиК)
а) 11 х2 - 8х + 21 -х21 > 2х + 2;
в) 11 х2 — 9х + 6 | -х2 | 6 — х;
б) 11 х2 + Зх - 8 | — х2 | > 8 - х;
г) || х2 + 5х — 18 | -х2 | > 18 — х.
б)
Д)
87
88
89
90
91
92
93
94
95
а) (МГУ, почв. ф-т). 4х+7<—; б) (МГУ, хим. ф-т).
в) (МГУ, хим. ф-т).
г) (МГУ, хим. ф-т).
(МГУ, социол. ф-т)
Зх 2
2х
(МГУ, биол. ф-т)
. 2 - Зх „
3 — 4х
2.
(МГУ, геогр. ф-т)
х 8х - 2
а)
(МГУ
геол. ф-т).
(МГУ
физ. ф-т).
X - 1996 х - 1996
2х- 7 9
(МГУ
геол. ф-т).
(х - 2)(х - 3)
2х
х* 2 * 3-1 ’
х2 + 5х + 6 п.
1 >
X + X + 1
(х - 3)(х2 - Зх + 2)
х2 - 1 х -
х2 - 2х + 10
“г 7~~. а
2
2
0.
2
2
-------^0;
1)(х - 3)
2
0;
(х + 5)(х - 4)
3
Зх
х2 +:
2х2 +
2
0;
0;
(МГУ, физ. ф-т), а)
2х
2
(МГУ, хим. ф-т), в)
(X - I)2
Зх
2 .
375
Задания для повторения
96 (МГУ, хим. ф-т), а) —— 2; б) —— « 2;
1+ i 1- -
X X
х2 + 1 1
в) (МГУ, социол. ф-т). ---<-----1;
г) (МГУ, почв. ф-т). Зх4 + 4 < 13х2.
98
99
97
(МГУЭСИ)
Укажите наибольшее целое решение не-
равенства.
венства.
х2 + 5х + 1
х2 + 2х + 4
Укажите наименьшее целое решение нера-
<1. Укажите наибольшее целое решение нера-
венства.
(МГУ, социол. ф-т)
100 (МГУ, ИСАиА)
б)
г)
102 (МГУ, мехмат)
376
Системы неравенств
103
(МГУЭСИ). Решите систему неравенств:
(2х 4-10 < 1,5х 4-20 (х2—9x4-14
’ (Зх + 4 < 2х 4-16; 7 (х - 4 < 0;
Д)
х2 4- 6х 4- 5 < О
х2 4 4х 4- 3 > О;
0
х2 - 6х + 8 < О
х - 3 > О;
7х + 10< О
5х 4- 4 > 0.
104
105
Решите двойное неравенство:
а) 0< - С 2+—?—; б) О S
(МФТИ). Найдите все пары целых
14-
чисел X И у у RJISL которых
верны неравенства:
а) Зу — х < 5,
б) Зу - 5х > 16,
в) Зу - 2х < 45,
г) у - Зх < 1,
х + у > 26,
Зу - х < 44,
х + у > 24,
2у — Зх > 19,
Зх - 2г/ < 46;
Зх - у > 1;
Зх - у < 3;
4г/ - х < 78.
АриЬметическаяигеометрическая прогрессии
106 а) Второй член арифметической прогрессии равен 5, а пятый
член равен 14. Найдите разность прогрессии.
б) Седьмой член арифметической прогрессии равен 20, а тре-
тий член равен 8. Найдите первый член.
в) Четвертый член арифметической прогрессии равен 11,
а шестой член равен 17. Найдите второй член.
г) Сумма первого и четвертого членов арифметической про-
грессии равна 20, а сумма второго и восьмого членов равна 40.
Найдите разность прогрессии.
д) В арифметической прогрессии первый член равен 2, а раз-
ность прогрессии равна 3. Найдите сумму семи первых членов
прогрессии.
е) Найдите сумму 12 первых членов арифметической прогрес-
сии, если ее второй член равен 8, а десятый член равен 40.
ж) Найдите сумму десяти первых членов арифметической
прогрессии, если сумма ее первого и седьмого членов равна 16,
а разность между первым и седьмым членами равна -12.
107 Первый и последний члены арифметической прогрессии, име-
ющей 7 членов, равны 11 и 35 соответственно. Сколько чле-
нов в другой конечной арифметической прогрессии, первый
^377
я повторения
и последний члены которой равны 38 и 13 соответственно,
если четвертые члены этих прогрессий равны?
108 а) Найдите сумму первых ста натуральных чисел, которые
при делении на 5 дают остаток 1.
б) Найдите сумму всех натуральных чисел, меньших 100, ко-
торые не кратны 5.
109 Сумма второго и двадцатого членов возрастающей арифметиче-
ской прогрессии равна 10, а произведение этих 47 членов рав-
но 23-^-. Найдите сумму первых 16 членов этой прогрессии.
110 а) Найдите двадцатый член возрастающей арифметической
прогрессии {ал}, если а2 + а3 + а4 + а5 = 34, а а2 • а5 = 52.
б) Найдите разность арифметической прогрессии, если извест-
но, что сумма первого и пятого ее членов равна 4, а разность
квадратов второго и первого ее членов равна 1.
111 а) Пятый член геометрической прогрессии равен 32, а вось-
мой 256. Найдите второй член прогрессии.
б) Восьмой член геометрической прогрессии равен 256, а пер-
вый член равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.
112 Произведение первого и седьмого членов геометрической про-
грессии равно 729. Найдите четвертый член прогрессии.
113 Найдите сумму первых четырех членов возрастающей геомет-
рической прогрессии, сумма первых трех членов которой рав-
на 13, а второй член равен 3.
114 а) Первые три члена возрастающей арифметической прогрес-
сии при некотором значении т могут быть представлены со-
ответственно тремя выражениями: т + 1, 4тп — 9, 2т + 1. На
сколько больше сумма первых сорока трех членов этой про-
грессии суммы первых сорока ее членов?
б) Первые три члена убывающей арифметической прогрессии
при некотором значении п могут быть представлены соответст-
венно тремя выражениями: п + 3, 6п — 11, Зп - 9. На сколько
меньше сумма первых тридцати членов этой прогрессии сум-
мы первых двадцати семи ее членов?
115 а) Последовательность {ал} задана формулой общего члена
ап = 1,5п - 6. Сколько членов этой последовательности, начи-
ная с первого, надо сложить, чтобы получить сумму, рав-
ную 33?
б) Последовательность {ап} задана формулой общего члена
ап = 18 — 0,25п. Найдите сумму двадцати первых ее членов.
116 (МГУ, геогр. ф-т)
а) Сумма первых пяти членов возрастающей арифметической
прогрессии равна 15, а их произведение равно 1155. Найдите
шестидесятый член прогрессии.
Is 378
nm ——
117
б) Сумма первых пяти членов убывающей арифметической
прогрессии равна 5, а их произведение равно 280. Найдите се-
мидесятый член прогрессии.
(МГУ, мехмат)
а) Сумма членов конечной геометрической прогрессии, пер-
вый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна
40 ,
—, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (пер-
27
вый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.)
20 тт «
равна —. Найдите знаменатель прогрессии.
27
б) Сумма членов конечной геометрической прогрессии, пер-
вый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна
21 f „
—, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (пер-
16
вый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.)
13
равна —. Найдите знаменатель прогрессии.
118 (РЭА). а) В арифметической прогрессии четвертый член ра-
вен 10. При каком значении разности прогрессии сумма квад-
ратов второго и пятого членов этой прогрессии будет наи-
меньшей?
б) Сумма утроенного второго и четвертого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 12. При каком значении разности про-
грессии произведение третьего и пятого членов прогрессии бу-
дет наименьшим?
в) Разность второго и удвоенного пятого членов арифметиче-
ской прогрессии равна -2. При каком значении разности про-
грессии произведение третьего и четвертого членов этой про-
грессии будет наименьшим?
г) В арифметической прогрессии третий член равен 6. При
каком значении разности этой прогрессии сумма попар-
ных произведений первых трех членов прогрессии будет наи-
меньшей?
119 (МГУ. псих. ф-т), а) Рассматриваются геометрические про-
грессии, у каждой из которых первый член равен 10, сумма
первого и третьего членов — целое число, кратное четырем и
не превосходящее 1000, а знаменатель больше 1. Укажите зна-
менатели всех таких прогрессий.
б) Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из
которых третий член равен 8, сумма первого и второго чле-
нов — целое число, кратное пяти и не превосходящее 500,
а знаменатель больше нуля и меньше 1. Укажите знаменатели
всех таких прогрессий.
7 379
- "5
indi ।
2ийиий2«1ияи>ииия1>£иив
Логарифмы
120
121
122
123
Вычислите (120—126):
a) 6log3e81; б) 5log2s36; В) 2log°’53.
1
(ВАХЗ). а) 31ОЕз21- 90'5; б) 811овб9.
(РГОТУПС). log4 25 - 2 log4 5.
lg 2± lg 3 lg 5 + lg 4
lg 3,6 + 1 lg 16 + lg 25
lg 16 + lg4. 21g6—lg3
Ig48-lg3’ lg 144 ’
a) log2 225 - —- log, 9 + 5log°26;
log5 2
lg 12 — lg 3
lg8
2 lg 2 + lg 3
lg 48 — lg4'
124
125
(МГАХМ). a) loge 4 + log6 9 + log4 6 • log Гк 2 + 5loEs 2;
Vo
6) log4 100 + log2 12-2 log2 Узо + 31оЕз 4;
,— - log2 6
в) log4 36 + log2 10-2 log2 V15 + 42
126
в)
Г)
Д)
cV3)10864 3 + 1
4
• logg (12 - 2 V35) - log J
e)
glog2 5 42
380
Выразите через а и b (127—128):
127 а) (МГСУ). log8 9,8, если 1g 2 = a, 1g 7 = b;
б) (МТУСИ). log175 56, если log14 7 = а, log14 5 = b.
128 (МФТИ), a) log600 900, если а = log5 2 и b = log2 3;
б) log140 350, если а = log7 5 и b = log5 2;
в) log300 1 20, если а — log2 3 и b = log3 5;
г) log490 700, если а = log2 7 и b = log7 5.
129
130
Вычислите (129—130):
(ВШЭ), a) log 2(а2Ь2), если logad = 2;
б) к^3(а353),Ьесли loga& = 3;
в) log 4(а4Ь4), если logad = 4
г) log 5(a5^5), если log b = 5.
ь и
(МГУ, биол. ф-т), а) log
/ зг~\
, если logb а =
б)
если logd с =
131 Сравните, не пользуясь таблицами и калькулятором:
в) log3 25 и log2 11; б) log4 60 и log3 30;
в) log4 75 и log2 22; г) log2 20 и log3 70;
д) log4 3 и log3 2; е) log3 5 и log5 7.
Показательные уравнения
Решите уравнение (132—146):
132
133
134
135
136
а) 2 = 4; б) 3х = 27;
г) 5х = 253; д) 4х = 165;
а) 10х = 0,01;
а) Зх + 1 + Зх = 108;
а) (МГУЭСИ). 33 • 2х ‘ 1 -
б) 33 • 3х"2 + 3x + l = 60.
в) 5х = 1;
•> («Г- *•
б) 10х = 0,00001;
г) | — | = 1000.
UoJ
б) 3х + 1 - 3х = 6;
г) Зх + 1 + 2 • 3х’1 = 11;
е) 3х +1 - 4 • 3х ’ 1 = 45.
б) 2х+ 3 - 2х = 112.
х + 1 = 29;
381
Задания для повторения
137 а) (РГОТУПС). 3х + 2 + Зх+1 - 3х = 99;
б) (РГАЗУ). Зх + 1~2 • 3х -1-4 Зх'2 = 17.
(МГУГК).
(МГАВТ).
81х’1
138 а)
б)
139 а)
в)
140 а)
б)
г)
е)
141 а)
42х - 7 4х + 16 = 0; б) 4 + 2х = 22х ’ *;
22х+1 + 2Х + 2 - 16 = 0; г) 22х+1 - 9 • 2х + 4 = 0.
(РЭА). 2 • 42х + 8 = 17 • 4х;
2 • 92х - 27 = 15 9х; в) 9х - 8 • Зх+ 1 - 81 = 0;
9х + 1 + 3х + 2 - 18 = 0; д) 2 • 16х + 7 • 4х - 4 = 0;
(РГОТУПС). 2 • 16х - 7 • 4х - 4 = 0.
4х + -Д— = 4; б) - + 16х = —5—.
1-i 2 1+ х
42 2 162
142 а) 22х - 6 2х + 8 = 0; б) 32х + 8 • 3х - 9 = 0.
143 а) (МГУ, хим. ф-т). 4х - 5 • 2х + 4 = 0;
б) (МГУ, хим. ф-т). 4х + 2х - 2 = 0;
в) (МГУ, хим. ф-т). 9х + 2 • 3х — 3 = 0;
г) (МГУ, почв, ф-т). 4х - 2х = 56.
144 а) (МГУ, физ. ф-т). 9х + 1 + 3х + 2 - 18 = 0;
б) (МГУ, почв, ф-т). 52х = 115 • 5х"1 + 50;
в) (МГУ, физ. ф-т). 5х" 1 + 5 (0,2)х~2 = 26;
г) (МГУ, почв. ф-т). Зу-Ц-= 76.
3^
145 (МГУ, физ. ф-т). 25х - 24 • 5х’1
146 (РЭА). а) 7х ~ 2 + 38 • 3х = 7х + ’;
в) 2Х + 1 - 2х’1 = 32-х;
5,ое= 3 + 2 = 0.
б) 5х-1 + 5х + 2 = 70 • 3х;
г) 3х’1 - Зх + 1 + 24~х = 0.
Логарифмические уравнения
Решите уравнение (147—154):
147 (МГУЭСИ)
a) log5 log3 х = 1; б) log5 log2 х = 1.
148 (МГАТХТ)
a) log2 log4 х = 1; б) log2 log5 х = 1.
149 (МГУЭСИ)
а) х • 1g 10х + 3 + 1g 100 = 0; б) х • 1g 10х " 4 + 1g 10 000 = 0.
150 a) 2 log, log2 x + log2 log2 x — -1;
2
6) 3 log! logg x + logg logg x = -2.
з
151 a) (log2 x)2 — 4 log2 x + 3 = 0;
б) (МГУ, хим. ф-т). (log3 x)2 + 4 logx x + 3 = 0.
з
152
а) (МГУ, геол. ф-т). log3 x • (5 - 2 log3 x) = 3;
б) (МГУ, хим. ф-т). (log2 x)2 + 3 logx x + 2 = 0;
в) (МГУ, физ. ф-т).
- log3 X - 6
2
log9 x = 4 (2 - log9 x).
153 a) log2 x • logg x = 4 log3 2;
6) logg x • log4 x = 4 log4 3;
в) ^go,5 x ‘ ^go,e x = iog0,36 °>25;
r) iogo,04 X ’ iogo,4 X = 7 iogo,4 °’04-
154 (РГАЗУ). Igx + — = 2 IglOO.
Igx
Показательные неравенства
Решите неравенство (155—162):
155 а) 4х + 2Х+ 1 - 24 С 0; б) 9х - 10 • 3х + 9 < 0;
в) 81х - 32х + 1 4; г) 4Х + 2Х+1«3.
156 а) (МГУ, физ. ф-т). 4х ' °’5 + 2х +1 - 16 < 0;
б) (МГУ, ИСАА). 3 • 4х - 7 • 2х + 1 - 5 « 0;
в) (МГУ, геол. ф-т). 25"х - 5'х +1 > 50.
158 (МГУ, хим. ф-т). (V2 + 1)х + 1 < 2• (>/2 - 1)х.
159 (МГУГК). 52х +1 > 5х + 4.
160 а) (ОГАПС). 3х + 1 + 18 • З'х > 29; б) 2х +1 + 32 • 2 х > 20.
161 а) 32х + 2 - Зх + 4 < 3х - 9; б) 22х + 2 - 2Х + 2 < 2х - 1.
383
Задания для повторения
162 (РЭА). а) 4х >
2- 4**4 16
16- 4х
. Укажите наименьшее решение.
б)
53 • 3х - 243
3х. Укажите наибольшее решение.
в)
0. Укажите наименьшее решение.
Логарифмические нерейенства
Укажите наибольшее решение.
Решите неравенство (163—168):
163
164
165
166
167
168
a) log2 х > 1; б) log3
г) log4 х < 1; д) log3
a) logx х > 1; б) log j
2 з
г) log х х < 1; д) log х
4 3
a) log2 log3 х > 0;
в) logj log3 х > 0;
2
a) log2 log3 x < 0;
в) logx log3 x < 0;
2
V A | 33 -
a) 4 log4 x - ------< 1;
log4 x
в) log7 x + —-— > 2;
log7 x
(МТИТФ). a) --------------
log., x - 4
ч 1 1
в) ----------<--------;
3 + log4 x log4 x
x > 1; в) log3 x < 1;
x > 0; e) log5 x < 0.
x > 1; в) logx x < 1;
з
x > 0; e) log x x < 0.
5
6) log3 logx x > 0;
2
r) logj log x x > 0.
2 3
6) log3 logx X < 0;
2
r) log x log j x < 0.
2 3
6) log2 x- > 1;
log2 x
r) logg x + < 3.
log5 x
1 «4 1 1
>-------; 6) ----------;
log2 x log3 x - 2 log3 x
169 Найдите наибольшее целое решение неравенства:
log (х + 1) log0.2 (х + 1.5)
а) --------------—- <1; б) -----------------------< 1.
logo,3 100 - log 9 log„ 1°° - loS0,2 4
.384
Тригонометрия. Вычисления и преобразования
170
Упростите выражение (170—173)1:
a) sin (я - а); б) sin (л + а);
г) cos (л + а); д) tg (л - а);
ж) ctg (л - а); з) ctg (л + а).
в) cos (л — а);
е) tgfr + a);
171
a) sin
г) cos
ж) ctg
б)
f &
a) sin
173
г) cos
в)
е)
cos
ж) ctg
a) sin (л — a) + cos
- tg (2л - a) + ctg
6) sin (90° - a) - cos (180° - a) - tg (180° - a) + ctg (270° + a).
Вычислите (174—178):
174
175
176
177
178
179
a) sin 135°;
a) cos 120°;
a) tg 225°;
a) ctg 150°;
a) 20 sin 330° cos (-240°) tg 120° - 2 cos 150° tg (-135°);
6) cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos 160° + cos 180°;
в) tg 20° + tg 40° + tg 60° + ... + tg 160° + tg 180°.
Упростите выражение:
4 sin a
а) --------ctg a;
1 - cos a
в) 1 + cos a -
6) sin 210°;
6) cos 240°;
6) tg 120°;
6) ctg 135°;
sin2 a cos a
1 - cos a
в) sin (-120°);
в) cos (-300°);
в) tg (-135°);
в) ctg (-210°);
cosa
6) -—— -
1 - sin a
r) 1 + sin a -
r) sin (-150°).
r) cos (-135°).
r) tg(-150°).
r) ctg (-225°).
tg a;
cos2 a sin a
1 — sin a
1 Здесь и далее рассматриваются выражения, которые имеют смысл.
385
Задания для повторения
180
(РЭА). Упростите выражение:
х 2 cos2 а - 1
б) 21,5-cos4 а + sin4 а + cos 2а;
8 tg------а cos2
4
---а
4
в) 2 (sin6 а + cos6 а) - 3 (sin4 а + cos4 а);
г) 4 sin4 а + sin2 2а - 4 sin2 а-----.
2
181
182
Найдите значение выражения:
. 1 — sin2 a + cos2 a sin a
а > -----------------, если cos a =
1 - cos2 а + sin2 а cos а
------------------------, если sina =
3
x 1 + cosa К , (l-cosa)2>| 01 no
в)----------I + ------—— , если a = 210°;
sina \ sin a 7
v sina 1 + cosa OJAO
г)----------------+ , если a = 240 .
1 + cos a sin a
Найдите значения (182—183):
12
a) cos a, tg a и ctg a, если sin a = — и 0,5л < a < л;
13
9
6) sin a, tg a и ctg a, если cos a =-и л<а< 1,5л.
41
183
а)
б)
в)
г)
Д)
е)
ctg а и sin а, если tg a = — и
4
. x 5
tg a и cos a, если ctg a =----
12
3n
и —
2
cos a, если tg a = — и 0,5л < a < л;
4
sin a, если ctg a = и 0,5л < a < л;
3
л/б
cos a, если tg a =---и 0,5л < a < л;
2
77
sin a, если ctg a =---и 1,5л < a < 2л.
184 Докажите справедливость равенства:
. tg (90° + a) cos (270° + a) cos (-a) _
ctg (180° - a) sin (270° + a) sin (-a)
g. cos2 (270° + a) cos2 (-a) _ - ш
} tg2 (a - 360°) + tg2 (a - 270°) " ’
Йй азе
tg (а + л) cos (а - 2л) cos (2л - а) _ • 2
v sm ос
sin------a ctg (л - а) ctg
2
sin (а + л) cos
Зл
2
cos
cos
3л
2
= ctg2 а.
185
186
187
188
189
190
191
Вычислите:
если sin а =
3
б) cos------а
I 3
если sin а = — и 0 < а < —.
Упростите выражение (186—188):
sin 2а
cos
2
cos 2а : (ctg а - tg а);
2 sin2 а . о
------------------sin а;
1 + cos (л - 2а)
sin (0,5л + 2а) э
--------------- - cos а;
б)
г)
Найдите значение выражения:
ч 1 + cos 2х — sin 2х
а) ------------------, если cos х
cos х + cos (0,5я + х)
б)
1 - cos 2х + sin 2х
cos х - sin (2я - х)
sin
1 — sin (-а)
1 - cos 2а
(ctg а + tg а) sin 2а.
2 cos2 а
------------------ cos а;
1 - sin (1,5л + 2а)
cos (2л - 2а) . 9
---Ч-------- - sm а.
= -0,5;
если sin х = -0,5 7з.
Докажите справедливость равенства:
v cos 2а _ cos (2л - а) - sin (-а)
1 - sin 2а sin (0,5л - а) + sin (л + а)
1 + sin 2а
cos 2а
cos (0,5л - а) - cos (л - а)
cos (-а) + sin (2л - а)
Найдите значение выражения:
а) 2 ctg - 2а
2 sin (л - а)
если а =
б) cos(-2а)+
2 sin (л - 2а)
ctg (0,5л + а) + ctg а 9
л
если а = —.
8
387
Задании для иокторенмя
192
Вычислите:
a) sin 2а и cos —,
2
сх
б) cos 2а и sin —,
2
3 п
если cos а = — и — < а < л;
5 2
если sin а = — и 0 < а < —;
13 2
193
194
в)
г)
sin а и tg —, если cos а = — и п < а < — л;
2 5 2
(х 3
cos а и tg —, если sin а = — и 1,5л < а < 2л;
2 5
д) sin а, если tg 2а = — и О < а < 0,5л;
е) cos а, если ctg 2а = -2,4 и 0 < а < 0,5л.
(МГУ, геол. ф-т). Вычислите:
a) tg 2х, если tg
в) tg 4х, если tg х = —.
б) tg 8х, если tg 2х = —;
(РЭА). Вычислите:
a) cos а, если tg -
4
Зл
б)
sin а, если tg
4
sin 2а, если tg а
3
cos 2а, если tg а
2л
~3
sin а
если
sin 2а = -0,96, а е
Зл
cos а
если
sin 2а = 0,96
а е
ж)
tga
если
sin 2а = -0,8
а
е
4
Зл
4
ctg а
если
• о 8
sin 2a =-------
а
V20 tg —, если sin a = —-
2 3
к)
4л
3
VSOcos —, если ctg а = —
2
—; 2л .
388
195 Докажите справедливость равенства:
. sin a + sin 3a ,
a) -------------—- = tg 2a;
cos a + cos 3a
< sin 3x - sin x
в) -------------= -sin x;
б)
sin 2х — sin х
----------------= sin x;
2 cos x - 1
4.^2 ____2
2
196
У простите
a) sin
выражение:
2 sin (a + л
cos 2х
cos (1,5тг 4- 6x) - sin (~2x)
1 + cos (—4x)
sin (O,5tc + x) + cos (n - 3x) e
*
1 - cos (—2x)
197 Упростите выражение:
. cos 2x (1 - cos 2x) .
а) ~ z : >
sin 3x — sm x
sin 2x (1 + cos 2x)
sin 3x + sin x
Укажите множество всех значений х, при которых данное вы-
ражение не имеет смысла.
• - ' — ' — - - .. . ... .
Тригонометрия. Решение уравнений
198
199
200
201
202
Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные
в порядке возрастания положительные корни уравнения:
а) sin х = 0; б) cos х = 0; в) tg х = 1;
г) ctg х = -1; д) cos х = 0,5; е) sinx = 0,5?
Решите уравнение (199—207):
1-4 sin2
б)
а)
3—4 cos2
а) cos2 х - cos 2х = sin х;
в) 3 cos 2х = 4 - 11 cos х;
а) 5 — 3 cos 2х = 8 sin х;
в) cos 2х + 6 sin х - 5 = 0;
г)
б)
г)
б)
Г)
3-4 sin2
1-2 cos2
cos 2х + sin2 х = cos x;
2 cos2 x — 7 cos x = 2 sin2 x.
cos 2x 4- sin x = 1;
cos 2x - 5 sin x 4- 6 = 0.
а) (МГУ, почв. ф-т), cos 2x = sin x;
б) (МГУ, псих. ф-т). 3 cos2 x 4- 4 sin x = 0;
в) (МГУ, хим. ф-т). 8 cos 2x + 16 cos x + 7 = 0.
Д389
Задания для понторевия
203 (МГУ, хим. ф-т)
a) cos Зх + sin х sin 2х = 0;
б) cos 5х + sin х sin 4х = 0.
204 (МГУ, биол. ф-т)
а) 3 cos 2х + 4 + 11 sin х = 0; б) 1 — 8 cos х = 6 cos 2х.
205 (РЭА). а) 3 sin2 х + cos 2х - 1 = 0. В ответе укажите число
корней уравнения, принадлежащих отрезку [0; 2л].
б) 5 sin х + cos 2х = 1. В ответе укажите число корней уравне-
ния, принадлежащих отрезку [0; Зл].
в) cos —• = 2 cos — 1. В ответе укажите число корней уравне-
ния, принадлежащих отрезку [0; 4л].
г) 1 — sin = cos ~. В ответе укажите число корней уравне-
ния, принадлежащих отрезку [0; 6л].
206
а) (МГУ, геогр. ф-т). 2 cos 4х - 4 sin 2х = -1;
б) (МГУ, геогр. ф-т). 3 cos 4х - 5 sin 2х = -1;
в) (МГУ, биол. ф-т). 8 cos 6х - 12 sin Зх = 3;
г) (МГУ, биол. ф-т). 5 cos 4х — 6 sin 2х = —2.
207
a) cos2 6х — sin2 Зх -
в) (МГУ, почв. ф-т),
г) (МГУ, геол. ф-т).
д) (МГУ, почв. ф-т).
1 = 0; б) cos2 4х + sin2 2х - 1 = 0;
6 sin2 х + cos 2х - 3 = 0;
„ , о 7х 1
cos 7х + 2 cos — = —;
2 2
sin3 х — cos3 х + sin x — cos x = 0.
Задачи на проценты
208 (МГУЭСИ). За ремонт холодильника заплатили 600 р., из
них 40% заплатили за работу, остальное — за запасные части.
Сколько стоили запасные части?
209 а) 250 г соли растворили в 750 г воды. Какова процентная
концентрация раствора?
б) Из 225 кг руды получается 34,2 кг меди. Каково процент-
ное содержание меди в руде?
в) Из 40 т руды выплавили 30 т металла. Сколько процентов
примесей в металле?
210 Масса изюма, получаемого при сушке винограда, составляет
32% массы винограда. Сколько килограммов винограда надо
взять, чтобы получить 2 кг изюма?
211 На сколько процентов снижена цена, если:
а) ручка до снижения цен стоила 3 р., а после снижения —
2,7 р.;
б) товар стоил 6,9 р., а после снижения цен — 6,21 р.?
212
213
214
215
а) При продаже товара за 138,6 р. получено 10% прибыли.
Определите себестоимость товара.
б) Кооператив при продаже своей продукции за 309,6 р. имел
4% убытка. Определите себестоимость этой продукции.
На заводе 35% всех рабочих — женщины, а остальные —
мужчины. Мужчин на 252 человека больше, чем женщин.
Определите общее число рабочих на заводе.
а) Сторону квадрата увеличили в 2 раза. На сколько процен-
тов увеличилась площадь квадрата?
б) Ребро куба увеличили в 2 раза. На сколько процентов уве-
личился объем куба?
в) На сколько процентов уменьшится объем прямоугольного
параллелепипеда, если все его ребра уменьшить на 10% ?
За 5 одинаковых тетрадей и блокнот заплатили 4 р. Сколько
стоит одна тетрадь, если ее стоимость составляет 20% от стои-
мости блокнота?
216 В спортивной секции девочки составляют 60% от числа маль-
чиков. Сколько процентов от числа всех участников секции со-
ставляют девочки?
217 В первый месяц бригада перевыполнила задание на 10%, а во
второй — на 20%. На сколько процентов бригада перевыпол-
нила план двух месяцев?
218 Цена доллара в рублях увеличилась на 25%. На сколько про-
центов при этом уменьшилась цена рубля в долларах?
219 Яблоки содержали 80% воды. При сушке они потеряли 60%
от своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные
яблоки?
220 (МГТУ). Завод изготовил две партии изделий, при этом затра-
ты на изготовление первой партии оказались на 20%, а второй
партии — на 25% больше, чем планировалось. Таким образом,
общие затраты превысили планируемые на 23% и составили
246 000 р. Какие затраты планировались на изготовление
каждой партии?
221 (ВШЭ). Масса бороды Карабаса-Барабаса составляет 40% от
его массы. Буратино остриг ему часть бороды, после чего масса
оставшейся части бороды стала составлять 10% от его массы.
Какую часть бороды остриг Буратино?
222 (ВШЭ). Два брата купили акции одного достоинства на сумму
$ 3640. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть
акций на сумму $ 3927. Первый брат продал 75% своих ак-
ций, а второй — 80% своих. При этом сумма, полученная от
продажи акций вторым братом, превышает сумму от продажи
акций первым братом на 140%. На сколько процентов возрос-
ла цена акции?
223 (МГУ, социол. ф-т)
а) В городе N в течение двух лет наблюдался рост числа жите-
лей. За второй год процент роста числа жителей города N уве-
личился на 1 по сравнению с процентом роста числа жителей
за первый год. Найдите процент роста числа жителей за пер-
вый год, если известно, что он на 5,2 меньше, чем процент рос-
та населения за два года.
б) В городе 7V в течение двух лет наблюдался рост числа жите-
лей. За второй год процент роста числа жителей увеличился на
1 по сравнению с процентом роста числа жителей за первый
год. Найдите процент роста числа жителей за второй год, если
известно, что он на 5,3 меньше, чем процент роста населения
за два года.
224 (СГУ). В течение года завод дважды увеличивал выпуск про-
дукции на одно и то же число процентов. Найдите это число,
если в начале года завод выпускал ежемесячно 600 изделий,
а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.
Задачи на сплавы и смеси
225 а) Сплав меди с цинком массой 5 кг, содержащий 10% цинка,
сплавили с 5 кг чистой меди. Определите процентное содержа-
ние цинка в полученном сплаве.
б) В 2 л 10% -кого раствора уксусной кислоты добавили 8 л
чистой воды. Определите процентное содержание уксусной
кислоты в полученном растворе.
в) В 1 л 10% -ного раствора поваренной соли добавили 4 л чис-
той воды. Определите процентное содержание соли в получен-
ном растворе.
226 Сплав массой 2 кг состоит из серебра и меди, причем масса се-
2
ребра составляет 14— % от массы меди.
а) Сколько килограммов серебра в данном сплаве?
б) Сколько килограммов меди в данном сплаве?
227 а) Сколько граммов чистого спирта надо прибавить к 735 г
16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный
раствор?
б) Сколько литров воды нужно выпарить из 20 л раствора, со-
держащего 80% воды, чтобы получить раствор с содержанием
воды 75% ?
228 а) Сплав золота и серебра, имеющий массу 40 кг и содержа-
щий золота на 20 кг меньше, чем серебра, сплавили с 60 кг
чистого серебра. Определите процентное содержание золота
в полученном сплаве.
б) Сплав меди с оловом массой 10 кг, содержащий меди на
2 кг больше, чем олова, сплавили с 10 кг чистой меди. Опреде-
лите процентное содержание меди в полученном сплаве.
229 а) Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей,
после переработки получено 30 т сырья первого сорта. Сколь-
ко процентов примесей содержит сырье первого сорта?
б) Из 40 т руды выплавляется 20 т металла, содержащего 6%
примесей. Сколько процентов примесей содержится в руде?
230 (МГИЭТ). Один сплав состоит из двух металлов, входящих
в него в отношении 1 : 2, а другой сплав содержит те же ме-
таллы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов
можно получить новый сплав, содержащий те же металлы
в отношении 17 : 27?
231
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Даны три металли-
ческих сплава. Один фунт первого сплава содержит 12 унций
серебра, 1 унцию меди и 3 унции олова. Фунт второго сплава
содержит 1 унцию серебра, 12 унций меди и 3 унции олова.
Фунт третьего сплава содержит 14 унций меди, 2 унции олова
и вовсе не содержит серебра. Из каких трех сплавов нужно со-
ставить новый, фунт которого содержал бы 4 унции серебра,
9 унций меди и 3 унции олова?
232 Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто покупает
40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 15 фунтов 12 шил-
лингов1. Затем он производит вторую закупку тех же сортов
в 26 мер пшеницы, 30 ячменя и 50 овса за 16 фунтов. Нако-
нец, он делает третью закупку тех же сортов в 24 меры пшени-
цы, 120 ячменя и 100 овса за 34 фунта. Спрашивается цена
меры каждого рода зерновых.
233 (РЭА). а) Имелось два раствора кислоты в воде: 60%-ный
и 20%-ный. Первую смесь получили из некоторого количества
первого раствора и 15 л второго, а вторую смесь — из прежне-
го количества первого и 5 л второго. Сколько литров первого
раствора использовали для приготовления каждой смеси, если
концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концент-
рации воды во второй?
б) Имеется два слитка, содержащие 40% и 80% цинка. Пер-
вый сплав получили из 5 кг первого слитка и некоторого ко-
личества второго, а второй сплав получили из 3 кг первого
слитка и прежнего количества второго. Сколько килограммов
второго слитка использовано для приготовления каждого
сплава, если содержание цинка в первом сплаве на 5% мень-
ше, чем во втором, и вес второго слитка не превышает 8 кг?
в) Имеется два слитка меди и цинка, второй из которых со-
держит 70% меди. Первый сплав, содержащий 45% цинка,
получили из 5 кг первого слитка и некоторого количества вто-
рого, а второй сплав, содержащий 50% меди, получили из
10 кг первого слитка и прежнего количества второго. Каково
процентное содержание меди в первом слитке?
1 1 фунт = 20 шиллингов (английские денежные единицы).
^393
Задания для повторения
г) Имеется два слитка меди и серебра, содержащие 60% и 40%
меди соответственно. Первый сплав получили, взяв 15 кг пер-
вого слитка и некоторое количество второго. Второй сплав по-
лучили, взяв 20 кг первого слитка и прежнее количество второго
слитка. Сколько килограммов второго слитка использовано для
приготовления каждого сплава, если концентрация меди в первом
сплаве относится к концентрации серебра во втором как 5:4?
234 (РЭА). а) Если два сплава золота сплавить в отношении 3 : 7,
то получится сплав, содержащий 87% золота. Если же эти
сплавы сплавить в отношении 7 : 3, то получится сплав, содер-
жащий 83% золота. Найдите процентное содержание золота
в первом сплаве.
б) Если два раствора соли смешать в отношении 2 : 3, то получит-
ся раствор, содержащий 6,8% соли. Если же эти растворы сме-
шать в отношении 3:2, то получится раствор, содержащий 6,2%
соли. Найдите процентное содержание соли во втором растворе.
235 (РЭА). а) Имеется два раствора кислоты в воде: 40% и 60%.
Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20%-ный
раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80% -ного раствора,
то получился бы 70%-ный раствор. Сколько литров 60%-ного
раствора было первоначально?
б) Имеется два раствора спирта в воде. Если смешать весь пер-
вый раствор и 4 л второго, добавив 1 л воды, то получится
44%-ный раствор. Если смешать весь первый раствор и 2 л
второго, добавив 3 л 90%-ного раствора, получится 64%-ный
раствор. Каково процентное содержание спирта во втором рас-
творе, если первый раствор содержит 60% спирта?
236 (МГУ, ВМиК). а) Имеется некоторое количество раствора соли
в воде. После испарения из раствора двух литров воды концен-
трация соли возросла на 20%, а после разведения получивше-
гося раствора десятью литрами воды концентрация соли стала
в 2 раза меньше первоначальной. Найдите концентрацию соли
в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.
б) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После
добавления в раствор трех литров воды концентрация соли
уменьшилась на 15%, а после испарения из получившегося
раствора пяти литров воды концентрация соли стала в 3 раза
больше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исход-
ном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.
Задачи на совместную работу
237 а) Один рабочий выполняет некоторую работу за 8 ч. Другой
рабочий может выполнить ту же работу за 12 ч. Сколько часов
будет затрачено, если эту работу делать совместно?
б) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 4 ч,
а другая — за 2,4 ч. За сколько часов они перепечатают руко-
пись при совместной работе?
И 394
238 а) Бассейн наполняется двумя трубами за 4 ч. Первая труба
может наполнить бассейн за 5 ч. За сколько часов наполнит
бассейн одна вторая труба?
б) Одна машинистка может выполнить некоторую работу за 5 ч.
За сколько часов может выполнить эту работу другая маши-
нистка, если, работая вместе, они выполнили ту же работу
за 4 ч?
в) Через первый кран ванна наполнится водой за 10 мин. Если
открыть два крана, то ванна наполнится за 2 мин. За сколько
минут наполнится ванна, если открыть только второй кран?
239 (МИФИ). Пустой бак с помощью трех труб, работающих совме-
стно, можно наполнить за 13 ч 20 мин. Ту же работу первая
и третья трубы выполняют за 20 ч, а первая и вторая — за
одни сутки. Найдите отношение производительностей первой
и второй труб (производительности всех труб постоянны).
РЬ'знис Задачи.
240 Сумма цифр двузначного числа равна 16, цифра его десятков
на 2 больше цифры единиц. Найдите это число.
241 Пассажир поезда, идущего со скоростью 80 км/ч, заметил, что
встречный товарный поезд, скорость которого 70 км/ч, про-
шел мимо него за 15 с. Найдите длину товарного поезда.
242 Моторная лодка прошла расстояние между двумя пристанями
по течению за 9 ч, а против течения за 10 ч. Определите ско-
рость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна
2 км/ч.
243 а) Для вспашки поля за 8 дней требуется 6 тракторов. Сколько
таких же тракторов потребуется, чтобы вспахать поле за 4 дня?
б) Для уборки урожая пшеницы требуется 10 комбайнов на
20 дней. Сколько таких же комбайнов потребуется, чтобы
убрать урожай за 8 дней?
244 (МГУ, геол. ф-т), а) От причала А к причалу В отплыли катер
и лодка, причем скорость катера в 5 раз больше скорости лод-
ки. Известно, что они плыли с постоянными скоростями, но
катер сделал несколько остановок. Сколько времени катер за-
тратил на все остановки, если он доплыл до причала В за 2 ч,
а лодка — за 4 ч?
б) Из пункта А в пункт В выехали автомобилист и велосипе-
дист, причем скорость автомобиля в 4 раза больше скорости
велосипедиста. Известно, что они ехали с постоянными скоро-
стями, но автомобилист сделал несколько остановок. Сколько
времени автомобилист затратил на все остановки, если он до-
ехал до пункта В за 3 ч, а велосипедист — за 5 ч?
<^395
ЗаданиядляповтСфения
245 (МГУ, экон. ф-т), а) Интервалы движения городских авто-
бусов по трем маршрутам, проходящим через общую останов-
ку, составляют 15, 20 и 24 мин соответственно. Сколько раз
с 7 ч 55 мин до 17 ч 5 мин того же дня на этой остановке одно-
временно встречаются автобусы всех трех маршрутов, если
одна из таких встреч происходит в 12 ч 35 мин?
б) Интервалы движения морских катеров по трем маршрутам,
начинающимся на общей пристани, составляют 30, 36 и
45 мин соответственно. Сколько раз с 7 ч 40 мин до 17 ч
35 мин того же дня на этой пристани одновременно встречают-
ся катера всех трех маршрутов, если одна из таких встреч про-
исходит в 11 ч 15 мин?
246 (РЭА). а) Если двузначное число разделить на сумму его цифр,
то получится в частном бив остатке 2. Если же это число раз-
делить на произведение его цифр, то получится в частном бив
остатке 2. Найдите это число.
б) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то
в частном получится бив остатке 1, а если из него вычесть 9,
то разность будет двузначным числом, которое отличается
от исходного только порядком следования цифр. Найдите это
число.
в) Если двузначное число умножить на сумму его цифр, то по-
лучится 405. Если число, написанное теми же цифрами в об-
ратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится
486. Найдите это число.
г) Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то по-
лучится в частном бив остатке 5. Если же это число разде-
лить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в
остатке 8. Найдите это число.
247 (РЭА). а) Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сум-
ма первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей.
В ответе запишите большее из слагаемых.
б) Число 180 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма
квадрата первого слагаемого и утроенного квадрата второго
была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых,
в) Число 18 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма пер-
вого слагаемого и квадрата второго была наименьшей. В ответе
запишите большее из слагаемых.
г) Число 19 разложите на два слагаемых так, чтобы их произ-
ведение, сложенное с первым из них, было наибольшим. В от-
вете запишите большее из слагаемых.
248 (МГУ, ИСАиА). а) Определите сумму всех таких натуральных
чисел п, для которых числа 5600 и 3024 делятся без остатка на
п и п + 5 соответственно.
Ц 396
б) Определите сумму всех таких натуральных чисел и, для ко-
торых числа 3920 и 4320 делятся без остатка на п и п + 7 соот-
ветственно.
в) Определите сумму всех таких натуральных чисел п, для ко-
торых числа 4400 и 2376 делятся без остатка на п и п + 5 соот-
ветственно.
г) Определите сумму всех таких натуральных чисел п, для ко-
торых числа 4312 и 4752 делятся без остатка на п и и + 7 соот-
ветственно.
249 (РЭА). а) Проехав половину пути за 2 ч, водитель увеличил
скорость движения на 20 км/ч и поэтому другую половину
пути он проехал на полчаса быстрее. Какой путь прошла ма-
шина?
б) Проехав половину пути со скоростью 56 км/ч, водитель
снизил скорость, и поэтому на вторую половину пути он затра-
тил на — времени больше, чем на первую. С какой скоростью
3
автомобиль проехал вторую половину пути?
2
в) Проехав — пути за 3 ч, водитель увеличил скорость на
3
10 км/ч и преодолел остаток пути за 1 ч 15 мин. Какова перво-
начальная скорость автомобиля?
г) Автомобилист планировал преодолеть весь путь за 2 ч. Про-
2
ехав — пути, он уменьшил скорость на 10 км/ч, в результате
3
чего на остаток пути затратил на 32 мин меньше, чем на на-
чальную часть пути. С какой скоростью автомобилист проехал
начальную часть пути?
250 а) Теплоход первую половину пути шел с постоянной скоро-
стью 30 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью
20 км/ч. Какова средняя скорость теплохода на всем пути?
б) Автомашина с грузом проехала расстояние АВ со скоро-
стью 60 км/ч, а обратно она ехала без груза со скоростью
90 км/ч. Какова средняя скорость автомашины на всем пути?
251 (МГУ, фи лол. ф-т). Расстояние в 160 км между пунктами А
и В автомобиль проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть
пути по ровной дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а другую
часть по бездорожью — со скоростью 20 км/ч. Какое расстоя-
ние проехал автомобиль по ровной дороге?
252 (МГУ, фи лол. ф-т). В течение двух часов пароход двигался по
реке в тумане. После того как туман рассеялся, пароход вдвое
увеличил свою скорость и плыл еще 6 ч. Какой длины путь
проделал пароход в тумане, если его средняя скорость за 8 ч
плавания составила 14 км/ч?
397
Задания для повторения
253 (МГУ, геогр. ф-т). По реке из пункта А в пункт В вышел ка-
тер. Одновременно из пункта В в пункт А вышла моторная
лодка. Пройдя четверть пути от В к А, лодка встретилась с ка-
тером. Катер, достигнув пункта В, повернул обратно и прибыл
в пункт А одновременно с лодкой. Во сколько раз скорость ка-
тера больше скорости лодки?
254 (РЭА). Моторная лодка проплыла по озеру, а потом поднялась
вверх по реке, впадающей в озеро. Путь по озеру на 30% боль-
ше, чем путь по реке, а скорость движения лодки против тече-
ния на 10% меньше, чем по озеру. На сколько процентов
время движения по озеру больше времени движения по реке?
255 Токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Сколь-
ко деталей ежедневно обрабатывает токарь, если пятидневную
норму он выполняет за три дня?
256 Отец сказал: «Если удвоенный теперешний возраст моего
сына уменьшить на утроенный возраст, который он имел 6 лет
назад, то получится его возраст в данное время». Сколько лет
сыну?
257 Для экскурсии нужно собрать денег. Если каждый экскурсант
внесет по 7,5 р., то на расходы не хватит 44 р. Если каждый
внесет по 8 р., то останется 44 р. Сколько человек принимало
участие в экскурсии?
258 (МГУЭСИ). На трех складах находится 420 м3 дров. На первом
складе 110 м3, на втором складе на несколько кубометров
больше, чем на первом, а на третьем — на столько же кубомет-
ров больше, чем на втором. Сколько кубометров дров на вто-
ром складе?
259 (МГУЭСИ). Ученики собрали 3,2 кг семян белой акации, жел-
той акации, клена и липы. Сколько килограммов семян жел-
той акации собрали ученики, если семян белой акации они со-
брали в 3 раза больше, чем семян липы, семян клена собрано
в 2 раза больше, чем семян белой акации и липы вместе, а се-
мян желтой акации на 1,2 кг больше, чем семян клена?
260 Из города А в город В выезжает велосипедист, а через 3 ч из
города В навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость кото-
рого в 3 раза больше скорости велосипедиста. Они встретились
посередине между городами А и В. Сколько часов был в пути
велосипедист?
261 Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Через 1,5 ч
вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на
5 км/ч больше скорости товарного поезда. Через 15 ч после
своего выхода пассажирский поезд обогнал товарный поезд на
21 км. Определите скорость товарного поезда.
^398
262 (МГУЭСИ). Бассейн наполняется водой двумя трубами, работа-
ющими одновременно, за 6 ч. Одна первая труба заполняет его
на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За сколько часов можно на-
полнить бассейн через одну вторую трубу?
263 (МИФИ). Бассейн наполняется водой двумя трубами, работаю-
щими одновременно, за 12 ч. Если производительность первой
трубы увеличить втрое, а производительность второй трубы
уменьшить вдвое, то наполнение бассейна двумя одновременно
работающими трубами произойдет за 8 ч. За сколько часов на-
полняет бассейн каждая труба, работая с первоначальной про-
изводительностью?
264 Двое рабочих вместе выполняют некоторую работу за 5 дней.
Если бы первый рабочий работал вдвое медленнее, то всю рабо-
ту они выполнили бы за 6 дней. Сколько дней необходимо для
выполнения этой работы первому рабочему?
2
265 Числитель дроби составляет — знаменателя. К числителю при-
3
бавили 5, а к знаменателю 18, дробь стала равной -. Найдите
числитель дроби.
266 Два экскаватора вырыли котлован за 48 дней. Первый экска-
ватор один мог бы выполнить эту работу в 3 раза быстрее вто-
рого. За сколько дней первый экскаватор, работая отдельно,
мог бы выполнить эту работу?
267 Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за
8 ч. Работая отдельно, первый из них может выполнить эту ра-
боту на 12 ч быстрее, чем второй. За сколько часов второй ра-
бочий один может выполнить ту же работу?
268 (МГТУ). Расстояние между двумя станциями железной дороги
96 км. Первый поезд проходит это расстояние на 40 мин быст-
рее, чем второй. Скорость первого поезда больше скорости вто-
рого на 12 км/ч. Определите скорость первого поезда.
269 (МГТУ). Два велосипедиста выезжают одновременно из горо-
дов Аи В навстречу друг другу. Первый проезжает в час на
2 км больше второго и приезжает в В на 1 ч раньше, чем вто-
рой в А. Расстояние между А и В равно 24 км. Определите
скорость первого велосипедиста.
270 Из пункта А в пункт В выехал автобус. Чтобы прибыть в В по
расписанию, он должен был ехать с постоянной скоростью
60 км/ч. Проехав половину пути со скоростью 60 км/ч, авто-
бус сделал остановку на 30 мин для замены колеса, поэтому,
чтобы прибыть в пункт В по расписанию, оставшуюся часть
пути он ехал со скоростью 90 км/ч. Определите расстояние
между пунктами А и В.
399
Задания для повторения
271 По норме токарь должен был выполнить заказ за 29 дней. Про-
работав 5 дней по норме, он начал работать на новом станке
и досрочно закончил выполнение заказа. За сколько дней он
выполнил заказ, если его производительность труда на новом
станке в 4 раза выше?
272 Два автобуса отправились одновременно из пункта А в пункт В.
Расстояние между пунктами 36 км. Первый автобус прибыл
в пункт В на 15 мин раньше второго, скорость которого была
на 12 км/ч меньше скорости первого автобуса. Определите
скорость второго автобуса.
273 Возраст некоего господина в 1967 г. равнялся сумме цифр года
его рождения. Сколько лет было господину в 1967 г.?
274 (МГУ, хим. ф-т). Определите число студентов, сдавших экза-
мен, если известно, что шестая часть из них получили оценку
«удовлетворительно», 56% получили оценку «хорошо», а 14 че-
ловек получили оценку «отлично», причем эти отличники со-
ставляют более 4%, но менее 5% от искомого числа студентов.
275 (МГУ, хим. ф-т). Определите число студентов, сдавших экза-
мен, если известно, что третья часть из них получили оценку
«удовлетворительно», 44% получили оценку «хорошо», а пять
человек получили оценку «отлично», причем эти отличники
составляют более 3%, но менее 4% от искомого числа студентов.
276 (МГУ, экон. ф-т). За время хранения вклада в банке проценты
по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в ме-
сяц, затем 11—/о, потом 7—% и, наконец, 12% в месяц. Изве-
9 7
стно, что под действием каждой новой процентной ставки
вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока
хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%.
Определите срок хранения вклада.
277
(МГУ, экон. ф-т). Техническая реконструкция предприятия
была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжал-
ся целое число месяцев и сопровождался падением производст-
ва. Ежемесячное падение производства составило на первом
2 1
этапе 4%, на втором — 6—%, на третьем — 6—% и на четвер-
3 4
2
том — 12—% в месяц. По окончании реконструкции первона-
7
чальный объем производства на предприятии сократился на
37%. Определите продолжительность периода реконструкции.
400
278
279
280
281
282
(ВШЭ). Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены
в вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 48 абиту-
риентов, по физике — 37, по русскому языку — 42, по матема-
тике или физике — 75, по математике или русскому языку —
76, по физике или русскому языку — 66, по всем трем предме-
там — 4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятер-
ку? Сколько среди них получивших только одну пятерку?
За неделю до получения стипендии у четырех студентов оста-
лось 45 р. Если бы деньги первого студента увеличить на 2 р.,
деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить
вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех четве-
рых денег было бы поровну. Сколько денег было у каждого
студента?
Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Один воин вышел из ца-
реграда и шел всякий день по 12 миль, а второй пошел вслед
его в тот же час и шел таким образом. В первый день прошел
1 милю, во второй день 2 мили, в третий день 3 мили, в четвер-
тый день 4 мили, в пятый 5 миль и так прибавлял каждый
день 1 милю. Спрашивается, через сколько дней второй дого-
нит первого.
(МГУ, мехмат). Мастер делает за 1 ч целое число деталей,
большее 5, а ученик — на 2 детали меньше. Один мастер вы-
полняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе — на
1 ч быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
(МГУ, мехмат). Один рабочий на новом станке производит за
1 ч целое число деталей, большее 8, а на старом станке — на
3 детали меньше. На новом станке один рабочий выполняет
норму за целое число часов, а два рабочих вместе выполняют
норму на старых станках на 1 ч быстрее. Из какого количества
деталей состоит дневная норма?
283
Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека хотят двор
з
купить. Первый говорит второму: дашь мне — денег, что име-
4
ешь, и я один заплачу цену за двор. Второй говорит третьему:
2 m
дашь мне — из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. Тре-
5
1
тии говорит первому: дашь мне — из твоих денег, и я один за-
3
плачу цену за двор. А двору цена 100 р. Сколько каждый имел
денег?
284 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека разговари-
вали между собой. Первый из них говорит второму: если бы
мне взять от твоих денег —, а от третьего —, тогда было бы
4 5
а401
Задания для повторения
у меня 150 р. Второй говорит третьему: если бы я взял твоих
3 5
денег —, а от первого —, то я тоже имел бы 150 р. Третий гово-
5 7 5 2
рит первому: если бы я взял от твоих денег —, а от второго —,
то тоже имел бы 150 р. Спрашивается, сколько который в то
время имел денег.
285 Грузовая машина выехала из А в В, Спустя 2 ч из В в А выехала
легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем гру-
зовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина,
2 9
если к моменту встречи она уже проехала — всего пути?
286 Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунк-
тами на 5 ч быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из
этих пунктов одновременно навстречу друг другу, то встретят-
ся через 6 ч. За сколько часов каждый из них может пройти
это расстояние?
287 (МИФИ). Из пункта М в пункт N выходит первый пешеход,
а через 2 ч навстречу ему из пункта N в пункт М выходит вто-
7
рой пешеход. К моменту встречи второй пешеход прошел — от
9
расстояния, пройденного к этому моменту первым пешеходом.
Сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от М
до N, если второй пешеход проходит путь от N до М за 7 ч?
288 Из города А в город В выехал автомобиль. Спустя некоторое
время из В в А по той же дороге выехал мотоцикл. Скорости
автомобиля и мотоцикла на всем пути постоянны. Автомобиль
до встречи с мотоциклом был в пути 7 ч 30 мин, а мотоцикл до
встречи ехал 3 ч. Мотоцикл прибыл в А в 23 ч, а автомобиль
прибыл в В в 16 ч 30 мин. Найдите время отправления мото-
цикла из города В.
289 (МИФИ). Из города D в город Е с интервалом в 10 мин отпра-
вились три рейсовых автобуса. Первый автобус шел со скоро-
стью на 5 км/ч меньше положенной, второй автобус сохранял
положенную скорость, а третий автобус превышал ее на
6 км/ч. В результате все три автобуса пришли в город Е одно-
временно. Определите расстояние между городами D и Е.
290 (УГАТУ). Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной,
выехав из арьергарда колонны, передал пакет в начало ко-
лонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь
в 12 км. Какой путь прошел связной?
14“Никильский, 10 кл.
402
291 (МИФИ). При покупке 14 аудиокассет, часть из которых с за-
писью, заплатили с условных денежных единиц. Чистая
аудиокассета стоит 15 условных денежных единиц, а кассета
с записью — 20 условных денежных единиц. Сколько аудио-
кассет с записью было куплено?
292 (НГУ, мехмат, экон. ф-т). Купил Роман раков, вчера — мел-
ких, по цене 51 к. за штуку, а сегодня — по 99 к., но очень
крупных. Всего на раков он истратил 25 р. 20 к., из них пере-
платы из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 16 до 20 к.
Определите, сколько раков купил Роман вчера и сколько се-
годня.
293 (МИФИ). Иван Петрович приобрел в начале года k акций бан-
ка «Надежда», часть из которых простые, а другая часть —
привилегированные. За год доход составил 16 условных де-
нежных единиц по одной простой акции и 21 условную денеж-
ную единицу по одной привилегированной акции. Сколько
привилегированных акций приобрел Иван Петрович, если за
год доход по всем акциям составил 269 условных денежных
единиц?
294 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из
двух сел и встретились через несколько минут. После встречи
первый пришел в другое село через а мин, а второй — через
b мин. За сколько минут каждый из пешеходов прошел свой
путь? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для слу-
чая, когда: а) а = 16, b = 25; б) а = 18, Ъ = 32.
295 (МИФИ). Расстояние между двумя пунктами А и В равно
L км. Одновременно из пункта А по направлению к В вышли
два пешехода, а из пункта В им навстречу — третий. Первый
и третий пешеходы встретились через 3 ч после начала движе-
ния. В тот момент, когда первый пешеход оказался в пунк-
те В, второй пешеход находился в 10 км от этого пункта. Опре-
делите скорость второго пешехода, если известно, что скорости
пешеходов постоянны, причем скорость второго пешехода
больше скорости третьего на 2 км/ч, но меньше скорости пер-
вого.
296 Из сборника задач П. А. Ларичева. Двое рабочих, работая вме-
сте, могут выполнить работу за t часов, причем один первый,
работая отдельно, может выполнить ее на 4 ч скорее второго.
За сколько времени может выполнить эту работу каждый из
них, работая отдельно?
297 Теплоход длины I м движется по реке с постоянной скоростью.
Катер, имеющий скорость v м/с, проходит расстояние от кор-
мы движущегося теплохода до его носа и обратно за t с. Най-
дите скорость теплохода.
403
^4
Задания для повторения
298 Торговец продает купленный товар в розницу с наценкой р%.
С какой наибольшей скидкой в целое число процентов (д%) от
розничной цены он может продать остатки этого товара, чтобы
на этой продаже не иметь убытка? Решите задачу в общем
виде. Получите ответ для случая, когда: а) р = 30; б) р = 25.
299 Торговец продает купленный товар в розницу с наценкой р%.
С какой наибольшей скидкой в целое число процентов (q%) от
розничной цены он может продавать товар, чтобы иметь доход
не менее d%? Решите задачу в общем виде. Получите ответ
для случая, когда: а) р = 30, d = 10; б) р = 25, d = 10.
300 Яблоки содержали а% воды. На какое наименьшее число про-
центов (Ь%) надо уменьшить массу яблок при сушке, чтобы су-
шеные яблоки содержали не более с% воды? Решите задачу
в общем виде. Получите ответ для случая, когда: а) а = 80,
с = 50; б) а = 75, с = 40.
301 Когда товарный поезд проходил мимо станции А, пассажир-
ский поезд только начал равноускоренное движение (началь-
ная скорость равна нулю). Поезда поравнялись в тот момент,
когда они прошли треть пути от станции А до следующей
станции В. В этот момент пассажирский поезд, набравший не-
которую скорость, начал движение с постоянной скоростью.
Во сколько раз больше времени затратил на путь от А до В то-
варный поезд, чем пассажирский, если скорость товарного по-
езда на всем пути была постоянной?
302 Из пункта А в пункт В отправились одновременно два поезда.
Каждый из них вначале двигался равноускоренно (ускорения
поездов различны, начальные скорости равны нулю), а затем,
набрав некоторую скорость, — равномерно. Отношение скоро-
стей равномерного движения поездов равно 2. Пройдя чет-
верть пути от А до В, поезда поравнялись, причем в этот мо-
мент скорость одного была в 1,5 раза больше скорости другого.
Найдите отношение промежутков времени, за которые поезда
прошли путь от А до В.
3031 * (А1). Найдите значение выражения 46р »4~^р при р = —.
1) 1; 2) 2; 3) 32; 4) 4. 4
304
(А2). Упростите выражение —----
V250
5
305 (АЗ). Найдите значение выражения log4 (64е), если log4 с = —3,5.
1) -6,5; 2) -0,5; 3) -10,5; 4) -67,5.
1 Задачи 303—315 взяты из демонстрационной версии ЕГЭ—2007.
14*
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
(А6). Укажите множество значений функции у = 2 + 5.
1) (5; +оо);
(А8). Найдите область определения функции у = —-
2) [0; +оо); 3 "
4) (-оо; 81) U (81; +оо).
2) (0; +оо);
4) (7; +оо).
3) [0; 81) U (81; +оо);
(А10). Решите уравнение 2 cos — х
3 3
(В2) . Найдите значение выражения
cos
если
sina = 0,5.
(В4). Найдите значение выражения 2
- у, если (х; у)
является
решением системы уравнений
2
(В6) . Найдите значение выражения
4х - 2д/х — 1 + Jx + 2л/х — 1 при х = 1,2007.
(В7) . Найдите наименьший корень уравнения
log3(x +1)2 + log 31 х + 11 = 6.
(В8) . Периодическая функция у = f(x) определена для всех
действительных чисел. Ее период равен 2 и f (1) = 5. Найдите
значение выражения 3/(7) - 4f (-3).
(В9) . Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%.
Вкладчик внес в банк 7000 р. В конце первого года он решил
увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора
еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее
10 000 р. Какую наименьшую сумму необходимо дополнитель-
но положить на счет по окончании первого года, чтобы при той
же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ
округлите до целых.)
(СЗ). Найдите все значения х, которые удовлетворяют нера-
венству
(2a - 1)х2 < (а + 1)х + За
при любом значении параметра а, принадлежащем промежут-
ку (1; 2).
405
За^цни^щяповтоиепия
Список принятых сокращений
ВАХЗ — Военная академия химической защиты
ВШЭ — Высшая школа экономики
ГАНГ — Государственная академия нефти и газа им. И. М. Губкина
ГАСБУ — Государственная академия сферы быта и услуг
ГУЗ — Государственный университет по землеустройству
МВВДИУ — Московское высшее военное дорожное инженерное училище
МВОКУ — Московское высшее общевойсковое командное училище
МГАВТ — Московская государственная академия водного транспорта
МГАДИ — Московский государственный автомобильно-дорожный инсти-
тут (технический университет)
МГАТХТ — Московская государственная академия тонкой химической
технологии
МГАХМ — Московская государственная академия химического машино-
строения
МГАУ — Московский государственный агроинженерный университет
им. В. П. Горячкина
МГЗИПП — Московский государственный заочный институт пищевой
промышленности
МГИЭТ — Московский государственный институт электронной техники
(технический университет)
МГОПУ — Московский государственный открытый педагогический уни-
верситет
МГОУ — Московский государственный открытый университет
МГСУ — Московский государственный социальный университет
МГТА — Московская государственная текстильная академия им. Н. А. Ко-
сыгина
МГТУ — Московский государственный технический университет
им. Н. Э. Баумана
МГТУ СТАНКИН — Московский государственный технологический уни-
верситет «СТАНКИН»
МГУ — Московский государственный университет им. М. В. Ломо-
носова:
биол. ф-т — биологический факультет
ВМиК — факультет вычислительной математики и киберне-
тики
геогр. ф-т — географический факультет
геол, ф-т — геологический факультет
ИСАиА — Институт стран Азии и Африки
мехмат — механико-математический факультет
почв, ф-т — факультет почвоведения
псих, ф-т — факультет психологии
социол. ф-т — социологический факультет
физ. ф-т — физический факультет
филол. ф-т — филологический факультет
хим. ф-т — химический факультет
экон, ф-т — экономический факультет
406
МГУГК — Московский государственный университет геодезии и карто-
графии
МГУК — Московский государственный университет коммерции
МГУЛ — Московский государственный университет леса
МГУЭСИ — Московский государственный университет экономики, стати-
стики и информатики
МИФИ — Московский государственный инженерно-физический инсти-
тут (технический университет) МИФИ
МТИТФ — Московский технологический институт, Тольяттинский фи-
лиал
МТУСИ — Московский технический университет связи и информатики
МФТИ — Московский физико-технический институт
НГУ — Новосибирский государственный университет
ОГАПС — Омская государственная академия путей сообщения
РГАЗУ — Российский государственный аграрный заочный университет
РГОТУПС — Российский государственный открытый технический универ-
ситет путей сообщения
РУДН — Российский университет дружбы народов
РЭА — Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова
СГУ — Самарский государственный университет
СПГИЭА — Санкт-Петербургская государственная инженерно-экономиче-
ская академия
УГАТУ — Уральский государственный авиационный технический уни-
верситет
Предметным указатель
яна «мм in
*M»a*a«Kv
«Б
«шамв
А
Алгоритм Евклида 56
аргумент 93
арифметический корень сте-
пени п 106
арккосинус 221
арккотангенс 247
арксинус 217
арктангенс 244
К
Бесконечно большая величина 132
— малая величина 131
биномиальные коэффициенты 49
В
Вероятность события 336
— условная 345
Г
Главный период 281
градусная мера угла 195
Д
Доказательство по индукции 16
3
Закон больших чисел 358
значения в среднем случайной ве-
личины 349
И
Интервал 10
К
Корень квадратный 101
— кубический 101
— многочлена 60
— степени п 100
— уравнения 65
косеканс 295
косинус угла 204
— числового аргумента 285
косинусоида 286
котангенс угла 234
— числового аргумента 292
котангенсоида 293
Л
Логарифм 149
— десятичный 149
— натуральный 149
М
Мантисса логарифма 158
математическое ожидание случай-
ной величины 349
метод интервалов 76
— — общий 77
многочлен симметрический 46
множество бесконечное 188
мощность множества 12
Н
Наибольший общий делитель мно-
гочленов 55
неравенство простейшее логариф-
мическое 178
— — показательное 173
— — тригонометрическое 310
— рациональное 79
408
О
Область изменения функции 94
— определения функции 94
объединение множеств 12
окружность единичная 203
опыты независимые 353
основное тригонометрическое тож-
дество 211
ось котангенсов 237
— тангенсов 235
относительная частота события 342
отрезок 10
П
Переменная не возрастает 141
— не убывает 140
— ограничена сверху 140
— — снизу 140
пересечение множеств 12
перестановки 22
период функции 281
подвижный вектор 193
подмножество 12
полный оборот 195
полуинтервал 10
предел последовательности 131
принцип математической индук-
ции 16
произведение событий 339
секанс 295
синус угла 204
— числового аргумента 281
синусоида 283
система неравенств 88
— уравнений 70
случаи 335
случайная величина 349
событие 333
— достоверное 335
— невозможное 335
события единственно возмож-
ные 335
— независимые 346
— несовместные 335
— противоположные 339
— равновозможные 335
— случайные 333
сочетания 27
способ подстановки 70
среднее арифметическое 31
— геометрическое 31
степень с иррациональным показа-
телем 142
— — рациональным показате-
лем 122
сумма бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии 137
сумма ряда 138
— — частичная 138
сумма событий 338
схема Горнера 58
Р
Радиан 200
радианная мера угла 200
размещения 25
решение неравенства 75
решение системы уравнений 70
ряд 137
С
Свойства действительных чисел 13
— неравенств 33
— степеней 143
свойства чисел Pn(k) 356
свойство среднего арифметическо-
го и среднего геометрического 31
Тангенс угла 233
— числового аргумента 288
тангенсоида 291
теорема Безу 58
— Ферма 43
теория вероятностей 333
— — общая 343
— — элементарная 343
треугольник Паскаля 49
У
Угол нулевой 195
— отрицательный 196
— положительный 196
409
Предметный указатель
уравнение возвратное 68
— диофантово 40
— однородное 72
— — тригонометрическое первой
степени 307
— — — степени п 308
— простейшее логарифмическое 166
— — показательное 164
— — тригонометрическое 295
— распадающееся 66
— рациональное 65, 70
Ф
Факториал 22
формула Бернулли 355
— бинома Ньютона 49
функции основные тригонометри-
ческие 295
функция 93
— логарифмическая 155
— непрерывная 95
— нечетная 99
— периодическая 281
— показательная 145
— степенная 159
— четная 98
Характеристика логарифма 158
Ч
Числа взаимно простые 36
— действительные 4
— иррациональные 4
— натуральные 3
— простые 35
— рациональные 3
— составные 35
— сравнимые по модулю т 38
— целые 3
числовые промежутки 11
Э
Экспонента 146
ижавц._... j а
!м> Ответы
жаж*>
и а в 1
яяжжжнжам
вааааеааш
штам
ММШММЩ MS
1*5. а) , , , ,
3 9 9 9
13 . 61 ч 26
, » д) »
9900 1110 9
« 18 3 , 5 . 6 . х 128 41 35 46 ч 1 4
б) , » » , в) , ft , г) , ,
99 11 11 11 999 333 37 333 30 55
311 235 168 t гч \ г\ л •* п (Л К\ \ А Л К 'ч. 5
---; ----; ---. 1.7. к) -0,4а > -0,(45); л) -0,45 >--;
99 33 55 11
м)-—>-0,(46).
11
1.8. а) 3,141;
3,(14);
-5,(7);
-5,6789101112...; -5-. 1.16. а) -10; 10; в) -1,5; 1,5; д) -7; 17. 1.17. а) -12;
3
12; б) -16; -2; 2; 16. 1.26. а) [-3; 3]; б) (-оо; -4] U [4; +оо); д) (-оо; 1] U
U [5; +оо). 1.27. а) | х | < 2; б) | х | > 3; г) | х - 11 < 3; д) | х + 11 > 2. 1.46. а) 120;
6) 720; в) 42; г) 2000; д) 3003; е) —; ж)-; з) —. 1.48. а)—-—;
2 2 182 6 16 (п + 3)!
б) —----; в) —---; г)--1.53. а) 10; б) 132. 1.54. 720; а) 120; б) 480;
(п+1)! (/г+1)! (/г+1)!
в) 24; г) 96; д) 240; е) 360. 1.55. 72. 1.56. Все 5040 способов посадки потре-
буют 5040 недель, т. е. более 96 лет (сделайте вывод). 1.58. а) 24; б) 20;
в) 60; г) 840; д) 2520; е) 8. 1.59. а) 5,5; б) 100; в) —; г) -; д) 3; е) —.
7 4 96
1.60. а) 30. 1.61. а) 9; б) 12; в) 9; г) 3; д) 5; е) 4. 1.63. а) 4; б) 5; в) 10; г) 35;
д) 21; е) 28. 1.65.10 способами. 1.66. 20 способами. 1.67. а) 435 способами;
7 97
б) 435 способами. 1.68. а) 204; б) 139; в) 1245; г) 2; д) 0; е) —. 1.69. —.
26 338
1.72. 9. 1.73. а) 15 способами; б) 50 способами. 1.74. 2Л. 1.84. а) т = 5,
п = 1, k = 6, р = 2; б) тп = 1, л = 2, k = 3, р = 4. 1.100. 9. 1.106. а) (7; -6);
(1; 6); (-7; 6); (-1; -6); г) (3; 0); (1; -2). 1.107. а) (1; -2).
§2
2.4. а) х - 1; б) х — 2; в) х2 - Зх + 9; г) х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1. 2.5. а) ~——;
х2 - 25
В)-----Г) 2р<?-----------------------. 2.8. а) 3; 6)4; в) 2; г) 1. 2.9. а)
(х - 2i/)2 (р3 - q3)(p + ?) а2 - Ь2
2.10. а) 4,2; б)—. 2.12. а) (7; 6). 2.16. a) 2Z + 1; б) 21 + 2.
2р 42
2.17. а) а5 + С’а4х + С2а3х2 + С:’а2х:< + С4ах4 + хг>. 2.18. а) С3; б) С?о; в) С32.
2.19. а) С3; б)С30; в)С36. 2.20. а) С3<?; б) 1728С3а6: в)-3й 53 С^а8х3.
411
Ответы
2.21. а) 27С|а3; б) 124С4а4х4; в) 107С74х7. 2.22. а) 6а2&; б) 6abz; в) Зад (а 4-5);
. о . /. х л оег х а2 + ab + b2
г) ЗаЪ (Ъ - а). 2.25. а)---------------—
(а + д)(а2 + Ь2)
_______а4 - а3Ь + а2Ь2 - ад3 + д4______л
а6 - а5& 4- а4д2 - a3b3 + a2b4 - ab5 + &6
б) а + Ь;
a2 + ab + Ь2
. а2 4- 2а 4- 4
^5^1 --
(а+2)(а2+4)
з) а + 3;
а2 + 2а + 4
Д)
а4 4- 2а3 + 4а2 + За + 16
м) а + 1. 2.26. а) Да; б) да.
2.29. а) 1; б) х - 1; в) х; г) х2-4x4-3. 2.30. а) х + 1; б) х - 1; в)—-;
г) * + 2.32. а) х8 + х4 + 1; б) х10 - х8 + х6 - х4 + х2 - 1; в) х10 + х8 + х6 +
х- 2
4- X10 + X9 4- X8 4- X7 + X6 4- X5 4- X4 4- X3 + X2 + х + 1; е) X4 4- 2х3 4- 4х2 4- 8х 4- 16;
ж) X5 4- 2х4 4- 4х3 4- 8х2 4- 16х 4- 32; з) X6 4- 2х5 4- 4х4 4- 8х3 4- 16х2 4- 32х 4- 64.
2.35. а)-8; 3; 46; б) 5; 9; 41; в) 0; 0; -15. 2.37. а) 1; 1; б)-1; 1; в) 1.
2.38. а) Да; б) да; в) нет; г) да. 2.42. а) 1, -1, 2, —2, 4, —4; корни Р4(х): 1,
-1, 2, -2; Р4 (х) = (х - 1) (х 4- 1) (х - 2) (х 4- 2). 2.43. а) -2; 3; 4; б) -1; -; 1;
2
в) -2; 2; 4. 2.46. а) 2; 3; 5; б) -5; -2; 3; в) -1; 1; г) -1; 1. 2.47. а) 0; 5; б) -4;
в) 1; 6; г) нет корней. 2.48. а) -4; 4; б) 15; в) 4; г) -4. 2.49. а) -101, 1905;
б)-1, 2, -1—B)-i, 1, 3; Г) 1, 9,5-726,5 4-726; д) -2, 3; е)-2, 2;
2 2
ж) 2, 3; з) -1, 2. 2.50. а) -1; б) 1; в) -72; 72; г) -1, 1. 2.51. а) -2; 2;
2 2
б) -5; 5; в) -6; 6; г) -4; 4. 2.52. а) Нет корней, если а = 0; xt = -2а, х2 = 2а,
если а Ф 0; б) нет корней, если (а — Ь) а = 0; х. = 1, если а (а — Ь) Ф 0;
a + b Ь
х? — —, если а (а - Ь) (а 4- Ь) ф 0; в) нет корней, если 5 = 0; х. = —,
а-Ъ 3
Ь Зл
х2 = —, если Ъ * 0; г) нет корней, если а = 0; хх = 0, х2 = —, если а Ф 0.
2.53. а) -3; -2; -1; б) -3; -1; 2; в) 2; г) 3; д) нет корней; е) 0. 2.54. а) -1;
11 г~ г~ г~
1; —; б) —2; —; 2; в) нет корней; г) —V3; 1; V3; 3; д) нет корней; е) —V2; 1;
2 3
72; 2. 2.55. а) 1; 3; б) 1; в) -2; 3; г) -i. 2.56. а) (1; -2); б) (1; -1), f —; -- |;
3 I 3 3)
в) (5; -2), (-2; 5); г) (4; -3), (-3; 4); д) (0; 2), (2; 0); е) (0; 4), (4; 0).
2.57. а) (1; 2), [ —; (-1; -2), f-H; -11; б) (2; -1), [% -Н (-2; 1),
I 4 4) I 4 4J \2 2J
в) (1; 4); г) (-2; -3). 2.59. а) (1; 1), (б) (-±; -4);
\ 2 2J V 3 2J к 2 )
(2; 1), (2; 13); г)
I 3 зИ 3 3) I 6 12J I 3 з)
412
- ; д) (2; 3), (3; 2); е) (5; 2), (-2; -5); ж) (-1; О)
(О; -1); з) (2; 0), (0; 2). 2.65. а) (1; 3) U (5; +оо); б) (-оо; 1) U (3; 5). 2.66. а) (1; 4) U
и (9; +оо); б) (-оо; -1) U (3; 5); в) (-1; 1) U (4; +оо); г) (-оо; -4) U (-2; О);
д) (-5; -3) U (-1; +оо); е) (-оо; -4) U (-3; О). 2.67. а) (-1; О) U (1; +оо); б) (-оо; -4) U
U (0; 2); в) (-сю; -4) U (-2; 0); г) (-1; 0) U (8; +оо); д) (-оо; -2) U (-1; 1) U (2; +оо);
е) (-5; -3) U (3; 5). 2.68. а) (-оо; -2) U (-1; 3); б) (-3; -2) U (2; +оо). 2.69. а) (-оо; 1) U
U (3; +оо); б) (1; 2) U (2; 3). 2.70. а) (-оо; -3) U (-3; -1) U (2; +оо); б) (-4; -2);
в) (-2; 3); г) (-5; -2) U (-2; 5) U (5; +оо). 2.71. а) (-оо; -2) U (-2; 1) U (4; +оо);
б) (-1; 3) U (3; 5). 2.72. а) (-оо; -2) U (3; +оо); б) (-1; 1) U (1; 4); д) (3; +оо);
е) (-оо; -2); ж) (-оо; -3) U (-2; +оо); з) (-2; 3); и) (-оо; -4) U (3; +оо); к) (-3; 4).
2.74. а) (-оо; 1) U (2; +оо); б) (1; 2). 2.75. а) (3; 4)11 (5; +оо); б) (-оо; -5) U
U (-4; -3). 2.76. а) (-оо; -2) U (1; 2); б) (-3; -2) U (3; +оо); д) f 0; -1 U (1; 3);
к 4?
е) (-оо; 0) U (2; 3) U (9; +оо). 2.77. а) (-3; -2); б) (-оо; -3) U (-3; 1) U (3; +оо).
2.78. ж) Нет решений; з) (-2; -1); и) (-оо; -3) U (-3; +оо); к) (—оо; 3) U (4; +оо).
2.79. а) (2; 4); б) (-3; 1); в) (-оо; -4) U (1; +оо); г) (-оо; 1) U (4 +оо). 2.81. а) Да;
б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет. 2.82. а) (-оо; 1,5]; б) [0,75; +оо).
2.83. а) (-оо; -3] U [2; +оо); б) [-3; 2]. 2.84. а) [4; 8]; б) [-4-277; -4+ 277];
-1-757
5-7з7. 5 + 7з7
2.85. а) 1;
U
б) (-оо; +оо); в) -3; г) (-оо; +оо). 2.86. а) (-оо; +оо); б) [-5; —2]; в) нет решений;
г) (-оо; +оо). 2.87. г) [-5; -2] U [2; +оо); д) (-оо; 1]; е) [2; +оо). 2.88. б) (-оо; 2,4];
в) (-оо; -2] U [2; 7]; г) (-оо; 2] U {3}. 2.89. а) (-оо; 1] U {2}; б) {-2} U [-1; +оо);
в) {-1} U [1; +оо); г) (-оо; 2] U {3}; д) (-со; -1] U {1} U [3; +оо); е) [-2; 1] U {2}.
2.90. а) (1; +оо); б) (2; +оо); в) (-оо; -1,5) U [8; +оо); г) (-оо; —5) U —; +оо .
2.91. а) (-оо; -3) и [1; 3) U (3; +оо); б) (-оо; -5) U [2; 5) U (5; +оо); в) (-оо; 3);
г) (-оо; 0) U (1; +оо). 2.92. а) [-2; 1] U (3; +оо); б) (-5; 3] U (4; +оо); в)
U
3
и (1; +ОО);
г)
U (2; +оо);
д) (-1; 2] U [3; +оо);
е) (-со; -6) U [5; 8).
2.95. а) (-1; 1); б) нет решений; в) [-6; -2) U (-1; 3]; г) [-3; 3). 2.96. в) Нет
решений; г) (-оо; -3]. 2.97. а) (1; 5); б) нет решений; в) (—оо; -2) U (2; 5);
г) (-2; 1]U(2; 4). 2.98. а) (-оо; -3]U[3; +оо); б) (-4; 4); в) [-3; -2)11 [3; +оо);
г) [-10; -7). 2.99. в) [2; 3); г) [-4; -1) U (-1; 1). 2.100. а) Нет решений;
б) (-оо; -9) U [-4,95; 2); в) [-4; 4]; г) (-7; -5)U[-2; 5). 2.101. а) 1; 3; б) -5; 9;
в) 2; 6; г) 6. 2.102. а) При а = 3, а = 5; б) при 3 < а < 5; в) при а < 3 или
а > 5. 2.104. а) {1} U [3; 4]; в) {6}; д) <!--! U [0; +оо). 2.106. а) 1; б) 3.
I 3)
2.107. а) 3; б) -3.
%413
Ответы
§3
3.2. г) (-оо; +оо); д) (—оо; 0) U (0; +оо). 3.3. в) (-оо; +оо); г) (-оо; —1) U (—1; +оо);
д) (-оо; 0) U (0; +оо); е) (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; +оо). 3.10. а) (0; 0); (1; 1);
б) (0; 0); (1; 1); (-1; 1); в) (0; 0); (1; 1); (-1; -1). 3.11. а) (-оо; +оо); б) [0; +«>);
в) [0; +оо); г) (—оо; +оо). 3.14. в) (—оо; +оо); г) [0; +оо). 3.15. а) (—оо; 0].
3.17. а) х > х2; б) х2 > х3. 3.18. а) х < х2; б) х2 < х3. 3.19. а) х < х3 < х°;
б) х2 > х4 > х6. 3.20. а) х > х3 > х5; б) х2 < х4 < х6. 3.21. а) (-1; 0) U (1; +оо);
б) (-оо; -1) U (0; 1); в)(-оо; -1)U(1; +оо); г)(-1; 0) U (0; 1). 3.25. а) 1, 2, 3, ...
..., 20, 21; б) -17, -16, -15, ..., 15, 16, 17. 3.26.10. 3.30. а) Да; б) нет; в) да;
г) нет. 3.31. а) 10; б) 40; в) 5000; г) -0,1; д) -; е) 3.32. а) 0; б) 20 и -20;
2 4
в) 500 и -500; г) 0,1 и -0,1; д) 1 • 10~3 и -1 • 10“3; е) 2 • 101 и -2 • 10"1.
3.43. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 3.45. а) Нет; б) да; в) нет; г) да.
3.46. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 3.53. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 3.54. а) 4;
б) 10; в) 2; г) 3. 3.55. а) -10; б) 40; в) 0,7; г) А. 3.56. а) 6; б) 15; в) 10; г) 6;
15
д) 2; е) 2; ж) 5; з) 6; и) 10. 3.57. а) 12; б) 5; в) 0,9; г) 10. 3.58. а) 2; б) 4;
в) -4; г) -7. 3.59. а) 6; б) 1. 3.60. а) 2 Тб; б) -25V2; в) -2Тз; г) 3^2; д) -Тз;
2
е)^=; ж)-—; з)-^L. 3.61. a) -41; б) - V16; в) --Т2; г)--V27.
V4 2 V7 2 2 2 3
3.62. а) 2; б) 25; в) 42 - 1; г) 2 - V2; д) л/з - 42; е)47-4$. 3.63. а) 2'41;
б) 2‘V25; в) 16- V18; г) 24л/5; д) 3 V5; е) V5; ж) -0,1. 3.64. a) k < 1; б) k -1.
6
3.65. а) х + 1; б) -х - 1. 3.67. а) 3; б) 4; в) 25; г) 27; д) 343; е) 9; ж) 8; з) 16.
3.68. ж) 7; з) 5. 3.69. д) 3; е) 20; ж) 0,3. 3.70. а) |х|; б)|х|; в) 1 - х;
г)х-1. 3.71. a)23V10; б) з4ё; в) 5^2; г)-6^3; д) a4a*b; e)2cd4cd*;
ж)-х45; з)х43у- 3.72. а) 2; 6)3^2; в) io4ab; г) 2а; д) 2с; е)3х’^3;
ж) l\!abc; з) а4х; и) а3. 3.73. ж) ; з) 4J^f- 3.76. a) 7lak б) 4а;
в) J\ab\; г) ^а2\Ь\. 3.79. д) 42; е) 43д/4. 3.89. а) (0; 0); (1; 1); б) (0; 0);
(1; 1); (-1; -1). 3.91. а) [0; +оо); б)(-оо; +оо). 3.95. а) [1; 3]; в)(-1; 0] U (3; 5];
д) (-5; -2] U {-1} U [1; 2). 3.99. Нет. 3.100. а) Нет; б) да; в) нет; г) да.
3.103. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 3.105. а) 1 < 45 < 2; б) 1 < 41 < 2;
в)2<4>/20<3; г) 4<473ОО<5. 3.106. a) 5,5<3V175<5,6; V175 « 6. 3.108. а) 5;
б) 4,6. 3.109. а) 1,4; б) 1,8; в) 2,0; г) 2,1. 3.110. а) 1,442; б) 1,710.
§4
4.7. а) 5; 7; 3; 2; 10; б) 8; 9; 3125; 32; 81; в)-; —; —; -; г)—; д) 4.
4 64 32 4 20
5 2 2 3 ?
4.13. а) г > 0; б) г < 0. 4.17. а) х0-75; б) а6; в) х8; г) Ъ 3. 4.19. а) а4; б) х8.
414
0.5.
4.21. а)—; б)-—. 4.22. а) 1; б)-а
12 225
4.29. a) 1; б) 1; в) О; г) 1; д) 1; е) 1,5. 4.30. а) б)
П , ЕЕ
е) - - 2. 4.32. a) N = М; б) N = в) N = —; г) N = Л/;
£ е 100
; е) N = 20 J&M. 4.35. а) 1; 6)2; д)-; ж)+оо; з) 0. 4.36. а) 1;
3 2 2
б) +оо; в) 0; г) О. 4.37. а) +оо; б) +оо; в) 0; г) 6. 4.38. а) 1; б) 0,5; в) -; г) -.
3 9
QO
; в) —; г) ряд не сходится. 4.41. а) 0,7 + 0,07 + 0,007 + ...
99
; 6)0,31 + 0,0031 + ...+31 (0,01)" + ...; в) 0,025+ 0,00025 + ...
; г) 2,3 + 0,054 + 0,00054 + 0,0000054 + ..., где аг = 2,3,
i2. о _ За2 . о _ 7а2 . Q _ 15а2 .
2 4 8 16
\ л
5
. 3 . 5
В) 2?; г) Г
X кг М
р) N = —
4.39. а) —; б) —
9 33
... + 2,5 • (0,01)" +
для п 2 ап = 5,4 • (0,01)п‘ 1. 4.42. 8,=
2 а2
п~а 9п
с
Ряд сходится, S = a2. 4.43. a) 2 —
a2; 6) 2a2. 4.44. a) Pn =
8
2
Л
3
= 3a •
—а . 4.48. К концу
5
n
n
года сумма
увеличится в
раз. lim
2,7. 4.51. a) 4;
б) 3
; в) 25; г) 3; д) 4; е) 9. 4.55. г)
о.з
и) < 3,22,8. 4.59. 3 корня.
§5
5.4. а) 2; б) 4; в) 1; г) 3; д) 0; е) -1; ж) 2; з) 3; и) 5. 5.5. а) 3; б) 5; в) 9;
г) 15; д) 49; е) 49; ж) 9; з) 125; и) 100. 5.7. а) 1; б) 2; в) -1; г) 1; д) 3; е) -1;
ж) п; з) —; и) . 5.8. а) 1; г) 1; д) 3; е) -2; ж) п; з) —; и) . 5.9. а) 3; ж) 3;
2 3 2 3
з) 25; и)—; к) 3; л) 9; м) —. 5.11. а) 6; 6)4; в)-2; г) 8; д) -6; е)-8.
9 8
5.12. а) -1; б) -9; в) -4; г) -1; д) -6; е) -10. 5.13. а) 2; б) i; в) 1,5; г) 3; д) 6;
2
е) 2,5. 5.14. а) 9; б) 25; в) 9; г) 81; д) 343; е) 4. 5.15. а) 9; б) 49; в) Тб; г) 8;
д) 27; е) 3V2. 5.16. а) -; б) 3,5; в) г) -6; д) -5. 5.17. а) 1; б) 0; в) 1; г) 1;
3 4
д) 2; е) 3. 5.18. а) 1; б) 2; в) 2; г) 2; д) 1; е) 3. 5.19. а) 2 log2 3; б) 6 log4 5;
в) 5 log3 4; е) log3 16. 5.20. а) 2; б) 2; в) 2; г) 2. 5.21. а) 3; б) 2; в) 1,5; г) 2;
415
Ответы
д) 3; е) 3; ж) я; з) и) 4л. 5.22. а) б) 1,5; в) г) 5. 5.23. а) 5;
2 log2 3 log2 5 4
б) 5; в) 2. 5.24. а) 6; б) в) —. 5.25. а) 5; б) 6; в) 5. 5.26. а) 2; б) 5; в) 9;
3 9
г) 7. 5.27. а) 12; б) 1; в) 3; г) 4. 5.38. а) 3 и 1g 1,999; б) 3 и 1g 2; в) -1
и, 1g 4,23. 5.39. а) 0,5490; 6) 1,5490; в) 2,5490; г)-0,4510; д)-1,4510;
е) 3,5490. 5.41. а) 3,020; б) 30,20; в) 0,3020. 5.45. а) [0; +оо); б) (0; +оо).
§6
6.3. loga b. 6.4. а) 5; б) -3; в) 0; г) 2; д) -1; е) -2; ж) 1. 6.5. а) -; б) -; в) --;
3 2
1 1
е) нет корней; ж) нет корней. 6.6. а) 3; б)—; в) 1; г) 2; д) —;
2 2
; г) 1; log3 2; д) нет корней; е) 0,5;
е) 4.
ж) 2;
6.7. a) log3 4; б) log2 7; в) log5 -
2
3) О, 2; и) 0, 1. 6.8. а) 2; б) 3; в) 0,5; г) 1,5. 6.10. а) 32; б) Л; в) 0,2; г) -;
4
10
д) —; е) 2. 6.11. а) 4; б) 8; в) 4; г) 2. 6.12. а) 16; в) 4. 6.13. а) 2; б) 9;
3
в) 2 Л; г) 9. 6.14. а) 2; б) 9; в) 64; г) 16. 6.17. а) 4; б) 1; в) 0,5; г) 1,2;
д) 1, -2; е) 1. 6.18. а) 3; б) 10; в) 1; г) 2; д) -3; е) -. 6.19. а) 0, -; б) О, -;
3
18.
3
3
в) 2, -1,2; г) —1
6.22. а) 10, 100; б) 0,1, 1000 Лб; в) 10, Лбб; г) 0,1, Лб. 6.23. а) 0, log5 2;
б) 1; log7 2; в) 0; г) 2. 6.24. а) 0; б) нет корней; в) 1; г) 1. 6.25. а) 1, log»—;
4
б) 0; в) нет корней; г) нет корней. 6.26. а) 100; Лб; б) 100; 0,01.
6.27. а) 2, 32; б) -
-. 6.20. а) 1, 0,5; б) 2
4
; г) 0,3, 0,39. 6.28. а) 4, 0,67; б) 2, 0,889;
27
в) 35, 1,667; г) -6, 3. 6.31. а) (2; +оо); б) (-оо; 3); в) (-оо; +оо); г) нет решений.
6.32. а) [0,5; +оо); б) (-оо; -0,5]; в) [-0,25; +оо); г) (-оо; 0,5]; д) (-оо;
е) —; + оо . 6.34. а) (2; +оо); б) (-00; 1). 6.39. а) (2; +оо); б) | —; + оо |; в) (0; 100);
3 (3 )
-0,5];
2
3
г) (0; 1); д) (1; +со); е) (0; 0,01). 6.41. а) (0; 0,2); б) 0; 3- ; в) (0,01; +<ю);
г) (0; 3]; д) (0; 1]; е) [1; +оо). 6.42. а) (4; +оо); б) (0; 9). 6.43. а) [4; +<ю);
б) (0; 3]; в) [4; +оо); г) (0; 9]. 6.44. а) (0; 2); б) (3; +оо); в) (0; 5); г) (2; +оо).
6.46. а) [1,5; +оо); б) (-оо; 2]; в) (-оо; 0]; г) [0; +оо). 6.50. а) (-оо; -4) U
_ _ --4 'I _ . _ _
U (-3; +оо); б) (0; 2); в) (-оо; 0] U +оо ; г) [1,5; 3]; д) [-3; -2]; е) (-сю; 2,5] U
U [3,5; +оо). 6.52. а) (-1; 0) U (3; 4); б) (-оо; -36) U (1; +оо); в) [-8; -7) U (0; 1];
- 416
г) (-оо; -4] U [1; +оо); д) (-2; -1) U (3; 4); е) [-2; -1) U (5; 6]. 6.53. а) (0, 1) U
U (1;+оо). 6.54. а) (0; 1) U (4; 5). 6.55. а) (9;+оо); б) (2; +оо); в) (1; 81);
6.59. а) -—;-0,33 U (0; 3) U (33; +оо); б) (-0,111;-1) U (0; 100); в) -; 0,667 U
I з 7 з
U (0,67; 34] U (334;+со); г) --; -0,11 U [0; 1] U (111; +<х>). 6.60. а) (-оо; 0,1) U
U (100; +оо); в) (-оо; 0,01] U [1000; +оо). 6.61. а) (0,1; 1) U (10; +оо); б) (0; 0,1] U
U (1; 100); в) [0,1; 10] U (100; +оо); г) (0; 0,01) U [10; 100].
7.8. а) 270°; б) 630°; в) -270°; г) -810°. 7.12. а) 30°; б) -120°; в) -90°; г) 90°;
д) 40°; е) 20°. 7.13. а) 40° + 360° • 1; б) 220° + 360° • (-2). 7.22. а) - + 2л • 3;
2
б) а = — + ли, п е Z. 7.28. а) 0; б) 1; в) 1; г) 0; д) 0; е) -1; ж) -1; з) 0; и) 0;
2
к) 1; л) 0; м) 1. 7.37. а) Да; б) да. 7.39. а) Нет. Если бы точки, соответству-
ющие углам в п радиан и т радиан, совпали, то разность п — т делилась
Sn
бы на 2л нацело (закончите доказательство). 7.40. a) sin 4 < 0; б) cos — < 0;
4
в) sinf| < 0; г) cos (-4) < 0. 7.43. a) sin 40° < sin — ; б) cos — = cos 60°;
I 2) 4 3
в) sin 120° > sin 130°. 7.44. a) sin 3 > sin n; 6) cos 4 < cos 5; в) sin 1 > sin (-1).
7.46. a) 5; 6) 1,5 V2 + 4. 7.47. a) 1- VS; 6) -2- 7з - —. 7.51. а) Нет; б) да;
2
в) да; г) да. 7.52. а) Нет; б) да; в) нет. 7.53. а) Да; б) да; в) нет; г) да.
7.54. а) б) . 7.55. а) -0,6; б) 0,8. 7.58. а) 1; б) -1; в) 1 - cos а;
4 3
г) -1 - sin а. 7.59. а) 0; б) sin2 а - cos2 а; в) 0; г) 2. 7.60. а) — 2 k 0;
cos а = 7-Л2-2А. 7.61. а) 3,5(1 - >/3); б) 2. 7.65. a) sin 91° > sin 92°; б) sin 195° >
> sin 200°. 7.66. a) cos 101° > cos 157°; 6) cos 190° < cos 200°. 7.67. a) cos 1,6л <
< cos l,68n; 6) sin 4,5 < 0. 7.69. a) sin a; 6) -cos a; в) -sin a; r) -cos a.
7.70. a) ; 6) i; в) --. 7.77. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 7.78. а) -; б) -i.
2 2 2 2 2
7.79. а)-; б)--; в) 0; г)-; д) е)--; ж)-^; 3)--; и)-^.
22 643643
7.81. а) а, = arcsin —; а2 = л - arcsin —; в) а, = arcsin а; а2 = л - arcsin а.
2 2
417
Ответы
7.83. а) — + 2 л/г, keZ; б) —— + 2л&, k € Z\ в) л/?, k е Z\ г) — + 2лл, п е Я;
2 2 6
5л 5 5
— + 2nk, k е Z; к) arcsin — + 2лп, п е Z; л — arcsin — + 2 лЛ, k е Z. 7.86. а) Нет;
6 6 6
б) нет; в) да; г) нет. 7.87. а) —; б) -i; в) —; г) -—. 7.88. а) 0; б) л; в) —; г) —;
2 2 3 3 2 3
д) —; е) —; ж)—; з) —; и)—. 7.90. а) а. = arccos —; а2 = -arccos —;
4 6 3 4 6 2 2
Л
в) 04 = arccos а; а2 =-arccos а. 7.93. а) 2лп, п е Z; б) л + 2л/г, k е Z; в) — + лАг,
k е Z; г) — + 2л/г, k е Z\ —— + 2лл, п е Z; д) — + 2лЛ, k е Z; —— + 2лл, п е Z;
3 3 4 4
3 3 2
к) arccos — + 2л&, k е Z; — arccos —I- 2лп, п е Z; л) arccos —
4 4 ( 3j
+ 2л/г, k е Z;
— arccos
+ 2лп, п е Z. 7.94. а) 2лп < а < л + 2лп, п е Z; е)
Зл . с ~
— + 2лп<а <
4
< — + 2лл, п е Z; ж) + 2лп < а < — + 2лл, п е Z. 7.95. а) — + 2лл < а <
4 4 4 6
< — + 2лп, п е Z; б) — + 2лл < а < + 2лп, л е Z; з) —— + 2лл < а <
6 6 6 6
а
п е Z. 7.97. a) arcsin — + 2лп < а < л - arcsin — + 2лп
4
л - arcsin
— + 2лл, п е Z. 7.98. а) — + 2лл < а < — + 2лл, п е Z;
5J 2 2
д) таких а нет. 7.100. a)-arcsin 0,1; г) -arcsin (л - 3). 7.101. а) л - arccos 0,1;
г) л — arccos (Jt - 3). 7.103. a) в) -i; г) i; д) i; е) ж) 3) 25.; и) \
3 4466 664
7.104. а) Зл - 9; б) 9 - 2л; в) 8 - Зл; г) 8 - 2л; д) 3 - л; е) 3.
Г- 4 /я
8.5. а) 73; б) 1- 8.6. а) 0; б) 0; в) 0; г) О; д) -1; е) -1; ж) -1; з) -—.
3 3
8.16. a) tg 60° > tg 30°; б) ctg 60° < ctg 30°; в) tg-< tg-; г) ctg-> ctg-;
4 3 4 3
з) ctg 2 > ctg 3; и) tg 1 > ctg 2. 8.18. a) -tg a tg 0; 6) --------—-------—.
sin a — cos a
9 4 4 3
8.20. a) 2 tg a; 6) cos a-sin a. 8.22. a) sina = —; tga = —; ctga = —;
5 3 4
418
v3 v3 r~
6) cos a =----; tg a =-----; ctg a = -V3. 8.23. a) tg2 a; 6) -ctg2 a; в) 2 tg a;
2 3
Д) —V-. 8-25. а) —1_; 6) sin a cos a. 8.32. а) 1; 6) 2; ж) 1999; з) —2000.
sin2 a sin2 a
8.33. а) О; б) -; в) --; г) д) --; e) ж) 8.36. a) tn, n g Z, 6) - + лп,
4 4 3 3 6 6 4
7C
n g Z; в)----+ лп, n g Z; з) arctg 2 + nn, n g Z; и) arctg (-3) + лп, n g Z.
4
8.39. a) 1; 6) 2; в) -3. 8.40. a) б) в) —; г) -; д) —; e) —.
2 4 4 6 6 3
8.43. a) — + ли, n g Z; 6) — + лп, n g Z; b) —— + лп, n e Z; з) arcctg 2 +
2 4 4
71 71
+ лп, n g Z; и) arcctg (-3) + itn, n g Z. 8.45. a) - + лп < a < - + лп, n G Z;
4 2
б)----+ лп < a < — + лп, п g Z; и)----1- лп < a < —F лп, п g Z; к)-----1- лп <
2 4 6 2 2
< a < + лп, п g Z. 8.46. а) лп < a < — + лп, neZ;6) — + лп<а<л + лп,
6 4 4
5л 5л 1
п е Z; л) лп < а < — + лп, п g Z; м) — + лп < а < л + лп, п g Z. 8.47. a) arctg — +
6 6 3
71 71
+ лп < а < —F лп, п g Z; б)--ь лп < а < arctg 3 + лп, п g Z. 8.49. a) —arctg 2;
2 2
б) -arctg 3. 8.50. в) л - arcctg (л - 2); г) л - arcctg (Зл - 9). 8.52. а) —; б) —;
4 4
в) д) 8.53. а) 5 - 2л; б) 5 - л.
4 6
§9
9.2. а) б) В) 9.з. а) б) -. 9.4. а) -1; б) 0.
4 4 4 2 2
9.5. a) -sin а; б) 3 sin а. 9.6. cos (а + Р) = cos (а — Р) = 1. 9.10. а)
25 2
б) 1. 9.11. a) ctg a ctg р; б) ctg а ctg р. 9.15. а) -0,2; б) -. 9.16. а) 0,35; б) —.
3 30
9.20. а) —; б)—; в)—; г) sin—. 9.21. а)б)—; в) г)-cos—.
222 13 222 5
9.23. a) cos 10°; б) cos 20°; в) sin 8°. 9.24. a) cos—; б) sin —. 9.27. а) —;
6 6 2
6)0; в) 1; г) 1. 9.28. а) + —; б) + в) г)
4 4 4 4
9.35. а) 2 sin 15° cos 5°; б) V2 sin 15°; д) 2 sin — sin —; з) 2 cos — cos —.
40 40 20 20
419
Ответы
9.36. д) л/2 cos [ а — — I; е) V2 cos I а + — I. 9.37. а) 4 cos 5° cos 10° cos 25°;
к 4/ V 4)
б) 4 cos 5° sin 11,5° cos 2,5°. 9.39. а) —; б) . 9.41. а) —~2; б) -.
2 2 4 4
9.48. а) —; б) - 9.49. в) cos 40°; г) cos 2а. 9.52. a) sin 2а < 2 sin а;
2 9
б) cos 2а < 2 cos а; 9.56. a) — sin 4а; б) cos 2а; в) 1; г)—sin а — cos а; д) 1;
4
е) 1. 9.59. а) —; б) ^22. 9.61. а) 1; б) 1; в) 5; г) 5. 9.64. а) -; б)
3 10 8 8
9.67. a) б) ; в) г) д) 9.73. а) -2 - 73;
4 4 4 4 4
б) 2 + Vi. 9.74. а) 6,2; б) 0,76. 9.76. а) а * 45° + 180° -и, п g Z; а * 90° +
+ 180° Л, k е Z; б) а * -45° + 180° • n, n е Z; а * 90° + 180° • k, keZ.
9.81. a) —; б) . 9.82. a) 72 - 1; б) 2 - 7з.
24 15
§ 10
10.3. б) х = -. 10.6. а) -; —
2 2 2
«з
промежуток убывания;
5л
2
— проме-
жуток возрастания. 10.7. a) sin —
sin —; б) sin
Зл
. 10.9. а) 2;
л
и
— промежутки убывания;
[л; 2л] — промежуток возрастания. 10.16. a) cos — < cos—; б)cos
2л
. 10.23. а) Например
; б) tg — < tg — . 10.31. Например
Зл
2
0;—
. 10.24. a) tg— >
—; л ; (л; 2л).
2
л
2
6л
6л
§11
11.3. а)- + 2лп, neZ; —+2л/?, k е Z; б)-+2лп, hgZ; — + 2л£, k е Z;
6 6 4 4
в)— + 2лп, п е Z; —+ 2л&, k g Z; ж) —+ 2лп, п g Z; + 2л/г, k € Z;
3 3 3 3
з) — + 2лп, neZ; + 2л&, feeZ; и)—+2лп, neZ; +2л£, keZ.
4 4 6 6
420
M fcfcH ..
Л Л ТС It
11.4. а) — + лп, п g Z; б) — + лп, п g Z; в)-----------+ лп, п g Z; д) — + лп, п g Z;
6 3 6 6
2я 1 1
е)----н лп, п е Z. 11.5. a) arcsin — + 2лп, п g Z; л — arcsin —I- 2л/?, k g Z;
3 7 7
б) arccos—н 2лп, п g Z; —arccos — + 2л/?, k g Z\ в) arcsin
+ 2лп,
4
л - arcsin — + 2 л/?, k g Z\ тот же ответ можно записать так: — arcsin — +
I 4) 4
3 3
+ 2лп, п g Z; л + arcsin — + 2л/?, k g Z; или так: (— 1)т + 1 arcsin—ь л/п,
4 4
т g Z; г) arccos
+ 2лп, п g Z; -arccos
+ 2л/?, k g Z; тот же ответ
3 3
можно записать так: л - arccos — + 2лп, n g Z; —л + arccos—F 2л/г, k g Z;
8 8
(3 \ f 3 А
— + 2лпг, т g Z; или так: ± л — arccos— + 2лтп, т g Z.
8/ I 8}
11.6 . а) Нет корней; в) нет корней; д) нет корней. 11.7. а) При а с [—1; 1];
Л л
в) при любых значениях а. 11.8. а) лп, п g Z;-----F 2л/?, k g Z; б) — + лп,
2 2
п g Z; 2л/?, k g Z; д) лп, п g Z; — + л/?, k g Z; ж) — + лп, п g Z; — + л/?, k g Z.
4 2 4
11.9 . а)—+лп, п g Z; б) лп, п g Z; в)—+ —, п g Z; д)± — + лп, п g Z.
2 4 2 6
Л л
11.10 . а) — + 2лп, п g Z; б) 2лп, п g Z; в)-F 2лп, п g Z; г) л + 2лп; п g Z;
2 2
д)—•+ лп, ncZ; -arctg 3 + nkt k&Z. 11.11. a) ± arctg—+ лп, ncZ; ± —+ лЛ,
4 2 3
k g Z; 6)±arctg-----h лп, n g Z; ±—-+лЛ, k g Z. 11.12. a)—+лп, n g Z;
2 6 3
г) -— + 2лп, n g Z; ж) -— + лп, n g Z; к) — + лп, n g Z. 11.13. a) — + лп,
6 4 4 12
„ 5л , , , „ ч . 2л . 2лп „ ч л . лп „ х п лп
п g Z; — + ля, k g Z; г) ± — +-------, п g Z; ж) — + —, п g Z; к) — + —,
12 9 3 9 3 9 3
п g Z. 11.15. а) ± — + 2лп, п g Z; в) л + 2лп, п g Z. 11.16. а) — + 2лп, п g Z;
3 2
б) —, п g Z; в) 2лп, п g Z; г) — + п g Z; д) ± — + 2лп, п g Z; е) + 2лп,
4 3 3 3 6
п g Z; + 2л/?, k g Z. 11.18. а) 2лп, п g Z; — — + 2л/?, k g Z; б) — + 2лп,
6 3 6
п g Z; — + 2л/?, k g Z; в) — + 2лп, п G Z; г) —— + 2лп, п g Z; + 2л/?,
26 12 12
k g Z; д) — — + 2лп, п g Z; —л + 2л/?, /? g Z; е) —— + лп, п g Z. 11.19. а) лп,
2 4
421
Ответы
п g Z; — + 2л/г, keZ’, — + 2лт, т g Z; б) лп, п g Z; в) л + 2лп, п е Z;
6 6
± — + 2л/г, k е Z. 11.20. а) — + 2лп, п g Z; — + 2л/г, /г g Z; — — корень
3 6 6 6
7^ 7^ Л
уравнения; б) ± — + 2лп, п g Z;------корень уравнения. 11.22. а) — + 2лп,
3 3 2
п е Z; — + 2л/г, k е Z; — + 2лтп, т е Z; — — наибольший корень уравне-
6 6 6
ния из отрезка [—Зл; л]; б) 2лп, п е Z; ± — + 2л/г, k g Z;-----наимень-
3 3
ший корень уравнения из отрезка [-2,5л; -0,5л]. 11.23. а) лп, п g Z;
± — + л/г, k е Z; б) — + лп, п е Z; ± — + л/г, k е Z. 11.26. а) — + лп, п е Z;
6 2 3 4
б) —— + лп, п е Z. 11.27. a) arctg 2 + лп, п g Z; б) —arctg 5 + лп, п е Z.
3
11.29. а) — + л/г, k е Z; arctg 2 + лп, п g Z; б) — + л/г, /г g Z; -arctg 4 + лп,
4 4
п g Z; е) — — + nk, k g Z; arctg— + лп, n g Z. 11.30. a) —+—, n g Z;
4 7 4 2
arctg 2 + л&, k g Z; 6) ± — + лп, n g Z; — + л/г, k g Z; в) —— + лп, n g Z;
3 4 4
-arctg 2 + л/г, k g Z; arctg 3 + ллг, tn g Z. 11.31. a) — + л/г, k g Z,
2
± arccos — + 2лпг, m g Z; 6)—+—, k g Z; — + кт, m g Z;
16 4 2 12
n g Z; в) лА, k g Z; ±— + лпг, m g Z; r) —, k g Z; — + лтп,
6 4 2
11.35. a) arcsin — + 2лп; л - arcsin — + 2л/г
л — arcsin — + 2лп;
2л + arcsin — + 2лп
3
п G Z. 11.36. а)
+ 2лп;
—+2лп|, п g Z; ж) Г — + 2лп; —+ 2лп , п g Z; к) | — + 2лп; —+ 2лп|,
3 ) 1з 3 ) 13 3 )
3
। 3 3
п g Z. 11.37. а) - arccos — + 2лп; arccos — + 2лп
I 4 4
п g Z; г)
3
arccos — + 2лп;
4
7^ 7^ 7^*
2л — arccos— +2лп , п g Z. 11.39. а) I — + лп; — + лп , п g Z; r) I-+ лп;
4 J I 4 2 J 14
422
2
2
11.40. a) arctg 2 + лп; — + лп
— + лп; -arctg 2 + лп
п g Z. 11.42. а) (лп; arcctg 2 + лп), п eZ; г) (arcctg 2 + лп;
6
— + nk , k € Z. 11.44. а) [ 2лп; — + 2лл |, п е Z; | — + 2л£; л + 2лй ], k е Z,
2 ) 14J U )
11.45. a) f-—+ 2лп;-—+ 2лп ,
к 6 6 )
(Л 1
ЛП, 4“ лп I, П € Z, 5) I
2 )
neZ; б) - - + 2лп, п е Z. 11.49.
4
п е Z. 11.46. а) (—л + 2лп; 2лп), п е Z.
_ л + 2лп . 2лп у и е Z. 11.48. а) - + 2лп,
3 3 3 ) 4
v л . 4 , о „ ч .12
а)---arcsin — + 2лп, п е Z; е) arcsin---
2 5 13
- — + 2лп, п е Z. 11.50. a) arcsin + arcsin -== + 2лп, п g Z; л - arcsin _. +
2 V41 V41 V41
+ arcsin - Д-- + 2л&, k g Z. 11.56. а) 2лп, n g Z; — + 2л&, k g Z. 11.57. a) +
V41 2 4
+ arcsin — + 2лп, n g Z; — — arcsin ^- + 2nkt k g Z. 11.58. a) -—+ лп, neZ;
4 4 4 4
2л£, k g Z; —+2nmf m g Z. 11.59. а) 2л/?; — + 2nk I, k g Z; б) + 2л&;
2 I 2 J I 2
л + 2л/?), k g Z; в) f 2лАг; — + 2nk k g Z; г) 2л/?; — + 2nk |, k g Z.
I 2 J I 2 J
§ 12
12.8. a) 0,1; б)—; в) 1; г)—. 12.10. a) —. 12.11. a) 0,5; 6)0,25; в) 0,1;
45 90 90
г) 0,1. 12.12.—. 12.13.—. 12.14. —. 12.15. а)—; б)—; в) 0; г) 1.
120 625 3024 20 20
12.16. i. 12.17. a) i; б)—; в)—. 12.24. 10 очков. 12.25. 22%. 12.26.—.
7 6 12 24 16
§13
13.3. 0,512. 13.5. a) -; 6) 1; в) -; г) 1. 13.6. д) -; е) -; ж) -; з) 0.
3 2 3 2 5 7 4
13.10. а) 0,56; б) 0,14; в) 0,24; г) 0,06; д) 0,94.
423
Ответы
§ 14
14.1. — р. 14.3. Игра несправедливая. 14.5. Игра несправедливая. 14.7. 2:1.
2
14.8. Первый игрок должен получить 157,5 ливров, второй — 52,5. 14.9.11:5.
14.11. Первое событие вероятнее второго. 14.12. а) ад; б) 1 — а — д + ад;
в) а + д - 2ад. 14.13. В данном примере р = 0,9, q = 1 — р = 0,1. а) п = 5,
fe = 0. Тогда Р5(0) = С° • (0,9)° • (0,1)5 ~ 0,00001; б) Р5(1)~ 0,00045; в)Р5(2)~
-0,00081; г) Р5 (4) - 0,32805; д)Р5(5)
ятность равна Р10 (0) + Р10 (1) + Р10 (2)
~ 0,59049. 14.14. а) Искомая веро-
= « 0,0547. 14.16. а) 0,0016;
1024
б) 0,0256; в) 0,1536; г) 0,4096; д) 0,4096.
Задания для повторения
1. а) 7; 6) 2476; в) 25; г) 0,75; д) 0,5; е) 300; ж) -i. 2. а) 0,74; 6)2,77;
4
в) -2—. 3. а) 2,37; б) 1. 4. 12. 5. а) -1; б) 2; в) 32,36. 11. а) -3,5; б) -6,25;
31
в) -32; г) 1,25; д) 1,5; е) 0,5. 12. -115. 15. а) -5; б) 179; в) 8. 16. а) 1; д) 1;
е) 31; ж) 1; з) 3. 19. а) 2; б) 1; в) 3; г) 27; д) -1. 20. а) 1; б) -1; в) 0; г) 1.
21. -1. 22. 2х. 23. -—. 24. 25. а) —-; в) г) х + 3; д) -Vx - 1.
2а 2 х х -1
26. а) 2; б) 2х; г) 1; д) —. 27. а) 2; б) 5; в) 1; г) 1. 28. 1. 30. а) 2; б) 2>/2;
а - b
в) -4л/3; г) 1; д) 0,1. 31. а) 1; б) 2; в)-2; г) 1,75; д) 3,5. 32. 3. 33. а) 9;
б) 0,25. 34. 16,5. 35. а) 39; б) 1; -0,5; в) -0,5; 3; г) 1; 4,5; д) -2. 36. а) 2;
б) 1; в) -4; 0; г) ?; 2; д) [-3,5; 7,5]; е) -25; 3; ж) -30; 4; з)
3
. 37. г) 1;
- 17. 38. а) --; б) --. 39. а) -10; б) 4; в) -30. 40. а) 2;
2 4 5
б) 25. 41. а) 3; б) 5; в) 7. 44. -1; 2. 45. а) 3; б) 1. 46. 6. 47. 6. 48. а) 9;
б) -125; в) 0,16; г) -0,75. 49. а) 2; б) 13,5; в) -2; г) 5. 50. а) 8; б) 20; в) -4;
г) 2. 51. а) 5; б) -1; в) 6; г) 1. 52. а) 6; б) 6; в) 5^; г) 0,8. 53. а) 0; 16; б) 0; 13;
3
в) 7; г) 6; д) -4; -2,5; е) -2; -1. 54. а) -2; б) -4. 55. а) 0; -1. 58. г) ->/3; 0;
0,5; д/з. 59. a) -V5; -2; Тб; б) -2; 2; 3; в) 4; г) 1,5; 2; 4; д) -3; 2; е) -2; -1;
1; 2. 63. а) -6; б) 2; в) при а Ф -6; а Ф 2. 64. а) 0,5; б) -1; в) при а Ф 0,5;
а -1. 69. а) (-4; -2); б) (3; 6); в) (0; 1); г) (-2; 3). 70. а) (0; 0), (5; 1),
б) (4; 1), 71. а) (-1; 1; 2), (-1; 1;-2); б) (-2; 2; 3),
I 3 3J I 3 3 )
(-2; 2;-3). 72. a) (V2; 42), (-42; 42), (42;-42), (-42;-42). 73. а)
^424
Y 74. (О; 2), (2; 0). 75. а) (3;-2); б) (1;-6); в) (2;-3); г) (-5; 1).
2 2 )
76. а) Если b — 0, а 0, то х — любое действительное число, у = х; если
Ъ * О,
то х = а + ab2 - Ъ3,
у = а + ab2 + Ъ3.
77. а) (7,5; +оо);
б)
д) [3; +оо); е)
. 80. а) (-оо; 2) U (3; +оо); б) (4; 6); д) (4; 6); е) (7; 9);
ж) (-оо; 3] U [5; +оо); з) [1; 3]; л) [-6; -1]; м) [-5; -1]. 81. а) (1; 5); 0 — наи-
меньшее целое решение неравенства; б) [2; 7]; 7 — наибольшее целое реше-
ние неравенства. 82. а) (—оо;
2 - >/8] U {2} U [2 + 43; +оо); б)
83. а) (-5; -4) U (1; +оо); б) (-оо; -1) U (4; 6);
в) (-3; 1) U
и (4; +ОО); г) (-оо; -5)U(-3; -1); д) (-5; -2) U (-2; -1) U (1; +оо); е) (-оо; -2) U
U (-1; 2) U (2; 3); ж) (-4; 1) U (1;+оо); з) (-оо;-5). 84. а) (-оо;-1 - V2) U
U (1 + 42; +оо); б) (2; 3); в) (1 - 43; 1 + 43); г) (-2; 1) U (1; 4); д) (-1 - Тб; Т10);
+оо . 85. а) (-оо; 0] и [1; 2] U [5; +оо); в) (-оо; 0] U [2; 3] U [4; +оо).
86. а) (-9; 8); б) (4; +оо); в) (-оо; 0); г) (-оо; -3) U (-3; 1); д) (-«>; -1); е) (-1; 1) U
U (2; +оо). 87. а) (-оо; -2] U (0; 0,25]; б) (1; 2);
в) (1; 2); г) (-1; 0,5).
88. а) [-6; 0); б) (-оо; 6]. 89. а) (-оо; -2) U [-1; +оо); б)
. 90. а) (-оо; -5) U
6
U [1; 2]; б)(—оо; -7)U[-3; 2]. 91. а) (-оо; 1] 11(1996; +оо); б) (-оо; 2) U (2; 3) U
U (5; +оо); в) [-5; 1] U (2; 3). 93. а) (-оо; -3] U (-1; 3) U (3; +оо); б) (-оо; -5) U
U (-5; 4) U [5; +оо). 95. а) (-оо; 0) U
-; 11; б) (-оо; -2) U (-1; 2); в) [-1; 1) U
L3 )
U (1; 3]; г) [1; 2]. 96. а) (-оо; -2] U (-1; 0) U (0; +оо); б) (-оо; 0) U (0; 1) U[2; +оо);
в)(—со;—1); г)
97. а) (-8; -2) U (0; 2); б) (-оо; -4) U (0; 4) U
U (6; +оо); в) (-3; -1) U (0; 3); г) (-оо; -5) U (0; 5) U (9; +оо). 98. а) (-оо; -1) U (1; 5);
4 — наибольшее целое решение. 99. а) —2; — U (1; +оо); б) —; — U
I 2) \ 2 4J
U(l;+oo). 100. a) f-oo;1 U |-
к 2) I 2
+оо ; б) (—оо; 2) U (2,5; +оо). 101. а) {—1} U
U (0; 2). 102. а) (3; 4) U (4; 7); б) (-13; -4) U (-4; -1). 105. а) (20; 8); б) (6; 16);
в) (7; 19); г) (7; 21). 106. а) 3; б) 2; в) 5; г) 4; д) 77; е) 312; ж) 110. 107. 6.
108. а) 24 850; б) 4000. 109. 75. 110. а) 58; б) 1; -. 111. а) 4; б) 2. 112. -27
3
или 27. 113. 40. 114. а) 261; б) 321. 115. а) 11; б) 307,5. 116. а) 231; б) -200.
Ответы
-1+ J1+ —
117. a) i; б)^ 118. а) 2; б)-3,6; в) 0,45; г) 9. 119. а)-S---—, где
3 4 2
п = 6, 7, ...,
где п = 4, 5, ...,
100. 120. а) 9; 6)6; B)i
3
121. а) 18; б) 25. 122. О. 123. а) А; б) -; в) -; г) -; д) -; е) 1. 124. а) 3; б) О.
2 2 3 2 2
125. а) 5; б) 6; в) 7. 126. а) 6; б) 4; в) 5; г) 12,5; д) 9; е) -4. 127. a)
За
128. a) + Q + г);
ab + За + 2
1 + 2а + ab
>
1 + а + 2аЬ
3 + а + ab
2 + а + 2аЬ
2 + а + 2аЪ
1 + 2а + аЬ
129. а) 1,5.
130. а)
2>/3-21
107з + 42*
131. a) log3 25 < log2 11; д) log4 3 > log3 2.
Указание. Умножьте данные логарифмы на 4 и сравните полученные
числа с числом 3. 134. а) 1; б) 1; в) 5; г) 1; д) 2; е) 3. 135. а) 3; б) 4.
136. а) 1; б) 2. 137. а) 2; б) 2. 138. а) 3; б) log9 2. 139. а) Нет корней; б) 2;
в) 0; г) 2, -1. 143. а) 0, 2; б) 0; в) 0; г) 3. 144. а) 0; б) 2; в) 1, 3; г) log3 77.
145. 1. 146. а) 2; б) 2; в) 1; г) 1. 147. а) 243; б) 32. 148. а) 16; б) 25.
149. а) -1, -2; б) 2. 150. а) 4; б) 27. 151. а) 2, 8; б) 3, 27. 153. а) -, 4; б) -, 9;
4 9
2 5
156. а) (-оо; 2); б) (-оо; log2 5]; в) (-со; -log5 10]. 157. а) (О; log2 >/3) U [1; +оо);
б) [bg2 Vs -1; +оо); в) log3 - ; О U (log9 2; 1]; г) [log16 7з -1; +оо). 158. (-оо; О).
в) {1} U (3;+оо);
159. (-оо; log54 - l)U(0; +оо). 160. а) (-оо; log3 2 - 1) U (2; +со); б) (-оо; 1) U
U (3; +оо). 161. а) (0,5; 2); б) (—2; О). 162. а) {1} U (2; +оо); 1 — наименьшее
решение; б) (—оо; -1) U {2}; 2 — наибольшее
1 — наименьшее решение; г) (-оо; —1) U J — I;
решение;
1 -
---наибольшее решение.
163. а) (2; +оо); в) (0; 3); д) (1; +оо); е) (0; 1).
164. а) О; -
I 2
; в)
3
; в) (3; +оо); г) 0; - . 167. а) 0;
I 3/
—; 1 . 166. а) (1; 3);
U (1; 64]; б) -;1 U [4; -ьоо);
2
д) (0; 1); е) (1; +оо). 165. а) (3; +<х>); б) 0; - ; ь
I 2)
&
64
в) (1; 7) U (7;+оо); г) (О; 1) U (5; 25). 168. а) (О; 1) U (16;+оо); б) (0; 1) U
г) (0; 0,5) U (1; +оо). 169. а) |-1; 10-|;
U (9; +оо); в) 0; — U (1; +оо);
64
б) (-1,5; 23,5). 173. а) 2 tg а; б) 2 cos а. 174. а)
9
3 X
2
426
175. a) -i; 6) --; в) -; г) -—. 176. a) 1; 6) -73; в) 1; г)
2 2 2 2
177. a) -VS;
3
б) -1; в) --/З; г) -1. 179. а) —-—; б) —-—; в) sin2 а; г) cos2 а. 180. a) 1;
sin а cos а 4
б) 21,5; в) -1; г) -3,5. 181. а) б) в) -4; г) — 182. a) cosa = -—;
4 4 3 13
к 40 40 Q
tg а = -2,4; ctg а =--; б) sin а =-; tg а = —; ctg а = —. 183. a) sin а = 0,6;
12 41 9 40
4 5 4 3 2
ctg а = —; б) cosa = —; tg а = -2,4; в) cosa = —; г) sin а = —; д) cosa = —;
3 13 5 4 3
о
е) sin а = —. 187. a) tg а; б) tg а; в) sin a cos а; г) 2. 188. a) cos2 а; б) sin2 а;
4
в) О; г) 0. 189. а)-1; б)-л/З. 191. а)->/3; 6)72. 192. а) sin 2a = - —;
25
cos—= —; б) cos2a = sin — = B) sina = -—; tg — = -2; r) cosa = —;
2 5 169 2 26 5 2 5
. a 1 . . 2д/5 . V26 . 120 240 .24 . 1.
tg — - —; д) sm a =----; e) cos a =--. 193. a)--; 6)---; в) —. 194. a) —;
2 3 2 26 119 161 7 2
б)—; в) 1; г) 0; д) 0,6; e)-0,8; ж)-2; з)-4; и)—10; к)—5. 196. a) sin х;
2
б) -cos х; в) 1; г) —1; д) 2 cos х; е) 2 sin 2х. 197. a) sin х; лп, п € Z; — + —,
4 2
k е Z; б) cos х; п g Z. 199. а) — + —, п g Z; — + —, k g Z\ б) п е Z;
2 10 5 30 5 3
— + —, k е Z. 200. а) пл, n е Z; - + 2л/г, k g Z\ б) 2лп, п g Z; — + л&, k g Z;
9 3 2 2
в) ±— + 2nn, п g Z; г) ±arccos f -— + 2nkt k g Z. 201. a) — + 2nn,
3 I 47 2
r) — + 2nn, n g Z. 202. a) — + n e Z; 6) (—1)” arcsin ---------— + nn,
2 6 3 3
n g Z;
n g Z;
n g Z;
в) ±arccos —-—— + 2nnt n g Z. 203. a) — + лп, n g Z; — + —, k g Z; 6) — + nn,
4 2 4 2 2
nGZ; + keZ. 204. a) (-1)" + 1 - + nn, n g Z; 6)±-+2nn, n g Z.
8 4 6 3
205. a) nn, n g Z; 3 корня; 6) itn, n g Z; 4 корня; в) Зл + блп, п g Z; 12л&,
2 корня; г) блп, п g Z; л + 12л/г, k g Z; 5л + 12лтп, т g Z; 4 корня.
206. a) (-1) — + —, n g Z; 6) (-1) — + —, n g Z; b) -—— arcsin-+
12 2 12 2 3 8
+ —, ncZ; r) ±—arccos-—^^ + л/г, k g Z. 207. a)—, neZ; 6)—, hgZ;
3 2 10 32
Si 427
Ответы
,it,nk , „ . л пп „ л. 2л: 4л zi _ . it , _ „ _ „
+—। f k g Z; в) —t- —, n g Z; r) ± 1---------, n g Z; д) —F nn, n g Z.
6 2 4 2 21 7 4
208. 360 p. 209. a) 25%; 6) 15,2%; в) 25%. 210. 6,25 кг. 211. a) Ha 10%;
б) на 10%. 212. a) 126 p.; 6) 322,5 p. 213. 840. 214. a) Ha 300%; б) на
700%; в) на 27,1%. 215. 40 к. 216. 37,5%. 217. На 15%. 218. На 20%.
219. 50%. 220. 80 и 120 тыс. р. 221. -. 222. На 37,5%. 223. а) 4%; б) 6%.
6
224.10. 225. а) 5%; б) 2%; в) 2%. 226. а) - кг; б) 1- кг. 227. а) 441 г; б) 4 л.
4 4
228. а) 10%; б) 80%. 229. а) 5%; б) 53%. 230. На 9 частей первого сплава
надо взять 35 частей второго. 231. На 3 части первого сплава надо взять
8 частей второго. 232. Мера пшеницы, ячменя и овса стоит 5, 3 и 2 шил-
линга соответственно. 233. а) 5 л; б) 3 кг; в) 40%; г) 5 кг. 234. а) 80%;
б) 8%. 235. а) 2 л; б) 35%. 236. а) 60%; б) 30%. 237. а) За 4,8 ч; б) за 1,5 ч.
238. а) За 20 ч; б) за 20 ч; в) за 2,5 мин. 239. 2 : 3. 240. 97. 241. 625 м.
242. 38 км/ч. 244. а) 1^ ч; б) 1- ч. 245. а) 5; б) 4. 246. а) 32; б) 43; в) 45;
5 4
г) 53. 247. а) 63,5; б) 135; в) 17,5; г) 10. 248. а) 80; б) 36. 249. а) 240 км;
б) 42 км/ч; в) 50 км/ч; г) 60 км/ч. 250. а) 24 км/ч; б) 72 км/ч. 251.106— км.
3
252.16 км. 253. В — раза. 254. На 17%. 255. 50 деталей. 256.9 лет. 257.176 че-
7
ловек. 258. 140 м3. 259. 2 кг. 260. 4,5 ч. 261. 36 км/ч. 262. За 15 ч.
263. За 20 ч и 30 ч. 264. 15 дней. 265. 2. 266. За 64 дня. 267. За 24 ч.
268.48 км/ч. 269.8 км/ч. 270.180 км. 271.11 дней. 272.36 км/ч. 273.16 лет.
274. 300. 275. 150. 276. 12 месяцев. 277. 6 месяцев. 278. Получили хотя
бы одну пятерку 94 абитуриента, только одну пятерку — 65 абитуриентов.
279.8 р., 12 р., 5 р., 20 р. 280. Через 23 дня. 281. Из 24 деталей. 282. Из 36 де-
талей. 283. 50 р., 66- р„ 83— р. 284. 87,5 р., 50 р., 62,5 р. 285. 5 ч. 286. За
3 3
10 и 15 ч. 287. 9 ч. 288. В 11 ч. 289. 110 км. 290. 18 км. 291. 0,2с - 42.
292. Вчера 18 раков, сегодня 16 раков. 293.9. 294. (а + Jab) мин,
(fe+Vo&) мин; а) 36 и 45 мин; 6)42 и 56 мин. 295.
(L + 6)(L- 10)
6(L-5)
км/ч.
296. Первый — за (t - 2 + Jt2 + 4) ч, а второй — за (t + 2 + Jt2 + 4) ч.
297.
t v2 - 2vl
t
м/с. 298. q —
ЮОр
p + 100
; a) q = 23; 6) q = 20. 299. q =
{p - d) 100
p + 100
a) q = 15; 6) q = 12. 300. b =
10.9£Q. _£); a) ь = 60; 6) b = 58—. 301. В 1,5 раза.
100-с 3
302. 3 : 2. 303. 2. 304. 3. 305. 2. 306. 1. 307. 3. 308. 1. 309. -3. 310. 17.
311. 2. 312. -10. 313. -5. 314. 1240. 315. (-1; 2].
Оглавление
mkvkv««me
ГЛАВА I. КОРНИ, СТЕПЕНИ, ЛОГАРИФМЫ
§ 1. Действительные числа........................................ 3
1.1 . Понятие действительного числа......................... 3
1.2 . Множества чисел. Свойства действительных чисел . ... 10
1.3 *. Метод математической индукции........................ 16
1.4 . Перестановки......................................... 22
1.5 . Размещения........................................... 25
1.6 . Сочетания............................................ 27
1.7 *. Доказательство числовых неравенств................... 30
1.8 *. Делимость целых чисел................................ 35
1.9 *. Сравнения по модулю т................................ 38
1.10 *. Задачи с целочисленными неизвестными................ 40
§ 2. Рациональные уравнения и неравенства....................... 44
2.1. Рациональные выражения............................... 44
2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней . . 48
2.3* . Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида ... 53
2.4* . Теорема Безу........................................ 57
2.5* . Корень многочлена................................... 60
2.6. Рациональные уравнения............................... 65
2.7. Системы рациональных уравнений....................... 70
2.8. Метод интервалов решения неравенств.................. 75
2.9. Рациональные неравенства............................. 79
2.10. Нестрогие неравенства................................ 84
2.11. Системы рациональных неравенств...................... 88
§ 3. Корень степени п........................................... 93
3.1. Понятие функции и ее графика......................... 93
3.2. Функция у = хп....................................... 96
3.3. Понятие корня степени п................................100
3.4. Корни четной и нечетной степеней..................... 102
3.5. Арифметический корень..................................106
3.6. Свойства корней степени тг.............................111
3.7* . Функция у = Пу/х (х 0)..............................114
3.8* . Функция у — п4х.....................................117
3.9* . Корень степени п из натурального числа..............119
§ 4. Степень положительного числа...............................122
4.1. Степень с рациональным показателем.....................122
4.2. Свойства степени с рациональным показателем............125
4.3. Понятие предела последовательности.....................131
4.4* . Свойства пределов...................................134
4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия . . . 137
4.6. Число е.........................................140
4.7. Понятие степени с иррациональным показателем .... 142
4.8. Показательная функция...........................144
429
Оглавление
§ 5. Логарифмы
148
5.1. Понятие логарифма.................................148
5.2. Свойства логарифмов...............................151
5.3. Логарифмическая функция...........................155
5.4* . Десятичные логарифмы...........................157
5.5* . Степенные функции..............................159
§ 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства . . 164
6.1. Простейшие показательные уравнения....................164
6.2. Простейшие логарифмические уравнения..................166
6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой
неизвестного ....................................... 169
6.4. Простейшие показательные неравенства..................173
6.5. Простейшие логарифмические неравенства................178
6.6. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой
неизвестного.........................................182
Исторические сведения
187
ГЛАВА П. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 7. Синус и косинус угла....................................193
7.1. Понятие угла......................................193
7.2. Радианная мера угла...............................200
7.3. Определение синуса и косинуса угла................203
7.4. Основные формулы для sin а и cos а................211
7.5. Арксинус .........................................216
7.6. Арккосинус........................................221
7.7* . Примеры использования арксинуса и арккосинуса .... 225
7.8* . Формулы для арксинуса и арккосинуса..............231
§ 8. Тангенс и котангенс угла................................233
8.1 . Определение тангенса и котангенса угла............233
8.2 . Основные формулы для tg а и ctg а.................239
8.3 . Арктангенс........................................243
8.4 *. Арккотангенс......................................246
8.5 *. Примеры использования арктангенса и арккотангенса . . 249
8.6 *. Формулы для арктангенса и арккотангенса...........255
§ 9. Формулы сложения........................................258
9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов.......258
9.2. Формулы для дополнительных углов..................262
9.3. Синус суммы и синус разности двух углов ....... 264
9.4. Сумма и разность синусов и косинусов..............266
9.5. Формулы для двойных и половинных углов............268
9.6* . Произведение синусов и косинусов.................273
9.7* . Формулы для тангенсов............................275
§ 10. Тригонометрические функции числового аргумента . .
280
10.1. Функция у = sin х...........................281
10.2. Функция у = cosx............................285
10.3. Функция у = tg х............................288
10.4. Функция у = ctgx............................292
430
I *
§ 11. Тригонометрические уравнения и неравенства............295
11.1 . Простейшие тригонометрические уравнения.........295
11.2 . Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой
неизвестного...........................................299
11.3 . Применение основных тригонометрических формул
для решения уравнений.............................. . 303
11.4 . Однородные уравнения............................307
11.5 *. Простейшие неравенства для синуса и косинуса .... 310
11.6 *. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса. . . 315
11.7 *. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой
неизвестного...........................................319
11.8 *. Введение вспомогательного угла.................322
11.9 *. Замена неизвестного t = sin х + cos х..........327
Исторические сведения.......................................330
ГЛАВА III, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§12. Вероятность события....................................333
12.1. Понятие вероятности события......................333
12.2. Свойства вероятностей событий....................338
§ 13*. Частота. Условная вероятность........................342
13.1*. Относительная частота события...................342
13.2*. Условная вероятность. Независимые события.......344
§ 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел.........348
14.1 *. Математическое ожидание........................348
14.2 *. Сложный опыт...................................353
14.3 *. Формула Бернулли. Закон больших чисел..........355
Исторические сведения.......................................359
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ......................................362
Предметный указатель........................................407
Ответы.................................................... 410
Учебное
Никольский Сергей Михайлович
Потапов Михаил Константинович
Решетников Николай Николаевич
Шевкин Александр Владимирович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений
Базовый и профильный уровни
Младший редактор
Художники
^Художественный редактор О.
. С. Барбаринский, О.
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
. А. Андреенкова
. Богомолова
П. Богомолова
Компьютерная графика М. Е. Аксеновой
Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская
Корректор Л. С. Александрова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 —
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозити-
вов 13.11.08. Формат ТОхЭО’Лб* Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать
офсетная. Уч.-изд. л. 24,69 + 0,54 форз. Тираж 40 000 экз. Заказ № 21685 щт-о*
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический комбинат».
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
-С
Основные формулы
тригонометрии
±t
Tl
2
rr
sin'ci+ cos a т 1
— L _i । TH" —i nd
sin(-a) = -sina tg(-a) =
. к : • .
tga~F
L
cos(-a) = cosa
sin(or+2jcfe)p= since, keZ
ctg(-a)
l
etga
k) = tgaj ke z -
- —=.
cos(a + 2nh) = cosa, 'Ae Z ctg(a+nk)
T 7~!—H-rrrr'r:—I 7Tnr:—Г ------i
etga, keZ
ii
• T
J-
! ~IT7 TH tTTTj IU "Tr 1 —
cos(a - P) = cosa cosp 4 sina sinp
cos(a + ₽) = cosa cosJJ - sina sih£
sina cosp - sinP cosa
sin(a-p) = s
I
sin(a-+P)-=±-sina cosp +,
।
sin
Jco?a
_1j
cos2a г cos2a
J—I___I---1
sin2a
Xi_l Li •
т
siri2a - 2sina cosa
-H-4
sina + sinP = ЗбхпЦ-^ icos—xP
n R
sina sinp = 2sina
COS’
COS^MjP
2Г“
2
cosa + cosp = 2cos(i* cos
cosa - cosP = ~2sin^ t.P sin^-дР
-H- •-—H-r-TT^t- -2 “+-r2-
• -I ' ♦ O” J *’ V1*' 1
Г T J_L
i: