Н. Я. ВИЛЕНКИН П J ] "J \ \
ОС. ИВАШЕВ-МУСАТОВ /\ Г Г I Л U /\
СИ ШИЧБУРД _rAJ J J Jj ' J Г Л
И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
vlO'
r j	Г	' г I-'I-1	'	’ I I-1 I !	'Г
ГГГ~1~Г~1~ Треугольник Паскаля -
1 5 IO 1О 5
1 6 15 20 15 6 1Г

у = f(2x)
iy = fM
Бином Ньютона

X
Основные законы алгебры
a (be) = (ab)c
а ‘ 1 =а
a=1?f9
1 1 Г '! Г ' Т " 1-Г-1 I I f I I
~2f(x)
Г 1 I 1 ! I 1

н. Я. ВИЛЕНКИН
0. С. ИВАШЕВ’МУСАТОВ
С. И. ШВАРЦБУРД
ДЛГЕБР
и
га
АТЕМАТИЧЕСКИЙ
анализ
УЧЕБНИК
для углубленного изучения математики
в общеобразовательных учреждениях
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
13-е издание, стереотипное
Москва 2006
АГ СПбГУ
БИБЛИОТЕКА
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я721 .64-22.161я721.6
В44
Рецензент:
кандидат физике-математических наук А Я. Блох
Виленкин Н. Я.
В44 Алгебра и математический анализ. 10 кл.: учеб, для угпубл.
изуч. математики в общеобразоват. учреждениях /II. Я. Ви-
лен кип. О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 13-е над.,
стер. — М. : Мнсмоэина, 2006. — 335 с. : ил.
ISBN 5-346 00678-8
Книга предназначена для более глубокого изучения Курси математика
в 10-м классе средней Школы — как самостоятельно, так и к классах я
школах с углубленным теоретическим н практическим изучением мате-
матики н ез приложений. Они может быть использована при подго-
товке н вузы с доиышснными требованиями к математическому разви-
тию абитуриентов.
УДК 373.167.14512+517]
ББК 22.14я721.6+22.161я721.6
ISBN 5-346-ООБ7Я-8
(Й «Мнемозмни». 2000
© «Мнексзияз », 2006
© Художественное оформление
(обложки, форзацы}.
«Мыеыолииа», 2006
Все права защищены
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................................... б
Глава |. Числа и координат
5 I. Дейсгвнтельныс числа ........................................... 8
|. Десятичные числа н бесконечные десятичные дроби (8). 2 Рацио-
нальные и иррациональные числа (12). 3. Числовые множества и опе-
рации нал ними (|3). 4. Разделяющее число числовых множеств (16).
5. Арифметические операции над действительными чнелвми (18).
6. Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные (22).
7*. Степени с натуральными показателями и их свойства (23).
$ 2. Координаты на прямой и на плоскости ........................... 24
1. Величина направленного отрезка (24). 2. Координаты на прямой
линии (26). 3- Координатная плоскость (29).
Глава Ц. Рационкльвьи выражения.
Ура»Рен«я н неравенства с одной переменной
$ 1. Рациональные выражения ........................................ 33
I. Выражения и классы выражений (33). 2. Тождественные преобра-
зовании целых н рациональных выражений (38).
| 2. Метод математической индукции ................................. 39
I. Полная н неполная индукция (39). 2. Метод математической индук-
ции (42). 3. Доказательство тождеств н неравенств с помощью матема-
тической индукции (46).
§ 3. Многочлены от одной переменной................................. 49
I. Канонический вид целых рациональных выражений (49). 2. Деление
многочленов достатком (53). 3. Теорема Безу. Кории многочлена (56).
4. Тождественное равенство рациональных выражений (59). 5 Канони-
ческая форма рациональных выражений (60).
$ 4. Рациональные уравнения н неравенства с одной переменной ....... 62
I. Уравнения, тождества, неравенства (62). 2. Равносильные уравнения
и неравенства (62). 3. Основные методы решения уравнений (66). 4. Ре-
шение неравенств (70). 5. Доказательство неравенств (74). 6. Отыска-
ние рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами (75).
7. Уравнения н неравенства, содержащие знак модуля (78).
Глава III. Фуякцнв и последовательности
$ 1. Числовые функция н способы их задания.......................... 81
I. Введение (81). 2. Числовые функции (82). 3. Кусочное задание функ-
ций (86). 4. График функции (66) 5. Операции над функциями. Компо-
зиция функций (92). 6. Числовые последовательности к способы их за-
дания (94).
4 2. Преобразования графиков ....................................... 97
i. Координатное задание геометрических преобразований (97). 2. Пре-
образования графиков функций (100). 3. График линейной функ-
ции (103). 4. График квадратической функции (106). 5. График дробно-
3
линейной функции (108). 6. Построение графиков функций, выражение
которых содержит знак модуля (ПО}.
§ 3 Элементарное исследование функций .............................. 112
I Четные и нечетные функции 1112). 2. Возрастание и убывание функ-
ций (U5).
Глава IV. Предел к непрерывность
$ I. Предел функции на бесконечности ............................... 120
I. Бесконечно малые функции ((20). 2. Операция над бесконечно малы-
ми функциями (123). 3. Предел функции ка бесконечности (126).
4. Свойства предела функции при х -* 4- оо (130). 5 Вычисление пре-
делов (130). 6. Бесконечно большие функции (134). 7. Наклонные асимп-
тоты (137). 8. Необходимое и достаточное услонне существования пре-
дела монотонной функции (138). 9. Предел последовательности (139).
|0*. Вычисление пределов рехурреитно заданных нослсдонателъно-
стей (141).
$ 2. Предел функции а точке. Непрерывные и разрывные функции ....... 144
1. Окрестность точки (144). 2. Предел функции 0 точке (146). 3. Свой-
ства предела функции м точке и вычисление пределов!)47). 4. Функции,
бесконечно большие при х *о; вертикальные асимптоты (150). 5. Не-
прерывные функции (152). 6. Теоремы о промежуточных значениях
функций, непрерывных нв отрезке (155). 7. Обратная функция (158).
8. Корни (160).
Глани V Производная и ее приложения
§ 1. Производная ................................................... 163
I. Приращс-ннс функции (163). 2. Дифференцируемые функции (165).
3. Производная (167). 4. Дифференциал функции (170). 5. Производ-
ная и скорость (171). 6 Касательная прямая к графику функция н ее
уравнение (173). 7. Непрерывность и дифференцируемость (|76).
$ 2. Техника дифференцирования ..................................... 178
I. Дифференцирование линейной комбинации функций (178). 2. Диф-
ференцирование степени функции н произведения функций (180).
3. Дифференцирование дроби (183). 4. Вторая производная (185).
$ 3- Приложения производной ........................................ ]86
1. Производная и экстремумы (186). 2. Отыскание наибольших и на-
именьших значений функции на отрезке (|89). 3. Теорема Лагранжа н
ее следствия (|96). 4. Исследование функции на возрастание и убыва-
ние. Достаточное условие экстремума (198). 5 Исследование графиков
не выпуклость (200). 6. Точки перегиба (262). 7. Построение графиков
функций (204). В. Производные к доказательство неравенств (209).
9. Бином Ньютона (2| 1). 10. Некоторые свойства биномиальных коэф-
фициентов (.214). 11*. Приложения бинома Ньютона для прибли-
женных вычислений (215). 12*. Приближенное решение урляиеикй
методом хорд н касательных (2)6).
Глава VI Тригонометрические функция
§ I. Координатная окружность ....................................... 221
I. Длина дуги окружности (221). 2. Свойства длины дуги (223). 3. Ра-
дианное измерение дуг и углов (224). 4. Координатная окружность
(226).	4
§ 2. Тригонометрические функции числового аргумента, их свойства к гра-
фики .............л................................................... 22^
1. Функции синус и косинус числового аргумента (229). 2. Периодиче-
ские процессы и функции (232). 3, Некоторые свойства синуса и косину-
са (235). 4. Знаки синуса н косинуса к промежутки монотонности (238).
5. Непрерывность синуса н косинуса (241). 6. Синусоида и косинусоида
(242). 7. Гармонические колебания и нх графики (245). 8. Тангенс и
котангенс числового аргумента (247). 9. Тангенсоида и котангенсоида
(252).
§ 3. Формулы сложения н нх следствия ................................. 255
I. Косинус к синус разности и суммы двух чисел (255). 2. Тангенс и
котангенс суммы к разности (258). 3. Формулы приведения {259).
4. Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента (262).
5. Тригонометрические функции половинного вргумента (265). 6. Пре-
образование суммы тригонометрических функций в произведение н про-
изведение этих функций в сумму (267). 7. Сложение гармонических
колебаний (27|).
§ 4. Дифференцирование тригонометрических функций .................... 273
I. Предел отношения длины хорды к длине стягиваемой ею дуги (273).
2. Производные тригонометрических функций (275). 3. Дифференциро-
вание композиции функций (278).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства ...................... 281
I. Решение уравнений вида sin t=m. Арксинус (281). 2. Решение
уравнений виля cos 1=гп. Арккосинус (286). 3. Решение уравнений вида
lgx = m. Арктангенс (289). 4. Основные методы решения тригономет-
рических ура мнений (291). 5. Частные способы решения тригонометри-
ческих уравнений (295). 6. Универсальная подстановка |298). 7. Ис-
пользование формул для кратных углов прн решении тригонометриче-
ских уравнений (299). 8. Доказательство тригонометрических нера-
венств (300). 9. Решение простейших тригонометрических неравенств
(302). Ю. Решение тригонометрических неравенств (305). Н*. Некото-
рые неравенства для тригонометрических функций (308).
5 6 Обратные тригонометрические функции .............................. 310
I. Определение, свойства и графики обратных тригонометрических
функций (ЗЮ). 2. Вычисление пределов, связанных с обратными триго-
нометрическими функциями {312). 3. Дифференцирование обратных
тригонометрических функций (313). 4. Некоторые тождества для обрат-
ных тригонометрических функций (316). 5. Уравнения я неравенства,
содержащие обратные тригонометрические функции (318).
(I р к л о ж с п и е. Варианты контрольных работ ..... 320
Ответы ............................................... 326
П р с Д м е г н ы й указатель ........................ 633
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга содержит расширенный и углубленный курс
школьной математики X класса. Расположение материала в
ней соответствует в основном программе классов и школ с углуб-
ленным теоретическим и практическим изучением математики
и ее приложений, а потому книга может быть использована
для занятий в таких классах н школах. Ею можно пользоваться
и для обучения в техникумах, готовящих к работе по профес-
сиям, требующим повышенного знания математики. Наконец,
она пригодна и для самостоятельного изучения курса мате-
матики. Заметим, что излагаемый в книге материал несколько
больше по объему предусмотренного программой школ указан-
ного выше типа. Соответствующие пункты отмечены звездочкой
или набраны петитом. Они могут быть использованы для
факультативных занятий, работы математических кружков и т. д.
Учитывая, что изложение алгебры в VII—IX классах было по
необходимости не вполне строгим, авторы сочли полезным
осветить в книге и ряд ранее изучавшихся тем на более высоком
теоретическом уровне. В соответствующих пунктах даются поттные
и строгие доказательства утверждений, принимаемых в курсе
алгебры для учреждений основного школьного образования без
доказательства или с неполными доказательствами. Изучение этих
вопросов позволит как повторить пройденный материал, таг:
и повысить уровень логического развития учащихся.
Поскольку в математике примеры не менее важны, чем пра-
вила, большое внимание в книге уделено решению задач. Каж-
дый пункт сопровождается разбором ряда примеров в тексте
и списком задач для самостоятельного изучения. При этом
наряду с обычными задачами предлагаются задачи повышен-
ной трудности, отмеченные звездочками, решение которых
облегчает учащемуся подготовку к поступлению в высшне учеб-
ные заведения с повышенными требованиями к математическим
знаниям абитуриентов.
Книга состоит из шести глав:
I. Числа и координаты;
И. Рациональные выражения. Уравнения и неравенства с
одной переменной:
6
III.	Функции и последовательности;
IV.	Предел и непрерывность;
V.	Производная и ес приложения;
VI.	Тригонометрические функции.
Каждая глава разбита на параграфы, а параграфы иа
пункты. Ссылка на формулу (3) п. 4 означает, что речь идет
о пункте того же параграфа, а ссылка на формулу (3) п. 4 $ 2
означает, что речь идет о материале той же главы.
При изложении материала авторы старались избегать как
неоправданного применения языка теории множеств там, где
он лишь затемняет суть дела, так и отказа от этого языка в
случаях, когда он облегчает усвоение материала. При этом
рассматриваются лишь числовые множества.
Стремление к повышенному уровню строгости сочетается в
книге с использованием там, где это полезно, наглядных ил-
люстраций рассматриваемых понятий. Большое внимание уде-
ляется приложениям математики как к вопросам вычислений,
так и к задачам физики. При изучении уравнений и нера-
венств основное внимание уделено общим методам решения, а
не различным частным приемам.
В школах с углубленным изучением математики анализ ес-
тественно основывать на понятиях предела н непрерывности.
Мы сочлн целесообразным начать с понятия предела функции
на бесконечности, а лишь потом рассматривать предел в точке.
Предел последовательности рассматривается как частный слу-
чай предела функции иа бесконечности. Соответствующий ма-
териал может быть использован и при изучении ряда вопросов
программы по математике для VllI и IX классов школ с углуб-
ленным изучением математики и ее приложений.
Авторы выражают благодарность за сделанные замечания
В. Р. Болотину, М. Л. Галицкому, Б. М. Давидовичу, Р. К. Гордину.
Глава I
ЧИСЛА И КООРДИНАТЫ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. Действительные числа и бесконечные десятичные дроби.
Применение математических методов для решении практических
задач опирается на две основные операции: счет и измерение.
При пересчете элементов конечных множеств получаются нату-
ральные числа. Результаты измерений часто выражаются дро-
бями. Например; если отрезок CD можно разбить ла tn отрез-
ков, каждый н.з которых равен п-н доле единичного отрезка /18
(рис. I), то его длина выражается дробью •—-. В этом случае
пишут:
CD-—.
л
Длину любого отрезка можно с любой степенью точности
выразить положительным рациональным числом (т. е. числом,
представимым в виде дроби где тип — натуральные числа).
Но в теоретических исследованиях появляются отрезки, длины
которых не выражаются такими числами.
Пример I. Покажем, что длина диагонали единичного
квадрата (т. с. квадрата со стороной, равной ]) не выражается
никаким рациональным числом.
Решение. По теореме Пифагора имеем (рис. 2):
=/1Я‘4-ВС'= IJ-|-I' = 2. Предположим, что 4 С можно
записать в виде несократимой дроби: АС=—. Тогда имеем:
Л
р*—2, откуда гтг — 2п‘, а потому квадрат натурального числа
m четен. Поскольку' квадрат любого нечетного числа нече-
тен, то m должно быть четным числом, т. е. т = 2£. Отсюда
А ‘	‘	^7	‘	‘	8
С
Рис. 1
8
А 1 В
Рис. 2
следует, что 4Л2 = 2п2, откуда £Л2 = я2. Это равенство показывает,
что квадрат числа л четен, а потому а тоже четкое число: а = 2/.
Но тогда т и п делятся на 2, что противоречит несократимости
дроби — . Полученное противоречие показывает, что длина от-
резка АС не выражается никаким рациональным числом.
Таким образом, чтобы можно было выражать числами длины
любых отрезков, надо расширить совокупность Q+ положитель-
ных рациональных чисел, присоединив к ней новые элементы,
которые называют иррациональными числами. С этой целью
заметим, что при измерении отрезков возможны два случая:
а)	длина измеряемого отрезка выражена конечной деся-
тичной дробью N, ... п* (например, 4,806);
б)	длина измеряемого отрезка не может быть выражена ко-
нечной десятичной дробью.
В случае б) длину отрезка можно измерять со все возрастаю-
щей точностью. Если обозначить через а» приближенное значе-
ние длины а отрезка с точностью до по недостатку, то деся-
тичные дроби аа. а...... ... будут иметь вид:
ato = ^;	= fl.i; а2=Л^,	...;
схА —/V, «I ...	....	(I)
Здесь Л' является натуральным числом или нулем, а л,, п2, ...
.... н*,... принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Например, при измерении длины диагонали единичного квад-
рата получаем последовательно числа I; 1,4; 1,41; 1,414; ... .
Вместо бесконечной последовательности (1) десятичных
дробей со все возрастающим числом десятичных знаков
рассматривают только одну бесконечную десятичную дробь
а = Л\ п] ... п*... (например, 7,10]001000100001...) н говорят, что
она обозначает длину данного отрезка. Каждая такая дробь
задает последовательность лар конечных десятичных дробей:
(V; Д'-b Ц; ( N, m +^) ; .... -
(\v. Л| ... я*; У, щ ••• + I — •
Число а* = х\,Л1... л* (соответственно аt =	) называют
десятичным приближением числа а по недостатку (соответ-
ственно по избытку) с точностью до ру •
Любую конечную десятичную дробь V, п^ ... и* можно за-
писать з виде бесконечной десятичной дроби Л/, п, ... п» 000...0...,
оканчивающейся «хвостом» из нулей. При этом, например,
дроби 0,5 = 0,5000...0... соответствует последовательность пар
9
десятичных приближений (0; I), (0,5; 0,6), (0,50; 0,51),
(0,500; 0,50|) и т. д. Все приближения по недостатку для этой
дроби, начиная со второго, одинаковы: 0,5 = 0,50=0.500=... .
Рассмотрим теперь бесконечную десятичную дробь 0,499... .
Для {fee последовательность пар десятичных приближений
имеет вид: (0; I), (0,4; 0,5), (0,49; 0,50), (0,499; 0,500) и т. д.
В этом случае совпадают десятичные приближения по избытку,
начиная со второго: 0,5 =±0,50 =0,500 — ... . Последовательность
приближений по недостатку для первой дроби совпадает с по-
следовательностью приближений по избытку для второй дроби.
Это означает, что обе дроби выражают длину одного и того же
отрезка, которая равна половине длины единичного отрезка,
т. е. являются записями одного и того же числа.
Чтобы не обозначать двумя способами одно и то же число,
условились не использовать бесконечных десятичных дробей,
оканчивающихся «хвостом* из девяток. Такие дроби всегда
можно заменить конечной десятичной дробью, заменив девятки
нулями и увеличив на I цифру, стоящую перед ними. Напри-
мер, 3,72999...9...= 3,73 = 3,73000...0... . Итак, введем следующее
определение:
Определение 1. Положительным действительным числом
а. называют бесконечную десятичную дробь .V, т...ял..., не
оканчивающуюся последовательностью девяток.
Примерами таких чисел могут служить 5 = 5,0000..., л =
= 3,14159..., ^_=0,333...3..., V5=L4]42|... и т. д.
Число Лг называют целой частью числа « =N, nt ... пк ....
а 0, «I ... я*его дробной частью. Пишут: У = [а]. 0. я,...
... пк ... =|tx|. Например, если а= 14,271503..., то |а]=14 и
{«1=0,271503... .
Чтобы выразить изменения величии (их увеличение и умень-
шение), кроме положительных действительных чисел, нужны
отрицательные действительные числа и нуль. Назовем отрица-
тельным действительным числом бесконечную десятичную дробь
вида а = — ?V. zij ...	... . Такое число а называют противопо-
ложным числу p = ^V, nj... я* и пишут: а=—0. р=—а.
У числа 0 две десятичные записи: 0.000...0... и —0.000...0...
Из них мы будем пользоваться лишь первой. Таким образом,
0= —0 — это единственное число, которое противоположно са-
мому себе. Для любого числа « верно равенство —( — «)=«.
Числа, противоположные положительным рациональным чис-
лам, называют отрицательными рациональными числами. Поло-
жительные рациональные числа, отрицательные рациональные
числа и нуль образуют вместе совокупность Q рациональных
чисел. Если число а положительно и р=—а, то полагают
——а* и называют число рА (соответственно р(}
десятичным приближением числа (5 ао недостатку (соотзетствен-
но по избытку). Далее, если Р не является целым числом, иола-
гают: |0]=—;а]—I и —la). Для целых 0 полагают:
[р]= _<х и |(1]=0.
Например, если 0=* — 2,71828..., то 0з = —2,719, 05=—2,718,
[0]=—3, (0)=1-0,71828...=*0,2817... Если 0 = -3, то [0j= — 3,
(01=0.
Положительные действительные числа сравнивают по вели-
чине тэк же, как числа, выражаемые конечными десятичными
дробями- Именно, если a — N, П| ... п*... и [) = М, mi ... mk....
то считают, что а<0 в следующих случаях:
а) ‘V<M; б) ЛГ = .М и тСт,;
в)	Л’=*Л1 и существует такое k. что п}=.т}.... nt	= mk,
но пц. । Cm* fi.	r_
Пример 1. Выясним, какое из чисел, и или у]0, больше.
Решение. Имеем: л = 3,14159..., 10 =3,16227... . Видим,
что совпадают целые части и цифры десятых, а цифра сотых
больше у -уЧО. Значит, \Т0>л.
Если a — отрицательное число, а 0 — положительное число,
то считают, что a<0, а<0 и О<0. Если а и 0 — отрица-
тельные числа, то а<0 в том и только в том случае, когда
— 0< — а.
Упражнения
1.	Докяжкте. что нет рационального числа, квадрат которого равен: I) 3;
2) 5; 3) б: 4) 2.J.
2.	Докажите, что нет рационального числа, куб которого равен: 1) 2; 2) 3;
3)	6; 4) 2.1.
3.	Докажите, что если а — целое число, не являющееся квадратом целого числа.
то оно не является квадратом никакого рационального числа.
4.	Докажите, что если а. — целое число, не являющееся кубом целого числа,
то око не является кубом никакого рационального числа.
5.	Пусть а, Ь. с — целые числа. При каком условии уравнение at24-6л-*-с=0
имеет рациональные корни? Докажите необходимость и достаточность этого
условия.
6.	Является ли 0 действительным числом?
7.
8.
«.
Найдите для следующих чисел их целые и дробные части, приближения
по недостатку и по избытку с точностью до 0.0001:
I) л = 3,1415926...; 2) -то 3) 0,5(89773...; 4} -0,5189773...; 5) 0.0063754:
6) -0.0063754
Вычислите с помощью микрокалькулятора приближенные значения следую-
щих чисел, найдите их целые н дробные части и приближения по недостатку
н по избытку с тонкостью до 0.0001:
I) V2+V3; 2)	3} -у'2 + у7.4; *)	5)
6) -\’'3+\'2:л.
Докажите, что если е>0, а ft — натуральное число, то при достаточно 10
ft
оольшом значении п выполняется неравенство
10. Постройте прямоугольника со сторонами I и 2 и со сторонами 3 Н 2.1.
Найдите С помощью микрокалькулятора приближенное значение площади
IT
я периметра прямоугольника, стороны которого равны диагоналям этих
прямоугольников.
И. Докажите, что если для положительной бесконечной десятичной дроби все
приближения по недостатку, начиная с л-го, совпадают, то все цифры
дроби, неявная с некоторой (с какой?),— нули.
U, Существует ли иаииевывее число, большее 0,52?
13. Каково наибольшее действительное число, меньшее 0.9. и десятичную за-
пись которого не входит цифра 9?
|4. Каково нвкмекьшее действительное число, которое больше, чем 7.6, причем
в его десятичную запись не входят цифры 0, 1 и 2?
2. Рациональные н иррациональные числа. Любое рациональ-
ное число является действительным числом, т. е. может быть
записано в виде бесконечной десятичной дроби. Чтобы получить
такую запись для числа —, надо разделить «уголком» т на п.
Например, деля I на 3, получаем бесконечную десятичную дробь
0.333...3... . Значит, 4-=0,333...3... . Таким же образом убеж-
•3
даемся, что ^-=0,142857142857.... а ^-=0,1777....
В каждом из этих примеров получается десятичная дробь
следующего вида: начиная с некоторого места, все время повто-
ряется одна и та же цифра или группа цифр. Например, бес-
конечная десятичная дробь для записи числа 4- получена повто-
?
рением цифры 3, для у— повторением группы цифр 142857,
в	.
а для — сначала идет цифра 1, а потом все время повторяется
цифра 7.
Если бесконечная десятичная дробь, начиная с некоторого
места, образована бесконечным повторением некоторой цифры
или группы цифр, то ее называют периодической. Повторяю-
щуюся цифру, группу цифр называют периодом этой дроби, а
количество цифр в группе — длиной периода. Для дробей -у-
и
и длина периода равна J, а для дроби она равна 6. Длина
периода связана с арифметическими свойствами знаменателя
несократимой дроби —. на которых мы не останавливаемся.
л
Обычно период дроби пишут один раз, заключая его в скобки:
0.333...3...=О,(3), 0,142857142857... = 0,(142857), а 0,1777...7... =
= 0,1(7).
Любое рациональное число может быть записано в виде перио-
дической десятичной дробя. Это утверждение достаточно дока-
12
эать для чисел, записываемых правильными дробями: г——,
где 0<т<л. При делении т ка п будут получаться остатки,
принимающие значения О, I, 2....... n —1. Так как процесс де-
ления бесконечен, то на каком-то месте появится остаток, ко-
торый уже встречался ранее, и потому начнут повторяться
один за другим как остатки, так и десятичные знаки (может
случиться, что повторяется цифра нуль — в этом случае число
выражается конечной десятичной дробью).
Итак, мы доказали, что рациональные числа выражаются
периодическими десятичными дробями. Ниже (см. гл. I, § 1, п. 6)
будет доказано обратное утверждение: любая периодическая
десятичная дробь выражает некоторое рациональное число.
Отсюда следует, что действительные числа, не являющиеся ра-
циональными (например, длина диагонали единичного квад-
рата), выражаются непериодическими десятичными дробями.
Такие числа называют иррациональными. Другим примером
иррационального числа может служить 0,101001000100001...,
поскольку число нулей, следующих за единицей, все время воз-
растает, эта дробь не является периодической. Можно доказать,
что иррациональны числа -\'2< л и т. д.
Упражнения
|5. Покажите, что следующие числе не являются рациональными:
I) 0,73773777377773...; 2) -6,56556655566655556666... .
16. Следующие рациональные числа запишите в виде конечных или периоди-
ческих бесконечных десятичных дробей:
3 2> -L- 31 19 -41
° Т* ' 200 ‘	625’ ]	3025*
5) у- 6) ур; 7) уу; 8) щ-;
»(V4-V£)T/m4)'
17. Докажите, что период десятичной дроби, выражающей число —. не может
быть длиннее, чем л —(.
3. Числовые множества и операции над ними. Любую сово-
купность действительных чисел называют числовым множеством.
Само множество действительных чисел обозначают буквой R.
другими примерами числовых множеств могут служить:
а)	множество положительных действительных чисел;
б)	множество R- отрицательных действительных чисел;
13
в)	множество Q+ положительных рациональных чисел;
г)	множество Q- отрицательных рациональных чисел; '
д) множество Q рациональных чисел;
е)	множество Z целых чисел;
ж)	множество N натуральных чисел;
з)	числовой луч [а; -|- оо), т. е. множество таких чисел х,
что а^.х;
и)	числовой луч ( —оо; а], т. е. множество таких чисел х, что
к)	множество периметров многоугольников, вписанных в дан-
ную окружность;
л)	множество положительных рациональных чисел, квадрат
которых меньше, чем 2.
Определение !. Числовое множество X называют огра-
ниченным, если существует такое число а, что |х|<а для
всех х из X.
Пример ]. Множество периметров правильных много-
угольников, описанных около данной окружности, ограничено.
Пример 2. Множество периметров выпуклых много-
угольников, вписанных в данную окружность, ограничено.
Если число а принадлежит множеству X. то пишут: а£Х.
а если оно не принадлежит X, то пишут: а£Х.
Например, 56Л/, но — £N. Числовое множество X называется
частью или подмножеством числового множества У, если лю-
бой элемент из X принадлежит У. В этом случае пишут: А’с: У
или УсэХ. Например, если Х = [4; Ч-оо). а У = [0; Ч-то), то
АсУ. УгэХ.
Числовые множества, состоящие из нескольких чисел, назы-
вают конечными. Например, конечно множество натуральных
чисел, квадрат которых меньше, чем 15,— оно состоит из чисел
1, 2 и 3. Такое множество обозначают с помощью фигурных
скобок: {I. 2, 3]. К конечным множествам относятся множества,
состоящие лишь из одного числа, например {4}. а также пустое
множество, не содержащее ни одного числа (например, пусто
множество натуральных чисел, квадрат которых равен — 1).
Пустое множество обозначают 0. Для любого множества X
считают, что 0 с X и XczX.
Числовые множества часто задают, указывая общую форму
входящих в них чисел или общее свойство всех этих чисел. В
этом случае множество записывают в виде
WP(x)),	(I)
где х обозначает общий элемент множества, а Р(х) — свойство,
присущее всем элементам множества и только им.
Пример 3. Множество
{г|3<х<8)
(2)
состоит из действительных чисел х. удовлетворяющих двойному
неравенству 3^х^8. Множество
|г|х=3л + 1, rt6/V|	(3)
состоит из всех чисел вида Зп-f-l, где п пробегает все множе-
ство натуральных чисел. Придавая п последовательно значения
I, 2, 3, ... и вычисляя значения Зл+1, получаем множество чисел
(4, 7, 10, 13, 16, ...|.
Вместо (3) пишут короче: {Зл 4- ] | п £ N}.
Два различных свойства могут определить одно и то же мно-
жество. Например, множества
X={x|xEV х<4) и У = (х|(х-1)(г-2)(г—3)=0)
состоят из одних и тех же чисел 1,2 и 3. Два множества, со-
стоящие из одних и тех же элементов, называют равными.
Таким образом, в нашем случае множества X и Y равны. Пи-
шут: Х = У.
Если задано несколько множеств Xt..Х„, то из них можно
получить два новых множества — их общую часть, называемую
иначе пересечением данных множеств, и их объединение.
Определение 2. Общей частью (пересечением) мно-
жеств Х1г .... Хп называют множество X, состоящее из тех н
только тех чисел, которые принадлежат каждому из данных
множеств.
Пересечение множеств Х\, ..., Хп обозначают Xi f| ... П^-
Пример 4. Пересечением лучей ( — <ю; и [а; + «>) при
a<tf является множество чисел, для которых выполняется
двойное неравенство а^х^.Ь. Это множество чисел называют
числовым отрезком с концами а и b и обозначают [й; д]. Итак,
[д; ft]=|x|a^xC^}-
Определение 3. Объединением множеств Х}, .... Хп
называют новое множество X, состоящее из чисел, которые
принадлежат хотя бы одному из данных множеств.
Объединение множеств A”i... Ха обозначают A\U ... и^я.
Пример 5. Объединением отрезков [1; 6] и [2; 9] являет-
ся отрезок [1; 9]. Множество Q рациональных чисел является
объединением множеств Q положительных рациональных чи-
сел, Q- отрицательных рапиональных чисел н нуля:
Аналогично имеем:
/? = /?+ U*-U(0|-
Введем еще понятие разности множеств.
Определение 4. Разностью множеств X। и Аг? называют
множество X, состоящее из тех чисел множества Х|, которые
ие принадлежат множеству Х2.
15
Это множество обозначают Х|\Я2- Если А — подмножество
В, А(=В, то разность В\А называют дополнением А в В и обо-
значают А'ь.
Запись А' обозначает дополнение множества ,4 во всем мно-
жестве R действительных чисел.
Пример 6. Разностью между числовым отрезком [a; ft] и
множеством [д; 6), состоящим из концов этого отрезка, является
множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству
а<х<Ь. Это множество называют числовым интервалом с
концами а и Ь. Его обозначают {а; Ь). Сравнивая это обозна-
чение с обозначением [а; для числового отрезка, приходим к
выводу, что запись [а; Ь) обозначает множество чисел х, для
которых а^х<Ь. а запись (а; 6]—множество чисел хт для
которых а<.х^.Ь. Множества чисел (— оо; а) и (a; -f-oo) на-
зывают открытыми числовыми лучами.
Упражнения
|S. Каким из ннжеследукицмх множеств принадлежит число — :
1)	Z, 2) N, 3) Q, 4) $4., 5) Q_, 6) R. 7) Л,. 8) Л .9) |-1; 6],
,0)[“П:9]’ ,П |0: +оо)1	~гг]?
|9. Содержит ли множество Qf|[—I; 7) числа:
О 4; 2) -J; 3} 7; 4) <2; 5) -12; 6) 19; 7) л; 8) £ ?
20.	Пусть Д=[—2; 8|, В (—4; 11), С=[0; 9). Найдите множества:
1)	ЛЦВПС; 2) AUBUC; 3) (Аив)ПС'; 4) (A'qSJUC.
2i.	Пусть А = |3п— 1	/?=]5л4-2|n£JVl. C=|2rt +1Найдите мно-
жества:
I)	ЛПВ; 2) 4q€. 3) АП&ПС 4) (Af|S)UC.
22.	Найдите числовые множества:
I)	К-1ГН6ЛГ(;2) (|+(-|)-ЗмеЛГ).
4. Разделяющее число числовых множеств. Пусть X — мно-
жество периметров правильных многоугольников, вписанных в
данную окружность, а У — множество периметров правильных
многоугольников, описанных около той же окружности. Так как
периметр правильного вписанного многоугольника меньше пери-
метра правильного описанного многоугольника, то для любых
х£Х и y£Y выполняется неравенство х^у. Длина окружности с
разделяет множества X и У — для любых х£Х и y£Y имеем:
х^.с^у. Введем следующие определения:
Определение 1. Пусть X и У — непустые числовые мно-
жества. Множество У называют расположенным справа от X,
если для любых х£Х и y£Y выполняется неравенство
16
Определение 2. Пусть X и У — непустые числовые мно-
жества. Число с разделяет эти множества, если для любых
У ЕУ выполняются неравенства х^.с^.у.
Если существует число с, разделяющее X и У, то У лежит
справа от X. Например, отрезки [1; 4] и [6; 8] разделяются чис-
лом 5 и отрезок [6; 8] лежит справа от отрезка [1; 4[ Справед-
ливо обратное утверждение:
Теорема I. Если множество Y лежит справа от множества X,
то существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества.
Доказательство этой теоремы мы представим в виде следую-
щих задач, которые читателю предлагается решить самостоя-
тельно.
I.	Пусть все числа множества У неотрицательны. Обозначим
через с число М, mi ... tnk ..., где М—наименьшее из целых
чисел, для которых промежуток [ЛГ; М + I) содержит точки на
У.... гпк — наименьшее из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, для
которых промежуток ... mk\ Л4, mi ...	содержит
точки из У. Докажите, что число с не может кончаться после-
довательностью девяток.
2.	Докажите, что построенное число с разделяет множества
X и У.
3.	Докажите существование разделяющего числа для случая,
когда среди чисел из К есть отрицательные числа.
Выясним теперь, при каком условии множества X и У разде-
ляются лишь одним числом. Назовем разноцветным отрезок
fa; Ц содержащий как точки множества X, так и точки мно-
жества У.
Теорема 2. Пусть множество У лежит справа от множества
X. Для того чтобы они разделялись лишь одним числом, не-
обходимо и достаточно, чтобы существовали разноцветные от-
резки сколь угодно малой длины (т. е. множества X и У сколь
угодно близко примыкали друг к другу).
Доказательство. Предположим, что множества X и У
разделяются двумя числами с я d, где c<_d. Не теряя общности,
можем считать эти числа рациональными (в противном случае
надо заменить с его достаточно точным рациональным при-
ближением по избытку, a d - по недостатку). Так как любой
разноцветный отрезок должен содержать как точки из X, так и
точки из У, то он содержит и отрезок (с; d] (рнс. 3), а потому
Рис. 3
его длина ие может быть меньше числа d — c. Значит, в случае
существования двух разделяющих чисел длины разноцветных
отрезков не могут быть сколь угодно малыми.
17
Теперь предположим, что множества X и У разделяются лишь
одним числом с. Зададим «>0 и выберем отрезок [d; е] с
рациональными концами и такой, что d<Z(!<e, причем е —d<e.
Так как с — единственное разделяющее число для X и У, то
на отрезке [d\ cl найдется хотя бы одна точка х из X (иначе
и точка d разделяла бы X и К). Аналогично на отрезке [с; е\
есть хотя бы одна точка у из У, так как иначе X и У разде-
лялись бы и числом е. Итак, на отрезке [d; ej есть как точки
из X, так и точки из У, а потому этот отрезок разноцветен.
Поскольку длина этого отрезка меньше, чем г., то мы доказали,
что при единственности разделяющего числа существуют разно-
цветные отрезки сколь угодно малой длины. Теорема доказана.
Пример L Отрезки L; 4] н [6; 8] разделяются любым
числом отрезка [4; 6]. Любой разноцветный отрезок нс может
быть короче отрезка [4; 6]» и потому его длина не меньше, чем 2.
Пример 2. Отрезки [1; 4] и [4; 8] разделяются лишь
числом 4. Отрезки вида |^4 ——;	разноцветны и имеют
длину При достаточно большом значения п эта длина стано-
вится сколь угодно малой.
Упражнения
23. Среди следующих пар множеств найдите такие, для которых одно располо-
жено справа от другого. Для этих пар множеств язндкте все разделяющие
числа.
1)	X — множество десятичных приближений по недостатку числа -fi, а
У — множество десятичных приближений по избытку числа у'З.
2)	X множество десятичных приближений по недостатку числа уЗ, а
У — множество десятичных приближений пр избытку числа
3)	X — множество периметров выпуклых многоугольников, вписанных в
круг радиуса /?, в У — множество периметров выпуклых многоугольников,
описанных около того же круга.
4)	X — множество периметров выпуклых многоугольников, вписанных в
круг радиуса J?, а К множество периметров выпуклых многоугольников,
описанных около круга радиуса г<7?.
5)	А=|2-1(л^, У=р4-1|Я£#}.
6)	х=|5—Г={б_^|^л}.
5. Арифметические операции над действительными числами.
Если высота треугольника имеет длину 5 см и делит основание
треугольника на отрезки, равные 2 и 7 см, то периметр треуголь-
ника выражается числом 9Ц-у29 + ^74. Таким образом, для
вычисления этого периметра надо уметь складывать иррэцио-
 я
нальные числа. В этом пункте будут даны определении действий
над любыми действительными числами.
Определение I. Суммой действительных чисел х и у
называется число х-\-у, разделяющее множество X сумм вида
и множество К сумм вида *л+у*>
Здесь, как обычно, хл (соответственно х'л)— десятичные
приближения чиста х по недостатку (соответственно по из-
бытку), а и у'п имеют тот же смысл для числа у. Так как при
любых тип имеем: хт^.х^.х'п и Ут^у^У»> то х>н-4</«<
^х'4-р', и потому Y расположено справа от X. По теореме I
п. 4 существует хотя бы одно число, разделяющее множества
X и Y. Это число однозначно определено. В самом деле, для
2
любого е>0 найдется такое п, что — Се, а
(Хл -h yCi — (хл+уп) = (< - Хя) 4- (у'п - р„)=.
Это показывает, что существуют разноцветные отрезки сколь
угодно малой длины, а потому X и Y разделяются лишь одним
числом.
Разность х — у определим как сумму х4-( — </).
Определение 2. Произведением положительных дей-
ствительных чисел х и у называется число ху, разделяющее
множество X произведений хлу„ и множество К произведе-
ний Хг.у'п.
Ках н в случае суммы, устанавливаем, что У расположено справа от X н
питому требуемое разделяющее число су шествует. Оно определено однозначно.
В самом деле, хв<[х]-Н, &*<[&]+I. щй<1. а потому
^fcl+lri+з
,	х frJ+W+э
Но при достаточно большом значении л дробь —-   принимает сколь
угодно малые значения, а потому и разность х^—х^п может быть сделана
ехать угодно малой.
Для чисел произвольных знаков и нуля произведение опре-
деляется известным образом: { — х)у — х(— w)— — ху, ( — х)(—у)—
=ху, х-0 = 0-х = 0.
Определение 3. Числом, обратным положительному
числу х, называется число разделяющее множество X чисел
вида р- и множество Y чисел вида — (при х„=^0).
1 □
Тах как 0<x„^x<x£„ то Д- < — , я потому У расположено справа
Хщ Хд
от X. Значит, существует число, разделяющее X н У. Оно однозначно определено.
В самом деле, пусть х* — первое ненулевое приближение числа х по недостатку.
Тогда при л>Л имеем хЛ>х*>0 и
_|____I х;_хи	1 I
х, х.л x,x; io"x<xiio xi'
а при достаточно больших значениях л дробь становится сколь угодно малой.
Частным ат деления х на у называют произведение
Его обозначают —. При х>0, у>0 полагают:
У
X _ —X______х —х X 0 _ О_________Q
—У у ~	у ’ -у~ у ’ х ~~ —Х~~
Введенные арифметические операции обладают свойствами,
известными для соответствующих операций над рациональ-
ными числами:
О	х+у=у + х-.	Г)	ху^ух\
2)	*+(у + г)-(* + УНг;	2')	х{уг}={ху)г\
3)	х4-0=х;	3')	х-1=*х;
4)	х+(-х)«0;	4х)	х.2-=1,	х^0;
5)	х(У + 2)=ху + хг.
Из этих свойств, лежащих в основе всей школьной алгебры,
вытекают остальные свойства операций над числами. В част-
ности, нз них вытекает, что равенство ху = 0 может иметь место,
лишь если х=0 или y = Q.
Легко показать, что отношение порядка в множестве R свя-
зано с арифметическими операциями в R известными свой-
ствами:
а)	а<Ъ в том и только з том случае, когда Ь — а>0;
б)	ни для одного числа а не выполняется неравенство а<д;
в)	если а<Ь и Ъ<с, то а<с\
г)	для любых двух чисел а и b выполняется одно и только
одно из соотношений а — Ь, а<Ь, Ь<а-,
д)	если а<Ь, то а + с<Ь + с; если а<Ь и c<d, то а±с<
<Zb-\~d',
е)	если а<Ь и с>0, то ас<Ьс, если а<Ь и с<0, то ас>Ьс\
ж)	если 0<а<Ь и 0<c<d, то ac<bd\
з)	если а<6, то — b<—a‘t
н) если 0<а<Ь, то 0<4-<—;
Ь а
к) для любого действительного числа а найдется такое целое
число б, что b<a<b-V 1.
20
Модулем числа <х называют такое число |<х|, что
I а, если а>0,
а I —а, если а<0.
Из определения операций над действительными числами
вытекают следующие свойства модуля:
а)	|сЦ-6| < |й| + |Ь|;
б)	|а6| — |а| • |6|;
г) |а — Ь\>|а| — |Ь|.
Докажем, например, свойство а). Если а и b имеют одина-
ковые знаки, то модуль их суммы равен сумме их модулей (и
имеет тот же знак, что слагаемые). В этом случае |а-|-Ь| =
= |а| +|£>|. Если же а и b имеют различные знаки, то модуль
числа а^-b равен разности большего и меньшего из их модулей,
а потому меньше суммы этих модулей. В этом случае
<|а| + 16|. Наконец, если хотя бы одно из чисел а, b равно
нулю, равенство |а-|-&| — ',а| 4- |fr| очевидно. Таким образом,
во всех случаях имеем: la-4-61 < !а| -f-16i.
Обозначая в неравенстве а) а + Ь = с, получаем, что |с| <
< k — М 4- к|, т. е. |с —д|> |с| —|д|.
Упражнения
24. Запишите с помощью знака модуля следующие неравенства:
I) —3<х<3;
2) —7<х<7;
25. Решите неравенства:
I) |х—4i<5;
2) |х+Э1>2;
3) |х|<х+1;
5) —3<х<5;
6} — 8<х—|<4.
|х’-5|>2;
lx3—2х— 3|>х*— 2х —3;
lxI) 2 3—12х| >х2 —|2х;
lt+21 + lx—2|> 12;
|х- 4| + |х4-4| <10;
ЦЗ-Х1-21 < jz-l|.
3)	— 4<х+1<4;
4)	— 5<х<3;
5)
6)
7)
3)
9)
Ю)
26.	Решите уравнения:
3} |х2 —5*+6| =х?—5х+б;
4)	I |х2 + 2х + 5| + 1х—511 =х2 + 3х.
27.	1} Докажите свойства а) — к), с. 20.
2)	Докажите равенства:
44=>i,*(”; f 4=£'м*0);
3)	Докажите свойства модуля а) — г).
QI
28.	Число а иррационально. Докажите, что число — тоже иррационально,
а
29.	1) Укажите лм иррациональных числа, сумма которых рациональна
2| Укажите два разных иррациональных числа, произведение которых
• рационально.
30.	Пусть числа а и Д иррациональны, г рационально. Какие из следующих
чисел могут принимать рациональные значения:
J) a-f-P; 3} «+г;	5) \г; 7) -у'а + 0; 9) уа+уг?
2f af>;	4) ar;	6) уз; 8) -уо + г;
31.	Докажите, что следующие чиста являются иррациональными:
I)	v‘2+y3; 3) -v'4-7s;	51 3-V5;
2)	\3-V2; 4) V?;	6) V? + V2.
Найдите для этих чисел целые н дробные части, приближения по недостатку
и по избытку с точностью до 0,0001.
32.	Для определения длины окружности и площади круга измерили длииу
радиуса А* = 5,689 ± 0.001 см. С какой точностью имеет смысл выбрать зна-
чение л? В каких границах лежат ответы?
33.	Период Т качания маятника связан с его длиной I формулой Т—
= 2лд/^-, где £=9,81 м/с2 — ускорение земного тяготения. Найдите
длину маятника, если он совершил 1000 полных качаний за 3625 с. С ка-
кой точностью надо брать значение л? Какова максимальная ошибка изме-
рения ДЛИНЫ?
6.	Обращение периодических десятичных дробей s обыкно-
венные. Операция умножения действительных чисел на 1 0, 100,
1000 и т. Д. выполняется так же, как и для конечных десятич-
ных дробей.— путем переноса запятой. Пользуясь этим заме-
чанием, легко обратить любую периодическую дробь в обык-
новенную.
Обратим, например, в обыкновенную дробь периодическую
дробь х = 0,(246)=0,246246246... . Если умножить эту дробь на
1000, то получим, что 1000х = 246,246246... =246-|~х. Отсюда
находим, что 999х = 246 и потому
24б__82
999 333’
Десятичная дробь 0,00(246) 8 100 раз меньше, чем 0.(246),
и потому 0.00 ( 246)	Дробь же 0,78 (246) можно за-
писать в виде суммы 0,78-(-0,00(246), и потому она равна
ТОО + 99900 = 99ЙЮ =“---------99900---=“W00"5 П0СЛ€
ния получаем: 0,78(246)—.
Предоставляем читателю сформулировать общее правило
обращения десятичных периодических дробей в обыкновенные.
22
Замечание. Дегяткчнад дробь 0,24(9) равна обыкновенной дроби
= ^-«0,25. Вновь убеждаемся, что 0,24999...9...=0.25 =
900	900 100
= 0.25000...0... .
Упражнения
34.	Обратите в обыкновенные дроби:
I)	0.(2);	2) 0,(23);	3) ].(7);	4) 3,5(72).
35.	Вычислите:
I)	0.(2) 4-О,(ЭХ	2) ОД2)4-О^37);	3) 0.(73)-0.(487);
(4+0.(3)):°.25
0,12(3):0.0925 +525‘°-32;
0.725 4- у -Ь 0,175 -f- 0.42(6)+0,12(3)
5)	0.128-6.25-{0.0345:0.12)	;
0Д5Н0.17(1) , 0,8(3) 4-0,1 (6)
1 0.8(5) - 0,17( I)+0 Д 3) - 0.1 (6) ’
7*. Степени с натуральными показателями и нх свойства.
Напомним определение степени с натуральным показателем.
Пусть a£R и n£N. Из сочетательности умножения в R следует,
что при любой расстановке скобок в выражении а-а-...-а
(п множителей) получится один и тот же результат. Его обозна'
чают ап и называют п-й степенью числа а. Число а называют
основанием степени, ал — показателем степени. В частности,
полагают: о1 =а.
Из определения степени вытекает, что для любого натураль-
ного числа л выполняются равенства
0" = 0 и Г=1.
Операция возведения в степень с натуральным показателем
обладает следующими свойствами:
I)	Если а и b — любые числа ип^, то
(абГ=аяЬп.	(I)
2)	Для любых а, Ь, где Ь=А0, и любого n£N имеем:
3)	Для любого a£R и любых натуральных чисел тип
выполняется равенство am •ап = ат+п.
4)	Если а — любое число, отличное от нуля, a m и п — ноту-
..............“2._л«-л
рильпыс числи, 11ЛЛ.1ЛС, -»хм «Гк г<, «V ——
Если же men, то -^—=-1^. Наконец, Аг=1.
а' сС га	а
VI
5)	Для любого числа о и любых натуральных чисел тип
выполняется равенство (в'’*)* — атк.
6} Если а>0, то при любом натуральном п имеем п">0.
Если же%а<0, то ап>0 при четном п и ап<0 при нечетном п.
7) Если Q<a<b, го для любого n£N имеем a',<zbn.
8) Если 6>0 и ап = Ьп. то а—Ь.
Упражнения
Зв. Выведите на основных законен алгебры формулы:
1) {а + Ь~?~а1+2аЬ±Ь'2-,	2} (a— Ь)*=а2- 2йЬ + &2:
3) (a+fr)(e-Л)=а± —62;	4) (a4-6}:j=a3 + 3a'':6 4-3abr4-d1;
5)	—afr-pft7); 6} а5—//’=(□—+
7) a*^-b' = (a — Л)(а + &)(й2 + гЛ);
Я, (а2 4-u6 + &J)(ua—ab -|-/>2}=a4-|-a2b?-f 6’’.
37. Докажите свойства I) —8) действий со степенями.
§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
1. Величина направленного отрезка. При введении координат
на прямой линии приходится учитывать не только длины от-
резков, но и их направления. Поэтому введем общее понятие
направленного отрезка.
Определение 1. Отрезок, у которого указаны его начало
А и конец В, называют направленным отрезком и обозначают
АВ.
Отрезок ВА (получающийся перестановкой начала н конца
•*-	—►
отрезка ЛВ) называют противоположным отрезку АВ. Пишут:
ВА = — АВ. «Отрезок» АА, начало н конец которого совпадают,
называют нулевым направленным отрезком и обозначают <1
Возьмем какую-нибудь прямую I, выберем на ней направ-
ление и назовем его положительным. Такую прямую назовем
направленной и обозначим I (рис. 4).
Рис. 4
Определение 2. Пусть направленный отрезок АВ ле-
жит на направленной прямой 1. Величиной этого отрезка на-
зывают число АВ, модуль которого равен длине этого отрезка,
а знак положителен, если направления отрезка и прямой совпа-
дают, и отрицателен в противном случае.
24
Например, для отрезка АВ иа рисунке 5 имеем: АВ = 3,
,	Г ____________________________
А	В	D	С
Рнс. 5
а для отрезка CD на том же рисунке имеем: CD = — 4. От-
метим, что всегда
|ав1=А8 и АВ= — ВА.	(1)
Если точки А, В, С расположены как на рисунке б, а, то
АВ=АВ, ВС = ВС, СА^-СА.	(2)
_________	Г ________________________
А	8	С
а)
_____________9___________, Г _______________________
С	А	8
б)
Рис 6
Поскольку в этом случае АС = АВ А- ВС, то выполняется
равенство — СА =АВА~ВС, т. е. АВ + ВС + СА =0. При рас-
положении же точек А, В, С как иа рисунке 6,6, равенство
АС=Л В 4-ВС не выполняется, а соотношение АВ А-ВС + С А —0
остается верным.
Теорема Шаля. Если точки А, В, С лежат на направленной
прямой I, то выполняется равенство
AS-FBC4-CA = 0.	(3)
Доказательство. В случае, когда точки А, В, С рас-
положены как на рисунке 6, а, равенство {3) доказано выше.
При любой перестановке названий точек выражение А#-|-ВС +
4-СА либо остается неизменным (быть может, с перестановкой
слагаемых), либо меняет знак. Отсюда следует, что при любой
перестановке букв равенство (3) сохраняет силу. Значит, оно
верно для любых точек А, В, С на прямой L
Заметим, что равенство (3) остается верным и в случае,
когда какие-либо из точек А, В. С совпадают.
Замечание. Теорема ШаЛй Обоб|ЦДОтея на любое конечное множество
точен А|, .... Ап направленной прямой:
А । Ai 4. А2А3-}-... -f- ЛП_ |Л< +<4.Л 1 =0.
Упражнения
38. I) Изобразил* на направленной прямой тгря отрезка, величина каждого
из которых равна 4, и два отрезка, величина каждого из которых равна —4
2) Проверьте теорему Шаля для точек А. В, С па рисунке 7.
_______т_______________________
5	А	С
Рис. 7
3) Проверьте обобщенную теорему Шаля для точек Д(, At, Л4, Дь на
рисунке 8.
________*_________g т . г_____________ м
А у	A} At* А2.	-4 у
Рис. 8
2. Координаты на прямой линии. Чтобы определить систему
координат на прямой линии /, выберем на этой прямой начало
координат 0, направление, которое примем за положительное
(рис. 9), а также выберем единицу измерения длин. Каждой
____________________Г f____________X_______________
о	НМ	*"
Рис. 9
точке М прямой 1 поставим в соответствие ее координату, т. е.
число х, равное величине ОМ направленного отрезка ОМ,
х — ОМ. Точку М с координатой х обозначают М(х). Прямую /,
на которой выбрана система координат, называют координатной
прямой.
Задача I. Найдем расстояние между точками Af|(x() и
М2(х2) координатной прямой.	~	~
Решение. По теореме Шаля имеем: OMi	Л12О=0,
и потому Л1,Л12= -М2О—ОМ\. Но по определению коорди-
нат — M?O = OM} = xi, ОМ\—х} и, значит, М1М2=х2 — л,. Из
(1) п, 1 следует, что
М,М2 = |лГлЫ = |х2-х1|.	(О
Пример 1. Найдем на координатной прямой точки, уда-
ленные от точки М (4) на расстояние 7.
Решение. Искомые точки имеют такие координаты х, что
|х —41=7. Это равенство равносильно тому, что г —4=7 или
х —4 = 7. В первом случае x=ii, а во втором случае х=—3.
Значит, на расстоянии 7 от точки Л4(4) находятся точки АЛ (11)
и — 3) координатной прямом (рис. 10).
26
Ъ(-3) О
I_________ф______9_______
~м(Ч	М")	*7~’
Рис |О
Пример 2. Изобразим на координатной прямой решение
неравенства |х — 41^7.
Решение. Число 1х —4| равно расстоянию от точки Jtf(x)
до точки М(4). Так как по условию это расстояние не превос-
ходит числа 7, то искомым множеством является отрезок коор-
динатной прямой, заключенный между точками М2(— 3) и .V,(ll)
(см. пример I).
Решение многих геометрических и физических задач сво-
дится к делению отрезка в заданном отношении. Например, если
массы mi и т? находятся соответственно в точках А и В, то центр
этих масс расположен в такой точке Л! отрезка АВ, что AM: МВ =
— т^'.ть Так как направления отрезков AM и МВ совпадают,
то справедливо равенство AM:MB = mz:mi. Введем следующее
определение:
Определение!. Пусть точки А и В лежат на направ-
ленной прямой I Скажем, что /очка М делит отрезок АВ в
отношении Л. если АМ:МВ=О..
Задача 2. Найдем координату точки М (х), делящей в
отношении Z. отрезок АВ, где 4(Х|) и В(ха).
Решение. Мы знаем, что АМ = х — xt, МВ=хч — х. По
условию имеем: АМ:МВ~ и потому (х —xs):(x2 — х)=А.
Решая это уравнение относительно х, получаем, что
Если М — середина отрезка АВ, то и тогда
(3)
Замечание. Число Х = ЛМ:Л1Я положительно, если точка Л< лежит между
точками А и 5, н отрицательно в противном случае. Например, точка М ня
N А	В	М
Рве. И
g
DHCvHKe 11 делит отоезок АВ в отношении Х=—= = — 2. з точка N делит тот же
-о	/
. — I !
отрезок в отношении л=-у=——.
27
Как отмечалось выше, центр масс т- и mi, находящихся в
точках 4(xt) к В(хз), делит отрезок АВ в отношении m^irrt].
Подставляя в формулу (2) X = m2:/n(, получаем, что
. fflj
xi 4— х»
%__ ГГС| ____rntZi
Можно доказать, что если массы т\, .... тп помещены соот-
ветственно в точкйх (х,),	Д«(хЛ), то центр этих масс нахо-
дится в точке М(х)у где
К)
х =
(5)
Пример 3. Точка С(—]) делит отрезок АВ, где 5(8), в
отношении |:3. Найдем координату Г] точки Л.
Решение. По формуле (2) имеем:
3 Зх,+8
4
3
Решая это уравнение, находим, что xi = —4. Значит, А ( — 4).
Пример 4. Найдем центр масс, равных 3, 1, 2, 4 и поме-
щенных соответственно а точки А । (3). Д2( — 1), Лз(2), Л4( —8).
Решение. По формуле (5) имеем:
_3-3-м-(-lj+2*2-H‘(-8)_ _о
3+1+24-4	~
Значит, центр масс находится в точке М(—2).
Пример 5. В точках Л( —3), 5(3) и С(8) координатной
прямой приложены силы Fi, Ль направленные перпендикуляр-
но этой прямой, которые в условных единицах соответственно
равны F| — 5, F2=—4,	—6. Найдите координату точки
приложения равнодействующей этих сил (рис. 12).
f	Решение. Задача также ре-
1	шается по формуле (5), но с учетом
знаков этих сил. Поэтому
х _ s • । —3)+1 -4}- Зч-( -6}- а __
--*=	5+(_4)+(-6)
- —75	। d
= —=15.
6
Рис. 12
28
Упражяеиня
39.	Изобразите на координатной прямой множества:
I)	X-Ul-4CxC20(;	2) fl-|x|-2<«5fe
3)	С-(ж1 l*+2l С 3).
Далее изобразите множества:
4)	ЛПВПС Б) XUSUC 6) (ЛПЗШС; 7) (ЛЛВ)иМПС)и(ВПС).
40.	Найдите точки координатной прямой, расстояние которых до точим Л ( — 4)
втрое больше их расстояния до точки В (8).
4|. Найдите центр масс системы материальных точек А. 5. С, £>, если А( — 3),
8 (6), С (8). 0(H) к массы этих точек соответственно равны 1, 3, 5, 7 кг.
42.	Найдите точку приложения равнодействующей для систем сил. изображен-
ных на рисунке 13.
43.	1| В точках А (—5) и ₽(10) помещены соответственно зеряды в 2 Кл н
я I Кл. Найдите точку на оси, в которой равнодействующая сил притя-
жения этих зарядов равна нулю.
2) В точках Л ( — 6) и В (0) помещены соответственно заряды в —4 Кл и
а 2 Кл. В какой точке оси действие этих зарядов уравновешивается?
3. Координатная плоскость. Выберем на плоскости две пер*
пендикулярные прямые Ох и Оу, пересекающиеся в точке О.
зададим на них положительные направления и установим общую
для обеих прямых единицу измерения длин. Каждой точке
прямых Ох и Оу соответствует число — координата этой точки
(точка О на обеих прямых имеет координату 0). Плоскость хОу
называют координатной плоскостью, точку О—началом коор-
динат, прямую Ох — осью абсцисс н прямую Оу — осью орди-
нат. Углы, на которые оси Ох и Оу делят координатную плос-
кость, называют четвертями (ряс. 14).
М
У I
П четверть I чея^грть
J
0 1	7
Шче/пберть ШчыпЬгршь
Рис. 14
ИГк)
X
Afy}«-----------------•tffr.y)
Рис. IS
Возьмем на координатной плоскости любую точку М и опустим
из нее перпендикуляры МЛ и МВ на оси абсцисс и ординат
(рис. 15). Обозначим через х координату точки Л на прямой
Ох, а через у — координату точки В иа прямой Оу. Тем самым
точке М поставлена в соответствие пара чисел (х; у) (записан-
ных именно в этом порядке). Их называют координатами этой
точки: х — абсциссой точки М, ay—ее ординатой. Точку М с
координатами (х; у) обозначают М(х; у). Соответствие (х; у}-*-
->М(х; у) взаимно однозначно: каждой точке М координатной
плоскости соответствует одна и только одна пара координат, а
каждой паре чисел (х; у) — одна и только одна точка плоскости,
для которой эти числа служат координатами.
Введение координат на плоскости позволяет свести решение
многих геометрических задач к решению алгебраических задач.
Задача 1. Найдем расстояние между точками плоскости
M,(xi; pj) и М2(хг; у2) (рис. 16).
Решение. Если Х|=х?, то очевидно, что Af|Af2 =
= 1*/2— ^11. а если у\=уг. то M,M2=|xj—х,|. Рассмотрим
теперь общий случай, когда Xi и #|=#г/2. В силу теоремы
Пифагора = М,Г?+ TMi. Но М|Г=Л,Л», ТМ2 = ВуВ^.
а потому М,Л^ = Л|Лэ4-В|В2. Поскольку A|A?~ |х2—xj,
Рис. 16
Рис 17
30
HjB2= \Уг— #11 » To	1*2—Xi12+	—#112— (*2~ *if 4“
4- (#» — У if- Отсюда следует1, что
М, М 2 = V(X2 —X|'f4-(l/2-i/|f.	( 1 )
Пример 1. Найдем расстояние между точками М । (3; — 1)
и M —4).
Решение. По формуле (I) имеем:
|М,Л»г| =	3)’+(—* -(—1))’-т/Р+Зг=5.
Задача 2. На плоскости заданы точки Af,(xj; yi) и
Afa(xz; #?)- Найдем точку Р, делящую отрезок Л1\Л12 в отношении
Х>0.
Решение. Из рисунка ]7 видно, что Л,С, :CiX2 = AftP:PM2,
т. е. что точка Ci делит отрезок At/42 в том же отношении X.
Но тогда ее абсцисса х равна -1 + (см. п. 2). Ту же абсциссу
имеет и точка Р. Аналогично находим, что ордината точки Р
равна SL±X
Итак, координаты точки Р(х; у) имеют вид:
'=4^	<2>
Формула (2) верна и при Х^О, Х#= —1.
Отмстим частный случай этих формул. Если Х=1, т. е. если
точка Р— середина отрезка Af|Af2, то
XI 4-Х»	_£1+^
*«р	2	’	— 2
(3)
Так же как и для прямой, центр масс системы материальных
точек	Atn(x„; ул) находится в точке Л4(х; у), где
х -- -У^лХл ____________™ij/i 4- — 4~ИЦУ»	{4)
~ лп4-... + тя ’	'
(через тк обозначена масса точки Мй}.
Пример 2. Найдем центр масс
фигуры, изображенной на рисунке 18.
считая пластинку однородной.
Решение. Разобьем пластинку на
прямоугольники. Центр масс каждого
прямоугольника находится в точке пе-
ресечения его диагоналей, а его массу
можно принять равной его площади.
1 Мы пользуемся здесь введенным я VJII
классе понятием квадратного корня. Строгое
обоснование этого поннтия будет данп в и. 8 $ 2
главы IV.
Рис. 18
31
Тем самым задача свелась к отысканию центра масс трех точек:
4(2; 6), В(6; 1), С (6; 10), если их массы соответственно равны
48, 8, 16. По формулам (4) получаем, что
= 2-48 + 6-8 + 6-16 _ J0	6-48+ 1-8 + 10-16 = J9
48 + 8+16	— 3 ’ 9	484-8+16	3*
Упражнения
44.	Найдите на осн ординат точку, удаленную на расстояние 5 от точки Л (2; — 4).
45,	Дан треугольник АВС, Л(1; —4). В (2; б), С{—2; 3). Найдите длину отрезка,
соединяющего середины сторон АВ н АС.
4Л. Найдите длину средней линии трапеции A BCD, зная координаты вершин
трапеции: А( — 1; 3). В (3; 5), С(6; 8), 0(8; 12).
47.	Докажите, что треугольник АВС, где Л( —1; 1). В (2; 5). С(3; —2) прямо-
угольный.
48.	Известны координаты трех вершин квадрата: А (2; —3), 5(6; 0), С(—I; 1).
Найдите координаты иенгрэ квадрата, его четвертой вершины и площадь
квадрата.
49.	Найдите точку пересечения медиан треугольника АВС, где А ( — 2; —4).
5(3; I), С (5; -3).
50.	Найдите точку пересечения биссектрисы AM треугольника АВС со стороной
ВС, если А(-3; —2). В(—1; I). С{3; 2).
51.	Найдите центр масс для системы стержней, изображенной на рисунке 19.
52.	Найдите центр масс фигуры, изображенной на рисунке 20.
53*. В точках А (—4; 8), В(5; —2), С (9; 6) и D ( 3; 0) координатной плоскости
приложены силы Ft, Fj. Ft, А. направленные перпендикулярно этой
плоскости, которые к условных едяннпах равны: Ft=5, Ft~ — 3. Л'з=7.
F< = —6. Найдите точку приложения равнодействующей этой системы сил.
64. Обозначим через F, d, f соответственна фокусное расстояние лянзы н рас-
стояния от линзы до источника света н до изображения. Тогда имеет место
I I I
равенство _=— + — .
Определите координат)' изображения, если F — 3 м, линза находятся в точке
А (5; 3). а источник света в точке В(|; 0).
Рис |9
Рнс. 20
Глава II
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
I. Выражений и массы выражений. В курсе алгебры
VII класса изучают различные буквенные выражения, образо-
ванные из чисел к букв с помощью операций сложения, умно-
жения и деления (операция вычитания сводится к умножению
вычитаемого на —1 и сложению). Там были указаны различные
формы упрощения записи таких выражении, например замена
выражения (6)4-(а) на 6 +а, выражения (a-fh)H-r на
применение дробной черты для обозначения деления и т. д.
Сейчас мы укажем некоторые классы таких буквенных вы-
ражений и дадим им точные определения.
Определение 1. Одночленами назына ют:
а) числа; 6} буквы; в) выражения вида (А) (В) и (А):(В\
где А и В — одночлены1.
В современных книгах по алгоритмическим языкам это опре-
деление записывают так:
(одночлен) :: = (число) I (буква) | (одночлен) X (одночлен) |
I(одночлен):(одночлен).
Подобную форму записи определения называют формой
Бекуса.
Пример I. Какие из следующих выражений являются одно-
членами:
1)	2) 6лг-5/; 3}
4) АГ' + Зу2; 5) уРуу1-, 6)
Решение.]) Запишем^- в виде (А): (В), где А — Зх, В=5у.
Далее, Зх запишем в виде (А J*(В,), В — в виде {А ?)(£$), где
А|=3, Bi = x, А2 —5, В2=у. Так как 3- число, то А, - одно-
Здесь к ниже ирн записи выражении применяются общепринятые сокраще-
д
ння. R частности, записи к означают одно я то же.
о
2 Алгебр* х ж*тчивтичсехи4	лл
'ШЯ., JQ м.	30
член, а так как х — буква, то и — одно-
jjl	член. Значит, Зл=(Л|)*(5|) — одночлен.
Аналогично одночленом является 5у. Но
\ j	у* у	3 v
/\	тогда и (А):(£), т. е. --одночлен.
/ Д_ /	\	ъу
Гз| Гх| fsl Гу1 Схема «синтаксического разбора» вы-
рЙС 2i	ражения — изображена на рисунке 21
(•—действие умножения, : —деления).
2)	Так как х2 = х«л, а х —буква, то х2 — одночлен. Но тогда
и х3 = х2-х тоже является одночленом. Продолжая этот про-
цесс, убеждаемся, что для любого натурального п выражение
х" —одночлен (точнее говоря, здесь применяется метод матема-
тической индукции, о котором будет рассказано в § 2). Но тогда
одночленами являются 6х* и Ьу, а значит, и 6xd-5y2.
3)	Если А — одночлен, то и А2 — тоже одночлен. Про-
должая этот процесс, убеждаемся, что при любом натураль-
ном п и Ля является одночленом. Значит, (4х2)3 и (5/)2 —одно-
члены, а тогда и —одночлен.
(оу г
4)	Выражения х2 и Зу3 — одночлены, но (А)4-(#) не входит
в список форм одночленов. Поэтому х2+Зу3 не является одно-
членом.
Аналогично доказывается, что к числу одночленов нс при-
надлежат	и .
Определение 2. Целым рациональным выражением
(ц. р. в.) называют:
а) числа; б) буквы; н) выражения вида (А)+(В) н (Л)«(В),
где А и В — ц. р. э. В форме Бекуса это определение записы-
вается так:
<ц. р. в.)::= (число) | (буква) | (ц. р. в.) 4-(ц. р. в.>|
|<и. р. в.) <ц. р. в.).
С помощью синтаксического разбора легко убедиться, что
(х2 4-у2 4-z2)3 — 6х3уэ и (х 4- 2у 4- 3zf — tixyz — целые рациональ-
ные выражения.
Одночлен, являющийся в то же время целым рациональ-
ным выражением, называют целым одночленом. Легко убедиться,
что определение целого одночлена (ц. о.) в форме Бекуса имеет
вид:
(ц. о.)::= (число) | (буква) | (ц. о.) (ц. о.).
Из^ одночленов, приведенных в примере 1, целым является
Определение 3. Рациональные выражения (р. в.) опреде-
ляются так:
(р. в.):: = (число) | (буква) Цр. в.) + <р- в.)|(р. в.) <р. в.}|
|(р. в.):(р. в).
34
Например, () +Sxyz — рациональное выражение
(убедитесь в этом с помощью синтаксического разбора этого
выражения).
Отметим один класс целых рациональных выражений.
Определение 4. Линейные выражения (л. в.) опреде-
ляются в форме Бекуса так:
(л. в.}: : = (число) I (буква) I (число) <л. в.)|(л. в.)-|-(л. в.).
Примером линейного выражения может служить
4(3x-5t/+6z-ll)-7(2x-1-5f/+Uz+9)+5.
Выражение	не является линейным, хотя его чис-
г	Зх —у —8
литсль и знаменатель — линейные выражения. Такие выраже-
ния называют дробно-линейными. Дробно-линейные выражения
(д.-л. в.) можно определить так:
(д.-л. в.)::=<л. в.)Г<л. в.): (л. в).
Из данных выше определений видно, какие операции не вы-
водят за рамки того или иного класса выражений. Например,
произведение или частное двух одночленов является одночле-
ном, сумма и произведение двух целых рациональных выраже-
ний снова являются целыми рациональными выражениями, а
сумма, произведение и частное двух рациональных выражений
снова являются рациональными выражениями. Наконец, линей-
ная комбинация а-(А') + Ь’(В) двух линейных выражений снова
является линейным выражением.
Наряду с этими операциями не" вы водят за рамки соответ-
ствующих классов операция замены букв выражениями тех же
классов. Например, если в одночлене х2у3 заменить букву х
одночленом а букву у — одночленом то получим вы-
ражение ) • (^) • которое снова является одночленом
от х и у. Разумеется, с помощью таких замен можно получить од-
ночлены и от иных переменных.
Заменим в выражении А(у) букву у выражением В (х). По-
лученное выражение обозначают А (В (х)).
Особо важной является операция замены букв числами. Если
в выражении от букв х, у.. г заменять букву х каким-нибудь
числом, то получится выражение от оставшихся букв у, .... z.
Например, заменяя в выражении (x2 + y2)z2 букву х на число
5 (т. е. придавая букве х значение 5), получаем выражение
(б2-}-^2)?2 от у н Z. Если же каждую букву заменить в данном
выражении каким-нибудь числом, получится выражение, не
зс
содержащее букв. Такие выражения называются числовыми.
( 8,34 4,5 \2
нанример	•
Прн выполнении действий, указанных в данном числовом
выражении, возможны два случая:
а)	все указанные действия возможны;
б)	в ходе вычислений получаем невозможную операцию де-
ления на нуль,
В случае а) в результате вычислений получаем число, на-
зываемое числовым значением данного числового выражения.
В случае б) говорят, что выражение не имеет числового зна-
чения. Например, значением числового выражения (8?4-724-
4-12):25 является число 5, а выражение 5: (4 —4) не имеет число-
вого значения.
Пусть 4 (Х|..хя) — выражение от букв ...  хп.	Значением
этого выражения при Х|=йь ..., кл = ал называется значение
числового выражения А(Л|, .... а„), получаемого при замене
X) на й|, .... х„ на ап. Если это значение существует, то говорят,
что данное выражение имеет числовое значение при X|=«i,
.... х«=а„ или что оно имеет числовое значение в точке (а}, ап)
(порядок чисел а,...а„ при этом играет существенную роль).
Множество упорядоченных наборов чисел (а.... ап), при кото-
рых выражение А (х........................... хк) имеет значение, образует область
существования этого выражения.
Пример 2. Найдем область существования выражения
______В*________
(* + 1)(х-2)(г-6) ‘
Решение. Это выражение не имеет числового значения
лишь при значениях х, для которых (х4-1)(х—2)(х—6) обра-
щается в нуль, т. е. при х =— I, х=2, х=6. Исключая эти зна-
чения из множества R. получаем числовое множество
Я\( —|; 2; 6}. Его записывают также в виде
(_оо; -1)U(-l; 2)U(2; 6)U(6; + ~).
Пример 3. Найдем область существования выражения
4
Реше вне. Это выражение имеет числовое значение для
пар (а; Ь), при которых а — b отлично от нуля. т. е. для пар
(а; Ь}, где a=£b. Парам вида (й; а) соответствуют точки коор-
динатной плоскости, у которых абсцисса равна ординате, т. е.
точки прямой, делящей пополам первый и третий координатные
углы. Исключая эту прямую из координатной плоскости, полу-
чаем искомую область..
36
Упражнения
55.	Среди следующих выражений найдите одночлены, целые одночлены, це-
лые рациональные выражения, рациональные иыражения. линейные вы-
ражения. В каждом случае укажите, от каких букв зависят эти выраже-
нии:
1)-^- ;	2}	3) 4ха-3к+*
4)	17jf 5> (вх+7</)-5(2х+у).
5л' + 4
Дли каждого из этих иыражепнй проведите «синтаксический разбор», т. с.
объясните, как оно получается из чисел и буки.
56.	Средн следующих числовых выражений укажите неверно записанные, а из
верно записанных — не имеющие числового значения:
(} (3-8): (5-5);
2)	(3-8): (5-4;
3)	(5+5-).3;
4)	(5 —5):(3—В).
5)	(+—6)-7:
6)	42: >3.7 + 4.85-956);
7)	84: (3J-2-6-9);
8)	(9 —-7>:3).
57.	Найдите области существования следующих выражений:
11 х8—Зх + 2 ’	2' б№ (Г1’—») ’
8	I ,	6
3)	6|/ - 4) ;	3 4)	' /-16 '
58.	Найдите значения следующих числовых выражений:
(0.625+ 2,708 (3»: 2,5
1	,110’
(1,3+0.7(6)4-0.(361).-^-
*Т1 ’1
59.	Найдите значения следующих выражений при запанных значениях букв:
1)
2)
а — Ь	а* + 6У4~Д
2a~b.--2^4-^-^..(b2+ь + uh + fll а = о.55. * = 2.05:
(4^+*^ +а2):(2&’+а)
Р
3) / Iй
"а1 ~1г	,
37
’>	—Н~:-Л'	*-м* С=°’(Ж
с
Запишите на алгоритмическом языке алгоритмы программ вычисления этих
выражений.
2.	Тождественные преобразования целых рациональных вы-
ражений. Одной из важных задач школьной алгебры является
изучение тождественных преобразований целых рациональных
выражений.
Определение 1. Целые рациональные выражения А н В
от ...... хп называются тождественно равными, если при заме-
не букв х(, ..., xrt любыми числами at. ап получаются число-
вые выражения, имеющие одинаковые значения.
Замена выражения тождественно равным ему выражением
называется тождественным преобразованием выражения.
Пример. Выражения (%4-</)2 и х24-2ху4-у'2 тождественно
равны, так как при любых Значениях х и у имеют одинаковые
значения.
Тождественные преобразования целых рациональных выра-
жений основаны на тождествах I) — 5) и Г) — 3') п. 5 § I гла-
вы I (тождество 4') лежит в основе тождественных преобра-
зований дробных выражений, которые будут рассмотрены ниже}.
Из указанных выше тождеств вытекают следующие формулы
тождественных преобразований для выражений:
|) АВ — ВА\	Г) АВ=ВА\
2)	(Д	С = Д4-(в + С); 2') (АВ) С=А (ВС);
3)	Д+0=Д;	3') А-1 = Д;
4)	Д+(-Д)=О;
5)	Д(В4-С)=Д54-ДС.
Например, при А=х4-^, В = х‘, С = у2 получаем из 5) тож-
дество
(х 4-У) (х24-у2)—(х -f-у) х2 4- (х 4- у) у2.
Отметим еще тождества для степеней и для модулей:
6)	<ДВ)Я=ДЯВЯ;
7)	АтАп=Ап'";
8)	(Д'71 = Д™;
Q £1_J Л’"”" ПРН
.4” “ 1 1 при m — п, А Ф 0;
10)	|ДВ| = |А|.|В|;
11)	1ДЛ1=|А|л.
38
Упражнения
60.	Докажите тождества:
Ц k-i)(*+0(x4i}=K4-i;
2)	(ла-х+1}(гг+х+1)=Х<4-жа+1;
3} r(x+t}(r+2)(r+3)=(^ + 3*+»),-l;
4)	дЧ1=(хЧ0(^4-*^+1)(хг-х V3-MX
61.	Упростите выражения:
I)	(х*-х+ |)(хг + х+!)(•»'-хЧ О;
2)	{а + b + с)а -(а + b -c?-(b + c—af -(с + а-Ь)*.
62.	Докажнтг тождества:
•)	(йЧ Л1) (X2 + У2) = ("X - by\*+{bx + ау?;
2)	(иЧ *4 f2Xx4 / + г2?—f*1* + Ь.Ч +	=(Ьх —	+(-.сУ — М2 4-(°* — ^xf;
•3	) (а + Ь 4-г 4-d? +<я +t> — г_d)4(fl4-c — fr — d)4(й-И~ — £? =
= 4 (йЧ Ь2 + £*+(?');
4)	(а* —6*4-е2 —Д*)Ч 2(а6 — 6c4-4c4-ad)*—(a24-64t?2 + <H? —
— 2 (ab - ad -|- &с 4-rfc)2;
5} (аЦ-ь 4-с)Ч(<’+‘ -а)Ч(с + а-<>)Ч(в+*-<04“ШЧ&‘ + с4)4-
+ 24(b1c4cV + u?^).
63.	Докажите, что a = b=c = d, если 1 («4/4fi1-+^2)=(« + <>+< 4-4)’-
&i. Докажите, что х=у=х. если	«*>
{у -zf 4-(т -х)Ч(х -у}2 ={у+ г -2х)Ч(г + х -2у)2 4-(х+у -2z)4.
65, Пусть
Х= -\-3pq2-— р3, Y = - 3pq(р4-у), Z=pt + pq + q2. Докажите, что Х* +
+ XY+Y2=Z3.
66.	Пусть S = a-|-i>4-c. Докажите, что
S (5 - 26) (S -2с) + S (S- 2с) (Х - 2а} + 5 ($-2а) (S-2Ь}=
=(S - 2а} {S - 26} (5 - 2с) 4- tab с.
67.	Покажите, что если а + Ь + с=0, то:
I)	йэ4-Л*-|-с3=За6с;
2)	2(йЧб24-са)2 = 4(«ЧбЧс*).
§ 2.	МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
I.	Полная я неполная индукция. В случае, когда матема-
тическое утверждение касается конечного числа объектов, его
можно доказать, проверяя для каждого объекта. Например,
утверждение «каждое двузначное четное число является суммой
двух простых чисел» следует из серии равенств:
(0 = 5-|-5; 12 = 54-7; 14=7 4-7; )6 = 54-1|; |8 = 54-13; 20 =
=7 4-13; 22=114-11; 24=11 4-13; 26=134-13; 28 = 54-23;
кч
30 = 7 + 23; 32 = 3 + 29; 34=17+17; 36=17 +19; 38 = 19+19;
40= 17+23;42= 19+23; 44 = 3+ 41; 46 = 3 + 43; 48=5+43;
50=7+43; 52= 11+41; M = |3 + 41; 56 = 3 + 53; 58 = 5 + 53;
60=7+53; 62 = 31 +31; 64=3 + 61; 66=5 + 6|; 68=7+61;
70=3+67; 72 = 5 + 67; 74 = 7 + 67; 76 = 3 + 73; 78 = 5 + 73;
80=7+73; 82 = 3+79; 84=5 + 79; 86=7 + 79; 88=5 + 83;
90 =7 + 83; 92=3+89; 94=5 I 89; 96 = 7 + 89; 98 = 19+79.
Метод доказательства, при котором мы проверяем утверж-
дение для конечного числа случаев, исчерпывающих все возмож-
ности, называют полной индукцией. Этот метод применим срав-
нительно редко, поскольку математические утверждения каса-
ются, как правило, не конечных, а бесконечных множеств объ-
ектов. Например, доказанное выше полной индукцией утверж-
дение о четных двузначных числах является лишь частным
случаем теоремы: «Любое четное число является суммой двух
простых чисел*. Эта теорема до сих пор ни доказана, ни опро-
вергнута. Однако выдающийся советский ученый, дважды Ге-
рой Социалистического Труда академик И. М. Виноградов до-
казал, что каждое достаточно большое нечетное число явля-
ется суммой трех простых чисел (а значит, всякое достаточно
большое четное число — суммой четырех простых чисел). Од-
нако найденная нм граница, начиная с которой выполняется
утверждение теоремы, настолько велика, что проверять его для
чисел, меньших этой границы, с помощью полной индукции не-
возможно даже при использовании самой быстродействующей
вычислительной техники
В естественных науках (физике, химии, биологии) приме-
няют неполную индукцию: проведя эксперимент несколько раз,
переносят полученные результаты на все случаи. Однако, если
бы мы даже проверили утверждение о разложимости четного
числа в сумму двух простых чисел для первого миллиарда чет-
ных чисел (это можно сделать с помощью ЭВМ), полученный
результат лишь укрепил бы нашу уверенность в справедли-
вости теоремы, но ни на шаг не приблизил бы нас к ее дока-
зательству. Ведь в утверждении речь идет о справедливости
утверждения для всех четных чисел, а таких чисел бесконечно
много.
Тем не менее разбор конечного числа случаев играет важ-
ную роль в математике: не давая доказательства того или иного
утверждения, он помогает угадать правильную формулировку
этого утверждения, если она еще неизвестна. Именно так член
Петербургской академии наук Гольдбах пришел к гипотезе, что
любое натуральное число, начиная с двух, является суммой не
более чем трех простых чисел.
Пример 1. Угадаем с помощью неполной индукции формулу
для суммы кубов первых п натуральных чисел.
40
Решение. Мы имеем Г=1; Г14-2‘=9; Г'4. 2’4“ З3 = 36;
р-]-234-Зэ4-4я^1(Ю. Но 1 = 1*. 9=3*. 36=6’, 100 = I02. Оста-
лось сообразить, что представляет собой последовательность
чисел I, 3» 6, 10, ... . Но 1 = 1, 3=14-2, 6=14-2 4-3, 10 —
= 1 4-24-3 р4. Мы приходим, таким образом, к гипотезе, что
1*4- 4-3*4- ...4-п3=(1+ 24-34 ...4-«Л
Если вспомнить формулу для суммы арифметической прогрессии,
то эту гипотезу можно записать следующим образом:
Р+^+З^-.+п^-'1"/^ 	(I)
1
Доказательство справедливости формулы (1) будет дано ниже.
Сумма |34-254-Зл +... 4-п3 состоит из п слагаемых, причем
k-e слагаемое равно k\ Принято записывать такую сумму в
л
виде k\ где 5 — греческая буква «сигма*. Для записи произ-
.t — I	_	л
ведения п множителей применяют обозначение П A (k). где
II - прописная греческая буква «пи». Например.
Отметим, что
f _ л (fe)=( Z АДО) +А(п + |)
Упражнения
B8. Рассмотрите равенства:
I
24 3 Н
54-64-74 8 [-9
104-11 + 12 4-[3 1-144-15+16
=04 I
«1+в
— 8 |-27
27+61
Догадайтесь, к какому общему закону ^юддодят эти примеры. Выразите
его R подходящих математических обозначениях и докажите.
68.	Рассмотрите значения последовательных сумм.
I,	1+3. I-+3+S. 1 +3 + 5 + 7...
Имеется ли простое праянло?
70. Рассмотрите значения последовательным суми:
1. 1+8, I +8 + 27, I +8 + 21 +64.
Имеется лн простое правило?
7|. Проверьте, что любое четное число, большее 2. но меньшее 100, является
суммой двух простых чисел.
72.	Три стороны треугольника имеют соответственно длины (. т. л, где /. т. п —
натуральные числа, такие, что	Найдите для л-1, 2,3. 4 и S
число различных треугольников. Найдите общий лакан, управляющий за-
энсямостью числа треугольников от п.
73.	Запишите в виде суммы следующие выражения
t — I	’ '	4 — |	*	I
74.	Запишите следующие суммы с помощью знака S:
1	* t-2-Э + 2-3-4 + 3-4-5 + 4-5-6 ;
91 1	1 х 1	1 . L (-’Г-1 •
2	) ,“2?’+Зг-^ + "+—
75.	Запишите следующие иыражения я виде произведений:
11 ПйТГ 2’П(|-4); »>П£^г *)П*<
76.	Запишите следующие произведения с помощью аника II
>НН-
2. Метод математической индукции. Для доказательства мате-
матических утверждений, в формулировку которых входит произ-
вольное натуральное число п (например, таких, как «Для любо-
го натурального п справедливо равенство I 4- 2 4- — 4- п =
или «В любом выпуклом л-угольнике число диагоналей равно
31 »j _ часто применяют особый метод математических рас-
суждений, получивший название метода математической ин-
дукции. Вместо того чтобы сразу доказывать данное утвержде-
ние, которое мы обозначим P(n)t доказывают два утверждения:
сначала P(lj. т. е. справедливость данного утверждения при
п= I, а потом утверждение «для любого натурального числа k
из справедливости Р <k) вытекает справедливость Р(&4-1)>-
Из справедливости эти двух утверждений вытекает спра-
ведливость утверждения Р(л). В самом деле, поскольку' верно
Р(1), то верно и Р(14~1), т. е. Р(2) (иными словами, из спра-
4?
ведливости утверждения при л = 1 вытекает, что оно справедливо
и при /1 = 2). Далее из того, что Р (2) верно, следует, что верно
н Р (3), потом от Р (3) переходят к Р{4) и т. д. Ясно, что при
этом мы доберемся рано или поздно до любого натурального
числа л, а потому данное утверждение верно для всех п.
Пример |. Докажем, что для всех п справедлива форму-
ла (I) п. I.
Решение. При п = 1 левая часть этой формулы прини-
мает вид Р, т. е. равна 1. Правая же часть этой формулы при
л=1 принимает вид 1 и тоже равна ]. Значит, при п = 1
формула (1) п. 1 верна. Предположим теперь, что эта формула
верна при n~k, т. е. что верно равенство
p+23+.„+f—
Докажем, что тогда эта формула верна и при n = fe-|-l (каким
бы ни было Ь), т. е. что верно равенство
13 + 23 + ... + *э + (й+1)3= +	(2)
Для этого заметим, что левую часть доказываемого равенства
можно записать в виде (13-|-244-fed)Ч-I)3. Но ло пред-
fe2 I'feU- I)2
положению выражение в скобках равно —, и потому
p + 23-t-...4-f1+(fe + l)3=-F(*+iy +(fe+l)»=
И(А-НУ-Н1*+и3 = :Л+1Г	+	= <*-j-1 )* С* Ц-2j*
4	4	4
Значит, формула (1) п. 1 верна при п = |, а из ее справедли-
вости при n = k вытекает, что она верна и при zi = fe-|-( (каким
бы k ни было). В силу метода математической индукции отсюда
вытекает справедливость этой формулы для всех натуральных
значений п.
Таким же образом можно доказать известные из эосьми-
летнен школы формулы, касающиеся арифметической и геомет-
рической прогрессии. Например, формула для л-го члена арифме-
тической прогрессии
a„=Ch+d{n — I)	(3)
сразу следует из того, что если щ = Я| (6—I), то 0^4.1 =
= at, + d = а, -|- d (k — 1)+^ = й1 -\-dk = а\ -j-d - [(А 4- 11 1].
Аналогично доказывается формула для n-го члена геометри-
ческой прогрессии =
Докажем теперь справедливость формулы
в,4-дг+..-ю,=	(4)
для суммы первых п членов арифметической прогрессии. Эта
формула верна при л = 1, так как обе части равенства прини-
мают при л = ! значение о,. Пусть уже доказано, что
<11 + Й2 4-... + а» — *#¥1+ </(*-!))
2
Тогда имеем:
fli 4-°? + — 4-а»4-к!—‘^'к—Ш_ 4-oS4.j.
Но =Д| -\-kd, н потому имеем:
Q|4- Д?4-...4-Д*4-а*-и = -'-°'	(/?~l|J,:' 4-а.4-^ =
 2fea, +dk tk - । , + 2oi -f-2fed _ 2а, (A-i-lj+d* И)
2	~	2	“
(* 4-1)[2ai+^ (*+!-!)}
2
Итак, формула (4) верна при л=1 и из ее справедливости
при п — k вытекает, что она верна и прн л=й4-1. Значит,
эта формула верна при всех натуральных значениях п.
Формула для суммы первых п членов геометрической
прогрессии также легко доказывается методом математической
индукции. Эта формула имеет при <?#=! вид:
Прн л=1 она справедлива, поскольку S । =	=6Ь
Пусть формула (5) верна при n=k:
Тогда имеем:
4-^,/ =
—bt + biq*’*' —brf______6|/м —
<?-(	—	<7-1
Итак, формула (5) справедлива при п=1, а из ее справедли-
вости при n = k следует, что она верна и при п = ^4-1. Значит,
она имеет место при всех n£N.
Из формулы (5) следует, что
Папожив в этом равенстве Q — ~~> получаем, что
и потому
a“-' + a—2* + ...4-o"“‘i’i + -.. + *,'", = 7~ '
Отсюда следует полезное тождество
(6 — а)(«я-,4-...-{-ая-*Ь*+...Н-^_,)=Ьй—а".	(6)
Его частными случаями являются выведенные в курсе алгебры
девятилстней школы тождества:
(b—d){b-\-a)=b2—a2,	(6')
(6—а) (Ь2Ц-ад4-а2)=6э—а3.	(6")
Иногда при доказательствах утверждений методом математической индукции
удобнее нспользонать следующую формулировку этого метода:
Если утверждение Р(п) истинно при п=! и для любого k из его истин-
ности при всех n^k следует, что оно истинно к прн n = k+ I, то это утверждение
истинно для всех л.
В самом деле, обозначим через Q (k) утверждение: Р(п) истинно при л = 3.
2... fe. Тогда утверждения Р(|) н Q{1) совпадают, и потому в силу истиннос-
ти Р(1) истинно н Q(l). Далее, по условию из того, что Q(k) истинно (т. е.
Р(п) истинно при л=|, 2  fe), вытекает истинность + Но тогда
р(rt) истинно прн л=|. 2. £+U т. е- истинно Q(4-|-tX В силу принципа
математической индукции отсюда следует, что Q(«) истинно для всех п. Но тог-
да и Р(л) истинно для всех п.
Отметим еще. что иногда можно доказать истинность некоторого утвержде-
ния Р(п) при п^р. а из его истинности при n=h, где к**{>, вывести, что оно
истинно и при rt=*-f.l. Тогда получаем, что данное утверждение истинно для
всех л^р.
Упражнения
77. Докажите, что если (i4) геометрическая прогрессия со знаменателем у,
то Ь. =	.
78. Докажите, что для всех натуральных л выполнено равенство:
п (п +11 (2 л + 1)
6
П (rt 4~ 1
2
3) 1.2.3 + 2.3.4+...+л(п+0(л + 2)=-1-Я(Л_|.1}(л + 2)(В + 3);
j.	1 I t . I _________I__ n
 1-2	2-3	л (я 4-I) ~ n + l ’’
ri 1	,	1	,	, I	n
14 + 47 + “+ (Зл-2ЦЗп+1) ~ Зл + 1 1
6) -*L . JL . +____________i  ..	+
’ 1-3 + 3-5	(2л - l)(2rt 4 I) 2 (2л 4-I) ’
79. Произведение l-2-З-...-л обозначают л! (читают: <л-факториал») Дока-
жите. что
I • 114-2 - 2’4-Л . Л! =(Л 4- |)? _ |.
3. Доказательство тождеств и неравенств с помощью матема-
тической индукции. Метод математической индукции позволяет до-
казывать различные тождества и неравенства, одна или обе из
частей которых зависят от натурального числа п. Например,
для доказательства тождества ?4(л)=В(п) можно сначала
убедиться, что Л (|) = В(1), а потом доказать тождество Л (л + 1) —
—.4 (п)= В (л -|- |) — В (п). Тогда из истинности тождества
А(п)=В (п) при п = k будет следовать его истинность при n=kA~ I»
а так как оно истинно и при л = 1, то по принципу математи-
ческой индукции доказана его истинность при всех значени-
ях п.
Пример 1. Докажем, что для всех л выполняется тождество
=—=---1-------(- . -4- —
п+1	п-1-2 ^-1" 2л
Решение. Положим
л(Я)=1-4+...+ 5_^_^.
fi(„)=_u+...+ -L.
Нам надо доказать, что .4(п)=В(л) для всех п. Но Л(1)=1 —
—Т=Т'	« потому Л(1)=В(|).
Далее,
(k 4- 1)= 1 —- +2A_t — 24	2(4-|-Г| '
/КА)=1-±+...+ ^_Х.
R ff, I I \	1	| I	J	, I । I
‘	(*4-1)4-1 "Г•••"* !А4-1)4-(4-!) + {4-Н)+*	2(44-1) ’
в«=4т + Т77 + -+^-
46
Поэтому
л (* 4~ I(Л)= 2 (* + !)-! ~ 2^4-1)	2*4-1 ~ 2*4-2 =
I_____
(2*4-1) (2* 4-2) ’
В {k 4- 1) - В \.k) =^2Л4_| 4- 2(Л+1)	*4-1 = (2*4-1) <2* 4-2) '
Так как Л(1)^В(1) н А (Л 4. 1)— А (Л)=В (Л4- 1)-В (й), то по
сказанному выше тождество (I) истинно при всех значениях п.
В других случаях оказывается полезно разделить друг на
друга соответствующие части доказываемых тождеств.
Пример 2. Докажем тождество
Решение. При п = | левая часть доказываемого тождества
принимает вид I—а его правая часть — вид Поэтому
тождество истинно при я = 1. Запишем теперь это тождество
при ft = fe4-] и при n — k и разделим почленно получившиеся
равенства. Получим истинное равенство
] _	1	=	fe4~3	.	*4-2
(* + 21г	2(*4-2) ’ 2 (*4-1) ’
т. е.
(*+?)*-! = (*+!)(* 4-3)
(* + 2?	(*4-2?
Значит, данное тождество истинно для всех п.
Докажем с помощью метода математической индукции не-
равенство Бернулли.
Теорема I. Если х>—1, то для всех натуральных значе-
ний л выполняется неравенство
(14-х)п>1 + пх.	(2)
Доказательство. Прн п = 1 доказываемое неравенство
принимает вид 14-х^14~* н, очевидно, справедливо. Пред-
положим, что оно верно прн n=^k, т. е. что
(14-х)*>14-^-	(3)
Так как по условию х> —I, то 14-х>0, и потому неравен-
ство (3) не изменит смысла при умножении обеих его частей на
I 4-х:
(I 4-х)*+Х1 4-йх)(14-ж)=14-(>4-1)х4-*Л	(4)
Так как	то из (4) получаем, что
(1+хГ'>14-(*-Н)<-
Итак, неравенство (2) верно при л = |, а из его истинности
при n = k следует, что оно истинно и при л = 6 4-1. Значит,
в силу математической индукции оно имеет место для всех «ЕЛ'-
Например, из (2) следует, что
|,005*°°=(1 +0,005)2W> I -f-2OU-O,OO5=2,
О.994,о=(| -0,006Г> 1-10-0,006 = 0.94.
Упражнения
ЙО. Последовательность чисел д0. <ц. а„, ... соетлаляется по следующему
.чакону: Первый два числа а, и а, даны, каждое же следующее равно
полусумме двух предыдущих. Докажите, что
а.= **±* +<_,г
.1	._>• z
81.	’iHfjja последовательности «(, а2. ав, ... определяются следующими усло-
виями: л, 2, u„ = 3e„_,4- I. Докажите, что
а„	’-IX
82.	Пусть последовательность а5. а?...а,. ... задана следующими условиями:
о	л 4-2	•
о, =2 и а„«.| =—-— ал. Докажите, что
п
ad = n(n + \).
83.	Пусть члены последовательности связаны зависимостью
ал । । 2й„-|-а, |=*0.
Докажите, что если а, =5 и а2 7, то а„=2п |-3.
М. Пусть пары чисел (a, b), (a,. frt).(а,, £„}. ... образуются но закону
□ + *>	a,4-t>	ал	МЛ-1
а, =—2“ ,	=-'2—..... °-	=---2----’ Ья =---2---’
Докажите, что
^ = «4-|(Ь-^(г-^) . Л = а+А(Ь_в)(|+_1_^ .
85. Докажите тождества:
11 t^-2 + т-т + +	 dr +- +^-2Ггг
3) (1+х)П I *')(! +*4)- -(l+?”') = l f ж +хг + хэ + ...+х*‘-’.
84. Носл^диаателеность Фибоначчи определяется следующими условиями:
Д|= U, О1 1, u,»i =а* i a,_|.
Докажите, что имеют место следующие, соотношения:
I) »2 -	4-... 4- и, 1;	2) и-?* 12 =oi 4-п>4-... 4"^+и
3)	11 14-^4-°* f — 4-oz*; 4)	41 = a? h di 4----4-<&
S) a,flan+J —а^1Л |з=(—IT; 6) aii—।If*
87. Пйследокатглыюсть ззднна условием:
«1 = М.
Докожмте, что для всех	им 14-м: ая'^гая t  •
8Я. Послгдййательностъ задана условней:
Oo=Q. a.+ i ^у/2+ив.
Докажите. что для всех имеем: ал^ал+1.
89, Докажите неравенства для n£N:
t) 2°>л; 2) 2*>2д+1 при п>3;	3) 2*>п3 при п >10
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. Канонический вид целых рациональных выражений. В п. 1
§ I мы ввели несколько классов выражений. Каждое из этих
выражений тождественно равно бесконечному множеству выра-
жений, принадлежащих тому же классу. Например, целое рацио-
нал иное выражение х?4-З^2 тождественно равно целым рациональ-
ным выражениям 2х2-|- 5/ — х? — 2у7, х2 -f- Зу?—z1и г. д. В
этом пункте мы рассмотрим вопрос о выборе из всей этом сово-
купности тождественно равных друг другу выражений какого-
либо одного. Введем следующее определение.
Определение. Запись выражения данного класса называют
канонической, если каждое выражение из этого класса тождест-
венно равно одному и только одному выражению, имеющему кано-
ническую запись.
Из этого определения вытекает, что два выражения данного
класса тождественно равны в том и только в том случае, если
их канонические записи совпадают. Канонические записи могут
выбираться различными способами э зависимости от поставлен-
ных целен. Обычно требуют, чтобы они были достаточно удобны
для вычисления значений выражений, поскольку одной из важней-
ших целен тождественных преобразований является приведение
выражений к виду, более удобному для нахождения их число-
вых значений.
Теорема t. Любой целый одночлен от х тождественно равен
либо числу, либо одночлену вида ах*. где и n£N.
Доказательство. Докажем теорему на основании опре-
деления | п. 5. Она справедлива для всех чисел н для одно-
члена х, который записывается в виде 1-х. Предположим, что
теорема справедлива для одночленов А (х) и В (х). Тогда каждый
из них либо является числом, либо тождественно равен одночлену
указанного вида, т. е. А (х)=ахт, В (х) = Ьхя. Если А (х) к В (х) —
числа, то их произведение тоже число. Если А (х)==а, В (х)=Ьхл,
то А (х)-В (x^a-bx^tab)*'1. Наконец, если А (х) = ах'л н Bix) —
=bxn, то
А (х) В (x')=axm bxn—ab-x‘* -xn = abx'
(О
Во всех случаях получается либо число, либо одночлен указан-
ного вида. Теорема доказана.
Теорема 2. Одночлены ах*\ а^О и bxn, £>у=0 тождественна
равны в том и только в том случае, когда а = Ь и т = п. Одночлен
ахп тождественно равен нулю в том и только в том случае,
когда a = Q.
Доказательство. Пусть	и при всех зна-
чениях х имеем: ах* = Ьх\ Полагая х—I, получаем, что а = Ь.
Поскольку а и b отличны от нуля, выводим, что хт = х". Полагая
х = 2, получаем равенство 2Л!=2'1, из которого следует, что гп =
— п (при пКп имели бы 2'п<2'’, а при т>л * имели бы
2/n2>2R). Итак, из axm = bxn, а^ьО, Ь-^0 следует, что а = Ь и
ш=п. Если же 0X^ = 0 для всех х, то прн х=1 получаем:
а=0.
В дальнейшем будем любой одночлен вида 0-хл заменять
на 0.
Из теорем 1 и 2 вытекает, что канонической записью для
целых одночленов от х является ахл, где а ЕЯ. п Е ^U|0}, причем
а=#*0, если п^=0.
Теорема 3. Любое целое рациональное выражение от х тож-
дественно равно выражению вида
алхп-\-ап~1Хп~' +□<>,	(2)
где ап. «л_ь .... «л — некоторые числа и ал^=П.
Доказательство. Теорема верна для чисел и для вы-
ражения х. Пусть она верна для выражений 4 (х) и В (х), т. е. пусть
4 (х)=мч4..-4«о и В (х}—Ьлхл 4-... 4- Ьу.
Тогда 4 (х)4- В (г)=(amxm +... 4-aD) 4(bnxn +... 4- *0).
Если, например, т^п, то
А (х)+В (х) ={а„ 4 Г 4-...+(ао 4- М	(3)
где считают, что Ь$=0 при s>n. Поэтому утверждение верно
для 4 (х)4- В (х).
Далее, имеем:
А (х) В (х) =(аЛхт 4- _ tx^1 -14-... 4- а0)X
Х(М"4-&л_|Х,’-,4-...4'Ьо).	(4)
Применяя тождество 5) п. 2 и правило умножения одночленов
(см. равенство (I)), получаем после группировки членов равен-
ство
4(х)В(х)=2 с5х\	(5)
где	«=°
сл=afbD 4 os_i^i 4"... 4'<3o^s	(6}
(здесь п5 = 0, если s>m и frx = 0, если s>n).
кл
Итак, теорема справедлива для чисел и для х, а из ее спра-
ведливости для А (х'\ и В{х) вытекает, что она имеет место для
А (х)+В (х) и А (х) В (х). Значит, она верна для всех целых рацио-
нальных выражений.
В дальнейшем выражения вида (2) будем называть многочле-
нами от х степени п. В частности, числа — многочлены нулевой
степени (при этом удобно считать, что число 0 — многочлен, не
имеющий степени). Слагаемое алхп называют старшим членом
многочлена апхп 4-... -f а слагаемое — его свободным членом.
Из равенства (5) следует, что старший член произведения
двух многочленов равен произведению старших членов множите-
лей. а свободный член произведения равен произведению сво-
бодных членов множителей. Отсюда следует, что степень произве-
дения двух многочленов равна сумме степеней множителей.
При сложении многочленов одинаковой степени может полу-
читься многочлен меньшей степени. Например,
(Зх* -2х2 -х +1)+(-Зх‘+х2 + 8) = - х2 - л + 9-
Но при сложении многочленов различных степеней всегда полу-
чается многочлен, степень которого равна большей из степеней
слагаемых. Например,
(3x'-2x2-x+1)+(6x2+7)=3x’4-4xs-x+8.
Рассмотрим теперь вопрос об условиях тождественного равен-
ства двух многочленов. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 4. Если хотя бы один коэффициент многочлена Р(х)
отличен от нуля, то найдется число b такое, что Р (6)#=0
(т. е. этот многочлен не равен тождественно нулю).
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что многочлен Р (х)
имеет вид: on.c'4-tjrt IXя’14-..- + аа. где «п отлично от нуля. Если п = 0. то
многочлен имеет вид: P(x)=a<i, причем йп^О, н потому все значения Р{х\
равны аи и отличны от нуля. Если же л#=0, то Р {*) можно представить в
виде
Р{х}=а^
Прн достаточно большом значении х все слагаемые в скобке, за исключе-
нием первого, малы, и потому найдется такое число Ь, что выполняются не-
равенства
|±_д| <_L_	1^1 <_L_
I аЛ I л + ! ....... । a,? I rt+!
(для этого достаточно выбрать в качестве b большее из чисел I и ——;— .
где ,'tf — наибольшее из чисел |а„ ,1. Ia<il).
Si
Нр тогда ныеем:
|₽(»)| = !□.»> || + ^1+...+ Л1г| >
1	I I^’l
л раз
н потому Р(Ь}=£0. Теорема доказана.
Следствие I. Если многочлен Р(х) тождественно равен нулю
(т. е. принимает нулевое значение для всех значений х), то все его
коэффициенты равны нулю.
Доказательство. Если бы хоть один коэффициент мно-
гочлена Р (х) был отличен от нуля, то по теореме 4 нашлось бы зна-
чение Ь, при котором Р{6)5»ь0, а это противоречит условию.
Полученное противоречие доказывает, что сделанное предположе-
ние неверно, т. е. что все коэффициенты многочлена Р (х) равны
нулю.
Следствие 2. Если многочлены Р(х) и Q (х) тождественно
равны, то они совпадают (т. е. их коэффициенты при соответст-
вующих степенях одинаковы).
Для доказательства достаточно применить следствие I к раз-
ности P(x)—Q{x) этих многочленов. Она по условию тождест-
венно равна нулю, а потому все ее коэффициенты равны нулю. Это
может иметь место, лишь когда Р(х) и Q (х) — одни и тот же
многочлен.
Теорема 3 и следствие 2 к теореме 4 доказывают, что кано-
нической записью для целых рациональных выражений от одного
переменного являются многочлены.
Пример I. Докажем тождество
(л24-1)э-3(х2~х4-1)2-1-6х (х-1)+ 11	+ 3)?.
Решение. Имеем:
(х’-|-1)5-3(х2-х+1/+6х(х-|)Ч-| |=хе-|-зг-)-Зх5 +
+ I -Зхч-Зх2-3-+-6х3-бх2-|-6х4-6х2-6х4 11 =
= хб+6х* + 9
и
(х!* + 3)*=ж64-6;г' + 9.
Так как в обоих случаях получили один и тот же многочлен, а
именно х*4-6х34-9. то тождество доказано.
Как отмечалось выше, для данного класса выражений можно
по-разному выбирать канонические записи. Для целых рацио-
нальных выражений в качестве таких записей наряду с многочле
нами принимают н записи вида
+а,_ ,)х 4-йя_2)х-Ь 4- <Ji) х 4- а0.
52
Они более удобны для составлений программ вычисления их
значений на микрокалькуляторе, так как позволяют искать
эти значения лишь один раз, введя в память микрокалькулятора
значение аргумента.
Упражнен ия
94J- Докажите, что (х + а) {г + 2а) (х 43а)(г4-4а)4 а* есть полный квадрат.
91.	Докажите тождества:
I)	(х-Пи+ l)(x‘-z+J)(?4-x + D-x»-l:
2)	1 + х* = (| 4ху24-г')(|-х у'г + х2);
3)	ли-|={х-])(х+1)(ха4-П(^ + *^+1)(х,-х^+1Х
Й2. Упростите выражение: (х?4-2х — ]> (л2 — 2х — 1) (х4 — 6x^4 I).
2.	Деление многочлена с остатком. В отличие от операций сло-
жения и умножения многочленов операция деления многочлена
на многочлен выполнима не всегда. Иными словами, если за-
даны многочлены А (х) и В (х), то не всегда найдется такой мно-
гочлен Q (х), что А (х) = В (х) Q (х).
Пример I. Докажем, что многочлен x2-f- 1 не делится на
х — I.
Решение. Предположим, что х24-1 =(* — !)• Q (х), где
Q (х)— некоторый многочлен. Тогда при замене х любым числом
должно получиться верное чистовое равенство. Но прн х— I
получаем: 1^4-1 =(| — l)«Q (1)=0, что неверно.
Таким образом, в отношении выполнимости операций мно-
жество многочленов больше напоминает множество целых чисел,
чем множество рациональных или действительных чисел. Но так
же как и для множества целых чисел, в совокупности многочле-
нов с действительными коэффициентами определена операция
деления с остатком.
Теорема 1. Пусть А (х) и В {х] — многочлены от х с дей-
ствительными коэффициентами, причем В (х)' не является нуле-
вым многочленом. Тогда существуют такие многочлены Q (х) и
R (х), что
Л(х) = В(х)0(х)4-/?(х),	(1)
причем степень многочлена R\x] меньше степени многочлена
В (х) (или R (х) — нулевой многочлен).
Многочлены Q (х) н /? (х), обладающие указанными выше свой-
ствами, называют соответственно неполным частным (или част-
ным, если /?(х) — нулевой многочлен) и остатком при делении
.4 (х) на В (х).
Доказательство. Обозначим через п степень многочле-
на Л (х), а через m — многочлена В(х), зафиксируем m и про-
ведем доказательство с помощью математической индукции по п.
При п<т теорема верна — достаточно положить Q(x)=0,
R (x)=A {x). Пусть она доказана для всех n<k. где k^m.
Чтобы
доказать ее при n = k, достаточно доказать возможность представ
ления любого одночлена ах* в виде Qi (х) В (х)4- Rt (х), тд<
степень R} (х) меньше чем k. Но если В (х)=дгяхп' + ... 4-д0, Ьт=£0
то1 ах*=^-х* * В (х) + Я| (х), где Ri (х) = дх* — у- хк~т В (х).
При этом степень R\ (х) меньше, чем k, так как старшие члены
в ах*—~-х* т В (х) приводятся к нулю.
"ЛТ
Итак, теорема справедлива для всех п<т, а из ее спра
ведливости при следует, что она справедлива для n = k. Нс
тогда она справедлива для всех п.
При выполнении деления многочлена на многочлен часто бы
вает удобно применять так называемый метод неопределенных
коэффициентов. Покажем его применение на следующем при
мере:
Пример 2. Разделим с остатком многочлен А (х)=2х6 —
—Зх4 —• 5х3 4-х — 6 на многочлен В (х)=х4 4-Зхэ4~5-
Решение. Надо найти такие многочлены Q (х) и R (х), что
2х® —Зх4 — 5х34-х — 6 = (х44-Зх3 4"5)• (х)4-(х),	(2)
причем степень R (х) меньше степени В (х)> т. е. не больше,
чем 3.
Из того, что степень
произведения многочленов равна
сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q (х) равна
6—4 = 2. Таким образом, хотя мы нс знаем многочленов Q(x) н
R (х), их степени нам известны. Но многочлен второй степени
имеет вид:
Q(xj = <?2x2 + <71x4-c?o>
а многочлен третьей степени — вид:
R (х)=пх3 4- г2х2 4- Г| х 4- г0.
Подставляя эти выражения вместо О (х) и R (х) в (2), по-
лучаем: 2хб — Зх4 — 5х3 4- х — б == (г1 + Зх’ 4- 5) (q^x* 4-^ix4-<?o)4-
4-гзХ34-Г2Х24-Г|Х-|-Го. Если э правой части этого равенства рас-
крыть скобки н привести подобные члены, то получим, что
2Х6 — Зх4 — 5х3 4~ х — 6=q-зх^ 4" (<? । 4-	4- (<7о 4- 3g । )х4 4-
4- ('э 4- З?о)х3 4- (''2 4- ЭДх2+(г! 5?, )х 4- г0 4-
Это равенство должно выполняться при всех значениях х. Но
если два многочлена тождественно равны, то их коэффициенты
при одинаковых степенях х совпадают. Отсюда пап у чаем для
отыскания неизвестных коэффициентов q2, q\, q0,	r2, n, г о
следующую систему уравнений:
 При ft — m считаем х* *=1.

4а = 2,	п + 3ф>₽—5,
ф -Ь 342 = 0,	Г2 + б$2 = 0,
4л 4- 341 = — 3,	г । -р 041 = 1,
ro4-S<7o*= — 0.
Из первого равенства получаем, что 42=2. Подставляя это
значение во второе равенство, находим значение qi = — 6. Точно
гак же из третьего равенства получаем: 4^=15. Значит, Q(x) =
= 2хг—6x4-15. Теперь из четвертого равенства получаем: гд=
=—50 и далее находим: г2=—Ю. rf=31, гп= — 81, значит,
R(x}=* — 50г5— |0х*4-31х—81.
В общем случае тоже получается система уравнений для отыс-
кания коэффициентов многочленов Q (х) н R (х), которая решается
столь же просто: сначала один за другим находим коэффициенты
многочлена Q{x), а потом многочлена А’ (х). При этом получа-
ющиеся уравнения не только достаточны, но н необходимы для
выполнения равенства (1), и потому многочлены Q(x) и R {х}
однозначно определены.
Вместо выписывания системы уравнений применяют запись
деления «уголком», аналогичную записи при делении чисел. Тот
же пример решается при этом следующим образом:
2х*—0-х5—Зх4 -5х* 4-0-х24-х—6 I х/-±3*4 + 5 -
~2хс4-6хд 4-1 О**’ 2хг-b*4-15
-бх5 -Зх4 —5х3 -10х24-х —6
~ -6х* — 18х<_____________— ЗОх
15х*—5х3 -10х*4-31х-6
15х*4-45х3___________4-75
_ 50г3 — IOxJ4-3lx—81
Зиме чайке. Вообще метод неопределенных коэффициентов заключается
в том. что. когда известен нид искомых многочленов, но неизвестны их коэф-
фициенты. заменяют в исследуемом тождестве эти многочлены их записью с
неопределенными коэффициентами, приводят обе части равенства к кэнаническо-
му инду, после чего сравнивают слеяа к справа коэффициенты при одинако-
вых степенях .г. Это дает систему уравнений, позволяющую найти искомые коэф-
фициенты.
Упражнения
93. Проведите деление с остатком:
I) х3 _6.г' + 2х? — 4 па .г — х+ Г. 2) к7— I нах^+х фГ,
3) /фх2+1 на хф5;	4) х4 — 64 ня х — 3.
94. При каком значении k выполняется без остатка деление
х:' + бх2 + Ьх + 12 на X4 4?
95. Делитсн ли многочлен /-|-Зх44-4х’ —2х? —5х 5 без остатка на Xй—3x4-2?
96. При каких значения* а н b выполняется без остатка деление х^Зх’ —
— 2хг + ах | b на .г— 3x4-2?
3.	Теорема Безу. Корни многочлена. Остановимся на делении
многочлена Р(х) на двучлен х —а. Так как степень двучлена
х —а равна 1, то степень остатка должна быть меньше 1. Ины-
ми словами, при делении Р (х) на х —а в остатке может полу-
читься лишь некоторое число г (если г = 0, то деление выполня-
ется без остатка):
P(x)=(x-a)Q(x)4-r.	(1)
Чтобы найти значение г, положим r тождестве (1) х = а. Прн
этом двучлен х — сь обращается в нуль, получаем, что Р(а)=г.
Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.
Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена Р (к) на
двучлен х — а равен Р (а) (т. е. значению Р (х) при х = а).
Пример 1. Докажем, что х1 — 6х34-7x4- 18 делится без
остатка на х — 2.
Решение. Подставляя в х4 — 6/’ 4- 7х 4-18 вместо х значе-
ние 2. получаем: 24 — 6-2а 4-7-2 4- I8, т. е.нуль.
Пример 2. Найдем остаток от деления хя-\-ап из хЦ-а.
Решение. В данном случае вместо г надо подставить — а.
Получаем (—а)л-|~дл. Это выражение равно нулю, если п не-
четно, и равно 2а'4. если п четно. Значит, x’-j-a" делится без
остатка па х-ра лишь в случае, когда п нечетно.
Определение 1. Число а называют корнем многочле-
на Р(х), если р(а) = 0 (т. е. если а — корень уравнения Р(х)^=
= 0).
Если многочлен Р(х) делится на х — а, то а — корень этого
многочлена. В самом деле, Р (х) = (х — a)Q (х), и потому Р(«)=
= (а—a)Q (a)=U.
Справедливо и обратное утверждение. Оно вытекает из дока-
занной выше теоремы Безу.
Теорема 2. Если число а является корнем многочлена Р (х),
то этот многочлен делится на х—а без остатка.
Доказательство. Но теореме Безу остаток от деления
Р (х) на х—а равен Р(а), а по условию Р(а)=0.
Отсюда видно, что задача решения уравнения Р(х) = 0 рав-
носильна задаче выделения делителей многочлена Р, имеющих
первую степень (так называемых линейных делителей).
Обобщением теоремы 2 является утверждение.
Теорема 3. Если многочлен Р (х) имеет попарно различные
корни <Х|, а2. ап, то он делится без остатка на произведение
(х — ау)...(х — а,).
Доказательство. Проведем доказательство с помощью
математической индукции по числу корней. При п — 1 утверждение
доказано в теореме 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда
число корней ранно А, и пусть Р(х) имеет k4-1 попарно раз-
личных корней: «Х|, а?, .... at, а*<.|. По предположению индукции
многочлен делится на произведение (х —а,)...(х —ak):
Р (*) = (х - ai)...(х — « j Q (х).
При этом Gt>+| — корень многочлена Р (х). т. е. Р (а* _*.,)*= О.
Значит, подставляя а*+| вместо х, получаем верное равенство
Р (a*+i)=(at <-1 — ai)...(a4+i — a*) Q (a*+1)=0.
}To tx*+i по условию отлично от чисел ai, .... afe, и потому ни одно
из чисел ад + |—<Х|, ....	— ак не равно нулю. Значит, нулю
равно (?(afc4.i ), т. е. а* н — корень многочлена Q(x), В силу
теоремы 2 отсюда следует, что Q (х) делится на х — ai4_i без
остатка, Q (х)=(х—ah + i)Qi (х), н потому P(x)=(x — rzi)...(x —
—	(x)=-i(x —ai)...(x ——ajkf-OQi (х). Это н значит, что
Р (х) делится на (х — ai)...(x — ctk^-i). Итак, доказано, что теорема
верна при fe=l, а из ее справедливости при n = k выте-
кает, что она верна и при п = &4-1. Значит, теорема верпа прн
любом числе корней.
Следствие. Многочлен степени п имеет не более п различных
корней.
Доказательство. Если бы многочлен Р(х) степени л
имел корпи a....... ая + 1, то он делился бы на произведение
(х —ai)...(x —аЯ|.|), имеющее степень л 4-1, что невозможно.
Пусть многочлен Р(х) степени п имеет п различных корней
аь ..., а„. Тогда он делится без остатка на произведение
(х —a»)...(x —а„), имеющее также степень п. Поэтому частным
является некоторое число Ь. Итак,
Р(х)=алхЛ + а„ и”1 + ... +«а = 6 (х — ai)...(x — a„).	(2)
Если раскрыть скобки в правой части равенства и сравнить
коэффициенты при старших членах, то получим: cin = b. Значит,
a„xn-|-an_ixn"1 + ... + ап = «л(х —ai)...(x —ая).	(2*)
Сравнивая остальные коэффициенты при одинаковых степенях х
слева и справа, получим соотношения между коэффициентами
уравнения и его корнями, носящие название формул Виета.
При п = 2 имеем:
a|J-a2=-----, «10.2=—,
fl?	а?
а При п=3
а,
O5i4-a2_|_a3=- —,
CL|«2 4-<X|O.j 4-a^i = ‘^L •
Ос
a,a2a3=------
Выполнение таких равенств необходимо и достаточно для того,
чтобы числа «|, .... art были корнями многочлена Р (х) = апхл +
4*--.4-До.
Если многочлен Р (х) делится без остатка на (х-a)*, но нс
делится без остатка на (х — а/4-1, то говорят, что число а
является корнем кратности k для Р (х). Например, прн раЗвертыва-
А7
нии выражения (л-4-4)2 (х—5)3 (х-4* I)(л--4-2) получаем многочлен
Р(х), для которого число —4 — корень кратности два, число 5 —
корень кратности три, а —I я — 2 — корни кратности один.
Формулы Виста сохраняют силу и при наличии кратных корней,
но в этом случае надо каждый корень писать столько раз, какова
его кратность. Например, если многочлен ах2 + Ьх±с имеет
корень а кратности два, то 2а = —у и а*=р
Пример. Составим квадратное уравнение, корнями которого
являются квадраты корней уравнения х2 — 6х-4-4—0.
Решение. Обозначим корня уравнения х2 — 6х-4-4=О че-
рез X) и Х2- Тогда корнями искомого уравнения должны быть
числа i/i =Х( и 1/2—х2. Значит, это уравнение имеет вид: х* +
-4-рх -Н = °,
Р = — (!/' 4-1/2)= —(х?+л$)= —[(X) -4-х2)2-2х1х2],
4 = </11/2 = Х| х । = (х । х2)2.
Но по формулам Виета имеем: Х|+х2 = 6 и x,-x2 —4.
Отсюда находим, что q — (xyXij2 = 4‘ = 16, а
р= —[(Xi -4-х2)2— 2x,xJ= — (62 — 2-4)= —28.
Итак, искомое уравнение имеет вид: х'2—28x4* 16=0.
Упражнения
97.	Найдите остаток лрн делении многочлена ,се—4х* 4.x3 — 2х2-|-5 ка x-j-3.
98.	Чему равен коэффициент а, если остаток от деления многочлена х4—ах3-^
4-4хг —х-|-I на х—2 равен 7?
99.	Докажите, что многочлен х2*+о*п прн не делится ни на ж—а, нм на
*+
!00. Докажите, что многочлен xn+l4-ai‘‘t‘l делится без остатка на ж 4-а.
!01. Дежа жите теорему Безу с номошью тождества (6) п. 2 | 2.
!02. Разложите на множители:
1)	/-!; 2} ?-1; 3} /-!3x2 + 8J; <) х|4-2х*+1:
5) г+х'-х’-!; 6) /4-2х3-2х-(; 7) х‘ + г2+1:
8) ?4-324; 9) х«+4х*-5; !0) 4х«4-5х’+!;
Il)	х‘—(! Ф^лтц-йЛ; J2) ? 4-х4 4-1;
13) 2/ + хэ4-4х*4-х4-2; Н) /4-Зг1 + 4х'-б-v-12.
!5) |X24-x-|-3)ix’ + x4-4)—12; 16) (х2 )-х —!)*4-Зл(х*4-х-1)4-2Н;
|7) 2(x14-2x-|),4-5{xa4-2t-l)(xs4-l)4-2(xa4.1f;
18) х (х3 — а3) 4- ах (jr — а2) 4- а3 (х—а).
103. Напншите формулы Виета прн д=1.
|СИ. I) Составьте кубический многочлен, имеющий корни 7. —2 и 3 и старший
коэффициент 5.
2) Составите кубический многочлен, корни которого равны квадратам кор-
ней многочлена х3— fa24-Нх— 6.
58
I OS. Какую кратность имеет корень 2 для многочлена
Р (Л) = г1 - 5х4 + 7г3 -2Н-+- 4х- 8?
i(Nj. Какую кратность имеет корень 5 для многочлена
/>й}=х$-15х*4-7&г_	+	—125?
|О7. Определите а н b так, чтобы —2 было корнем многочлена P(x)>*Z-4-
+az- + bx !. имеющим по крайней мере кратность два.
108. Составьте кубический многочлен, нмеюшнй корень 4 кратности два и ко-
рень — 2.
109. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням
уравнении лг — 7х 4. 1 = I).
ЦО. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравне-
ния Зх2 — I Ох 4-4=0.
!11. Составьте квадратное уравнение, корнями которого валяются квадраты
корней урааиспня х2 + 8х-4-2=О.
4. Тождественное равенства рациональных выражений. Ра-
(Ц □_ I} г v _ 31
цнональное выражение '	•*—— определено всюду, кроме то -
(X—(х + л,
чек х,=3 и ха=—3. Сократив дробь на х—3, получим рацио-
нальное выражение , которое определено всюду, кроме
точки х= — 3, а умножив числитель и знаменатель дроби на
л-}-4, получим выражение ‘‘,Хс2~з>'(х+у,> + 4) ’ котоРое °пРеде’
л ено всюду, кроме точек *i —3, х2= —3 и х? = — 4. В точка,х же,
отличных от 3, — 3, —4, все три выражения принимают одина-
ковые значения. Такие выражения называют тождественно рав-
ными в их общей области существования.
Определение /. Рациональные выражения А(х) н В (х),
имеющие непустые области существования, называют тождест-
венно равными в общей области существования, если равенство
А(х)=В(х) выполняется для всех значений х, при которых как
А (х), так и В (х) имеет числовое значение.
Мы будем писать в этом случае А(х}==В(х), хотя следует
всегда помнить, что могут существовать значения х, при которых
одно из выражений имеет числовое значение, а второе его нс имеет.
Как обычно, замену рационального выражения тождественно
равным ему (в общей области существования) выражением на-
зывают тождественным преобразованием этого выражения. Для
рациональных выражений остаются r силе формулы тождест-
венных преобразований, указанные в л. 2 § I. Кроме того, в
точках, где А отлично от нуля, верно тождество
п ,14 = !.
Укажем дальнейшие формулы тождественных преобразований
рациональных выражений:
л С _ АР]-ВС .
В "* D — ВР ’
оЧ Л С _ АС .
В ' D BD ’
А_. £= ЛР_ .
7 Б ’ D ВС ’
5> > =4 с*°‘
8)	4^’ п>т.
Отметим еще. что ори приведении к нулю подобных членов
может измениться область определения рационального выраже-
ния. Например, выражения 2*4-—----------Ц- и 2* тождественно
равны для всех х, кроме *=4, поскольку при г = 4 первое выра-
жение не имеет числового значения, а второе его имеет.
Упражнения
112. Сократите дроби:
|)	4’• 2)
S)
х* — х?— 12
7+8/+ 15":
7 + 8“ ; 4> (Г
2/ + 7/+6
' з*Ч з&2-с ’
—х
ИЗ. Упростите выражения:
I J
2х
Ах3
8/
I — х J+x I + х- !+л 1+Г
а1-их_________2/	/	т-1 х
/х+r1	х^—их^А-^х—и')	а	~7
/+/
2а2+?3ож-2хг
1 2« + x^«—2х
2л—х+а + 2х
I И. Докажите, что если з=о + -^-.та	=/(/-4)4-2.
5. Каноническая форма рациональных выражений. Докажем
следующую теорему:
Теорема I. Любое рациональное выражение либо имеет чис-
ловое значение для всех х, за исключением конечного множества,
либо не имеет числового значения ни для одного значения пере-
менной х. В первом случае оно равно в своей области существо-
вания выражению вида
amx-* + a--j-E*1-1 4- +Оа
Й,/ + Ля_4х’ '+- + «’»
(И
где йлг^О, Ьп=£0.
6U
Доказательство. Теорема очевидным образом справед-
лива для чисел и для переменной х. В силу определения 3 п. I § I
достаточно доказать, что если она справедлива для выражений
А (х) и В (х), то она верна н для выражений А (х) +В (х), А (х)Х
Хв(х)к^-.
Это делается очевидным образом на основании
равенств 2), 3), 4) л. 4.
Из теоремы I и определения п. 4 следует, что два рациональ-
ных выражения от х тождественно равны, ест и они принимают
одинаковые значения всюду, кроме конечного числа точек. Кано-
ническим видом для рациональных выражений является
-£**•' , где Р (к) и Q (х) — многочлены от х, причем дробь несокра-
тима, а старший коэффициент многочлена Q (х) равен 1.
Пример 1. Приведем к каноническому виду рациональное
выражение
/ I_________I, 4у!—1 \ . 25-х2
V 2х-!	2z4 I ’ 3z + 2 ) * №44 ’
Решение. Имеем:
I________I . 4л-2-I _ I_________1.2х- Г) (2*4 I) .
2х —!	2x41 ’ 3x42	2х—I	(2x4 ЩЗх+2)
_!_____2х-1 _ 3x4 2—(2х — 1)2 _ -4№47х41
2х~!	3x42	(2х-|)(Зх + 2) бх*4х—2 ’
—4хг47х+ 1 . 25—№ _ [ха44}|'—4ха 4-7x4 1) _
6?+х-2 ’ х* 4 4	(6хг 4 х -21 (25 - х2)
_2 4_?_ 4 _5 • 14 • 2
-4№47№-15№+2ах44 _ 3	6 +2 Т* 3
_6№-г’ + !52а?425х-50	<	1 -,_76 г 25	25
х-’_бг зх 6Х+Э
Упражнения
Приведите х каноническому виду рациональные выражения:
. х-1		!—х ,, 1-ж+? +	1 4х	, , 14-» ,, !+га
I)	«+1		1 Ц-х4х’ .	
	Х4!	_L±£_ 14Х4Х2	1 —х 1 -х4х*	1 -3’
				1	, 1+* ’
				
				
№-(x-lf	№{x-!}s-j
4> (^4 !)=_№ + Р (ж4 17-Т + х1-(73.1)»
6!
§ А. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.	Уравнения, тождества, неравенства. В девятилетней школе
были рассмотрены различные уравнения и неравенства — ли-
нейные, квадратные, биквадратные. В общем виде понятие урав-
нения с одной переменной определяется следующим образом.
Определение 1. Равенство вида А{х) = В(х), где А (х)
и S (х) — выражения от х, называют уравнением с переменной
х. Множество Т значений х, при подстановке которых в урав-
некие получается истинное числовое равенство, называют мно-
жеством истинности или решением данного уравнения, а каждое
такое значение переменной — корнем уравнения.
Пример I, Равенство (х —4) (х4-2) (х —6) = 0 выполняется
в том н только в том случае, когда х принимает одно из значений
— 2, 4, 6. Поэтому решением уравнения (х — 4}(x-j-2)(x — 6)=0
является множество { — 2; 4; 6). Числа — 2, 4, 6 — корни дан-
ного уравнения. Ответ записывается также в виде Х| = —2,
х? = 4, Хз = 6.
Пример 2. Равенство х = |х| выполняется для всех неотри-
цательных значений х. Поэтому решением уравнения х=1х|
является полуось [0; 4- «?). Каждое неотрицательное число —
корень данного уравнения.
Пример 3. Ни для одного числа х не выполняется ра-
венство х2-|-1=0. Поэтому уравнение х2-{-1=0 не имеет
корней.
Понятие неравенства с одной переменной определяют анало-
гично понятию уравнения.
Определение 2. Соотношения А (х)с В (х), А (х)> В (х),
А(х)^В(х), Л(х)>В{х), где А (х) и В (х) — выражения от х,
называют неравенствами с переменной х. Множество Т зна-
чений х, при подстановке которых в неравенство получается
истинное числовое неравенство, называют множеством истинности
или решением данного неравенства.
В отличие от уравнений понятие корня для неравенств не
вводится.
Пример 1. Неравенство Зх—12^0 выполняется для тех
значений х, при которых х>4. Его решением является луч
[4:4-00).
Пример 2. Неравенство х2^0 выполняется для всех зна-
чений х. Его решением является вся числовая ось, оно тожде-
ственно выполняется на ft.
Пример 3. Неравенство х2<0 не выполняется ни для од-
ного значения х. Его решение — пустое множество.
2.	Равносильные уравнения и неравенства. В процессе реше-
ния уравнении и неравенств их заменяют другими, имеющими те
же решения, что и исходные. Получаемые таким путем уравне-
ния и неравенства называют равносильными заданным.
62
Определение /. Уравнение Аi (х) = В। (х) равносильно
уравнению А? (х)=В2 (х). если их решения совпадают (каждый
корень первого уравнения является корнем второго и. обратно,
каждый корень второго уравнения удовлетворяет первому).
В частности, равносильны любые два уравнения с пустым
множеством решений.
Понятие равносильности неравенств определяется аналогично.
Чтобы установить, какие уравнения (соответственно неравен-
ства} равносильны друг другу, используют теоремы о равносиль-
ности уравнений и неравенств, вытекающие из известных свойств
числовых равенств и неравенств.
Очевидно, что равносильны неравенства А(х}<_В{х) и
В(х)>Л (х); если .4 (а)<В(сь), то В (а)>Д (а), и обратно. Нера-
венства А (х) выполняется для тех и только для тех значе-
ний а, при которых либо /4 (а) —В (а), либо <4 (а) <8 (ак Поэтому
решение неравенства А (х)С 8 (х) сводится к решению неравенства
.4 (х)<В (х) к уравнения А {х)=В (х). Это позволяет в дальнейшем
ограничиться рассмотрением неравенства вида Д(х)<В(х).
Докажем теоремы, устанавливающие равносильность уравне-
нии, а также неравенств, получаемых из данных одновременным
преобразованием левой и правой частей. Для уравнения А (х) —
= В(х) (соответственно неравенства А (х)<В (х)) обозначим че-
рез X множество всех чисел, для которых определены и А (х), и
В (х) (т. е. пересечение областей существования этих выражений).
Множество X будем называть областью допустимых значений пере-
менной х (ОДЗ) для данного уравнения (соответственно нера-
венства). Отметим, что решение уравнения (соответственно нера-
венства) является подмножеством для ОДЗ.
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения
4(х) = В(х)	(1)
прибавить выражение С (х}, определенное для всех х(_Х, то полу-
чим уравнение
Л (х)4-С(х) —8 (х)4-С(х),	(2)
равносильное данному.
Доказательство- Пусть а — корень уравнения (I).
Тогда выполняется числовое равенство А (а) = 8 (а). Прибавим к
обеим частям этого равенства число С (а), которое существует,
поскольку а£Х, а потому выражение С (х) имеет числовое значе-
ние для х=а. Получаем верное числовое равенство 4(а)+
_|_С(а)=8 {а) + С(а), показывающее, что а — корень уравне-
ния (2). Итак, любой корень уравнения (1) удовлетворяет и
уравнению (2). Аналогично доказывается, что любой корень
уравнения (2) удовлетворяет уравнению (i) (для доказательства
достаточно прибавить к обеим частям раве[]ства 4{а)Ц-С(а) =
= В (а)4-С (а) число — С (а)). Равносильность уравнений (1)
и (2) доказана.
ьз
Замечание. Условие, что выраж<?яке С(х) определено для всех х£Х,
существенно. Например, число 3 является корнем уравнения х?=9г но не явля-
ется корнем уравнения х* 4-	1	=94-----Цг-, полученного прибавлением я
X ~~ * 	X <_
обеим частим данного уравнения выражения —-~д-. Причиной этого является
X —J
то, что выражение но имеет числового значения прн х=3.
Из теоремы 1 вытекает, что любое уравнение А{х)=В(х)
можно заменить равносильным ему уравнением А(х) —Я(х)=О,
правая часть которого равна нулю.
Теорема, аналогичная теореме 1, имеет место и для нера-
венств.
Теорема Г. Если выражение С (г) определено для всех х^Х,
то неравенства /1 (х) < R (л) и А (х) + С (х) < В (х) -f- С (х) равно-
сильны.
Из этой теоремы следует, что неравенство А (х)<В(х) равно-
сильно неравенству /I (х) — В (х)<0.
Прн умножении обеих частей уравнения на некоторое выра-
жение С (х) нужно следить не только за тем, чтобы это выражение
было определено при всех х£Х, но и за тем, чтобы его значения
на X были отличны от нуля, иначе возможно приобретение
посторонних корней.
Теорема 2. Если обе части уравнения А(х)==В(х) умножить
на выражение С (х), принимающее отличные от нуля значения для
всех x£/Y, то получится уравнение А (х) С (х)—В (х) С (х), равно*
сильное заданному.
Эта теорема доказывается так же, как теорема 1: из равен-
ства А (а)= В (а) вытекает А (а) С (а')=В (а) С (а), а из равенства
А (а) С (а)—В (а) С (а), так как С (а)=/Н), — равенство А (а) =
= 8 (а).
Аналогичная теорема имеет место и для неравенств с той лишь
разницей, что выражение С (х) должно быть в этом случае поло-
жительным на X.
Теорема 2'. Если выражение С (х) принимает для всех х£Х
положительные значения, то неравенства А(х)<б(х) и
А (х} С (х)<В (х) С (х) равносильны.
Эта теорема вытекает из того, что прн С (а)> 0 из А (а)< В (а)
следует А (а) С(а)<В (а) С (а), и обратно.
В случае, когда выражение С (х) отрицательно на X, равно-
сильны неравенства А (х)<В <х) и А (х) С (х)>Я (х) С (х). Это выте-
кает из того, что при С (а) < 0 из А (а)< В (а) следует А (а)С (а)>
> В (а) С (а), и обратно.
Из доказанной теоремы следует, что если число а положитель-
но, то равносильны неравенства А(х)<Л(х) и <1А (л)<иВ (х), а
если оно отрицательно, то равносильны неравенства А (х)<В (х) и
аА (х)>аВ (х) (где х£Х).
м
Замечание. Услоинс, что С(х) не обращается в нуль ня X. существенно
для спранедлинен:™ теоремы 2. Например, уравнения Л— 4 = 2г- 7 н (ж—4)Х
Х(х—2)=(2х—7)(х—2) не равносильны на R: черное имеет лишь корень 3,
а второ*'—корни 2 н 3. Существенно и условие, что С(х) определено на
v	.	„ -г *	4 2х "7
всем множестве Х-. уравнения х -4 = 2х — 7 и -—-=	нс равносильны:
кервос- имеет корень 3. а второе не имеет корней, поскольку выражение
х —4	.
----— нс определено при л = л. Аналогично и длн неравенств.
Пример I. Уравнения х — 5 = 3х — И и (х — 5)(х2|-4)4-
4-xd=(3x — Ц) (jr24-4)-f-xJ равносильны на всем множестве R.
поскольку второе получается из первого умножением на выраже-
ние х2-]-^, все значения которого на ft положительны, и прибав-
лением выражения х3, определенного на всем ft.
Итак, если в ходе решения уравнения (соответственно не-
равенства) приходилось прибавлять к обеим частям уравнения
(соответственно неравенства) одно и то же выражение, необхо-
димо проверить, всюду ли определено это выражение на мно-
жестве X, где задано уравнение (соответственно неравенство).
Если же r ходе решения приходилось умножать обе части уравне-
ния (соответственно неравенства) на одно и то же выражение
С (х), надо проверить не только, всюду ли определено это выра-
жение на X, но н не обращается ли оно в нуль на X (а для не-
равенств сохраняет ли оно знак на X). При умножении
обеих частей неравенства на выражение, положительное на X,
знак неравенства остается неизменным, а при умножении на выра-
жение, отрицательное на X, меняется на противоположный.
Если прибавить к обеим частям уравнения или неравенства
выражение, не имеющее числового значения для некоторых зна-
чений х, может произойти потеря корней (а именно корней, для
которых прибавляемое выражение не имеет числового значения).
Аналогично обстоит дело при умножении обеих частей уравнения
или неравенства на выражение, не имеющее числового значения
для некоторых значений х. Если же обе части уравнения или не-
равенства умножаются на выражение, обращающееся в нуль для
некоторых значений х, то могут появиться посторонние корни (а
именно корни, обращающие в нуль это выражение).
Посторонние корни могут появиться и прн тождественных
преобразованиях частей уравнений, связанных с изменением об-
ласти существования соответствующих выражений. Например,
уравнения |х~ 1^х * 4|= —5 и х—1=±—5 не равносильны: вто-
рое из них имеет корень —4, а для первого уравнения это чис-
ло не является корнем (при х — — 4 выражение x-f-4, на кото-
рое сокращена дробь
——, обращается в нуль, и потому
до сокращения эта дробь не имела числового значения при х= —4К
3 Aar^iw, И M-T*x*TX4eatni
65
Упражнения
! !б. Докажите, что уравнения
х3—!й = 0 и 3x4-!7-7л4-9
имеют одинаковые рациональные корни.
117. Найдите область допустимых значений для уравнения
^4-5x + 7-b/lx-’+ 2(х-1/ 2(х4-1)“1
и решите это уравнение.
! 18. Найдите область допустимых значений уравнения
^+^+ст=°
н решите его.
3.	Основные методы решения уравнений. При решении урав-
нений применяют два основных метода: разложение на множи-
тели и введение новой переменной. Первый из них применим к
уравнениям вида Р(х)=0.
Теорема I. Пусть
Р(х} = Р1(х)...Рк(Х\
причем выражения Рь(х), i^k^n, определены на множестве
X. Тогда множество корней уравнения Р (х)=0, х^Х, является
объединением множеств корней уравнений Рь(х)=(), х£Х (т. е.
любое число из X, удовлетворяющее уравнению Р (х)=0, удовлет-
воряет хотя бы одному из уравнений р*(ж) = 0,	и об-
ратно).
Доказательство. Пусть а£ X — один из корней уравне-
ния Р(х) = 0. Тогда Р(а)=О, т. с. Pt (а)...Ря (а) = 0. Но произ-
ведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда хоть
один из множителей равен нулю. Поэтому хотя бы одно из чисел
Pi (а),.... Р* (а) равно нулю. т. е. а — корень хотя бы одного из
уравнений РЛ(х) = О, 1	k-^n. Обратно, если а — корень одного
из этих уравнений, т. е. если, например. Pi (а)=0, то имеем:
Pi (а)... Р„ (а) = 0, и потому Р(а)=0 (напомним, что по условию
все выражения Р\ (ж)...РДх) имеют значения при х = а). Тео-
рема доказана.
Замечание. Усппнне, что все множители /’6 (ж) (I	имеют число-
вые значения для любого xfX. существенно. Например, левая часть урав-
нения (ж—2)-^ * является произведением двух множителей: х— 2 и
f  Однако число 2. удовлетворяющее уравнению х—2=0. не являегск кор-
нем данного уравнения, поскольку при х=2 не определен» выражение
66
Пример I. Решим уравнение (2х —6) (8 —4х) (Зх + 5)=0.
Решение. Корнями этого уравнения являются числа, удов-
летворяющие одному из уравнений 2х — 6 = 0, 8 — 4х—0,
Зх_|-5 = 0. Корнем первого уравнения является число 3, второ-
го — число 2, а третьего — число — Значит, решением урав-
нения является множество [З; 2; —	. Пишут также: xi=3,
о	5
.<2 = 2, х3= —z-.
□
Пример 2. Решим уравнение х4 — 1 Ох2 4- 9 = 0.
Решение. Сначала разложим левую часть уравнения на
множители:
х4—Юх24-9 = х4—?—9х2 Ц-9 = х2 (?—1)—9 (х2 “-!)=
=(?-1)(х2-9)=(х-1)(х+1)(х-3)(х-|-3).
Решая уравнения х — 1=0, х4-1=0, х —3 = 0, х + 3 = 0. по-
лучаем числа 1, —I, 3, — 3. множество которых |Г, —1; 3; — 3]
и является решением данного уравнения.
Таким образом, решение уравнений тесно связано с разложе-
нием его левой части и а множители.
С помощью метода разложения на множители выводится
формула для решения квадратных уравнений. Именно, если D —
—Ьас^О и а=#0, то справедливо тождествЬ
ax^bt + c^+i±^)(x+^):
Отсюда следует, что корнями уравнения ох2Н-Ьх-Н = 0 явля-
ются числа
При D = 0 имеем корень г — —кратности два.
Пример 3. Решим уравнение
?4-12?4-32?-8х-4=0.	(1)
Решение. Заметим, что
х4 +12? 4- 32х2 - 8х - 4 = (х4 4-12? + 36?) -
- (4х2 4-8х + 4) = (х2 4-бх)2 - (2* 4-2/=
=(х24-8х4-2)(х?4-4х-2).
Поэтому уравнение (]) записывается так:
(? 8д.+2) ц_ 4х - 2)=0.
Задача свелась к решению двух квадратных уравнений:
ха + 8.г + 2 = 0 н х2Ч-4х—2 = 0.
Решая их, находим, что первое уравнение имеет корни — 4±
± V’H. а второе — корни —2±-^. Значит, решение данного
уравнения имеет вид:
{-4 + -/Я -4-#4, -24-у®, -2-/6}.
Другим методом решения уравнений является введение новой
переменной. Покажем этот метод сначала на примере.
Пример 4. Решим уравнение
(х2+*+ I)2 —Зх2 —Зх — I =0.	(2)
Решение. Обозначим х2 4-х 4-1 через г. Так как -Эх2 —
— Зх—1 =—3x4’2, то уравнение (2) принимает вид: г2 — 3?4
4-2 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим его кор-
ни I и 2.
Поскольку x2-f-x-bl=z, то всякий корень уравнения (2)
удовлетворяет либо уравнению х^Ч-хЧ-!™!. либо уравнению
х*Ч“х4-1=2. Решая эти уравнения, получаем решение для (2):
(о,
В общем виде примененный выше метод можно сформули-
ровать в виде следующей теоремы:
Теорема 2. Если а — один из корней уравнения !(х)=0, ар —
один из корней уравнения g(x) = tx, то 0 является одним из
корней уравнения f [g(x)]=0. Обратно, если р — корень уравне-
ния / [Д'(<)]—0, то a. = g — один из корней уравнения f(z) = O.
Доказательство. Пусть а — корень уравнения f(z) =
= 0 и (5 — корень уравнения #(х) = а. Тогда имеем: g(0) = a,
f(a)=0, и потому fjg(0)]=f (а)=0. Отсюда видно, что 0 — ко-
рень уравнения f [g(x)]=0.
Обратно, пусть 0 — корень уравнения /[£(х)]=0. Тогда
f [g(0)]=O. Отсюда следует, что число a = g(0) является корнем
уравнения f(z) = O.
Из теоремы 2 следует, что уравнение F (х) = 0 можно ре-
шить так: представить выражение F (л) в виде F[g(x)i решить
уравнение /и)=0, а потом решить все уравнения вида #(х) =
= си, где а* пробегает множество найденных корней уравне-
ния f (х)=0.
Покажем два частных случая указанного метода:
а) для решения уравнения
ах4Ч-&х2Ч-с = О
(так называемого биквадратного уравнения) достаточно сделать
подстановку xJ—z, сводящую его к квадратному уравнению
й^Ч-Ьг-|-с=0;
6} чтобы решить уравнение
ах4 4- frx5 4- сх2 4- Ьх 4- а = 0
6$
{так называемое возвратное уравнение), раздадим обе его части
на л3:
а(^+Я+Чх+т)+с=0-
после этого сделаем подстановку х-^~=г. Так как z2 —
= х24-24-р~. то получаем квадратное уравнение
а (г2 — 2)4-bz 4с = 0. Найдя его корни 2, и z3. решаем уравне-
ния	и * + ~Г=22-
Пример 5. Решим уравнение
6х* - 5xJ - 38л2 - 5х 4 6 = 0.
Решение. Деля обе части уравнения на х2 и полагая
г=*4---. получаем уравнение 6 (z2 — 2) — 5z — 38=0, т. е. 6z2—
— 52 — 50 = 0. Оно имеет корки и —Теперь решим урав-
нения хН—-и х4 — =—у. Получаем четыре корня: 3,
4-, —2 и —4“» Значит, решением данного уравнения являет-
з	2
ся множество [з, -у. —2, — -у). Пишут также: х(=3, х?=-|-»
Хз= —2, х<= —у.
Упражнения
И 9. Решит? уравнения (где надо, укажите область допустимых значений):
5	21	=	9 _ _	35	.
4 хг-2л-3"Ьх3 + 2х-3 х^ЧхТэ х'+4х4-3’
х?— 2пх 4- 2ах—п*	х + '2п _ I
' г1 —£j- л2 4-ах-Ра'1 х—а '
3) ---------- Т2~х-7 ; 4) ^+(т->)*4*-0;
5) (х4л)*-(х—а)*= 16х4; 6) (х — a){z—b){t— c)+abc = 0;
9> ----!-4- —— ---1-------4-----—=0 :
! х-\-и + Ь^х—а + Ь х+а—Ь х-а — Ь
50) {х~Ъ(х-3)(х—45=6: J!) г54-х2-4х_4«0;
12)
69
!3) х(ха-2)=ги(+:4-2/мх+2); 14) lfcf(x+l) (ж+2)(х 4-31=9;
15) (л2 — а2) (х + ai b 4- (и2— ft2) (о + ft) х-Ь (ft2—х2) {ft f ж) о = 0;
Гб) <р-1)<х,4-рх14-(р —l+^-L^ x-i-j-O;
17)	(х —а)(х— 2а){х + За}(х+{&•>=• с*; 18) z*+(l—х)4 —а.
120.	Решите уравнения:
I)	х’ 4-2+ — 11 + + 4х+4-0; 2) ^.4.^ = ю(±+± ) ;
Э л \ •> X /
лД
3)	х4 + ух2 4-ftx24-сх +	=0; 4) х4—2хя+х-л;
5)	х4 +4axJ+4a’x—a4; 6) Jt*+jr + 2 (‘*+'7)	:
7)	X4 — 29г24-!00 = 0; 8) х4+?х2+10=0;
9)	х44-!30х24- 1089=0: 10) (х+a)4 + (х-в)4- 82а4;
10	“4; l2) й‘ж*-<‘>а+1)х2 + !-0;
13)	х44-г’-4? + х4-1=0; !4) 6х*4-5?^38х'4-5х + 6=0:
15)	х3_ах,-Зх+1 =0; 16) Эхл-7х*-7х+3=0;
!7) 5х4 —12х34-!!хт—!2х+5 = 0; 18) х*4-5хЛ+4х2—5х+I =0.
121.	Докажите, что если а — корень возвратного уравнения, то — тоже корень
этого уравнения.
4. Решение неравенств. Простейшими среди неравенств с од-
ной переменной являются линейные неравенства, т. е. неравен-
ства вида ах±Ь<$. При а = 0 решение этого неравенства либо
пусто (если b положительно или равно нулю), либо совпада-
ет со всей числовой прямой (если b отрицательно). Поэтому
будем рассматривать лишь неравенства ах-\-Ь<0, для которых
о^0. Решение такого неравенства сводится к решению урав-
нения ах4-6 = 0, корнем которого является число --у.
Это число делит числовую ось на два луча ( — оо; —А-
и( —Г ’ "I" 00 ) ’ пРичем на первом луче выполняется неравенство
х< —т. е. х4--^-<0, а на втором — неравенство
Отсюда следует, что при а>0 на первом луче имеем: о(х + -у )<
<0. т. е. ах4-6<0, а на втором луче ах + 6>0. При а<0
роли лучей меняются.
7П
Итак, мы доказали следующее утверждение:
Если а>0, то решением неравенства aj(-\-b<ZQ является
числовой луч ( — оо; —у), а если а <2 О, то числовой луч
Рассмотрим теперь неравенства, левая часть которых является
произведением линейных множителей, т. е. неравенства вида
(atx (аях + *ц)<0,	(1)
где а}.. а„ отличны от нуля. Вынесем за скобки множители
дь .... ал и пусть О|«...*ая = а. Неравенство (I) примет вид:
a(x+ir)...(x + ^)<0.	(2)
Каждый из множителей х-р— положителен при х> — —и
О*
отрицателен прн х< — —. Он меняет знак лишь прн переходе
через точку — Отсюда следует, что все произведение, стоящее
в левой части неравенства (2), может изменить знак лишь
при переходе через одну из этих точек: они делят числовую
ось на несколько интервалов, на каждом из которых произве-
дение знака не меняет. Поэтому достаточно взять на каждом ин-
тервале «пробную точку» и узнать знак выражения в этой точке —
тот же знак оно будет иметь на всем интервале. Описанный
метод решения неравенств называют методом интервалов.
Проще всего обстоит дело, если все точки ——
различны. В этом случае достаточно узнать знак выражения
а^х4-^-^ ...(хЧ-у-) на правом луче, т. е. при значениях х,
которые больше всех чисел —	(он совладает со
знаком числа и), и провести волнообразную «кривую знаков»,
переходящую из нижней полуплоскости в верхнюю и обратно
в точках — —,
а»
Пример L Решим неравенство
5 (Зх - 6) (2х+5) (4х - И) (8 - 6х) > 0.
Решение. Запишем неравенство в виде
5.3.2.4(-6)(х-2)(х+±) (х-Д) (х—|-)>0.
5	4 ll
Точки ——, 2 и — делят числовую ось на части:
На правое луче 4-°° ) знак левой части неравенства сов-
падает со знаком коэффициента — 720. т. с. отрицателен. По-
этому кривая знаков имеет вид, изображенный на рисунке 22, а.

5)
Рис. 22
Значит, решением неравенства является объединение интервалов
Пример 2. Решим неравенство
(г*-4х + 3) (х2 -р4x4-4) (х2 4- 2х 4- 4)>0.
Решение. Корнями уравнения х2 — 4х 4-3 = 0 являются чис-
ла 1 и 3, уравнения x2-f-4x4-4 = 0 число —2, а уравнение
х24" 2x4-4 = 0 действительных корней не имеет. Числа — 2, 1,3
разбивают координатную прямую на интервалы ( — оо; —2),
( —2; 1), (1;3), (3; 4-°°)- Методом пробной точки находим, что
решением данного неравенства является объединение интерва-
лов (— оо; —2), { — 2; I), (3; 4- <»). Предоставляем читателю про-
верить, что решением неравенства
(х^-4x4-3) (х2 4-4x4-4) (х2 4-2x4-4)^ О
является объединение лучей (— оо; I], [3; 4- оо).
Пример 3. Решим неравенство хл — 34х24-225 <0.
Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 —
-34х74-225=0. Полагая х2 —z, получаем квадратное уравне-
ние zl — 34z4"225=O, из которого находим: Zi=9 и z2 = 25.
Решая уравнения х*=9 и х* = 25, получаем 4 корня биквад-
72
ратного уравнения: —3, 3, —5, 5. Значит, х4 — 34х2 4- 225 =
—(х 4- 5) (х 4- .3) (х — 3) (х — 5), и потому заданное неравенство имеет
вид: (х4-5)(х4-3)(х-3)(х-5)<0.
Изображаем на координатной прямой точки —5, —3, 3, 5 и
проводим кривую знаков (рис. 22,6). Решением неравенства
является объединение интервалов (—5; —3) и (3; 5).
Случай, когда среди множителей в левой части неравен-
ства (2) есть повторяющиеся, легко сводится к разобранному
выше, если принять во внимание, что четная степень любого мно-
гочлена принимает лишь неотрицательные значения. Например,
чтобы решить неравенство — 4 (х—З)7 (х—5)4 (х—6)(х4-2/>0.
надо решить метолом интервалов неравенство — 4 (х —3)(х —6)Х
Х(х4'2)>0 и исключить точки, где обращается в нуль мно-
житель (х —3)в(х —5)4 (х-Ь2)*. Получаем ответ:
(-оо; -2)U(3; 5)0(5; 6).
Аналогично решают неравенства, левая часть которых имеет
вид дроби где Р(х) и <?(х) — многочлены.
I** I
Пример 3. Решим неравенство z ~ 3*	0.
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множи-
тели, переписываем данное неравенство в виде
/1х —! 1 {х — 2j q
(х —611/4 5)	*
Точками, в которых множители меняют знаки, являются —5,
t, 2, 6. Они разбивают числовую ось на интервалы ( —оо; —5),
{ — 5; 1), (1;2), (2; 6), (6:4-оо). С помощью кривой знаков на-
ходим интервалы, где выполняется неравенство: ( — 5; 1) и
(2; 6). При этом из (—5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой
точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде
(-5; 0)U(0; 1)6(2; 6).
Упражнения
122.	Решите неравенства методой интервалов:
I)	{х4-1)(х43)>0; 2) (x-|_2)(jc-5X0. 3) /-х-2<0;
4)	х2 + 6д45>0; 5) (2х-4){3х4-6)(х—7)>0; 6} /—4х<0;
7) ла + 2*,<0;8>
9) /- 10/ + 35/—50x4-24>0;
10) /—6х445х<-!2;
"> £,*• "•	'“тТй1**-
ИДИ.. i-SLst.,
71
171 (х-3)(х+4)(ж-8)>0> l8) (x_2)(?-S)<0-
19) ^L> 1; 20,451 <2 ;21,
22)&3;23)^+^>2,__J_;
20	2«
2f)	1	2	1	3	- 4
’ !+2х 2+ЗхГ3 + 4х 'Ч+5х'
5.	Доказательство неравенств. Неравенства, выполняющиеся
для всех х из некоторого числового множества А', называются
тождественными на этом множестве. Доказательство тождествен-
ности неравенств сводится обычно к использованию основных
свойств неравенств и того, что х^^О для всех x£R. Прн этом
доказываемое неравенство Р (х)^<?(х) полезно переписать в виде
Q(x)-P(x)>0.
Пример I. Докажем, что х 4- — 2, если х > 0.
Решение. Это неравенство равносильно неравенству
*4“—2^0. т. е.	——>0. Перепишем его в виде
1,х~1 ,г0. Так как (х—])2>0 для всех х, а х>0 по условию,
то неравенство доказано.
Пример 2. Докажем неравенство х4 — 7х2 — 2x4*20>0.
Решение. Преобразуем левую часть этого неравенства сле-
дующим образом: х4 —7x? — 2х4~20 = (х2 — 4)* + (х— If 4-3. Так
как (х2—4f 4-(х —J)2 является суммой заведомо неотрицатель-
ных слагаемых и 3>0, то для всех х имеем: х* — 7хг — 2x4-
4-20>0.
Упражнения
123.	Докажите, что:
!) (х—1)(х —3) (х—4)(х—6)4-Ю>0. х€*;
2)	Х*~6?+13Х3-12x4-00, х£₽;
3)	х*-2Х1 + 4х4-3>0.
4)	3(1+х4 + ^)>(!+х4-х7. *€»
124.	Докажите, что если для уравнения х‘4-рх-4-у=О дискриминант [) неотри-
цателен, то это же верно и для уравнения
x‘+{pi +р<})х+р3ч+р‘д 4-<?Л - 2^’ «= 0.
125.	Решите уравнение
а1 (Ь — с) (л—Ь){х—е)Ц-Ь* {с—а) (х—с) (х—а) + с9 (а — Ь) (х—а} (х—
|2В. Докажите, что:
I)	при любом значении Л#= —! дискриминант D уравнения (х—aj(x—с)+
+ > (х—b)(x— rf)=O, где a<b<e<d. положителен;
2)	при любых значениях a, b. с, d дискриминант уравнения
(х-а)(х—6)+(х-а)(л—с)4-(х—Ь) (х—с)=0
неотрицателен.
127.	Пусть pip;=2($i+??)• Докажите, что по крайней мере одно из уравнений
х2+р,х-Ьф— О. x2+p2x + (ii— О*
имеет неотрицательный дискриминант.
<28. Каковы должны быть р и q. для тога чтобы корнями уравнения x"+px+q —
= 0 были числа р к q>
6. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэф-
фициентами. Любое уравнение а„?Ч-...-4-ао = с, имеющее рацио-
нальные коэффициенты, равносильно уравнению того же вида,
имеющему целые коэффициенты. Например, если умножить обе
части уравнения ~-х3 — -|~х2—О на 60, то получится рав-
носильное уравнение 45х3 — 24х* —10=0, имеющее целые коэф-
фициенты.
Необходимое условие для того, чтобы несократимая дробь
была корнем уравнения
агзх',4~...-|-ао=О, аЛ«йО,	(I)
с целыми коэффициентами, формулируется следующим образом:
Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравне-
ния (1), необходимо, чтобы числитель р этой дроби был делите-
лем свободного члена ао, а знаменатель q — делителем коэф-
фициента аЛ при старшем члене.
Таким образом, чтобы найти рациональные корни урав-
нения (I), надо:
1)	найти все целые делители свободного члена (как поло-
жительные. так и отрицательные);
2)	найти все натуральные делители коэффициента ал при
старшем члене:
3)	составить все дроби с найденными возможными значени-
ями числителя и знаменателя;
4)	из найденных дробей отобрать те, которые удовлетворяют
заданному уравнению.
75
В самом деле, пусть является корнем уравнения (]). Тог-
да выполняется равенство
++'«,-£-4-00=0.
Умножим обе части этого равенства на д1*, получим:
а„рл4-ап_| рп~ 'д±... + а1рдп-'	(2)
Значит,
<2о<?л = —апря — ал_! р”-1 ц — ...^a\pqn 1 =
= — Р(<Ч>П ‘4-Й--1 Рп~2Ч±
Правая часть этого равенства делится на р, поэтому на. р де-
лится и число Оо<?л. Но мы предположили, что дробь несокра-
тима и потому числа р и д взаимно просты. Но тогда взаимно
просты и числа р и дп, а потому может делиться на р, лишь
если оо делится на р. Значит, р — делитель числа д0. Аналогич-
но доказывается, что q — делитель числа ап.
Сформулированное необходимое условие упрощается, если
уравнение (1) приведенное, т. е. если ^ = 1. В этом случае ап
имеет единственный натуральный делитель 1 и потому все рацио-
нальные корни уравнения являются целыми числами — делите-
лями свободного члена а^. Итак, мы доказали, что все рацио-
нальные корни приведенного уравнения с целыми коэффициен-
тами являются делителями его свободного члена.
Пример ]. Найдем корни уравнения
2х‘ 4-L 7г1 - 17х2 - 8х 4-6 = 0.	(3)
Решение. Свободный член б заданного уравнения имеет
целые делителя ±1, ±2. ±3. ±6. Коэффициент 2 при старшем
члене имеет натуральные делители I и 2. Значит, надо испы-
тать следующие числа: 1, —1. 2, — 2, 3, —3, 6, —С>. —, —
3	3	2	2
—, ——. Подставляя эти числа в уравнение (3), отбираем сле-
дующие корни: Х| = 1, х2=—. Отсюда следует, что многочлен
2х*4- 17г2— 17х2 + 8х4-6 делится на 2(х——у) , т. е. на
2х2 —3*4-1. Выполнив деление, получим частное х2 4-Юх + 6.
Чтобы найти остальные корни, надо решить уравнение х!4-10x4-
4-6=0. Его корнями являются х3< = — 5±з/Т9.
Ответ: *i — I, х2=-г. *злв — 5± /Г9.
76
Пример 2. Решим уравнение
/ 4- ЗР - 24х2 4-17х 4- 3 = 0.
Решение. Так как это уравнение имеет целые коэффи-
циенты и является приведенным, то его рациональные корня долж-
ны быть целыми и являться делителями свободного члена 3. Зна-
чит, надо проверить числа ±1, ±3. Корнями нашего уравне-
ния являются Х| = ] и х2 = 3. Делим многочлен х* -f- Зх3 — 24х2 4.
4-17x4-3 на (х—1)(х —3), т. е. на х2 — 4x4-3. Получаем част-
ное х24-7х4-L Корнями уравнения х24-7х4-1=0 являются
вос-
(4)
чис-
-7* V45
2	
л	.	□	-7±<45
Ответ: Х| = 1, х?=3, х3<—----—
Некоторые делители свободного члена можно отбросить,
пользовавшись следующим утверждением:
Если несократимая дробь является корнем уравнения
f (х) = аях"-|-... 4-во = 0
с целыми коэффициентами, то при любом целом значении k
ло p-'kq является делителем числа f (k\ В частности, при £ = !
получаем, что р — q должно являться делителем /(1), а прн
fe = — 1, что р 4 q — делитель / (“О-
Пример 3. Решим уравнение
бх4 4-19Х3 - 7х2-26х 4-12 = 0.
Решен не. Делителями свободного члена являются числа
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, а коэффициента при старшем
члене — числа I, 2, 3, 6. Образуем несократимые дроби
±1, ±2, ±3. ±4, ±6, ±12,
±-L,	±±, ±-к ±-к
2 ’	2	3 х З ^ 3 Г 6
Рациональные корни уравнения (если они существуют) должны
находиться среди отобранных чисел. Для их нахождения при-
меним сформулированное выше правило. Возьмем fe=l. Тогда
/ (1)=4 должно делиться на р—• q, где -2-испытываемое число.
Разность p — q принимает такие значения:
0, — 2, Ц -3, 2, -< 3, -5, 5, -7. 11, -13,
-К -3, L -5, —2, — 4, - L 5, Ц -7. -5, -7
(для отрицательных дробей считаем отрицательным числитель).
Число 4 делится лишь на подчеркнутые числа, которые соот-
ветствуют числам —1, 2, 3, —3, -у, -у, -у, — -у, -у.
77
Возьмем теперь k= — 1. Тогда /(—!)= 12 должно делить-
ся на сумму р-\-ц, которая принимает следующие значения: О,
3, 4» — 2, 3, 5, 4, 2, 5, 7. Лишь подчеркнутые числа удовлетворяют
этому условию. Они соответствуют дробям 2, —3, -у, —у-.
Далее берем k = 2. Тогда / (2)= 180 должно делиться на р — 2g.
Но для наших дробей р —2g равно 0, —5, —3, 7. Мы отобрали
дроби — 3 и -2- Подставляя числа -3 и у в заданное уравне-
ние, получаем, что они являются его корнями: х( = —3,	.
Таким образом, многочлен 6х*4- 19л? — 7х2 — 26r4- 12 делится
на (*4-3)(х—-у) =х24-2,5х—1,5. Выполняя деление, получаем
частное 6х24-4х — 8.
юте Я Х3.4 = ~ ’ t .
и
Ответ: х,= — 3,
Корнями уравнения 6х24-4х —8 = 0 явля-
г — 1 г — -14-vi3
Х2- —, Х3.«=--
Упражнения
129.	Рыщите уравнения:
I)	4**-7х?-5х-|-О;
2)	x* + V-x2-]6x-I2 = 0;
3)	^ + 8х3-^-Зх-3=0;
4)	х4 + 2х’-6х/-22* + 55=0;
5)	^_|_3x46r, + 2Qri4-60*-36-Q;
6)	х*-?-8х‘ +Hr2+ •»•*-|Зх+6~0.
7.	Уравнения к неравенства, содержащие знак модуля. Мы
знаем, что lal = |fr|, если либо а = Ь, либо а = — Ь. Поэтому,
чтобы решить уравнение вида 1/(х)| = |g(х)1. надо решить урав-
нения f (x)eg(x) и f (х) = — g{x), после чего объединить их корни.
Пример 1. Решим уравнение |3х— 11 = |2х4-3|.
Решение. Задача сводится к решению двух уравнений:
Зх—1 =2x4-3 и Зх—1 =-(2x4-3). Из первого уравнения на-
ходим Xi=4, а из второго х2= — —
V
Ответ: Х| =4, х2 = -—
О
Пример 2. Решим уравнение
|3д?-28x4- W = |х2 — 20x4-13|.
Решение. Решаем квадратные уравнения
Зх2-28x4- 19 = х2-20x4-13 и Зх3-28х4-19= -(х?-20х4- 13).
Из первого уравнения находим х(«], х?=3, а из второго х.э=2,
х4 = 4.
Ответ: Xi — 1, х? = 3, х» = 2. х<=4.
78
Если уравнение имеет вид. If (х)| =g (л), то надо решить урав-
нения f(x) = g(x) и — f(x) = g(x), после чего отобрать из полу-
ченных корней те, при которых #(х)7>0.
Пример 3. Решим уравнение |3л —11 = 7х+ 11.
Решение. Решаем уравнение Зх — 1 = 7л-f-11 и получаем
корень xi=—3. Далее решаем уравнение —(Зх— I}—7x-j-11 и
получаем корень х$ = —1. Подставляем эти корни в правую
часть уравнения и видим, что она неотрицательна при л= —].
Значит, х = — 1.
Ответ: х = — 1.
Во многих случаях оказывается полезным разбиение оси на
промежутки, внутри которых выражения, стоящие под знаком
модуля, сохраняют постоянный знак3. Эти промежутки отделяют-
ся друг от друга точками, в которых хоть одно выражение, стоя-
щее под знаком модуля, обращается в нуль. После этого решают
уравнение на каждом участке и отбирают те из полученных кор-
ней, которые лежат на своих участках.
Пример 4. Решим уравнение |х| = |3х — 2| — х— 1.
Решение. Выражение х обращается в нуль при л—О, а
9
Зх — 2 — при х=—. Эти точки разбивают числовую ось на про-
межутки (— <х>; 0],(0; -у]	оо ) . На первом из них х<0 и
Зх — 2 <0, и потому |х| — — л, |3х—2| = — (Зх—2). Значит, урав-
нение принимает вид — л = — (Зх — 2) — х — I. Корнем получен-
ного уравнения является число не принадлежащее ( — оо; 0}
•5
На (0; -у] имеем х>0, Зх—2<0, |х|=х, 13х—2| = —(Зх —2),
и уравнение принимает вид х— — (Зх — 2) — х— I. Это уравне-
ние имеет корень xi=4-, принадлежащий промежутку
Наконец, на (-2-; 4- оо) имеем |х|—л, |3х—2|=3л —2, и урав-
нение принимает вид х —Зх —2 —х—I. Это уравнение имеет
корень х> — 3, принадлежащий 4~°°)- Значит, своему про-
межутку принадлежат два из найденных корней, а именно — и 3.
Ответ: х, = — , xz = 3.
Пример 5. Решим уравнение |7 — 2х| = 15 — Зл| 4- |х4-2|.
Решение. Из равенств 7 —2х = 0, 5 — Зх = 0, х 4-2 = 0 на-
7	5
ходим точки разбиения оси на промежутки: у, -г- и — 2. Про-
1 Если есть точки, в которых левая или правая часть уравнения не имеет
значений, их также следует отметить на осн.
I
межутки имеют вид ( — <х>; —2), ( — 2; -у J, ; -L- J и ( j-; 4- <х>).
На (—оо; —2) получаем уравнение 7 — 2х = 5 — Зх—х —2. Его
корень х,= — 2 принадлежит (—<ю; —2} На (—2; -у] уравне-
ние обращается в тождество 7 — 2х==5 — 3x4- х-|-2. Поэтому лю-
бая точка этого промежутка удовлетворяет уравнению. На про-
межутках (-у; -yj и(-у; -f- ooj получаем уравнения, не имеющие
на них корней.
О т в е т; [ — 2; у J.
Рассмотрим теперь неравенства, содержащие знай модуля.
Сначала надо найти точки, в которых не определена левая или
правая часть неравенства, а потом заменить неравенство соот-
ветствующим уравнением и решить его. Все полученные точки
делят числовую ось на промежутки. Выбирая на этих проме-
жутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется на них
заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объеди-
нение промежутков, где выполняется данное неравенство.
Пример G. Решим неравенство |х|<С2|х —4| 4-х—2.
Решение. Точки 0 и 4 делят числовую ось на промежут-
ки (— оо;0} (0; 4] и (4; -f- сю). На (— оо; 0] уравнение |х| =
=2|х —41 4-х—2 принимает вид — х = 2 (4 — x)-f-x —2. Это урав-
нение не имеет корней. На (0; 4] имеем уравнение х — 2(4 — х)4-
4-х—2, корень которого равен 3. Этот корень принадлежит
(0; 41 На (4; 4- оо) имеем уравнение х = 2(х—4)4-х —2 с корнем
5, принадлежащим (4;4-оо). Итак, уравнение |х| = 2|х —414-
4-х —2 имеет корни 3 и 5. Эти корни разбивают числовую ось
на промежутки ( —оо;3), (3; 5) и (5; 4-оо). На (—со; 3/берем
контрольную точку х=0. Подставляя х = 0, получаем верное не-
равенство 0^210 — 414-0 — 2, т. е. 0^6. Значит, (— <х>; 3) при-
надлежит решению, и Гб; 4"°°) принадлежит ему. Принадлежат
решению и точки 3 и 5, поскольку неравенство нестрогое.
Ответ: (— оо; 3) и [5; 4- оо).
Упражнения
Решите урввнени?:
I) <7ж—1 | = |2х4-41;
3) 1x4-1| 4-|2-х| = |х <-3|;
5) х2=Ц-2ха|;
Решите неравенство:
t) 113-2x1 >|4х-91.
3) |х’-Зх + 2| >|х? 4-Зх + 2|;
80
2) |9х—8|=4х-Ц;
4) |ха—6x4. 7| = |3х—111
6) |х*-||*.х|х-2|.
2) |х— II > |3х—1| —10;
4) |х-2|4-|3—х|>2 4-х.
Глава II!
ФУНКЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ И СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ
1. Введение. Явления природы тесно связаны друг с другом.
В большинстве случаев законы, управляющие взаимозависимо-
стью явлений, весьма сложны из-за тесного переплетения раз-
личных факторов. Но среди громадного многообразия явлений
ученые выделили такие, в которых взаимосвязь величин настолько
тесна, что, зная значение одной из них, можно узнать значение
другой величины. Простейшие примеры таких взаимозависим остей
дает геометрия. Например, зная длину стороны квадрата или ра-
диус круга, можно найти площади этих фигур, зная длину сто-
роны куба, можно вычислить его объем, и т. д.
В физике также встречаются зависимости между величинами,
в которых значение одной величины однозначно определяет зна-
чение другой величины. Например, зная промежуток времени,
протекший с начала свободного падения, можно найти путь,
пройденный за этот промежуток времени ла дающим телом.
Будем называть зависимость величины у от величины х
функциональной, если каждому рассматриваемому значению ве-
личины х соответствует определенное значение величины у. По-
скольку после выбора единиц измерения значения величин вы-
ражаются числами, для изучения функциональных зависимостей
между величинами применяют понятие числовой функции, т. е.
изучают определенного вида зависимости между числами. В этой
главе мы будем изучать числовые функции.
Не следует смешивать функиноиальнуЕО аавнекмость величин с причинной
«виснмостью. Хоть путь, пройденный падающим камнем, находится в функцио-
нальной зависимости от .времени, протекшего с начала падении, причиной па-
дения камня является. разумеется, нс течение времени, а силя ленного тяго
тения.
Упражнения
132.	Среди нижеследующих величин укажите такие, что вторая из них нахо
дится и функциональной зависимости от первой. Выясните также, я каких
случаях первая нсличина находится н функциональной хаоиенмостн от
второй:
I)	Дата н температура воздуха в данном месте в !2 ч дня.
2)	Температура воздуха а его дяилепне.
81
3)	Дата и количество автомобилей, выпущенных за данные сутки зяво
А«м ВАЗ.
4)	Площадь поверхности куба и его объем.
5» Длина лнаговалй квадрата и era периметр.
6} Длина диагонали прямоугольника н его площадь
?1 Радиус круга и площадь правильного шестиугольника, вписанного в
этот круг.
Величина нагрузки из данную балку и наибольший прогиб этой балки
(нагрузка распределяется равномерно).
9)	Удлинение данного металлического стержня прн нагревании н темпе
ратура нагрева.
133.	Укажите, от каких величин зависит удлинение металлического стержня
прн нагревании. Какие из зтих величин надо считать заданными для того,
чтобы удлинение функционально зависела от оставшейся величины?
(34.	Приведите известные вам примеры функций двух или трех переменных
нз физики и геометрии.
135.	Является Ли широта точки земной поверхности функцией ее долготы? Яв-
ляется ли функцией долготы широта точки, где находится самолет, совер-
шающий рейс Москва — Ташкент?
136.	Является ли давление воздуха в данной точке земной поверхности функ-
цией времени? Является ли время функцией давления?
|37.	Является ли момент наступления астрономического полудня н данной точке
земной поверхности функцией сс широты? А се долготы? Ответьте на те же
вопросы для момента наступлении декретного полудня. Является ли этот
момент функцией номера часового пояса?
(38.	Является ли шнритя точки земной поверхности функцией момента насту-
пления астрономического полудня? А долгота этой точки?
|39.	Является Ли широта точки земной поверхности в Северном полушарии
функцией максимального угла подъема Солнца над линией горизонта?
(40.	Является ли уровень воды Москвы-реки у Каменного моста а 12 ч дня
функцией от числа автомобилей, выпущенных за предыдущие сутки?
2. Числовые функции. Введем основное определение:
Определение /. Пусть X — числовое множество Пра-
вило, сопоставляющее каждому числу х из X некоторое число у,
называют числовой функцией, заданной на X. Переменную, про-
бегающую множество X, называют аргументом функции.
Мы будем обычно обозначать аргумент функции буквой х.
Сами числовые функции будем обозначать буквами /. <р. g и т. д.
Число Ь, которое функция f сопоставляет числу назы-
вают ее значением при х = а и обозначают /(a), b = f(a). Мно-
жество А называют об лас гью задания или областью определе-
ния функции / и обозначают D (f). С каждой функцией связа-
но множество С/ {х)|х£Х]. Его называют областью значений (или
множеством значений) функции { н обозначают Е \f).
Чтобы задать функцию f, надо указать ее область задания X
и правило, по которому каждому х£Х сопоставляется число / (х).
Обычно это правило дается в виде некоторого выражения, по-
называющего, какие операции нужно выполнить над х, чтобы
получить f (х). По мере расширения совокупности операций рас-
ширяется совокупность функций, которые можно задавать выра-
жениями. Для простоты функцию, заданную на множестве X
некоторым выражением, будем обозначать тем же выражением
с указанием множества X. Если функция задана выражением на
всей области существования этого выражения, будем обозначать
ее лишь указанием выражения.
Пример L Каждому bGR и чистовому множеству X со-
ответствует функция, значение которой для любого х^Х равно Ь.
Такую функцию называют постоянной на X.
Прим ер 2. Функция х, х£ X, ставит в соответствие каждому
числу х из Л это же самое число.
Пример 3. Функция х2, х£[—2:5], задана на отрезке
[—2; 5] и ставит в соответствие каждому числу х из этого от-
резка его квадрат. При изменении х от —2 до 5 значения х2
скачала убывают от 4 до 0, а потом возрастают от 0 до 25. Поэтому
для данной функции имеем: D (f) = [—2; 5^ Е(/)=[0;25].
П р и м е р 4. Функция х2 задана на всем множестве R. Для
нее £)(/)=/?, Е (/)*=£+Ц{0}. Она отличается от функции при-
мера 3, так как различны области задания этих функций.
Упражнения
Ml. Найдите область определения функции:
n 1	2) — 3>	1	4)	+ В -
х’-Г I*1 ’	л«-|0х»+9’	20x‘-|9x3-402r}~|9x + 2D
142.	Балка длиной I. заделанная обоими концами в стену, прогибается под
действием равномерна распределенной нагрузки Q Величина прогиба у
балки в точке, находящейся на расстоянии х от ее левого конца, выра-
жается формулой
где числя Е и ! зависят от материала, из которого изготовлена балка,
и формы ее поперечного сечеизя. Какова область существования выраже-
нии, стоящего а правой части формулы? Какова область задания фун-
кции? Совпадают ли эти множества?
143.	Пусть — второй десятичный знак после запятой числа х- Найдите /(I).
Му2\ Пл).
144.	Найдите f{5). f(—4}. f{o+ll, если f (xl«=x4-lx|.
|4Б. Найдите такой квадратный трехчлен ((х}=ах2-i-bx ±с, что /(0)*=.). f(|}=
= ?. f(2i=3.
14fl. Выразите площадь правильного щестиугсльчике как функцию от длины
его стороны.
|47. Выразите площадь описанного квадрата как функцию радиуса окружности.
83
МЪ. Пусть X- множество всех положительных рациональных чисел г, х=> —
Являются ли натуральные числа р н q функциями от х?
(49. Пусть X — множество веек положительных рациональных чисел х. х=—.
Q
где р и q взаимно простые натуральные числа. Являются ли р н q функци-
ями ат х?
150. Пусть х>0 и у такое число, что у2=^х- Является лн у функцией от х?
|Б1. X и У — множество положительных рациональных чисел. Определяется
ЛН функция на X следующим правилом: числу х£Х ставится в соответ-
ствие такое число у£У, что у’=х?
[52. Приведите примеры функций, удовлетворяющих следующим условиям:
I) -]<f(x)<|;2) 1/(х)1^2.
153. Дана функция f. где /(л)=х2+Л+	 Вычислите /(2), /(у) • /0)-
154. Найдите области определения функции:
^±'-;	2) ‘’'И ;	3)
х2-6x4-8	xJ— 2х—4	X2—4
41 6Х + 2-
’ х1—27'
I_____i_
х I 1 г. x-i X4-I
' ZZT w 1	-
-Г-3	—
|55. В круг радиуса R вписан прямоугольник,
одна из сторон которого равна х (рис. 23).
Выразите площадь прямоугольника как функ-
цию от х. Найдите область определения згой
функции.
156.	В равнобедренный треугольник с основанием а
и высотой h вписан прямоугольник высотой л
(рис. 24). Выразите площадь этого прямоуголь-
ника как функцию от х. Найдите область оп-
ределения этой функции.
Рис. 24
84
157.	Из квадрата со стороной а ныреззиы по углам квадратики со стороной
х и из полученном фигуры сделана открытии коробка (рис. 25). Выразите
ее объем как функцию от х. Найдите область определения этой функции.
158.	Известно, что объем прямого кругового цилиндра с высотой Н и рахяиусом
основания R выражается формулой V~siR'!H, а его полна» поверхность —
формулой 5 = 2л/?г4-2п/?/Л Выразите полную поверхность цилиндра задан-
но™ объема V как функцию его высоты
159,	Выразите объем V цилиндра при заданной полной поверхности S как
функцию его высоты Н.
160.	В цилиндре задан периметр осевого сечения 2р. Выразите объем этого
цилиндра как функцию радиуса R, выразите объем хак функцию высоты Н.
161.	Два пункта Л и Я находятся н стороне от железной дороги (рис. 26).
Строится шоссе из пункта А до стан иди С этой дороги и от станции С до
пункта 8. Выразите длину шоссе как функцию расстояния х от С до D.
162.	Всадник едет из пункта А а пункт В (рис. 27). Часть пути АС проходит
по лугу, а чисть пути СВ — но песку. Скорость движения по лугу раина v\. а
скорость движения по песку о2. Выразите время, затраченное всадником
на движение, как функцию расстояния х от С до D-
165.	В треугольнике АВС па основании АС дана точка Af (рис. 28). Прове-
дена прямая QAKAC. Выразите площадь треугольника MQR как функцию
расстояния г между прямыми QR и АС (длина основания а в треугольни-
ке и его высота й даны).
164.	Задана площадь S равнобочной трапеции и угол 30° при ее основании.
Выразите периметр трапеции как функцию от длины х боковой стороны.
165.	В круг радиуса R вписана крестообразна и фигура ABCDSf-'GtflKLM с
параллельными противоположными сторонами к такая, что А.М=» FG —
=.CD = fK=*x (рис. 29). Выразите ее площадь как функцию от х.
85
166.	Дан сегмент радиуса Я и выстой h. В него вписан прямоугольник вы-
сотой х (рис. 30). Выразите периметр н площадь прямоугольника как
функции от х.
167.	Выразите площадь и периметр прямоугольного треугольника с данной вы-
сотой h как функцию длины катета .с.
168.	Имеются два куска сплава медн н цинка с процентным содержанием меди
в кнх р% и <?% соответственно. Сплавив эти куски вместе, получили
сплав с процентным содержанием меди в нем г%. Выразите г как функ-
цию отношения масс этих кусков.
169,	Из сосуда с V л р%-ного раствора кислоты отлили х л раствора и до-
лили х л воды. После чего повторили эту операцию еше дважды. Вырази-
те концентрацию получившегося раствора как функцию от х.
170.	Чтобы измерить глубину пропасти, в нее бросили камень и измерили время
I. прошедшее до момента, когда услышали удар камни о дно пропасти.
Выразите глубину пропасти Л как функцию от /, если скорость звука равна
340 м/с. в ускорение свободного падения рввио 9,81 м/с* (сопротивлением
воздуха пренебречь!,
3.	Кусочное задание функций. Иногда функции задают различ-
ными выражениями на разных участках.
Пример I. Парашютист прыгает из «зависшего» верто-
лета. Первые 6 секунд он падает свободно, а затем раскры-
вается парашют и t? секунд падает до приземления с постоянной
скоростью и. Выразите расстояние s парашютиста от вертолета
как функцию времени /.
Решение. В течение первых t\ секунд действует закон
свободного падения, согласно которому s— Ц-. По истечении
6 секунд расстояние парашютиста от вертолета равно ф, а
дальше оно увеличивается равномерно со скоростью и. Поэтому в
момент времени I, где 6<t</|4“h, это расстояние равно
^-4-и (/ — 6). В момент времени 64-/2 парашютист приземля-
ется. и до того момента, когда он покинет точку приземления или
вертолет изменит свое положение, это расстояние равно
Я6
Значит, выражение данной функции имеет вид:
при
—(|) при /i</C*i+A>
Q+Vh При *>/|-Нз-
X.
Пример 2. Объем Шарового сегмента (ряс. 3]) выражается
формулой И==лй2(/? —где R — радиус шара и h — высота
сегмента. Пробирка имеет форму цилиндра высотой Н и радиуса
R, заканчивающегося внизу полушаром. Выразите объем воды,
налитой в пробирку, как функцию высоты х столба воды.
Решение. Если x^R, то вода имеет форму шарового сег-
мента и потому ее объем равен	. Если R<x^R-}-H,
то имеем полу шар радиуса R и цилиндр высотой x — R и радиуса
R, а потому
л/?! (лг - Я) = пЯ’х -	.
Значит,
{лх2(Я—=0,	если 0<л<Я,
j\R2x —	, если Я<г<Я4-//.
Пример 3. Найдем выражение для функций [г] и {х} (це-
лой и дробной частей числа х).
Решение. Если л<х<п+ I, то [х]=я и {*}—х — п. Здесь
мы имеем бесконечно много различных выражений для фун-
кций.
В приведенных выше примерах функция задавалась различными выраже-
ниями на разных промежутках. Иногда функция задается различными выра-
жениями на множествах более сложной структуры. Примером может служить
функция Дирихле D. где
| j. если число х рационально,
У|-х-=|о. если число х иррационально.
Упражнения
171.	Найдите И —1k /( -у) , f(0).	если

X* 4- X4-1 при -|С«<0.
xf3—х> прн 0<х<3.
х—I
X 4-1
прн 3<х<5.
172.	Окно состоит яз прямоугольника шириной а н высотой Л н расположенного
над ним равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а
(рнс. 32). Обозначим через S (х) площадь части окна, лежащей ниже
прямой, параллельной основанию прямоугольника и отстоящей от него
на расстоянии к. Запишите выражение для S(x).
173.	Найдите выражение для функции {х —1|! при л<х<л-)-1.
174.	Балка длиной t прогибается под действием нагрузки Q. сосредоточенной
а ее середине, причем концы балки свободно лежат ня опорах. Прогиб
балки 8 точке, находящейся ня расстоянии х от ев левого конца, выра-
жается формулами:
{QP /Зх 1г'\	I
48£7 \ 7 -~Г) '	•
Q? ( 3(/-х)	1 (/—х*	I
~^ЁГ\—1----------------?—)  у*-*'
„ я	„	I / 31 51 п
Найдите прогиб в точках, для которых х=—,	Почему при х =
1/2 оба выражения дают одип и тот же результат?
175.	Геометрическая фигура состоит из прямоугольника со сторонами о н Ь,
ня стирону а которого поставлен равносторонний треугольник (рнс. 33).
Обозначим через 5 (х) площадь части фигуры между няжккм основанием
прямоугольника н прямой, параллельной этому основанию и отстоящей от
него ня расстоянии х. Напишите выражение для 5 |х).
5 76. В треугольнике АВС ДВ = б см. ВС =8 см и АС=|О см (рис. 34). Обоз
начни через 5(х) площадь части треугольника, отсеченной от него прямой,
перпендикулярной стороне АС н отстоящей на х см от вершины Д. Напн
шито аыражениг для 5 (х).
177. В равнобочной трапеани ABCD (рис. 35). основания которой AD =а и
ВС=Ь (a>ty а высота равна h. проведена прямая MNkAB. причем Д.И=х
Выразите «лошадь 5 (х) фигуры A&NM как функцию от х.
Рис. 34
|78- Напишите выражение функции [х-2Т'+(*—-V прн п^х-<л-|-| (л
целое}.
179*. Абсолютно упругий мяч падает с высоты Н па поверхность земли, подска-
кивает, скова падает н т. д. Найдите высоту ft мяча в момент аременн г.
Решите ту же зядячу, если скорость мяча после сггражепня от земной
поверхности составляет <? ю часть скорости падения на nee
|М>. Найдите ((у) ./( — ». /(у) . /(^) • /• ССЛН
х2 если х рационально н |х|<|.
— х2. если х иррационально н |ж| <
хг-|Л если л рационально и |х|^г=|.
х' 4. если х иррационально н ]х|^1.
4.	График функции. Для наглядного изображения числовых
функций используют их графики. Каждой паре чисел (х; / (л)),
xfX ставят в соответствие точку Л1 (х; f (х)) координатной плос-
кости. Получившееся при этом множество точек называют гра-
фиком функции.
Определение. Г рафиком числовой функции f, заданной
на числовом промежутке X, называют множество Г всех точек
координатной плоскости, имеющих вид Af(x;f(x)), где хСХ.
Это определение можно записать так:
U6A'|.
Чаще всего графиком функции является некоторая линия на
плоскости, быть может, распадающаяся на несколько кусков.
Однако не всякая линия является графиком некоторой функции.
Например, окружность не может быть графиком никакой функции,
так как, зная абсциссу точки окружности, мы получаем, вообще
говоря, два значения ординаты, а функция сопоставляет каждому
х£Х лишь одно число.
Для того чтобы линия Г была графиком некоторой функции,
необходимо и достаточно, чтобы, всякая прямая, параллельная
оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересе-
кала ее в одной точке. Например, полуокружность на рис. 36 яв-
ляется графиком некоторой функции.
Если функция f задана некоторым выражением, то для по-
строения се графика выбирают из А' несколько значений аргумен-
Рнс. 36
Рис 37
89
тэ Х[,	х„, находят соответствующие значения функции f (Х|), ...
..., f(x„) И СТРОЯТ ТОЧКИ М, (Х|, /(xi))» .... Мл (хя, f (хя)). Эти точки
принадлежат графику данной функции. Если графиком функции
является более или менее гладкая линия, то, соединяя получен-
ные точки гладкой линией, получаем приближенное изображе-
ние (эскиз) искомого графика (рис. 37).
Пример. Построим эскиз графика функции х2 —1,
-3<х^3.
Решение. Выберем для х значения —3, —2. —1,0, 1,2,
3. Им соответствуют значения функции 8, 3, 0, — L 0, 3, 8. Нане-
сем на плоскость точки М,( — 3; 8), ЛЪ(— 2; 3), ЛЬ( — |;0),
М4(0; —1), М5(1; 0), М6 (2; 3). М7 (3; 8) и соединим их гладкой
линией. Получим эскиз графика, изображенный на рисунке 38.
Не всегда график функции состоит из одного куска. Напри-
мер, график функции [х] состоит из бесконечного множества
промежутков единичной длины (рис. 39). Левый конец этих про-
межутков принадлежит им, а правый — нет.
Встречаются и «дакне* функции, график которых не содержит ни одного не-
прерывного куска. Например, график функции Дирихле £> (с. 87) над любым
сколь угодно малым участком осн абсцисс имеет н точки с ординатой I, и
точки с ординатой 0. Разумеется, такая функция не описывает какие-либо
реальные процессы: поскольку любое измерение может быть сделано лишь с
определенной точностью, не имеет смысла говорить, рационально или нет не-
которое значение физической величины.
Так как эскиз графика строится по нескольким точкам, он
имеет ограниченную точность. Эта точность снижается и тем, что
реальная линия, дающая эскиз графика, имеет конечную толщину,
в то время как «математические линии» считаются не имеющими
толщины. Поэтому по графику можно лишь приближенно на-
ходить значения функции.
90
Тем не менее график очень удобное средство, чтобы по-
лучить общее представление о ходе изменения функции. Во мно-
гих случаях зависимость между физическими величинами не-
посредственно задается с помощью графика, вычерченного само-
пишущим прибором. Например, прибор термограф дает кривую,
показывающую изменение температуры воздуха с течением
времени.
Упраж нення
181.	Постройте «-по точкам» графики следующих функций:
1)	АЦ; 2) ж»+1; 3) х* —|6; 4)
5} ргрд ; 6)	7> л + рг'-	1Х+Н-
9)	|X| + |*+I|: Ю) х + 1л1; И) lx-u+4||.
182.	Постройте графики функций из упражнений х п. 3.
183.	Постройте график прогиба балки с заделанными концами под. действием
равномерно распределенной нагрузки Q (см. упражнение 142) Положите
•Я=9,6-10"а ! выберите произвольно; для х возьмите значения 0; 0.Н;
С>
0,2/; 0,3/; 0,4/; ...; 0,9/; /. Подберите удобные масштабы до осям координат.
184. Если один конец балки длиной i заделан а стеку, а второй свободен
(такие балхн называют консольными, рис. 40, а), то яри равномерно рас-
пределенной нагрузке Q уравнение прогиба имеет вид:
у “ 5^777 V* ~ A{xi +
Начертите график прогиба балки для втого случая, выбрав удобные мас-
штабы по осям координат.
IBS. Начертите график прогиба балки с опертыми концами иод действием со-
средоточенной нагрузки Q (рис. 40,6) (см. упр. 174).
186. Если концы балки оперты, а нагрузка Q равномерно распределена, то
уравнение прогиба балхн имеет вид:
^2^Й1ж'-2,х' + ‘^
Начертите график этой функции в том же
масштабе, что и в упражнении 185. Срав-
ните его с графиком упражнения 185. В ка-
ком случае наибольший прогиб больше? Срав-
» О)	S)
Рис. 40
ните полученный график с графиком упражнения |83. В каком случае
наибольший прогиб балки больше?
|87. Существует ли функция, график которой переходит в себя при вращении
плоскости ка любой угол около начала координат? на угол 30й? на угол 45°?
на угол 120”?
5.	Операции над функциями. Композиция функций. Назовем
суммой функций i и g новую функцию [ + #, заданную на мно-
жестве D (/+g) = D (f)ПО (я), и такую, что
(1+8) (*) = /(*) 4-Я (*)•
Если функции f и g заданы своими выражениями, то выраже-
ние для функции f+g получается путем сложения этих выра-
жений.
Пример 1. Суммой функции ж34-7, —	и xz4-
4-4, ОС*С8 является функция (j? + 7)4-(*24-4X 0<х^5.
График функции f4~# строят с помощью сложения соответ-
ствующих ординат графиков функций fag (см. рис. 41).
Таким же образом определяют произведение функций f и g.
Им является функция fg, заданная на том же множестве
D(f)(}D(g), н такая, что
(fs) (*W (*)£(*)
Функция -Д определена на множестве, состоящем из тех
чисел множества D(g), для которых g(r)^=0. При этом

Назовем функцию f.— частным функций f и g и
д * R
Из сказанного выше ясен смысл обозначений
4^ и Г д.
Пример
=(х-3)Ч4.
обозначим
Г4-4/-3.
если f(x)=
2. Найдем выражение функции
Рис 41
Решение. Это выражение имеет вид:
]_____
4-4^5-
Наряду с образованием новых функций с помощью арифмети-
ческих операций над заданными функциями применяют операцию
композиции функций. Рассмотрим следующий пример. Скорость
падающего тела в момент времени t с начала падения выражает-
ся формулой v = gt, а кинетическая энергия этого тела фор-
мулой Е  Поэтому в момент времени I кинетическая энер-
гия тела равна —-—. Мы составили из двух зависимостей и =
= и Е =
новую зависимость £ = —.
Определение. Пусть даны числовые функции f и £, такие,
что Е (f)cz D (g). Их композицией называется новая числовая функ-
ция Г, заданная на D (f), которая каждому x£D(f) ставит в
соответствие число g(f(*))« Функцию F обозначают также gof:
(W)(*)=£ (f (*))-
Если функции / и g заданы своими выражениями, то для
получения выражения композиции gof этих функций надо под-
ставить а выражение функции g вместо к выражение функции /.
Пример 3. Найдем выражение для композиции функций
где ^(x)=jc2+l g(x)=Y-
Решение. Заменяя в выражении переменную х на
х2+1, получаем выражение для gof. Это выражение за-
писывают так: £(**+)). Часто так обозначают и саму функ-
цию gtf.
Вообще если Д (х) — некоторое выражение, a f — числовая
функция, определенная для всех значений этого выражения, то
через f (А (х)) обозначают как выражение, полученное подста-
новкой А (х) вместо х в выражение функции f, так и соответст-
вующую композицию функций.
Поскольку может возникнуть опасность смешения композиций
g'>f и fog, часто записывают данные функции в виде / = [(х).
y = g(t) (если строят композицию g<J) или в виде t = g(x\ у =
(если строят композицию f*g).
Пример 4. Если	то через f(4—г) обозначают
функцию, которая каждому х ставит в соответствие число (4 —х)’.
93
Упражнения
188.	Пусть f(x)=l+rf. Найдите выражение для:
I)	Г-5/(ж)+2;	2) xf^-Sx-^);
189.	Пусть /(х)=х2, ф(х)=х1+1. Найдите выражение для:
П Г(х) + <₽а(х); 2)	3}
4j 5) vtfW); 6) Z (*+ !)+<₽(*+JX
190.	Функция / задана на отрезке (—1:0). Найдите области задания следующих
функций:
I)	2) Нх-ц 3) f(2x); 4) /(И1) ;
5) Z <1х| 4-х); 6) /(L=^) •
Ю|. Постройте графики следующих функций:
4	4	1	I
I) *+т;2) *-т;3>	**“7-
6. Числовые последовательности н способы их задания. Чис-
ловое множество X, на котором задана функция f числового
аргумента, может быть произвольным. В случае, когда оно совпа-
дает с множеством N натуральных чисел, функцию называют
числовой последовательностью.
Определение /. Числовой последовательностью назы-
вают числовую функцию, заданную на множестве N натураль-
ных чисел.
Для числовых последовательностей обычно вместо f (я) пишут
а* и обозначают последовательность так: (ол). Числа а,.а„, ...
называют членами последовательности.
Отметим, что мы уже встречались с последовательностью
в примерах к п. 3 § 2 гл. II.
Часто последовательность задают, указав выражение их и-го
члена через п.
Пример I. Напишем первые пять членов последователь-
ности (On), где а« = п3—1.
Решение. Имеем: а( = Г’ — 1 =0, а$=23 — I =7,
а3^Зл-1=26. щ=4Л-1=63, а$=53- 1 = 124.
Поэтому первыми пятью членами данной последовательности
являются числа 0, 7, 26, 63, 124.
Заметим, что задание этих пяти чисел не определяет одно-
значно выражения п3— 1, по которому они получены. Те же числа
получаются, например, и из выражения л3— 1 -|-(л — 1)(л — 2)Х
Х(п—3)(л —4)(л —5). Поэтому, зная несколько первых членов
последовательности, можно лишь ставить вопрос об отыскании
одной из формул, задающих эту последовательность.
Наряду с заданием последовательности формулой, выражаю-
щей ап через п. применяют рекуррентное задание последова-
тельности, при котором ее n-й член выражается через п — 1-й,...
...» п — k-н члены, где k фиксировано. При таком способе за-
дания, помимо формулы, выражающей я-й член последователь-
ности через предыдущие, надо задать еще k первых членов. На-
пример, арифметическая прогрессия с разностью d задается ре-
куррентным соотношением ап=ал-\ -\-d. Чтобы полностью опре-
делить эту прогрессию, надо еще знать ее первый член О|.
Геометрическая прогрессия со знаменателем q задается ре-
куррентным соотношением &я = ^л_|^ и первым членом Ъ\.
Пример 2. Найдем первые шесть членов последователь-
ности, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих, т. е. a^ = a„-24-a-t-i. п<3, если ее первыми
двумя членами последовательности являются dj=O и а2—I.
Решение. По условию имеем:
ил ~о, 4-Я2 = О 4~ 5 = 1. — п2 4~ == I -Ь I = 2,
йь — 4“ <4 = I -f- 2 — 3. — Qi 4- tts —= 2 4“ 3 = 5.
Последовательность, задаваемую рекуррентным соотношением
ап = лл_24-«и-1 и начальными условиями Я|=0. «2=1, назы-
вают последовательностью Фибоначчи.
Последовательности, заданные рекуррентными соотношениями,
встречаются во многих вопросах математики и ее приложений.
Например, для приближенного извлечения квадратных корней
строят рекур рент но заданные последовательности. Чтобы найти
\а, берут любое положительное число xi и строят последова-
тельность Xi, Xi. .... хп. где хп + ] = -у-^хп-4-^-). Мы докажем
в о. 12 §3 главы V, что по мере возрастания п члены этой
последовательности неограниченно приближаются к \а.
Упражнения
|Ч2. Напншмтг первые пять членов ражастся формулой:	последовательностей. «-й член которых вы-
' Л-t-1	’ fl*+4	3) п’4-4 •	’
193.	По заданным пррямм членам г1ослЕДйеательи<м:тей подберите одну нз формул
ДЛЯ л-го члена:
^444-  Ч4)’(1)'(4)'(4)’-
95
11 101 201” 301 ’
с J_ 4_ 9_ Н>
’° 3 • 9 * 27' ft|....
4) I, —
2 у'2 3.,'3 4-v4
6| I: 2. з. -4.
£	> I
1-2’ 2-3’ 3-4’ 4-5........
2 2г 2‘	2
1 ' Ь2 ’1-2-.3' 1-2-3-4 ’
194.	Найдите номер наибольшего члена последовательности (о,). если:
I) ая 12п	п1; 2) ая—Цп—пг;
3)
Юл	я4
“•=TmhV; 41“'=?г
5)
1-23...П
\ ]<rt=£!00.
195.	Скажем, что некоторое свойство Р выполняется почти для всех членов
последовательности, если оно может не выполняться лишь для конечного
числа ее членов Определите, какие из нижеуказанных свойств последова
тельностен (ая) имеют место для всех ее членов, почти для всех ее членов,
для конечного числа членом, ни для одного члена. В каких случаях и дан-
ное свойство, и обратное ему выполняются для бесконечно многих членов
ноСлсдовательноСтн (Ло)?
]) ао — п.Р — Свойство быть точным квадратом.
2)	а„=р„, где ро об<мкачает л-е простое число, Р —свойство быть мечетным.
3)	ая р„. Р — свойство быть четным.
4)	а. р„. Р — свойство ап>п.
5)	ик= I — ——. Р — снойстно ап<_ 1.
П
6)	аа= I — '-—. Р СВОЙСТВО «0<т1
п	10
7)	,^соойствоад<|.
п
Я)	р свойство о„< 0,0001.
п
9) их =----Р — СЯОНСТИС! 1—и,<".0,0001.
л+1
196. Докажите, чти !юслед<>нателыюсть (ол), где а„ 3"4-5-2", удошк>тво]1яет
рекурРентному соотношению апц 5an4.i 6а„ м начальным условиям: а, =
= 13. Ох-29.
197. Докажите, что последовательность (а„). где o«-2"i'n4 4}. удовлетворяет
рекуррентному соотношению on0=4adi । — 1ал и начальным условиям: Я| =
= 10. 02=24.
|98. Пусть 0„+|	. бдц-i =Д|1	. Выразите и„ и Л„ через Bi, bi и rt.
Л	Z.
96
199.	Докажите, что если 1кклединагелыюсгн (ая) и (&„) удовлетворяют рекур-
рентному соотношению вида
Лиг=<хг. । i + fk..	(2)
где а и f> — некоторые числа, то для любых значений Ct и Ct последо-
вательность (CiOrt-bGdrt) удоялртноряет тому же соотношению (2).
200.	Докажите, что если число rt—корень уранисння г7=аг-|-0, то после-
довательность (г?) удовлетворяет р^курре-нтному соотношению (2).
201.	Пользуясь результатами упражнений |99 и 200, найдите решения рекуррент-
ных соотношений:
1} глС2=Ьгя н-4г,;	2) гп+2 = -Гл-ц 4-бг.;
3)	гп+г=9г„+|4'52г(,; 4) гМ2 = д,и Гп.
202.	Докажите, что если число Г1 является корнем кратности 2 для квадратного
уравнения r'J=«1r + p, то ке только последовательность (г*), но и последо-
вательность (лт7) удоалстаоряет рекуррентному соотношению
Гп 4.2»вЛс+|-|-|}Гж.
203.	Решил! рекуррентные соотношения:
1)	гжц.1 — 6гя+. । — 9г„: 2) гп । ’j = — ЗгЛ 11 — 16г„.
204.	Найдите общее выражение а-го члена последовательности Фибоначчи.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
1.	Координатное задание геометрических преобразований. Вы-
берем иа прямой линии / систему координат с началом 0 я рас-
смотрим геометрическое преобразование, прн котором каждая
точка прямой перемешается на а единиц (в положительном на-
правлении. если д>0, в отрицательном, если «<0, и совсем
не перемешается, если а — 0). Если координата точки М равня-
лась х, M — Mix], то после преобразования она перейдет в точку
М'(х + а). Таким образом, указанное преобразование задается
формулой
х'^х + а.	(1)
Его называют сдвигом прямой на а единиц.
Рассмотрим теперь другое преобразование — растяжение пря-
мой от точки О с коэффициентом k. При этом преобразовании
точка 0 остается неподвижной, а любая иная точка М переходит
в такую точку М', что ОМ' ^=k-0M. Иными словами, если
fe2>0. то точка остается по ту же сторону от О, что и раньше, но
се расстояние до точки О умножается на k н потому увеличи-
вается при £>1 и уменьшается при fc< I. Если же й<0, го ука-
занное преобразование сводится к растяжению прямой от точки О
с коэффициентом |£| и последующей симметрии относительно
точки О. В частности, если k= —1, то это преобразование явля-
ется симметрией относительно точки О. Поскольку ОМ =х, ОМ' —
i Алгебра	97
и направление. Поэтому
мулами:
— х', то растяжение прямой от точ-
ки О с коэффициентом k задается фор-
мулой
x'=kx.	(2)
Теперь разберем координатное за-
дание геометрических преобразований
плоскости. Начнем с параллельного
переноса. Если при этом преобразова-
нии начало координат О переходит в
точку Л (а; б), а точка .М {х; у] в точ-
ку М'(х':у'\ то направленные отрез-
—*	—>-
ки 0/1 и ММ' имеют одинаковую длину
величины их проекций на ось абсцисс
одинаковы, и точка Лг(л) оси абсцисс сдвигается на а и переходит
в точку 2\:'{х-^а). Точка же Р (у) оси ординат переходит в точ-
ку Р'(у-^Ь). Это означает, что точка .М (х; у) переходит в точку
ЛГ [х + а-, у + Ь) (рис. 42).
Итак, при указанном параллельном переносе точка Mix; у)
переходит в точку М' (х4- а; у 4-Ь), а потому он задается фор-
х' = х -|-а.
У'=У + Ь.
(3)
Теперь рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом
Л>0. При этом преобразовании точка Л1 (х: у} переходит в точку
Af'tx'лежащую на луче ОЛ4, и такую, что ОМ' = k -ОМ.
При этом обе координаты умножаются на k. т. е. точка Л4' имеет
координаты kx и ky. Значит, гомотетия с центром О н коэффициен-
том <1?>0 задастся формулами:
x' = kx,
у’ = Ьу-
(4)
Эти формулы годятся и для гомотетии с коэффициентом £<0.
В частности, при k= — I имеем:
х' = —х.
У' = -У-
(5)
Но гомотетия с центром О и коэффициентом —I является цент-
ральной симметрией относительной точки О. Значит, формулы (5)
задают эту симметрию.
В заключение рассмотрим преобразование растяжения плос-
кости от прямой Пусть I прямая линия и k — некоторое число.
Растяжением плоскости от прямой I с коэффициентом k назы-
вают преобразование, прн котором происходит растяжение каж-
98
т (	Г I
Рис. 43	**' рис. 44
дом прямой, перпендикулярной примой /, от точки пересечения Т
этих прямых с коэффициентом k (рис. 43, 44). Иными словами,
точка Л4 переходит в точку ЛГ, такую, что Л1 и ЛГ лежат на
одном перпендикуляре к I, причем TM'=kTM н точки М и М'
лежат по одну сторону от I, если k>0, и по разные стороны от
I, если £<0.
Из этого определения вытекает, что при растяжении отно-
сительно оси абсцисс с коэффициентом k точка М (х-, у) переходит
в точку М (х'; у'), где
( х'~х<
[y'=ky.	(6)
Аналогично при растяжении с коэффициентом k относительно оси
ординат точка Л4 (х; у) переходит в точку М' (х';у'\ где
( x' — kxt
Ху'^у.	(7)
Частным случаем растяжения от прямой является симметрия
относительно этой прямой — в этом случае коэффициент k равен
— 1. Из формул (6) и (7) получаем, что при симметрии относи-
тельно оси абсцисс точка М (г, у) переходит в точку АГ(х; —у),
а при симметрии относительно оси ординат точка М (х; у) перехо-
дит в точку М' (— х, у).
Упражнепня
205.	Параллельный перенос переводит начало координат и точку <4(4;—3).
Найдите образы точек Л4(—1;5). Л (2; —7) и прообразы точек Pi — 3:4).
Q <8; -6).
206.	Параллельный перенос переводит точку А (2; —5) в точку Я (- б; !). Найди-
те образы точек Л1(0; 6), .V(8; — I) и прообразы точек Pi — 2; 3). Q (5; —4).
207.	Пусть параллельный перенос, отображающий начало координат в точку
.4(4; —2), к ф— симметрия относительно оси абсцисс. Запишите формула-
ми преобразования к ^oip. Совпадают ли псипуччишнеся преобрази
нация? Найдите образы при этих преобразованиях точек М ( — J; 5). .V (3; 4} я
прообразы точек Р (2; 7). Q (--3; 5).
99
20В.	Пусть — растяжение от осн абсцисс с коэффициентом 2, а ф — парал-
лельный перенос, при котором начало координат переходит а точку Л <6; 1|.
Запишите выражении для преобразований и ^<мр. Найдите обраа при
преобразовании квадрата ABCD, где Д(1; 0), В (4; 0). С (4; 3j, D(|; 3k
209.	Докажите, что преобразование
{х' =*кх,
называемое гиперболическим поворотом, переводит в себя гиперболу ху=иг.
2>0. Докажите, что преобразование
x'—k (х— й)+а,
y’=ft (,у—Ь)+Ь
является гомотетией относительно точки .4 (а; Ь) с коэффициентом ft.
211. Опишите геометрическое преобразование, задаваемое формулами:
I)	| х'=2(х-4) + б,	2)|’х'»2*-4.
| ¥'-2(у+3)-7;	(у'=2у+3.
2. Преобразования графиков функций. Пусть точка М (х<>; Уо)
лежит на графике функции /, т. е. пусть yo = f(xo). Тогда ко-
ординаты точки М' (х0 + а; УоЧ-6) удовлетворяют соотношению
y = f (х-а)А-Ь. В самом деле, заменяя в этом соотношении х на
Хо + а> а у на e/o-fb, получаем равенство е/о-1-6 = f (ло 4-а — а) + Ь,
которое верно, так как yn = f(xo). Мы доказали, таким образом,
что если точка Л1 (xfJ; уп) лежит и а графике функции f, то точка
М'(хо-Ьа; Уо + Ь) лежит на графике функции F, связанной"с f
соотношением F (x}=f (х — а)-1~Ь.
Обратно, если точка М' (xo-f-a; уа + d) лежит на графике функ-
ции F, то точка М (хо; у0) лежит на графике функции f (из того,
что y04-b = f (х04-с — а)н-6, вытекает, что у0 =[ (*о))-
Заметим теперь, что точка М'[х0-^а\ уч-\-Ь) является образом
точки М (хо; </о) при параллельном переносе, который переводит
начало координат О (0; 0) в точку А (а; Ь). Значит, этот перенос
отображает график функции f на
график функции F. Мы доказали сле-
дующую теорему:
Теорема L Пусть F(x)=f (х—а)4*6.
Тогда график функции F получает-
ся из графика функции f с помощью
параллельного переноса, при котором
начало координат О (0; 0) переходит
в точку А (а; 6).
Обычно находят точку А. (а; Ь),
проводят через нее вспомогательные
оси координат и «привязывают» к
ним график функции f (рис. 45).
100
Пример 1. На рисунке 46 изображен график функции f.
Построим графики функций /ь f21 fa. А* где
fi (х) = /(х + 3)4-2,
Мх)=Н*-ЗН-2,
hM=f
>4-3)-2,
>-3)-2.
Решение. График функции fi получается из графика функ-
ции f с помощью параллельного переноса, при котором: начало
координат переходит в точку Л1 ( —3; 2) (рис. 47). Для функции
f2 соответствующей точкой является А2(—3; — 2). для функции
/з — точка Аз (3; 2), а для fi — точка Л< (3; —2).
Рассмотрим теперь преобразования графиков, соответствую-
щие умножениям координат на некоторые числа. Пусть точка
М (хф; у o') лежит на графике функции Д т. е. пусть yo=f (х0).
Тогда координаты точки М' (kxa; /у о), где fe=#0, 1=^=0, удовлет-
воряют соотношению y=lf[-~-^ (проверьте это утверждение под-
становкой координат точки М' в указанное соотношение). Об-
ратно, если координаты точки М' (kxo; ly^ тд.е й#=0, /=^0, удов-
летворяют соотношению	то точка М (х0; у») лежит
на графике функции f. Но точка М’ (Лх0; 1у<>) получается из
точки М (Хо; уь) с помощью растяжения от осн абсцисс с коэффи-
циентом I и последующего растяжения от оси ординат с коэффи-
циентом k. Мы доказали следующую теорему:
Теорема 2. Пусть й=/=0, и F (х)=If Тогда график
функции F получается из графика функции f с помощью растя-
жения от оси абсцисс с коэффициентом I и последующего растя-
жения от оси ординат с коэффициентом k.
Поскольку растяжение от прямой с коэффициентом —1 яв-
ляется симметрией относительно этой прямой, то получаем след-
ствия из доказанной теоремы:
Следствие 1. Если F(x) = — f (х), то график функции F полу-
чается из графика функции f с помощью симметрии относитель-
но оси абсцисс.
Рис. 46
Рис. 47
Ю1
Следствие 2. Если F(x)=/( — х), то график функции F полу-
чается из графика функции f с помощью симметрии относитель-
но оси ординат.
Следствие 3. Если F (х) — — / ( —х), то график функции F полу-
чается из графика функции f с помощью симметрии относитель-
но начала координат (т. е. композиции симметрий относитель-
но осей координат).
Пример 2. На рисунке 48 изображен график функции f.
Построим графики функций /i, /2, /3 таких, что
/i(x)=2/(x). /2(х)=/(3х), /з(х)=2/(3х).
Решение. График функции /, получается из графика функ-
ции / с помощью растяжения от оси абсцисс с коэффициентом 2.
График функции /2 получается из графика функции / с помощью
растяжения от оси ординат с коэффициентом -у. Наконец, гра-
фик функции /з получается нз графика функции f с помощью
растяжения от осн абсцисс с коэффициентом 2 и от осн ординат
с коэффициентом А.
Для построения графика функции F. где F (х}=/ (ах + fri, за-
писываем ее в виде F(х)=/(а(х-|-А) ). строим график функции
/(ах) я делаем параллельный перенос, при котором начало коор-
динат переходит в точку Л (—А; о).
Упражнения
2|2. Ня рисунке 49 изображен график функции [. Начертите график функции Г-
I) F(xl=f <х)ц-2;	2) Г (х)=/(г—4)-2;
3)	4) /г(х)=^_х).
102
5) FfX)=-/(-x);
7} F(xj=2f(x-4)f5;
II) Л(х) = -у (3x);
13) F(x) = 2/(3x-6)+l;
15) F(x)^f(4^xY.
6) f(x)«=2f(x);
8) F(xj=f(2x)-l;
10) F(x)=2/(y);
12)
14) f(x)= -2/(3x-6)-l;
16} F(x)W(4-M+2.
213. Исходя нз графика функции |x|, постройте графики следующих функций:
I) |х|+2;2) |х-41+2; 3) -|х|; 4) I-*1; 5) -1-х|:6) 21х|;
7) | у| ; 8} 2| j] ; 9) 2lz~4|+5; 10) 3|-2х|-|; II) 2|Зх-61+1;
12) -2|Эх-6|-1; 13) |4 —х|; 14) |4-2Х|+2.
3. График линейной функции. В курсе алгебры VII класса
указывалось, что графиком функции kx является прямая линия,
проходящая через начало координат. Однако там не было при-
ведено доказательство этого утверждения. Мы приведем его
сейчас.
Теорема. Прямая линия, проходящая через начало координат
и точку А (1; Л), является графиком функции kx.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
Л>0. Возьмем на прямой О А точку М (х(; $/]), для которой xi>0,
и опустим из нее перпендикуляр МР на ось абсцисс. Тогда тре-
угольники ОАЕ и ОМР подобны (рис. 50), и потому
Но A£ = k, ОЕ—\. Mp=ylt OP^xi,
и, значит, . Отсюда следует, что x/i = /exl. Таким образом,
1 XI
для всех точек данной прямой, лежащих в первой четверти,
выполняется равенство y — kx. Возьмем теперь на этой же прямой
точку Т (Х2‘, у?}, симметричную точке М относительно начала ко-
ординат О. Тогда Х2— — Х|, у2= — У\, н из равенства — kxy сле-
дует, что — у2 = k( — х2), а потому y2 = kx2. Значит, равенство
y — kx выполняется и для точек прямой, лежащих э третьей чет-
верти. Наконец, оно выполняется и для точки О (0; 0).
Итак, для любой точки М (х; у) прямой ОА выполняется ра-
венство y = kx, а потому эта прямая является графиком для
kx (точек, не принадлежащих этой прямой, график функция
kx не имеет, поскольку каждой точке оси абсцисс соответствует
точка прямой ОА, а другая точка ей соответствовать нс может
по определению функции).
Теперь разберем случай, когда АсО. Так как точки М (х; у)
и .V( — х; у] симметричны относительно оси ординат, a kx~
— £)•( —х), то при АсО графиком функции kx служит линия,
симметричная относительно оси ординат графику функции ( — А)«х.
Но — fe>0, и потому мы знаем, что график функции ( — k)-x —
прямая линия, проходящая через начало координат и лежащая
в первой и третьей четвертях. Значит, при fee0 графиком функции
kx служит прямая линия, проходящая через начало координат
и лежащая во второй и четвертой четвертях (рис. 51). Эта прямая
проходит через точку /1(1; А).
Наконец, при А = 0 получаем прямую у — 0, т. е. ось абсцисс.
Мы доказали, что графиком функции kx является прямая, про-
ходящая через начало координат и образующая с осью абсцисс
острый угол при А>0 и тупой угол при А С О (угол отсчиты-
вается от положительного направления оси абсцисс против ча-
совой стрелки). Среди прямых, проходящих через начало коорди-
нат, лишь ось ординат нс является графиком какой-либо функции
вида y = kx (рис. 52, а).
Функцию вида kx-^b называют линейной функцией. Ес*гра-
фик получается из графика функции kx путем сдвига иа b вдоль
осн ординат. Поэтому графиком функции fex-f-Л является пря-
мая линия, параллельная прямой y — kx. Значит, графики всех
линейных функций, имеющих один и тот же коэффициент k,
параллельны друг другу. Поскольку этот коэффициент опреде-
ляется углом между прямой и осью абсцисс, его называют уг-
ловым коэффициентом прямой.
Если угловой коэффициент прямой линии положителен, она
образует острый угол с осью абсцисс, а если этот коэффициент
отрицателен, то угол между осью абсцисс и прямой является
тупым.
Через любую точку Л1 (а; Ь) координатной плоскости проходит
лишь одна прямая с угловым коэффициентом k. Она получает-
ся из прямой y — kx с помощью параллельного переноса, пере-
водящего точку 0(0; 0) в точку Af (а; Ь). По п. 2 уравнение этой
прямой имеет вид: у—k {х — a)-j-b.
?Аы доказали следующее утверждение:
Уравнение прямой линии, имеющей угловой коэффициент k и
проходящей через точку М (а; 6). имеет- вид:
y = k{x — a) + b.	(О
Угловой коэффициент прямой линии я мест простой геомет-
рический смысл - он равен тангенсу угла а между осью абсцисс н
этой прямой, причем угол отсчитывается от положительного на-
правления прямой против часовой стрелки. В самом деле, прн
&>0 имеем (рис. 52,6. 52, в) ig a = ^ = k, а при &<0имеем:
tgot=tg(180°—ф)=(йф=—— |fe| =k.
Пример I. Напишем уравнение прямой, проходящей через
точку М (3; —6) и параллельной прямой у = 4х—5.
Решение. Так как угловой коэффициент искомой прямой
равен угловому коэффициенту прямой 4х —5, т. е. числу 4. то ее
уравнение имеет вид: у —4 (х — 3) — 6. Раскрывая скобки, полу-
чаем: у—4л — 18.
Выберем на координатной плоскости две точки:
и	Если Х(—л2, то эти точки лежат на прямой х=*ь
параллельной оси ординат и не имеющей поэтому углового ко-
эффициента. Если же Aj^xj, то прямая МГИ2 имеет угловой
коэффициент. Чтобы найти его, заметим, что эта прямая проходит
через точку Л43 и потому ее уравнение имеет вид: y = k (х—xi)+tfi-
Но точка Л12 тоже лежит на этой прямой, а потому ее координаты
удовлетворяют этому уравнению. Значит, у2 = k (х2 — Xi)+#i. По-
скольку х8ч^Х|, находим отсюда, что угловой коэффициент k
прямой, проходящей через точки	и	выра-
жается формулой
Пример 2. Найдем угловой коэффициент прямой, проходя-
щей через точки Mi (—4; 3) и Af2(6; — 7).
_7__3
Решение. По формуле (2) получаем: * —— I-
Чтобы получить уравнение прямой, проходящей через точки
М, (хг, yi) я	где х\^=х2, достаточно заменить в урав-
нении y = k{x—л1)-4-(/| коэффициент k на Получаем:у =
—х()4-ел ИЛИ (при 1/2=А</|)
X;— Xi
Пример 3. Напишем уравнение прямой, проходящей через
точки Mi (5; I) и М2( — 3; б).
Решение. По формуле (3) получаем:	• Это
уравнение преобразуется к виду у= —
Н о
Упражнения
214. Найдите значение к для пряной, проходящей через начало координат и
точку Л. если:
I) 4 {-в; 2); 2) Л (6; 3); 3) А (2; 0): 4) A (ft; -2).
215. Начертите графики линейных функций:
I) -х + 4; 2) Str-Н; 3) х+4; 4) -8x4-8.
Назовите угловые коэффициенты полученных прямых.
2J6. Постройте прямую, проходящую через тучку А { — |; 4) и имеющую угловой
коэффициент 2. Напишите уравнение этой прямой.
217. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А и имеющей угло-
вой коэффициент k. если:
I) А (_|;4), fe = 4;	, 2) А(3;0). k= -2;
3) А (-2; -5k fc=yj 4) Л (fi; I). *=-у-
218. Напишите уравнение прямой, проходящей через тучку А (—5:3) и парал-
лельной прямой у = 4.с —7.
21$. Найдите угловой коэффициент прямой А, проходящей через точки А (— ];2)
и В (3; 0). Напишите уравнение этой прямой. Напишите уравнение прямой,
проходящей через точку С(6: I) и параллельной прямой АВ.
22V. Дан треугольник АВС. где А (— I; 2). Я(1.0), С(3; 6).
I) Напишите уравнения прямых АВ. ВС. С А.
2) Напишите уравнения прямых, на которых лежат медианы этого тре
угольника.
22|. Постройте график функции /. где
( — Эх-|-2. если х^О,
2, если 0<х<3.
^х — 1, если х>3.
222. Постройте график функции |х—11 + 1х-|-3|.
Какой угловой коэффициент имеет этот график при х=-6, при х = 0.
при х =8?
223. Изобразите область, где:
1) у>2х- I н у-Сх+5; 2| t/>3x-|-5 и -х-{-3.
4. График квадратической функции. График функции х2 был
изучен в девятилетней школе. Он изображен на рисунке 53. В
силу теоремы 2 п. 2 график функция ах'2 пап умается из графика
функции х2 с помощью растяжения от оси абсцисс с коэффи-
циентом а. На рисунке 54 изображены графики функций ах2 при
различных значениях параметра а.
Построим с помощью параллельного переноса график общей
квадратической функции ах' -г&х + с, а^=0. Для этого выделим
из трехчлена ах2-^Ьх-\-с полный квадрат
2 11 i	/ I b \2 . -lac —h1
ах’+Ьх+с~а(х+-^) + —jj—•
Иными словами,
ах- -]-Ьх + с = а(х— а)2+0, где а = —	р =
Значит, график функции a^-j-bx-j-c получается из графика
функции ох2 с помощью параллельного переноса, при котором
начало координат переходит в точку А (а; 0).
Пример I. Построим график функции	+
Решение. Выделяя полный квадрат, получаем, что
2х24-8х4-5 = 2 (х2 4-4х)-р 5 = 2 (х2-|-4х+4) + 5 — 8=
— 2(х4-2)2 —3.
Поэтому проводим через точку Д( —2;—3) вспомогательные
оси координат и изображаем в этих осях график функции х2, а
потом получаем нз него в тех же осях график функции 2х2.
Полученная линия будет графиком функции 2х‘4- 8х-р5 в ис-
ходных осях координат (рис. 55).
График функция х2 называют параболой. Параболами назы-
вают и все кривые, подобные этому графику. Покажем, что гра-
фиком функции ах1 при любом а=#0 является парабола. Для
этого достаточно заметить, что при гомотетии с центром й начале
координат и коэффициентом ~ точка М (х; х2), лежащая на гра-
фике функции л?, переходит в точку	и что =
= с(~") • График функции ах2-\-Ьх^-с при любом а=^0 по-
лучается из графика функции ах2 с помощью параллельного
переноса и потому тоже является параболой.
Упражнения
224. Постройте графики функций:
I) х,-8х + 20;	2) 2х*-6х+2;	3) Эх-х1;
4) 1-х-А	5) 2-4х-х»;	6) Зх’+Зх-Ц-
226. Постройте параболу, проходящую через точки А. В и С, если:
|)Л(1;|),	В (—2; 4),	СМ;
2) А (0,0),	Sfl;Oj,	С(-1;-2);
3)Л(0;1),	Я(-1;0).	С(-2;3);
4)Л(0;2),	В (|;«),	С (4; в).
226. На параболе у=ах.г выбрана точка .М (х«»: у») н через нее проведена се-
кущая с угловым коэффициентом k. Выразите через х<, и k абсциссу второй
точки пересечения параболы н секущей. При каким значении ft обе точки
пересечения сливаются в одну, г. е. прямая касается паряболы?
227. Напишите уравнение касательной к параболе у=<1х2 в точке с абсциссой
Хо, если:	*
I) о= —2. Хл=4; 2) <1=3. Хп = |.
5. График дроби о-л инейной функции. Покажем теперь, как
путем преобразования уже известного из курса девятилетней
школы графика функции построить график любой функции
д**4 • Поскольку эта функция является частным двух линей-
СХ “у- и
ных функций ax-i-b и сжЦ-d, ее называют дробно-линейное! функ-
цией.
Отметим, что иногда дробно-линейная функция тождественно
равна линейной функции или даже всюду, кроме одной точки,
постоянна. Именно, если с —0 и d=#=Q, то имеем линейную функ-
цию -ух+-у, графиком которой служит прямая линия. Если же
но ad — be — 0, то выполняется пропорция	из ко
торой следует, что у = -2- (разумеется, для значений х, отличных от
—В этом случае графиком функции служит прямая линия
Ififi
у=—, параллельная оси абсцисс, из которой выброшена точ-
каМ(-т:т)-
В дальнейшем, говоря о дробно-л инейной функции р бу-
дем предполагать, что с=#0 и ad — bc^O. Мы покажем, что а
этом случае график дробно-линейной функции получается из
гиперболы у = -^- с помощью растяжения от оси абсцисс и па-
раллельного переноса.
График функции — получается из графика функции с по-
мощью растяжения от оси абсцисс с коэффициентом k. На
з з
рисунке 56 показаны графики функций — и —
Чтобы построить график функции , выделим нз дроби
целую часть. Для этого разделим «уголком> ах-^-Ь на cx + d:
Рис. 57
Рис. 56
109
Таким образом.
“±i=fi+_»_> где	я=—i р=^
cx-\-d х—1	е	с г с
Поэтому график функции получается из графика функции
СХ -у м
k
— с помощью параллельного переноса, при котором начало
координат переходит в точку А (а; 3) и k, а, р определяются из
формул (I).
Пример 1. Построим график функции .
Решение. Выделяя целую часть, получаем, что
Зх 4 10 -> , 4
х42 —J + r4-2‘
Значит, k — 4, а=—2. 0 = 3. Проводим через точку ,4( — 2; 3)
вспомогательные осн координат, строим в этих осях сначала
график функции -у-, а потом график функции Относительно
исходной системы координат полученная линия и будет графиком
функции (рис. 57).
Упражнения
223. Постройте графики следующих функций:
Зх + 6
2х+5 ’ '
О
~2х + 4	-5х-1 . х + 8
Зх—)2 • °* х + 8 ' ’ -5х-Г
220. Постройте график функции
йх+б
гх 4-^
. проходящий через точки ,4. В н С,
если:
1} А (0; -П. s<2:	С(-1; 0);
2) Л(—I; -5), Й{]; —3). С(-5; II.
0. Построение графиков функций, выражение которых содер-
жит знак модуля. Если известен график функции /, то не состав-
ляет труда построить график функции |/|. Мы знаем, что
|пи|_/ НА если f(x)>0,
Поэтому достаточно построить график функции /, после чего
часть полученного графика, лежащую ниже оси абсцисс, симмет-
рично отразить относительно этой оси. Ня рисунке 58 построен
указанным путем график функции |х2 —4х|.
Построим теперь по заданному графику функции / график
функции f(|x’). Для этого заметим, что f(|xl)=f(x) при х^0 и
f (|xl)=/(—х) при х<0. Поэтому график функции f (|х|) строится
следующим образом: строим график функции / при х^О и от-
ражаем его относительно осн ординат. На рисунке 59 показано по-
строение графика функции (|л[—2'Г с помощью графика функ-
ции (х—2)\
Равенство iyt=f(x) нс задает функции, поскольку при
Цх)>0 имеем два значения у, соответствующие данному зна-
чению х: y = f(x) и у= а при f(x)<0 —ни одного такого
значения. Линия, имеющая уравнение |t/| = ИХ)> строится следую-
щим образом: строим график функции отбрасываем его часть,
находящуюся ниже оси абсцисс, н дополняем оставшуюся
линию ее образом при осевой симметрии относительно оси абсцисс.
На рисунке 60 показано построение графика уравнения |#| = х‘ —
—4х по заданному графику функции х'—4х.
Предоставляем читателю сформулировать правила, по которым
строятся графики для |у| = |/(х)| н для |t/l = f(|x|).
Упражнения
234). Постройте график функции:
I) |х»-4х + 31: 2) х‘—4 1ХЦ-3; 3) |х2+2х| +1; 4) Нх-1|-2х|;
5)u+2i + |I_4|: 6)|1±3| . 7>И+|: 8)П^:
9) ТП“: |0) 1хГ=5: П) I2t +114-1x1 ; ,2) |х —11 + 1x1 -2'
23|. Постройте множество точек .М (х; у}, для которых:
И х4 |x| = y + l,vl; 2) х——|у|;
3) х + |х|=у —|р|;	4) х_|х| =у+|«ц;
5)	х-й|=«/-[|/);	6) |х)=М-
232.	Найдите множество таких точек М (х; у), что
111
233.	Решил- неравенство x-f-2^ |хг+2х— 3|. построив графики левой и правой
частей.
234.	Тем же способом (сн. упр. 233) решите систему неранснсгн:
{|x2+xl<
к2-х|
235.	На рисунке 61 изображен график функции / (х). Постройте графики
функций:
I)	1«Х)|; 2} Ни); 3) |Ни)|; D -Щх)|; 5) fi-lxl): 6) -h-klk
7) |Д-И)|;8) -|/(-|х|)|.
236.	На рисунке 61 изображен график функции f(x). Изобразите множество та
кнх точек М (X; что:
I)	liM=ffrh	2) !у| = -И*):
3)	|у| = И(х)1;	4) |yl = HkO;
5) |у|“И(к|)1.
Задают ли равенства этого упражнения функции?
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1. Четные к нечетные функции. Из равенства ( — х)2~х2 сле-
дует, что на графике функции х2 вместе с каждой точкой М(х; х*)
лежит точка jV(—х; х2), симметричная с М относительно оси ор-
динат. А из равенства ( —л)3= —х3 следует, что на графике
функции х3 вместе с каждой точкой М{х\ х3) лежит точка
jV( —х; — х3), симметричная с М относительно начала коорди-
нат. Значит, график функции х2 симметричен относительно
оси ординат, а график функции х5 — относительно начала коор-
динат.
Введем следующее определение:
Определение 1. Функцию / называют четкой (соответственно
нечетной), если ее график симметричен относительно оси орди-
нат (соответственно начала координат).
112
Вспоминая, что график функции / состоит из точек М(х;
f(x)), где x£D(f), можем сформулировать определение 1 сле-
дующим образом:
Определение Г. Функцию / называют четной (соответственно
нечетной), если для любого x£D(f} выполняется равенство
—	(соответственно f ( —х)—— f (х)).
Как равенство Ц — х)=/(х), так и равенство f(— х)= — [{х)
могут выполняться для всех x£D(f) лишь в случае, когда из
x£D(f) следует — x£D(f\ т. е. когда множество D(J) сим-
метрично относительно начала координат О. Отсюда вытекает,
что для четности или нечетности функции необходимо, чтобы D(f)
было симметрично относительно точки О.
Из определения Г вытекает, что функции вида х'2п, ziEjV,
четны, а функции вида х24"1, n£N, нечетны. Этим н объясняют-
ся названия соответствующих классов функций.
Пример 1. Исследуем на четность функцию х2, — 3<х<5.
Решение. Эта функция не является четной, так как отрезок
[ —3; 5] не симметричен относительно начала координат.
Бывают функции, нс являющиеся ни четными, ни нечетными.
Например, ( — хУ* +(— x'f = — х3 4-х2, и потому не выполняется ни
тождество xf+( —х)2=х3Н-х\ и и тождество (—х)’4-(—х)* =
= —(х^ + х2). Значит, функция x'-j-x2 не является ни четной, ни
нечетной.
Исследование функций на четность и нечетность облегчается
следующими утверждениями:
а)	Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных
функций нечетна.
В самом деле, пусть функции f н g четны и x£D(f)fiD(£).
Тогда f( — x) = f(x), g(—x)=g(x), и потому
Значит, функция f + g четна Аналогично доказывается нечетность
функций l + g в случае, когда f и g нечетны.
б)	Произведение двух четных функций является четной функ-
цией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произве-
дение четной и нечетной функций - нечетная функция.
В самом деле, пусть функции f и g четны, a x£D(l)(]D(g).
Тогда имеем:
(fg)(- * W(~х)g (-х)=f (х) g (х) ={Jg)(х).
Значит, fg — четная функция. Аналогично разбираются осталь-
ные случаи.
Поскольку постоянная — четная функция, то из б) следует,
что функция а/, где a£R, четна, если f четна, и нечетна, если [
нечетна. Отсюда следует, что вместе с функциями / в g четна
(соответственно нечетна) любая функция айда af+bg, где
a, b£R.
из
Пример 3. Функция 2х4 — 3*2Н-6 четна, а функция
8г3 — 7х нечетна.
в)	Если функция f четна (соответственно нечетна), то и
функция четна (соответственно нечетна).
В самом деле, если функция f четна и /(х)^0, то
I _ 1
Н-х) W
Если же f(x) = O, то и /(—х)=0, а потому ни х, ни — х не при-
надлежат области определения функции Этим доказано, что
। >
-f— четная функция.
Пример 4. Функция	четна, поскольку четны
функции ^4-4 к Зхь + х4-|-7, а
В заключение отметим, что если X симметрично относитель-
но начала координат, то любая заданная на X функция f явля-
ется суммой четной и нечетной функций. Это разложение имеет
вид: /=Ф4-ф. где
фМ=ЖШ^>,
В самом деле, из равенств
<F(-x) = fl~JWW=<pffl,
4»	x.
следует, что функция ip четна, а функция ф нечетна. При этом
/ W=™^+ф (х)+ф (х).
•	*	Ct
Упражнения
237. Выясните, какие на следующих функций являются четными. какие нечетными,
а какие не принадлежат ни одному из этих класс«>и:
п ----!---_----.---•
'' | Ч-а-Ч-г' I— x-f-x*’
4) (х + 1)Ч(х-1Л
О» *>~Х .	->4 ^+Х?+1
x-'+l ’	Х*+1	*
. < . с х3-}-!	х4-4 х—4
5) Z-4Z + 5; 6)	7)
I 14
23$. Представьте в виде суммы четой н нечетной
функций следующие функции:
’> ^~‘ + ^ *> ?ЩТ-
233. На рвсункс 62 изображен график функции /,
заданной на луче (0; 4 <»). Нарисуйте гра-
фик четной функции, совпадающей с / при
0<х< 4- оо. Нарисуйте график нечетной функ-
ции, совпадающей с / при 0<х<4-<».
240, Чему равно /(0), если f нечетная функция и 0£D (/)?
241.	Функция / равна к‘ ори 0<x<-f-oo. Продолжите ее четным образом на
нею ось.
242.	Функция f равна х2 при 0<х< + оо. Продолжите ее нечетным образом
на всю ось.
243.	Может ля линейная функция ох4- b быть четной? А нечетной?
244.	Приведите пример функции, которая не является нн четной, ни нечетной.
246.	Найдите условие, при котором график функции [ будет симметричен от-
носительно прямой х=о.
246.	Найдите условия, при выполнении которых график функции / будет симмет-
ричен относительно точки Л1 (а; Ь).
247.	Найдите ось симметрии для графиков функций:
I)	(x-3)* + 2U-3)‘+S: 2) х2-3x4-5.
248.	Найдите центр симметрии для графиков функций:
I)	(х-2? 4-3 (ж-2)-б:	2} (Л4-4?4-(х4-^-1.
2,	Возрастание и убывание функций. Функция, график которой
изображен на рисунке 63, а, обладает тем свойством, что при уве-
личении значения аргумента х значения функции увеличиваются.
Про такие функции говорят, что они возрастают. А значения
функции, график которой изображен на рисунке 63, б, уменьшают-
ся при увеличении х. Эта функция убывает. Функция /, график
которой изображен на рисунке 64, возрастает к а отрезках [а; £>] и
[с; dj и убывает на отрезке [i>; с] к луче [с/; -4- оо).
1 1R
Определение I. Функцию f называют возрастающей
(соответственно убывающей} на множестве X, если на этом
множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответ-
ственно уменьшаются) значения функции.
Иными словами, функция [ возрастает на множестве X, если
из Х'ЕХ, х^^Х и xi<x2 следует, что f(xi)<f(xa), Она убывает
на этом множестве, если из xi£A\ х^Х и Х|<*2 следует:
f(*i)>f(*2) (рис. 65, а, б).
Наряду с возрастанием и убыванием функций рассматривают
нестрогие возрастание и убывание.
Определение 2. Функцию f называют нестрого возрас-
тающей (соответственно нестрого убывающей] на X, если из
х3£Х, х2£Л, х,<х2 следует: / (xi)<2f (х2) (соответственно
Графики таких функций изображены на рисунке 65, а, б. Они
могут содержать как участки возрастания (соответственно убыва-
ния), так и горизонтальные участки.
Функции, возрастающие или убывающие на X. называют
монотонными на X, а функции, нестрого возрастающие или
! IR
Исследование функций на возрастание и убывание выполняет-
ся с помощью свойств неравенств. Приведем примеры.
Пример 1. Функция х°, где n£N, возрастает на луче
[0; 4-00)-
В самом деле, в силу свойства 7) неравенств (см. п. 7 § I
главы J) из 0Сх|</2 следует: x?<x$.
Для доказательства монотонности функций полезны следую-
щие общие утверждения:
1)	Если функция j возрастает нд множестве X, то для любого
числа с функция /4- с тоже возрастает на X.
2)	Если функция f возрастает на множестве X и О О, то
функция cf тоже возрастает на X.
3)	Если функция f возрастает на множестве X, то функция
—/ убывает на этом множестве.
4}	Если функция f возрастает и сохраняет знак на множестве
X. то функция -^-убывает на этом множестве.
5)	Если функции fug возрастают на множестве X, то их сумма
f + g тоже возрастает на этом множестве.
6)	Если функции fug возрастают и неотрицательны на мно-
жестве X, то их произведение fg тоже возрастает на X.
7)	Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве
X и п — натуральное число, то функция fn тоже возрастает на X.
8)	Если функция f возрастает на множестве X, а функция g
возрастает на множестве значений E(f) функции f, то композиция
g*f этих функций возрастает на X.
Все эти утверждения непосредственно вытекают из свойств
неравенств и определения возрастания н убывания функций. На-
пример, утверждение 6) доказывается следующим образом. Пусть
х2^Л и Х|<х2. Тогда, в силу того что функции f и g
неотрицательны н возрастают, имеют место неравенства f(xi)<
<f (*2) н g (Xi'Kg (х2). Но тогда по свойству ж) неравенств из п. 5
§ 1 главы I имеем: f(xi)-g(xl)</(x2)-g'(x2). Это и значит, что
функция f-g возрастает на X.
Предоставляем читателю доказать остальные утверждения, а
также сформулировать и доказать соответствующие утверждения
про убывающие функции.
Пример 2. Докажем, что функция	убывает на
положительной полуоси [0; 4-00).
Решение. Так как функция х неотрицательна и возрастает
на полуоси [0; 4- °°), то по утверждениям 7) и 2) теми же свойст-
вами обладают функции х4 и Зх2. Но тогда по утверждениям
1) и 5) функция х44-Зх24-2 тоже возрастает на [0; 4-оо), а по-
тому по утверждению 4) функция
I
Х«+Зх* + 2
убывает на этом
множестве.
Если функция / возрастает на отрезке [о; с] и убывает на
отрезке [с; д], то ее значения в точке с больше значений в
остальных точках отрезка [а; 6] (рис. 67, п).
Аналогично если функция f убывает на отрезке [д; с] и воз-
растает на отрезке [с; 6], то ее значение в точке с меньше всех
остальных ее значений на отрезке [а; б] (рис. 67, б).
На рисунке 65, а изображен график функции
Из ри-
Рнс. 68
сунка видно, что этот график целиком
лежит в полосе, ограниченной прямыми
у=0 и у = 1. Это вытекает из того, что для
всех х имеем 0<Vj-y<l. График же
X3
функции у (рис. 68, б) имеет точки со
сколь угодно большим^ значениями орди-
нат и потому ни в какую полосу, парал-
лельную оси абсцисс, поместиться не мо-
жет. Однако если взять часть этого гра-
фика, лежащую над отрезком [ — 2; 2],
то она целиком лежи г в полосе, ограни-
ченной прямыми у=—4 и </ = 4.
Введем следующее определение:
Определение 3. Функцию f на-
зывают ограниченной снизу (соответст-
венно сверху) на множестве X, если су-
ществует такое число М, что на X вы-
полняется неравенство	(соответ-
ственно	Функцию, ограничен-
ную на X и снизу и сверху, называют ог-
раниченной на этом множестве.
Если функция ; не является ограни
ченной (ограниченной сверху, ограничен-
ной снизу) на X, то ее называют неог-
раниченной (неограниченной сверху, не-
ограниченной снизу) на X. В этом случае для любого Af найдет-
ся такое х£Х, что |/(х)| > М (соответственно f(x)>Al;
х2
Пример 3. а) Функция -^-р ограничена на всем множе-
стве Л; б) функция ! ограничена снизу на R (так как л2 +
-4-1 IX но не ограничена сверху на R. на любом отрезке [а; Ь] эта
функция ограничена; в) функция —нс является ограниченной на
промежутке (0; 1). так как при х, достаточно близких к нулю,
она принимает сколь угодно большие значения; на любом отрезке
айда [в; I], где е>0, эта функция ограничена.
Упражнения
249.	Докажите утверждения 1)	В).
Исследуйте нз возрастание и убывание функции (250 252):
250.	П <ж-2Г+1;	2)	3)	<)
> тЙ= « ?те-
262. |) ж*+6агЧ**2 + 7.	2) 3(x-2)42(x-2f + 5.
253.	Найдите наименьшее значение функций нз примеров упражнений 250 (1.2, 3),
2S2 (I).
254.	Найдите наибольшее значение функций на примеров упражнений 250 (2, 3).
251 (1).
265.	Среди следующих функций найдите: а) ограниченные снизу; б) ограни-
ченные сверху; в) ограниченные:
п 2> тро: 3) -ГТ4: 1) х’+*
5) г*4-6: 6) -2х’4-2.г+Ь
26fi. Докажи-п.-, что функции f(x)*=x' —Зх убывает на отрезке ( -1; >] и возраста-
ет на промежутках ( — оо; 1] и [1; 4- <»).
257’. Докажите, что функция f (х)=жа—Зх? убывает на отрезке [0; 2)и возрастает
на промежутках (— оо; 0] н [2. -)-оо).
Глава IV
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
1. Бесконечно малые функции. Существует много примеров ве-
личин. связанных друг с другом так, что при безграничном увели-
чении одной из них другая безгранично приближается к нулю.
Например, сила F, с которой Земля притягивает удаляю-
щуюся от нее ракету, приближается к нулю по мере увеличения
расстояния г ракеты до Земли. Масса т куска радиоактивного
вещества приближается к кулю с течением времени, длина а
стороны прямоугольника данной площади S приближается к нулю,
когда длина b другом стороны безгранично увеличивается.
Для описания величин, связанных друг с другом указанным
выше образом, введем понятие функции бесконечно малой при
х- ► + оо. Так называют функции, график которых при больших по-
ложительных значениях х «почти сливается* с осью абсцисс.
На рисунке 69, а приведены графики трех бесконечно малых
функций. Видим, что бесконечно малая функция может прибли-
жаться к нулю и возрастая, и убывая, и даже колеблясь око-
ло нулевого значения.
Чтобы уточнить слова «график функции 'почти сливается с
осью абсцисс при больших положительных значениях аргумента»,
выберем какое-нибудь положительное число е и проведем по-
лоску, ограниченную прямыми у= — е и у = г (рис. 69,6).
Приближаясь к оси абсцисс, график бесконечно малой функции
а рано или поздно попадет в эту полосу и останется в ней
(этому могут предшествовать попадания графика в полосу, после
которых он вы ходит нз нее, такие попадания нас не интересуют).
Если график функции а попал в полосу, ограниченную пря-
мыми у= — к и f/ = c, то выполняются неравенства — £<а(л)<
<е, или, что то же самое, неравенство |а(х)|<е. Поэтому по-
нятие функции, бесконечно малой при x-*--f-oo, определим сле-
дующим образом:
Определение /. Функцию а называют бесконечно малой
при х-»--|-оо, если для любого е>0 найдется луч [Л4; + со), на
котором выполняется неравенство |а(х)|<е.
Пример I. Докажем, что функция бесконечно мала
при х-*4- со.
Решение. Пусть задано число «>0. Положим Л4 = —
Тогда прн х>Л1 имеем: —<-1-=е, и потому — <с. Значит,
X ЛТ	1 X ।
функция — бесконечно мала при х->-|-оо.
Пример 2. Докажем, что функция 10_,х| бесконечно мала
при °°-
Решение. Зададим любое е>0. Найдется такое n£N,
что	Поэтому при х>л имеем:	10 Напри-
мер, если « = 0,00024. то надо взять п =4.
Этим доказано, что функция 10~rrJ бесконечно мала при
л-*- + оо.
Функция, принимающая для всех х значение 0, бесконечно
мала при х *4- <». Других постоянных бесконечно малых функций
не существует.
Теорема I. Если функция а постоянна и бесконечно мала
при х->4- ею, то она равна нулю при всех значениях х.
Доказательство. Пусть для всех х имеем: а(х)=д,
причем 6-АО. Тогда ни при каком значении х не может вы-
полняться неравенство Jet (х)| < |fr|, а потому функция а не может
быть бесконечно малой при х-*--|-ао.
Упражнения
июо
2S8-	Дана функция а(л) = -у-.
1)	Укажете область определения функции а.
2)	Выясните, при каких значениях х функция принимает положительные
значения, отрицательные значении.
3)	Укажите промежутки, нз которых функция возрастает, убывает.
4)	Прн каких значениях х выполняются неравенства: |« (ж)| <0,0|,
I а (х)1 <0.0001. |а(х)|<е, где е>0?
5)	Как ведет себя график функции при х ► 4- <=?
Постройте этот график.
121
259. На рисунке 70 изображены графики нескольких функций. Какие из этих функ-
ций бесконечно малы при г—*+<»?
290. Для функции а(х)=-^ составьте таблицу значений прк х=1. 2. 3, 10.
30, 100. 300, 1000.
Начиная с какого значения г выполняется неравенство;
1} 1а(х)| <0.0015; 2) | а {х» <0.000015; 3) |а (х)| < |5-10“'*?
261.	Дянз функция а(х)=2- .
&
1)	Найдите ее значения прн х = 100, 10 000. 1 000 000.
2)	При каких значениях х выполняется неравенство а(х)| <е, если е=0,1;
0.01; 0.0005?
3)	Построите график этой функции. Как ведет себя график прк л-^Ц-оо-
4)	Можно ли сказать, что функция бесконечно мала прк х-»-4-оо?
({?
262.	Докажите, что функция — бесконечно мала прн х *+ ос.
V
263.	Найдите значение М, после которого выполняется неравенство.
я) £<0.|, 6)	10 т.
2В4.	Докажите, чти функция бесконечно мала при х-*-фоо.
265.	Найдите значение Л1, после которого выполняется неравенство:
11 ^<0-00,; 2> Йа’<10”-
л. 0,001л	10—х	.
266.	Объясните, почему функции — и ие являются бес конечно малы
«и Гфя Х-*+ <».
122
267. Будет Ли бесконечно налой прн л-*+« функция:
h 221-	^ + 5 ,
’ * з!х1 ’	1 2х+1 ’
268. Будет ли бесконечно малой прк х—- 4- оо функция -----------гт—-----Г’ТК
 । % *. 1 ~г I ““ «Г ।
269. Ракета безгранично удаляется от Земли (рис. 71). Является ли беско-
нечно малой разность расстояний МО н АН? А МО и М£Г? Докажите.
П 3< 2) S“'*J
что угол ОМА бесконечно мал.
270. Можно ли считать бесконечно малой добавку 0.001 г вещества в кстбу,
где идет химическая реакция, если объем колбы равен |<Ю см'? Как назы-
вают вещества, добавка малого количества которых ускоряет ход реакции’
2. Операции над бесконечно малыми функциями. Часто бы-
вает необходимо убедиться, что данная функция <х бесконечно
мала при х-ь-Ьсю. С этой целью ее сравнивают с другими
функциями, о которых заведомо известно, что они бесконечно малы
прн х-*4-оо. Такое сравнение основано на теоремах, которые
будут доказаны в этом пункте. Предварительно сделаем сле-
дующее замечание:
Общей частью лучей (Afi; + оо) и (М^; 4-°°) является луч
(At; + оо), где А< — большее из чисел А!| и (если ,М|=Л1з,
то ,M = Mi=?Vf2). Пишут: At = max(Afi; Mj).
Теорема 1. Пусть функция 0 бесконечно мала при х-гЦ-оо,
и пусть существует луч (М; + оо), на котором выполняется
неравенство 1а(х)|	1Д(х)|. Тогда функция а бесконечно мала
при х-+ + оо.
Доказательство. Так как функция р бесконечно мала
при Х-4-Ч-ОО, то для любого £>-0 найдется луч [N\ н-ос),
на котором ip(x)l О- На общей части лучей (М; 4- оо) и (Af; + оо)
верны оба неравенства |а(х)|	|р(х)| и 10(х)1<£, а потому и не-
равенство |a(x)l<s- Итак, для любого с>0 найдется луч, на
котором |а(х)|<с, и потому функция а бесконечно мала
прн х-* + оо.
Пример
1. Докажем, что функция
х3
х*+1
бесконечно мала
при х-*- + оо.
123
Решение. Так как
7^"7<7"=-—’ ПосколькУ Функция -у-
то при х>0 имеем
бесконечно мала
при
х->4-оо, это же верно и для функции •
Если неограниченно уменьшать длины обеих сторон прямо-
угольника, то его площадь тоже будет приближаться к нулю
Это замечание является частным случаем следующей теоремы:
Теорема 2. Если функции
х-*- 4- оо, то их произведение
аир бесконечно малы,
ар тоже бесконечно мало
при
при
Х-+-+ ОО .
Доказательство. Поскольку функция Д бесконечно ма
ла при х-^4-оо, найдется луч (М; 4- оо), на котором |р(х)| с 1
На этом луче имеем:
|а(х)Р(х)| = 1а(х)| • |р(х)| < 1а(х)|.	*	(I)
Поскольку функция а бесконечно мала при х->4-оо, то из (I)
в силу теоремы I вытекает, что функция ар бесконечно мала при
Х-* 4- ОО.
Пример 2. Докажем, что функция бесконечно мала при
Х-> 4- оо.
Решение. Имеем: р"=4-*"Г' Значит, 4-------произведение
функций у и у, бесконечно малых при х->4-<». Поэтому
она тоже бесконечно мала при х-^-роо.
Таким же образом доказывается, что бесконечно малы при
х->4-оо функции р-=-р-«4-и р-—• С помошью метода
математической индукции доказываем, что для любого n^N функ-
ция рг бесконечно мала при х-> 4- <*>.
Если взять два куска радиоактивного вещества, то с течением
времени масса каждого куска будет приближаться к нулю, а
тогда будет приближаться к нулю и общая масса обоих кусков.
Это замечание является наглядной иллюстрацией теоремы 3:
Теорема 3. Если функции а и р бесконечно малы при х->4-оо,
то их сумма а 4- Р т°же бесконечно мала при х-* 4- оо.
Доказательство. Зададим в>0. Так как функции а
и р бесконечно малы при х-»>4-оо, то найдутся лучи (М; 4-°°)
и (jV; 4-<»), на которых соответственно выполняется неравенство
|«(х>| к |р(х)|<-у. На обшей части этих лучей выполня-
ются оба неравенства, а потому и неравенство
| а (х) + ₽ (х) | < | а (х) 1 +1 р (х)| < -|-+ -|-= е.
124
Итак, для любого е>0 существует луч, на котором
1а (х)+ р (х)| <е, и потому функция а + р бесконечно мала при
х-*-ф- оо.
Пример 3. Докажем, что функция 77+“ бесконечно ма-
ла при оо.
Решение. Эта функция является суммой двух бесконечно
малых функций Л- и -L.
Пример 4. Докажем, что если функции а и Д бесконечно
малы при сю, то тем же свойством обладает функция
lai + lpl.
Решение. Функции |а| и |р| бесконечно малы прн х-*--р оо
в силу теоремы 1, а тогда функция |а| 4- ]0| бесконечно мала
при х-^+ оо в силу теоремы 3.
Следствие L Если функции <xi, «2, а„ бесконечно малы
при jc-^+oo, то тем же свойством обладают функции <Х|_|-а24-
+ -4-ос,» я «I-а2
Вытекает это из теорем 2 и 3 с помощью метода ма-
тематической индукции.
Следствие 2. Если функция а бесконечно мала при х->4-оо,
то для любого числа А функция Ла бесконечно мала при
х—**4“ со.
Доказательство. Из того, что функция а бесконечно
мала при х->4-<х>, вытекает бесконечная малость при х—*-4~ 00
функций 2а — а-\-а, За = 2а 4-а, 4а = За + «. С помощью ме-
тода математической индукции убеждаемся, что при любом nfN
функция ла бесконечно мала при	Поскольку для лю-
бого Af-R найдется такое n£N, что |Aj^n, то функция Да
бесконечно мала при х->4-со (так как |Да(х)|	|ла(х)|).
Пример 5. Докажем, что функция р—|--у бесконечно
мала при х->4- оо.
Решение. Функции р-, 4-, — бесконечно малы пря
х-^-4-оо. По следствию из теоремы 3 тем же свойством обла-
А 4	3	8	4
дают функции р-,	-р, и значит, и их сумма р—р—J-
+т-
Упражнения
27). Докажите, что следующие функции бесконечно калы при х-*4-<»:
•' ?-?+т- *’ 10 +Р” 31 -+-?- ’> (Гн)"
„ I , I й. .-И . I .	21-1+Э<'1. .. 5*4-9
5)	?+(7+з?' 6> 7 +зИ' 7> —ён—  8» 7(7+г)-
195
272.	Найдите такое At. что при всех х>М выполнено неравенство:
П — -L ИЛ1 |С|_	3 < 3
" -7+^г<‘° ' 2) 7 +зя<1оот'
273.	Какие на следующих функций бесконечно малы прн	и почему:
..	’	|0* - Ч. ’ 4. 2 • 4. 10? 4. В * 10” •	’	>
'’lO5®' 2)—. 3)^+-. 4)-—+—, 3)-^^?
5
274.	Постройте график функции — 1.
Как ведет себя график прн х-*+оо?
275.	Для функции — составьте таблицу значений при *-₽3. 8. 98. 998. 9998.
X т" 2
Является лн данная функция бесконечно малой ори х-* + <ю? Чему при-
близительна равно значение функции яри х = 378 211?
276.	Приведите пример двух функций, бескоаечно малых при х-*+<ю, отно-
шение которых; I) бесконечно мало: 2} не является бесконечно малым.
277.	Следует ли нз того, что произведение двух функций бесконечно мало при
х->-4-со, бесконечная малость множителей?
278-	Следует лн нз того, что сумма двух функций бесконечно мала прн х-*4 <=.,
бесконечная
полнитеаьно
малость слагаемых? Можно ля сделать этот вывод, если до-
известно, что слагаемые положительны?
3. Предел функции на бесконечности. Температура Т сня-
того с огня кипящего чайника с течением времени t умень-
шается и приближается к температуре Г<> окружающего воздуха.
Разность Т—Тп при этом приближается с течением времени
к нулю, ома бесконечно мала при /-*4-00. При этом Г = Г«4-
4-(Г — Го), т. е. температура 7 является суммой числа Г^ и
бесконечно малой функции Т-Тъ- Говорят, что Го — предел Т
при безграничном увеличении t (при /->4-00) н пишут:
lim Г=Гр. Здесь буквы Нт — сокращение латинского слова
limes, обозначающего «предел» (сравните слово «лимит»).
Отметим, что с точки зрения физики выравнивание температуры чайника
произойдет за конечное время, так как начиная с некоторого момента вре-
мени tn разность Т—Тостанет меньше, чем чувствительность измеряющих теыЛра-
туру приборов. Но математическая модель этого процесса такова, что разность
Т Тл никогда ле обращается в нуль.
В общем случае предел функции / при а->4 оо определяется
так:
Определение 1. Число Ъ называют пределом функции f
при а-*-+оо, если [ (х)=Ь + ъ(х), где функция а бесконечно
мала при х-^4 оо.
В этом случае пишут: Jim f(x')=b.
z-"- -I- X-
Ич определения I вытекает, что если Нт 7(х)=ь, то функ*
Г-+ОО
ция / — Ь бесконечно мала при	Используя определение
бесконечно малой функции, получаем следующую формулировку:
126
Определение Г. Число b называют пределом функции
f при х-*-|--оо, если для любого е:>0 найдется луч (М, +«>)<
на котором выполняется неравенство Щх)—61 <е.
Прн удалении точки Л4{х) от начала отсчета влево сим-
метричная с ней точка Af( — л) удаляется по той же оси от
начала отсчета вправо. Поэтому слова «х стремится к — оо>
означают, что «—х стремится к Н-оо>. Исходя из этого, введем
следующее определение:
Определение 2. Число b называют пределом функции f
при х-> —оо, если lim f( — x) = b. В этом случае пишут
{	-f- <XJ
' livnj(x) = b.
На рисунке 72 изображены графики функций, имеющих пре-
дел b при х-*4-оо. Если и lim/(x) = d, и limf(x)=6, то
Х—’+оп 	Х-». _ OU
число b называют пределом функции f при а-* ос и пишут:
lim £>. Функция, график которой изображен на рисун-
X
ко 73, имеет предел b при л-*оо. Для функции же, график ко-
торой изображен на рисунке 74, имеем: limf(x) = 6,	=
х— + «ь	1 - — <Ю
—а. а предел Ilin f (х) не существует, так как lim ^(x)=# JlmJ(x).
Поскольку бесконечная малость функции а црих->4- оо равно-
сильна тому, что lim а(х)=0, будем говорить, что функция а
г-4 ио
бесконечно мала при — оо (соответственно при х-*оо), если
lim а(х) = 0 (соответственно lima(x)=O).
X • ОС	X—«Х>
127
Предоставляем читателю доказать, что функция а. бес-
конечно мала при х—г со в том и только в том случае, когда
для любого вЗ>0 найдется такое число М, что на множестве
{х||х|>-Л1} (т. е. объединении лучей (М; + <*>) и (—оо; — М))
выполняется неравенство |а(х)|<е.
Чтобы проверить, является ли число b пределом функции
I при	(или при х-*-— «>). достаточно показать, что
разность f—b бесконечно мала при х-*-4-оо (или при х-*— ос).
Пример I. Докажем, что Гнп ^-—^=2.
Х-** + Л Г 
Решение. Имеем:	-2 = +Т~; — = -гЦ.
Г-Н	^+1 х’ + 1
--J,, <Д-  й функция -4- бесконечно мала при х-> +<зо.
этому функция р—-у тоже бесконечно мала при х-*-+
2х* t-3
Значит, 2— предел функции —- при х ” + <».
Но
По-
2rz I 3
Так как функция —у у- четна, то ее предел при х-> —оо ра-
вен ее пределу при x-*--f-oo, и потону ]ini Ц- *‘*-=2-
2длЧ 3
Пример 2. Найдем значение функции ^--у- при х=
X -f 1
= 1 563 408 с точностью до 10 12.
2 »- .1. з
Решение. Поскольку lim — , . =2, а заданное значение
Х-* + ос- X +1
аргумента весьма велико, можно ожидать, что значение функции
при этом значения аргумента почти не отличается от числа 2.
Надо лишь проверить, что разность между уу и числом 2
при этом значении аргумента не превосходит 10“12 Но эта
разность равна т и потому меньше, чем Д-. Поскольку из
условия следует, что*.х> 10е, то х2 * * * * * В.>10'2, a Д-<^-=10 ’2
Тогда тем более -Д— <10 12 Значит, с точностью до 10 12
I 1
J J i ч
значение функция - ?} при х = 1 563 408 равно числу 2.
В и. 2 § 2 главы 111 было показано, что график функции
а4-6 получается из графика функции а с помощью парал-
лельного переноса, при котором начало координат переходит
в точку -4(0; Ь). При этом переносе ось абсцисс переходит
в прямую линию у = Ь. Если функция а бесконечно мала при
x->-f- сю, то ее график при больших значениях х почти сливается
с осью абсцисс. Отсюда следует, что график функции а 4-6
почти сливается с прямой у = Ь. При этом lim/7х)—Ь.
128
Итак, если |irn f (x) — b, то гра-
Х-*+ «=
фик функции f при больших значе-
ниях х почти сливается с прямой
у = Ь. Говорят, что прямая у—Ь яв-
ляется горизонтальной асимптотой
графика функции f. Если
то прямая у — Ь также
является горизонтальной асимпто-
той для графика функции f, однако
в этом случае график приближается
к асимптоте при удалении влево
*
О
Рис. 75
от оси ординат. Если же
lirn/(x) = 6, то и при удалении вправо и при удалении влево
X • СО
график функции приближается к прямой у = Ь (рис. 75).
Упражнения
279.	Какие на следующих ьелнчнк имеют пределы:
1)	угол отклонения маятника от положения равновесия прн возрастании
времени, если колебания происходят без сопротивления среды;
2)	та же величина в случае, когда колебания происходят в сопротивляю-
щейся среде;
3)	сила переменного тока при возрастании времени;
4)	периметр, площадь и углы треугольника АВС с постоянным основа-
нием АВ и вершиной С. неограниченно удаляющейся вправо по прямой,
параллельной основанию?
280.	Докажите, что:
2x4-6	2	.. За* 4-6	4	..	5x4-14
1)	Нт -=-q~; 2) hrn —-э— =3;	3} lim ------т—=5.
х-+оо Зх 3	1 <» х2	х-4-~ *4-2
281.	Чему равен предел функции ( прн х-*--|-со и при х-*- — <=. если:
 ) f(x)=a. а — постоянная; 2) ](х)=-^.
282.	Укажите функции, график которых неограниченно приближается к прямой
у = 3 при г-*- 4- оо;
»тё=2’	31 тти- <>	5’ °^"+3'
283.	Приведите примеры трех функций, для которых прямая у =2 есть го-
ризонтальная асимптота.
284.	Приведите примеры функций, ие имеющих предела при х-»--|-<=о.
285.	Сосуд содержит и граммов радиоактивного газа н о граммов иерадни-
активного газа. К какому пределу стремится масса газа в сосуде, если
продукты радиоактивного распада удаляются?
5 Алгс<5р« v люсматвчсскх*
>29
Z8B. В пробирку с поваренной солью влито небольшое количество воды. К ка-
кому пределу стремится с течением времени концентрация раствора?
2$7. В электрическую цепь с сопротивлением 10 Ом включен источник тока с
напряженней |20 В. К какому значению стремится с течением времени
сила тока в цепи?
4. Свойства предела функции при х-*Ч-«>- Имеют место
следующие утверждения о пределах функций при х-*--|- о©.
Теорема I. Функция f не может иметь двух, различных пре-
делов при х-* Ч- ос.
Доказательство. Пусть lim f(x) = b я lim f(x)=c.
Тогда f = 64-P и f=c + y, где функции р и у бесконечно малы
при х-^н-оо. Но тогда ^4-0=c4-Y. т- е- b —с~V — Р- Значит,
функция у — 0 бесконечно мала и постоянна (равна Ь — с). Это
может быть лишь в случае, когда она тождественно равна нулю.
Поэтому Ь— с=0, т. е. Ь=с.
Теорема 2. Если lim /(х) = р, причем Ь#=0. то найдется луч,
* — ( СО
на котором знак функции f совпадает со знаком числа h.
Доказательство. По условию имеем: НЦР, где
функция 0 бесконечно мала при х^-Ч-00- Найдется луч, на
котором выполняется неравенство 101 < 1^1- На этом луче сумма
64-0 имеет тот же знак, что и слагаемое Ь, большее по модулю.
Теорема доказана.
Следствие. Если lim Цх)=Ь и существует луч (Л1; Ч-°°Х
Т—+ ей
на котором	то 6^0.
Доказательство. Если бы мы имели 6<с0. то по теоре-
ме 2 нашелся бы луч, на котором функция / была бы отри-
цательна. На пересечении этого луча с лучом (М; Ч- ») выполня-
лись одновременно неравенства /(х)>0 и	что невоз-
можно. Полученное противоречие доказывает следствие.
Теорема 3. Если существует луч (М; + <ю), на котором вы-
полняются неравенства ф(х)</(х)Сд или /><f (x)^ip(x), при-
чем lim <р(х)=6, то и lim f(x) = d.
Х-*+<=	Ж • -f- »
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что на
луче (Л4; Ч-©©) выполняется неравенство If (х)—Ы |<р (х)—&|.
Но разность — b бесконечно мала при x->-f-oo, так как
lim ф(х)=&. По теореме I п. 2 разность f(x)— b тоже беско-
нечно мала при х-^Ч"°°. а потому lim f(x) = b.
Предоставляем читателю сформулировать н доказать анало-
гичные утверждения для случаев х-> — оо и х-*ею.
5. Вычисление пределов. При достаточно малом изменении
чисел b н с мало меняются их сумма b + с н произведение Ьс, а
если с 0, то н их частное 4-. Это очевидное замечание делает
естественным следующее утверждение:
130
Теорема 1. Пусть существуют пределы lim f(x} = b и
Х-*+ ЯО
lim с. Тогда:
х -* -4- йс*
а)	предел суммы функций fug при х->4-°° равен сумме
их пределов:
lim (f(x)+g(x))= Пт f(x)4- lim £(х)=Ь + с;	(I)
oo	x—+ =
б)	предел произведения функций fug при х-*-Ч-оо равен
произведению их пределов:
lim f(x)g(x)= Um f(x) lim g(x)=bc;	(2)
Х-» + 00	X-«-4-ao	Х-*4-Ш
в)	если c^=0, то предел частного функций fug равен
частному их пределов:
Нт	Л
lim Д^-=1Л.~ х'-
*-+«вМ lim£(x) с
<*+ к.
(3)
Доказательство. Сначала докажем утверждение а).
Так как по условию lim f(x) = b, lim £(х)=с, то f = 6-bP,
/-* 4- w	X—* + Ой
g = c-|-Y( где функции р и у бесконечно малы при х-> + «>.
Тогда
f4*g = (6 + p)-H(f + Y)=(h4-r)4-(P + y).
Но по теореме 3 п. 2 функция р + у бесконечно мала при
х->“4-оо, в потому функция является суммой числа b-j-c и
бесконечно малой функции Р4-у. Отсюда следует, что
lim U(x)+^(x)H6 + c.
x-r + ос-
Доказательство утверждения б) проводится аналогично. Оно
основано на равенстве
Л£=(*+Р)(£+у)=*с+(Ьу + с0 + ₽?)
и на том, что функция бу-Нр + Ру бесконечно мала при х-*4~ оо
как сумма бесконечно малых функций бу, ср, Ру (см. теоремы 2, 3
н следствие к теореме 3 л. 2).
Перейдем к доказательству утверждения в). Сначала рассмотрим случай,
когда f(x)=|. Так как lim g(x)=c, то g=c+Y, где функция у беско-
нечно мала при х-*Ц-ср. Но тогда найдется луч (Л1; + <»), на котором вы-
полняется неравенство |у(х)1<-^ и, следовательно, неравенство |g(x)|a
»|c-H(x)|>kl — |y(x)|>|r|— y=Y Ha эт0“ лУче ниесн:
I J- —_L | _ I r-gfrl _ I
I g(x) c I I cgW I ' Cg(x) I ' c
131
Так как функция у бесконечны мала, то по сяедстви» теоремы 3 п. 2 к функция
2|у|	| I
бесконечно нала прн х-»-4-оо, а значит, н функция —-— бесконечно
нала при х-*+сю, и потому lim ——.	.
x-.+ oog(x) С
Чтобы доказать утверждение в) в общем случае, заметим, что при с-^0 имеем:
lim	lim f(x)—Ц-= lim f(x)- lim —L-=ft._L=^_.
,., + w g(z) + g[x) х_ + я,	g[x) С C
Легко убедиться в справедливости аналогов равенств {I) — {3}
при х-*-—сю и при х-*«>.
Поскольку функция, разная тождественно нулю, бесконечно
мала, а с=с-1-0, то lim с = с. Иными славами, предел постолн-
*—+ «э
ной функции равен этой постоянной. Отсюда вытекает, что посто-
янный множитель можно вынести за знак предела:
lim cf(x)=c lim Цх).	(4)
Х-* + »	>-» 4- сю
В самом деле.
lim cf(x')= Jim с lim f(x)=c lim [{x).
Х-» + »	X- + «!-►+ И	X— + «А
Пример 1. Вычислим предел
Пт	•
Д-М-+» 5? + 6х'—7
Решение. При безграничном возрастании х и числитель
4хэ—Зх+1, и знаменатель 5х3-|-6х2—7 тоже безгранично воз-
растают. Поэтому предел дроби нельзя вычислить как отношение
пределов числителя и знаменателя. Но значение дроби не изме-
нится, если разделить числитель и знаменатель на х2, и тогда
получатся выражения, имеющие пределы при х-+ + <х>. Итак,
4г» _3х I
|im	lim ? Л ?
х . + ос, ax’+Gr2— 7 x- 4-K’5r’ бх2 J
?+р-“?
.Дт,(4-?'+Р’)
. 6 7	I г . 6	7 \ ’
5+~? <Лт.До+т~77
и 3 । I 6	7
Но —р—b-р- и ——— бесконечно малые при х -*+ оо, и по-
тому
I W
Значит, Д.т*
Пример 2. Вычислим предел lim т4~6*~;.
х— оо ЗХ -J- X — I
Решение. Как и в предыдущем примере, разделим числи-
тель и знаменатель на наибольшую из имеющихся степеней х.
а именно на х4. Получим:
2 6_2_
lim
2хх-бх—7
зх4 4-^-1 “
lim
ж-*ео
2	6	7
Так как функция ———у—бесконечно мала при х-*-оо,
то limf——4 т)=0. Так как функция Ц-—г бесконеч-
но мала при р*оо. то lim (з + J,—Л)=3. Итак, предел чи-
слителя равен 0, а предел знаменателя 3, тогда предел дроби
равен -^-==0. Значит, lim	= 0.
Рассуждая так же, как при решении примеров I и 2, убеж-
даемся в справедливости следующей теоремы:
Теорема 2- Если функция f является частным двух много-
членов одинаковой степени, то ее предел при х-*- сю равен частному
коэффициентов при старших степенях х:
iim ^tr7'^+	в»*°-
Если же степень числителя меньше степени знаменателя. то пре-
дел функции при х-*-оо равен нулю:
|im \-=°' т<п- а”*°-
Случай, когда степень числителя больше степени знаменателя,
будет рассмотрен в следующем пункте.
Упражнения
288. Сформулируйте теоремы о пределе суммы и о пределе произведения двух
функций прн X-* —ОО н прн Х-*<Х>.
28В- Можно лн распространить эти теоремы на случай любого конечного числа
слагаемых (сомножителей)?
2В0. Чему равен предел разности и предел частного двух функций при х-*4-оо?
Какие ограии'к!ния накладываются на функции в последнем случае? Почему?
291. Вычислите.
Зх	2х—10х	.. Зх + 7.
\т.т+2; 2>	'3) „МТчТ1
>33
4)
6)
7)
9)
lim 3x+5. qt Зх2 —2x4-1
lim —5—-р ; 5) |im ——--;
:— + «> x 4-x —I	^ЗНч-х—4
lim +x)(> 4-х2)(I 4-х3)(| 4-x1)(I 4-^*)
(l-xXi-A^d-^CI-X^d-?) ’
lim Ц±ЙС 
liSlT+W-
5x*-i
2xj4-x4-8 '
lOi Um 0 4-3x")s
101 Л „ ii+8x»V 
292. Вычислите предел функции f при x-^-f-m и x->—ос, если:
-LjnpH х>1.
2х	,
^"PHX<1;
*+2
?+5 пр" х>0'
2х
——z при х<0.
ил — о
упражнениях 1)—6) яместо букв р. <) поставьте такие числа, чтобы
равенства стали истинны мн:
н
2)
293. В
Л*)-
/(*)=
3)
Eim Р*+3- 2 . OX lim Р-^ + б 7
г-»(»?Х4-3	5 ’ "	^17x4-20	4
.	4х+> а	Sx’-I
|,n ?H-4.Q==0; |,гп 7ГТТ=0;
Х-,<С ZX^-f-y	X t- i
lim —^«0; 6) lim ^±2“ 20 OTO.
Л—.з + ’х*	JT—oo yx4-7
5)
294. Придумайте функции, пределы которых прн х-*-оо были бы равны 1, 3,
4.^.
6. Бесконечно большие функции. Пусть функция а бесконечно
мала при с», и существует луч, на котором ее значения от-
личны от нуля. Тогда при возрастании х значения функции — ста-
а
новятся и остаются впредь больше любого заранее выбранного
числа (по мере приближения энаменате^ дроби к нулю
значения дроби становятся сколь угодно большими). Мы будем
говорить, что функция — бесконечно велика при х-*-+оо. По-
скольку равенства f=-^- н а=-у-равносильны, определение беско-
нечно большой функции можно сформулировать так:
Определение I. Функцию f называют бесконечно боль-
шой при оо, если функция -^-бесконечно мала прн х-* + °°-
В этом случае пишут: lim fix) — оо.
134
Например, функция х2 бесконечно велика при х->-{-оо, так
как функция 4- бесконечно мала при х->+<х>; функция 1СН
бесконечно велика прн х-> + <ю, так как функция L0-jr
бесконечно мала при x->4-ao.
Подобно тому как различают стремление х к 4- °° ик —оо,
различают функции, стремящиеся к 4- оо и к — оо. Если
lim f(x)=oo и функция f положительна на некотором луче
*-» + «>
(Л1; 4-оо), то говорят, что эта функция стремится к +<х> при
x-^-j-oo, и пишут: lim f(x)=4-oo. Если же lim f(x)—00 и
х-» + и>	Х-* + »
существует луч (М; на котором функция / отрицательна,
то говорят, что эта функция стремится к — оо при х-*4-°°»
и пишут: |imf(x)= — 00•
X— + ОО
Например, lim хэ= + «>, a lim (—х4)= —00.
Из сказанного выше вытекает справедливость следующего
утверждения:
Если функция а бесконечно мала при х-^+оо, причем су-
ществует луч (/W; Ч-00), котором она отлична от нуля, то
функция	бес конечно велика при х-+ 4" оо.
Для установления того, что данная функция бесконечно велика
при х->-4-о0, полезны следующие утверждения:
а)	Если функция } бесконечно велика при х-*+<х> и су-
ществует луч (Л!; + оо), на котором \f (х)| < Ig(x)|, то функция g
бесконечно велика при х-*- 4- 00 •
В самом деле, из Ц (х)| < lg(*)l следует, что | — | < | у— | .
Так как lim f(x)=oo, то функция -j- бесконечно мала при
>-• +• ос	I
х-*4-оо, а тогда по теореме 1 п. 2 функция -у тоже беско-
нечно мала при *-*-+ «>. Следовательно, функция g(x) бесконечно
велика при х—►Ч-оо.
б)	Произведение fg двух функций fug. бесконечно больших
при х-> 4* 00 > бесконечно велико при х-+ 4- оо.
В самом деле, функции -у-н — бесконечно малы прн х-*4- оо,
а потому по теореме 2 п. 2 функция тоже бесконечно мала
при х-* -|- оо. Но тогда fg бесконечно велика при x->4-°°-
в) Произведение функции, бесконечно большой при х-+ 4- <»,
на число с =£ 0 бесконечно велико при х— 4- оо.
В самом деле, функция -у бесконечно мала при х-^4-00.
Ч
135
поскольку бесконечно мала функция у- (см. следствие теоремы
3 п. 2}. Значит, функция г/ бесконечно велика при х-*4-оо.
г) Если функции fug бесконечно велики при х->+оо и
знаки этих функций совпадают на некотором луче (М; + оо), то
функция f +g бесконечно велика при х >4- зо.
В самом деле, на луче {М; +<ю) имеем: lf(x) + £(jf>| =
= i/WI + lg(*IL и потому Щх)|< Ц(х) (х)|. Значит, по
утверждению а) функция f/(x) + g(x)l бесконечно велика при
х—*- -f- °° •
д) Если функция f бесконечно велика при х-*-ц_<х>, а функ-
ция g имеет отличный от нуля предел с при х->4-оо, то
функция jg бесконечно велика при х-+ 4- оо.
В самом деле, найдется луч (М; +°°), на котором
1Я(х)~с|<| -£-| и потому |g(x)f^|<; + g(x)-r|^ |с|-|£(х)-
“с' ^1т1 НаэтомлУч*™<*м: lf(x)g(r){ > I -yl  If (х)|, а по-
тому функция fg бесконечно велика.
Пример I. Докажем, что функция	—Зх-Ц-бх —6 беско-
нечно велика пря х-> 4. оо.
Решение. Запишем данную функцию в виде
^-3x2+5x-6=^(l
функция Х£ бесконечно велика при х— 4-00. Так как функция
—“"+р—~г бесконечно мала прк х-* + оо, то
и потому функция Xя —3xz4-5x —6 бесконечно велика при
Х-* + 30.
Теорема 1. Если п>гп, то
»-*(» (О
Доказательство. По теореме 2 п. 5 имеем:
tin. *<-+*-	|-^=0.
Поэтому функция (1) бесконечно велика при х-*оо.
Пример 2. Имеем:
JyB _ I
20/+х-9
136
Упражнения
295. Какие из приведенных н упражнениях 1} — 4) функций бесконечно педики
при х-* <ю:
29в. Найдите луч (М; + <»), на котором выполняется неравенство
I г4-4x4-1 1
Г?_3r_fil > 1 оооооо.
297. Ракета безгранично удаляется от Земли. Являются лн бесконечно большими:
}) ее расстояние до Луны. 2) ес расстояние до Солнца, 3} скорость ракеты,
4) масса ракеты?
298. Является ли бесконечно большим отношение мнссы Солнца к массе атома
водорода?
7. Наклонные асимптоты. Функция 2х бесконечно ве-
лика при х->оо (см. теорему 1 и. 6). Ее можно записать в виде
2г?+5x4 1 = 2х+5 +	4.
/+1	х'+>
т. е. в виде суммы линейной функции 2х + 5 и функции
. 2_г 4
~j_i j , бесконечно малой при х^-оо. Отсюда следует, что при
больших значениях |х| график функция	почти слива-
ется с наклонной прямой х = 2х-(-5 (рис. 76}. Говорят, что
эта прямая является наклонной асимптотой для графика данной
функции. В общем случае понятие наклон ной асимптоты определя-
ется следующим образом:
Определение. Прямая у =
= kx-^b, fe^-0, называется наклон-
ной асимптотой графика функции f
при а-*--+ сю, если разность укр —
— у*=/(*) —(*•* + &) бесконечно ма-
ла при х-> + оо.
Аналогично определяют наклон-
ную асимптоту прв х->—сю. Рас-
смотремный выше пример показы-
вает, как искать наклонные асимпто-
ты для графиков рациональных фун-
кций: надо представить, если это
возможно, данную функцию в виде
суммы линейной функции и функ-
ции, бесконечно малой при *-*-<*>.
Тогда график линейной функции и
будет искомой асимптотой. Из разоб-
137
равного в начале пункта примера видно, что наклонная асимптота
к графику рациональной функции существует, если степень числи-
теля на единицу больше степени знаменателя.
Предоставляем читателю доказать, что если существуют пре-
делы k= lim ^-и b= lim (f(x} — kx), то прямая y~kx + b яв-
.<-* + оо *	Х-» + <«
ляется наклонной асимптотой для графика функции f при
х-^4- оо. Аналогично ищутся наклонные асимптоты при л->— оо.
Упражнения
2W. Графики каких из указанны* ниже функций имеют горизонтальные или
наклонные асимптоты при х-* + оо н при х-* — оо:
— х*4-1	х*  1. дИ-1 .
2aj4-4z + 5’ ' х24-х+8 ’ ' ?+ё’ •' Р+Т’
Г-1Х-3 >
?-3?+4’
Найдите эти асимптоты.
300. Найдите параболу, к которой неограниченно приближаются при х-»оо гра-
фики следующих функций:
/4-6x4 1 _
хэ4-9х* 4 8 ’
4)
xHJ+5

3)
30Ь Может ли функция иметь одновременно горизонтальную и наклонную асимп-
тоты прн x->-f-cx>? Может ли она иметь горизонтальную асимптоту при
х-^4-00 и наклонную асимптоту при х-* — оо? Приведите примеры.
8, Необходимое и достаточное условие существования пре-
дела монотонной функции. В некоторых случаях нет необходи-
мости в вычислении предела, а нужно лишь знать, что этот пре-
дел существует. Следующая теорема дает необходимый и доста-
точный признак существования предела при г-^+ оо для моно-
тонных функций.
Теорема. Пусть функция f возрастает (соответственно убы-
вает) на луче [л; +оо). Для существования предела этой
функции при х-*-+<ю необходимо и достаточно, чтобы нашлось
такое число М, что на луче [а; +<») имеем: f(xj^M (соот-
ветственно	*
Иными словами, возрастающая функция имеет предел в том и
только в том случае, когда ее возрастание не является безгранич-
ным (аналогично для убывающей функции).
Представим доказательство этой теоремы в виде серим задач:
а) Докажите необходимость условия этой теоремы.
б) Обозначим через X множество значений функции [ на
луче [а; Ц- со) и через У множество чисел Л1, таких, что
на луче (а; -|- оо). Докажите, что для множеств X и У существует
разделяющее число и что это число является пределом функции
/’ при оо.
138
9. Предел последовательности. По мере возрастания п раз-
ность — I = —приближается к нулю, а потому члены
последовательности -у, -у, у, ...»	... приближаются к чис-
лу I. Говорят, что предел последовательности равен 1 и
пишут: lim—т-г=1.
л 4-1
Определение /. Последовательность (а„) называют беско-
нечно малой, если для любого найдется такой луч [а; +
что для всех содержащихся в нем натуральных чисел п выполнено
неравенство fart|<£.
Определение 2. Число а называют пределом последова-
тельности (аа), если последовательность ая — а бесконечно мала.
Пишут: limed-а.
4—» оо
Определение 3. Последовательность (а«) называют беско-
нечно большой, если последовательность бесконечно мала.
Пишут: lim а„ = сю.
П— Ой
Если последовательность (ал) состоит из значений функции f
прн натуральных значениях аргумента (т. е. если an = f(n))t
причем существует предел этой функции при + <», то после-
довательность имеет тот же предел. Это утверждение непосред-
ственно вытекает из того, что выполнение неравенства
|/ (х}~ а\ <е для всех *>М влечет за собой выполнение того же
неравенства прн натуральных значениях х, больших, чем М.
Пример I. Найдем
И—“	7п*+Ъ
Решение. Так как
то и
Упражнения
302.	С помощью микрокалькулятора вычислите значения выражений прн п=1;
П), J00; 1ПОО. Сделайте предположение о значении предела прн л-**» н
докажите его справедливость:
l)J+5; 21	31 S+3:	' S
1%
сч 4Л~"	•
5) 3+&4V’ S)
„ /Зл2 , 1
В ________
2л—5	л' + 7л
i —Зл:
' \ 9л-14-^ T 2+За-nV'
8) (rt* + 4n-l~ л’+Й2+1 ) '
303,	Укажите такое M„ чтобы прн л>М выполнялось нераненетто
для е = |; 0.1; 0.05; 0.001; 10“*.
304.	Укажите такое Л<е1 чтобы при	выполнялось неравенство |аЛ|<е
для р = 1; 0.1; 0.05; 0.001; 10"8. если:
'»	21 а"-(^г; 3)
305.	Найдите пределы поеледояательностей:
°	П—• 21	• 3)-----’ 4) ЛН-П4”
м (1+W±.„ + ^
' 14-2’4-34...+^'
ЗОЙ. Имеет ли предел последовательность
(-1Гп«4-1
»s+l
307. Чем отличается определение предела функции при х-*-4-<» от определения
предела последовательности?
308. Сформулируйте теоремы о пределе суммы, произведения и частного для
последовательностей. Какое условие надо указывать я теореме о пределе
частного?
Л.Л тт	,	2л 4-7
ЗОЯ. Для последовательности fan), где □„=-——г-
' '	5л — I
1)	вычислите aIWh аг001?;
2)	оцените разности:
| а»о—| . | а.«-у | . | а»оо—| ;
3)	укажите такое М„ чтобы для л>М, выполнялось неравенство
| оЛ — у | <в Для е=0,0г, 0.0001.
310.	Укажите такое М, чтобы для л>.М выполнялось указанное неравенство:
а)	I “в~4 I гдс и-=^гЦ:
б)	I Ц.-4 I <0,003, где
 г I	Г Й + Z
311.	Обозначим черта ая длину стороны правильного п-угольннка, вписанного
в окружность радиуса Л. через рк — периметр этого многоугольника, через
5, — его площадь, через «я — дугу, стягиваемую стороной этого многоуголь-
ника, через 1Л — стрелку сегмента, ограниченного этими дугой и хордой.
И0
через oft—его площадь, через Л* — апофему многоугольника. Через Ь„
обозначим длину стороны правильного описанного л-угольннка для той же
окружности, через Р, — периметр этого многоугольника, через 5, — его пло-
щадь. Для каждой из последовательностей (ал1, (pn), {«„), (М, («Д (ЛД
(Л,). \РЛ (<*□). (SJ найдите предел. Существуют ли пределы последователь-
ностей (нЬ.), (лЛ.,), (пап)? А последовательностей (л/,), (прл). {п$я}?
312,	Верно ли утверждение, что сумма бесконечно малых слагаемых бесконечно
мала, если число слагаемых неограниченно возрастает?
318.	Кджлые сутки в полдень измеряется масса куска радиоактивного ве-
щества {продукты распада удаляются). Имеет ли предел получившаяся
последовательность? Чему он равен?
ЗН. Имеет ли предел последовательность, образованная значениями темпера-
туры воздуха в полдень в данной точке?
315.	Из сосуда, содержащего газ, его выкачивают с помощью насоса. После
каждого хода поршня количество газа в сосуде уменьшается вдвое. К какому
числу стремится масса газа н сосуде?
3j6- Последовательность («п) имеет предел, последовательность (!>„) не имеет
предела. Имеют ли предел последовательности (аЛ-Ь&п). (ctrt— Ьл), (апЬп),
(Й>
317. Докажите, что последовательность ( —1)" не имеет предела.
10*, Вы числе и не пределов рекуррентно заданных последова-
тельностей. Если последовательность (ад) задана рекуррентно,
то для вычисления ее предела часто оказывается полезным следу-
ющий прием. Предполагают, что существует предел lim а„=а,
и переходят в рекуррентном соотношении к пределу, заменяя
в нем ал, ап_| и т. д. на а. Тогда рекуррентное отношение
превращается в уравнение, из которого и находят значение а
искомого предела. Однако, чтобы этот прием был обоснован,
нужно предварительно доказать, что искомый предел а суще-
ствует. Во многих случаях существование предела вытекает нз
следующей теоремы:
Теорема I. Всякая монотонная ограниченная последователь-
ность имеет предел.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы п. 8.
Пример 1. Докажем, что последовательность (дЛ), где
а„ +1 = -у'2 -f- <zrt н O|=V2, имеет предел, и вычислим его.
Решение. Докажем с помощью метода математической
индукция, что последовательность (ал) ограничена и возрастает.
При л=1 имеем: а>=\<2<.2, причем а2=-\/2 + д/2>^2 =
=й,. Пусть уже доказано, что а><2 и	^огда имеем:
tu+i = -V24-aA<V2 + 2 = 2 и а*+2 = ^24-«* + | >V2 + fl* = «*+ •
Из доказанного следует, что прн всех п имеем: йп<2 иа4<лч+1-
По теореме 1 отсюда вытекает, что последовательность (а„)
имеет предел- Обозначим его через а. Поскольку все аЛ>-0,
то й^О.
141
Чтобы вычислить предел а~ lim а,, возведем обе части ра-
л —*
венства а„ +, — у'24-а„ в квадрат: а% + 1=2 + 2ал. Переходя к пре-
делу и учитывая теоремы о пределе произведения и суммы,
выводим отсюда, что а2 = 2-$-а, т. е. а2 — а —2 = 0. Это квад-
ратное уравнение имеет корни 2 и — 1, причем лишь первый из них
неотрицателен. Значит, а= Um ал = 2.
л со
Так как Д]=-у'5, а2 =\24^'2.	то бу-
ченный ответ можно записать следующим образом:
V2+V2+V2+- = 2.
Пример 2. Докажем, что при 0<<7<1 выполняется ра-
венство lim <?п—0.
Решение. Так как 0 <<?<!, то qn+1 = q -qn <(?", и потому
последовательность (дя) убывает. Ока ограничена, так как 0<
<<7П<1. Значит, она имеет предел b — lim q\ Но lim <?n + '
Л “* (?	Л •□£?
тоже равен b, lim дл+1=6. С другой стороны,
lim <7"+l= lim q>qK — q lim qn = qb,
л ao	л -* то	л -*• оо
а потому b = bq. Поскольку g=#=l, отсюда следует, что b=Q.
Так как |$|л = |$я|, то из разобранного примера вытекает, что при
|?|<1 имеем: lim <?,’ = 0.
Пример 3. Положим 5л = I 4-94-+ 4 д"-1 и докажем,
что lim	=—i—.
п — ел	I —<?
Решение. По формуле для суммы геометрической прогрес-
сии имеем:
= 1 4 q 4V +... + qH-1 =-^7 •
Значит,
lim з„ = lim 1~<? = lim (—---------------2—) =
t -* то	л -* «о I — 4 ч -*• то \ I —4 ‘ — Ч /
——-------— lim q"=——.
. I— q 1 — Ч л- то	I—4
Полученный ответ записывают в виде
14<7 4^ + ..- + <7п", + -^ТТ7-
Та*чим же образом доказывается равенство
g 4«<7 4а<?-4-..4а</"'"1 4... —,	(I)
142
левая часть которого означает предел последовательности ($я),
где =а + a?-f-...-f-a<7n~'. Эту левую часть обычно на-
зывают бесконечной геометрической прогрессией, а число
—2— — суммой этой прогрессии.
Упражнения
318. Для следующих рекуррентно заданных последовательностей с помощью
микрокалькулятора найдите значение первых десяти членов, сделайте пред-
положение о значении предела при п «о и докажите его справедливость;
1) £UH=yl *64-<t,. а, —Г. 2) «л1.|= 4	, ai«l;
3)	• °>-ь
3}В- Вычислите':
©(Ч)’ ».?.(« •>?.(-» •>,?.©
320.	Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если ее сум-
ма равна 4, а знаменатель равен .
32b Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, если се сумма
равна 6, а первый член равен 8.
322.	Дан квадрат со стороной а. Середины его сторон соединены отрезками.
С получившимся квадратом сделано то же самое н так далее до
бесконечности (рис. 77). Найдите сумму площадей всех получившихся квад-
ратов.
323.	Докажите, что если для всех п	<?<1, то Jim 0^=0.
324.	Докажите, что следующие последовательности
’>(£) =
325-	Последовательность определена рекуррент-
ным соотношением. Докажите, что она име-
ет предел, и найдите его:
1) л, +1» v'S-f-a*. а1 = ^3;
2, ,.=£±^.х,= “>0.
ZXn—\	£
1 Здесь uppp-4 Л />(}я обозначена сумма бес-
конечной геометрической прогрессий a -f-ai? ... 4-

бескоиечяо малы:
4)
Рис. 77
МЛ
326. Вычислите пределы (отдельно разобрав случаи 1о|>1 и 0<|о| <1):
<Г+1	а* — а л
1) iim —-—2) lim ———.
к- » а — I ' д*+а
827. Найдите lim если |х|<| н
ал =(] +ж) (J +ж«)( 1+ х‘) (1 + Л- (I + А
328.	Найдите lim х., если	где 0«2<> н ^-ц=-^-+^- -
X гч	х	х х
329.	Найдите lim х„, если xi=-£-, где 0<а<1 и	.
it -• <х>	2	^2
330.	Найдите Jim х„, если х, = ] и
I)	*-»'=-j(2x‘+3-) :	2)	гдеа>0.
331.	Найдите lim х„ если
я -* оо
_2а —| З1—|	п3— |
х'ж ггрг зг+Т’"• 'Т’+Т
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
1.	Окрестность точки. Перейдем к изучению свойств функций
вблизи некоторой точки. На рис. 78 изображен график функции f.
По этому рисунку можно сказать, что вблизи точки 4 эта функция
принимает положительные значения, причем эти значения мало
отличаются от числа 3, а также что они меньше, чем ее
значение в точке 4. Отметим, что вдалеке от точки 4 эти свойства
функции уже не имеют места —там найдутся и точки, где
эта функция отрицательна, и точки, в которых ее значение
больше, чем в точке 4.
Чтобы уточнить слова «вблизи точки о», введем понятия окрест-
ности и проколотой окрестности точки.
Определение 1. Окрестностью точки а называют интер-
вал [a — h; a + h\ число h называют радиусом этой окрестности
(рис. 79, а).
Рнс. 78
Рнс. 79
У каждой точки бесконечно много
окрестностей. Пересечение двух окрест-
ностей точки а тоже является ее окрест-
ностью. Например,
(3 — 0,1:3 + 0,1)0(3—0,001; 3+0,001)=
= (3-0,001; 3 + 0.001).
Определение 2. Проколотой
окрестностью точки а называют ее ок-
рестность, из которой удалена сама точ-
ка а.
Таким образом, проколотая окрестность точки является
объединением двух промежутков (а — Я; с) и (а; а + Я) (рис.
79, 6).
Определение 3. Некоторое свойство функции выполняет-
ся вблизи точки а, если есть хоть одна проколотая окрестность
этой точки, во всех точках которой выполняется это свойство.
Теперь можно придать точный смысл словам «функция поло-
жительна вблизи точки а». Это значит, что у точки а есть про-
колотая окрестность, в которой эта функция положительна.
В самой точке а она может принимать и отрицательные значения
или равняться нулю (ряс. 80). Получили точный смысл
я слов «вблизи точки а значения функции / меньше, чем в этой
точке». Они означают, что у точки а есть проколотая окрестность,
в которой выполняется неравенство / (х)-</ (а) (в самой точке а это
неравенство не выполняется, так как f (а)=/(а)).
Слова «вблизи точки а значения функции [ мало отличаются
от числа 3» не получили еще точного смысла, так как неиз-
вестно. какие отличия малы, а какие велики — число 0.1 мало
по сравнению с числом ] 000 000 и велико по сравнению с чис-
лом 0,000 000 001. Мы уточним эти слова в следующем
пункте.
Упражнения
332.	1) Запишите две какие-либо окрестности числа 5 двумя спошбамн (в виде
промежутков и в виде неравенств);
2)	найдите пересечение, оиресгаостей нз упражнении >);
3)	назовите окрестности точки 3 радиуса 0.7 и точки 4 радиуса 0.9
333. Найдите пересечение окрестности точка 5 радиуса 0,2 с окрестностью
точки 4 радиуса 0.2.
334.	Укажите непересекаютмеся окрестности точек 3 и 2,9..
335.	В упражнениях ])—3) Задайте неравенствами указанные окрестности
1)	окрестность точки 2,5 радиуса 0.2;
2)	нроколотую окрестность точки 2.5 радиуса 0,2;
3)	проколотую окрестность точки —3,7 радиуса 0,03.
ЗЗЬ- Запишите в виде неравенства дэе окрестности точек 1,9 и 2, имеющие
пустое пересечение и имеющие непустое пересечение.
145
33?. Найдите пересечение всех окрестностей точки 2 и пересечение всех проколо-
тых окрестностей этой точки.
338.	Найдите окрестность точки 1,9, целиком лежащую в интервале (1; 2).
339.	В окрестности точки а радиуса 0,2 взята точка Л на расстоянии 0,05 от
точки а. Найдите окрестность точки Ь, целиком лежащую в указанной
окрестности точки а. Изобразите эти охрестнос-гн на координатной
примой.
840.	Укажите знак функции / в проколотой окрестности точки 2 радиуса 0,1.
если:
I)	/(х)-х’; 2) /(х)-^-; 3)
—л	Л —£.
4)	/ W-I 4=J-"pH **2>
—7 прн ,с=2.
2. Предел функции в точке. Функция | не имеет зна-
чения при х=3. В нижеследующей таблице приведены значе-
ния этой функции при значениях х, мало отличающихся от 3:
X	I	2	2,9	2.99	2.999	4	3,1	3.01	3.001
?-9 x-3	4	5	5.9	5,99	5,999	7	6.1	6,0|	6,001
Видим, что по мере приближения х к числу 3 значения функции
к2_9
х_-- приближаются к числу 6. Говорят, что предел функции
* ~з•  когда х стремится к 3, равен 6, и пишут:
lim ^4=6.
*-3
Мы дадим сейчас определение предела функции при х->а.
Определение 1. Функцию а называют бесконечно малой
при х -> а, если для любого е>0 вблизи точки а выполняется
неравенство |а (х)| <е (это значит, что существует проколотая
окрестность точки а, в которой выполняется указанное нера-
венство).
Определение 2. Число b называют пределом функции /
при х -> а. если эта функция является суммой числя h и функции
а, бесконечно малой при х -> a, l = b-^fx.. В этом случае пишут:
lim f (x')=b.
146
Пример 1. Докажем, что lim х^=а.
Я -*• А
Решение. В проколотой окрестности радиуса г точки а
имеем: |х —af<e. Значит, функция х — а бесконечно мала при
х-+а. Поскольку л=й-|-(х—а), то lim х = а.
л -♦ а
Определение предела функции в точке кож но сформулировать непосред-
ственно, не опираясь ня понятие бесконечно мелей функции.
Определение 2'. Число b является предел ом .функции f прн х -* а.
если для любого е>0 найдется проколотая окрестность точки а, в которой
выполняется неравенство |f (х)—4>1<г.
Подобно тому как рассматривают пределы функций при
+оо и при х — оо, можно рассматривать односторонние
пределы функции при х->а. Разница с введенным выше понятием
предела состоит лишь в том, что вместо всей проколотой окрестнос-
ти точки а берут левую или правую половину этой окрестности.
Пишут: lim f(x) и lim f(x). Ради краткости применяют для
х— а— 0	г —о-1-0
этих пределов обозначения f(a — 0) и f (а + 0). Предел функции f
при х -> а существует и равен b в том и только в том случае, когда
существуют f(a — 0) н / (а4-0), причем f(a— 0) = f (аЦ~О)-=Ь.
Упражнения
341. С помощью микрокалькулятора найдите значения функции в указанных
точках и сделайте предположение о значении предела прн Дока-
жите сделанное предположение.
ж?—4
1} -j—J- в точках 3; 2,1: 2,01; 2.001; 1,9; 1.999 прн й = 2;
2) Лд.6х + 5 в 10Чках 2; 1,1; 1.0!; 1,001; 0,9; 0.99; 0,999 при fl«1.
х 4-х—2
342. Пользуясь данным выше определением предела функции в точке, до-
кажите, что:
I) Пт х2=16; 2) Jim (2/—6x4-8}= 8; 3) Jim -L=»J-;
х — А	х—3	х-6 X б
41 jT,77r-°= 5)Л?=г“й; 6);to^=2.
3. Свойства предела функции ? точке и вычисление преде-
лов. Определение предела функции в точке весьма напоминает
определение предела функции на бесконечности. Свойства этих
понятий также весьма похожи. Именно справедливы следующие
утверждения:
а)	функция f не может иметь двух различных пределов при
х “* а;
б)	если функция f имеет предел при г -* а, то существует
проколотая окрестность точки а, в которой эта функция ограни-
чена;
117
в)	если lim f [x} = b, причем b^=0, то найдется проколотая
окрестность точки а, на которой знак функции совпадает со
знаком числа Ь;
г)	если Jim Нх)=д и существует проколотая окрестность
X — 1>
точки а, в которой f(x)>0, то Ь^0\
Д) если существует проколотая окрестность точки а, в кото*
рой выполняется неравенство y(x)^f (х)<£> (или b^f{x}^
и lim <р(х) = 6, то lim f(x) = 6;
е) если функции fug имеют пределы при х -> а. то предел
их суммы (соответственно произведения) при х-* а равен сумме
(соответственно произведению) пределов этих функций:
1 frn (f (х) + g (x)J = Jim { (x)4- lim g (x),
lim (f (x)-£(x))=lim f(x)-lim g (x).
«-►it	<-»<]	x -* a
В частности, lim cf(x)=c lim [(x);
1 -♦ d	x • a
ж) если функции fug имеют пределы при х -* а, причем
предел функции g отличен от нуля, то имеет место равенство
“«"/(*)
lim —^=-i—-—
д-e	lim g(x)
X -* “
Эти свойства доказываются аналогично соответствующим
свойствам пределов функций при х -► оо. Надо только в доказа-
тельствах заменить лучи проколотыми окрестностями и восполь-
зоваться тем, что пересечение двух проколотых окрестностей
точки о является проколотой окрестностью тон же точки.
С помощью сформулированных выше утверждений вычисляют
пределы функций в точке.
Пример I. Вычислим lim (х2 —3x4-8),
х -* 4
Решение. По свойству е) имеем:
lim (х2 —3x4-8)= Um х24- Нт ( —Зх)4- Нт 8 =
х— 4	х-»4 х-♦ 4 '	х —* 4
= lim х lim х-|-( —3) lirn Х4-8.
Но lirn х = 4, и потому
lim (х!-Зх + 8) = 4.4-3-44-8=12.
х 4
Таким образом, чтобы найти предел многочлена х2 —Зх-|-8
при х->4, оказалось достаточно подставить в этот многочлен
вместо х значение 4. Это имеет место для любого многочлена.
Теорема 2. Предел многочлена Р (х) при х -» а равен значению
этого многочлена при х = а, т. е. Нт Р(х)=Р(а),
г -* 41
14В
В самом деле, если Р(х) = Ь„хп1-Ьп^хп '-Е-Ч-^о» то по
свойствам пределов имеем:
lirn Р (х)=Ит (Ьлх'*4-^-]ХЛ“' + ••• +М —
=Ья(Нт х)я4-Ьл_| (lim х)я~' + -.- + lim Ьо =
= Ьпал + дя- ia"“1 +... + th) — Р \а).
Используя теорему о пределе дроби, получаем более общее ут-
верждение.
Теорема 3. Если Р(х) и Q (х)—многочлены, причем
Q (д)=^0, то предел дроби рпри х — а равен ее значению
НС •
при х = а:
11--5^-=-^-•
Доказательство. По теореме 1 имеем: Um Р(х) = Р (а)
и lim Q (x)=Q (а). Так как Q (с)=#=0. то по свойству ж) получаем:
lim Р(х)
hm Pi-X} .	- P|d)
QW lim Q(x) Q(d)
Пример 2. Вычислим предел lim —Ц——
Решение. Имеем:
|im x«-fa±7 = 3^6-34-7 _^2
7+7+8	32+3+8	20
= --0.1.
Сформулированные теоремы позволяют вычислять пределы
рациональных функций, т. е. функций, заданных рациональными
выражениями от х. Для этого достаточно подставить в выраже-
ние функции вместо х значение а, к которому стремится
х. Единственным исключением является случай, когда после
такой подстановки получится выражение, не имеющее числового
значения, так как один из знаменателей обращается в нуль. Рас-
смотрим примеры.
Пример 3. Вычислим lim -г6^5-.
1 к	х- 5 №—25
Решение. В этом случае нельзя просто подставить вместо
х значение 5, так как при этом значении и числитель, и знамена-
тель обращаются в нуль. Но квадратный трехчлен, имеющий
корень о, раскладывается на множители, одним из которых
является х а. В нашем случае получаем:
№ —6х-|-5 _ (г— |)<х—5,1
№-25	(* + 5)(x-5) ’
149
При х#=5 эту дробь можно сократить на х— 5, а результате
получится дробь . Поскольку в определении предела функ-
ции при х 5 участвуют лишь проколотые окрестности этой
точки, указанное сокращение законно, и мы получаем:
lim
х-5
r?-6z + 5
Xя—25
lim
д — s
(х—1)(х—5) __ |. X—1 _ 5 —1 __
(хц-5){х—5)	«-5x4-6	5-}-5
0,4.
Упражнения
343. Докажите а упражнениях 1)	5). что функция бесконечно малы:
I) х—3 при х-*-3;	2} (х+1р прн х * — 1;
3) 4х —3 прн *-*-т-4) (3x4-2)* при х ——;
Xя-4x4-4	х3 4-3x43x4-1
5)	7^2— р" *	2'	6> -------------при X -I:
Л •	х4~ ।	7
7) Приведите два примера бесконечно малых функций прн х-*• 3-
344. Докажите утверждения а) - ж) данного пункта.
345. Вычислите пределы:
1) lim (х24-х —3): д— 2	21 lim (х34-4х24-х—2); Г— -Э
3) Um (х14-5х— 7); j	2 I.m х<4-2х34-| □) нт я - —-г- х--| Хг4-5ж4-3 х4 + 3х* 71 Д"»	 9> |Дх тЬг); Н) Um TCZY l"1* Л€Л^: ls> Д™2-?£=5-	х3-7x4-2 * >im —г-~л—; д —з х 4-х—2 п-п 5 4-2х+х2 . 61 Л"_2х'+3/+|-: 101 Д"г(и-иУЛ+п Л2 шч н х2 —2х—3 l2) ,'Lm3 ?_9  14)
Почему в этих упражнениях можно сокращать на общий множитель?
4. Функции, бесконечно большие прн х -ь а; вертикальные
асимптоты. Как в случае, когда х -> _|_ оо, назовем функцию [ бес-
конечно большой яри хй. если lim -р—=0. Например, функ-
ция (х — 3}“* бесконечно велика при х -и 3, так как
'™7гЛгГ=йи-з)^о.
I EJ'.
Утверждение lim / (х) = + оо (соответственно Нтп f (х)= — оо)
означает, что lim [ (х) — со. причем функция { положительна (со-
Л-* л
ответственно отрицательна) вблизи точки а (рис. 81. а, 6).
Если функция f задана на [а; Ь) и |im . /(х)= + оо, то по
мере приближения х к точке b слева значения функции
[ становятся и остаются больше любого заранее заданного числа.
Поэтому при движении точки по графику функции ее рас-
стояние до вертикальной прямой х=Ь стремится к нулю. Эту
прямую называют вертикальной асимптотой для графика функции.
Аналогично эта прямая является вертикальной асимптотой для
графика функции /. если lim f(x)= —оо, lim f (х)= 4- 00
яЬ — О	х—А+0
или lim f (х) = — оо.
ж - ь+и
Следующая теорема указывает, как искать точки, при прибли-
жении к которым функция стремится к бесконечности, т. е. как ис-
кать вертикальные асимптоты графика функции.
Теорема. Если существует отличный от нуля предел
lirn ср (х)= b, a lim ф(х) = 0.
причем функция ф отлична от нуля вблизи точки а, то
lim £-&-= оо.
г • а * (Л)
Доказательство. Пусть f=*^ • Тогда -j-—. и пото-
му lim —J—=l|m ДМ— А=0. Это и означает, что
7	/|.Х> г - a « W Л
lim -J^-= <х>.
/ □ $ ц)
>51
Пример. Докажем, что lim ./ + 4 ц = оо.
< - 4 х — 6х-ЬЬ
Решение. Имеем: lim (хг 4-4)=20 и lim (х? —6x4-8)=0.
Поскольку выполнены условия теоремы, то lim --ч-+4 я = °°-
Свойства функций, бесконечно больших при х->ц, анало-
гичны свойствам функций, бесконечно больших при х-> 4-00.
Упражнения
346.	Докажите, что функции, укапанные н упражнениях 0—4), бесконечно
большие (прн х-*-а. □ указано):
1) -7^2' При х “* 2:	2> “лТГ ПРМ х 2:
при х<)^^пРих->2.
5. Непрерывные функции. Чтобы найти объем куба, доста-
точно измерить длину его ребра. При этом объем получается со
сколь угодно высокой точностью, лишь бы ребро куба было изме-
рено достаточно точно. Говорят, что объем куба непрерывно за-
висит от длины его ребра.
Иной тип зависимости дает объем 1 кг воды, рассматривае-
мый как функция температуры при О °C. При сколь угодно малом
понижении температуры вода замерзает и ее объем скачкообразно
увеличивается. График этой зависимости схематически и зебра*
жен на рисунке 82. Видим разрыв функции при / = 0.
Дадим теперь общее определение непрерывности функции и
точек разрыва.
Определение I. Функцию f называют непрерывной в
точке а, если она определена в этой точке и разность Цх)—[(а)
бесконечно мала при х-* а.
Эти определение означает, что функция f непрерывна в точке
а в том и только в том случае, когда lim
х-*а
Наряду с непрерывностью функция рассматривают односто-
роннюю непрерывность (справа или слева), определяя ее равен-
ствами /(а 4-0)=/(а) или / (а — 0)—[ (а).
В п. 3 было отмечено, что если ра-
циональная функция имеет значение
при х = а (т. е. если подстановка а
вместо х не приводит к делению на
нуль), то предел этой функции равен
ее значению в точке а. Отсюда полу-
чаем важный вывод.
Теорема I. Рациональная функция
непрерывна при всех значениях х. для
которых она имеет числовое значение.
>52
Например, функция непрерывна при всех значениях
х, кроме —2 и 2 (эти числа являются корнями много-
члена х2 — ! и при замене х на любое из них получится дробь,
знаменатель которой равен нулю).
Из утверждений о пределах суммы, произведения и частною
вытекают соответствующие утверждения о непрерывных функ-
циях.
Теорема 2. Если функции fug непрерывны в точке а, то и их
сумма и произведение непрерывны в этой точке. Если, кроме тоги,
g («)^0, то функция -у тоже непрерывна в точке а.
Докажем, например, утверждение о непрерывности суммы.
Так как f и g непрерывны в точке а, то выполняются равенства:
lim f{x)=[(a) и lim g(x)=g(a).
ж — а	« -» а
Но тогда
lim (f(x)+g(x))=|im f(x)+Ltm g (x)=f(a)4-g («),
ж • a	г • а	л-«-и
а это и значит, что функция /4“ Я непрерывна в точке а. Смысл
этой теоремы заключается в следующем: прн малом изменении
аргумента непрерывные функции f и g мало изменяются, а потому
мало меняются их сумма f 4-g и произведение fg, а если g (a) =#0,
то и частное .
£
В дальнейшем мы будем использовать следующее утверждение,
непосредственно вытекающее из свойства в) предела функции в
точке (см. п. 3):
Если функция f непрерывна в точке а и отлична от нуля в этой
точке, то вблизи а знак этой функции совпадает с ее знаком в
точке а.
Чтобы свести данное утверждение к свойству в) предела,
достаточно вспомнить, что для непрерывной функции lim [(*) =
= Ha)-
Пример. При х=1 функция 8 + 2х — х принимает по-
ложительное значение 9. Поэтому она положительна вблизи этой
точки (а точнее говоря, в окрестности этой точки радиуса 3—
в окрестностях большего радиуса найдутся и точки, где эта функ-
ция отрицательна).
Точки, в которых нарушается непрерывность функции,
называют ее точками разрыва. Чаще всего разрыв возникает
по следующим двум причинам:
а)	Функция задана различными выражениями на разных
участках, и прн приближении к «точке стыка» с разных сторон
эти выражения имеют различные пределы.
{л 4-3, если х< —2,
х2, если —2^х<2,
— х4~б, если х>2.
is?
Здесь точками стыка являются 2 и — 2. Так как f(— 2 — 0) =
= lim (х4-3) = 1, а /( — 2 + 0)= lim л2=4, то при переходе
через точку —2 функция делает «скачок» вверх на 4 — 1—3
единицы и ее график разрывается (такие точки разрыва
называют точками скачка). В точке же х = 2 функция непрерыв-
на. так как /(2)=2*=4, причем /(2 — 0) = |im ха=4 и /(2 + 0) =
к-»2
= lim ( —хц_6)=4 (рис. 83).
х — 2
б)	Функция задана выражением, знаменатель которого в
точке а обращается в нуль, в то время как числитель отличен от
нуля. В этом случае lim = со. Поэтому не может выполняться
Г -• Л
равенство Jim / (х)=/(а), и функция имеет разрыв в точке а.
х -* а
Упражнения
347.	Приведите примеры непрерывных н разрывных физических или химических
процессов.
348.	Будет ли непрерывной функция / в точках ]; 2; — I; 1.01. есля:
1)	f(x)=x2-l;	2) Пх)=т-р-;
3)	/(х)=*^т;	4) /W=4=T?
349.	Приведите примеры функций, непрерывных: I) в любой точке числовой
прямой; 2} при всех значениях х, кроме х=2; 3) прн всех значения* х,
кроме х=2, 3 н 7.
350,	Кахой знак принимает функция f вблизи точки а. если:
]) /(х)а?+ 1, д = 2;	2) /(«)=!-ж2, в-з?
351.	Найдите область определения функции
х+Э
х'-Зх’-вх •
В каких точках эта функция непрерывна, з в каких не является непре-
рывной?
352.	В каких точках имеются разрывы у функций в упражнениях ]) —7}:
'	1	. v **
'5x4-7’	*' Xs —4 *	°' г?_4х + 4’
6) /Ю=
7) /(*)
х+2 при х< — I,
£ при — I <х<2.
5— х при х>2;
. 2
— при х=£2.
х—1 при —2<х<[,
—, , при х>1?
ЗБЗ. На рисунке В4 приведены графики функций. Укажите точки разрыва и
точки непрерывности. Определена лн функция в точке разрыва? Чему
равно значение функции в точке разрыва (сели она определена й этой точке)?
354. В упражнениях I)—6) постройте эскиз графика функции, проведя следую-
щие исследования: а) найдите область определения функции и ее точки
разрыва; б) нандкто точки пересечения графика с осями координат; в) вы-
числите предел функции при х — -|-оо и при х -* — оо; г) постройте асимпто-
ты (если они есть); д) научите поведение функции при х -* о —Окпрнх-*-а +
4-0, где а — точка разрыва функции; е) для контроля найдите несколько
промежуточных точек графика:
п Л • Z+L- «и Зж •
П х-2 ’	31 7=4"’	5) х^Т’
>» 2х~3 .	л* х>~».	Зх4~9
2 Sx—3 *	41 х’~4 ’	Ъ) 7^9 '
Збб. Докажите непрерывность следующих функций и определите для ннх про-
межутки знакопостоянства:
1) (х-1)(х4-2)(х + 3);	2) х (х3- 1)(х+2);
3) (х'+1)(х-|);	4)
6. Теоремы о промежуточных значениях функций, непрерыв-
ных на отрезке. Назовем функцию f непрерывной на промежут-
ке X, если она непрерывна во всех точках этого промежутка
(на концах промежутка, если они ему принадлежат, речь идет
лишь об односторонней непрерывности). Мы изучим в этом пункте
некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.
Пусть значения функции f в точках а и b имеют различные
знаки. Тогда точки Л (a; f {о'}) в л (о; f{b}} графики этим функции
лежат по разные стороны от оси абсцисс. Если функция f непре-
рывна на отрезке [a; £], то геометрически очевидно, что ее график
155
на этом отрезке является сплошной
линией и потому должен в какой-то
точке пересечь ось абсцисс (рис. 85).
Теорема I. Пусть функция j не-
прерывна на отрезке [а; ft] и при-
нимает на его концах значения раз-
личных знаков. Тогда она обращает-
ся в нуль хотя бы в одной точке с это-
го отрезка.
При этом если функция f моно-
тонна на [а; ft], то она принимает
значение 0 лишь один раз.
Доказательство теоремы дадим в виде серии задач:
а) Пусть f (а)<0. Обозначим через X множество точек отрез-
ка [а; 6} справа от которых есть точки того же отрезка, где
функция f отрицательна. Через Y обозначим множество остальных
точек отрезка [а; ft]. Докажите, что множество У расположено
справа от множества X.
б)	Докажите, что в точке с, разделяющей множества X и У,
функция f равна нулю.
в)	Проведите доказательство теоремы для случая, когда
Н«)>о.
Следствие 1. Если функция f непрерывна на отрезке [а; ft}
то она принимает на этом отрезке любое значение р, заключен-
ное между f(a)u f (b).
Доказательство. Мы имеем: /(o)<p<f(ft).
Рассмотрим вспомогательную функцию F=/_р. Так как функ-
ция [ непрерывна на [а; ft} то тем же свойством обладает на
[а; 6] и функция F как разность двух непрерывных функций.
При этом F(a)=f (а) — р<0 и F (b')=f (ft) — р>0. По теоре-
ме I найдется такая точка с, что F(с)=0. Но тогда f(c)—р.—О,
и потому f (с) = р..
Например, функция х7 непрерывна на отрезке []; 4] и при-
нимает на этом отрезке все значения, заключенные между Р=] и
42=16. Множеством значений этой функции на отрезке [I; 4]
является отрезок [1; 16}
Следствие 2. Если функция f непрерывна на отрезке [a; ft] и не
обращается в нуль внутри этого отрезка (т. е. на интервале
(a; ft)), то она имеет один и тот же знак во всех его внутренних
точках.
Доказательство. Если бы функция имела различные
знаки в точках Х\ и из (a; ft), то по теореме 1 она обратилась
бы в нуль хоть в одной внутренней точке отрезка (xf; х2} Но
эта точка внутренняя н для отрезка [a; ft} а внутри [a; ft] функция
по условию не обращается в нуль. Значит, функция f не может
иметь на [a; ft] значений различных знаков.
Теорема I к ее следствие применяются прн решении уравне-
ний и неравенств.
Пример ]. Докажем, что уравнение *э—3*4- I =0 имеет
корень на отрезке [0; 1} и найдем его с точностью до 0,1.
Решение. Функция f, где /'(*)==*?—3*4-1, непрерывна
на всей числовой прямой, причем /(0)=1, f(l)= — I. По теоре-
ме I она обращается в нуль хоть в одной точке отрезка [0; 1}
Можно доказать, что функция [ убывает на этом отрезке и потому
ее график пересекает его лишь в одной точке (т. е. уравнение
г3 —3*4-1 имеет лишь один корень на этом отрезке).
Чтобы найти корень с точностью до 0,05, разделим отрезок
[0; 1] пополам и вычислим значение функции в точке 0,5. Имеем
НО.5)=—0,375. Так как f (0)>0, f(0,5)<0, то делим пополам
отрезок [0; 0,5} Так как f (0,25)=-^->0, то делим отрезок
[0,25; 0,5] пополам. Деление продолжаем до тех пор, пока длина
отрезка не станет меньше чем 0,1. Тогда середина этого отрезка
будет значением корня с точностью до 0,05. В нашем случае этим
значением является 0.34.
Описанный метод приближенного решения уравнений назы-
вают заимствованным у артиллеристов названием «метод
вилки*.
При решении неравенств вида /(*)>0, где функция f непре-
рывна на всей числовой оси, сначала решают уравнение f (*) — 0
и находят интервалы, на которые корни этого уравнения разби-
вают числовую ось. Из следствия 2 вытекает, что на таких интер-
валах функция f сохраняет постоянный знак. Поэтому доста-
точно определить знак функции в какой-либо «пробной точке»
взятого интервала, чтобы звать его на всем интервале. Если
же функция f имеет точки разрыва, то числовую ось нужно
делить на части не только точками, где	но и точками
разрыва функции f. Мы не приводим соответствующего примера,
так как из иных соображений пришли к тому же методу решения
рациональных неравенств в п. 4 §4 главы Ц. Позднее опи-
санный метод интервалов будет применяться к решению не-
равенств более сложного вида (тригонометрических, показатель-
ных, логарифмических и т. д.).
Упражнения
356.	Найдите интервалы непрерывности функции:
357.	Для функции J(x)=xa—5x4-2 вычислите ЦО), /(—3), [ (I), /(2). На каких
интервалах функция имеет нули?1 На каких интервалах функция сохра-
няет знак?
358.	Для функции 24-7х—ха вычислите I), ЦО), Ц~3). ЦЗ). На каких
интервалах функция имеет нули? На каких интервалах функция сохраняет
знак?
359.	Докажите, что уравнение х9 4-4x4-3=0 имеет корень на отрезке [—1; О)
Нвидите этот корень с точностью до 0,1.
380. Докажите, ‘сто уравнение Xs4-х—корень на интервале
[0,5; Ц, Найдите тгот корень с точностью до 0,1.
Решите неравенства:
1) (х4-2}(х-3)>0;
3) (х4-1)(х4-2)(х + 4)<0;
5) Xs— Зх2—*4-3>0;
7> >»
361.
2) (х4Э)(х-4)^0;
4) (х?-4)(х4-5)>0;
6) л'-2х?4-3х <0:
7. Обратная функция. Если известна длина х стороны квад-
рата, то его площадь S можно вычислить по формуле S — г2.
Обратно, если известна площадь S квадрата, то длина его сто-
роны однозначно определена. Эти две зависимости (площади
квадрата от длины его стороны и длины стороны от площади
квадрата) называются взаимно обратными.
Высота h подброшенного вверх камня в момент времени i
выражается формулой k = vot—	По этой формуле нельзя,
зная Л, однозначно определить значение /. Например, А=0 и
при f = 0, и при *=^--D •
Отсюда видно, что не всегда для данной функциональной
зависимости величин существует обратная зависимость. Чтобы
сформулировать соответствующее условие, введем понятие обра-
тимой функции.
Определение 1. Функцию / называют обратимой на
множестве X, если для любых хь х^Х из х^х-/ следует, что
f (хС\^=Цх2).
Если функция f монотонна на X, то она обратима. В самом
деле, из ху^=х2 следует, что либо Х|<х2, либо Х)>х2. Если
функция / возрастает на X, то отсюда следует, что либо
f(xi)< f{X4), либо	и потому f (х2). Аналогич-
но обстоит дело, если функция f убывает на X.
Определение 2. Пусть функция f обратима на X.
Обратной к ней называют функцию которая каждому y£f (X)
ставит в соответствие такое х, что f(x)=y.
Отметим, что требуемое значение х существует, так как
yfffX), и однозначно определено. так как при г. =6х имеем в
силу обратимости f
! То есть точки, где f(x) обращается а нуль.
Из определения 2 вытекает, что соотношения y=f(x\ х£Х
и x=f 1 (у), y£f(X) равносильны. Иэ них получаем следующие
тождества:
х=г\тха
y=Hr'(y)\yef(x).
(i)
(2}
Пример 1. Пусть функция f ставит э соответствие к чис-
лу х число Зх —5. Найдем функцию, обратную f.
Решение. Обозначим f(х) через у. Тогда у=3х — 5, и
потому х= . Значит, f~1 (у) = *"*.
Если функция /_1 обратна функции f и y=f (х), то x=f~* (у).
Значит, если точка М (х\ у) лежит на графике функции /, то
точка N (у\ х) лежит на графике функции f Но эти две точки
симметричны относительно прямой у=х. Отсюда получаем:
Графики функций / н /“1 симметричны, относительно пря-
мой у = х.
Пример 2. На рисунке 86 изображен график функции [.
Построим график обратной к ней функции f~'.
Решение. Так как функция f монотонна, то она имеет
обратную функцию /“*. График функции /_| получается из
графика функции f с помощью осевой симметрии относительно
прямой у — х.
Из монотонности функции f на отрезке [а; &] вытекает ее
обратимость н потому существование обратной функции
Это утверждение можно уточнить, если, кроме того, известно,
что функция f непрерывна на [а; 6} В этом случае по следствию
теоремы 1 п. 6 областью значений функции f является отрезок
[/(a):	(или [f (b); f (а)], если f убывает). Значит, справедлива
следующая теорема:
Теорема I. Если функция f воз-
растает (соответственно убывает)
и непрерывна на отрезке [a; Ц го
существует функция f~\ обратная
функция f и определенная на отрез-
ке [/ (а); f (&)] (соответственно на
отрезке (6); f (о)]).
/
Рнс. 86
Рнс. 87
)59
Докажем, что в предположениях теоремы I
еще два утверждения:
а)	функция /“’ возрастает (соответственно убывает);
б)	функция f~' непрерывна.
Чтобы доказать утверждение а), заэьмем числа у\ н уъ нз отрезка [/(а): /(6)
такие, что	и положим у, =f-1 (у,), Xi^/-!(J/г). Если бы выполнялось
неравенство xt ?^х», то мы имели бы в силу возрастания f неравенство / (х-Д
т. е. yt$*y-t. что противоречит условию:	Значит. Х\ <х2, т. е.
Итак, из yi<y2 следует: f~-feri)</“! {уД н потому функции f~'
возрастает. Случай, когда функция f убывает, рассматривается аналогична.
Перейдем к доказательству утверждения б). Пусть / (о)<ул<_ f (А) и хп =
=f ! (у1г). Выберем любое в>0. Не терии общности, можно считать, что
zu—с и х(| Ц-в принадлежат отрезку [о; 6J Тогда я силу возрастания / имеем;
I(хи—е)</{хп}=у0</ (х«4-е). Поэтому найдется б-окрестность точки лежа-
щая на промежутке (/|'х0—г); f (*<) + *))•
Если
принадлежит
этой
окрестности
точки ус, то 1(х«—г)<у<7(х„-|-е) н потому х0—е</-!(у)<хс+е, т. е.
И ! (У)—/”’(?о)1 <Е *- Этим доказана непрерывность функции / 1 в любой точ-
ке yu6(f(o); f(b)}. Случаи, когда у1(=/{а) или f (b\ разбирается аналогично.
У
Теорема, аналогичная теореме I, остается справедливой при
замене отрезка [а; Ь\ любым числовым промежутком (только
в этом случае областью определения функция f тоже будет не
отрезок, а соответствующий промежуток).
Упражнения
362.	Нэнднте функции, обратные функциям:
I)	Зж+6;	2) х*-4х + 5. х>2:	3) ^-4x4-5. х<2;
4) х44-2х*. х>0:	5) х Цх].
363.	На рисунке 87 приведен график функции /. Имеет ли ома обратную? Ука-
жите промежутки, на которых эта функция имеет обратную1. Постоите
графики этих кратных функций.
8. Корин. Применим теорему о существовании обратной функ-
ции к степенной функции хк с натуральным показателем п. Эта
функция возрастает на луче [0; +«>) и непрерывна на нем (см.
п. 2 § 3 главы Ill и п. 5 § 2 главы IV). При этом 0”=0 и
lim ^"=-4-00. Отсюда в силу теоремы 1 п. 7 следует, что су-
*-* 4- со
ществует функция, обратная функции х* на луче [0; -4- оо), причем
эта функция задана в том же луче н принимает значения на нем
же. Это значит, что для любого неотрицательного числа b су-
ществует одно и только одно неотрицательное число а, л-я степень
которого равна Ь, аа=Ь. Введем следующее определение:
Определение /. Корнем п-й степени иэ неотрицатель-
ного числа b называется такое неотрицательное число а, что
ая = Ь.
1 Точнее говоря, обратную функцию имеют сужения функции 7 на эти про
«ежуткм.
16П
Проведенные выше рассуждения показывают, что для любого
неотрицательного числа b и любого натурального числа п такое
число существует, и притом только одно. Корень п-и степени из
неотрицательного числа b обозначают \Ь. В этой записи п на-
зывают показателем корня, b — подкоренным числом. знак V —
знаком радикала (от латинского «радикс» — корень). Черта над
числом Ъ заменяет скобку. Например, V^+5 равно ^'8.
Так как а'=а. то \:а=а и потому корней с показателем 1
не применяют. Условились опускать показатель 2 в записи квад-
ратного корня. Поэтому -\ta=\'a. Наконец, отметим, что из ра-
венств 0"=0 и 1*=1 вытекают равенства ^=0 и у 1 = 1.
Пример 1. Докажем, что ^'64 = 4.
Решение- Числа 64 и 4 неотрицательны, причем 43=64.
Из определения корня вытекает, что для любого неотрица-
тельного числа b и любого натурального числа п выполняется
равенство
Обратно, если хп — Ъ, где числа b и х неотрицательны, то х—^Ь.
Поэтому для неотрицательного х имеем:
^,xrt=x.
Понятие корня позволяет обобщить понятие показателя сте-
пени, введя степени с любыми рациональными показателями.
Это обобщение будет изучено в дальнейшем, а сейчас мы лишь
формально введем соответствующие определения и отметим
без доказательства, что для степеней с рациональными показа-
телями остаются истинными изученные в п. 7 § 1 главы I свойст-
ва степеней с натуральными показателями (исключая свойство 7).
Именно положим для любого
а°=], а п=\
а
Далее, если а>0, m — целое число и п — натуральное число,
то положим
нт
а~=\ат.
^Замечание. Мы определили выше ikjhhthc корпя лишь для неотри-
цательных чисел. Если показатель степени п нечетен, то определяют корень
л-й степени нз отрицательного числа а рааснством
\fa= — V—и.
Например, V —& = — V ~(—8)= —^=—2.
Раве.четэо	глупямярт силу и и случае кегля а<(1. п нечетно.
В саком деле, прн а<0 и нечетпоы п имеем —а>0 и
(Va)"=(-V^ar* -(V^r= -<-а)=а.
Нам потребуются в дальнейшем следующие свойства корней:
а) При a’j>0, Рт>0 имеют место равенства:
I)	2)	3)
4} № = ^йт°; 5)
б) Если а>0, то lim ^'х=^а. Кроме того, Вт Ух=0.
г - а	г—О
Доказательства этик свойств будут даны позднее.
Упражнения
364.	Запишите без отрицательных показателей выражения:
2J °-*ь~г . ъ (а±ьу’ .
5) (о+з*Г(<1-зео *.
I) a 3b У;
«. (а2 1-ЛэГ''
4)
365.	Запишите без дробной черты выражения:
.. (“+*? • 91	I	4.	(g' + fr2}*
1 ^c+dF’ (8аа+*)5’	’ (a+*)3 (a-tf *	’ (а*-аЬуЬ"Г
366.	Какие из чисел больше:
I)	У§ «ли \'Ь'< 2) Уб ил” V2: 3) V2+v2 нлн
4)	V3+V2 НЯМ 7з+^?
367.	Верно лк равенство:
I)	^2-^3.	2)
36$. Запишите с помощью степеней с рациональными показателями выражения:
п \.'У Ус4	УСа+^рУ'сТ-^
W ’	'
369. Запишите с помощью радикалов следующие выражения:
2 3	5	3
n a 3frT .	01 (иа + ^) В(г12 + ьУ
1 ’ St* ’	*'	п
с 6d‘	(а^ЗаЬ + Ь2] Т
370. Упростите аыражРння: I) У(У2—У'5)2; 2) у 19)".
37|. Найдите области существования выражений:
Il V*5—*—12: 2) г-х- 1-----к—г~]-----•
y?4-fijc+? У?—2х—8
372. Иычнслнге пределы:
i) lim Х . 11 ‘ ; 2) lim —-	——; 3) lim (У? 1 — у'х2 - 1).
х-и *+2 х-о х	х-0
162
Глава V
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ
1. Приращение функции. Многие вопросы практики приводят
к отысканию разности значений функции в двух точках. Например,
если обозначить через q (t) количество электричества, протекшее
через данное сечение проводника к моменту времени I, то коли-
чество электричества, протекшее через это сечение за промежу-
ток времени [a; d’J, выражается формулой q (й)— q (а). Если
f{t)—координата прямолинейно движущейся точки в момент
времени I, то разность f(b')—f (а) показывает, в какую сторону
и иа сколько переместилась эта точка за промежуток времени
[а; Ь]. Расстояние, на которое переместилась точка, равно
|/(й)— f (й)|, при этом если / (b) — f (а)>0, то перемещение совер-
шается в положительном направлении, а если f — / (а)<0,
го в отрицательном.
Введем следующее определение:
Определение 1. Разность х —а называют приращением
аргумента при переходе от а к х. а разность f (x")—f (о) — прира-
щением функции f при этом переходе.
Заметим, что как приращение аргумента, так и приращение
функции могут быть не только положительными, ио и отрица-
тельными и даже равными нулю. В дальнейшем мы будем обозна-
чать приращение аргумента буквой h, т. е. положим х — a=h.
Тогда х=а + й. Соответствующее приращение функции равно
f
Итак, чтобы найти приращение функции [ при переходе от
а к а 4- Л. надо:
а)	найти значение функции f в точке а\
б)	найти значение / в точке a-\-h;
в)	из второго значения вычесть первое.
Пример L Найдем приращение функции х\ если началь-
ное значение аргумента равно 4, а приращение аргумента рав*
но 0.1.
Решение. Имеем: 4Э=64. Если аргумент 4 увеличится на
0,1. он станет равен 4,1. Соответствующее значение функции
Xs равно 4,13 = 68,921. Значит, прирашение функции х3 при пе-
реходе от 4 к 4,1 равно 68.921—64 = 4,921.
Пример 2. Найдем прирашение площади квадрата, если
длину а его стороны увеличить на й.
163
ah	h2
аг	ah
a	h
Рис. 88
Решение. Длина стороны квадрата
равна а, значит, площадь его равна а*.
Если длину а увеличить на Л. получится
квадрат, площадь которого равна (a-f-Л)2.
Приращение площади квадрата произош-
ло за счет присоединения Г-образной фи-
гуры (рис. 88). Найдем площадь этой фи-
гуры. т. е. приращение площади квадрата:
— d2 =2ah-\-h2.
Пример 3. Найдем приращение
функции х3 при переходе от а к аЦ-Л.
Решение. Так как ( <х)=х', то / (а) = а3 и f (а 4-Л)=(а4-Л)3.
Значит, f (а 4-Л)—j (а)=(а4-Л)1 — а\ Но
(а 4- Л)3 = а3 3a2h 4- За А2 4- Л3.
Поэтому искомое приращение равно:
(а 4- Л)3 — а3 = (а3 4- За2й 4- За/г 4- h3)—а3 =
=.3а2й 4- Зай2 4- Л3 =(3а2 4- ЗаА 4- Л2) Л.
Очень простой вид имеет приращение линейной функции.
Теорема. Приращение линейной функции kx-]-b пропорцио-
нально приращению h аргумента, причем коэффициент пропор-
циональности равен k. _
Доказател ь с т в о. Пусть /(х)= kx4-b. Тогда
f (a)=ka + b н f (аЦ-Л)=й (а4-Л)4-6.
Значит,
f (a + h)-f (a)=k(a+h)+b—{ka + b)=kh.
Это равенство показывает, что приращение линейной функции
при переходе от а к а4-h пропорционально приращению аргу-
мента й с коэффициентом пропорциональности k.
Упражнения
373.	Масса части стержни от его левого конца до точки, находящейся от этого
ковца на расстоянии х, равна f (х). Каков физический смысл прираше-
кня функции f прн переходе от точки а к точке а + Л?
374.	Угол поворота вращающегося диска за лерныр l секунд после начала
вращения равен ((f). Каков физический смысл прирашення функции ( прн
переходе от и к дЦ-ft?
375.	Масса химического нещества. растворившегося за первые t секунд после
начала процесса растворения. равна ((f). Каков физический смысл при-
ращения функции [ при переходе от о к a+h?
378.	Число жителей страны в момент времени I равно ((f). Каков смысл при
ращения этой функции прн переходе от а к аЦ-h?
IM
377.	Масса чугуна, полученного за первые I дней после пуска доменной печи,
равна /{/). Каков смысл приращения функции / при переходе пт и к афА?
378.	Температура стержня а точке, находящейся иа расстоянии х от его левого
конца, равна / (х). Какой физический смысл имеет приращение функции
f при переходе от а к йфЛ?
379.	Возрастает или убывает функция [ на отрезке [а; И если на атом отрезке
знак приращения функции совпадает со знаком приращения аргумента?
Разберите теперь случай, когда знаки этих пркращеннй противопо-
ложны.
380.	Запишите приращение функции / в точке о:
I)	/(х)=х2 *фх. а = 3, Л=0,1;
2)	f(x)=7+2x-х2. а=_ 1. ft«=0,00i:
3)	f(x)=3x—ха. о=2. /г=-0.1.
381.	Для функции 2x4-3 найдите приращение аргумента и функции на отрезке:
1)	12; 2.3; 2) (-2.2; -2).
382.	Аргумент функции получил приращение h н принял значение х>. Найдите
приращение функции, если:
1} /(х)=/х-|, й=0.37. х,=4,61; 2) /'(х) = <7фТ. Л=0,|7, х,«-0.19.
383.	Найдите приращение функции -. если а = 0,8, Ал —0,2.
384.	Выведите формулу для приращения функции 1) Зх2; 2) —5гч при пере-
ходе пт а к o-f- ft.
385.	Ннйднте приращение площади круга, когда радиус R = 4 см получил при-
ращение Л. Изобразите это приращение графически прн: I) А=0,2 см;
2) Л = —0.2 см.
386-	Найдите приращение площади поверхности н объема куба, когда: I) ребро,
ранное 5 см. получает прирашенне 0,1 см;
2) ребро, равное 5 см, получает приращение —0.2 см.
387.	Точка движется по координатной прямой, причем ее координата в момент
времени I равна
2
/2 —5/Ч- i. На сколько переместится точка: 1) за про-
межуток времени [3; 8); 2) за промежуток времени (о; афЛр
388.	Масса части АС стержня АВ равна 4х2ф5х, где х- длина отрезка АС.
Найдите мяссу части DE этого стержня, если: I) АО=5. АЕ='2\ 2) AD=a,
А£—афй.
2. Дифференцируемые функции. На одних участках пути поезд
идет быстрее, на других — медленнее, иногда он останавливаетси.
При этом замедление и ускорение движения происходят посте-
пенно, так что в течение малого промежутка времени скорость
поезда почти не изменяется. Иными словами, можно сказать,
что при малых значениях h скорость поезда в течение промежутка
времени [п; а-ф/i] почти постоянна, а само движение почти рав-
номерно. Поэтому малые участки графика движения поезда поч-
ти неотличимы от прямой линии.
165
(«ад ОЛУ (ЫЮ) №;№?)	(<У?/;Д99)
Рнс. 89
Тем же свойством обладает график функции х2. Рассмотрим
рисунок 89, где изображены участки параболы у—х2, рас-
положенные возле точки М(1; I). Эти кадры сделаны в разном
масштабе, из-за чего на них показаны участки параболы, имею-
щие различную величину. Так, на рисунке 89, а показана часть
параболы, лежащая над отрезком [0; 2], на рисунке 89,6— над
отрезком [0,9; 1,1]. а на рисунке 89, a — над отрезком [0,99; 1,01].
Видим, что по мере уменьшения радиуса изображенной ок-
рестности искривленность графика становится нее менее замет-
ной, график становится все более похож на график линейной
функции (или, что то же самое, на график равномерного дви-
жения). Можно сказать, что парабола вблизи точки A-f(l; 1)
«линейна в малом». Тем же свойством «линейности в малом»
обладает парабола и вблизи других точек. С точки зрения фи-
зики свойство «линейности в малом» означает, что соответст-
вующий физический процесс в течение короткого промежутка
времени протекает с почти постоянной скоростью, или, иначе,
почтя равномерно.
Перейдем теперь от наглядных рассмотрений к точным мате-
матическим формулировкам. В математике вместо «линейная в
малом функция» говорят «дифференцируемая функция».
Определение 1. Функция f называется дифференцируе-
мой в точке а, если ее приращение при переходе от а к a-j-Л
можно представить в виде
f (ci-4-Л)— f (й)=(А-|-а)й,	(1)
где k — число, а функция а бесконечно мала при h 0, lim а = 0.
Напомним, что для линейной функции k.x-\-b прирашение
равно kh, т. е. для нее бесконечно малая функция а равна ну-
лю. Линейная функция дифференцируема при всех значениях х.
Для других дифференцируемых функций имеет место лишь при-
ближенная пропорциональность приращений функции и аргумен-
та (стоящее в скобках в формуле (I) слагаемое а и указывает
на отклонение от точной пропорциональности).
Пример 1. Докажем, что функция г2 дифференцируема
при любых значениях х.
166
Решение. В примере 2 п. 1 было показано, что прираще-
ние функции х2 записывается следующим образом:
(х-|-Л)?—х2=(2х+Л)Л.
Если положить 2x = k, fi — a, правая часть примет вид: ( k -f- a) h,
причем Игл а = 0. Тем самым доказано, что функция х2 диффе-
ренцируема при всех х.
Пример 2. Докажем, что функция х3 дифференцируема
при любом значении х.
Решение. В примере 3 п. 1 было показано, что прирашение
функции х2 записывается так:
(x -F Л)3 - х3 =Зл2Л + ЗхЛ2 4- Л3=(Зх2 4- ЗхЛ + Л2) Л.
Полагая Зх2 = й, Злй-|-Л2=а, убеждаемся в дифференцируемости
данной функции, поскольку lim (ЗхЛ 4-йг)=0.
й о
Упражнения
ЗЯ9. Рассмотрите упражнения 373—375 н 377, 378 и поясните для каждого нз
этих примеров смысл утверждения о дифференцируемости соответствующей
функции.
390. Докажите дифференцируемость следующих функций:
И Vх ПРН х>0;	2) — при х=#0;	—J-r— при х#=—3;
х	-г-Ь>
4) -L при х>0;	5) Д при Xi* 0;	6) /.
3. Производная. Если точка М совершает прямолинейное
движение по оси с постоянной скоростью k, то ее координата
в момент времени t выражается формулой х = й/Ц-Хо, где хо — на-
чальная координата точки. Построим график этого движения,
выбрав масштаб, при котором единичный отрезок на оси
абсцисс соответствует единице измерения времени, а на оси
ординат — единице измерения длины. Тогда получим прямую
линию с угловым коэффициентом k. Таким образом, число k
выражает как скорость движения, так н угловой коэффициент
графика этого движения. При этом приращение функции £/-|_х0
равно kh.
Естественно предположить, что аналогичную роль должно
играть число k в равенстве
/(х + Л)-Нх)==(* + а)й,	(I)
характеризующем дифференцируемость функции /. Мы увидим
ниже, что оно является, с одной стороны, мгновенной скоростью
движения, а с другой стороны, угловым коэффициентом каса-
тельной, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой х.
Ввиду важности указанного коэффициента выясним, как вы-
числить его. Для этого перепишем равенство (1) в виде
h
где, напомним, функция а бесконечно мала прн Л -> 0. Из опре-
деления предела следует, что в этом случае имеем:
lim	=k	^2)
Обратно, если выполнено равенство (2), то разность
а=	k бесконечно мала при й—-0 и потому
f(x+ft)—f (*)=(& +a) h, где lim а =0. Мы доказали следующую
ft —о
теорему:
Теорема 1. Функция f дифференцируема в точке х в том и
только в том случае, когда существует предел
№+*1-051.
ft -fl	Л
В этом случае /(x-f- ft)—f (x)=(k + a) h, где lim a = 0.
л . о
Значение k, даваемое формулой (2), зависит от выбора л.
Поэтому, если функция / дифференцируема во всех точках про-
межутка X, то каждому значению аргумента нз X соответству-
ет свое значение k. Этим определяется новая функция на X, ко-
торую называют производной от функции f и обозначают f.
Итак, введем следующее определение:
Определение. Производной функции f называется функ-
ция f, значение которой в точке х выражается формулой
f (х) = 1 im	.	(3)
й —й	Л
Так как й приращение аргумента при переходе от точки х
к точке x-|-ft, a f (х 4-й)—/(х) — соответствующее приращение
функции /, то можно сказать:
Значение производной от функции [ в точке х равно пределу
отношения приращения функции к приращению аргумента, ког-
да приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, для того чтобы найти значение производной функции
f в точке х, надо:
I)	найти выражение для приращения /(х-|-й)—/ (х) функ-
ции f-t
2)	разделить это выражение на приращение аргумента Л;
3)	найти предел полученного отношения	К1 При
й -* 0.
В тех случаях, когда приращение функции f уже представ-
лено в виде /(х4-й)—f	h, значение коэффициента
k для данного значения х и дает значение производной. Поэтому,
пользуясь результатами примеров 1 и 2 п. 2, получаем следующие
формулы для отыскания производных:
{kx + b)' = k, (x'Y = 2x,	=
Проверьте, что тот же результат получается по формуле (3).
Отметим, в частности, что д' = 0, т. е. производная постоянной
равна нулю.
Пример I. Найдем производную функции -Ц
Решение. Для этой функции имеем:
и потому
h	х(Х-|-Л) '
Значит,
f J-j = lim I---. 1 -) = —-Д-
\ / /	fr - о \ ж (х+Л) 7	г
Итак,
(Я=-^-	<4>
Пример 2. Найдем производную функции f (х)=ах2 4--4 с.
Решение. Имеем:
f (x-\-h)—f (x) = a(x^-h')2 + b (х + h) + с—{ах? + bx + с) =
= 2ahx-$-ati2-\-bh.
Значит,
=2ax 4- ah Ц- b,
Л
и потому
r (x) = lim fW0 =2йх+1>.
(ах2 4- bx 4- с)' — 2ax 4- b.
Замечание. Если функция задана на отрезке [а; й). то в точках а н b под
словом «дифференцируемость» будем понимать одностороннюю дифференцируе-
мость. т. ?. существование пределов
и
IfW
Упражнения
351. Для каждого из упражнений 373—375, 377, 373 выясните смысл произ-
водной указанной в нем функции.
392. Найдите производную функции:	,
•1 _
I) -х;	2) 4—5х;	3) у-§;	4>х-|-1в2;
5) Зх2;	6) -i-;	7) х’+й; 8) х*—I;	9) ft- 10) V*-
D
393. Найдите значение производной функции / а точке а, если:
1) f(xl = 7-3x2. а = 2; 2) f(x)=^7-j-^5. о» 100;
3) f(x)=x< а= -I, о=2, а=-^-.
□
894. Сравните производные функций х, х*. х3, -1-, ух.
Наблюдаете ли вы какую-либо закономерность?
395. I) Найдите производную функции |х| прн х>0 к прн х<0.
2) Существует ли у функции |х| производна я в нуле?
4. Дифференциал функции. Мы знаем теперь, что значение
коэффициента k в формуле
/(а+й)-/(й)=(* + а)й
равно f' (а), потому эту формулу можно переписать так:
(1)
где, напомним, lim а=0. Отсюда следует, что
На+й)=Ца)4-(/'(*) + *)*•	(2)
Равенство (2) применяется для приближенного вычисления
значений функции f вблизи точки о, в которой легко найти как
значение функции, так и значение ее производной. Для этого
отбрасывают бесконечно малое слагаемое а и пишут:
/{а4-Л)«На)+Г(-2)й.	(3)
Пример I. Найдем значение функции х3 при л =2,014 с
точностью до 0,003.
Решение. При х = 2 значение функции х3 равно 8. Произ-
водная этой функции равна Зх2, и ее значение при х = 2 равно 12.
Итак, если а =2, то f (а)=8, /'(а)=12. И потому при й = 0,014
имеем:
[(Д-Р /i)=(2 + O,OI4)3as8+ 12-0,014=8,168.
Погрешность полученного значения равна 3dA2 + ft3, т. е.
3-2-0,0142 +0,014я. Так как 0,014<0,02, то эта погрешность
меньше, чем 6-0,027 +0,02я <0,003.
Из равенства (1) следует, что приращение дифференцируе-
мой функции / состоит из двух слагаемых: слагаемого /'(а)Л.
которое пропорционально приращению аргумента, н слагаемого
ай, которое стремится к нулю быстрее, чем h (когда h стремится
к нулю, то и множитель а стремится к нулю, а потому произ-
ведение аЛ стремится к нулю быстрее, чем Л). Слагаемое f' (a)h
называют дифференциалом функции f и обозначают df. Таким
образом, df=f' (я) Н.
Для функции х производная равна I. и потому ее дифферен-
циал равен й, dx = h. Поэтому принято вместо й писать dx.
Вместо а пишут х. При этом формула дифференциала функции
принимает вид:
df=f'(x)<ix.	(4}
Например, из того, что (х2/ = 2х, вытекает равенство d (х2) =
т=2хдх, а из того, что (jr)' = Зх2,— равенство d (r3)=3x2rfx.
Проведенное в начале пункта вычисление приближенного
значения функции можно теперь кратко сформулировать следую-
щим образом:
Приближенное значение функции вблизи точки а равно су.чме
ее значения в этой точке и дифференциала в той же точке.
Упражнения
390. Пользуясь производными. найденными и л. 3, найдите:
а) 4^-^ : б) 4 (ух); в) 4(*х+6); г) d (tyz).
397. С помощью микрокалькулятора, пользуясь формулой (3), вычислите прибли-
женно:
а) ДО; б) в> г) т/Ш-
5. Производная и скорость. Пусть точка движется по коорди-
натной прямой и закон ее движения задается функцией f. В
момент t s= /с она находится в точке с координатой f (to), а в момент
времени ?-=/04-й — в точке с координатой f(to-M). Значит,
ее перемещение за промежуток времени1 [to; /о4-й) равно
f (/04-й)—f(to)- Разделив его на величину h промежутка време-
ни, получим число, называемое средней скоростью движения
точки за промежуток времени [to; to 4-Л]:
Т1 _f(to-M)-Hto)
-ср
h
Мы пишем /л вместо а. потому что в физике буква а обозначает ускорение.
Предел средней скорости при h -* 0 называют мгновенной
скоростью движения в момент времени /0. Значит,
t>,r,(<o>=»lim ffr+*>~W.
а — а а
Предел, написанный справа, является значением производ-
ной функции I в точке /0. т. е. равен f' (/о). Мы доказали, что
(М-
Итак, мгновенная скорость в момент времени tQ прямолиней-
ного движения, совершаемого па закону x=f(t\ равна зна-
чению производной функции f при i = t0.
Таким же образом определяют мгновенную скорость других
физических процессов: углового вращения, радиоактивность рас-
пада и т. д.
Рассмотрим, например, процесс радиоактивного распада. Мас-
са пг радиоактивного вещества изменяется с течением времени.
Пусть закон этого изменения имеет вид:	Мгновенная
скорость распада вещества в момент времени равна /' (ZD). Это
значит, что изменение массы вещества за короткий промежуток
времени [/0; /о + Л], приблизительно равно f' (to) h (точнее гово-
ря, оно равно J/' (/о)4-а] Л. где а — бесконечно малая при h -► 0).
Точно так же устанавливается, что если масса вещества, раст-
ворившегося в воде за время t, равна f(t), то мгновенная ско-
рость растворения при Г = Г0 равна /’ (td).
Вообще, если какая-нибудь величина у изменяется по закону
то мгновенная скорость изменения этой величины при
t=to равна /'(/о). Кратко говоря, производная есть мгновенная
скорость изменения функции.
Понятие производной применяют н при изучении величин,
меняющихся не с течением времени, а в зависимости от измене-
ния иных величин.
Пусть, например, дан стержень АВ. Обозначим через fix)
массу части АС этого стержня, имеющей длину х. Если стержень
однороден, то f(x) = kx. Число k называют линейной плотностью
стержня. В этом случае масса любого участка стержня равна
kh, где h — длина этого участка.
Если стержень неоднороден, то масса участка DE длины h
равна /(жо+Л)—f (х»), где х<| — абсцисса точки D. Разделив
эту массу на Л, получим среднюю линейную плотность участ-
ка DE:
(х.)+а.
А линейная плотность в точке хл равна пределу средней плот-
ности, когда длина участка стремится к нулю, т. е. числу
Zf(xo)=lim k =f'(xd).
k — D
170
По той же схеме определяют, что такое теплопроводность
неоднородного стержня в данной точке, его теплоемкость в этой
точке и т. д. Таким образом, с помощью понятия производной
можно изучать самые разнообразные неоднородные объекты и
процессы.
Упражнения
398-	Определите понятие мгновенной угловой скорости вращения и дайте вы-
ражение этой скорости через производную.
399.	Определите понятие силы переменного тока в данный момент времени к
дайге выражение для него через производную.
400.	Определите понятие линейной теплоемкости неоднородного стержня в дан-
ной точке и дайте ее выражение через производную.
401.	I) Определите понятие перепада температуры в данной точке неравномер-
но нагретого стержня и лайте выражение через производную.
2)	Придумайте еще два-три примера физических величии, выражающихся
с помощью иронзшддяой.
402.	Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента
/=0. выражается формулой qij) -Зг1 — 2(. Выведите формулу для вычисле-
ния силы тока в любой момент времени ! и вычислите силу тока а конце
шестой секунды.
403.	Тело, брошенное вертикально вверх с высоты Лу с начальной скоростью
Уо, движется по закону Л (/) = йп + уп/ . Найдите высоту тела в мо-
мент времени, когда скорость те.пя в 2 раза меньше первоначальной, если
ho- 4 м. Vo=3 м/с н м/с2.
6.	Касательная прямая к графику функции н ее уравнение.
Возьмем дугу ,48, выберем на ней точку М и проведем луч AM
(рис. 90). Будем приближать точку Л1 по дуге к точке А. Тогда
луч AM будет поворачиваться вокруг точки А. Для большинства
встречающихся на практике линий луч AM по мере приближения
точки Л1 к точке А стремится к некоторому предельному положе-
нию, т. е. существует такой луч А Т, что величина угла ТАМ
стремится к нулю, когда AM стремится к нулю, lim ТАМ =
МА -* 0
= 0. Луч АТ называют касательным лучом к дуге А8 э точке А.
Как правило, через точку кривой проходят два касательных
луча, образующих развернутый угол (рис. 91). Такие точки А
кривой будем называть обыкновенными,
а прямую, составленную из двух взаимно
п роти во положи ы х касатсл ьн ых лучей в та -
кой точке,— касательной к кривой в точ-
ке А. Иными словами, касательной пря-
май к кривой Г в точке А называют пре-	----—--------—
дельное положение секущей AM, когда *	г
точка М приближается по кривой к точке А.	Рнс. 90
173
Ркс 91
Рис. 92
Через гичку К на рисунке 92. а проходят четыре касательных луча, через точ-
ку Z на рисунке 92. б — два касательных луча, образующих угол, меньший 1Я0\
а ДЛЯ ТОЧКИ S НЯ рисунке 92, В оба касательных луча слипаются. Эти случаи яв-
ляются особыми.
Пусть АВ — прямая на координатной плоскости, не парал-
лельная осн ординат, и А — точка на этой прямой. Очевидно1,
что если угол МАЗ стремится к нулю, то угловой коэффициент
прямой AM стремится к угловому коэффициенту прямой АВ. и,
обратно, если угловой коэффициент прямой /Ш стремится к
угловому коэффициенту прямой АВ, то угол МЛ В стремится
к нулю. Отсюда следует, что если существует невертикальная ка-
сательная к кривой Г в точке А, то ее угловой коэффициент
является пределом углового коэффициента секущей, когда вто-
рая точка пересечения М приближается к точке Л:
lim Л,
.мл - о
(1)
Рассмотрим случай. когда кривая Г является графиком функ-
ции /. Возьмем на этой кривой точки A (a; f (а)) и
М(аЧ-Л; f (a-f-Л)). По формуле для углового коэффициента пря-
мой, проходящей через две точки, угловой коэффициент секущей
равен	. Кроме того, ясно, что условия МА -* О
и h -* 0 равносильны. Поэтому из {1) получаем:
/?+ГМа> 	О')
Но аыражеиие в правой части этого равенства является значе-
нием производной функции f в точке а, т, е. равно f' (а). Поэтому

(2)
Мы доказали следующее утверждение:
* Строгое доказательство этого утверждения опирается на непрерывность
функций tgx и arctg х, которая будет доказана е главе VI.
174
Теорема I. Если в точке A (a; / (а)) графика функции f можно
провести невертикальную касательную, то функция f дифферен-
цируема при х=а и угловой коэффициент касательной в точке А
равен значению производной функции / в точке а, т. е. ktlM=ff (а).
Справедливо и обратное утверждение:
Теорема 2. Если функция [ дифференцируема в точке а, то
к ее графику можно провести касательную в точке A (a; f (а)),
причем угловой коэффициент этой касательной равен f' (а).
Доказательство. Из того, что функция / дифференци-
руема в точке а, следует существование предела
f (aj^lim U“+A>-><gL.
Л • О Л
Но мы знаем, что	=6^. Значит, существует пре-
дел lim k<tK, а это и значит, что существует касательная к графи-
h -*0
ку в точке Д, причем ее угловой коэффициент равен }' (а).
Содержание теорем 1 и 2 кратко формулируют так: значе-
ние производной равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции. В этом заключается геометрический смысл
производной.
Напишем теперь уравнение касательной к графику функции
f в точке с абсциссой хо. Мы знаем, что уравнение прямой, про-
ходящей через точку А (а; Ь) и имеющей угловой коэффициент
fe, таково:
е/ = ^ + Л(х—fl).	(3)
Но в точке с абсциссой ха значение функции равно f (х0), а уг-
ловой коэффициент касательной равен f' (хо). Поэтому в форму-
ле (3) надо положить а=х0 и Ь—f (*о), £=Г (xD). Получаем урав-
нение касательной:
у=f (х0) 4- Г (х0) (X—Хо).	(4)
Пример L Напишем уравнение касательной к графику'
функции х2 — 3x4-1 в точке с абсциссой 2.
Решение. Значение функции при х = 2 равно 22 — 3 - 24-
4-1 = — 1. Производная от х2—3x4-1 равна 2х—3;
(хг — 3x4- 1)' = 2х— 3. При х = 2 она принимает значение
2-2—3= 1. Итак, х0^2, / (хф)=-1, f' (х0)= I, и потому уравнение
касательной имеет вид:
у=-14-Цх-2).
Упрощая это уравнение, получаем: у —х—3.
1*7 Г.
Рнс. 93
Замечание. Касательная к графику функции может иметь с ним несколь-
ко н даже бесконечно много обш.мх точек (рис. 93}. Кроме того, может случить-
ся, что а точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на дру-
гую (рнс. 94).
Упражнения
4М. I) Напишите уравнение касательной к кривой у = х2 в точке с абсциссой
Л1= I
2)	Напишите уравнение касательной к кривой у -х*—4х в точке с ордн
натой y^ = — 3.
405.	Напишите уравнение касательной к кривой у -х3 -6x4-2, проходящей
параллельно примой у= — 2х-|-8.
406.	Напишите уравнения касательных к кривым у = 2х* — 5. у=х*— 3x4-5.
проведенных через точки пересечения этих кривых.
407.	Напишите уравнения касательных к кривой у=№ —4x4-3, проходящих
через точку 34(2: —5).
41)8. К параболе у=х* в точке 34 |'хР; ув) проведена касательная. Найдите точ-
ку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Опираясь на полученный
результат, сформулируйте геометрическое правило построения касательной
к (tapatftuie у = х2.
7. Непрерывность и дифференцируемость. Так как линейная
функция непрерывна при всех значениях аргумента, то естест-
венно предположить, что <лочти линейная» функция также не-
прерывна. Иными словами, естественно предположить, что спра-
ведлива следующая теорема:
Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке а. то
она непрерывна в этой точке.
Доказательство. В силу дифференцируемости функ-
ции / имеет место равенство / (а 4-Л)—f (а)«(ft 4-а) ft. Но
lim (ft-{- а)й ={k 4-0).0=0.
и потому lim (Ho-f-ft) —На))=0, т. е.
Л -*О
limj(a+ft)=f(a).
Это н значит, что функция / непрерывна в точке а.
Следующим пример показывает, что обратное утверждение
неверно — функция может не быть дифференцируемой в точке,
где она непрерывна.
176
Пример 1. Докажем, что функция |х| непрерывна во всех
точках, но не является дифференцируемой при х —0.
Решение. Функции |х| задается так:
। х, если х^О;
I — х. если х<0.
Она могла бы иметь точку разрыва при х=0, но, поскольку
lim |х| = lim х=0 и lim |х| = lim ( — х) = 0, она непре-
г-+0	л -* +Р	--fJ	г . О
рывна и а этой точке. Покажем теперь, что она не является диф-
ференцируемой при х = 0.
В самом деле, поскольку прн х=0 имеем: |х|=-0, а при
х = Л имеем: |х| — |/i|, то производная функции |xl в точке
х—0 (если бы она существовала) должна была бы равняться
значению предела	Но этот предел нс существует, так
' л -о л
как lim —^—= lim -7-=!, a lim —тг—~~ I- Этим к доказа-
k — +<1 п л — 4.11 Л	л--о ft
но, что функция |л| не имеет производной в точке х == 0, т. е. что она
не является дифференцируемой 0 этой точке.
Отметим, что в точке х₽0 график функции |х| имеет излом.
Это не случайно, поскольку дифференцируемость функции в не-
которой точке означает гладкость ее графика в этой точке. Ма-
тематики построили удивительные непрерывные функции, кото-
рые не являются дифференцируемыми ни в одной точке. Графи-
ки этих функций, образно говоря, имеют излом в каждой! точке.
Упражнения
409. Докажите, что функция f не дифференцируема и точке а (но непрерывна
в точке /х), «ли:
IJ /(х) = |х —2|. а = 2; 2) v'Hl. а-0: 3)	а-0.
4|0. Дифференцируемы ли функции / в точке х—0:
I) 1(х)=~:	2) f(x)=3k|; 3j f(x}=~x;
*>'«4 5,
411.	Какие из следующих функций всюду непрерывны:
И fW=|xa-i|; 2)
, (х—I. Х^О. .	, . lx —I, Х>0.
3)	х<0.	<)	х<0?
Какие на этих функций дифференцируемы в точке z=0? Какие функции
дифференцируемы в точке r=i?
4|2. В каких точках нельзя провести касательную к графику функции |х — Ц ф
-ф'.х —2|? Непрерывна ли функция а этих точках?
177
§ 2.	ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
I.	Дифференцирование линейной комбинации функций. На-
хождение производной функции 7 называют дифференцировани-
ем этой функции. В этом пункте мы докажем две теоремы: теоре-
му о дифференцировании суммы функций и теорему о дифферен-
цировании функции Cf, где С — число.
Теорема В тех точках, где функции fug дифференцируемы,
их сумма f + g тоже дифференцируема, причем
(f+gy^f'+g'-	(I)
Кратко говорят: производная суммы двух функций равна
сумме их производных.
Доказательство. Обозначим функцию f-\-g через F
Тогда F(x)=f (x)H-g(x), a F (х4-й) = / (* + *)4-g (х4-*>- Значит,
приращение функции F на отрезке (х; *4-й] имеет вид:
F (х-f- ft)- FЧх)= (/ (х-Ь й) ±g (х 4- Л))- (/ (х)+g (х)) =
=(f (х 4- Л) - f (х)) + (g (х + h)-g (x)).
Отсюда следует:
Г{х4-Д)—F(x) _ f (x+h)—fix) g(* + h)—gix)
ft	A	ft
Перейдем к пределу при h -* 0. Так как предел суммы равен сум-
ме пределов, то получаем:
F (х)= lirn	lim И»+*'-/(») +
k—о	Л	л—о	Л
+ |im-£t*+M-gW =fW+B’{x).
л —ft	rt
Итак, доказано, что для любого х имеем: F' (х) = Г (х)Ч-£' (*)•
Иными словами, F' =f'+g', т. е. (j 4-g)' = f' +g'-
Теорема 2. В тех точках, где функция f дифференцируема,
функция Cf, где С — число, тоже дифференцируема, причем
Ш = СГ.	(2)
Кратко говорят: постоянный множитель можно вынести за
знак производной.
Доказательство. Положим F — Cf. Тогда имеем:
F(x)=Cf(x), F(х4-Л)==СНх4-Н
и потому
f (x4-A)-F(x)=Cf (x4-ft)-Cf (x)=C(f (х+й)-((х)).
Значит.
F(*-|-ft)-F(x) _ r Их+*)-Их)
ft ~	h
ITS
Перейдем к пределу при h •-*- 0 и примем во внимание, что по-
стоянный множитель можно вынести за знак предела:
F'W-lim	_ lhn С. It’ + H-IW =
* — и	п	ft - ft	п
= С-lim Н»4Л)-/(х) =Ср
ft - D ft
Итак, для любого х имеем: F' (х)==С/'(х), т. е. (С/)' = СГ-
С помощью теорем 1 и 2 можно, зная производные функций
/ и g, найти производную любой линейной комбинации этих
функций, т. е. любой функции вида С}{ -f-Cag, где Сь С2^Я
В частности, с помощью доказанных ранее формул дифференци-
рования линейной функции и функций х? и х3 можно продиффе-
ренцировать любой многочлен третьей степени.
Пример I. Найдем производную функции 2х3 — 4х2 4-5х -J- 8.
Решение. По теоремам i и 2 имеем:
(2хэ - 4х2 4- 5х 4- 8)' ₽ (2хэГ+(- 4х2)' 4- (5х + 8/ —
= 2(хэ)'-4(х*)'4-(5*4-8)'.
Но (хэ)'=3х2, (х*)'=*2х и (5x4-8)' = 5, а потому (2х3 —4х2 4-5x4-
4-8)' ==2-3xJ —4-2х4"5 = 6х2 —8x4-5.
Пример 2. Напишем уравнение касательной к графику
функции х2 —5х в точке с абсциссой 2.
Решение. Пусть f (х)=х2 — 5х. Тогда /(2)=22 —5-2 = —6.
Далее (х2—5х)'=2х—3 и потому [' (2) = 2-2 — 5 = — I.
Уравнение касательной имеет вид: у =/' (2) (х — 2)4-/(2), т. е.
у = — (х — 2)— 6 или у=—х — 4.
Пример 3. Путь, пройденный за время t при свободном
падении, выражается формулой . Найдем мгновенную ско-
рость этого падения.
Решение. Так как мгновенная скорость — производная
координаты по времени, то
Упражнения
413. Найдите значения выражений	—н _fj*—/ ^а— ддя
ft	— д
функции f с помощью микрокалькулятора и сделайте предположение о
значении /' (а). Проверьте, что это предположение справедливо.
() /(x)=₽4xJ-5x1+6, а = 2. й-0,(; 0.01: 0.001;
2)	/(х)=бух-8х\ о=4. Л-0.1; 0,01; 0.001.
Проверьте, что среднее арифметическое указанных выше выражений, т. е.
:	, дает для /'(а) приближение лучше, чем указанные
выше.
179
414. Найдите производные (пользуясь производными, найденными в П. 3 $ |)|
I) 5х’-3х’+х-|;	2) 6 ух-Зх’ + 7х+2;
3)	?4-3Vx-i;	4) 4+V*.'
4|5. Проведите ка св тельную к кривой: 1) t/=6x3 — 2ха+5х — I в точке с а 6с цис
сой х0=|; 2) у = хл — Зх+1 и точке с ординатой уь= —I.
2xs__Зх1_Зх__5
41 в. Продифференцируйте функцию --------------- .
417.	Найдите угловой коэффициент касательной к параболе у = х* —4* + 4 н
точке Х(, = '3.
4|8. Найдите угловые коэффициенты касательных к параболе у = х2- 4 в точ-
ках пересечения параболы с осью абсцисс.
419.	Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по
закону ф(<)=0.1/2 —0.5/ + 0.2. Найдите угловую скорость вращения тела
6 момент времени / = 20 с.
420.	В тонком однородном стержне ЛВ длиной 45 см масса т (я граммах)
распределена по закону щ = 3х’ + 5х, где х — длина части стержня (в см),
отсчитываемая от точки Л. Найдите линейную плотность стержня: I) в точ-
ке. отстоящей от А на расстоянии 20 см; 2) в точке В.
42|. Напишите уравнение касательной к графику функции х3— 10х’+1 в точках
с абсциссами гм= । и х.= — 2.
х
7
422.
Напишите уравнение касательной к параболе у=2 —
в точке пе-
ресечения ее с осью ординат.
423.	Закон движения точки но координатной прямой выражен уравнением
,х=4 + |2? 0,25fz. Найдите скорость точки н момент времени tn 8. В ка-
кой момент времени скорость точки равна 0?
424.	Закон движения точки по координатной прямой имеет вид: j=t3 — 3t?+l.
Найдите моменты времени, в которые скорость равнялась нулю.
2. Дифференцирование степени функции и произведения функ-
ции. Покажем, как, зная производную функции [, найти произ-
водную степени f этой функции.
Теорема I. В течках, где функция f дифференцируема, ее
степень f*. n£N, тоже дифференцируема, причем
(П'=пГ~'Г.	(1)
Доказательство. Обозначим функцию fn через F. При-
ращение функции F имеет вид:
F{x^h)-F{x}=r^ + ^~fn{^
В силу формулы
Ьп — ал=(Ь — a)(bn~' -+лАЛ“2+а*_,дя_*-|-...-|-а,,“|)
(см. (6} п. 2 $ 2 главы II) получаем:
180
F(x+h)-F(x)=(f(x+h)-fW)<r-l(x+h)+
+ /(х)Г-5(х + Л) + ...+Г-,(х)Г-‘{х + Л) + ... + Г-,(Х))
(в этой сумме п слагаемых). Значит,
Fix + k'\ — F{z]
Л
[/«-. (x+Aj+...+f-i (х)г-‘(х+й)+...+
+Г“1 (*)]•	(2)
Перейдем в равенстве (2) к пределу при h 0. Так как
функция / дифференцируема, то она непрерывна и потому
limif(x + h)=f (х). Поэтому в квадратных скобках после пере-
хода к пределу получим п слагаемых, каждое из которых рав-
но frt-l(x). Сумма этих слагаемых равна rtf 1 (х). Далее
jim f (x-Mj-f w = ^'(Х). Значит, получаем:
F' (x)=lim)	=nf-' (х) f М.
Таким образом, F' — rtf-lf. т. е.
(/7=«Г-1Г-
Пример I. Найдем производную функции (2x?4-4x —I)3.
Решение. Здесь f (х) = 2г2+ 4х — I, /'(*)—4х 4-4, л=3 и
((2х2 4-4х - 1 )3)'-3 (2х? + 4х- I)2 (4х + 4).
Применим формулу (1) к функции f(x)=x1’. Так как х' = 1,
то из (1) получаем:
(хя)/=лхЛ“|.	(3)
Напри мер,
(х20)'в2Ох|1>, (x,4S)' = 145x'“
Мы докажем позднее, что формулы (1) и (3) верны не только
для натуральных значений л, при которых они доказаны сейчас,
но и для любых значений показателя в области, где основание
степени положительно. Если и — целое число, то последнее ог-
раничение излишне, нужно лишь, чтобы основание степени было
отлично от нуля.
Пример 2. Найдем производную функции рг, n£N.
Решение. По формуле (1) получаем:
= (>-")'= -ИХ"1-'.
Пример 3. Найдем производную функции ух7, х>0.
2
Решение. Запишем ^х2" в виде х 3. Тогда
181
^)'=(Лч^'--Иа=тк- I
Эта формула верна и при х<0.
Пример 4. Найдем производную функции < J .
(6л —о)
Решение. Так как - =(6х2 —5) *, то
f(x)=6x2—5, f' (х)=12х. п = — 4.
Поэтому
(пет) = -4(6*!-5>-М2^-«ет- I
Пример 5. Найдем производную функции -у'х2 + 4.
Решение. Так как -ух2 + 4 =(х2-|-4)т , то
Н*)=ж2+4, Г(х)=2х. л=-1-.
Значит.
(^нг =х(г+4)- 4.2х=-^.
С помощью формулы (1) получим формулу для производной
от произведения двух функций.
Теорема 2. В тачках, где функции fug дифференцируемы,
их произведение fg тоже дифференцируемо. Производная от
произведения вычисляется по формуле
(fgY=t'g+lg'.	(4)
Доказательство. Функцию fg можно записать следую*
щим образом:
fe=4-(tf+g)2-(f-g)’).
Поэтому
По формуле (1) получаем1: ((/± g)2)'— 2 (f ±g)(f±g'\ и потому
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:
(fgY-f'g+fg'-
Пример 6. Найдем производную функции
(х34-5х-П (хг4-2х 1 8).
Либо всюду берем знак «плюс». либо всюду знак «минус».
Решение. По формуле (4) получаем:
((хэ+5х-1) (х*+2х+8))' =
= (х34-5х-1)'(х24-2х4-8)4-(х24-5х-1)(х2 + 2х4-8)' =
= (Зх2 + 5) (х2 + 2х 4-8)4-(х3 + 5х - 1) (2х+2)=
= 5х’4-Эх2 4-ЗЭх2 4-18х 4-38.
Тот же ответ получится, если сначала раскрыть скобки, а потом
продифференцировать.
Упражнения
425.	Вычислите производные функций:
I)	(Z-3x+l)(z*-3x + J);	2) (.г-х4-2)(^-3^ + 4);
3)	+	4) V^-Эх + б);	5) (х2+.ъ + 5)а;
6)(7x—4)16;	7)(^"т) •
426.	Выведите формулу для (uvwY, (utf&zY.
427.	В какой точке линии $/=V* касательная наклонена к осн абсцисс под
углом KF?
428-	Лестница длиной I в момент Г=0 стоит вертикально прислоненная к сте-
не. В этот момент ннжннн конец начинает равномерно отодвигаться от стены
со скоростью и.
I)	Найдите высоту верхнего конца лестницы в момент времени
2)	найдите скорость, с которой этот конец опускается в момент времени /.
429. Балку длиной 13 м опускают на землю гак. что верхний конец удерживается
канатом, намотанным на ворот, а ннжккй конец балки прикреплен к ваго-
нетке Канат разматывается со скоростью 2 м/мин. С какой скоростью отка-
тывается вагонетка в момент, когда она находится на расстоянии 5 м от
вертикального каната?
430. Для функции х3 —4x4-1 запишите приближенную формулу для /(о4-А)
и сосчитайте /(а4-А) в случае: 1} а=я2, h =0.001; 2) л=4,	— 0,0|.
Оцените погрешность вычисления.
3)	Вычислите значение этой функции при х= 3.012 с точностью до 0,0009.
3. Дифференцирование дроби. Перейдем к дифференциро-
ванию отношений двух функций. Справедлива следующая тео-
рема:
Теорема L Функция F—~j~ дифференцируема в точках, где
функция f дифференцируема и отлична от нуля. В этих точках
(Я=-₽-
Доказательство. Найдем прврашеяие функции F при
переходе от х к x-f-rt:
1 f(x-f-A)-H-y)
Разделив найденное приращение на /iv получаем:
Л' :.У 4-h'1— F 1X1 .	/1л 4' Л) — f (л I . _I_
п	/(x)f (x-f-ft)
Осталось найти предел полученного выражения при h 0:
F' <х)= lim	=
н —О	«
= — lim • <+п'~! ' . jim —1	_
= _Г(х)._^в__рь.
1 ' г '.XI	Г«|
Этим доказано, что F'=(-J-) —-J-.
Теорема 2. В точках, где функции fug дифференцируемы
и g отлична от нуля, функция тоже дифференцируема, при
чем имеет место равенство
(2)
Доказательство. Дифференцируемость функции -L
вытекает из того, что она является произведением дифферен
цируемых функций f и - - (см. теорему 1 и теорему 2 п. 2). Форму
ла (2) доказывается так:
Пример 1. Найдем производную функции .
Решение. Здесь f(x)=x2 + 4, g(x) = x3-j-9, f'(х) = 2х,
g' (х) = ЗдГ2 и потому
( хЧ 4 \' = (X9 4-9) (Ха 4--1У -(Ж8 4- 4) (ж3 ч- 9/
\х’4-9/	(х34-9)?
_ (xJ+9)-2x-Lt?4-4)..V _ -x4-J2xa4 IS*
(г»4-9)‘	(г, + 9)2
Упражнения
43|. 1 |рйдиффс])емци]1уйтр функции:
I) фД 2) ^-Г-' ; 3) ДТ1
*4-4 х 4-х-4-1 Vx+4
432. Проведите касательную к кривой с/ - -^4—— в точке с абсин«ой 1
V*4-4
I 0.1
4. Вторая производная. Пусть функция f имеет производную
г' со всех точках промежутка X. Эта производная в слою очередь
является функцией от х. Если функция [' дифференцируема, то
ее производную называют второй производной от f и обозна-
чают Таким образом,	Например, если Цх) = х\ то
;'(х)=3л2, а потому /"(х)=(3хг)'=6х.
Вторая производная выражает скорость изменения Первой
производной, или, как говорят, ускорение изменения данной
функции. Если х = /(/) — координата прямолинейно движущей-
ся точки в момент времени I, то х" =f" (/) равно ускорению этой
точки в этот же момент времени:
а = у' =(х')' =х".
По второму закону Ньютона сила, действующая на движу-
щуюся точку постоянной массы т, равна произведению массы
этой точки на ускорение: F — ma. Так как а — х", то этот закон
записывается следующим образом: F=^mx".
По аналогии со второй производной определяют производные
высшего порядка: производной п-ео порядка функции / называют
производную от производной л — 1-го порядка. Производные
« го порядка обозначают у1'1', рЧ Таким образом,
С помощью метода математической индукции доказывается,
что производная «-го порядка от функции х'п имеет вид:
(х^)<а) = т(т —	— п-j-i) хт ~п, т^п.	(2)
Если tn— натуральное число, то при л>/п имеем: (х"’У'и = О,
а при п — т. получаем формулу (xzn)°nl =/п!.
Пример ). Найдем производную 20-го порядка от функции
1х24-6)7(х3-4)\
Решение. Если раскрыть скобки, то получится многочлен
20-й степени, старший член которого равен х2,'_ При вычислении
производной 20-го порядка все члены, степень которых меньше
чем 20, обратятся в нуль, а производная 20-го порядка от х2" рав-
на 20!. Значит, ((х24-6)7 (х3-4)То>=20!.
Упражнения
433. Вычислите произволныс:
|)	2к**-3*4*4-*)"• 3! (тзу ) ;
«>(-£?)"= 5>(ттг)";	П^НГ';
8) (2жs_6z,+ l)<•',;	10) (и2-) Г (^4-5)’^.
/I V*
ки, иммсдите формулу для ~ху а ) •
/	, х с«*»
435*. 11 у идите (  -!-I .
Vх4?х -I- !2/
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Производная и экстремумы. С помощью производных можно
исследовать, где функции возрастают, где они убывают, где
достигают наибольших и наименьших значений и т. д. Докажем
сначала теорему о знаке приращения функции, полезную при та-
ких исследованиях.
Теорема 1. Если в точке а производная функции f положитель-
на, f'(а)>0, то вблизи этой точки знаки приращения аргумента
и приращения функции f (х)—f (а) совпадают. Если же [' (а)<0,
то вблизи точки а знаки приращения аргумента и приращения
функции противоположны.
Доказательство. По условию функция [ имеет произ-
водную в точке а, и потому ее приращение при переходе от аргу-
мента а к аргументу a-hh записывается в виде
f (а + й)-f (а)=(f' (а)+а) й,
где функция а бесконечно мала при h -> 0. Если у (а)>0, то по
утверждению в) п. 3 § 2 главы IV при малых значениях |h| сумма
У (а) а положительна вблизи точки а, а потому j(a + h) — f(a)
и й отличаются лишь положительным множителем. Значит, они
имеют одинаковые знаки. Этим доказано, что вблизи точки а (т. е.
при малых |й|) знаки приращения аргумента н функции одина-
ковы.
Если /' то при малых значениях |й| сумма f' (а)4-а
отрицательна, а потому знаки /(о + й) — f (а) и й противополож-
ны (от умножения числа на отрицательное число его знак ме-
няется).
Покажем теперь применение производной к исследованию
функций на максимум и минимум. Уточним сначала соответствую-
щие понятия.
Определение 1. Функция f имеет в точке а максимум
(соответственно минимум), если ее значение в точке а не меньше
(соответственно не больше) значений вблизи* 1 этой точки2.
Точки максимума и минимума называются точками экстре-
мума функции (от латинского слова extremum—крайний). Из
данного определения видно, что свойство функции иметь экст-
ремум в точке а зависит от значений этой функции в самой
этой точке н вблизи нее. Такие свойства функции называют ло-
кальными (от латинского слова locus — место) в отличие от
глобальных свойств, определяемых значениями функции на целом
промежутке (например, свойства возрастать на отрезке [о; й]).
1 Это значят. что существует проколотая окрестность точки а. в которой
выполняется неравенство /(х)</(а) (соответственно f (х)>f (а)).
1 Тахне максимумы и минимумы называют нестрогими. При замене <не мень-
ше» (сисгтиетственно «не больше») на «больше» (соответственно «меньше») по-
лучаем определения строгих максимума и минимума.
Вдали от точки максимума функция может принимать значения,
превосходящие ее значения в этой точке (рис. 95).
Превратить точку а в точку экстремума функции f можно
путем изменения значения функпии лишь в этой точке. Например,
функция, равная нулю всюду, кроме точки а, а которой ее зна-
чение равно I, имеет максимум в этой точке. Чтобы избежать рас-
смотрения таких «(искусственных» экстремумов, будем предпола-
гать, что в точке экстремума функция j непрерывна.
На рисунке 96 изображен график функции f, которая имеет
максимум в точке а и минимум в точке Ь. Видим, что в точке а
касательная к графику функции горизонтальна, а потому
произволная функпии / обращается в этой точке в нуль: f' (а)=0.
В точке же b график функции [ заострен, и потому функция / не
имеет в этой точке производной (она недифференцируема в точке Ь).
Иных точек экстремума не бывает. Иными словами, справед-
лива следующая теорема:
Теорема 2. В точке экстремума а производная функции f либо
равна нулю, либо не существует.
Доказательство. Возможны четыре случая:
a) f(a)>0; б) Г(а)<0;
в) f(n) = 0;	г) f («) не существует.
Покажем, что в точках экстремума не может иметь места ни
первый, ни второй случай. Если, например, f (а)>0, то по теореме
о знаке приращения вблизи точки а знаки f	— ] (а) и h сов-
падают, а потому слева от а (т. е. при Л<0) имеем:	—
— /{а)<0, а справа от а (т. е. при А>0) имеем:	—
—f(a^>0. Но тогда слева от о. выполняется неравенство
f (д4-й)</(а), а справа от а — неравенство f (о4-й)>/(а). Эти
неравенства показывают, что значение функции / в точке а не
являются ни наименьшим, ни наибольшим по сравнению со зна-
чениями этой функции вблизи от а. Значит, а не является точкой
экстремума.
Точно так же доказывается, что не может быть точкой экстре-
мума и точка, в которой f(a)<0. Поэтому точками экстремума
могут быть либо точки, в которых f (а) = 0, либо точки, в которых
(а) не существует.
Найденное условие является лишь необходимым для того,
чтобы а была точкой экстремума для оно позволяет отобрать
точки, «подозрительные» на экстремум, но не дает оснований
утверждать, что в этих точках функция действительно имеет
экстремум,— нужна еще дополнительная проверка. Например,
производная функции (х — I)3 равна 3(х—I)2. Она обращается
в нуль при х=1. Однако точка 1 не является точкой экстремума
для (х — IV, так как функция (х —1/ при х=| равна нулю, сле-
ва от точки х=1 отрицательна, а справа от этой точки положи-
тельна (рис. 97).
Пример L Найдем точки, в которых функция х3— Зх-|-1
может иметь экстремумы.
Решение. Производная данной функции f имеет вид:
f'(x)=(х3 - Зх -р 1)' = Зх2 - 3.
Так как она существует прн всех значениях аргумента, то
точками экстремума могут быть лишь корни —I и 1 многочлена
Зх2—3. Можно доказать, что в точке —I функция имеет мак-
симум, а в точке I — минимум (рис. 98).
Пример 2. Найдем точки, в которых может иметь экстре-
мум функция
Решение. При х=^0 имеем:
I	2
= ((х2) V=4-(x2)’ 3 «2х=-Л- =
Зж3 3^
Отсюда следует, что производная функции
существует и отлична от нуля при
Хт4=0. В точке же х=0 данная функция
не имеет производной. В этом можно
убедиться непосредственно, вычислив про-
изводную по определению:
lint	= lim =
* -и л Л	ь • л Л
Значит, fyx7 может иметь экстремум лишь
при х = 0 (рис. 99).

Упражнения
4Эв. В каких точках функция может иметь экстремум:
I) xJ-6^ + 9x + 5; 2) **—2х2-|-£; 3) (х -1)2 (х -6)3; 4} -А-;
1 -|-Х
5)	6) V?{x-S); 7}	3)
2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции
на отрезке. Решение многих задач практики приводит к отыска-
нию наибольших или наименьших значений некоторой функции
на некотором отрезке. Пусть» например, надо огородить прово-
локой данной длины 2р прямоугольный участок земли наиболь-
шей площади. Если обозначить длину одной нз сторон этого
участка через х, то длина другой стороны будет равна р — х, а
потому площадь участка равна х(р — х). При этом х изменяется
от 0 до р (при х = 0 и при х=р получаем «вырожденные» пря-
моугольники, одна из сторон которых имеет нулевую длину).
Итак, надо найти значение х, при котором функция х(р — х) при-
нимает наибольшее значение на отрезке [0; р]. Эту задачу можно
решить элементарно, записав выражение функции в виде
—х) . Видим, что значение будет наибольшим, если
х = ^-. Выражение в этом случае равно При х=-^~ длина
второй стороны тоже равна -р Таким образом, наибольшую
площадь среди прямоугольников данного периметра имеет
квадрат.
Элементарные методы отыскания наибольших и наименьших
значений функций применимы лишь для весьма узкого круга
задач. Общий метод отыскания таких значений дает дифферен-
циальное исчисление. Начнем с формулировки теоремы, гаран-
тирующей существование таких значений.
Теорема 1. Если функция } непрерывка на отрезке [а; д], го
среди ее значений на этом отрезке есть наибольшее и наимень-
шее.
Доказательство теоремы представим в виде серии задач:
а)	Пусть ии [ (а), ни [(b) нс является наибольшим значе-
нием данной функции. Обозначим через X множество точек х
отрезка [а; справа от которых есть точки, где значение функ-
ции больше всех ее значений на отрезке [д; х]. Через Y обозначим
множество остальных точек отрезка [а; 6]. Докажите, что мно-
жества X и Y не пусты, причем Y лежит справа от X.
б)	Докажите, что в точке с, разделяющей множества X и Y,
функция f принимает наибольшее значение иа (д;
в)	Проведите аналогичным образом доказательство сущест-
вования наименьшего значения функции на отрезке [а; Ь}
Из теоремы 1 и следствия I теоремы 1 п. 6 $ 2 главы IV вы-
текает, что множество значений, принимаемых непрерывной
tro
функцией f на отрезке [a; 6], является отрезком [m; М], где т —
наименьшее, а М — наибольшее из значений функции / на [а; д]
(рнс. 100).
Теорема 1 дает лишь уверенность в существовании наиболь-
ших и наименьших значений непрерывной функции, но не ука-
зывает, как находить эти значения. Для наибольшего значения
функции возможны, два случая:
а)	Оно достигается на одном из концов отрезка [а; Ь]
(рис. 101, а) или на обоих концах сразу (рнс. 101,6).
б)	Оно достигается во внутренней точке с этого отрезка
(рнс. 101, в).
Во втором случае значение функций в точке с не меньше
ее значений вблизи точки с, и поэтому с — точка максимума
(быть может, нестрогого) для [. Но тогда в с либо функция f
недифференцируема, либо ее производная равна нулю. Анало
гично обстоит дело с наименьшим значением функции на от-
резке [а; 6].
Отсюда вытекает следующее правило отыскания и ан мен ь-
ших и наибольших значений функции на отрезке:
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерыв-
ной функции f на отрезке [а; 6} надо:
а)	найти ее значения на концах этого отрезка (т. е. числа
Ш И /(*));
б)	найти ее значения в точках, где производная функции
равна нулю;
в)	найти ее значения в точках, где функция f не имеет про-
изводной;
г)	из всех найденных значений выбрать наибольшее и наи-
меньшее.
Рнс. 101
Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции	на отрезке (—2; 2J
Решение. Данная функция непрерывна на [ — 2; 2]. Ее
производная равна Л1 ~2 $ (теорема 2 п. 3 $ 2). Приравнивая
производную к нулю, получаем уравнение 2х2 —2 = 0, имеющее
корни —I и I. Так как знаменатель (х2 -h* + I/ нигде не обра-
щается в нуль, то производная определена при всех значениях х.
Теперь нужно найти значение функции на концах отрезка и
в точках, где производная равна нулю, т. е. в точках —1, 1,
и выбрать из полученных значений наименьшее и наибольшее:
f(-2)=T> Ц-1)=3, f(I)=f, /(2)=f •
Значит, наименьшее значение функции на данном отрезке равно
а наибольшее — числу 3.
Решим с помощью дифференциального исчисления разобран-
ную выше задачу об ограждении прямоугольного участка земли.
Пример 2. Какова наибольшая площадь прямоугольного
участка земли, который можно огородить куском проволоки,
имеющим длину 2р?
Мы уже видели, что для решения задачи надо найти наиболь-
шее значение функции х(р—х) на отрезке1 [0; р) Производная
этой функции имеет вид:
$'(*)=(* (р - х))' = (хр - х'У =р-2х.
Она обращается в нуль при * = -£-. Итак, надо найти наиболь-
шее из значений функции х(р — х) в точках 0, к р. Но при
о
х = 0 и х=р функция обращается в нуль, а при х=4" имеем:
Хг
Это и будет наибольшим значением
площади прямоугольника.
Пример 3. В сопротивлении материалов доказывают, что
сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорцио-
нально ее ширине х и квадрату ее вы-
соты у: P — kxy1 (рис. 102}. Какое сечение
должна иметь балка наибольшего сопро-
тивления изгибу, вырезанная иЭ цилинд-
рического бревна радиуса /??
Решение. Из рисунка 102 видим.
1 Мы допускаем и «вырожденные» пряиоуголь
инки, одна нз сторон которых имеет пулевую длину.
191
что хи у связаны соотношением y=y/4Rl — х?. Поэтому Р =
= kxy- = kx (4R2 —х2}. Значит, надо найти наибольшее значение
функции kx(4R2 — х2) на отрезке [0; 2₽]. Производная этой фун-
кции имеет вид:
{kx {4R2-
Приравниаая ее к
корнями которого
[0; 2/?] лежит лишь
X2))' = [4kR2x - kx3)' = 4k R2 - 3kx2.
нулю, получаем уравнение k {4R2 — 3r*)=0,
2W	2 A?
являются числа------- и На отрезке
уЗ	уЗ
2/? о
корень — . Значит, надо сравнить значения
функции kx{4R2 — х2) при х=0,	, 2R. В точках 0 и 2R эта
уЗ
функция обращается в нуль. Наибольшее значение она имеет
прн х = — . При этом значении имеем: у=-\'4/?2 — х2 =*
,--------ай
V з %/3
Отсюда находим, что —=у'5. Так как -72«4-, то на Ирак-
X	3	*
и 7
тике принимают, что должно выполняться условие -2-=—.
Отыскание наибольших и наименьших значений функций при-
меняется при решении многих задач физики. Например, в по-
ложении равновесия потенциальная энергия системы достигает
экстремального значения, причем в положении устойчивого равно-
весия потенциальная энергия минимальна. Рассмотрим еще сле-
дующий пример.
Пример 4. Найдем на АВ такую точку' С, что сумма длин
отрезков МС и NC (рнс. 103) минимальна.
Решение. Примем точку А за начало координат на прямой
и обозначим координату точки С через х. Из рисунка 103 найдем,
что МС = уа’4-дг’ и NC —-у/Ь2+(/—х)г. а потому
/ (ж)=МС+JVC=у!аг+^ + ^Ь2+(1-х)2.
Чтобы найти наименьшее значение функции, вычислим ее произ-
водную и приравняем ее к нулю:
X________1—х
у а1 + J?	у‘Ъ2 +(/—X)*
Мы не будем решать полученного урав-
нения, а заметим лишь, что
sin а,
/—А
V^+U-x)1
sin 0.
|'?2
Поэтому равенство (1) обозначает, что sin « = $№ р. откуда1
а = р. Итак, сумма длин отрезков МС н NC будет экстремаль-
ной, если угол падения равен углу отражения. Из курса фи-
зики известно, что это равенство выполняется при отражении
луча света. Значит, луч света «выбирает» при отражении путь
экстремальной длины. Заметим, что полученное экстремальное
значение является минимальным, так как при х-»-+<ю и при
х-* *—оо функция f стремится к -|-оо, а иных точек экстрему-
ма у нее нет.
Подводя итог всему сказанному в этом пункте, замечаем,
что задачи на наибольшие и наименьшие значения решаются
по следующему плану.
I.	Выбирают одну из переменных (независимую переменную)
и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наи-
большее или наименьшее значение.
2.	Находят промежуток изменения независимой переменной.
3.	Находят производную полученной ал./ функции.
4.	Приравнивают производную нулю и находят корни полу-
чившегося уравнения.
5.	Находят точки t в которых функция не имеет производной.
6.	Вычисляют значения функции на концах промежутка из-
менения независимой переменной и в точках, найденных в п. 4
и 5, а потом выбирают из них наибольшее (соответственно наи-
меньшее ).
При этом для облегчения вычислений полезно иметь в виду
следующие замечания:
1.	Точка, в которой функция принимает наибольшее или наи-
меньшее значение, не изменяется при следующих преобразова-
ниях выражения, задающего функцию:
а)	прибавлении постоянного слагаемого:
б)	умножении на отличное от нуля число (только при умно-
жении на отрицательное число наибольшее значение переходит
в наименьшее и обратно);
в)	возведении в степень с натуральным показателем, если
функция неотрицательна.
Например, функция хд/49 —хг + 8 имеет на отрезке {0; 7]
наибольшее значение в тон же точке, что и функция х2(49 — х2)
(отброшено постоянное слагаемое 8. функция умножена и а поло-
жительное число 3, после чего возведена в квадрат).
2.	Если положительная функция f принимает в точке а наи-
большее (соответственно наименьшее) значение, то функции
—/ и принимают в той же точке наименьшее (соответственно
наибольшее) значение2.
1 Острые углы равны, есл* равны их синусы.
* -у-. «ли f (а)#=0.
IGQ
Например, функция (х — 2)24-5 принимает наименьшее зна-
чение ори х = 2, а потому функция  —- имеет при х=2
наибольшее значение.
Пример 5. Найдем прямоугольник наибольшей плоецздн,
вписанный в окружность радиуса R.
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника через
х н у. Тогда y=^4Rz—x2 (см. ряс. 102). и потому площадь S
выражается через х так: S = xy!4R'2 — х2. Поскольку значения
этой функции неотрицательны, она принимает наибольшее зна-
чение в той же точке, что и функция S2 = х2(4/?2 — х2).
Производная функции 4R~x2 — х* равна 8R2x — 4Х3. Прирав-
нивая ее нулю, получаем уравнение 4х(2/?2 —х2)=0, корнями
которого являются числа 0, Я у'5 и — Ry2. Из них отрезку
[0; 2/?] принадлежат 0 и Итак, надо сравнить значения
функции х’{4/?2 —х*2) в точках О, R^‘2 и 2R. При х='О и x = 2R
функция обращается в нуль. Значит, она принимает наиболь-
шее значение при x = R\2. В этом случае у =-у'4/?2 — (Rт/2)2 =
= R\2, а потому у = х.
Итак, прямоугольником наибольшей площади, вписанным в
окружность радиуса R, является квадрат.
Упражнения
437.	Найдите наибольшее я наименьшее значения функции:
1)	х+2\х на отрезке [0; 4];
2)	нз отрезке [—2; 2j;
3)	к*—Зх*-|-6х — 2 на отрезке [—1; 1}
4)	у 100 —х2 на отрезке [—6;
5)	на отрезке (0; 41.
438.	Для функций кз упражнений к п. 2 $ I главы lit найдите наибольшие и
наименьшие значения.
4Э9.	R круг радиуса К впишите равнобедренный треугольник наибольшей площади.
444). Требуется огородить участок земли, примыкающий одной стороной к морю.
с помощью а метров проволоки Какую форму должен иметь участок, что-
бы площадь его была наибольшей?
441.	При каких размерах прямоугольная коробка с квадратным основанием
н полной поверхностью 5 имеет наибольший объем?
442.	Из проволоки длиной 24 см надо сделать модель прямоугольного парал
лелепнпеда с квадратным основанием. Прн каких размерах сторон объем
параллелепипеда будет наибольшим?
443.	Найдите прямоугольник наибольшей площидн, если длина диагонали !.
444. Заданы периметр 2р треугольника н длина а одной ня его сторон. Какие
длины должны иметь дес другие стороны, чтобы площадь треугольника
была наибольшей?
1<М
445. Опишите вокруг полушара радиуса R конус наимень-
шего объема.
448.	Впишите в конус с высотой Н и радиусом основания R
цилиндр наибольшего объема.
447. Секундный расход воды, вытекающей через отверстие
в толстой стене (рис. 104). определяется по фор-
муле
Q = cyjk=y.
Рис. 104
где у диаметр отверстия, h — глубина его нижней точки, с — некоторая
состоя иная. При каком у получается наибольшее значение для Q?
448; Стоимость плавания корабля в течение часа определяется формулой
a+bv\ где а и 6 — постоянные, а и — скорость корабля (первое слагаемое
связано с расходами на амортизацию и содержание команды, а второе —
с расходом топлива). При какой скорости судно пройдет расстояние /
с наименьшими затратами?
449.	Найдите наибольший прогиб балки для случаев, описанных я задачах
174. 184. 186.
450.	Если левый конец балки оперт, а правый заделан, уравнение прогиба
балки таково:
Р=4Бе7/	-3^ + /’*).
Найдите наибольший прогиб этой балки.
451.	Если батарея с электродвижущей силой £ и внутренним сопротивлением
г замкнута проводником с сопротивлением R, то мощность получающе-
гося тока кГ выражается формулой
Прн каком значении R мощность будет наибольшей?
452.	Сила действия кругового электрического тока ня небольшой магнит, ось
которого направлена перпендикулярно плоскости круга и проходят через
его центр, выражается формулой

где а — радиус круга, х - расстояние от центра круга до магнита нс —
настоянная. При каком значении х эта сила будет наибольшей?
453.	Потенциал в точке М электрического поля, образованного зарядим е,
равен -у-, где г — расстояние от точки М до заряда. В точках Oi и 02,
удаленных друг от друга на о. помещены заряды е» и е2 одинакового знака.
В какой точке отрезка О,ОА потенциал суммарного электрического поля
будет наименьшим?
454,	Освещенность в данной точке пропорциональна силе света источника и об-
ратно пропорциональна квадрату расстояния точки до этого источника
1 ос
ГШШРТР------
О	о
Рис. 105
fffiffiRRRR
4	С
В шчках О| и 02, удаленных друг от друга на расстояние а, помещены
источники, имеющие соответственно силу света I, н (г. Найдите наименее
освещенную точку отрезка OiOj.
455.	Потенциальная энергия растянутой пружины выражается формулой
U=—. где й — постоянная, называемая жесткостью пружины, н х —
удлинение пружины. Две пружины расположены нз прямой линки так, как
показано на рисунке 105, где расстояние ОД равно а. Пружины растянули
и соединили в тучке В. Прн каком положении этой точки суммарная по-
тенциальная энергия пружин будет наименьшей, если жесткости этих пру-
жин равны kt и fry?
3.	Теорема Лагранжа и ее следствия. До сих лор мы иссле-
довали свойства функции вблизи некоторой точки (например,
точки максимума или минимума). Перейдем к изучению свойств
функции на целом промежутке, в частности вопроса о возраста-
нии и убывании функции на промежутке. Для^гого нам понадо-
бится теорема, устанавливающая связь между приращением функ-
ции на отрезке и ее производной.
Теорема I (Лагранжа). Пусть функция f непрерывна на
отрезке [а; и дифференцируема во внутренних точках этого
отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, та-
кая, что касательная к графику функции, проведенная в точке
с абсциссой с, параллельна хорде АВ, где А (а; f (а)) и В {b; f(b))
(рис. 106). Кратко: на гладкой дуге АВ всегда есть точка С,
в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы
дуги.
Докажите самостоятельно эту теорему. Для этого докажите,
что: а) функция F(x)=(f (х)—kx—by, где y=kx + b — уравне-
ние хорды АВ, либо тождественно равна нулю на отрезке [a; ft],
либо имеет на этом отрезке положительный максимум; б) в точ-
ке с максимума функции F выполняется равенство f' (c)=k.
Заметим теперь, что угловой коэф-
фициент хорды АВ, где ,4 (а; [ (а)),
f (ft)), равен	, а угловой
коэффициент касательной в точке с
абсциссой с равен )' (с). У параллель-
ных прямых угловые коэффициенты
равны. Учитывая это, получаем ана-
литическую формулировку теоремы Ла-
гранжа.
196
Теорема Г (Лагранжа). Пусть функция f непрерывна на
отрезке [о; Ь] и дифференцируема но внутренних точках этого
отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка,
такая, что
^Е^>=Т(с).	(I)
Равенство ()) записывают также в виде
/(ft)-/(а)=/'(<)(*-4-	(Г)
Отметим некоторые следствия теоремы Лагранжа.
Следствие 1. Если функция f непрерывна на отрезке [а; 6} а
ее производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция /
постоянна на [а; ft].
Доказательство: Для любого х£(а\ ft] имеем:
f(x}—f(a)=f' (С) (х— а).
По условию /'(c) —0 и потому /(х) — /(а)=0, т. е. /(х)=/(а).
Это и значит, что функция / постоянна на [а; ft}
Следствие 2. Если функции ср и ф непрерывны на отрезке
[а; ft] и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка,
то они отличаются лишь постоянным слагаемым.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-
цию / — ср—ф. Она непрерывна на отрезке [о; 6] и дифферен-
цируема внутри него как разность двух функций, обладающих
этими свойствами. При этом /' (х)=0 внутри [tf;ftj, так как
ф' и ф'(х) = ф'(х) внутри [a; ft], По следствию I полу-
чаем, что функция f постоянна на [я; ft]. Таким образом, $—ф=с
и ф=ф-Ьс.
Замечание. Следствие I имеет простое физическое истолкование. Оно
означает, что если скорость точки равна нулю в течение промежутка времени
(о; то координата этой точки не изменяется в течение этого промежутка
времени.
Упражнения
456.	Найдите значение с для следующих функций и отрезков:
I)	^_з* + 4. [J:3t	3) <х-Ц)(ха + 4),1-3;3]:
2)	х<-6х-Ц. ( —l;2t 4) (х* + 1)(х3 + 4Х [-5; 5}
457.	Можно лн применить теорему Лагранжа к функции — на отрезке [ — 2; 1р
458.	Докажите, что для функции	и любого отрезка [а; й] вылолня-
а + Ь
етоя равенство с = —-—.
£
4.	Исследование функций на возрастание м убывание. Доста-
точное условие экстремума. Наглядное представление о связи
между монотонностью функции на отрезке и знаком ее произ-
водной на этом отрезке дает разбор следующего примера.
Пусть точка движется но оси и ее координата и момент
времени t равна /(7), x = Если в течение некоторого про-
межутка времени [о; />] скорость точки положительна (соответ-
ственно отрицательна), то точка все время движется вправо
(соответственно влево), и потому ее координата х возрастает
(соответственно убывает). Поскольку скорость является произ-
водной от координаты по времени, г. е. равна /'то приходим
к выводу, что при положительности производной на отрезке
[а;6] функция f возрастает, а при отрицательности производ-
ной функция убывает.
К тому же выводу приходим из геометрических соображения.
Рисунок 107 показывает, что если производная функции / поло-
жительна на отрезке [о; 6] (т. е. если во всех точках этого отрезка
касательная образует острый угол с положительным направле-
нием оси абсцисс), то функция [ возрастает на [a; frj В случае
же, когда производная отрицательна, касательная образует во
всех точках тупой угол с положительным направлением оси
абсцисс и функция убывает (рис. 108). Однако ни физические,
ни геометрические рассуждения не дают строгого математическо-
го доказательства сформулированных утверждений. Такое дока-
зательство основано на теореме Лагранжа.
Теорема L Если функция f непрерывна на промежутке I и ее
производная положительна (соответственно отрицательна) во
внутренних точках этого промежутка, то функция [ возрастает
(соответственно убывает) на /.
Доказательство. Пусть Х| и х5— точки промежут-
ка /, причем	и пусть f' (л)>0 внутри /. По теореме
Лагранжа имеем / (х?)—[ (x\)—f' (с) (x?—Х|) >0, так как х2—Х| >
>0, a	поскольку c£(xrtxz\ и потому с внутри /.
Итак, если производная положительна, то из х,<х2 следует:
f(xi)</(x?), т. е. функция f возрастает на /. Случай, когда
внутри / рассматривается аналогично.
Иногда оказывается полезным следующее усиление теоре-
мы I:
Рнс. 107
Рис. 108
1УН
Теорема Г. Если функция f непрерывна на промежутке /.
а ее производная неотрицательна (соответственно неположи-
тельна) внутри / и равна нулю лишь в конечном множестве то-
чек, то функция f возрастает (соответственно убывает) на 1.
Доказательство. Так же как и при доказательстве
теоремы I, показываем, что при f(x)>0 из xj<x2 следует:
f(xiXf (х2). Но В случае f (х2) из х»<х<х5 следовало бы.
что f (xi)<f (x)<f (х2), т. е. функция [ была бы постоянна на
всем отрезке'[хх2) Тогда и ее производная равнялась бы нулю
на этом отрезке, что противоречит условию. Значит, /(х,)</(х2)
и функция / возрастает на /.
Пример L Найдем промежутки возрастания и убывания
функции х3—12x4-20.
Ре иге ни с. Производная данной функция равна Зх2 —12.
Чтобы найти промежутки возрастания функции, надо найти, где
ее производная положительна, т. е. решить неравенство Зх2 —
—12>0- Имеем: 3(х-2) (х + 2)>0. С помощью метода интер-
валов находим множество решений неравенства (— оо; —2)0
U(2; 4-00). Отсюда делаем вывод: функция f возрастает на
промежутках (— оо; —2] и [2; 4~оо) и убывает на отрезке
[—2; 2]. Это значит, что в точке х=—2 функция f имеет мак-
симум, а в точке х=2 минимум. При этом f ( — 2)=36. / (2)=4.
Из теоремы 1 вытекают следующие достаточные условия
экстремума:
Теорема 2. Если функция f непрерывна в точке а. причем
вблизи этой точки слева от а производная функции f положи-
тельна, а справа от а она отрицательна, то а — точка максиму-
ма функции
Доказательство. Из условия следует, что существует
такой отрезок [а—что на (а—Л; а) производная по-
ложительна, а на	она отрицательна. Тогда функция f
возрастает на [а—Л; а] и убывает на [а; а4-Л] (рис. 109). Зна-
чит, в самой точке а она принимает значения большие, чем
ее значения слева или справа от а (вблизи а). Иными словами,
а— точка максимума функции. Аналогично доказывается тео-
рема 3.
Теорема 3. Если функция f непрерывна в точке а, причем
вблизи этой точки слева от а производная функции f отрица-
тельна, а справа от а она положительна, то а — точка мини-
мума функции f.
Упражнения	у
459.	Исследуйте: функции па возрастание (убыва-
кне) и экст|игмум:
1} т'-зх' + зх t-z; 2) r(x-i2r;	I j  j
г*	13 Й-Л ° а*Л ”
3} ——:	4} ---—;
^-t-3	x(4-x*)	pHC_ 10g
I 00
Рис. НО
5) / ex’4-22^—21x4-12;	6} (х- 1){х—2? (х-3f;
7) (x-])4x + 2f;	8) x>V(x-If;
9)	;	IO) V(*~ lf(x + 6 -
460. Исследуйте на ндорястнннс (убывание) и экстремум функции упражне-
ний к п. |.
5. Исследование графиков иа выпуклость. На рисунке 110, а
изображен график функции J, заданной на отрезке [а; Н Этот
график расположен выше любой проведенной к нему касатель-
ной и имеет с ней лишь одну общую точку. А график на рисун-
ке НО. б лежит ниже любой проведенной к нему касательной.
В первом случае говорят, что график функции обращен на
отрезке [а; б] выпуклостью вниз, а во втором — что он обращен
выпуклостью вверх.
Теорема 1. Пусть на отрезке [а; б] функция f непрерывна и
внутри этого отрезка f" (x)>Q (соответственно f"(x)<0). Тогда
график функции / обращен на этом отрезке выпуклостью вниз
(соответственно вверх) (рис. UI).
Доказательство. Рассмотрим случай, когда f" (х)> 0
на (а; Ь). Выберем любую точку с£(а;Ь) и проведем касательную
к графику в точке М (с; f (с)). Ее уравнение имеет вид:
У^ = f (4 + Г (с) (х — 4
Докажем, что при любом х из [а; отличном от с, выпол-
няется неравенство у^>у^ т. е.
Уч~—f W—f (с)—f' (с) (х — с) > 0.
Пусть х><? (случай х<с рассматривается аналогично). При-

Рис. 112
Рис. ИЗ
меинм к отрезку [с; х] теорему Лагранжа. Получаем, что /(х) —
— 1(с)=Г toM*— с), где с<с,<х н потому
(A)(-t-c)-r («) (*-«)=(}'	(с)) (л-с).
Вторично применяем теорему Лагранжа к функции f' н отрезку
[с; c,j. Получаем:
Ук9— Уме —f" (t'2)(c,—с)(х —с),
где с<С2<С\. Но по условию имеем: Г"(сг):>0, а точки Ct и х
лежат по одну сторону от точки с н потому (с,— с)(х — <?)>0.
Значит, уяр—у^е>0.
Случай, когда f" (х)<0 внутри отрезка [а; И рассматри-
вается аналогично.
Если точка движется по прямой в течение отрезка времени
[a, fr], причем ее ускорение положительно (соответственно отри-
цательно), то график ее движения обращен выпуклостью вниз
(соответственно вверх).
Сравним теперь взаимное расположение выпуклого вверх или
вниз графика функции и хорды.
Теорема 2. Если график функции f обращен на отрезке
[а; Ь] выпуклостью вниз (соответственно вверх), то внутри от-
резка [а; 6] этот график расположен под (соответственно над)
хордой АВ, где A (a; f (а)), B(b-, f (Ъ)) (рис. 112, а, б).
Доказательство. Пусть график функции обратен вы-
пуклостью вниз. Это значит, что он лежит над любой прове-
денной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку.
Но тогда (рис. ИЗ) точка А лежит над точкой А', точка В -
над точкой В', я потому вся хорда АВ лежит над касательной.
В частности, точка касания С лежит ниже хорды. Поскольку
это верно для всех точек С дуги АВ, то вся дуга расположена
под хордой АВ. Случай, когда график обратен выпуклостью
вверх, рассматривается аналогично.
Пример 1- Исследуем направление выпуклости графика
функции х*.
Решение. Так как (х4)"=12х2, а 12х2^0 и обращается
в нуль лишь при х = 0, то график функции х1 во всех точках об-
ращен выпуклостью вниз.
<эги
Пример 2. Найдем участки, где график функции х4— бх2^
4-4 обратен выпуклостью вверх.
Решение. Имеем: (х4—6х* + 4)'—4ха —12х, (4x^—12х)' =
= 12х? —12. Неравенство 12хг—12з>0 выполняется на лучах
(—оо; — 1) и (1; 4 оо). Значит, на лучах ( — во; — 1] и [I; 4- оо)
график функции х4—6х24-4 обращен выпуклостью вниз, а на
отрезке [ — 1; I] он обращен выпуклостью вверх.
Упражнения
461. Найдите для функций промежутки, на которых график обратен выпук-
лостью яяерх:
I) Н-бл2-|-12ж+4;	2) (r+l)4;
3);4i2:	4) V*»-—12л.
6. Точки перегиба. Обычно кривая расположена около точки
касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может
случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны
касательной на другую (рнс. 114). Такие точки называют точками
перегиба данной кривой.
Определение /. Точка М кривой Г называется точкой
перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны
касательной (проведенной к кривой Г в точке М) на ее другую
сторону.
Теорема I. Если в точке с вторая производная фун^ии [
непрерывна и отлична от нуля, то М (с; f (с)) не является точкой
перегиба для графика функции f.
Доказател ь с г в □. Если {" (4)>-0, то в силу непрерыв-
ности функции j" в точке с неравенство /" (х)2>0 выполняется
в некоторой окрестности точки с, а тогда в силу теоремы 1 п. 5
в этой окрестности график функции f обращен выпуклостью
вниз. Поэтому вблизи точки этот график лежит выше касатель-
ной, проведенной в точке 51, и не имеет перегиба в этой точке.
Случай f" (с)<С0 рассматривается аналогично.
Из теоремы 1 вытекает необходимое условие, для того чтобы
график функция имел перегиб в точке ЛЕ
Рис. 1|5
Рис. 1|4
Следствие. Для того чтобы график функции f имел перегиб
в точке М (с\ f (<?)), необходимо, чтобы либо вторая производная
этой функции обращалась в нуль в точке с, либо чтобы с была
для f" точкой разрыва, либо, наконец, чтобы вторая производ-
ная от f не существовала в точке с.
Замечание. Можно доказать, что точки, где f” имеет разрыв, но су-
ществует и отлнчня от нуля, не могут быть абсциссами точек перегиба для
графика функции f Поэтому достаточно рассматривать значения с, при кото-
рых f" равно нулю нли не существует.
Пример 1. Найдем точки, где может иметь перегиб гра-
фик функции х' — 6х2 + 4.
Решение. Находим, что (х* — 6х2-|- 4)" = (4х3 — 12г)'=
= 12х3 —12. Корнями уравнения 12Х2—12 = 0 являются числа
— 1 и 1- Ординаты графика при х =— 1 и при х = 1 равны — 1.
Значит, точками перегиба могут быть М{— 1; — I) и .V (1; —1).
Так же как и а случае экстремума, найденное необходимое
условие не является достаточным. Например, вторая производ-
ная функции х4 равна 12х^ и обращается в нуль при х = 0,
ио график функции х4 не имеет точек перегиба (рис. Ц5).
Достаточное условие для точки перегиба формулируется сле-
дующим образом:
Теорема 2. Пусть функция f имеет вторую производную в
проколотой окрестности радиуса h точки с и дифференцируема
в этой точке. Если при переходе через точку с вторая производ-
ная функции f меняет знак, то М (с; / (с)) является точкой пере-
гиба для графика функции f.
До к а з а ге л ь с т в о. Предположим, что слева от точки с
Имеем: /" (х)<0, а справа от с имеем: /" (х)>0. Тогда на от-
резке [с—й; с] график функции / обращен выпуклостью вверх
и потому лежит ниже касательной, проведенной в точке с (см.
теорему 1 п. 5). На отрезке же [с; c-f-й] этот график обра-
щен выпуклостью вниз и потому лежит выше той же касатель-
ной. Значит, в точке с кривая переходит с одной стороны каса-
тельной на другую, т. е. с является точкой перегиба.
Пример 2. Докажем, что точки —1 и найденные в
примере 1, действительно являются точками перегиба для гра-
фика функции х4 —6х2-|-4.
Решение. Вблизи точки — 1 имеем при х< — I 12xz — 12>
>0, а при х> — 1 12х‘ —12<0. Значит, вторая производная ме-
няет знак при переходе через точку —1, и потому —I являет-
ся точкой перегиба графика. Точка 1 исследуется точно
так же.
Отметим, что точки перегиба обычно отделяют друг от друга
участки, где график функции обратен выпуклостью вверх, от
точек, где он обращен выпуклостью вниз.
Упражнение
462. Найдите точки перегиба з упражнениях * п. 5.
7. Построение графиков функций. График функции / часто
строят «по точкам». Однако при таком способе построения мож-
но пропустить аажные особенности графика функции. Пусть,
например, дана функция 4т~_'2л. + 9 • Составим таблицу некото-
рых ее значений:
X	0	1	2	3	4	5	— 1	—2
/W	1 9	1	1	] Т	1 25	1 49	1 25	1 49
Если отметить эти точки на координатной плоскости и сое-
динить их плавной кривой, то получится линия, изображенная
на рисунке 116, а. На самом деле график функции
I
4хг— 12л-И
I	3
=757—тт имеет разрыв в точке х=— и выглядит так. как по-
казано на рисунке 116, б. Мы же, пытаясь построить график
по значениям функции в точках с целыми координатами, «про*
зевали» этот разрыв.
Чтобы избежать подобных ошибок, нужно, прежде чем стро-
ить график функции по точкам, исследовать поведение
функции, выявить особенности ее графика. Примерный план
исследования таков:
1.	Находят область определения функции [.
2.	Исследуют функцию на четность или нечетность.
3.	Находят точки пересечения графика функции с осью абсцисс
(для этого решают уравнение f (л)=0).
4.	Находят точки разрыва функции.
5.	Точки, найденные в п. 3 и 4, разбивают ось абсцисс на
несколько промежутков — это промежутки эмакопостоянства
функции f, находят знак функции на каждом из этих проме-
9fU
6.	Изучают поведение функции около точек разрыва и на
бесконечности и находят ее асимптоты.
7.	Исследуют функцию на возрастание и убывание.
8.	Находят точки максимума и минимума функции.
9.	Исследуют график на выпуклость и находят точки пере-
гиба.
10.	Составляют таблицу значений функции и ее производных
(в нее включают точки, найденные на предыдущих этапах иссле-
дования, и некоторые дополнительные контрольные точки, в част-
ности точку пересечения графика с осью ординат, т. е. точку с
абсциссой, равной нулю).
II.	Учитывая проведенное исследование, строят эскиз гра-
фика функции.
Пример I. Построим график функции х3—4х2-|-Зх.
Решение. 1) Функция определена при всех значениях х,
т. е. D (/)=( —оо; +<ю).
2)	Так как f ( —х)=( —х)3 — 4 ( — х)2 + 3 (—х) = — х3-|-4х2 —
—Зх. то f (—x)=£f (х), f(— х)^= — f (х), И потому функция / не
является ни четной, ни нечетной.
3)	Корнями уравнения х3—4х2Ц-Зх=0 являются 0, 1, 3.
Мы нашли три точки пересечения графика с осью абсцисс:
,4(0; 0), В(1; 0), С(3; 0).
4)	f — всюду непрерывная функция. Найденные в п. 2 точки
разбивают ось абсцисс на три промежутка знакопостоянства
функции, причем знаки функции иа этих промежутках меняются
так, как показано на рисунке 117, а. На рисунке 117,6 схема-
тически изображены те сведения, которыми мы располагаем
после этапов 1) —4). Отмечены три найденные точки графика
и заштрихованы те куски координатной плоскости, где графика
заведомо нет. Из этого рисунка видно, что на промежутке (0; 1)
должна быть точка максимума, а на (1; 3) - точка минимума.
Рнс. и 7

5)	Предел функции f при х-* + <х> равен Ч-оо. В самом
деле. хэ — 4х24-Зх=х3( 1	+	» причем lim 4-00 и
Пт
X -* + т \	% f
Аналогично устанавливаем, что lim (х3 — 4х2-|-Зх)= — оо.
6)	—7). Исследование функции на возрастание и убыва-
ние проведем одновременно с отысканием точек экстремума.
Имеем:
f (х)=(г3 -4x4 Зх)' = Зх2 - 8х + 3.
Уравнение Зх2—8хЦ-3=0 имеет два корня:
*'-2=~з‘
Их приближенные значения таковы: х,«0,45, x2s»2,2l. Из ска-
занного выше следует, что в точке х( функция имеет макси-
мум, а в точке хг минимум (Х|£(0; I), а х2^(1; 3)). Вычисляя
значения функции в этих точках, получаем, что f (х])^0,63 и
Дх?)«—2,11.
На луче ( —<»; Х|] имеем: [' (х)>0, и потому функция f воз-
растает; на отрезке [*; х2] имеем: f' (х)<0, а потому функция /
убывает на нем; наконец, на [х2; 4- со) имеем: f'(x)>0, н потому
/ возрастает на этом луче.
8) Имеем: f" (х) = (3х2 — 8х4-3)' = 6х — 8. Решая уравнение
бх — 8=0, получаем точку х=-4~, «подозрительную на перегиб*.
При х<4- выполняется неравенство 6х —8<0, а при x>-J- —
3	о
неравенство 6х—8>0. Значит, прн переходе через точку
у- вторая производная меняет знак, и потому найденное зна-
чение дает точку перегиба. При этом слева от этой точки гра-
фик функции обратен выпуклостью вверх, а справа от нее —
выпуклостью вниз.
Значение Г (х) прн х = ^- равно —Значит, в точке с
12	3
абсциссой -у- касательная имеет угловой коэффициент —у.
При этом
е)=ш ’-чв
206
9) Составляем следующую таблицу:
X	(_«>; 0)			0		(0; к,}		Х| «0.45		(хц 1)
f(*)	—			0		4		«0,63		4-
f'(x)	4			3		4		ft		—
т	—			—		—		—		—
Вывод	Отрнцат., возраст., выпукл, вверх			Проходит че- рез начало координат		Положит., возраст., выпукл, ннррх		Максимум		Положит., убыв., вы- пукл. вверх
										
X		1		(’4)	4 Т		/4	\ К з ’ ху			
f(x)		0		—	к -0.74		—		-2,11	
т		—		—	1 -Ч		—		0	
т		—		—	0		+		4	
Вывод		Пересек. ось абсцисс		Отрииат., убыв., иы- пукл. вверх	Точка пере- гиба		Отрнцат., убыв.. вы- (|укЛ. ВИНЯ		Минимум	
										
X			(хг; 3)			3	{3: +«)			
ZW			—			0	4			
rw			+			4	+			
т			+			4	4			
Виьод			Отрнцат., возраст., вы- пукл. вниз			Пересек. ось абсцисс	Положит., возраст., выпукл, вниз			
10) Учитывая проведенное исследование, строим график
функции (рис. 118).
Пример 2. Построим график функции, где f(х) =1 ~ .
Решение. 1) Функция определена всюду, кроме точки
х = 0. В этой точке функция имеет разрыв, причем
lim Л Т1 — — оо, lim т ~1 — 4- °°-
X-+D г1	х1
2)	Так как f( -	= — J (х),
то функция f нечетна. Достаточно построить ее график на луче
(0; 4-оо) и отразить его симметрично относительно начала ко-
ординат.
207
3)	Решая уравнение х-^. 1 —0, находим корни 1 и —1. На
луче (0; 4~ °°) лежит корень 1.
4)	Точка 1 разбияает луч (0; 4- оо) на промежутки (0; I) и
(]; +<»), функция J положительна при х>1 и отрицательна
при 0<х<1.
5)	Функцию f можно записать в виде f(x)=x—р-. Из этой
записи видно, что при х 4- оо график функции f почти сли-
вается с прямой у=х и лежит ниже ее. Это наклонная асимптота
данного графика.
6)	Имеем: f' (х)=(1 —	=-^-.
Так как при х>0 выполнено неравенство f'(x)>0, то функция
возрастает на луче (0; 4-00)’
7)	Имеем: f"(x)=_±2 .
Так как при л>0 f"(x)<0, то график функции f обращен вы-
пуклостью вверх на луче (0; +<»)•
8)	Учитывая проведенное исследование (см. таблицу ниже),
строим график функции (рис. 119), его левая часть симметрич-
на правой относительно начала координат.
X	(0; 1)	!	(1; +~)
/(*)	—	0	+
rw	+	f	+
Г1?)	—	—	—
Вывод	ОгрнцаТ., ноЗраСТ., аы- пукл. вверх	Пересекает ось абсцисс	Положит., возраст., выпукл, вверх

Упражнения
463. Постройте графики функций:
I)(x_2^+2X 2>^; 3,^1;
5)	УГ--?; 6J VT^F; 7} ^+2р-^ж-2?; 8) -----L=-.
х \.v —4
444. Постройте график функций и упражнениях к п. I, 3, 4.
„	х24-аа х* + а'2	х2— а!	х2 — а2
465. Исследуйте графики функций	. — г_	н
при а = Ь, а<Ь н при а>Ь.
8. Производные и доказательство неравенств. Если /(a)—О
и /*(х)>0 на луче (а; +<эо), причем [ непрерывна в точке а,
то функция [ положительна на этом луче. В самом деле, она
возрастает на [с; 4- оо), и потому при х>а имеем: [ (х)^>[ (&) — 0.
Аналогично, если f(dj=O и f' (в)<0 на луче (а;	то и
/(х)<0 на ja; 4-оо). С помощью этого замечания можно дока-
зывать различные неравенства.
Пример I. Докажем, что при х>0 и а>1 выполняется
неравенство
(14-х)*>1-Ьах.
Решение. Положим f (х) = (14-л)в — 1 — ах. Тогда f(0)—0
н [' (х)=а (14-х)* ‘ — а. Поскольку а> 1, функция (1 4-х)" 1 воз-
растает на (0; -f- оо), и потому на этом луче (14- *)а 1 > 1. а тогда
на нем f'(x)2>0.
По сделанному выше замечанию получаем, что f(x)>-0 на
(0; 4- оо), т. е. (I 4-х)"> 1 -Ь«х при х>0.
Пример 2. Докажем, что при х>-0 и а>2 выполняется
неравенство
(14-xr>J+ax+-a^r-!h- х\
Решение. Положим [ (х}=(1 4-х)"— 1 — а.х—1/1 х2.
Тогда J(0)=0 и
К(х) = а(14-Х)* ,-а^а(а-1)х-а((14-х)'1-'-1-(а-1)х).
В силу примера 1 имеем при х>0 и а>2 [' (х)>0. Поэтому,
согласно сказанному выше, /(х)>0 при х>0, т. е.
(14-хГ>1+»*+	х2.
Покажем теперь, как применяется к доказательству нера-
венств вторая производная. Мы доказали в п. 5, что если f" (х)>-0
на отрезке [а; Ь), то график функции [ на [я; Л] лежит не выше
хорды, соединяющей точки A (a, [(а)) и B{b, [(b)). Выберем на
отрезке [я; любую точку с и найдем ординату соответствую-
щей точки хорды. Так как уравнение прямой, проходящей через
точки А и В, имеет вид:
209
y4W+.l4)=W (x~ a).
то при x=c получаем:
y..w=f(°>+	(c-a).
Поэтому неравенство e/rp<i/wp4M имеет вид:
f<c)<!(a)+ /(fcfW (с—a).	(i)
Если положить = А, то будем иметь:
с =а + к(Ь—а) = ЛЬ-Ь(1 — А) а,
f Ю +	“«)=f <fl) + >• (/ (*) - f (а)) =
=Xf(b)+(l-l)f(a).
Это позволяет переписать неравенство (1) в виде
f (M+(l-*)o)<*f(6)+(l -l)f(a),
™ *=££ « Р: '!	1
В частности, при ^=4" имеем:
(3)
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема I. Если на отрезке [а; д] выполняется неравенство
f" 0, то для любого Х£[0; 1] имеем:
Аналогично доказывается, что если на [а; 6] имеем:
Г'(х)С0, то
/ (Ad + (I — А) а)Л/ (&)+(!- A) f (а).
Пример 3. Докажем неравенство
(4)
Решение. Так как (*<)"= 12х2>0. то при И^)=^4 и л=«
=у выводим из (3) неравенство (4).
Упражнения
4Ы. Докажите неравенства:
\ 2 / **	2
2) ( |4-Х ) < |+х прн любом ХЕ[О; ]];
210
з> д/	а>0' »>о- ’•ер; ‘J;
4)	’fl>a’ ь>(*‘р>1;
S)	. а>0.	0<р<1.
9. Бимом Ньютона. В VII классе было доказано, что
(а 4- х)2 т= а2 + 2ах 4- х\
(а 4- х)э = а34- За2х 4- Зах2 4- х3.
Эти формулы являются частными случаями общей формулы,
которая будет выведена в этом пункте.
Если раскрыть скобки в выражении (а 4-х)", т. с. умножить
двучлен (или, как говорят, бином) (а4-х) сам на себя п раз,
то получится многочлен л-й степени относительно х. Поскольку
мы пока что не знаем его коэффициентов, запишем ответ в виде
(а4"Х)л = Ло4-Л |Х4~ Дгх24-ЛзХ3 4-...4-Дях".	(1)
Нам надо найти выражения для коэффициентов До, Ль Л2, Ла,
Л„. Чтобы найти Ло, подставим в обе части равенства (I) вместо
х значение 0. Получим:
Ло=*ай.	(2)
Чтобы найти Л], продифференцируем обе части равенства (I)
и положим х = 0. По формуле дифференцирования степени по-
лучаем:
?(«4-*FX—« (а4-х)я’,(о4-х)/ = п(а4-хГ"1.
С другой стороны,
(Л«4-Л|х4-Л2Х8 4-Лзх3 +...4-Л<»хйУ =
= А»4- 2Л ?х 4- ЗЛ^х2 4-... 4- nAnxrt ~1.
Значит,
п(а4-х)я-|=Л14-2Лгх4-ЗЛ3х2+...-+-«^хл"1.	(3)
Подставляя х = 0, находим: пая~'—А]. Итак,
Д^-^.	(4)
Для нахождения Л2 продифференцируем обе части равенства
(3) и положим х=0. Имеем:
«(п_1)(а-Нх)1-2^2Л24-3-2-Лзх4-... + л(л-1) Длхл"2,
откуда ft iyi—I) й° ‘ — 2Л2. Значит,
д,= и."-1! а"-г=."<д=-Ц-а"-!.	(5)
211
Остальные коэффициенты находят таким же образом. Если
продифференцировать k раз равенство (1), то получим, что
п (а— !)...(n — k + 1)(х + а)я”*=*
= k (k —1)-2- ] -A + (*+ \)-k...2x +
Полагая в этом равенстве х = 0, находим, что
п (п — 1)...(л — 1)ал ‘= I «2..>-Л*
и потому
Числа п 'л —}/••<» ~~ А'~Н' называют биномиальными коэффи-
циентами и обозначают С”п. Таким образом, Ak=Cknan~k, где
с *  п i n — 1} ./*—* +п	. 7.
Ь2..,.а
Поэтому
(а + хГ=ал4-С’аа',х-Ь... + С4ал-*^4-... + С^л.	(8)
Формулу (8) называют формулой бинома Ньютона. Правая
часть этого равенства называется разложением степени бинома
(a-j-xf.
Формулу для биномиальных коэффициентов можно запи-
сать в ином виде, используя обозначение л! (п-факториал) для
произведения 1-2-...*п. Именно умножим числитель и знаме-
натель дроби в формуле (7) на (л —Л)1. Получим:
__ л (л—]1„.(л —L)(n—1 _____ л(
4	Ь2...А•(«-*) -2-J — 4?(л-й)? '
Итак,
Полезно иметь в виду, что nl—(«—])!«.
Заметим, что коэффициент при д" в формуле (8) равен 1.
Поэтому считают, что С^ = 1. Коэффициент при хп тоже равен 1.
Поэтому полагают, что и Сй=1. Эти равенства получаются из
формулы (9), если условиться, что 0! = 1.
Пример I. Найдем разложение степени бинома (a-f-хД
Решение. В нашем случае л = 5. Вычислим биномиаль-
ные коэффициенты С$:
Cg=L. О|=^-=5,
=	=5.Ci=l. I
212
Значит, по формуле (8) находим:
(а + х)5 — а5,4- 5а4х +1 OaV + LOaV 4- 5ах4 4- х5.
Пример 2. Найдем разложение степени бинома ("y+V*) •
Решение. В этом случае п =6, а заменено на , х. — на
у'х. Так как
С?=1, С4=4=6' С1=т4=15,
с^тН--20- «“Шт=15-
ТО
(-b+vx)6=(4-y+6(±)^+i5(4-)W+
+20(4)a(^)a + 15(4)\S),+6(4)(^+('V*)’=
_ I . 6 у'х , 15х । 20x \x ,
— &6 “I W ’	' 6s	'
+4£ + -Ётз£-+*’-
Упражнения
467. Вычислите по формуле (7):
ct cl ct ci ci, ct ci, ci. cl a. ci cl ci.a. a
468. Вычислите по формуле (7):
Clnijix Ctooo, Chjoii, Cvj?c. CftJn. Cicoo-
46$. Покажите, что Ciow = CWi«-
470.	По формуле (8) запишите разложения биномов:
I)	(а-х)*; 2) (2 4-Л)в: 3) (<+1?; 4) (x-l)F;
5) (х-2#; 6} (-1-х+з)Т; 7} «x-l)5;
8} (-v'J+Vy)’; 9) (X3-/)*;
10)	(zjc—h)"; И) (^3-^; 12)
471.	Сколько членов содержится в иазложениих биномов:
I)	{а+х)’°; 2) (o+x),s; 3} (a+xf?
472.	Докажите формулу (8) методом математической индукции.
OIQ
10. Некоторые свойства биномиальных коэффициентов. Мы
доказали, что
(а-Ьх)"-С5аЛ + С‘й',-1х+... + С*аЛ-*^+...+аля,	(1)
где Сл= ,	... . С^==Сл — 1. Полагая в этой формуле а = х = 1,
КI (Л — ft}!	ТГ--
получаем:
2" = C2+Cl + ...4-C5 + ... + CJ.	(2)
Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов при данном
значении п равна 2Л.
Точно так же, полагая а=1, х —— 1, убеждаемся, что
o=ci-ci+cS+...+(-iyc‘+...+(-irc;.	(з>
Отсюда следует, что сумма биномиальных коэффициентов, стоя-
щих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффици-
ентов, стоящих на нечетных местах.
Из формулы для С* получаем:
_____«!	 _ ”	
(n-W(n-{n-k№______________— п‘ (4)
Значит, биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов
разложения, равны друг другу.
Далее,
(Л-1)1 (A + n-fe) = п\ =
А)!	ЛГ(л —А)! л*
Таким образом,
СГ=НС^, = С*.	(5)
Эта формула позволяет вычислять биномиальные коэффициенты
С£, зная биномиальные коэффициенты CL-i-
Вычисления удобно располагать в виде следующего треуголь-
ника, где каждый элемент равен сумме элементов предыдущей
строки, стоящих слева и справа от вычисляемого:
1
1	1
1	2	1
13	3	1
1	4	6	4	1
Его называют арифметическим треугольником или треуголь-
ником Паскаля.
Упражнения
47S.	Вычислите:
I)	c!-|-2d + 3tf+...-|-rta;
2)	C?+2C1 + 3L14-..-+(a+DC;
3)	С?+2С’ + ЗС14-... + (А-1)а;
4)	С?+ЗС1 + 5С2+*»+(2Л + 1)^-
474.	Докажите, что
(с:г+(аг+-..+(^=с?и.
II*. Приложения бинома Ньютона для приближенных вы-
числений. Формулу бинома Ньютона применяют для приближен-
ного вычисления степеней.
Пример 1. Вычислим 1,0015е с точностью до 0,0001.
Решение. По формуле бинома Ньютона имеем:
1,0015’=(1 + 0.0015)®- I +8-0,0015 +-0,00152+-- +
+ 0,0015®.
Но
-^+ . 0,00152 =28-0,00000225 < 30-0,000003 =0,00009 < 0,0001,
а следующие слагаемые еще меньше. Поэтому все слагаемые,
начиная с третьего, можно отбросить. Получаем:
1,0015й я? 1+8-0,0015= 1,012.
Пример 2. Вычислим 5,014 с точностью до 0,02.
Решение. Запишем 5,014 в виде
5.0Г=(5+0,01 )* = 5'(I + 2^-) ‘ = 5'(1+0,002}*.
Применяя к (L+0,002)4 формулу бинома Ньютона, получаем:
54(1+0,002)4=
= 54 (1 + 4 - 0,002 +	0,002* +	- 0.0023 + 0.0024) .
Но 54-у4-0,0022 = 54-22-6-10“б = )5-10-3<0,02. Значит, этот
и следующие члены можно отбросить. Получаем:
5,014« 54 (1 + 4 • 0,002)=625-1,008 = 630.
Мы установили формулу бинома Ньютона для натуральных
значений показателя п. Можно доказать, что аналогичная фор-
мула верна и при любых значениях показателя, если |х1 < 1д|.
Только получится ряд, состоящий из бесконечного множества
слагаемых. ’На практике бывает достаточно взять несколько
членов этой суммы, чтобы получить ответ с заданной точностью.
Пример 3. Вычислим V1.06 с точностью до 0,001.
Решение. Здесь «—-р Дв1. л = 0,06. Поэтому имеем:
VhO6=( I + 0,06) •• = 1 4- -±-- 0,06 4- 3 у • 2  0,062 +... =
=- 14- 0.02 - 0,0004 4--. -
Видно, что достаточно сохранить первые два слагаемых. Значит,
VE06^L,02.
Упражнения
475.	Запишите разложение бинома (I + xf.
474. Покажите, что для малы* х справедлива приближенная формула (Ц-л)**»
«I f- лх.
477. Вычислите с точностью соответственно до 0,01; 0.0002; 0,0001:
I) (1+0.031s; 2) !.«№<; 3) 0,<W; 4) VHJiS.
12*. Приближенное решение уравнений методом хорд и ка-
сательных. Многие задачи математики (в том числе отыскание
экстремумов функций) сводятся к отысканию корней функций,
т. е. к решению уравнений вида /(л)=0. Однако лишь’весьма
редко существуют формулы для «точного» решения таких урав-
нений (мы ставим слово «точного» в кавычки, так как в боль-
шинстве случаев такие формулы содержат извлечение корней,
отыскание логарифмов н другие операции, которые над данными
числами можно выполнять лишь приближенно). Поэтому возни-
кает задача о приближенном решении уравнений. Мы рассмотрим
сейчас два способа приближенного решения уравнений, называ-
емые методами хорд и касательных.
Пусть функция f непрерывна н монотонна на отрезке [а; 6].
Если ее значения на концах этого отрезка имеют разные знаки,
то по теореме L п. 6 § 2 главы IV на отрезке [л; 6] лежит один
и только один корень уравнения f{x)=0. Чтобы найти прибли-
женное значение корня, проведем хорду, соединяющую точки
А (а; [ (а)) н В (b; f (&)), и найдем точку ее пересечения с осью
абсцисс (рис. 120). Уравнение хорды АВ приведено на с. 2)0.
Полагая в нем # = 0, получаем уравнение
0=f(Q)+ /Wrlial (х-а).
Решая получившееся линейное уравне-
ние относительно х, находим прибли-
жен мое значение корня

Это выражение можно представить н в виде
О')
Чтобы получить более точное значение корня уравнения f (х)=0,
надо вычислить значение f(xi) н в зависимости от его знака
применить формулу вида {I) или к отрезку [щ; xj, или к отрезку
[xj; Ь]. Процесс приближений ведется до тех пор, пока не полу-
чатся два значения абсциссы, совпадающие в пределах задан-
ной точности.
Пример 1. Найдем методом хорд с точностью до 0,01 при-
ближенное значение корня уравнения х^Ч-Зх — 1=0, располо-
женного на отрезке [0; I].
Решение. Так как / (0)= — I, f (0 — 3, то по формуле (1)
имеем:
Так как f (0,25)=0.253 4-3-0,25 — 1 « —0,23, то используем фор-
мулу (1):
x,=0.25-vb^(-0.23)«0.3l.
Продолжая этот процесс, получаем:
^“«^-зтай?^0'04^0’315-
х. =0.315-5^^_(-0,01)®0.32.
х5 также приближенно равно 0,32. С точностью до 0,01 значе-
ния х4 и х5 совпадают, и потому ха$0,32‘. Продолжая вычис-
ления, можно найти значение корня с большей точностью. На-
пример, с точностью до 0.0001 имеем: хл? 0,3222.
Замечание. Билсе быстрое приближение ж искомому юр ню дает усиаер
шенгтвованнын метод хорд, я котором хорды проводятся не через точки с збе-
цнссамв а я хн или I, н fr, я через точки с абсциссами х.-i и хя.
Если функция f не только непрерывна, но н дифференцируема
на отрезке [a; 6J, то можно приближенно заменять кривую не
хордой, а касательной, проведенной в одном из концов отрезка
[а; Ь]. Уравнение касательной, проведенной в точке Л (а, /(а))
к графику функции f, имеет вид:
0е/(«)+/'(*)(•*—*)-
1 Строгое доказательство того, чти х~0,32, немедленно следует из нера-
венств /(0.32)<0. I (0.33) > О.
Чтобы найти точку пересечения касательной с осью абсцисс,
положим у —О и найдем х из уравнения O=f(a)-f-//(«)(* —«).
Имеем:
(2)
Если же касательная проводится в точке В (b\ f (£)), то абсцисса
точки пересечения равна:
х=Ь — 1^-.	(2')
Как видно из рисунка 121, касательную надо проводить в
конце, где функция положительна, если график обращен вы-
пуклостью вниз, и в конце, где функция отрицательна, если
график обращен выпуклостью вверх. Учитывая связь направле-
ния выпуклости графика и знака второй производной, получаем:
Касательную надо проводить б том конце, где знак функции
совпадает со знаком второй производной на отрезке [а; Ь]
(предполагается, что этот знак постоянен на отрезке [д; &]).
Найдя приближенное значение х по формуле (2) илн (2'),
надо вновь применить эту формулу к полученной точке. И в этом
случае процесс ведется до тех пор, пока'полученные значения х
не совпадут в пределах заданной точности.
Иными словами, надо выбрать начальное приближение х0=д
или х$ = Ь я построить последовательность (хя) по рекуррентной
формуле
хл+|=х„—ffir-	(3)
Член этой последовательности, имеющий достаточно большой
номер, и даст искомый корень с нужной точностью.
Пример 2. Решим методом касательных уравнение х34-
_|_3х —1—0 на отрезке [0; 11 с точностью до 0.01.
Решение. Имеем: )(х)=х3-|- Зх — I, f (х) = Зх*-|- 3, /"(*)=*
=6х. Так как на отрезке [0; I] выполняется неравенство /" (х)^0,
то касательную надо проводить в точке, где функция
положительна, т. е. при х=1. Поскольку f(1)=3, /'(!) —6, име-
ем:
Х1=1-1=0,5.
Далее /(0,5)^0,625, /'(0,5)=3,75 и потому
х, =0,5-^ «0,33.
ч5, г О
Далее находим:
х, =0.33—«0,32.
Так как х< тоже равно 0,32, то с точностью до 0,01 корень дан-
ного уравнения равен 0,32.
Применим метод касательных к решению уравнения х — а —0,
где а>0. Мы имеем: /(х) = х2 —а и потому /'(х) = 2х.
Значит, формула (3) принимает вид:
хя + 1=хп
Xq—й _ x*4-d
2г, 2хл
(4)
Заметим теперь, что положительным корнем уравнения х2—д = 0
является число -^а._Мы видим, таким образом, что приближен-
ное значение для -уа можно получить следующим образам:
Взять любое положительное начальное приближение xfl и
построить последовательность чисел (хя) по рекуррентной фор-
муле (4). Тогда пределом этой последовательности будет
lim хп = д/а. Значит, взяв член последовательности (хЛ), име-
ющий достаточно большой номер, мы получим значение ^/'а с
требуемой точностью.
Замечание I. Выражение
—~— можно
2х„
записать э виде
Оно является средним арифметическим чисел х„
а
и — , средним геометрическим
которых является число -\а. Таким образом, смысл описанного метода извле-
чении квадратного корня состоит в том. что на каждом тэге искомое среднее
а
геометрическое чисел н — заменяется их средним арифметическим.
Замечание 2. Так как
rz x" + u п Хп-2хл\а + (уа\\	(хп-^)г	f5,
Xn+i - i/a = ——— —уа=--------у;-------“	—	•
X. Ап	*/»Л	“ЛП
го нмеем: хж4|—V«>0. т. е. числа х.... хдают приближении для уа
с избытком.
219
Замечание 3. Из неравенств	следует 0<х„ — \!а<.хл н ng.
х„—-/□
тому л„+| — у'а<—---- (см- (S>). Отсюда с помощью метода математичес-
кой индукции вытекает, что прн любом а имеем.
0<хй — \|'о< | —	| • Но lim |	| -Он потому lirn (хк—^а)=о.
Этим доказано, что описанный выше метод прн любом выборе х0>О действа-
тельно дает значение -^о с любой заданной гочаостью.
Упражнения
♦78. Найдите с точностью до 0,<J| корни уравнения (сделав эскиз графика
функции, Стоящей в левой части):
I)	ж3-5х+3=0;	3)	4- 1x4-3 =0;
2)	2 4-7х— х*=0;	4) л* 4-х7—1=0.
479.	Вычислите с точностью до 0,0001 квадратные корни:
I)	М 2)7’27;	3) Vl54; 4} V38J .
480.	Докажите, ЧТО для вычисления корня fe-й Степени из числа oZ>0 приме-
нима рекуррентная формула
481.	С ее помощью найдите с точностью до 0.000) значения корней:
I) Via»: 2) V19: 3) V36; 4} V^40.
Глав» ¥1
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ I. КООРДИНАТНАЯ ОКРУЖНОСТЬ
I. Длина дуги окружности. В девятилетней школе было вве-
дено понятие длины дуги окружности, однако оно не получило
там точного определения. В этом пункте будет дано такое
определение.
Выберем на дуге окружности АВ точки А^ = А, Alt 4 2, ...
.... Лл_|, АЛ = В (идущие по порядку от к и построим ло-
маную Л0Л| ... Ля_|4Лт состоящую из п звеньев (рис. 122). Эту
ломаную называют вписанной в дугу АВ.
Если все дуги, на которые точки А.Ап_, разбивают дугу
А В, меньше полуокружности, го существует другая ломаная
,4В t ... ВпВ, звенья которой касаются окружности в точках
A, At, .... 4„-i, В. Ес называют описанной вокруг дуги АВ.
Лемма I. Пусть на дуге АВ окружности выбраны точки
A = Aq, Л|, .... 4Л_|, А„ = В, причем все дуги, на которые разбита
дуга АВ, меньше полуокружности. Тогда длина вписанной .лома-
ной, соответствующей этому разбиению, меньше длины соответ-
ствующей описанной ломаной.
Доказательство. Из рисунка 123 видно, что каждое
звено вписанной ломаной является стороной треугольника, две
другие стороны которого — части звеньев описанной ломаной.
Оно короче суммы этих чисел: ЛЛ*+|<:4йВ*+| -+-£*+i4* + i.
Написав такие неравенства треугольника для всех звеньев
вписанной ломаной и сложив их, убеждаемся, что длина впи-
санной ломаной меньше длины описанной ломаной.
Рис. |22
Рис. |23
Рис. 124
22i
Лемма 2. Оу добавления новых точек, деления длина опи-
санной ломаной уменьшается, а длина вписанной ломаной уве-
личивается.
Доказательство. Поскольку новые точки деления мож-
но добавлять по одной, лемму достаточно доказать для случая,
когда добавляется лишь одна точка деления. Из рис. 124 видно,
что при добавлении такой точки А' один из углов описанной
ломаной «срезается». При этом длина срезаемой части ломаной
больше длины срезающего отрезка, и потому длина описанной
ломаной уменьшается.
Звено же вписанной ломаной при добавлении точки на стя-
гиваемой нм дуге заменяется двумя звеньями, сумма длин
которых больше длины этого звена. Поэтому длина вписанной
ломаной увеличивается.
Из лемм I и 2 вытекает, что множество Y длин описанных
ломаных лежит справа от множества X длин вписанных ломаных.
Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти мно-
жества, т. е. число, которое ие меньше, чем длина любой вписан-
ной ломаной, но не больше длины любой описанной ломаной.
Теорема L Число, разделяющее множество X длин вписан-
ных ломаных и множество У длин описанных ломаных, одно-
значно определено.
Доказательство. Нам надо доказать, что для любого
е>0 существуют вписанная и описанная ломаные, такие, что
/ои—/„„Се. Для этого разобьем дугу А В на п равных частей и
построим вписанную и описанную ломаные (при п = 2к это по-
строение делается циркулем и линейкой).
Обозначим через аЛ длину звена вписанной ломаной, через
Ьп — длину звена описанной ломаной, а через hn — длину высоты
треугольника, образованного двумя половинами звеньев описан-
ной ломаной и звеном вписанной ломаной (рнс. 125). Зададим
е>0. Так как йл>^—то
С — '»□=« (Ья —а„)=2л (у—у) < 2пА,
на рисунке 125 имеем: —
Но из подобия треугольников OCD и DCE
2
~ и потому
А
йи=^. Значит,
*4 А
<вВ<- 4R
При достаточно большом п отноте*
ние становится сколь угодно малым, а /„ не превосходит пе-
риметра квадрата, описанного вокруг целой окружности. Поэто-
му при достаточно большом п выполняется неравенство Zwt—1М<2
<е. Значит, А и У разделяются лишь одним числом. Теорема
доказана.
Определение. Длиной дуги АВ называется число /, раз-
деляющее множество X длин вписанных в эту дугу ломаных и
множество У длин описанных вокруг нее ломаных.
Из теоремы I вытекает однозначная определенность длины
дуги. Заметим, что таким же образом определяется длина лю-
бой выпуклой гладкой дуги, т. е. гладкой дуги, которую каждая
прямая пересекает не более чем в двух точках.
2. Свойства длины дуги. Докажем следующие свойства, ко-
торыми обладают длины дуг окружностей.
а)	Длины равных дуг равны.
В самом деле, если дуги АВ и CD равны, то нх длины разде-
ляют одни и те же множества, а потому совпадают.
Лишь несколько сложнее доказывается более общее ут-
верждение:
6)	Если дуги АВ и CD подобны с коэффициентом подобия
k, то отношение длин этих дуг равно k.
Для доказательства следует лишь учесть, что отношение
длин подобных ломаных равно коэффициенту подобия, а также
что при умножении всех чисел множеств X и У на одно и то же
число k, разделяющее эти множества число тоже умножается на k.
в)	Если точка С лежат на дуге АВ, то сумма длин дуг АС и
СВ равна длине всей дуги. Обозначим через Zi длину дуги АС,
через /з — длину дуги СВ н возьмем ломаные Г и Г', соответ-
ственно вписанную и описанную для дуги АВ. Обозначим их
длины через ! Г| и |Г*| соответственно. Нам надо доказать,
что |Г| ^/| Ч-/2С I I. т. е. что число Л 4-/2 разделяет мно-
жества X к У для дуги АВ. В силу единственности разделяю-
щего числа отсюда н будет следовать, что /14-/2 — длина
дуги АВ.
Не теряя общности, можно считать, что точка С является
вершиной как для Г, так и для Г'. В противном случае при-
соединим эту точку к вершинам ломаных, что повлечет за собой
увеличение |Г! и уменьшение !Г'|. Поэтому если мы докажем
неравенство после присоединения вершины, то оно было верно
и до него.
Но если С — вершина обеих ломаных, то она делит их на
части Г| и Гг. а также Г{ и соответственыо. Прн этом
• Г! =|Г|! 4-!Г2!, ’Г'НПШПЬ !П1С/| С !ПI,
!Г..!	!Г£!
1**1 -45 'Л	I - < I -
Отсюда следует, что |Г, 14- |Г2|	4-6< IГИ 4- -П-, Т. е.
 Г!	4-/?< |Г*|. Тем самым утверждение в) доказано.
Обозначим через 2л длину окружности единичного радиуса.
Из свойства 6) вытекает, что длина окружности радиуса R рав-
на 2 л/?.
Из свойства в) следует, что если окружность радиуса R разде-
лена на л равных частей, то длина каждой из этих частей равна
 В частности, при делении окружности на 360 равных частей
получаем дуговые градусы, длина каждого из которых равна
«><г £>
Отсюда вытекает, что если дуга окружности радиуса R
содержит k градусов, где k£_N, 0<fc<360, то ее длина равна
. Обычные рассуждения, аналогичные применяемым прн
измерении отрезков, показывают, что справедливо следующее
утверждение:
Если радиус окружности равен R, а дуга А Я этой окружно-
сти содержит а°, где 0<2аС360, то длина дуги АВ равна
3. Радианное измерение дуг и углов- Назовем радианом дугу
окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.
Так как длина всей окружности равна 2л/?, то радиан состав-
ляет "Ю часть окружности. Сокращенное обозначение радиа-
на — <рад>. Поскольку во всей окружности 360°, то в радиане1
360е х )80г'	„
-г—, т- е, -. Итак,
2п	л
I радиан =-^-, 1Q;=7^ радиан.	(1)
Л	I OV
Из определения радиана вытекает, что длина дуги, содержащей
х радиан, равна Rx:
(2)
Из формулы (1) вытекают равенства:
180°х о яа	/ах
х рад ______, ао = _ рад.	(3)
Пример 1. Найдем длину дуги АВ окружности радиуса 8,
если эта дуга содержит 2,5 рад.
Решение. По формуле (2) имеем:
Лв=г2,5- 8 — 20.
Пример 2. Сколько градусов содержит дуга, если ее длина
равна 6 см, а длина радиуса равна 10 см?
1 Это число приближенно равно 57* 1744,8*.
Решение. По формуле (2) имеем: 6=10иг. Значит» дуга
содержит 0,6 рад. Из формулы (3) следует, что тогда эта дуга
содержит 180^°’6=-^»34<>22,39z\
Поскольку углы измеряются дугами окружностей с центром в
вершине угла, их тоже можно измерять в радианах. Таким обра-
зом. угол в I рад это центральный угол дуги в I рад.
Пример 3. Построим угол в -р- рад.
Решение. Из формулы (3) следует, что этот угол содержит
—-—=30°. Чтобы построить угол в 30°, строим равносторонний
треугольник и проводим его высоту.
В следующей таблице приведены радианные меры для не-
которых часто встречающихся углов:
Г рэлусы	0	15	30	45	60	75	90	120	135	150	180	225	270	315
Радианы	0	л 12	л 6	л 4	л 3	5л 12	л 2	2л 3	Зл 4		л	5л т	Зл 2	7л т
Из того, что площадь круга равна л/?2, вытекает формула
площади сектора, центральный угол которого равен х радиан:
S«„=^.	(4)
Пример 4. Найдем площадь сектора радиуса 5, если дуга
сектора содержит 1,5 рад.
Решение. По формуле (4) имеем:
8 =^^5= 18.75.
Упражнения
482. Найдите радианную меру дуг: |5tt, 22°30'; 30е; 45°; 60е; 67“30’; 90е; 180°;
225”; 270е; 334Г.
483. Найдите градусную меру дуг:
я . л _ п . я я л 5л 7л 25л
18: Т2* Т1 т: т; т; т; 12: 18 
4М. Найдите длину дуг окружности радиуса ₽=|2. соответствующие централь-
ным углам, содержащим а рад. если
л _ я л 5л
а~ 12’ T’ Т: 6~
Найдите также площади соответствующих секторов.
8 Алгебра м матгмжхвЧ«*»;М1
225
4. Координатная окружность. Чтобы задать систему коорди-
нат на прямой линии, выбирают на ней начало отсчета, направ-
ление и единицу измерения длин. На окружности есть естествен-
ная единица измерения длин — радиус этой окружности. Поэтому
для задания на ней системы координат достаточно выбрать
начало отсчета и направление обхода (по часовой стрелке или
против часовой стрелки).
Определение. Координатной окружностью называют
окружность единичного радиуса, на которой выбраны начало
отсчета А и направление обхода (рис. 126).
Обычно в качестве положительного выбирают направление
обхода против часовой стрелки.
Определим отображение множества /? действительных чисел
на координатную окружность. Наглядно это отображение состоит
в том, что сначала множество J? отображают на координатную
прямую, а потом эту прямую «наматывают» на координатную
окружность так, что начало координат на прямой переходит в
начало отсчета на окружности, положительный луч наматывается
в положительном направлении, а отрицательный луч — в отрица-
тельном направлении- Поскольку после полного оборота точка
возвращается в исходное положение, числам I и /-|-2л&, k£Z,
соответствует одна и та же точка координатной окружности.
Более формально это отображение определяется следующим
образом: множество R разбивают на промежутки вида (2л л;
2(л-|-1)л), n£Z. Если	2(дЧ-1)л), то числу t ставят
в соответствие такую точку М (/) окружности, что дуга ДМ, про-
бегаемая в положительном направлении, имеет длину t—2пп.
Пример I. Найдем на координатной окружности точки
4(0). B(f). С(п). Р(ул).
Решение. Точка В такова, что дуга АВ, пробегаемая в
положительном направлении, составляет четверть окружности
{так как ——четверть от 2л). Таким же образом находим
остальные точки (рнс. 127).
--------------------:----------------------------------------
Пример 2. Найдем на координатной окружности точку
Решение. Точку М можно построить двумя способами.
Во-первых, можно заметить, что — 2л	—^-<0, ттРнчем
— -у-—(—2л)=-^-. Поэтому отложим па координатной окружнос-
ти в положительном направлении дугу в -у рад. Эта дуга содер-
360е-?
жит ------=210°. Соответствующая точка М изображена на ри-
сунке 128.
Другой способ построения точки Л1 состоит в том, что на
окружности откладывается в отрицательном направлении дуга в
рад, т. е. в 150°.
Пример 3. Найдем на координатной окружности точки
м(4-^л), V(-5).
Решение. Так как 4лС4-г-лСбл, то для отыскания точ-
ки ЛТ откладываем от точки Д(0) в положительном направле-
нии дугу в 4-^-л —4л=^-л радиан, т. е. в 45°. Далее, так как
—2л —5<0, то для построения точки —5) откладываем от
точки Д{0) в положительном направлении дугу в —5-К2л*в
л? 1,283 рад, т. е. приблизительно в 73, 5°. Иным образом можно
получить ту же точку, отложив от точки .4 в отрицательном
направлении дугу в 5 рад, т. е. в -^-«286,5°.
Отметим некоторые свойства построенного выше отобра-
жения.
а)	Числам I и s соответствует одна и та же точка Л4 ко-
ординатной окружности в том и только в том случае, когда
разность t—s кратна 2л, т. е. t—s=2nk, k£Z.
Геометрический смысл этого утверждения был указан выше
при наматывании прямой на окружность в одну н ту же точку
окружности переходят точки прямой, расстояние между которыми
кратно длине окружности, т. е. числу 2л. Мы опускаем формаль-
ное доказательство утверждения а).
б)	Точки Л1(/) и Лг(—/) симметричны относительно прямой
ОА, где /4 — начало отсчета на окружности, а О — ее центр.
В самом деле, чтобы попасть из точки А в точки Л! и Л/, надо
пройти дуги одной и той же длины !fl, отложенные в противо-
положные стороны. Поэтому указанные дуги, а следовательно, и
их концы совпадают при симметрии относительно прямой ОА
(рис. 129).
227
в)	Точки Л! (t) и У(/4-л) диаметрально противоположны, т. е.
симметричны, относительно центра окружности.
В самом деле, число л равно длине полуокружности. Зна-
чит, точки Л1(/) и N((~Yn} диаметрально противоположны
(рис. 130).
г)	Если  / — si — \р— £?!, то дуги TS и PQ, где Т=Т{1),
S=S(s), Р = Р(р), Q=Q(q), равны.
В самом деле, при «наматывании» координатной прямой на ко-
ординатную окружность равные отрезки прямой переходят в рав-
ные дуги окружности. Но если на прямой F = F(t), С=С\в\
Н — Н(р), К = К(р), то FC=\t—$!, НК—\р — <?'. Поэтому из ра-
венства |f— s[ = |p —9! следует равенство отрезков FC и НК,
а тем самым и дуг TS и PQ. Например, дуги TS и PQ, где
Р = Р(—-^),	РавнЫ’ так как
I л Зя I   | Л л I  5п
1 3 ~V1 “ 1	6 _ 1 1 " 12 •
Замечание. При определении отображения множества Л на координатную
окружность мы неявно предположили, что от любой точки окружности можно
в обоих направлениях отложить дугу заданной длины. Мы опускаем строгое
доказательство этого утверждения.
Упражнение
485.	Колесо вращается с угловой скоростью рад/с. На какой угол оно
о
повернется за IS с? за I мин?
486.	Колесо вращается с угловой скоростью 4п рад/с. На какой угол оно
повернется за 20 с? за I мин 40 с? за 3 мнн 50 с?
487.	При полном обороте зубчатого колеса другое колесо совершает дкз обо-
рота в противоположном направлении. ||а какой угол повернется второе
колесо, если верное повернется на 320°? на 700р? на 1800*?
488.	Отметьте на координатной окружности точки, соответствующие числам:
л 2л п	7	9	л	5	||	17
п"» тг • т - —у л> 4л, —— л, —, —л. — п. ——л
ЗЗи	6	z	Ч	4	4	4
48f>. На координатной окружности отметьте приблизительно точку, соответствую-
щую числу 22.
228
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО
АРГУМЕНТА. ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
I.	Функции синус и косинус числового аргумента. Положе-
ние точки на координатной окружности можно задавать ее декар-
товыми координатами. Выберем систему декартовых координат
на плоскости так, чтобы начало этой системы координат нахо-
дилось в центре О координатной окружности, положительный
луч оси абсцисс проходил через начало отсчета Л{0) на этой
окружности, а положительный луч оси ординат — через точку
В(пг) т°й же окружности (рис. 131). Назовем декартовы ко-
ординаты точки М(/) координатной окружности косинусом и си-
нусом числа I. Тем самым каждому действительному числу t
поставлены в соответствие два числа: cos I (косинус I) и sin t
(синус t), т. е. определены две числовые функции числового
аргумента.
Определение. Функция косинус ставит в соответствие
каждому числу i абсциссу точки М (I) координатной окружности,
а функция синус ставит в соответствие числу t ординату той же
точки.
Мы будем поэтому писать, что М (t)=M(cos f; sin Г), где
запись М (I) показывает положение точки М на координатной
окружности, а запись М (cos /; sin /) — положение той же точки
на координатной плоскости.
Функции cos / и sin I определены на всем множестве R дей-
ствительных чисел. Поскольку координаты точек окружности еди-
ничного радиуса нс превосходят по модулю числа 1, выпол-
няются неравенства icos /! < 1 и Isin / I- Отсюда вытекает, что
областью значений для функций cos t и sin t является отрезок
[—1; 1] (очевидно, что любое число этого отрезка может быть
значением как первой, так и второй из этих функций).
Для некоторых значений аргумента t значения cos t и sin t
определяются из геометрических соображений. Нам известны
декартовы координаты точек А (0), Я (-£-)» С (л),	а имеи'
но: /1(1; 0), В(0; I). С(—1; 0), 0(0; -1).
229
Отсюда получаем:
cos 0—1, sin 0 — 0, cos -^-=0, sin -J-= I,
Лг	At
cos л = — 1, sin л =0. cos -у- л. =0, sin -у л = — I.
Вычислим далее cos-J-и sinДля этого заметим, что если
то прямоугольный треугольник МРО равнобедрен-
ный (рнс. 132). Но тогда, поскольку ОМ = 1, имеем по теореме
Пифагора: 2Л!Р2=1, откуда МР = ОР = Так как обе коорди-
наты точки М положительны, то cos-7-= sin — =—.
4	4	2
Теперь найдем cos и sin Для этого вспомним, что длина
катета, лежащего против угла в 30°, равна половине длины
гипотенузы. Поэтому если ЛЮЛ=-^-, то МР=^-Л!О = -^- и по
теореме Пифагора получаем:
ОР' = |-(4-)2 = 2_, т. е. ОР=Д.
Так как координаты точки Л! положительны, находим:
л и'З - л I -г	е
cossin—Таким же образом доказывается, что
cosf=4_. sin-£—f.
Сведем полученные результаты в следующую таблицу:
f	0	л f>	п т	л т	л 7
sin !	0	1 2	XJ2 2	2	1
COS t	]	-уз 2	v5 Т	1 т	0
Упражнения
490.	Может л к косинус быть рапныы:
1)	0.171: 2) у; 3) Д-; 4) —2=,;
5)	Ж 6, ±(e+l).fl>1; 7)V“; 8)_U; 9,42.
у5 2\ а/	Л */6« + |	4
10)	: 11)	12) y'T-VS?
Т* з/2—I
230
491.	Найдите sin а 4-cos ot. если: а) а = 0°; б) а = 9О“; в) а = -у; г)
492.	Обруч катится без скольжения по прямой линии, причем за единицу
времени центр обруча перемещается па расстояние, равное се радиусу
Я. Найдите положение в момент времени < точки .И, если в начальный
момент времени Т=0 она была точкой касания окружности и прямой.
Оси координат расположите, как на рисунке 133.
493.	Радяус ОА окружности имеет длину Я и образует с осью абсцисс угол а
(рнс. 134). Точка А является центром второй окружности. радиус которой
имеет длину г. Определите положение точки М второй окружности, если
радиус АЛ! образует с радиусом ОА первой окружности угол 0.
494.	Обруч радиуса г катится без скольжения по обручу радиуса
причем луч ОО,, соединяющий центры этих окружностей, описывает
за единицу времени угол а | радиан. Определите изложение в момент
времени / точки Л1. если в начальный момент времени /*=0 она была точкой
касания обеих окружностей я находилась на осн абсцисс. Разберите случаи,
когда вторая окружность находится мне первой и когда она на ходится
п *	R
внутри не₽. Отдельно рассмотрите случаи, когда г = Я. г=—, г — — .
495.	На обруч намотана нить, конец которой находится в точке А. Эта вить
разматывается так. что она все время касается обруча, причем за единицу
времени точка касания пробегает по обручу дугу в I рад. Опреде-
лите наложение конца тити а момент временя f, если радиус обруча
равен R (рнс. 135).
496.	На параллели, имеющей широту 0. взяты точки, разноси, долгот которых
равна <р. Найдите длину дуги параллели между этими точками, если радиус
сферы ранен R
497.	На рисунке 136 изображено сечение моста,
где АСЯ — дуга окружности. АВ = 20 и.
СИ =!,2 м и СТ= i м. Определите площадь
этого тхчеиня.
498.	Найдите направление и величину рзанодей
ствуюшей двух скл, приложенных к точке А.
если одна нз них равна 8 Н, вторая — л Н я
угол между ними равен 75°.
23|
439. Нчйдмтс направление н величину равнодействующей грех сил, приложенных
х точке Л. если нх величины ЦН. 2)Н н 35Н, а углы с положите^ыеыы
направлением пси абсансе равны 25°, 48*15' н Ю7°20'.
500*. Мэякя А н В находятся на расстоянии 4,54 км друг от друга. Направлена?
от корабля к первому мзяку образует с направлением на север угол 42.3“ к вос-
току, а ко второму манку угол 4,4* к западу. После того как корабаь
прошел некоторое расстояние по курсу, образующему угол 81.8° с север-
ным направлением к востоку, направления на маякн А н В образуют с направ-
леньем на север углы 6,8* м 56е (к западу). Определите расстояние, л рожден-
ное кораблем.
Ml. Маяк был виден с корабля в направлении, образующем угол 26* с на-
правлением на юг (к западу). После того как корабль проплыл 3,8 км
в направления, образующем с направлением на юг 85* (х западу), направле-
ние на каяк образует с направлением яа юг угол 28° {к востоку). Определите
расстояние пт корабля до маяка а начале и в конце его пути.
502. С вершины холма, находящейся на левом берегу реки, этот берег виден
под углом 32. Г к горизонтальному направлению, а правый берег лол
углом 25,4°. Определите высоту холма и расстояние от вершины холма
до берега реки, если ширина реки равва 12| м.
563. В северном жглушарни взята точка М, имеющая долготу и широту 6.
Найдите:
I) расстояние згой точки до плоскости экватора;
2) координаты проекции точки на плоскость экватор», если ось абсцисс
проходит через точку пересечения экватора с нулевым меридианом.
Проведите расчеты при <р=25*15', 0=63*18'. приняв радиус Земли
*=636? км.
504.	Выведите формулу для угла между радиусами, направленными н точки
А и Я на сфере, если географические координаты точек равны (fi. Oi) и (фт, б2).
2.	Периодические процессы и функции. В природе и технике
часто встречаются процессы, которые периодически повторяются
по истечении некоторого промежутка времени. Например, если
маятник делает одно полное колебание за Т секунд, то его отк-
лонение от положения равновесия в моменты времени t,
t + 2T н т. д. будет одним и тем же. Периодически с периодом
в 1 год меняется расстояние Земли от Солнца, а с периодом
в 1 лунный месяц меняются фазы Луны. Периодически из-
меняющиеся величины описывают с помощью периодических
функций.
Определение /. Число Т называют периодом функции f,
если для любого /, при котором эта функция определена, вы-
полняются равенства
(О
Из этого определения вытекает, что если Т — период функции f
и она определена при некотором значении аргумента /, то пня
должна быть определена и при значениях аргумента t—Т и
t-j-T (иначе не могло бы выполняться равенство (1)).
Заметим, что число 0 является периодом любой функции.
4V>
Теорема 1. Если Т — период функции f, то -~Т тоже является
периодом згой функции. Если Л и — периоды [, то и Г| +
-f-T'? — период той же функции.
Доказательство. Первое утверждение вытекает нз того,
что в равенство (1) числа Т и —Г входят равноправно. Второе
же утверждение следует из того, что
г,)=нс
и аналогично
f (t - (Г, + Г2)) = / (t-Г, - Г,)=f (/ - Т,) = f (/).
Следствие. Если Т — период функции f, то при любом целом
значении п число пТ также является периодом этой функции.
Доказательство. В силу первого утверждения теоре-
мы 1 достаточно рассмотреть случав, когда л — натуральное чис-
ло. При л = 1 истинность следствия вытекает нз того, что Т—
период функции /. Если kT — период этой функции, то по второму
утверждению той же теоремы и kT-\-Т—{k {-['} Т является ее
периодом. С помощью математической индукции убеждаемся
в справедливости следствия для всех натуральных, а следова-
тельно, и для всех целых значений п.
Определение 2. Функцию f называют периодической,
если она имеет хотя бы один отличный от нуля период.
Если Т — положительный период функции f и известен график
этой функции на каком-либо промежутке [а; «4-Г), то можно
получить ее график на всей числовой оси с помощью параллель-
ных переносов вдоль оси абсцисс на kT, где k^Z (рис. 137). Обыч-
но выбирают а—0 или а=—
Если функция f постоянна, то любое число является ее
периодом. Можно доказать, что если функция f отлична от
постоянной, непрерывна и периодична, то среди ее положительных
периодов есть наименьший.
Определение 3. Наименьший положительный период
функции называется основным периодом этой функции.
Пример 1. Докажем, что функция (х) (дробная часть х)
периодична, и найдем ее основной период.
Решение. От прибавления к х целого числа дробная
часть х не меняется. Поэтому любое отличное от нуля целое
Рис 137
233
число является периодом функции |х|. Наименьшим из положи-
тельных целых чисел является 1. Докажем, что число 1 — основ-
ной период функции |х). Для этого достаточно показать, что ни
одно положительное число Т меньшее, чем 1, не может быть
периодом функции Но при х —О имеем ДО=0. a fx-bFj=
=[Г}=Т^-0 (поскольку 0<Г<1). Значит, равенство |xj=
= {х+Г] не выполняется при х=0, и потому Т не является
периодом функции {х}. Это и значит, что основной период
функции {х| равен 1.
Теорема 2. Если Т — основной период функции f, то все
остальные периоды той же функции кратны Т.
Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно провести
доказательство для положительных периодов функции /. Если
Т\ —такой период, то он не может быть меньше Т, так как
Т — иа и меньший из положительных периодов функции [. Но
если Ti>T. то найдется такое натуральное число л, что
nT^.Ti<.(n + 1)Г. Из теоремы I и ее следствия вытекает, что
—пТ, а потому и Г,—лГ—период функции f. Но 0СГ> —
— пТ<.Т, а из сказанного выше следует, что период Г|—пТ
не может быть положительным и меньшим, чем Т. Значит, Т\ —
—пТ={У, т. е. Tt=nT.
Упражнения
505.	Докажите, что сумма, произведение к частное двух функций, имеющих
период Г. обладают тем же периодом.
506.	I) Докажите, чп? если функции I имеет период Т и Dig'll E\f\ то
функция gof имеет тот же период.
7	4
2) Докажите, что если числа — являются периодами функции /, то и
3	5
I
— является ее периодом.
507.	Докажите, что если функции j и g имеют период Т, а *?=/({&. С), то
функция F. где Л	4-Ц-0. имеет период тТ.
508.	Найдите основной период функции:
'>{4)+3{т};	S)	W+3|7.Ut
2)	|ЗхЦ-ЯС5лг].	б)	у{8х| 15x14-1;
31 vT+M	7)	{2х-т}+{^+т}:
1( 2{6х) —|4х|	/	(	“
’ 3|ё7Г+нГГ	V |ЗД-{пж+у} + 4.
509.	Докажите, что нс являются периодически ин функции.
D (VMh 2) к2};	3) w+kv'2).
234
3. Некоторые свойства синуса и косинуса. Поскольку функ-
ции sin t и cos t определены геометрически, их свойства будут
выводиться на основании геометрических соображений.
а)	Функция sin I обращается в нуль лишь при значениях t,
имеющих вид nn, n£Z, а функция cost обращается в нуль
лишь при значениях t, имеющих вид лл-|—у, n£Z.
В самом деле, на координатной окружности есть лишь две
точки, ординаты которых равны нулю,— точки Д(0)=/Ц1; 0) н
С(я)=С(—I; 0). Эти точки соответствуют числам вида 2лп,
n£Z и л + 2лл = .т(2л-Н), Объединяя полученные два
множества чисел, получаем множество (nn'-n^Z} чисел, для ко-
торых sin f=0.
Точно так же на координатной окружности есть лишь две
точки, абсциссы которых равны нулю: точки в(-—) = В(0; I)
и d(~^ = D(0; — I). Они соответствуют числам вида у-+-2лп
и 4r + 2n« = -£~H2rt + 1)л, n£Z. Объединяя эти два мно-
2	2	,	1
жества чисел, получаем множество	чисел, для
которых cos / = 0.
б)	Функции cos t и sin t периодичны. Их основной период
равен 2л.
В самом деле, точки ,М (/), tf(f + 2rt) и P(t—2л) совпадают,
а потому имеют одни и те же координаты. Так как декартовы
координаты точки М (/) равны cos i и sin i и аналогично для
двух других точек, то имеем:
cos (t — 2л)==со$ f = cos (/-4-2л),	(1)
sin (/ — 2л) = sin? = sin (! + 2я).	(2)
Равенства (1), (2) доказывают, что 2л — один из положи-
тельных периодов функций cos t и sin (. Докажем, что у этих
функций нет положительных периодов, меньших, чем 2л. В самом
деле, если бы Г, где 0<Г<2л, было бы периодом для функции
cos /, то яри t = 0 должно было бы выполняться равенство
cos Г=*со$ 0= I. Но на координатной окружности есть лишь
одна точка с абсциссой 1, а именно начало отсчета А (0)=Л (I; 0).
Она соответствует числам вида 2лл, n£Z. Поскольку 0<Г<2л,
то Т нс имеет такого вида и потому равенство cos Т=1 ложно.
Этим доказано, что функция cos t не имеет положительных пе-
риодов, меньших, чем 2л, а потому 2л является основным пе-
риодом этой функции. Доказательство для функции sin / прово-
дится аналогично (надо рассмотреть точку В(—)).
в)	Функция cos t четна, а функция sin / нечетна.
В самом деле, в п. 4 § 1 было отмечено, что точки М (/) я
N(— ^симметричны относительно оси абсцисс. Поэтому абсциссы
235
этих точек равны, а их ординаты отличаются друг от друга
лишь знаком. Это означает, что
cos ( — /)=со$ I,	(3)
sin ( — /)= — sin t.	(4)
г)	При сдвиге на л функции cos t и sin t меняют знаки:
CQS (/+ л)= — cos	{5)
sin (/ +л)= — sin L	(6)
В самом деле, в о. 4 § 1 было доказано, что точки и
У(/4-л) симметричны относительно начала координат О. По-
этому их координаты противоположны по знаку. Это и выра-
жено равенствами (5), (6).
Из утверждений в) и г) получаем:
cos (л — 0= —cos t,	(7)
sin (л—/)=sin L	(8)
В самом деле,
cos (л —() = cos (л+ ( — /))= —cos ( —/)= —cos t,
sin (я — 0 = sin (я+( — 0)= — sin ( —Z)=sin t.
д)	Для любого значения i выполняется равенство
sin- Г-i-cos2t= 1.	(9)
В самом деле, возьмем на координатной окружности любую
точку Л1(7)=М (cos /; sin/). По теореме Пифагора имеем:
МР2±ОР2 = ОМ2. Так как MP2 = sin2t, OP2 —cos21, OM2 = \,
то получаем отсюда равенство (9).
Упражнения
510. Могут ля синус
ссютмггственно:
5	12
—- И   '
13 13 •
н косинус одного я того же аргумента быть равными
О
—	— и —-	— ?
V«?4- б7 уаг4-Тг
511.	Докажите тождества:

2 sin л- cos х — cos х cosx	|
1 — sin x+sin2 x—cos2 x ~ sin x ПРН S'n *
41 (sini+^)’+(
sin x 5^0;
при sin x^fcQ и cos x^tO;
-7 I *”*/ I
eosix”t'sin7x
COS X /

5)	sin1 x-j-cos4 x= 1 — 2 sin3 z cos2 x;
6)	sin0 хЦ-соз* x= | — 3sinz x cos2 x,
7)	sin’ x—cos4 x = I —2 cos2 x=«2 sin2 x — l = sin2 x —cos2 x;
]	2
8)	т---.-^~r~,—:—~------7— при sin x^ 1 H sin X96 — к
1 — sin x I + sin x cos2x
9j sin1 x + sin* x cos2 X4-COS* x= I;
iO)	sin2 x cos’ у + 511? x sin2 у4-cos2 x sin2 у 4- cos’ x cos2 у = I;
11)	sin2 x-J-cos* x sin2^4-cos2 x cos1 y= i;
sin3 x + cos’x .
]2) —:-------------- I — sin x cos x при sin x =#= —cos x;
sin x+cos x
13)	3($in* X 4- cos4 x) — 2 {sin’ x 4 cos’ x)=l.
512.	Замените выражение sin1 x —sin2x+cos2x тождественным ему выражением,
ае содержащим sin х.
5|3. Пусть sin x+cos х=ш. Не вычисляя отдельно sin х н cosx. найдите:
I) sin3 x+cos3 х; 2) sin’x-f-cos’х.
514.	Решите уравнения:
]) cos5x«=0;	2) sin4x=*0;	3) sin
4) cos—-=0;	5) sin^3x4-—у =»0;
6)	«»(8x+y) «=0; 7) sin(y+y)=0;	8) c°s(y+—)=0.
515.	Упростите выражения:
I)	3 sin (я — x)+2 sin (—x)— sin (я+х):
2)	4 cos (л—х)—3cos {—x)+7 cos(n4-x);
3)	5 sin (л — x)4-3cos (— x)— 6 cos (n-f-x)—4 sin (— x);
4)	9 cos (л — 2x)+ 5 cos (я 4- 2x)+ 12 cos x).
516- Какие на следующих функций являются четными или нечетными:
I) sinzx; 2) еов3х-,
4) 3 cos3 х 4-5 sit? х;
6} 2 cos2 х 4-3 sir? х;
3) sin* x;
5) cos’ z+Sir? x;
7) ?sin2x4-co?x4-|
sin’x
517. Найдите период функции:
I) sin 3x4-2 cos 5x;
3) vT+cos 4x;
2} sin 4- Х4-З cos -x+cfts 5x;
.. 2 sin 6x cos 4x
** 3 sin 6x4-cos 4x‘
237
5} sin х — 3 ccs 7. ]л-;	6) -y'sin 8x — cos 5r + 3;
7) 2 sin 4x —3 sin 5x —7 cos^-y+ 3^ :	8) У cos 5.3 z—cos I )xj-4.
51#, Докажите, что следующие функции не являются периодическими:
i) cos Vl^l; 2) sin х2; 3) cos x-t-sip (* y2); 4) cosx3.
519. Вычислите значения:
I) sin 150’;	2) cos2[0°;	3) sin ; 4>sin^ —
S)	6, c«e(-^)+Sinr‘(-^a).
52(1, Докажите, что y'i 4-2 sin r. cos x= |sin * + l:<js x|.
52). Пусть sin ж cos х=-т-. Вычислите j —'n x x I
о	I sin x —cos x I
522. Докажите, что при cosx^t — i
Vi—<OSX_ |5in xl
i-j-cosx- I 4-cos X '
4. Знаки синуса и косинуса н промежутки монотонности.
Точки 4(0) = 4(1,0). в(-0 = 5(0,1), С (л) = С(-1, 0),
£>(ул )=D(0; —1) разбивают координатную окружность на 4
дуги, называемые четвертями этой окружности (рис. 138). При пе-
ремещении точки М (/) от точки 4 до точки В ее абсцисса умень-
шается от 1 до 0, а ордината возрастает от 0 до 1. (Отсюда
вытекает, что на отрезке ^0; -yj функция sin t неотрицательна
и возрастает от 0 до 1, а функция cos/ неотрицательна и
убывает от 1 до 0.
Аналогичным образом убеждаемся, что на отрезке ; л]
функция sin t неотрицательна и убывает
от 1 до 0, а функция cos / неположитель-
Рис. ]38
на н убывает от 0 до — L На отрезке
[л; -у- л обе функции неположительны,
причем функция sin I убывает от 0 до
— 1, а функция cos i возрастает от — I
до 0. Наконец, на отрезке 2nj
функция sin t неположительна, а функ-
ция cos i неотрицательна, причем функ-
ция sin t возрастает от — 1 до 0, а функ-
ция cos I возрастает от 0 до 1.
238
Полученная информация о знаках функций sin t н cos t и об
их промежутках монотонности дана в та б л и це:
Четверть Функциях.	1	И 4-с'С* Л	Ill л^/С-тг-т Zr	IV
sin i	Возрастает от 0 до 1, кеотрнцат.	Убывает от j до 0, нее трицат.	Убывает от о до — 1, нелап ожит.	Возрастает от —1 до 0, нетцможнт.
cos t	Убывает от 1 до 0, неотрицаг.	Убывает от 0 до — ]. непохож нт.	Возрастает от — | до 0. непаложит.	Возрастает от 0 до 1, неогрнцат.
Пример 1. Найдем значение cos I, если sin I = — , при-
J о
з
чем л^^ул.
Решение. Так как sin2 /4-cos51= I, то имеем: ( —4-
4~cos2/ —I, откуда cos2/—, т. е. |cos/|=4r- Поскольку
I оУ	I □
л < / <4- л. то cos /< 0 и потому cos t = — .
Пример 2. Найдем знак выражения .5 sin3 t cos/4-
4-4 sin ( cos2 / при у-л^/<2л.
Решение. Если -у-л С t < 2л, то sin /< 0, cos / > 0. Но тогда
имеем: sin3 i cos /<0, sin t cos2 /^0 и потому 5 sin3/cos/4-
4-4 sin t cos2 /<0.
Пример 3. Докажем, что функция 4 sin3 /4—4-—^Т7
г	r	J	COS Г С05 I
возрастает на промежутке ^0; у-)-
Решение.
тельиа и возрастает, а функция cos / положительна и убывает.
Отсюда следует, что функции 4 sin31, и *• положитель-
ны и возрастают (см. п. 2 § 3 главы III). Поэтому возрастает
и сумма указанных функции, т. е. функция
4  ч j ,	8	. 7 sin /
4 Sin- /4---4----j—.
1 СО5/ 1 COS'’/
На промежутке Гб; функция sin / п сложи -
Q4Q
Упражнения
523.	В какой четверти лежат точив М (I) я каковы знаки sin t и cos f, если t равно:
7	3	5	я
I)	2) — л. 3) — л. 4) —; 5) 2; 6) 4Д 7) |^я; 8) (1674л?
V	1	О	а
524.	В каких четвертях находятся углы;
I) 215°; 2) |72*|«Т; 3) |64°33’: 4| 297°9|';
S> 13 100°; 6) 1.3; 7j 2.345; 8) 4; 9) 1.592.
Ю) 6.5; II) -4743'; |2> -99°|9'35*;
|3) —310°; 14) - |7(Г?
525.	В каких четвертях лежат точки М (t), для которых t равно:
1)	— 1.4л; 2) — 0.674л; 3) -2; 4) -1.415?
526.	Найдите знаки выражений:
,, .7	3
1)	sin — ж evs —
о	4
3)	sin 1.3СО5(—|,5)-sin ( — 1.9).
оч 5	2	7
2) Sin — X COS — я CDS — Ji;
□ о	4
527.	В каких четвертях синус и косинус имеют одннвковые знаки?
528.	Какой четверти принадлежит угол 1, если
I)	sinf=4cas/; 2) sin/=cos3J;
3) cos r=3sinJ t: 4) sin J = cos* z?
529.
Вычислите cosf, если sin i = и t лежит з четвертой четверти.
5
53й. Вычислите sin t, если cos я t лежит р первой четверти.
13
631. Что больше:
I) sin 30° иля sin — ;
3) cos |8° или cos — ;
С/
2) cos иля cos Д;
V	о
4J sin 40° нлн сс» 40”?
532.	Определите величину выражений:
I)	cos0cns 270°;
cos 0°
2)	cos 180е sin [-90°) ”C0S
S)	ял. со, 2 „4-^4—.I—;
Sin -yAj
sin* 45° sin7 30°
41 cos* 30° + cns* 45’ ’
240
533.	Для функции f (х)=4 ctis Зх — 2 sin Л* выч пелите
) • f(l) •/W
534.	Определите знаки разности:
л 2л
1)	sin 23° — sin 36°; 2) cos 37° —cos 18°; 3) cos ——"cvs-<f-
5	5
4) cos 212° —cos 213” ; 5) sin 310° — sm 347е; 6) cos у л—cos — л;
9) cos-Д— sin ; |0) Sin-|-n—cos-^-л;
II ll	J	*
II) sin |6C — cos 375*.
535. Укажите промежутки возрастание и убывания функций:
I) sin — : 2) cos —; 3) sin Зх;
4) СО5 4х; 5} sin^x+y) ; 6) cos^x — у) :
7) 2cos(x-
Ш)	„)	,2>	;
l3>-sin(fc+S) : '*)Vk^4; IS) ^/| si"-i | ;
|6) sin* x+2 sin2 xcos2 x-f-cos4 x.
y) ; 8) cos(y +2^ ; 9) sin?x;
538.	Постройте графики функций:
i) J^1-* -
Vl-W?x
/ 1 ~~5*Г1 x \ / 1 + 5«n * \ /_ /1 —cos X I 1 -bcos x \
\ V I 4-5m X V I —5101 / \ V 14-cos X V 1 — cos x )
5.	Непрерывность синуса н косинуса. Ясно, что прн малой
изменении значения t точка М (/) мало перемещается по коор-
динатной окружности, а потому ее координаты (т. е. cos I и
sin 0 мало изменяются. Это показывает, что функции cos/ и
sin t непрерывны при всех значениях t. Хотя проведенное рас-
суждение н не является строгим математическим доказательст-
вом непрерывности функций cos t и sin /, оно дает указание, как
построить такое доказательство1.
‘ Вообще зри доказательстве ыэтенагтнческнх утверждений обычно сначала
проводят наглядное рассуждение (как говорят, доказывает утверждение нв
пальпак) и лишь потом уточняют это рассуждение.
241
Рис. 139
этому
|cos (f + *)-cos
Теорема I. Функции cos t и sin t не-
прерывны при всех значениях i.
Доказательство. Сначала до-
кажем непрерывность функции cos/. Нам
надо доказать, что при любом значении
/ выполняется равенство lim cos(f-f-ft)=
fr -~0
=cos i. т. e. что функция cos (/4-A) —cos i
бесконечно мала, когда h стремится к
нулю. Из рисунка 139 видно, что
Icos (/4-й) —cos/|—длина катета QM
прямоугольного треугольника QAftf. По-
(1)
В силу теоремы 1 п. 3 § 2 главы [V из (I) следует, что функция
|cos (/4-й) — cos/| бесконечно мала при й-* 0. Тем самым
доказана непрерывность функции cos t при любом значении I.
Непрерывность функции sin / доказывается аналогично.
Из теоремы 1 вытекает, что при любом значении a lim cos / =
t — с
=cosa и lim sin / — sin а. В частности, lim cos / =cos 0 =),
<-*-u	t •<<
lim sin / — sin 0 = 0.
/ —0
Упражнения
537. Вичнслкге следующие пределы:
I)
3)
lim (cos1 f+sin3 0;
JC
cos t sin f-f-1
l,mnToV/+sin4T;
lim (cos* f 4-2 sin* 0;
♦) |inl -T’'+5,
' Я cos i 4-Sin /
538. Найдите точки разрыва и промежутки непрерывности функций:
cos2x
sin Зх
4) х,4-
sin 7j
<os(2x + 4)
cos x4-sin x	j) x2_________
51	6> 7йГьГ+7^Й
6. Синусоида и косинусоида. Мы исследовали свойства три-
гонометрических функций. Построим на основании этого иссле-
дования графики синуса и косинуса.
В силу периодичности синуса достаточно построить график
функции sin х на отрезке [—л; л], а потом продолжить его по
периодичности на всю ось. далее, так как функция sin х нечетна,
достаточно построить ее график на отрезке (0; л} Тогда на
отрезке [ — л; 0] се график получится из построенного с помощью
949
Рнс. 140
симметрии относительно начала координат. Наконец, соотноше-
ние sin (я—x) = sin х показывает, что в точках х и л —г орди-
наты графика функции sin х одинаковы. Но точки х и я — х сим-
метричны относительно точки а потому точки М (х; sin х) и
Лг(л — х\ sin (л — х)) симметричны относительно прямой х = -^-.
Иными словами, график функции sin х симметричен относитель-
но указанной прямой. Это*позволяет ограничиться построением
графика на отрезке |Ъ; -2-J.
Функция sin х непрерывна на отрезке ^0;	и возрастает
на нем от 0 до L Для более точного построения графика этой
функции разделим дугу АВ на 4 части, одновременно деля на
столько же частей отрезок ^0; -2-| (ркс. 140). Проведем через
точки деления дуги прямые, параллельные оси абсцисс, а через
соответствующие точки деления отрезка £<); -у] прямые, парал-
лельные оси ординат. Точки пересечения соответствующих друг
другу прямых лежат на искомом графике. Непрерывная линия,
проходящая через полученные точки, и даст эскиз графика функ-
ции sin х на [О; -J-J. В о. 2 § 4 будет показано, что полу-
ченная кривая образует в точке О (0; 0) угол -у с положитель-
ным направлением оси абсцисс.
243
Применим к полученной линии сначала осевую симметрию
относительно прямой х = у (рис. 141). потом центральную сим-
метрию относительно начала координат и, наконец, продолжая
получившийся график с периодом 2л на всю ось, мы получим гра-
фик функции sin г; его называют синусоидой (рис. 141 — 143).
График функции cos х строится аналогично. В силу периодич-
ности этой функции достаточно построить график на отрезке
[ — л; л} а в силу четности данной функции достаточно построить
график на отрезке [0; л], а потом симметрично отразить получен-
ный график от оси ординат. Наконец, s силу соотношения
cos (л — х)= — cos х достаточно построить график на отрезке
р); -yj и отразить его относительно точки о) .
На отрезке [О; график строится аналогично тому, как
это было сделано при построении синусоиды, с той лишь разни-
цей, что при заданном значении х ордината точки графика равна
абсциссе соответствующей точки координатной окружности.
Этот график (косинусоида) показан на рисунке ]44. Ниже будет
показано, что косинусоида получается из синусоиды с помощью
параллельного переноса на -у влево.
Упражнения
539.	Начертите графики функций:
11 4 sin х; 2) Isinxl: 3) cos Ixl: 41 sinfx—: 51 cosfx— -5-
'	\	3 /	\ J
6)	sin | x—J- | ; 7) [sin 8) {sin xj; 9} 5 cos^x-f- .
244
540.	Изобразите множество таких точек М (х; у), что:
1)	— sin х:	2) ljd=sin|x|;
3) |j|l=a=|cosxl; 4) lyl= I »in| r—y| | .
7. Гармонические колебания и их графики. Тригонометричес-
кие функции используются для описания колебательных про-
цессов. Простейшими из них являются так называемые гармони-
ческие колебания. Пусть по окружности радиуса А движется точка,
имеющая постоянную угловую скорость w. Это значит, что за
единицу времени точка описывает дугу в ш радиан. Тогда за t
единиц эта точка опишет дугу в ш/ радиан.
Будем считать, что центр окружности, по которой движется
точка, находится в начале координат, причем в момент времени
i = 0 точка находилась в положении Л4«(а) и движется в поло-
жительном направлении. Тогда в момент времени t точка пе-
рейдет в положение М (oif-f-a).
Обозначим через V и Р проекции точки М на оси абсцисс и
ординат соответственно. При движении точки М по окружности
эти точки колеблются по отрезкам длиной 2 А с серединой в точ-
ке О. Законы движения точек N и Р имеют соответственно
вид:
х-4 cos	(1)
и
у — A sin ((of-f-a).
(2)
В самом деле, обозначим через Т точку пересечения луча ОМ с
окружностью единичного радиуса, концентрической данной ок-
ружности (рис. 145). Координаты точки Т в момент времени t рав-
ны cos(ro/-f-a) и sin (со/-j-aj, а потому координаты точки М
задаются формулами (I), (2). Это и значит, что точки N и Р со-
вершают колебания по законам (I) и (2). Колебания, подобные
движению точек V и Р, называют
гармоническими колебаниями. Для
определенности сохраним это назва-
ние колебаниями по закону
W
Рнс. 145
М-ос х
а>
Рнс. 146
O4Q
Д sin (<«>/Ч-«) (их называют также синусоидальными колеба-
ниями). Ниже (см. п. 3 § 3) будет доказано, что (1) получается
из (2) заменой а. на a-f- —.
Число Л, задающее размах гармонических колебаний, на-
зывают амплитудой, число ш — угловой частотой (оно показыва-
ет, сколько полных колебании совершает точка за 2л единиц
времени), а число а, показывающее начальное положение точки
на окружности,— начальной фазой.
По синусоидальному закону (2) меняются многие величины —
отклонение качающейся вверх и вниз точки от положения равно-
весия, сила и напряжение переменного тока и т. д.
График гармонического колебания (2) получается нз синусои-
ды (графика sin/) следующим образом. Запишем функцию (2) в
виде A sin ш( * + — ) . Теперь ясно, что нужно выполнить над
синусоидой следующие преобразования:
а)	растяжение от оси абсцисс с коэффициентом Л;
б)	сжатие к оси ординат с коэффициентом <о;
в)	параллельный перенос, отображающий начало координат в
точку	—“) (рис. 146}.
Пример I. Построим график функции 5 sin (2/4—.
Решение. Выполняем последовательно растяжение от оси
абсцисс с коэффициентом 3, сжатие к оси ординат с коэффициен-
том 2 и параллельный перенос на -Д- влево.
Для построения графика гармонического колебания обычно
отыскивают значения, при которых sin + а) обращается в
нуль (точки пересечения графика с осью абсцисс). Деля
пополам полученные отрезки, находят точки экстремума функции
.4 sin (ш/4-а). В этих точках значения функции равны соответ-
ственно А или — А в зависимости от знака функции.
Пример 2. Построим график функции 5 sin (.2/4--у) .
Решение. Функция sin (2,4—у) обращается в нуль, если
2/"4=^-='rtn, n£Z, г. е. если /—-у. При п = 0 имеем:
/ =—у,	при л=1 / = -у,	а ПРИ « = 2 /— -у.
В точке у-— середине отрезка Г— -J-I— эта функция при-
UMbinrvr п п пл rri
 nmuux jljuTvnrix,
s точке — середине отрезка
5л 1
б] “
значение —1 и т. д. Умножив все ординаты на 5, получим
график заданной функции.
Упражнение
Ml. Найдите амплитуду, период и начальную фазу гармонического колебания,
заданного формулой, и постройте график:
I) s=5sin^2/+y ) ;	2) s=y sin л(:
3) s=2.8sinl±l; 4) $=0.3 sin ( 0.2л/+у) ;
5) $ — nsin3/;	6| $=4 sin (2/—3).
8, Тангенс и котангенс число кого аргумента. Определим еще
две функции числового аргумента.
Определение. Частное от деления функции sin t на
функцию cos t называют функцией tg t (тангенсом); частное от
деления функции cos t на функцию sin t называют функцией
etg / (котангенсом).
Таким образом,
Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg I и etg I оп-
ределены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь
для значений аргумента, при которых cos т. е. для значении
I, отличных от	n£Z. Котангенс определен для значений
аргумента, при которых sin ^#=0, т. е. отличных от ли, n£Z.
Пользуясь таблицей на с. 230, получаем следующую таб-
лицу значений функции tg t н etg t:
I	0	л 6	л 4	n 3	д 2	2л 3	Зя 4	5я 6
	0	3	]		He опреде- лена	—7з	-]	I
Ctf? (	Не оп- ределе- на	yr3	1	£ 3	0	у? 3	-i	-V3
и	4 л 6	2	I	-^3
Например, ---------------=-L=l_.
COS -3-	12	v-J
6	2
Докажем следующие свойства функций tg t н etg t:
а) Тангенс и котангенс являются периодическими функциями.
Их основной период равен я.
Б самом деле, если cos ти имеем:
(£ а+л) = $in v+ni. = -5in< = tg t
u costf+л) -cos/ s
247
(1)
и аналогично tg (/ — я) —tg t. Значит, я является одним из перио-
дов функции tg t. Докажем, что л — основной период этой функ-
ции. Для этого заметим, что корнями уравнения 1g / = 0 являются
значения /, при которых sin / = 0, т. е. значения вида ял. n^z.
Если 0<Т<л, то равенство tg7=tgO не может иметь места
и потому Т не является периодом для tg t. Значит, л — основной
период для lg t. Таким же путем доказывается, что л — основной
период для ctg t.
б)	Функции tg t и cig / нечетны. Если cos f =#=. 0, то имеем:
(2)
Значит, функция tg / нечетна. Нечетность ctg I доказывается
аналогично.
Из свойств а) и 6) следует:
tg(jx_f)=-tgf,	(3)
ctg (л —— ctg t.	(4)
В самом деле,
tg (л —Z) = tg (n-H — /)) = tg ( — /)=. —tg t.
Равенство (4) доказывается аналогично.
в)	Функции tg I и ctg t непрерывны для всех значений
аргумента, при которых они определены. Иными словами, tg i
имеет разрывы в точках вида -у-{-лн.	a cig/ — в точках
вида пп, n£Z.
В саном деле, tg t =	, а функции sin / и cos / непрерывны
для всех значений /. Поэтому (см. теорему 2 п. 5 $ 2 главы IV)
функция tg i непрерывна для всех значений t, прн которых
cos /т4 0. Непрерывность функции ctg / для всех значений I, при
которых sin /^0, доказывается аналогично.
г)	На промежутке (О; функция tg Z возрастает от нуля
до + оо. а функция ctg ! убывает от 4- оо до нуля.
В самом деле, на промежутке ^0; у-} функция sin i воз-
растает, а функция cos t убывает, причем обе эти функции
неотрицательны. Поэтому функция tg t = -^-у возрастает на этом
промежутке. При этом tgO=«“~=O, а
lim tg/= lim	+
,4_D
так как
lim sin/ = 1, lim cos/—-f-0.
24$
Утверждение, касающееся функции ctgJ, доказывается анало-
гично.
Из нечетности функций tg ( и ctg t следует, что на проме-
жутке (—-J-: О) обе эти функции отрицательны, причем функ-
ция tg I возрастает от — oq до нуля, а функция ctg t убывает от
нуля до —со. Поведение этих функций на промежутках
("Г* я) и(л; Vя) следУет нз их периодичности.
д)	Установим некоторые тождества, связывающие функции
sin t, cos t, tg /, ctg t. В тех случаях, когда входящие в тождество
функции определены не для всех значений t, будем Считать, что
тождество имеет место для всех значений t, при которых определе-
ны обе его части.
Первое тождество следует из равенств:
Перемножая их, получаем:
tg/-ctg/=l.	(5)
Это тождество имеет место, если определены и tg /, и ctg /. т. е.
если t не имеет вида , n£Z.
Другое тождество получается, если разделить обе части
равенства
sin2 /Ц-cos2 / = ]	(6)
на cos2 / и принять во внимание, что	, = tg2 /:
‘+^'=7^7-	<7>
Оно имеет место, если cos т. е. если
-Ц-лл, n{Z.
Деля обе части равенства (6) на sin2 I, получаем:
Это равенство имеет место, если sin /=#=0, т. е. если t=^nn, n^Z.
С помощью соотношений (5), (6), (7), (8) можно, зная зна-
чение одной из функций sin /, cos /. tg /, ctg /, находить значения
остальных трех функций, если, кроме того, известны знаки
ИСКОМЫХ ЗпаЧсНип.
Пример 1. Найдите значения sin t, cos /. tg i, если ctg t =
= ~T и т</<л-
Решение. Поскольку -y-<J<n. то sin/>-0, cos ?<о
Из формулы (5} получаем: tg t = -^—= — 4--По формулам (7)
J	о
“Т
и (8) находим, учитывая, что при у-<7<л имеем cos/<0,
sin />0t
Упражнения
542.	Определите величину выражений:
И eatgJ-y + h,<:lg*T ’ 2) °2ctR2 т+Z>J ctg2 т •
3)	<x2tg2O+fe2tg’4+c’tg2T’
о	я
3	3
4)	а соз л	cos у л — с sin л ctg у л+ <fsin л tg 1.3л;
5)	sin1 л — cos2 (— 26,7 л) tg n; 6) a1 ctg4 ~-+^2 *£2 л
543.	Какие тригонометрические функции могут принимать значения:
1)	y(fl+4') ’ ГАе о>0; 2) т(а*+2 + jr) • где °>0;
3)	 ° 7-^- . где а>0. &>0. а=^Ь-.
2 yQb гДе а>0, 5>0, й=£Ь?
' а + Ь
544.	Докажите тождества:
I)	sin хctg x«cos х; 2) cos xigx~sin х;
3)	Cig2 X (I — COS2 X) » cos2 x;
4)	tg2x(|— sin2 x)™ sin2 x;
5)	(1 - cos2 x) (I 4- tg3 x)=^ ig* x;
6)	sin* x ctg2 x 4- sin* x = I;
?) (l + ig2/){]-sin2/)=l;
8) «X* lg4=i:
9) -J----- sin x tg x=cos x:
oosx	b
2
im l..*w V	JL/..+ .V и J_ n*---
, ., 4in2jr.
in	'g7^ H-cig2* ,
111	----‘Г’-
2«]
]2) (1 —sin Л4-cos 47=2(1 —sin 4)(| 4-cos 4):
13) sin Л il+tgJ) + co&4(|
(4) (sin a cos b+cos a sin 6)* 4. (cos a cos 6 — sin a sin bf = I;
|5) ---——7T-—^4— tg’6=1;
cos a cos b cos b
161 lg? a tg-' b 4- igl o 4- —t——-y——y-r- •
' Ь Б "Г Б COS^ £ C<JSZ a cy5? fy
545. Чену равны cos x и sin x. если
1r =	. p>0, ?>0 н 0O<4?
P Я	*
-ЛА r.	5 sin X 4-7 cosx	4
л4п. Чему паяно —--------—:--. если tgx = — >
71	6 cos x-3 sui x	15
547.	Вычислите sin x. cos x и tgx. если
clgx= — 2 н -у<х<л-
54$. Вычислите $in x, Igz и cig x. если
3	--	3
COS X = — у H n<!<yn.
549.	Вычислите cosx. tg x и cig x, если
7	3
SJrtX=—= к -^-л<х<2л.
550.	Упростите выражения:
]) lg‘x—-sin2 x—lg2xsin2x;
2)	dg2 x —cos2 x—clg’x cos2 x:
caste	, sin a
3)	tg a 4- -г——;;	4) etg a 4- ----
*	14-sin a ' 6	14-cos a
551.	Выведите формулы, выражающие нее тригонометрические функции через:
а) sii) х. б) cos х; а) tg х; г) c(g х.
552.	Покажите, что постоянна функции
(a sin x-J-Ь со* +(fr sin х — u cos х/.
553.	Докажите, что:
I)	|tga4-ctg<э|>2: 2) tg2a4-dg2о>2;
sinx4-tgx sin7 x4-tg7 х
(—+clgxV	-4—i-clffzx
\ stn X / sin2 X K
!sinx4-cosxr-i _2 ,z.
etg x —sin xcos x Б
5)	5inJ x{] 4-cig x)4-cos3 x (I 4-tg x)=sin X4-COS x;
251
6)
lgdX__________I
sin2 x sin z cos x
«•’tg* *
cos' X
= tRaX4-Ctg1x;
7) (
Sin q-fr-ctg a
l+sin a tg a
У “Ctg2
a.
554.	Даиа: tga+clgcc=nz Найдите:
I)	tg2a + ctgJa; 2) tgJ a + ctgd a; 3) tg’a + ctg* a.
555. Пусть tg x = -£-
Вычнелнте выражения:
I) sin4 x4.cos' x,
3) sin0 x + cos*x’
2 sinJ x-|-cos1 x+3 sin x
5 ял x—2 cos x
4] siTI* x+cq5< *
sin0 x4-cos4 x ’
556. Определите знак разности:
I) ctg 153’-cig 154й;
3> lg(41n)-tg(41n);
5) ig-^-cIgy;
2) lg 3|9J — tg 327<1;
” с1к(7Пл)-с1й(9^я);
в) tgi-ctgf.
557. Разбейте промежуток (0; л) па
монотонного убывания функций:
промежутки монотонного возрастания и
1)^.2)^. 3)	4) -L^.
558.	Укажите промежутки монотонного возрастания н монотонного убывания
функции ig4 X-
559.	Вычислите пределы:
il |im (2tgx—3tg2x);
л
'""б
2) lim ^4sinx — tfi-y
x’* 1
3> iOT,TH?T;
cig3 X
I +cig’ X
560.	Найдите точки разрыва функций:
1)	clgx + 1B2x; 2)	; 3) . А5* , ;
i+siirx 31ГГх4-СО5<Х
4) <:igx+c(g2x + ctg3x; 5) 2 tg у + tg у ; 6) 3 cig j + 4 ctg у .
9. Тангенсоида и котангенсоида. Поскольку функция tg к
имеет период л и нечетна, достаточно построить ее график
на промежутке [О; -у) • После этого симметрично отражаем
этот график относительно начала координат, а потом сдвигаем
йгл мя гтп пС 7 оси абс”исс.
Для построения графика функции tgx на промежутке^; -J-)
проведем касательную к координатной окружности в точке А (0).
252
Тогда для любого хб|^0; -уу значение tgx равно длине отрезка
АТ, где Т — точка пересечения этой касательной с лучом ОМ,
М=М (х). В самом деле, обозначим через Р основание перпенди-
куляра. опущенного из точки М на ось абсцисс. Тогда в силу по-
добия треугольников МОР и ТО А имеем:
tg х
sin х _ MP AT , ~
cos к OP	О A
Разделим на 4 части дугу АВ и отрезок р; -J-J (рис. 147, а) и
проведем через точки деления дуги лучи, исходящие из центра
окружности, а через точки пересечения этих лучей с касательной
АТ — прямые, параллельные оси абсцисс. После этого нз точек де-
ления отрезка |~0; JLj проведем прямые,
параллельные оси ординат. Точки пере-
сечения соответствующих прямых и бу-
дут лежать на графике функции tgx
(рис. 147,6). Проведем через найденные
точки линию, безгранично поднимающую-
ся вверх по мере приближения к верти-
кальной прямой * = (рис. 148).
После этого сделаем центральную сим-
метрию относительно начала координат
(рис. 149) и параллельные переносы вдоль
оси абсцисс на лп, n^Z. Получим гра-
фик функции tgx (тангенсоиду) (рис.
150, а).
2»
График функции etg jt (котангенсоида) строится аналогично.
Он изображен на рисунке 150,6.
Упражнения
561. Начертите график функции:
I) tg2x; 2) ctg3x; 3) lg-i; 4) V
*г	Л
5) 2clg3x; 6) 4-Ctg(x—-г- ) ;	7} Itgxl;
8j igdxl); 9} Jtg(|i|)|; Ю) etg | x-y| ;
Тс1р(2х + т) :	>2Hlgxt 13) |tgx|;
otu
H) Kr24
562. Изобразите множество точен Л< (х; у) таких, что:
I) lyl=tgx; 2) lyl=«B 1x1; 3) lyl = |lgx|;4) Iy| = |lglxl1.
Объясните, почему в 2). 3). 4) получились одинаковые графики. Всегда
ни множества, где 1</|=/(|х|), lyl=l/(x)i и 1у1 = 1/(1х|)|, совладают?
§ 3. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ и ИХ СЛЕДСТВИЯ
I. Косинус и синус разности и суммы двух чисел. В этом
пункте мы выведем формулы, выражающие косинусы и синусы
чисел t — s и f-H через косинусы н синусы чисел t и $. Для этого
возьмем на координатной окружности точки Л (OX М (/), Л'($) и
Р(1 — .$). Так как 1(7 — s) — 01 = 1t — s|, то дуги АР и ТИ/V равны
(см. п. 4 § 1), а потому MN=AP. Но
Л = 4(1; 0). М =М (cos I, sen /), N = N (cos s, sins),
P = P (cos (/ — s), sin (/ —s)).
Применяя формулу для длины отрезка на координатной
плоскости, получаем:
4Р2=(со$ (/ — <?)— l)24sin2(Z —s)=
»cos'2 (t— $)— 2 cos (t — s)-|-1 4 sin2 (/ — $)=
= 2 — 2 cos (f — s)
и
ALV2 = (cos t — cos s)2 -|- (sin t — sin s)2 =
= cos ’ f — 2 cos / cos 5 4 cos2 s 4- sin21 — 2 sin t sin s 4- sin2 s =
—(cos2 / Н-sin2 /)4-(cos2 s+sinz $)—
— 2 (cos t cos s4-sin t sin s) =
—2 —2 (cos t cos s4sin l sin s).
Следовательно, имеет место равенство
2 — 2 cos (t — s)=2 — 2 (cos / cos $4-sin / sin s).
Из него следует:
cos (Z — s) = cos I cos $4 sin t sin s.	(I)
Итак, мы доказали, что для любых i и s верно равенство (1).
Если заменить в равенстве (I) s на —$ н принять во внимание
четность косинуса и нечетность синуса, то получим:
cos (/—(— s))=cos / cos (— s) 4 sin / sin (— $)=
= cos / cos s — sin t sin s.
Итак,
cos (/ 4 s)=cos ! cos s — sin t sin s.	(2)
Отметим частные случаи полученных формул. Полагая в (1)
получаем:	’
(л \	я	, - л .
— — S 1 =COS —COS s4sin -J-Sin S = Sin S.
25S
Значит,
COS0- — s) —sin s.	(3)
Заменяя в формуле (3) $ на ~- — s, выводим, что
sin(-y —s) = cos s.	(4)
Таким же образом из формулы (2) получаем:
cos(-~--|-s) = — sin 5.	(5)
Далее,
sin(y+s) = — C0S(v^T^s) = —cos (*-H)=cos s,
т. e.
sin (-5--H) = cos s.	(6)
Выведем теперь формулы, выражающие синусы чисел /-ps
и t — s. Имеем:
sin (t-p$)=cos( —/—s	cos(^A— t) cos s_|_
4- sin	sin s-=sin t cos s-|-cos t sin $.
Итак,
sin (f-f-s)=sin L cos s-f-cos t sin s.	(7)
Заменяя в этой формуле s на — s, получаем:
sin (/ — s) = sin t cos s — cos t sin $.	(8)
Пример. Вычислим cos л н sin -^л.
Решение. Так как Д-л—то
IL О 4
cos^n»coS(^-+i)=CoSfcos^-sinfsini-
_з£.	-L. v'V.v2 
2 2	2 2	2
$in — z=Rin ^— 4 —) — sin — cos — 4-cos	sin -r-=
'	]'2	\t>r4/	0	4 1 о ♦
I V2 ,	__ y'g-Ь v’6
г ' 2	2 * 2	2
4K£.
Упражнения
563- Вычислите:
I j 72 ; 2) 5in T2
3) sin
4)
7
COS -77- Л.
b
564.	Дано. ЧТО
7
25’
sin<=~T. причем
rj I
числите:
I) sin |x4-0; 2) sinix — ?); 3) cos(x-H); 4}
cOs{X — 1).
„	8	20	.	3
565.	Дало: cos x =	. sm у = — . л < x <—	«.
IJ sm(x2) sin (x — y}; 3) cas(x+-y); 4) cos(x -y).
Вычислите:
566.	Дано: sinx = 7^. cos-4-, sin а =тт. причем
13	о	2o	2	2
jr-. Вычислите sin (x—H «).
567.	Упростите яырзжгкни:
Ь
2)
COS (а-т-р) ros (a - P)-4-jin (a + Sill (« — PX
sin fre-i- pi cos ia— fj'i-r-sin |a ₽j cos (a-rpX
3)
COS
4)
6)
sin (a 4- pi - cos « sin p
cos ia —pi —sin a sin p
COS :a 4- pi 4-sin « sin P ,
cos ia -i- P>—cos a cos p
568. Докажите тождества:
5)
7)
2 sin a £03 p-r Sin <p —a)
cos (a - P}--2 sin a sin p
cos (a — Pi — cos a cos p
cos (q —p)—sin a sii) p
а
2
Л
F Bu
I) sin (ач-45°1
~ (cos a -+- sin
2)
cos a cos ₽
3) cos (a 4- Pi COS (a — p) = cos‘ a— sin* p =
= cos* p —sin2 a:
4) cosia+pj+sin(a —pi = (cos a-i-siiiaJX
X(cos p—sin ₽);
5)
cos 2х cos к 4- sin 2х sin х = cos х:
6)
sin (p - Y)	Sin |y—ctl	sin (К—P) = 0
cos p cos у	cos y cos a	cos a cos p
sin
?!
sin
zvtv=,ri;
81
cos1 a 4- cos4 p — cos [a 4- p) cos (a — P) = I.
А-ТГ*<р» п матиППЛКЧ"»	257
9
ЯИ>. Луч света проходит через стеклянную пластинку толщиной d. Определите,
каково параллельное смешение этого луча, если угол падения равен а. а по-
казатель преломления стекля раней п (рис. 15)).
2. Тангенс и котангенс суммы и разности. Из полученных в
п. ) формул следует, что прн cos(/4-s)#^0 (т. е. при
ле/)
taff-Ls'l 51п(/ч-$) Sin Г COS $-i-COS Г sills
	'	— cos(/4-$) cos t cos s -sill t sin 5
(O
Предположим, что, кроме того, cos/^O и cos s#=0 (т. e. что
ни t, ни s не имеют вида -у 4-ям, n£Z). Тогда числитель к
знаменатель дроби в (1) можно разделить на cos / cos $. Полу-
чаем:
	sin / . sin s tg	д tgr-btgr 1 gin f -5'11 5	1—tgttgs" COS I COS 5
Итак,	
Заменяя	в формуле (2) s на — s и учитывая нечетность
тангенса, получаем отсюда:
цц_5)в lgf-<gs ё	J	14-tgZtgj • Аналогично устанавливаются формулы: Ctg(/4-ri= clgfctgs-|_ cig?+ctgs ’ •	etg 5 -etg t	(3) (4) (5)
Пример. Вычислим tg -р.
Решение. По формуле (2) имеем:
*тН(т+т)
j±f=2 + V3.
3 — уЗ

1 3
Упражнения
570. Вычислите:
I) rg]5": 2) etg |5“: 3) etg^: 4) tgln.- 5) л.
258
S7|. Дано. tgx=l,2> tg^=O,7. Вычислите:
И tfi(x-i-y); 2} tg{x — y); 3) cig (x 4. у); 4) ctg(x-ff).
4	5 „
672. Дано: ctgx=—, cgy=-^-. Вычислите:
1) ig{x + i/): 2) tg(x-y); 3} ctg(x4-y); 4) ctg(x.-y).
2	4
573. Дано: dga=-y. etg P®-. etg у = J. Вычислите etg (a4-04-?)
674- Вычислите:
1g 24°-Mg 21"
I —tg 24° ig 2|e ’
n 1
л , 4n
575.	Докажите тождества:
, /л \ l+tax . ( л X etg x 4-1
'> |Цт+х) = гЛ|7; 2’ d<T-Jf)-uh^T
3)	 -------7---c-=2 51П a cos a;
lg(’+a)+lR(^_I)
4)	tgatg fi4-(iga + tgP)ctR((X4-^=l;
tg r, 4-ig_£ __t_g_* ~1g P. д _ 2 tg a tg p.
• tfi(a + H	tg(a—₽)	g K₽
576.	Упростите выражения:
I.	igfr-fl-HgP .
* I —Ig (a— ₽)tg P '
tg4x —Ig3x .
’ I4-Ig4xig3x’
etg (a+0) cig a4-I
etg a -ctgia+Ю
cig 6x etg 9x4-1
ctg6x-ctg9x
577.	Найдите тангенс угла', под которым пересекаются графики функций:
3
 М2н^;	2)^-^ их2;
3) Чх1 -5x4-6 н x2.-x4-3;	4) х1 и у.
3. Формулы при веде ня я. Мы вывели выше формулы для
sin (л —О, cos (л — 0» tg(n — /), etg (л —О,
c°s(-r+0 • cos(v_ 0 • sin(-r+0  sin(f“0 
Сейчас будут доказаны другие аналогичные формулы.
1 Углом между кривыми называют угол между касательными к ним, при-
веденными а точке пересечения кривых.
259
Если положить в формуле (2) п. 1 $ = у-л, то получим:
(ч \ з	3
л-|-г) = cos — л cos t — sin -Jr-л sin t--=.
®0-cos I “ (— 1) sin f —sin t.
T. c.
cos(4n-f-/)=sin t	(1)
Таким же образом выводится:
sin (у л + r) = — cos t,	(2}
Чтл+')=-И------------<3>
сов^уЛ-Н)
,	COS ( -£ 4- / )
. ;,г	=^r=-tg'	(«*
Эти и аналогичные им формулы называют формулами приве-
дения, так как они позволяют свести вычисление значений триго-
нометрических функций к вычислению значений этих функций
на отрезке р); yj . В самом деле, из периодичности тригономет-
рических функций вытекает, что достаточно ограничиться знанием
значений sin t и cos / ла отрезке [—л; л). Далее, в силу нечет-
ности sin I и четности cos t достаточно знать значение этих
функций на отрезке [0; я} Наконец, из того, что sin {« — /) =
— sin i и cos (я—<)=—cos t, следует возможность ограничиться
знанием этих функций на отрезке [(к -у] . Заметим еще, что
значения синуса и косинуса связаны соотношением sin (у—t'j —
=cos t. Поэтому, имея таблицу обеих функций на отрезке
р); yj . можно найти их значения на р); у] , а потом, как было
показано выше, на всей числовой прямой. Аналогично по зна-
чениям функций tg t и ctg t на промежутке (0; yj и равенст-
ву tg 0 = 0 можно найти значения этих функций для всех зна-
чений t.
Обилие формул приведения затрудняет их запоминание. Поэ-
тому полезно следую шее мнемоническое правило:
О Н Д' Л <1 /1 Л □ 9 Г # zi иг i »? П4< А Л О 4 Л Л Т<’Л 4Л /1 •» A«J «-w •• л • •	/хгт л л лх».
*- Г	ГК	WU11U/ 1*С Л СЛ О1
этих чисел (откладывается от горизонтального диаметра), то
название тригонометрической функции не меняется.
260
б) Если аргумент t прибавляется
к или -|-л или вычитается от этих
чисел (откладывается от вертикального
диаметра), то название функции ме-
няется (синус на косинус и обратно,
тангенс на котангенс и обратно).
8) Считая, что	опреде-
ляем, в какой четверти находится ар-
гумент, и в соответствии, с этим бе-
рем знак перед тригонометрической
функцией от I.
Пример I. Преобразовать выражения:
a) sin(-|-n—*, б) cos(л-1-f).
Решение, а) Так как г откладывается от вертикального
диаметра, меняем название функции sin на cos. Если 0<7<
<-7-, то -£-л —/ лежит в третьей четверти, а в этой четверти синус
2	*	/ 3	\
отрицателен. Поэтому sin (-у-л— И =—cos t
б) Так как t откладывается от горизонтального диаметра,
название функции сохраняется. Если	то л-Н лежит
в третьей четверти, где косинус отрицателен. Поэтому cos (я-Н)=
= — cos f.
Заметим, что в п. 3 § 2 некоторые из формул приведения были выведены с
помощью геометрических рассуждений, основанных на симметрии. Таким же путем
можно получить все формулы приведения. Например, равенства sin (у—1^ =

= COS f н cos
(т-')=
sin 1 вытекают из того, что точки М (Л и Аг
симметричны относительно прямой у*х, а прн симметрии относительно этой
прямой точив М (х. у) переходит в точку N (у. х) (рис. £52).
Упражнения
Б78. Докажите геометрически все формулы приведения.
579. Вычислите значения:
1} cos 310е;
5} sinf б-^- п
\ о
2} sin 840°;	3) tg(-765е):	4) ctg 1140е;
6) cos ( у п) ; 7)	8) ctg( -yn).
*>fil
580. Упростите выражения:
. 13	. 25
|-С*8~лс1г-л
581. Докажите тождества:
4.	Тригонометрические функции двойного и тройного аргу-
мента. Если положить в формулах (2) и (7) п. 1, а также (2) и
(4) п. 2 s —Л то получим формулы, выражающие тригонометри-
ческие функции аргумента 2/ через тригонометрические функции
аргумента t:
sin 2? = 2 sin t cos t.	(1)
cos 2f = cos2 sin2t,	(2)
	(3)
	(4)
Формулу для cos 2/ можно записать иначе, принимая во внима-
ние тождество sin21 -f-cos2 t = l. Именно
cos 2/= 2 cos2 7—I = I—2 sin2/.	(5)
Из зтих формул следует:
cos8 r- . sin8 *=	.	(6)

Тригонометрические функции от аргумента 2/ можно выразить
через tg t. Для этого заметим:
sin 21 = 2 sin t cos f =——-5—
$in‘ /4-cos-1
Если cos то можно разделить на cos21 числитель и знаме-
натель. Учитывая, что -у— =tgC получаем:
Sin2/=H^7-	<7)
Таким же образом из равенства cos 2/—cos21 — sin2 i вы-
водим:
<8’
(и эта формула верна лишь при условии, что cosf^O, т. е.
что /^~4-дл, n£Z).
Наконец, отметим, что ctg2f —т-у- и потому
К*
ctg 2/^	(9>
при Z-A-y , n£Z.
Выведем теперь формулы для cos 3f и sin 3/. Мы имеем:
sin 3/=$in (2f + <j = sin 2i cos /4-cos 2t sin t =
= 2 sin / cos21 -f- (1 — 2 sin31) sin t
= sjii t (2 cos2 / — 2 sin* / -fl).
Ho 2 cos2 r = 2 —2 sin2 /, и потому
sin 3f = sin i (3 — 4 sin2t).	(.10)
Таким же образом устанавливается формула
cos 3f = cos t (4 cos2 i — 3).	(11)
Упражнения
582.	Дано: sin x =0,96 н 0<x<~. Вычислите sin 2x, cos2*. tg2x.
583.	Дано: cosx= —и sin x>0. Вычислите sin 2x. cos2x. tg 2x.
584.	Дано: tRx=— 2. Вычислите tg 2x.
585.	Докажите, -ста sin 2x<2sin x, если 0<x<y.
686. Найдите sin 4x. cos 4x и tg 4.t. если ctg x=2.
]	, I
587. Найдите tg(4x—yj. если !gx = —. tg^^-

588. Докажите тождества:
I) l4-siri2x = 2cos2(y-xj
cos 2a cos a —sin a
! 4-sin 2a cos a,+sin <x
2) I —sin 2x=2 sin2^y —x
4) sin 15° cos 15° «у;
5)
I —cos a 4- cos 2a
--;—т--:---= ct g a;
Sin 2a—мп a -
7)
tg 2a —(g a
tg « .
cos 2a ’
6} (g 55° —tg 35’ = 2 Ig 20е;
8) etRa-ctg2a = -^..
9> ,K'fc*)z:
10) cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°	.
589.
Выразите функцию a sin x-+b cos x
через tg у.
Для всех лн х годится это выражение?
гоп	а	а sin х f i cos х	x t
j90. Выразите функцию -у -у '	через tg-±-. Для каких значений х
u □•II Л “у- U IVj -С	z
годится это выражение?
591. Упростите выражения:
11	1+sin2*
(sin x-bcos x?" ’
4) 1 —8 sin2 a COS2 a;
1 —1:(>5 2*4-sin 2x
’ I 4-cos 2x4-sin 2x ’
2i I — 2 sin2 -1;	3) 2 cos3 4- — 1;
в	t»
5) 2M.«a-a»2«:	6) ?yy-,!"gf.
2 sin х/4-sin 2y
8)	4 ***«4-3
cos2 2a-b4 cos2 a — I ’
592. Докажите тождества:
H -Д-------ctg2x=tg2x;
sin 4x	*
sin 4x cos 2x
3) т------:—1-------
l4-cos4x l-f-cos2x
2)
cos3 x—cos 3x
"sir? x 4- sin 3x
= lg'i
4) cos 4x-f-4 cos 2x=8 cos* x—3;
sin 3x cos 3x
□ i . ——--------— 1;
sin x cos x
7) sin 4x4-co$ 4xctg 2x =
6) sin 3x=4 sin x sin
l-tg\x
2tgx
(-т+О^Чт-')’
593. Представьте и виде произведения тригонометрических функций:
I) sin х4-cos 2х-|-sin 3x4-008 4х; 2) cos х-{-sin 2x4-cos 3x4-sin 4х;
3) sin Зх—sin 2xcosx; 4) cos л -sin x sin 2x:
5) 1 4-cos x4-sin *4-tg x; 6) tg л-Hg 2x—tg 3x;
7) >‘1 4-cos x4-VI ~co$x, если 0<x<y.
5. Тригонометрические функция половинного аргумента. Поло-
жим в формулах (6) п. 4 t=-~. Получаем:
cos^=J+p«..
Отсюда следуют равенства:
1-т1=лЯ^’	")
<2>
Почленно деля равенство (2) на (I), выводим:
<з>
Поэтому
«>
Из формул (I) — (4) можно найти только модули тригоно-
метрических функций аргумента -у. Чтобы найти сами функции,
надо знать их знаки. Для этого, например, достаточно знать
четверть, в которой лежит —.
Пример. Вычислим sin . cos и tg если cos $—4-
и л<$С2л.
Решение. Так как л<$<2л, то	и потому у
лежит во второй четверти. Но тогда sin-|->0» cos-j-<0,
tg-j-CO. Из формул (I), (2), (3) находим:
sin i°
tgT=-V-^T-=-T-
Выведем выражения для tg-|- и ctg — через sin $ и cos s, не
требующие извлечений корней. Для этого умножим числитель
2Е5
и знаменатель правой части формулы (g -----------— на 2 cos — :
2 sin — cos —
tg V=---------—:---• Так как 2 sin 4" cos -“«sin $ и 2 cos2-£-=
Z	_ у -S’	Z	x	Z
2 cos7 —
2
= I 4-cos $, то получаем:
S sin $	r-.
g 2 ~ 14-coss '	<5)
Таким же образом, умножая числитель и знаменатель того же
равенства на 2 sin -у, выводим:
tg-£-=±=£~£.	(6)
° 2 sin s	4 f
Отсюда вытекают равенства:
Cig ч*** = , Sin	z7,
2 sins I -COS 5 ‘
Предоставляем читателю определить, при каких значениях $
эти равенства теряют силу.
Упражнения
SW. Найдите sin у, cos у и tg у , если:
I) а=Ж; 2) a=~f • 3) eos а = 0.6 и 0<а<у ;
3	3
4) tga—Зу и я<а<ул;
5) sina=—— и 450” < а <540*.
625
59Б. Найдите sin IS*, cos t8*. sin |2“, ros 12*. sin 6° и cos 6°.
5<J6. Упростите выражения:
I)	1 + crc -1..;	2) <1 + LOS flx; 3) 25in2-y + CO.4rE;
’	2.	л/
sin2a ' V sinu+«)+i
S97. Докажите тождества:	' 2	'
I) I 4-sin a2cos*у-—;	2) I •—sin a = 2 sin^ у-y
9КЛ
a . a
cos — — sin —
3) ----------4)
a. . a cos a	z i
COS y-i-sin -y
б, Преобразование суммы тригонометрических функций в
произведение и произведения этих функций в сумму. Складывая
почленно формулы
sin (/-|-s) = sin t cos s + cos t sin s	(1)
и
sin (/— s)=sin i cos —cos l sin $,	(2)
получаем:
sin {t 4-s) 4-sin (f — s) = ‘2 sin I cos s
и потому
sin t cos $=-J-(sin (t y)sin (/ —s)).	(3)
Cr
С помощью этой формулы можно заменить произведение sin t cos t
полусуммой тригонометрических функций от /4-$ и 1—S. В таком
виде формула удобна при os. Если f<s, удобнее записать
ее в виде
sin / cos	(sin {/4-s) —sin ($ — /)).	(4)
Предоставляем читателю получить из формул
cos (/4-s) —cos t cos s—sin t sin s
и
cos {/ — $)=cos t cos $ -f- sin t sin 5
равенства
cos I cos s=-£-(cos (/-|-s)4-cos ($—/))	(5)
и
sin t sin s=-~ (cos (/—$) —cos (^4-s))-	(6)
Полученные выше формулы (3), (4), (5), (6) годятся не
только для того, чтобы преобразовать произведения синусов и
косинусов в сумму или разность функций от г4-$ и t — s. но и
для обратной операции — преобразования суммы или разности
двух тригонометрических функций в произведение функций иных
аргументов. Для этого удобно положить /4-5 = и, / —$ = и.
Тогда имеем: t = s = ~^. и потому из формулы (3)
следует:
sin и 4- sin v = 2 sip cos 	(7)
ь	А

Аналогично из формул (4), (5), (б) выводим равенства:
sin « — sin v = 2 sin	cos	,	(8}
cos и4-cos v = 2 cos cos ,	(9)
cos u — cos и = '2 sin	sin	.	(10)
Пример I. Вычислим значение cos 75° 4-cos 154.
Решение. По формуле (9) имеем:
cos 75°4-cos 15° =2 cos — cos 7УT|V =
= 2 cos 45° cos 30° =2.^.-^ = ^.
К приведенным выше формулам примыкает формула для
tg«4-tgo. Мы имеем:
(р и । ।с- v — 51П “ । si» и _ sin « cos v Ч-cos и si» v
&	& COS и COS V	cos и. cos V
Но числитель полученной дроби равен sin (и -|- v). Значит.

sin 1а4-у)
cos и cos У
НО
Эта формула справедлива, если определены функции cos «
и cos t1. т. е. если ни и, ни и не имеют вида -y-f-nji, n^Z.
Аналогично выводятся формулы:
Пример
tg U— tg 0 =	sin (u—v) cos и cos v ’	(12)
ctg «4-ctg v  ctg и — ctg	sin (ц -f- uj — sin и sin v * _ sin (y —u)	(13) (14)
	sin и sin у	
2. Докажем, что если «4-^-|-^ — л, то		
tg «4-tg c/4-tg	= tg U tg V tg w.	
Доказательство. Мы имеем:
tg« + tg p4-tg W=lg и + tg »+tg (л—(«4-«))=
= tgu + tg»-tg fa+a) - ^-1“-+.^ -	=
&	V	COS U COS У CO$ {u + o)
__sin (Ц + t>) (cos I « 4- C; —cos U COS O)_
cos и cos и coa (« 4- v)
= _	= - tg (« + ») tg a tg » =
cos u.i cos и cos о	ft к • / e» »
— tg U tg V tg W.
9ЛЯ
Упражнения
598. Представьте в виде суммы тригонометрических функций:
I) 2 sin 15* cos |0e;	2) cos х cos (х + 1);
3) 4 sin 25е cos 15" sin 5*;	4) 8 cos !“ cos 2“ cos Г cos 8й.
599. Вычислите sin 10° sin 50° sin 70".
$00. Докажите, чп» значение выражения
cos*' у 4- cos* (х 4- у) — 2 cos к cos у cos {ж 4- у)
не зависит от у.
Ь0|. Представьте в виде произведения или отношения произведений:
I) cos 46“4-cos 34°;
4) sin 41 "4 sin 19й;
fl  ft к	Л
') sin-j^4-cos ;
10) cos 2x —cos 8x;
13) tg^-tg^;
161
18)
20)
22)
2) cos 16° -cos 12°;
5) cos 40"-sin 45";
Л. . Л	Л
8) s,n10 _tO4T2 :
11) sin1 x - sin2 y;
sin 65’4-sin 15°
sin 65°—sin 15*
3) sin 71 ° — sin 38°;
6) sin 41"-cos 62й;
9) sin 6x4-sin 2x;
sin x4-s‘n 2x4-sin Зх+sin 4x;
sin24"4-sin )6* + *m 40";
sin x 4- sin 2x-f-sin 3ur;
cos 2x - sin x—sin 5x;
12) sin x—cosy;
... sin 9a -—sin За
sin 9a 4- sin 3a
17) cos x 4- cos 2x 4- cos 3x 4- cos 4x;
19) sin 23d 4-sin 57’4-sin 40";
o, 4- 8
21) sin a4-sin 04-sin——•
23) sin(~g4*x) 4-sin^-xj—cosx;
24) bin у — sin у x4-cos x; 25) sin (5x4-y)4-sin (3x4-y)4-sin 2x;
26)
28)
cos (x 4- y) 4- cos (x - yj 4- cos x;
27} sin x4-cos 2x —sin 3x;
4-	sin 4x.
602. Представьте в виде произведений или отношений произведений:
I)	i/tR~a-|-5ha4-y'tga—sina, 0Са<у-; 2) 2 4-tg х 4-ctg х*.
j
3)	I 4-cos 2a;	4) I — cos 2a;	5) I Ц-tos у a;
6)	I —cos у a;	7) I 4-sin 5a;	8) I —sin 5a;
9)	14-cos 80’;	10) 1 -sin 80’; II) l-|-tga;
12)	l -tga; 13) 14-ctga; 14) I .-ctg a;
l+CU5(g.-M	l+M„(a + K	|+sin, + c„„;
i -cosfa-W • J 1 -sin (a4- 0)
18)	1 —cos x4-sin x. 19) I —sin x4-cos x; 20} sin x4-cos x— I;
21)	I—sin x-cosx; 22) 14-sin x+cosx4-tg *; 23) i -sin x4-cos x-tgx;
24)	Sin a 4-Sin 0 4-sin (a 4-P);	25) sin (7a 4-8)4-sin (a 4-0)4-cos 3a;
26)	sin 17°4-sin 27° 4-sin 1(1°;	27) tg a4-tg 2a -ig 3a.
269
603. Докажите тождества:
smitt + P)-h$ini/x.-P)
sin (а 4-Р) —sin (а—р)	8	8
cos (а 4-р) 4-cos (а-Р)	„...
2)	=cte°clg|1-
£o12±sina =
cos а —sin а	'
4)	(sin ай-sin ₽)*4-(cos a4-cos p/ = 4 cos3 —	;
5)	(sin 2а 4-sin 4а)*+(cos 2а 4-cos 4а)2 ®4 cos3 а;
л. sin а. 4-sin За 4-мп 5а .
Ь ------:----;—=to3a:
cos а 4- cos За 4- cos 5а
7) sin а f cos а—sin а—у 4-cos^a —) =V6cos(a —
Я) ( cosx4-cosy ) 4-(мл *4-sin у) =2smydRy:
srn a 4- sin 3a 4 sin 5a 4-sin 7g
cos a 4" cos За 4-cos 5a4-cos 7a	a’
[0 sin a 4-Sin 3a 4- sin 5a 4-... 4- sin (2n -1) a *
cos a4-cos 3a4-cos 5a4- —4-co$ (£rt ~ 1}а	ё
. tta . {л 4- ] I a
Sin — sm —-----
II)	sin a 4- sin 2a 4- sin 3a 4-... 4- sin «« =----
QC
sin у
aa («4- I) 1
sm -г- cos--—
12)	cos a 4- cos 2a4-cos 3a 4-... 4-cos na  -----—
a
sin —
13)	cosy 4-COSy 4-COSy = —у;
H)	c«i+C0S|«=l;
15)	tg 3a — |g 2a - tg a = lg За-tg 2a-((T a;
16)	8 cos 10“ cos 20° cos 40е - cig 10%
17)	sin 20° sin 40'-' sin 60° sin 80° =-^-:
lv
18)	tg 20° tg 40" tg 60c (g 80“ = 3;
19)	cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos I6a= S’'1'	;
32 sm a
20)	V) 4-s’n 4- vl - sin x='2 cos у. если 0<	’•
21)	yl 4-sin x — v‘l —sin sin у. если OsSZx<y .
270
(ИМ. Докажите, что если х4у42-л, то:
X U Z
I)	sin хЧ- sin у -|-sin z=4 cos -у cos у cos у;
2)	cos2 х 4 cos* у 4 cos2 2 = I — 2 cos x cos у cos z.
605.	Вычислите суммы:
I)	COS- 2a 4-cos2 4a 4... 4 cos2 ‘2n<x:
2)	sin2 2a 4-sin2 4a 4 — 4 sin2 2rta;
3)	I -cos a 4cos 2a —cos 3a4-•••+(— If cos ла;
4)	sin a —sin 2a4sin За —... 4(—1Г- sin ла;
5)	cos a42 cos 2a4 3cos 3a4 — +n cos ла;
6)	sin « + 2 sin 2a43 sin 3a4-4« *in na;
7)	tga42(g2af 4 tg 4a4 42n-' tg JF- 1 a4^clg 2”a.
3) I 41/2 cos a;
6) i/5 sin 2a —I
9) 1—4 sin 2 a;
1) I 42 cos 2a.
4) I —д,'2 sin 3a;
7) v’3tg<* -t;
1Q) 3—4 COs2 a;
606.	Преобразуйте и произведение или отношение произведений с помощью
введения вспомогательного угла:
2) 1 -2 sin 2a;
5) V3 4 2 cos 6р.
Bl 3 —tg2a;
11) 4 sin2 a — 3.
7. Сложение гармонических колебаний. В силу формулы для
синуса суммы гармоническое колебание у — A sin (u>74- а) можно
представить в виде у = А cos a sin йог14-Л sin a cos tot Если обо-
значить A cos а через Ci, а Л sin а через С?, получим:
y = Ci sin (1)7 4- С'г cos шГ.	(I)
Обратно, функцию Cj sin cos т/ всегда можно предста-
вить в виде Д sin (u>t4-a). Для этого обозначим y/Ci 4- Ci через А
и запишем;
Ci sin о/ 4" С2 cos ut =Л ( д- sin <j)f 4~^р cos mtj .
Так как
(ГХ^Г
С? 4^j C24Cj
А‘ ~ С?4Й
I.
то найдется одно и только одно а£[0; 2л) такое, что -j-=cos a
и §.=sin а. Но тогда имеем:
.4
Ci sin ш/4-Сг cos б}/ = Л (cos a sin ш/4-sin a cos w/) =
= A sin (uj/4-a).
В физике встречаются примеры, когда донжутзяся точка
одновременно участвует в двух гармонических колебаниях.
Если эти колебания имеют одинаковые частоты, то их можно
271
представить в виде Q sin wZ-j-Cz cos и D\ sin ы! 4-Z>2 cos о/,
а их сумму в виде (Ci+ Di) sin ort-HCz-l-Dzlcos cot. Из сказанного
выше следует, что эта сумма является гармоническим колебанием
той же частоты о;. Амплитуда этого колебания равна
у'{£ । 4-	4- (С; -f-£*2/•
Выведем формулу, выражающую амплитуду суммы двух гар-
монических колебаний через амплитуды и начальные фазы этих
колебаний. Если
Ci=Ai cos ай С2 = А) sin ai. D\ = А2 cos aj, D2 = .42 sin a2,
TO
A * = 1 Ci 4- £)| )2 +	-f-	— (A1 cos a 1 4- A 2 cos <x2)2 4”
4-(A 1 sin a 1 4-A2 sin a2)2 —A? cos2 ai 4- 2A|A2«cos ai cos a?4-
4-A2 cos2 <z2 + At sin2 a, 4-2A,A2 sin ai -sin a-24-A2 siri2 a2 =
= 4f4-2A|A2 cos (ai —a2)4-A2.	(2)
Начальная фаза суммарного колебания определяется равенст-
вами:
cos <х = —^-=(А । cos Gt; 4” cos я2Х	(3)
sin а = С}~Г)' =4~|'А । sin <xi 4^А2 sin a2).	(4)
/4
Из них следует:
а= 4,»1па,+Лц!»а_	(5)
ь Л <05 ai-h/h cos аг
При сложении гармонических колебаний, имеющих различные
частоты, возникают более сложные функции. Любую, встреча-
ющуюся на практике функцию с периодом Т можно предста-
вить в виде бесконечной суммы, состоящей из постоянной и гар-
х- v	2л
мйническнх колебаний, частоты которых кратны числу .
Из вопроса о представлении функций в виде сумм гармони-
ческих колебаний возник важный раздел современной матема-
тики — гармонический анализ функций. Он тесно связав с раз-
делом оптики, изучающим спектры.
Упражнения
$07. Привалят? к виду A sin lw/4-aJ выражения:
I) 5sin 3t —12 cos 3/; 2} 7shif 3t —-i-24 cosf 3/ —	:
\ •» / ’ \ * /
3) 11 sin^2/4-yJ+6Oco$(2/4-y) •
272
W8. Найдите наибольшее н наименьшее значе-
ния и точки экстремума функций, а также
постройте их график:
1) 3 sin 4л—4 cos 4x;
2) — 5 sin 2x-f-12 cos 2x,
3) sin 6x — \'3 cos 6л;
4) 8sin
609.	Найдите суммы гармонических колебаний;
I)	у=3 sin 2/ и у=2 sin(2*+"у
2) y=2sin3/ и у=2мп^3г-
3) y=V2 sin 5/ и у=у2 cos 51;
4) j/=3sin(
610.	Кривошип OP длиной 15 см вращается в вертикальной плоскости против
часовой стрелки с угловой скоростью 120 оборотов в минуту. В начальный
момент времени он направлен под углом 55° к оси абсцисс. Определите
закон движений проекций Q н S точки Р на вертикальное и горизон-
тальное направления соответственно. Решите задачу для случая, когда
кривошип вращается по часовой стрелке.
611.	В лепи переменного тока между силой тока / к временем t имеется зави-
симость /—3.5 sin (80014-1,26} Определите максимальное значение силы
тока, число периодов в секунду в начальную фазу. Начертите график
зависимостей силы тоКя от времени.
6|2. Нз рисунке 153 изображен кривошипный механизм, где кривошип АВ дли-
ной а связан с ползуном С прн помощи шатуна ВС длиной I. Найдите
закон движения точки С по прямой АС. если кривошип равномерно
вращается вокруг точки .4 прошв часовой стрелки с угловой скоростью
ш и прн Г=0 наклонен к осн абсцисс под углом «ф.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I. Предел отношения длины хорды к длине стягиваемой ею
дуги. Если выбрать на окружности две близко расположенные
друг к другу точки Л1 я Лг, то видно, что длина ограниченной
ими дуги почти равна длине соединяющего их отрезка и потому
выполняется приближенное равенство ММжММ, т. е. ——Af\.
Это равенство становится тем точнее, чем меньше длина дуги M.V.
и потому очевидно, что
lim ^=1.
.У.Ч —0 MN
Но если радианная мера дуги MN равна 2х, то MN = 2Rx,
MN — 2R sin х. Поэтому lim -2^и - = I, т. e. Itni“~=l.
} x-4.0 2Px	x-,0 x
10 АЛП^Г» И МЯГ/MB^WVJ-'UBe	273
Численным подтверждением проведенных <ра с суждений» мо-
жет служить следующая таблица, из которой видно, как при-
ближаются к единице значения дроби , когда х приближа-
ется к нулю:
X	]	0.1	0.01
sin х	0.84M7I	0,0998331	0,00999984
sin х	0.841471	0.998334	0.999984
Равенство lim ^—-=1 получено нами пока что лишь на на-
глядном уровне проведенные выше рассуждения опираются
на наглядность. Сейчас будет дано строгое доказательство этого
равенства.
Теорема. Имеет место равенство
(1)
к • о а
Д~	sin {—х)	sin х
оказатсльство. 1ак как ------1—L—-----, то до-
— X	X
статочно доказать, что -4'” Л- стремится к 1, когда х приближается
к нулю, принимая положительные значения. Рассмотрим окруж-
ность единичного радиуса я дугу M.V этой окружности, содержа-
щую 2х рад. Тогда (рнс. 154) имеем: МЬ' = 2х и 4M.V = 2 sin х,
поскольку ордината точки М равна sin х. Наконец, 2МК=2 tg х,
поскольку M/(=tgx.
Заметим теперь, что	Кроме того, М>\' <2МК,
так как длина ломаной, описанной вокруг дуги окружности,
больше длины этой дуги. Итак, 2 sin x<2x<2tg%, т. е. sin х<
<x<(g х. Деля обе части этого неравенства на sin х, получаем:
1 <—-—<—-—. и потому cos х < ——— < I.
ЯП X COS Ж	'	X
Рнс. 154
Так как косинус — непрерывная функция,
то |irnco$x=l. А тогда в силу д) п. 3
х -• О
§ 2 главы IV имеем:
Hm ±ILL= I,
л-0 х
Пример 1. ВЫЧИСЛИМ ПрСДсЛ
litn-Цр*-.
г .ft Ьх
274
Решение, Из (1) следует: lim s л Зх = 1. Поэтому
х • D ОХ
Jim «^L=|im 2!^L.|£=|im «^L.lin, 3 .
x 0 ox x _I) Эх 5л к . О Эх х _»о 5х а
Пример 2. Вычислим предел lim -51Л	.
r	г	х -* и sin ох
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х:
sin Эх .J sin Зх
sin Эх _ х __ Зх
sin 5х sin 5х й sin 5х
~Т~	5' 5х
Поскольку lim ST.—= 1 и lim J/ =И, то предел числителя
равен 3, предел знаменателя равен 5, предел дроби равен —:
|imJin3x 3
х . о 51Л ОХ 5
Упражнение
BI3. Вычислите:
.. sin 4x
lim —----;
r - D 4x
sin 2x
lim —:—-r—
C — л Sin | lx
.. tg 5x
hm
r - o lf?"x
I—cos’X
hm -----з——:
*-0 X
lim (I—xltg-J-x;
5)
6)
Ю)
13)
15)
16)
$iri 5.x
2)	hm ——
X - 0 4x
3)	lim :
x-o x
.. .. tfi 2X
4)	hm ;
X-0 3x
. Указание: положите х=л +у:
7)
sin fix
I ini -•
r -0 ।
8) Jim хс1г2<;
lim lg-x7inx
x - О X-
14} lim
л — о
9)
lim 2’sinp-;
cos mx—cos nx
hm -------j------
c-» 0	A
sin (q-i-2x)—2 sin (a4-x}4-s»n a
12)
^vzi2
Imn 1—2cosx
“* I
Tj&COSX— 1
lim -5-——----
n l-tg’x
. Указание:
положите x=—-i-y;
•J
17) lim
к — 0
У<Х>5 X-
т
18)
COS X — ^'CQS x
hm ------—»— 
x-0 sin x
|9) lim (sin Vх “ sin V*~ •)>
20}
lim
i -<i
x —yi -tgx
sin 4x
2. Производные тригонометрических функций. Вычислим про-
изводную функции sin х. Для этого найдем сначала приращение
этой функции:
sin (jc-1-Л) —sin Jt=*2cos(x-|--y) sin
275
Отсюда следует:
- Л	А
2
Перейдем в этом равенстве к пределу при ft -*0. В силу непре-
рывности косинуса имеем: hrn co$(x-|--^-j = cos х. Кроме того.
л
$т —
в п. I было доказано, что lim —:— = 1. Значит.
h . л
2
(sin *r_|im ™(*+»)-sinx =cos x
h — О	Л
Итак,
(sin x)' = cos x.	(1)
Аналогичные рассуждения, опирающиеся на формулу
cos (x-|-ft)—cos х = — 2 sin (х + —) sin	,
показывают, что
(cos х)'—— sin х.	(2)
Чтобы вывести производную функцию tg х, заметим, что
tg Поэтому
ftp- г Г =( sirl Л ' = с<>5 х (5*п —sin х (cos xY _
' * '	\ cos X /	COS2 X	~~
cos x-cos x—sin x	sin xj I
cos* X	cos2 X
Итак,
(‘^>'=^7	(3)
Таким же образом доказывается, что
(с‘ех)'=-=Т'	<4>
Из формул (1)	(4) вытекают следующие формулы для вы-
числения дифференциалов тригонометрических функций:
d (sin x) = cos xdx, d (cos x)= — sin xdx.
d(tgjr)=-^_, d(clgx)=------%-.
& ' cos' X ’	1 h ' sin' x
Пример I. Найдем угол а, под которым синусоида пере-
секает в начале координат ось абсцисс.
Решение. 1 ак ка к (sin х)' = cos х, a cos 0=1, то fg a = I.
Это значит, что искомый угол равен .
276
Пример 2. Напишем уравнение касательной к синусоиде а
точке с абсциссой
Решение. Имеем: sin-2—cos 4"1 и потому
d х	э а
Лз 1 К
уравнение касательной имеет вид: У” 2=Т\Х —Т/ ’
Пример 3. Найдем приближенное значение для
Решение. Воспользуемся формулой
f(a 4- Л) tvf(a) + f' (a) ft.
В нашем случае
f(*)-tgx. Г(х)=^, a-^-. Л = 0,0|.
Поэтому
lg(^-4-O.Ol )^tg
—------0,01 = 1
co$a
4
1,02.
В случае, когда угол выражен в градусах, надо переходить
к радианной мере, иапример:
sin 32° = Sin (f+А) =» sin f+ COS f • £=
= J-4- 3? > 2L= 0,5 4- 0,8660 • 0,0349 = 0,530.
2 ' 2 90
Упражнения
614. Найдите производные от:
I) sin3*; 2)	; 3j Igx—ctgж;
Sin X
4) sin4 x+cos’x: 5)	; 6) (x’-f-1) sin3 x,
l}^x-^-^x;
|0) 8 sin1 x — 5 tg3 x; II) У ctg *4- y’tg x
615. Исходи из определения производной, докажите, что:
»<'**’'=drr; 2> -тпН-=
3) (sin 2xY = 2 cos 2х;	4) cos Зт = — 3 sin Зх.
277
616. Найдите приближенные значения для:
1) ^(y+0.015) ;	2)	etg ('^ + 0.02 J ;
3) sin(y-0.01) ;	4)	««(^-0.012) ;
5) sin 61е’;	«)	cos 29c30';
7) tg44n30';	8|	ctff W’30'.
617. Докажите, что тангенсоида		пересекает ось абсцисс в начале координат
пол углом 45°.
6|$. Напишите уравнение касательной к функции f в точке а:
I) /(x)=sin*x, й=^;	2) f(z)=cosbx. а=л‘
•J
3) /(X)=tgr,z. а=-£;	+) /W=#tR* а=^-
6|9. Исследуйте на возрастание в убывание следующие функции, найдите
их точки экстремума и точки перегиба, а также их периоды и постройте
графики:
I) 5inx-j-cosx; 2) 3 sin х—4 cos х;
3) sinJ * 4- cos’ х.	4) sin4 х 4* cos 1 x;
5) x sin x;	6) Jf+2sinx-
620. Докажите, что функция x-j-cos x возрастает на всей числовой осн.
621. Докажите, что функция tgx —х возрастает на промежутке р): у') .
3. Дифференцирование композиции функций. Функцию
sin (х3) можно записать в виде sin i, где t=x\ т. е. в виде ком-
позиции синуса и функции х3. Хотя мы уже умеем дифферен-
цировать обе функции, из которых составлена функция sin (х3),
саму ее мы еше дифференцировать не умеем. Правило дифферен-
цирования композиции функций дает следующая теорема:
Теорема. Пусть функция / дифференцируема в точке х, а
функция g — e точке 1=Цх). Тогда композиция g°f этих
функций дифференцируема в точке х, причем
(Я ЧУ (*)=($'° Й(*И (4	(О
Формулу (|) обычно записывают так:
(*(Hx))'=£W))-m	(Г)
Доказательство. Положим g о f=F, f (х)=/. J(x-|-ft) =
= t-\-k. Прирашение функции F имеет вид:
F (х 4- ft) — F (х) = g {f (х 4- Лi)—g (f (x))=g (/ + k) — g {/).
Так как функция g дифференцируема в точке t, то
f (x + ft)-F (x}={g' (г)4-а) k=(g' (/)4-a).(f (x4-ft)-f (x)), (2)
278
где а. бесконечно мала при £->0, причем мы считаем, что
а —0, если k = 0. Разделим обе части равенства (2) на Л и
перейдем к пределу при Л -* 0. Тогда k -* 0, а потому се -*• 0, и,
следовательно,
lim _£1£+Щ㱫_= lim (g' (()+а) Нт	=
Иными словами,
<ё * f)' (х) =	(х) = g’ {} (x))• /' (х) = (g' о f) (х)• f' (л).
Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет простой наглядный смысл. Число
f'(x) показывает, во сколько раз быстрее изменяется /=/(х).
чем х, a g' (Г) показывает, во сколько раз быстрее изменяется
g (/), чем t. Но тогда я (/ (г)) меняется быстрее, чем х, как раз
в g’ (Г) Г (х) раз.
Частным случаем формулы (I) является выведенная в п. 2 § 2
главы V формула дифференцирования степени функции- В этом
случае g(t}=stn и потому g'(t)=ntK Значит,
(awrr=«awr (х).
Отметим ете один важный частный случай формулы (I). Пусть
f(x) = ax-|-b. Тогда f' (х) = (ах	и потому формула (1)
принимает вид:
(g (йх *))'=ag' {ах 4- Ь).	(2)
Например, (sin х)' = cosx и потому
(sin (шх + а))' = й} со$ (шхЦ-a).
Пример 1. Найдем производную функции sin (хэ -|-x* + 1).
Решение. Здесь g(f) = $in/, a t = х* + л"4-1. Так как
g' (/) = cos t, f* (xj = 3x2-|-2x, то
(sin (х’ + хг-4- |))' = co$ (x*-f-x*4- 1)«(3x2-|-2x).
Упражнения
622.	Найдите производные функций:
i)	sin 8x;	2) cos^Sx—;
4)	‘	5) sin* 6x4-сое1 6х;
7)	cos (**+]);	8) tg (Xs—3x4 5);
3) sin* ^6x4-у
6) sin -y/x;
9) tg (sin «У
10)	sin (cos x);	||)	sin2	(yx);
i	i
13)	Sin x+4- sin 2x +-! sin 3x-
2	6
12} у^П(х3Х
14} tg;’x+y tr 2x4-ytK33x;
15)	ysin x + cos 2x;	16) ^in-15x +<?osa 5x.
279
623.	Напишите уравнение касательной к фунхцин / в точке а:
I)	^(x)=sin(x*X	2) f(x}=iR(yx\ й=л2:
3)	f (*)=«*( ** + х + у J . с=0;	4) f(x)=ctg{	• а“°-
624.	Найдите приближенные значения функций (с точностью до 0,001).
I)	sin (у+0,001) ;	2) соз(^--0,002 ) ;
3)	tg(^- + 0.004^ ;	4) sin 31°;
5)	€05 44*30';	6) fg60°l8'.
625.	Исследуйте функции j и постройте ее график, если
1)	f(x)=$in/+Xsin 2*+4-$in3x;
*	о
2} f(xj"CO5 * + 4- СО5 2*+~- cos Зх.
*5
626.	Канал, подводящий воду к турбине, имеет в сечении равнобочную трапецию
(рнс. |5о, о), длина нижнего основания которой равна d. Найдите,
прк каком наклоне боковых стенок канала к горизонту смоченный периметр
окажется наименьшим, если глубина канала равна h (такая форма яв-
ляется невыгоднейшей с точки зрения гидродинамики)? Какова канвы-
годвейшаи глубина канала, если угол а задан?
627.	Из полосы жести шириной а требуется согнуть открытый желоб, имеющий
в сечении равнобочную трапецию ARCD. такую, что AR=AD = RC
(рис. 155.6). Найдите угол при основании трапеции, при котором вмести-
мость жел<1ба будет наибольшей.
628.	Докажите, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную
окружность, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
629.	Найдите треугольник наибольшей площади, имеющий данное основание а
и данный угол при вершине <р. Поясните геометрический смысл полученного
ответа.
630.	Найдите прямоугольный треугольник периметра 2р, имеющий наибольшую
плшцадь. Решите задачу двумя способами, выбирая а качестве аргумента:
а) величину острого угла, б) длину гипотенузы.
оял
63|. Картина висит на стеке так. что ее кнжннй край находится выше глаза
зрителя на а ы, а верхний — иа t> м. На каком расстоянии должен находиться
зритель от картины, чтобы угол зрения был наибольшим?
632. Груз массы т, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут
с «сета приложенной к нему силой F (рис. 156). Под каким углом а к гори-
зонтальной плоскости следует приложить при наличии трения эту силу,
чтобы модуль ее был наименьший (коэффициент трения райей ц, 0<ц< I)?
633- Электрическая лампочка Я может перемещаться (н акр и мер, на блоке)
по вертикальной прямой О В {рис 157). На каком расстоянии от горизон-
тальной плоскости ее следует повесить, чтобы освещенность в точке Л этой
плоскости была наибольшей, если расстояние ОА равно а?
Указание Освещенность F. а точке Л выражается формулой
Е=СЛ*-.
г
где г — расстояние сгг точки А до источника света, а <р угол между лучом
света и горизонтальной плоскостью; в качестве аргумента выберите угол <р.
§ 5, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В этом параграфе мы изучим уравнения и неравенства, содер-
жащие тригонометрические функции (тригонометрические урав-
нения и неравенства). Решение таких уравнений и неравенств
заканчивается отысканием значений аргумента по заданному
значению тригонометрической функции. Поэтому мы и займемся
сначала этой задачей.
I. Решение уравнений вида sin t=m. Арксинус. Так как sin t
является ординатой точки М (/) координатной окружности, то для
решения уравнения sin t — m надо сначала найти на этой окруж-
ности точки, имеющие ординату т, т. е. точки пересечения
этой окружности с прямой у=т. Если |т|<|, то таких точек
иа окружности две, если |m| = I — одна, а если !т| > I. то таких
точек не существует (рис. 158). После отыскания этих точек
остается найти множества чисел, которым они соответствуют,
и объединить эти множества. Полученное объединение и будет
решением уравнения sin 1 = т.
Пример i. Решим уравнение
sin / = ~.
281
Решение. Прямая у = пересекает координатную окруж-
ность в двух точках:	и Л (“|"л) (Рис’ 159). Точка М
соответствует всем числам вида |-2£л, k£Z, а точка М —
всем числам вида	я+2 fen, fe£Z. Объединяя множества чисел
п
указанных двух видов, получим решение уравнения
|A-f- 2An| fe£zju{-^-f-2fen| k£Z].
Ответ можно записать также в виде
/=-2- + 2Ал., k£Z',	k£Z.
Пример 2. Решим уравнение sin t= 1.
Решение. Ординату, равную |, имеет только одна точка
координатной окружности — точка #(	— верхний конец вер-
тикального диаметра (рис. 160). Она соответствует числам вида
|-2fe«, k£Z. Значит, множество корней уравнения таково:
£Z j . Ответ можно записать также в виде t =
=f+2Ъх, k£Z.
Аналогично выглядит решение уравнения sin i = — I:
{-|-л-f-2£.T|£EZj или, иначе, /=5=-|-л-|-2йл, k£Z.
Пример 3. Решим уравнение sin / = 0.
Решение. Ординату, равную нулю, имеют две точки коорди-
натной окружности — концы горизонтального диаметра А (0) и
С (я) (рис. 161). Точка А соответствует числам вида 26л, fe£Z.
а точка С — числам вида	k(~Z. Итак,
f=2fcn, jfeEZ; /=лЦ-2йл. k£Z.
Вместо двух формул можно написать одну формулу ( = тл,
m£Z. В самом деле, если т — четное число, т. с. т=2п, то
получаем первую формулу, а если т — нечетное число, т. е.
т = 2Л-Н, то получаем вторую формулу.
Для записи решений уравнения sin t = m, где |m|Cl, введем
понятие арксинуса числа т. Для этого заметим, что при
одна и только одна из точек пересечения координатной окруж-
ности с прямой у = т принадлежит правой пол у окружности
DAB (рис. 162). Иными словами, если ImKl, то существует
единственное число f0. такое, что sint*=m и —j-C/oC-y-
Это число называют арксинусом1 числа т.
Определение. Если I m. С I, то арксинусом т называют
такое число что sin to — т и —
Арксинус чиста т обозначают arcsin т.
1 От латинского arcus — дуга, arcsin т — дуга, синус которой равен т (имеет-
ся в виду дуге Л.И).
Рис. 162
Рис. 163
Из данного определения следует, что если |/п|С1. то
sin (arcsin m)= т	(|)
и
— arcsin т < .	(2)
Обратно, если sin t = tn и —то / = arcsin m.
£» *
Пример 4. Вычислим: a) arcsin*—; б) arcsin•
Решение, а) Так как sin -?-=4- и —	, то
6	2	2 Ь 2
arcsin-|-=А. б) Так как Sin(-A) = -X? и
то arcsin ( —-^) = —-2-.
\	2 /	<
На рисунке 163 показано, как связаны друг с другом числа т
и arcsin т. Из этого рисунка видно, что
arcsin ( —m)= —arcsin т.
Докажем это равенство без опоры на рисунок. Если
arcsin т = и, то sin to = m и —• Но тогда sin ( — /о) =
= — sin/u=— т и —— ZoC-£-’ а это значит, что
arcsin (— т) = — to = — arcsin т.
Запишем с помощью обозначения arcsin т решение уравнения
sin t = m. Одним из корней этого уравнения при |?n| С I является
число arcsin т. Так как sin (л—то число л — arcsin т
тоже является решением уравнения sin t = m (совпадающим с
arcsin т, если |т| = |). Других корней на отрезке [0; 2л] урав-
нение sin t=m не имеет. Учитывая периодичность функции sin f,
получаем, что решение уравнения sin t=m при |m|	| является
объединением множеств (arcsin m -4-2fcn|fc£Z! и {я — arcsin m 4-
+ 2*n|/?eZ).
Пишут также:
t = arcsin m-\-2kn, k^Z,	(4)
I = л — arcsin m 2fen, k^Z.	(5)
Заметим, что формулы (4) и (5) можно объединить в одну:
^ =(—1)" arcsin т +ял, nf Z.	(6)
Действительно, при четном л (n = 2k) из формулы (6) получаем
формулу (4), а прн нечетном я (п. = 2k I) — формулу (5).
Пример 5. Решим уравнения: a) sin ^=4*. б) sin t= ——.
о	7
D Q Til U »Л А П X Оа111П|1..Л	г.	Л I	—
- — — v- А. „ X..	I vwvunv /раолсплл э>11 < —ИМСГ! ПИД.
{arcsin —|-2^n|A€Z|lj|n — arcsin	2kn|k£Z|.
9Я4
Его можно также записать в виде
f = ( —ГУ1 arcsin-~1-пл, n£Z.
•?
б)	Так как arcsin (—0^—arcsin -0 то искомое решение
является объединением множеств
{ —arcsin 0+2fen|*6Z| и {.ч + arcsin ±-\~2kn\k£Z J.
Решение можно также записать в виде
?=(— If+I arcsin -у-t-лл, n£Z.
Упражнения
634.	Написать общий вид таких чисел х, что:
I)	sinx= —I; 2) sinx=—0
635.	Найдите значения:
I)	arcsin (-0 ;	2) arcsin^) .
636,	Вычислите sin^arcsin 
637.	Найдите значение (устно)
sin ( arcsin 0 + arcsin (— 1)^ .
„	• , । з
63S. Решите уравнения: sin? = —, smxc-—,
639. Может лн arcsin ( принимать значения:
1)4;	2) —2я;	3) -4;	4)0	5) —±;
6) А 7) -4;	8)5^7?
£•
64и. найдите значения;
I) arcsin (sin 1S°}; 2) arcsin^sin-£•) : 3) arcsin ($in 3); 4) arcsin (sin 10).
9Н.Ч
2. Решение уравнений вида cos f=/n. Арккосинус.
Так как cos I — абсцисса точки М (/) координатной окружности,
то для решения уравнения cosl=m надо сначала найти на
этой окружности точки, имеющие абсциссу т, т. е. точки пересе-
чения окружности с прямой х — т. Если I т I < 1, то получаются
две точки пересечения; если |/и] = 1, то одна, а при IтI > 1
точек пересечения не существует (рис. 164). После отыскания
указанных точек находят множество чисел, которым они со-
ответствуют, и объединяют эти множества.
Пример 1. Решим уравнение cos/ =-у.
Решение. Прямая т —4 пересекает координатную окруж-
ность в двух точках М и Л', симметричных относительно оси
абсцисс (рис. 165). Так как cos-~=4"- то Л1 = Л1(А\ и по-
тому Л'=;Л'( —. Точка М соответствует числам вида -у+
+ 2Ля, k^Z, а точка Лг — числам вида — 2L-f-2fen, k£Z. Объеди-
няя эти два множества чисел, получаем решение уравнения
cosr=-L;	/	х z	,
2	{y+2*ni*€^u{--^+2Aal4ez}.
Это решение можно также записать в виде / = ±-~4-26л, k$Z.
3
OOl'
Пример 2. Решим уравнение cos t = I.
Решение. Абсциссу, равную |, имеет только одна точка
координатной окружности — точка А (0) (рис. 166). Она соответ-
ствует числам вида 2£п, k£Z. Значит, решением уравнения
cosf=| является множество чисел вида {2&nl>£Zj. Пишут:
< = 2Лл, k{Z.
Аналогично находят решение уравнения cos t= — |. Им явля-
ется множество чисел вида л-|-2£л, k^Z, т. е. вида (2&-J- 1) п,
k£Z.
Пример 3. Решим уравнение cos I =0.
Решение. Нулевую абсциссу имеют две точки координат-
ной окружности — концы вертикального диаметра (рис. 167).
Точка В соответствует числам вида -^--|-2йл, k£Z, а точка D —
числам вида — у+2Ь, k£Z. Решение уравнения является
объединением этих двух числовых множеств. Оно состоит из
чисел вида	k£Z.
Для записи решений уравнений вида cosf=zn, где )m|
введем понятие арккосинуса числа т. Для этого заметим, что
при |/п| I одна и только одна из точек пересечения прямой
x = tn с координатной окружностью принадлежит верхней полу-
окружности АВС (рис. 168). Иными словами, если |т|С1,
то существует единственное число /о, такое, что cos ^ — т, причем
Это число называют арккосинусом числа т.
Определение. Если | т | С I, то арккосинусом т называ-
ют такое число (о, что cos/o —/п и 0^/о^л.
Арккосинус числа т обозначают arccos т.
Из данного определения следует, что при I имеем:
cos (arccos m) = т	(1)
и	O^arccos	(2)
Обратно, если cos 1 = т и	то t = arccos т.
Рнс. 168
Рнс. 169
7X7
Пример 4. Вычислим arccos
Решение. Так как cos и	то
arccos ^=-2-.
На рисунке 169 показано, как связаны друг с другом числа т
и arccos т. Из этого рисунка видно, что
arccos ( — т) = л — arccos т.	(3)
Чтобы доказать это равенство без опоры на рисунок, заметим,
что если arccos m = t, то имеем: cos/ = zn и О^гСл. Поскольку
cos (л — /)= — cos t — — т, причем ОС л — <<л, то получаем,
что arccos (—m)=л — arccos т.
Запишем с помощью обозначения arccos т решение уравнения
cos/ = zn. Одним из корней этого уравнения является число
J0 = arccosm. Так как cos ( — Aj) = cos ia=m, то — arccos т так-
же является корнем данного уравнения.
Других решений на отрезке [ — л; л] уравнение cos t — m
не имеет. Учитывая периодичность функции cos t, получаем, что
решение уравнения cost = m является объединением множеств
чисел вида {arccos т 4-2fen|fc£Z) и { — arccos т -{-2fen|££Z\.
Пишут так:	{±arccos т -|-2fcл I k£Z\	(4)
или	t = zbarccos т -f-2fen, k£Z.	(5)
Пример 5. Решим уравнение cos t = —
Решение. Так как arccos (—= л — arccos Л-, то по
формуле (4) получаем, что 1 = ±( л — arccos -у) 4-2Лл, k£Z,
или, иначе, t={2k -|- I) л ± arccos -j-. k£Z.
о
Упражнения
641. Напишите общий ннд таких чисел х, что cosx=—
v3
642. Найдите значения arccos . arccos
arccos 0.
643. Вычислите cos^
ИГСС<>5
644. Проверьте равенство arcsin ж=у—arccos х.

645. Найдите значения:
2
arcsin ^2" + arccos
288
646. Может л и arccns m принимать значении:
I) -Л; 2)	4)	; 5) уЗ; 6) -А 7) 4; 8) -I?
647. Найдите значения:
I) arccos (cos 20°);	2) arccos (cos (—80®));	3) arccos (sin 3?’);
4) arccos (cos 2);	5) arccos (sin 2);	6) arccos (cos l0).
3. Решение уравнений вида tgt = m. Арктангенс.
Так как tg =	. то tg Z является отношением ординаты и
абсциссы точки М (f) координатной окружности. Поэтому для ре-
шения уравнения (g? = m надо сначала найти точки пере-
сечения этой окружности с прямой -%-=т, а потом найти мно-
жества чисел, которым соответствуют эти точки. При любом
значении т прямая ^-=гп, или, что то же самое, у = тх.
пересекает координатную окружность в двух диаметрально про-
тивоположных точках М и Л' (рис. 170). Одна и только одна из
этих точек лежит на правой полуокружности [)АВ - в нашем
случае точка М. Итак, для любого т существует единственное
число ta, такое, что tg ta — т, причем — у</о<-у. Вто-
рой точке пересечения N соответствует число Отсюда
видно, что решение уравнения tg/ = m является объединением
множеств /о+ 2^л, k£Z и /о-f-л-f-26л, fcgZ, т. е. множеством,
состоящим из чисел вида ^ + ^л, n£Z.
Для записи решений уравнения tgt = m введем понятие арк-
тангенса числа т.
Определение 1. Арктангенсом т называется такое чис-
ло to. что tgfo = m и —
Мы видели выше, что для любого т существует единственное
число, удовлетворяющее этим условиям. Его обозначают arctg т.
Из данного выше определения следует, что
tg(arctg т) = т	(I)
и
—^-<arctgm<-l.	(2)
Обратно, если tg/ = m к —^-<
t -t'' П тл ( —	т
Пример 1. Найдем: a) arctg д.^З;
б) arctg (— 1).
Решение, а) Так как tgy=-^3, причем —7<Т<
<-у. то arctgy/3=-y.
б) Так как tg(—1)= —I, причем — *<—£<•	То
arctg(-l)=-A.
Пример 2. Решим уравнение tg t=-y-.
Решение. Имеем: / = arctg-|—|-nn, n£Z.
Заметим, что если arctg rn = f0, то	и — -£-<
<Пв<-у. Но тогда tg( — tt\)= — tg — m, причем -—1-<
<—Поэтому arctg ( — m)= — tQ= — arctg m. Итак,
arctg (— m)= — arctg tn.	(3)
Аналогично вводится arccig m (арккотангенс m).
Определение 2. Арккотангенсом m называют такое число
/о, что ctg /о = т, причем 0<<#<л.
Пример 3. Найдем arcctg-5^.
4>
Решение. Так как ctg-J-—причем 0<-?-<л, то
—	о i	3
arcctg ^=3-.
Предоставляем читателю доказать, что
arcctg ( — m} =л — arcctg tn.	(4)
Поэтому arcctg f	)= л—^-=~.
Упражнения
648. Найдите обш.кн вид таких чисел х, что:
1)	2) ctgx= ~y-
549. Найдите значения:
1) arctg	2} arcctg{—V3);	3) arctg I; 4) arcctgO.
66U. Вычислите:
t) (g{arccosy) ;	5) lg(arccos^) :
2) clg(arctg(—I)) ;	6) clgfarccosf
651.	Проверьте равенство arctg х=у - arcctg г.
652.	Найдите значения (устно);
I)	cos(arctg I 4-arcctg 1);
2)	ig^arcsin у + arctg-v'3 j .
653.	Может ли arctg x принимать значения:
1)	U; 2) -у:	3) у; 4) у;
5)	V3; 6)-^; ?)y: 8) -R
654.	Может ли arcctg x принимать значения:
I)	0;	2) -у;	3)	4) л;
5) А 6)	7} 4;	8) -0,]?
4, Основные методы решения тригонометрических уравнений.
Решение произвольных тригонометрических уравнений сводится
в конечном счете к решению простейших тригонометрических
уравнений разобранных выше видов. Чтобы выполнить такое
сведение, применяют те же основные приемы, которые были опи-
саны ранее для решения алгебраических уравнений,— введение
нового неизвестного (подстановка) и разложение на множители
левой части уравнения вида F (0=0.
Разберем некоторые частные случаи этих общих приемов.
Ради краткости будем иногда применять букву Т как общее
обозначение для тригонометрических функции: синуса, косинуса,
тангенса и котангенса.
а)	Уравнение вида Г(/(0)=0. В уравнениях такого вида под
знаком тригонометрической функции стоит выражение, за-
висящее от t. Для решения такого уравнения надо обозначить f (/)
через х, решить получившееся простейшее тригонометрическое
уравнение Т (х) = 0 и, найдя его корни, решить уравнение / (Z) — а,
где а пробегает множество этих корней.
• Пример 1. Решим уравнение cos(бГ—f‘)=2’
Решение. Положим 5/ —у-=х. Мы получили для х
уравнение cosx = -^, из которого находим, что х=±у-+2Лл,
fe£Z. Так как х = 5/ — у, то для отыскания t получаем урав-
нения
5Г-4=±-т-+2*л, k£Z.
О	4
из КОТОрЫл п&ХОДпгнС
291
Можно записать так:
i л । 2Ал hс. 7 ч пи ♦	। 2fen < f rj
r=7T+—• *ez- илн (±=-5о+—• k^z
Замечание. Учащей часто делают ошибку прн решении уравнений
указанного вида - находят частные значения t и подставляют их в формулу
общего решения. Например, решая уравнение cos5/ у j =-^ . пишут:
г. л л	я
»>*—ё'=“ё* t=e\2 к |,ОТОм гг° Ф^риуле общего решения «выводят», что
(=±-^+2kx. k£Z. Этот ответ отличается от напученного выше правильно-
го ответа.
Пример 2. Решим уравнение tg^x2-f-4x-f-^ = 1.
Решение. Полагая x2 + 4x4--~=z, сводим это уравнение
к простейшему уравнению tg2=l и получаем из него, что
2=-^-+£л. k£Z. Отсюда получаем, что
х’ + 4х+^-=-2- + Лл, k£Z
и потому
х*_|_4х-£л = 0, k£Z.
Следовательно,	__
х= — 2± у4-|-Ал» k£Z.
Для того чтобы значения t были действительными, должно выпол-
ниться неравенство 4-i-fen^0. Из него находим, что
А > —— , т. е. А = — I, О, I..
л
Итак, решение данного уравнения имеет вид:
х==—2± у'4-|-Ал, k£Z, А> —I.
б)	Уравнение вида Т (<р (/))= Т (ф (Г)). Результаты пп. 1-3
можно сформулировать следующим образом: если sin t = sin а,
то /=(—1)* а-РАл, k£Z, если cosf~co$a, то / —±а + 2Ал,
k£Z, и, наконец, если tg/ = tga, то / = а-|-Ал, k£Z. Поль-
зуясь этим, будем решать уравнения вида Т (q> (?)) = Т (ф (/)),
в которых слева и справа стоит одна и та же тригонометрическая
функция Т, под знаком которой стоят некоторые выражения от I.
Пример 3. Решим уравнение
sin(er—-=-) = sin(2/4—=-) .	(1}
Решение. Из сказанного выше выводим, что уравнение (I)
выполняется в том и только в том случае, когда выполняется
равенство 6/—^=(— ])*(2/ + -5-} -ф Ал, k£Z.
292
4+(-1>,т+Лп
Решая это уравнение, находим t = ——-——. k£Z.
Имеем две серин решений:
Пример 4. Решим уравнение
cos х‘ — со$(4х — 3).
Решение. Из данного уравнения выводим, что х2=
= ±(4х — 3)4-2/гп. Решая эти квадратные уравнения, получаем:
Х|.2 = 2±-\-Т+2Лл, k^Z, *>0;
хзл=-2± V7 + 2*n, fe£Z, Л>-1.
Пример 5. Решим уравнение tg x2 = tg (4х—3).
Решение. Из данного уравнения выводим, что х2 = 4х —
— 34-k^Z. Решая эти квадратные уравнения, находим:
х=2±<Г4-/?л, k£Z, fc>0.
в)	Уравнение вида /(Г(0)=0. В этих уравнениях тригоно-
метрическая функция стоит под знаком другой функции.
Для решения уравнения надо ввести новую неизвестную, положив
7'(/) = 2, и решить уравнение f(z)=O. Если корнями являются
числа zi... z„, то задача сводится к отысканию решений для
уравнений Т (()— Zi,.., Т	к объединению этих решений.
Пример 6. Решим уравнение 6 sir?/ — 5 sin г 4-1 =0.
Решение. Полагая sin / = 2, получаем квадратное уравне-
ние 6г2 — 5?-р 1 = 0. Его корнями являются числа =
22 = 4"- Поэтому данное уравнение сводится к простейшим три-
о
тонометрическим уравнениям sinf=— и sinf=~. Решая их,
находим, что
< = йл4-( —1)*k^Z, или / = Лл4-(—I)* arcsin 4“. b£Z.
Пример 7. Решим уравнение 2 cos41 — 7 cos21— 4 =0.
Решение. Подстановка cos2 t=z сводит данное уравнение
к квадратному уравнению 2z2 — 7z — 4 = 0. Его корнями являются
числа 2| = -—у-, 22 = 4. Так как 0<cos2/<lt то заданное
уравнение не имеет корней.
г)	При решении тригонометрических уравнений часто приме-
няется способ разложения на множители: уравнение записывают в
виде f(/) = 0 и представляют функцию / в виде произведения.
I |ри этом используются формулы из п. 0 | 3.
Пример 8. Решим уравнение sin f 4-sin 2/4-sin 3/ = 0.
Решение. Так как sin f-f-sin 3f = 2 sin 2i-cos /, то записы-
293
ваем данное уравнение а виде 2 sin 2t cos t4-sin 2f = 0. Теперь
выносим множитель sin 2/ за скобки: sin 2t (2 cos t 4-1) — 0.
Нам осталось решить уравнения sin 2^ = 0 и 2 cos f 4-1=0
и объединять их решения. Из sin 2?=0 получаем: 2/ = £л, k£Z,
и потому /=-у, а из 2 cos / = — I получаем: cos t——
t = ± 4-2fe«, k£Z. Ответ записывается так:
1Л
kf.Z, или <=±^4-2*я, k£Z.
о
Упражнения
655. Укажите общий внл чисел, удовлетворяющих урвинекням:
!) stn<bc = —;	2) COSGx—-^-; 3) tg5x=l,
4)	cig I2x= — t 5) lg7x=—6) cos( bx—~ —-y ;
7)	sin^8x4"^-) = —I; 8) tg^3z+y^| =0; 9) sin1 A-2.;
10)	со$‘(Зх-60*)=-£: II) tga(5x4-y)=3;	12) l^x-i-j) - - I;
13)	cos2 ( 6*4—) =2:	14} $in3x=y; 15) cos(y 4-y) — --;
16) sin(2xa)=-y; 17) соз’Зх1--^; l8)(g-^-=|; 19)
z	TA	Z	О
656. Решите уравнения:
1) sin Зх cos 2x |g 7x=0;	2)	sin 4x = —cos 5x;
3) tg4 = —tg —;	4)	sin ]7x = — sin |3x;
5) cos 6x±s —cos a;	6)	tg 5x= — ctg 7x;
7) sin2- = cosy;	8)	tg (7л+х)- — ctg(x —	;
9) sin^x+y «= — co$ (г4-6л);	10) sin^ra4-y) =cos x3;
x	2
II) CDS—=—COS —;
и	X
2
13) Ctg6x=—Ctg —;
15) tgyx=ctg3x;
19} sin82x4-2 cos’2x-y;
12} cos x2™ — cos 5xa;
14) cos (3x2 — 2x) = cos 5x;
16) sinJ2x-3 sin 2x4-2=0:
.ox	^4-^	. л . v6 ..
IU, 4.U» ОЛ--------—= V,
sin 3x-4 cos3x ,
2 sin 3x4* 3*
5. Частные способы решения тригонометрических уравнений.
При решении тригонометрических уравнений, содержащих не-
сколько тригонометрических функций, полезно выразить все вхо-
дящие в них функции через одну, после чего сделать соот-
ветствующую подстановку.
Пример I. Решим уравнение 5 sin2 /4-З sin i 4-4 cos21 =
=4-
Решение. С помощью формулы sin21 4-cos2/ = I данное
уравнение приводится к виду sin2/-|-3 sin/ —1—=0. Подста-
новка sin t = z сводит его к квадратному уравнению z? + 3z—
— I-2_=0, из которого находим: Zi—z2=—3—. Уравне-
ние sin /=— Згу- решений не имеет, а решением уравнения
sin / = -^- является / = лп4-(—	n£Z.
Укажем некоторые правила, облегчающие выбор подстановки
при решении тригонометрических уравнений. Будем обозначать
через R(z\ 10) рациональную функцию1 от z и оу. Если заменить в
такой функции z на sin/, а оу на cos/, то получим функцию
R (sin /, cos t), которую будем называть рациональной функцией
от sin t и cos t.
Примерами таких функций являются sin2 /4-cos2 /, 2 sins t,
2 51П>/^СО5/+1
3cos4sin /4-5 A'
Для решения уравнений вида
R (sin /; cos /) = 0
дадим следующие указания:
а)	Если sin t (соответственно cos /) входит в уравнение лишь
с четными показателями, то делают подстановку cos i = z (со-
ответственно sin / = z).
б)	Если при одновременной замене sin / на — sin/ и cos/
на —cos/ функция R (sin /, cos/) не изменяется (т. е. если
Л ( — sin /, —cos /) — (sin /.cos /)), то делают подстановку tg t = z.
Пример 2. Решим уравнение
sin4 / 4- 3 cos / — cos4 / — 2 = 0.
Решение. В это уравнение sin / входит лишь в четвертой
степени. В соответствии с правилом а) выразим всю левую часть
1 Напомним (см. п. I 5 I главы Ц). что рациональной функцией отз и ш назы-
вают функцию, значения которой получэютск нз чисел н значений г и ш с по-
мощью действий сложения, умножении н деления.
295
через cost Так как sin21= 1 — cos* l, то sin4 / = (1 — cos2 tf, и
потому имеем уравнение
(1 —cos’ 02+3cos t — cos41 — 2 = 0.
t. e.
2 cos2 i — 3 cos I + 1 = 0.
или 2z? — 324-1 =0, где z = cos t. Решая это уравнение, находим,
что Zi=4“. Z2=l. Задача свелась к решению двух простейших
тригонометрических уравнений: со$/=-^- и cos/=l. Из них
находим, что / = 2лл±-^-, или / = 2лл, n£Z.
Пример 3. Решим уравнение
sin2/ + 3 sin t cos /4-6cos21 — 5 = 0.	(1)
Решение. При одновременной замене sin i на — sin/ и
cos/ на —cos / левая часть этого уравнения ие изменяется.
Поэтому делаем по правилу б) подстановку tg/ = z. Чтобы
перейти к новому неизвестному, заметим, что при cos/ = 0 урав-
нение принимает вид: sin2 /—5 = 0. в то время как при этих значе-
ниях t должно быть sin’/ = l. Поэтому значения (, обращаю-
щие cos t в нуль, не являются корнями уравнения (Г), и, следо-
вательно, обе части уравнения можно разделить на cos21.
Получаем уравнение tg* Г 4-3 1g /4-6— г = 0, т. е. tg2/4~
4-3 tg/4-6 —5 (1 4-lg2/) = 0, или 4 tg2/ — 3 tg t—1 =0. Делаем
подстановку tg / = 2 и получаем квадратное уравнение 4z2 —3z —
— 1=0. Корнями этого уравнения являются числа Z| = 1 я
22 =——. Решая уравнения (g 1 = 1 и tg/=— -1-, получаем
ответ: / = лл4--^-, или / = лп —arcctg n£Z.
Подстановка tg/ = z полезна и в случае, когда левая часть
уравнения R (sin /, cos /) является однородной функцией от sin / и
cos /, т. е. умножается на множитель вида А" при одновременной
замене sin t на A sin / и cos I на X cos /:
R (A sin /, X со$ /) = A"/? (sin /, cos /).
В этом случае надо разделить обе части уравнения на cos" t и
положить tg/ = z (если все члены уравнения делятся на cos'’’ t,
то надо сначала вынести cos'” ( за скобки и разбить данное
уравнение на два).
Пример 4. Решим уравнение
4 sin’ / cos2 / —9 cos4 /=0.
Решение. Левая часть этого уравнения однородна относи-
тельно Sin* й cos/. При ЭТОМ иСе члены уравнения делятся на
cos2 /. Поэтому выкосим cos2 / за скобки:
cos21(9 cos2 / — 4 sin2 /) = 0.
М1Л
Теперь надо решить уравнения cos^ = 0 и 9 cos2Г— 4 sin"' t=О,
Решением первого из них является множество чисел вида
-£-+лл, n£Z. Чтобы решить второе уравнение, разделим обе
части этого уравнения на cos2 / (очевидно, что числа, при которых
cos/ = 0. не являются корнями этого уравнения). Получаем
уравнение 9 —4 1g\' = 0, откуда находим, что tg/=±-^-. Зна-
чит, t = пл±arctg Итак, /=-~|-лл., n^Z, или / = пл±
±arctg-|-, n£Z.
Часто уравнение приводится к однородному простым преобра-
зованием. Например, чтобы привести уравнение
sin2 / —4 sin t cos ^ + 2 cos2 r = 3
к однородному, достаточно умножить его правую часть на «триго-
нометрическую единицу» sirr f-f-cos* t= 1. Получаем однородное
уравнение
sin2t — 4 sin t cos I -f- 2 cos2t — 3 (sin2 (+ cos2 f),
которое решается, как описано выше.
Упражнения
657.	Решите однородные нлн приводящиеся к однородным уравнения:
I)	a sin x4-t cos х=0. a^b;
2} sin2x4-2sinx-eosx 4-cos2x = 0;
3)	5 sin2 x —3 cos2 x = 0;
4)	sin2 x — 10 sin x-cos x+2t cos2 x=0;
5)	6cos2x —2 sin2x= 5;
6)	sin2» —2cos2x4--^-sin 2x=0:
7)	cos2 5x-|- 7 sin2 5x=В cos Sx sin 5x:
8)	sin6 x-j-sin’ x-cos2 x=$ins х-cos' »4-sin x-cos2 x;
sin2 x-cos2 »— [0 s'" x-cos3 x4-21 cos4x = 0;
10)	8 sin4-^- — 3 sin x —4=0;
l|)	sin4 x— cos4 x=sin1' x;
12)	I —3cos2x = 2sinx-cosx.
658.	Решите методом подстановки уравнения:
I)	sin2 x+-^-=sin x;
4
2)	2 sin1 x-cos x-|-1 =2 sin2 x-f-cosx;
Я) 4 siti!’»4-4 cos2 x —sin x —3=0:
4} 4 cos3 x —4 sin2 x—3 cos «4-1 =0;
5} —6 sin x cos1 x — 13 sin2 «4-7 sin x 4-2=0;
6)	2 4-cos2 2x={2 — sin4 x)2.
• U,7
6S9.	Решите уравнения:
I)	sin 2z +sin x = D; 2) xin 3x = sin 2r-|-sin x;
3)	sin(p-f-x)4-sin x=2cos-^-;
4)	lgpx4-(g ?x = 0; 5) sin x4 sin 5x4-sin 9x=0;
fi) cos 4x 4-cos 2л 4-cos x = 0; 7) a sin x-fb cos x=u stn 2x— £ cos 2x;
8)	ig-t+lg 2^4-lg 3x=0; 9) sin x4-sin 3x4-stn 5x=0;
10)	sii> x4-$in 3x-|-cos x4-cos 3x=0; II) cosx—cos 2x=sin 3x;
12)	cos 6x cos 3* — cos 7x cos 4x «0;
VI ♦	1 j _ Аэ <	3 Г" i
—4-cos x-y со>*х4-д/— 4-cos’ z-— cos*x=—
6. Универсальная подстановка. Подстановки, которые мы до
сих пор рассматривали, годились лишь для специальных видов
уравнений. Существует подстановка, позволяющая превратить в
рациональное алгебраическое уравнение любое уравнение вида
R (sin t\ cos 0=0, где, как и выше, R (z; а») — рациональная
функция от 2 и ш.
По формулам (7) и (8) п. 4 § 3 имеем при /¥=(2&+1) л, k£Z:
. 2“4
sin t =---- ;
l + tg’y
i-ts’y
COS (=------.
l+ig2y
(0
(2)
Значит, если положить	то уравнение Z? (sin cos ft—
= 0 принимает вид:
Левая часть этого уравнения является рациональной функцией
от г, т. е. наша подстановка привела уравнение к рациональному
виду.
Замечание. Формулы (I). (2) верны лишь при условия. что /=£«4-
4-2лп. л£2. Поэтому после решения уравнения с помощью универсальной
подстановки tg г надо ещс "ровернть. не являются лн числа вида < = п4-2лл
решением этого урэкнриня,
Пример I. Решим уравнение
3 sin/ —4 cos г=-^-.	(3)
Решение. Замени* sin t и cos / по формулам (1), (2)
и положим (g—=z. Получаем рациональное уравнение
6z _ 41.L — z2j__ 5
l+z?	| +1*	2 ’
которое преобразуется в квадратное уравнение	13 =
=0. Корнями этого уравнения являются числа 2|2 = v?u.
Поэтому задача свелась к решению двух уравнений tg-~-=
= -* 4' ° . Находим, что / = 2пл + 2 arctg — у-J , п£Z. Зна-
чение вида /==я4-2яп уравнению (3) не удовлетворяет.
Замечание. Уравнение {3) можно решить иным способом. Разделим
обе части этого уравнения на 5 (т. е. на у^+-( — 4?):
3 . ,	4 I
— sin I--— СО5 I =-у .
Гак как
,	3
то существует такое число а. что cosa=—,
О
sina=«'—. Поэтому уравнение принимает инд: cos a sin/ —sin a cos/=• —. или
•?
sin (г —-xj = sio • Отсюда находим, что (= а + (- I)11 -^-Ч-ял. n£Z.
о	о
Упражнения
660. Решите уравнение
a sin cos х=с
с помощью унннерсалькой подстановки. Выведите условие, связывающее
параметры а. Ь и с. прн котором существуют действительные решения
уравнения
661. Решите уравнения:
I) a sin x-j-h cos х= yla* + IF;	2) 2 sin х — 9 cos х = 7;
l+sinx _ J
3) 1+cosx 2 *
4) y’3 sin x 4-cos x= y'2;
5} v'5 sin (' x - -J-) + sin (*+ -J ) = V2-
7. Использование формул для кратных углов при решении
тригонометрических уравнений. Если в тригонометрическое
уравнение входят тригонометрические функции не только от /,
но и от кратных ему значений аргумента 2/, 3/ и т. д., то применяют
формулы, позволяющие выразить лги тригонометрические
функции через тригонометрические функции от t. После этого
можно применить методы, описанные в предыдущих пунктах.
299
Пример 1. Решим уравнение
cos 37 cos (-j- sin2 27 —J-cos 7 —i"=0.
•	О
Решение. Так как cos 37 =4 cos3 7 — 3 cos 7, sin 27 =
=2 sin 7 cos 7, го имеем уравнение
(4 cos3 f — 3 cos 7) COS 7 + 4 sin2 7 cos2 7-J- cos 7 ——=0.
1	о
Заменим в нем sin2 7 на I— cos2 7 и упростим получающееся
выражение. Мы получим уравнение
cos2 / — — cos /—— = 0,
4	8
которое после подстановки cos7 = z преобразуется в квадратное
уравнение z2—^-z—^-=0. Корнями квадратного уравнения
являются числа ?i=-|-, z2=—-р Отсюда имеем, что cos 7 =
= ^-, или cos 7=—а потому 7 = ±-~-4-2лл, n£Z, или
4	4	Э
7 = ±arccos -Lq_(2rt + 1) л, n£Z.
Пример 2. Решим уравнение cos 51 cos 27 — cos 77 cos 4/ = 0.
Решение. Здесь замена тригонометрических функций
кратных значений аргумента тригонометрическими функциями от 7
привела бы к очень громоздкому алгебраическому уравнению.
В данном случае целесообразнее заменить произведения косинусов
суммами. Получаем: -у (cos 774-cos 37)—j-(cos 117 4-’cos 37) = 0,
т. e. cos 77 —cos 117 = 0. А теперь преобразуем разность косину-
сов снова в произведение
2 sin 97 sin 27 = 0.
Задача свелась к решению уравнений sin 97 = 0 и sin 27 = 0,
из которых находим, что /=~^. n^Z, или 7=-^, n£Z.
Упражнение
662. Решите уравнения:
I* tg2x«ctgx;	2) I 4-viwx-bcos2x-«0;
3
3) cos* г sin 3*4-sin* х cos Зх=-7-; 4) cos x=cos 2x—cos Зх-
4
8. Доказательство тригонометрических неравенств. Задачи
на доказательство тригонометрических неравенств с помошью со-
ответствующих подстановок сводятся к задачам на доказатель-
ство алгебраических неравенств.
Пример 1. Докажем неравенство
3 cos t — 4 sin IС 5.
(О
Решение. Применяя универсальную подстановку tg—=z,
^л-|-2лл, n£Z, заменим данное неравенство на
3(1
1+г2
Оно равносильно неравенству 8z24- 8z 4- 2 0, которое выполня-
ется тождественно для всех z, так как 8z24-8z + 2 = 2 (2z4-1/.
Неравенство верно и при г=дЦ-2лл, n£Z.
Замечание. Это неравенство можно доказать иначе. В замечании к
3
примеру I я. 6 было показано, что существует число а, для которого
= sm а..
—соз а. Поэтому, вынося в левой части неравенства (|) за скобки
число 5=-^3?+?, получаем: sin a cos j — cos« sin z 1. t. e. sin (— f+«)< I.
Оно очевидным образом выполняется для всех значений (.
Пример 2. Докажем неравенство
(sin '+-^г)2+(cos '+-^г)2>9-
(2)
Решение. Раскроем в левой части неравенства скобки,
применим формулу sin21 -4- cos2 t = 1 и приведем дроби к одному
знаменателю. Получим неравенство
5+ . . 1 ,, >9.	(3)
1 sin_1 cos t
равносильное заданному. Так как sin21 cos2/=-|-sin2 2/, то (3)
принимает вид: - ip»2f- > 1-
Это неравенство выполняется для всех значений t, кроме
t=~-, так как sin2 21 С 1. При этом ясно, что равенство
достигается лишь в точках, где sin22f=l, т. е.
'=f+f’ n^Z
Упражнения
663. Докажите неравенства:
1} ctg 1 -f-dg «. л:
2) (i — lg*x) (1 — 3 tg'J х) (I +tg 2x (g 3xj>0 для любых x из области опре-
деления функций tgx, tg 2х. tg Зх;
30|
сляфр ж)>0 для всех действительных х;
sin" х-1-cos14	1 для всех х;
4 sin За. 4 cos 2а +5 sin а прн любом а;
itg х-f-ctg х, >2 для любого х из области определения;
15 sin х 4" 2 cos х[ <6 Длн всех х;
13 sin 12 cos хК 13 дли веся х;
jeos х+3 sin xl^ v'i0 для всех х;
|3cosx-2 sin xl <4 для всех х;
I sin а| 4- |соз а| > 1 для всех а;
3)
4)
5)
61
7)
8)
Ю)
II)
|2} sin а cos а<-^-
13)
Н)
обе
15)
16)
«14. Докажите неравенство
для всех а;
sin а 4-cos а<у5 для всех а;
(tg «4-ctg а}2>4 для всех а, для которых одновременно спреде.1:
функции tg а н ctg а;
tg* а 4-ctg4 а>2 для всех а из области определения;
^cos а< у2 соьдля всех а,, при которых cos а>0 н С05у>б.
8 sin ------sin х
8 sin х —sin 2х<2^
Пользуясь этим неравенством, докажите, что 4Лгл — Pn>4P*„ — Pin. Т№ Рл
периметр правильного 4-угильникв, вписанного в единичную окружность.
$65. Докажите, что — /7<2 sin x4-sin( *4-7Г ) <V7-
9. Решение простейших тригонометрических неравенств. Ре
шение тригонометрических неравенств вида $inf>/n, соя/>ш,
tg t > m и т. д. проводится или с помощью координатной
окружности, или с помощью графиков тригонометрических
функций.
Пример ]. Решим неравенство sin Г>0.
Решение. Построим график функции sin ( и выберем на оси
те промежутки, на которых график лежит выше оси абсцисс.
Одним из таких промежутков является (0; л) (он выделен на
рис. 171, а), а остальные промежутки получаются из него сдвигом
на 26л, k£Z. Таким образом, решение неравенства sin/>0
является объединением бесконечного множества промежутков
вида (26л; л 4-2/гл), k£Z. Это решение можно записать так:
2*л </<{2fc-|-l) л, k£Z.	(|)
Решим это же неравенство с помощью координатной окруж-
ности. Условие sin />0 означает, что ордината точки At (/) поло-
жительна. Из рисунка 171, б видно, что точки с положительными
ординатами заполняют дугу АВС (за исключением точек Д и С),
откуда сразу находим, что t удовлетворяет одному из двойных
302
неравенств вида 2£л</<(2k-f-1) л, k£Z, что и дает реше-
ние (1).
Решим теперь неравенство sin/>m. Если т^1, то это не-
равенство не выполняется ни прн каком /, а если гп< — 1, то вы-
полняется при всех /.
Пусть теперь — 1^Л1<1. Из рисунка 172 видим, что если
arcsin/п = а, то точки окружности, ордината которых больше,
чем т, лежат на дуге MBN, где М-=М(а.) и A' = .V(n — a),
точки М и N исключаются. Иными словами, иа отрезке [0, 2л]
решением неравенства sin t>m служит интервал (а; п —а), т. е.
интервал (arcsin m; л—arcsin m). Учитывая периодичность sin t,
получаем ответ в виде
И (arcsin т4-2лЛ, л —arcsin пт-Ь2лЛ),	(2)
или, иначе, в виде
arcsin т + 2л£</<л — arcsin m+2nk, k£Z. (2*)
Неравенство sin/<m сводится к разобранному выше под-
становкой (=— Z. Имеем: sin( — 2)<m, откуда — sin 2</и.
т. е. sin z> — т. По (2') получаем:
arcsin (—m)+2An<z< л — arcsin ( — m)-^2kn, k£Z\
учитывая, что arcsin ( —m)= —arcsin m и z= — t, получаем:
— л — arcsin m -f- 2£л < t < arcsin m 4 2fcn. k£Z.
303
Пример 2. Решим неравенство cos О--.
Решение. Так как cos i = sin^—	, то решение данного
неравенства сводится к решению неравенства sin(-^—
Поскольку arcsin'^-=-7-, то в соответствии с формулой (2')
получаем ответ в виде -~-|-2Лл<--з— t <у-л-\-2kit, k£Z. Откуда
выводим, что —— t <-^--|-2fen, k£Z, т. с., меняя знаки
чисел и знаки неравенств.
--^+2fen<:<^-+2fen, k£Z
(если k целое число, то — k — целое). Вспоминая, что
= агссо$-^-, можем записать ответ в виде1
— arccos -~-4-2fe л < f <arccos -^-4-2fen, k£Z.
Аналогично решается любое неравенство вида со$г>т, где
-d <т<1. Как и а примере 2, получаем ответ:
— arccos m-|-2£n<4<arccos я?4-2/гл, k^Z, (3)
т. е. в виде И (— arccos т -|-2Лл; arccos т 4-2йл).	(3')
При /к>1 неравенство не имеет решений, а при т< — I ему
удовлетворяют все значения Г.
Неравенство cos Кт сводится к разобранному подстанов-
кой / = л —2; cos (л — z)<m, значит, —cosz<m и cosz>— т.
Отсюда выводим, 'гто — arccos (—л)4-2fen<z< arccos (—m)4-
4-2fen, k£Z, и поскольку г = л —/, arccos {—т')= л — arccos т.
имеем:
arccos т4-2йл <f<2 I) л—arccos m, kСZ.	(4)
Найдем теперь решение неравенств tg t<т и tgf>w. Точ-
ка М (arctg т) делит дугу DAB (рис. 173) на две части: на ду-
ге DM (без концов D и М) выполняется неравенство
на дуге МВ — неравенство tg От. Значит, решение неравенства
(gt<m имеет вид: — -^-4-fen<r<arctg /к4-£л, k£Z, а реше-
нне неравенства	вид: arctg лт 4-fen < ? <-J-4*
Этот результат может быть получен н с помощью графика функции cos (.
Разбор неравенства ctg/<m (соответственно ctgf>>m)
предоставляем читателю:
arcctg /п-|-£л<г<л + йл. AfZ (соответственно kn<t<arcctg tn4-
-1-йл. k£Z).
Пример 3. Решим неравенство tg х> — 1.
Решение. Построим график функции tg х и проведем пря-
мую у= — 1. Нам надо найти тс промежутки оси абсцисс, на
которых график лежит нс ниже этой прямой. Одним из них яв-
ляется промежуток [ —(он выделен на рис. 174). Другие
отрезки находим, используя периодичность функции tg t (на-
помним, что ее основной период равен л). Получаем:
—С-2-Ня. k(Z.
Упражнение
666. Решите неравенства:
I) sinA<0;	3)
2) су5х>0;	4)slnx<^-;
5) tg2x<l;
6) cig z> — 1.
10. Решение тригонометрических неравенств. В более общих
случаях, чем рассмотренные в п. 9, тригонометрические нера-
венства, как и алгебраические, решаются методом интервалов.
Чтобы решить неравенство / (/)> О (или f (г)<0), находят основ-
ной период / функции [, после чего ищут корни уравнения
f(/) = 0, лежащие на промежутке [0; С), а также точки разрыва
функции f на этом промежутке. Найденные точки делят промежу-
ТАМ ГЛ*	Л UO TTUUP	1Т<1/~Г1Л ТГ'ГГь UO VO XIZ ТТЛ Л	IJO ЦПУ A<ruunua	Г
•	L-*»	V	МГ-Л j	J	IIX4V
ет постоянный знак. Определив этот знак методом пробных точек,
отбираем те части, где он имеет требуемое по условию значение.
В решении данного неравенства каждому такому промежутку
соответствует бесчисленное множество промежутков, получаемых
нз него сдвигами на кратные I. Иными словами, если нера-
венство f (0>О выполняется на интервале 1Л; 4м* |), то в решении
ему соответствует множество интервалов вида
i* + i-|-rt/), rt£Z.
Пример I. Решим неравенство
sin 2t — sin 3/>0.
(1)
Решение. Период функции, sin 2f равен л, а период функции
sin 31 равен у-. Наименьшее общее кратное этих периодов равно
2л. Поэтому 2л — период функции sin 2/ — sin 3/. Так как функция
sin 21— sin 3/ непрерывна на всей числовой оси, надо найти
лишь корни тригонометрического уравнения sin 2/— sin 3t — О,
лежащие на промежутке [0; 2л). Перепишем это уравнение в виде
sin3/ = sin2t, откуда получаем, что 3/ = (— 1)я-2/ + пл, n£Z.
На [0; 2л) лежат корни, соответствующие значениям я=0, 1, 3,
5, 7. 9, а именно 0, у-. у л, л, 4-л. -у л. Они разбивают от-
резок [0; 2л] на части:
На отрезке |_0; y-j выберем пробную точку -у. Так как
f(y) =sin 2-у—sin 3-y-=sin у—sin у-<0,
то на всем отрезке [б; y-j выполняется неравенство sin2/ —
— $in3/<0. С помощью пробных точек устанавливаем, что тре-
.. .	/ л Зя \
буемое неравенство (1) выполняется на промежутках |у; у),
(л; -Z-л), (у-л; 2л). Поэтому решение данного неравенства
является объединением всех промежутков вида
(у-+2лл; -|-л-|-2лл),
(’ Л + 2лл; у л 4- 2лл ), ( У Л 4-2лл: 2л (л+1)), где п 6 Z.
Пример 2. Решим неравенство
tg-j— *ет>0-	<2»

Решение, Основной период функции tg 4" равен 2л, а ос-
новной период функции tg у- равен Зл. Наименьшим общим
кратным чисел 2л и Зл является 6л. Это число является периодом
для функции tg——Итак, будем решать неравенство (2)
на отрезке [0; 6л]. Найдем корня уравнения
'g-H tgf=O.	(3)
лежащие на этом отрезке. Из (3) имеем: -у=у-+лл, откуда
Г=бпл. На отрезке [0; 6л] лежат корни 0 и 6л. В точках, где
со$4~=0 или ео$4-=0, функция tg—tg 4~ разрывна. На от-
резке [0; 6л] лежат точки разрыва л, ^-л, Зл, -|-я, 5л.
Найденные точки разбивают отрезок [0; 6л] на части:
[0; л][л;ул], [у-л; Зя], [Зл; ул], [ул; 5л], [5л; 6л].
Методом пробных точек убеждаемся, что решение неравенства (2)
состоит из всех интервалов вида (где n£Z)
(бпл; л4-6пл), (у-я-|-6лл; Зл-|-6пл), (-ул+6лл; 5л-|-6лл).
Решение тригонометрических неравенств облегчается исполь-
зованием четности или нечетности функции f. Если f — четная
функция и она положительна внутри промежутка [х*; x* + j],
то и внутри промежутка [—x*+i; — х*] она положительна. Ана-
логично, если функция f нечетна к положительна внутри про-
межутка (х*; гА + |], то внутри промежутка [—х*+г, — х*] она
отрицательна.
Б разобранном выше примере функция была нечетной. Поэтому
было бы удобнее рассматривать ее не на отрезке [0; 6л], а на от-
резке [ —Зл; Зя], убедиться методом пробных точек, что она по-
ложительна на промежутках (0; л) и Зл) и отрицательна
на промежутке (л; у"я), после чего заключить, что она поло-
жительна еще на промежутке I—|-л; — л)- Это сразу дает
ответ в виде (бпл; л-|-6пл), (—ул4-6лл; — л-|-6пл) ,
(л6пл;3л + бпл ] , который лишь по форме отличается от
полученного выше.
w
Упражнений
6$7. Решите неравенства:
I) sin 2х> — cos 2х; 2} sin 2х < cos 2х; 3) sin х cos х<0;
4) sinxc<gx>0;	5) tgxcoexcO;	6) ctg 5ir>-~-;
'5
7) ig ।, >J; sinxsin 2x>sin3xsin 4x; 9) sin"* x f-cos'1 x<-^-:
10) cos* x(tg x-f- |)> 1; II) tg^-> 5№ T J~1Qh 1 ; )2) sin x4-cos x> I;
2	sin x 4-2 cos x
13)	sin*x4g( )<sin2x.
II*. Некоторые неравенства для тригонометрических функций.
Мы знаем, что при -у->х>-0 выполняются неравенства со$х<
<— < 1 (см. п. I $ 4) я потому xcosx<sinx<x. Из не-
равенства sin х<х вытекает, что cos х = 1 — 2 sin* -£> 1 —
/ х\2	Х?
— 2(^—} =1——, з потому для sin х имеем неравенства
х —^-<sin х<х.	(])
Они позволяют приближенно находить значения sin х прк поло-
жительных малых значениях х.
Пример 1. Найдем значение sin ОД с точностью до 0,001.
Решение. Из (I) следует, что 0,1—°'^и| <2sin ОД <0,1,
т. е.
0,0995<sin ОД <0.1.
Значит, с точностью до 0,001 имеем: sin 0.1 =0.1.
Мы выведем сейчас неравенства, позволяющие находить зна-
чения sin х с большей точностью. Покажем сначала, что sinx>
Для этого образуем вспомогательную функцию
<p(x) = sinx —*4~.
О’
Эта функция обращается в нуль при х = 0, а ее производная
равна: у' (х)—cos х — 1	. Но мы уже доказали, что cosx>
>1—и потому ср*(х)>0. Значит, функция возрастает на
луче li); -Unn) ut поскольку ф(0)~0. принимает из этом луче
неотрицательные значения. Это и значит, что sinx>x —

Последовательно применяя это рассуждение к функциям
sin л к cos х, получаем следующее утверждение:
Теорема I. На луче [0; + <») выполняются неравенства:
Х-— + -
3! + 5’
и
(4/1-1)!
(2)
3! ’ 5!
(4д —I)!	(4л -|-|)!
2!	4!
(4/1-2)!
(3)
Разность
равна
Un
21* 4!	" <4гт -2)!	(4л)!	’
правой и левой частей в неравенствах (3)
= 4; . Покажем, что для любого х эта разность стремится
к нулю при п-> оо. Для этого найдем отношение -^2±L•
и<+, _ х’**1» . ж*" ______________х4
и„	(4/» + 4У ’ (4л)!	(4/г + 1)(4п+2)(4л+3)(4п + 4} ’
Таким образом, что если 4л +1 >2х, то это отношение меньше,
чем -3-=-^-. Значит, начиная с такого я, значения разности на
2	!6
каждом шагу уменьшаются по крайней мере в 16 раз, а потому
стремятся к нулю при п -* оо.
Отсюда видно, что с возрастанием п как в (2), так и в (3)
левые и правые части приближаются соответственно к значе-
ниям sin х и cos х. Это выражают, записывая, что sin х н cos х
являются суммами бесконечных рядов:
sin х=х—£ + д	И COS 1 -£ + £	.
Пример 2. Найдем значения sin 0.12 и cos 0,21 с точностью
до 0,0001.
Решение. Так как —<0,0001, то имеем:
0,12—^<sin0.l2<0.i2 —+ -^
Вычисления показывают, что 0,1197...^sin х^0,1197... . Значит,
с точностью до 0,0001 имеем: sin 0,12 = 0,1197.
Далее, <0,0001, значит,
4’
2!	21	Ч!
Вычисления показывают, что 0,9780... cos 0,21	0,9780... Зна-
чит, с точностью до 0,0001 имеем: cos 0,21 =0,9780.
ОАО
Упражнения
663. Постройте на одном чертеже графики функций:
х' х'1 х^	х' х' х*
1) ыпх; л; х-— и г-— + —, 2) cosx; I; 1 и |	+ —.
660. Вычислите с точностью до 0,0001 значения:
1) sin 0.35: 2) cos 0.42; 3) tgO.15; 4) sin 32“; 5) cos 25“; 6) lg 17й.
§ 6. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Определение, свойства н графики обратных тригонометри-
ческих функций. Мы доказали в n. 1 § 5. что каждому числу х
из отрезка [—1; 1J соответствует единственное число Го, принад-
лежащее отрезку [—-у], и такое, что sin/o=x. Это число
f() было обозначено arcsin т. Тем самым определена функция
arcsin х, заданная на отрезке [—I; 1] и принимающая значения
от —2- до -2-.
Так как отношения
у=arcsin х, — l^x^l И51пе/=х, — ^^4-
X	X
следуют одно из другого, то функция arcsin х обратна функции
sinx, —
По теореме об обратной функции выводим, что функция
arcsin х непрерывна и возрастает (поскольку этими свойствами
обладает на отрезке^—у-; функция sin х). График функции
arcsin х получается нз графика функции sin х с помощью осеаой
симметрии относительно прямой у=х (рис. 175).
Рис. 175
Рис. 176
Аналогично определяется функция arccos х, — 1<х<1. Она
обратна функции cos х, рассматриваемой на отрезке [0; л]. Поэто-
му равенства
у = arccos х, — 1<х<1 и x = cos^. О^^^л
следуют одно из другого.
Функция arccos х непрерывна на отрезке [—Г, 1] и монотонно
убывает на нем от л до 0. График этой функции получается с
помощью осевой симметрии относительно прямой е/ = х из графика
функции cos х. Он изображен на рисунке 176.
Функция arctg х обратна функции tgx, взятой на промежутке
(—у-) - Поэтому равенства
t/ = arclgx, — оо<х< + <зо Hx = tgy, —
следуют одно из другого.
Функция arctg х непрерывна на всей числовой оси и моно-
тонно возрастает на ней от —А до —-(самих значений — -у
н — она не принимает). График этой функции получается из
графика функции (g х, — -у<х<-^-,с помощью осевой симметрии
относительно прямой у = х. Он изображен на рисунке 177.
Наконец, функция arcctgx обратна функции ctg х, 0<х<л.
поэтому равенства
у—arcclgx, — oo<x<-f-oo и x=ctgу, 0<С</0
следуют одно из другого.
гЪ	> n	+ V- iiuiTHOnLfDUO uo ornu HUP ЧАЙ APU LT unun-
VJlinnri/l	~	.....v--.................
тонко убывает на ней от п до 0 (не принимая значений л н 0).
Ее график получается с помощью осевой симметрии относитель-
но прямой у —х из графика функции cig х. 0<х<л (рис. 178).
Упражнения
670. Найдите область определения следующих функций:
I 2л	х __ 3
I) у=arcsin (х—2);	2) у= arccos--------;	3) у arcsin -—~—
671. Ограничена лн на всей числовой осн функция у— arctg2 х + 1 ?
2. Вычисление пределов, связанных с обратными тригоно-
метрическими функциями. Мы знаем (см. п. 1 § 4), что
lirn =1. Положим в этом равенстве sinx = f. Тогда имеем:
х — arcsin t, причем /->-0 при х -* 0. Следовательно, равенство
lirn-^-^-=l принимает вид:
arcsin/
Аналогично из равенства lim =| (см. n. I § 4) выводим,
ж —О X
ЧТО
Пример 1. Вычислим предел lim 
Решение. Имеем:
lim аг“|п3х = lim аг“|п	 %-
х . О Sin (X Л-о Зх sm <х 7х
15_ arcsin Зх .. 7х 3	3
X о Зх г _ 0 sin 7х 7	7
Пример 2. Вычислим предел lim -arctE .
‘ г	г х-о arcsin 9х
Решение. Имеем:
iim a[ct?4/ = Нт •	*	 £ =
х— 0 arcsin 9х х . о <х arcsm 9х 9х
= |inl±±£±..
X —о 4х
lim
л —О
9х
arcsin 9х
Пример 3. Найдем точки разрыва функпии и = arctg (tg х).
Решение. Так как функция arctg х непрерывна, то точка-
ми разрыва могут быть лишь точки разрыва функции tg х, т. е.
точки х—|-лл, n£Z.
Упражнение
672. Вычислите предел:

lim
X -О
arclg 9х
arcsin 6х
2)
Jim
к-о
arcsin Ъх
tg5r
3. Дифференцирование обратных тригонометрических функ-
ций. Поскольку графики взаимно обратных функций <р и ф сим-
метричны относительно прямой у = х, то из дифференцируемости
функции ч» в точке х0 следует дифференцируемость функции Ф в
точке уо—<р(хо). В самом деле, дифференцируемость ср в точке
xQ означает существование касательной к графику этой функции
в точке Mi (хо, Уо)- Но прямая, симметричная с этой касатель-
ной относительно прямой у = касается графика обратной к
ф функции в точке /Vt (у0, х0) (рис. 179). А это и значит, что функ-
ция ф дифференцируема в точке уо (в более подробных курсах
анализа это утверждение доказывается без ссылки на геометри-
ческую очевидность).
Применим доказанное утверждение к выводу формул диф-
ференцирования обратных тригонометрических функций. Мы зна-
ем, что если у — arcsin х, то sinp = x и —Продиф-
ференцируем обе части равенства sin у=х по х, считая у промежу-
точным аргументом (см. п. 3 § 4). Получаем, что cosjpy'=l,
т. €. ц' ——-—.
*	£03 у
Но
cos у = ± УГ— siiTry= ± vl — х2.
Рис. 179
313
Теперь найдем производную от функции arctg х. Если у=-
arctg х. то lgy = x и потому у = 1, т. е.
у' =cos2 у.
Но C0S^=-rH?7 = ту? Итак-
(arctg х)'=у-4.	(3)
Аналогично устанавливается формула
(arcctg х)' = —г-4.	(4)
1 "г *
Из полученных формул вытекает, что
d (arcsin х) =	,
d (arccos х) =----^4
V1-х2
d (arctg х)=-рйр-,
d (arcctg х)= -.
Пример 1. Найдем производную функции:
з) arctg2 Зх; б) х5 arcsin 4х; в) ----4
15	arccos 2х
г) arcsin х-arctg х.
Решение, а) По формуле (3> имеем:
(arctg8 Зх)'=2 arctg Зх-f-j^- -3=	.
б) По формуле (1) имеем:
(х5 arcsin 4х)'=5х4-arcsin 4х
4-
у| —16г2
в) По формуле (2) имеем:
(______!____
\ arccos 2х
Л
( 1 Ь I Ъ Ъ U 1г£ь4Ь*я •
Че < f *	f х> I'lvvm •
_________1
arccos2 2х
—’—) *2-
VT^4?/
(arcsin x.arctg x)' = ^^- +	.
h f VTZP 1 + x2
Пример 2. Напишем уравнение касательной к графику
функции у — arctg 4х в точке с абсциссой .
Решение. Имеем: х0=^-. у0= arctg 4-^-=Т •
У = i+(4x)' = "+I6X2 ' У'О== | + 1б(_1_у =2‘
Значит, уравнение касательной имеет вид:
.«=т+2Ж)
Пример 3. Вычислим с точностью до 0,001 значения
arcsin 0,52 и arctg 0,97.
Решение. Если положить f(x)= arcsin х; х = 0,5; h = 0,02,
то
arcsin 0,«52 = f (x-hh)»f (x) + fz (x) h.
Поскольку
f (0,5)=a resin 0,5=-^-,
/'(0.5)=—= to
arcsin 0,52»-2-+-2# -0,02 = 0,5467.
o 3
Более точное значение равно 0,5469.
Аналогично при / (х) = arctg х; x=l; h=—0,03, имеем:
arctg 0,97 = f (x-HM(W (х) h.
Поскольку f(l)*= arctg 1=-^-, Г (1)=ттр- — у- то
arctg 0,97»-J— 2_.0,03»0.770.
Для более точного вычисления arctg х при |xi<l применяют
неравенства:
^-т+f—-^7<arct^<
I 21—	х4"-1 | х*‘+'
<Х 3 + 5	*rt-l	4n + l ‘
Эти неравенства доказываются аналогично неравенствам
из п. Н § 5. Соответствующие неравенства для arcsin х более
сложны.
Пример 4. Найдем с точностью до 0,0001 значение arctg 0,5.
Решение. Сначала найдем такое д, что °,'5"	<0,0001.
Видим, что достаточно взять л = 6. Отсюда следует, что
Лс ОЛ3 _1_ 0-51	0.5х I 0,5*	0.5"
” + “------“+"9-------
<arctg 0.5<0,5-^ + М -	+ °*
3	5	7	9
Вычисляя, находим:
0,46364... < arctg 0,5<0,46368... .
Значит, с точностью до 0,0001 имеем:
arctg 0,5 — 0,4636.
Упражнения
673.	Найдите производные следующих функций:
I)	$r = arc$in3 2z;
2)	y = arclg4'x;
3)	y = Varclgz1;
4)	y = x-arctgx;
5)	у = arcsin х+агссазх:
Z- I		ЛгЛ-
6)	y=arcsin ;
7)	if — arcsin (sin x);
8)	y —arcsin (x1)4-arccos (x*);
x-arcsin x
674.	Постройте графики функций:
I)	y = arctg “ГТ";	y = 2x+arctg±:
1 I A	z
2)	y=x — 2 arctg x:	4) ^=x-arctgx.
4.	Некоторые тождества для обратных тригонометрических
функций. Из определения обратных тригонометрических функции
вытекает, что записи t/ = sinx, —и х=arcsin (/,
— 1 означают одно и то же. Заменяя в равенстве e/=sin х
переменную к на arcsin у, получаем тождество
sin (arcsin у) —у, — I < у < |.
(О
Аналогично выводятся тождества:
cos (arccosу)=у, —	(2)
tg (arctg у')=у, -«-<!,< 4-op,	(3)
ctg (arcctg 0 = 1/, -оо<|/< 4-00.	(4)
Далее, заменяя в равенстве х = arcsin у переменную у ив sin х н
учитывая ограничения на х, получаем тождество
arcsin (sin х}=х, —(5)
Аналогично устанавливаются тождества:
arccos (cos х)=х. 0<х< л,	(6)
arctg (1g х) = х, —
arcctg (ctg x) =x, 0<х<л.	(8)
При выводе некоторых тождеств можно использовать след-
ствие 2 теоремы 1 из п. 3 § 3 главы V — проверять совпадение
производных двух функций и равенство значений функций в
одной точке.
Пример 1. Докажем тождество
arccos х=^~— arcsin х.	(9)
Решение. Так как (arccos х)'—arcsin х) = —'--у,
то производные левой и правой частей в (9) одинаковы. При этом
arccos 0=-^-и —arcsin 0 = -£-.
Значит, функции совпадают при всех х из [ —1; Ц
Пример 2 Докажем тождество
{х —2лл, если — 2лп х 2лл,
я (Ю)
л —х—2лп, если -^-~|-2лл<х<-у л4-2яп.
Решение. Функция arcsin (sin х) непрерывна, поскольку
непрерывны функции arcsin х и sin х. Ее производная имеет вид:
' __ (5'П X}' _ СОЗ g _ cos X
у] — sin* х -^/соз’д Icoexl
Так как
cos х>0, если —-^-Ч-2лп<х<-2- + 2лп,
и
cosx<0, если	|-2лл<х<—-л-|-2лп,
то
w'=l при — -^-|-2лп<х<^-~}-2лп,
у'= — \ при -^-+2яп<х<4"я + 2яя-
и
Е>го значит, что график функции arcsin (sin х) является ломаной,
звенья которой поочередно наклонены под углами -у- и к оси
абсцисс. Поскольку arcsin (sin An)=arcsin 0 = 0, легко получаем
формулу (Ю).
Упражнения
675.	Докажите следующие тождества:
I)	arctg х +arccig z=y ;
2)	arcsin *_ (arcws <Г“?-	'•
I — arccos y'i —x?. ~ I <x<0:
3)	arcsin №arctg - x  . — l<x<|;
4!	arctg x~arcsin — Л , . — oo<x<oo;
yH-x*
5)	arctg— = arctg x. x=£G;
6} 2 arccos x«arccos (2хг—1). OCrCl;
7)	2 arcsin х = ягс$1п (2x VI — x2). 0<x<—;
8)	2 arctg x= arctg0<x<J;
9)	nrclg (tg x)=x —fen. fen—± <,<**+*.;
10} arcetg |Ctg x)=x —fen, fe.i<x«fe+11 a.
5.	Уравнения и неравенства, содержащие обратные три-
гонометрические функции. Уравнения вида /(arcsin %)^=0,
/(arccos х) = 0 н т. п. решаются методом подстановки.
Пример 1. Решим уравнение
2 arcsin2 х — 1 arcsin х + 3 = 0.
Решение. Подстановка arcsin х = г приводит данное
уравнение к квадратному уравнению 2z2 —7z-|-3=0. Его кор-
нями являются числа Z|=3, г?== Но корень 3 не удовлет-
Л
воряет условию — -у- С arcsin х<-~, и потому мы берем лишь
корень Решением уравнения arcsin х=4- является
=sin-l-f откуда с помощью микрокалькулятора находим
X. 0,4794.
Неравенства вида f (arcsin х)>0 и т. д. также сводятся к
алгебраическим неравенствам подстановкой arcsin x = z.
В заключение рассмотрим уравнения вида А (гр (х)) = 0,
где А — обозначение одной из обратных тригонометрических
функций. Для их решения надо положить tp(x)=z, решить
уравнение 4(z) = 0 н найти корни уравнения ф(х)=?|, где
zi — корень уравнения Д(?)=0.
Пример 2. Решим уравнение
arcsin (х2-4x4-3)=0.
Решение. Подстановка х2 — 4x-]-3=z приводит данное
уравнение к виду arcsin z = 0. Это уравнение имеет единствен-
ный корень z = 0. Решая уравнение х2 — 4х-|-3 =0, находим
два корня: Xi = l, х2 —3.
Упражнения
676.	Решите уравнения:
I)	arcsin2 хarcsin х4-—= О;
X	I О
2)	arccos2 х—ягсс<ж х 4- i- = О:
'S’t	*
3)	arcsin2 Х—Ц-arcsin X4-—«О;
4	4
5л , л2
4)	arctg2 х — — 4-^=0-
677.	Решите ураинення:
I)	arcsin(x2 —Зх + у) =-£;	2) arcsin (х2—4x4-2)=-
878. Решит* неравенства:
I) —Сarcsin (х2-Зх)С-р-; 2) — S^arctg2 2х —б arctg 2х<7.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Для облегчения работы с книгой предлагаем примерные ва-
рианты контрольных работ, согласованные с примерным пла-
нированием учебного материала (материал взят нз пособия
М. Л. Галицкого. М. М. Мошковича, С. И. Шварцбурда «Углуб-
ленное изучение курса алгебры и математического анализа, ме-
тодические рекомендации и дидактические материалы»).
Контрольная работа М I
1.	Данн точки А (—2; 5), В (2; 2), С (10; 0).
а)	Докажите, что треугольник АВС тупоугольный.
б)	Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Найдите ко-
ординаты точки D.
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, ре-
шите неравенство |х — 3| 4- i24-xl <2x-h3.
3.	Докажите, что число 2	4-3 уЗ4-5 -уЪ не является рацио-
нальным числом.
Контрольная работа 2
1.	Докажите методом математической индукции, что
2 4-184-604-- + г!(«4-1)(2л-1)=-1-л(я4-1)(«4“2)(Зл-1).
2.	Докажите, что 7-5*',—1 4-2Лл + 1 делится на 17 при любом на-
туральном значении п.
3.	При каких значениях Ъ сумма квадратов корней трехчлена
bx1 +(b + 2}х — ЬЬ равна 10-у?
4.	Докажите, что при nf-N. п^5 справедливо неравенство 2Л>
>л24-л4-2-
Контрольная работа Л* 3
I.	Прн каких значениях а и b многочлен 2х44-3хэ —ах*4-дх—3
делится без остатка на Х4-3, а прн делении на г —2 дает оста-
ток, равный 5?
2.	Найдите целые корни многочлена х* —27х2 — 14x4-120.
3.	Докажите, что нечетная степень числа 48, увеличенная на I,
кратна 7.
4.	Разложите на множкесли методом неопределенных коэффи-
циентов многочлен х4—Юх’Н-??*2 —14x4-2.
5.	Разложите на множители многочлен х12 —Зх64-1-
320
Контрольная работа М 4
1.	Докажите, что если А (х)>0 для всех х, при которых опре-
делены функции /(х) и ф(х). то неравенства ^(х)Сф(х) и
f (х) Л (х)<ф (х) Д (х) равносильны.
2.	Докажите, что при а>0 имеет место неравенство
(а + З) (а + 6) (а + 2) (а 4- 1)>96аг-
3.	Решите неравенство
(х*+3г-] 81(4^-4х
(х’-Ях-Ь б) (3^-8^+14}	'
4.	Решите уравнение
2 Эх _ 3
х-3	2 —2х	?-1 
5.	Докажите, что при любых действительных значениях хну
имеет место неравенство х2 4-1 $у2 — бху -]- I Ох — 26у 4- 30 > 0.
Контрольная работа № 5
J. Докажите, что произведение двух нечетных функций есть функ-
ция четная на их общей области определения.
2.	Дана функция у =
а)	Найдите наибольшее значение функции.
б)	Докажите, что на промежутке [3; 4- оо) функция убывает.
3.	Исследуйте на четность к нечетность функцию
f (х)^ Iх - 21 4-3|хI 4-	+ 4-
4.	Даны функции f (х) = 2х2 — I и ф (х)=т/3х — 1. Найдите f (ср (х));
ф(П<
5,	Найдите наибольшее значение функции
у = 2х - -Jx^4x 4- 4 - т/4х3 + 20х 4- 25.
Контрольно* работа № 6
1.	Дана функции
( 21x1"" при х<2,
нги J х .
I п₽и *>2-
Найдите пределы этой функции при х — » н х^4-оо
2.	Найдите lim (7^—Цг---------%.—£-4“ ) 
3.	Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрес-
сии, если ее сумма равна 8, сумма второго и третьего членов
равна 3, а знаменатель прогрессии является числом рациональ-
ным.
4.	Найдите lim ( '-+4 4-7+ •••+•?*-2} _ frt+JX
It - со \	2а + I	4	/
Контрольная работа Л& 7
1.	Найдите пределы:
а> lim( '
»-.j\x-3 jt-8 / ’
6)
lim
i -* —
х14-4x^4-6x4-3
2x?4-3r4-J
2.	Дана функция
( при х< — I,
/W = 'I 2 — х2 при — |<х<2,
1 — 3 при х>2.
а)	Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее
график.
б)	Найдите limj(x), lirnf(x), lim f (г).
3.	Докажите, что уравнение х3 — 5x4-3 = 0 на промежутке
( — 3; —2] имеет корень. Найдите значение этого корня с точ-
ностью до 0,1 (используйте микрокалькулятор).
4.	Докажите, что функция g (х)=х2 — 6х-]- 10 необратима. Най-
дите функцию, обратную g (х) на промежутке [3; +<»), и по-
строите ее график.
5.	Найдите Jim 1‘--i4^2n-iV—.
6.	Найдите значения параметров а и b из условия
Контрольная работа № 8
I.	Материальная точка движется по прямой согласно уравнению
$(/} = /•* — Д1+2/-1 (см).
а)	Найдите ее скорость в момент времени /=3 с.
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 9 Ц-?
алл
2.	Найдите /' (1), если f (х)==8л	•
3.	Дака функция ф(х)=4-Ц- к ее графику э точке х0 = 2
проведена касательная I.
а)	Напишите уравнение касательной /.
б)	Существует ли касательная к графику функции ф, отлич-
ная от / н параллельная Z? Если существует, найдите ее
уравнение.
4.	Дана функция g (х) = Зх (2х — 1). Найдите все значения х,
при которых: a) g' (х) = 0; б) g' (х)>0; в) g'(x)^0.
5.	Дифференцируема ли функция у — | у"| в области ее оп-
ределения?
6.	Известно, что
(х— 2)50 =^o<jxsi)-t-aix<9+ 4-^9-* -ра5о-
Найдите сумму 50оо4-49а( 4-... 4-2а<8 + <*«-
Контрольная работа М 9
I.	Дайте определение непрерывности функции в точке и на отрез-
ке. Докажите теоремы о непрерывности суммы и произведения
двух непрерывных в точке функций.
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график: у —
3.	В арифметической прогрессии шестой член равен 3, разность
прогрессии d>0,5. При каком значении d произведение пер-
вого, четвертого и пятого членов будет наибольшим?
4.	Докажите, что функция у = 0,2х54-х44-2х34~2х24-5х возра-
стает иа R
Контрольная работа М 10
1.	Известно, что tgoc=— и -у<а<2л.
Найдите значения sin а и ctg а.
2.	Упростите выражение
14-С05 а ./ j / I -j-cos а \ 2 Ч
sin? а \	' \ sin а / /
з з
3.	Дана функция f(x) = sin -у-х-Ьб cos х.
а)	Найдите /(0), /(7л), f \ — 12л).
б)	Покажите, что число 8л является периодом этой функции.
в)	Найдите основной период функции [.
'КТО
4.	Исследуйте на четность к нечетность функцию
<fi (x) = xJ4-2 sin x-|-ctg x.
5.	Решите уравнение 2 sin3 х-|-3 sin2 х— 2 sin х = 0.
6.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармо-
нического колебания, заданного формулой z/ = $in(2x4--^-) .
Постройте график этой функции.
7.	Докажите, что sin3 a (I 4-ctg a)4-cos3 a (I 4-tg	•
Контрольная работа Л* //
I.	Докажите тождество
J -1g л
sin(-j-4-a) .
2.	Найдите sin 2а, cos 2а, tg 2а, если etg а=-\/2 4- 1.
3,	Решите уравнение cos х — cos 2x=sin Зх.
4.	Проверьте равенство —-—-—4 sin 70<> = 2.
$Ш IOJ
5.	Найдите угол между асимптотой графика функции у =
^-2хг + 3	.	.
= —-—— и касательной к этому графику в точке с абсциссой
х т'
хо= 1
6.	Докажите тождество
1 4- 2 cos 2а 4- 2 cos 4а 4- 2 cos 6а =	.
sm а
Контрольная работа №12
1.	Решите уравнение 2 sin (5x4-2) 4-3 cos2 (5х 4-3)=3.25.
2,	Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у=
= sin(4x—2) н у = —со$(3х4 5),
3.	Решите уравнение sin2 x-psirr 2x4-sin2 Зх=2.
4.	Докажите, что при а>0, 6>0 уравнение
о sin 5x4-2 -y'ab-\-b2 cos 5x-f-2a= — 46 не имеет решений.
5.	Найдите а-|-0, если ctga = 0,75, tgp = 7; 0<а<—,
2
п<В<4л-
2
5. Решите уравнение
cos2 х -f-cos2 2х 4- cos2 Зх 4- cos2 4х = I —.
4
Контрольная работа Л? 13
I.	Найдите
2.	Вычислите:
a) sin (2 arcsin ; б) arcsin (sin 5).
3.	Решите неравенство cos -£-cos 2x-psin -J-sin 2x>^
4.	Решите неравенство arcsin x< arccos x.
5.	Решите неравенство sin Зх> sin 5x.
Контрольная работа Л5 14
g_x7 2
1.	Решите неравенство ->—•
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функ-
ции f(x) = -^y. Найдите асимптоты и постройте график
этой функции.
3.	Разложите на множители многочлен х3 -(- 8х + 24.
4.	Докажите, что при всяком n£N число (0я-j-45rt — 1 кратно 27.
5.	Найдите все решения уравнения sin 2x-|-cos х-^2 sin х= — 1.
удовлетворяющие условию 0<х<5.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА I
5.	bJ — 4ae — точный квадрат. 7. 2) —4.0,85840.... 12. Нет. |3. 0.888.... 20. I) [0; 8)
2) (-4; Щ 3) (-4; 0)U(9; И); 4} (-4: -2)U[0; 11). 21. I) (I5«+2| hEAQ:
2) {6/t f-S.n€Aty 3) {30л + ]7•«€*); 4) f30n+2inEAFRJC. 23. Разделяющие числа:
2) [^3; ySj; 3) 2лЯ; 5) 2. 24. 3) |x+l|<4; 4) 1x4-11 <4. 25. I) (—1; 9/.
2) (-«»; -5JUI-1; +«»); 3) (-0.5; + ®); 4) (-1; 0); 5) (—*>; -V7)U
U(- v'3; v'.^Ut-v'T; + «): 6) (- 1; 3): 7) (0; 12): 8> (- «; — 6JU(6; +	9) [-5; 5j
10) X. 26. |JHI;3h2){-ao; - IHJ[I; + «>); 3)(-*>; 2]u(3; 4- oo); 4) .'5; + <*>}.
U V: 2>	3> JV; 4) 3	35,3) °-<24Ш6>: 4> 7- 5) 4‘ 6> 3- 4Q- C (14)
и P(5). 41. 54(8.25). 43. I) C(0). 44. .4(0; -4-\/2T) и Я (0; -4+-уЯ).
45. 2,5. 46. $75. 48. 0(2.5; 0.5); (3; 4); 25. 49. (2; -2). 50. Л<(у; у) •
ГЛАВА II
.58. I) 2; 2) 16. 59 |) у|; 2} 0.5; 3) 0.25; 4) -I. 61. 1) дл + х4±); 2) 24abc.
70.	+	94. П. 06. д=-30; 5 = 28. 102. 5) (х - 1)(х2-к |}(х2 + х-1);
8)	(x"-6z-F 18)(хг+6х+]8).	|2)	(^-V3x + l)(x?+V^-b])(x2-x+i)X
X(xJ + x±]l. |М. 2) г1- 14х34-49х-36. 105. 3. |06. 3. 107. а = 32,25;
*»49- из. о ттугс; 2) -уу-; 3) 0.25. ||7.х.= -2; х2=-3. 119. I) х,=0;
12	I ±71-4m
х--4; о) х=]з; 4> *1=1 —1; xaj=--------- (прн т<0^5); ]0) 5;
11) л,—— ]; х1л=±2; указания: 6) х,»0; 8} Х|=0; |3) Xi — — m;
12) X|=a; 14) xt,3=—1,5; 15) Xi«ra; 16} zt = |~.p ; '7> подстановка у--
=z4-a; ]8) подстановка y=x— 0.5. I2O. )) Подстановка w«x4-—;
2) 6±724; 3) подстановка y=x-f-—; 4) подстановка y=x(l—x); 5) при-
вести к аилу х4(х+2а)’ = л,(й-2х)’; ]0| х1Д»±2л; ||) х1Л»±а^З;
]3) Xt=l; х-2,з — —3± — ; 14) (2; 0,5; —3. —у| • |5)	|; Хт.» = 2±-^3;
16} {-I; 3; -у| ; ]7) подстановка g=x-|.^-; )8) х1г«_|±72; х3.< =
-з±<Тз
=-----2--' |22’	i~e°’ l)U(2i 3)U(4; +эо): IO) <_оо; -DU(3; 4).
ГЛАВА III
145. -4х2 + 8х±3. 146. S(q)^-~^. 155. S=x	D(5}=(0; 2/?).
158. S (tf}=2L+2-vOT7. 159. V{H)---4- v«yr+2«s 
166.	p (x)« 2x+4 V(2*-ft+x)(A-x};	S (x)=2x 7(2/? - ft ± x) (A -TJl
'w=-rrr- ,и K'-f)1- i7“-
{я— О при	——
1 . v 4—.	г—
(;-(2-,-1)д/-у-)-|(/-(2/.~|)д/^-)2 прн(2П-|)Х
/ ли	I ъи
Хл/^у-^/<{2л + 0д/-^-. ^N.
’ в	* *	2Гх’+П х2
188- |} х*-а?-2; 2) х((л*-5ж4-2)»+1к 3)	; <) -р^уЛЮ-ОжЧ
+(г1+1)3; 2) ?(?ЦХ 3) г(/+1)а: 4) (^ЧП1; 5) хЧ1: 6) 04-1)4
4-(х-»Л)Ч). 190. 1) (-]; Ц 2) {0: Ц 3) [-0,5; Ofc 4)	0); 5) (-со; 0}
$) (_ |; 4-оо) |94. |) xtj=*36; 2) *5 =«06 = 30; 3) a । о—0.5; 4) а»; 5) азо.
198. См. № 84. 2М. -^((	) ' 2°®’ ** '& '
Р, (-7; 7}; Q, (4; -3). 206. Л4’(-8; 12}; N' (0; 5); Р, (6; -3}; Qi (13; -Ю}
211. I) Гомотетии с коэффициентом 2 и центром 0(3; ]); 2) гомотетия с коэф-
фициентом 2 и центром 0(4; —3). 214. |) —4; 2) 2; 3) не существует;
4) 0. 2И- у-4х-|-23. 219. *=—0,5; у = -0.5х4-1,5; у = -0,5x4- 4. 226. х,=
_А_Л. 4=2ах. 229. 1) У-^-: 2> У—	
—1	. 234. [0,5 —— 0,5 + V^SJ- 237. Четные 3,1 и 7; нечетные | я 2.
2“'f t7)tjTx,; 2>	; 3>
4) * J 4-	| . 240. 0. 245. Функция у=Цх+а) четна. 246. Функция
^ = /(х4-о)— b нечетна. 247. I) х=3; 2) х=1,5. 248. I) (2; —6); 2) О( —4; — ]}.
250. |) Возрастает на [2; 4. <*>). убывает на { — со; 2); 2J возрастает на (— оо; 2);
убывает на [2; ф-оо); 3) возрастает на (— <о; 01 убывает на [0; -|-«>); 4) возра-
стает ня [3; 4) и (4; 4-оо). убывает на (—ео; 2} н (2; 3[. 251. I) Возрастает
на (—оо; 2) и [3; 4), убывает на (2; 3] и (4; 4- со); 2) возрастает ня (0; 4-<*>),
убывает на (— оо, 0J, 3) возрастает яа [4; 4- «>). убывает на (—о°; 41
252. 1) Возрастает на [0; 4- оо). убывает па ( — со; 0} 2) возрастает на |2; ф- оо),
убывает Чз (-оо; 2). 253. В 250. I) I; в 251, 2) у; в) 251. 3) -I; в 252.
1) 7. 254. В 250. 2) 1; в 250, 3} у; в 251, 1) нет.
ГЛАВА IV
268. Нет; при 2л — 1<л<2п. n£N функция равна |. 272. Например. |) Л1 = 10я’;
2} Л!=7 277. Нет. 282. 1,2. 4 и 5. 289. Да. 291. 1) 3; 2) 4 ; 3) 3; 4) 1; 5) ^3; 6) -1;
6 Р 2 р 7
7) 0; 8) 0; 9) 0,25; 10) 0. 292. I) 0; 0.5; 2) 0; 0.4. 293. I)	2)	=
3)	р>1; 4) р<2; 5) р«г. 0} -£-=20 000. 296. Например. (10*; 4- °°). 299. I) у»
»1.5; 2) у=4х —5; 3) не имеет; 4) у= I; 5) у = х; 6) у«хф-3 300. ]) у=г! — 8;
2
2) у-х24-4x4-17; 3) у=х1 -9x4-81; 4)	302. 1) 3; 2) -у; 3) 0;
4)	-2; 5) 0: 6) 3; 7) -|; ft) 2; 9) |. 305. I) 0; 2) 0; 3) 1; 4) I; 5) I.
2	4
306.	Нет. 31ft. I) 3; 2) 2; 3) 3. 319. I) ; 2) 1,4; 3) -=-; 4) |0|. 322. 2az.
3	i
.997
Ш. I)	2) Ja. 327. у-Ц. 328. I - VT^a 32». - I + \'Н^. 33(t. I)
2) fa 331. у. 337. ГО Н 0. MS. I) 3; 2) 4; 3} -|; 4) 0,8; 5) 0; 6) |; 7) 1,5;
8) 6; 9) -|; |0) А; II) у ; ]2) А; 13> "С Ю М2 > 9=^1
2) «1-2+ fa-i; 3) у=2-7ж-1; 4) y=V-l +-Д+Г. 5) у-—
W7. I) Нет; 2) да. 370. I) V5-V2; 2) 24-2^95 371. I) (-оо; -3JU|4; +<=);
2) (-ср; -3JUC-3; -2)и(4; +^К 372. I) |. 2) -А 3) 0.
Ч>
ГЛАВА V
403. 4,3375 м. 404. |) у—Зх-2; 2) у= — 2х — I (в точке А(|; —3)) и
у=2х—9 (в точке 8 (3; - 3)). 415. I) у=1»х-1); 2) у—-1 н у=9х + 17.
.1. »+) пр.	W. 1 Wl. I)	; 21	
•	» нн--•»
3)	41 i?+^r,; 5) 2+й^: 6>	: 7) 42ол
8)	720?-144; 9) 0; 10) 42!. 434. (_|f—А_.
\ A I WJ
435-	48Г ( (.^3)^ "T/W^) • 434 I) 1 в 3; 2) — I; 0 я I; 3) I; 6 и 3;
4)	-I и 1; 5) -I я 3; 6) 0 и 2; 7) ]; 8) -I; 0 н ]. 440. уХу . 441. Сторона
основания равна А. 456. ц п./lA 2) А/ А; 3) —1 ~	; 4) 0. 457. Нет.
V *5 V 4	-1
461.	|) (-<»; 2) 2) нет; 3) [-6; 0] н |6; + «>); 4) ]-fa\ 0| к h/Э; -^З + 2-fa}
462.	|) 2; 2) не имеет; 3) -6; О и 6; 4)	*73. О «-2—
2) (л 4-2).2К-'-, 3) (л-2+2* *4-1; 4) (л+П.21. 478. |) -2,49; 0,66 я ],83;
2) -2.49; -0,29 н 2,78; 3) —0.674; 4} ±0,826.
ГЛАВА VI
492. y = R(\— сов Г);	Х = /?{/ —sin/).	493. x=R cos a-j-r cos (я 4-а 4-fi);
р 4. f
y=R sin а f- r sin (л 4- a. 4-^).	494. Вне:	x=(/?+r)cos i— f cos --f;
y=(# + r)sin f — f sin /, внутри: х=(Я — r) cos t — rcos y~/; y=
=»(^_r)sin t-rsin t. J?>r. 490. /?<pcosO н #(2д-ф)а»Н. 497. S =
»4427.95 M2. 3iny=AA. 498. |F|«]0,5, a«27.5*
(угол с силой 8 H). 499. | F| «57,3; tg a«3,4. 500. 4.7) km. 501. 4.32 km; 4,03 km.
502. 236,4 n; 444,9 m. 504. ctis ?=sin Oi sin (Ь+cos 9t cos 02 cos — q*)-
508. 1) 15; 2) ); 3} 0,25; 4) 0,5; 5) 10; 6) |; 7) |; 8) 10. 512^ cos4 x.
O«-mCi
513, I) Зт ? m ; 2) - r—-4-!. 51S, ») 2	2) — 14 cos x; 3) 9x-f-cosx);
4)	14 cos 2*4-12 cos *• 5(6. Четные 2, 3 и 4; нечетные l н 7. 517. |) 2л;
2)	80л; 3) 4:4) *• 5) 20”; 6)	7) бп? ») 20л. **’• 3 529. НЕ- И0 ?!
532.	I) 2; 2) I; 3) О; 4} -£  537. О 3	1 ; 2) 0.75: 3)	8 ; 4) б.
О	э
542.	1) и24-у; 2) За’ч-4-; 3) 3d24-rf; 4) — а; 5) О; б) у. 545. sinx=
= -^-S- : cosx=-4^X-. 550- I) О: 2) и 3) ——; 4) -J—. 554. I) т2 2;
ps + ^	р-+4	cos a sm ci
2)	m3—3m; 3) (m2-2)*-2. 555. I) ; 2} 4.8; 3} y; 4}	559. 1)	.
2)	3) 0.5; 4) 0Д 563. I) ^±2^-; 2}	 3) -0.5; 4)	&
3	4	4	2
567. )) cos 20: 2) sin 2«; 3) 0,5; 4) Lg a; 5) tg(n+ 0); 6) —etg a cig ₽: 7) tg a tg 0
5*9. AA = dsina(|--,V0S°-	)	. 574. I) I; 2) ^5; 576. 1| (g a; 2) etg 0;
X Vrr — sin ft '
3} tgx; 4) dgSx. 577. !) 0.75; 2) 4^2; 3) не определен {90°) к ; 4) 3.
580. 1) 2Ё_- 2) —. аду. I. и,. । j 1; 2) cosy ; 3) coSy; 4) cos 4a,
5) I; 6) tg'.L^jiJf; k£Z}; 7) tgx(lgx^-l); 8) tg4 a- 593- I) 4cosxX
xcm(t-t)cos(t+t); 21 4cos'cds(t-t)c<b(7 t);
2 V2 cos’sin (x+y)
3)	sin x cos 2x; 4} cosx cos 2x; 5)----------— ; 6) — Igxlg2xtg3x;
7) 2sin(y J y) . 595. sin 18ft=-54 ’ • 596. I) |cos 2a|; 2} Vf2Jcos 4xt; 3) I;
4)	<ga; 5) | tB || . 599. 0.125- m J) J+	; 2>
П
sin 2ctxcos 2 (л+1) x
sin 2x
: 3)
(-iPcos^a-by)
2nW-^
.	. ft . 2л +1
cos net — I 4-2n sm у sin —— «
4sin*-£
£•
sin na — 2л sin у COS —т— a
6)----------------------------; 7) etg a. 607.1)13 s,in (3(+a), ®= arccos ;
о СЕ	Ю
4 sm2 у
2) 25 siti (3J4 a), a=arccos^r—j-; 3) 6! sin (2/4-a). ci= arccos ft4--y 613. J) I;
Zo 4	о I u
2) 1.25; 3) 1; 4)	: 5) -1; 6) 1; 7) 3; 8) 0,5: 9) x; 10) у ; 11} 0.5; 12)	:
2	1	i
13} - ; |4) -sine; |5) —; 16) 0,25; 17) -0.25; |8) -2_; 191 o; 20) 0,25.
x‘3
614. I) 3 sinz x cos x; 21 —-7-7— ; 3} ——?v; 4) 3 sin x 005 x (gin x — cos x);
sin7 x sm? x cos- x ’
5)	—4<л?* ; 6) 2x sin3 x+3(xa + )) sin2 xcosx; 7) (?-2)sinx; 8) - 2 *Kl x v;
5,1,1 x	(I -|-casx)
91	"°	id —C_^.822.|)8соз8х.
(sit) 2x}2
2) — Ssinfsx—2-1 ; 3) 24 s>nJf 6x4--^-^ cosf 6x + -^-) ; 4) 24 У J** :
\	3 /	\	3 /	\	3 /	cos4 8x
5) 24 sin 6x cos Gx (sin2 6r-cos2 fix);	6} LC* У;	7) -4г1 sin (x4 + I);
2 yx	_
8> -cOS’(?-l + 5) ; 91 -eJfrinx) : l0)	"•	»
12)	l3) eosx + eo^+cosfe H) + 3'<? + V 
vsiol?)	cos* X cos2 2x cos2 3x ’
cos x — 2 sin 2x 15 sin 5x cos Sx {gin 5x — cos 5x)
2 v'sin x 4- cos 2x	2 gsin3 5x 4-cos3 5x
632. a = ardg|i. 633. -^. 640. 4) 3л-10. 647. 5)
627. -J. 63|. v1^-
•z
2-~: 6} 4л-10.
650. I) V3; 2) -I; 3)	4) |; 5)	6) -±; 7) j|. 655. 1) (-!)>£ |-
4-^,*€Z;4) -£+^s.	?) —|0) 20‘ ± | (F 4-120й • ft.
-7	jnj IZ	J 4 H
ft€Z; 13) 0; 16) Ч=д/( - If £5+^ . *€*иДО. 656.У К a a a н н н: I) cos 7x^0;
1	I z A
2) -cos5x = sm(^4-5x) : 3) 4x=--|-4-nft, ftE-?; 5) 6x=±(j<4-B)4-
4-2л£.	6} 5x=y_|_7x4-nft. fe^Z; 8) tg(7»4-x) = tgx. —dg^x—-^-J =
= l«(x + -^-): |2> x?= ±(л4-5х?)4-2л*. fc£Z; )5) ^=Y“3x + nft’
Ifi) giri2x=J; |7) tg 4x = 1 или tg 4x= — 4; 18) cos Зх~нлн cos3x
=-^y; 19) cos}2xj«0.75; 20) разделите числитель к знаменатель на cos Зх.
657. Указания: 2) sin *4-cos х=0; 4) tg х=3 нлн igx=7; 6) tgx=l
нлн (gx=—2; 9) cosx = 0 или tgx=3 или Igx = 7; II) cosx=0.
658. I) х = (-|)‘4 + лА.	2) Xi--2nft.	ft^Z; 3) z, =
о	4
= -тг4-2л6> Xf = i-^-4-Jji, fe£Z; 4) X|= t-^-4-nft. Xt=n4-2nft, ftf.Z; 5) x,~
=( — 1^-^4-nft. xa=(— IJ*4-' arcsin -^-4-nk. k^Z; 6) x= ±arcsin4-лЛ.
ft(Z. 659. 2)	Xi^-nk, k£Z; 3) при cos^-=0 (т. e. при p вида
• 	z»
р=л + 2лп. nfZ) х— любое, при остальных р х — у—^-4-2лЛ.- k£Z;
4) лА—. fefZ. k=£ И-г-Ч^.р + <?/_. где Sj sin 5х=0 или cos4x=
р + 4
= —0,5; 7) cosy = 0 или a sin у =b cos у (в частности, прн и=#=0
tg4-=-—); 8) х.-Л, xt₽ ±arctg^+ni. 4££: 9) siti3x=0 или
cos2x=—0,5:	10) х, =-£ + «&.	л?=«*—~-{Л. k^Z: Н) sin у»О
Z	О Z	L
нлн siny=cosy; |2> cos 9x = cos I |л; 13) 0.25 cos'1 х< 0,75. 667. Ука-
зании: 1) —7) свести к простейшему неравенству тождественным пре-
образованием; В) приведите к виду cos3x<co$7x; ]0) приведите к виду
—tgx)>0; 12) приведите к виду sin^x+y) >-J=. 669. I) 0,3429;
2)	U,9|3I; 3) О.|511; 4) 0.5299; 5) 0,9063; 6) 0.3057. 672. I) 1,5; 2) ].6.
676.	I) х.=1 х4=^; 2) Xi=0. х,«=-~; 3) 0; 4) х,=1. х7 = ^.
22	V2	-	4
677.	]) х,=0, х»«3; 2) Х| = 1. х2 = 3. 67S. I) Указание: -^Сх2—Лх<у ;
ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
К—1. I. а) Используйте теорему косинусов; б) D^4-|-; lyj . 2. х>].
3
К-2. 3. fri=3; b2= --г.
4
к-3. I. а = 10; 5=-4. 2. х>«=2; х?=--3; х$--4; х«-5. 4. (ха-4х+1}Х
Х(х'-6х+2). 5. (х4+хэ-1)(х,1-хэ-1).
К-4. 3. -6<х<у или у<х<2. 4. xi=2; х2₽ —у.
К-Б. 2. а) 2. 3. Четная. 4. / (ф(х))=6х-3. где х>-^-;	(х))=^,6хэ-4. б. -5,
2	7
К-6. |. -2; 1.5. 2. -у. 3. 0.5. 4. -у
К-7. I. а) у, б) I. 2. б) 1.5; 2. 3. хж—2,4. 4. 3+ ^х-1. 5. -0.5. 6. и= -3;
В-1.5.
К-8. I. а) 20 м/с; б) 2 с. 2. 2. 3. а) у = 5х-6; б) у»5х-26. 4. а) х=^ млн
Ж“Т; 6) П<х<4 Х>Т; в) х<?5 ил" х=*7‘ 5‘ Не
/(-П- в- -50.
К —9. 3. 2.4.
331
К—10. 1. since------etg а» —	2.75-. 4. Нечетная. 5. г=яп кля 2nrt
Z4 Z	n
5л
или x=— + 2лп, n£Z.
K—11.
К-12.
I I , n 2л л	л
2-	1 3- у a: T + лл; -у + 2лп; n£Z. S. igtp = 5.
I r—< >и n 3 1 лп .	, J	i 3 пл
' '-'-^Зб-у+т •	<=(-)).^.resm —	.
n€Z.
2 7 — Л । 9„„.	3 .2яп „ст i n . nrt Я . «ft	/n
2. 7 y+2««. ___+-r, nei. 3. -+- . -+-j . „(Z. S. T
6. — . n^Z, д^Эй. k£Z.
K—13. |. 2. 2. a) — ; 6} 5—2л. 3. лл^Сх <‘^4-лп. n^Z. 4. — I f£x<-\=
I уУ	-^‘2
б- у4-2лп<х<^4-2лл; у-}-2лл<х<^ + 2пп; 2nrt y<x<2nrt;
2лл-^<х<2ял —; 2лл —л<х<2лл— , nfZ.
“	о	8
К-|4. I. -2- -±<х<0; х= I. 3. 1,ж4-2)(х*-2x-h |2). Б. л, $.
•J	6
Предметный указатель
Абсцисса точки 30
аргумент функции 82
арккосинус, график 31)
числа 287
арккотангенс, график 3] ]
— числа 290
арксинус, график 310
числа 283
арктангенс, график 311
числа 289
асимптота горизонтальная 129
— наклонная 137
Бернулли неравенство 47
бесконечная десятичная дробь 9
бесконечная геометрическая прогрес-
сия 143
---------, сумма 143
бесконечно большая последователыккпъ 143
----функция при х-* +<х> 134
---------х-^а 150
— малая последовательность 139
----функция при х— +<» |19
_ -	Х^-	-•» |27
---------х->-	ОЬ |27
---------х -*	о 146
бином Ньютока 2] 1
биномиальный коэффициент 212
Величина направленного отрезка 24
Виста формулы 57
возрастающая функция 116
вписанная в дугу ломаная 221
вторая производная 185
выпуклость графика 200
Гармонические колебания 245
----. амплитуда 246
----, начальная фаза 246
----, угловая частота 246
геометрический смысл производной 175
график функции 89
Деление отрезка а отношении \ 27
десятичная дробь 9
-	периодическая 12
десятичное приближение числа по из-
бытку 9
----- по недостатку 9
Дирихле функция 87
дифференциал функция 17!
дифференцируемая функция 166
длина дуги 223
дополнение множества 16
дробная часть числа ]0
дробно-линейная функция 108
Индукция математическая, метод 42
—	неполная 40
—	полная 40
интервал числовой 16
интервалов метод 71
иррациональные числа 13
исследование функции 204
Касательная 173
— , уравнение 175
квадратическая функция 107
квадратное уравнение 67
композиция функций 93
функции и выражения 93
координата точки 26. 30
координатная окружность 226
плоскость 29
прямая 26
корень многочлена 56
-----кратности k 57
— я-й степени 160
уравнения 62
косинус числа, косинусоида 229. 244
котангенс числа 247
котангенсоида 254
Лагрянжа теорема 196
л иней ней; выражение 35
линейная функция 104
-----, график 104
-----, угловой коэффициент 104
Максимума точка 186
мгновенная скорость 172
метод интервалов 71

— неопределенных коэффициентов 54
минимума точка 186
множество У расположено справа от X 16
модуль числа 21
монотонная функция 116
Направленная прямая 24
направленный отрезок 24
натуральные числа 8
непрерывная в точке функция 152
неравенства тождественные 74
неравенство Бернулли 47
неравенство линейное 70
— с переменной 62
пестрого возрастающая функция 116
—	монотонная функция 116
—	убывающая функция ]]6
нечетная функция 112
Область (множество) значений функции 82
определения функции 82
—	существования выражения 36
обратимая функция )58
обратная функция |58
обратное число 19
об ведя ненке множеств ]5
односторонний предел функции ври
х -и о 147
односторонняя непрерывность функции
в точке 147
одночлен 33
окрестность точки 144
---- проколотая ]47
ордината точки 30
ось абсцисс и ось ординат 30
отрезок числовой 15
отрицательное действительное число 10
— рациональное число 10
описанная вокруг дуги ломаная 22]
Параллельный перекос 98
перегиба точка 202
— формулы 98
пересечение множеств 15
период дробя 12
— функции 232
---- основной 233
периодическая функция 233
положительное действительное число 10
рациональное число 8
подмножество 14
последовательность 94
— Фибоначчи 95
предел последовательности ]39
— функции при ха 146
------- X — + 30 127
----— х — ос ]27
-------х-н ОО 127
приведения формулы 259
приращение аргумента функции 163
— функция 163
прогрессия арифметическая 43
— геометрическая 43
— бесконечная, сумма 142
произведение действительных чисел 19
производная функции |68
----л-го порядка |65
противоположное число 10
пустое множество 14
Равносильность неравенств 63
— уравнений 63
радиан 224
радиус окрестности точки 144
разность действительных чисел 19
—	множеств 15
расстояние между точками 29. 3|
растяжение плоскости от прямой 93
рациональное выражение 34
рациональные числа 8
рекуррентное задание последователь-
ности 95
решение неравенства 62
—	уравнения 62
		квадратного 67
Свойство функции выполнено вблизи
точки 145
середина отрезка 27. 31
сняус числа 229
синусоида 244
екячок функции 154
скорость изменения функции 172
сравнение действительных чисел 20
степень числа 23
сумма действительных чисел 19
— л членов арифметической прогрес-
сии 43
--------— геометрической прогрес-
сии 43
Таблица ^качений синуса и косину
са 230
— — тангенса н котангенса 247
тангенс числа к тангенсоида 247. 253
теорема Безу 56
— Лагранжа 35
- Шаля 25
тождественное преобразование выра-
жений 59
— равенство выражений 59
рациональных выражений 59
точка разрыва функции 153
— перегиба 202
треугольник Паскаля 214
Убывающая функции I |6
угол между кривыми 259
уранненнс бнкиадратнОС 68
—	возвратное 69
—	квадратное 67
—	с переменной 62
ускорение |85
п факториал, д’ 46
формулы приведения 259
Целая часть числа |0
целое рациональное выражение 34
центр масс 3|
центральная симметрия 98
Честное 20
частное функций 92
четверти I. II. ]11. IV 238
четная функция 1 !2
число разделяет множества 17
числовая последовательность 94
—	функция 82
числовое значение выражения в точке 36
— множество 13
---- ограниченное 14
числовой луч |4
------- открытый |6
член послеловзтелыпжтн 94
Экстремума точка |86
эскиз графика функции 90
Учебное издавве
Вилешлся Наум Яковлевич
Ивашев-Мусатов Олег Сергеевич
Шварцбурд Семен Исаакович
АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
10 класс
УЧЕБНИК
для углубленного изучения математики
в общеобразовательных учреждениях
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.000389.01.06 от 25.01.06
Подписано в печать 15.06.2006. Формат 60x90 1/16
Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Литературная». Печать офсетная
Усл. пйч. л. 21,0. Тираж 20 000 экз. Захсаз № 3401
ИОЦ «Ммемозяиа*. 105043. Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6.
Тел.: (496) 367-54-18, 367-56 27, 367-67-81; факс: (495) 165-92-18.
E-mail: ioc^imneniozi na.ru
Отпечатано с ГОТОВЫХ диапозитивов.
ОАО «ИПК “Ульяновски* Дом печати"*.
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14.


ПО МАТЕМАТИКЕ
Учебно-методические комплекты для 5—11 классов
МАТЕМАТИКА. УЖ для 5, 6 «асео.
У’кбник (JL Я- Виленкин и др.), рн&мая тетрадь, мигматические диктанты. к<хгг]Юльныс
рябслы, дктемэтмсскмй тренал..ер. .'мтпдичсскне рекомендации.
Учебник (И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович\ рабочая тгтр-.щь ккзтодмческое лособке.
АЛГЕБРА. УЖ дм 7, 8, 9 классов
Ч. 1 — учебник (А. Г.	}, ч. 2 задачник (А. Г. Мордкобич и др.\рабочая; Тетрадь,
контрольные ркхп ы, самостоятельные patwrw, дополнительные параграфы к курсу алгебры
I ♦События Вероятности Статистическая обработка дятгны.хьХтесиЛ, блицопрос, методическое
пособие-
Углубленное научение
Уче(нл<к СЮ. Н. Макарычев и др.) 7, 8, 9 кл.; учебник (А. Г. .Мар(?клЛт<ч) 8,9 к/..;
жиачник (Л. И, Звабнч, А. Р. Рязановекий) — 8.9 кл.
АЛГЕБРА и НАЧАЛА ДИАЛИЗА. УЖ для ТО — Н классов
Базовый уровень
Ч. I — учебник { А. Г. .UzjpAt-tXnw), ч. 2 —.задачник (А- Г. Мордко&Я и др), контрольные
рзЬспъ4,саи<\ТХ>ятел(1кые работы, тематические тесты и .зачеты. методическое пособие.
Учебник (Ю. М. Калягин н вр.\ди^иаичехкне лаятериаш (А1- И. UlafiytuiH и вр.\мето-
дические рекомендации (Н. L Федорова, М. Я. Ткачева).
Профильный уровень
‘11— учебник <Л Г. Мордковчч, И. В. Семенов), ч 2 - зад «ник (А. Г. Мордковт К др.'),
контрольные рзИхэты. мегидичлК1Х пособие.
Углубленно? изучение
Учебник «Алгебра и магемиТическмм анализ» ( Н, Я- Лвсигню/н и др.).
МАТЕМАТИКА. УМ К для ТО - 1 f классов
Базовый уровень
Учебник (Л. .Г. Мордко&м. И. М. Смирнова), дидактические материалы, методическое
пособие
ГЕОМЕТРИЯ. УМКдля 7—9 классов
Учебник (И, М. Смирнова. 8. А. Смирнов). рабочая гетрядь. дидактические материалы,
курсы по выбору. учебное пособие «Нестандартные и исследовательские .задачи по геометрии»
(7 — Ц хлД ыетпди’Ееские рекомендягрис
ГЕОМЕТРИЯ. У/ИКдлв fO - ) I классов
Базовый уровень
Учебник (И. Л4. Смирнова, В. А. Смирнов), рабочая тетрадь. дидактические материалы,
лзгктмкныс курсы, методические реьсм^нляпии.
Профильный уровень
Учебник (И. .И, Смирнова), дидактические материалы, методические рекомендации.
Учебное а«жобме «Повторяем и систематизируем нпадльный кур: геометрии* (Я. С. KpawopX