Текст
                    г
ПНР*
гг
гг
0
У
\
7
—
/
1/1/
г/
—
—
г -■
Г
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Часть 2
ЗАДАЧНИК
^*Э^


sin x + sin у - sin x - sin у = cos x + cos у = cos x - cos у = a X + У 2 sin cos a • X - у 2 sin ——- cos a X + у 2 cos cos n ■ X + у . -2 sin sir x - -y 1 x + у 2 x - e i X L — - у I -y 2 sin (x ± у) = sin x cos у ± cos x sin у cos (x + г/) = cos x cos у Т sin x sin у sin x = 0 sin x = 1 sin x - -1 • = 7Ш Я = -| + x - — + 27m == 2 == cosx ТС = 0 ) + 7171 COS X = 1 Ф x = 2тсд cosx = -1 e x = тс + 2rm
И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10 класс В двух частях Часть 2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Под редакцией А. Г. Мордковича Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 6-е издание, стереотипное Москва 2009
УДК 373.167.1:[512+517] ББК 22.14я721+22.161я721.6 А45 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/9 от 31.10.2007) и Российской академии образования (№ 01-667/5/7д от 29.10.2007) Авторы: А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Л. И. Звавич, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов Алгебра и начала математического анализа. 10 класс А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] под ред. А. Г. Мордковича. — 6-е изд., стер. — М. : Мнемо- зина, 2009. — 343 с. : ил. ISBN 978-5-346-01202-3 Задачник представляет собой вторую часть комплекта из двух книг предназначенных для изучения курса алгебры и начал математического ана лиза в 10-м классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник). УДК 373.167.1:[512+517 ББК 22.14я721+22.161я721.6 © «Мнемозина», 2005 © «Мнемозина», 2009 ISBN 978-5-346-01200-9 (общ.) © Оформление. «Мнемозина», 2009 ISBN 978-5-346-01202-3 (ч. 2) Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Издательство «Мнемозина» выпускает учебно-методический комплект для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 10-м классе профильной школы, состоящий из следующих книг: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1. Учебник. А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. Часть 2. Задачник. A. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. Методическое пособие для учителя. B. И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа. Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича. У вас в руках вторая книга комплекта — задачник. Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить в нем полноценную (как по объему, так и по содержанию) систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий, для повторения (без привлечения других источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения помещен знак «О») и трудные (со знаком «•»). В конце книги приведены ответы к большинству заданий второго и третьего уровней. Нумерация упражнений своя в каждом параграфе. Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или, соответственно, пункты в) и г)). Данная книга естественным образом соотносится с извест- ным задачником «Алгебра и начала анализа, 10—11» (изда- тельство «Мнемозина», авторы — А. Г. Мордкович и др.),
который с 2000 года используется в общеобразовательных школах России: значительная часть материала, имеющаяся в упо* мянутом действующем задачнике, содержится и в настоящем задачнике. Это даст учителю, работавшему ранее по задачнику для общеобразовательной школы, возможность более комфортно работать по задачнику для профильной школы. Количество упражнений в данном задачнике таково, что его достаточно для учащихся профильных классов различной математической направленности: и при четырех, и при пяти, и при шести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал анализа. В дальнейшем предполагается выпуск методического пособия с комментариями к параграфам учебника, с решениями трудных упражнений из задачника, с разными вариантами поурочного планирования. Пока же, для удобства учителя, мы приводим три варианта примерного тематического планирования (из расчета 4,5,6 часов в неделю) в первой части комплекта — в учебнике. В конце задачника появился новый (относительно предыдущих изданий) сравнительно небольшой раздел «Дополнительные задачи». В него мы включили задания с нестандартными формулировками, идеи которых навеяны материалами Единого государственного экзамена по математике. Распределение их по параграфам задачника потребовало бы переверстки всей книги, что неудобно ни нам, ни вам. Нумерация заданий в этом дополнительном разделе двойная: первые цифры указывают, к какому параграфу относится задание, а вторые — продолжают нумерацию упомянутого параграфа. Так что при желании (и при возможности) дополните материалы того или иного параграфа заданиями из нового раздела. Авторы
Задачи на повторение 1. Сократите дробь и найдите ее значение при заданных значениях переменных: 9аЬ- ЗЬ2 1. . 3. а)- г—т~т> если а = -о» о = ■*> ; 12а2 - 4аЬ о о 4 _ ^ 1 б)—5—г> если m = -^; m - 1 ^ 12 г) ^6 _ *6» если х = 2; у = 3. П.2. Сократите дробь: а) б) З*2- х2 5л:2 + х2 10* + -Зх х-4 + X 3. ; в) г) 2л:2- *2 2л:2 + г2 9л: + -16 5л:- -9 4. 3 * П.З. Докажите, что заданная функция является линейной, и найдите ее область определения: ч х4 - Ъхъ + 3* - 15 ч ps - 4p2 -Ьр + 20. а) у = ?Тз ' в) 2 = -р^ь ' t4 - Ы2 + 16 . ' _ т6 - 16т3 + 64 (t + 2Xt2 - 4)' Г) S ~ (т2 + 2т + 4Хт3 - 8)' П.4. Докажите, что график данной функции принадлежит прямой, параллельной оси абсцисс; найдите область определения этой функции: \ 4jc- 5 х-1 . Зх + 4 х + 4. а) » " 7* - 21 2* - 6' в) У ~ Ъх - 10 Зх - 6' tti, 2jc + 5 11(^ + 1). vif х-5 Здс-1 5) » = ^Гу " 4х12' Г) v = З^ТЗ 2^Т2*
П.5. Докажите, что график данной функции принадлежит прямой; найдите область определения этой функции: ч х3 + 5jc2 - 4jc - 20 ч х3 -4х2 - 9* + 36. а) v = х2 + Зх 10 ' В) У = х2 7х + 12 ' jc3 - 2jc2 -16jc + 32. х2 - 6jc + 8 г) У = х3 + х2 - 4х - 4 jc3 + Sx + 2 П.6. Выразите переменную х через переменную i/: а) I/ = ^Т2 + 4^ в> У = -Лг ~ 1; Упростите выражение: " 1Ob г> 6х п-8-а) 2т 2 . Г уп+1 1 б>Ь-1 Ь_ _ 2Ь . + 2 &2-4' 1 4а Г 1 1 в>а-2 а2-4'а-1 а2-а ч I ^ + 4 1 ).ctl 2 г> 3FT3 F7IГ 3 с2-!"
18 -6b + 9. г) \х + 5 + 50 V П.Ю. 3 - - 5 I * я* - 10r + 25" x - 1. 5а- 6 а а2 - 4 + 10- За. а + 2 а + 2 а а + 2 ' 5-2i/. 3b - 2 ^ 3 г) —о + Ь2-4 Ь2-4 3 ( 1 5 .11. а) \jr^2 + х?-х- 2х ' 3 ' 2х + Г П.12. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменной: ^ I б) U- ^HLl: Г_™_ + _«_ + -р!Ш-Л при т = Ь n=-i ^ т+ п) [п+ т т- п п - пг) 5 5
П. 13. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных] значение выражения не зависит от значений входящих! в него переменных: [ 1 1.1 Ъ(аЪс + а + с) Упростите выражение: П.14. a) lojf - 0,5Vl60 а + т'-Г в) 15JJ - О,5л/6О + б) 4^з| - 0,5^56 - ^|; г) З^ - >/84 - Щ. П.15. а) ^4 + ^4; в) slUS ■ ^8; 4-Уб ( 4 + Уб 4 + 7б 4 - 7б* б) V8V3 • >/ЗлЯ2; П.16. а) 72 д/в + 72 • 7э + >/17 + ^8 - V2 • л/9 - л/17 I 2 +73 ,_ 2-73 V2 П. 17. Докажите, что V2 - >/2 - П. 18. Сравните числа А и Б, если: П. 19. а) Известно, что /(*) = 4х. Найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство f(x + 2) = /(2лм-6). б) Известно, что f(x) = y[x. Найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство f(5x - 1) - f(3x + 17) =.0. 8
ц.2О. Сократите дробь: б) 25р - 9J/-16* ' 196/п2 - 169га. + 14т ' 6\[ab - 81с - ЗбаЬ П.21. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: р - yjpq + я. 6) tJ т "V *- Упростите выражение: П.22. a) б) в) ч Г) ч в) - Зл/jc + 9. а + 2y[ab + 46 -2 , 2у/х + 5 - 2у/п 2у/т - 3>/я Ьу[с б) а + 7=] : &=±; ab a-° Тот - 1 _ Vm + l\ /m + 1 4m - 1 b) - b) (a + 4ab){4ai> + b) - yj(a - - b) 9
Решите уравнение: 11 8 11.24. а) —^ + -j—^ = ^т^' б) х + 1 * _ 1 Х2 _ х = 0; 2* , I 4_ + 2*-2 jc2-4=0; 2 3 = 15 5 П.25. а) = 2*-10 *2-25* 2х -71 _ 1 б) -/ -9 3jc 5 1__ в> jc3 - 1 4^ + 4^+4 2(1 - х) 4*2 | 27 _ 6 2 + Sx 2x2 + 7х - 4 2* - 1 * П.26. Не решая уравнения х2 + Ах - 2 = О, найдите значение выражения: где xv x2 — корни заданного уравнения. П.27. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х2 + (т - 2)х - (т + 3) = 0 будет наименьшей? П.28. При каких значениях параметра а квадратный трехчлен (2а - 2)х2 + (а + 1)х + 1 имеет отрицательные корни больше, чем -2? П.29. Известно, что корни xv х2 уравнения х2 - Зах + а2 = 0 удовлетворяют соотношению jt2 + x\ =1,75. Найдите значение параметра а. П.ЗО. Решите неравенство: а) -2х + 3(jc - 2) < 5jc; в) 8(jc + 1) + Зх < 4* + 15; б) 1х + 1 > 12(jc - 2); г) 5* - Цх + 3) > 7*. 10
Решите неравенство: n.ai. а) ТТТ > * •» Т^Т < * П 32. а) х2 - Ьх + 15 > 0; в) *2 + 5* - 36 > 0; б) *2 - 12* + 27 < 0; г) х2 - 7х + 20 < 0. (1 + *Х2 + *) ^ - (х - 2X2* - 1) П.ЗЗ. а) ^ _ ж _ 2 > 0; в) 2л;2 + 7л; + 3 > 0; о; г):,:::: > о. (1 + П.34. а) (1 _ 2х2 х2- х2- (х- (3 + 6 + 7х 4х + 6х + 3X2 + 3 з ^ 5 " -*) + 2) 13 П.35. При каких значениях параметра а любое решение неравенства х2 - Ъх + 2 < 0 будет решением неравенства ах2 - (За + + 1)jc + 3 < 0? П.36. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а2 - 5а + 6)jc2 - 2(а - 3)jc + 1 > 0 выполняется при всех действительных значениях х. Существуют ли такие значения а, при которых решением неравенства является пустое множество? Решите систему неравенств: ГЗх - 1 > 2(jc + 5), \2х + 3 < 4(jc - 1) + 13, П*37# а) [7х - 1 < 3(3* - 11); в) \х - 1 < 2(3* - 16); 2х + 5 > 4 - Зх, [jc + 5 < 12 - 3(jc - 4), б) [4jc - 7 < 2(4 - jc); г) [8х - 3 > Цх - 5).
<^ХА 1111111111111111111111111 ТГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ\ X действительные числа ■ггггггггггггггггггггггггг § 1. Натуральные и целые числа 1.1. а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2? б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3? в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6? г) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27? 1.2. Может ли из 101 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно делящееся: а) на 50; б) на 51; в) на 101; г) на 10001? O1.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трехзначных чисел, среди которых нет ни одного кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трехзначных чисел? 1.4. Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных чисел не делиться: а) на 51; б) на 101; в) на 606; г) на 4386? Докажите утверждение: O1.5. а) Если каждое из натуральных чисел пит делится на натуральное число р, то (п + т) ! р и (п - т) ! р.* б) Если каждое из натуральных чисел пит делится на натуральное число р, а х, у — произвольные натуральные числа, то (пх ± ту) \ р. в) Если натуральное число п делится на натуральное число р, а натуральное т не делится на р, то ни сумма п + т, ни разность п - т не делятся на р. * Если натуральное число п делится на натуральное число р, то принято писать п : р. 12
г) Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число р, то и это последнее слагаемое делится на р. 01.6. а) Если п б) Если х в) Если х г) Если х р, то (п • т) • р для любого натурального т. 5, то Зх ! 15. 7 И у : 3, ТО (ху + 14у) : 21. 17 и I/ i 23, то (jc3 + у3) ! 40. Докажите, что: 1.7. а) Сумма двух четных чисел есть четное число; б) сумма двух нечетных чисел есть четное число; в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число; г) если х, у — произвольные натуральные числа, то ху(х + у) и ху(х -у) — четные числа. 1.8. а) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность; б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов. 01.9. а) Если а + Ъ делится на с, а а - Ъ не делится на с, то ни а, ни Ь не делятся на с; б) ad + be + ас + bd делится на а + Ь; в) если ad + be делится на а + Ь, то и ас + bd делится на а + Ь; г) если ad + far не делится на а + Ь, то и ас + bd не делится на а + Ь. 1.10. Объясните, почему не существует натуральных чисел а и b таких, что: а) 152а + 134& = 12 345; б) 150а + 135& = 1234. 1.11. Найдите все натуральные числа х и у такие, что: а) 7х + 12у = 50; в) 5х - у = 17; б) lljc + lSy = 98; г) Ъх - 11у = 137. °1.12. Докажите, что: а) 723 + 343 делится на 106; б) (I3 + 23 + З3 + ... + 1813 + 1823) делится на 183; в) 183 + 263 делится на 176; г) (23 + З3 + ... + 1963 + 1973) делится на 199. 01-13. а) Число 14а + lib не делится на 5; докажите, что и 9а + Ъ не делится на 5. б) Число 17а + 29Ь не делится на 13; докажите, что и 4а + ЗЬ не делится на 13. 13
01.14. Найдите все такие натуральные числа п, при которых: ч Ьп + 4 а) выражение —-— является натуральным числом; *ч 5и + 4 б) выражение о является натуральным числом; In+ 12 в) выражение —-— является натуральным числом; 7п + 11 г) выражение _ ^ является натуральным числом. 01.15. Найдите все такие натуральные числа п, при которых заданное выражение является натуральным числом: ч Ъп2 + In - 12. _ к7 + Зк2 + 36 а) ; б) -2 • 1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа: 4 . _ Ъх + 17 а> У = 2 + 77^' б> ^ = -?ТУ O1.17. При каком наименьшем натуральном значении параметра а на графике заданной функции есть ровно одна точка, координатами которой являются натуральные числа? Найдите координаты этой точки: а> У = 7ТТ; ®у = 7 2 01.18. Известно, что при некотором значении а число Ь - а + — — целое. Будет ли целым число: а) а2 + 4г; б) а3 + |г? 01.19. Найдите все значения а, при которых х и у являются натуральными числами: Л Q Q О а) х = - + 3, у = - + а; б) х = - + 3, у = - + 2а. 01.20. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня: а) ах2 -(2а2 + 5)х + 10а = 0; б) ах2 - (а2 + 5)х + За - 5 = 0? •1.21. Найдите все целочисленные значения параметра а, при которых оба корня уравнения — целые числа: 4 а) х2 + ах + ^^4 = 0; б) (а + 2)jc2 + (2а - 1)х + а2 - 5а - 4 = 0. 14
1 22 Найдите последнюю цифру числа: ' а) 21047; б) З1641; в) 71799; г) 91861. г>1 23 Найдите последнюю цифру числа: ' а) 200120022003; в) 1345е789'2345; б) 19992002'333; г) 23 456789012345. ol 24. Существуют ли такие натуральные числа пик, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю: а) 627" - 833*; б) 834" - 626*? #1.25. а) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число ns - п делится на 6, то и число (п -г I)3 - (п + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. б) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число п3 + Ъп делится на 6, то и число (п + I)3 + + Ъ(п + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. в) Докажите, что если при некотором натуральном значении а число 7" + Зп - 1 делится на 9, то и число 7" + 1+ 3(п + 1) - 1 также делится на 9. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. г) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число 32п + 2 - 8п - 9 делится на 64, то и число 32п + 4 - 8(и + 1) - 9 также делится на 64. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. Найдите НОД и НОК чисел: 1.26. а) 154 и 210; в) 255 и 510; 6)120 и 144; г) 105 и 165. 1.27. а) 232 З4 II31 и 223 З7 II14; б) 424 б14 98 и 818 1017 • 1216. 1.28. Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа: а) 75 625; 6)614 656; в) 31 104; г) 45 212 176. 1-29. Найдите все простые числа, меньшие: а) 50; б) 100. 1-30. Найдите все составные числа, меньшие: а) 50; б) 100. 15
1.31. Выпишите все пары взаимно простых составных чисел, из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, ..., 20. 01.32. Докажите, что: а) наименьший отличный от 1 делитель натурального числа п, большего 1, есть простое число; б) наименьший отличный от 1 делитель составного числа п не больше \fn; в) еслирг< р2 < ... < рп — простые числа, то числорх р2 ... рп + 1 является либо простым числом, либо делится на простое число р, большее, чем рп; г) простых чисел бесконечно много. 01.33. Докажите, что: а) любое натуральное число либо взаимно просто с заданным простым числом р, либо делится на р; б) если произведение нескольких множителей делится на простое число р, то хотя бы один из множителей делится на р. 1.34. Составьте разложение на простые множители числа: а) 504; б) 8281; в) 108 000; г) 12 321. 01.35. Найдите число делителей числа: а) 24; б) 504; в) 180; г) 60. 01.36. Полагают, по определению, что п\ = 1 2 • 3 4 • ... (п - 1) п\ (символ п\ читают п-факториал), а 1! = 1. С каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!? 01.37. С каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!? 01.38. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!? 01.39. Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа: а) 23! + 2, 23! + 3; 23! + 4, ... , 23! + 23; б) 101! + 2, 101! + 3; 101! + 4, ... , 101! + 101. в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б)? г) Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого. 01.40. Докажите, что: а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2; 16
б) произведение трех идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6; в) произведение четырех идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24; г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120. 01.41. Найдите простые числа рид, если известно, что корни уравнения х2 - рх + q = 0 — натуральные числа. 01.42. Найдите все простые числа р и q такие, что: а) 5р + 17q = 140; б) 7р + 3q = 86. 1.43. Составьте формулу натурального числа, которое: а) при делении на 5 дает остаток 4; б) при делении на 11 дает остаток 7; в) при делении на 7 дает остаток 2; г) оканчивается числом, делящимся на 15. 1.44. Найдите остаток от деления на 10 числа: а) 1234; б) 43 215 432. 1.45. Число х при делении на 8 дает остаток 5. Чему может быть равен остаток от деления числа х: а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 6? 1.46. Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2; б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5. 1.47. Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами; б) остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами. 1.48. Найдите остаток от деления на 3 числа: а) 1 234 321; б) 55 555 155 555. 1-49. Найдите остаток от деления на 9 числа: а) 1 234 567; б) 55 555 155 555. °1-50. Докажите, что произведение 1 • 2 • 3 • ... • 13 делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13), а произведение 1 2 • 3 ... 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16). 17
1.51. В числе 23 Ц 47 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число делилось на 3; б) число делилось на 9. 1.52. В числе 233 Q 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число делилось на 4; б) число делилось на 12. 1.53. В числе 735 Q 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число при делении на 3 давало в остатке 2; б) число при делении на 4 давало в остатке 2. 1.54. В числе 7345 Q заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число при делении на 9 давало в остатке 2; б) число при делении на 25 давало в остатке 7. 01.55. Рассмотрите два предложения: а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3; б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5. Докажите, что из этих утверждений верно только одно. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению: 01.56. а) 2у - х = 15; в) 7х + 4i/ = 123; б) 6х - у = 25; г) Ъх - Чу = 23. •1.57. а) ух = 15; в) 7ху + 4у2 = 11; б) 36jc2 - у2 = 27; г) х2 - 1ху + 6у2 = 18. O1.58. Сколько делителей имеет данное число: а) 315; в) 250 000; б) 9450; г) 623 700? § 2. Рациональные числа 2.1. Между рациональными числами а и Ъ поместите 5 рациональных чисел: а) а = 1,1, Ъ = 1,2; в) а = 11,0001, Ь = 11,0002; 11 Ю , 12 221 122 221 б> а = 12' Ъ = П' Т)п= 12222' Ь = 122 222' 2.2. Сколько целых чисел заключено между числами: , Ш1 11512 1234 78 910 о а) 37 и "36F' 0) 56 и 789 * 18
2.3. Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным: а) 17; б) 236? Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае. 2.4. Среди правильных дробей вида -р$, где п — натуральное число, найдите ближайшую к числу: а) у, б) у' в) y> г) 7' 2.5. Среди всех дробей вида ттт> где п — натуральное число, найдите ближайшую к числу: ,2. 3. ,4. .6 а) у' б) Y> в) у» г) 7- 02.6. Найдите число вида — (т, п — натуральные взаимно простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на числовой прямой между числами: ,12. ,3 4. а) з и з> в) ^ и з> _ 2 2. .121 101 б' 9 и V г) 323 и 232' 2.7. Найдите число, равноудаленное от чисел: ,5 6. _ 171 101 а> 6 и 5' б> 363 и 242' 2.8. Известно, что 0 < а < Ъ. Какое из двух чисел х или — лежит ближе к 1? 2.9. Запишите целое число в виде бесконечной десятичной периодической дроби: а) 1; б) 20; в) -4; г) -111. 2.10. Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби: ч 2. _ 3. ч 8 ч 4 а) з> б) ?, в) п; г) w °2.11. Используя калькулятор, определите десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа: 5 6 а) joy 301-й знак; в) jg> 2000-й знак; 4 7 б) утт> 123-й знак; г) -qq» 78-й знак. 19
Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби: 2.12. а) 0; б) -123; в) 12,0006; г) 0,00123. O2.13. а) 0,(36); б) 12,0(006); в) -1,2(3); г) -0,01(234). 2.14. Запишите число в виде бесконечной десятичной периодической дроби: а) 10,1; б) -1,2; в) 4,023; г) -0,0101. 2.15. Запишите данные десятичные периодические дроби в виде дробей, имеющих одно и то же число цифр в периоде, и определите период каждой из этих дробей в полученной записи: а) 3,(345) и 59,(34); б) 3,(15) и 59,(23454). 2.16. Запишите данные десятичные чисто периодические дроби в виде смешанных периодических десятичных дробей, определите их периоды. Единственно ли такое представление: а) 1,(34); б) 30,(115); в) 6,(543); г) 9,(2610)? O2.17. Выполите действия и представьте результат в виде бесконечной периодической десятичной дроби: а) Д(4); б) Д48(4); в) 7Ш; г) ,/4,3402(7). O2.18. На числовой прямой отмечены точки А(-5) и Б(10). С помощью циркуля и линейки отметьте точку: а) С(5); б) О(0); в) Z)(l); г) Р(0,6). § 3. Иррациональные числа O3.1. Докажите иррациональность числа: a) V2; б) V3; в) 1 - S; г) 7з - Vl5. O3.2. Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа: + V 12 a) 5V2; б) -7л/3; в) 5(l - 7з); г) {Щ-^ ОЗ.З. а) Пусть — — несократимая дробь и q > 1. Докажите, что р I — \у п € N, есть также несократимая дробь. 20
б) Пусть а\ п € N — целое число. Докажите, что а — либо целое, либо иррациональное число. в) Опираясь на утверждения а) и б), докажите иррациональность числа %/21. О3.4. Каким числом, рациональным или иррациональным, является: а) сумма рационального и иррационального чисел; б) разность рационального и иррационального чисел; в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа; г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа? Какое из данных чисел является иррациональным: 3.5. а) 2,(2345); б) Д(4); в) 7Ш; г) O3.6. а) 1 + Vl2 - 2л/3; в) 2л/з - 3>/2; б) (7 - у/п) • (7 + VII); г) 1 + V2 - л/3 - 2л/2? 03.7. Приведите пример двух различных иррациональных чисел, таких, что: а) их сумма — рациональное число; б) их разность — рациональное число; в) их произведение — рациональное число; г) их частное — иррациональное число. 03.8. Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел, таких, что одновременно: а) их сумма и разность — рациональные числа; б) их произведение и частное — рациональные числа. 03.9. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен: а) л/2; б) л/3 - 5; в) S - 2; г) 7з - л/в. °3.10. Докажите, что найдется пара иррациональных чисел а и Р таких, что: а) а2 - р — натуральное число; б) 2а2 + Зр — целое отрицательное число. °3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число а, что число с является натуральным: а) с = а + -; б) с = а2 + а. 21
03.12. а) Докажите, что для любого иррационального числа а, найдется такое рациональное число р, что произведение ар — рациональное число. б) Докажите, что если точка (х; у) лежит на прямой у-кхл-Ьу где к Ф О, Ъ — рациональные числа, то числа х и у или оба рациональные, или оба иррациональные. 03.13. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке: а) [V2; л/5]; в) [7б - 2; 2,23б]; б) [S - V2; л/3 + л/2]; г) [& + 7б; 3,(9)]. 03.14. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке: а) [0; 1]; в) [1,2; 1,6]; б) [1,2; 1,22]; г) [1,2; 1,201]. 03.15. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале: a) (l,5; л/з]; б) [& - л/г; 0,5). 03.16. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале: а) [0; V2); б) (S - л/2; 0,б]. 03.17. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой: а) у = хШ + 1) - 2; б) у =-^ - 2. 03.18. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой: а) у = Ьх - 2; б) у = f + 2. 03.19. Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами: а) 73, 42, 1; б) л/3, &, 4? •3.20. Отметьте на числовой прямой точки А(1) и Б(4). С помощью циркуля и линейки постройте точку: 22 а) СШ; б) D(l - Jt); в) еЦЛ г) G(2 - JE).
§ 4. Множество действительных чисел 4.1. На числовой прямой отмечены точки А(-2) и Б(17). Найдите координаты: а) середины отрезка АВ; б) точки М, если В — середина отрезка AM; в) точки М, делящей отрезок АВ в отношении AM : MB = = 2:3; г) точки С числовой прямой, такой, что АС = ЗСБ. 4.2. а) Отметьте на числовой прямой нули функции у = (х- 1)2(31jc - 37)(41jc - 49); б) определите промежутки знакопостоянства функции у = (х- 1)2(31jc - 37)(41jc - 49); в) отметьте на числовой прямой нули функции у = (49* + 59)2(31jc + 37)3(41jc + 49); г) определите промежутки знакопостоянства функции у = (49* + 59)2(31jc + 37)3(41jc + 49). 4.3. а) Отметьте на числовой прямой нули функции У = (4* - 7)2 (19л: - 43Г(17л: -39) б) определите промежутки знакопостоянства функции (4* - 7)2 У = (19* - 43)117* - 39) в) отметьте на числовой прямой нули функции (8jc + 17)4 У = (59* + 69)2(51jc + 73)' г) определите промежутки знакопостоянства функции (8* + 17)4 У " (59* + 69)2(51* + 73)' 4.4. Укажите два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку: а) | 0,2; -L\ в) (0,21; 51); г) (0,21; 0,22). 23
О4.5. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке: а) [1; 2]; б) [1; 1,2]? Если существует, то приведите соответствующий пример, если не существует, то докажите это. 4.6. Используя калькулятор, расположите в порядке возрастания числа: л> ~т~9 TTq' 3,14; 3,1415; 4.7. Выпишите 10 различных чисел, расположенных между числами: а) 0,123 и 0,456; в) 0,123 и 0,124; б) -0,123 и -0,132; г) -1,9999 и -2. 04.8. На числовой прямой отмечены точки 0 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки: а) 1,4; б) V2; в) ->/l0; г) V2 - V3. 04.9. а) На числовой прямой отмечены точки -3 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки 0 и 5. б) На числовой прямой отмечены точки -V2 и 3. При помощи циркуля и линейки постройте точку 0. 4.10. Найдите расстояние между точками числовой прямой: а) 2,4 и 17,9; в) 12,14 и 18,92; б) -4,27 и 5,03; г) -4,27 и -5,03. 04.11. а) Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего ни наибольшего числа; б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству х2 < 5, нет ни наименьшего ни наибольшего числа. 04.12. Число т называют точной верхней границей числового множества X, если для любого числа х € X справедливо неравенство х < т и для любого числа е > 0 (е — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число хг € X, что хг > т - е. Найдите точную верхнюю границу множества X* если: а) X = [0; 1]; в) X = \х\х = -, п е ivj; б) X = [0; 1); г) X = {*|х = ^-^, п е 24
гЛ 13. Число т называют точной нижней границей числового множества X, если для любого числа х € X справедливо неравенство х > т и для любого числа е > 0 существует такое число хе € X, что хе < т + е. Найдите точную нижнюю границу множества X, если: а) X = [0; 1]; в) X = |х|х = К п б) X = [0; 1); г) X = { 04.14. а) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке (-5; Ь] содержится ровно 8 целых чисел. б) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке (-5; Ь) содержится ровно 8 целых чисел. в) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке [Ь; 8] находится ровно 8 целых чисел. г) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке (Ь; Ь + 4] находится ровно 5 целых чисел. 04.15. а) Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий 33 целых числа, большее из которых есть 12. б) Найдите промежуток наибольшей длины, содержащий не более четырех целых чисел, меньшее из которых есть 18. 04.16. На числовой прямой отмечены точки А(2а - 6а2) и В(2а - 3). При каких значениях а точка С лежит между Аи В, если: а) С(2); б) С(-1)? 04.17. На числовой прямой отмечены точки А(12а + 6а2) и Б(-2а + 3). При каких значениях а точка С лежит между А и Б, если: а) С(-2); б) С(а)? 04.18. При каких значениях р числа 2 _ р и yj2p - 4 принадлежат отрезку [-3; 2]? 4.19. Расположите на числовой прямой числа а, Ь, 0, если: \аЬ < 0, \аЪ < О, а) [а + Ь < 0; В) [а + Ъ > 0; ГаЬ > 0, ГаЬ > О, [а + Ь > 0; Г) (а + Ъ < 0. 25
4.20. Пусть е > 0. Множество всех точек х числовой прямой, удовлетворяющих неравенству а-е<д;<а + е, называют г-окрестностъю точки а, при этом точки а - е и а + е называют граничными точками е-окрестности точки а. При каких е > 0 точка 12,35 лежит в е-окрестности точки: а) 12,5; б) 12,2? 4.21. Точки х и у являются граничными точками некоторой е-окрестности. Найдите е, если: а) х=12,5, у = 12,7; в) х = -2,9, у = 3,3; б) х = 32,31, у = 31,32; г) х = -31, у = -29,8. O4.22. Дано множество Р = \х\х = —, п е N>. Определите, при каких натуральных значениях п числа из Р будут лежать в е-окрестности точки 0, если: а) е = 1; б) е = 0,1; в) е = 0,0001; г) е = -V я 4.23. Целой частью действительного числа х называют наибольшее целое число, не превосходящее числа х, и обозначают [х]. Найдите целую часть числа: а) 4; б) -3,2; в) 4,45; г) -3,3456. 04.24. Докажите: а) если [х] = k, то для любого натурального числа п верно равенство [х + п] = k + п; б) если [х] = k, то для любого числа у справедливо неравенство [х + у] < k + у. Решите уравнение: 04.25. а) [х] = 1; б) [х] = -11; в) [х] = -1; г) [х] = 11. •4.26. а) [х] = х; в) [х] = f; б) [х + 5] = 1 - х; г) р4^1 = х + 2# •4.27. Постройте на координатной плоскости хОу график соотношения: а) [х] = [у]; в) [х] < [у]; б) [х] > [у]; г) [х - 1] > [у + 1]. 26
4 28. Дробной частью действительного числа х называют разность х - [х]; дробную часть числа х обозначают символом {х}. Вычислите: а) {2}; б) {12,81}; в) {1,08}; г) 4.29. Вычислите: а) {-2}; б) {-12,81}; в) {-1,08}; г) {- 04.30. Пусть со € [0; 1). Докажите, что для любого натурального а верно равенство: а) {а + со} = со; б) {а - со} = 1 - со. 04.31. а) Найдите все числа х, для которых {х} = 0,123; б) найдите наибольшее целое число, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123. •4.32. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]: а) у = [х]; в) у = [х + 4]; б) У = [1 - *]; т)у = •4.33. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]: а) у = {х}; в)у = {х + 4}; б) у = {1-х}; г) у = I1 ~ х •4.34. Пусть а € [-4; 0]. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащей все числа вида: а) 1 + 2а2; в) 5а3; *\ г 9 ч 2а + 1 б) 5а + а2; г) За_у § 5. Модуль действительного числа Найдите модуль числа: а) \l-S\; в) |2,2-V5|; б) |V3 -л/2|; г) |7б - 2,5. 27
5.2. Используя определение модуля, запишите выражение без знака модуля: а) \х - 5|; в) \х - 5| - |4jc - 5|; б) \х - 5| + |jc + 8|; г) |jc - 5| • (jc + 3). O5.3. При каких значениях х верно равенство: а) \х\ = х; в) |jc| = -jc; б) \х - 7| = х - 7; г) \х2 - 7jc + 12| = 7jc - х2 - 12? 5.4. Найдите расстояние между точками А и В числовой прямой: а) А(7) и Б(12); в) А(-7) и Б(12); б) А(-17) и Б(-62); г) О(0) и Б(-12). На числовой прямой отметьте все такие точки х, которые удовлетворяют заданному соотношению: 5.5. a) |jc| = -х; в) |jc| = х; б) \х + 2| = х + 2; г) |jc - 2| = 2 - х. 5.6. a) |jc| < х; в) |х + 2| < х + 2; б) |jt| < -jc; г) |jc - 2| < 2 - х. 5.7. a) |jc| > х; в) |jc + 2| > х + 2; б) |х| > -jc; г) |jc- 2| > 2 - jc. 5.8. Докажите свойства модуля действительного числа: а) \а\ > а; в) \а\ > а «=> а < 0; б) -|а| < а < |а|; г) \а\ + |6| + \с\ = 0 <=> а = Ъ = с = 0. Упростите выражение: 5.9. а) \а - Ь\ - \Ь - а\; б) \а - с\ - \а + с\ - \с - а\ + \-с - а[. 05.10. a) Vtc2 - 8тс + 16; в) л/4тс2 - 28тс + 49; г) V(2,7 - V7)2 - V(2,6 - V7)2. O5.ll. а) |751 - 7| + |л/бТ - 5л/з| + |л/7б б) |l - V2| + |>/2 - 2>/2| + |2>/2 - + |5>/2 - 6>/2| + |бл/2 - 9|; 28
в) |l - л/37| + |2 - V37| + |3 - л/37| + ... + + |б- л/37| + 6 • |7- л/87|; г) |l - Vl37| + |2 - Vl37| + |3 - Vl37| + ... + |ll - л/137| + 11 • |л/137 - 12 . 05.12. а) Пусть ах < а2 < ... < ап. Докажите, что \(к - (к\ + \(к — Оз| н- |аз - а4| + ... + б) Пусть я < л/а < дг + 1. Докажите, что - yfa\ + 12 - л/а | + |3 - л/а| + ... + i-i ii- I n(n + 1) /I - л/а| + /I • |л/а - /I - 1| = — -. Решите уравнение: 05.13. а) \х + 4| = 5; б)|х-4| = |10-х|; 05.14. а) |х + 4| = -5; в) |х - 4| = 15; г)|х-4| = |бх|. в) \х - 4| = л/20 - 2л/5; б) \х - 4| = 15 - V227; г) \х + 4| = Зл/12 - бТз. 05.15. а) |jc + 4| = 2х; б) |jc -14| = 8 + 2х; Решите неравенство: •5.16. а) \х + 4| < 2jc; б) \х2 - 4х\ < Зх; •5-17. а) \х + 5| > 5х - 7; б) \х2 + jc - 5| > Зх; в) \х2 - 4jc| = 3jc; г) |jc2 + 7jc| = 4jc + 10. в) |* -14| < 8 + 2jc; r) \x2 + 7jc| < 4jc + 10. в) |7jc + 4| r) |—jc2 - x\ 6 + 5jc; 4x - 2. 8. а) Какие значения может принимать \х - 7|, если \х - 4| = 6; б) какие значения может принимать \х + 5|, если \х - 2| = 16? 29
•5.19. а) Найдите все значения а, при которых \х - 2| = а, если \х - а\ = 1; б) найдите все значения а, при которых \х - 2а + а2\ = а, если \х - а\ = 2 - а. •5.20. а) Какие значения может принимать \х - у|, если \х - а\ = 7, \у-а\ = 16; б) какие значения может принимать \а - Ь\, если \х - а\ = 7, •5.21. а) Пусть \х - 1| = 5. Найдите все возможные значения вы- Г2\х + 4[ ражения j б) Пусть \х - 1| < 5. Найдите все возможные значения вы- ! _ 2х + 5 ражения xj-—oq • Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции: 05.22. а) у = \х - 5|; б) у = \х + 3| + |1 - х\; 05.23. a)y = \x-5\-(x + 3); •5.24. а) у = |2 - л/5 - jc | б) I/ = 2 - V5 " N; •5.25. Найдите наименьшее значение функции: а) у = 2 + \х + 5|; в) у = \х - 2\ - \х + 5|; б) у = \х - 2| + \х + 5|; г) у = |х - 2| • |jc + 5|. •5.26. На рисунке 1 изображен график функции у = f(x). Постройте график уравнения: а) у = |/(*)|; б) у = Я|х|); в) \у\ = f(x); г) \у\ = f(\x\). 30
Выполните аналогичные задания для функций у = g(x) (рис. 2), у = h(x) (рис. 3) и у = ф(х) (рис. 4). 5 / / N \ О N ч / f у / / \ У \ \ \ \ X PUC. 1 5 / / \ \ yi \ 1 \ 1 1 1 ( У — ( > I ) X PUC. 2 \ -5 V \ 1 1 ( yi о ^ 1 \ \ 1 / 1 1 1 у - = h(. X Рис. з 31
— V \ 5 \ ч / -1 -. / 'о / N «/=<р(*) \ \ \ \ 5 X РМС. 4 •5.27. Постройте график уравнения: а) \х + 2у\ = 4; в) х + 2\у\ = 4; б) |х| + 2у = 4; г) |х| + 2\у\ = 4. § 6. Метод математической индукции 06.1. Методом математической индукции докажите: а) формулу общего члена арифметической прогресси ап= аг+d{n - 1)\ б) формулу суммы первых п членов арифметической пр< грессии Sn — о \ в) формулу общего члена геометрической прогресси г) формулу суммы первых п членов геометрической пр< грессии Sn = —1 в ПРИ 9*1- Вычислите сумму: 06.2. а) 7 + 8 + 9 ... + (п + 6); б) 2 + 11 + 20 + ... +(9п- 7); в) 1,35 + 1,4 + 1,45 + ... + (0,05п + 1,3); г) 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + ... + (0,(2)п + 0,(1)). 06.3. а) 1-2 + 3-4 + 5-6... + п(-1)п+1; б) -I2 + 22 - З2 + 42 - 52 + ... + (-1)" п2; в)0 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + ... + (п + (-1)л); г) 2 - 6 + 12 - 20 + ... + (-1)л+1(л2 + п). 32
Докажите, что при любом натуральном значении п выполняется равенство: 06.4. а) 1 + 2 + 3 + ... + п = 2 б) 1 + 4 + 7 + ... + (Зп - 2) = в) 5 + 6 + 7+ ... + (п + 4) = ^П2+ 9); г) 1,6 + 3,1 + 4,6 + ... + (1,5га + 0,1) = ^ 06.5. а) 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2"-1 = 2" - 1; 6>1 + i + i + " + F = 1'5-iP в) 3 - 9 + 27 - 81 + ... + (-3)" = -(1 - (-3)"); 4 г) 1 + 0,1 + 0,01 + ... + 0,000...01 = 1,(1) (1 п-1 нулей после запятой 0,000...01 ). п нулей после запятой O6.6. а) 1« + 2« + 8« + ... + п2 = б) I2 + 42 + 72 + ... + (Зп - 2)2 = "(в"2 - Зп ~ 1). 2 2 в) I2 + З2 + 52 + ... + (2п - I)2 = п(4га ~1}; О г) З2 + 72 + 102 + ... + (4п - I)2 = O6.7. a) I3 + 23 + З3 + ... + n3 = п (/г + 1} ; 4 б) I3 + З3 + 53 + ... + (2п - I)3 = п2(2п2 - 1). 111 1 /г б^ 2~Т + 1~12 + ### + (5/г - 3)(5/г + 2) = 10/г + 4# 33
•6.9. Докажите, что a(a + d) (a + d) • (a + 2d) (a + 2d) • (a + 3d) "" 1 = n (a + d(n - l))(a + dn) a(a + dn)9 где а Ф 0, d Ф 0, n € N: а) методом математической индукции; б) без использования метода математической индукции. Об.Ю. Используя тождество из № 6.9, вычислите сумму: /Ч "Л А "Л А "Л /Ч • • • а) 4 9 9 14 14 19 144 149' ы Х + х + Х + + 1 °J 1,5 2,5 2,5 3,5 3,5 4,5 '" 73,5 74,5" O6.ll. Используя тождество из № 6.9, докажите неравенство: > + + + + К 1; 5~Т + - + (2/г - 1X211 Докажите, что при любом натуральном значении п выпол няется равенство: O6.12. а) 1 ■ 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + ... + п(3п + 1) = п{п + I)2; б) 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + п(п + 1) = о в) 1 • 3 + 3 • 5 + ... + (2п - 1)(2п + 1) = "(*»' +в"-В; О г) 2 5 + 5 8 + 8 11 + ... + (Зга - 1)(3га + 2) = n(3n2 + 6n + 1). O6.13. а) 4 • 2 + 7 ■ 23 + 10 • 25 + ... + (Зп + Цг*1"1 = п • 22"*1; в) 1 • 22 + 2 • З2 + ... + (п - 1)п2 = 1,2,3, , п _ЦЛ 12 34
06.14. a) i з 3.5 — (2n - l)(2n + 1) 2(2n + 1)' 1 , 1 , , 6) 1. 2 • 3 2 • 3 • 4 ' /1(71 + 1 , 1 , , 1 . If 1 1 \ + тг-^г + ...+ _,_ 1)(n+2) " 2^2 (n + lXn+2)/ 14 2 5 n • (/г + 3) _ /г(/г + 1). B) 2 3 3 4 '" (n + 1)(/г + 2) n + 2 ' , 1.23 1 = r) 1 3 • 5 3 5-7 5-7-9 '" (2n - l)(2n + l)(2n + 3) _ n(n + 1) " 2(2/г + 1)(2/г + 3)# •6.15. Докажите, что для любого п € N выполняется равенство: а) 1 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + п • п\ = (п + 1)! - 1; •6.16. Рассмотрите три утверждения, начните их доказывать в указанном порядке методом математической индукции и определите, какое из них является верным для любого натурального значения п, а какие нет: а) 2 + 7 + 14 + ... + in2 + 2п - 1) = *(2у|2 +с9п + 2), о 2 + 7 + 14 + ... + (п2 + 2п - 1) = "(Zn' + Tn + S) О 2 + 7 + 14 + ... + (п2 + 2п - 1) = (22 О б) Х + I + 1 + ¥ + - + "l^1 = 21-" + 2/г, 1 + l + l + f + - + ^Г1 = 31-+ 301-1), •6-17. Докажите неравенство: а) 5п > Зп- 1, где п € ЛГ; б) Зп > 2п2 + Зп, где п € ЛГ, п > 4; в) 2Л > Ъп + 1, где n€N, п> 5; г) 5Л > Зп2 + 10п, где п € N, п > 3. 35
•6.18. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли* (1 + а)п > 1 + п • а при а > -1. Докажите, что для любого натурального п выполняется неравенство: 1 4' •6.20. а) -)= + -)= + ...+ г > V/i + 1 - 1; V2 V3 Vrc + 1 б) -)= + -)= +... + —L= < 2л/йТП -1 V2 V3 / + 1 V2 V3 Докажите, что для любого натурального значения п справедливо утверждение: 06.21. а) (л3 + 35n) I 6; в) (пъ - п) \ 30; б) (п3 + Зп2 + 8п) ! 3; г) (2n3 + 3n2 + In) \ 6. 06.22. а) (7л - 1) • 6; в) (IV- 1) ! 16; б) (22л+1 + 1) ■ 3; г) (132л + 1 + 1) • 14. •6.23. а) (Ц6л+3 + 1) : 148; в) (134л+2 + 1) ! 85; б) (72л - 42л ) ! 33; г) (5Л+3 + 113л + 1) : 17. •6.24. а) (62л + Зл+2 + Зл ) ! 11; в) (52+л + 2654 82л+1) • 59 б) (52л + 1 + Зл + 22л1) • 19; г) (5Л+32Л - 125) : 45. •6.25. а) (6Л + 20п + 24) i 25; б) (7Л + 12п + 17) ! 18. •6.26. Выведите формулу п-то члена последовательности (ал), за данной рекуррентным соотношением: а) аг= 0, аЛ+1= аЛ+ п; докажите, что ап= о—» ^ч 2 in- 1)/г(2/г - 1) б) аг= 0, an+i= ап+ п ; докажите, что ап= g > (Зл- в) а1 = -13, ап+1= ап+ Зл; докажите, что ап= о з (/г - 1)У г) аг= 0, ап+1= ап+ п ; докажите, что ап= ^ • * Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик. 36
пи 27« а) Докажите» что количество разных наборов по два предмета, которые можно сделать из п различных предметов ^ пч п ■ (п - 1) (я > 2), равно —4j • б) Докажите, что количество разных наборов по три предмета, которые можно сделать из п различных предметов ^ оч п(п-1)(п-2) (п > 3), равно —* g-* '-. о6.28. а) Докажите, что количество разных непустых наборов, которые можно сделать из п различных предметов, равно 2п - 1. б) Докажите, что п различных предметов можно расставить в ряд п\ способами (см. № 1.36). #6.29. Докажите, что любое натуральное число h > 4 можно представить в виде h = Зт + 5п, где тип — целые числа. об.ЗО. Докажите методом математической индукции, что у выпуклого n-угольника (п > 3): а) сумма внутренних углов равна 180°(п - 2); б) число диагоналей равно -^—н—-•
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Числовые функции i I i i I i i I i I I i i I i I I I § 7. Определение числовой функции и способы ее задания 7.1. На рисунке 5 изображен шестиугольник ABCDEF, ставленный из двух прямоугольников, причем АВ - 10, BC = CD = 3, DE = 2. М2 Е D Мх В РИС. 5 PUC. 6 Найдите: а) периметр шестиугольника ABCDEF; б) площадь шестиугольника ABCDEF; в) площадь прямоугольника AMiM2F, если АМХ - х% 0 < х < 7; г) площадь шестиугольника AMXM2DEF, если МгМ2 \\ AF и AM! = *, 7 < х < 10. 7.2. Используя условие задания 7.1, выразите площадь S(x) части многоугольника ABCDEF', расположенной слева от прямой MiM2, как функцию от длины отрезка АМХ = х. 7.3. Выполните рисунок 5 в тетради и совместите ось Ох с мой АВ, а ось Оу — с прямой AF. Определите координаты точек A, Mi, Б, С, D, Е, М2, F в полученной прямоуголь* ной системе координат. Задайте функцию, графиком которой является: а) прямая DC; в) отрезок DC; б) прямая FE; г) отрезок FE. 38
7 4. На рисунке 6 изображен сектор круга, радиус которого ра- вен 1, а центральный угол равен ср, причем ср € (0; 2л). а) Выразите площадь S этого сектора как функцию угла ф : S = S(q>). Постройте график функции S = S(cp). б) Вычислите значение функции S = 5(ф) при Ф = "§• в) Найдите S(2) - S(l). г) Найдите 5(ф + 8) - £(ф). 7.5. Площадь треугольника со стороной а и высотой h, опущенной на эту сторону, равна 20. Выразите длину стороны а, как функцию длины высоты h и найдите область определения и множество значений этой функции. 7.6. Перед вами известные физические формулы, связывающие несколько переменных величин. Выразите указанную величину как функцию от величины, записанной в скобках. а) s = vt, t(s); в) v = v0 + at, a(v); б) я = Ж Ж' Rl(R); r) P = I2Rt, I(t). 7.7. Выясните, при каких значениях переменных х и у линии, представленные на рисунках 7—10, задают функции вида у = f(x) или/и вида х - у(у) (за единицу масштаба принят размер одной клетки). / / о 1 \ \ \ о у / / 1 PUC. 7 PUC. 8 \ \ о \ \ X о 5: PUC. 9 Рис. 10 39
7.8. Из прямоугольного листа жести размером 30 х 50 см по уг„ лам вырезали квадраты со стороной х см и из полученной заготовки в форме «креста» согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной х см (см. рис.11). Выразите объем полученной коробки как функцию от х. х см! х см! J L Г РМС. 11 7.9. На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке [a; b]; S(x) — площадь «подграфика» на отрезке [а; х], а < х < Ь. Выразите величину S(x) через х и постройте график функции у = S(x). По этому графику найдите область значений функции у = S(x): а) рис. 12 (а = 0, Ь = 2); б) рис. 13 (а = -4, Ь = 8). I I ! S{x)\ I I -4 I --4- PMC. 12 2 PMC. 13 Решите данное уравнение относительно у и относительно х Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задает функцию вида у = f(x) или/и вида х = <р(у): 7.10. а) 2х + 3у = 24; = 2; в) 7х - Ъу = 35; , 2*+z/ _ 9 •7.11. а) 2х - Зу2 = -12; 0) х - 3 х + 4 7.12. Постройте график функции: а) у = 2х - 3; в) у = 0,5* + 1; б) I/ = 6 - Зх; г) у = -2- \х. 40
Постройте график функции: 7.13. а) у = 2*2; 3 « б) У = —; в) у = -0,5х2; г) у = -з- Д, •А' 7.14. а) г/ = *2 - 4; б) у = (х - I)2; 7.15. а) у = х2 - 6х + б) у = -х2 + 2ж 7.16. &)у= >fx; б) у = Vic + 2; 2 07.17. а) г/ = ^—т; 7.18. а) у = |х|; б) у = |х + 2|; 7.19. а) у = 3 - х; в) г/ = 2х2 + 1; г) г/ = -(* + 2)2. в) у = х2 + Ах + 7; г) у = -2х2 - 6х + 1. б) У = 4 -|x|. 07.20. а) Воспользовавшись тем, что х-5 = 1 (х + 1) - 6 _ 1Г-1 б 2х+ 2 2 +1) - 6 1Г-, _ х + 1 2 -3 , 1 х+1+ 2' х-Ъ постройте график функции у = Ох + 2' Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы. -ч , ах + Ъ t\ а _,_ Ь ^ * о) Функцию у - „„ т, где с * 0, — * -г называют дробно- сх + и с d линейной функцией. Докажите, что графиком дробно- линейной функции является гипербола с асимптотами с у с °'-21. Постройте график функции и найдите область ее значений: а) у = 2х2 - 1, х € (-2; 1]; б) у = yz{, х 6 [0; +оо); в) у = Vx + 3 - 1, х 6 (-2; 1]; г) у = 2х2 + 2х - 1, х б [-1; 2]. 41
O7.22. Постройте график функции у = f(x) и найдите область ее определения и область ее значений: а) Кх) = [2 - *, -3 < х < 1, __ \х\ -3 < х < 1, Найдите область определения функции: 7.23. а) у = -гЦ; в) у = * ~ 2 х + 2 O7.24. а) у = ^3; в) у = 1 - У-а:2 - Чх + 8. Y jc - V-*:2 - 7л: + 8 Г) 7.25. Пусть f(x) = -Зх + 2. Найдите: а)/(-х); б)Лх + 5); в) ЛД1)); г) f(f(x)). 7.26. Пусть f(x) = х2. Найдите: а)/(2*); б) f(x- 5); в) /(/(3)); г) /(/(*)). O7.27. Пусть f(x) = **2 ' Найдите: б) f(2x - 1); в) /(Я5)); г) f(f(x)). O7.28. а) Пусть f(x) = х2 + 2. Докажите, что f(x) = f(-x). б) Пусть f(x) = -х3 + 2х. Докажите, что f(x) = -/(-х). в) Пусть f(x) = —• Докажите, что (fix))'1 = Л — I г) Пусть f(x) = х2 + 2. Докажите, что /(|х|) = /(х), а |/(х)| •7.29. Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра а: -а. = Ух2 -7х + 12. с г-т . а ■ х3 - \1-х2 - 7х + 8 б) I/ = Vi - о • М; г) у = —7=^ • 1 + V* - а 42
1+2* I -4- /''У* 07.30. Пусть f(x) =2 - Vl - x; g(x) = 3 + х • Найдите область определения функции: а) у = Л*) + £(*); в) у = б) у = /(х) - g(x); г)у = 07.31. Пусть /(х) = х2 - Зх - 4; ^(х) = 5х - х2. Найдите область определения функции: а)г/= б) у = ё(х); г) у= 07.32. Пусть Z)(/) = [-4; 1] — область определения функции у = f(x). Найдите область определения функции: а) у = 15х - f{x); 07.33. Пусть D(f) = [-5; 10]. Найдите область определения функции: а) у = f(-x); б)у = \f(-x)\; в)у = П-х г) У = f(-\x 07.34. Пусть D(f) = [-2; 9]. Найдите область определения функции: а) у = Щх - 1); в) у = 4 • f(x) - 1; б) у = -4/(х + 11); г) у = -4 • /(х) + 11. 07.35. а) При каких значениях параметра а функция у = 3 -у/х - a определена во всех точках отрезка [-11; 7]? б) При каких значениях параметра а функция у = 3 - yjx - 3 определена во всех точках отрезка [а - 1; а + 1]? •7.36. Найдите все значения параметра а, при которых областью определения функции у = у/х - 3 + \Jax + 4 будет: а) луч; б) отрезок; в) единственное число (единственная точка); г) пустое множество. 43
O7.37. а) Докажите, что, если число Ъ принадлежит области определения функции у = л[х4 - 7х + 3 - у1х4 + 7х + 3, то и число (-Ь) принадлежит этой области. б) Докажите, что, если число Ъ не принадлежит области определения функции у = \1х5 - х + 3 + Зл/-х5 + х + 3, то и число (-Ь) не принадлежит этой области. •7.38. Найдите все такие числа Ь, принадлежащие области опре- тл^л, 1 - У2* - 7х - 22 деления D(f) функции у = г + 30 > для которых: а) число Ъ + 1 не принадлежит D(f); б) число Ъ - 1 не принадлежит D(f); в) оба числа Ь + 1 и Ь - 1 принадлежат г) отрезок [Ь + 1; Ь + 2] принадлежит 07.39. а) Докажите, что все значения функции у = Ъх + 3 положительны в окрестности точки 0 радиуса 0,2. б) Докажите, что в 0,5-окрестности точки -1 найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции 07.40. Пусть область значений функции у = fix) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции: а) у = ifix))2; в)у = ifix))3; б)у = \fix)\; г)у= ^4 + fix). 07.41. Пусть область значений функции у = fix) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции: а) у = fix + 5); в) у = 5 - fix); 6)y = 5-fix + 5); r)y = a- fix + b). 07.42. Пусть область значений функции у = fix - 5) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции: а) у = fix); в) у = 5 - fix); б) у = 5 - fix + 5); г) у = а - fix + Ь). 44
rj 43. Пусть область значений функции у = fix) есть отрезок [-3; 5]. Найдите все целочисленные значения функции: ч _ 7 . ч _ 15 . *)У- 5+ /(*)' В)У~ 7-/(*)' 8+ /(*). , Нх) ®У= 7 +fix)' Г^У= 6 - У #7.44. Найдите область значений функции: а) у = \х\ • (х - 6) - 2; б) у = х • \х - 6| - 2. #7.45. Выполните в указанном порядке задания а) и б), и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества E(f) значений функции у = f(x), исследуя вопрос существования корней уравнения f(x) = a, а также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения f(x) = а, если известно E(f). а) Найдите область значений функции у = х2 - 4х - 1 и определите, при каких значениях параметра Ъ уравнение Ъ = х2 - 4х - 1 имеет хотя бы один корень. б) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х2 + 4х - 3 = а имеет хотя бы один корень и найдите область значений функции у = х2+ 4х - 3. •7.46. а) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х2 - ах + 3 = 0 имеет корни, и найдите область E(f) » л. х2 + 3 значении функции у = ; б) определите, при каких значениях параметра а уравнение ах2 - 4л: + а = 0 имеет корни, и найдите область E(f) значений функции у = ——-• •7.47. Найдите область значений функции у = f(x): а) № = ^^ в) f(x) = ^f^; б) fix) = ^±f г) ^f 45
§ 8. Свойства функций 8.1. Найдите область определения функции, заданной графически: а) рис. 14; б) рис. 15; в) рис. 16; г) рис. 17. / / / ± У* \ \ K° \ 1 1 1 /к 11/ / / / f i X \ PlIC. 14 i I -И \ О \ ] \ f / / x \ w 1 / / О] X РИС. 15 * А / \ У1 I /о -1 1 \ \ \ \ Рис. 16 Найдите область определения функции: Рис. 17 8.2. а) у = х + 1 *2-1б' л: в) у = xz-l . *"-10*' г^~ (х- 10)jc-24* 8.3. а) „ = ^; -12 . ч -4а: . в) » = V^IO^' O8.4. a) i/ = U3> * < 1; "' * < !' в) У = j * \х3, х>1; 46
6х х + 7 18 2-х , х > -1, , х < -1; 6х х + 7 18 2-х < -1, > -1. Придумайте выражение, задающее функцию, определенную только при всех тех значениях х, для которых выполнено условие: 08.5. а) х Ф 100; б) 100 < х < 101; 08.6. а) * * 1 и jc * 10; б) 0 < \х\ < 1; в) л: < 100; г) х = 100. в) х < 1 и * > 2; г) 0 < \х- 2| < 5. Найдите область значений функции, заданной графически: 8.7. а) рис. 14; б) рис. 15; в) рис. 16; г) рис. 17. 8.8. а) рис. 18; б) рис. 19; в) рис. 20; г) рис. 21. 1/ f у у^ о 1 L \ / л \ \ \ L 1/ PUC. 18 PUC. 19 1 \ V 1/ 1 \\ V У \ \ 1 \ \ < ч, 1 о \ I 1 / 1: / \ \ L j / PUC. 20 PUC. 21 47
Найдите область значений функции: 8.9. а) у = 1 - 2х; б) у = 1 - 2х2; в)у = Зх2 - \2х + 1; г) у = -Зх2 - \2х + 1, х 6 [-6, 1). 08.10. а) у = 1 - р - Х~1щ 08.11. а) у = V* + 5; б) у = 1 - 2V3 - х; O8.12. а) у = 2 + Л; в) у = ^ - 12; г> У = 12ТТ5- в) у = 2 - Vx + 3; г) у = -1 + 2V-5 - Юх. б) у = х2 + 2* - ^j; г) у = х2 - 2х + * + 1|. •8.13. Найдите область значений функции i/ = f(x), если: б) k - il , к - 21 к - 31 л:-1 л:-2 л:-3# Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение: O8.14. а) х2 + 3 = а; в) л:2 - 36 = -а; O8.15. а) л:2 + 5л: + 3 = а; •8.16. а) х + |* + 2| - 2 = а; б) 2л:2 + Ъх - 3 = 7 - а. б) 5л: + \х - 7| - 2 = За. 8.17. Используя условия заданий 8.7 и 8.8, определите промежутки монотонности функций, заданных графически. O8.18. Найдите промежутки монотонности функции: а) у = 2х2 - Зх + 4; в) у = 5л:2 + 6л: - 11; б) у = VI-*; 48
q8.19. Докажите: а) если функция у = f(x) возрастает на промежутке X и а > О, то при любом значении Ъ функция у = а • f(x) + Ъ возрастает на X; б) если функция у = f(x) убывает на промежутке X и а < О, то при любом значении Ъ функция у = а • f(x) + Ъ возрастает на X; в) если функция у = f (х) убывает на промежутке X и а > О, то при любом значении Ъ функция у = а • f(x) + Ъ убывает на X; г) если функция у = f (x) возрастает на промежутке X и а < 0, то при любом значении Ъ функция у - а - f(x) + Ъ убывает на X. 08.20. Докажите: а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке X, то их сумма также возрастает на этом промежутке; б) если каждая из двух функций убывает на промежутке X, то их сумма также убывает на этом промежутке. 08.21. Определите промежутки монотонности функции: а) у = 4 - Зу/х - 5; в) у = -3 + 5>/2 - х; б) у = у/х + 1 + у12х - 3; г) у = л/1 - х + V3 - 4х. 08.22. а) Пусть функция i/ = f(x) возрастает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x))2 возрастает на промежутке X. б) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x))2 убывает на промежутке X. в) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x))2 убывает на промежутке X. г) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x))2 возрастает на промежутке X. Найдите промежутки монотонности функции: 08.23. а) у = (х2 + I)2; в) у = (х2 - Зх + 10)2; б) у = х4 + 6х2 + 15; г) у = (х2 + 2)2 - 2х2 - 3. °S.24. а) у = (х2 - I)2; в) у = (х2 - Зх - 10)2; б) у = (х2 - 9)2 + 6; г) у = (х2 - х - 20)2 - 18. 49
8.25. На рисунке изображен график функции у = f(x). Найдите промежутки монотонности функции у = (f(x))2: а) рис. 22; б) рис. 23; в) рис. 24; г) рис. 25. / ( У* О : / у / PUC. 22 / / \ О : L У \ / \ \ У> о ч : у \ \ X PUC. 23 \ \ \ 1 / / / : \ V л: \| \ 1 PUC. 24 PUC. 25 O8.26. а) Пусть функция у = f(x) возрастает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция у = J7-T убывает на X. б) Пусть функции у = f(x) возрастает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функция у = -тт-г возрастает на X. в) Пусть функция у = f(x) убывает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция у = -tjt^t возрастает на X. г) Пусть функция у = f(x) убывает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функция у = -77JT убывает на X. 50
о8.27. Найдите промежутки монотонности функции: a) J/ = в) */ = -I7 х2 + 6х + 10' -4л:-12* 28. На рисунке изображен график функции у = /(jc). Найдите промежутки монотонности функции у = -т^: а) рис. 26; б) рис. 27; в) рис. 28; г) рис. 29. \ \ / / о : L > / PUC. 26 \ \ О v \ / f x PUC. 28 \ \ о J J f \ *х PUC. 27 / / 1 1 \ \ о V \ / / / PUC. 29 Пусть функция у - f(x) возрастает на R. Решите: а) уравнение f(Sx + 2) = f(4x2 + х); б) неравенство f(Sx + 2) < f(4x2 + jc); в) уравнение f(Sx - 48) = /(-jc2 + х); г) неравенство /(3jc - 48) < /(-jc2 + jc). 51
О8.30. Пусть функция у = f(x) убывает на R. Решите: а) уравнение б) неравенство •8.31. Пусть функция у = f(x) определена на интервале (-1; 1) и возрастает на нем. Решите: а) уравнение f(Sx + 2) = f(4x2 + х); б) неравенство f(Sx + 2) < /(4jc2 + х). •8.32. Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [-1; 1] и убывает на нем. Решите: а) уравнение f(Sx + 2) = /(4jc2 + х); б) неравенство f(Sx + 2) < /(4jc2 + х). O8.33. Докажите: а) если функция у = f(x) возрастает или убывает на промежутке Ху то уравнение f(x) = а не может иметь более одного корня на X; б) если функция у = f(x) возрастает на промежутке X, а функция у = g(x) убывает на промежутке X, то уравнение = ё(х) не может иметь более одного корня на X. Решите уравнение: O8.34. а) х3 = 2 - х; б) х3 = 10 - х; •8.35. a) VJc + у/х -5 = 23 - 2х; + у/х - 3 = 43 - 6jc - jc2; + 4jc + 9>s/4jc + 1 = 9. 8.36. Для функций, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, найдите экстремумы, а также наибольшие и наименьшие значения. 8.37. а) Докажите, что функции, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области, их определения. б) Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве М, то она ограничена на этом множестве. 52
08.38. Убедитесь, что функция, график которой изображен на заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически: а) рис. 30; б) рис. 31. ч \ о \ ч \ : [ Л \ *х 1 \ \ : Ч^ L J / 1 *х Рис. зо PUC. 31 8.39. а) Приведите пример функции, определенной во всех точках отрезка [а, &], ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке [а, &]. б) Приведите пример функции, определенной и ограниченной на R, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на R. 08.40. Докажите: если функция у = f(x) имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, &], а отрезок [аи &i] является частью отрезка [а, &], то: а) i/наиб на [а, Ь] не меньше увйиб на [аи &J; а) i/наим на [а, Ь] не больше г/наим на [а19 Ьг]. 08.41. Докажите: если функция у = f (х) имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, &], причем унйиб = увемш то функция является постоянной на отрезке [а, &]. °8.42. Докажите, что если у = х + — > то: а) при л: < 0 уваиб = -2; б) при х > 0 унаим = 2. °8.43. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = З*2 - 24jc - 100: а) на отрезке [-1; 5]; в) на луче [0; +оо); б) на луче (-оо; 0]; г) на R. 53
08.44. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = -2х2 - 12* + 3: а) на отрезке [-1; 3]; в) на луче [-4; +оо); б) на луче (-оо; -4]; г) на R. 08.45. Найдите наибольшее значение функции: б)У= •8.46. Используя результаты упражнения 8.42, найдите наибольшее и наименьшее значения функции: ч 2* . ч 10* 4х - 4 б) У = х*-2х + п'' Г)У= S3' •8.47. Найдите наименьшее значение функции: а) у = \х\ + \х-2\; б) у = \х - 1| + \х - 3| + \х - 5|; в) у = \х\ + |jc - 2| + |jc- 4|; г) У = \х\ + \х- 1\ + ... + \х - п\, п € N. O8.48. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра а: а) у = х2 + 4jc + Ъа на отрезке [-1; 1]; б) у = -х2 + 4jc - а на отрезке [-1; 3]. •8.49. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для каждого значения параметра а: а) у = х2 - 4jc на отрезке [-1; а]; б) у = -jc2 + 2jc - 3 на отрезке [а; 3]. о *Л ч ^ 15jc + 60 •8.50. а) Функция у = —4 _ lfi определена только для допустимых целых значений х; найдите ее наибольшее значение. *ч лч 14х2 + 126 б) Функция у = —zz i~ определена только для допу ol — X стимых целых значений х; найдите ее наименьшее значение. 54
#g#51. Докажите теорему: если функции у = f(x), у = g(x) определены на множестве X и наибольшее значение одной из этих функций на Ху равное А, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение \f(x) = А, f(x) = g(x) равносильно на X системе уравнений \ . . [g(x) = А. #8.52. Опираясь на теорему из упражнения 8.51, решите уравнение: а) V*100 + 49 = 7 - х4; б) у!х2 - 2х + 5 = 1 + 2х - х2; в) V*22 + 64 = 8 - х12 - хи; г) V-*2 - 4л: - 1 = х2 + 4* + 7. § 9. Периодические функции 9.1. Функция г/ = /(jc) — периодическая, с периодом Т = 2. Известно, что /(0). Вычислите: а) /(2); б) Я-22); в) /(12& + 8), где k — некоторое целое число; г) /(4 - 8&), где k — некоторое целое число. 9.2. Функция у = f(x) — периодическая, с периодом Т = V5. Известно, что /(1) = 1, /(-1) = 7. Вычислите: а) /(1 + 8V5); б) /(-1 - 22л/б). 9.3. Может ли областью определения периодической функции быть: а) отрезок; в) луч; б) интервал; г) множество целых чисел? 9.4. На рисунке изображена часть графика периодической функции с периодом Т на промежутке /. Постройте график этой функции на промежутке Д: а) (рис. 32) Т = 2, / = [-1; 2]; /1= [-4; 8]; б) (рис. 33) Т = 3, / = [1; 4); Л= [-3; 10,5); в) (рис. 34) Т = 4, / = (-3; 1]; Л= (-5; И]; г) (рис. 35) Т = 1,5; / = (0; 1,5); 1г= (-3; 6). 55
1i \° V i / ) / X РИС. 32 * \ у \ у> / О] . Уь 1 О / / ч \ > \ \ ) Рис. зз У* о Z О \ 2 PUC. 34 PUC. 35 O9.5. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 3, определенная для всех действительных значений х, причем ДЗ) = 7, /(4) = 11, /(17) = 13 и /(ОД) = 0. Вычислите; а) Д141); Л-134); Д332) /(-8,9); б) /(17,3) - /(20,3); /(32,(3)) - /(332,(3)); /(0,(1)) - /(-2,(8)); в) /(10); /(100); /(111111); г) /(13,1) /(14,1) /(15,1) /(16,1); /(8888...88) - /(22222...22). п цифр п цифр O9.6. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 4, определенная для всех действительных значений х, причем /(3) = 5; /(4) = 11; /(5) = 9 и /(6) = 0. Сравните: а) /(1) и /(31); в) /(-17) и /(831); б) /(И) и /(110); г) /(б + 3/3) и /(^/3 - 6). 56
О9.7. Является ли функция у = f(x) периодической: а) № = 2; в) № = ^ff - * 09.8. Докажите: а) если 3 — период функции у = fix), то 6 — также период данной функции; б) если 9 — период функции у = fix), то 9 — период функции у = 5/(* + 2) - 1; в) если 2 — период функции у = fix), то 8 — также период данной функции; г) если 5 — период функции у = fix), то 5 — период функции у = -3/(2 - х) + 25. 09.9. Докажите: а) если 3 — период функции у - f(x), то 6 — период функции у = 5/(0,Ъх + 2) - 1; б) если 9 — период функции у = fix), то 3 — период функции у = 3 - 1,4/(3* - 7); в) если 2 — период функции у = fix), то 3 — период функ- г) если 5 — период функции у = fix), то 1 — период функции у = 81 - 3/(0,7 - 5л:). 09.10. Докажите, что если период функции у = f(x) равен Т, то а) период функции у = k • f(x + а) + Ъ (k Ф 0) равен Т; Т б) период функции у = kfipx + а) + b (pk Ф 0) равен т—г. 09.11. Пусть период функции у = f(x) равен Ти а период функции У = g(x) равен Т2. Докажите, что период функции у = h(x) равен Т3: а) Тх = 2, Т2 = 7, h(x) = 5f(x) - Sg(x), T3 = 14; б) 7\ = 15, Т2 = 10, h(x) = 8f(x) + 5#(jc), T3 = 30; в) 7\ = 3, Т2 = 13, h(x) = 0,2/(jc - 3) - g(x + 11), Т3 = 26; г) Тг =^Т2= ^, h(x) = Ь№ - 3 g(x), Тг = ^- . Пусть для любого х из области определения функции у = f(x) выполняется равенство f(x - 0,1) = f(x + 0,1) = = f(x). Докажите, что тогда для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x - 2) = = f(x + 2) = fix). 57
O9.13. Пусть для любого х из области определения функции у = fix) выполняются равенства fix - 3) = fix + 3) = fix) и f(x - 5) = fix + 5) = fix). Докажите, что для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x - 2) = f(x + 2) = fix). 9.14. Пусть [jc] — целая часть действительного числа х> а {х} — дробная часть этого числа (напомним, что, согласно определению, [х] € Z, х < [х] < х + 1, {х} = х - [#]). а) Найдите целую и дробную часть числа: 6; -3; 5,3; -5,3; 35. 35. 535. 535 53' 53' 353' 353* б) Найдите целую и дробную часть числа: VTT; vll - 2; 3 - Til; тг; 0,(4); -2,(3); -7,(1). 09.15. а) Докажите, что для любого значения х выполняются равенства [х + 1] = [х] + 1, [х - 1] = [х]. б) Докажите, что для любого значения х выполняются равенства {х + 1} = {х} = {х - 1}. в) Докажите, что функция у = [х] не является периодической. г) Докажите, что функция у = {х} является периодической с периодом 1. 09.16. Докажите, что 1 — наименьший период функции у = {х}. Постройте график функции и определите, является ли функция периодической: •9.17. а) у = [х]; в) у = [2л:]; б) у = [х - 2,5]; г) у = [|х|]. •9.18. а) у = |[х]|; в) у = {х} + [*]; б)у = х + [х]; т)у = [{*}]. •9.19. а) у = {х}; в) у = {2х}; б)у = {х- 2,5}; г) у = {\х\}. •9.20. а)у = |{*}|; в) у = х - {х}; б)у = х + {х}; т)у = {[х]}. Найдите основной период функции: O9.21. а) у = {х + 2}; у = {х - 3,7}; у = 2{х + 1,1} - 14; у = 13 - 5{х - 0,(3)}; 58
б) у = {2х}; у = 3{2* - 2,5}; у = {2* - 2,5}; у = 4 - 0,5{2* - 2,5}; в) у = {0,5*}; у = 3(0,5*}; у = 7{0,5*} + 6; у = 9 - 1,1{0,5*}; ч /3*1. ГЗ* + 21. ГЗ* n ol. ГЗ*+2 1 г) у = 1тгу = 1"^-/; у = it + Ну = гт-+ х\- «9.22. а) у = {х - 3,7} + 3{2* - 2,5}; у = {^ + <Ц + 5{* - И}; б) у = {2*} + (3* - 2,5}; у = 4 - {12* - 2,5} + {18*}; в) у = {0,3*} + 5{0,25*}; j/ = 7{0,15*} + 1,1{0,25*}; #9.23. Постройте график функции: а) у = ({*})2; в) у = Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может, — объясните почему: 09.24. а) Областью определения функции является отрезок или луч; б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая; в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки; г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек. 09.25. а) Функция имеет шесть нулей; б) функция не имеет нулей; в) функция положительна при х > 3 и отрицательна при х < 3; г) при х > 3 функция принимает положительные значения. °9.26. а) Функция убывает на всей области своего определения; б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания; в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего; г) функция убывает на интервале (3; 11). 59
Постройте график данной периодической функции у = f(x) и укажите область ее определения, область значений, промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знако- постоянства; исследуйте функцию на четность-нечетность: 09.27. а) Период функции равен 2 и f(x) = Зх на промежутке (-1; 1]; б) период функции равен 4 и f(x) = 4 - х2 на отрезке [-2; 2]; в) период функции равен 3 и f(x) = 2 - х на промежутке [0; 3); г) период функции равен 1 и f(x) = 2х2 - 1 на промежутке (0; 1). 09.28. а) Период функции равен 2 и f(x) = \х\ на отрезке [-1; 1]; б) период функции равен 4 и f(x) = 3 у/х + 2 на промежутке [-2; 2); в) период функции равен 3 и /(я) = 3 - 12 - jc| на промежутке [0; 3); г) период функции равен 1 и f(x) = 3 - л/4 - 3jc на промежутке (0; 1). 09.29. а) Период функции равен 2 и /(jc) = на промежутке X т ^ (-1; 1]; б) период функции равен 4 и /(jc) = — на промежутке (-2; 2]; х в) период функции равен 3 и /(jc) = на промежутке ДС Т Li [0; 3); н г) период функции равен 5 и f(x) = м _ j на промежутке [-2; 3). 09.30. Наибольшее значение периодической функции с периодом 3 на отрезке [-1; 2] равно 5, а наименьшее значение равно -2. Найдите, если это возможно: а) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-2; 11]; б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-5; 8]; в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-2; 1]; г) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-оо;1). 60
О9.31. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 4 и f(x) = Ъх + 2 на интервале (0; 4). Решите: а) уравнение f(x) = 7; б) неравенство f(x) > 7. #9.32. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 5 и f(x) = х2 + 2х на полуинтервале (-3; 2]. Решите: а) уравнение f(x) = 0; в) уравнение f(x) = 8; б) неравенство f(x) > 3; г) неравенство f(x) < 0. #9.33. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 4 и f(x) = х2 + 8х + 5 на отрезке [-6; -2]. Решите: а) уравнение /(#) = -11; в) уравнение f(x) = -10; б) неравенство f(x) < 11; г) неравенство f(x) > -10. #9.34. а) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого х из области ее определения выполняется равенство /(*) = Кх + 2), а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции, б) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого х из области ее определения выполняется равенство f(x) = f(x - 3), а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции. •9.35. а) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого х из области ее определения выполняется равенство f(2x) = f(x), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции, б) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого х из области ее определения выполняется неравенство f(2x) > f(x), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции. § 10. Обратная функция х2 10.1. Дано равенство у = ——г« Выразите из этого равенства х через у9 если: а) х > 0; б) х < 0; в) х > 2; г) х < -0,21. st3 10.2. Дано равенство р = > связывающее три величины: & — s р, s, t. а) Выразите из этого равенства s через р и t; б) выразите из этого равенства t через вир. 61
10.3. Для функции, заданной графически, укажите область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной функции: а) рис. 36; б) рис. 37; в) рис. 38; г) рис. 39. 4 о \ \ X PUC. 36 J / о \ \ i f / / X у У> \ \ у О \ s PUC. 37 1 > /о J ) / PUC. 38 PUC. 39 10.4. Для функции, заданной табличным способом, укажите ее область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; й случае положительного ответа постройте график обратной функции: а) б) X У 1 3 2 4 5 7 7 3 в) X У 1 5 2 8 3 9 7 1 X У 1 3 1 5 1 8 2 3 5 0,(6) 7 1,(4) г) X У -1 4 1 1,(7) 2 5 1 62
ДО.5. Найдите область определения и множество значений функции у = g(x), обратной для функции у = f(x), если: а) D(f) = R, E(f) = (3; +00 ); б) D(f) = (2; 3) w [5; 6), E(f) = (3; 4) - (7; +<x>); в) D(f) = [-5; 6), E(f) = (-rc; 11]; r) D(f) = E(f) = {-3; 4; 7} w (10; +*>). 10.6. Найдите множество значений каждой из взаимно-обратных функций у = f(x) и у = g(x), если указаны их области определения: а) D(f) = R, D(g) = [-2; +<х>); б) D{f) = [-3; 4], D(g) = [4; И]; в) £>(/) = (0; +с«), D(g) = (-с«; 7 ); г) £>(/) = {-1; 2; 4}, D(g) = {-2; 78; 123}. 010.7. Являются ли функции у - f(x) и у = g(x) взаимно-обратными, если: а) f(x) = 3x + 5, g(x) =!*"§; б) f(x) = | - 6х, gix) = ОД - \х; О О в) fix) = I* - 3, gix) = 7х + 3; г) fix) = !* + |, || Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно-обратных функций: 10.8. а) у = Зх; в) у = х - 7; б) у = 5х + 2; т)у=\х-1. О ою.9. а) „= ^; в>*=77Т 2ЛС - 1 °Ю.10. Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе: а) у = х; в) у = -х; б)у = Зх; г)у = -х+1? 63
х9 7 х - 2' в) г) У = У- _8^ X 5- 8 X 010.11. Совпадает ли данная функция со своей обратной: а) у = б)у = 010.12. Задайте функцию, обратную данной; постройте ее график: Г 2jc, если х < О, а) У = л [Зх, если х > 0; Г—5л: - 3, если х < -1, б) у = < [-1 - Зл:, если х > -1; в) у = < -х9 3jc, 2л: 2 если х < если х ^ + 1, если + 4, если 0, 0; *; ■ 2, >-2. 010.13. Задайте функцию, обратную данной; постройте графики заданной и обратной функций: а) у = V* + 3; в) у = ^2х - 1; б) г/ = -V2 - jc; г) г/ = ->/3 - Ьх. 010.14. Может ли функция иметь обратную, если она: а) линейная; в) дробно-линейная; б) квадратичная; г) вида у = у/х + а? 010.15. Обязательно ли функция имеет обратную, если она: а) линейная; в) вида у = у/х + а; б) дробно-линейная; г) вида у = х3 + а? 010.16. Может ли функция иметь обратную, если она: а) четная; в) периодическая; б) нечетная; г) непериодическая? 010.17. Может ли функция иметь обратную, если она: а) возрастающая; в) имеет три нуля; б) убывающая; г) не имеет нулей? 64
Х0.18. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на которых данная функция имеет обратную, и несколько, — на которых она не имеет обратной: а) рис. 40; б) рис. 41; в) рис. 42; г) рис. 43. - / I / У* \ о \ \ 1 / / У \ \ X 1 PUC. 40 / У> \ д / / \. i / \1/ Т \ 1 t / / у т \\ \ К ч о \ X PUC. 41 1 \ \ У> j / / г О] L ч 7 h / X PUC. 42 PUC. 43 Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите ее область определения и область значений, постройте ее график: О10.19. у = х2: в) на (-1; 5]; г) на (-оо; 0]. а) на R; б) на [1; +оо); 010.20. у = х2 - 2: а) на R; б) на [1; 2); 010.21. у = (х + З)2 - 2: а) на R; б) на [-3; +оо); в) на (-1; 5]; г) на [-2; 0]. в) на (-оо; -3]; г) на [-4; 4]. 65
010.22. (См. задание на с. 65.) у = х2 - 4х + 18: а) на R; в) на (-оо; 0]; б) на [2; +оо); г) на [-оо; 3). •10.23. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной: {2х - 5, если х < 1, на (-оо; 1], на (1; +оо), на R; х - 6, если х > 1 [5 - х, если х < 2, б) " = 7 - 2х, если * > 2 m ("°°; 2]' Н& (2; +ОО)' Н& *; 3* + 5, если х < 0, *2, если * > 0 в) i/ = 1 2 __ Л на (-°°; 0], на (0 +оо), на R; ГЗ - л:, если х < 0, г»= о . Л на (-оо; 0], на (0; +оо), на R. [2 - 7х, если jc > 0 •10.24. Постройте на одном чертеже какие-нибудь графики двух взаимно-обратных непрерывных на (-5; 10) функций у = f(x) и у = g(x)9 для которых: а) /(3) = 3, в(б) = 5; б) /(3) = 7, /(7) = 8, g(9) = 9; в) /(-1) = -1, £(3) = 3; г) /(1) = 9, /(2) = 7, g(4) = 4. •10.25. у = f(x) и у = g(x) — взаимно-обратные функции. а) /(3) = 5 и #(7) = 1. Решите уравнения f(x) = 7 и g(x) = 3. б) /(4) = 4 и £(25) = 9. Решите уравнения f(x2) = 25 и g(x2) = 4. в) /(15) = -3 и g(-7) = 1. Решите уравнения f(t) = -7 и g(t) = 15. г) /(7) = 5 и g(l) = 1. Решите уравнения f(3x) = 7 и g(5 -x) = 5. Постройте график функции у = f(g(x))9 если: 010.26. а) /(*) = 4х9 g(x) = 0,25*; б) f(x) = x-39g(x) = x + 3; в) f(x) = -2x9 g(x) = -05*; г) f(x) = -5x + 5 , Цх) = -0,2* - 1. 66
010.27. a) f{x) = -, g{x) = -; б) f(x) = -^, g(x) = в) fix) - j;> r) f(x) = TT 010.28. a) fix) = x\ gix) = V^; в) fix) = x\ gix) = 6) fix) = -x\ gix) = V^; r) fix) = -x\ gix) = -уП. 010.29. a) fix) = x2 + 1, gix) = V* - 1; б) fix) = 3 - 0,5*2, gix) = V6 - 2x; в) /(jc) = x2 - 2, £(*) = >/* + 2; r) /(jc) = 8 - 2jc2, ^(jc) = -V4 - 0,5*. •10.30. Пусть г/ = fix) и у = gix) — взаимно-обратные функции. Постройте на двух различных чертежах графики функций у = figix)) иу = gifix))9 если: а) Dif) = Eif) = R; в) D(f) = [1; 3]; JE(f) = R; б) Dif) = Eif) = (0; 3]; r) Dif) = [-2; 3]; Eif) = [-3; 2]. •10.31. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у = fix) и у = gix)9 чтобы уравнение fix) = х: а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней. •10.32. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у = fix) и у = gix) у чтобы уравнение fix) = gix): а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней. 67
•10.33. Пусть у = f(x) и у = g(x) — некоторые взаимно-обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения: a) /(*) = * и g(x) = х; б) f(g(x)) = хи g(f(x)) = х? Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически: •10.34. а) у = Зх + |*|; в) у = 2\х\ - 5х; б)у = х + 2\х\; г)у = 2х- 5\х\. •10.35. з)у = х\х\; в) у = 2- х\х\; б)у = х2+2\х\; т)у = х\х-2\.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Тригонометрические функции ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ §11. Числовая окружность Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвертая (рис. 44). 11.1. Вторая четверть разделена на две равные части точкой М, а третья — на три равные части точками К и Р. Найдите длину дуги: a) AM; б)ВК; в) РМ; г) РК. 11.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая — на три равные части точками К и Р. Найдите длину дуги: а)2Ж; б)ВК; в) РМ; г) PC. 11.3. Третья четверть разделена точкой М в отношении 2:3, первая — точкой Р в отношении 1 : 5. Найдите длину дуги: а) СМ; б) АР; в) РМ; г) МР. 11.4. Можно ли найти на единичной окружности точку Е с указанной ниже длиной дуги АЕ? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка Е: а) АЕ = 2; в) АЕ = 6,3; Уз+ 1 Уз--1" б) АЕ = л/8тс; г)АЕ = 11.5. а) К радиусам ОА и ОС проведены серединные перпендикуляры, соответственно, MN и PQ (рис. 44). Чему равен центральный угол АОМ7 Найдите длину хорды MN. Найдите длину дуги QN. Докажите, что точки А, М, Р, С, Q, N делят окружность на шесть равных частей, б) К радиусам ОВ и OD проведены серединные перпендикуляры LK и TS, соответственно (рис. 45). Чему равен центральный угол КОВ? Найдите длину хорды KL. Найдите длину дуги TL. Докажите, что точки К, Б, L, T, Z), S делят окружность на шесть равных частей. 69
-с / / V \ 1 /\ f \ \В о D | VI |\ V / у \ \ / / А- г/ / с 1 1 |\ ч в о j \ А. PUC. 44 PUC. 45 Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: Зтс 11.6. а) 11.7. а) 11.8. а) 11.9. а) 11.10. а) 2; л. 6' 10я 3 ' л. 8' 1; б) б) б) б) б) -л; л. 3' 17л. 4 ' я . 12' -2; в) в) в) в) в) 4л; 7л 4' 31л 6 ' 7л. 12' 3,5; г) г) г) г) г) 2 ' Зл 4 ' 19л 3 11л 8 -7. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая заданному числу? Oll.ll. а) 6; б) -4,5; в) 3,3; г) -5. O11.12. а) 10; б) -17; в) 31; г) -95. Oil.13. Укажите однозначное натуральное число, которому на числовой окружности (рис. 44) соответствует точка, наиболее близкая: а) к точке А; в) к точке С; б) к точке В; г) к точке D. 70
11.14. Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам: а) t и -t; в) t и t + тс; б) t и t + 2тг£, k € Z; г) * + п и * - тг? Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданной формуле (во всех формулах предполагается, что п € Z): 11.15. a) t = 2пп; б) t = | + пп; 11.16. a) t = ±f + 2пп; о в) t = 7m; г) * = ±^ + 2пп. в) ^ = ±- + пп; ЯП 11.17. a) f = (-l)"g +nn; 6 Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей (рис. 46). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки: 011.18. а) А и С; б) В и D; в) М и Р; г) N и Q. 011.19. а) М, ЛГ, Р, Q; б) А, М, В, N, С, Р, D, Q. L А 1 \ \ -р 0 1 ч в о 1 0 "*^ s ч 1 АР \ \ / i Л 1 ( J 7 в о > / V \ / г vA- PUC. 46 PUC. 47 71
Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 47). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки: 011.20. а) М и К; б) Р и Е; в) Р и L; г) М и F. 011.21. a) A, Р, L; в) F, M, Q, #; б) Б, #, F; г) A, N, Р, С, L, Е. Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (рис. 46): 011.22. а) АВ; б)АВи CD; в) BD; г) ВС u DA. 011.23. a) MN; б) NM; в) ВР; г) РВ. 011.24. a) QA и ЛГС; в) МЛГ и PQ; б) AN и CQ; г) AM и БЛГ и СР и DQ. Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге (рис. 47): 011.25. а) МР; б) AQ; в) BL; г) DF. 011.26. a) EN; б) QM; в) ХА; г) .fiTF. Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству (во всех формулах предполагается, что п € Z): 11.27. а) - + 2пп < t < — + 2пп; в) - + 27Ш < t < — + 2пп; 6 3 2 2 г) л + 2пп < t < — + 27m. б) 11.28. а) б) в) 2пп _я 2 я 6 Зл 4 < * < + 2пп + 27г/г - + 2пп 5я 4 + < < 2пп; 2 + 2пп; ^ + 2пп; 6 2я 3 г; 6 4 Найдите на числовой окружности все точки М(£), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки: O11.29. a) t = 2nn, t = п + 2пп; в) t = - + 27m, ^ = — + 2ял; б) ^ = 7с/г, ^ = ~ + 7с/г; г) t = тт, ^ = ~г* 72
011.30. a) t = ±| +nn,t= y; б) t = (-1)"^ + nn, t = (-l)n+I| + nn; в) t = ±~zr + 2лга, t = 2nn; r) i = (-1)"^ + nn, t = (-l)"+l§ + nn. #11.31. a) t = - £ + n(2n + l),t=-^ + -f-l б) t = (~l)n^ + лл, ^ = (~l)n + 1^ + nn, t = nn; к я , я в) t = —j + 7m, * = - ± -z + 7m; r) f = ±— + nn, t = ~z + 7m, * = 7m. 011.32. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(t), заданные формулой и принадлежащие отрез_ь «1. 2' 2}' ку . v _ Я . Я/1 011.33. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(t), заданные формулой и принадлежащие отрезку [-2; 4]: a) «=±f+ян, B)«=±^ + S; °11.34. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(f), заданные формулой и принадлежащие отрезку [-л; 2л]: а) t = п; в) t = 2п + 1; б) * = - + 2п; г) t = - + -у. 73
§ 12. Числовая окружность на координатной плоскости Всюду в этом параграфе предполагается, что центр числовой окружности совпадает с началом координат плоскости хОу. Найдите декартовы координаты заданной точки: 12.1. а) м(| 12.2. а) М(-Зя); б) м(^) в) м(-|]; г) м(^ 12.3. а) м(-^-\ б) М(117л); в) М (-^|0; г) М(126п). 12.4. Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка: з. i\ . ..( 7з. i "'2 f )МГ 12.5. Каким числам из заданного отрезка соответствует точка J Л. у/2) М\ —г-; -г- числовой окружности: а) [-4л; л]; в) [0; 5л]; б) \~; ^1; г) Г|; ^1? -.о^ тт Г Зя. 17я1 O12.6. На отрезке —^-> -^- укажите числа, которым на чис- L о о J ловой окружности соответствует заданная точка: 74
12.7. Имеется ли на числовой окружности точка, абсцисса или ордината которой равна: а) 0,7; б) £; в) £; г) Vl7 - V26? 3 4 Укажите знаки абсциссы и ординаты заданной точки числовой окружности: 012.8. а) Е(2); б) #(-4); в) Р(3,2); г) М(-4,8). 012.9. а) Я(12); б) К(-15); в) Р(49); г) М(ЮО). #12.10. Что больше, абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности: а) Я(1); б) #(-2,5); в) Р(7); г) М(-4)? #12.11. Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности: а) Д2,8); б) Д-4,2); в) #(-0,5); г) М(4,5)? 12.12. Как связаны между собой абсциссы точек числовой окружности: а) t и -t; в) t и п - t; б) t и t + я; г) t и 2л - tl 12.13. Как связаны между собой ординаты точек числовой окружности: а) t и -t; в) t и п - t; б) t и * + л; г) * и 2л - *? На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки: 12.14. а) х = 0; б) х = |; в) * = -^; г) х = 1. 12.15. а) х = ^; б) х = -^; в) х = ^; г) х = -1. 12.16. а) у = 0; б) у = |; в) у = -^; г) у = 1. 12.17. а).у =^; б) У = 4; В) » = "4; Г) » = -1' 12.18. а) х = ^, у < 0; в) * = -^, у < 0; б) х = ^, у > 0; г) х = -i, у > 0. 75
12.19. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.) а) у = ^, х > 0; в) у = ^-, х < 0; б)у= -^-, х<0; г) у = -\, х> 0. 012.20. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.) а) у = х; в) х + у = 0; б) у = -W3; rtf-Л Найдите на числовой окружности все точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют: O12.21. а) х > 0; б) х < g; в) jc > -|; г) х < 0. O12.22. а) х > -^-; б) х < ^-; в) х < -^-; г)х> ~. £л £л £л £ O12.23. а) у > 0; O12.24. а) у > -*£; б) у < ^-; в) у > |; г) у < о. O12.25. а) 6) х > 0, I/ < 0; [ж < 0, в) > — 012.26. а) л: - i/ > 0; 6) xi/ > 0; в) л: + i/ < 0; г) ху < 0. 012.27. a) x + i/ < 1; 6) x - у > -1; в) д; + у > -1; г) jc - у < 1 012.28. а) 2х2 - х < 0; б) (2* - 1)0/ - 3) > 0; 012.29. а) 4л2 - 1 < 0; б) 1 - 2у2 < 0; в) у + 2у2 > 0; г) (2у - -Л)(х + 2) < 0. в) 3 - 4у2 > 0; г) 2х2 - 1 > 0. 76
§ 13. Синус и косинус, тангенс и котангенс Вычислите sin t и cos t, если: 13.1. a) t = 0; 6) t = |; в) t = Щ\ r) t = тс. Л ч . 5я. 5я v . 7я. 9я 13.2. a) f = -g-, б) * = т; в) t = -g-, г) * = ^. 13.3. a) t = -g-; б) t = —3-; в) t = -f*-; г) t = - Вычислите: 13.4. a) sin -- + cos - + cos -- ; б) cos ^ • cos^ cos^ • cos^; 6 4 3 2 в) sinf--] - cos(-7t) + sinf-— { 2 ) [2 r) sin— • sin— • sin— • sin—. 6 4 3 2 13.5. a) sinf-—] + cosf--) + sin- • cos- + cosO sin-; л\ cos— + соя— + sin— • sin— • соя — 3 3 2 8 2 # Найдите значение выражения: 13.6. a) cos 2t, если t = ^; б) sin^> если * = —g, в) sin2 * - cos2 *, если t = -j; r) sin2 * + cos2 *, если t = g- 13.7. Вычислите: a) tgf; в) tgf; 6) ctg^; r) ctg^. 77
Вычислите: 13.8.a)tg[-f]; B)tg[-f 6) ctg(-f ]; г) ctg(-f ]. 13.9. a) tg^sinf ctgf; 4 3 6 6) 2 sin те + 3 cos те + ctg ^; r) 2 tg 0 + 8 cos — - 6 sin -. 2 3 13.10. a) tg I • ctg |; в) tg ^ • ctg £; 6) 3 tg 2,3 ctg 2,3; r) 7 tg ^ • ctg ^. 13.11. a) sin2 (1,5 + 32n) + cos2 1,5 + cos | ~ j + sin j ~ |; 6) cos2 fi + 4л1 + sin2 f| - 44n 1 + sin2 f| - 44n\ 13.12. a) tg 2,5 • ctg 2,5 + cos2 л - sin2 £ - cos2 f; О О 6) sin2 Щ- - 2 tg 1 • ctg 1 + cos2 (-Щ + sin2 Щ. 13.13. a) cos 1 + cos (1 + те) + sin I -- ] + cos [ ~ |; 6) sin 2 + sin (2 + те) + cos' -— + sin' -^. ^ 12 J 12 O13.14. Докажите равенство: sin ^ - cos те - tg \ fa 2 cos US+ 2 sin'li! о 4 78
J3.15. Упростите выражение: а) sin t • cos t • tg t; в) sin21 - tg t • ctg t; 1-cos2* б) sin * • cos * • ctg t - 1; r) -z—-T-2T- j. sin т Докажите тождество: 13.16. a) 1 + tg21 = cos"21; в) sin21 (1 + ctg21) = 1; 6) 1 + ctg21 = sin"21; r) cos2 t{l + tg?t)=l. 13.17. a) tg (7C - t) = -tg *; в) ctg (n - t) = -ctg *; 6) tg (27t + t) = tg *; r) ctg (27C + t) = ctg ^. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения: 13.18. а) 2 sin t; в) -3 cos t; б) 3 + 4 cos t; г) 3 - 5 sin t. Л1О iq я\ —. —, ; -a} « о—; Э1.5.1». a^ 2| sin^| + 3' ' 3 sin21 + 4 cos21 г 2 ^ 5 sin2 t + 5 cos2 £ 6) v7 cos £ + 9; r) —qi o .i , o • 7 v 7 о I cos t| + 2 Определите знак числа: 13.20. a) sin —; 6) cos I --^ I; в) sin -^; r) sin I --£ 013.21. a) sin (-2); 6) cos 3; в) sin 5; r) cos (-6). 013.22. a) sin 10; 6) cos (-12); в) sin (-15); r) cos 8. Определите знак выражения: 013.23. a) sin 1 • cos 2; в) cos 2 • sin (-3); TL i 17C 1 i 14tc i i 4ТС 6) sin — • cos —— ; r) cos sin 7 \ * ) \ 9 ) V9 013.24. a) cos ^ - tg ^f; в) sin ^ - ctg ^; У lo 1U О 6) tg 1 - cos 2; r) sin 2 - ctg 5,5. °13.25. a) sin 1 • cos 2 • tg 3 • ctg 4; 6) sin (-5) ctg (-6) • tg (-7) • ctg (-8). •13.26. Вычислите: a) sin 4 + |sin 4| + 2 cos 13 - 2|cos 13|; |ctgl2|-ctgl2' 79
Решите уравнение: 13.27. a) cos t = ф; в) cos t = -h 6) sin t = --=; r) sin t = -^r-. 13.28. a) sin t = -^; в) cos t = -^; 6) cos t = v3; r) sin t = —-. о 13.29. a) 10 sin f = V75; в) 8 cos t - V32 = 0; 6) V8 sin t + 2 = 0; r) 8 cos * = -л/48. 13.30. a) sin2 - + cos2 - - V2 sin t = 0; 8 8 6) J-~ cos £ = cos21 + sin21. O13.31. a) | sin t\ = 1; в) |cos t\ = 1; б) VI - sin^ = -; г) O13.32. Имеет ли смысл выражение: a) ^/sin 10,2я; в) ^/sin (-3,47с); б) ^/cos 1,3л; г) д/cos (-6,97с)? Решите неравенство (относительно переменной 013.33. a) cos 2 • (2* - 1) < 0; б) cos 3 cos 5 (jc2 - 4) < 0. 013.34. a) (cos t - 5)(3jc - 1) > 0; 6) (2 + sin 0(9 - x2) > 0. 013.35. a) ctg 5 (jc - 1) > 0; в) (tg 2 sin 5) (7 - 5x) < 0; r) tg 1 • ctg 2 • tg 3 • ctg 4 (*2 + 2) > 0. 80
Сравните числа а и 6: ol3.36. а) а = sin 1, Ъ - cos 1; в) а = sin 2, 6 = cos 2; б) а = sin 4, 6 = cos 4; г) а = sin 7, 6 = cos 7. •13.37. a) а = sin 1,6 = cos 6; в) а = sin 4, 6 = cos 2; б) а ='sin 2, 6 = cos 4; г) а = sin 3, 6 = cos 5. Расположите в порядке возрастания числа: 013.38. a) sin Ь sin £; sin ^; sin ^; sin ^; < э о о о б) cos Ь cos £; cos ^; cos ^E; cos ^. 8 3 6 4 4 •13.39. a) sin 2, sin 3, cos 4, cos 5; б) cos 3, cos 4, cos 6, cos 7; в) sin 3, sin 4, sin 6, sin 7; r) cos 2, cos 3, sin 4, sin 5. •13.40. a) 1, sin 1, cos 1, tg 1; 6) 2, sin 2, cos 2, ctg 2. Вычислите: •13.41. a) ^Jsin21 + sin2 2 - 2 sin 1 • sin 2 + J- - sin 1 + sin21 + + sin2 2 - 2 sin 2; 6) л/cos2 6 + cos2 7 - 2 cos 6 • cos 7 + J cos 7 + cos2 7 + cos2 6 - 2 cos 6. 1 •13. .42. a) 6) Vsin > 25- 2 5Л i24- 2 - 2 sin 5 2 sin cos 4 • sin ~6~ ' • cos 11л 6 sin 2л 3 + sin2 5 + sin + cos2 11л 6 2 5; 4 cos2 4 - 2 cos 4 • cos - + cosz -. 81
Решите неравенство: O13.43. a) sin t > 0; в) sin t < 0; 6) sin t < ^f; 013.44. a) cos t > 0; 6) cos t < ^-; 013.45. a) sin t < ~; r) Sin t > У±. в) cos t < 0; r) cos t > -^r-. Li в) sin t > —5; 6) sin t > -Ц-; r) sin t < -^-. 013.46. a) cos t > -^-; 6) cos t < —«; 013.47. a) sin t < \\ 6) cos * > -If; в) cos t < -Ц-; r) cos t > —=. в) sin t > —=; r) cos t < ^-. Решите систему неравенств: fsinf > 0, O13.48. а) \ . 1 в) [sint<-; {cos t < 0, 1 г) cos*>--; [sin * > 0, O13.49. а) { 1 в) [cos*<-; fcos f < 0, { sin t > -—, sin t < cos t > -, sin f > -^-, cos f < cost > -, 82
013.50. Решите неравенство: а) sin * • cos t > 0; в) ctg * • cos t < 0; б) sin * • tg * < 0; r) tg * • ctg t > 0. Докажите неравенство: 013.51. a) sin t < tgt, если 0 < * < ^; 6) cos * < ctg *, если 0 < * < ^. #13.52. a) 1 < sin 1 + cos21 < 1,25; 6) 2 < 2 sin21,2 + cos 1,2 < ^. •13.53. a) 0 < tg y + cos"2 у < 1; 6) -1 < sin"2 4 + ctg 4 < 1. § 14. Тригонометрические функции числового аргумента Упростите выражение: 14.1. а) 1 - sin21; в) 1 - cos21; б) cos2* - 1; г) sin2* - 1. 14.2. а) (1 - sin *)(1 + sin t); в) (1 - cos 0(1 + cos t); 6) cos21 + 1 - sin21; r) sin21 + 2 cos2 * - 1. 1 - sin2 t 1 - cos2 * 6) cos2* ; Г) 1-sinV л (sin* + cos*)2. 1- 2sJn*cos* 14.4. a) i + 2sin*cos*' 6) (cos* - sintf ' 14.5. Докажите тождество: ч cos2* . л ^ sin2* a> T^ST " smt = 1; 6) 1 + cos* + 83
14.6. Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение принимает одно и то же значение: a) (sin t + cos tf - 2 sin t cos t; 2 - sin21 - cos21. 6* 3 sin2 t + 3 cos2 * ' в) sin4 £ + cos41 + 2 sin2 £ cos2 £; sin4 t - cos4 * r' sin2 t - cos2 *# 14.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции s = f(t)9 если: а) /(*) = 1 -(cos21 - sin21); б) /(*) = 1 - sin t cos * tg *; в) /(*) = cos21 tg2 * + 5 cos2 * - 1; r) f(t) = sin t + 3 sin2 * + 3 cos2 *. Упростите выражение: 2 2 14-8-a) Х2^"?^2/; в) cos2 * ■sin2 *(ctg2 *+1); 6) ctg2 * - (sin"2 * - 1); r) ™8*I1 + tg * ctg t. ллск \ sin* + sint . cos* cos* 14.9. a) x + cog f i_cost> B^ 1 + sin * 1 - sin t' 6) ctg2 * (cos2 * - 1) + 1; r) Y^V 14.10. a) (3 sin t + 4 cos tf + (4 sin t - 3 cos tf\ б) (tg * + ctg tf - (tg * - ctg *)2; в) sin t cos * (tg * + ctg t); r) sin21 cos2 * (tg2 * + ctg21 + 2). Докажите тождество: о"-11- » tg.Tetg» = si"'« ») ti7T5i7 cos * + ctg *. 1 - sin t _ cos* O14.12. a) 1 + sin t = —^—, в) -5S7- ГТЖ 84 sin * + tg * , ч sin * 1 + cos * —til" =1 + cos'; r) i^^7 = ~5E~
Ol4.13. Докажите тождество: (sint + cost)2 -1 2 а) ctg*-sin* cos* " 2tg t; б) sin3 *(1 + ctg t) + cos3 *(1 + tg *) = sin * + cos t; (sin* + cos*)2-1 _2d. B' tg*-sin*cos* "^ct^ *» 1-4 sin2 * cos2 * r> (sin* + cos*)2 +2emtcoe*=l. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: 14.14. a) sin t = -g, I < * < я; 5 7Г б) sin t = jg, 0 < t < |; в) sin * = -0,6, ~ < t < 0; г) sin * = -0,28, п < t < 4г- 14.15. a) cos * = 0,8, 0 < * < -|; в) cos * = 0,6, ^ < t < 2л; 5 я 24 Зя б) cos t = ~То» ~о < t < п; г) cos t = "05' л < * < -=-. 14.16. a) tg t = |, 0 < t < |; в) tg f = -|, | < * < л; б) tg t = 2,4, л < * < ^; г) tg t = -J, ^ < f < 2л. 014.17. a) ctg t = Щ, Зл < * < Ц\ 6)ctg*= ^, 2л<*< ^; в) ctg t = -^, ^у < f < 4л; г) ctg f = -jg, ^ < t < Зл. °14.18. а) Дано: sin (4л + t) = g, 0 < t < |. Вычислите: tg (л - f). б) Дано: cos (2л + t) = jg, -у < * < 2л. Вычислите: ctg (л - *). 85
014.19. а) Дано: cos t = —jg, 8,5л < t < 9к. Вычислите: sin (-£). 4 9тс б) Дано: sin t = g> -5- < * < 57С. Вычислите: cos (-t) + sin (-£), 014.20. а) Известно, что sin t + cos £ = 0,8. Вычислите: sin t cos t. б) Известно, что sin t - cos £ = g« Вычислите: 9 sin t cos f. •14.21. Известно, что sin t + cos t = 0,6. Вычислите: a) sin31 + cos3 *; 6) tg t sin t + ctg * cos t. •14.22. Известно, что tg £ + ctg £ = 2,3. Вычислите: a) tg21 + ctg2 *; 6) tg31 + ctg3 *. •14.23. Известно, sin t cos t = -0,5. Вычислите: а) sin21 + cos2 *; в) sin6 t + cos61; б) sin4 * + cos4 *; r) sin81 + cos81. 12 •14.24. Известно, что sin £ cos £ = "49* Вычислите: a) tg t + ctg *; 6) tg21 + ctg21. •14.25. Вычислите: а) sin * + cos *, если tg t - ^zj = -^ и 0 < i< | б) 2 sin * + cos t, если 4 ctg * + 6 tg t + 11 = 0 и ^ <t< ^. Л sin £ + 3 cos t 014.26. а) Вычислите tg t, если известно, что sin ^ _ 3 C0S f = 4. 2 sin t - 3 cos * б) Вычислите ctg t, если известно, что 2 cos t _ 3 sin ^ = 3. 014.27. а) Вычислите tg t, если известно, что 5 sin £ - cos21 = 2,36 и Щ- < t < Зк. б) Вычислите ctg t, если известно, что sin2 £ + 2 cos £ + + 0,56 = 0и-|<*< -Зтс. 2 sin* cos* 3 •14.28. а) Вычислите ctg t9 если известно, что ~ 2 + _ -2 ^ = -г я б) Вычислите tg £, если известно, что 2 sin2 £ + 3 sin * cos t - cos2 * 1 я И 1 я я 2cos2 *- sin2 t = ~2 И ~4 < * K 2' 86
.29. Зная, что tg t = а, найдите: а) cos41; в) sin41; б) sin t cos t; r) sin3 £ cos £. #l4.30. Зная, что ctg * = а, найдите: а) 2 sin2 * + 3 cos21; 6) 2 sin2 * - 3 sin t cos * - 5 cos21. Упростите выражение: 1 + cos t , 1 - cos t , 2 л 7я 014.31. a) ^_cost + J1 + cost + 557' если 37C < * < T; 6) M 4. !?n / + *в *> если 27C < f < ^. •14.32. a) yjsin'21 - ctg2 * + cos21 - 1 + + Tcos 2 f - tg2 * + sin21 - 1 + 2 sin t - cos *, если *€ (13; 14); 6) ^/sin2 t(l - 2 ctg *) + 4 cos2 t(l - 0,5 tg t) + + sint + cost, если t e (0; 1). •14.33. Расположите в порядке возрастания числа: a) 7j, sin ■£, sin ^; б) ■£, cos I, cos 1,1. •14.34. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = sin2 jc + 2 sin x - 5; б) z/= sin2 x - 3 cos2 jc + 2 cos jc; в) у = 4 cos2 # - 4 cos jc - 2; r) z/ = cos2 # - 3 sin2 x - 4 sin x. Постройте график функции: °14.35. а) у = cos2 a; + sin2 x; в) у = sin2 Vjc + cos2 Vjc; 6) z/ = cos2 - + sin2 -; г) у = sin2 X2 _ 4 + cos2 ^2 _ 4» °14.36. a)z/ = tg^ctg^; 6) z/ = 3 cos2 л: + 2 tg x ctg * + 3 sin2 x. 87
§ 15. Тригонометрические функции углового аргумента Переведите из градусной меры в радианную: 15.1. а) 120°; б) 220°; в) 300°; г) 765°. 15.2. а) 210°; б) 150°; в) 330°; г) 675°. Переведите из радианной меры в градусную: 15.3. а) 15.4. а) 371 4' 5тс. 8' б) б) Ш. т» 7тс. 12' в) в) 6я. 5' 11тс 12 ' г) г) 46т: 9 ' 47тс 9 * Вычислите sin a, cos а, tg а, ctg а для заданного значения угла а: 15.5. а) 90°; б) 180°; в) 270°; г) 360°. 15.6. а) 30°; б) 150°; в) 210°: т) 240°. Расположите в порядке воз 015.7. a) sin 40°, sin 80°, sin 120°, б) cos 40°, cos 80°, cos 120°, 015.8. a) sin 380°, sin 830°, sin 210 6) cos 390°, cos 460°, cos 92( 015.9. a) sin 22,5°, cos 37,4°, cos 990°, sin 990°; 6) tg 100°, ctg 225°, cos 94,3°, sin 77°. 15.10. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, площадь и радиус описанной окружности, если: а) с = 12, а = 60°; в) с = 4, а = 30°; б) с = 6, а = 45°; г) с = 60, а = 60°. 15.11. Хорда АВ образует с диаметром АС окружности угол а0. Найдите длину хорды АВ> если радиус окружности равен R 015.12. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 015.13. В ААВС известно, что АВ = 4л/2 см, ZA = 45°, ZC = 30°. Найдите ВС, АС и площадь ААВС. 88
^g 14. Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника. .15. Использовав геометрические соображения, вычислите: а) sin 15° и cos 15°; б) sin 22,5° и cos 22,5°. Вычислите: О\Ъ 16. a) sin2 733° + cos2 347°; б) 2 cos2 395° + sin21000° + 2 sin2 755° + cos2 800°. 015.17. a) tg 1° tg 2° tg 3° • ... • tg 89°; 6) ctg 2° ctg 4° ctg 6° • ... • ctg 178°. #15.18. a) sin21° + sin2 2° + sin2 3° + ... + sin2 90°; 6) cos21° + cos2 2° + cos2 3° + ... + cos2180°. 015.19. Докажите, что верно равенство: а) (4 sin 30° + tg 60°)^^^ + ctg 150° j = 2 sin 150°; б) (ctg 210° + 2 cos 120°)(tg 420° - 2 sin 330°) = 4 cos2 315°. •15.20. Дано выражение sin 1° sin 2° sin 3° ... • sin n°. а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? •15.21. Дано выражение cos 1° cos 2° cos 3° • ... • cos n°. а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? •15.22. Дано выражение sin 1° + sin 2° + sin 3° + ... + sin n°. а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? 89
•15.23. Дано выражение cos 1° + cos 2° + cos 3° + ... + cos n°. а) При каких натуральных значениях п < 360 это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п < 360 это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? •15.24. Использовав равнобедренный треугольник с углом 36° при вершине, вычислите sin 18°, cos 18°, sin 36°, cos 36°. Указание. Проведите биссектрису угла при основании треугольника. § 16. Функции у = sin х, у = cos х, их свойства и графики Найдите значение функции: 16.1. а) у = 2 sin | х - ^ ] + 1 при х = -jp б) у = -sin (х + ^| при х = ~; в) у = 2 sin | х - -^ ] + 1 при х = -^; г) у = -sin (х + |1 при х = -^р. 16-2- У = Б57* если: а) х = "з", б) * = -g-. 16.3. z/= 2cosfx - ^l - 1, если: 16.4. He выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у = sin x точка с координатами: 90
16.5. Принадлежит ли графику функции у = -sin х + ^ + 2 точка: а» (<* 1} в) (* 1) б) (§; -4 + 2 j; г) (4л; 2,5)? 16.6. Принадлежит ли графику функции у = cos x точка с координатами: v (л. 1\ ч (2л. IV а) (з* 2> В) |Т' "2) 16.7. Принадлежит ли графику функции у = 2 cos \х - -~ + 1 V ) точка с координатами: а) (», 73 + 1); в) f|; б, (|; 1} г) (|; S) 16.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = sin x: ч Гтс. 2я1. v ( Зтс. Зтс\ а) на отрезке т» "о" » в) на интервале —тр "X Р б) на луче ^; +оо ; г) на полуинтервале -я; ^ . 16.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = cos x: а) на отрезке |; -^ ; в) на луче ~; +оо j; б) на интервале ~К -g ; г) на полуинтервале —s; -g- L °16.1О. Исследуйте функцию i/ = /(jc) на четность: х 2sinf а) f(x) = хь sin f; в) f(x) = ^-; 6 X б) f(x) = х3 sin х2; г) Д*) = х3 - sin *. 91
Исследуйте функцию на четность: Ol6.ll. a) f(x) = х + sin х; в) f(x) = O16.12. O16.13. б) а) б) а) б) fix) fix) fix) fix) fix) sinx, sin x cos x; cosx3. - x2 cos x; = xb cos 3x; r) в) r) в) r) fix) = sin2 x - x\ ■Pi \Л СОбл х^^э — x^) f(x) = (4 + cos x)(sin6 x - 1). cos5x + 1. f(x) = x11 cos x + sin x. O16.14. Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке: а) у = sin х, х € 11; -^1; в) у = sin x, x € (-1; 6); б) у = cos х, х € (1; +оо); г) у = cos х, х € [1,2; 7,5]. Вычислите, преобразовав заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin £0 или cos £0 так, чтобы выполнялось соотношение 0 < *0 < 2я или 0° < *0 < 360°: 16.15. a) sin 50,5л; в) sin 25,25л; б) cos 51,75я; г) sin 30,5я. 16.16. a) sin 390°; в) sin 540°; б) cos 750°; г) cos 930°. 16.17. Докажите тождество: а) sin2 (х - 8я) = 1 - cos2 (16л; - х); б) cos2 (4я + х) = 1 - sin2 (22я - х). 016.18. Найдите основной период функции: а) у = sin 2х; в) у = sin -|; б) у = cos Зх; г) у = cos -7-. 016.19. Преобразуйте заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin £0 или cos £0 так, чтобы выполнялось соотношение 0 < *0 < 2я: a) sin 8; б) cos (-10); в) sin (-25); г) cos 35. 92
jg.20. Вычислите: g 7; g а) cos (t + 4я), если cos (2n - t) = -7* б) sin (327C - t)9 если sin (2n - t) = jg. 16.21. Решите уравнение: а) sin (£ + 2я) + sin (t - 4n) = 1; б) 3 cos (27C + t) + cos (* - 2n) + 2 = 0; в) sin (M- 47c) + sin (t - 6я) = v3; r) cos (t + 2n) + cos (^ - 87c) = л/2. Найдите область значений функции: 016.22. а) у = 2 sin х; б) у= (3 cos х - 2)4; ; °16-23- а> » = 8 в) г) г/ = -3( */=(! + в)0- г)У~ в) г/ = Г) У cos х + 2; 4 sin xf. 2 sin л: - 3' 15 4 + cos x' ■ cos2 jc + cos x + 2; 4. б) У = 3COSX-5' 016.24. а) I/ = sin2 х - 6 sin jc + 8; б) у = <y/2 - cosx; 016.25. Найдите все целочисленные значения функции: а) у = 5 + 4 cos х; в) i/ = 3 - 2 sin x; б) у = J2 - 7cosjc; г) i/ = + 2sinjc. 016.26. Найдите все значения х, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число: а) (5 - 2 sin x; 5 + 2 sin x); б) [4 + 2 cos x; 4 - 2 cos x]. Постройте график функции: 16.27. а) у = sin (х - |\ в) р = sin (x - тс); г) » = sinfx + | в) i/ = sin x + 2; г) I/ = sin х - 3. б) у = sinfx + i 16.28. а) I/ = sin х - 2; б) у = sin х + 1; 93
Постройте график функции: 016.29. а) у = sin х - -j ] + 1; б) у = sin х + - I - 1. 016.30. а) I/ = -sin [ х + - |; б) i/ = -sin x + 3. 016.31. а) I/ = sin | х + -^ + -; в) у - sin (х - п) - 1; 3 I 2 б) у = -sinl x - £ | + 2; г) у = -sinl х + £ 1 - 2. O16.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции I/ = sin ( х - — I + 0,5 на промежутке: L4; 4J; а) т; ^г ; в) [0; л); т; т) г) \г; +то 4 4 J |_4 Постройте график функции: 16.33. а) I/ = cos [ х + ± |; в) у = cos б) у = cos jc - 2; г) у = cos jc + 1,5. ( \ ( ъ\ 1 O16.34. а) у = cos х + - + 1; в) i/ = cos \x - - + -; б) у = cos х - — - 2; г) I/ = cos х + — - 3. •16.35. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -cos х + — + 1,5 на промежутке: V 3У a) [j; п\; б) (1; 9); в) [231; 238]; г) Го; £ [6 J L 2 16.36. Известно, что f(x) = 3 sin x. Найдите: а) Я-х); в) 2/(х) + 1; б) 2/(х); г) Я-х) + Дх). 94
16.37. Известно, что f(x) = -— cos x. Найдите: а) /(-*); в) f(x + 2л); б) 2f(x); г) f(-x) - f(x). 16.38. Известно, что f(x) = cos —. Найдите: а) f(-x); в) /(-Зх); б) ЗДх); г) f(-x) - f(x). 16.39. Известно, что f(x) = sin 2x. Найдите: а) f(-x); в) f(~\ б) 2f(x); г) /(-*) + f(x). 016.40. а) Дано: f(x) = 2х2 - х + 1. Докажите, что /(sin х) = = 3-2 cos2 х - sin x. б) Дано: /(л;) = Зх2 + 2х -1. Докажите, что /(sin х) = 2 sin jc - - 3 cos2 jc - 4. 016.41. а) Дано: f(x) = 2x2 - 3x - 2. Докажите, что -/(cos x) = = 2 sin2 x + 3 cos х. б) Дано: /(x) = 5л;2 + x + 4. Докажите, что /(cos x) = = 9 + cos x - 5 sin2 х. 16.42. Исследуйте функцию i/ = sin x на монотонность на заданном промежутке: Г11кш 2571 \ Гбтс 7тс1 [T;TJ; а) L * Л J \ 'к 7к 6_Г Г) ^З7 3 16.43. Исследуйте функцию у = cos x на монотонность на заданном промежутке: ( 7тг 1 7тг а) [Зя; 47С]; в) —; -^- °1б.44. На каких промежутках функция у = sin x а) возрастает; б) убывает? 95
O16.45. На каких промежутках функция у = cos \х + — V 6 а) возрастает; б) убывает? •16.46. Докажите, что функция у = sin x: а) возрастает на отрезке [12; 13]; б) убывает на интервале (8; 10); в) достигает на интервале (7; 12) наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале (-1; 1) ни наименьшего, ни наибольшего значений. •16.47. Докажите, что функция у = cos x: а) возрастает на отрезке [-3; -0,5]; б) убывает на интервале (7; 9); в) достигает на интервале (3; 7) наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале (-3; -0,5) ни наименьшего, ни наибольшего значений. Решите графически уравнение: 016.48. a) sin х = х + п; в) sin х + х = 0; б) sin х = 2х; г) sin х = 2х - 2л. 9 Л. 016.49. a) sin х = —х; в) sin х = — х + 3; ( А2 б) sin х + \х + £ 1 +1 = 0; г) sin х = х2 + 1. I г) 016.50. a) sin f х - -£ ] = п - Зх; \ 3) б) sin х - г) -sin х = \[х. 016.51. a) cos х = х + —; в) cos х = 2х + 1; б) -cos х = Зх - 1; г) cos х = -х + -. 016.52. a) cos х = у[х + 1; в) cos х = -(х - к)2 - 1; г) cos x = |jc| + 1. 96
Сколько решений имеет система уравнений: а) у = sin л;, у = х2 + 4л; - 1; \у = sin*, "i»-* В) г) у = sinx, у = -Зх2 - 2; I/ = sinx, |х| - у = О? 016.54. Сколько решений имеет система уравнений: у = cosx, (у = cosx, С/ — —X т ^Х — О, а) [у = cosx, -I'-f. г) I/ = COS*, 1*1 - г/ = 0? 016.55. Решите графически уравнение: •16.56 016.57. •16.58. 016.59. •16.60. a) sin x = cos x; Решите уравнение: Зх 3 a) sin х = — ; л7С 4 Решите неравенство: a) cosx > 1 + |х|; б) sin х + cos л; = 0. б) cos х + Зх _ _3^ 5л 10 = 0, х > 0. ч . Зх a) sin л; > —; on б) sin х < -[ х --у | - 1. б) COSX < —— - 1. ' 2п Постройте график функции: а) у = |sin х|; в) у = |cos x|; cosx-- а) у = sin|x|; б) i/ = sin к х~з smx + - в) у = cos |x|; г) у = cos Постройте и прочитайте график функции: _ Jx2, если х < 0, fsinx, если х < О, [sin х, если х > 0; [х2, если х > 0. 97
fsin x, если -п < x Дана функция у = f(x), где f(x) = \ г [Vx, если jc > 0. а) Вычислите: /Г-|\ /(О), Д1), f(n2); O16.62 б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции у = f(x). \—, если х < 0, O16.63. Дана функция i/ = Да;), где f(x) = < х [sin х9 если 0 < jc < я. а) Вычислите: Д-2), /(0), /(1); б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции у = f(x). Постройте и прочитайте график функции: O16.64. а) у = [х + 2, если х < 0, [cos Xy если х > 0; O16.65. а) г/ = cos Xy если sin Xy если J—, если x < О, [-cos Xy если л; > 0. [-cos Xy если x < 0, \2x2 - 1, если x >0. •16.66. Постройте график функции: |sinx| 2 cos x в) i/ = 7 y |cosjc| 6) i/ = tg x • |cos x|; г) у = ctgx • |sin x|. O16.67. Постройте и прочитайте график функции: 2х - к, если а) У = < —, 6)0 = cos Xy если - < х < —, Щ-Ху если х > у; sin Xy если х < 0, х2, если 0 < х < —, cos Xy если jc > — 98
(2* + 2л, если х < - я, О16.68. Дана функция у = f(x), где f(x) = \sinx, если -я < х < О, [-2л:, если х > О. а) Вычислите: /(-тс - 2), Л ~ 1 /(2); б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции у = f(x). 016.69. Дана функция у = f(x), где f(x) = -х2, если х < О, sin jc, если 0 < х < 7С, -ух - п) , если х > п. а) Вычислите: Д-3), / | , f(2n - 3); б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции у = f(x). 016.70. Дана функция у = f(x), где f(x) = V sin( x + ^\ если - — < х < О, 2 2 jc + 1, если 0 < х < 2; -V* - 2 + 3, если jc > 2. а) Вычислите: ДО), /(6), Д-тс - 2); б) постройте график функции у = f(x); в) прочитайте график функции у = f(x). Постройте график функции: •16-71- а> у = shs б> у = ^Ь- •16.72. а) у = sin (sin х); в) у = cos (cos x); б) у = sin (cos х); г) у = cos (sin x). 99
§ 17. Построение графика функции У = mf(x) Постройте график функции: 17.1. a) i/= 3>/^; в) у = \хА; б) у = -2|х|; г) у = ~. 17.2. а) у = -2(х - I)3; в) у = -2у1х - 3; б) у = 3\х + 2|; г) у = 0,5*"3. 17.3. а) у = 2 sin х; в) у = -sin л;; б) I/ = 3 cos лс; г) I/ = -cos x. ПА. а) I/ = -2 sin х; в) i/ = 1,5 sin jc; б) i/ = -3 cos jc; г) у = -1,5 cos x. 17.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2 cos x: а) на отрезке —-; — ; в) на полуинтервале —; — с [ 2 2J L3 2 / *\ (п Зл;^ ч Г Зл. л] б) на интервале 0; —- ; г) на отрезке ——\ -— \- { 2 ) L ^ 4J 17.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = -3 sin x: а) на луче [0; +оо); б) на открытом луче ~°°; в) на луче —; 1.4 г) на открытом луче (-оо; 0). O17.7. Постройте график функции: а) у = 2 sin х - 1; в) у = -— sin х + 3; б) У = ~^ cos jc + 2; г) i/ = 3 cos x - 2. 2 100
Постройте график функции: О17.8. а) у = 2 sin(х - |\ в) у = -sin(* + у f б) у = -3 cos * + f г) у = 1,5 cos x - — 017.9. a) j/ = 2 sin | * + - | + 1; -#l + 2; 2я , 1 . •17.10. а) у = 2|совл:|; б) у = -3 cos в) у = 3 sin |jc|; г) у = -2 sinl л; - ? 017.11. Подберите коэффициенты а и Ь так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у - a sin x + b или г/ = a cos л: + Ь: а) рис. 48; б) рис. 49; в) рис. 50; г) рис. 51. - \ \ / f У* j f о -Я / Л / 1 Г 1 s \ 7 \ \ Г \ V ч / j ( f 2тг 5: PUC. 48 101
А / N "71 \ \ К 2 yi ч о о ■ о о ./ (Г о / 0,5 / 71 / с 2 / т г \ \ \ \ ы 2 X PUC. 49 - к У о 1 7 с PUC. 50 \ \ \ \ \ 1 / / / f У / ( / / У о 2 N -( ,5 \ \ ),5 V \ \ \ \ \ 1 \ л 1 1 У / f 5: Рис. 51 102
Ol7.l2. Подберите коэффициенты а и Ъ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = a sin (х + Ъ) или г/ = a cos (л; + Ь): а) рис. 52; б) рис. 53; в) рис. 54; г) рис. 55. • / ?1Г "Т */; О л - 1 s \ 7l\ ь Ч л / 7Г 3 X PUC. 52 . 7тг. 6 / / / г / / / N я 6 ■-О. \ О Ч \ з\ > Г 1 \ т f _/4тг. /т PUC. 53 V ч / / А / 6 / / s У* \ \ о '1, \ 5- \ 6 s ,5 \ / / t '6 X PUC. 54 103
1 1 1 / \ \ 0 L_ \ \ -\ 6 « у 2тг 3 _\ ч / i / f 1 i 1 \ у \ \ X PUC. 55 O17.13. Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 56; б) на рис. 57. J \ \ \ \ -2 i \ \ \ -1 У! л 4 1 1 о 7Г 2 7 С X / / п 2 У* 1,5 / л о > / тс 2 / / / / X PUC. 56 PUC. 57 O17.14. Постройте и прочитайте график функции: а) у = 3 sin х, если х < —; Зх3, если х > -; 104
f-2 cos x, если х < 0; .l5- Решите уравнение: а) 2 sin х - 1 = U - | j - ^-; 9л:2 б) 2 cos x = —г"" #17.16. Решите неравенство: а) 2 cos x < 2 + х4; б) -2 sin x > ^1 х + -£ Постройте график функции: т . 3sin3jc ^ cos3jc 7- а) » = lcos2x; б) » = •17.18. а) у = 3 sin x + |sin x|; б) i/ = cos д: - 3|cos x •17.19. а) у = - sin* |sinx| /y cosx |cosx| •17.21. а) у - sin д: + sin | jc| + |sin x\; б) у = cos л: + cos | jc| - |cos x\. •17.22. а) у = cos x + cos ' ' + |cos x\; б) у = sin x - sin —o-U + |sin x\. §18. Построение графика функции у = f(kx) Постройте график функции: 18.1. а) у = у[2х; б) у = Jf; в) у = (2л:)4; г) у = 18.2. а) у = sin ^; в) у = cos -|; б) у = cos 2л;; г) у = sin Зл:. 105
Постройте график функции: 018.3. а) у = 3 sin ^; в) у = -3 sin 2л;; х б) у = 2,5 cos 2л;; г) i/ = 2 cos -g. 018.4. а) у = 3 sin (-л;); в) i/ = 2 sin (-2л;); б) у = -2 cos (-Зл;); г) у = -3 cos (-л;). 18.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: у = sin 2л;: а) на отрезке -—; 0 ; в) на отрезке -—; — ; L 2 J L 4 4J б) на интервале —; — ; г) на полуинтервале (0; л] V 4 2) 18.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: у = cos -|: а) на луче [0; +оо); б) на открытом луче (-оо; л); ( я в) на луче ~°°5 — г) на открытом луче "^5 +°° \6 O18.7. Постройте график функции: а) у = sin 2л; - 1; в) у = cos 2л; + 3; X X б) у = cos -о" + 1; г) i/ = sin ^ - 2. Постройте и прочитайте график функции: (cos 2л;, если х < л; 1 --, если л; > л; Г-sin Зл;, если х < 0; б) 0 = 1 /- [л/л;, если л; > 0. {-2 sin л;, если х < 0; у— V2jc, если л; > 0; \\[-х, если л; < 0; б) У = i [3 cos л; - 3, если л; > 0. 106
18.Ю- Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 58; в) рис. 60; б) на рис. 59; г) рис. 61. — s У* -1 S о -1 / ( ч к \ у / f X п 6 У) 1 / 1 о \ \ п 6 \п , V : т 2 PUC. 58 PUC. 59 / / /-71 \ \ 7Г ~"2 \ \ У> 2< 1 1 > S о \ > Л Л \ Л 7 с / } / 1 871 2 Рис. 60 \ \ / / / f У / / -тс ч У) о Z \ О -1 _9 ■Si 7 Г4 *** 2тс > ^Зтс Рис. 61 107
018.11. Исследуйте функцию у = 2 sin Зх на монотонность на заданном промежутке: г) (3; 4), 018.12. Исследуйте функцию у = -2 cos ^ на монотонность на заданном промежутке: а) [О; f 1; б) (-3; 2); в) f-f; f) г) (3; 9). 2х 018.13. На каких промежутках функция у = -0,5 sin —: 3 а) возрастает; б) убывает? Зх 018.14. На каких промежутках функция у = 1,5 cos —: а) возрастает; б) убывает? Постройте график функции: 018.15. а) у = sin кх; в) у = -2 sin ——; о б) у = -2 cos —; г) у = 3 cos -^-. O18.16. а) у = \ cos 3 (х - j\ б) у = -1,5 sin f f« + f •18.17. а) у = sin (лс + |jc|); в) у = cos (д: + |jc|); S\x\ б) у = cos 2~^ г) У = sin •18.18. Решите уравнение: 7CJC I a) sin кх = 2х - 4; б) cos -g- = yjly5x. § 19. График гармонического колебания O19.1. Постройте график функции: а) у = 3 sin \ х + — ; б) г/ = cos - be + ^ \ 2) i \ з 108
Постройте график функции: 019.2. а) у = -2 cos 2 fх + |\ б) у = -2 sin 3 fх + 11 019.3. а) у = 2 sin fa* - y) б) i/ = -3 cos f2* + | 019.4. a) i/ = | sin (| + J j; ,. 3 f x n б) у = -- cos I ^ - ^ Ф19.5. Подберите коэффициенты a, b и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = a sin (far + с): а) рис. 62; б) рис. 63. 1 \ \ \ У 1 f п 1/1 12 У| 1' / / Э г f Л -2-1 \ \| 5тг V 12 \ \ \ .71 / 12 / / PUC. 62 / —-_ / ?! О 1 Ч к О ч и* s 7Г 2 ч s ^^ Я 7Г 2 А / »7Г X PUC. 63 109
•19.6. Подберите коэффициенты а, Ъ и с так, чтобы на цанном рисунке был изображен график функции у - a cos (bx + с): а) рис. 64; б) рис. 65. J 1 1 -71 / \ V \ \ \ \ \ о ч 1 1 1 2 J 1 1 п 3 \ \ \ 7Г V \ \ 4 7Г 3 ч / J X PUC. 64 f \\ \ \ \ \ \ 1 h \ \ \ 7Г 3 \ \ О \| \ \ \ / 1 1 / / / ] \ h \ 2 \ \ \ п \ 1 X Рис. 65 110
019.7. На каких промежутках функция у = -1,5 sin — - — а) возрастает; б) убывает? ( 2л 019.8. На каких промежутках функция у = 3 cos \2х + — а) возрастает; б) убывает? 019.9. Чему равен основной период функции: а) у = -1,5 sin f| - j\ б) z/ = 3 cos f 2x + ^ 019.10. Исследуйте функцию у = -1,5 sin — - — на монотонность на заданном промежутке: а) [0; 2я]; б) (2; 4); в) Г-М; о]; г) (-1; 2). ( 2кЛ 019.11. Исследуйте функцию у = 3 cos 2jc + — на монотонность V 3 ) на заданном промежутке: a) I 0; ^ |; б) (1; 2); в) | -^|; 0 |; г) (-1; 1). •19.12. При каких значениях параметра а функция у = 2 sin — + — а) возрастает на \ а -; а + — 3 3 б) убывает на а; а + — •19.13. При каких положительных значениях параметра а функция у = -3 cos 3jc - — а) возрастает на (а; 2а); б) убывает на а; а + ^ ? 111
§ 20. Функции у = tg х, у = ctg x, их свойства и графики 20.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tg х на заданном промежутке: ч (к ЗиЛ а) на интервале —; — ; V2 2 ) б) на полуинтервале —; те ; ч Г те тс1 в) на отрезке -—; — ; г) на полуинтервале те; — . L 2 ) 20.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = ctg х на заданном промежутке: а) на отрезке —; — ; в) на интервале (-те; 0); Гте "\ [те Зтс] б) на полуинтервале —; те ; г) на отрезке —; — . 20.3. Найдите область значений заданной функции: ^ч х ^ Г 57С 7с1 б) у = ctg х, х €[—; —J; к ] ( Зтс г) у = ctg х, х е -; те u те; — ^ ) 20.4. Решите графически уравнение: a) tg х = -л/3; в) tg x = -1; 6)tg* = l; r)tg* = O. 20.5. Решите графически уравнение: 7з a) ctg х = 1; в) ctg х = ——; 6)ctgx=^; r)ctg^: = O. 112
Исследуйте функцию у = f(x) на четность, если: 020.6. a) f(x) = tg x - cos х; в) f(x) = ctg2 x - х4; б) f(x) = tg jc + х; г) /(х) = х3 - ctg х. 020.7. а) /(*) = tg л: sin2 *; в) /(*) = х5 tg х; б) Я*) = ^ггр г) /(х) = х2 + sin х + tg jc. 020.8. a) f(x) = sin x + ctg x; в) /(x) = 6) fix) = ^^; r) /(x) = ctg x - x cos x. 020.9. Дана функция у = f(x), где f(x) = tg x. Докажите, что: а) f(2x + 2я) + /(7я - 2jc) = 0; б) /(7i - x) + /(5ti + x) = 0. 020.10. Дана функция у = f(x), где f(x) = x2 + 1. Докажите, что: Найдите основной период функции: 020.11. а) у = tg 2x; в) z/ = tg 5x; б) У = tg |; г) z/ = tg -g-. 020.12. a) z/ = tg x + sin 2x - tg3x - cos 4jc; б) у = sin 3jc + cos 5x + ctg x - 2tg 2x. 20.13. Известно, что tg (971 - x) = -—. Найдите: tg x, ctg x. 20.14. Известно, что ctg(77i - x) = -. Найдите: tgx, ctgx. 020.15. Определите знак разности: а) tg 200° - tg 201°; в) tg 2,2 - tg 2,1; б) tg 1 - tg 1,01; r) tg \ - tg ^. Постройте график функции: 20.16. а) у = tg f* + jO; B)y = tg(x-±\ б) у = tg x + 1; г) у = tg x - 2. 113
Постройте график функции: 020.17. а) у = tg (х + | j + 1; в) у = tg (х - 11 - 1; б) У = tg ^ - ^ j + |; г) у = tg (* + f) " 2. 020.18. a) z/ = -tg я; в) у = -tg (x - |\ б) у = -tgx + 1; г) z/ = -tg (* + f 1 " 2- 020.19. a) z/ = ctg Гх + | \ в) z/ = ctg (х - | \ б) z/ = ctg л: + 1; г) z/ = ctg x - 2. 020.20. a) z/ = 2 tg х; в) у = tg 2x; б) у = -0,5 ctg x; г) z/ = ctg ^. 020.21. Исследуйте заданную функцию на монотонность: а) у = 2 tg (х - | j + 1; в) z/ = -tg (* + f 1 " 3^ б)У = ctg Г х + |1 - 2; т)у = -2 ctg (* " fl + Постройте график функции: 020.22. а) у = |tg x|; в) z/ = |ctg л|; 6) z/ = tg|x|; г) у = ctg|x|. 020.23. а) у = tg x + |tg x\; б) у = |ctg x| - ctg x. 020.24. a) z/ = tg x |ctg x|; 6) z/ = |tg x| ctg x. 020.25. а) у = 2 tgx ctg x + \x\; б) у = tg x ctg x + 4x. 020.26. а) у = sin2 (tg x) + cos2 (tg x); 6) z/ = 3 cos2 (ctg x) + 3 sin2 (ctg jc). •20.27. a) z/ = -tg (cos x) • ctg (cos x); 6) z/ = -2 tg (sin jc) • ctg (sin x). 114
20.28. Решите неравенство: a)tg*<l; B)tgx>-^ О б) ctg x > л/3; г) ctg jc < -1. 020 29. Решите систему неравенств: Л а) sinx>-I; B) I 2 [cos л; < 0; ictgx < 1, \ctgx > -л/3, б) 1 л/3 г) jcos^: > ; > - / —; § 21. Обратные тригонометрические функции Вычислите: 21.1. a) arcsin —; в) arcsin —; б) arcsin 1; г) arcsin 0. 21.2. a) arcsin | —^- к в) arcsin (-1); 2 ) б) arcsin I —г I; г) arcsin —— 3in [Л] 021.3. Найдите область определения функции: а) у = arcsin x; в) у = arcsin —■; б) у = arcsin (5 - 2х); г) у = arcsin (jc2 - 3). 021.4. Имеет ли смысл выражение: а) arcsin —- ; в) arcsin (з - V20); V 6) б) arcsin 1,5; г) arcsin (4 - V20)? °21.5. Найдите область значений функции: а) у = 2 arcsin х; в) у = arcsin х + —; б) у = -4 arcsin х\ г) у = п - 2 arcsin x. 115
O21.6. Исследуйте функцию на четность: . arcsin х а) У = ——4—; б) у = sin2 х + х arcsin x; в) у = arcsin х3 + 3 cos 2x; г) у = 2 tg х + х5 - 3 arcsin 2л;. Постройте график функции: а) у = arcsin x; б) у = arcsin (-x); O21.7. O21.8. а) у = arcsin (х - 1) + |; б) у = -arcsin (х + 2) - -g. в) z/ = -arcsin jc; г) z/ = -arcsin (-jc). O21.9. а) у = 2 arcsin jc; 6) z/ = - - arcsin x; в) у = —- arcsin x; о г) у = -2 arcsin (x - 3). O21.10. a) z/ = arcsin 2x; б) у = arcsin ^ + -; в) у = arcsin —; о г) у = arcsin 2(x - 1) + ^. O21.ll. Постройте и прочитайте график функции: а) у = кх + —, если х < -1; arcsin х, если -1 < х < 1; —, если х > 1. , если -1 < х < О, -arcsin х9 если 0 < х < 1; (^ - I)2 - £, если 1 < * < 3. O21.12. Постройте график функции: а) у = 3|arcsin х\ - arcsin x\ б) у = arcsin х + |arcsin x\; в) У = arcsin х г) у = -arcsin \x - 2|. 116
Вычислите: V3 21.13. a) arccos 0; в) arccos -pS 6) arccos 1; г) arccos -• 21.14. a) arccos ; в) arccos (-1); I 2 J 6) arccos ; r) arccos — { 2 ) [2 21.15. a) arccos (-1) + arccos 0; 1 V3. б) arccos - - arccos —, ч ( J2) V2. в) arccos + arccos —; 12 Z ( 11 1 r) arccos — - arccos — 021.16. a) arccos -■- + arcsin — ; *) \ 2 ) б) arccos —— - arcsin (-1); I 2 J ( S) . ГS\ в) arccos + arcsin ; { 2 J \ 2 42 . { fi r) arccos — - arcsin —~- 2 12 021.17. a) cos 2arccos 3arccosO - arccosl — 6) - arccos - + arccos — з[ з [ з °21.18. a) sin arccos f-- ] 1; в) ctg (arccos 0); I v 2)) ^ x ( л/31 ч . ( л/2 6) tg arccos— ; г) sin arccos-^— v 2 J I 2 117
Вычислите: O21.19. a) sin I 2arcsin 3arccos— 1 2 ^2 6) cos — arcsin 1 + arcsin I2 I 2 в) tg | arcsin — + 2 arccos — |; 2t 2t r) ctg | 3arccos(-l) - arcsin — 21.20. Докажите тождество: а) sin (arccos x + arccos (-x)) = 0; б) cos (arcsin x + arcsin (-x)) = 1. O21.21. Найдите область определения функции: а) у = arccos д:; в) у = arccos 2x; б) у = arccos (jc - 1); г) z/ = arccos (3 - 2х) 21.22. Имеет ли смысл выражение: а) arccos V5; в) arccos ^; э б) arccos J—; г) arccos (-v3)? V о O21.23. Найдите область значений функции: а) у = 2 arccos д:; в) г/ = -- arccos x; б) у = 1,5 arccos х - —\ т) у = п - 2 arccos x. O21.24. Исследуйте на четность функцию: а) у = arccos х2 + —; в) у = х4 8 arccos л: _ arccos jc2. з б б) у = ~з ; г) у = 2х arccos x . O21.25. Постройте график функции: а) у = arccos х; в) у = -arccos x; б) у = arccos (-х); г) у = -arccos (-jc). 118
Постройте и прочитайте график функции: О21.26. а) у = arccos (х - 1) - |; б) у = arccos (x + 2) + -$• 021.27. а) у = -3 arccos x; в) z/ = -g arccos x; б) z/ = -у - arccos л;; г) z/ = g arccos (jc + 1,5). 021.28. a) z/ = arccos 2л:; б) у = arccos | - ^; в) z/ = -arccos -|; z/ = arccos 2(x - 1) - ^ 021.29. а) у = я, если jc < -1; arccos х, если -1 < х < 1; х - \, если jc > 1. arccos jc, если -1 < х < 0,5; —, если 0,5 < х < —; 3 3 х, если — < х < 3. 3 •21.30. Постройте график функции: а) у = arccos х ; в) у = -2 arccos \x\; 3 б) у = arccos \x\; Вычислите: г) у = arccos | х - 21.31. a) arctg 1; б) arctg (-V3); 21.32. a) arcctg ^L; 3 б) arcctg 1; в) arctg л/3; г) arctg | -^ в) arcctg г) arcctg 0 119
Вычислите: O21.33. a) arcctg (-1) + arctg (-1); б) arcsin —— + arcctg (->/з); V 2 ) г) arccos -— - arcctg (-л/з). O21.34. a) 2 arcsin —— + arctg (-1) + arccos —; V ^ ) 2 6) 3 arcsin — + 4 arccos —— - arctg —— 2 \ 2 ) V в) arctg (-л/з) + arccos —— + arcsin 1; \ 2 ) о -I f Гп г) arcsin (-1) - — arccos — + 3 arcctg —— 2 2 13 O21.35. a) sin (arctg (-л/з)); в) cos (arctg 0); 6) tg I arctg (-Щ j; r) ctg (arctg (-1)). 021.36. a) tg (arcctg 1); в) cos (arcctg (-1)); 6) sin (arcctg л/з); г) ctg 2 arcctg —\= { { V3 021.37. Найдите область определения функции: а) у = arcsin х + arctg x; б) у = arcctg yfx + arccos —; в) у - arctg — - arccos (2л; - 0,5); г) у = arcsin (х2 - 1) + arctg 2x + arcctg (x - 1). 120
2l#38. Исследуйте функцию на четность: arctg х. а) у = Х4 ; б) у = sin2 х + х arctg х; в) у = arcsin jc + arcctg jc; г) i/ = 2 arcctg x + xb - 3 arcsin 2x. o2l«39. Найдите область значений функции: а) у = 2 arctg jc; в) i/ = 1,5 arcctg jc - б) г/ = -- arcctg x; г) у = п - 2 arctg jc. Постройте график функции: 021.40. а) у = arctg (-х); в) у = -arcctg x; б) I/ = arcctg (-х); г) i/ = -arctg (-x). 021.41. а) у = arctg (х - 1) - £; б) у = arcctg (jc + 2) + —. 3 021.42. а) у = 0,5 arctg x; в) у = -д arcctg x; б) у = — - arcctg x; 021.43. а) I/ = arctg 3jc; 6)у = arctg - - -; т) у = 1,5 arctg (л: + 2). ч , Зх в) у = arcctg —; г) у = arcctg 2(jc - 1). °21.44. Постройте и прочитайте график функции: [arctg х, если х < 0; I Vjc, если х > 0. farcctg jc, если jc < 1; [arctg jc, если х > 1. °21.45. a)y = |arctgx|; б) у = arcctg | х |; в) i/ = -2 arcctg | *|; г) у = arctg jc + -£ о 121
Вычислите: 021.46. a) cos arcsin -— V V 16 б) tg (arcsin 0,6); ( 3 021.47. a) sin arccos — 6) tg| arccos |-— O21.48. ( Z\ a) sin arctg — ; I 4) Г 12 6) cos arcctg — V 5 •21.49. Докажите, что а) sin (arctg x) = б) tg (arcsin x) = в) cos arcsin — I 17 r) ctg (arcsin (-0,8)). в) sin (arccos (-0,8)). в) sin (arcctg x) - о—-j' r) ctg в) sin r) cos arccos — V 5 arcctg|-- r) tg (arccos x) = Постройте график функции: •21.50. а) у = cos (arccos x); б) у = arctg x + arctg (-x); в) у = tg (arctg x); г) у = arcsin jc + arcsin (-x). •21.51. а) у = arccos x + arccos (-x); б) у = arccos — + arccos — x \ x в) у = arcctg x + arcctg (-#); г) у = arcctg Vjc + arcctg (- а) 1/ = sin (arccos x); б) у = tg (arcctg x); •21.52. •21.53. a) 1/ = arccos (cos jc); 122 в) У = г) У = cos (arcsin jc); ctg (arctg x). 6) 1/ = arctg (tg x).
Решите уравнение: _ о_ 021.54. a) arcsin 2x = —; в) arccos (Зх - 3,5) = —; б) arctg (4л: + 1) = —; г) arcctg (4л: + 1) = —. 12 4 021.55. a) arcsin (Зл:2 - Ъх + 1) = —; б) arctg (х3 - 27 - 7з) = —; о в) arccos (Зх2 - Юл: + 2,5) = -£; о г) arcctg (х3 - 8л:2 + 15* + 1) = *. 4 021.56. a) arcsin I tg- I - arcsin J ^ = 0; 4 ух о 6) arccos |ctg-^ I + arctg y/2x - 1 - ^ = 0. 021.57. a) 8 arcsin2 x + 2n arcsin x = n2; б) 18 arctg2 jc - Зл arctg jc = 7C2; в) 18 arccos2 x = Зл arccos jc + л2; r) 16 arcctg2 jc + Зл2 = 16л arcctg x. 021.58. a) arcsin \2x + 3-^ = arcsin -— ; V 3) V 9 ) б) arctg (x2 - 9) = arctg 8x; в) arccos (3x + 1) = arccos (2x + 5); r) arcctg (x2 - x) = arcctg (4x - 6). •21.59. a) arccos x = arctg x; в) arcctg x = arctg x; 6) arccos jc = arcsin x; r) arcsin jc = arcctg x. Решите неравенство: °21.60. a) arccos x > —-; в) arcsin jc < —-; 4 4 6) arctg x > —-; r) arcctg x < —. 4 о •21.61. a) 9 arcsin2^ < n2; в) 16 arccos2 x > n2; 6) 36 arctg2 x > n2; r) 9 arcctg2 x < n2. •21.62. a) 8 arcsin2 x + 2n arcsin x < n2; б) 18 arctg2 x - 3n arctg x > n2; в) 9 arccos2 x < 9л arccos x - 2n2; r) 16 arcctg2 x + Зл2 > 16л arcctg x.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Г "I— г Тригонометрические \ Г уравнения fi l I I I I l l I I I I I I I I I I l l I l I § 22. простейшие тригонометрические уравнения и неравенства Решите уравнение: 22.1. a) cos х = -; б) cos х = -^-; 22.2. a) cos x = -; о г) cos х - —. г) cos х - —. 2» 6) cos* = -1,1 O22.3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) cos х = —, х € [0; 2л]; б) cos х = --, х € [2л; 4л]; л/2 в) cos х = —, jc € [-7i; Зя]; г) cos х = -1, х е\ ——\ 2л . Решите уравнение: ч 8 cos х - 3 ., > = 1; _,ч 3 COS X + 1 5 COS X - 1 _ л „{г б) 2 + 3 1>75# O22.5. а) 6 cos2 х + 5 cos х + 1 = 0; б) 3 + 9 cos х = 5 sin2 jc. 124
О22.6. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) cosx= -, х € [1; 6]; в) cos jc = --, jc € [2; 10]; ч л/2 Г . 5тс"| г) cos х = —, л: € 1-4; — J. 022.7. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) cosx= -, х € [1; 6]; б) cos* = -0,4, х € [3; 11]? Решите уравнение: л/з 22.8. a) sin x = ^-; в) sin x = 1; б) sin л: = —■; г) sin x = -. 22.9. a) sin х = -^-; в) sin jc = -1; б) sin x = ; г) sin x = —-. 2 2 22.10. a) sin x = -; в) sin jc = --; б) sin x = —; г) sin jc = —. °22.Ц. a) (2 cos x + 1)(2 sin x - 7з) = О; б) 2 cos x - 3 sin jc cos a: = 0; в) 4 sin2 jc - 3 sin jc = 0; r) 2 sin2 x - 1 = 0. °22.12. a) 6 sin2 x + sin x = 2; 6) 3 cos2 jc = 7(sin x + 1). 125
O22.13. Решите уравнение: а) sin2 j£ _ &. = Sin x - cos2 ^ + 1; R б) cos2 2x - 1 - cos x = — - sin2 2x. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: 22.14. a) sin x = |, x e [0; я]; б) cos х = —-, х € [-тс; л]; в) sin х = ——, х € [-п; 2л]; 2 л/3 г) cos х = —, jc € [-2л; л]. O22.15. a) sin х = -, х €\ -; —р ; ; —р ; б) sin х= ~, хе\ ~; 6 ; в) sin х = ^-, л: € (-4; 3); г) sin х = -^-, х € (-3; 6). 2 O22.16. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) sin х = 0,6, х € -j; 3 б) sin х = -|, х € (2; 7)? Решите уравнение: 22.17. a)tgx = 1; в) tg jc = -1; 22.18. a) tg х = 0; в) tg х = -3; б) tg х = -2; г) tg х = |. 126
22.19. a) ctg x = 1; в) ctg х = 0; б) ctg x = 73; г) ctg х = ^. л/3 —; б) ctg х =-1; г) ctg х = -5. л/3 22.20. a) ctg х = -л/3; в) ctg х = ——; 22.21. a) tg2 х - 3 = 0; в) 4 tg2 х - 9 = 0; б) 2 tg2 х + 3 tg x = 0; г) 3 tg2 x - 2 tg x = 0. 22.22. a) tg2 x - 6 tg x + 5 = 0; б) tg2 x - 2 tg x - 3 = 0. 22.23. a) sin 2x = ^г; в) sin 7 = ^' х 1 б) cos — = -—; г) cos 4x = 0. о Z 22.24. a) sin f-| j = -j\ в) tg (-4*) = ^; 6) cos (-2ж) = -^; r) ctg (-f j = 1. 022.25. a) 2 cos f I - J j = ч/З; в) 2 sin f 3x - -1 = 022.26. a) cos f™ - 2x1 = -1; в) 2sin f| - ^1 = ч/З; 6) tg (f " f 1 = "I; r) 2 cos fi - 3*1 = 72. °22.27. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) sin Зх = —, [0; 2л:]; в) tg |- = —, [-Зтс; Зтс]; б) cos Зх = —, [-тс; тс]; г) ctg 4jc = -1, [0; тс]. 127
Найдите корни уравнения на заданном промежутке: 022.28. a) sin x = -|, [-4; 4]; б) cos x = 1, [-6; 16]. 022.29. a) sin f = 0, [-12; 18]; б) cos Зх = -^, [1; 7]. 2 £ 022.30. Решите уравнение sin \2х - — \ = -1 и найдите: V 4J а) наименьший положительный корень; *ч Г *. Зп\ б) корни, принадлежащие отрезку —^ "^" 5 в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу -п; — V 2 022.31. Решите уравнение cos — -2х = — и найдите: V3 ) 2 а) наименьший положительный корень; *ч Г Я. Зп\ б) корни, принадлежащие отрезку -—, — \, в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу -п; — Решите уравнение: •22.32. а) \х + 3| sin х = х + 3; б) 2\х - 6| cos jc = x - 6. •22.33. a) Vl6-х2 sin jc = 0; б) (V2 cos x - l)V4x2 - 7х + 3 = 0; в) л/7*- х2 (2 cos jc - 1) = 0; г) (2sinjc - S)yl3x2 - 7х + 4 = 0. O22.34. Найдите область определения функции: sin* . Vjc . а) V = ^ 128 ctg*
Найдите область значений функции: а) у = sin х + v-cos2 jc; б) у = cos jc + \l-sin2x. #22.36. а) у = cos Зх + Vcos2 Зх - 1; б) у = sin 2л: + yjsin2 4x - 1. Решите уравнение: #22.37. a) |sin х| = |cos х|; в) |sin : б) V3 ctg х = 2|cos х|; #22.38. а) (2х - 3) | sin х \ = sin x; б) (Зх - 7) cos х = 5 | cos х |. #22.39. а) х21 tg x| + 9 tg x = 0; б) x2ctgx- 4|ctgx| = 0. •22.40. а) (2х2 - \2х + 13) sin х = 3 | sin x\; б) (х2 + 8х + 11) |cos 2jc| = 4 cos 2x. •22.41. Сколько корней имеет уравнение: a) sin f Зх - -А \yJ8x - х2 - 7 = 0; б) cos (2х + 1^10 - х2 - Зх = 0? Решите неравенство: 22.42. a) cos t > |; б) cos t < -—; °22.43. a) cos t < ±; О б) cos t > --; cos2jc|; г) V2 tgjc + 2|sin jc| = 0. в) cos t > ; г) cos t < —. в) cos t > —; 3 г) cos £ < -—. %22-44. а) 3 cos21 - 4 cos t > 4; в) 3 cos21 - 4 cos t < 4; 6) 6 cos21 + 1 > 5 cos t; r) 6 cos2 * + 1 < 5 cos £. 129
Решите неравенство: O22.45. а) 4 cos21 < 1; в) 9 cos21 > 1; б) 3 cos2 £ < cos t; г) 3 cos2 £ > cos £. fZ [Z 22.46. a) sin t > —; в) sin f < ^-; 6) sin £ > --; r) sin t < -—. O22.47. a) sin t < -; в) sin t > -; о о 6) sin f > -0,6; г) sin * < -0,6. •22.48. a) 5 sin21 > 11 sin t + 12; 6) 5 sin2* < 11 sin t + 12. •22.49. a) 6 cos21 + sin * > 4; 6) 6 cos2 * + sin * < 4. 022.50. a) tg x < л/3; в) tg x < 0; 6) ctg x > 0; r) ctg х > -1. 022.51. a) tg x < 3; в) ctg x < 2; 6) 3 ctg jc - 1 > 0; r) 2 tg jc + 1 > 0. 022.52. a) tg2 jc > 9; в) tg2 x < 9; 6) tg2 x > tg x; r) tg2 x < 2 tg x. 1 Js 022.53. a) sin 2x < -; в) cos 3x > ^f; 2 2 6) 3 cos 4x < 1; r) 7 sin ^ > -1. O22.54. a) sin \2x --]>-; в) cos [ Зх - £ ] > ~; К 3) 3 V 6У 4 б)со8^_^<|; Г)81-Г3, J|.V§ Найдите область определения функции: 1 •22.55. а) у = \Jcosx = 4/cos х - - + ctg 2x; 130
b)j/= tg2*- * ; VI - 2sin* г) и = : Jcos х —р-. y sin 4* \ 42 #22.5б. а) у = arcsm- + ^sinx + -; б) у = arccos (2х - 1) + \-f= - cos x. VV2 Решите уравнение: #22.57. a) sin2 х + sin2 Зл: = 0; б) cos4 2х + 1 = cos2 I * ~ т г #22.58. a) sin 4х + cos 2х = 2; б) sin 5л: + cos Зх = -2. При каких значениях параметра а множество корней заданного уравнения не пусто: 022.59. a) sin х = 2а - 1; в) cos x = За - 2; б) cos х = 2а2 - Ьа + 1; г) sin х = а2 - 3? лл лл ч a cos х г _ а sin x + 1 •22-60- a> 2cos* + a = 5' б> 2 2a-3sin* •22.61. Решите уравнение с параметром а: а) sin (fcc - ^1 = а"1" 3J а + 1 Г* тс^ _ 2а-1 б) cos ^ + 4 J " "а^Т- •22.62. Решите уравнение: а) ctg [-сов27сл: ] = л/3; б) sin (2тс cos л:) = —. ^2.63. Решите неравенство: а) sin хл/4 - jc2 < 0; б) cosxyjx + 2 - х* > 0. ^2.64. При каких значениях параметра а решением заданного неравенства служит любое действительное число: а) a cos х - 2 < 0; б) (2а - 3) sin х + 1 > 0? 131
Решите систему неравенств: •22.65. а) sinx > "f cos л: > --; I 3 fain* < |, б) \ 7 [cos X < 0,6. .22.66. а) [tgx > 1,5; [tgx<-0,l. .22.67. а) [sin л: > -0,8; sin 2x < -, .22.68. a) ■! 2 125 - x2 > 0; [cigx > -3. 6) cos 4) " 2' x + 2| < 3. § 23. Методы решения тригонометрических уравнений Решите уравнение: 023.1. а) 3 sin2 х - 5 sin x - 2 = 0; б) 3 sin2 2х + 10 sin 2х + 3 = 0; в) 4 sin2 л: + 11 sin х - 3 = 0; г) 2 sin2 f-3sinf+l=0. 023.2. а) 6 cos2 x + cos x - 1 = 0; б) 2 cos2 3* - 5 cos 3x - 3 = 0; в) 2 cos2 x - cos л: - 3 = 0; r) 2 cos2 f + 3 cos f - 2 = 0. о о 023.3. а) 2 sin2 x + 3 cos x = 0; б) 8 sin2 2* + cos 2x + 1 = 0; в) 5 cos2 x + 6 sin л: - 6 = 0; r) 4 sin Зл: + cos2 3x = 4. 132
O23.4. a) 3 tg2 x + 2 tg x - 1 = 0; б) ctg2 2x - 6 ctg 2x + 5 = 0; в) 2 tg2 x + 3 tg x - 2 = 0; r) 7 ctg2 | + 2 ctg | = 5. 023.5. a) tg * - 2 ctg * + 1 = 0; в) 2 ctg x - 3 tg x + 5 = 0; tg* + 5 _ 1 . 7-ctg* _ 1 0) q о » Г) A ~~ • 2 * 2 cos2 x 4 siir л: 023.6. a) 2 cos2 f + VJj cos f = 0; б) 4 cos2 \x - - - 3 = 0; в) V3tg23x- 3tg3* = 0; г) 4 sin2 2* + | _ i = о. 023.7. a) sin2 *'- 12 ~ ^2 sin x - 3-Д = 0; 6) cos2 x - -—^- cos x - 2S = 0. 023.8. a) tg3 x + tg2 x - 3 tg x = 3; 6) ctg4 2x - 4 ctg2 2* + 3 = 0. 023.9. a) sin2 * - -j - ^ (cos 2* + 1) = 0; °23.10. a) tg x sin 2* = 0; в) cos x tg 3* = 0; 6) (1 + cos*)f^ " IJ = 0; r) (1 + cosx)tg | = 0. . a) sin x - — cos x; в) 2 sin x + 5 cos л: = 0; 4 6) 3 sin x = 2 cos #; r) sin x cos л: - 3 cos2 л: = О. 133
Решите уравнение: 023.12. a) sin x + V3 cos x = 0; в) sin x - 3 cos x = 0; б) sin х + cos x = 0; г) >/з sin л: + cos л: = 0. 023.13. a) sin2 х + sin л: cos л: = 0; б) л/3 sin л: cos x + cos2 л: = 0; в) sin2 х = 3 sin л: cos л:; г) у/з cos2 л: = sin x cos л:. 023.14. a) sin2 x + 2 sin x cos л: - 3 cos2 л: = 0; б) sin2 л: - 4 sin x cos л: + 3 cos2 x = 0; в) sin2 л: + sin л: cos х - 2 cos2 л: = 0; г) 3 sin2 л: + sin x cos л: - 2 cos2 x = 0. 023.15. a) sin 2л: = cos 2л:; в) sin -| = 7з cos -|; б) 7з sin Зл: = cos Зл:; г) V2 sin 17л: = 7б cos 17л:. 023.16. а) 2 sin2 2л: - 5 sin 2л: cos 2л: + 2 cos2 2л: = 0; б) 3 sin2 Зл: + 10 sin Зл: cos Зл: + 3 cos2 Зл: = 0. 023.17. a) sin2 f = 3 cos2 f; 6) sin2 4л: = cos2 4л:. Li Cl 023.18. a) 5 sin2 x - 14 sin x cos x - 3 cos2 x = 2; б) 3 sin2 x - sin x cos x = 2; в) 2 cos2 x - sin x cos л: + 5 sin2 x = 3; r) 4 sin2 л: - 2 sin л: cos x = 3. 023.19. a) 5 sin2 л: + 7з sin x cos л: + 6 cos2 x = 5; 6) 2 sin2 л: - 3 sin л: cos x + 4 cos2 л: = 4. 023.20. a) 3 sin2 2л: - 2 = sin 2л: cos 2л:; 6) 2 sin2 4л: - 4 = 3 sin 4л: cos 4л: - 4 cos2 4л:. 023.21. a) 4 sin2 ~ - 3 = 2 sin ~ cos ~; 6) 3 sin2 f + 4 cos2 f = 3 + V3 sin f cos f. о О О О 023.22. a) sin2 x - 5 cos x = sin x cos л: - 5 sin л:; б) cos2 л: - 7 sin л: + sin x cos л: = 7 cos л:. 023.23. a) sin6 x + sin4 x cos2 л: = sin3 x cos3 л: + sin x cos5 л:; б) sin2 х cos2 л: - 10 sin x cos3 л: + 21 cos4 л: = 0. 134
#23.24. a) cos6 x + sin6 x = —; Решите систему уравнений: [2 sin x - 5 cos у = 7, °23.25-a){5sin* + cos</ = 4; sin x + cos у = —, 6) cos"4f 2sin4f-l| = 023.26. a) Решите уравнение: 6) 6) sin x cos у = --; [5 sin 2x + 3 cos 3y = 1, [8 sin 2x - 6 cos 3y = 7. sin — - cos 2y = 1, in2 — - 3cos2y = 2. #23.27. a) |ctg*| = ctgx + ^r 6) •23.28. a) |cos x\ = 2 cos x - у/з sin x; 6) sin x = у/з cos jc + 2 | sin x\. sin x + cos x cos 2^ cos2 x + cos л: в) ^7^ = 0; .23.30. a) cos x - cos x = 4 sin3 2* -3 sin 2* •23.31. Для каждого значения а решите уравнение: а) a sin х - 1 sin x + cos x = 0; a cos x - 1 ' sin x - cos x ~~ Решите уравнение: •23.32. a) *2 - 2* cos тс* + 1 = 0; •23.33. a) cos5 x + sin4 x = 1; •23.34. a) 3 sin2 f + 5 sin2 x = 8; 6) cos2 2* - 2 cos3 3x = 3. 6) x2 - 2x sin Щ- + 1 = 0. 6) cos8* + sin3* = 1. 135
Решите уравнение: •23.35. а) 2 sin (|х - |1 -3 cos f 2x + |1 = 5; „ _ о б) sin -| +2 cos —з— = 3. •23.36. а) ^5 - 2sin# = 6 sin л: - 1; б) ^2 + 4cos# = 3 cos x + 0,5. •23.37. а) 7з sin х - yJ2 sin2 л: - 2 sin л: cos x + 3 cos2 л: = 0; б) cos л: + 7sin2 * - 4 sin л: cos л: + 4 cos2 л: = 0. •23.38. а) ^/З sin 5л: - cos2 л: - 3 = 1 - sin x; б) -у/2 cos 4л: - sin2 х - 2 = 1 + cos л:. Решите неравенство: •23.39. а) 4 sin л: cos л: - 1 > 2 sin x - 2 cos л:; б) 1 + 2 sin х > 4 sin л: cos л: + 2 cos x. •23.40. а) 4 sin2 х - 2(73 - l) sin x - 7з < 0; б)4соэ2л:- 2(л/3 + 1)созл:+ 7з > 0. •23.41. a) sin л: - cos л: > 0; в) sin x + cos x < 0; б) sin х - у/з cos л: < 0; г) \/з sin л: + cos л: > 0. •23.42. a) sin2 х - 6 sin л: cos х + 5 cos2 л: > 0; б) sin2 л: - 6 sin x cos л: + 5 cos2 x < 0; в) sin2 л: - 3 sin x cos л: + 2 cos2 л: < 0; г) sin2 х - 2 sin л: cos л: - 3 cos2 x > 0.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ г преобразование т f тригонометрических -[ Г выражений т Г| § 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов 24.1. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите: a) sin 105°; б) cos 105°. 24.2. Вычислите: а) sin 15°; б) cos 15°; в) sin 15° cos 15°; г) cos2 15° - sin215°. Упростите выражение: 24.3. a) sin (а + р) - sin а cos р; б) sin — + а - — sin а; V3 ) 2 в) sin а sin p + cos (а + р); r) cos [ а + -j I + — sin а. v 4 / 2 24.4. a) sin (Ц- - а) - -| cos a; б) л/3 cos а - 2 cos а - -| ; в) — sin а + cos а ; sin a. r) V2sin fa - ^1 -si 24.5. a) cos (a - р) - cos a cos p; 6) sin (a + p) + sin (a - p); 4 fi sin (a + p) - cos a sin p. sin (a - p) + cos a sin p' sin (a - p) + 2 cos a sin p . ' 2 cos a cos p - cos (a - p)' в) sin a cos p - sin (a - p); r) cos (a - p) - cos (a + p). cos (a + p) + sin a sin p # B^ cos (a - p) - sin a sin p' cos (a - p) - 2 sin a sin p r * 2 sin a cos p - sin (a - p)" 137
24.7. Представив 2х в виде х + х, докажите тождество: а) sin 2x = 2 sin x cos x; б) cos 2x = cos2 x - sin2 > **» Докажите тождество: 24.8. a) sin (а + р) + sin (-а) cos (-р) = sin а cos p; б) cos (а + р) + sin (-а) sin (-р) = sin а cos p. 24.9. а) ^тг cos х + i sin x = sin I ~ + х \ 2 г \3 ) б) ^ cos х - 2L- 8inx = cos\^ + х 4 Z у о в) ^- cos х - ^ sin х = sin ^ - л: ^ ^ ^ о ч 1 7з . (п г) тт cos л: + -тг sin л: = cos — - х * & уо 24.10. a) sin Ъх cos Зх + cos Ъх sin Зх = sin 8л:; б) cos Ъх cos Зх - sin 5л: sin Зл: = cos 8л:; в) sin 7x cos 4л: - cos 7x sin 4л: = sin Зл:; г) cos 2x cos 12л: + sin 2л: sin 12л: = cos Юл:. 24.11. a) cos (а - р) + sin (-а) sin р = cos а cos p; б) sin (30° - а) - cos (60° - а) = ->/з sin а; в) sin (а - р) - cos а sin (-р) = sin а cos p; г) sin (30° - а) + sin (30° + а) = cos а. л/2 cos а - 2 cos [ -^ - а ] O24.12. a) т г—^ ^ = -у/2 tg a; 2 sin | ^ + а ] - у/3 sin а cos а - 2 cos ^ + а б)^3 2 sin а - ^ - V3 sin a I 6) Используя формулы сложения, выведите следующие фор" мулы (их называют формулами приведения): 24.13. а) sin (тс - л:) = sin х; в) tg (2тс - л:) = -tg x; б) cos (тс + л:) = -cos х; г) ctg (тс - х = -ctg x. 24.14. а) sin [ - + л:1 = cos х; в) tg [ - - х | = ctg x; [2 ) [2 б) cos (— - х\ = -sinх; г) ctg (— + х \ = -tgx. { 2 ) [2 138
Вычислите: 24 15. а) sin 74° cos 16° + cos 74° sin 16°» б) cos 23° cos 22° - sin 23° sin 22°; в) sin 89° cos 1° + cos 89° sin 1°; r) cos 178° cos 2° - sin 178° sin 2°. 24.16. a) sin | cos-i + cos^ sin^; 6) Cos^cos^-sin^sin^; 7 7 7 7 r) cos^cos^-sin^sini. 15 5 15 5 24.17. a) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17°; б) cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24°; в) sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27°; r) sin 51° cos 21° - cos 51° sin 21°. 24.18. a) cos^ cos^ + sin^ sin^; б) sin— cos- + cos— sin-; 15 5 15 5 в) cos— cos— - sin— sin—; r) sin-5- cos— - cos— sin-. \ci 4 \ci 4 024.19. Докажите равенство: а) sin 75° cos 75° = -; в) sin 105° cos 105° = —-; 4 4 R б) cos2 75° - sin2 75° = -—; r) cos2 75° + sin2 75° = 1. °24.20. Решите уравнение: а) sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1; б) cos 3x cos bx = sin 3x sin 5x; в) sin 6x cos x + cos 6x sin x = —; V3 r) cos bx cos Ix - sin bx sin Ix = -—. 139
024.21. Найдите наименьший (в градусах) положительный уравнения: а) sin х cos 45° + cos x sin 45° = = cos 17° cos 13° - sin 17° sin 13°; б) cos x cos 45° + sin x sin 45° = = sin 200° cos 80° - cos 200° sin 80°. 024.22. Решите уравнение: а) cos бя: cos bx + sin бя: sin bx = -1; б) sin Зя: cos bx - sin bx cos Зя: = 0,5. 024.23. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) sin 0,2я: cos 0,8я: + cos 0,2я: sin 0,8я: = cos Зя: cos 2x + + sin Зя: sin 2я:, х € [0; Зтс]; б) cos 0,7я: cos 1,3я: - sin 0,7я: sin 1,3я: = sin 7 я: cos 9x - - sin 9x cos 7х9 х € [-тс; тс]. Решите уравнение: 024.24. a) V2 cos [ - - х ] - cos x = 0,5; 6)V2sin(j-f) + sinf = f. 024.25. a) — sin* - ^-cos* = 1; в) ^-cos* + isinx = 1; 6) sin x - cos x = 1; r) VJJ cos x + sin x = 1. 024.26. a) ^-sinx + ^-cos* = 1; в) ^-cos* - ^sin* = ^ 6) sin x + cos x = 1; r) V3 cos я: - sin x = 1. 024.27. Зная, что sin f = —, 0 < f < —, вычислите: о А a) sin f| + А в) sin f| + A 6) cos - + t ; г) cos -^ + [2 ) [3 O24.28. Зная, что cos t = -—, — < t < тс, вычислите: lo 2 а) sin (t + |\ в) cos ft + -|\ б) cos (t + —\ r) sin (t + ^ 140
24.29. Зная, что sin а = —, cos р = 77, 0 < а < -|, 0 < р < ^, найдите значение выражения: a) sin (а + р); б) cos (а + (3). 024.30. Зная, что sin a = -g, cos (3 = -—, - < а < я, - < р < я, найдите значение выражения: a) sin (а + р); б) cos (а + р). 024.31. Зная, что sin а = —, sin р = ——, 0 < а < ^, -у < р < 2я, найдите значение выражения: a) sin (а + р); б) cos (а + р). 024.32. Зная, что sin t = —, — < t < я, вычислите: 1о 2 a) sin [Д-Л в) sin ff - *) 6)coe|t-|k r)coeNJ-t О о 024.33. Зная, что cos t = —, — < t < 2я, вычислите: о 2к a) sin | * - ^ |; в) cos | * - Щ б) sin | * - Ц\ г) cos (t - I °24.34. Зная, что sin а = -з-, cos р = -—, -<а<я, -<р<я, О 17 Z Z вычислите: a) sin (а - р); б) cos (а - р). °24.35. Зная, что sin р = ~, cos а = -0,8, я<(1<^ ^ < а < я, вычислите: a) sin (а - р); б) cos (а - р). 141
Решите неравенство: 024.36. a) sin Ъх cos Зх - cos Ъх sin 3jc > —; х х 2 б) cos x cos — + sin x sin — < —-; в) sin— cos— - cos— sin— < —; 4 2 4 2 3 л/з г) sin 2x sin 5x + cos 2x cos 5x > -—. 024.37. a) sin jc cos 3jc + cos x sin 3jc > -; б) cos 2x cos 5jc - sin 2x sin 5jc < —-; о x x 2 в) sin jc cos — + cos x sin — < —-; r) cos- cos- - sin- sin- > —. •24.38. Докажите, что для любого действительного значения справедливо неравенство: а) sin (5 + х) cos x < cos (5 + х) sin x\ б) cos (7 - 2х) cos 2х > sin (7 - 2х) sin 2x. 024.39. а) Зная, что sin he - — = 0,6 и -^ < х < -^, вычислите: у о ) о о sin х. б) Зная, что cos | х + — | = -0,8 и ^ < jc < -^, вычислите: I 3 ) 3 6 COS X. 024.40. Определите знак числа а: а) а = (cos I + cos 2)2 + (sin I - sin 2)2 - 2; б) а = (sin 3 + cos 4)2 + (cos 3 + sin 4)2 - 1. 024.41. Сравните числа а = cos jc cos 2х и b = cos 3jc, если: a) 0 < x < |; б) \ < x < п. 024.42. Сравните числа а = sin x cos 2x и b = sin 3jc, если: а) - < х < л; б) ж х < —. 142
43. Сравните числа а и Ь, если: •^ ' sin3 cos3 sin 4 cos 4 а) a ~ sin 4' ~ cos 4' * a ~~ cos 5' ~~ sin 5" 04 44. a) Зная, что cos (x + г/) = a, cos (jc - г/) = fe, найдите tg jc tg y. б) Зная, что sin (x + у) = a, sin (jc - y) = fe, найдите TI~m 24 45* Докажите, что не существует пары (х; г/), такой, что: # " а) sin х cos у = 0,7; cos jc sin у = 0,4; 6) cos x cos г/ = -^—; sin jc sin г/ = -^—. 3 2 #24.46. а) Докажите, что если tg (a + (3) sin у = cos у, то a + (3 + + у = -^ + тш; б) докажите, что если ctg (a + (3) sin у = -cos у, то a + (3 + + у = кп; 024.47. Постройте график функции: ч . iijc х + 10я IIjc . х а) у = sin-— cos cos-— sin-; 5 5 5 5 I 12 Вычислите: •24.48. a) sin — + arccos— ; в) sin arcsin— ; I3 5J I4 5J 6) cos -| + arccosl —- I ; r) cos f - - arcsin — lb V b) \2 13 •24.49. a) sin I arccosf ~) + arcsin^ |; I I 5J 3 ( 3 ( 3 6) cos arctg- + arcsin —- . Докажите равенство: 4 2 1 arcsin arccos-^ = arctg—. 5 V5 2 143
Докажите равенство: •24.51. arccos- + arccos — I = arccos 2 [7) [14 •24.52. arcsin- + arcsin—- + arcsin— = -. 5 13 65 2 § 25. Тангенс суммы и разности аргументов Вычислите: 25.1. a) tg 15°; б) tg 75°; в) tg 105°; г) tg 165° tg25° + tg20°. tg9° + tg51° . £О.&. &) ltg 25o tg 20o . В) 1 _ tg go 1- tg70otg65°. 1 + tg 54° tg 9° 6' tg 70° + tg 65° ' r> tg 54° - tg 9° * Упростите выражение: tg 2,22 + tg 0,92 . tg 1,47-tg 0,69 15.6. a) x _ tg2,22 tgO,92' D' 1 + tgl,47 tgO,69* tgff + a ]+ tgff -a 25.4. a) —^8 J l 8 tg (45° + a) - tg a °) 1 + tg(45° + q)tgq' Докажите тождество: O25.5. а) \~\ll = tg(45° - a); 6) tg №■ - x) + tg« = tg ГМ _ xj tg* - 1; tg a + tg p tg a - tg p _ B* tg(a + p) tg(a-P) -^; r) tg (a + Z\ - tg a = 1 + tg f| + ocl tg a. O25.6. a) tg (a + p) - (tg a + tg p) = tg (a + p) tg a tg p; 6) tg (a - P) - (tg a - tg p) = tg (P - a) tg a tg p. 144
tg2 2x - tg2 x 025.7. a) 1_tg22xtg2x = tg 3* tg x; tg230°-tg215° 6) l-tg230°tg215° =tg15 * 25.8. Представив 2х в виде х + x, докажите тождество eft „ tg(a-P)-tgq + 025.9. Докажите, что значение выражения tg (a - В) tg В не зависит от значения (3. 025.10. Вычислите: a) tg (^ - а 1 если tgoc = |; б) tg а + \ , если tg а = -з-. V 3 5 025.11. Известно, что tg а = —, tg (3 = —. Вычислите: 2к о a)tg(a + p); 6)tg(a-p). 025.12. а) Вычислите tg a, если tg a =3; I 4 ] 4 б) вычислите ctg а, если tg а + — = 0,2. 025.13. а) Зная, что tg а = 3 и tg (а + р) = 1, вычислите tg p; б) зная, что tg а = — и tg (а - р) = 2, вычислите tg p. 025.14. Известно, что sin а = -—, п < а < —. Вычислите: 1о 2t a)tg а + ^; б) tg а - ^ °25.15. Известно, что cos а=—, 0<а<—. Вычислите: о £ a) tg [а + |\ б) tg foe - ^ 145
O25.16. Дано: а - (3 = —. Докажите, что: 025.17. Решите уравнение: tg х + tg Sx _ tg Ъх - tg Sx = /o a' 1 - tg x tg 3jc " 1; °' 1 + tg 3x tg bx v 025.18. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-я; 2тс]: O25.19. Решите неравенство: а) itg| о 025.20. Решите систему уравнений: jtg(, + y) 3, б) •25.21. Вьгаислите (3, если известно, что tg (а + (3) = -3, tg (а - (3) = = \ и | < (3 < п. •25.22. Вычислите: (п 2^\ (к 1 a) tg - + arctg- ; в) tg | - - arcctg- |; 3 & 3 6) tg [Щ- - arccosf-l H r) tg farcsin| + arcctgf •25.23. Докажите, что прямые i/ = 3jc+1hi/ = 6-2jc пересекаются под углом 45°. •25.24. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен тангенс острого угла между диагональю АС и отрезком ВК? 146
§ 26. Формулы приведения Упростите выражение: 26.1. a) sin | - - t |; в) cos '?♦•) б) cos (2я - t); г) sin (n + t). 26.2. a) sin (n - t); в) cos (2я + *) б) cos [ - + А г) sin (— - t 26.3. a) cos (90° - а); в) sin (270° + а); б) sin (360° - а); г) cos (180° + а). 26.4. a) tg (90° - а); в) tg (270° + а); б) ctg (180° - а); г) ctg (360° + а). Вычислите с помощью формул приведения: 26.5. a) sin 240°; б) tg 300°; в) cos 330°; г) ctg 315°. с*** г* \ 5я ч . 7я 26.6. a) cos —; в) sin —; о о *ч . ( llK\ ( 7К б) sm —^~ » г) cos —g- 026.7. a) sin 3090°; в) cos 4650°; б) tg2205°; г) ctg 4110°. 026.8. a) cos 630° - sin 1470° - ctg 1125°; б) sin {-In) + 2 cos -r^ - tg -j-; 3 4 в) tg 1800° - sin 495° + cos 945°; ( 49я^| ( 21ъ\ г) cos (-9к) + 2 sin —^- - ctg —j- • 026.9. Упростите выражение: а) sin (90° - a) + cos (180° + a) + tg (270° + a) + ctg (360° + a); б) sin f - + * ] - cos (я - t) + tg (я - t) + ctg f ^ - t 147
Упростите выражение: cos (180° + a) cos (-a). sin (-a) ctg (-a) .iu. a) gin (a) gin (90o + a) , в) C sin (я - J) cos (2я - t) sin (я + J) sin (2я + t) -0; Г) cos (я - t) + cos ^ - i O26.ll. a) ^— sin (2я - t) - sin —— \ \ z sin2(jc - t) + sin2 £ - t sin3 (a - 270°) cos (360° - a) O26.12. a) tg3 (a _ 9QO) C0Ss (a _ • O26.13. Докажите тождество: ^ 2^_ 2 sin (я - t) Cg[2 J cos (2я - sin H) 2 сов2(я - t) + sin2 I ^ - ^ 1 + cos (я + t) cos (2я - t) B) r—z\—tzz—\ =cos2 *; Г) 7^ r-J 7 —-^ = COS t 148
026.14. a) Вычислите: Ilcos287°-25sin557° 13 sin 469° - 8 cos 341° б) cos 19° 026.15. a) Ъ—% IS-; 6) cos £ sin =± o 7 026.16. a) sin 77° cos 17° - sin 13° cos 73°; 6) cos 125° cos 5° + sin 55° cos 85°. 026.17. a) sinfj + Л cos f | - A + sinf^ + «jsmfj - t\ cos 105° cos 5° + sin 105° cos 85° . 026.18. a) sin lg5o cos 5o + cos 195o sin 185o> sin 75° cos 5° - cos 75° cos 85° cos 375° cos 5° - sin 15° sin 365° * . 19л . 7л tgtg 026 19 ^ tg380° + tg25 . 026.19. a) tg225O + ctg290octg65o, 6) > ** и116 о ^^Б о^» ^^Б of» Зл 2 Вычислите: a) tg (x + у); б) ctg (x - у). Решите уравнение: 026.20. Известно, что ctg | — - x I = 0,4, tg I - + у) = -3. 2 J 12 026.21. a) 2 cos (2n + jc) + sin f| + xl = 3; б) sin (к + x) + 2 cos (- + x I = 3; в) 2 sin (n + jc) + cos I — - x = —-; \ 2 J ^ r) 3 sin f - + x I - cos (2k + jc) = 1. I 2 149
Решите уравнение: O26.22. а) 5 sin (| + jcl - sin (Ц + х\ - 8 cos (2тг - jc) = 1; б) sin (2я + jc) - cos I ^ - х I + sin (к - jc) = 1 026.23. a) sin2 (к + x) + cos2 (2я - jc) = 0; 6) sin2 (n + jc) + cos2 (2k - jc) = 1. 026.24. a) sin (- + 2jc ] + cos (- - 2x J = 0; 6) 2 sin (n - 3jc) + cos (2k - 3jc) = 0. 026.25. a) cos f| - |l - 3 cos f к - 11 = 0; 6) V3 sin (n - 11 + 3 sin (f - |] = 0. O26.26. a) sin2 x + cos - - x sin - - x - 2 cos2 x = 0; 6) sin2 3jc + 3 cos2 3jc - 4 sin f - + 3jc | cos f - + 3jc ) = 0; 2 2 в) sin2 x + 2 sin (я - jc) cos x - 3 cos2(2rc - jc) = 0; r) sin2 (2k - 3jc) + 5 sin (к - 3jc) cos 3jc + 4 sin2 f — - 3jc | = 0. O26.27. a) 3 sin2 | + sin | sin [ | - | j = 2; б) 2 cos2 | - 3 sin f n - |1 cos f 2тг - 11 + 7 sin21 = 3; в) 4 cos2 [ - + jc I + V3 sin f^E _ j^ sin (n + jc) + + 3 cos2 (я Н- jc) = 3; r) 3 sin2 [ jc - — 1 - 2 cos (^ + jc | cos (n + jc) + + 2 sin2 (jc - 7i) = 2. 150
О26.28. а) 2 sin2 (я + х) - 5 cos [ - + х I + 2 = 0; б) 2 cos2 х + 5 cos I £ - jc I - 4 = 0; в) 2 cosJ jc + sin - - x - 1 = 0; V2 J r) 5 - 5 sin 3 (я - x) = cos2 (я - 3jc). 026.29. a) 2 tg2 2jc + 3 tg (я + 2jc) = 0; 6)tg23jc-6ctgf|-3jcl =0. 026.30. a) 3 tg2 | - 2 ctg №■ + ! 1 - 1 = 0; в) 3 tg2 4* - 2 ctg f-4* =1; r) 2 ctg x - 3 ctg f - - x ] + 5 = 0. 026.31. a) sin2 x + cos2 2x + cos2 I Щ- + 2jc I + 2 cos jc tg x = 1; 6) 2 cos2 jc - sin [ x - -1 + tg x tg he + - I = 0. v 2 J V 2 У 026.32. Постройте график функции: а) у = sin (Зя + 3jc) sin (— - х | + sin (- + Зх ] sin (4я - х) + 2 I I 2 • J + sin —; 6) z/ = cos (я + jc) cos Зя cos — + x \ cos —-— + { 2) \2 J z 16n + cos —. •26.33. Докажите равенство: sin 50° +cos 50° _ cos 40° - V§ sin 40° a) V2sin85° ; } sin 190° -Z- 151
•26.34. Докажите, что: a) arcsin х + arccos х = —, х 6 [-1; 1]; б) arctg х + arcctg x = ■£, jc 6 jR. Вычислите: •26.35. a) arcsin | sin— |; в) arcsin sinf — 5 У V V 5 б) arccos [ sin — ; г) arccos cos —^ 5 J 115 •26.36. a) arcsin -cos Щ ; в) arctg ctg -^ 6) arccos cos —— ; г) arcctg tg [ Щ^- V \ /J V •26.37. Постройте график функции: а) у = arcsin (sin x); б) у = arcsin (cos jc). § 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени Упростите выражение: sin 2t - 27.1. a) __Q . - sin t; в) cos t - cos 2t; cos t ^ sm6t . cos 2* 6> ^?»f Г) cos*-sin* - sin *• *'-*- a' sin 20°' BJ 2 cos 50°' cos 80° v cos 36° + sin218° U) cos 40° + sin 40°' r' cos 18° 27.3. Вычислите: а) 2 sin 15° cos 15°; в) cos215° - sin215°; б) (cos 75° - sin 75°)2; r) (cos 15° + sin 15°)2. 152
Вычислите: 27.4. а) 2 sin - cos -; в) cos2 £ - sin2 f-; 8 8 8 8 tg75° 27.5. a) Y-^W' 6> _ . sin 2t - 2 sin t . Л 27-6' a> —cos * - 1—; B) sin 2* ctg * - 1; cos 2* -cos2*. 2л + * o-2 6) l-cos2f ' r) 2cos "Г" - 2sin tgt ; > (* f t f> sin 2t- 27-7- Докажите тождество: 27.8. a) (sin t - cos tf = 1 - sin 2t; б) cos41 - sin41 = cos 2t; в) (sin t + cos if = 1 + sin 2t; r) cos4 * - sin41 = 1 - | sin2 2*. 27.9. a) sin2 2* = 1"Ts4^; в) 2 sin2 2* = 1 + sin {Щ- - 4* Z ^ 2 6) 2 sin2 ■£ + cos t = 1; r) 2 cos21 - cos 2* = 1. 027.10. a) cos2 3t = ^ J. в) sin2 (^ + 2t j = 1 - cos t , 2 t 1 - cos f t 1 + cost = *в 25 Г) sint = *« 2* °27.1l. a) 1 + sin a = 2 cos2 ^45° - -|\ 6) 2 sin2(45° - a) + sin 2a = 1; в) 1 - sin a = 2 sin2 f 45° - -| r) 2 cos2(45° + a) + sin 2a = 1. 153
Докажите тождество: O27.12. а) COQ2t = Ctg (я + *) - 1; ' sin*cos£ + sin2f 6V ' sin 2t - 2 sin \± - б) 7^ у^ ; cos -^ - t - sinJ t в) (ctg t - tg t) sin 2* = 2 cos 2*; 1- cos 2* + sin 2* л- - л ч sin 2t cos t , t °27'13- a) l + cos2t ' IT^oIi = tg 2; sin 2t cost cos 2 = 1 + cos 2* ' 1 + cos t ' 1 + cog I 1 - cos 2f + sin 2t <x*2t-em2t --t\ = -^sin - - 2t ; 4 J V2 И J O27.15. a) cos2* - cos2 6) sin2* - sin2 f--t) = ^sinf I4 J V2 I sin 4jc O27.16. a) cos x cos 2jc = 4 sin ^; *ч о >i sin 8jc ■ 6) cos x cos 2jc cos 4jc = в) sin* cos 2*= j^ sin r) sin x cos 2jc cos 4jc = O27.17. Проверьте числовое равенство: а) sin 18° cos 18° cos 36° = ^ sin 72°; б) sin 18° cos 36° = ^. 154
27.18. Упростите выражение ^/1 - cos 2t + -у/1 + cos 2^, если: а) * б [f; к]; в) * € [о; *]; б) * € [f; 2»]; г) [п; f ]. 27.19. Вычислите (с помощью формул понижения степени): a) sin 22,5°; б) cos 22,5°; в) sin -^; г) cos -A о о 027.20. Вычислите: a) sin 11°15' cos 11°15' cos 22°30' cos 45°; ч 1 + cos 40° + cos 80° , AriO 027-21. a) sin80o + sin40° tg 40 ; _. 1 - cos 25° + cos 50° . „ RKO 6> sin 50°-sin 25° "tg65- ЛЛ v sin 125° cos 125° ^ cos 150° sin 150° •27.23. a) f cos- + sin-Ycos3 - - sin3 - { 8 8 Д 8 8 r) sin — cos6 —— sin6 — 12 [ 24 24 .24. a) sin — + cos — + sin — + cos — + sin — + cos —; 8 8 8 8 8 8 2 5я . 2 5я 4 5я . . 4 5я sJ — sinJ — + cos4 — sm4 — ^v 2 5я . 2 5я 4 5я . . 4 5я в 5я . в 5я б) cosJ — - sinJ — + cos4 — - sm4 — + cosb — - sinb —. 000000 •27 ok \ к 2я 4я 8я 16я 7-25-а) cosiicos^ cosi? cosii со*-&; 155 ЛЧ я 2я 4я 8я 16я 32я б) cos п cos « cos « cos ю cos IT cos "ее""
•27.26. Докажите равенство: а) 8 cos 10° cos 20° cos 40° = ctg 10°; б) sin 70° + 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos210°. 027.27. Известно, что sin t = —, — < t < я. Вычислите: lo 2 a) sin 2t; 6) cos 2t; в) tg 2t; r) ctg 2t. 027.28. Известно, что cos x = 0,8, 0 < x < —. Вычислите: a) sin 2jc; 6) cos 2x; в) tg 2jc; г) ctg 2x. Q 027.29. Известно, что tgjc = -, 180° < x < 270°. Вычислите: а) sin 2x; 6) cos 2x; в) tg 2x; r) ctg 2x. 027.30. а) Известно, что cos t = —, 0 < t < —. Вычислите: t . t , t , t cos -, sm -, tg -, ctg -. о о— б) Известно, что ctgt = —, к < t < —. Вычислите: cos |, sin |, tg |, ctg |. 027.31. а) Известно, что sin 2х = -—, — < х < к. Вычислите: О £t cos jc, sin jc, tg x, ctg x. б) Известно, что tg 2x = cos jc, sin x9 tg jc, ctg jc. б) Известно, что tg 2x = —, я < x < —. Вычислите: 4 4 O27.32. а) Зная, что tg — = а, найдите sin —-—, cos —-—; -4 , x „ . x - Зя jc + Зя б) зная, что tg — = а, найдите sin —-—, cos —-—. 4 с* с* •27.33. а) Зная, что cos4jc = ~т^7> -г < x < —, вычислите si 17 я Зя б) зная, что cos 4jc = —, — < х < —г, вычислите tg x. ol Z 4 O27.34. Вычислите sin | х + — I если: 156
027.35. а) Известно, что sin 2а = —- Вычислите sin4 а + cos4 а. б) Известно, что sin4 а + cos4 а= — и — <а<л. Вычис- эи 2i лите sin 2а. 13 027.36. Известно, что cos 2x = —• Вычислите: a) sin4 x + cos4 x; 6) sin8 x - cos8 x. 027.37. Сравните числа а и b, если: a) a = sin ^, & = -; 6) a = tg |, & = -. 027.38. Выразите: a) sin Зх через sin х; б) cos 3jc через cos x. 027.39. Опираясь на результаты № 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства: а) sin Зх = 3 sin х; б) cos Зх + 3 cos x = 0. 027.40. а) Зная, что /(#) = sin x, /(a) = 0,1, вычислите /(За); б) зная, что f(x) = sin jc, /(a) = 0,25, вычислите /(4a); в) зная, что f(x) = cos x9 /(a) = -0,1, вычислите /(3a); 2 г) зная, что f(x) = cos x, /(a) = —, вычислите /(4a). о •27.41. а) Зная, что 15 cos 2t + 8 sin f = 9 и 1 < к 3, вычислите б) зная, что 6 cos 2t + 5 cos ^ + 3 = 0и4<Кб, вычислите ctg*. •27.42. а) Докажите, что если sin2 х = sin у cos z/, то cos 2x = = 2 cos2 |т + У б) докажите, что если cos2 jc = sin z/ cos z/, то cos (n + 2jc) = т-», 157
•27.43. а) Известно, что tg х = -, sin у = ^-, 0 < х < ^, 0<у<\ Докажите, что х + 2у = —. 4 7 7 3 ir б) Известно, что sin х = —, cos у = —, cos 2 = —, 0 < х < — э О < у < —, 0 < 2 < —. Докажите, что х + \ = z. •27.44. а) Зная, что t = 2 arccos —, вычислите sin £, cos t, tg £, ctg f; 5 в) зная, что t = 2 arcsin I ~тг |> вычислите sin t, cos £, tg f, б) зная, что t = 2 arctg ~т |> вычислите sin t, cos £, tg f, ctgf; гт ттппл» ■/• — О ai<noin I ~ 13 ctgf; 12 г) зная, что t = 2 arcctg —, вычислите sin t, cos £, tg f, 5 ctg*. О t t t •27.45. а) Зная, что £ = arccos —, вычислите sin —, cos —, tg —; D Li Ci La б) зная, что t = arctg —- L вычислите sin -, cos -, tg -; I 4 J Li Li La ( b\ t t t в) зная, что t = arcsin ~тг > вычислите sin —, cos —, tg -5 V ld / i l\ l\ x 12 . t t x t г) зная, что t = arcctg —, вычислите sin —, cos —, tg —- 5 La Z Li Решите уравнение: 27.46. a) sin 2x - 2 cos x = 0; в) sin 2x - sin x = 0; 6) 2 sin jc = sin 2jc; г) sin 2x - cos x = 0. 27.47. a) sin jc cos jc = 1; в) cos2 — - sin2 — = —; 6) sin 4jc cos 4jc = -; r) sin2 x - cos2 x = -. 158
27.48. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2л]: а) cos 2х + 3 sin х = 1; в) cos 2х = cos2 x; б) sin2 х = -cos 2x; г) cos 2x = 2 sin2 x. 27.49. Решите уравнение: а) 2 - cos 2x + 3 sin x = 0; б) cos 6х - cos 3jc - 2 = 0; в) 26 sin jc cos jc - cos 4jc + 7 = 0; r) sin4 x + cos4 jc = sin x cos jc. 027-50. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения: sin 22,5° cos 22,5° a>cos*= cos2 67,5°-sin2 67,5°; ^ . sin2 75° - cos2 75° 6>sin*= 4sinl5°cosl5° ' Решите уравнение: 027.51. a) 3 sin 2x + cos 2x = 1; 6) cos 4jc + 2 sin 4jc = 1. 027.52. a) 4 sin x + sin 2x = 0, jc 6 [0; 2я]; 6) cos2 f 3* + ^1 - sin2 027.53. Сколько корней имеет уравнение: • ч2 , о • о Г2071 28*1 а) (cos jc - sin x) = 1 - 2 sin 2jc, на отрезке -g~; -g- ; б) 2 cos2 f 2jc - -1 - 2 sin2 f - - 2x) + 1 = 0, на отрезке W 2J- Решите уравнение: °27.54. a) 1 - cos x = 2 sin —; в) 1 + cos x = 2 cos —; 6) 1 - cos x = sin x sin —; r) sin x = tg2 — (1 + cos x). Lt Li O27.55. a) sin2 2x = 1; в) sin2 (2x - ^1 = |; r) cos2 |*+ -£l=l. 159
027.56. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенств \х\ < 4: Щ а) 4 sin2 х + sin2 2x = 3; б) 4 cos2 2x + 8 cos2* = 7. •27.57. Решите уравнение: а) sin 2x + 2 sin x = 2 - 2 cos jc; б) 4 sin 2jc + 8 (sin x - cos jc) = 7. O27.58. Докажите тождество: 2tg| х^2% | a) sin jc = ^—; 6) cos jc = 2f ; 6) cos jc J tg2f 1 + tg2| 027.59. Используя замену и = tg -| и тождества из упражне ния 27.58, решите уравнение: a) sin х + 7 cos jc = 5; б) 5 sin jc + 10 cos x + 2 = 0. 027.60. Вычислите tg ^, если известно, что: а) sin jc + cos x = 1,4; 0 < x < ^; б) sin x - cos jc = 0,2; n < x < -y. Решите неравенство: 027.61. а) 4 sin2 3* < 3; 6) 4 cos2 f > 1. 027.62. a) sin 2x cos 2x < -|; 6) cos2 j - sin2 f > |- 027.63. a) cos2 2x - sin2 2jc < -1; в) sin2 Sx - cos2 3x < -1; ^.t t^l ч.2х 2x.l o) sin ox cos ojc > -g; r) sin -g- cos -g- ч —-. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: 027.64. а) у = 2 cos 2х + sin2 х; б) у = 2 sin2 Зх - cos 6jc. 027.65. а) у = 3 - sin jc + cos 2jc; б) у = cos 2jc + 4 cos jc - 1. •27.66. а) г/ = sin 3jc + cos 2x + 4 sin3 jc; б) г/ = cos 3jc + cos 2x - 4 cos3 jc. O27.67. Постройте график функции: а) у = 4 sin — cos —; б) у = 2 cos2 x. 160
Постройте график функции: /l + COS X o27.68. а) у = ^_COSX' sin 2x o21.69. а) у = 1In^; O27.7O. а) у = б)у = cos 2x cos x + sin * б) б) в) г) у У = У = у - 11- \1 + sin 2x cos х cos cos 2x cos2jc 2x cos x + sin x cos cos x - 2x - sin^ + sin - cos x; X. f2sinjc cos^c, если х < 0, { (sin л: + cos л:)2, если х < —, 4 2 + - - x, если л: > -. 4 4 •27.72. а) у = sin 2x sin x I sin 2x cos x\ "2| § 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Представьте в виде произведения: 28.1. a) sin 40° + sin 16°; в) sin 10° + sin 50°; 6) sin 20° - sin 40°; 28.2. a) cos 15° + cos 45°; 6) cos 46° - cos 74°; . a) sin -g - sin tqj 6) sin -g + sin -j; r) sin 52° - sin 36°. в) cos 20° + cos 40°; r) cos 75° - cos 15°. в) sin g + sin y> r) sin -g - sin yt* 161
Представьте в виде произведения: 28.4. a) cos tq - cos т^; в) cos "К ~ cos 77 > -v 11тс Зя v Зтс 5л б) cos -jg- + cos -j-; г) cos -g- + cos -j-. 28.5. a) sin 3* - sin t; б) cos (a - 2p) - cos (a + 2p); в) cos 6* + cos 4t; r) sin (a - 2p) - sin (a + 2p). 28.6. a) tg 25° + tg 35°; в) tg 20° + tg 40°; 6) tg g - tg iq, r) tg з - tg T 028.7. a) | - cos t; в) 1 + 2 cos t; 6) ^r- + sin t; r) cos ^ + sin t. 028.8. a) sin bx + 2 sin 6x + sin 7л:; 6) 2 cos л: + cos 2x + cos 4л:. 028.9. a) sin t + sin 2t + sin 3* + sin 4t; 6) cos 2* - cos 4t - cos Ы + cos 8*. Докажите тождество: л ^ л sin 2a + sin 6a 2810> t4 cos 2a - cos 4a 6> cos 2a + cos 4a = tg 3a tg a. . v sin (« + P) + sin (a - p) - а> cos(a + P) + cos(a-P) = tg a; cos (a - p) - cos (a + p) °J sin (a + p) - sin (a - p) " tg a# 028.12. a) sin x + sin у + sin (л: - у) = 4 sin -^ cos -^ cos sin дс + sin 2x + sin 3* _ 6) cos * + cos 2x + cos 3* = tg ^x# 028.13. a) sin2 (a + p) - sin2 (a - p) = sin 2a sin 2p; 6) cos2 (a - p) - cos2 (a + p) = sin 2a sin 2p. 162
Вычислите: cos 68°-cos 22°. sin 130° + sin 110° . 028.14- a> sin 68° - sin 22°' B' cos 130° + cos 110°' sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a 028.15. a) cos a + cos 3a + cos 5a +cos 7«' если cte4« = 0,2; sin x - sin 2* + sin Sx - sin 4* 5# 6> cos * - cos 2x + cos 3* - cos 4x' если tg T = * #28.16. a) sin210° + sin2130° + sin2110°; 6) cos2 35° + cos2 25° - cos2 5°. •28.17. a) cos 24° + cos 48° - cos 84° - cos 12°; 6) tg 9° - tg 63° + tg 81° - tg 27°. Проверьте равенство: 28.18. a) sin 35° + sin 25° = cos 5°; в) cos 12° - cos 48° = sin 18°; 6) sin 40° + cos 70° = cos 10°; r) cos 20° - sin 50° = sin 10°. 028.19. a) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0; 6) cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0. 028.20. a) sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sin 1°; 6) cos 115° - cos 35° + cos 65° + cos 25° = sin 5°. •28.21. a) sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos 7°; 6) tg 55° - tg 35° = 2 tg 20°. •28.22. Докажите, что если a + p + у = я, то выполняется равенство: а) tg a + tg p + tg у = tg a tg p tg у ; б) sin a + sin p + sin у = 4 cos ^ cos 75 cos X ^ z z °28.23. а) Зная, что sin 2x + sin 2y = a, cos 2x + cos 2y = b (a Ф 0, b Ф 0), вычислите tg (x + y); б) зная, что sin x - sin у = a, cos x - cos у = b (a Ф 0, b Ф 0), вычислите ctg p 163
•28.24. Докажите: а) если 2 sin х = sin (х + 2у), то tg (х + у) = 3 tg у; б) если 2 cos х = cos (л: + 2у), то ctg (л: + у) - 2 tg л: = = tg х + ctg у. •28.25. Докажите: а) если cos2 х + cos2 у = т, то cos (л: + у) cos (л: - у) = m ^ j, б) если cos2 (х + у) + sin2 л: + sin2 у = т, то sin л: sin i/ cos (л: + у) = ~ УП. Решите уравнение: 028.26. a) cos л: + cos Зл: = 0; в) cos х = cos 5x; б) sin 12л: + sin 4х = 0; г) sin Зх = sin 17л:. 028.27. a) sin х + sin 2л: + sin Зл: = 0; б) cos Зл: - cos Ьх = sin 4л:. 028.28. a) sin Зл: = cos 2л:; б) sin (5я - л:) = cos (2л: + 7я); в) cos Ьх - sin 15л:; г) sin (7я + л:) = cos (9я + 2л:). 028.29. а) 1 + cos 6л: = 2 sin2 5л: в) sin2 % = cos2 Ц-\ б) cos2 2л: = cos2 4л:; г) sin2 х + sin2 Зл: = 1. 028.30. а) 2 sin2 х + cos 5л: = 1; б) 2 sin2 Зл: - 1 = cos2 4л: - sin2 4л:. 028.31. a) tg х + tg 5л: = 0; в) tg 2л: = tg 4л:; б) tg Зл: = ctg х; г) ctg | + ctg Ц = 0. 028.32. a) sin х + sin Зл: + cos x + cos Зл: = 0; б) sin 5л: + sin x + 2 sin2 x = 1. 028.33. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке а) sin 2л: + sin 6x = cos 2л:; б) 2 cos2 х - 1 = sin Зл:? O28.34. Найдите корни уравнения, принадлежащие (0; 2,5): а) cos 6л: + cos 8л: = cos Юл: + cos 12л:; б) sin 2л: + 5 sin 4л: + sin 6л: = 0. 164
2g#35. При каких значениях х числа а, Ь, с образуют арифмети- 0 ческую прогрессию, если: а) а = cos 7х, Ь = cos 2х, с = cos 11л:; б) а = sin Зл:, Ь = cos х, с = sin 5л:? о«.3б. Решите неравенство: / \ / \ а) sin л: + - + sin he - - < 1; б) cos (2х + J1 + cos Г2л: - |1 > -|. о28.37. Постройте график функции: ч 1 к ( 9л: + Юте 9л: - Юте ^ а) у = 1,5 cos + cos ; 3 3 #28.38. Постройте график уравнения: а) sin 2л: = sin 2у\ б) cos 2л: = cos 2y. § 29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Представьте в виде суммы: 29.1. a) sin 23° sin 32°; в) sin 14° cos 16°; б) cos T77 cos -q5 г) 2 sin -q cos -r. 12 о о О cos f| - | 29.2. a) sin (a + p) sin (a - p); в) cos f| + |lcos f| 6) cos (a + p) cos (a - p); r) 2 sin (a + p) cos (a - P). 29.3. a) cos a sin (a + p); б) sin (60° + a) sin (60° - a); в) sin p cos (a + p); r) cos a + 7 cos a-- l 4J I 4 °29.4. a) sin 10° cos 8° cos 6°; 6) 4 sin 25° cos 15° sin 5°. °29.5. a) sin x sin у sin 2; 6) cos x cos у cos 2. °29.6. a) sin2 x cos 4л:; б) cos2 2л: sin Зл:. 165
Докажите тождество: 029.7. а) 2 sin t sin 2t + cos 3* = cos t; 6) sin a - 2 sin f| - 15°1 cos (- + 15° 1 = 029.8. a) sin2 x + cos f - - x ] cos f - + x ] = -j; 13 J 13 J 4 6) 4 sin I - - x sin - + x I = 3 - 4 sin' x. O29.9. a) 4 sin x sin| - - х I sin I - + x \ = sin 3x; •29.10. cos2 (45° - a) - cos2 (60° + a) - cos 75° sin (75° - 2a) = sin 2a. •29.11. a) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + ... + sin nx = sinf 6) cos x + cos 2x + cos Sx + cos 4jc + ... + cos nx = sinf Вычислите: O29.12. a) cos2 3° + cos21° - cos 4° cos 2°; 6) sin210° + cos 50° cos 70°. °29-13- a> j^tw -2 sin 70°' 6> S + 4 cos 100°- 029.14. a) 2 sin 87° cos 57° - sin 36°; 6) 2 sin 59° sin 14° + sin 163°. 029.15. a) sin 12° cos 72° - cos 33° cos 27°; 6) 2 cos 28° cos 17° - 2 sin 31° sin 14° - 2 sin 14° sin 3°. •29.16. a) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°; 6) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°. 166
д7. Сравните числа: а) а = sin I cos 2, b = sin 3 cos 4; б) a = cos 2 cos 4, Ь = -sin 3,5 sin 2,5. 29.18. Докажите неравенство: а) sin (x + 2) cos (x - 2) < sin (x + 3) cos (x - 3); б) cos (2x - 3) cos (2л: + 3) > sin (1 + 2x) sin (1 - 2x). л29.19. а) Зная, что cos x = -г, вычислите 16 sin -= sin -~-\ б) зная, что cos x = —g» ^ < л: < я, вычислите 125 sin | cos ^. Решите уравнение: 029.20. a) cos \x + f 1 cos f x - - |- 0,25 = 0; I 3 I 3 J 6) sin | x + - cos Ix - - |= 1. 029.21. a) 2 sin x cos 3x + sin 4x = 0; 6) sin f sin f = I. 029.22. a) sin 3x cos л: = sin Щ- cos %; sin' x = 0; в) sin 2x cos x = sin л: cos 2x; r) cos 2л: cos x - cos 2,5л: cos 0,5л:. °29.23. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения: a) sin х sin Зл: = 0,5; б) cos x cos Зл: = 0,5. °29.24. При каких значениях х числа а, Ь, с образуют геометрическую прогрессию, если: а) а - cos 6л:, Ь = cos 4л:, с = cos 2л:; б) а = sin 2л:, Ь = sin Зл:, с = sin 4л:? 167
O29.25. Решите неравенство: a) sin f| infi-x | < 0; 6)sm|- + - cos --¥ B)sin|*-f| cos * + || г) cos Зх cos Зх-К > 0. 6 ии& 6 •29.26. Решите систему уравнений: а) б) cos(x+ j/)cos(x- у) = i; O29.27. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а> у -sin [x + ]e]cos 6)y = Sin|*-£|8in|* + ! •29.28. Постройте график функции: = 2 SinlJC-Ц |COS|X + ^ б) у = -3 cos 3* + тс Зл: - к 6 COS- Постройте график уравнения: •29.29. а) 2 sin (х + у) cos i/ = sin x; б) 2 cos (х + у) cos х = cos у. •29.30. a) cos cos = cos2 f; 168
§ 30. Преобразование выражения Asinx+ Bcosx к виду С sin (x+1) Преобразуйте данное выражение к виду С sin (x + t) или С cos (x + t): 30.1' а) V3 sin л: + cos х; в) sin л: - cos x; б) sin л; + л/3 cos jc; г) 2 sin x - Vl2 cos л;. 30.2. а) 3 sin x + 4 cos л:; в) 7 sin л; - 24 cos л:; б) 5 cos х - 12 sin л:; г) 8 cos х + 15 sin л:. 030.3. Докажите тождество: а) sin х + cos л: + >/2 = 2>/2 cos2 77-7 б) cos 2х - sin 2х - л/2 = -2>/2 sin2 [ * + - j I 8 J 030.4. Преобразуйте сумму в произведение: a) sin t + cos t + 5 cos £ + — 4 6) sin * - cos t + V34 cos f - - 11 030.5. Вычислите: sin 38° - cos 38°. sin 17° + V3cosl7°. a) V2sin7° ' B) 2 cos 347° ' sin 377° - Уз cos 17°. sin 752° + cos 328° ' cos 407° ' Г) ^2 sin 437° 030.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = л/3 sin х + cos x; б) у = sin х - л/3 cos x; в) у = sin л: - cos x; г) г/ = \/б sin л: - л/2 cos л:. °30.7. Найдите область значений функции: а) у = 3 sin 2x - 4 cos 2л:; б) I/ = 5 cos Зл: + 12 sin Зх; в) у = 7 sin -jr + 24 cos -s-; г) у = 8 cos •« - 15 sin -g- 169
030.8. Существуют ли значения х, при которых выполняется равенство: а) sin 5x + cos Ьх = 1,5; б) 3 sin 2x - 4 cos 2x = V26; в) sin 7x - л/Зсов 1х = ^; г) 5 sin х + 12 cos л: = Vl70? 030.9. Постройте график функции: а) у = л/2 (sin л: + cos л:); в) у = sin л: - >/з cos л:; б) г/ = л/3 sin х + cos л:; г) у = sin л: - cos x. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: О30.10. а) у = cos х - 2 sin x - 1; б) у = |5 sin х + 12 cos x - XT|; в) i/ = 3 cos | + 4 sin | - 5; г) у = |7 sin 2* - 24 cos 2x| + 15. •30.11. а) у = cos X - yfa sin л: + 2>/3 cos [?- 6) i/ = cos 2л: + sin 2x - \[l sin I — - 2x 030.12. При каком значении параметра а наибольшее значение заданной функции равно числу М: а) у = 6 sin 1,5л: - 8 cos 1,5л: + а, М = 17; б) у = 7 sin 0,3л: + 24 cos 0,3л: + а, М = -17? 030.13. При каком значении параметра а наименьшее значение заданной функции равно числу т: а) у = -9 sin 1,4л: - 12 cos 1,4л: + а, т = 1; б) у = 3,5 sin 0,2л: - 12 cos 0,2л: + а, т = -1? •30.14. При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = f(x) равно наименьшему значению функции у = £(л:): а) f(x) = 7 sin 5л: - 24 cos 5л: + а - 1, #(л:) = 3 - 2 cos 4#; б) f(x) = 9 sin (л: - 2) + 12 cos (x - 2) - 5 - а, g(x) = 2 + 7 sin (2л: + 1)? О30.15. Решите уравнение: а) >/з sin х + cos x = 1; в) sin х - у[з cos х = л/3; б) sin х + cos x = V2; г) sin x - cos x = 1. 170
Решите уравнение: 30#16. a) cos 2х + л/з sin 2л: = л/2; б) sin 5л: - cos Ъх = —; в) cos ^ - л/з sin ~ + 1 = 0; г) sin -q + cos -q = 1. 030.17. а) 4 sin л: - 3 cos x = 5; б) 3 sin 2* + 4 cos 2* = 2,5; в) 12 sin л: + 5 cos л: + 13 = 0; г) 5 cos | - 12 sin | = 6,5. 030.18. a) sin 2л: - cos 2л: = л/2 sin Зл:; б) л/з sin x - cos л: = 2 cos Зл:; в) sin 5л: + cos 5л: = >/2 cos л:; г) sin 2л: + л/з cos 2л: = 2 sin 4л:. •30.19. а) 2 sin 17л: + >/з cos 5л: + sin 5л: = 0; б) 5 sin х - 12 cos x + 13 sin Зл: = 0. •30.20. a) (sin л: + л/Зсовл:)2 - 5 = cosj - - х ]; б) (>/з sin х - cos л:) +1 = 4 cos л: + — . •30.21. а) л/3 sin х + cos л: + 2 = —л:; 5я б) л/2 (cos л: - sin х) = 2х - —. °30.22. Решите неравенство: а) л/3 sin х + cos л: > 1; б) 3 sin x - 4 cos x < 2,5. °30.23. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений: а) 5 sin 2л: + 12 cos 2л: = 2а - 1; б) 3 cos | - 4 sin | + 1 = а2? 171
Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство: 030.24. а) 2 sin2 x + sin 2x < 2,5; б) 16 sin2 Зх + 15 sin 6x < 25. •30.25. а) 3 sin x + 5 cos x < 3/210; б) yfssinx - 7 cosx > -3/390. 030.26. При каких значениях параметра а решением неравенства является любое действительное число х: а) 12 sin 2x - 35 cos 2x < 148а2; б) 35 sin Зх + 12 cos Зх > 18,5(а3 - 10)? § 31. Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение) Решите уравнение: 081.1. a) sin (х - 1) = cos (x + 2); б) sin (Зх + 3) = cos (x - 1). 031.2. a) sin х sin 5x = cos 4х; б) cos jc cos 5х = cos 6л\ 031.3. sin I х + - + cos \ х + ^ I = 1 + cos 2x. 6 J 13 031.4. а) 2 cos2 5x + cos 3x = 1; 6) sin 5x + sin x + 2 cos2 jc = 1. 031.5. a) 8 sin2 ~ - 3 sin x - 4 = 0; 6) 4 sin2 |- - cos2 |- = 1,5 + sin *. 031.6. a) sin2 x + sin2 2x + sin2 3* = 1,5; 6) cos2 2x + cos2 4* + cos2 6* = 1,5. 031.7. a) sin2 Щ -v sin2 x + sin2 Щ- + sin2 2* = 2; 6) cos2 x + cos2 2jc + cos2 3x + cos2 4x = 2. 031.8. tg (* - 15°) ctg (jc + 15°) = ^. 172
Решите уравнение: #31.9. 8 sin6 x + 3 cos 2x + 2 cos 4л: + 1 = 0. #31.10. a) 5 sin Sx + 2 sin x = 0; 6) 7 cos 3* - 3 cos x = 0. #31.11. a) 3|cos *| + 2 cos x = 5|sin jc| — 3 sin x; 6) 7|cos *| - 4 cos л: = 3|sin x\ + 2 sin л:. 031.12. a) 4 cos3 f + 3>/2 sin л: = 8 cos f; 6) I cos j = cos3 |- + sin ~. 031.13. cos4 x + sin4 jc - sin 2x + | sin2 2x = 0. 031.14. a) cos 4* + 5 cos2 jc = 0,75; 6) cos 4x + 3 sin2 jc = 0,25. 031.15. 2 sin3 x - cos 2jc = sin x. •31.16. tgx + ctgx = 3 + cos 4x. 031.17. Решите уравнение 2 sin x - 3 cos jc = 3 двумя способами: а) с помощью универсальной подстановки и = tg 77; б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента ~. Решите уравнение: 031.18. а) 3 sin 2х + cos 2х = 2; б) cos 4л: + 2 sin 4л: = 1. •31.19. sin 2л: + tg x = 2. 031.20. Применив подстановку у = cos л: - sin x, решите уравнение 4 - 4(cos х - sin л:) = sin 2л:. Решите уравнение: •31.21. a) sin х cos x + 6 cos x + 6 = 6 sin x; б) 5 sin 2л: - 11 cos x = 11 sin x - 7. •31.22. 2(1 - sin х - cos л:) + tg x + ctg x = 0. •31.23. a) cos Щ = cos2 х; б) 32 cos6 х - cos 6л: = 1. 173
Решите уравнение: 031.24. sin Ъх + cos 5* = V2 cos 13*. 031.25. а) 3 cos (* + 1) - 4 sin (* + 1) = 5; 6) 15 sin (2* - 3) + 8 cos (2* - 3) = 8,5. •31.26. 3 sin л: - 5 sin [7л: + - ] = 4 cos x. •31.27. (sin 2л: + л/3саз2л:)2 = 2 + 2 cos {- - 2лД \6 ) cos2*-cos*-sin2* _ Wli^' l-cos2*-sin* " и* •31.29. Найдите корни уравнения cos 4л: + -—^— = 3, принад- лежащие отрезку [-2; 1,4]. Решите уравнение: •31.30. 3tg| +ctgx= ^. •31.31. cos 2x - 3 cos x + 1 = (ctg2x-ctgx)sin(x-ny б) 12JC2 - 8hjc + я2 •31.34. а) 2 ctg Зл: - 2 tg Зл: - 4 tg 6л: = 1; б) ctg х - tg x - 2 tg 2л: - 4 tg 4л: = 8 tg 8л:. •31.35. 6 tg x + 5 ctg Зл: = tg 2л:. •31.36. sin 5л: + sin x = 2 + 2 cos2 л:. •31.37. (sin x + л/3 cos л:) sin Зл: = 2. •31.38. cos 2л: (l - |sin2 2x\ = 1. 174
Решите уравнение: 31.39. sin х + cos x = л/2 + sin4 4л:. #3l.4O. л/9 - х? (sin 2л: - 3 cos л:) = 0. а) л/25 - 4JC2 (3 sin 2ял: + 8 sin ял:) = 0; б) л/49 - 4л:2[sinял: + 3cos—] = 0. #31.42. #31.43. •31.44. •31.45. •31.46. 2 . a) I ctg- - - sin x |V4* - jc2 + 5 = 0; 2 3 6) (2 sin 2* - tg x)y/2- x- 0? = 0. + ^/1 + sin2л: = Zjssinx + cos л:. а) jsin7x - sin5л: = ^sinx; б) Jcosbx + совл:- sin5л: = a) sin (ял/5 - л:2) = 0,5; б) cos (ял/7 - л:2) = -0,5. 2ял: , кх tg ——2 + sin = 2. •31.47. а) Дано уравнение с параметром a: yja cos 2х - 3 sin 2л: = = cos л:. Известно, что л: = 0 является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни, б) Дано уравнение с параметром a: yj2 sin 2x - a cos 2л: + + sin х = 0. Известно, что х = — является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Комплексные числа i i i i i i i i i i i i i i i i § 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними 32.1. Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые: а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней. б) имеют рациональные корни, но не имеют целыхкорней в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней; г) не имеют действительных корней. 32.2. Приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые: а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней; б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней; в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней; г) не имеют действительных корней. 32.3. Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 2л:2 + 4х + а = 0: а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но не целые числа; в) оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет. 32.4. Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения Зх2 + ах + 6 = 0: а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число; в) оба корня действительные, но не рациональные числа г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет. 176
Вычислите: 32.5. a) i3; б) *5; в) i22; г) i17 + *2005. 032.6. а) И)3; в) -i22 - {-if2; б) (-205; г) i3 + *5 + i7 + ... + *2005. 32.7. Найдите значение многочлена 22 + 361 при заданном значении переменной z: a) z = ц в) 2 = -Hi; 6)2 = -2ц т)2 = -19(-03. 032.8. Найдите значение многочлена 2г + Зг при заданном значении переменной г\ а) г = -i; в) z = Si; б) z= у[2ц г) 2= -у/Зи 032.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным -i. а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й. Для комплексных чисел 2Х и 22 найдите их сумму 2Х + 22 и разность 2Х - 22, если: 32.10. a) zi = 1 + U z2 = 1 - i; в) 2Х = -i, z2 = l-i; б) 2Х = 1 + U 22 = -1 + 2ц г) 2х = i3 + 4i4, г2 = i2 - 3(-i)3. 032.11. а) гх = 1 + ц г2 = 1 - 2i; б) 2Х = 2 + U г2 = -3 + 2ц в) 2i = i15, 22 = 15 + £; г) 2х = i17 + Ш18, 22 = 15i15 - 16(-016. 032.12. Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3 - 2£, и разностью, равной -1 + i. а) Составьте формулу п-то члена прогрессии; б) найдите значение 15-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го. 32.13. Докажите, что: а) 2Х + 22 = 22 + 2и 2Х € С, 22 € С; б) (а + Ь)г = аг + Ьг, а € R, b € R, г е С; в) (аЬ)г = а(Ьг), а е R, Ъ е R, z e С; г) a(zx + z2) = azi + az29 a € R, zx € С, z2 € С. 177
032.14. Известно, что сумма действительной и мнимой частей комплексного числа az, а € R, равна 1. Найдите а если: а) z = 1 + ц в) z = 13 - 2Si; б) z = 7 + 3i; г) z = 1 - L 032.15. Вычислите azx + bz2, если: а) Zi = 1 + i, z2 = 1 - i, а = 2, 6 = -1; б) 2i = 1 + i, z2 = -1 + 2i, a = -4, b = -5; в) 2i = 1 + i, z2 = 1 - U a = -2, b = 3; r) Zi = 1 + U z2 = -2 + 3i, а = 12, 6 = -11. 032.16. Известно, что число azx + z29 a € R, является чисто мнимым. Найдите а, если: а) Zi = 3 + i, z2 = 6 - i; в) zx = 8 + 3i, z2 = -1 - 2i; б) Zi = 12 - 13i, z2 = Si; r) zx = i, z2 = -1 + 2i. 032.17. Известно, что число zx + az29 a € R, является действительным. Найдите а, если: а) Zi = 3 + i, z2 = 6 - i; б) zx = 12 - ш, z2 = (3 + o2; в) Zi = 8 + Si, z2 = -1 - 2i; r) zx = U z2 = (2 - 302. 032.18. Найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство z = azi + bz2, если: а) Zi = 1, z2 = 1 + i, z = 5 + 2i; б) гг = -2 + U z2 = 3 - U z = i; в) Zi = 1 + i, z2 = 1 - i, z = 3 + 5i; r) Zi = 4 - i, z2 = -7 + 2i, z = 1. Вычислите: 32.19. a) i(l + 0; в) (4 - 3*)i; 6) i(-3 + 2i); r) i(4 - 3i)i(4 + Si). 32.20. a) (1 - 2i)(l + 0; в) (4 - 30(-4 + 30; 6) (1 - 0(1 + 0; r) (12 + 50(12 - 50. 32.21. a) (l + о2; в) (2 + о5; б) (l - о3; г) (1 + о3 + (1 - О2. 32.22. Решите уравнение: а) iz = 1; в) (1 + i)z = i; б) (1 + i)z = 1; г) (1 + i)z = 1 - L O32.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным £, и знаменателем, равным 1 - i. а) Найдите третий член прогрессии. б) Найдите девятый член прогрессии. 178
в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа? г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа? Вычислите: . ч 1. ,J-i, Л-i, ч 1 + i 032.24. a) v б) -г-, в) y^, г) у^. 032.25. a) i2 + Г2; б) iz + Г3; в) i3 + Г5; г) *-3 + Г5. 2/4 + 3£5 (2 — £)4 •32.26. а) (2 + 3iX8 + i) + (3 - 4*Х8 - 0 ^ 2i16 - Ш9 (1 + 2Q4 93 - Збг б) (2-302 (3-40(24-70 + 325 * 032.27. Решите уравнение: а) iz = (1 - 0; в) (1 + i)z = i; б) (1 + i)z = (1 - 0; г) (1 + ifz = (1 - О3. 032.28. Найдите действительные числа а и Ь, для которых верно равенство — = а— + Ьг2, если: а) Zi = i, z2 = 2; в) zx = 1 + 2i, z2 = 1 - 2i; б) 2i = 1 + i, г2 = 1 - i; r) «i = 1 + i, г2 = 1 + 2i. 032.29. Найдите значение функции w = —^-г-, если: а) z = 1 + /; в) г = 2i; б) г = 1 - i; г) г = 2 + i. 032.30. а) Докажите, что число (-& + iVa) + (b - iVa) при любых действительных значениях а > 0 и b является действительным. б) Вычислите (2 + iyfb) + (2 - iyfe) . •32.31. При каких действительных значениях а число z = (2 - aif - (3 - aif + 5 + a(l - a20: а) является действительным; б) является чисто мнимым? °32.32. Для комплексного числа z найдите сопряженное число г - z. и вычислите произведение zz и частное — • а) z = i; в) z = 3 - 7i; б) z = -i; г) 2 = -5 - 6i. 179
032.33. По заданному сопряженному числу z восстановите ком плексное число z и вычислите произведение zz и частное z : z. а) г = 2i; в) г = 1 - i; б) z = -3i; г) г=-1 + Si. 032.34. Дано: zx = 1 - i; z2 = 4 + L Найдите: O32.35. Дано: zx = 3 + 2i; z2 = -2 + 3i. Найдите: -v (^i + З2). Z2 ~ 2гх б) \ - Ъ ' Г) (г2 + г1)3# •32.36. Решите систему уравнений: J5zi - Зг2 = -9 + 5i, |4гх + г2 = 7 - 6i, [42! + г2 = 3 - 4i; В [З^ - 2z2 = -3 - i; [lzx + 2z2 = 7 - 4i, fizi + 2г2 = 3 б) [Згх - z2 = 3 - 2i; Г O32.37. Среди корней уравнения г2 + (г)2 = 8 укажите все корни: а) с нулевой мнимой частью; б) с мнимой частью, равной 1; в) у которых действительная часть равна мнимой части; г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части. •32.38. Среди корней уравнения г + 1 = ■« найдите корень: а) у которого действительная часть наименьшая; б) у которого мнимая часть наименьшая; в) который ближе всего расположен к началу координат; г) который ближе всего расположен к числу i. § 33. Комплексные числа и координатная плоскость Для комплексного числа z = х + iy, его действительной части х и его мнимой части у используют следующие обозначения: х = Re 2, у = Im z (от французских слов reelle -** действительный, imaginaire — мнимый). 180
33.1. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам zx = 1 + 2i, z2 = 2 + 3i, гг = -2 + Ыу z4 = -9 + *, г5 = -3 - 2*. б) Укажите те точки, которые лежат левее оси ординат. Что можно сказать о знаке действительной части каждой из таких точек? в) Укажите те точки, которые лежат выше оси абсцисс. Что можно сказать о знаке мнимой части каждой из таких точек? г) Соедините данные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения замкнутой ломаной с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки. 33.2. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам Z\ - -5 - 4£, z2 = 1 + 8i, гъ = -2 - U, z4 = 8 + U гь = -1 - 8*. б) Соедините заданные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки. 33.3. а) Отметьте на координатной плоскости точки Zn(n = 1, 2, 3, 4, 5), если zx - -5 - 3i, z2 = 1 + 6i, z3 = -3 - 6i, z4 = 9 + 2i, z5 = 1 - 6*. б) Соедините отмеченные точки последовательно отрезками. Сколько чисто мнимых чисел имеется на полученной ломаной? Назовите их. в) Сколько на этой ломаной лежит чисел, для которых Re z = -3? Назовите их. г) Сколько на ломаной чисел, для которых Im z = 3? Назовите их. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел 2, удовлетворяющих заданному условию: 033.4. а) Действительная часть равна -2; б) мнимая часть равна 3 или 4; в) Re z = Im z; г) Re z = (Im z)2. 033.5. a) Re z = 4 или Im z = 4; б) |Rez| = |lmz|; в) Re z = 5 или Im z = 4; r) Re z = (Im zf или (Re zf = Im z. 181
O33.6. а) Действительная часть на 4 больше мнимой части; б) сумма действительной и мнимой частей равна 4; в) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4; г) квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4. •33.7. a) |Rez| - |Imz| = 1; в) (Re zf = Imz - 1; 6) (Re zf = Im z + 1; r) (Re z)(Im z) = 1. O33.8. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z0 = 1, zx - 1 + i, z2 = = (l + 02, z3 = (l + 03,... ,27 = (l + 07. б) Чему равна величина угла: Zz0Ozu Zzx0z2y ... , Zz6Oz7, Zz7Oz0? в) Перечислите все пары точек, лежащие по разные стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар? г) Запишите все числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких чисел? 33.9. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответст- л 1 73. о вующие комплексным числам z0 = 1, zx = — + —i, z2 = zu Zz = Zu Z4 = Zu Zb = z\. б) Чему равна величина угла: Zz0Ozu Zzx0z2, ... , Zz5Oz0? в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки? г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряженным друг к другу числам. Сколько таких пар? Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел 2, у которых: 033.10. а) Действительная часть больше мнимой части; б) мнимая часть не меньше действительной части; в) мнимая часть больше 2, а действительная часть не больше 3; г) мнимая часть не меньше 2, а действительная часть меньше 3. •33.11 a) Im z > 2 или Re z < 3; б) Im z > 2 или Re z < 3; в) Re z > (Im zf и (Re zf > Im z; r) Im z > 2 Re z или Re z < 3 Im z. 182
033.12. a) Re z + Im z > 0; б) 1 < Re 2 + Imz < 2; в) К (Re zf + (Im zf < 16; r) (Re zf + (Im г)2 < 1 или 16 < (Re zf + (Im zf. 33.13. Изобразите на координатной плоскости числа zx - 1 - i и z2 = -1 + 3i, а также числа: a) 3zi; б) -2z2; в) гх + z2; r) 3zi - 2z2. 33.14. Изобразите на координатной плоскости числа zx = 2 - 3i и z2 = -5 + 2i, а также числа: а) \\ б) -3z2; в) ъ + 2г; г) ^ - 3^. 033.15. а) Изобразите на координатной плоскости числа Zi = -3 + £ и 22 = 5 + 2i. б) Найдите действительный коэффициент а, при котором 2\ + аг2 — чисто мнимое число. в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел Zi и az2 из пункта б). г) Найдите действительный коэффициент а, при котором гг + az2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел zx и az2. 033.16. а) Изобразите на координатной плоскости числа zx = -3 + i и z2 = 5 + 2i. б) Найдите действительный коэффициент а, при котором azi + z2 — чисто мнимое число. в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел azx и z2 из пункта б). г) Найдите действительный коэффициент а, при котором azi + z2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел azx и z2. •33.17. а) Для п = 1, 2, 3, 4 изобразите на координатной плоскости точки zn = {2п - 1) + (5 - n)i; б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой I; составьте уравнение прямой; в) укажите число, лежащее на прямой Z, у которого Re z = -5; г) укажите число, лежащее на прямой I, у которого Im z = 8. •33.18. а) Для п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной плоскости точки zn = (п - 1) + (я2 - Ьп л- 6)*. б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы. в) Найдите действительную часть суммы zx + z2 + ... + z6. г) Укажите номер я, начиная с которого мнимая часть числа zn будет больше 100. 183
•33.19. а) Для п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной 3. ПЛОСКОСТИ ТОЧКИ 2п = (П + 1) + —I. п б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гипербо» ле; составьте уравнение гиперболы. в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс. г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат. Решите уравнение: 033.20. a) z Re z = 1; в) z (Re zf = 1; б) z Re z = -1; г) 2 (Re г)2 = -1. 033.21. а) г Im г = i; в) г (Im г)2 = i; б) г Im z = -i; г) г (Im г)2 = -i; 033.22. a) 2 Re г = z ImJ; в) 2 Im z = z Re 2; 6) 2 Re 2 = 2 Im 2; r) 2 Re 2 = 2 Re 2. 033.23. a) 2 Re (2 - 4) = i - 4; в) 2 (Re 2 - 6) = 21i - 9; 6) 2 Im (2 + 20 = 7 - i; r) 2 (Im 2 + 4) = 10 + 4i. § 34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Найдите модуль комплексного числа: 34.1. 34.2. а) б) а) 6- 20 2. Г -81; + 2U; б) 3 Г в) г) ы (3 ! + 0; - 0(2 ч R^ i + в) t -О- 1 г) i i + 1 O34.3. Для комплексных чисел zx - 12 - Ы и 22 = 3 + 4i: а) найдите |zi| и |z2|; б) вычислите 2i22 и проверьте равенство \zxz2\ - \zx\ • |22|; 1 11 в) вычислите — и проверьте равенство = т—г> г) вычислите — и проверьте равенство ~ - ттг* 34.4. Для комплексных чисел zx = 3 - i и 22 = 1 + 2i: а) найдите |^| и |^| и проверьте равенства |^| = |2i| 184
б) проверьте неравенство \zx + z2\ < \zx\ + \z2\\ в) вычислите Zfo и проверьте равенство | Zfo \ = | ^ | • | ^ |; г) проверьте неравенство |агх - z2\ > \zi\ - \z2\. о34.5. При каком положительном значении параметра а модуль данного числа равен 10: а) а + Si; в) (а + 1) + (а - 1)*; б) 2а + ш; г) а + —? Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел 2, удовлетворяющих заданному условию: 34.6. a) |z| = 3; в) \z + 2| = 3; б)|г -1| = 3; r)|z + 3i| = 3. 034.7. а) |г - i| = 1; в) \г - 1 - i| =>/2; б)|г + 2i| = 2; г)|г + 4 + 3i| = 5. 034.8. Про комплексное число z известно, что Re z = 3 или Re z = 6. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: a)|z| = 3; 6)|z| = 4; в) \z\ = 6; г) \z\ = 10? 034.9. Про комплексное число 2 известно, что Re z = 3 или Im 2 = 4. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: a)|z| = 3; 6)|z| = 4; в) \z\ = 5; г) \z\ = 10? 034.10. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел 2, удовлетворяющих уравнению: а) \г\ = \г - 1|; в) |z - 1| = \z - i\; б)\г -l\ = \z -3|; т)\г + 3i| = |z + 4|. 034.11. Число 2 задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму: a) z = cos ^ + i sin ^~; в) z = cos ™ + i sin ^; v 101л . . 101л г) z = cos —г- + i sin —£—. 185
Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму: O34.12. a) z = cos -g- + i sin -g-; в) z = cos ^ + i sin ^ , ( 103л ^ . . Г 103л Г) Z = COS 7Г— + i Sin g— O34.13. a) z = cos (13,2л;) + i sin (13,2л;); б) z = cos (-12,3л;) + i sin (-12,3тс); в) z = cos (17 arccos (-1)) + i sin (17 arccos (-1)); r) z = cos (2 arccos (-0,5)) + i sin (2 arccos (-0,5)). Найдите аргумент комплексного числа: 34.14. а) Ы\ б) 5,55; в) -5,5i; г) -5,555. O34.15. а) 2 - 2i; в) -3 + Si; б) (-V3+ i)2; г)(-3 + 302. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен: 34.16. а) Ь в) —; 4 4 6) 34.17. a) 6) Зл 4 2л з; ИЛИ или л ~4; 5л 6' г) в) г) Зл 4 _5л. 2л 3 или или л 4' л 3' 034.18. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент: а) положителен; в) больше чем —•; б) отрицателен; г) меньше чем --. 034.19. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент: ч - я Зл а) больше чем —, но меньше чем —; £л 4 О _ б) больше чем ——, но меньше чем —; 4 о 186
ч * Зл Л в) больше чем —, или меньше чем —; 4 о v 2л - л г) отличается от —— не более чем на —. 3 о 034.20. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел 2, у которых: а) | <arg(2)< ^ и|г| = 2; б) | <arg(z)< ^ иЗ<|г|< 5; в) -^ <arg(z)< l и |z| = 8; v 5л , v 2л ^ . | Л г) —g- < arg(z) < -g- или 1 < |z| < 2. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: 034.21. а) 5; б) 3i; в) -8; г) -0,5*. 034.22. а) 4 + U; б) 1 - i; в) -2 + 2i; г) -2 - 2i. 34.23. а) 7з + *; в) 3>/3 - 3*; б) -V3+i; г) -2V3-2*. 034.24. а) 4 - 4V&; в) -2 - б) 1 + Si; г) -i + ^-L 034.25. а) 3 - 4i; б) -5 + Ш; в) 6 + 8i; г) -15 - 8i. #34.26. a) sin 35° - i cos 35°; в) -sin 40° + i cos 40°; 6) sin (-23°) + i cos (-23°); r) sin (-20°) - i sin (-70°). •34.27. a) 1 - cos 100° + i sin 100°; в) sin j± + if 1 - cos^\ 6) sin y + if 1 - cos^1; r) 1 - cos 250° + i sin 610°. 034.28. Представьте в алгебраической форме комплексное число: / \ / \ а) 5 cos — + i sin — ; в) 5 cos — + i sin — ; I 6 6 ) { 3 3 ) б) 7 л 7 v r) - 187
Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме: ^ + isin^l • ifcosf 3 j 3{ O34.29. a) efcos^ + isin^l • ifcosf--! + б) (-5 - 5i) B) (w(«(^)+^(-i))- 2o[cos(j}+ г) л/3 cos- + isin- I • (2 + 2л/Ш). I 6 6) 034.30. a) 8fooeg + isin^j : 4(coe(-*) + ianf-Ц б) (10 + 100 = f^f008^ + isin^J r) 16|cosf-|U isin I-J 11 : (4 - 34.31. а) Зная, что z = i, изобразите на комплексной плоскости числа 2, г2, г3, г9, г" и найдите их аргументы. б) Зная, что z = -iy изобразите на комплексной плоскости числа 2, г5, г15, г"25, г"1001 и найдите их аргументы. 34.32. а) Зная, что z = v2 + v2i, найдите 22, запишите числа z и г2 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости, б) Зная, что 2=2- 2V&, найдите 22, запишите числа z и 22 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости. 188
r» V2 л/2 л/г л/2. - Зная, что Zi = -1— + -2— i и 22 = —— + —г, изобразите на комплексной плоскости числа zl9 22, z и найдите аргумент указанного числа z: О34.33. a) z = zxz2\ в) z = zx{z2f\ 6)z = (гг)2г2; г) z = (г\\ Zl. Z2. Л .2? О34.34. a) z = -, 6)г=-> в) z = —, г) 2 = ^• Зная, что Zi = — + —i и 22 = —г" + "г» изобразите на ком- 2 2 2 2 плексной плоскости числа 2Ь 22, 2 и найдите аргумент указанного числа z: •34.35. a) z = zxz2\ в) z = Zi(z2)b; б) z = (2X)222; г) z = 1 W° •34.36. а) 2 = J; б) 2 = г?; в) 2 = ^5 г) 2 = 034.37. Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на 2. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если: а) 2 = i; б) 2 = -3i; в) 2 = 1 - л/&; г) z = 3 - L 034.38. Зная, что zx = 2 + iy z2 = 4 + Si, zz = -1 + 7i, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами zzu zz2, zz3, если: а) 2 = i; в) 2 = -i; б) z = 2i; г) 2 = 1 - i. 034.39. Зная, что zx = 2 - i, z2 = 4 + 3i, 23 = -2 + 5i, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами ~> — > —» если: a) z = i; б) 2 = 2i; в) 2 = -i; г) 2 = 1 - L •34.40. Для числа z = cos (0,11л;) + i sin (0,11л;) укажите наименьшее натуральное число я, при котором: a)arg(2")> Ь B)arg(2w)> ^; 6)arg(2n)> |; r)arg(2n)<0. 189
•34.41. а) Среди корней z уравнения V3(2 + z)(z - z) = 4i9 най дите число, аргумент которого равен ^. _ V3 б) Среди корней z уравнения Re z Im z = — найдите к число, аргумент которого равен ^. •34.42. а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию \zi - 3i + 4| ^ 1 л/з . Чему равно наибольшее значение \z\? б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел 2, удовлетворяющих условию \zi - 3 - 4i| < 1 — + . Чему равно наименьшее значение \z\? § 35. Комплексные числа и квадратные уравнения 035.1. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение z2 - Ах + а = 0: а) имеет только один корень; б) имеет два действительных корня; в) не имеет действительных корней; г) имеет два действительных корня разных знаков. 035.2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х2 + ах + 9 = 0: а) имеет хотя бы один действительный корень; б) не имеет действительных корней; в) имеет хотя бы один отрицательный корень; г) имеет два действительных корня, больших, чем 1. 035.3. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение ах2 + 8л: + 16 = 0: а) имеет только один корень; б) имеет действительный положительный корень; в) имеет два действительных корня разных знаков; г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1. 035.4. Решите уравнение: a) z2 + 144 = 0; в) z2 + 441 = 0; 3^2004 = 2 г) 2 - V44 190
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 035.5. a) i и -i; в) И и -7i; б) 7 + 21 и 7 - 2£; г) 1 + £ и 1 - £. 035.6. a) 2i и -; б) 1 + 3i и 10 1 + Si Решите уравнение: 35.7. а) г2 - 2г + 2 = 0; б) г2 + 4г + 5 = 0; 035.8. а) г2 - z + 2,5 = 0; б) г2 + Зг + 8,5 = 0; в) -2-3* и |; г) (29 + 27 + 23)i и (З4 - 36)i. в) г2 -62 + 25 = 0; г) г2 + Юг + 61 = 0. в) г2 - 5г + 6,5 = 0; г) г2 + Иг + 36,5 = 0. 035.9. При каких действительных значениях параметра а: а) уравнение г2 - 2г + а = 0 имеет корень 1 + i; б) уравнение г2 + 6г + а = 0 имеет корень i - 3; в) уравнение г2 - 8г + (а2 + 9) = 0 имеет корень 4 - 3£; г) уравнение г2 + Юг + (а2 + 4а + 5) = 0 имеет корень -5 + /? 035.10. При каких действительных значениях параметра а: а) уравнение г2 + аг + 5 = 0 имеет корень 2 + /; б) уравнение г2 + аг + 13 = 0 имеет корень -2 - 3/; в) уравнение г2 + (1 - а2)г + 25 = 0 имеет корень 4 + 3£; г) уравнение г2 + (а2 + 2а + 2)г + 41 = 0 имеет корень -5 + 4Z? 035.11. Вычислите у/а + Ы, решив уравнение (х + у if = а + bi: а) VI; б) V^4; в) 7Ш; г) у£Ш. °35.12. Вычислите у/а + Ы, решив уравнение (х + yi)2 = а + Ы или использовав формулу . | \у/а2 + Ь2 + а , . Ъ \у/а2 + Ъ2 - а Ы = ^V 2 + 1 ' Щ ' V 2 191
O35.13. Вычислите: а) Vl5 + 8i; б) >/15 - Si; 35.14. Изобразите на комплексной плоскости число z и множество л/г, если: а) |г| = 1, arg (z) = |; в) \z\ = 9, arg (z) = |; б) \z\ = 4, arg (z) = ~; r) \z\ = 0,25, arg (z) = -Ц-. 35.15. Изобразите на комплексной плоскости число z и множество \/г, если: a) \z\ = 1, arg (z) = -; в) \z\ = 9, arg (z) = -—; 6)\z\ = 4, arg (z) = ~; r) \z\ = 0,25, arg (z) = ~. •35.16. Изобразите на комплексной плоскости множество Vi, если: а) \г\ = 1, 0 < arg(z) < ^; в) \г\ = 1, ~ < arg(z) < 0; б) |г| = 1, 0 < arg (г) < к; г) |г| = 1, ~ < arg (г) < я. 035.17. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) 1 + i и 2 - i; в) 1 + 2/ и 7 - 2i; б) 2 + i и 3 - 2i; г) 5 + 4i и 4 - 5i. 035.18. Решите уравнение: а) z2 - 2iz = 0; в) z2 - 3z + 3 + i = 0; б) z2 + Uz = 0; г) г2 - 8г + 11 + 12i = 0. 035.19. Найдите те значения параметра а, при которых: а) уравнение z2 - 2z + a = 0 имеет корень г = £; б) уравнение z2 - Siz + a = 0 имеет корень 3 - £; в) уравнение z2 + 6г + а = 0 имеет корень -£; г) уравнение г2 + 10iz + а = 0 имеет корень -10 + i. 192
035.20. Найдите те значения параметра а, при которых: а) уравнение z2 + az + 5 = 0 имеет корень i; б) уравнение z2 + az + 13 = 0 имеет корень -2i; в) уравнение г2 + az + 24/ = 0 имеет корень 1 + /; г) уравнение z2 + az + l + i = 0 имеет корень -3 + 2/. § 36. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа 36.1. Пусть z = 2 (cos 0,2л + Z sin 0,2л). Верно ли, что: а) г4 принадлежит первой координатной четверти; б) г4 принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше л/300; в) z8 принадлежит третьей координатной четверти; г) z8 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 100? 036.2. Пусть z = 3 (cos 0,3л + i sin 0,3л). Верно ли, что: а) z6 принадлежит первой координатной четверти; б) z6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 1000; в) z6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль меньше 750; г) г16 принадлежит второй координатной четверти? 036.3. Пусть z = cos 0,19л + i sin 0,19л. Какие числа из множества {г, z\ z\ ... , z\ г10}: а) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены во второй или в четвертой координатной четверти? 036.4. Пусть z - 2 (cos 0,21л + i sin 0,21л). Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г9, г10}: а) расположены во второй координатной четверти; б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат? 193
O36.5. Пусть z = cos 0,17л + i sin 0,177c. Какие числа из множества {z, г2, г3, ... , г9, г10}: а) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей; г) расположены ниже биссектрисы второй и четвертой координатной четвертей? •36.6. Пусть г = 0,5(cos 0,23л + i sin 0,23л). Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г9, г10}: а) расположены во второй координатной четверти; б) расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале координат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат? Вычислите: 36.7. a) (cos 15° + i sin 15°)8; в) (cos 75° + i sin 75°)10; 6) (cos 15° + i sin 15°)18; r) (cos 75° + i sin 75°)100. O36.8. a) (l + о4; в) (l - о10; б) (l + О6; г) (1 - о20. O36.9. a) (l + Si)\ в) (V3 + ф б) (l + Sit; г) Ш-i). 036.10. a) (cos 10° + i sin 100)"9; в) (cos 10° + i sin 10°)12; 6) (cos 10° - i sin 10°Г3; г) (cos 80° - i sin 800)"18. 036.11. a) (l + О"4; в) (l - о10; б) (l + О"6; г) (1 - /г20. 036.12. a) (l + V3*)~35; в) (& + i)'7; б) (1 + л/3/Г; г) (л/3-/)~\ •36.13. a) (l + iS)7 + (l - iS)7; в) (& + if + Ш - if I ( Л2 ( к лЛ2 Ш sin | - i cos | 32i sin ^ + i cos ^ V / • -^\ ^ Z_ 6) — — -5 Li r) „ (V§ + i) (V3 - i) / о О Л •36.14. а) Вычислите г12, если г = 2cos— sin— + i + icos-p В 8l 4 4 ) б) вычислите г30, если г - 2 sin — 1 - cos — 121 6 194
5. Пусть {г, г2, г3, ... , гп9 гл + 1, ...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z - cos 0,2 л + i sin 0,2л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором гп принадлежит второй координатной четверти. б) Укажите наименьшее натуральное значение п9 при котором гп принадлежит четвертой координатной четверти. в) Укажите наименьшее натуральное значение п9 при котором 2п = 1. г) Сколько в этой прогрессии различных чисел? 036.16. Пусть {г, г2, г3, ... , zny zn + 1,...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z - cos 0,03л + i sin 0,03л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором zn принадлежит второй координатной четверти. б) Укажите наименьшее натуральное значение п9 при котором zn принадлежит третьей координатной четверти. в) Укажите наименьшее натуральное значение п9 при котором zn = -1. г) Сколько в этой прогрессии различных чисел? •36.17. Пусть {г, г2, г3, ... , гл, гл + 1, ...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,1л - i sin 0,1л. а) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором zn принадлежит третьей координатной четверти (не на координатных осях). б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором zn принадлежит второй координатной четверти (не на координатных осях). в) Сколько в этой прогрессии различных чисел? г) Найдите сумму этих различных чисел. •36.18. Пусть {г, г2, г3, ... , zny zn + 1, ...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,01л - i sin 0,01л. а) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором zn принадлежит второй координатной четверти. б) Сколько в этой прогрессии различных чисел? в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат? г) Найдите сумму этих различных чисел. •36.19. Пусть 2 = 1 + 1. Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г11, г12}: а) лежат на оси абсцисс; в) лежат левее оси ординат; б) правее прямой х = 9; г) выше прямой у = 2? 195
036.20. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: а) ^/64; б) ^27; в) ^/l25i; г) ^512*. 36.21. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число г0, у которого |го| = 1 и — < arg (z0) < п. а) Изобразите корень уравнения г3 = г0, принадлежащий первой координатной четверти. б) Изобразите корень уравнения z3 = г0, принадлежащий четвертой координатной четверти. в) Изобразите множество %[z^. г) Объясните, почему у уравнения г3 = z0 нет корней, расположенных в третьей четверти. 36.22. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число г0, у которого |го| = 1 и —- < arg (z0) < 0. а) Изобразите корень уравнения z3 = г0, принадлежащий четвертой координатной четверти. б) Изобразите множество %[z^. в) Объясните, почему у уравнения z3 = z0 нет корней, расположенных в первой четверти. г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б). •36.23. Решите уравнение: а) z6 + (8 - i)z3 + (1 + О6 = 0; б) z4 + (2 - U)z2 - (1 - О6 = 0. •36.24. а) При каком действительном значении а выражение a(sin 75° + i cos 75°)12 На + 2i)2 - (Ы - Sai) - 2 является действительным числом? б) При каком действительном значении Ъ выражение Ь : (cos 22°30' - i sin 22°30')16 т - bf - (3 - ЪЫ) - 3 является действительным чис- лом?
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ Г т f производная [ § 37. Числовые последовательности 37.1. Являются ли числовыми последовательностями следующие функции: а) у = Зх2 + 5, х е Z; в) у = 7 - *2, х е Q; б) у = sin х9 х е [0; 2л]; г) у = cos —, х € N? 37.2. Приведите примеры последовательностей, заданных: а) с помощью формулы п-то члена; б) словесно; в) рекуррентным способом. 37.3. Задайте последовательность аналитически и найдите ее первые пять членов, если: а) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число; б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа; в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5; г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата. По заданной формуле п-то члена вычислите первые пять членов последовательности (уп): З/i-l. 37.4. а) уп = 2п2 - п; (-1Т ч (-1)" + 2 37.5. в) уп = 1 - cos2 ^5 г) уп = sin пк - cos ran. 197
По заданной формуле п-то члена вычислите первые членов последовательности (уп): 37.6. а) уп = sin *f - ctg ±(2п + 1); ^ + tg J(2/i+l); W7 яч1# 1-2-3-...-д. 1 3 5 ... (2/i - 1) 37.7. a) yn = д8 + x > 6) yn = 2.4-6....-2n ' 37.8. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа V2: а) по недостатку; б) по избытку. Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: 37.9. a) Xi = 2, хп = 5 - хп. г; в) хх = -1, хп = 2 + хп.г; б) хг = 2, хп = хп.х + 10; г) хх = 4, хп = хп_х - 3. 37.10. а) *! = 2, хп = плгп-i; в) jcx = -2, *л = -лгл_!; б) хх = -5, *л = -0,5 хп-хл, г) л?! = 1, хп = -jjj- 37.11. а) Выпишите первые шесть членов последовательности (#„), у которой jci= 5, х2= -3 и каждый член, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности. б) Выпишите первые шесть членов последовательности (уп), у которой ух = -1, у2 = 1 и каждый член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности. O37.12. Определите значения первых пяти членов последовательности и составьте формулу ее п-то члена, если график последовательности представлен: а) на рис. 66; в) на рис. 68; б) на рис. 67; г) на рис. 69. 198
-"■ 1 г 4 . ■ 1 Уп> 9- ,5- 6- ,5- 3- ,5- О • < > i 12 3 4 5 6 РИС. 66 —. Уп* 1 о -1 г 1 t 4 ) ( э г Г 71 PUC. 67 PUC. 68 Постройте график функции: Уп1 -Q. О - Ч • 1 (? О1 с /f о о 1 о < > < > 12345671 71 к Q -| . 1" О о -4 ] L \ л 1 { г 4 I 5 ( 71 PUC. 69 18 037.13. а) у = (х + I)"2, jc 6 N; в) у = -^;9 х е N; б) у = Зх - х2, х е N; 037.14. а) у = 2 - ху х € N; б) у = Зх - х2у х е N; 037.15. а) у = sin £*, х € N; о г) у = л/л: + 3, 5 в) у = :N. , x£N; б) J/ = ctg | г) у = х2 - 4х9 х 6 N. в) у = tg ^jc, jc e N; 1), jc 6 N; г) i/ = cos я*, jc 6 ЛГ. 199
Постройте график последовательности: 037.16. а) уп = 10 - га3; в) уп = п3- 8; б) уп = (-1)" л/9га"; г) у. = 4 - >/4л. 037.17. а) {/„ = 2 sin £ га; б) у„ = (-1)" tg £(2п - 1). 6 4 037.18. а) Все натуральные числа, кратные пяти, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите седьмой, девятый, двенадцатый, /i-й члены последовательности . б) Все натуральные числа, кратные семи, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите шестой, десятый, тридцать первый, /г-й члены последовательности. 037.19. а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, расположены в порядке возрастания. Найдите первые пять членов этой последовательности. б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности. 037.20. а) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите сумму первых восьми членов этой последовательности, (Число 1 не считается ни простым, ни составным). б) Известно, что (уп) — последовательность всех натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке возрастания. Найдите: уЪу г/8, у37, у2п, Jfcn + i, */2Л-з. 037.21. Задайте формулой тг-го члена и рекуррентным способом: а) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, не делящихся на 4; б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5; в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно); г) возрастающую последовательность всех четных нату- ральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно). Составьте одну из возможных формул п-то члена последовательности по первым пяти ее членам: 037.22. а) -1, -2, -3, -4, -5, ... ; в) 10, 9, 8, 7, 6, ... ; б) 6, 12, 18, 24, 30, ... ; г) 4, 8, 12, 16, 20, ... . 200
037.23. а) 3, 9, 27, 81, 243, ... ; в) 1, 8, 27, 64, 125, ... ; б) 9, 16, 25, 36, 49, ... ; г) 2, 9, 28, 65, 126, ... . 037.24. а) 1, ± ± ^ -^ 9 « • г) 4' 87 167 3 5 7 _9_ 11 4' б' 8' 10' 12"" ' I J_ _L J_ ' 8' 27' 64' 125"" ' 1111 3 5' 5 7' 7 9' 9 11' 11 • 13"" * п ок J I 27 81 243 037.25. а) 4, 16, 64, 256, 3 _5_ I 2' 2^27 4' 12 3' 2 3 4' 3 4 5' 4 5 6' 5 6 7'"" 37.26. Какие члены последовательности (уп) расположены между членами: а) #732 и у745; в) z/998 и z/1003; б) уп-х И Z/n + 2; Г) Z/2n-2 И l/2n + 3? 037.27. Укажите номер члена последовательности уп = -, 5/1 + 1 равного: а)0; б) 2g, в)т, г)-—. 037.28. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов. а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности . б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности . в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата? г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата? 201
037.29. Сколько членов последовательности уп = 2/i2 -7/1 + 5 принадлежит: а) отрезку [2; б]; б) промежутку (-оо; 10)? Начиная с какого номера все члены последовательности (хп) будут больше заданного числа А? 037.30. а) хп = 3/г - 2, А = 15; б) хп = б""1, А = 125. 037.31. a) *i = 0, хп = хп.г + 3, А = 28; б)хг = 1, хл= 7хл_1,А = 285. 037.32. Сколько членов последовательности не превосходят 1: 1 1 J_ _2_ _2_ _2^ а' 3125' 625' 125' *" ' В' 729' 243' 81""' _6_ JJ_ _1^ # _2_ _9_ J^_ ? ^ 377' 379' 381""' Г^ 219' 222' 225"" * 037.33. Выпишите все отрицательные члены последовательности: а) уп = п2 - п - 6; в) уп = п2 - 6/г + 8; -181 . ч 1+ 2/1 б> »- = Т5^7^' Г> У- = 9ЙГГ5- 037.34. Найдите число положительных членов последовательности: а) уп = 4п - п2; в) уп = -п2 + 9/г - 14; лч 140 - п2 ч 123 б) У» = б/г - 11 ; Г) ^ = 147 - 5/1* 037.35. Найдите наименьший член последовательности: а) уп = п2 - 42/г + 13; б) уп = п2 - 26/г + 41. 037.36. Укажите номер наибольшего члена последовательности: а) уп = 303 + 38/г - п2; б) уп = 145 + 32/г - /г2. -_о_ „ о 3/1 + 191 037.37. Найдите номер члена последовательности уп = оп+ о ' наиболее близкого к числу: а) 25; б) 2; в) 5; г) 41. 037.38. Дана последовательность уп = п2 - 18/г. а) Установите, сколько в ней отрицательных членов; б) найдите наименьший член последовательности; в) укажите номер члена последовательности, который равен 19; г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [-15; 2]. 202
#37.39. Найдите наименьший член последовательности: а) уп = Зп2 - 10п + 3; в) уп = 2п2 - 7п + 3; б> У" = 2^5; г> У" = ТТ4- •37.40. Найдите наибольший член последовательности: а) уп = -2п2 + 11п - 2; в) уп = 20 - 12п - Зп2; л. 3 . . 4 б) У" = 2^5' г> У" = TiTT 037.41. Является ли ограниченной снизу последовательность: а) -1, 2, -3, 4, -5, ... ; в) 5, 4, 3, 2, 1, О, -1, ... ; б) У» = 7ГТТ; г) У» = (("1)Л + 1)п*? 037.42. Является ли ограниченной сверху последовательность: а) хп = „ + ; в) хп = \ , 9> # * ft Т ft б) 1, -1, 1, -2, 1, -3,... ; г) |, |, |, |,... ? 037.43. Является ли ограниченной последовательность: .111 1 а) 2' 3' 4'"" п"-; б) -2, 3, -4, 5, ... , (-1)"(п + 1),... ; sin I sin 2 sin 3 (-I)"'1 sin n в) r) tgf, tgf, tgf,..., tgf(2n-l),...? •37.44. Известно, что (хп) — ограниченная последовательность. Является ли ограниченной последовательность: 1 . а) уп = - Ъхп + 2; в) zn = 2U I + 1' r) tn = Xn sin 037.45. При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена сверху числом 1: 037.46. При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена снизу числом 1: а> У" = тИ; б) z"= 2?77? 203
•37.47. При каких значениях параметра р последовательность: ч 2/г + р л а) Уп - "о—Zi ограничена сверху числом 1; б) уп = зп + ^ ограничена снизу числом 1? 37.48. Определите, является последовательность (хп) убывающей или возрастающей: б) *- = 7ГТЗ; г> *» = (Ч 37.49. Объясните, является последовательность (уп) убывающей или возрастающей, если для любого номера п выполняется неравенство: а) yn+i - уп > 0; в) z/n+1 - уп < 0; б) Муп1<1; г)Муп1<1(Уп< 0)* 037.50. Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности: 2 а) уп = 5"л; в) уп = 3yl + i; б) уп = cos к> г) уп = vn + 8. 037.51. Исследуйте на монотонность последовательность: а) уп = -2/г + 1; в) уп = cos -; б) уп = 3п2 + п- 1; г) z/n = -Г7Т- •37.52. Докажите, что заданная последовательность возрастает: 3 \г» ч /1+1. а) уп = п6 + 2/г; в) z/n = ^рр /г2 ч /г4 + 3/г2 +1 ; ) /г ч б)»»= ^ТТо; Г)»-= п + гп + б •37.53. Докажите, что заданная последовательность убывает: . Зп + 5. ч га2 +15. 1 ч га4 + 2га2 + 7 б> У- = ZT2^' Г> »" = п2 + 2п2-Г 204
037.54. Если (хп) — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности (уп): а) уп = Ъхп + 7; в) уп= 2 - Зхп; б) уп = зТ^Г' г) уп = (хп)2 + 2? 037.55. При каких значениях параметра р последовательность (уп) будет возрастающей: а) уп=рп - 5; в) уп= 2 -рп; 037.56. При каких значениях параметра р последовательность (уп) будет убывающей: 2 п + 2 037.57. Дана последовательность хп = п2 - 1. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность (z/n): а) уп= хп; в)уп= ^г1; б) уп = хп+1 - хп; г) уп = -^-. х1 037.58. Исследуйте последовательность (хп) на ограниченность и монотонность: - п * К\ - гс2 +1 037.59. Приведите примеры последовательностей: а) возрастающих и ограниченных снизу; б) возрастающих и не ограниченных сверху; в) убывающих и ограниченных снизу; г) убывающих и не ограниченных снизу. •37.60. Приведите пример последовательности: а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа; б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7); ■ в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена; г) неограниченной, немонотонной. 205
§ 38. Предел числовой последовательности 38.1. Запишите окрестность точки а радиуса г в виде интервала, если: а) а = 0, г = 0,1; в) а = 2, г = 1; б) а = -3, г = 0,5; г) а = 0,2, г = 0,3. 38.2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал: а) (1, 3); в) (2,1, 2,3); б) (-0,2, 0,2); г) (-7, -5)? 38.3. Принадлежит ли точка хх окрестности точки а радиуса г, если: а) Хх = 1, а = 2, г = 0,5; б)хг= 1,1, а = 1, г = 0,2; в) Xl = -0,2, а = 0, г = 0,3; г) *i = 2,75, а = 2,5, г =0,3? 038.4. Существует ли номер /го, начиная с которого все члены последовательности (хп) попадают в окрестность точки а радиуса г = 0,1, если: а) хп = -^2 > а = 0; в) хл = 7П~Г а = 0; 6)хп= ~^у а = 1; г) хл = -j^-j, а = 1? Укажите номер п0 того члена последовательности (хп), начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки а радиуса г : 038.5. а) хп = 2^, а = 0, г = 0,1; б) хл = 3 + -^г> а = 3, г = 0,2; в) хл = 1 + Л» а = 1, г = 0,01; п г) *„=--, а = 0, г = ОД. fiY 1 038.6. a) *n = £ > а = 0, г = тур б) хп = (-1)" |г, а = 0, г = ^; 206
^j , a = 2, r = ш; *я = 3- ^gj, a = 3, r= gj. Постройте график последовательности (г/„)и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика: 2 4 038.7. а) уп = -; в) уп = -; б)^=[з]; г)г/"=[г 038.8. а) «/„ = -1 + \\ в) «/„ = 2 - |; б) уп = 2 - Л; г) Уя = -г + \. п п 038.9. а) уп = 2 + (-1)- J; в) z/n = -3 + (-1)л |; б) z/n = (-1)л 2 + ^; г) z/n = (-l)n+1- 3 - ~. 38.10. Верно ли утверждение: а) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность монотонна, то она имеет предел; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел; г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела? Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел: 038.11. а) хп = ^^; б) хп = £^|. •38.12. а) хп = 1 +| + i + - + h 207
Вычислите lim xn: оо 38.13. а) хп = ±; в) хп = -% п п б) хп ==¥-; г) х„ = 4- 088.14. a) x.= i + ^ + ^; O38.15. а) хп = f; в) *„ = 7 • 3"; б) хп = \ ■ 5""; „ 7п-5. O38.17. а) х. = 2В„2~1; 1 + 2п + л2 б) л:„ = ^г » » (Зп + 1Х4п-1). б) Х"= (п + 1)2 ' O38.19. а) х. = В) Х" - г) в) г) в) г) в) Хп - Хп - Хп = Хп - Хп - 4 зл+1 3/и /г + 2/14 3/1- 3- /i2 3/г - (3/г (1- -1. 2' 1 ■Г п\ - 4 - 2/i2 /i2 - 2)(2п + 3) /г2 2/iXl + /г) п2(2п п{п (1 - /г /г(7- Ха /г 5) 1> 2) / (п 2 + 1 Н 2 1} /г п' h 5 7) з _ + 5; /г3 Зп rt2-13 L-n) ' -1 _ ( ) Хп~ (га + 1)(п + 2) + (2га2 + 1)' 208
Вычислите: #38.20. a) lim N—2 б) li ' Х п^Гоо\1 3 3 5 5 7 (2/г - 1X2/1 + 1) о о* чт 2 Зл + 3 4Л _ ,. 3 5га - 7 4га #38.21. a) hm —-п— л ; б) lim . п->оо ^ — О • 4 п->оо ^ + О • О 38.22. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ьп) , если: а) fri = 3, 0 = д; в) Ьх = -1, д = 0,2; б) Ьг = -5, q = -0,1; г) Ьх = 2, д = ~. 38.23. Найдите сумму геометрической прогрессии: а) 32, 16, 8, 4, 2, ... ; в) 27, 9, 3, 1, \,... ; о б) 24, -8, |, -|,... ; г) 18, -6, 2, ~|, ... . 38.24. Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии (Ьл), если: а) Ьг = -2,7>2 = 1; в) Ъх = 7, Ъ2 = -1; б) ^ = 3, Ь2 = i; г) Ьх = -20, Ь2 = 4. о 38.25. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьл), если: а) S = 2, Ьг = 3; в) S = ~, &i = -3; 4 б) S = -10, Ьх = -5; г) S = 1,5, bt = 2. 38.26. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьл), если: a) S = 10, q = 0,1; в) S = 6, q = -0,5; 6)S = -3,g= ~; г) S =-21, g = у. °38.27. Найдите /г-й член геометрической прогрессии (Ьл), если: а) S = 15, q = —, /г = 3; в) S = 20, Ьх = 22, /г = 4; о б) S = -20, Ьх = -16, /г = 4; г) S = 21, q = |, п = 3. о 209
038.28. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ьл), если: 25. 45. а) оп = дП> в) 0Л = -^г» б) 6. = (-1)"^л-; ^b^c-i)"-1^. 038.29. а) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого 11,6. б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5? 038.30. а) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21. б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 31,25, а сумма первых трех членов равна 31. 038.31. а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162. б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 2, а сумма кубов ее членов равна 1 у • Вычислите: 038.32. а) 2 + 1 + \ + \ + ... ; в) | - 1 + § - | + ... ; б) 49 + 7 + 1 + Дг + ... ; г) 125 + 25 + 5 + 1 + ... . 038.33. а) - 6 + | - т^ + gig - ... ; б) 3 +V3+ 1 + \ + ...; в) 49 - 14 + 4 - | + ... ; г) 4 + 2V2 + 2 +V2+ ... . 038.34. а) 2 + 4 + 6 + ... + 20 + \ + \ + \... ; 2 4 о 210
в) 21 + 24 + 27 + ... + 51 + ^ - ^ + yi - ... ; г) 1 + 4 + 7 + ... + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... . 038.35. Упростите выражение \ х Ф — а) sin х + sin2 x + sin3 x + sin4 x + ... ; б) cos х - cos2 x + cos3 x - cos4 x + ... ; в) cos2 x + cos4 л: + cos6 x + cos8 л: + ... ; r) 1 - sin3 x + sin6 x - sin9 x + ... . Решите уравнение, если известно, что |л:| < 1: 038.36. а) х + х2 + х3 + х4 + ... + л:л + ... = 4; б) 2л: - 4л:2 + 8л:3 - 16л:4 + ... = |. х4 + ... + хп + ... = |; •38.37. а) - + л: + х2 + х3 + б) 2л: + 1 + х2 - х3 + х4 - хъ + ... = -g-. •38.38. Решите уравнение: а) sin х + sin2 x + sin3 л: + ... sin" x + ... = 5; б) cos л: - cos2 х + cos3 x - ... + (-1)""1 cosn л: + ... = 2; в) 1 + sin2 х + sin4 x + ... + (sin л:)2""2 + ... = -g; г) 7 cos3 л: + 7 cos6 x + ... + 7 (cos л:)3п + ... = 1. § 39. Предел функции 39.1. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 70—73, имеет предел при х —> +оо? при х —> -оо? при X -> оо? 39.2. Выясните, имеет ли функция у = f(x) предел при х —> +оо, при х —> -оо или при х^оои чему он равен, если: а) прямая у = 3 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-оо; 4]; б) прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [-6; +оо); в) прямая у = -5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-оо; 3]; г) прямая у = 5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [4; +оо). 211
\ \ \ \ \ -1 У* о о / / / / / А 1 1 X PUC. 70 1 V \ \ -2 \ V -1 о о о Z -1 . 1 О / л: РИС. 71 .со -2 / / -1 о < Z 1 . 1 О Ч \ у \ \ \ - X Рис. 72 212
-3 —* -2 / / f -1 У' 1 ■ О 2 > \ 1 1 г « X РИС. 73 039.3. Известно, что lim fix) = 2, lim g(x) = -3, lim h(x) = 9. X—»°° X—»°° rt—»°° Вычислите: а) lim (f(x) + g(x) - /г(х)); в) lim (g(x) - f(x) + h(x)); б) Umfe(x)-(/(x))2); 039.4. Известно, что lim Вычислите: a) lim r) lim (Дх) = -2, lim g(;t) = -10, lim h(x) = 6. g\X) lim X-» + oo 6) 7 + 15 г) ago Постройте график какой-либо функции у - f(x), обладающей указанными свойствами: 39.5. a) lim f(x) = 3; JC-»°o б) lim/(*) =-2; в) lim f(x) = -5; r) lim/(x) = 0. 39.6. a) lim f(x) = 4, lim f(x) = 0; X-»+oo X-»-oo б) lim /(x) = 10, lim f(x) = -2; X-»+oo X-^-oo в) lim f(x) = -2, lim /(x) = 1; X-»+oo X-»-oo r) lim f(x) = 3, lim f(x) = -4. X—»+oo x—*-oo 39.7. a) lim f(x) = 5 и /(*) > 0 на (-оо; +оо); б) lim f(x) = -3 и f(x) > 0 на отрезке [-7; 3]; X-»-oo в) lim /(*) = 0 и f(x) > 0 на [0, +оо); г) lim f(x) = 0 и f(x) < 0 на (-оо; +оо). 213
Постройте график какой-нибудь функции у = h(x), х € Ц обладающей указанными свойствами: 039.8. a) lim h(x) = 4 и функция возрастает; б) lim h(x) = 5 и функция убывает; в) lim h(x) = -2 и функция возрастает; Х-»-оо г) lim h(x) = -3 и функция убывает. 039.9. a) lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху; Х-»-оо б) lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу; в) lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху; г) lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу. •39.10. Постройте график непрерывной на (-оо; +оо) функции у = f(x), обладающей следующими свойствами: а) lim f(x) = 0; f(x) > 0 на (-оо, 0); E(f) = [-5; 5], функция JC-»°o убывает на [2; 7]; б) lim f(x) = 5, lim f(x) = 0, E(f) = [-3; 5), f(x) < 0 на (0; +oo), функция возрастает на [3; +oo) и убывает на [0; 3]. Вычислите: 39.11. a) lim -j + -j ; в) lim -j + TJ ' Х->оо \^ ЛГ X J JC-»°o \ XT Л J (1 2\ (9 5 ^ б) lim -5 " Тз f г) Ит --з " ~7 • 39.12. a) lim (4 + l\ в) lim f A + 4 + 6) lim Г-* - 1 - 2l\ r) lim [I. - f\ O39.13. a) lim (12 - Д 214
039.14. a) lim f^; _. ,. Ззс-4. л: - 4 в) lim ^; 3* - 1 . 039.15. a) lim ^ТтГГб' 5-5* . 039.16. a) lim 4* 2 * **; X—»°° ОХ — ^Х б) lim * ~1Q> Х-»оо X + 1о 4л:2 + 9 039.17. a) lim X2 + 2; к2 + Ъх - 1 ' -2* - 1 Ах + 3 Г) 1™ 12ж« - 6** + 4 в) И г) I™ x'+'^+l' в) И 3^"8" г) lim . Юх2 + 4х - 3 2х 39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74—81, имеет предел при х->3? Чему равен этот предел? . -~—. ^»— о о / \ ч *^ ■■ X л О О / s s X PUC. 74 РМС. 75 215
yt л у0 О у / / 1 ч ч X yi А О О * о 4* / X PUC. 76 РИС. 77 у^ о / / 1 1 А 1 \ \ V ч ^^ •^ л: ^* о ^^ О 1 \ \ V ^« mm X PUC. 78 PUC. 79 К" О ' А О О J о 1\ о \ / i / L / /\ PUC. 80 PUC. 81 216
39.19. Постройте график какой-нибудь функции у = g(x), обладающей заданным свойством: a) lim g(x) = 2; в) lim g(x) = -4; б) limg(x) = -3; х2 г) limg(x) = 3,5. 39.20. Постройте график какой-нибудь функции у = f(x), обладающей заданными свойствами: а) lim/(jc) = 3 и /(2) = 3; б) lim f(x) = 4 и lim f(x) = 0; JC-»-6 X-»-oo в) lim f(x) = 4, /(-1) не существует; JC-»-l г) lim Ax) = -1 и lim f(x) = -5. 39.21. На рис. 82 изображен график функции у = f(x). Найдите: a) lim f(x); б) lim Я*); в) lim/(;t); г) lim f(x). ^> У* у ■ л 7 о / / i / к 3 Ч Ч, 4s :*) X PUC. 82 039.22. Постройте график функции у = f(x), обладающей следующими свойствами: а) lim f(x) = 5; Д2) = 5; lim f(x) = -1; Д-3) = 1; lim f(x) = -2; x->2 x->-3 x-»°o функция возрастает на (-оо; 2]. б) lim Ax) = -3; Д-1) = 2; lim f(x) = -2; АО) = -2; lim Л*) = 3; E(fT=\-3; 5]. 217
Вычислите: 39.23. a) lim (л:2 - Зх + 5); х->1 ^ ,. 2х+ 3. в) lim (х2 + 6х - 8); х->-1 ч .. 7л:-14 г> 11П\ ЖТ2- O39.24. a) lim >]х + 4; 3* - 4' 039.25.а)Ит sin тел: в) lim V2x - 6; х->3,5 г) lim ^-2 5- 2л: -i Sxz - 2л: + 4 COS ТЕХ. в) lim 9 ; х—»0 X ~г ^ г) lim •39.26. a) lim (2 arcsin x + 3 arccos л:); arccos л: + тс sin кх xi^ к cos тел: + 2 arcsin л:' в) lim (2 arctg x - arcctg x); х-»/з 2 arcctg л: + тел: г^ i™ cos x - cos (-л:) + arctg x' O39.27. a) lim х - х б) lim x2 + х» O39.28. a) Urn ^—^; O39.29. a) lim ^—; x-*i л: — 1 л:-2 . ч, 1. л: — Зл:. в) lim——=■; х->3 X — О г) lim 2 5 • х—>5 л "• О* в) lim——R-; х->5 X — О . .. 3 + а: в) lim x*i ^1о' — &х — о г) л:2 - 11л: + 18 218
039.30. a) lim х + 2 в) lim x-S б) lim YT^ x—>—1 -l л ,,. 16 -*2 039.31 sin л: a) lim -ггтг» sin Sx + sin jc в) lim cos л:. 6) lim cos3* + cos *' "ictg*' л^2 _ cos bx - cos Sx a) lim 1 - cos x ,39.32. a) lim ^У^.3; б) lim (V2x + 3 - л/2* - 7); в) lim •39.33. 39.34. 39.35. 39.36. x->0 sin 4x - sin Здс sin 8л: - sin 2x' Найдите приращение функции у = 2x - 3 при переходе от точки хо = 3к точке лгь если: а) хг = 3,2; в) хх = 3,5; б) хг = 2,9; г) X! = 2,5. Найдите приращение функции у = х2 + 2х при переходе от точки л:0= -2 к точке хи если: а) хг = -1,9; в) хг = -1,5; б) X! = -2,1; г) хг = -2,5. Найдите приращение функции у = sin x при переходе от точки х0 = 0 к точке хь если: а) Хг = g, б) хг = -|; в) X! = J; °39.37. Найдите приращение функции у = 2 sin л: • cos л: при переходе от точки х0 = 0 к точке хь если: а) *! = -¥; ^ч Л б) х, = -; в) х, = -; г) х, = -15. 219
O39.38. Найдите приращение функции у = \[х при переходе от точки х0 = 1 к точке хх = х0 + Дл;, если: а) Ах = 0,44; в) Ах = 0,21; б) Ах = -0,19; г) Ах = 0,1025. 39.39. По графику функции, представленному на рисунке, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки х0 к точке хх: а) рис. 83; б) рис. 84. Уь 2- О 1 *i У- Хо Гх X [ \ \ | -3 \ X \ х. \ ч Xi У у о \ \ \ / / / ем Ц II X PUC. 83 PUC. 84 039.40. Найдите приращение функции у = 4х2 - х при переходе от точки х к точке х + Дл:: а) х = 0, Ах = 0,5; в) х = 0, Ах = -0,5; б) х = 1, Ах = -0,1; г) х = 1, Ах = 0,1. 039.41. Найдите приращение функции у = f(x) при переходе от точки х к точке х + Ах, если: а) f(x) = Зх + 5; в) f(x) = 4 - 2х; б) f{x) = -х2; г) № = 2х2. 039.42. Вычислите, чему равно отношение приращения функции у = х2 - 4х + 1 к приращению аргумента при переходе от точки л:0 = 2 к точке: а) х = 2,1; в) х = 2,5; б) х = 1,9; г) х = 1,5. 39.43. Для функции у = f(x) найдите Д/ при переходе от точки X к точке х + Дл:, если: a) f(x) = kx + т; в) f(x) = —; б) fix) = ax2; г) 220
039.44. Для функции у = f(x) найдите -т-т при переходе от точки х к точке х + Ajc, если: а) № = kx + b; б) /(*) = ах2; в) /(*) = ±; г) /(*) = yfi. 039.45. Для функции у = /(х) найдите lim д^ при переходе от точки х к точке х + Ajc, если: а) /(*) = fc* + ft; б) f(x) = а*2; в) /(*) = ±; г) /(*) = V^. § 40. Определение производной 40.1. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 2* + 1, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента *i = 2 с до момента: а) t2 = Зс; в) t2 = 2,1с; б) t2 = 2,5 с; г) t2 = 2,05 с. Вычислите мгновенную скорость точки в момент t - 2 с. 40.2. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = t2, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента £i = 0 с до момента: а) t2 = 0,1 с; в) *2 = 0,2с; б) t2 = 0,01 с; г) t2 = 0,001 с. Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 1 с. 40.3. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 2t2 + t, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента £х= 0 с до момента: а) t2 = 0,6 с; в) t2 = 0,5 с; б) t2 = 0,2 с; г) t2 = 0,1с. Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 1 с. О40.4. Закон движения точки по прямой задается формулой s = s(t), где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если: а) s(t) = 4* + 1; в) s(t) = 3* + 2; б) s(t) = t2-t; г) s(t) = t2- 2t. 221
40.5. Функция у = f(x) задана своим графиком. Определите зна чения f(jCi) и f(x2), если график функции изображен: а) на рис. 85; в) на рис 87; б) на рис. 86; г) на рис. 88. \/ г Y /*• / f 0° yi \ о V \ 1 ч / i = К- *2у / / / 45 ° X РИС. 85 ~У = Г(х \ ) \i xi \ К / р N i 1 х2 \ > 1£ 0° К X 1 L zt т: it it it i _1 1 1 yi N < о \ ч 30°> У = fix) s / X PUC. 86 / / ± ± /г 1 _|_ 1 [ yi \ у У \ \ о = ] \х 1 / f 1 / / / PUC. 87 Рис. ss 40.6. Функция у = f(x) задана своим графиком (рлс. 89). Сравните значения производной в указанных точках: а) f(-7) и f(-2); в) f(-9) и f(0); б) f (-4) и f (2); г) f (-1) и f (б). \ _ V \ 9- Л ч 8-7-&V5-4-3-^-3 1 1 гН^ | 1 | 1 Т / у = № 2 f 2 i N \ 945^ \ X PUC. 89 222
40.7. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 89). Укажите два значения аргумента Xi и лг2, при которых: а) Г(хг) > 0, f'(x2) > 0; в) f\xx) < О, f\x2) < 0; б) Г(хг) < О, f(x2) > 0; г) f(Xl) > О, f(x2) < 0. 40.8. Функция у = cp(jt) задана своим графиком (рис. 90). Укажите несколько значений аргумента, для которых: а) <р'(*) > 0; в) <р'(*) < 0; б) ф'(л:) < 0 и х> 0; г) ф'(х) > 0 и х < 0. 1 \ у -8 / г S -4 \ У* ч о J / / / / 1 1 \ \ У \ = ф(- \ \ л: PUC. 90 Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х: •40.9. а) у = х2 + 2jc; 4 •40.10. б) у = Л; в) 3jc2 - 4jc; г) у = - в) у = у/х + 1; г) у = х\ •40.11. а) I/ = 6)i/ = Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х0 или докажите, что она не существует: 3jc, если х > О, —2л: + 3, если х < 0; 2л;2, если jc > 0, —2л:2 , если х < 0; = 0. Г-4л: + 2, если л: > 3, [2х - 4, если х < 3; г) i/ = [jc2, если jc < 1, [2х - 1, если jc > 1; = 1. 223
•40.12. а) у = |* + 4|, *0 = -4; б) у = -3*1*1, х0 = 0; в) у = 2jc|jc|, *0 = 0; r)i/ = (*-l)|*-l|, *0=1. 40.13. Найдите скорость изменения функции в точке *: а) у = 9,5* - 3; в) у = 6,7* - 13; б) у = -16* + 3; г) у = -9* + 4. 040.14. Найдите скорость изменения функции у = /(*) в указан- ной точке: а) /(*) = *2, *0 = 2; в) /(*) = *2, *0 = -2; б) /(*) = р *о = -1; г) /(*) = \, *0 = -0,5. 040.15. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = t2y где £ — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение (скорость изменения скорости) в момент времени t9 если: a) t = 1 с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г) t = 3,5 с. 040.16. Закон движения некоторой точки по прямой задается формулой s(t) = t2 + t, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени £, если: a) t = 1 с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г) t = 3,5 с. § 41. Вычисление производных Найдите производную функции: 41.1. а) у = 7* + 4; в) i/ = -6* + 1; б) у = х2; г)у=~. 41.2. а) у = *5; в) у = *4; б) I/ - *10; г) у = *201. 41.3. а) у = sin *; в) i/ = cos *; б) у = V^; г) i/ = *10. 41.4. а) I/ = tg *; в) у = tg * + 4; б) у = ctg *; г) у = ctg * + 8. 224
415. 41.6. 417. 41.8. а) б) а) б) а) б) а) б) у = х2- 7х; у = -Зх2 - 13*; у = ха + 2*5; У = х4-х9; у = 12* + л/*; У = -2х2 - ±; у = 6л/*" + |; в) у = 7*2 + 3*; г) у = -х2 + 8*. в) у = х3 + 4*100; г) у = х4 - 7х9. в) у = л/* - 5*2; г) у = 10*2 + ^. в) у = Юл/л7 + |; 1 г) I/ = - ^ 41.9. а) I/ = cos * + 2*; в) у = sin * - 3*; б) i/ = 3 sin * + cos *; г) у = 2 cos * + sin *. 41.10. а) у = g sin * - 3 ctg *; в) у = 5 + 1,4 ctg *; б) у = 2 tg * + л/3 cos *; г) i/ = 6 tg * - sin *. 41.11. а) у = х5 + 9х20 +1; в) у = х6 + 13*10 + 12; б) у = *7 - 4*16 - 3; г) у = х9 - б*21 - 36. 41.12. а) у = (*2 - 1)(*4 + 2); в) у - (*2 + 3)(*4 - 1); б) у = (х2 + 3)(*6 - 1); г) у = (*2 - 2)(*7 + 4). 41.13. а) у = V*"(2* - 4); в) у = л/*"(8* - 10); б) у = (*3 + 1) • л/*"; г) у = 4х~ ■ (*4 + 2). 41.14. а) у = * • sin *; в) у = х ■ cos *; б) у = л/* • cos *; г) у = л/* • sin *. 041.15. а) у = fl + ll(2* - 3); в) j/ = [I + в^бдс - 2); - ± (6* +1); г) у = 9 - ± (3* + 2). а) I/ = *3 • tg *; в) i/ = - ■ ctg *; б) i/ = cos * • ctg *; г) у = sin * • tg *. 225
Найдите производную функции: O41.17. а) у = (х - 1)(х2 + х + 1); в) у = (х + 1)(х2 - х + 1). б) у = (х2 + 2х + 4)(* - 2); г) у = (х2 - Зх + Щх + 3). ^ в) у = ^; O41. О4! .18. .19. 041.20. а) а) б) а) б) У - У у - У = У = 2х + х2 х 2х + sin л: X X9- х3 х1Ь х10 + 4; 1 9' > 3. Т ч COS X г) у = —. ч в)у= хь + х г) у = ~^~^' 041.21. а) у = cos2 | - sin2 |; в) i/ = cos2 3* + sin2 3jc; б) у = 2 sin |^ cos ^; г) i/ = -sin ^ cos ^. 041.22. a) i/ = sin 2jc cos x - cos 2jc sin x\ 6)y= sin| cos^ + cos| sin^; в) у = cos 3jc cos 2jc + sin 3x sin 2jc; г) у = cos^ cos^ - sin^ sin^. 5 5 5 5 Найдите значение производной заданной функции в точке х& 41.23. а) у = Vjc, х0 = 4; в) i/ = -3jc - 11, х0 = -3; б) у = jc2, JC0 = -7; г) I/ = -, х0 = 0,5. 41.24. а) у = sin jc, х0 = ~; в) i/ = cos jc, jc0 = -Зя; б) у = cos jc, jc0 = f; г) у = sin jc, jco = 0. о 41.25. а) у = 6jc - 9, jc0 = 3; в) у = 5jc - 8, jc0 = 2; 6) i/ = jc3 - 3jc + 2, jc0 = -1; г) у = x2 + 3jc - 4, jc0 = 226
2 у 8 л:3 41.26. а) у = - ~ 2» *о = 4; в) у = - - -у, лг0 = 1; б) I/ = у[х + 4, jc0 = 9; г) у = Vjc + 5jc, jc0 = 4. 41.27. a) i/ = 2 sin x - 13 cos x, x0 = ^; б) у = -cos * + -x2, x0 = ^; в) у = -sin jc - 3, x0 = -qI г) у = 4 cos jc + jc>/2, jc0 = ^. 41.28. а) у = tg x + yfn • Vjc, jc0 = ^; б) i/ = 2 ctg jc - 3 tg jc, jc0 = ^; 2 в) i/ = ctg x + —, л:0 = -g; r) i/ = (2jc + 3)2 - 4 tg jc, *o = 0. 041.29. a) i/ = ——, x0 = ^; в) i/ = ——, л:0 б) у = ^Т"1> ^о = 2; г) I/ = ТП' х° 041.30. Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента: а) у = 3jc + 12; в) у = -2 sin x + 4jc; б) у = 2jc3 + 15jc; г) у = Зх - 1,5 cos jc. °41.31. Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента: а) у = ^5 - 1,5jc; в) у = 1,4 cos jc - 3jc; б) у = -V^ + 14; г) у = ^ + 29. 227
O41.32. а) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = х3 - Зх принимает положительные значения; б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = х5 - — х4 принимает отрицательные значения; в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = \[х + х принимает неотрицательные значения; г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = 7 cos х + 12 принимает неположительные значения. Найдите скорость изменения функции в точке х0: 41.33. а) у = х\ х0 = -0,1; в)у = у[х, хо = 9; б) у = —» *о = -2; г) у = cos х9 х0 = 71. O41.34. а) у = х3 + 2х, хо = 2; в) у = 1^| - 2 j, x0 = -0,5; б) у = (у/х + 1)Vjc, х0 = 1; г) у = 2 sin х - 4jc, х0 = ^. •41.35. Существует ли производная заданной функции в точке jc0? Если да, то вычислите ее: a)i/ = |jc-2|(jc-2), xo = 2; б) у = (х + 2)|* + 2|, *0 = -2. •41.36. Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных: а) у = х2 - 5\х\ + 6, х0 = 2, *i = 3, х2 = 0; б) у = \х2 - 5\х\ + 6|, х0 = -2, хх = 0, х2 = 2,5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0: 41.37. a) f(x) = х2, х0 = -4; в) /(*) = \, х0 = |; б) fix) = |, Jco = -|; г) /(jc) = jc2, х0 = 2. 228
41.38. a) fix) = sin x, x0 = gj в) fix) = cos *, x0 = gi 6) fix) = cos x, jc0 = ~; r) fix) = sin jc, x0 = ~. 4 Ь Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = fix) равен ft, если: 041.39. a) fix) = \[х - ху ft = 1; б) fix) = 4х + 3*, ft = 4. 041.40. а) /(*) = sin f cos f, ft = ——; 6) /(*) = COS2 f, ft = i z z Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = fix) в точке с абсциссой х0 и осью х: 41.41. a) fix) = х6 - 4jc, jc0 = 1; б) fix) = V^ - 3, xo = J; в) /(jc) = -jc5 - 2x2 + 2, jc0 = -1; r) /W = — + 2, jc0 = -7. 041.42. a) f(x) = 10 - cos x, *„ = ^; в) /(х) = 4 - sin х, х0 = 6я; г) f(x) = -4 ctg д:, х0 = ~. °41.43. a) f(x) = х2 sin *, ff|] = ? 6)/(*) = *(l + cos*), Г(я) = ? в) Лж) = л/3 sin* + ^ + л:sin J, /jjj = ? г) Л*) = 73 cos* - xcos | + ^, ff|j = ? 229
041.44. Определите абсциссы точек, в которых касательная к фику функции у = Цх) образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: а) f(x) = х2 - Зх + 19, а = 45°; б) fix) = ^-g, а = 135°. 041.45. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = hix) образует острый угол с положительным направлением оси #, если: а) Цх) = х3- Зх2 + 1; в) Цх) = хг - х* - 19; б) hix) = 4у[х - х; г) Цх) = tgx- 4x. 041.46. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = (fix) образует тупой угол с положительным направлением оси #, если: а) (pix) = sin x + 3; б) ф(*) = 0,2*5 - 3 gjc3 + 9х; в) (p(jc) = ctg x + 9х; 041.47. При каких значениях а касательные к графикам функций у = f(x), у = h(x) в точке х = а не имеют общих точек: а) f(x) = x\ h{x) = Xs; б) f(x) = х2 + х + 3, h(x) = xzl 041.48. а) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 2, если известно, что f(x) = 2у[х - 5х + 3? б) При каких значениях х выполняется равенство f (х) = 1, если известно, что f(x) = Зх - у[х + 13? Решите неравенство f'(x) < 0: 041.49. a) f(x) = х3- 44; б) f(x) = ^хь - |jc3 + 6*. 041.50. a) f(x) = sin 2х; б) f(x) = -4 cos x + 2х. Решите неравенство f(x) > 0: 041.51. a) fix) = xz + jc4; б) ^ 041.52. a) /(jc) = cos2 f - sin2 |; 6) /(*) = sin2 f. 230
При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = fix) равна скорости изменения функции у = gix): 041.53. a) f(x) = |*3 - х\ g(x) = 7,5*2 - 16х; б) № = Jx~, g(x) = ф 041.54. a) f(x) = cos x, g(x) = sin x; б) f(x) = tg х, gix) = -ctg x? 041.55. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = gix) больше скорости изменения функции у = Л(;с): а) gix) - х3 - Вх\ Цх) = 1,5л;2 - 9; б) gix) = tg x, hix) = 4x- 81? 041.56. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию fix) = g'ix), если: б) f(x) = ctg х, 041.57. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f(x) < &(х)> если: а) fix) = sin x • cos x> gix) = -^ х + 61; б) fix) = х cos x9 gix) = sin x. 41.58. Укажите, какой формулой можно задать функцию у = fix), если: а) fix) = 2х; в) f\x) = 3; б) fix) = cos x; г) f\x) = -sin x. 041.59. Известна производная функции у - fix). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = fix), если: а) fix) = Sx2 + 2х; в) fix) = 5х4 - 1; б) fix) = -£ г) f(x) = ^ •41.60. Задайте аналитически функцию у = fix), если графиком ее производной является: а) парабола (рис. 100); б) ломанная (рис. 104). 231
»= 1.2 O41.61. а) При каких значениях х верно равенство у' • у + у2 = q если у = 2 sin х? б) При каких значениях х верно равенство у2 + (у')2 = j если у - 4x1 •41.62. При каких значениях а и Ь функция [2х - 3, если х < 1, х2 + ах + Ь, если * > 1: а) непрерывна на всей числовой прямой; б) дифференцируема на всей числовой прямой? •41.63. При каких значениях а и Ъ функция [——, если х < -1, У= 1 4 [ах3 + Ъх, если * > -1: а) непрерывна на всей числовой прямой; б) дифференцируема на всей числовой прямой? 041.64. Найдите вторую производную функции: а) у = х4 + 2х; в) у = sin x + 1; б) у = х5 - Зх; г) у = 2 cos x - 4. 041.65. Найдите Г(0), если: а) г/ = 2л;3 - х2; в) г/ = 4 sin * - cos x; б) г/ = х + cos л:; г) i/ = sin # + cos x. t4 t3 041.66. Тело движется по прямой согласно закону x(t) = "J ~ "3" " — 6t2 + 2^ + 1 (где t — время (в секундах), x(t) — координата (в метрах)). Найдите: а) ускорение движения в момент времени t = 3 с; б) силу, действующую на тело массой 1 г в момент времени t - 3 с. 041.67. а) При каких значениях х верно равенство у" + у' - У = 0» если у = 3 cos х? б) При каких значениях х верно равенство (у")2 + 2у' ~ = у2 + 1, если у = sin x? 041.68. а) Докажите, что функция у = x sin x удовлетворяет соотношению у" + у = 2 cos x; б) докажите, что при любых значениях а и Ъ функция у = a sin х + Ъ cos х удовлетворяет соотношению \f' + 1/ = 0. 232
. Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 15°. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 91). — 1§ А ess О L5 X PUC. 91 •41.70. а) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = 4х2 - \а\ху проведенные в точках его пересечения с осью х> образуют между собой угол 60°? б) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = х2 + \а\х9 проведенные в точках его пересечения с осью х9 образуют между собой угол 45°? § 42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции ,12 Найдите производную функции: 42.1. а) у = (4* - 9)7; в) у = т)у = (15 - 9х)13. 42.2. а) у = sin (Зх - 9); в) у = sin (5 - Зх); б) у = cos I ^ - 4х |; г) I/ = cos (9л: - 10). 42.3. а) у = Ь б)у= 750 + 02*; 233
Найдите производную функции: 042.4. а) у = cos2 х - sin2 х; в) у = 1 - 2 sin2 Зх; б) у - 2 sin х • cos л:; г) у = sin2 Злг + cos2 Sx. 042.5. a) i/ = sin Злг cos 5л: + cos Sx sin 5л:; б) г/ = cos 4x cos 6л: - sin 4x sin 6л:; в) i/ = sin 7x cos Зл: - cos 7x sin Зл:; r) у = cos| • cos| + sin| • sin|. 042.6. а) у = (1 - x3)5; б) г/ = V*3 + Sx2 - 2x + 1; O42.7. a) i/ = sin3 x; б) у = Jctgx; •42.8. а) у = л/l - x2 + cos3 x; в) г/ = sin2 x • cos V^; Найдите значение производной функции в точке х0: O42.9. а) у = (Зх - 2)\ хо = 3; в) у = (4 - Ъх)\ хо = 1; i, х0 = 3. б) у = л/25 - 9х, х0 = 1; г) г/ = 042.10. а) у = sin | 2х - - 3 | - x в) у = cos | £ - 4л: ], л:0 = ^; о O42.ll. а) у = (х2 -Зх+ I)7, х0 = 1; б) У = Ш\' *о = 0; в) У = J(x - Щх - 4), х0 = 0; 234
042.12. а) у = tg3 x, xQ = j; г~ к2 б) у = Sin у/Х9 XQ = gg5 в) у = cos л:3, x0 = 0; к Г) I/ = Ctg2 tf - 1, tf0 = ^- Вычислите скорость изменения функции в точке х0: в) г/ = 12л:-5' *о = 2; а) у = (2х + I)5, х0 = -1; б) г/ = л/7л: - 3, л:0 = 1; О42.13 042.14. а) у = sin 3* - ^ б) У = tg 6л:, л:0 = -^; в) у = cos || - 2* г) г/ = ctg -g» х0 = к. r) i/ = - 5х, х0 = -1. 042.15. а) у = >/4л:2 - 20л: + 25, х0 = 3; б) у = Jsin2 х - 2 sin x + 1, х0 = тс. 3' в) у = yjl - Юл: + 25л:2, л:0 = 1; г) у = J1 - cos х + - cos2 л:, л:0 = j. •42.16. а) у = (х - sin л:)2, х0 = к; лч I1 ~ sin х я б) У = V cos^ ' *<> = 4' в) г/ = yj(smx + l)cos;t, л:0 = ^5 г) У = (tg л: - I)4, л:0 = -j. °42.17. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x): а) f(x) = cos 2л:, ^(л:) = sin x; б) f(x) = sin 6л:, ^(л:) = cos 12л: + 4; 2 в) f(x) = д sin Зл:, ^(л:) = cos 2л:; г) f(x) = - 2х; g(x) = 235
O42.18. При каких значениях аргумента скорость изменения фунц, ции у = g(x) больше скорости изменения функции у = а) g(x) = sin Ux - -|\ Цх) = 6х- 12; б) g(x) = cos fi _ 2х\ h(x) = 3 - I-2*} O42.19. Найдите тангенс угла между касательной к графику функ» ции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х: 1О а) h(x) = 4jc + 1> х0 = 0,5; в) h(x) = б) /*(*) = cos3 л:, х0 = g5 г) 042.20. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен а, если: а) /(лг) = sin * • cos x, k = —г-; Li б) /(л:) = cos2 xy k = -g. 042.21. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0: а) f(x) = tg3 х; б) f(x) = sin2 x cos 2x. 042.22. а) Найдите корни уравнения f\x) - 0, принадлежащие отрезку [0, 2], если известно, что f(x) = cos2 x + 1 + sin x. б) Найдите корни уравнения f (х) = 0, принадлежащие от- Гтс Зя] L2' 2}9 резку I "§» ~2г если известно, что f(x) = sin x - cos x - 1. 042.23. а) Дано: /(*) = a sin 2x + Ь cos x, f (jl = 2, f f ^1 = -4. Чему равны а и b? б) Дано: /(*) = a cos 2x + Ь sin 4x, f (Щ = 4, f f^l = 2. Чему равны а и Ь? 042.24. Решите уравнение Дл:) = 0, если: а) /(*) = 7cos2Jc; в) /(х) = sin4 x; б) Дл:) = tg2 х; г) /(л:) = cos3 х - sin3 x. O42.25. Решите неравенство у' < 0, если: ч (1 - Зх)3. _ (2^: + З)4 236
q42.26. Решите неравенство g*(x) > О, если: 042.27. Проверьте равенство ^(х) = fix), если: а) £(х) = (1 - х2) sin х2 - cos х2, ftx) = 2(х - х3) cos x2; б) #(*) = (х2 - 1,5) cos 2x - х sin 2х, f(x) = (2 - 2л:2) sin 2x. 042.28. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f(x) = &(х)9 если: a) fix) = sin (2x - 3), £(*) = cos (2x - 3); б) fix) = л/3* - 10, ^(х) = Vl4 + 6л:. 042.29. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции у = h(x) образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: а) h(x) = 2 yj2x - 4, а = 60°; б) /*(*) = sin (4х--|\ а = 0°. Известна производная функции у = f(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = fix): 042.30. a) f(x) = 6(2* - I)2; б) f(x) = -20(4 - 5л:)3. 042.31. a) f{x) = ^Т^; 042.32. a) f'(x)= sin 042.33. Найдите производную функции: а) у = arcsin Зх; в) у = (arccos х)г; б) у = arctg х2; г) i/ = arcctg л/jc. •42.34. Найдите значение производной функции в точке х0: а) у = (arccos л:)3, л:0 = 0; б) I/ = -г arctg ~уз~' *о = -1; в) у = arcsin vjc, х0 = —; г) г/ = arccos /^ > х0 = 1. 237
042.35. Вычислите скорость изменения функции у = g(x) в точке х$ а) g(x) = arctg (I - Зх), х0 = %; б) g(x) = arcsin yfx; x0 = 0,25; в) g(x) = arccos (2х - 3), х0 = 1,5; г) g(x) = yjarcctgx, x0 = 0. 042.36. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х: 2 а) h(x) = arcsin (Sx - 2), х0 - -ql б) h(x) = arcsin x • arccos x, x0 = 0. 042.37. а) Решите уравнение f\x) - 2, если f(x) - arctg (2x). б) Найдите те значения х, при которых выполняется равенство (f(x))2 = — у где f(x) = 2 arcsin yfx. х •42.38. Решите неравенство (f(x))2 > 1, если: a) f(x) - arcsin 2х; б) f(x) = 2 arccos л/jc. § 43. Уравнение касательной к графику функции 43.1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции у = f(x), в точках с абсциссами а, Ь, с: а) рис. 92; б) рис. 93; / А f V \ ft \ О <* a 1 J / с * \ a У* О \ \ f с / ^^ __ X PUC. 92 PUC. 93 238
43.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю и точки, в которых производная не существует, если график функции изображен на заданном рисунке: а) рис. 94; б) рис. 95; в) рис. 96; г) рис. 97. - У* А -2/|\ л о / / 1 \ / f 1 1 \ 1 3,5 \ X PUC. 94 \ V \ -6 J -4 j / / -2 4+ О [ X PUC. 96 1 ( V > -4 -1,5 \ 1 1 о / А / L / / А (А \ 1 \ W 4 \ \ \\ X PUC. 95 J У -4 А / у / / / -2 / / '/ о / / > / > 3 /> / г 5 X PUC. 97 43.3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если: а) f(x) = х3 - 2х2 + 3, а = -1; б) № = £="§. а = 1; в) /(*) = х4 - 7х3 + 12* - 45, а = 0; г) Л*) = ^^-р а = 1. 239
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = /(лег) в точке с абсциссой х = а если: 43.4. a) f(x) = V* -7, а = 8; б) /(*) = л/Т^Кх, а = 0; в) /(лег) = VlO + л:, а = -5; г) /(*) = ^3,5 - 0,5*, а = -1. 43.5. a) ftx) = sin *, а = 0; в) /(х) = cos Зх> а = ^ б) Дл:) = tg 2х, а = |; г) /(х) = ctg х, а = | O43.6. а) в) /(х) = ctg4 x9 a = J; б) /(х) = cos2 х, а = ^; г) /(х) = а = |. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у - f(x) в точке с абсциссой х0: O43.7. a) f{x) = (х- 2)(х2 + 2х + 4), хо = 3; ^5 б) /(х) = cos2 Зл: - sin2 Зх> х0 = ^ в) Лх) = (2х + 1)(4х2 - 2х + 1), х0 = -|; г) /(*) = sin х • cos л: • cos 2x, x0 = —. 4 O43.8. a) б) /(л:) = в) /(*) = г) /(*) = 240 - 6x + 9, *o = -2; ' «о = -ОД; JC — OJC ■+■ X - 6x2 + 12* - 8, x0 = -5.
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = Я*) в каждой из указанных точек: IV - 1, если |х| >1, 043.9. a) f(x) = < Хх = -2, х2 = 0, х3 = 3; [1 - яг, если|х| <1, х + если х > ^ = _^ ^ = 0> ^ = 2; 2 - х , еслих < О, {-Зх, если х < О, ,_ хг = -1, х2 = 1, х3 = 5; vox, еслих > О, ч „ ч Г>/4 - 2х, если х < 2, г) fix) = \ Хг = -2, х2 = 2, х3 = 5. [х - 2, если х > 2, 043.10. а) Я*) = х2 - 9|х| + 14, хх = -7, х2 = 4,5, х3 = 8; б) Я*) = х2 - 4|х| - 12, X! = -3, х2 = -2, х3 = 2. 043.11. а) Я*) = I*2 - 5х + 6|, хг = 0, х2 = 2,5, х3 = 4; б) Я*) = 1-х2 + 2х + 3|, Хг = -2, х2 = 1, х3 = 2. Найдите ту точку графика функции у = fix), в которой угловой коэффициент касательной равен ft: 043.12. а) Я*) = 1>5х2 - х + 1, ft = 2; б) /(х) = х + ^, ft = 3; в) /(х) = х3 - 2х2 + х, fc = 1; г) № = | + |» ft = -8. 043.13. а) Дх) = arcsin 2x, k = 2; б) /(х) = х - arccos х, ft = 2; в) Дх) = 3 + arctg х, ft = |; г) /(х) = arcctg Зх, ft = 3. 43.14. Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = fix) в точке с абсциссой х = а: а) /(х) = 4 + х2, а = 2; в) fix) = (1 - х)3, а = -3; б) fix) = 1 - |, а = 3; г) Я*) = 2х - х3, а = 1? 241
Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: 43.15. a) f(x) = х\а = 0,5; в) fix) = 0,2л:5, а = -1; б) fix) = -Зх3, а = ■§; г) fix) = -0,25л:4, а = 0. 43.16. а) /(л:) = х3 - Зх2 + 2л: - 7, а = 1; б) fix) = -7л:3 + Юл:2 + х - 12, а = 0. I = л:3 - Зл:2 + 2л: - 7, а = 1; б)/(л:) " 3 ^л 2 ^л 43.17. а) Дл:) = f^^gp л:-1 т:—о> а = 1. = J; б) ЛЖ) = |5^, 43.18. а) /(х) = V6* + 7, а = з|; б) Дх) = V5 - 2х, а = 2. 43.19. а) Дх) = S cos-, a = ^; б) fix) = | sin 2x, а = £. 43.20. а) /(х) = tg л: + sin f, а = Зя; о б) fix) = cos х + ctg f > а = f • O43.21. a) fix) = \2x- x2\, о = 1; б) Лх) = |х" - Зх - 4|, а = -2; в) Л*) = \х2 + 4х|, а = -3; г) Л*) - |л:2 - Зх - 4|, а = -1. Составьте уравнение касательной к графику функции у = fix) в точке с абсциссой х - а: 43.22. a) f(x) = х2, а = 3; б) /(х) = 2 - х - х3, а = 0; в) Лх) = л:3, а = 1; г) f{x) = х2-Зх + Ъ,а = -1. -2 O43.23. а) /(х) = б> a = 2; O43.24. a) fix) = 2у/3х - 5, а = 2; б) /(*) = V7 - 2*, а = 3. в) fix) = ^rj, о = 4; 1 г) 4(2* - 1) I' о = 242
043.25. a) fix) = cos f, a = 0; в) fix) = sin 2x, a = |; 6) fix) = ctg 2x, a = J; г) Дх) = 2 tg f, a = 0. 043.26. а) Дх) = arccos 3x + 2x, a = 0; б) Дх) = 3x2 - 0,2 arcsin 5x, a = 0; в) Дх) =2 arctg x + Зл/х, а = 1; 1 г) Д*) = ~Z ~ 5 arcctg 2x, a = 1. •43.27. а) Дх) = sin3 2x, a = ^; 4 1 б) Дх) = ~7= -y/arctgSx, ^ = з' в) Дх) = cos2 2x, a = 5; г) Дх) = 2 arcctg (3x2) + 3 arctg (2x3), a = 0. fx2 + 2x, если x > -3, 043.28. а) Дх) = a = -2; [-2x - 3, если x < -3, б) Дх) = |х2 - 3x|, a = 4; |4x - x2, если x > 0, a = 1; -4x, если x < 0, г) Дх) = x2 - 7|x| + 10, a = -l. 043.29. Напишите уравнения касательных к графику функции у = fix) в точках его пересечения с осью абсцисс, если: а) Дх) = 9 - х2; в) Дх) = х3 - 4х; б) Дх) = х3 - 27; г) Дх) = х3 - х4. 043.30. Напишите уравнения касательных к параболе: а) у = х2 - Зх в точках с ординатой 4; б) у = -х2 + Ъх в точках с ординатой 6. °43.31. В какой точке касательная к графику функции у = х2 параллельна заданной прямой: а) у = 2х + 1; в) у = |х - 2; б) У = ~х + 5; г) у = -х + 5? 243
043.32. Напишите уравнения тех касательных к графику функции у = -д- - 2, которые параллельны заданной прямой: а) у = х - 3; б) у = 9х - 5. 043.33. Напишите уравнения тех касательных к графику функции у = arcsin х, которые параллельны заданной прямой: а) у = 2х - 3; б) у = х + 2. В какой точке графика заданной функции у = f(x) касательная параллельна заданной прямой: 043.34. а) у = 3 + х9 fix) = ^ - Зх2 + 10* - 4; б) у = 0, Л*) = ^ - х2 + 8; в) у = х - 3, fix) = ^ - х2 + 2* - 7; г) у = 2, fl*)= V-*3 + 6? 4 043.35. a) fix) = sin x, у = -х; в) /(*) = tgx,y = x; б) /(я) = cos Зх, у = 0; г) /(*) = sin |, у = -1? O43.36. а) /(*) = cos2 х, у = -х + 3; 6)/(x) = arcctg(;t2), у =-3; в) fix) = yjshix, у = 5; г) /(*) = (arcsin х)2, у = -5. К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2 - х: 043.37. а) у = y + \х2 - х; б) у = ^ + *2 " *• ^о оо ч 3*+ 7. JC+ 9 043.38. а) у = -^—з", б) у = ^-g. 043.39. а) у = -W* + 7; б) у = Vl - 2л:. 043.40. а) у = arccos л:; б) у = arcctg л:. 244
043.41. а) На графике функции у = хг - Зх2 + х + 1 найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнения этих касательных. Зх + 7 б) На графике функции у = х + о найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°. Составьте уравнения этих касательных. 043.42. Составьте уравнение той касательной к графику функции у = fix), которая образует с осью х заданный угол а, если: а) f{x) = -^х* - Зл/Зх, а = 60°; б) fix) =^x- ^х\ a = 30°. 043.43. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции у = х + о » которые образуют угол 45° с осью х. б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции у = ~ _ 5' которые образуют угол 135° с осью х. 043.44. Составьте уравнение параболы у = х2 + Ьх + с, касающейся прямой у = -х в точке М(1; 1). 043.45. Проведите касательную к графику функции у = х2 + 1, проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если: а) А(-1; -2); б) А(0; 0); в) А(0; -3); г) А(-1; 1). °43.46. Через данную точку Б проведите касательную к графику функции у = fix): а) fix) = -х2 - 7* + 8, Б(1; 1); б) fix) = -х2 - 1х + 8, Б(0; 9). 245
Через данную точку Б проведите касательную к графику функции у = f(x): •43.47. a) f(x) = л/3- х, Б(-2; 3); б) f{x) = л/3-х, Б(4; 0). •43.48. a) f(x) = V4x - 3, Б(2; 3); б) fix) = у12х + 1, Б(1;2). O43.49. а) Найдите все значения х, при каждом из которых касательная к графику функции у = cos 7х + 7 cos л: в точках с абсциссой л: параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой £• б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у = 2 - 14 sin Зх и у = 6 sin 7x в точках с абсциссой х = а параллельны. •43.50. а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = —g, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25. б) Составьте уравнение касательной к графику функции у - —2» л: < 0, отсекающей от осей координат треуголь- * 9 ник, площадь которого равна g- •43.51. а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = я3, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, 2 площадь которого равна т># б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, 27 площадь которого равна -g-- •43.52. а) На оси у взята точка Б, из нее проведены касательные к графику функции у = 3 - -^х2. Известно, что эти каса- тельные образуют между собой угол 90°. Найдите координаты точки Б. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = 0,5л:2 - 2,5, которые пересекаются под углом 90° в точке, лежащей на оси у. 246
943.53. а) На оси у взята точка Б, из нее проведены касательные к графику функции у = ^г х2 + ^-. Известно, что эти касательные образуют между собой угол 60°. Найдите координаты точки Б. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функ- ции у = -д- (1 - л:2), которые пересекаются под углом 120° в точке, лежащей на оси у. •43.54. а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х2 - \2х - б|, проведенных через точки с абсциссами х = 5, х = -5. б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х3 + \х - 1|, проведенных через точки с абсциссами х = 2, х = -2. •43.55. а) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 - рх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)? б) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 + рх2 в точке х = 1 проходит через точку (3; 2)? •43.56. Является ли прямая у = 4дг - 5 касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания: а) у = х3 + х2 - х - 2; б) у = х3 - 2х2 - 7х - 13. 043.57. Найдите все такие значения параметра а, при которых касательные, проведенные к графикам функций у = f(x) в точке (a; f(a)) и у = g(x) в точке (а; g(a))9 параллельны: а) fix) = х6; g(x) = х7; б) f(x) = х4; g(x) = х\ •43.58. а) При каких значениях параметра а прямая у = ах + 1 является касательной к графику функции у = v4Jt + l? б) При каких значениях параметра а прямая у = 2х + а является касательной к графику функции у = \/4х - 1? 247
•43.59. а) К графику функции у = 2 sin2 х + >/з sin 2л:, л: € 0; — проведена касательная, параллельная прямой у - 4л: - 1 = 0. Найдите ординату точки касания. б) К графику функции у = 2 cos2 х + л/3 sin 2л:, л: € —; я 1_2 J проведена касательная, параллельная прямой Зу - 6х + + 2 = 0. Найдите ординату точки касания. •43.60. а) Найдите наименьшее положительное значение л:, при котором касательные к графикам функций у = 3 cos -r- и у = 5 cos -5- + 2 параллельны. б) Найдите наибольшее отрицательное значение я, при котором касательные к графикам функций у = 2 - 14 sin Зле и у = 6 sin 7л: параллельны. •43.61. а) Точка А с абсциссой -1 и точка В с абсциссой 1 принадлежат графику функции у = 2хг + Зл:2 - -^ + 1. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ. б) Точка А с абсциссой -3 и точка В с абсциссой 3 принадлежат графику функции у = -qX3 - 2х2 - 22л: - 28. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ. •43.62. а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций у = х2-х+1иу = х2 + 5х + 4:. б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций у = х2 и у = -х2 - 8. •43.63. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые: а) у = - и у = у/х; б) у = х2 и у = 4x1 248
(х - I)2 (х + I)2 #43.64. Докажите, что параболы у = —g— и У = —2— перпендикулярны в точке их пересечения. #43.65. а) Из какой точки оси у кривая у - VI + я2 видна под углом 120°? б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола у = х2 видна под прямым углом. •43.66. а) Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции у = х3 + а2х - а в точке х = -1 проходит через точку М(1; 7). б) Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции у = х4 - Здг3 + 2а в точке х = -2 проходит через точку М(-1; -8). •43.67. а) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции у = vx2 - 5 в точке х = 3. б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции у = \1х? — 9 в точке х = 5. •43.68. а) Прямая i/ = 6х - 7 касается параболы у = х2 + Ъх + с в точке М(2; 5). Найдите значения коэффициентов Ъ и с. б) Прямая I/ = 7л: - 10 касается параболы у = ах2 + Ъх + с в точке х = 2. Найдите значения коэффициентов а, & и с, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке х = 1. •43.69. Докажите, что треугольник, образованный касательной о2 к гиперболе у = — и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе. •43.70. Докажите, что касательная к параболе у = х2 в точке х = а делит пополам отрезок [0; а] оси абсцисс. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию у = хп, где п — натуральное число, большее 2. 249
§ 44. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы 44.1. Определите, какой знак имеет производная функции у = f(x) в точках с абсциссами а, Ь, с, d: а) рис. 98; б) рис. 99. 44.2. По графику производной функции у = f(x)y представленному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция у = f(x) возрастает, а на каких убывает: а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103. ■ ^т а У *** О / i \ / / s I 1 ъ 1 I \ \ \ |\ \ d / PUC. 98 а J / 1 / f / А / / Г / / ) / / / > / f / / • Ob / / с у / / / // / Л а X PUC. 99 250
44.3. На каком из указанных промежутков функция у = f(x) убывает, если график ее производной представлен на рис. 104: а) (-2; 1); б) (-оо; 4); в) (4; +оо); г) (-сю; -2)? ■ I \ - \ \ \ yi о ч У f 1 / / / / / /2 \x \ ) X \ -4 у -3 у yi о ( 1 S г I = Г (*) ч _^ 3 \ \ X Рис. юо Рис. 101 11 \ к \ ч - о 1 у- N = / \ > X / / ( yi о У V \ 2, j \ \ \ ) у ч \ Ч PUC. 102 Рис. юз \ -5 yi О ] Ч L s J Sj п s 4 х) ч ч PUC. 104 251
44.4. Определите, для какой из функций у = f(x), у = g(x)y у = h(x) отрезок [-1; 1] является промежутком возрастания, если на рис. 105, 106, 107 изображены графики производных этих функций. \ \ \ s -1\ {/< О s / / -у / 1 4 1 / / ь X / / / / / -1 О \ 1 \ *)■ \ \ X РИС. 105 Рис. 106 ь *-* щ х) / / -1 yi \ \ о \ \ ч L PUC. 107 44.5. На рис. 108, 109, 110 изображены графики производных у = f(x), у = /(#), у = h'(x). Определите, какая из функций у = /(*), у = g(x), у = h(x): а) возрастает на й; б) убывает на й? ^^ -2 *** ^* У1 О 1 / = х) X -2 yi О У X) X PUC. 108 PUC. 109 252
-2 / W О 2 \ У = h\x) 4 X Рис. 110 / / / yi / 2 \ \ X \ \ \ \ \ \ \ \ yi о J 4 s L J J 1 1 \k \ / / f > g(. r) X PMC. Ill PUC. 112 \ У' \ \ \ \ \ о / V * 2 У X 1/ / / / I { \ \ \ -1 \ У о / * J / / f У r X РЫС. 113 PUC. 114 На рис. Ill—114 изображены графики функций у = f(x), у = g(x), у = h(x) и у = ф(дг), определенных на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство: 44.6. а) Г(х) > 0; б) /(*) < 0; 44.7. a) f(x) < 0; б) g'ix) > 0; в) h'(x) < 0; г) <р'(*) > 0. в) h'(x) > 0; г) (р'(*) < 0. 253
44.8. а) Изобразите эскиз графика производной функции у = f(x\ если известно, что данная функция возрастает на (-оо; {) и убывает на промежутке (1; +оо). б) Изобразите эскиз графика производной функции у = /(#), если известно, что данная функция убывает на луче (-оо; -1], возрастает на отрезке [-1; 3], убывает на луче [3; +оо). 44.9. Изобразите эскиз графика функции у = f(x)9 если промежутки постоянства знака производной f(x) представлены на схеме: а) рис. 115; в) рис. 117; б) рис. 116; г) рис. 118. + -4 3 PUC. 115 РИС. 116 -2 4 РИС. 117 -10 12 х Рис. 118 044.10. Докажите, что заданная функция возрастает на R: а) у = cos х + 2х; в) у = хь + Зл:3 + 7х + 4; б) у = sin х + х3 + х; г) у = хь + 4л:3 + 8л: - 8. 044.11. Докажите, что заданная функция убывает на R: а) у = sin 2х - Зх; б) у = cos Зл: + 4л:. 254
044.12. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности. а) у = хь + 6л:3 - 7; в) у = sin x - 2х - 15; б) у = х - cos х + 8; г) у = 11 - 5л: - х3. Докажите, что заданная функция возрастает: 044.13. а) у = хь + Зл: - 6 на (-оо; +оо); 2 1 б) у = 15 - - " ^з на (-оо, 0); в) у = х7 + 7л:3 + 2л: - 42 на (-оо; +оо); г) у = 2\х - ^б на (0, +оо). 044.14. а) I/ = 7jc - cos 2л: на (-оо; +оо); б) у = \0х + sin Зл: на (-оо; +оо). 044.15. а) у = 2х3 + 2л:2 + 11л: - 35 на (-оо; +оо); б) у = Зх3 - 6х2 + 41л: - 137 на (-оо; +оо). 4х ( \ \ 044.16. а) у = а„. л на —, +оо V 4^+1 ^ 4 ) 2л:-13 о) У = ~~i:—к~ на (-оо, 5). л — о Докажите, что заданная функция убывает: 044.17. а) у = -х3 - Ьх + 3 на (-оо; +оо); б) у = -2хъ - 7х3 - х + 8 на (-оо; +оо); в) у = -х3 + Зл:2 - 6л: + 1 на (-оо; +оо); г) у = -4л:3 + 4л:2 - 2л: + 9 на (-оо; +оо). 044.18. а) у = 3*+2 на ("2' +оо); -4л: + 1 044.19. а) у = 7 cos л: - 5 sin Зл: - 22л: на (-оо; +оо); б) у = 3 cos 7л: - 8 sin -| - 25л: + 1 на (-оо; +оо). 044.20. Определите промежутки монотонности функции: а) у = х3 + 2л:; б) у = 60 + 45л: - Зл:2 - х3; в)у = 2х3 - Зх2 - 36л: + 40; г) у = -хь + 5л:. 255
Определите промежутки монотонности функции: ~ллсъ+ ч Зх-1. ^ \-2х O44.21. а) у = g^i, б)у= j^. 044.23. а) у = 044.24. а) у = sin" x; O44.25. а) у = y/x2 - 6x + 8; б) у = л/5х - 2 - 2Х2. •44.26. a) i/ = arcsin x2; в) i/ = arccos Vx; 6) i/ = arcctg Vx; г) у = arctg2 л:. •44.27. а) у = , 2 2jc3 - 6jc, если л: > -1, jc2 + 2л: + 3, если х < -1; _ \3х4 - 4л:3, если х < 2, [-л:2 + 4л: + 12, если х > 2. \хь - 5л:4 + 1, если х > О, •44.28. &)У = \ [(х + 2)2 - 3, если х < О; f-Зл:5 + 5л:3 - 2, если л: > -1, б) У = 1 4 . —, если л: < -1. U 044.29. Исследуйте на монотонность функцию у = f(x) и постройте (схематически) ее график: а) f(x) = хг-Зх + 2; в) f(x) = Xs + 6л:2 - 15л: + 8; б) /(л:) = л:4 - 2л:2 + 1; г) f(x) = -х4 + 8л:2 - 7. 044.30. Постройте график функции у = /(л:), х 6 [0; 10], произвоД' ная которой равна нулю на интервалах (0; 2); (2; 6); (6; 10), если известно, что /(1) = 0, /(5) = 3, /(8) = -2. 256
При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой: 044.31. а) у = х3 + ах; 044.32 044.33 б) у = \ - ах2 + Ъх - 3? а) у = ах - cos x; б) у = 2 sin 2x - ах? При каких значениях параметра Ъ функция убывает на всей области определения: а) у = 7 + Ъх - х2 - хг; в) у = х3 + Ъх2 + Зх + 21; б) г/ = -2л/х + 3 + Ъх; т) У = -2bx + Vl - х? #44.34. При каких значениях параметра а функция у = х3 - Зх: а) убывает на отрезке [а + 1; а + 3]; б) возрастает на отрезке а ; 2а + 2 ; Г 1 21 в) убывает на отрезке 0-3; —а + — ; г) возрастает на отрезке [а - 2,5; а - 0,5]? 044.35. а) При каких значениях параметра а функция у = 2х3 - - Зх2 + 7 возрастает в интервале (а - 1; а + 1)? б) При каких значениях параметра а функция у = -х3 + + Зх + 5 убывает в интервале а; а + — V 2 044.36. По графику функции у = f(x)9 x € R, изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых ее производная обращается в 0: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122. / / / /а b V \ i/i \ c\ \\ d О Л /\ / IN /1 e /\ ч X PMC. 119 257
\ \ \ г / / / / О / \ \ \ ь \ С ; / / > / f f X РИС. 120 i \ \ с г л / / V \ \ Ь У> О 1 к 1 \ / ] Ч X PUC. 121 > г > / У 7~ \ ъ \ У* \ о \ \ с \ \ 1 I 1 f 1 \ \ d \ \ i А / / f X PUC. 122 044.37. По графику функции у = f(x), x € R, изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых произвоД* ная не существует: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122. 044.38. При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку: а) у = хг - Зах2 + 27* - 5; б) у = Xs - Зах2 + ЧЪх - Ю? 258
44.39. Сколько точек минимума имеет функция у = f(x), график которой изображен на заданном рисунке: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122? 44.40. Сколько точек максимума имеет функция у = f(x), график которой изображен на заданном рисунке: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122? 44.41. Используя данные о производной у = f(x), приведенные в таблице, X у = Г(х) (-оо, 5) + -5 0 (-5;-2) - -2 0 (-2; 8) + 8 0 (8; +оо) + укажите: а) промежутки возрастания функции у = f(x); б) промежутки убывания функции у = f(x); в) точки максимума функции у = f(x); г) точки минимума функции у = f(x). 44.42. По графику у = f(x), изображенному на заданном рисунке, определите, имеет ли функция у = f(x) точки экстремума: а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103. 044.43. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами: а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной; б) функция возрастает при х< 1и при х > 5 и убывает на промежутке [1; 5], точка х = 1 является критической, а точка х = 5 — стационарной; в) функция имеет разрыв в точке х = -2, максимум в точке х = -1 и минимум в точке х = 1; г) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при х —> оо, одну точку максимума и одну точку минимума. 044.44. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а, Ь), имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения. б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а, Ь), имеющей на нем две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений. 259
044.45. Может ли иметь только одну точку экстремума: а) четная функция; в) периодическая функция; б) нечетная функция; г) монотонная функция? 044.46. По графику функции у = f(x), x € R изображенному на заданном рисунке, постройте эскиз графика ее производ ной: а) рис. 123; б) рис. 124; в) рис. 125; г) рис. 126 У, 1 1 ( о / А г г 7 \ \ b \ 1 V \ X \ \ а \ ч yi о У / / / / Ла 1 1 Ъ 1 X PUC. 123 PUC. 124 а / ( / yi у О b > i A *^y ft ТУ-*-)- X PUC. 125 У / / а yi / о / b / l\*-) i 1 / \ / с X PUC. 126 260
q44.47. Постройте эскиз графика функции у = f(x), x € R по графику производной, изображенному на заданном рисунке: а) рис. 127; б) рис. 128; в) рис. 129; г) рис. 130. с 1 / / / о / ь / / ( d / / X РМС. 127 / / 2 \ \ i \ ь / / «л о / ч \ С \ / / С / i \ \ \ PUC. 128 \ а \ \ Ъ О i \ * \ d \ X PUC. 129 \ \ \ с / 1 / / \ N ь \ о Ч \ N ч г* J / ( Id 1 X рис. 130 261
Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: 044.48. а) у = 2х2 - 7х + 1; в) у = 4х2 - 6х - 7; б) у = 3 - Ъх - х2; т)у = -Зх2 - 12* + 50. 044.49. а) у = ^- - §*2 + 6х - 1; в) у = хг - 7х2 - Ъх + 11; б) у = хг - 27* + 26; г) у = 2х3 - 21*2 + 19. 044.50. а) у = 5*5 - Зх3; в) у = х* - 50*2; б) у = х4 - 4х3 - 8*2 + 13; г) у = 2хъ + 5*4 - 10*3 + 3. 044.51. а) у = х + |; б) г/ = ^Д 044.52. а) у = jc - 2V* - 2; в) г/ = 4^2* - 1 - *; б) у = V* + 1 + V5 - дс; г) у = у[х + 2>/7 - дс. 044.53. а) у = х - 2 cos jc, jc G [-я, тс]; б) у = 2 sin jc - jc, jc G [тс, Зтс]. 044.54. а) г/ = (*3 - 27*)3; в) у = (jc3 - 3jc2)4; б) у = у/х3 - 27*; г) у = л/*3 - З*2. •44.55. а) у = arcsin *2; в) у = arccos x2; б) у = 3 arcctg yfx; r) у = arctg >/2*. 044.56. Докажите, что заданная функция не имеет нй точек максимума, ни точек минимума: а) у = з х3 + 2*2 + 4* - 12; в) у = g хъ + д *3 + * - 7; б) у = -т|*3 + |*2 - 3* + 9; г) у = -*3 - хъ + 27. 044.57. Производная функции у = ax2 + 7х + 1 в точке *о равна с. Найдите точку экстремума функции и определите, является она точкой максимума или точкой минимума, если: а) х0 = 0,5, с = 15; в) х0 = -1, с = 9; б) *0 = 3, с = -5; г) х0 = -0,5, с = 7,1. •44.58. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: |4 | |4| 3 262
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 044.59. а) у = sin x - -^х; б) у = | - cos x; 044.60. а) у = х - sin 2х; 6)0 = 044.62. а) г/ = |*3 - Зх|; в)у= ^ jc + cos д; г) у = х - sin jc. б) у = х + 4 cos ^. в) у = \(х - 2)(х + ; г) у = (|*| - 2)\х\. б)у = \х-х\ 044.63. а) у = Зх2 - 4х + 5; б) у = 3 + 2* - х2; Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график: в) у = 7 - х - 2х2; г)у = Ъх2 - 15* - 4. в) у = х3 + Зх2; г)у = 3х- Xs. в) у = -х9 + Ах2 - 3; г) у = х3 - Зх + 2. 044.64. а) у = Зх2 - х3; б)у = 6х + х3; 044.65. а) у = х3 - Зх2 + 2; б) у = -jc3 + 4х - 3; 044.66. а) г/ = 2*3 + х2 - 2х - 1; б) у = ~ + х2 + 3* - ^; в) у = jc3 + х2 - х - 1; 044.67. а) у = -jc4 + 5х2 - 4; б) у = х5 - Ъх; 044.68. а) у = (х - 1)2(х + 2); в)у = 2х4 - 9х2 + 7; г) у = Ъх3 - Зх\ в)у = (х + 2)\х - 3); г) у = х\2 - х). Решите уравнение: °44.69. а) х3 + 5 = 15 - х; б) хь + З*3 + 7х - 11 = 0; •44.70. a) sin Ъх - 2 cos х - 8х = хъ - 2; б) 4 cos Зх + 5 sin тг + 15 = 4 - ; в) 2х5 + Зх3 = 17 - 12*; г) *5 + 4х3 + 8* - 13 = 0. 263
•44.71. а) 3 cos кх + 5 sin ^ + 18* = 43 - х5 - 22jc3; б) 2 sin | jc - 2 cos юс - 10* = хъ - 54. Докажите тождество: •44.72. a) arcsin х = ^ - arccos x; б) arctg х + arcctg x = -^. [arcsin х, 0 < х < 1, /j •44.73. a) arccos vl - лг = к [-arcsin jc, -1 < х < 0; 6) arctg jc + arctg ч——- = •44.74. Докажите, что функция у = /(jc) постоянна на указанном промежутке и найдите значение этой постоянной: 2х а) /(jc) = 2 arctg jc + arcsin ——г при х > 1; б) /(jc) = arccos / + arctg jc при jc < 0. Докажите неравенство: •44.75. a) jc2 - jc3 < ^, если jc > |; б) 2Vjc > 3 - -, если jc> 0. х •44.76. a) arcsin jc > jc, если 0 < jc < 1; б) arctg jc > jc - -«-, если jc > 0. § 45. Построение графиков функций Исследуйте функцию и постройте ее график: O45.1. а) у = ^-Р б) „ = ^. -2- а) У = х>+~1 + 4' б) У = 264
045.3. 045.4. 045.5. 045.6. 045.7. •45.8. •45.9. •45.10. 045.11. ч х .2. а)у =-£ + -, б)«/ = &)у = х2-4' б)«/= ^2 б)у = б)у = б)у = X Х-2 х* + Ь х-3 х2 -8' х2-4 х2 + ± х2 + 1 х2-\ а) у = а)г/ = а)у = - х; х^Л. х X /1-х2 У*2-! а) Постройте график функции у = х4 - 2х2 + 3. б) При каких значениях параметра а уравнение х4 - 2х2 + + 3 = а имеет три корня? 045.12. а) Постройте график функции у = -х* + 2х2 + 8. б) При каких значениях параметра а уравнение -х4 + 2х2 + + 8 = а не имеет корней? 045.13. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр а: а) х3.- З*2 = а, -4 < а < 0; б) -х3 + 3х2 -2 = а, а< -2; в) Зх2 - х3 = а, 0 < а < 4; г) х3 - Зх2 + 2 = а, а > 2? •45.14. Сколько корней имеет уравнение х3 + аде + 2 = 0 при различных значениях параметра а? °45.15. Решите уравнение: а) Зл/дПП = -х3 + 3jc2 + 6; б) х3 - Зх = (х + I)6 + 2. 265
§ 46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной* 046.1. а) у = х8 - 1, [-1; 2]; в) у = х3 - 4, [0; 3]; б)у = -хъ + 2, [-2; 1]; г) у = -2х4 + 8, [0; 3]. 046.2. а) у = (х - I)3 + 4, [-2; 1]; б) у = 7 - (2х - 8)4, [-1; 3]; в) у = 5 - (3* + 6), [-2; 0]; г) у = 2(х + З)6 - 4, [-1; 2]. O46.3. а) у = sin х - 3, -; Згс ; б) у = cos х + 0,5, -тс; -| ; г) у = 4 - 3 cos х, ~; -к . |_ 4 6 J O46.4. а) у = у/1 + cos 2х, [—1 \J; б) » = Vl + sinjc, [О; |J; в) г/ = ^/1 - sin2x, [0; к]; г) У = vI + cos 2x, -—; 0 . |_ z J •46.5. а) у = ||х| - 4|, [-3; 3]; б) у = |3 - |х||, [-4; 4]. 046.6. а) у = 2 - 3 sin x + 4 cos x; б) у = 3 sin х - 4 cos x + 1. 046.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Г-4х + 12, если х < 2, [х2 - 2х + 2, если х > 2 на отрезке: а) [-3; 0]; б) [3; 4]; в) [-1; 3]; г) [1; 4]. 266
046.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Ux + 2)2 - 3, если х < -2, У ~ \х2 - 4, если х > -2. на отрезке: а) [-4; -3]; б) [0; 2]; в) [-2; 3]; г) [-3; 0]. 046.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) у = х2 - 8х + 19, [-1; 5]; б) у = х2 + 4* - 3, [0; 2]; в) у = 2х2 - 8х + 6, [-1; 4]; г) у = -Зх2 + 6х - 10, [-2; 9]. 046.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 - 9х2 + 24х - 1 на отрезке: а) [-1; 3]; б) [3; 6]; в) [-2; 3]; г) [3; 5]. 046.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 + Зх2 - 45х - 2 на отрезке: а) [-6; 0]; б) [1; 2]; в) [-6; -1]; г) [0; 2]. 046.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 - 9х2 + 15дс - 3 на отрезке: а) [0; 2]; б) [3; 6]; в) [-1; 3]; г) [2; 7]. 046.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х4 - 8х3 + IOjc2 + 1 на отрезке: а) [-1; 2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [1; 7]. 046.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 4 у = х + х _л на отрезке: а) [2; 4]; б) [-2; 0]. 046.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке: ~п Зя~ б) у = 2 sin х - ху [0; к]; в) у = 2 cos х + х, —£ ~2 у 267
г) у = tg х - х, Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: O46.16. а) у = х3 - 2х2 + 1, [0,5; +оо); б) у = х - 2у[х, [0; +оо); ч _£ 5 2 / ^^. -I т. 046.17. а) у = х + -, (-оо; 0); Зх б) у = :^Тз' [0; +оо); в) у = -2л: - g^, (0; +оо); г) у = л/2* + 6 - л, [-3; +оо). 046.18. а) у = (2х - 1)\х - 2), [-1; 2]; б) У = [0; 2]; в) у = (х + 4)(3* + I)2, [-2; ~!]; 5х г) У = хг _9' [~1; Х1* O46.19. а) г/ = х4 + 8х3 + 24*2 + 32л: + 21, [-3; 0]; б) г/ = л:4 - 4*3 + 6л:2 - 4х - 9, [0; 4]; в) г/ = 4*3 - 21л:2 + 36л: - 2, [1; 2]; г) у = 0,25*4 - 2^*3 + 3,5, [-1; 2]. 046.20. а) у = х2 - 5\х\ + 6, [0; 4]; б) у = х2 - 5\х\ + 6, [-5; 0]; в) у = х2 + 8\х\ + 7, [1; 5]; г) у = х2 + 8\х\ + 7, [-8; -2]. •46.21. а) у = х3 - 2х\х - 2|, [-1; 3]; б) у = Зх\х +1| - х3, [-1; 2]. 268
^6.22. О46.23. 046.24. 046.25. а) у = х2 - 4х + 5 + |1 - х\9 [0; 4]; б)у = \х3 - 1| - Зх, [-1; 3]. а) у = sin3 х + cos3 х, Г0; -1; б) у = sin5 х - cos5 х, Г--; 0 . а) у = sin2 ^ • sin x9 [-я; 0]; б) у = cos2 0,5л; • cos x, [0; я]. а) у = х3 - Зх, (-оо; 0]; в) у = х3 - Зх, [0; +оо); б) у = Х4Х+3> [0; +°°); г) у = Х4Х ( °1 Х4+ 046.26. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции: а) у = х4 - 2х2 - 6 на отрезке [-2; 2]; б) у = х3 - Зх2 + 2 на отрезке [-1; 2]. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: 046.27. а) у = V(* - ЩО - х); в) у = J(2x - 6X7 - х); б)у = V( ^ 2)(4 - х); г)у= - 3). 046.28. а) у = л/jc - 5 + V9 - д:; б) г/ = Зл/jc + 1 + уЁх; в) у = VlO - 2дс + г)у= л/8 - Зх + 046.29. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: а) у = ylx2 - 8х + 17; в) у = л/*2 -ь 4* + 10; б) у = 77^9X^-6); г) у = V^ " 4Х* + 8). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 046.30. а) у = J(x - 5X15 - х); в) у = ^(12 - х)(х - 4); б) I/ = V(2x + 4X3 - х); г)у= ,/(5 - х)(3х + 6). 046.31. а) у = л/2*2 - Ъх + 2; б) у = л/Зд:2 + 6* + 4; в) г/ = л/*2 + 6* - 7; г) г/ = 269
046.32. Найдите наибольшее значение функции: а) у = -х8 + 2х4 + 1; б) у = -х4 + \xz + |. 046.33. Найдите наибольшее значение функции: а) у = л/б - х2 + у[х; б) у = 4^х + л/б - jc 046.34. Найдите наименьшее значение функции: а) г/ = 2|х| - 4; в) у = 3|х| + 9; б) у = х2 - 5\х\ + 6; г) у = х2 - Ъ\х\ - 7. Найдите область значений функции: 046.35. а) у = 2х - V16jc - 4, х е \±; Щ; б)у = 2yjx -1 - 0,5*, jc € [1; 10]. •46.36. а) у = ху/х + 2; б) г/ = Wl - 2jc. -2д:2 - 2л: - 38 7 •46.38. а) При каком значении параметра а наименьшее значение функции у = xyjx + а равно -6л/з? б) При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = (а - х)у[х равно 10V5? •46.39. а) При каком значении параметра п сумма квадратов корней уравнения х2 - 2пх + 4п2 + Зп = 0 будет наибольшей? б) При каком значении параметра п сумма квадратов корней уравнения х2 + пх + 2/1-1 = 0 будет наименьшей? •46.40. Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство: а) хь + (1 - xf > ^; б) х1 + (1 - х)7 > ^§. O46.41. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение. б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение. 270
046.42. а) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. 046.43. а) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. 046.44. а) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим. 046.45. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? 046.46. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь.была наибольшей? б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 046.47. а) Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? б) Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 046.48. Огораживают спортивную площадку прямоугольной фор- 271
мы площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки ра- бицы? 046.49. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки Р и Е так, что ВР = BE = 3 см. На сторонах AD и CD берутся точки соответственно К и М так, что четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции? 046.50. а) В арифметической прогрессии с разностью d девятый член равен 1. При каком значении d произведение четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим? б) В арифметической прогрессии с разностью d второй член равен 6. При каком значении d произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим? 046.51. а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = 2х2 (снизу), у = 4х (сверху) и параллелен оси у. б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = х2 (снизу), у = -2х (сверху) и параллелен оси у. 046.52. а) На графике функции у = х2 найдите точку М, ближайшую к точке А(0; 1,5). б) На графике функции у = у[х найдите точку М, ближайшую к точке А(4,5; 0). •46.53. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? •46.54. Из прямоугольной трапеции с основанием а и Ъ и высотой h вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если: а) а = 80, Ъ = 60, h = 100; б) а = 24, Ь = 8, h = 12? •46.55. У пятиугольника ABCDE углы А, В и Е — прямые, АВ = а, ВС = Ь, АЕ = с, DE = /п. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади, если: а) а = 7, Ъ = 9, с = 3, ттг = 5; б) а = 7, Ь = 18, с = 3, /л = 1. •46.56. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится 272
выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на&м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом? #46.57. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции? 046.58. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала? 046.59. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м3. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала? 046.60. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объем составлял 576 м3. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? 046.61. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим? 046.62. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна р. При какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим? 046.63. Периметр осевого сечения цилиндра равен р см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим? 046.64. Объем цилиндра равен V м3. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей?
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I комбинаторика и вероятность i I I I I I i I I I I I I I I i I i i I I I § 47. Правило умножения. Перестановки и факториалы 047.1. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы). а) Сколько всего можно составить чисел? б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50? в) Сколько всего можно составить нечетных чисел? г) Сколько всего можно составить нечетных чисел, меньших 55? 047.2. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 (повторения цифр допустимы). а) Сколько всего можно составить чисел? б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10? в) Сколько всего можно составить четных чисел? г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20? •47.3. а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр? б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр? в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5? г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90? O47.4. На кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр, колбасу или масло. Бутерброд можно запить чаем, кофе, молоком или кефиром, а после этого или погулять, или пойти в гости, или остаться дома. а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня. б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток? в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб? 274
г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трех ближайших магазинов? #47.5. За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите: а) общее число всех вариантов контрольной работы; б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач; в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить; г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой. •47.6. В каждую клетку квадратной таблицы 3x3 произвольно ставят крестик или нолик. а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики? в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики? г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик? 047.7. В один день происходят выборы мэра города и префекта округа. На первую должность свои кандидатуры выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин, Юшкин, Яшкин. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования на выборах. б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина? в) В скольких вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв? г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»? 047.8. Ученик помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы Н, N, О и что есть один нижний индекс — то ли двойка, то ли тройка. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых ученику придется выбирать ответ. 275
б) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не ^а втором месте? в) Как изменится дерево вариантов, если ученик помнит что на первом месте точно стоит Н, а порядок остальных букв забыл? г) Как изменится дерево вариантов, если буквы могут идти в любом порядке? O47.9. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара, два белых и один черный. При вытаскивании черного шара его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят два раза подряд. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов. б) В скольких случаях оба вытащенных шара будут черными? в) В скольких случаях вытащенные шары будут разного цвета? г) Нарисуйте дерево возможных вариантов для трех вытаскиваний из двух черных и двух белых шаров. 047.10. Из пяти одноклассниц А, Б, В, Г, Д только В и Д дружат со всеми, Б дружит, кроме В и Д, только с Г, остальные не дружат между собой. Для проведения соревнования надо из этих одноклассниц выбрать капитана и его заместителя, которые дружат между собой. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора. б) В скольких вариантах капитаном будет А? в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать В? г) В скольких вариантах выбора Г будет заместителем? Вычислите: 7! + 8! 17-61 + 8! 047.11. а) 5ПГбУ; в> 7!+ 9! ; 1_ (10!)-(91)2. (7!)2 • (б!)2 0) И (8!)2-(7!)2 ' г) 4! 5! 8! 9Г _io ч 1 , 10 ^ 630. .1,1 49 О47.12.а) 4!+ 5! +"6Г' б) 6! + 5! " 7Г' 047.13. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!; б) 15!; в) 26!; г) 100!? 047.14. Укажите наибольшее натуральное число л, для которого: а) 10! кратно 2п; в) 26! кратно 5П; б) 16! кратно 2п; г) 28! кратно 3\ 276
047.15. Докажите тождество: а) (л + 1)! - л! = л • л!; б) (2л + 1)! - (2л - 1)! • 2л = 4л! • (2л - 1)!. 047.16. Решите уравнение: а) л! = 42(л - 2)!; в) 0,125л! = (л - 1)! - 90; б) (k + 17)! = 420(fc + 15)!; г) (3*)! = 504(3* - 3)!. 047.17. При каких натуральных значениях л выполняется неравенство: а) п\>(п + 1)(л - 2)!; б) 7 • (2л + 1)! (2л - 1)! < 8 ((2л)!)2? Докажите неравенство: #47.18. а) п\> (п + З)2 при л > 5; в) л! > 2п при л > 4; б) п\> (п + 2)3 при л > 6; г) л! > 4Л при л > 9. #47.19. а) 2,66 <1+1! + 2! + -"+л! ПРИ В°еХ п > 3; б) ^4 + р5 + ••• + рЯ" < 0,125 при всех л > 4; в) 1+ Т?+"2!"|"### + 7?<^ ПРИ всех д (используйте пункт б) и номер 47.18 в)); г) 1 + jy + 2j + ... + -^j < 2,75 при всех л. 047.20. У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если: а) место хозяина дома неприкосновенно; б) первыми садятся дети, и они садятся рядом; в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом; г) жены садятся рядом со своими мужьями? 047.21. а) В каждом из двух заплывов по шести дорожкам участвует по 6 пловцов. Дорожки между пловцами в каждом заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех возможных распределений пловцов по дорожкам. б) То же, но если в каждом заплыве один из пловцов — победитель отборочных соревнований — плывет по четвертой дорожке. в) То же, но если во втором заплыве участвуют 5 пловцов. г) То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца. 277
047.22. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды. а) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче. б) То же, но для двух, независимо проводимых матчей. в) То же, но если во втором матче участвует только по тр^ лучших шахматиста из каждой команды. г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой. 047.23. Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках. Их надо разослать директорам семи разных школ. а) Найдите число всех возможных рассылок приглаше* ний. б) То же, что и в пункте а), но если самую красивую открытку послать директору школы № 1. в) То же, что и в пункте а), но если в трех каких-либо приглашениях надо дописать и приглашения завучам по учебной работе. г) То же, что и в пункте в), но если надо пригласить еще трех завучей по воспитательной работе из трех других школ. 047.24. В зоопарке пять львов надо распределить по одному по пяти клеткам, четырех тигров — по четырем другим клеткам и трех слонов — по трем вольерам. а) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке. б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку. в) То же, что и в пункте а), но если у львов есть две семейные пары. г) То же, что и в пункте а), но если между клетками для тигров и клетками для львов нет разницы. § 48. Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты O48.1. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что: а) каждый здоровался с каждым; б) только один человек не здоровался ни с кем; 278
в) только двое не поздоровались между собой; г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой. 048.2, Каждую из п точек, являющихся вершинами выпуклого л-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной. а) Сколько провели отрезков? б) Сколько провели диагоналей? в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной Б? г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные допускаются)? 048.3. В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя. а) Найдите число всех возможных вариантов выбора. б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем. в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь. г) Найдите в пунктах а) и б), число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор. •48.4. Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия. а) Сколько существует различных типов билетов? б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны х в зону у рассчитывается по формуле S = 7 + 6\х - у\? в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб.? г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.? 279
Вычислите: 48.5. a) Cf7; б) С2Ш; в) С\; г) С\. 48.6. а) А?о; б) Al; в) А220; г) A}0 48.7. а) С%! - С%; б) 4fr в) С?! + С?х; г) ^ V-/10 O48.8. Упростите выражение: Л"" б) a) Л""2 ' б) O48.9. Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше: а) d37 или d48; в) d59 или d68; б) d4s или d59; г) Cl или Сл8+1. Решите уравнение: 048.10. a) Cl = 2С\\ в) С2Х + d2+i = 49; б) СГ2 = 15; г) CS = 70. 048.11. a) Al = 1SAU; б) А\_х - С\ = 79. 048.12. a) CI = Л2; в) С$ = Л3 + С£; б) d4 = А,3; г) 0,5А* = З^3.! + C3-i). 048.13. Решите неравенство: а) 120 < Л2-з < 140; в) С?о < А,2 < 60; б) С62 < Ал2 < С82; г) d29 < А2Х + d2 < ^200. 048.14. Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие). а) Найдите число всех возможных трезвучий. б) Найдите число всех возможных аккордов. в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль». г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты). 048.15. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могуг: а) выбрать каждый для себя по одному инструменту из 15 данных; б) выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 12 инструментов; 280
в) сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в пункте б) инструмента; г) выгнать одного из участников квартета, и потом сесть за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента? 048.16. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и потом одновременно открывают их. Найдите: а) число всех возможных вариантов выбранных карт; б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза; в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики; г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти. •48.17. По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трех певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц. а) Сколько существует различных вариантов состава хора? б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе. в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица Б. г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице. •48.18. Пусть у(п) = -jj-, n > 4. а) Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки (п; у(п)). б) Постройте график этой функции. в) Укажите наибольшее п, при котором у(п) > 0,25. г) Укажите наименьшее п> при котором у(п) отличается от g менее чем на 0,01. •48.19. Пусть у(п) = ^г", п > 4. а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки (п; у(п)). б) Постройте график этого многочлена. в) Укажите наибольшее п> при котором у(п) < 600. г) Укажите наименьшее п, при котором у(п) > 6000. 281
048.20. а) Докажите, что последовательность -р^~> п = 3, 4, 5, монотонно возрастает. б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4. в) Укажите номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20. г) Найдите предел этой последовательности при п —> оо. 048.21. Найдите п, при котором: а) число С2+1 составляет 80% от числа С3; б) число Сп+1 составляет 120% от числа С4; в) число С$п1 составляет 56% от числа C^ulu г) число CSn+г составляет 150% от числа С^Л- •48.22. Докажите тождество: А) Ьп — Ьп-1 + Cn_i, в) Сп — Сл_1 + Cn_i, О; Сп - Cn_i + Ьп-1 у Т> ^п - ^п-\ + W-2 + ^п-2 • •48.23. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно. а) Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля. б) Найдите сумму всех чисел в четвертой строке треугольника Паскаля. в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля. г) Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в п-й строке треугольника Паскаля равна 2\ 48.24. Раскройте скобки в выражении: а) (х + I)7; б) (2х - у)6; в) (х2 + 2)5; г) (1 - х3)4- O48.25. У многочлена Р найдите коэффициент при х3: а) Р(х) = (1 + Зх)4; б) Р(х) = (3 - 2х)5; в) Р(х) = (х + 2)5 - (2х + I)4; г) Р(х) = (х2 - х)4 + (з - f 1 . ( 1 Y O48.26. В разложении \х + — по степеням х укажите: а) член, содержащий х8; в) член, содержащий х~2; б) член, содержащий х4; г) член, не содержащий х 282
048.27. Найдите член разложения, не содержащий переменных: j j j б) (J + х~*) ; г) (*°'75 + х~г) 048.28. Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + Ь)п равна 1024. а) Найдите п. б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения. в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом? г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + Ь)п равна 512. 048.29. Найдите &, при котором достигается наибольшее значение выражения: а) С5*; б) с?в; в) С6\; г) •48.30. а) Докажите, что для любого натурального числа /1>1и любого х > 0 верно неравенство (1 + х)п > 1 + пх (неравенство Бернулли). б) Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства 1,001" > 1000. в) Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства 0,99л < 0,01. г) Докажите, что для любого 0 < q < 1 и любого а > 0 неравенство qn < а верно для всех натуральных /г, начиная с некоторого номера. § 49. Случайные события и их вероятности 049.1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно: а) делится на 5; в) делится или на 15, или на 25; б) делится на 13; г) не делится на 29. 049.2. Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что: а) его квадрат меньше 1000; б) его квадрат больше 9000; в) сумма квадратов его цифр больше 140; г) сумма квадратов его цифр не больше 10. 283
049.3. Два ученика независимо друг от друга написали по му двузначному натуральному числу. Найдите вероятность того, что: а) эти два числа различны между собой; б) сумма чисел равна 100; в) сумма чисел не больше 25; г) сумма чисел больше 190. 049.4. Из набора домино случайно выбирают одну фишку. Найдите вероятность того, что: а) это дубль; б) одна из ее половинок — «пустышка»; в) различие между очками на ней больше 4; г) сумма очков на ней больше 7. 049.5. Из значений п\ для п = 1, 2, 3, ... , 25 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) меньше миллиона; в) делится на миллион; б) больше миллиарда; г) не делится на тысячу. 049.6. Из чисел, расположенных в пяти первых строчках треугольника Паскаля случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) двузначно; в) кратно трем; б) нечетно; г) не является простым числом. •49.7. В круге с центром в начале координат и радиусом п случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что: а) сумма координат этой точки больше 3; б) произведение координат этой точки меньше 4; в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом v3; г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами (0; 2), (-2; -2), (1; -2). •49.8. Двузначное число составляют так. Его первая цифра получается в результате первого бросания игрального кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а вторая цифра — в результате второго бросания этого ку- бика. Найдите вероятность того, что это число: а) состоит из разных цифр; в) кратно 7; б) больше 20; г) простое. 284
049.9. Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников и каждый из них умный или красивый, или и умный, и красивый. а) Сколько учеников, которые и умны, и красивы? б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы? в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны? г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы. 049.10. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником? б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником? в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником? г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы. •49.11. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики». У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только «еврики», а у 31% туристов есть обе валюты. а) Сколько всего было туристов? б) Сколько туристов имеют тугрики? в) Сколько туристов имеют «еврики»? г) Измените в условии задачи 31% так, чтобы ответ в пункте а) стал наибольшим из всех возможных. •49.12. Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см. а) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см? б) Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные, но не красивые — ростом ниже 180 см? в) Каков ответ в пункте а), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см? г) Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см? 285
049.13. Экзамен пересдавали три ученика. Рассматриваются события: А — экзамен сдал ровно один ученик; В — хотя бы один ученик; С — не менее двух учеников; D — ровно два ученика. Опишите события: а)А + С; 6)A + D; в) В + D; г)А + В + С + д 049.14. Опишите события, противоположные событиям из пунктов а) — г) предыдущей задачи. •49.15. Из чисел 0, 1, 2, ... , 9 выбирают одно. Рассматриваются события: А — это четное число; В — это число больше 7; С — это число кратно 3 и не равно 0; D — это или 1, или 4, или 9. Опищите события: а)АВ; б) CD; в) ВС; г) ABCD. 49.16. Опишите события, противоположные событиям А, Б, С, D из предыдущей задачи. O49.17. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно один проигрышный билет; в) есть ровно два выигрышных билета; г) есть хотя бы один выигрышный билет. •49.18. В темном ящике п выигрышных билетов и п проигрышных, п > 2. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет. б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п. в) К какому числу стремится эта вероятность при п —> оо? г) Найдите /г, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4. •49.19. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно п билетов, п = 1> 2, 3, ... , 9. Найдите вероятность р(п) того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу. п р(п) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 049.20. В темном ящике 6 билетов, из которых п билетов выигрышных и 6 - п проигрышных, п = 0, 1, 2, 3, ... , 6. Вы случайно вытаскиваете одновременно 2 билета. Найдите 286
вероятность р(п) того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу. п р(п) 0 1 2 3 4 5 6 049.21. В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что: а) все шары белые; б) имеется, как минимум, три белых шара; в) имеется, как минимум, два черных шара; г) есть хотя бы один белый шар. •49.22. В темном ящике п белых и/i-l черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. а) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара. б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п. в) К какому числу стремится эта вероятность при п —> оо? г) Найдите п, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35. 049.23. Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты: а) ни разу не выпадет «орел»; б) ни разу не выпадет «решка»; в) «орел» выпадет ровно один раз; г) «решка» выпадет хотя бы один раз? 049.24. Решите задачу 49.23 для четырех бросаний монеты. •49.25. а) Какова вероятность того, что при п бросаниях монеты «решка» выпадет хотя бы один раз? б) Как меняется эта вероятность с изменением п? в) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. г) При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной «решки» будет больше 0,999? 049.26. Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от 0 до 9. Какова вероятность того, что среди написанных цифр: а) не будет ни одной цифры 0; б) будет хотя бы одна цифра 5; в) не будет ни одной четной цифры; г) будет хотя бы одна нечетная цифра? 287
•49.27. Каждый из п учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9. а) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5? б) Как меняется эта вероятность с изменением nl в) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. г) При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности ее отсутствия? •49.28. Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.) а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется? б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений? в) Какова вероятность того, что хватит именно п повторений? г) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. O49.29. Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадет в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу. а) Какова вероятность р(п) того, что ему хватит п выстрелов? б) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. в) Численные результаты для 71 = 1,2,3,..., 7 соберите в таблицу. п р(п) 1 2 3 4 5 6 7 г) Найдите предел суммы р(1) + р(2) + ... +р(п) при п -» оо. •49.30. Найдите вероятность р встречи с контролером при одной поездке, если известно, что вероятность хотя бы одной встречи: а) при трех поездках равна 0,875; б) при четырех поездках равна 0,9984; в) при пяти поездках равна 0,98976; г) при шести поездках равна 0,468559. 288
Дополнительные задачи #7.48. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области значений функции: а) у = yjx2 - 7х - 3; б) у = у/х2 - 7х + 24. •8.53. а) Дана функция у = /(х), где /(х) = 2х2 - 5х + 3. Нечетная функция z/ = g(x) определена на всей числовой прямой, причем f(x) = g(x) при х > 0. Вычислите /г(-2), где /г(х) = /(х) + g(x). Ъх + 1 б) Дана функция i/ = /(#), где Дх) = ^2 ^. Четная функция г/ = g(x) определена на всей числовой прямой, причем f(x) = g(x) при х < 0. Вычислите Л(1), где Л(х) = + •8.54. При каком значении параметра а функция у- х2(ах + + 2а - 6) является: а) четной; б) нечетной? •9.36. Известно, что у = f(x) — четная, периодическая функция с основным периодом, равным 8, и что на отрезке [0; 4] она задается формулой у = \1х + 1. а) Решите уравнение f(x) = 0; б) решите уравнение f(x) = 1; в) решите неравенство f(x) > 0,97; Ш > 2, г) решите систему неравенств 1 [-4 < х < 8. •9.37. Функция у = f(x) является периодической с периодом Т = 8. На отрезке [-1; 8] она задана следующим образом: 1-х, если -1 < х < 1; х - 2, если 1 < х < 5; 8 - ху если 5 < х < 7. а) Вычислите: /(40), /(50), /(-65). б) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [-10; 10]? •13.54. Решите уравнение х4 - 4х3 + Ах2 + cos2 ^ = 0. •14.37. Сколько целых чисел содержится в области значений функции: а) у = ^8 - 27 sin х - 4sin2x; б) у = ^4 + 24cos л: - sin2*? 289
O16.73. Укажите число четных и нечетных функций среди дац. ных: а) г/i = 2 sin ху у2 = cos 2л:, у3 = х sin х, у4 = sin (л:2 + 1) г/5 = sin 0,25л:3; sin х я , б) г/i = ^в7' У2 = cos 3:с' 0з = ~х sin *> 04 = sin (х - 1), г/5 = ^ + sin 0,5л:; COS X в) z/i = 2 - ■^7' У2 = х + cos 0,5л:, у3 = х* + xzsin^ _ sin (x2 + 2) _ sin* ^4 " 2+cos (2-х2)' ^5 " ^Г"; г) ух = ^3 + cos Зх, у2 = cos yjx, уз = x^l - cos 2x9 y4 = sin x + + cos x, i/5 = sin x cos x. O16.74. Укажите число периодических функций среди данных: а) yi = cos2 х, у2 = cos х2, у3 = sin (х2 + 1), i/4 = sin (2x + 3), i/5= Vl + sin2^; cosjc: / i-\ . x+ 1 б) i/i = ^p г/2 = 5, г/з = cos IVx j, i/4 = sin —£-» г/5 = л/1 + cos2 л:; sin jc о в) i/i = , г/2 = sin (л: + 2), i/3 = cos (лт + 2), у4 = cos (14л: - 7), г/5= л/2 - sin2 л:; ? л . 9 sin 2л: г) г/i = 2, у2 = х , г/3 = 2 sin л:, i/4 = cos х\ г/5 = cos2jc' г/6 = sin (cos л:), г/7 = cos2 л:. •16.75. а) Функция г/ = ^(х) четная и определена на всей числовой прямой, a f(x) = g(g(x) + 3) + #(8 + 2g(x)). Вычислите /(2), если известно, что #(2) = -5. б) Функция г/ = g(x) четная, периодическая с основным периодом Т = 2 и определена на всей числовой прямой, a f(x) = g(g(x) + 1) + £(5 + 3g(x)). Вычислите /(3), если известно, что #(3) = -4. в) Функция г/ = g(x) четная и определена на всей числовой прямой, a f(x) = g(g(x) + 2) + #(14 + 5^(л:)). Вычислите /(1), если известно, что #(1) = -3. 290
г) Функция у = g(x) четная, определена на всей числовой прямой и периодическая с основным периодом, равным 5, a f(x) = 2g(13 - 2х) + g,2l_ 28)- Вычислите /(10), если известно, что g(7) = -5. #20.30. Решите уравнение 9х2 - 6х + 6 = (л/б - tg Зпх)(у/Е + tg Зкх). 4 - л: #20.31. а) Сколько целочисленных решений неравенства х, к ^ О удовлетворяют неравенству 1 + ctg2 ^§- > О? б) Сколько целочисленных решений неравенства 5л: + 36 > х2 удовлетворяют неравенству 4л:2 + 1 + tg2 -g- > 4л:? 021.63. На сколько процентов: а) число arccos (sin 45° + cos 135°) больше числа 5in(cosf); arcsin б) число arccos (sin 30° + cos 120°) больше числа arcsin I cos-^ I; в) число arcsin (c08"^") меньше числа arccos (sin 30° + cos 120°); г) число arccos (sin 60° + cos 150°) больше числа arcsin 021.64. На сколько: а) число ctg (arctg 4) меньше числа tg (arcctg (0,8)); б) число tg2 (arccos (-0,25)) больше числа tg2 (arccos (-0,5)); в) число tg2 (arccos 0,5) меньше числа ctg2 (arcsin —j; г) число ctg2 (arcsin (-0,2)) больше числа tg2 I arccos —I? •21.65. Решите уравнение: а) 2л:3 - x + 4 = Юл:2 + 2 cos (arccos (0,5л: - 3)); б) sin (arcsin (5л: - 4)) = yJlOx + 16. 291
O22.69. Сколько корней имеет данное уравнение на данном межутке: а) 2 + ctg2 х = (sin x)~2 + cos 4л:, х € (-тс; Щ- ; б) tg2 л: = (cos х)~2 + sin Зх, х € (-О,5тс; 2л:]? •23.43. Решите уравнение: а) |sin x\ (cos х + 2 sin x) = 2 - 2 cos2 я; б) |cos л:| (2 cos л: - 3 sin я) = 2. •23.44. Решите уравнение: 2cos2jc + 5|cosx| - 3 _ 2sin2x + |sinjc| - 1 _ а) V = °; б) = ° •23.45. Решите уравнение cos2 Зх - 2 cos 2x cos Зл: + 1 = 0. O24.53. Найдите значение выражения: а) ((1 + cos 44° cos 1° - sin 44° sin 1°)2 - 1,5)2; б) ((1 + sin 57° cos 3° + cos 57° sin 3°)2 - 1,75)2; в) ((2 + sin 41° cos 4° + cos 41° sin 4°)2 - 4,5)2; r) ((2 + cos 25° cos 5° - sin 25° sin 5°)2 - 4,75)2. O27.73. Сколько корней имеет данное уравнение на данном промежутке: а) 2 cos2 х - sin 2x = (cos x - sin xf, (-0,5тс; Зтс); б) 6 cos2 х + sin 2x = (cos x + sin xf + 2, (-тс; 3,5тс)? O28.39. Во сколько раз: а) число (sin 70° + sin 50°)2 больше числа sin2 80°; б) число (cos 65° + sin 65°)2 больше числа sin2 50°; в) число (cos 50° + cos 40°)2 больше числа sin2 85°; г) число (tg 57° + tg 3°)2 больше числа (cos 54° + 0,5)~2? •30.27. Сколько целых чисел содержится в области значений функции у - (sin л: + V3cosx) + sin lx + -^J + 3? •30.28. Решите уравнение cos x - sin x cos 4x = V2. 040.17. а) Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции у = f(x) в точке А(2; -4,5). Вычислите f (2). б) Прямая, проходящая через точку А(1; 1), является касательной к графику функции у = f(x) в точке Б(3; 4). Вычислите f (3). 292
#45.16. Решите уравнение 4х (4л:3 + Зх2 - 6л: + 2,75 - sin кх) = 0. #46.65. Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции у = ^(х3 - х2)3 + у/х2 - 6л: + 9, х € [0; 5]? #46.66. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = |>/2- х2 - 2| + л/2 - л:2 - 2 + 2л: - л:2, б) Найдите область значений функции у = |>/8 + 2л: - х2 - 4| + V8 + 2л: - л:2 + л:3 - Зл:2 - 9л:.
ОТВЕТЫ Повторение П1 ч 1 ок _ 16 ч 24 ч 1 „ о ч Зх -1 _ 5л: - П.1. а) 1,35; б) ^; в) -^; г) -^g. П.2. а) ——; б) —^- 2л:- 1 2л: - 1 х + 4 ' г^ j^-З' ^ф а) */ = * ~ 5, # — любое число; б) у = t - 2, * * ±2; в) I/ = р - 4, р * ±75; г) у = т - 2, т * 2. П.4. a) i/ = ^J; х * 3; 3 4 1 б) I/ = —^; х * 3; в) у = ^g; jc * 2; г) i/ = -1^; х * -1. П.5. а) у = х + 2, х * 2, л: ф -5; б) I/ = х + 4, х * 2, х * 4; в) у = х + 3, х * 3, jc * 4; г) у = х - 2, х * -2, х * -1. П.6. а) х = ^1 + 2; б) * = 1 - ^~; в) х = —^г - 3; г) х = 3 Ц-. П.7. а) 2(5 - Ь); б) т + 2; в) 5(а + 1); I/ + 1 У — о 2 111 г) 3 + х. П.8. а) 7ЙТ2; б) "2^7?; в) ^Г2; г) F=T П'9' а) а + 1; б) 6 - 3; в) р + 4; г) х - 5. П.1О. а) — р б) а; в) у; г) ^т^' П.11. а) ^Гу 3 3 л: х -1 /п(/п - 3/г) 13 б> 7^4; в> ^ГГЗ; Г> 7ТЗ- П12 а> 1^; -10= б> ; 25- П.13. -1. П.14. а) Щ-\ б) Щ^-; в) 3>/l5; г) -^(Д. П.15. а) 7; б) 12; в) 12; г) 4,4. П.16. а) 1; б) 1; в) 2yfl7; г) V2. П.18. а) А < В; б) А < В. \ б) 14т - 13>/д; П.19. а) Ни при каких; б) 9. П.20. а) в) в) ; г) - . П.21. а) p-q 3|; в) 1; ; б) П.23. а) 2Ь(а - Ь); б) а; в) ^Ц=^; г) ^-, если а > Ъ > 0; —, если Ъ > а > 0. П.24. а) 3; б) 3; в) -0,5; г) -\\. П.25. а) 0; б) 9; в) -1; -3,5; о г) -д. П.26. а) 20; б) 2; в) -10; г) -88. П.27. При т = 1. П.28. 1 < а < 2. 294
fl.29. a = ±|. П.30. a) x > -1,5; 6) x < 5; в) x < 1; r) x < -2. П.31. a) x < -4; 1 3 x > 2,5; 6) -2,5 < x < 3; в) x < -1~; x > 1; r) x < -£, x > 2. П.32. a) x — любое число; б) 3 < x < 9; в) х < -9; х > 4; г) таких х нет. П.ЗЗ. а) х < -2; х > 2; б) л: < 1,5; х > 4; в) * < -3; -0,5 < х < 0,5; х > 2; г) х < 1; 1 < х < 3; * > 5. П.34. а) 0 < * < 1; х > 2; б) * < 0; l| < х < 2; х > 4; в) х < -3; -2 < # < 0; г) # < 1; # > 2. П.35. При а < 0 и а > 1. П.36. а > 3; таких значений нет. П.37. а) х > 16; б) -0,2 < х < 2,5; в) х > 6,2; г) -4,25 < х < 4,75. §1 1.3. 112, 113, 114, ... , 147. Наименьшее 112, наибольшее 963. 1.14. а) 1; 2; 4; б) 8; в) 1; 2; 3; 4; 6; 12; г) 6; 7; 28; 51. 1.15. а) 2; 3; 4; 6; 12. б) 1; 2; 3; 6. 1.17. а) 2; (1; 1); б) 114; (1; 1). 1.18. а) Да; б) да. 1.19. а) 1; 2; 4; б) 0,5; 1; 1,5; 3. 1.20. а) 0,5 и 1; б) таких значений нет. 1.21. а) 0; 3; 5; б) -1; 3. 1.23. а) 1; б) 1; в) 5; г) 6. 1.24. а) Да, например 6 и 2; б) да, например 2 и 1. 1.35. а) 8; б) 24; в) 18; г) 16. 1.36. а) 8; б) 18; в) 38; г) 98. 1.37. а) 2; б) 4; в) 9; г) 24. 1.38. а) Двумя; б) четырьмя; в) девятью; г) двадцатью четырьмя. 1.39. а) 23! + 2 делится на 2, 23! + 3 делится на 3; 23! + 4 делится на 4, ... , 23! + 23 делится на 23; б) 101! + 2 делится на 2, 101! + 3 делится на 3; 101! + 4 делится на 4, ... , 101! + 101 делится на 101; в) 22, 100; г) 1000001! + 2; 1000001! + 3; 1000001! + 2; ... ; 1000001! + + 1000001. 1.41. р = 3; q = 2. 1.42. а) р = 11; q = 5; б) р = 11; q = 3 или \х = 1 + 2k; \ х = 4 + k; р = 5; q =. 17. 1.56. а) \ ' k e Z; б) \ k e Z; (15; 1); (-15; -1); (3; 5); (-3; -5); (5; 3); (-5; -3); б) (1; 3); (-1; -3); (1; -3); (-1; 3); в) (1; 1); (-1; -1); г) решений нет. 1.58. а) 12; б) 48; в) 35; г) 180. §2 2.6. а) |; б) \; в) 1; г) |. 2.11. а) 3; б) 7; в) 1; г) 6. 2.13. а) ^-; 1 7 137 б) 12i^g; в) -1^; г) -ЩОО- 2Л7' а) °'(6); б) 1>8(6>; в> М8* г> 2,08(3). 295
§3 3.4. а); б); в); г) Иррациональным. 3.6. а); б); г) — числа рациональные; в) — число иррациональное. 3.7. а) 77 - 3 и 1 - 77; б) 77 - 3 ц 1 + 77; в) >/7 - 3 и 77 + 3; г) 72 и 572. 3.8. а) Нет таких чисел; б) 77 и 728. 3.9. а) х2 - 2 = 0; б) х2 + 10* - 22 = 0; в) Зх2 + 12* ^ - 3 = 0; г) составить такое уравнение невозможно. 3.10. а) Например, ос = 2 + 73; Р = W3; б) например, а = 3 - 72; Р = 472. 3.11. а) Су- щестует, например, при а = 2 + 73 число с = 4; б) существует, напри- /-I о _ 1 мер, при а = ^Цг—- число с = 3. 3.13. а) 1,5; б) 1; в) 2; г) 3,99. 3.14. а) ТОД; б); в); г) 71,44001. 3.15. а) 1,6; б) 0,49. 3.16. a) б) 73 - 1,4. 3.17. а); б) Единственная точка (0; -2). 3.18. а) (73; 573 - 2); б) (772; 2 + 72). 3.19. а) Такой треугольник существует, так как 72 + 1 > 73; б) такого треугольника не существует, так как 73 + 75 < 4. §4 4.5. а), б) Не существует. 4.12. а) 1; б) 1; в) 1; г) 6. 4.13. а) 0; б) 0; в) 0; г) 5. 4.14. а) 3 < Ь < 4; б) 3 < Ь < 4; в) 0 < Ь < 1; г) таких Ь не существует. 1 - И 4.15. а) [-20; 12]; б) (17; 22). 4.16. а) а > 2,5; б) ^ < а < 1; а > 1. 4.17. a) f-1 - ^; - 1 + А а > 2,5; б) (-*±; о\ а > 1. 4.18. 3 < р < 4. 4.22. а) п > 2; б) п > 11; в) п > 10 001; г) п > 307. 4.25. а) 1 < х < 2; б) -11 < х < -10; в) -1 < х < 0; г) 11 < х < 12. 4.26. а) х — любое целое число; б) -2; в) 0; г) -3. 4.31. а) х = k + 0,123, где k принимает любые целочисленные значения; б) 999,123. 4.34. а) [1; 33]; б) [-6,25; 0]; в) [-320; 0]; г) [-1; ^]. §5 5.3. а) х > 0; б) х > 7; в) х < 0; г) 3 < х < 4. 5.10. а) 4 - к; б) 1; в) 7 - 2л; г) 5,3 - 277. 5.11. а) 4; б) 8; в) 21; г) 66. 5.13. а) 1; -9; б) 7; о в) 19; -11; г) -1; -g. 5.14. а); б) Решений нет; в) 4; г) -4. 5.15. а) 4; б) 2; в) 0; 7; 1; г) 2; -1. 5.16. а) х > 4; б) х > 2; в) 1 < х < 7; г) -1 < х < 2. 5.17. а) х < 3; б) (-оо; 1) u (1 + 7б; +оо); в) f-oc; -|1 u [1; +оо); 296
г) (-°°; !] u [2; +°°)- 518- а) 3 или 9; б) 9 или 23. 5.19. а) 0,5; 1,5; б) 1; 2. 5.20. а) 9 или 23; б) 9 или 23. 5.21. а) 0 или 1; б) | ^р; 11 5.25. а) 2; v 29 ) б) 7; в) -7; г) 0. §6 6.2. а) <*±^; б) Qn^Sn. в) о,О25,(33 + п); г) 6.3. a) -k при п = 2k; k при n = 2k - 1; б) k(2k + 1) при п = 2k; k(l - 2k) при nL л ч л(л + 1) о, я(л +1) л о, 1 д = 2fc - 1; в) ^ р—- при /г = 2fc; ^ ^—- - 1 при п = 2k - 1; 29 292 г) -2fc(& + 1) при п = 2k; 2k2 при п = 2k - 1. 6.10. a) ggg; б) 447. 6.16. а); б) Первое равенство неверно уже для п = 1. Второе равенство верно для п = 1, но не для всех k из А(&) следует А(& + 1). Таким образом, равенство неверно. Третье равенство верно. §7 (4 - х\х \5(х + 4), -4 < х < 2; 7.9. a) S() ^ 0<<2б>*>{ у _|_ 9 3l/^ — 12 7.11. а) у = ±Л/ ^ » х - о J уравнение задает функцию вида ^ = ф(£/) и не задает функцию вида у = f(x); 6)у = х или у = -х - 1; х = у или я = -у - 1 при х Ф 3, -4, I/ * 3, -4. 7.21. а) [-1; 7]; б) (-оо; -1] и (1; +оо); в) (0; 1]; г) [-1,5; И]. 7.22. a) D(f) = [-3; 2], E(f) = [1; 5]; б) D(f) = [-3; 2], E(f) = [0; 9]. 7.24. а) [12; +оо); б) [-8; 1]; в) [-12; -1) и (-1; 1) и (1; +оо); г) [-3; 1]. 7.25. а) Зх + 2; б) -Зх - 13; в) 5; г) f(f(x)) = 9х - 4. 7.26. а) 4*2; б) (х - 5)2; в) 81; г) х\ 7.27. a) j^; б) ^г|; в) /(/(5)) = 5^-; llx + 2 г) у + 6 * 7.29. а) Если а > 1, то [а; +оо); если а = 1, то (1; +оо); если -1 < а < 1, то [а; 1) и (1; +оо); если а = -1, то (-1; 1) и (1; +оо); если а < -1, то [а; -1) и (-1; 1) и (1; +оо); б) если а < 0, то R; если а > 0, ГЛ. !1. L а' aj' то —; — ; в) если а > 4, то (-оо; 3] и [4; а) и (а; +оо); если а = 4, то Н»; 3] и (4; +оо); если 3 < а < 4, то [а; 4) и (4; +оо); если а = 3, то (3; 4) и (4; +оо); если а < 3, то [а; 3) и (3; 4) и (4; +оо); г) если а > 1, то 0; если а = 1, то {1}; если -8 < а < 1, то [а; 1); если а < -8, то И; 1]. 7.30. а) (-оо; -3) и (-3; 1]; б) (-оо; -3) и (-3; 1]; в) (-оо; -3) и 297
и (-3; -0,5] и (-0,5; 1]; г) (-оо; -3) и (-3; 1]. 7.31. а) [4; 5]; б) [-1; 0] и [4; 5]; в) [4; 5); г) (-1; 0] и (4; 5]. 7.32. а) [-4; 1]; б) [-4; ц. в) (-4; 1]; г) [-4; -2) и (-2; 1]. 7.33. а) [-10; 5]; б) [-10; 5]; в) [-10; 10]; г) [-5; 5]. 7.34. а) [-1; 10]; б) [-13; -2]; в) [-2; 9]; г) [-2; 9]. 7.35. а) а < -ц. 4 4 4 б) а > 4. 7.36. а) а > 0; б) -д < а < 0; в) а = --=; г) а < -д. 7.38. a) b = -31; -3 < b < -2; б) b = -29; 5,5 < b < 6,5; в) (-оо; -31) и (-31; -30) и (-30; -29) и и (-29; -3] и [6,5; +оо); г) (-оо; -32) и (-31; -4] и [4,5; +оо). 7.40. а) [0; 25]; б) [0; 5]; в) [-27; 125]; г) [1; 3]. 7.41. а) [-3; 5]; б) [0; 8]; в) [0; 8]; г) [а - 5; а + 3]. 7.42. а) [-3; 5]; б) [0; 8]; в) [0; 8]; г) [а-5; а + 3]. 7.43. а) 1, 2, 3; б) нет таких значений; в) 2, 3, 4, 5, 6, 7; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5. 7.44. а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо). 7.45. a) E(f) = [-5; +оо) при b > -5; б) при а > -7; E(f) = [-7; +оо). 7.46. а) При \а\ > 2yfS; E(f) = (-оо, -2>/з] и и [2^3; +оо); б) при \а\ < 2; E(f) = [-2; 2]. 7.47. а) (-ос; _4>/2] и U [4>/2; +оо); б) (-оо; -8] U [4; +оо); в) (-оо; +оо); г) (-оо; +оо). §8 8.4. а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо); в) (-оо; 0) и (0; +оо); г) (-оо; -7) и 1 и (-7; 2) и (2; +оо). 8.5. а) у = ш _ х> б) ^(100 - х)(х - 101); в) у = $100 - х; г) у = ^-(100 - х)2. 8.6. а) у = _ ху ;в)у>/(Х-2); т)у= 8.10. а) (-оо; 1) U (1; +оо); б) (-оо; 1) и (1; -юо); в) (-оо; -12) и (-12; +оо); г) Г-оо5 |1 и (I; +оо\ 8.11. а) [5; +<х>); б) (-оо; 1]; в) (-оо; 2]; г) [-1; -too). 8.12. а) {1; 3}; б) (-1; +оо); в) (-оо; +оо); г) [0; +оо). 8.13. а) {0; ±2; ±4}; б) {0; 2}. 8.14. а) [3; -к»); б) (-оо; 0) и (0; +оо); в) (-оо; 36]; г) (-оо; 1) и (1; +оо). 8.15. а) [-3,25; +оо); б) f-oo; 1з1]. 8.16. а) [-4; +оо); б) (-оо; +оо). 8.18. а) Убывает на (-оо; 0,75]; возрастает на [0,75; -юо); б) убывает на (-оо; 1]; в) убывает на (-оо; -0,6]; возрастает на [-0,6; -к»); г) возрастает на [-0,6; +оо). 8.21. а) Убывает на [5; -к»); б) возрастает на [1,5; +оо); в) убывает на (-оо; 2]; г) убывает на (-оо; 0,75]. 8.23. а) Убывает на (-оо; 0]; 298
возрастает на [0; +оо); б) убывает на (-оо; 0]; возрастает на [0; +оо); в) убывает на (-оо; 1,5]; возрастает на [1,5; +оо); г) убывает на (-оо; 0]; возрастает на [0; +оо). 8.24. а) Убывает на (-оо; -1] и на [0; 1]; возрастает на [-1; 0] и на [1; +оо); б) убывает на (-оо; -3] и на [0; 3]; возрастает на [-3; 0] и на [3; +°°); в) убывает на (-оо; -2] и на [1,5; 5]; возрастает на [-2; 1,5] и на [5; +оо); г) убывает на (-оо; -4] и на [0,5; 5]; возрастает на [-4; 0,5] и на [5; +оо). 8.27. а) Возрастает на (-оо; 0]; убывает на [0; +оо); б) возрастает на (-оо; -3]; убывает на [-3; +оо); в) возрастает на (-оо; -1) и на (-1; 0]; убывает на [0; 1) и на (1; +оо); г) возрастает на (-оо; -2) и на (-2; 2]; убывает на [2; 6) и на (6; +оо). 8.28. а) Возрастает на [-3; -1] и на [0; 2]; убывает на [-1; 0] и на [2; 3]; б) возрастает на [-2; -1] и на [1; 3]; убывает на [-1; 1]; в) постоянна на [-3; -1); возрастает на [-1; 0) и на (0; 1]; убывает на [1; 2) и на (2; 3]; г) убывает на [-3; -2), (-2; -1], [1; 2) и (2; 3]; возрастает на [-1; 0) и на (0; 1]. 8.29. а) -0,5; 1; б) (-оо; -0,5) и (1; +оо); в) -8; 6; г) [-8; 6]. 8.30. а) -2; б) [-оо; -2,5) и (-2^; -21 и (1; +оо). 8.31. а) -0,5; V 3 J б) 1 ^"о , -0,51 8.32. а) -0,5; б) (-0,5; — 1 8.34. а) 1; б) 2; в) 3; г) 1. 8.35. а) 9; б) \\ в) 4; г) 0. 8.38. а) у = -|х - 3, - 3 < х < 0; -^х + 2, 0 < х < 3; б) у = %-(х - I)2 - 2, -2 < х < 1; 8.43. а) уиаи6 = -73, уиаям = -148; |(х - I)2 - 2, 1 < х < 4. б) наибольшего значения нет; унаим = у(0) = -100; в) наибольшего значения нет; Уиаим = */(4) = -148; г) наибольшего значения нет; упаюл = у(4) = -148. 8.44. а) i/наиб = 13; уиаим = -51; б) уийИб = 19; наименьшего значения нет; в) Унаиб = 21; наименьшего значения нет; г) унаиб = у(-3) = 21; наименьшего значения нет. 8.45. а) 2; б) 2; в) ^; г) 2. 8.46. а) уивиб = 1; унаим = -1; б) Унаиб = 0,5; уивюл = -0,5; в) уиаиб = 2,5; уиатл = -2,5; г) унаиб = 3,5; унаим = -3,5. 8.47. а) 2; б) 4; в) 4; г) если п - четное число, то унаим = *—-; если п — (п + V\2 нечетное число, то уиаим = -—j-*-. 8.48. а) уиаяб = у{1) = 5(а + 1); уиаим = = у(-1) = 5а - 3; б) уийИб = у(2) = 4 - а; унаим = у(-1) = -5 - а. 8.49. а) Если -1 < a < 2, то уиаиб = у(-1) = 5, г/на^ = у(а) = а2 - 4а; если 2 < а < 5, то 1/наиб = у(-1) = 5, 1/наим = у(2) = -4; если а > 5, то 1/наиб = у(а) = == а2 - 4а, 1/наим = 1/(2) = -4; б) если 1 < а < 3, то уиаиб = у(а) = -а2 + 2а - 3, #наим = у(3) = -6; если -1 < а < 1, то 1/наиб = у(1) = -2, унаим = у{-1) = -6; если а < -1, то уиаяб = i/(l) = -2, 1/наим = у(а) = -а2 + 2а - 3. 8.50. а) 3; б) -2. 8.52. а) 0; б) 1; в) 0; г) корней нет. 299
§9 9.5. а) 7; 11; 13; 0; б) 0; 0; 0; в) 11; 11; 7; г) 0; 0. 9.6. а) /(1) > /(31). б) f(ll) > /(НО); в) /(-17) = /(831); г) /(б + #§) = /(#* - б). 9.7. а) Да. б) нет; в) нет; г) да. 9.17. а) — г) Нет. 9.18. а) — в) Нет; г) да. 9.19. а) -~ в) Да; г) нет. 9.20. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 9.21. а) 1; 1; 1; 1; б) 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; в) 2; 2; 2; 2; г) |; |; |; |. 9.22. а) Т = 1; Т = 3; б) Т = Х; Т = -=; в) Т = 20; Г = 20; г) Г = 12; Т = 4,4. 9.24. а) Нет; б) может, например: у = yjl - 2{х}; в) нет; г) может, например: у = -рг. 9.25. а) Нет; б) у = {х} + 6; в) нет; г) у = {я} + 8. 9.26. а) Нет; б) может, например: О _ у.' у = {-х}; в) может, например: у = {х}; г) может, например: у = 8 9.30. а) Наибольшее значение 5; наименьшее -2; б) наибольшее 5; наименьшее -2; в) определить невозможно; г) наибольшее 5; наименьшее -2. 9.31. a)x=l+4ft,fe6Z;6)(l + 41; 4 + 4Z], Z 6 Z. 9.32. а) х = -2 + 5*; x = 5l,keZ;leZ;6)(l + 5r, 2 + 5г], г 6 Z; в) х = 2 + 5*, t e Z; г) (-2 + Ъп\ Ъп\ п е Z. 9.33. а) х = 4k, k e Z; б) х е R; в) х = -3 + 2/г, /г 6 Z; г) (-3 + 41; -1 + 4Z), I € Z. 9.34. а) Существует, например: f(x) = 3 + 4х - у[х; б) существует, например: f(x) = 3 + v-# - \l-x. 9.35. а) Существует, например: f(x) = 1; б) нет. §10 10.7. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 10.9. а) у = —-—; б) у = 2х - 1' в) у = - ; г) у = ■ 10.10. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 10,5л:, если х < О, 1 1 1 -=х, если л: > о , если л: > 2; J1*, если * < ft в) j/ = 3 1-х, если л: > О, 300
х<О;в)у= 2 1у х > 0; г) у = 3 5* ' ' 1014' а> Может» б> не может; в) может; г) может. 10.15. а) — г) Да. 10.16. а) Нет, не может (если область ее определения не состоит из одного нуля); б) может; в) не может; г) может. 10.17. а) Да, может; б) может; в) не может; г) может. 10.19. а) Нет; б) у = у/х; в) нет; г) у = -4х. 10.20. а) Нет; б) у = у/х + 2; D(f) = [-1; 2); E(f) = [1; 2); в) нет; г) у = - yfx~72; D(f) = [-2; 4]; E(f) = [-2; 0]. 10.21. а) Нет; б) у = V* + 2 - 3; D(f) = [-2; +оо); £(/) = [-3; +оо); - 3; D(f) = [-2; +оо); £(/) = (-оо; -3]; г) нет. 10.23. а) у = в) у = ~ у = х + 6, на R обратной функции нет; б) у = 5 - х, у = [7-х ,еслил:<3; jc - 5 ,- у = < Z в) i/ = —о—» i/ = vjc, на Д обратной фукнции [5 - х, если л: > 3; 2 - х [£^£ если jc < 2- нет; г) у = 3 - jc, у = ^у^» У = \ *? ' ' 10.25. a) /(jc) = 7; [з - jc, если jc > 3. л: = 1 и #(jc) = 3; jc = 5; б) /(jc2) = 25; корни: -3; 3 и #(jc2) = 4; корни: -2; 2; в) № = -7;t = lng(t)= 15; * = -3; г) /(3jc) = 7; х = « и £(5 - jc) = 7; = 0. 10.33. а) Да; б) нет. 10.34. а) у = ^, если л: < 0, ^, если х > О, 4 б) нет; ~, если х < 0, I в) I/ = j г) нет. 10.35. a) i/ = \ ' "' ' б) нет; -#, если л: > 0; К*» если * > °» /-jc, если jc < 0, -V2 - jc, если jc < 2, в) у = \ . г) нет. I-VJC - 2, если jc > 2; §п 11.11. а) IV; б) II; в) III; г) I. 11.12. а) III; б) II; в) IV; г) IV. 11.13. а) 6; б) 8; в) 3; г) 5. 11.18. а) пп; б) | + пп; в) | + пп; г) -j + кп. 301
11.19. а) | + ^; б) ™. 11.20. а) | + яп; б) -| + тта; в) ±-у + 2яц; г) ±g + 2кп. 11.21. а) -у; б) | + =^\ в) ±^ + ял; г) ^. 11.22. а) 2лл < t < £ + 2лл; б) ял < t < £ + ли; в) £ + 2лл < t < ^г + 2ял- г) -7т + ял < * < лп. 11.23. а) ^ + 2лл < * < -^ + 2лл; б) --^ + 2лл < < * < ^ + 2лл; в) |- + 2лл < * < -^ + 2лл; г) —^ + 2лл < * < | + 2ял. 11.24. а) --т + пп < t < пп; б) пп < t < -j- + ял; в) -т + пп < t < -j- + ял; г) -у < * < -г + -у. 11.25. a) tj + 2ял < ^ < у + 2ял; б) 2лл < t < -g- + я 4л л я - ^ лл ч ^ тс л ^ч 7я л 11.26. a) --Q + 2ял < t < -q + 2пп; б) --g- + 2ял < t < g 5я 7я 11л ft . . лл ч в) -~g- + 2лл < t < 2пп; г) -g- + 2лл < t < —g- + 2ял. 11.29. а) ял; —V ЛЛ v Я v ЯЛ ^ ^ лл v ЯП-. Я ЯЛ v ^ЯП- Я б) у; в) 2 + ял; г) у. 11.30. а) -у, б) ^ + у; в) -у, г) ± g + ял. ^^ л^ v тс 2ял ^ пп v я ял v ял .,., лл ч я 4я 2я 11.31. a) gQ + -g-; б) -§-; в) ^ + "з"; г) х* 11#32'а) 15' 15' ~Т; лч ,я Зя. ч я Зя. Зя ,2я ,5я лл оо ч , я 5я 7я. б) ± 8' ±"8"' в) ~ 8' "8"' г) ±Т' 21' 21* 11#33* а) ± 6' 6 ' 6 ' 2Е ^?_ . 2£ Зя 5я ч тс _я_ Iя. 5я я 13я 2я Тя °> 4' 4; в)±4' 4' 4' г)"3' 12' 12' "12' 6' 12' 3' 6# 11.34. а) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; б) -1,5; 0,5; 2,5; 4,5; в) -3, -1, 1, 3, 5. 2 115 15 г)-2д, -lg, 3, lg, З3, 4gJ §12 12.6. a) tj, у; б) ^р ^; в) у; г) -|, ^. 12.8. a) jc < 0, у > 0; б) jc < 0, у > 0; в) jc < 0, у < 0; г) jc > 0, у > 0. 12.9. a) jc > 0, у < 0; б) jc < 0, у < 0; в) jc > 0, у < 0; г) jc > 0, у < 0. 12.10. a) jc < у; б) jc < у\ в) х > у; г) х < у. 12.11. а) |х| > \у\; б) |х| < \у\; в) |х| > \у\; г) |х| < |i/l- 12.20. а) ^ + ял; б) -| + ял; в) -^ + ял; г) ^ + ял. 12.21. а) -| + я я 5я я я < i < "^ + 2ял! б) "о + 2ял < i < ~о~ "I" 2ял; в) — "о н- 2ял < £ < "о - 2о о о о 302
г) ^ + 2пп < t < -у + 2яи. 12.22. a) --g- + 2пп < t < -g- + 2яи; б) ^ + 2кп < t < -^ + 2яи; в) ^ + 2яи < t < -^ + 2яи; г) --^ + 2пп < t < < -3- + 27m. 12.23. а) 2яи < t < я + 2яп; б) --g- + 2яи < t < g + 2яи; в) 5 + 2яи < t < -g- + 2яи; г) -я + 2яи < t < 2пп. 12.24. а) -^ + 2яи < <: / < "о" + 2яп; б) --£ + 2яп < t < ^ + 2яп; в) -р + 2яп < f < ~г + 2яп; о 4 4 4 4 г) -^ + 2яп < f < -^ + 2яп. 12.25. а) -^ + 2яп < t < 2пп; б) ^ + 2яп < 7я ft ч я _ Зя ч 2я 5я < f < -g- + 2яп; в) g + 2яп < t < -г- + 2яп; г) -о- + 2яп <*<"§" 12.26. а) —j- + 2пп < t < ^ + 2ли; б) 2яп < t < 77 + 2яп; я + 2яп < t < < ~y + 2пп; в) -^ + 2яп < t < -j- + 2пп; г) 5 + 2яп < t < я + 2яп; —| + + 2яп < ^ < 2яп. 12.27. а) ^ + 2яп < t < 2я + 2яп; б) -я + 2яп < t < ^ + + 2яп; в) ~ + 2пп< t < я + 2яп; г) 2яп < t < ^ + 2яп. 12.28. а) ~ + 2яп < <t < --о + 2яп; -о + 2яп < t < ^ + 2яп; б) ^ + 2яп < t < -тт + 2яп; в) < t < я + 2яп; -g- + 2яп < t < -g- + 2яп; г) --j- + 2яп < * < ^ 12.29. a)-Q+nn<:t<-£+ пп; б) -т + пп < t < -т- + пп; в) -■« + пп < < t < -q + яп; г) --т + пп < t < -г + пп. о 7 4 4 §13 13.19. а) 3; 5; б) 3; 4; в) ^; gJ г) 1; 2,5. 13.21. а); б); в) Минус; г) плюс. 13.22. а); в); г) Минус; б) плюс. 13.23. а); б); г) Минус; в) плюс. 13.24. а) Минус; б); в); г) плюс. 13.25. а) Плюс; б) минус. 13.26. а) 0; б) 0. 13.31. а) | + пп; б) ±| + пп; в) пп; г) j + ^. 13.32. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 13.33. а) х> ^; б) х < -2; х> 2. 13.34. а) х < д5 б) -3 < х < 3. 13.35. а) х < 1; б) -6 < х < 6; в) х > 1,4; г) -оо < х < +оо. 13.36. а) а > Ъ; б) а < Ъ; в) а > Ъ; г) а < Ъ. 13.37. а) а < Ь; б) а > Ъ; в) а < Ъ; г) а < Ъ. 303
* о оо ч • ^я • 7я . я . я . 2я. 5я 5я я 13.38. a) sin -тг> sin -g-» sm y> sin -g» sin -g-> 6) cos -g~> cos -^-, cos -£, cos -j-, cos g• 13.39. a) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; 6) cos 3, cos 4, cos 7, cos 6; в) sin 4, sin 6, sin 3, sin 7; r) cos 3, sin 5, sin 4, cos 2. 13.40. a) cos 1, sin 1, 1, tg 1; 6) ctg 2, cos 2, sin 2, 2. 13.41. a) 0,5; 6) 0,5. 13.42. a) -1; 6) l' 13.43. a) 2nn < t < я + 2nn; 6) --g- + 2nn < t < -q + 2nn; в) -я + 2яи < t < < 2яи; г) д + 2яи <*<"§" + 2яи. 13.44. а) -^ + 2кп < t < ^ + 2яи; б) ^ + + 2яп< t < ^ + 2ял; в) ^ + 2яп < t < -j + 2яп; г) —j + 2яп < t < j + + 2яп. 13.45. a) -g^ + 2яп < t < -g- + 2яп; б) -^ + 2пп < t < -^ + 2ял; в) --g + 2яп < t < -jr + 2яп; г) -^ + 2яп < t < -^ + 2яп. 13.46. а) -^г + 5я л ^v 2я 4я v 5я + 2яп < t < -g- + 2кп; б) -д- + 2жп < t < -g- + 2яп; в) -g- + 2яп < t < < "д" + 2^^; г) -~д" + 2яп < t < -g- + 2яп. 13.47. a) --g- + 2яп < t < g + ; б) --~ + 2яп < t < -£■ + 2яп; в) -g + 2ял < ^ < -g- + г) ^ + 2пп < * < "Т" + 2ял" 13-48- а) 2яп "^ г к % + 2кп> ~6~ + 2пп < я + 2яп; б) ^ + 2яп < t < -g- + 2ятг; -g- + 2яп < * < -^ + в) -^ + 2яп< ^ < g + 2яп; -^ + 2яп < t < -j- + 2пп; г) ^ + 2ял < t < < д + 2яп; --g + 2яп < t < -^ + 2яп. 13.49. а) д + 2яп < t < я + 2тш; б) ^ + 2яп < t < -jr + 2пп; в) g + 2яп < ^ < -^ + 2яп; -^ + 2яп < t * < -g + 2яп; г) -g + 2яп < t < ^ + 2яп. 13.50. а) яп < t < =| + тс^ б) ^ + 2яп < t < ~y + 2пп; t = 2пп; в) я + 2яп < t < -у- + ^ + 2яп< t < 2я + 2ял; г) t Ф Щ-. 304
§14 14.17. a) sin t = -To» cos t = -To» tg t = -r^} = "25» cos t = 24 ч 12 5 12. ч . 15 8 igt- -frl в) sin * = ~"J3> cos * = Tg» tg * = - -g~> r) sin t = -yj» cos * = ~ 17' 15 ч 12 12 tg* = -"g"- 14.18. a) -j; 6) -g-. 14.19. a) -jg, 6) -1,4. 14.20. a) -0,18; 6) 4. 14.21. a) 0,792; 6) -2,475. 14.22. a) 3,29; 6) 5,267. 14.23. a) 1; 6) |; в) \; г) 3. 14.24. a) -||; 6) ^. 14.25. a) 1,4; 6) 1. 14.26. a) 5; 6) ^. 14.27. a) -f; 6) -f. 14.28. a) - J; 6) 0. 14.29. а) (1Д2)2; б) ^^; 3a2 + 2 _ 2 - 3a - 5a 14.31. a) 0; 6) ^7- 14.32. a) 3 sin t; 6) 3 cos t. 14.33. a) sin -|; -|; sin gj; 6) cos 1,1; |; cos 1. 14.34. a) -6; -2; 6) -5; 1^; в) -3; 6; г) -7; 2. §15 15.7. a) sin 160°, sin 40°, sin 120°, sin 80°; 6) cos 160°, cos 120°, cos 80°, cos 40°. 15.8. a) sin 1000°, sin 210°, sin 380°, sin 830°; 6) cos 920°, cos 460°, cos 650°, cos 390°. 15.9. a) sin 990°, cos 990°, sin 22,5°, cos 37,4°; 6) tg 100°, cos 94,3°, sin 77°, ctg 225°. 15.13. ВС = 8 см; АС = 4 Ш + l) см; S = 8(V3 + l) см2. 15.14. а) 25(3 см2. 15.15. a) sin 15° = cos 15° = ; 6) sin 22,5° = -, cos 22,5° = 15.16. a) 1; 6) 3. 15.17. a) 1; 6) 0. 15.18. a) 45,5; 6) 90. 15.20. a) n = 1, 2, 3, ... , 179; б) ни при каких; в) п > 180. 15.21. а) п = 1, 2, 3, ... , 89; б) ни при каких; в) п > 90. 15.22. а) При любых п е N, кроме чисел вида п = 360Л, п = 360Л - 1, k e N; б) ни при каких; в) п = 360Л, п = 360Л - 1, h е N. 15.23. а) п = 1, 2, 3, ... , 178; б) п = 180, 181, ... , 359; в) п = 360fc, " = 360* - 181, k е N. 15.24. sin 18° = ; cos 18° = V10 + sin 36° = ; cos 36° = 305
§ 16 16.10. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 16.11. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) четная. 16.12. а) Нечетная; б) четная* в) нечетная; г) четная. 16.13. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 16.14. а) [-1; 1]; б) [-1; 1]; в) [-1; 1]; г) [-1; 1]. 16.18. а) л; б) ^; в) 4л; г) -д-. 16.19. a) sin (8 - 2л); б) cos (-10 + 4л); в) sin (-25 + 8тс); г) cos (35 - Юл). 16.22. а) [-2; 2]; б) [0; 625]; в) [-1; 5]; г) [0; 25]. 16.23. a) [I; l]; б) [-4; -1]; в) [-1; -±]; г) [3; 5]. 16.24. а) [3; 15]; б) [1; л/3]; в) [l|; 4]; г) [0; 2]. 16.25. а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) 0, 1, 2, 3; в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 3. 16.26. а) 5; 2кп < х < | + 2пп; -g- + я 2я 4тс + 2кп < х < л + 2пп; п е Z; б) 4; т> + 2кп < х < -g- + 2nn; -g- + 2пп < < х < -у + 2ли; и е Z. 16.32. а) -£, -£> б) уяаям = --£> y^* не существует; в) ^^; |; г) |; -|. 16.35. а) 1,5; 2,5; б) 0,5; 2,5; в) 0,5; 2,5; г) #наим = 1; #наиб не существует. 16.44. а) - g + 2лп < jc < -g- + 2лп, п е Z; б) -g- + 2лп < jc < -g- + 2лп, п g Z. 16.45. a) -g- + 2лп < jc < -g- + 2яд, п g Z; б) -| + 2лп < х < -g- + 2лп, neZ. 16.48. а) -л; б) 0; в) 0; г) к. 16.49. а) ±|; 0; б) -|; в) |; г) нет корней. 16.50. а) |; б) л; в) |; г) 0. 16.51. а) -|; б) 0; в) 0; г) |. 16.52. а) 0; б) |; в) л; г) 0. 16.53. а) 2; б) бесконечное множество; в) 0; г) 1. 16.54. а) 0; б) бесконечное множество; в) 2; г) 2. 16.55. a) j + кп; б) -^ + лп. 16.56. а) ^, ^р б) |, ^• 16.57. a) jc = 0; б) х = Щ. 16.58. а) х < -Щ\ 0 < х < -g-; б) jc > |. 306
§17 17.11. а) у = 2 sin x + 1; б) у = -1,5 cos х + 2; в) у = -0,5 sin jc - 2; г) i/ = 3 cos jc - 0,5. 17.12. а) у = -sin \x - -£ ; б) у = 2 cos x + ^ ; B)y = 1,5 Bin x + ^ r)y = -3co8 x-| v / V . I*2, если x < 0, 1,5cosjc, если - ^ < ж < -|, 1 6)j/=] -sin*, если 0 < x < я; Lc- |, если л: > |. 17.15. a) |, -g-; 6) ±|- 17.16. a) x < 0; x > 0; 6) --g- < x < -g- §18 18.10. а) у = <! ; -д:, если д: < 0, сое Здс, если - 5 < л: < ^, ' «^ * > °5 -1, если ж > i; fsin2*, если х < 0, ч f"2sin^ если - 2я < х < О, [2cosx, если х > 0; cos-^, если л: > 0. 18.11. а) Возрастает на 0, ^ , убывает на g, -g ; б) убывает на I -1, ~ , возрастает на ~, 0 1; в) возрастает на |-^, -^- , убывает на -g-, -~ L возрастает на [^, ^j, убывает на Щ, Щ г) убывает на (з, Щ, возрастает на -^, 41 18.12. а) Возрастает на [0, 2я], убывает на 2я, ^ ; ( 2я Л б) убывает на (-3; 0], возрастает на [0; 2); в) убывает на --=р 0 , возрастает на 0, ^ I; г) возрастает на (3, 2я], убывает на [2я, 9). L 6 ) 307
18.13. а) ^ + Зли < х < ^ + Зля, п е Z; б) -^ + Зли < jc < ^i „ ,„,, v 2л 4лп ^ 4л 4лтг 4лтг + Зли, п е Z. 18.14. a) -g- + —g- < jc < -g- + —g- , n e Z; б) —g- T + ^' n G z*18#18# a) 1lf 2> 2I; 6) Iе §19 f2jc + ^\ 6)i/ = -l,5sin f^ - ^\ 19.6. а)у = -2 cos %; б) у = 3 cos f 2jc + %\ 19.7. а) Щ^ + 4nn < jc < ^ + 4лп, neZ;6)-^ + ^ о J * * & + 4nn < jc < -g- + 4лп, n g Z. 19.8. a) --g- + лп < jc < --g + ли, n e Z; 6)-t> ^-лn<JC< -g + nnf n g Z. 19.9. а) 4л; б) л. 19.10. а) Убывает на 0, 4? , возрастает на -^, 2л ; б) убывает; в) возрастает на —g^, ~ L убывает на ~9 0 ; г) убывает. 19.11. а) Убывает на 0, 5 , возрастает на ^, -^ ; б) возрастает; в) возрастает на -т5> —5 U убывает на Г~, 0J; г) убывает на (-1, ^1, возрастает на Г^, l\ 19.12. a) - 4лп < а < 4лп, п е Z; б) -g- + 4лп < а < -g- + 4лп, п е Z. 19.13. a) J < а < J; б) а = - J + ^, n e iV. §20 20.6. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 20.7. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) ни четная, ни нечетная. 20.8. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная. 20.11. а) т>; б) Зтс; 308
р) 5; г) -£-. 20.12. а) я; б) 2я. 20.15. а) Минус; б) минус; в) плюс; г) ми- о 2 йус. 20.21. а) Возрастает на [ —g + пп; -g- + пп I, n е Z; б) убывает на —~ + ятг; -~- + ятг , и е Z; в) убывает на —j- + пп; ^ + пп I, ne Z; г) возрастает на -^ + пп; -g- + ятг , п е Z. 20.28. а) -■„ + яи < jc < -т + пп; б) яи < х < g + яи; в) -т* + яи < jc < -~ + пп; r) -j- +яп<л:<я + яп. 20.29. а) 2пп < х < < ^ + 2яп; я + 2яп < jc < -g- + 2яп; б) -—г + 2пп < х < 2пп; -т + 2пп < < jc < -g- + 2яп; в) ^ + 2яп < jc < -g- + 2яп; г) 2пп < х < ^ + 2яп; Зя 5я Л 11я —г + 2яп < jc < ~а + 2яп; я + 2яп < jc < ~а~ + 2пп. 4 О О §21 21.3. а) [-1; 1]; б) [2; 3]; в) [-2; 2]; г) [-2; -V2] u [V2; 2]. 21.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 21.5. а) [-я; я]; б) [-2я; 2я]; в) [0; я]; г) [0; 2я]. 21.6. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная; г) нечетная. 21.16. а) £; б) ^; в) £; г) |£. 21.17. а) 0; б) 5. 21.18. а) ф; б) ^5 в) 0; г) ^. 21.19. а) ^-; б) 1; в) -^j-; г) 73. 21.21. а) [-1; 1]; б) [0; 2]; в) [-|; IJ; г) [1; 2]. 21.23. а) [0; 2я]; б) [-|; я]; в) [-|; о]; г) [-я; я]. 21.24. а) Четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная; г) нечетная. 21.33. а) |; б) Щ; в) |; г) -^. 21.34. а) -у; б) ^; в) я; г) я. 309
21.35. а) -^; б) -^; в) 1; г) -1. 21.36. а) 1; б) |; в) -^; г) Л. 21.37.а)[-1;1];б)[0;2];в) Г-±; ojufo; |1; г) [-V2; V2]. 21.38. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная; г) ни четная, ни нечетная. 21.39. а) (-я; я); б) Г-|; (Л в) Г-|; я\ г) (0; 2я). 21.46. а) Щ; б) |; в) Ц; г) -|. 21.47. а) |; б) -Щ\ в) |; г) |. 21.48. а) |; б) ^|; в) |; г) jg. 21.54. а) ^-; б) нет корней; в) 1; г) —|. 21.55. а) 0; 1 gJ б) 3; в) 4, 3; г) 0; 3; 5. 21.56. а) 4; б) |. 21.57. а) ^, -1; б) -^-, >/3; в) i; г) ±1. 21.58. а) -1,5; б) 9; -1; в) нет корней; г) 2; 3. 21.59. а) 2 ; б) ^; в) 1; r) ^^f1- 21.60. a) -1 < x < -& 6) x > -1; в) -1 < x < 1; r)*>-V3. 21.61. a)-^ <*< ^; б)х<-^, х> ^; в)-1<*< ^; r) x > ^p 21.62. a) -1< x < ^-; 6) x < -^y-; x > V§; в) -| < jc < |; r) z < -1; x > 1. §22 22.3. a) g, -Q-, 6) -g-, -g-, b)-^, j, -j-, -j-; г)±тс. 22.5. a)±-g- + + 2nn, ±arccos ~g + 2кп; б) ±arccos g + 2тси. 22.6. a) g. -g"? ,. it я 7it 9я 15я . 2я 4jc 8jc. 5jc ,3ti oo _ . o .. 9 6>-4' 4' T' T' ^; B) T' T* T' r)*T' ±T' 227< a) 2; 6) 22.11. a) (-1)"^ + яга, +-# + 2яга; б) ^ + яга, (-l)"arcsin g + Jtn; в) (-l)°arcsin I + яга, яга; г) ^ + ™. 22.12. a) (-l)"f + яге; (-1)"+Iarcsin I + яга; б) -| + 2яга. 22.13. a) (-1)"+1^ + яга; б) ±-^ + 2%n. 310
_ я 5я 13я. я 7я 11я. 5я я Зя ч Зя я .15. a) g, -g-, -g-, б) - g, -g-, -g-, в) -T, ^, т; г) -^, -^, 22 ^ + -^jp; г) --у + 4ял. 22.26. а) Щ + ял; б) я + 2пп; в) 8яп, --g- + 8ял; ^р 22.16. а) 3; б) 2. 22.25. а) ^ + 4ял; 4ял; б) | + Зял; в) -т^ я 2ягс 2ягс ооо_, я я Зя 11я 17я 19я. _ я 11я г> 6 + "3"' ~3~' 22-27# а) 12' 4' Т' "12"' "12"' "12"' б) ± 18' ±Т*Р 13я я 7я 5я. Зя 7я Ия 15я я 5я 7я. ±Т§"' в) з' з * " з' г) 16' 16' 169 16 • ^-28-а) ~б' " б' б' б) 0, 2я, 4я. 22.29. а) -2я, О, 2я, 4я; б) ^, Щ-, ||, ^§, ^. 22.30. а) -о-; б) -g> -g-; в) -g> г) -g» 22.31. а) т^; б) 0, -«, я, ~о~; в) --^; г) --jp 0, |. 22.32. а) -3, | + 2ял (л = О, 1, 2, 3, ...), -\ + 2ял (л = -1, -2, -3, ...); б) 6, -g-> -g-, ±з + 2пп (п = 2, 3, 4, ...), ±-g- + 2пп (п = О, -1, -2, ...). 22.33. а) 0, я, -я, 4, -4; б) 1; |, -|, ±^ + 2пп (п = ±1, ±2, ±3, ...); в) -Q, -о"» 0, 7; г) 1, 1 -о» -о- + 2пп, п е Z; -g + 2яя (л = ±1, ±2, ...). 22.34. а) л: Ф ±5 + 2ял; б) х Ф кп; в) л: > 0, х Ф кп (п = О, 1, 2, ...); г) х > 5, * * £ + ял (п = 2, 3, 4, ...). 22.35. а) {-1, 1}; б) {-1, 1}. 22.36. а) {-1, 1}; б) {-^, Щ. 22.37. а) ±| + кп; б) | + яп, | + яп; в) ±| + Ц-\ г) ял, ~^ + яп. 22.38. а) 2, ял; б) | + ял. 22.39. а) 3, ял; б) -2, | + ял. 22.40. а) 1, 4, ял; б) -5, -7, | + ^. 22.41. а) 8; б) 7. 22.42. а) -| + 2ял < < t < | + 2ял; б) ^ + 2ял < t < ^ + 2ял; в) -^ + 2ял < t < ^ + 2ял; г) -g + 2ял < t < -о- + 2ял. 22.43. a) arccos -g + 2ял < t < 2я - arccos -g + + 2ял; б) -arccos I —= I + 2ял < t < arccos I —= + 2ял; в) -arccos -g + 2ял < < t < arccos -q + 2ял; г) arccos —= + 2ял < t < 2я - arccos I —= + 2ял. 311
( i\ ( i\ к 22.44. a) arccos —5 + 2яп < t < 2я - arccos —5 + 2яп; 6) --q + 2nn < { 6) { s) 6 < t < -q + 2яп, arccos -g + 2яп < t < 2к- arccos -g + 2яп; в) -arccos —^ I + + 2яп < t < arccos —q + 2яп; г) -arccos -g + 2яп < t < --g + 2яп, 1 P ■о + 2яп < t < arccos -q + 2яп. 22.45. a) q + ял < t < -«- + яп; б) -$ + о о о о 2 + 2яп < t < -arccos -g + 2яп, arccos -g + 2яп < t < -~ + 2яп; в) -arccos -q + + яп < t < arccos -g + яп; г) -~ + 2кп < t < -5- + 2яп, -arccos -g + 2тсп < < t < arccos -g + 2яп. 22.47. а) -я - arcsin -g + 2яп < t < arcsin -g + 2тсп; б) -arcsin 0,6 + 2яп < t < я + arcsin 0,6 + 2яп; в) arcsin -g + 2яп < t < < я - arcsin -g + 2яп; г) я + arcsin 0,6 + 2яп < t < 2к - arcsin 0,6 + 2яп. 22.48. а) я + arcsin 0,8 + 2яп < t < 2к - arcsin 0,8 + 2яп; 6) -arcsin 0,8 + я 2 + 2яп < t < к + arcsin 0,8 + 2яп. 22.49. a) --g + 2яп < t < arcsin -g + 2яп; я - arcsin -g + 2яп < t < -g- + 2яп; 6) arcsin -g + 2яп < t < к - arcsin -g + 2яп; -g- + 2яп < t < -g- + 2яп. 22.50. а)-"2+яп<л:<^+ яп; б) яп < х < < -= + кп; в) -■=■ + яп < х < кп; г) яп < х < -т- + кп. 22.51. а) --= + + яп < х < arctg 3 + яп; б) яп < х < arcctg -g + яп; в) arcctg 2 + яп < х < < я + яп; г) -arctg -5 + яп < х < ^ + яп. 22.52. а) -^ + яп < х < -arctg 3 + кп, arctg 3 + яп<л:< -^ + яп; б) —~ +кп < х < -~ + кп, -т+кп<х<-^+ кп; в) -arctg 3 + яп < x < arctg 3 + яп; г) яп < х < arctg 2 + яп. 22.53. a) --jo + я ^ 1 1 яп я 1 1 яп. + яп < х < 777 + лп; б) -т arccos -q + ~тг < х < 77 - т arccos -q + —?г> \.ct 4 О^ Z4 О & 312
я 2пп я 2пп ч _ . 1 _ _ . 1 + < < + ^ + 4я < : < 2я + 2 я 2пп ч _ . 1 _ _ . 1 ~3"~ < х < 18 + Т~ г^ arcs111 7 + 4ял < л: < 2я + 2 arcsin у . 22.54. а) тт + - arcsin з+ял<л:<~3^~"2 arcsin 3 + яп; б^ ~2 я 1 ( 1Л 2я/г я < х < 2я + 2яя; в) То ~ 3 arccos ~Т + "~3~ < х < 18 + g arccos —j + —g-; г) т§ + 2ял < х < -г^- + 2яя. 22.55. а) 2пп < х < -о + 2яя; б) --о + 2яп < л: < 2яя, 2ял < л: < -g + в) Щ + 2ял < х < ^ + 2пп, ^ + 2кп < х < ^ | < х < -q + 2кп; г) —^ + 2ял < л: < 2ял, 2ял < х < ^ + 2яя. 22.56. а) - g < <х<2;6)^<х<1. 22.57. а) ял; б) j + кп. 22.58. а), б) Нет решений. 22.59. а) 0 < а < 1; б) 0 < а < 0,5, 2 < а < 2,5; в) g < а < 1; г) -2 < а < - V2, л/2 < а < 2. 22.60. а) -| < а < |; б) -1 < а < ga 22-61- a) ^ + + (-l)"^ arcsin ч + -g-, если а > 0; нет решений, если а < 0; я 2а-1 б) --J7 ±2 arccos ——у + 4я/г, если -1 < а < 1; нет решений, если а < -1 или а > 1. 22.62. a)ig +n,neZ;6) ±arccos утт + 2я/г, ±arccos утт 6 7 ^ tarccos | —го I + 2лл, ±arccos | —^ | + 2ял. 22.63. a) -2 < x < 0, Hi) д: = 2; б) -1 < х < ^, jc = 2. 22.64. а) -2 < а < 2; б) 1 < а < 2. 22.65. a) -arcsin -g + 2ял < х < arccos —5 + 2я/г; б) я - arcsin -r + + 2пп < х < 2я - arccos 0,6 + 2ял. 22.66. a) arctg 1,5 + 2яп < х < -g + 2пп; тс + arctg 1,5 + 2ял < х < -—■ + 2яп; б) tj + 2я/г < х < arccos —= + + 2ял; -5 + 2ъп < х < arctg (-0,1) + 2ял. 22.67. a) arcsin (-0,8) + 2ял < 2я 4 < х < 2кп; -к- + 2я/г < х < я + 2ял; б) arccos д + 2я/г < х < arcctg (-3) + 2ял; 313
я + 2ял < х < 2я - arccos q + 2ял. 22.68. а) -^ < х < -Ц^-\ -^ < х < , я . 5я 13я 17я к л Зя 4я бгс . < 12; 12 < * < Т2"; "12" < * < 5; б) "5 < * < "Т; "Т < * < ""б"5 2я я ~~3~ < ^ < ~ 6' 0 < л: < 1. §23 23.1. a) (-l)n+1 arcsin ^ + яп; б) (-l)n+1 \ arcsin ^ + ^; в) (-l)n arcsin -т + ял; г) я + 4яп; (-1)" g + 2ял. 23.2. a) ±-н- + 2яп; 1 2я 2nk 2я ±arccos -q + 2ял; б) ±-д- + —g-; в) я + 2ял; г) ±тс + бяп. 23.3. а) ±-д- + ; б) -« + ял; в) -о + 2яп; (-lj^arcsin -g + кп; г) -g + "~о~« 23.4. а) - -г + пп, arcctg д + пп; б) g + -5-, -5 arcctg 5 + -5-; в) arctg ■« + + яп, -arctg 2 + ял; г) -г- + 2ял, 2 arcctg 7 + 2яп. 23.5. a) -j + ял, -arctg 2 + + ял; б) --j + ял, arctg ■« + ял; в) arctg 2 + ял, -arctg -g + ял; г) -j- + ял, 3 лл л ч 5я , ^ч я v кп я я/г. arcctg -г + ял. 23.6. а) я + 2ял, ±-д- + 4ял; б) д + ял, ял; в) -g-» д + -g-> Я ЯЛ Я ЯЛ лп— Ч/-.ЧП + 1Я ,-ч, "Я г) -^2 + "2"' "4 + Т* 3#7# а) (" } 4 + ЯЛ; б) *"6" + 2кп' л« « v Я , Я Я ЯЛ . Я ЯЛ ло л v ЯЛ _.v ЯЛ 23.8. а) —j + ял; ± д + ял; б) g + -^, ±^ + -у- 23-9- а) ~2"; б) "г"' -^ + ^. 23.10. а) ял; б) ^ + 2ял; в) ^g-; г) 2ял. 23.11. a) arctg -т +кп; б) arctg -g + ял; в) -arctg 2,5 + ял; г) ^ + ял, arctg 3 + ял. 23.12. а) -д + ял; б) --j + ял; в) arctg 3 + ял; г) --g + ял. 23.13. а) ял, --т + ял; б) -^ + ял, -g + ял; в) ял, arctg 3 + ял; г) -^ + ял, д + ял. 23.14. а) -т + пп, -arctg 3 + ял; б) -т + кп, arctg 3 + ял; в) -т + ял, -arctg 2 + ял; г) --г + + ял, arctg д + ял. 23.15. a) g + -5-; б) То + "о"» в) "о" + 314
г) 51 + 17* 23.16. а) 2 2 + if; б* ~ 3 arctg 3 кп 1 1 я/г _ 2я л ^ч я ял + -о-» -g arctg д + "з"' 23.17. a) ±-g- + 2ял; б) ±^g + -^-. 23.18. a) arctg 5 + ял, -arctg -g + ял; б) --j + кп, arctg 2 + кп; в) -j + ял, -arctg -о + ял; г) --j + кп, arctg 3 + ял. 23.19. a) -jr + ял, - g + ли; б) ял, -arctg 1,5 + ял. 23.20. а) -^ + ^, ± arctg 2 + ^; б) ™, -» arctg 1,5 + + ™. 23.21. а) -| + 2ял, 2 arctg 3 + 2ял; б) Щ + Зял, | + Зял. 23.22. a) j + ял; б) -^ + ял. 23.23. а) ял, j + ял; б) ^ + ял, arctg 7 + ял, arctg 3 + ял. 23.24. а) ±5 + |л; б) ±Щ + 2ял. 23.25. а) С = 2 [у = л б) X = (-1)"^ + Ц-, 23.26. а) \х = к + 4кп, б) .. я . кк х = (-1)"| + 2пп, х = ~ + 2я/г, f _ / ^чл_я у = ±\ + 2яЛ, U = я + 2я£; о 2я 1 23.27. а) -о" + 2ял; б) -arctg -g + ял, -arctg g + ял. 23.28. а) ~б + 2ял, -q- + 2ял; б) -д- + 2ял, -g- + 2ял. 23.29. а) Нет решений; б) (-1)" ~б + ял; в) -~ + ял; г) нет решений. 23.30. а) (-1)" g + ял; б) -g-. 23.31. а) Нет решений, если -1 < а < 1; -j- + 2ял, если а < - V2, -j + 2ял, если а = V2; (-1)" arcsin — + ял, если а < -V2, - \[2 < а < -1; 1 < а < V2; а > V2; б) нет решений, если -1 < < а < 1, — + 2ял, если а = -V2; -т + 2ял, если а = V2; iarccos - + 2ял, если а < -V2, -V2 < а < -1; 1 < а < V2; а > V2. 315
23.32. а) -1; б) ±1. 23.33. а) | + пп, 2пп; б) | + 2пп, пп. 23.34. а) ^ + Зли; б) л + 2лл. 23.35. а) 0; б) 2л + 24лл. 23.36. а) (-1)" g + пп; б) ±^ + 2ли. 23.37. а) ^ + 2лл; -arctg 3 + п(2п + 1); б) ^ + 2лп; arctg 3 + п(2п + 1). 23.38. а) т£ + 2ял; б) л + 2яя. 23.39. а) - g + 2пп < х < д + 2лп; -л- + 2пп < х < -я- + 2лп; б) -о + 2лл < jc < -л- + 2лл; -т* + 2лп < jc < О о о О о < - g + 2лл. 23.40. а) - g + 2пп < х < д + 2л/г; -g- + 2лп < л: < -g- + 2ял; б) -д + 2пп < jc < -д- + 2л/г; -g + 2лп < х < g + 2пп. 23.41. а) -т + 2лл < < jc < -г- + 2пп; б) - -д- + 2пп < х < -д + 2лп; в) -j- + 2л/г < х < -т- + 2лп; г) --g + 2пп < jc < -g- + 2л/г. 23.42. a) arctg 5 + л/г<л:<-2-+ ли; б) -j + пп < х < arctg 5 + пп; в) -т + пп < х < arctg 2 + яп; г) --jr + + л/г< ^^""7 + ял» arctg 3 + л/г<л:<-2+ лп. §24 л 2л/1 л л/1 я л л/1 * 5л л/1 24.20. a) g + ^тр б) ^g + -g-; в) (-1)" -^ + -у; г) ±-^ + -g-. 24.21. а) 15°; б) 15°. 24.22. а) л + 2ял; б) (-l)n + 1 ^ + Ц-. 24.23. а) \, Let & 4 5л 9л 5л л Зл 7л л л "~^~> —Г"> О) — ~о"* ~"о» ~о"» ~о~# л4.л4. а) (—1) ~Б + Л71; О) ±"о + 4Я71. 4 4 о о о о О о 24.25. а) -^ + 2л/г; б) ^ + 2лл, л + 2л/г; в) g + 2пп; г) -^ + 2яп, - g + 2л/г. 24.26. a) -j + 2л/г; б) 2л/г, ^ + 2л/г; в) -g + 2пп; г) -g + 2яп, о* on ч 4У§+ 3 ,. 3 4 4-3V3 _. OQ ч 12^3-5. - **27- а) ~~10~; б)"5' в) 5' г) -Ч0~- 24'2а а) 26 ' б> w в> "5i6"12; г) й-24-29-а) w б> 1-24-30- а> -i; б> S- 316
1519 720 12>/з + 5 5 12 24.31. а) -1Ш; б) jggj. 24.32. а) ^—; б) jgJ в) -^ ч 5V3-12 _Q 4V3+ 3. 3. 4. ЗУЗ -4 36. г) 26 ' 24-33- а) ~ 10 ; б) 5' в) 5' г) Ю * 24*34- а) "85' б) gg- 24.35. a) -gg; б) -gg. 24.36. а)-^ + пп<х<^+ пп; б) 2 arccos I —= 1 + 4лп < х < 2л + 2 arccos т* + 4лл; в) -4 arcsin -g + 1 -5л 2пп 57С 2яу1 + 8пп < х < 4я + 4 arcsin д + 8ял; г) -jg- + —g- < х < ^g + 24.37. a)^ + ^<*<^+^;6)7 arccos | — | + — < x < 2 л - arccos [ -^ < + ~!т~» в) -о" + "о arcsin ij + —о~ < х < ~о~ - 2 . 2 4ягс. ч я 8л/1 я 8я/г о^ ол ч зТз - 4 - з arcsin 7 + "Г* г)" з + "Г < * < з + "Г- 24-39- а) ю ; б) 3^30+ 4. 24.40. а) а < 0; б) а > 0. 24.41. а) а > ft; б) а < Ъ. 24.42. a) a < ft; б) а > ft. 24.43. a) a < ft; б) а < ft. 24.44. а) £-^ б) ^3^- 24.48. a) 3^0+ 4; лч ЗУЗ + 4 ч V2 ч 5 ^о бУ2 - 4 _ , б) jg—; в) ж; г) 13- 24.49. а) —Ig—; б) 1. §25 25.10. а) |; б) -4 2з+8°' 25Л1# а) 1; б) Т 25*12- а) ~2; б) "I* 25.13. а) -|; б) -1J-. 25.14. а) -у; б) ^. 25.15. а) -25^9+48; б) f ок-iPT ч я тс^ г-ч я ял ««-.«о ч Ил: я 13л _ 17я я 25.17. а) уд + т; б) ? + -у. 25.18. а) -^ ^, -j^; б) -gQ > -15' 13л 14л 43л 29л ^ чл ч 7л л ^ л лм Ж' Т5"' "30"' 1б"в 25Л9- а) " 10 + m < * < 20 + кп; б) 6 + "3" < f л < * < i + T- 25-20- a) 4 [i/ = arctg 2 + nk9 = -arctg 2 + ял, 317
б) Г - 4 ' •"" \Х = "^_^5 + ?' 25.21. а) р = ~. 25.22. а) 1,8; [у = arctg 3 +ли, б) ±; в) " "v"; г) -з|- 25.24. 3. §26 26.7. а) -0,5; б) 1; в) ^-; г) -73. 26.8. а) -1,5; б) 2; в) -V2; г) -1. 26.9. а) 0; б) 2 cos t. 26.10. a) ctg а; б) cos t; в) ctg а; г) -cos t. 26.11. a) -1; б) Ц. 26.12. a) cos а; б) -T^f- 26.14. а) 36; б) 5. 26.15. а) -6; б) 7. COS t Sill у 26.16. а) ^-; б) -|. 26.17. а) 1; б) |. 26.18. а) 1; б) 1. 26.19. а) 1; б) 73. 26.20. a) yg; б) 17. 26.21. а) 2кп; б) —| + 2лл; в) g + 2лл, -g- + 2я/1; г) ±з + 2кп. 26.22. a) ±-g- + 2ял; б) ^ + 2ял. 26.23. а) Корней нет; б) любое действительное число. 26.24. а) - g + -5-; б) --g arctg ■« + -q-. 26.25. а) -2 arctg 3 + 2пп; б) -я + Зял. 26.26. а) ^ + я/i, -arctg 2 + я/i; б) - jk + "о"» - з arctg 3 + -Q-; в) -г + я/i, -arctg 3 + кп; г) - 3 arctg 4 + + ^, -^ + -^. 26.27. а) | + 2ял, -2 arctg 2 + 2ял;> б) | -2 arctg -j + 2ял; в) кп, -~п + пп; г) -= + я/i, -arctg ■« + я/i. 26.28. a) (-l)n+1 | + яп; б) (-1)п | + яп; в) я + 2пп, ±-g + 2ял; г) ^ + 26.29. а) ^, -| arctg | + ^; б) ^, | arctg 6 + ^. 26.30. а) -| + 1 Я ТС TZ71 + 2я/г, 2 arctg 3 + 2кп; б) -j + я/i, -arctg 2 + ял; в) -jg + -т~» -■j arctg 3 + -г-; г) arctg 2 + ял, -arctg 3 + кп. 26.31. а) кп; б) я + 2яя, я 2я я 2я 2я Зя 4я ±3 + 2кп. 26.35. a) -g-; б) ^q5 в) --g-; г) -g-. 26.36. a) JqI б) -g-; ч Зя. ч 9я в>"10' г> 14" 318
§27 27.18.a)2sinf*-|\ 6)2sinf^- t\ в)2яп(* + ^\ r)-2sin (t + ^ 27.20. a) ^; 6) ^. 27.21. a) 1; 6) 0. 27.22. a) 2; 6) -2. 27.23. a) 1 •>-% ■> ¥> •> ^ 2™- •> 2I; •» -тг- »■»• •' b 1 120 119 120 119 24 7 б) щ. 27.27. a) ~Ш', б) yggS в) -j^; r) -jgg. 27.28. a) ^ 6) 35 24 7 24 7 24 7 fo /iiZ в) Т; г) JL. 27.29. a) 35? 6) 35; в) т; г) £. 27.30. a) ^, i±*. -is- -i- "3; 6) -is- -is- i*3-27-32-a) ?тт! -тт^; 1 - a2 2a 4 *- 6) 1 + a2> 1 + fl2' 27.33. a) 5; 6) -2V2. 27.34. a) 1 - 2a2; 6) 1 - 2a2. 27.35. a) ^g; 6) -|. 27.36. a) ^gg; 6) "2197- 27-37- a) a > b; 6) a < b. 27.38. a) sin Sx = 3 sin* - 4 sin3 *; 6) cos Sx = 4 cos3* - 3 cos *. 27.39. a) x = nn; 7 /1 f\ 7Q Q 6) * = I + тел. 27.40. a) 0,296; б) ±-Ц^-; в) 0,296; г) - gj. 27.41. a) -|; m 72 „,, ,24 7 24 7 _, 24 7 24 7 ,120 6)-—. 27.44. a) 25, -25' —7". -^ 6) -35, ^g. —7". -^ в) -j^, 119 120 119. , 120 119 120 119 J5 2>/5 1 169' ~119' "120' r) 169' 169' 119' 120' 27*45* a) T' ~5~' 2; -. Vio 3>/io l.. . V26 5V26 l. . V26 5V26 1 D) ~~Ш~' 10~' "3' B) "~26"' ~26~' "5' r) ~W ~26~' 5" 27.48. a) 0, тс, 2л; б) |, Щ-; в) 0, л, 2л; г) |, ^, ^, ^. 27.49. а) -| + 2лп; (-1)" + 1 | + ли; б) | + ^; в) (-1)"*1 ^ + -у-; г) | + лп. 27.50. а) -120°; б) -240°. 27.51. а) лп, arctg 3 + лл; б) Щ}-, \ arctg 2 + -^. 27.52. а) 0, я, 2л; б) -<р 27.53. а) 2; б) 3. 27.54. а) 2яп, тс + 4ял; б) 2ял; в) я + 2ял, 4ял; г) 2яп, | + 2ял. 27.55. a) j + ^; б) (-1)п ^ + ^р ^ч ял я я ял ч я я . Зя , 5я -ч . я > Т " 12* 4 + Т; Г) " 3 + пп- 27*56- а) ± 4' ±Т' ±Т; б) ± 6' 319
±T' ±T* 27*57- a) 2тш' f + 2яп; б) \ + (-i ^ 1 1 3 27.59. a) 2 arctg ^ + 2яп; -2 arctg g + 2nn; 6) 2 arctg 2 + 2nn; -2arctg -j + 2nn. 27.60. a) gJ 6) -3. 27.61. a) ~ 9 + "3" < jc < g + -gS 6) --g- + 4ял < jc < 4л ^ ftwnft ч 5л кп 13к кп _ 2я А 2n < -g- + 4яп. 27.62. a) 24 + "о" < * < "94" + ~2~; ^ ~~3~ + л < x < ~3" + + 4яп. 27.63. a) j + -у; б) ^ + jr-l в) тр г) --g- + ^у1. 27.64. а) 2; -1; б) 3; -1. 27.65. а) 4 gJ 1; б) 2; -4. 27.66. а) 2 gJ -4; б) 4; -2 g. §28 28.7. а) 2 sin -s - ■§ • sin Го + "л Р б) 2 sin ■= + 5 • cos 75 ~ "л к I Z О J I ^S OJ 1 & О I I Z 0 1 в) 4 cos f-g - "gl" cos (I + ^ ]; r) V2 sin | f + 11 28.8. a) 4 sin 6xcos2 |-; 6) 4 cos x cos2 -о-. 28.9. a) 4 cos t cos -^ sin -5-; 6) -4 sin t sin 2* cos bt. 28.14. a) -1; 6) -1; в) -73; г) -1. 28.15. a) 5; б) -|. 28.16. a) 1,5; 6) 0,5. 28.17. a) |; 6) 4. 28.23. a) |; 6) -|. 28.26. a) | + кп, j + y; б) ^; в) y, ^; r) ™* "^ + yg. 28.27. a) y, ±^ + 2яп; б) f, (-1)" J + пп. 28.28. а) ^ + ^; б) f + ^; в) ^ fg л ли. ч л 2пп п пп % тт ,. пп, п пп 20 + Т* г) 6 + ~3~- 28-29' а) 16 + ~8' 4 + ~2~; б) "6"' в) 8 + Т' к кпь к кп к кп ЛО ОЛ ч 2яУ1 2яУ1. я ял 6 + Т' г) 4 + Т' 8 + Х- 28'30- а) "7"' ~Г' б) 14 + Т* 28.31. а) -^. п Ф 3 + 6fe; б) | + -^; в) ^; г) | + лга, л + 2лга. 28.32. а) | + да», -| + ^; б) J + ^; (-1)" § + ^• 28.33. а) 3; б) 2. 28.34. а) |, д, -д", д, "д", -д-, -д-, -д-; б) j, ■£, -£. 28.35. a) -j + + ™, I»»; Q « + лп> | + М. 28.36. а) _Щ. + 2ш < х < '\ + 2кп; ,v л л б) -о + ЛП < X < -д + ПП. 320
§29 29.4. а) -| (sin 24° - sin 4° + sin 12° + sin 8°); 6) cos 35° - cos 45° + + cos 5° - cos 15°. 29.5. a) -r (sin (jc + у - z) + sin (jc + z - y) + sin (y + z - - x) - sin (jc + у + z)); 6) -j (cos (jc + у - z) + cos (# + z - z/) + cos (y + z - - jc) + cos (x + z/ + 2)). 29.6. a) -j (2 cos 4jc - cos 2jc - cos 6jc); б) -г (2 sin 3jc + + sin 7x - sin x). 29.12. a) 1; 6) ^. 29.13. a) 1; 6) 2. 29.14. a) |; б) Ц-. 29.15. a) -^4+1; 6) V2. 29.16. a) ^5 6) ^. 29.17. a) a < b; б) а > b. 29.19. a) 5; 6) 82. 29.20. a) Tin; 6) ^ + Tin. 29.21. a) ^p ±-^ arccos -g + Tin; 6) 5 + Tin, ±-g + 2тш. 29.22. a) Tin, ±3 + 2тш; б) ^ + Tin; в) Tin; г) 2тш, ±-^ + 2Tin. 29.23. a) ±|; 6) ±^. 29.24. a) ™; 6) Tin. 29.25. a) | + Tin < < x < -jr + Tin; 6) --g + 2тш < jc < -g- + 2тш; в) --jo" + Tin < jc < ^o + 7ln; 2n 2k r) --g- + 2тш < x < -g- + 2Tin. 29.26. 9 = (-l)n arcsin -^ + тш, о у = (-if arcsin -^ + nk; о 6) -5 + яАг, 3 1 _ 1 3 о 29.27. а) гунаиб = ^, г/наим = -^; б) унапб = ^, z/HaHM = -^. [у = §30 30.4. a) 3>/3sin f * + | + ф\ где ф = arcsin ^-; б) 6 sin (t - ^ + ф\ где ф = arcsin ^р. 30.5. а) -1; б) -2; в) 1; г) 1. 30.6. а) -2; 2; б) -2; 2; в) -V2, л/2; г) -2V2, 2V2. 30.7. а) [-5; 5]; б) [-13; 13]; в) [-25; 25]; г) [-17; 17]. 30.8. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 30.10. a) S - 1, л/5-1; б) 4; 30; в) -10; 0; г) 15; 40. 30.11. а) -4; 4; б) -3; 3. 30.12. а) 7; б) -42. 30.13. а) 16; б) 11,5. 30.14. а) -23; б) 15. 30.15. a) 2nk, -g- + 2nk; 321
б) j + 2nk; в) -у + 2ttAj, тс + 2nk; г) | + 2тс/г, тс + 2тс/г. 30.16. а) (-1)* | ^ ~ il> + Т; б) ("1)А 15 + 15) + Т; в) Т + 47l/*' "2jl + 47lA;; r) 67lfe> ^ + 6тс/г. 30.17. а) | + arccos | + 2nk; б) (-1)* ^ - \ arccos | + ^; 5 2тс 5 тс в) тс + arccos то + 2тс£; г) ±-g- - 2 arccos ук + 4тс&. 30.18. а) —т + 2тс£, я 2тс&. я тсЛ 2тс тс nk тс тсЛ. тс 4 + "б"1 б) 6 + Т' "3" + яА; в) 16 + Tf 24 + Т* Г) 6 + ^ тс tcAj тс tcAj тс tcAj. 1 5 nk 9 +Т* 30Л9- а) "66 + И' 9 + Т9 б) 4 arccos 13 + Т? 5 - "о arccos у^ + tcAj. 30.20. а) -^ + 2tcAj; б) 2nk, --g- + 2nk. 30.21. a) -g-; б) ^. 30.22. a) 2tcAj < х < -g- + 2tcAj; б) arcsin 5 ~ "б" + 2тсЛ < х < arc^n "g + + ^ + 2тс&. 30.23. а) а > 7; а < -6; б) а > >/б; а < -V6. 30.26. а) а > -5; а <"2; б) а < 2. §31 31.1. а)-| + \ +тсл;б) J - 2 + тел, | - -| + ^. 31.2. а) ^ (1 + 2л); тел л„лчя тс _ ft. . ч л 2тсчтс 2тс б) -g-. 31.3. а) т> + тел; ±-д + 2тсл. 31.4. a) ij + -у л, ук + yg л; ^ 1Г + "¥"' (~1)Л То + "о"* 31.5. a) -arctg -д + тел; б) -arctg 2,5 + тел. 31.6. а) |(1 + 2л), ±tj + тел; б) yg + ^; ±Ц + ^. 31.7. а) ^(1 + 2л), | + ^; б) |(1 + 2л); у^(1 + 2л). 31.8. 45° + 180°л. 31.9. | + ^. 31.10. а) тел; ±-„ arccos (-0,7) + тел; б) т> + тел; ±-„ arccos ^ + + тел. 31.11. a) arctg 2,5 + 2тсл, тс - arctg 0,5 + 2тсл, тс + arctg g + 2тш, 5 -arctg g + 2тсл; б) arctg 0,6 + 2тсл, тс - arctg 2,2 + 2тсл, тс + arctg 11 + 2тш, -arctg 3 + 2тсл. 31.12. а) тс + 2тсл, (-1)" ^ + 2тсл; б) 2тс + 4тсл, (-1)" -g- + 4тш. 322
31.13. 0. 31.14. а) ±~2 arccos —j + кп, ±15 + ял; 6) ±-g + ял, ±-~ arccos -j + ял. 31.15. а) ^7 + ^л; -^ + 2ял. 31.16. а) ■£ + ял, (-1)" -^ arcsin ^ + о о _i_ /fi + цП. 31.17. а) я + 2ял, 2 arctg т> + 2ял. 31.18. a) arctg ~ + ял; 4 Z о б) 5 л, -| arctg 2 + ^л. 31.19. £ + ял. 31.20. а) 2ял, -£ + 2ял. 31.21. а) ^ + 2ял, я + 2ял; б) ^ ± arccos ^ + 2ял. 31.22. -^ + ял, i ± arccos ^2 ~ ^10 + 2ял. 31.23. а) Зял, ±j + -у л; б) | + ял; ±| arccos f-jl + ял. 31.24. а) ^ + ^, --^ + ™. 31.25. а) -1 - 3 1 8 я Ф я я - arccos ^ + 2ял; б) 1,5 + ■« arccos "yf ~ Ъ + кп' ^^*^ф а^ ~7Г ~ 36 + ^л> ^ + 48 + Тл» гДе Ф = arccos -g» 31.27. ^ + «п. 31.28. ±~о" + 2ял. 31.29. -|£, ^, |§. 31.30. 0. 31.31. 0. 31.32. £ +ял, arctg 2 V7 +ял. 31.33. а) -^ + 2ял, где л = ±1, ±2, ±3, ... ; б) ^ + 2ял, где л = ±1, ±2, ±3, ... ; (-1)* J + я/г, где А = ±1, ±2, ±3, ... . 31.34. а) ^ arctg8 + g; б) д2 + -jg. 31.35. a) i-g arccos -g + ял, ±-~ arccos [ —т 1 + 7СЛ- 31.36. т> + + 2ял. 31.37. ^ + ял. 31.38. ял. 31.39. | + 2ял. 31.40. ±^; ±3. 31.41. а) 0, ±1, ±2, ±|; б) ±1, ±3, ±|. 31.42. а) -1, 5, я, -у, ^; б) -2, 0, 1, -g. 31.43. 2ял, -^ + ял. 31.44. а) (-1)" yg + ял, (-1)" ^g + ял, (-1)" ^g + ял, ял; «w IV» * Ък о qi лк w^ , VJ55 , Vl79. ^ , VJ7 о) (-1)" — + ял, т^ + 2ял. 31.45. a) ±~g~» ±—g—» ±—g—» б) ±~о~» . 31.46. а) 2 ± 73. 31.47. а) 2ял, -arctg 6 + 2ял; б) -| + 2ял, ^1 о о^о 4_l>/81 -,.>/l55 ^Vl79 лчл. + arctg -j + 2ял. 31.48. a) ±"^g~» ± 6 > ± 6 ; б) ±3 ^ 323
§32 32.6. a) i; б) -S2i; в) 2; г) 0. 32.8. a) -2i; б) J2i; в) Ш; г) 0. 32.9. а) *, 1, -U -1, U 1, -*; б) -i; в) 1; г) 0. 32.11. а) гх + z2 = 2 - i, zx - z2 = 3i; 6) Zi + z2 = -1 + 3i, 2i - 22 = 5 - i; в) 2i + 22 = 15, 2i - z2 = -15 - 2i; r) zx + 22 = -34 - 14i, 2i - z2 = -2 + Ш. 32.12. a) (4 - n) + (n - 3)i; б) -11 + 12i; в) -130 + 15(H; r) -651 + 682*. 32.14. a) 0,5; 6) 0,1; в) -0,1; г) таких а не существует. 32.15. а) 1 + Si; б) 1 - 14i; в) 1 - Ы; г) 34 - 21*. 13 32.16. а) -2; б) 0; в) 0,125; г) таких а не существует. 32.17. а) 1; б) -g-; в) 1,5; г) -7j. 32.18. а) а = 3, Ъ = 2; б) а = 3, Ь = 2; в) а = 4, b = -1; г) а = 2, Ь = 1. 32.23. а) 2; б) Ш; в) на 1-м, 5-м, 9-м, ... местах; г) на 3-м, 7-м, 11-м, ... местах. 32.24. a) -i; б) -1 - i; в) -i; г) L 32.25. а) -2; б) 0; в) -2*; -20 + 28* г) 0. 32.26. а) gg ; б) 0,6. 32.27. а) -1 - i; б) -i; в) 0,5 + 0,5i; г) i - 1. 32.28. а) а = -0,25, Ъ = 0; б) а = -1, Ъ = 0; в) а = 0,2, Ь = -0,48; г) а = 0,56, Ь = -0,24. 32.29. а) 1 + 2i; б) 1; в) 3i; г) 2 + 2*. 32.30. б) -44. 4 32.31. а) 0; б) 1; --*. 32.32. а) г = -i; zz=l;z:z = -1; б) г = i; zz = 1; _ -20 + 21i 2 : z = -1; в) 2 = 3 + 7i; 22 = 58; 2:2= go ' r) 2 = -5 + 6i; 22 = 61; z:z= -—fa—■• 32.33. a) 2 = -2i; zz = 4; 2 : 2 = -1; 6) 2 = 3i; 22 = 9; 2 : 2 = -1; в) 2 = 1 + i; zz = 2; 2 : 2 = i; r) 2 = -1 - Si; zz = 10; 2 : 2 = 5-& 16-Ш 5+& ч 2+S = -0,8 + 0,6i. 32.34. a) yj \ 6) —289—' B) YJ ' r^ YJ ' 32.35. a) ^', 6) ^j^; в) 1±«; г) -Ц^. 32.36. a) 2l = i; z2 = 3; 6) zx = 1; 22 = 2i; в) 2X = 1 + i; z2 = 3 + 2i; r) zx = 2 - i; z2 = 2 + Si. 32.37. r r 3 + i а) 2; -2; 6) v5 + i; -v5 + i; в) таких корней нет; г) rz • 32.38. а) -2; 1-V2 + i б) -1 - i; в) 0; г) ^ • §33 5 33.8. б) 45°; в) 3 3 = 9; г) 23 и 27. 33.15. б) 0,6; г) -0,5. 33.16. б) ■§; г) -2. 33.17. б) у = 0,5(9 - х); в) -5 + li; г) -7 + 8i. 33.18. б) у = х2 - Sx + 2; в) 15; г) 13. 33.19. б) у = ТТр в) 26 = 7 + 0,5i; г) 22 = 3 + 1,5*. 33.20. а) ±1; б) нет решений; в) 1; г) -1. 33.21. a) ±i; б) нет решений; в) i; г) -i. 324
33.22. а) 0; б) 0; в) 0; г) любое действительное или чисто мнимное число. 33.23. а) 2 - 0,5*; б) 7 - i; в) 3 + 1ц г) 5 - 2*. §34 34.3. a) \zx\ = 13, \z2\ = 5; б) zxz2 = 56 + 33i, \zxz2\ = 65; в) — = ^q l\ г) ^2 = —Щ~' 34*5- a) 6; 6) 2y^; B) 7; r) 5^* 34-8* a) 1; 6) 2; B) 3; r) 4' 34.9. a) 1; 6) 3; в) 3; г) 4. 34.11. a) z = cos f ~ | + i sin f ~ |; 6) z = cos [-y ] + + i sin —o~ ]» в) 2 = cos -j + i sin -j; r) z = cos -g- + i sin -g-« 34.12. a); ( пЛ . . ( пЛ ч Зтс . . Зтс . 5тс . . 5я б) 2 = cos --= +1 sin -■g I; в) z = cos -j- +1 sin -j-; r) z = cos -g- +1 sin -g-« 34.13. a) z = cos (-0,8ti) + i sin (-0,8тс); б) z = cos (-О,3тс) + i sin (-0,3tc); —?r + * sin —ft L 34.15. a) -~r\ 6) -q! 3 J I 3 J 4 3 b) ^; r) —^. 34.21. a) 5 (cos 0 + i sin 0); 6) 3 cos £ + i sin £ ; в) 8(costc + isinTi); r) 0,5 cosf ~ ]+ isinf ~ ]1 / \ ( f \ f W 34.22. a) 4>/2 cos| + i sin^ ; 6) >/2 cos ~ + i sin ~ ; в) 2>/2fcos-^ + isin-^1; r) 2V2 [ cosf~ |+ i sinf-^ 44 94 q^i 9 frwa Л д. i Gin K X ft\ 9 Г рпс ^ о. i cin ^ O4.Zt5. a) ^ COS -= + I SU1 ■£ , OJ ^ COS -g- + I Sill -£- 6(cos(-f ]+ isin(-f )]; r) 4(cos(-f 34.24. a) 8fcosf-|l+ isinf-| П; 6) 2fcos| + isin|\ - 34.25. a) 5 (cos (-arccos 0,6) + i sin (-arccos 0,6)); ( ( ( *\ > 6) 13 cos arccos ~ 325
в) 10 (cos (arccos 0,6) + i sin (arccos 0,6)); r) 17 cos -arccos — + i sin -arccos — 34.26. a) cos (-55°) + i sin (-55°); 6) cos 113° + i sin 113°; в) cos 130° + + i sin 130°; r) cos 110° + i sin 110°. 34.27. a) 2 sin 50°(cos 40° + + isin40°); 6) 2sin-^fcos-^ + isin-^1; в) 2sinf£fcosf^ + isinf^ 7 ^ 7 7 J 11^ 11 11 r) 2 sin 125° (cos (-35°) + i sin (-35°)). 34.28. a) 2,5 (S + i); 6) 0,5 (l + iy/s); в) 2,5 (-1 + iy/s); r) ^(-1 + 0. 34.29. a) 2i; 6) -5*V2; в) З (>/з + i); г) £л/3. 34.30. a) ->/3 + i; 6) -5i; в) 40i; г) >/3 + i. 34.33. а) я; б) -^; в) |; г) -|. 34.34. а) -|; б) |; в) - J; г) я. 34.35. а) -^; б) -|; в) |; г) 0. 34.36. а) -|; б) к; в) -g-; г) -g-. 34.40. а) 3; б) 5; в) 8; г) 10. 34.41. а) 1 + ~7J U б) 1 + *73. 34.42. а) Круг радиуса 1 с центром в 3 + 4i, \z\ = 6 — наибольшее значение; б) круг радиуса 1 с центром в 4 - 3£, \z\ = = 4 — наименьшее значение. §35 35.1. а) 4; б) а < 4; в) а > 4; г) а < 0. 35.2. а) |а| > 6; б) -6 < а < 6; в) а > 6; г) -10 < а < -6. 35.3. а) а = 1 или а = 0; б) а <~0; в) а < 0; г) а = -16 - 8>/5. 35.4. a) ±12i; б) ±2i; в) ±21i; г) ±32*. 35.5. а) г2 + 1 = 0; б) z2 - 14z + 53 = 0; в) z2 + 49 = 0; г) z2 - 2z + 2 = 0. 35.6. a) z2 + 4 = 0; б) z2 - 2z + 10 = 0; в) 64z2 + 1 = 0; г) z2 + 6482 = 0. 35.8. а) 0,5 ± 1,51; б) -1,5 ± 2,5i; в) 2,5 ± 0,5i; г) -5,5 ± 2,5*. 35.9. а) 2; б) 10; в) ±4; г) -7; 3. 35.10. а) а = -4; б) а = 4; в) а = ±3; г) а = -4 или а = 2. 35.11. а) ±2; б) ±2i; в) ±^ (1 + 0; г) ±^£ (1 - 0. 35.12. а) ±(2 - i); б) ±(2 + i); в) г) ±<L±i. 35.13. а) ±(4 + 0; б) ±(4 - i); в) ±^-j^\ г) ±^+Д. 35.17. a) z2 - yJ2 v2 V2 3z + (3 + 0 = 0; 6) z2 + (i - 5)z + (8 - i) = 0; в) z2 - 8z + + (11 + 12i) = 0; r) z2 + (i - 9)z + (40 - 90 = 0. 35.18. a) zx = 0, z2 = 2i; б) Zx = 0, z2 = -4i; в) zx = 2 - i, z2 = 1 + i; r) zx = 7 - 2i, z2 = 1 + 2i. 35.19. a) 1 + 2i; 6) 30i; в) 1 + 6i; r) -89 + 120i. 35.20. a) a = 4i; б) а = -4,5i; 40- 21i в) a = -13 - Ш; r) a = j^—. 326
§36 36.2. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 36.3. а) z, z2, z3, z4, z5; б) z, z2, z8, z9, z10; в) z, z2; r) z3, z4, z5, z8, z\ z10. 36.4. a) z3, z4; 6) z, z2, z3, z4, z5, z6, z\ z8; в) zf z2, z10; r) z9, z10. 36.5. a) z1, z2, z3, z4, z5; 6) z, z2, z9, z10; в) z2, z3, z4, z5, z\ z7; r) z5, z6, z\ z8, z9, z10. 36.6. a) z3, z4; б) z, z2; в) г, z2f z\ z10; r) z10. 36.8. a) -4; 6) -Si; в) -S2i; r) -1024. 36.9. a) -8; б) 1б(1-*>/з); в) -64 (S + i); r) -512i. 36.10. a) -i; 6) 0,5 (V3 + i); в) -0,5 (l + i>/3); г) 1.36.11. a) -i; 6) gi;B) gg »;г)-щ- 36.12. a) -0,125; 6) 2~* (l + iS); в) 2"8(->/3 + i); r) 2"9i. 36.13. a) 128; 6) -i; в) -32>/3; г) 1. 36.14. a) -64i; 6) i. 36.15. a) 3; 6) 8; в) 10; г) 10. 36.16. a) 17; 6) 34; в) 100; г) 200. 36.17. a) 6; б) 11; в) 20; г) 0. 36.18. а) 101; б) 200; в) 4; г) 0. 36.19. a) z\ z8, z12; б) z\ z\ z9; в) z\ z\ z\ z11, z12; r) z9, z10, z11. 36.20. a) 4,2 (-1 + -2(l + iS); 6)1,5(1 + iyfe), -3, l,5(l - iy/s); b)2,5(V3 + i), 2,5(-V3 + i), -Ы; r) 4(V3 - 0, -4(V3 + i), 8i. 36.23. a) -U 0,5(±V3 + i), -2,1 ± i&; б) ±V2(1 + i), ±iy[2. 36.24. a) -4; 1; 6) -9; 1. §37 37.12. a) 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5; 9; an = 1,5л; б) -1; 1; -1; 1; -1; an = (-1)"; в) 8; 4; г|; 2; 1,6; an = |; r) 1; -2; 3; -4; 5; an = (-1)п+1л. 37.19. а) 7, 12, 17, 22, 27; б) 102. 37.20. а) 1027; б) З5, З8, З37, 32n, 32n + 1, 32п-з 37.21. а) ап = 4п - 2; а, = 2, ап = ап.х + 4; б) ап = 13л + 5; ах = 18; an = an_x + 13; в) ап = 21л; ах = 21, ап = ап.х + 21; г) ап = 30л; ах = 30, ап = an_i + 30. 37.22. а) ап = -л; б) ап = 6л; в) ап = 11 - л; г) an = 4л. 37.23. а) 3"; б) (л + 2)2; в) л3; г) л3 + 1. 37.24. а) фт1 б) §^г§; в) ^; 1 3Л 2л - 1 (—1)Л+1А12 > 3725 > ; б> ; > ; г) а» = ff+ixn + 2)-37-27-а) 2; б) 5; в) 13; г) 45-37-28- а>р» = 4; 4>/2; 8; 8>/2; 16; б) Sn = ШТ~'''; 1; 2; 4; 8; 16; в) 32; г) 65 536. 37.29. а) 1; б) 4. 37.30. а) 6; б) 5. 37.31. б) 11; в) 4. 37.32. а) 6; б) 124; в) 6; г) 55. 37.33. а) -6; -4; б) -22 g? -181; в) -1; г) нет. 37.34. а) 3; б) 10; 327
в) 4; г) 29. 37.35. а) -428; б) -128. 37.36. а) 19; б) 16. 37.37. а) 2; б) 62; в) 15; г) 1. 37.38. а) 17; б) -81; в) 19; г) 1. 37.39. а) у2 = -5; б) у3 = -з| 4 4* в) z/2 = -3; г) ух = - g. 37.40. а) у3 = 13; б) у3 = 3; в) ух = 5; г) ух = -g. 37.41. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 37.42. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.43. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 37.44. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.45. а) р < 1; б) р — любое. 37.46. а) р < -2; б) -3 < р < 3. 37.47. а) р < 0; б) р > -1. 37.50. а) Убывает; б) не является монотонной; в) убывает; г) возрастает. 37.51. а) Убывает; б) возрастает; в) не является монотонной; г) убывает. 37.54. а) Возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает. 37.55. а) р > 0; б) р > 1; в) р < 0; г) р < -2. 37.56. а) р > 0; б) р < 0; в) р < 0; г) р < 0. 37.57. а) Ограничена, возрастает; б) неограничена, возрастает; в) ограничена, убывает; г) ограничена, убывает. 37.58. а) Возрастает, ограничена; п2 б) убывает, ограничена. 37.59. а) уп = п2; б) уп = п2 + 5; в) уп = 2 _ *'> г) уп = -п. §38 38.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 38.5. а) 6; б) 3; в) 15; г) 31. 38.6. а) 4; б) 7; в) 8; г) 5. 38.7. а) у = 0; б) у = 0; в) у = 0; г) у = 0. 38.8. а) у = -1; б) у = 2; в) у = 2; г) у = -3. 38.9. а) у = 2; в) у = -3. 38.10. а) Нет; б) нет; в) нет; г) нет. 38.14. а) 0; б) 6; в) 0; г) -4. 38.15. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 2 38.16. а) 5; б) 7; в) 3; г) -g- 38.17. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2. 38.18. а) 2; б) 12; в) 6; г) -2. 38.19. а) 7; б) 0; в) 1; г) 0. 38.20. а) 1; б) \. 38.21. a) -h б) \. 2 1 2 38.27. а) 2 gJ б) -0,128; в) -0,022; г) 3 д. 38.28. а) 12,5; б) -83' в) 22,5; 2 2 1 г) 36. 38.29. а) 41 «; б) р^. 38.30. а) Ъх = 12; q = 0,5; б) т™. 38.31. а) Ъх = 12; q = |; б) 1-|. 38.32. а) 4; б) 57 gJ в) 0,9; г) 156,25. 38.33. а) -5,4; б) | л/з(7з + l); в) 38^; г) 4V2(V2 + l). 38.34. а) 111; б) 25001; 1 sin х cos x o 1 в) 396,25; г) 1717 д. 38.35. а) ТЩ^ б) jTT^ в> ^ х; г) 1 + sin3^ 38.36. а) 0,8; б) 0,3. 38.37. а) д? д5 б) |; - д- 38.38. a) (-l)*arcsin g + nk, k e Z; б) нет корней; в) ±g + nk, k e Z; r) +g + 2rcfc, ft e Z. 328
§39 39.3. а) -10; б) -12; в) 4; г) -54. 39.4. а) 0,2; б) 0; в) 1,2; г) -1. 39.13. а) 0; б) -2; в) 0; г) 6. 39.14. а) 1; б) 1,5; в) 1; г) 1 g. 39.15. а) 0; 1 2 б) 0; в) 0; г) 0. 39.16. а) -■§; б) 1; в) -■§; г) 0. 39.17. а) 4; б) 2; в) 3; г) 2. 17 4 39.24. а) 3; б) ±; в) 1; г) д. 39.25. а) 0; б) 0,2; в) 0,5; г) -0,2. 39.26. а) дя; б) 1; в) £; г) -2. 39.27. а) 0; б) -1; в) 3; г) 0,2. 39.28. а) 2; б) -4; в) 10; г) -\ 39.29. а) 4; б) \\ в) -\; г) 7. 39.30. а) ^; б) 1,5; в) ^; г) ^ 39.31. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0. 39.32. a) ygJ б) 0; в) 12; г) 0. 39.33. а) |; б) д. 39.37. а) -^; б) 0,5; в) ^; г) -0,5. 39.38. а) 0,2; б) -0,1; в) 0,1; г) 0,05. 39.40. а) 0,5; б) -0,66; в) 1,5; г) 0,74. 39.41. а) ЗА*; б) -2*Д* - (Ал:)2; в) -2Д#; г) 4хАх + 2(Д*)2. 39.42. а) 0,1; б) -0,1; в) 0,5; г) -0,5. 39.44. a) k; б) 2ах + а^ в> ^rhry r) v* + a*w*- 39-45-a) k; б) 2ах; в) "^; г) §40 40.4. а) 4; б) 2t - 1; в) 3; г) 2t - 2. 40.9. а) 2х + 2; б) -\; в) 6х - 4; 4 1-2 1 г) —р-. 40.10. а) —т=; б) —«-; в) —т=; г) Зл;2. 40.11. а) Не существует; * 2V* * 2V* б) 0; в) не существует; г) 2. 40.12. а) Не существует; б) 0; в) 0; г) 0. 40.14. а) 4; б) -1; в) -4; г) -4. 40.15. а) 2 м/с, 2 м/с2; б) 4,2 м/с, 2 м/с2; в) 4 м/с; 2 м/с2; г) 7 м/с, 2 м/с2. 40.16. а) 3 м/с, 2 м/с2; б) 5,2 м/с; 2 м/с2; в) 5 м/с, 2 м/с2; г) 8 м/с, 2 м/с2. §41 41.15. а) 2 + -^; б) 42 + \; в) 40 + -^; г) 27 + Д-. 41.16. а) Зх2 • tg * + JC JC * JC jc3 _ cos* , ctg* 1 , . sin* + «—; 6) -cos л: - . » ; в) -—о~" ~ —. 2 » г) sin jc + «~. cos2* sin2* :>Г xsiir* car* 329
41.17. а) З*2; б) З*2; в) З*2; г) З*2. 41.18. а) **(*+?; б) -73^; 2*(3-2*). I-*2 3(9-2*) В) (3 - 4х)2 ' } (я2 + I)2* 41Л9- а) 2V*"(2* + 9)2' б) Зх+8 . -* sin*-cos* б*9+ 9 ^ Sx'V0 + 3) в)-Я&яхГ г) ? ' 41-20-а) ~7~; б) (*10 + D2• в) -^!t)2+1; г) ^?*-2)*б)-41-21-а) -** *; б) cos х; в) 0; г) ""Icos *• 41.22. a) cos х; б) cos х; в) -sin л:; г) -sin х. 41.29. а) -\\ б) -2; в) -\; г) 2. 41.32. а) х < -1 и * > 1; б) 0 < х < 1; в) л: > 0; г) 2кп < х < к + 2тт. 41.34. а) 14; б) ^; в) 72; г) >/2 - 4. 41.35. а) 0; б) 0. 41.36. а) -1; 1; не существует; б) не существует; не существует; 0. 41.39. a) -Tq'9 б) -г* 41.40. а) ±|я + 2nk; б) -| + 2nk. 41.43. а) к; б) 0; в) 2 gJ г) -5+^ 3. 41.44. а) * = 2; б) * = 0; * = -4. 41.45. а) х < 0; х > 2; б) 0 < х < 4; в) х < 0; О < * < —; г) g + кп < х < т> + я/i; т> + теп < jc < -g- + тт. 41.46. а) т> + 3 1 7 + 2кп < х < -„к + 2тт; б) -3 < jc < -1; 1 < х < 3; в) —^ arccos g + Ttfc < 1 7 1 7*1 < х < -£ arccos g + яА; г) х < 0, 0 < х < -т. 41.47. а) а = g5 б) а = 1, а = -д« 41.48. a) ^§; б) ^g. 41.49. а) х > |; б) -73 < л: < -л/2; V2 < х < >/3. 41.50. а) ^ + 7tAj < х < -г к + Ttfc; б) --g- + 2tiAj < jc < --g + 2тсЛ. 3 2 2 41.51. а) -;т < jc < 0, x > 0; 6) x < ^; * > g. 41.52. а) -я + 2кп < x < 2тш; б) 2тсл < х < к + 2кп. 41.53. а) 1; 16; б) зД. 41.54. а) | + кк; (-l)*+1arcsin ^ +tiAj;6) j + ^. 41.55. а)л:< 0; л:> 3; б) | +та<х< | +^п; 7г+7т<л:<-о-+ тт. 41.56. а); б) Таких значений нет. 41.57. a) g + + nk < х < -g- + TiA; б) 2ti/i < л: < я + тш, -я + 2яА < х < 2яА; /г = О, 1, 2» 330
п 3, ... ; k = О, -1, -2, -3, ... . 41.59. а) х3 + х2; б) -; в) хъ - х; г) х3 41.60. а) у = -g- - Зх; б) у = -х2 - 4л:, если х < -2,5, ijX2 + =^x, если -2,5 < x < 1, Ix2 + t^jc, если x > 1 (вершины ломаной не учтены). 41.61. а) —т + кк, кп; б) тт. 41.62. а) а + Ь = -2; б) а = О, Ь = -2. 41.63. а) а + + ft = -1; б) а = \, Ъ = -|. 41.64. а) 12л:2; б) 20л:3; в) -sin л:; г) -2 cos х. 41.65. а) 12; б) 0; в) -4; г) -1. 41.66. а) 9 м/с2; б) 9 кгм/с2. 41.67. a) -arctg2 + кп; б) ±д + 2кп. 41.68. а) #" = 2 cos л: - х sin *; б) у" = -a sin л: - ft cos x. 41.69. a) i/ = tg 15° [50 - -^г 1 41.70. a) ±>/з, ±^; 6)±V2, ±1. §42 42.4. a) -2 sin 2x; 6) 2 cos 2*; в) -6 sin 6x; r) 0. 42.5. a) 8 cos 8*; 1 x 6) -10 sin 10*; в) 4 cos 4л:; г) -g sin g. 42.6. a) -15*2(1 - *3)4; _ 3*2 + 6x - 2 14 - 4л: 6л: 2л/л: + Зл: - 2л: + 1 (л: - 7л: + 8) (j^2 1 Stg4 jc 1 + Зл^ 42.7. a) 3sin2x cosx; 6) -„.,... ; в) -—5—; r) 0, ; в) о5 г) 27 2 sin2 л: Vctglc cos2 x cos2(jc + 42.8. a) , ~Х п - 3 cos2 х sin х; б) ^ + 1- fxsm2x . в) sin 2л: cos 4x - VI - х2 2(х* + l)2Vtg* cos2л: sin2 x sin + 6sin^V^t^ I 2jc4sin2JC -42.9.a)3 7,6)-lg, в)-35, 3 1 3 r) 0,7. 42.10. a) 2; 6) 4; в) -2; г) 3. 42.11. a) -7; 6) yg; в) -1^; г) yg. 42.12. a) 6; б) ^; в) 0; г) -4. 42.13. a) 10; 6) 1,75; в) - ggp г) -g. 42.14. a) 0; 6) 12; в) - 73; г) -|. 42.15. a) 2; б) -|; в) 5; г) ^-. 42.16. a) 4я; 6) -| V2(V2 - l); в) 0; r) 0. 42.17. a) | + яЛ, (-l)n + 1arcsin -| + яЛ; л. Я Я&. . ..u., 1 . 1 Kk9 Kk ч 12 + "б"' С"1) 5 arcsin "7 + ~gT' в) "о"» г) таких значении нет. 42.18. а) Таких значений нет; б) —| + ял < л: < ^ + ял. 42.19. а) -8; б) -1 gJ 331
О в) -0,5; г) 1. 42.20. а) ± ^я + ш; б) (-1)"+ 1 у| + ^. 42.21. а) х = пп; б) |П; (-1)" J + яд, (-1)"+ 1 | + яд. 42.22. а) |, |; б) ^, я, 4f. 42.23. а) а = 2, Ь = 0; б) а = 2,5, & = 0,75. 42.24. а) ^; б) ял; в) ^; г) ^, -^ + тщ. 42.25. а) д, л: > ^|; б) -9,1 < х < -1,5. 42.26. а) | < л: < 5-£> б) л: < -|, х > |. 42.28. а) ^р^ + ^; б) 9. 42.29. а) г|; б) |[ + ^. 42.30. а) (2х- - I)3 + С; б) (4 - 5л:)4 + С, где С — любое число. 42.31. а) ^ + 3 + С5 б) V5jc- 7 + С, где С — любое число. 42.32. а) - g cos [ Зх - ^ | + С; б) -к tg (5л: - 1) + С, где С — любое число. 42.33. а) , : б) 2х .-; 5 VI - 9JC2 1 + л:4 )2; г) -адЬ^- ^^а) -^; б) 1: в) 1: г) 2-42-35- б) ^-; в) -2; г) —Д=- 42.36. а) 3; б) ^. 42.37. а) 0; б) нет таких значе- 6 V2я ^ ний. 42.38. а) -| < л: < |; б) 0 < х < 1. §43 43.6. а) 1; б) -0,5; в) -8; г) 0. 43.7. а) 27; б) 0; в) 6; г) -1. 43.8. а) -4; б) -1; в) -103,2; г) 1. 43.9. а) -4, 0, 6; б) 2, 0, 4; в) -3, ^, |; г) -^, нет, 1. 43.10. а) -5, 0, 7; б) -2, 0, 0. 43.11. а) -5, 0, 3; б) -6, 0, -2. аъ 19 \ (л лк\ \ т. т (4- -IV „х (2V7. 8>/7\ ( 2>/7. 8V7) 43.12. а) (1; 15); в) (0; 0), ^g, т^], г) ^-^~» ^Г~/' I—7~' Т"/ 43.13. а) (0; 0); б) (0; -1); в) (-1; 3 - |), (l; 3 + |). 43.21. а) 0; б) я — arctg 7; в) arctg 2; г) касательной не существует. 43.23. а)у = 7х- 10; б) у = -Зх - 10; в) у = 5х - 17; г) у = -х + |. 43.24. a) i/ = 3* - 4; б) у = -х + 4. 43.25. а) у = 1; б) у = \ - 2х; в) i/ = 1; г) у = \х. 43.26. а) у = | - х; 6)у = -х; ъ)у = 2,5* + 0,5 + |; г) у = х - 5 arctg 2. 43.27. а) у = -^ * + 2 - Ь *> ^ -2-+ \ 332
43.28. а) у = -2* - 4; б) у = 5* - 16; в) у = 2* + 1; г) у = 5* + 9. 43.29. а) I/ = -6* + 18, у = 6* + 18; б) у = 27* - 81; в) i/ = -4*, i/ = 8* + 16, у = 8* - 16; г) у = 0, у = -х + 1. 43.30. a) i/ = 5* - 16; у = -5* - 1; 1 3 б)у = х- 4, у = -х + 9. 43.31. а) * = 1; б) * = --£ в) * = gJ г) * = -0,5. 8 4 43.32. а) I/ = * - д, I/ = * - gJ б) у = 9* - 20, у = 9* + 16. 43.33. а) у = 2* + + f - л/3, у = 2* - ^ + >/3; б) I/ = *. 43.34. а) * = 3; б) *х = 0, *2 = V2, #з = -V2; в) * = 1; г) *х = 0, *2 = 0,6. 43.35. а) * = я + 2кп; б) * = дл; в) * = ял; г) * = я + 2ял. 43.36. а) -т + кп; б) 0; в) -~ + ял; г) 0. 5 1 43.37. а) у = -*, I/ = 20 q - *; б) у = 1 д -*;# = -*. 43.38. a) i/ = 14 - *, г/ = -* - 2; б) I/ = -* - 5, у = -х - 9. 43.39. а) у = -х - 11; б) у = 1 - *. 43.40. а) у = ^ - *; б) у = ^ - *. 43.41. a) *i = 0, у = х + 1, *2 = 2, i/ = * - 3; = _3, у = -х - 1, *2 = -1, I/ = -* + 3. 43.42. а) у = у/Зх - ^р-> б) Xl (0; 21); б) (0; 0), (0; 12). 43.44. а) у = *2 - 3* + 3. 43.45. а) у = -6* - -8,у = 2х;б)у = 2*, у = -2*; в) у = 4х-3, у = -4х - 3; г) у = 1, у = -4х - 3. 43.46. а) у = 8 - 7х, у = -11* + 12; б) у = -9* + 9, у = -5* + 9. 43.47. а) у = -0,1* + 2,8, у = -0,5* + 2; б) i/ = -0,5* + 2. 43.48. a) i/ = 2* - 1, г/ = 0,4* + 2,2; б) у = х + I, у = isx + ~о- 43.49. a) a = -гп, a = ^ + -q л; о О 4 О О б)а=Т7*+^Г'а=Т + ?л- 43.50. а) у = 3 - 2х; б) у = ^* + 4- XV/ О 4 ^ 4 4 43.51. а) I/ = 3* - 2; б) у = ^х + Ц-. 43.52. а) В(0; 3,5); б) у = * - 3, у = -х - 3. 43.53. а) В(0; 0); б) i/ = -^C* - 1), у = ^ (* + 1). 43.54. а) (-?; -2б\ б) (17; 204). 43.55. а)р = 0,5; б)р = -1. 43.56. а) (1; -1); I 4 ) 6 4 б) не является. 43.57. а) ^ б) -g. 43.58. а) а = 2; б) а = 0. 43.59. а) 1; б) 1 + V3. 43.60. а) ~; б) -уд. 43.61. а) -1; б) 4. 43.62. а) у = х; б) (0; -4). 43.63. a) arctg 3; б) £, arctg |. 43.65. а) 0; ^- ; б) у = -I. 43.66. а) -1; 2; 2 4 ^ 3 j 4 333
б) 10. 43.67. а) 5; б) 9. 43.68. а) Ь = 2; с = -3; б) а = 3; Ь = -5; с = 2. 43.69. S = 2а2. 43.70. у = 2ах - а2 — уравнение касательной, х = ^ ^ абсцисса точки пересечения. §44 44.31. а) а > 0; б) -V5 < а < V5. 44.32. а) а > 1; б) а < -4. 44.33. а) Ь < -gJ б) & < 0; в) ни при каких &; г) Ь > 0. 44.34. а) -2; б) -2,5 < а < -1,5; а > 1,5; в) 2; г) а < -0,5; а > 3,5. 44.35. а) а < -1; а > 2; б) а < -1,5; а > 1. 44.36. a) &, d; б) с; в) а, 0; г) нет таких точек. 44.37. а) е; б) а, Ь; в) &, с; г) а, &, с, d, е. 44.38. а) При а = ±3; б) при а = ±5. 44.45. а) Да; 7 б) нет; в) нет; г) нет. 44.48. а) х = -т, точка минимума; б) х = -2,5 — точка максимума; в) х = -т — точка минимума; г) х = -2 — точка максимума. 44.49. а) х = 2 — точка максимума, дс = 3 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума, дс = 3 — точка минимума; в) х = - ^ — точка максимума, дс = 5 — точка минимума; г) х = 7 — точка минимума, # = 0 — точка максимума. 44.50. а) х = -0,6 — точка максимума, дс = 0,6 — точка минимума; б) х = -1, х = 4 — точки минимума, дс = 0 — точка максимума; в) х = -5, х = 5 — точки минимума, х = 0 — точка максимума; г) дс = -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.51. а) х = -2 — точка максимума, дс = 2 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума. 44.52. а) дс = 3 — точка минимума; б) х = 2 — точка максимума; в) х = 8,5 — точка максимума; г) х = 1,4 — точка максимума. 44.53. а) х = - т» — точка минимума, х = - -g- — точка мак- 5л 7 симума; б) х = -q~ — точка минимума, дс = -дЯ — точка максимума. 44.54. а) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) дс = -3 — точка максимума; в)дг = 0идг = 3 — точка минимума; х = 2 — точка максимума; г) нет таких точек. 44.55. а) х = 0 — точка минимума; б) нет; в) х = 0 — точка максимума; г) нет. 44.56. а) у' = = (х + 2)2 > 0 при всех х; б) у' = -х2 + Зх - 3 < 0 при всех дс; в) #' = х4 + дс2 + 1 > 0 при всех х; 7 г) у' = -5дс4 - Здс2 < 0 при всех х. 44.57. а) 8; х = -tf — точка минимума; б) -2; х = -г — точка максимума; в) -1; х = 3,5 — точка максимума; г) а = -0,1? 1 дс = 35 — точка максимума. 44.58. а) Нет; б) х = 0 — точка максимума; х = "§ 334
и х = 2 — точки минимума; х = 2 — точка минимума. 44.59. а) Возрастает на —о + 2яи; ^ + 2яи , убывает на ~ + 2яп; -^ + 2кп , л: = - g + + 2яд — точки минимума, х = g + 2ял — точки максимума; б) убывает на -тг + 2птц -^ + 2кп , возрастает на \~ + 2кп; -=n + 2пп , х = - ^ + L о о J [6 6 J о 7 + 2кп — точки минимума, х = g я + 2яя — точки максимума; в) убывает на точки на ^ + 2яи; -^ + 2кп , возрастает на Г--^ + 2яя; ~ + 2я/г|, jc = ^ + о + 2яд — точки максимума, х = -т я + 2я/г — точки минимума; г) возрастает на R. 44.60. а) Убывает на \~ + яд; ^ + лл , возрастает на Гя 5я 1 я я ^ + яя; -Д- + ЯИ, л:= g +яп — точки минимума, х = -g + яп — максимума; б) убывает на ^ + 4яп; -^ + 4яи , возрастает —^ + 4яя; ^ + 4яя , л: = -q + 4яп — точки максимума, х = -g~ + 4ял — точки минимума. 44.61. а) Убывает на (-оо; 3], возрастает на [3; +оо), х - 3 — точка минимума; б) возрастает на (-оо; 0) и на [1; +оо), убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3] и на —i; 2 , возрастает на -3; —i и на [2; +оо), х = -3 и х = 2 — точки минимума, х = -— — точка максимума; г) возрастает на [-1; 0] и на [1; +оо), убывает на (-оо; -1] и на [0; 1], х - -1, х - 1 — точки минимума, х - 0 — точка максимума. 44.62. а) Убывает на (-оо; ->/з], на [-1; 0] и на [l; >/§], возрастает на [->/3; -l], на[0; 1]ина [V3; +оо), х = -у[з, х = 0, x= V3 — точки минимума, л: = -1, дс = 1 — точки максимума; б) возрастает на -1; —т= , на 0; -j= и на [1; +оо), убывает на (-оо; -1], на —у=; 0 L V3J L V3J L V3 J и на -=; 1 , х = -1, х = 0, х = 1 — точки минимума, х = --т=, х = —т= — LV3 J vo v3 335
точки максимума. 44.64. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-оо; -1] и на [1; +оо), х = -1 — точка минимума, х = 1 — точка максимума. 44.65. г) Возрастает на (-о°; -1] и на [1; +оо), убывает на [-1; 1], х = -1 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.66. г) Возрастает на (-оо; -щ и на [1; +оо), убывает на [-3; 1], х = -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.67. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-оо; -1] и на [1; +оо), х = -1 — точка минимума, х = 1 — точка максимума. 44.68. г) Возрастает на (-оо; 1,5], убывает на [1,5; +оо), х = 1,5 — точка максимума. 44.69. а) 2; 2я б) 1; в) 1; г) 1. 44.70. а) 0, б) 0. 44.71. а) 1; б) 2. 44.74. a) -g-; б) 0. §45 45.13. а) 3; б) 1; в) 3; г) 1. 45.14. а) 1 корень, если а > -3; 2 корня, если а = -3; 3 корня, если а < -3. 45.15. а) 3; б) -1. §46 46.1. а) 255; -1; б) 34; 1; в) 23; -4; г) 8; -154. 46.2. а) уВйШб = 4; i/наим = -23; б) уваяб = -9; i/наим = -9993; в) уваиб = 5; уШ(аш = -1; г) ушви6 = 31 246; i/наим = 124. 46.3. а) i/наиб = -2; уъиш = -4; б) у^ = 1,5; ушашл = -0,5; в) у^ = 0; 1/наим = -1; Г) 1/наиб = 7j 1/наим = 1- 46.4. а) 1/наиб = Л\ 1/наим = 0j б) 1/Наиб = <Л\ У ваш, = 1; в) i/наиб = V2; #наим = 0; г) 1/наиб = >/§; i/наим = 1. 46.5. а) 1/наиб = 4; 1/наим = 1; б) 1/наим = 0, 1/наиб = 3. 46.6. а) 1/^ = 7; 1/наим = "3j б) 1/^ = 6; 1/наим = "4- 46.7. а) i/наиб = 24; 1/наим = 12; б) i/наиб = Ю; 1/Наим = 5; в) уваиб = 16; унаюл = 2; Г) 1/наиб = Ю; 1/наим = 2. 46.8. а) 1/Наиб = U J/наим = "2j б) 1/наиб = 0; 1/наим = ~4; в) i/наиб = 5; i/наин = "4; г) 1/наиб не существует; уввшл = -4. 46.9.'а) i/наиб = 28; i/наим = 3; б) унви6 = 9; 1/наим = -3; в) 1/наиб = 16; ут = -2; г) ушаиб = -7; i/наим = -199. 46.10. а) 1/наиб = 19; увашл = -35; б) уяаиб = 35; 1/наим = 15; в) 1/наиб = 19; ушшш = -93; г) i/наиб = 19; i/наим = 15. 46.11. а) i/наиб = 173; Уяаяж = -2; б) 1/наиб = -43; Унвшл = -72; в) i/наиб = 173; 1/наим = 45; г) 1/наиб = -2; 1/наим = -72. 46.12. а) уявзлб = 4; уввзлм = -3; б) Уналб = -12; i/наим = -28; в) 1/наиб = 4; 1/наим = -28; г) 1/наиб = 4; 1/наим = -28. 46.13. а) 1/наиб = 20; унаим = -7; б) 1/наиб = 4; 1/наим = -124; в) уявлб = 121; i/наим = -44; г) i/наиб = 148; i/наим = "124. 46.14. а) 1/Наиб = 6; уи(аш = 5; б) ушаяб = -3; 1/наим = -4. 46.15. а) 1/наиб = ~£ + U 1/наим = ~£ ~ U б) 1/наиб = 1/наим = "Я; В) 1/наиб = V3 + g» 1/наим = —£ Г) 1/наиб = 3 ' ^наим = 46.16. а) i/наиб не существует; упвям = -"27» б) г/наИб не существует; 1/наим = -1; в) i/наиб = 0; ув&им не существует; г) ун&иб не существует; уШйИМ = 0. 336
л/3 46.17. а) i/наиб = -0; i/наим не существует; б) уваи6 = —; i/наим = -2; в) 1/наиб = -2; i/наим не существует; г) уввзлб = 3,5; уий1Ш не существует. 46.18. а) у^б = 0; 5 i/наим = -27; б) i/наиб = 0; увашл = -4; в) увяяб = 50; уваША = 0,875; г) у^б = g> i/наим = - 8* 46.19. а) i/наиб = 21; г/на™ = 5; б) Увавб = 71; уватл = -10; в) у^ = 18,25; 1/наи« = 17; г) 1/наиб = 6^; Утк = -11 Q- 46.20. а) и б) Увая6 = 6;уваиы = -0,25; в) i/наиб = 72; 1/наим = 16; г) ушаяб = 135; увлт = 27. 46.21. а) ушйяб = 21; 40 /— ч г/в™ = -27? б) Уяш6 = 10; 1/ввим = 5 - 4V2. 46.22. a) j/bm6 = 8; Увшы = 1J; : 17; г/шиш = -3. 46.23. а) Увш6 = \;Ут1а1= ^; б) УтЛ = -^-; Утт = -1. Зл/з 1 46.24. а) 1/наИб = 0; уваюл = —|-; б) 1/Наиб = 1; г/наим = -g* 46-25- а) i/наиб = 2; г/наим не существует; б) 1/наиб = ^; 1/,^ = 0; в) 1/наиб не существует; ушашл = -2; г) i/наиб = 0; унаим = -|. 46.26. а) -5; б) -9, 6; г) -8, 4. 46.27. а) 5,5; б) 1; 2 в) 5; г) 4. 46.28. а) 7; б) -0,1; в) 3; г) д. 46.29. а) 4; б) -1,5; в) -2; г) -2. 46.30. а) 1/наиб = 5; унаим = 0; б) г/наиб = |V2; уа&им = 0; в) 1/наиб = 4; i/наим = 0; г) 1/наиб = 3,5>/3; i/наим = 0. 46.31. а) увая6 не существует; 1/наим = 0; б) i/наиб не существует; i/наим = 1; в) 1/наиб не существует; унвшл = 0; г) i/n^g не существует; 1/наим = ^-. 46.32. а) 2; б) 1. 46.33. а) 3; б) 3. 46.34. а) -4; б)-0,25; в) 9; г)-16. 46.35. . а) [-|; |J; б) [-|; |j. 46.36. а) [-^, +°о б) (-oq ^J. 46.37. [-3; -1]. 46.38. а) 9; б) 15. 46.39. а) п = -|; б) п = 4 - 2>/3. 46.41. а) 12; 12; б) 22; 22. 46.42. а) -5; 5; б) -49; 49. 46.43. а) -18; 18; б) -14; 14. 46.44. а) 2; 1; б) 1 ^; з|. 46.45. а) 14 см; 14 см; б) 18 см, 18 см. 46.46. а) 50 м х 50 м; б) 60 м х 60 м. 46.47. а) 4 см х 4 см; б) 8 см х 8 см. 46.48. а) 50 м х 50 м. 46.49. 32 см2. 46.50. а) 0,8; б) -4. 46.51. а) 2; б) 1. 46.52. а) (1; 1); (-1; 1); б) (4; 2). 46.53. 30 см. 46.54. а) 6000; б) 108. 46.55. а) 21; б) 32,4. 46.56. л/о&. 46.57. 3 ч 44 мин. 337
46.58. 4 дм, 4 дм, 2 дм. 46.59. 7 м, 7 м, 7 м. 46.60. 4^5 м, 6^5 м, Щ^- м 5 п* 46.61. ^. 46.62. М. 46.63. £ 46.64. ^. §47 47.1. а) 42; б) 20; в) 24; г) 14. 47.2. а) 42; б) 7; в) 24; г) 20. 47.3. а) 100; б) 90; в) 180; г) 90. 47.4. а) 108; б) 54; в) 84; г) 324. 47.5. а) 100 ООо| б) 32 768; в) 32; г) 8192. 47.6. а) 512; б) 64; в) 16; г) 192. 47.7. б) 3; в) 6; г) Эшкин будет в 4 вариантах. 47.8. б) 4. 47.9. б) 1; в) 3. 47.10. б) 8; в) 3 1 5 47.11. а) 54; б) 5184; в) ^ г) Jq- 47.12. а) 1; б) 0. 47.13. а) 2; б) 3; в) 6; г) 24. 47.14. а) 8; б) 15; в) 6; г) 13. 47.16. а) 7; б) 4; в) 7; г) 3. 47.17. а) п > 3; б) п > 4. 47.18. а); б); в); г) Начиная с указанного номера л, левая часть растет быстрее правой части. 47.20. а) 120; б) 288; в) 432; г) 72. 47.21. а) (б!)2; б) (5!)2; в) (б!)2; г) (6 • 5 4 З)2. 47.22. а) 120; б) 14 400; в) 720; г) 2880. 47.23. а) 7!; б) 6!; в) 7! С73 =176 400; г) 7! С73 С74 = 529 200. 47.24. а)5! 4! 3! = 17 280; б) 17 280; в) (5 4 3) 4! 3! = 8640; г) 2 177 280. г) §48 а) - 3) 48.1. а) 12; б) 13; в) 12; г) 15. 48.2. а) Г*П~ ^; б) ^ ~ 3^; в) п - 2; в) 94; г) 18. 48.8. Упростите выражение: а) « ; б) ^ 2—-. 48.9. а) СЬ < Ci48; б) с& < Q59; в) cf9 < С?8; г) с\ < Cti при п > 7, С7п = Cti при п = 7. 48.10. а) 8; б) 6; в) 7; г) 4. 48.11. а) х = 9 или х = 10; б) х = 11. 48.12. а) 8; б) 27; в) 31; г) 7. 48.13. а) 15; б) 5; в) 8; г) 12. 48.14. а) 210; б) 35; в) 15; г) 100. 48.15. а) 32 760; б) 792; в) 120; г) 240. 48.16. а) 376 992; б) 32; в) 126; г) 504. 48.17. а) 14 112; б) 10 976; в) 7056; г) 280. 48.18. а) у = g. Х_ 3); в) 8; г) 54. 48.19. а) у = 6х(х - 1); в) 10; г) 33. 48.20. а) у = 241 1 ^-= | — монотонно возрастает; в) 23; г) 24. 48.21. а) 7; б) 8; в) 12; г) 3. 48.23. а) 8; б) 16; в) 128. 48.25. а) 108; б) -720; в) 8; г)-|. 48.26. а) 10*8; б) 120л:4; в) 210лГ2; г) 252. 48.27. а) 60; б) 5; в) 61 236; г) 24 310. 48.28. а) 10; б) 252; в) один; г) 9; 126; два. 48.29. a) k = 2 338
или k = 3; б) 8; в) k = 30 или k = 31; г) 500. 48.30. б) 999 001; в) 9802; ^указание: найти номер, начиная с которого — = 1 + —~— §49 49.1. а) 0,2; б) 0,077; в) 0,088; г) 0,966. 49.2. а) 0,244; б) 0,067; в) 0,044; г) 0,088. 49.3. а) 0,989; б) 0,01; в) 0,0026; г) 0,044. 49.4. а) 0,25; б) 0,25; в) 0,107; г) 0,321. 49.5. а) 0,36; б) 0,52; в) 0,04; г) 0,56. 49.6. а) 0,1; б) 0,7; в) 0,15; г) 0,75. 49.7. а) 0,04; б) 0,92; в) 0,36; г) 0,6. 49.8. а) 0,833; б) 0,833; в) 0,167; г) 0,222. 49.9. а) 10; б) 8; в) 12; г) 29. 49.10. а) 20; б) 24; в) 6; г) 48. 49.11. а) 200; б) 162; в) 100; г) 99. 49.12. а) 4; б) 8; в) 4; г) 8. 49.13. а) Это событие В; б) есть ученик, сдавший экзамен, но есть и ученик, не сдавший экзамен; в) это событие В; г) это событие В. 49.14. а) Все трое не сдали экзамен; б) или все трое сдали экзамен, или все трое не сдали экзамен; в) никто не сдал экзамен; г) ни один ученик не сдал экзамен. 49.15. а) Это цифра 8; б) это цифра 9; в) это цифра 9; г) невозможное событие. 49.17. а) 0,119; б) 0,476; в) 0,476; г) 0,952. 49.18. а) А/Огъ _ ду б) указание: постройте график функции из а); в) 0,375; г) 9. 49.19. п Р(п) 1 5 9 2 5 9 3 5 14 4 10 63 5 5 126 6 0 7 0 8 0 9 0 49.20. п р(п) 0 0 1 1 В 2 «IS 3 3 5 4 «IS с 1 i 6 0 г 2 _ rr 49.21. а) 0,051; б) 0,338; в) 0,662; г) 0,974. 49.22. а) ц2п - 1)(2п - 3); б) указание: исследуйте функцию из а) на монотонность; в) 0,3125; г) 6. 49.23. а) 0,125; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,875. 49.24. а) 0,0625; б) 0,0625; в) 0,25; г) 0, 9375. 49.25. а) 1 - 2п; б) возрастает; в) 1; г) 10. 49.26. а) 0,729; б) 0,271; в) 0,125; г) 0,875. 49.27. а) 1 - 0,9"; б) возрастает; в) 1; г) 7. 49.28. а) 0,303; б) 0,211; в) [||1 . \Щ ; г) 0. 49.29. а) 0,9п10,1; б) 0; в) п Р(п) 1 0,1 2 0,09 3 0,081 4 0,0729 5 0,06561 6 0,059049 7 0,0531441 г) 1. 49.30. а) 0,5; б) 0,8; в) 0,6; г) 0,1. 339
Дополнительные задачи 7.48. a) 0; б) 4. 8.53. a) 20; б) 8. 8.54. a) 0; б) 3. 9.36. а) Нет корней; б) х - 8л, п е Z; в) -оо < х < +оо; г) -4 < х < -3; 3 < х < 5. 9.37. а) 0, 0, {; б) 6. 14.37. а) 6; б) 6. 16.73. а) 3 и 2 ; б) 3 и 2 ; в) 2 и 1; г) 1 и 2. 13.54. 2. 16.74. а) 3; б) 3; в) 4; г) 5. 16.75. а) -10; б) -8; в) -6; г) 9,8. 20.30. х = А о 20.31. а) 4; б) 10. 21.63. а) 200; б) 100; в) 50; г) 50. 21.64. а) 1; б) 12; в) 5; г) 16. 21.65. а) 5; б) нет корней. 22.69. а) 3; б) 3. 23.43. а) х = ял, х = —j + 2яп, х = -arctg -q + 2кп; б) х = 2яп, х = -arctg -g + 2пп. 23.44. а) х = ^ + 2ял, х = -^ + 2кп; б) нет решений. 23.45. х = 2пп. 24.53. а) 2; б) 3; в) 8; г) 12. 27.73. а) 7; б) 9. 28.39. а) 3; б) 2; в) 2; г) 3. 30.27. 6. 30.28. х = ^ + 2пп. 40.17. а) -2,25; б) 1,5. 45.16. 0,5. 46.65. 101. 46.66. а) 1, -2V2 - 2; б) [-23; 9].
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя 3 Задачи на повторение 5 глава 1. Действительные числа § 1. Натуральные и целые числа 12 § 2. Рациональные числа 18 § 3. Иррациональные числа 20 § 4. Множество действительных чисел 23 § 5. Модуль действительного числа 27 § 6. Метод математической индукции 32 глава 2. Числовые функции § 7. Определение числовой функции и способы ее задания 38 § 8. Свойства функций 46 § 9. Периодические функции 55 § 10. Обратная функция 61 глава з. Тригонометрические функции § 11. Числовая окружность 69 § 12. Числовая окружность на координатной плоскости .... 74 § 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс 77 § 14. Тригонометрические функции числового аргумента ... 83 § 15. Тригонометрические функции углового аргумента .... 88 § 16. Функции у = sin х, у = cos х, их свойства и графики .... 90 § 17. Построение графика функции у = mf(x) 100 § 18. Построение графика функции у = f(kx) 105 § 19. График гармонического колебания 108 § 20. Функции у = tg х, у = ctg х, их свойства и графики .... 112 § 21. Обратные тригонометрические функции 115 341
глава 4. Тригонометрические уравнения § 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства 124 § 23. Методы решения тригонометрических уравнений .... 132 глава 5. Преобразование тригонометрических выражений § 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов 137 § 25. Тангенс суммы и разности аргументов 144 § 26. Формулы приведения 147 § 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени 152 § 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение 161 § 29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму 165 § 30. Преобразование выражения A sin x + В cos x к виду С sin (x + t) 169 § 31. Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение) 172 глава 6. Комплексные числа § 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними 176 § 33. Комплексные числа и координатная плоскость 180 § 34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 184 § 35. Комплексные числа и квадратные уравнения 190 § 36. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа 193 глава 7. Производная § 37. Числовые последовательности 197 § 38. Предел числовой последовательности 206 § 39. Предел функции 211 § 40. Определение производной 221 § 41. Вычисление производных 224 § 42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции 233 342
§ 43. Уравнение касательной к графику функции 238 § 44. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы 250 § 45. Построение графиков функций 264 § 46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин 266 глава 8. Комбинаторика и вероятность § 47. Правило умножения. Перестановки и факториалы .... 274 § 48. Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты 278 § 49. Случайные события и их вероятности 283 Дополнительные задачи 289 Ответы 294
Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович и др, АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10 класс В двух частях Часть 2 ЗАДАЧНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский. Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: С. А. Сорока Технический редактор И. Л, Ткаченко. Корректор И. Н. Баханова Компьютерная верстка: А. А. Горкин Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008. Формат 60x90V16. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 21,5. Тираж 30 000 экз. Заказ № 0901200. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218. E-mail: ioc@mnemozina.ru www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8285, 783 8286. Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета Я П К в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат» 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97
(sin л:)' (cos x)' ■ coax -sin л: cos2 л: sin2 л: ;= n\ = 1- 2 S • ... (n- JTn — IV. Бином Ньютона 1 и — п + • ■1 .. + .. + ■ (a C С 1 + xb па ra-l n ■ b)n = + cfan-2b2 +... ab"-1 + bn HHHBB у
ISBN 978-5-346-01202-3 785346 0120231