3^~?»ш
lf#r^:3^
-I:
*^~^Ш1еШР^%* ^ "T* ■ ..- ,-х^'^Ц^ 5S^^§'^^^^^^^^^. '*" * -'^^^^^^^^^К^^^Ш^^^^^^ ^""-ъф*
: - ^ "'* чай

М. М. ДЖРБАШЯН
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
В КОМПЛЕКСНОЙ
ОБЛАСТИ
^\
У
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

517.2
Д 42
УДК 517.53
2-2-3
5-БЗ-5-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I
Преобразования Фурье
§ 1. Предварительные сведения , 7
§ 2. Преобразование Фурье в классе L{ 12
§ 3. Теоремы о свертках и о суммировании интегралов 25
§ 4. Преобразование Фурье в классе L2 40
Глава II
Обобщенные преобразования в классах L2 '
§ L Преобразования Ватсона 56
§ 2. Биортогональные преобразования Ватсона • 70
§ 3. Некоторые определения и леммы 82
§ 4. Обобщения теоремы Ватсона; примеры и применения 96
Глава III
Основные свойства и некоторые приложения
функций типа Миттаг-Леффлера
§ 1. Элементарная теория функций типа Миттаг-Леффлера 117
§ 2. Интегральные представления и асимптотические формулы для
функции £р (г; |а) 126
§ 3. Преобразование Лапласа функции Ер (г; ц); некоторые приложения 147
§ 4. Преобразование типа Фурье на системе лучей . 165
Глава IV
Интегральные преобразования в комплексной области с ядрами
Миттаг-Леффлера
§ 1. Преобразование Меллина функции Ep(z; \i) 187
§ 2. Преобразование Фурье и его обращение посредством
преобразований с ядрами Миттаг-Леффлера 206
§ 3. Преобразования с ядрами Миттаг-Леффлера и их обращение при
помощи преобразования Фурье 230
Глава V
Интегральные преобразования с ядрами Вольтерра
§ 1. Интегральные представлелия и асимптотические формулы для
функции v (z\ \i) • 261
§ 2. Преобразования Меллина и Лапласа функции v (г; \i) 272
§ 3. Прямые и обратные преобразования с ядрами Вольтерра в классе L2 286
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI
Параметрические представления некоторых классов целых
функций конечного роста
§ 1. Интегральное представление целых функций конечного роста . . . 315
§ 2. Интегральное представление £р,^-преобразования и расположение
его особенностей; некоторые применения 328
§ 3. Простейшие обобщения теоремы Винера — Пэли 343
§ 4. Общие теоремы о параметрическом представлении целых функций 364
Глава VII
Интегральные представления некоторых классов аналитических
функций в угловых областях
§ 1. Интегральное представление аналитических функций конечного роста
в угловой области 383
§ 2. Некоторые классы аналитических функций в полосе и в угловой
области 404
§ 3. Параметрическое представление класса &е2 [°Ч <°] 422
§ 4. Общая теорема о параметрическом представлении 451
Глава VIII
Интегральные представления аналитических функций на римановой
поверхности логарифма
§ 1. Интегральное представление аналитических функций конечного
роста в угловой области произвольного раствора 472
§ 2. Квазицелые функции конечного роста и их интегральное
представление 490
§ 3. Классы функций &s2 [aL H2 [Щ и их представление; общие теоремы
о параметрическом представлении 507
§ 4. Классы квазицелых функций и их параметрические представления 537
Глава IX
Классы мероморфных функций в круге и их параметрическое
представление
§ 1. Интегро-дифференциальные операторы произвольного порядка и
некоторые их приложения 566
§ 2. Основная формула для представления мероморфной функции
внутри круга. Определение и важнейшие свойства а-характеристиче-
ской функции 593
§ 3. Произведения типа Бляшке; класс Na и его параметрическое
представление 621
§ 4. Параметрическое представление некоторых классов гармонических
и аналитических функций; теоремы единственности 647
Литературные указания 661
Цитированная литература 667

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой монографии систематически излагается развитая автором
теория интегральных преобразований в комплексной области и тесно
связанные с ней вопросы параметрического представления различных
классов аналитических функций. При этом часть результатов
публикуется здесь впервые.
Книга начинается с изложения основных положений теории
преобразований Фурье, а также теории Планшереля—Ватсона в
классах L2 и некоторых ее обобщений. Затем на основании тонких
асимптотических свойств функции типа Миттаг-Леффлера Е (z\ \x) и ее
континуального аналога — функции Вольтерра v(z; \i) строится
теория интегральных преобразований с этими ядрами, которая
завершается построением операторов типа Фурье—Планшереля для
множеств, состоящих из конечного числа лучей и угловых областей или
конечного числа параллельных прямых и полос.
Далее устанавливается ряд общих результатов об интегральных
представлениях различных широких классов целых или квазицелых
функций, а также функций, аналитических в угловой области. Здесь
получается ряд общих теорем, по своему характеру близких к
ставшим уже классическими теоремам Винера — Пэли о целых функциях
экспоненциального типа и о функциях, аналитических в
полуплоскости.
Заключительная глава посвящена изложению результатов о
параметрическом представлении некоторых общих классов мероморфных
в круге функций, которые представляют дальнейшее развитие ряда
основных положений теории мероморфных функций ограниченного
вида.
О содержании отдельных глав книги можно судить по кратким
введениям, помещенным в начале глав и набранным мелким шрифтом.

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Некоторые пункты, содержащие более специальный материал, также
набраны мелким шрифтом, содержание остальных разделов книги от
них не зависит. Литературные указания приведены в конце книги.
Большую помощь в процессе подготовки книги автору оказали
С. А. Акопян и А. А. Китбалян, которые прочитали всю рукопись
и корректуры и своими замечаниями и советами во многом
способствовали улучшению изложения. Рукопись книги прочитали и сделали
ряд полезных замечаний А. Е. Аветисян, А. Ф. Леонтьев и Е. Д. Со-
ломенцев. Автор считает своим приятным долгом выразить всем им
свою благодарность.
Ж. Джрбашяк
Ереван, март 1966 г.

ГЛАВА I
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Настоящая глава посвящена краткому изложению теории интегральных
преобразований Фурье.
Сначала будут приведены наиболее важные теоремы об обычной
сходимости и суммируемости интегралов Фурье для функций класса L{.
Излагаемые далее фундаментальная теорема Планшереля об интегралах
Фурье в классе L2 и аналог этой теоремы для преобразований Меллина
занимают центральное место во всей теории преобразований Фурье. На эти
предложения мы неоднократно и существенно будем опираться на всем
протяжении данной книги.
§ 1. Предварительные сведения
Для данной главы этот параграф имеет вводный характер. Здесь
будут приведены формулировки ряда известных определений и
предложений теории функций, на которые мы будем ссылаться в этой,
а иногда и в последующих главах. Во всех этих формулировках
подразумевается (если не оговорено противное), что речь идет
о комплексных функциях вещественного аргумента.
1.1. (а) Полагаем известными определение и элементарные
свойства интеграла Лебега.
Пусть /?>1 и —оо<!а<£<;-|-оо. Обозначим через Lp(a, Ь)
класс всех измеримых на промежутке (а, Ь) функций, для которых
существует конечный интеграл Лебега
ь
j\f(x)\"dx.
а
При этом функции, отличающиеся одна от другой лишь на множестве
меры нуль, считаем эквивалентными и рассматриваем как один и
тот же элемент класса Lp(a, b).
Число г ь у,Р
\\f\\Lp{a,b) = \\\f{x)\Pdx\ (1.1)
называется нормой элемента f(x) £ Lp(at b).

8 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Если понятно, о каком промежутке идет речь, то будем
пользоваться также более краткими обозначениями Lp и \\f\\p.
(б) Норма элементов Lp(a, b) обладает следующими свойствами:
I- И/Ир^О» причем H/II = 0 в том и только в том случае,.
когда f(x) = 0 почти всюду на (а, Ь).
Н- 11&/11р — I & III/Ир» где ^ — любая постоянная.
III. При любых f(x) и g(x) из Lp(a, b) справедливо неравенства
Wf+gWpKWfb+Ub. (1-2)
называемое неравенством Минковского.
Эти свойства нормы показывают, что если принять число
р(/. g)*=\\f-g\\P
за расстояние между элементами / и g £Lp, то множество
функций Lp образует линейное метрическое пространство.
Отметим еще одно важное неравенство — неравенство Гёлъдера»
Пусть /(*) £Lp(a, b), g{x)£Lq(a% b\ где
-L + |=l, р>1.,>1.
Тогда
II/* Hi < 11/11,11*11,. (1-3)
Частный случай (1.3) при p=q=2 есть неравенство Буня-
ковского
ll/*lli<ll/IHI*lb- (1-з'>
(в) Элемент f(x)£Lp называется пределом последователь*
поста элементов {fn(x)}°°£Lpno норме, если
"т||/-/я||„=0.
Л->оо
Очевидно, что предел по норме определен на (а, Ь) с точностыо
до значений на множестве меры нуль. Этот предел называется также
пределом в среднем порядка р (при произвольном р^>\) или же
просто пределом в среднем (при р = 2), причем применяются также
обозначения
/„-&U/. п-+оо
или же
(lp)
/(*) = l.i. m./„(*).
П ->оо
Ради удобства записи при р = 2 в принятых нами обозначениях
нормы элемента и сходимости в среднем индекс р и символ (Z,p)
будут опускаться.

§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
9
(г) Из очевидного неравенства
П1/11,-Ши<11/-/Л
вытекает важное свойство непрерывности нормы. Если
то
«mil/Jl,== ||/II,.
Справедливо также предложение:
Если последовательность {fn(x)}™£Lp(a,b) сходится к
f(x)£Lp(a,b) no норме, то существует
подпоследовательность [fn (л:)}, сходящаяся к f (х) почти всюду на (а, Ь).
1.2. (а) Последовательность элементов {fn(x)}™£Lp называется
сходящейся в себе, если для любого е > 0 можно указать такое
N = N(e), чтобы при п и m>N(e) выполнялось неравенство"
H/„-/mll<e.
Очевидно, что если fn ->/, то последовательность {/„(#)} схо"
дится одновременно и в себе.
Важнейшее свойство пространств L % обычно называемое
свойством полноты этих пространств, заключается в том, что
справедливо также обратное утверждение.
Теорема. Если последовательность {fn(x)}™£Lp(a, b)
сходится в себе, то она имеет предел, т. е. существует такой
элемент f(x)£Lp(a, b), что
lim ||/-/„|| = 0.
П -> оо
(б) Условимся говорить, что функция A(jc) является
ступенчатой на конечном или бесконечном промежутке (а, Ь) (таким образом,
— оо ^а < b <^-\-оо), если она принимает постоянные значения
на конечном числе конечных интервалов Д; = (Xj, Xj+\)£(a> b)
(у=1, 2, ..., п) и равна нулю на оставшейся части (а, Ь). Таким
образом, ступенчатая функция на промежутке (—оо, +оо) равна
нулю на некоторых полубесконечных промежутках (—оо, а) и
<р, +оо), а<р.
Отметим, что в самых концах промежутков постоянства
ступенчатых функций их значения не играют роли и могут быть заданы
произвольным образом. В самом деле, таких точек конечное число,
а функции, отличные друг от друга лишь на множестве меры нуль,
считаются эквивалентными.

10
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Назовем далее характеристической функцией интервала /:
с < х < d (где — oo<c<tf<-f- oo) функцию
Д. (х) = \ -
Очевидно, что любая ступенчатая на промежутке (а, 6)
(—со<; а < Ь^С-\-оо) функция представим^ в виде конечной
линейной комбинации характеристических функций
определенных интервалов.
(в) Множество функций A d Lp(at b) называется всюду плотным
в Lp(at b), если, какова бы ни была функция f(x) £Lp(a, b),
inf ||/-q> !(, = <).
<р£Л
Для того чтобы множество AaLp(a, b) было всюду плотным
в L (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента
f(x)£Lp(at b) и любого е>0 можно было найти такой элемент
ф(лг) £ А, что
И/-Ф||р<е.
Некоторый класс функций, определенных на неограниченном
промежутке (а, Ь) (—оо<^ а < b 4^-\-оо), назовем финитным, если
каждая функция этого класса равна нулю вне некоторого конечного
промежутка (а\ br) с (а, Ь) (вообще говоря, эти промежутки
различны для различных функций рассматриваемого класса). Например,
очевидно, что в случае неограниченного промежутка (а, Ь)
определенный в (б) класс ступенчатых функций будет финитным.
Известно следующее важное предложение о плотности
некоторых основных классов функций в Lp.
Теорема. Г. Если промежуток (а, Ь) конечный, то
следующие функциональные классы всюду плотны в L {а, Ь):
М — класс измеримых ограниченных функций;
С — класс непрерывных функций;
S — класс ступенчатых функций;
р — класс алгебраических полиномов и, наконец,
Т — класс тригонометрических полиномов всюду плотен
в Lp(—n, я).
2°. Класс S всюду плотен в Lp(—со, -f-oo) (/?>1).
1.3. (а) Следующее предложение известно под названием
теоремы Лебега.
Теорема. Пусть на множестве Е задана последовательность
измеримых функций {/*(*))i°» сходящаяся почти всюду к функ-

§ 1] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Ц
ции F(x). Если существует вещественная суммируемая
функция Ф(лг)>-0 такая, что при всех п и х£Е
1/„(*)|<Ф(*).
то
lim \ fn(x)dx = Г F{x)dx.
П + coJ J
Отметим еще теорему Фату.
Теорема. Если последовательность измеримых
неотрицательных функций [fk(x)}™ сходится к F(x) почти всюду на Е,
то
J F (x) dx < sup < J fk (x) dx 1.
Отсюда, в частности, вытекает
Теорема. Пусть на множестве Е задана возрастающая
последовательность измеримых неотрицательных функций
/i(*)</2(*)< ••■</„(*)<•••
Если почти для всех х£Е
lim fn(x) = F(x),
П -> оо
то
lim Г fn(x)dx= \ F(x)dx.
(б) Говорят, что х есть точка Лебега для суммируемой
функции f(x), если
h
limT f l/(*H-O-/(*)|# = 0.
Очевидно, что любая точка непрерывности функции f (х) есть ее
точка Лебега. Справедлива следующая
Теорема. Если функция f (x) суммируема на [a, b]t то
почти все точки этого отрезка являются точками Лебега
для f(x).
(в) Следующее предложение известно под названием теоремы
Фубини.
Теорема. Пусть функция f(x, у) определена и измерима
в области
R[(x, у): a<x<bt c<y<d],

12 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
где — оо<; а < #^!-|-оо и —оо^с <*/<! +оо. Если один из
повторных интегралов
Ъ d d b
jdxj\f(x9 y)\dy, jdy j\f(x, y)\dx
а с с а
конечен, то:
1°. Интегралы
b d
jf(x,y)dx (c<y<d), \f(x,y)dy (a<x<b)
а с
существуют почти всюду и являются суммируемыми
функциями в соответствующих промежутках.
2°. Справедливы равенства
b d d b
Г J / (x, y)dxdy= Г dx J / (x, y)dy= \ dy \ f (x, y) dx.
§ 2. Преобразование Фурье в классе Lx
2.1. (а) Следующие рассуждения, принадлежащие самому Фурье„
приводят к понятию преобразования Фурье.
Пусть функция f (х) с периодом 2л/ представима своим рядом
Фурье
где
nl
f(x)= 2 ake l . (2.1)
k = — oo
= 1НГ I/O'"1"*"" (* = o.±i. ±2. ...)•
-nl
Обозначив
uk = T, Aeft = eA+t—ил = т (ft = 0, ±1, ±2. ...).
из (2.1) получаем
fW = W S J /««"'•^«[Дй*. (2.1')
Л = -оо I -Jl/ J
Выражение, стоящее справа в (2.1/), можно рассматривать как
интегральную сумму для функции
л1
ф«(»)=-5г//(')»/я4г-°л
-я/

§2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ Lx
13
при разбиении всей числовой оси —оо < и < +оо
последовательностью точек \uk), где —оо<£<+оо.
Поэтому естественно ожидать, что при определенных
ограничениях, налагаемых на функцию / (х), определенную на всей оси
(—оо, -f-oo), можно совершить формальный предельный переход
в (2. Г) при /->-]-оо, и, таким образом, должно иметь место
представление
+ оо +оо
/(•*) = -2Jr I da \ fWebV-bdt (— схэ < х < -+• оо), (2.2)
— ОО —ОО
известное под названием интегральной формулы Фурье.
Формула (2.2) приводит к важным двойственным соотношениям
между функциями. Именно, обозначив
+ оо
F(a) = -J=- J f(t)e-l«dt. (2.3)
— ОО
из (2.2) мы должны получить*)
+ оо
f(x) = y~ J F(u)e"*da. (2.4)
— оо
Функция F(и), определенная интегралом (2.3), называется
преобразованием Фурье (или интегралом Фурье) функции f (х).
Двойственная с (2.3) формула (2.4) называется обращением
преобразования Фурье или обратным преобразованием Фурье.
Справедливость интегральной формулы Фурье (2.2) и
двойственных формул (2.3), (2.4) нами еще не установлена. Для того чтобы
доказать эти формулы, необходимо обосновать возможность
формального предельного перехода в (2.Г) при /-> + оо.
Однако обычно вместо обоснования указанного предельного
перехода в формуле (2.1х) поступают иначе. Именно, при тех или иных
предположениях относительно функции f (х) прямым путем
устанавливают справедливость двойственных формул (2.3), (2.4), причем эти
интегралы каждый раз понимаются в особом смысле в соответствии
с рассматриваемым классом функций f (х).
(б) Простейшим классом функций, для которого вводится
преобразование Фурье, является Lx(—оо, -{-co)=Lv Для любой
*) Целесообразность введения множителя 1/]/2я перед формулами (2.3),
(2.4) станет ясной из дальнейшего.

14 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ (ГЛ. I
функции /(х)£Ьх ее преобразование Фурье
F'(u)==vw //('>'-""<*
существует для всех вещественных значений и.
Отметим элементарные свойства преобразования Ff(u), когда / £ Lx.
Функция FAu) ограничена, так как
+оо
/*Г|/>,(«)!< \ |/(0|Л = ||/||1 (—оо<и<+-оо). (2.5)
— оо
Более того, Fj(u) равномерно непрерывна на всей оси.
В самом деле, при любых вещественных и и h имеем
+ оо
\Ff(u + h)-Ff{u)\^2 J |/(/)||Sin-f
dt<
J + J \\fit)\dt + R\h\ j \f(t)\dt.
Отсюда видно, что для любого е > 0 можно сначала выбрать
/? = /?(£)> О и затем 6 = 6(е)>0 так, чтобы при \h\ <6
выполнялось неравенство
\Ff(u + h) — Ff(u)\<e (_со<и< + оо).
Таким образом, на линейном многообразии функций Lx
преобразование Фурье определяет некоторый оператор
+ 0О
^-[/]sF/(e) = ^L J f{t)e-^dt, (2.6)
— ОО
называемый оператором Фурье.
Оператор <£Г [f] аддитивен и однороден на Lh так как для
произвольных констант сх и с2 и любых элементов fx и /2 из Lx%
очевидно, имеем
&~ \cJi + c2f2] = сх£Г [/j + c2&- [f2].
Наконец, оператор <£F[f] непрерывен на Lx в том смысле, что
если функции f(х) и {fn(x)}T принадлежат классу Lx и
||/ — /л||->0 при #->оо, то соотношение
Нт<У[/л] = <У[/] (—оо<и< + оо)
Л->-00

§ 2J ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ U 15
выполняется равномерно относительно и. В этом легко убедиться,
если заметить, что в силу (2.5)
sup |^[Л-^[/„]|<-1||/-/«Hi-
-оо< и <+оо У ZZI
2.2. (а) Приведем теперь одно из важнейших свойств интегралов
от тригонометрических функций — теорему Римана—Лебега.
Теорема 1.1. Пусть /(х)£Ьг (—оо, +сю) и функция g(x)
измерима и равномерно ограничена на всей оси. Тогда
равномерно по х в любом конечном промежутке
+оо
lim f f(x + t)g(t)e-iutdt = 0 (— оо < x < + оо). (2.7)
Доказательство. Согласно теореме о плотности в Lx множества
ступенчатых на (—оо, +оо) функций [1.2(b)], для любого е>0
существует такая функция A*e)(/)£S, что
-г-со
j" I/(о-д(е)(о!<«<-£-*
где К= sup \g(t)\ < -|-оо. Тогда для всех —оо < д; < -)- оо
-оо<<< + оо
И ОО <И <+00
J f(x + t)g(t)e-""dt— J Aw(x + t)g(t)e-iutdt
<
<# j |/(* + 9 — bi&)(x + t)\dt = K j \f(t) — A(t)(t)\dt<t.
—oo —oo
Отсюда вытекает, что достаточно установить справедливость теоремы
для произвольной функции f(x)£S и, следовательно, для
произвольной характеристической функции конечного интервала.
Итак, пусть
( 1. t£(c, d).
/<0-W'>={ O.t^c.d) i-oo<c<d<+oo).
Докажем, что равномерно относительно х на любом конечном
отрезке [а, Ь]
+оо
lim Г А л {x + t)g (0 e-iuidt = 0 (— оо < х < + оо). (2.8)

16
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. Г
Заметим, что
d-x
\ \td>(* + t)g(t)'-iu'dt= j g(f)e-'*'dt;
(2.9)
поэтому, в частности,
+ оо
c-idu_elcu
(2.10)
Однако правая часть (2.10) по модулю не превосходит 2/|я| для
всех —со < х < +оо, ввиду чего
+ оо
lim f Д (x + t)e-Mdt=0
|И|->+оо J KLtU)
равномерно относительно всех х (—сю < х < -f- сю).
Итак, по крайней мере в случае g(t)==\ утверждение (2.8)
справедливо. Чтобы установить справедливость (2.8) в общем случае,
обозначим через [А, В] сумму всех отрезков [с — х, d — х]
при а<Сх<СЬ-
Так как g{t)^Lx{At В), для любого е>0 можно подобрать
ступенчатую функцию Д(е)(£) таким образом, чтобы выполнялось
неравенство
в
j
\g(t)-&e)(t)\dt<±.
Тогда из (2.9) имеем для всех а^.х^Ь
+<х> d-x
J Д(с, d) (x -
t)g(t)e-iutdt- J №(t)e~illtdt
c—x
В
<
< j\g(t)-№(t)\dt<%. (2.11)
Однако для любого интервала (с\ d')a[At В] и для всех х £ [а, Ь]
d-x
\ \ctd'){t)e'iutdt
<
0, если mes {(с', d')[\(c— х, d — х)} = 0,
<{ 2
I -j—г, если mes l(c\ df){\(c — xt d—х)} > 0.

§2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L,
17
Следовательно, для е>0 можно так подобрать я0 = я(е)> О,
чтобы для ступенчатой функции А(е)(0. являющейся линейной
комбинацией конечного числа функций интервалов вида А , d,M)t где
(с', d')a[At В], равномерно относительно х £ [а, Ь] выполнялось
неравенство
d-x
\
tiZ){t)e-lutdt
<|. |«|>«о(е)- (2-11')
Из (2.11) и (2.110 вытекает, что равномерно относительно х £ [а, Ь]
J Ve^ + O^Or^*
<е, \и\^и0.
Итак, утверждение (2.8) справедливо, и тем самым теорема
полностью доказана.
(б) Пусть функция f(x) принадлежит классу Lx(—оо, +оо) и
+ оо
F(u) = y±=- j f(t)e-lutdt (2.12)
— ОО
— ее преобразование Фурье, непрерывное, как известно, на всей
оси —оо<я<-|-оо. Для любого а>0 составим интеграл
о
/0(*)= y=J F(u)e'**du. (2.13)
Из теоремы 1.1 следует, во-первых, следующая важная
Лемма 1.1. Для каждого фиксированного значения 6 > 0 имеет
место представление
■01^<« + ^(4 (2-14)
где е0 (*)-->(), когда a~>-f-oo, причем равномерно относи-
тельно х в любом конечном промежутке.
Доказательство. Ввиду того, что для всех и£(—оо, +оо)
|/(Ое-""| = |/(0|€М-°°. +оо).
2 М. М. Джрбашян

18
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
интеграл (2.12) равномерно сходится на всей оси —oo<#<-f-oo.
Поэтому для любого а>0 и любого х£(—оо, +оо) из (2.12)
и (2.13) имеем
а | +оо л
f°W = -k\eiUX\ \ f{t)e-^dt\du =
-а
+ оо
= Т5Г J Щ
а | +оо
-а | -оо
Полагая 6 > 0 и х фиксированными, отсюда получаем
/.(*) = -£■ J /(я + О-^Л + еЛ*).
-6
(2.15)
где
•dt.
Наконец, обозначив
m>ft
о. |*|<б.
можем также записать представление (2.15) в виде (2.14), где
е«^)==Т J f(x + t)g6(t)sinotdt.
— оо
Так как 1^(01^ б"1 (—°° < * < 4" °°). утверждение относи*
тельно функции г0(х) следует из теоремы 1.1.
(в) Из леммы 1.1 вытекает, что если f(x)£L\ (—оо, +°°)»
то существование предела fa(x) при а-> + оо в точке х = х0
зависит только от поведения f(x) в произвольно малой
окрестности (л:0 — б, лг0 + 6) этой точки. Это утверждение называют также
принципом локализации Римана.
2.3. (а) Если ф (х) £ Lx (— а, а) при любом а > 0 и существует
предел
lim Г y(x)dx,
Г->+оо J
то его называют главным значением (по Коши) интеграла
+оо
J* ф(*)
dx

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L, 19
и обозначают символом +00
v. р. Г <p(x)dx.
— оо
Установим сначала следующий признак обратимости
преобразования Фурье.
Теорема 1.2. Пусть функция f(t) принадлежит классу
Ьг(—оо, -f-сю) и F(u) — ее преобразование Фурье (2.12). Тогда:
1°. Для того чтобы в точке х0 имело место равенство
v. р. -Д=г- Г F(u)eiax°du = c0, (2.16)
— оо
необходимо и достаточно, чтобы для любого 6 > О выполнялось
соотношение
б
Hm f [f(x0 + t) + f(x0-t)-2c0]^-dt = 0. (2.17)
О
2°. Если, кроме того, функция f(t) непрерывна в
промежутке (а, Ь), то для справедливости равенства
+ оо
/(*) = v. p. yi= J* F(u)el"*du (2.18)
— ОО
при всех х£[ах, bx]a(a, b) с равномерно сходящимся (в смысле
Коши) интегралом в правой части необходимо и достаточно,
чтобы функция
<px(t) = f(x + t) + f(x—t) — 2f{x) (2.19)
для любого фиксированного 6 такого, что
0<6< min{al — a, b — bx), (2.20)
удовлетворяла равномерно относительно х условию
б
lim Г Vx(f)^^dt = 0 (а1<х<^1). (2-21)
0
Доказательство. 1°. Заметим, что при любом 6 > 0
б Ьа +со
„ш [«%**= Иш [^dx=J -H£.^e«. (2.22)
а->+оо J * о-»+оо J л J х 2
0 0 0

20
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. 1
Поэтому при любых 6 > 0 и о > 0 имеем
б
1=2. Ji!^£Lrf/ + ea, (2.23)
о
где ео->0 при а-> + оо. Умножая теперь (2.23) на с0 и пользуясь
формулой (2.14) леммы 1.1 для разности fa(x0) — с0, получаем
представление вида
б
/о(*о)-<о = т j lf(xo + t) + f(x0-t)-2c^^^dt + aa(x^
о
где ао(л:0)->0 при a—>-f-oo.
Отсюда в силу определения (2.13) функции /а(дг) непосредственно
следует эквивалентность утверждений (2.16) и (2.17).
2°. Если функция f(t) непрерывна в промежутке (a, b) и
[ах, bx]cz(at b), то при условии (2.20) функция (px(t), определяемая
формулой (2.14), непрерывна в прямоугольнике Д [(х, t)\ ах ^ х ^ Ьи
0</<й].
Далее, из представления (2.14) леммы 1.1 и из (2.23) следует,
что для любого 6, удовлетворяющего условию (2.20),
б
fa(x) — f(x) = ±j<pAV^^dt + aa(x) (<*!<*<*!),
о
где функция а0(л:)—>0 при а—> + оо равномерно относительно х
на всем отрезке [а1% Ьг].
Отсюда, переходя к пределу при a-^ + оо, приходим ко второму
утверждению теоремы.
(б) Докажем теперь основную теорему об обращении
преобразования Фурье для функций класса Lv
Как известно, всякая вещественная функция с ограниченным
изменением представима в виде разности двух неубывающих ограниченных
функций. Если функция монотонна, то она может иметь лишь разрывы
первого рода. Наконец, любая непрерывная вещественная функция
с ограниченным изменением представима в виде разности двух
непрерывных неубывающих функций.
Опираясь на эти факты, докажем следующую теорему.
Теорема 1.3. Г. Пусть функция f (t) принадлежит классу
Lx(—сю, -\-оо)и в некоторой окрестности (х—6, х + 6)(6> 0)
точки х имеет ограниченное изменение. Тогда
+ СО
Yl/(* + °) + /(*-°)) = v- Р- у=" J F(a)et**da, (2.24)
— СО
где F(u) — преобразование Фурье (2.12) функции f(x).

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L, 21
2°. Пусть функция f(t)£:Ll(—сю, +схэ) непрерывна и имеет
ограниченное изменение в интервале (а, Ь). Тогда
+ оо
/(x) = v. p.-т= (F(u)e^du (2.25)
при любом х£(а,Ь), причем интеграл равномерно сходится
на любом отрезке [аь bl]ci(at b).
Таким образом, для функции, имеющей ограниченное изменение
в некоторой окрестности точки х, значение
jlf(x + 0)-\-f(x-0)]
восстанавливается при помощи указанных формул обращения, исходя
из преобразования Фурье (2.12) функции / (t).
Доказательство. Г. Согласно теореме 1.2 (Г), достаточно
показать, что для рассматриваемого значения х и некоторого
фиксированного 6 > О
6
"m f {f(x + t) + f(x-t)-f(x + 0)-f(x-0)}^dt = 0.
0->+оо J l
(2.26)
Функция (которую, очевидно, можно принять вещественной)
%(t) = lf(x-\-t) + f(x — t)]-[f(x-\-0) + f(x — 0)]9
совпадающая с функцией <px(t), определенной согласно (2.19), если
в точке х функция f (t) непрерывна, имеет ограниченное изменение
в промежутке (0, 6). Поэтому справедливо представление вида
*Ы0 = ux(t) — vx(t), (2.27)
где их (t) и vx (t) — неотрицательные неубывающие ограниченные
функции на интервале (0, 6), причем
их (+0) = Vx (+0) = ф, (+0) = 0.
Каково бы ни было е > 0, можно взять 6г < 6 столь малым, чтобы
при всех tt 0<^<^6lf выполнялись неравенства
0 < их (t) < е, 0 < vx (t) < е. (2.28)

22
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Ввиду того, что функции ux(t) и vx(t) не убывают и
неотрицательны при 0<£<;б, согласно второй теореме о среднем
значении *), получаем
Г ... sinctf , х Г sin at ,. /г. ^ . ^ . ч
J MO-j—<tf=Mfti) J ——Л (0<62<61),
о б2
J «х(0 ^dt=vx(6l} J i!»^ Л (0 < 63 < 6,).
(2.29)
Из сходимости интеграла (2.22) следует существование постоянной
А > 0 такой, что
Г sin х
J ~
I Ро
при произвольных р0, р (0<^р0 < р < +со). Поэтому для любого
о>0
dx
<А
Ъх I I 6|
f sinctf ,, 1^ . Г sina*
J —л <л и J ~г"
fitf
<л.
(2.30)
Из формул (2.27) и (2.29), пользуясь оценками (2.28) и (2.30),
получаем, что для любого a > 0
"1
Г , ,,ч sinctf
J Ъ«)-г-
dt
<2Ле.
Заметим, наконец, что по теореме 1.1 для того же значения е> 0
число a0 = a(e)>0 может быть выбрано так, чтобы выполнялось
неравенство
J MO-
ctf
dt
6i
Итак, при о^о0 имеем
б
< Ле (а > а0).
J *,тЦ
at
dt
< ЗЛе.
Это неравенство эквивалентно доказываемому соотношению (2.26).
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. II.

§2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L,
23
2°. Если функция f(t) непрерывна в промежутке (at b)t то для
данного отрезка [av Ьх]а{а, Ь)> как уже отмечалось, функция ф^(0
непрерывна в прямоугольнике а1<^. x<^.blf 0<^^6, где 6
определяется из условия (2.20).
Для данного е > 0 можно взять 6j < 6 так, чтобы неравенства (2.28)
выполнялись равномерно относительно аг^х^Ьг и О^^^б^
Теперь, повторяя заключительные рассуждения доказательства
первой части теоремы, приходим к выводу, что для е > 0
существует такое 61 = 61(е)>0, что для всех аг^х ^Ьг и а>0
справедливо неравенство
б,
j
,,ч sin at j.
Фдг (0 —5— dt
<2Ле.
Наконец, как и выше, пользуясь теоремой 1.1, можно выбрать такое
а0 = а(е)>0, чтобы при о^о0 для всех х, аг^х^Ьг$
выполнялось неравенство
б
j
, ,ч sin at ,.
<Vx(t)—j—dt
< ЗЛе.
Согласно теореме 1.2 (2°), это неравенство эквивалентно
утверждению теоремы.
2.4. В заключение параграфа отметим еще две важные
двойственные формулы.
(а) Пару двойственных формул
+ оо
&*($)= J /(х)х5~Ых, (2.31)
C+too
/(х) = ~Ы J ^(s)x~sds
(2.32)
c-ico
принято называть формулами обращения Меллина или
соответственно прямым и обратным преобразованиями Меллина.
Хорошо известные в теории гамма-функции формулы
+ оо c+ico
T(s)=[ е'хх5-Ых, e~x = -^j J T(s)x'sds
0 c-too
дают элементарный пример пары формул такого рода.
Простейшими классами функций, для которых вводятся
преобразования Меллина (2.31) или (2.32) и устанавливаются теоремы об их
обращении, являются соответственно классы ^(0, -f-co) и Lx{—со, +00)-

24 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Следующие предложения непосредственно вытекают из основной
теоремы 1.3 об обращении преобразования Фурье.
Теорема 1.4. Пусть yk~lf(у)£1*г(0, +оо) и в некоторой
окрестности (х—6, х-\-Ь) точки у = х>0 функция f (у)
имеет ограниченное изменение. Тогда интеграл
+ оо
<&~(s)= J f(x)xs~ldx (s = k + it)
о
равномерно сходится, причем имеет место формула
обращения
k + ib
т[/(* + °) + /(*-°)]=4г lim f ST{s)x-'ds. (2.33)
z zm a->+oo . J A
ft — to
В самом деле, так как при s = k-\-lt
1/(У)/-1| = У*"11/(У)1б^1(0. +оо),
преобразование Меллина <&* (s) равномерно сходится и представляет
непрерывную функцию Q?~(k-\-it) на всей оси —оо <£<-}-оо.
Далее, преобразованием Фурье для
/i(y) = e-*7(e-y)€£i(-^. +oo)
является функция
+ оо +оо
у 2л * у 2л .-'
— оо
+ оо
f /{xJx'+H-^x^-l^^k + tt).
УШ J y V-U-i —i уди"
С другой стороны, из условия теоремы видно, что функция fi(y)
в окрестности точки у = — log л: имеет ограниченное изменение.
Поэтому, согласно теореме 1.3 (1°), получаем
+ оо
= V-P-^T J fik + t^eWdt,
— CO
откуда и следует наше утверждение (2.33).

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 25
Теорема 1.5. Пусть функция <&*(k-\-iu) из класса Lx{—оо, + оо)
имеет ограниченное изменение в некоторой окрестности (t—6,
t-{-6) точки u = t. Тогда преобразование Меллина
k + ioo
/W=2S" J ^^)x~sds (0<л:<+сю) (2.32')
ft-Лоо
равномерно сходится на любом отрезке —, о (о > 1), причем
у[^(А + '('+0)) + ,У(А + '(' —0))] =
а
= lini | f(x)xs~ldx (s = k + U). (2.34)
В самом деле, так как при л;£(0, +оо) и s = k-\-tt
\(&-(<s)x-s\ = x-k\&'(k-\-it)\€Ll(—oot + 00),
утверждение относительно характера сходимости второго
преобразования Меллина (2.32) и, следовательно, непрерывность функции f (х)
на полуоси (0, + оо) очевидны.
Подставляя х = еу в (2.32'), получаем
оо
У"2я /(еу)«*у = т^= [ &"(k + lu)e-lyudu,
— СО
откуда, согласно теореме 1.3, следует соотношение
g- [<^(ft + /(' + 0)) + ^(ft + /(f —0))] =
+оо а
= v. p. { [f(ey)e',y]eUydy= Urn \ f(x) х*+и-Чх.
—со 1/а
§ 3. Теоремы о свертках и о суммировании интегралов
3.1. Отметим сначала некоторые дополнительные свойства
оператора Фурье
+ оо
^-[f) = F(и) = у=- J f{t)e-iatdt (3.1)
— со
в предположении, что f(t)^Lx (—оо, +оо).

26 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
(а) Формулы
<^Г 1/И)] =4/=■(-£). (3.2)
<&г[/Ш = Р(—и). (3.3)
&'lf{x + t)] = F(u)e,xu (3.4)
непосредственно следуют из (3.1).
(б) Справедливо также следующее свойство. Пусть
/*<0€М—°°. +°°) (*=!■ 2> u^-[/k(t)) = Fk(u) (£=1,2).
Тогда
J />,(«»/2(tf)A> = J FiWfiWdu. (3.5)
— со —со
В самом деле, так как интеграл
+ 00 + СО
J J l/l(«)ll/2(«)l<*"*>=
— 00 —ОО
+ СО +0О
= J* l/i(«)H« J l/2(«)|^=||/,|lill/2||1
— со —со
существует, в силу теоремы Фубини [см. 1.3 (в)] справедливы
равенства
+ со + оо ( +со Л
/ J e-lavf1(u)f2(v)dudv= J Д(«){ J f2(v)e-'">dv\da=;
-CO — ОО ( —CO J
+ co ( +co "I
= J /a(«)j J /i(u)e-ivudu\dv.
— CO ^ —CO J
Отсюда и вытекает формула (3.5).
(в) Пусть для двух функций f(x) и g(x), определенных на всей
оси (—оо, -f-oo), интеграл
+ СО +СО
k{x)= J f(y)g(x — y)dy = j g(y)f(x — y)dy (3.6)
— CO —CO
существует почти для всех х£(—сю, +оо). Тогда интеграл k(x)
называется сверткой функций f(x) и g(x).
Теорема 1.6. Пусть функции f(x) и g(x) принадлежат
классу Lx{—оо, +оо). Тогда:
1°. Существует их свертка k(x), причем
и * Hi < и/it ik lb-

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 27
2°. Преобразование Фурье свертки k(x) функций f(x) и g(x)
равно умноженному на У2л произведению преобразований Фурье
этих функций, т. е.
& [к] = У 2я оГ [/] & [g]. (3.8)
Доказательство. 1°. Произведение
ю(*. y) = f(y)g(x — y)>
как функция двух переменных, измеримо, причем в каждой точке
у £ (—оо, -f-oo), где f (у) конечна, т. е. почти всюду, имеем
+ оо +оо
| |о(*, y)|rf* = |/(y)| J" k(Jf-y)|rf*=Ullil/(y)l-
— оо —оо
Отсюда следует, что
Ч-оо -f оо
J* dy J |(o(x, y)|rf* = ||/llil№ (3-9)
— ОО
Далее, согласно теореме Фубини [1.3 (в)] и формуле (3.9),
+ оо +оо +оо +оо
J dx { \f(y)\\g(x-y)\dy = ] dy J \f(y)\\g(x-y)\dx =
—oo —oo
+ oo +oo
= J dy j |o(x. y)|Ac = ||/lliIk ||x. (3.10)
— CO —OO
Наконец, по определению (3,6) свертки k(x) имеем
+ 0O
|ft(*)l< / \f(y)\\g(x-y)\dy.
— OO
Отсюда и из равенств (3.10) следует принадлежность функции k(x)
классу Z,j(—оо, +оо), а также оценка (3.7).
2°. Значение оператора Фурье ^Г' [k] для k(x)£Lx(—со, -f oo)
представимо в виде
&[k] = -jL=- J k(x)e~iux dx =
— оо
+ оо +оо
= тр==- J «""«rf* J /G»tf(*-y)rfy =
— со —oo
Ч-оо +оо
= Y= [ dx j ф\х, y)dy. (3.11)

28 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
где
со*(лг, y) = [f(y)e-iuy][g(x — y)e-iul*-y)]. (3.1 Г)
Замечая теперь, что
|со*(лг, у) | = (©(*, у)|,
и применяя теорему Фубини, из (3.11) и (3.11') получаем
+оо +оо
<^[ft]=y^r J dy J* ©•(*, y)dx =
— oo —oo
+ oo +oo
= -Д=- J f(y)e-iuydy Г g(x — y)e-ltt(x-y)dx =
— OO —CO
(г) Свертку двух функций /(л:) и ^*(лг) обозначают также символом
k(x) = f(x)*g(x) (или k = f*g).
Легко видеть, что оператор свертки обладает свойствами
коммутативности и ассоциативности, т. е.
f*g = g*f (/. g^Lx),
(f*g)*h=f*(g*h) (/, g, h£Li).
Наконец, утверждения теоремы 1.6 могут быть записаны также
в виде
ll/*^ili<ll/lli№ (3-70
&~[f*g] = /2я" &* [/] оГ [g]. (3.80
3.2. В этом пункте будет доказана общая теорема о
суммировании интегралов Фурье.
(а) Введем сначала некоторые необходимые определения и
обозначения.
Обозначим через Вг множество функций К(х),
удовлетворяющих условиям:
1) К(х)^Ьг(—оо, Н-оо).
2) К(—х) = К(х)9 (3.12)
3) К (х) непрерывна в окрестности точки х = 0, при-
чем /С(0)=1.

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 29
Обозначим, далее, через В2 множество функций Н(х),
удовлетворяющих условиям:
1) Н{—х) = Н(х) (— оо<лг <+оо),
2) \Н(х)\^Н0(\х\) (—оо<х<+сю), (3.13)
3)JL J H(t)dt=i,
где Н0(х)^0 — некоторая невозрастающая функция на
полуоси (О, +оо) из класса /^(0, +оо) (вообще говоря, не одна и
та же для различных функций из В2).
Наконец, будем говорить, что функции К (х) и Н(х) составляют
фейеровскую пару первого рода, (К, Н)£Ф1§ если
1) К(х)£В19 Н(х)еВ2;
+ оо
2) И (х) = У~2к £Г [К] = Г K(u)e-lxadu (— оо <лг<+оо).
(3.14)
Отметим некоторые важные примеры пар первого рода.
Пара Фейера. Рассмотрим функцию класса Вх
/С (а:) = i л .1^1 (3.15)
I 0 при |x| > 1.
Полагая
+i
Я(лг) = У2к <&~ [К] = | (1 — \u\)e-iXttdu,
-1
получаем
Я(*) = [-^-) . (3.16)
Легко видеть, что, например,
Л (*)<-pi—= //,>(*).
ввиду чего Н(х)£В2.
Пара Абеля — Пуассона. Рассмотрим функцию класса 5А
К(х) = е-\*\ (— оо<л:<+оо) (3.17)
и положим
+ оо
— оо
Здесь

30 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Пара Гаусса. Для функции класса Вг
К(х) = е-*2 (3.19)
положим
+оо
Н(х) = У2я 4Г[К(х)\= J e-*-ixudu.
— со
Здесь
И (х) = У л е-*'* £ В2. (3.20)
(б) Докажем теперь лемму.
Лемма 1.2. Пусть функции К (х) иН(х) таковы, что (К, Н)£Фг»
Если функция f(x) принадлежит классу Lx(—оо, +оо) и
+ оо
F(a) = &~{f(t)] = yL=- J f{t)e-^dt
— CO
— ее преобразование Фурье, то справедливы следующие
утверждения:
Г. Функция
+ со
/0(х. К) = -pLr j F(u)K (ij.) e'«rfe (a > 0) (3.21)
— CO
непрерывна и равномерно ограничена на всей оси —оо < х < -+ оо»
2°. Имеет место также представление
+ СО + СО
fa(x, K) = 4r S f(x + t){oH(.ot)}dt = -^ J* f(t)H(a(x-f))dt.
— CO —CO
(3.22)
3°. Обозначая
9хф=/(£Щ11£=й.-/(х). (3.23)
+ oo
/„ (*. /О - /(х) = 4 J* <P* (0 аН <<*) dt- <3-24>
О
Доказательство. 1°. Так как
sup |F(B)|<* Ц/11,.
-СО< U <+0О V ZJI
для всех —оо<лг<4-°° имеем
\pWk[±).'"\<^ui\k[±)\.

$ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 31
Отсюда и из определения (3.21) функции fa(xt К), ввиду того,
что К(и)£Ьг(—оо, +оо), вытекают как ее непрерывность, так и
ограниченность, причем
sup \f0(x. К)\<-^\\/иК\\г.
-со < х <+оо У *П
2°. Заметим, что в силу (3.4)
F(tt)eix* = &'[f(x + f)\. (3.25)
Далее, из (3.2) и (3.14) имеем
Пользуясь теперь установленным ранее свойством оператора
Фурье [3.1(6)], в силу четности функции Н(х) из (3.25) и (3.26)
получаем
+ оо +оо
J F (и) е'**К (■£-) da = j* «Г [/ (х + /)] /С (-£-) da =
— CO —CO
+ со +оо
= у=- J /(* + *)Я(оО«« = -р= j f(t)H(o(x-t))dt.
— CO —ОО
Отсюда и из (3.21) следует формула (3.22).
3°. В силу третьего свойства (3.13) функции Н(х) имеем
+ оо
1 =-[- Г oH(ot)dt (a> 0).
— со
С другой стороны, ввиду четности Я (л:) формулу (3.22) можем
записать в виде
+ оо
/«(х. К) = -±- J* {/(* + 0 + / (* - 0} оЯ(а/) Л.
о
Из этих двух соотношений вытекает (3.24).
(в) Для всех функций из класса Lx фейеровские пары порождают
некоторый процесс суммирования для формул обращения
преобразований Фурье
F (и) = &-[/«)].
Именно, справедлива
Теорема 1.7. Пусть функции К(х) и Н(х) таковы, что
{Ку Н)£Ф1% f(x)£Lt(—оо, + оо)и функция fa(x, К) определяется
по формулам (3.21), (3.22). Тогда:

32 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ГГЛ. I
1°. В любой точке л;£(—оо, +оо), для которой
h
lim i- Г \yx{t)\dt = 0, (3.27)
А->+0 п J
О
имеем также
Нт /0(*. *) = /(|*|). (3.28)
а-»+оо
2°. £с./ш /(*) непрерывна в промежутке (а, 6), то
стремление к пределу в равенстве (3.28) имеет место равномерно
на любом отрезке [аг, Ьг]а(а, Ь).
Доказательство. Так как Н(х)£В2, существует невозрастающая
функция Н0(х)£Ьг(0, +оо) такая, что
\Н(х)\<Н0(х).
Из очевидного неравенства
2х + оо
хН0 (2х) < J Я0 (0 dt < J" Я0 (О Л (* > 0)
вытекает, что
lim хН0(х) = 0. (3.29)
ЛГ-»+оо
Обозначим далее
+ 00
Аг= f H0(x)dx, 42=sup \хН0(х)]. (3.30)
g 0<лг<+оо
Если в точке х условие (3.27) выполнено, то для любого е > 0
выбираем 6 = 6(е, л:) > 0 так, чтобы при 0^£<^6 было
справедливо неравенство
Н|ф'(т)|Л<1патаг- (3-31)
о
Если же функция f(x) непрерывна в промежутке (a,b)n [alt bx]c:(a, b),
то для е > 0 выбираем 6 = 6 (е) > 0 так, чтобы для всех t, 0 <^ t <^ 6,
и х, ах<^х ^.bv одновременно выполнялось неравенство
/<* + 0 + /<*-*)_/(jc)
<е.
Следовательно, в случае 2° для е > 0 можно выбрать 6 = 6(е) > 0
независимо от х так, чтобы неравенство (3.31) имело место
одновременно для всех а1<^х<^Ь1.

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 33
Положив теперь
t
G(t) = Ox(t)= J |Ф,(т)|Л.
О
в силу (3.31) получаем при 0<^£<^6
°^<2(/W' (3-ЗГ)
причем в случае 2° 6 не зависит от х £ [аг, Ьг].
Для выбранного значения 6 запишем формулу (3.24) в виде
б
/о(*. K)-f{x) = ± j <px(t)oH(pt)dt +
о
+ if/ 4xV)oH(of)dt = fl(o) + I2(o). (3.32)
Отсюда имеем
б
Ki(°)|<4 J |Ф„(01 оЯ0(of)Л = i- J atf0(of)dO(t) =
О
б I
lgLl6oH0(fio)]— J 0(Оа^Я0(ао[. (3.33)
0 J
Функция H0(ot) невозрастающая, поэтому dt [—H0(at)] >0, ив силу
оценки (3.3Г) получаем
б 6
-Го (t)odtH0(at) <2(Л|*+л2) J" аМ< [_ Я°(а')] =
f б 1
= 2(аГ+А2) )--<^0(а6) + I oH0(at)dt}<
I о J
аб
< 2(л+л) J" я««Л<та¥зд- <3-34)
о
Из неравенств (3.33) и (3.34) вытекает, что
\h(°)\<Y (3-35)
при всех а>0 (в случае 2° — для всех ах^х <СЬ{).
3 М. М. Джрбашян

34 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Оценим теперь интеграл /2(о):
I/.WK if | /(* + <) + /(*-<) -f{x)\oH0(ot)dt =
6
+ 00 +ОО
б 6
+оо +оо
+ ^4^ I Я0(аО^<1^.[абЯ0(аб)]+1^)1 J H0(t)dt.
6 аб
В силу (3.29) отсюда следует, что для е>0 можно выбрать
число а0 = а0 (8) > 0 (в случае 2° — одно и то же для всех х £ [аь Ьг])
так, чтобы выполнялось неравенство
|/2(°)1<|. 0>0О. (з.зб)
Из формулы (3.32) в силу оценок (3.35) и (3.36) вытекает, что
|/а(*. K)—f(x)\ <e, а>а0(е),
причем в случае 2° это неравенство выполняется равномерно для
всех x£[av Ьг]. Теорема доказана.
Следует отметить, что утверждение 1° справедливо почти для
всех точек х£(—оо, +оо) и, в частности, во всех точках не-
прерывности функции f(x). В самом деле, по теореме Лебега
[1.3(6)]
h
Iim IT [\f(x + t) — f(x)\dt = 0
почти для всех х, а отсюда легко следует (3.27) для любого такого х.
(г) Приведем теперь теорему о суммировании в метрике Lv
Пусть f(x)£Lx(—00, +00). Тогда для любого h, обозначая
/А (*) = /(* +А).
имеем
IIД Ik = 11 /Hi-
Положим далее
W(h, /)=||/-ДИ,.
и отметим следующие очевидные свойства этой величины:
W(h, /, + /2)<Г(А. /o + W(h, /2). Д. /а б А:
Г(0. /) = 0. 0<Г(Л, Л<2||/||1.

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 35
Установим теперь, что функции класса Ьг непрерывны по
норме Lt в том смысле, что для любой функции f(x) £ Lx{—оо, +оо)
limW^ft, /) = 0. (3.37)
В самом деле, заметим сначала, что если
^а>ь){х)—характеристическая функция интервала (а, Ь)> то
+оо
W(A. Д(а, b))= j\\а, ь)(х) — Д(л, ъ)(x + h)\dx =
— оо
a+\h\ b+\h\
= f dx-\- f бГл: = 2 [ /г | —> 0 при й->0.
Следовательно, утверждение (3.37), очевидно, справедливо для любой
ступенчатой функции.
Далее, для /(х)£Ьг(—оо, -f-co) и е > 0 выбираем ступенчатую
функцию А (л:) так, чтобы
||/(*>-Д (*)!!,<-!-.
Наконец, для Д (д;) и е > 0 выбираем б = б (е) так, чтобы
W(h. Д)<| при |Л| <б.
В результате имеем для |А| <б
W(h, f)<W(h, f — A)-+W(h, Д)<
<2||/-A||I + W(A. Д)<2^ + -|=е.
Теорема 1.8. Пусть функции К (х) и Н (х) таковы, что
{Ку Н) ^Ф1} /(х)£1г(—оо, -f-oo) й fo(x, К) определяется по
формулам (3.21), (3.22). Тогда
Пт ||/а(*. /O-/WHi = 0. (3.38)
а->+оо
Доказательство. Во-первых, так как по (3.22)
+ 0О
|/о(*. *0\< i \\f(x + t)\oH0(o\t\)dt,
— ОО
с помощью теоремы Фубини получаем, что при любом а > О
+ оо
II/о 111 < II/111-i JoH0(o\t\)dt=n/^lH°"1.
— ОО
3*

36 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Далее,
+ оо
\fa(x, ^-/Wl<^ j\f(x + t)-f(x)\oH0(ot)dt,
— оо
откуда опять в силу теоремы Фубини получаем
+ оо +оо
||/„(*. /С) — /(^)111<-^Г jdxj\f(x + t)-f(x)\oH0(o\t\)dt =
— ОО —ОО
+оо +оо
= -k\W(t' f)°H0(o\t\)dt= ^jw(±, f)H0(t)dt, (3.39)
-оо О
так как функция W (t, f) также четная. Однако H0(f)£Lx(Q9 +oo)
и Wy—, /)->0 при любом ££[0, -т-оо), когда a->-f-oo. В силу
этого правая часть (3.39) стремится к нулю при о->-\-оо. Теорема
доказана.
3.3. Приведем, наконец, некоторые важные приложения теоремы
суммирования.
(а) Теорема 1.9. 1°. Пусть функция f(x) принадлежит
классу Lx(—оо, +оэ) и
+ оо
F(«) = ^r[/] =y==- jf(t)e-t»'dt
— оо
— ее преобразование Фурье. Тогда равенство
а
— а
имеет место почти для всех х и, в частности, во всех точках
непрерывности функции f(x).
2°. Если, кроме того, F(u)^Lx(—оо, + сх>), то равенство
+ оо
f(x) = -~ jF(u)e^da (3.41)
— ОО
имеет место почти всюду и, в частности, во всех точках
непрерывности f(x).
Доказательство. 1°. Как было отмечено выше, пара функций (3.15),
(3.16) (называемая также парой ядер Фейера) входит в класс Фг.

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 37
Следовательно, по теореме 1.7 равенство (3.40) справедливо в каждой
точке х такой, что
lim
п _! Г 1 f{x + t) + f(x-t)
+о/г J | 2 /W
dt = 0.
Это условие выполняется почти для всех х£(—со, -|-оо) и, в
частности, в каждой точке непрерывности функции f(x).
2°. Пара ядер Абеля — Пуассона (3.17), (3.18) также входит
в класс Фг. Поэтому по теореме 1.7 почти всюду, в частности
в каждой точке непрерывности функции /(л:), имеем
4-оо
f(x)=-±= lim ) e-\ll^F{u)eixada. (3.42)
У 2Л <j->4-oo J
— oo
Вместе с тем при любом х£(—оо, + оо) и а>0
\e-\u\'°F(и)elxu\<C\F(и)\ 6А(— оо, +оо).
Отсюда и из теоремы Лебега [1.3 (а)] следует, что можно совершить
предельный переход под знаком интеграла (3.42). Таким образом
получаем формулу (3.41).
Отметим два следствия из этой теоремы.
Следствие 1. Две функции из Ll(—оо, +со), имеющие одно
и то же преобразование Фурье, почти всюду совпадают.
В самом деле, достаточно заметить, что если / (х) £ Lx (—оо, +оо)
и F(u) = o?r [/] = 0 почти всюду, то из (3.40) заключаем, что
/(л;) —0 почти всюду.
Следствие 2. Если f (x)£Ll(—оо, +оо) и, кроме того, F(u) —
= ST [/]6^i(—°°» +°°)» то f (х) почти всюду совпадает с
некоторой непрерывной на (—оо, +°°) функцией f*(x).
Действительно, тогда интеграл в правой части (3.41) является
непрерывной функцией от х.
Теорема 1.10. Пусть f (х) — ограниченная функция из
класса Lx (— оо, -j-oo). Если при этом преобразование Фурье ^ [/]
вещественное и
c^[f]=F(u)>0 (_с*э<я< + оо),
то
+ оо
(V(tf)tftf <+оо, (3.43)
т. е. F{u)^Lx(—оо, +°°)-

38 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Доказательство. Пусть \f(x)\^M(—со < х < -j- °°)- Тогда,
пользуясь парой ядер Абеля — Пуассона
К(и) = е~^К H{t) = T^F>
имеем
+ 00
■м
1/о(*. Ю| =
Ч-оо
2я
5 \ f(* + DH«>dt\<£ J "Ю" =
( СО < X < + СО).
Следовательно, в частности,
|Д(0,/С)|<Ж,
т. е. в силу формулы (3.21)
+оо
J F(u)e-^u^du^ /2л;Ж, а>0. (3.44)
— оо
Однако, по условию, F(u)^Q, ввиду чего, переходя к пределу
в неравенстве (3.44) при a->-f-oo [1.3(a)], получаем утверждение
(3.43) теоремы.
Из теорем 1.9 и 1.10 вытекает
Следствие. Пусть f (x) — ограниченная непрерывная функция
из класса Ьг(—со, -f-oo). Если, кроме того, F(и) = <&~[f] ^> О,
то формула обращения (3.41) справедлива на всей оси
СО < X < + СО.
(б) В дополнение к теореме 1.6 установим следующее
предложение.
Теорема 1.11. Пусть f (х) и g(x) — ограниченные функции
из класса Lx{—со, +со). Тогда интеграл
+ оо +оо
*(*)= J f(x-\-y)gTy)dy = j f(x — y)g(—y)dy
— ОО —ОО
существует на всей оси —со<л:<-]-со, причем
h(x)—ограниченная непрерывная функция из класса L1(—со, +со).
Доказательство. Обозначив
Mg= sup \g(y)\,
-оо< у <+oo
имеем
+оо + оо
|А(*)|< J \f(*+y)\\g(y)\dy<Mg j \f(x + y)\dy=Mg\\f\\u
•'СО —ОО
т. е. функция h (x) ограничена.

§ 3] ТЕОРЕМЫ О СВЕРТКАХ И О СУММИРОВАНИИ ИНТЕГРАЛОВ 39
Далее,
|А(*)-А(* + 0|<
+оо
< J \f(x + y)-f(x + y + t)\\g(y)\dy4£MgVr(t.f),
— оо
причем, как было установлено выше, W(tt /)->0 при ^->0.
Следовательно, функция h(x) непрерывна на всей оси. Теорема
доказана.
(в) В заключение докажем следующую теорему.
Теорема 1.12. 1°. Пусть f(x)— ограниченная функция из
класса Lx(—оо, -f-oo) и F(u) = ^[f]. Тогда справедливо
равенство
+оо +оо
J \f(x)\2dx = j \F(u)\2du, (3.45)
— ОО —ОО
причем интегралы конечные,
2°. Если f(x) и g(x) — ограниченные функции из класса
1г(—оо, -f- oo), причем F(и) = <&"[/], G(u) = QJT[g], то
справедливо равенство
-boo +оо
J f(x)gXx)dx= J F{u)Gju)du. (3.46)
— оо —oo
Доказательство. 1°. Рассмотрим интеграл
-f-oo +оо
h(x)= j f{x+y)J(y)dy= f f(x-y)f{=ddy9
являющийся сверткой двух функций f(x) и f(—x).
Заметив, что
&~[f(—x)] = <£Tlf(x)].
согласно теореме 1.6 (2°) имеем
зГ [h] = Y*i&- [f (x)] JT[/(-*)] = )/2я| &~ I/I I2 > 0.
По теореме 1.11 h(x) — ограниченная непрерывная функция из
класса Lx{—оо, +оо). Так как <^[/г]^0, в силу следствия
теоремы 1.10 формула обращения
+оо +оо
h(x) = -±= \ g-[h]elxudu=r. Г |F(u)\2eixadu
у2п J J

40 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. 1
справедлива на всей оси —оо < х < -|- оо. Полагая здесь х = 0,
получаем (3.45).
2°. По предыдущему функции F (и) и G (и) принадлежат классу
L2(—оо, -j-схэ). Следовательно, согласно неравенству Буняковского,
интеграл, стоящий справа в (3.46), сходится (сходимость интеграла
слева очевидна).
Составим функцию
*(■*) = J f(x+y)T(y)dy= J f(x — y)g(—y)dy,
— оо - оо
ограниченную, непрерывную на всей оси и принадлежащую
Lx(—со, 4" °°) (теорема 1.11).
По теореме 1.6 (2°)
&Г [h] = Y^^ [Л &"\g\ = V^F («) ЩЦ) 6 ^l (— оо, + оо),
так как
Отсюда в силу теоремы 1.9 (2°) получаем, что формула
+ оо +оо
h{x)= j f(x-\-y)g(yjdy= j F(uJG7u)elxadu (3.47)
— оо —оо
справедлива на всей оси —со < х <-f-oo- Полагая в (3.47) х = 0,
получаем требуемое равенство (3.46).
§ 4. Преобразование Фурье в классе L2
В этом параграфе приводится доказательство фундаментальной
теоремы Планшереля о построении и основных свойствах оператора
Фурье для функций класса Z2(—оо, +оо). Кроме того, будут
приведены некоторые типичные теоремы о свертке, сходимости и
суммируемости преобразований Фурье в классах L2.
В конце параграфа мы приводим аналог теоремы Планшереля
для преобразований Меллина в классах L2. На эти предложения мы
неоднократно будем опираться в дальнейшем.
4.1. (а) Для произвольной функции f(x)£L2(—со, +оо)
интеграл Фурье <^[/] в смысле Лебега, вообще говоря, не существует.
Планшерель впервые построил оператор Фурье <J^[/] для класса Z,2,
доказав следующую замечательную теорему, устанавливающую при
этом полное равноправие между функцией и ее преобразованием
Фурье.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 41
Теорема 1.13. Пусть f (х)— произвольная функция из класса
L2(—сю, -J- °°)- Тогда:
Г. Формула
+ оо
F(") = W^ J fW^^dt (4-1)
почти всюду на всей оси (—сю, -f-oo) определяет функцию
F(u) = Q7~[f]£L2(—сю, -f-сю). Двойственная формула
+оо
Лхи
1 d Г е1хи — 1
— оо
также справедлива почти всюду.
Кроме того, для пары функций f(x) и F(u) = ^[f] имеет
место равенство Парсеваля
+ оо +оо
| \F(u)\2du = | \f(x)\2dx. (4.3)
— ОО —ОО
2°. Преобразование Фурье F(u) = <&~[f] и его обращение
f(x) = <gr~l[F], задаваемые соответственно формулами (4.1)
и (4.2), могут быть определены также предельными
соотношениями
о
F(u)=\. i. т.-Д=- Г f{t)e~iatdtt (4.4)
а->+оо У2я «/
—а
а
fix) = 1.1. т. -JLr Г /> (в) еш da. (4.5)
а->+оо у 2л J
— о
Ъ0.Ecлug{x) — произвольная функция из класса L2(—оо, -\-оо)и
+оо
0 (и)=w "яг J * о iI?7ri *'• <4-6>
— ОО
то для /га/76/ функций f (х) и g(x) и их преобразований F(a)
и G(u) имеет место обобщенное равенство Парсеваля
+ оо +оо
J F(u)'GTuJdu= J* f(x)J(*)dx. (4.7)

42 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Доказательство. Пусть f(x)£L2(—сю, +оо); тогда по теореме
о плотности класса ступенчатых функций [1.2 (в)] можно построить
последовательность функций {fn(x)}™ (fn(x)£S) такую, что
+ оо
lim f \f(x)-fn(x)\*dx = 0. (4.8)
Л->оо J
— со
Так как каждая из функций fn(x)£S ограничена и принадлежит
классу Lx{—сю, -j-сю), их преобразования Фурье
+ оо
/>„(«)= ^ j fn(t)e-^dt (4.9)
— СО
существуют, причем, согласно теореме 1.12(1°), имеем
+ оо +оо
J \Fn(u)\2du= | |/„(*)N*. (4.10)
— СО —СО
Однако справедливость этого равенства можно установить и другим
путем, не опираясь на трудную по существу теорему 1.12. С этой
целью отметим сначала следующие факты.
Пусть A(af з) (t) — характеристическая функция интервала (а, р).
Тогда
+ СО
ф(а> в(t, 0)Э| | А(а, Р)(О "'"У^-^ rf^ =
— СО
-т/т^1*'-7Тт1л <4">
а а (а-/)
С другой стороны, в силу того, что
-1-со и
f sin т , Г sint , л
J — Л = J —^=2-'
о
интегралы
J ~^-dx (_oo<ai> a2<_f_oo)
равномерно ограничены числом, не зависящим от ах и а2. Отсюда
и из (4.11) вытекает, что:
1) lim <р«х, р)(*. о) = А(а, р)(0 (— oo</<+oo), за ИСКЛЮ-
ст->+ оо
чением точек а и Р;

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 43
2) существует постоянная Ж, не зависящая от а и такая, что при
всех о > О
1<Р(а,0)(*. <*)\<М (— оо<г<+оо).
Обозначив теперь
+ оо
Ф„ V. а) =Д { 7ЛО 8"1^7° ^ <4-! 2)
— ОО
и заметив, что /„(/')» как ступенчатая функция, есть линейная
комбинация конечного числа характеристических функций интервалов,
приходим к заключению:
1) lim фл (t, о) = fn (t) (— сю < t < -f- oo), за исключением ко-
а-у+оо
нечного числа точек разрыва функции fn(t)\
2) существует постоянная Мп > 0, не зависящая от о > 0 и такая,
что при всех а > О
|<ря(*. а)|<Мл (_сю</<+ос).
Теперь отметим, что в силу (4.9) и (4.12)
а а +оо +оо
—a —cr —oo —oo
+00 +00 а
—00 —00 —a
+00 +00
— 00 —00
+00
= / /»(0Ф«(*. о) Л. (4.13)
—oo
причем проделанные здесь преобразования, очевидно, правомерны,
поскольку все интегралы фактически имеют конечные пределы.
Принимая во внимание свойства 1) и 2) функций <pn(t, a),
переходим к пределу в крайних членах тождества (4.13) при а—>-|-оо
(справа имеем интеграл с конечными пределами). Воспользовавшись
при этом теоремой Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла [1.3(a)], мы опять получаем равенство (4.10).

44
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Из (4.9) и (4.10) следует, что при всех п ^ 1, т^>\
справедливы также равенства
+ оо +оо
J \Fn(u)-Fm(u)\*du= j \fn(x)-fm(x)\*dx. (4.14)
— ОО —ОО
С другой стороны, из (4.8) очевидно, что правая часть (4.14)
стремится к нулю при п—>оо и т—>со. Это в свою очередь
означает, что последовательность функций {Fn(u)}t Fn(u)£L2(—оо, +оо)
(п— 1, 2, . . .), сходится в себе и, следовательно, имеет некоторый
предельный элемент F(u)£L2(—оо, -f-oo).
При этом ясно, что [1.1(a)]
+ оо +оо
f \F(u)\*du = lim f | F„ (и) |2 da =
J л->оо J
— оо —оо
+ оо +оо
= lim f \fn(x)\Ux= f \f{x)Ydx.
л->оо J J
— CO —ОО
Далее, ввиду того, что интеграл (4.9) на самом деле имеет конечные
пределы, получаем для любого ££(—оо, -f~ °°)
^ Fn(u)du = -±=- ^ du J fn(t)e-^dt =
О 0 -оо
+ оо
1 Г е~1У — 1
— СО
Так как функции F (и) и f (t) являются соответственно пределами
в среднем последовательностей функций {Fn(u)} и {fn(t))t переходя
к пределу в последнем тождестве при п—>оо с учетом того, что для
любого С6(—°°> ~Ь °°)
е-1^ — 1
—~t—£L2 (—°°» +оо),
получаем
£ +оо
О ^ -оо
Поэтому функция /^(и) почти для всех и представима в виде (4.1) и,
следовательно, определяется с точностью до множества меры нуль
по заданной функции f (х).
Итак, утверждения (4.1) и (4.3) нами уже установлены.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 45
Чтобы кратчайшим путем убедиться в справедливости всех
остальных утверждений теоремы, докажем теперь последнее из них.
Пусть g(x)— произвольная функция из L2(—со, -f-oo) и функция
G(u) = <&~[g] определена по (4.6). Тогда, как было установлено
выше,
+оо 4-оо
J \0(a)pdu = J \g(x)\idx. (4,15)
— оо —оо
Далее, легко видеть, что F (a)-\-G (а) = q?~ [/ + g]t F (и) -f- № {и) =
= a?" [/-МЙ» и поэтому
+ оо -f оо
j \F(u) + G(u)\*du = J \f(x) + g(x)\*dx,
— OO —ОО
+ оо +оо
j \F(u)+iO(u)\4u= J" \f(x) + ig(x)\*dx.
— oo —oo
Из этих интегралов, учитывая равенства (4.3) и (4.15), получаем
соответственно
(+оо | Г +оо \
J F(u)0(u)du\ = Rei J* f{x)~glx)dx\,
У -со J ( -со J
Imj | F (и) О (u)du 1 = Im< J /(лг)йГ (лс) rfje}.
э П,
sign С *C(0. 0.
откуда вытекает обобщенное равенство Парсеваля (4.7).
Положим теперь, что £ ¥= 0 и
0^) = ^,= 1 .* Jf^I^
О
1 ?„„л 1 #-'f-i
Тогда
Пи (п\ — JZ~ \аЛ -—
Следовательно, применение обобщенного равенства Парсеваля к парам
функций f(x), F(u) и ^(л;), G^(u) приводит нас к формуле
£ +оо
jf(x)dx = r^JF(u)^i=^dtt. C6(—oo. +оо).

46 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Отсюда вытекает, что почти всюду справедлива формула
обращения (4.2).
Таким образом, осталось доказать лишь утверждения п. 2° теоремы.
С этой целью положим для любого о > О
/o(*)-j 0 f *£(_<,, а)>
и заметим, что
— со
а
-а
Так как
F(u)-F(at о) = ^Г[/-/д],
имеем
4-со
J* \F(u) — F(u, e)\2du =
— оо
4- со
= J" \f(x)-fa(x)\*dX= J \f{x)\4x.
-со I * | >а
Правая часть последнего равенства стремится к нулю при a->-f-oo.
Отсюда следует предельная формула (4.4) теоремы.
Наконец, заметим, что формулу (4.2) можно записать также
в виде
+ со
е~ш—\
7§
Полагая теперь
F(u), u£(—o, a),
а)
а также
+ со
— CO
р(«), «6(-a.
^(И)=1 0 , иё(-о,
+ со
— со
a
-a
имеем

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ Ц 47
Отсюда следует равенство
+ оо
/ \fix) —fix, e)\*dx = J" \Fiu)\*du;
-оо I и 1>а
устремляя здесь а—>-|-оо, получаем предельную формулу (4.5) тео«-
ремы.
Итак, теорема Планшереля полностью доказана.
(б) Обобщенное равенство Парсеваля (4.7) допускает дальнейшее
обобщение.
Теорема 1.6'. Пусть функции f(x) и g(x) принадлежат
классу L2(—оо, +оо), причем F(u) — <&~[f], G(u) = <>?~[g].
Тогда:
1°. Свертка функций f(x) и g(x)t т. е. интеграл
+ оо +оо
*(*) = ] fiy)gix — y)dy= )fix — y)giy)dy, (4.16)
— оо —оо
существует при любом х и является непрерывной функцией
от х, стремящейся к нулю при х-> ± оо; при этом
sup |*(*)|<||/Ш!Ь- (4-17)
-оо< х < + оо
2°. Для всех х, —оо < л; <-f-oo, справедливо равенство
+ оо -foo
j F{u)Giu)elxadu= j fix — y)giy)dy. (4.18)
— оо —оо
Доказательство. Отметим сразу, что оценка (4.17) получается
из (4.16) при помощи неравенства Буняковского. Пусть значение
х£(—оо, +°°) фиксировано; тогда
о
&-[f(x-{-t)] = -?±=\.i.m. f f(x + t)e-^dt =
У 2л а -> + оо J
— а
а
pixu С
= А=г 1. i. m. f(x)e'i^di = elxaF{u).
У 2л а -> + оо J
—а
С другой стороны, так как
о
0(и) = <&~ [g] = 1М m. yL- J" g it) е-'*' dt.
легко видеть, что Q iu) = ^ [g (—t)].

48 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Применяя теперь равенство Парсеваля (4.7) к паре функций
f(x-\-t) и g{—t) и к соответствующей паре их преобразований
Фурье eixu F (и) и G(w), получаем требуемое равенство (4.18).
Наконец, так как функции F (и) и G(u) принадлежат классу
L2(—оо, +оо), их произведение F(u)G(u)£Lt(—оо, +оо), и
поэтому интеграл, стоящий слева в (4.18), сходится равномерно на
всей оси —оо<л:<+оо. Отсюда следуют остальные
утверждения теоремы.
4.2. Приведем теперь некоторые предложения о сходимости
в обычном смысле и о суммировании интегралов Фурье для
функций из класса L2.
(а) Теорема 1.14. Пусть функция f(x)£L2(—оо, +оо) а
в некоторой окрестности точки t = x имеет ограниченное
изменение. Если при этом F(u) = ^[f]t то справедлива фор-
мула обращения
+ оо
7l/(* + 0) + /(* —0)]=--^rv. p. j F(u)elxadu. (4.19)
— CO
Доказательство. Рассмотрим функцию
Легко видеть, что
e-ixa, u£(—o, о),
так как
<&~ 1[Gx]=—LrJ- f Q (и)—.—-du =
xl V2n dt J х ш
— СО
а
-о
Применяя равенство Парсеваля (4.7) к парам функций (/, gx) и
(F, Gx)t получаем
О +оо
J/><«)."■*,=/| J Hf) *"£-* dt.

§ 4J ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 49
Отсюда при произвольном б > 0 имеем представление
о б
-^ f FWe"*da = ± $ lf(x + t) + f(x-t)]^dt +
-а О
+ оо
+ i I f(x + t)Y{x~t) sino^ = /1(a) + /2(c). (4.20)
6
Однако
[/(*+о+/(*-*)]г1ем». +оо),
ввиду чего по теореме Римана — Лебега 1.1 при любом
фиксированном 6>0 имеем
lim /2(a) = 0. (4.21)
а-> +оо
Выберем б > 0 так, чтобы функция
/(* + ') + /(*-*)
имела ограниченное изменение на интервале (0, б). Тогда, точно
так же как при доказательстве теоремы 1.3, приходим к
заключению, что
Пт/1(а) = 1[/(^ + 0) + /(^-0)]. (4.22)
а>+оо *
Переходя к пределу в тождестве (4.20) при о->+оо, в силу (4.21)
и (4.22) получаем (4.19).
(б) Условимся говорить, что функции К (х) и Н(х) составляют
фейеровскую пару второго рода, (/С, #)£Ф2, если
1) K(x)£L2(— оо, + оо), К(—х) = К(х);
+ оо
2) Н(х) = У2п<!Г1К], -^ | H{x)dx=\\
— оо
3) А= sup {|Я(л:)|}<+сю,
UK1
Я = sup {|*|а|Я(х)|}<+оо (а>1).
UI>1
Пусть имеем некоторую пару (/С, Н)£Ф2. Для произвольной
функции f(x) из класса L2(—оо, +оо) рассмотрим ее
преобразование Фурье F(u) = <&~[f]£L2(—оо, +оо) и введем в рассмотрение
4 М. М. Джрбашян

50 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
функцию
+ оо
/„(*, К) = r~- J* P (в) К (у) elxadu. (4.23)
Так как
F(u)k(£) £Lx{-oo, +oo).
функция f0(xt К) непрерывна на всей оси, причем
Так как ввиду условия 2)
согласно формуле (4.18) теоремы 1.6/, из (4.23) получаем также
fa(x, K) = ± j* f{x-t)H{at)dt = ^- j f(x + t)H{at)dt. (4.24)
— oo —oo
В силу четности функции К (х) имеем
Н(х) = \. I. т. Г K(t)e-ixtdt = 2\. i. m. \K(t)cosxt
dt.
Следующее предложение является аналогом теоремы 1.7 для
функций класса L2.
Теорема 1.7'. Пусть (/С, #)£Ф2, f(x) £L2(— oo, +°°) u
функция fa(x, К) определяется по формулам (4.23), (4.24).
Тогда:
1°. В любой точке х£ (—оо, +°°)» &ля которой
lim 1 f |<р,(0|Л = 0, q>jr(*)=/(* + ')t/(* ° -/(*). (4-25)
л-*+о я J ■*
справедливо равенство
lim /0(х, АГ)=±/(*). (4.26)
2°. Если /(я) непрерывна на промежутке (а, Ь)% то
стремление к пределу в (4.26) имеет место равномерно на любом
отрезке [alt b{\ с: (а, £).

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 51
Доказательство. Так как функция Н(х) четная, то, согласно
второму из условий 2),
+оо
/а(х. К) — /(х) = 1 J* Фж(0 {аЯ(of)} dt.
О
Полагая теперь б>0 и а> 1/6, имеем
1/а
о
б + 00
+ 5 J "+-¥ J -'»(а) + '» <а) + 'з(°)- <4"27>
1/а 6
Обозначив
t
о
в силу свойств 3) функции Я (л:) получаем оценки
|Мо)|<4о,(1). (4.28)
6
\Ш\<1°1-*\\*Л*)\% =
1/а
в 1 «I Ox(t) |б , f (7*(0 ..[ ^ В 2а —1 ^ ,,ч
(4.29)
Если в точке х имеет место (4.25), то для любого е > 0 можно
подобрать такое 6 = 6(е)>0, чтобы при 0<£^6 выполнялось
неравенство
Для подобранного таким образом значения б из оценок (4.28) и
(4.29) получаем при любом а > 1/6
\Ш\ + \Ш\<*- (4-30)
Далее имеем
+ оо
|/з(°)|<4а1~в /|<ЫО|-£. (4.31)
4*

52 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
причем интеграл справа сходится ввиду того, что f(x ±06
£L2(—оо, -f-oo) и а> 1.
Следовательно, при фиксированном б > 0 в силу (4.30)
lim /3(a) = 0. (4.32)
а-> + оо
Поэтому из (4.27) и (4.30), (4.32) вытекает, что
lim sup|/a(*. /f)-/W|<e.
a-> + oo
Отсюда ввиду произвольности е > 0 следует утверждение (4.26)
теоремы.
Допустим, наконец, что функция f(x) непрерывна в промежутке
(a, b) и [alt &х] с: (а, Ь). Тогда для любого е > 0 можно указать
такое 6 = 6(е)>0, чтобы оценка (4.30) имела место одновременно
для всех х £ [#i. Ьг].
Из непрерывности функции f(x) на [аг, Ь{\ легко выводится, что
стремление к пределу (4.32) имеет место равномерно для всех
х£[аь Ьг]. Из сказанного немедленно вытекает утверждение 2°
теоремы.
(в) Легко видеть, что пара Фейера (3.15), (3.16) принадлежит
классу Ф2. Поэтому из доказанной теоремы, в частности, вытекает
Теорема 1.15. Пусть f(x)£L2(—оо, +со) и F(u) = <&~[f].
Тогда
а
f (х) = -±=r lim Г (1 - iiLU F (и) еш du
у 2я a->+oo J \ ° I
для всякой точка х% удовлетворяющей условию
*'/<* + 0 + /(*-0_/(jc)|
1 л
lim -r I
dt = 0t
т. е. почти всюду на всей оси (—оо, -(-со).
4.3. Следующие предложения вытекают из теоремы Планшереля.
ft——
Теорема 1.16. Пусть х 2f(x)£L2(Q, +°°)- Тогда:
1°. Функции
а
<<r(st a)= J* f(x)xs~ldx (Res = &) (4.33)
Va
при a-> + oo сходятся в среднем на прямой (k — /оо, &-f-/oo),
т. е. существует функция of (s) £L2(k—/оо, k-\-loo) такая,
Hm f IdT(s) — «T(s. a)|2|rfs| = 0. (4.34)

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 53"
2°. Функции
k + ia
f(x. a)=^r J <&~(s)x-sds (0<лг<+оо) (4.35)
k-ia
при а->-\-оо сходятся в среднем к функции f (х) с весом x2k~*
на полуоси (О, +оо), т. е.
+ оо
lim f |/(*) — /(*, a)\2x2k-ldx = 0, (4.36)
а -» + оо J
причем почти всюду на (О, +оо)
k + ioo
k-ioo
3°. Справедливо равенство
+ оо
j\f(x)\*x**-*dx=± | \&~{k + tf)\*dt. (4.38)
О -со
4°. Обратно, для любой функции ^(s)£L2(k—/оо, & + /со)
функции (4.35) я/?и а-> + оо сходятся в среднем в смысле
(4.36) а; некоторой функции f(jt)£Z,2(0, +oo), представимой
в виде (4.37). Функции же (4.33) при а-> + оо сходятся к <£Г(s)
в смысле (4.34), причем опять имеет место равенство (4.38)»
ft.1
Доказательство. Так как х 2f(x)£L2(0, + оо), имеем
f1(y) = e-kyf(e-y)£L2(-oo, +oo). (4.39)
и по теореме Планшереля существует предел в среднем
а
/>! (О = <£"[/,]= 1. i. m.-JL f/,(у)*-«У<*у. (4.40)
а -> + оо к zrt t/
—а
С другой стороны,
а а
J /i ОО e-^dy = J /(*"*) *-<*+">у rfy =
-а -а
= ^ f{x)x^it-ldx = ^{k + it1 e°). (4.41)
Положив теперь
(25Г(А; + //) = ул2я/71(/)^12(— оо, +оо), (4.4 Г)

54 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. I
из (4.40) и (4.41) получаем
4Г(к + И) = \. i. m. STik + lt, a),
a->+oo
т. е. утверждение (4.34).
Из (4.40) в силу равенства Парсеваля имеем
+ оо +оо
J |/>,(*) |* Л = J \fi(y)\2dy,
— оо —оо
откуда, принимая во внимание (4.39) и (4.41), получаем (4.38).
Далее из (4.39) и (4.41) вытекает формула обращения
а
/1(y) = l.i.m.^- |V (ft+ /*)*'*<« =
k + ia
= е-** 1. i. m. -L Г g~ (s) e?s ds = е~*У 1. i. m. / (е~У, а).
a-+ + oo zm . J. a-> + oo
Следовательно,
1. i. m. [/(е-У) — f(e-y, а)]е~кУ = 0,
откуда следует (4.36).
Вполне аналогично, пользуясь тем же способом перехода к новым
переменным, но лишь в обратном порядке и опираясь опять на
теорему Планшереля, мы приходим к утверждению 4° теоремы.
Теорема 1.17. Пусть х 2f(x) £L2(0, +°°)> x2 g (x) £
£ Z,2(0, -f-oo), причем
а
<&~(k + it) = l.i.m. Г f (х) xk+lt-1 dxt
(4.42)
На
а
& (1 — ft + it) = 1. i. m. \ g (x) x~k+it dx.
a-> + col/a
Тогда имеет место равенство
+ оо k + t оо
j.f(x)g(x)dx = -±T j &:(s)ff(l-s)ds. (4.43)
0 k — ico
Доказательство. Заметив, что функции /i(y) = ^fty/(^y), gi(y) =
_ ^-(l-ft)y^-(^-y) принадлежат классу Z,2(—схэ, +оо), рассмотрим их
преобразования Фурье F1(u) = <^[f1], Gx(u) = ^[gi], которые
также принадлежат классу L2(—схэ, -|-схэ).

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2 55
Применяя равенство (4.18) теоремы 1.6/ для значения л: = 0,
получаем
+ оо +оо
J fi(—y)gi(y)dy= J* />,(*») О, (a) rf«. (4.44)
— oo —oo
Однако легко видеть, что
+ оо +оо + оо
J/i(—y)gi(y)dy= J" f(e-y)g(e-y)e-4y=j f(x)g{x)dx. (4.45)
-OO -OO 0
С другой стороны,
о
Fl(u) = l.i.m.-?=* {fi(y)e-^dy =
G-> + oo V ZJl «/
-a
a
= 1. i. m.-pL- Г/(gy)e(*-te)yrfy =
a -> + oo у 2jt «/
—a
= Li. m. 1 [ f(x)x*-iu-idx=l^(k_la)t (4>46)
a-> + oo К 2jt J У 2jt
a
G,(«) = l.i. m.-J=r f ^(y) *-<".'dy =
О ■> + OO У ZJt e/
—a
a
= 1. i. m.-^ [?HHM+te)J'rfy =
a-> + oo У 2jc J
—a
«!. i. m. 1 f £(*)*-*+'«**= 1#(l-ft+ /e). (4.47)
a-> + oo У 2я J У 2jt
Из (4.46) и (4.47) вытекает равенство
+ оо +оо
J /^(*0°i(«)d«—у^=- Г qT(Aj— /й)<£?(1 — k + tu)du =
— oo
fe + /oo
J fST{s)&(l —s)ds.
-/oo
Отсюда в силу (4.44) и (4.45) получаем требуемое равенство (4.43).
— оо
fc + /oo
1
2я/
fc-~/oo

ГЛАВА II
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2
В §§ 1 и 2 настоящей главы излагаются теоремы об обобщенных
преобразованиях с ядрами типа Фурье в классах L2 (О, -f- oo), известные под
названием теорем Ватсона; при этом приводится также ряд важных
примеров таких ядер.
Дальнейшие обобщения этих теорем Ватсона связаны с
дифференциальными операторами бесконечного порядка и представляют собой новые общие
результаты об обращении интегральных преобразований типа свертки в
классах L2. Эти результаты, а также целый ряд применений общих теорем такого
рода приводятся в §§ 3 и 4 этой главы.
§ 1. Преобразования Ватсона
Ватсон первый построил теорию обобщенных интегральных
преобразований с ядрами Фурье в классах L2. В настоящем параграфе
излагается теорема Ватсона и некоторые ее применения.
1.1. (а) Условимся говорить, что функции (p(x)£L2(0, -j- oo) и
Ф (-0--ЫН 6^2 (—°°» ~h°°) двойственны по Меллину, если соот-
я
а
Ф(т + ^) = 1, L m- I 4>(x)xs~ldx (s = -i- + tf), (1.1)
l/a
Ф(х)= 1. i. m.J-v Г <D(s)x-*ds (1.2)
<T->+oo znl J
ношения
*-"
выполняются в смысле теоремы 1.16.
Лемма 2.1. Пусть функции
^-(ЕМО, +оэ) и ^gZ^_*oo,l + /oo) (1.3)

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 57
двойственны по Меллину. Тогда условие
+оо
J kjix)p^dx = m.n(br]) (S>0fT|>0) (1.4),
о
и условие
|*(т + /')|=1 (— °°<*<+™) (1.6)
эквивалентны.
Доказательство. Согласно условию леммы имеем
^-^♦l /-Ч?--" (-т+«)- <>-6>
1/а
Отсюда получаем для любого | > О
V-s^l=l^j^lxs-ldx (, = | + «). (1.7)
1/а
и поэтому для любого т] > О
а
rH-fiil^l.i.m. f M,»..^ (*=4 + «). (1-8)
II a
Согласно равенству Парсеваля для преобразований Меллина
(теорема 1.17) и из (1.7) и (1.8) следует, что для всех £>0 и
П > 0 1
2-+/оо
J iMgzLto-^ J Jm^±^ds. (,9)
0 1 .
--*oo
Далее легко заметить, что
i ,
ш J ^S)ds=min(l>T,) ^>°-Ti>°)- (1-ю)
Из (1.10) и (1.9) получаем тождество
0 i /oo
i—

58 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
Заметив, что при s = -^-\~tt
K(s)K(l — s)=\K(s)\\
из тождества (1.10') заключаем, что условие (1.4) есть следствие (1.5).
Обратно, полагая условие (1.4) выполненным, из (1.10) получаем
тождество
Т+1со
4а J i4^^V^ = o (|>о,л>0).
—-loo
2
Заметим далее, что
Полагая в этом тождестве |=1 и ч\ = е~х (—оо < х < -(-со),
получаем
Г W(j-\~it\e-ixtdt = 0 (— co<jc< + оо).
— со
Отсюда вытекает, согласно теореме 1.9, что
w(\+u) = ° (—°° <' < + «>).
а это равносильно условию (1.5).
(б) Назовем функцию k(x) ядром типа Фурье—Ватсона, если
1) ■*£*-€ МО. + <*>).
+ оо
Н1х)хк2{Т1Х) dx = min{l,n) (£>0, л>0).
б
(1.11)
Доказанную выше лемму можно переформулировать следующим
образом.
Лемма 2.1'. Класс W0 всех ядер k(x) типа Фурье — Ватсона
совпадает с множеством функций, представимых в виде
k(x)=x\. и m. ^- -г * Л. О-12)
-о 2 »
гдг ф(0 —произвольная вещественная измеримая функция.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 59
Заметим также, что если k(x) вещественная, то из
определения (1.6) вытекает, что
K(s) = K(s) (* = ! + «).
Поэтому при вещественном k(x)£W0 имеем
K(s)K(l-s)=l (s = l + tf). (1.60
(в) Докажем теперь теорему Ватсона.
Теорема 2.1. 1°. Пусть функция k(x) является ядром типа
Фурье—Ватсона, т. е.
A^l^o, +oo),
(1.13)
-1-°о
j k(i*)Hr\x) ах^тЩЬц) (6>о, л>о).
О
Тогда для любой функции f (x)£L2(0, +оо) формула
+ оо
g(x) = l&J ^r-f<<u)du> *€(0. +оо), (1.14)
о
определяет почти всюду функцию g(х) также из класса L2(0t-^oo)^
Двойственная формула
+ оо
f(x) = lbj ^jr-gWd*. *6(0. +oo). (1.15)
О
также справедлива почти всюду, причем имеет место равенство
+ оо +оо
J \f(x)\*dx=j \g(x)\*dx. (1.16)
О О
2°. Обратно, если двойственные формулы (1.14), (1.15) верны
для любой функции f(x)£L2(0, +oo), то функция k(x) явля-
ется ядром типа Фурье — Ватсона.
Доказательство. 1°. Пусть f(x)£L2(0, +oo) и
а
<£"(«) = 1. i. m. \ f(x)xs~idx (Res = ~) (1.17)
а->+оо yJa \ * I

60 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
есть соответствующее преобразование Меллина этой функции. Тогда
i+<*
/С*) = 1. i. m. _L Г <&~{s)x-sdst
а->+оо 2ш J
и поэтому
l-to
1 ,
2" + /оо
\*№ = Ш I T^J^'ds. (1.18)
0 I-/oo
2 to°
Так как k(x)£W0 и функция /С (s) имеет тот же смысл, что и
выше, т. е.
1/в
по лемме 2.1 имеем почти всюду на (—оо, +оо)
\К (у+ w) | = 1 (— °° < ' < +°°)- О-20)
Далее, так как функция еЗМ-о* + #) принадлежит классу Z,2(—оо,
-f-oo), в силу (1.20) имеем также
J~{\ — s)K(s)£L2(±— too, 1 + Joo).
Но тогда, по теореме 1.16 (2°), существует предел в среднем
\ + i<3
1. i. m.-jr f gT(1— s)/C(s)*-*<fc = £(*)e^(0. + оо), (1
21)
f-«.
и поэтому имеем
2^7 J £&L.f(l—s)xi-ds= I g{x)dx, *6(0. +oo).
2m'
1 \ °
7-"»
(1.21')

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 61
С другой стороны, из (1.19) вытекает, что для л:£(0, +оо)
и
1 — 5 a.+OQ J и \ 2) к
1/а
Поэтому из (1.21'). (1-17) и (1.19'), согласно равенству Парсеваля
для преобразований Меллина, получаем
X +оо
jg(x)dx=j ±l£Lf(u)du, *£(0,+сх>).
о о
Отсюда вытекает (1.14).
Чтобы получить двойственную формулу (1.15), заметим сначала,
что из (1.19) следует также, что для любого л:£(0, -Ь-оо)
а
1/а
Далее, из (1.21) вытекает, согласно теореме 1.16, что
а
<У(1 — s)K(.s) — l. i. m. \ g(x)xs~ldx (Res = i). (1.22)
Следовательно, из (1.19") и (1.22), с учетом равенства Парсеваля,
получаем
+ 00 Т+'°°
j *S&.g(U)dH=^ J xi-.«S±r(s)K(l-s)ds =
■I-fao
2
1 .
= 4u J T=?x1-Sds=j f(x)dx. *6(0. +oo). (1.23)
*-*»
ввиду того, что при s = -g-\-tt вследствие (1.20)
K(s)K(\-s)=\K(±+it)f=l.
Дифференцируя (1.23), получаем (1.15).

62 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
Наконец, из (1.22) имеем также
-f оо +оо
] \g(x)\>dx = ±- J \^^-it)K[\ + itf\dt =
О -оо
+ оо + оо
=i ] |*"(т+*)Гл=1 l/(*)P^.
— оо О
при этом мы пользуемся условием (1.20) и дважды применяем
равенство Парсеваля для преобразования Меллина.
2°. Пусть двойственные формулы (1.14), (1.15) верны для любой
функции f(x)£L2(0, +oo). Положим
( 1. *€(0. I).
Д(*) = (о. *€«.+оо) (1>0)'
Тогда из (1.14) получаем
I 1х
, ч d С k(xu) , d Г k(v) , k&x)
о о
Подставляя это значение в (1.15), имеем
о
откуда, интегрируя в пределах от 0 до ц, получаем
о
Отсюда следует наше утверждение, так как при ^ = т| == 1 имеем
-*£>.£ 12(0. +оо).
(г) Из доказанной теоремы, в частности, вытекает
Следствие. Пусть, кроме условий теоремы 2.1, функция k(x)
также абсолютно непрерывна, причем
X
к(х)= [ k(t)dt. (1.24)

$ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 63
Тогда формулы (1.14) и (1.15) могут быть записаны также
в виде пределов в среднем
g(x) = 1. i. m. Г k (xu) f (и) dut
<J-> + oo jj
(X
/(jc) = 1. i. m. Г k(xu)g(u)du.
<j->+oo J
самом деле, обозначив
a
(1.14')
(1.15')
£•(*, o)= f %(xu)f(u)du (a>0),
о
в силу (1.24) имеем
о
Поэтому
+ оо
g(x)-g(x, o)=^ J hS^Lf{u)du,
a
и в силу равенства Парсеваля
+ оо +оо
] \g(x)-g(xt а)\Чх=\ \f(x)\*dx.
Переходя здесь к пределу при a-> -f~ °°» получаем формулу (1.14').
Аналогично можно получить и формулу (1.15').
(д) Отметим также еще одно предложение, позволяющее
образовать новые ядра типа Фурье — Ватсона.
Теорема 2.2. Пусть функции k(x) и 1(х) являются ядрами
типа Фурье — Ватсона, т. е. —— и ^ принадлежат классу
£г(0» +°°) и> кроме того,
+оо +оо
J * &>* <»*) dx = J * <б«)ПпЗ ах = min gi ц) (|>0,л>0).
О О
Если ml—J есть [-преобразование функции ——, т. е.
почти всюду
О
то функция т(х) также является ядром Фурье — Ватсона.

64 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
В самом деле, при любом | > О
т
+со , / X \ +оо
т. e. ям —) есть /-преобразование функции —SsUL,
Поэтому, применяя обобщенное равенство Парсеваля для
/-преобразований, имеем
+оо
О О
+ оо
= J *(&y)x*(TVc) dx = mln(l, Л) (6>0. л>0).
о
Отсюда, по теореме 2.1, вытекает наше утверждение.
1.2. Используя теорему Ватсона 2.1 или теорему 2.2, можно
получить ряд известных из анализа интегральных преобразований.
Приведем здесь несколько типичных примеров такого рода.
(а) Косинус- и синус-преобразования Фурье—План-
ш е р е ля.
Теорема 2.3. Пусть f(x)—произвольная функция из класса
Z,2(0, +oo). Тогда:
1°. Существует предел в среднем на полуоси (О, +со)
о
gc(x) = l. i. m.j/ — Г cosxuf (u)du, (1.26)
причем почти всюду на (О, +°°)
+оо
О
Справедлива также двойственная формула
a
/(*) = l. i. m. "I/ — cos xugc(u)du, (1-27)
причем почти всюду на (0, +°°)
+оо
^/ \ ^ f 2 d Г sin лги , ч . ,, от/ч
fW^VlfdZj ~1Г8сШи (1-27')

$ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 65
и имеет место равенство
+ 0О
J \gc(x)\2dx = j \f(x)\*dx. (1.28)
О О
2°. Существует предел в среднем на полуоси (О, +оо)
а
gs(x) = \. i. m. у — Г sin xuf (и) du, (1.29)
а->+оо Г я g
причем почти всюду на (О, +оо)
+0О
^w=/l^J-^^/w^ ало
О
Справедлива также двойственная формула
а
/(*) = 1. i. m. у — Г sinxugs(u)du, (1.30)
а>+оо Г Я g
причем почти всюду на (0, +оо)
+оо
х / ч т/2 d Г 1 — COS *tt . ч . ,« ол/
*Ю=\ Ч1й\ а ^(u)du (1.30'j
О
и имеет место равенство
J |*,(«)N*=J |/(*)|2<**. (i.3i)
о о
/ТГ /"2
Доказательство. Пусть &Дл;)="1/ — sin л:, ks(x)=\/ — (1—cos л:)
К (s) К (s)
и л_ * 4S__ соответствующие функции, двойственные с
функциями gW и д w класса Z,2(0, +oo).
Из известных формул *)
+ оо +оо
Г sin л: с 1 . Г (s) ns Г 1 — cos л: _ 1 , Г (s) . ns
J -^^-,^ = T^7C0S—J ——xS-ldx = T=Jssm1T'
*) Вычисление этих интегралов приводится также в гл. IV этой книги
(лемма 4*2).
5 М. М. Джрбашян

66 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 (ГЛ. II
справедливых при 0<Res<l, имеем
**(*) = У^тг Г(5)со8-^-. Ка(8) = Уъ r(5)sin^.
Отсюда, согласно формуле дополнения Г($)Г(1—s) = — , за-
Ы11 J to
ключаем, что при $ = -^-{-it
Так как, с другой стороны,
X X
kc{x) = y^- jcostdtt ks(x) = j/А j sintdtt
о о
все наши утверждения вытекают из теоремы 2.1 и ее следствия.
Отметим, что это предложение также обычно называют теоремой
Планшереля. Оно может быть получено и из теоремы Планшереля
1.13 путем четного либо нечетного продолжения функции /(#)€
£Z,2(0, +оо) на полуось (—оо, 0).
(б) Преобразование Гильберта на полуоси (0, +оо).
Согласно теореме 1.3 функции
1(и)=у —(1 —cos и), k(u) = ~y —sin я
являются ядрами Фурье — Ватсона. Положим теперь
+ оо -f оо
\х J dx J и и jtj и
о о
Легко показать, что
^(—) = ^W = -~log|-iij| (0<л;<+°о).
Согласно теореме 2.2, функция т (а:) также является ядром
Фурье—Ватсона. В результате получаем предложение:

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 67
Для любой функции f(x)£L2(0, +oo) почти всюду на
(О, +оо) имеют место двойственные формулы
iv>-!r&T**\\*£\M±. (..32)
О
/<*»-■?£ ГЧ£=1'<«>*- <133>
о
причем
+оо +оо
j \g(x)\*dx = j \f(x)\2dx. (1.34)
о о
Понимая интегралы в смысле главного значения по Коши и
заменив функцию —gl—j на g(x), из этого предложения получаем
двойственные формулы преобразования Гильберта в классе
МО. +°о)
+оо
О
+ 0О
/м-т/^^л <'-33'>
О
причем равенство (1.34) сохраняет силу.
На деталях доказательства мы останавливаться не будем.
(в) Преобразование Ханкеля. Функция, определяемая
рядом
(-Г
у»<лНтГ2(-1)>Г(1 + *)Г(1+У+*) ■ 0-35)
л=о
где v — произвольный параметр, называется функцией Бесселя
первого рода с индексом v.
Теорема 2.4. Для любой функции f(x)£L2(0, +°°) пРа
произвольном v > — 1 существует предел в среднем
о
g(x) = L i. m. f (xujf2Jv(xu)f(u)du. (1.36)
Справедливы также двойственная формула
о
/(jc) = 1. i. m. Uxu)^Jy(xu)g(a)du (1.36')

68 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2
и равенство Парсеваля
+ оо +оо
J \g(x)\*dx=j \f(x)\*dx.
[ГЛ. II
Доказательство. Положив
*v(*) = 2 «-If 2 4£ (v>__1)f
заметим сначала, что при s = -^--f-tf
Kv(s)Kv(l-s) = \Kv(± + it)\2=l (_co</< + oo).
Если мы покажем, что двойственная с
Kv(s)
по Меллину функция
1 + ю
$-1*
:+to
<fs
(1.37)
такова, что
*v (*) = £v (x) = /J 7V (*). (1.38)
то теорема будет вытекать из следствия теоремы 2.1.
Заметим сначала, что гамма-функция Эйлера Г (s) мероморфна
на всей плоскости $ и имеет лишь простые полюсы, расположенные
в точках 5 = 0, —1, —2, ..., причем
^(Г(5)} = г((1^} (4 = 0. 1. 2, ...)•
(1.39)
Поэтому функция, стоящая под знаком последнего интеграла в (1.37),
мероморфна на всей плоскости s> причем все ее полюсы sk = 2k-\-
о
+ v + -o (й = 0, 1, 2, ...) простые и расположены в полуплоскости
Re ^ > -^ (ввиду того, что v > — 1),

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 69
Следовательно, в силу (1.39) имеем при любом л;£(0, 4-оэ)
res {22
.*-.'(*-*+1)
"(т+т+т)
= -1/7(|)'(-1,»
Пусть
„j-i
а
x\2k
r(l+*)r(l+v + *)(2* + v + |)
(1.40)
и Ln обозначает (пробегаемую в положительном направлении)
границу области Dn, являющуюся пересечением круга |$|</?л с
полуплоскостью Re5>"2". По теореме о вычетах и в силу (1.40) имеем
-*- f
2ni J
2> '_lf 1 U-ix->ds=.
*(t+7 + t)
=-^(t)"S(-o
(if
^ r(l + *)r(l+v + *)(2*+v + |.) '
(1.41)
Пусть Cn — дуга окружности |s| = #rt, входящая в состав
контура Ln. Тогда, пользуясь оценкой для гамма-функции, легко
выводимой из формулы Стирлинга *),
|Г(г + Ке^)| = о(^СО5ф+г-^(ф81пф+С08ф)).
|ф|<-7Г. R-> + oo9
находим, что для любого лс£(0, -f-°°)
.4?JzJ
*(т+т+т)1
xs-Us = 0.
(1.42)
*) См„ например, А. И. Маркушевич [1],

70 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L3 1ГЛ. II
Не останавливаясь на этом подробно, отметим, что при помощи
предельного перехода в (1.41) при п->оо можно показать, что
в силу (1.42)
-I + /0O
J- Г
2я/ J
ь<-
*(t + * + t)J
-VJffi^-V Ы
W' ft=o r(l + A)r(l+v + ft)(2* + v + |-)
0
Отсюда и из (1.37) вытекает формула (1.38). т. е. утверждение
теоремы.
§ 2. Биортогональные преобразования Ватсона
Условие
k&x)^dx = m}n(|, Ч),
О
характеризующее ядра Фурье — Ватсона, можно трактовать как
континуальный аналог условия ортогональности для последовательности
функций. Поэтому ядра Фурье — Ватсона мы будем также называть
ортогональными ядрами, а соответствующие преобразования —
ортогональными преобразованиями.
В настоящем параграфе приводится обобщение теоремы Ватсона
на случай неортогональных ядер.
2.1. (а) Пусть функции
X
а также функции
h(x)
х
двойственны по Меллину.
Тогда, как и выше (лемма 2.1), легко установить, что условие
k(lx)h(y\x) dx = min(lf л) (|>0, т)>0) (2.3)
6М0, + оо) и £Ф. е^_/оо. -j + Zoo), (2.1)
кции
6£2(0. +оо) и ^M.^i2(|_/oo, l+*oo) (2.2)
J

§ 2] БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 71
и условие
K(s)H(l-s)=l (Re s = 1) (2.4)
эквивалентны.
Условие (2.3) можно трактовать как аналог условия
биортогональности. Поэтому функции k (x) и h (x), удовлетворяющие
условиям (2.1), (2.2) и (2.3), естественно называть б иор того на льны ми
ядрами Фурье—Ватсона.
(б) Докажем теорему.
Теорема 2.5. Пусть двойственные по Меллину функции (2.1)
и (2.2) таковы, что выполняется условие (2.3) и, кроме того,
имеем также
sup IК (-- + и\ I2 < А (А) < + со,
-00 < / <+00 I \ ^ /I
sup |я(1 + «)|2<5(А)< + оо.
-оо < / <+оо I \ z / I
Тогда справедливы следующие утверждения:
Г. Для любой функции f(x)£L2(0, -f-oo) формулы
о
+ оо
**W = lb J -^-/(«)d«. x6(0. +oo).
(2.5)
(2.6)
определяют почти всюду функции gk(x) и gh(x),
принадлежащие классу 1^(0, + оо).
Двойственные формулы
о
+оо
также имеют место почти всюду.
2°. Справедлив аналог равенства Парсеваля
+оо
(2.7)
J gk (*) £а (*) <** = J I/ (*)12 <**• (2.8)

72 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
а также неравенства
+ 00 + 00 + ОЭ
В~\К)\ |/(*)|»rf*< J \gk(x)\*dx<A(k)j \f(x)\*dx.
(2.9)
+оо + оо + оо ч '
A-\k)] \f(x)\*dx<] \gh(x)\*dx^B(h)] \f(x)\*dx.
0 0 0
Доказательство. Пусть f(x) принадлежит классу L2(0, +°°) и
a
^T(s) = l. 1. m. [f(x)xs-4x (Res=4) (2.10)
— ее преобразование Меллина, принадлежащее классу L2 1-я- — loo,
В силу условий (2.5) к тому же классу принадлежат функции
of (\—s)K(s) и <&"(\—s)H(s). Поэтому в силу теоремы 1.16
существуют пределы в среднем
1 .
-2 +10
1.1. m. i f &'(l—s)K(s)x-sds = gk(x)eL2(09+oo),
U« (2.11)
1. i. m. JL Г &'(\—s)H(s)x-sds = gh(x)£L2(0,+od).
Но тогда имеем также при х£(0, + оо)
T+ico
(2.12)
J **(*)** = "Si/ J jr(i-S)^M.jf»-'d*.
*-*-
Заметив теперь, что при фиксированном *£(0, +оо) функции
YZT~xl~s и 1 __ x*~s СУТЬ соответственно преобразования Меллина

§ 2] БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 73
для —^^ и —i£2L, из (2.12) при помощи равенства Парсеваля для
преобразований Меллина (теорема 1.17) получаем
X +оо
J gk(x)dx=j *!£U.f{u)dU.
О О
X +оо
\ gh(x)dx=j k&LfWdu.
Дифференцируя последние формулы, приходим к представлениям
(2.6) для выведенных нами функций gk(x) и gh(x).
Непосредственно из определения (2.11) функций gk(x) и gh(x),
согласно равенству Парсеваля для преобразований Меллина,
получаем в силу (2.4)
у+/со
J* gk(*)g*(*)dx= 2ST j [Srd-s)K(s)}{(r(s)H(l-s))ds =
О 1 .
= Ш J <r{s)&~{\-s)ds= J* [/(*)]2rf*.
I- /со
2 '°°
Аналогично с учетом условий (2.5) имеем
+оо +оо
J \gk(x)\4x = ± j \r$-u)K(i + u)fdt<
0 —oo
+oo +oo
а также
+oo +oo
+ CO
= B(A)j* |/(*)Prf*f
т. е. правые неравенства в (2.9).

74 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ Ц [ГЛ. II
Далее, так как пары функций
{ftM.J-0-.)//«}. {*£!>.. *i-££L}
двойственны по Меллину, учитывая условия (2.4), равенство Парсе-
валя, а также то, что из (2.10) следует (1.18), получаем
1-/0О
2
4+/СО
"Ш J £*} *'-* = //(*)**.
f-l-
+СО Т+'°°
J ^ **(»)*»—ЕГ J иГЮЛО-*)}^*1-*-
1 .
т-/оо
-U/oo
2 дг
1 . 0
2 *°°
Дифференцируя эти соотношения, получаем двойственные
формулы (2.7) теоремы.
Для завершения доказательства теоремы нам остается установить
справедливость левых неравенств в (2.9).
С этой целью заметим, что, например, первую из формул (2.7)
можно рассматривать как Л-преобразование функции gk\u). Поэтому
применением правого неравенства второй строки (2.9) получаем
-Ьоо +оо
J \f(x)\Ux^B{h)] \gk(u)\*du.
о о
т. е. левое неравенство первой строки (2.9).
Аналогично получаем левое неравенство второй строки (2.9).
Тем самым теорема полностью доказана.
(в) Из доказанной теоремы, в частности, вытекает

§ й] БЙОРТОГОНАЛЬЙЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 75
Следствие. Пусть, кроме условий теоремы 2.2, функции k(x)
и h(x) абсолютно непрерывны, причем
X X
k(x)= J k(t)dtt /г(*) = J h(f)dt. (2.13)
о о
Тогда формулы (2.6) и (2.7) можно записать также в виде
пределов в среднем
gk(x) = \> i. m. Гk(xu)f(u)du>
a->+oo J
о
gh(x) = \. i. m. \h(xu)f(u)du
a>+oo •[
a
/(x) = l. i. m. \h(xu)gk(u)du.
a->+oo •>
a
f(x) = \. i. m. Гk(xu)gh(u)du.
0-> + oo £
(2.6')
(2.70
Установим, например, первую из формул (2.60; все остальные
могут быть получены аналогично. С этой целью, обозначая
a
gk(x9 a) = jk(xu)f(u)du (a>0),
о
в силу (2.13) имеем
a
Л(*. o)—£-J-^/(«)rf«.
О
Поэтому
+ оо
а
и в силу неравенства (2.9) справедлива оценка
+ оо +оо
J Iff*(*)-**(*. a)Prf*<i4(*) J |/W|2^.
0 a
Переходя в этом неравенстве к пределу при а-> + оо, получаем
первую из формул (2.60-

76
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
2,2. Приведем примеры биортогональных ядер Фурье — Ватсона.
(а) Преобразования типа Гильберта. Введем сначала
в рассмотрение функции
sin -5- (jij — s) sin i- 0г2 — s)
K& = 7Г Я(*) = 7Г • (2Л4)
Sin -j (S + \i2 — 1) Sin — (S -[- jij — 1)
полагая, что [ix и ji2 — произвольные параметры, удовлетворяющие
условию
у<^ 1^2<|- (2Л5)
Пользуясь тем, что
K(s)H(l— s)=l,
и равенством
|sin(* + />OI = ^sh2y + sin2;t. (2.16)
из (2.14), учитывая (2.15), получаем
sup k(4+")|<+°o, sup |я(1 + //)|< +
-oo<f<+ool \* /I -oo</<+ool \z /I
OO.
Итак, функции K(s) и Я (s) удовлетворяют всем условиям
теоремы 2.5. Перейдем теперь к нахождению функций —— и ——,
двойственных по Меллину с функциями . J_ и -г^Т соответственно.
1 5
С этой целью отметим, что при условии -~ < \х2 < -к все особые
точки функции
я
Т=7*'* = \ х- (0<*<+оо)
(1 — 5) Sin — (S + |Х2 — 1)
на плоскости s, отличные от s = oot являются полюсами, не
лежащими на прямой Re s = -^. При этом в полуплоскости Re s < у
находятся лишь простые полюсы
s = sk = 2k— |i2-f-1 (/5 = 0, —1, —2, ...)•
Для полуплоскости Re s > -5- следует различать два случая:

БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ BATCOHA
77
1) если -у < Ц2 < ■п"» ^2 ^ 2, то в этой полуплоскости находятся
лишь простые полюсы
5=1, s = ^ = 2ft—^i2-f 1 (ft=l, 2, 3, ...);
2) если \х2 = 2, то там имеются полюс второго порядка s = sx = 1
и простые полюсы s = sft = 2ft-|-l (ft = 2, 3, ...).
Отметим также, что
=да*-ь
5 = 5,
и, кроме того,
cos
sin
я
2
я
~2
l*i
^2
1
г
ПРИ Ц,2 '■£ 2,
. л 1 . 2 л; logjc л
—Sin-2^ —^--COSyJl!--!— ПРИ ^2 = 2
(2.17)
/es{^^} = ~icosf(^ + ,2)^^ (2.18)
■1*2
(ft = 0, ±1, ±2, ...),
причем при \х2 = 2 должно быть k Ф\.
Далее рассмотрим контуры 1п прямоугольников с вершинами в
точках (Rn ± iR*n, — R*n ± tR*n)f где /?„ = 2п — ^i2 + 2, /?* = 2д+^2.
Пользуясь формулами (2.14) и (2.16), легко установить, что
sup |/C(s)|<M< + oo,
где М не зависит от п.
Это обстоятельство позволяет для вычисления интеграла
у+/оо
^-та J tS*-* <°<*<+~>
(2.19)
-.-/оо
2
воспользоваться теоремой о вычетах. Для этого рассматриваем
поведение функции -г^г~*~5 при х£(0, 1) в полуплоскости Res<-2»
а при x£(U -|-oo) — в полуплоскости Re5>^«

78
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ La
[ГЛ. II
При этом, пользуясь формулами (2.17), (2.18) и (2.19), получаем
к (л:) = к (л:, [ilt p,2) =
--С08т(Ц1 + 112) J т—р
О
rf/
(2.20)
при Y <^2<-2"»
0<л:< 1.
я
COS -тг- Ц,
|—+ 1C0ST foi+^J" T=7>dt
sin -^ ц2
при -я- < р,2 < 2. 1 < л: < +оо,
siny-M'i — — cosy^logll— *2|
при р,2 = 2, 1 < л: < + оо,
Я
COSy Hi
sin у ja2
-h-^cos-yftii + Me)
\i2
l2-2 |- ^ц2-3
= 2+ J T=72
<tt
(2.21)
(2.22)
(2.23)
при 2 < ^2 < -j , 1 < x < +
oo.
Согласно (2.14), если в выражении К (s) поменять местами
параметры [ij и |i2, получаем функцию Н (s). Поэтому легко видеть, что
h(x) = k(x, 1*2, щ).
(2.24)
Построенные таким образом функции k(x) и h(x) являются биор-
тогональними ядрами Фурье — Ватсона, и, следовательно, для
них справедливы утверждения теоремы 2.5.
В частности, если \il = \i2 = \i. то h(x)==k(x), функция k(x)
будет ортогональным ядром, и для нее справедливы утверждения
теоремы 2.1.
Отметим, наконец, некоторые частные случаи полученного таким
образом общего результата:
1°. Заметив, что при iix = \i2=l
k(x) = h(x) = Uog\±±±\,
мы вновь получаем предложение, приведенное в 1.2 (б).

§ 2] БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ BATCOHA 79
2°. Для любой функции f(x)£L2(0, +co) формула
+оо
tW^lfixl /(»)K>g|l-*2«2|^f-, *€(0. +oo). (2.25)
О
определяет почти всюду функцию g(x)£L2(0> +oo).
Двойственная формула
+ оо
*М=1С1й I ^(")log|l-^2«2|^-. x6(0. +00), (2.25')
о
также имеет место почти всюду, причем
Г \g(x)\4x=j \f(x)\*dx.
о о
В самом деле, наше утверждение вытекает из теоремы 2.1, если
заметить, что при |л1 = |л,2 = 2
k(x) = h(x) = ±\og\l~x*\.
Из отмеченных двух предложений вытекают формулы
преобразования и обращения Гильберта в классе L2(—00, -j-°°)-
3°. Для любой функции F(x)£L2(—00, -f °°) формула
G(*)=-^-^j J F(u)log\l ~^\du (2.26)
— ОО
определяет почти всюду функцию G(x)£L2(—00, +°°)-
Двойственная формула
+ оо
р(*)=^4х- I 0(«)log|l—£|rf« (2.260
— С»
также справедлива почти всюду, причем
+ оо +оо
J* |G(x)prf*= j* \F(x)\4x. (2.27)
— ОО —ОО
Наметим доказательство. Полагая

80 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
а также
f(x)=/(,)+„-,) + /(,)_/(-,) a/iW+/i(4
очевидно, имеем
+ оо Ч-оо +оо +оо
J |/>(*)N* = J |/(*)|»rf* = 2j |/,(х)р<** + 2| |/8(*)|*Лс.
-оо -со 0 0
(2.28)
так как /^л:) четная, а /2(я) нечетная на всей оси (—оо, -f-oo).
Далее, пользуясь результатами из 1.2 (б) и п. 2° и полагая
+оо
о
+ со
о
имеем формулы обращения
х£(р, -f-oo), (2.29)
du
■ ха
■ха
du
а
о
+ оо
Мх) =-\4l \ ft(«)log|l - *2«21^->
*6(0. +оо). (2.30)
и равенства
+ СО +0О +00 + 0О
j \gl(X)\4x=] |/,(*)prf*. J k2(*)l2<**=J" lAW**-
0 0 0 0
(2.31)
Но представления (2.30) справедливы не только почти всюду на
полуоси (0, -f-oo), но, как легко видеть, и на всей оси (—оо, +°°)-
Аналогично формулы (2.29) определяют соответственно четную и
нечетную функции gx(x) и g2(x) на всей оси (—°°» +°°)«
Поэтому, обозначая
0(x) = g1 (х) + g2(x) (— оо < х < + оо),
из (2.29) получаем
+оо

§2]
БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА
81
откуда вытекает (2.26). Из (2.28) и (2.31) следует также равенство
(2.27).
Далее, из формул (2.30) вытекает
+ 0О
f(x) = Mx) + f2(x) = -±-£- j* 0{a)\og\\-xa\^-,
— ОО
откуда получаем почти всюду на (—оо, +оо)
F(x)
* -® -■
-f-OO
р- J" 0<«)log|l—£
du
и
Вместе с тем
—ш.
iii u I d t Ii x
log|l-T =«^10* 1—-
Отсюда, пользуясь последним представлением функции F(x),
приходим к формуле обращения (2.26').
(б) Гипергеометрические ядра. Обширный класс биор-
тогональных преобразований был исследован Фоксом. Эти
преобразования можно получить следующим образом.
Пусть v > 0, jij и [х2 Ф — 1, — 2, — 3, .. . — произвольные
вещественные числа и H = Vi— \ix— [х2 + -9". Положим
K(S) = 2'-1.
—1,
(2.32)
(2.33)
Я(5) = /ГЧ1— s).
Тогда, пользуясь формулой Стирлинга
|Г(г + «)1= о(\(\г"е'^,П), |f |-> + oo,
заключаем, что
K(i+«)|
Ит+«)1
Следовательно, если —— и ——- двойственны по Меллину функ-
K(s) H(s) 0 - . , , ч
циям . ■__ и , __ соответственно, то по теореме 2.5 функции к(х)
и Л (л:) будут биортогональными ядрами Фурье — Взтсона,
6 AV М. Джрбашян
sup
-оо</<+оо
<+оо.

82 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ U [ГЛ. II
Из (2.32) на основании теоремы о вычетах для полуплоскости
Re s < у получаем
i + 'co
*(*)=■& J тй-*"*-
I-too
2
— of^Y^V /_П* Г(у,+*) \Т]
— ZUJ Л* U (2*-и+1)Г(ц, + *)Г(|Л, + *) k\ '
Отсюда следует, что
k(x) — k'(x) = k(x; vlt [il9 [i2) =
-(ЛУ* У /_n* Г(уж + Ц IT)
Аналогично из (2.33), применив опять теорему о вычетах,
получаем
h (х) = h! (x) = hx {x) + h2 (x), (2.35)
где
h1(x) = ltl(x; vx, [ilt \i2) =
sin^(v! — ц,) /л:\2м'1+м'-1г/ 1,114
(2.36)
A2 (*)==*!(*; Vj, [x2. M'l). (2-37)
Многочисленные примеры биортогональных и, в частности,
ортогональных преобразований можно получить отсюда с помощью
специального выбора параметров vlt Hi и \i2. Ha этом, однако, мы
останавливаться не будем.
§ 3. Некоторые определения и леммы
Теоремы Ватсона, приведенные в §§ 1 и 2, допускают
дальнейшие существенные обобщения, позволяющие с единой точки зрения
получить формулы обращения для целого ряда как уже известных,
так и новых классов интегральных преобразований в классах L2.
Эти результаты излагаются в §§ 3 и 4, причем в настоящем
параграфе приводятся лишь некоторые важные для дальнейшего
определения и леммы.
3.1. Отметим сначала двойственность по Меллину двух важных
классов функций.

§ 3] НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ 83
(а) Обозначим через (— х~тА оператор, который каждой
функции f(x), абсолютно непрерывной на некотором промежутке,
сопоставляет функцию — х ^ на том же промежутке. Обозначим далее
[/(*). если & = 0,
(-i)/w-|(_^)(_^)"m«*>.. <3"
Через /,2Л) (0, +°°)» гДе 1 **Сп < + °°> обозначим класс функций/(л:),
определенных на полуоси (0, +оо) и удовлетворяющих условиям
/,(*) = (- x-fykf(x)eL2(0, + сх>) (k = 0, l л). (3.2)
Наконец, пересечение всех классов Lin) (0, +00) (я = 0, 1, 2, ...)
обозначим через L^fO, +00).
(б) Лемма 2.2. Пусть функции
/(*)6М0. +оо) в F(s)£L2{j — /00, ^ + /о°) (3.3)
двойственны по Меллину. Тогда при любом 1^я<оо
справедливы следующие утверждения:
1°. £Ъш
5^(5)6^(4 — 'оо. 4+/о°) (*=1.2 л), (3.4)
то /(*) эквивалентна некоторой функции ф(л:),
принадлежащей классу Л2П) (0, +оо).
2°. Обратно, если f (х) эквивалентна некоторой функции ^{х)у
принадлежащей классу L[n) (0, + оо), /wo для функции F(s)
выполняются условия (3.4).
3°. 5 обоих случаях функции
(-х-£-)\(х)и skF(s) (k=lt 2 я) (3.5)
двойственны по Меллину.
Доказательство. Достаточно установить справедливость леммы
в случае п=\, так как общий случай получается путем
последовательного применения указанного частного случая.
1°. Итак, пусть
sF($)£L2(j—too, I + /00). (3.6)

84 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L, [ГЛ. II
Для произвольного x£(Q, -f-oo) введем в рассмотрение функции
Т+'а
*°(Х) = Ш J F(s)x~sds (o>0)
4-
(3.7)
4+'°
МХ)=:Ш J sF(s)x-sds.
Согласно основному условию леммы,
/(*) = 1. »• т./„(*). (3.8)
В силу (3.6) на полуоси (0, +°°) существует также предел
в среднем
f(x) = \.i.m.fa(x). (3.9)
0->+оо
Заметив далее, что, согласно (3.7),
?„(*>=(-*^)/0<*).
для любых значений а и л;£(0, +оо) получаем
X
/„(*)-/„(«) = - Щ^-dt,
а
откуда в силу (3.9) следует
х
Нт [/„ (*)-/„(«)] = - f Щ-dt. (3.10)
а
Из формулы (3.8) вытекает, что существует последовательность
функций |/а (л:)}°°, сходящаяся к f(x) почти всюду на полуоси
(0, 4-°°) [см. 1.1 (г) гл. I].
Пусть а — значение, для которого lim / (а) = /(а). Тогда из
k-+CQ k
(3.10) следует существование предела
t-*oo "ft J *
О-Л
для любой точки jc£(0, -f-oo).

§ 3] НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ 85
Таким образом, функция f(x) эквивалентна функции
х
<p(x) = f(a)-j Ц±М. *6(0. + оо),
а
которая, очевидно, абсолютно непрерывна и принадлежит классу
l£} (0, +оо). Так как почти всюду на (0, -|-оо)
из (3.7) и (3.9) вытекает двойственность по Меллину пары функций
(-*-27)ф(*> и sF(s)- (ЗЛ1)
Установим теперь обратное утверждение, т. е., полагая, что f(x)
эквивалентна функции <р(#) £ Z,^ (0, + оо), установим, что не
только F(s)t но и sF(s) принадлежат классу L2 (-к — /оо, -<r-\-ioo\.
С этой целью, во-первых, отметим, что в силу условия
ф(л:)£ Z,2(0, -f-oc) мы имеем
lim inf {У^3с|ф(л:)|} = lim inf {]/*|ф(л;)|} = 0.
Х->+0 Х->+оо
Отсюда следует существование последовательностей чисел
0<Р,<Р2< ... <Рл < .... Рл-> + оо,
«1>а2> ••• >«*> •••• ал->0,
таких, что
"«ИУрЛфСМ. ^|ф(а„)|} = 0. (3.12)
«-►оо
Отметим далее, что преобразование Меллина ^(s) произвольной
функции ty(x)£'L2(0, -f-oo) можно определить также по формуле
3
4?(s) = \. i. m. f $(x)xs~ldx.
P->+oo a
В этом легко убедиться, записав равенство Парсеваля для
разности
а 0
j ^(x)xs'ldx— j ^(x)xs"ldx.
l/a a

86 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ Ц [ГЛ. II
После сделанных выше замечаний напишем тождество
заметив при этом, что
РлФ(Рл)-<Ч>(а„)
1 ,
1
1 .
т-/оо
\ds\K
+ оо
<{/рл|ф(М1 + /ал|фЮ|}2 f -г5—: (ЗЛ4)
Обозначая через /^ (5) двойственную с (— х -т—) ф (лг) £ Z,2 (0, -|~ °°)
функцию, рассмотрим предел в среднем на прямой Re s = -~ обеих
частей тождества (3.13) при я->оо. Тогда в силу (3.14) и (3.12)
получаем
/>(5) = £ii£) (Re5=4).
Иначе говоря, sF(s) £L2 (-^—/оо, -^-\-iooy и пара
функций (3.11) действительно двойственна по Меллину. Таким образом,
лемма доказана для п= 1 и тем самым для любого значения я<^оо.
3,2. (а) Введем теперь одно важное определение.
Будем говорить, что функция Ф($), определенная на прямой
Re s = ~2* принадлежит классу <^\ если:
а) Ф(5) непрерывна и отлична от нуля на всей прямой
Re s = -g-;
б) существуют последовательность полиномов {Pn(s)}™ и
число М > 0 такие, что
\Pn(s)\<CM\<D(s)\, Res = l (л=1. 2. ...) (3.15)
и
ИтРп(8) = Ф(8) (3.16)
/1->0О
5 каждой точке прямой Res = -j.

§ 3] НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ 87
В частности, в класс &* входят всевозможные полиномы, не
имеющие нулей на прямой Re s = -2-.
(б) Отметим несколько достаточных условий принадлежности
функций классу <^°.
Лемма 2.3. В каждом из нижеследующих случаев функция
Ф(5) принадлежит классу S*.
1°. Ф(5) — целая функция, причем
оо
Ф(Т + ") = 2С*'2*' (3.17)
л=о
где с0>0, с*>0 (ft=l, 2, ...).
2°. Ф(5) непрерывна и отлична от нуля на прямой Res = -у,
причем
|ф(! + ")|>ехр{р(И)}, |*|>*0>0. (3.18)
гдг p(t)—неубывающая на полуоси [О, +оо) функция, пред-
ставимая при t^\ в виде
t
P(0 = P(l)+J^rft, <a(t)>0. (3.19)
1
+ оо
j p(t)r2dt = + oo. (3.20)
l
3°. Ф($)—целая функция с каноническим разложением вида
ОО 5
Ф (s +-i) ==£(*)== *-«'+»* Д(1— ■3J-)*"*'. (3.21)
ft= l
ОО
гдг с!>0, 6 tf {ak}™—вещественные числа, причем^а^2 < -[-оо.
Доказательство. 1°. Обозначая
п
v2*
очевидно, имеем при — оо </<•-(- оо
л
/>*(т+й)==2с*/8*<ф(т+/') (й=0-*• 2> •••>•
*=о

88
Так как
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L,
.цпотря(т + ") = ф(т + ")'
|ГЛ. II
то <b(s)£S>.
2°. Известно, что условия (3.18), (3.19) и (3.20) обеспечивают
полноту системы полиномов при равномерном приближении на всей
оси (—оо, + оо) с весом*) |OU--|-tf\| #
Иначе говоря, в наших условиях для любой функции f(t),
непрерывной на всей оси (—оо, 4~°°) и удовлетворяющей
условию
Пт 10(^ + 0)^1/(01=0. (3.22)
имеем
inf \ max lofi + ^rVo-QWl} =0. (3.23)
{q} 1-сю</<+оо1 w /I )
где [Q]—семейство всевозможных полиномов.
Для любого я^1 построим функцию /„(/)» непрерывную на
всей оси (—оо, +оо), следующим образом:
Ф(у + //) при t£[— я, я].
0 при t£(—я—1, я-f-l),
линейна при t£[n, я+1] и t£[—я— 1, —я].
/»юН
Так как fn(t) удовлетворяет условию (3.22), для нее справедливо
равенство (3.23). Следовательно, для данного я^1 можно указать
такой полином Qn(t)t что
Отсюда вытекает, что последовательность полиномов {Qn(0li°
удовлетворяет условиям
sup |ф(1+«)Г1|Ся(0|<1 + ^г<2.
Qn «) I ^ Х <- 1 tC\ „ „1 (п-\ 9 <> (3<24)
ф(|+«)'
*) См. М. М. Д ж р б а ш я н fl] (частный случай теоремы 4).

§ 3) НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ 89
Полагая, наконец,
Pn(s) = Qn(-i(s-j))>
из (3.24) заключаем, что полиномы {Pn(s)}™ на прямой Re5 = -^-
удовлетворяют условиям
|/>„(*)|<2|Ф(я)|.
lim P„(s) = 0(s).
Л->оо
Таким образом, <D(s)£<^\
3°. Из (3.21) вытекает, что
оо 1
Следовательно, при с>0 имеем|ф (4 + ")|
^> £с'2, и утверждение
Ф(5)^<^ вытекает из 2°.
Если же с = 0, то
со
'ft*=>>*'2*. (3.25)
i£(«)i2=n(1+Jr)-=Srf-
где rf0=l, rf*> О (А = 1, 2, ...).
Поэтому, обозначая
Q„(') = 2<M2*. (3.26)
*=о
очевидно, имеем при — со < t < -\- оо
<?„(')< |£(<0|2 (я=Ь 2. ...).
ит <гяю=|£(«)12. (3-27)
Л->00
CD
Если теперь записать разложение £:(#) = 2 ^л^* и обозначить
?/* (0 = 2 ****. то из (3.25), (3.26) легко следует, что Qn (t) = for, (f)|2.
Следовательно, при — оо < t < -f- оо имеем
k.(0|<|fi(tf)l = |®(-j- + tf)| (л=1. 2,...)
и
lim qM<f) = E(ff) = <b(l+tt). (3.270

90 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. И
Полагая, наконец, Pn(s) = qn(—ils—у)), из (3.270 заключаем,
что Q>(s)£S*.
3.3. Перейдем теперь к определению одного важного класса
функций 1(2Ф)(0, +oo)czL2(0, +oo), существенно необходимого нам
для обобщения теоремы Ватсона.
(а) Пользуясь обозначениями предыдущего пункта, мы определим
сначала смысл оператора Ф (—x~ir~)/(*)» когда Ф
(s)—-произвольная функция класса &*.
Во-первых, если
<Z>(s) = Pn(s)=itdks'> (3.28)
— полином степени п, то функцию / (х) отнесем к классу lX \0, -f-oo)
в том случае, если /(#)€^2Л)(0, +°°)» причем для любой функции
/ (х) £ 12Ф) (0, + ро) полагаем
Далее, пусть Ф($)£<^ — отличная от полинома функция. Тогда
функцию f(x) ми отнесем к классу /,2(ф)(0, -+-оо), если
выполняются условия:
1) f(x) бесконечно дифференцируема на полуоси (0, +оо)
и принадлежит классу L^°\0t +oo), т. е.
(-*^)*/(*)6М0. +оо) (ft = 0. 1, 2, ...); (3.30)
2) для некоторой последовательности полиномов {Рп($)}™*
удовлетворяющих условиям (3.15) и (3.16) на полуоси (0, -[-оо),
существует предел в среднем
ф(-*£)/<*>-^М-*£) '<*>• (331)
(б) Лемма 2.4. Пусть Q>(s)£S* и функции f(x)£L2(Q, +oo),
F(s)£L2(-<y—io°t -^--f- too) двойственны по Меллину. Тогда
функция f(x) в том и только в том случае эквивалентна
некоторой функции
ф(дг)б4Ф)(0, + со), (3.32)
если
<t>(s)F(s)€L2(j-toot -2-+/00). (3.33)

§ 3] НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ 91
При этих условиях функции
ф(-*-^)<р(*) и <D(s)F(s) (3.34)
двойственны по Меллину.
Доказательство. В случае, когда Ф(s)^S^ есть полином вида (3.28),
утверждения этой леммы непосредственно следуют из леммы 2.2
в силу самого определения класса iX. (О, -f oo) и оператора
ol—xjL-\f(x) как суммы (3.29).
Положим теперь, что функция Ф (s) £ §P отлична от полинома.
Тогда в силу того, что условие
|ЯЯ(5)|<Л1|Ф(5)|. Res = i (ii = if 2, ...)
выполнено для последовательности полиномов {Pn(s)}™ с
неограниченно растущими степенями, очевидно, имеем
ck= sup 1/Ф"1 (5)|<+оо (/г = 0. 1. 2, ...).
Положим теперь, что выполнено условие (3.33) леммы. Тогда в
силу неравенств
j \skF(s)\2\ds\<cl j \<*>(s)F(s)\*\ds\ (/5 = 0,1,2,...),
Rej=y Re5=T
очевидно, имеем
skF(s)^L2[j — /oo,I + /oo) (/г = 0, 1, 2. ...). (3.35)
Из этих условий, согласно лемме 2.2, вытекает, что f(x)
эквивалентна некоторой функции ф(лг), принадлежащей классу /^(О, -f-oo),
т. е. что ( — х-дА <p(x)£L2(0, 4-оо) (/г = 0, 1, 2, ...), а также
двойственность по Меллину любой из пар функций (—х-гА ф(-*0
и skF(s) (/г = 0, 1, 2,...). Это означает, что имеют место
представления
1 .
(—*^)*Ф(*> = -2ЙГ J s*F(s)x-sds (/5 = 0,1,2,...),
T'ic9

92 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L, [ГЛ. II
а также
4+'°°
Р"(-хж)ч(х)==Ш j Pn(s)0(s)x-sds (3.36)
для любого полинома Pn(s) вида (3.28), причем интегралы в правых
частях абсолютно сходятся на полуоси 0 < х < + оо, так как
в силу (3.35), очевидно, мы имеем также
skF(s)^Lx{j — toof y+'°°) (* = 0' l* 2' •••)-
Пусть
¥(*) = !. i. m. -5^7 Г <S>{s)F{s)x-*ds, (3.37)
<J-> + oo ZJU J
тогда из (3.36) имеем
{-г.
Т+"
0 ->+СО J
j-«.
В силу равенства Парсеваля отсюда вытекает, что
J ]^{x)-Pn{-x^{x)\dx =
о
e5c J* l°WWl2|l~-%5fri*l (3'38)
-/со
для произвольного полинома Pn(s) вида (3.28).
Так как Ф($)£<^\ мы можем считать, что полиномы Pn(s)
удовлетворяют условиям (3.15) и (3.16), или, что то же самое,
условиям
Jl—Ф-!(*)ЯЯ(*)|<1+Л*. Res = I (я=1, 2, ...), (3.15')
lim |1_ф-^(5)Ял(5)| = 0, Res=l. (ЗЛв7)

§3]
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ
93
Из условий (3.150 и. (3.16') по теореме Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла [см. 1.3 (а) гл. I] заключаем, что
при п-+оо правая (а следовательно, и левая) часть формулы (3.38)
стремится к нулю. Так как это имеет место для некоторой
последовательности полиномов {Pn(s)}T> удовлетворяющей условиям (3.15)
и (3.16), то это означает, по определению, что ф(л:)£ А(2Ф) (0, +оо),
причем почти всюду на (0, -f-oo)
В силу (3.37) это означает, что функции (3.34) двойственны
по Меллину. Таким образом, мы доказали, что из условия (3.33)
вытекают условие (3.32) и двойственность пары (3.34).
Докажем теперь обратное утверждение. С этой целью положим,
что функция ф(дг) принадлежит классу L^(0t -f-oo). Тогда, по
определению, имеем, во-первых, что
Д(*)Ц-*^)*ф(*)е£2 (0, +оо) (ft = 0, 1, 2. ...)
и, во-вторых, что для некоторой последовательности полиномов
{Рп($)}?9 удовлетворяющей условиям (3.15) и (3.16), существует
предел в среднем
ф (-х £) *(х)=Vi £' рп (- * -я) ф (*> (з-39)
на полуоси (0, +оо). Но, следовательно, двойственные с fk(x)
функции skF(s) также принадлежат классу L2 на прямой Res = -2- ,
и поэтому мы должны иметь
а
P„(*)F(s) = l.Lm. j Рп(-х-±}<((х)х°-Чх (я = 1, 2. ...)
на той же прямой.
Записав, далее, равенство Парсеваля
■!& J" \pn(s) F(s)- Pm («) F (s)\ 2 \ds | =
+ 00
= j М~*^)ф(*)_М~~*"35')ф(*)Г<'*

94 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ U [ГЛ. II
при произвольных п и т, из (3.39) заключаем, что при /г, т->оо
правая (следовательно, и левая) часть этого равенства имеет нулевой
предел. Но это значит, что существует функция Q(s)£L2 (-j — /оо,
у4~*°°) такая, что на прямой Res = -7r
1. i. m.Pn(s)F(s) = Q(s).
/1->оо
Пользуясь теперь свойствами (3.15) и (3.16) полиномов [Pn(s)}™t
отсюда по теореме Лебега [1.3(a) гл. I] получаем
ф(5)/7(5)££2(1— /оо, ^- + /оо).
Следовательно, как уже было установлено выше, двойственной
с <£>(s)F(s) функцией будет именно функция Ф( — х -г—)ф(л;). Этим
и завершается доказательство леммы.
Замечание. После доказательства этой леммы легко убедиться
в том, что если f(x)^L^(Ot +oo), то предел (3.31) существует
для произвольной последовательности полиномов {/^(s)}?5,
удовлетворяющих условиям (3.15) и (3.16).
(в) Сделаем одно дополнительное замечание к определению
оператора ф(— xjf)f(x).
Пусть
Рп (s) = 2 dksK Qn (s) = 2 rks* (3.40)
k = 0 k = 0
— полиномы степени п, связанные условием
Qn(s)==Pn(±-\-lsy (3.41)
Наряду с оператором Рп[—л:—|/(лг) определим также оператор
п
Л i=0
и покажем, что
pA-x-t)nx)9mrh Q-(ix -t)V7f(x)' (3-42)
полагая, например, что f{x)^l^°\09 + оо).

§ 3] НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ 95
С этой целью заметим, что из представления
у+'оо
fW=4a \ F{s)x-°dst *£(0,+сю),
i-i-
вытекают формулы
Т+'°°
(**£)'y7/<*)-i J И*—)}*™*4"'''
1-<~
(* = 0. 1, 2, ...)•
Отсюда получаем в силу (3.40) и (3.41)
J- /со
-i" Is'.Ht-)]'}''"»*-'-
-я— <oo v '
A + /00
= m J <?„(*(£—J)™*-'*:
I-/0O
2
1 ,
2- + '°°
= Ш J Pn(s)F(s)x-
ds.
l-<~
Сравнивая эту формулу с формулой (3.36), приходим к
тождеству (3.42).
Для заданной функции 0(s)^S^ мы можем теперь, наряду
с имеющимся определением (3.31) оператора

96 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ U [ГЛ. II
[где [Pn(s)}T — произвольная последовательность полиномов,
обладающая свойствами (3.15) и (3.16)], ввести другое определение этого
оператора, а именно
0{-x^f(x) = Li^m.^Qnlix^V^f(^ (3.310
Qn(s) = Pn{^+is)j (*=1, 2. ...).
где
§ 4. Обобщения теоремы Ватсона;
примеры и применения
Перейдем теперь к обобщениям теоремы Ватсона и отметим
несколько типичных приложений общей теоремы.
4.1. (а) Приведем первую основную теорему, обобщающую
теорему Ватсона 2.5.
Теорема 2.6. Пусть на прямой Res = "2 определены четыре
функции K(s)t H(s) и Фл($)£<^ (k = \, 2), связанные между
собой тождеством
АГ(5)Я(1~5)Ф2(5)Ф1(1 —s)=l. Res = lf (4.1)
и такие, что*)
sup {|Л(*)|,|*(*)Ф2(*)|}< + оо. (4.2)
Пусть, далее, функции класса L2(0, -|-оо)—— и —— двойст-
венны по Меллину соответственно функциям .__ и . J_ из
класса 1^ (-^—too, -j +/oo). Тогда справедливы следующие
утверждения:
Г. Для любой функции f(x)^L^l)(0, -f-oo) формула
*) Отсюда, очевидно, вытекает, что
sup {I /с (5) |} < + оо.

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАТСОНА; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 9?
определяет почти всюду [или всюду, если 02(s)^const] на (О, + со)
функцию g(x)^L{^2) (О, +со).
Двойственная формула
о
также имеет место почти всюду [или всюду, если Ф!($);=£const]
на (О, Н-оо).
2°. Для произвольных функций fi(x)^L(^l) (О, -|-со) и /2(Х)£
^■L^ (О, -+-оо) имеет место равенство
+ оо 4-оо
j /i(*)/a (*)<** = } gk(x, f{)gh(x. f2)dx, (4.5)
где
0
о
3°. При дополнительном предположении
(4.6)
H(l—s)<b2(s)=sK(s)<t>l(l—s). Res = -i, (4.7)
если одновременно /(лг)£/,(2Ф1)(0» + °о) и L^2) (0, -f-co), то имеет
место равенство Парсеваля
+ оо +оо +оо
I \f(x)\'dx= j \gk(x, f)\*dx=j \gh(x.~f)Vdx, (4.8)
0 0 0
где gh(x, f) и gh{x, f) определяются формулами (4.6).
Доказательство. Г. Пусть F(s)—функция, двойственная с f(x) £
£^ф1)(0, +сх)). Тогда по лемме 2.4 функции
также двойственны по Меллину. Отсюда следует, что
Q(s) = K(s)Ol(l—s)F(l—s)£L2(±--toot 1-f/оо) , (4.10)
7 М. М. Джрбашян

98 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ Ц [ГЛ. II
так как, согласно (4.2), имеем
sup {|/С(5)Ф2(5)|}<+оо. (4.20
Обозначив, далее, через g(x)[£L2(0, -f-oo)] функцию,
двойственную с 0(s)> легко усматриваем, что при любом х £ [0, -(-со)
1 .
\ g(u)du = -±i J KJ&x*-*Ol(l-s)F(l-s)ds. (4.11)
о i .
1-tco
Теперь, принимая во внимание двойственность пары (4.9), а также
пары ^ и | _ -У1"5 при фиксированном х £ (0, -f со), из (4.11)
в силу равенства Парсеваля имеем
X -foo
j g(u)du= J *1££ф1(_«.А.)/(й)А,1 хбЮ. + °о). (4.11')
О О
Отсюда дифференцированием по х получаем, что формула (4.3) имеет
место по крайней мере почти всюду.
Из определения (4.10) функции 0(s) в силу (4.2') заключаем, что
02(s)a(s)£L2(±— /оо. ^ + /оо). (4.12)
так как Ф^ —s)F(l —s) есть функция того же класса. Из (4.12)
по лемме 2.4 вытекает, что g(x) эквивалентна некоторой функции
g(x) из ^Фа) (0, +со) и что функции
ф*(-*1П?)еЮ и ф2(5)°(5) (4ЛЗ)
двойственны по Меллину.
Очевидно, что в формуле (4.11') можно считать, что
функция g (х) принадлежит классу l}?2) (0, + °°)« Но если Ф2 (s) ф const
и g(x)£ffi2) (0» +°°)« то функция g(x)t очевидно,
дифференцируема на (0, +оо), а следовательно, (4.3) имеет место всюду на
(0, +оо).
Заменим теперь в (4.10) 5 через 1 —s; тогда в силу тождества (4.1)
получаем представление
F(s) = H(s)Q>2(l—s)0{l—s)9 Res = ^. (4.14)

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА BATCOHA; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 99
Отсюда последовательно находим
1 ,
//(«)'«= S3 J т^^-Л-
4-/с
1 + /СО
= 2Н7 j -^-^-Ф2(1-5)0(1-5)^ =
i-,~
-i-oo
о
если примем во внимание двойственность пары (4.13), а также пары
Л (лги) И (s) 1 с ^ /Л | ч ,-,
—-—— и _7 лг1-5, л:£(0, + оо), и равенство Парсеваля.
Дифференцируя (4.14') по х, получаем формулу обращения (4.4).
2°. Пусть F{(s) и F2(s) двойственны по Меллину соответственно
функциям fi(x) и f2(x). Тогда по лемме 2.4 имеем
{Ф1(5)/71(5) И Ф2(5)^2(5)}^А2(1-/С^, 1 + /Оо),
причем соответствующими двойственными функциями будут
<&i(— ^)/iW и Ф2(— *-^-)/2(*). Так как, согласно (4.2).
sup {|/C(s)|, |#(s)|} <-f-oo, очевидно, имеем также
Ой(5)^Я(,)Ф2(1-,)^(1-5) }€^(Т-'оо.7 + 1оо). (4.15)
причем в силу тождества (4.1) справедливо также соотношение
F1(s)F2(l-s) = Oh(s)Ok(\-s), Res = i. (4.15')
Пусть gk(x, fx) и gh(x, /2)—функции из класса L2(0, 4-°°)/
двойственные по Меллину соответственно функциям Gk(s) и Gh(s).
7*

100 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
Легко видеть, что, например, при #£[0, Ч"°°)
X 2
— — / оо
2 *°°
.fl^-.-j^.,,., (4.16)
о
если принять во внимание двойственность соответствующих пар
функций и равенство Парсеваля.
Дифференцируя (4.16) по х, получаем представление (4.6)
функции gk(x, /j). Вполне аналогично выводится представление
функции gh(x% /2). Наконец, из (4.15') по теореме 1.17 следует
равенство (4.5).
3°. Пусть функции fi(x) = f(x)£Li2>l)(0, -f оо) и Fx(s) = F(s)
двойственны по Меллину. Легко видеть, что функции /2(д;) = /(^)^
£А2Ф2)(0, +oo) и F2(s) = F(s) также двойственны.
Следовательно, в рассматриваемом случае формулы (4.16)
принимают вид
Gk(s) = K(s)G>1(\-s)F(\-s),
0h(s) = H(s)O2(l—s)7(l—s), Re 5 = ~.
Отсюда в силу условия (4.7) теоремы получаем
0h(l-s) = H(l—s)O2(s)F(l -s) =
= K(s)Ol(l-s)F(l—s) = Oh(s), Re5 = I. (4.17)
С другой стороны, так как
Л(*. f) = l.l.m.-%-r ) Qk(s)x-*ds9
**(■*. /)«=1. i. m.-^j | Gh(s)x-*ds,
O-t+co znl J
из (4.17) следует, что gk{x, f) = gh(x, /).

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАТСОНА; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 101
Остается в равенстве (4.5) положить f1(x)=f(x) и /2(*)==7(*).
чтобы получить требуемое соотношение. Теорема доказана.
В дополнение сделаем следующие замечания:
1°. Если вместо условия (4.2) положить
sup {\K(s)\, \H(s)Ol(s)\}< + ool
то теорема 2.6 остается в силе, нужно только утверждения (4.3),
(4.4) поменять местами.
2°. Если вместо условия (4.2) потребовать, чтобы
SUP (|/С(5)Ф2(*)|, |//(5)Ф!(5)|}<+00. (4.2")
то утверждение 1° теоремы обратимо в том смысле, что обращением
преобразования (4.4) служит преобразование (4.3).
3°. Очевидно, что в случае, когда Ot(s) = <I>2(s)= 1, теорема 2.6,
как частный случай, содержит общую теорему Ватсона 2.5 об
интегральных преобразованиях с биортогональными ядрами.
(б) Докажем еще одну теорему.
Теорема 2.7. Пусть на прямой Res = -^- определены четыре
функции K(s), H(s) и Фл(5)(;<^ (А = 1. 2), удовлетворяющие
условиям
К(8)Н(\—8)Ф2(8)Ф1(\-8)=\, Res = i,
sup {|*(*)Ф2(*)|. |Я(5)Ф1(5)|}<+оо.
Re*-}
Тогда справедливы следующие утверждения:
1°. Для любой функции f(x)£L2(0, +oo) формула
о
определяет почти всюду на (0, -f-oo) функцию g(x)£L2(0, + 00).
Почти всюду на (0, + оо) имеет место двойственная
формула
t<*-hT *<**\—k)ii?-"' <419>
о
и обратно, обращением преобразования (4.19), где g (и) £ L2 (0,-f-oo),
служит формула (4.18).

102 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
2°. Для произвольных функций /i (^) G ^2Ф1) (0, +оо) и
/ъ(х) £/,2Ф2)(0, +оо) справедливо равенство
+ СО
J Ф.(-*^-)Л(*)Фа(-*^)/»(*)^-
о
+оо
= J* ф' (- * i) ** <*• /*> ф2 (- * ■£)g*(х' Ы dx' <4-20)
0
где, как и в теореме 2.6, функции gk(x, /г) и gh(x, /2) опре-
деляются из формул (4.6).
Доказательство. 1°. Во-первых, отметим, что в силу принятого
условия
sup {|Фг(5)//(5)|. |<ВДК(*)|}< + оэ
функции Фх (s) * и Ф2 (s) 1 __ принадлежат классу ^(т — *°°»
1 + /оо).
Далее, так как при любом фиксированном л;£(0, -f-oo) пары
. »h(xu) H(s) , с k(xu) K(s) , .
функций—-—- и т-^^-лг1-5, —-—- и . л:1-5 двойственны по
^ ы 1 — s и 1 — s
Меллину, по лемме 2.4 пары функций
ф2(-"ж)^" и ^«Т^*1" (4-22)
также двойственны по Меллину.
Пусть f(x)£L2(0t +oo) и F(s)—двойственная ей функция,
так что F(s) £ L2 (-j— /со, -_-|_/оо). В силу условия (4.2")
sup |/С(5)Ф2(5)| < -f-oo, очевидно, имеем
Re,=4
0(5) = ^(*)Ф2(5)^(1-5)6^(1—/ос, ~ + /оо), (4.23)

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАТСОНА; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 103
Обозначая через g (лг) [ £ L2 (0, -f- со)] функцию, двойственную
G (s)> легко получаем, что
1 ,
— — / оо
2
+ оо
= J /{и)Ф2[-и^)^-йи, xeW. +oo). (4.24)
0
если принять во внимание двойственность пары (4.22) и
воспользоваться равенством Парсеваля. Дифференцированием (4.24)
получаем представление (4.18).
Далее, в силу тождества (4.1) и (4.23) находим
F(s) = H(s)Ol(s)Q(\-s)t Res = y,
откуда вытекает, что ввиду двойственности пары (4.21) и равенства
Парсеваля
1 .
i--~
-t-oo
= J £ («) Ф1 (- « X) ^- <*«. x 6 (0, + оо). (4.25)
о
Дифференцированием (4.25) получаем формулу обращения (4.19).
2°. В ходе доказательства теоремы 2.6(2°) было установлено
тождество
Fl(s)F2(l-s) = Gh(s)Gk(l-s), Res = |, (4.26)
где Fx(s) и /^(s)— функции, двойственные fx(x) и /2(#)
соответственно, a Gft(s) и Gh(s) определяются из (4.15).
Из (4.15) ввиду того, что
sup {|ЛГ(*)Ф2(*)|, |//(*)Ф!(*)|}<+сх>,
мы заключаем, что функции (^i(s)Gfl(s) и <D2(s)Gk(s) принадлежат
классу L2 (-о- — *оо, тгН"*00)' так как функции Ф{ (s) Fx (s)
и Ф2 (s) F2 (s) принадлежат тому же классу.

104 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
Поэтому, умножая тождество (4.26) на ФхфФгО—s),
интегрируя результат по прямой Res = -o- и пользуясь равенством Пар-
севаля и двойственностью функциональных пар
°v(-^)/v(*) и %(s)Fv(s) (v=l. 2).
ф?(-^^)л(^/1) и ф2 (*)<?*(*)>
мы получаем равенство (4.20).
4.2. Теорема 2.6 допускает эквивалентную формулировку в
терминах преобразований типа свертки. В этом пункте приводится
соответствующее предложение, являющееся наиболее общим
результатом об обращении преобразований типа свертки в классах L2.
(а) Введем сначала некоторые необходимые обозначения и
определения. Будем говорить, что функция *Р (t), определенная на всей
оси —оо</<-|-оо, принадлежит классу S**, если существует
функция Ф(я) из класса $* такая, что
V(t)=o(j+U)) (— оо<*<+оо).
Определим теперь класс функций L^\—оо, + оо) и операторы
Ч? ( ± t-j—\ f(x) для каждой функции W (t) £&* следующим образом.
Во-первых, если ¥(/) есть полином степени п\
то класс Z,(2 }(—оо, +оо) определяется как множество п раз
дифференцируемых функций f{x), для которых fik)(x)£L2(—оо, + оо)
(ft = 0, 1, 2 п). При этом для f(x)£l}P(— со, + оо)
полагаем
Во-вторых, если функция Ч (t)£$* отлична от полинома, то f (х)
отнесем к классу L^(—оо, -f-oo), если выполняются условия:

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАТСОНА; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 105
1) f(x) бесконечно дифференцируема на всей оси (—оо. +°°)'
причем fk)(x)£L2(— oo, + со) (ft = 0, 1. 2, ...);
2) для некоторой последовательности полиномов {Qnit)}?,
удовлетворяющих условиям
\Qn(t)\<M\V(t)\ (—oD<t<+cx>) (Л=1, 2, ...), (4.28)
lim Q„ (0 = W (t) (— со < t < + oo), (4.29)
существует на (—со, 4-со) предел в среднем
*(±/^)/W = l.i^m.Qn(±/^)/(*). (4.30)
Сделаем теперь следующее простое замечание: если Ф ($)£<=?*
и полиномы [Pn(s)}T таковы, что
|РЛ(*)|<Л1|Ф(*)|, Res = j (л=1, 2. ...). (4.31)
lim Ря(г) = Ф(г). Re 5 = 4-. (4.32)
я->оо z
то. положив ЧР* (/) = Ф(—-|-/Л, очевидно, имеем ^(t) £<&**, причем
полиномы {Qn(t)}i°* где Qn(/) = Рп (-^-f-it), обладают свойствами
(4.28). (4.29).
Обратно, если ¥(0 6^*. то ф(5) = ч; (/ (-j — s)) €<^» причем
из (4.28), (4.29) вытекают свойства (4.31). (4.32) полиномов {Pn(s)}T,
где Ял (*) = <?* ('(4~*)) •
Заметим еще, что, как было установлено выше [3.3(b)]. если
/(лО£/,2Ф)(0, -j-со), то оператор Ф(—x-r-)f(x) можно
определить как
где Qn(t) = Pn (■9" + ^)' если только полиномы [Pn(s)}T
удовлетворяют условиям (4.31). (4.32).
Из этих замечаний без труда получаем следующие утверждения:
1°. Если /(и)£^Ф)(0. -f-oo), то§ полагая V (/) = Ф (-»- +lt) .
имеем
ri±){x) = e±^/(e±x)^l)P{-oot -f- со). (4.33)

106
причем
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2
[ГЛ. II
^[±i^-)F^\X) = Vx^{-u-^)nu)\u=e±x. (4.34)
2°. Если F (х) £ L™ (—оо, + оо), то, полагая Ф (s)=4? li (-js)) ,
имеем
fw(u) = -)=-F(±loS «)б4Ф)(0. +оо).
У»
(4.35)
(4.36)
причем
^~ф(-«ж)/(±)(«)=^(±^)^(-)и±1огц.
(б) Справедлива следующая теорема о преобразованиях типа
свертки.
Теорема 2.8. Пусть на вещественной оси (—оо, +оо)
определены четыре функции $(/), ф(/) и 4rk(t)£e7>*(k= 1, 2),
связанные между собой тождеством
Я(0Ф(—О^зЮЧМ—*)=1 (-^<г<+сю) (4.37)
и такие, что
sup {|ф(*)|. ISKOY^OIX+oo. (4.38)
-оо < / < +оо
Пусть, далее, функции Qk(x) и Qh(x) из класса L2(—оо, +оо)
определяются формулами
о
Qk(X):
1
V2n
^{х)=-т^
Я О 1
U-«J
= 4-1. i. m. f *SfL.e-**<dt9 (4.39)
^ 0->+оо •/ J ,7
-о 2 «
0
= » i.i.m. \J№Le-i«dt.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1°. Для любой функции F {х) £ Z.^1* (—со, -f-со) формула
|+оо >
«^ j Q*(*-0^i(-/-s-)f(0«l (4.40)
-оо J
определяет почти всюду [или всюду, если y¥2(t)=/kconst] на
(—со, -f-oo) функцию 0(x)£L2^2)(—со, -f-oo). Двойственная
формула
х ( __£ +°° ]
^—^ij' 2 W-^'i)'
I -00
<G(t)dt\ (4.41)

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА BATCOHA; ПРИМЕРЫ *И ПРИМЕНЕНИЯ 107
также.имеет место почти всюду [или всюду, если Wx (t) ф const]
на (—оо, +оо).
2°. Для произвольных функций ^Wf^t—со, +оо) и
F2(x)£L2?2)(—оо, +оо) имеет место равенство
+ 0О + 0O
| Fl(x)Fa(x)dx = J Ok(x. FdOk{x. F2)dx, (4.42)
— с» —с»
где
f +00 1
Ok(x.F{) = e~* ^-{Д J Q4(*-*)¥,(-/A)/?,(*) Л!
{ -OO J
Oh(x, F2) = e-^-±- Д J Qft(^_.04r2(_/^-)F2(0^
3°. /7/ш дополнительном предположении
(4.43)
^(-0^2(0 = Л(0^(-0. (4.44)
если одновременно F(x)£L^x) (—оо, -f-сю) w L^2^—оо, +оо),
то справедливо равенство Парсеваля
+ оо + оо +оо
j \F(x)\4x= J \Ok(x. F)\*dx = j \Oh(x. F)\*dx. (4.45)
— OO —OO —OO
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.6, если
воспользоваться замечаниями, приведенными в начале этого пункта,
и формулами (4.33)—(4.36). Поэтому на подробностях мы
останавливаться не будем.
В дополнение к этой теореме сделаем следующие замечания:
1°. Если вместо уравнения (4.38) имеем
sup {|Я(0|. |Ф(04^(01} <+оо,
-оо < / <+оо
то теорема остается справедливой, нужно только утверждения (4.40)
и (4.41) поменять местами.
2°. Если вместо (4.38) потребовать выполнения условия
sup {|ft(/)¥2(oi, |$(оад|}<+оо,
-со<* < +оо
то утверждение4!0 теоремы оказывается обратимым в том смысле»
что формула (4.40) является двойственной для преобразования (4.41).
(в) Специальный случай приведенной выше теоремы представляет
особый интерес.

108
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ Ц
(ГЛ. II
Теорема 2.9. Пусть на вещественной оси (—оо, -+- со)
определены три функции R(t), x¥k (t) £ eP*(k = 1, 2), связанные между
собой соотношением
Я (0^2(0^1 (—0=1 (— сю<*<+оо)
и подчиненные условию
sup {laW^aWlK+oo.
-оо< / <+оо
(4.46)
(4.47)
Если, далее,
ЪЫ = Ш
*(0
то для любой функции F(x) из класса ц> 1)(—оо, + оо) формула
—о* а
0(х) = е *-?-<
dx
Т j* Qu{x-t)4x[-l±)F(t)dt
(4.48)
определяет почти всюду [или всюду, если ЧГ2(0щк const] на
(—оо, + оо) функцию G (х) £ [}^г) (—оо, +оо).
Почти всюду [или всюду, если y¥l(t)^= const] «a (—оо, +оо)
имеет место двойственная формула
F(x) = W2(t^)G(x).
(4.49)
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.8, если
положить там $(/)=!. В самом деле, при ф(£)=1 имеем
+ оо
-ixt
**>-£ J^<<- '~Т'*>0'
т-«
о,
л:<0.
(4.50)
Поэтому, согласно теореме 2.8, обращение преобразования (4.48)
осуществляется посредством формулы (4.41), которая в силу (4.50)
принимает вид
Р{х)=-.т4-
f+oo .
Х_ » t-x
dx
I X J
4.3. В заключительном пункте этого параграфа мы приведем
несколько важных приложений основной теоремы 2.6.
(а) Докажем сначала теорему об обращении интегральных
преобразований типа Стилтьеса.

§ 4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАТСОНА; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 109
Теорема 2.10. Г. Для любой функции f(x)£L2(Qf -f-°°)
формула
+ оо
g(x) = T(l+a)j -j££Wdy (Rea>0) (4.51)
(х + У)
>ду на (0, -f-oo) определяет д
где
всюду на (0, -f-oo) определяет функцию g(x) из класса /4Ф) (0, -f-oo),
Ф(з)=[Г(з)Г(1+а-8)}-*е&. (4.52)
Почти всюду на (0, -f-oo) имеет место двойственная формула
f(x) = Q>(-x^)g(x). (4.53)
2°. Обратно, для любой функции g(x) из класса /,2Ф>(0, -f °°)
формула (4.53) определяет почти всюду на (0, -f-oo) функцию
f (x)£L2(0, -f-oo). При этом всюду на (0, +со) справедлива
двойственная формула (4.51).
Доказательство. Из формулы Стирлинга имеем
|Г(г + «)| = о(в"^1М|/Г^). 1^|-> + оо. (4.54)
откуда вытекает, что при |/1 >» 1
Н7+")Иг(4+"К(4+°-")Г'>
>Ctexp {л|*| — Realog|/|}i
где Cj > 0—постоянная. Отсюда, согласно лемме 2.3 (2°), следует,
что Ф ($)££*.
Полагая теперь
*(*) = Г(*)Г(1+а-*). Л(*)«1.
1 (4.55)
Ф!(5)=1, <U2{s) = <U(s) = {Y{s)T{\+<i-s))-\
получаем четверку функций, удовлетворяющих всем условиям
теоремы 2.6. Более того, выполняется условие (4.2"). отмеченное в
дополнительном замечании 2° к теореме 2.6. Это обеспечивает обращение
утверждения 1° теоремы 2.6.
k (х)
После этих замечаний перейдем к вычислению функций ——-
h(x) „ . r(s)T(l+a — s) 1
и —*-^ по двойственным функциям ———^—* и -г—— . Мы
имеем
кМ = Ш J Г(5)П1+о-5) xl_sdS9 хе(0$ +Qo)> (456)
■j—/o°

110 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ U frVI II
где подынтегральная функция голоморфна всюду в полуплоскости
Re5<-y, кроме точек sk = — к (к — О, 1, 2, .. .), которые
являются простыми полюсами с вычетами
res (Г(5)Г(1+а-5) i у) _ г п* Г(1+а + *) **+1 и *7Л
Пользуясь формулой Стирлинга и леммой Жордана, можно
обосновать допустимость применения теоремы о вычетах к интегралу
(4.56). В результате из (4.57) получаем
00 ь 1
*(*) = Г(1 +«) V (- D* «Ld^J!d^*£ =
*=0
х
и поэтому
k (х) — k' (х) =
(1+*)
%(х) = k'(х) = J^+'i, . (4.58)
Далее, имеем
Т+'со
1 I '
4--'
0, 0<*< 1,
1 < х < -f-co.
(4.59)
Заметим теперь, что по (4.55)'Ф^^)^ 1 и Ф2(5)==Ф($), ввиду
чего классы А2Ф1)(0, +оо) и Z,2(0, +эо), А2ф2)(0, + оо) и А2Ф)(0. +со)
совпадают.
Пусть f(x)£L2(0, +oo); тогда, очевидно, имеем также
— /I—)£L2(0t + оо), и поэтому, согласно теореме 2.6 и формуле
(4.58), функция
о
+ оо +оо
= J k(xu)±f(±)du=r(l+a)j f'M dy, *6<0.+ос).
принадлежит классу LJ (0, -f-co). При этом заметим, что ввиду
абсолютной сходимости последнего интеграла операция
дифференцирования под знаком интеграла была допустимой.

§4] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА BATCOHA; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 111
Наконец, по теореме 2.6 и формуле (4.59) справедлива также
почти всюду на (0, -f-oo) формула обращения
О
-ъТтН--*)*П«-7[*{-'&<1*и.-
Л х
X
что эквивалентно формуле (4.53).
Этим доказательство завершается ввиду сделанного выше
замечания относительно выполнения условия (4.2").
(б) Из теоремы 2.10, в частности, следует теорема Винера — Пэли
об обращении преобразования Стилтьеса.
Теорема 2.11. Преобразование Стилтьеса
+ оо
*<*)=/ -ГрНУ* /(У)6^а(0. +оо). (4.60)
о
обращается формулой
^Ll'wr^~x?L-m-^x,t^ (4-61)
k — Q
Обратно, обращением формулы (4.61) служит интеграл
Стилтьеса (4.60).
В самом деле, так как
sin я (1 + //) = ch nt = V t^W t™ •
то, полагая
n

112 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
как и в лемме 2.3 (1°), имеем, применяя формулу (3.31'),
slnn(-x£)g(x) = l.^m.Pn(-xJL.)g{x) =
d Vk
1 ^ («*4-)
•*- Г7& ' <*>«
Поэтому наши утверждения следуют из теоремы 2.10 при <х = 0.
(в) К теореме 2.10 близко следующее предложение.
Теорема 2.12. Для любой функции f(x) из класса 4Ф)(0, +оо),
где Ф($) = — sinns, формула
х
^(*)==l#9r /(*-0в_,81пя(-/^-)/(0Л. Rea>0, (4.62)
О
определяет функцию g(x)£L2(0, -f" 00). Всюду на (0, +°°)
справедлива двойственная формула
/(*) = Г(1+а)/ AgyW rf у. (4.63)
о <* + УГ
В самом деле, полагая
*(*>= Г(5 + а) ' H(s) = T(s)T(l-\-a-s).
Ф,(<?) = 1 sinJW, Ф2 ($)==!
и проведя надлежащие вычисления, получаем
( (1-лг)"-1
£'(*) = &(*) = !
Г(«) ' °<*<».
0, 1<д;<4-со,
h'(x)=Hx)=*Q+ga. *€(0. +СЮ).

§4) ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВАТСОНА; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ИЗ
Поэтому, согласно теореме 2.6, если f(x)^La>)(0t -\-oo)t где
Ф($) = — sinfts, то преобразование
о
X
^ ^\-xuf-\mn{-u^f{u)du (4.620
о
определяет функцию <p(je)£Z,2(0, -J-оо).
Двойственная формула имеет вид
+оо
0
+оо 4-оо а_| / 1 \
J (l+jfa)1+a J (л: + у)1+а
Заметив, наконец, что g(x) = — (pl—\£L2(0t + оо), из (4.620 и
(4.630 получаем наши утверждения.
Отметим, что в предельном случае, когда а = 0, из этого
предложения следует обратная часть теоремы 2.11.
(г) Следующий пример приложения теоремы 2.6 связан с целой
функцией типа Миттаг-Леффлера
£Р (*; |А) = 2 rfli + *p-') 0х > °- Р > °>- (4-б4>
ft=0
В дальнейшем (в частности, в гл. III и IV) приводится
систематическое изложение теории и важнейших приложений функции
I
В частности, из лемм 3.4, 3.5 и 4.6 вытекает, что если р^-д-
и т<м,<¥ + -р.-то
,pP(_^,+ 1)^|6M0,+CO)i
8 М. М. Джрбащяя

114 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ L2 [ГЛ. II
при этом справедлива формула
+ оо
J{£p(-*,/p;H+l)^-1}*s~1<** =
" з,п,ф(* + ;%Г(2-*) (*«=4)- (4.65)
Обозначим теперь
/C(s)={sinrtp(s + n— 1)Г(1—s)}"1 (4.66)
и заметим, что по формуле Стирлинга (4.54)
\K(± + tt)\<ce-"(p-^U\ \t\>t, (4.67)
Поэтому из (4.65) вытекает, что функции
H^ = _Le (_*i/p; j1+D^-1 и Ш
х лр Pv » г- I / \ — s
двойственны по Меллину.
Отметим еще, что
k'(x) = k(x) = -^Ep(-XVvt р)х»-1. (4.68)
Теорема 2.13. Пусть Р >-j и Т^^^Т"! • Тогда для
любой функции f(x) из класса /^(О, +оо) преобразование
g(x) = ~k I Ep\-xTaT> W (xuf'lf(u)du (4.69)
о
определяет функцию g(x) из класса L^ (О, +оо), где
0(s) = sin7ip(s + \i — 1)Г(1— s)£ff>. (4.70)
Почти всюду на (0, -f-oo) имеет место двойственная формула
/<*)ЦзЛ>(-у£)*(у)} 1=Ф(1 + ^){^Ш}- <4-71>
у х
Доказательство. Положим
K(s)=±{sinn9(S + ll-l)r(\-S)}-\ //(5)311,-
©j(s)=l, O2(s)==0>(s) = SinJlp(S + li-- 1)Г(1—5).
Из (4.67) имеем
|ф2(т+")|>-я(р4)И. И>'о.
причем функция Ф2($) непрерывна и отлична от нуля на прямой
Re$ =-у. Поэтому при р>у, согласно лемме 2.3(2°), имеем
Ф2(5) = Ф(*)6^,

§41 ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА BATCOHA; ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ 115
Так как четверка функций (4.72) удовлетворяет всем условиям
теоремы 2.6, формула
+ оо
О
= ^ J EQ(—X*Uf; |l)(*l0*~7 («)*". Xe (0, +00).
О
определяет функцию из класса L^ (О, +оо) (поскольку Ф = Ф2),
причем интеграл справа сходится абсолютно.
Отметим далее, что в рассматриваемом случае
' 0. 0<*< 1,
2я/ i J 1-5 Х aS~[ 1, \<х
— -/оо
2
По теореме 2.6 справедлива также формула обращения
+оо
+ оо
/«-■£/■*£*•(- £)*«*■-
о
О
откуда следует первое из равенств (4.71).
Чтобы установить теперь второе из указанных равенств, заметим,
что в ходе доказательства теоремы 2.6 была установлена
формула (4.14), которая в рассматриваемом случае принимает вид
F (5) = sin яр Oi — s) Г (5) О (1 — 5), Re 5 = у, (4.73)
где F(s) и 0(5) — функции, двойственные соответственно с f(x)
и g(x).
Заметим, далее, что g (x) £ L^ (О, -f- oo) и, следовательно, по
лемме 2.4, Ф (5) О (5) £ Z,21-^ — /oo, -=- + /оо). Но тогда функция
ф (1 _ S) О (1 — 5) = siп яр (|i — 5) Г (5) О (1 — 5)
принадлежит тому же классу, причем в силу двойственности пары
функций — g[—) и 0(1—5) и леммы 2.4 двойственны также и
ФУНКЦИИ ф(1 + л-^-){^(^-)} И Ф(1 -5)0(1-5).

116 ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССАХ Ц [ГЛ. II
Из этого замечания, согласно (4.73), получаем формулу
/м_ф(,+^){±,(±)}.
Из доказанной теоремы вытекает
Теорема 2.14. Преобразование Лапласа
+ оо
£•(*)= J e~xuf(u)du, (4.74)
о
где f(u)£L2(0* +°°)» определяет функцию g(x)£L^(О, + оо),
где Ф(5)=1/Г(5). Обращением (4.74) служит формула
/W_[r(. + ,£)]-{l,(l)}. <4.75>
В самом деле, достаточно заметить, что при р = [г = 1 имеем
Еу(г. \) = ег и 0(s) = sinnsr(\-s) = Y^.
(в) Укажем еще одну формулу обращения для преобразования
Лапласа.
Теорема 2.14'. Преобразование (4.74) обращается формулой
+ оо
/(*)=« ЛГ J » smY[-uw)g(u)du, (4.76)
О
а обращением (4.76) служит (4.74).
В самом деле, так как
I . я /1 . .Л| ( сЬяМТ ^ 1
1 £|/|
по лемме z.d (2°) sin-Js£<^.
Положив, далее,
К (s) = Г (5), tf(s)=|l>)sinf s,
легко убеждаемся, что пары функций , и ~~е—, 1 ^ и
9 1 COS X Х —5
двойственны по Меллину.
Очевидно, наконец, что четверка функций (4.77) удовлетворяет
всем условиям теоремы 2.6 и, более того, условию (4.2"). Ввиду
этого теорема 2.14' следует из теоремы 2.6.

Г Л А В А III
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
Функцией типа Миттаг-Леффлера мы называем целую функцию,
определяемую степенным рядом
00 k
*p(r.l»-S Г(ц + »-') (Р>°>'
где \i — произвольный, вообще говоря, комплексный параметр.
Функция Ер (г; ц) обладает рядом важных свойств, среди которых особое
место занимает ее замечательное асимптотическое поведение при больших
по модулю значениях z в комплексной плоскости. В данной главе изучаются
эти свойства функции £р (г; ц), которые будут затем систематически
применяться в этой и в ряде последующих глав.
В § 1 приводится сводка ряда тождеств и соотношений, которым
удовлетворяет функция Ер (z\ \i).
В § 2 устанавливаются весьма существенные для всего дальнейшего
интегральные представления и асимптотические формулы для функции Ер (z\ \i),
характеризующие ее поведение в различных частях плоскости z.
Далее, в § 3 на основе асимптотических свойств функции £р (z\ \i)
вычисляется ее преобразование типа Лапласа и описывается полная область
его существования. Это преобразование дает интегральное представление
для простейшей, но важной в теории приближений функции — ядра Коши.
На этом представлении ядра Коши основан излагаемый нами далее метод
Миттаг-Леффлера суммирования расходящихся рядов, а также другие
результаты, которые приводятся в конце параграфа.
Наконец, в § 4 дается другое применение функции Ер (z; \i) — построение
преобразования типа Фурье для системы лучей, исходящих из одной точки
комплексной плоскости, и доказательство основной теоремы об обычной
сходимости соответствующей интегральной формулы обращения.
§ 1. Элементарная теория функций
типа Миттаг-Леффлера
1.1. (а) Функция типа Миттаг-Леффлера
00 k
£р(*;ц) = 2 Г(ц + *р-)<Р>°) <1Л>

118 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ш
является целой функцией порядка р и типа *) 1 при произвольном
значении параметра \i.
Следующая группа формул непосредственно вытекает из самого
определения (1.1) функции Ep(z; ц):
.£,(*; \)=-ег, Е,(*; 2) = ■£=!, (1.2)
E,/a(z; l) = ch/J. ЕЧг(г;2) = ?Щ-, (1.3)
Ep(z; ц)=_|_. + лг£р(г; !* + £). (1-4)
Ер(г; ц) = |гЯр(г; ц+0 + f 4 (*: И + 0. (1-6)
(-^)"V-%(*1/P; ц)] = ^-"'-1£р(г1/Р; ц-|»)_ (»>1). (1.6)
(б) Остановимся на некоторых следствиях формулы (1.6).
Полагая в (1.6)
получаем
= z^Enlm{z"4"; ц) + г1»-»2 / "д х (и. я>1). (1.7)
*-1 Г(ц- —*J
Заметив далее, что
= 0 (s = 0, 1. 2, ...),
Г(-5)
из (1.7) при я=1 имеем для любого ц = 0, 1 т
(i)'V-1£i/m(2'n; n)] = ^-1E1/m(zm; ц) (т>1). (1.8)
Из (1.7), заменяя переменное z на г"/т, получаем также
\TZ ~dl} \-z Emm{z; |i)J =
^1»-»)■=■» ,_. ... , >-!)-=-V
«£„,„,(*; ц) + г " V. * (т.я=1,2. ...).
(1.9)
*) Доказательство этого утверждения, а также краткое изложение
известных предложений о порядке и типе целых функций даны в § 1 гл. VI.

§ 1]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
119
Полагая здесь от = 1, заключаем, что функция 2№-1)*Еп(г\ \i)
удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению первого
порядка:
Lj^[z(n-DnEn(z. V)] — z»-4*»-1)"En(z; ц)] =
Йг(ц-А)
Интегрируя уравнение (1.10), получаем формулу
£„ (г; и) = *»-»*> V { г»-1) VгоЛ£п (Zo: ц) +
(1.10)
+•/--2^
W-4)
•t^-1 Irft
(д>1), (1.11)
справедливую при любом ^гг0 Ф 0.
Если |х= 1, то в тождестве (1.11) можно положить также z0 = 0,
в результате чего получаем формулу
г
E„(z; 1) = е* \
'+»M"s^
о \k = \T
Из (1.12), в частности, следует, что
ш
\dx
Е2{г; \) = е
гЧ
1
Г
e-^dx
(«>2). (1.12)
(1.12')
m-1
откуда вытекает асимптотическая формула
E2(z; \)~2e*\ |argz|<~, |*|->оо.
(в) Легко убедиться в том, что *)
т при &==0 (mod m),
h=o [ 0 при /г ф 0 (mod m).
Отсюда, имея в виду определение (1.1) функции EQ(z; ji), получаем
тождество
m-1 / 2л/г \
2EpU* т ; [if = mEp/m(zm; ii) (ш>1). (1.13)
ei2nhk/m ___
*) Запись £ s= / (mod/?), где Л, / и /?—- целые числа, означает, что k — l
делится без остатка на р.

120 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Заменяя здесь р через тр и z через zl/mt приходим, к тождеству
Ер{г\ \1) = -^2иЕтМ/те т s \i) (»>1). (1.130
А-0
Аналогичным образом с помощью формулы
5 = 0 (mod 2m -+-1).
2» f 2m+ 1 при As = 0
;=-m I 0 При k ф 0
получается тождехтво
т
£р^; ^ = -2^fT 2 £(2m+i)pU1/(2m+1)^ 2*+1;nj (m>0). (1.14)
(г) Интегрируя почленно разложение (1.1), получаем формулу
г
J* Ep(XtVp; ц)/*-1 Л = z»Ep(Xzl/p; ц+ l) (ц > 0). (1.15)
о
а также более общее соотношение
= ^+а-1£р(Я,2;1/Р; Ц + а) (|и > 0, а>0); (1.16)
Г
6
здесь подразумевается, что интегрирование совершается вдоль
отрезка, соединяющего точки 0 и г.
Из формулы (1.16) в силу (1.2) и (1.3), в частности, получаем
^-\{z — tt-xl*dt = #E№\v+Y) (|i>0). (1.17)
о
г
_*__ J (z _ tf -1 ch Ylt dt = г*Еч% (Я,*2; |i + 1) (|i > 0), (1.18)
о
г
_l_ j(z_tr-tsi^Ldt^z^E,h(lz*-, »+2) ((A>0). (1.19)

§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ 121
Докажем далее тождество
Sli-l£p(sW; fl)==^-l^p/2(z2/p. |1) +
г 1
+ т^гТу/(^-0^'"Ч/2(^2/Р; Ю^"1^ 0i>0). (1.20)
о
С этой целью заметим сначала, что
о
/f=0 О
2* + 1
оо rt., оо —■
~* -J га+ц + гАр-')"1"* £ Г(1+ц + (2*+1)р-') —
/f=0 ft«0
г(1+м + ^-)==^(г1/Р:^+1)-
Г(1 +
ft=o
Отсюда, согласно (1.15), получаем
г
= Гбр(/,/р; ц)^"1^ (ц>0).
О
Дифференцируй полученную формулу по z, приходим к (1.20).
(д) Докажем формулу
JV-i£p(^i/p; а)(1-х)*-%(к*(1-х)1,р; p)rf*=*
о
,^0^.+»-Л»(УП-;.+>>^, (а>0,р>0), (1.21)
где К и X* (Л =£>.*)— любые комплексные параметры.

122 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Действительно, пользуясь разложением (1.1), для любых X и
А,* (А,* ф X) при а > 0 и р > О находим
i
о
2u Г(а + /ф-*)Г(Р + мр-') J X9 <Z-*)P dx =
л = 0 m=0 0
VX*m/ p «a+B-l V V Knl*k-nlk/C
_V V Ш l _ia+P-«V V
"~ Li Li Г(а + р + (п + т)р-') "~ ^ ^J
n „ пь Г(а+р + *р-') —
/j=0 m=0 я=0 k = n
_ л+p-i v A*fe/fe/p V (AV ~ ^a+p~1 v g*/pd*+1 — a**+1)
— Jj Г(а + р + *р-*)^ U*J ~ ^-Я* Jj r(a + p + /fep-i) '
k=0 /1=0 Jfe=0
Отсюда в силу (1.1) получаем (1.21).
(е) Установим, наконец, две интегральные формулы
+оо
j e-'E^zt1*; ц)^-1Л = т-17 (ц>0. |*|<1). (1.22)
о
)г***Е9№ v)f-ldt = V^Bb(xl»i Ц±) 0х>0, х>0).
(1.23)
Заметим сначала, что сходимость этих интегралов легко следует
из того, что для любого a > 1 при больших по модулю z функция
£р(21 V) растет не быстрее, чем exp {a|2|p}.
Если |z| < 1, то разложение
k = 0
как нетрудно убедиться, можно почленно интегрировать по t вдоль
всего промежутка (0, +оо). В результате этого получаем
формулу (1.22).
Точно так же можно убедиться в том, что при любом
фиксированном х > 0 разложение
,-"«'БД<'»-. „ ,>-' = j Т^^ .-*. (, > о,
й = 0

§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ 123
можно почленно интегрировать вдоль промежутка (0, +оо). Таким
образом получаем
о л=о
откуда в силу формулы Лагранжа *)
Г(5)Г(5 + 1) = /я21-2Т(25)
приходим к (1.23).
1.2. (а) К функции EAz\ —J мы приходим естественным
образом при решении одного специального интегрального уравнения типа
Вольтерра.
Теорема 3.1. Пусть функция f(x) принадлежит классу Lx(0, /).
Тогда интегральное уравнение
х г
в(*) = /(*)+_^ j(x-ty~la(t)dt, *6(0, /), (1.24)
о
где р>0, а А,— произвольный комплексный параметр, имеет
единственное решение
х г
«(*) = /(*) + */(* —')" % (я, (х - о,/р; £) / (0 dt, * £ (О, /),
(1.25)
принадлежащее классу Ьг(0, /).
Доказательство. Покажем сначала, что любое решение и(х) £
£Ьг(0, I) интегрального уравнения (1.24) почти всюду на (0, I)
представимо в виде (1.25).
В самом деле, если u(x)£Lx(0, l) является решением
уравнения (1.24), то из (1.24) имеем
х х
\ [и (0 - / (01 (х - ty~ \ (Х (х - /)1/р; |) dt =
о
х ( ' 1 1 1
^тФ1) J J ('-«"^(^«i Hx-l)»~lE9(*.ix-t)1*; j)dt =
* * i i
= ТТ?Ч J « Pi) «i J (* - ')"' С - 'i)p" 4 (* (* - 01/p; j) dt.
о ^i
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. II.

124 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. II!
Между тем, согласно формуле (1.15),
* 1 1
_J_ j (x _ t)"l (t- t^~ % (к (x - 01/p; |) dt =
о
—-i /
= (*-^)p~ Ер{Х(х-^)1,р; |). (1.26)
Воспользовавшись теперь тождеством (1.4), согласно которому
получаем (1.27)
* 1
\ [и (О - / (01 (х - tjT 1Ер (к (х - 01/р; j) dt =
о
С --1
= k)(x-W~lE9(Hx-t№ f)"('i)^i =
о
х г
= J (* -1{)" X{Ep(l(x- ttf*; 1) - ^^ } и (*,) dtl% x£ (0, /).
0 (1.28)
Из (1.28) и (1.24) следует, что в классе Lx(0, l) имеется не более
одного решения и(х), причем это решение представимо
формулой (1.25).
Установим теперь, что функция и(х)£Ьг(0, /), определяемая
формулой (1.25), является решением уравнения (1.24).
С этой целью вычислим интеграл
* 1
J(*-0"'{«(0-/(0) <«-
0
■* 1 * 1
= к J (х - 0 р "' dt j* (t - tJT lEp (к (t - tfQ; |) / (tx) dtx =
о о
x x j г
= ^ J / Pi) «i J" (* - 'i)?~ '(' - *i)7" % (k (t - ^)1/P; j) dt =
о *,
x x-U j j
= * J/Ci)«i J (* — 'i — «)*" ^p (^«1/p; j) "*~lrf«. * 6(°> 0.

§ I] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ 125
Принимая во внимание равенство (1.26), отсюда заключаем, что
х 1
—by j(x-t)T'l{u(t)-f(t)}dt =
= Х2 j(х - tx)T'lEQ(%(x — tOl/Ql j)f(ti)dtx. x£(0t /),
о
и, наконец, ввиду (1.27) получаем
x .
х l
= lj(x-t)~1Ep(l(x-t)1/p; j)f(t)dt, ж 6 (0.0.
о
Из этой формулы следует требуемое утверждение, и тем самым
доказательство теоремы полностью закончено.
(б) Заметим, что теорему 3.1 можно доказать также путем
непосредственного применения теории интегральных уравнений Вольтерра *).
В самом деле, обозначая
I
-L-i
| 0, *<*</,
и определяя далее последовательность ядер (Кп (х, *)}i° посредством
рекуррентных соотношений х
Kn+i(x,t)= J Кп(х, ti)Ki(ti, t)dtu
с помощью индукции по п получаем
*я+, <*,*)«
/i+i
I* Я P _!, ; о</<*</,
Г(р"1 + /гр-1)
0, х < t < I.
Отсюда для резольвенты уравнения (1.24) имеем формулу
R(xttt Я)= %ЬпКп+1(х, 0 =
я = 0
(х-
-0Р £р[м*-')1/р; j], o<t<x<i, (129)
0, x<t<L
*) См., например, Ф. Трикоми [1].

126 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Так как решение уравнения (1.24) представляется в виде
X
»(*)«/(л-) + * J R(x, U Я)/(О Л. *£(0, О,
о
из (1.29) для решения и (х) снова получаем представление (1.25).
(в) Укажем одно простейшее применение теоремы 3.1.
Именно, полагая в формуле (1.20) z = х > 0, будем рассматривать ее
в качестве интегрального уравнения вида (1.24), где
/ (х) = х»-гЕр (х1/Р; |х), X = - 1.
«М = /-1£р/2(Л ji).
Тогда в силу формулы (1.25) для решения и(х) получаем представление
х»-1Е^Ь й = #-%(х11*\ ц)-
х 1
- J (х- о~' £р('1/р; м) 'Ц"Ч[- С*- ')1/р; }] л. (1.зо)
о
§ 2. Интегральные представления
и асимптотические формулы для функции Ер (z; \i)
В этом параграфе исследуются весьма существенные для
приложений асимптотические свойства функций типа Миттаг-Леффлера£р(,г; \х).
С помощью интегральных представлений здесь будут установлены
асимптотические формулы для функции Ep(z; \x) и для ее нулей.
2.1. (а) Обозначим через у(г\ а) (е > 0, 0 < а<!я) контур,
пробегаемый в направлении неубывания arg£ и состоящий из следующих
частей:
1) луч arg£ = — а, |£|>е;
2) дуга —a<[arg£><а окружности |£| =е;
3) луч arg£ = a, |£|>е.
В случае 0<а<я контур у (г; а) разбивает плоскость £ на две
бесконечные компоненты — области 0(_)(е; а) и 0(f)(e; а), лежащие
соответственно слева и справа от Y (е; «)• В случае a = я контур у (е; я),
состоящий из окружности |£|==е и из дважды пробегаемого
луча —оо<£<^—е, также разбивает всю плоскость £ на
компоненты, одна из которых 0(_)(е; я) представляет собой круг |£| < е,
а другая 0(+)(е; я) — неограниченную область {£; |arg£| < я, |£|>е}.
Лемма 3.2. Г. Пусть р>-о" и Iх—любое комплексное число.
Тогда при произвольном р > 0 и р, удовлетворяющем условию
^-<р<тт{я, f], (2.1)

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 127
имеют место следующие интегральные представления: если
z£G(_)(e; p). то
Ер(г; «НйГ J 4^U; (2.2)
Y(e;P)
если z£G{+)(e\ p), то
Ep(z; Ji) = p^P(i-^P + ^r J* l^lUdj;. (2.3)
Y (е; Р)
2°. Пусть Р = -9" # Reji>0. Тогда для любого е>0 имеют
место следующие представления: если z£G'~)(e; я), то
*%<*»=тйг J с-« rf£; (2-4)
Y (е; л)
ш« 2£G(+)(e; я), то
£,„(г;»_ ■ >-уч^ j ^:-* (,5)
Y (е; я)
Доказательство. Для любого комплексного s имеет место
следующее интегральное представление Ханкеля *) для гамма-функции:
1
Г (s) 2я/
Y(e;a)
k J Л-'Л' (2-6)
где е и a — произвольные вещественные числа такие, что е > 0 и
Отметим, что при Re$>0 в формуле (2.6) можно положить
2
также а = -~-. Поэтому справедливо соотношение
Ш = Ш J «■"-'"« ««>«). (2-6')
V (е: f)
Воспользуемся формулами (2.6) и (2.6') в несколько
видоизмененном виде. Сначала преобразуем интеграл (2.6). Произведем замену
переменной н=£р(р>-у); при этом в случае -у<р<^1
ограничимся рассмотрением таких контуров у (г; а), для которых а лежит
•) См., например, А. И. Маркушевич [1], стр. 547*

12В ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
в промежутке 1-^-; лр). В результате такой замены в силу
произвольности е > О при любом Р > y и 9~"<Р^ min \ л, — >
получаем представление
1 _ Р
j el\-9S+9'ldl (27)
Г (s) 2я/
Аналогично путем замены переменной и = $2 в интеграле (2.6')
получаем формулу
S + 1
^ j *\~ 2 dl (Res>0). (2.70
Г (5) 4я/
Y (е; я)
1°. Положим сначала \г\ <е. Тогда, очевидно,
sup |^Г1|<1. (2.8)
t€Y(e;P)
В соответствии с определением (1.1) функции Ер (z\ ц), применяя
интегральную формулу (2.7), в силу (2.8) при любом р > -^ и \z\ < e
получаем
Af=0 Ц(е;Р) J
Y(e;P) I *=0 J Y (e; P)
Заметим теперь, что в силу условия (2.1) последний интеграл
абсолютно сходится и представляет собой функцию от z,
аналитическую в каждой из областей 0(-)(е; р) и 0(+)(е; р). С другой
стороны, очевидно, что круг \z\ <e содержится в области О^^е; р)
для всех значений р из промежутка (-5-, гшп<л, — })•
Следовательно, по принципу аналитического продолжения, представление (2.2)
имеет место всюду в области 0(-)(е; р).
Предположим теперь, что точка z лежит справа от контура у(е\ р),
т. е. г£0(+)(е;.р). Тогда для любого гг > \z\, очевидно, z£G{~](tx\ p),

§ 21 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 129
а потому по формуле (2.2) мы имеем представление
о Г Лр ^"^
2ш J
Y (8i; P)
С другой стороны, по теореме Коши, если е < \z\ < гъ |arg z| <p,
то справедлива формула
е *__z— dl = p*pV-^ezP. (2.9)
Y(ei:3)-Y(e;P)
Из (2.20 и (2.9) немедленно получается представление (2.3)
функции Ep(z; \x) в области G(+)(e; P).
2°. Для вывода требуемых интегральных представлений (2.4) и
(2.5) поступаем аналогично случаю р>у. Разница состоит лишь
в том, что вместо формулы (2.7) следует пользоваться формулой Хан-
келя (2.70- Поступая таким образом, мы получаем представление (2.4),
причем интеграл в правой части этого равенства сходится при Re \x > О
и абсолютно сходится при Refx>l. Замечая, наконец, что
формула (2.9) справедлива при р = -к, р = я, мы получаем
представление (2.5) из равенства (2.4). Лемма доказана.
Отметим попутно, что интегральные равенства (2.2) и (2.4)
применимы для представления функции Ep(z; \х) (р^-у) в любой точке z
комплексной плоскости. Для получения представлений с указанным
свойством достаточно ввести в рассмотрение контуры у(г\ Р) и у(е; я),
в которых параметр е>0 удовлетворяет условию е> \z\.
(б) Утверждение, аналогичное сделанному только что замечанию,
справедливо и в отношении формулы (2.5).
Лемма 3.3. Пусть параметр \i удовлетворяет условию
0<Rejx<3. (2.10)
Тогда для функции Ei/t(z; \i) имеют место следующие
представления:
1°. Если |argz| < я, то
i .Tf-V.
+
2я J t + z l al-
9 М. М. Джрбашян

130 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
2°. Если 0<!аг£,г<я или —rt<argz<!0, то
соответственно *)
Щг (*; v) = \ *Т(1"^ Wh + *т'яv-^e-*4*) +
о
3°. Ясли 0<^argz<;rt или —n^SLtgz<!0, mo
соответственно
Ei/a {z\ \x) = ±zT (1"Ц) {e*Vf + ет<я d-^e-*71} +
0
Доказательство. При Re \x > 0, когда z принадлежит области
G(+)(e; л) = {-г; |argz| < я, e < |z| < + oo},
мы получили для функции Ey2(z\ \х) представление (2.5). Если, кроме
того, Re[x<3, то можно совершить предельный переход в (2.5)
при е-^0. В результате получаем формулу
fi/.(^; Ю = 4гТ(1"^Л + Т5Г J C=7—«. (2.14)
Y (0, Я)
справедливую при |argz| < я.
Интеграл в правой части (2.14) представляет собой интеграл по
контуру ^(0. я), иначе говоря, по двойной полуоси (—оо, 0].
Представляя этот интеграл в виде суммы двух интегралов от 0 до
+ оо, мы получаем представление (2.11).
2°. Докажем сначала, что при |arg£| < я справедливо тождество
1 г -сЧт*1"^
0ssgT*-»e-» + 4r J e-T=T-^ (2-15)
\> Ю- тП
*) В формулах (2.12) и (2.13) верхние или нижние знаки берутся
соответственно при 0 < arg z < я или — я < arg z < 0. Аналогичная запись
применяется и в последующих формулах.

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 131
Обозначим через yR (е; л) (0 < е < /?) часть контура у (е; л),
лежащую в круге |£| </?. Тогда по теореме Коши имеем
2я/
J с-« * +
yR (e; я)
rV2 -о-*1-*1) 1
1 Г <?-tV
ltl-я
если e < 12:1 < /? и | arg z | < л.
Фиксируем z% удовлетворяющее этим условиям, и перейдем к
пределу в последнем тождестве при е—>0. Тогда ввиду того, что
Re \x < 3, получаем
1 Г е-&*г2
Y^CO, Я)
~Ш J Г=Гг ^ = -^2 ^ ' (2.16)
is 1-я
Далее, имеем оценку
I U-*
4-4-ReH *
J С--? «С < Я—|*l J e 2
1-Я -я
dq><
т-т*'» ?
2R2 2 Г -/?«/ajL 2яУ? _J_Reu
< /?—м J « л^/ф< /г—|г| R 2
Поэтому, переходя к пределу в (2.16) при /?-> + оо, получаем
тождество (2.15).
В предположении, что z Ф 0 и |аг£г|<л, тождество (2.15)
можно переписать в виде
+ i J i г+т (2 *'■ (2Л5')
о
9*

132 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Умножим тождество (2.15') на _0-*л(1-м-) ПрИ 0<^arg 2 < л и
на -~- e^^-v) при —tt<arg2<;0, после чего результат умножения
сложим с формулой (2.11). Как нетрудно убедиться, в итоге мы
получаем формулы (2.12).
3°. Рассмотрим функцию
J Vw ±
w -j- z
(1'Ц) (2.17)
в области O^argw^-к- при фиксированном z, удовлетворяющем
условию 0 <^ arg г < я. Имеется в виду та ветвь этой многозначной
функции, которая на полуоси 0 < и < -j- oo плоскости w = u-\-iv
принимает значения
о! V? ±
(1-и)
U-\- Z
Обозначим через /(е; R) (0 < е </?) пробегаемый в
положительном направлении контур, состоящий из отрезка (//?, /е), дуги
окружности Се = \ w\ 0 << arg w < -5., |^ | = е >, отрезка [е; /?] и дуги
окружности CR = <w\ 0 <! arg w <; у, | до | = /?i.
Легко видеть, что при любом фиксированном z, удовлетворяющем
условиям
2=^0, 0 < arg г < я, (2.18)
функция (2.17) голоморфна в области 0 <; arg w <; -к . Поэтому для
любого такого 2 и для любых 0<е</?< + со имеем
j
/Vw l/i_
w -\-z
I (ej Я)
то есть
r .__ 1 (1_ц) 4а-^)
I ^r— + I
w ,
■ dw
■to'T^f/ ". ^ dv+ J^_ d„=0. (2.19)

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 133
J
Если /?>|z|, то мы имеем оценку
- aw
w -\-z
2 2 Ke ^ « • - -
<«^JJ_r.f'-'J.-v»«.4<(r<
о
Переходя в тождестве (2.19) к пределу сначала при е-^-0, а затем
при /?->-f-oo, в силу (2.10) и (2.20) получаем тождество
Г Л Уи 2 (1 М i £(1.ц) /• V2 f. 2 (1 ^
* ^ rf« = te 4( П) \ - ^ dv, (2.21)
о о
справедливое при условии (2.18).
Интеграл, стоящий в правой части (2.21), существует также
при argz=--tt. Следовательно, формула (2.21) справедлива при
любом z таком, что z=£0, O^argz^rc.
Переходя в обеих частях тождества (2.21) к сопряженным
величинам, получаем, что при условии z=£0, —n^argz^O имеет
место тождество
I JT+i du = -te "( "'J* _ " dv. (2.21')
о о
Наконец, формулы (2.13) выводятся из (2.12), если
воспользоваться тождествами (2.21) и (2.21').
2.2. Перейдем к установлению асимптотических свойств функции
E0(z, }i) при больших по модулю значениях аргумента z.
(а) Лемма 3.4. Пусть р > -^ , \х — произвольное комплексное
число и а — любое вещественное число, удовлетворяющее
условию
^<a<min{n, i}. (2.22)
Тогда для любого целого р J> 1 при |г|->оо справедливы
асимптотические формулы:

134 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Г. При |arg2|<a
Ep(z; |i)-=p*pp-rt/-S _^_^ + 0(|*|-1-'). (2.23)
2°. При a<|argz|<n
Ep(z; v) = -fiJ^-^+0(\zr1-'>). (2.24)
Доказательство. 1°. Выбираем число р так, чтобы
^<а<р<тш{я.-5-}. (2.220
Воспользуемся теперь формулой (2.3) леммы 3.2. В этой
формуле положим е = 1 и подставим в нее разложение
T^=-2V+7^bj- (p>1)- (2-25)
Тогда справа от контура у(\; р) [т. е. в области G(+)(l; p)] для
функции Ep(z; \i) получаем представление
*=i \ v(i;P) '
V (1; Э)
Согласно формуле Ханкеля (2.7) имеем
р г .cfro-^-ig 1 (А>1)
2jt'v(itP) r(|i-*p }
Отсюда и из (2.26) в силу условия (2.22') получаем
+i£^ J "H^—* (ia^0i<a- i^i>1)- (2-2б,>
Yd;P)
Обозначим далее последнее слагаемое формулы (2.260 через Ip(z)
и оценим его при больших |г|, предполагая, что |argz|^a.

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 135
Заметим сначала, что, когда |argz|<^a и \z\ достаточно велико,
min |С — г\ = | ^г I sin О — а).
С € Y (1; Р)
Поэтому для больших \z\ при |argz|^a имеем оценку
IV*)l<W^& J \П**-»*'\\Ь\. (2-27)
V (1; Р)
причем интеграл справа сходится, так как на лучах arg£ = ± р
(|£|^1), входящих в состав контура у(\; р), имеем равенство
|^P| = exp{cosPp|£|p},
причем, согласно условию (2.22'), cospp<0. Асимптотическая
формула (2.23) следует теперь из (2.26') в силу оценки (2.27).
2°. Выбираем число р так, чтобы
^<p<a<min{n. -£}. (2.28)
Далее воспользуемся формулой (2.2) леммы 3.2, положив в этой
формуле е=1 и заменив вновь ядро Коши его разложением (2.25).
Тогда для функции EQ(z; \i) слева от контура у О'» Р) tT- e- B
области G("~'(l; р)] получаем представление
Если a<^|argz|^tt, то при достаточно большом \z\, согласно
(2.28), имеем
min 1С — г|=Ы sin (a— P).
C€v(i; P)
Далее, из (2.28) следует, что область а^|аг£2|^я содержится
в области 0(-)(1; Р), а в G(_)(l; p), как было уже установлено,
имеет место представление (2.29). Поэтому, если \z\ достаточно
велико, то из (2.29), в частности, следует оценка
р
£Р(*'' »*)+ 2
<U г^-лр"1)
<
y (1; Р)
Из оценки (2.30) получаем формулу (2.24), и лемма полностью
доказана.

136 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
Из леммы непосредственно вытекает
Следствие. Пусть р > -^ , р, — вещественная постоянная и
а — фиксированное число из интервала i-^- , min<jr, ""[)• Тогда
справедливы следующие оценки:
Г. Если |argz|<!a и |г|>0, то
\Ep(z; ^^M.d^-lzir^e^^ + Г^Гг (2.31)
2°. Если a^\siTgz\^.n и |г|!>0, то
1£р(*; и)1<гт17Г <2-32)
где Мх и М2 — постоянные, не зависящие от г.
(б) Перейдем к установлению асимптотических формул для
функции типа Миттаг-Леффлера в случае р = -^-»
Лемма 3.5. Если 0<Rep,<3, то для любого целого р^\
при |z|->oo справедливы асимптотические формулы:
Г. При 0<larg z^n или—jr<!argz<;0 соответственно
имеем
£■/,(*; Ю = 4^т(1"ц)И2 + ^/л(1-^^-2,/2}-
2°. При 0<лг<-|-оо имеем
ЕгЬ (- х; ц) = *"*" (1"W cos (/ж + -jL (1 - |i)) -
Доказательство. 1°. В формулы (2.13) леммы 3.3 соответственно
подставляем значения
(р>1).
1
± ш -|"2
Замечая при этом,
+°°
^L—^—
л=1
что
I (*iv)p
(±iv + z)zt>
+ / Л- Г2*
sin щ Г (|я — 2&) v ^ '*
о
I

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 137
отсюда получаем представления (соответственно для O^argz^n
или — л <; arg z <С 0)
(|i-2ft)
Ч-оо — Vw ■"-(1-W + /'
(2.35)
Из этих тождеств сразу же выводятся формулы (2.33) леммы, если
заметить еще, что при O^argz-^n или —n^argz^O
соответственно справедливы оценки
+оо —— У v — (1-|х)+р
-I/ ~ -.(i-Ren)+p
о
2°. Формула (2.34) непосредственно следует из формул (2.33),
если положить там z = — х (0<лг< + оо).
(в) Перейдем, наконец, к установлению асимптотической формулы
для Ep(z; \x) в случае, когда 0<р<-2*.
Лемма З.б. Если 0 <р^-^-, то для любого целого /? ^> 1 при
|z|->oo справедлива асимптотическая формула
\&rgz+2nn\ <—■
где в первой сумме суммирование распространяется на те
я
2р"
значения /г = 0, ±1, ± 2, . . ., для которых |argz-(-2я/г|<!
Доказательство. Выше [1.1 (в)] мы отметили тождество
Ер& &= ШТТ 5 £<2m+i)PU2m+1''2m+1;n] («>0). (2.37)
я=« —га
справедливое при любых р > 0 и m ^> 0. Полагая теперь, что 0 <
<р ^-о"» выбираем целое число т^>\ так, чтобы р1==(2т+1)р > у
Тогда ко всем слагаемым суммы (2.37) можно применить
асимптотические формулы леммы 3.4.

138 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Пусть а — любое число из интервала -^—< а < min < я, >,
р1 = (2т+1)р. Тогда, согласно асимптотическим формулам (2.23)
и (2.24) леммы 3.4, пользуясь тождеством (2.37), для любого целого
q ^1 получаем
т
— 2т+ 1 2j
k 2nkn
I*-1 Г1Ц"(2т + 1)р]
(2.38)
В этой формуле для каждого данного фиксированного z
суммирование в 2' распространяется на те значения я = 0, ±1, ±2
для которых
2лп
lz2m + l У 2т + 1
I arg \г"
<а,
иначе говоря, на те значения п% для которых | arg z-{-2nn | <; (2m-f-1) а.
Заметим теперь следующее. Пусть фиксировано некоторое z.
Тогда, если а' > у и разность а' — у достаточно мала, то
неравенства |argz + 2я/г|<!у- и |argz-+-2ял|<^а' будут выполняться
на одном и том же множестве целых чисел {/г}.
Так как число (2т + 1)а>-н- можно взять произвольно близким
к я/2р, из этого замечания следует, что формулу (2.38) можно
записать в виде
Ер (*; |х) = р 2 (е1***гР)1~* ее12ярПгР -
|аггг+2ял|<-~
В этой формуле q ^ 1 было произвольным натуральным числом;
теперь для данного р > 1 положим q = (2т -\- 1) (р-{- 1)—1. Тогда
утверждение леммы, т. е. формула (2.36), следует из (2.38'), если
принять во внимание, что
е
п » - т
i ™п (2m + \t ft = 0(mod(2/?t + l)),
= 0, kzj=0(mod(2m-\-l)).

§ 2) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 139
Заметим, наконец, что при р=-^- из формулы (2.36) снова
вытекают утверждения леммы 3.5, но уже без каких-либо
ограничений на параметр \х.
2.3. В заключение займемся вопросом о распределении нулей
функции £р (г; ц) при р >-^-, причем случаи р = -^-ир>-^-мы рассмотрим
отдельно.
(а) Очевидно, что функция Ех, (г; \х) имеет счетное множество нулей •).
Пусть {y*}i° — последовательность нулей функции £уа (г; |х),
пронумерованных в порядке возрастания чисел |Уь|» ПРИ 9Т0М каждый нуль записывается
столько раз, какова его кратность.
Заметим сначала, что нули функции Ех, (z\ 1) = ch Yz являются ПР°*
стыми и расположены в точках —(-п" + 2я£) (£=0, ±1, ±2, ...). Поэтому
у2Л = -(2я*-~)2 (к =1,2,...),
откуда следует, что при k -> оо
Y,—(„*)«(! +О (i)).
Что касается распределения нулей функции Ех, (z\ ц), то имеет место
Лемма 3.7. Пусть 0 < ц < 3. Тогда:
1°. Все нули yk с достаточно большим модулем простые и лежат
на полуоси (—оо, 0].
2°. Справедлива асимптотическая формула
Y^ = -(n*)2(l+0(l)). (2.39)
Доказательство. Согласно асимптотической формуле (2.33) леммы 3.5,
при 0 <; arg г < я или — я •< arg z <; 0 соответственно имеем
1) ( 3~*М
" Еч% (г; ц) = ch |>±/ J (1 - ц)] + О [ж 2 J . (2.33')
Обозначим теперь через D0 (a > 0) область, ограниченную параболой
л*1/* cos —- = о (| ф | < я) и содержащую полуось (—оо, 0]. Очевидно, что
Rez'/2<(J, z^Wai
Rezb^o, z£CTa,
где Ga — область, дополнительная к Da.
9 г г1
*) Как функция нецелого порядка р = -~-

140 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
Заметим далее, что при z^Ga
|ch[^±/i(l-^)]|>l(^-^-^) = sha>0.
Вместе с тем слагаемое О \г 2 / в формуле (2.33') при | г | -> со
стремится к нулю в силу условия |х < 3.
Из сказанного следует, что все достаточно большие по модулю нули
функции Еу2 (z\ \x) должны принадлежать области D0.
Убедимся теперь, что функция £,, (г; \х) на полуоси (—оо, 0] имеет
в точности счетное множество нулей.
С этой целью отметим, что из (2.33') следует формула
г2 Ц El/2(-.r,») = cos{V7 + ^(l-iL)}+o[r~ 2 J,
(2.40)
где 0 < г < -f- оо.
Отметим далее, что функция
4-(и-1)
г2 £I/f(—r;|i) (0<r<+oo)
принимает вещественные значения, а функция cos < УТ + -о" (1 — И-) f
обращается в нуль в точках
Из сказанного следует, что функция £,^ (— г; \i) имеет счетное
множество нулей гь (k > k0) и притом таких, что в достаточно малых
окрестностях точек nk + -^ (k > kQ) имеется лишь одна точка вида УТЦ + -о" (1 — Ю-
Следовательно, функция £,^ (<г; |х) имеет счетное множество нулей {— 0*}^°,
причем справедливо представление
у77 + у(1-**)== я*+ i + a* (Л>*0), (2.41)
где ал = О (1) при & -> со.
/ i£-3N
Подставляя значение (2.41) в (2.40), получаем а^ = О \rk 2 j. Однако
|^а*л r^nk, поэтому асимптотическую формулу (2.41) можно записать в виде
Vni + % (1-ц) = я*+-£+0(^-3) (ft>ft0). (2.41')
Отсюда для вещественных нулей функции Е,^ (г; ц) получаем представление
- г* — (я*)* (1 + О (-i) ) (ft > ft,). (2.42)

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 141
Покажем, что все эти нули — г#, начиная с некоторого номера &;>&!>• k0f
являются простыми. Для этого воспользуемся формулой (2.13) леммы 3.3,
согласно которой при г £ (0, -|- оо) имеем
- (1-
£Vi(-r; |i) = r2 ** cos[y7 + y(l-|i)] +
+ ' "ST" J ^=7 ^ <2-43>
Умножим обе части этого тождества на г и результат
продифференцируем по г. Так как интеграл в правой части (2.43) при r->-j-°° имеет
порядок 1/г, то его производная имеет порядок 1/г2. Таким образом,
-г2^ Ц1(-г;|х) + 1(|х-1)г 2 £Vi(-r;|i) =
==-Ir"^ sin [/Г + ^О-^+О^).
Полагая здесь r — r^ (k > &0), в силу (2.41) получаем
/f4 (- »•*•. Ю = "^ с*» aft + О (/£ "I.
Так как -^ —2 < —~-, из последнего равенства вытекает, что нули {—rk)
функции Ей (z; \х), начиная с некоторого kx ;> k0, являются простыми.
Для завершения доказательства утверждения 1° следует установить еще,
что множество всех достаточно больших по модулю нулей функции £,, (z; \x)
совпадает со множеством чисел {—rk)lk2> где k2^kx.
В самом деле, обозначим через D^' подобласть области DQt
определяемую неравенствами
[^-^(1-^)]2<|^|<[я(Л + 1)-|(1-[х)]2,
О < Re z1* < a.
Пусть lk (a) — граница области D^\ тогда легко убедиться в том, что
min |cos[V=TF+-£(l— |i)l I = m (a) > О,
где m (a) — постоянная, не зависящая от k.
Далее, из (2.33') следует, что при z£Da справедлива формула
(-zf^E^z; ,i)-cos[/=T + -5(l-|i)]*o(2r" Ч. (2.44)
Так как правая часть этого равенства стремится к нулю при <г->оо, то по
теореме Руше из (2.44) заключаем, что функция Ех, {z\ \к) при k > k2 > kx

142 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ш
имеет внутри области D^ столько же нулей, что и функция cos У— z -\-
-\-~(1 — \к)\, т. е. лишь один нуль. Но тогда этот нуль функции Ех, (z; \i)
должен совпадать с точкой — rk £ D^\ Тем самым утверждение 1° полностью
доказано.
Наконец, из утверждения 1° следует, что существует целое число Л^>1
такое, что yk —— ru-Ny ^>^ + ^2* ^3 9Т0Г0 соотношения и из (2.42)
вытекает асимптотическая формула (2.39).
(б) Перейдем к исследованию нулей функции £р (z\ \i) при р > —. Ниже
мы увидим, что функция £р (z\ \х) lp > -у) всегда имеет счетное множество
нулей, за исключением лишь случая р = [л = 1, когда Е^ (z\ \) = ег.
Из асимптотических формул (2.23) и (2.24) леммы 3.4 легко следует, что
все достаточно большие по модулю нули функции £р (z; \i) должны лежать
внутри угловых областей
^) = {,;|arg^|-|<6},
где б—любое число из промежутка^, min <-^—, я—у->). Поэтому
функция Ер (z\ \i) на вещественной оси может иметь лишь конечное число нулей.
Пронумеруем отдельно нули функции £р (z; \i), соответственно лежащие
в полуплоскостях
G(+) = {z\ Im z > 0} и Gl-)={z;lmz<0},
в порядке возрастания их модулей, считая кратные нули столько раз, какова
их кратность.
Итак, пусть
—указанные последовательности всех невещественных нулей функции £р (z; \i).
Заметим, что при вещественном \i в сопряженных точках zu z (Imz > 0)
функция Ер (z; \i) принимает сопряженные значения. Поэтому при
вещественном |i можно положить, что
YJT^Y^ (*«1. 2,...).
Докажем следующую лемму.
Лемма 3.8. 1°. Все достаточно большие по модулю нули функции
Бр(*; V) \где Р > -о"» Р=И=1; Im ja = 0J простые.
2°. Справедливы асимптотические формулы
Y^) = /^(2^)1/p{l + 0(i^)}i *->оо. (2.45)

•2]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
143
Доказательство. Согласно (2.23) при z£QJf\ \z |-> + °° имеем при
любом /?> 1
Введем следующие обозначения:
1+р(1—ц), ji^I,
2 + р(1—ц), ц = 1,
*p(*; т^) = *>*?'
Сц = <
Г 1
РГ(ц-р-')
1
1 рг(-р-')'
, 1
1
11 = — ,
р
(2.46)
(2.47)
Тогда при <г^й^+\ |z|->oo получаем
e9(z; T|l) + o(l) =
г2 1
(2.48)
Рассмотрим кривую
L0=U 1^/1 = 1^1). (2.49)
Полагая z — rel(^ £L0, запишем уравнение кривой L0 в виде
rp cos рф = — тц log г + log | с^ |. (2.49')
Отсюда следует, что L0 имеет две бесконечные ветви L^ и £о~\
соответственно принадлежащие угловым областям Q^ и Q^~K
Уравнения этих ветвей при г -> + оо можно записать следующим
образом:
Далее отметим, что для любого г = ге/(р имеем равенство
Arg^ ^ =^ф + г sin рф
и для z — rei{^ ^^±) из (2.49') соответственно имеем
rPslnp?=±{rP+0(i^)}.
Таким образом, для z = rel<f £L^ при r-> + oo
(2.51)
Arg z ^е ^ ± гр.
(2.52)

144 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Отсюда следует, что, например, на кривой LSq'* имеется счетное множество
точек Ад =:/*££ *(k=lt 2, ...)» Для которых
Arg %k»e k = тцФй + r% sin рФл = arg сц + 2ztk. (2.52')
Очевидно, что эти точки Kk суть все корни уравнения е9 (г\ Ту) = 0,
лежащие в полуплоскости G<+>.
Из (2.50) и (2.51) при £->-оо имеем
<Рк=:тР+-^Г+0Ьг1' (2,50)
rgsinP?ft = rP + o/-^-j. (2.51')
Ввиду (2.5Г) и (2.52') получаем при £->>оо
,г=2».+о(^).
т. е. г\ «** 2ztkt log rft ~ — log £. Поэтому при k ->oo
,,_<2„t)'»[i+o(Mi±)].
откуда следует, что
/ л 1
Л, = „А = /^(2я^[1 + 0(^)].
(2.53)
При достаточно больших z = г^'ф £ L^, согласно (2.52), Arg г ^ ^т .
Поэтому на кривой L^ между двумя последовательными нулями ЛлиЛ^+1
функции ер (z\ Ту) имеется точка vft = | vk | ^^фДг'^ ^о+) такая» что
ArgVffe * = 2ji£ + Ji+argCy.
Следовательно, в точке v#
*р (v*; V) = — Су — сц = — 2су.
Возьмем произвольное у > 0 и рассмотрим дугу lk окружности | z | = | v^ |,
лежащую между ветвями кривых
L<+> (± y) : гр cos РФ = - Ту log r + log | сц | ± у, (2.54)
расположенными в верхней полуплоскости.
Очевидно, что при достаточно больших г кривая Z,{>+) лежит внутри
криволинейной полосы, образованной кривыми L^+) (+ у) и ^+)(—Y)-

§ 21 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 145
Пусть точки | Vfc | е ф* и | v# | e ф* — соответственно начало и конец
дуги lk. Тогда имеем
| vA pcos рф^ — — т log | vife | + log | с | + у. /оссч
„ (^-55)
| v^ |p cos рФАг = V log | v^ | + log | c^ | — Y,
причем г = | v^ | е1ц> £ lk, если ф£ < ф < ф£.
Покажем теперь, что существует достаточно большой номер N0 такой,
что при z £ lk, k > N0
1'р(* ^)|>|c^|. (2.56)
В самом деле, во-первых, отметим, что, согласно (2.55),
I v, |p sin |- (Ф; + Ф*) sin | (Ф; - <р£) = у.
(2.57)
lim ф! = Hm w"b = _iL
/f^.oo * *->oo * 2р
откуда
lim | v* р sin -§■ (Ф; — ф^) = у (2-58)
/г->оо
х \Р
Далее, так как, по определению чисел v^, v^e * = — с при г =
= | va I et<v £ lk имеем
#p(r.v-iivti^]v;»*ip',w_ejl.
„^ {, + А С"»*); v.PU'»-.*»*)}. (2.59)
Теперь, используя формулу
*'W - ,'»* = _2 sin | (Ф + фА) sin | (Ф - Ф,) +
+ 2/ cos -| (ф + ФА) sin -| (ф — ф Д
в силу (2.57) и (2.58) заключаем, что
Hm sup|v,|p|Re {elp(f - е"*>*} | <2,
/г->оо
,Im |v,|P|lm{/P<P-/p(p*}l = 0.
й->оо
Из (2.59) и (2.60) следует, что при z = rei4>£lk
lim inf | ep {z\ Xy) I > I c^ | (1 + <r2),
£->oo
откуда немедленно получается требуемая оценка (2.56).
Ю М. М. Джрбашян
(2.60)

146 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Заметим теперь, что на кривых L^ (± у) имеет место равенство
| z | м^Ке*р = | Сц | 0±Y и, следовательно,
|'Р(*; v)l>l^lT^Re2P-lcnll = lcnlU±Y-1l' ^64+)(±y). (2.61)
Обозначим через Д^ криволинейный четырехугольник, ограниченный
кусками кривых lS^ (± у) и дугами /$ и /^+i- Тогда из (2.56) и (2.61)
заключаем, что
I *Р (*; *ц) I > До > 0, г £ Д*, Л > ЛГ0, (2.62)
где д0 не зависит от Л.
Теперь из соотношений (2.48) и (2.62), по теореме Руше, заключаем,
что при £>Ni >N0 функция £р (z\ \i) имеет внутри контура Д# такое же
число нулей, что и функция ер (z\ т^). Но, согласно построению области Д#,
функция вр («г; т^) имеет в этой области точно один нуль Ад. Следовательно
внутри Ад при k^Nx функция Ер (z; \i) имеет точно один простой нуль 6^
причем
bk = Xk + ak (k>N{\ (2.63)
где аь = О (dk), a dk — диаметр области, ограниченной контуром Д#.
В то же время, как легко видеть, периметр контура Д^ при больших k
(±-i\ ( i-Л
имеет порядок 0\£р /, и поэтому также ^=0\ЛР /. Отсюда и из
формул (2.53), (2.63) вытекает, что при k->co справедливо представление
6к = е'%Пк)^[1 + 0(Ц^-)]. (2.64)
Из (2.48) следует также, что если z0 — достаточно большой по модулю
нуль функции £р (z\ \х), лежащий в области О4", то
~ ?ц !og ко I + log I с» I — -j < I *o lp cos p arg *0 <
< — ^^g\z0\ + \og\C]X\ + ^.
Отсюда вытекает даже более сильное утверждение, чем то, которое было
сформулировано ранее, а именно, что все достаточно большие по модулю
нули функции Ер (z; \x)t лежащие в области G+, принадлежат криволинейной
полосе между кривыми £^+)(± y)«
Это означает, что для последовательности всех нулей {y^}, функции
Ер (z\ \x)t лежащих в области G^+\ справедливо представление вида
Yi+) = ^-mi (k>m2>mx).
Отсюда и из (2.64) вытекает требуемая формула (2.45) для нулей у^ *•
Наконец, так как \х вещественное, Y*-* = vi+) и Для нулей функции Ер (z\ ц),
лежащих в полуплоскости G^~\ получаем вторую из формул (2.45). Тем
самым лемма полностью доказана.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £р(г; ц) 147
§ 3. Преобразование Лапласа функции Ep(z; д);
некоторые приложения
В этом параграфе на основе асимптотических свойств функции
Ep(z; \x) мы устанавливаем интегральное представление для ядра
Коши у—""• Такое представление лежит в основе излагаемого далее
известного метода Миттаг-Леффлера суммирования расходящихся
рядов и другого родственного результата, приводимого в
заключение параграфа.
3.1. (а) Введем сначала некоторые необходимые определения,
которыми мы будем пользоваться также и в последующих главах.
При данном О (—я<Ф<!я) и любом р>0 под (e-^tf будем
понимать ту ветвь этой функции, которая принимает значения
exp {plog|£|} при arg£ = 0.
Обозначим через £р(Ф; v)(p>0, v!>0) кривую, уравнение
которой имеет вид
1
Re(*-'4)p = v, |ArgC — О|<
я при 0<р<5-,
1 <ЗЛ>
2р при р>^-
Легко видеть, что при 0 < р < -^ кривая Z,p(0; 0) вырождается
в точку £ = 0, а при р>т>- кривая Z,p(0; 0) представляет собой
я
совокупность лучей Argz = 0±-o--. Уравнение кривой £р(0; v)
в полярных координатах записывается в виде
Л
r = v1/p[secp((p — ft)]1/p, |ф —0|<
я при 0<р<^,
я ^ 1
W приР>?.
(3.10
Отсюда видно, что при 0 < р < -^ кривая Z,p(0; v) ограничена и
замкнута, а при р^--к она имеет две бесконечные ветви.
Следовательно, кривая £р(Ф; v) разбивает всю плоскость £ на
две дополнительные друг к другу односвязные области <2*р(0; v) и
3>пФ"* v)» соответственно содержащие интервалы 0<|£|<v1/p и
г 1
v1/p<|£|<cx) луча argC = '& кроме случая 0<р<-2", v = 0,
когда область <®р(Ф; 0) вырождается во всю плоскость £ без точки
£ = 0|. Очевидно, что при 0 < р < -^ область 3)9(§\ v) ограничена,
10»

148 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
а ее дополнение Sp(0; v) не ограничено, причем для него £ = оо
является внутренней точкой.
Кроме того, из уравнения (3.1') кривой Z,p(0; v) следует, что при
любом р>0 в области 3)9{$\ v) содержится круг |£|<v1/p и,
следовательно, любая область Sp(0; vp) всегда содержит круг |£|<v.
При этом легко убедиться, что если 0 < рх < р2, то 3f (ft; vpl)c
c<(fl; vft).
Наконец, при p->-f-°° об ласти Sp(ft; vp), расширяясь, стремятся
к области SooOfr; v), т. е. к плоскости £, разрезанной вдоль луча
Arg£ = *&(v<d£| < со), а при р->0 эти области, суживаясь,
стягиваются к кругу |C|<v.
*
Из сказанного относительно областей 3)9ф\ v) легко вытекают
соответствующие свойства областей Sp(0; v), из которых мы
сформулируем только следующие:
г. при С6^Р(*; v)
Re(e-'4)P>v. (3.2)
2°. При Р^>"2" область <2*р(Ф; v) (v > 0) содержится в угле
Д(0; р)={С; |ArgC-0|<^}, (3.3)
причем Sp(ft; 0) = Д(О; р).
Из этого ясно, что Sfp(p't 0) есть дополнительная к Д(0; р)
угловая область
Д*(»; р) = {С; ^<|Аг&С-*|<я}. (3.4)
(б) Отметим некоторые частные случаи введенных нами общих
обозначений.
Например, если р=1, то области 3)\ (О; v) и ЗЬ\ (О; v)
соответственно совпадают с полуплоскостями Re(£-/l£),£) < v и Re(£-/l£),£) > v,
общая граница которых Lx{§\ v) есть прямая, перпендикулярная
к лучу Arg£ = 0 в точке £ = v£'lЭ,.
Условимся далее в случае р=1 определение наших областей
3>\ (О; v) и ЗЬ\ (О; v) распространить также на случай, когда v < 0.
Наконец, если р = -^, то кривая L\,2(p\ v) является параболой
2v2
г = ТТ^Ц^Щ-> |ф-0|<я. (3.5)
вырождающейся в полуось Arg£ = 0, 0<!|£| <-f-oo при v = 0.
Поэтому i25i/2(ft; v)(v>0) есть внутренность параболы (3.5),

S 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £p(z; ц) 149
a Si/2 (ft; v) — ее внешность, совпадающая с разрезанной вдоль
луча Arg£ = ft + Jt> o^|£|<-f-oo плоскостью £ при v = 0.
(в) В § 2 была доказана формула
+ оо
$ e-'EQ(ztl/9; v)t»-ldt = -Y±-I (p > 0, \х > 0) (3.6)
о
в предположении, что |г|<1.
Докажем следующую лемму, из которой, в частности, будет
следовать справедливость формулы (3.6) во всей области ЗУ (0; 1),
содержащей круг | z | < 1.
Лемма 3.9. Пусть р > 0, v>0 и 0(—я<0<!я) —
фиксированные параметры. Тогда:
Г. При z£3)9{$\ v) и ££<2*р(#; v) справедлива формула
«-(•-'•t)P'£p(«-'V*; v)e-ldt = elw*£^. 0i>0). (3.7)
I
2°. Интеграл (3.7) сходится абсолютно и равномерно от-
носительно обеих переменных z и £, если
«€OJ(*; v) e £€^p(ft; v), (3.8)
где Ор(Ф; v) — любая ограниченная подобласть области <Э*Р(Ф; v).
Доказательство. Докажем сначала, что утверждения 1° и 2° леммы
справедливы по крайней мере при
M<v}/P и С6^р(*; v), (3.9)
где Vj — любое число, 0 < \г < v.
С этой целью для данного значения \г (0 < v2 < v) число
е (0 < е < v) выбираем так, что
»-Ь5тГ<'- (з.Ю)
Отметим далее формулу
o</<+ool ' lp(v-e)f
и оценку
ГQi + ftp-1) > (ftp^ 1)7+й"^-Т§
вытекающую из формулы Стирлинга.
Учитывая (3.10), при | z |<! v\^ теперь получаем
шах
0<f < +со
t^e-«v-»,|<(ftp-.r",. {k>ko).

150 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Отсюда следует, что разложение
£-0
ГСц + Лр-1)
равномерно сходится относительно z и t при |z| <^vJ/p и О^К
Однако, согласно (3.2),
Re(*-'4)P>v при £6^p(*; v), (3.2')
и поэтому разложение
*for(|l+*p")
(3.11)
допускает почленное интегрирование по t вдоль всей полуоси
[0, +оо) при условии (3.9).
В силу известной формулы
в условиях (3.9) справедливы равенства
+со г
о
= у ъ-п# 7е-(е->ю>< ,£♦"-» л =
=(--D-i(f)ft=^^.
ft-0
так как
| С | > | Re (е- *4f |VP > vVp > vJ/p > | 2г |.
Итак, в условиях (3.9) формула (3.7) установлена. При этом
легко проследить также, что в тех же условиях (3.9) сходимость
интеграла (3.7) равномерна относительно переменных z и £.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £р(г; ц) 151
Переходя к полному доказательству леммы, отметим сначала, что
в силу (3.2') при Е6#р(Ф; v)
J r(«-'V<£p(rVp; ^^"'Л <
) |
Н-оо
< J* <Tv'|£p0r'V/p; ц)!^-1^. (3.12)
О
Область ЗВ*ф\ v) (где р>0 и v > 0), как было отмечено выше,
всегда содержит круг | z | < v1^. Поэтому, если мы покажем, что
интеграл, стоящий в правой части неравенства (3.12), равномерно
сходится относительно z в любой ограниченной (при р ^-^-] и
замкнутой подобласти области SB* ($\ v), то аналитическое продолжение из
круга | z | <^ vJ'p (0 < vx < v) на всю область S*(ft; v) позволяет
установить справедливость формулы (3.7) для совокупности значений
г£2В*ф\ v) и ££i#p(d; v)- Очевидно, что тем самым будет
установлено также утверждение 2° леммы о характере сходимости
интеграла (3.7).
Однако равномерная сходимость интеграла (3.7) и формула (3.7)
в условиях (3.9) нами уже установлены. Поэтому очевидно, что при
доказательстве требуемого свойства интеграла
J *-v'|Ep0rV; v)\P-ldt, (3.12')
о
не ограничивая общности рассуждения, можно положить
М>(2~Ч)1/Р (0<v1<v). (3.13)
Дальнейшие рассуждения мы проведем, полагая последовательно
0<р<-2", Р = у и -гг<Р<+°°-
Пусть 0 < р < -£-\ В этом случае область <$*(*; v) (v > 0)
ограничена замкнутым контуром JL(d; v). Заметим, что любую замк-
нутую подобласть Op(d; v) области Sp(d; v) подходящим выбором
постоянной Vj (0 < vx < v) можно включить в область ££*($', vx).
С другой стороны, если z££D*(§\ v), то
0 < max Re (e~ if*zf < vlt (3.14)

152 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
а при ограничении (3.13) имеем также
min{|*|} =(2"1v1)1/P>0. (3.15)
Для данного Vj (0 < v2 < v) обозначим через /Ср(Ф; Vj) двусвяз-
ную область, ограниченную контуром £p(d; v{) и окружностью
\ z\=(2~1vl) . Пользуясь леммой 3.6, в силу (3.14) и (3.15) для
всех z£Kp($; Vj) и для t->-\-oo получаем
|Ep0rV; n)| = O(^-V'0+o(ri). (3.16)
Из оценки (3.16) следует равномерная по z сходимость
интеграла (3.12') в любой области вида /Cp(ft; vx) (О < Vj < v), т. е.
лемма доказана для 0 < р < -^ .
Пусть р = -2". В этом случае область .2*1/а(Ф; v) представляет
собой внутренность параболы Lj2 (d; v). Теперь любую ограниченную
замкнутую подобласть Gy2 (d; v) области 35i/2 (d; v) подходящим
подбором параметров \х и R [где 0 < v2 < v, R > ^"Ч^)2] можно
включить в область 35* (d; vx\ R\ являющуюся пересечением области
^V,(*; v0 с КРУГ0М М<Я-
Наконец, обозначим через /G/2(ft; vi; R) двусвязную область,
являющуюся пересечением областей £>i/2(d; vf, R) и \z\^2>(2~ \г) .
Так как 0<Re(g-/4)2<Vi, min {\z\} =(2~1v1)2 > 0 при г £
£/Су2(Ф; Vji /?), пользуясь леммой 3.5, получаем, что при *->-|-оо
\E4Xe-ibzt\ jx)| = O(^-V'0+O(r2) (3.16')
для всех рассматриваемых значений z.
Из (3.16') следует равномерная по z сходимость интеграла (3.12')
при Р=2" в любой области вида Ку2 (ft; v^ R) (0 < vx < v, /? >
> (2~ v) ), т. е. лемма доказана для р = -^-.
Пусть -2-<p<-f-oo, И в этом случае область 3f*(ft; v) не
ограничена. Полагая \{ (0 < Vj < v) и /? (/? >(2"1v1) )
произвольными, определяем двусвязную область /Ср(Ф; v^ Я) так же, как
1
в случае р==-^-.

§3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £р(г; ц,) 153
Далее, фиксируя значение а0 из интервала f-s—, гшп]л, —И,
введем в рассмотрение следующие множества точек плоскости z:
K? = {z; a0<|arg(,-^)|<n, (г^Г < И < *}•
/C<21={,;^<|arg(,-^)|<a0.(2-4),/P<|^l</?}.
Kf = W< 0<Re(«-'V<Vi. (2-\)Vp<\z\<R}.
Очевидно, что *p(0; v,; R) = /#> + * p ' + *?'•
На основании леммы 3.4 можем утверждать, что при t->-\-oo
справедливы оценки вида
|Z?p(«-'V»; v)\<o(ri)- *£«?'
|/:p(<r<V/p; ^)|<o(^V'HoH), *£/Ср3),
(3.120 в любой области вида /Cp(ft; \г; R) (о < v2 < v, R > (2 Ч)1^),
выполняющиеся равномерно на соответствующих множествах
плоскости z.
Из этих оценок вытекает равномерная по z сходимость интеграла
. Р1
т. е. лемма доказана для р > у
Итак, лемма доказана полностью.
(г) Из леммы 3.9, в частности, вытекает следующее важное
Следствие. В каждой ограниченной и замкнутой части
области А, не содержащей точек луча [1, -f-oo), справедлива
формула
-t-oo
■Л- = lim Г «-'£(*/'*; v)f~xdt (ц > 0), (3.1
1 Z p-^+ooJ
7)
причем стремление к пределу равномерное относительно z.
Как уже было отмечено выше, при р->-|-оо области <2**(0; 1),
расширяясь, стремятся к области 3)*{§\ 1), т. е. к плоскости z,
разрезанной вдоль луча [1, +оо). Поэтому, если данная
ограниченная и замкнутая область А0 не содержит точек луча [1, +°°) и»
таким образом, лежит внутри области S*(0; 1), то при некотором
р0 > 0 имеем также Д0 с Sp (0; 1), р^>р0.

154 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
Следовательно, полагая в формуле (3.7) леммы 3.9 d = 0, v = 1,
£=1, имеем при 2£Д0, р!>р0
Г±—= j в-'Ер(г&; rit^dt Gi >0).
о
Ввиду характера сходимости интеграла отсюда следует наше
утверждение.
3.2, (а) В этом пункте мы изложим способ Миттаг-Леффлера
суммирования расходящихся рядов. С этой целью нам необходимо
иметь также другое представление функции -у——в области£8*(0; 1),
отличное от (3.17). Это представление устанавливается в следующей
лемме.
Лемма 3.10. В каждой замкнутой ограниченной области А,
не содержащей точек луча [1, + оо), справедлива формула
—1т = Г([х) litn EQ{z\ |i) 0i>0), (3.18)
причем стремление к пределу равномерное относительно z£k.
Доказательство. Пусть ограниченная и замкнутая область А0 не
содержит точек луча [1, +оо), т. е. А0 с: 3)* (0; 1). Тогда число
р0^1 можно выбрать так, чтобы при р,>р0 область А0 лежала
в области 3S* (0; -т-). Но тогда ввиду формулы (2.2) леммы 3.2
имеет место представление
Ео (*> & = -£а J }_х Л. г е \ (Р > Ро)- (3-19)
Замечая далее, что по формуле Ханкеля (2.7)
'(ц) 2я/ J ^ ^
из (4.19) получаем также представление
+ T^7S J AV-l)~° * *^о <Р>РЬ). (3-190

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £p(z; ^) 155
Интеграл, стоящий справа в (3.190, разобьем на сумму трех
интегралов lf\z) (у'=1, 2, 3), соответственно распространенных по
лучу arg£ = — -± (1<|С|<+°°). по дуге — ^<argC<^
Зя
окружности |£| = 1 и по лучу arg£ = -j- О ^|£| < + °°)-
Замечая теперь, что при <г£Д0
min |£ — 2|>&0>0 (Р>Р0),
где б0 не зависит от р, имеем оценки
Зя
4р
l^(*)l<& J'1—lTl*P<p5T' *6А» (3-20)
_3rt
"4р
+г~ __lL I . Зя |
= lk)e yr{lt-5-l)+4t7eln»f }t-^t<
1
<^kIe"Tr|(T7-I) + f Ь"Мт' *€Ao- (3-21)
Из оценок (3.20) и (3.21) следует, что равномерно в Aq
lim ff(z) = 0, ze\ (У =1.2,3). (3.22)
p -> + oo
Наконец, утверждение (3.18) леммы следует из интегрального
представления (3.190 и из предельных формул (3,22).
(б) Пусть степенной ряд
оо
/W=SM* (3.23)
сходится в некоторой окрестности начала координат. Тогда этот ряд
определяет функцию f(z) с ветвью, регулярной в окрестности точки
2 = 0. Проведем из начала координат лучи к особым точкам
функции f(z). Если на данном луче на конечном расстоянии от начала
лежат особые точки, то в плоскости z проведем разрез по части
этого луча, расположенного за ближайшей к началу особой точкой.

156 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Область Mf плоскости zt получающаяся при проведении
всевозможных таких разрезов, называется звездой Миттаг-
Леффлера функции f(z).
Так, например, звездой функции
оо
-^=2** <|*|<1)
служит область S*(0; 1), т. е. плоскость z с разрезом вдоль луча
П.+оо).
Если область G такова, что вместе с каждой своей точкой Р
содержит также весь отрезок ОР между началом О и точкой Р, то
говорят, что О звездообразна (относительно начала). Очевидно, что
любая область, являющаяся звездой Миттаг-Леффлера некоторой
функции f(z), определяемой в окрестности начала некоторым рядом
вида (3.23), будет звездообразной.
Из приведенных определений следует, что если ограниченная
область D лежит внутри звезды Mf функции /(z), то всегда можно
указать ограниченную звездообразную область О так, чтобы
выполнялись включения DcGczMf.
Наконец, если О — ограниченная звездообразная область, причем
GczMj, то эту область можно расширить во все стороны от начала О
подобно с некоторым коэффициентом подобия y > 1 ДО
звездообразной ограниченной области Gy, все еще лежащей строго внутри My.
(в) Если степенной ряд (3.23) сходится в круге |z|<^r, то,
согласно неравенствам Коши,
|а,|<^- (* = 0, 1, 2, ...), (3.24)
где M(r)= max \f(z)\. Образуем теперь функцию
\z\-r
оо
W'^grfr+V')** (^>0'р>0)' с3'25)
которая в силу (3.24), очевидно, целая, и, как нетрудно проверить,
сравнивая ее, например, с функцией EQ{r~lz\ \x), ее порядок не выше
чем р, а тип не превосходит г~р.
В нижеследующей теореме содержится способ Миттаг-Леффлера
суммирования расходящихся рядов.
Теорема 3.3. Пусть f(z) — главная ветвь аналитической
функции f(z), регулярной в окрестности точки z = 0 и пред-
ставимой там степенным рядом (3.23). Тогда в любой ограни-

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £р(2; ц) 157
ченной и замкнутой области D, содержащейся внутри звезды
Миттаг-Леффлера Mf функции /(-г), выполняются предельные
соотношения
+ 0О
/(*)=lim f e-'f^Wz^dt, (3.26)
/(*) = Г(ц) Iim /р,й(2г), (3.27)
p->+oo
притом равномерно относительно всех z£D.
Доказательство. Пусть ограниченная звездообразная область G
такова, что DdGdMf. Положим далее, что Gy (у > 1) — подобное
расширение области G с центром в начале О и коэффициентом
подобия Y> 1» все еще лежащее в звезде Mf, а Су — граница Gy.
Из того, что области О и Gy звездообразны, легко следует, что
для произвольной точки z £ О отношение z/Z, не принадлежит лучу
[1, +оо) для всех С £ Су* Более того, так как области Sp(0; 1) при
р—>-|"°° стягиваются вокруг луча [1, -(-со), число р0^> 1, зависящее
только от G и CY, можно выбрать таким образом, чтобы у £S*(0; 1)
при р^>Ро Для всех 2 £ G и £6 Су одновременно.
Но тогда, согласно лемме 3.9, имеем представление
+ оо
—Цг={ е-'£р(|;,/р; \x)e-ldt (p>p0). (3.28)
1-т о
справедливое для z£G и C£CY, причем интеграл равномерно
сходится относительно переменных z и £ в указанных областях.
Заметим теперь, что для любых 2 и t% если число г] > 0
достаточно мало, в силу (3.23) и (3.25) имеем по теореме Коши
cY iti-*n
__L f I v, r.! I v ('Г1*"')' I «

158 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
В силу (3.28) и (3.29) имеем при z£Q
S
Су I ° J
-J '"'(■КГ f ^PMf '''Ч'Ф^ (з.зо)
0 I CY )
При этом изменение порядка интегрирования, очевидно, допустимо
в силу равномерной сходимости интеграла (3.28) относительно
переменной у£<2*р(0; 1), установленной в лемме 3.9.
Из (3.29) и (3.30) следует, что при z£G
/(*)=/ е-'/р. &№)?-** (р>Ро). (3.26')
о
Для конкретной области О с My полученное равенство (3.26) дает,
по существу, больше, чем требовалось теоремой. Утверждение же
(3.26) теоремы следует из (3.26') при р—> + оо.
Чтобы установить второе предельное соотношение (3.27), полагая
в тождестве (3.29) t=\t получаем при любом z
W*>e-KrJnPMf!|lH (3-3I)
cv
С другой стороны, согласно лемме 3.10, равномерно относительно
г и С справедлива предельная формула
—1— = Г(ц) lim EpU;v), г£ОЛеСг
1 JL. р->+оо \ Ь /
Отсюда получаем при z £ G
cv
= lim f -о—.-
P++0O 2lt/
т. е. формулу (3.27) теоремы.
I

§3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £p(z; ц) 159
(г) Так как fPtll(z) — целая функция порядка не выше р,
предельное соотношение (3.27) теоремы 3.3 приводит к следующему
результату.
Внутри своей звезды Миттаг-Леффлера функцию f(z) можно
равномерно приблизить целыми функциями, порядок которых
стремится к бесконечности.
Дальнейшее развитие результатов этого пункта приводится ниже.
3.3. Для функций, голоморфных в областях специальной природы, могут
быть построены интегральные представления другого рода. Эти
представления, как увидим ниже, одновременно позволяют указать целые функции
конечного порядка р (G) (зависящего от природы области G) и нормального
типа а, аппроксимирующие голоморфную в данной области G функцию, при
а-> + оо.
(а) Введем сначала некоторые необходимые обозначения в дополнение
к принятым нами ранее [3.1 (а)1. Полагая, что независимые параметры Ф, р
и v подчинены условиям — я < 'О' < я, 0<р<+оо, 0 < v < + °о> обозначим
через £#* с (Ф; v) и L с (Ф; v) соответственно образы области &* (Ф; v) и ее
границы Ip (ft; v) при преобразовании переноса z = w -{- с, где с — данное
комплексное число.
Если Qj c(ft; v) — дополнение замкнутой области Qj c($\ v), то,
очевидно, имеем
Re{*-<V-<0}P = v, *eipi,(*;v).
Re (*-<*V-<0}P>v, z£99,e(ih.v).
Условимся далее каждую замкнутую область типа B*9t c (ft; v) называть
элементарной р-выпуклой областью.
Для заданной системы чисел {р^ (0 < рй < -|- со) отнесем к классу
Я (Pi» •••» Рр) любую односвязную область G, являющуюся пересечением
множества {d|* (®k>vk)}i элементарных р-выпуклых областей. Итак, если
G а В (pv ..., р ), то имеет место представление
р
Q=r\sl»cS*»"u (з.зз)
где {ft*}f (—Ж А*<я), {v^}f(0<v^ < +оо) и {ck}{ — произвольные
системы чисел, причем без ограничения общности можно считать, что — я <
< #i < Ф2 < ... < % < я.
Очевидно, что области G, принадлежащие классам типа В (pv ...,р )
(/?;>1), могут быть и ограниченными и неограниченными. Далее ясно, что
граница L (G) области G £ В (р{ рр), допускающей представление (3.33),
состоит из конечного числа дуг
h € V ck (*» vA) (k = 1, 2, ..., p), (3.34)
причем все эти дуги конечны, если область G ограниченная, и хотя бы одна
из них бесконечна, если область G неограниченная.

(3.35)
160 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
(б) На границе L (G) области (З^В^ рр), допускающей
представление (3.33), определим четыре кусочно-непрерывные функции*
Р = Р(0, <►-<►«>.
v = v(0, c = c(Q,
полагая
Р (£) ==? Pk> v (S) = v^,
♦ Ю-** с<0 = ск, «'*(*-! А (3.36)
В точках же пересечения £*=£оо двух последовательных дуг /л и /#+b
входящих в состав границы L (G), ради определенности мы положим значения
этих функций равными среднему арифметическому от значений
соответствующей функции на дугах /^ и /^+1.
Наконец, для произвольной функции g (£), определенной почти всюду
на L (G) и удовлетворяющей условию
s
1*<01 |<*С1<+со, (3.37)
£(0)
введем в рассмотрение интеграл типа Коши
*<**)в-2НГ Jf=T* ^°" (3'38)
В силу условия (3.37) интеграл (3.35) абсолютно и равномерно сходится
в каждой замкнутой подобласти G* области G. Ввиду этого каждая
функция / (z), представимая в виде / (z) = К (z\ g), z£G, голоморфна в области О.
Докажем теперь теорему.
Теорема 3.4. Пусть G — односвязная область класса В(р{, ..., р А
представимая в виде (3.33). Если функция f (z) голоморфна в области G,
причем f (z) = К(z\ g), z£G, то имеют место следующие утверждения:
Г. Справедлива интегральная формула
+ оо
/ (Z) = f F (z; v)dv, z£Gt (3.39)
о
где для v£(0, -f-oo) целая функция
1(0)
имеет порядок не выше чем р (G) = max {pt рр} и тип < v.
2°. Целые функции
а
fa (z) = J F (г\ v)dv (0 < о < + со) (3.41)

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £р (2\ р,) 161
имеют порядок не выше чем р (G) и тип < а. Равномерно в каждой
замкнутой ограниченной подобласти G* czG имеет место предельное
соотношение
f(z) = lim /а (г), z£G. (3.42)
а->+оо
3°. Если в окрестности точки z0£G функция f (z) допускает
разложение оо
/(*)= Ц ck(z-z,)ky (3.43)
k = 0
то целая функция /а (-г) допускает разложение
оо
/ай= 2 с*(*)(*--*0)*, (3.44)
где
Ck (а) = 2S7F \ * (S) Фа (fc 2q) d^ (3-45)
МО)
а
Фа (ft *o) = *"'(ft+1) *(S) J exp {- v [e-'» «> « - с (?))] p «)} X
0
x£?(t)(r№(C'^-c©)t'p(t); pferp(t) ^' (3,45/)
lim с* (а) = сл (Л = 0, 1, 2, ...). (3.46)
k ->оо
Доказательство. 1°. Отметим сначала, что, согласно лемме 3.9, для
произвольных значений параметров р (0 < р < 4- °°)> v (0 < v < + °°) и
®€(—я» я] справедлива формула
+ оо
J *-*('" ^)%(*-^i/p; ^-i^ =
в ^^|__ ([Х > о), г $ Dp (О, v), £ $ Dp (ft, v), (3.47)
причем интеграл равномерно сходится относительно переменной £.
Отметим далее, что определения взаимно дополнительных областей
i^p(ft; v) и ^p(fr; v) и их общей границы LQ($\ v) сохраняют смысл и
в случае v = 0, если только*) -^ < р < -f-co.
*) Напомним [3.1 (а)], что если -^ < р < + оо, то область <£гр (ft; 0) со-
впадает с углом Л (р; ft) = < z\ | Arg -г — ft | < ^— >; область ^rp (ft; 0) —
с дополнительным к Л (р; ft) углом Л* (р; ft) = \z\ -~- < | Arg z — ft | < л I,
зх 1
а Ар (ft; 0) — с совокупностью лучей Arg^ = ft± -^-. Если же 0<р<-^-,
то при v = 0 область ^г* (ft; v) вырождается в полуось (— оо, 0] или в точку
г = 0.
И М. М. Джрбашян

162 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
С другой стороны, при -jj < р < -f- оо, пользуясь леммой 3.4, легко
заключаем, что для любого фиксированного значения z £ <^р (р; 0) при v -> + оо
имеем
Ep(e-l*zvvp; i) = o(v"). (3.48)
Так как, кроме того,
ReGr'*£)p>0, С€#р<Ъ 0),
при -Tj < р < -f00 из формулы (3.47) и из оценки (3.48) заключаем, что эта
формула остается в силе и характер сходимости соответствующего инте-
грала не изменяется и для значения v = 0, если только положим |я = —.
Итак, при любых р (0 < р < -f- °о), v (0 <; v < -f- со), ft £ (— я, эх], в
предположении, что -jr < р < + оо при v = 0, справедлива формула
-. 2^р№ v), ££0D№ v), (3.470
где интеграл равномерно сходится относительно параметра £.
Вспомним теперь определение областей & (ft; v), <^р> с (ft; v) и их
границы Z,p, c(ft; v). Из формулы (3.47') без. труда получаем, что в тех же
предположениях относительно параметров р, v и ft и при любом
комплексном с справедлива также формула
+ оо
J ехр{-у[е-1*&-с)?}Ер{е-1*(г-с)у1/0; ±}v*'ldv =
ITT - *Ь®\с (О; v)> EG ^p, с № ^), (3.49)
причем интеграл равномерно сходится на всей кривой LQt c (u; v) для
любого z из области Q)^ с (ft; v).
Если, наконец, принять во внимание представление (3.33) области С/,
а также определение (3.36) кусочно-постоянных функций р (£), Ф (£), v (£)
и с (J), то из (3.49) получаем формулу
+ оо
*-'*(0 |ехр{-сг[.-«<»(С-с(С))]Р(С)}х
о
Х«р(ц{в-'»«)(г_с(С))в"р«). ^.[„Ж-'л.
= yzr. *€°. С€МС), (3.50)
причем интеграл равномерно сходится относительно параметра £.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ £р(2; |л) 163
Подставляя в формулу /(-г) = К(z\ g), z£G, выражение ядра Коши из
(3.50), после изменения порядка интегрирования получаем требуемую пару
формул (3.39), (3.40) теоремы.
Получаемую при этом функцию F (z\ v), ввиду свойства (3.36)
функций (3.35), можно записать в виде
Р ( — ) 1 1
Ш J g (С) ехр {- v [(С - ck) e~'** fk} rfC (3.400
X 2я/
Так как £p (z\ \i) — целая функция порядка р и типа 1, из формулы
(3.40') следует, что F (z\ v) — целая функция порядка не выше р (G) =
= max {рь ..., рр} и типа О.
Что касается правомерности изменения порядка интегрирования при
получении формул (3.39), (3.40), то отметим сначала, что в случае, когда L (G)
совпадает с некоторой ограниченной кривой Ip, c(ft; v) (О < р < -^-, v > 0],
такой прием допустим ввиду равномерной сходимости интеграла (3.49).
Положим теперь, что L (G) совпадает с некоторой неограниченной
кривой Ip, c(ft; v) (-о < Р < +оо, v >0]. Тогда целая функция F(z-\-c, v)
записывается в виде
F(z + c;v) = E9(e-^zv^; I)*"'^ J ^(C + c)^ ('"^>Ч
L9 (*; v)
(3.51)
С другой стороны, из леммы 3.4 получаются следующие оценки при v->-{-cq:
если z £ Л* (р; ft) а 0* (ft; v) (v > 0), то
\Bp[e-mzvl'*i !)|<о(|Гр); (3.52)
если «г^Д(р; ft) — 0Р (ft; v) (v > 0), т. е. если 0< Re (^~'*-г)р< v{ < v, то
I £р (e-if>zvlH>; -\ I < 0(*v'*). (3.53)
Так как
Re {*"'*(£-c)}p = v, ££Ip, ,(0; v), (3.54)
из оценок (3.52) и (3.53) вытекает, что сходится двойной интеграл
+ оо
J dv j \gQ\\exp{-v[e~^(z-c)f}\x
0 LQt c (ft; v)
1-1
X \вр [e~^zv^\ 1) |*p Л, *£#* (ft; v). (3.55)
11»

164 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. 111
Далее, из тех же оценок (3.52) и (3.53), пользуясь представлением (3.51),
в силу (3.37) и (3.34) заключаем, что интеграл F (z\ v) при любом z £ Qj' (ft; v)
равномерно сходится относительно v на полуоси (0, +°°)-
Наконец, так как интеграл (3.49) равномерно сходится относительно £
на всей кривой Ip, c (ft; v), на основании известной теоремы теории
несобственных интегралов, зависящих от параметра *), приходим к заключению,
что в рассматриваемом случае, когда L (G) совпадает с некоторой кривой
Lp)C(§; v) 1-~-<р<+о°, v]>0j, изменение порядка интегрирования при
получении формул (3.39), (3.40) также допустимо.
Вообще, поскольку
МО = 1К '*€V, ,,<**; v»>
мы приходим к тому же заключению для границы L (G) любой области
G£B(pu ...,PP).
2 . Пользуясь формулой (3.40') представления функции F (z\ v) и
оценками (3.52) и (3.53), можем утверждать следующее.
Для каждой ограниченной и замкнутой области G* с G существуют
положительные постоянные а = а ((7*), b = b (G*), 6 = 6 (G*) такие, что при
всех z£G* и ^->4-°° имеют место оценки: если числа {v^}f отличны от
нуля, то
\F(z\ v)\<Cae~bv\ (3.56)
если же среди чисел {v^}f имеются равные нулю, то
-1 L-
\F(z; v)\*Cbv P(G). (3.57)
Замечая теперь, что
+ оо
/(*) —/а(*) = / F(z\v)dv% z£G,
а
из оценок (3.56), (3.57) получаем
тах|/(*)-/0(*)|<е(а), (3.58)
где в соответствии с этими оценками е (а) = ао~хе~ или е (а) = Ьо~г~*/р(°).
Ввиду того, что в обоих случаях е (а)->0 при а->+°°» из (3.58) вытекает
наше утверждение о сходимости целых функций /а (z) к / (-г).
3°. Формулы (3.45), (3.45') для коэффициентов сл (а) непосредственно
следуют из (3.40), если заметить, что, согласно (3.44) и (3.41),
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. II.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 165
Далее, если s > О — достаточно малое число, то из (3.43) и (3.44),
очевидно, имеем
Cft(of) = _L. Г /g^L, <*£ (£ = 0,1,2,...).
Отсюда и из (3.42) легко получаются предельные соотношения (3.46). Итак,
теорема полностью доказана.
(в) В заключение отметим следующее. Целая функция F (z; v),
участвующая в представлении (3.39) функции /(-г), нами была записана в двух
видах (3.40) и (3.40'), причем второй из них, конечно, более обозримый.
С другой стороны, представление функции F (z\ v) именно в виде (3.40)
приводит к предположению, что пара формул (3.39), (3.40), составляющая
основное содержание теоремы 3.4, должна оставаться в силе и для областей
более общей природы, чем области классов В {рь ..., рр).
Во всяком случае естественно ожидать, что формулы (3.39), (3.40)
останутся справедливыми для областей G, являющихся пересечением значительно
более общих семейств элементарных р-выпуклых областей.
Наконец, укажем еще, что легко привести большое число примеров
канонических областей, принадлежащих к тем или иным классам В (рь ...,рр)
(/7>1), для которых целая функция F (z; v) имеет весьма простую
структуру-
Например, для выпуклых многоугольников всегда можно положить
р(£)==1, вследствие чего целая функция F (z\ v) представляется в виде
L (G)
§ 4. Преобразование типа Фурье на системе лучей
В этом параграфе приводится другое важное приложение функции
типа Миттаг-Леффлера, основанное на ее асимптотических свойствах,
установленных в § 2.
Здесь конструируется аппарат интегралов типа Фурье и
доказывается теорема об обычной точечной сходимости этих интегралов
для функций, которые определены и суммируемы с весом
ехр
{-vIsHlsr-1 (х>0, v>0)
на произвольной конечной системе лучей, исходящих из точки z = 0.
Этот аппарат представляется в виде суммы интегральных
преобразований с ядрами вида Ер (z£>; \x).
Полная теория интегральных преобразований с ядрами Миттаг-
Леффлера для функций, принадлежащих классу L2 на системе лучей,
имеет такой же завершенный характер, как и теория Планшереля
для преобразований Фурье, и будет изложена нами в гл. IV.
4.1. (а) Введем некоторые предварительные определения и
обозначения.

166 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Положим, что параметры х, v, \x удовлетворяют условиям
00<-foo, 0<v<+oo, 0<[х<+оо, (4.1)
а параметр р — условию
p>max{x, ^|. (4.2)
Обозначим через Лр(|Х(х, v) класс функций F(x), которые
определены и измеримы на полуоси (0, +оо) и удовлетворяют условию
+ 0О
J e-**\F{t)\P»-ldt<+oo. (4.3)
о
т. е. условию
FWe-vPf-^LiQ, +oo). (4.30
В силу условия (4.2) для любой функции F (t) £ Ар> ц (и, v)
интеграл типа Лапласа
+ оо
J F(t)e-^t9t™-xdt
о
абсолютно и равномерно сходится в замкнутой бесконечной области
«2*р(0; v), ограниченной контуром*) £р(0; v). Поэтому с каждой
функцией F(t) из класса Лр|Х (х, v) можно ассоциировать функцию
<W£ F) = (Cp-1j F{t)e-^ptw-xdt, (4.4)
О
которую будем называть обобщенным преобразованием Лапласа.
Функция Gpi ц (£; F голоморфна в области 3)^ (0; v) и непрерывна
на ее границе £р(0; v), кроме, быть может, точки С = 0 (если
v=0); при этом очевидно, что при ££«2*р(0; v)
Opi|1(£; />) = О (&*-'), |S|-> + oo. (4.5)
Обозначим, далее, через Lp*] (0; v{) (где \\ и R—любые числа,
удовлетворяющие условиям vl^>\, R > v}/p) часть контура £р(0; vA
лежащую в круге |£|^/? и пробегаемую в направлении
возрастания arg £.
*) Мы пользуемся здесь обозначениями, введенными ранее [3.1 (а)].

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 167
Теперь, полагая опять, что Vj^v и R > vJ/p, введем в
рассмотрение интеграл
F*W = Ш J E9&> W°P.ii(b F)<& (4.6)
являющийся целой функцией от z.
Ниже мы исследуем поведение целых функций FR(z) при /?->-{-оо.
С этой целью мы несколько преобразуем выражение (4.6).
Во-первых, подставляя в (4.6) значение (4.4) функции Gp (£; Т7),
получаем
+ оо . .
^«"■S/J^W^1 J е-^Ч(^^~'^и (4.7)
0 U<>;v,) J
причем произведенное изменение порядка интегрирования по J и /
допустимо ввиду равномерной сходимости интеграла (4.4)
относительно параметра ££Z,p(0; v^ при любом Vj^>v.
Пусть £1 = /?е«>(Я> и ^ = /?*-'*<*> — концы дуги 4^(0; v^, a
£p(vi5 #) "~ дУга larg£l ^Ф(#) окружности |£| = /?, соединяющая
точки Si и £г» пробегаемая в направлении возрастания arg£. Тогда
по теореме Коши имеем при произвольном z
4*>(0;v,) Cp(Vl;/?)
Отсюда и из (4.7) получаем следующее представление для целой
функции FR(z):
+ оо
F«& =Ш | Яр.^(2; '; *)FV)fp-ldt, (4.7')
о
где
Яр,ц(*. *,/?) = J *-^P£p(sfc \x)С'Я- (4.8)
cp(vi;/?)
(б) Докажем сначала одну лемму, характеризующую поведение
функции #р,ц(2, /. R) при /?->-f-°°-

168 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
Лемма 3.11. Пусть р^-у и 0<ц<!р-1. Тогда для любого
*о6(0. ~\-°°) пРи /?^> + оо справедливы асимптотические
формулы
*-«л+^\*У1-1*<*-')\
+ 2lx&V~W<'*-'> ! I «Z- LL, p>4-. (4.9)
H',t, ц (x0, t, R) = е-*' \ (x0, t, R) -
-2/д^О-м). Vl^4' )—i ^^ L+
io-rt -v r^-M sinN,/2 j/i-4^'/2-^)}
+ 2Ц*( rt« M' *0>> —J V , * L. (4-10)
где функции zk(x0, t, R) таковы, что
iim J sup ел (*0, /,/?)}= 0 (й=1,2). (4.11)
Доказательство. Замечая, что концы Si и £2 дуги Ср^; R)
лежат на кривой Z,p(0: Vj), имеем
/?pcosp*(/?) = vlt sinpO(/?)= |/ 1 — ^. (4.12)
Из (4.12) следует, что если vt > 0, то функция ■&(/?). определенная
для значений R > vJ7p, удовлетворяет условиям:
0 <<>(/?)< -J и *(/?)f-^ при /?|+оо; (4.13)
если же v1 = v = 0, то
*(/?) = -J при Я>0. (4.130
Положим теперь, что P>y; Т0ГДа для любого *0£(0> -Н00)
имеем тождество
Яр,„(*0, *. Л) = pjcgo-rt J Д^-О^-1 d£ +
cp(v.;*)
S0V«)
= /x (x0> /, Д) + /2 (x0> /, tf). (4.14)

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 169
Так как по (4.12)
легко видеть, что
I^XQit,R)=x^
es
*§-<"
^^vM-^A^zhL^i. (4.I5)
Чтобы оценить функцию /2(^0, t, /?), заметим, что, согласно
асимптотической формуле (2.23) леммы 3.4, при |arg£|<^a, где
a £ (-о-, mirn я, —И, справедлива формула
Spit. W —ft r(|i —p->)C
Далее, из (4.13) и (4.13') следует, что дуга C9(vx] R) лежит
внутри угла larg^K-^- , причем, если £ = Re/cP £ Cp (vx; /?), то
Re^/^cospcp^. (4.17)
Отсюда, используя формулу (4.16), получаем оценку
, | Аг (х0) <TVl'Vp-\ если 0 < \х < р~\
|/2 (*<>.'.«) К р (4Л8>
1л2(л;0)£ V|'/? \ если jli = р""1,
справедливую при R^>R(x0), где постоянные Ak(x0) (k=\, 2) не
зависят от R и t^O.
Асимптотическая формула (4.9) леммы непосредственно следует
из (4.14), (4.15) и из оценки (4.18).
Пусть, далее, р==—и вновь х0^(0, +оо). Обозначим через
^/^(vi; R) и C\^\vi\ R) куски дуги &/a(vi; R) окружности |£| = /?,
лежащие соответственно в полуплоскостях 1т£^0 и Im£<^0.

170 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Согласно асимптотическим формулам (2.33) леммы 3.5, при
£€^7з°(У1; Я) и при £>€Cifo\vi; R) соответственно имеем
-гЛгГ(^4)^+°Ш' S->oo. (4.19)
Чтобы установить асимптотическую формулу (4.10) леммы,
предварительно запишем тождество
cy2(vi;tl)
-f
CJ^v,;*)
+ e-/«d-w J ^(''M2)^ г dl \=^Uj(xQ> t, R). (4.20)
Пользуясь теперь формулами (4.19) и неравенством (4.17) для р = —
получаем при R^R(x0)
.... _„>_*-,
Л3 (х0) e~v,t 2R2 , если 0 < ц < 2.
, v/'« I (4'21)
[А4(х0)е l R , если ц = 2.

§ 4] Преобразование типа фурье на системе лучей 171
Наконец, производя простые выкладки, получаем
>*,*<-v-<<м» -{^l/^f^-^}. (,22)
id-., ,-(*+#)«*
£/4 (х0, /, Л) = 2/лг02 — sin лц —
' "г -*о
- и,* <" V>(*M» "°!"1 + Д",/1-7^ + '"01
Из тождества (4.20) в силу формул (4.22), (4.23) и оценки (4.21)
следует формула (4.10) леммы.
(в) В заключение данного пункта докажем еще одну лемму.
Лемма 3.12. 1°. Для любого /£(0, + оо) справедлива оценка
О (Я)
Q(/, /?)= j e-W'°*wd<p^A6e-vS(tRy99 R^R0. (4.24)
гд£ Л5 #£ зависит от t и R.
2°. £с./ш 0<ц< 1, wo для любого Vj!>v « 6>0 имеем
яЫщ f Hj.-*,—*|*-±. м
cp(vi;/?) 1° '
Доказательство. Г. Замечая, что О(/?)<! -5-, и пользуясь ие-
zp
равенством sin jc ^ — -^ (0<<л:<;~), имеем
81пр^(^""ф >£[{К/г)-ф]. 0<Ф<д(/?).
Далее, так как ф (/?)-> у при Я-*-)-00» очевидно также, что
при /?>/?0
sin p —i-pix > sin p —jp- > sin -g-.

172 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Воспользовавшись этими оценками и формулой (4.12), получаем
Q(*. R) = 2«-v/ J exp{- 2/?р/рsinp li^L=JLsinp *(/% + ф }<*Ф<
о
<2в"^Р J exp| —^8ш|[д(/?)-ф]/?р/р}^Ф<
о
psin¥
и оценка (4.24) доказана.
2°. Если £=£0, но Re£p>-0, то справедлива формула
+[е-*>->а< = Ш. (4.26)
_Р Г rw-i| [ e-tP^m-Ut\dl = ~ Г
ff (ц) J fe J 2lt< J
Из (4.26) получаем
f б 1
t
cp(vi;*) I ° J SOV*)
WW I Г'HrV'rftk^W+Q.M. (4.27)
Cp(v,i«) I 6 I
Но легко видеть, что Ql(R) = —^-, откуда в силу (4.13) имеем
lim Ql(/?)= * (4.28)
/?->+оо ZP
Далее, пользуясь оценкой (4.24), получаем
^2
и так как по условию 0 < \х < 1, то
lim Q2(R) = 0. (4.29)
Я->+оо
Из тождества (4.27) в силу (4.28) и (4.29) получаем требуемое
предельное равенство (4.25).
4.2. В этом пункте мы докажем первую основную теорему этого
параграфа относительно обращения обобщенного преобразования
Лапласа Gp>^(£; F) с помощью преобразования с ядрами Миттаг-
Леффлера.
Предварительно введем обозначение.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 173
Пусть функция <^~(£) определена на кривой £р(0; vx) и
интегрируема на каждой ее порции ^(О; Vi)(/? > v'/p). В случае
существования предела /»
lim / <У(&)<Й
будем обозначать его символом
v. p. J ST{l)dl.
M0;vi)
Теорема 3.5. Пусть Р(х)£Лру^(к, v), где p>max|x, -jj «
0<ц^р"1. £сля функция Р(х) имеет ограниченное изменение
в некоторой окрестности точки х0£[0, +оо], то при любом
Vi^v справедлива формула
Jj-v. p. Г Ер(х& \x)0Qtll& F)dZ= Пт /V*o) =
Yl^^o — 0)Ч-/7(х0 + 0)]> шй *0>0 в 0<|1<р-1, (4.30)
.-^-/Ч+О), бш д:0 = 0и 0<[А<1. (4.31)
Доказательство. Положим сначала, что 0<лг0< + оо ир>г-«
Тогда, пользуясь асимптотической формулой (4.9) леммы 3.4, из (4.70
при R—>~f-oo получаем представление
+ 00
рч(хо)=Ш { e-v>fiF(f)f^\(x0, t, R)dt +
О
+р^—1_ г e-v^(0^-i_j—!__^ l«.
Отсюда следует оценка
/**(*о) 2—= X
X J e-vie/^epjei»-1—- :—^ Lda
и — x%
<
sup {e, (x» t, R)} +°°
<-0<'<o° 2я J e-v."|^(«i/P)|«n-idM> (4.32)

174 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
причем интегралы
Г e-4u\F(ulto)\uP-ldu (vx>v)
(4.3")
сходятся ввиду (4.3) и условия р^>и.
Напомним теперь лемму Дирихле*), согласно которой, если
функция <p(*)6^i(0» а) (0<#<!-f-oo) имеет ограниченное изменение
в окрестности точки х = 0, то
1. Г / N sin Яд: , я / I /чЧ
hm фО)—— dx = -=•<? (+0).
\,->-|-оо «{ Л Z
(4.33)
Поскольку функция F(ul/Q) e~v^uu^~l также имеет ограниченное
изменение в окрестности точки а = аг§, совершая предельный
переход в неравенстве (4.32) и учитывая при этом (4.11) и (4.3'),
получаем формулу (4.30) теоремы при р > -^ .
Пусть опять 0<л;0< + оо, но р = ^. Тогда из (4.7') и (4.10)
при /?—>-|-оо имеем
1(1 -ц) v^7'
/>(*о)-
X
X I e-vi»F(u2)u»-
sln
^i/i-4(a-^)|
«—42
d«
<
i-d-n) -^4'
<
x
X
-f-OO
Г e-^uF(a2)u^-1
sin
и+42
du
+
sup {e2 (*0, t, R)} +i°
o</<+co j e_^u \F(tt2)\uv-idu. (4.34)
0
2я
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. III.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 175
Так как в рассматриваемом случае
+оо
J e-v*tt\F(u2)\u»-ldu<+oot
о
в силу (4.11) и леммы Римана — Лебега 1.1 предел выражения,
стоящего в правой части неравенства (4.34), при /?->-f-oo равен нулю.
Предел же интеграла, стоящего в левой части (4.34), согласно лемме
Дирихле, равен
1 vfr
±xl*-X)e -№-0) + F(*0+0)].
Таким образом, переходя к пределу в неравенстве (4.34) при
/?->-f со, мы получаем требуемую формулу (4.30) в случае р = —.
Докажем теперь формулу (4.31). Заметим сначала, что если |х = 1,
то из (4.7') и (4.8) при р^>-п- имеем
+оо
0 I Ср (v,; R) J
= ±. I F(uvp)e-4U ' —- - -du. (4.35)
о
Но при |х=1, согласно (4.3"), функция £-v»"F(и1^) принадлежит
классу ^(0, +оо). Вместе с тем по условию теоремы эта функция
в окрестности точки и = 0 также имеет ограниченное изменение.
Поэтому, переходя к пределу в (4.35) при /?->-|-оо, согласно лемме
Дирихле, получаем, что при \х = 1
/?->+оо ^
Таким образом, нам остается установить справедливость
формулы (4.31) при 0 < |ы < 1. При этом легко видеть, что мы не
нарушим общности, если будем считать, что функция F(x) веществен-
пая и в некоторой окрестности [0, 60) точки х = 0 не убывает*).
Для данного е > 0 выбираем и фиксируем теперь число 6
(0<6^60) так, чтобы выполнялось условие
0 < F(t) — F(+0) < е, 0 < / < 6. (4.36)
*) Поскольку функция ограниченного изменения представима в виде
разности двух неубывающих функций.

176 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Далее, из (4.7/) и (4.8) имеем
о 4(v>'*) J
(v,; Л) l о j
f+co 1
cp(vl;/?)
: I '
W?)
2mT (|г) J " i J - v ^ ■ :
- ■ " 16 J
= Ф,(/?) + Ф2(/?). (4.37)
Но из оценки (4.24) леммы 3.4 вытекает, что
+оо
|Ф8(А)1< ^(Гор^ J g"V'V(Ol^p-' <к. /?>/?0-
Отсюда имеем
lim Ф2 (/?) = О, (4.38)
/?->+оо
так как 0 < \i < 1.
Представим далее интеграл Фг(Я) в виде
ф1Ю = ЪЗ$ШР№ I rAje-tPt>->dtU +
Cp(v,,*) I О J
J[^(0-F(+0)k-^>-1^frf^
= ¥,(#)+ 4^ (Я)- (4.39)
Согласно формуле (4.25) леммы 3.12
lim V1(/?)=^-/7(+0). (4.40)
Что касается интеграла Ч?^/?), т0 после замены переменных £, = RWt
х
t==-„ он представляется в виде
^2(^)= 2я/Г(|х) Х
f 6/? )
х J гцр_! < J [f(^j_^(+o)]^-^p^Vp-1^L/^.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ
Поэтому для него справедлива оценка
б/?
177
|^2(Я)1 <2гк) тах
1 arg w •< 1J
I [F(^) — F(+°)]e~xQwQx™~ldx
(4.41)
Однако функция F (-^-) — /^(+0) на отрезке [0, 6R]
неотрицательна, не убывает и удовлетворяет условию (4.36). Поэтому,
используя вторую теорему о среднем значении, из (4.41) получаем также
оценку
б/?
Г е-^™9xw-ldx\
^WKor
2ТЩ таХ я
1 arg ш [< —
| w 1 = 1
+
+
6R
e-xPw9 xw-\dx
h
(4.42)
где |х и |2 — некоторые числа из интервала (0, 6/?).
Заметим
бого А > 0
Заметим теперь, что если | arg до |^-о- и |до| = 1. то для лю-
■uwQdu
<2.
Отсюда ввиду того, что функция и^-1 (0 < \х < 1) при я->-|-оо
стремится к нулю монотонно убывая, заключаем, что интеграл
Г e-uw*a\i-\ du (0<jli< 1)
равномерно сходится относительно параметра w на дуге |arg*г>|<!-тт-
окружности 1^1 = 1. Следовательно, можно утверждать, что для
произвольных значений а и b (0 < а < 6 <-|-оо) при |argte>|^-^-
и 1^1=1 справедлива оценка
ъ
[ ex-9wPx^"ldx
<С.
(4.43)
где С не зависит от arg-о;, а и Ь.
12 М. М. Джрбашян

178 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
Из (4.42) и (4.43) следует оценка
№(«)1<щ.
и, поскольку e > 0 произвольно,
lim W2(R) = 0. (4.44)
Д->+оо
Наконец, из (4.37) и (4.39) на основании предельных
соотношений (4.38), (4.40) и (4.44) получаем утверждение (4.31) теоремы при
0 < |ы < 1. Таким образом, теорема доказана полностью.
4.3, Выясним теперь асимптотическое поведение построенных выше
целых функций FR(z) при /?-> + со в замкнутом угле
ДрМО; 0) = {*; -^<|args|<n},
полагая лишь, что р^-1.
(а) Следующая теорема существенно дополняет результат
теоремы 3.5 и позволит нам в дальнейшем построить аппарат
интегралов типа Фурье для системы лучей.
Теорема 3.6. Пусть F(x)^Api]l(7i, v), где р^тах{и, 1} и
0<|ы<!р"1. Тогда, если
2г 6^/2(0; 0), гфО, (4.45)
то для любого V\^v справедлива предельная формула
,im /?/?^=iv-P- J Е9^ ^°Р,»& /0Л = 0. (4.46)
Доказательство. Пусть
Я ^ ^ 2я Я /л л^\
2t<%<W и yp = j-ap; (4.47)
тогда, согласно (4.13) и (4.13'), при некотором Ry > y\'P имеем
-§<Yp<<K*)<-§. R>Rv (4-48)
Полагая теперь R ^ R1% переписываем формулу (4.8) в виде
H„{ren.t.R)=tR" j\iRw f+
-»(*) -Yp
-\-iRw j e-te^eP4fEp(rRel«>+♦>; \i)elwd<? =
vp
^Я(1)(г*'*, Л Я) + Ж» (/■«'», f. Я)+ #<»(/•«'». *, /?). (4.49)

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 179
Заметим при этом, что, согласно (4.17), имеем
/?pcosp9>V!, |ф|< *(/?). (4.17')
Займемся оценкой отдельных слагаемых, стоящих в правой
я
р"
части (4.49). Заметим сначала, что при —Ур^Ф^—^(Я) и — <[#<;
<Г 2я имеем
Р
^<ар<Ф + ^<2я-ар<2я-^-.
С другой стороны, согласно асимптотической формуле(2.24) леммы 3.4
при largt^aj и |С|-> + оо
*р<* & = - Г(ц-р-)С - Г(ц-2р-)^ +О(^).(4.50)
Отсюда, принимая во внимание (4.17'), заключаем, что для всех
значений г>0, -<#<2я — —; *>0 чис
^ р ^ р ^
брать так, чтобы выполнялось неравенство
|Я«(гЛ t,R)\<
чений г > О, --<;д<;2я ; £><0 число R2(r)^ Rx можно вы
Ci(r)e~Vli R™~\ если 0 < |х <р-1.
р (4.51)
I C2(r)e'Vlt R'\ если (i = p-1,
где Cj(r) и С2(г) не зависят от *, / и R.
Из оценки (4.51) следует, что при условии (4.45), т. е. при
z = re^t г > О, — <^<2я— — имеем
P Р
+ оо
lim f H{2)(zt t, R)F(t)t™-ldt = 0. (4.52)
Переходя далее к оценке функции Я(1) (/■*'*, £, /?), запишем
тождество
/^(гЛ *. /?) = (г^)Р(1",1) /V°P-rP^P')(^,(P)P^(/?,/(p)P +
+ ^р J Р ^ (**'Ф)Р {^р {гRe1 ((р+»}; ц) -
-О (Я)
— р (г/?*' (*+Ф))р (1 "^ ^<Wp №+*)] ^ p^ dq> =
в/*Ч"л. *. /?)+^2)(гЛ/./г). (4.53)
12*

180 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
Положим сначала, что
р>1, £<ф<£+6р. (4.54)
где
6р = т1п{2я(1-1/р), JL}. (4.55)
Тогда при — •©• (/?) <! ф <! — Yp имеем
f<f-»(tf)^ + »<f + Sp-Yp = ap + 6p<ib.
Следовательно, для оценки функции P(2)(rel®, t, /?) можно
воспользоваться асимптотической формулой (4.16). При этом, принимая
еще во внимание (4.170, Для всех г > 0, — <#<— -|-6р, ^>0
число R^{r)^> R2{r) можно выбрать таким образом, чтобы при
R^>R^(r) имела место оценка
|P»'(„"./.R)|<[C'<r,'"V/pfi№"'- >Cm °<Ц<Г'-
l CA(r)e-Vxt9R-\ если \х = р'\
где С3(г) и С4(г) не зависят от d, t и /?.
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае (4.54) справедлива
формула
+ оо
lim Г Р{2)(геш, t, R)F(t)tllQ-1 dt = 0. (4.56)
Чтобы оценить функцию Р{1) (re , t, /?), заметим, что, производя
интегрирование, получаем
/ /&\p(i-n)
P(1)(rA t, R) = yre9 } fpp p {exp [— (f p — r*e4*)R?e-W<*>] —
_ exp [-(^p- rp^pd)/?p^;pYp]}. (4.57)
Далее, принимая во внимание условия (4.47), (4.48), а также (4.54),
(4.55), имеем
я<рд<я-+-р6р< ^-я, |<я —рур<р(Ф —Ур)<я.
и при /?>/?i
5-<я — р*(/?)<р(0 —*(/?))< я + р(6р —*(/?))<! л.
Отсюда при условии (4.54) вытекают следующие соотношения:
mincosр(d — yp) = — ар (ар > 0), cosp(ft — ft(/?))-<0,
I/P-jV*!;^, cosPYp = *p (ftp>0). (4>58)

§41
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ
181
Принимая во внимание условие (4.12), формулу (4.57) записываем
в виде
P"{rel\t, R)=,^(ren,t, /?) +
-/*'
+ Q(2)(rel\ R)e'v'?±-
V-4'
(4.570
где при R^RX в силу (4.58) имеем
|Q(1)(/V», /, fiJKf-V/'.
|QP)(«'*. /?)IOP(1-tl)- (4.59)
Из формулы (4.57^) и из оценок (4.59) вытекает, что при
условии (4.54) и /?^max{/?i, (vi&p1) } справедливо неравенство
<
+оо
J* P(l)(rel\ t, R)F{t)t™-xdt
о
+ oo
0
/• p I #2P
+ rp (i-w j e~v,« ^ (0 ,mp-1 _£ _ ^ rf/
■ r'pV
(4.60)
— V t^ HP- 1
Замечая теперь, что б 1 F(t)t ££i(0, +оо), легко видеть,
что первое слагаемое в правой части неравенства (4.60) при R -->-{" °°
стремится к нулю. Предел второго слагаемого также будет равен
нулю, по теореме Римана — Лебега 1.1.
Следовательно, имеем
liin f P(1)(/V\ t, R)F(t)t™'ldt = 0,
На основании (4.53) и (4.56) отсюда следует, что в
рассматриваемом случае (4.54)
+оо
lim f Н{Х){ге™, t, R)F(t)t*>-ldt = 0. ,4 61)
Покажем теперь, что (4.61) справедливо и в случае, когда
£+6р<Ф<2л* (4.62)

182 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ill
Заметим сначала, что при р=1 замкнутая область Ар/2(0, 0)
вырождается в полуось (—оо, 0) и 6р = 0. Значит, при р=1 для
единственно возможного значения & = л формула (4.61) уже доказана.
Итак, рассмотрим случай (4.62), полагая р> 1. Тогда, принимая
во внимание (4.48), для значений —^(^^ф^ — Yp ПРИ R^R\
имеем
|r + 6P<f + 6p-*W<4) + *<2jl-f-Yp<2"--J-
Обращаясь вновь к асимптотической формуле (4.50) и
учитывая (4.170. легко приходим к оценке
, т/ № м \сь(г)е-^Р>»-1. если 0< ц < р~\
\Н{1)(ге<\ t, /?)|< 5W p P (4.63)
( C6(r)e'Vli R~\ если ц = р~\
справедливой при /?> /?4(^)> R\-
Из (4.63) следует, наконец, что при условии (4.62) предельное
равенство (4.61) остается в силе.
Резюмируя, заключаем, что при условии (4.45)
lim f \H{l)(z, t% R)\F(t)tliQ'ldt = 0. (4.64)
Наконец, из определения (4.49) функций Я(1) и Я(3) следует, что
Н*\ге1\ t, /?) = _Я(1)(г^(2я-*). t, R),
71 JT Л
причем заметим, что в случае — << д << 2л имеем также — <! 2л—
Jp^^p p ^
— д<^!2л . Следовательно, из (4.64) вытекает, что при
условии (4.45) справедливо и равенство
+оо
lim f H{3)(zt t, R)F(f)P»~ldt = b. (4.65)
Таким образом, утверждение (4.46) теоремы есть непосредственное
следствие формул (4.70, (4.49) и предельных равенств (4.52), (4.64)
и (4.65).
(б) Из теорем 3.5 и 3.6, в частности, вытекает известное
предложение об обращении преобразования Лапласа.
Теорема 3.7. Пусть функция F(x) определена на полуоси
[0, +оо), имеет ограниченное изменение на любом ompe3Ke[0,R]
и удовлетворяет условию
\F(x)\^Me^x, о<дг<+оо. (4.66)

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 183
Пусть, далее,
+ оо
G(0 = J F(t)e-'ldt (4.67)
о
— преобразование Лапласа функции F(x), являющееся
голоморфной функцией в полуплоскости Re£>v0. Тогда при любом
vx > v0 справедлива формула
V+/oo
p. j e*G®dl =
L[F(x + 0)-F(x-0)}
= \ 4-FH-0) при х = 0, <4'68)
при
при
при
0<л:< + оо,
л: = 0,
— оо < л;<0.
2я/ V
2
0
В самом деле, пусть Vj > v0; тогда из условия (4.66) следует,
что F(x)£Altl(l, v) при всяком v£(v0, vx). Поэтому формула (4.68)
является непосредственным следствием формул (4.30) и (4.31)
теоремы 3.5 и формулы (4.46) теоремы 3.6, если заметить еще, что
Ег(г; 1) = ег.
4.4. В заключение этого параграфа распространим теорему 3.5
на произвольную конечную систему лучей, исходящих из начала
координат.
(а) Пусть ib ф | обозначает совокупность лучей
/* = {<*; arg* = <P*} (*=1. 2 />). />>2, (4.69)
где 0 < ф! < ф2 < ... < Фр < 2я.
Полагая (рр+1 = (рх -f- 2я, обозначим
L Я m }>%>l- (47°)
0= max
Очевидно, что я/со есть величина минимального из тех углов, на
которые разбивается плоскость z системой лучей £/<р,...,<р г.
Отнесем к классу Лрц(н, v; (рг фр) функции F(z)t которые
определены на системе лучей £/ф,..., ф i и удовлетворяют условию
J \F{z)\e-v\*\*\z\™-x d\z\< + ^t (4.71)
£{4>i фр}
где 0<p<-f°°. 0<|х<-|-°° и 0<x<4-oo. 0<v<+oo.
Теорема 3.8. Я>устб/7(г)^Лр^(н,у; ф! фр), гдг р^тах {н,©}
# 0 < ji^p"*1. Если, кроме того, F(z) имеет ограниченное

184 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. III
изменение в окрестности данной точки ге1($ £ /,гф t.,., ф ь то при
любом vx > v справедлива формула
*-1 1р (0; V.)
j[F((r — 0)е,'ч,) + /:'((г + 0)ег<Р)], если г > 0,
iS/7((+0)^^ мли r = 0. 0<|i<l.
ft-i
(4.72)
G{*V(C; F) = ^-1J F(r^*)^rP£Vp-,rfr. (4.73)
где
+ oo
Доказательство. Из условия (4.71) следует, что
!*№**)£ AQtVL(*. v) (А=1, 2, .... /7),
где в силу (4.70) р ;> max {х, со} ^> max (х, 1} i> 1.
Обозначим
£р С* vi) (4.74)
(A=l. 2 p).
где Gp*V(S; Z7)—обобщенное преобразование Лапласа функции ^(ге'ф*).
Согласно теореме 3.5, если relv £lk, то справедливы равенства
^[/ф_0)^*) + ^((г + 0)е,фА)] при г>0,
^^((+0)*'»*) при г = 0.
(4.75)
С другой стороны, согласно теореме 3.6, если г > 0, то
&-к(ге1*) = 0 при |ф_ф,|>^ (/г=1,2 р). (4.76)
Далее, при /#& (у, £= 1, 2 />)
|фу —Ф*1> min (ФУ+1—Фу) = -Г>7'
так как p!>max{x, со}^>со.
&~к(ге**) =

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ФУРЬЕ НА СИСТЕМЕ ЛУЧЕЙ 185
Поэтому из (4.76), в частности, вытекает, что- при г > 0 и ]фк
(/, k=l, 2 р) имеем
<rk(rei(*l) = 0. (4.77)
Наконец, легко видеть, что утверждение (4.72) теоремы есть
непосредственное следствие формул (4.75) и (4.77).
(б) Покажем, что теорема 1.3 следует из теоремы 3.8 как
некоторый весьма частный случай.
Пусть F(x)^Ll(—оо, +оо); тогда в принятых нами
обозначениях функция F(z) определена на системе лучей L(Q л, состоящей
из двух лучей argz = 0 и argz = tt, для которых со=1, причем
^(2)6^1,1 (0» 0» 0. я)- Но тогДа из (4.73) получаем
+ оо
G[]\(tyt F)+G?t\(-iy; F)= J F(u)e'iyttdu +
о
-foo +oo
-f | F{—u)eiyudu = J F(u)e-lyadu = Y2n<griF). (4.78)
0 —oo
С другой стороны, заметим, что кривая Z,j (0, 0), как легко видеть,
есть вся мнимая ось £,= iy, пробегаемая от —too до -f-/oo. Поэтому,
согласно формуле (4.72) теоремы 3.8, если функция F(х) имеет
ограниченное изменение в окрестности данной точки х0£(—оо, -f-oo),
то, принимая во внимание (4.78) и равенство Ех {z\ l) — ezt имеем
j[F(x0 + 0)+F(x0-0)} =
+ оо
= -±v.p. j elx°yO[l\(ly; F)dy +
— oo
-f oo +oo
+ 2^. p.jV'^G^/y; F)dy = ±v.p.je<™{G«\(ty, F) +
— oo —oo
+ 00
+ 0?i(—/У. F)}dy = y==rv. P. \ ^[F]el^dy.
— oo
Итак, мы получили основное утверждение 1° теоремы 1.3: если
функция F(x)£Lx{—оо, +оо) в точке х0 имеет ограниченное
изменение, то справедливы формулы
+ СО
0(у)=-тк \ 'w •-"■*».
(4.79)
+ оо
~[F(xQ-0) + F(x0 + 0)]=-^v. p. J 0(y)el^dy.

186 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. Ш
(в) Кусок кривой £р(0; v^, лежащий в круге | £| ^ 01/р (о > v^,
обозначим ради краткости через С0. Для любого о > V! образуем
целые функции
*^Ю = Ш J4(^~"4; nK*U; ^)Г-Ч. (4.80)
Со
^\z\ Ф1 ФР)=Е<£Т(*) (А=1. 2 р). (4.81)
Так как £p(z; МО— целая функция порядка р и типа 1, легко
убедиться в том, что целые функции (4.80) и (4.81) имеют порядок
не выше р и тип не выше о. Согласно теореме 3.8 при z £ £гф t #tt# ф i
существует предел
lim &*™{г\ ф! %) =
= 2^"V" Р' I ЯрС""** !*)*«; nr-'dt
при известных условиях совпадающий с функцией F (z).
Поэтому теорема 3.8 одновременно содержит аппарат
приближения на системе лучей £{<p,...,<p i целыми функциями конечного
порядка р^тах{н, со}, тип которых стремится к бесконечности.

ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ
ОБЛАСТИ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
Теория интегральных преобразований Фурье — Планшереля — Ватсона
в классах L2, изложенная в гл. I и II, допускает дальнейшие обобщения,
связанные с функцией Миттаг-Леффлера £р (z\ |л), основные свойства
которой были исследованы в гл. III.
В § 1 этой главы, опираясь на асимптотические свойства функции £р {z\ ц),
мы находим ее преобразование Меллина и устанавливаем некоторые
функциональные тождества для указанных преобразований, имеющие
существенное значение для дальнейшего изложения.
Развивая результаты, содержащиеся в § 4 гл. III, мы в §§ 2 и 3
настоящей главы строим полную теорию обобщенных интегральных
преобразований с ядрами Миттаг-Леффлера в классах функций, принадлежащих
12(0, +оо).
Наличие независимого параметра р ]> н- в полученных при этом
интегральных формулах позволяет нам при р ;> 1 выяснить поведение этих
формул в комплексной области. Такой переход от одного луча в
комплексную плоскость дает возможность установить существенное обобщение
теоремы Планшереля 1.13 на случай произвольной конечной системы лучей,
исходящих из одной и той же точки комплексной плоскости.
§ 1. Преобразование Меллина функции EQ(z; \i)
1.1. Докажем сначала две простые леммы,
(а) Обозначим для х ^> О
ер(Кх; \i+l) = x»EQ№>\ \i+l\ (1.1)
где А,— любое комплексное число. Заметим, что по формуле (2.16)
гл. III
-j^e9(Kx\ \х+1) = ер(Хх\ \l). (1.2)
Лемма 4.1. Если для данного p^-s- параметр \х
удовлетворяет условию
4<^<^ + }. (1.3)

188 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
то при всех а£ \y~> 2л— -я—
*р(*'«*; [х+1)д;-16^(0. +оо). (1.4)
Доказательство. Выберем постоянную Сх > О таким образом, чтобы
при 0<]л;<; 1
\EQ(e^x^; \i+l)\<Cx (0<а<2л).
Тогда при 0 < л; < 1 и 0 < а <; 2л
\e9(eiax; \1+1)х-1\^Сгх*-19
^ 1
откуда в силу того, что \х > у, получаем
e9(eiax; ц+ОдГ^бМО. О (0<а<2л). (1.4')
Если мы покажем, что при любом р^-гт
ер(е'«х; ц+1)*-»6^(1. +сю) (-|-<а<2я--|), (1.4")
то из (1.4') и (1.4") будет следовать утверждение (1.4) леммы.
При доказательстве утверждения (1.4") мы будем существенно
опираться на асимптотические свойства функции Ep(z; \x) в
комплексной плоскости, установленные в леммах 3.4 и 3.5. Рассмотрим
1 >. 1
отдельно два случая: р = -п- и р > -~-.
1 15
а) Пусть р = -^. Тогда, согласно (1.3), имеем -^ < jlx < -^ , а для
параметра а возможно единственное значение а = л. По формуле
(3.34) леммы 3.5, при #->-|-оо справедлива асимптотическая
формула
*i/2(— x\ li+l)x-l=Em(— х2; \i-\-l)x»-l =
= Jf-iC0s(x-|-|i) + 0(-ljr)l
откуда следует, что
|«w(-*; и+1)*-Ч<х+^ётг (1<*< + оо). (1.5)
5
где С2 > 0 — постоянная. Но x~1£L2(l, +оо), а так как ji < -~ »
то и a^-3£Z,2(1, +сю); поэтому из (1.5) следует, что
*i/2(—*; Н'+О-х^бМ1. + оо).
6) Пусть р>-^-. Если-^- < y < mini л, —>, то из
асимптотической формулы (3.24) леммы 3.4 следует, что при 1^;е<+оо
и у<а<2л — у
_j_
\EQ(e'*xl*>; *х+1)|<С3* р .

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (Z; \l) 189
где С3 > 0 — постоянная, не зависящая от а. Отсюда получаем оценку
\ep(elax\ |i+ 1)аг-1|<С3а:Ц"~1(1<а: < + сю, у<а<2я — у)
^1.1
а так как \х < -~ -\ , то
*р (*'**; ilx-Ь О а:-1 6^2(1. +оо) (У<а<2я-у). (1.6)
Если теперь-2-<^a^Y или 2я—у^а^Яя— -д—, то тогда по
асимптотической формуле (3.23) леммы 3.4 при 1<^л;<-|-оо имеем
\E9(el*xVv\ ^i-T-l)|<p*-n + C4* р,
где С4 > О—другая постоянная, не зависящая от а.
Таким образом, получаем оценку
--i— 1
\e9{eiax\ у.+ \)Х-1\^рх-х + САх* р (1<л;<+оо)
для всех а из отрезка hr-» Y Или \^п — ^' ^я—"91 •
Но оба слагаемых в правой части этого неравенства принадлежат
классу L2(\, -f-°°)» поэтому
ер(*'«*; [i+О*"1 £Z,2(1, + со) (^ <a<Y, 2я-у<а<2я-^).
(1.7)
Из (1.6) и (1.7) вытекает (1.4"). Лемма полностью доказана.
(б) Для дальнейшего нам необходимо иметь преобразования
Меллина некоторых элементарных функций.
Лемма 4.2. При О <Res< 1 справедливы формулы
J ±1Х 1—5
0
+ оо
Г 1 — COS X с 1 , Г (5) . Я5
а:5-1 tf л; = 1 v ' sin -^ ,
J * 1—5 2
0
+00
Г sin x . 1 , Г (5) Я5
xs~ldx= , cos-тр.
J л: 1 —5 2
(1.8)
(1.80
(1.8")
Доказательство. Заметим сначала, что интегралы, стоящие в
левых частях формул (1.8), (1.8') и (1.8"), абсолютно сходятся при
0<Res<l. Поэтому они представляют аналитические функции
от s в полосе 0 < Res < 1.

190
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Фиксируем ветвь функции zs~l, которая на полуоси 0 < х < -f-oo
принимает значения exp {(s—l)logA;}, и рассмотрим интеграл от
функции e~zzs~l(0 < Res < 1) по замкнутому контуру области
0 < е<С | z\ ^CRt 0<Carg2<^-7p равный, очевидно, нулю. Устремляя
затем последовательно е->0 и R->-\-oot получаем формулу
±i~s
e±lxxs-ldx = T(s)e 2 *
(0<Res< 1).
Следовательно, для любого t > 0
e±ltxxs-]dx = t-sT(s)e± 2 *
(1.9)
Пусть е, 0<е< 1, фиксировано, тогда при t^e для всякого
А > 0 имеем
А I
1 |
откуда, согласно известному признаку равномерной сходимости
несобственных интегралов *), следует, что интеграл
Г e±itxxa~ldx (0<a< 1)
равномерно сходится для значений t^z. Но очевидно, что при
0 < о < 1 интеграл
1
Г e±itxxv-\dx
равномерно сходится для всех значений t^>0. Следовательно, при
0<5<1 интеграл (1.9) равномерно сходится для значений t^z.
Поэтому, полагая пока, что s вещественно и 0<5<1,
интегрируя формулу (1.9) по параметру t в пределах (е, 1) и изменяя
в левой части порядок интегрирования, получаем
±ix
xs-\dx = (\ ^el-s)_^le±l2
1 — s
(1.10)
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. II.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (г; ц)
Далее, если 0<s< 1, то имеем оценку
191
-t-a
I
1 — е
±1гх
±1Х
Xs'1 dx
+ 00
<2 Sln"2"
о
xs~2dx =
+оо
= (^У"5/ |sin«|«*-2rf«, (1.11)
причем последний интеграл, очевидно, сходится. Если перейти к
пределу в (1.10) при е->0, то, учитывая оценку (1.11), получаем, что
формула (1.8) справедлива для вещественных значений s (0 < s < l).
Если 5 вещественно и 0 < 5 < 1, то, отделяя вещественные и мнимые
части в обеих частях (1.8), получаем, что формулы (1.80 и О-в")
также справедливы для указанных значений 5. Но левые и правые
части формул (1.8), (1.80 и (1.8'0 являются аналитическими
функциями от s во всей полосе 0<Res< 1. Отсюда вытекает, что эти
формулы справедливы во всей полосе 0<Res<l.
1.2. (а) Для дальнейшего нам необходимо выяснить
асимптотическое поведение интеграла
Up(s)— J */"/ф+'(*-1)Ф<Л|> (0<Res<l) (1.12)
я
~ 2
при p->-f-oo. Докажем прежде всего следующую лемму.
Лемма 4.3. При 0 < Res < 1
2я
р-> -1-е»
Доказательство. Замечая, что
lim /,-Ц/,(в)=т-г_
' 2
Л-0
(1.13)
k sin^-l+s)-^
k— 1+5
разбиваем ряд, стоящий в правой части этого равенства, на сумму
двух рядов, в которых суммирование производится соответственно

192 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
по четным и нечетным значениям k. Тогда получаем
KS „ . / , Я , Я5 \
cos~2~ v^ n2k sm\nk 9~ + "H
k=\
iS. 2fe+i sin (я& 4--^-)
"^"^^(2^ + 1)! 2£ + s —
k=0
Я5
COS •
= 2 -j 2 cos -77- >. (— 1 г E +
+ 251п^ J](-l>
/5 = 1
„2* + l
(2Лг)! (2Л — 1+s)
(2* + l)!(2* + s)
Я5 P
cos •
"~2~ KS [ cos*—1 . , . ,
= 2-T—^ 2pl'scosT J * *J-1rf.* +
0
p
+ 2pl-ss\n^- [ ^-xs~xdx. (1.14)
о
Ho 0<Res<l, поэтому из (1.14) при помощи формул (1.8')
и (1.8") леммы (4.2) получаем
Я5
Я5 С 1
lim p"lU0(s) = 2 cos— l-cosx xs-idx +
7->+00 И О
+ oo
, n . ns Г sin л: „ , . n Г (s) .
+ 2 sin-77- x6~] dx =2-r-^-s\nnst
1 2 J x 1 —s
откуда, согласно формуле дополнения
Г(5)Г(1-в)
я
Sin Я5
следует наше утверждение (1.13).
(б) Проведем разрез в плоскости z вдоль луча arg2 —а, где
а—любое число из отрезка -^-, 2я — "Т" Г (р^т) • 0™етим» чт0
в случае р = -?г для а возможно единственное значение а = л и
разрез проводится по лучу arg£ = tt.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (г; fx) 193
Рассмотрим далее в разрезанной таким образом плоскости z
ту ветвь функции 2P(*+n-i)-i Res = -J, которая на полуоси
0<л;<-{-00 принимает значения ехр{[р(з + |ы — 1)—1]1о£л;}.
Обозначим через lR контур \z\ = Rt лежащий в указанной плоскости
с разрезом arg£ = a.
Лемма 4.4. Если для данного Р ^>-о- параметр \х
удовлетворяет условию "2<М'<^Ч » т<> пРи Re 5 = -н*
lim I £р(г; \i+ l)z»<'+»-*>-*dz= Г,?" . . (1.15)
Доказательство. Случаи р > -<? и Р = ^- рассмотрим отдельно.
Случай р>-2" Обозначим через 1$, 1$ и /^ соответственно
те дуги окружности \z\ = Rt пробегаемой в положительном направ*
лении, на которых arg z изменяется в пределах —2л + а, JL I
[—5"' "S"]' К' а]' 0чевидн0' имеем
|^р(0; |1+1)*р(*+,*-1)-1<** =
lR
= j Ep(z; \x+\)z<>(s+»-V-ldz +
lR
-ff£p(2; |i+l)*P(J+M--i>-irf2+J^pO*; jut -h 1) -ггР(*+ix-i)-i ^^
i<J #
(1.16)
Вычислим пределы при /?->-|-oo трех интегралов, стоящих справа
в (1.16), которые мы обозначим соответственно через Ii(R), /2(R)
и /3(/?).
Имеем тождество
i(2)
13 М. М. Джрбашян
+ р J e*z?{s-l)-ldz = l£){R) + №{R). (1.17)
/(2)

194 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Так как Re s=-<r, то, согласно асимптотической формуле (3.23)
леммы 3.4, справедлива оценка
I /?' <*) I < -£ *Р (""^=ciRP (^)-1 W > «о).
где Cj > О— постоянная, не зависящая от /?. Отсюда, ввиду того,
что [a<y4 » получаем
... А1»-
-boo
/(2) ,
lim r2l)(R) = 0. (1.18)
#->+оо
Далее, для интеграла А (/?) после замены z = Ret(f имеем
выражение
я
Я
_я_
2
= /flp<*-i> J ^^ф+/(^1)Ф^ = //?р('-1)^/?р(5). (1.19)
2
Из (1.18) и (1.19), применяя предельную формулу (1.13) леммы 4.3,
получаем
lim ^2)(/?)=Г(оШ' ,. (1.20)
Докажем теперь, что
lim /!(#)= lim /3(Я) = 0. (1.21)
Так как соответствующие оценки вполне аналогичны, мы ограничимся
установлением второго из предельных равенств (1.21).
Замечая, что в интеграле l3(R) значение arg2 изменяется в
пределах I-g-, а I, где -2-<а-<2л—-^- , получаем, что при а=у-
и при всяком R > 0 справедливо равенство /3(/?) = 0. Если же
-2-<а<;2л—у-, то, фиксировав число а0 из интервала -^- <
< а0 < min | л, ^- >, разберем отдельно три случая: 1) ^- < а < Oq,
2) Оо<а<2л —Oq, 3) 2л— а0 < а< 2л — ~-.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (г; \l) 195
В случае 1) мы опять записываем тождество вида (1.17) для
и /(3)
И LR
/3(/?)= J {EQ(z\ \i-\-l)—pz-w>e*Q}zfits+il-V-ldz +
i(3)
дуги /V
|(3|
+ p J e*P2rP(*-1)-1rf2r=/?)(/?)4-/?)(«).
,(3)
Так как формула (3.23) леммы 3.4 справедлива при |argz|<^a0,
для lil)(R) получаем такую же оценку, как и для /^ (/?). Таким
образом, снова имеем lim /31)(/?)=0.
Что касается интеграла /з (#)• то заметим, что Re£p =
= #pcosparg2<0 при -£-<arg2<a, |г|=/?, так как -^-<С
^pargz^pa^pcto <я. Отсюда при Re $ = -9- получаем оценку
|/?(Я)|<Р J* Л"^Ф = р(о—^)Л"
2р
Следовательно, lim /32)(/?) = 0. Таким образом, в случае 1) действи-
тельно lim /3(/?)=0.
Я-*+оо
В случае 2), разбивая дугу /^ на части Y/? и Y#» на которых
argz изменяется соответственно в пределах \-^~ , а0 и [а0, а], имеем
*
4- JЕр(г; |4+1)гр(,+,1-1)-1^=/;(/г)+/Г(/г).
Но интеграл h(R) такого же характера, как и интеграл /3(/?) в
случае 1) (ведь там допускался случай, когда а = Оо). Поэтому оче-
видно, что, поступая точно так же, как выше, получаем lim /3(#)=0.
/?->+оо
Для оценки интеграла /3 (R) воспользуемся асимптотической
формулой (3.24) леммы 3.4. Ввиду того, что Res=-7>-, имеем
IIV (*)!<-§- RP (""*) = C2RP О1"*)"1 (R > R0),
13*

196 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
где С2 > О— постоянная, не зависящая от R. Следовательно, в силу
условия Ц<-п-Ч получаем lim /з*(/?) = 0. Таким образом, и
в случае 2) lim /3(/?) = 0.
R->+co
Наконец, в случае 3) оценки, приведенные для случая 1),
полностью повторяются, и мы снова получаем lim /3(/?) = 0.
Из (1.16), (1.17) и из предельных равенств (1.18), (1.20), (1.21)
следует утверждение (1.15) леммы в случае р^-^:
Случай р = -^-. Обозначая через /д"* и /jf) соответственно
верхнюю и нижнюю половины окружности \z\=R, имеем
1
+ JE4l(z; ц+1)^"+ц~1)"1^ = /<+>(/?)+/<-'(^). (1.22)
'я
Для интегралов I (R) выписываем соответственно тождества
/(±)(Я)= /{%(*; и+о—
/(±)
lR
А, „ .,,. 1
+ Y \ lezil2 + e±<»«e-*l2]z^(S~l)~ldz=/[±)(R)+ /£*>(/?). (1.23)
lR
На основании асимптотических формул (3.33) леммы 3.5 и ввиду
того, что Re s = -J » получаем оценку
I If] (Я)|<-§- R* ^"^ = C3R* ^ (R > Я0),
где С3>0 — постоянная, не зависящая от /?. Отсюда, замечая, что
при р = -н- по условию [X < -^ , имеем
lim r[±)(R) = 0. (1.24)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (2; р,) 19/
Разобьем интеграл I^* (R) на сумму двух слагаемых
1 f j/j ^(s-D-i
4*4*)=^ J л^""-1^-
/(±)
+ i^L J г^}(1-1»-,г=^№)+/(/»(Л). (1.
25)
z(±)
После замены переменной соответственно z = Re± /2Ф для
интегралов 1з±] (R) получаем представление
1 Л/2
#=> (R) = [R * {s'l) J е*1*'* '*±' С"1) * <*ф, (1.26)
о
а для интегралов /^(Z?)— оценку
я 1 Я/2 л 1
1л±)(Я)|<*т,1т*,д" J «-**"■♦*♦< 5^,ImV7.
о
откуда следует, что
lim Д±}(/?) = 0. (1.27)
/?->+оо
Заметим, что, согласно (1.26),
/(+)(/?)+/<-»(^)==^т^-,) f ****'♦+/с-ц*^ = tRh<-vu 1/j(s).
Л
" 2
Поэтому из (1.25), (1.26) и (1.27), согласно формуле (1.13) леммы
4.3, имеем
Пт {4+)(/?)+/2_)(/?)}= Пт {/i+)(/?)+/i"}(/?)} =
/?->+оо /?->+оо
= Т(^Ь) (0<Re«<l).
Отсюда и из формул (1.22), (1.23) и (1.24) вытекает утверждение
(1.15) леммы в случае р = -^-:
1.3. (а) Согласно лемме 4.1, если для данного Р^-н*
соблюдается условие -^ <\i < -^-\ , то для всех а£ Up, 2я — у-
EQ(eiax^; ii+l)x^-1 = ep(eiax; jx + 1)х'1 £Z,2(Q, + оо).

198 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
По теореме 1.16 о преобразованиях Меллина в классе Z,2(0,-f-oo),
можно утверждать, что на прямой 5 = -^ + it (— сю < t < -f- oo)
интегралы
I
при а->-\-оо сходятся в среднем квадратичном к некоторой
функции из класса L2(—оо, -f-oo).
Мы покажем теперь, что при Res = -o- интеграл
о
сходится также и в обычном смысле, кроме того, мы найдем его
значение. С этой целью сначала докажем нижеследующую лемму.
Лемма 4.5. Если при данном р^-к параметр \х
удовлетворяет условию _-<|x<---J • то для любого а^|у"' 2я — <Г"]
справедлива формула
-t-<
eiQ(n-a) (s+n-l)
Г (2 — 5) sin яр (5+ ц — 1)
(Re5 = l). (1.28)
Доказательство. Рассмотрим функцию En(z; fi-f-1) • 2p(J+M,-1)~1,
1
Re 5 = -2"» в плоскости zt разрезанной по лучу argz — at где
a£ T"' 2jt—"9" —любое число; при этом выбор ветви функции
zv(s+\i-i)-i тот же^ чт0 и в 1.2 (б). Обозначим через L{R\ г)
замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении и
образованный окружностями /е= [z\ \z\ =е}, lR= {z\ \z\ = R] (0 <е < R)
и двумя краями разреза arg z = a(e^|z|<^ R).
По теореме Коши
Г EQ(z\ fi+l)^p(,s+,*"1)"1^ = 0.
L (/?; е)

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (Z; ц) 199
Записывая эту формулу в развернутом виде и учитывая выбор ветви
функции zP(s+v-1)-1 в разрезанной плоскости zt получаем
я
в-/(2я-а)р<*+ц-1) ( Е (reia\ ^ + 1)^р(5+ц"1)"1^/* +
е
iR г
Xrp(*+n-i)-irfr_|_ Jfp(*; М' + 1)*Р(*"Н1"1)~1<*2 = 0. (1.29)
h
Заметим, что если е>0 — достаточно малое число, то
max|£p<*; ц + 1)|<1^-ту.
Поэтому для таких е при Res = -^- справедлива оценка
J Ep(z; ц+1)гр('+|*-1)-1^|<гон-1)2яеР^"^-
Отсюда, учитывая то обстоятельство, что \х > -^ , получаем
lim [ EAz\ \x-{-l)zt>(s+»-V-ldz = 0. (1.30)
e->0
e
Переходя к пределу в (1.29) при е->0, в силу (1.30) получаем
тождество
я
в/ор(*+ц-1) ^-/2яр(л-ц-1)_1} СEQ(rela; М' + 1)гр^+^-1)-1^г =
о
= — j£p(s; ji+l)^^»1-1)-1^; (1.290
при этом интеграл в левой части (1.29') абсолютно сходится при
1 1
любом конечном /?, так как Re5 = -g- и |1>^^
Но при Re5 = -j имеем Rep(5 + M- — 1) = Р (м- ~~"~2") < *•
Следовательно, е-^яр^+и-1)—1 ^=0 при Re^ = ^-, и поэтому тождество

200 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
(1.29') можно записать в виде
R
Е9 (reia\ \л + 1) гР С+и-1)-! dr =
I /р_(я-а)($ + |А-1) С / Т \
= -2sinnp(, + ^l) J *р(* ^+1)^Р(№1)-1^ R" = T :
lR
(1.29")
Переходя к пределу при /?->-|~°° в тождестве (1.29"), в силу
формулы (1.15) леммы 4.4 получаем (1.28). Лемма доказана,
(б) Обозначим
—^ = 1.1. т. - л;*-1*/* Res=^ , (1.31)
1/а
полагая, как.всегда, р^-^-, у < I1 < "gH и -^-<а<2л— ^-.
В начале этого пункта было отмечено, что предел в среднем в
правой части (1.31) существует всюду на прямой s = —-)-# (—оо <
< t < -4- °°) и при этом
$о (5; a; \i)
£L2[-2—ioo, —-f-/oo);
1—5
Теперь из леммы 4.5 вытекает также
Лемма 4.6. Пусть для данного Р^-н" параметры \х и a удо-
влетворяют условиям -^ < М- < -^ Ч—; -9- < a < 2л—-^-. Тогда:
Г. Справедливы формулы
г *P(«/a*;i*4-i) lrf _ SP (*«; и) _
J . л: * ЛГ — 1—5 ~
о
Jtp ^^Р(Я-0)(5 + |А-1) / J ч л
=== Г (2 — 5) sinatp(5 + ^—1) Ге*=2Г (1,32)
причем интеграл в левой части (1.32) сходится в обычном
смысле.
2°.
sup I *р (4-М*: a; |i) I < Af , (1.33)

$ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (г; |ы) 201
где
м» =
Т . 1 ^1,3
2р /я , . *сля 2"+4^<^<2-+4^"'
2рУТг 1 1 . "1 1,3^^1,1
sin 2np 1м- — -jJ
(1.34)
Доказательство. 1°. Тождество (1.32) получается из формулы (1.28)
леммы 3.5 путем замены переменной г = х1^. Формула (1.32')
вытекает из (1.32).
2°. Пусть s = -=-\-it (— со < t < + со); тогда из формулы
дополнения
|Г(1-5)|=/^>/л,"Т"1.
sin ns
получаем
Далее, имеем
|g/p(n-a)(5+|A-l)| = e-p(n-a)tf
J sin лр(5 Ч-М*— 1)1 = 1/ sh2npf-|-sin2Jip (\х —-у) =
где
ФР, ц (0 = * + *"~4яр|'' — 2^-2jtPi <I cos 2яр [и. — у) .
В силу этих формул из (1.32г) получаем оценку
|^Р(4 + ^; «; ^)|<2Ругя х
Хехр{р[^— ^-(^-a)sign^U|}[9p^W]"Va.
Но из условия -к- ^ а <[ 2я — у вытекает, что -~ я —
— (я — a) sign £•<; 0 (—оо<£<+оо), и поэтому последняя оценка
принимает вид
|^p(j + "; а; ц)|<2р/я[Фр,ц(0ГТ. (1-35)
Теперь оценим снизу функцию ФР)Ц(0» различая при этом два
случая: 1) у-f "Zp"^ М- < J+ 4^ при этом cos 2яр \\i — у) <0,

Л)2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ, IV
и поэтому фр> ц (t) > 1 (— оо < t < + оо); 2) -^ < |я < ^ + -%г» или
-9"+ -4— < М- < -ттЧ » ПРИ 9Т0М cos2np(|Li—-и-) > О И функция
фр,ц(0 достигает минимума в точке t0 = — -~—log cos 2яр (|ы—-=•),
а следовательно, Фр,ц(0> <Pp,^o) = sin22jTP Ы — "J) •
Из этих оценок для функции фр>^(t) в силу (1.35) получаем
требуемое неравенство (1.33).
1.4. Для дальнейшего необходимо установить некоторые
тождества, которым удовлетворяют преобразования Меллина следующих
функций:
ер(е1ах^ц+1) =£p(g/ajcl/p. [i+1)^-i§
hi±)(x\ e±ix— \
^_w=±__L. (1.зб)
(а) Замечая, что ^^-£^2(0» Ч-00)» обозначаем через /г '($)
функцию, определяемую равенством
tf(±)(s) 1 • Г h(±)(x) ( 1\
1/a
Согласно теореме 1.16 (1°) предел в среднем в правой части
равенства (1.37) существует всюду на прямой Re 5 = -9". Но из
формулы (1.8) леммы 4.2 вытекает, что соответствующий
несобственный интеграл сходится и в обычном смысле на прямой Res = -^
(даже в полосе 0 < Re 5 < 1) и, кроме того,
HW(s) = T(s)e±t2 \ (1.38)
Легко видеть, что
sup I tf(±) (1 + и) = V2n. (1.39)
-оо</< + оо| \2 J f
Действительно,
|rf*'(j+«)Hr(;+«)||.*'*<T*»)|_/^.**'<
</2?«"^""*"<V'S.
причем равенство достигается, когда \t\-^-\-oo.

§1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (г; ц) 203
Лемма 4.7. Если р^^ и Т <^ < Т ~^~ р~' mo на пРям°й
S==---Jrit (—oo<£<-f-oo) имеют место тождества
Г'т0-^^ -£; ^)Ж->(1-5)+
+ е'"2"(1_ц>р(5; 2я—^-; ц)я(+,(1-5) = 2лр, (1.40)
e-'T"-^p(S; -^; ^<+>(1-5) +
= 2лр8'п{я[,(1-р;1+р(1-^». (1.41)
r sin яр (5 4-Ц—1) у
Для функции
ф ^ - 2яо5|п{я[(1~р)5 + р(1~Ю]} (1 42)
ма прямой s = y+//(— со <*<+°°) справедливы оценки:
sup ^'^Op^T+^N2^0^' '"* Р^1' (МЗ>
-со</< + оо ' ^ z ' х
sup ««^-««'^Фр^^ + ^^гярРр^, «еле 1<Р<1,
где
л— 1 . 1 _^ 1 . 3
V2 пРи-2+!Б<[1<1 + 1£>
Р =
sin
—^ Г,при ± < v<± + ± или ± + ±^»<± + 1
2яр^1 — -jj
(1.44)
Доказательство. Из формулы (1.32') вытекает, что
'*(p-i)(*+H-l)
5р / л \ __ яр g ч
*р^; 2р ' ^J— Г(1 — 5) sinjtp(s + ^-l) '
-/jt(p--i)(5+n-D
Отсюда получаем
* ^р(5; ~2р~' t\) + <? rpls> 2Я 2р • ^ r(l-s)-

204 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Умножая обе части этого равенства на £-/яГ(1 —s), имеем
, я ,, , . .я
* ^р(*; "2^; ^J* (1 — 5) +
+ ^(1~"Vp(s; 2я—J-; ц)^(1~5) Г(1 -s)= 2яр,
откуда немедленно следует требуемое тождество (1.40), так как,
согласно (1.38),
Г(\-з)е±1^{1~5) = Н{±)(1—8). (1.380
Далее, из тех же формул (1.45) вытекает, что
2яр sin (я [(1 — р) s + р (I — \х)]}
Г (1 — 5) sin лр (s + \х — 1)
Умножая это равенство на Г(1 —s) и учитывая опять формулы (1.38').
приходим к тождеству (1.41).
Функцию Фр?ц($) на прямой s = ^-\-it{—со < t < -j-co) можно
представить в виде
( sh2 jt 11 — р | К | + cos2 лр (и, — -1) )
К*ii+lt =2яр / vn -'
1 vz л I sh2 Jtp [ ^ 1 + sin2 Jtpf jut — ^J
' f*\P-i\\'\ + e-*"\9-i\\t\+2cos2np()jL- -J-)
= 2лр{ ? Кт-У-
e2np\t\+e-2nP\t\_2cos2 ^ ^
i^
откуда
1
фр.ц(^ + ")|«31"|=2яр{фр,ц(0}2 при р>1.
фр,ц(^ + ")|<?Я(2р~1)и, = 2лР(,1,Р.й(0}Т при1<р<1.
, (1-46)
где
1+е-4я|1-р;.11П+2е-2"1»-Р11'! cos2np(|i-l)
ф (а— i а.
"' * 1 + ,-**т _ 2^-2«Р I' I cos 2*р (ц -1)

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ФУНКЦИИ £р (г; |Х) 205
Повторяя рассуждение, приведенное в конце доказательства
леммы 4.6, приходим к выводу, что
2 приу+^-<^<2- + ^^
SUP %,»(*):
-оо</< + оо
при т< |1<- + 4г
„к„ 2 ^ ^^ 2^4р
sin22np^ — -2-j
или Т + ^<^<Т + Т- О-47)
Y+4^<^<-2 + p
Из формул (1.46) и (1.47) следуют оценки (1.43) леммы.
В случае р ^ 1 имеет место другое важное тождество между
функциями ^As\ а; \х) и H{±)(s).
Ill
(б) Лемма 4.8. Если р!> 1 и -^ < |i < -=-4 » ^° яа прямой
s = ^-\-tt(—оо <£<-(-оо) для значений параметра со,
удовлетворяющих условию
0<со<2я(1 — 1), (1.48)
справедливо тождество
+ е-*&~%(а; -щг + у + Ъ ц)я'">(1-S) = 0. (1.49)
Л ТС
Доказательство. Из условия (1.48) следует, что "о-^"25" + G)<
<-^—|-— +со<2я ^-, а поэтому выражения £у$; ^Ч-^'» I1)
и ^р (5; -s^- + ——(-со; fbiJ имеют смысл и их можно вычислять по
формуле (1.32'). Из (1.32') в силу (1.45) имеем
Г(1 — s) sin яр^-г-И- — 1)
= ^р(*; "5"; l*)*-'flV('+,l-1). (150)
М* Ж+С0; ^)=—^ - '•-*- — - - g-^P(^^) =
Заменяя здесь со на (-со, получаем
= _«-'«(*+й|Гр(в; -J+o; й). (1-51)

206 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Умножая (1.51) на —е 2 Г(1—s), имеем
в-'11'+%(г, -fr + щ ,х)Г(1-.)+
+ /*('+lVp(« -J-4-f + «>;ц)Г(1-5)=0.
откуда, используя (1.380, приходим к требуемому тождеству (1.49).
§ 2. Преобразование Фурье и его обращение
посредством преобразований с ядрами
Миттаг-Леффлера
На основании результатов § 1 в этом параграфе будет построена
теория интегральных преобразований в классе функций L2(0, +oo)
с ядром Фурье е±1хУ и их обращение с помощью преобразований
с ядрами вида Ер\е "^PjcVpyi/p; pjjtn-1.
На протяжении всего параграфа будем считать, что при заданном
^1 1^^1,1
значении Р<>;п- параметр \х удовлетворяет условию -т<[1<оп •
Для краткости эти условия будем обозначать так: (р; |х) £ U.
Далее, условимся говорить, что функция g(y) (вещественная или
комплексная) принадлежит классу L2t)i (0, -f-oo), если giy)^"1^
£L2 (0, -)-оо). Кроме того, условимся понимать обозначение
00
g(y) = l.l.m.ga(y) (2.1)
О -> + оо
следующим образом: функция g(y) принадлежит классу L2t ^(0, + сю),
а семейство функций \ga(y)}, g'oty) €^2,ц (0» +°°)» зависящих от
параметра а(0 < а < +со), таково, что
+ 0О
Ит f \g(y) — go(y)\2y2^-"dy = 0. (2.1')
При значении параметра |i=l класс L2tl (0, +00), очевидно,
совпадает с классом функций L2 (0, -f-сю) и сходимость в смысле (2.1)
есть сходимость в пространстве L2 (0, +00). В этом случае вместо (2.1)
просто пишем g(y) = \. i. m. g0(y).
0->+oo
2.1. В этом пункте устанавливается основная теорема о
преобразовании с ядром Фурье е±1хУ и его обращении при помощи
интегрального преобразования с ядром вида EQ\e~ зрд^'ру/р; \i) х^~1.

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 207
(а) Предварительно докажем теорему, на которую мы будем
существенно опираться как в этом пункте, так и в последующих.
Теорема 4.1. Пусть (р, \i)£U и -о-<Сф<!2я — -о- • Если
zp zp
f(x)— произвольная функция из класса L2 (0, +00), то:
Г. Формула
еч(у) = у1-»-£у\У1$ £р(*'ф:у1/р*1/р; \x+i)x^f(x)dx\ у>о.
(2.2)
почти всюду на (0, +оо) определяет функцию gy(y)£
6^-2,^(0» +°°)» причем
Jk,(y)|2y2(|i-1)rfy<^/l/(*)l2rf* (^•<Ф<2я-|-)'(2-3)
0 0
где Ж^ — постоянная, определенная по формуле (1.34).
2°. Если обозначить
а
£ф(>>; а)= j£p(e^yvpxi/p; (i)^-V(x)^ (о < а < +00), (2.4)
о
/7£0
(II)
e,9(y) = l-i- т.^ф(у; а). (2.5)
3°. £с./ш Р > -у» W0 для значений
-|-<ф<2я —J-, 0<у< + оэ, (2.6)
функция gy(y) представима также в виде
+оо
#Ф (У) = J ^p (*'фу1/р*1/0; |i) jc»4-1/ (х) Ак, (2.2')
о
причем интеграл справа равномерно и абсолютно сходится
в любой ограниченной и замкнутой части области (2.6).
4°. Если р>-о-, то функция
+ оо
/?(2г)= Jfip(2rjc^; n)^"7W^ (2-7)
о
голоморфна в области
-g-<|argz|<*. 0<|*|< + оо (2.8)

208 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
и удовлетворяет условию
)\F(retWr*dr<Mlf\f(x)\3dx (2.9)
о о
для всех -у < ф < 2я ^—; где ю=2[хр — р—1, а
постоянная Мр определяется из (1.34).
Доказательство. Пусть функция F(s)£L2Itt — /со, -^+/оо)
двойственна с f (х) по Меллину. Тогда в силу леммы 4.6 для
любого ф из отрезка \-^-, 2я 5-1 функция
также принадлежит классу L2(—со, +со). Следовательно, по
теореме 1.16 (4°) существует функция hy(y)£L2(0, + со) такая, что
а»(у)=4г,-,-ш- f Ур(«ф;1»)/?(1-«)г'*. (2.10)
Отсюда следует, что для ф€ "о-• ^л о~\
1 .
у Т+1со
(hv(u)du = ±r J* ?P(W> yi-sP(l_s)d8t y>o. (2.10')
*-*»
причем интеграл справа существует в обычном смысле.
Но по лемме 4.6, если (р, \x)£U, то для всех значений Фбгдг»
2я £-1 справедлива формула
+оо
о
Отсюда при любом у > 0, заменяя переменную д: на уд;, получаем
+оо
¥Р («ИР! И) у1_д _ Г {уц£р(е«<ру/Рд;1/р; ^ Пл:^-1} лг^-^д:
о
(Res=i). (2.11)
1

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 209
В силу (2.11) и теоремы 1.17 о равенстве Парсеваля для
преобразований Меллина из (2.1 (У) получаем
У +оо
j hy(u)du = y» J* £р(е'фу1/р*1/р; |i+ \)x»-lf(x)dxt
о о
то есть
f +°° 1
h^y) = 4y\yVl\ яР(«/фу1/р*1/р; ^+ i)x»-lf(x)dx
почти всюду на (0, + оо). Отсюда следует, что g^(y) = h1^^(y)£
€L2tll(Q, -f-°°) и Для 5*ф(У)имеет место представление (2.2). С
другой стороны, из определения (2.10) функции /гф()>) по теореме 1.17
вытекает равенство
+ оо -boo
J* \bv(y)\2dy= j \g<t(y)\2y2i>l-1)dy =
О О
+ оо
=i J |?p(t+W: w v)p(j—u)fdt- (2Л2>
— oo
Но по лемме 4.6 при ^— <^ф<[2л g—
sup |^p(i + tf; Ф'. ^)|<^
>< / <+coi \ z /I
где M^ — постоянная, не зависящая, очевидно, от <р. Поэтому
из (2.12) следует неравенство
+ оо
2 too i-oo
g<t(y)\Y^)dy<^E. j\FQ_tt}\2dt = Ml J \f(x)\2dx,
т. е. (2.3).
Для данного а > 0 обозначим теперь
/ (л.) = |/(*) ПРИ 0<х<<*.
| 0 при х > о,
I+oo j
= у1~*1$~\у[1 J яр(в'»у,л>ле1Л>: n+O^-J/Wrfxj. (2.13)
14 М. М. Джрбашян

210 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Так как fo(x)£L2(0, +oo), в силу уже доказанного утверждения 1°
имеем также g^ а(у)£ L2f ц(0, +оо) при любом а > 0.
Далее, из (2.2) и (2.13) следует формула
[^Ф(У)-^Ф,а(У)]^-1 =
I +™ I
= -fL{y»\ Ер(е**у1'Рх11Р; \i+\) x»~lf (x)dx \, (2.14)
1 а )
правую часть которой можно представить как преобразование вида (2.2)
функции, равной нулю на (0, а) и равной / (х) на (a, -f-°°)-
Поэтому к (2.14) применима оценка (2.3), и мы получаем неравенство
+ оо +оо
]\g^(y)-g^o(y)\2y2(lx'1)dyKMl J \f(x)\2dx (a>0) (2.15)
0 а
для всех ф из отрезка -п—, 2я ^- •
С другой стороны, по формуле (2.16) гл. III при любом X имеем
-А{уи£р(Я,у/Р; [L+l)}=y*-lEQ(WP; ц),
поэтому из (2.13) получаем
о
g^o(y)= \ E9{e^y^x^\\x) x^f {x)dx = #ф(у; а).
о
Следовательно, утверждение 2° теоремы вытекает из оценки (2.15),
если перейти в ней к пределу при о —> + гс>.
Переходя к доказательству утверждений 3° и 4°, положим
теперь Р>"9- Выбираем и фиксируем произвольные числа е(0<е<
</?<+оо) и «об (у-» П11п<я, —-})• Через D(a0; e; R)
обозначим область значений yel(v, где а0<^|ф|<^л и е^у<!/?. .
Тогда из асимптотической формулы (3.24) леммы 3.4 следует,
что для уе1(*> £D(a0; e; R) при л;-> + оо
£р(«'ф(*у)1/р; ix)x^1 = o(x,1-l-l>), (2-16>
причем порядок правой части равномерен относительно переменных у
и ф. Отсюда в силу условия -^ < \х < -^ -| заключаем, что
интеграл
+ оо
^ф,оо(у)= /£p(^y1/p^1/p;iA)^-7W^ (2.17)
о
равномерно и абсолютно сходится в каждой области типа Z)(a0; e; /?).

§2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 211
Из (2.5) и (2.17) вытекают формулы (2.20 и утверждение 3°.
Наконец, ввиду равномерной сходимости интеграла (2.17)
функция
+ оо
F(rei(f) = g(f(r^= J" Ep(rei(9xlto; \i) x»'lf(x) dx
о
голоморфна в области (2.8). Кроме того, согласно (2.3), для всех
значений ф £ (-—-, 2л —-^-)
+ оо
Г |/7(re'<0|2r2^-P-1dr =
о
+оо +оо
= } J 1л(У)Р/01",)Лу<р-1< \ \f(x)\2dx.
о о
Теорема доказана.
(б) Докажем теперь одну из основных теорем этой главы.
Теорема 4.2. Пусть (р, \i)£Uug(y)— произвольная функция
из класса L2tll(0, +oo). Обозначим
а
f(±)(x; a) = -4=r \e±**yg(y)y*-*dy (а > 0). (2.18)
У 2%р £
Тогда справедливы следующие утверждения:
Г. Существуют функции /(+) (х) и /(_) (л:) из класса L2 (0, -f схэ)
такие, что
/±)(x) = l.i.m./±)(jf; а). (2Л9)
Обратно, если обозначить
g(y,0) = y±=\e-^{l-li) Jfip^'^yl^l/P; tl)x»-l/-\x)dx +
+ /^(г-» jE^e~l^F yvPxvp. ^x^lfM(x)dx\ (а>0), (2.20)
то при a->-f-oo выполняется соотношение
(и)
g(y)= I. i. m. #(y;a), (2.21)
а-» -1- сю
14*

212 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
причем имеет место равенство типа Парсеваля
+ оо
J \еШ2у2{»
f +00 +00 \
-Vdy = 9l j\fW(x)\2dx± l\/-\x)Ux\- (2.22)
l о о J
2°. Почти всюду на (О, +оо) функции g(y) и /(±)(лг)
связаны формулами
+оо
/±)(x)=vb^ J ■^ir'-eMr-1** (2.23)
г (у) =
^-»»
У1яр"
-'у(1-и)_£
dy
У» J £р(« Жд;1/Ру1/Р; Ц+ljX
+
Хх*-1?-\х)с1х
+ « Чу-
^ J Ер (е~1~Ъ yi/pjci/p; ц+ ij j^-y+^x)**
!_ о
(2.24)
Доказательство. Пусть g(y) £Z,2> ^(0, +00) и функция О (s)
двойственна с g (у) у^~1 по Меллину. Так как G (-^ -|- it\ £
£Z,2(—00, +оо), из оценки (1.39) вытекает, что
(2лр)~тО (I - /*) Л<±> (1 + /*) 6 ^ (— оо. + оо),
и поэтому существуют функции /(±)(*). принадлежащие классу
£2(0, +оо) и такие, что
1 ,
_j_ Y+ia
/{±)(х)= (2я9р); 2 l.i.m. f G(l—s)tf(±)(s)*~^. (2.25)
Но из (2.25) легко получаем
X
//(±)(")<
т-/«
)du-
1
ей*)-» j i^eu,.^.,^, (A;>0)>
2n/
2
где интеграл справа сходится в обычном смысле.
(2.250

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 213
Далее, по формуле (1.37)
О
откуда для любого х > О заменой переменного у на ху получаем
+оо
1-д ^"5=J ±/y У~1ДУ (0<Res<l). (2.26)
о
//(±) (5\
Следовательно, функция—, _ лг1"^ (л: > 0) есть преобразование
Меллина функции——. 6^(0» +°°) ПРИ х > 0.
В силу этого замечания к правой части формулы (2.25') можна
применить равенство Парсеваля для преобразований Меллина, в
результате чего получаем
X +00
о г г о
т. е. почти всюду на (0, +оо) справедлива формула (2.23).
Покажем теперь, что справедливы формулы (2.19), т. е. что
полученные нами функции /(±)(-*0 представляют собой пределы в среднем
от соответствующих функций f{±){х\ о) при a—►-j-00- С этой
целью сначала докажем равенство Парсеваля (2.22).
Пусть функции
FM(s)£L2(±-ioo, ^ + '°о)
соответственно двойственны функциям/(+) (д:) и f~\x) по Меллину.
Из (2.25) вытекает, что функции (2лр) 2 0(1—s)H{±\s) также
двойственны функциям /{±)(х). Отсюда очевидно, что справедливы
функциональные тождества
F{±) (s) = (2лр)"т 0(1—5) Н{±) (s) (Re s = ±\ (2.27)
или эквивалентные им тождества
/7(±)(1-5) = (2яр)"0(5)Я(±)(1— s) (Re5 = I). (2.270

214 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Согласно равенству Парсеваля для преобразований Меллина и
из (2.27) имеем
+ оо +оо
J|/*>wl8^ = ^J|^>(j+«)r*=
О — оо
+оо
— оо
Но H(±)(s) = T(s)e±l 2 * (0<Res<l), поэтому
Отсюда и из (2.28) вытекает, что
( +оо +оо \ +оо
р \\\f+4x)fdx+j\/-\x^dx \ = ^j\o$-U)fat.
I 0 О J -oo
Применяя к правой части этой формулы опять равенство Парсеваля,
получаем (2.22).
Далее, из определения (2.18) функций /(±)(х; о) и из (2.23)
получаем, что почти всюду на (0, +оо)
+ CO
1 j /* ± ixy л
f(±){x)-f±){x; o) = -J=-£ J * ±~g(y)y»-*dy (o>0).
Но тогда по формуле (2.22) имеем
•f ОО +CO
j\/±)(x)-/±)(x; o)fdx=± j teWfto-Vdy (0>O).
О or
откуда, устремляя a-> + oo, получаем (2.19).
Таким образом, нам остается лишь установить справедливость
утверждений (2.21) и (2.24) теоремы*).
В лемме 4.7 было доказано, что справедливо тождество
2ч>-«''^?р(^; ц)я'->(1-5) +
+ el$ll~v)#lt(s; 2я—g-; ц)Я(+)(1-*) (Res = -i). (2.29)
*) В них и состоит то новое, что заключает в себе теорема 4.2, так как
остальные ее утверждения, которые уже установлены, представляют собой
следствия теоремы Планшереля 1.13.

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 215
Умножая обе части (2.29) на G(s)t в силу (2.27') имеем
(2яр),А0(*) = Г' % (1"% (s; JL; (x) ^"'О -*) +
+ /^(1^Vp(s; 2я—J; ^)F(+)(l-s) (Res =4). (2.30)
Из определения функции G(.s) следует, что
g(y)^-l = -^-rl.l.m. G(s)y-Sds,
znl a ■> + со, J
откуда получаем
у
2
2 + '°°
/*(«)«"-'А« = -5^ J -^-У1-*. (2.31>
0 1
T"/o°
.5-1
Разделим теперь обе части тождества (2.30) на (2лр)/22л/(1— s)y
(у > 0) и проинтегрируем по прямой s = -j-\-it(—оо<^<+оо).
Тогда в силу (2.31) получаем
Г g(u)u»-ldu =
= (2лр)
Г + /СО
-i-^1-^)
2lW J
'Г 2P:")y-^-)(i-,)^4-
i-Ь
1—s
j+loo
+«'f-Wi J
1—s
T-'00
(У > 0).
(2.32)
причем легко видеть, что по лемме 4.6 интегралы справа
сходятся абсолютно. Однако, учитывая формулу (2.11), для интегралов,.

216 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
стоящих в правой части (2.32), согласно равенству Парсеваля,
получаем следующие представления:
I-to
+ °° Я
= у* J Ep [e "STy/pjc^P; fx+ljjt^1/^ (*)<**. (2.33)
о
1 .
"2+ °° / Л \
- г я s; 2я — тг-; и
!""
л Я
О
Из формул (2.32), (2.33) и (2.34) находим
у
Г £ (а) и*-l du =
[ я +0°
/2iip"
л +0° я
. У>0.
Дифференцируя это тождество по у, получаем (2.24).
Обозначим теперь через g(%)(y) и g(±s>(y, с) следующие функции,
определенные на полуоси (0, +оо):
£(±ЧУ) =
К2яр dy |
^<±>(у; о) =
)
+ 00 I
(2.35)
= у±= \ Ер [e±l £у V; ц) ^"У** (*) <** (а > 0).

§ 21 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 217
Тогда, очевидно,
^(y) = r'^(1"V)(y) + ^^(1"V>(y).
g(y; o) = e~ a("'V+)(y; а) + е * (1 *V>(y; а).
К каждой паре функций £"(+)(У) и £"(+)(у; а), ^(_)(У) и g*(_)(y; <*)
теперь применима теорема 4.1, если в ней значение параметра q>
взять соответственно равным ± -^- . Тогда из этой теоремы,
очевидно, следует, что £<±> (у) £ L2t ц (0, + °°). #(±) (у; <*) 6 L2, ц (0. + °°)
(а > 0) и, кроме того,
^(±)(y) = l. i. m.gM(y, а). (2.37)
а -> + оо
Формулы (2.36) и (2.37) приводят к утверждению (2.21).
Теорема доказана.
Отметим, что равенство (2.22) теоремы 4.2 можно записать также
в виде
+ оо +оо
J \g(y)fy2{,X~1)dy = p] |/(+)(;t)±/->(*)|W (2.22')
о о
Действительно, из (3.19) имеем
/+)(*)±/"'(*) =
_1 1+ 1а
e-SgL_Li.l.m. f 0(l-s)[H<+\s)±H<-\s))x-°ds,
l-ia
откуда, по формуле Парсеваля,
+оо
Jr/+)(X)±/->(jC)|2rfjC=:
(2ЯР)"1
f- J |0<1-*)Н«<+><,)±Я<-><,)|2Л.
1-й.
Но по формулам (1.38) имеем
1я+(т+/0±я<_,(^+")Г==2я (-°о<^<+о°).

218 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
поэтому
+ оо
-1
J |/+Ч*)±/->(*)Р**-£ Л°(*-")ГЛ-
О -оо
Наконец, применяя равенство Парсеваля к правой части
последней формулы, получаем (2.22х).
При частных значениях параметров р и jn теорема 4.2 содержит
теорему Планшереля 2.3 о синус- и косинус-преобразованиях Фурье.
Убедимся, что справедливы следующие утверждения:
Г. Пусть q>(y)£L2(0f + °°)» тогда формула
+оо
о
определяет почти всюду на (0, +оо) функцию Фс(х), также
принадлежащую классу L2(0, + оо). Двойственная формула
ф(л=уТ^-Г^ф'^* (2-з9>
о
имеет место почти всюду на (0, +оо); при этом справедливо
равенство Парсеваля
+оо +оо
J \Фс(х)\*йх=] |ф(у)|2^. (2.40)
о о
Действительно, полагая в теореме 4.2 р = — [х= 1, #(у) = ф(у),
из (2.23) получаем, что
Фс(х) = ^=\/+)(х) + /-)(х)]
почти всюду на (0, +оо). Далее, ввиду того, что
формула (2.24) принимает вид (2.39). Наконец, первое из равенств
(2.22х) в данном случае, очевидно, переходит в (2.40).
2°. Пусть Ф006^-2 (0. +°°)» тогда формула
фл*)=/?^Г-ч^(^ (2-4i)

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 2Ш
определяет почти всюду на (О, +оо) функцию Q>s(x)t также
принадлежащую классу L2(0t +oo). Двойственная формула
^y)^VJwT1=^3Lo'ix)dx (2-42)
и
имеет место почти всюду на (О, +оо); при этом справедливо
равенство Парсеваля
4-со +со
J \<Ds(x)\2dx=j \<p(y)\2dy. (2.43)
о о
В самом деле, полагая в теореме 4.2 р = -^-, Ц = 2, ё(у)у =
= Ф(У). из (2.23) получаем
(!>,(*) =-^[/->(*)-/(+,(*)]
почти всюду на (0, -f-oo). Так как
Е^-х** *)=*=$&■.
формула обращения (2.24) записывается в виде (2.42). Наконец,
второе из равенств (2.22') в данном случае эквивалентно (2.43).
2.2. В теореме 4.2 нам пришлось ввести некоторые специальные
обозначения, связанные с применением преобразований Меллина. Эти
обозначения несколько усложнили формулировку теоремы. В
настоящем пункте, дополнив теорему 4.2 новым, существенным для
дальнейшего фактом, мы одновременно приведем более простую ее
формулировку.
Теорема 4.3. Пусть (р, \i)£U и g(y) — произвольная функция
из класса L2fli(0, -р-оо). Обозначим
о
/(*; o) = y±=r J e-'*yg(y)y*-*dy (a > 0). (2.44)
Тогда справедливы следующие утверждения:
Г. Существует функция f(x) из класса L2(—оо, +оо)
такая, что
/(*) = 1. i.m./(*; а) (—оо < х < +оо). (2.45)
а -> + со
Обратно, функции
а
g(y; <*)=y= / Ep((ixfpy1/p; ^{Ixf1 f (x)dx
(0 < о < -{-оо) (2.46)

220 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
при а-> + оо сходятся к функции g(y) в смысле
(И)
g(y) = Li.m.g(y; а). (2.47)
а -> + оо
2°. Функции g(y) и f(x) связаны формулами
Ч-со
HX) = YW^l '-^W1*™*-4» (-™<*<+°°)' (2-48)
|+оо Л
y»j Ер{Ы»УШ\ Ц-И)(/*У1-,/(*)<'*|
-ОО J
(0<у<+оо), (2.49)
которые имеют место почти всюду на соответствующих
интервалах. При этом справедливо равенство Парсеваля
+со +оо
] |«рО0|аУ<,1-1)*У = Р ] \f(x)\*dx. (2.50)
0 -оо
3°. Если р^>1 и —<!ф<;2л , то функции
а
g(y; Ф; °) = р= ]Ч((/*)1лУ*«'ф: l*)^/"1/ (x)dx
-а
я/?и а->-|-оо сходятся к нулю в среднем в смысле
(и)
i.i. m. ^(у; ф; а) = ° (2-51)
а-> + оо
и всюду на полуоси (0, + оо)
*(у; ф) =
у» /£р((^)1/ру1/р^ф; ixч-1)(/jc)1*-1 /(jc)rfjc|=о.
(2.52)
Доказательство. Утверждения 1° и 2° непосредственно следуют
из соответствующих утверждений теоремы 4.2. Действительно,
из (2.18) и (2.44) вытекает, что
/ \х\ а) при 0<л:<-+оо,
/(+)(—х\ а) при —оо < х < 0,
/(*. *)={ ,+), (2-53)

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 221
и, обозначая
f /M (х) при 0 < х < + оо,
/(*) = ( ' ^ (2 53')
\/+\—х) при — oo<jt<0,
из (2.19), (2.23) и (2.22) получаем соотношения (2.45), (2.48) и (2.50).
Далее, из (2.20) и (2.53') вытекает, что функцию g(y; о)
теоремы 4.2 можно представить также в виде (2.46), а потому
справедливо соотношение (2.47). Наконец, формула (2.49) следует из
(2.53') и (2.24). Таким образом, остается лишь доказать
утверждение 3°.
По лемме 4.8 при р!>1, у < М-< "оН на прямой s = -o-+//
(— со < / < + со) тождество
е-'1(1-%(5; § + f+ «; liJtf-'O—) +
+ e'$(1-%(s; •£ + ©; (х)я(+>(1 -*) = 0 (2.54)
имеет место для тех значений параметра со, которые удовлетворяют
условию 0<!сй<;2лП ] .
Так же как в теореме 4.2, обозначая
а
G(s) = \. i. m. f {g(y)y^'1}y5-ldy (Re 5 = 4),
a+ + go J \ z /
\\a
a
F{±\s) = l.i. m. { /±}(x)xt'1dx (Res = i).
получаем
Fw(l-s) = y±=,G(s)H(±)(l-S) (Res = l). (2.55)
Умножая обе части (2.54) на G(s) и учитывая (2.55), приходим
к тождеству
,-'Ti'-«*p(»; |г+? + °>: ц)|^->(1-в)+
+.'S(1-wSrp(.; |-+со;ц)/*+>(1-*) = 0 (Re, = i-) '

222 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Полагая, что у > 0, разделим это тождество на 2л/(1—s) ys~l и
проинтегрируем по прямой s=-~-\-it (—оо < t < +oo). Тогда
получим для всех со£ 0, 2л (1 )
Y+ico ( я я \
1-.~
1 ,
2я/ J 1 — 5 У
* 2 о^Г V Г. ^У*-^+'О-*)Л = 0
*#?(+>/
I-/00
2 *°°
(у > 0). (2.56)
Применяем теперь равенство Парсеваля к каждому
слагаемому (2.56); тогда, используя формулу (2.11), получаем для любого
о 6 [0, 2я(1-1)]
О
+ *' 2 (1-w уи |\ («' ^7+<в) yVP.-1/P. „ + !) ^-y+i(x) dx = 0
о
(у > 0). (2.57)
Вместо со введем теперь новый параметр ф = |-со, где — <^
^ ^ л Я гг Я . Я , , Я Я .
<Ф<2л — -. Тогда, очевидно, —+ - + о> = ср +-^-, -^ <
^, , я ^ л я я, яя^. ^^гкЯ;
и тождество (2.57) в силу (2.53/) можно записать также в виде
+ оо
у» | £P((/*)1V/P**P; (i+0^"1/W^ = 0 (У>0), (2.57')
— оо
откуда, дифференцируя по у, получаем (2.52).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 223
Обозначим теперь
g(±)(y; ф) =
= _^ Л Г*(,<(«*£) v. p + As-Y^wdx !.
/2яр rfy ( J p V / j
(о > 0);
тогда по теореме 4.1 для всех <р6 —, 2л имеем
(и)
g(±) (у, Ф) = 1.1. m. gM (у; ф; о). (2.58)
а->+оо
Отсюда, согласно (2.49) и (2.53/), следует также, что при ф£ — ,
Л "1
2я 1 почти всюду на (0, +оо)
е 2 £(+)(у;ф)+* 2 ^"Чу; ф) =
|+оо 1
^ J £p((te)lV^,<p; i*+0**-7 (*)**! = *(* ф)
(2.59)
и
* 2 gi+)(y> ф; а) + * 2 #"(~Чу; ф; <*) =
а
= у^=г J Ер ((/*)17У/р*'ф; |i) д:^-1/ (*) rf* = £ (у; Ф; а). (2.590
2лр
Из (2.58), (2.59), (2.590 и (2.52) вытекает утверждение (2.51).
Теорема полностью доказана.
3.4. В теореме 4.3 обращение обычного преобразования Фурье
функции g(y)yll~1 ^L2(0t -j-oo) осуществляется при помощи
интегрального преобразования, ядром которого служит функция типа
Миттаг-Леффлера, зависящая от- произвольного параметра р^-~-.
Наличие параметра р позволяет добиться того, что формулы
обращения дают представление функции g(y) при любом р^>у, а при
р^>1 они сохраняют смысл и представляют функцию, тождественно
равную нулю в области — <] | arg z\ <]я, 0<|г|<-}-оо. Эта

224 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
особенность развитой выше теории интегральных преобразований
позволяет обобщить теорему 4.3 и построить аппарат интегрального
преобразования и обращения для функций, принадлежащих классу
Z,2)1Ll(0, +oo), на произвольной конечной системе лучей, исходящих
из одной точки комплексной плоскости.
(а) Введем следующие обозначения: совокупность лучей
lk'ng* = Vk (*=1. 2, .... р\
0<<Pi<q>2< ... <Фр<2я, ( * }
исходящих из начала координат, обозначим через £{<р,..., фь
Система лучей Z,r<pi>#.<>q) j разбивает плоскость z на р угловых
областей с общей вершиной в начале координат. Полагая фр+1 = 2я4~Фь
обозначаем далее
(0= max ( - 1; (2.61)
тогда, очевидно, ю^>£; при этом я/со представляет собой величину
минимального из этих углов.
Следующая теорема является аналогом теоремы 4.2 для функций,
принадлежащих классу L% ^(0, +00) на каждом из лучей системы
Теорема 4.4. Пусть р>со, -^- < М- < -^—I и g(z) —
произвольная функция, определенная на системе лучей Ьф ф \ и
удовлетворяющая условию
(2.62)
*{Ф,. ••;.*,} *-10
Обозначил»
(Т
/»(*; о) = р= \e-ixrg{rel^)r^dr (а>0; k=l, 2 />).
(2.63)
Тогда справедливы следующие утверждения:
1°. Существуют функции /ц(х)€^(—оо, -(-со) (ft=l,
2, .... р) такие, что
/*(*) = !• i- m./ft(*; а) (— ro<x<+ro; *=1, 2 р). (2.64)

§ 1\ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 225
Обратно, функции
g (г*'Ф; а)=
р °
= ущ% Jfipto^^VC-**); |х)(/*Г'/*(*)** (2-65)
(а>0)
я/?и а-> + оо сходятся к функции g(re^) на системе лучей
£/Ф , ..., ф } в смысле
Р -f-oo
lim V \\g{rel,f})-g{ret,*r,o)\\2(»-X)dr = 0. (2.66)
«-►+<» yTi о
2°. Функции g(z), где z^L^i ,, у и fk{x) (Аг = 1, 2, .. ., р)
связаны формулами
У 2яр rfjc J — ir
(2.67)
#="1 \ —ОО )
(2.68)
которые имеют место почти всюду соответственно при
х£(—оо,-{-оо)и г^ф6^{фр ..., Фр}-
3°. Для функций g(z), z£L{<pif ...f ф у> и fk(x)(k — l, 2, ...,/?)
имеет место равенство типа Парсеваля
\ \g(z)f\zf^d\z\ =
L{vv-.<tpy
р + оо р +оо
= S Jk(/-^)|2r2^-^r = pS JlAWI2^. (2.69)
* = 1 0 k = \ -oo
Доказательство. Существование функций fk(x)£L2(—оо, +оо)
(£ = 1, 2, . . ., р) и их представление (2.67) следуют из условия
(2.62).
Далее, так как случай одного луча уже рассмотрен в теореме 4.3э
достаточно предположить, что система £гф ,..., <р \ состоит по крайней
15 М. М. Джрбашян

226 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
мере из двух лучей. Это значит, что р^>со^~^1. Поэтому,
обозначая
(2.70)
(а>0; ft=l, 2 р),
согласно теореме 4.3, имеем
(и)
£(/■*'»*) = 1. 1. т. gk(rel\ а) (Л= 1, 2 р), (2.71)
lim
\gh(rel<*\ o)|2r20*-i)rfr = 0, |Ф-ФА|>^ (2.71')
(A=l. 2 ;>).
Но из условия р ^- со вытекает, что при j Ф к
1фу — Ф*1> min (9V+1— 9V)=^>-J (У. ft = l, 2 /»).
Следовательно, из (2.71'), в частности, получаем, что
+оо
Пт f \gk(relV;o)\2r2(»-l>dr = 0
а->+оо J
Цфк\ У, k=\, 2 р),
и, так как по (2.65) и (2.70)
р
g(re"fi о)=3^(гв'Ф; о),
(27.1) и (2.71") приводят к утверждению (2.66).
Далее, обозначая
(2.71")
f +
У"2яр
<гм
(А=1. 2 р).
(2.72)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 227
по теореме 4.3 имеем также, что почти для всех r£0, (-f- со)
( g{rei{*k) при ф = фА,
gk(rel*) = \ д (2.73)
О при |ф — Ф*|>- (Л= 1. 2 р).
Отсюда, как и выше, в частности, заключаем, что почти для всех
Г€«>. +CXD)
10 при ]фк (у, й=1, 2 р).
Но по (2.68) и (2.72)
поэтому утверждение (2.68) следует из (2.73').
Наконец, первое из равенств (2.69) очевидно, а второе опять
следует из теоремы 4.3, так как
J\gW^)fr2{^dr = 9+[\fk{x)fdX (Л = 1. 2 /,).
0 —со
(б) Покажем, что основная теорема Планшереля 1.13 теории
интегралов Фурье является одним из частных случаев теоремы 4.4.
Рассмотрим систему лучей LtQ i, состоящую из полупрямых
аг£2 = ф1 = 0 и аг^<г = ф2 = я; очевидно, что L^ л представляет
всю вещественную ось — оо<у<4-°°- Тогда со = 1, и поэтому
необходимо положить р^-1. Ограничимся простейшим случаем, когда
р—1; тогда параметр \х может изменяться в интервале (1/2, 3/2).
Здесь ограничимся лишь случаем, когда |х ===== 1. Заметим далее, что
El(z;l) = ez, Ег(г;2) = -£=±-. (2.74)
Пусть g(y)£L2(—оо, +оо). Тогда, обозначая
а а
/,(*; °) = у= J e-u>g{y)dy. f2(x;°)=y=i je-lxyg(-y)dy.
a
r -а
имеем
/(*. <0 = /i(*. cr) + /2(—jp; а). (2.75)
15*

228 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
По теореме 4.4 существуют функции fx (x) и f2(x) из класса
12{—сю, -f-oo) такие, что
а->+оо V 2л ах «/ —iy
(2-76)
1 d Г е~1хУ 1
1. i. m.f2(x; o) = f2(x) = -r=— : g(—y)dy§
0-».+oo У 2я dx J — iy
причем последние равенства имеют место почти всюду на (—сю, -f-oo).
Из (2.75) и (2.76) вытекает, что функция f (х) = fx (л;)-}-/2(—х)
также принадлежит классу L2(—сю, + оо) и, кроме того,
/ (х) — 1. i. m. / (*; а) (—сю < х < + сю),
а->+оо
У 2л dx J —iy
(2.77)
причем второе равенство имеет место почти всюду на (—сю, -f-oo).
Формулы (2.77) как раз и составляют первое утверждение теоремы
Планшереля.
Заметим теперь, что в рассматриваемом случае в формулах (2.65)
и (2.68) параметр ф может принимать лишь два значения 0 и л.
Поэтому, пользуясь (2.74) и определением функции /С*), из (2.65)
получаем, что при у 6(0, 4~°°)
fa a |
g (± у; а) = -^- j J e± '*»/, (*)dx + J «* "*/2(л:)rf* | =
( -a -a J
a
-та
откуда по (2.66) и (2.68) следует, что на полуоси (0, -|-оо)
g(±y) = l. 1. m.g(±y\ a).
a->+oo
Следовательно, функции
a
*(y; o) = -p= \eu'fix)dx
таковы, что
У2л
-a .
1.1. m.g(y\ o) = g(y) (— oo<y<+oo). (2.78)
a->+oo

2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 229
Далее, почти всюду на (0, -j-oo) справедливы представления
( +оо
|/ 2я dy J ± ix
g(±y)-
?т '** -1
f2(x)dx
= 1 rf Г _^
V^2ji rfy J
± '*y _ 1
ix
т. е. почти всюду на (—oo, -f-oo)
+ oo
g(y)
2л dy J
/2л tfy
f{x)dx.
f(x)dx,
(2.79)
Формулы (2.78) и (2.79) вместе составляют второе основное
утверждение теоремы Планшереля.
Наконец, из определения функции f(x) и из (2.69^ получаем
формулу
+оо +оо +оо
J |/(ЛГ)|2^ДГ = J |/,(*)N* + J \hi-X)\*dx +
— OO *-00 —OO
+ CO
+ 2 Re J Mx)f2(—x)dx =
—00
+00 +00
= J \g(y)\2dy+2Re j A(x)M-x)dx.
— OO —OO
Третье утверждение теоремы Планшереля — равенство Парсеваля
+оо +со
J \f(x)\*dx = J" \g(y)\2dy
—со —00
немедленно получается из этой формулы, если мы покажем, что
+ СО
J fi(x)f2(—x)dx = 0. (2.80)
—00
В самом деле, отметим, что при любых ах > 0, о2 > О и е > О
Г f\{x\Ox)f2{—x\a2) A
J (1+/е*)2 йХ~
— 00
at a2 f +00 1
= J J «ЧЛШ— У2)| J (1+/£^)2 dxidyxdy2 = 09 (2.81)
0 0 [ -#оо J

230 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
так как нетрудно усмотреть, что при любых ух ^- 0, у2^0 и е>0
+ оо
0-'*(>'!+ У2)
J
(l+/e*)2
dx = 0.
Переходя в тождестве (2.81) к пределу сначала при е->0, а затем
при Oi-^ + oo и, наконец, при а2->4-оо, получаем формулу (2.80).
§ 3. Преобразования с ядрами Миттаг-Леффлера
и их обращение при помощи
преобразования Фурье
В этом параграфе строится теория интегральных преобразований,
обратных тем, которые были построены в § 2. Именно, здесь
устанавливается, что интегральные преобразования функций из класса
£2(0, +оо) с ядрами вида Ер\е 2*>x1/pyl/p; р) х*~1 обращаются при
помощи преобразования с ядром Фурье е± ixy*
3.1. Пусть (р, \x)£U и
ФрЛ^)=2яр51пя[(1^Р)1+р(11-'Ц)1 • (3.1)
P'^v ' v SinJtp(S + [l—1) V '
Тогда из оценок (1.43) леммы 4.7 следует, что на линии
1 Фр,ц(5)
s = -п- + it (— со < t < -f- оо) функция принадлежит классу
L2(—оо, -f- oo).
Следовательно, предел в среднем
*♦*
0 + +СО 2Ш J S
существует и определяет функцию W0 ц (дг), принадлежащую классу
1*(0, + оо).
Теперь мы покажем, что интеграл
*»«-i / ^*-*
(3.2)
1-<~
сходится также в рбыодом смысле, и вычислим его значение.

3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 231
Лемма 4.9. Пусть (р, \x)£U. Тогда:
Г. Если Р>"9 , то для х£(0, +оо)
V" sin яц + *1/р sin n(- — \i)
Ч* <*) = 2 Г ^ ^ ^-2Л.
i i-a^cosi + ^p
р г
(3.3)
2°. Если Р= 2"' wo ^я *€(*» +°°)
+оо
г ^-2
4rVa,|Ll(A:)=:2sinn|X J jzri2dt> (3-4)
а для х £(0, 1)
(Ч со х
v. p. \ — ndt 1» (3*5)
гд* интеграл понимается в смысле главного значения*)*
Доказательство. Рассмотрим функцию Фр>)11($) в плоскости ком*
плексного переменного s = o-\-tt. В точках sk—l—\i-\-kp~1
(& = 0, ±1, ±2, . . .) она имеет простые полюсы, причем в силу
условия y^^^T^ точки sk (k=\, 2,...) лежат справа,
а точки sk (& = 0, —1, —2, ...) — слева от прямой Res = -j-
Обозначим через С*,,1* дугу окружности | s | = /?(л1} — 1 — \х ■+•
л+2" 1
-) (#!>1), лежащую в полуплоскости Res >--*-, а через
Р ^
С(„2)—дугу окружности L —-|==/$>=== |i — _-| —(*>■§-)»
лежащую в полуплоскости Res<^. Радиусы Rn} и /?(л2) выбраны
так, чтобы дуги С^ при л^>1 и С%] при #^>-| делили пополам
отрезки между двумя последовательными полюсами функции Фр (s),
лежащими соответственно справа и слева от линии Re $=-*-»
•) То есть при х£(0, 1) мы полагаем
+со f 1-е
-2
у. р. j^-л.шп J + / ^Л
ж Ix 1+e I

232 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Ввиду того, что
1Ф (а-4- 1£\I — 9ттл J *Ь»я(1--р)*+ **п»я [(1-р)а + р(1 ^ц)] Vk
1%.|Ла-г"Л — ^*Ф| sh2jip^ + sin2Jip(a + n—1) [ •
существует постоянная Ж0 > 0, не зависящая от п и такая, что
справедлива оценка
|Фр.ц(^ + «)1<Л1оШр(0. (3.6)
где
1ехр[-(2р-1)я|*|], 1<р<1.
юр (0 = 1 (3-7)
( ехр[—я|/|], р>1
при 5^Сл1} или s£C„2) для всех п^п0.
Пробегаемый в положительном направлении контур, состоящий
из дуги Cj?} и отрезка [I — /ул. у+^я] (где Y* = ^[ЯЙТ —-j )
прямой Re 5 = -^-, соединяющего концы дуги С„ \ обозначим через 1$*
Аналогично через 1(л2) обозначим контур, состоящий из дуги C(„2) н из
отрезка Г-н—//?л;, -д-+ /ЯдЧ прямой Re 5 = "2-, соединяющего концы
этой дуги.
ТУ /О) ^ ФР,Ц(5)
Внутри контура L), функция имеет простые полюсы
в точках $ = sk (k= 1, 2 я), поэтому для любого #£(0, +оо)
имеем
id) *-1*-**
Л
л sin
*-l
люсы в точках s = Qt s = sk (& = 0, —1, —2 —n)t поэтому
для любого #6(0, -f-oo) Справедлива формула
#(2)/ ^ Р\ А Фр.ц(^)
Внутри контура Dn (л> тН функция—у— имеет простые по*
сы в точках s = 0, s = sk (& = 0, —1,
1 любого #6(0» -f-оо) Справедлива фор
£(2)
\-os=sb^ ' л=о
(3.9)

3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 233
Обозначая далее
„J)
с(2)
записываем формулы (3.8) и (3.9) в виде
7+/Y*
2л/ J . s
*»»Wx-d,=
_L Г
2m* J
* sin я ( |i) __*
=/i,i)w+2p^g,+;(p1_tt)^-p,
1 Г Фр. и (*)
2л/ J
T_/Y«
ft-i
т-Ч2)
.X~sdS=a
JL sin я [ |-u| *
ft-0
В силу (3.6). и (3.7) для интеграла ln\x) имеем оценку
(3.10)
*-Р(1-й<Р- (ЗЛ1)
|/?W|< I?- J ^(^Islnfl)*"^""^.
_ Л
2
откуда вытекает, что при р > у, #£[1, -+-оо) и при р=9-, *€0» +°°)
/(„V)=<
Поэтому, переходя к пределу в формуле (3.10) при и->оо, получаем
lim Л"(*) = 0.
л->оо
°° sin jt (— — \i) _*
^w^^-'S^a-H)*"7' (ЗЛ2)
ft — 1
Где #6[1, +°°) при р> ^ и х£(1, + 00) при Р = "2 •

234 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Аналогично из (3.6) и (3.7) получаем оценку для интеграла ^(х)
3jt
2
I/?(*)!< "f® n [соРК2'|8тФ|)^-^Ф>
откуда вытекает, что при р > -^ , х£(0, 1] и при р=2-, х£(0, 1)
Iim /(„2)(лг) = 0.
Л->оо
Поэтому, переходя к пределу в формуле (3.11) при /г->оо, получаем
» sinji f—+M-)
Ч/Р>,^) = -2яр-2р^'^ ife-po-rt ***' (ЗЛЗ)
л-о
где л;£(0, 1] при р>-^ и х£(0, 1) при р = -2»
Из формул (3.12) и (3.13) вытекает, что в интервалах (0, 1) и
(1,-|-оо) функция Ч^^(х) имеет непрерывную производную, причем
оо
К ц (х) = - 2*ц"2 2 **/р sin я (| + ц) . л: 6 (0. 1),
Г . (3.14)
<^(*) = —2^-22* psinn(|-fi), *£<1,+оо).
ft-i
Замечая, что
оо
из (3.14) при P>-g- получаем
sin п\к -|- -*1/р sin я ( \х)
ljr; (х)==_2^-2 —12 4*6(0. 1)>* 60.+°°).
Г' 1-2*W cos £ + ***> niL
р^ (3.15)
Пусть р>-^; тогда из (3.2) и из неравенств (3.6), (3.7)
вытекает, что функция Ч?р1Х(х) непрерывна на полуоси (0, +оо). Далее,
по (3.15), при р >-9" функция Ч^цС*) в точке х=\ может иметь
лишь устранимый разрыв, а в силу условия И» < т>Н оказывается

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 235
Ч^р ^ (х) = о(х~ь/2), когда х -> -f- сю. Поэтому для любого х £ (0, +оо),
интегрируя (3.15) в пределах (л:, + °°). получаем формулу (3.3) леммы.
Пусть р = ^-; тогда по (3.15)
4'L (*) = — 2sinn|i1^p-, jc6(0. О. *€(1. +oo), (3.15')
2» И-
5 / _i\
и в силу того, что \i < -^ , имеем опять Ч^, ц(.*) = о \х 2) при
лг-->-|-оо. Поэтому при л:£(1, +оо), интегрируя формулу (3.15'),
получаем представление (3.4).
Полагая теперь, что л:£(0, 1), и обозначая
(u]X(x)=:2smn]x I v. p. 1 _ i% dt\, (3.16)
очевидно, имеем
cd^(л;) = — 2 sinn\x х_х2 .
Отсюда и из (3.15') вытекает тождество
ЧГг (Х) = С^ + %(х), *£((), 1). (3.17)
где С —постоянная. Воспользовавшись известной формулой*)
V-P- J ^=r^du = nzigna (0<а<1). (3.18)
о
находим, что Са = — ясоэл^х, и тогда из (3.17) следует формула (3.5).
115
В рассматриваемом случае р = -^ , тт < Iх < -9" • Отдельно рассмо-
1 5
трим три случая: -g- < Ц < 1, м- == 1. 1 <С м- < -^•
1) Если -к < И< < 1, то функцию а>^(х) можно представить в виде
(+оо х
v. p. J ^"2(1i~^+^ rf/|«.
х^-х I С р \
= — 2sinл\х —zt\ + ^sinЯМ- v- Р- '\—п dt I •
*) См., например, Н. М. Гюнтер и Р. О. Кузьмин [1], т. III,
задача 588.

236 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Отсюда, замечая, что по (3.13)
оо
2£ + |Л-1
Ч^ ц (х) = — л —2sin^x 2^
ft-0
2k + и— 1
= — я —2sinnj.i-^ry — 2s\nn\x Г у^г<//. *€(°. О. (3.19)
о
юлучаем
\nW-М*) = Сц = — я —2sln*n( v. p. J jIl—dt). (3.20)
1о по (3.18)
+ оо / + оо М- + * | ч
V.p. J_^_d/ = | v.p. Jifj-L—de =_Jtg.
n \ n /
откуда, учитывая формулу (3.20), получаем, что CJI = — лсоэяц,.
2) Если jlx ===== 1» то из (3.16) и (3.19) получаем а)х(х)^0 и
Wi/2t 1 (а:) == я; поэтому С1==я = — я cos я.
3) Если 1 < [i <-J , то в этом случае из (3.16) и (3.19) в силу
тождества (3.17) получаем
/ +0° \
С — lim pPi/,,^*) — со^(л:)}== — я — 2sinjqA v. p. J—j.^].
Но так как 0 < ^"Г < 1, по (3.18) имеем
+ оо у + оо J£zl_i \
v.p. j ^LLdt=^ v.p. JiLl_d„U_|tgf..
о \ о /
и вновь получаем Сц== — ясобя^.
3.2. В этом пункте рассматриваются интегральные преобразования
( ±'~ \
с ядрами вида Ер\е %>yVPXlto; jx-f- I) x^~l и их обращение при
помощи интегрального преобразования с ядрами Фурье е± 1ху.
(а) Теорема 4.5. Пусть (р, \i)£U и f(x) — произвольная
функция из класса L2(0t +oo). Обозначим
gM(yt o) = -JL=- j Ep(e±l*yVexVe; \i) x»-lf(x)dx(o>0). (3.21)
Тогда справедливы следующие утверждения:

§3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
237
Г. Существуют функции g{±)(y) из класса L2tli(0, -+-00)
такие, что соответственно
(И)
gM(y) = \A.m.gW(y, °")
0 + + ОО
2°. Обратно, для функций
f(x'G)=VW
-*?{1-р)
и
J-
"y£(+)(y)yH-lrfy_f-
+ е 2 (I Ц> Г elx»gi-) (у) у*-* dy
о
существует предел в среднем
(3.22)
(о > 0) (3.23)
l.i.m./(jc; о) = /(*) (— со < х < -f-оо).
а->+со
причем почти всюду на соответствующих интервалах
/ (*) = /(*), х 6(0.+ со),
-boo
~f^ = —2^i J f^XV^(-i)dy- *6(-=c.O). (3.24)
3°. Функции g{±)(y) и f{x) связаны формулами
#(±>(у) = -
/2яр dy
/(*)=
^гяр
у* J Ер^'^у/Рл;1^; [i+lW-1/(*)<**
о J
у 6(0,+со). (3.25)
^7 J _/y ^(+)(У)Уц-'^ +
+' rfjj —к—^->(у)у^-иу
/у
К ^6(—со.+о°). (3.26)
которые справедливы почти всюду соответственно на
интервалах (0, + со) и (— со, 0).

238 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
4°. Для функций f(x) и £(±)(У) справедливы интегральные
оценки
Mi
+00
+00
J \g(±)(y)\2y2(»-l)dy<£b J \f(x)\*dX. (3.27)
0
+00 +00
J* |/(*)|2rf*< J* |/(*)|2rf* =
0 -00
Г +00
= P"1jf |^(+)(y)l2y2(Ji-1)rfy+| l^-KyJ^y204^^!- (3.28)
Доказательство. Утверждение 1°, формула (3.25), а также оценка
(3.27) вытекают из теоремы 4.1, если там заменить функцию / (х)
1
на (2яр) 2 f(x), а значение параметра ф взять равным -п- и 2л— -н—.
Так как функции /(х) и g^OOy**"1 принадлежат классу
L2(0, 4~°°)» обозначая через F(s) и G(±)(s) соответствующие
функции, двойственные с ними по Меллину, очевидно, имеем ^(■o' + ''ч
и 0(±)(1 + //)бМ-°о.+оо).
Из (3.25) имеем
у +°° я
f gl±)(u)uv~l du= — J* y»E9(e±l ^yltoxW\Vb+l\x*-lf(x)dx
(У > 0).
откуда, применяя к правой части формулу Парсеваля, согласно (2.7),
получаем
у ^+'°°„ / я \
Г 1 Г Ms;2?T:,i
—-Zoo
2 *°°
У
I g(-\u)u^-1 du =
0
2^ J /2510(1 — 5)
o-+^oo
5) rfs.
■—-/сю
2
f (3.29)

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 239
С другой стороны, из определения функций G(±)(s) легко следует
формула
1 ,
- + /СО
]>>««"-^i J З^у-*.
(3.30)
Сравнивая формулы (3.29) и (3.30), заключаем, что почти всюду
на прямой s=-<?-\-it (—оо<£<+оо) справедливы соотношения
1
0(+) (s) = (2яр)"2 Гр (s; -J; ji) Z7 (1 - s),
0(->(s) = (2np)"»g'p(s; 2я-^; ц) />(1-s).
(3.31)
Умножая теперь обе части тождеств (1.40) и (1.41) леммы 4.7
на F(l—s), в силу (3.31) приходим к следующим равенствам,
справедливым почти всюду на прямой Res = -j:
(2яр)'А/>(1 — 5) = е"'т(1"^)Я(-)(1— s)0(+)(s)+
-f-A(,-,V+>(l_s)0<-,(S).
(2np)~2 0pti(S)F(l-S) = r'2(1-V+)(l-s)G(+)(S) +
/т(1-ц)„(_)/
(3.32)
(3.33)
+ *^v'~'*'tf(-,(l-s)G(-V).
Формулы (3.32) и (3.33) после замены в них s на 1—5
разделим на (2яр)'/а 2я/(1—s)jcj_1 (х > 0) и проинтегрируем по прямой
s = -s--|-tf (—оо < £ <-|-оо); тогда получим
2ш* J 1 — s
1
y + 'co
-'у(1-Л_1
2ш
i J 1 — s
--/со
r+ioo
+^<->_l_ j t^L^G^-s)ds
j-1-
(x > 0), (3.34)

240 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Т+'°°
1 Г Фо.цО— S) ,
p^V Lxl-sp(s)ds =
2я1 _ J 1/2яр(1— s)
х J }/"2яр(1—s)
г-/оо
/2яр
2"+/°°
+
--/со
г+'оо
+^"-"i J ^L*'-o-'<.-
5)^5
i-
(* > 0). (3.35)
Но для любого х > 0 справедлива формула (2.26), а потому,
согласно равенству Парсеваля, имеем
"2+1со
0
(3.36)
г-*оо
r + lco
,-'»
(3.37)
Нам остается теперь видоизменить выражения, стоящие в леяых
частях формул (3.34) и (3.35).
Из определения функции F{s) следует, что
7+1а
/(*)=2£г1-1-«п- f F(s)x-*ds,
-2-ia
откуда имеем
Т+'от
i J ■f^-*-'rfs= J/(«)rf« (*>0). (3.38)
J-'»

§3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
241
Из определения (3.2) функции ^Ptil(x) следует, что для любых
*>0, .у>0 ,
1 + tco
1 оо
2
и, следовательно,
1
2т
Т+/со
Фр, Ц (5)
1 ; 1 ;
+ оо
J /00^(7)^ (*>0>- (3-
39)
Подставляя (3.36), (3.38) в формулу (3.33) и (3.37), (3.39)
в формулу (3.35), получаем
X ( л +оо
е1*У _ 1
О
+ оо
g^-Hy)^-1dy\. *6(0, +оо). (3.40)
I
+ со
g'-^y — 1
'У
gi+)(y)y»-Uy +
+ e'"(,_,l)j '""' 1 g<-)(y))"x-1rfy . *6(0. +оо). (3.41)
Замена в (3.41) х на —х приводит к тождеству
+ оо
о
2 g-( + )(y)^-ldy +
nJ -'У
/2яр
+е
<?г*У — 1
«У
*С->(у)уИ-
•'rfyf.
х £ (—00,0). (3.42)
16 М. №• Джрбашяч

242 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Дифференцируя обе части тождеств (3.40) и (3.42) по х,
получаем формулу (3.26) теоремы, где функция f(x) определяется
согласно (3.24).
Далее, из определения (3.23) функций f(x\ о) и из формулы
(3.26) заключаем, что почти всюду на (—оо, +оо)
+оо
~ 1 d Г р-1хУ 1
/(*)_/(*; о) =-74г-£- i —LGa(y)dy,
У 2я dx J —iy
— оо
где
-iJTt-rt^-h—^t—^-i
—р V2 - ^-'(-Ж-УГ-1. у£ (-оо, -а),
( р2/2° V^Cy)^"1. Уб(<*. +оо).
Поэтому в силу равенства Парсеваля имеем
+оо
J !/(*)-/(*; a)fdx =
•"00
1+со +оо |
/ к(+)(У)|2У2(*-1)<*У+ J |^->(У)|2У2<**-1)Лу|. (3.43)
откуда следует утверждение 2°.
Наконец, замечая, что f(x; 0) = 0 и f(x) = f(x) почти всюду
на (0, +оо), из (3.43) получаем утверждение (3.28). Теорема
полностью доказана.
(б) Теорема Планшереля 2.3 о синус- и косинус-преобразованиях' Фурье
является частным случаем также и теоремы 4.5 при некоторых специальных
значениях параметров р и |х.
Пусть, например, р = -~-; тогда, предварительно заменив функцию / (х)
на V~2f(x), записываем двойственные формулы (3.25) и (3.26).теоремы 4.5
в виде
I о J
Н-оо
1
/2я
-I
е
2 —- : g(y)y* ldy +
dx J —iy
, /7(1-|l) d Г *"* —1 , ч „.i .
(3.44)

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 243
1 5
В рассматриваемом случае должно быть -^- < |х < -=-. Положим сначала
|х «= 1; тогда, учитывая, что
из (3.44) получаем двойственные формулы
+ оо
О
(3.45)
справедливые почти всюду на (0, +оо). При этом функция f(x) есть
четное продолжение функции / (х) на всю ось (— оо, -f- оо). Это следует также
из формулы (3.24), если заметить, что по формулам (3.4) и (3.5) леммы 4.9
при х£(—оо, 0)
0
Поэтому второе из утверждений (3.28) приводит к равенству Парсеваля
+ оо +оо
J* \f(x)\>dx= j \g(y)\*dy
между двойственными функциями (3.45).
Положим теперь |х — 2; тогда, принимая во внимание формулу
и замечая, что gx (у) = g(y)y£L2 (0, +00)» получаем двойственные формулы
+оо
/ ч ^ f 2 ^ Г 1 — cos xy ,, ч j
0
+оо
^ / ч ^/ ч т /" 2 d f 1 — cos xy , ч .
<3-46>
справедливые почти всюду на (0, +оо). Отметим, что в этом случае f (х)
есть нечетное продолжение функции / (л:) на всю ось (— оо, -+- оо), поэтому
из (3.28) мы опять получаем равенство Парсеваля
+ оо +оо
j \f(x)\*dx = J* \gi(y)l2dy.
о о
16»

244 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
(в) Пусть р = jx = 1; тогда, замечая, что
ez— 1
Ei (г\ 2)
z
двойственные формулы (3.25) и (3.26) теоремы 4.5 записываем в виде
+ оо
1 d С в±1хУ—\
gl±)(y)=-—— \ - f(x)dx% у£(0, +оо),
у 2п dy J ± ix
( +оо
у 2я dx J —iy
[и J
+ oo |
+ i J elX\7l S{-4y)dyh A-6(-O0, + OO).
о J
При этом, поскольку, согласно (3.3), имеем Ч^, i (лг)^О,
7(x) = f f(x) при х€1°> +со)>
К } I 0 при лг£(—со, 0).
Поэтому из равенства (3.28) получаем
+ оо +оо + оо
j \f(x)l2dx=j \gW(y)\2dy+j \g{-](y)\2dy.
0 0 О
Обозначая g (у) = g^ (у), имеем £(+) (у) = g (— у), откуда легко
следуют двойственные формулы
+ оо
1 d С e~ixy — 1
К2я dy J —*л:
Н-оо
К2я ^* # 'У
и равенство
4-оо +оо
j \f(x)\*dx = j \g(y)\2dy.
О -оо
Таким образом, при р = \л = 1 из теоремы 4.5 мы получаем теорему
Планшереля 1.13 для комплексной формы преобразования Фурье, но лишь
для более узкого класса функций, а именно для функций f (х) из Ц (—оо,
+ оо), равных нулю на полуоси (— оо, 0). Однако ввиду того, что / (х) = О
при х £ (— оо, 0), путем наложения отсюда легко получить эту теорему для
всего класса функций / (л:) £ L2 (— со, + оо).
3.3. (а) Специальные обозначения, введенные в теореме 4.5, были
необходимы лишь для проведения ее доказательства методом преобра-

§3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
245
зований Меллина. Приведем теперь формулировку теоремы в более
упрощенном виде.
Теорема 4.5'. Пусть (р, \i)£U и f(x)— произвольная
функция из класса L2(Q, + оо). Полагая, что argya =— Jta при
у < 0, обозначим
Г(У,
о
;c) = -^j£p(*'"tyV/p; ]x)xtl-lf(x)dx (a>0), (3.47)
где —оо<у<+со. Тогда:
1°. Существует функция g(y) такая, что
] \g(y)y^\2dy <+oo,
(и)
g(y) = l.l.m.g(y; о) (—оо<у< + оо).
а->+оо
2°. Обратно, если обозначить
(3.48)
/(*; а) = -у= J e-ixyg(y)(iyf-] dy (a > 0), (3.49)
то на всей оси (—оо, + оо)
где
1.1. т. /(*; а) = /(л:),
а->+оо
/(*) = /(*). а: 6(0, + <х>),
/W = -2^^ J/0»*т(-£)**• *€(-«>. 0).
(3.50)
3°. Почти всюду на (—оо, -f-oo) функции g(y) и f(x)
связаны соотношениями
+ 00
. (3.51)
+ оо
/W = t4=^- f e~lX9~x g{y){iyf-xdy. (3.52)
]/ 2яр dx J — ty

246 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОЁ. С ЯДРАМИ МИтТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
4°. Имеют место оценки
+оо +оо
J* \g(±У)12У2(,1-1)^<^ J* \/(x)\2dx,
+ 00 +00
j |/(*)|*rf*< J" \f(x)\'dx = f>-i J \g(y)p-l?dy.
° + (3.53)
Доказательство. Мы будем пользоваться обозначениями и
результатами теоремы 4.5. Очевидно, имеем g(y; о) = g(+) (у; о) (у > 0),
g(y; o) = g(-)(—у; о) (у < 0). Поэтому, обозначая
g(y) = g{+4y) (У>0), *(у) = *<->(-у) (у<0), (3.54)
для функции f(x; а), определенной в (3.23), получаем
представление (3.49).
Далее, формулы (3.25) и (3.26) в силу (3.54) приводят к
представлениям (3.51) и (3.52) в предположении, что arg{yx}= — яа,
Уб(—°°» 0)- Следовательно, все утверждения этой теоремы
представляют собой перефразировки соответствующих утверждений
теоремы 4.5.
(б) Выше было установлено, что любая функция из класса
^2(0» Ч~°°) допускает два преобразования с ядрами е±и'У и
Ер\е 2Pjc!/py/P; \х) х^~1 соответственно. Покажем теперь, что эти
преобразования удовлетворяют интегральному равенству, являющемуся
аналогом равенства Парсеваля.
Пусть fi(x)£L2t[liot +oo) и /2WfiL2(0, +°°)- Рассмотрим
интегральные преобразования этих функций с ядрами соответственно
е±1хУ и Ер\е± 2Pjt1/Py1/P; \x) jc^"1, полагая при этом, что (р, \i)£U.
Обозначим эти преобразования таким образом:
+оо
*(±)(у;'': е)=Т^Ц ^/'«^'^ (3-55)
s(±)(y;/2; £Р) =
у» Г Ер (е± ' WyW; ц + l) x*-*f2(x)dx
(3.56)
Согласно теоремам 4.2 и 4.5, очевидно, имеем
&*Чу; Л; «)€М0. +оо) и ^*)(У: /2; £Р)6^(11(0, + оо).

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 247
Теорема 4.6. Для функций fx(x) и f2(x), с одной стороны,
и для функций g"(±)(y; f\> е) и g{±)(y> Л» ^р)» с другой стороны,
справедливо интегральное равенство
+оо
J Mx)xv-1f2(x)dx =
+00
J г(->(У; /Г. е) gW (у; /2; Ер) yn-i rfy -f
0
-00
+ «'t(I"1" { £(+)(у; /1; о^-Чу; Л; ^^-'rfy (3.67)
jt +°°
= е 2
о
О
или эквивалентное ему равенство
+оо
= е 2
-*7Г(1-Ц)
J fl(x)X*r*f2(X)dX:
+ <
0
-00
_j_ / Т t'-W I ^(+) (y. fi. e) g{+)(y. U Ep) yi-i rfy# (3-68)
0
/ t(i-h)
0
Доказательство. Пределы в среднем
<&-l(s) = \. i. m. f (ЛСд:)^-1}^-1^,
a->+oo J
"5"
a
^2(s) = \. i. m. f f2(x)xs~ldx
П -X 4-ro J
существуют на всей прямой $ = —-|-// (—°°<^<+°o), и,
следовательно, функции сУЛу-Мч и <&~2\'2~Ь"М) принадлежат классу
L2(— 06, +00).
Из определения (3.55) функций g{±)(y\ /f, e) имеем
+ Ьо
Г 1 Г е±ЬхУ — \
gM(u; fte)du = -±= ± —Lfl(x)x»-idx (у>0),
J У2др J ±« ■ <

248 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
В силу равенства Парсеваля для преобразований Меллина правая
часть этой формулы может быть записана в виде
1 .
Г *<*>(«; Л; e)du = -±==-±T f I^Myi-s^ (l_s)ds
J У2яр 2ш . J 1 —s
I- /CO
(y > 0).
Отсюда следует, что
l ,
-2 +'«
1 1
(3.59)
Далее, из определения (3.56) функций ^^(у; Л; £р) имеем
у
J «**>(«; Л; яР) я*-1 *«==
о
= у= JfipU*'^1^^; |i+0^-72W^ (У>0).
откуда, преобразуя правую часть с помощью равенства Парсеваля,
находим
-1 Ни —^
\ g^{u\ UE9)u^du
i ,
«-JL^-L. —L-fE—Lyi-*^'2(i-s)rfS (y>0).
V 2яр 2ш J 1 — s
T-to
'2яр 2я*
"2
у
"2 + /0°
= -7*=-^- — ; *_i.yi-^2(l-*)<fc (у>0).
1/2яо 2я* J 1—5
)^2яр 2я/ х J 1—5
■—- /со
2 W

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 249
Наконец, из полученных формул следует, что
= 1-1-1.1. m. f Srp(s;-f ;n)^2(l-*)jr*<fc.
j-ta
Применяя теперь к преобразованиям Меллина (3.59) и (3.60)
обобщенное равенство Парсеваля, имеем
+ 00
о 1. ,
е)^+)(У,и^^-Ыу =
■y+ft»
1
2ш'
1 \
ТГ-/00
+ оо 2
J £(+,(y; Л;
I+/CO
(3.61)
е)&->(у; UE„)r-ldy =
^ЕЗ J (2ярГ'^р(5;2л-|Ь:^Я(+)(1-5)сГ1(ЮсГ2(1-5)^.
I-/00
2
(3.62)
Умножая формулу (3.61) на е 2 , а формулу (3.62) на
£ * и складывая результаты, в силу функционального
тождества (1.40) леммы 4.7 получаем
е~1.Т^ J вг(-)(у. д. ^)er( + )(y; /2; £p)y»*-lrfy +
+ *'T<1_fl) J *<+>(у; Л; О^-Чу; U Ер)у»-Чу =
О 1 .
■j+lco
*-'-

250 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРА306. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Отсюда, применяя равенство Парсеваля к правой части, получаем
формулу (3.57).
Наконец, замечая, что по (3.55) и (3.56)
gM(y. U ^P) = g(-)(y;/2;gp)>
&-Чу\ /2;^р)=^(+)(у;/2;^Р).
и заменяя в формуле (3.57) функцию f2(x) на /2(л;), получаем (3.58).
Теорема доказана.
В заключение заметим еще, что равенства (3.57) и (3.58)
теоремы 4.6 можно записать в более компактном виде, если вместо
преобразований (3.55) и (3.56) воспользоваться преобразованиями
+оо
1 d С р~1хУ — 1
g(y; A; «) = -JL« I _L/l(jf)j:li-idjfi (3.63)
У2яр dv J —ix
*^'»:£Н9«
7 /,i \ 1
y* I Ep [e 2p xl'pyl'P; ц + 1 ) x»- * /2 (x) dx \,
о J
(3.64)
полагая при этом, что у£(—оо, +оо) и arg{y*} =— ла при
у£(— сю, 0).
Действительно, при этих условиях имеем
g(-)(y; /,; e) = g(y, fx\ e), gi+)(y; /2; E^ = g{y, /2; £р) (у > 0),
gW(y, U e) = g(—y, /,; е). gi-Цу, /2; £„) = *(-у; /2; £р)
(У > 0),
откуда с помощью формул (3.-57) и (3.58) получаются равенства
-г ОО + 00
j fl(x)x*-1f3(x)dx= J ^(У; U e)g(y, U E^ilyf-'dy, (3.57')
0 -оо
+ оо Н-оо
J AW^-'AW^= J *(У. A: e)g(r-y,UEJ(tyf-1dy.
0 -оо
(3.580
3.4. В заключение параграфа приведем обобщение теоремы 4.2, а также
теоремы 4.5 об интегральных преобразованиях, порожденных линейными
комбинациями функций типа Миггаг-Леффлера.
(а) Отметим сначала некоторые необходимые для дальнейшего факты
и оценки.
Интеграл
+ СО
G<+> (w) = j eiwtg (0 dt% g (t) £ L2 (0, + oo), (3.65)

31
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА
251
определяет голоморфную функцию в полуплоскости Im да > О, так как
|G<+>(a + to)|<( j\g(t)\2dt) (je-2vtdt\ =£ (0<v<+oo).
Известно, что при i/-> + 0 функция G{+)(и-\-iv) в среднем на всей оси
— оо < и < + °о и почти всюду сходится к функции
а
G<+) (и) = 1. I. m. f eiutg (t) dt £ L2 (- оо, + оо), (З.бб)
а->+оо J
т. е. к своим граничным значениям, через которые она представима
формулой Коши*)
+ оо
c(+,w-i J* -tSf* Imw>a
(3.67)
Пользуясь представлением (3.67), в силу неравенства Буняковского мы
получаем оценку
( +оо V/2 Г +оо
( —СО J [ —CO
<*6
'A
= c.
г ^
J t'2 + r2s\n2$
Vr sin ft
(0 < f> < я, 0 < r < + oo).
Отсюда следует, что для каждой функции, представимой в виде интеграла
(3.65), справедливо также интегральное неравенство
я 1
J|G<+)(r*'*)|<to<C(G)r 2 (0<г<+оо),
(3.68)
где C(G) — постоянная.
Вполне аналогично можно показать, что интеграл
G<->(«r)= J e-lwtg(t)dtt g(t)£L2(0t +oo)f
(3.650
определяет в полуплоскости Im да < 0 голоморфную функцию, почти всюду
обладающую граничными значениями
а
G(-) (и) = 1.1. т. Г e~iut g (t) dt£Lz (—оо, +оо). (3.66')
а-ь+оо J
*) См., например, Е. Титчмарш [1], гл. V, теорема 93. Это
предложение, наряду с более общими результатами, излагается также в гл. VII
этой книги (см., в частнрсти, следствие теоремы 7.3),

252 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Для этой функции справедлива интегральная оценка
о
\ \G^'Hreib)\d^<C(G)r 2 (0<г<+оо).
(3.68')
(б) Далее всюду в этом пункте на параметры р и \х будем накладывать
следующие ограничения:
Полагая, что
тс
Y при Я£(0, + оо),
arg {/Я} =
— 2" при Я£(— оо, 0),
введем в рассмотрение следующие функции *):
cos а *1 4Р )л±алг
ЧК±> (л:; Я) = ^slna - ^р * 4р J e±iX\ (3.70)
ф(±)(л:; X) = sina(±a)^-1£p((±a)1/Pjc1/p; ц) —
-^|*^(±аГ^^£р((±ад^ ц+^), (3.71)
а также функцию
Й (Я) = - . (3.72)
Я2 sin2 a — Я sin 2a cos -3—I- cos2 a
4p ■
Обозначая далее
. я
о(*)(Я)«81по—^/ 4р, (3.73)
очевидно, имеем
¥(±) (х; Я) = ©(±) (Я) * ±a*f (3.74)
°<*>д (+W^ (-)/!,' 0(«-|©(±>(Я)Г2 (_оо < Я<+оо), (3.75)
©w (Я) ©* ' (Я)
а также
0(±)\//:*р ctgaj =0, ©(*> (_**' "* ctgo) = 2 sin a. (3.76)
Отметим, наконец, что, используя тождества
Ер (г\ ц) = I [£2р (*'/.; ц) + £2р (- *'/.; ц)], (3.77')
_1
Ер (г; И + ^) = ^- fop (А ц) - £2р (- г\ ц)], (3.77")
*) Напомним, что каждую формулу такого рода следует понимать как
две формулы, в отдельности соответствующие всем содержащимся в ней
верхним, а затем нижним знакам.

-t-a
J
§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 253
которые легко вытекают из определения самой функции Ер (г; ц), для
функций Ф(±)(лг; Л) мы получаем также представление
+ \ ®{±) (- X) (±а)^"1£2р(- (±/Л)1/2Рл:1/2Р; ц). (3.71')
(в) Полагая, что функции G(±) (Я) определены по формулам (3.65) и
(3.65'), докажем лемму.
Лемма 4.10. Справедливы следующие формулы:
Г. При ctg a < 0
7°£2р(-(та)1/2рл:1/2р;ц) „ . ,__,
Р }— -(т/Г^Й^Ьа (3.78)
J ±/-£-
-«> я_ , 4Pctga
2°. Яра ctga > 0
Я — е± 4р ctga
«= ±2я/ \т1е± *"& ctg aj G^> U* ' "^ ctg a) X
X £2P \- IT fc* ' "* ctg о) лг1/2р; |i/. (3.79)
Доказательство. Мы докажем эти формулы лишь для случая верхних
знаков, пользуясь свойством (3.68) функции G^+) (Я). Для нижних знаков
формулы устанавливаются аналогичным способом, если воспользоваться
свойством (3.68') функции G^ (X).
1°. Пусть L (е, а) обозначает пробегаемый в положительном
направлении замкнутый контур, состоящий из отрезков [—а, — е] и [е, а] (0 < е < а)
вещественной оси и из полуокружностей Се={Я; \Х\ =е, Im К > 0} и Са =
= {Я; | Я | = cf, 1шЛ>0}.
Функция
8<+>(я) = ^2р( ( *2 (-а)|1-,о(+)(« (3.80)
голоморфна в верхней полуплоскости 1ш Я > 0 (ctga < 0), и, следовательно,
Г Й(+)(Л)<а = 0 (0<е<а). (3.81)
L (e, a)
Заметим теперь, что в силу асимптотических формул (2.23) и (2.24)
леммы 3.4 при достаточно малом 6 > 0, когда | -г | -> -f- oo, имеем
E2Q(z;\i) = 0(z-i)t JL +6<|arg2r|<n,
Р (3.82)
Е2р (*; ц) = 0(г2р<1-^), JL < | arg г |< JL + б.

254 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Заметим еще, что при х£(0, +°°) и ImA,;>0 имеем
|г < л ~ if <'arg {~(" д>1/2р*1/2р1 I < *
1
причем слева равенство имеет место лишь при р = ^-.
Из формул (3.82) в силу последнего замечания следует, что при
*£((), +°°) и ImA,>0, когда |А,|-> + °°» справедлива оценка
^р{-(-^)1/2р^1/2р;^ =
1
при р > 2",
| о(х 2р)
Из формулы (3.80) в силу оценок (3.83) и (3.68) получаем, что
(3.83)
1
при р = ^,
св
Са
Ввиду условия (3.64) оба эти интеграла стремятся к нулю. Поэтому,
переходя к пределу в тождестве (3.81) при е->-|-0 и a->-f-°°» получаем
равенство
+оо
— со
т. е. формулу (3.78) для верхнего знака.
2°. При ctga>0 функция 8(+)(Я) голоморфна в верхней полупло-
скости 1ш % > 0, кроме точки Л = Л0 = £ р ctga, где она имеет
простой полюс. Поэтому, если a > ctg a, то по теореме Коши имеем
Г G{+)(X)dl=2niTesG{+)(X),
L(e,o)
откуда, снова устремляя е->0 и а->-|-со, получаем формулу (3.79) в
случае верхнего знака.
(г) Обозначим через L^ (—оо, +оо) класс функций F (X),
определенных на всей оси (—оо, +°°) и удовлетворяющих условию
+ оо
Г | F (X) |2 Q (X) d% < + оо.
— со
Докажем теперь следующее обобщение теоремы 4.2.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 255
Теорема 4.7. Г. Пусть fit)— произвольная функция из класса
£2,ц(0, +»). т- е- /W^GMO. + со) и
а
/?(±) (Я, а) = Г ¥(±) (t\ X) f (t) t»-1 dt (a > 0). (3.84)
о
Тогда существуют две функции F^ (k)t принадлежащие классу
Z*2Q) (— со, + со) и такие, что
-f-oo
lim f \F{±)(X) — /?(±)(Я;а)|2Й(Я)^ = 0. (3.85)
a->+oo J
— oo
2°. Справедливы двойственные формулы: при ctg a< 0 на (О, + °°)
а
/ (х) = 1.1%. -тД- Г /7(+) (Я) Ф(-> (*; Я) й (Л) <tt =
а->+оо *ЯР J
-а
а
= 1.1. т. -;Д- Г /*<-> (А,) ф(+> (а:, Я) Q (X) <*Я; (3.86)
а->+оо ^яр J
-а
rt/w ctg a > О
а
(Ц) 1 /*
/W-l.l.m.-gi- ^*)(Л)Ф^)(ж;Я)Л±
а->+оо ^Р J
-а
±4г ^я f (^W^^J^QW). (3.87)
Доказательство. 1°. Обозначим
a
ф(±)(Я;а)= Г е±ш f(t)t»-ldt (a > 0) (3.88)
о
и заметим, что по теореме Планшереля существуют пределы в среднем
ф(±) (Я) = 1. i. m. ф(±) (Я; a) (— оо < %< + со). (3.89)
а->+оо
Из (3.74), (3.84) и (3.88) имеем
f(±) (Я; а) = со(±) (Я) ф(±) (Я; а), (3.90)
откуда в силу (3.75) следуют равенства
|/7(±)(Я;а1)-/г(±)(^а2)12й(Я) = |ф(±)(Я;а1)-ф(±)а;^)|2.
Отсюда и из (3. 89) вытекают предельные соотношения
+ оо
lim f |/?(±)(Л;а!) — F{±)(k;o2)\2Q(k)db = 0,

256 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЁОЬРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
а следовательно, и существование функций /7(±) (h)£L^ (—оо, + оо),
обладающих свойством (3.88).
2°. Переходя к пределу в (3.90), получаем, что почти всюду
/^,(±)(Я) = 0(±)(Я)ф(±)(Л) (_оо<Я<+оо). (3.90')
Замечая теперь, что
i —
G)W(—А,) __ 2 ctga/ 4p
l — e 4p ctga
из (3.90'), (3.75) и (3.7Г) получаем
a a
J /*±> (X) ф<*> (х- ю а (к) dx = i J £2p((Ta)I/2p^1/2p; ц) (таг1 x
-a -a
a
X<p(±)(Я)л + j J в2р(-(;й)'^ ц)(Taf -y*) (X)rfx +
-a
a
+ /^ctga Г^Р(-(^-Я)^^Р;ц)(_/Я),_1(р(±)(Я)^
~a Я,-/'^ ctga
Воспользуемся утверждениями 1° и 3° теоремы 4.3. Во-первых, из (3.88),
(3.89) следует, что на полуоси (0, + оо) справедливы формулы
a
/ (*) = l.fm. _L f £2p ((a)I/2P*,/20; ц) (Uf V~» (X) dX =
a->+oo 4лр J
-a
a
= I. u -J- f £2p ((- a)1/2Px1/2P; ц) (- af" V+> (Я) <Д, (3.92)
-a
причем вторая из них есть простое следствие первой.
Далее, полагая в формуле (2.51) теоремы 4.3 ср=я и заменяя р на
2р О 1), получаем, что на полуоси (0, +оо)
о
1.1%. Г (Е2р - (Д)1/2р*1/2е; ц) (/Xf-V-> (Я) Л =
-а
а
= iTm. f £2р (- (- iX)l^xlf2P; ц) (- ttf" V+) (Я) Л1 = 0. (3.93)
-а
В случае ctga<0 из формулы (3.91) в силу предельных соотношений
(3.92) и (3.93) вытекают утверждения (3.86) теоремы, если только при
ctga < 0 воспользоваться формулой (3.78) леммы 4.10.

§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЁФФЛЕРА 257
В случае же ctga>0 из (3.91), (3.92) и (3.93) в силу формулы (3.79)
леммы 4.10 мы получаем
!. Lm. f F^ (X) ф№ (х\ X) Q (К) d\ ••
\Ц-1
; 2яр/(л:) ± 2я/ ctgcu? ^р \+ le qp ctg aj ф(±) \е~ 4р ctg a) X
г 4р\+/* 4pctgaj ф<±>и 4pctgaj:
X £2р U U te* ' ^" ctg a) ^2p; J . (3.94)
Заметим теперь, что в силу формул (3.67) и (3.7Г) справедливо
тождество
U ie± 4р ctg a J £2p [- U le* 4p ctg aj *1/2p; ц/ =
= Ф(т) U; e* 4p ctg aj sin"1 a. (3.95)
Далее, из (3.90'), (3.75) и (3.73) вытекают формулы
lim
. я
, ± "5р f
А, -> г ctg a
9«,(/^с1в„).^к^Ц.
(0(±)(// 4р ctgaj
(3.96)
j Я
? 4pctga
sinaco(±' \£ p ctg a)
(3.97)
Из предельной формулы (3.94) в силу (3.95), (3.96) и (3.97) следует
утверждение (3.87) теоремы.
(д) Доказанная выше теорема, как частный случай, содержит известный
пример обобщения теоремы Фурье — Планшереля 1.13, связанный со
следующей сингулярной краевой задачей на полуоси (0, +оо):
у"-Ку=0 (0<*<+со),
у (0) = sin a, у(0) = — cos a.
17 М. М. Джрбашян

258
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
Речь идет о паре двойственных формул
+оо
r(X)=j f(t)y(t,X)dt,
о
+ оо
(3.99)
VI
-dX +
о
+
X sin2 a -f- cos2 а
X
2c\gae-xctsa j e-tci*af(t)dt при ctga>0,
где
у (х, X) = sin a cos V~X x — cos a
при ctg a < 0,
sin VXx
Vx
(3.100)
(3.101)
есть решение задачи Коши (3.98). В этих формулах / (t) £ L2 (0, -\- оо)
£Г (X)— функция из класса, определяемого условием
+ оо
VI
X sin2 a-(- cos2 a
■ dX < + oo,
и интегралы следует понимать в смысле сходимости в соответствующих
метриках.
Чтобы убедиться в справедливости двойственных формул (3.99), (3.100),
воспользуемся теоремой 4.7 в частном случае, когда р = —, |х = 1. Замечая,
что Ей {z\ 1) = ch V*, Ei/2 (<?', 2) = —y=- , во-первых,- имеем
Ф(±) (х; X) == Ф (х\ X) е== sin a cos Хх — cos a —^—,
4*
±){XtX)^(slna±i^-)e^\
Ф(х; X) = ± W+\x) Х) + Ч^(х; Я)},
X2
X2 sin2 a -\- cos2 a
Поэтому, выписав интегралы
(3.102)
(3.103)
F (Я; a) = j Ф (t, X) f (t) dt = ± {/*+> (Я; a) + /*-> (X; a)},
о
можем утверждать, что в метрике L^ (— оо, +оо) они сходятся к функции
= j Ф (*; К) f (t) dt e Lf^ (- оо, + оо). (3.104)

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 259
Далее, пользуясь формулами обращения теоремы 4.7, путем сложения
обеих формул (3.86) или (3.87) мы получаем
а
/(*) = 1. i. m. — \F (X) Ф (х\ X) Q (X) dX, ctga<0, (3.105)
-a
a
/ (x) = 1. i. m. - F (X) Ф (*; A,) Q (X) dX +
a-> +oo я J
-a
+ 4 res (^(ЧФ^ЧЩЧ)-
* A.-/ctg a
— 4- res {/7(_) (А,) Ф (л:; X) Q (X)}, ctg a > 0. (3.106)
J A,--* ctg a
Однако, учитывая формулы (3.90') и (3.103), легко видеть, что
res {F{*] (X) Ф (х\ X) Q (X)} = 0, (3.107)
A,- ±i ctg a
res {T7 (А,) Ф (*; A,)Q(a)} =
A,=»±Jctga
+-00
= T_£gp_*-*ctga f e-Ut*af{t)dL
(3.108)
Обозначая, наконец, ради краткости сумму последних двух слагаемых
формулы (3.106) через R(x), ввиду (3.107) и (3.108) получаем
#(*) = t res {F(X)0(x>tX)Q(X)} —
1 Х- /ctg a
— 4- res {T7 (Л) Ф (x; X) Q (A,)} =
* A.=»-/ctga
+oo
= 2ctga<r*ct2a Г e-fcte(xf(t)dt. (3.109)
о
Поэтому, подставляя значение /?(.*) в (3.106), имеем
a
/(*) = 1. i. m. — /^ (X) Ф (л:; Я) Й (X) dX +
a-> +oo я J
-a
+ oo
+ 2ctga*-*ct*a f e-tct*af(f)dt. ctga>0. (3.1060
о
В заключение заметим, что F (X) = *Г (Я2) и Ф (х\ X) = у (х, Л2) суть
четные функции от X; формулы (3.104), (3.105) и (3.106) приводят к
двойственным формулам (3.99), (3.100).
17*

260 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ. С ЯДРАМИ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА [ГЛ. IV
(е) Имеет место также следующая обратная теорема.
Теорема 4.8. 1°. Пусть f (t) — произвольная функция из класса
L2 (0, -\- оо) и
а
/?(±) (Л; а) = Г Ф^±) (t; k) f (t) P~l dt (a > 0).
о
Тогда существуют функции F^(k), принадлежащие классу L^ (—оо, -J-oo)
и такие, что
+ оо
lim
о
m f \F^(k) — F^(k'fa)\2Q(k)dX=0.
+00 J
2°. Справедливы двойственные формулы:
при ctga<0 на (0, +оо)
а
f (х) - 1. 1. m. JL Г /**> (X) ¥*1 (х; Я) Q (Я) <Л;
(Т-»+оо ^Яр J
-a
при ctg a > 0
о
f (x) = I. i. m. JL f /*±> (k) Y<*> (*; Я) Q (k) dk т
a->+oo ^лр J
-a
T ■£- res {/**> (А.) ¥<*> (*; A) Q (X)}.
\-e K ctg a
На доказательстве мы останавливаться не будем, так как оно аналогично
доказательству теоремы 4.7.

ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА
Функцию, определенную посредством интеграла
+оо
v(*;i*) = J r /1 ~, .. , ,ч dt,
£1
впервые ввел в анализ В. Вольтерра в своих исследованиях, посвященных
решению некоторых специальных интегральных уравнений типа свертки.
В этой главе развивается теория прямых и обратных интегральных
преобразований с ядрами Фурье e±ixy и Вольтерра v I ± ixy\ —-~-] в классе L2.
Эта теория является естественным завершением результатов предыдущей
главы в предельном случае, когда p->-f"°°-
Предварительно исследуются важнейшие свойства функции v (г; (х),
связанные с ее интегральным представлением, асимптотическим поведением
и т. д. В частности, с помощью асимптотических свойств функции v (г; \х)
мы находим ее преобразование Меллина, играющее существенную роль
в построении теории преобразований с ядрами Вольтерра.
§ К Интегральные представления и асимптотические формулы
для функции v(z; \x)
1.1. (а) Функцией Вольтерра будем называть интеграл
4оо
v(z;»)=\ T0Z^+t)dt, (1.1)
О
где \х — произвольный параметр, причем для функции z]X+t
выбирается та ее ветвь, которая на луче argz = 0, 0 < | z | < -f- со
принимает значения exp {(\i-\-t)\og \ z |}.
Функция v(z, [i), очевидно, голоморфна на бесконечнолистной
римановой поверхности
°«,= {*: — oo<Aig2r< + oo, 0<|2г|< + оо}. (1.2)

262 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Следующие формулы вытекают из определения (1.1) функции
v(r, jx):
v (г; ц) = J* Ep (z'/p; \ + f)z* dt, (1.3)
ц 1
у(г;ц) = ^ lira i-£p(z,/p; 1 + (*)■ (1.4)
p->+oo M
■jj-v^; ^) = v(2; fi —!)• (1.5)
В самом деле,
l l
dt =
oo P
— i J T(l+vi + t)dt— J
*n+'
. Г(1+|х + 0^'
ft-0 fc/p 0
k 1
Далее, обозначая tk=— и Д^ = — (& = 0, 1, 2, ...), имеем
00 t
lgp(^;l+^) = Sr(1^ + <ft)A^,
откуда, рассматривая правую часть как обобщенную интегральную
сумму*), получаем (1.4). Наконец, вывод формулы (1.5) очевиден.
Полагая, что интегрирование совершается вдоль отрезка,
соединяющего точки 0 и z£G^t имеем при ц >—1 и t^O
r(a)J^Z "' " fl" r(l+|i + o + 0
откуда следует формула
г
■jr^ jiz — af-^Cku; \i)du =
о
= A,~av(^; И+l) (|А>-1,а>0) (1.6)
и, в частности,
Z
j\(ku; \x)du = X'1v(Xz\ jlx —f- 1) Qx > — 1). (1.60
*) См., например, Г. Полна и Г. Сеге [1], отд. И, гл. 1, задача 30.

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ v(z; \x) 263
(б) Установим формулу
I
(Vav(U; a)(r)"pv(r(Z — x)\ $)dx =
о
Х-а+Д+Р)у(/Я,; 1+ ct + P) — (Я*)-<1+а+Р>у(/Я*; 1+а + Р) п 7ч
~ log Я —log Я* К '
(а>-1, р>-1).
где А, и А,* (А, =£ V)— произвольные комплексные параметры.
В самом деле, обозначая левую часть (1.7) через I (к; А,*), из (1.1)
имеем
/
Н-оо +оо ( I Л
0 0 I 0 )
+ оо +оо
Г(14-(1+о4-Р)+и + ^)
о о
dudv.
Отсюда при помощи замены v = t — а получаем
+ DO ( t \
Г a*V/1+a+p+' Г / х \а
1 Г /t+a+P [xf — (X*)f 1 ;/,
log^o' Г(1+(1+а + Р) + «
Наконец, из этого соотношения в силу (1.1) следует формула (1.7).
(в) Представляют интерес еще две функции, родственные
функции Вольтерра:
+r°°^+'cosf (ц + 0
ve(*;n) = J г(1 + и+о *'•
° (1-8)
О
Эти функции, очевидно, также голоморфны на всей поверхности 0^;
при этом, если \х—вещественный параметр, то
v(iz; [i) = vc(z; \i)+tos(z; \i). (1.9)
В частности, при л;£(0, +оо)
v(± tx\ |i) = v,(*; \i) ± ivs(x; \i). (1.9')

264 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Наконец, отметим также легко проверяемые формулы
(1.10)
■3jv,(*; l+\i) = ve(x\ ix)t
-£;Vc(x; 1 + ц)= — vs(x; \i),
напоминающие формулы дифференцирования тригонометрических
функций sin л: и cos х.
(г) Функция v(a;; [i) была введена Вольтерра в связи с задачей
решения специального интегрального уравнения, рассматриваемого
в нижеследующей теореме.
Теорема 5.1. Пусть F(x)£Lx(0, /) и М—любая постоянная.
Тогда:
1°. Всякое решение G(x)£Ll(0t l) интегрального уравнения
X
F(x) = | (х — tf-1 {\og(x — 0+ М) G (t)dt (а > 0) (1.11)
о
одновременно является решением интегрального уравнения
Абеля х
/(*)== J* (x — tfG(t)dt, (1.12)
о
где
X
f(x)=—ajv((x — u)eh;0)F(u)du, h = M+^£. (1.13)
о
2°. Решение G(x)^Ll(0, l) интегрального уравнения
X
F(x) = J* (log(x — t) + M) G(t)dt (1.14)
о
почти всюду на (0, /) можно представить в виде
X
G^x) = --& /v((*-0^; 0)F(t)dtt (1.15)
о
где hl = M —С [С=— Г/(1) — эйлерова постоянная], если только
правая часть (1 15) почти всюду на (0, /) существует и
суммируема.
Доказательство. 1°. Докажем сначала справедливость тождества
у
JV —я)"-1 {\og(t-x)+M}v((y — t)eh; 0)dt = - (y~*)Q (1.16)
(0<*<;у).

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ \(z; \i) 265
С этой целью заметим, что
J Г(о)Г(р) е at— Г(а + Р)
(0<л;<у, а>0, р>0).
Дифференцируя это тождество по а, а затем интегрируя результат
по р вдоль промежутка [1, +оо), получаем
У +оо
дг 1
J <?о\ Г(а + Р) ГР
1
+ 00
J <Эр\ Г(а + р) * Гр— Г(1+а
а
+ а) *
Отсюда и следует требуемое тождество, если вспомнить определение
функции v(2; \x).
Предположим теперь, что уравнение (1.11) имеет решение G(x)£
^Lx(Ot /). Тогда
X
\v((x — u)eh\ 0)F(u)du =
о
x и
= J v((jc — u)eh\ 0)du J* (u — tf-1 {log(w — t) + M) G(t)dt =
о о
x x
= J Q(t)dt J* (it—if1 {\og{u — t) + M}v{{x — u)eh\ 0)du =
о t
x
= — a-1 J (x — ffQ (t) dt, x £ (0, /),
в силу тождества (1.16), причем изменение порядка интегрирования,
очевидно, допустимо. Отсюда следует, что G (х) является также
суммируемым решением уравнения Абеля (1.12), (1.13).

266 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Обратно, пусть G(a:)^L1(0, /) является решением уравнения
Абеля (1.12), (1.13). Тогда из (1.16) последовательно получаем
X
j(x~t)aQ(t)dt =
о
X X
= —a J G(t)dt j (u—tf-1 [log(u — /)+M}v((* — u)eh; 0)du =
о t
x и
= —a J" v((* — и)ел; 0)du f (и — tf'1 {log(и — t)-\-M} Q(t)dt.
0 ° (1.17)
Из формул (1.12), (1.13) и (1.17) следует, что при 0 < х < /
ГI F (и) — Г (и — tf'1 [log (и—*H-Af] О (О Л I v((*—e) eft; 0)d«==0.
о I о J
(1.18)
Так как выражение, стоящее под знаком интеграла в фигурных
скобках, принадлежит классу Z,i(0, Z), дифференцированием тождества
(1.18) по х находим, что указанное выражение равно нулю почти
всюду на (0, I). Это означает, что 0{х) одновременно является
решением уравнения (1.11).
2°. Как уже доказано, всякое суммируемое решение уравнения
(1.14) является одновременно решением уравнения
X X
j(x — t)Q(t)dt = — J v((jc — u)eh*\ 0)F(u)du. (1.19)
о о
Следовательно, если (1.14) имеет решение G(x)^L1(0t /), то,
согласно (1.19), почти всюду на (0, I) имеем
X X
J Q(t)dt = — ^ Г v((jc— и)еЬ\ 0)F(u)dut
о о
откуда еще одним дифференцированием по х получаем для решения
формулу (1.15).
В заключение отметим, что если функция F(x) непрерывна вместе
со своими производными до второго порядка включительно, то
уравнение (1.14) имеет непрерывное решение G(at), представимое в виде
О (х) = F' (+ 0) v (**1 х\ 0) + eh>F (0) v (**» х\ — 1) +
X
-|_Jv((* — «)**»; 0)F"(u)du, x£(0, /). (1.20)
о
В этом легко убедиться, если проинтегрировать по частям интеграл,
стоящий слева в (1.19), и применить затем формулу (1.5),

§ I] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ v(z; ц) 267
1.2. Важнейшие свойства функции Вольтерра v(z; \i) следуют из
ее различных интегральных представлений, приводимых в этом пункте.
(а) Обозначим через О(л)(/г = 0, ±1, ±2, . . .) лист римановой
поверхности Q<x>, на котором (2/г—1)я < Arg^<;(2/г-f 1)я;
очевидно, что
ом= U 0(п).
Л = —ОО
Далее, для любого а l-^- < а-^я) и е>0 обозначим через De(a)
область |Argz| < а, |г|>е, лежащую, очевидно, на листе DM
поверхности 0^, а через у(е; а) — ее контур, пробегаемый в
направлении возрастания Argz.
Лемма 5.1. Для любого а (—со<а<-(-сю) и е>0
справедливы интегральные представления:
Г. При z^Goo — D^a)
а
v(r,n) = -J га+^-О^+^Г J log —leg,*"- <L21>
0 Y (e; а)
2°. При z£De(a)
а
v(J,:|1)e#._j __F__r^+-_r J ____rfM1.22)
0 Y(e; a)
Доказательство. Пусть 2£Goo и |z|<e. Тогда в силу формулы
Ханкеля
W=i j •"»-'"«• с1-23)
Y (e; a)
справедливой на всей комплексной плоскости s, при любом а
(— со < a < +oo) имеем
а +оо
v(^ix)+j T{l + [l_t)dt= J Г(1 + ц + <)^ =
О -a
+ СО
* j* ^+'fi J ^-'-"-'rfeU-
-a I Y(e; a) J
\ f +oo J
Y(e;a) I-a J
=Im- J iog:-.ogn»' d-22')
Y (*: a)
причем изменение порядка интегрирования, очевидно, допустимо.

268 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Из (1.220 вытекает справедливость формулы (1.22), но пока лишь
для тех значений z £ G^, для которых |z|<e. Однако легко видеть,
что при z£Goo—De(a) выражение log и — logz нигде не обращается
в нуль, когда и пробегает контур у (г; а). Поэтому интеграл,
стоящий в правой части тождества (1.22'), можно аналитически
продолжить из области ОооГКМ < е) на всю область G^—De(a). Таким
образом, утверждение 1° доказано.
2°. Предположим теперь, что z£De(a)t т. е. |Argz|<a, |г|>е.
Если число гг > е выбрано так, что \z\ < e^ то по формуле (1.21)
имеет место представление
a
v(*;|i) = -J T(l + vi-t)dt+-2Zr J .logH-iog^"' (L24>
0 Y (e; a)
Обозначим через y(et ег; a) замкнутый контур, образованный из
дуг — a<^Arg2<^a окружностей |z|=e, | -2г J == е2 и из отрезков
е<^|2|<^81 лучей Argz=±a и пробегаемый в положительном
направлении. Тогда, как легко видеть,
2я/ J log w— log* 2m* J log и — logz UU
Y (elf a) Y (e; a)
2я/ J log u — log z u^z[ log a — log г J " ^ M'
Y (*» Ei; a)
Утверждение 2° леммы теперь непосредственно следует из
формул (1.24) и (1.25).
(б) Установим теперь другие представления для функции v(z; \x).
Лемма 5.2. Для любого a^Reja справедливы интегральные
представления:
1°. При z£D{0)
а
V(g;|i)=^-J Г(1^__^ +
*
jA_a Г sin я (а — jx) log jc cos я (а—ц)
+ -5 е-' -4 t?-»-ldt. (1.26)
Я J i__o * i _о
log2 h я2
о г
/7;?а ^Dw, Re*>0
v(*; |x)
a
0
_j__L Г «т 8ln«(g-n)logT —ясозя(а —ц) _, tf „ 26/)
~ я J log2 т + я2

§ I) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ v(2; ц) 269
2°. При z € D(n) (n ф 0)
v(s; |x> ===== — I
0
+ oo
a
dt-Ar
ro + ii-o
0
+ oo t
sin я (a — jx) log я cos я (a — ц)
t°-»~l dt. (1.27)
log2—+ J12
При z£D{n) (пф% Rez>0
о
0
+ oo
i 1 Г -.,r sin я (a-p) log т —re cos я (a—ц) rT_ll_1 . a «-,.
0
Доказательство. В интегральном представлении (1.22) леммы 5.1
положим а = я и запишем интеграл по контуру у(е» a) B правой
части (1.22) в виде суммы интегралов по окружности и по лучам,
входящим в состав этого контура. Тогда после некоторых
упрощений получаем при z£De(n)t т. е. при |Argz|<j% |г|>е,
представление
о
о
^J
+оо ^
sin я (a — ц) log л cos я (a — ц)
l0g21 + я2
2я/ J log и — log г
du. (1.28)
Но при е->0 последнее слагаемое в правой части (1.28) имеет
порядок 0\ (log—J ea~ReM, т. е. стремится к нулю в силу условия
a>Repi.
Таким образом, переходя к пределу в (1.28) при е->0,
получаем (1.26). Если же в (1.26) положить z = х > 0, то после замены
переменной t = x% приходим к формуле (1.26'). Остается заметить,

270 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
что из справедливости этой формулы для значений z = х > 0
следует ее справедливость во всей полуплоскости Re2>0.
Наконец, формулы (1.27) и (1.27') совершенно аналогичным
способом получаются из интегрального представления (1.21) леммы 5.1.
В заключение отметим, что если 1ш|ы=0, то вышеприведенные
интегральные представления можно упростить, полагая в них а = |ы.
Таким образом, например, получаем
\Х +оо
v(*; !*) = •- \vW+i)dt- J^xUo/t + n*} (Re*>0).
о о
(1.29)
Отсюда, в частности, для функции \(z) ==-v(z; 0) получаем
формулу Рамануджана
+ оо
о
(в) Если 1т|ы=0, то, полагая в (1.26') z = tx (0 < х < -J- со),
при любом о^>\1 из (1.9) получаем
2 х»-< cos f (ц-*)
v,(*; |i) = cos*- j Г(1 + ц-/) ** +
+ oo
_1_ Г 81пя(а-ц)1о8т-ясо5я(а-ц)соз
l(Jf; ^) = sinjc— J r(1 + (i_0 dt-
С
+ 0O
-JL f sin я (а - ц) log т - я cos я (а - ц)
я J т1 + ц-а (i0g2T + n;a}
1.3. Выясним, наконец, асимптотическое поведение функции
v(z; |ы) на римановой поверхности О^, когда |z|-> + oo и \i — любая
вещественная постоянная.
Лемма 5.3. Пусть а (у < а < л)—любое фиксированное число.
Тогда:
Г. Если |ArgzKa, то при |г|->-|-оо
v(z;»x) = ^ + 0(1J^T). (1.32)

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ v(z; \i) 27l
2°. Если a<;|Arg2|< -j- со, то при \z\->-\-oo
При этом в формулах (1.32) и (1.33) остаточные члены не
превосходят выражения
где В (\i) < -(- со — постоянная.
Доказательство. 1°. Выбираем СЦ из условия -^ < a < а{ < я.
Заменяя в формуле (1.22) леммы 5.1 а на аг и полагая е=1, для
любого a (— со < a < -j- со) имеем
v(2
и
;n) = **-J*
-Ц-/
г 0 4-1* — О
■dt +
?v>-o
,«„т-ц-1
£"w
+ ^Г J log»-log,'8 (|Arg,|<a, |,|>1). (1.34)
V(i;aO
Пусть a > 0. Тогда при ££Goo и |г|> 1 справедлива оценка
a I a
о I о
где С (a, ц,)— постоянная, не зависящая от г. Иначе говоря, при
о>0, |г|-> + со
a
0
причем, очевидно, оценка имеет равномерный характер на всей
поверхности О^.
Обозначив 6 = ^—а>0, покажем, что при |Arg2| <a, \z\^eb
inf I log 4 >6.
«€v(i;ai)l * '
Действительно, это вытекает из того, что
| log -j | = | log21^-1 + (Arg « — Arg zf |V2,
и поэтому при |Arg«|=alf |Arg^|<;a
j log y j>| Arg и — Arg z\ > aj — a = 6,
(1.36)

272 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
а при |й| = 1, | Arg-^| <; ах, \z\^ еь
>log|*|>6.
1 и
logT
В силу (1.36) для второго интеграла правой части (1.34) при
Arg z К а, | z | !> еь имеем оценку
-2ST J logK-log*^\<ЧЬГ } е l"l lrfel- <L37)
Y(l;a,) I \>П; а,)
где интеграл в правой части сходится так, как на бесконечных лучах,
входящих в состав контура y(V, a{), Retf=|tf|cosa1 и cosa^O.
Поэтому при lArg^l^a!, |^|->-f-°°
Y(l; a,)
В силу того, что а>0, из оценок (1.35), (1.37') и из
формулы (1.34) следует утверждение 1°.
2°. Фиксируем произвольное ах так, что -*- < ах < а < я.
Заменяя в формуле (1.21) леммы 5.1 а на ах и полагая е=1, получаем
представление
a
vU;n) = -J' r(1^|i<_<)^ +
О
+ ^Г J .ogu-log* du («<|Arg.|<+oo. |,|>1).
Y(ai; 1)
Далее, производя выкладки, аналогичные произведенным в п. Г,
получаем, что при a<;|Arg2| < + со, |z|!>6 (6 = a—ax)
справедлива оценка (1.37), а значит, при a<^| Arg^| < + оо, \z\ -> -f- оо
формула (1.370 остается в силе. Отсюда, принимая во внимание
оценку (1.35), приходим к утверждению 2°.
Наконец, утверждение леммы о равномерном характере полученных
асимптотических формул на поверхности О^ следует из характера
оценок (1.35) и (1.37').
§ 2. Преобразования Мзллина и Лапласа
функции v(z; \i)
2.1. По определению функции v(z; \x) для 0<r<-f-oo,
ОО < ф < -{- ОО
v(r^;li)=J ra+ц + о^ <2Л>

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ v(z; ц)
273
Опираясь на асимптотические свойства функции v(z; \i), докажем
сначала две леммы, полагая здесь и далее, что lm|i = 0.
(а) Лемма 5.4. Существует постоянная С0 > 0, не зависящая
от ф и такая, что при \(р\^-к-
о
dr^C0.
Доказательство. Сначала покажем, что если \1^>-<у, то
1
i
v(rel<f; ц)
rfr<Cx0i), |Ф|>0.
где Сг(\х) — постоянная, не зависящая от <р.
Из формулы (2.1) следует, что
v(r*f*;|i)
^J Г(1+ц
о
г11+<-1
+')
«И
+ 1
rn+<-i
Г(1 + ц + 0
dta
o<t<
[Ы'^-Я^Ц
_=С»<+<Х5.
(2.2)
(2.3)
= <Pi (0+ %(*■). |ф|>0. (2.4)
Для функции q>i(r) имеем очевидную оценку
ф1(г)<г;±=1^г^ (о<г<о,
log-
где Г*= max |Г(1 -\-[i-\-t)\~l. Поэтому при V>^-\
(2.5)
Замечая далее, что при M^-j ***>•-*■ имеем \х—\-\-t^0t
получаем
+оо
dt
ф2
+оо
(r)<J-;
1
7
и, следовательно,
г(г+и--о-=г;г<+00 <о<г<1).
J<F&(r)rfr<<7(n)< + oo.
(2.6)
18 М. М. Джрбашян

274
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА
[ГЛ. V
Из оценок (2.4), (2.5) и (2.6) следует утверждение (2.3). Докажем
теперь, что если [г^-у, то
-t-oo
J
vQA |я)
tfr<C20x)< + oo, |ф|> y
(2.7)
где С2(\х) — постоянная, не зависящая от <р.
Пусть а — фиксированное число из интервала (-у, я). Тогда,
согласно оценке (1.33) леммы 5.3, существует постоянная Ах > О,
не зависящая от г, ф и такая, что при |ф|^а
v(rAli)
<
rl'^\og{l+r)
(l<r< + oo).
Отсюда следует, что при |ф|^а и l^^-n
+оо
+оо
||^^)рг<л;^„.М|^(1+гГС;м<+со. (2.8)
Далее, согласно формуле (1.32) леммы 5.3, существует
постоянная А2 > 0, не зависящая от г, <р и такая, что при -g- -^ | ф| -^ ct
v (r«'*; |i)
<_L _i d?
^ r r^loga+r)
(l<r< + co).
It 1
Отсюда вытекает, что при -п-^ф^а и Ц-^-п-
+оо { +оо
v(rAl*)12
I
dr<2{ 1 + 4
J r2<1-»*>log2(l
+ r)
(2.9)
Из (2.8) yi (2.9) следует оценка (2.7). Наконец, из (2.3) и (2.7)
вытекает справедливость утверждения леммы.
Из доказанной леммы, по теореме 1.16 о преобразовании Меллина
Jt
в классе Z,2(0, +oo), следует, что для любого |ф|^>-s- существует
предел в среднем
N(s; Ф) = 1. i. m
a->+oo
J { r } rS~Xdr Res=4)-
Ma
(2.10)

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ v(2; ц) 275
Кроме того, согласно равенству Парсеваля и оценке (2.2), при всех
|ф|^"5Г справедлива оценка
J 1 г 2 \dr = ^r J \N(i+lt> ф)|2^<Со- (2Л1)
О -оо
(б) Установим теперь один частный результат об обычной
сходимости интеграла (2.10).
Лемма 5.5. Интеграл
+оо(±1Т. А
N[s\ ±-Jr)=J ^ r ' 2' П-Ыг (2.12)
о
существует всюду на прямой Re5 = •9', кроме, быть может,
1
точки s = -<)*
Доказательство. Покажем сначала, что интеграл
* I '* А
Ч5; f)= J V r rS~ldr <2ЛЗ)
ЛЛ
существует при Re $ = -*-, lms=£0.
Действительно, если а — фиксированное число из интервала
1-тг, я), то, полагая в формуле (1.21) леммы 5.1 а = — 1, е=1,
имеем представление
•№)-/%-*-
з
\2 5
+ Т J ^ / ,л\ ^^(O + v^r). (2.14)
'(1;a>loga-logU 2i
Замечая, что при я£у(1; a)» O^f^-9
I ( i-\\ l
I log a — log [re 2) J > log -j > log 2,
18*

276 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
из определения функции v2(r) заключаем, что при Re s= у
справедлива оценка | v2 (г) г*-21 ^ С2 (О^/*^-^). Поэтому интеграл
Чг
I
v2(r)
rs~l dr
(Re, = l).
(2.15)
абсолютно сходится.
Из определения функции \х (г) интегрированием по частям
получаем
Vi (Г)=
U'*)'
С'*)
(4),2
re
(IH
<т
г*
+
). (2.16)
log
Для функции U2(r) имеем очевидную оценку
I^COKCj-j^r (0<г<1).
откуда вытекает абсолютная сходимость интеграла
j^^* (*.-i).
(2.17)
Установим теперь существование интеграла
J^-,„ (*._•)
(2.18)
при условии, что Im 5=^0.

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ v(*; ц) 277
Из определения функции иг(г) вытекает, что достаточно
установить существование интегралов
J[ logr + '-y tf logr + /y
при Res = -j-, lms=£0.
Но первый из этих интегралов абсолютно сходится при Res = -^-.
Второй же интеграл после подстановки $ = -9" -{-#(—°° < t < +00)
и замены переменной интегрирования г = е~х принимает вид
+оо
!
e-ltx
-dx
log 2 'у — *
и поэтому сходится при t = \ms=EQ.
Из формул (2.14), (2.16) и из сходимости всех интегралов (2.15),
(2.17) и (2.18) при условии Res =9". lms^=0 заключаем, что при
том же условии интеграл (2.13) сходится.
Установим теперь сходимость интеграла
^(^ТГ)=1 -г-^-^йг (2.19)
при условии Res = -^ , Ims^O.
Пусть а—фиксированное число из интервала (-у, я]. Тогда,
воспользовавшись формулой (1.21) леммы 5.1 при а=1, получаем
представление
*> 2l i г(|-<)
1
"I -1
+ 'Г%1/ J '"* 2 ^^ + ~(r) + v~(^ (2.20)
(1;а) log а — \bg\re 2)
Y
справедливое при 1 < г < -f-oo

278
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Из определения функции v2 (г) интегрированием по частям
получаем
vt(r) =
(4) *(«'*) r(l)*["'*)
+
+
U'-)Tr'(Hf,r . .
(2.21)
log \г* / о
Но, как легко видеть,
I^WK^i^; (2<г< + оо).
поэтому интеграл
-f-oo
dr
(2.22)
абсолютно сходится при Res = y.
Докажем теперь сходимость интеграла
I ^"-"fr (*-i)
(2.23)
при условии Im s=£Q.
В силу определения функции 0г(г) для этого нужно установить
сходимость интегралов
+оо . JL +оо - JL
f - ' «,. Г ' '
2 l0gr + /4 ? IOgr + /4
•tfr
при Res = -j. Ims^=0.
Но первый из этих интегралов, как легко видеть, абсолютно
сходится при Re s = -~ . Второй же интеграл после подстановки
s = y + it (— оо < t < -f- об) и замены переменной
интегрирования г = ех принимает вид
+оо
Jtx
Г е11Х
—- dx
J . я ,
log 2 l "2 ~~ГХ
и поэтому сходится при t = lms Ф0>

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛ ЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ v(z; ц) 279
Далее, в силу формулы (1.370 имеем |v2 (r)| ^ C4r 2 , откуда
вытекает абсолютная сходимость интеграла
+00~
jMlrs-idr (Res = I). (2.24)
2
Наконец, замечая, что интеграл
+ оо
jlLrs-idr JRe s = ^ (2.2б)
2
абсолютно сходится, из формул (2.20), (2.21) и из сходимости
интегралов (2.22)—(2.25) заключаем, что интеграл (2.19) сходится
при Re 5 =-9-, lms=£0. Но интеграл
. л
2 / 11 1\
V.
очевидно, сходится, поэтому утверждение леммы для Лм$; —)
доказано. Так как формально N is;—ij==AHs; -2-j, Re 5 = -^-, лемма
доказана полностью.
2.2. Перейдем теперь к установлению явного вида функции
N (s; Ф).
(а) Лемма 5.6. Если Re$ = -j, Im s=fcQt то справедливо
тождество
.' Т •* (я |) + ,-Т'» (« - i) - - г^. (2.26,
Доказательство. Рассмотрим интеграл
/(*; е; /?)= J v(*; y)**-2rfs (Res = |, Ims^o), (2.27)
Г (е; R)
где Г (e; R) — пробегаемая в положительном направлении граница
полукольца 0<е<[|;гК;/?<-)-оо, п~<Саг&2 *<-тр, лежаи*ая»
очевидно, на листе DW римановой поверхности О^.
При z £ £Н°), если под г5-2 понимать функцию exp {(s — 2) X
X0°& М+/arg2)}, то по теореме Коши, очевидно, имеем
/fee;/?)sO, Re5 = ^-, 0 < е </?. (2.270

280 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Перепишем интеграл (2.27) в виде
pJJT. 1
/(*;е; R) = te 2 J -* 1—±Lrs-idr +
е
+ J v(*; })г'"2^а/1^ е; /?)+/2(5; е; /?) +
+/3(5; #)+/4($; «)s0, (2.28)
где CR и Се суть соответственно полуокружности \z\ =R и |,г| = е,
— ^-<arg2><ir, входящие в состав контура Г(е; /?). Но для
| z | = г < 1 имеем оценку
+ °° J + U 1
+ 0О
+ Г'А f /3d" \<С1-^Г + С2Г*. (2.29)
J г(| + «) log I
где Cj и С2 не зависят от г. Отсюда получаем, что при Re s = -я-,
0<е<1
|/4(,;e)|<C3{(logi)"1 + e}^,,m*1.
где С3 не вависит от z, и поэтому
lim /4 (5; е) = 0 (Re 5 = ^) . (2.30)
Представим интеграл /3 (s; R) в виде
/3(^; Я)= J eV-2rf2r+ J {v(^; -J-) — e*}z*-2dz*a
cr Cr
^№ Я)-Не(*; *)• (2.3i)

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ v(z; ц) 281
После замены z = Relv для l5(s; R) получаем представление
/5(5; R) = tR'-1 Г **«/ф-ИФ(*-1)</ф.
л
"Т
Отсюда по лемме 4.3 при 0 < Re 5 < 1 имеем
JL
Т
Urn L(s; R)= lim iRs~l Г g*«'*+*<pfr-i)tf<p = *ш . (2.32)
Jt
2
Далее, в силу асимптотической формулы (1.32) леммы 5.3 при
| arg z | <! у справедлива оценка
|vH)-«1<c4WJr '<И<+°°-
где С4 — постоянная. Следовательно, при Re 5 = у , R^ e
у I im ^ |
откуда вытекает, что
lim /e(s;/?) = 0 (Re 5 = 4-). (2.33)
Переходя в тождестве (2.28) к пределу сначала при е->0,
а затем при Т?-*-)-00» в СИЛУ формул (2.30)—(2.33) приходим
к утверждению (2.26) леммы.
(б) Установим, наконец, вид функции N(s\ ф) при |ф| ^>-к .
Лемма 5.7. При Re s = у, Im 5 Ф 0 справедливы формулы
*(,; ф) = Г/('+т)<-1>^(в; -f), 9<-f . (2.35)
N
(--*)-:
0
2я -/4*
/» ^
Г (2-5)
2я ' у*
Г (2-s)e
0
при
при
при
при
lms>0,
lms<0,
lms>0,
Ims< 0*
(2.36)
(2.37)

282 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Доказательство. Покажем сначала, что формулы (2.35), (2.36) и
(2.37) вытекают из (2.34).
Действительно, если (2.34) имеет место, то (2.35) следует из (2.34)
в силу формулы
N(s;-<p) = N(7;<p) (<p>f). (2.38)
Далее, из (2.34) при любом 6>0 в силу оценки (2.11) имеем
+
6
< <Г26 (-т) J| л, (j + и; Ф) f at < 2яс0,-26 ('-т) (ф > *)
Отсюда, устремляя сначала ф-*-)-00 (^о от Ф не зависит), а затем
6-> + 0, получаем
+оо
Л^(т+«:т)ГЛ-0-
О
Таким образом, iV s; у J = 0 (lms>0) при Re 5 = -^-, но тогда
в силу (2.38) имеем также N\s\ —"f)==0 (lms<0).
Согласно тождеству (2.26) леммы 5.6, отсюда вытекают формулы
N(*-i)=-T(0^)etls a* •><>).
Итак, формулы (2.36) и (2.37) также вытекают из (2.34).
Переходим к доказательству формулы (2.34).
Для любого Ф>-7т и 0<е</?<+оо рассмотрим пробегаемый
в положительном направлении замкнутый контур /,(ф; е; /?), лежащий
на римановой поверхности О^ и состоящий из: 1) отрезка е <; | z |<! R
луча Arg z = -g-; 2) дуги -^ < Arg z < ф окружности \z\=R [эту
дугу обозначим через CR(q>)]; 3) отрезка е^|г|^/? луча Atgz = q>;
4) дуги -н- ^ Arg «г ^ ф окружности | z \ = е [эту дугу обозначим
через Се(ф)].

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ v(z; |x) 283
При z£Goo и Res = у, понимая под функцией zs~2 главную ее
ветвь, принимающую значения ехр {(s—2)log|^|}, когда Argz = О,
по теореме Коши имеем
/((р)(5; е; /?)= J v(z; I) ^-2tf* = 0.
£(Ф;е;Д)
Перепишем эту формулу в виде
* ( 'т А
/<«>(*; е; R) = -ie * J -A___iAr,-i</r_
е
Гу("*т) Г / п
— e* (*-D ф J _i___£Z. r*-i dr + J v(z;±jz*-4z +
e cR «p)
+ J v(z; t) "'-'dz&r^s; e; #) + /!,ф)(*; е; /?) +
св(Ф)
+/J" (s; R) + /1ф) (в; е) == 0. (2.39)
В силу оценки (2.29) при Res = -g-> 0<е<1
|/r(5;e)!<C3{(logl)_1-l-e}^|,m^.
Следовательно, для любого ф>т>-
lim Дф) (s; е) = 0 (Re s = I). (2.40)
Пусть а — фиксированное число из интервала [-^ , я] . Тогда
в силу асимптотических формул леммы 5.3 справедливы следующие
оценки: если z£CR(q>)t R^e, то при>2-<ф<а
|"(«Т)|<'+ !&«*••
при ф > а
r\Z' 2)\^ \ogR K •
где Ах и А2 не зависят от /?.
1 я
Отсюда следует, что если Re s — -~- и /? ^> £, то при -тт < Ф <J a
|/Г(5;«)1<(а-|){^+1^},а'
Im ^|

284 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
а при ф > а
№,)(*;Л)1<(ф-у)1^«*|,т".
Следовательно, если Re s = —, то
lim /f (s; R) = 0 (ф > ~). (2.41)
Переходя к пределу в тождестве (2.39) сначала при е->0, а затем
при /?->-{-оо, в силу (2.40) и (2.41) получаем формулу (2.34).
Лемма доказана полностью.
2,3. В заключение этого параграфа найдем преобразование
Лапласа функции \(z\ \х).
Для любого с > 0 обозначим через D( '(с) полуплоскость Re5 > с,
лежащую на листе D(0) поверхности О^. Пусть Goo(c) =
= Goo — £>(0) (с) — дополнение области D(0) (с) относительно всей
римановой поверхности G^.
Лемма 5.8. Пусть z^G^(c) и Z>£D{0)(c)t где с>0. Тогда
справедлива формула
+ СО
I
e~*v(zr9 ii)dr= \ (|i>-l). (2.42)
о ^+ [log£ — log*]
При этом интеграл слева сходится абсолютно и равномерно
относительно переменных z и С, когда ££D(0)(c) и z лежит
в любой ограниченной и замкнутой части римановой
поверхности Gqo (С).
Доказательство. Замечая, что область Goo(c) содержит бесконеч-
нолистный круг Кс(0 < | г|< с, —со < Arg z < -f-oo), сначала
установим формулу (2.42) при z£Kc и ££D(0)(c). Пусть г£А^ и
число е(0<е<с) выбрано так, что q= _ < 1.
Согласно формуле Стирлинга, если [J, > — 1, то
А Г(1 + |а + 0>0+|а + 0т+,1+''-' (0</<+сю),
max
0<г< +со
Г(1+ц + 0 1^ ^1 ^^Г
(1 + и + О 2
Отсюда следует, что для каждого z£Kc интеграл
е-
-t-co
«*-«>'v (г*; ц)/-■* = *!* J* r(1ffi+<)«-<e-e)r<tt
о
сходится равномерно относительно г £ [0, + оо).

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА И ЛАПЛАСА ФУНКЦИИ V(z; ц) 285
Но при 5 6 ^ (О
имеем ReC^O. Поэтому функция
+°°
О
абсолютно интегрируема по параметру г на полуоси [0, + оо).
Замечая далее, что
+ оо
J *-Сгг^<Дг=Г(1+Д+° (ReC>0. f>0).
имеем
+оо
J .-lrv(„: »)dr= I e-t<dr I T£f*t+t)dt =
0 0
+00 +00 +00
^+1 [log;-logг] '
*€*,. C€^'(«>
При этом изменение порядка интегрирования по г и /, как нетрудно
убедиться, допустимо. Таким образом, формула (2.42) установлена
при z£Kc и С€0(и,(<?)
Отметим теперь, что при ££Z) (с)
+ оо
J e~Zr\(rz; \x)dr < f £-'r|v(rz; [i)|tfr.
о I о
Поэтому, если мы покажем, что интеграл, стоящий справа в этом
неравенстве, равномерно сходится по z в любой ограниченной и
замкнутой подобласти Gqo (с), то справедливость формулы (2.42) при
2 £ Goo (с), а также справедливость остальных утверждений леммы
будет установлена в силу принципа аналитического продолжения на
Goo (с) из области Кс.
Обозначим через KCl Ф; R) пересечение области Gco(c1) с кольцом
6<|z|< /?, — oo< Arg z < + со, где 0 <6<с1<с <R — любые
числа, и рассмотрим следующие множества точек поверхности G^:
Dx={z; a<|Arg*|< + co, 6<|s|</?},
D2 = {*; -J<|Arg*|<a, 6<|s|</?},
D3 = {*; 0<Re^<q, |Argz|<J, 6<|*|</?}f

286 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
где а £ f-^-, я) — фиксированное число. Очевидно, что KCl (6; R) =
= D1-r-D2 + D3.
По лемме 5.3 при г £ [е, -\- со) справедливы оценки
|v(rz; ц)\<А -j^r, z£Dv
|v(rz; nKl + Д^г, z£D2.
\v(rz; [.)|<Л-^, z6D3,
где А > 0 — постоянная, не зависящая от г и z.
Из этих оценок в свою очередь вытекает абсолютная и
равномерная сходимость интеграла (2.42) при г£КС1Ф'> R) и £££>(0)(£i)-
Но любую ограниченную, замкнутую подобласть области Goo(c)
соответствующим подбором чисел 6, сх и R можно включить в
области КСх (й; /?)• Тем самым лемма доказана.
§ 3. Прямые и обратные преобразования с ядрами
Вольтерра в классе L2
В этом параграфе строится теория прямых и обратных инте^
гральных преобразований в классе Z,2(0, -f-oo) с ядрами е±1ХУ и
3.1. (а) Полагая, что Res = -~ и -о-^>|ф| <-г~°°» обозначим
M(s\ ф) = *-Ф(1 —s)N(s't ф), (3.1)
где функция N(s\ ф) определена формулой (2.10). Таким образом,
l — s J г
(3.2)
1 Я
причем по лемме 5.7, очевидно, имеем: если Re s = — тг^Ф < +°°»
то
10 при Ims > 0,
2л -,(£+*,) ^п (3.3)
~ T(l—s)e ' . при lms<0;

§3]
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ £2
287
1 я
если Res = y, — оо<ф^ — -^ , то
2я
M(s, ф) =
Г (1-5)
.'(т-*0
при lm s > О,
при Ims < 0.
(3.4)
Сформулируем в виде леммы следующий результат.
Лемма 5.9.1°. Если -2"<!|ф|< + оо, то
sup
-оо<*<+оо
1
м
(\ + и'> ф)|<2/я.
(3.5)
2°. Если Re 5 = -2", то справедливы тождества
Al(s; Я)//<->(1—sH-M(s; _|)я(+)(1-5) = 2я, (3.6)
M[s; %)hw(\-s) + m(s; --J) rf'\l - s) = y(s), (3.7)
где
Я(±)(5) = Г(5)б 2 , ф(5) =
1
— 2яе/я* /г/?г/ lm 5 > 0,
— 2ne-i7ts при lms<0.
(3.8)
Наконец, при Re5 = y и я<;|ф|<+°° справедливо также
тождество
М
[s\ | + Ф)я(-)(1-5)+^(^ф-у)^(+)(1-^) = 0. (3.9)
Доказательство. Из формул (3.3) и (3.4) имеем
ilt/l \ | ^-|м 1Ф1
sup A! -i + tf;q> <2я sup -pf-j
-оо<*<+оо' \* /I -оо<*<+оо Г (— it)\
(3.10)
Так как
rf-j —tf) Г>|Лг* 2 и у<|ф| < -f °°» оценка (3.5)
следует из (3.10).
Что касается тождеств (З.б), (3.7) и (3.9), то они
непосредственно вытекают из формул (3.3), (3.4) и (3.8).
(б) Докажем сначала следующую теорему.
Теорема 5.2. Пусть f(x) — произвольная функция из класса
L2(0, +°°)- Тогда:

288 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Г. Формула
О
(3.11)
почти всюду на (О, +эо) определяет функцию <&*{у\ ф)£
£Z,2(0, +oo), причем
-f-oo + со
J |<Г(у; Ф)|2<*У<2 J |/(*)N* (£<|ф|< + оо). (3.12)
о о
2°. Обозначая
а
еГ„(у; <p)=-±= j v^yx; -tyf(x)dx, (3.13)
«а полуоси (0, +оо) имеем
сГ(у; Ф) = 1. i. m.^-0(y; Ф). (3.14)
а-».+оо
3°. Функция
4Г{г) = &Л(ге*Ч) = &'{г\ ф), 2 = г*Ч (3.15)
голоморфна на римановых поверхностях
G{^ = {z\ -J<Arg*< +00, о<|2|<4-оо},
С1^ = {г\ -oo<Arg2<-|-, 0<|2r|<4-oo}f
причем справедливо представление
+оо
^Г(^) = ^= J v(*x; -!)/(*)**, г£0£\ (3.16)
Интеграл справа в (3.16) сходится абсолютно и равномерно
в любой ограниченной и замкнутой части каждой из областей
G^ и G\z\ причем для всех |ф|>-2"
-|-оо +со
J | & {.re1*)\2drK 2 J \f(x)\2dx. (3.12')

§ 3] ПРЯМЫЕ Й ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 289
Доказательство. Пусть функция F (s) двойственна с f(x) по
Меллину. Так как /?L-f//Ui2(—оо, +оэ), из оценки (3.5)
следует, что при "2-<!|q>|<+oo
(2л)" М (1 + it; Ф) F (1 - И ) e L2 (— со, + оо).
Следовательно, существует функция <&~(у; ф)££2(0' + оо),
-о-^|ф|<+°°> такая, что
1 ,
&(У\ Ф) = ^1. i. т. ( (2л) 2 M(s; <p)F(l-s)y-<ds,
zm a->+oo 1 J
4--*.
откуда получаем для всех | ф | ^iy
у
J <&* (и>\ q))du =
Т+/о° _!
2
= __l_j (2.) 1^№ф)у»-^(1-,)^ (У>0). (3.17)
1-/00
2 *°°
причем интеграл справа сходится уже в обычном смысле. Далее,
из формулы (3.2) заменой переменной г на уг (где у > 0 — любое)
находим
(3.18)
Применяя равенство Парсеваля к правой части формулы (3.17)
и учитывая (3.18), имеем
JV(«; q>)d« = ^2- J V'g **' 2' f(x)dx (|-<|ф|<+со)
(3.19)
ИЛИ
^^ ф) = 71г^ -Нг—-/(*)<** (т<1фК+оо)
г О
почти всюду на (0, + оо). (3.20)
19 М. М. Джрбашян

290 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
С другой стороны, из определения (3.16) функции <^~ (у; ф)
вытекает равенство
+оо +оо
|2
J 1^'(у;ф)|2^=-^г j |ж(1+«;Ф)^(|-^)
0 -оо
dt.
Отсюда в силу оценки (3.5) получаем неравенство (3.12) для всех
2 *
+оо
J \&-{у; «p)prfy<JL J |F(i_«)|2^ = 2 J |/(*)N*.
о
Вводя обозначение
/(л:) при 0 < л: < а,
0 при л: > а,
/„(*) =
в силу формулы (1.5) -т—v(A„z; 1 + |я) = A/v(A,z; |а) имеем
о
+ 00
(*<v4)
Так как /<,(*) € L2(0t +oo) при любом о > О, ввиду уже
доказанного утверждения Г теоремы имеем также
&~о(У'> Ф)6М0. +°о), а>0, -* <|ф|<+оо.
Далее, из (3.20) и (3.21) получаем
^(у; ф)-оГ0(у; ф) = ^=^г] v ^ ^ /(*)**■ (3.22)
Правую часть этой формулы можно представить как интеграл вида
(3.11) от функции, равной нулю на (0, о) и f(x) на (a, -f-oo).
Следовательно, к равенству (3.22) применима оценка (3.12),
в результате чего мы получаем для всех |ф|^-о-
+оо +оо
} 1<^(у;ф)-<Уо(у; ф)12*у<2/|/(*)|2rf* (<*><>)• (з.гз)

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 291
Переходя в (3.23) к пределу при a->-f-oo, получаем
утверждение 2° теоремы.
Выберем и фиксируем произвольные числа 0<e<l</?<-f-oo
и а0£ (-у, я). Через G^\a0) e; R) и О^](а0] е; R) обозначим
подобласти областей 0^) и 0£/, определяемые соответственно
следующими неравенствами: a0<] Arg z < +00, e<|z|</? и—оо<
< Arg z < — а0, е < | 2 |< R.
Покажем, что интеграл
+ оо
J |v(**;-~5-)[a* (3.24)
О
равномерно сходится относительно параметра z в каждой из областей
G(*)(a0; e; R).
В самом деле, из определения (2.1) функции v(z; [i) легко
следует, что при z^G^ (atf e; R) и 0<лг<1
lvH -т)1<е~т1' А 2 \^+J -7т—тл<
К* log —
Так как правая часть этого неравенства, очевидно, принадлежит
классу Z,2(0, 1), интеграл
1
J|v(sx; — |)Г^ (3.250
о
равномерно сходится при z^G^'fao'» e» Я).
Из асимптотической формулы (1.33) леммы 5.3 вытекает далее,
что при #->-|-оо равномерно относительно z £ G^ (Oq', e» Я) имеем
viz*; —y)1^^!-/1^3 )• Отсюда вытекает, что интеграл
+ оо
J* \V(ZX] ~\)\dx (3'25,/)
1
равномерно сходится в каждой из областей G^(a0; e; /?).
Из равномерной сходимости интегралов (3.25') и (3.25") следует
наше утверждение относительно природы сходимости интеграла (3.24).
19*

£92 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Поэтому для любой функции f(x)£L2(0t -f-oo) интеграл (3.15)
равьомерно и абсолютно сходится в любой ограниченной и
замкнутой части областей G& и 0^\ Следовательно, интеграл (3.15)
представляет функцию of (z), голоморфную в каждой из этих областей.
Из (3.13), (3.14) и (3.16) вытекает формула (3.15). Наконец,
из (3.15) и (3.12) следует (3.12').
Итак, утверждение 3° (и тем самым теорема) полностью доказано.
3.2. Следующую теорему можно рассматривать как предельный
случай теоремы 4.2 или 4.3 при p->-f-oo, если в них
предварительно заменить функцию g (у) через |/^£*(У)-
Теорема 5.3. Пусть g(y) — произвольная функция из класса
^-2 (0» +оо). Обозначим
о
/(*; а) = у^- j e-'*yg(y)dy. (3.26)
Тогда:
Г. Существует функция f(x) из класса L2(—оо, -f-oo)
такая, что
f(x) = \.\.m.f(x\ а) (— oo<*<-f-oo). (3.27)
а->ч-оо
Обратно, если положить, что Arg [ху] = — я при ху < О
и обозначить
а
g (у; а) = —L- j v (*' ~ух; — -j) / (*) dx, (3.28)
— о
то на всей оси (—оо, -f-oo) существует предел в среднем
1. i. m.g(y\ e) = g(y),
а->+оо
где g(y) = g(y) при у 6(0, +°°). °- пРи У£(— °°. 0)
2°. Функции f(x) и g(y) связаны формулами
+ 0О
/(*)==?Ьг^Н fZ^Siy)dy, (3.30)
о
^(у)==тЬг^ J V to ■"/(*)<**.. (3.31)

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 293
справедливыми почти всюду на всей оси (—со, -j-оо), причем
имеет место равенство
+ оо -f-oo
J* \g(y)?dy= j* \f(x)fdx. (3.32)
0 -oo
Доказательство. Утверждение о существовании предела в
среднем (3.27), а также формулы (3.30) и (3.32) составляют часть
утверждений теоремы Планшереля 1.13. Таким образом, нам остается
лишь установить остальные утверждения теоремы.
Пусть G (s) двойственна g(y) по Меллину. Заметим, что как
О(-9- + it], так и функции G(-^—it\ti{±) [-^-\-it\ принадлежат классу
L2(—со, +оо). Введем теперь в рассмотрение функции
1 .
_i_ T+la
2
/*'W = i^l.i.m. f 0(l-s)HM(s)x-*ds =
T-la
1 d Г°° е±1хУ-\ , w
= 71T^J —±iy-g(y)dy-
(3.33)
Очевидно, имеем
f f{-\x) при 0<*<4-oo,
/(*) = (+) (3-34>
I /(+,(— x) при —оо<л:<0.
Если f'+\s) и F (s) суть соответственно функции,
двойственные /(+)(-*0 и /(_)(л:) по Меллину, то из (3.33) следует, что
F{±)(1—s)=:(2tc)~tG(s)H{±)(1—s) (Res = y). (3.35)
Умножая тождества (3.6) и (3.7) на G(s), согласно (3.35).
получаем
(2я),/20(5) = ж(5; ^Fi-)(l—s)-\-M(s; — Jpj F{+) (I - s) (3.36)
(Re, = I),
(2я) 2 Ф (s) О (s) = M [s; -5.) F(+) (1 — s)-f
+ M(s; --=-) F(-'(1-5) (Res = i). (3.37)

294
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Разделим теперь обе части тождеств (3.36) и (3.37) на (2n)^2niy^
Х(1—s)ys~x (у > 0) и проинтегрируем по прямой $ = —-{-U
(— оо < t < + °°)- Тог^а
Т+1со
2m J 1 — s *
--—/оо
2 *°°
= (2я) 2 ]
-7Г+/оо
if 4l2)y-^-)(1_s)ds +
т-*оо
- + /СО
"+" 2я/ J
iM
(« -т) ,-
*р(+)
1 —S
/-'/^'(l —s)rfs
-—<оо
2
. (3.38)
-2- + /00
(2я)-'
2я/
J -£^-q>(s)yl-*<fc =
-/оо
— ^9т^ 2
= (2я)
Т+/оо
i j 4^1^,-^,<'-»)*+
т-|»
Т+/о°
"+" 2я/ J
Af
(-т).,
)
*р(->
1 —s
/"*/*"'(1— s)ds
(3.39)
т-'~
В силу формулы (3.18), по обобщенной формуле Парсеваля для
преобразования Меллина, получаем
тг+'оо
■к I -St^x-vo-.)*-
-/оо
-/
+ оо | ±/Т 1
2/ ,(±
±1Х
/[:r,(x)dx. (3.40)

§3]
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ Ц 295
Аналогично, замечая, что в силу (3.8) ф (^ + /Л ==2я£~я1'I
(— оо < t < -f- oo) и полагая
Т+1со
Ш I *£=±x-'ds = 0(x) (т>0),
(3.41)
— — I оо
2 *°°
находим
1
Т + *со
у+'оо
4т J ^♦«»-*-И J *&=& ?<>«-«*-
-/оо
т-'~
+оо
= J *(т)Ф(у)л (у>0). (3.42)
Из определения (3.8) функции <p(s) имеем
-2я/*я/ при / < О,
2я/*-я/ при t > 0.
,(!-") = {
(3.80
Подставляя значение (3.8') в (3.41), после простых преобразований
получаем
ф(т)=2| в"ш\т\
-т+«
I f-«
dt%
з +°° -—-
ф'(т) = -2т"| е-"1 s\n(t log x)dt = -11^^,1 (т>0).
о
я2 + log2 т
Далее, учитывая, что
T+ia
g(y) = \.i.m.^-r I 0(s)y-<ds9
(3.43)
T-/a
находим
—h/oo
2ЙГ J -£M.yi-* <** = ]"*(«)</« (y>0). (3.44)
/ OO
2 to°

Z96 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Подставляя значения (3.40), (3.42) и (3.44) в формулы (3.38)
и (3.39), а затем дифференцируя полученные тождества по у,
получаем равенства
d_ f Лв УХ' V
dy J ix
' 0
^iT^S^W, <,*>
-^,МФШл_ .^jiliM/^^
1_ <* f 4* ^;-2J f(-)
"|/"2л ^ J — ** У
"|/"2л
(x)dx, (3.39')
справедливые почти всюду на (0, + оо).
Но ввиду (3.43)
+ оо +оо -- т
1 л С (т \ \ С ^Т) 1о2 V
shrJ ^0(7)rft=«J ^(t)77^dT(y>0)'(3-45)
о о ^ т10ё у
причем интеграл справа абсолютно сходится.
Заменяя в формуле (3.39') у на —у и принимая во внимание (3.45),
получаем почти всюду на (—оо, 0)
1 г°° <-yT)"log(--l)
1 (х) dx +
=. а г Hg y* ?; ^
о
2я dy J —ix J K >
Г*
0
Наконец, если в формулах (3.38') и (3.39") вспомогательные
нкции fM(x) в соотв(
получаем формулу (3.31).
функции fM(x) в соответствии с (3.34) заменяются на /(*), то

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 297
Нам остается завершить доказательство утверждения Г. С этой
целью рассмотрим функции
^(y)=yWoHe'*y*; —г)/"'(*>'*+
К2я
= j*v(e ' 2 ух; -^jf+\X)dx, (3.46)
+
О
1
Jv(* ' 2у*; _I)/->(*)rf*. (3.47)
о
Из формул (3.38') и (3.39') по теореме 5.2(2°) следует, что
1. i. m.g0(y) = g(y) = g(y), 1. i. m. £0(—у) = £(—у). (3.48)
а->+оо а->+оо
Но в силу (3.34) формулы (3.46) и (3.47) можно записать в виде
So(y) = T/=; J v[eYyx'> —j)f(x)dx = g(y;o)t
-о
У 6(0. +°о).
„ (3-49)
£,(— у) = тт= J v(e ' 2 у*; — jJ/(Jf)rfjt = «r(—у; °).
-а
У 6(0, +оо).
Из (3.48) и (3.49) немедленно следует утверждение 1°. Теорема
доказана.
3.3. (а) Установим теперь обратный результат о преобразовании
с ядром v(±lxy; —^) и ° еГ0 обращении с помощью
преобразования Фурье.
Теорема 5.4. Пусть f (х) — произвольная функция из класса
L2(0, +00). Положим, что argy =— я при у<0 и обозначим
а
(3.50)

298
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ V
Тогда:
1°. Существует функция g(y) из класса L2(—со, +оо)
такая, что
£(У) = 1. i. m.£(y; а) (— оо < у < + оо). (3.51)
а->+оо
Обратно, для функций
а
/(*; а) = у= j e-tx'g(y)dy (° > 0)
(3.52)
на всей оси существует предел в среднем
где
1. I. m.f(x; а) = /(*).
а ->+оо
/(*)=
/С*) "/>" Jf 6(0. +оо),
(_**)" log (~JJ (3.53)
— - rft га/?и * £ (— °°. 0)-
-ij m
„.+log.(_i)
2°. Функции g(y) и f(x) почти всюду на (—оо, +оо) сея-
заны формулами
+ оо
^-vWi/
о
+ оо
ix
— 1
f(x)dxt
ПХ)~ГЪГ dx J -/У
g(y)dy.
3°. Имеют место неравенства
+оо +оо
J l£(y)prfy<4j* l/(*)N*.
+ 0О
+ оо
+ оо
J" l/(jt)Prf*< J |/(*)|2rf*= J |§-(y)Ny.
0 —oo —oo
Доказательство. Введем в рассмотрение функции
а
g(±)(y, °) = -p= jv\e±iTyx; -^jf(x)dx, a>0,
У 6(0. +оо).
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.60')

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 299
Очевидно,
g(y\ o) = g'+)(y> а), у 6 (0, +оо),
g(yt а) = *<->(-у; а), у£(-оо, 0). (3-58)
Согласно теореме 5.2, существуют функции £*(±)(>0£ ^г(0» +°°)
такие, что
£<±)(у) = 1. i. m.^(±) (у; а), (3.59)
а->+оо
причем почти всюду на (0, + оо) имеет место равенство
+00 ( ±1$ Л
1 d Г v\e У*'< ~2
g(±4y)==-mi7\ ±tx ' к*)**- (3-60)
Обозначая
*°И *<-><-3». У6(-ос. 0). <3-58'>
из (3.58) и (3.59) заключаем, что g(y) = \. i. m. g(y; a) (—oo <
< у < -|- oo). Затем из (3.60) получаем, что для функции g(y)
почти всюду на (—оо, +оо) имеет место представление (3.54).
Пусть функции/7^), G (s) и G(~'(s) соответственно двойственны
по Меллину функциям f(x), g'K+)(y) и g{~4y)- Из (3.60) имеем
у +оо ( ±'т О
Р 1 Р vV ух; 27
J^)W^ = F=J ±£ж *' fWdx (y>0).
о о
Применяя к правой части этой формулы равенства Парсеваля,
в силу (3.18) получаем
J g^±){u)du=^r J \_s" ?-F{\-8)d8 (y>0).
0 I-Zco
(3.61)
С другой стороны, из определения функций G(±)(s) имеем
1 ,
у 2 + /0°
J*±}Wrf" = W J ТГ^Г-У1-'Л. (8.62)'
——/оо
2 *

300
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА
[ГЛ. V
В силу единственности преобразования Меллина заключаем, что почти
всюду на прямой ^es=-^-
G{±)(s) = (2nf1 Ai(s\ ±-~\f(\ — s). (3.63)
Умножая теперь обе части тождеств (3.6) и (3.7) леммы 5.9 на
^(1 — s), в силу (3.63) приходим к тождествам, справедливым почти
всюду на прямой Re 5 = -^:
i_
(2я)2 F (1 — s) = G{+) (s) Я("} (1 — s) -+- 0(_) (s) Я(+) (1 — s),
_ 1
(2я) J q>(s)F(\— s)=G(+)(s)H{+)(\— s) + О1'* (s) rf'* (I — s).
(3.64)
Заменим в формулах (3.64) 5 на 1—st а затем, разделив их на
(2я),/22я*(1—5)^"1(х>0), проинтегрируем по прямой s = -^-|-
-\-it (—oo<f<-f-oo). В результате получим
Woo
К2я
т-/оо
т+/оо
^ 2я/ J 1
5 V У
— — / оо
2 *w
, *>0,
г+/оо
(2я)'
2я/
1 J ф^5>^-^(1-^)^=
(3.65)
1
1
Т+'°°
i J ^и.х-^.(1_.)Л+
г-/оо
-2+/0О
+i I ^^,-v-.(1_s,
tfs
г —/ОО
* > 0. (3.66)

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ £2 301
Обозначая
1 ,
_ + /оО
ХР^)==Ш I *¥-*" ds (т>0), (3.67)
1 .
--ico
очевидно, имеем
1 , l ,
2ш
J i^_u„-.f(sMs = -I_ J 1М^(1_,)Л =
1 / ! I
— —too too
2 2
-f-OO
= J" /(T)V(-l)dT (*>0). (3.68)
Подставляя в (3.68) выражение <p(s) из (3.8), после простых
преобразований находим
У'(т) = -ФЧт)=%+2,^ (т>0). (3.69)
Так как функции : и —=—— х1-5 соответственно двой-
^ ± iy 1 — 5
ственны по Меллину, по обобщенной формуле Парсеваля имеем для
всех х£(0, -f-oo)
7+'°° +оо
1
2я/
| ^.xwo(*)(1_,)rf,eJil^l^)(y)rfyi (3.70)
2
- + /оо
f 4^г х'-^о-ол» j -^^-^(у)^. (3.700
2я/ J
1 / и
— — too
2
Учитывая формулы (3.68), (3.69), (3.70) и (3.70'), а также
равенство
Ш J {%*-*,= j/Wa.
2я/
1
/оо
2

302 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
тождества (3.65) и (З.бб) записываем в виде
+оо
+оо
1 d С о**? — 1
+ W-T- i~^-S{-Hy)dy, (3.65')
У2я rf^c J ty
! Г («r2log-J г d 7>'-l
-JT /CO ±d%=-^=J- i__Ler( + )(y)rfy +
Я 0J Я2 + 1о&2_1 У2П ^ J *y
X
rf
J „/y g(-4y)rfy, (3.660
К2я d*
о
причем равенства имеют место почти всюду на (0, +оо).
Заменяя в этих формулах в соответствии с (3.58') g^Hy) Ha ё(у)>
а затем заменяя в (3.66') х на —х, приходим к формуле (3.55).
Существование предела в среднем 1. i. т./(х; a) = f(x) (—оо<
а->+оо
< х < -f-oo) следует из теоремы Планшереля.
Наконец, оценка (3.56) следует из (3.58') и из оценки (3.12)
теоремы 5.2, а оценка (3.57) — из равенства Парсеваля для
преобразования Фурье (3.55). Таким образом, теорема полностью доказана.
(б) В качестве следствия из этой теоремы найдем преобразование
Фурье функции \(tx; -=-) х~г.
Лемма 5.10. Пусть | и т] — произвольные вещественные числа.
Тогда, полагая, что arg(£.x;) = — я при £>х < 0, имеем
х +f»v(*lV,i)('"tv-1)
ш\ Л Ч <*«'<6.л) =
— оо
min(|||, |ti|), если |л > 0,
il _i li
_Л1 Г т 2 log т 1 л I Г т 2logT если£т1<0
о о
'(3.71)

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2
303
Доказательство. Воспользуемся формулами обращения (3.54)
и (3.55) теоремы 5.4. Положим сначала, что | > 0 и рассмотрим
функцию
f( ^ = Jlf Х^Л)>
пх) 1о. *€(£.+оо).
Тогда из (3.54) имеем, замечая, что -j- vlkz; -^-j == A/v (A,z; —-Л ,
g-(y) = А v * 2ухг; — — и/*=— -
*W V2n J V ^ 2/ 1/2я
v\* gy; y
/2я /у
(3.72)
Подставляя значение (3.71) в (3.54) и интегрируя результат
в пределах (0, iq), где iq^O, получаем
± I
2я J
ТА'' hr,l}(e-'n-v
ч
rfy=J/(a)da. (3.73)
Пусть г] > 0, тогда по (3.53)
1. «6(0,1).
0, «6(1. +оо),
/(«)
и поэтому
J / (я) tf« = min (£, ti).
(3.74)
Если же ti < 0, то в силу второй из формул (3.53)
I -п I
jf(u)du = -lj
/
s <-«>-%S(--I)
о
I Til
п2+^2(-т)
dx
\ du =
л J
log*
2 + log2 *
I Til
d*
I til
dv =
log*
2 + log2 *
d*
1 Г J!
я J я2
2 log*
-flog2*
dx. (3.75)

304 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Из (3.73), (3.74) и (3.75) следует формула (3.71) леммы при
£ > 0. Если же I < 0, то, замечая, что /(£, т]) = /(|£|, —т]|, мы
приходим к той же формуле.
3.4. Приведем аналог равенства Парсеваля для преобразований
с ядрами Вольтерра. Сделаем предварительно следующее замечание.
Пусть функции fi(x) и f2(x) принадлежат классу L2(0, -f-oo).
Тогда функции
-foo
gl±)(yifi,e) = -±=-f ^-fi(x)dx, (3.76)
У 2л dy J ±ix
+ оо ( ±1Т A
1 d Г VT yx; 27
0
существуют почти всюду на (0, -f-oo) и также принадлежат классу
L2(0, +°°)-
Теорема 5.5. Справедливы равенства
+ оо Ч-оо
\ fi(x)f2(x)dx=j ff(-)(y; Д; *)*<+> (у; /2; v)dy +
о о
+оо
+ J £(+)(у: fv e)gl-4y, U v)rfy. (3.78)
О
+ оо +оо
J fi(x)M*)dx=j g(-)(y\ Л; ^■,(y;/2;v)dy +
о о
+ оо
+ J *<+>(у; Л; *)*(+)(у; U v)rfy. (3.78')
Доказательство. Пусть функции oTi(s) и c^~2(s) соответственно
двойственны с /2 (#) и /2(*) по Меллину. Из (3.76) и (3.77) имеем
У +оо
О О
1 .
- + /00
= --!=- -L Г ^Uyi-'^O-^^ (у>0), (3.79)
Г2- .... ,
— -/со

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 305
+ 00 I ±/Т 1
vl* ху\ -к
С 1 Г yv у' 27
J У2л« ± ix
Ml,-,
0
1 .
2 Af
^^ I У У^сГ2(1-Ю^ (y>0). (3.80)
Kb- - ,
2-/00
В свою очередь из (3.79) и (3.80) соответственно вытекают
формулы
1 .
2
g{±4y;fi.e) = -^n-l.l.m. I H(±\S)<^'l(\-s)y-sds, (3.79')
ZJU е-»+00 . J
2ia
1 . ,
"2
l 7+"*
^±)(y;/8;V) = i?^LL+in. J Ж (*; ±1)^(1-5)^^.
f"'e (3.80')
Применяя теперь к преобразованиям Меллина (3.79') и (3.80')
обобщенное равенство Парсеваля, имеем
-t-uu
J et-4y.fi; *)*(+)(у; /2; v)rfy =
i .
•2-+'°°
(2я)"
2m
J tf^l—s)Af(s; 5)^(5)^2(1— s)<fe, (3.81)
i .
--loo
+ CO
j + tcc
(2я)
-1
2m'
4-'
J Я(+)(1-5)Ж (s; -ij^Tj (5)^(1-5)^. (3.82)
20 М. М. Джрбашян

306 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Складывая равенства (3.81) и (3.82) и применяя формулу (З.б)
леммы 5.9, получаем
+оо
J &-4y;fu e)g(+)(y> U v)dy +
о
+ 00 T+ic°
+ J g{+)(y, fve)g(-)(y, Uv)dy = -±r J ^i(s)Sr2(l-s)ds.
i .
--/со
Применяя равенство Парсеваля к правой части последней
формулы, получаем формулу (3.78).
Наконец, учитывая, что
g{+)(y> U v) = «<->(y; /2; v),
&-Чу\Г* v) = ^+)(y;/2; v),
и заменяя в (3.78) функцию ДО*:) на /2(^), получаем (3.78').
В заключение отметим, что равенства (3.78) и (3.78') можно
записать в более компактном виде, если вместо g^(y\ f\\ e)
и g^Hy* fti v) воспользоваться преобразованиями
+оо / *Т 1
l d Г Ле ух; 27
^;/2;v) = —-J ix 2JMx)dx.
Действительно, тогда
g(-) (у, f1;e) = g (у, /,; е), *<+> (у, /2; v) = g (у, /2; v).
gi+)(y Л; «) = * (-у; Л; Ю. ^"Чу; U v) = *(-y; /2; v). ( ' 3)
а отсюда и из формул (3.78), (3.78') следуют равенства
-f оо +оо
j f1(x)f2(x)dx = | g(y, U e)g(y, U v)dy, (3.84)
0 -oo
-f oo +co
j /i (X) Ш dx = | g (y; /,; e) g(-y,Uv) dy. (3.84')
0 -oo
3.4. В этом заключительном пункте, существенно пополнив теорему 5.3,
мы переходим затем к построению аппарата интегралов типа Фурье — План-
шереля для системы лучей римановой поверхности 0^ и для любой
конечной системы параллельных прямых.

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ 12 307
(а) Теорема 5.3'. Пусть g (у) — произвольная функция из класса
L2(0, +°°)- Пусть, далее,
(3.85)
/(*) = —!=--£- е 1ХУ~Х g(y)dy (_оо<*<+оо),
у 2л dx J — iy
g(e^y; о) = —|=r j v(e 2 +<PV; - Ij/ (*) dx (a > 0). (3.86)
" -a
Гогдд на полуоси (0, +oo)
1. !.».*(.'•* a)-/'00 ПРИ *"* ^ (3.87)
a->+oo 10 при я<|ф|<+оо,
и поэтому
-,i.,(M«i
УШ dy J /л:
/ (х) dx =
(3.88)
f g(y) при ф = 0,
1 0 при я < | ф | < + со.
Доказательство. Заметим сначала, что подлежащие доказательству
формулы (3.87) и (3.88) при ф = 0 были уже установлены нами в теореме 5.3.
Чтобы убедиться в справедливости тех же формул при я <! | ф | < + со,
как и в теореме 5.3, введем в рассмотрение функции
+ оо
/^w-Tpf e ^ g{y)dy (3-89)
У 2я dx J ± iy
и их преобразования Меллина F^ (s).
Заметим далее, что если G (s)— преобразование Меллина функции g (у)
i —
и Я^ (s) = е 2 Г (s), то по формуле (3.35), полученной в ходе
доказательства теоремы 5.3, справедливы равенства
F{±) (1 — 5) = (2я) 2 G (5) Я(±) (1 — s) Ые s = у) • (3.90)
С другой стороны, в лемме 5.9 было установлено тождество (3.9)
М
(5;ф + |)я(-)(1-5) + Л1(5;ф-|)яМ(1-5) = 0,
я<|ф|<+оо, Re5 = "2".
Умножая это тождество на G (s) и пользуясь равенствами (3.90), приходим
к другому тождеству
М
^;ф + у)/7(-)0-5) + м(5;ф-|)^+Ч1-5) = 0, (3.91)
я<|ф1< + со, Res = -^.
20*

308 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
Дальше уже поступаем, как обычно: разделив тождество (3.91) на
2я/ (1 — 5) у5-1 (у > 0), проинтегрируем его вдоль всей прямой 5 = -^ -f- it
(—со <t < +оо).
Таким образом, мы получаем, что для любого у £ (0, +оо) и при
л < I Ф | < + оо справедливо тождество
1 ,
2 м\
У I ^P^-y^-4l-s)ds +
}-«-
1 ,
2 м
fcriL
1 г т 5> ф—-о
+ Ш J 1-s ^y'-'^d-^ito-u (3.92)
f-«.
Но, согласно формуле (3.18), при у£(0, +оо) и ji<|<p|<-fco
0
Поэтому, пользуясь обобщенным равенством Парсеваля для преобразований
Меллина, мы получаем соотношения
1 .
2 м\
с XVI Is; ф ± -^
-L | _A__^yl-^)(1_s)rfs =
i-<~
+~v.;(-t) i
= ^"/(PJ ±1* —fl^Wdx, y^(0,+oo), 3г<|Ф|<+оо,
о
с помощью которых тождество (3.92) приводится к виду
г.(-,("*М,,
+ J -^ —^ ^-/(+)W^ = 0, y<=(0, +00), rt<|q>|<+co.
0
(3.93)

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ 12 309
Наконец, пользуясь формулой (3.34), мы записываем тождество (3.93)
в виде
+ 00..,.'((Р+Т) 1
I
vl* ух\ -^
f(x)dx = 0, у£(0, +оо), я<|ф|<+оо,
откуда дифференцированием по у получаем утверждение (3.88) теоремы
при л < | ф | < + оо.
Наконец, формула (3.87) следует из тождества (3.88) на основании
утверждений 1° и 2° теоремы 5.2.
(б) В этом пункте, опираясь на результат теоремы 5.3', мы существенно
обобщим теорему 4.4, построив аппарат интегралов Фурье — Планшереля
для системы лучей, лежащей на римановой поверхности G00={z\ —оо <
< Argz < -\-оо, 0<|<г|<+оо}- Для этой цели целесообразно наряду
с функцией v (z\ \x) ввести также в рассмотрение функцию
+ оо
vp (г; |i) = Г г* dt (р > 0, |i > 0), (3.94)
аналитическую на G^.
Являясь в определенном смысле континуальным аналогом функции
£р (*1 !*)> как легко видеть из (3.94), функция vp (z\ \x) обладает свойствами
vp (z; ii) = ргР*1"^ v (гР; р - 1), (3.95)
vp (Яг* I) = гЧ> -^ { г%р (Яг* |) }. (3.96)
Теперь нам необходимо привести эквивалентные формулировки
теоремы 5.3' в терминах функции vp {z\ ja).
Во-первых, для любого р > 0 утверждение (3.87) теоремы 5.3' можно
записать также в виде
1 Г ( '(f+РФ) А
-а
-I
' (У) при ф = 0,
л
[ 0 при — < | Ф | < + оо.
Отсюда, учитывая, что
v(*; "4) =4* Ч(*1Л>4)'

310 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА [ГЛ. V
получаем формулу, эквивалентную *) (3.87),
_,*■ -*-?■ 1 ? / ,/Я л N 1
ст-»+оо У 2я р J \ z/
J #(у) при <р = 0,
I 0 при — <|ф|<+оо.
Аналогично, принимая во внимание, что
утверждение (3.88) записываем в виде
(3.877)
е ^ 2 d
/2яр dy
Jvp(/
-оо
Г #(у) при ф = 0,
/(*) =
| 0 при -<|ф|<+оо.
(3.880
Итак, для любой функции g(y)^L2 (0, +оо), полагая
+ оо
1 d
]/2jt dx J
— ГУ
• S(y)dy (—оо <л:<-[-оо),
имеем формулы обращения (3.87') а (3.880.
Обозначим теперь через £/ф , ..., ф i совокупность лучей
Arg2r = 9 0<M<+oo (k = \, 2, ..., /7),
— оо < ф! < ф2 < ... < Фр < + оо, (3.97)
лежащую на поверхности G0
Полагая далее
>= max I L
(3.98)
отметим, что величина я/со равна раствору минимального из углов с
вершиной в точке z = 0 (многолистного при со<-^-1, на которые разбивается
поверхность G^ посредством системы лучей £/ф , ..., ф i«
*) Здесь и в последующем следует положить при — оо < х < 0
х1^ = е р U|1/p и л 2-^ 2U| 2.

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2
311
Теорема 5.6. Пусть функция g (z) определена на системе лучей
Lt~ , . m \ u удовлетворяет условию
р +оо
J \g(z)\2\dz\ = yi J |^(rA)|2rfr<+oo. (3.99)
>г — Фр}
£ = 1 О
Тогда для любого р!>0 справедливы следующие утверждения:
Г. Почти всюду на системе лучей LI(f) , функция g (z) пред-
ставима в виде
р-1 р -,'
£-1
2
К5п р
х-
Й?Г
+00 / rt
* J vp(/**V<'-4>;4] ,"'/.<*> **1
гдг
^ , ч * 4 d Г e~ixr — \ ( l/p /фл 2р .
У2зх d* i —ir
(3.100)
(3.101)
а поэтому имеет место равенство
р +оо
| |£(*)|'U*| = p-'2] | |/*(jt)|«d* (3.102)
L, „ ft-*l — оо
{ФР ....Фр}
2°. Целые функции роста (р, а)
f(r»";e)-
-<r#'*f*2 4шГ \ ^(/^"'V^1*; j) *'*>* (*)<** (3.103)
я/w а-> + °° wa системе лучей LI(D * в среднем сходятся к функ-
ции g(rel(f), т. е.
lim
р +оо
\g
(rel*k)-g(re\o)\2dr\=0. (3.104)
i-

312
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЯДРАМИ ВОЛЬТЕРРА
[ГЛ. V
Доказательство. На основании приведенных выше эквивалентных
утверждений (3.87') и (3.880 теоремы 5.3' имеем на полуоси (0, -|-оо)
]/2яр dr
rh J Vp^'^'^-^VV0;
x fk (x) dx
a-»+oo у 2яр J \ z/
_j rO-'*» M при <,-.,,,,
I
(3.105)
при -_<|ф_фл|<+оо,
причем второе из этих равенств равносильно равенству
!• I. т. 1 г"* f vp (/*/ С-^Л l) *"*/» (*) rf* =
a->+oo |/2яр J x *'
(г»
0
при ф = фл,
при
< I ф — ф* I < + °°-
(3.106)
Замечая, что I фл — фЛа | > — > — при ИХФ k2B силу условия р > ©, путем
сложения формул (3.105) и (3.106) получаем утверждения (3.100) и (3.104)
теоремы.
(в) Другая формулировка теоремы 5.6, получающаяся путем замены
переменной w = log z, конформно отображающей поверхность G^ на всю
плоскость w, представляет особый интерес. Дело в том, что этим способом
мы приходим к построению аппарата интегралов типа Фурье — Планшереля
для произвольной конечной системы параллельных прямых.
Пусть J2?tv v \ (Р^-2) обозначает совокупность параллельных
прямых
w = u + ivk, —со<и<+со (£ = 1, 2, ..., р),
— ОО < Vi < V2 < . . . < Vp < + ОО,
лежащих на плоскости w.
Обозначая
>= max \ >,
(3.108)
заметим, что величина я/ю равна ширине минимальной из полос, на которые
разбивается плоскость w посредством системы прямых £? гv v у Так как,
далее, при отображении
z = ew, w=-- log z (3.109)
система прямых Jg>< v x переходит в систему лучей L[v x cz G^
\ V '"' pi X V '"' pi
опираясь на теорему 5.6, приходим к следующему предложению.

§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КЛАССЕ L2 313
Теорема 5.7. Пусть функция G (w) определена на системе прямых
oS'lv v \ и удовлетворяет условию
Р Р +оо
f \G(w)\2d(Rew) = ^ J \G(u + lvk)\* du <+oo. (3.110)
<e. . A-i -oo
Тогда для любого р!>0 справедливы утверждения:
1°. Почти всюду на системе прямых <3*\v t %t v \ функция G (w)
допускает представление вида
G (w) =
=* 2
Р f pw +„С° I ,(Я_ \ \ \
I -I'" " I
где
+ ОЭ
fk{x) = ±—jL {e-i^U_{)e--G{a + iVk)daf
V2л dx J
(3.112)
J/251
и поэтому р +0О
J \G(w)\2d(Rew) = 9^ j |/И*) I2**. (ЗЛ13)
iff . ft = l -oo
2°. Целые функции
G(»;a) = 2-^- J Vp^^W'P; i) ж" Vft (*)<** (3.114)
/j = l -a
л/w a->-j"°° wa системе прямых JZ'iy^. v \ в среднем сходятся
к функции G (a/), m. e.
lim f |<7(я/) — <7(w; a)\2d(Rew) = 0. (3.115)
a-»+oo J
На деталях перехода от теоремы 5.6 к этой теореме мы останавливаться
не будем. Отметим лишь, что, пользуясь асимптотическими свойствами
функции v (z\ \i), содержащимися в лемме 5.3, а также соотношением (3.95),
легко заключаем, что G (w\ а) при любом <т > 0 представляет собой
целую функцию бесконечного порядка, растущую не быстрее чем
expjff^l + l-M}-
В заключение следует добавить, что в частном случае системы
J2? tv у л, состоящей лишь из двух параллельных прямых, легко можно
\ 1' ••*' р)
установить теорему, аналогичную 5.7. Не останавливаясь на подробностях,
отметим только, что для этого достаточно в теореме Фурье — Планше-
реля 1.13 произвести замену переменной
зх
г = ехр{со(зд/ — ivi)}, 0 = .
v2 — v{
Дальнейшее обобщение теорем 5.6 и 5.7 приводится в гл. VIII.

ГЛАВА VI
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
КОНЕЧНОГО РОСТА
Одним из глубоких результатов в теории целых функций
экспоненциального типа является теорема Винера — Пэли, согласно которой
множество функций, допускающих на всей плоскости z представление
а
/(*)=]" eivz4 («О dvy ф (v) £ L2 (— а, а), (*)
-а
совпадает с классом Wa целых функций первого порядка и типа <а,
удовлетворяющих условию
J \f(x)\*dx<+cx>.
— оо
Иначе говоря, параметрическое представление класса Wa осуществляется
посредством формулы (*).
В этой главе излагается ряд общих результатов, которые представляют
собой естественные обобщения теоремы Винера — Пэли на случай целых
функций произвольного конечного порядка р >• -^ и нормального типа.
В § 1 после изложения элементов теории роста целых функций строится
обобщенное преобразование Бореля gPt ^ (£; /) для целых функций / (z),
имеющих конечный рост (р, а). Затем устанавливается формула обратного
преобразования, с помощью которой исходная функция / (z) восстанавли_
вается в результате применения к функции gp> ^ (£; /) определенного инте.
трального оператора с ядром Миттаг-Леффлера £р (zt;, \i).
В § 2 исследуется связь между ростом целой функции / (z)
произвольного конечного порядка р и нормального типа по лучам, исходящим из
начала координат, и распределением особенностей соответствующего
преобразования gp>lx(t'y/)• В качестве приложений этих результатов здесь же
приводятся, в частности, используемые в дальнейшем изложении две
теоремы единственности для целых функций.
С помощью основных результатов §§ 1 и 2 в §§ 3 и 4 данной главы
устанавливается ряд теорем о параметрическом представлении различных
классов целых функций произвольного конечного порядка и нормального
типа.

J
§ 1] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 315
При изложении этих результатов мы сочли более целесообразным
привести сначала первое непосредственное обобщение теоремы Винера—Пэли
для целых функций порядка 72» а также теорему типа теоремы Винера — Пэли
для целых функций произвольного целого порядка р^> 1, выводимую из
предыдущей чисто алгебраическим методом. Лишь после этого мы переходим
к доказательству наиболее общей теоремы о параметрическом представлении
целых функций и к некоторым вытекающим из нее теоремам типа теоремы
Винера — Пэли.
Отметим, что все приводимые в этой главе результаты о
параметрическом представлении целых функций в общих чертах имеют следующий
характер.
Определяется некоторый класс 9#р целых функций / (z) порядка р !> -~
и нормального типа <а, удовлетворяющих условиям вида
|/(*)|2|*Hrf*|< +оо (_1<©<1),
где {Lj} — некоторая конечная система лучей, исходящих из начала
координат. Далее устанавливается, что все особенности функции gPtli (£; /)
лежат на определенной конечной системе отрезков
'ft = {C;Arg£ = Oft, 0<UI<or1/P),
ассоциированной с системой лучей {Lj}.
Наконец, после этого доказывается, что класс ЭД?Р совпадает с
множеством функций / (z), представимых формулой вида
(ft) о
где |i = 1+2Юр+Р и % (т) £ L2 (О, а).
В заключение отметим, что при установлении как частных, так и общих
теорем о параметрическом представлении мы существенным образом
опираемся на теорию интегральных преобразований с ядрами Миттаг-Леф-
флера, развитую в гл. IV.
§ 1. Интегральное представление целых функций
конечного роста
1.1. (а) Для характеристики не очень быстро растущих целых
функций вводятся известные понятия порядка и типа.
Говорят, что целая функция f (z) имеет порядок роста р,
если
log log M* (r)
Iim SUP й^7 = P (0<P< + °°)' (Ы)
где MAf)= max \f(z)\.
J \z\-r
Если 0<p<-f-°°» то для более точной характеристики роста
целой функции / (z) вводится понятие типа.

316
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Типом целой функции f (z) порядка р (0<р<+°°)
называется число
log Mf (r)
о= lim sup : (0<a< + oo). (1.2)
При этом различают случаи а = + оо, 0<а<-}-оо, а = 0 и f(z)
называют соответственно целой функцией максимального,
нормального, минимального типа порядка р.
Из определения (1.1), очевидно, следует, что целая функция / (z)
может иметь конечный порядок р^О в том и только в том случае,
когда для любого положительного числа е выполняется неравенство
p-t &
^f(r)<er , г>Г!(е), (1.3)
и ни для какого отрицательного е неравенство (1.3) не имеет места
при всех достаточно больших г.
Аналогично, из определения (1.2) следует, что целая функция f(z)
конечного порядка р > 0 имеет конечный тип о^О в том и только
в том случае, когда для любого положительного числа е
^/W<^+e)rP. r > г2(е), (1.4)
и ни для какого отрицательного е неравенство (1.4) не имеет места
при всех достаточно больших г.
Функции f(z), имеющие конечный порядок р>0 и конечный
тип о ^ О, называют также целыми функциями конечного роста.
Будем также говорить, что целая функция / (z) имеет рост (р, а),
если ее порядок меньше {или равен) р, причем если ее порядок
равен р, то тип не превосходит а.
(б) Если f(z) — целая функция, то она представляется всюду
сходящимся рядом Маклорена
оо
/(*)=S**s*. 0.5)
k = 0
где
*
lim Y\ak\ = 0. (1.6)
Связь между порядком целой функции f (z), ее типом и
скоростью убывания последовательности коэффициентов {##}!°
разложения (1.5) устанавливается в следующей теореме, лежащей в основе
теории целых функций.

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 317
Теорема 6.1. 1°. Для того чтобы целая функция f(z) имела
порядок р (0<^р^ + оо), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось соотношение
hm sup —.— = р. (1.7)
2°. Пусть 0<р<+оо и
Hm sup k | ak fk = y. (1.8)
A-»oo
Если 0<Y<+°°. tno f(z) — целая функция порядка р,
причем равенство
у — еро (1.9)
необходимо и достаточно для того, чтобы тип функции f(z)
был равен а.
Если же y = 0 или y = + °°» mo функция f(z) имеет
соответственно рост (р, 0) или имеет рост, не меньший чем
(р, +оо); верно и обратное утверждение.
Доказательство. 1°. Обозначим
ft= lim sup *log* (0<Р!< + °о) (1.10)
\ak\
и покажем сначала, что функция f(z) имеет порядок p^-pj. Если
р1=-}-оо, то это утверждение нужно понимать следующим образом:
либо p = -f-oo, либо же f (z) не является целой функцией.
Если Pi = 0, то неравенство р ^ рх очевидно, так как р^>0.
Если же Pi > 0, то, согласно (1.10), для любого р2 (0 < р2 < Pi)
и бесконечного множества индексов k
(l.ii)
l°gKI>— — log А.
Р2
Пользуясь неравенствами Коши
ii/1 f 1 Пг)
Mt (r)
\dz\<-^- (k
rR
(k = 0t 1, ...; г>0),
. . Г"
|z|-rl
из (1.11) для того же множества индексов k получаем неравенства
log Mf (г) > log | ak |+ k log r >
>ft(logr—^*) (0<г<+схэ). (1.12)
Полагая, наконец, r = (ek)1/(ht из (1.12) получаем неравенство
log log % (г) log(*p2)
>P2 ь^Т-- <1Л2)
logr -' V2 logr

318 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
справедливое для некоторой последовательности чисел {гп}Т*
Из (1.12') вытекает, что
log log M* (r)
р== lim sup j—- >p2,
а так как P2<Pi^ + °° было произвольным, то p^>Pi.
Покажем теперь, что р <^[ рх. Если p1=-f-oo, то это очевидно.
Если же p1<-f-oo, то из (1.10) следует, что для любого е>0
целое число N(e)^>\ можно выбрать таким образом, чтобы
выполнялись неравенства
0<^Шй<р1+е> k>N(e)'
то есть
\ак\ <£ pt+e, й>ЛГ(е). (1.13)
Из оценки (1.13), во-первых, следует, что ряд Маклорена (1.5)
сходится на всей плоскости z и его сумма представляет собой,
таким образом, целую функцию /(-г).
Далее, из (1.13) вытекает также существование постоянной
А (е) ^> 1 такой, что
k
|а0|<Л(е), |ал|<Л(е)й"р«+« (к = 1, 2, ...). (1.130
Отсюда следует оценка
k=0 k=0
= А(г) 2 +^(е) 2 =5!(r) + 52(r), (1.14)
0<£<л(г) £>л(г) + 1
где через /г(г) обозначено число*) [(2r)Pl+e].
Замечая теперь, что
max
0<л:<
\гх Р»+е Г =ехр( /4>1+|8 ч }
*) В оценке (1.14) мы полагаем, что \rk Pl+e J |^e0 = l; в той же
оценке [(2r)pl4e] обозначает целую часть числа (2r)0l+e.

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 319
и что этот максимум достигается в точке х = е~гг^+е < #(/*),
получаем оценку
$1(г)<Л(е){1+л(г)} max {/•*""*+*"}<
О < k < п (г)
<Л(е) {l+(2r)Pl+e}exp{7^ir}< e^2\ г>г(г). (1.16)
( __!_)*
С другой стороны, при k^n(r)-\-1 имеем \rk pi+e) <! 2_л,
вследствие чего для любого г
S2(r)<A(e). (1.16)
Из оценок (1.14), (1.15) и (1.16) заключаем, что порядок целой
функции /(г), определяемой рядом (1.1), не превосходит p1-f-2e.
Так как е>0 произвольно, то p<!pi. Таким образом, всегда р = рх.
2°. Полагая, что 0^7<+°°» из (1-8) получаем, что для
любого е > О
*l*ftlP/*<Y + e. *>А(е). (1.17)
то есть
k log &
< птаттг. *>ft(e).
log-L. i '°g(v + «> '
8I«*I log *
Отсюда следует, что
,. klogk ^
lim sup 2=—< p,
*->oo Iog_L.
и, согласно утверждению Г теоремы, порядок функции /(г) не
превосходит р.
С другой стороны, если у > 0, то из (1.8) следует также, что
при любом 0 < е < у для бесконечного множества индексов k должно
быть
ft|«*f*>Y-e.
то есть
klogk р
loe-L- I lQg(v-£) '
Отсюда, очевидно, следует, что
,. klogk ^
lim sup -}—^р,
I я* I

320 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
и в силу утверждения 1° порядок функции / (z) не ниже, чем р.
Итак, при 0<7<+оо порядок функции f (z) равен р.
Убедимся теперь, что в случае 0<^y <+°° тип о функции /(z)
не превышает у/ер.
В самом деле, из (1.17) следует, что для любого е>0
справедливы неравенства вида
К|<Л*(е), |а,|<Л*(е){^}/Ф (*=1, 2, ...)•
Отсюда вытекает оценка
СО СО £/0
М,(г)<5;1«.к»<^(е)2{^0} =
= Л*(е) ^ +Л*(е) ^ = S3(r) + S4(r). (1.18)
где положено /*i (/*) = [ (у + 2е) гр].
Заметим теперь, что
тах (гР(у + е)|^= expjV+irPl
причем этот максимум достигается в точке х = е~1 (уЧ-е)/-" < щ (г).
Поэтому при г ^ Г] (е)
53(г)<Л*(е)(1 + «1(г))ехр{1±1гр}<
<Л*(е){1+(у + 2е)гР}ехр{1±£.лр}<ехр{1±^гР}. (1.19)
Далее, так как при k^>nx(r)-\-\
имеем
со
54(г)<Л*(е)Е д*(е) = В(е)<+оо. (1.20)
£=0
Из оценок (1.18), (1.19) и (1.20) вытекает, что тип о целой функ-
ции f(z) не превосходит числа -1—! и, следовательно, ввиду про-
извольности е > 0, а <; —.
^ ^ ер
Таким образом, при 0^у<+°° имеем а^—, а это значит,
что при у = 0 функция f (z) имеет рост (р, 0).
Для завершения доказательства достаточности условия (1.8) нужно
установить обратное неравенство а^> —.

§ lj ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 321
При у = 0 это очевидно. Пусть 0<у<^ + °о. Тогда из (1.8)
( Yt ) k^
вытекает, что для любого 0 < ух < у неравенство \ak\ ^>l -~ >
должно выполняться для бесконечного множества индексов k. Если
( ek )1/р
для указанных индексов к положим г = < — > , то для некоторой
последовательности значений гл-> + оо
Mf(r)>\ak\ rk >{^4~) P-e*/P = exp{ArPj. (i.2i)
Из оценки (1.21), очевидно, следует, ввиду произвольности
Yi<Y^ + °°. чт° Рост функции /(z) не ниже, чем (р, —).
Поэтому при 0<Y<+°° можно утверждать, что /(z) имеет
порядок р и для ее типа о справедливо равенство (1.9). Если же
Y = + oo, то можно утверждать, что рост функции f (z) не ниже
чем (р, +оо).
Легко видеть, что этим и завершается полное доказательство
всего утверждения 2°. Тем самым теорема доказана.
(в) Простейшим примером целой функции конечного роста
является функция типа Миттаг-Леффлера.
В самом деле, положим
а*/Р
где 0<р<-|-со, 0<а< + оо произвольны, a \i — комплексный
параметр. Тогда, воспользовавшись формулой Стирлинга *), имеем
k 1
v Hi — R
Г(^+^)=1Л>я(^)р "2^р (l+o(l)), ft->oo, (1.22)
а значит, последовательность {^}о° удовлетворяет условиям
.. k log k л- и\ ip/ft
lim —.— = p, hm k\ck[' — epo,
g\ch\
т. е. условиям (1.7) и (1.8) теоремы 6.1. Следовательно, функция
чл (а1/рг)*
*-»г(и-7)
при любом \1 имеет порядок р и тип **) а.
*) См., например, А. И. Маркушевич [1], гл. VII.
**) Это утверждение вытекает также из асимптотических формул,
приведенных в леммах 3.4 и 3.6.
21 М. М. Джрбашян

322 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Более простым примером такого рода служит функция типа
Линделёфа
со
Lp(z; ю=1 + У_£^ (Р>0),
являющаяся, как легко видеть, целой функцией порядка р и типа
1
о = —.
*Р
1.2. Переходим теперь к построению обобщенного
преобразования Бореля для целых функций конечного роста,
(а) Лемма 6.1. 1°. Пусть
/W=2vJ (1-23)
/5 = 0
— целая функция порядка р(0<р< + °°) я типа о (0<!а<+оо).
Тогда ряд
со
ff(o=2r(^+|)a*rl"ft <L24>
при произвольном \i имеет радиус расходимости
^-Пт^ирЦг^+^ра^^^а'/Р. (1.25)
2®. Если ряд (1.24) имеет конечный радиус расходимости R,
то f(z) при R > 0 является целой функцией порядка р и типа
а = /?р, а при /? = 0 рост функции f(z) не выше чем (р, 0).
Доказательство. 1°. Так как целая функция / (z) имеет порядок р
и тип а, то, согласно формулам (1.8) и (1.9) теоремы 6.1,
о=— Iim sup £laJp/ft.
Из формулы Стирлинга (1.22) следует, что
k + оэ k | Г^Р/
и поэтому
""-I. (1.26)
a=,™Sup{|r(1. + !)||a,|f\
Отсюда ввиду первого из равенств (1.25) получаем, что R = o1^.
2°. Если ряд (1.24) имеет конечный радиус расходимости /?, то
ввиду первого из равенств (1.25) и (1.26) получаем
Iim sup k\akfk = ф/?р = у <+оо.
£->оо

§ IJ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 323
Следовательно, согласно теореме 6.1, при R > О целая функция /(Р
имеет порядок р и тип а = /?р, а при /? = 0 рост функции f(z)
не выше чем (р, 0).
(б) Пусть f(z) — целая функция роста (р, а), где 0<р<+оо
и 0<^а< + оо. Тогда для произвольного значения параметра^,
удовлетворяющего условию Re|Li>0, разложение функции f (z)
в ряд Маклорена можно записать в виде
оо
Далее составим ряд
eP.*& Л = 1Ш- (1-28)
ft-0 fe
Радиус расходимости этого ряда равен R = limsup у \ bk(\i)\.
£->оо
Если обозначить через р порядок функции f(z), а через о ее
тип, то возможны два случая:
1) р = р, о^о; тогда, согласно лемме 6.1, имеем /? = а1/р.
2) р < р; тогда для любого е > 0
M,(r) = max|/(2)|<ee'p, r^r(e).
|zl-r
Отсюда, пользуясь неравенством Коши, для достаточно больших к
получаем оценку
iMrti<|r(,+!)|o<?!nj4R<
<1гмСк.,л-нги»г-
а следовательно, в силу (1.26)
kr
lim supyl^C^KeVP.
Л->оо
Это значит, что R = 0 в случае р < р.
Таким образом, для любой целой функции роста (р, а), имеющей
порядок р и тип а, справедливы следующие утверждения:
1) Если р = р (тогда, очевидно, о^о), то функция gp> ц(£; /)
голоморфна в области |£| > qVp и имеет хотя бы одну особую точку
на окружности | СI == о1^.
21*

324 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
2) Если р < р, то функция gQ)[L(t\ /) голоморфна на всей
плоскости £, кроме точки £ = 0.
В дальнейшем функцию g9)ll(£>', /) будем называть обобщенным
преобразованием Бореля или В ^^-преобразованием целой
функции f(z).
(в) Приведем один элементарный пример. BQ ^-преобразованием
функции
имеющей порядок р и тип а=|^о|р, является функция
еР,Л-> /) = £.тёг = 7^7г. |C|>otvp.
■C* + 1 С-Со
(1.30)
Предложение, которое приводится ниже, является дальнейшим
обобщением этого примера.
Пусть L — произвольная ориентированная замкнутая или открытая
жорданова спрямляемая кривая, на которой определена некоторая
(вообще говоря, комплексная) функция а (С) с ограниченным
изменением.
Теорема 6.2. 1°. Криволинейный интеграл Стилтьеса
/(*)=$ Ер(г& \i)doQ (1.31)
L
является целой функцией роста (р, а0), где а0 = sup (| С|Р}-
2°. Все особенности функции gQf ^(C; /) лежат вне области
GL, ограниченной кривой L и содержащей точку £ = оо. При
этом в области GL имеет место представление
Wk/) = iff^7. ^0L. (1.32)
Доказательство. Если sup {|£|р} =а0, то
sup|£p(z£; ц)|<£рЦ*|*|; |х) = ]£| /° *\|1*1*'
причем £р(2; [х) является, очевидно, целой функцией порядка р и
типа а0. Поэтому для любого е > 0 справедливо неравенство
sup|£p(£2; [i)|<exp{(lH-e)a0|2|p}, |*|>г0.

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 325
Из этого неравенства и (1.31) вытекает, что
1'<*>1<н{ J 1^(0|}ехр{(1 4-е)а0|г|р}, \z\> гй.
Следовательно, f(z) является целой функцией роста (р, а0), причем
легко видеть, что справедливо разложение
/(*)=2-
bk л
z"
где&й= J4*rfa(C) (ft = 0, 1, 2, ...)•
L
С другой стороны, заметим, что при
|£|>sup{H}=oJ/p
имеет место разложение
причем ряд в правой части последнего равенства сходится
равномерно относительно t.
Следовательно, имеем также разложение
L £=0 L /5 = 0 b
откуда следует формула (1.32) теоремы (но пока лишь для |£|>оУР).
Далее, поскольку интеграл (1.32) представляет собой функцию,
аналитическую во всей области GL, функция ^Р>^(С; /) аналитически
продолжается на всю область GL, где, следовательно, остается в силе
и представление (1.32). Теорема доказана.
1.3. В этом пункте мы докажем две теоремы об интегральном
представлении целых функций конечного роста. Первая из этих
теорем, позволяющая восстановить целую функцию f(z) роста (р, а)
по ее обобщенному преобразованию Бореля gp>]l(& /), будет часто
использоваться в следующих параграфах этой главы.
(а) Теорема 6.3. Пусть f(z) — целая функция роста (р, о),
где 0<р<+°° и 0<^а <-f-oo. Тогда справедлива
интегральная формула
'(*> = Ж j4(* Ю*р.|*(& /># (1*1< + оо). С1-33)

326
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
где L — произвольная замкнутая жорданова спрямляемая
кривая, внутри которой лежат все особенности функции gQt ^(£; /).
Доказательство. Если R^>0—радиус расходимости ряда (1.28),
то при любом /?!>/? имеем
ь*№ = ш \ W& /)£** (k = 0> !« 2- •••). (1.34)
\l\-Rx
Подставляя звачения (1.34) коэффициентов {йл(м-)}о° в разложение
(1.27) функции f (z) и меняя порядок суммирования и
интегрирования, при произвольном z получаем
оо
W^ /)« =
яР (*,ii)^Pi ,,«;/)«■ (1330
ltl-*i
Формула (1.33) теоремы следует теперь из (1.33'), если заметить,
что при любом фиксированном z подынтегральная функция в
равенстве (1.33') не имеет особенностей в замкнутой неограниченной
области, лежащей вне кривой L. Теорема доказана. .
Отметим, что если функция f (z) имеет порядок р и тип а, то
в формуле (1.33') мы должны взять Rx> R = olte; если же порядок
функции f(z) ниже чем р, то следует взять /?1>/? = 0.
(б) Прежде чем приводить вторую теорему об интегральном
представлении, напомним формулу Ханкеля для гамма-функции *)
Y(e;o)
где у (г; а) обозначает бесконечный контур, состоящий из двух
лучей arg£=±a, е<|£|<+°° и ДУГИ окружности —a<]arg£<(x,
|£| = е, пробегаемой в направлении возрастания arg£ (причем е и
а — произвольные числа, удовлетворяющие условиям е > 0 и
0<а<я).
Теорема 6.4. Пусть
оо
/w=S (k(v)k\zk (R^>°)
*) См. 2.1 (а) гл. HI.

§ 1] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 327
— целая функция роста (р, а), где 0 < р < + °о и 0 <! а < + со.
Если R—радиус расходимости разложения
оо
mo для любого е > /?р и а£ f-j , я справедлива интегральная
формула
/(r^) = I—2S7 J * ™Р Vp,n(^1/P^"^ />dw- (1'36)
Y (е; а)
Доказательство. Для любого Rl^> R ряд в правой части (1.28)
равномерно сходится в области |£|>/?i- Ввиду этого для главной
ветви функции w1^ ряд
оо
*Р||1<«1Л*-'*; /) = S"W^(*+1)*- *€<-*. я]. (1-37)
также равномерно сходится на всем контуре у(г\ а) при любом
e = /?f>/?p и ae(-j-. я].
Следовательно, полагая е >/?р и аМ-2-, я , для любого
r£(0, -f-°°) и д£(—я, я] из (1.37) получаем
±. J e*ww9~*gPtp(w4»e-'*; f)dw =
Y (e; a)
OO IL
= S**(|l)^(*+1)*2Sr J «rPww""p""'irfw. (1.38)
ft-0 v(e; a)
Производя замену переменной £ = гр,до и применяя формулу Хан -
келя (1.35), находим
-1- Г /
2я/ J *
Y (e; a)
^ р dw =
= ^-,)+fti 1 ^ р^ = ^—Г (1.39)
Из (1.38) и (1.39), имея в виду разложение (1.27), приходим
к формуле (1.36) теоремы.

328
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. V]
§ 2. Интегральное представление /^^-преобразования
и расположение его особенностей; некоторые применения
2.1. (а) Для более тонкой характеристики возрастания целых
функций конечного роста изучается также тип роста функции
вдоль лучей, исходящих из начала координат.
Пусть /(z) — целая функция порядка р (0 < р < + оо) и типа
а (О <J а < + оо). Тогда для любого д£(—я, я] величина
А(ф) = А(ф; /)= lim sup ^^^ >1 (2.1)
характеризует поведение функции f (z) вдоль луча z = re1^, когда
г-> +оо.
Функция h($; /) была введена Фрагменом и Линделёфом; следуя
их терминологии, мы будем называть эту функцию индикатором
роста (или просто индикатором) целой функции f(z). Легко
видеть, что h (d) однозначно определяется также на всей оси —оо <
<Ф< + со и является периодической функцией с периодом 2я.
Принимая во внимание определение функции h{&) и формулу
logMf(r)
lim sup = а,
r->-ioo ГР
заключаем, что sup h($)^o.
-Я <fr <JT
Индикатор h^) имеет ряд важных свойств, из которых мы здесь
укажем лишь следующие:
1°. Функция h (ft) непрерывна и max h(§) = o.
-Я < ft<JT
2°. Если 0<р<1, то 0</г(#)<а.
3°. Если 1<р<-[-оо, то — а</г(д)<а.
4°. Для любого е>0 существует такое число г(е)>0, что
неравенство
|/(г^|<ехр{[А(*)+е]гР}, г^ге,
выполняется равномерно относительно всех значений*) —я^д^я.
Отсюда, например, вытекает, что если целая функция / (z) имеет
конечный порядок и минимальный тип, то h (0)^0.
*) См., например, А. И. Маркушевич [1].

§ 21 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В р, р. -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 329
(б) В качестве примера вычислим индикатор функции E0{z\ \i).
Пусть сначала 0<р^-^-« Согласно асимптотической формуле
(2.36) леммы 3.6, при г->+оо имеем
EQ(reif>; \i) =
==р ^ гР^-^ехр {/(* + 2ял)(1—и,)р+гР«М*+2ял)}_|_оЩэ
где суммирование производится по всем п = 0, ±1, ±2, .... для
которых \ft-\- 2лп |<; -=—. Модуль выражения, стоящего под знаком
суммы в этой формуле, равен
гр (i-Re w ехр {(# + 2ля) р Im jli + rP cos р (# + 2л/*)}.
Отсюда легко получается, что при 0<р<^
/r(#; £J==.maxcosp(# + 2Ji/0 = cosp#, #£[—я, л]. (2.2)
{*}
Пусть теперь -2-<р<+оо. Если [i==p=l, то ^(г; 1) = ег.
и поэтому
/r(#) = cos#, д£[—я, я]. (2.3)
Исключая этот случай и пользуясь асимптотическими формулами
(2.23) и (2.24) леммы 3.4, получаем, что при -о-< р <-|-°°
л(»; £р) =
л
cospd, если |#| •< Y"'
Р (2.4)
О, если -2— <!|^|<;я.
(в) Установим теперь интегральное представление для функции
£p.ii(£» /). которое потребуется в дальнейшем для выявления
зависимости между расположением особенностей этой функции и ростом
целой функции f (z) по лучам, исходящим из начала координат. При
этом, как здесь, так и в последующем, мы будем пользоваться
свойствами взаимно дополнительных областей 3&9(fi\ v) и £В9(Ь\ v) и их
общей границы Lp(b\\).
Отметим, что эти области были определены для произвольных
значений р(0<р< + оо), v(0<>< + co) и д£[—я, я] в 3.1(a)
гл. III, причем в случае р= 1 области «2^ (ft; v) и £б\($; v)
соответственно совпадают с полуплоскостями Re (£"'*£) >v и Re (£-'*£)< v;
таким образом, их определение сохраняет смысл также для
значений — оо < v < О,

330 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ, VI
Теорема 6.5. Пусть
оо
f(z) = y /*(ц> z\ Re(i>0, (2.5)
— целая функция роста (р, а), где 0 < р < + °°» 0<! а < + оо, а
— BQt ^-преобразование этой функции. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1°. Если функция f(z) имеет порядок р и тип а, то для
любых ^6(— я, я] а С6«®Р(Ф. а)
£р,ц(£ /) =
+ оо
= p(e-'Vr1J' f(tert*)e-tP(e-ntfi?f,-1dt. (2.7)
о
Более того, если обозначить
\ Л(Ф; /) я/?и и = р=1,
й*(Ф) = | " F p r (2.8)
} max[u(ft; /); 0] при рф\, к J
то при h(—ft) < а функция gQtVL(Z\ f) аналитически
продолжается в более широкую область £Вр(Ъ\ А*(—'&))1Эс2*р('&; а)
и представление (2.7) остается справедливым в 2В9($\ А*(—#)).
2°. £с./ш порядок функции f(z) меньше р, wo в случае 0<
<Р<-о" Функция £Р||А(С; f) голоморфна и представление (2.7)
имеет место на всей плоскости С, кроме точки £ = 0; в
случае же -ъ^Ср < + оо такое же утверждение справедливо для
угла Л(р; ft) = {C; | ArgC-ft|< -£}.
Доказательство. Радиус расходимости ряда (2.6) равен
*
/?= lim sup/l^G*)!, (2.9)
fc-»oo
причем, как уже было отмечено [1.2(a)], если f(z) имеет порядок р
и тип а, то R = а1^; если же порядок функции / (г) меньше р,
то /? = 0.

$ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В р [А, -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 331
Обозначая al = Rp1 из (2.9) заключаем, что
|йл(ц)|<С(6)(а1 + |-)Л/Р (£ = 0, 1, 2, ...). (2.10)
где постоянная С (6) не зависит от k.
Замечая далее, что при ££<2*р(Ф; ax -f- 26)
Re(e-'»C)P>a1 + 2d,
из (2.5) и (2.10) получаем для всех ££,2*р(0; ai + 26) и 0<^ < -foo
|/(^-<»)*-<p(<-'V
<
... >>+т)|
Далее, из формулы Стирлинга (1.22) следуют оценки
k _ 1
Л *.«...!
та
о</<н
|г(|х + |)|>Л10х.р)Гр(|-)р ^~2 (Л=1. 2. ...)-
Отсюда, используя равенство
max [t*e-to+Qf} = \ * .Лт (А=1, 2, ...),
:/<+«>l J I *p(<*i+6) 1 "
получаем
Г7—m ai+4 <^(^p)/g 2 <2л2>
(ft=l. 2, ...),
где i42(|i, p) не зависит от k.
Из оценок (2.12) следует, что ряд, стоящий в правой части
неравенства (2.11), равномерно сходится на всей полуоси 0<]/ < -|-оо.
Следовательно, при £ 6 «^р Ф'> ai Ч~ 26) допустимо почленное
интегрирование ряда
«/(й-")^^'^"1, Re^>0, (2.13)
на всей полуоси 0<^< + оо.

332
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Интегрируя почленно разложение (2.13) в промежутке 0<^< + оо
и используя равенство
Г ,-<»+i»-i^=rl*+p (Л = 0, 1, 2, ...),
справедливое при Re?0 > 0 и Re^i > О, получаем
J /(/e-,e)«-(P('"'*t)V1d/ =
О
оо +°°
6=0 Г1ц + —I о
СО
= 1(е-!КУ»Ч%^0-, С6^Р(*; ^ + 26). (2.14)
Отметим теперь, что в силу свойств взаимно дополнительных
областей Sp (ft; a2 + 26) и $1 (ft; ^ + 26) круг | £ |< (аг + 26)1/р
содержится в области «2*p(ft; а2 —|— 26). Поэтому при любом 6>0
область £Вр (ft; Oj-f-26) содержится в области |£|>а}/Р = /?, где
по условию функция £*р, ц(£; /) разлагается в ряд (2.6).
Теперь уже из формулы (2.14) получается требуемое
интегральное представление (2.7) теоремы, но пока лишь при ££i£p(ft; ax —|— 26),
где 6 > 0 любое.
В дальнейших рассуждениях будем рассматривать отдельно два
случая, указанные в утверждениях 1° и 2° теоремы.
Пусть функция / (z) имеет порядок р и тип а. Тогда R = а1^,
т. е. о1 = о. Ввиду произвольности 6>0 представление (2.7)
справедливо во всей области i^D(ft; a).
Далее, вспоминая определение областей «2*p(ft, v), i^p(ft, v) и их
свойства (в том числе и при р= 1), легко заключаем, что если
h{—ft) < а для некоторого значения ft£(—я, я], то для этого же ft
имеет место включение i^p(ft; a)c«2^p(ft; h*(—ft)). Следовательно,
для завершения доказательства утверждения 1° достаточно
установить, что интеграл, стоящий в правой части равенства (2.7),
равномерно сходится в любой области вида i^p(ft; /г*(—ft)-|-6), 6 > 0.
Докажем равномерную сходимость этого интеграла в указанной
области. При ££Sp(ft; u*(_ft)-|_6) имеем Re(*-<»£)p>/**(— ft) + 6.
С другой стороны, число Г0 > 0 можно выбрать таким образом,

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В р, {J. -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 333
чтобы имело место неравенство
|/(^-^)|<ехр{[/г(-*) + |]/р}, t>TQ.
Тогда при ££Sp(ft; h*(—0)4-6) и Г0<^<+оо справедлива
оценка
\f(te-^)e-^-i\y\<
<exp{-[/**(-tt)-A(-#) + 4]/p}. (2Л5>
Вместе с тем, согласно (2.8), имеем h*(—Ф)^/г(—Ф), а потому
из оценки (2.15) вытекает, что интеграл (2.7) равномерно сходится
в каждой области «З^СО4; h*(—О) + 6), 6 > 0, и, следовательно|
функция £*Р>МДС; /) аналитически продолжается из области <2* (ft; a\
в более широкую область 3>9{§\ h*(—ft)). Утверждение 1°, таким
образом, доказано.
Пусть теперь порядок функции f (z) меньше чем р. Тогда /? = 0,
т. е. ох = 0, и поэтому функция g9t]X(£>\ /) голоморфна и предста-
вима с помощью формулы (2.7) в любой области вида S0($; 26),
6>0.
При этом, если 0<р<-у» Т0 ПРИ 6-> + 0 предел областей
<2L(d; 26) есть вся плоскость £ с выколотой точкой £ = 0. Если же
~ <^р<-Ь°°» то предел этих областей есть угол Д(р; Ф). Таким
образом, теорема доказана полностью.
2.2. В этом пункте мы займемся дальнейшим исследованием связи между
ростом целой функции и расположением особенностей соответствующего
Вр, ^-преобразования; при этом мы будем существенно пользоваться
теоремами 6.3, 6.4 и 6.5.
(а) Предварительно введем вспомогательные определения р-выпуклого
множества, р-выпуклой оболочки множества, а также р-опорной функции
kQ (ft) и р-опорной кривой Ip (ft; kp (ft)) р-выпуклого множества.
Заметим, что все вводимые здесь определения в случае р = 1
совпадают с известными определениями выпуклого множества, выпуклой оболочки
множества и с введенными Полна определениями опорной функции и
опорной прямой для выпуклой области.
Любая замкнутая область <^p(ft;v) (0<p<-f-°°) при ft £ (—- я, я] и
v£(0, +°°) [а в случае р = 1 при ft£(— я, я], v£(—оо, + °°)L была
названа нами элементарной р-выпуклой областью *).
Точечное множество М назовем ^-выпуклым, если оно может быть
представлено как пересечение некоторого семейства ^р (ft; *') элементарных
р-выпуклых областей.
*) См. 3.3 (а) гл. III.

334 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Из нашего определения следует, что если р-выпуклое множество М
ограничено, то оно замкнуто; в противном случае замкнуто
пересечение М с каждым кругом | £ |< R (R> RQ).
Далее, пересечение Шр всех р-выпуклых областей, содержащих данное
множество точек Ш, назовем р-выпуклой оболочкой этого множества.
Очевидно, что 9?р является наименьшей р-выпуклой областью,
содержащей множество Ы.
В частности, l-выпуклое множество есть пересечение некоторого
семейства полуплоскостей {Re(£~ £)<v} и поэтому является обычным
выпуклым множеством, которое вместе с любой парой точек содержит
также соединяющий их отрезок прямой.
Простыми рассуждениями легко з'становить вид р-выпуклой оболочки
множества, состоящего из одной точки г0е1^°: при О < р < -~- эта оболочка М
есть замкнутая область <^р (ft; v), где ft == ft0 — я sign ft0, v = rg cos лр; при
— ^ p ф 1 эта оболочка М есть отрезок, соединяющий точки 0 и г0е1®°]
наконец, при р = 1 эта оболочка М состоит лишь из самой точки г0е^°.
Пусть G является р-выпукльш ограниченным (следовательно, и
замкнутым) множеством на плоскости £ = rei($. При —- < р ^= 1 через G (p; ft)
обозначим пересечение множества G с углом Д (р; ft) = < £; | Arg £ — ft К »- \.
Очевидно, что если множество G (p; ft) не пусто, то оно ограничено и
замкнуто.
Определим теперь ^-опорную функцию kQ (ft) множества G следующим
образом:
Если 0 < р < -~- или р = 1, то
£ (ft) = maxReO-^0P= max {rPcos p (q> — ft)}. (2.16)
Если -х < p Ф 1, то
М0) =
max ReGr/0£)P= max {rpcosp(q) — i
когда G (p; ft) «£ пусто,
О, когда G (p; ft) пусто.
(2.17)
где
Кривую £р (ft; £p (ft)), уравнение которой имеет вид
rp cos p (ф — ft) = k9 (ft), (2.18)
|<p-<M<
я при 0 < p < -~- и p = 1,
[ 2^Г ПРИ Т<Р^51.
(2.19)
назовем р-опорной кривой р-выпуклого множества G по направлению
Arg£ = ft.

§2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Вр, (А ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 335
(б) Пусть
/(*)-У ^(Ц),,^ (Ren>0)
— целая функция порядка р (0 < р < +°°) и типа ° (0 < а < +00)- Тогда,
согласно лемме 6.1, функция
W£;/) = 2^
k=0
голоморфна в области | С I > а*/р и имеет на окружности | С I = <*1/р хотя бы
одну особую точку. Таким образом, множество MQ} ^ всех особых точек
функции gp, ц(£;/) лежит в замкнутом круге |£|<а1/р-
Обозначим через МР) ^ р-выпуклую оболочку множества MQi[X, а через
^р, ц (®> /) обозначим р-опорную функцию множества Мр, ^.
Для целых функций первого порядка и нормального типа связь между
ростом целой функции / (z) и расположением особенностей
ассоциированной с ней функции g\,\i.(& f) в случае \х = 1 впервые установил Полна.
Эта связь между индикатором функции / (z) и опорной функцией выпуклой
оболочки Л?ь j множества Ми1 особых точек функции £ь i (£;/)
заключается в тождестве
Л(&;Я = *ы(-0;Л. <>€<-*. *].
В следующей теореме доказывается как это тождество Полна, так и его
естественное, но неполное обобщение на случай целых функций
произвольного порядка р (0 < р < +°°) и нормального типа.
Теорема 6.6. Пусть f (z) — целая функция порядка р (0 < р < + оо)
и нормального типа. Тогда соотношение
л<ф; /) = Vn (-*"./) <2-2°)
справедливо в следующих условиях: 1) при 0<р<!-^- в любой точке
ft£(— я, я]; 2) при р = |ь1 = 1 в любой точке ft£(—n, я]; 3) при Р>-?т
в каждой точке ft£(—я, я], где h(ft\ /)!>0.
Доказательство. По теореме 6.5 функция gp> ^ (£; /) голоморфна
в области ^р (ft; Л* (— ft)), где
fl(ft; /) При |Л = р = 1,
max [h (ft; /), 0] при р ф 1.
Следовательно, все особые точки функции ^р, ц (£; /) при jm = р = 1 лежат
в области Sf*(ft\ h(—ft)), т. е. в полуплоскости Re(£~ £)</г(—ft),
а при р Ф 1 эти особенности лежат в области Q}*Aft; (—ft)),
дополнительной к ^р (ft\ h* (— Ф)). Отсюда следует, что р-выпуклая оболочка ЛТр, ц,
множества особых точек функции gp, ц (£; /) также принадлежит области
#р(0; Л*(-0)Х
После этих предварительных замечаний перейдем непосредственно к
доказательству тождества (2.20).
h* (ft) = [

336 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Покажем вначале, что при любых р (0 < р < + оо) и \i (Re \i > 0)
справедливо неравенство
*р>и<*;/)<лЧ-0."/). (2.21)
В самом деле, если 0 < р<-^ , то
*р, » № /) = max ^е О" '^ < „ max Re О" ^£)Р = Л* (— О).
Если р>*п- (причем в случае р = 1 полагаем М- = 1), то либо
kp, ц (ft; /) = 0, и тогда в силу (2.8) h* (— ft) > 0, либо £р, ^ (ft; /) > 0, и тогда
*р, ц (^; /) = max Re (*~ f'*C)p < max Re (e~{\f = /г* (- ft).
£^р,ц С€«*(<>; Л* (-<»)
lArg ;-*!<-§ |Arg;-*i<i
Наконец, если р = [л=1, то
kul(fr, /) = max Re (*-">£)<
<С€*.Дм-*))Вв(#"'*°-Л(-*;ЛяЛв<--*)-
Установим теперь, что при любых р (0< р < + оо) и \x (Re ц > 0)
справедливо также неравенство
M-ft;/)<W(ft;/)- (2.22)
С этой целью заметим, что, согласно теореме 6.3, на всей плоскости z
справедлива интегральная формула
f {2) = Ш J £р № Ю ^р' »*(С; Л ^
(2.23)
где в качестве L можно взять любую замкнутую спрямляемую жорданову
кривую, охватывающую р-выпуклую оболочку М9> ^ множества Afp, ^ всех
особых точек функции ^р, ^ (£; /).
Пусть сначала 0<р<!-у Выберем и фиксируем произвольное е > 0.
В качестве пути интегрирования в (2.23) возьмем такой контур Le, чтобы
выполнялись условия
min {| С| } = me > 0, (2.24)
0 < *Р, и (ft; /) = max Re (e~ l\f <
< max Re (*- l\f < *p, ^ (ft; /) + ±. (2.25)

§2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Вр, fi -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 337
Так как, согласно (2.2), имеем h (ft, £p) = cos рй при 0 < р < -~-, в силу
условия (2.24) для выбранного е > О можно подобрать число г0 (е) > 0 таким
образом, чтобы для всех £££е равномерно выполнялось неравенство
| Ер [г (е- ш0; |i] I < exp | [Re (е~ 1\)" + j]rp), r>r0 (е). (2.26)
Но тогда из (2.23) получаем оценку
I / (те" '•) | < -jj J" I £р (ге~l\; |i) I | gp, „ (С; /) 11 <*C I. (2-27)
откуда в силу (2.25) и (2.26) следует, что
I / (гв~ '•) | < Мг ехр {[Ар> ^ (О; /) + е] г"}, г > г0 (е), (2.28)
где Ме > 0 не зависит от г.
Из (2.28) теперь получаем
log I f(re~^)\
г->+оо ГР ^ .
и, поскольку е > 0 произвольно, для случая 0 < р < -^ неравенство (2.22)
установлено.
Пусть, далее, р>-~-. Снова фиксируем произвольное е>0 и в
качестве пути интегрирования в формуле (2.23) выбираем такой контур Le (e > 0),
охватывающий множество MQy ц, чтобы вместе с условием (2.24) в
случае р = 1, и. ф 1 выполнялось также условие
max Re (е~1Ь$ < kp, „ (fl; /) + JL (2.29)
IArg&-d |<i
а в случае р == р. = 1 — условие
max Re (е~1\) < ku , (G) + j. (2.30)
Заметим теперь, что функция h (ft; £р) определяется из формулы (2.4).
Следовательно, ввиду свойства 4° индикатора функции для выбранного е > 0
можно найти такое число г0 (е) > 0, чтобы для всех £ £ Le были справедливы
неравенства
fexp{[Re(,-^)P+|]rP},
<<
если |Arg£ — ft !<•£-, (2.31)
ехр{егр}, если ~-< | Arg£ — # |<я, г>г0(е).
22 М. М. Джрбашян

338 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Из неравенств (2.29), (2.30), (2.31) и (2.27) следует снова оценка вида (2.28)
для рассматриваемого случая, откуда, как и выше, вытекает
неравенство (2.22).
Наконец, из неравенств (2.21) и (2.22) в силу определения (2.8)
функции ft* (ft) следуют все три утверждения теоремы, если заметить еще,
что ft (ft; /) > 0 при 0 < р < -н- [см. 2.1 (а), свойство 2° индикатора
функции]. Теорема доказана.
(в) Из утверждения 1° теоремы 6.5, в частности, вытекает
Следствие. Если f (г) — целая функция порядка р (0 < р <; -^-) и типа
а=Л(^0)= max ft (ft), (2.32)
-л < 0<я
то при любом *) ft
ft (ft) > ft (ft0) cos p (ft — ft0). (2.33)
В самом деле, с одной стороны,
kP) p (- ft) = ft (ft; /) = max Re (Af, (2.34)
откуда следует, что
а = ft (O0; /) = max Re(el\f. (2.34')
С другой стороны, так как множество Л?р, ^ лежит в круге | £ | <! а1/р,
равенство (2.34') справедливо лишь в том случае, когда точка £0 = а1/р£-^0
принадлежит MQt ц.
Поэтому из (2.34) имеем
h (ft; /) > {Re (*'°£)р}СшГ§ = a cos p (ft - ft0),
что и доказывает следствие.
(г) За исключением двух важных случаев 0<р<-^- и |л = р=1,
теорема 6.6 оставляет открытым вопрос о связи индикатора ft (ft; /) с
расположением особенностей функции gQt ^ (£; /), когда -^ < р Ф 1 и ft (ft; /) < 0.
В следующей теореме для любого р (0<р<+оо)и|л = — дается
в некотором смысле полный ответ на вопрос о связи между
индикатором ft (ft; /) и множеством особых точек функции g 1/p (£; /).
Теорема 6.7. Пусть f (z) — целая функция порядка р (0<р<+°°)
и нормального типа а. Тогда для любого ft£ (—я, л] полуплоскость
Re w <; ft (—ft; /) содержит все особые точки функции ^fp> i/p (# w1/p;/)
и содержится во всех полуплоскостях Rew<c, обладающих этим
свойством.
*) Это утверждение справедливо и для целых функций любого
конечного порядка р>0, если ft0 —произвольная .стационарная точка
функции ft (ft; /) и |ft — ft0l<—. Смм например, Б. Я. Левин [1], гл. 1,

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Вр, ^ -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 339
Доказательство. Полагая сначала о < w <-{-оо и £ = e^w1^, из
интегральной формулы (2.7) теоремы 6.5 получаем представление
Sft 1/Р b'W; /) = ре~ '» f / (te- '•) •-* Л. (2.35)
О
Легко видеть, что интеграл (2.35) равномерно и абсолютно сходится в
полуплоскости Re w >. h (— ft; /) -f- 6 (6 > 0). Поэтому, понимая под символом w1^
главную ветвь этой функции, можем утверждать, что функция g у (е w*'p; /)
голоморфна в полуплоскости Re w > h (—ft; /), где имеет место
представление (2.35). Это означает, что все особенности нашей функции лежат
в полуплоскости Re w < h (— ft; /).
Предположим теперь (вопреки утверждению теоремы), что в
полуплоскости вида Re w < h (—ft;/) — 2y, где у > 0, также содержатся все
особенности функции g у (е w p; /). Покажем, что такое предположение
приводит к противоречию.
С этой целью заметим сначала, что при \х = — интегральная
формула (1.36) теоремы 6.4 записывается в виде
f(пГ'*> = Т J" 'PWge,i/P^V/P: Лd». (2.36)
Y (e; a)
Поскольку при Ite/l-^-f"00 имеем
*P)vp('-''v/p;/)=i
деформацией контура интегрирования y (e; a) в формуле (2.36) можно
получить формулу, отличающуюся от (2.36) тем, что контур у (е; а) заменен
прямой линией w = [h (— ft; /) — у] -f- iv, — оо < v < + сю. После этого из (2.36)
немедленно получается, что при r->-f~°°
/ {re- '*) = exp {[h (- ft; /) - y] r<>} + О (/*-J),
откуда вытекает, что
Л(—*;/) = Hm sup l0g * 7 (^~ Я <Л(—0; /)-Y.
Так как у > 0, мы получили противоречие, что и завершает доказательство
теоремы.
Легко убедиться, что эта теорема в случае р = 1 эквивалентна теореме
Полна, т. е. утверждению 2° теоремы 6.6.
2.3. В заключение параграфа приведем некоторые приложения теорем
6.3 и 6.5.
(а) Установим сначала одно предложение о целых функциях, порядок
которых не превышает 1/2.
22*

340 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Теорема 6.8. Пусть f (z) — целая функция роста (-=-, 0],
удовлетворяющая при некотором ФобС—я, я] условию
sup {г'V | / (ге~ **о) |} < + со (0 < Y < + со). (2.37)
1<г<+оо
Тогда f (z) является полиномом степени не выше чем р= [у].
Доказательство. Рассмотрим целую функцию
I *=0 |
Эта функция также имеет рост (-^-, 0) ив силу (2.37) удовлетворяет условию
sup {ra| /(г*-'*°)|}<Л1< + со. (2.38)
1<г(<+оо
где ot = /7 —)— 1—у>0. Для доказательства теоремы достаточно установить,
что 7(*)e=0.
Так как f(z) есть функция роста l-~-, Oj, то функция gx. ^ (£; f)
голоморфна на всей плоскости £, кроме точки £ = 0. При этом, согласно
теореме 6.3, справедлива интегральная формула
/«-ш/^«^)^/^«;Л*
(2.39)
где [л > 0, а I—замкнутый контур, охватывающий точку £ = 0.
Если в (2.39) в качестве контура L взять любую окружность | £ | = е
(е > 0), то из (2.39) получим оценку
| /(*) I < гЕ1/я (е |ж |; |i) max£ | g^ ц (С; /) |. (2.40)
Оценим теперь функцию £,, ^ (£; /) в окрестности ее единственной
особой точки £ = 0.
1
Если функция / (z) имеет порядок Р = -?>- (и' слеД°вательн0» ее тип
о = 0) или же если ее порядок р < -^, то, согласно теореме 6.5, имеет место
представление
ё%^.Л =Р(*-W +f?(te-«*),-b-l*0,h*f*-1 dt, (2.41)
о

\2) ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Вр,{Х -ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 341
Если, далее,
[им неравенстве
|«W£;/)|<
Если, далее, положим \i < 2а = 2(p-\-l — y). то из (2.41) и (2.38)
получим неравенство
JL-i f г JL_i +0° )
lo l J
= А>Ш2 . C€%(\. 0), (2.42)
где Л2<*+оо — постоянная.
Заметим теперь, что &у2(&0\ 0) представляет собой угол А 1-^-, #0) =
= {£;|Arg£ — ^о I < л}. т- е- всю плоскость £, разрезанную вдоль луча
ArgC = G0 + n.
Ввиду характера неравенства (2.42)", легко видеть (так как функция
gv, и (С; 7) регулярна всюду, кроме точки £ = 0), что оно справедливо и на
границе Arg£ = '0,04-3X области Qf^ (ft0; 0), иначе говоря, всюду, кроме
точки £ = 0. Следовательно, из (2.40) и (2.38) получаем неравенство
|/<*)|<Л/*£у1(е|*|;|г),
откуда ввиду произвольности е > 0 следует, что / (z) = 0.
Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. Если f (z)— целая функция роста l-^-, 0), ограниченная
вдоль некоторого луча arg2 = <p, то f (z) = const. Иначе говоря, если
f (z) ф const, то для любого ф £ (— я, я]
sup {|/(г^)|}= + со.
0<Г < + оо
(б) Из предыдущей теоремы следует, что свойством ограниченности или
слабого роста вдоль лучей, исходящих из начала координат, могут обладать
лишь целые функции порядка р >-^-. Примерами таких функций могут
служить функции типа Миттаг-Леффлера £р (z\ \к) (р ^ "о") • Например, из
1 _,^т^, .._!+£+«>
леммы 4.1 следует, что еслир>-^-, —1 < © < 1, \i=—L^—■
всех <р Ы — -=-, -^—1 (т. е. -~— <|ф|<!я;] имеет место соотношение
то для
+ оо
J
I Ер (е'*г, \х + 1) |2 г00 dr < М < + оо. (2.43)
о
Докажем одну специальную теорему единственности для целых функций
порядка р>-у, которая потребуется нам в дальнейшем. Из этой теоремы,
в частности, следует, что раствор угла, в котором имеет место свойство
(2.43) функции Миттаг-Леффлера, для всего класса целых функций порядка р
является наибольшим.

342 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Теорема 6.9. Пусть f (z) — целая функция порядка р > —■ и р > р.
Если для всех fr£| —, -^-)
\ 2р 2р /
J |/(^-Л)12^Л<М<+оо (со>-1), (2.44)
о
где М не зависит от Ф, то /(2)===0.
Доказательство. Пусть р < р, < р2 < р и \х{ = I*"00 > 0. Поскольку
порядок функции / (г) меньше рг согласно теореме 6.5, функция g (£; /)
голоморфна во всех угловых областях
*р.
(d;0) = A(0;Pl)=|c;| ArgS-*|<^_, <►£(-*,«]}.
Следовательно, функция g (£; /) регулярна во всей плоскости £, кроме
точки £ = 0, и, согласно теореме 6.3, справедлива интегральная формула
/(г)=2йГ J *р. (*& И,) Sp,, »(&/)« («><>).
ltl-8
откуда следует оценка
| / (г) |< е£р_ (е | г |; р) • max | gpu щ <£; /) |. (2.45)
С другой стороны, по теореме 6.5 для всех Ф£(—я, я] справедлива
формула
+ оо
*Pi, Ц1 (С; /) = р, С*" 'WV1 J / <*" '•) *-'"' G"'*c)'^'р'-' *. (2.46)
С€»р,(*:0).
Заметим теперь, что если 5#0и ?€^р2 (Ф 0) с <^Pi (ft; 0), то
Re (е~ 'V = IС |Pl cos p, (Arg 5 - О) > | с011С |Р', (2.47)
где с0 = cos ~— > 0, так как р! < р2.
*Р2
Из формулы (2.46) в силу оценки (2.47) и условия (2.44) вытекает, что
при любом #Ы ^-, -^г) и ££^0 (^ 0) справедлива оценка
\ 2р 2р / М2
+ СХ)
Up.-.i.^^KPjsr'-1 | 1/(fc-/e)l«-*lt|P,<P>A-,<«<
о
Г +00 1!/2 (0-1
<р,/АГ|СГР|-Ч J ^-2^lUPl/Pl/2(Vi1p1-i)-co^j =Afl|tl 2 . (2.48)
lo J
где Mi > 0 — постоянная, не зависящая от £ и Ф.

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 343
Так как р2 < р, то семейство угловых областей {^гра (ft; 0)}, | ft | Н я-, я ,
покрывает всю плоскость £, кроме точки £ = 0. Следовательно, оценка (2.48)
справедлива всюду на плоскости £, кроме точки £ = 0.
Поэтому из неравенств (2.45) и (2.48) следует, что
С0+1
\/(г)\<Мгъ l £p|(e|2r|;|i).
Отсюда в силу условия со > — 1 и произвольности е > 0 следует, что / (г) ==0.
Теорема доказана.
§ 3. Простейшие обобщения теоремы Винера — Пэли
В этом параграфе доказываются теоремы об интегральном
представлении целых функций порядка р = -^, а также произвольного
целого порядка р!>1, удовлетворяющих определенным ограничениям
роста по лучам. При этом установленные интегральные формулы
осуществляют параметрическое представление всего рассматриваемого
класса целых функций, как это имеет место в известной теореме
Винера — Пэли.
3.1. (а) Докажем сначала одну лемму о граничных свойствах
функции gQt ц(£; /), необходимую нам как в данном, так и в слег
дующем параграфах. При этом всюду будем полагать, что при
данном р (-9-^p< + ooj и ю (ю> — 1) параметр \х > -^ определяется
из формулы
Лемма 6.2. Пусть f (z) — целая функция порядка р (тт^С
<;р < +°°) и типа о (0 < о < +оо), удовлетворяющая условию
+ оо
J \f{te'ibf)\2fdt< + oo (со > — 1), (3.2)
о
где ft0£(—я» ЯЬ Тогда справедливы следующие утверждения:
1°. Функция gPill (С; /) голоморфна в угловой области
i2p(ft0; 0)=гД(р; %) = {Ь | ArgC-#0К ^ } (3.3)
и почти всюду на ее границе Lp(ft0; 0), т. е. на лучах
Arg£ = tf0±^-, (3.4)

344 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
имеет угловые граничные значения
*Pi|l(exp{/[<>0±(-|--o)]}r; /), г 6(0. +00), (3.5)
удовлетворяющие условию
+ оо
/ kp.|l(exp{/[*„±(f-0)]}r;/)|2r-rfr<
+ оо
<2я J \f(e-**4)\2t&dt. (3.6)
о
2°. Почти всюду на границе £р(Ф0; 0) области Л(р; $0)
граничные значения функции gp[l (С; /) представимы в виде
^p„(exp{4*0±(f-0)]}tVP;/) =
= Y2ne±l 2 V^°±2PY рФ(±т), т£(0, +00), (3.7)
причем почти всюду
+ oo
1 а Г 0- ixv 1
Ф(т)=-74=-— /(r^^)^-1- :—i-dv. (3.8)
' VbT dx J J ' —iv '
Доказательство. Согласно лемме 6.1, обобщенное преобразование
Бореля g*p> ц (С; /) целой функции / (z) голоморфно в области
| С | > <*1/р и имеет хотя бы одну особую точку на окружности
| С | = aVP.
Далее, согласно теореме 6.5, в области 35р (%; о) справедлива
формула
Ур.цЙ; /) =
+ оо
= р(е"('ЧГГ1 J /(te-'^e-'b-'Wtn-Ut. (3.9)
Замечая, что Re(e~l^t,)p^>v при Сб^рС^о'» v)» и применяя
неравенство Буняковского, для любого Сб^рС^о'» v) (v > 0) и /" > О
имеем
+ оо
||/<«-<*o«-'P('~/<4)P<w>~1k<
1^jJ"l/(.-^)p^f<+
< l

§ 31 ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 34б
Отсюда в силу условия (3.2) следует, что интеграл (3.9) абсолютно
и равномерно сходится в каждой области «S^p (0"0; v), v£(0; g].
Наконец, ввиду очевидных включений Д(р; ^q) z> £S0 (ft0; v) id
zd£Bp(P0\ a), v£(0, a], заключаем, что функция ^^(С; /)
аналитически продолжается из области З^^^о', о) в угловую область Д(р; Ф0),
где продолжает оставаться верной также формула (3.9).
Таким образом, функция gp[l (£; /) голоморфна в области,
являющейся суммой областей | С | > аг/Р и Д(р; -&0). Следовательно,
все возможные особые точки функции gQVi (£; /) принадлежат
замкнутому круговому сектору
4a)(^o)={C;^-<|ArgC-M<n, o<IC|<01/p},
который при Р = -9" вырождается в двойной отрезок 0<^|С|^а2
луча Arg £ = #0 ± я.
Заметим теперь, что вследствие (3.1) условие (3.2) можно
записать в виде
+ оо
J* \f(e-i^vl^)v^-l\2dv<-{-oo. (3.20
о
Поэтому, согласно теореме Планшереля 1.13, формула
Ф(т; v) =
+ оо
= ytiJ (^Vfo1^-'»')^-1} _iv dv (v>0) (3.8')
почти всюду на (—oo, -f- оо) определяет функцию Ф(т, v)£
£L2(—оо, +оо), зависящую от параметра v^O.
При этом имеет место равенство Парсеваля
+ оо -i-oo
J* |Ф(т; v)|2^t= J \e-™f{e-i**vliv)v»-l\2dv =
-оо 0
+ оо
= pj \e-^f(te-l^fdt (v>0), (ЗЛО)
о
откуда следует также неравенство
-foo +оо
J |Ф(т; v)|2rfT<pJ* \f{e-lb4)\2tdt (v>0). (3.10')

346 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Применяя далее равенство Парсеваля к разности Ф (т, v) —
— Ф(т; 0), v > 0, получаем
+оо +оо
J |Ф(т; v) — Ф(т; 0)|2rft=J \f(e-i^vVP)(e-^ — \)v^-l\2dv.
-ОО 0
Отсюда ввиду конечности интеграла (3.2') вытекает, что на всей оси
(—оо, +оо)
1. i. т.Ф(т; v) = <D(t; 0). (3.11)
v-> + о
Заметим теперь, что при любом v>0 и p^ir неограниченная
кривая Lp(ft0; v) — граница области «^(fl^; v) — имеет следующее
параметрическое уравнение:
(*-'4)p = v + /t, — оо<т<+оо. (3.12)
Поэтому функция
т = т(£; v) = — ({(е-'Ч)9 — v} (v>0) (3.13)
и обратная ей
£ = С(т; v) = ^^o(v + /T)1/p (v>0) (3.130
осуществляют взаимно однозначное соответствие между точками £
кривой £р(Фо' v) и точками интервала (—оо, +оо).
Отметим, что, согласно (3.13'),
+ оо
J* |Ф[т«; 0); 0]р|СГ_1|^1= J |Ф(т; 0)\Чх.
Отсюда, принимая во внимание разенство (3.10) для v = 0, получаем
J |Ф[т(&; 0); 01p|C|p-1|rfCI=P J" \f{e-'\)\2fdt. (3.14)
lp (<V °) °
Покажем теперь, что при любом v > 0 справедливо тождество
Ф[т(С; v); v]= ^=gPt)l(Z; /)(е-'Ч)-црС, С6М*о; v). (3.15)
С этой целью отметим сначала, что из определения (3.8')
функций Ф (т; v) в случае v > 0 следует формула
+ со
Ф(т; \)=-?L=- f /(«-'••Q«~<P(v+'t)<W)",<tt. —oo<t< + oo,
(3.16)

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 347
причем интеграл справа в силу условия (3.2) равномерно сходится
на всей оси (—со, +со).
В этом легко убедиться, если, как и выше, воспользоваться
неравенством Буняковского.
Далее, принимая во внимание параметрическое уравнение (3.13)
кривой £р09о; v)» формулу (3.16) можем записать в виде
Ф[т(С; v); v] =
= 7^^/(•"'^•"'(#"^<,Ip",*. t€M*o; v). (ЗЛ60
Сравнивая (3.160 с формулой (3.9), справедливой в области
®р (\* 0) = Д(р; ^0) и, следовательно, на любой кривой ^p(^0» v)
(v > 0), получаем тождество (3.15).
Из (3.15) в силу (3.1) и (3.13) вытекают равенства
J kp,,(C; /)|2|£ГК| =
= 2я J |Ф[т(С; v); v]|2|tlP"1|dC|=-^ J |Ф(т; v)|2rfT(v>0).
lp (V v)
Отсюда, с учетом неравенства (3.100, получаем, что при любом
v>0
+ оо
\ |гР.ц«; /)|2|£ГК|<2я]* \f{e-if>4)\2edt = mu. (3.17)
lp (»«: v) °-
После преобразования w — (e~ l®°£f неравенство (3.17)
переписывается в виде
+оо
J |O(v + ft»)|»£ft»<«0 (v>0). (3.17')
— bo
где функция
l-CD-p
G(w) = w 2p gQtVL(eif>*wlto\ f)
голоморфна в полуплоскости Re^>0.
Условие (3.170 означает, что функция Q(w) принадлежит классу
1^2 (0. +°°) и поэтому почти всюду на прямой Re^ = 0 имеет
граничные значения*) G(iv)£L2(—со, +оо).
*) Доказательство этого известного утверждения и исследование класса
функций Н2 (0, + оо) даны в гл. VII.

348 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Значит, возвращаясь к функции gPtll(£>', /), можем заключить,
что она почти всюду на границе ^(^о» 0) области ^(^о; 0), т. е.
на лучах Arg£ = fl'0 ± ■—, имеет угловые граничные значения
^,4ехр{/К±(§-0)]}г; *)• г6(0> +со)>
для которых
+ оо
J|^p,u(exp{4*o±(|r-o)]}/-; /) |V«></r < + сю. (3.18)
о
Докажем теперь, что почти для всех Сб^рО^о» 0)
Ф[т(С; 0); 0] = Ф[— Це-*4$\ о] =
-W& Л^-'ЧГ^С (3.150
1 г* (Г- Г\(п-1Ы\-№}
Пусть S*6^p(*o» 0) — произвольная точка, в которой функция
g-p>|Л (£; /) имеет конечное угловое граничное значение. Тогда,
полагая т* = т(£*; 0) = — /(е~/(Н*)р, обозначим через £v точку
контура £p(ft0; v) (v > 0), для которой т (£v; v) = —/ {(^_/4v)P—v} =т*
Согласно формуле (3.15), имеем
0[t(£v; v); v]=(P(t*; v) = -^=g9^. /)(е^Ч,Г^^ (3.180
Далее, так как £* = eif>* (/т*)1/р, и £v = *'*о (v + /т*)1/Р (v > 0), имеем
lim £v = £*, причем легко видеть, что точка £v стремится к £* по
v-> +0
ортогональному к контуру L9(§0\ 0) пути.
Отсюда следует, что при v-> + 0 правая часть формулы (3.180
стремится к пределу
вследствие чего получаем
lim 0(^v) = -^gp,^*; /) («-'ЧГ«?. (3.19)
Но предельное соотношение (3.19) имеет место почти для всех
точек £*6^р ("Э'о; 0), т. е. почти для всех точек т*£(—со, +оо).
Поэтому наше утверждение (3.150 следует из (3.19) и (3.11), если
заметить, что предел почти всюду и предел в среднем, очевидно,
могут отличаться лишь на множестве меры нуль.

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 349
Из (3.15') и (3.14) следуют интегральные неравенства (3.6)
теорему.
Наконец, из (3.15') следуют также формулы (3.7) теоремы, если
заметить, что Ф(т; 0) = Ф(т), а также что (£~/d°£)p = ix при J6
3.2. (а) Докажем еще одну лемму, предварительно введя
некоторые дополнительные обозначения.
Условимся обозначать через Lp (&; v; R) дугу кривой Lp (Ф; v)
(v > 0), лежащую в круге |£|-</?1/р, где # > v.
Из параметрического уравнения кривой L9($; v)
(e-^Zf = v+ ix (— оо < х < + оо)
следует, что на дуге ^(Ф; v; R) изменение параметра т
ограничивается отрезком [—y~R2—v2, Y~R2—v2J. Отметим также, что
значению т = 0 соответствует точка \Vf>eif* кривой Lp(ft\ v). Эта точка
разбивает дугу £p(ft; v; R) на две дуги Lp_)№ v; R) и £р+)С&; v; /?),
на которых параметр т изменяется соответственно от —У^2— v2
до 0 и от 0 до YR2 — v2.
Наконец, будем полагать, что на кривой Lp($\ v) и на
принадлежащих ей дугах Lp{fi\ v; /?), ^ ifi\ v; R) и ip+) (fl*; v; R)
выбрано направление, соответствующее возрастанию параметра т.
Лемма 6.3. Пусть f(z) — целая функция порядка р (-9"^Р<
< + оо) и типа о (0<а<-|-оо), удовлетворяющая условию
+ оо
J \f{e-ib4)\2edt< + oo (co> —1),
о
где %€(—я, л]. Тогда для любого R > о имеем
lim Г E9(zb |i)#pf|4(& f)d£ =
4±)(^0;v;/?)
1<±> (О0; 0; Я)
«i^'T^i^L J £p{«'(*• *#)ztia,; ^}ф(±т)т.-1Л, (3.20)

350 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
причем почти всюду
-ixv
0(t) = ^=r^J f(e-**v4V)&-* _.vl dv. (3.21)
Доказательство. Принимая во внимание параметрическое
уравнение кривой Ьр($0; v)
С = С(т; v) = ^(v+^)1/p.
а также выбранное направление на дугах L(p+)(%; v; R) и /^(fro;
v; /?), в силу (3.15) имеем
J Ep(zb |i)tfPf|l(C; /)# =
±)/£2-vI
= + / V*L С £p {e/»o (v -J- txfp z; у] Ф (t; v) (v -f ixf~l dx
° (3.22)
(v>0).
Здесь функция Ф(т; v) почти всюду определяется из (3.8').
Мы должны совершить предельный переход в тождестве (3.22)
при v->-f-0.
С этой целью заметим сначала, что в силу (3.11) для всех z на
любом отрезке —Л<^т<^Л имеет место соотношение
1. i. m.£0{^(v-fit)1/pj2; |я)Ф(т; v) =
v>+0
= Ер {е^ (/т)1/р г\ |х] Ф (т). (3.23)
Кроме того, так как со > — 1 и \х = ' 2 > -о"» легко видеть,
что на любом отрезке —Л<^т<^Л
1. 1. m. (v-\-ixf-l = (txf~l. (3.24)
V-> + 0
Из (3.23) и (3.24) переходом к пределу в (3.22) при v->-}-0
получаем
11т Г Ep(zfc |i)tfPl|i(fc /)# =
(*05 v' *)
^+V>
Р
о
J £р {*'*• (/t)1/p; |i} Ф (t) (lxf'ldxt (3.25)
откуда, очевидно, следует вторая пара предельных формул (3.20).

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 351
Наконец, так как, согласно формуле (3.7) леммы 6.2, почти для
всех т £(—/?, R)
ф(т; 0) = Ф(т) = -^^р,Д.^(/т)1/р; f)(ixy~\
У2л
возвращаясь к переменной £ = el®° (л;)1/р£/,р(Ф0; 0; /?), мы получаем
первую пару предельных формул (3.20).
(б) К доказанной лемме следует сделать добавление.
Если /?v > v, причем /?v->0 при v-> + 0, то
lim Г Ep(zb \i)gPtllfc /)<*C = 0. (3.26)
v-»+0 •/
Действительно, достаточно в тождестве (3.22) заменить R на /?v
и перейти к пределу, опять принимая во внимание (3.23) и (3.24).
Наконец, следует отметить еще, что все утверждения лемм 6.2
и 6.3 остаются справедливыми и в том случае, когда f (z) является
целой функцией порядка р^-^- и типа ^°-
(в) Установим теперь теорему о параметрическом представлении
целых функций порядка г/2 .
Обозначим через W{a2,(a)t д0) класс целых функций порядка г/2
и типа ^ о, для которых
+ 00
J \/(е-**Ч)\2ем< + оо. (3.27)
о
где значения параметров ФобС—я, я] и со£(—1, -j-1) фиксированы.
Определяя значение параметра ц, согласно формуле (3.1), имеем
ц = ю + |. 4<^<|. (3.28)
Теорема 6.10. Класс Wa/a)(w; d0) совпадает с множеством
функций f(z), допускающих представление
а
/(г) = ^ЕЧя(—е^х2г; [х)ф(т)^-1 dx, (3.29)
о
где Ф(т)£/,2(0, о). При этом почти для всехх£(0,
-{-^справедлива формула
л
• cos -к [I
^ W J ^ v — / ^'^ V*~'dV = Vo СО =
Ф(т), т£(0. а),
О • ^£(а, +оо).

352 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Доказательство. Если функция / (z) принадлежит классу W$2) (со; О^),
то для функции gx. (£; /) справедливы утверждения леммы 6.2
в случае, когда р = — Поэтому функция gu (£; /) голоморфна
2, lit №
в области, являющейся суммой областей |£|>а2 и
ЗВщ (*0; 0)=А ({►„; j) = {£; | Arg £ - fl01< л),
т. е. всюду вне отрезка
ArgE = O0±rt (0<|C|<o2). (3.31)
Кроме того, по обе стороны этого отрезка функция gx. (£; /)
почти всюду имеет угловые граничные значения gt. (re* Фо+я-О). f)
и gu „ (rei ^°~я+0); /), для которых удовлетворяется условие
/2» J*
+ оо
J |^/2, fx^f(°0±(Jt"0)); f)fr-*dr<-\-oo. (3.32)
о
Для любого v>0 и R > о через Ту2 (d0; v; /?) обозначим
границу области О, являющейся пересечением круга |£|<^/?2 с областью
<2*1/2(Фо; v). Легко видеть, что Т^2 (Ф0; v; /?) состоит из дуги £i/2(do; v; /?)
и из соединяющей ее концы дуги Су2 ($0; v; /?) окружности | С | = /?2,
которая проходит через точку —/?W
Итак, в области О с границей ГуД^; v; /?) (v > 0, /? > а)
содержится отрезок (3.31), на котором лежат все особенности
функции gxl •(£; /). Поэтому, согласно теореме 6.3, справедлива формула
= i J £,/2(^;и)^,ц(С;/)^+
+ Ш J* *'/■ <*& ^ «v..и (S; /)d^ S '* (z: v; R) (3'33)
(# > 0, V > 0).

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 353
Фиксируя теперь R > а и пользуясь предельными формулами (3.20)
леммы 6.3 для случая р = -^-, находим
lim /l(z\ v; /?) =
v->+0
_ я *
= 2уг2яв 2 **!&/,(— е'»°гт2; [1)Ф(т)т^-Чт, (3.34)
lim /2(z; v; /?) =
V-> + 0
,я *
*=—2У~2ле ^^JEl/2(—ei^Zx2; \х)Ф(— x)x^~ldxt (3.35)
о
где почти всюду
+oo
Ф(Т) = Жл1 £^=r-f(e-li>»ift)V*-ldv. (3.36)
О
Далее, так как при v->-f"0 ДУГИ С*к(%'> v» Я) стягиваются
вокруг точки —R2e^°t очевидно, имеем
lim /3(s; v; /?) = 0 (/? > а). (3.37)
V->+0
Теперь перейдем к пределу в тождестве (3.33) при v->-f0.
Тогда в силу (3.34), (3.35) и (3.37) получим
R
f(z)=JEi/2(-^e^zx2; ЮфСОт»4-1 dx (/? > о), (3.38)
о
где при т£(0, R)
ф(т) = Фа(т) = /]/| {Г/т^Ф(-т; 0)-е'т^Ф(т; 0)}. (3.39)
С другой стороны, в рассматриваемом случае, когда р = -^-,
согласно формуле (3.7) леммы 6.2, почти для всех т£(0, -f-oo) имеем
е 2 *Ф(±т)т^-1 = — y=*g42i»(е1 (*о±(я-о))т2. f)t (3#40)
Но функция gx. (С; /) однозначна при |£|>а2, поэтому из (3.39)
и (3.40) следует, что фо(т) = 0 почти всюду на (а, -+-оо).
Наконец, достаточно подставить значения Ф(±т) из (3.36) в (3.39),
чтобы получить представление (3.29) и формулу (3.30) теоремы.
Докажем теперь обратное утверждение, что любая функция / (z)>
представимая в виде (3.29), где Ф(т)£12(0, а) и -^^Н^тг» пРи"
надлежит классу U^o'2)(o); do), где о) = |и — -о-.
23 М. М. Джрбашян

354 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Действительно, из представления (3.29) имеем
о
f(e-i*°v2)=[E42(—v2%2\ (1)ф(т)т»1-1Л, г>£(0. +оо). (3.41)
о
На основании теоремы 4.1 (в случае, когда р = -^) отсюда
заключаем, что
[ | / (e-if>*v2) |2 v2 О*-Udv < + оо;
о
иначе говоря, функция f (z) удовлетворяет условию (3.27) при
3
Далее, согласно теореме 4.5 (3°) (при р = -^-|,
преобразование (3.41) обращается посредством формулы
( тг + °°
1 -/-y(i-ii)d Г е-1™ — 1 ,, *л 2ч и 1 ^ .
_ е 2 -^ J ——др-/(e-'W)^"1 <to +
I °
1 dx J iv J y J
_(Ф(т). т6(0. о).
-|0, т€(о. +оо), (3,30)
которая после упрощений записывается в виде (3.30).
С другой стороны, из представления (3.29) следует оценка
[ a |Vi Г а V/,
|/(*)1<М 1ф(*)12л| |/|£«/,(—*'д«*т2; юРт^-чл! <
<С1£,/1(а2|г|; (i).
где Q не зависит от z. Отсюда ввиду известных свойств функций
типа Миттаг-Леффлера заключаем, что f (z) есть целая функция роста
Покажем, что если функция ф(т) не эквивалентна нулю, то целая
функция f (z) имеет порядок 1/2 и тип <^ а.
С этой целью заметим, что из формулы (3.41) получается также
оценка
|/(«-/д«т2)|<С2{ | \ЕЧя(— x2v2\ \i)\2v2^-l)dv I (3.42)
U J
(0<т<+оо),

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 355
где С2 не зависит от т. Далее, из асимптотической формулы (2.34)
леммы 3.5, в частности, вытекает оценка
\E4t(-x\ H)|<C3(14-^)T(1"^ (0<*<+схэ),
откуда ввиду (3.42) получаем
I a )Vj
lo I
Наконец, так как
О О
легко видеть, что
sup [r-v\f(e-'**r)\)< + oo, (3.43)
1 <г <+оо
где Y = -2-max{°' 1 — ^}<Т*
Полагая теперь, что f (z) имеет порядок р < у, из (3.43),
согласно теореме 6.8, находим, что f(z)= const. Но так как для
функции f(z) интеграл (3.27) сходится, /(z) = 0. Отсюда в силу (3.30)
мы приходим к выводу, что ф(т) = 0 почти всюду на (0, а). Итак,
теорема доказана полностью.
(г) Заметим, что
ЕЧг (— zx2; 1) = cos У г т, E4t (— *т2; 2) = 8inVJ x .
Поэтому, полагая в теореме 6.10 0 =— -~ или 0 = -=-, мы, в
частот
м тт лл г л •
ности, получаем следующее предложение.
Теорема 6.К/. Г. Класс W%2)(—у, 0) совпадает с
множеством функций, допускающих представление
о
f(z)=[ cosyizxф(т)dx, ф(т) £ L2(0, а). (3.44)
о
2°. Класс совпадает с множеством функций f(z),
допускающих представление
а
f(z)= f Sin^i Т Ф (т) dt, Ф (т) 6 L2(0, а). (3.45)
23*

356 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
При этом, как из формулы (3.30) теоремы 6.10, так и из
теоремы Планшереля 2.3 о косинус- и синус-преобразованиях
Фурье в классе L2(0t + оо) следует, что обращения
формул (3.44) и (3.45) соответственно даются формулами
+ оо
2 _d_ Г sin xv ., 2ч д
° " V _/»<'>• t6(0.o). „4fi4
+- - 0, t6(o.+oo). (3-46)
2 d С l-cost% 2
Я rft J I/ У V 7
О
3.3. В этом пункте мы получим параметрическое представление
целых функций целого порядка, удовлетворяющих условиям
интегрируемости вида (3.27) на определенной системе лучей. При этом мы
будем опираться лишь на результат теоремы 6.10 и на некоторые
простые тождества.
(а) Докажем лемму.
Лемма 6.4. 1°. Пусть f(z) — целая функция целого порядка
р^> 1 и нормального типа а. Тогда, полагая
2/7—1 я^ / nk\
?р %е-1~Г/(ге1~) = гг/г(г*Р) (г = 0, 1, .... 2/7-1), (3.47)
имеем
2/7-1
/(*)= 2 г'/г(*2р)- (8-48)
г-0
При этом fr(z) (r = 0, 1, ..., 2р — 1) — целые функции роста
(-о-, а) и по крайней мере одна из них имеет порядок 1/2 и
тип а.
2°. В частности, справедливы тождества
2/7— 1 rt£ / Jtfc \
г'Еъ [z*p; ц + £) = ^. J] Г'Т'яДм' Т; J (3.49)
ft-0
О = 0, 1 2/7-1),
2/7-1
Ep{Z\ |X)= 2 *'*'/. (^ ^+ 7) • (3-6°)
r-0
Доказательство. Г. Легко убедиться в справедливости следующих
формул:
2^ i«L{n-r) [2/7, я = г + 2рт (т = 0, 1, 2, ...).
*То* I 0, пфг + 2рт О = 0, 1. .... 2/7-1)/ * ;

§ 31 ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 357
Полагая теперь
/1-0
в силу (3.51) получаем
fc-0 л-0 ft-0
= 2р %_сг+2ртг'+*Рт (г = 0, 1 2/>-1).
Поэтому, обозначая
. Ь2/?т^
т«0
fr(z)= 2j cr+2pmzm*
мы, с одной стороны, приходим к формуле (3.47), причем
одновременно имеем
ОО 2/7-1 2/7-1 ОО 2/7-1
т-0 г-0 г-0 т-0 г-0
Наконец, из тождества (3.18), очевидно, следует и утверждение
леммы о росте функций \fr(z)}.
2°. Тождества (3.49) и (3.50) следуют из общих тождеств (3.47)
и (3.48), если заметить, что для функции
£,(*;ii) = 2'
имеет место формула
лм-.|г(,4+н"е*(,; "+i) <r=0,' 2'"r)'
(б) Обозначим через U^^ (со; — {&}) класс целых функций целого
порядка /?^1 и типа ^а, удовлетворяющих условиям
+оо я
J |/(^"'7*)|2^Л< + оо (6 = 0,1 2/?~1), (3.52)
о
где со — фиксированное число из интервала (—1, +1).

358 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Теорема 6.11. Класс W^ (со; — {&}) совпадает с множеством
функций f(z), допускающих представление
2/7-1 г /Л (и 1\
/(*) = S J £/>{* р ^ +2 W ^"ЧМ^. (3.53)
л-о о
где ц = <*+£+1 в ср*(т)е£2(0, *) (* = 0, 1 2/7-1).
Функции <pft(t) (& = 0, 1, ..., 2/?— 1) единственным образом почти
всюду на (О, а) определяются из формул
л
У2пр
(й = 0, 1 2/7 — 1),
фл(т) = -^-{Г' 2 4+i(~t)-^ 2 4(t)} (3.54)
причем почти всюду*)
ф4(т) = —L=-£- Г/ (r'TV^-i^Fii^-irft» (3.55)
(А = 0, 1 2/?).
Доказательство. Пусть целая функция f (z) принадлежит классу
W{ap)
(со; — [k}\ . Согласно лемме 6.4, f (z) можно представить в виде
2р-1
/(*)= 2 *7г(*П (3.56)
где /г(г)— целая функция роста (-^ , а), причем
zrfr(z*P)=--± %е~1~г/(ге~)(г = 09 1 2/7-1). (3.57)
В силу условий (3.52) из тождества (3.57) получаем, что
+ оо
J 1/г(^2/7)12^со+2г^<+оо (г = 0, 1 2/7 — 1).
*) Здесь следует положить Ф2р (т) = Ф0 (т).

§ 3) ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 359
Отсюда после замены переменной x = tl,p находим, что
J \fr(t)\2frdt <+оо (г = 0, 1 2/7-1), (3.58)
о
ю + 1+2г — 2р
гдесог = —Е—^ .
Так как — 1 < 0 < 1, легко видеть, что — 1 < сог < 1 (г = О,
1, .... 2/7-1).
Как уже было показано в ходе доказательства теоремы 6.10, из
условия (3.58) следует, что каждая из функций fr(z) имеет порядок,
равный 1/2, если только /г(г)ф0.
Таким образом, если /r(z)#0, то в силу (3.58) имеем, что
fr(z)£W^2)((or; 0V Тогда, согласно теореме 6.10, имеет место
представление
о
fr(z)=JEyt(-zx2; \ir)^r(x)x^r'ldxt (3.59)
о
где фг(т)£/.2(0, а), а поскольку М» = ° 2 ' то
lv=a, + f=«+1+» + '=|t + ^. (3.60)
При этом в силу формулы (3.30'), эквивалентной формуле
обращения (3.30) теоремы 6.10, преобразование (3.59) обращается
посредством следующих соотношений (имеющих место почти всюду):
Мх) = ^1{е~1%»'ЧГг(-х)-е% Vr(t)}. т6(0, а), (3.61)
где
+оо
Vr(x) = -±=A- Г e~iXV~X fr{J)v»r-* dv, т6(-а, а). (3.62)
у in ax J — /i/
Кроме того, очевидно, что представление (3.59) имеет место для
каждой из функций fr(z) (r = 0, 1 2/7 — 1), так как, если
/r(z) = 0, то можно положить Ч/г(т) = 0 на (0, а).
Выразим теперь функцию ^r(t) через функции Фк (т) (& = 0,
1. .... 2/7-1).
С этой целью заметим, что, согласно (3.57),
~~/Г 2^-1 , Jim / пт \
/я-0

360 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Отсюда и из (3.62), если вспомнить, что (аг = [х-| , следует
формула
2/7-1
Ш(т) = £=- V е р — —/[* Pvl'p)vv-]dv.
rV ' 2pV2n ^Ч dx J —iv J
r f m-0 0
(3.63)
Однако
f{eiJfvvP)^f{e-lT,'p-m)vvP)>
вследствие чего, если воспользоваться обозначением (3.55) теоремы,
то формулу (3.62) можно записать в виде
m-0 т-0
Наконец, подставляя полученное выражение для Ч'Дт) в (3.61),
приходим к формуле
m-0
_/2(Ц+Лфт(Т)|. (3.61')
С другой стороны, с учетом тождества (3.49) имеем
zTE4l(—z2p\2\ tir)xr/P =
= e 2P\e *pzx1'p) ЕЧя{\е *pzx1'p] ; [x+-^[ =
*=o
Отсюда и из (3.59) следует, что
*-о о
(г = 0, 1, .... 2/7 — 1).
Наконец, подставляя эти выражения в правую часть тождества
(3.56), получаем формулу
2р~1 а я / i\
/(*) = 2 \Ep{el-p~^>zxVP; |х}ф4(1)^-»Л.
*=о о

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 361
где
Ф*(Т)==^2Г + 2Ч(*). (3.64)
г-0
Но, подставляя в (3.64) выражения функций фг(т), из (3.61')
имеем
-тг2^"1 ,яг/, 1\2^-1 , я , яг / 1>
г-0 т-0
.л . яг / 1 \
=wV я ' 1ф»(-*)1« р
I т-0 г-0
rt 2p-l 2p-l rtr 1
т-0 г-0 J
Отсюда, используя формулу (3.51) для функции фЛ(т), получаем
представление (3.54) теоремы.
Итак, каждая функция f(z) из класса U?Jn©; — {k}\ пред
ставима в виде (3.53), причем входящие в нее функции фЛ(т) (& = 0,
1, .... 2/7— 1) определяются из формул (3.54), (3.55).
Для завершения доказательства теоремы, во-первых, следует
показать, что любая функция /(z), представимая в виде (3.53), где
\i = ю+^+ t фЛ (т)£ L2(О, о) (k = О, 1, .... 2/? — 1), принадлежит
классу W{ap)L; -{A)).
С этой целью обозначим
<^ГЛ(2:)= J^|/t(*+2-)^ti/p; |х}фЛ(т)т^-! Л (3.65)
(й = 0. 1 2/7 — 1)
и, замечая, что
2/7-1
/(*) = 2^"*(*). (з.бб)
выясним свойства функций <&~к(г). Так как

362 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
согласно теореме 4.1, интеграл
+оо +оо
J* ^(«-'V'OIV04-» <** = />{ \<rk{e-l*t)ffdt
О О
сходится для всех значений д, удовлетворяющих условию
♦->(*+т)1>£
2/>
Как легко видеть, это означает, что
j ^„{e-^frdt<+00, *e(f *. 7<*+1))- (з-67)
о
Далее, из очевидной оценки
( о у/2 ( а у/2
\Ы*)\<\1Ш*)\2Л%\ \JEl(\z\^p;v)^'l)dx\ <
(о J I о J
<СкЕр(аУр\г\; (х)
заключаем, что целая функция <^k(z) имеет рост (/?, а).
В случае, когда целая функция <&*k (z) имеет порядок р < /?,
из условия (3.67), согласно теореме 6.9, вытекает, что o?~k(z) = 0.
Отсюда в силу (3.65) следует, что целая функция f(z) имеет рост
(/?, а), причем ее порядок равен /7, если только /(z)#0.
Заметим, наконец, что, согласно неравенству Минковского, из
(3.66) имеем
Г+оо V/2 2/7-1 ( +оо |V,
I о J ft-o I 0 J
Ввиду условия (3.67) отсюда заключаем, что интеграл
J\f{rmt)\*fdt
О
сходится, если только ft^ f— k, — (fc+ 1)) (& = 0, 1, ..., 2/? — 1).
Это означает, что целая функция f(z) удовлетворяет условиям
+со1 / * Л
2
:С0
Г<И<+оо (ft = 0, 1, ..., 2/7 — 1),
и, следовательно, она принадлежит классу W[p) (со; — [k] ), если
только f(z) ф 0.

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА-ПЭЛИ 363
Для завершения доказательства второй части теоремы, а тем самым
и всей теоремы, нам остается показать, что из представления (3.53)
функции фл(т) (& = 0, 1, .... 2/7— 1) определяются единственным
образом, т. е. посредством формул (3.54), (3.55).
Из установленных уже остальных утверждений теоремы легко
усматривается, что нам достаточно лишь показать, что если
J $ ЕЛе'Т^**' гх*'Р; \i}q>k(x)TP-* dx = 0, (3.68)
Ar=0 0
где cpft (а) £ L2 (0, о) (к = 0, 1, .. ., 2/7 — 1), то почти всюду на (0, а)
yk(x) = 0 (k = 0t l 2/7—1). (3.69)
В самом деле, пользуясь обозначением (3.65), тождество (3.68)
можем записать также в виде
2/7-1
<^п (*) = — Е <^а (*) (0 < /г < 2/7 — 1), (3.68')
£-0
кфп
где в силу (3.67)
-\ со
||^гя0г^)|2^< + со. 0€(f«. f (я-fl)). (3.67')
о
С другой стороны, из того же свойства остальных функций
r&~k(z) (кфп), стоящих справа в тождестве (3.68'), заключаем, что
интеграл (3.670 сходится также для значений д^ — пл — (/г-|-1)1-
Следовательно, этот интеграл сходится для всех Ь^{—я, я].
Но тогда, подходящим образом применяя теорему
единственности 6.9, получаем, что
tSTn(z)= ffipj/7K)ni/p; \i}<(>n(x)TP-4x = 0.
о
Поэтому, в частности, имеем
j Ер^е±11Рю^х1/Р; \i}q>n(x)fP-1 dx = 0, v£(09 -f-oo),
о
откуда в силу теоремы обращения 4.5 заключаем, что фл(т) = 0
почти всюду на (0, а).
Так как число п (0^ п ^2/7 — 1) произвольно, наше
утверждение (3.69), а следовательно, и вся теорема полностью доказаны.

364
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
(в) В заключение особо выделим простейший случай р = 1
теоремы 6.11, являющийся наиболее непосредственным обобщением
классической теоремы Винера — Пэли.
Обозначим через W0((o) класс целых функций первого порядка
и типа <; а, для которых
j |/(*)|2|*Р<**<+°°. (3.70)
— СО
где значение ю£(—1, 1) фиксировано. Тогда имеет место
Теорема 6.12. Класс W0(o) совпадает с множеством
функций, допускающих представление вида
о
/(г) = J E^ixz; Юф^тГ' dx, (3.71)
-а
где jut == 1 —|—2" и фСОб^гС—а» а)- Функция ф(т) единственна
а почти всюду определяется формулой
+ 00
Отметим лишь, что представление (3.71), а также и формула (3.72)
после надлежащих преобразований, на которых мы останавливаться
не будем, непосредственно следуют из формул (3.53), (3.54) и (3.55)
теоремы 6.11 в случае, когда р = \.
Наконец, сама теорема Винера—Пэли, формулировка которой
была приведена в начале настоящей главы, содержится в теореме 6.12
в случае, когда о = 0. В самом деле, достаточно заметить, что при
(0 = 0 имеем (х=1, а также Ех (z; l) = ez.
§ 4. Общие теоремы о параметрическом представлении
целых функций
В этом параграфе, развивая далее метод доказательства
теоремы .6.10, мы сначала установим общую теорему о параметрическом
представлении целых функций произвольного конечного порядка
р^>-я". модуль которых интегрируем в квадрате с весом вида t®
(—1<со<1) вдоль системы лучей. В качестве приложения этой
общей теоремы особо выделяется несколько предложений о предста-

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 365
влении более специальных классов целых функций, имеющих
самостоятельный интерес.
4.1. (а) Введем сначала некоторые предварительные обозначения.
Будем предполагать, что натуральное число х = х (р) ^> 0
удовлетворяет условию *)
х>[2р] —1, (4.1)
где р^-о- — произвольное, но фиксированное число.
Далее, для заданного значения р^-<т будем полагать, что
совокупность чисел {А0, At ^x+i) удовлетворяет следующим условиям.
— *<00<*i< ■•• <*х<Ж*х+1 = *о + 2л. (4.2)
max {**+!-<>*}=-£. (4.3)
Из совокупности чисел {А0, Aj ^x+i) образуем
последовательность пар
(**. <Vi)? = {(*o. *i). Фи *а) (%. *x+i)b (4-4)
Затем, сохраняя взаимный порядок их следования, выделим из (4.4)
все те пары (Аг , fly +ЛР, для которых выполняется равенство
ф,л+1_<>,л=.?1 (ft = 0. 1. .... /><х). (4.5)
При этом, если р < х, то оставшиеся после этого пары из (4.4)
обозначим через (A*. $sk+if (? = и — р), вновь соблюдая порядок
их взаимного следования.
Обозначим еще
е*=i [\+V1) (* = °-* Л <4-6>
и при р < х положим
я
max (Vi-M = 7T (0<y<1). (4.7)
Наконец, полагая cd£(—1, 1) и оЛ!>0 (& = 0, 1 /?), с
совокупностью чисел {А0, Aj *x+i} ассоциируем класс
*) Здесь [2р] обозначает целую часть числа 2р>1.

366 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
целых функций f (z) порядка р и нормального типа <^о~,
удовлетворяющих следующим условиям:
+ оо
J I/(**-'**)|2'<°^<+°° (£ = 0,1 х), (4.8)
о
Л(—е*;/)<ол<о (* = 0. 1 р). (4.9)
(б) Докажем теорему.
Теорема 6.13. Класс №аР)#(со; {dft}; {ok}) совпадает с
множеством функций f(z)t допускющих представление
р «k
/(*) = ]£ j Ep{ei0kzxvp; ц}щ(%)%^1 dx, (4.10)
л-о о
где ц=б)+2Рр+1 и фй(т)^2(0. <*k) (* = 0. 1 />)- Фуяк-
#;ш фл(т) (/г = 0. 1, .... р) единственным образом почти всюду
определяются из формул
^-{«^\+1(-г)-/^\(т)} = ФПт) =
[<МТ). т6(0. aft).
0, т6(аА, +оо) (А = 0, 1 р), (4Л1)
где почта всюду
•ЬОО
ФИт)=1 A J /(e-'^»*)^Z±^-irftF (ft = 0. 1 и).
(4.12)
Доказательство. Докажем сначала, что любая функция f (z), пред-
ставимая в виде (4.10), где Фл(т)£/,2(0, ok) (& = 0, l р) и
\i = р~*~2 "^ , принадлежит классу №др)(о>; {Ф^}; {aft}).
В самом деле, обозначая
ал
^%(*) = |£р{Лт1/р; ^Ф.М^-^т (£ = 0,1 р). (4.13)
о
во-первых, из очевидной оценки
заключаем, что & k(z) является целой функцией роста (р, ok).

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 367
Далее, так как
Ч
»Tk(e-i9vV<>) = ^Ep {^(V^W/P; ц} ф.Ст)^1-1 dx, (4.14)
о
согласно теореме 4.1,
+ оо Н-оо
] 1^гЛ^"/^1/р)!2^2(ц"1)^ = Р J \&'k(e-if>t)\2t®dt<+oo
о о
для всех значений 0\ удовлетворяющих условию ^ — 0J^"T"-
Поскольку, согласно (4.5) и (4.6), дк — ■£-=§,. и Qk-]-~ =
= $г +1, таким образом, получаем
+ оо
\ \<Fk{te-*)\4*dt<+oo, *б(*гЛ. \+г). (4.15)
о
Установим, наконец, что порядок функции <&"к(г) равен р, если
только функция Фа(т) не эквивалентна нулю на (0, ok).
Действительно, если функция <&~ k{z) имеет порядок р1 < р, то, согласно
теореме 6.9, из (4.15) следует, что (g~k(z):=0.
Но тогда из (4.14), в частности, получаем, что на полуоси
(7-
<&~k U ^k±~^'vvA = j ЕЛе±1^ vW<>\ [Л ер* (т) x»-ldx = 0,
о
откуда по теореме обращения 4.5 получаем, что ф^(т) = 0 почти
всюду на (0, ok).
Так как
/(*)=2<У\(*). (4.16)
то целая функция f(z) имеет рост (р, а), где а= max {ok}\ при
этом ее порядок равен р, если только /(z)#0.
Пользуясь неравенством Минковского
I+oo V/2 p ( +оо V/2
J \f{e-*t)\*t*dt\ <2{J |сГ,(^^)12^^ .
о | *=о(о J
из условий (4.15) заключаем далее, что интеграл
J |/(e-^0|2^^ (4.17)
9

368
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
сходится, если только fl£(fly, fly .Л (А» = 0, 1 /?). Отсюда
следует, что для функции / (г) интеграл (4.17) сходится для
значений А==АА,(& = 0, 1, .... х) и в случае, когда р < х, также для
значений
fl£[ftv \+i] (*=1. 2, .... ?). (4.18)
Докажем, наконец, что индикатор функции f(z) удовлетворяет
условиям (4.9), тем самым утверждение /(z) £ W^ (со; {АЛ; (ffJ )
будет полностью доказано.
С этой целью заметим сначала, что для любого 0 < е < ok из
формулы (4.14) следует неравенство
\<Гк{ге-1*)\<АЛ
Г
<At
-2|l-1
2ц—1
о J
£р(е1/рг; ц) + J |£p{«'(V<Vr,/p; ц} IV'^dt
(4.19)
где ЛА = 1 J \(fk(x)\2dx\ .
Заметим далее, что для того же е (0 < е < ок) число г0 (е) > О
можно выбрать таким образом, чтобы имело место неравенство
£р(е»Л»г; n)<«p{2ei*}. r>r0(z), (4.20)
а также
Ep{e'(e^W,e; ц}|<ехр{[А(9,-0; £р) + е] okr?}, r>r0(t),
(4.21)
для всех т£[е; ak], где h(&; Ер)— индикатор функции Ep(z; |i).
Из (4.19) в силу (4.20), (4.21) и произвольности е следует, что
Л(—д; 3^k) •< akh (6k — ft; Ep). С учетом этого неравенства, а также
из некоторых формул для индикатора A (ft; Ер), приведенных ранее
[2.1 (б)], получаем
А(— *; <&~k)<
о. *€(е»-£. e,+ J)
(л = о. 1 р).
(4.22)

§ 41 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 369
Остается заметить, что интервалы (0Л—-£-, е#+-<£-) и (*/у *'Л+0
совпадают, и тогда из (4.16) и (4.22) получаем оценки
А(—О; /)<<**. *€(Ov VO <ft==0' * *>•
а следовательно, в частности, и оценки (4.9).
Переходим теперь к установлению прямого утверждения теоремы
о том, что для каждой функции f(z) класса WgP)(co; {ФЛ}; {ok})
имеют место представление (4.10) и формулы (4.11), (4.12).
Итак, пусть / (г) £ W^ (со; [Ък)\ {ok}). Тогда, пользуясь леммой
6.2, из условий (4.2) заключаем следующее:
1) Функция gP)ll(£>\ /), где [I = 0 2р » Г0Л0М0РФна не только
в области |£|>сг1/р, но и в каждой из угловых областей
#р(*л; 0) = Д(р; <>*) = { С; | Arg С - *, |<-£-} (* = 0. 1 и).
(4.23)
2) На границе Lp(§k; 0) каждой из областей 269{bk\ 0) (& =
= 0, 1 и), т. е. на лучах ArgC = ^±-^ (ft = 0, 1 и),
функция g,p> Ц(С; /) почти всюду имеет угловые граничные значения
для которых
J \gP,MKh±1" r> /)|V»rfr< + oo (k = 0, 1, .... и).
о
3) Эти граничные значения для почти всех т£(0, +оо) пред-
ставимы в виде
(ft = 0, 1, .... x), (4.24)
где функции Фл(т) определяются из формулы (4.12) теоремы.
Из свойства 1) функции gpt ц(£; /) вытекает, что все ее
особенности принадлежат замкнутому множеству D^C^o» ^i ^х).
являющемуся пересечением замкнутых угловых областей *)
Я£(Ъ; 0)^Д*(р; **)={& ^-<|ArgC-^|<n}
(ft = 0, 1, .... x)
с замкнутым кругом |С|<С<*1/р.
*) Заметим, что область Q}* (ft; 0) при р = -=- вырождается в полуоси
4
Arg£ = ft+:rt.
24 М. М. Джрбашян

370 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Однако, принимая во внимание свойства (4.5) и (4.7)
совокупности чисел {§0 *x+i}» легко заключаем, что множество
^ра)(*о* •••» *х) представляет собой совокупность отрезков
'* = {& ArgC=-j(^ + V0 = e*- °<1^1<а1/р} (4-25>
(ft = o, 1, .... /?).
С другой стороны, на основании теоремы 6.5 из условий (4.9)
заключаем, что функция gPf ц(£; /) не имеет особенностей в каждой
из областей £Bp(Qk] ok) (k = 0t 1, ..., /?), соответственно
содержащих лучи Argl = Qk, a^P<|£|<+oo (& —0, 1 /?). Поэтому
можно утверждать, что все особенности функции g9tll(Z>', f) лежат
на системе отрезков
/* = {£; ArgC=6„ 0<|C|<aJ/p} (ft = 0, 1, .... p). (4.250
Установив этот факт, перейдем теперь к построению одного
специального семейства замкнутых кривых, содержащих внутри себя
совокупность отрезков {lk)x-
При любом v>0 область Sp(^^; v) лежит строго внутри
угловой области 3) (§к\ 0) = Д(р; ФА), имея с нею лишь одну
общую граничную точку С = оо. Поэтому, рассматривая односвяз-
мую область
У.
tfp(v)=flSp(^ v> (v<a> (426>
и ее пересечение Gp(v; R) с кругом |С|</?/р (R > а), очевидно,
можем утверждать, что совокупность отрезков {lk}o лежит строго
внутри области Gp(v; R) при любом v<a и R > а. Отсюда,
согласно теореме 6.3, следует, что для любого 0<v<a и /? > a
имеет место интегральная, формула
rp(v;/?)
где Tp(v; R) — пробегаемая в положительном направлении граница
области Op(v, R).
Выясним теперь природу границы Tp(v; R), полагая, что
0<v< acos-^. (4.28)

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 371
С этой целью, используя обозначения, введенные ранее [3.2(a)],
отметим сначала, что граница Lp(ftk\ v) области 39(§k\ v) в точке
v el k распадается на две бесконечные кривые
4+) (**; v) : (*-'Ч)Р = v + /т, 0 < т < + сю,
4") (**: v'): (^_/Ч)Р = v + /т. — со < т < 0.
Заметим далее, что
\ < Arg i < о,+1-. с б 4+) (**; v),
(4.29)
2р
2р
>*+1-|г< AigC<**+,. C64_i(*ft+1; v)
(4.30)
(/г = 0, 1 х).
Из (4.30) в силу условия (4.5) следует, что кривые
4+)(*vv). 4_)(<4+i;v) (*=°. » л с4-31)
концами которых соответственно являются точки v^e '*, vlff>e r*",
лежат в угловой области
*г,<А*С«>ГА+1 = *гА+-§ (4.32)
и не имеют общих точек.
Положим теперь р < к и выясним свойства дуг кривых
4+'(<>v V> ^OV**' v) (ft=l. 2 q), (4.33)
входящих в состав контура Гр(у; R).
С этой целью заметим сначала, что кривые (4.33) пересекаются
в точке
С, (v) = /■»*> ехр { ^ (4+! + <Ч) } • (434>
где в силу условия (4.28)
гк = v sec | (0,ft+1 - <Ц) < _!!_ < а. (4.340
cos-Jl
При этом легко видеть, что в точке £*(v) параметр т, входящий
в уравнение (4.29) этих кривых, соответственно принимает
значения ± тк% где
^ = vtg-|(^+i — ^)<vtg-^-< + co. (4.35)
24*

372 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Далее, как и раньше [3.2(a)], обозначим через /^(ft^; v; г)
(r>v) куски соответствующих кривых Lp±)(,&ft; v), лежащих в круге
iSl^r1^. Тогда из (4.34) и (4.34') легко следует, что дуги
4+)(*V v; г*> 4~)((4+i: v; rk) №=1»2 9). (4.36)
пересекаясь в точке ^(v) окружности |£| = гур, совместно образуют
одну открытую жорданову дугу с концами в точках v1/p£ Skt v1/p£ sk + lt
Указанная дуга полностью лежит внутри кругового сектора
0*л < ArgC<0Jjfe + i, 0 < |C|< qVp. (4.37)
Отметим также, что на дугах (4.36) параметр т соответственно
изменяется на отрезках [0, тл], [—xkt 0].
После приведенных выше замечаний легко усмотреть, что вся
граница Tp(v; R) области Op(v; У?) исчерпывается следующими тремя
множествами открытых дуг:
1) Множества [С^(у; R)}0 всех тех дуг окружности |£| = #1/р,
которые принадлежат области Op(v; R).
2) Множества дуг {4+)(*v v; R}q и [L^^+i] v; R)}Pq всех
кривых (4.31).
3) Множества дуг {4+)(*v v; r*% и (4_)(^+i; v; rk)}\ при
Кроме того, нетрудно убедиться также, что положительному
обходу границы Гр(у; R) области Op(v; R) соответствует обход дуг
второй и третьей категорий в направлении возрастания параметра т
в их уравнениях (4.29), а обход дуг первой категории — в
направлении положительного обхода самой окружности | £ | = /?1/р.
Введем теперь следующие обозначения:
U^\z; v; r) = ^ J Ep(zC; |i)ffp>|i(£; f)dl (4.38)
(* = 0. 1 к).
Vft(*;v;/?)=^ J Ep(zb |i)*Pi|1(£; /)d£ (4.39)
Cp*'(V; Я)
(A = 0, 1 />),
предполагая, что эти интегралы берутся в направлении,
соответствующем положительному обходу всего контура Tp(v; R).

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 373
Тогда, принимая во внимание полный состав дуг, образующих
весь контур Tp(v; /?), формулу (4.27) можем записать в виде
/(*)= 2 [№(*•. v; R) + U['U(z; v; R)} +
+ 2 И^(^; v; /O + LfcUs; v; г*)} + 2 V*(*; v; /?) =
Е^/^^; v; R) + f2(z; v) + /3(*; v; /?). (4.270
В случае р = к в этой формуле вторая сумма, т. е. функция
I2(z\ v), просто принимается равной нулю.
Теперь совершим предельный переход в тождестве (4.27') при
v-> + 0.
Во-первых, легко видеть, что при любом R > а
lim /3(2г; v; /?) = 0. (4.40)
v->+0
В самом деле, функция #р|Ц(С; f) непрерывна на окружности
|£| = #1/р (#>а), а при v->-|-~0 множество дуг {C{pk)(v\ R)Y0
стягивается вокруг множества точек {/?1/р*/в*}0 окружности |£| = /?1/р.
Далее, на основании предельных формул (3.20), (3.21) леммы 6.3,
ввиду условий (4.8) им^ем
lim U)t\z\ v; /?) =
= ' ^Ц Jgpj^^^T1^ |х}фЛ(±т)^"1Л (4.41)
(A = 0, 1 и),
где функции ФЛ(т) почти всюду определяются из формулы (4.12)
теоремы.
Так как в силу (4.5) и (4.6)
*'*+-|-s=V1—|г = в* <*=0- 1 '>• (442>
из (4.41), в частности, следует, что при любом R > о
р /?
lim 1г(г; v; Я)=У f £р {^'Vt1/p; ^} ФЛ(т)тц-^т, (4.43)
v++0 uoo
где почти всюду на (0, +оо)
**W = -p^{«"/^4/k+i(-T)-el^4,(T)} (* = 0.1 р).

374 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
С другой стороны, используя формулу (4.24) для угловых
граничных значений функции g9>lifc f), вследствие (4.42) функцию
ФА(т) можем представить в виде
Ф,« = ^{^,(е'^+°>^; /)-*p>'<W»; /)}tP^. (4.44)
Здесь £Р)(1(*'(9*+0)т,/р; /) и £р,ц0'(в*~0)т'/р; /) суть угловые
граничные значения функции gPiц(& /) в точке е *т1/р луча Arg£ = Qk
с соответственных его сторон, существующие почти для всех
т£(0,+оо).
Так как все особенности функции g*p, ^(С; /) лежат на системе
отрезков (4.25'), из (4.44) следует, что функции Фк (т) (& = 0,
1 р) можно представить формулами (4.11) теоремы. Поэтому
предельная формула (4.43) записывается в виде
р °k
lim Ix(z\ v; Я)=У f £р{Лт1/р; \х} cpk(x)x^ldx. (4.430
Наконец, в случае p < и заметим, что на дугах (4.36) параметр т
соответственно изменяется в промежутках (0, xk) и (—xk, 0), причем,
согласно (4.34') и (4.35). тА< —. rft< —. Поэтому ввиду
COS -у- COS -^
предельной формулы (3.26), приведенной в примечании к лемме 6.3
[см. 3.2(6)], получаем
lim U?Uz\ v; гл) = lim ^1(2; v; rk) = 0 (ft=l, 2 ?).
v->+0 * v->+0 R
Следовательно, имеем
lim I2(z\ v) = 0. (4.45)
v->+0
Таким образом, переходя к пределу в тождестве (4.27') при
v-> + 0. B СИЛУ (4.40), (4.43') и (4.45) получаем представление (4.10)
теоремы. При этом формулы (4.11), (4.12) также установлены.
Чтобы завершить доказательство теоремы, нам остается показать
еще, что из представления (4.10) функции фл(т) (& = 0, 1 р)
определяются единственным образом, т. е. посредством формул
(4.11), (4.12).
Для этого, очевидно, достаточно лишь установить, что если
р °k
£ \ EQ{ew*zxl*'tlx}cpk(x)x»-]dx^0,
fc-0 0
где q>k(x)£L2(0, ok) (k = 0, 1 /?), то почти всюду на
соответствующих интервалах фд, (т) = 0 (k = 0, 1, . . ., р).

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 375
В этом можно убедиться тем же способом, что и при
доказательстве теоремы 6.11, поэтому на этом останавливаться не будем.
Таким образом, теорема полностью доказана.
(в) Сделаем еще следующее дополнение.
В ходе доказательства теоремы 6.13 было установлено, что для
любой функции /(г), представимой в виде (4.10), т. е. для любой
функции f(z) класса №аР)(со; {^лЬ {°k})» интеграл
J I/fa"1*)|VЛ (4.46)
О
сходится не только для Ф = ФЛ (& —0, 1 х), но и при /? < х
для всех значений Ф^ГЙ*., *5ь+11 (*=1. 2 д).
Следовательно, при определении класса W$(со; {Ф^}; {ok}), не
налагая дополнительных ограничений, кроме условий (4.8), можно
дополнительно потребовать сходимость интеграла (4.46) на всех
отрезках вида [flv; ^ft+i] (Л = 1, 2 q)t т. е. на всех тех
отрезках [fly, ftft+i], длина которых меньше я/р.
4.2. Из общей теоремы 6.13 о параметрическом представлении целых
функций, очевидно, возможно получить результаты более частного характера
при том или ином специальном выборе системы лучей, вдоль которой
ставится условие интегрируемости.
Например, нетрудно убедиться в том, что установленные в § 3
простейшие обобщения теоремы Винера — Пэли (теоремы 6.10 и 6.11), как
специальные случаи, содержатся в теореме 6.13.
В этом пункте приводится параметрическое представление трех других
специальных классов целых функций, вытекающее из теоремы 6.13. При
этом то, что соответствующие формулы представления дают функции
рассматриваемых классов, непосредственно вытекает из теоремы 6.13 и
дополнения к ней [4.1 (в)]. Поэтому на доказательствах обратных утверждений
теорем, приводимых ниже, мы останавливаться не будем.
(а) Обозначим через Л^чо; ± -д—I класс целых функций f (z) порядка
р!>-7Г и типа -<а, удовлетворяющих условию
+оо
j* \f(te-t*)\2t(*dt<+oD, |-<|й|<я, (4.47)
где ©£(—1, 1) — заданное число. Легко видеть, что класс функций
-Д^Чю; ± о—) при 9=1) и определенный нами ранее [3.2(b)] класс
W^ (©; ft0) при fy = л совпадают.
По этой причине следующая теорема является непосредственным и
естественным обобщением теоремы 6.10.

376 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Теорема 6.14. Класс Л^Чш; ±-тр) совпадает с множеством
функций f(z)t допускающих представление
а
f (z) = J £р W?\ |i} Ф (т) т»4-' Л, (4.48)
о
где ц = —' 9 ~*~ и ф (т) £ Z,2 (0, or). Функция ф (т) единственна и почти
zp
ec/ody определяется формулой
( , * +,
•",т'*/'(-"''-»)^--*-
2яр
dx J \ / —/v I 0, т£(а, -foo).
(4.49)
Доказательство. С данной функцией / (z) £ Л^РЧ ю; ± -^— I ассоциируем
совокупность чисел {ft0, ftu ..., ftx+i} следующим образом.
Если р = —, то полагая х = 2р—1, выбираем
ф0=я, ^1 = ^0 + 2я = Зя. (4.50)
Тогда
О1-О0=2я=-£-,
п
и, таким образом, в этом случае имеется всего одна пара (fro, ^i),
являющаяся парой типа (^г,^Го+1), где г0 = 0. При этом 90 = —/frr -j-fr^+1j =
= 2hs0 (mod2jt).
Если р > -^, то полагая, что число х > [2р] + 1 четное, фиксируем его.
Обозначим далее rfx= I 2я ) — <— и выберем
2 *
** = -*+f + bd„>\=± (* = у+1, ...,*). (4.51)
2
Тогда
^-^_ = f' **+1-** = *х<^ (* = <>, !,...,*; *=*£).
2 2 *
и, таким образом, среди числовых пар (fl>, fr^+i)n имеется лишь одна пара
Типа (flr?, flr?+1> где г0 = ^ - 1, причем 90 = j [ЪГо + \+1} = 0.

§4)
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
377
Итак, в обоих случаях р = -~- или р > -^ вследствие способа выбора
(4.50) и (4.51) совокупности чисел {$Q, ftl9 ..., #x+i} имеем
+ оо
J |/(/Г'**)|2/вЛ<+оо (Л-0,1 х).
о
При этом в множестве пар (д>, Ф^-и)* при любом Р>-<т имеется лишь одна
пара типа (ФГо, ФГо+1), где
'о
я,
Р—2".
я 1
2
4 + 1"
Зя,
Р =
2'
а я I
*х=2р-'р>Т-
2
(4.52)
1
Следовательно, при любом р>-^- мы можем воспользоваться
теоремой 6.13, положив в формулах (4.10) и (4.11), (4.12) /> = 0 и 90 = 0.
Принимая во внимание (4.52), в результате получаем как
представление (4.48), так и формулу (4.49), а также утверждение об единственности
функции ф (т).
Обратно, каждая функция /(г), представимая формулой вида (4.49),
где \х
_ 1+Ц + Р ,
2р
(— 1 < о < 1) и ф (т) £12 (0, а), принадлежит классу
(б) Обозначим через В{^ aj (©) класс целых функций порядка р>1 и
нормального типа, удовлетворяющих условиям
+ 00
| \/(е'^)\2^ dt<+оэ (— 1 <ю< 1) при fl = 0 и -<U|<ji, (4.53)
J P
*(-£;/)<«. *(£;/)<„,.
(4.54)
Следует отметить, что при р = 1 и о1 = о2 = о класс В^ а^ (©) совпадает
с классом Wa((o)t который был определен нами ранее [3.3 (г)].
Теорема 6.15. Класс В^ Qj (ю) совпадает с множеством функций / (г),
допускающих представление вида
/ (*) = J £р { * 2р гт1^; ц f ф1 (т) г""1 Их +
о
+ JEQ{e 2ргт1/Р;ц}ф2(т)т^1^т, (4,
55)

378 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
где\х= +2р Р и q>k (t)£L2(0, ak) (k = 1, 2). Функции ф2 (т) w ф2 (т)
единственным образом почти всюду определяются из формул
< {, v_i(_t)_. w}4 0. т€;аь+от)> (4.56)
]/2яр
я , л
« ( - * Т ^ ' Т ** ) Г Ф2 (т), t £ (О, а2),
ук~Ле *°{-х)-е *l(T)H i 4»,+->, <4-57>
причем почти всюду
+°° я
Wk(x) = -L=JL f(e P VH9\1 —Lv»-Xdv (* = _ 1,0,1). (4.58)
]/2я dt J \ / — *t/
Доказательство. При данном р!>1 определим сначала совокупность
чисел {Ф0, Ъи ..., Фк+i} следующим образом.
Если р = 1, то, полагая х = 1, выбираем % = 0, $х = я, ^ = ^о + 2я = 2я.
Тогда обе пары чисел (Ф0, ${) и ($и Ь2) удовлетворяют условию $х — ^ =
= ^2 — (0,1 = я = у. Таким образом, мы имеем две пары типа (Ъг , fly +Л
(k = 0, 1), причем ради удобства можно положить г0= 1, г{ = 0. Вследствие
этого получаем
<fr = fl = я, fly ., = fl2 = 2я,
0 Го+ 2 (4.59)
flri = fl0 = 0, АГ1+1 = А1==я,
ео=у{^о+^о^}==?^-Т(т0с12я)'
^Tl^+Vii-f (4.500
Если р > 1, то, полагая, что число х!> [2р] +2 > 3 нечетное, фиксируем
его. Обозначим далее d» = 2я [ 1 1 =- < — и выберем
\ Р/ и—1 Р
**=-я + (* + 1)</*<^з=-^ (^ = 0, 1 ^=i),
2
*л+, = *о + 2я.
Тогда
а а Я> (и ъ л И — 5 И 4- 1 \
фл+1—Фл<-. ^=0, 1, ..., —2—, —%— к],

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 379
Иначе говоря, по построению и в случае р> 1 среди пар чисел (ФА, %+i)q
мы имеем лишь две пары типа (®г , ®г +Л (k = 0, 1). При этом можно по-
и з ус 1
ложить г0 — —п—» ri = —о—» вследствие чего
*,.-*х-з=-™- Vi-Vi-i
2 2
Jt
р'
(4.60)
,-Vr* Vi-*k+i
2 2
Полагая теперь, что / (z) £ fjj^ a2 (со) и имея в виду свойства
построенной выше совокупности чисел {Ф0, ..., Фк}, имеем
+ оо
J* \Ate~'**)]2t°dt<+oo (k = 0, 1, ..., и),
о
причем в силу (4.54) имеем также вследствие (4.59') и (4.60')
(4.54')
Так как по нашему построению среди пар чисел (fly, ^k+i)n имеются
лишь две пары типа ($г ; ^ \ (k = 0, 1), можно воспользоваться
теоремой 6.13, полагая в формулах (4.10) и (4.11), (4.12) р=1, 00 = — -^-,
0! =-р-. В результате, принимая еще во внимание (4.59) и (4.60), мы
получаем как представление (4.55), так и формулы (4.56), (4.57) и (4.58)
теоремы.
Наконец, каждая функция / (г), представимая в виде (4.55), где |ы =
= о (— 1 < со < 1) и фл (т) £ L2 (0, ak) (k = 1, 2), принадлежит
классу В® 02 (со).
(в) Для данного целого числа /?!>1 обозначим через С[^(со; {схд}) класс
целых функций f (z) порядка р (/><р<2/?) и нормального типа <а,
удовлетворяющих следующим условиям:
1) Интегралы
] \f(te-l*)\2t<*dt (_ l< о < 1) (4.61)
о
конечны во всех промежутках
j*-6p<*<J* + 6/> (* = 0, 1 2/7-1), (4.610

380 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
. Я / 1 1 \ ^ Я
2) А^_^^ + у);/)<^ (Л-0, 1 2/7-1), (4.62)
где 0 < ak < a.
Легко видеть, что при р = /7 и ог= ... =о2р_1=о класс С^р)(ш; (ал\)
совпадает с классом W^ (©; — {&}] , который был определен нами ранее
[3.2(6)].
Поэтому следующее предложение является естественным обобщением
теоремы 6.11.
Теорема 6.16. Класс С^(ш; {о^}) совпадает с множеством
функций /(-г), допускающих представление вида
2/7-1 а* 1±(к+±)
f (г) = Ъ J" Е» { в «^; |4 } Ф, (т) т^-! Л, (4.63)
/5-0 0
г()* •*= 2р и ф* (t) ^ L2 (°> а*) (* = °> * 2Р — ])- Фумцш ФЛ (т)
(£ = 0, 1,..., 2/7—1) единственным образом почти всюду определяются
из формул
5^{."*ЧАс-ч-.'*Ч>со}-
Фй(т), t$(0,aft),
0, т^(ай, +со) (* = 0, 1 1р-\)Г'
-{
причем почти всюду
*<±>(т) =
+ 00
(* = 0, 1 2р-1).
Я
Доказательство. Обозначая ft2k = — ЛН £ + &/?, tij^+i e— л +
+ — (А + 1) — бр (£ = 0, 1, ..., 2/7 — 1), имеем — я< ft0 < ^j < ... < ft4/>-i <
я я
< я< ^р = ^о + 2я. Отсюда следует, что $2k+\ — $2k = &р = — и
^гл+з — ^^+1 = 26р = л f — — — j <j (£=0, 1 2/7 — 1), так как р < 2р.

§ 4] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 381
Таким образом, среди последовательных пар (■&*, ftft.( i)qp_1 парами типа
(V *'* + l) 6WT (^2*' *2* + »)о"_1' ПрИЧеМ
'•ft = 2A, rft+1 = 2ft + l,
#,,=-«+f*+v Vi=_*+f (*+1)~V (4,66)
Пусть / (z)£C^(со; (tfft}). Тогда интеграл (4.61) сходится, в частности,
на концах всех промежутков (4.6Г), т. е. когда fl принадлежит множеству
точек < — k ± Ьр > или, что то же самое, множеству точек {$k}of'•
Следовательно, функция / (<г) удовлетворяет условиям
+оо
J |/(*r'**)|V<tf<+co (* = 0, 1 4/?-1)
о
и в силу (4.62) и (4.66) также условиям
р, /? < /fe < 2/7 — 1.
Л("-вЛ;Л< . ^,^0 t (4.62')
Отсюда следует, что для представления функции f (z) мы можем
воспользоваться теоремой 6.15, заменяя в формулах (4.10) — (4.12) р через 2р и
принимая во внимание формулы (4.66) и оценки (4.62').
После выполнения соответствующих преобразований, на которых
останавливаться не будем, получаем формулы (4.63) — (4.65) теоремы.
Наконец, любая функция f (г) вида (4.63), где
Ф*(т)6М°» °k) (* = 0' 1"-- 2Р-^> . <4-67)
принадлежит классу С^ (со; (^}), причем функции (4.67) определяются
единственным образом.

ГЛАВА VII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ
Наряду с основной теоремой о параметрическом представлении целых
функций экспоненциального типа класса Wa Винер и Пэли установили также
родственную ей теорему о представлении одного важного класса функций,
аналитических в полуплоскости. В указанной теореме утверждается
следующее.
Класс #2 функций f (2), аналитических в полуплоскости Re z > 0 и
удовлетворяющих условию
Л-со
sup Г | f(x + iy)\2dy < -foo,
0<*<+со J
— CO
совпадает с множеством функций, допускающих представление вида
+оо
/ (г) = Г e-zv<p (v) dv, Re z > О,
о
где ср (v) — функция из класса L2 (О, + °°)«
Настоящая глава в основном посвящена изложению ряда результатов,
существенно более общих, чем эта теорема Винера — Пэли, а также
доказанная ранее теорема 4.4, в которой был построен аппарат интегралов типа
Фурье — Планшереля для системы лучей.
Прежде всего в § 1 дается построение обобщенного преобразования Бо-
реля &р, ^ (£; F) для функции F (г), голоморфной и имеющей конечный рост
в угле заданного раствора. Затем доказывается основная теорема 7.1,
которая позволяет представить функцию F (z) посредством интегрального
преобразования с ядром EQ (z£, и.), примененного к функции <Зр, ц (£; F).
В § 2 приводится доказательство основной теоремы Винера — Пэли
о параметрическом представлении функций, аналитических в полосе а <
< Re z < b и принадлежащих определенному там классу Н2 {а, Ь).
Затем мы переходим к определению более общих классов функций
<##2 [<*; ©], аналитических в угловых областях. Для функций этих классов
устанавливается важный для дальнейшего факт — их представимость
посредством интегральной формулы Коши. Построение аппарата параметрического
представления класса &е2 [а1 ю] и исследование его свойств проводится в § 3
этой главы. Здесь с помощью интегрального представления ядра Коши
(лемма 3.9) в теореме 7.7 устанавливается формула параметрического
представления класса &$2 [ai ®}> являющаяся естественным обобщением сформу-

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 383
лированной выше теоремы Винера — Пэли. Одновременно в теореме 7.8
выявляется другое важное для дальнейшего свойство полученной интегральной
формулы. Это свойство состоит в том, что в определенных условиях она
представляет тождественный нуль в некоторой угловой области.
В § 4 вводятся некоторые еще более общие классы функций
$щ г ' р [av •••> ар» ^I» область определения которых состоит из
произвольного конечного числа лучей и угловых областей с единственной общей
точкой в начале координат. Далее устанавливается теорема 7.10 о
параметрическом представлении класса &е\ l'"" р' [av ..., ар; ю]. Будучи наиболее
общим результатом данной главы, теорема 7.10 в виде специальных случаев
содержит утверждения теорем 4.4, 7.7 и 7.8.
Наконец, в заключение параграфа в качестве непосредственного
приложения теоремы 7.10 приводится теорема 7.11 об аппроксимации в среднем
функций класса &е\ v '"' ^'[alf ..., ар; о] целыми функциями конечного
порядка, тип которых стремится к бесконечности.
§ 1. Интегральное представление аналитических функций
конечного роста в угловой области
1.1. (а) Рассмотрим область
Д(а; 0) = {z\\2Ltgz\<^t 0 < | г |< +оо| (I < а<+оо), (1.1)
представляющую собой угол заданного раствора я/a. Для всех р2
и ох таких, что 0<р1<-Ь°° И O^0i<4-°°» определим в этой
области класс Л(а)[рь aj аналитических функций конечного роста.
А именно, к классу Л(а)[рь aj мы отнесем каждую функцию F (z),
голоморфную в области А (а; 0), для которой существует
вещественное неотрицательное число MF такое, что при любом z из Д(а; 0)
\F(z)\^MFexp{ol\z\*}. (1.2)
Очевидно, что функция F(z) £ Л{а) [plt aj ограничена в любом
фиксированном секторе вида
Ar(a;0) = {z; |argz|<£. 0<|z|<r}.
Отсюда, согласно теореме Фату *), следует, что каждая функция
F(z)£ A{a) [plf ох\ почти всюду на границе области Д(а; 0), т. е. на
лучах argz=±7p, имеет угловые граничные значения F \е 2аг)
( -' — \
и F\e 2ar), удовлетворяющие условию
F
[е±1^г)
<Ж/7ехр{а1гР«}. (1.3)
*) См., например, И. И. Привалов [1], [2].

384 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
(б) Определенному выше классу аналитических функций А{а" [plt o{]
поставим в соответствие вещественное число р, удовлетворяющее
условию
p>max|plf 2^гт}- О-4)
Ввиду того, что -о" < а < +оо, очевидно, имеем -~ < р < + сю.
Поэтому для любого Ь £ (— я, я] и v £ [0, -f- oo) область
#Р(*; v) = {C; Re(^-^)P>v, |Arg£-ft|<^} (1.5)
будет неограниченной, причем уравнение ее границы LQ{$\ v) имеет
вид
(e-%f = v + ix, — оо<т<+оо. (1.6)
Фиксируем произвольным образом значения параметров
1*6(0. +со). *€[_£.£] (1.7)
и рассмотрим интеграл
+ оо
J Fife-**) е-? Ь- l\)t™-ldt (1.8)
о
как функцию комплексного переменного £.
Из оценок (1.2), (1.3) и условия (1.4) заключаем, что
интеграл (1.8) абсолютно сходится при любом £, причем сходимость
равномерна относительно £ в каждой ограниченной и замкнутой части
области 35рф; v0), где
Ох при p = pi,
0 при p>Pi-
v0 = { n „1 „^„ (1-9)
Таким образом, для заданной F (z) £ Л(а)[рь aj при соблюдении
условий (1.4) и (1.7) существует функция
+со о/ -/ft \Р
g*<b П^Р^-^ГГ1 J /^<r'V G г) ^~ldt. (l.io)
о
голоморфная в области Sp(ft; v0).
Отметим еще, что справа в (1.10) мы берем те ветви функций
(e~l®£f и (e~l%)^pt которые принимают вещественные
положительные значения на луче arg£=tf\
(в) Для исследования свойств функции £я(£; F) введем некоторые
дополнительные обозначения. Через у обозначим вещественное число
такое, что
i + i = i- 0-11)

§ i] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 385
Заметим, что при этом
y<Y<+oo, (1.12)
так как р^у—г в силу условия (1.4).
Рассмотрим далее сумму угловых областей
A(p;*) = {C;!Arg£-fl|<-|. -£<*<£}•
Эта сумма, очевидно, совпадает с областью А (у, 0) = <£; |arg£| < ^- >,
т. е. с углом, раствор которого в силу (1.12) не превосходит 2я.
Наконец, сумму областей Sp($; v0) при всевозможных Ф£| — ^,
^-1 обозначим через SJ>a)(vo). Так как £SP (ft; v0) с: Л (р; ft), ft£
^["«ЙГ' "Яг]' будем иметь
4a)(v0)cA(Y;0), (1.13)
причем, очевидно, iZ^a) (0) = А (у, 0).
Нетрудно заметить, что при v0 > 0 граница £р (v0) области
•^pa)(v0) состоит: 1) из дуги —-^ < arg £ < •£- окружности
|С| == vo/p; 2) из кривых (где т— параметр кривой, £—комплексная
переменная)
4+)fes v0):(r'^t) -v+h. 0<т<+оо,
(1.14)
^(-^ v0):U 24j =v-H% -оо<т<0,
расположенных симметрично относительно луча arg£ = 0.
Кривые Z,p+)(-x—; v0) и £р~Ч— -о—; v0) имеют начальные точки
соответственно vo/pe 2a и vl/pe 2а; в силу (1.13) эти кривые
целиком содержатся в области Д(у; 0) и при т->±оо соответственно
асимптотически приближаются к ее сторонам, т. е. к лучам arg£ =
= ± 7Г-, в том смысле, что для кривой Z,p+)(y-; v0j выполняется
соотношение lim Arg£(t) = 7?-> а для кривой Lp'4 — -5-; v0) —
lim Arg£<T) = —£.
Т->-оо ^V
25 М, М. Джрбашян

386 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Й УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Отметим также, что граница области 3^ (0) = Д (у; 0)—это
совокупность лучей arg£=±y-:
Аналогичным образом мы определим также односвязную область
<2*р (v) (где v^O и р > а) как сумму областей «2*рС&; v) при
всевозможных О £ J — -—-, ~-1:
Замечая, что при р > а
ввиду (1.13) имеем
f(v)cA(Yp; 0)сД(у; 0). (1.130
Что касается границы Ц, (v) области <3*р (v), то она, очевидно,
состоит из дуги —-of <[argС <!-go-окружности |£|=v1/p и из
кривых
4+) ("J"; v): («"' *с) = v + /т. 0 < т < -(- оо.
4"'(—§■: у):(е1щ) =v + /t. -оо<т<0.
(1.14')
которые при т->±оо соответственно асимптотически приближаются
в том же смысле, как было указано выше для L^ I—-; v0) и
^(-"Е5 v°)] к лучам argC = "И" и аг^ = -^Ь т- е* к

границе 4Р)(0) области $®\0) = к(ур 0)3^ (v).
В заключение отметим также, что при любых v > v0 и р > а
#?4v)c#j>a)(vo) (1.15)
и, следовательно,
4P)(v)c^a,(v0). (1.16)
(г) Докажем теперь лемму.
Лемма 7.1. Пусть F(z) — произвольная функция из
класса A{a)[pit аг]. Тогда для любых значений параметров р>>
^maxjp!, fo^i } # Н'бСО» + °о) справедливы следующие
утверждения:

v0 =
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 387
Г. Существует функция Ор^(£; F), аналитическая в области
&ТЫ). где
' аг при p = plf
О при р > ft,
и такая, что для любого #£ —-£-, у-
ор,цй; /0 = *«(£; П C€^p({>; v0). (1.17)
2°. Для любых р > а и v > v0 справедливо неравенство
1°р.ц«; ^К^щЬ £€^V). (1Л8)
гд# Л ((}; v) не зависит от £.
Доказательство. Г. Пусть ^ и ^ — произвольные числа из про-
Г я я 1
межутка — -^-, о" N удовлетворяющие условию
0<Ф2—O^-ji: (1.19)
Введем в рассмотрение функции g^fc F) и #•<>,(£; Z7).
определяемые формулой (1.10) и аналитические в областях ^(fy; v0) и
359(р2> vo) соответственно. Эти области, согласно условию (1.19),
имеют непустое пересечение, которое мы будем обозначать в
дальнейшем через 35 ($1, <0,2).
Покажем, что
#>,(£; F) = gbfo П. C€#(*i. *2). (1-20)
-tP2P 11П-1
С этой целью рассмотрим функцию F (z) e ° zw , £o6^(*i» *г)»
аналитическую в секторе —Ф2 < аг& * <—Фь 0<|г|<</?. Ввиду
ограниченности функции F(z) в каждом секторе Дг(а; 0) (г > 0)
по теореме Коши имеем
о
= j F(*-^o*~£o (*-'^/yip"1rf(e-^o +
о
г2 *Pf -^Df
+ j F(*-<»#) <Г£°и R) {e-KRf^die-KR). (1.21)
При этом отметим, что формула (1.21) справедлива также при
25*

388 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Заметим теперь, что при £о€<^(*1» ^г) одновременно имеем
Re(e_/lH0)p> v0 и Re(^-/02Co)P > v0, а потому, как легко проверить,
min Re(e-%)p = v1>v0.
^1 < & < $2
Отсюда следует оценка
<
<iA«i,exp{-/?p(vi-al/?ft-p)}«,iP. 0-22)
так как p^-Pi и, согласно (1.2),
MF (/?) = sup IF (Re- '•) | < МРеа^' < M^0'*". (1.23)
■•■<•£
Принимая во внимание, что р^>р! и v2 > v0, легко видеть, что
lim exp{—/?р(у!~ а1/?р1"р)}/?цр = 0. (1.24)
Переходя теперь к пределу в тождестве (1.21) при /?->-f-oo
(предварительно умножив обе его части на р£оР-1), согласно (1.22)
и (1.24), получаем требуемую формулу (1.17).
Таким же образом, рассматривая всевозможные значения
[зх зх "1
— -2~, -о- i приходим к заключению, что функция £*$(£; F)
из области £BQ($', v0) аналитически продолжается на всю область
<2*pa)(vo)- Функция, получающаяся при этом аналитическом
продолжении, очевидно, является искомой функцией Ор ц(£; F).
2°. Для любого р > а введем обозначение
*=Y/Yp = (i+j)/(i + I) (0<ч<1):
Заметим, что при этом промежутки —-^-, -*— и —"о"я» Т~к\
совпадают.
Для каждого ф £ — ^х» у х » очевидно, существует такое
значение ft (ф) £ Г— -^х, -^ и! , что |<р — *(ф)| < ~п. Но тогда
для всех ф £ — -к- и. "о~ н имеет место оценка
созр(ф —<Кф))>сов^ = т|(и)>0. (1.26)

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 389
Из формул (1.10), (1.17) и оценок (1.23), (1.25) следует, что
для каждой точки £ = ге1ч £Д(7В; 0)» лежащей в области |£| > г0=
/ 2а, \1/р
= —7-т- » имеем
Ч-оо
< pM^r™-1 J exp {- fo (x) rp - о,] tp] tw~l dt <
0
+oo
<9M*Frw-1 J* expl-IrK^rVl^-'d^i^-. (1.26)
0
Но при любом v > v0 функция Op!I(C; F) голоморфна в замыкании
области £бр (v) (v > v0), лежащей в круге |£К>0. Далее, согласно
(1.13'), имеем S(PP) (v)с: А (у * 0) (v > v0), а следовательно, из оценки
(1.26) ввиду предыдущего замечания получаем требуемую оценку
(1.18).
(д) Пусть F(z)£A{a) [plt oj, и пусть р удовлетворяет условию
р^>тах|р!, 9 —1 г' из К0Т0Р0Г0» в частности, вытекает, что
1<р<+сю.
Положим также, что при данном р параметр \х удовлетворяет
условию
у<Ц<^ + -Ь. (1.27)
Тогда, согласно лемме 7.1, функция Gp>J1(£; F) голоморфна
в области Spa)(vo). где v0 определяется из (1.9); тем самым в силу
(1.16) она определена на любой кривой Ipp)(v) при Р>-а и v > v0.
Отметив это обстоятельство, введем теперь в рассмотрение
контурные интегралы вида
F'v (*; Р) = 2ST J Ер <*& Ю °р. и (Ь П <%> (1-28)
Lf (V)
где р^>а и v > v0; при этом полагаем, что интегрирование вдоль
контура ip (v) совершается в отрицательном направлении
относительно области 3f (v).
В двух леммах, приводимых ниже, мы выясняем область
сходимости интеграла (1.28) и устанавливаем некоторые свойства
функции Fy(z\ р), необходимые в дальнейшем.

390 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Лемма 7.2. Г. При любых v > v0 и р!>а интеграл Fv(z; p)
абсолютно и равномерно сходится в каждой ограниченной и
замкнутой части угла Л (р; 0) = <г; |arg z\ < -5^^-5-"} и
является, таким образом, голоморфной функцией в области
Д(Р; 0)сА(а; 0).
2°. Для любого v > v0 справедлива предельная формула
lim FvCz; р) = /чО*; а), *£Д(а; 0). (1.29)
р-*а+о
Доказательство. Для любых /?^>v>v0, р^>а обозначим через
^pP)(vi R) ДУГУ кривой IpP)(v), лежащую в круге |£|-</?1/р. Пусть,
далее, C{^\(fi; R), С{р~\(—р; R) обозначают соответственно
неограниченные ветви кривых ^р+)(-9д"1 v], Lp_) I—^jt; v); лежащие
в области |£|>/?Vp.
Разобьем интеграл (1.28) по контуру L(p\v) на сумму интегралов
по дугам С{-}(— р; #), 4P)(v; R) и С<+)(Р; /?):
г з
••• + 2ЙГ J ^P(^; rt0P.|i^ П^=2^)(2Г; Р; *>■ (L28/)
Отметим прежде всего, что в силу свойств функции Ep(z; \x)
при любом р^>а интеграл qJF^ (z\ p; /?) является целой функцией
роста (р, /?), так как
sup {\^} = R.
Далее, каждая дуга {Z.pP) (v; R)} ф>-а, v > v0) лежит внутри
области ^pa)(v)c:^pa)(vo), в которой функция Gp t^(£; Z7) аналитична.
Так как, кроме того,
lim 4P)(v; /?) = 4a)(v; Я),
|3->a+0
очевидно, что при любом R > v > v0
Hm ^(v2)(^; P; R) = ^\z; a; /?). (1,30)

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 391
Перейдем теперь к исследованию интегралов <&~^ (z; Р; R)
(&=lt3). С этой целью заметим сначала, что, согласно (1.14'),
при C€cftv(fc Я) с 4+) (-J : v) имеем (г'"*с) = v+/t, т(/?)<
<]т<+оо, где т(/?) = |^/?2 — v2. Поэтому уравнение кривой
Cp|*v(P; Я) имеет вил
£ = eXp{/|(I + l)}^^/~v, т(/?)<т< + оо. (1.31)
Принимая во внимание уравнение (1.31) кривой Ср^(Р; Я), а также
выбранное на всем контуре Lq (v) направление интегрирования,
интеграл qF^(z\ P; R) можно представить в следующем виде:
^*;е;*) = ^ехр{;|(1+|)}х
X ) £p{^^+^^7=^;|i}opiM{e/T(p+i)^7=^;/?}x
Х(т —/v)p "rft. (1.32)
l-i
С другой стороны, согласно лемме 7.1, функция С?Р((1(£; F)
голоморфна в области 55рР)(у0), и поэтому ее значения на каждой кривой
Lp+) [-щ ; vj с 55pa)(v0) (v > v0> p>a) можно вычислить посредством
формулы (1.10) при Ф = -^.
В результате при всех р^>а и 0<^T<-f-oo получаем
, Jt /1 1 \ 1 +°° / , Jt\ 0 п
врГ,т(р+?-'»)(т_/у),1-р J /'(^-'^•-^Г'^-'Л. (1.33)
о
Подставляя значение (1.33) в формулу (1.32), имеем
ЗГ®{г; р; Я) =
i-S-O»-») V° r . я/1 1
J Ер{«' " (p + p)z^t-/v; nJOp^^-Zv)11-1^
2я
(1.32')

392 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
где
о
= i J {/?(r'4«1*)«-wt»|i-,}e-/tt'rf«. (1.34)
о
Заметим теперь, что F (z) £ Л[а) [plt aj, а потому, согласно (1.2),
при любых p^-Pi и р^а
причем в случае р = а это неравенство справедливо почти для всех v.
Кроме того, так как ц>-г и
v>v0 =
аг при p = plt
О при p>plt
легко видеть, что функция "VV * одновременно при-
надлежит обоим классам ^(0, +оо) и Z,2(0, +oo).
Отсюда следует, что интеграл (1.34) абсолютно сходится и
функция Фо(т) принадлежит классу L2(0, +oo), так как, согласно
теореме Планшереля 1.13, из (1.34) имеем
+ оо + оо / я \ 12
||Фр(т)Р^т<^ J l/^'W^^vH dv<+oo. (1.35)
о о
Выберем и фиксируем числа р'>Р>а, г>0 и рассмотрим
подобласть области А(Р; 0)
Д,(р'; 0) = [z; |argz|<^, r<|z|<+oo}.
Полагая 6 = -j(-7r— -пН > 0, отметим, что
sup {|arg2|}=-^r — 26*
Тогда, очевидно, для всех точек z£\ (р'; 0) имеем
="(7+?)-£-2d<2*-|—s- (,36)

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 393
так как по условию р>-о *-, а потому Ь-п-<.— <>2 для
J ' 2а — 1 •'р'р^р'а^
любого р^>а.
Отметив далее, что при т^т0(6)
— 6 <; arg ух — /v = arctg — < О,
из (1.36) получаем также, что для всех 2£Ar(p'; 0) и р>а при
т^>т0(6) справедливы оценки
JL + 6<argz + f (1 + |) + агг^^=75<2я--|--в. (1.37)
Наконец, из (1.37), очевидно, вытекает, что для всех z£&r($'\ 0)
при р' > р > а и т > т0 (6)
^ + 6<|arg{/^^+A^r=Ai}|<n. (1.370
Согласно лемме 3.4 для любого угла -^—|-6<;| arg г|<;я (6 > 0)
имеем sup {| zEp(z; \i)\} < -f-oo. Отсюда, принимая во внимание (1.37'),
заключаем, что для всех z£Ar(p'; 0) ф' > р^>а) справедлива оценка
|^р{^ 2 (p + p)z^t_/v; ^J(t_/v)i*-i
<
<С0(г; P0(l + t/ р Up1, 0<т<+сю, (1.38)
где С0 не зависит от z.
Но, согласно условию (1.27), ц,<-~Н . Поэтому функция,
2 р
стоящая в левой части неравенства (1.38), относительно переменной т
принадлежит классу £2(0» +°°Х причем интеграл от квадрата ее
модуля равномерно сходится относительно z при z£Ar(p';0) и
р^а. Ввиду этого обстоятельства, а также в силу (1.35) заключаем,
что при всех р!>а интеграл (1.32') абсолютно и равномерно
сходится относительно z в каждой ограниченной и замкнутой области
Д0сДф;0), а следовательно, этот интеграл представляет собой
функцию <&~v\z\ P; R), голоморфную в области Дф; 0).
Более того, замечая, что х (R) = |/ R2 — V2 -> + оо при R —► -f- oo,
по тем же соображениям из формулы (1.32') заключаем, что для
любого е > 0 существует число /?3 = #з (е) > v» не зависящее от
р^а и такое, что
sup | <yf > (*; р; /?) | < 4-. R > #з- (1.39)
г£Д0 г

394 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Вполне аналогичным способом получаем также, что функция
eF^iz; Р; R) голоморфна в области Д(Р; 0) и соответствующий
интеграл абсолютно и равномерно сходится относительно
переменной z при z£A0 и р;>а. Кроме того, для любого е>0 при
некотором /?1=/?1(e)>v имеем для всех р;>а
sup | &*? (*; р; /?) | < i-. R > Rx. (1.40)
Таким образом, из установленных выше свойств интегралов
tiTv^z; р; /?) (ft=l, 2, 3) в силу тождества (1.28") следует, что
интеграл (1.28) абсолютно и равномерно сходится в каждой
ограниченной и замкнутой части области Д(Р; 0) и представляет собой
функцию, голоморфную в этой области.
Наконец, из тождества (1.28') в силу формул (1.30), (1.39) и
(1.40) следует, что при R >- /?0(е) = max {Rlt R3] для любой точки
z£A(a, 0) имеем
lim supl/^O*; P) — *Гф(г; а; /?)|<е. (1.41)
Но, замечая, что lim £pa)(v, /?) = Lpa) (v), очевидно, имеем
lim dT(v2)(^; a; R) = F*v(z\ a), z£A(a;0). (1.42)
Из (1.42) и (1.41) ввиду произвольности е>0 получаем
предельную формулу (1.29), что завершает доказательство леммы.
(в) Лемма 7.3. Для любого р>а существует такое а > v,
что функция
Fl(t1/P; р)*-а'^-1 (1.43)
одновременно принадлежат обоим классам Lx(Qt + оо) и
L2(0, +oo).
Доказательство. Для данного значения р > а фиксируем число Т]
такое, что 0 < г\ < -щ . Обозначим через Z,p%(v) дугу кривой Lf\\)t
лежащую в области |arg£|<7>—ЬЛ- Так как эта дуга имеет
конечную длину и вместе со всей кривой Lp (v) .лежит вне кру^а
|С|<У1/Р» очевидно, что
причем v^^y.
ч_ sup {iCIK + oo. ,(1.44)

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 395
Обозначим далее через С$\(у) часть кривой Lp (v), лежащую
вне области |arg£| <-<?" +Л- Очевидно, что. Cft \ (v) состоит из двух
кривых, соответственно лежащих в двух угловых областях
|Г + Т1<аге£<1г(1 + Тг)<я(
/1 is (1-45)
_ я / 1 . 1 \ ^ <. ^ я v '
В соответствии с введенными обозначениями из определения (1.28)
функции Fv(z; p), в частности, имеем представление
+ 2я7 J Ео № ^ °Р- ^ & ^ dS = Ф1 (г> + Ф2 (^)- О -4б)
с(Р) (v)
Принимая во внимание характер роста функции £p(2£; jli), а также
неравенство (1.44), легко показать, что Ф\(г) есть целая функция
роста (р, v^). Поэтому, полагая Vj > v^, очевидно, имеем неравенство
вида
|0>,(*)|<ADI(v1)exp{v1|z|p} (|*|<+оо). (1.47)
Оценим теперь функцию Ф2(2) лишь на полуоси (0, +оо).
С этой целью отметим сначала, что, согласно оценке (2.32),
приведенной в следствии леммы 3.4, в области -~—ЬЛ^С! argt| ^ л>
0<С|£|<+оо, справедливо неравенство вида
|£р№ fx)l< i+^|C| ■ 0<jc<+oo, (1.48)
где М не зависит от х и £.
Ввиду того, что для каждой точки кривой C$\(v) выполнено
одно из условий (1.45), очевидно, что неравенство (1.48) справедливо
также при C6^p,ti(v)- С другой стороны, согласно лемме 7.1, в
частности, имеем
iо*и&'о!<■£$$. ceCftVv). (1-49)

396 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Ь УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Поэтому из оценки (1.48) получаем
1Ф2(*)К-2^ J (1 + |£|)(1+^ISI)<
+00
cf\(v>
<М*$ (l + rni+xr)=M>\B$\ (0<*<+co). (1.50)
0
Здесь мы использовали то обстоятельство, что вообще при *) £ £ L^ (v)
K|<M4d|£|. |C| >vVp. (151)
Из тождества (1.46) в силу (1.47) и (1.50) для функции F*v(x; p)
на полуоси (0, +°°) получаем оценку
, \м5е^. 1<*< + oo,
1 |M6(i + iog.I), о<*<1.
Выбирая, наконец, о > \х и замечая еще, что, согласно
условию (1.27), |1>-2", из последней оценки получаем утверждение
леммы.
1.3. (а) Перейдем теперь к доказательству основной теоремы
данного параграфа, а именно теоремы об интегральном представлении
функций класса A{a)lplt ог]. При этом ради компактности в
формулировку теоремы мы включим и некоторые утверждения,
установленные выше.
Теорема 7.1. Пусть функция F(z) принадлежит классу
Л(а)[р1. oi], где 1<а<+оо, 0<р1<+оо, 0^ог<+оо. Тогда
для произвольных значений параметров р и |i, удовлетворяющих
условиям p^maxjp!, " 1, ~2<\х,<'2~\ • справедливы
следующие утверждения:
Г. Для любого Ф^Г—у-, у-1 функция
Ор„(С; F) = P(e-i\rC1+fF(e-l»t)e-'P(<-l*t)>-1dt (1.52)
О
определена и голоморфна в сумме Spa)(vo) семейства областей
{£ёр(Ъ; v0)}(-^<ft<-£). где ч0 = ог при p = Pl и v0 = 0
при р > рх.
*) Через Affc (£ = 1,2,...) обозначаются постоянные, не зависящие
от £ и х.

§ 1) АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 397
2°. Для любого v > v0 справедлива интегральная формула.
F(z) = 4u J Ee^> Ю°р.|*(& р)^> ^6Д(«;0), (1.53)
4G)(v)
где интегрирование производится вдоль границы Z,pa)(v) области
3{p\v) в отрицательном направлении, а сам интеграл
абсолютно и равномерно сходится в каждой ограниченной и
замкнутой части области Д(а; 0).
Доказательство. Утверждение 1° теоремы полностью было
доказано в лемме 7.1. Характер сходимости интеграла Fv(z; а) в правой
части (1.53) уже установлен в лемме 7.2.
Следовательно, для завершения доказательства теоремы нам
остается лишь убедиться в справедливости тождества
F*v(z; a)ss/=■(*). *€д(а; 0). (1.54)
Для этого, в свою очередь, достаточно показать, что при любом р > a
F*v(x; p) = /*(*). 0<*<+оо. (1.55)
В самом деле, из (1.55), ввиду аналитичности обеих функций
F\{z\ р) и F(z) в области Д(Р; 0)сД(а; 0), немедленно следует, что
F*v(z; fi = F(z). *6Д(р; 0), (1.540
при любом р > а. После этого в силу предельной формулы (1.29)
леммы 7.2 из (1.54') получим требуемое тождество (1.54), и теорема
будет полностью доказана.
Перейдем теперь к доказательству тождества (1.55).
Согласно лемме 7.3 для любого р > а и для некоторого a > v > v0
имеем Fl(t1/P\ p)f"a//|i"1 £ Lx (0, +oo). Поэтому интеграл
/(<*,) = }Vv(*1/p; fi)e-tw>-ldt
о
сходится абсолютно и равномерно в каждой ограниченной и
замкнутой части области
^Р(0; a) = {w; Rewp>a, |argw|<^-}
и представляет функцию, аналитическую в этой области.
Перейдем к вычислению интеграла / (w). Заметим сначала, что
интеграл
^ (*; Р) = Ш \ Е* № •*> °р. й& F) <%'
if (v)

398 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. Vlt
согласно лемдае 7.2, сходится равномерно относительно х в любом
конечном промежутке 6<]л:<]/? (О < 6 < /? < -f- оо). Поэтому имеем
формулу
к.
/(«; б, /?)= | F*x{tv<>; ^e-^e-'dt-.
= ш !°Р.Л-'П
Lf (v)
rf£. (1.56)
С другой стороны, легко видеть, что при достаточно большом
ао >а >v контур интегрирования £р (v) целиком находится вне
области <2?р(0; а0), т. е. принадлежит ее дополнению <2*р(0; а0).
Но тогда, согласно лемме 3.9, справедлива формула
Из этого равенства и из (1.56) получаем
1<Р (v)
I
—кг /о^^^Н^Ч^^)^1
<ft
^ (V)
I О
+ оо
К-
~ш \ °*»<* F4 J* <-w\(vvp; ^У-1
dt
I»)(v)
Uts
= £/,(»; 6)-\-U2(w; R), w£3!JQ; a0). (1.57)
Заметим теперь, что, согласно лемме 7.1, функция Ор>ц(£; F)
голоморфна в области £В(р\\0), причем, согласно лемме 7.2, при
любых р>а и v>v0 справедлива оценка (1.18)
C(P;v)
lOp^^OKyfj^-. ?6^pP'(v).

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 399
Следовательно, учитывая направление интегрирования вдоль
контура Zrpp)(v), по теореме Коши имеем
Ш J \*-f dt = Q99^w; F). ^6^pP)(v). (1.58)
Lf (v)
Так как, очевидно, Sp(0; a0) с: 3f\v)t представление (1.58),
в частности, имеет место и в области Sp(0; а0). Поэтому
тождество (1.57) можно записать в виде
/(<*; 6; R) = wl-wOpi]l(wt F) + Ux(w;b)+U2(w; R), w^3fp(0; a0).
(1.570
Теперь займемся оценкой функций Ux(w\ 6) и U2(w; R)
в области Sp(0; a0), когда соответственно 6—> + 0 и /?-> + оо.
Будем пользоваться обозначениями, введенными выше в 1.2(a) и 1.2(6).
Пусть фиксировано число г\ такое, что 0<Tl<'oft"* Так как
при %,£С$\(ч) имеем -^—|- r| <^ | arg£| <! я, воспользовавшись
оценкой (1.48), получаем
I£р{tv%; (*)I< 1 + ^|<1/р. о<t < -f со, IеCf\(v). (1.59)
Далее, поскольку кривая Lf)^(y) ограничена, имеем также
| Ер{tv%; у)| <С,. 0 < / < 1, 164%(v)-
Из этой оценки и из (1.59) вытекает, что
lgp(^;tx)l<1+^|g|, o<;<i, S64P)(v). (1.60)
Наконец, из оценки (1.18) функции Ор> ц(£; F) [очевидно,
справедливой и на границе Lf](\) области 3f\v)] и (1.60) мы получаем
\Ux(w; 6)|<С3 | J^L. J 1+^ui/P^, «»^^p(0; а0),
ij»(v) °

400 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Так как на кривой Ар (v) имеет место неравенство (1.51),
окончательно находим *)
6^ +оо
Ц/х(«;д)|<С4 jV-'rf/ J ——
о о ' •"г
dr
)(1 + *1/рг)
о
= с5 J 7=7^ logT*• w6^p(0; ао)'
причем интеграл, стоящий справа, очевидно, сходится. Поэтому
lim Ux(w\ б) = 0, «6#р(0; а0). (1.61)
Перейдем далее к оценке функции U2 (w\ R). Сначала представим
ее в виде суммы двух интегралов:
( +оо
t/8(W;/?) = —jjg- J Ор^«; /О J е^%{^, ц)*""'*/
£<Р) (v)
1/Г
«-
+ 0O
C<P)„(V)
P. IT
^
<*£=
sal^w; Я) + У2(да; R). (1.62)
Заметим, что £ft\)(v)— дуга конечной длины, причем, согласно
(1.44), имеем
sup {IС1} = vn < а < а0.
Следовательно,
«*®„w
sup | Ер (*»«£; ц) | < С6е°<, 1 < * < + оо.
6€i<%(v)
Из этого неравенства, принимая во внимание (1.51) и (1.18),
получаем оценку
Г0 +00
+оо
= c7iog(i + r0) | *-ъ-**р-1<и. /?>1, ^б^Р(0;а0),
*) Через Ck (k=s\, 2, ...) обозначены постоянные, которые не зависят
qt t, £ и w.

§ !] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 401
где число г0, очевидно, не зависит от R при /?^>1. Поэтому
lim Vx(w; R) = 0, w£®pW\ o0). (1.63)
Наконец, в силу (1.51) и (1.18) при /?^1 имеем также
+оо
\V2(w. R)\<C6j ^ j -0^e-Ut =
Но интеграл справа сходится, а потому
lim V2(w; R) = 0, w£3L(0; ст0). (1.64)
Перейдем теперь к пределу в тождестве (1.57') при 6->-f-0 и
/?->-f-co. Тогда в силу (1.61) — (1.64) получаем
/(«,) = ] f; (tvp; p) «—V"1 dt =
= wl-wOQfll(w; F), w£Sp(0; сг0). (1.65)
С другой стороны, из формулы (1.52) при Ф = 0 имеем
представление
J" F(tl/(>)e-wtt»-1dt = w1-wGPtll(w; F). w£3p(0; v0). (1.52')
о
Так как cr0>a>v0, из (1.65) и (1.52') следует тождество
J (И'1/Р)-^('1/р; р)Ю«—Р'« = 0. ^6^Р(0;а0). (1.66)
о
Но при любом сг > сг0 кривая
Lp (0; a): «К* = a + ** (— оо < т < + со)
лежит в области «2?р(0; а0). Поэтому из (1.66), в частности, вытекает,
что на всей оси — оо < т < -\- оо справедливо тождество
J{[F(ti/p)-F;(typ; p)] *-0>-!} *"<т'<«^0, (1.660
о
*\де
К('1/р; Р)-/7^)]^^"1^^^. +оо), МО, +оо).
26 М. М. Джрбашян

402 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Если теперь применить к тождеству (1.66') формулу обращения
теоремы Планшереля 1.13 (либо теорему единственности
преобразования Фурье в классе Llt отмеченную нами в следствии 1
теоремы 1.9), то получим, что F*v(tl/9\ р) == F(*1/р), 0<*<-f°o, для
любого р > а.
Таким образом, тождество (1.54) полностью доказано, чем и
завершается доказательство теоремы.
(б) Отметим теперь, что в теореме 7.1 по существу построен
аппарат аппроксимации функций из класса A^a)[plt ог] целыми
функциями в области А (а; 0).
В самом деле, рассмотрим интеграл
F* <*>=ш J Е* <* & °р. *(С; F) dL (1 -67)
£Jj° (v; а)
где Lpa)(v; a) (v > v0, a > v1/p) — дуга кривой £pa)(v), лежащая в круге
|Е|^сг1/р; при этом полагаем, что интегрирование вдоль дуги Lpa)(v; a)
совершается по принятому для всей кривой Ц, (v) направлению.
Легко видеть, что Fa(z) является целой функцией роста (р, а),
причем из теоремы 7.1 непосредственно вытекает
Следствие. Если F(z)£ Л(а)[рь ах], то целые функции Fa(z)
роста (р, а) при о->-\-оо равномерно сходятся к функции F(z)
в каждой ограниченной и замкнутой части области А (а; 0).
Справедливо, однако, более сильное утверждение относительно
характера аппроксимации, осуществляемой целыми функциями F0(z).
Рассмотрим замкнутые подобласти
MP; 0) = {г; |arg2|<^-, г<|*|< + оо}
области А (а; 0), где г и р — произвольные числа, удовлетворяющие
условиям г > 0, р > а. Тогда справедлива следующая
Теорема 7.2. Пусть F(z)£A{a)[olt pj и Fa(z)— целые
функции роста (р, а), где р>.тах<рь 2 ^ >, определяемые форму-
лой (1.67). Тогда существуют постоянные M = M(F; г; р)
и a0 = a0(f>)> 0 такие, что
sup [\z\\F(z)-Fa(z)\}^^^t o^a0, (1.68)
где (о==2и,р — р— 1.

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 403
Доказательство. В ходе доказательства леммы 7.2 было отмечено,
что при a>v часть контура £pa)(v). лежащая в области |£|>о1/р,
состоит лишь из неограниченных кривых
С^(а; cr)c=4+)(^; v), C£"v(-a; oOcZ^—£: v).
на которых параметр т соответственно изменяется в промежутках
(т(о). +°°) и (—°°» —т(а))» г^е т(а)=|/о2— v2.
Поэтому из определения (1.67) целой функции F0(z) и из
интегральной формулы (1.53) теоремы 7.1 следует тождество
F(z)-F0(z) = -±r j* Ep{zl; \1)Ор>11& F)dl +
cp7v <-«= a>
C^(a;o)
= ^ (г; a; a) + ^3) (z; a; a), г 6 A (a; 0). (1.69)
Оценим теперь функции ^"^ и ^"v' в области Дг (Р; 0)сД(а; 0).
С этой целью отметим, что при доказательстве леммы 7.2, например,
для функции S^% (•?) было получено представление
&~%\г\ а; а) =
= * 2я J Ер\е *U «^Vt-/v; ^(т-Л^ЧС*)**.
т<°> (1.70)
z6A(a; 0),
где Фа(т)£/.2(0, -f-oo) согласно (1.35).
Кроме того, в силу (1.38) имеем
sup {|*£Р{*' 2 (•> + e^^T-fv;n}(T-/v),l-1|}<
< Co(f: ?■ , 0<т<+со. (1.71)
(1 + Т) Р
где постоянная С0(г, р) не зависит от т.
26»

*елг(Р; 0)
404 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Из представления (1.70), согласно оценке (1.71), получаем
sup [\z&-{*\z\ а; о)|}<
I+oo VU ( +оо V/*
J>.(t)Nt /т'К-Ц <
О J U(a) J
<ЛМ^11) а>43ЧР). (1,72)
а *>
При этом используем то, что в силу условия (1.27) параметр
(д=2|ыр — р—1 лежит в интервале (—1, +1), а при a->-f-°°
имеем т(о) = уго2 — v2~a.
Очевидно, что вполне аналогичную оценку получаем и для
функции оГ§\г\ а; а):
sup [\zjy\z; а; а)[) < Ml (^; P) , а>а(01)(Р). (1.73)
*€Дг(Р;0) -^
а *р
Требуемая оценка (1.68) следует теперь из тождества (1.69) в силу
(1.72) и (1.73). Теорема доказана.
Таким образом, построенные нами целые функции Fa(z), имеющие
рост (р, а), где p>-max|plf 2 ^, >, при а-> + °° равномерно
аппроксимируют функцию F(z)^Aw[plt ox] (асимптотически
приближаясь к ней при 2—>оо) в каждой замкнутой бесконечной
области АДР; 0)сД(а; 0).
§ 2. Некоторые классы аналитических функций
в полосе и в угловой области
2.1. (а) Обозначим через Н2(а, Ь) (—oo<a<ft<! + oo) класс
функций Ф(г), голоморфных в области а < Re z < b и
удовлетворяющих условию
+ оо
J |Ф(х + О012^<М<+оо (а<х<Ь), (2.1)
—оо
где М не зависит от х. Условимся также класс #2(0, +оо)
обозначать просто через Н2.
Докажем сначала лемму.
Лемма 7.4. Если <D(z)£H2(a, b)% то для произвольного
промежутка [аь bx\a(at b) справедливо соотношение
lim I max |Ф(* + /у)| 1 =0. (2.2)

§ 2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 405
Доказательство. Так как при любом £>а класс Н2(а, +оо)
содержится в классе Н2(а, b)t достаточно доказать лемму для
случая ft< -f-°°- Полагая далее
0<6<-i-min{a1 — a, b — bx)t (2.3)
заметим, что замкнутая полоса аг^.^е z ^bx лежит строго внутри
полосы а-\-Ь^. Rez^Cb—6.
Пусть теперь z = х -f- iy, ах^х ^bx; тогда при 0 < р <^ б
2я
\W-Z\=Q 0
Отсюда легко выводится формула
б 2Л
62Q(2) = JL Jpd9J 0(z + pe^)d(f
о о
и оценка
|Ф(*)|<А=| J" ||Ф(* + ре'Ф)|*р</рДр| . (2.4)
Но ввиду неравенства (2.3) семейство кругов \w — С|^б, £ = £ + /у,
#i<^£<C*i» содержится в прямоугольнике а-\-6<; и<^Ь—6, у—6<^
^г/^у + б. Поэтому из (2.4) следует также, что
|ф«к^
г &-б у+б V/2
\ du \ \d>(u-{-iv)\2dv\ • (2.5)
а+б у-б J
Теперь заметим, что, согласно условию (2,1), при а-\-6^и^Ь—6
и — оо < у < -}- °° имеем
у+б
Фу(в)= J |Ф(« + ш)|2^<Ж, (2.6)
у-б
причем, очевидно, что
lim <р («) = 0, я + 6<я<й —6. (2.7)
|У |->+оо
Из (2.7), (2.6) и (2.5) по теореме Лебега о предельном переходе
под знаком интеграла вытекает утверждение (2.2).
(б) Функции класса H2(at b) представимы интегралом Коши через
свои граничные значения. Именно, имеет место
Теорема 7.3. Если (b(z)£H2(a, b)t где b<-\-oot *по
справедливы следующие утверждения:

406 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Г, Существуют граничные функции Фа (у) = Ф (а -\- iy) и
Фь(у) = Фф-\-iy) из класса L2(—сю, -(- сю), являющиеся
пределами в среднем функции Ф(х-\-1у) при х->а-\-0 и х->Ь — 0
соответственно, т. е.
Ф(а + (у) = 1. i. m. Ф(х + /у),
х->а+0
0(b-\-iy) = \. i. т.Ф(л; + 'У).
x+b-Q
(2.8)
2°. Справедлива интегральная формула
4, Где^с>~£ Гз£з-«*>-
Ф(г) при RQz£(a, b),
0 при Rez£ [а, Ь].
3°. Почти для всех у£(—сю, -|~ °°)
lim Ф(А:+/у) = Ф(а+/у),
Нт Ф(А: + /у) = Ф(* + /у).
х->Ь-0
(2.9)
(2.10)
Доказательство. 1°. Полагая а < л: < Ь, введем в рассмотрение
функцию
о
Фа С х^у^- \®{x + ly)eitydy.
-а
Из условия (2.1), согласно теореме Планшереля 1.13, следует
существование функции ф(/, х) такой, что ф(Л x0)£L2(—оо,+сю)
при каждом х0£(а, Ь) и на всей оси —оо</<+оо
(p(U) = l.i.m.(p0(U) (a<x<b). (2.11)
<J->+oo
Докажем сначала, что
<p(f, x) = e-txcp(t) (a<x<bt — сю<*<+оо), (2.12)
где функция ф(0 не зависит уже от х.
С этой целью рассмотрим интеграл Ф{г)еи dz, взятый
по контуру прямоугольника с вершинами в точках хх ± to и х2 ± /а
(где а < хх < лг2 < #) и, очевидно, тождественно равный нулю для

§ 2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 407
всех t£(—со, -{-оо). Легко видеть, что соответствующее тождество
можно записать также и следующим образом:
ех>*%у, хг) — ех>*%У, х2) =
s=ili [<b{x — lo)etxdx е4= [ <&(x + ie)etxdx. (2.13)
iy2n J i\2zi J
Но, согласно лемме 7.4, для любых фиксированных xlt x2 и t
правая часть (2.13) стремится к нулю при а->-|-оо.
Поэтому при любом t£(—сю, +оо)
lim {ex*<(pa(t, хх) — e**<%(t. *2)}=0.
0->+оо
Но тогда предел того же выражения в среднем по любому
промежутку— /?<]/•</? также равен нулю, откуда, согласно (2.11),
получаем, что ex^q>(tt хх) — ex^(p(tt дг2) = 0. Теперь ввиду произволь-
а+Ь
ности хг и х2 можно положить, например, (p(t) = e 2 y(tt —-J-),
откуда непосредственно вытекает требуемое свойство (2.12) функции
Ф(*. х).
Из (2.11) и (2.12), согласно теореме Планшереля 1.13, следует
равенство Парсеваля
+оо +оо
j \<p(t)\*e-Mdt= J" \Ф(х-\-1у)\Чу (a<x<b),
— оо —оо
откуда ввиду условия (2.1) имеем неравенство
+оо
j |ф(0|2e-2xtdt^M< + oo (a<x<b),
— оо
где М не зависит от х.
Таким образом, функция q>(t) одновременно удовлетворяет двум
условиям;
е-а'ф(0612(— оо, + оо). e-b^{t)^L2{—oot +oo). (2.14)
Пусть снова а < хх < х2 < Ь\ тогда, замечая, что функция
Ф(*. ^i) —Ф(*. х$ = (е-«< — *-*><) Ф (О

408 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
является преобразованием Фурье разности Ф(хх-{-1у)—Ф(#2 + /у),
мы можем написать равенство Парсеваля
J* |ф(х1+^)-ф(^2+/у)|2^=
—со
= J (е-** —e-**y*\<p(f)\2dt% (2.15)
— со
после чего из условий (2.14) легко приходим к заключению, что
правая часть равенства (2.15) стремится к нулю как при хх->а-\-0%
х2->а~\-0, так и при хх->Ь — 0, х2->Ь— 0.
Из этого замечания ввиду полноты пространства*) L2{—оо, +оо)
вытекает существование двух функций Фа (у) = Ф (a -f- iy) иФ6(у) =
= Ф(6-г-/у) из того же пространства, для которых имеют место
формулы (2.8).
Дополнительно заметим еще, что Ф(а-{-1у) и Ф(Ь-\-1у) суть
соответственно преобразования Фурье функций e~at(p(t) и e~bt(p(t).
В самом деле, обозначая, например, через фа(0 преобразование
Фурье функции Ф(я-|-/у), получаем при х-+а-\-0
+со +со
j №«(0 —«-"ФОРЛ™ j |Ф(с + /у) — Ф(х + 1у)\Чу-+0.
— со —со
Так как e~at^{t)^L2{—°°» +°°)» левая часть в пределе дает
+ со
J* |*в(*)-«-в'Ф(012<« = о.
— со
И ПОЭТОМУ ПОЧТИ ВСЮДУ фа(0 = ^""в/ф(0-
2°. Пусть Ca(xlt x2) — граница прямоугольника с вершинами
в точках хх ± iot х2± io, где а < хх < х2 < Ъ и а > 0. По
теореме Коши имеем
1 Г Ф(ю) , ( Ф(г) при |1тг|<а, дг, < Re2? < *2,
2Я1саАх,,,Р "Z l0 при Re *б [а. ft].
(2.16)
Для интегралов вдоль верхней и нижней сторон прямоугольника
получаем оценку
Х2
_*2"
хх^х<хг
Х2
\
*(u±io) du
и ± 10 — z
Х\
<^ТЙ5ЙГ тах {1ф(*±'°)1Ь
*) См. 1.2 (а) гл. I.

§ 2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 409
Следовательно, по лемме 7.4 эти интегралы при a—>-f-oo стремятся
к нулю. Поэтому, переходя к пределу в тождестве (2.16) при
а-> + оо, получаем
1 Гф(,2 + ш) 1 +Г"ф(,, + М
Ф(2) при Re^^^j, x2),
0 при Rez £[а, ft].
(2.160
Заметим теперь, что на всей оси —оо<г/<+оо справедливы
равенства
1. 1. Ш.< г—. >== г-: ,
х+а+о \ x + iv — z \ a + iv — z
'Л'Л'! x + lv-z \— b + iv-z »
если только Re z ф а и Re z Ф b.
Следовательно, переходя к пределу в тождестве (2.16') при
Xi->a-\-0 и х2->Ь — 0, согласно (2.8), получаем формулу (2.4).
3°. Предельные формулы (2.10) теоремы следуют из
интегральной формулы (2.9) в силу известных теорем об интегралах типа
Коши *). Теорема полностью доказана.
(в) Из теоремы 7.3 непосредственно вытекает
Следствие. Г. Если Ф(г)£#2(а, +оо), то все утверждения
теоремы 7.3 о граничной функции Ф(а + /у) остаются
справедливыми.
2°. Имеет место интегральная формула
__L 7 ФС + fr) д [*(«). «<Re*<+co,
2я/ J a + iv-zuv I 0, — oo<Re*<a. KZU)
— CO *
Действительно, функция Ф(г)£#2(а, +°°) принадлежит любому
классу #2 (а» *) Ф > а)- Поэтому, если а < Re г < Ъ или Re г < а,
то
2
<
j
b-\-w — z ч '
+ оо
< \ |Ф(*+«>р*> j (,_,/;(t,_y)2<-fe,
— OO —OO
где Жф не зависит от Ъ > а.
*) См., например, И. И. Привалов [1], [2].

410 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Следовательно, записав формулу (2.4) для функции Ф(г)€
£#2(а» +оо) при любом Ъ > а, а затем переходя к пределу при
6-> + оо, получаем (2.17).
2.2. (а) Параметрическое представление функций всего класса
#2 (я, Ь) дается следующей важной теоремой Винера и Пэли.
Теорема 7.4. 1°. Класс Н2(а, Ь) (—оо < а < ft<;~f-oo)
совпадает с множеством функций, допускающих представление
Ф(г)=^=г j e-»<p(t)dt (a<Rtz<b), (2.18)
— оо
где q>(t) — произвольная измеримая функция, обладающая тем
свойством, что на полуоси (—оо, 0)
e-btV(t)£L2(— оо, 0), если Ь< + оо% (2.19)
ф(£) = () почти всюду, если ft = -j-oo, (2.19х)
и на полуоси (0, +оо)
е-я'ф(0еМ0, +оо). (2.20)
2°. В представлении (2.18) для каждой фиксированной
функции Ф(г)£Н2(а, Ь) функция q>(t) единственна и почти всюду
удовлетворяет условиям: на полуоси (—оо, 0)
Ф(0 = -4=-— —t ®(b + iy)dy, если b< + oot (2.21)
У 2л at J iy
— оо
ф(г) = 0, если Ь = -\-оо, (2.210
на полуоси (0, + оо)
eat d Г elty — \ ~
q{t) = -?=*- Г ±—±<D(a + iy)dy. (2.22)
У 2л dt J iy
-оо
Доказательство. Г. Пусть Ф(г)£Н2(а, Ь), где Ъ < + оо. Тогда,
как было установлено в процессе доказательства теоремы 7.3,
а также в дополнительном замечании к этой теореме, функция
а
Ф(0 = ^1. i. т.—4= Г Ф(х + 1у)е"У<1у (а<лг<*) (2.23)
а-»+оо у 2.Л J
-а
почти всюду определена, не зависит от х и удовлетворяет условиям
(2.14). При этом отметим, что в (2.23) под Ф(а-\-1у) и Ф(Ь-\-1у)
подразумеваются граничные значения функции Ф(г).

§2]
КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
411
Из (2.23) следует формула обращения
о
Ф(х + 1у) = \. i. m.-jLr- [ e-l*+M'<p(t)dt (я <*<*), (2.24)
причем, если д < х < Ъ% то пределы рассматриваемых интегралов
существуют и в обычном смысле. В самом деле, во-первых, легко
видеть, что условия (2.14) эквивалентны условиям (2.19) и (2.20)
теоремы. Поэтому для всех значений х {а < х < Ь) одновременно
справедливы оценки
I
(p(t)e-t*+Wdt
<
{+оо
Г \e-*'<p(t)\*dt
Г *-2<*-«)'dt\ =•
<p(Q«-l*+W'<tt
(2.25)
<
и I'M
6tt
AT,
У6 —jc
Из этих оценок и из (2.24) вытекает интегральное представление
(2.18), причем функция ф(^) в этом представлении удовлетворяет
условиям (2.19) и (2.20).
Полагая теперь, что Ф(г)£Н2(а, + °°)> очевидно, имеем также,
что Ф(г)£Н2(а, Ь) при любом Ъ > а.
Следовательно, в рассматриваемом случае для функции Ф(г)
представление (2.18) имеет место во всей полуплоскости Re^>a,
причем для функции <р(£) в этом представлении при любом #>а
выполняется условие (2.19).
Теперь, если 6>0 и Ъ > max {0, а}, то
-ft +оо
\ |<Р(012<И<*-™ \ \e-b'<p(f)\*dt =
+ оо
= е-2б* J \<S>(b + ly)\*dy^M0e-
2bb
Отсюда, совершив предельный переход сначала при &->-f-oo,
а затем при 6-> + 0, заключаем, что в случае # = -]-оо функция ф(^)
действительно удовлетворяет условию (2.19').

412 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Докажем теперь обратное утверждение, а именно: установим, что
если q>(t) удовлетворяет условиям (2.19) и (2.20) или же условиям
(2.19') и (2.20), то интеграл (2.18) определяет функцию Ф(г),
принадлежащую соответственно классу Н2 (а, Ь) или же классу Н2 (а, +оо).
В самом деле, из условий (2.19) и (2.20) в силу оценок (2.25)
следует, что интеграл (2.18) абсолютно и равномерно сходится
внутри каждой замкнутой и ограниченной части полосы a<Re2<£
и представляет собой функцию Ф(г), голоморфную в этой полосе.
Но из (2.18) при а < х < Ь имеем
+оо
J |Ф(л: + /у)|2^= J е-2"|ф(012^<
-СО -ОО
О +оо
< \ *-2W|q>(OI2<w+J e-<2at\<$(t)\2dt = Ml< + oo,
-оо О
а это означает, что Ф(г)£Я2(а, Ь).
Если же функция q>(t) удовлетворяет условиям (2.19') и (2.20),
то интеграл (2.18) принимает вид
+оо
Ф(г)=у±=г j e~<*q>(t)dt, (2,180
о
причем в силу первого из неравенств (2.25) он абсолютно и
равномерно сходится в каждой замкнутой и ограниченной части
полуплоскости Re2>a и является функцией, голоморфной в этой
полуплоскости. Далее, поскольку при а < х < +оо
+ СО +СО
J |<D(* + *y)Prfy«J |*-*Ф(0РЛ<
-co 0
+ СО
< J |«-в'ф(0|2Л<ЛГа<+оо,
о
в данном случае Ф(г)£Н2(а, +оо).
Покажем, наконец, что и в рассматриваемом случае функции e~at(p(t)
и e~btq>(t) (6<+оо) являются преобразованиями Фурье граничных
функций Ф(а + /у) и Фф-j-ty) соответственно.
Действительно, из (2.18) следует, что для любого х£(а, Ь)
У +оо
j* Ф (х + /у) dy = -±= J -^pL *-"ф (0 dt. (2.26)
О ' -оо
Заметим, далее, что при х -> а+0 или х -> Ь — 0 функция Ф (*+/.у)
сходится в среднем на всей оси —оо<у<-|-оо к граничным

§2]
КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
413
функциям Ф(а + /у) и Ф(6 + /у) соответственно. Далее, из
условий (2.14), эквивалентных условиям (2.19) и (2.20) теоремы,
вытекает, что
e~atq>(t) = \. i. m. *-*'ф(0,
e-btcp(t)=\. i. m.e-xi<p(f).
Поэтому, переходя к пределу в (2.26) при х->а-{-0 или при
х->Ь— 0, мы получаем формулы
У +оо
0 -оо
У +оо
(2.27)
откуда, очевидно, вытекает высказанное выше утверждение.
Аналогично, если & = -f-oo, то из (2.180 получаем первую из
формул (2.27). Иначе говоря, в случае Ь = -\-оо граничная
функция Ф(а + /у) есть преобразование Фурье функции, равной e~atcp(t)
на полуоси (0, +оо) и равной нулю на полуоси (—оо, 0).
Наконец, утверждение 2° теоремы [в частности, единственность
функции ф(01 следует из формул (2.27) на основании теоремы План-
шереля 1.13. Тем самым теорема полностью доказана.
(б) Сформулируем, наконец, в виде отдельной теоремы
предельный случай теоремы 7.4 о параметрическом представлении класса
//2 = //2(0> +°°)> представляющий особый интерес.
Теорема 7.4'. Класс Н2 функций, голоморфных в
полуплоскости Re z > 0 и удовлетворяющих условию
+ оо
sup f |ф(х + /у)|2^У<+оо, (2.28)
0<ж< + оо J
совпадает с классом функций, допускающих представление вида
+ оо
ф(г)*=-^=-^ e~tzy(t)dt, Re*>0, (2.29)
где ф(t)£L2(0t +co).
2,3. Перейдем теперь к изучению более общих классов функций,
аналитических в угловых областях.

414 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Обозначим через g№2 [а; со] (-^^с^+оо, —1 < со < 1) класс
функций F(z), голоморфных в области
А(а; 0) = {z; larg^K^. 0<|*|<+oo}
и удовлетворяющих условию
+ оо
j \F(re**)\*r*dr<£MJ,< + oot |<р|<-£-. (2.30)
где Мр не зависит от ср.
Обозначим далее через L2(0, +oo; со) класс функций /(г),
измеримых на полуоси (0, +оо) и таких, что f (г) г®/2 £ £2(0, +°°)-
(а) Для функций из класса J£?2 [а; со] имеет место следующий
аналог теоремы 7.3.
Теорема 7.5. Для любой функции F(z)£3te2[a\ со] справедливы
следующие утверждения:
( t—\
Г. Существуют граничные функции F(+)(r) = F\re 2а) и
F(-.)(r) = F\re 2а) из класса Z,2(0, +oo; со), для которых
имеют место равенства
12
ф->^-0 0
(2.31)
ф->-£+оо
1
2я/
равен
lim f \F\re 2a)—F(rel(f)
я oo
J \F\re 2a)—F(rel(f)\ r<*dr = 0.
з
2°. Имеет место интегральная формула
0 re ' 2a-z ° г* 2а-г
F(z) при г£Д(а; 0),
- 1 (2 32)
0 при г£Д(а; 0), если а>2".
Игл
" 2а

§2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 415
3°. Функция F(rei(*) при ф-*-?^ 0 и ф-> — -§j- + 0 почти
для всех г£(0, +оо) имеет пределы, совпадающие с гранич-
функциями F\re 2а) и F\re 2а], т. е.
ними
lim F (re^) = F (re* 2a \,
_ Л (233)
lim F (re1*) = F (re * 2a).
ф^-о
2a+°
Доказательство. 1°. Функция ?0 = /log,z конформно отображает
область A (a; 0) на полосу —тр < Rew < у , так как,
полагая z = rel(* и T2; = tf-f-/x;, имеем г; = log г, я = — ср. Поэтому
функция
<b(w) = F(e-lw)exp\— l^-^w\ = F(z)z 2 (2.34)
голоморфна в полосе —у < Re-до < т^-, причем для любого
1«1 = 1фК-5г
+оо +оо
f | Ф (a -1- /v) p rfv = J \F(re"t)\2 radr^Mp<-\-oo,
где Мр не зависит от и и ф.
2а". "о")» и» следовательно,
согласно теореме 7.3, существуют граничные функции Ф(—Т~ + ^)
и ^("^f + M» принадлежащие классу L2(—со, +оо), к которым
стремится функция Ф(н + ^) соответственно при и-> ~—\-0 и
и-*-* ^ в сРеДнем по всему промежутку —оо < t> <+оо«
а также и почти для всех v£(—оо, +оо). Поэтому, обозначай
соответственно
1+со
Fl±)(r)^ F(re±l&) = 0 (?£■ + "<>* г)(ге*'£) * . (2.35)

416
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ (ГЛ. VII
имеем
+оо
+0° +°° я
f \F{±)(r)\2r<*dr= J* I Wr*±/^|2rfi)rfr =
о о
+ оо +оо
= ЛФ(*£+/ИГГ_,'Г=ЛФ(*-5Г+Й')
2 rfv < -f СО.
Иначе говоря, введенные нами функции F\re 2а) и /^г* 2а/
надлежат классу I2(0» +°°J 0))-
Заметим далее, что, согласно формулам (2.34) и (2.35),
при-
1+ю
I+Q)
2
r-*dr =
г \ I i —\ ( +/я \~— I
tf(±)(q>)ss J IFW* ^Дг** 2aj — Р(ге1*)(ге**)
о
+со
= J|o(+^- + nogr)-0(-? + nogr)|2r-irfr=:
о
+ оо
= J | Ф ( т JL+ /<,)_ ф (_ ф + ft,) |2dt,.
— оо
Отсюда в силу отмеченных свойств граничных функций Ф (+ -о—h M»
очевидно, имеем
lim 1/(+)(ф)= lim £/(_)(ф) = 0.
о->£~°
2й— ^->-й-+°
(2.36)
С другой стороны, применяя неравенство Минковского, получаем
+ 00 л W,
J \F(re±l^\ — F(re*V)^ r»dr\ <
о J
<
о
{+со
\\F{re^r-dr
+
<
<
{f/(±)(q>)},A + 2Af>|sini±5-(VT^-)|. (2.37)
Из оценки (2.37) в силу (2.36) вытекает справедливость
предельных равенств (2.31).

§ 2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 417
2°. Так как ФСа>)£#2( <Г""' ~Т~)» согласно лемме 7.4, при
любом #0 (0 < #0 < -о—) имеем
lim { max |Ф(и + ^>)|} =0.
| V | -> + ОО |И|<И0
В соответствии с формулой (2.34) отсюда следует, что для любого <р0
(° <%<-£■)
lim | max Г | F(re^) |г~~2~1 \ =
г->+0 ( |ф|<ф<Л • -U
= lim ( max Г | F(rel<*) \ г"*"] ( = 0. (2.38)
г->+оо I |ф|<ф<Л -U
Пусть фиксированы произвольные числа ей/? (0 < е < /? < +оо)
и ф0 (0<ф0<-2—). Обозначим через С (г; R; ф0) границу области
2В(г\ R\ %) = {z, |аг£*|<ф0, e<\z\<R}.
Тогда по теореме Коши имеем
IF (г) при zgS(e; #; Фо),
2т J C-* ^
С (е; /?; ф0)
_ 1 С2 39)
0 при ,г£Д(а; 0), если a>-g-.
1
Но при фиксированном z£3&(z\ R\ ф0) или г£Д(а; 0) и а>-^
из (2.38) следует, что
-ш J £?^=Ие±^) при е^+°-
It 1-е
I arg U < фо
1 Г /^ ' -1+G)
2ni
I C 1-Я
I arg U < Фо
Поэтому, переходя в формуле (2.39) к пределу при. 8-^+0 и
R->4-oo, в силу условия —1 <о'< 1 получаем
+ оо +оо
J -f=TJ^ = o(/? 2 ) при R^ + oo.
1 Г F(re-l<f°) 1 Г F(retVl>)
( F(z) при J arg г | < <р0>
1
0 при 2г ^ Д (а; 0), если a>-fj.
27 М. М. Джрбашян
1 (2.39')

418
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Выпишем теперь тождества
+ 0О
d(re±
1 г f(^*>)d , , i 7Л^)_d[„*>Ц
re 2a-z
+ oo
F(re±l*)
+~m
ni J ±iJL s '
rfr +
r* 2a-*
Но. как легко видеть, справедливы следующие оценки:
\Л±), ч!// я "> М'^г] I Г г-®*"
l/^*; Фо)1<(^г—<Poj—^^ J | ±ln
(2.40)
„*"*-*
+ 00
f I/7 (re*'"55") — F(re±'Vo)
re±l^-
2
ГЮ^Г
где Ж(±)
+ 0O
re 2а-г
■dr.
Если arg г =И= ± -s-. то из этих оценок, принимая во внимание
предельные соотношения (2.31), получаем
(2.41)
/1±>
(±),
Urn /i*4«; Фо)= lim 7з ' (^; Ф0) = 0.
Ф.^-2^-0
^"2^-°
Наконец, переходя к пределу в (2.39/) при Фо-^-о О» В силУ
(2.40) и (2.41) приходим к интегральной формуле (2.32).
Таким образом, теорема полностью доказана, так как
существование пределов функции F(rei(v) при ф->-9 О и ф-> — -о—\~0
почти для всех г £ (0, + оо), а также их совпадение с граничными
( iJL \ ( -I Л- \
функциями F\e 2а г) и F \е 2а г) непосредственно следуют из
интегральной формулы (2.32) на основании известных свойств
интегралов типа Коши.

§ 2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 419
(б) Для функций F (z) из класса q%?2 ta'» ю] целесообразно теперь
построить преобразования типа Бореля Gp)LA(£; F) так же, как это
делалось ранее для функций из класса Л(а)[рь aj.
Прежде всего для данного класса аналитических функций
3@21а> ®\ (у < a < + °°» — 1 < со < 1) введем два
вспомогательных параметра р и |i, положив
Далее, если F (z) £ S@2 la> °>], т0 Для каждого значения
^("""^Г' "5а) обРазУем Функцию
о
= (^-^СГГ1 J />(*-'V/p) *-<•-'*&> V"V (2.43)
о
рассматривая ее в области
А(р; ^) = {С; |ArgS-^|<^., o<|S|< + co}.
При этом мы рассматриваем (как и ранее) те ветви функций (^~,0С)ЦР
и (e~l%)pt которые на луче arg£ = d принимают положительные
значения. Докажем следующую теорему о свойствах функции g$(£>; F).
Теорема 7.6. Пусть F{г) £ &62 [а; со] (-g-<a<+oo, —l<co<l).
Тогда справедливы следующие утверждения'.
1°. Для каждого значения $£[—у-, -к-) функция (2.43),
где Р^-п-^ГТ и !я==—^-q—•» голоморфна в области Д(р; Ф).
2°. Существует функция бр>)1(£; Z7), голоморфная в области
Д(у; 0), где
- = - + -> (2.44)
Y а ' р
и такая, что для любого Ф£( ^- , -п-)
*<,(£ F)=Gp^(£; F), £6Д(Р: <>)• (2-45)
3°. Функция GDfU(£; Z7) принадлежит классу Зв2\Т> —со].
(jr jt \
— о~ » "о~) и ^ — произвольная
ограниченная и замкнутая область, лежащая внутри угла Л(р; д).
27*

420 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Тогда, замечая, что min(*-'*£)p = v0 > 0, из (2.43) при ££Q имеем
lA(t; П\<\1
mp-l
+oo
+co V/,
J |/>(*-'V")/*-42<«l =
о J
pj* \F(e-^r)\^dr) <(^)'/2|;r-1.
Отсюда следует, что интеграл (2.43) сходится абсолютно и
равномерно в любой области & указанного типа и функция £*$(£; F)
является аналитической в области Д(р; д).
2°. Рассмотрим две функции g^ (£; F) и gb (£; Z7),
соответствующие двум различным значениям fy и ^ удовлетворяющим условию
0<*2-0,<у.
Угловые области А(р; dj) и А(р; 1&2)1 в которых соответственно
определены эти функции, в силу этого условия имеют непустое
пересечение Ap(*i, Ф2) = Д(р; А^пДСр; %).
Покажем, что
(& F) = g.fc F), С€Ар(*ь *2).
(2.46)
Для этого следует рассуждать приблизительно так же, как и при
доказательстве леммы 7.1.
Пусть С(е; R) (0 < е < R < + оо)—замкнутый контур,
являющийся * границей области —'&2<аг&£<— *ь е < I z I < R- По
теореме Коши, в частности, при любом C£ApC&i, $2) имеем
Г F{z)e-№zw-'' iz = Q.
С (е; Я)
Это тождество можно переписать следующим образом:
я
e-iwbx Г ^(^-^^^-^"^^г^-^г —
е
R
— е-1щ&г Г F(e-^r)e- («""ЧУ^г^-! </г =
е
fr2
■tew> J /7(^-^е)<?-^"/^)РеРв-/^^ = [/1(/?)+-(У2(е). (2.47)

§ 2] КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 421
Так как F (z) £ еЮ2 [а; со], согласно формулам (2.38),
установленным в процессе доказательства теоремы 7.5, справедлива оценка
1 + Сй
max l/^-'^K^e 2, 0<е< + со,
где Ах не зависит от е.
Для каждой точки ££Ap(dlt d2) имеем
min (е-1К)р = \&)>0.
о, < о < о2
Заметив это, из определения (2.47) интегралов UX(R) и U2(e)
получаем
\UX (R)\^A2Rp/2e'v «> *Р, \U2 (e)|< Л3еР/2, (2.48)
где А2 и А3 не зависят от R и е.
Принимая во внимание оценки (2.48) и переходя к пределу
в тождестве (2.47) при /?->-{-со и е—>0, получаем
+ оо
О
+ оо
О
Умножая, наконец, полученное тождество на рф^*"1, мы получаем
требуемое утверждение (2.46).
Будем теперь изменять значение Ф в пределах интервала
I— -о— . у-). Тогда с помощью тождества (2.46) мы находим
аналитическое продолжение функции g$(£; F) на всю область А (у, 0),
где — = 1 . Очевидно, что полученная таким образом функция
Ор> ^ (С; F) удовлетворяет условию (2.45).
3°. Укажем сначала один частный случай теоремы 4.1. А именно,
из п. 4° этой теоремы в случае p = jx=l вытекает следующее
утверждение.
Если f(t)£L2(Qt +co), то функция
+оо
<D(*)=J e-ztf(t)dt
о
голоморфна в полуплоскости Re z > 0 и удовлетворяет условию
+ оо +оо
J |0(re'*)p<fr<2VJT j \f{t)\2dt, \M<\- (2-49)

422 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Теперь заметим, что из (2.43) и (2.45) вытекает формула
Gpf|l(«/<o+40*1/p; И =
I +оо
= e-/io+(i-|ip) ср]/" Г e-e*wxt p (e-'V/p) f-ldtt (2.50)
о
справедливая при любых д и ф таких, что |д| < -~— и |ф| < -^— #
Но в силу (2.30) имеем
+ оо
о
и, кроме того, очевидно, что Re(*-'P4>*r)>0 для всехф£|— у- , -^~)
и т£(0, +оо).
Поэтому, пользуясь оценкой (2.49), из (2.50) имеем для всех
1*1<5г"1фК-5Г
+ оо
Г | Ор>ц (е1 «p+*>tVp; F)|2t2(i/P-n)rft<
о
+ DO
<2>^Г| |F(e-,V/«,)^-1f«<2/S"pAl/,.
о
Отсюда немедленно следует, что для всех |ф| <-^—1--^-= —
+ оо
J I Op, ^ (в'Фг; /7)|2г-ю^г<2У"я'Л1у7,
о
т. е. Gp>>A (£; F)£ J^2lY» —©1» и теорема полностью доказана.
Теорема Винера и Пэли 7.4' допускает существенное обобщение
для введенного нами класса функций &€2 [а; со]. Эти результаты (где
естественным образом используются граничные значения функции
Gp (£; Z7)) будут изложены в следующем параграфе.
§ 3. Параметрическое представление класса ЭС2 [ос; со]
3.1. Здесь приводятся некоторые вспомогательные леммы,
необходимые для установления параметрического представления класса
(а) Для заданных значений
р>-у, — я<#<я. (3.1)
как и ранее, введем в рассмотрение взаимно дополнительные угловые

$ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА 2£2 (а; со] 423
области
А(р; <») = {£; lAigt-OK-J-. o<|C|<+oolf
А*(р; *) = {& -g-< |Аг8С-*|<я, 0< |С| <+сю},
сумма замыканий которых составляет всю плоскость £.
Далее, при данном со, удовлетворяющем условию — 1 < со < 1,
обозначим через \i величину
_ l+0-fp
2р
(3.3)
Лемма 7.5. В каждой точке z области Д*(р; Ф) справедливы
предельные формулы
+ оо
li
im
► +оо %
JV
lim
О+оо
а
о
-foo
/-°><*г = 0, (3.4)
Ы).
1 а
r-«rfr = 0. (3.5)
Доказательство. Пусть Lp($; 0)— общая граница наших угловых
областей А(р; #) и Д*(р; #). Так как £= re'^"^ (0< г<+°о)
на контуре £р(Ф; 0), легко видеть, что формулы (3:4) и (3.5)
эквивалентны следующей (одной) формуле:
г Г I '*
0->+00 Л л\ ' '
£р <*; 0)
а
— («-'V1 f e-<«-'*t>p«Ep(e-«>rri*; |л)^-1^т
lC|-ffl|d£| = 0.
.г 6 л* (р; ft). (3.6)
Для того чтобы установить (3.6), заметим сначала, что, согласно
асимптотической формуле (3.24) леммы 3.4, в каждой точке г £ А*(р; Ь)
при т—>+оо имеем
Ер(е-™гт1<Р; ц) = О (т"р) , (3.7)

424 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
причем равномерно относительно z в любой подобласти
е<|*|<+оэ, -g--h*<|ArgC —*|<я (е>0, 6 > 0) (3.8)
области Д*(р; Ф).
Подставляя значение (3.3) параметра |ы, из (3.7) заключаем, что
J \Ep(e'^zxl/^ [i)x^-1|2^T<+co, 2£Д*(р;й), (3.9)
о
причем интеграл равномерно сходится относительно z в каждой
области вида (3.8). Отсюда следует, что интеграл
+ оо
<p(z; w)= j e-xwEp(e-lf>zxl'<>; \i)iP-ldx (ЗЛО)
о
определяет голоморфную функцию от двух переменных w и z при
Re те; > 0 и ,г£Д*(р; О). Более того, согласно теореме 7.4', из
условия (3.9) следует также, что при каждом фиксированном «г^Д'ф; Ф)
функция q>(z; w)% голоморфная в полуплоскости Rete>>0,
принадлежит классу Н2^Н2(0, -|-оо) в указанной полуплоскости.
Следовательно, согласно лемме 7.4, при каждом фиксированном
2£Д*(р; Ф) почти всюду на прямой w = iv (—oo<^<-f-°°)
существуют граничные значения функции y(z\ w). Эти значения ф.(г; iv)
принадлежат классу L2(—оо, -f-oo), причем легко видеть, что
I
lim Г ф(«г, z)— f е-™Ер(е-ФгхгЬ; \1)х»~1 dx
Rew = 0
2
\dw\=0. ($.11)
С другой стороны, согласно лемме 3.9, для любого v>0 при
CE^pCfr» v) и z€^p($> v) справедлива формула
ч>
I e-^-ib09xE^e-i^zxv9. n)Tii-irfT = (e-^)1-w *_e (3.12)
Заметим, кроме того, что функция w = {e^l%f преобразует
область <2*p(ft; v) = {£; Re(e-'°£)p;>v} в полуплоскость Re-a/^v и
Д*(р; ft)c^p(ft; v) (v>0).
В силу сказанного из (3.10) и (3.12) мы получаем формулу
j__
ф(^да) = -«гщ • Rew>o. г£Д*(р;#). (3.13)

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА Э€2 (а; ©1 425
Далее, функция £ = e^w1®, отображая полуплоскость Ret^>0
на область А(р; Ф) плоскости £, преобразует прямую Ret^=0 в два
луча £р(Ф; 0) = J£; Arg^ = *±y->, ограничивающих этот угол.
Следовательно, после замены переменной интегрирования £> = eif*wlto
из (3.11) и (3.13) мы получаем требуемую формулу (3.6), если
заметим еще, что, согласно условию (3.3), 2(1—ИР) + Р—1= — со.
Лемма доказана.
(б) Для дальнейших рассмотрений введем сначала некоторые
необходимые обозначения.
Пусть —1 < со < 1 и функция f(x) такова, что / (х) х®/2 £
£L2(0, +°°)- Тогда при любом р > 0, обозначая ;ы(р)= £ >
имеем f\t р)^ц(р)~ £Z,2(0, +oo), причем справедливо также
равенство
+ оо + со
\ \f(x)\*x°dx=j \-±=-f {?'<>) f ^dt. (3.14)
Рассмотрим теперь функции Фр (т; /), определяемые следующими
формулами:
±*~(1-М,(р)) +оо
«^ /) = ^—sp— ж S -ЧпР1 /С'1*) г*'1 dt- (з-1б)
о
Согласно равенству (3.14) и теореме Планшереля 1.13 функции
Фр* (т» /) определены почти всюду на оси —со <т< + оо и
принадлежат классу L2(—со, -f-oo).
Лемма 7.6. Для любого р0 > 0 на всей оси —со<т<-[-со
1. i. т.Ф^)(т;/) = Ф^)(т;/). (3.16)
Р-»Ро
Доказательство. Перепишем формулы (3.15) в виде
+ °о
= -±=*- Г *±tix-4*f(tl*)f®-l)dt.
V2n dx J ±lt Wp J
Теперь в силу линейности оператора Фурье имеем равенства
+ 0О
Л = /(р;р0). (3.17)
— СО
+ 0О
= f \*f(№eM-i-^f(tv*)№-1
J I Vр Vро

426 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Докажем, что
lim /(p; р0) = 0.
Р->Ро
(3.18)
1+со
С этой целью введем в рассмотрение функцию F(x) = f(ex)e 2 >
причем F(x)£L2(—оо, +оо), так как
+ оо +оо
J \F(x)\2dx=j \f(x)\*x<»dx< + oo.
-оо О
Таким образом, имеем
+оо
+ оо
-JK>-/*'(**)
— оо
откуда с помощью неравенства Гёльдера получаем оценку
{/(р;р0))'/2<
dx,
+
Теперь покажем, что
+ ~ V/2
Пр<х)-р(£х)!*х\ +
-со J
(7
^/yl-jjj^wi2^!
lim f \F(x) — F(yx)\2dx = 0.
(3.19)
(3.20)
Если (3.20) будет доказано, то, переходя к пределу в оценке
(3.19) при р->р0, мы получим (3.18).
Для заданного е>0 выбираем число Л0 = Л0(е)>0 таким
образом, чтобы имело место неравенство
J \F(x)V
dx <
25
(3.21)
l*l>-
Тогда для значений ■^-^.у^.2 имеем также
j \F(yx)\*dx=j j \F(x)\*dx<2 J \F(x)\*dx<^.
(3.21')
\x\>A„
I x\ >yA0
Ul>4

\x\>A0
<
§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА Э€2 [а; со) 427
Из (3.21) и (3.2Г) вытекает, что для всех -y^Y^2
{ j* \F{x)-F(yx)\*dxt^
Члг|>А> J \\x\>AQ >
<l±p-yi<^Vi. (3.22)
Заметим далее, что по теореме плотности [1.1(b)] множество
функций, непрерывных на отрезке [—2Л0, 2Л0], всюду плотно
в классе L2{—2Л0, 2Л0).
Поэтому для того же е > 0 можно выбрать функцию F(x\ e),
непрерывную на [—2Л0, 2Л0], таким образом, чтобы
2г°
J \F(x) — F(x; e)Pdx<^g. (3.23)
-2Л0
Отсюда для любого -^ <! y ^ 2 получаем также
А0 А0/у
J* \F(yx) — F(yx; e)|2rfjc = i J |^(*) — F(x; е)|2</*<
-А ~A>/V
<2 J \F(x)— F(x; e)\*dx<^. (3.24)
-2Д
Далее, ввиду непрерывности функции F (х\ е) можно выбрать
число 6 = 6(e) (о<*<*9") так» что^ы ПРИ И — Y|<6 имело
место неравенство
j\F(x; e) — F(yx; e)\*dx<-^. (3.25)
-A>
Из оценок (3.24) и (3.25) с помощью неравенства Гёльдера
получаем при | 1 — у | < 6
j\F(x;e)-F(yx)\*dx} <l±p-Y^<jVT^
-Ай

428
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VH
Отсюда ввиду (3.23) опять с помощью неравенства Гёльдера
находим
j\F(x)-F(yx)\*dx\ <j j\F(x) — F(x; t)\*dx\ -+-
+
J \F(x\ e) — F(yx)\*dx
<4/e. (3.26)
Наконец, из оценок (3.22) и (3.25) получаем при |1—Y|<&
+ оо
J \F(x) — F(yx)\2dx<e,
откуда ввиду произвольности 8 > 0 следует (3.20).
Выпишем теперь тождества
(Ро)-И(Р)!
1/<*}(т;/) +
Ч*' № /) - <*> (г. /) = { У^ е± '**
Согласно неравенству Гёльдера имеем
-t-oo V*
^JK'^-Vp^fr./)-
-И'Т^*<±)<т;/)Г<М +
+
,Лро
± ^ "о" 1И (Ро)-Ц (Р)1
е
-l|j J KfWdt . (3.27)
,Из неравенства (3.27) в силу (3.17) и (3.18) вытекает
утверждение (3.16) леммы.

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА Э€г [а; 0] 429
(в) Докажем следующую лемму.
Лемма 7.7. Для любого p0J>l и г£(0, -f-oo) на полуоси
[О, -f-oo) справедливо соотношение
1. i. m. \ Е0 [е 2р<> ^ р ' rW/P; jli(p)-f 1 \ т^ <р>-* \ =
= £p0(* 2Po Г^РоТ^Ро; ^(p^+ljx^Po)-!, (3.28)
где
Hp)=1+2Pp+ft), —1 <o>< 1. (3.29)
Доказательство. Заметим сначала, что -~ < М'(р)^М'(р0) при р^>р0.
Легко видеть, что на любом конечном отрезке [О, А] формула (3.28)
справедлива.
Докажем, что интеграл
+г°°1 / tJL (2—р°Л \ .2
/(р; г)= Г \EQ[e 2Ро V р/^/р^/Р; |ы(р)+1)т^"1 dx, (3.30)
о ' 1
который в случае р = р0 принимает вид
+°° я
'((V> /*)=! |ЕРо//^р7г1/РоТ1/Ро; |ь1(р0)4-1)^(РоЫ|2^Т,
для каждого r£(0, -f-oo) равномерно сходится относительно
параметра р в некотором промежутке [р0, рх]. Очевидно, что из
предыдущего замечания и указанного свойства интеграла (3.30) будет
следовать утверждение (3.28) леммы.
Так как из (3.30) следует равенство /(р; г) = г1-2*1 (р)/(р; 1),
нам достаточно установить равномерную сходимость интеграла
V" I / I — (2 - ^Л \ 12
/(р; 1)=J \EJe 2Ро ^ pV/р; |ы(р)+ И ^(Р)-Ч dx (3.30')
о
на некотором промежутке [р0, pj.
Пусть для данного значения р0 ^ 1 фиксированы некоторые числа
_. о__,
аир, удовлетворяющие условию -^— < а < р < ^— . Обозначая да-
лее pt= . п г-, p0<Pi< 2"Po' отметим, что при р0<р<р!
2(-рГ—)
имеем
i<4<sr(2-y)<a<ii<lr<1"l"b fl- <3'3,)

430 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Принимая во внимание неравенства (3.31) и пользуясь леммой 3.2,
получаем формулу
£р(*; |х(р)+1) = р^РМр)^р+2йг J* *7-TP) dU z£°* (3-32)
Y (1; Р)
где через Ga обозначена область Ga={£; |argz|<;a, 2<!|z|<
< + оо}, а через у(\; р) — контур, состоящий из дуги |arg£|<^p
окружности |*|=1 и лучей arg*=±p (1 <!| t\ < +oo);
соотношение (3.32) выполняется при всех р£[р0, pj.
Разбивая контур у(\; р) на составные части, имеем при р0^
<P<Pi
Р
Г | efr РИ (P) | | Л | = Г ^cos рф d(p +
Y(i;P> -3
+ оо +оо
+ 2 Г ^Рс^рРг-рй(р)^г<2^ + - J «Jfc0I'*Jc",ie))+~1rfjc <
i i
+оо
<2*р+ — Г ^-i cosp0p |А-лг1/Ро^лг> (3.33)
Ро J
так как в силу (3.31) ^ <р0а < р0р < рл < я.
Далее, ввиду того, что при z£Ga
min 11 — z | = | z | sin (p — a),
' € Y (l; P)
согласно оценке (3.33), получаем
"ИГ J -7=7-л
v(i;P)
<
<2Щ,,зГп(Р-а) JI^-^MKj^. ^ (3.34)
Yd; P)
где Ах не зависит от р £ [р0, рг] и г.
Наконец, из (3.34) и (3.32) для всех р£[р0, Pi] следует оценка
\Ep(z; ц(р)+1)|<РиГРМр)ЛгР+|^-. ^60а. (3.35)
Заметим теперь, что, согласно (3.31), при p0^P^Pi
?<4^(2-т)]<^<"-

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА 0£2(а;й)] 431
Отсюда следует, что для любого х ^ 2Р справедливы соотношения
zQ(x)=*e 2Po\ f>)x[K>£Ga, (3.36)
cospfe(2-7)]<0- (3-37)
Ввиду (3.36) и (3.37), воспользовавшись неравенством (3.35), мы
получаем, что при всех р£[р0, pj
I£р U"**" ^"*)*1/р! ц(р) + 0 х»(р)-1 I<
< j px-f (р) exp \x cos -^- /2 — &)1 + -^ } х* (р)-1 <
<|р1Л;-14-Л1/<Р)"р"1}<Л2{лг-1+лг"2-6|> х>2р, (3.38)
- . 1 0 . ~
где Л2 не зависит от х и р, о = —9^— >®-
Так как правая часть неравенства (3.38) не зависит от р£[р0, pj
и принадлежит классу L2(2Q, +00), интеграл (3.3(У) равномерно
сходится в промежутке Po^P^Pi- Отсюда, как уже отмечалось
выше, следует утверждение леммы.
3,2. (а) Установим теперь интегральное представление для
функций класса е%?2 IaI ©l» аналогичное теореме Винера — Пэли 7.4'.
Построение такого аппарата и исследование его свойств оформим
в виде двух отдельных теорем, которым дадим, однако, одно общее
доказательство.
Теорема 7.7. Г. Класс Зв2[а\ со] (~ < a < + со, — 1 < со< l)
совпадает с множеством функций, допускающих представление
вида
о
+ J Ep[e~l**ХХЩ Jt;(+)(T)T^^t, 2£A(a; 0), (8.39)
гд*
„^ CX 1 1,1 1+O + p /о >|лч
р>^тг' 7=7+^' >in 4 ' (3,40)
a V(+)(x) и V(-)(x) — произвольные функции из класса L2(0, +00).

432
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
2°. Если F(z)£e%?2[a» ©L m<> nPu условиях (3.40)
справедлива формула
+0° I tJL \
-\- [ E9(e ' 2vzx^ ii)v(+)(x>t F)x»-ldx = F(z), z£/i(a) 0), (3.41)
о
где функции V(+)(t; Z7), г>(_) (т; Z7) также принадлежат классу
/^(0, +oo) я почти всюду на (0, + оо) определяются
соответственно формулами
±/Jid-i*) +2°
^(±)(t; /7) =
2яр
dx
Г ^pV^'^/P^.-t^ (342)
3°. Формула
/*(е*ФГ1/Р; /?) =
= ri-^
+
/•** J fp^^Ye^rVp^/P; \i+l\v{_)(x; Е)х»~Чх
о
Г» J ^р^"^^ФГ1/рТ1/Р; ^_^lU(+)(t; f)Tl*-lft U
0 J J
= />(*'<PrVP) (|ф|<^, 0<г<+схэ) (3.43)
справедлива для всех г при |ф|<-9— и почти для всех г при
2а
Ф= ± —, причем в последнем случае под F
(е±1?аг1/р)
пони-
маются граничные значения функции F(z) в точках е 2а г1^ и
е 2а/-^Р соответственно.
Теорема 7.8. Г. Если
Р>
2а
ар
2а —1
(3.44)
(2а—1)р —2а '
то для области А (и; я) = | г; | Arg * — я | < -^-, 0 < 121 < + °° }
/,(г; f)=0, z£Mk\ я). (3.45)
ил*ее./И

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА ЭС2 !<*; ©1 433
Кроме того, всюду на полуоси (О, +оо)
ЬЦеЪгЫ; F) = 0, |ji-q>|<JL. (3.4б)
2а
2°. Если р= 2 « , то имеет место тождество
^(_г1/р; F) = 0, 0<r<+oo. (3.47)
Доказательство. Пусть 1/(+)(т) и 1/(_)(т)—произвольные функции
из класса L2(0, +00). Для любого значения р!> ^ __ i » полагая
1+Р + ©
[1=—Ц^—'—, рассмотрим интегралы
/>(+,(*)= J £PU 2v«1/p; ^WO^"1^. (3.48)
о
/3,(-)(2T)= J EQ[e 2y ^]/P; |ij tr(_)(t)t»*- ldx9 (3.49)
где 2: принимает любые комплексные значения.
На основании теоремы 4.1 можем утверждать следующее.
Интеграл (3.48) абсолютно и равномерно сходится в любой
ограниченной и замкнутой части области А*(р; -о-) = \ z\ -5-<
< Argz — -9—1^ ^ г » причем он представляет функцию F(+)(z)t
голоморфную в этой области и удовлетворяющую условию
+оо
j\FM(re«*)\*r»dr<MM9 ^<
ф—§Н<Я' (3-5°)
где Ж(+) не зависит от <р.
Аналогично интеграл (3.49) имеет такой же характер сходимости
и представляет функцию F(+)(z), голоморфную в области А* (р; —^-)=
~ I Z* 2d" ^ ^г£ z ~^~ ~2~~ П^ я I и Удовлетв0РяЮЩУю условию
||,Р(_)(г^Ф)рг^г<Л1(_), ^<
о
Ф + |г|<л, (3.51)
где М(_) не зависит от <р.
28 М. М. Джрбашян

Ал „ =
Pi Ct
434 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Рассмотрим теперь пересечение Ар>а угловых областей А*(р; -*-)
и А*(р; —Т") • Ясно, что Ар>а всегда содержит область А (а; 0).
В случае р > 2 _. положим еще
*=(2а-Г)Рр-2«' (8-82)
и, замечая, что к > -^ , введем также в рассмотрение область А (и; я)=»
= jz; |Argz—я1<Т~г- Тогда легко видеть, что
А(а;0) при _^<р<-5-^,
2а (353>
А(а; 0) + Д(к; я) при р> 2а_1 ,
причем в предельном случае, когда Р= 2 __i > замкнУтый Угол
А(х; я) вырождается в полуось (—оо, 0], входящую в состав
границы обеих угловых областей Д*(р; -£-] и Д*(р; —-Щ .
Наконец, полагая F(z) = F(+)(z)-{- F(_)(z), мы немедленно
получаем, что при любом р^> 2 __. функция F(z) голоморфна в области
А (а; 0) и в силу (3.50) и (3.51) удовлетворяет условию
+ оо
j \F(re**)\*r®dr^MF<+oo, |Ф|<-£. (3.54)
о
где Ж/7=2(Ж(+) + Ж(_)) не зависит от <р.
В силу (3.48) и (3.49) это означает, что функции F(z),
допускающие представление вида (3.39), где V(±)(x)£L2(0, +°°)»
принадлежат классу <2$?2[а'> ^Ь
2а
Попутно было установлено, что при р > 9 1 функция F(z)
голоморфна также в области А(х; я) и удовлетворяет в этой области
условию
+ оо
J|/?(re"»)Pr«dr<AI5. |я — ф|<^. (3.55)
о
2а
Иначе говоря, при Р > 2 _i формула (3.39) не только определяет
в области А (а; 0) функцию F(z) из класса е%?21а» ю]» но также

§3]
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА 9€г [а; ю]
435
определяет и в области А (и; ю) некоторую голоморфную
функцию F+iz), такую, что Fm(— z) £ е%?2 Iх» <*>Ь
Теперь нам надо доказать обратное утверждение, а именно, что
каждая функция F(z) £ е%?2 IaJ ®] Допускает представление вида (3.39).
Для этого достаточно доказать утверждение 2° теоремы 7.7 о том,
что каждая функция F(z)€e%?2la> ^l Допускает представление (3.41),
(3.42).
Отметим сначала, что если F (z) £ &№2 ta» ©1» т0» согласно
теореме 7.5, справедлива формула
1
1лГ
jA0d(r^)-^jA^A^U
0 re ' 2а-г
re 2а-г
(
F(z) при z£A(a; 0),
0 при z£A*(a;0). (356)
1
Далее, так как по условию Р^> 2 _. , т. е. -x-^l, то в
формулах (3.4) и (3.5) леммы 7.5 можно соответственно положить $ = £•
»* = —Зу-
Таким образом, мы приходим к следующим предельным формулам:
J-» I . Я /• / . Я \
L" 2 %цр-1 e//Pt£p^" 2Y<2rtl/p; jliJt^-1^ —
. __ _ I у
г* 2a-*
C->+00
lim f \e 2 Vp-1 f e-'^fipU' ^ztVp; jjt^dt —
A*£
Но тогда в каждой точке zt принадлежащей пересечению Ар a
областей Д* (р; ± -^-\, эти формулы справедливы одновременно. Таким
28*

436
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
образом, имеем на всей полуоси (0, +оо)
. Л СО
re* 2а-г
= е 2 1. i. m.
а л
rw-i j"e±lrp-<Ep («*' 2v^ti/P; J tn-i ах| г~^,
^6\a- (3.57)
Рассмотрим далее интегралы
"(±)<*)= Т i Г77 («" ^)-4^-^г. (3.58)
0 re±l^-z
с помощью которых формулу (3.56) можно записать в следующем
виде:
t \ f±\ I F(z) ПРИ г€д(<х; 0),
обозначения
ФЕт±) № s) = J е±и*Ер\е av^/P; jlxJ т^"1 rft (3.59)
Введем обозначения
и заметим, что
(e±l^r)r
««6^(0. +°°).
6^(0, +оо).
Тогда из (3.57) и (3.58) следует, что
1/(±)(*)=-
±i~2 (1-H)
±* -2-(1_|Л)
2яр
lim Г F («*' ^г) гцр-1Ф^) (гр; г) dr =
(Х-»+оо g
+" /tiJL \
lim \ F\e ^t^je-Wa^it; z)dt,ze\,a,^m
-> +00 «
причем, как легко видеть,
/=•(**'^1/р)^_1 6 МО, +оо).
(3.61)

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА ЗСг |0; ©1 437
С другой стороны, обозначая
±1 -f- (1-й) * /я \
и принимая во внимание (3.59), очевидно, имеем тождество
о
= Г EpU*' "^^/Р; |i) x^-lv[^{x\ F)dx. (3.62)
0
Согласно условию (3.61) и теореме Планшереля 1.13 на полуоси
(О, -f-°°) существуют пределы в среднем
<\±>(*; F) = \A.mM%(x\ F) =
2яр
о
±'-?<l-|*> +°°
J '**'-!/>(,*'*,*) <>-'*.
2яр dx
о
Но тогда, согласно (3.62), для любого фиксированного значения а > О
имеем
Л .л ... +00
±1 -- (1-Ц)
g
2яр
о
lim Г F (e±l %t1/p) f ~W № г) Л =
->4-оо t/
±* 4 а-й) *
« 2
/?-»+оо
а
= j Е9\е*1 ^zxW; \i)x*-lvi±)(x; F)dx. *6Ap,a. (3.63)
о
Так как предел (3.60) заведомо существует, из (3.63)
вытекает, что
U{±\z)= lim f Е9(е****гх1'»; [i)x^v(±)(x; F)dx =
a-»+oo0J
= j EQ[e* 2Y^/P; uJtH-^^t; F)dxt *6Ap,a. (3.64)

438 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Остается теперь заметить, что, согласно (3.53), А (а; 0)сДр|(1 при
р^ о _1 * после чег0 формулы (3.560 и (3.64) дают нам
представление (3.41), (3.42) теоремы 7.7.
Итак, утверждения 1° и 2° теоремы 7.7 полностью установлены.
В дополнение к этому отметим еще, что, согласно (3.53), имеем
также А(х; я)сДр>а при р > 2 __, , а потому из тех же
формул (3.56') и (3.64) мы попутно получаем, что при р > 2 "
оператор LQ(z\ F) имеет смысл и дает тождественный нуль в области
Д(х; я). Таким образом, мы получаем тождество (3.45) теоремы 7.8.
Перейдем к доказательству утверждения 3° теоремы 7.7.
С этой целью, во-первых, отметим, что интеграл
J |£p(«A»*,*;|i+l)*'*-I|2rf* (т<^<Т+7)' (3-6б)
О
согласно лемме 4.1, сходится для любого значения ф (тр^М^я)-
Более того, как легко усмотреть из доказательства этой леммы, при
р>-о* сходимость интеграла (3.65) равномерна относительно
параметра ф на всем промежутке у, 2я — -тр •
Рассмотрим теперь интегралы
+°° { i — \
[ EQ[e 2V^ri/pTi/p; il-\-1)%v-*v{-)(%; F)dx,
о
J Ep[e~l 2?е'ФГ1/РТ1/р; ii+l)x^'lv{+)(x; F)dxt
(3.66)
зависящие от двух параметров г£(0, +оо) и ф. Заметив, что
V(±)(t'> F)^L2(0, +оо) и принимая во внимание отмеченное выше
свойство интеграла (3.65), приходим к заключению, что оба
интеграла (3.66) абсолютно и равномерно сходятся соответственно в
следующих промежутках изменения параметра ф:
я ^
Я ^
"2р^
, Я
(3.67)
~ К я.

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА Э€2 \Щ ®] 439
Введем далее в рассмотрение замкнутое множество
а ^ . 2а
• р,а-
-Ш- 25-J ПРИ257Л<Р<2^Т'
1 Г я я] , Г я . я! .2а (3.68)
Ц-2^' ШГ] + 1Я-2^'Я + ^ "Ри Р>5П=Т
Отметим при этом, что в случае р — __ отрезок я— у- , ^ + -о~[
2а
вырождается в одну точ~ку я, так как у—^ + оо при р->^ * Ч~0*
Теперь легко убедиться в том, что множество точек <?р>а
совпадает с множеством всех тех значений ф, для которых условия (3.67)
выполняются одновременно.
Из сказанного следует, что при любом фиксированном г£(0, +оо)
интегралы (3.66), а также их сумма
Qp(^'cpri/P)= Г Ер[е 2У^/ФГ1/рт1/р; ц-f-1Jtt^-1z/(_)(тг; F)dx +
о
+оо
+ f £p\e "5V<Pri/PTi/P; M--I- lj tm--i^(+)(t; f)dT (8.69)
0
являются непрерывными функциями параметра ф на замкнутом
множестве cfp, а.
Для произвольных значений ££(0, +оо) и ф£^р,а рассмотрим
функции а
0
+ J Яр (Г' W*'V'V/P; ji) ^"4+) fo *0 Л (а > 0). (3.70)
о
Пользуясь формулой
г
J* Ep(^1/р; ц)f*-1 <tt = r1^(>r1/p; ц+ l).
о
справедливой при любом z, из (3.70) получаем при любом г£(0, +оо)
/■
|/,р,0(Л1/р; F)e-ldt =
о а / ^_jt_ \
==r»* f £pU ^e'V^/P; fx+ljt*1"1^-)^; F)d% +
о
-\-r* j EQ[e 2vв/Фrl/Pтl/P; fx+lj^-1i;(+)(t; /=) dt. (3.71)

440 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Перейдем в (3.71) к пределу при а-> + оо. Тогда, используя
определение (3.70) функции Z,p> 0(eiq>t1/p; F), формулу (3.41)
теоремы 7.7, а также формулу (3.45) теоремы 7.8, получаем
г
lim |\(0(Л1/Р; F)e-ldt =
г
\ F{el*tll*)r-ldt при |ф|<-£. если 9>^>
(3.72)
0 при |я—ф|<-^-, еслир>2^1;
С другой стороны, переходя в (3.71) к пределу при а->-(-оо,
получаем, что для любого г£(0, +оо) и Ф^^р, а
г
lim \ua{ei4l(';F)e-1dt =
==r^ J £p\* 2Y^q>ri/pTi/p. ja—|- 1J x^-1^-) (x; F)dx +
о
+ /* f E9\e 2Y^cpri/pti/p; vl-\-\)%v-*vm(%\ F)dx. (3.73)
0
Из (3.72) и (3.73) следует, что
+ оо
г»
Г Ер [е12Уе^г^х1^ |i+ l) ^-'^(т; F)dx +
+ оо
+ r*\ ^(^'^Фг^т1^; [х+ lj х»*-1-»(+)(х; F)dx =
о
/•
JFie^f-1* при |Ф|<-£. если p>s?_.
О при |я—<р|<2£, если р >-—-j..
(3.74)
Отметим, что левая часть равенства (3.74) отличается от функции
fip(£/(Pr1/p) лишь множителем г*\ Ясно, что левая часть (3.74)
непрерывна на отрезке \ — ^-, -^-J при любом р>-^п • ПРИ Р > 9а~^Т
эта функция, кроме того, непрерывна и на отрезке я— ^— , я+ ■£- .

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА ЭС2 [а; ©] 441
Далее, ввиду формул (2.31) теоремы 7.5 имеем
lim 7° | F (*'V/p) е-1 - F (е±' ^1/р) f1 f dt = 0.
я J
Поэтому для любого г £ (0, -f- oo) получаем
lim J />(«'V/PK-1<tt= j /»(«*'^Н^"1 Л.
Jt
2а
F^ 2а/1/PJ и F\e ^t1/pj СуТЬ граничные значения функции F(z)
где
я . я
в точках £ 2а tl/Q и е 2а/!/Р границы области Д(а; 0), определенные
почти для всех ££(0, +оо).
Принимая во внимание отмеченные обстоятельства, мы приходим
к заключению, что равенства (3.74) остаются справедливыми в замк-
Г я я ~| Г я ,я1 .2а
нутых промежутках [-^, -^j и [я-^ , я+^J при р> ^-у .
Теперь, дифференцируя тождества (3.74) по г, мы получаем
формулу (3.43), т. е. утверждение 3° теоремы 7.7. Но, кроме того,
попутно получаем также, что при р > 2 _. оператор Z,p(r1/pe/(p; F}
имеет смысл и дает тождественный нуль в промежутке я—^—-^ф^
^я+^—. Иначе говоря, утверждение 1° теоремы 7.8 доказано.
Таким образом, нам остается установить утверждение 2°
теоремы 7.8.
С этой целью, вводя обозначение р0 = 2 __. , заметим, что р0 > 1„
я/1 , 1\ я я я/1 , 1\ я/л р0\
Полагая далее р > р0 = , из формулы (3.74) при <р = я
получаем тождество
J Е9 [е 2Ро v р / г^рт1^; ц (р) + 1J %» W- \^ (т; F) dx +
о
+ J Е9\е 2^к p/^/pt1^; ji(p) + I) х»^-\+)(х; F)dx==0,
о
0<r<+oo, (3.75)

442 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
причем, согласно (3.42), имеем
t,(±)(t; F) = v^)(x\ F) =
±i~(l-H(p)) +°°
е 2 d
2яр dx
о
] j££pLP(,*'-st»),*»-**.
Так как при любом р^р0
И^'^Н^'ЧМО. +00),
согласно лемме 7.6, на полуоси (0, +сю)
1. i. m. гДО (т; F) = гКМ (т; F) = * (t; F) I . (3.76)
p->Po+0 K±) K±) {±) 'P'Po
Далее, согласно лемме 7ЛУ на полуоси (0, -\-со)
( tJL(2-&) \
1. i. т.ЕЛе 2Ро v pV^t1^; M,(p)+lJt^(Pb1 =
р->Ро+0
-Ро
\* 2Рог
1/РоТ1/Ро; (Я (ро)-Г- lj ТМ-(Ро)-!. (3.77)
Перейдем теперь в (3.75) к пределу при р->р0 + 0. Тогда,
пользуясь соотношениями (3.76) и (3.77), получаем тождество
+со / -/— \
Г Е9о[е 2Ро г^рот^Ро; \х (р0) + 1J т^ М- lv<ft\ (т; F) dx +
+
+*°° ( iJL \
J £Ро [е 2Ро г^рот^Ро; fi (рь)+ lj t»*(Po)-i^Po) (t; F)dx = 0,
0
0<r<+oo. (3.78)
Умножая теперь тождество (3.78) на г^ и после этого
дифференцируя его по г, воспользовавшись очевидным соотношением -=— =
= л — 77 1 1—). получаем формулу (3.47), т. е. утверждение 2°.
^ \ Ро а /
Итак, обе теоремы полностью доказаны.
(б) Доказанная выше основная теорема 7.7 в случае, когда
параметр р^> 1 принимает свое минимальное значение, имеет более
простой вид. Приведем соответствующий результат в виде отдельной
теоремы.

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА д€г [а; ©1 443
Теорема 7 Л'. Г. Класс <3€2 [а; со] (j < а < -f оо, — 1 < со < 1)
совпадает с множеством функций, допускающих
представление вида
F(z) = J E^—zxVp; ii)x*-lv(x)d%, z£k(a; 0), (3.79)
о
где
р=2^т- и-т+^+^-яг)- (3-80>
а -у(т) — произвольная функция из класса Z,2(0, +oo).
2°. Если F(z)£<2%?2[a\ со], mo #/?w условиях (3.80) справедлива
формула
/7(г)= J £p(— гт1^; ^т^-^Ст; Z7)^, z£Ma\ 0), (3.81)
о
причем почти всюду на (0, +оо)
.<*.*-£* Г-^м.-'*~<,,Нх
— оо
Х(.1',*,'|/|Г1Л- (3-82)
3°. Представление
F(fiiftrlto) = rl-»-£p
+оо
г»4 Г Ер(—г'Ф/Л'Рт1*'; [а+ l)^"1^; f) dt
и
(|ф|<р 0<г<+со) (3.83)
имеет место для всех г, если |<р| < тт" > я почти для всех г,
если ф = ± 2^- •
Действительно, так как в рассматриваемом случае у ( 1 )=я,
в формулах (3.39), (3.41) и (3.43) теоремы 7.7 каждый раз вместо
двух слагаемых мы имеем лишь одно.

444 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Поэтому, полагая v(t) = V(-)(t)-\-V(+)(x) и
*(т; Z3) = *<-)(*; F)-\-vM(t; F) =
1 d
2яр dx
Г —ixt 1 / / л ч
J !—=±F(e- ^t^yitf-1 dt+
+oo Л
0
+oo
-£*J£^'('-,*'*'i'i-)(',*,,-,mr«<.
—oo
мы получаем из теоремы 7.7 все утверждения теоремы 7 Лг.
(в) Отметим некоторые следствия, вытекающие из теоремы 7 Л.
Следствие 1. Класс <2Й?2П;0] функций F(z), голоморфных
в полуплоскости Rez>0 и удовлетворяющих условию
+ оо
sup f \F(re^)\2dr < + оо9 (3.84)
1фкт о
совпадает с мнооюеством функций, допускающих представле-
ние вида
+ оо
F(z)= ^ e~zxv(x)dx, Rez>0, (3.85)
о
где г>(т)£/,2(0, -f-oo).
Действительно, достаточно воспользоваться утверждением 1°
теоремы 7Л\ положив там а=1, со = 0 и заметив еще, что
Ex(—zx\ \) = e~zx.
Следствие 2. Класс ©%?2[1; 0] совпадает с классом Н2 =
= #2(0, -f-oo) функций F(z)t голоморфных в полуплоскости
Re2>0 и удовлетворяющих условию
+ оо
sup f \F(x + ty)\2dy<+oo. (3.86)
0<*<+оо J
— оо
Это утверждение непосредственно вытекает из следствия 1 и
из теоремы 7.4'.
Сопоставляя следствия 1 и 2, в частности, имеем:
Если функция F (z) голоморфна в полуплоскости Re2>0,
то для нее условия (3.84) и (3.86) могут выполняться лишь
одновременно.

§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА д€2 [а; ©1 445
Аналогичное утверждение имеет место и в общем случае для
класса &€^\о:у со] (-2<а< + °°. —оо<со< + оо|. Чтобы
убедиться в этом, обозначим через НР(0, -\-оо;(д) (где -о-><а< + оо,
— оо<о)< + оо| класс функций F (г), голоморфных в области
А (а; 0) и таких, что
sup f \F(z)\2\z\»\dz\<+oo9 (3.87)
0<V<+OO^a(0;v)
где La(0; v) — кривая Reza=v, |argz|<-^-.
Следствие 3. Классы £%?2№> °>1 а Ма)(0» + °°; ю) [где -к^^<
< + оо, —оо<со<+оо] совпадают.
В самом деле, заметим сначала, что функция w = za конформно
отображает область А (а; 0) на полуплоскость Rete;>0 и при этом
преобразует семейство кривых (£а(0; v)} (0<v< + oo) в семейство
прямых {Re?0 = v} (0<v< + oo).
Поэтому, обозначая Ф (w) = F (w1/a) w 2a , очевидно, имеем
формулы
+°° +°° • / .„
J \0(Rel<v)\2dR = a Г ^(г*1^)! r«>drt |ф|<у.
о о
j \<D(w)\*\dw\=a J \F(z)\2\z\*\dz\9 0<v< + oo.
Re w -v La (0; v)
Отсюда ввиду следствия 2 (или в силу предыдущего замечания)
вытекает наше утверждение.
(г) В заключение этого параграфа дополним результат теоремы 7.6,
а именно, выясним связь между функцией F (z) класса е%?21а» ю] и
ее преобразованием типа Бореля Gpix(£; F).
Будем пользоваться уже принятыми выше обозначениями, полагая
опять, что -j <a<-f-oo, p> 2a!!_i *

446 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Теорема 7.9. 1°. Если F(z)^S^2la* ^L #*о почти всюду на
полуоси (0. +оо)
2°. Пусть г>(+)(т) и г>(_)(т)— произвольные функции из класса
L2(0> + °°)> £ помощью которых образована функция
F(z) = J £p U 2v гт1^; |ij t^-*г>(_) (t) dt +
о
+ J Cp^'^tVP; Jt^-^+jCt)^ 2£A(a, 0), (3.89)
о
принадлежащая классу*) &€2\ъ\ со]. Тогда функция Ор ^(£; Т7)
представила следующим интегралом типа Коши:
0 £_* 2Vt1/P
-1-ГО
.jLl-1
+ J ( n_—л. C6A(v; 0). (3.90)
Доказательство. 1°. Из свойств функции Gp>(l(£; Z7).
установленных в теореме 7.6 (3°). в силу теоремы 7.5 (1°) вытекает, что
функция Gp>M((£; F) почти всюду на лучах arg£= ± -~- имеет граничные
значения Gp, рД* 2^r\F)t для которых
+ 0О| / ^£ \ I2
lim ) lO^U* ^nF)-GQtll(e^n F)\ r-»dr = 0.
Отсюда, как легко показать, следует также, что
+ OOI
+0О| /Л f /Л \ ±_
lim f U* ^Op^U* *i%Up;f)xp *-
ггт J
(р->±"27 и
1_ I2
^/ф0р.ц (*/cptl/pi О^р Ч dt = 0. (3.91)
*) Согласно теореме 7.7 (1°).

$ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА Э€2 [а; со] 447
С другой стороны, в ходе доказательства теоремы 7.6 была
получена формула (2.43'), согласно которой почти для всех
т£(0, +оо) и для любого Ф, удовлетворяющего условию |#|<ilf
имеем
= exp{4_»±»(,-I)]},»-i£p^(e-<V»)<»-'««.
Подставляя сюда Ф+ ог = Ф соответственно для значений о-<ф<^
и —~- <ф <—2^, полУчаем почти для всех т£(0, +оо)
представления
= e^T^J^lF(e-^^P)t^dt (3-92)
О
Согласно определению (3.42) функций *>(±)(т; F), из (3.92) в силу
равенства Парсеваля приходим к оценке
2
t2*-lUt =
J ,* 2V)(T;F)-^Gpifl(^Ti/P;/0tP
о
+ оо
<2л J И^Н-И'~'ф±г^1/р)1
О
= 2лр| \р(е*1^г)-р(е~1^т%К)\2 r^dr, (3.93)
о
причем при верхнем знаке полагаем -or < Ф < -о- » а при нижнем
2р ^ ^ ^ 2Y
знаке полагаем —^— < ф < — ^—.
Так как F(z) £ J#2 [а; со], правая часть (3.93), согласно тео-
реме 7.5, стремится к нулю как при ц>->-~ 0, так и при
л
ф-> — -~—1-0. Учитывая это обстоятельство и принимая во
внимание предельное соотношение (3.91), из (3.93) получаем формулы (3.88)
теоремы.

448 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
2°. Полагая в формуле (3.89) z = tlfp (0</<-f-oo), согласно
теореме 7.6 (2°), при ££Д(р; 0) имеем
о
= С№-1 Нш {/<_,<£; 6; Я) + /(+)<£; 6; /?)}. (3.94)
6->+0
#->+оо
где
= J е~*'р-1М J ^U^-v^i/p. J ^-^(ч:)(т)Л. (3.
95)
6 о
Заметим, что, согласно теореме 4.1,
1
i. m.l^-1 [Ep{e±l^tv\l,p; ц)^~\г)(t) dt ! =
*+0° ( о I
= r1+f£p(e±iW; n)x^\T)(T)dT6L2(0. +oo).
Отсюда и из (3.95) следует, что
/<*)(£; 6; Я) =
= lim L'^Y-'dt [gJ^'W; n)^-VT.(t)rfx =
°^+0° 6 0
= J^Wt^-^t J e-*%{e±l%№; ^t^dt, C6A(p; 0).
(3.96)
Заметим теперь, что при любом t > 0
е* 2v т1/р 6 А* (р; 0) с <2>р (0; v) (v > 0).
Полагая далее, что
С6^Р(0; v)cA(p; 0) (v>0),

S3]
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА Э£2 [а; 0)1
449
£__/ 2YTl/p О
и пользуясь леммой 3.9, для любого 0<6</?<-f-oo получаем
J«-«Pfp(«±'WV/p;|i)^-1^ =
6
б
/?
Подставляя это значение в формулу (3.96), имеем
+ оо б
о о
= */,(£; 6)+t/2(S; Я), $6Д(Р; О). (3.97)
Я . Л
Так как у- < -^-^я, согласно оценке (1.48), имеем
1 '
Af
(0 < tt x < + oo),
■+<*t)1/p
где Ж не зависит от / и т.
Отсюда ввиду того, что 0(±)(т)££2(О» Ч~°°)» следуют неравенства
+оо 6
|t/i(C; 6)|<Ж f |^,(t)|^-irfT f *""' ^ =
J J 1+«т)1/р ^
<М
+ ('т)1/р
+ 00 у/2 &
2(H-1>
Ж,
(?
•rfT
Л =
| J (itV^} •1тг=ж^6"- <3
.98)
29 M. M. Джрбашян

450 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Аналогично имеем также при ££с2*р(0; v)
|t/2(C;tf)|<M j* \vw(t))t»-> dx j '2'mW dt<
0 /? "^ '
l +00 y/t +00 ( +00 y/2
<M| \v{T)(x)\*dx} • e-V"1]. — штЛх)
rf/1
Г/я +°°
= Ml\i TT^dx\ J 7Гл<-дг- (3'99)
Из формулы (3.97), принимая во внимание оценки (3.98) и (3.99),
окончательно получаем при ££Д(р; 0)
Hm/w(C;e;/?) = C,-,,pf 'W W Г ^
/?->+*> ° 1-е 2yt1/p
после чего из (3.94) вытекает справедливость представления (3.90)
теоремы в области Д(р; 0).
Но интегралы, стоящие в правой части формулы (3.90), сходятся
абсолютно и равномерно внутри всего угла к (у; 0)зД(р; 0) и
представляют собой функции, голоморфные в области к (у; 0). Отсюда
ввиду голоморфности функции Ор (£; F) в области Д(у; 0) и
единственности аналитического продолжения следует справедливость
формулы (3.90) всюду в области Д(у; 0). Теорема доказана.
В заключение отметим также, что, опираясь на свойства функции
ОрiM>(£; F), установленные в теореме 7.6, можно показать, что если
F(z)£ <Ш?2\а\ ^Ь т0 соответствующая функция О t(^; F) в области
Д(у; 0) представима интегралом Коши от своих граничных значений
00Ае±1^г, f). Иначе говоря, справедлива формула
re' 2V-S
1 Т аРХ'^г,р) ( ,jl \
~~Ш J л d\e^r), C6^(Yl0). (3.100)
г/5"-С

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 451
§ 4. Общая теорема о параметрическом представлении
Напомним, что в теоремах 4.3 и 4.4 дано построение аппарата
интегралов типа Фурье для произвольной конечной системы лучей,
исходящих из начала координат. В теоремах же 7.7 и 7.8
содержалось построение и исследование свойств интегрального аппарата,
дающего параметрическое представление класса функций $$2 [а; со].
В данном параграфе дается существенное обобщение этих результатов
для множеств комплексной плоскости, состоящих из конечного числа
лучей и угловых областей, замыкание которых содержит лишь одну
общую точку z = 0.
4.1. Здесь мы введем ряд предварительных определений и
обозначений, необходимых при формулировке и доказательстве основной
теоремы.
(а) В дополнение к обозначению области Л (a; ft), которым мы
пользовались ранее, для любого а (-^ < а <! + со) и д (— я < д<! я)
множество точек Л (а; д) плоскости z определим таким образом:
[ я 1
\kxgz — д|<тг- при — <а<+оо,
Л (а; *) = { ' 2а 2 (4.1)
[argz — ft при a = -f-co.
В дальнейшем всегда будем предполагать, что совокупности чисел
K)f: — я<*1<*2< ••• <$Р<п,
Kir ^<<**< + схэ (£=1,2 р) (р>1)
такова, что всевозможные пересечения Д(а^,; О^) П Д(а^2; О^)
замкнутых множеств {А(аЛ; §к))Р\ содержат лишь единственную точку —
начало координат.
Легко видеть, что это условие эквивалентно следующей цепочке
неравенств:
**«-**>£(£+ii£r) (k=h2 р)' (4'2)
где др+1 = dj + 2я и a/7+1=a1. Отсюда, очевидно, вытекает, что
замкнутые промежутки
«*={<Р; |ф-**1<2^} (*=1. 2 р) (4.3)
(вырождающиеся в точки дл при ак = -\-оэ) всегда имеют пустое
пересечение.
Если в дополнение к условиям (4.2) предположить еще, что
29*

452 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
ТО
**€!-*. «] (*=1. 2 р). (4.4)
В принятых нами условиях на плоскости z рассмотрим далее
точечное множество
р
М {*! ftp; а1э . . ., а,} = М {ft; a)=|JA (a*; О*). (4.5)
компонентами которого служат лучи, исходящие из начала координат
(если среди чисел ak имеются равные +оо), и угловые области
с вершиной в той же точке z = О (если среди чисел ak имеются
отличные от -f-oo). Замыкание этого множества
— р _
М {ft; a} = LM(<V> О*)
1
состоит из совокупности {А(ал; ftfc)}f лучей и замкнутых угловых
областей, пересечение которых по условию содержит единственную
точку — начало координат.
Дополнение замкнутого множества М {ft; а}, очевидно, состоит
из угловых областей вида
Мр*; Ф*) = {*; IArgs-ф*! < ^} (ft=i, 2 р),
где — я < \|?! < ф2 < ... < фр <; я, -j < рй < -(- оо и, кроме того,
Обозначим далее
Рж = тах Ы (4.7)
и заметим, что раствор наименьшего из углов {Д(рй; ф*)}р
дополнительных к множеству Л4 {ft; а}, равен . Поэтому число рж
в определенном смысле служит метрической характеристикой
дополнения множества М {ft; а}. Следует отметить, что в силу (4.6) и (4.7)
вообще
а при р^>2
Pm>j>j> (4.8)
Рж>2~Т (*=1- 2 Л- (4-80
причем при аЛ = -|-оо следует положить -= £Цр = 1.

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 453
Далее, с данным множеством М {ft; а} плоскости z будем
ассоциировать замкнутое множество
2>{0lf .... Ър\ щ op|s?(»; a} = U «*. (4.9)
лежащее в промежутке [—я; я] в силу (4.4). Множество & {'&; а}
есть сумма промежутков ek = \y\ |<р — Фл|< ^f" I (k= 1, 2, . . ., р)
(вырождающихся в точки $kt если ал = + со), любая пара которых
ek ъ ek. по условию имеет пустое пересечение.
Заметим теперь, что в силу (4.8') при р ^> 2 для любого р^>рж
имеем -^ 1 <!я (6=1, 2, .... р). Поэтому в случае, когда
/7^2, при любом р^-Рм можно определить также следующие
замкнутые множества:
<(Р)={Ф5^- + |<|Ф-**1<Я} (*=1. 2, .... /»). (4.10)
Множество £д(р) представляет собой совокупность двух
промежутков без общих точек —n-\-ftk, —^ "~~ + ^л и 9~~Ь
+ ""4"^» я + ^ » которые при р=9—^ГГ вырождаются в точки
Ф^ —яи,&£+ясоответственно- Поэтому очевидно, что#* (р)с[—2я, 2я]
и 0 < mes el (p) = 2 (я — -^ ~) < 2я.
(б) Для данного множества вещественных чисел е символом Е [е] =
= {еи$\ ф£#} обозначим совокупность тех точек е*ч единичной
окружности, для которых ф£г. Тогда в силу (4.8') при /?^>2 и р>-рж
с каждым множеством ^J(p) {X^k^p) можно ассоциировать
множество ek(p)£[—я, я] таким образом, чтобы совокупности точек
единичной окружности E{ek(p)} и Е {ek(p)} совпадали друг с другом.
Ради удобства записи, считая при р = 1 е*(р) и е1(р) (р^>р^)
пустыми множествами, обозначим, наконец, при любых р ^> 1 и к
(1<*<р):
при ^Т<Р<1^Г'
?*(Р)= 2_ (4.11)
[ ** + <(р) при р> 2и>11 ;
^*(Р) =
ИР" о^Т<Р<-2а*
2о»-1 ^ ^ 2а4-1
eft+^ft(P) при р> 2ад11
(4.11')

454 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Очевидно, можно утверждать, что множества точек единичной
окружности f » .
Е{^(Р)}, Е[&к(р)} (4.12)
совпадают при любых р>-1, 9^ 9м и ft(l<^ft<^p)-
Отметим два простых свойства определенных выше множеств:
Г. Для любого 9^ 9м
Sf{*; а}сггл(р) (ft=l, 2 />) (4.13)
а, следовательно,
Г {О; а]с(1^(р). (4.130
В самом деле, если р=1, то легко заметить, что
If (tf; а)={<р; |Ф-^|< ^-} = ^(р).
Если же р ^ 2, то заметим сначала, что дополнительные к
множеству М {д; а} угловые области {Д(рА; фА)}^ таковы, что раствор
минимальной из них равен я/рм. Поэтому, если р ^ 2, р^>рж и
Ф^^{д; а} —£й при данном ft (0 <;&<!/?), то очевидны следующие
включения:
»"c£(?|«;o}-«t]c£(«;(p)}.
Но так как множества Е{^(р)} и Е{^й(р)} совпадают, имеем также
ф€Мр)-
Итак, при р^р^
If {О; а}— **с*л(р) (ft=l. 2, ..., /?),
откуда вытекают включения (4.13) и (4.13/).
2°. Для любого 9^ 9м
esaek(9) (* Ф s> ft, 5= 1, 2, . . ., /?). (4.14)
Это следует из (4.13) ввиду очевидного включения
es<z&\§\ a}—ek (ft =£ s; ft, s= 1, 2 /?).
(в) Условимся через А(ал; ftk) обозначать множество точек угла
А(ай; дл) или пустое множество, если соответственно -^-<ал<-|-оо
или a^==-f-oo.
Полагая далее, что хоть одно из чисел {ak}^ отлично от -f-oo,
заметим, что открытое множество
Ж {О; a} = U £(<*»;**)
1
содержит совокупность всех внутренних точек множества М {d; a].

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 455
Обозначим через Е^ пересечение множества М (д; а} с
единичной окружностью, а через Е% — совокупность внутренних точек
множества Е {& {д; а}}. Легко видеть, что
ЕЯ = ЁГ (4.15)
Далее, для любого k (l^k^p) введем открытое множество
^*(р):
2а*
Д (а*; **)+д («*; ** + л) при р > 2ctft_^1 .
(4.16)
где А(хл; O^-f-я) обозначает угол
причем при ak = -f- со следует положить 2 а* = 1 и nk = ~ , _ iV
Обозначим, наконец, через Е& ,р) пересечение единичной
окружности с множеством <2^(р), а через Е% (р) — совокупность внутрен*
них точек множества Я {cfl(p)} = Е [(?k (p)}. Тогда, принимая во вни*
мание определение (4.10), (4.11) множества <fk (p), из представления
(4.16) множества <2^(р) легко заключаем, что
е**<р) = £*ь<р) (*=1. 2 />)• (4.17)
Докажем еще следующее утверждение.
3°. Для любого 9<>9м
М{Ъ\ a) с35к(р) (*=1. 2, ..., р) (4.18)
#, следовательно,
Ж (О; а} с П^(р). (4.180
Во-первых, отметим, что в силу (4.13) при 9^ 9м справедливы
включения
£{?{*; а||с£(?й(р)) (й=1. 2, .... р). (4.19)
Так как все эти множества замкнуты, для соответствующих
открытых множеств Е% и Е% (р) имеем также Е%сЕ% (9) (р^-р^, k=lt
2, ..., р). Отсюда ввиду (4.15) и (4.17) следуют включения
EjfiCzE^ ^(p^-P^i» k=lt 2, ..., р), которые, очевидно,
эквивалентны утверждению (4.18).

456 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
(г) Пусть на плоскости z имеется произвольное точечное
множество
М\Ъ\ a} = L)A(a,; **)
и ассоциированное с ним множество точек отрезка [—я, я]
?{Ъ; a}=\J {«p;|q>_04|<-£L}.
Обозначая далее
М{ф;|Ф-^1<^} при ^<а,<+оо, (42())
( (ф; Ф = #*} при aft = + oo,
рассмотрим также множество
^*{d; a} = U *; с g* {<>; <*}. (4-200
представляющее собой совокупность всех изолированных и
внутренних точек множества & (d; a}.
Условимся теперь говорить, что функция F (z) принадлежит
классу <Ш\ 1 р [«ь .... ар\ о] (— 1 < о < 1), если она
определена на множестве М {d; а} = Л1 {^j, ..., $р\ а1% ..., ар} и
удовлетворяет условию: А) при ф £ ^* {д; а}
//7(ф)= J I/7 (*'*/•) |2г°</г<Л^<+оо. (4.21)
о
где AF не зависит от ф. В случае, когда множество М (д; а} не
пусто, функция F (z) должна удовлетворять также дополнительному
условию: Б) F(z) голоморфна на каждой компоненте М {д; а}, т. е.
в каждой угловой области A(aft; $k) (-^ < ak <-f-oo J .
Полагая, что F(z)£3@2 l р [«ь • •-, аР\ со], введем в
рассмотрение совокупность функций
Fk(z) = F(el*bz), *бД(а,;0) (ft = 1, 2, . . ., р). (4.22)
Тогда, принимая во внимание определение (4.20), (4.20')
множества g3* {d; а}, приходим к такому заключению.
Если для данного ft (l<ift<]p) имеем ай = + со, то
функция Fk(z) измерима на полуоси (0, +оо) и удовлетворяет условию
+ оо
J | Fk (г) р г» dr<AF< + оо.
О

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 457
Если же для данного k (l^k^p) имеем aft<-f-oo, то
функция Fk(z) голоморфна в угловой области Д(ал; 0) и удовлетворяет
условию
+оо
J |/7,(^г)|2г^г<Л/7< + оо, 1Ф|<^.
о
т. е. Fk{z)€$e2[ak\ со].
Но тогда, согласно теореме 7.5, функция Fk(z) на границе
области Л (ak; 0) почти всюду имеет граничные значения Fk
удовлетворяющие условию
|2
r*dr^AF< + оо.
+00| / +/_£L \
Из сказанного вытекает, что вообще
+ оо I / Я \ 12
] \FkW 2Чг)\ r<»dr^AF<-\-oo (ft=l, 2, ..., р), (4.23)
о
±/1сГ
где при ай = + оо следует положить е k = 1.
Теперь для произвольного значения р^-о обозначим [1 = ~т~й)~^Р
и запишем условия (4.23) в виде
р*
[e±l'2aktvpltv-1^L2(0, +oo) (ft = l, 2 р). (4.23')
С каждой функцией Fk(z) будем ассоциировать две функции
1-х\ ^^^^^t^e-Ut, (4.24)
2яр
о
принадлежащие классу Z,2(0,+oo) согласно теореме Планшереля.
Наконец, обозначим —= 1 (А> = 1, 2 р) и с каждой
функцией /^(z) ассоциируем два оператора посредством следующих

458
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ (ГЛ. VII
формул:
— г | dr
г»
",.00 / < -5- \
I Ер ^е 2v» в'ч>г'/рт'/р; ц + 1 j *><!>, (т; F) т» -1 <*т
+
dr
rn
Д(т; От^-'Л
+
(4.25)
iftt.
L,(s; Fk) = LpK,{z; F) =
= f £p\<? 2y*zt!/p; ц/г^Ст; F)^-1^
+
+ oo / _ Jt \
+ f E9\e 2y* эт]/р; ill/ ^*)} (t; f)^-1 rft. (4.26)
о
(д., ..., d )
Таким образом, каждой функции Ff» £ e/#2 p [ai ap; o]
мы сопоставляем две системы операторов
Наряду с этими операторами для произвольной системы
функций из класса Z,2(0, +°°) {^{+)(T)» V[%(X)}P образуем еще две
системы операторов {/?р (е1ц>г1/р)}1 и {Rif)(z)}l, положив
Г Ер [е ^ike'trWe; n+l/t^.
-т- г»
+
l-ii,
rf
rfr
р +00
d
dr
^j4
L о
"(+)'
+
(4.25')
/?p(*; v\%) = Rpk)(z)^
+ oo / Jt \
0
+ J £p U 2Yyfe «!/P; |i/ ^ (t) т^-1 rft. (4.26')

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 459
4.2. (а) Докажем теперь теорему о параметрическом
представлении функций класса Ц£\ 1 р ' [аь .... ар\ со]. В этой общей
теореме о параметрическом представлении в качестве частных случаев
содержатся как результаты теорем 4.4 и 7.7, так и некоторые
другие результаты.
При формулировке и в процессе доказательства теоремы мы
постоянно будем пользоваться свойствами множеств, которые были
определены в 4.1.
Теорема 7.10. Пусть на плоскости z имеется некоторое
множество типа М {ft; a} ==M {ftb . . ., fty, аь .. ., ар], с
которым ассоциирована совокупность точек %* {ft; а} =£° {ftb .... ftp;
аь .... ар] из промежутка [—я, я]. Если параметры со, р и \х
удовлетворяют условиям
— 1 < со < 1, р > р^,
„_ 1+Ц + Р (4.27)
•\— 2^ •
то справедливы следующие утверждения:
(ft ..., ft \
Г. Класс &€\ 1 р [ах, ..., ар\ со] совпадает с множеством
функций, допускающих представление вида
Не"*г) = S Rl (el (»-**)r; v\%), q> 6 ? (О; а}. (4.28)
где {х;(Д))('Г)}Р — произвольные функции из класса Z,2 (0, -f-oo).
При этом формула (4.28) определяет функцию F(ei(vr) для
любого /•£(()>+°°). если ф — внутренняя точка множества
^ {ft; а}, и почти для всех r£(0, ~f- со), если ф— изолированная
или вообще граничная точка.
2°. Если множество Ж {ft; а} не пусто, то функция F(z)t
определяемая формулой (4.28), допускает также представление
F(z) = 2 Яр(*""**; v{%)9 * £М {ft; а). (4.280
(ft ft )
3°. Если F(z)^&£\ p [аь .... ар; со], то справедлива
формула
/>(«%•) = £ С\е1 <*-**>r; />)• Ф6?{д; а}. (4.29)
причем с теми же оговорками относительно значений пере-
менных г и ф, что и в формуле (4.28).

460 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Наконец, если множество М {О; а} не пусто, то на нем
функция F(z) допускает также представление
/>(*)= 2 4*Ч«"'***; F\ г£М{Ъ-, а]. (4.29г)
Доказательство. Покажем сначала, что для произвольной
системы функций М^хОО}!» принадлежащих классу L2(0, + со),
формула (4.28) определяет некоторую функцию F (z) из класса
&в^ V[ab .... ap; со].
С этой целью выясним свойства операторов
+ оо /Я \
/* J E9 \e ^+i{*~*k) ri/pti/P; JLI-4- lj гКД (т) x»~l dx
+ оо
d
— r dr
0
(4.300
/a(-4«v/p)=
+ 0O
dr
+°° /я \
Г^ J Ep (в" ' ^'+'(<P_**) rl/PTVP; ja-f- lj t>W (T) T^1 rft
0
(4.30")
полагая, что
и замечая, кроме того, что
/$(*'<*-W*; ^±))) = /?*ft(+)(^V/p)+/?*ft(-,(^<prI/p). (4.32)
Для любого k (l^&^C/7) и Р^ о—Z7T ввеДем в рассмотрение
открытые промежутки
Ai-'(P):(^ + ^ + f. 2я+^+^), (4'33)
а их замыкания обозначим через Д*+)(р) и Д*"Чр) соответственно.
Наряду с этим рассмотрим также угловые области
М+)(Р) = {*; Aig*6Ab+'(P). 0<|z|<+od}, ttfe
M",(P)=U; ArgzeAl-J(P). 0<|z|< + col.P>2aft-l-(4-34)

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 461
Тогда, принимая во внимание определения (4.300 и (4.30")
операторов /?а(+)(УФг1/р) и Н1{'](еи{>г1/9)% на основании теоремы 4.1
приходим к следующим утверждениям:
1) Функция /?*(+)(г'фг1/р) определена для значений г£(0, -\- оо)
и ф£Д^+)(р), причем для всех г, если ф — внутренняя точка, и почти
для всех г, если ф — граничная точка промежутка Д# (р).
Аналогичное утверждение имеет место для функции /?£(-)(е'фг1/р)>
когда г£(0, -f-оо) и ф^Д^_).
2) Функции /?£ (е'фг) и R% (е^г) голоморфны соответственно
в областях с24+)(р) и 3^ (р), причем
+f\Rlw(e\)\\<°dr =
о
+ оо
= j |/?*(±)(^'V/p)r,1-1|2rfr<^< + oo, Ф6А^(Р). (4.35)
О
где Ak не зависит от ф.
3) Наконец, если р ^ ^—^—т- при ал < + °° и Р > "о" ПРИ а* =
= -f-oo, то функции Rt{z) и R]}~\z) допускают также
представление
/?*(+)(г) = J EQ [e 2yk * *ti/p; \x) vf^(т) т^1 dx, г £ ^+) (р),
о
(4.36')
/?1(-)(2г) = J £p U 2Y* * ^l/p; w ^й (*) ^-' dx, z е т-) (р).
о
(4.36")
В силу (4.6) и (4.7)
9м>\
«1
2а!—1
При /7=1,
2аь (4-37>
^^ (Л=1, 2, .... /7) при /7>2.
Поэтому, принимая во внимание определение (4.33) промежутков
M>+)(P) и МгЧр). а также представление (4.11) множества ^ (р),
легко убедиться в том, что при любом k(l^.k^p) и р^рж
Й (Р) = Й+) (Р) П 5jf} (р)- (4.38)

462 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Отметим при этом, что граничные (в том числе изолированные) точки
множества ^(р) являются граничными точками хотя бы одного из
промежутков Д*+)(Р) и Д/ГЧр)-
Далее, поскольку множества точек единичной окружности
£fcf*(p)] и £{^(р)] совпадают, исходя из (4.38) и имея в виду
(4.19), убеждаемся в справедливости включений
Е{¥{Ъ; а}} се{51+>(р)ПД1Г,(р)} (Р>Рд, *= 1. 2. .... р\ (4.39)
причем граничные точки множества Е {& (Ф; а} } будут граничными
точками хотя бы одного из промежутков (Д^^р)}^.
Наконец, в силу свойств 1) и 2) операторов \R*k{±)(e цг /Р)}Х и
в силу включений (4.39) приходим к следующему заключению.
Если р^-р^, то совокупность функций
{яГ+)(Уфг1/р), /?;'-yv*)}f
определена для всех значений r£(0, -f- сю) и ф£^{Ф; а}, причем
лишь почти для всех г, если ф — изолированная или вообще
граничная точка множества & {Ф; а}. Кроме того, при любых р>>рж
и А(1 <*</>)
| |/?*л(±)(^ч>)|2г^г<Л0< + сю, ф6?|#;а), (4.40)
о
где Л0 не зависит от ф.
Вышесказанное, с учетом тождества (4.32), приводит к
заключению, что формула (4.28) определяет функцию F(ei{r) для
значений г£(0, +оо) и ф^(#; а), но с оговорками относительно г
и ф, указанными в формулировке утверждения 1° теоремы.
Эта функция F(eilir) в силу формул (4.32) и (4.40) обладает
следующим свойством:
+ оо
| \F(e**r)\*r*dr<AP<+oo% q>6?{0;a}f
о
где Ар не зависит от ф.
В случае, если множество М (Ф; а} пусто, это свойство
функции F (<г), разумеется, означает, что она входит в класс
^'•••'V[ai, .... <V со].
В случае же, когда множество М (Ф; а} не пусто, для такого же
утверждения, очевидно, необходимо показать еще, что функция F (z)

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 463
голоморфна на каждой из компонент М {ft; а}, т. е. в каждой из
угловых областей Д (а^; ftft) (-^ < ak < +оз), входящих в ее состав.
Чтобы убедиться в этом, отметим сначала, что определения (4.16)
множества 3k (p) и (4.34) областей <24+)(р) и <з4-)(р) приводят
к следующей связи между этими областями:
д*(р)=М+,(р)пМ",(р) (р>рж; *=1.2, .... />),
если учесть еще свойство (4.37) числа рм. Отсюда в силу свойства
(4.18') следуют включения
Ж {ft; а)сМ+)(р) ПМ'ЧР) (Р>Рж; £=1,2, .... /?).
Наконец, имея в виду свойства 2) и 3) операторов {/?£(±)(е/фг) }р,
приходим к следующему выводу.
Если р>-рж, то все функции {/?*(+)(2), /?ft(")(^)}i' голоморфны
на каждой компоненте множества М {ft; а}, где они допускают также
представления (4.36') и (4.36") соответственно.
Отсюда, во-первых, ввиду тождества (4.32) и формулы (4.28)
вытекает аналитичность функции F (z) на всех компонентах
множества М (ft; а} и, следовательно, принадлежность F (z) классу
Щ^"'"^^ ••-. V со].
Одновременно отсюда полностью вытекает также утверждение 2°
теоремы, если учесть, что в силу (4.26'), (4.36') и (4.36") имеем
Rp(e-i^z) = Rl(+)(z)-^RV')(z\ z£M{ft; a}
(ft=l, 2, .... р).
Переходим теперь к доказательству обратного утверждения,
которое заключается в том, что любая функция F (z) из класса
Ste^i""* p)[di, ..., ар; со] допускает представление вида (4.28).
Но для этого достаточно установить лишь утверждение 3°
теоремы о том, что каждая такая функция допускает представление
вида (4.29).
Итак, пусть функция F (z) принадлежит классу
Щ*19-'*р)[<*1. .... <V со]
и, кроме того, совокупности функций [Fk(z))p и {^(±)(t; Fk))p f
а также ILUe^r1^; Fk)}p и {£р(г; Рк)}Р ассоциированы с этой
функцией согласно формулам (4.22), (4.24), (4.25) и (4.26).
Заметим теперь, что если при данном k(l^k^.p) имеем ak =
= + оо? то F ^{t119)^'1 £L2(0, + оо). Поэтому, пользуясь теоре-

464 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
мами 4.2 и 4.3, можно утверждать, что на полуоси г£(0, -)-оо)
L'p(eW; Fk):
Fk\r<>) при ф = 0 и p>-j.
й - - '
тс
О при —<^|ф|<!л и р^>1,
(4.41)
причем при ф=0 представление (4.41) имеет место лишь почти
всюду на (0, -f-oo).
Если же при данном ft (1 ^ ft ^ р) -~ < ak < -f- со, то Fk (z) £
^<^2[ал» ®\- Поэтому в этом случае, согласно теоремам 7.7 и 7.8,
имеем на полуоси г£(0, -f-oo)
Fk{e^ при |Ф|<^ и Р>^ГТ
0 ПРИ 2^ + 7<1(Р|<Я И Р>2^Т
(4.42)
причем для значений |<р| = -=— (4.42) справедливо лишь почти
всюду на (0, + со).
Теперь, принимая во внимание, что по (4.22)
F{z) = Fk{e-ib*z)% z£b(ak-;$k) (ft = 1, 2, . . ., р)%
из (4.41) и (4.42) заключаем, что вообще при любом k (l^k^p)
9<^9м и г€(0> +CXD) справедлива формула
Lr(e<(*-*>)r,F) = \Fiel*r) ПРИ ф€йГ (4.43)
Р К ' ' \ 0 при фбО). V '
Далее, ввиду совпадения множеств £{е^(р)} и £{eft(p)}, а также
в силу включения (4.14) отсюда приходим к формулам
I^V^'V; />) =
/"(^фг), <р£*л,
(4 43 )
О, q>£es (s^ft) (р>рл; ft. s=l, 2, .... /0.
справедливым всюду на полуоси г£(0, +оо), когда Ф^^ ($фк),
а также когда ф есть внутренняя точка промежутка ek (при ak < +00),
и почти всюду на (0, + оо), когда |ф — $k\ = -—.
р
Нам остается заметить, что & (Ф; а} = {Jek, чтобы из формул
1
(4.43') получить представление (4.29) теоремы.

= r1-^ —
— r dr
§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 465
Наконец, что касается представления (4.29'), то оно вытекает
из (4.29) в силу утверждения 2° теоремы. Таким образом, теорема
полностью доказана.
(б) Докажем, что функции класса gf€\ l рНщ, •••. аР> <*>]
можно аппроксимировать в среднем целыми функциями роста (р, а)
при любом р^Рм и сг->-|~°°-
С этой целью, полагая, что функция F (z) определена на
множестве М {Ф; а} =М (Фь . . ., $р; а2 ар} и принадлежит классу
©%?( 1'"*' ^[аь ..., ар; со], введем сначала несколько новых
обозначений.
Полагая, во-первых,
r*(+VV/p; F) =
| +5° / ,_я_ \
— г1_Ц IF * r>X J Ep \e 2V* e'<Prl/pTl/p; M. + 1 j viQ (т; F) т^-1 dx
[ о
(4.440
rft(-VV/p; />) =
г* J" fiJr'i»W h + i)«!?)(t; fjV'-'rft ;
0 j
(4.44")
отметим, что ввиду (4.25) имеем
L^(e\; F)^LV+\e\; Р)+&'\ш*г, P) (А=1. 2 ,).
(4.45)
Пользуясь теоремой 4.1, находим, что при любом р^--^-
совокупности функций
+ *"£]'
{4<->(,'(<P-W/p; F)}f. ф6Д(-)(р):[^+^_ + ^,
2я+0А + -5-],
для соответствующих значений параметра ф почти всюду определены
на полуоси г£(0, +оо), причем соответственно
sup | J |^*)(в'(Ф-»*)^Р. /^V^rfrU + oo
30 М- М- Джрбашян

466 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Обозначим далее
Li+)(z; F; о) = J £p (/~^zt1/p; \ij v(&(v, F)x^1dx, (4.460
и
1к\г\ F; a)=JEp(e~ll^zxvp; ц) <>>(*; f)/"1^ (4.46")
О
а также
L{Qk)(z; F; o) = L(k+)(z; F; o)+L<f)(z; F; a). (4.47)
Легко видеть, что справедливы оценки
\Lf\z; F; o)\^B^Ep(ol/p\z\; ц),
где
[ о J
Поэтому каждая из функций [Lk{z\ F\ o)}^ является целой
функцией роста (р, а).
Докажем следующую теорему.
Теорема 7.11. Пусть функция F(z) принадлежит классу
<2%?(di' '"'^p)\ax a ; со]. Пусть, далее,
£>{#; а}=и{ф; 1ф~^<"5^}с=[—я, я1
— ассоциированное с М {Ф; а} замкнутое множество точек.
Тогда для любого р^>рм Ч^лые функции роста (р, а)
FQ(*'. a)=2 4ft)(^/V ^ о) (4.48)
аппроксимируют в среднем функцию F(z) на М {д; а} в /яол*
смысле, что
lim \ sup Г |Т7(в'ч>г) — FAe^r; в)\2 r<» dr 1 = 0. (4.49)
Доказательство. Принимая во внимание определения (4.44'),
(4.44") функций LkK±){e фг , Z7), а также определения (4.46'),

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 467
(4.46") функций L^iz; F\ а), на основании теоремы 4.1 находим,
что, в частности, при р^> ~—f^T имеют место соотношения
lim J sup Г|^(±)(«,(Ф"**)г,4>; /=•)-
- #>(*'<*-•*) rvp; F; o)|2r20l-,,rfr| =
= lim J sup 7V*(;%'(<p-**V; /=")-
-4=%'<»-•*) r: F; o)|2rarfrl = 0 (ft=l. 2, .... p).
(4.50)
С другой стороны, согласно (4.39), при р^-р^. имеют место
включения
Е [% {*; а} } <=Е {Д<*+) (р) П Ajf' (р)} (ft = 1. 2. ..., р).
Поэтому из предельных формул (4.50) вытекает также, что при
Р>Рм
lim I sup Г| #*>(*'<»-**> г; />)-
_^*»(*'(»-•*) г; F; o)\2radr\ = 0 (ft = l, 2 /7). (4.51)
Но в силу формул (4.45), (4.47) и неравенства Минковского
получаем оценку
\ Г |#*У <»-**>r; F)-$\e4*-*k)r. F- o)f r* dr \ <
(о J
<\J\LV+){el С*'**) п Р)-№{*'<!>-**) г, F; o)f r« drf +
U I
+ (fl^-Ч''^^г; ^-Ijf'C.1 <•"•*>г; F; o)fr*dX.
30»

468 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
Отсюда и из (4.51) следует справедливость предельных равенств
lim I sup М^Ч^-^г; F)~
а->+со[ф€2{а; a) J
_ 4%'<?-**> г; F; a)|Vrfr J = 0 (р>Рл1; k=l, 2 р).
(4.52)
Однако, согласно теореме 7.10, почти всюду на полуоси
г £ (0, -f-oo) имеет место представление
р
2
F (е'*г) = 24 <*> (*' С"»*) г; /="). <р 6 Г {О; «}.
Значит, принимая во внимание определение (4.48) целой функции
FAz\ а), согласно неравенству Минковского, имеем
+ оо V It
Г \F(e^r)—F9(e^n o)\2r*dr\ <
lo J
i
+00
<£ fl^V^r;^)-
ft —11 0
_4*> (*'<*-**> r; P. o)\\<*dr
Отсюда и из (4.52) вытекает утверждение (4.49) теоремы.
Таким образом, теорема 7.11 есть непосредственное следствие
основной теоремы 7.10, ввиду чего в известном смысле саму
теорему 7.10 также можно рассматривать как теорему аппроксимации.
(в) В заключение отметим, что, рассматривая более общие классы
аналитических функций в области А (а; 0), можно установить для
них интегральные представления, опираясь на теорему 7.10.
Приведем один из простейших результатов такого рода, не останавливаясь,
однако, на его доказательстве.
Отнесем к классу $в2\а'> ®> Pi» aib гДе -о-<а<+оо, —1 <
<со<1, Pi > 0, cFj^O, любую функцию F(z), голоморфную
в области А (а; 0) и удовлетворяющую условиям:
а) \F(z)\^MFe«i\*flt *6A(a; 0),
+00
б) f Hr^)|Vdr<M;< + TO. iL<H<JL,

§ 4] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 469
где р — фиксированное число, подчиненное условию р^>тах<р1э а,
• в >; а постоянные MF и MF зависят только от функции F(z).
Теорема 7.12. Пусть функция F(z) принадлежит классу
$в2\.а'> 0)> Pi» ail» a параметры \х и у определяются из условий
1+ш + Р 1_±.±
Тогда справедлива интегральная формула
(4.53)
l-*i ! d
dr
+
+
dr
+
0
* J £p (Г' W+'* rWTM.. Ц+ l) „( + ) (t; ^ V4"1 Л
0
+ J*£p(*'W/p; n)v(x; F)x»-ldx. \<t>\<±: (4.54)
где функции 0(±)(т; Z7) и z>(t; Г) почти всюду определяются из
формул
г>(±)(т; /7) =
±/-£(i_n) +°°
v(x\ F) =
о
^/£=^И^^,'0)«,1-1Л- (4.56)
2яр rft
-/-2. (1-ц) +J°
2яр dr

470 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ [ГЛ. VII
При этом, когда |<р| = ^—, равенство (4.54) имеет место почти
для всех r£(0, 4~°°)» a пРи <г£Д(а; 0) его можно записать
также в виде
+со ( I— \
F(z)= J EQ[e ^zxl/p; ц]гг(.,(т; /?)t,i-1-rft +
о
4- J EQ[e~ 2y*t1/p; jijtf(+)(t; ^)тц"1^ +
о
+,JEp(zxl/p; \l)v(x; F)xlx-ldx. (4.540
о
Наконец, отметим еще, что этим же способом можно получить
новое доказательство общей теоремы 6.13 о параметрическом
представлении целых функций класса W^ (со\ {Фл}; {ok}).

ГЛАВА VIII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЛОГАРИФМА
Настоящая глава посвящена дальнейшим применениям функции
+ 0О
vptart-J" fWfmdt <и>°.р>0>.
о
определенной в 3.4 (б) гл. V в связи с построением аппарата типа Фурье —
Планшереля для системы лучей на римановой поверхности G^ =
= {z\ — оо < Arg z<-\-co,0<\z\<-\- со}. Эта функция, связанная с
функцией Вольтерра v (г; \х) соотношением vp (г; \х) = ргр(1-м,Ч> Сгр; \х — 1), ана-
литична на всей поверхности G^ и обладает асимптотическими свойствами,
аналогичными свойствам функции типа Миттаг-Леффлера £р (z; \i). Эти
свойства вместе с развитой в гл. V теорией интегральных преобразований
позволяют построить с помощью функции vp (z\ \\) аппарат интегрального
представления для некоторых общих классов функций, аналитических на
поверхности G^.
Результаты, излагаемые в этой главе, по существу представляют собой
дальнейшее развитие ряда основных результатов гл. VI и VII. Суть этих
обобщений заключается в том, что здесь строится аппарат интегрального
представления для классов аналитических функций, областью определения
которых является вся поверхность G^ или лежащая на ней угловая область
произвольного раствора.
Что касается метода исследования, которым мы пользуемся здесь, то он
является дальнейшим усовершенствованием и уточнением развитых ранее
методов применительно к свойствам функции vp (-г; pi) и к рассматриваемым
классам функций.
В § 1 устанавливается основная теорема об интегральном представлении
аналитических функций конечного роста и класса ffl^ [pf, aj, областью
определения которых служит угол А (а; 0) = \z\ \ Arg г | < ^—, 0 < | z \ < + оо>
произвольного раствора я/а (0 < а < + со). Эта теорема позволяет затем
в § 2 методом предельного перехода установить интегральное
представление так называемых квазицелых функций, принадлежащих классу С {р, а}.
Как в случае класса <jg^ [рь <Jj], так и в рассматриваемом случае

472 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Представление осуществляется посредством соответствующего интегрального
преобразования с ядром вида vp(-2r£; -»-).
В § 3 вводятся классы функций &е2 [а] и устанавливается формула для
их параметрического представления с помощью ядер вида vp IzZ,; -^1. Эти
классы представляют собой дальнейшее расширение рассмотренных в гл. VII
классов с£#2 [«, «] на случай, когда 0 = 0, а область их определения
А (а; 0) с Goo.
Наконец, заключительный § 4 посвящается установлению теорем типа
Винера — Пэли для квазицелых функций конечного роста или для целых
функций бесконечного роста, квадрат модуля которых интегрируем по лучам.
§ 1. Интегральное представление аналитических функций
конечного роста в угловой области произвольного раствора
1.1. (а) В § 1 гл. VII было установлено интегральное
представление аналитических функций конечного роста в угловой области
Д(а;0) раствора — < 2я. Это последнее условие повлекло за собой
соответствующее ограничение на параметр а 1-^-<а< + оо| и на
определения ряда канонических областей и контуров, которые играли
существенную роль как в доказательствах вспомогательных лемм
(7.1, 7.2 и 7.3), так и основных теорем.
Настоящий параграф посвящается построению интегрального
аппарата для представления функций конечного роста, аналитических
в угловой области А (а; 0) произвольного раствора — (0 < а < +оо):
А (а; 0) = {г; |Args|<£. 0<|*|< + ooJ. (1.1)
Вообще говоря, этот угол многолистный (при 0<а<-~) и,
следовательно, лежит на римановой поверхности
Ооо={*-> — oo<Arg*<+oo; 0<|*|<+оо}. (1.2)
В 'связи с этим ниже мы вновь будем пользоваться определениями
тех же канонических областей и контуров, но уже при менее
ограничительных условиях, накладываемых на соответствующие параметры.
Приведем эти определения.
Для любого р>0 и Ф£(—оо, +оо) на поверхности 0^
рассмотрим угловую область
А(р; <>) = {& |Atgt-0|<-£. 0<|С|< + оэ}, (1.3)
граница которой состоит из совокупности лучей Arg£ = ft — ^-

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 473
Одновременно для любого р > О, Ф £ (— оо, -f- °°) и и £ [0, -f- оо)
рассмотрим также неограниченную область
Я,
р(Ф;к)={й Re(«-'^>xjArgC-<4<£}. (1.4)
Параметрическое уравнение границы £р(Ф; к) области «2*р(Ф; и)
имеет вид
(е-**1$ = к+1%, — оо<т<+оо. (1.5)
Заметим, что
Sp(ft; 0) = Д(р; д), ^р(Ф;н)сД(р;») (0<х<+со). (1.6)
Легко видеть, что сумма областей Д(р; •&) при —"о"^^^"9~
совпадает с угловой областью Д(у; 0), где
-*—!-+!. (1.7)
Y а ' р
Обозначим далее через 3^ (к) сумму областей Зю (д; и) для все-
возможных значений —у- ^Ф^у-. Тогда из (1.6) следует, что
3^ (х) с Д (v; 0) (0 < х < + оо), (1.8)
причем граница Z,pa) (%) области 3)$ (и) состоит:
1) из дуги —-2~^^Г^^^Т" окРУжности |£| = и1/р (много-
листной при 0 < a < 2-J;
2) из кривых
я \Р
4+)(|r;K)si(r/^) = * + *, 0<т< + оо},
р (1,9)
^(-Ъ'")1^^ = *+*- -оо<т<о}.
Отметим, что эти кривые асимптотически приближаются к
граничным лучам области Л (у; 0) в том смысле, что Игл Arg£ = -^-
£->оо ZV
при Е€4+,(£; *) и дт Arg^ = -iL при ^^(--fe; и).
Поскольку при любом р > a
J- = I + I<1 + I-I (110)

474 ИМТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIH
имеем, наконец, следующие очевидные включения:
A(Yp; 0)cA(y; 0), р > а;
$f (и) с 35™ (х0) (р > а, х > и0); (1.11)
4Р)(>с)с^а)(х0) (р>а, х>и0).
(б) Обозначим через &{а) [plf а^ (0<а! < +оо, 0<р1<+оо)
класс функций F(z)t аналитических в угловой области А (а; 0)0:0^
произвольного раствора я/а (0 < а < +оо) и удовлетворяющих
следующим двум условиям:
1) Существует постоянная Л/7<-(-оо, зависящая лишь от
функции F(z) и такая, что
\F(z)\^CAFe^\*fl. (1.12)
2) При некотором а0 > а существуют интегралы
1
{\Р(ге^г-Ыг (£<|Ф|<£).
причем
sup I f \F(relt)\2г~Ыг\< +со. (1.13)
Mp
Легко видеть, что условие 2) выполняется, если, например,
выполняется следующее условие:
2*) при г-> + 0
(r)= sup {|F(r^>)|} = o(log"^+6)lj (6>0). (1.130
Условимся включать в класс iPf^Pi, aj с: i?(a) [рь aj
аналитические в угловой области А (а; 0) функции, удовлетворяющие
условиям 1) и 2*).
Наконец, в класс А{а) [р^ а2] будем включать функции,
удовлетворяющие лишь условию 1). Итак, имеем включения
#ia)[pf. ajc J>(a)[Pl: ог] с Л(а) [Pl; aj. (1.14)
Отметим, что класс А{а) [р^ aj является расширением введенного
ранее в гл. VII класса на тот случай, когда область А (а; 0)0:0^,
вообще говоря, многолистная (при 0 < a < у J .
Очевидно, что и в этом более общем случае каждая функция
F (z) £ A(a)[Qi', aj почти всюду на границе угла А (а; 0), т. е. на лучах

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 475
z — ге± /я/2а (0<г<+оо), имеет угловые граничные значения
F (ге±Ы12а), удовлетворяющие условиям
\F(re± /я/за) | ^ AFe^\ (1.120
а также условию
1
Г | р (Ге± /я/2а) |2 r-i dr < _j_ 00>
О
если /'(^gjP^tPi; aj].
Теперь, фиксируя значение параметра p^plt для данной
функции F(z)£A(a) [pf, aj введем в рассмотрение преобразование
*,<& /0 = (--"0ГРГ1 f /'(.-^,*).-^-/^-,Л 0*>0). (1.15)
О
Нетрудно усмотреть из неравенств (1.12) и (1.12'), что при
каждом ft£ —IT * IT] ФУНКЦИЯ f>v(b F) аналитична в области
«2*р(^'> Но). гДе ^о —ai при р = Р! и х0 = 0 при р>рг
Докажем сначала следующую лемму, являющуюся аналогом и
уточнением леммы 7.1.
Лемма 8.1. а) Пусть F (г) £ А{а) [рх; aj (0 < a < +оо, 0< ох <
<-f-°o, 0 < р! < + оо). Тогда для произвольных значений пара-
метров p!>Pi и \х (0 < \х < + со) справедливы следующие утвер-
ждения:
1°. Существует функция Gp|i(£; F), аналитическая в области
<2>ра)(*о), г<^
/ ai пРи P=Pi. „ lft4
*o = to др« p>Pl, (M6)
и такая, что для каждого ft ы—о—, у-
ор, „ (С; F)=^ (£; О, С 6 ^Р (О; *о)- 0-17)
2°. Для любых значений р > а и н > х0 имеет место оценка
!°p.ii«;^l<Tqqfp Сб^ОО. (1.18)
где конечная постоянная А ф; х) яе зависит от £.
б) Пусть F(z)£ &{a)[pi', aj. Гогда для функции
а® = а ±й; О, £е^ра)(*о). (1.19)
Р, 2
кроме условия 2°, выполняется также

476 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
3°. Для любых значений а-<р<;а0 и х > х0
J |О(0Р|£||йС|<Л0(и)<+оо. (1.20)
где А0(к) не зависит от р.
Доказательство, а) Доказательства утверждений 1° и 2° мы
опускаем, так как они буквально повторяют доказательство леммы 7.1.
Дело в том, что ослабление ограничений на параметры аир
(0 < а < +со и р^>Pi) по сравнению с леммой 7.1 (где требовалось
-х- < а < -f-oo и р^ max \ рь 9 1 ч никак не влияет на ход их
доказательства.
б) Принимая во внимание условия (1.12) и (1.13),
характеризующие функции класса ^(а) [р^ aj, мы заключаем, что при любом х > к0
и для всех значений параметра р £ [а, а0] функция F \е 2$t1/p) e~H t 2
(0<*<+°°) одновременно принадлежит классам Z,j(0, +оо) и
Z,2(0, +оо).
Поэтому интеграл
Фр(т)=| {р(е~'Щщ) е'*'гЦ e'ixt dt (1.21)
о.
при a^p^cto определяет непрерывную функцию, причем в силу
равенства Парсеваля
+ со +оо, / _jt_ \ __Ы2
J |Ф3(т)|2^т<2я j \F\e Щ1/*)е-*Ч 2| Л<
о о
(+00| / _-JL \ - II2 )
<2я sup И \F\e 1*Ыщ)е-*Ч 2\ dtl = B0(n)< + оо. (1.22)
a<p<a0 | j[ J
Заметим далее, что в силу формул (1.15) и (1.19) имеем
23)
0\е wY*+lV = e 2|i(w+/t)2 рФЛт) (0<т<+со), (1.
причем £>=е 2&yn-{-ix (0^т<4-°°) есть уравнение кривой
V" ( 2р"; *Г

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 477
Из (1.22) и (1.23) следует, что при а^р<!а0
+оо
J* |0(С)|2|С| |rft| = p-1/ |Фр(т)|2йт<р-1В0(н).
Я
Вполне аналогично получаем также, что при а<]р<!а0
j |0(0|2|C||^|<P-^o(k).
4+)(£"0
L\
Р V 23
("Ж:х)
Замечая, наконец, что при а^р^с^
\ |О(С)|2|С||^|<С0(х),
и учитывая состав дуг, входящих в контур £р3)(х), мы получаем
утверждение (1.20) леммы.
1.2. (а) В гл. V наряду с функцией Вольтерра v(z; \i) была
введена в рассмотрение функция
vp
Будучи континуальным аналогом функции EQ(z; \x), эта функция,
как уже отмечалось, также аналитична на всей поверхности G^ и
связана с функцией Вольтерра тождеством
vp(z; ix) = 9zQ{1-li)v(zQ; \x — l). (1.24')
Пользуясь этим тождеством и леммой 5.3, мы получим
асимптотические свойства функции vQ(z; \x) на поверхности 0^ при больших
по модулю значениях z. А именно, полагая число OqM-o-, —)
фиксированным, приходим к утверждениям:
1°. На той части 0^, где |Arg2|<;a0,
Vp(z;ix) = pzp^V<> + 0(1^±7]), |*|-> + оо. (1.25)
2°. На дополнительной части О^, где а0 •<! | Arg z \ < -|- со,
vp(z; ц)=о(1_|_т), |г|-> + оо. (1.26)

478 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Наконец, из самого определения (1.24) функции vp(z; |я) легко
вытекает также следующее ее свойство:
3°. При И->0
vp(*; (i) = 0(^-1^). (1.27)
Из отмеченных свойств функции vp(z; \x) следует, что для
произвольных значений параметров \х (0 < \х < + оо), р (0 < р < -f- оо)
и а (0 < а < +оо) имеем
vp(*; И)6^а)[р; аг] (аа > 1).
(б) Предполагая теперь, что F(z)£ &{a) [pf, а{\ (0 < а <-f оо,
О ^ ох < + оо, 0 < Pi < -f- оо), образуем интеграл
Р*(г'® = Ы \ vp(^;y)G(0^. (1.28)
где р^-рь Рб(а» ао1 и х > хо> причем подразумевается, что
интегрирование вдоль границы /,р (х) области 3)f\n) совершается в
отрицательном направлении.
Установим следующий аналог леммы 7.2.
Лемма 8.2. Г. При любых к > х0 и р (a<;p<!a0) интеграл
Fh(z\ Р) абсолютно и равномерно сходится в каждой ограни-
ценной и замкнутой части области Л(р; OjcG^ и является
аналитической функцией в области Л(р; 0)сА(а; 0).
2°. Для любого к > х0
lim F*(2; p)=F*(2; а), г£Л(а;0). (1.29)
Р->а+0
Доказательство. Отметим прежде всего, что, поскольку
доказательство настоящей леммы в некоторых пунктах буквально совпадает
с доказательством леммы 7.2, ниже в этих местах мы будем просто
ссылаться на нее.
Для /? !> и > х0 и а <! р <! а0 через LpP)(x; R) обозначим дугу
кривой bf^K), лежащую в круге |£|<!/?1/р на поверхности G^.
Обозначим далее через Ср^ф; R) и Ср~Ъ(—р; R) неограниченные
ветви кривых ^р \-oft"» х) и ЦТ (—т^р п) соответственно, лежащие
в той части поверхности G^, где | £ | ^ /?1/р.

§ Ц АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 479
Теперь разобьем интеграл Fyi(z; р) на сумму трех слагаемых
Ср, х(-Р;/?) Lp (x; R)
3
• • • + ш J vp И т) °(С) «= 2 «^ ^; р; *>• о -28/)
С^(Р;^) * = 1
Прежде всего, очевидно, что в силу свойств функции vQ(z; \х)
при любом р (а<р<а0) и /?>х>х0 интеграл ^ъ (z\ p; R)
является аналитической функцией на всей поверхности G^.
Заметим далее, что любая дуга £р (х; /?) (а^Р^Оо, х > х0)
лежит внутри области S(pa)(x) с: Spa)(x0), в которой функция G(£)
аналитична. Так как, кроме того, lim Llp\n; /?) = Z,pa)(x; /?), при
P->a+0
любом /?^>х>х0 имеем
lim ^t}(^; Р; ^) = с5г^2)(^; а; Я). (1.30)
Р-»а+0
Переходя к остальным слагаемым формулы (1.28'), буквально
тем же путем, что и в ходе доказательства леммы 7.2 (напомним,
что \1 = -к), например, для функции c^f получаем представление
вида
&~{?(z; Р; R) =
V°° f /ilfl+IU i ] _2
- 2яР J V|* 2 Р p;/t-/x^; т|фр(т)(т-т) 2 tft, (L31)
t(/?)
где т (#) = l//?2 — х2 и
фр(т)= f \/3,^"/lPv1/pje-J«^"Tj^-/wdt;. (1.3Г)
о
Далее, так как F(z)£ &(a) [pf, aj, как уже отмечалось, при
любом p>Pi, a<p<a0 и х > х0 функция F\e ' Wv1®) e~*vv 2
одновременно принадлежит обоим классам ^(0, +оо) и Z,2(0, +00).
Поэтому для всех a<!p<;a0 функция ФЛт) непрерывна на
полуоси [0, +со) и принадлежит классу L2(0, -f-00)-

480 ЙНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Теперь для произвольного, но фиксированного значения р'
(а<!Р < Р'^Сао) положим 6 = ~|-у- — тгИ и заметим, что
р i v
— 6 < arg у х — in = arctg -^ < 0, т > х0 (6),
sup {|Arg*|}=^--26.
Д(3'; 0) 4>
Отсюда следует справедливость неравенства
т>т0(6).
Отметим далее, что, рассматривая совместно асимптотические
свойства (1.26) и (1.27) функции vp(z; \i)t можем утверждать, что
в области -ъ—|-6<; | Argz| <-f-oo, 0<|z|<-|-oo справедлива
оценка вида
К(*1*)1<1+^},„. (1-33)
где Мх (6) не зависит от z.
Отсюда, ввиду (1.32), заключаем, что справедлива также оценка
вида
| iJL (1+1)9, 1 ) _1
\?Ле 2^ ^Yx~tnz\^Ux—in) 2
<
0<т< + сю, sgA(p'; 0),
где М2(Ь) не зависит от z и т.
Отсюда следует, что при z £ Д ф'; 0)
vp
f /Jlfl + lU i 1 _1
причем, как легко видеть, интеграл от квадрата модуля этой
функции равномерно сходится в каждой замкнутой подобласти области
Д(Р; 0).
Из этого замечания в силу того, что ФЛт) £ Z,2(0, +oo), с
помощью неравенства Буняковского заключаем, что интеграл (1.31)
также абсолютно и равномерно сходится относительно переменной z
в каждой ограниченной и замкнутой части области Дф; 0).
Следовательно, функция <^"V(2; P; /?), представимая интегралом
(1.31), аналитична в области Дф; 0).

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 481
Вполне аналогично можно убедиться в том, что интеграл
g?~k\z\ р; R) представляет функцию, аналитическую в области Д(Р; 0).
Из отмеченных свойств интегралов <^~(х (z; Р; R) (а<^р<^а0;
k = 1, 2, 3) в силу тождества (1.28') вытекает утверждение 1° леммы.
Что касается утверждения 2°, то оно устанавливается точно таким же
рассуждением, как и соответствующее утверждение леммы 7.2.
(в) Наконец, докажем аналог леммы 7.3.
Лемма 8.3. Для любого р£[а, а0] существует такое а > х,
i_
что функция ф(0= ^х(^1/Р; $)e~att 2 принадлежит классу
Lx (0, + со).
Доказательство. Будем пользоваться обозначениями, введенными
выше в процессе доказательства леммы 8.2.
Представим функцию FK(z; Р) в виде
з
K(z; p)=2Q5rlf,U; P; R) (1.35)
и оценим отдельные слагаемые <&'$ (&=1, 2, 3) на полуоси
0< л;<+оо.
Функция £Г\? (z\ P; R) аналитическая на всей поверхности От.
Принимая во внимание природу роста функции vp(z; \i) и замечая,
что sup{|£|p} = /? при £££рР)(х; R), легко получаем оценку вида
\ST*\Z\ Р; /?)|<Л(^)^1,2,Р. SCO». (Ь36)
для любого X! > /? (/? >- н > х0).
Для оценки функции S^n (x\ P; /?) воспользуемся формулой (1.31).
Тогда, замечая, что Фо (т) £Z,2(0» Н"-^)» с помощью неравенства
Буняковского и оценки (1.34) получаем
'(3)
|<^Т(*; р; R)\<
+ 00
где Cj не зависит от х.
Заметим теперь, что
—-^—1г-<С2(х, /?)—J—. т(/?)<т< + со,
(к2 -f- *2)/2 и2 +*
31 М. М. Джрбашян

482 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и поэтому
dx_
(К2 + T2)Vi {I-4-I log [(к2 + т2)1/2рл:] | ]2
1(Х)= J л п , nvl/ f< 7TT г. „ . «vi/ол iiio^
Т(Я)
<
(1.88)
Отсюда следует, что для значений х, удовлетворяющих условию
(к2 -(-12 (/?) )1/2р л: ^ 1, справедлива оценка
/(*)<р-'С2(х; R)[l + \og[№+T*(R))lft»х]}-\ (1.380
Из (1.37) и (1.387) следует, что
&%\х\ р; R) = o(1±Ty *-> + оо. (1.39)
Теперь, полагая значение х > 0 настолько малым, что
(х2+т2(/?))1/2рл; < 1, определим число тлг>т(/?) из условия
(п2 -\- т2V/2р л: = 1. Тогда из неравенства (1.38) мы получаем другую
оценку
/(хкр-с,* ">[p{,_log|(;+.->"^i}+
+ оо J
+ J rfll + log[(44-T*)1/sp^l 1| =
Отсюда и из неравенства (1.37) следует, что
<^*(х; Р; /?) = 0(1), *->о. (1.40)
Легко усмотреть, что утверждения, аналогичные (1.39) и (1.40),
имеют место и для функции ofty (x\ P; /?).
Наконец, принимая во внимание представление (1.35) функции
Fk(*'> Р). из установленных оценок для функций qF^ (*=1, 2, 3)
мы приходим к заключению, что справедлива оценка вида
l^(*;»l<C3(Xi)*X|JtP, 0<*< + сю, (1.41)
где Xj > х, а C3(xi) не зависит от л\

§ и
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА
483
Поэтому достаточно положить a>xlf чтобы из оценки (1.41)
следовало утверждение ф(*)€А(0» Ч_сю) леммы.
1.3. (а) В этом пункте мы докажем основную теорему данного
параграфа об интегральном представлении класса &{а]'[pf, ог]. При
этом нам понадобится несколько видоизмененная формулировка
леммы 5.8 о преобразовании Лапласа функции v(z; \i).
Для формулировки этой леммы при любом р > 0 и х > 0
наряду с областью
^Р(0; *) = {*; Re*P>x, lArgsK-J-}
следует ввести в рассмотрение также ее дополнительную область
Sp(0; ^sG^—<2*р(0; х) относительно всей поверхности G^.
Лемма 5.8'. При произвольных значениях параметров р>0
и к > 0, когда тг>£«^р(0; х) и ££«2^(0; х), справедлива формула
о
Ярд этом интеграл слева сходится абсолютно и равномерно
относительно переменных w и £, яогдя ?р£<2?р(0; х), a £ лежит
в любой ограниченной и замкнутой части поверхности <2*р(0; х).
Доказательство. Заметим сначала, что в принятых нами выше
обозначениях формула, установленная в лемме 5.8, при t^ £ <2^ (0; х)
и £,£<2**(0; х), записывается в виде
i
о
е-*»ч№ММ= щ+и.® ,„,, 0*i >-1). (1-43)
Wf^^logt»! — log dJ
Далее, функция г = г1/^ однолистно и конформно отображая
всю поверхность G^ на себя, одновременно переводит область «2^(0; х)
в область <2*р(0;.х) и, следовательно, область Si(0;x) в область
35р(0; х).
Поэтому после замены ^ = £р и гг^ = wp, \хг = |х — 1 формула
(1.43) принимает вид
«-<*у(^;ц-1)Л=——f —- (ц>0). (1.43')
pww [log w — log g]
где w£3!p(fi; %) и С£,2*р(0; *)•
3P

484 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОП ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Наконец, принимая во внимание тождество (1.24), имеем
+\г*\№»\ v)e-ldt = ^-^[е-<(?е, M-\)dt,
О О
откуда и из (1.43') следует утверждение (1.42) леммы.
(б) Перейдем, наконец, к доказательству теоремы об
интегральном представлении класса ^(a)[pi; аг].
Теорема 8.1. Пусть функция F (z) принадлежат классу
&{а) [ft; о{\ (0 < a < + оо, 0 < рг < + оо, 0 < ог < +оо). Тогда
для произвольного р > 0 справедливы следующие утверждения:
— "о" » Т" ФУнкЦая
(1.44)
определена и голоморфна в сумме Щ,, (и0) семейства областей
{Sp(ft; и0)} (— ^-<^<^). *<?<? и0 = о, «ри р = р, и ^ = 0
при р > Pi-
2°. Для любого и > и0 справедлива интегральная формула
F{z) = 4a J vp (*■ т)G (0 <*С* * 6 А (a; 0)' (1 *45)
где интегрирование вдоль границы L^ (к) области SP^ (к)
совершается в отрицательном направлении. Интеграл (1.45)
сходится абсолютно и равномерно в каждой ограниченной .и
замкнутой части области Л (а; 0).
Доказательство. Что касается утверждения 1°, то оно было
доказано в лемме 8.1. Далее, природа сходимости интеграла FK(z; a)
(х > х0), стоящего справа в (1.45), была уже установлена в лемме 8.2.
Следовательно, для завершения доказательства всей теоремы остается
лишь установить справедливость тождества
/£ (г\ a) = F (г), г £ А (а; 0). (1.46)
Но для этого, в свою очередь, достаточно показать, что при любом
P(a<p<a0)
/£(*; fi)jsmF(z), Atgz = 0. (1.47)
Действительно, тогда, пользуясь предельной формулой (1.29) леммы 8.2,
мы получим, что тождество (1.46) справедливо на луче Arg2 = 0 и

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 485
тем самым во всей области А (а; 0) ввиду аналитичности обеих
функций F(z) и FK(z\ а) в этой области.
Итак, докажем справедливость тождества (1.47).
Отметим сначала, что, согласно лемме 8.3, для любого р£[а, Oq]
при некотором а > х > х0 мы имеем F*K{tl/p\ p) e~ott~1/2 £ Z,A (0, -f- сю).
Отсюда следует, что интеграл
+оо j
/(«0=J f№; t)e-'*T*dt (a<p<Oo)
0
сходится абсолютно и равномерно в каждой ограниченной и
замкнутой части области Sp(0; a)czGoo и представляет функцию,
аналитическую в этой области.
Докажем, что справедлива формула
f(w) = w 2G(w)t w^p(0; a0) (o0>o). (1.48)
Для этого заметим сначала, что, согласно лемме 8.2, интеграл
сходится равномерно относительно z, в частности, на отрезке б ^|г|^ А
луча Argz = 0 (где 0<6<А< -(-сю произвольны).
Поэтому имеем формулу
Но легко видеть, что по крайней мере при достаточно большом
<*о > a > х К0НТУР ^}Р(Х) целиком находится вне области <2?р(0;а0),
т. е. принадлежит ее дополнению Sp(0; a0). Поэтому, согласно
лемме 5.8', справедлива формула
1
'"2 л w
•dt = >
log w — log 5 •
^6^p (0; a0), C€4P,W-

486 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Пользуясь этой формулой, из (1.49) получаем тождество
_£
v • • ' 2я/ J log да — log i
ifUn)
lf>M
~ш \ oJJ'-^^tK**'
0
+ oo
<*£-
"i J 0(Ы/,--Ч(^Р;1)Г^^
==*/,(«>; 6)+t/2(w; Д), w£Sp(0; o0). (1.50)
Отметим теперь, что, согласно лемме 8.1, функция G(£)
голоморфна в области Зр (ко) и для любого р > а и и > ко справедлива
оценка вида
°(£)|<т$ш-' se^fw.
■ + ICI
где Л(Р; и) не зависит от £.
Поэтому, применяя теорему о вычетах, ввиду принятого нами
направления интегрирования вдоль контура L'p (и), получаем формулу
0(0
_L Г
2ш J
£<,Р)<*>
log те; — log g
dl =
:— lim |
«-») G (J)
| = wO(w), ^6^Р)(к). (1.51)
t^wl logtw —log£
Теперь, замечая, что Sp(0; o0)c:£D$) (к) (а0 > х, р > а), из
соотношений (1.50) и (1.51) получаем тождество
1-Я
f(w\ 6; Д) = да 20(ге;) + ^1 (w; 6) + t/2(w; д). ^6^Р(°; <*о)-
(1.52)
Так как, очевидно, I(w)= lim I (w\ 6, А), то формула (1.48)
6-»+0
будет установлена, если мы покажем, что при w££Bp(0; a0)
lim Ux(w\ 6) = 0, lim U2(w; Д) = 0. (1.53)
6->+0 Д->+оо
Фиксируя число г] (о < у] <-^-)» обозначим через Лр^(к) ДУГУ
кривой АрР)(>0> лежащую в области |Arg£| < ^-+ т). Остальную
часть контура Lp (x), лежащую в дополнительной к ней области

vp(^p; i)
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 487
поверхности О^, т. е. в области-g-+ Л <^1 Af& £ | < -}-оо, обозначим
через CJvn(x). Таким образом, по определению Lf] (x) = L{p\ (и) +
Отметим теперь, что справедливо неравенство вида
где Afx (г]) не зависит от t> и £.
В самом деле, из оценки (1.33) для функции vp(z\ \x) следует
справедливость неравенства (1.54) при 0<*<]1 и C^Cp^fa). Атак
как дуга Lf\(>t) конечна, при 0<*<1 и Сб4^(х) справедлив
вость того же неравенства (1.54) вытекает из свойства (1.27)
функции vp(z; \х) в окрестности точки 2 = 0.
Теперь из (1.54) получаем при 6<1
|£/,(«; 6)|<M2 J |0(C)||dC|J i + UogUUVplrf^
ЛЭ)
P
(x)
0
©(*)««, «6#P(0; a0), (1.55)
где
a Mt—подходящим образом выбранные постоянные, не зависящие
от s, £, t% ...
Для оценки функции со(0 воспользуемся неравенством Буняков-
ского и утверждением 3° леммы 8.1; тогда получаем оценку для
a<p<a0
' •«><*» I ma+n.gltl<*r
Замечая далее, что при С££рР)(и). очевидно, \dt>\^Mzdr,
при |С| = г^>/?0 имеем
+ оо
А Г
(l+|logr|)2
\2
^4 J rd+Mogrl)'^^' 0<'<^

488 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Итак, о)(/)=0(1) при £-> + 0, откуда и из (1.55), очевидно,
следует первое из предельных соотношений (1.53).
Чтобы оценить интеграл U2(w> Д)« предварительно представим
его в виде суммы двух интегралов
и2
(w, A) = -^L j 0(£)Ф(да; С; Д)<*С-
Le\™
~"Ш I 0<С)Ф(«; С: A)d£ = ^i(w; A) + V2(w; Д), (1.57)
CAV*>
где
+ 00
Ф(«; С; A)-J e-'^Vp^1*; у)Г*Л.
А-
Так как дуга Lf\(n) имеет конечную длину, принимая во
внимание природу сходимости интеграла (1.42) леммы 5.8' относительно
переменной С, легко видеть, что
lim VY(w\ Д) = 0. w£Sp(0; a0). (1.58)
Л->+оо
Для оценки интеграла V2(w; Д) воспользуемся неравенством
Буняковского и утверждением 3° леммы 8.1. Получим
\V2(w\ Д)|2<Л0(н) | |Ф(да; С; A)l2iff; (1-59)
р, V
при этом, когда Ъ>€С&\(н) и ?a>6Sp(0; ао)> в силу оценки (1.33)
мы имеем
|Ф(«; & А)|<Ж1(Л) J i + liogici^l^
А
Далее, вновь Пользуясь неравенством Буняковского, получаем
_L +°° -at
|Ф(«; b д)Р<^«*<„j ,(,+|,:;,;„№|)г^.

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 489
откуда и из (1.59) следует неравенство
+ СО
и^;д)1<ж6 j mj ,(I+i,:g;^vp|)2^°
+оо
= M6J e'^tt-x(^{t)dt1 (1.60)
4Р)(н) " д
A
где
\dl\
(0
(0= \
ilP'(x)
lU(l + HoglSU1/pl)2
+oo
p
Но, как и при оценке функции o(f), легко видеть, что
+оо
«с ;".
б
Отсюда и из (1.60) следует, что
lim V2(w\ Д) = 0, w££8 (0; а0). (1.61)
Д->+оо
Из (1.57), (1.58) и (1.61) следует второе предельное
соотношение (1.53). Итак, формула (1.48) установлена.
Теперь, обращаясь к формуле (1.44), при Ф = 0 мы получаем
+°° _j_ £
J" F(tl/p)e-twQt 2dt = w 2G(w), w€$Q(0; x0). (1.440
о
Так как а0 > a > >c0, из (1.48) и (1.44') следует тождество
J {И'1/р)-^('1/р; p)]r^}e-'"P^=o. ^6^p(0; <*„)• (1.62)
0
Но при любом a > a0 кривая L9 (0; a): гДО = a + /т, —оо < т < +co,
лежит в области Sp(0; a0). Поэтому из (1.62), в частности,
вытекает, что на всей оси — со < т < -f- оо
J {[F(tl,p)-FWP; ф-"(Г^е-ыdt~Q, (1.63)
где
[F(tUp)~-Fl(^; ф-*'Пек(0. +оо);

490 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Применяя к тождеству (1.63) теорему единственности преобразования
Фурье в классе Lx (см. следствие 1 теоремы 1.9), получаем
FW»;fi)=zF(t1,l>). 0<г< + со,
для любого р > а.
Таким образом, тождество (1.47) доказано, чем и завершается
доказательство теоремы.
(в) В заключение параграфа отметим еще, что в теореме 8.1
построен аппарат аппроксимации функций класса $?а [р^ ог] так
называемыми квазицелыми функциями, о которых речь будет идти
ниже.
§ 2. Квазицелые функции конечного роста
и их интегральное представление
2.1. (а) В дальнейшем под квазицелой функцией мы будем
понимать каждую функцию, однозначную и аналитическую на всей
поверхности 0^= (г; —оо < kxgz < +oo, 0<|г|<+оо} и
удовлетворяющую следующим двум условиям:
1) для любого фиксированного значения г (0<г<+°°)
Mf(r) = sup\f(rei<?)\ <+oo; (2.1)
2) lim supAL(r)< + oo.
r-»+o J
Посредством замены переменной w = \ogz (z = ew), однозначно
и конформно отображающей всю поверхность От на плоскость wt
данная квазицелая функция f (z) преобразуется в целую функцию
F(w) = f(ew). Легко видеть, что функция F(w) удовлетворяет двум
условиям:
1') для любого фиксированного значения и£(—со, +оо)
M*F(u)= sup \F(u-{-tv)\<-{-oo;
\v\ <+oo
lim supM^(H)<-f-oo. (2.Г)
U->-oo
Обратно, каждая целая функция F(w)t удовлетворяющая уело»
виям (2.10, после замены переменной w = logz переходит в квази*
целую функцию f (z) = F (log z).
Отметим еще, что если квазицелая функция f (z) удовлетворяет
дополнительному условию
/(Ге<(ф+2я*)) = /(г^Ф) (k = 0, ±1, ±2,..,) (2.2)

И)
КВАЗЙЦЕЛЫЁ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА
491
при любом ф£[—я, л] и г£(0, + оо), то она, очевидно, является
целой функцией в обычном смысле слова. При этом справедливы
равенства
MJr) = MAr)= max \/(ге«?)\, (2.3)
J J 1Ф|<я
lim MAf)= lim Mf(r) = |/(0)|.
r-»+0 У г-»+0 У
Обратно, если f(z) — целая функция, то с помощью формулы
(2.2) ее можно аналитически продолжить на всю поверхность G^.
Получаемая таким способом функция f(z), z£G^, будет
квазицелой функцией, удовлетворяющей условиям (2.3).
Если f(z)— квазицелая функция, то \ogMJr) [аналогично
функции log МЛ г) в случае, когда f (z) — целая] является непрерывной,
монотонно возрастающей и выпуклой функцией от log г.
В этом можно убедиться на основании теоремы Дёча *), если от
данной квазицелой функции перейти к целой функции F (w) = f (ew),
удовлетворяющей условиям (2.1').
Аналогично известным из теории целых функций определениям
порядка и типа для квазицелых функций эти величины мы
определим с помощью функции logM^(r). Итак, величину
log log Mf (r)
lim SUP log/ =p (0<P< + oo) (2.4)
будем называть порядком квазицелой функции f(z). В случае, когда
О < р < -f- oo, типом той же функции мы назовем величину
log Mf (r)
lim sup of =o (0<G<+oc). (2.5)
Условимся квазицелую функцию f (z) называть функцией роста
{р; а}, если она имеет порядок р и тип а, и функцией конечного
роста {р; а}, если числа р и о конечны.
Принимая во внимание определение и свойства (2.1) квазицелых
функций, легко приходим к такому заключению.
Пусть функция f(z) имеет конечный рост {р; а}. Тогда для
любого е<0 существует постоянная СЛг) такая, что неравенство
l/WK^e)^)^^, г £ Goo, (2.6)
выполняется равномерно на всей поверхности Goo. В то же время
для любого е < 0 это же неравенство нарушается по крайней мере
на некоторой последовательности точек [zk (е)}Г 6 ^оо, Hm|^(e)| =
= -f- oo.
*) См. Дёч [1].

492 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Приведем несколько примеров квазицелых функций
1°. Функция zl при любом /£[0, + °о) или, более общб, каждая
функция вида
т
Qr(z) = J* z'da(t)t (2.7)
о
где a(t) — произвольная, вообще говоря, комплексная функция
ограниченного изменения на [0, Г], очевидно, является квазицелой
функцией.
Так как при г ^>1
Ж(г)= sup \QT(re^)\KCTrT,
|ф| < +00
Г
где Сг = ||tfa(f)|, естественно называть функцию QT(z) квазапо-
о
линомом степени ^7\
2°. Пусть а(/) — произвольная функция ограниченного изменения
на [0, -f-oo), для которой при любом г£(0, +оо) интеграл ф(г) =
+оо
= Г г11 da (t) | существует.
о
Тогда
+оо
/o(*)=J zlda(t)t (2.8)
о
очевидно, является квазицелой функцией, причем М/0(г)^ф(г),
3°. Функция типа Вольтерра
+оо
vp(*; v) = \ roi + f/p)'" 0*>o. Р>0)
О
является квазицелой функцией, причем, как легко видеть,
+ оо
AJ(r)==vp(r; ix) = J Г{/_1т<".
о
Отсюда и из асимптотической формулы (1.25) следует, что
Ж(г) = ргР(1-^р+0(15|7), г-> + сю,
и, следовательно, функция v0(z; |i) (|i > 0) имеет конечный рост
{р; 1).

§ 2] КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 493
(б) В дальнейшем нам понадобится асимптотическое
поведение функции vp(2; \x) не только при |2[->-f-oo, но и при
|Arg*|-> + oo.
Для любого е > 0 и а (-g- < а < —) введем в рассмотрение
множество точек
О (а; е)= [z\ а<| kxgz\ <+oo, е< | 2 | <-|-сю}
и докажем лемму.
Лемма 8.4. Если z£G(a\ e) и \ \ogz\ -> + oo, то имеет место
асимптотическая формула
V*: ^) = ~T(IoW+0(lw)- (2>9)
Более того, справедлива оценка вида
Wz> ^+niijW7|<iW'z€0(a: 8)t (210)
где С(е; a) > 0 не зависит от z.
Доказательство. Воспользуемся интегральной формулой (1.21)
леммы 5.1, когда участвующий в ней параметр а = 0. При z£Goo —
— De(а) получаем
Y (е. а)
где для фиксированных значений а (у < a < я) и е>0 £>е(а)
обозначает область |Arg2|<a, | z | > е, а у(е; а) — ее граница,
пробегаемая в направлении неубывания Arg2.
Заметим теперь, что если и Ф z и г=£ 1, то справедливо
тождество
1 1 log и
log и—log z log z log2z
+
(log »-^') log» ж' »€°~ *€0- (2-12)
Кроме того, дифференцируя формулу Ханкеля
Г(1+|г) 2я/ J *w
Y (e; a)
по параметру \it приходим к формуле
rq + rt _ i
Г2(1+,и) — 2я/
Г'О+и) __L J euu-l-i4ogadu.
Y (e; a)

494
ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Из (2.11) и (2.12) на основании последних формул получаем
тождество
М J
еии-1-»
2л/ J log и — log z
Y(e; a)
Г(1+И) ^
da ■
r(l+^)log*
Г2(1+ц) log2 z • log2 г 2Ш
г* 1 f e^T^Jog^
*" log2г 2я/ J log a — log г a" ^-itj>
Y (e; a)
в предположении, что z£y(e\ a) и гФ\.
Пусть теперь значение аг (-^ < си\ < a < я] также произвольное
и 6 = а — аг > 0.
Докажем, что на множестве точек
G(e; a; 6)={,г; a<|Argz| <-f-°o, |z|>ee6}
справедлива оценка
1 Г еии-1-» log2 ц
2я/ J log и — log г
Y (e; a0
<C(e; 6),
(2.14)
где С(е; 6) не зависит от z.
Для этого, очевидно, достаточно показать, что при z£G(e,-, a; 6)
и и £ у (е; с^)
inf
Так как
1 Н
log 7
>6.
(2.15)
11о£ 7 I= { log217 | И" (Аг£ и — Ar£ ^)2 J7''
при z£G(e; a; 6) на лучах ktgu= ± ab \u\^>e имеем
log-
> | Arg и — Arg * | > a — c^ = 6,
а на дуге |Argwj<ab |и|=е
logy
>iog4I>6-
Поэтому, принимая во внимание определение самого контура у (г; ах),
получаем оценку (2.15), а следовательно, и оценку (2.14).
Теперь заметим, что формулы (2.11) и (2.13) можно записать,
заменив/ в них параметр а через аь и что при этом имеют место
включения
0(е; а; б) с О» — £)е (а) с Оте — De (oti).

§2)
КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА
495
Имея это в виду, совершив в формулах (2.11) и (2.13) замену
параметра а на щ и воспользовавшись оценкой (2.14), заключаем,
что при z £ О (е; а; 6)
v(*; \x)-\-
r(l+^)log*
<С0(е; а)
\z\»
log z Р
(2.16)
Наконец, так как е > 0, а и щ l-j < Щ < а < я] были в наших
рассуждениях произвольными, принимая во внимание соотношение
vp(z; jLx) = p£p(1-»x)v(2P; \x — 1), из (2.16) получаем оценку (2.10) и,
следовательно, формулу (2.9) нашей леммы.
2.2. Здесь мы докажем основную теорему об интегральном
представлении некоторых общих классов квазицелых функций конечного
роста. Доказательству этой общей теоремы предпошлем
непосредственное доказательство ее частного случая для простейших классов
квазицелых функций, а именно для квазиполиномов.
(а) Полагая параметры г (0 < г < + оо) и к (—со < к < +оо)
произвольными, введем в рассмотрение интеграл
+ оо
/(Я,; r) = ± j vp(r^; \i)e-'™d$ (ц>0, p > 0) (2.17)
— CO
и сначала докажем лемму.
Лемма 8.5. 1°. Интеграл /(А,; г) сходится в обычном смысле
при кФО и в смысле главного значения по Коша при к = 0.
2°. Справедлива формула
Г (к; г) =
r(n + Vp)
1
2Г0г)
0
при 0 < к < + оо,
при к = 0,
при —оо < к < 0.
(2.18)
Доказательство. Iе
-а
f(Ur) = ± j ...
+ 5гЬ
Представим интеграл / (к] г) в виде суммы
а
а
3
(г*'*; \i)e-l™d$ = ^fk(k)t
(2.19)
/5 = 1
где ^ < а < я.
Так как сходимость 12(к) при любом Я, очевидна, a fl(k) = f3(k),
достаточно показать, что при к Ф 0 сходится интеграл /3(Я).

496 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОП ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
С этой целью выпишем тождество
+ оо -f-co
+00
Г(Ц) J logr + i
a
+ J {vp(«»; rt + r0t)po^r + wl}^W^s^1)W + /g)(X) (2.20>
a
и заметим, что при к Ф 0 имеем
+оо +оо
J logr + iG Л log г+ io "Я J [logr + iG]2*
a a
Отсюда следует, что при А, Ф О интеграл /^(А,) сходится, притом
равномерно по А, вне любой окрестности (—6, 6) (6 > 0) точки А, = 0.
Интеграл же /з2)(А,) равномерно сходится на всей оси —оо <
< А, < + со, так как, согласно лемме 8.4, его подынтегральная функция
имеет мажоранту C(r\ a)[log2r+-d2]~\ интегрируемую на
промежутке а<^Ф< + оо.
Таким образом, интеграл /3(А,) и, следовательно, весь интеграл
/(А,; г) сходится при любом КФО, притом равномерно по А, вне
любой окрестности (—6, 6) точки А, = 0.
Что касается случая А, = 0, из тождеств (2.19) и (2.20) уже
следует, что в обычном смысле интеграл /(0; г) сходиться не может.
Его сходимость в смысле главного значения и формулу /(0; г)==
1
= 9гч 1 мы Установим ниже.
2°. Так как
+оо
0
эту функцию можно рассматривать как преобразование Фурье функции
[ 0 при —оо<А,<!0,
<р(А,) = < А_ гх (2.21)
W2n Г(, + А/р) пРиО<^< + оо.
Поэтому, согласно теореме 1.3, для любого А,£(—со, +со)
справедлива формула обращения
+ оо
<р(Л-0) + ф(Я + 0)=у ?.у=\ vp(re-'»; ^)e^db=V^HU r).
— оо
Отсюда в силу определения (2.21) функции ф(А,) следует формула
(2.18) леммы.

§ 2] КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 497
(б) Обозначим через К (к) (0<х< + оо) бесконечную спираль
— со < ArgC < +00, | С | == >с1/р, лежащую на поверхности G^.
Из предыдущей леммы непосредственно вытекает
Теорема 8.2. Пусть значения параметров р > 0, \х > О и
и>0 произвольны. Тогда:
Г. Для любого X (0<А,<+оо)
-Гттт = ш J vp <*■ я Т^г • * € °- (2-22)
а при Х = 0
lrW = v-P-i J4(*«-f. *№• (2.23)
2°. Для любого квазиполинома вида
т
<?(*> = / r(tx + VP) ^а(Я) <0<'о<Г< + оо) (2-24)
имеет место интегральное представление
Q(z)==il J4(*fcl*) tfQ«)tf. zGOco, (2.25)
*<х)
где 7
*Q<0=J-fnf£' С 6 О». (2.26)
3°. Справедливо тождество
gQ® = GQt]lfcQ), C6 0M, (2.27)
где Op, ^(S;Q) — ассоциированная с квазиполиномом Q(z)
функция, определенная в лемме 8.1.
Доказательство. 1°. Вдоль спирали К (к) имеем Z = yteif> (—оо <
<Ф<+оо). Поэтому, если z = rei(v, то в силу (2.18)
+ 0О
+ оо
2я
— оо
\9(гкеи\ \1)е~шdt =
= x-V4(*7(^; rx) =
v ; при 0<A,<+oo,
Г(ц + Я/р)
| 2г7й" при ^ = 0'
32 М. М. Джрбашяч

498 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Таким образом, формулы (2.22) и (2.23) справедливы.
2°. Согласно лемме 8.5, интеграл (2.22) сходится равномерно
относительно параметра X, в частности, на промежутке [t0, Т].
Поэтому, подставляя в выражение (2.24) для квазиполинома Q(z) вы-
ражение функции г . ... из формулы (2.22) и меняя порядок
интегрирования, получаем представление (2.25), (2.26) теоремы.
3°. Квазиполином Q(z) имеет нулевой порядок. Поэтому,
согласно лемме 8.1, ассоциированная с Q(z) функция Gp ^ (С; Q) при
любом р > 0 и М- > 0 голоморфна на всей поверхности О^ и при
каждом Ф£(—со, +оо) допускает представление
Ор,,(С;0 = р(^^ГГ1 fQive-^e-^^^v^dv, (2.28)
О
C£Sp(ft; 0).
Подставим теперь в (2.28) значение Q(ve-^) из (2.24). Тогда
получим
<>,.»«; ®-р(.-'ЧГг'х
0 v t0 )
Т
= ^ 0 * J гох + я/р) X
[ +оо \
I * I
XJJ e-('-l*09z><>vW-i-K-idv\da(l), ££^p(ft; 0). (2.29)
При этом изменение порядка интегрирования допустимо ввиду
равномерной сходимости интеграла
+оо
f e-«p(<-l4)pv^-4v= У(|г+^х » С€^р(*:0). (2.30)
о Р (* С)
относительно параметра ^£[^0. Л-
Наконец, из (2.29) и (2.30) следует, что тождество (2.27)
справедливо в каждой области Dp(ft; 0) = Д(ft; р) (—oo<ft<+oo),
а значит, и на всей поверхности О^.

§ 2] КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 499
В связи с этой теоремой, естественно, возникает интересный
вопрос: допускает ли класс квазицелых функций интегральное
представление вида
+ 0О
F(z)=j z'da(t)t z^O^ (2.31)
о
где a(t) — некоторая комплексная функция ограниченного изменения
на каждом промежутке [О, R] (0 </? <-f-°°)?
(в) Из семейства квазицелых функций конечного роста выделим
классы С (р; о} (0<р<+оо, 0<а<+оо) следующим образом.
В класс С (р; о] будем включать множество всех квазицелых
функций f(z), рост которых не выше чем*) (р, о}, удовлетворяющих
при некотором а0 (0<а0<+оо) условию
sup J J \/(ге**)\2г-г dr\< + oo. (2.32)
Отметим, что это условие выполняется, если, например, при
г-> + 0
^/(r;a0)=sup {|/(r^)|} = o(log^"6i) (6>0). (2.33)
Вспоминая теперь определение класса ^a)[pi\ Oj] [см. 1.1 (б)],
очевидно, можем утверждать, что для любого а(0<а<Оо)их>а
справедливо включение
С{р; a}cj>(a)[p; x]. (2.34)
Пусть f(z)£C (р; о] и, следовательно, /(z)£ i?(a) [р; к] (0 < а <
<а0, х>о), где а0 > 0—некоторое число, зависящее, вообще
говоря, от функции f(z). Тогда, согласно лемме 8.1, существует
функция £•(£), аналитическая в области <2*pa)(a) и представимая в виде
+оо 1
*<0-(.-wtfV/ /№-»),-«•-"&г*at. C€*p«>;«>.
0 (2.35)
для каждого Ф£[— -^ > -^И • Здесь (1.1 (а) ] Spa) (о) обозначает
сумму областей
Sp(ft; o) = {C; Rt(e-'Kf>a, \AtgZ-&\<-^}
для всевозможных значений ftg —-к-% Т\*
*) То есть функций порядка pi<p и типа aA<a, если Pi—р.
32*

500 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Граница Z,p° (а) области 3)f] (а) состоит из дуги —-Д •< Arg£<!
^ -£-, | £ | = а!/Р и неограниченных кривых
4±}(±^-; оу.^ = е±1^\/Т±Л. 0<т<+оо). (2.36)
Имея в виду включения (2.34), приходим к выводу, что если
/(z)£C{p; а}, то ассоциированная функция g(t>) аналитична всюду
на римановой поверхности
000(а1/Р)={С; —cxD<ArgC<+oo, а1/р<|^|<+оо}
и для любого ft(—oo<ft<-f-oo) допускает представление (2.35).
Кроме того, на основании леммы 8.1 можно утверждать еще, что
для функции #•(£) при любом н>а и 0<a<-f-oo справедлива
оценка
sup {l*(C)|IC|}=C0(x; a)<+oo. (2.37)
®f] (х)
Докажем теперь теорему о представлении функций класса С {р; а},
являющуюся существенным обобщением на квазицелые функции
теоремы 6.3 об интегральном представлении целых функций конечного
роста.
Теорема 8.3. Пусть функция f(z)£C{p;o] (0<p<+oo,
0<!а<+оо), функция g(t>) ассоциирована с ней согласно
формуле (2.35). Тогда при любом х > а справедлива интегральная
формула
/<*>—К7 Ы* ■*)*«>* =
К (к)
+ оо
= Ш J vp(*Hl/Pe'°; j)g(Hlfee">)d(HVee">), z£G„, (2.38)
— 00
причем интеграл сходится в обычном смысле.
Доказательство. Полагая 0 < щ < a2 < Oq, образуем контур
Z,pa,'aa)(x), состоящий последовательно из кривой £р~Ч— ~—; х),
Дуги -^<Arg£<-^, |£| = hVp „ кривой 4+)(£; н).
Докажем, что при любом н > а и 0 < щ < а2 < а0 для функции
/(z)£C{p; а} справедлива формула представления
'(2) = 2S7 J vp(zC;-J-)*(£)#. 2 6A(a2;0) (2.39)

§ 2] КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 501
в предположении, что интегрирование вдоль Z,pa" °2 (х) совершается
в направлении возрастания Arg£.
С этой целью, отметив, что при любом и>аи0<а2<а0
функция f(z) принадлежит классу ^(а)[р; и], запишем интегральную
формулу
f(z)==^ti J vp (*S: i) g (C) dL * ^ A (a2; °)- (2-4°)
которая имеет место, согласно теореме 8.1. Напомним, что и здесь
интегрирование совершается в направлении возрастания Arg£.
Далее в предположении 0 < щ < а2 < а0 образуем еще один
бесконечный контур, пробегаемый в том же направлении, /(ра1'а2)(и),
состоящий последовательно из кривой L{p~4— -к— * и)» ДУГИ —-тг- ^
<ArgS<—2^-, |С| = и1/р и кривой 4_)(-^-; к).
Если мы покажем, что справедливо тождество
0si J vp(*fc^)*G)#. *6A(a2;0), (2.41)
Zpa»'a'>(x)
то легко видеть, что, сложив его с формулой (2.40), мы получим
требуемое представление (2.39).
В силу (2.36) уравнение кривой ЦГ'1—-п—; и) имеет вид
£ = (и2 + т2) **" ехр | — / U£- + - arctg ■£-) |, 0 < т < -f оо, ввиду
чего
и аналогично
-т(7 + т)<*^<-ЯГ- «€4-(-^-s »)•
причем слева равенства имеют место лишь в бесконечно удаленных
точках соответствующих кривых.
Контур /jf1' °2)(х) разбивает поверхность 0^ на две неограниченные
области. Через Qpa" °2)(и) обозначим ту из этих областей, где Arg£
ограничен. Тогда легко видеть, что при ££Qpa" °2)(и)

502 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и поэтому имеем также
(2.43)
Далее, для каждого фиксированного значения z£A(a2; 0)
функция vp (z& 1/2) голоморфна в области Qpa" аз)(и), причем в силу
условия (2.43) и леммы 8.4 мы имеем при ££Q£ai' °2) (х)
vp(z& ^■) = 0(|logCr1). (2.44)
Одновременно функция #(£), как уже было отмечено, голоморфна
в области О^^к^^О/р1' °2)(и), и» согласно оценке (2.37), имеем
g(Q = 0(\t\-1). (2.45)
Отметим, наконец, что первоначальное ограничение 0 < ах <
< а2 < <х0, очевидно, несущественно, и мы можем записать
формулу (2.39) также в развернутом виде:
/<*> = -55Г J vp(*.£)*<0<«+
Я
2а2
+ i J vp(zxe">; ^-) *(»«"►)<* (**'•) +
Jt_
2а!
+i J* vp(«tj),(0«s
^/(_ai)(^) + /(a„ ,,,(«) +/^ (*). *€A(au: 0), (2.39')
где 0<аь а2 < а0 и а1>2 = тах{а1, а2}.
Заметим, что каждая фиксированная точка z £ 0^ при достаточно
малом а1>2 = тах{а1, а2} принадлежит угловой области Л(а1|2; 0).
Поэтому в любой точке z £ О^ значение f(z) может быть найдено
с помощью формулы (2.390 ПРИ достаточно малом а1>2 = тах [аг, а2}.
Отсюда следует, что вообще достаточно установить предельные
соотношения
»m /(.0l)W= Иш / (*) = 0, гев». (2.46)
a,-*+0 * "»' a2->+0 (а2)
чтобы затем, путем предельного перехода в тождестве (2.39'),
получить формулу (2.38) теоремы.

§ 2] КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 503
Установим, например, второе из соотношений (2.46), так как
первое получается аналогично.
Имея в виду уравнение £ = е ^уи + /т кривой L{p+) (-9-—; и],
получаем
X(x + /t)"!rft,
причем, пользуясь формулой (2.35) для Ф = -9—» имеем также
= е 2a2(H+./T)2 p J {/^i/P^ 2a2J^ Ht 2]e-lxtdt,
о
0<т< + оо.
Поэтому обозначая
фаа (т) = J { / (г1 ^1/р) *-*< Г* } *-"'<«,
о
получаем
Aa2)^)=2^J vp{^^^^+7T"r,l}(^+^)"Oa2(t)rft. (2.47)
о
где в силу равенства Парсеваля
+оо
I ( -I JL \ _1|2
J |Фа2(т)|2^т<2я J \f\e *ь№)е-*Ч 2\ dt. (2.48)
о о
Но f(z)£C {p; а}, и ввиду условий, характеризующих функции этого
класса, мы приходим к выводу, что при любом и > a
f \f\e bbffije-rtt 2\ dt\ = Cf(n)<-\-oo. (2.48')
о J
Наконец, из (2.47), (2.48) и (2.48') получаем оценку
|/<a,)(*)|2<C/(*) J IvpJ.'^^Mn^Jfy-* (2.49)

504 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Обозначим интеграл, стоящий справа в неравенстве (2.49), через
fa2(z) и покажем, что
lim /«,(*) = 0, 2б<>оо. (2.50)
а2-)-+0
Заметим сначала, что
+ оо
( /гл_ Лп2р 1 1 |2 л-^
, (2.51)
+ оо
2 dx
где
ю°^<т> = i+*+7ardg^>l^+ф, 0<т< + °°'
и поэтому при некотором а# = а(ф; р)< а0 имеем
причем для всех т (0 <! т < -f- сю).
Ввиду (2.52) для оценки подынтегральной функции в (2.51) можно
воспользоваться формулой (2.10) леммы 8.4. В результате мы
получаем неравенство
|vp{^>(T)2v^+^;-2-}|
<
< С°У у (0<т< + со, 0<а2<сд, (2.53)
я2/16а^ + 'og2 ( V^+T2 r ]
где С0(х; г) > О не зависит от с^ и т.
Таким образом, из (2.51) и (2.52) для любого а2 6 (0, а»] следует
оценка
+ 0О
/о, ("'»)< С0 (х; г) f ^Т г2, -ту , (2.54)
Й /х2 + т2 { я2/16а2 + log2 [ /х2 + т2 г J [
причем интеграл справа сходящийся, поскольку подынтегральная
функция при т->-|-оо| очевидно, имеет порядок 0(x~1\og~2n).
Покажем, что этот интеграл при а2->-(-0 стремится к нулю.
Прежде всего для е>0 выбираем число /?(е)>0 так, чтобы
+ 00
Г dx е
R (8) |ЛХ2 _|_ Х2 l0g2 [ух2 _|_ t2 r J

§ 2] КВАЗИЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО РОСТА 505
Тогда при любом а2 > 0, очевидно, имеем
+ 0О
f с " г2п П < \ • (2-55)
R Ге) У# + т2 { я2/16а2 + ,og2 [ /X2+T2rj J
Теперь число р = р(е)>0 ф<^а#) выбираем так, чтобы при
0<а2<^р выполнялись неравенства
Же)
j—,—^_—^
о V*? + т2 { я2/16а2 +1 og2 [V*2 + т2 г] }
Я (8)
<$-—=Tl dX г2? ц<т- <2-56>
0 /Х2 + Т2 \Л2/Щ2 _|_ log2 [у Х2 _|_ Т2 rJ j
Из (2.54), (2.55) и (2.56) вытекает, что при 0 < а2 < Р<а:,<а0
/а,И)<С0(х; г)е. (2.57)
Отсюда следует соотношение (2.50) и, ввиду неравенства (2.49),
также второе из соотношений (2.46). Так как первое из этих
соотношений устанавливается точно так же, то путем предельного
перехода в тождестве (2.39') завершаем доказательство теоремы.
В заключение сделаем два замечания.
При снятии ограничения (2.32) или (2.33), которое ставилось на
квазицелые функции роста С (р; а}, доказанная теорема уже неверна.
Это видно из формулы (2.23) теоремы 8.2 при \x = -L. Здесь
f(z) = —тут • *"(£) = у в т0 вРемя как интеграл (2.38) представ-
ГЫ ■ ;
ляет уже не саму функцию /(*), а только -к f (z).
В теореме 8.2 для квазиполиномов вида (2.24), очевидно,
принадлежащих любому классу С (р; а} (р > 0, а > 0), была
установлена более общая, нежели (2.38), формула представления (2.25).
В связи с этим остается открытым вопрос—верна ли формула
представления вида
км
где g (£) = Ор> ц (£; /), для значений \х Ф — или нет?
(г) Обозначим через С* (р; о} (0<p<-foo, 0<a<+oo)
класс целых функций F (w), удовлетворяющих следующим условиям:

506 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. Vlll
1) для любого и£(—оо, -f-oo)
М*г(и)= sup \F(u + lv)\ <+оо,
\V\ <+00
lim sup MF (и) < -f- оо;
W->-00
log log M*F (и)
2) lim sup = p,
a->+oo u
log MF(u)
lim sup = a;
w->+oo e^
3) при некотором v0 (0 < v0 < -f-oo)
0
sup
I v | > v0
J IFOz + zz/)!2^
< + oo.
Очевидно, что если F(w)£C*[p; a}, то / (z) = F(log z) является
квазицелой функцией класса С {р; а}; обратно, если f(z)£C{p;o},
то /7(w) = /(^)6C*{p; a}.
Заметим теперь, что преобразование s = log £ конформной
взаимно однозначно отображает область (/^(а1^) римановой
поверхности Ото на полуплоскость /? (р; а) = | 5; Re 5 > — log a > плоскости 5.
Это преобразование одновременно переводит область 3bp (Ф; o)a Gj^o1^)
в область
£>р(#; a) = b; Re^-^)p>a, \lms— #|<^-}
плоскости 5, причем семейство областей {Орф; о)} (—со<Ф < +°°)
заполняет всю полуплоскость /?(р; а).
Принимая во внимание эти замечания, из теоремы 8.4 простыми
заменами переменных приходим к следующей теореме.
Теорема 8.5. Пусть целая функция F(w) принадлежит
классу С* {р; а}. Тогда:
1°. Существует функция G (s)t аналитическая в
полуплоскости /?(р; а), которая в любой области Dp(^; v) (—оо <
<i/<-f-oo) представила в виде
+оо
0($) = («-/*+J)fl'2 J /Ч — — iv\e 2 du, s£Dp(p\ v).
— oo
(2.58)

§3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ U€2[a\, H2[h] 507
2°. Целая функция F (w) допускает интегральное представ-
ление
— log Х+/оо
F{w) = ^3 j* vp («•+*;-у) О (в) Л, |да|<+оо, (2.59)
— log х-/оо
где н>а — любое число.
§ 3. Классы функций 3@2 [a], H2 [А] и их представление;
общие теоремы о параметрическом представлении
3.1. (а) В §§ 2 и 3 гл. VII мы ввели в рассмотрение классы
функций &62\ъ\ 0)](o"<a<+o°. — 1 < со < 1), аналитических в
угловой области Д (а) = Д(а; 0) раствора — < 2л, и установили формулу
их параметрического представления.
Теперь мы расширим определение этих классов, полагая, что
угловая область существования функций A(a) = <z\ |arg2| <-тр-»
0< \z\ <-f-oo> лежит на поверхности О^ и имеет произвольный
раствор — (0 < а < -f- oo).
Итак, для любого а (0<а<+оо) обозначим через gffi2[a\ =
= &€2 [a; 0] класс функций F (z)t аналитических в угловой
области A(a)cGa (многолистной при 0 < a < -^j и удовлетворяющих
условию
+оо
sup \ [ \F(rel<*)\7dr\<+oo. (3.1)
Hl<-£-loJ I
Приведем сначала лемму.
Лемма 8.6. Для любой функции F (z) £ 3tf2 [a] справедливы
следующие утверждения:
Г. Существуют граничные функции F\re 2а) и F\re ^*~)
из класса L2(0, +co) такие, что на полуоси (0, +оо)
F\re 2а)= 1. i. m. Fire**),
F \re~' w) = 1. i. m. F (re«t).
'■♦■Е-0
2a (3.2)
■*"

508 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
2°. Для любого ф0 f 0 < ф0 < -^-\
lim f max [\F {ге^)\гЩ = lim I max [ | F(re^) | r1'2] 1 = 0. (3.3)
Г->+0 1|ф|<ф0 / Г-> + оо\|ф|<фо I
В самом деле, в случае -*■ < а < -j-oo наше утверждение 1° было
установлено уже в теореме 7.5 (1° и 3°); в случае же 0<а<^
это доказательство полностью остается в силе.
Что касается утверждения 2°, то для случая -^ < а < -)- оо оно
было установлено в ходе доказательства теоремы 7.5 [формулы (2.38)
при со = 0]; в случае же 0<а<^-тг оно опять сохраняет силу.
(б) Полагая F(z)^S^2[a]* MbI» согласно лемме 8.6, имеем
F(rel<*) £1*2(0, +оо) (|ф|^-§М- Поэтому для любого ф(|ф|<у-)
можно ввести в рассмотрение преобразование Меллина
о
^Г(5;ф) = 1. i. m. f F(re«*)r*-idr (|q>|< *), (3.4)
которое существует почти всюду на прямой Re 5 = у и
принадлежит классу ^("о —*°°' Т"!""*00) согласно теореме 1.16.
Введем также обозначения
^(«-5гг)=^+>(*>. ^(«--e-H^'V) с3-5)
и докажем лемму.
Лемма 8.7. Почти всюду на прямой Re 5 = -~ справедливы
формулы
^(..ф)»,*1^)-*•<*>(,) (|Ф|<-£). (з.б)
Доказательство. Покажем сначала, что при произвольных
значениях ф2 и ф2 из интервала о~" < Ф1 < Фг < "о- справедлива для
почти всех 5 формула
*«Pi*dT0?; (pl) = ei^s^(s; ф2), Res = -i. (3.7)
Для этого, фиксируя значение 5 = ~к~\-М, образуем функцию Ф (z)=
= F(z)zs~lt также голоморфную в области A(a)cGw, причем

§3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 9€2 [a], H7\h\ 509
под zs~x будем понимать ту ее ветвь, которая принимает
значение exp [(s—l)log|2|} на луче Arg 2 = 0.
Пользуясь леммой 8.6 (2°), получаем, что при г->-{-0 или
г - > -+■ °°
|Ф(г*<ф)|==*-ф>о(|), Ф!<Ф<Ф2, (3.8)
притом равномерно относительно ф.
Теперь заметим, что для каждого а> 1 в области £Ba(q>i\ Ф2) =
= |2; ф2 <; Arg z <; ф2, — <!|2:|<;а> функция Ф(2) голоморфна.
Если обозначим через Z.0(ф2, ф2) границу области £Pa(q>i; ф2), то по
теореме Коши имеем
J <&(z)dz = 0. (3.9)
Обозначим далее через С^(фь ф2) дугу ф2 <[ Arg z <[ ф2
окружности \z\=R (вообще говоря, многолистной). Тогда в силу
формулы (3.8) мы получаем, что при a—>-f-oo
я
lim
J Ф(2?)^= J Ф(*)*/* = *2« ,М0(1). (3.10)
са (^ь Фа) с1/а(ФьФ2)
В состав контура £а(фь ф2) входят также дуги С0(фь ф2) и
С\/о (Ч>\* ф2); поэтому, записав формулу (3.9) в развернутом виде,
после предельного перехода получаем соотношение [учитываем
формулы (3.10)]
[а а \
\ j 0(rel^)d(re1^) — J Ф(г*^)<*(г*'ф*)| = 0. (ЗЛ1)
[ 1/а l/а J
Заметим теперь, что
о а
j 0(re^)d(re^) = e^s J F(re^) rs'ldrt
l/a l/a
и обозначим
a
^ro (s; q>) = J F (г*'ф) г5"1 dr.
l/a
Тогда соотношение (3.11) принимает вид
lim [e^^0(s; «ft) —*'ч*<Уа($; ф2)}=0, (3.110

510 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
причем оно справедливо для каждого фиксированного значения
^ I Re 5 = у j, т. е. всюду на прямой s = -^—(- it (— оо < t < -f- со).
Из (3.1 Г) следует далее, что для каждого фиксированного
значения Т > 0
i+'T
lim f \eiw&'a(s;<pl) — ei'b*&'a(s;<p2)\*dt = 0. (3.12)
-IT
Наконец, принимая во внимание определение (3.4) функции
<&~(s\ ф), из (3.12) приходим к формуле (3.7) ввиду
произвольности Т > 0.
Теперь, полагая опять, что Г > 0 — фиксированное число, оценим
при — ^"<ф<"^а интегРал
2 + iT.
/Г(Ф)= J \e^^(s; Ф)-^2« V(s; £)
Л. (3.13)
/г
С этой целью воспользуемся формулой (3.7), полагая там ф1=ф.
В результате приходим к тождеству
= [^-*'^]^Г(5; ф2)+^[>(5; ф2)~^г(5; £)].
Теперь для интеграла /г(ф) получаем
Г i
МФ)= J |«"** — е 2а4|<£"(s; Ф2)1^ +
i--
!+"•
4- j* «~2а' | еГ(«;Ф2)-«Г (s; ^-)|^=/! + /*
(3-14;
r-W

.3) КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 9C,la], Н,Щ
Согласно неравенству Буняковского,
511
Л<
\+1Т
J |<j?*(s; ф2)|2^
1-я-
1+1Т
Г | el<t*s ■
е га \dt
-IT
Так как по формуле Парсеваля
г+т
у+'оо
J |(Г(в;Ф2)12^< / 1<Г(«;ф2)|2^ =
{--
- —/оо
+ 00
I
очевидно, что
= 2л J | F (гв'ч-012 rfr -< 2я sup \ j \F(re"f)\2dr\<-\-oo,
(3.15)
lim /i = 0.
Аналогично получаем также неравенство
/2<
h-
J
е ъ dt
"iT
* ' \+*
J* |#>; ф2)-<^"(5; &)fdt
\-iT
(3.16)
Но, воспользовавшись опять равенством Парсеваля, имеем
7+
IT
j+tco
J* I <Г (s; ф2)-<^ (s; £) f Л < J | ^ (*; Ф2)-<£~ (s; J) f Л«
f-'r
r-/oo
+oo
= 2л J |F(r^^) — И"'*")! dr%
причем в силу формулы (3.2) леммы 8.6 правая часть стремится
К НуЛЮ При Ф2~>9 ®'
Следовательно, переходя к пределу в неравенстве (3.16), получаем
lim /2 = 0.
(3.17)

512 ЙНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Из (3.14), (3.15) и (3.17) следует, что 1Т = 0 при любом Т > 0.
Отсюда ввиду (3.13) вытекает, что
e'vfis; <р) = «'£ V(s; ■£) (|Ф| < £)
почти всюду на интервале (^—IT, уЧ-^) прямой Res = -y- Так
как Т > 0 произвольно, в силу обозначения (3.5) первая из
формул (3.6) установлена.
Вполне аналогичным способом можно получить вторую из
формул (3.6), если*воспользоваться тождеством (3.7) при фиксированном
зх
ф2 = ф и перейти в нем к пределу при % ->—-~—1-0.
3.2. (а) Докажем теорему о параметрическом представлении
класса J^2lal-
Теорема 8.6. 1°. Класс <2%?2la] (0 < a < +oo) совпадает с
множеством функций, допускающих представление вида
F(z) = z~ j vp(/W/p; 1)т~^(_)(т)</т +
о
+ * 2 J vp^ 2y*t1/p; i-Jr 2*(+)(т)£/т, *£A(a), (3.17)
о
где — = 1—, p>0 — произвольный параметр, a vM(x)
у p u
и ^(_)(t)—функции из класса L2(0, +oo).
2°. Если /*'(2) 6 e%?2 M» wo справедлива формула
+ oo
8p(z; /*)=*" J vp(e'^T1/p; IJt'^Ct; F)dx+
0
I +"°° / _ i JL i \ _!
+ *~2 J W 2Y^tI/p; i-Jt 2v{P))(T;/3)dT=f(2:)i ^Д(о), (3.18)
о
где функции гДО> (т; Z7) также принадлежат классу £2(0, +оо)
и почти всюду на (0, +оо) определяются соответственно
формулами
о

§ 3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 9€2[а], H2[h\ 513
3°. Формула
в?Ч«'Ф'1/р; F) =
+ оо
V*
г
о
J ^(«'WW*; |)т"^)(т; F)dx-
4-оо 1
Г I -i— Л --
+ rk J vple 2ут1/рг1/р^/Ф; ±)t 2V(+)(T. F)rfT l_/7(ri/P^) (3.20)
о J
справедлива для всех г при |ф| < о— и почти для всех г при
4°. В области -^—| < | Arg- ^r| < + сю, 0<|z|< + oo имеем
%(z; F) = 0. (3.21)
Кроме того, на полуоси (0, +оо)
g;(^r'/P; F)==0, ^.+£<|ф|<+оо. (3.22)
Доказательство. Вначале приведем доказательство теоремы,
принимая р=1 и замечая, что в силу (1.24) Vj (z; -А = zlI*v yz\ —у) .
1°. Пусть х;(+)(т) и ^(-)(т) — произвольные функции класса
Z,2(0, -f-oo). Рассмотрим интегралы
-- +"°° / -i2.(\+±\ 1 \ —I
FM(z) = z 2 J vx[e 2^ *>гх\ i-Jt 2tF(+)(t)dT =
о
= Г'7'1 + «'j" v^e"'7^1 + »^T; —-^Ц+)(т)<*т, (3.23)
о
■4-00
_i. f ( i£(\ 1\ \ __L
/*(-,(*)=* 2 J VX^ 2^ + a'*t; -ijt 2tFM(T)rft =
0
= /l(1+^) J v(*'t'1+5'st; — {^(.jWrfT, (3.24)
о
где z £ G^ — комплексная переменная.
Согласно теореме 5.2, функция /^(г) аналитична в области
A(+) = |z;|<|Arg2--|(l +I)| <+сю, 0< |*| <+<х>}
33 М- М. Джрбашян

514 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и удовлетворяет условию
+ оо
J|f(+)(r^)Prfr<Al(+). |ф_|(1+|)|>|,
О
где М(+) не зависит от ф.
Согласно той же теореме функция F^)(z) аналитична в области
A(_, = {*;.*<|Afg* + if(l+^)|<+«>. 0<|z|<+c«}
и удовлетворяет условию
J | /=•<_) (r«'»)|»rfr<Af(_,. |Ф+5 (l+|)|>f .
О
где Ж(_) не зависит от ф.
В пересечение областей А(+) и Д(_> входит область А (а), а также
области >2—\-л < Argz <-{-оо и —oo<Arg£<—-х п.
Поэтому, полагая F(z) = F(+)(z)-\- F{-)(z), мы заключаем, что
функция F(z) голоморфна в области А (а) и удовлетворяет условию
+ оо
J* \F(re"f)\*dr^MF, |ф|<-£.
О
где Ж/7=2(М(+)+Ж(_)).
Ввиду (3.23) и (3.24) это означает, что каждая функция F(z),
допускающая представление вида
F(z) = z~ | у,(г^(1 + вЬт; 1)т"*/(+)(т)</т +
о
и
где ^(±)(t:)£Z,2(0, -f-oo), принадлежит классу е%?2[а].
Дополнительно было установлено также, что такая функция
аналитична и в областях \ y~ + л < Arg г < + оо; 0 < | z | < -)- оо >,
{ — оо < Argz<— £ — я, 0 < | 2г | < -1-схэ |, причем
+ оо
J |F(r^)|2dr<M/?> ^- + л<|ф|<-Ьсо.

§3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 9C2[a], H2[h\ 61fi
Теперь надо доказать обратное утверждение, что каждая
функция F(z)£<ffl?2[a] Допускает представление вида (3.17) (при р=1).
Для этого достаточно доказать утверждение 2° о том, что каждая
функция F(z)£Q%?2la] Допускает представление (3.18), (3.19) (при р= 1).
Итак, пусть F (z) £ &в21а1 и Функции v^Ax\ F) определяются
согласно формуле (3.19) (при р=1), т. е.
,*'т(,+Й d re±ur_x /±<jl \
о
Обозначим через V(±)(s\ F) и <^(±)(5) функции, двойственные
( ±i— \
по Меллину соответственно функциям vM(v> F) и F\e 2а г).
H{±)(s)
Вспомним также, что функции ■ . v ' т1"5 (0 < х < -f- сю),
i JL
где Я(±)($)=е 2 Г($), двойственны по Меллину функциям
(e±lxr—l)/(± ir) соответственно.
Тогда, поступая, как обычно, из (3.19') приходим к
функциональным соотношениям
Vw{s; F) = ±e±l^l+^HM(5)^-^(1-$), Res=l. (3.25)
'Hi)
Отметим теперь, что, согласно лемме 5.4, функция
(|ф|^"о") принадлежит классу L2(0, + 00). При этом, обозна-
гз
чая через
М , , ,, _
1/а
двойственную с нею функцию, по известным формулам [см. гл. V,
1 я
§ 3, формулы (3.3) и (3.4)], имеем: если Res = -g-, -j^Cy < -j-°°» T0
О при lms>0,
М (s; ф)=
Г (1—5) * ПРИ Im5<0'
если Re5 = "2-» —оо<ф<]—-j, то
п -г-* Ч2 ' При 1Ш5>0,
Ж (s; Ф) = { Г (1 - s) "Fri ^ "' (3.28)
О при ims<;Q,
33*

516 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Я ^ ^ Я
Из (3.25), (3.27) и (3.28) следует, что если —-Д-<Ф<£-. то
'Ul+1a)M[s; i + JL + T)^(_)(l_s;/0 =
О при Im s > О,
./ля _я_ \ (3.29)
_e-lK^+Ts + 2as+(fs)H(-)(l_s)l^(-)(s) ПрИ lms<0,
t(1+t)m(s. _|_^ + ф)К(+)(1_5; F)=
_/(т+т*+-5г*-<К)я<+)(1_5)(^<+)(5) при ims>0, (330)
О при Ims < 0.
Замечая теперь, что Н(±)(1—s) = e 2 Г(1—s), и
пользуясь формулами (3.6) леммы 8.7
^<*>«в/1#^т,)^-(*;ф).
соотношения (3.28) и (3.29) можем записать также в виде
е'И1+т)м(8. | + JL + q,)K(_)(i_s; P) =
0 при lms>0,
&" {s; ф) при lms<0,
(3.29')
r'"(1 + «bf(s; _£_JL + 9)l/(+)(l-S; /0 =
(^(5; ф) При ImS > 0,
0 при lms<0.
(3.300
Складывая формулы (3.29') и (3.30'). получаем функциональное
тождество, справедливое при —"о^^Ф^Т" и Re5=="2"»
е'т(1+т)м^. £ + JL + (p)V)(1_s; F) +
_j_e-' Т 0 +т)ж (s; _ JL _ |_ + ф) К{+) (1 -5; />)=<Г (*; ф). (3.31)

§3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Stf2 Го], H2\h\ 517
Пользуясь равенством Парсеваля для преобразований Меллина,
в силу (3.26) и формулы v (z; -Л = zl2\x (z; у], вытекающей
из (1.24), имеем
2я/
* АЛ( Я I Я . \
Г ri.,Mr'T+-g+»)
1 • -1-е V - - / V(_)(l_5. f),fe =
у-/оо
4)""ji 1 ' 2A,a,)(T;
о
= е'1 2 О' а/ - | _v —tflK (t; /7)^t =
= Г' " (1+«^' 2rV, J Vi^' 2 (1+a)tr*/«p. |JT 2^1))(т; /?)Л§
(3.32)
а также
2я/ J Г 1-5 ^( + >
(1 — s; F)ds--
2
_Jt_ / _[
= «
*t(i+t) ....!„. 1
404)-^ Г T Tre;2
J _A _ iL ^ (T; F) dX =
= «4(I+-a)-'fyA f Vl(«"4(lH"o)Trelf; |jT-Tv(i))(T. ^rft>
(3.33)
Наконец, отметим еще, что ввиду определения (3.4) функции
a?~(s; ф) имеем также
2S7 J ££if-r^ds=^ F(te^)dt. (3.34)
?-'»
Теперь разделим тождество(3.31)на 2я*(1 —s)rs~l (О < г < +оо)
и проинтегрируем вдоль прямой Re s = -^. Тогда в силу формул

518 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
(3.32), (3.33) и (3.34) получаем представление
г
Г F(tel4)dt =
,404)-r4-:':(l4)^i)
0
+ JVl vT ТГ^Ф» t)t~4(Vt; ^л . (3-35)
о J
я
справедливое при всех |ф|<С-о- и 0<^><+оо.
Дифференцированием по г из второго равенства формулы (3.35)
получаем представление (3.20) функции F(z) при р=1.
Одновременно, если воспользоваться теоремой 5.2 (3°), то
дифференцированием первого равенства формулы (3.35) по г получаем,
что при |q>|<JL и 0<r<-f-oo
+ 0О
F(rei<?)==elT{1+T) J v(elT{l+T)xret<p. IJ^^t; F)d% +
с
+ oo
+ * ' 4 ^1+a^ J vU l 2 (1+а)тге'Ф; Ij^^T; /^rft. (3.36)
о
Отсюда следует представление (3.18) теоремы при р=1, если
заметить, что v (z\ — -Л= z 2\г (z\ -Л .
Перейдем к доказательству утверждения 4° теоремы.
Заметим, что
, i Я , Я ^ Я , Я Я, Я . ^ Я)
* + Т+2Й<-2- И Ч>—2~*;<-2-пРиЧ><-Я-^:
} (3.37)
, . Л , Я ^ Я . Я Я .. Я , - ,Я|
*+2+25>Т и *—2 -*>? при *>я + й'|

§31 КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 3ti2\a], H2\h\
Поэтому, пользуясь формулами (3.27) и (3.28), имеем:
если ф<^—я—х- , то
М
(«*+т+£) =
2я / (4-**-4 *-■£•*)
Г(1-в)
М
I л я \
о,
= Г(1-5)
если \|)>я+2^", то
2« в'(т"**
Я Л >
О,
1Ш5> О,
Ims< О,
lms>0,
Ims <0;
О,
М
Г(1-в)
. / Я , Я Я \
2я -'(т+**+-2д+аГл)
2я
Г (1 - s)
0.
Я Я
)
lms>0,
1Ш5<0,
lms>0,
Ims <0.
(3
(3
(3
(3
Далее, из формул (3.38) — (3.41) в силу (3.25) и (3.6)
получаем: •
если ф<—я— -^ , то
_^-/Фл-/ф5^- (5; ф)э Im ^ > О,
О, lms<0,
■'т(1+тЦ* ф_ *_£)к( + )<1 -*; /0 =
е-***+**3оГ (s\ ф), lms>0,
О, lms<0;
(3
(3

520 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Я
25"
если ф ^ я -}- 77-, то
е
"(^^Al^^ + f + ^j^^d-s; F).
0, lms>0,
e-Ws+tvs^- (S; ф)( im s < о,
(3.44)
,-'т(1+±)м(8:*-$-&)У{+){1-,; F)-
\
0, ImS>0,
.^-/Фл-/Ф*^Г(5; ф)э lms<0.
(3.45)
Как из пары формул (3.42), (3.43), так и из пары (3.44), (3.45)
JC 1
вытекает, что вообще при я + -п-^111?|< + 00. Re5== о" спРавеД"
ливо тождество
e/f(1+T)A1(s.^+|_h^.)r(_)(i_s:/J) +
+ е-'т(,+т)Ж^;1|,_|_^:^( + )(1_5; F)=r0. (3.46)
Разделим теперь обе части (3.46) на 2л/ (1 — s) rs~l (0 < г < + оо)
и проинтегрируем вдоль прямой Re 5 = -<г. Тогда, вновь используя
формулы (3.32) и (3.33) в их второй форме, имеем при |я|э| ^> я+-^-
■4r%j
и 0<г < + °°
о
+
Дифференцируя это тождество по г, получаем формулу (3.22)
теоремы при р= 1.
Если же воспользоваться формулами (3.32) и (3.33) в их первой
форме, то из тождества (3.46) тем же путем приходим к соотношению

§ 3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ DC* [а], И2 \h\ 521
для |Ф|>л; + -^- и 0 < г < + °°
2а
л /, 1
■«^,(т; F)dx-\-
,-'т(1+т)-'* Г П ' 2/
4(^)-^р('",'(1+;)^т)
+ *' ^*т«' " | — —v{(l)(T> F)dx = 0.
Отсюда, вновь пользуясь теоремой 5.2 (3°), дифференцированием
по г получаем утверждение (3.21) теоремы при р= 1.
Итак, для случая р=1 все утверждения теоремы установлены.
Предположим теперь, что р=£1—произвольное положительное
число. Тогда, полагая а1 = —, совершим преобразование Zi = zf>9
отображающее область Л(а)с0оо на область Л(а1)с0оо. При этом
легко видеть, что если F(z) £ 3@21а1 (z 6^(а)). то F\(z\) =
1-р
= zl*F(z\,p)€3V2[ai](zi€4ai)); обРатно- если ^iUi)6^2[«i]
(z^H^)), то
p-i
F(z) = z 2 Л (*р) € ^?2 М (*€*(<*))•
Поскольку утверждение 2° теоремы для р=1 верно, для
функции Fi(z{)£ 3€<i [ail справедливо представление
Fi(zi)=ziJ J v1(e/^1+'=rb1T; -i)t"V-)№ Л)<** +
О
■f «1 2 J viU ' 2 ^ +ai^iT; Т/т 2^}(t; fOrft, 2:6^(ai)» (3.47)
о
где
.&<* fl)-i-^-^J ^=^,(v"-W (3.48,
и

522 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Р-1
Заменяя теперь zx = zp и учитывая, что F(z) = z 2 Fx (zp) и
vx(2:P; (i) = — vQ(z; |i), из (3.47) получаем представление
-— +f° I t —(— l \ i\ _I
о
0 (3.470
Наконец, из (3.48) имеем
+ i£/ui\ +oo
1 m e 4^ *' d Г e±ixr — l ( ±t—\
.•■«■4) , *•
" ± ixr 1 / ; Jt \ 1 —p
2jtp dt
0 (3.48')
так как a1p = a.
Ввиду того, что —| = 1 = — , из (3.480 следует
представление (3.18) теоремы при любом р>0.
Итак, каждая функция F (z) £ S^2 № допускает представление
вида (3.17), поскольку для нее справедливо представление (3.18),
(3.19). Обратно, если функция F(z) в области А (а) допускает пред-
1-р
ставление вида (3.17), то, обозначая ^'1(^1)=^12р F(z][^\ и принимая
во внимание, что vP(2J/P» Pl) = pv1(^1; \x\ имеем
_1 Т ( i JL 1 \ _1
о
+оо
+
pzj 2 J v,(« '2v рг,т; у)т *v(+)(T)dx, z,6A(Oi). (3.49)
О
Поскольку £ = p(--f._-)=1 +— , из (3.49) следует, что^СгО^
6^?2[ail» и» следовательно, F(z)£ е%?2 [аЬ
Итак, утверждения 1° и 2° теоремы полностью доказаны.
Что касается остальных утверждений 3° и 4°, то они также уста-
1-р
навливаются путем перехода к функции Fx (z^ = zx 2р F(z\/p\ £ £Ю2 [cij]

§ 3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ЭС2 [а], Я2 [А] 523
и на основании того, что преобразование z = z\^ конформно и
взаимно однозначно отображает область
{\Atgz1\>n + ^,0<\z1\<+oo}. щ = ^,
на область
{\Argz\>f+£.. 0<|z|<+oo}.
На подробностях останавливаться не будем.
(б) В качестве предложения, эквивалентного теореме 5.3', выше
было установлено следующее [см. гл. V, 3.4 (б), формулу (3.88')].
Если g(r)£L2(0, +oo) и
■boo
f*ix)=vw£5 iz^r-g(r)dr- (350)
г о
то почта всюду на полуоси (О, +оо) справедлива формула
f g(r) при ф = 0,
= j 0 при |<|ф|< + оо. (351)
Эту формулу можно записать также в виде
е
+оо
е < d -'-т.. .. .' hsr+Ф )_„„_„„. 3 \ -■*
75*7*1' 4Г* J М« T^*r'*;^t »/,(t)rfx +
l
+».._. . i
+ < 4 r"A J vp(e'( ^^T'/Pr'/Pj-JIt 2/^(— T)rft^ =
0
fg-(r) при ф=0,
I 0 при ^<|ф|<+^. (3-М/)
J
1 l jt_ __!_
так как мы условились, что т1/Р = е р|т|1/Рит 2=е 2|т| 2 при
—оо<т<0.
Покажем, что теорема 8.6 является дальнейшим обобщением этого
предложения, а именно докажем, что если условиться отождествлять
класс е%?2[оо] с классом Z,2(0, +oo), то утверждения 3° и 4°
теоремы 8.6 при а = +оо равносильны отмеченной паре формул (3.50),
(3.51').

524
ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
В самом деле, пусть F (г) £1*2(0, + со); тогда для любого р>0
имеем
1 -Ь£
g(r)=-yL^F(r^)r 2Р £L2(0, +оо).
Введем далее функции
±'4
+ оо
± 1хт
1-р
<))^/7) = V'iJ £^-FWr*-dr (3-52)
О
и заметим, что выполняется соотношение
/f(TT) = e"^))(ri п
Наконец, перепишем формулу (3.510. переходя от функций g(r)
и fg(+%) к функциям F(r) и гДО^т; F). Тогда получаем
представление
Z;(e"fre; f)~
р-' ,± j
=г * е-1 » £
г'А
+оо
Г f -i — ч\ -i I
+ r'A J vp (e 2p tW/W»; -f J t 2 <+>) (t; Z7) <*t =
F(rye) при ф=0,
О при iL<|<p|< + oo.
(3.53)
Отсюда легко следует также, что
1 +0°
2р(г; F)=z 2 j* vp(e' *т'%; ^)т 2<-!)(т; F)rft +
о
(3.54)
— <|Argz|< + oo.
Остается отметить, что совокупность формул (3.52), (3.53), (3.54)
и составляет содержание утверждений 3° и 4° теоремы 8.6, если
положить там 1/а = 0.

§ 3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ V€2 fa], tf2 \h] 525
(в) Обозначим через H2[h] (О < h < + оэ) класс функций G(w),
голоморфных в полосе
S(A) = {w; \lmw\<^} (3.55)
и удовлетворяющих условию
+ оо
sup
J |0(« + /v)|2rf«|<4-oo. (3.56)
Согласно теореме Винера — Пэли класс H2[h] совпадает с
множеством функций, допускающих представление вида
+ оо
Q(w)= J eitwq>(t)dt, w£S(h), (3.57)
-oo
где q>(t) — произвольная функция, удовлетворяющая условию
^тФ(06£2(-оо, +оо).
Отметив, что в представлении (3.57), вообще говоря, интеграл
теряет смысл всюду вне полосы 5 (А), с помощью теоремы 8.6
установим новую формулу параметрического представления класса H2[h],
обладающую важным дополнительным свойством вне S (h).
Теорема 8.7. 1°. Класс H2[h] совпадает с множеством
функций, допускающих представление вида
Р°° / -I iL Л -1
0(да)= J vp(* ' 2vtj/p^; IJt 2К(_>(т)Л +
o
+ J уДг'^т1^; ijr^^CtJrft, wgSCA), (3.58)
о
где— = —hj. P>0 — произвольный параметр, a V(±)(t)—
функции из класса L2(0, + oo).
2°. £Ъш 0(гг;)^Я2[Л], mo справедлива формула
+ оо j
Lp(«; 0)== J vp(e' 2vt"Pe»; ^-)тг"т^>(т; G)rft +
o
-f-oo
-f f vp(e"/^VT,/Pea'; 1Jt"tV{2)(t; 0)rft = 0(w), «6S(ft). (3.59)

526 интегр. представления на. римановой поверхности [гл. viii
где функции
-Г / Л. +0О
И(р2)(т; 0) = ±--jL J (.i^-i^iflj.i/Jjrf, (3.60)
— оо
принадлежат классу L2(0, +oo).
3°. Формула
I vp(e 2VT1** р ;-|Jt 2 V,'^ (т; О) dx -4-
—е du
+00
еи12
о J
справедлива для всех и£(—оо, +оо) при М <-о/Г tt почти для
всех и при \v\ =-оГ-
4°. В полуплоскостях
Im^>^ + f- !»•<-£—F (3'62)
имеет место тождество
LQ(w; G) = 0. (3.63)
Кроме того, на всей оси —оо<и<-|-оо
4(«±£; 0)^0, |-+JL<M<+cx>. (3.64)
Доказательство. Совершим преобразование z = ewy конформно
отображающее всю плоскость w на риманову поверхность 0^. При
этом полоса S(h) плоскости w переходит в угловую область А^сО^,
полуплоскости же Im w > -кг- Ч » Im w < — -^т- — —
соответственно переходят в области
{f- + -Sr<Ar£*<+00' 0<|z|<+co},
{-oo<Aig*< —J---2J-. 0<|z|< + c»}
на римановой поверхности G^.
Отметим также, что если Q(w)£H2[h], w£S(h)% то F(z) =
= z~1G(\ogz)€3V2lh]> *€д(й). и обратно, если /^г) £<$€2 [h]t
то G (w) = ew,2F (ew) £ Н2 [h\.

§3]
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 9€2 [a], H2[h\
527
Ввиду сделанных замечаний легко видеть, что теорема 8.7
представляет собой непосредственную переформулировку теоремы 8.6
в терминах переменной w.
А именно, все утверждения 1°—4° нашей теоремы можно полу-
_^
чить, применив теорему 8.6 к функции F(z) = z 2G(logz)t а затем
совершив замену переменной z = ew. Детали этого перехода мы здесь
приводить не будем.
В заключение отметим, что, в отличие от формулы (3.57)
Винера— Пэли, где представление осуществлялось с помощью целой
функции экспоненциального типа ez, в новом представлении класса
Н2 [h] участвует целая функция бесконечного роста
+ оо
Однако такое, казалось бы лишнее, повышение скорости роста целых
функций, участвующих в представлении класса Я2[/г],
компенсируется тем, что наше представление имеет новое существенное
свойство, сформулированное в утверждении 4° теоремы.
Важное приложение этого свойства приводится в следующем пункте.
3.3. Как явствует из теорем 8.6 и 8.7, операторы 8p(z; F) и
LQ(w; О) обладают тем свойством, что они, представляя данную
функцию соответственно в угловой области А (а) с 0^ и в полосе 5 (/г),
одновременно представляют тождественный нуль в некоторой
определенной порции дополнения этих областей.
Опираясь на это свойство, способом наложения, уже
примененным неоднократно (см. теоремы 4.4, 5.5, 5.5' и 7.10), можно
построить аппарат операторов Фурье — Планшереля и Винера — Пэли
для множеств, лежащих на римановой поверхности 0^ и состоящих
из конечного числа лучей и угловых областей, или соответственно
для множеств, содержащих конечное число параллельных прямых
и полос.
Построение этих операторов приводится ниже в теоремах 8.8
и 8.9, причем доказательства этих теорем мы опускаем, так как они,
основываясь соответственно на теоремах 8.6 и 8.7, аналогичны
доказательству теоремы 7.10.
(а) Расширим сначала область применения определений и
обозначений, введенных в § 4 гл. VII, приспособив их к множествам,
лежащим на римановой поверхности О^.
Множество точек А (а; Ф) с G^ определим следующим образом:
Mz;|Argz — # !<-£-> при 0<а<+оо,
Д(а;Ф) = М ' ■ 6 '^2а[ F ^ ^^ (3.65)
[ [z\ Argz = $] при а = -+-оо.

528 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Пусть последовательности чисел
{**}[:— сю<Ъх<Ъ2< ... <flp<+cx>,
K}f:0<a,<+co, k=\. 2, .... р (р>1)
таковы, что всевозможные пересечения Д(ал; ^)(1 А(«й; "в^)
(&i =£ &2) замкнутых множеств (Д(ал; д^)}^ содержат лишь
единственную точку — начало координат. Очевидно, что это условие
выполнено, если фл+1 — фл > ^^+-J_J (ft=l, 2 р—1).
Отсюда вытекает, что замкнутые промежутки
■'* = {<Р; 1ф-<Ы<-^}с(-оо.+оо) (Л=1. 2 р) (З.бб)
(вырождающиеся в точки дл при а#—-f-oo) всегда имеют пустое
пересечение.
Далее на поверхности 0^ рассмотрим точечное множество
o*{0lf .... Ор; ах ар}=о*{0; а} == L)A(a*; <>*). (3.67)
1
компонентами которого служат лучи, исходящие из начала координат
(если среди чисел ak имеются равные +оо), и угловые области
с вершиной в той же точке z = О (если среди чисел ak имеются
отличные от +оо). Замыкание этого множества (Ж \Ь\ а} =
р — _
= и^(ал» $k) состоит из совокупности (Д(а^; ft*)}'? лУчей и
замкнутых угловых областей, пересечение которых по условию содержит
единственную точку — начало координат.
В дополнении Со/И \Ь\ а} = О^—сМ\Ь\ а) замкнутого
множества оМ\Ь\ а}, очевидно, содержится некоторый угол с наименьшим
раствором я/р^. Число р^ может служить метрической
характеристикой множества Со41{Ь\ а).
Вместе с множеством о/Ц (ft; а} рассмотрим также замкнутое
множество
ЗЧОь .... Ор; °ь ■••• *р}=&{*' а1 = Ув*. <3-68)
лежащее на интервале (—оо, +оо). Отметим, что любая пара ek,
ek замкнутых множеств ek [компонент & [Ь\ а)] имеет пустое
пересечение.
Условимся далее через А(а*; $k) обозначать множество точек
угла А(ал; §k) или пустое множество, если соответственно 0 < ak <

§ 3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 5V2 М, И2 \h\ 529
< + оэ или ак = -{-схэ. Тогда в случае, если хоть одно из чисел
[ал}£ отлично от +со, открытое множество
р
оМ{^\ а) = UA(<V> *л) (3.69)
1
содержит совокупность всех внутренних точек множества оМ \Ь\ а).
Обозначим также
еь =
[{ф;1ф-^1<^}. о<а,< + с. (37о)
{<р; ф = ф*Ь ал = + оо.
и заметим, что множество
£{ф; а}= и^с=Г{*; а} (3.71)
представляет собой совокупность всех изолированных и внутренних
точек множества *& \Ь\ а}.
(б) Будем говорить, что функция F(z) принадлежит классу
£№\ 1 ^[ai» •••» ап]> есла она определена на множестве
о/И \Ь\ а} и удовлетворяет условию
sup \ f \F(re^)\4r\ <+оо, (3.72)
Фб^{*;а} |;oJ J
а в случае, когда множество о/Я \Ь\ а} не пусто, — также
дополнительному условию: функция F(z) аналитична на каждой
компоненте множества о41{Ь\ а}, т. е. в каждой угловой
области Д(ал; §k) (0<ал<+°о)-
Теперь, полагая F(z) £ $6^ v"" ^[ci[t • ••, ctl, введем в
рассмотрение совокупность функций
Fk(z) = F(e**z), *£Д(ал) (k=\, 2 /?). (3.73)
Принимая во внимание определение (3.70), (3.71) множества g3 {d; а},
приходим к заключению: если при данном k (X^k^p) имеем
34 М. М. Джрбашян

530 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
ал = + со, то функция Fk{z) измерима на полуоси (0, -f-oo) и
удовлетворяет условию
J \Fk{r)\*dr <+oo.
т. е. Fk(z)£L2(0t +°°)» если же приданном k (l^k^p) имеем
afe<+oo, то функция Fk(z) аналитична в области А(ал) и
удовлетворяет условию
sup { \Fk(rel<¥)\2dr\<+wt
т. е. ^(^^[aj. Но тогда в этом случае функция Fk(z) на
границе области А(ал) почти всюду имеет граничные значения
Fk\e 2akг) = F\e V 2a*'/v, удовлетворяющие условию
j \Fk[e 2akr)\ dr<+oo.
о
Из сказанного вытекает, что вообще имеем
dr<+oo (6=1,2 р)ч (3.74)
*'&
где при ал = + оэ следует положить е ь — 1.
Отметим далее, что для произвольного числа р> 0 условие (3.74)
можно записать в виде
/ ± / -JL \ iz£
F,U 2a*r1/pjr 2p £L2(0, +оо) (ft=l, 2 р). (3.740
С каждой функцией Fk(z) можно ассоциировать две функции
*!№ ***) = <&?& Оэ

КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 5^2 [al, Я2 [А]
531
принадлежащие классу L2(0, +00). Наконец, полагая — = —|- —
(k=\, 2, ..., р), каждой функции Fk(z) сопоставим два оператора
S*p(e'V/p; F^zfie'V»; F)s
■'A j vp(/ ^t^W; 4)^*'(т; />)t~' dx
+
rfr
0
+
. (3.76)
gp(z; Fk) = 4f{z; F)=*
_l +°° / _я_ \ _1
0
1 +00
T
i-00 / я
+ z ' j* Vp^r'^t1^; -jj^fr F)x 2 dx. (3.77)
1
0
Итак, с каждой функцией Т7 (г) £ gfB^v "" V [с^ a ] мы
можем ассоциировать две системы операторов (fip (е фг р; F)}{ и
{8pft)(z; Т7)^. Кроме того, для произвольной совокупности функций
{г>((*)} (т), f[l))(T)Ji из класса /,2(0, +оо) образуем еще две системы
операторов {iRp (e^r1^)^ и {91рЛ) (^)}i с помощью формул
^*>(eV*; «Jl'OsSlf VV*)s
Г +°° / Я \
I ''/з J vp (е *** tVpz-Vp* *Р; 1 j VW (t)
L о
rViJ vp(* 2y*t1'V^/4>; |^(*))(т)Т 2 dx
0
i +°° / /_Я_ \ _J^
(*; t^ = ^*>(*) = /2 J Vp^ 2Y.Tl/PZ;^j^_))(t)T~2^4-
0
-+- z'1 J* vp (e~' ^»т'й>г; i) «<*>, (r) x~^ dx. (3
p-l Л г +c»
^ dr
+
, (3.78)
79)
34*

532 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Наконец, приведем теорему о параметрическом представлении
класса gf€\ v'"' P'[av • • •, а ]. Эта теорема является аналогом
теоремы 7.10 в случае, когда множество о/И{Ь\ а} лежит на римановой
поверхности Gwt и, как уже отмечалось, устанавливается с помощью
теоремы 8.6 тем же способом наложения.
Теорема 8.8. Пусть на римановой поверхности G^ имеется
некоторое множество типа о/И{§\ a)=Q4l{blt ..., *fly, alf ..., ap},
с которым сопоставлена совокупность точек & (Ф; а} =
= & {$1, . . ., Ор; alf . . ., ар] из промежутка (—оо, +оо). Тогда
для любого р^р^ справедливы следующие утверждения:
1°. Класс &e£i~" V[alf .... а 1 совпадает с множеством
функций, допускающих представление вида
F(re">)= £ ^*У ('-•*>!•; v\%), «р€? {О; а), (3.80)
де f^/±)(T)}f — функции из класса L2(0, -f-oo). При этом
формула (3.80) определяет функцию F(reiq>) для любого г £(0, +оо),
если ф — внутренняя точка множества & (Ф; а}, и почти для
всех г, если ф— граничная точка. Если множество оМ\Ь\ а}
не пусто, то функция F(z), определяемая формулой (3.80),
допускает также представление
2°. Если F^g JK,^,i •", V[alt ..., а], то справедлива
формула
F(ret(*)= 2 gfVC^dr; Z7), q>6*4<>; а}. (3.81)
ft—l
причем с теми же оговорками относительно значений г и ф,
что # в формуле (3.80). Наконец, если множество о/И \Ь\ а}
яе пусто, то на нем функция F(z) допускает также
представление
F(z) = 2 2^(*-'V- Z7), ,г6^{*; а}. (3.810
Эта теорема, очевидно, представляет собой дальнейшее
естественное обобщение теоремы 5.6 и содержит ее в том частном случае,
когда аг = <х2 = ... = ар = + оо,
(в) Посредством конформного отображения римановой
поверхности О на всю плоскость целесообразно перейти к эквивалентной

§3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 9С2 \а], Н2 \h\ 533
формулировке теоремы 8.8 для множеств, состоящих из конечного
числа параллельных друг другу прямых и полос.
Предварительно нам следует ввести соответствующие обозначения
и определения.
На плоскости w = u-\-iv множество S(h\ r\) (0</z<^-f-oo,
— 00 < т] < + оо) определим следующим образом:
1«-чК-ег при о<л<+оо, (з82)
S(A; ч) =
v = r\ при /z = -f-oo.
Пусть последовательности чисел
Mi'- — °o<Tii<Ti2< ... <Лр<+оо,
{/**}f :0</*л< + оо, А=1, 2, .... /> (/>>1),
таковы, что всевозможные пересечения 5"(АЛ ; Л*)^^ ; Т1Л) {^ХФ^Л
замкнутых множеств {5(ЛЛ; T)*)}f содержат лишь бесконечно
удаленную точку. Легко видеть, что это условие эквивалентно
выполнению следующей цепочки неравенств:
-оо<Л1—^<Ч1 + ^<Ч2-^< •••
Поэтому замкнутые промежутки ek = \v\ \v — Лл^-оТт} (*=1.
2, ..., р) (вырождающиеся в точки v = i\k при hk=-\-oo) всегда
имеют пустое пересечение.
Теперь на плоскости w рассмотрим точечное множество
0{тц. ••-. V Аь .... Ap}=Q{ti; A}=lj5(Aft; ту, (3.83)
компонентами которого служат прямые, параллельные вещественной
оси (если среди чисел hk есть равные +оо), и полосы,
параллельные вещественной оси (если среди чисел hk есть отличные от +оо).
_ р _
Замыкание этого множества Q {ц\ h) = \JS(hk; %) состоит из
совокупности параллельных прямых и замкнутых полос с единственной
общей точкой z = oo. Очевидно, что в дополнении CQ {r\; h\
замкнутого множества Q {ц\ h) имеется полоса минимальной ширины я/рй.
Число рй в известном смысле метрически характеризует множество
CQ {л; h).

534 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Далее, через S {hk\ r\k) обозначим множество точек полосы 5 {hk\ r\k)
или пустое множество, если соответственно hk < -f-oo или hk = -\-oo.
В случае, когда среди чисел hk имеются отличные от +оо,
обозначим
Qh; h} = \J§(hk; щ) (3.84)
и заметим, что множество Q {rj; А} содержит все внутренние точки
множества Q {rj; А}.
Теперь данному множеству Q {л; А} сопоставим замкнутое
множество
Е hi ^А, *,}==£ {л; h) = у ekt (3.85)
лежащее на оси (—сю, +оо). Наконец, обозначим
f {v; \v — i)k\< J£-}9 0<А*<+сю,
*л=| I ' 2Л* ' (3.86)
и введем также множество
£{л; А} = углс£{л; А}. (3-87)
представляющее собой совокупность всех изолированных и внутренних
точек множества Е {rj; А}.
Определим теперь класс функций Щ г "' р [Ai, .... А/;],
включив в него каждую функцию G(w), определенную на множестве
Q {т]; А} и удовлетворяющую условию
( Г 1
sup { |0 (u-\-lv)\2du \ < + оо,
а б случае, если Q {rj; А} #£ пусто, также дополнительному
условию: функция G (w) аналитична на каждой компоненте
Q {rj; А}, т. е. в каждой полосе S(r\k; hk) (О < hk < -f- сю).
Полагая далее G(w)£H2 v '"' р [Ai, ..., Ар], определим функции
V»V 0> = 4^£ f(.*^-l).-*0(^w(*±4r))fc
—со
(3.88)

§ 3] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 3€г [а], Н2 [Л|
а также два оператора
535
h [—^-•u)=
и
du
+00
Йи/2
+00 /
2Y*
u+lv
'•t1** p ; 4М-)й)(т; G)t~2<*t +
+ eu/2 VPU 2vftTJ/Pe
tt+ftf
p ; ^jv^\x;0)x^dx\,
(3.89)
4ft) (•■
; 0)= j vp(«' 2v*ti/P^; |) Vfr'V; 0)t"2 rfT +
+ J vp(e"' 2y^upew; y) V[%k\x; 0) x 2 rft. (3.90)
0
где — = -r—I (k = 1, 2 p) и p > 0 — любое число.
*k k ^
Кроме того, для произвольной системы функций [vW (x)\p из
класса L2(0t +oo) определим операторы
*fp4^;^>H
S( 2
du
еи/2
+°° / я
J Vp(V^T
и+fv
1/ре р ; yjt»(*J)(T)T_2dT +
f / -i JL. H±JL ,\ _I I
+ euP \ vp(e 2^т!/Ре p ; ±^^(х)х 2 dt} , (3.91)
о )
0
+ j vp(* ^t1^*; ^Jvf^x'^dx. (3.92)
Теперь, наконец, мы в состоянии сформулировать теорему о
параметрическом представлении класса Щ v"" p [hu . ..,"«Лр].
Теорема 8.9. Пусть на плоскости w имеется некоторое
множество типа Q {т]; h}=Q{r\x \\p\ hlt ..., hp)t которому

536 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
сопоставлена совокупность точек
Е{ц; h]=E[r\l r\p; hx hp) с: (—со, +оо).
Тогда для любого р!>рй справедливы утверждения:
1°. Класс #2 v'"' р [Ai, •••, hp\ совпадает с множеством
функций, допускающих представление вида
Q(u + lv)=^R**\u + lv — ir\k\ *<*>,), v£E[ry, ft}, (3.93)
где \yfX(T)\P — функции из класса L2(0, + со). При этом
формула (3.93) определяет функцию G{u-\-iv) для любого и£
£(—со, + оо), если v — внутренняя точка множества Е {r\; /г),
и почти для всех и£(—сю, +оо), если v — изолированная или
вообще граничная точка. Если множество U[r\; h) не пусто,
то функция G(w), определяемая формулой (3.93), допускает
также представление
Q(w)= S/?{*>(* —/лл; v{%)> ^6^{л; h]. (3.94)
2°. Если G{w)£H\ р [hi hp]t то справедлива фор-
мула
G(u-\-iv)=2lLl(u + i(v — 4)ky,G), v^E^h), (3.95)
а=i
причем с теми же оговорками относительно значений и и vt
что и в формуле (3.93). Наконец, если множество Щч\; h) не
пусто, то на нем функция G(w) допускает также
представление
р
G(«0=2Mw —/т|л; О). w£Q{r\\h). (3.96)
Эта теорема следует из теоремы 8.8, если заметить, что
преобразование z = ew конформно отображает всю плоскость w на рима-
нову поверхность О^, причем множество Q [r\\ h) отображается на
некоторое множество типа о/И {r\; h).
Кроме того, если G{w)£H\ l ' р [hi hp]t то функция
i
F(z)=^z 2G(\ogz) принадлежит классу &€\ 1 ' р [Ни •••, hp], и
обратно. Поэтому все утверждения нашей теоремы можно получить,
_i_
применив теорему 8.8 к функции F(z) = z 2G(\ogz), а затем
совершив обратную замену переменной z = ew.
В заключение отметим, что теорема 8.9 в частном случае, когда
hx = ... =hp=-\- сю, сводится к теореме 5.6.

§ 41 КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 537
§ 4. Классы квазицелых функций
и их параметрические представления
4.К (а) В гл. VI были доказаны леммы 6.2 и 6.3, которые играли
важную роль в процессе доказательства основных теорем о
параметрическом представлении различных классов целых функций конечного
порядка и нормального типа. Приведем сначала аналоги этих лемм
для квазицелых функций конечного роста.
Пусть /(z) — квазицелая функция роста {р, а}; тогда для любого
к>а существует постоянная С^(х)<-|-оо такая, что
l/CzOKC/x)**!^. г^о^ (4.1)
Далее, согласно лемме 8.1, существует функция g(£>), аналитическая
на всей поверхности
Goo(<*1/p)={£; — oo<Arg£<+co, a1/P<|C|< + oo}
и в каждой области
i2p(ft; о) = {& Rt(e-'Kf>o. |Arg£-ft|<^}
(— со < ft < + со)
допускающая представление
*<» = (•-'W1 +ff(.-nt1*)e-'<>-tWt-Tdt1 С6^р(«; о). (4.2)
О
Вообще, при любом ft (— оо < ft < -f- оо) и и > 0 область <2?р (ft; и)
ограничена контуром
Z,p(ft; x):fe=*'*{/7+TTf — оо<т< + схэ). (4.3)
Значению т=0 соответствует точка £ —х1^'^, которая разбивает
этот контур на две неограниченные кривые
4+)(^; *): {с = в/0?^Г+7г, 0<x<-f-oo),
Ао'Ч'О"; х): |е=е'»^>Г+1т, —оо<т<о}.
Обозначим через Z,p(ft; к; /?), Z,p+)(ft; х; /?) и Lp"^*; х; /?)
соответственно дуги контуров Z,p(ft; х), £Р+Ч*; и) и ^"Ч*! н). лежащие
в круге |С|<#1/Р (#>х).
Наконец, положим, что на контуре Lp(ft; х), а следовательно, и
на принадлежащих ему дугах Z,p(ft; и; /?), Lp~4<h х; /?) и 1Р+Ч^; и; Л)
выбрано направление, соответствующее возрастанию параметра т.

538 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
В следующей лемме содержатся аналоги лемм 6.2 и б.З для
квазицелых функций.
Лемма 8.8. Пусть f(z) — квазицелая функция порядка р
(О < р < +оо) и нормального типа о (0 < о < -\- оо), для
которой при некотором % (—оо<<в,0< + оо)
+ СО
J* |/(е-'**)|2Г1 <И<+оо. (4.5)
О
Тогда справедливы следующие утверждения:
1°. Функция #•(£) аналитична также в угловой области
(вообще говоря, многояистной)
^P(<V. 0) = А(р; \) = {Ь |Arg£-fl0|< i 0<|C|< + oo|
и почти всюду на ее границе
М*о". 0) = {С; Arg£ = ft0±^. o<|CK+oo}
имеет угловые граничные значения g \e ^ ° 2р'г) (0 < г < +оо),
удовлетворяющие условию
J I tf (е (*° * "*М | г dr < 2я J | / fa""') P Г1 Л. (4.6)
О О
2°. Почти всюду на границе Lp($0; 0) угла А(р; Ф0) имеем
,(,'(**£)т.*)в
= "^2я^± Ае ^ *>V рФ(±т) (0<т<+оо), (4.7)
где
Ф(т) = -т4=-— f(e-ib*ollV)v 2- irfv. (4.8)
о
3°. Для любого R > a
lim J vp(s£;i) *(£)<« =
^ + °z(±)(e0;x;/?)
в±е±'т£|« JVp|e'(»'*^r)^i/».; ^}©(±T)T-TdT. (4,
9)

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 539
Доказательство. По своему содержанию утверждения 1° и 2°
полностью совпадают с соответствующими утверждениями леммы 6.2,
относящимися к тому случаю, когда параметры р и pi, вместо
условия р^>-о » подчинены условиям 0<р<-4-оо и pi = -j(o) = — 1).
Легко видеть, что в этих последних условиях, когда области Sp(d0; a)
или А(р; Ф0) могут лежать на различных листах поверхности Оот,
доказательство буквально остается тем же, что и в лемме 6.2.
Что касается утверждения 3°, т. е. формулы (4.9), то, за
исключением одной подробности, его доказательство совпадает с
доказательством леммы 6.3.
Во-первых, отметим, что на дуге £p(ft0; и; R) (R > о > и)
параметр т изменяется в промежутке [—]/7?2 — х2, Y%2 — x2J- Как и
в лемме б.З, мы получим
± Vr2- у?
= ±iV^ j* vp{*'4* + /T)1/P*; |}ф№ *)(*+1т)~Чх, (4.10)
где
Ф(т; х) = -т4=.— Г [e-^fie-^v^v'^] e ™~1 dv (4.11)
У 2я dx J l J — iv
(*>0).
Далее, замечая, что
vp(w; 2") = 0(loS"1lwl). |w|->0,
мы заключаем, что при каждом фиксированном z ф 0 и /? > 0
1. i. m.v0b^o(x + rt)1/pz; 1}(и + /т)" =
= vp{e'(eb±^t1^; 4 Jt""5" 6^(0. Я)- (4.12)
Наконец, так как
1. i. m. Ф(т; и) = Ф(т; 0) =
= Ф (т) = ^ £ И° (/т),/р) (/т) р " (— со < т < + со),

540 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
переходя к пределу в (4.10) при н->-\-0, в силу (4.12) мы
получаем соотношение (4.9).
(б) Докажем еще одну лемму.
Лемма 8.9. Пусть функция f(z) голоморфна в полуплоскости
Rez>0 и удовлетворяет условиям: 1) существует
ограниченная функция /(± ir)£L2 (0, +оо) такая, что на любом
конечном промежутке (6, R) (0 < 6 < R < + оо)
/(±/г) = 1. i. т./(re1*); (4.13)
£1
2
я
2) для любого г\ > 0
[ +оо \
sup ] Г \/(ге**)\2е-Ф(1г \ = Af(r}) <+оо. (4.14)
Ф1<41о I
U.^T
Гог^а справедливы следующие утверждения:
Г. Для любого ФИфК^тН интеграл
+оо
£(£; ф)=*-/Ф J /(гв-'Ф)в"(*"'фС)^г (4.15)
о
определяет функцию, аналитическую в полуплоскости
Л(1; Ф)={£; Re(e-4)>0, 0<|£|<+oo}.
2°. Функция g(Z) = g(£>', 0) аналитически продолжается на
всю плоскость £• разрезанную вдоль луча (—оо, 0), причем
справедлива формула
*(&£). 0<ArgC<f.
|*(& -f). -f <ArgC<o.
Доказательство. 1°. С помощью неравенства Буняковского
заключаем, что в силу условий /(±/r)£Z,2(0, +oo) и (4.14)
интеграл £•(£; ф) абсолютно и равномерно сходится внутри полуплоскости
Д(1; ф). Отсюда и следует аналитичность функции g*(£; ф) в
указанной полуплоскости.
2°. Достаточно установить справедливость формул (4.16).
Докажем, например, вторую из них, поскольку первая получается
аналогично.
С этой целью образуем замкнутый контур i(a; /?; \|э) (0<6<
< /?< + оо, 0<ф< у), состоящий из дуг С (6; ф)= {С; 0<arg£<ij?(
*(0 = *(С; 0) =

§ 41 КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 541
|£| = й}, C(R; ф) = {£; 0<arg£<i|\ |£| = /?} и соединяющих их
концы отрезков
{arg£=0, 6<|£|</?}, {argt = i|>t 6<|£|</?}.
Так как область 0(6; R; i|)), ограниченная контуром Z,(6; /?; ф),
целиком лежит в полуплоскости Rez>0, по теореме Коши для
любого £ и ф (0 < ф <-j) имеем
| f(z)e-t*dz = 0 (0<6</?<+оо).
L (6; /?; ф)
Пользуясь условием 1) леммы, перейдем к пределу в этом
тождестве при ф->-9"— О- Тогда получаем тождество
R R
j f(z)e-Z*dz= j f(r)e-bdr — l j* f(ir)e'^rdr +
<(**t)
Я/2 Я/2
-f J f(Re^)e-^et(pd(Re^)— j f{be^)e-^bei^d{bel^) = Qt (4.17)
о о
справедливое при 0<6</?<-|-оо и любом £.
Мы должны совершить предельный переход в (4.17) при 6->-|-0
и /?->-|-оо. Но в условиях леммы непосредственно оценить
последние два интеграла формулы (4.17) и доказать их стремление
к нулю (а это действительно так) не представляется возможным.
Поэтому, чтобы достичь цели, нам придется прибегнуть к некоторому
процессу усреднения тождества (4.17) и затем лишь совершить
надлежащие предельные переходы.
Заметим сначала, что интегрированием по частям получаем
26 R R
ад; 6; R) = \ J db | f(r)e~"dr= J" f(r)e~^dr —
6 6 26
26 26
- J f(r)e-l'dr + ± j rf(r)e-fdr9 (4.18)
6 6
а также
26 R R
ад; 6; R) = j J db | f(tr)e-^dr= | f{lr)e-4'dr —
6 6 26
26 26
- | f(tr)e-*trdr + j J rf{ir)e-^rdr. (4.19)

542 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Из этих выражений, ввиду того, что функции /(г) и /(/г)
принадлежат классу L(0, /?), получаем далее
R
limtfjG; 6; R) = Vxfo R)= f f(r)e-Vdr.
я (4.20)
lim U2& 6; /?) = 72(fc Я) = f f(tr)e-*rdr.
6-»+o QJ
Полагая всюду в дальнейшем, что точка
£ = £o = x0e'Yo (_JI<Yo<o, о<н0<+сю) (4.21)
фиксирована, введем в рассмотрение интеграл
Я/2
/(С0;©)=Г /(©«'Ф)*-^/фй (©*'*) (0<со<+оо), (4.22)
о
причем следует иметь в виду, что Yo^ а1£(Со^ф)^ y + Yo ПРИ
0<ф<"2- и — -2"<Yo<0' Отсюда с помощью неравенства
Буняковского получаем оценку
1Л/2 у/2
J |/(0*'ф)|2</Ф1 , (4.220
где Ti0 = x0min{|sinY0|. cosy0}>0.
Образуем теперь интеграл
26
/До; 6)=i J /До; b)db (6 > 0), (4.23)
6
и, пользуясь неравенством (4.220, получаем
26 26 ( Я/2 V/a
|/(Со;*)Ку/|/(Ео; б)|Л<^2я J J J |/(6*<ф)|2</ф <й.
Отсюда с помощью неравенства Буняковского находим, что при
0<6<1
/(Со; 6)|<С, /6. (4.24)
1 я/2 |у,
е,= У2я j J J |/(6e"P)|2rf6d<p < + аэ,
где
Г 1 Я/2

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 543
причем, очевидно, константа Cj конечная в силу условия (4.14) леммы.
Итак, в силу (4.24) имеем
11ш7(Со; *) = 0. (4.25)
6 + +0
Наконец, отметим еще, что
26
/(So; 6; /?)=]- \ /(Со; /?)dfl = /(Co; R) (4.26)
б
при любом 6 > 0.
Теперь проинтегрируем тождество (4.17) по параметру 6 в
промежутке (6, 26), а затем разделим результат на 6. Тогда, принимая
во внимание наши обозначения (4.18), (4.19), (4.22) и (4.26),
получаем новое тождество
Щ (Со; 6; R) - iU2 (Со; б; R) + / (Со*, R) - 7(Со; 6) = 0, (4.1 7')
справедливое при 0<6</?<+оо.
Перейдем в (4.17') к пределу при 6->-|-0. Тогда в силу
соотношений (4.20) и (4.25) преходим к тождеству
МСо; /?)-^2(Со; R)+*U R) = o (0</?< + co). (4.27)
Теперь совершим усреднение этого тождества по параметру R.
С этой целью рассмотрим интегралы
Я+1 R+l
^(Со; R)= j ^i(Co; R)dR. к2(Со; R)= j v2(^; R)dR (4.270
R R
и, принимая во внимание формулы (4.20), посредством
интегрирования по частям представим их в раскрытом виде
#+1 р+\
*МСо; R)= j f(r)e-^dr + ] (R-r)f(r)e-brdr,
0 R
R+l R+l
(4.28)
^2(Co; R)= j f(lr)e-'brdr+ f (R — r)f(lr)e-'Udr.
0 R
Применим далее к соотношению
\R+l I R+l
^i(Co; R)=
j (R — r)f{r)e-t*rdr < j \f(r)\e-^dr
неравенство Буняковского; тогда в силу условия (4.14)
получаем оценку Wx (Co; R) < Af (tj0) ехр {— т]0/?/2}. Поэтому, переходя

544 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
к пределу в выражении (4.28) для Vx (£$; R) при /?-> + сю, мы
получаем в силу определения (4.15) функции g (t; 0)
»m ^(Co; R)= f f(r)e-^dr = g{^ 0). (4.29)
R-> 4 oo •>
Аналогично получаем также
+ оо
lim V2U R)= \ f(lr)e-4*dr = — lgfa —%). (4.30)
Образуем, наконец, интеграл
R + l
/(Co; /?)= J ДСэ; /?)rf/? (4.3i)
и заметим, что в силу оценки (4.22')
Я+1 Г я/2 |i/2
/(Со; яхУУ1* J я«-**{ J |/(я«'ч>)|2лр[ </я.
Но, пользуясь неравенством Буняковского, получаем
/? + l j Я/2 V/2
J /?«-**{ J |/(/?*'*) |2<*ф[ rf#<
R U I
[Я+1 я/2 у/2
<(Я+1)«-**>Ч J e-^dR J |/(/?«'*) |2rf<pj <
l# о J
f Я/2 +oo I i/2
<(fl+l)«-TIe*/2J J <*ф J |/(/fc'¥)|2«-^o*rffll
l о о J
Поэтому в силу условия (4.14) леммы приходим к оценке
7 (Со; Я) < Vr^ а, (л0)(Я +1)«~%*/2.
откуда вытекает соотношение
lim f(£0; /?) = 0. (4.32)
R-++OQ

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 545
Переходя к усреднению тождества (4.27), проинтегрируем его по
параметру по промежутку (/?, /?+!)• Тогда, принимая во внимание
наши обозначения (4.27) и (4.31), получаем тождество
?i(Co; R) — iV2(to; /?) + /(Eo; *) = 0 (0</?<+оо). (4.27")
Перейдем, наконец, к пределу в (4.27") при /?->-|-оо. Тогда
в силу соотношений (4.29), (4.30) и (4.32) находим
gU 0)-^(Co; -?) = о.
Так как Со (—у < arg£o < 0)—произвольная точка, мы получили
вторую из формул (4.16). Итак, лемма доказана.
4.2. Здесь мы докажем две по существу вспомогательные
теоремы, которые имеют также самостоятельный интерес.
(а) Первая теорема представляет собой естественный аналог
известной теоремы Фрагмена — Линделёфа.
Теорема 8.10. Пусть функция f(z) голоморфна в угловой
области Д(а; 0) (0<а<+оо), лежащей на римановой
поверхности 0^, и удовлетворяет условиям: 1) существует границ-
( ±i— \
ная функция /\е 2ar) £L2(Q, Ч~°°) такая, что на любом
конечном промежутке (б, /?) (0 < б < R < + оо)
■(«*'£,) = !
/\е 2«rJ = l. i. m.fire'f); (4.33>
2) для любого е > 0
sup I f |/(re1*)I2e-^dr =^(e)< + oo. (4.34)
«pl<-£-lo J
Тогда функция f(z) принадлежит классу JJ?2Iab т- е- имеем
также
sup \ j \f(rel*)\2dr\==Af(0)<+co. (4.35)
2а"
1ФК^10
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
1-а
/а(*) = /(*1/а)* 2а.
35 М. М. Джрбашян

546 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
I-ct
понимая под z1/a и z 2a главные их ветви. Эта функция, очевидно,
голоморфна уже в области Д(1; 0), т. е. в полуплоскости Rez>0,
и удовлетворяет условиям
+0°| I +{£. \ I2 +00| ( +tJL\\2
j* 1/aU 2r)\ dr = a\ \f(e± *>r)\ dr.
3
sup J J \fa(e*<*r)\*e-»dr
Г+00 j
= a sup \ [ \f(el*r)\*e-"adr\ = aAf{z)<-\-oo.
о
+ oo
1фК-у10 j
^<2a
и
Иначе говоря, она удовлетворяет условиям теоремы в случае а=1.
Отсюда следует, что достаточно доказать справедливость теоремы
для частного случая а= 1, так как тогда из того, что /а (г) £ е%?2 U L
будет следовать также
[ + оо J Г + оо \
SUP j f |/(Г*'Ф)Р*ф| = -1 SUP ||/a(r^)|2^r[<+00,
1ФК-~1о I |ФК-у1о I
т. е. утверждение (4.35) теоремы.
Итак, положим, что функция f (z) голоморфна в полуплоскости
Re z > 0 и удовлетворяет условиям теоремы при а= 1, иначе говоря,
условиям леммы 8.9.
Введем в рассмотрение интегралы
+ оо
*(Е; т) = _/J f(-lr)e^drt lm£>0,
(4.36)
которые, согласно лемме 8.9, определяют аналитические функции
в соответствующих полуплоскостях. Кроме того, в силу той же
леммы 8.9 существует функция g(Z), аналитическая во всей
плоскости £ с разрезом (—оо, 0) и такая, что
|*ф у). 0<atgC<i.
"(0=1ф-£). -*<.*С<о.

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 547
Но тогда очевидно, что для любого т (0<T<-f-co) существуют
пределы
e'(t + /0;-J)=IIm^(t + *n;-J).
(4.37)
причем
^(Т + Ю; TJ = g(X~i0] -т) = *(т) (0<т< + со). (4.38)
Далее, так как /(±/r)£ Z,2(0, + со), функции
4оо
(4-39)
определены почти всюду и принадлежат классу L2(—со, -f-co).
Функция
+ оо
&W = -±=±- I——±f(ty)dy (-oo<t<+co) (4.40)
у2к dx J —1У
—со
также определена почти всюду и, как легко видеть, связана с
предыдущими функциями соотношением
сГ(т) = ^Г(Г)(т) + ^г^)(т). (4.41)
С другой стороны, в силу равенства Парсеваля из (4.36) имеем
+оо +оо
-oo 0
+00
<\\/(-lr)\4r (0<t)< + oo).
J* I g (t + n1; - -5.) |2 dx = J* I / (/r) p e*w dr <
-00 0
+00
<J*|/(/r)|2rfr (— cx»<ri<0).
35*

548 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Из этих свойств функций g\t; -у) и g (£; g") на основании
теорем 7.3 и 7.4, во-первых, заключаем, что на всей оси (—со, +°°)
существуют пределы в среднем
*(t-/0;-J-)-i.i.m.,(t4-ft|:-f).
причем почти всюду имеют место равенства
+оо
К)
+ оо
~g[x-iO\~) = l^\e~lZ~X fVr)dr (-oo<t<4
(4.42)
оо).
Из (4.39) и (4.42) следует, что почти всюду на (—со, +со)
имеем также
<?"г'(,, = -75Г|(,+'0;т)-
и поэтому ввиду (4.41) почти всюду на (—со, +°°) справедлива
формула
^(т)=тЫ*(т-Ю: fH(t+<0: £)}■ (4-43>
Но на полуоси (0, + оо) существуют обычные пределы (4.37).
Поэтому очевидно, что почти всюду на (0, +°°)
£(т + /0; £) = *(т + /0;£). g(x-tO; --J) = g(т-/0; —J).
Отсюда, с учетом (4.38) и (4.43), вытекает, что <^(т) = 0 почти
всюду на полуоси (0, +оо). Следовательно, обращение
преобразования (4.46) имеет вид
о

§4]
КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
549
Наконец, принимая во внимание результаты гл. VII (см. §§ 2 и 3)
для функции f(z) получаем представление
/ (z) = -^=- J" е"<&~ (т) dr. Re г > О,
а следовательно, и утверждение /(2)£е%?2П1 нашей теоремы.
(б) Совокупность квазицелых функций из класса С (р; о)
(О < р < -f- °°» 0 < о < + сю), для которых выполняется условие
I
J |/(Г^)|2Г-1£/г^ = С/<+СЮ§
1ф1>-§1о j
(4.44)
обозначим через А{£\ Таким образом, функции класса Л^р)сС{р; о]
характеризуются тем, что для них условие (2.33), лежащее в основе
определения класса С (р; а}, выполняется именно для значения Оо=р.
Отметим, что при любом \х > О и а>0 функция vp(al^z\ \i)
квазицелая и имеет рост {р, о]. Покажем, что уже при |i = -~-
vp(a^;|)64p).
(4.45)
В самом деле, в силу формулы (1.240 vp(z; ^\ = pz 2v(z<>; -Л
и поэтому
•foo +оо
J |vp(a»*r«*P; |)|2r-irfr= J |vp(r«'»; J.)|V'rfr =
0 0
<". ^г<|ф|< + оо. (4.45')
2p
Так как, согласно лемме 5.4,
sup l J
i*i>4l°
■M
dr Г < -|- oof
из (4.45') следует наше утверждение (4.45),

550 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Заметим теперь, что, с одной стороны, функция vp(ol/^Z) -?И уже
не принадлежит классу Aq\ Это непосредственно следует из
асимптотической формулы
*р(«7Нр*^+0(т5йЫ. z-*°°'
справедливой при |Arg^|^-^-.
С другой стороны, посредством той же функции vp(z; -к), как
будет установлено впоследствии, можно получить представление всего
класса Ад. Предварительно докажем следующую теорему.
Теорема 8.11. Пусть функция f (г) определена формулой
/(*)=/ vp(*tVp; I)т"Ф(т)dx9 z6Geo. (4.46)
0
Тогда:
1°. При любом Ф(т)££2(0, а) функция f(z) принадлежит
классу А$\
2°. Если функция <p(t)£Z,2(0, а) не эквивалентна нулю,
то квазицелая функция f(z) имеет порядок р и нормальный
тип <]а.
Доказательство. 1°. Докажем сначала, что формула (4.46)
определяет квазицелую функцию.
В самом деле, пользуясь неравенством Буняковского, получаем
Mf(r)= sup |/(г*'Ф)|<
|ф| <+оо
< J vp (гс'/р; I) т"Ф (т) dx < Сф/^/а (г), 0 < г < + оо, (4.47)
где
а ( a |i/a
. (4.48)
7р (') = J I vp (™1/р: т) Г т~' <*т* сф = f IФ № I2 rfT
о [о
Покажем, что при любом г (0<г<+оо) интеграл /р(г)
существует, и оценим его рост при г-> + оо.
Заметим сначала, что vp(rT1/p; у) (0<т^а) является
неубывающей функцией от г (0<г<'+оо), ввиду чего
/р(0</р(1). 0<г<1.
/р(1)</р(г). 1<г< + аэ. l ' '
Поэтому достаточно убедиться в сходимости интеграла /р(г) при г ^ 1.

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 551
С этой целью запишем функцию vp(rc1/p; -7Н в виде суммы двух
слагаемых
М"'^Ит$%"=
о Г
Р/2
* T(i+i) ^ r(W)
и заметим, что
'pW<2|l/iW + l/2W|, (4.50)
где
о
ил(г)=1\а>к(г; х)\Ч~Чх (А=1, 2).
о
Поскольку
mm
°<<<Т
рГ(| + 1) = Г(1)=1,
при 1<^г<-|-оо и 0<т<^а имеем
Р/2
со! (г; т) < гР/2 J т'/р dt < prP/21 -^=11.
о
Отсюда следует, что
о
U, (г) < Р2г" \ (-|^)2 £-<Вг (р; а) г». 1 < г < + сю, (4.51)
О
где Bi(p; а)— подходящим образом выбранные постоянные, не
зависящие от г.
Интеграл £/2(г) оценивается проще: так как
^(r; x) = rWI' [ {[хЩ) dt =
* F(1+i)
= rP'h'\ (гт'/P; i) < гР/2т'/,ур (ro'/p; 1) , 0 < т < a,
получаем
У2(',)<ог^(го"р; i), 0<г< + оо. (4.52)

652 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Из (4.49), (4.50), (4.51) и (4.52) следует конечность интеграла /р(г)
на всей полуоси 0<г<+оо. Отсюда в силу неравенства (4.47)
заключаем, что f(z) действительно является квазицелой функцией,
причем
Mf (г)< В2(р; а) гр/2{ 1 + vp [ol'*n «)}. 1 < г < + со. (4.53)
Наконец, замечая, что при г->-\-оо
vp (ol'»n -j) = О (r^X),
из (4.53) заключаем, что рост квазицелой функции f(z) не выше,
чем (р, а}.
Итак, нам остается показать, что функция f (z) удовлетворяет
также условию (4.44). С этой целью, пользуясь формулой
vp(*t1/P; \)=9Z9/2^v(z»x\ — 1),
рассмотрим функцию
1 а
о
Для нее, согласно теореме 5.2, справедлива оценка
(4.54)
sup jj |Л(г^)|2^><4л||ф(т)Р^т,
которая переходит в условие (4.44), если возвратиться к функции f(z).
Итак, утверждение f(z)^A^) полностью доказано.
2°. Предположим, что функция f (z) имеет порядок P! < р или,
имея порядок Pi = p, обладает минимальным типом а1 = 0<о.
Тогда легко видеть, что в обоих случаях для функции f^(z) =
= z 2 f(z) соблюдаются оба условия теоремы 8.10. Следовательно,
функция f(z) наряду с условием (4.44) удовлетворяет также условию
|+оо J
sup И \f(re"»)\2r-ldr 1< + оо,
l<pl<£l° J
а следовательно, и условию
sup { f \f(re"V)\2r-ldr\ = Cf <+оо.
1ФК + °° [о J

§ 4) КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 553
Но так как
] \f(reiv)\2r-4r= J* \f(eu+lv)\2du,
О -оо
для целой функции F(w) = f(ew) выполняется условие
J +со |
sup I f \F(u + lv)\*du \ = Cf<+oo. (4.55)
^•<+00[-Jco j
Опираясь на теорему 7.4х, из условия (4.55) заключаем, что
преобразование Фурье функции F(u)£L2(—оо, -j-00) равно нулю
на обеих полуосях (—оо, 0) и (0, -f-oo). А это означает, что
FW^O, т. е. /(z) = 0.
Отсюда и из формулы (4.54) заключаем, что, в частности,
а
Jv(±/rr; — у)ф(т)<*т = 0 (0<г<+оо).
о
Следовательно, пользуясь теоремой 5.4 об обращении интегрального
преобразования с ядрами Вольтерра, мы получаем, что ф(т) = 0 почти
всюду на (0, а). Таким образом, теорема доказана полностью.
4.3. (а) В этом заключительном пункте будет установлена
теорема о параметрическом представлении одного общего класса
квазицелых функций произвольного конечного порядка р > 0 и
нормального типа.
Предварительно введем некоторые необходимые обозначения и
определения.
Для заданного значения р (0 < р < + оо) положим, что
последовательность чисел {$k}q_ (р^>1. #^0) удовлетворяет следующим
двум условиям:
-а0 = Ъ_р<Ъ_р+1< ... <^_1<^0<*1< ... <^ = а0, (4.56)
где а0 > 0, и
шах {**+,-*,} =£• (4-57)
-(р+1)<*<<7-1 Р
Из последовательности чисел {flfc}^_ образуем последовательные
пары
К**. Vi)}*-",1: «>-,. 0-,+i) (V,. *,)• <4-58>
и затем, сохраняя взаимный порядок их следования, выделим из (4.58)
все те пары (fly , Ф/v+iY" , Для которых выполняется равенство
<Ч+1-^* = 7Г (*=1. 2 тКР + Я). (459)

554 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Так как пар (4.58) всего p-\-q штук, при m<p-\-q оставшиеся
после выделения пары из (4.58) обозначим через (flv, ®sk+\)mi
(m1 = /7 + ^r—m), вновь соблюдая порядок их взаимного следования.
Наконец, с последовательностью чисел (d_p ftq)
ассоциируем класс W^d^k}, {ok}) квазицелых функций / (z) порядка р
(О < р< -f-oo) и нормального типа <^сг, удовлетворяющих условиям:
+оо
| |/(г<Г'V)|Vrfr<+оо (k=—p, — р+\ q— \.q)\ (4.60)
о
sup < f |/(re'f)|2r-'rfri'<+oo; (4.61)
l<H>o.(J |
если
eft=4(<4 + <Vi) (fe==1, 2 m)> (462)
TO
*(— 0*: /)= lim sup log'/(/g—!2i<aft<or (ft=l. 2 m).
(4.63)
Докажем теорему о параметрическом представлении класса
^ ({**}. М).
Теорема 8.12. Класс 1^аР)({Ф*Ь {а*}) совпадает с
множеством функций f(z), допускающих представление
'(*> = S J vp{e'eWp; 1 }т"Ф,(т)йт, (4.64)
fe-1 О
гдг ф^(т)^12(0, ak) (k=\, 2, .... m). Функции {(pk(x)}™ почти
всюду единственным образом определяются из формул
ф*СО. т€(0, о»),
0. T6(aft> +oo) (ft=l, 2. .... m). ( *65)
где
••«-FS-S J /fr-^'-^r1'-1* «->. « «>.
(4.66)

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 555
Доказательство. Эта теорема является аналогом теоремы 6.13 для
случая квазицелых функций. Ее доказательство есть по существу
дальнейшее развитие метода, примененного при доказательстве
теоремы 6.13. В процессе рассуждения мы будем существенно опираться
на лемму 8.8 и теорему 8.11 и, не входя вновь в подробности,
будем ссылаться на аналогичные рассуждения и заключения,
содержащиеся в доказательстве теоремы 6.13.
Утверждение, что любая функция f (z) вида (4.64), где Фл(т)£
£Z,2(0, ok) (k=lt 2 m)t принадлежит классу W{^([^k}t {ok})t
доказывается с помощью теоремы 8.11.
А именно, обозначая
а* 1
оГа(*)= Jvpj^VtVP; ^x'^k(X)dx (k=\t 2 m), (4.67)
о
согласно теореме 8.11, можем утверждать, что Srk (e~~l ь г) £ А(£\
Более того, если фл(т) не эквивалентна нулю, то <?Tk(z)— квази*
целая функция порядка р и нормального типа <^ ал, для которой
выполняется условие
sup \+\\&-к{ге1 <*-**)?r-xdr I . (4.68)
|<P-eft|>2fU )
Так как, согласно (4.59) и (4.62), Qk— y- = ^rft и 0ft + -f- =
= tiy-+i, обозначая через Ак интервал (ftr $rk+i), из (4.68) имеем
sup I f \^к(ге"^)\2г-Ыг (<+оо. (4.68')
ф б *Л о j
Но
m
/(*)= 2 <£%(*). (4.69)
и, следовательно, функция f (z) имеет порядок р и нормальный тип
•<а, где а= max {ak}t если хоть одна из функций {фл(т)}™ не
1 < k <m
эквивалентна нулю.
Далее, пользуясь неравенством Минковского
<2 J
J \f(e-'*r)\*r-*dr\ <S{J 1^Г*(«-'М|2/-,^Г,
[о | * = ио J

556 ИМТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
из условий (4.68') заключаем, что
sup f \f(re-if>)\2r-Ur\<+oo,
где Д = (J Л^= (J (fly , Av. + iY Отсюда легко находим, что функ-
ция /(-г) удовлетворяет первым двум условиям 1) и 2),
характеризующим функции класса W^d^b}» {<**})•
Докажем, что индикатор функции f (z)
удовлетворяет неравенствам (4.63), и тогда утверждение f(z)£
£ ^^({fl*}, {а*}) будет полностью доказано.
С этой целью заметим, что в силу неравенства Буняковского из
определения (4.67) функции <&~к(г) получаем
\<^Аге-")\<АкП \vp{el(ek-*)r^t IJ|2T-^t} ,(4.70)
где
Аи =
j 1ф*со|!
2dx
Кроме того, в силу асимптотических свойств (1.25) и (1.26) функции
Vpfz; у) легко видеть, что
л (*; vp) =
cospfl при |*|<^-.
0 при -IL<|fl|<+oo.
(4.71)
Далее, для произвольно малого, но фиксированного е (0 <
<е < °k) число г0 = г0(е) можно выбрать таким образом, чтобы
выполнялось неравенство
vp(e"fr; |)<ехР{тгР}' г>го- (4.72)

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 557
а также (для всех значений т, е<^т<^ал) неравенство
< ехр {[А (в, - Ф; vp) -f e] okr»}, r^r0. (4.73)
Пользуясь теперь неравенством (4.53), в силу (4.72) получаем
оценку
е
i ,а Ач .. 1 1 12 . Г . / .. 1 \
<
о о
< 5, (е; р) Гр {1 + еЕгР). г > 'о- (4.74)
Из неравенства же (4.73) вытекает, что
J|vp{e'(V»W/p; ^.J|2T-.dT<
е
<^ ехр {2 [h (9, -О; Vp) + e]a,rP}, r>r0. (4.75)
Следовательно, представив интеграл, стоящий в правой части (4.69),
в виде суммы двух интегралов (4.73) и (4.74), мы приходим к оценке
\<Гк(ге-**)\<Ва(е; Р)[гр(1 +**) +
-f-exp{2[A(eft-^; vp) + e](TftrP}'/2}. r>r0. (4.76)
Наконец, из (4.76) ввиду (4.71) получаем
К |в-е*|<-£.
А(-*; <^*)<j _ (4.77)
|0. -£<|0-ей|<+оо.
(я я \т
совпадают, а значит, из (4.69) и (4.77) получаем оценки
А(—Ф; /)<**. *6(*v Or^+i) (*=1. 2 m),
а следовательно, в частности, и оценки (4.63).
Переходим теперь к установлению прямого утверждения теоремы
о том, что для каждой функции f(z) класса W^ ({**}. (<М) им^ет
место представление (4.64) и формулы (4.65), (4.66).
Пусть 0 > а0, где а0 — число, фигурирующее в определении
класса 1^аР) ({$*}. {^k})- Замечая, что последовательность точек
{^}1п принадлежит промежутку [—a0, Oq]. пополним ее и образуем

558 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ГГЛ VIII
последовательность {fl*}" , /г ^ шах {/?, q}, принадлежащую уже
промежутку [—6, 8]. Указанное пополнение мы совершим,
расположив в промежутке [— 6, — а0) точки
-е = а_я<а_я+1< ... <*-р-1<*.р= —оо.
а в промежутке (а0, 6]—точки
ao = *,<Vi< ••• <*л-1<*я = е.
подчинив кх условию, чтобы расстояние между двумя
последовательными точками было меньше чем я/р.
Итак, последовательность чисел {$k}n_n удовлетворяет условиям
1) — G = fl_„<A_,Hl< ... <*.1<«о<*1< •••
... <*л-1<*л = в,
2) шах {Фя+1—Оя}=£,
3) max {^+1_*4}<i, max {0*+i-<>*} < ?•
Следовательно, как для первоначальной {Ал}1 , так и для
пополненной последовательности {$k}n_n множества пар типа (fly , fly^+i)
совпадают. Это значит, что таких пар всего т штук, (fly , flr,+1)™,
причем интервалы (fly A/\,+i) (k=\, 2 т) принадлежат лишь
промежутку [—а0, а0].
Пусть f(z)£ ^ар) ({**}. {°k}) и, следовательно, в силу условий
(4.60) и (4.61), в частности, имеем
+ оо
J \f(re~£й*)\2Г1 dr<+ 00 (—/*<£<»• (4.78)
о
Тогда, пользуясь леммой 8.8, из условий (4.78) заключаем следующее:
1) Функция #(£), ассоциированная с f(z), голоморфна не только
в области
000(а'/Р)={Ь —oo<ArgC< + co, а1/р<|С|< + со},
но и в каждой из угловых областей
#р(»*; 0) = Д(Р; *я) = {й |ArgC-fl,|<-§. о<|С|< + оо}
(—/*<*< я).
2) На границе LQ (fly, 0) каждой из областей <2*р (fly 0)
(— л<£<л), т. е. на лучах ArgC = fl^±-y-(—я<;/г <>), функ-

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 559
ция g (£) почти всюду имеет угловые граничные значения
g(e'!(W) f),
для которых
J \g\e \k± 2p)r)\ rdr< + oo (—/*<&</*).
о
3) Эти граничные значения почти для всех т£(0, +оо) пред-
ставимы в виде
= Y2ne± 4e \ ±2е'Ф*(±т)т2~Р(—л<£<л),
где функция Фк(х) определяется из формулы (4.66) теоремы.
Из условий (4.63) находим еще одно свойство.
4) Функция g(Q не имеет особенностей в каждой из областей
<25р(0л; ok) (k=\t 2,..., т), соответственно содержащих лучи
Arg£=e,, of < |С| <+сю (ft=l, 2, ..., ад).
Из свойств 1) и 4) функции £*(£), принимая во внимание
условия 2) и 3), которым удовлетворяет совокупность чисел {0^} »
приходим к следующему заключению: все особенности функции g(Z)
расположены на совокупности отрезков
/*={£; Arg£ = e„ 0<|£|<oip} (k=l, 2. .... ад). (4.79)
Иначе говоря, функция g(£) голоморфна в области
т
Oooih 'm) = Oco-U'*.
получающейся из G^ после проведения разрезов вдоль отрезков
(МГ-
Далее, с помощью совокупности кривых {l,^ (ftk; v; x)j_ft
(v < x, x > a!/P) точно тем же способом, что и при доказательстве
теоремы 6.13, можно построить семейство разомкнутых дуг {Гр(У;и)}с:
czG^^j, ..., Zm), притом так, чтобы предельное множество Гр(0; х)=
= lim Г (v; и) состояло из дважды пробегаемых отрезков (4.79) и
v->+0
из отрезков Arg£ = ± (б +"*5т) • 0<С|£|^и.
Теперь, полагая, что интегрирование вдоль дуги Гр (v; и)
совершается в направлении возрастания параметра т в уравнениях всех
дуг {Lp^Ofr; v; к)}_п или их порций, входящих в состав T0(v; x),

560 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
и пользуясь предельными соотношениями (4.9) леммы 8.8, точно
так же, как при доказательстве теоремы 6.13, получаем
Лт+о^ J vp(*t)'<0* =
rp(v;x)
т k j
й-1 0
о
rJH хР
/ J_ Хк
= ^(г)-\-Г(г; 0) + /(z; —0), г^О,». (4.80)
Здесь frft = 0>Oo, функции {Ф*(т)}т определяются из формул (4.65),
(4.66) теоремы и
Ф±п(±х) = Ф(х; ±в) =
т-оо
= VW£J f^mv^^l^t^dt. (4.81)
Обозначив теперь через Ср(х; Э) дугу | Arg£|< 0-(--^т» |С|=к1/р,
выберем на ней направление, соответствующее возрастанию Arg£.
Введем в рассмотрение функцию
Ср(х;в)
= Ш J Vp { Z«1/Pe'*: T} ^ (я1/Ре'9)d (*,/p*'*). 2 6 «с». (4-82)
я я
-е-1р
где 0 > Oq и х > сг произвольны. Тогда, принимая во внимание
расположение особенностей функции g(Z,), легко видеть, что
/(*; в^Нт^ | vp(zb±)g&)dt, z£Gm. (4.83)
Гр (v; X)

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 561
Следовательно, сопоставляя соотношения (4.80) и (4.83), мы
получаем тождество
/(*; 8) = ^Г(*)+/(*; 6) + /(s; -9), z^G^ (4.84)
Оценим теперь функции I{z\ ±Э) и докажем, что
lim I(z\Q)= lim I(z; —в) = 0, z^G^. (4.85)
0->-l-oo 0->+oo
С этой целью, замечая, что, по определению,
/(*; ±9) = ^J- J vQ{e±l(*+1dz%lto; 1}т~Ф(т; ±0)rft(4.86)
я о
и пользуясь равенством Парсеваля, выпишем оценку
уР Ч-оо
J |Ф(т; ±0)|2rft< ] |/(^'V/p)|2r,rf/<C0(^<+oo.
о о
Здесь в силу условия (4.61) постоянная C0(f) от 0 > Oq не зависит.
Отсюда и из (4.86) с помощью неравенства Буняковского
приходим к оценке
\/(z; ±0)|2<С1(/) J|vp{*±,(e+"5")«^; ij|
|2
t"1 rft =
-rtw/M.*'^"-.*}
г"1*//-, (4.87)
о
где С2(/)<+оо также не зависит от 0 > <х0.
Из этой оценки, очевидно, следует, что соотношения (4.85) будут
установлены, если мы докажем, что при любом R > 0
R
lim fkje'or; i}|Vlrfr = °- (4-88)
|ф|->+оо J I М Z ) I
С этой целью заметим, что при 0<г<^в"*1
1 +00
VP
М1<1Фг+1-Фя*-
и поэтому
\vJre'*; |)|<С2г+-^г, 0<г<*4
где С2 и С3, очевидно, от ф и г не зависят.
36 М. М. Джрбашян

562 ИНТЕГР. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VIII
Отсюда следует, что для любого е> 0 число 6 = 6(е)> 0 можно
выбрать таким образом, чтобы при любом |ф| <-|-оо имело место
неравенство
б
J"|vp{/■*'*; j}fr~ldr<i: (489)
о
С другой стороны, пользуясь асимптотической формулой (2.9)
леммы 8.4, число Фо = Фо(£)>0 можно выбрать таким образом,
чтобы выполнялось также неравенство
я
||vp{r^; !J|Virfr<-i; |Ф|>Фо. (4.90)
6
Из (4.89) и (4.90) следует неравенство
R
||vp{r^; 1||2 г~Ыг<е, |Ф|>Фо,
о
т. е. соотношение (4.88).
Наконец, заметим, что, согласно теореме 8.3, имеем
f(z) = lim f(z; 0), z€Gm. (4.91)
Поэтому, переходя к пределу в тождестве (4.84) при 0->4-°°»
в силу (4.85) и (4.91) получаем требуемое представление
т * i
f (z) = «Г (z) = J j vp { ет" zxl,p ; 1} т"Фй (т) dx, z £ 0„.
Л-1 0
На доказательстве того, что функции {Фа(т)}т определяются
единственным образом, мы останавливаться не будем, поскольку оно
проводится с помощью теоремы 8.11 (2°) точно так же, как и в
других аналогичных случаях (см., например, теорему 6.11). Теорема
доказана.
В заключение отметим, что из этой теоремы в качестве
непосредственного следствия вытекает следующее дополнение к теореме
8.11 (1°).
Теорема 8.11'. Класс А$] совпадает с множеством функций
f(z), представимых в виде
/ (z) = J* vp Н/р; т) т"ф (т) dx> z e °~'
и
$де Ф(т)—произвольная функция из класса L2(0t a).

§ 4] КЛАССЫ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 563
(б) Как уже отмечалось в 2.2 (г), посредством замены
переменной z = ew{w = \og z) функции класса С {р; о) переходят в целые
функции класса С* (р; о] и обратно. При этом, по определению,
целая функция F(w) принадлежит классу С* {р; а), если:
1) для любого и(—со < и < -\- со)
M*F(u)-= sup \F(u-\-iv)\ < +со, lim sup M*F(u)< ~|- 90;
I v\ <-|-oo И-> -со
log log M*F (u) \ogM"F(u)
2) lim sup = p, lim sup — = a;
Ы->4оо U Ы->+оо £P
3) при некотором v0 (0 < v^ < + 00)
sup I \F(u + tv)\2du}<+00.
Обозначим теперь через E^ множество целых функций F(w) из
класса С* {р; о}, удовлетворяющих условию
sup J J |F(tt + /^)|2^f <+oo. (4.92)
Тогда из теоремы 8.1 1' непосредственно вытекает
Теорема 8.12. Класс Еа совпадает с множеством функций,
представимых в виде
1 ,
-log a
F(w)= J vp(^+/; \)^{t)dtt (4.93)
—00
где ф(0 — функция из класса L2i—00, —loga).
Аналогично можно выписать параметрические представления для
классов целых функций F(w)t переходящих в функции f (z) класса
^aP) ({$*}. {°k}) ПРИ замене переменной w = ez.

ГЛАВА IX
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
И ИХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Наиболее существенную роль в современной теории мероморфных
функций играют классическая формула Иенсена — Неванлинна и выводимое из
нее важнейшее для всей теории понятие характеристической функции.
Напомним эту формулу и определение характеристической функции.
Пусть F(г) — мероморфная функция в круге \z\ < 1, {а^} и
{6V}—соответственно последовательности отличных от z = О нулей и полюсов F (z),
пронумерованных в порядке неубывания их модулей, причем каждый нуль
или полюс записывается столько раз, какова его кратность. Тогда при
любом р(0<р< 1) справедлива формула Иенсена —Неванлинна
\ogF(z) = iC + X\ogj +
\У р(Яц — z) \Л]1\ ъ P(bv — z) \bv\
Н- 2d log 2 - " 2j log~2—г :—Ь
0<|а^|<р к ji ц 0<|&v|<p ^ v v
я
+ 1К } Zi^l^glFipe'^ld» (|*|<р), (1)
где К — кратность нуля (или —%—кратность полюса) функции F (z) в точке
z = 0 и С — вещественная постоянная.
В том случае, если в тождестве (1) возможно осуществить почленный
предельный переход при р->1—0, из него получается представление
функции log У7 (г), годное во всем открытом круге \z\ < 1.
Проблема полного описания того класса мероморфных функций, для
которых такой предельный переход возможен, была впервые поставлена и
решена Р. Неванлинна путем введения функции
я
7 (р; п - ш Jlog+1F (р''ф) Id(f+
-Я
p
, С n(t\ со) — n (0; со) .. . /л ч f /Г|Ч
+ I -^— t —-dt + n(0;co)\ogp, (2)

КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
565
названной им характеристической. Здесь n{t\ со) — число полюсов bVi
лежащих в круге | z | < t (0 < t < 1), и п (0; оо) — кратность полюса в точке
z = 0; log+ х = log х, если х > 1, и log + л: = 0, если 0 < х < 1.
Эта функция не убывает на интервале 0 < р < 1, и оказалось, что
в формуле (1) почленный предельный переход при р -> 1 — 0 возможен лишь
для класса N тех мероморфных функций F (г), для которых выполняется
условие
lim T (p; F)< + оо.
р->1-0
Таким путем Р. Неванлинна была установлена теорема о
параметрическом представлении класса N.
Класс N совпадает с множеством функций F (z), допускающих
в круге | z | < 1 представление вида
В (г; bv) У '
Л.
2я J
el* + z
d\p (ft)
1
(3)
где i|> (■©•) — вещественная функция с конечным полним изменением на
отрезке [— я, я].
в<^> = ПтЬ:
а^ — z \а^\
И = 1
в(*;М = ПтЪ;
bv — z \bv\
(4)
v-l
— сходящиеся произведения Бляшке, X — любое целое и у — любое
вещественное число.
Иначе, говоря, формулы (3), (4) осуществляют параметрическое
представление всего класса N.
В этой связи возникает следующая проблема.
Существуют ли другие, возможно простые формулы типа формулы
Иенсена — Неванлинна? Если существуют, то возможно ли определить
ассоциированные с такими тождествами новые классы мероморфных в круге
функций и установить их параметрическое представление?
Настоящая глава посвящена полному решению этой проблемы и
некоторых других связанных с ней задач для одного важного семейства классов
мероморфных функций {Na}, зависящего от параметра а(—1 <а<-(-со).
Эти классы таковы, что с увеличением параметра а они все время
расширяются, причем класс Na при значении a = 0 совпадает с классом N Р.
Неванлинна.
В § 1, имеющем вводный характер, приводятся основные свойства и
ряд приложений интегро-дифференциальных операторов D~a произвольного
порядка а(— I < а < -|- оо) в смысле Римана — Лиувилля. Здесь, в
частности, приводится ряд лемм, в которых выявляются свойства функции
va(rel*;0 = r-aD-a\og
1
ге*ч>
£
играющей важную роль во всем дальнейшем изложении.
В § 2 для функций, аналитических в круге, путем привлечения
операторов D~a (— 1 < a < -f-оэ) выводится важное для дальнейшего обобщение
интегральных формул Коши и Шварца. С помощью обобщенной формулы
Шварца удается установить целое семейство формул типа Иенсена —
Неванлинна, зависящих от непрерывного параметра а(—1<а<4-оэ),
причем формула (1) содержится в этом семействе как специальный случай

566 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
при а = 0. Эти* формулы естественным образом приводят нас к определению
а-характеристической функции Та (р; F), совпадающей с обычной
характеристической функцией Т (р; F) при а = 0. Доказывается, что по крайней
мере для значений 0<;a<-f-°° Ta (p; F) является неубывающей функцией
от р.
В полученных нами формулах типа Иенсена — Неванлинна фигурирует
функция Wa (г; £), которая играет существенную роль в последующем
изложении.
В § 3 с помощью функции Wa (z\ J) строится бесконечное
произведение Ва (z\ zk) типа Бляшке, которое сходится в круге \z\ < 1, когда
последовательность его нулей {г^}^° (0 < | z^ \ < 1) удовлетворяет условию
оо
20-l**l)1+a<+«> <-1<а<+оо).
Будучи естественным обобщением произведения Бляшке В (z; z^)y
функция Ва (z\ Zk) совпадает с ним при a = 0. Здесь же установлены некоторые
граничные свойства произведений Ва (г; г^) и приводится ряд лемм,
которые позволяют доказать ограниченность сверху a-характеристики этих
произведений, т. е. доказать, что
sup {Та(9;Ва))<+со.
0<р<1
Выполнение этого же условия положено в основу определения класса
Na (— 1 < a < -f со) мероморфных в круге | z \ < 1 функций F (г) при
любом значении параметра а.
Наконец, окончание этого параграфа посвящено доказательству
основной теоремы о параметрическом представлении классов Na(— 1 < a < -f-°°)>
причем в качестве специального случая при a = 0 в ней содержится
сформулированная выше теорема Р. Неванлинна.
Заключительный § 4 мы начинаем с изложения хорошо известных
результатов о классе U гармонических в круге | z \ < 1 функций, представи-
мых интегралом Пуассона — Стилтьеса, и о граничных свойствах этих
функций. Затем приводится определение и параметрическое представление более
общих классов [Ja гармонических в круге | z \ < 1 функций, а также
связанных с ними классов Са и Ra аналитических функций, где, как и ранее,
а(— 1 < а < -(- оо) — произвольный параметр.
Наряду с этим определяются также и другие классы Аа (— 1 < a < -f-oo)
аналитических в круге функций, являющиеся естественным расширением
хорошо известного класса А = А0, введенного впервые А. Островским.
В конце этого параграфа устанавливаются некоторые теоремы о граничных
свойствах и о единственности для классов Na и Аа. Эти теоремы также
представляют собой естественное распространение теорем о свойствах
классов N0 и А0 на классы Na и Аа.
§ 1. Интегро-дифференциальные операторы
произвольного порядка и некоторые их приложения
Настоящий параграф имеет предварительный характер. Здесь
дается систематическое изложение ряда основных свойств
операторов D~a интегро-дифференцирования произвольного порядка в смысле
Римана — Лиувилля. Эти свойства, а также приводимые затем леммы

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 567
о свойствах функции va(z; £), определенной посредством
оператора D"*a, понадобятся нам в дальнейшем.
1.1. (а) Пусть f(x) — произвольная функция из класса /,(0, /)
(0 < / < -f-°°)- Интегралом от f {х) порядка а (0 < a < -|- со)
с началом в точке х = 0 принято называть функцию
X
D~a f (x) = -JLj. J (* - tf-'f (t) dt, x 6 (0, /). (1.1)
U
На основании теоремы Фубини [1.3 (в) гл. I] из (1.1) получаем
интегральное неравенство
i i
J|fl~a/(*)l<**<r(lVa) \(l-tf\f{t)\dt< +
ОО
и, следовательно, утверждение
Г. Если f(x)£L(0, /), то при любом a(0<a<-}-oo)
функция D~a f{x) определена почти всюду на (0, /) и принадлежит
классу /,(0, /).
В связи с этим свойством отметим, например, что применение
оператора D~a к функции a:y(—l<Y<+°°). принадлежащей
классу L(0, /), приводит к функции
D lr<l+Y> J=r(l+Y + a) (L2)
из того же класса Z,(0, /).
Установим еще два свойства операторов D~a(0 < a < +oo).
2°. Пусть f(x)£L(0t /), а числа a1(0<a1<+co) и a2(0<
< а2 < -f со) — произвольны. Тогда почти всюду на (0, /)
справедливы равенства
D-a2 (D-a^ (д:)) _ D-a, (д-а^ (д.^ == д-(а1+а,у ^ (1 3)
В самом деле, например, имеем
D'at(D'ulf(x)) =
о | о J
= Г(а1)1Г(а2) J /Ci)| J (*-^-,%-'i)e,-,«, Ц =

568 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
При этом в силу теоремы Фубини почти для всех х £ (0, /)
произведенные выше операции допустимы.
3°. В каждой точке Лебега функции f(x)t а следовательно,
почти всюду на (О, /) имеем
limD-7 (*) = /(*). (1.4)
а->+0
Пусть #£(0, /) является точкой Лебега для функции f(x)t т. е.
h
IimT f l/(* + 0-/(*)l« = o.
А->0 п J
Тогда, полагая
t х
FA*) = j f(x-x)dx= jfd)dl.
0 x-t
очевидно, имеем
llm rlFx(t) = f(x).
Поэтому, записав функцию Fx(f) в виде
^(0 = '[/(*) + <©, (01. 0<t<x, (1.5)
для любого е>0 можем подобрать такое 6 = 6(е)>0, чтобы
выполнялось неравенство
|<М01<е. 0<^<6. (1.6)
При помощи П.5) и (1.6) получаем
х х
о о
X
о
ft
_ F*{X) r0-l а —
Г (а)
о о
Совершим предельный переход в этой формуле, когда а-> + 0.
Тогда, замечая, что г = г . , ->0 при а-> + ^. в СИЛУ (1-6)
получаем
lim sup | D'af (x) — f (x) | < e.
a->+0
Ввиду произвольности е>0 отсюда следует (1.4).

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 569
Как показывает свойство 3°, вполне естественно определение (1.1)
оператора D~af(x) распространить на значение а = 0, положив
D°f(x) = f(x). (1.7)
(б) Перейдем теперь к определению понятия производной
произвольного порядка.
Пусть а (0 < а < -Ьсю) задано и целое число р^>\ определяется
из условия
р — 1 <а</>. (1.8)
Пусть, далее, f(x)£L(Q, /) и функция*)
dxp-
T{D-<'-"y(*)}
почти всюду на (0, /) имеет производную [не обязательно суммируемую
на (0, /)]. Тогда функция
Daf(x)^^{D^-a'f(x)} (1.9)
называется производной порядка а > 0 от функции f (x) с
началом в точке х = 0.
Ввиду (1.7) при целом а=р^\ имеем
/>"/(*)=■£/<*).
т. е. Daf(x) совпадает с обычной производной функции f(x)
порядка а.
Полагая, например, р — 1 < а<! /? (р>-1)и — 1 < у < 4~°°»
согласно определению (1.9) производной порядка а, находим
U \Г(1+у) J dxPu I r(lH-v) J '
Отсюда, воспользовавшись формулой (1.2), получаем
naf x* \_ dP Г лгУ+Р-° \_ дгУ-°
1 Г(1+у) /~ dxP I Г(1+у + />-а) J" r(l+Y-a) '
Объединяя эту формулу с (1.2), получаем общую формулу
Д-а{г0Т^Ьг(1+Г+а) (-KY<+-.-oo<a<+oo).
(1.10)
Приведем теперь некоторые свойства операций
интегро-дифференцирования произвольного порядка.
*) Здесь при a = /?;>! следует воспользоваться определением (1.7).

570
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
4°. Если f(x)£L(Q, /), то при любом а(0<а< + оо) почти
для всех х £ (0, /)
DaD-af(x) = f(x). (1.11)
Заметим сначала, что вообще при любом целом р ^ 1 почти
всюду на (0, /)
dxP
{£-'/(*)} =
dxP
V{P)
\Р~1
{x-t)p-lf{t)dt\ =
= £]f(t)dt = f(x).
С другой стороны, если р — 1 <а<[/?, то ввиду свойства 2° почти
для всех *£(0, /)
D~pf (х) = D-^-^D"0/ (*).
Следовательно, почти всюду на (0, /)
dxP
dxP
5°. Пусть функция f(x) на интервале (О, /) имеет
суммируемую производную порядка а > 0 (р — 1 < а<! /?). Тогда почти
всюду на (О, I)
р . _ . . л-и
(1.12)
D~aDaf (х) = /<*)- 2 [Da- V (*)}
В самом деле, по определению имеем
X
*-о Г(а—Л + 1)
D-aDa/ (х) = ^ J (х - О""1 -^ {D-^e)/ (0} dt =
Г(1 +
I
WJ(*~°e^{D~(P~e,/(0,<tt • (1ЛЗ)
С другой стороны, /?-кратным интегрированием по частям получаем
raW/(*-'>°J>"""'/(')1'"=
л:
= Г(.+'.-й \<.*-#"D-*-*f<b*>-

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 571
Правая часть (1.14) имеет смысл, так как из условия
dt
вытекает, что все функции
^Я-<Р-«>/(06£(0§ /)
dP~k
dtP~k
D~{p'a)f{t) (ft=l, 2 p)
абсолютно непрерывны на отрезке [0, /].
Теперь упростим выражение, стоящее в правой части формулы
(1.14). Заметим сначала, что в силу свойства 2°
х
о
X
= D-(a-p+1)D-{p-a)f(x) = D-lf(x) = jf(t)dt. (1.15)
о
Из (1.13), (1.14) и (1.15) непосредственно следует формула (1.12)
при р = 1.
Предположим теперь, что р^-2. Тогда \^k<^p — 1 и,
полагая q = p—k, p = a — k, получаем, что q—1<Р<^ (?^>1)-
Поэтому при р^2 и l^k^p—1 имеем
dp~k D-(P-*)f(t)=J^D-«-®f(t)=Dtf(t)=Da-kf{t), (1.16)
dtp~* dP
согласно определению производной порядка р > 0.
Из формул (1.13)—(1.16) следует утверждение (1.12).
В частном случае 0<а^1 из (1.12) получаем, что если
Daf(x)^L(0t I) (0<a<l), то почти всюду на (0, /)
D-"Daf(x) = f(x)-{D-*-a)f(t)}M^. (1.120
Полезно отметить также обобщения последних двух свойств.
4°(а). Пусть f(x)£L(0, /). Тогда:
1) при р>а>0
DaD-*f(x) = D-®-a)f(x)t *6(0, /); (1.17)
2) при а>р>0, если функция f(x) на (0, /) имеет
производную Da~^f(x), то
DaD-*f(x) = Da-*f(x), *g(0. /). (1.18)

572 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
В самом деле, если р!>а!>0, то, пользуясь свойствами 2° и 4°,
получаем
DaD~*f (х) = DaD-aD-®-a} f (x) = D"(p-a)/ (*).
Если же a > р !> О, то, полагая р — 1<а<!/?(/?>1)и^ —1<
<а — Р<^ (?^-1). очевидно, имеем q<CP- Поэтому, в силу
свойства 2°, почти всюду на (0, /)
D-P/00 = £г Da~^f (х) = -jjL Da-*-»f (x) =
= JL D-ip-°)D-tf (x) = D*D-tf {x)
dxp
5° (а). Пусть f(x)£L(Ot l) и существует производная
D*f(x)£L(0, l) порядка p, где p — 1 <P</? (/>>1). 77>г<?а для
любого а ^ 0
P a-fe
D~aD*f(x) = If-*f (x) - 2 (DP-VfflLord+a-*) • О -19)
В самом деле, пользуясь свойством 2° (при Р<Са) или свойством
4° (а) (при Р>а), имеем
D'aD*f (х) = D*~aD-*D*f (x).
Отсюда в силу (1.12) получаем
D'aD^f(x) = D^'a\
ft-1 J
что приводит к формуле (1.19), если заметить, что, согласно (1.10),
np-a f x$-k } _ xa'k
1 Г(1 + р —Л) J- Г(1+а-Л) *
(в) Укажем теперь одно удобное для применений достаточное
условие существования производной Daf(x) (a>0) и формулу для
ее представления.
6°. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (0, /)
вместе со своими производными до порядка q— 1 (?>Л)
включительно, причем f^)(x)^L(0f /). Тогда для любого a (0<а<?)
производная Daf{x) существует. Кроме того, если р—1 <а<^/?
(р :> 1), то почти всюду на (0. /) имеет места формула
■2
- - О
(1 20)

§ 1J ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 573
В самом деле, правую часть формулы (1.20) можно представить
в виде
dx"
xp+R-a +
/k)(0) »+*-а
~i ГО+р + А-а)
ft-о
Г(2р
о
х
(1.21)
Но последовательным интегрированием по частям получаем
о
р-\ х
__у /*>(0) P+k-a ■ 1__ [(х_/у-в-'/ГЛ
Zj Т(\+p+k-a) Х -Т~ Т(р-а) ){Х *> /W
Отсюда и из (1.21) следует, что правая часть формулы (1.20)
приводится к виду
dp ( 1 Г, ,чВ-«-1,,л J dp
*А 1 Г
d*" J Г 0»-a) J
(* _ ^-«-'/ (t)dt\ = ±j D-{p-a)/(x) = Daf(x).
dx"\T(p-a)y~ " J"""\-dS
Из доказанного свойства, в частности, вытекают следствия:
а) Если /'(лг)£/,(0, /), mo для любого а (0<а<1)
существует производная Daf{x)y причем
X
*/<*)=Т^*-в + Т(Г=ЗГ ji*-t)-af(fi)dt. d-22)
0
б) Если функция f(x) такова, что для данного а (0<а< 1)
существует производная Daf (x)£L(0, /), то для любого
Р (0 < Р < а) существует также производная Dp/(a;)£L(0, /).
Действительно, обозначая g(x) = D~{1~a)f(x), очевидно, имеем
°af <*>=ш D_(1_a)/ (*)=s' (x) e i (о. о.
Так как 0 < 1 -f- р — a < 1, ввиду следствия а) существует также
производная
Dl+&-ag(x) = D1+Si-aD-{1-a)f(x)€L(0, /).

574 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Наконец, согласно свойству 4° (а), это означает, что существует
производная
D*f(x) = Dl + *-aD-{l-a)f(x), *6(0. 0.
и она принадлежит классу Z,(0, /).
В заключение докажем еще одно предложение.
7°. Для того чтобы интегральное уравнение Абеля
X
f(x) = D-ag(x) = Tj^ ^{x-tf-lg(t)dt (/>-1<а</»). (1.23)
о
где f(x)£L(0, /), имело решение g(x)£L(0, /), необходимо и
достаточно выполнение следующих двух условий:
1) функция
dP'1
dxp-
- о (х), о (х) = D"(p"a)/ (х),
абсолютно непрерывна на [0, /];
2) о)(0) = о/(0)= ... =о)(р"1)(0) = 0.
£с./Ш э/яя условия выполнены, то решение уравнения (\.23)
единственное и почти всюду на (0, /) представимо в виде
g^) = Daf{x)^-f7D-{p-a)f(x). (1.24)
dxH
Убедимся сначала, что условия 1) и 2) действительно достаточны.
В самом деле, ввиду условия 1)
Заметим далее, что в силу свойства 2°
X
J f(t)dt = D-lf(x) = D-{a-p+1)D-{p-a)f(x) =
о
х
-P~(a'P+1W*)= Г(а^+1) \{x-Cf-"<b<f)dt.
О
Последовательным интегрированием по частям с учетом условий 2)
последний интеграл можно представить в виде
X X
ra+a-/> J<* -'f "'»«>dt = ToW f(* ~^«>л*

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 575
Итак, справедлива формула
X X
\ / 0) м = г (1+о) j{x - t)a®iP) W dt =
О О
Отсюда дифференцированием по х получаем
/W = D-a{^D-(^a)/(^)j, ^6(0./).
т. е. функция g(x) = -jp DHp'a)f{x) действительно является
решением уравнения (1.23).
Переходя к установлению необходимости условий 1) и 2),
докажем сначала, что если решение g(x)£L(Ot l) существует, то оно
единственно и представляется в виде (1.24).
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что, согласно
свойству 4°, из тождества f(x) = D~ag(x)t x£(Q, /), применением
оператора Da находим
g (х) = DaD~ag (x) = Daf (x), x £ (0, /).
Далее, из (1.23) имеем также
со (х) = D~{p-a)f (х) = D-{p-a)D~ag (x) =
X
= D-pg (x) = T^ j(x- tf-'g (t) dt, x 6 (0, /).
0
Наконец, из вытекающих отсюда формул
х
<*(к)(х)=Т{р1_к) \(x-ff-*-xg{f)dt (k = 0, 1 p-\)
0
видно, что функция w(x) удовлетворяет условиям 1) и 2).
1.2. В приводимых ниже леммах устанавливается ряд важных для
всего дальнейшего изложения формул и соотношений, связанных
с применением оператора D~a.

576 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
(а) Для любого значения параметра а (—1 <а<+оо) введем
в рассмотрение следующие функции:
5в(г)=2Св(г)-Св(0) = Г(1+о){^-^1Т5.-1|(|г|<1)1(1.26)
Яа(Ф; r)=ReSa(r^) = r(l + a)(Re- L—.-1 ] (0<г<1).
1 (1-"Ф) J (1.27)
Пользуясь известным биномиальным разложением
оо
Са(г) = 2Г(Г(1+1")*)г* (И<^ О-28)
ft-0
можно выписать также соответствующие разложения для функций
Sa(z) и Ра(Ф; г).
Заметим еще, что при а=0 имеем
С°('-'**) = ГЗ^' 5o(^^) = ^f. (1.29)
P0(q>-*;r) = - ^^
1—2гсоб(ф —#)+г2 *
Таким образом, известные из теории функций ядра Коши, Шварца
и Пуассона получаются из введенных выше функций при а = 0.
Докажем лемму.
Лемма 9.1. Для любого значения параметра а(— l<a<-f-oo)
при 0<г<1 и —я<^ф<^я справедливы формулы
C0(rei,f) = r-aD-aCa(rei(f). (1.30)
са(ге")=лас0И
50(г*") = г-°О-а5в("'Ф). 0.31)
Sa(rel(f) = DaraSQ(rel<f),
П(ф; г) = /--аО-аЯа(Ф; г), (1.32)
Ра(Ф;г) = ОагаР0(Ф;г).
Доказательство. Принимая во внимание определение функций
Sa(rei(?) и Ра(ф; г), очевидно, достаточно убедиться в
справедливости первой пары формул (1.30).

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 577
Из разложения (1.28) имеем
raD-aCa{re^)= raD-a\ ^Г(г1(|+*')*)*<*Фг* > =
U-o I
OO
= 2ir(l+a + k)eik*raD-a{TTf!L-} (0 < г < 1).
Но, согласно формуле (1.10),
'~ад~1т(1^Ьг(1+1+*) <* = 0. »• 2- •••)•
Поэтому
OO
r-aD-ac (Гг'Ф) = ^ (г*'ф)* = С0(г*'ф).
Если заметить, что. согласно формуле (1.10), имеем также
Са{т(1+» + Ь)ГГ(Г+*) (* = 0. 1.2,...).
то точно так же получим вторую из формул (1.30):
оо ь
В°г°С0(ге'«)=2 ,'*Г(1+« + *)В-{ Г(1;Г+*) Ь
ft-0
оо
/5-0
Определим далее функцию
va{r)=raD-a\ogr (1.33)
и докажем лемму.
Лемма 9.2. Для любого а (—1 <а< -+-оо) справедлива фор-
мула
Va(r)=T{ll+a)V°gr-ka\. (1.34)
где
Л —1
37 М. М. Джрбашян

578 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Доказательство. Полагая сначала 0<а<-|-оо, по определению,
имеем
г 1
О
1
log
1
r+rh J(1 ~ x)a~x log [1 ~(1 ~x)] dx=
Г(1+а)
U
J 1 у 1 _ 1
"~ Г(1+а) 10gr Г (а) -Л k(k + a) ~ Г(1+а) 110^г"~Ла1-
*-1
Пусть теперь — 1 < а < 0; тогда, согласно определению, имеем
fl-lW'-^e-'^'l-^T^P^r---*,"!}.
так как 1 -f- а > 0. Следовательно, при — 1 < а < 0
v«С) = TiT+aj + ТчГЙО [logг-kua] =
откуда вновь следует формула (1.34), так как нетрудно
видеть, что
ъ \ .ь
я1+а !_(_«— «о-
(б) Введем в рассмотрение другую, весьма важную для
дальнейшего функцию
«в(гЛ C) = r-aD-alog|
1 ret(f
(1.35)
и установим ее интегральное представление.
С этой целью предварительно напомним некоторые свойства
главного значения интеграла (в смысле Коши).
Пусть функция f{x) определена на промежутке (a, b),
содержащем точку х = с. Пусть, далее, интегралы
с-е b
J f(x)dx, J* f{x)dx (1.36)

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 579
в собственном или несобственном смысле существуют при любом е > 0.
Как известно, если сумма интегралов (1.36) стремится к конечному
пределу, то этот предел
(с-г Ь |
lim \ f f(x)dx + f f(x)dx\
(а с+г )
называется главным значением интеграла от f{x) по промежутку
(а, Ь) и обозначается символом
ь
v. р. Г f(x)dx.
а
Если f(x)£L{a, b), то, очевидно,
ь ь
v. р. Г f(x)dx=: Г f{x)dx.
а а
Замечая, что при любом е > 0
а с+г
получаем
ь
v. p. J _^_ = 1овг1=£. (а<с<*). (1.37)
Предположим теперь, что функция ф (.*)£/, (а, 6) в некоторой
окрестности (с — 6, c-j-б) точки х = с удовлетворяет условию Гель-
дера | ф (х) — ф (с) | ^ А | л:—с | \ где Л>0иА,(0<Я<;1) —
постоянные. В этих условиях, очевидно, имеем
и, следовательно, применяя (1.37), получаем формулу
а а
Докажем теперь лемму.
37*

580 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Лемма 9.3. Для каждого значения параметра а(— l<a<-f-oo)
при любых г(0<! г >< 1). ф£ [—я, я] и t(0 < |£|<! 1) справедлива
формула
Mr*'*;C) = Rer(1^a) f (1~^)а dx, (1.39)
0 x~7?v
причем в случае, когда |£| <><! 1 я ф = а^£, интеграл следует
понимать в смысле главного значения.
Доказательство. Предполагая сначала, что 0 < а < + оо, по
определению функции va(rei(*\ С) имеем
г
г»а(г*'ф; 0 = ^^- / (' - 0е"1 log| 1
telf
dt=*
^Tja) l (l~X)a'll0g\l~£T'X\dX- (L40)
0
Обозначим через /^ отрезок |£|<>-<1 луча ф=а^£. Тогда
интегрированием по частям из (1.40) получаем
1
va(re"*; 0 = -Rer(11+a) J log| 1 —r-^-x\d(\ -xf =
0
1
= *'ToTa)\Jblf-dx- «*Zb
0 x~~~^
что равносильно формуле (1.39).
Убедимся далее, что формула (1.39) сохраняет силу и при re1^ £ /g,
если только интеграл понимается в смысле главного значения.
С этой целью заметим, что при г£/ф£/£ формула (1.40)
принимает вид
*в(г«'Ф; Z) = rh) i (l~x)a~1{0g\l~TUX\dXt rel*€lb (L40,)
о
причем интеграл абсолютно сходится. Отметим еще, что, так как
при ге1^ £/£ имеем 0 < -^-L>< 1, подынтегральная функция в (1.40')
имеет особенность в точке х = -^ ♦

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
581
Поэтому очевидно, что *)
va(re">; 0= Hm
8->-+0
I
Itl
k J d-*)"-1**
Г (a)
1 — wx*dx^~
rc
^ J a-*)-1'*
l£L„
1 L-x
1 ICI
djc
, relf£lz. (1.41)
Но интегрированием по частям находим
IiL-е
Г
j (l—xf-1log\l—-^x\dx =
-H
log
'-m*
rf(l— *) ==
г
=-i('-M'^+H ^"> <■•<»
о *-
а также
l
j (l_Jc)«-Mog|l-T[|-Jc|^ =
Ue
l
el(l_Jil_eY'lo*-5r + I f Q-*Tdx. 0.42")
№■+'*—r
Подставим значения интегралов (1.42') и (1.42//) в предельную
формулу (1.41). Тогда, замечая, что
получаем
*) В случае г = |£ | второе слагаемое отпадает.

582
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
что эквивалентно формуле (1.39) леммы для рассматриваемого нами
случая.
Предположим теперь, что — 1 < а < 0. Тогда, по определению,
имеем
va(rel*;0 = r-aD-°log
= г-«^_{£Г(1+а)
1
re"
£
log
re
/Ф
} = г-^1г'Х(«";0Ь
Так как l-f-a>0, пользуясь формулой (1.39), получаем
va(re^\ 0 = /-°
dr
Re
r1+a f <\
(2 +a) J „
-*)
l+a
Г(2 + а)
-rfjc
б *-
„*<p
dr
Г 1
Re f {r~~t)l]l dt , (1.43)
Г(2 + а) J *_£*-«* v ;
причем при re/(P £ /^ интегралы следует понимать в смысле главного
значения. _
Если ret(v£lt, то, производя дифференцирование по г, из (1.43)
находим
г
aV Г (l+a) J t-te-1*
1
D 1 f (1— xf .
= ReTTT+^J7—с d^
о *-
re
,'<p
Если же ret(*£lt, то формула (1.43) принимает вид
I \ о /
(1.430
Однако, согласно формуле (1.38),
г
v. р
J-^
l+a
= f (r-o1+n-(r-iei)
l + a
■ici
dt
l+a, r—\
+-(r-|;|ral0g^:.

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 583
Отсюда и из (1.43') следует, что
v (гек>. г) r~a d f с—<)1+a-(r-ig)1+°^ .
«al"*. 6>— Г(2+в) <*r J *-ltl *" +
о
, r-°(r-ici)a , r-tt(r-ici)tt r-iei , 4
4 Г(2 + а) ^ Г(1+а)IOg |£| ' re ^'t- i1-*^
При этом, так как l-f-a>0, дифференцируя по параметру г,
получаем
dr J
(r-f)1+a-(r-iu)1+a .,_
О
С другой стороны, из формулы (1.38) имеем также
о о
и поэтому
Г (2
1 d г (r-*)1+Q-(r-iei)1+° ,_
+оГ^ J '-id
1 о
с-ici)n I * fy.p f c-oB ^W-icivyr-iH
- Г(2 + а) -+Т(1+в)Г Р J * — 1СI / T(l+«)lg Id '
\ 0 /
(1.45)
Из (1.44) и (1.45) следует, что при ге1ч £/;
=TTrWrp-/ffM^)'
а это эквивалентно утверждению леммы для рассматриваемого случая.
При а = 0 справедливость формулы (1.39) проверяется
непосредственно и, следовательно, лемма доказана полностью.
1.3. (а) Отметим, что функция
va(z; Z)\a=Q = v0(z; О = log-11 — jr\

584 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
непрерывна на всей открытой плоскости zt за исключением точки
г = %.
Чтобы выяснить природу функции va(z; £) для остальных
значений параметра а, докажем две леммы.
Рассмотрим сначала функцию
G)a(w)=Re J {\Z*„ d* (-Ka<+oo), (1.46)
о
условившись понимать интеграл в смысле главного значения при
w = u^(Oi 1).
Лемма 9.4. Функция aa(w) непрерывна всюду на плоскости w,
за исключением точки w = 0 и точки w=\ (при —1 <а<0).
Доказательство. Непрерывность функции всюду вне отрезка
0<Ся^1 очевидна. Поэтому остается доказать непрерывность
функции соаО) вплоть до интервала (0, 1] при 0 < a < -|-оо и до
интервала (0, 1) при — 1 < a < 0.
С этой целью выпишем сначала тождества
1
an(u±iv)=Re \ - / 1 . v dx-\-
о
+ (l-«riogl1-B(^fa)|. «6(0.1). v>0.
1 1
M«> = v.p.J 1^-2-** = J i L-i >-dx +
о о
+ 0 — *)a\og±=^9 «6(0. 1),
с помощью которых образуем разность
1
/ л. • ч / ч о Г (1—*)а —(1—ы)а ±/v . ,
CDa(«±^)-coa(«) = Rej i ^-1 ^____^ +
о
+ (1 - uf {log I ! - g * to) I - log 1^ } ss Л (и; ±t» + /2<«; ±v).
(147)
Теперь для любого фиксированного е>0 и для данного и £(0, 1)
число h = h(z\ и) > 0 выбираем так, чтобы (и — Л, «-^/^^(О, 1)
и, кроме того, чтобы выполнялось неравенство
и + Л
\
(1 —АГ)а— (1 —Ц)а
I х — и
u-h
dx<±. (1.48)

§ I]
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
585
Обозначим далее через Ch(u) совокупность промежутков [0, и—h]
и [u-\-h% 1] и представим функцию 1Х (и; ±v) в виде суммы
u+h
/ / -i- ч г» Г (1—л:)а —(1—u)a ±iv , ,
CA(«)
и-А
— д;)Д—(1—ц)<*
±iv
X — W
x — (и ± iv)
dx=I\(u\ ±v)-\-l\ (u; ±v).
Тогда, замечая, что при любом v > 0
±iv
<1. 0<*,а<1,
х — (и ± iv)
в силу (1.48) получаем
(1.49')
Так как при любом г/ > О
шах
x£Ch(u)
1
(л: — и) (х — (и ± iv))
мы получаем также оценку
<
/г2 •
|/Г(«; ±*)|<р- J |(l-*)a-(l-ir)a|rf*.
с* (в)
Отсюда следует, что при некотором 6 = 6(е; и) > 0 имеет место
неравенство
|/Г(«; ±^)| < -§-• 0<*/<6. (1.49")
Из (1.49х) и (1.49") имеем lim Ix (и; ±v) = 0, a£(0, 1); оче-
видно также, что lim f2(u\ ±v) = Q, и£(0, 1). Поэтому из тож-
дества (1.47) вытекает, что при любом и£(0, 1)
lim (oa(u±tv) = (Da(u).
(1.50)
ос— 1 ,
Полагая теперь 0<а<4-°°» имеем [так как (1—-л:) 6^(0, 1)]
1
a(l±/t>)-at,(l) = -ReJ(l-*)a-1 */" dx = r,(V, ±v).
о
Отсюда, точно так же как выше, получаем при любом а£(0, -f- °°)
lim соа(1±*Ч/) = соа(1). (1.50')
г/->+0

586 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Таким образом, для завершения доказательства леммы надо показать
еще, что вообще пределы
lim мь (да), «£(0. 1), (1.51)
W + tl
существуют для любого а£(—1, + оо), а предел
lim a>a(w) (1.5Г)
существует для любого а£(0, +со).
Для этой цели в плоскости х% разрезанной вдоль луча [0, -f- сю),
рассмотрим функцию —-—, где wx (j [0, +оо) — произвольный
параметр.
Обозначим через L(R) (/?>1) замкнутый контур, состоящий из
дважды пробегаемого промежутка [0, R] и окружности \z\ = R. По
теореме о вычетах имеем
л
о UI-/?
= 2ntwi, \wx\<R, wi£[0, R],
откуда следует тождество
1 R
-ijia
f xa . ле-'ла а Г xa . ,
dx = : w\ — dx-\-
J x — wx sinjta J x — wx '
l
J T=~7^ l«i|</?. «i £ [0. R]. (1.52)
о l
/g-/jtQ f -a
' 2 sin яа j & — wj
Отсюда, в частности, при /?=1 получаем
где
о
4-^(^0. К1<1, ^£[0,1), (1.520
..-/яа л а
t/ (Wl) = Re -^^ —£—dz
Ul-i
— гармоническая функция в круге | ^ | < 1.
Но выражение, стоящее справа в тождестве (1.52/), очевидно,
имеет конечный предел, когда wx -■> иг £ (0, 1) при любом a £ (—1, -f- сю),
а также когда wx ~> 1 при a £ (0, + сю).

§ 1] ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 587
Наконец, так как
1 1
»a(^) = Re Г (1""^)а dx = —Re Г £ rdx =
av/ J x — w J x — (1 — w)
о о
= — CDa(l— W)9 w£[0t 1]. (1.53)
пределы (1.51) и (1.51') на самом деле существуют при
соответствующих условиях. Лемма доказана.
Лемма 9.5. 1°. Если 0<а<+сх), то для любого £ (0<|£|<! 0
функция va(z; £) непрерывна в замкнутом круге \z\^\.
2°. Если — 1 < а < 0, то для любого £ (и0 ^ I £ | ^ 1, 0 < х0 < 1)
функция va(z; £) непрерывна всюду в замкнутом круге \z\<^.\t
за исключением тонки z = t>, причем справедлива оценка
\va(z; 0|<Са(*о)|2-£|а. |*|<1. (1.54)
где постоянная Са(к0)>0 не зависит от z и t>.
Доказательство. Поскольку в силу формул (1.39) и (1.46)
ea(«0 = T(lW^(-r)' (L55)
свойства непрерывности функции va(z; £), сформулированные в обоих
утверждениях леммы, следуют из леммы 9.4.
Таким образом, нам остается лишь установить оценку (1.53) для
любого а£(—1, 0).
Обозначим через /С(£+) и К^ две взаимно дополнительные
половины единичного круга |^|^1, лежащие соответственно в
полуплоскостях |ф — argCl^y и у^ | ф—arg£l <!я. Замечая, что
мы имеем при и0<!|£|<;1 и 0<[а:<;1
min \x— —
Отсюда, пользуясь интегральным представлением (1.39) леммы 9.3
для функции va(z; £), получаем оценку
1
в»«_, !"«(*; ОК щТ(1+а) JV -*?**= ХоГ(2 + а) ' (157)
Чтобы оценить функцию va(z; £) в другой половине /С(£+)
единичного круга, обратимся к тождеству (1.52), установленному при дока-

588
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
зательстве леммы 9.4. Ввиду того, что —1 < а < 0, после
предельного перехода при /?-> + оо тождество (1.52) принимает вид
Г х*
J x — wx
dX :
пе
+ 0О
w\ — dxt wx £ [О, + оо).
sin яа
Отсюда, принимая во внимание формулу (1.53) для функции (oa(w),
получаем представление
аь(«0 = — соа (1— ^)=-^т11— wfcosa(arg(l— w) — я) —
sinrcct
о
■Re
J {\j£ dx> «€(-«>• П. (1.58)
Но выражение, стоящее в правой части формулы (1.58), непрерывно
на интервале (0, 1) вещественной оси. Так как функция co^ie;) также
непрерывна на этом интервале, представление (1.58) справедливо
в каждой точке w£(—со, 0] и чюф\.
Заметим теперь, что преобразование w = --t z£K^\ отображает
полукруг К^ на область <2^, получающуюся из полуплоскости
Rex2>>0 после удаления из нее точек круга |х2>|<|£|.
Следовательно, представление (1.58) имеет место, в частности, для всех
точек w£35£.
Переходя к переменной zt из (1.55) и (1.58) получаем
представление
va(z'> £)= и/1 I Яч • М — cos^argfl — —)—я>а —
av ' у r(l+a)sinna | z\ I \ г) )
1
Г(1+а)
Re
| A-*)0 dx, г£К[+\ гфЬ. (1.580
X —
г
С другой стороны, из (1.56) находим, что при —оо<л;^0
\>(х2 + \т\2Т>(х2+н1)'^
min \х —
откуда следует оценка
о
(1-*)а
max
Re
f
dx
< 1 ^!__^1 dx r= Л„(Х0) < -f OO.
t/ I/ ..2 i .2
-co У К{
+ X

§ 1) ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 589
Поэтому из представления (1.58') следует неравенство
|*«<*:С>|<ет^1*-С|а' г^+)- гф1- (1-59)
Нам остается лишь отметить, что при и0<^|£|-г^1
max {|z —С|а}=Вв(Ио)< + оо.
-^
и тогда из оценок (1.57) и (1.59) получается неравенство (1.54)
леммы.
(б) Рассмотрим интегралы
л
re™
£
dft (A = 0. 1. 2, ...). (1.60)
заметив при этом, что все они при 0<^г<^1 и 0< |£|-^ 1
абсолютно сходятся.
Покажем, что справедливы следующие формулы:
1) при 0<г<|С|
[ 0, если k = 0,
— трГ> ec™ k = 1, 2, .. .;
2) при |С|<г<1
12 log-гут-, если /г = 0,
jk (1.6<П
~г, если &=1, 2, ...
С этой целью заметим, что разложение
log|l-.|=-^^±l!. (|т|<1) (1.61)
равномерно сходится при любом |т|^г0<1.
1) Пусть 0 <; г < |С|; тогда в силу (1.61)

590 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
Отсюда следуют формулы (1.60'), если учесть, что
[ГЛ. IX
0, k Ф п,
1, k = n (k, л = 0, ±1, ±2, . . .)• (1.62)
-я
2) Пусть |£| <г<!1. Заметим сначала, что
я
/4С;С) = ^- J «-'*• log jftd* +
+Н-
-**fr
log
re
/ft
</* = /:+/* (1.63)
причем
'*■
21og-ryy при & = 0,
О при fe= 1, 2, ...
(1.64)
Далее, опять в силу разложения (1.61) и формул (1.62), получаем
п—Ъ-Ь /•-"•{Ыг)"+(т^Пл-
п-1 -я
О при & = 0,
_JL при ft=l, 2,
Наконец, из (1.63), (1.64) и (1.65) следует формула (1.60").
Отметим, что из (1.60') и (1.60") следует еще, что
| 0 при к = 0,
M|C|-0;C) = /*(|C|+0;C)=J «мл
(1.65)
: 1СГ
при /5=1, 2,
Теперь рассмотрим интегралы
<>(r;0 = -^ jV'*4(r«»; C)dO (ft = 0. 1. 2, ...). (1-66)
-Я
заметив, что в силу леммы 9.5 они абсолютно сходятся при любом
0<г<1 и 0< |С|<1.
Докажем лемму.

§ 1]
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
591
Лемма 9.6. При любом а (—1 <а<+°°). когда 0 < |£| <!
<; г ^ 1, справедливы формулы
1
К\1г
Ча)(г; 0 =
1
Г(1+а)
1
(if/ V-xfxk-'dx-
/Т \k
-(i) \(\-х)ах-ъ-ых
ш/'
> (А=1, 2, ...)• (1-б7г/)
Доказательство. Непосредственной проверкой легко убедиться,
что при а = 0 формулы (1.67'), (1.67") и (1.60") тождественны.
Поэтому достаточно рассмотреть случаи 0<а<+оо и —1 < а < 0.
Предварительно определим явный вид выражения r~aD~aIk(r; £)
(|£|<г<1, k = 0, 1, 2, ...), пользуясь формулами (1.60') и (1.60").
Если 0<а< + °°» то
— Г(1+а) J г Л— Г(1+а) J х йХ' (168>
ICI Itl/r
а также
—a п—в
ICI
r-°D-a/ft(r;C) =
*£* Г (о) J ( ' * Г(о) J/ '> '
-1 >-ft
<«
IU
Но интегрированием по частям получаем для k ]> 1
iu m
^-J(r-^V*—^(r-ltiy + ^J
(r — tftk-ldtt
а также
г
С* f(r-Oe-lr*rf/=-^iF(r-|C|)e-ftii f(r-*)V
i?i a|U a uJi
*-l
rf/.

592 КЛАССЫ МЕРСМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Так как £ |С|-1 = |С| С"1, отсюда следует, что при k^l
r'aD"a/,(r;C) =
Itl
tfT
L I (r-t)atk-1
0+«) J
dt
4-a) J
Г(1+а)
I\t\!r
i;i
— (-f)* J\i—л)"*"*-1** \. (1.68")
Покажем далее, что формулы О-бв'), (1.68") остаются в силе и
в случае —1 < a < 0.
Действительно, тогда, по определению,
raD-aIk(r, t,) = r-a-£-{D-{1+a)Ik(r, С)}.
и поэтому из (1.68') получаем
r-uD-a/0(r;D = r-a-£
dr
Г(2 + а)
Г
\
(r—t)a+l
dt
2r"a
Г(1+а)
Г I'-V dt- 2 Г V-'Fdx
J * ^~Г(1+а) J x йХ-
Itl I SI/''
Аналогично из (1.68") имеем
r~aD-a/ft(r;£):=
Г(2 + а) dr
Л
откуда, дифференцируя, получаем ту же формулу (1.68") для
значений —1 < a < 0.
Поскольку, таким образом, формулы (1.68') и (1.68")
справедливы для любого значения параметра а£(—1, +оо), для
доказательства формул (1.67'), (1.67") леммы достаточно установить, что
при 0< |£|<г<1
$\rti) = r-aD-aIk(r\i) (А = 0. 1, 2, ...)• (1.69)

, 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 593
Если 0<а<+оо, то из (1.60) имеем
1*ЩАаъ =
л.
raD-afk(r, 0=r"g^"a JV'wlog
-Я
Я Я
eJL je-ikfy\r-aD-a\og\\ --^|}dtf=± J «-<*•«„ (/■«'»; Qrf*
-Я -Я
(ft = 0, 1, 2, ...)•
При этом введение интегральной операции D~a под знак интеграла
допустимо, так как, согласно лемме 9.5 (1°), функция va(reif*\ £)
непрерывна при любом 0 <><J 1 и —л<^Ф<^я.
Если же — 1 < а < 0, то, очевидно,
D-(1+a)/,(r;0=~ j'-iMD
k&n-(l+a)
log
1
re
ib
£
d$(k=0, 1. 2, ...)
при любом 0<><;i и 0< |£| <il. Отсюда следует, что
r-aD-e/ft(r;Q = r
-a d
~dr
{D-(1+a>/ft(r;C)} =
-^/•-"•{'-i
D-(1+a)log
„*»
}rfft =
При этом введение операции дифференцирования под знак интеграла
здесь допустимо, так как, согласно лемме 9.5 (2°), функция
^r^C) = r-°^{D-<1+°>log|l —^|}
в случае —1<а<0 непрерывна при |£|<г<^1 и —я^^^я,
а при г=|£| она в силу оценки (1.54) этой леммы абсолютно
интегрируема.
Лемма доказана полностью.
§ 2. Основная формула для представления мероморфной
функции внутри круга. Определение и важнейшие свойства
a-характеристической функции
2.1. (а) Установим сначала обобщения известных из теории
функций интегральных формул Коши и Шварца для представления
аналитических функций внутри круга.
38 М. М. Джрбашян

594 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Напомнив определение введенных уже в 1.2(a) функций
C°(*>-(l_"ffa (И<!Х (2-1)
Sa(z) = 2Ca(z)-Са(0) = Г(1 + а){ _2^1+а - 11 (|г|<1), (2.2)
докажем теорему.
Теорема 9.1. Пусть функция
оо
/(ге«Р)= 2^И/ (2-3)
ft-0
голоморфна в круге \z\ </?. Тогда:
Г. Для любого а (—1 <а<+оо) функция
7><*)^r-°D-°/(r^)= £ й>т™^(г/'/ (2.4)
голоморфна в том же круге \z\ </?.
2°. Для любых а (—1<а<+оо) я р£(0, R) справедливы
интегральные формулы
я
/^ = i jca(e-nj)fa(pen)db (|*|<р). (2.5)
-Я
Я
/(*) = Пт/(0) + ^ Jse («-»£) Re/„((>«<•) «Ю (|*|<р). (2.6)
-Я
Доказательство. Пользуясь формулой (1.10), для любого а£
£(—1, +оо) получаем
D-a{(rel*)*}=el>4(l + k)D-«{TJJ^w} =
в Г(1+*) / цч»
Отсюда и из (2.3) получается разложение (2.4) функции fa(re'f).
Эта функция голоморфна в круге | z | < R, так как из формулы
Стирлинга следует, что при любом а£(—1, +°°)
*,
lim УГ(1 + Л)Г-1(14-а4-А)=1-
Л->оо
Далее, согласно формуле (1.28), справедливо разложение
оо
я-0

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 595
которое, очевидно, равномерно сходится на промежутке—л<;Ф^я
при любом фиксированном z (|^|<p).
Замечая теперь, что
л
°*«~2я J е * аХГ-\ 1, £ = л (А, л = 0, ±1, ±2, ...).
—л
из разложений (2.4) и (2.7) получаем
л
5? /C«(*-'*f)/a(P«'9)^ =
= V V Г(1 + *) Г(1+« + я) , _
jU ZjTk Г(14-а + *) Г(1 + л) Р z °кп —
СО
= Sfl*** = /W <М<Р).
2я
-л
Л-0 л-0
*-0
т. е. формулу (2.5).
Чтобы установить формулу (2.6) теоремы, отметим, во-первых,
что в силу (2.4)
ЛО) , ут Г(1+*)
Из разложений (2.7) и (2.4') имеем
/a№* )— Г(1+а)^^а* Г(1+а + *) ф* '
л
^ fce(.-»-f)да**)л> =
-л
£-1 л-0
Итак, наряду с (2.5) справедлива также формула
л
7^=ш Jc«(«-'*f)A№?F)rf* (1*1<р).
-л
складывая которую с формулой (2.5) и замечая, что
/«О»'*) + ТаФ^) = 2 Re/а(ре»),
получаем
л
/(г) = _/(0)-|-± Jca(e-»|)Re/e(pe'*)rf* (|*|<p). (2.5')
-Л
38*

596 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ, IX
Но в силу (2.1) и (2.2)
Ca(^"|-)=I5«(-"f)+Tr(1 + «).
а из (2.4) имеем
Ш J Re/a(pg'*)^=RefX г ('+++*) РЧо =
-л л-о
— Рр ^0 _ Re/(0)
~Ке Г (1+о) — Г(1+а) '
Из этих формул следует, что
я
I J Ca(*-<»|) Re/„((*<»)<№ =
-Я
Я
-Я
откуда и из (2.5') получаем интегральную формулу (2.6) теоремы.
Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. Пусть u(z) — гармоническая функция в круге
\z\<R и для любого а£(—1, +°°)
ua(re^)=r-aD"au(re^l 0<r<#. (2.8)
Тогда:
Г. ua(z) — гармоническая функция в том же круге \z\<R.
2°. Для любого р£(0, R) имеет место интегральная формула
я
и{ге*)=^ /^(ф-О; j)ua(pe*)db (2.9)
-Я
(О < г < р, — я < ф < я),
=ra+«){Re(p;y;>;^-.}. ,2.,o,
Действительно, обозначим через v(z) функцию, гармонически
сопряженную с u(z) в круге \z\<R. Тогда функция f (z) = u(z)-\-
-{-lv(z) и, следовательно, при любом а£(—1, +оо) функция
fa(z) = ua(z)-\-iva(z)t где va(rei4>)= r~aD~av(rei(f)t голоморфны
в круге \z\<.R. Это означает, что при любом а£(—1, +оо)
функция ua(z) также является гармонической в круге | z | < R.

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 597
Наконец, согласно формуле (2.6), имеем
л
/(г«'ф) = ^ J* $„(«-<• ^)вв(рв")Л>+/«(0).
-Я
откуда, приравнивая вещественные части, мы получаем интегральное
представление (2.9), (2.10).
Заметим, что, по определению (2.4) функции fa(z), имеем
/а (*)|es0 =/о (*) = /(*).
а также
cJ.-4-U-^-. sJ.-»£Ui£±i
р ( __ «v. £_\ _ р2 —Г2
0 1ф tr» pj — р2 — 2prcos(cp — #)-fr2
Поэтому при а = 0 установленные здесь формулы (2.5), (2.6) и (2.9)
соответственно переходят в формулы:
Коши
/<*>=ткг J £йг<* <М<р>.
Itl-P
Шварца
я
/(*) = Т" f-ET^t£Re/(pe'»)d*4-/Im/(0) (U|<p)
-л г
и Пуассона
я
-Л
(0<г<р, — я<ф<я).
(б) Согласно лемме 9.5 для произвольных значений параметров а
(— 1<а<+оо), р (0<р<1) и £ (0<|£|<1) функция
va(pe'*; 0 = p-eD-elog|l -£^\ (2.11)
принадлежит классу L(—я, я). Поэтому интегралы
я
VW (*; 0 = ^ J Sa (*-<• |) t»„ (ре»; £) dfl (|г|<р) (2.12)
для указанных значений параметров а, р и С абсолютно сходятся
и определяют аналитическую функцию в круге | z | < р.

598 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Выделив особо функцию
Wa(z; 0 = Я7?)(^; 0|ря1. (2.13)
докажем лемму.
Лемма 9.7. Пусть параметры р и £ удовлетворяют условию
0<|С|<Р<1. (2.14)
Тогда:
Г. Справедливо разложение
сД*. W— J кЛ: «* ^ Г(1+а)Г(1+*) Л
f Г - Г 1
{Г* (1—JcVV-'rfJC-C* (1—*)eJC-*_,rfJc[2r* (U|<1).
( о UJ| J
X
I о 1CI J
(2.15)
2". Для любого p£(0, 1]
^р)(г;С) = Га(|., I) (|*|<p, |C|<P). (2.16)
Доказательство. Согласно (2.2) и (2.7) справедливо разложение
5а(^£) = Г(1 + а)+2|;Г<г1(+;У>(^)%-^ (2.70
Л — 1
(|*|<р).
Отсюда и из (2.12) следует, что
Wf(z; 0 = -уГ(1+а)«>«(р; 0 +
Г(1+а + £) fs\*
*-1
где интегралы
Ча)(р;0=^ J *-'*<ч(р*'»; о.
-я
при условии (2.14) были вычислены в лемме 9.6

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 599
Пользуясь формулами (1.670 и (1.67") этой леммы, получаем
разложение
1
iti/p
-s
isi/p
Г(1+а + *)
Г(1+се)Г(1+*)
1
k
о
_(!)* fo-^)^"*-1^ (|-)* (|*|<p). (2.150
icT/p J
откуда при р=1 вытекает формула (2.15) леммы.
Наконец, как легко видеть, тождество (2.16) непосредственно
следует из разложений (2.15) и (2.150 функций Wa(z; £) и W$\z\ £).
Другие свойства функции Wa(z; £), играющей важную роль
в дальнейшем, будут приведены по мере надобности.
В заключение обратим внимание еще на формулы
lF0(s;Q = logl=£., (2.17)
(l.-L)e-Mhj)=<>&-j)\l\. (2Л8)
V С/ Р2-^ £
Первая из них непосредственно следует из разложения (2.15),
если положить там а = 9 и заметить, что
ICI 1
Г* $ x*-ldx-Z* J x'k-ldx = ^ (ft=l, 2, ...).
о ш
вторая же есть следствие первой.
2.2. (а) Начнем с вывода одного важного класса формул,
зависящих от произвольного параметра a (—1<а<+оо) и
позволяющих представить любую мероморфную в данном круге *) функцию
внутри каждого круга меньшего радиуса.
Пусть функция F(z) мероморфна в единичном круге |г|<1,
[а^} и {bv} —соответственно последовательности ее нулей и полюсов,
отличных от 2 = 0 и пронумерованных в порядке неубывания их
модулей,
0<|a1|<|a2|< ...<KI<....
о<|*1|<|*2|< ...<|М<.... ( • }
*) Без ограничения общности радиус этого круга ниже принимается
равным единице.

600 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
с условием, что каждый нуль или полюс записывается столько
раз, какова его кратность.
Пусть, далее, в окрестности точки 2 = 0 функция F (z) имеет
разложение в ряд Лорана вида
F(z) = ckzb+ck+lz*-+*+ ... (скфО) (2.20)
и, таким образом, при А, Ф 0 число |А,| равно кратности нуля (^^1)
или полюса (А,<<—1) в точке z = Q.
Обозначив, наконец, для любых а (—1 < а < +оо) и £ (0<|£|<1)
Az(*;0=(l-f)exp{-lFa(2;C)}, (2.21)
докажем теорему.
Теорема 9.2. Г. Для любых а (— 1 < a < +со) и р(0<р< 1)
справедлива формула *)
logF(z) = i arg£x + Ua-f I log j +
0<|ац|<р 0<|ftv|<p
я
+ 2^ |5a(.-'»|-){p-0D-alog|/=-(pero)|)^ (|*|<p). (2.22)
-Jt
где
oo
L = aV / \ iv . (2.23)
2°. Справедлива также следующая формула:
\og\F(re{<?)\ =
0<|fl^|<p 0<|&v|<p
+ 2S |Ра(ф-'»;^){р-аО-а1ое|^(р^)|}^ (2.24)
-Л
(0<г<р, — я<ф<я),
где уже подразумевается, что в суммах участвуют также
слагаемые, соответствующие возможному пулю или полюсу
в точке 2 = 0.
*) Равенство (2.22), вследствие многозначности логарифмических членов,
очевидно, следует понимать с точностью до слагаемого вида m2ni.

§2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА
601
Доказательство. 1°. Для фиксированного значения р(0<р<1)
образуем функцию
П (>-£)
^-(.g) = *-b0<l*lL<P -г FW, #-(0) = сл. (2.25)
П *-£
0<|в(||<р
голоморфную и отличную от нуля в замкнутом круге |<z|<^p. Тогда
функция / (z) = log ST (г), f(0)=\ogckt также голоморфна в
замкнутом круге |г|<^р и, следовательно, в несколько большем круге
\z\<R(p<R<\).
Отсюда, согласно формуле (2.6) теоремы 9.1, получаем
следующее представление этой функции:
logdrCz) = /arg^ +
я
+i j5«(«-wf){p-e£>-elog|^T(p*'e)|}rf* (|г|<р). (2.26)
-Я
Подставляя сюда выражение (2.25) функции ^' (z)t приходим
к тождеству
-aiogz+ s iog(i-^)- s 1°g(1-i)+
0<|*V|<P 0<|«|i|<P
я
-\-logF(z) = tatgck—^- J 5a(e-'^){p-°£)-elogp}^ +
-Я
/sa(e-.i){p-«D-«,o6|1-^|},»_
+ -ST /5а(е-'*7){р-в^в1о£:к(р^)|}^ (|*|<p). (2.27)
-Я
Пользуясь разложением (2.7'), получаем
я
A j5a(*-<»i-){p-aD-°logp}^ =
-Я
= ^{p-aD-alogp)5a(0) = l[logp-Aa],
+ 2i 2я
o<|»v|<p
0 < I ац I < P ~я
p*
/0

602 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
так как £а(0) = Г(1 -{-а) и, согласно лемме 9.2,
gq(p) = p-aD-alogp= T{ll+a) [logp-fej.
Поэтому, в силу определения (2.12) функции W^ (z; £) и тождества
(2.16) леммы 9.7, формулу (2.27) можно записать также в виде
-Uogz + £ »<*(!-£)- S 1^(1~i) +
0<|*v|<p 0<|ац|<р
+ log F (z) = I arg cK — к [log p — Ay +
0<|M<P 0<|flnl<P
Я
+ i |5a(e-'^){p-aD-alog|F(p^)|}^ <|*|<p). (2.27')
Наконец, пользуясь определением (2.21) функции Ла(г; С), после
соответствующей перегруппировки слагаемых тождества (2.27')
получаем основную формулу (2.22) теоремы.
2°. Докажем сначала справедливость формулы
log
Л«(Г/ф;С)1о=^+10^- (2'28)
1
7«(0; 0= /^Ц^^.
С этой целью заметим, что, согласно формуле (2.15) леммы 9.7,
1
wn(0\ 0 =
и поэтому
1
1 1 oo 1
0 0 л-1 О
oo oo
= ~2j\7T+T— л+1+a [ = —a 2j л(л + а) = —V
Итак, при £->0
^a(0; 0 = log-j|j- —fta + o(l). (2.29)

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 603
Далее, замечая, что
I tl К I
Г (1 — xfxk~xdx — Г xk~Ux
<
<
It I
id_^)«_ii k
x*dx<CC,
ICI
»+i
a A+l
(ft=l. 2, ...).
где Са не зависит от С и А, мы получаем также, что при £->0
1-к j (l - Х)в x*-i dx = *~ feafg + О (Ш) (ft=l,2, ...)-(2.30)
0
Аналогично из оценки
l l
<
Г (1 — л;)а л:-*-1 rf* — Г л;-*-1 dx
tl id
< Jl0-^)a-ll x-kdx<Ca § x~*dx
вытекает, что при £->0
Z* j(\ — X)ax-k-*dx =
ICI
e-lk SLTgt
| °(|S|log"in) при k==l'
при А = 2, 3
(2.31)
Из асимптотических формул (2.30) и (2.31) находим, что при
Г* J* (I - xf x"-1 dx-V j (1— xfx-*-*dx =
о ICI
°(|С|юещ) при *=i,
0(i|I) при k = 2, 3
(2.32)

604 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Подставляя теперь асимптотические формулы (2.29) и (2.32)
в правую часть разложения (2.15) леммы 9.7, для функции Wa(z; С)
получаем представление
Wa(z;Z>) = \og-±l-ka + o(l). С^О.
Следовательно, имеем также
=^*°+0(1), с-^о.
откуда и следует формула (2.28).
Вспоминая, далее, определение (2.10) функции Ра (<р—д; —) и
приравнивая вещественные части в формуле (2.22), получаем
loriP<«*)|=x(*.+ logi-) +
+ 2 Ч^т'"' т)|- S ЧМг*: т)1+
0<|^|<Р 0<|ftv|<p
+ "5Г J^-(4P-*s ^){p-a^alog|F(p^)|}^
(0<r<p, — я<<р<я). (2.240
Теперь достаточно воспользоваться формулой (2.28) и принять
во внимание смысл А,, чтобы из (2.24') получить формулу (2.24)
теоремы.
(б) Как уже отмечалось, при a = 0 имеем
л [г• s\-p«-*:
-_*) ICI
р.'»-*
а также
р L __ a. jl\ р8—г'
°\ф ' Р/— P2 — 2prcos(cp — Ъ) + г2 f
{p-aD-alog|F(p^)|}a.0 = log|F(p^)|.

§2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА
605
Поэтому из (2.22), (2.23) и (2.24') в специальном случае а = 0
получаем следующие формулы:
log F(z) = i arg ck + l log 4 +
o<i« i.<o I 02-<V ^ ' о<|* |<p I P2-*
-*) |*vM
°<|ац1<Р
9V j
+
+ 4г \ РС + г1°ё\Р(ре19)^ (|*|<P). (2.33)
log|/W)|=Mog-£ +
, V i I Р(дц —г) I V i
+ 1 1о*\-?=Щ7Г 2 log
°<l<Vl<p o<|*v|<P
p(6v —*)
Ps — bvz
+
-Я
(0<r<p, — я<ф<я).
Таким образом, мы получили известные формулы Иенсена—Неван-
линна, лежащие в основе теории мероморфных функций.
Наконец, приведем еще формулу, вытекающую из тождества (2.24').
А именно, замечая, что r'K \ F{rel^)\ |Гшщ0= |CjJ. из (2.24') получаем
Г(1
л
^ \ {p-aD-alog\F(pel*)\}dO = log}cx\ +
-Л
+ ^(logp-Aa)+ S Га(°'--т)-
°<1°ц1<Р ^
- 2 г«(0;т) (°<р<1)'
0<|»V|<P
где
^a(0;C)= l^-^-dx.
(2.34)
(2.35)
Частный случай этой формулы при a = 0 [или частный случай
(2.33') при г = 0] дает известную формулу Иенсена
^ j"log|F(p*«>)|<rt> = log|C)J + Mogp +
■ 2 log-ifi- 2 !
°<1°ц1<Р * 0<|»у|<р
+ 2 ,0«т&г- 2 1о^тш (°<р<1>- (2-36)

606
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
(в) Введем еще несколько важных для дальнейшего обозначений,
связанных с мероморфной функцией F(z).
Во-первых, для любого t (0 < t < 1) через n{t\ 0) и n{t\ оо)
обозначим соответственно число нулей av и полюсов bv, лежащих
в круге | z | <! t. Одновременно через п (0; 0) и п (0; со) обозначим
соответственно кратность нуля и полюса функции F(z) в точке
z = 0. Таким образом, я(0; 0) = Х при Я>-1, и я(0; 0) = 0 при
А,<0, я(0; оо) = — X при Я< —1, я(0;оо) = 0 при А,>0и,
следовательно,
X = п(0; 0) — л(0; оо). (2.37)
С помощью функций n(t; 0) и n(t\ оо) суммы, стоящие в правой
части тождества (2.34), можно записать в интегральной форме.
А именно, так как
_ Г {\-хГ
°Г' 9 1~ ^ J
°<lfln!<p с<|%|<р 1лц1/р
Р Г 1
W,
с
dx =
dx
о I //р
интегрированием по частям получаем
р
d[n(t; 0)—я(0; 0)],
2 W*(0; T)=p~a J -^T^"^^ 0)-л(0; 0)]dt. (2.38)
0<|ац|<р 0
Аналогично имеем также
р
2 ^а(0; Ъ.\=р-а Г iLz^ll[„(f; oo)_ Я(0; оо)] dt. (2.39)
o<pv|<p о
Теперь введем в рассмотрение еще две функции [применяем (2.38)
и (2.39)]
N,
,<р; 0) = Na(p; l) =
1
Г(1+о)
S ».(*?)•
л (0; 0)
°<|%1<р
Г(1+о)
[logp — ka] =
р
в р-а Г
Г(1+а) J
(р-0в
п (0; 0)
j2-[n(b 0)-и(0; 0)1rf/+r(l+a) 4ogp-*,1.
(2.40)

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 607
Na(p; co) = Wa(p; F) =
°<|\1<р
р
(2.41)
Из (2.40) и (2.41) в силу (2.37) имеем
Wa (р; 0) - Ма (р; сю) = Г(Да) [log p - AJ +
°<|%|<Р 0<|\|<Р
Поэтому, разделив тождество (2.34) на Г(1-(-а), мы можем
записать его в виде
ij{p-D--log|l'^|}rt-1J^ +
+ Na (p; 0) - Na (р; со) (0 < р < 1). (2.34')
Наконец, обозначим
„_„ , л \D~\(r) при D-a<p(r)>0,
А+)Ф('")= . n_a , ^п (2.42')
( 0 при D ф(г)<0,
а также
[_£Г°<р(г) при О-аф(г)<0.
£f->(') = п п_„ ^п (2-42")
[ 0 при D ф(г)>0,
и заметим, что
0"аф (г) = 0(-+а)Ф (г) - ОДр (г). (2.43)
Теперь введем в рассмотрение функции
я
та (р; 0) = та (р; -^) = -^ J D(-_e, log | F(ре'*)| rf*. (2.44)
-Я
Я
„(р; со) = та (р; F) = ^- j D^ log | F(pe1*)\ d& (2.45)
/«

608 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
и заметим, что в силу (2.43)
л
».Ф; оо)—т0(р; 0) = -^ J" {p-°D-elog|/?(pew)|}<«>. (2.46)
-Л
Формула (2.46) позволяет записать тождество (2.34') в
симметрическом виде:
ma(P; F) + Na(p; F) = ma(p; ±) + Na(p; JL) + -MiM- (2.47)
(0 < P < 1),
где значение параметра а (— 1 < a < +co) произвольно.
Заметим, что при a = 0 определенные выше функции переходят
в известные функции Р. Неванлинна, играющие фундаментальную
роль в теории мероморфных функций. А именно:
Цр; ±)**N(r. ^)~ f "<*">7"№00)* + »(0; co)logP>
(2.40')
р
N0(p; F) = N(p; F)= j n(t; 0)-n(0;0) dt + n(0; 0)logp, (2.41')
U
а также
я
щ (р; ±) а » (р; ±) = ± J ,og+ ]7^yr *>. (2.44')
— Я
Л
»0(р; F) = m(p; 0 = -^ J log+|/'(ре'*)!*/*. (2.45')
-Я
Ввиду этого (2.47) при а = 0 переходит в формулу
w(p; /*) + W(p; />)=m(p; -^) + Af(p; ±) + \og\cK\ (2.47')
(0<р<1),
известную также под названием соотношения равновесия Р.
Неванлинна.
В теории мероморфных функций вводится также
характеристическая функция или характеристика
Г(р; F)=m(p; F) + N(9; F), (2.48)
с помощью которой соотношение равновесия (2.47х) принимает вид
Т{р; F) = t(p\ ^) + log|cJ (0<р<1). (2.49)

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 609
В связи с этими положениями теории мероморфных функций
установленное выше тождество (2.47), зависящее от
вспомогательного параметра а (— 1 < а < -f- со), естественно назвать
соотношением а-равновесия.
Далее естественно ввести в рассмотрение также функцию
Га(р; F) = ma(p\ F)-\-Na(p; F). (2.50)
с помощью которой соотношение а-равновесия (2.47) записывается
в виде
Та(р; П = Та(р; Ц+£*\^ (0<р<1). (2.51)
Функцию Та(р; F) будем называть а-характеристической
функцией или просто а-характеристикой.
Принимая во внимание формулы (2.40'), (2.41') и (2.44'), (2.45'),
а также определения функций Га(р; Z7) и Г(р; F), легко видеть, что
^а(р; П\а=о = Т0(Р', П = Т(р\ F) (0<р< 1). (2.52)
Таким образом, определенная выше а-характеристическая
функция Та(р\ F) является обобщением обычной характеристической
функции и совпадает с нею при значении параметра а = 0.
2.3. Здесь будут получены некоторые свойства функции Га(р; F).
(а) Для выявления связи, существующей между функциями Га(р; F)
для различных значений параметра а (— 1 < а < + оо),
предварительно отметим одно простое свойство оператора D~y при 0 < Y <С
<+со.
Пусть функция ф(р) определена на интервале (0, 1) и
принадлежит классу /,(0, 1). Тогда, обозначая
f ф(р) при Ф(р)>0,
*+)«И 0 при Ф(Р)<0, (2'53)
очевидно, имеем
<р(р)<Ф(+)(р) (0<р<1). (2.54)
Отсюда следует, что при любом у (0 < у < -f- со) справедливо
неравенство
D-Vp)<D-y+)(p) (0<р<1),
и, следовательно,
ОДР(Р) < D~ V+) (P) (0 < Р < 1), (2.55)
где значение 0("^ф(р) определяется согласно формуле (2.42').
Докажем теперь лемму.
Лемма 9.8. Для произвольных значений параметров ах и а2,
подчиненных лишь условию
-1 <а!<а2< + со, (2.56)
39 М. М. Джрбашян

610 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
справедливы следующие утверждения:
1°.
та2 (р; F) < р-аЮ-^-ад {pa'mai (p; F)} (0 < р < 1). (2.57)
2°.
М>2 (р; />) = p-a'D-(a2-ai) {paWai (p; f)} (0 < р < 1). (2.58)
3°. Поэтому
Та2 (р; F) < p-«2D-ta2-al} |paTai (р; ^j (Q < р < ^ (2 5д)
4°. В частности, имеем также при —1 <а<[0
Т (р; F) < Da {р% (р; F)} (0 < р < 1) (2.60)
и при 0<]а < + со
Та(р\ F)^9-aD-a{T(9; F)} (0<р<1), (2.61)
где Г(р; F) = T0(p; F) — характеристическая функция Р. Не-
ванлинна.
Доказательство. 1°. Предположим сначала, что О^о^ < a2 < + 00*
Тогда, пользуясь свойством 2° дробных интегралов [см. 1.1 (а)],
находим
D-a'log| F(p^)| = D-(a2-ai)D-a'log| F(9el*)l (2.62)
и затем в силу неравенства (2.55) получаем при любых р£ (0, 1) и
Ф£ [—л, л]
Dtf log | F(pe") | < D-<a'-°'>Dr+a)' log | F(pe1*) |. (2.63)
Покажем теперь, что равенство (2.62) и оценка (2.63) остаются
в силе при — 1 < а! < а2 ^ 0.
В самом деле, пользуясь свойством 5° (а) операторов дробного
интегро-дифференцирования, а именно формулой (1.19) [см. 1.1 (б)],
получаем
D-(a2-a1)D-a,log|/7(p^|==
= D- iog\F(pe^\~^^ [D~^ log| F(re") \ },_,. (2.64)
Но в окрестности точки 2 = 0 функция \og\F(z)\ либо
ограничена, либо имеет особенность типа 0(log\z\) (если X ф 0). Ввиду
этого, так как 1 -|- аг > 0, имеем
{D-^'4og\F(rel»)\}r_0 = 0.
Отсюда и из (2.64) опять следует (2.62), а следовательно, и
неравенство (2.63).

§2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОП ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 611
Наконец, замечая, что, по определению, при любом а > — 1
*«<р; П=-& jrD(-+a)iogk(p^)k*,
-л
интегрированием неравенства (2.63) получаем требуемую оценку (2.57)
в двух случаях, когда 0<^ai < а2 <~|-оо и —1<а1<а2<;0.
Остается отметить еще, что для рассмотренных случаев, в
частности, справедливы оценки:
при — 1 < аг < О
m0(p; F)<Da,{pa'mai(p; F)},
при 0 < а2 < + оо
/na2(p; F)<p-a2D-°2K(p; F)}.
Отсюда ввиду свойства 2° операторов D"a [см. 1.1 (а)] получаем
««, (Pi F) < P~a*D-aWa' {p°'m0l (p; F)} = р-^-^"0'' {р^, (p; F)},
а значит, неравенство (2.57) верно и в общем случае (2.56).
2°. Согласно формуле (1.34) леммы 9.2, при любом a
(_1 <а< + оо)
p-ap-alogo= Г(1!+а) [logp-fej.
Поэтому, замечая, что, согласно определению функции Na(p; F),
"а
Р
(Р; /?)=гО+а) I (Р7<)П [га(/; °о)-я«>; «j)]<« +
, /г (0; оо) м - .
+TaT^[logp_Aab
можем записать эту функцию также в форме
Na(9; F) = p-aD-(1+a){ п(9:со)-п(0;со) | + ||(0; ^ p-«D-° logp.
(2.65)
Отметим далее, что при условии — l<a1<a2< + °° в силу
свойства 2° оператора D~a имеем
д-(1+а*) ( /г (р; оо) — п (0; оо) 1 _
^ ^-(аг-аО^-а+а,) f /г (р; оо) — /г (0; оо) ) ^ (2.66)
39*

612 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Напомним, что формула (2.62) установлена как при О^а^
<а2< + °°> так и ПРИ —1<а1<а2<^0. Поэтому, в частности,
полагая F(z) = z в указанных двух случаях, из (2.62) получаем
D"°2 log p = /)"(a2"ai)D"ai log p. (2.67)
Нетрудно убедиться в справедливости формулы (2.67) и в случае,
когда — 1 < ах < 0 < а2 < + оо.
В самом деле, рассматривая случаи — 1 < а2 < а2 = О и 0 =
= Gtj < а2 <-|-оо, мы соответственно получаем формулы
D°logp==Da,D"a,logp и D-a2logp=D-a2D°logp.
Отсюда следует, что
£Г a> log р = D_a2Da,D-ai log p = £-(а2-а,)£Га' log p,
т. е. формула (2.67) верна и в общем случае —1 <a1-<a2<+oo.
Пользуясь теперь формулами (2.66), (2.67) и имея в виду
представление (2.65) функции Na(p; F), имеем
Л/аг(р;Н = р-а-В-(1+аг){п(р:со)~п(0:оо)} + га(0;оо)р-а^-аМо&р=
= p-a,D-<«,-«,)| D-<i+«.) |-n(p;°o)-n(0;oo)-| + п (0. то) D.ai lQgpj =
= p-°'D-(a'-0'){peWai(p;/=)}.
т. е. формулу (2.58) леммы.
3°. Так как, по определению а-характеристики,
Га(р; F)=ma(p; F) + Wa(p; F)t
неравенство (2.59) леммы есть непосредственное следствие
соотношений (2.57) и (2.58) леммы.
4°. Так как, согласно (2.52),
Та((>; П\а.0 = Т(р; F),
где Т (р; F) — характеристическая функция Р. Неванлинна,
неравенства (2.60) и (2.61) леммы непосредственно вытекают из общего
неравенства леммы (2.59), если отдельно рассмотреть случаи —1 <а1==
= а < а2 = 0 и 0 = а!<а2 = а<-+- оо. Итак, лемма доказана
полностью.
Как хорошо известно *), характеристическая функция Р.
Неванлинна Г(р; F) = T0(p; F) является неубывающей функцией
от р6(0. 1).
Ниже будет приведено несколько лемм, с помощью которых мы
установим, что это свойство монотонности остается в силе и для
*) См. Р. Неванлинна [1].

§2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА
613
а-характеристических функций Та(р; F) по крайней мере при любом
0<а<+°°-
(б) Пусть а — любое число из интервала (—1, +оо) и
функция Aa(z; £) определяется согласно формуле (2.21), т. е.
Aa(z;Z)=(l-f)exV{-Wa(z;Z)}.
Лемма 9.9. 1°. Для любых £ (0<|£|<р), р (0<р<1) и
г (0 <; г < р) справедлива формула
л
Ш J {г'а°~аЧЛ°(Г'Ф; 7)I}d* = ~ roWГ"(0: j) +
+
О при г < | С К р,
(2.68)
2°. Имеем также
я
5, /{^"-Ч^(7Л«)|}Ч--
-Л
= ToWW0:-f)-^(0;7
_ 1 , г_
С-о"" Г(1+а) gP*
(2.69)
Доказательство. 1°. Заметим сначала, что
_L Г
2л J
log
,'ф
й?ф :
I
О
при
г<|С|.
I loglfi
а также
причем
у при |Е|0,
^ J {R.y.(f .";})}<(» = г.(о; f).
Отсюда следует, что
UI/P
л л
-л -л
л

614 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ В КРУГЕ (ГЛ. IX
где
W(r) =
О при 0<г<|£|,
logifr при '^'^■г<р-
(2.71)
Докажем теперь, что при любом а (—1 <а<+со)
J 0 при г<1С|.
r-aD-aW(r) = \ 1 ,v/ /л. С\ „„„ ln. ^ (2.72)
^)^'Т) "Р" ICK^P.
В самом деле, первое из равенств (2.72) следует из
соответствующего равенства формулы (2.71).
Далее, если |£|<><Р. то, полагая сначала 0<а<+оо,
из (2.71) получаем
Irdt:
ш
т 1
-«D-°W(r) = ^ jir-tf-'log-
_£_ (jr=!fdtsss 1 Г <L=£>!Lrfjee
'(l+a) .J. * Г(1+а) J *
'(l+a) aV ' rj"
IСI ltl/r
Г i
Если же — 1 < a < 0, то, по определению,
r~aD-aw (г) = г-а ^_ D-(1 + а) ^ (г)
Поэтому из уже рассмотренного случая опять получаем
г
r-Vr(r) = r-«^!^-, I "'Г *
<f j 1 Г (г —<)1+а
rfr Г(2 + а) J
I i tl
г (l+a) J t at~ r(1+a) w^u, ry
Применяя, наконец, к обеим частям тождества (2.70) оператор
r~aD"a, в силу (2.72) получаем формулу (2.68) леммы, если заметим
еще, что

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА
2°. Из (2.68) имеем при |£|<г<р
if{r-'D-^K(£^f)|}*P =
-Л
= -TaW{r«(0;})-U7«(0:7)} =
Г(1+а) J х йХ
615
1
Г(1+а)
log
UI/P
т/г
1
Р ' Г(1+а)
U/P
-АГ)а
</*.
Так как второе слагаемое правой части, очевидно, стремится
к нулю при £->0, формула (2.69) также установлена.
Лемма 9.10. При любых а (—1<а<+оо), р(0<р<1) и
г (0 ^ г < р) справедлива формула
r-aD-alog\F(re^)\= J {г-^Г°1о&|ла(-^,^)|}~
°<|°ц|<Р
- S {'-а°~аЧл°(г'Ф:т)1}+
o<pv| <Р
Jt
-Jt
где подразумевается, что в суммах участвуют также
слагаемые, соответствующие возмооюному нулю или полюсу в точке
z = 0.
Доказательство. Пользуясь формулой (1.32) леммы 9.1, находим
Р:
2 г2
r-°D-°Pa(<p-»; £) = />„(„_<►; f)-p2_2prcos((p_^ + r2-
Далее, в силу формулы (1.34) леммы 9.2, имеем также
r-aD-a{fta-flog£} = r-aD-alogr + {*a+logl}r-aD-a{l} =
+ а) ~ Г(1+а) 10^р-
= г(1+о) C°gr-Aa)+{^ + iog}}TTrq

616 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Имея в виду эти формулы, применим оператор r~aD~a к обеим
частям тождества (2.24'), установленного в ходе доказательства
теоремы 9.2. Тогда мы получим
,-0-.og|f(r.")l = -nr^;rlo«f +
°<1ац1<Р
- 2 {r-"D-"log|^(f^)|} +
°<|*V|<P
Я
-я
Принимая во внимание соотношение (2.69) леммы 9.9 и замечая
еще, что к = п(0; 0) — лг(0; оо), из последнего соотношения
получаем формулу (2.73).
(в) Прежде чем доказать заключительную лемму этого параграфа,
напомним сначала простейшее определение и одно важное свойство
субгармонических функций *).
Вещественная функция h (z) называется субгармонической в
области О, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) h (z) определена и непрерывна во всех точках области О, за
исключением конечного или счетного множества точек {zk}t не
имеющего предельных точек внутри G; при этом для каждой
исключительной точки zk выполнено соотношение
lim h(z) = — oo. (2.74)
2) Для каждой точки z £ G и для всех достаточно малых р
справедливо неравенство
2я
А(*)<-gj J h(z + ре**)db. (2.75)
о
Для субгармонических функций справедлив следующий принцип
максимума.
Если h(z) — субгармоническая функция в области G и для
каждой граничной точки £ области G выполняется
соотношение
lim sup /z (z)<; 0, z£О,
mo h(z)<C® в° всех точках области G.
*) См., например, А. И. Маркушевич [1], стр. 464, 465.

§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА
Теперь наряду с функцией
**№\ С) =r~aD-a log
1
re
,'ф
С
617
(2.76)
подробно исследованной в § 1, введем в рассмотрение также функцию
ua(re1*; £) = raD-a\og\Aa(re">; 0| (2.77)
и докажем лемму.
Лемма 9.11. 1°. Если —1<а< + оо, то при любом £
(0<|£|^1) справедливо тождество
ua(re1*; Q = va(re**; С) —
л
—к I Ро(ф-^: r)va(e*; t,)d$ (0<ф<2л, 0<г<1) (2.78)
-Л
и при |£| = 1
ua(z; C) = 0 (|*|<1).
(2.79)
2°. ££ля 0<!а< + оо, то яа0г; С) является
субгармонической функцией в круге |<г|<1, для которой при любом Z
(О < |С1 < 1) справедливо неравенство
«а(* 0<0 (|*|<1)
Доказательство. Г. Заметим сначала, что
re1*
(2.80)
tta(rA,C)=r"aD-alog{
1
С
.-Re
Wa(r*'4>; t)\ =
= *«("'*', C)-r"aD-aReU7a(r^(p; C), (2.81)
где, согласно определениям (2.12), (2.13) функции Wa(z; £),
.Tt
Wa(2; £) = -L J 5e(«-'»«)«e(e»; Orfd. (2.82)
-Л
Но в силу (1.27) и (1.32) имеем
Я0(ф-<>; r)=r-aD"aPa(9-d; r) = r-aD-aReSa(e-l*rel(p),
откуда и из (2.82) следует, что
л
r-aD-aReWa(re1*; S) = ^- J /УФ-* ')««(«'*: 0*0. (2.83)
-Л
Наконец, из (2.81) и (2.83) следует тождество (2.78) леммы.

618 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Чтобы доказать справедливость тождества (2.79) при |£| = 1,
отметим сначала, что, согласно формуле (1.39) леммы 9.3, имеет место
представление
1
*«<*:0 = TTrWRe \^^J~dx ^K1)- (2-84)
о х — —
Отсюда вытекает, что при |£| == 1 функция va(z\ £) будет
гармонической в круге \z\ < 1.
Покажем, что эта гармоническая функция представима интегралом
Пуассона через свои граничные значения, т. е.
я
*а(г*'*; 0 = ^ j Р0(<р — Ъг)уа(е*;Ь)<1Ъ (0<Ф<2я, 0<г<1)
~п (2.85)
при любом £, если |£| = 1- Тогда, очевидно, тождество (2.79) будет
следствием формул (2.78) и (2.85).
Если 0 < а < + оо, то формула (2.85) очевидна, так как, согласно
лемме 9.5 (1°), функция va(z', £) непрерывна в замкнутом круге |z|<^l.
Если а = 0, т. е.
v0(z\ С) = log
1-4
(|С| = 1). (2.86)
а также если — 1 < а < 0, когда, согласно той же лемме 9.5 (2°),
имеет место оценка
1*а(*;Е)КСа1*-ЕГ (М<1). (2.87)
справедливость интегральной формулы Пуассона (2.85) вытекает из
следующего рассуждения.
Из (2.86), (2.87) имеем, что при |£| = 1 гармоническая в круге
\z\ < 1 функция va(z; £) такова, что интегралы
ф
Fr(q>)= jva(re»;£)dt (—1<а<0)
о
равномерно абсолютно непрерывны*) на отрезке 0^ф^2я вблизи
г= 1. Но тогда, согласно известной теореме**), функция va(ret(V; £)
(|£| = 1) для каждого значения а£(—1,0] допускает представление
(2.85).
*) То есть при любом е > 0 существуют ч = tj (е) > 0 и г0 = г0 (е) < 1
такие, что неравенство
J | »а ('*"; С) И'< е, г0<г<1,
выполняется для произвольного множества е а [0,2я], мера которого меньше ri.
**) См. И. И. Привалов [2], стр. 64.

§ й] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕЗОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ ВНУТРИ КРУГА 619
2°. Если |£|<1, то функция va(z; £). согласно лемме 9.5,
непрерывна всюду в замкнутом круге |г|^1, кроме точки £ (при
— 1<а<^0). Поэтому, если |£|<1, то из тождества (2.78),
очевидно, следует, что для любого а (—1 <a<-f-°°) и ф£[0, 2я]
lim иа(ге**; 0 = 0.
г-»1-0
Следовательно, если мы докажем, что при О^а < + оо функция
ua(z; О субгармонична в круге |z|< 1, то неравенство (2.80) леммы
будет следовать из отмеченного выше принципа максимума.
С другой стороны, согласно тождеству (2.78), разность ua(z; £) —
— va(z', О является гармонической функцией в круге |г|< 1. Отсюда
следует, что доказательство леммы будет завершено, если мы
покажем, что для каждого значения а£[0, +оо) функция va(z; £)
субгармонична в круге |г|< 1.
Если а = 0, то субгармоничность функции
v0(z; £) = \og
1
очевидна, поскольку она гармонична всюду, кроме точки z ■.
\imv0(z; 0 =— °°-
Если же а£(0, + оо), то, согласно определению,
:£. где
0
1
tel(f
-ff1 log
dt =
i-V
dtt z = rei(*.
1 —уч субгармонична всюду;
г
точнее, она является гармонической всюду, кроме точки z = у
(И>|ф.
Поэтому, рассматривая функцию va(z; £) как предел
интегральных сумм
мы заключаем, что она, будучи непрерывной функцией, субгармонична
в круге |г|< 1. Итак, лемма доказана полностью.
(г) Докажем, наконец, теорему о монотонности а-характеристи-
ческой функции Га(г; F).
Теорема 9.3. Функция Ta(r; F) не убывает на промежутке
О < г < 1 для каждого значения параметра а£[0, +оо).

620 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Доказательство. В лемме 9.11 было установлено, что функция
ua(re1*; $=r-aD-a\og\Aa(rel*-$\
при 0<]а< + оо удовлетворяет неравенству ua(z; 1)^.0, |г|<1,
переходящему в равенство, когда |£| = 1. Поэтому ввиду того, что
Р0 (ф — Ф; — )^>0, из формулы (2.73) леммы 9.10 вытекает, что для
каждого а£[0, +оо) при любых г£(0, р), р£(0, 1) и ф£[—я, я]
справедливо неравенство
r-aD-alog|F(r^)|<- 2 {r-aD-Uog\Aa(Le^t £)|} +
о<1М<р
л
+-ш \ р° (» - *: f) tp~eD(+e> log'F (ре'*}'} **•
-л
Поскольку в этом неравенстве справа стоят неотрицательные
слагаемые, в частности, имеем также
r-aD^log\F(re^)\<- J {raD-alog\Aa(Le^b-)\} +
°<I*V|<P
л
+ i /Ро(ф-*; ^•){p-aA-+a,log|F(pe'<>)|}^, (2.88)
-Л
где опять a £ [0, +°°)» г £ (0, р), р £ (0, 1) и ф £ [—я, я] произвольны.
Умножим теперь неравенство (2.82) на й?ф/2я и проинтегрируем
в пределах —я<^ф<^я. Тогда, пользуясь тождеством
л
-L ^(ф-д; £)<*р=1 (г<р. -л<#<я),
-я
при всех а£[0, +оо), г£(0, р)ир£(0, 1) мы получим неравенство
я«(г; /0<»а(р; /=") —
- s iHV^HMr^iw (2-89>
°<PV|<P -я
Положим теперь в формуле (2.68) леммы 9.9 £ = £v и учтем также
ее предельный случай — формулу (2.69).

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 621
Производя суммирование указанных формул по всевозможным
значениям bv (0<!|£v|^p), получаем соотношение
°<|*V|<P ~л
U<pv|<r °<|6V|<P J
С другой стороны, согласно определению функции Na(r; F),
°<IM<'
и поэтому, если учесть еще формулу (2.68) леммы 9.9, получаем
N.<.r.n-N.(r. П=-$$1°е* +
l0<|ftv|<p 0<|6v|<r J
U<|ftv|<p °<|*v|<r J
В силу формул (2.90) и (2.91) неравенство (2.89) принимает
следующий вид:
та (г; F) < ma (p; F) + Na (p; F) - ЛГа (г; />) (г < р).
Отсюда следует, что при каждом a £ [0, +оо) и 0 < г < р < 1 имеем
Та(г, F)=rna(r, F) + Ma(r, F)<ma(p; F) + Na(p; F) = Ta(p; F),
чем и завершается доказательство теоремы.
Вопрос о том, сохраняется или нет свойство монотонности
функции Ta(r; F) для значений параметра а£(—1, 0), пока остается
открытым.
§ 3. Произведения типа Бляшке;
класс ЛГа и его параметрическое представление
3.1. (а) Пусть [zk)™ (0 < \zk | < 1) — произвольная
последовательность комплексных чисел, пронумерованных в порядке
неубывания их модулей,
о<|*,|<|*2|< ... <Ы< ... (3.1)

622 классы мероморфных функций в круге [гл. IX
оо
Как хорошо известно*), если 2 О—\zk\X~\~°°> то беско-
нечное произведение Бляшке
В (г; 2к) = Л-2^\1*± (3.2)
w '-^ **
сходится в круге \z\ < 1 и представляет там аналитическую
функцию, обращающуюся в нуль на последовательности {гл}°°.
Кроме того, известно, что эта функция обладает следующими
двумя важными свойствами:
Г. \B(z; zk)\ < 1 во всем круге \г\ < 1.
2°. lim \B(rei(P; zk)\=l почти для всех ф£[0, 2л].
г->1-0
В настоящем параграфе для каждого значения параметра а
(—1<а<+оо) мы построим функцию Ba(z; zk), являющуюся
естественным обобщением произведения Бляшке В (z; zk).
(б) Докажем теорему.
Теорема 9.4. Пусть последовательность комплексных чисел
{2Л}°°(0 < \zk\ < 1), пронумерованных в порядке (3.1),
удовлетворяет условию
оо
2(1 —|^|)1+а<+оо, (3.3)
где а£(—1, +оо) — фиксированное число. Тогда бесконечное
произведение
Ва& zj = f[(l-±)e-w*l«'*. (3.4)
А-1
где
-Jt
U| A-l { 0
-C* Jo-*)0*-*-1***** (И<1, |C|<i) (3.5)
*) См., например, И. И. Привалов [2], стр. 72, 73, а также А. И. М а р-
ку шеви ч [1], стр. 463.

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 623
равномерно и абсолютно сходится в любом замкнутом круге
|г|<><1 и представляет функцию Ba(z; zk), аналитическую
в единичном круге \z\ < 1 и обращающуюся в нуль лишь на
последовательности {^}°°-
Доказательство. Из разложения (3.5) функции Wa(z\ £) имеем
W (Z' D- fly Г(1+а + *) fo\*\ (1-х)*
Wa(z, у— j Wj Г(1+а)Г(1+Л) YT) (х dX~
\l\ U-o )
-ЪтШШъшЪ1-»"*"-''1* <и<1. ici<i).
Л-1 О
(3.5')
В силу разложения
1 V Г (1+<* + &) * 11^1 /о Сч
<|*| <1 при |С|<*<1, из (3.50
*-0
и того обстоятельства, что —
I х
следует представление
1
(1— х)а dx
Wa(z; 0= J
-Sro^r^t)(f)'/<'-^^'^ <*■*>
k = l 0
где опять |jar| < 1 и |£| < 1.
Замечая теперь, что
Jo-**-'*,- га+эд.у> - /о -^«-^
о i;i
(ft=l. 2, ...).
из формулы (3.7) при условии 0<;|г| < |£| < 1 получаем
+ ЁгоГи?^ц(т)'/<1-^''"'"- <3*

624
Наконец, так как
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
Z
[ГЛ. IX
— <
< 1 при |£|^л;^1, пользуясь вновь
разложением (3.6), для функции Wa(z\ £) получаем следующее
представление:
ЯЗД Q = iog(l-f) + M*; С) (0<|*|<|С|<1). (3.9)
где
м« о-J{(.-bp+(.-f Г-.}
Из формулы (3.10), очевидно, следует, что
lira coa(z; i) = 0 (\z\ < 1).
1С i-»i—о
(1-х)0
dx.
(3.10)
(3.11)
Далее, заметим, что при |г|^г<|£|<1 и |£|^#^1
справедлива оценка
<
<«-'>-'"+('-тэт)
Из (3.10) и (3.11) получаем теперь
-l-a
hm sup J ,,, Цп <ф(/-),
(3.12)
гдеФ(г) = т^[?-11Т5 + 1]:
В силу (3.9) для функции
4,(*;0=(l-£).-"-*»
получаем представление
Aa(z; 0 = e-fflo*» (0<|*|<|S|<1).
Поэтому из (3.12) следует также, что
iс|!й-оsnp '(1^-lciT1^' <ф(г) (И<Г<1)*
и, следовательно, число г0 (г <^ г0 < 1) можно выбрать таким
образом, чтобы имело место неравенство
|1-Л(^;01<2ф(г)(1-|С|)1+а <и<г<1, r0<|ci<i).
(3.13)

3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 625
С другой стороны, замечая, что
1
<*а(0;С)= J (1 /)q dx9
ti
имеем также
иш i'-4.<ftPL = ,im il
-г
•«№»!
ui+i-o (l-ICl)I+e itl-и-о (1-1С1)1+а 1+« '
Поэтому при подходящем выборе числа rx {r^.rx < 1) будем иметь
11-Ла(0;Ш>(17(]+а)+а (1г1<г<1. г,<:|С|<1). (3.13')
Из (3.13) и (3.13') следует, что ряд
2|1-Ла(г; *л)| (3.14)
сходится во всем круге |г|< 1 тогда и только тогда, когда
сходится ряд
S(i-UJ),+a.
Если это условие выполнено, то (3.14) сходится равномерно в любом
круге |*|0< 1.
Наконец, в силу известного признака сходимости бесконечных
произведений *) отсюда приходим к утверждениям теоремы
относительно произведения (3.4)
оо
Ba(z; **)= ПА.О: **)•
Итак, теорема доказана, причем дополнительно было установлено
также, что условие сходимости ряда (3.3) не только достаточно, но
и необходимо для сходимости произведения Ba(z; zk) внутри
единичного круга.
В заключение отметим, что функция Ba(z; zk) является
естественным обобщением функции Бляшке В (z; zk) в том смысле, что
Ba(z; z.k)\a=0 = B0(z; zk) = B(z; zk). (3.15)
В самом деле, согласно формуле (2.17),
*) См., например, А. И. Маркушевич [1], стр. 208.
40 М. М. Джрбашян

626 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
и поэтому
A0(z;l) = -£=*- J|i. (3.16)
Из (3.4) и (3.16) вытекает формула (3.15).
(в) В следующей теореме приводится одно важное глобальное
граничное свойство функции Ba(z; zk) на единичной окружности.
Теорема 9.5. Для любого сходящегося произведения Ba(z; zk)
(—1 <<х<+оо) справедливо предельное соотношение
2л
lim f {D-°log|5a(pA zk)\}d<p = 0. (3.17)
p->i-o J
Доказательство. Полагая
Ва{г\ zk) = c0-\-c1z + c2z'2 + ... (\z\ < 1),
имеем
оо ( оо
с0 = Ва (0; гк) = П 4* (0; гк) = ехр - Ц И70 (0; *л)
Однако, согласно (3.5),
1
^„(0;0= J (1~-")a^.
и поэтому
c0 = expj-2; J (1 ~ ХГ dx | > 0. (3.18)
Далее, как уже было отмечено при доказательстве теоремы 9.4,
из сходимости Ba(z; zk) следует, что
2(1-|^|)1+а< + оэ. (3.19)
Запишем теперь формулу (2.34) для функции Ba(z; zk), отметив,
что в рассматриваемом случае
со 1
я, = о, iog|£?0| = -2 jii=-^*,
а также
Wa(0;f)= \ ^=^~dX (Л=1. ?,...),
)Z*J/P

*з]
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ
627
Таким образом, для любого р£(0, 1) получаем соотношение
2л
/(р)ш, ''У J' (0-°1ов|В„(р«"; 2,)|)*p =
— Ё !^'+ъ Г
*-1 |*ь| ПьКР |*ь|/Р
(1 - *)а
d*. (3.20)
*=1 1**1 1гл1<Р Ы
Ввиду сходимости ряда (3.19) и очевидных неравенств
/*=«£<,< |W„<<b^|^(^,2,3....,
** |'р I ** I
для любого е>0 при некотором г0=г0(г) (0 < г0 < 1) имеем
S f^<*< 2 /^"<* <»■«)
— *)а
<pftl<pl^l/p
го<1гП<1 Ы
как только г0<р<1.
Далее, для того же е > 0 при некотором гх = гх (е) (г0 <! гг < 1)
имеем также
ч\<гоЧгк\'* \zk\ >
<т- (3-22)
как только гх <; р < 1.
Из неравенств (3.21) и (3.22) вытекает, что |/(р)|<е, как
только Г!<^р<1, что эквивалентно утверждению (3.17) теоремы.
3.2. (а) Согласно лемме 9.11, неравенство
Ua(rei(*; t)=raD-a\og\Aa{rei(*\ £)|<0 (0 < г < 1, 0<Ф<2л)
(3.23)
справедливо для каждого а£[0, +°°)-
Ниже нам понадобится также следующее дополнение к этому
утверждению.
Лемма 9.12. Если —1 < а < 0, то неравенство ua(z; 1)^.0
может нарушаться лишь в пересечении единичного круга
К= [z\ \z\ < 1} с кругом
*6=H*.-t(ici +ш)''мже1<т(ш-|С|)}-(8-24)
40*

628
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
Доказательство. Применим к обеим частям тождества (3.50 опе"
ратор r~aD~a, заметив, что
г "У \ T{l + k) )= Г(1+а + £) (* = 0' 1* 2> • • •)•
Получаем
'61
(*ToV * У I
~Т(гЬ)/ ||(^}-Ч^^(°<^<1-0<ф<2я).
о I л—1 J
причем введение оператора r~aD~a под знак интеграла и суммы,
очевидно, допустимо.
Отсюда следует соотношение
r-aD-aWa(re"f; £) =
1 Г 0-*)°
— Г(1+а)_.| х — Ъ
dx-
Iti
— f
(1-*)а
Г(1+а) J ,„
fifjc (г = г*'*).
(3.25)
г#
/Ф
С другой стороны,
= уа{ге1* ;t)-r-aD-a ^Wa{rel* -Л), (3.26)
причем, согласно лемме 9.3,
С
-Re И7а(гв'Ф; 5) | _.
«а («; 0 = Г(11+а) Re j* ^—^- их. (3.27)
Из (3.25), (3.26) и (3.27) следует формула
1
«oO-«";C)=-f7ni^Re J
Г (1 + а)
г*'»*
j £rg-<(p 1 re'tx
[u=£.dx=
i-r> r1-r(4L+7fr)cos^-afg» + f2 (i-xy „
I j 77Г" Г5 i 7Z Го иХ
X. 1
Г (1+а)
/•g^g
r«"je I2
(3.28)

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 629
Заметим теперь, что если -^ ^ IФ — аг£ £ | ^ л, то
/?(A:^;0=l-r(l|L + I|I)cos(9-argO + r2>0, (3.29)
а если |ф — argCI^-y» T0
min R(x\ ф; С) = /?(1; ф; г), (3.30)
1С1<*<1
причем легко видеть, что
/?(1;ф;г) = |г^-1(с+})|2-[1(|1]-|С|)]2- (3.30')
Из (3.30') следует, что в точках, лежащих вне круга К&
функция /?(1; ф; г) неотрицательна.
Наконец, из представления (3.28) функции ua(z; £), ввиду
отмеченных свойств функции /? (#; ф; г), следует утверждение леммы.
(б) Обозначим
**{ге*\ l) = r-aD^ log| Аа{ге1*; g)|, (3.31)
где, как обычно,
„_а /ч |^"аф(г) при D-eV(r)>0.
D(+^ (/•) = ( (3,310
I 0 при D ф(г)<0,
и докажем следующую лемму.
Лемма 9.13. Г. Для любых а£ [0, +оо) и £(0 < |£| < 1) имеет
место тождество
2л
J <+)(^'ф;£)^Ф=о (0<г<1). (3.32)
о
2°. Для любых а£(— 1, 0) и £(х0<; |£| < 1) имеет место при
0<г<;|£| тождество
2Л
J u(a+)(rei(*-t£)dq>==0 (3.33)
о
я при |£|<><1 неравенство
2Л
J «4+,(«'ф; 0й?ф < с:(хо)(1 — К|)1+в. (3.34)
0
где постоянная Са(х0) от £ не зависит.

630 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Доказательство. 1°. Из неравенства (3.23), справедливого, согласно
лемме 9.11, для каждого а£[0, +оо), очевидно, имеем
и{а+)(ге1(»$==0 (0<г<1, 0<ф<2л),
откуда получаем соотношение (3.32) леммы.
2°. Согласно лемме 9.12, неравенство
«а(*;С)<о (3.35)
имеет место по крайней мере в области СК%, получаемой из
единичного круга после удаления из него точек круга К^. Поэтому легко
видеть, что неравенство (3.35) имеет место на любой окружности
|z|=r, если 0<г<^|£|. Отсюда, очевидно, следует
соотношение (3.33) леммы.
Предполагая теперь, что |С|<г<1, обозначим через C(r\t>)
дугу окружности |-ег| ===== г, лежащую в круге К%. Из формулы (3.29)
легко усматриваем, что если z = rehv £ С (г; £), то ф изменяется
в промежутке [arg£—ф(г;С), arg£-f-\|)(r; £)], где значение г|э(г; £)
определяется из формулы
С0^(гЛ)=^(]+$), (3.36)
причем очевидно, что 0 < ф(г; £) < у.
Из (3.36) следует, что
онп2 Ъ(пО _ (г-1С|)(1-г|С1)
П 2 ~ г(1 + |С1я> "
откуда, пользуясь неравенством sin-=-^-^ ]> —-г|)(г; С), получаем
оценку
* (г; £) <-^/МИШЕЛИ (|С|<г<1). (3.37)
Но легко видеть, что функция (г—|С|)(1—r|£|) B промежутке
ICI^^^l достигает своего наибольшего значения при г=1. Так
как х0<! |С| <^ г<; 1, из оценки (3.37), в частности, следует
также, что
ф(г;0<2^(1-|С|) (|С|<г<1). (3.38)
Заметим далее, что, поскольку, согласно лемме 9.12, #a(z;£)^0
при z^Ki, при |£|<><1 имеем
2Л ф (г; £)
J i4+)(rA G)ap = J i4+V(argC+l); С)л- (3.39)
о -Ф (г; о

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 631
Чтобы оцепить интеграл (3.39), воспользуемся формулой (2.78)
леммы 9.11
я
~1К /Ро(Ф-<>; r)va(el*;Z,)d$ (0<ф<2я, 0<г<1)
-Я
и установленной в лемме 9.5 (2°) оценкой (1.54) для функции va(z; £)
\va(z;Z)\<Ca(H0)\z-Z\a (|*|<1).
Так как — 1 < а < О,
|^а(^;С)|<Са(х0)(1-|С|)а, -л<А<я,
и мы получаем оценку
ка(^ф;01<са(н0){|^ф-сГ+(1-1С|)а), (3.40)
справедливую при 0<k0<|£K><1.
Отметим теперь, что при —ф(/-; £) + arg£<;(p-<i|)(r; £)+arg£
имеет место неравенство
> 2*0 | sin ^ 2Sb | > -А | <р — argC|.
так как *0<|£|<г< 1 и |<р — arg£| < \ -
Ввиду того, что — 1 < а < 0, отсюда и из (3.40) получаем
неравенство
|йо(г*'(«*С+0; D|<Co(H0){(^)°U|a+(l-|C|)a}. (3.41)
Таким образом, из формулы (3.39) в силу неравенства (3.41) мы
находим оценку интеграла
2я
о
Наконец, отсюда на основании оценки (3.38) следует требуемое
неравенство (3.34) леммы.
(в) Теперь мы в состоянии доказать теорему об одном важном
свойстве a-характеристики для функций Ba{z\ zk) и В^1 (z; z^).

632 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Теорема 9.6. Для любого сходящегося произведения Ba(z; zk)
(—1<а< + оо) а-характеристическая функция
удовлетворяет условиям
sup {Ta(r, Яа)}< + оо,
°<Г<; , m (3.42)
sup [Ta{r; Ва )} < + со.
0<г<1
Доказательство. По определению
со
и поэтому
r-aD-alog\Ba(re"*; zh)\ = 1 {raD~a log| Aa{rel<*; zk)\) =
oo
= 2"а(^'ф: **) (0<Г<1. 0<ф<Я).
/f —1
Отсюда следует, что справедливо неравенство
r-eD(-+e)log|£„(rA **)l<
С»
<2<+)(г*/ф: **) (0<г<1.0<ф<2я), (3.43)
где мы пользуемся обозначениями (3.31) и (3.3Г).
В силу леммы 9.13 (Г) из неравенства (3.43) следует, что при
а 6 [0, +оо)
2я
та(г; Ва) = ^- J Df+>g|sa(r*/(p; 2гл)|йФ = 0 (0 < г < 1). (3.44)
о
Далее, из (3.43) в силу той же леммы 9.13 (2°) следует также,
что при а£(— 1, 0)
2я
Щ(П Sa)< J] 5Г J Ф{гег*\ **)** (0 < г < ^ (3'45)
1**1<г °
Замечая теперь, что | zk | ^ | zx | =и0 > 0 (ft = l, 2, ...), и
воспользовавшись оценкой (3.34) леммы 9.13 (2°), из неравенства (3.45)
мы заключаем, что для каждого а£(—1, 0)
та(г,Ва)^С1(яо) 2 (1-|*»|)1+в<
1**1<г
<^(ио)|1(1-|гл|)1+а< + со (0<г<1). (3.46)
k-i

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 633
Из (3.44) и (3.46) получаем далее, что для каждого а(— 1<а<+оо)
sup {та(п В^} < + оо. (3.47)
0<г<1
Наконец, отметим, что, согласно определению а-характеристики,
Та{г\ Ba)=ma(r, Ва) (0 < г < 1),
а в силу соотношения а-равновесия
Та(п Ba1) = Ta(r; Ba)- ^f^ (0 < г < 1).
где с0 = В(0; **)>0-
Следовательно, утверждения (3.42) теоремы вытекают из этих
формул в силу (3.47).
(г) Отмеченное в начале параграфа свойство 2° функции Бляшке
можно записать и в следующем виде: почти для всех ф £ [0, 2я]
2°(a) lim \og\B(re^\ zk)\ = 0.
r-»l-0
Аналог этого свойства для наших произведений Ba(z; zk) удалось
установить пока лишь для значений параметра 0^a<-f-oo.
Для данного сходящегося в круге | z | < 1 произведения Ba(z; zk)
обозначим
Ua(re'v)^r-aD-a\og\Ba(re^ zk). (3.48)
Теорема 9.7. Если а£[0, +оо), то почти для всех ф£[0, 2я]
lim Ua(re^) = 0. (3.49)
г-> 1-0
оо
Доказательство. Так как Ba(z; zk) = J\ Aa {z\ zk),
то
oo
Ua(re^)= 2 ua(re^; zk)t (3.50)
где
«„(re"; zn)=raD-a log| Aa{re\ zk)\.
Но, согласно лемме 9.11(2°), при а£[0, +оо) и 0<|£|<1
функция ua(z\ Z) субгармонична в круге | z | < 1 и удовлетворяет
неравенству ua(z\ zk)^0 (|г|<1). Отсюда и из разложения (3.50)
вытекает, что функция Ua (z) также субгармонична в единичном
круге, причем
*/„(*)< 0 (UKO. (3-51)

634 классы мероморфных функций в круге [гл. ix
Далее, в ходе доказательства теоремы 9.6 было установлено, что
sup [ma(n Ва)}= sup I f U{a+)(re^)dq> <+сю. (3.52)
О < г < 1 l a V аЛ О < г < 1 I j j
Итак;, субгармоническая в круге | ^ | < 1 функция Ua(z)
удовлетворяет условию (3.52). Поэтому, согласно известной теореме Литл-
вуда о граничных значениях субгармонических функций *), почти для
всех ф£[0, 2л] существует конечный предел
Ua(e^)= lim Ua(re% (3.53)
г-> 1-0
причем в силу (3.51), очевидно, имеем
^а(е/ф)<0. (3.510
Вопреки утверждению (3.49) теоремы допустим, что на
множестве е с: [0, 2л] положительной меры lim Ua (relv) = Ua (elV) < 0.
r->l-0
Тогда существует множество e0 cz et mes e0 > 0, на котором
fa (*")<-}.
где р^>1—некоторое натуральное число.
По теореме Егорова**), существует совершенное множество е*се0
меры mes е* =--|я > 0, на котором предел (3.53) достигается
равномерно, и, значит,
</а С"'*) < —2^. r>r0t <p£e\
Заметив это, в силу (3.51) имеем при г > г0 оценку
2л
jUa(re'v)d<p^ jUa(relV)d<p<—-± . (3.54)
0 е*
С другой* стороны, согласно теореме 9.5,
2л
lim Г Ua(rei(v)d<p =
2Л
= lim f {r-aD~a log | Ba (ret(p; zk) | }rfcp = 0. (3.55)
Поэтому, переходя к пределу в неравенстве (3.54) при г -+ 1—0,
приходим к противоречию.
*) См. Л и т л в у д [1], [2], а также И. И. Привалов [3], стр. 185—192.
**) См., например, И. П. Натансон [1], стр. 111.

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 635
Итак, Ua(ei(v) = 0 почти всюду на [0, 2л].
В связи с этой теоремой, естественно, возникает вопрос: не
справедливо ли утверждение (3.49) и в случае, когда —1 < а < О?
Некоторые соображения, вытекающие из вышеизложенного,
позволяют считать правдоподобным предположение, что поставленный
вопрос должен иметь положительное решение.
3.3. (а) Условимся обозначать через Na множество, мероморфных
в единичном круге |г|< 1 функций F(z), для которых при данном
a (—1 <a<-f~oo) выполняется условие
Ta(F)= sup {7a(r; F)}<+oo. (3.56)
0<г< 1
Таким образом, мы имеем зависящее от параметра a (—1<а<+оо)
семейство {Na} классов функций, мероморфных в круге |г|<1.
Заметим, что, согласно формуле (2.52),
Г0(г; F)^T(r; F).
где T(r\ F) — характеристическая функция Р. Неванлинна. Поэтому
класс N0 совпадает с классом N мероморфных функций с
ограниченной характеристикой, введенным впервые Р. Неванлинна.
Следующая теорема позволяет судить о поведении классов
Na (—1 <a< + oo) в зависимости от значения параметра а.
Теорема 9.8.1°. Для произвольных значений параметров аг
и а2, подчиненных лишь условию
— 1 < аг < а2 < + °о, (3.57)
справедливо включение
Л^сЛ^. (3.58)
2°. В частности, справедливы также включения:
Na<=N0 при — 1<а<0, (3.59)
N0<=:Na при 0<а<+оо. (3.60)
Доказательство. Г. Пусть F(z)£Nai, т. е. TQl (г; /=)< Тй1 (F)<
<-f-oo (0<г<1). Тогда, воспользовавшись неравенством (2.59)
леммы 9.8, имеем
г
о
г
< ^(П YJ^k) I(r ~ t)a2'a'~Y'dt = Щ£) Т-(F)
о
(0 < г < 1).

636 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Следовательно,
т. е. F(z)£Na2, и, следовательно, включение (3.58) доказано.
2°. Включения (3.59) и (3.60) следуют из (3.58), если отдельно
рассмотреть случаи, когда соответственно — 1 <а1 = а<а2 = 0
и 0 = а1<а2 = а<+ со.
(б) Приведем примеры функций из класса Na.
Лемма 9.14. Пусть $>Ф) — произвольная вещественная
функция ограниченного изменения на [—я, я]. Тогда формула
( я \
F(z) = exp J^L J Se(е-'»*)*|>(f>)) (|г|<1). (3.61)
где
5a(z) = r(l + a){(i_2^1+a-l}, (3.62)
определяет функцию F(z)=£0t аналитическую в единичном
круге |z|< 1 и принадлежащую классу Na.
Доказательство. Тот факт, что функция F(z) аналитична в круге
|я|<1 и отлична от нуля, очевидно, вытекает непосредственно из
формул (3.61), (3.62).
Заметим теперь, что, согласно формулам (1.27) и (1.32),
Р0(ф_О; r)= 1 9 l-r* ^, , =г'аВ-а5а(^^г^ф)>0.
u чж ' 1 — 2r cos (<р — ft) -)- г2 а ч ' -^
(3.63)
Из формул (3.61) и (3.63) следует равенство
raD~a log Иг<Л)| =
Я
= 2^ J Ро(ф—*; г)Л|>(Ф) (0 < г < 1, —я<ф<я). (3.64)
-я
Поэтому, если \р (О) = vpj (О) — \|)2 ('О1), где ^ (д) и i|)2 С&) —
неубывающие функции с ограниченным изменением на [—я, я], то из
(3.64) приходим к оценке
r-aD(-+a,logk(re'tp)l<
Я
<2^ /я0(ф — О; г)</*,(<>) (0<г< 1. — я<ф<я). (3.65)

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 637
Интегрируя (3.65) по ф вдоль промежутка [—я, я] и замечая,
что
|Р0(ф —О; r)rfq>=l (0<г<1, —я<д<я),
-я
мы получаем неравенство
я
щ (г; F) = -^- J A+a) log | /=• (г*'*) 1<*Ф <
-Я
<i J^(*) = «e(^<-|-oo (0<r<l).
-Я
Но так как функция F(z) не имеет полюсов, очевидно, что
Ta(r; F)=ma (r; F)^ma(F)< + со (0 < г < 1),
т. е. F(z)£Na.
Ниже мы увидим, что представление вида (3.61) исчерпывает все
функции класса Na, не имеющие в круге | z | < 1 ни нулей, ни
полюсов.
Другие важные примеры функций класса Nat обладающих либо
только нулями, либо только полюсами, по существу были указаны
нами в теореме 9.6, которую можно сформулировать и так:
Теорема 9.6'. Для любого сходящегося произведения Ba(z; zk)
(— 1 < a < -f- со) имеем
Ba(z; zk)£Nat Ba\z\zk)£Na. (З.бб)
Далее, каждая из функций
Fl(z) = zx (A, = 0, ±1, ±2,...) (3.67)
принадлежит классу Na при любом а (—1 <а<+со).
В самом деле, согласно формулам (1.33), (1.34) леммы 9.2, мы
имеем
r~aD-a \og\FK (re1*) | = ТТ±-у [log r-kj,
где ka ^ 0. Поэтому легко видеть, что
[ 0 при % > 0,
[ г(1+о) Hog/- — fe«l при Я< — 1,
о при я,-<;— 1,
T(l + «) ^°Sr~ka] при Л>0. (3-69)
т.
,(г; /Г1)-

638 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Но в рассматриваемом случае ск—\, и поэтому соотношение а-равно-
весия имеет вид Ta(r; /\)=7a(r; Fx ) (0<г<1). Отсюда и из
формул (3.68), (3.69) вытекает, что Та(г\ /\) = 0, и значит, Fx(z)£Na.
(в) В заключение этого пункта приведем более общий и
принципиально важный пример функции из класса Na.
Лемма 9.15. Пусть \|)(ft) — произвольная вещественная
функция ограниченного изменения на [—я; я]. Пусть, далее, Ba(z; a^)
и Ba(z; bv)-^- произвольные сходящиеся в круге \ z | < 1
произведения типа Бляшке, где а£(—1, +оо). Тогда формула
где с — постоянная, а Х^О — целое число, определяет
функцию, мероморфную в круге \ z | < 1 и принадлежащую классу Na.
Доказательство. Покажем сначала, что если f(z)£Na и g(z)£Na,
то имеем также
f(z)g(z)eNa, Y$)£Na. (3.71)
В самом деле, легко видеть, что
r-aDrt\og\f(re'*)g(re"*)\<
<r-aD(-+a)log|/(r^)| + r-aD(^logk(r^)|,
и поэтому
"га(п fg)<ma(n f)+ma(r, g) (0<r< 1). (3.72)
Далее, поскольку, очевидно, nfg{t\ oo) < nAt\ oo)-\-ng(t; oo),
справедливо неравенство
Kin fg)<Na(r, f) + Na{r, g) (0<r< 1). (3.73)
Из неравенства (3.72) и (3.73) вытекает, что
Ta(r, fg)<Ta(r; /)+Га(г; g)<Та(/) + Та(g) < +оо (0 < г < 1),
т. е. f(z)g(z)£Na.
Далее, так как в силу соотношения а-равновесия
Та(г\ — ) = Га(г; #)+const,
вместе с функцией g(z) к классу Na принадлежит также и функция
g (z)= \/g(z). Следовательно,
ь
f(z)g(z) = j$tNv

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 639
Наконец, принимая во внимание лемму 9.14, теорему 9.6', а также,
что zK£Na (k = 0t ±1, ±2 ...), с помощью свойства (3.71)
убеждаемся в справедливости утверждения леммы.
В следующем параграфе будет установлено, что формулами вида
(3.68) могут быть представлены вообще все функции класса Na.
3.4. Здесь мы докажем основную теорему о параметрическом
представлении класса Na (— 1 < а < -f- oo), являющуюся
обобщением известной теоремы Р. Неванлинна о представлении класса N
мероморфных функций ограниченного вида.
(а) Предварительно приведем здесь формулировки двух теорем
Хелли *), на которые мы будем опираться ниже.
Теорема. Пусть на отрезке [а, Ь] задано бесконечное
семейство функций %= [f(x)}, удовлетворяющих условиям
l/(*)|<*. V (/)<*. /(*)ۤ.
а
Ъ
где К — постоянная, не зависящая от функции f(x)t a V(/)~
а
полное изменение f(x) на [а, Ь]. Тогда из семейства g можно
выделить последовательность {/к(х)}™> которая в каждой точке
отрезка [а, Ь\ сходится к некоторой функции (р(х), также
ъ
имеющей конечное полное изменение V (Ф)-
а
Теорема. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы последовательность
непрерывных функций [fn(x)}™ и последовательность функций
[gn(x)}™9 для которых
V(gn)<K (л=1. 2> ...).
а
где К не зависит от п. Если
lim fn(x) = f(x), а<л;<£,
П-+оо
притом равномерно относительно х, и
lim gn(x) = g(x), а<х<С?>>
где g(x) — конечная функция, то
ъ ъ
"m f/п (х) dgn (х) = ff (x) dg (x).
a a
*) См., например, И. П. Натансон [1], стр. 242 и 254.

640 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
(б) Докажем еще две леммы.
Лемма 9.16. Пусть последовательность комплексных чисел
{zk}™(0 < \zk\ < 1), пронумерованная в порядке возрастания
модулей \zk\y удовлетворяет условию
2 (l-|*J)1+a<+^ (_1<а<+ао). (3.74)
Тогда справедливо предельное соотношение
-.. п (-^к-^-
оо
= Jl(l-^)e~Wa{Z:Zk)^Ba(^ **) (U|<1). (3.75)
Доказательство. Отметим сначала, что, согласно теореме 9.4,
из условия (3.74) следует, что произведение Ba(z\ zk) сходится
всюду в круге |^|< 1, кроме точек последовательности {2Л}^°.
Полагая всюду, что
И<р<г0<г<1, (3.76)
обозначим
'o<\*k\<T
B?(z; zk) = II (l_^)e--a(T=^)
|^|<г<1
и заметим, что
BV{z; zb) = B^'\z;zk) Ц (l --^) ГМ~; ~П . (3.77)
Принимая во внимание определение функции Wa(z; £). легко
видеть, что
"т wJl; ^) = Wa(z; zk) (ft=l, 2, ...).
Поэтому
r->
Го. Ц ('
Hm II [l-4-)e
Zk)
V^O^L
= П [\-^e-W* i\z\<\). (3.78)
\zk\<r*

31 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 641
При доказательстве теоремы 9.4 была установлена формула (3.13)
Aa(z; 0 = (1 — f) ^" ^«<г: С) = е-ша ^= Е) (IsKlSKi) (3.79)
и оценка (3.12), из которых следует, что
К(г; QK°a ЦГ'^Га (|*1<»>. (3-80)
где Са не зависит от z и £.
Отметим теперь, что при условии (3.76) J-^i- < J^i <; 1, если
го < I zk I ^ г» и I * I < I zk I. если го < I zk I < 1 • Поэтому из
представления (3.79) функции Aa(z; £) вытекают следующие формулы.
B^'\z; zk) = П 4, (£;■?)-=
= expf- 2 «a(f; ^-)) (|*|<p).
s£°;I)(*: **) = JI Aa(z; zk) =
ro<\zt\<1
= expf — JI ffla(*5 **)) (UI<P).
1 'o<|**|<1 '
Но из оценки (3.80) следует, что при условии | г|-«^р < г0 <
<|**|<г<1
°aU * Г Jl^ a Л p_\l+a '
откуда ввиду сходимости ряда (3.74) получаем предельное
соотношение
так как очевидно, что
В?'l)(z; zk) = lim BJT- r)(г; z») (| z|<p), (3.82)
r-*l-0
Iim ^(т*' ^г)=®а(*; *k) (|*|<P)
г->1-0 \Г Г /
при любом /г = 1, 2, 3 ...
Наконец, переходят тождестве (3.77) к пределу при г->\—0,
в силу (3.78) и (3.82) получаем предельное соотношение (3.75) леммы,
так как число р < 1 было произвольным.
Лемма 9.17. Пусть функция F{z) принадлежит классу
Wa(-l<a"<+oo); >й} (0<|ай|<1) а {Ь,} (0<|*V|<1)
41 М. М. Джрбашян

642
КЛАССЫ МЕРОМСФФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
соответственно последовательности ее нулей и полюсов,
отличных от z = 0 и пронумерованных, как обычно. Тогда
оо оо
2(1-К1)1+а< + гс>. 2(1-|М)1+°<+оо. (3.83)
Ц=1 * V-1
Доказательство. По определению функции Na(r; F) [см. 2.2 (в),
формула (2.41)]
N.
°<|Ч<ЧЧ/Г
причем легко видеть, что эта функция монотонно возрастающая.
Однако, согласно условию леммы, F(z)£Na, и поэтому
sup [Ta(r,F)} = sup {ma(r, F) + Na(r9 F))=Ta(F)< + oo,
0<r<1 0<г<1
причем ma(r; /7)>0.
Отсюда ввиду монотонности Na(r; F) следует, что существует
конечный предел
lim
г->1-0
s 1^
0<|М<г \bvyr
dx
= Г«< + °°-
Выпишем теперь следующую цепочку неравенств, полагая, что
/*о€(0» О — фиксированное число:
т^ 2 a-iu>-< £ 1^"=
°<1М<'о
°<lM<ro |\i
1
0<|&v|<r0 \bv\/r
I
< lim V Г (1";x)a rfx = yB< + oo.
r-vl-0 _ /~ J х
о< |*\,|<r |*v|/r
Ввиду произвольности г0 отсюда вытекает сходимость второго
из рядов (3.83).
Вполне аналогично доказывается сходимость первого из этих
рядов, если заметим, что
Ta(r,F) = ma[r, ±)+Na{r, -1) + ^1,

§ 3] ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ 643
причем
".
°<\ац\<Г\ац\
(в) Докажем, наконец, теорему о параметрическом представлении
класса Na.
Теорема 9.9. Класс Na (—1 <a<-f-oo) совпадает с
множеством функций, которые в круге \ z | < 1 допускают
представление вида
я
F(2) _ С*У+Ц „J.B*<* V exD
Здесь
1
"2iT
-Я
se(*; V = II(1 -f)'~^(г;Ч (3-86)
(3.84)
(3.85)
Ц-1
uu
*«(*: »v) = П t1 ~^К^а (2; *v) (3-87>
v-l
— сходящиеся произведения типа Бляшке; фСО1) — вещественная
функция на [—я, я] с конечным полным изменением, X — любое
целое, а у — любое вещественное число,
оо
*«=« Sitter-- <3-88)
/2 = 1
Доказательство. Тот факт, что любая функция F(z)% представи-
мая формулой (3.84), принадлежит классу Na, был уже установлен
в лемме 9.15.
Докажем, что справедливо и обратное утверждение: любая
функция F(z)£Na представима формулой (3.84).
Отметим сначала, что если F(z)£Na и, как обычно, {а^} и {£v}
суть соответственно последовательности ее нулей и полюсов, то,
согласно лемме 9.17, ряды
i(i-KD1+a. so-i»vi),+o
сходятся. Отсюда по теореме 9.4 имеем, что сходятся также
произведения Ba(z; а^) и Ba(z; £v).
41»

644
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
Обратимся теперь к основной формуле (2.22) теоремы 9.2,
согласно которой для любого р (0 < р < 1) имеет место соотношение
log F(г) = iargcK + lka-{-1 log j +
0<|flJ<P 0<|*v|<p
л
+ -ST j Sa(e-l&j){p-a0^1°s\F(pel»)\}d& (|z|<p). (3.89)
-Л
где А, и сК определяются из разложения функции F(z) в окрестности
со
Пользуясь обозначением
л-1
(я + а)
|«*|<Р<1 1гй1<Р<!
формулу (3.89) можем записать в потенцированном виде
Хехр
^ jSa(e<*j)d%m
где
-л
(|*|<р). (3.890
*р(»)= J {p-aD-alog|F(p^)|)^. (3.90)
-л
С другой стороны, имея в виду определения функций wa(p; F) и
ma [р; у), легко видеть, что при любых р(0<р<1) и#(-я<
<*<я)
л
I Фр (О) I < J" {p"a I ^"" log I F(pe") 11} dO <
-Л
<2л[та(р; /0 + /йа(р: -у-)]'
а также
V^ (Фр) < 2я [ma (p; F) + ma (р; -^)] .

§3]
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА БЛЯШКЕ
645
причем, поскольку F(z)£Na,
sup | 2л [та (р; F) -f та (р; -^ j] | = /С < + оо.
Таким образом, для семейства функций W = {фр(Ф)} (0<р<1)
выполняются условия первой теоремы Хелли, а именно, при любых р
(0<р< 1) и * (— я<А<я)
|ФР(»)1<*. У(%ХК,
—я
где К — постоянная.
Поэтому существуют вещественная функция фСв1) на [—я, я]
с конечным полным изменением и такая последовательность
о<pi<р2< ... <pk •••. p*t 1.
что в каждой точке Ф £ [— я, я]
ft
ф(Ф)= Пт фРь(Ф) = lim f D~alog | F(pkeif*)\d$. (3.91)
—я
Отсюда в силу второй теоремы Хелли следует, что
я
я
= W J" 5«(«"'**)*К<>) (1*1<0- (3-92)
-я
Далее, согласно лемме 9.16, имеем
11т В<р*>(г; ац) = 5а(г;; аД
Дт *#*>(*; *v) = *a(*; \) (И < 1). (3*93>
Фиксируем теперь в формуле (3.890 значение 2(|*|< 1), а в
качестве р возьмем значения р* > \z\, k^k0. Переходя после этого
к пределу в (3.89') при &->оо, в силу предельных соотношений
(3.91) и (3.93) получаем представление (3.84) теоремы.
Таким образом, теорема доказана полностью, причем
дополнительно было установлено также, что в представлении (3.84)
заданной функции F(z)£Na соответствующая функция фСв1) может быть
определена посредством предельного соотношения (3.91).
(г) В связи с заключительным замечанием существенно отметить
единственность представления (3.84) функции F(z)£Na.

646 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Для этого, как нетрудно видеть, достаточно показать, что
функция
я
"(*) = ^- I Sa(e-l*z)d$m (|*|<1) (3.94)
-Л
может допускать также представление
я
»(*) = 1ST J 5а («-***) ^(*) (1*1<1) (394')
посредством другой функции ifo (-в1) с конечным полным изменением
на [—я, я] лишь в том случае, когда в каждой точке Ф = ф
непрерывности обеих функций ф(Ф) и i^ (ft) выполняется тождество*)
ф (ф) = ф, (ф) + const. (3.95)
В самом деле, вспоминая, что
5в(,) = Г(1+а){1Г-1та.-1} =
оо
fe = l
из двух представлений (3.94) и (3.940 функции u(z) легко
заключаем, что функция со (Ф) = ф (Ф)—ifo (ft), имеющая конечное
изменение на [—я, я], удовлетворяет условиям
я
j е~ ***(!&(#) = О (А = 0, 1, 2, ...)•
-я
Отсюда при /г = 0 следует, во-первых, что со (я)—со (— я) = 0, а кроме
того, интегрированием по частям получаем также равенства
f(o(b)e-ik*du = 0 (Л=1, 2, ...). (3.96)
-я
Обозначая далее
*) Таким образом, тождество (3.95) может нарушаться не более чем на
счетном множестве точек.

§ 4] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 647
условия (3.96) можем записать в виде
■tkb
[co(d) — cD0]rfft = 0 (£ = 0, 1, 2, ...)• (3.960
Наконец, так как функция со(д)—со0 вещественна, условия (3.96')
выполняются также для значений k = —1, —2, . . .
Но тогда в силу полноты тригонометрической системы [eikb)
(£ = 0, ±1, ±2, ...) на [—я, я] имеем
J [0(d) — co0]2dft = 0.
Поэтому в каждой точке Ф = ф непрерывности функции со(д)
справедливо тождество со(ф) = со0, а следовательно, и (3.95).
Итак, единственность представления (3.84), (3.91) каждой
функции класса Na также установлена.
§ 4. Параметрическое представление некоторых классов
гармонических и аналитических функций;
теоремы единственности
4.1. (а) Пусть в точках eif* единичной окружности определена
вещественная функция ф(Ф) ограниченного изменения на промежутке
[—я, я]. Интегралом Пуассона—Стилтъеса называют функцию
я
«(«'*) = 5й J Яо(ф-^ 0<*Ф(<>) (0<г<1,—я<ф<я). (4.1)
-я
где
P0(q>-fl; r) = ReS0(r*'«P-*>) =
е№-^ге*ч 1—г2
= Ке^__г^ф = 1— 2rcos((p — fl) + r2* ^4'2)
Напомним здесь основные свойства функции u(z)t z = rei(v, пред-
ставимой интегралом Пуассона—Стилтьеса *) (4.1):
1°. u{z)—гармоническая функция внутри круга |г|<1.
2°. Во всякой точке \£[—я, я], где существует конечная
производная ф'(Фь)» справедлива формула
lim u(rel**) = y'(\). (4.3)
г->1-0
Поскольку ф(Ф), как функция с конечным изменением на [—я, я],
почти всюду имеет конечную производную i|/ (d), это свойство можно
*) По материалу 4.1 (а) и 4.1 (б) см. И. И. Привалов [1], [2].

648 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
сформулировать и так: соотношение (4. 3) справедливо почти для
всех точек д0 промежутка [—я, л].
Кроме интеграла Пуассона — Стилтьеса рассматривают также
интеграл Пуассона — Лебега
я
в(/•«"») = -gL |я0(ф-*; г)/(0)<Ю. (4.4)
-Я
где /(ft)—произвольная вещественная суммируемая на [—л, я]
функция.
Замечая, что интеграл (4.4) можно представить как интеграл
Пуассона— Стилтьеса вида (4.1), где
ф(Ф)= ]*/(*')<**'.
-я
приходим к утверждению: почти для всех точек §0£ [—я, я]
Hm u(relf>°) = f(%). (4.5)
г->1 -О
(б) В теории граничных свойств аналитических функций весьма
важную роль играют следующие классы функций u(z)t гармонических
внутри единичного круга |г|<1:
1°. Класс U{ функций u(z), представимых в виде интеграла
Пуассона — Стилтьеса (4.1).
2°. Класс U2 функций и (г), представимых в виде разности
двух неотрицательных гармонических функций.
3°. Класс U3 функций u(z)t для которых
я
sup \ f |a(r*'4>)|tf<pj< + oo.
0<г<1I J t
— я
Справедливо следующее важное утверждение.
4°. Классы Ul% U2 и Uz совпадают,
UX=*U2 = UZ = U. (4.6)
При этом в представлении (4.1) функцию ^(д) можно
определить в каждой точке Ф£ [—л, я] с помощью предельной
формулы
ft
ф(Ф) = lim \ и (рпе**')Л>'. (4.7)
П->оо »
—л
где {рл}, 0 < Р! < р2 < . . . < 1, р„ f 1, — некоторая возрастающая
последовательность.

§4]
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
649
Заметим еще следующее.
5°. Класс U*czU гармонических неотрицательных в круге
|2|<1 функций u(z) совпадает с множеством функций, пред-
ставимых интегралом Пуассона — Стилтьеса (4.1), где
соответствующая функция я|?(Ф) не убывает на [—л, л].
Наконец, сформулируем свойство единственности
представления (4.1):
6°. Пусть u(z)£U и, следовательно, допускает представ-
ление
л
U(Z)
= 2~ {Po(fi — <r.r)d$(p), z = re«*t (4.8)
—л
где
о
\|)(ft) = lim [ u(pnel*')dft'.
Я->оо J
—Я
Если u(z)t z = re1^, допускает также представление вида (4.8)
с некоторой другой функцией ^(д) конечного полного изменения
на [—л, л], то
ф (О) = i|?! (О) + const, ft£[—я, л],
за исключением, быть может, счетного множества точек.
(в) Введем теперь более общие классы гармонических функций,
зависящих от параметра.
Обозначим через Ua (—1<а < -|- со) класс гармонических в круге
|г|<1 функций u(z), удовлетворяющих условию
)
sup
0< г<
где при данном а
\ К(re^)\dq> = Ма < +.оо. (4.9)
ua{rel(*)= r~aD-au (re1*). (4.10)
Отметим, что из (4.10) следует также справедливость формулы
u{re^) = DaD'au{re^) = Da{rau^rel% (4.11)
если воспользоваться свойствами 4° и 5° [см. § 1, формулы (1.11)
и (1.12')] операторов D.
Согласно следствию из теоремы 9.1, если u(z) — гармоническая
функция в круге |г|< 1, то при любом а (—1 <a<-f-co)
ассоциированная с ней функция ua(z) будет также гармонической.
Очевидно, далее, что класс Ua при значении параметра а = 0
совпадает с классом U = U{s)f рассмотренным выше, т. е. U =U.
Отметим также, что при произвольном a (—1 < a < -f-oo) очевидно
следующее утверждение.

650 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ В КРУГЕ 1ГЛ. IX
Для того чтобы функция и (г) принадлежала классу £/а,
необходимо и достаточно, чтобы функция ua(z) принадлежала
классу U0 = U.
Покажем теперь, что справедливы следующие включения:
Ua<=U0 при— 1<а<0, (4.12)
U0czUa при 0<а<+оо. (4.13)
В самом деле, если —1<а<0 и u(z)a(Jat то, замечая, что
тождество (4.10)
u(re'*) = Dalraua(re1*)}
в рассматриваемом случае является интегральным, мы получаем оценку
/|«(гОкф<Ов{гв J|«e(r^)|rfVJ<
< MaDa {ra} = МаГ (1 + а)< + оо.
Так как правая часть этого неравенства от г < 1 не зависит,
u(z)£U0, и включение установлено.
Положим теперь 0 < а < + оо и u(z)£U0. Тогда, замечая,
что формула (4.10) также интегральная, получаем оценку
я II
<M0r-aD-a{\}=T^<+oo.
откуда следует, что tta(z)£U0, т. е. получаем включение (4.13).
Представление класса Ua можно установить, пользуясь
свойством 4° из 4.1 (б).
Теорема 9.10. Класс Ua (—1<а< + оо) совпадает с
множеством функций u(z), представимых в виде
я
и <*> = "ST J Ра (Ф - ®; Г> rf* <*> (Z = "")' <4' 14>
где
Я„(Ф; r) = r(l + a)Re|^-—А_-1|. (4.15)
а ^(§)— вещественная функция с конечным полным изменением
на I—я, я]. В представлении (4.14) данной функции tt(z)£Ua

§ 4] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 651
соответствующая функция ф(Ф) может быть определена из
соотношения вида
о
ф(д) = lim \ua{pnel*)db% #£[—я, я]. (4.16)
— Я
Доказательство. Отметим, во-первых, что, согласно формулам
(1.32) леммы 9.1,
Ро(ф_А; г) = ГаО-а{Ра(ч>-Ъ; г)},
(4.17)
/>a(cp-fl; r) = Da{raPQ(q>-0; г)}.
Пусть u(z)£Ua; тогда ua(z)£UQ и, согласно свойству 4° из
4.1 (б), имеем представление
я
-Я
где ф (Ф) — вещественная функция с конечным полным изменением
на [—я, я], пред ставимая в виде предела (4.16).
Пользуясь тождеством u(rei(f) = Da{raua(rel<9)} и формулой (4.17),
получаем далее
я
u(rel(f) = Da[raua(rel*)} = ±- JV{raP0(<p-fl; r)}*|>«>) =
-Я
Я
= з!г /^(Ф-^ г)*1>«>).
-Я
Обратно, полагая, что функция «(z) допускает представление
(4.14), имеем из (4.17)
я
««("") = /-eD-ee(re'*) = ^r Jr-aD-a{Pa(9-d; г)}*|>(0) =
-Я
Я
=i J"po(<p-0; r)rfi|>(0).
-я
Это, согласно свойству 4° [4.1 (б)], означает, что ua(z)£U или,
что то же самое, u(z)£Ua, и теорема доказана.
На основании соответствующего дополнения к свойству 4° и здесь
можно утверждать, что класс UaczUa гармонических в круге
\z\ < 1 функций u(z), для которых ua(z)^>0, совпадает с
множеством функций, представимых в виде (4.14), где
соответствующая функция ф(Ф) не убывает на [—я, я].

652
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
Наконец, отметим еще, что, как в случае класса U — U0, в
случае класса Ua представление (4.16) функции ф(^) всюду на [—я, л]
единственно с точностью до постоянного слагаемого, за
исключением не более чем счетного множества точек.
(г) Принимая во внимание свойство 2° из 4.1 (а) и теорему 9.10,
а также включение UadUQ (—1 < а < 0), мы получаем следующее
предложение о граничных свойствах функций класса Ua.
Теорема 9.11. Г. Пусть u(z)£Ua (—1 <а<+оо) и,
следовательно, имеет место представление
я
и (Г*'Ф) = "ST / Ра (Ф - О! Г) <*ф (О). (4.18)
-я
Тогда почти для всех точек £ = е1^ (—л<^Ф<^л) единичной
окружности существуют предельные значения
Нт «„(г«'*)= Ит D-"„(„,<*) = i|/ (О), (4.19)
образующие функцию класса L(—л, л).
2°. Пусть u(z)£Ua, где —1 <а<!0; тогда почти для всех
точек t> = eib существуют предельные значения
(o(fi)= lim u(reif>)t (4.20)
г->1-0
причем co(ft)£Z,(—л, л).
4.2. (а) Обозначим через Са(—1 <а< + оо) класс
аналитических в круге \z | < 1 функций f (z), удовлетворяющих условию
Re/a(*)>0 (|*|<1), (4.21)
где
/а (re**) = r-aD~af (re**). (4.22)
Далее, через Ra(—1<а<-}-оо) обозначим класс
аналитических в круге \z\ < 1 функций f(z)t для которых выполняется
условие
sup J f |Re/a(r*'<P)|dq>}<4- oo. (4.23)
Так как при f(z)£Ca интегралы
я я
J | Re /a (re'») | «H> = J Re A (/■*'•) dft = 2л Re /a (0)
-Я -Я
ограничены числом, не зависящим от г < 1, очевидно, имеем Са cr /?а.
Пользуясь формулами (4.10), (4.11) для гармонических функций,
легко видеть, что наряду с (4.22) имеем также формулу
/ (re**) = Da {/■% (re1*)). (4.24)

§ 4] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 653
С помощью формул (4.22) и (4.24) легко устанавливаются
включения:
Сас=С0, RacR0 при — 1<а<0;
С0с=Са, RQcRa при 0<а< + оо. (4*2 }
Теорема 9.12. Г. Класс Са совпадает с множеством
функций f(z), представимых в виде
я
'(*)=i J S„(*-'»*)rfi|>(<>) + 'Ini/(0) (|*|<1). (4.26)
-Я
где
ад = Г(1+а)[(1_2г)1+а-1], (4.27)
а ф(^)— неубывающая ограниченная функция на [—я, я].
2°. Класс Ra совпадает с множеством функций,
представимых в виде (4.26), где ф(Ф)—вещественная функция с
конечным изменением на [—я, я].
Доказательство. Г. Пусть f(z)£Ca и
/а (*) = «а (*) -Ь IV* (*) (\Z\<1). (4.28)
Тогда гармоническая функция ua(z)^0, согласно свойству 5°, пред-
ставима в виде
я
-л
где ф(Ф)—неубывающая ограниченная функция на [—я, я],
определяемая формулой вида
ф(*) = lim Г«а(ря*">)<Ю.
rt->oo J
— Jt
Образуем аналитическую в круге | z | < 1 функцию
я
-Я
для которой
л
Re'*a(*) = i ]*П(ф-^ ')<W) = ««(*) (* = /■«'•). (4.29)
-я
поскольку ReSote^f^^^oftp —*'» г)-

654 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Далее, так как 50(0)=1 и
я
-Я
то Im/*(0) = 0, и из (4.28) следует, что
va (z) = Im /ц (г) = \mfl (z) +- va (0). (4.30)
Из (4.28), (4.29) и (4.30) вытекает формула
/a^)=/:^)+/im/«(°).
причем
/a(0) = r-"D-4/(0)} = r£^.
Таким образом,
я
-Я
Наконец, пользуясь тождеством (4.24), а также формулой (1.31)
Da [raS0 (rei(f)} = Sa (re^)t
после умножения формулы (4.31) на ra применяем оператор Da.
Тогда получается представление (4.26), если учесть еще, что
" IrO + a)/-1'
Обратно, пусть функция /(z) представима в виде (4.26), где
ф^) не убывает и ограничена на [—я, я]. Тогда, замечая, что
r-aD~aSa (rei(*) = S0 (rei(*)t
имеем
я
Re/e(re'») = -gL J Re S0 (*-'•/■«'») Л|> (О) =
-Я
я
=i J яо(ф - d; r) rf* ^ > °- (4-32)
т. e. f(z)£Ca.
2°. Если /(z) £#a, то, очевидно, Re/a(z) czUt и мы имеем
представление
я
Re /„ (re'?) = i J P0 (ф - *; r) *K<>).

§ 4] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 655
где tyOfr) — вещественная функция с конечным полным изменением на
[—я, я]. Отсюда вполне аналогичным образом, как и выше,
получаем, что функция f(z) представима в виде (4.26).
Обратно, если функция f (z) представима в виде (4.26), то опять
справедливы формулы (4.31) и (4.32). Значит, Re fa (z) a U, т. е.
/(*)€#«•
(б) Обозначим через Аа{—1 < а < -f- oo) класс аналитических
в круге |z|< 1 функций f(z), удовлетворяющих условию
| я ]
sup { \D^)log\f{re^)\dV < + oo. (4.33)
0<r<1l-i J
Так как для каждой аналитической в круге \z\ < 1 функции f (z)
я
Та (г; /) == та (г; /) = Q j D^ log | / (гв,ф) I dtp, (4.34)
-Я
очевидно, что sup [Та(г\ /)} <+оо, если f(z)£Aa.
0<г<1
Следовательно, имеет место включение
AacNa (— 1< a < + со). (4.35)
Но тогда в силу леммы 9.8 и теоремы 9.8 спреведливы также
включения:
Ах, с: Ах2, —1 < «1 < а2 < + со, (4.36)
Ах с= А> , —! <«<0,
А0 сАа. 0<а< + со. " (4,37)
Принимая во внимание, что AaaNa, из теоремы 9.9 и
дополнительных к ней примечаний, получаем следующее предложение.
Теорема 9.13. Г. Класс Аа{—1 <а<+оо) совпадает с
множеством функций f(z), которые в круге |z|<l допускают
представление вида
( я
где
f(z) = eiy+kkazxBa(z; ^expj-gL JS0 (*-'**) *К<>)
. (4.38)
есть произвольное сходящееся произведение типа Бляшке,
г|?(Ф)— вещественная функция с конечным полным изменением

656 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
на [— я, я], Х^О — любое целое число, у— любое вещественное
оо
число, а ка = а% д(Да) .
2°. Для заданной функции f(z)£Aa представление (4.38)
единственно, причем существует последовательность чисел
{гл}Г* гп\ *» такая, что в каждой точке Ф£[—я, я]
о
ф(Ф)= Пт [О"а1ог|/(гя^ф)|^ф. (4.39)
— Я
Следует отметить еще, что функция ty(ft) также единственна
с точностью до постоянного слагаемого, за исключением не более
чем счетного множества точек.
(в) Приведем теперь некоторые предложения о граничных
значениях. Прежде всего напомним теорему Фату.
Если функция f (z) голоморфна и ограничена в круге \z\ < 1,
то почти всюду на окружности £=е™(—я^д^я)
существует предел
/(*'*)= lim f(reif>),
г->1-0
причем f(e™)£L(—я, я).
Для класса мероморфных функций N0 = N имеет место
следующая теорема Р. Неванлинна.
Теорема 9.14. Пусть функция F (z) принадлежит классу
N0 и, следовательно, допускает представление
РЮ = в1ч*%^аг\ъ JSo('-'»*)*И»)|. (4-40)
Тогда почти всюду на окружности £ = eib (— я <! Ф <! я)
существует предел
F (***)= lim F(reif>), (4.41)
r-M-0
причем
log\F(e^)\ = ^(fi)^L(stt я). (4.42)
Доказательство. Пусть г|)(Ф) = г|?1 (д)—ФгС^)» —я<^Ф<^я, где
% (Ф) (k = 1, 2) — неубывающие ограниченные функции на [—я, я].
Обозначив
Ft (z) = B0 (z; aj exp j JL J*S0 (*-'**) d^2 ф) \,
f Л 1
F2(z) = BQ(z; ftv)expj—-ij. J"s0(«-'**)*h(<>) \,

§ 4] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 657
заметим, что, согласно (4.40),
F(z) = e'vzi£& (M<1). (4.400
Но так как ReS0(e~l®rei(v) = P0(q> — О; г)>-0, очевидно, что
l^i(2)1 ^ *» 1^2(2)|^1 в круге |г|< 1. Поэтому из представления
(4.40') по теореме Фату следует существование пределов (4.41) почти
для всех точек £,= е1®.
Далее, заметим, что почти для всех ф£[—я, я] по теореме 9.7
(при значении а = 0)
lim \og\BQ(re^)\= lim \og\B(rei(?)\ = 0,
г-Я-0 г->1-0
a no теореме 9.11 (при а = 0)
я
lim 4~ [ Re50(^-^r^/(P)^(0) = i|?49)6Z'(— я. я).
г_^1_о ^я J
-я
Следовательно, из (4.40), очевидно, вытекает утверждение (4.42).
Теорема доказана.
Наконец, докажем следующую теорему единственности, играющую
весьма важную роль в ряде тонких вопросов теории функций и
теории приближений.
Теорема 9.15. Пусть голоморфная в круге |г|<1 функция-
f(z) принадлежит классу А0. Тогда:
1°. Если граничные значения f (eif*) функции f(z) таковы,
что
я
J \og\f(el*)\d$ = — oo, (4.43)
-я
то /(z) = 0.
2°. Пусть на последовательности чисел {^}^°(0 < | zk \ < 1)
/(**) = 0 (ft=l, 2, ...), (4.44)
причем кратные числа zk суть нули той же кратности для
функции f(z). Если при этом
оо
2(1-|*4|) = + оо. (4.45)
k = 1
то f(z) = 0.
Доказательство. 1°. Предположив, вопреки утверждению, что
/(г)ф0, согласно теореме 9.14 имеем
л я
j'log|yV»)|dtt>- J |log|/(e'»)||dO>-oo,
-я -я
что противоречит условию (4.43) теоремц.
42 М. М. Джрбашян

658
КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
[ГЛ. IX
2°. Положим опять, что /(г)фО; тогда, согласно теореме 9.13
(при значении а = 0), имеет место представление
я \
i Js0('-'**)*K<>)| Qz\<l).
f(Z) = eivzXB0(z; ejexp
Здесь B0(z; a^) — сходящееся произведение Бляшке, составленное
для множества всех отличных от 2 = 0 нулей функции / (z)t
пронумерованных в обычном порядке.
Следовательно, должно быть
2(i-Klx + oo.
Если заметить, что {г^с^}, то получаем также
S(i-|**n< + °°.
что противоречит условию (4.45) теоремы.
(г) Приведем, наконец, частичное распространение результатов
двух предыдущих теорем на классы Na и Аа.
Теорема 9.16. Пусть F(z)£Na (0<!а< + схэ) и,
следовательно,
ва (г; *v)
--L jsa(e-">z)d1p(b)
. (4.46)
Тогда почти всюду на единичной окружности £=е'* (—Ж^Ф-^я)
существует предел
РаФ) /7)= 11m D-alog\F(rel<>)\. (4.47)
г->1-0
причем
Доказательство. Замечая, что
r~aD~a (! 1 = ToW' r~*D~*l0g Г = WWIl0g Г - *°b
(4.48)
а также
r~aD-a Re 5a (e-'Ve'*) = P0 (q> - 0; r),
из формулы (4.46) получаем
r-0D-0log|F(re^)| = ^T^r+/-aD-°log|50(re^ ^|-
Я
- r_aD-° log| Ba (rei(f; bv)| + ^ J Я0 (Ф -*; r)di|>(0). (4.49)

§ 4] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 659
Но почти для всех ср£[—я, л] по теореме 9.7 при 0^а<+^о
Urn {r-°D-alog|fia(rAaM)|} =
г->1-0
= lim {r-°D-°log|5a(rA *v)|} = 0,
г->1-0
и по свойству 2° из 4.1(a)
я
нт 1 Гя0(ф—в; /■)^Ф(*)=ф/(ф).
r>i-o 2я J
—я
Поэтому, переходя в формуле (4.49) к пределу при г->1—0, мы
получаем утверждение теоремы.
Теорема 9.17. Пусть голоморфная в круге |г|< 1 функция f(z)
принадлежит классу Ла. Тогда:
1°. Если 0<;a<-f-oo и граничные значения
раф; /)= lim D-a\og\f(rel»)\ (4.50)
г->1-0
таковы, что
я
j Pa(®'> f)dft = — оо, (4.51)
—я
/яо /(г) = 0.
2°. Пусть —1<а<+°° и для последовательности чисел
\zk) (0<|^|<1) удовлетворяется условие
S(l-|^|)1+a = + °°- (4.52)
Аг —1
Если
f(zk) = 0 (* = 1, 2, ...). (4.53)
причем кратные числа zk суть нули той же кратности для
функции f(z), то f(z) = 0.
Доказательство. 1°. Предполагая, что /(2)=f£=0, согласно
теореме 9.16 имеем
я я
$ра(Ъ; /)Л>>— J|/>a(fl; /)|Л>>—оо,
—Я —Я
что противоречит условию (4.51).
2°. Если f(z)=£Q, то по теореме 9.13 справедливо
представление (4.38), где Ba(z; ад) — сходящееся произведение типа Бляшке,
содержащее всевозможные нули функции f(z)t кроме г = 0.
42*

6G0 КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ [ГЛ. IX
Следовательно, имеем
i(i-Kl)1+°<+co.
Но так как, очевидно, {гл}с:{ац}, выполняется также соотношение
со
2(1-|*.|)1+в< + °о.
а это противоречит условию (4.52) теоремы.
В заключение отметим, как в связи с теоремой 9.7, так и в связи
с теоремами 9.16 и 9.17 (1°), что естественно поставить вопрос—
сохраняют ли они силу в случае —1 < а < О?
Легко видеть, что этот вопрос заведомо будет иметь
положительное решение, если поставленный ранее в связи с теоремой 9.7
вопрос разрешится в таком же смысле.

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Глава I
§ 1. Доказательства всех предложений и теорем, приведенных в этом
вводном параграфе, для случая вещественных функций читатель может
найти в курсе Натансона [1]. Переход же к комплексным функциям не
представляет никакого труда. В частности, отметим, что утверждение 2° теоремы
о плотности [1.2 (в)] легко получается из утверждения 1°.
§ 2—4. В этих параграфах изложены основные теоремы теории
интегралов Фурье. Не приводя более подробных литературных указаний
относительно теорем 1.1—1.17, отсылаем читателя к известным монографиям Бох-
нера [1], Титчмарша [1], Бохнера и Чандрасекарана [1], где приведены
подробные ссылки на специальную литературу.
Глава II
§ 1,1.1. Результаты, составляющие содержание основной теоремы 2.1,
принадлежат Ватсону [1]. Приводимый здесь способ доказательства теоремы
Ватсона предложила Басбридж [1], распространившая затем эти результаты
на классы функций Lp(0, + оо) (1<р< 2) в работах [2] и [3].
Теорема Ватсона излагается также в монографии Титчмарша [1]
(теоремы 129, 130, 131), где часть результатов устанавливается методом
Басбридж.
Для большей компактности при изложении теории Ватсона из общей
теоремы мы выделили леммы 2.1 и 2.2, содержащие полную характеристику
ядер Фурье—Ватсона.
Имеются и другие доказательства теоремы Ватсона 2.1, предложенные
Титчмаршем [1], [2] и Планшерелем [2].
Теорема 2.2 принадлежит Харди [1] и Титчмаршу [1] (теорема 133).
1.2. Теорема 2.3 принадлежит Планшерелю [1], построившему оператор
Фурье в классе ^(0, 4- со) именно в такой форме.
Указанный здесь способ доказательства теоремы 2.4 отмечен Ватсоном [1].
Литературные указания о более ранних доказательствах этой теоремы
приводит Бохнер [1] (в своих примечаниях 100 и 106).
§ 2,2.1. Теорему 2.2 вкратце упоминает Титчмарш [1] (см. гл. VIII).
Более общие результаты такого рода установил Кобер [1].
2.2. Пример биортогональных ядер, зависящих от двух независимых
параметров |Xi и Ц2, здесь приводится впервые. Некоторые частные случаи это*"
го примера отмечает Титчмарш [1] (гл, VIII),

662
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Примеры биортогональных ядер, порожденных комбинациями
гипергеометрических функций, были рассмотрены Фоксом [1]; см. также Титчмарш [1]
(гл. VIII).
В более поздних работах Фокса [2], [3] содержатся другие интересные
примеры ядер Фурье—Ватсона, связанных со специальными функциями
другого рода.
§ 3—4. Результаты, приведенные в этих параграфах, составляют
содержание статьи Акопяна [1]. Здесь приводится более полное изложение
вопроса.
4.2. Наиболее полное изложение теории преобразований типа свертки
содержится в монографии Хиршмана и Уиддера [1], где построена теория
обращения в смысле обычной сходимости; см. также Поллард [1].
Преобразования типа свертки в классах L2(—оо, + оо) для значительно
более узкого класса ядер рассматривал Поллард [2]. Отметим, однако, что
теорема 2.8 и даже ее специальный случай — теорема 2.9 — имеют
значительно большую общность, чем результаты Полларда.
4.3. По поводу теоремы 2.10 отметим, что вопрос об обращении
обобщенного преобразования Стилтьеса
*<*)- f ,ФУЧР dy (p>0)
рассматривали Поллард [3], а также Самнер [1].
Теорема 2.10 принадлежит Винеру и Пэли [1]; на близкий к ней
результат указывают Хиршман и Уиддер [1].
Глава III
§ 1. Функция
*-°rl1+"PJ
впервые была введена в анализ Миттаг-Леффлером ([1], [2], [3]) в связи
с открытым им новым методом суммирования расходящихся рядов.
Эта функция Миттаг-Леффлера служит простейшим примером целой
функции заданного порядка р и нормального типа. Одновременно на примере
функции E1/p(z) было установлено, что даже в классе целых функций условия
известной теоремы Фрагмена—Линделёфа существенно ослабить нельзя. По
этому поводу см., например, Бибербах [1].
Из более ранних исследований, в которых после Миттаг-Леффлера
продолжалось изучение различных свойств функции E1/f)(z) и были найдены
дальнейшие ее применения, в первую очередь следует указать на работы Ви-
мана [1], [2] и Буля [1].
1.1. Функция £p(z; М<), названная нами функцией типа
Миттаг-Леффлера, совпадающая с функцией EV9(z) при ц-— 1, известна в литературе также
и в несколько других обозначениях.
Например, Клеота и Гюгес [1] записывают ее иначе — EyQ(z\ \i), а в
справочнике Бейтмена [1] используется обозначение Eyp^(z), которое позже
ввел Агарвал [1].
Кроме формулы (121), все остальные соотношения, приведенные в
данном пункте, в случае ц=1 можно найти у следующих авторов: Буль [1], Гум-

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 663
берт [1], Агарвал [1], Гумберт и Агарвал [1]. Часть этих соотношений уже
для случая произвольного ц приводит также Бейтмен [1].
1.2. Теорему 3.1 путем непосредственного применения общих формул
теории интегральных уравнений Вольтерра доказали Хилле и Тамаркин [1];
другое ее доказательство приводит Смирнов 1\].
Процесс построения биортогональных систем, образованных линейными
комбинациями функций типа Миттаг-Леффлера, а также исследование
вопроса о разложимости функций по этим системам рассматривали автор и
Нерсесян [1], [2].
§ 2,2.1. Интегральные представления функции £р (г; ц), приведенные в
лемме 3.2, были даны Миттаг-Леффлером при ц=1; случай любого ц>0
рассматривали автор [2], [3] и Бейтмен [1].
Все представления функции £y2(z; ц)> содержащиеся в лемме 3.3, здесь
приводятся впервые.
2.2. Асимптотическое поведение функции £р (z\ \i) исследовал Миттаг-
Леффлер при ц— 1.
Случай произвольного \i>0 рассмотрели Райт [1], Клеота и Гюгес [1] и,
наконец, в уточненной формулировке леммы 3.4 — автор [2].
Асимптотические формулы для функции £y2(z;jx), приведенные в
лемме 3.5, установил автор [3]; лемму 3.6 установил Нерсесян (публикуется
впервые).
2.3. Распределение нулей функции £р (г; ц) впервые исследовал Виман [2]
в случае ц=1,. Леммы 3.7 и 3.8 установили автор и Нерсесян [1].
§ 3,3.1. Формулу (3.6) в случае ц=1 установил Миттаг-Леффлер,
который доказал также, что она остается в силе при г£^р (ft;v). Лемму 3.9
установил автор, и ее доказательство приводится здесь впервые.
3.2. Утверждение (3.18) леммы 3.10 (для случая М* = 1) упоминается
Миттаг-Леффлером [4]; см. также Харди [2] (стр. 247—250).
В теореме 3.3 утверждения (3.26) и (3.27) для случая ц=1 установили
соответственно Борель [1] и Миттаг-Леффлер [3]; см. также Харди [2]
(стр. 224—250).
3.3. Теорему 3.4 установил автор, и здесь она публикуется впервые.
Частный результат такого рода, когда область G — многоугольник, был
установлен ранее Боасом [1].
§ 4. Содержание этого параграфа представляет собой более полное
изложение статьи автора [2].
Глава IV
Основные результаты настоящей главы были опубликованы в статье
автора [4]. Отметим только, что теорема 4.5 здесь приводится в более полной
формулировке, а теорема 4.6 публикуется впервые.
3.4. Содержание этого пункта представляет собой более полное
изложение статьи автора и Акопяна [1].
Отметим, наконец, что результаты этой главы были распространены на
функции многих переменных Аветисяном [1], а также на значительно более
общие классы ядер автором [5] и Акопяном [2], [3].
Глава V
1.1. Функцию v (z\ ц) для значения параметра ц=0 ввел в анализ
Вольтерра [1]. Соотношения (1.3) и (1.4) здесь отмечаются впервые.
Соотношение (1.7), являющееся аналогом соотношения (1.21) гл. III»
было получено Китбаляном [1], применившим его при построении
биортогональных систем из функций Вольтерра.

664
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Первое применение функции v (г; 0) —теорему 5.1 — доказали Вольтерра
и Пере [1]. Некоторые операционные свойства функции v (г; |х) приводит
Бейтмен [1].
Все основные результаты и применения функции v (г; ji), приведенные
в данной главе, за исключением пункта 3.4, который публикуется здесь
впервые, составляют содержание статьи автора [6].
Глава VI
Параметрическое представление класса W$ впервые получили Винер и
Пэли в своей знаменитой монографии [1]. Вскоре Планшерель и Полна [1]
получили этот результат другим путем и указали некоторые важные его
приложения.
§ 1,1.1. Приводимые здесь определения порядка и типа, а также
теорема 6.1 общеизвестны в теории целых функций: см. Левин [1], Боас [2].
1.2. По поводу леммы 6.1 отметим, что при р = |х=1 ее установил
Полна [1-], а при любом р>0 и |Х>0 — Субботин [1]; см. также статью
автора [7]. Теорема 6.2 приводится здесь впервые.
1.3. Теорему 6.3 при р = (х = 1 установил Полна [1], при р>0 и |х=1, по-
видимому, впервые на представление (1.33) этой теоремы указал Матисон[1].
Наконец, при любом р>0 и ц>0 эту теорему и ее дальнейшие приложения
рассматривал автор [7].
Теорема 6.4 принадлежит Макинтайру [1], рассмотревшему случай \к——.
§ 2,2.1. Теорему 6.5 установил автор [7], причем в случае р = ц=1
соответствующий результат имеется у Полна [1].
2.2. Определения выпуклого множества, выпуклой оболочки множества,
опорной функции и опорной кривой принадлежат Полиа [1], впервые
применившему эти понятия в теории целых функций порядка р=1. Обобщение этих
определений в случае произвольного р>-о- было дано Аветисяном [2].
Теорему 6.6 при р = м-= 1 впервые установил Полиа [1], при р">7г,
(1=1—Аветисян [2], а также Матисон [1]; наконец, случай 0<р<! 7г, |х>0
здесь приводится впервые.
Теорема 6.7 принадлежит Макинтайру [1].
2.3. Теорема 6.8 и ее следствие принадлежат Виману [1].
Теорему 6.9 установили автор и Аветисян и она приводится здесь
впервые.
§ 3.4. Результаты этих параграфов принадлежат автору [7], [4], [8].
Отметим лишь, что здесь теоремы 6.10 и 6.11 приводятся в более полной
формулировке, причем вторая из них доказывается новым способом.
Доказательство общей теоремы 6.13 публикуется впервые.
Глава VII
§ 1. Результаты этого параграфа установили автор и Аветисян [1].
Отметим лишь, что вторая часть приведенного здесь доказательства теоремы 7.1
по существу гораздо проще ранее опубликованного и значительно отличается
от него. Простейший случай теоремы 7.1, когда p=pj = a=l, был установлен
Макинтайром [1].

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
665
Наконец, теорема 7.2 примыкает к известному результату Келдыша [1J
(см. также Мергелян [1]) об аппроксимации целыми функциями в угловой
области.
§ 2,2.1,2.2. Теорема 7.3 приводится у Титчмарша [1] (гл. V). Теорему 7.4
в менее законченной формулировке установили Винер и Пэли [1], см.. также
Титчмарш [1] (гл. I). Теорема 7.4' принадлежит Винеру и Пэли [1].
2.3. Класс <3tf2 [а; со] ввели в рассмотрение автор и Аветисян [1].
Теорема 7.5 принадлежит автору и здесь приводится впервые.
Теорему 7.6 без утверждения 3° установили автор и Аветисян [1].
§ 3, 3.1. Леммы этого пункта установлены автором и здесь публикуются
впервые.
3.2. Теорема 7.7 принадлежит автору и Аветисяну [1]. Здесь впервые
излагается новое ее доказательство, а также три важные следствия
из нее.
Теоремы 7.8 и 7.9 принадлежат автору и здесь публикуются впервые.
Еще один способ доказательства основных теорем 7.7, 7.8 и их
обобщения были указаны Акопяном [4].
§ 4. Результаты этого параграфа, кроме теоремы 7.12, принадлежат
автору [9], причем доказательства публикуются впервые. Теорему 7.12 доказали
автор и Аветисян [1].
Глава VIII
§§ 1,2 и 4. Результаты этих параграфов установлены автором и здесь
публикуются впервые. Отметим лишь, что в не вполне корректной
формулировке теорема 8.3 была анонсирована автором ранее [8].
По поводу содержания § 2 следует добавить также, что квазицелые
функции конечного роста исследовались ранее Пфлюгером [1]. Однако
установленная им интегральная формула представляет квазицелую функцию не
на всей поверхности Gro, как это имеет место в теореме 8.3Л а каждый раз
в специальной полуплоскости вида Re (e~ фг)>0.
§ 3. Результаты этого параграфа составляют содержание работы автора
и Акопяна [2]. Однако здесь излагается другой способ доказательства
теоремы 8.6, предложенный затем Акопяном [4]. Этот способ является дальнейшим
обобщением метода гл. IV.
Этот способ представляет собой дальнейшее обобщение метода, развитого
в гл. IV и V применительно к рассматриваемым здесь классам аналитических
функций.
Глава IX
Основы теории мероморфных функций и теорема Неванлинна о
представлении класса N содержатся в монографии Неванлинна [1]; см. также
Привалов [1].
Первое обобщение формулы Иенсена—Неванлинна, по существу
связанное с интегралами дробного порядка, было дано автором [10], [11].
Указанное обобщение позволило получить каноническое, но не параметрическое пред*
ставление класса Na(0<a<+ оо) мероморфных в круге |г|<1 функций F[z)t

666 ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
для которых
1
J(l — r)a'1 T (r, F)dr<+00.
о
§ 1. Часть свойств операторов £Г"а, приведенных здесь, встречается у
Тамаркина [1]; остальные получены автором и Нерсесяном и публикуются
здесь впервые.
§§ 2,3. Все результаты, содержащиеся в этих параграфах, принадлежат
автору [12], причем с доказательствами здесь они публикуются впервые.
В случае же а=0 эти результаты хорошо известны; см. Неванлинна [1],
Привалов [1], [2].
§ 4. Приведенные здесь свойства гармонических функций класса U, а
также теоремы 9.14, 9.15 хорошо известны; см., например, Привалов [1], [2].
Все остальные результаты в случае произвольного афО принадлежат
автору и публикуются здесь впервые.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
А г а р в а л (Agarwal R. Р.)
1. A propos d'une note de M. Pierre Humbert, С. г. Acad. Sci. Paris, 236
(1953), 2031—2032.
Аветисян А. Е.
1. К теории обобщенных интегральных преобразований функций многих
переменных, Изв. АН АрмССР, физ.-матем., естеств. и техн. науки
9, № 5 (1956), 3—24.
2. Об обобщении одной теоремы Г. Полна, ДАН СССР 105 (1955), 885—
888.
А к о п я н С. А.
1. Интегральные преобразования, связанные с дифференциальными
операторами бесконечного порядка, Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат.
наук, 13, № 1 (1960), 3—27.
2. Интегральные преобразования с ядрами, являющимися обобщенными
гипергеометрическими функциями и обобщенными функциями типа Воль-
терра, Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 15, № 1 (1962), 13—36.
3. Об одном интегральном преобразовании, ДАН АрмССР 34, № 1 (1962),
3—12.
4. О параметрических представлениях некоторых классов функций,
голоморфных в угловых областях, ДАН АрмССР 40, № 2 (1965), 71—80.
Басбридж (Busbridge I. W.)
1. On general transforms with kernels of the Fourier type, J.London Math.
Soc. 9 (1934), 179—187.
2. A theory of general transforms of functions of the class Lp(0, oo)
(l<p<2), Quart J. Math. (Oxford) 9 (1938), 148—160.
3. The theory of general transforms for functions of the class Lp(0, сю)
(l</7<2) (II), Quart. J. Math. (Oxford) 10 (1939), 13—27.
Б е й т м е н (Bateman Manuscript project)
1. Higher transcendental functions, vol. Ill, chap. XVIII, New York—
Toronto—London, 1955.
Бибербах (Bieberbach L.)
1. Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, Leipzig, 1927.
Боя с (Boas R.)
1. Exponential transforms and Appell polynomials, Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A. 34, № 10 (1948), 481—483.
2. Entire functions, New York, 1954.
Бор ел ь (Borel E.)
1. Lecons sur les series divergentes, 2me ed., Paris, 1928.
Б о x н e p C. (Bochner S.)
1. Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, М., 1962,

668
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бохнер С, Чандрасекаран (Bochner S., Chandrasekharan К.)
1. Fourier Transforms, Princeton, 1949.
Буль (Buhl A.)
1. Series analytique. Sommabilite, Mem. Sci. Math. Fasc. 7, Gauthier-
Villars, Paris.
В а т с о н (Watson G. N.)
1. General transforms, Proc. London Math. Soc. (2) 35 (1933), 156—199.
В и м а н (Wiman A.)
1. Uber den Fundamentalsatz in der Theorie der Funktionen Ea(x) Acta
Math. 29 (1905), 191—201.
2. Uber die Nullstellen der Funktionen Ea(x), Acta Math. 29 (1905),
217—234.
3. Uber eine Eigenschaft der ganzen Funktionen von der Hohe Null, Math.
Ann. 76 (1925), 197—211.
Винер, Пэли (Wiener N., Paley R.)
1. Преобразование Фурье в комплексной области, Физматгиз, М., 1964.
Вольтерра (Volterra V.)
1. Teoria della potenze, dei logarithmi e delle funzioni di composizione,
Atti Acad, dei Lincei, ser. 5, И (1916), 167—249.
Вольтерра, Пере (Volterra V., Peres J.)
1. Lemons sur la composition et les fonctions permutables, Gauthier-Villars,
Paris, 1924.
Г у м б е р т (Humbert P.)
1. Quelques resultats relatifs a la fonction de Mittag-Leffler, C. r. Acad,
sci. Paris 236 (1953), 1467—1468.
Гумберт, Агарвал (Humbert P., Agarwal R. P.)
1. Sur la fonction de Mittag-Leffler et quelques-unes de ses
generalisations, Bull. sci. math. (2), 77 (1953), 180—185.
Г ю н т е р Н. М., Кузьмин Р. О.
1. Сборник задач по высшей математике, Гостехиздат, М.—Л., 1951.
Д ё ч (Doetsch G.)
1. Uber die obere Grenze des absoluten Betrages einer analytischen Funk-
tion auf einer Geraden, Math. Z. 8 (1920).
ДжрбашянМ. М.
1. Некоторые вопросы теории взвешенно-полиномиальных
приближений в комплексной области, Матем. сб. (н. с), 36(78) : 3 (1955),
353—440.
2. Об интегральном представлении функций, непрерывных на нескольких
лучах (обобщение интеграла Фурье), Изв. АН СССР, сер. матем., 18
(1954), 427—448.
3. Об асимптотическом поведении функции типа Миттаг-Леффлера, ДАН
АрмССР 19, № 3 (1954), 65—72.
4. Об одном новом интегральном преобразовании и его применении в
теории целых функций, ДАН СССР 95 (1954), 1133—1136; Изв. АН СССР,
сер. матем., 19 (1955), 133—180.
5. Об интегральных преобразованиях, порожденных обобщенной
функцией типа Миттаг-Леффлера, Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук,
13, №3 (1960), 21-63.
6. К теории интегральных преобразований с ядрами Вольтерра, ДАН
СССР 124, № 1 (1959), 22—25. Интегральные преобразования с ядрами
Вольтерра» Изв. АН СССР, сер. матем,, 24 (1960), 387—420.
7. Об интегральном представлении и единственности некоторых классов
целых функций, ДАН СССР 85, № 1 (1952), 29—32. В более полной
форме см. Матем. сб., 33 (75), № 3 (1953), 485—530.
8. О представлении некоторых классов целых и квазицелых функции,
ДАН СССР 159, № 1 (1964), 9-12.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 669
9. Об интегральных преобразованиях в комплексной области, ДАН СССР
159, № 2 (1964), 258—261.
10. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге
функций, ДАН АрмССР 3, № 1 (1945), 3—9.
11. К проблеме представимости аналитических функций, Сообщ. Инст.
матем. и мех. АН АрмСС^ -"п 2 (1948), 3—40.
12. О параметрическом представлении некоторых общих классов
мероморфных функций в единичном круге, ДАН СССР 157, № 5 (1964),
1024—1027.
Д ж р б а ш я н М. М., Аветисян А. Е.
1. Интегральное представление некоторых классов функций,
аналитических в области угла, ДАН СССР 120, № 3 (1958), 457—460; Сиб.
матем. ж. 1, № 3 (1960), 383—426.
Джрбашян М. М., Акопян С. А.
1. К теории интегральных преобразований с ядрами Миттаг-Леффлера,
ДАН АрмССР 38, № 4 (1964), 207—216.
2. Классы функций и ассоциированные с ними интегральные
преобразования в комплексной области, Изв. АН СССР, сер. матем., 30,
№ 4 (1966).
Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б.
1. О построении некоторых специальных биортогональных систем, Изв.
АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 12, № 5 (1959), 17—42.
2. Разложения по специальным биортогональным системам и краевые
задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка, ДАН СССР
132, № 4 (1960), 747—750; Труды Моск. матем. общ. 10 (1961), 89—179.
Келдыш М, В.
1. О приближении голоморфных функций целыми функциями, ДАН СССР
47 (1945), 243—245.
Китбалян А. А.
1. Разложение по биортогональным системам, образованным функциями
Вольтерра. Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук 14, № 6 (1961),
17—48.
Клеота, Гюгес (Cleota and Hughes)
1. Asymptotic developments of certain integral functions, Duke Math. J. 9
(1942), 791—802.
К о б е р (Kober H.)
1. Eine Verallgemeinerung der Transformationen von Fourier-Тур, Quart.
J. Math. (Oxford) 8 (1937), 172—185.
Л евин Б. Я.
1. Распределение корней целых функций, Гостехиздат, М., 1956.
Л и т л в у д (Littlewood)
1. On functions subharmonic in a circle, /. London Math. Soc. 6, № 2
(1927).
2. On functions subharmonic in a circle (II), Proc. bond. Math. Soc. 5,
№ 28 (1927).
Макинтайр (Macintyre A.)
1. Laplace's transformation and integral functions, Proc. London Math.
Soc. (2) 45 (1938), 1—20.
Маркушевич А. И.
1. Теория аналитических функций, Гостехиздат, М.—Л., 1950.
М а т и с о н (Matison H.)
1. Certain integral functions related to exponential sums, Duke Math. /,
4 (1938), 9—29.
Мергелян С. Н.
1. Равномерное приближение функций комплексного переменного, УМН
7:2 (48) (1952), 31—122.

670
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler G. М.)
Ь Sur la nouvelle fonction..., С. r. Acad. sci. Paris (2) 137 (1903), 554—
558.
2. Sopra la funzione Ea(x), R. Acad, del Lincei, Rendicontl (5), 13 (1904),
3—5.
3. Sur la representation analytique d'une branche uniforme d'une fonction
monogene (cinquieme note), Acta Math. 29 (1905), 101—182.
4. Sur la representation arithmetique des fonctions analytiques generales
d'une variable complexe, Atti del IV Congresso Internaz. mat., Roma,
1909, vol. 1, 67—85.
Натансон И. П.
1. Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, М., 1957.
Неванлинна P. (Nevanlinna R.)
1. Однозначные аналитические функции, Гостехиздат, М.—Л., 1941.
Планшерель (Plancherel M.)
1. Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par
des integrates definies, Rend, di Palermo 30 (1910), 289—335.
2. Sur les formules de reciprocite du type de Fourier, /. London Math. Soc.
8 (1933), 220—226.
Планшерель, Полна (Plancherel M., Polya G.)
1. Fonctions entieres et integrales de Fourier multiples, Comment. Math.
Helv. 9 (1937), 224—248; 10 (1938), 110—163.
Полна (Polya G.)
1. Untersuchungen fiber Lucken und Singularitaten von Potenzreihen,
Math. Z. 29 (1929), 549—640.
П о л л а р д (Pollard H.)
1. Integral transforms II, Annals of Math. 49, № 4, (1948).
2. Integral transforms, Duke Math. J. 13 (1946), 307—330.
3. Studies on the Stieltjes transforms, Bull. Amer. Math. Soc, Abstract
48—3—117.
Привалов И. И.
1. Граничные свойства однозначных аналитических функций, Изд. МГУ,
М., 1941.
2. Граничные свойства аналитических функций, Гостехиздат, М. — Л.,
1950.
3. Субгармонические функции, ГИТТЛ, М. — Л., 1937.
Райт (Wright Е. М.)
1. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function,
/. Lond. Math. Soc. 10 (1935), 286—293.
С а м н e p (Sumner D. B.)
1. An inversion formula for the generalized Stieltjes transform, Bull. Amer.
Math. Soc. 55 (1949), 174—183.
Смирнов В. И.
1. Курс высшей математики, Физматгиз, т. 4, М. — Л., 1958.
Субботин М. Ф.
1. Sur les proprietes-limites du module des fonctions entieres d'ordre fini,
Math. Ann. 104 (1930), 377—386.
Тамаркин (Tamarkin J. D.)
1. On integrable solutions of Abel's integral equation, Ann. of Math. (2) 31
(1930), 219—228.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
1. Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, М. — Л., 1948.
2. A proof of a theorem of Watson, /. London Math. Soct 8 (1933), 217—
220.
T p и к о м и (Tricomi F.)
1. Интегральные уравнения, ИЛ, М., 1960.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
671
Фихтенгольц Г. М
1. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тт. I—III,
«Наука», М., 1966.
Фокс (Fox Ch.)
1. A generalization of the Fourier-Bessel integral transform, Proc. Lond.
Math. Soc. 1929, 401—452.
2. G and H functions as symmetrical Fourier kernels, Trans. Amer. Math.
Soc. 98, № 3 (1961), 395—429.
3. Power series with non-integral exponents which are Fourier kernels,
Proc. Cambridge Phil. Soc. 57, part 2 (1961), 274—280.
Харди (Hardy G. H).
1. The resultant of two Fourier kernels, Proc. Cambridge Phil. Soc. 31
(1935), 1—6.
2. Расходящиеся ряды, ИЛ, М., 1951.
Хилле, Тамаркин (Hille E., Tamarkin J.)
1. On the theory of linear integral equations I, Annals of Math. (2nd ser).
31, № 3 (1930), 479—528.
Хиршман, Уиддер (Hirschman I. I., Widder D. V.)
1. Преобразования типа свертки, ИЛ, М., 1958.

Мхитар Мкртичевич Джрбашяп
Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области
М., 1966 г., 672 стр.
Редактор Е. Д. Соломенцев
Техн. редактор Л. А. Пыжова
Корректоры О. А Сигал и В. М. Менделеева
Сдано в набор 10/1II 1966 г. Подписано к
печати 2/VII 1966 г. Бумага 60x90Vte. Физ. печ.
л. 42. Условн. печ. л. 42. Уч.-изд. л. 46,39.
Тираж 7800 экз. Т-08277. Цена книги 3 р .17 к.
Заказ № 115.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В 71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.

*^ «*Н£ <&й
^^Лч
X >
.ус
*-*t^~ S^ ,*,«"'''*
V
*г- ^
' ^
SrL
^ j-
4- м
^
-&г
4,
*=-""!,
■c
■»-^
5Г
^ ~*
N, ^~
* % «4 -5^ Х^з *^r- *£\
€