АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И АНАЛИЗА
Ответственный редактор
чл.-кор. АН СССР А. С. Алексеев
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Новосибирск • 1984

УДК 517.9 + 518.6
Некорректные задачи математической физики и анали-
за^^Новрсибирск: Наука, 1984.
ВгсбЬрнМ включены материалы, обсуждавшиеся на семинаре
1го*«е1ГОрректнъгм задачам математической физики и анализа,
посвященном 50-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск,
19—24 июля 1982 г.).' В статьях рассматриваются методы
регуляризации операторных уравнений первого рода, проводится
исследование вопросов корректности обратных задач для
дифференциальных уравнений, задач интегральной геометрии,
аналитического продолжения и других неклассических задач современной
математической физики и анализа.
Книга предназначена для математиков, геофизиков и других
научных работников, интересующихся неклассическими
проблемами современной прикладной математики.
Редакционная коллегия:
чл.-кор. АН СССР А. С. Алексеев, д-р физ.-мат. наук Ю. Е. Ани-
конов, А. Н. Бондаренко, канд. физ.-мат. наук А. Л. Бухгейм, д-р
физ.-мат. наук В. Н. Врагов, канд. физ.-мат. наук С. И. Кабани-
хин, акад. М. М. Лаврентьев, В. И. Прийменко, д-р физ.-мат. наук
В. Г. Романов, канд. физ.-мат. наук А. М. Федотов
Рецензенты: С. Н. Антонцев, В. П. Ильин
„1702070000-811 л
Н 042(02)-84 121-84-И
@ Издательство «Наука», 1984 г.

Предисловие
11 ре дл агаемый сборник посвяща-
ется академику М. М. Лаврентьеву в связи с его 50-летием.
Тематика книги связана с научной деятельностью Михаила
Михайловича во многих областях современной математики. Им и под его
руководством разработаны уникальные методы исследования
широкого класса важных прикладных задач, возникших в сейсморазведке,
электродинамике, ядерной геофизике и во многих других областях
современного естествознания. Ученым создана сибирская школа
математиков, занимающихся некорректными задачами. Его ученики
работают во многих городах Советского Союза. ,
В статьях, вошедших в сборник, исследуются операторные
уравнения первого рода, обратные задачи для дифференциальных
уравнений, неклассические уравнения математической физики.
Большинство материалов отличает новизна постановок
математических задач, имеющих прикладное значение, а также оригинальность
методики исследования указанных задач, как правило, не
являющихся классически корректными.
Публикуемые работы достаточно полно освещают современное
состояние и перспективы развития основных направлений теории
некорректных задач.
3

Раздел первый
А. X. АМИРОВ
ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
(Новосибирск)
[.Постановка задачи, В
области Q пространства R271+l рассмотрим уравнение
1и ^ Ui + <v, Vx^> + </, V„B> = \i(z*v, t), (1)
где x, v^Rn, t^R\ <■,•> — скалярное произведение в Rn, /==
= (/„ ..., /J, Q = (0, DXQ.XQx.
Требуется определить пару функций (и, \i) в области Q, если
известно и на границе dQ области Q:
1г|во = ф.* (2)
Такие задачи принято называть обратными для дифференциальных
уравнений [1].
Уравнение (1) есть кинетическое уравнение. Оно широко
используется в физике плазмы и в астрофизике [2, 3]. При этом
и(х, у, t) имеет смысл числа (или массы) частиц, находящихся в
момент времени t в единичном элементе объема фазового
пространства в окрестности точки (х, v); /(я, у, t) — действующая на
частицу сила и, как правило, градиент некоторой функции; \i(x, v, t) —
столкновительный член, определяющий изменение и(х, v, t)
вследствие столкновений частиц.
Введем обозначения:
v dh
L (ц, /) = | Vxu |2 + 2d toT""i"V
U =*(Ut(u), UXi(u,f),Uv.(u,f),i = TT^); (3)
n n
Ut(u) = 2uxuv., Ux (и, /) = — utuv +^2 uVjux — uv 2 f\UvA
n n n
Uv. (U, /) = М^зс. + Ия-2 VjUx. + U*. 2 /j^ri + /i 2 ^^.

1. Предположим, что Q — ограниченная область с кусочно-
гладкой границей dQ. Обратная задача (1),_С2) исследуется на
множестве вектор-функций ^ = {(гг, \i)\\i *= C4Q), u^C2(Q)}.
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
а) f^Cl(Q), при п>1 f не зависит от v;
б) \i не зависит от v;
в) (и, \х) ^ К\ — решение задачи (1), (2).
Тогда справедливо равенство
lb(u,f)dQ= f {U,n)dS,
Й dQ
где п — внешний вектор нормали к dQ; dS — элемент площади
поверхности dQ.
Замечание 1. Если ф = 0, то J <C/, n} dS = 0.
Нетрудно видеть, что этот факт следует из выражения для С/.
Доказательство. В случае п = 1 уравнение (1)
дифференцируем по Vi и полученное равенство умножим на 2иХ1
2ux^uVli + 2v1uXl iivyoc^ 2j1ux^uVlv1 + 2uXl + 2f1ViuXluVl =()• (4)
Учитывая выражения
2uXluVlt = (мГ1ыЯ1), + (и*мЯ1) — (м^и*^ ;
2fiUXluVlVl = (2/1гг0с1^г?1)г) — (/i^i)*, + fix1uVl — 2f1VluX}uVl1
из соотношения (4) имеем
LU, /) + div С/ = 0.
Интегрируя последнее равенство по области Q и используя
формулы Гаусса — Остроградского, получаем утверждение
теоремы 1.
В случае п>1 уравнение (1) дифференцируем по Vj и
полученное равенство умножим на 2их.:
2uXjutv. + 2ux. <у, VxuVj} + 2их. </, VvuVj> + 2их. = 0. (5)
Используя тождества
2uiv.ux. = (utux.)v. + (uv.ux.)t - (utuv.)Xj;
2viux.VjuXj = (ViUx.uXj)v, + (ViUVjuXj)Xi — (ViUx.uv.) , iФ/; (6)
2vjUXjuXjVj = (Vjulj)Vj — u*p
2fiUv.VjUXj = (fiUViUXj)v. + (fiUvMXj)Vi — (fiUViUVj)x. + fixMvMVp
суммируем по / равенства (5). Тогда получим
L(b, /) + divf/ = 0.
5

Интегрирование последнего равенства по области Q дает
утверждение теоремы 1.
2. Пусть Q есть область ^>0 в пространстве R2n+i. В этом
случае обратная задача (1), (2) исследуется на множестве
К2 = {(и, цЛцеСЧО), u^CHQ), (1+Ы2+М2 + г2)Ы<оо,
(l+\x\2+\v\2 + t2)\VU\<oo}i
где |*p = 2*s, М2 = 2Х. |v^|2 = S« + 4) + ^-
1 1 1 г г
Теорема 2. Пусть выполнены условия:
п
а) |У*,^|е£а(Г)ПС(Г), 2^^ (Г),
где Г — плоскость xY = 0 в пространстве R2n+l;
б) f^Cl(Q), fu fixy ограничены на Q, i, /'= 1, п, при п>1 f
не зависит от v;
в) (и, \х) ^ К2 есть решение задачи (1), (2).
Тогда верно равенство
\L(u,f)dQ= f UXl(y,f)dS.
Доказательство теоремы 2 точно такое же, как теоремы 1.
п
3. Т е о р е м а 3. Пусть квадратичная форма 2 fixjlilj
неотрицательна в Q, при п>1 / не зависит от v. Тогда задача (1), (2)
может иметь только одно решение:
а)' в случае 1 из класса К±;
б) в случае 2 из класса К2.
Доказательство теоремы 3 следует из теорем 1 и 2 с учетом
замечания 1.
II. Теперь предположим, что в постановке задачи 2 функция |х
не зависит только от vlt
1. Пусть Q — ограниченная область с кусочно-гладкой
границей. Обозначим через Ut вектор вида
(иг=(и1и Ulx., Ulvv * = 1, 2, ..., /г), где Ult=uXluVv UXXl = — щич—
п п
uvx jLA Jiuvi — Uvi 2j viux^ ^lxj == ^iux-^v^ 1 = 2,6, . . . , П,
1 2
n
U1Vl = utuXl + uXl 2 viuXi + uXl^fiUv., U1Vi= f{UVluXv 1 = 2, 3,... ,n.
В этом случае верна
Теорема 1'. Пусть компоненты известной и ограниченной
функции /=(/i, ..., /п) в уравнении (1) удовлетворяют следующим
условиям:
1) при п > 1 / не зависит от v;
6

2) /i — непрерывно дифференцируема по х{ и непрерывна по
остальным переменным на Q;
3) функции /,-, i = 2, 3, ..., /г, непрерывны на Q и не зависят
от координаты хи
Кроме того, пусть (и, \i) ^ Kt — решение задачи (1), (2).
Тогда справедливо равенство
I (< + &<) dQ = J <Ui,nydS
й \ х / ай
Доказательство. Продифференцировав уравнение (1) по
vi1 умножим полученное равенство на 2uXl- Тогда, используя
тождество (6) при /=1, можно получить утверждение теоремы.
2. Пусть Q есть область ^>0в пространстве R2n+i.
Обозначим через К3 множество вектор-функций вида
К* = {(и, (i)l(ieC1 (Q), wgC2 (Q), u<=L2 (Q), v\l2uXl <= L2 (Q),
urieL2(Q), г=Т7^г}.
Теорема 2'. Пусть функция f удовлетворяет условиям
теоремы Г, а функция <р удовлетворяет условию а) теоремы 2, (и, |х) ^
&#8 есть решение задачи (1), (2).
Тогда верно равенство
(п п \
ф*фв1 + ф«! 2 /*Ф»г + Ф*1 2 V*4*l
dV.
Доказательство теоремы 2' аналогично доказательству
теоремы 1'.
3. Теорема 3'. Пусть функция / удовлетворяет условиям
теоремы Г и /ix^O на Q. Тогда задача (1), (2) может иметь только
одно решение, принадлежащее классу Кх в случае 1 из пункта II
и классу К2 в случае 2 из пункта II.
Доказательство теоремы 3' следует из теорем 1' и 2'.
Замечание 2. Из доказательства теоремы 1' видно, что
условия на функцию / в теоремах 1', 2', 3' можно ослабить, а
именно в этих теоремах можно предполагать, что функции /,, i > 2, не
зависят только от координат vu Х\, хи а Д не зависит только от v{.
Замечание 3. Для единственности решения, в постановке
задачи (1), (2), независимость функции \i от Vi существенна. Это
видно из следующего построения.
Пусть и такая функция, что она совпадает на dQ с данной
функцией ф (предполагается, что dQ достаточно гладкая). Тогда
(и, 1и) будет решением задачи (1), (2).
Автор выражает глубокую благодарность Ю. Е. Аниконову за
предложение задачи и полезное обсуждение.
7

ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.
2. Поляченко В. Л., Фридман А. М. Равновесие и устойчивость гравитирующих
систем. М.: Наука, 1976. 447 с.
3. Костомаров Д. П. Власова кинетическое уравнение.— Математическая
энциклопедия. Т. 1, 1977, с. 720—721.
Ю. Е. АНИКОНОВ
О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
ПЕРВОГО РОДА
(Новосибирск)
Многомерные интегральные уравнения первого рода общего
вида мало изучены. Исследования в этой области связаны либо с
формулами обращения в частных случаях (например, формулы
преобразования Фурье, Абеля и др.), либо с приведением уравнения
первого рода ко второму, что иногда позволяет использовать теорию
Фредгольма. В данной статье приводятся результаты автора [1—4],
связанные с исследованием общих интегральных уравнений 1-го
рода:
j k(x,y)u(y)dy = W(x), x^DczR71. (1)
Rn
Здесь W(x) — заданная в области D <= Rn комплексыозыачная
функция, Их, у), x^D, у е Rn — комплексыозначное ядро, и(у) —
искомая комплекснозначыая функция.
Нас прежде всего интересует, с чем связана однозначность
решения уравнения (1), от каких свойств ядра Их, у) она зависит.
Специальные ограничения на ядро Их, у) будут отдельно
накладываться в нижеприведенных пунктах.
1. Геометрия носителя и однозначность. Предположим, что
ядро Их, у) представляется в виде
k(x,y) = ^(p,q)ei(px+,lv)dpdq,
В
где ф = ф1 + кр2, фг > 0, ф1 + ф2 > 0, (р, q) е=В — непрерывные
функции и В — некоторая ограниченная область в R2n.
Оказывается, однозначность решения уравнения (1) в классе
непрерывных финитных функций существенно зависит от
геометрии области В. Можно показать, что если В — квадрат (и = 1), то
при некоторых <р4, ф2, фг > 0 уравнение (1) имеет более одного
непрерывного финитного решения. Если же
В = {(р, q): 0<q<a(p),.0<p<l),
8

где а(р) > 0, р > О, а(О) = О — непрерывная функция, то уравнение
(1) имеет единственное решение в классе непрерывных финитных
функций при любых непрерывных ф4, ф2, ц>{ > 0. Приведем
достаточные условия на область В, гарантирующие однозначность
решения уравнения (1) в классе непрерывных финитных функций.
Пусть a(t)>0, а(0) = 0 — непрерывная функция, е>0
—фиксированное число. Рассмотрим полушар о)(/?) в Вп(р) с центром в точке
(/?!, р2, ..., рп-и 0) и радиусом а(рп):
® (р) = |?: 2 (Pi — Яо)2 + Я2п<ос (рп), qn > 0J. (2)
Теорема 1. Пусть для любого р, 0<р<г, пересечение
В(р) = В П Rn(p) — непустое открытое множество в Rn(p) и В(р) сг
dco(/?). Тогда уравнение (1) имеет не более одного непрерывного
финитного решения и(у).
Представляются интересными дальнейшие исследования связи
однозначности решения уравнения (2) и геометрией носителя В
спектральной функции tp(p, q), в частности когда носитель —
выпуклое тело.
II. Соотношение неопределенности. Прежде чем вводить здесь
ограничения на ядро Их, у) и формулировать результат, заметим*
что если в (1) ядро Их, у) зависит от разности (х — у) и
интегрируемо, то его двойное преобразование Фурье
Ф(Р,9)- J J b(x-y)eiPXe-iqydxdy = 7^k(p)6(p-q),
Rn Rn ^n)
где
%(р)= J k(t)eiptdt.
Rn
Таким образом, для уравнения (1) типа свертки носитель
функции ф(/?, q) =Ир)6(р — q) содержится в множестве p^q, р^Впг
q^Rn и единственность решения уравнения (1) в данном случае,
как хорошо известно, зависит от наличия вещественных нулей
функции Шр).
В более общем случае ограничения, накладываемые в данном
пункте на ядро Их, у) уравнения (1), заключаются в следующем.
1. Функция Их, у) непрерывна, принадлежит пространству Li%
х е Rn, у^Нпжее преобразование Фурье
Ф(Р,9)- f $k(x,y)eipxe-iq4xdy
RnRn
принадлежит LY как по обеим переменным р и q отдельно, так и в
совокупности.
2. Носитель В функции ф(/?, q) содержится в трубчатой
области:
Т = {(/?, q): (p-q)<a),
9

где а > 0 — некоторое число. При этом для любого p^Rn
пересечение В П {q: \q — р\ < а} имеет положительную га-мерную меру
-Лебега.
3. Если ф(/?, q) = Ц){(р, q) + Щгкр, д), то ф4 ^ 0, ф2 ^ 0, ф1 + ф2 >
>0, (/?, q)^B. Таким образом, в отличие от уравнений типа
свертки, носитель спектральной функции ф(/?, q) характеризуется числом
а > 0 — размером трубчатой области В. Оказывается, для
единственности решения уравнения (1) и при выполнении условий 1—3
необходимо, чтобы число а было связано неравенством с размером
области фипитпости решения и(у), которое мы называем
соотношением неопределенности: чем больше а, тем меньше размер области
•финитности и(у). Точное утверждение состоит в следующем.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1—3. Если носитель
непрерывного решения и(у) уравнения (1) содержится в шаре
\у\ ^ Ъ и выполнены неравенства
1
аЬ <! y ПРИ и = 1, е = 2,73 ...,
то решение и(у) единственно. *
III. Редукция к дифференциальному уравнению бесконечного
порядка. Покажем, что исследование интегрального уравнения
первого рода при весьма общих предположениях сводится к решению
дифференциального уравнения, вообще говоря, бесконечного
порядка. Перепишем уравнение (1) в виде
• J [к (*, у) e'ixy] eix»u (у) dy = W (z), * е= Д (3)
Rn
к введем обозначения
%(х, у) = к(х, y)e~ixy;
u(z)= j u(y)eix4y.
' Rn
Предположим, что Их, у) — целая функция по у, а искомая
функция и(х) — бесконечно дифференцируема и возможны
дифференцирования под знаком интеграла 13) с последующим суммированием.
При таких предположениях функция й(х) удовлетворяет
дифференциальному уравнению бесконечного порядка:
Ш, -Юй(х)) = Ш, x^D.
В частности, если Шх, у) — полипом по переменной у, т. е.
к(х,у) = S P*(x)yai
|a|<m
то функция и(х) удовлетворяет уравнению конечного порядка
S Pa{x)(-i)*aW(x) = W(x).
10

Используя теорию дифференциальных уравнений, в том числе
и для уравнений бесконечного порядка, можно получать результаты
и для интегральных уравнений первого рода.
IV. Редукция к уравнению третьего рода. Предположим, что
ядро к(х, у) в (1) имеет вид
к(х, у) = к0(а(х, у)),
где k0(t), t^Rn — комплекснозначная функция, а(х, у) —
вещественная вектор-фунщщя, х ^ Лп, у <= Rn. Таким образом, уравнение
(1) представляется в виде
$u(y)k0(a(z,y))dy = W(z). (4)
Rn
Предположим, что функции к0(х), W(x), а также искомая
функция и(х) непрерывны и принадлежат пространству L2(Rn)
вместе с их преобразованиями Фурье, к0(х) Ф О, а вектор-функция а(х,у)
обладает свойством: уравнение а(х, у) = t имеет решение у(х, t) =
= x + t + c(x, t), где каждая компонента сД#, t), i = j, 2, ..., nr
принадлежит пространству S как по совокупности переменных х и;
t, так и в отдельности.
Заметим, что если с (я, t) = 0, то уравнение (1) является
уравнением типа свертки, так как в этом случае а(х, у)=у — х. Пусть
\et\ — определитель матрицы
дс. \
— , «,/=1,2, ... ,л.
Рассмотрим функции:
и(у)= § u(x)e-ixydx, у ее В";
Rn
W(y) = l W(x)e-iX!dx, y<=Rn;
Rn
К(У) = $ kQ(x)eix4x, y<=Rn;
Rn
B^P)--7^l I K(t)emx+t)[e2 siH2 + l \c[\^\dtdx7
RnRn
ye=Rn,pe=Rn.
Лемма. Функция uiy) является решением уравнения (4?V
если и только если функция и(у) является решением интегральнога
уравнения 3-го рода:
и (у)к0 (у) = j В (у, р)и(р) dp + W (у). (5)
Rn
Приведем несколько результатов, полученных при помощи
представления (5).
11

Пусть cix, t) — финитна по переменной х, т. е.
с(х, *)=0, \х\ >r, t^Rn.
Предположим также, что k0(t) и искомая функция и(у) тоже
финитны, обозначим через /&0(й), йДй), й2(й), |й|=1, опорные
функции выпуклых оболочек носителей и(у), k0(t) и с(х, t)
соответственно.
Теорема 3. Если W(x)=0, x^Rn, то h0{h) ^АДй) — h2(ii),
\h\=A.
Теорема 4. Пусть k0(t)^0 финитно, c(x, t) — целая функция
экспоненциального типа по переменной х, а искомое решение и(у)
бесконечно дифференцируемо и финитно. Если
W(x) = 0, х е Д», го ю(у) =0,]/еГ
Пусть в (5) ядро Жг/, /?) непрерывно, и(у) — целая функция
экспоненциального типа. По теореме Пэли — Винера (и(у) ^
ei2(/?n))-ee преобразование Фурье ц(г/) имеет ограпиченный
носитель D:
и (у) К (у) = j u (р) B(y,p)dp+W (у). (6)
D
Положим
M = aup f|5(i/,p)l^
II
a = inf |£0(tf)|.
Теорема 5. Если а>Л/, го уравнение (6) имеет
единственное непрерывное решение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных
задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 120 с.
2. Аниконов Ю. Е. О единственности решения интегральных уравнений 1-го
рода.—Матем. заметки, 1973, т. 14, вып. 4, с. 493—498.
3. Аниконов Ю. Е. О единственности решения интегральных уравнений 1-го
рода с целыми ядрами.— Матем. заметки, 1980, т. 28, вып. 3, с. 401—405.
4. Аниконов Ю. Е. О единственности решения обратных задач в классах целых
функций.— Функциональный анализ и его применение, 1979, т. 13, вып. 4,
с. 57-58.
12

В. Я. АРСЕНИН
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТОМОГРАФИИ
(Москва)
1. В последние годы в диагностике различных объектов,
прежде всего в диагностике состояний различных органов человека, все
более широкое применение получает вычислительная томография
(ВТ) с использованием разных видов излучения: рентгеновского
(РВ-томография, РВТ), ультразвукового (УЗВ-томография, УЗВТ),
собственного излучения объекта, возникающего при ядерном
магнитном резонансе (ЯМР-томография, ЯМРТ) и др. Сущность
вычислительной томографии состоит в следующем.
Пусть f(M) — интересующая нас количественная
характеристика диагностируемого объекта. При использовании для диагностики
вычислительной томографии, например рентгеновской, исследуемый
объект просвечивается рентгеновскими лучами от внешнего
источника. Измеряются значения интегралов ) f(M)ds = p(Q) на не-
котором семействе прямых (или кривых) {«2%), зависящих от
параметра Q. По значениям p(Q) этих интегралов определяют
распределение /(ЛЯ упомянутой характеристики в исследуемом объекте,
например в теле человека, с последующим представлением этого
распределения в форме, удобной для его непосредственного
зрительного восприятия (визуализация /(ЛЯ).
Одна из математических задач РВ-томографии заключается в
нахождении решения интегрального уравнения первого рода
Rf= J f(M)ds = p(Q) (1)
относительно f(M).
Все упомянутые операции должны выполняться
вычислительным устройством практически в реальном времени.
2. Если нас интересует тонкий слой (плоское сечение) объекта
и {3?q\ — семейство прямых, инвариантное относительно вращения
вокруг начала координат, то R является оператором Радона и в
этом случае уравнение (1) сводится к уравнению типа двумерной
свертки [1—2]
л
f*± = S(x,y) = §p(l,Q)de. (2)
О
Здесь (/, 0) — нормальные координаты прямых 5?Q. Это основное
уравнение РВ-томографии. Если функция p(Q) обладает достаточной
13

гладкостью, то известна и формула обращения оператора Радона
(в 2- и 3-мерном случаях).
Следует отметить, что в результате измерений получают не
функцию pil, 0), а некоторую другую функцию qil, 0), связанную
с pil, 0) соотношением
оо
*jk(l'-l)p(l',Q)dl' = q(l,B). (3)
—оо
Таким образом, задача сводится к решению системы (2)—(3)
относительно / и р.
3. В диагностической практике результаты определения jiM)
весьма желательно вывести на экран дисплея (визуализировать
/(Л/)). При этом на экране мы видим геометрический образ,
характеризуемый функцией ЗПх', г/'), связанной с функцией fix, у)
соотношением
оо
j J В (х' - х, у' - у) Т (*', у') dx'dy' = f(x,y), (4)
I -r-OO
где Biz, v) — известная функция. Следовательно», для визуализации
fix, у) надо решать уравнение (4) относительно &~ix', у').
4. В зарубежных РВ-томографах уравнение (2) решается на
основе формулы обращения преобразования Радона, применимой
лишь для достаточно гладких функций piQ) и, вообще говоря,
неустойчивой к малым изменениям piQ). В советском томографе
СРТ-1000 для решения уравнений (2) —(4), по нашему
предложению, используются регуляризирующие алгоритмы [3],
конструируемые на основе идеи локальной регуляризации (переменного
параметра регуляризации) [4—7]. Это позволило получить в СРТ-1000
разрешение, в 4—5 раз лучшее, чем в зарубежных томографах,
использующих обращение преобразования Радона.
5. В РВТ используется постороннее к исследуемому объекту
рентгеновское излучение. Можно также использовать и собственное
излучение диагностируемого объекта, на чем основана ЯМР-то-
мография.
6. Рассмотрим вещество, содержащее ядра атомов водорода,
т. е. протоны, занимающие объем V. Пусть к объему V приложено
-» -»
однородное постоянное магнитное поле Н. Под действием поля Н
спин Si всякого протона (т. е. его собственный момент) будет пре-
цессировать около направления вектора Н (рис. 1) с частотой
—>
со? = *уЯ, Н— 11/711, где y — гиромагнитное отношение (своё для ядер
->
каждого химического элемента). Если Н неоднородно в V, то сор
имеет различное значение в точках объема V.
7. Если вместе с полем Н подействовать на спин Sx перемеи-
ным по времени полем H0it) с частотой сор, то и возникает ЯМР.
При этом вектор Si повернется на некоторый угол а (например,
14

Рис. 1.
\н
Протон
^te=^
Рис. 2.
а = я/2; рис. 2). Если H0(t) затем отключить, то спин 5\ за
некоторое время Т2 (время продольной релаксации спина) возвратится в
первоначальное положение. При этом излучается энергия. Мощность
этого излучения называется сигналом свободной индукции (ССИ).
Для получения полного ССИ (от всего объема V) достаточно
проинтегрировать элементарные ССИ от спина каждого протона по
объему V и пронормировать на V.
8. В томографе, основанном па ЯМР, надо уметь выделить
плоскости, а па них — семейства прямых, чтобы измерять ССИ от
спинов протонов, расположенных па каждой из этих прямых (т. е.
суммарное резонансное излучение в релаксационный период T2i
исходящее от протонов, расположенных на каждой из этих пря-
мых). Это достигается созданием в области V наряду с полем //
—* ->
еще двух полей (называемых градиентными) G{ и G2, т. е. созда-
пнем поля Н + Gi + G2.
В самом деле, пусть Gi = Zigi, G2 — l2g2, где gx и g2 — едииич-
—>
иые векторы, косинусы углов которых с вектором // равны {14 и j32.
Полю H + Gi отвечает резонансная частота соР = ^(Н + l^J. Такую
резонансную частоту имеют только спины протонов,
расположенных в плоскости
(г, gi)=PiJi-
J 1олю Н + G2 отвечает плоскость
(г, gi) = Мг,
(5)
(6)
в которой расположены все протоны со спинами, имеющими
резонансную частоту (др = ч(Н + $212). На линиях пересечения плоскостей
(5) и (6) (и только на них) расположены протоны со спинами,
имеющими резонансную частоту сор = ч(Н+ [Mi + [У2), отвечающую
полю Н + Gi + G2. Таким образом, с помощью создания
градиентных полей Gi и G2 можно выделить плоскости, пересекающие
объем V (путем выбора числовых параметров 1{ и k и единичных
векторов gi и g2), и на них — семейства прямых {3?Q}, и регистриро-
15

вать сигнал свободной индукции SU, в, t), т. е. суммарное
резонансное излучение, исходящее от протонов, расположенных на
упомянутых прямых J?.
По интегралам ] / (М) R (t) ds = S (Z, 0, t), от искомой фупк-
ции /(Л/), т. е. по значениям суммарного сигнала свободной
индукции S(l, 0, t) от протонов, расположенных на прямых 2?q = 3?(1, 0),
и определяется f(M). Здесь R(t) — релаксационная функция.
Отметим, что фактически измеряется интенсивность 3f(X, 0, t) излучения,
обусловленная свободной индукцией ядер атомов (водорода),
расположенных на прямой 3£(1, 0), и которая связана с S(l, 0, t)
соотношением
У(1, 0, о)) = /с|5(/, 0, о))|2, /с>0,
где &(1, 0, со) и S(l, 0, со) — Фурье-образы функций 3 и S по t.
Если
оо
/(/,9)= j ^(Z,e,(o)dco,
— ОО
— ОО
то нетрудно получить основное уравнение ЯМР-томографии
/?р= [ p(x,y)ds = p(l,Q),
где ,р(#, г/) — плотность распределения атомов водорода. Оно
сводится к уравнению типа свертки, как и в ранее рассмотренном случае
РВТ. Получаемые таким образом двумерное (трехмерные)
уравнения типа свертки в зарубежной литературе предлагается решать по
формуле обращения Радона (см. [1]), которое, однако, не всегда
существует и неустойчиво к малым изменениям р(1, 0).
Используя метод регуляризации, можно построить устойчивые
алгоритмы решения уравнения (6), позволяющие эффективно
восстанавливать па ЭВМ изображение внутренней структуры рхсследу-
емых объектов с достаточной точностью [6].
9. Кроме описанных математических задач вычислительной
томографии в ЯМР-томографии возникает также задача
математического проектирования томографической установки. В ЯМР-томогра-
фе можно выделить: 1) узел магнитного комплекса, формирующего
-» -» -»
магнитные поля Я, G{ и G2; 2) узел автоматизированного
вычислительного устройства, позволяющего определить /(АО на дискретной
сетке и видуализировать ее.
О задачах, относящихся ко второму узлу, говорилось выше.
Добавим лишь, что в этих задачах требуется промоделировать
алгоритмы обработки результатов томографических измерений и ука-
16

2
^
зать необходимую точность измерений, 1
достаточную для получения (с
помощью предлагаемых алгоритмов) нуж- -
ного разрешения в определении f(M).
Первый узел должен быть
достаточно экономным п обеспечивать созда- D, g
«, -, JrliC. о.
Hlie В Заданной ООЛаСТИ Соответствую- 2_4 _ магнитные катушки.
щих размеров (заштрихованной на
рис. 3) поля Я, отклонения от однородности которого не превосхо-
дили бы 10~5—10"6 (от величины поля Н). Типичная схема узла
приводится на рис. 3, но число магнитных катушек может быть
и большим. Требуется численным моделированием определить
оптимальное число катушек, ток в них, их размеры, геометрию
расположения и допуски отклонения от идеальной конструкции, т. е.
требования к точности и жесткости системы. Такое моделирование
производится (ИПМ АН СССР и ВМК МГУ совместно с
ВНИИКП).
Аналогичные математические задачи возникают и при создании
томографов, основанных на использовании других видов излучения.
10. Концепции вычислительной томографии можно с успехом
использовать в интроскопии различных объектов, в диагностике
плазмы (см. [7, 91). Так, при математической обработке
диагностических данных плазменных образований, не обладающих
аксиальной симметрией, с использованием концепций вычислительной
томографии возникают вопросы:
1) по какому минимальному числу прямых (кривых) 3? надо
знать интегралы J fds = р и по показаниям скольких детекторов
(фиксирующих излучение из плазмы) их получать, чтобы с
помощью выбранного метода приближенного решения основного (и
других) уравнения определять f(M) с погрешностью, не
превосходящей заданный уровень (см. [7]);
2) как при заданном количестве кривых (прямых) «S7, по
которым мы можем получить интегралы ] fds с заданным уровнем по-
грешности, построить алгоритм нахождения f(M), дающий
минимальную погрешность в /Ш), т. е. наилучшее разрешение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shepp L. A., Logan В. F. The fourier reconstraction of a head section.— IEEE
Trans. Nucl. Sci, 1974, N 21, p. 386-402.
2. Регуляризирующие алгоритмы и пакет программ для первого
отечественного сканирующего рентгеновского томографа СРТ-ЮОО/Тихонов А. Нм
Арсенин В. Я., Рубашов И. Б. и др. Препринт № 41. М.: ИПМ АН СССР, 1982.
3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд.
М.: Наука, 1979. 286 с.
4. Арсенин В. Я., Загонов В. П., Трахониотовская Р. А. О численном решении
интегральных уравнений первого рода типа свертки на неравномерных
сетках. М.: ИПМ АН СССР, 1978.- Препринт № 141.
2 Заказ М* 717
17

5. Арсенин В. Я. О численном моделировании и прогнозировании физических
экспериментов.— В кн.: Методы решения некорректных задач и их
приложения. (Труды Всесоюзной школы-семинара. Ноорус, 1981)/Под ред.
А.Н.Тихонова, М. М. Лаврентьева. Новосибирск, 1982, с. 5—12.
6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Рубашов И. Б. и др. О решении проблемы
восстановления изображения в ЯМР-томографии.—Докл. АН СССР, 1982,
т. 263, № 4, с. 846-849.
7. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. О возможности определения
количественных характеристик плазмы, не обладающей осевой симметрией.
Препринт № 167. М.: НИМ АН СССР, 1982.
8. Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики
плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. 238 с.
9. Мельникова Т. С, Пикалов В. В. Инверсия Радона в эмиссионной
томографии нестационарной плазмы. Препринт № 80—82. Новосибирск: ИТФ СО АН
СССР, 1982.
А. Б. БАКУШИНСКИЙ
РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ
В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ,
ОСНОВАННЫЕ НА ОБОБЩЕННОМ ПРИНЦИПЕ НЕВЯЗКИ
(Москва)
1. Для построения вычислительных процедур приближенного
решения линейных уравнений первого рода вида
Az = f (1)
широко используются конструкции аппроксимации и регуляриза-
зации. Если {Да}а>о — аппроксимирующее семейство операторов
для (1) в смысле [1, 2], то хорошо известно, что на его основе,
используя приближенные оператор Ah{WAh — AW^h}, правую часть
/б{Н/в —/И ^ 6) и й, 6, можно строить регуляризирующие алгоритмы
для нахождения решения (1). Суть такого построения состоит в
выборе подходящей функции а(б, h) и объявлении приближенным
решением (1) выражения /?а(б,Л)(Лл)/б. Обычно Ra строится в виде
функции от оператора задачи А. Символ R(Ah) означает, что
соответствующий оператор строится как функция от Ah. В нашей
работе [3] дана весьма общая схема доказательства возможности
выбора а(б, h) из обобщенного принципа невязки (ОПН), т. е.
аСб, h) выбирается как корень уравнения
ДЫл, /б, а) =р(6, Ю;
(2)
A(') = UhRaUh)h-hK
где р(б, /г) — некоторая подходящая функция (уровень невязки),
выбираемая априори.
В, [-3] упомянутая схема применялась для получения
принципов невязки для общих алгоритмов аппроксимации в гильбертовом
18

пространстве Ш. Однако сама схема не зависит от предположения
о гильбертовости пространства и если требуемые ею соотношения
могут быть проверены для какой-либо аппроксимации в банаховом
пространстве, то тем самым будет установлен обобщенный принцип
невязки для уравнения (1) в банаховом пространстве.
Ниже мы покажем, как можно использовать общую схему te
случае банахова пространства и задания Ra в виде,
предложенном в [2].
2. Будем предполагать для упрощения формулировок, что а^
е (0, оо) и множество допустимых а пе имеет на этом луче лакун.
Переход к ьбщему случаю осуществляется так же, как в [31.
Согласно [3], для установления ОПН нужно проверить выполнение
следующих условий:
корень (2) — al(6, h) существует по крайней мере при
достаточно малых б, h\ (3)
snpr (a) K(a) < оо, (4)
где
Ша(А)11<Я(а);
WAhRa(Ah)Ah-AhW^Ha).
Причем К(а) и г (а) не зависят от выбора Ah.
lim max (б, Л)/р (б, Л) - D (б + h \\ х |) = 0. (5)
Здесь D > \\AhRa(Ah)W; х — тот элемент A~lf, который
аппроксимируется элементами Raf и приближенное значение которого мы и
ищем. Нужно еще предположить, что Ы Ф 0. В ситуации,
рассмотренной нами ниже, а также в [3] это условие следует из
предположения II/H Ф 0.
НтЦ Да(6|Л)(Л) Ahx - х\\ = 0. (6)
Выполнения условий (3) —(6) достаточно для того, чтобы
lim sup I Rai6th) (Ah) f6 — x\ = 0, ■ (7)
Л->0 \\A-Ah\\<h
т. e. Ra(b,h)(Ah)f(, — приближенное решение (1) в смысле теории
регуляризации.
Покажем, как проверить эти условия в случае построения
аппроксимирующих семейств Ra по формуле (2) в рефлексивном
банаховом пространстве В:
В« = 4а f 1>(*.а)Н(*М)Л. - - (8)
Здесь R(X, А) — резольвента оператора А; -ф(А,, а) — подходящая
аналитическая функция X; Га — некоторый контур в резольвентной
2*
19

области. Существенным является то, что Ra и А перестановочны.
Будем предполагать, что выполняются некоторые оценки
роста резольвенты, именно
l|R(M«<|£i (9)
равномерно для всех операторов Ah и А. Область выполнения
оценки (9) может быть своя для каждой функции г|)(Х, а), но
обязательно в этой области должен найтись путь, идущий в точку X = 0.
Заметим, что для конкретных \|)U, а) невязка (2) —
непрерывная (и даже монотонная) функция а и существование корня
уравнения (2) при б, h-+0 и Ы1¥=0 доказывается так же, как и в
случае гильбертова пространства [3].
Учитывая условия перестановочности и условие (9), можно
проверить выполнение условия (4). Это нетрудно сделать для
примеров функций г|)(Х, а), рассмотренных в [2]. В частности, если
я|)(Я, а) = 1/Л + а, то г(а) = 0(а), К(а) = 0(1/а) и условие (4)
выполнено.
Условие (5) будет выполнено, если выбрать р(б, /г), как в [31:
р(б, W=C161-e + C2fe1-% 1>г>0, СиС2>0. (10)
Покажем, наконец, как проверить выполнение условия (6).
Если а(6, h) -*0, Л-^0, 6-^0, то при выполнении (4) и (5)
соотношение (6) будет справедливо. Это следует из теоремы 1
работы [4]. Если а(б, h) A 0, то проверка выполнения (6)
проводится так. . )
Не ограничивая общности, считаем, что
lima (б, h) = афО.
6-0
В силу (9) и рефлексивности В
В = А(В)®кегА (11)
и в (6) х ^А(В) — единственное решение (1) в этом
подпространстве.
Очевидно, в силу непрерывности Ra no a
lim Ra(6)h)Ahx = w = R~AX.
С другой стороны, в силу перестановочности
Ла(6, Л) (Ah)Ah — AhRa(6, h) (Ah).
Поэтому w^ARaX^AXB). Так как p(6, h) -> 0, A-*0, б -> 0, то
и; — решение (1). В силу (11) оно должно совпадать с х.
Утверждение (6) доказано и в этом случае. В заключение приведем один
конкретный принцип невязки в виде теоремы.
Теорема. Пусть В рефлексивно и для оператора А на
отрицательной части вещественной оси выполнено условие (9). Пусть
20

это же условие выполнено для всех операторов Ah. Для
аппроксимаций Ra, построенных по формуле
R* = (a + A)-\
справедлив обобщенный принцип невязки (2) с р(б, h), выбранной
по формуле (10).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бакушннский А. Б. Один общий прием построения регуляризирующих
алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом
пространстве.— Журн, вычисл. математики и мат. физики, 1967, т. 7, № 3, с. 676—681.
2. Бакушннский А. Б. К проблеме построения линейных регуляризирующих
алгоритмов в банаховых пространствах.— Журн. вычисл. математики и мат.
физики, 1973, т. 13, № 1, с. 204-210.
3. Бакушннский А. Б. Принцип невязки в случае возмущенного оператора для
общих регуляризирующих алгоритмов.— Журн. вычисл. математики и мат.
физики, 1982, т. 22, № 4, с. 989—993.
4. Бакушннский А. Б. Об устойчивости и области сходимости некоторых
регуляризирующих алгоритмов.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1976,
т. 16, № 1, с. 228—232.
А. С. БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
(Ленинград)
Рассмотрим изэнтропическое распространение акустических
волн в движущейся среде. Предположим, что как свойства среды,
так и скорость ее движения являются функциями одной
декартовой координаты z и не зависят от времени и от других координат.
Изучим две основные ситуации.
1. Пусть среда является слоистой; х, z — декартовы
координаты (z направлена по вертикали, х = {хи х2) — горизонтальные
координаты). Скорость движения среды v перпендикулярна оси z
(v есть двумерный вектор). Движение происходит в однородном
dp
поле силы тяжести, так что jr = — pg, где р — давление; р —
плотность среды; g — ускорение свободного падения. Напишем систему
уравнений акустики движущейся среды *
7Г + <у' V) Pi + "> ^ + Р (V. и) + Р я7 = 0;
Tt + (у, v)« + и> Yz+ j vpi = 0; (!)
- + (v,V)w + |р1 + JTz(c*Pl) = 0.
* Эта система выведена Д. И. Блохинцевым [1].
21

Здесь pi — акустическая плотность (возмущение плотности р);
{и, ю) — акустическая скорость; w — вертикальная, и^ 9Р —
горизонтальные компоненты; V — двумерный градиент по
координатам х; (.,.) — скалярное произведение в R2.
Рассмотрим решение системы (1), зависящее* лишь от z и
т = t — (со, х), где со —фиксированный двухмерный вектор. Очевидно,
это решение удовлетворяет системе
/л / ч\ др1 , дР (ди \ , ди> п
(1 -(<*,и))ж + u>fz-p[Tx , coj + р^ = 0,
(1-(со,г,))- + ш--1Гсо-^ = 0, (2)
(l-(co^))^ + fp1 + ^№) = 0.
Отметим также, что системе (2) удовлетворяет преобразование
Радона рь и, w от произвольного решения системы (1). Здесь
преобразование Радона ^определяется формулой (см. [2]): если <р =
= ф(#, z, £), то <р = ф(т, z, со) = jj б(т+(со, х) — t)q>{x, z, t)dzdt.
Параметр со мы всюду считаем достаточно малым, так что при
всех z Г = (1 — (со, v))2 — |o)l2c2 >0 (последнее уЪловие выполнимо
при ограниченных v и с).
Сделаем замену
Z
у = f c-i-VTdz, xh = с1 /2r-x 4((1 -(со, i;))"1 /FPl- (- 1)>)х
о >
Хехр U|c-ir-1/8dr,} (i=l,2).
Тогда для {г|)1, г|)2) получим систему
где
К, = -К2^К, (4)
Я = г;/4Г - 4/2^ - £/2с /Г + (о), v)y/(l - (со, у)).
Пусть мы знаем значения функций $'{ и "Фг при z = 0, причем
*tilz=o== б(т) + Мт), г|:2и=о = А2(т), б(т) — функция Дирака, Ы(%)
U* = 1, 2) — гладкие функции при т >0, йг(т1т<о = 0, пусть также
№ = фг — 0 при т < 0. Известно, что этих данных достаточно для
однозначного определения коэффициента К в системе (3) (см.,
например, [3D. Задача отыскания К в существенном сводится к ре-
* Решение такого вида возникает, например, если из однородного
неподвижного полупространства на движущееся и слоисто-неоднородное падает,
вообще говоря, наклонно-плоская волна. Вектор со характеризует направление
падения волны.
22

шепию линейного интегрального уравнения второго рода
(уравнения типа Гельфанда — Левитана — Марченко).
Пусть теперь заданы три пары функций Л/ (т), h2J (т) для
трех фиксированных значений со = со0) (/ = 0, 1, 2), причем со(0) =
= 0, а векторы со(1) и со(2) линейно независимы. Пусть найдены
соответствующие функции* К0)(у{3)). Оказывается, по тройке
функций К°Чу{})) функции c(z) и v(z) могут быть однозначно
найдены. Для их отыскания приходится решать обыкновенные
дифференциальные уравнения.
2. Предположим, что скорость движения среды v(z)
направлена вдоль оси z (v(z) — скаляр), среда предполагается
одномерной, т. е. все функции, описывающие акустическое поле, зависят
только от z и t. Такая ситуация реализуется при распространении
звука в трубах с текущими по ним газом или жидкостью. Пара
функций pi, w (обозначения те же, что и в п. 1) удовлетворяет
системе уравнений
(5)
dPx , dp , dw , dp . dt> n
dw , dw , d(c\) . do , dw n
Предположим, что \u\ <с. Сделаем замены переменных
z г
. , Г v j С cdz , УРС fw ■ Pi\
о о
L о
где штрих обозначает дифференцирование по г/. В результате мы
вновь придем к системе уравнений (3) для ifi, г|:2, однако
соотношение (4) не имеет места:
Г /Р' vc . 2vcr cv' v'\ -, I,
J (V —* + 737 " Jw ~ t) *i j x
По-прежнему рассматриваются задачи определения
характеристик среды по заданным функциям Мт) и h2(r) (г|:1|у=0 = б(т)+
+ Ai(t), ^>2ly=o = Л2(т), \|)Jt<o = 0). Невыполнение соотношения (4)
препятствует использованию техники линейных интегральных
Kx^Kv{y)^ — техр
р ]/"г
* Обратим внимание па то, что переменная у = I —~dz зависит от вы-
о
бора о). Отсюда — индекс j у у.
23

уравнений. Поэтому для большинства рассматриваемых ниже
задач используются нелинейные вольтерровские интегральные
уравнения, аналогичные приведенным в работе [3]. Для
перечисленных ниже постановок обратных задач доказаны теоремы
единственности и условной устойчивости в целом, теоремы
существования в малом. Результаты такого типа имеют место для
задачи нахождения:
1) функции р7р при известньгх viz) и ciz);
2) функции v' при известных piz) и ciz) (при этом
накладывается априорное требование: v не обращается в нуль);
3) функции с' 1с при известных piz) и ciz);
4) функции г/, но в отличие от постановки 2 в
предположении, что в среде отсутствуют источники вещества; в последнем
случае выполнено соотношение pv = const. Отметим, что
допущение о наличии источников не является физически абсурдным
(например, утечка газа в трубах).
Наконец еще две постановки обратных задач возникают, если
положить, что число Маха мало, \v\ < с, и уравнения
линеаризованы по отношению к — (отброшены члены, имеющие порядок
Of Til-В этом случае рассмотрены задачи нахождения одной из
функций с' 1с или vp7cp при заданной другой. В случае
неизвестной vp4cp задача сводится к линейной системе уравнений второго
рода вольтерровского типа. Поэтому в данной постановке имеет
место теорема существования в целом.
Во всех перечисленных в п. 2 постановках обратных задач
неизвестной является лишь одна из функций, входящих в
выражения для коэффициентов системы (5), остальные приходится
предполагать заданными; в задачах из п. 1 могут быть найдены
одновременно все интересующие нас функции. Причина указанного ка-
чественого отличия в результатах заключается в том, что в
слоистой среде (п. 1) мы имели дело, по существу, с семейством
обратных задач, зависящих от параметров (о.
ЛИТЕРАТУРА
1. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука,
4981. 208 с.
2. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и
теория представлений. М.: Физматгиз, 1962. 422 с.
3. Благовещенский А. С. Об обратных задачах теории распространения
нестационарных волн.— В кн.: Прямые и обратные задачи теории дифракции.
Л.: Изд-во ИРЭ, 1979, с. 115-141.
24

Б. А. БУБНОВ
ЗАДАЧА КОШИ И СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
(Новосибирск)
1. В области <?т = (0, T)XRnXR, x^Rni */е#, рассмотрим
уравнение
Lu = к(х, t)ult + aQ{x, t)ut + a(x, t)u — Axu +
+ M(x,y,t)u = f(x,y,t), (1)
Mu^bix, ^иуу + Ь{(х, у, t)uy + b2(x, y, t)u, a>6>0, k>6>0;
^(g) = b|5+1-S H l^Rn+\ (2)
2=1
На знак формы A(\), \^Rn+\ не накладывается никаких
ограничений.
Задача Коши. Найти в области QT решение уравнения
(1), удовлетворяющее следующим условиям:
и|*=0 = и«1«=о = 0. (3)
Заметим, что поскольку мы не накладываем ограничений на
знак формы 4(g), \^Rn+i, то в класс задач (1), (3) входит, в
частности, задача Коши для гиперболического уравнения с данными
на плоскости непространственного типа.
Краевые задачи для уравнения вида (1), когда коэффициенты
оператора М не зависят от переменных г/, изучались в
работах [1—5].
Будем считать, что коэффициенты уравнений (1) достаточно
гладкие.
Определим оператор свертки М[ЬХ1 следующим образом:
М [Щ и = ехр (— а \ X \t) I j[fc2 (k—s)—isb1 (к—s)] exp (at \ s \) и (s) ds\,
(4)
где &2, bi — преобразование Фурье функций b2, &i по
переменным у.
Рассмотрим функции
Ч>, = тах| *—Ьг(х, Kt) |, I = 1, 2, т = 0,1; $0 = (О, Т) X Rn.
Qo dt
Лемма 1. Пусть ^ < С4 ехр (—a2l^l), 02>O,
25

в! = ехр К | Я, |) j Vi (Я - s) (1 + s2) exp (- ax | s \) ds;
CO
oo
a2 = exp(di| A,|) j \|)2 (A, — 5)exp(—ax \s\)ds,
CO
2a2 - oi > 0.
Тогда al(k)^C2(l+X2)1 a2(k)^C2, X^R.
Доказательство леммы основано на свойствах специальных
функций. Нетрудно заметить, что класс функций Ъи Ь2,
удовлетворяющих условию леммы 1, не пуст.
Определим класс функций Si(o')" следующими соотношениями:
J I и |2 dQ0 + J | ^'Д"^",1' ехРll*I(*' ~ 2a<)]<^<?o^ЛГХ(u)<oo,
(5)
a' = Gj + a3£, o3 < 0, а
-<x>Qft
и(А) — преобразование Фурье функции и по переменным у.
Наравне с задачей (1), (3) в области Q0 = (О, Т) X /?п
рассмотрим задачу Коши для уравнения
Pv(K) = Kvtt - Axv + vt(a0 + 2КШа) + via + a2VK+ o\X\a0) -
-bX2v + M[il]v = f(l)exp(-a\l\t), ' (6)
" v\t==0 = vt\t=0 = 01 (7)
где оператор MUkl определен формулой (4).
Лемма 2. Пусть функции -фДЯ) удовлетворяют условию
леммы 1. Тогда для любой функции /Ш, такой, что
со
£(/) = j/Wo + J J
/? exp (a4) | Я | +
f
1+|X
i exp (.
<MM)1
X
40 -°° Q0 ■
X exp (— 2a | A, | *) dkdQ0 < oo,
существует единственное решение задачи (6), {7), для которого
справедлива оценка (v2 = vv).
+ |[^jexp(|X|a1) + Uft+'|Vx|2 + ^|2+2.i;«i«i);<
i,J=l
X exp (a41X |)
dXdQ0^CE(f),
0 < a4 < o„ 2a2 > a, - 2a?7 + ОзГ > 0, ot - 2oT + a,T > 0,
o26- 1Ы 2г=6г>0, -о3Я- 1 >63 >0, a3<0, a>0.
2.6

Доказательство. Вначале установим априорные оценки
па решения задачи (6), (7). Для этого рассмотрим интеграл
оо t
j j j[Pmi +Rrp(VM + vr,ui<W.
— оо о RU
После интегрирования по частям получим (ф = exp (oj^l + o0t +
+ O.UU), Go<0)
оо оо t
v* (2а0 + 4К_| к | а -_(а0 + а, | Х|)ЛГ-^)Ф
___________ X
Г f J__*-_*+ f f f
J J i + ixi3 ■ J J J i + me
— оо дп —оо О RK
оо
xdXdtdx+ j ji;2(a2 + a2^2ii: + a|X|a0)
qdXdx
-co Rn
+
— OO 0 Rl>
oo t
1 +1X Is
-oo 0 Rn
oo oo t
1 ' ' —oo Rn —oo о ДП
oo t _
/- - \i го Г Г Г f^ffiA,] w, + М[Щ v-u.)
+wо».+-о]^л** + j j j ^ ;+|Мз t}x
' ' —00 О ДП
oo t
XydUtdx= J j" j /"t + /t,3 (fdXdtdx. (8)
— oo о ДП
Оценим последний интеграл в левой части тождества (8)
оо t оо t
oo t °° oo t
ШIT!!?^ + c» ITTT*Л ШyV^'
-oo 0 RU ' ' -oo -oo о ДП
q>lAT[a]i;|2<( j 1;2фЛ <pexp(-2<rt|*|) j [\b2(K-s)\2 +
+ (1 + *2) | b1 (I - 5) |2] ф"1 exp (2a* | s \) ds\,
Cx — не зависит от К.
27

Из леммы 4, тождества (8) и этой оценки за счет выбора
следует
J |„4, + i4')+,;,. + ui, + |v,»f„+lxi,(p^<Ci£(/) (9)
-ooQ0
Если теперь рассмотреть интеграл
oo t
j j j [(Pv)tvti + (Pu)t • vtt] exp (a0t + a4 11 \) dldtdx,
-oo О ДП
то, используя оценку (9), получим оценку из леммы 2.
Справедливость леммы 2 теперь следует из оценки и метода
продолжения по параметру.
В области QT рассмотрим сопряженную задачу к задаче
(1), (3)
L*u == Kutt + ut(2Kt — a0) + u(Ktt + a — aoi) — Axu +
+ M*u = ty(x, y, t), * (10)
(11)
M*u^buyy— (blu)v+ b2(x, y, t)u.
Определим оператор M*[iXl по формуле
OO OO
M* [iAJ u = J £2 (X — *) и (s) ds—ub l2 + ik j' bx (X — s)u (s) ds, (12)
— oo —oo
ЬЬ fe2M — преобразование Фурье функций fei, fe2(#, #, £) по
переменным у.
В области Q0 рассмотрим*следующую задачу:
P*v(k) = tfi;„ + i;,(2tf, - a0) + v(Ktt + a-a0,) -
— A«i; + ЛГ *[».] i; = -ф(Л), (13)
v\t-T = vt\t=T = 0, (14)
где оператор М*[й]у определен формулой (12).
Лемма 3. Пусть функции ifyM, Z = 0, 1 удовлетворяют
условию леммы 1. Тогда для любой функции г|)Ш, такой, что
оо
£i(<p)^tfWo+ j J
^2exp(a41|M)+^ Д^ ''
X
Q0 -°oQ0
X exp [- 2a |A.| (2T—t)] dUQ0 < oo,
существует единственное решение задачи (13), (14), для которого
справедлива оценка
28

J J 1 4 .'.в 6XP [|X I((Tl1 + 2CT^ " 4аГ)] ЙЫ(?0 +
-ooQ
IM
exp [|А.|(а41 + 2а*—4аГ)] dkdQ0^:CE1 (i[),
^ Г n
+ j j| y« + IV*i;tl2+ 2 v!.*.|
-ooQ0L i,j=l J
0<а41<аи, 2вг> вп-4сТ >61>0, а2б-1Ы^б2>0, o4i > 4o7\
Доказательство леммы 3 полностью совпадает с
доказательством леммы 2.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 3, тогда для
решения задачи (1), (3) из класса *S1(a1i) справедлива оценка
устойчивости
f u2dxdydt<^( f fdxdydtY* [N± (u)]1/2,
Qt \Qt J
класс Si — определен в (5).
Доказательство. Пусть и — решение задачи (1), (3) из
класса ЗДон). Рассмотрим задачу (13), (14) с правой частью и.
По лемме 3 следует, что существует единственное решение vCk)
этой задачи и для него справедлива оценка из леммы 3.
Определим функцию
оо
2 (я, #, 0 = ^-T7i J v(X)exp(—iXy)dK.
— с»
Из равенства Парсеваля и оценки из леммы 3 следует, что
функция z определена корректно и для нее справедливы оценки:
J U2 + | Vxz |2 + А + z\t + i] z%.x + I Vxzt I2 + z2y + z-
dxdydt^.
Г п
<C I j U2 + I V^l2 + v\ + v2tt + £ v2.Xj + | Vxvt\2 +
-oo Qn L
+ X2(l + X2)v2
2
С С\и\* + \й, \г
dXdQ0 < С) \ \' f'exp [| X | (au-2crt)] dM0e<
Далее из построения функции z следует, что она является
решением задачи (10), (И) с правой частью и. Тогда из тождества
О = J (zLu — uL*z) dxdydt = J (zf — u2) dxdydt
Qt Qt
следует утверждение теоремы 1.
Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда для
любой функции fix, у, £), такой, что
E(f) < «>,
29

существует решение задачи (1), (3) из класса 5i(0i).
Доказательство следует из леммы 2 и равенства Парсеваля.
2. В области Q+ = (0,T)xRnxR\, R% = B*[] (y>0),
рассмотрим уравнение
Lu = K(x, t)utt + a0(x, t)ut + u(x, t)u —
— Axu + b(x, t)uyy + b2(x, у, t)u = f(x, у, t), (15)
A (6) = bnl2n+i - 2 Й + Ь«,62п+., Б е /?n+2,
z=l
b(x, ^иУу = ЬпиихУ1 + Ь22и y2y2, bu = bu(x,t).
На знак формы 4i(g), §e/?n+2, мы не накладываем никаких
ограничений.
Смешанная задача. Найти в области Q+ решение
уравнения (15), удовлетворяющее начальным и граничным условиям
Uy\y=0 = 0, И* 11==0 = ИI *=о = 0. (16)
Будем предполагать, что функция b2(x, y^ t) удовлетворяет
следующим условиям: а) Ъ2 — гладкая, четная по переменной у\
б) Ь2(х, у, t) удовлетворяет условию леммы 1 вместе со своими
производными по t первого порядка.
Теорема 3. Пусть выполнены условия а), б). Тогда для
любой функции fix, у, t), четной по переменным у и
удовлетворяющей условию теоремы 2 существует единственное решение задачи
(15), (16) из класса S{.
Доказательство теоремы 3 проводится по схеме, изложенной
в теоремах 1, 2.
Замечание. Задачу Коши и смешанную задачу для
уравнений вида (1), (15) можно изучить, как и в работе [6], в
предположениях, что К(х, t) > 0, а0(#, t) ^ 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для
ультрагиперболических уравнений и псевдопараболических операторов.— Докл. АН СССР, 1963,
т. 148, № 5, с. 1013-1016.
2. Бубнов Б. А. Задача Гурса для одного класса неклассических уравнений
второго порядка.— В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. 51. Новосибирск,
1981, с. 17—29.
3. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 285 с.
4. Бубнов Б. А., Врагов В. Н. К теории корректных краевых задач для
некоторых классов ультрагиперболических уравнений.—Докл. АН СССР, 1982.
т. 264, № 4, с. 795—800.
5. Бубнов Б. А. Краевые задачи для одного класса уравнений, содержащего
производную по времени.— Докл. АН СССР, 1982, т. 265, № 6, с. 1292—1296.
6. Бубнов Б. А. Корректность смешанной задачи для одного класса
ультрагиперболических уравнений. II.— В кн.: Краевые задачи для нелинейных
уравнений. Новосибирск, 1982, с. 3—29.
30

А. Л. БУХГЕЙМ
МНОГОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ *
(Новосибирск)
В работе доказываются теоремы единственности задач
определения коэффициентов или правой части дифференциального
уравнения по заданным следам решения. Метод доказательства
основан на получении априорных оценок с весом, принимающим
максимальное значение на тех многообразиях, на которых
известны следы решения. Таким образом, единственность обратных
задач доказывается па такой же схеме (восходящей к Карлеману),
что и единственность задачи Коши.
1. Обратные задачи, коммутаторы и априорные оценки.
Первый (стандартный) шаг при исследовании вопросов единственности
и устойчивости обратных задач заключается обычно в сведении
исходной, вообще говоря, нелинейной задачи к линейной. В
результате мы приходим к линейной задаче определения пары функций
и, / из условий
Р" = /, <?/ = £• (1)
Здесь Р— оператор «прямой» задачи; @ — «информационный»
оператор, описывающий закон изменения правой части; g — заданный;
и, / — искомые элементы соответствующих функциональных
пространств. Применяя оператор Q к первому уравнению (1), получаем
QPu = g или, что то же самое,
PQu^[P, Q]u + g,. (2)
где [Р, Q] = PQ — QP — коммутатор операторов Р и Q. Как
правило, о функции / известно только, что Qf = g (нет граничных
данных). Поэтому оператор Q легче изучать на решениях прямой
задачи и, которые удовлетворяют соответствующим краевым
условиям. Кроме того, в типичных приложениях оператор Q не
«портит» той части граничных условий, которые описывают область
определения оператора Р. В результате происходдт своеобразная
факторизация обратной задачи (1) в произведение двух «прямых»
задач, порождаемых операторами Р и Q при условии, что
коммутатор [Р, Q] «подчинен» операторам Р, Q. В простейшем случае
[Р, Q] = 0 и исходная задача распадается на две более простые:
Pv = g, Qu = v. Частный случай такой обратной задачи исследован
в [4]. Из уравнения (2) видно, что изучение вопросов
единственности и устойчивости обратной задачи сводится к изучению свойств
операторов Р, Q, [P, Q]. Обычно эти свойства описываются с
помощью некоторых априорных оценок. Проиллюстрируем приведен-
* Изложение основано на работе автора [1]. Близкие результаты
получены независимо от нас и в то же самое время М. В. Клибановым [2].
Результаты работ [1, 21 анонсированы в [3]. По поводу других методов исследования
обратных задач см. [4, 5] и указанную там литературу.
31

иые выше общие соображения на примере классич^ской обратной
задачи для волнового уравнения.
Пример 1. В области Q = {х, t\x&(0, Л, \t — T\<T — x)
требуется определить гладкие функции и(х, t), а(^ из уСЛ0ВИй:
iitt — uxx — a(x)u = 0, U, О^й, (3)
и(0, t) = h(t), МО, *) = 0, *€=[0, 2Г) (4)
и(х, яг) = 1/2, же [О, Я. ' (5)
Задача (3) —(5) порождает нелинейное операто|)Ное уравнение
АЫ, а, К) = 0 относительно неизвестной пары функци£ ц а (фуНК_
ция h задана). Предполагая, что у нас есть два решени'я (и а)
(и2, а2), соответствующие одной и той же функции /^ приходим*к
линейной задаче для функций u = Ui — u2, a^a^ — аг\
Ри зэ ии — um — а2(х)и = uta = /, (g)
и(0, *) = 0, и*(0, *)=0, *е[0, 2Я, (7)
и (а:, #)=0, #^[0, Г]. (g)
Правая часть / удовлетворяет уравнению ujt ^ J* = q rpaK
как щ(х^х) = 1/2, то при достаточно малом Т по непрерывности
w^ObQh, следовательно,
(J/^A-aniiiW-O. (9)
Пусть
\\ufm= 2 ||^а"||2(й), D = (Dt,Dx).
На функциях и, удовлетворяющих условию (8), ^меем
llttlli < cWQuW^ (ю)
Для yeC2(Q), У(0, *)=0, vx(0, *) = 0
blli < сГ11РЫ10. (И)
Действительно, в силу ограниченности а{ имеем \\пи\\ <^ ||ptt[| -f
+ сЫ10, поэтому оценку (11) при малых Т достатс^чно проверить
для оператора П = Dt — D\. В этом случае она веп0Средственн0
вытекает из формулы Даламбера. Так как [Р, Q] -^ оператор
первого порядка, то
IILP, Q]u\\0^c\\u\\l. (12)
Положив v = Qu и применяя оценки (10) — (12} к уравнению
PQu^lP, Q]u, получим
Httlli < cWQuK < c2TWPQu\\0 = c2TW[P, Q]uW0 < с*пу|1в
Отсюда при с3Т < 1 имеем и = 0, / = Ри = 0, т. е. ^ __ Wa a = а2#
При / = 0 из (6), (7) следует, что и(х, t) = 0 при t^x x^[q t].
Повторяя описанную выше процедуру с данными (7) для х = Т
получаем гг = 0, а = 0 при хе=[Т, 2Т] и т. д. В итоге получается
единственность решения в целом.
32

2. Теорема декомпозиции. Вернемся к задаче (2) в общей
постановке. Пусть Q <= Rn — открытое ограниченное множество,
такое, что Q = Qfl{(p>0}, где q)^C°°(Rn); Р, # —линейные
дифференциальные операторы порядка т и I соответственно с
коэффициентами из C°°(Q). Предположим, что Г = <9О\{ф = 0} и S^Q —
гиперповерхности класса С^°°, а решение и уравнения PQu= [Р, Q]u +
+ g принадлежит Cm+l(Q) и удовлетворяет следующим граничным
условиям:
^и|г = 0, к «Cm — I; d(Hs = 0, Л — 0, Z — 1, (13)
где dv — оператор дифференцирования вдоль единичной нормали
v к Г или S соответственно. Будем говорить, что операторы Р и
Q коммутируют в главном, если порядок [Р, Q] не превосходит
т + I — 2. Положим
CZm= C^Q)(][u\d U\s = 0, Л: = 07^}.
Теорема 2. Пусть существуют числа с, т0 >0, такие, что
для всех т^То имеют место оценки
VueC(S), TlufU-^clM,,, (14)
l«fi.«- S |eT^a"|2(Q),
Vue Ci-iI»R,m+i-.<4Qu||T2,m_i (15)
u операторы P, () коммутируют в главном. Тогда, если гипоповерх-
ностъ Г характеристична относительно Q, то решение задачи {2),
(13) единственно.
Доказательство. Пусть в (2) g = 0, i|) e С^(ЛП), l>\Sp>
> 0, if) = 1 при ф > s, ф = 0 при s' > ф ^ 0, где 0 < s' < s. К
функции i|w после процедуры замыкания применима оценка (15).
Аналогично в силу характеристичности Г относительно Q к Qtyu
применима оценка (14). Так как PQu=-[P, Q]u, то -фи. удовлетворяет
неоднородному уравнению PQtyu = [P, (Л-фм-Н-/, где /== [ф, [Р, (Й —
— PQ\u. Применяя оценку (15) для функции ^и и (14) для
функции Q^u, имеем
| pi tm+i-t < 2^2т"1|| [Р, Q] *и to + IcH-11 /fT,0. (16)
Порядок [Р, @] не превосходит ш + Z — 2, поэтому при
достаточно большом То первое слагаемое в оценке (16) можно сделать
для т > to меньше, чем
Отсюда
||^||?,т+,_2<4Л-1||/||2т,0. (17)
Так как t|) = 1 при <р > 5, то / = 0, если ф > s, и, следовательно,
максимум веса ф в норме ||/|т,о равен s, т. е.
l/fi..<e»w|/H8(Q)-
3 Заказ № 717 33

Замечая, что норма Щи\\х, m+i-2 по области Q больше, чем та
же норма по области Qa = Q Г) {<р > $}, минимум веса ф в которой
равен $, имеем
e2TS||u||i2(Qs)<|^fT,m+^2.
Подставляя эти оценки в (17) и устремляя т-*°°, получаем
Итак, и = 0 в Qs. При s-+0u = 0bQ. Теорема доказана.
В следующем очевидном варианте теоремы 2.1 ослабляются
условия на коммутатор [Р, Q].
Теорема 3. Пусть существуют числа с, т0, такие, что при
т > То имеют место оценки
Vи е С (Q) т || и Ц?,,^ < с || Ри fT,0,
/ V«gC-i ШЛ 0иfi.o<<?№£„_!. (18)
Тогда, если Г характеристична относительно Q и Кег (? = {0} «а
функциях aeCl+m(Q) и удовлетворяющих условиям (13), то
решение задачи (2), (13) единственно.
Пример 2. Рассмотрим две краевые задачи:
PjUj^ S ^(^)/)4- + <(^)/)aVi==s/(^)?a^ao, (19)
|a|<m
^|Г = ^, A = 0f те —1, ^ |s = А, 7 = 1,2. (20)
Здесь Q — ограниченная область в /?п, выпуклая в направлении
хп, причем 0«ОП{а?|(з\ 0)^5), S = Qfi{xn = 0}, ф€=С°°(Дп),
Q П {<р > 0> = Q; Г = 9Q\{cp = 0) —- гиперповерхность класса С00,
характеристическая относительно Dn; /, g, h — заданные функции;
a0 — фиксированный мультииндекс. Коэффициенты главной части
оператора /\ не зависят от хп за возможным исключением
коэффициента при 1С, а сам оператор Pi удовлетворяет оценке
т|и|?|т-.1<с1Р1ц|г,о VueC^(Q), т>т0. (Достаточные условия
для выполнения .этой__оценки приведены в [6]J_ Предполагается,
что аа(х), Dnaa(x) e C(Q), а функции щ, Dnu^Cm(Q).
Теорема 4. Пусть D °и2(х)Ф0 при хе Q. Тогда тг/?и сде-
ланных выше предположениях ui ss u2, Яа0 = Яа0- Другими словами,
решение обратной задачи определения коэффициента Яа0 из уело-,
вий (19), (20) единственно.
Доказательство. Положим u=^ui — uz, Q = Dn + 6,Ь=*
= Z)n In Da°u2 (x), w = (a«0 — aa0) J9%2. Тогда Pxu = w, Qw = 0,
<9v^ |r = 0, A: = 0, иг —-1, и \s = 0. Коммутатор [Л, (Я имеет вид
а (х) Dn + ..., где многоточием обозначены младшие члены,
поэтому легко видеть, что II[Ри Q]u\\Xtm-i<c\\Qu\\x,m~i. Применение
теоремы 3 завершает доказательство.
Примеры обратных задач, допускающих декомпозицию для
уравнений второго порядка, приведены в [1—3]. Теоремы 2—4 с
34

использованием результатов работы [7] очевидным образом
переносятся на случай неизотропных весовых норм. Это значит, что в
теоремах 2—4 числа т, I могут быть мультииндексами: т =
= (ти т2, ..., mft), l=*(lu ..., О, nii^mz^mn, li^k^...^ln.
При этом условие I a I ^ m, участвующее в определении нормы
Wit, m, заменяется на \а:т\ = вц/Шц + ... + ajmn < 1 (причем
0/0^0), числа т и I в (13) заменяются на пгп и 1п соответственно,
в оценках (14), (15) в выражениях /7г — 1, т+1 — 2 1 = (1, ... 1),
2 =г|(2, 2, ..., 2) и т. п. Проиллюстрируем сказанное простейшим
примером. Пусть x^R2, t^R\
Пример 3. Требуется определить гладкие функции и(х, t),
а{х) из условий щ — Ди — а(х)и = 0, #2>0, и(х, 0)=/Ы=^0,
x&R2, x2>0, u(xh 0, t)=g(xu t),uX2(xu 0, £)=0. Полагая в
теореме 2.1 яг=(1, 2, 2), Z=(l, 1, 1) и действуя, как в примере 2.1,
получаем единственность этой обратной задачи сначала в области
Q — U, х\с — хг — Шг\)2 — {xJbY > 0, х2 > 0), где число г\ такое,
что и(х, t) Ф 0 в Q, затем в силу независимости а(х) от £ в области
с — х2 — (xJbY > 0, х2> 0, и, наконец, ввиду произвольности
чисел с и 6 в области #2>0, Используемая при этом оценка (13)
доказана в [7]. Результат примера 3 сохраняется при замене
оператора Лапласа А на общий эллиптический оператор второго порядка.
Замечание. Если в уравнении (2) g^O, то доказательство
теорем 2, 3 приводит к гельдеровским оценкам устойчивости
Wlo.m-i в области Q2s eQ П {ф>2$/. Если задачи Коши для
операторов Р и Q с данными на Г и S соответственно корректны, то
обратная задача (2), (13) корректна в Соболевской шкале
пространств и, в частности, с помощью стандартной техники
доказывается теорема существования. Применение этого подхода к
коэффициентной обратной задаче приводит, вообще говоря, к локальной
теореме существования (ввиду ее нелинейности). Таким образом,
вопросы корректности обратной задачи сводятся к
соответствующим вопросам для двух отдельных уравнений Pv = gh Qu — g2.
По этой причине теоремы 2, 3 названы теоремами декомпозиции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бухгейм А. Л. Карлемановские оценки для операторов Вольтерра и
обратные задачи.— В кн.: Вопросы корректности обратных задач. Новосибирск:
ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 11-21.
2. Клибанов М. В. Единственность в целом обратных задач.—В кн.: Вопросы
корректности обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 60—71.
3. Бухгейм А. Л., Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса
многомерных обратных задач.— Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 2, с. 269—272.
4. Безнощенко Н. Я., Прилепко А. И. Обратные задачи для уравнений
параболического типа.— В кн.: Проблемы математической физики и
вычислительной математики. М.: Наука, 1977, с. 51—63.
5. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
6. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными
производными. М.: Мир, 1965. 400 с.
7. Исаков В. М. О единственности решения задачи Коши.—Докл. АН СССР,
1980, т. 255, № 1, с. 18-21.
35

В. А. ВИНОКУРОВ
АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
И РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТЬ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
(Москва)
Одной из наиболее плодотворных идей в теории некорректных
задач была предложенная М. М. Лаврентьевым схема выделения
компакта при решении обратных задач с помощью некоторого
вспомогательного, вполне непрерывного линейного оператора [1].
Изложим некоторые результаты по регуляризуемости и оценке
погрешности решения линейных обратных задач, полученные при
развитии схемы М. М. Лаврентьева.
Рассмотрим следующую обратную задачу. Пусть X, Y, Z —
банаховы пространства; В : Z -+• X, А : X ->■ Y — линейные
ограниченные инъективные отображения. Нас интересует регуляризуемость
функций А"1 и (АВУ1 и оценка погрешности прдближенного
решения уравнения
Ах = у * (1)
в случае приближенного задания правой части у. В общем случае
отображение А~* нерегуляризуемо, т. е. уравнение (1) не допускает
сходящегося алгоритма приближенного решения.
Для построения устойчивого решения уравнения (1) М. М.
Лаврентьев [1] предложил рассматривать отображение не на всем
пространстве X, а лишь на множестве Л/г = 5<2/г, где °Ur = {zeZlllzll <
< г) — шар радиуса г пространства Z. При дополнительных
условиях рефлексивности пространства Z и компактности оператора В
множество Мг <= X будет компактом, и по теореме о непрерывном инъ-
ективном отображении компакта обратное отображение будет
равномерно-непрерывно на множестве Nr^AMr. При этом погрешность
приближенного решения уравнения (1) на множестве Мг
оценивается с помощью модуля непрерывности обратного отображения А~* на
множестве Nr:
со (б, г) = sup | хх — х21. (2)
x1GiMr,x2G:Mr\\Ax1-Ax2\\K6
После введения А. Н. Тихоновым понятия регуляризуемости
[2] выяснилось, что при введенных дополнительных
предположениях обратное отображение A~i регуляризуемо на множестве N' =
= ABZ и отображение (АВ)'1 регуляризуемо (см. [3D. Цель нашей
статьи продемонстрировать эффективность применения понятия
регуляризуемости в топологических пространствах и апостериорных
оценках погрешности, введенных в работах [4, 5] для изучения
регуляризуемости и оценки погрешности решения обратных задач.
1. Следуя работе [41, изложим некоторые используемые, далее
факты о регуляризуемости в топологических пространствах.
Обозначения, принятые в этом пункте, не зависят от введенных ранее.
36

Пусть X, У — топологические пространства; £Г(Х), 3T{Y) —
системы их открытых подмножеств; 2х, 2Y — системы всех их
подмножеств; /—функция с областью определения £(/)<= X и с областью
значений E(f) <= У.
Определение 1. Отображение Й:2Х-+2Г называется регу-
ляризатором функции /, если выполнены условия:
V4e2J, A(\D(f)¥*0\R(A)*0; « (3)
Ух es D(f) У2 е T(Y), 2? э /U)3G е 0~Ы,
(4)
G^x VA<=2X, G=>A^x\RU)a2?.
Функция f, для которой существует хоть один регуляризующий
алгоритм, называется регуляризуемой. Известно, что
1) любая непрерывная функция регуляризуема;
2) суперпозиция непрерывной функции с регуляризуемой,
взятая в любом порядке,— регуляризуемая функция;
3) суперпозиция двух регуляризуемых функций в общем
случае не регуляризуема.
Для интерпретации результатов по апостериорным оценкам
погрешности решения обратных задач удобно ввести следующее
понятие.
Определение 2. Регуляризатор R функции f называется
строгим, если выполнено условие
Yx^D(f) Vg^TiY), &^f(x) ZGseT(X),
(5)
Gebx V4E21, Сэ4эж|/ЫеШ)с]?.
Функцию /, для которой существует хоть один строгий
регуляризатор, назовем строго регуляризуемой. Очевидно, любая
непрерывная функция строго регуляризуема тривиальным алгоритмом.
Условие (5) отличается от (4) лишь заменой в (4) R{A)<=^2? на
/ЫеШ)е.?, т. е. в случае строгого регуляризатора
гарантируется не только принадлежность множества приближенных значений
R(A) зафиксированной окрестности 9? точного значения функции
/U), но и включение ДС4)э/(#). Строго регуляризируемая функция
обладает таким свойством, что, применяя к ней регуляризуемую
функцию, мы получаем снова регуляризуемую функцию.
Пусть функция g действует из топологического пространства У
в топологическое пространство Z.
Теорема 1. Если R : 2х -+- 2Y — строгий регуляризатор
функции /, а 3*: 2Г ->■ 2х — регуляризатор функции g, такой, что ^(В) Ф
Ф 0, если B^2Y, ВФ 0, то суперпозиция &R — регуляризатор
суперпозиции gf.
Доказательство. Проверяем выполнение условий (3), (4)
определения 1.
Если Ле21и4П D(gf) Ф0, то iH D(f) Ф 0, и так как
отображение R — регуляризатор, то R(A) Ф 0 и по условию теоремы
&(ША))Ф0.
37

Для любой точки x^D(gf) и для любого открытого множества
&agf(x), так как отображение 3* — регуляризатор функции g%
существует открытое множество W <= Y, такое, что
V#€=2r, /WsBclf|0(B)c5?, (6)
Так как отображение R — строгий регуляризатор функции Д то
существует открытое множество G^x, такое, что
УЛе2х, x&AcG\f(x)€*R(A)&W. (7)
Из (6), (7) вытекает утверждение теоремы.
Из теоремы 1 следует, что не всякая регуляризируемая
функция строго регуляризуема, так как суперпозиция двух строго регу-
ляризуемых функций — всегда регуляризуемая функция, а
суперпозиция двух регуляризуемых может быть нереогуляризуема.
2. Замечательным фактом теории некорректных обратных
задач, обнаруженным в последнее время, является существование для
них апостериорных оценок погрешности, или в сформулированных
выше терминах — строгая регуляризуемость.
Теорема 2. Если А :Х-+ Y — инъективное отображение
с замкнутым графиком ^-компактного хаусдорфова топологического
пространства X в топологическое пространство *Y, то обратное
отображение А"1 строго регуляризуемо (см. [5]).
Отметим, что о — компактность топологического пространства X,
означает его представимость в виде счетного объединения компактов
и эквивалентна существованию на X стабилизирующего
функционала. Из теорем 1 и 2 вытекает
Теорема 3. Если F — регуляризуемая функция, действующая
из топологического пространства X в топологическое пространство
Z, то в условиях теоремы 2 функция FA*1 регуляризуема. Итак,
возможно устойчивое вычисление любой регуляризуемой функции от
решения обратной задачи на а-компакте.
В работе [5] построен в явном виде строгий регуляризатор
отображения А'1 в условиях теоремы 2.
Регуляризирующий алгоритм в смысле А. Н. Тихонова с
апостериорной оценкой погрешности, утверждаемый теоремой 2, может
быть построен следующим образом.
Пусть Z — сепарабельное рефлексивное банахово пространство;
X, У — нормированные пространства; В :Z-+ X — инъективное
компактное линейное отображение; А : X ->- У — инъективное
непрерывное линейное отображение, причем ABZ = У; а, Ъ — произвольные
положительные числа.
Для каждой пары (j/, б), y^Y, 6>0, определим множество
Sly, 61 - {х сз XI \\Ах - у\\ < б>
и, элемент х& s #6(j/, 6), такой, что х6 = {Bz6 e Sly, 61),
||z6 К inf |*| +a.
<z€ZlBz€i?[yte]}
Определим числа
г(у, б) a \\z6W + Ь \
38

я х(г/, Ь)*=А1вт{х&Х\х&&1у, 61, x = Bz, \\z\l<r(y, 6)}.
Утверждается, что полученное семейство отображений Л«: Y -*• X,
б > 0,— регуляризатор в смысле А. Н. Тихонова, и выполнена
апостериорная оценка погрешности:
Vx&Bz Я6Ы>0 Уб<6Ы Vi/e Г,
Ux-y\\<Wx-R6(y)\\^7i(y, б).
(Доказательство см. [5].)
Нетрудно видеть, что величина х(г/, 6) оценивается сверху
через модуль непрерывности обратного оператора (2) следующим
образом:
х(г/, б) < 0(26, Ну, б)),
а величина со(б, г) вычислена для ряда важных задач (см. [6]).
4. Применим теорему 3 к доказательству следующего факта.
Пусть Z, X, Y — нормированные пространства, В : Z -*- X — инъек-
тивный оператор; А : X -*■ У — инъективный оператор с замкнутым
графиком.
Теорема 4. 2?сш оператор В компактен и обратный
оператор В"1 регуляризуем, то и оператор (АВ)"1 регуляризуем.
Доказательство. Обозначим через Кп — замыкание
множества {х е Х\х = Bz, Hzll < и} в X, тогда множество х0а X,
оо
#0 = U ^п в топологии, наследуемой из X, а-компактное топологиче-
п=1
ское пространство. Функция F^B~l, рассматриваемая из Х0 в Z,
регуляризуема по условию теоремы, а сужение А/Х0 — инъективное
отображение с замкнутым графиком. Применима теорема 3, и
отображение (АВ)-1 регуляризуемо.
Проводя рассуждения в неметризуемых топологических
пространствах, для линейного случая можно доказать следующую
теорему.
Теорема 5. Если Z — сепарабелъное банахово пространство;
X—банахово пространство; операторы Л, В — линейные; оператор
В слабо компактен и с регуляризуемым обратным; то отображение
регуляризуемо.
Условия на оператор В в теореме 5 выполняются, как правило,
если В — оператор вложения, например В : C{h) -> 3?2, к = 0, 1, 2, ...
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода.— Докл. АН
СССР, 1959, т. 127, Я2 1, с. 31—33.
2. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач.— Докл.
АН СССР, 1963, т. 153, Ш 1, с. 49—52.
3. Винокуров В. А. О погрешности приближенного решения линейных задач.—
Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1972, т. 12, № 3, с. 756—762.
4. Винокуров В. А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах
и обратные задачи.— Докл. АН СССР, 1979, т. 246, ДО 5, с. 1033—1037.
5. Винокуров В. А., Гапоненко Ю. Л. Апостериорные оценки решений
некорректных обратных задач.— Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 2, с. 277—280.
6. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных
задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 275 с.
39

м. г. глсымов
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЧЕТНОГО ПОРЯДКА НА ВСЕЙ ОСИ
(Баку)
Пусть Pj(x), 7 = 0, 1, ..., 2п — 2, являются вещественными
функциями на (—оо, оо), имеют соответственно непрерывные производные
до /-го порядка включительно и
Pi (х) =
2 pfsexp(— sx), # > О,
Цр*ехр(яг), х<0.
5=1
(1)
Далее предположим, что оператор L, порожденный
дифференциальным выражением
2п—2
I (у) = (- 1)У2П) (х) + 5 Pj (х) ув) (*), (2)
з=о
в L2(—оо, оо) является самосопряженным. Введем понятие
совокупности данных рассеяния для оператора L и докажем, что по ним
коэффициентные функции pj(x) определяются однозначно. Укажем
процедуру восстановления pj(x).
Для одномерного уравнения Шредингера на всей оси (случай
п = 1) обратная задача теории рассеяния полностью решена в
работе [1] в предположении хр{х) е£Д—оо? оо). В рассматриваемом нами
случае удается доказать теорему единственности решения обратной
задачи. Частный вид потенциала обеспечивает существование ядер
операторов преобразования. Из проведенных ниже рассуждений
вытекает, что теорема о единственности решения обратной задачи
теории рассеяния имеет место также в более общих ситуациях (см.
[2]), когда существуют ядра операторов преобразований. Например,
основные результаты работы остаются в силе, если
Pi (х) = 1
J pf (°0 exP (— ax) da, х > О,
1
+ i
) Pj(a)exp(ax)da, x<0
1+оо
или функции ps(x), 7=0, 1, ..., 2п — 2, при х>0 (при х<0)
удовлетворяют условиям типа аналитичности из работы [2] и
экспоненциально убывают вместе с производными.
40

1.0 специальных решениях уравнения 1(у)=±к2пу. Пусть
/+(#, к)— частное решение уравнения
1(у)=к2пу, (3)
которое при х > О имеет вид
/+ (х, к) = exp (ikx) + j K+(x, t) exp (ikt) dt,
X
2П — 1 oo oo ^
j=l m=l a=m \ J/ \ у /
(4)
(5)
Здесь o)j = exp (j/nni), числа i4na определяются через р%. Точно так
же введем частное решение /-(#, к) уравнения (3), которое при
х < 0 имеет вид
/_ (х, к) = ехр (гЛя) + j К-(х, t) exp (ikt) dt,
(6)
а ядро КАх, t) вычисляется так же через pjs> Заметим, что по
известным К+(х, t) и К-(х, t) коэффициентные функции pj(x)
восстанавливаются однозначно.
Очевидно, что функции f+(x, ktoj) (/-(#, &g)j)), / = 0, 2и —1>
образуют фундаментальную систему решений уравнения (3).
Поэтому при каждом к > 0 уравнение (3) имеет лишь два линейно
независимых и ограниченных по х^ (—°°, °°) решений.
Подберем эти решения следующим образом:
щ (#, к) =
п—Ъ
Щ (х, к)
/+ (я, к) + 2 «j (fe) /+ («i йсо,-), * > 0.
i=o
n-l
/_ (я, — к) + 2 Мч (А) /- (*> Л(0,), x < °»
n-l
/+ (х, — А) + 2 ctj (Л) /+ (я, &ю,-), я; > О,
n-l
/-(*,*) + STj(*)/-(«,&Dj)t ЛГ<0.
(7)
(8)
2=0
Здесь коэффициенты «/&), [%(&), а/Л) и ^Ш определяются из
условия непрерывности
ui(+0,k) = ui(—0,k), / = 0,2/г—1, 5 = 1,2, (9)
и, следовательно, являются мероморфными функциями по к,
определены при всех к>0 я при к-^+оо ведут себя как (К1/А).
2. Разложение по собственным функциям оператора L.
Непрерывный спектр оператора L совпадает с [0, oo)t на котором может
быть конечное число собственных значений %iy .. ♦, кг с соответствуй
U

фа (ж) = <
(10)
ющими ортонормированными собственными функциями ф4(#),
I.., фгЫ. Тогда
п-1
2 Mjsf+ (я, ^(Oj), # > 0,
i=i
n-i ^
2 Mjs/_(^,Acoj), #<0,
j=i
где Л/j« и Ми — постоянные числа. В дальнейшем полагается, что
М08 и М0а равны нулю при s = 1, г. Оператор L имеет также
конечное число отрицательных собственных значений Xr+i, .\., Я* с
соответствующими ортонормированными собственными функциями
Фг+iU), ..., фкгЫ. Пусть &s = >/\, argAs=^. Тогда
Фз (ж) =
f п-1
2 Мj$f+ («, &«©,•), я > 0,
n-l #w
2 Afjs/_ (я, &,©,-), х < 0.
(И)
Теорема 1. Пусть ty(x) е-L2(—°°, «>). Тогда имеет место
следующее спектральное разложение по собственным функциям
оператора L:
N °°
s=l
где
a* = J 'Ф (я) Ф« (#) ^i
— 00
oo
F«(&)=J г|5 (ж) us (ж, k) dx, s = l,2.
(13)
(14)
3. О решениях задачи теории рассеяния. Функции ехр (ikx) и
ехр (—ikx) являются решениями уравнения (3) при р^х) ва 0. В
связи с этим следующие два уравнения называются уравнениями
задачи теории рассеяния:
M±(*,ft)=»exp(±*fcc)— J R0(x,t,k) 2 Pi{t)u{±{t,k)dt, (15)
j=o
где
n-i
Rlxtk\-i V;eXP(*tojl*-'l)
(16)
Теорема 2. Дри каждом k>0 и к¥*к8, s = l, r, каждое урав-
лецце задачи теории рассеяния имеет единственное решение в
классе ограниченных функций и
* * и+(х, к) = щ(х, к), и-(х, к) = и2(х, к).
42

Очевидно, что асимптотические поведения решений задачи
теории рассеяния и нормированных собственных функций оператора
полностью определяются совокупностью величин:
UjUc), Oj(k); Л., Mi9; s = l, N, 7=0, тг-О
ПрИ X -*• +«> и
{цэШ, ъ(Ю; К Mj3; s=H, N, 7 = 0, л- 1>
При #-* — оо.
Всю эту совокупность назовем данными рассеяния оператора L.
Первую совокупность назовем правыми, а вторую — левыми
данными рассеяния.
Ставится обратная задача определения коэффициентов рД#),
/ = 0, 2п — 2, по данным рассеяния оператора L.
4. Основные интегральные уравнения. Положим
n-l
exp (ikx) + 2 sj (Щ ехР (*A©jic), х ^ О,
n-l
exp (ikx) + 2 № (A) exP (— iktojx), x < 0,
?i (*.*) =
(17)
i>2 (*,&) =
n-l
exp (— ifcc) + 2 aj (*) exP {iktojx), x^ 0,
i=o
n-l
exp (— ikx) + 2 Уз (*) exP (— iktyx), x < 0,
(18)
J=0
e,(*) =
n-l
2 ^j«exP(ik8(Ojx), x^O,
i=o
n-i ^
2 Mj8 exp (— ik8(ujx), x < 0,
» / 2
^o(«.«)es? J 2m«(^*)m-(''*)--2cos*^-*)
F (я, t) = FQ(x, *) + S 6f (x) Щ.
s
«=1
(19)
dfc, (20)
(21)
В этих обозначениях из равенства Парсеваля (12) можно
вывести основные уравнения типа уравнения В. А. Марченко
00
К+ (х, t) + F (х, t) + j К+ {х, \) F (l, t) d£ = 0, x > 0, (22)
X
x
K-(x,t) + F(x,t) + J JP_(*,g)F(&f*)d&-0, * < 0, (23)
43

где функция перехода Fix, t) полностью определяется с помощью
данных рассеяния.
Заметим, что интеграл (20) существует локально в метрике L2.
Однако из основных уравнений вытекает, что Fix, t)
экспоненциально убывает и даже имеет специальный вид.
5. Единственность решения обратной задачи. Каждое основное
интегральное уравнение при больших значениях Ы имеет
единственное решение. Следовательно, из (22) и (23) единственным
образом определяются K+ix, t) i0<x<t<°°) и КЛх, t) i—<*><t<
^х<0), а по ним однозначно восстанавливаются pjix). Таким
образом, имеет место
Теорема 3. По данным рассеяния оператора L
дифференциальное выражение Ну) с коэффициентами вида (1)
восстанавливается единственным образом,
6. Связи между данными рассеяния. Поставленная выше
обратная задача переопределена. Между данными рассеяния имеются
определенные связи. Замечая, что нами еще полностью не найдены
независимые данные рассеяния, приведем некоторые соотношения
между ними. Очевидно, что при /с >0 функции u{ix, к) и u2ix, к)
также являются решениями уравнения (3) и ограничены по х.
Поэтому л
щ(х, k)=Aik)u,ix, k) + Bik)u2ix, к), (24)
u2ix, к) = Cik)Uiix, к) + Dik)u2ix, к). (25)
Из (24) при х -+■ +оо находим, что
п-1 __
ехр (— ikx) ~+ 2 sj (*) ехР (— ifaujz) = A (A) vx ix, к) + В (A) v2 ix, к).
3=0
(26)
Отсюда, принимая во внимание линейную независимость системы
(ехр (ik(djx)}, находим, что
Ж&)=-1+ «,(*), (27)
A(k)(i + s0(k))+B(k)<!0{k)=0, (28)
sn4{k)=A(k)s}(k)+B(kh}{k), j = l,n-l. (29)
Аналогично из (25),при х-*- +°° находим, что
Ш)=оД (30)
1 = С(кШ + «,(&)] + Dikho(k), (31)
о„_,(Л) = СШз;Ш + D(k)C)(k), j = 1, п - 1. (32)
Используя те же самые соображения, при х-*- — <» из (24) и (25)
находим следующие соотношения:
ЮТ-Ж*), (33)
1 = ЖЛ)ц,(*)+Я(&Х1 + То(*», (34)
44

\1пЧ(к)=А(к)1цШ+ВШъШ9 / = 1, и-1, (35)
1 + ^Щ=СШ, (36)
О = C(ft)|i0(ft) + B(k)(l + folk)), (37)
^~Ш = С{кЫк) + В(к)ъШ, ] = 1, п-1. (38)
Приведенные выше соотношения являются уравнениями связи
между данными рассеяния оператора L.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фаддеев Л. Д. Свойство S-матрицы одномерного уравнения Шредингера.—
Труды Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1964, т. 73, с. 314—336.
2. Хачатрян И. Г. О существовании оператора преобразования для
дифференциальных уравнений высших порядков, сохраняющего асимптотику
решений.—Изв. АН АрмССР. Сер. мат., 1979, т. 14, №6.
Т. И. ЗЕЛЕНЯК, М. М. ЛАВРЕНТЬЕВ (мл.)
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНО
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
(Новосибирск)
Слово «асимптотически» в названии статьи относится не к
временной или пространственной переменной, а к самому решению.
Дело в том, что модельные уравнения диффузионного типа со
знакопеременным асимптотически положительным коэффициентом при
старшей производной, играющим роль «кинематической вязкости»,
стали применяться для описания нелинейной неустойчивости и
автоколебательных движений сплошной среды. Это смешанные задачи
вида
щ = а" (их)ихх + \хииХ1 (1)
и\х=0 = и\х=1 = 0, u\t==0 = u0{x) (2)
(штрихи означают дифференцирование функции а по всему аргу-
менту их), где гладкая функция а"(§) может менять знак в
конечной области изменения § и строго положительна при достаточно
больших значениях |§|.
Следует отметить, что в настоящее- время не доказаны теоремы
существования решений таких задач при попадании начальных
данных в область отрицательной «вязкости».
Прежде чем переходить к описанию результатов и обсуждению
этих моделей, рассмотрим методику, позволяющую получить
некоторые результаты в данном направлении. Речь идет о функциона-
45

- лах, являющихся аналогами функций Ляпунова в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.
При изучении различных вопросов качественной теории
уравнений математической физики давно и плодотворно используется
метод энергетических оценок. Исследование устойчивости решений
параболических задач, естественно, заставляет искать аналогии в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. в методах
Ляпунова. На этом пути построена теория устойчивости
стационарных решений автономных параболических задач (см. работы Т. И. Зе-
леняка, В. С. Белоносова, М. П. Вишневского, М. В. Фокина и
других, например, [1]).
Наряду с функциональными соотношениями вида
|Z(«) = -*», (3)
где Z, F положительно определены, и — решение рассматриваемой
задачи, оказалось полезным изучение функциональных соотношений
вида (3), где только F положительно определен. В честь Александра
Михайловича Ляпунова такие функционалы мы называем
функционалами Ляпунова.
Завершающая теория поведения в целом повремени решений
нелинейных автономных параболических задач с одной
пространственной переменной получена по методикам, связанным с этими
функционалами. В нее входит критерий устойчивости в первом
приближении, справедливый также и для многомерных задач
п п
jj- = 2L а\эинх1 + Ad aj>Uxi + au>
u\t==Q = U0(x), wLeao^O.
Асимптотическая устойчивость в первом приближении нулевого
решения равносильна существованию функционала Ляпунова вида
где рЫ, р^х) >&>0.
Аналогичный результат справедлив и для общей краевой задачи.
При изучении параболических систем, обладающих
функционалами Ляпунова, были получены новые, более удобные в
приложениях, формулы для вычисления индекса Морса краевых задач для
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, весьма
важные, например, в задачах управления, возникающих при
математическом моделировании химических реакторов.
Сосредоточимся в основном на изложении результатов,
относящихся к априорным оценкам решений уравнений со
знакопеременным коэффициентом диффузии. На возникновение таких ситуаций^
в задачах метеорологии указывается в монографии В. Старра [21.
Н. Н. Яненко заметил, что уравнения этого мпа возникают при
46

исследовании конечно-разностных аппроксимации уравнении с
частными производными (см., например, [3]).
Г. П. Курбаткин с соавторами [4] провели численные
эксперименты по определению этого коэффициента с использованием
экспериментальных данных, однако для окончательного подтверждения
его знакопеременности требуется, видимо, другая методика.
Большой интерес представляет задача нахождения эффективного
коэффициента вязкости в уравнениях, описывающих процессы в
вихревых камерах. Известны результаты расчетов, использующих
экспериментальные данные, на основании которых можно предположить,
что в этих уравнениях коэффициент вязкости меняет знак.
Другие * соображения в пользу таких моделей можно найти в
литературе.
Задача (1), (2) исследовалась в работах [1, 5], для гладких
решений ее была получена априорная оценка
г 1
J J Wt + {a" (их) uxxf\ dxdt + sup (| u\ + \ ux\) < С (4)
0 0 *,*
и доказаны теоремы существования решений соответствующих
смешанных задач для регуляризованных уравнений (1):
- Щ + е —т = я" (их) ихх + \ших,
дх*
щ + е—т = а и(х) ихх + \ших.
дх
В работах [1—5] и других было исследовано стационарное
уравнение (1), проведено большое количество численных экспериментов,
для задачи (1), (2) построена разностная схема, на решениях
которой получены аналоги некоторых из оценок (4). Укажем также
работу [6], где рассматривается знакопеременный коэффициент
вязкости, зависящий от осредненного значения градиента скорости их.
Для уравнения (1) поставим смешанную задачу общего вида
а0их — фо(и) 1*=о = а4их — г^Ы |х=1 = 0, и\ t==0 = u0(x). (5)
При помощи аппроксимации дифференциальных операторов по
пространственной переменной конечно-разностными операторами
уравнение (1) сведем к системе обыкновенных уравнений
щ (t) = а' (и|,я), _ + ^- {и\ + щщ-г + и*-г), _, (6)
i-x „ ui+i-ui г 1
где u^-L--!^, u^.-^-J>, ^=лф, i = UM
с соответствующими аналогами начально-краевых условий.
Разрешимость системы (6) для достаточно малых h доказана
при дополнительных условиях согласования на рост функций г|)»(|),
а'(|) [7]. Получена равномерная при Л>0 оценка
• J 2 [WiY + (a' (uiiX), -)2] hdx + sup 2 u\xh + sup u\ < С. (7)
0 i^l T i=l i,x
47

Специальным образом построенные по решениям системы (6).
функции Uhj заданные на всем прямоугольнике U, t) е [0, 1] X
X [0, 71, назовем приближенными решениями задачи (1), (5).
Оценка (7) гарантирует слабую компактность множества приближенных
решений в пространстве W\. Тем не менее этим методом «конечных
разностей», как и другими известными методами, нам не удалось
доказать теорему существования обобщенного решения задачи (1),
(5). Конкретнее, не удается обосновать предельный переход по
параметру регуляризации в главном нелинейном члене а'(их), т. е.
установить адекватность полученного этим предельным переходом
тождества и следующего из (1) интегрального тождества.
Наличие дополнительного ограничения а"(§)Х) при всех |
позволяет доказать разрешимость задачи (1), (5) в смысле
выполнения тождества
Г 1
) J [Щ — а" (их) ихх — \ших] ф (х, t) dxdt = 0
о о
для всех Ф «г L2([0, 1] X [О, Я).
Кроме того, в случае и. = 0 для приближенных решений
удалось получить [8] равномерную при h > 0 оценку
duh\
sup
x,t
дх
<с,
т. е. предложенный способ регуляризации уравнения (1) в ряде
случаев позволяет доказать для решений системы (6) полный аналог
оценки (4).
В заключение приведем пример линейного уравнения
параболического типа со знакопеременным коэффициентом, разрешимого при
всех достаточно гладких начальных данных
щ =* (1 + ехр (—i)) sin t • Uxx,
u\x=o = u\x=n = 0, u\t=o=»u0(x).
Действительно, решением этой задачи является функция
и (х, t) = 2 сп ехр — п2 (1.+ ехр (— т)) sin xdx J sinrcz,
(8)
где cn — коэффициенты Фурье разложения начальных данных и0{х)
в ряд по sin nx.
t
Сходимость ряда (8) следует из того, что J sinxdt не отрицав
о
t
телен, a J exp(—т)зттйт,как нетрудно видеть, строго больше нуля
о
при £>0 последовательно, и бесконечно дифференцируемо для всех
t > 0, если щ достаточно гладкая.

Аналогичный пример можно привести и для уравнения вида
а(*)и, «и»,
где a(t) удовлетворяет условию Гёльдера.
Таким образом, за счет повышения гладкости в зоне обычной
вязкости решение может не успевать разрушиться в области
«отрицательной вязкости».
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоносов В. С, Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теории
квазилинейных параболических уравнений.— Новосибирск: НГУ, 1975. 156 с.
2. Старр В. Физика явлений с отрицательной вязкостью. М.: Мир, 1971. 264 с.
3. Яненко Н. Н. Об уравнениях со знакопеременным коэффициентом
диффузии.— В кн.: Вычислительные методы в математической физике, геофизике
и оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1978, с. 29—33.
4. Яненко Н. Н., Курбаткин Г. П., Крупчатников В. Н., Эйхер М. Ш. Об одной
модели циркуляции атмосферы с локальным знакопеременным
коэффициентом турбулентности.— Числен, методы механики сплошной среды, 1976, т. 7,
№ 1, с. 137-153.
5. Зеленяк Т. И., Новиков В. А., Яненко Н. Н. О свойствах решений
нелинейных уравнений переменного типа.— Числен, методы механики сплошной
среды, 1974, т. 5, № 4, с. 35—47.
6. Ким В. Ф., Зелинская Г. И. Численное решение некоторых уравнений со
знакопеременным коэффициентом вязкости.— Числен, методы механики
сплошной среды, 1981, т. 12, № 1, с. 54—68.
7. Лаврентьев М. М. (мл.). О свойствах приближенных решении нелинейных
уравнений переменного типа.—Сиб. мат. журн., 1980, т. 21, № 6, с. 165—175.
8. Лаврентьев М. М. (мл.). Априорные оценки решений нелинейных
параболических уравнений.—Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 5, с. 867—877.
А. Д. ИСКЕНДЕРОВ
О ВАРИАЦИОННЫХ ПОСТАНОВКАХ
НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
(Баку)
В данной работе изучена корректность вариационных
постановок одного класса обратных задач об определении коэффициентов
уравнений математической физики. Приведен пример,
показывающий некорректность рассматриваемых задач, доказаны теоремы о
существовании, единственности, устойчивости и регуляризуемости
их решений.
Пусть D -— ограниченная область и-мерного евклидова
пространства Е», Г — граница области Д которая предполагается
достаточно гладкой, х=(хи #2, ..., хп) — точка области Д Г—заданное
положительное число, N — направление внешней конормали
границы Г, Q = {(z, t): x&D, *€=(0, Я), S = i(x, t): xe=T, *e(0f Л),
Z/2W)(Q)- лебегово пространство m-мерных вектор-функций, сум-
4 Заказ JSft 717
49

мируемых со степенью р > 1, M — замкнухое ограниченное множество
Ет , знак V означает, что данное свойство имеет место почти всю-
ДУ, У. - [v.; v0 - v0(я, t) €= Ь{У (Q), v0(*, t)e M, V (*, *)еО|, Ft-
замкнутое ограниченное множество в £2 * (^)> F^FoXFi, /м =
= /710 + 771!, по повторяющимся индексам I, / подразумевается
суммирование от 1 до п.
Пусть на множестве V требуется минимизировать функционал
.^aH==l"l-«2||E2(Q) + aI^-(»i;(mW (1)
где а > 0, г > 0 — заданные числа; со <= Z^ (Q) — заданный элемент;
uh=*uh{x, £), & = 1, 2 —обобщенные решения из V\'°(Q) [1]
смешанных задач
7Г "" Щ *V (*' '' ^ gi: + ** (*' '' Vo) Щ+й0 fa '» Уо) »k = fkfa t, I>i),
(2)
[Pfc (*. *) S + a* (*' ')Uh] \s =gk (*' *>' A=1'2- (4)
Здесь а,ц(х, t, Vo), h /=1, и, л«(л:, t, vQ), i = 0, и, /ftU, t, vj —
заданные функции, удовлетворяющие условиям Каратеодори, ф& е W\ (Z)),
*fc€=TP2»(S)f oksL2(S), §fteL2(S), fc=*l, 2; функции M*. 0,
ck(x, t) при каждом значении к одновременно в нуль не обращаются
и В^рг или Gi¥=g2. Кроме того, предположим, что коэффициенты
dijix, t, v0) при Vvo&M удовлетворяют условиям равномерной эл-
о
липтичности и при У(х, t) €= Q t
\ciiix, t, v0)\ < const Vi;0sj|f, /feU, f, уДя, £))е£2Ш)
(5)
Ради простоты изложения ниже, всюду положим Piep2sl.
Рассмотрение общего случая связано с оговорками о пробных
функциях в определении обобщенного решения. Отметим, что под
решением задачи (2)—(4) при заданном v^V (эту задачу назовем
редуцированной) будем подразумевать функции uk(x,t)^Vlt0(Q), к=>
= 1, 2, удовлетворяющие интегральным тождествам
Г ( dr\h , диь дг\ь Г диь
J ]"Uhir + М*.г'ио)-8Г-дГ+\ ai fa '»vo)еГ, + aofa '.yo)иА -
Q I * г L г
— Д (ж, *, *>i) к) dxdt = f <pfc (я) rift (я, 0) eb + f [gft (я, *) —
— ай (я, *) г/ft] v\kdxdt, (6)
У Tift e И^д (Q)8 T]ft(^, Я=0, &=*1, 2. Решение редуцированной за-
50

дачи неявно зависит от v, т. е. uh=uh(x, t, v). Если при некотором
к соотношение (4) является первым или вторым краевым условием,
то в (6) и в дальнейшем изложении следует положить <тЛ = 0. В
случае первого краевого условия следует требовать, чтобы
соответствующая т)Л на S обратилась в нуль.
Задача (1)-—вариационная постановка обратных задач,
изученных в [2]. При а = 0, Pi = d2sO, р2Е=1а1 = 1, Л^/а, ф4^ф2,
inf^oW —О задача (1) совпадает с ними. В реальных условиях
вариационная постановка обратных задач часто более естественна,
чем их обычная постановка 13—41. Задача (1) может быть
рассмотрена так же, как вариационная постановка ряда некоторых
обратных задач, изученных в работах [5, 6 и др.].
• Ниже показано, что задача (1) некорректна в классическом
смысле и сохраняет основные характерные особенности
многомерных обратных задач. Вариационная задача называется устойчивой,
если всякая минимизирующая последовательность сильно сходится
к элементу, доставляющему минимум функционалу. Согласно
введенному в [3] определению, вариационная задача называется
корректной, если она разрешима и устойчива. В противном случае
вариационная задача называется некорректной.
В работе [7] рассмотрен пример несуществования решения
одной вариационной постановки задачи об определении коэффициента
дифференциального уравнения. Здесь приведем пример
неустойчивости и неединственности решения задачи (1). Пусть в области
V=*{v:v=>v(t)&L„(0, 1), -Ui;(t)<l, V°*e=(0, 1)} требуется
минимизировать функционал
1 1
&(v)= j \\ux-u2fdxdt (7)
о о
при условиях
о
d^-a{v^-[v+AnaM]Uh = 7^y A = 1'2' &
uh{x, 0) = cos 2пх -1, к = 1, 2, (9)
щ(0, t) — и,(1, t) =» M*(0f *) = Mud, t) = 0, (10)
где a (v) = exp j — J ^(т)йт|.Непосредственной проверкой можно
убедиться, что
ui = и2 = (cos %nx — 1) ехР и у (т) йт|. (11)
Поэтому
V
при Vy e V, т. е. любой элемент множества V является
оптимальным и решение задачи (7) неединственно.
4*
51

Последовательность {vn(t) = sin nnt} принадлежит множеству V,
и lim & (vn) = 0. Тогда эта последовательность является миними-
П-*оо
зирующей. Однако она сильно ни к какому пределу не сходится.
Это показывает, что задача (7) неустойчива.
Отметим, что (1) — задача оптимального управления
коэффициентами дифференциального уравнения. В настоящее время такие
задачи изучены сравнительно слабо. На важность исследования их
обращено внимание в [8 и др.1. В работах [9—11 и др.] для ряда
подобных задач установлены необходимые условия экстремума.
В этих задачах функционал (критерия качества) отличается от (1).
Теорема 1. Задача (1) при а>0, г>1 и при всех со,
принадлежащих всюду плотному множеству в l\ (Q), имеет решение,
и при г > 1 это решение единственно.
Доказательство. Прежде всего докажем, что при
принятых предположениях функционал Sf^v) непрерывен. Пусть Дуе
е L(2 (Q) —приращение v^V такое, что v + Av&V. Из
соотношения (6) следует, что функции
kuk = Auk{x, t) = uk{x, t, v + Av) — Uiix, t, v)
удовлетворяют интегральному тождеству
С Г А д\ , dAuk дцк Г , dhuk , ,1
Jj- Ди*-£ + a«-g^ -JL + |^ -j± + aMk - /feJr)fe +
А<Ц-^ +Да0иЛ —АД
r\k\dxdt = \ekAukr\kdxdt. (12)
Здесь приняты обозначения: a' = aU, t, v + Av), Aa = a(#, t,v +
+ Av)—aU, £, у). Из априорных оценок, установленных в [1, с. 167,
173; 12, с. 169], следует, что
II kuh I 10 <C Afli ^- + Aa0uft — АД I +
11 feV£'°(Q)^ I ^i ||L2(Q)
+
[II duk
Aai-^7 + 'Aa0ufe — АД
где С > 0 — некоторая постоянная. При принятых в постановке
задачи предположениях операторы суперпозиции A^Vq = а*Д#, £,
i;0(#, £)), г, / = 1, w, 4,170 = а{(х, t, v0{x, t)), f = 0, n, (Ahvx^fh{x% t,
vt(x, t))) непрерывно действуют изЬ(™°'(Q) (из Z^ (Q)) в L2(Q)
[13, с. 347]. Поэтому правая часть неравенства (13) стремится к
нулю при1Ду|г,2->0. Тогда из (13) следует, что |ДиЛ| i,o-*0 ПРИ
I! Д^-^О.
52

Приращение функционала 3^0(v) можно представить в виде
У0 (v + Av) — 3fQ (v) = 2 j [их — и2] (Awx — Аи2) dxdt + \ Ащ — Аи2 \\12.
(14)
Отсюда и из того, что \Auk |l2 -> Опрн |Ау|ь2-> 0, следует
непрерывность функционала У0М.
Функционал «!7о(р) снизу ограничен и в силу только что
доказанного является непрерывным на V. Кроме того, L2m) (Q) является
равномерно выпуклым пространством. В работе [14] доказано, что
если I(v) — снизу ограниченный непрерывный функционал,
определенный на замкнутой области V рефлексивного банахова
пространства В, тогда функционал
Iar(v) = I(v) + a\\v-a(B, a > 0, г>1, (15)
на V почти для всех со достигает наименьшего значения и при
г > 1 точка минимума единственна. Отсюда и из перечисленных
выше свойств функционала 3f0(v) следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Из примеров, которые приведены в [7, 14], следует, что
условия теоремы достаточно точны. Задача (1) при а = 0 может не
иметь решения, при а > О, г > 1 решение, вообще говоря,
неединственно. Кроме того, при а > 0, г > 1 не для любого со е
задача (1) имеет решение.
Теорема. 2. Пусть а >О, г> 1, 3f0(v) — выпуклый
функционал и V—выпуклое множество. Тогда решение задачи (1)
устойчиво и дает регуляризующий алгоритм для решения задачи о
минимизации функционала 3f0(v) на V.
Доказательство. Функционал &J<.v) является суммой
выпуклого функционала 3^0(v) и сильновыпуклого функционала
у—-0|r(W). Поэтому &J^v) есть сильновыпуклый и задача миними-
L2
зации такого функционала на выпуклом множестве V устойчива.
Известно, что выпуклый непрерывный функционал
слабонепрерывен. Следовательно, 2fQ(v), &<Av) будут слабонепрерывными
функционалами. Функционал!у — <oF(m) сильновыпуклый, и L2 (Q)—
L2
рефлексивное банахово пространство. При этих условиях в работе
[15, с. 180, 185] доказано, что решение задачи (1) дает
регуляризующий алгоритм для решения задачи о минимизации функционала
&o(v) на У. Теорема доказана.
Задача минимизации функционала (1) может быть рассмотрена
также на решениях эллиптических, гиперболических и других
уравнений математической физики. Для того чтобы из (1)—(4) получить
задачу в эллиптическом случае, следует опустить условие (3),
слагаемое —~ в (2) и зависимость от t всех функций. Для этой
задаст
чи доказываются аналоги теорем 1 и 2.
53

Теперь рассмотрим задачу минимизации функционала (1) на
решениях из W\a (Q) следующего гиперболического уравнения:
д2иъ я Г диь\ ч ди-
^-wA^x^wA + a^x^v^.
+ а{ (х, t, v0) J- + а0 (х, t, v0) uh = fk (x, t, v±)
при условиях
(16)
ди, I
uk |f=0 = Щ (*), —t |f==o = % (*), (17)
[fo (*.') m + °k ^f) Uk\ \s = gh (*' ')■ (18)
Здесь y$k(x)^ Wl(D), а другие входные данные этой системы
удовлетворяют всем тем условиям, которые на них были наложены
при описании системы (2)—(4). Для задачи о минимизации
функционала (1) на решениях редуцированной задачи (16)-— (18)
доказываются теоремы 1 и 2. При этом основным отличием является то,
что вместо априорной оценки (13) используется аналог этой оценки,
полученной для гиперболических уравнений [1, с. 209—215].
Замечание. Для задачи (1) установлено необходимое
условие экстремума в виде принципа максимума.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,
1973. 407 с.
2. Искендеров А. Д. Многомерные обратные задачи для линейных и
квазилинейных параболических уравнений.—Докл. АН СССР, 1975, т. 255, № 5,
с. 1005—1008.
3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979. 286 с.
4. Латтес Р., Лионе Ж.—Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.:
Мир, 1969. 336 с.
5. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Задачи математической
физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.
6. Романов В. Г. Об одной обратной задаче для уравнения параболического
типа.— Мат. заметки, 1976, т. 19, вып. 4, с. 597—602.
7. Murat F. Coontre-exaples pour dweres problems on le controle invervient dans
les coefficients.— Ann. Math, pure et appl., 1977, vol. 112, p. 49—68.
8. Лионе Ж.— Л. Об оптимальном управлении распределенными системами.—
Успехи мат. наук, 1973, т. 28, вып. 4, с. 15—46.
9. Плотников В. И., Синорская Е. Р. Оптимизация управляемого объекта,
описываемого системой гиперболических уравнений.— Изв. вузов.
Радиофизика, 1972, т. 15, № 3, с. 346—357.
10. Райтум У. Е. К задачам оптимального управления для линейного эллипти-
. ческого уравнения.— Докл. АН СССР, 1979, т. 244, № 4, с. 828—830.
11. Zollezzi Т. Nesasary conditions for optimal control of elliptic or parabolic
problems.— SIAM J. Control, 1979, vol. 10, N 4, p. 594—607.
12. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и
квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
13. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е.
Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.:
Наука, 1966. 290 с.
54

14. Goebel M. On existence of optimal control.—Math. Nachr., 1979, vol. 93,
p. 67-73.
15. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
400 с.
С. И. КАБЛНИХИН
ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
МНОГОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(Новосибирск)
Хорошо известно, что задачи определения коэффициентов
гиперболических уравнений и систем имеют большое практическое
значение [1, 21. Обычно искомыми коэффициентами являются
такие важные характеристики исследуемой среды, как параметры
Ламе и плотность — в случае обратной задачи теории упругости
L3J; тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и тензор
проводимости — в случае обратной задачи электроразведки [3, 41;
скорость распространения волн и плотность среды — в случае
обратной задачи акустики. Весьма широкий круг обратных задач
сводится к следующей постановке.
Пусть до момента времени t = 0 полупространство
Д2ХД+ = {я, г/, z\x&R, y&R, z>0)
находилось в покое, т. е. для функции (или вектор-функции)
и(х, у, 2, £), описывающей распространение волн в среде,
выполнено начальное условие
в1«<овО, U, у, г)ей2ХД+. (1)
Предположим, что на границе z = 0 выполняется граничное
условие
MtuU-o^gtix, у, t), U, y)^R\ t>0, (2)
и что процесс распространения волн в среде описывается
уравнением (или системой уравнений)
£и = 0, (x,y,z,t)e=R*xR%. (3)
Здесь L — гиперболический оператор в большинстве
практических задач первого или второго порядка, Af4 — дифференциальный
оператор, обеспечивающий корректность граничной задачи (1)—(3).
Обратной будем называть задачу определения коэффициентов
оператора L в случае, если о решении граничной задачи (1) —(3)
задана дополнительная информация
M2u\t=0 = g2(x, Vt t)f U, y)^R\ t>0, (4)
55

Мг — дифференциальный оператор. Всюду в дальнейшем
предполагается, что коэффициенты операторов L, Ми М2 не зависят от
временной переменной t. В случае, если, все коэффициенты операторов
L, Ми М2 зависят только от одной переменной z, обратные задачи
называют одномерными. Одномерные обратные задачи
исследовались широким кругом авторов (см., например, [2, 3, 5—81).
Наряду с теоремами единственности [2, 3, 5] предложены алгоритмы
численного решения одномерных обратных задач [6—9],
рассмотрены некоторые вопросы практического применения численных
алгоритмов решения одномерных обратных задач [8]. *
Первыми результатами по исследованию многомерных
обратных задач вида (1) —(4) являются доказанные в [2, 10, 11] теоре*
мы единственности решения в классах функций, имеющих вид
T(^y)=2V(^)%(4 (5)
Ю. Е. Аниконов предложил метод квазимонотонных
операторов, позволивший доказать теоремы единственности решения ряда
задач вида (1)—(4) в классе функций, квазианалитических по z и
бесконечно дифференцируемых по х, у [12J. В. Г. Романов
подчеркнул важность получения конструктивных алгоритмов решения
многомерных обратных задач [10].
В 1976 г. появилась работа [13], в которой впервые
предлагался подход к построению численных алгоритмов решения
многомерных обратных задач. В данной статье будет изложена схема
проекционного метода решения многомерных обратных задач,
предложенного в [13] и развитого впоследствии в [4, 9, 14—19].
Отметим основные особенности проекционного метода.
1. Проекционный метод позволяет по единой схеме доказывать
теоремы единственности и получать оценки условной устойчивости
решения многомерных обратных задач вида (1) —(4) в классах
функций, в некотором смысле слабо зависящих от переменных
х, у [4, 14, 17, 18], например обладающих одним из следующих
свойств:
а) функция 4я имеет вид (5);
б) "ФЧя, у, z) аналитична по х, у;
в) коэффициенты Фурье "ЧЕ^™ функции 4я(х, у, z) по системе
exp U(kx + my)} удовлетворяют следующему условию: существуют
положительные числа е, С, N0 такие, что при всех натуральных
n>N0
2 IVftwKexpl-Cn}. (В)
\h\y\m\>n
2. На основе проекционного метода удается сформулировать
такие постановки многомерных обратных задач и классы функций,
для которых имеют место теоремы существования решения [4, 13*,
16—18].
3. Сочетая проекционный метод с методом обращения
разностной схемы, удается построить приближенные решения многомер?-
56

ных обратных задач, условно сходящиеся к точным решениям
[4, 7/9, 15, 181.
4. Метод применим не только к многомерным обратным
задачам для гиперболических уравнений, но и для исследования
обратных задач для кинетического уравнения переноса [18].
В основе проекционного метода лежит выделение в качестве
основных двух переменных — временной t и выводящей z.
Если при этом главной целью является доказательство
теоремы единственности, то оставшиеся переменные х, у временно
принимаются за параметры, обратная задача с переменными z, t при
помощи известных методов [2, 5, 10] приводится к системе интегро-
дифференциальных уравнений вольтерровского типа относительно
неизвестных коэффициентов оператора L. Входящие в систему
частные производные функции и по х, у оцениваются при помощи
энергетических неравенств [4, 14, 17]. Данная методика
использована в работе [19] для доказательства теорем единственности
одномерных обратных задач. Отметим также, что если искомые
коэффициенты аналитичны по х, у, то частные производные по х, у
можно оценить, используя подходящую шкалу банаховых
пространств [4].
Если же основной целью является получение численного
алгоритма, то обратная задача проектируется на конечномерное
подпространство, порожденное какой-либо ортогональной системой
функций Укт(ху) [13, 15, 16, 18].
Рассмотрим в качестве примера следующую обратную задачу.
Предположим относительно граничной задачи
ип = Ди — ЧЪЧи, {х, г/, z, t)^R2x Д+, |
u|i<0^0, (*,г/,*)е=Д2хД+, (6)
tt*|z=o = 9 (*' У) б (*)' (*' y)<^R2, ' > 0, )
что след и(х, г/, 0, t) существует и задан
и1г-о = /0г, у, *), (x,y)^R\ t>0. (7)
Предположим также, что задана функция
Ъ(х, г/, 0)=gix, у). (8)
Решением обратной задачи назовем пару функций (и, ft),
удовлетворяющих условиям (6) — (8).
Будем говорить, что пара {и(х, у, z, t), b{x, г/, z)}
принадлежит классу D(T), если выполнены следующие условия:
1. Функции и, Ъ по переменным х, у четны и 2я —
периодичны при всех (z, t) из области
Q(T) = {z, *|ze[0, Г], z<t<2T-z).
2. При всех z е [0, Т] коэффициенты Фурье bkm (z)
разложения функции yb(x,y,z) по системе cos кх • cos my удовлетворяют
условию (В).
57

(в)
3. При всех х, уе= [0, jt] и(х, у, z, t) e=C2(Q(T)).
Теорема 1. Пусть g(x, у)>0 при х, у&[0, я]. Тогда
решение обратной задачи (6)—(8) единственно в классе D(T) при
любом Т>0.
Условимся буквой U обозначать вектор размера (iV+1)2,
составленный из коэффициентов Фурье разложения функции
и(х, у, z, t):
оо
u(x,y,z,t) = 2 uhm (z, t) cos kx• cos my
ft,m=0
следующим образом: первыми (N +1) компонентами вектора U
ЯВЛЯЮТСЯ фуНКЦИИ liooi I*oi» • • •» UoN, СЛвДуЮЩИМИ — Ui0, 11ц, . . ., UiN
И Т. Д.
Тогда, заменяя в (6)—(8) функции конечными отрезками ряда
Фурье, получим систему обратных задач
Utt^Uzz + A1(z)U2 + A2(z)U,)
«7lf<o-Of Uz]z==0 = Qb(t),
' U\2=0 = F(t), BU = G.
Здесь матрицы 4, ni2 находятся очевидным образом по
векторам В и Bz.
Предположим теперь, что решение обратной задачи (6)—(8)
при некотором Г>0 существует, принадлежит классу D(T) и
удовлетворяет условию
\\ь\\сЧю,п]Ыо,п)<м- (10>
Пусть К — произвольное йатуральное число, введем
равномерную по z и t сетку с шагом т = Т/k, заменим задачу (9) конечно-
разностным аналогом, используя явную разностную схему, и
решим получившуюся дискретную обратную задачу методом
обращения разностной схемы с соблюдением условия (10) аналогично
тому, как это делается в [9, 15]. Обозначим кусочно-линейные
восполнения полученных решений через UKN(z, t), BKN{z) и введем
новые функции uKn(x, у, z, t), bKN(x, у, z), коэффициенты Фурье
которых по системе cos jx • cos my совпадают с компонентами
векторов Ukn, BKN соответственно.
Теорема 2. Пусть решение обратной задачи (6)—(8)
существует, принадлежит классу D(T) и удовлетворяет условию (10).
Тогда
тах{11ю*л — ю11с, ИЬ — bKN\\c} ->-0,
К ->■ оо, N-+ оо.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 282 с.
2. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического
типа. Новосибирск: Наука, 1969. 196 с.
58

3. Романов В. Г. Обратные задачи распространения сейсмических и
электромагнитных волн.— В кн.: Методы решения некорректных задач и их
приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 111—118.
4. Кабанихин С, И., Пухначева Т. П. Об определении тензора проводимости
в анизотропной трехмерно-неоднородной среде.—В кн.: Методы решения
некорректных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982,
с. 218-222.
5. Благовещенский А. С. Обратные задачи теории распространения упругих
волн.— Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, № 12, с. 50—59.
6. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики.— В кн.:
Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.:
Наука, 1967, с. 9-84. '
7. Кабанихин С. И. Конечно-разностный метод определения коэффициентов
гиперболической системы первого порядка.— В кн.: Единственность,
устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск:
ВЦ СО АН СССР, 1980, с. 36-44.
8. Алексеев А. С, Добринский В. И. Некоторые вопросы практического
использования обратных динамических задач сейсмики.— В кн.:
Математические проблемы геофизики. Вып. 6,' ч. 2. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975,
с. 7-54.
9. Кабанихин С. И. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для
уравнения колебаний.— В кн.: Вопросы корректности задач
математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с. 57—69.
10. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.
Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.
11. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г., Романов В. Г. Многомерные обратные
задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 66 с.
12. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных
задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 118 с.
13. Кабанихин С. И. Об одной постановке двумерной обратной задачи для
уравнения колебаний.—В кн.: Некорректные математические задачи и
проблемы геофизики. (Математические проблемы геофизики.) Новосибирск: ВЦ СО
АН СССР, 1976, с. 64-73.
14. Кабанихин С. И. Применение энергетических неравенств к одной обратной
задаче для гиперболического уравнения.—Дифференц. уравнения, 1979,
т. 15, № 1, с. 61—67.
15. Кабанихин С. И. О конечно-разностном методе определения коэффициентов
гиперболического уравнения.— Журн. вычислит, математики и мат. физики,
1979, т. 19, № 2, с, 417-425.
16. Благовещенский А. С, Кабанихин С. И. Об обратной задаче
распространения сейсмических волн в полубесконечном нерегулярном волноводе.
Препринт № 224. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. 14 с.
17. Кабанихин С. И. Приближенный метод решения обратной задачи для
уравнения акустики.— В кн.: Приближенные методы решения и вопросы
корректности обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 55—62.
18. Кабанихин С. И., Бобоев К. Конечно-разностный метод определения
сечений в Рз-приближении нестационарного кинетического уравнения
переноса.—В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения.
Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 213-218.
19. Яхно В. Г. Теорема единственности и устойчивости одномерной обратной
задачи для волнового уравнения.— Сиб. мат. журн., 1982, т. 23, № 2, с. 189—
198.
59

В. Р. КИРЕЙТОВ, В. А. ШАРАФУТДИНОВ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ФОТОМЕТРИИ
(Новосибирск)
Под обратными задачами фотометрии в простейшем случае мы
будем понимать задачи определения правой части
дифференциального уравнения первого порядка
2^+еП = ^ (1)
й дх
определенного на «фазовом пространстве» SQ = {(x, X) = (х\ х2, х3,
Х\ X2, X3)\x<^Q, X^R\ |Xf = 1} компактной выпуклой области Q
по заданным значениям решения (или функционалов от решения)
П краевой задачи
nU, X)=0 UesflQ, <Z, лх><0), (2)
где dQ — граница области Q; пх — внешняя нормаль к 6Q в точке
х е <9Й; < , > — знак скалярного произведения. Если в уравнении
(1) функцию е(#, X) предполагать, например, измеримой,
положительной и ограниченной на SQ, а правую часть Э —
принадлежащей классу LP(SQ, e) вещественных функций, интегрируемых в
р-\\ степени с весом е, то в этих предположениях
сформулированная краевая задача имеет решение (и притом единственное) из
класса DP(SQ) (см. [1]).
В постановках обратных задач исходными данными являются
следы решений на тех или иных подмножествах области Q, а
искомая правая часть предполагается принадлежащей некоторому
классу функций Ж, причем подмножества, несущие заданные значения
решений, и носители функций класса Ж не должны иметь
пересечений. В качестве исходных данных обратных задач могут также
задаваться не сами значения решения краевой задачи (2), а
функционалы от решения, важнейшие из которых — функционалы
угловых моментов, определяющиеся следующим образом: для целого
р>0 угловой /ьмомент &v функции Шх, X) есть контравариант-
ное тензорное поле валентности р на области й, определяемое
формулой
arj1'"** (х) = f П (х, X) Xh ... Xipda (X), (3)
SQx
где do) — мера телесного угла на единичной сфере SQX=* {Х\ \Х\ = 1}
с центром в точке х ^ Q, индексы ik меняются от 1 до 3
(очевидно, что угловые моменты определяются формулой (3) для любой,
например, кусочно-непрерывной функции на SQ). Исходя из
уравнения (1) нетрудно показать, что внутри области (при е = const)
Div^p = «3r(p-i) + е<Ур-1 при всех р>1, (4)
60

9S* = 3f^ (5)
где 3fiP) — угловой /?-момент функции 3\ Div — оператор
дивергенции для тензорных полей; 2Р — канонический
псевдодифференциальный оператор с характеристической функцией р (х, £) =
=-^arctg—, х, |е Я3, фактически не зависящей от я, который
при е -+• О переходит в оператор Д1/2 (оператор Лапласа дробной
степени 1/2) [2].
Если исходными данными обратной задачи фотометрии
являются следы угловых моментов решения задачи (1)—(2), то искомыми
величинами могут также выступать угловые моменты правой части
уравнения (1) из класса Ж.
В случае, когда правая часть уравнения (1) является
распределением (в смысле Л. Шварца), формулировка краевого условия
(2) в указанном виде невозможна. Чтобы построить аналог
решения краевой задачи (1) —(2) с обобщенной правой частью,
поступаем следующим образом:
А) в предположениях b^C°°(SQ), J^D°°(SQ) (C°°(SQ),
D°°(SQ) — пространства бесконечно дифференцируемых и
бесконечно дифференцируемых финитных функций соответственно на
пространстве SQ) уравнение (1) понимаем в том смысле, что
(П, Я*Ф) = (ЗГ, ф) (6)
з
для каждой пробной функции q>^D°°(SQ), где Н* =— \ Xх—г+
й дх%
+ е — метрически сопряженный к оператору Я = £ Хг —т + е от-
i=i дх
носительно скалярного произведения (спаривания) ^,^> =
= J j y{x,X)y(x,X)d(i>(X)dx пространств C"(SQ), D°°(SQ);
h sqx
В) оператор Я* обращаем, т. е. строим интегральный оператор
Q : D°°(SQ) -+• C°°(S£1) такой, что $Я*ф = ф для каждой пробной
функции <p^D°°(SQ); оператор Q легко строится исходя из
решения краевой задачи (1)—(2) при е &C°°(SQ) и имеет вид:
(<?ф) (s, X)= J ехр — j е (х + оХ, X)do\q>(z + sX, — X) ds; (7)
о L о J
С) для распределения &^C'°°(SQ) «решение» П краевой
задачи (1)— (2) определяем формулой
(П, <р)=*(ЗГ, <?Ф) (8)
для всякой функции q)^D°°(SQ).
Нетрудно убедиться, что для регулярных дифференцируемых
распределений & с компактным носителем формула (8) определя-
61

ет П тоже как регулярное распределение, являющееся решением
краевой задачи (1)—(2). Поскольку дифференцируемые
регулярные распределения всюду плотны в пространстве всех
распределений C'°°(SQ), то построения А) —С) реализуют единственное
расширение оператора, сопоставляющего функции Sf ^D°°(SQ)
решение краевой задачи (1)—(2) (последнее принадлежит классу
С°°(£й)), с пространства D°°(SQ) на пространство распределений
C"-(SQ).
Угловые моменты обобщенного решения П определяются
формулой (3) как обобщенные тензорные поля, и формулы (4), (5)
также имеют место.
При изотропном & (для однородной в смысле преломления
среды это означает, что 3 фактически не зависит от переменной
X) распределение П в области f/czQ, f/flsupp5r = 0, допускает
представление вида (для простоты считаем е = const)
П- fn*d*, (9)
и
где {Их}х<=и — семейство распределений Пх на SU, зависящее от
параметра x^U, причем для каждого х <= JJ Пх является образом
распределения пх на SUX при естественном вложении ix : SUX -*• SU,
а распределение лх определяется на SUX формулой
К, у) - [J (У),8ХР <~ ^ V |} Ф (if^,)), !/EQ, ^D{SUx).
(10)
Приведем некоторые терминологические пояснения.
Функцию е в уравнении (1) будем называть функцией
поглощения (илц просто поглощением), функцию Sf в правой части (1)
называем функцией источника (источником). Уравнение (1) и
функция П в области световых явлений допускают двойную
физическую интерпретацию.
В одной из них (условно назовем ее «объективной») уравнение
(1) интерпретируется как линейное уравнение переноса светового
излучения заданного цвета без столкновительного члена в
поглощающей нерассеивающей однородной (в смысле преломления)
среде (см. [3]); функция П имеет тогда смысл фазовой плотности
потока излучения; граничное условие (2) означает отсутствие внешнего
потока излучения в области Q; нулевой момент &Q{x)
пропорционален распределению плотности световой энергии в области Q,
первый момент &Sx) интерпретируется как распределение вектора
светового потока в Q и т. д.
При другой интерпретации (назовем ее условно
«субъективной») исходим из формулы (9). Расположим в точке x<=Q 8-образ-
ную проекционную систему (ПС) с фильтацией Fx(X) = \х —
I/ГЧх<„)(*). p*:Q\{x} + SQx, Px(y)-.£zJL-, ye=Q (см. [4, 51;
такая ПС моделирует абсолютно резкий фотоаппарат со
сферическим экраном SQX и центром геометрической проекции в #); рас-
62

пределение П* можно тогда интерпретировать как резкое
фотоизображение (т. е. распределение экспозиции на экране SQX)
источника света 3 проекционной системой указанного типа;
семейство Ш*}*е0 —- поле резких фотоизображений; распределение
П —- скалярное поле резких изображений или полный
фотопотенциал источника Э'. Такую же интерпретацию поле П допускает и
в случае произвольных, не обязательно изотропных, источников.
Уравнение (1) при «субъективной» интерпретации есть уравнение
скалярного поля резких фотоизображений, граничное условие (2) —
условие нулевой экспозиции на части экранов ПС, обращенной во
внешнюю область #3\Q; моменты ^Гр — моментные характеристики
фотоизображений, в частности, момент &Q(x) — общее количество
световой энергии, достигшей экрана SQX (или общая засветка
изображения).
Обратные задачи определения источника 2f по заданной
информации о поле П можно трактовать как задачи определения
оптического объекта & по заданным характеристикам семейства
(или по заданному семейству) его резких фотоизображений. В
частности, при «субъективной» интерпретации наиболее важное
значение приобретает задача определения источника & из некоторого
заданного класса Ж источников по заданному семейству {Пл}хеА
его резких фотоизображений или характеристик этих
фотоизображений, где ieQ — некоторое заданное подмножество и,
естественно, supp^ ПЛ = 0 для всякого Jel.
Будем называть эту задачу задачей («90.
Форму задачи («90 принимают также дистанционные
оптические задачи определения характеристик оптического объекта путем
математической обработки семейства его фотоизображений [6].
«Субъективная» интерпретация распределения П позволяет
выписать вид уравнения (1) в преломляющей среде с поглощением
и с учетом временных зависимостей. Именно если g = (g^) —
метрический тензор, описывающий преломляющие свойства среды, то
скалярное поле резких фотоизображений П(#, X, t) источника
2({х, X, t) удовлетворяет уравнению
(-;«f}4-(i,+i^-.b^+.)n-j.
(11)
В выписанном уравнении дифференциальный оператор первого
порядка Zj Хгг~г — Zj Т^ХгХ3 —-есть записанный в
координатной форме оператор Н дифференцирования вдоль геодезического
потока на многообразии SQ единичных элементов риманова
пространства (Q, g); Г^—символ Кристоффеля метрики g\
e—-поглощение; t — временной параметр.
В случае простых преломляющих сред, когда любые две точки
из Q соединяет в точности одна геодезическая, нетрудно дать
прямую формулу, выражающую полный фотопотенциал П и его мо-
63

менты &v через источник 3 и метрические характеристики
пространства (й, g) [7J. Для произвольных сред задача осложнена
наличием сопряженных точек и требует детального изучения
особенностей экспоненциального отображения на пространстве (Й, g).
Заметим, что уравнение (11) аналогично линеаризованному
кинетическому уравнению Больцмана в односкоростном прибли-
з
жении при наличии внешних сил Fk = 2j I\jX2X;, к =1,2,3,
и источников с плотностью Э'.
Формализация класса дистанционных оптических задач
определения геометрических и оптических параметров оптических
объектов по заданному семейству его фотоизображений как обратных
задач для уравнения (1) (с теми или иными начально-краевыми
условиями) и связанная с этим «субъективная» интерпретация
величин П, <§v и уравнений (1), (4), (5) дана в работах '[6—8].
Математическая модель фотометрии на базе понятия резкого
изображения построена в [7, 81; предложенный здесь математический
формализм более развит в сравнении с классическим формализмом
фотометрии и представляется более соответствующим ее
содержательной понятийной базе.
Приведем некоторые результаты по исследованию обратных
задач фотометрии.
1. Для класса Ж регулярных кусочно-непрерывных
изотропных источников задача («30 эквивалентна задаче отыскания
функции на области Q по заданным значениям интегралов от нее (с
весами, определяемыми поглощением среды) вдоль всех
геодезических простого риманова пространства (й, g), проходящих через
точки множества А <= Q; иначе говоря, задача 1(«90 в описанной
ситуации эквивалентна задаче линейной интегральной геометрии для
семейства геодезических пространства (й, g). Указанный факт
эквивалентности достаточно очевиден в случае евклидовой метрики
g, т. е. в среде с однородным изотропным преломлением (см. [9]);
для произвольных непрерывно дифференцируемых сред
доказательство дано в [6] и требует лишь правильного определения
изотропности для источников в преломляющих средах. Заметим, что в
общем случае задачу («30 от задач интегральной геометрии
отличают два существенных обстоятельства: искомые плотности могут
принадлежать классам обобщенных функций, а семейства
геодезических, вдоль которых задаются интегралы от искомых плотностей,
могут быть существенно беднее класса всех геодезических,
пересекающих область й (например, в практически важных случаях
задачи («30 множество А может быть двух- или трехточечным).
2. Первые результаты по единственности решения задачи («30
в классах поверхностно сосредоточенных источников в евклидовом
пространстве в случае конечного множества А (в R3 не более чем
трехточечного А) получены в [10, 111. Один из рассмотренных
классов источников соответствует в фотометрической терминологии
классу поверхностей с ламбертовой индикатрисой яркости
(коротко—классу ламбертовых поверхностей), второй класс —классу
64

поверхностей с индикатрисой вида cosa ф, a^R, аФ§, ф — угол
между нормалью к поверхности и направлением на наблюдателя
(коротко-—классу поверхностей типа В). Для ламбертовых
поверхностей даны довольно жесткие достаточные условия
единственности определения поверхности (и поверхностной плотности
источников) по семейству трех ее разноракурсных фотоизображений; для
поверхностей типа В при выполнении некоторых геометрических
условий установлена теорема единственности определения
поверхности (и плотности) по трем ее разноракурсным изображениям.
В обоих случаях предъявлены уравнения (в первом случае
неявные, во втором — дифференциальные уравнения первого порядка)
для определения искомых поверхностей, которые исследовались в
работах [12—14] на предмет численного решения и создания
программ их решения на ЭВМ. В работах [4, 5, 15] рассматривались
вопросы единственности решения задачи («90 .в классах Ж
дискретных и линейно сосредоточенных источников.
3. Для класса Ж всех, в том числе и представленных
обобщенными функциями, изотропных источников в [16, 17] получена
следующая важная
Теорема. Если 9'^Ж и supp& компактен, то каждый
топологический нуль поля {Пя^^з резких изображений источника
& (точку х называем топологическим нулем, если для точки х
Пл = 0), лежащий вне носителя supp^, изолирован, в частности,
это относится и к бесконечно удаленным нулям поля {Пя}жеДз
(см. [17]).
Отсюда вытекает, что для единственности* определения
источника из класса {3\3 ^Ж, supp & с Q} достаточно задание
существенно счетного семейства {ГЦ^ ед3 его Резких изображений, где
множество {хп}п=1г 2,... лежит и имеет точку сгущения вне области
Q (быть доожет, и на °°). Последний результат точен, так как
Е. Ю. Деревцовым [16] для каждого конечного множества A ^R3\Q
построен пример (дискретного) источника 9 из указанного класса,
для которого множество А состоит из топологических нулей поля
Щх}х-пз- Аналогичные результаты получены для некоторого
существенно более узкого класса изотропных источников в рамках
задач томографии в [18].
4. Достаточно законченные результаты о единственности и
устойчивости определения ламбертовой оптической кривой по
заданной стереопаре ее изображений получены в [19, 20J. Именно в
ситуации дальней фотограмметрии доказаны единственность и
устойчивость относительно равномерно малых возмущений в исходных
данных решения задачи определения ламбертовой оптической
кривой в предположении непрерывности кривой и функции яркости.
На основании доказанной теоремы предложен численный
алгоритм и создана действующая программа решения на ЭВМ
указанной задачи [20].
5 Заказ № 717
65

Приведем одно из приложений обсуждаемых задач и
результатов.
При восстановлении формы участка (диффузно излучающего
или отражающего свет) оптической поверхности по ее
фотоизображениям принятым на практике стереоскопическим методом
исходят из двух фотоизображений (фотографий) этого участка
поверхности, сделанных из двух разных точек gu g2 окружающего
пространства (так называемая стереопара, фотоизображений).
Производится операция идентификации фотоизображений, при которой на
фотоизображениях отмечаются пары точек, соответствующие одной
и той же точке исследуемой поверхности. После того как
идентификация фотоизображений произведена для достаточно густой
сетки точек на фотоизображениях, -координаты точек поверхности
определяются из элементарно-геометрических соображений, лишь
только указаны геометрические условия съемки. На пути «от
фотоизображений к предметной поверхности» операция идентификации
является промежуточным, но наиболее трудоемким этапом. Она
производится, как правило, визуально, с помощью стереоскопов и
прочих вспомогательных приспособлений, которые лишь облегчают
работу идентификатора (см., например, [21]), но не устраняют
основной трудности — самого процесса идентификации,
производимого всецело человеком.
Задача полной автоматизации процесса восстановления формы
оптической поверхности по ее плоским изображениям средствами
ЭВМ была поставлена в рамках задач и средств аэрофотогеологии
в ВЦ СО АН СССР академиком АН СССР М. М. Лаврентьевым* в
1973 г. и послужила отправной точкой для постановки и
исследования обратных задач фотометрии.
Интенсивные, ориентированные на отечественную технику
разработки по решению этой задачи на базе полученных и частично
отраженных в настоящей статье результатов ведутся в ВЦ СО АН
СССР с 1977 г. В настоящее время эти работы привели к созданию
<5ерии так называемых корреляционных алгоритмов
идентификации, которые могут служить, как показывают опробования, базой
для создания программ идентификации стереопар вдоль эпиполяр-
ных линий в производственном, режиме (см. [22, 23]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса
нейтронов,— Труды Мат. ин-та АН СССР, 1961, т. 61.
2. Кирейтов В. Р. Об уравнениях распространения и распределения средней
освещенности в евклидовом пространстве.— В кн.: Численные методы в
интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1980, с. 70—80.
3. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.
495 с.
4. Кирейтов В. Р. О некоторых обратных задачах волновой оптики. I,— Мат.
, • проблемы геофизики. Новосибирск, 1975, вып. 6, ч. 1, с. 167—210.
5. Кирейтов В. Р. О некоторых обратных задачах волновой оптики. И.— Мат.
проблемы геофизики. Новосибирск, 1975, вып. 6, ч. 2, с. 90—121.
6. Кирейтов В. Р. Математические вопросы исследования дистанционных опти-
66

ческих задач. Дис. на соискание учен, степепи д-ра физ.-мат. наук.
Новосибирск, 1981. 356 с.
7 Киреитов В. Р. О фотометрических величинах на римановом многообра-
' зии.— Докл. АН СССР, 1980, т. 252, № 1, с. 27—32.
8. Киреитов В. Р. О некоторых свойствах фотометрических величин на
римановом многообразии.—Докл. АН СССР, 1980, т. 255, № 1, с. 21—26.
9. Киреитов В. Р. О связи задачи определения оптического тела по его
изображениям с одной задачей линейной интегральной геометрии,—В кн.:
Вычислительные проблемы математических задач геофизики. Новосибирск,
1977, с. 76-83.
10. Лаврентьев М. М., Киреитов В. Р. Об одном классе отображений биповерх-
ностей трехмерного пространства,— Докл. АН СССР, 1974, т. 21, № 2, с. 259—
260.
И. Лаврентьев М. М., Киреитов В. Р. О точках ветвления оптических
гиперповерхностей.—Докл. АН СССР, 1975, т. 221, № 5, с. 1027—1030.
12. Киреитов В. Р., Белоносова А. В. О численном решении задачи
определения оптической поверхности по ее изображениям.— В кн.: Некорректные
задачи математической физики и проблемы интерпретации геофизических
наблюдений. Новосибирск, 1976, с. 65—77.
13. Деревцов Е. Ю. Численное решение некоторых задач волновой оптики.
Препринт № 275. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. 21 с.
14. Гейдт В. В. Численный эксперимент по автоматизированному
восстановлению рельефа по его фотоизображениям.— В кн.: Вычислительные проблемы
математических задач геофизики. Новосибирск, 1977, с. 25—35.
15. Деревцов Е. Ю. Пример неединственности решения одной обратной задачи
фотометрии.— В кн.: Математические методы решения прямых и обратных
задач геофизики. Новосибирск, 1981, с. 31—38.
16. Лаврентьев М. М., Деревцов Е. Ю., Шарафутдинов В. А. Об определении
оптического тела, находящегося в однородной среде, по его изображениям.—
Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 4, с. 799-803.
17. Шарафутдинов В. А. Об определении оптического тела, находящегося в
однородной среде, по его изображениям,—В кн.: Математические методы
решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск, 1981, с. 123—
148.
18. Hamaker С, Smith К. Т., Solomon P. S., Wagner S. L. The divergent beam
X-ray transform.—Rocky Mountein J. Math., vol. 10, N 1, 1980, p. 253—283.
19. Шарафутдинов В. А. О восстановлении ламбертовой оптической кривой по
двум ее изображениям.— Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 3, с. 565—568.
20. Стахеев А. В., Шарафутдинов В. А. О восстановлении ламбертовой
оптической кривой по двум ее^изображениям,—В кн.: Условно-корректные
задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений.
Новосибирск, 1979, с. 128—150.
21. Миллер В., Миллер К. Аэрофотогеология. М.: Мир, 1964. 291 с.
22. Киреитов В. Р., Шарафутдинов В. А., Стахеев А. В. Математическое
моделирование процесса идентификации точек на снимках стереопары.
Новосибирск, 1979. 117 с. (Отчет ВЦ СО АН СССР; тема 72/3).
23. Киреитов В. Р., Шарафутдинов В. А., Стахеев А. В., Антипов М. В.
Математическое моделирование процесса идентификации точек на снимках
стереопары (промежуточный отчет). Этап 2. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,
1980.
5*
67

Р. А. КОРДЗАДЗЕ
БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕМЕЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ СТРЕМЯЩИХСЯ К НУЛЮ СЕМЕЙСТВ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
(Тбилиси)
В данной статье проводится исследование произвольного
бесконечного семейства интегральных уравнений второго рода типа
Фредгольма в пространстве стремящихся к нулю семейств
непрерывных функций, определенных на бикомпактных хаусдорфовых
пространствах.
Посвящая настоящую работу М. М. Лаврентьеву, автор
искренне благодарен ему за обсуждение излагаемых здесь результатов.
§ 1. Обозначения и вспомогательные предложения
1°. Множества. R — множество всех вещественных чисел; С —
множество всех комплексных чисел; К — поле вещественных или
комплексных чисел.
х — произвольное бесконечное множество; ^~(т) —
направленное множество, состоящее из всех конечных подмножеств
множества т и упорядоченное отношением включения <=. Если (£, ^0 —
направленное множество и г)0 — некоторый фиксированный
элемент £, то ir\0 = {Л ^ Ц Ц^ЦоУу в частности, для каждого v0^^(t)
^~vo = (v е (т)' v "^ v°}' ^o является конфинальным
подмножеством множества i и, следовательно, само направлено заданным
упорядочением.
2°. Пространства. Q„ (п е т) — бикомпактные хаусдорфовы
пространства, @п (п^ х) — борелевские а-алгебры этих пространств
соответственно.
Предполагается, что все встречающиеся ниже векторные
пространства определены над одним и тем же полем скаляров К.
X' — нормированное пространство, сопряженное нормированному
пространству X.
C(Qn) (n^x) — банаховы пространства всех непрерывных
функции ип е К п с нормами || ип \\ = sup | ип (хп) \ (пе=х). Сх —
*П<ЕЙП
произведение семейства (C(Qn))nex векторных пространств C(Qn).
Для данного семейства ах = (ап)пе* строго положительных чисел
ап, через 10(ах, Сх) обозначается пространство всех семейств и =
= (^п)«етеСт, удовлетворяющих условию limajttjl = 0 по
фильтру дополнений конечных подмножеств множества х с нормой
1 и || = supan||wn||; оно является банаховым пространством. V0(an,bn)
пет
(п е х) — банаховы пространства всех определенных соответствен-
68

но на сегментах [an, fej <= R скалярных функций gn с ограничен*
ными вариациями и таких, что gn(an)=0, 2gn(xn) = gn(xn + 0) +i
+ ^n(^n —0) (fln<#n<bJ, с нормами полными вариациями:
|| gn || - J I gn (dxn) I U e t). rca (Q„) (n Щ x) — банаховы простран-
ства всех регулярных счетно-аддитивных функции fxneK nc
нормами полными вариациями на Qn соответственно: || fxn | = ] |u.n (dxn)\.
Если Qn == [ап, Ьп] с: R (я e т), то каждому \in <= rca (Q„) ss rca (а„, bn)
соответствует единственный gn e V0(an, Ъп) и наоборот, причем
I'mJI = "gfn'l и для любой функции и е С(Й„) ) ип (хп) \in {dxn) =
ьп
= J un(xn) gn(dxn), где слева стоят интегралы Радона, справа —
интегралы Римана — Стилтьеса. Поэтому ниже, для однообразия
изложения, пространства V0(an, Ьп) Ы ^ т) иногда обозначаются
опять через гса (ап, Ъп) соответственно; это означает, что иногда
элементы \in е гса (ап, Ъп) (п е т) рассматриваются не как функции
множества, а как функции точек из [ап, Ьп] соответственно и
отождествляются соответствующими функциями из V0(an, Ъп) (п^х).
Наконец, по теореме Рисса (см. Ш) пространства C"(Q„) (п^х)
отождествляются с пространствами rca (Qn) соответственно.
Сх— произведение семейства (rca (Qn))ne<r векторных
пространств rca (Qn). Для данного семейства ах= (а,п)Пех строго
положительных чисел ап, через Zi(ocT, CT) обозначается пространство
всех семейств fx = (ип)пег ^ Сх с конечными нормами| fx|| = 2 апХ
пет
X J | [хп (dxn) |; оно является банаховым пространством.
3°. Двойственность между 1о(осх,Сх) и Z1(aT"1, Cx). Применяя
теорему Рисса [4], легко показать справедливость следующего
предложения.
Теорема 1.1. Между пространствами /0(ат»Ст) и hi&x1^^),
где а^1 = (^п/пет» существует изометрический изоморфизм, при
котором соответствующие векторы \i e lQ (ат, Сх) и ([Xn)nex ^
е Zx (сс^1, Ст) связаны соотношением
\*> (и) = 2 1 м" (**) Iх" (d^)» u = Wnet ^ *о (ат, Ст)-
4°. Компактные множества в Z0(aT, CT). Для каждого множества
МсЦат, Ст) через Мп(п^х) обозначим его проекции на простран-
69

•ствах C(Qn) (n^r) соответственно. Следующее предложение
устанавливает критерии (относительно) компактности множеств из
Теорема 1.2. Ограниченное множество M<^l0(aXl Сх)
компактно в том и только в том случае, если для каждого пет
множества Мп <= C(Qn) равностепенно-непрерывны и равномерно
ограничены относительно w= (ггп)„ет^ Л/, HirmJIzzJI = 0 по фильтру
дополнений конечных подмножеств множества т.
Доказательство. Пусть А/*—- компактное множество. Ясно,
что для каждого п^т отображения Мэ (ггп)пет -+ип<^Мп
непрерывны и, следовательно, согласно теореме > Арцела — Асколи, Мп
(Агент) —равностепенно непрерывны. Для каждого е>0в!
существует конечная е/2-сеть и° =\щг )п<=х gM, / = 1, 2, ..., /с; очевидно
существует геЯт) такое, что для всехГ/ = 1, ..., &, supan|wn |^
necv
^ е/2. Поэтому если и = Ып)п<=х*= М, то при надлежащем выборе
и0) = (w^nsxбудем иметь sup апЦи„|К| и — uU)\\ +sup Onfw^l^e4
necv nscv
и необходимость условий теоремы доказана. Докажем ее
достаточность. Пусть е > 0 и пусть ve^(t) такое, что supan|wn||^e/2 для
всех и= (ип)Пех е М. Для каждого и= (w„)nexe= M рассмотрим век-
V V V
тор и = (ип)пеХ1 ще^ип = иП1 когда n<^v, и ггп = 0, когда пШ\\
и обозначим через Mv множество всех таких векторов. Из, условий
теоремы и из теоремы Арцела — Асколи следует, очевидно, что
множество Mv компактно в l0(aXl Сх) и, следовательно, для него
существует конечная е/2-сеть гг = \Un)n^x ^ Мv, 7 = 1, 2, ..., к.
Эта же сеть будет е-сетью для М, ибо для любого гг= (ггп)пете М
имеем:
IV.. || II V || || V V . || || V . ||
и — ии) I ^ I и — и I + [I и —- ии) || = | и —- цш I + sup ОпЦипЦ.
necv
§ 2. Аналитическое представление ограниченных
и вполне непрерывных операторов
в пространстве
1°. Представление ограниченных операторов.
Теорема 2.1. Если А—линейный ограниченный оператор,
действующий в пространстве Z0(aT, CT), то существует единственное
семейство CKn>m)nfTOST <= П К п такое, что
n.mGT
1) для каждого wgt и #n^Qn семейства (КПгm{xn, -))m^x
принадлежат пространству 1± (оСт~\ Ст) и
sup an sup 1 (Kntm (xn, (• ))W=T 1 < oo;
пет япейп
70

2) для каждого т&х и um*=C(Qm) семейства I J um(ym)KnimX
X(*»^wi)/meT принадлежат пространству Z0(aT, Сх);
3) для каждого п^х и и — \Un)nex ^ lo\ocx, Сх) семейства
,{ут)Кп>т(', dym) |mst абсолютно суммируемы в C(Qn) и отоб*
ражения
U -► (Апи) (хп) = 2 J Um (Ут) Kntm (^n, dym),
met Qm (1)
определяют линейные ограниченные операторы Лп, действующие
из l0(ax, Сх) в C(Q„) (п^х) соответственно, причем
\\К1 = sup |Кщт(хп, • )m€ET 1, и е= т;
4) для каждого и = (ип)пе=х^ Z0(ocT, Сг) Л1г = (Лпц)пег и ИЛ 11.=
= supan^n|.
пет
Обратно, если некоторое семейство (КП1т)п>т<=х е П К
удовлетворяет условиям 1) и 2), то справедливо утверждение 3)
и определенный в утверждении 4) оператор А является линейным
. ограниченным оператором в пространстве 10(ах, Сх).
Доказательство. Пусть Л — линейный ограниченный
оператор, действующий в 10(ах, Сх). Для каждого и = (an)net^ 10(ах, Сх)
положим Аи = (Лп1г)пет. Ясно, что Лп (п ^ т) — линейные
ограниченные операторы из 10(ах, Сх) в C(Qn) (n ^ т) соответственно,
причем |Лп|^сх^1| Л ||, п^ т. Следовательно, для каждого п^х к хп^
^Qn (Лпгг)(#п) являются линейными ограниченными
функционалами в Zo(aT, Ct), поэтому, согласно предложению 1.1, существуют
определенные соответственно на QnX®m функции Кп>т (и, тех),
удовлетворяющие условиям: для всех п, т^х и для каждого
хп ^ &п Кп, mixn, •) ^ гса (£2W); семейства [ J um (ym) Kntm (#п, Фт) J
\йт /mG=T
(#ne Qni /ig x) суммируемы в К для каждого и = Ып)г.&х е h(ax, Cx)\
операторы Лп (иет) имеют вид (1), и справедливы неравенства
2 Ят1 Г | #n,m (*n, Фт) | = Sup | (Лпц) (яп) | < || Лп || < ОС^11| Л |
wsx £т Ы<1 (2)
(хп GQn, п е т).
Из сказанного, в частности, следует выполнение условий 1) и 2).
Если га и и = (ип)Пе=х — произвольно фиксированные элементы из
т и Z0(at, Сх) соответственно, то для любого е >0 существует v0e
е#~(т) такое, что
sup- атЦит|<е1 sup \(Кп%т(хп, -))т^хЬ
71

Следовательно, для любого rv^^dr), не пересекающегося с v0,
имеем
max
J ^m \Ут) &п,т \%ni &Ут)
<
< sup \{K •))mST||supaw||uw|<e,
(3)
что и доказывает абсолютную суммируемость в C(Qn) семейств
(J um(ym)Kntm(',dym)\ . Далее очевидно, 4To||^f<supanl An\,
а из (1) следует неравенство
ЦАг||^ SUp 2 Ыт1 \Кп dym)\, Агет,
что вместе с (2) дает нужные выражения для Ы\\ и IL4JI, п^т.
Этим доказана половина теоремы 2.1. Докажем обратную ее
тт / тт- \ тт тг n^@w
половину. Пусть семейство (AnjW)W)?1=Te 11 К удовлетворяет
условиям 1) и 2). Из этих условий легко следует (см. [5]), что
отображения
ит—> | ит(ут)КПуГП(хП1С1ут)^ хпЕ=.ъ1п\ п, т €= т,
(4)
определяют линейные ограниченные операторы, действующие из
C{Qm) (т^т) в C(Qn) (п^т) соответственно. Как было показано
выше (см. (3)), из условий 1) и 2) следует, что для каждого п^т
mST
и и= ( e^0(aT, Сх) семейства / j um(ym) КП)ТП (•, dym)
\*m - i
абсолютно суммируемы в C(Qn) и соотношения (1) определяют
линейные ограниченные операторы Ап (п^т) из 10(ах, Сх) в C(Qn)
(п^т) соответственно. Поэтому, если покажем, что для каждого
U = (Ип)пет е /о(»т, Ст)
ишап max
ьтУ'П
хп^®п
2 j ^m(ym)Kn>m(xnidym)
"ISTq,
= 0
(5)
по фильтру дополнений конечных подмножеств множества т, то
теорема будет доказана, ибо тогда отображение и ->- Аи= (Апи)п^х
определяет линейный оператор А отображений 10(аХ1 Сх) в себя и,
очевидно, этот оператор ограничен. Пусть и= (ajnet^ Jotat, Cx).
Тогда, как легко видеть, из условия 2) следует, что для любого
е > 0 существует v е#~(х) такое, что
sup aw|uj[<e/2supan sup \(Кп,т(
2 «i
m max
m6V «n60n
J um \Ут) К-п^т КР^п-, и>ут)
<е/2,
72

для всех не принадлежащих v элементов п множества т. Из этих
неравенств и из неравенства
ап max
2 J ит(Ут)КПгт(хп,(1ут)
m=To
<
^ 2 ап Шах
J um(ym) Knm(xn, dym)
+ SUpan SUP \\(КП>ТП(ХП, -))т€=т| SUp am\um\
пет хп^®п m^cv
+
(ДЕ Т)
следует (5), и теорема доказана.
Замечание. Если Qn = [an,\ Ь J с= R для всех га e т, то в
теореме 2.1 можно считать, что Кп>т (и, т^х), являющиеся
функциями точек, определены на Qn X Qm соответственно (см. § 1;
напомним, что в силу принятого нами соглашения V0(an, bn) = rca (an, bn),
гс^т).. Однако в этом случае теорема 2.1 остается в силе, если
условие 2) заменить следующим более удобным условием:
2') для каждого т^х и \т^ (ат, Ьт] семейства
(КП)т(- ,Ьт))т<=х и I J Кп,т(- ,ym)dyn
принадлежит пространству 10{ах, Сх).
В самом деле, если в условии 2) в качестве ит (т&х) возьмем
функции, тождественно равные единице, то получим, что
СЙГп,т(-, 6т))пете lo(ax, Сх) (rn e т), а если в качестве um(ym) (m^x)
возьмем функции, равные i|m — г/m, когда ym ^ \ш, и равные нулю,
когда ут > £т, где %т ^ (ато, Ьт] (т^х) — произвольно
фиксированные точки, то после интегрирования по частям получим, что
(ат,Ът], тех.
\ат /nSt
Обратно, пусть выполняется условие 2'). Из этого условия и из
условия 1) легко следует (см. [6]), что и отображения (4)
определяют линейные ограниченные операторы, действующие из C(Q^)
(т е х) в C(Qn) (n <= т) соответственно; следовательно, нужно только
показать, что для каждого т е т и ит е C(QTO)
limcxn max
хпейп
J ^m \Ут) &п,т \%ni (*Ут)
= o
(6)
по фильтру дополнений конечных подмножеств множества т. Пусть
|т е (ат, Ьт] Ы ё х) ■— произвольные параметры и рассмотрим
определенные соответственно на (ат, Ьт] множества функций
\1т — Ут, КОГДа ут < £т, •■
0, когда г/т>£т,
линейные оболочки L(am, Ьт) (т ^ т) этих множеств лежат плотно
в пространствах С(ат, Ът) (т^х) соответственно. Из условия 2')
1г Нт(Ут)
-г
73

следует, очевидно, что для любой функции ит е L{am, Ът) (т е т)
имееет место (6). Возьмем теперь ит^С{ат, Ът), не принадлежащую
L(am, bm) (те=т). Для данного е>0 существует um^L(am, bm)
(m е= т) такая, что II ит — й Jl ^ e/28mj где бт = sup an sup ||
пет ЖЛ€=Оя
Kn,m(Zn, -)\(Ш^Т)Ж ПОТОМУ
ап max
<i+
-f an max
J um(ym)Kntm(xnidym)
Так как um^L(am, bm) (m^x), to найдется гтеЯт) такое, что
для всех не принадлежащих vm элементов п^х второе слагаемое
в правой части этого неравенства не будет превосходить е/2 и,
следовательно, имеет место (6).
2°. Представление вполне непрерывных операторов. С помощью
теоремы 2.1 доказывается следующая
Теорема 2.2. Если А—линейный непрерывный оператор в
пространстве Iq\cl%, kx/, то существует единственное семейство
(лП)ГП)п>тет^ П К такое, что:
1) для каждого п^х функции хп -+- (КПгт(хп, -))т<=х
принадлежат пространству Zi (о^\ Сх) и непрерывны, семейства
(am1 J \Kntm{-,dyrn)\ ] суммируемы в C(Q„) (пет) соответ-
\ fyn / тех
ственно и
lim an max Ц (#п>т (яп, -))mstl = 0 (7)
по фильтру дополнений конечных подмножеств множества т;
2) справедливы утверждения 3) и 4) теоремы 1.2, причем
Ап (п^х) —вполне непрерывные операторы из 10(ах, Сх) в C(Qn)
соответственно.
Обратно, пусть некоторое семейство (Кп,т) п,т<=т e ПК п*®т
п,т
удовлетворяет условию:
1') функции Хп-+ Kntm(xni •) (п, m^т) принадлежат
пространствам rca (Qm) соответственно и непрерывны, семейства
(Ьбт1 J IKntm(*»d*/w) i J (я е т) суммируемы в C(Q„) соответст-
Qm I met
ветшо u выполняется (7). Тогда справедливо утверждение 2), тг/?гг^
чел* Л —- вполне непрерывный оператор в пространстве Z0(ocT, Сг).
Доказательство. Пусть Л — линейный вполне
непрерывный оператор в пространстве Z0(aT, Cx). Тогда выполняются условия
теоремы 2.1. Очевидно, нто 4П (п^т) вполне непрерывные из
h(a%, Сх) в CiQJ соответственно. Поэтому из равенства
sup | {Апи) (хп) — (Апи) (х'п) | = [| {КПуш (хп, •) — Кп>7П(х'п, •)) mST [
• IMKi
74

которое, очевидно, следует из предложения 1.1, и из теоремы Ар-
цела — Аскбли следует, что для каждого п е % функции хя -*•
-*■ (Кп,т(х, '))met непрерывны на Qn в смысле метрики пространства
Zx (аг , Сг). Поэтому функции хп-> ] ЛГп,т (#n, di/m) (п,т^ г)
и а;п->2 а^М |#П)т(#п, d#m)|(rc€=T) непрерывны на Qn (иЕт)
соответственно и, следовательно, согласно теореме Дини о
монотонно суммируемых семействах непрерывных функций (см. [7]),
семейства/а^1 ] \Kntm(*,dym)\ ) (пет) суммируемы в C(QJ co-
\ ®т /mSi
ответственно. Далее, согласно предложению 1.2, имеем: равномерно
относительно и из единичного шара пространства 10(ах, Сх)
\\тап\\Апи\\ = 0 по фильтру дополнений конечных подмножеств
множества т; отсюда, учитывая выражения для ИЛ„II (п е т) из
теоремы 2.1,' убеждаемся в справедливости (7).
Пусть теперь семейство (Кп?т)П)тет е П К удовлетворя-
n,mst
ет условию 1'). Из этого условия легко следует (см. [5]), что
отображения (4) определяют вполне непрерывные операторы из
C(Qm) \m^ т) в C(Qn) (/i^t) соответственно, что выполняются
условия теоремы (2.1) и, следовательно, справедливы утверждения
3) и 4) этой теоремы. Далее, из (7) и из предложения 1.2 следует,
что А —вполне непрерывный оператор в 10(ах, Сх);. тогда, очевидно,
и Ап (п^т)—вполне непрерывные операторы из 10(ах, Сх) ъ>С(0>п)
соответственно, и теорема доказана.
§ 3. Бесконечные семейства
интегральных уравнений второго рода
1°. Бесконечные семейства интегральных уравнений. В классе
непрерывных функций любое бесконечное семейство линейных
интегральных уравнений второго рода можно представить в виде
ип (хп\ — Я 2 ] ит (ут) Кп%т (хп, dym) = vn (хп), п$=%
wST«m (8)
{xn^Qn, wex),
,л .„ и An,m ^ л. — заданные функции, причем vn ^
eC(QJ (weT) и Kn,m(xni •) ^rca (Qm) (xn^Qn, n, т^т); X^K-^.
числовой параметр, ип е К п — искомые функции из пространств
C(Qn) (wex) соответственно. Семейство (Кп, т)п, тег будем называть
ядром этого семейства уравнений.
75

Решением семейств уравнений (8) называется любое семейство
(uJnex^Cx такое, что для каждого п^% семейства [ ) ит(ут)Х
X Kntm(-,dym)\ суммируемы в C(fin) соответственно и все урав-
/т£т
нения (8) обращаются в тождества.
Рассмотрим несколько частных случаев семейства уравнений
(8). Через Rjn (гс^т), где п ->- in — некоторое заданное отображение
х в множество натуральных чисел N, будем обозначать in (п е т)-
мерные вещественные эвклидовы пространства точек #п = (я1, ...
«*., х п) с нормами | хп | = ((я1)2 + ... + (x%nf)1/2 (n е= т)
соответственно.
Пусть Qn (п^т) — замкнутые ограниченные либо области
пространств R|n (га^т), либо многообразия, представляющие собой
объединение конечного числа дифференцируемых многообразий
fin , . ..,fin из Rjnc размерностями >1 и меньше, чем in (n^x),
соответственно. Предположим, что заданы функции Кщт еК"
(т, п) е т, удовлетворяющие условиям: если для некоторых п е %
и т е х in^im, то JT„, m e C(fin X fim) соответственно, а если для
некоторых п^ъ и т^ъ in = im, то соответствующие Кп,т имеют вид
ТС (г 11 \ — бп,т(жп>Ут)
|*»-М ' (9)
где 6гп>тбКп т — некоторые заданные ограниченные функции,
непрерывные по совокупности точек хп е Qn и г/т ^ fim, когда
%п^Ут', ап, т — некоторые постоянные числа такие, что 0^аП)7П<
L< dim fim. Если положим
■*Mi,m wi» ^т) === ] лп т \Xnt Ут) и>Ут
(Ю)
(хп е= fin, ет <= @т; гг, /гг е г),
где dym — меры Лебега на fim (m e т) соответственно, то получим
бесконечное семейство интегральных уравнений
Un (Хп) — % 2 #n,m (sm yw) Mm (»m) d*/m = ^n fan), w G= T
™<=xQm (И)
(znefin, wgt).
Если для любого net in = k>l, то fin<=RA (тгб=т) и имеем
бесконечное семейство интегральных уравнений
■И» (Хп) - Я У f gra'w(*W'^m) Um (j/m) dym = У„ (*„), BGT
7В

<dimQm; n, яг^т), (12)
ядра которых имеют слабые особенности. В частности, если in — 1,
Qn —[a, feJ<=R Ugt) и для всех п, те-ъ Сп>т(я, г/)^0, когда
у>х (хп — х, уп^У, а^х,у^Ь), то получим бесконечное
семейство интегральных уравнений типа Абеля
X
1 а Um(y)dy = Vn(x), WGT
m&l (Х—У) П,т \16)
(а^х^Ь, 0^ап,т<1; л, т е г).
Ниже всюду, не оговаривая это особо, бесконечное семейство
интегральных уравнений (8) рассмотрим в пространстве 10(ах, Ст),
т. е. будем считать, что вектор v = (vn)n<=x принадлежит этому
пространству и решение ищется в том же пространстве. Из теоремы
2.1 следует, что в пространстве 10(ах, Сх) исследование любого
операторного уравнения второго рода с линейными ограниченными
операторами эквивалентно исследованию бесконечного семейства
интегральных уравнений (8) при указанных в этой теореме
дополнительных ограничениях, наложенных па ядра Кп,т.
2°. Итерированные ядра. Решение методом последовательных
приближений. Будем считать, что ядро семейства уравнений (8)
удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 2.1.1 Согласно этой теореме,
ядру (Zn(m)n,met соответствует единственный оператор А,
действующий в пространстве Z0(aT, Сх), и каждому оператору А* (£ = 1,2,...)
соответствует единственное семейство (■^•п?тп)п,тет £=
п к * m
n.mST
{Кп,т = Кщт, п, m^L т), также удовлетворяющие условиям 1) и 2)
теоремы 2.1. Семейство (Й.тктЕт будем называть i-м
итерированным ядром (по отношению к (КПг т)П) тоет). Если пространства
Qn (п^т) имеют счетные базисы, то можно доказать, что семейства
&sym \Z$i €m) &n,s \%ni &%$)
{xn^Qn, em^<Sm'j п,т^т; K/<i)
суммируемы и
Теперь, применяя теорему 2.1, можем сформулировать следующее
утверждение.
Теорема 3.1. Пусть ядро (КПут)ПгГпех удовлетворяет
условиям 1) и 2) теоремы 2.1, и пусть для некоторого i = 1, 2,! ...
\Х\< /supan sup J(К(п%(хп> -))msT|)~1П.
\п<=т xn<=Qn j
Трэда бесконечное семейство интегральных уравнений (8) имеет
единственное решение и = (ип)п6=г^ 10(ах, Сх) и это решение можно
11

получить как предел сходящейся в Цсхт, Сх) последовательности
{(^п^пет)» —определяемых по рекуррентной формуле
^п+1) Ы == Vn (Хп) + % S ) Ит} (г/т) Кщт (хп, Uym), ] = О, 1, . . .
ав771
(#n€=Qn, я^ т),
причем (^п0))п^т— произвольный вектор пространства 10(ах, Сх).
3°. Сопряженное семейство уравнении. Основные теоремы
Фредгольма. Теоремы 2.1 и 2.2 позволяют дать явное описание
условий, наложенных на Кп>т, при соблюдении которых для
бесконечного семейства интегральных уравнений справедливы
основные теоремы Фредгольма. Для формулировки этих теорем нужно
построить сопряженное к (8) семейство интегральных уравнений.
Пусть пространства Qn (пет) имеют счетные базисы и
sup J | Кп,т (хп, dym) | < сх). Тогда можно показать, что для каждого
хп ^ Qn и \in e rca(Qn) отображения @тэет-> } КПуГП (хп,ет) \лп (dxn)
принадлежат пространствам rca(Qm) in, met) соответственно.
Наряду с (8) рассмотрим бесконечное семейство интегральных
уравнений
(Ап (еп) — % 2 КтуП (ут, еп) \im {dym) ='i|?n (еп), net
™е< (14)
(б?пе=@п, лет),
где (г|?п)пете 1Х (а7\ Ст) — заданный вектор; (^п)пе=т^ Ji(a7\ Ст) —
искомый вектор, причем он называется решением (14),, если семей-
I J Кт,п(Ут, -)\*>m{dym)\ (й^т) суммируемы в rca (Qn) со-
\йт /тех
ответственно и все уравнения (14) обращаются в тождества.
Теорема 3.2. Пусть Яп U^t) имеют счетные базисы, ядро
(Кп>т)Пгт^х удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 2.1 и для
некоторого i > 1 итерированное ядро (#n,m)n,msT удовлетворяет условию
1 ) теоремы 2.2. Тогда бесконечные семейства интегральных
уравнений (8) и (14) образуют Фредголъмову пару сопряженных
уравнений: 1) семейство уравнений (8) имеет не более счетного
множества характеристических чисел, не имеющего точек накопления,
кроме% быть может, бесконечной удаленной точки. Каждое
характеристическое значение имеет конечную кратность-, 2) % —
характеристическое значение (8) тогда и только тогда, когда оно
характеристическое значение той же кратности семейства уравнений (14);
3) семейство уравнений (8) {соответственно семейство уравнений
(14)) имеет решение тогда и только тогда, когда
2 \ vn {хп) Щг (dxn) = 0 [соответственно S ] ип {хп) ty (dxn) = 0 )
ства
78

для любого решения (\хп)п^х (соответственно (uJnet),
соответствующего (8) (соответственно (14)) однородного семейства уравнений.
Замечание. Если для каждого п^х Qn = [an, 6j<=R и
будем считать, что КПгШ являются функциями точек, определенных
на QnXQm (n, т^т) соответственцо (см. § 1), то упомянутое в
теореме 3.2 условие 2) теоремы 2.1 следует заменить условием 2'),
указанное в замечании к этой теореме; в этом случае сопряженное
к (8) семейство уравнений имеет вид
ьт
[*п (хп) — Л, 2 J Kntm (Ут, Хп) fXm (dym) = l|)n (xn), П S T
(an^xn^ bn, n e t),
где интегралы, стоящие под знаком суммы, понимаются в смысле
Лебега.
§ 4. Обоснование метода редукции
1°. Ассоциированные семейства и подсемейства конечных
систем уравнений. При исследовании бесконечного семейства
интегральных уравнений (8) существенную роль играют естественным
образом ассоциированные к ним и определенные ниже бесконечные
семейства конечных систем интегральных уравнений.
Наряду с бесконечным семейством интегральных уравнений
(8) для каждого Vе &~(т) рассмотрим конечные системы
интегральных уравнений:
<0„ (Хп) — А, 2 ) С0т (ут) Kntm (хп, dym) = Vn (хп), WGV, VG?" (т)
mSVGm, , (15)
(#ne Qn, пет).
Если v —- пустое множество, то vn и сумму слагаемых, стоящих в
левой части (15), будем считать равными нулю. Ниже всюду, не
оговаривая этого, решение соп (п^х) системы уравнений (15) будем
искать в пространствах C(Qn) (пет) соответственно и через Kv
(vef(i)) будем обозначать характеристические значения.
Когда v пробегает, все направленное множество #"(т), то
соотношения (15) есть бесконечное семейство конечных систем
интегральных уравнений, которое в дальнейшем будем называть
ассоциированным с (8) направленным семейством (конечных) систем
интегральных уравнений. Ассоциированным с (8) направленным
подсемейством уравнений будем - называть всякое направленное
семейство уравнений
<»п (Хп) — А, 2 C0m (ут) КПут (хп, dym) = Vn (хп), П S Vrj, RGI
wev4 0m (16)
(xn<=Qn, rae=v<n),
где Ц, . >) — направленное множество и r\ -> Vt, — отображение i
в ^"(т), обладающее свойством: для каждого т^Ят) найдется
79

т] <= i такое, что если т)4 > г\, то v^ :э v. Легко видеть, что
ассоциированное с (8) направленное семейство уравнений (5) одновременно
является и ассоциированным с (8) направленным подсемейством
уравнений.
В этом параграфе всюду, не оговаривая это особо, бесконечное
семейство интегральных уравнений рассмотрим в пространстве
h(ax, Сх) и будем считать, что ядро (Кп>т)Пг тех этого семейства
удовлетворяет условию I7) теоремы 2.2.
2°. Обоснование метода редукции для однородного семейства
уравнений. Однородные (vn(xn) = 0 для всех пет) семейства
уравнений, соответствующие (8) и (16), будем обозначать соответственно
(8°) и (16°). Следующая теорема дает обоснование метода редукции
для (8°).
Теорема 4.1. X — характеристическое значение семейства
уравнений (8°) тогда и только тогда, когда существует
ассоциированное с этим семейством уравнений направленное подсемейство
уравнений (16°), каждая система уравнений которого имеет
характеристические значения Xv (ц ^ i) соответственно такие, что
lim Xv = X. Кроме того, если оО е С (Qn), n ^ л\, (tjgj)- собствен-
Tie»
ные векторы, отвечающие характеристическому значению ^v4
(rjGi), и направленное семейство ((^м^хМ^и где 0)^ = 0, когда
пё\ в пространстве 10(ах, Сх) слабо сходится, то это семейство
сходится по норме 10(ах, Сх) и предельный вектор (ип)пех является
собственным вектором семейства уравнений (8f), принадлежащим X.
3°. Обоснование метода редукции для неоднородного семейства
уравнений.
Теорема 4.2. Справедливы следующие утверждения:
а) если некоторое ассоциированное с бесконечным семейством
уравнений (8) направленное подсемейство уравнений (16) таково,
что все системы уравнения этого семейства имеют единственные
решения соп еС(Йп) (az^Vt,, r|ej) соответственно и К не является
предельной точкой характеристических значений этих систем
уравнений, то бесконечное семейство уравнений (8) имеет единственное
решение (ип)п^х из пространства 10(ах, Сх), направленное семейство
((юпОпеОлзь где 0)^=0, когда пШущ в этом пространстве сходится
к (ип)пех, причем существует т]0 е i такой, что для всех Ц е iV(y
справедливы неравенства
||(со^)пет~ Юпет|<а sup (Xn\\vn\\ + av sup an|| vn\, (17)
necv^ - nSvn
где а и av — постоянные, причем lim av = 0;
б) если бесконечное семейство уравнений (8) имеет единствен-
ное решение (un)nGX^l0(ax, Cx), то для каждого ассоциированного
с этим семейством уравнений направленного подсемейства
уравнений (16) существует Tjo^t такой, что при Л^Ц, все системы урав-
80

нений (16) имеют единственные решения (0nr,eC(Qn) (гге vn, r) e
е ^п0) соответственно, направленное семейство ((сопТ1)пет)п=|Т1 , где
col4 = 0, иогда wgv,,, в пространстве Z0(at, CT) сходится к (ип)пех,
причем для всех г) е гЛо справедливы неравенства (17).
ЛИТЕРАТУРА
1. Кордзадзе Р. А. Об одном классе бесконечных систем интегральных
уравнений типа Фредгольма.— Докл. АН СССР, 1980, т. 253, № 1, с. 22—25.
2. Кордзадзе Р. А. Бесконечные семейства интегральных уравнений типа
Фредгольма.— В кн.: Краевые задачи для нелинейных уравнений.
Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982.
3. Кордзадзе Р. А. Об одном классе бесконечного семейства интегральных
уравнений Фредгольма.—Сообщ. АН ГрузССР (в печати).
4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛГ
1962.
5. Radon J. T)ber lineare Funktional transformationen und Funktionalgleichun-
gen.— Sitzungsberichte d. Akad. Wiss. Wien. Math.— Natura. Kl., 1919,
Bd 128, S. 1083-1121.
6. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.:
ИЛ, 1954.
7. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1968.
М. М. ЛАВРЕНТЬЕВ
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
(Новосибирск)
Пусть и(х) — функция в и-мерном пространстве (x^Rn) и
G(y) — семейство яг-мерных многообразий в /?n, m<n. Рассмотрим
функцию
/0/)= f K(x,y)u(x)d<o. (1)
G(y)
Интегральная геометрия — раздел математики, занимающийся
изучением взаимосвязей различных свойств функций и, /,
многообразий G и! весов К.
Мы будем рассматривать (1) как операторное уравнение
относительно функции и(х).
Классической задачей интегральной геометрии является задача
Радона, когда G — гиперплоскости размерности п — 1 и:
К(х, у) -1.
Задачами интегральной геометрии являются также известные
задачи определения функции по ее сферическим средним (см. [1, 2]).
Задачи интегральной геометрии связаны с многочисленными
приложениями.
Приведем несколько примеров.
6 Заказ J4 717
81

Рассмотрим задачу интерпретации данных сейсморазведки./
В целях изучения внутреннего строения земных недр на
поверхности Земли производится серия взрывов. Для каждого взрыва на
системе приборов измеряются режимы колебаний земной
поверхности. Цель исследований —- по показаниям приборов определить
внутри Земли распределение физических параметров, связанных
с законами распространения сейсмических волн.
Наиболее четкий функционал в показаниях приборов —- время.
прихода сейсмической волны, именно он служит основой в практике
интерпретации.
Ограничимся для простоты двумерным случаем.
Пусть v(x, у) — скорость распространения волнового процесса
в полуплоскости
У>0.
Тогда т(#!, Хг) — время прихода волны из точки (хи 0) в точку
(#2, 0) будет равно:
т {хи х2) = J n (я, у) ds, ' (2)
Г(*1'*2)
где
Кривая r(#i, х2) — геодезическая, соединяющая точки (хи 0), (х2, 0)
в римановом пространстве с метрикой
nlfdx2 + dy\
Рассмотрим соотношение (2) как уравнение для определения
функции п(-) по функции т(-). Уравнение (2) —- нелинейное, так
как кривые Г(-, •) зависят от функции тг(0. Произведем
линеаризацию уравнения (2).
Пусть
П = П0 + Пи
где функция п0 — известна, а п{ —- достаточно мала. Соответственно
T = To+Ti,
где
^ofo'^^ J n0(x,y)ds.
Г0(*1»*2)
Можно показать, что если в (2) отбросить величины порядка п\, то:
Ti(*i,*2)= J nx(x,y)ds. ' (3)
Г0(*1>Х2)
Таким образом, линеаризованная задача интерпретации данных
сейсморазведки есть задача интегральной геометрии. Изложенную
$2

выше задачу можно рассматривать и как обратную задачу —- задачу
определения коэффициента волнового уравнения: ,
d^=a(x,y)AW.
Приведем еще один пример обратной задачи, сводящейся к
интегральной геометрии. Рассмотрим телеграфное уравнение:
.d*W
в полупространстве
с краевым условием
= MV + aW (4)
z>0
dW
dz
= b(t)b(x)8(y). (5)
|z=0
Пусть требуется определить коэффициент а(х, г/, z) по следующей
дополнительной информации:
ТИж-о = /(*,* У, t\ (z, »)еД (6)
где D — некоторая область на плоскости (х, т/). Можно показать,
что линеаризованная обратная задача (4) — (6) эквивалентна
следующей задаче интегральной геометрии: требуется определить
функцию, если известны интегралы от этой функции по семейству
эллипсоидов вращения, один из фокусов которых находится в начале
координат, а другой — в произвольной точке области D.
Из результатов В. Г. Романова [4] следует, что вопросы
единственности широкого класса обратных задач для гиперболических
уравнений сводятся к вопросам единственности решений задач
интегральной геометрии. Из результатов автора и X. Г. Резницкой
о взаимосвязи классов решений уравнений различных типов [31
следуют аналогичные редукции обратных задач для параболических
и эллиптических уравнений. К интегральной геометрии сводятся
задачи, связанные с просвечиванием, в частности задачи
интерпретации рентгеновских снимков. Потемнение рентгеновской пленки
функционально связано с интегралом поглощения вдоль
рентгеновского луча от источника до точки на пленке. Таким образом,, задача
определения пространственного распределения коэффициента
поглощения есть задача интегральной геометрии — требуется
определить функцию, если заданы интегралы от этой функции по
семейству лучей.
Сформулируем некоторые результаты по интегральной
геометрии, полученные в последние годы в Вычислительном центре
Сибирского отделения Академии наук СССР [4, 5].
Функцию и(х) в уравнении (1) будем считать финитной,
поверхности Г()—гладкими.
Очевидно, что, если в уравнении (1) рассматривать функции
и(-), /(•) как элементы одного и того же функционального
пространства, оператор обращения в (1) будет неограниченным.
6*
83

Задачу интегральной геометрии могут быть двух типов. Задачи
первого типа можно назвать слабонекорректными. В этих задачах
оператор обращения будет непрерывным для пары пространств,
в определении нормы которых участвует конечное число
производных. Задачей такого типа является классическая задача Радона.
В двумерном случае весьма общий результат по единственности
и оценкам условной устойчивости/ был получен Р. Г. Мухометовым.
Сформулируем этот результат.
Пусть D — носитель функции и(х) в двумерном пространстве.
Пусть далее семейство кривых G(y) удовлетворяет следующим
условиям:
1) каждую пару точек D соединяет единственная кривая
семейства;
2) для каждой точки и для каждого направления существует
кривая семейства, проходящая через эту точку с касательной по
данному направлению. Относительно функции К(-) предполагается,
что она удовлетворяет некоторому дифференциальному неравенству.
Тогда решение уравнения (1) единственно в пространстве
Гильберта Ьг и имеет место неравенство.
HU2<c..I/iwi.
Аналогичный результат, в n-мерном пространстве при
т = п— 1
был получен автором и А. Л. Бухгеймом. В этом случае требуется,
чтобы для каждой точки и для каждого направления существовало
многообразие G(y), проходящее через точку с нормалью в этой
точке по данному направлению. Область D предполагается
достаточно малой.
Второй тип задач интегральной геометрии —-
сильнонекорректные. Характер неустойчивости в задачах этого типа такой же, как
в задаче Коши для уравнения Лапласа. Классическая задача этого
типа — задача определения функции по сферическим средним,
когда центры сфер лежат на гиперплоскости (см. [2]).;
Достаточные условия сильной неустойчивости задач
интегральной геометрии были получены А. Л. Бухгеймом.
Пусть т = п — \ и пусть семейство многообразий удовлетворяет
следующему условию.
Существует конус, в котором нет нормалей к многообразиям
нашего семейства. Тогда при некоторых дополнительных
предположениях о аналитичности семейства G(-) и веса К(-) для уравнения
(1) можно построить пример типа примера Адамара. Теория
сильнонекорректных задач интегральной геометрии далека от завершения,
здесь исследованы лишь различные частные классы задач.
В. Г. Романов исследовал вопросы единственности и
устойчивости задач интегральной геометрии в случае, когда многообразия
<?(•) имеют вид параболоидов и инвариантны относительно группы
всех движений, параллельных (я — 1)-мерной гиперплоскости. Все
К(-) также предполагаются инвариантными относительно данной
£4

группы. В этом случае с помощью преобразования Фурье
уравнение (1) сводится к семейству скалярных уравнений Вольтерра.
Другой метод исследования сильнонекорректных задач
интегральной геометрии — метод моментов. Для некоторых уравнений
вида (1) существуют линейные интегродифференциальные
операторы L такие, что
L J К(х,у)и (х) dx = J К (х, у) р (х) и (х) dx.
G(y) . G(y)
Таким образом, наряду с функцией f(y) можно считать заданными
и функции
fn{y)= ) K(x,y)pn(x)u(x)dx
с\у)
и задача определения функции и(х) сводится к проблеме моментов.
Этим методом была доказана теорема единственности в задаче о
сферических средних [1]. В работах В. Г. Романова и М. В. Кли-
банова этим методом доказаны теоремы единственности задач
интегральной геометрии для классов многообразий, включающих
упомянутые выше эллипсоиды вращения.
Отметим еще два результата по теории сильнонекорректных
задач интегральной геометрии, связанных с аналитическим
продолжением.
Первый результат принадлежит А. Л. Бухгейму. Пусть т =
= w-l и уравнение (1) мо^ет быть представлено в виде:
j К (х, у, v)u(x) de> = f(y, v), (1')
G(y,v)
где многообразие G содержит точку у и v —- единичный вектор,
нормальный к G. Пусть далее многообразие G и функция К зависят
от переменных (у, v) аналитически и функция /(г/, *v) задана для
всех у и для всех % принадлежащих некоторому множеству
единственности задачи аналитического продолжения. Тогда
единственность для уравнения (I7) сводится к единственности в случае,
когда / задана для всех -v.
Второй результат принадлежит автору [5]. В случае, когда
многообразия G имеют тип параболоидов, уравнение (1) после
применения интегродифференциального оператора может быть
приведено к виду
J u(x)da+ J K(x,y,v)u(x)dx = f(y,v), (Г)
G00/,V) H(2/,V)
где G0— (и— 1)-мерная гиперплоскость, проходящая через точку
(у) с нормалью -v, R — полупространство.
Сформулируем результат для случая тг = 2. Рассмотрим
операторное уравнение
85

j u(y + vs)ds+ j K(x,y,v)u(x)dx = f(y,v). (7)
Здесь v — единичный вектор с компонентами (cos a, sin а), R(у, v) —
полуплоскость, ограниченная прямой
x = y + vs. (8)
Функция if(0—дважды непрерывно дифференцируема,
ограничена вместе со своими производными и финитна по направлению,
ортогональному прямой (8). Функция /(•, •) известна для всех {у)
и для ае= |0>у|-
Теорема. Пусть:
, \К(х, у, а)\ <е~аа, а>0.
Тогда решение уравнения (7) единственно в пространстве
непрерывных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ион Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к
дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ИЛ, 1958. 156 с.
2. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
3. Лаврентьев М. М., Резницкая X. Г. Теоремы единственности некоторых
нелинейных обратных задач математической физики.—Докл. АН СССР, 1973г
т. 208, № 3, с. 531—532.
4. Лаврентьев М, М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.
5. Лаврентьев М. М. Об одном классе операторных уравнений.—Сиб. мат.
журн., 1979, т.. 20, № 5.
О. А. ЛИСКОВЕЦ
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ С МОНОТОННЫМИ
НЕМОНОТОННО ВОЗМУЩАЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
(Минск)
1°. Типичной некорректной задачей с неустойчивым решением
является уравнение 1-го рода. Такие уравнения и обобщающие их
вариационные неравенства (в. н.) рассматриваются в предлагаемой
работе в случае монотонного оператора [1—3], заданного с
возмущением.
Если возмущенный оператор также монотонен, то для решения
названных задач можно применить так называемый операторный
способ регуляризации, состоящий в добавлении к заданному
оператору дуального отображения с малым параметром, служащим
параметром регуляризации [4—6].
86

Однако на практике, особенно при счете на ЭВМ,
приближенный оператор обычно не обладает монотонностью, как и
некоторыми другими важными характерными свойствами точного
оператора. Например, в двумерном евклидовом пространстве матрица
2-го порядка А, все элементы которой совпадают с числом У2, есть
линейный монотонный оператор. Тем не менее, при вычислениях
на ЭВМ вследствие неизбежных округлений и вызываемой ими
некоммутативности машинной операции умножения, равенство
Акх = кАх не будет выполняться для большинства значений
вещественного коэффициента к и двумерного вектора-аргумента х,
так что машинная транскрипция линейного оператора линейностью
уже не обладает и нет никаких оснований считать, что погрешности
округления распределятся таким образом, чтобы сохранилась
монотонность оператора А. То же относится и к нелинейным
монотонным операторам, из чего следует практическая необходимость
рассмотрения их немонотонных приближений.
При вариационных способах регуляризации уравнений 1-го рода
(и других некорректных задач) подобную же проблему — не
требовать от приближенных операторов никаких иных свойств, кроме
аппроксимации ими точного оператора,— удалось решить путем
регуляризации с помощью элементов приближенной минимизации [71.
Аналогичная идея применяется в данной работе и для операторного
метода регуляризации исследуемых задач. Подобную идею об е-
уступке в в. н. мы использовали и ранее [8J, но в прежнем
подходе приближенный оператор все же должен был сохранять хеми-
непрерывность точного оператора. Новый подход позволяет
избавиться и от этого последнего требования к приближенному
оператору, который должен теперь только аппроксимировать точный
монотонный хеминепрерывный оператор.
2°. Пусть рефлексивное банахово пространство X имеет строго
выпуклое сопряженное пространство X* и оператор А : X ->- X* на
замкнутом выпуклом подмножестве D области его определения
В [А) монотонен и хеминепрерывен [1—3]. При этих условиях
требуется устойчивым образом аппроксимировать какое-либо из
решений z0^D в. н.
[Az-y, z-z)7?0 Vxe=D (1)
((у, х) есть значение функционала уеХ* на элементе х&Х) в
предположении, что множество решений Z0<^D в. н. (1) непусто и
что известны приближенные элементы y«sl* и операторы Ah:D-*-
-*■ X*, для которых
Иуб-у11<6, Uhx-Ax\^hg(\\xW) УяеД (2)
где вещественная функция git) имеет не более, чем линейный*
рост: 0<g(t)^N + Qt Vt>0 Ш, Q>0).
Это отличается от случая монотонного приближенного оператора [5].
87

•Если D = X, сформулированная задача, как известно [3],
эквивалентна задаче решения уравнения 1-го рода
Ах = у, х^Х, у<^Х*. (3)
Для устойчивой аппроксимации искомых точных решений
предлагается регуляризовать в. н. (1) при помощи следующего в. н.
(Ahz + aUz-y6, x-z)>-eg(h\\)\\x-z\\ Yxe=D (e>h) (4)
с дуальным оператором U: X ->- X* и параметром регуляризации
а > 0. В случае монотонного (даже псевдомонотонного) оператора
Ah здесь можно положить е = 0, не теряя разрешимости в. н. (4),
при наших же предположениях условие е > h существенно.
3°. Переходим к основным результатам.
Лемма 1. Множество решений в. н. (4) Z%aD, А = (б,
Л, е), непусто.
Лемма 2. Если параметры задачи б, h, е, а таковы, что
Q^<q<i, £<ff<oo, (5)
то все решения множеств Z\ лежат в шаре конечного радиуса^
не зависящего от этих параметров.
Лемма 3. Пусть при а-^0 выполнены условия (5). Тогда при
любом выборе регуляризованных решений z%^Z% сеть (т. е.
обобщенная последовательность) {z%} имеет при а-^0 слабые
предельные точки и все они принадлежат множеству точных
решений ZQ [иными словами, имеет место слабая В-сходимость [7] сети
{яд} к подмножесту Z0 при а-^0).
Ввиду замкнутости и выпуклости множества точных решений
Z0, а также рефлексивности пространства X среди решений z^Z9
заведомо существуют элементы минимальной нормы z*,
называемые нормальными: z*^Z0, \z*\ = min|z0|, z0^Z0, так что
подмножество нормальных точных решений Z% e Z0 непусто.
Усилим требование (5) до требования
(6 + й + г)/а + 0, а + 0. (6)
Теорема 1. При условии (6) для любого выбора
регуляризованных решений z%^Z% сеть {яд} слабо В-сходится при а-^0 к
подмножеству нормальных точных решений Z* в. н. (1) и при
этом имеет место сходимость норм |яд|->||я#||, 2*е^*» а->0.
Если в пространстве X из слабой сходимости элементов и
сходимости их норм вытекает сильная сходимость, т. е. X есть так
называемое пространство Ефимова — Стечкина, то последний
результат усиливается.
Теорема 2. В пространстве Ефимова — Стечкина X любая
сеть регуляризованных решений {яд), Яд^Яд, при условии (6)
сильно В-сходится к подмножеству нормальных точных решений
2* при а -*■ 0.
88

Следствие 1. В условиях теоремы 1 либо 2 при строго
выпуклом пространстве X (соответственно при строго монотонном
операторе ^4) всякая сеть {яд}, й g Za, слабо либо сильно
сходится к единственному нормальному точному решению z*
(соответственно к единственному точному решению z0) исходного в. н. (1)
при а ->■ 0.
Теорема 3. При D = X в условиях теоремы 1
(соответственно теоремы 2), но без априорного предположения о непустоте
множества точных решений Z0, для слабой {соответственно сильной)
В-сходимости множеств регуляризованных решений Ъ% к
некоторому ограниченному по норме множеству при а ->- 0 необходима и
достаточна разрешимость уравнения (3), г. е. непустота
множества Z0.
Таким образом, предлагаемый способ регуляризации изучаемых
задач при помощи в. н: (4) обеспечивает регуляризованным
элементам все обычные свойства операторной регуляризации [4, 5, 8].
4°. Предположим дополнительно, что D = X, т. е. фактически
перейдем от в. н. (1) к уравнению (3), и поставим вопрос об
отыскании регуляризованных решений яд. Для этого рассмотрим
множество Z8 решений неравенства
\\Ahz + aUz-y6W<eg(h\\) (7)
относительно элементов z e X.
Лемма 4. Множество решений Z8 неравенства (7) не пусто
и целиком принадлежит множеству регуляризованных решений
Zl в. н. (4).
Следовательно, при D = X для отыскания регуляризованного
решения достаточно найти элемент, дающий уравнению
Ahz + aUz>=y6 (8)
невязку, малую в смысле неравенства (7). В случае монотонного
хеминепрерывного оператора Ah уравнение (8) разрешимо и его
решения обычно берут в качестве регуляризованных [4, 5].
Естественно, что решение неравенства (7) представляет гораздо более
легкую задачу, чем отыскание решения уравнения (8), даже при
его разрешимости. Но неравенство (7) разрешимо при любом
приближенном операторе Ah.
В гильбертовом пространстве можно указать и итеративный
способ регуляризации в. н. (1), но поскольку он фактически не
отличается от метода, приведенного в работах [5, 8], то мы на нем
не останавливаемся.
5°. В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение
Гаммерштейна 1-го рода
1
Ах = § K(s,t)f(s,x(s))ds = y(t), 0<*<1, (9)
о
с непрерывным неотрицательным на единичном квадрате ядром
K(s, t) и непрерывной по s^LO, 1J, непрерывной неубывающей по
89

ие(—оо, +оо) функцией /($, и), удовлетворяющей неравенству
\f(s, и)\<С+Ъ\и\*-\ Ъ,О0,1<р<2.
В этом случае оператор А определен на всем пространстве ЬР(0, 1) и
действует непрерывно и монотонно Ш в сопряженное пространство
£р,(0,1).
Требуется решить это уравнение при априори непустом
множестве решений, зная приближение правой части у&,
удовлетворяющее условию (2), и имея (либо вычисляя) такие функции Kh и fXr
что при любых значениях аргументов
\Kh(s, t)-K(s, t)\<h,
|Д(*,и) - f(s, и)I <ч(Е + <1\и\р-1), d,E>0.
Соответствующий приближенный оператор Ahx с линейным ядром
Kh и функцией /т не обязан быть монотонным, так как ядро Kh
может не сохранять знака, а функция fx(s, и) может оказаться
немонотонной по второму аргументу.
Тем не менее нетрудно проверить, что
Uhvtr-Ax\^G(h,x,\x\) = h(C+b\xf-1) +
. + т(Е + d\\xf-x) (max#(s, *) + h\, .
и, поскольку функция G(h, т, t) имеет рост по t не более, чем
линейный, для регуляризации уравнения (9) можно использовать в. н*
(4), заменив в нем величину eg(llzll) величиной G(e, £, Hzll) с
параметрами е^йи^т. Дуальный оператор U в данном случае
хорошо известен [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.:
Наука, 1972. 415 с.
2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:
Мир, 1972. 588 с.
3. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир,
1977. 232 с.
2. Альбер Я. И. О решении нелинейных уравнений с монотонными оператора-
> ми в банаховом пространстве.— Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 1, с. 3—11.
5. Альбер Я. И., Рязанцева И. П. Вариационные неравенства с разрывными
монотонными отображениями.—Докл. АН СССР, 1982, т. 262, № 6, с. 1289—
1293.
6. Лисковец О. А. Теория и методы решения некорректных задач.— В кн.:
Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 20. ВИНИТИ, 1982,
с. 116-178.
7. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск:
Наука и техника, 1981. 343 с.
8. Лисковец О. А. Решение уравнений 1-го рода с монотонным оператором при
немонотонных возмущениях.—Докл. АН БССР, 1983, т. 27, № 2.
90

В. Н. МОНАХОВ, Е. В. СЕМЕНКО
О КОРРЕКТНЫХ ПОСТАНОВКАХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
СОПРЯЖЕНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ
ДЛЯ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(Новосибирск)
1°. Введение. Цель данной работы — изучение следующей
краевой задачи сопряжения аналитических функций:
требуется определить функции Ф±(г), аналитические
соответственно в верхней и нижней полуплоскости Е± = {z\ ± lmz>0},
удовлетворяющие на 1 = U\ — «> < £<+«>} граничному условию
Ф+Ш-ШФ-Ш + сШ, t^l, _ (1)
где aW==argG(*)/max(l, Ыр), 0<р<1, bit) =ln |Gtt)|, c(t) —
функции, непрерывные по Гельдеру на I при произвольно фиксиро-.
ванной ветви arg G(t)\ lim a(t) = a^.
f-*±oo
Впервые такая задача изучалась в основополагающей работе
Н. В. Говорова [1], который дал ей название задачи Римана с
бесконечным индексом. Дальнейшее развитие его идеи получили в
работах [2—4 и др.], где, в частности, выяснилось, что при выполнении
условий ±а±>0 («положительный индекс») задача (1) безусловно
разрешима и имеет, вообще говоря, бесконечное множество
ограниченных решений. В случае, если (+а±>0) («отрицательный
индекс»), однородная задача (1) (сШ = 0) не имеет ограниченных
решений, а неоднородная разрешима при выполнении бесконечного
числа дополнительных условий на вектор A(t) =*(a(t), bit), c(t))
исходных данных задачи. ^
В нашей работе предложенные в [5] методы построения
решений задачи (1) и более общих задач сопряжения со сдвигом с
конечным индексом для квазианалитических функций (обобщенных
решений квазилинейных эллиптических систем уравнений первого
порядка) распространяются на случай бесконечного индекса.
Применение этих методов требует выделения классов корректности
задачи (1) для аналитических функций, т. е. отыскания условий,
обеспечивающих существование единственного решения полученной
задачи, непрерывно зависящего от исходных данных (в частности, от
Git) и c(t)).
С этой целью в случае «положительного индекса» G(t) от
каждого решения Ф(г) = Ф±(г), z^E± задачи (1) дополнительно
потребуем обращения его в нуль в заданной бесконечной
последовательности точек Zm^E = E+ U E~ U I, а при «отрицательном индексе»
Git) на вектор Ait) данных задачи наложим бесконечное число
условий разрешимости:
OizJ = Ф±(оо) = 0, ±а± > 0; /U, zj = 0, +а± > 0, (2)
91

где wi = l, oo; \zm\ ->■ <*>, тга->- °°, а вид функционала / будет
определен позднее. Ниже доказывается корректность задачи (1), (2) для
аналитических функций и изучаются качественные свойства ее
решения. Полученные результаты применяются затем для
доказательства разрешимости следующей задачи сопряжения со сдвигом:
w4a(t)l = G(t)lw~(t) + dWurWl + cit), t e /, (3)
для обобщенных решений эллиптических уравнений вида
и% - №№- М>; = A sup (| ji! | + | (121) = |д0 <1, ™^(4)
z,w
подчиненных условиям (2). Здесь функции \iiiz, w), \iziz, w) и
Aiz, w) имеют компактный носитель по z, a: 1-+1 — сужение на I
квазиконформного гомеоморфизма а: Е+ -> Е+ и ait), bit), cit)r
dit) — непрерывны по Гельдеру на I. Введем банаховы пространства
Са[а, Ь] и Cail) функций fit), непрерывных соответственно на
конечном отрезке [а, Ь] с: \ и на оси I с нормами
|/(0||?а,Ь]= SUP (|/(*)1 + |/(*)-/(д||*-*оГ).
*,*0е[а,Ь]
11/ОГ = 1/(01га-1,1] +1/(1/01-1.»] + 1/(1/011?од]-
Рассмотрим также банахово пространство C{a)il), (а) = (at, ..., am)
векторов F(t) = {W), ..., fjt)), fk(t)€=Cah(l), aft>0 с нормой
m
\\F(t)\((X) = 2 |Ы0р- Далее, обозначим E(R) = {z\\z\ ^R)t
k=i
E±iR) = 2?± I\E(R) и введем банаховы пространства CaiE±iR)) и
C^iE*) функций F±iz), непрерывных по Гельдеру соответственно на
E±iR) и Е± с нормами
I^Mfe- ^р d^wl + I^W-^Wll*-*,!-"),
z,z0GE±(i?)
|Jp±.wl*-l^twl? + l^t(i/«)l?.
Кроме того, будем рассматривать углы Yi = lz HarS z I ^ ^» z ^^ J»
Y? = {z 11 jt — argz К 6, z<= i?*} и пространства Ca(yi), Ca(y2).
2°. Класс NviX). Пусть последовательность {zm} <= {z|0< б <
=^ largzl < я — 6), zm¥*zk при т Ф к и rc(r, ф) — ее считающая
функция [6J: nir, ф) = {число zm*=i\z\<r, 0^а^г<ф)}.
Введем NviX) — класс считающих функций, имеющих
представление
nir, ф)=Д(ф)гр + с(ф)+/(г, ф), (5)
в котором А(ф), о(ф), fir, ф) удовлетворяют условиям
J cos p^dA (ф) = Л*; Д(ф)<Д(ф), ф<ф; (6)
о
Lilo; (0, 2ji)J = Ж0 < оо; а =и 0, 2я - б ^ <р < 2я; (7)
92

2Л
| / (г, Ф) | < Mpr; J 1 в (r, R, <р) 1 Жр < МВТ4. (8)
О
Здесь i|)+ =з л — ф; г|г = ф при ф е= [О, я], -ф = 2л — ф при ф е [я, 2я1;
%±=*±(a±cospK-a+)/2n; k=*(k+, %~);
т
О.
Условимся множество последовательностей {zm} со считающими
функциями п(г, ф)еЛЦМ обозначать тем же символом NV(X).
При ±а±>0 класс ЛЦЯ) не пуст для v<p. В этом случае
существует [2] кусочно-постоянная функция Л(ф) со скачками Aj>0
в точках ф = ф,-=^0, я; /= 1, р, удовлетворяющая (6) и, тем самым,.
если п (г, ф) = 2 [VP + I/2]» то /г(г, ср) е Л^Ш cz iVvU), v < р, где
Ф;<ф
[ •] — целая часть числа. Такие последовательности (расположенные
на конечном множестве лучей) использованы для построения
решения задачи (1) в [1, 2]. Однако, как будет показано ниже, такими
последовательностями класс Nv(%) далеко не исчерпывается. При
+а±>0 не существует А(ф), удовлетворяющей (6), и значит,
iVv(X) - 0, но Л^(-Я) Ф0,у< р.
В классе Nv(%) введем характеристики
L1[n;E(B)]^^n(l)d8i
E(R)
\п (г, Ф)> = sup ^^ + Ьг [а; (0, 2я)] + sup Rv Г | в (г, Л, Ф) | dcp
О
и будем говорить, что последовательность {nk(r, ф)} сходится к (га(г, ф),
если <nft(r, ф)><М = const, Lx [nk — az; Д (R)] к^ж >0, Vi?>0.
Теорема 1. Класс Nv(%) замкнут относительно указанной
сходимости.
Доказательство. Делением обеих частей равенства
nk(r, ф) = А^(ф)гр + а^(ф) + /ft(r, ф) на г и интегрированием по (г, ф) е
е [1, R] X [0, 2я] получим
Ьг [ Д„- Ар; (0, 2я)] < ^_ L2 [nft - пр; Е (R)] + ^5. + _^_,
откуда и следует, что ДЛ(ф)-* Д(ф) eZjO, 2л]. Аналогичным путем
находим оЛ(ф) -* а(ф) е LJ0, 2л], а(ф) = 0, 2я — б < ф ^ 2л. Положим
/(г, ф) = гс(г, ф) — Д(ф)гр —о(ф). Тогда
2ЯI Г I 2Я Г 2Я
]• к^фЦ<}^|/(<'ф)7*(',ф)|^+?1в^д.Ф)|^
о I о I о R о
93

что с учётом свойств А(ф), а(ф) приводит к неравенствам (8) для
/(г, ф). Интегрированием по частям в (6) для ДЛ(ф) и переходом к
пределу при к ->- оо устанавливается справедливость условия (6)
для А(ф).
Замечание. 1. Условие б < larg zm\ < я — б в терминах
/г(г, ф) означает, что тг(г, ф) не зависит от ф при ф^{[0, б],
1я —6, я + б], [2я — б, 2я]}. Если это условие выполнено для
nh(r, ф), то, очевидно, оно выполнено и для гг(г, ф). 2. Условие
Ьх [nk — n;E (R)] ^^-^0, Vi? > 0 в терминах последовательностей
{zm Ь ^ означает, что z^-^^+Zm для любого т.
Следствие. Представление (5) единственно. В частности,
Д(ф), а(ф) — постоянны, а /(г, ф) не зависит от ф при ф ^ [б, я — б] U
U [я + б, 2я-б].
Теорема 2, Пусть g(z), \:E± ->■ Е± — гомеоморфизм областей
Е±^ удовлетворяющий условиям
|£(z)/z-l|<MUfVo. (9)
Тогда если {zm} е- NV(K), то и {§т} = (§(zm)} eATvU) rc/w v0^
5*v + p. ,
Доказательство. Обозначим rc0(r, ф) считающую функцию
последовательности {gm}. Положим £(z)/z = (1 + p(z))eiq{z\ где /?Ы =
— l£(z')/zl — 1, a q(z) —вещественная функция такая, что д(«>)=0.
Из (9) следует | р (z) I < /С I * f \ \ q (z) I < К \z Г°. Пусть {fj =
= {zm(l + p(zm))}, n*(r, ф) — ее считающая функция, и /*(г, ф) =
— ?г*(г, ф) — гс(г, ф), где /г(г, ф) — считающая функция
последовательности {zm}. Тогда, учитывая, что arg£m = argzm и |p(zm)|^
^ К | 2m|~v°) получим
I /* (г, ф) I < п (р+ (г), ф) - п (р_ (г), ф), р± (г) = г (l ± /Cr~V°).
Деля обе части этого неравенства на г, интегрируя и делая замену
т± = /?±(г), находим
г Р+(г) Р-(г)
Д р+(Д) р-(Н)
Здесь использовано, что /г(г, ф) < Afrp. Вновь с учетом этой оценки
имеем
R
Далее, пусть /г(г, ф)==Аг0(г, ф) — '/г*(г, ф). Из равенства |?m| = Um|
следует, что Mr, <р) = 0, 2я — б ^ ф < 2я, и поскольку I q (z) \ ^
<K\z hV°, то
94

I A(r, ф) - А(Д, ф) I < n*(r, g+) - n*(r, ? J - [ц*(Д, g+) - n*CR, g J] ^
<ra*(r, g+) — л*(г, g-),
где g-j- ~ ?± (ф) = ф ± KR °. Таким образом,
2Я 2Л-б
J |Л(^-Ф) —Л(Л,ф)|€гФ— (' 1А(г,ф)-А(Д,ф)|Лр<
о б
$+(б) д+(2я-б)
< f я*(г,ф)<гф + J п*(г,Ф)Ар</СгРД"1'0</СгЛ"1"^
д-<б) д_(2я-б)
Итак, при 2*Д < г < 2*+1Д, /с > 0, имеем
2Я * k-l2n
J |Л(г,Ф)-А(Д,ф)|^Ф< S J |а(2жЛ,ф)-А(2^,ф)|йФ +
о *=о о
2Я ft .
+ J I*(г,ф)-h(2kR,Ф)|d9</С J Jj[2* <ЮГ*.
о *=о* '
Поэтому /г (г, ф)-^"* *i (ф) е= Ьг [О, 2я], Lx [Д; (0, 2я)] < /СГ\ где
/Дг, ф) = Мг, ф) — сДф). Окончательно
2ЯI г I г
I J ^7^ ds Гф < J 7 Ll [/lJ (0,2n)] ds < KR~V'
О |й I й
Очевидно, оДф) s= 0, 2л — 6 < ф < 2л. Наконец, представление
п0=>п+ Ы* — п) + (лг0 — /г*) = Агр + о0 + /о, а0 = а + а^
/о =*/ + /* +А и доказывает утверждение теоремы.
В дальнейшем для удобства будем считать функции п(г, ф)у
А(ф), а(ф), /(г, ф) продолженными на отрезок ф^[-2я, 0] с
помощью равенства Е((р — 2я) ^Кф) — F(2jt).
3°. Решение однородной задачи. Пусть вектор исходных
данных удовлетворяет условиям
ИЛ(ОН(в)<АГ; Ь(-оо) = Ь(оо); с(±оо)=0; 0<p<ai<l. (10)
Тогда, согласно [7, 8], функция
rWe5S J 7^"*"+Si J 7^id' + Si J TcT^T^ + SiJTir^*
— 00 —1 — 00 1
пмеет вблизи вещественной оси представление
Г± (г) = 4 [zfiCf + If (z), z <= у,*, / = 1, 2; Cl = 0; c2 = я, (11)
где If (z) e Cp (vft, P = P (p, (a)) >0, # = tf [a*],
95

причем
1 шяр ' l шяр
Далее, согласно [1, 2], общее решение однородной (сШ^О)
задачи (1), ограниченное в конечной части плоскости, имеет вид
ф(2) =F(z)>ехр (Г(г)), где F(z) — произвольная целая функция.
Следовательно, заданные в (2) точки zm должны быть также и нулями
функции F(z). Установим справедливость необходимого в
дальнейшем представления целой функции F(z) через считающую функцию
/г(г, ф) последовательности ее нулей {zm}.
Теорема 3. 'Пусть целая функция F(z) имеет считающую
функцию нулей ?г(г, ф), причем порядок F(z) меньше единицы, т. с.
п(г, ф) ^ Мг'-% е > 0 [6]. Тогда для любого .ф€= [-2я, 0]
ioo -ф+2Я .
о М> * '
Доказательство. Положим при Iz| <R
ф+2Я
Fj (z) = exp
— z) j Г(ге1Ф_х)йга(Г.ф)^Г[. / = 1.2,
'j *
где Zi = [0, 2Д], Z2 = [2/?, °°]. Для F»(z) имеем
oo -ф+2Я
l~edr
I^.WK*J J t^<wJ^
2Й -ф 2#
<oo.
Следовательно, F2(z) аналитична при \z\ ^R. Учитывая далее, что
внутренний интеграл Стильтьесса в определении ri (z) является
конечной суммой, а интеграл по г явно вычисляется, приходим к
представлению
Fii*)= П (i-f)Fl(z),
\zm\<R\ zmJ
в котором многочлен F1(z) не имеет нулей в круге Ы<Д. Итак,
F0(z)^F1(z)F2(z)= П (i-z/zm)FR(z), где FR(z)i¥>Q) анали-
\zm\<R
тична при \z\ <R. Но F0(z) не зависит от i?, значит, F0(z) — целая
функция порядка меньше единицы и с теми же нулями, что и F{z).
Поэтому, согласно [6], F0(z)^F(z).
Лемма 1. Пусть /г(г, ф) = о(ф) + /(г, ф), где о(ф), /(г, ф) i/doe-
летворяют (7, 8) а dfe/дф == 0 гс^ж (|ф|, |я — ф|)<б. Тогда
оо
ЯЛ^) = -^7г(ге^х^(^ф)^^^(т^ 7-1,2,
где ?! = [—2л, 0], д2 = [—л, я], 7? ^ U ^ ^ | |argz — ^|<б0< 6},
96

Ci = Q, с2 = я, p=v/(v + p + l).
Доказательство. Рассмотрим
в -б
*•<**>—1тВ&>*+*5 J
г (re16 ~ z)'
О О -2Я+6
-/1(*,Д) + /2(*,Д)
& (г, ф) е!ф
d(pdz =
и заметим, что IT1(z)=ni(z, оо). Используя то, что |/(г, ф)| ^Л/т* и
|re7'6-zl >K(r+ \z\) при largzl ^ 60, находим
d/7- (2, Л)
dz
<я
Д1+Р
(Д + 1«1)1«|
-, / = 1,2.
Пусть в (г) = f / (s, 2я) ^s , тогда | в (гх) - в (г,) | < Кг?, гх >
к
> г2, т. е. в(г) -»- в0 и |в(г) — в01 <Кг~ч. С учетом равенства о(2л) =
= 0 интегрированием по частям находим
+
оо
J
д[-М*)-.М*,Д)]|<|в0|
(в(г)-в0)в"(гв» + «)
I
(rei6-2)3
dz
+
(rei6-zf
dr
<K
R
+
(R + \z\)2 Rv(R + \z
где Jj(z)—Jj(z, oo)( /=1, 2. Для /2(z) аналогичными рассуждениями
получим
I/ Д1+Р 1 \
«/2 '
Положим R = |z|T «y = l/(v + p + 1), тогда
dUt (z)
dz
<
djt («)
dz
+
dz
\<K\z\
-1-
,p =v'Y=!v/(v + p + 1).
Поскольку ПДя) аналитична при Iarg 21 < 60, тоПх (z)<= CP(yiO (см.
[1]). Утверждение леммы для U2(z) получается аналогичным
образом.
В случае ±а±>0 ограниченное решение X(z) однородной
задачи (1), равное нулю в заданной последовательности точек {zm},
X(zm) = 0, условимся называть каноническим решением задачи
(1), (2).
Теорема 4. Пусть и(г, ф) еNV(X). Тогда каноническое решение
существует, единственно (с точностью до постоянного множителя)
и имеет представление
Х± (z) = exp [iQ? (Ze-ici)p) X* (z), z е yf, j = 1,2,
(12)
7 Заказ J4ft 717
97

где XJWeCp(T*), |J=f(p, (a), v)>0, X* МФО, X? (oo)^O,
cx =0, c2 = я, (?* — вещественные числа.
Доказательство. Пусть ПЫ — целая функция со
считающей функцией нулей «(г, ф). Тогда при z e Y?
со 0 оо О
mn(z) = -,J j _^__^(„(г,ф))£гг==_г]- J ^^x
О — 2Л 0 — 2Я
оо О
X <ZA>d)r -* j j" * d (и (г, Ф)-А (Ф) rp) dr s П* (г) + Пх (г).
О -2Я * '
Но /г(г, ф) = Аг(г, ф) — А(ф)гр удовлетворяет условиям леммы 1 и, зна-
00
чит, U1(z)^C^(yi:). Используя известную формулу для ydr/(r—z)
о
[6, с. 90—91], находим
о
n*«-H£ipA-«P. Гг = *-*Я J е-^А(ф).
—2Я
Подстановка в X(z) = ПЫ exp (ГЫ) функций ПЫ = exp (nt + П#)
и ГЫ в форме (11) с учетом равенства
(2Я v s
|со8р^А(ф)-Х+] = 0
и приводит к представлению (12) при ze Yi. Аналогично
устанавливается справедливость (12) и при zg^^' Тогда при z=*t^l,
argz = 0, я имеем \X±(t)\ <M и так как порядок X(z) меньше
единицы [1, 2], то по принципу Фрагмена-Линделефа \X(z)\^M1 ze
^Е±, Для доказательства теоремы осталось установить, что любое
каноническое решение ФЫ однородной задачи (1), (2) имеет вид
ФЫ =cX(z), с —const. Из представления ФЫ =F(z)X(z) [1.2] и
ограниченности ФЫ следует, что целая функция F(z) имеет
порядок меньше единицы. Поскольку \X±(t)\ >т>0, то \F(t)\ <My t^
<=Z, и, согласно принципу Фрагмена-Линделефа, \F(z)\ < M, z^E±^
т. е. F(z) = const.
4°. Решение неоднородной задачи.
Теорема 5. Если ±а±>0, /г(г, <р)«Л^Д), то существует
единственное ограниченное решение задачи (1), (2)
оо
ф(г) = *&. Г —JM dt = X(z)J(z), (13)
— 00
где X(z) — каноническое решение. Если Ч1а±>0 и тг(г, ф)еЛЦ—Я),
то для существования ограниченного решения задачи (1)
необходимо и достаточно выполнения условий разрешимости (2), в которых

/(*^-=Ь*5$Ь}* (14>
где -XXz) = exp (r(z))/n(z)— каноническое решение, причем
единственное решение задачи имеет вид (13).
В обоих случаях 0±(z) «= СЧЕ*), [J = [J(p, (a), v) > 0.
Доказательство. При ±а* > 0 из (10), (12), согласно Ш,
следует, что c(t)/X+(t) s=C4l), p > 0. Тогда Л^еШ*) и так как
с(°°) = 0, то /(°°) = 0. Следовательно, ФЫ — ограниченное решение
(1), (2). Если Ф* (z) — другое решение, то АФ (z) = Ф* (z) — Ф (z)
является каноническим решением однородной задачи, т. е. АФЫ =
= cX(z). С другой стороны, АФ(оо)=0 и \X(t)\>m>0, t^l,
значит, с —0 и тем самым АФЫ=0. При zFa±>0 легко доказать,
что любое решение задачи (1), ограниченное в конечной части
плоскости, имеет вид ФЫ =X(z)U(z) + F(z)), где F(z) — некоторая
целая функция. Если Ф(£) ограничена, то порядок F(z) меньше
единицы, и из (12) имеем \F(t)l<M, t^l, откуда F(z) = const. Из
условия Ф(оо)='0 следует F(z) = 0. Итак, любое решение задачи (1)
имеет вид (13), а условия (2), (14) являются необходимыми и
достаточными для его существования.
Поскольку из представления (13) следует Ф(г) ^С^(Е±(1)), то
для доказательства теоремы осталось установить, что Ф# (z) =
-Ф (1/z) €= С* (Е± (1)). Последнее равносильно неравенству
jO'tWl^MlImzf-1 (см. [5, с. 15]), т. е. |Ф'Ы| <M\z\-*\Imz\*-1,
\z\ > 1. Справедливость этого неравенства в углах Y,- , / = 1, 2, при
некотором (50>0 следует из (12) и того, что Hz) ^C^iE*), а в углах
б0 < I arg 21 < я — б0 — из интегральной теоремы Коши и условия
1ФЫ1 <ZUhp. Итак, ФИ/z) ^СЧЕ±(1)), чем и завершается
доказательство теоремы.
5°. Устойчивость.
-> -»
Теорема 6. Пусть Ak(t), Ait), nk(r, (f)^Nv(Xk), n(r, ф)-s
^NV(X) — исходные данные, а Фк(г), Ф(г) — соответствующие им
решения. Если \\Ak(t)\\w ^M; \Ah(t) — A(t)f%M->0 УД>0;
nk{r, <p)-+n(r, ф), то \\<S>k(z)-®(zf-j^Z->0, P-P(p, («), v)>0.
Доказательство. Заметим, что если l№ft(z)llp< Ж" и
|фЛ(*)_ф(*)Й__-*0 УД>0, ФЛ(оо)=0, то <&k(z)-<b(z)\*°-+
"** - 4-4-
-£^->0при р0<р. Поскольку WAk(tWa) <M, тоа£,%£ равномерно
ограничены, а в силу <wft> < М и А^(ф) равномерно ограничены.
Следовательно, и Q% тоже равномерно ограничены (см. доказательство
теоремы 4), поэтому \\<!)h(zW <М. Далее из условия \\Ak\\{ct,) <М;
Л-Л\\{%,щ-т^->0 УД>0 следует, что ||Tk(z) - Г(z)Ufar*0
УД > 0, а из <^> < М и Lx[nk — n,E(R)] -j^-*0 УД>0 имеем
|ПП*)-П(г)1&—->0УД>0. Тогда ЦХ*(*) - X(z)i^^0 и
7*
99

аналогично || Jh (z) — J {*) Ш ~jp^T"*" О- Таким образом, || Фк (z) —
-Ф(*)|6т^-*° YR>0-
6°. Краевая задача для эллиптических систем уравнений.
Теорема 7. Пусть коэффициенты системы (4) удовлетворяют
следующим условиям: \ij(z,w), A(z, w) — непрерывны по w почти
при всех z и l|ii(z, w)\+\\x2(z, и?)|<ц,0<1; A=Ai(z, w)w +
+ A2(z, w)w + A3(z, w), причем \\Aj(z,w)\\Lp < A/a = const, p0>2
Vw^E; l[Xj(z, w)\ = \Aj(z, w)\ = 0 и/ш \z\ >R, а для
коэффициентов граничного условия (3) G(£) = ехрШг) + ia(t) max (1, Ulp)} и
c(t) выполняются предположения (10).
Пусть сдвиг ait) является сужением на I квазиконформного
гомеоморфизма a(z) : Е+ -> Е+ с финитной комплексной
характеристикой q(z) = a-/az = 0 при \z\ >R, a a(t) может быть
продолжено до функции а (z) е= Су (Е~) П W\ {Е~ (Я)), |d(z) I ^ 1 - б0, б0 > 0
и dj = 0 при \z\>R. Предположим далее, что считающая
функция п(г, ф) последовательности {zm} принадлежит классу NV(X), p +
+ v < 1 при ±а± > 0 и п(г, ф) е iVv(—X), р + v < 1 и/ш Та* > 0.
Тогда при ±а±>0 существует решение задачи (2)—(4) W(z)^
е Wl (E±) П Cv(E*), где Е± ш Е±.
Если же G(t), c(t)i=SWl([—R,R)) VR>0, то w(z)e
&Wp\E±(R)) VR>0. В случае zFa±>0 аналогичное решение
существует при выполнении условий (2) разрешимости задачи (1).
Доказательство этого утверждения и следующей ниже теоремы
единственности проводится полностью аналогично случаю конечного
индекса, рассмотренному в [5, с. 275—295].
Теорема 8. Пусть дополнительно к условиям теоремы 7
выполнены предположения:
| A (z, Wl) - A(z, w2)\^N (z) | wx - w2\, N (z) e= LPq (E (R)), Po > 2\
I W (*, m>i) ~ W (2, u>2) I = #j (*) I u?i — w21« # j (*) e= bPo (£ (Л)), / = 1,2.
Тогда если Git), с (t) e= 5PFp ([— /?!, flj) V# > 0, то решение
задачи (2)-(4) w (z) e= PFj (£ (i^)) П CY (Я*) единственно.
В общем случае, когда w(z)e=Wl(E^){)Cy (Е±)9 Ef ш Е±,
решение единственно, если Nj(z) = 0 llmzl < e и е > 0 — сколь угодно
мало.
ЛИТЕРАТУРА
1. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом степенного
порядка меньше 1/2.— Теория функций, функцион. анализ и их
приложения, Харьков, 1968, т. 151, № 6, с. 34—39.
2. Толочко М. Э. О разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным
индексом для полуплоскости.— Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1971, № 3,
с. 301—309.
3. Юров П. Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом.—
Изв. вузов. Математика, 1966, № 2.
100

4. Рогозин С. В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом и
неограниченным модулем коэффициента для полуплоскости. Тез. IV Респ. конф.
математиков Белоруссии. Ч. 1. Минск, 1975, с. 51—53.
5. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических
систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.
6. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.
632 с.
7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 639 с.
8. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
511 с.
Л. П. НИЖНИК
МНОГОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
(Киев)
Важные результаты в области многомерных обратных задач
для дифференциальных уравнений с частными производными
получены М. М. Лаврентьевым и его учениками. Ими рассмотрены
многочисленные постановки обратных задач, встречающихся в
приложениях, разработаны эффективные методы исследования таких
задач. Вместе с тем многомерные обратные задачи рассеяния изучены
в настоящее время лишь для некоторых избранных уравнений,
несмотря на то, что глубокие и законченные результаты для
одномерных обратных задач рассеяния получены еще 30 лет назад.
Среди результатов по многомерным обратным задачам рассеяния
отметим результаты Л. Д. Фаддеева для трехмерного уравнения Шре-
дингера, результаты автора и его учеников для гиперболических
уравнений, а также результаты В. Е. Захарова и В. С. Манакова
для нестационарного уравнения Шредийгера. Последние получены
в связи с интегрированием нелинейного уравнения Кадомцева —-
Петвиашвили методом обратной задачи.
Ниже будут рассмотрены некоторые результаты по
многомерным обратным задачам рассеяния, полученные в Институте
математики АН УССР в последнее время.
Начнем с обратной задачи рассеяния для уравнения с
операторными коэффициентами [1]:
g + ag + u(M)1,-0. (1)
/1 0\ /0 иЛ
Если a=ln L м= I л Ь то система (1) представляет собой
нестационарную систему уравнений Дирака, обратная задача
рассеяния для которой хорошо изучена [2]. Случай, когда (1)
представляет систему п гиперболических уравнений, а о является
диагональной матрицей с различными диагональными элементами, также
подробно изучен [3, 41.
101

Изложим случай*, когда (1) принимает вид следующего инте-
гроДифференциального уравнения:
оо
J*- Ig + J и(х, t;l, л)*(*, *, л)<*Л, (2)
— ОО
являющегося континуальным аналогом гиперболической системы
уравнений. Если в (2) и = 0, то решение имеет вид
ty(x, t, g)—ф(ж + |*, £)^^\ф(я, 1), (3)
где ф(аг, |)—произвольная измеримая функция х и %. В случае
недифференцируемых ф решение понимается в обобщенном смысле.
Пусть ulx, t; §, г|) достаточно быстро убывает на бесконечности.
Положим для определенности
|и(Ж^;^л)|<а(?,л)(1 + |х|Г1-е(1 + и|Г1-е,
J а(^,л)^Л< + оо. &>0.
— ОО
Тогда всякое ограниченное решение уравнения (2) допускает
равномерное по х и § асимптотическое представление
гЬ(я, *) = a(s + £f, g)+o(l), * -*'-оо,
(5)
1|)(Я, *) = М* + It, V + O(l), £ -> +oo,
где а (а;, £) и М#, §) — профили падающей и рассеянной волн,
соответствующих данному решению.
Задача рассеяния для уравнения (2) ставится следующим
образом. По заданной функции а(х, ^^(й2), определяющей профиль
падающей волны, найти решение г|з(#, t, £)^L«>U?3) уравнения (2),
для которого справедливо первое из асимптотических
представлений (5).
Если выполняется условие (4), то существует и единственно
решение задачи рассеяния для уравнения (2). Таким образом,
каждой функции aix, g)^L«>(Z?2), задающей профиль падающей волны,
однозначно соответствует ограниченное решение уравнения (2) и,
согласно (5), функция Их, £)^L«>(Z?2), задающая профиль
рассеянной волны. Это соответствие определяет оператор рассеяния S:
Их, l)=Sa(x, I). (6)
Обратная задача рассеяния для уравнения (2) состоит в
восстановлении уравнения (2), т. е. функции и(х, t; §, r|) по известному
оператору рассеяния S.
Хорошо известно, что для уравнения Штурма — Лиувилля и
для одномерного двухкомцонентного уравнения Дирака обратная
задача рассеяния сводится к интегральному уравнению Гельфан-
* Результаты получены совместно с В. Г. Тарасовым.
102

да—Левитана—Марченко (Г.—Л.— М.). Для нестационарного
уравнения Дирака вида (1) также были получены уравнения типа
Г.—Л.—М. [2], эквивалентные факторизации оператора &~tS&~~t
на вольтерровские множители. Однако для гиперболической системы
вида (1) с числом уравнений больших, чем 2, алгоритм решения
обратной задачи рассеяния состоит из двух последовательно
решаемых задач факторизации (или уравнений типа Г.—Л.—М.).
Вначале оператор рассеяния факторизуется как матричный оператор на
треугольные множители, из которых составляется промежуточный
(весовой) оператор, а далее он факторизуется на вольтерровские
множители. В случае уравнения (2) ситуация аналогична. Алгоритм
решения обратной задачи рассеяния состоит из двух
последовательных задач факторизации на множители, вольтерровские по
различным переменным. Приведем более подробно этот алгоритм.
Оператор рассеяния для уравнения (2) с условием (4)
отличается от единичного оператора на интегральный
Sa (х, I) - а (х, I) + j j F (x, g; а, Р) а (а, Р) dadp.
Переменную х будем называть первой, а \ — второй. Оператор S
допускает двустороннюю факторизацию на вольтерровские по
второй переменной интегральные операторы
S = U + A-)U + A+)-l = U + B+)(I + B-)-1. (7)
По факторизационным множителям из (7) строим промежуточный
оператор
S = (/ + Л+)-Ч/ + В') - (/ + Л-)-Ч/ + В+). (8)
Оператор S допускает факторизацию на вольтерровские по первой
переменной интегральные операторы
TtET-t = (/+ V+(t))-iU+ V-(t)). (9)
Здесь £—параметр, a 3Tt определен в равенстве (3). Через ядра
операторов V+ и F- коэффициент и{х, t; £, rj) уравнения (2)
определяется с помощью равенств
и(х, t; I, r)) = (£-r))F-U; я, S; x, г)) = (г)-£)F+U; x, \\ х, ц). (10)
Таким образом, по оператору рассеяния уравнение (2) определяется
однозначно, а формулы (7)—(10) дают способ восстановления
уравнения по оператору рассеяния. Каждая из задач факторизации в (7)
и (9) эквивалентна решению уравнений типа Г.—-Л.—М. Так,
например, равенство £=»(/ + А")(/ + А+)~У приводит к F + А+ + FA+ =
= А~ или к
оо оо
F (х, 6; а, р) + А+ (х, |; а, р) + j" dy f dxF (x, g; y, t) A+ (у, т; а, Р) = 0,
—00 P
Это и есть уравнение Г.—Л.—М. для нахождения А+{х, |; а, р).
Основным моментом при получении фактрризационных свойств
103

(7)—(9), приводящих к решению обратной задачи рассеяния,
является получение интегральных, вольтерровского типа, представлений
решений уравнения (2):
г|)(я, t, £) = (/+F+U))£Tf/+U, g),
(11)
ф,г, l) = {I+VM))9~tf-(z, g),
где /+, /- (плюсовый и минусовый прообразы решений) однозначно
определяются решением г|)(#, t, g) и связаны с профилем а
падающей и Ъ рассеянной волн равенствами
а=в(/ + 4+)/+ = (/ + Я-)/-,
(12)
Ь=.(/ + Л-)/+ = (/ + Я+)/_.
Промежуточный оператор S связывает между собой /- и /+ . (/+ —
=»£/-), поэтому из (11) следует (9). Равенства (12) приводят к (7)
и (8).
К уравнению (2) с помощью преобразования Фурье по
переменной у может быть сведено уравнение
встречающееся в теоретической физике. Поэтому результаты по
обратной задаче для уравнения (2) применимы и к указанному
уравнению.
Интегродифференциальное уравнение (2) можно
интерпретировать как нестационарное одномерное уравнение переноса или как
стационарное двумерное односкоростное уравнение переноса.
Поэтому приведенные результаты по обратной задаче рассеяния для
уравнения (2) представляют определенный прикладной интерес.
Отметим, что обратная задача рассеяния для односкоростного
уравнения переноса подробно изучена ранее [5, 6]. При этом алгоритм
решения обратной задачи содержит три последовательные
факторизации.
Если коэффициент и в уравнении (2) не зависит от х, а
решение зависит от х по закону е?Хл, то уравнение (2) сводится к виду
сю
*$_$Х*+ J »(*,g,ti)n>(t,T|)*i.
—сю
Обратная задача рассеяния для такого уравнения изучена Фам Лой
By [7]. Алгоритм решения обратной задачи также содержит две
последовательные факторизации: одну вольтерровскую и другую на
множители, допускающие аналитическое продолжение по X в
верхнюю и нижнюю полуплоскости.
Для уравнения второго порядка в частных производных изучена
обратная задача рассеяния для уравнения струны
104

Случай полуоси рассмотрен еще в [2]. Случай всей оси изучен в [81.
Алгоритм решения при этом содержит одно уравнение типа Г.—
JL- М.
Для системы двух уравнений струны
dV 2 д2ц>1
—г — vx —г + ип ifc + ц12г|?2 = О,
ot ох
2 2 (13)
—г — у2 —г + и^-фх + w22^2 = О,
описывающих распространение двух взаимодействующих волн
различной скорости, алгоритм решения обратной задачи рассеяния
содержит два последовательных этапа [9].
В заключение упомянем об обратной задаче рассеяния ддя
дифференциально-функционального уравнения
&&!U = u(z,y)1p<],,z), (14)
где при фиксированных х, у г|)(#, у) — элемент банахова
пространства В, и(х, у) — ограниченный оператор в В. Если
\suv\\u(x,y)\\Bdx< + оо,
v
то всякое ограниченное по норме решение уравнения (14) имеет
асимптотику
ty(x, у) = а(у) + о(1), х ->■ — оо,
(15)
1|)(#, у) = Ь(у) + 0(1), X ->■ +00.
Оператор рассеяния для уравнения (14) определяется равенством
b(y)=Sa(y).
Построенный в работе [10] алгоритм решения обратной задачи
восстановления и(ху у) по оператору рассеяния содержит два звена:
факторизацию оператора рассеяния на специального типа вольтер-
ровские множители, построение промежуточного оператора и его
факторизацию на другого типа вольтерровости факторизационные
множители.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нижник Л. П., Тарасов В. Г. Обратная задача рассеяния для
гиперболических уравнений первого порядка с операторными коэффициентами,— В кн.:
Школа по теории операторов в функциональных пространствах. (Тез. докл.,
Минск, 4—11 июля 1982). Минск: БГУ, 1982, с. 136—137.
2. Нижник Л. П. Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев: Наукова
думка, 1973. 182 с.
3. Нижник Л. П., Тарасов В* Г. Обратная нестационарная задача рассеяния
для гиперболической системы уравнений.—Докл. АН СССР, 1977, т. 233,
№ 3, с. 300-303.
4. Нижник Л. П., Тарасов В. Г. Обратная нестационарная задача рассеяния
для гиперболической системы уравнений.— В кн.: Прямые и обратные за-
: дачи теории рассеяния. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 61—-76.
105

5. Нижник Л. П., Тарасов В. Г. Обратная задача рассеяния для односкорост-
ного уравнения переноса.— Докл. АН СССР, 1978, т. 242, № 6, с. 1307—1310.
6. Нижник Л. П., Тарасов В. Г. Обратная задача рассеяния для дискретного
по направлениям уравнения переноса.—Укр. мат. журн., 1980, т. 32, № 5,
с. 678—683.
7. Фам Лой By. Обратная задача рассеяния для уравнения переноса на всей
оси.— Укр. мат. журн., 1981, т. 33, № 5, с. 631—640.
S. Фам Лой By. Прямая и обратная задачи рассеяния для возмущенного
уравнения струны. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. 18 с. Препринт
ИМ 81.30.
9. Нижник Л. П., Фам Лой By. Обратная нестационарная задача рассеяния
для системы уравнений второго порядка.— Укр. мат. журн., 1982, т. 34, № 6,
с. 600-612.
10. Нижник Л. П. Обратная задача рассеяния для
дифференциально-функционального уравнения.— В кн.: Прямые и обратные задачи теории рассеяния.
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 55—61.
В. В. ПИКАЛОВ, Н. Г. ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТОМОГРАФИЯ
В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ И ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ
(Новосибирск)
Стремительно развивавшаяся в течение последнего десятилетия
вычислительная томография (ВТ) получила наибольшее признание
пока в медицине и в биологии. Однако внедрение методов ВТ в
различные области физического эксперимента, в геофизику,
астрофизику, аналитическую химию, дефектоскопию промышленных
изделий также идет в нарастающем темпе. Ниже мы кратко рассмотрим
принципиальные аспекты газодинамических и плазменных
приложений ВТ, которые уже сегодня позволяют говорить о качественно
новом этапе диагностических исследований таких сложных
неоднородных объектов, как течения жидкости, газа и плазмы с развитой
турбулентностью, скачками уплотнения, взаимодействием фаз,
стратификацией, сильным тепло- и массообменом, наложением на поток
внешних полей, проявлениями радиационных эффектов и т. д.
Основные принципы томографии, а также наиболее
распространенные алгоритмы реконструкции изображений по проекциям будем
считать известными; для справок можно рекомендовать
монографии [1—4].
Обсудим специфические черты томографических задач
газодинамики и физики плазмы. Как известно, реконструкция
изображения по набору измеренных проекций есть типичная задача
интегральной геометрии, сущность которой, согласно [5, 6], сводится к
следующему.
Пусть D — область га-мерного пространства, х=(хи х2, ..., хп),
a i(|) — семейство кривых, зависящее от т параметров. | =
— (gi, |2, ..., £m), причем каждая из кривых этого семейства цели-
106

ком принадлежит D и соединяет пару точек границы D. Требуется
найти внутри D функцию и(х) по известным интегралам
J p(x,Qu(*)ds-v®, (l)
если ds — элемент длины дуги, а весовая функция р(х, £) считается
заданной. Аналогично формулируется задача и для семейства
поверхностей 6Ч§) с размерностью, не превышающей (п— 1), и
заполняющего область D.
При оценке современного уровня работ, посвященных
томографии газа и плазмы, полезно сопоставить их с типичными работами
по медицинской томографической радиологии. Для последних
характерно следующее. Функция и(х) обычно определяется на плоскости
U = tti = 2), причем каких-либо априорных соображений
относительно параметризации этой функции или свойств симметрии,
используемых в расчете, как правило, указать не удается. Весовая
функция р(#, §) при трансмиссионных измерениях почти всегда
полагается равной единице; £(§) — прямые линии, идущие для одной
проекции р(£) либо параллельно, либо расходящимся, веерным
пучком. Полное число луч-сумм в проекции и само число проекций
обычно достаточно велико (~102). Нахождение изображения и(х)г
как правило, уже исчерпывает задачу ВТ. Таким образом, вместо
(1) можно записать
j u(r)efr = i;(p,n)t (2)
Цр>п)
где п — орт, определяемый углом ф между базисной линией на
плоскости и перпендикуляром, опущенным из начала координат 0 на
-*
I; р — кратчайшее расстояние от 0 до X; г —двумерный вектор,
характеризующий положение интересующей нас точки на плоскости.
Формальное решение задачи дается при этом одним из выражений,
полученных еще в 1917 г. И. Радоном:
"* v2 С Г ■* ■*-*
"(г) = "^ J *P J »(Pt»)ln|p — r-n\dp =
О —оо
Я rfoo ^ Л +00 _^
**} L др (P-r-n) 2*?{ 'iu»_■;.»)«
Во внутренних интегралах подразумеваются главные значения в
смысле Коши; при проведении реальных вычислений в силу некор1-
ректности задачи, естественно, требуется та или иная регуляризация.
В газовой динамике и физике плазмы ситуация зачастую
оказывается существенно иной. Хотя в большинстве случаев и\х)
также определяется на плоскости, нередко по условиям эксперимента'
приходится отказываться от послойного исследования объекта; при
10tf

этом пФ т к п>2. В частности, при п =* 3 решение Радона имеет
вид
V2 f ->->-> -^
и (г) = g- v(r-n, n) dQ, (4)
где S0 — поверхность единичной сферы; dQ — элемент телесного
угла, задаваемого ортом п\ а функция у(г • п, п) представляет собой
поверхностный интеграл от функции и, взятый в плоскости, прохо-
дящей через точку г и нормальной к п. Область D нередко
соответствует трехмерному пространству скоростей. Отметим еще, что из (4)
можно получить важное в практическом плане интегральное
преобразование с полным ортонормированным базисом (так называемым
базисом дипольных листов) [7]. Формально допустимой, хотя ещё
технически не реализованной, является и постановка задачи ВТ в
6-мерном фазовом пространстве для кинетической функции
распределения (например, электронов плазмы по скоростям).
Серьезную трудность может представлять присутствие внутри
области D одного или нескольких непрозрачных тел. В задачах
газовой динамики такая ситуация — скорее правило, чем исключение.
Кормак и Дойл пытались обобщить на этот случай формулы Радона,
привлекая известную теорему о пустой подобласти (hole theorem),
однако допустили ошибку в расчетах, о чем впоследствии самим
Кормаком было объявлено в его Нобелевской лекции [8].
Правильных формул, учитывающих перекрытие лучей телами, пока не
известно.
Нередко, однако, наоборот, удается избежать общей двумерной
постановки задачи или перехода к еще большей размерности.
Действительно, при описании свойств потоков жидкости и газа, а также
плазменных объектов введение феноменологических «параметров
неоднородности» и различных безразмерных критериальных
величин, характеризующих, скажем, автомодельность задачи, является
традиционным. Кроме того, в этих случаях весьма часто
определяющую роль приобретают априорные соображения о наличии
изолиний в виде концентрических окружностей. При этом задача ВТ
вырождается в одномерную, х становится радиальной переменной,
измерять требуется лишь одну проекцию у(£), и при р = 1 (1)
переходит в классическое уравнение Абеля
I
\(t-x)-l/2u(x)dx=v(t). (5)
о
Для непрерывной дифференцируемой функции v(g) имеется
единственное непрерывное решение
u^)-^^{x-l)-V2v{l)dl. (6)
О
108

Большое число примеров физических задач, приводимых к
уравнению Абеля, рассмотрено в обзоре [9].
Сферически симметричные и осесимметричные объекты, столь
часто встречающиеся в газодинамике и физике плазмы, поддаются
сравнительно простому анализу, даже если р^1 и //(^ —
криволинейные траектории. Так, в работе [10] рассмотрен нестационарный
оптически плотный шнуровой излучатель со случайно смещающейся
осью, который моделирует широкий класс газовых разрядов, а
также высокотемпературных струй. Показано, что решение задачи
локальной диагностики сводится к последовательным операциям де-
конволюции свертки и серии итерационных этапов абелевой
инверсии типа (6).
Диагностика радиально-симметричных объектов часто
сопряжена с преодолением и других трудностей, обусловленных как
особенностями наблюдения, так и физической природой исследуемой
среды. Одна из таких трудностей возникает при попытке восстановить
и{х) по неполной проекции ?(§), не содержащей периферийных луч-
сумм. Для фазовых объектов, изучаемых интерферометрически,
часто приходится решать проблему разрыва полос, связанную со
скачком плотности на фронте ударной волны. Еще одно затруднение
обязано сильной рефракции лучей, приводящей к изгибу
траекторий. Заметим, что в последнем случае для восстановления и(х)
привлекают, как правило, эйкональное приближение. Несколько
парадоксальным здесь выглядит следующий результат: несмотря на
искривление лучей, задача вновь сводится к интегральному
уравнению Абеля типа (5), но входящие в него переменные приобретают
совсем иной смысл, нежели в случае прямолинейных траекторий.
Все эти вопросы подробно обсуждаются в монографии [4].
Авторами разработаны также регуляризованные методы
извлечения локальных характеристик аэродинамических и плазменных
объектов по минимальному числу проекций (одной или двум),
когда в выбранном сечении изолинии представляют собой систему
неконцентрических окружностей, а также эллипсов, взаимная
ориентация и смещение которых подчиняются определенному закону.
Помимо этого, исследовалась возможность факторизации искомой
двумерной функции и(х); рассматривались трансмиссионные схемы
для параллельных и веерных лучей; учитывалась оптическая
плотность излучателя. Наконец, изучена весьма общая по постановке
томографическая задача с изолиниями, когда последние
описываются заданной системой произвольных выпуклых замкнутых кривых
без самопересечений. Необходимые ссылки на указанные выше
работы также содержатся в [4].
Говоря о специфике задач ВТ в применении к газовой динамике
и физике плазмы, следует отметить, еще, по крайней мере, два
существенных момента, Если объект асимметричен и при этом не
является стационарным, то на практике экспериментатору приходится
довольствоваться обычно небольшим числом проекций — нередко
всего четырьмя-пятью. Спрашивается, какой алгоритм
восстановления и(х) будет при этом предпочтительным, как эффективно учесть
109

в процессе реконструкции изображения дополнительную
информацию, которой почти всегда располагает исследователь, оправдано
ли интерполяционное «размножение» проекций и т. п.
Сколько-нибудь универсальных ответов на эти вопросы пока еще не получено.
В чисто экспериментальном плане важная роль принадлежит
схемам, привлекающим современные средства голографии [11, 12]:
фазовые решетки Веста, конические отражатели с углом обзора,
близким к 2л, наведение светом анизотропии показателя
поглощения (эффект Вейгерта), генерация обращенных (сопряженных) волн,
компенсирующих влияние оптической неоднородности среды, и др.
Как известно, по голограмме в принципе можно воспроизвести
амплитуду, фазу, спектральный состав и поляризацию волнового поля;
при этом сам объект может перемещаться со скоростью вплоть до
релятивистской, а параметры поля способны фиксироваться во
времени.
Уместно упомянуть еще и о том, что в работах по ВТ последних
лет отчетливо прослеживается тенденция повышения
информативности регистрируемой луч-суммы. Все чаще луч-сумма — уже не
просто число, характеризующее цэансмиссионное ослабление, а
сложная функция частоты, поляризации, релакбационных характеристик
и т. п. Благодаря этому могут восстанавливаться двух- и трехмерные
поля разнообразных величин, описывающих свойства потока газа
или жидкости, а также плазменной среды. Примерами могут
служить томохимия [13], спектротомография рассеяния [14]; высокой
степенью информативности отличаются и новые варианты
томографической ЯМР-интроскопии [3, 15].
В заключение следует подчеркнуть, что применительно к
рассматриваемым здесь разделам механики и физики ВТ может в
самое ближайшее время стать одним из наиболее мощных
диагностических методов, с помощью которого, по-видимому, удастся
эффективно решать проблемы многофазных вязких течений, физики
ударных волн, турбулентности, стохастической динамики, горения,
имплозии, инжекций пучков в плазму и многие другие.
ЛИТЕРАТУРА
1. Herman G. Т. Image Reconstruction from Projections: the Fundementals of
Computerized Tomography. 1980, Acad. Press. 316 p.
2. Barrett H. H., Swindell W. Radiological Imaging.—The Theory of Image
Formation, Detection and Processing. Vol. 1, 2, 1981, Acad. Press. 693 p.
3. Mansfield P., Morris P. NMR Imaging in Biomedicine, 1982, Acad. Press. 410 p.
4. Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики
плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. 238 с.
5. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.
Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.
6. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. Д. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.
7. Barrett H. H. Dipole-sheet Transform.— J. Opt. Soc. Amer., 1982, vol. 72, N 4,
p. 468-475.
8. Cormack A. M. Early Two-Dimensional Reconstruction and Recent Topics
Stemming from It.—Science, 1980, vol. 209, p. 1482—1486.
110

9. Преображенский Н. Г. Абелева инверсия в физических задачах.—В кн.:
Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978,
с. 6-24.
10. Преображенский Н. Г. Диагностические схемы исследования осесимметрич-
ной плазмы в условиях ее случайных перемещений.— Nukleonika, 1975,
vol. 20, № 5, p. 429-438.
11. Вест Ч. Голографическая интерферометрия. М.: Мир, 1982. 504 с.
12. Денисюк Ю. Н. Голография и ее перспективы.—В кн.: Проблемы
оптической голографии. Л.: Наука, 1981, с. 5—27.
13. Komalski G., Rieckheer R., Wagner W. New Means for Picture Formation in
Computer Tomography.— Optik, 1980, vol: 55, N 1, p. 67—86.
14. Yoneda Y., Chikaura Y. Scattering Tomography.— Jap. J. Appl. Phys., 1982,
- vol. 21, N 1, p. 131—133.
15. Ацаркин В. А., Скроцкий Г. В., Сороко Л. М., Федин Э. И. ЯМР-интроско-
пия.— Успехи физ. наук, 1981, т. 135, Я° 2, с. 285—315.
А. И. ПРИЛЕПКО
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(Москва)
В работе даются некоторые постановки обратных задач теории
потенциала и приводится краткий обзор по исследованию этих
задач.
1. Для краткости изложения рассмотрим обратную задачу для
уравнения Лапласа. Пусть х= (хи ..., хп) и у = (уи ..., уп) — точки
и-мерного евклидова пространства Rn (п > 2),| # — 2/1=1/ 2 (#ь —
V k=i
— J/ft)2— расстояние между х и j/. Введем общий магнитный
потенциал (лг = 3)
D dD
где D — область с кусочно-гладкой границей 3D = S из R3, р, «у =
** const, [}2 + ч2 ^ 0- &(у\ &у) — интегрируемые функции, причем
И,(г/)^0 (£(*/) =^0) почти всюду в D (соответственно на dD).
Считаем, что D лежит внутри шара Ы < Л.
Общая внешняя обратная задача состоит в нахождении
области D, а также плотностей \х(у) и t>(y) по заданной гармонической
функции и(х) вне шара радиуса #, т. е. при Ы > R.
В работе [1] даны в терминах функционала условия равенства
нулю внешнего потенциала, обобщающие известную лемму П. С.
Новикова. В такой общей постановке решение задачи не единственно
и, как правило, рассматривается ряд отдельных случаев. Если \х,
£ — даны, то наиболее общий результат о единственности решения
задачи доказан в [1] для случая так называемых «контактных
тел».
111

Исследование существования решений этой задачи в случае
односвязной области и заданной плотности доказано для случая
«тела, близкого к данному» автором и Г. А. Павловым. Если
рассматривать отдельно потенциал объемных масс р =» 1, ^ = 0 при
заданной плотности, то существует ряд теорем единственности в
предположении «звездности» тел относительно конечной или бесконечной
точки при некоторых ограничениях на плотность [1]. Для этой же
задачи получены оценки устойчивости (см. [1]).
Для потенциала объемных масс исследована задача об
определении плотности по внешнему потенциалу заданной области, на-*
пример для плотностей вида \х(у) = \1(у')ц(у), где у = (уи ..., г/n-i),
а ц(у) — заданная функция из некоторого класса (см. [1]). В более
общем случае задача исследована В. Г. Чередниченко.
В случае потенциала простого слоя р = 0, у = 1 наиболее
общий результат по единственности решения задачи получен в
работах автора для случая выпуклых тел постоянной плотности.
Г. А. Павловым решена также задача в малом.
Аналогичным образом ставится и исследуется также внутренняя
обратная задача [1].
2. Остановимся на плоском случае [n = 2i, где задача
исследована наиболее полно, методами теории функций комплексного
переменного [2]. Пусть D+ — ограниченная односвязная область в
плоскости z = х + iy с жордановой границей S, a D" — внешняя область.
Хорошо известна общая задача линейного сопряжения для
аналитических функций, состоящая в нахождении аналитических в D+ и
D~ соответственно функций u+(z), u~(z) по краевому условию
a(z)u+(z) + b(z)u+(z) + c(z)wrbT+ d(z)u~(z) = /Ы,
u(x) =0, ze5,
где а, 6, с, d, / — заданные функции.
Приведем два типа обратных задач, по отношению к (1).
I. Даны D+ и u~(z), требуется найти u+(z) и некоторые из
коэффициентов а, 6, с, d, / при заданных остальных по условию (1).
II. Даны и~Ы, коэффициенты а, 6, с, d, /, требуется найти
область D+ с границей S и аналитическую в D+ функцию u+(z) по
условию (1), причем предполагается, что D+ ищется в области
задания коэффициентов а, 6, с, d, /. В [2] рассмотрены и другие
постановки. В этот класс обратных задач входят: обратные задачи
логарифмического потенциала, обратные краевые задачи для
аналитических функций, двумерная модель задачи о нахождении фигур
равновесия вращающейся жидкости, обратная задача
электростатики, обратная задача электроразведки с искусственным подмагничи-
ванием и другие задачи.
Для указанных задач В. К. Ивановым, автором, В. Г. Чередни*
ченко, П. Б. Суляндзига и В. Н. Страховым исследованы вопросы
разрешимости задачи в конечном виде, приведены примеры
неединственности решения задач, исследована аналитичность решений
широкого класса задач и др. Наиболее общий подход в исследова-
112

яии плоской задачи дан в работах В. Г. Чередниченко. В его
работах, в частности, получены необходимые условия разрешимости
плоской обратной задачи логарифмического потенциала, тесно
связанных с известной проблемой коэффициентов (проблемой Биберба-
ха) в теории однолистных функций.
В заключение отметим, что, используя теорему существования
и единственности в «малом» для решения обратных задач, В. Г.
Чередниченко и В. В. Воронин предложили общий метод решения
плоской обратной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические,
параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса).— Мат.
заметки, 1973, т. 14, № 5, с. 755—767.
2. Прилепко А. И., Чередниченко В. Г. Об одном классе обратных краевых
задач для аналитических функций.— Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 10,
с. 1900-1907.
В. В. ПУХНАЧЕВ
ДВЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
(Новосибирск)
Одна из рассматриваемых ниже задач возникает при изучении
одномерных движений в газожидкостной смеси под действием
термокапиллярных сил. После частичного интегрирования уравнений
неразрывности в коэффициенты оставшихся уравнений входит
средняя скорость потока, зависящая лишь от времени. Ее следует
определить с помощью дополнительного краевого условия вместе с
остальными элементами течения. Доказывается теорема существования
и единственности соответствующей начально-краевой задачи.
Вторая часть работы посвящена использованию автомодельных
решений квазилинейного уравнения теплопроводности для
определения теплофизических характеристик однородных сред. Показано,
что знание двух автомодельных решений этого уравнения,
удовлетворяющих некоторому неравенству, позволяет одновременно найти
зависимость коэффициента теплопроводности и произведения
плотности на теплоемкость от температуры.
1. Рассмотрим одномерное неустановившееся движение
двухфазной сплошной среды. Пусть t означает время, х — расстояние
до плоскости, оси или центра симметрии, а целое I принимает
значение 0, 1 или 2 соответственно в условиях плоской, цилиндрической
или сферической симметрии. Обозначим через и и v скорости первой
и второй фазы, а через с и 1 — с их объемные концентрации. Тогда
уравнения неразрывности для каждой из фаз имеют вид
ct + x"l(xlcu)x = 0,
8 Заказ JN* 717
ИЗ

(1-с), + *-Ъ?Ч1-сМ, = 0^
Складывая эти уравнения, мы приходим к интегралу одномерного
движения двухфазной среды:
cu + (l-c)v = x-lf(t), (1)
где / — произвольная функция t.
Из соотношения (1) можно выразить, например, функцию v
через и, е и новую неизвестную функцию /, зависящую лишь от
одной переменной t в отличие от остальных искомых величин.
Оставшиеся уравнения импульса каждой из фаз, энергии, состояния
и т. д. будут содержать функцию fit) в своих коэффициентах. Для
замыкания постановки задачи требуется избыточная информация,
связывающая функции одной переменной (например, зависимость
между параметрами течения при х = const). Так возникает
своеобразная «обратная задача» для системы квазилинейных уравнений
с двумя независимыми переменными, зачастую не принадлежащей
ни к одному из классических типов.
Рассмотрим в качестве примера одномерное термокапиллярное
движение с плоскими волнами в газожидкостной смеси. Здесь / =
= 0; с обозначает объемную концентрацию газа, и и v — скорости
газовой и жидкой фазы соответственно; Т — температура. Жидкость
считается несжимаемой, пузырьки — сферическими, одинакового
радиуса R. Предположим для простоты, что внешние массовые силы
отсутствуют. Тогда основным источником движения является
термокапиллярная сила, порожденная зависимостью коэффициента
поверхностного натяжения жидкости от температуры.
Уравнения термокапиллярного движения в газожидкостной
смес№ сформулированы в работе Ш. Для случая одномерного
движения с плоскими волнами они редуцируются к следующей
системе двух уравнений:
ct + [(KcTx-f)(l-c)]x = 0, (2)
(1 - c)[Tt - (КсТх - f)Tx] - XT**. (3)
Здесь K=\dc/dT\R/2\x; \i — динамический коэффициент вязкости;
% — коэффициент температуропроводности жидкости; о(Т) —
коэффициент поверхностного натяжения. Величины \х, % и do/dT для
простоты предполагаются постоянными. По физическому смыслу
должно быть % > 0, \i > 0, da/dT < 0.
При заданном / квазилинейная система (2), (3) не имеет
определенного типа. Общая теория краевых задач для подобных
систем пока разработана недостаточно. Мы ограничимся
рассмотрением простейшей задачи для системы (2), (3), имеющей наглядную
физическую интерпретацию. Требуется найти функции с(х, i),
Т(х, t) в прямоугольнике 0<x<L, 0<t<tQ и функцию fit) на
интервале 0<t<t0 так, чтобы удовлетворялись уравнения (2), (3),
начальные условия
с(х, 0)=СоЫ, Т(х, 0) = Т0(х), (4)
114

краевые условия при х = О
WO, t) « *„(*), f(t)=Kc(0, t)fy(t\ . (5)
краевые условия при я = Z/
Г«а, Й=чМ*), f(t)=Kc(L, t)$L(t). (6)
Физическая интерпретация задачи такова. Газожидкостная
смесь заполняет слой между параллельными твердыми
непроницаемыми плоскостями ж = 0иж=!Д В начальный момент задано
распределение концентрации и температуры, зависящее лишь от х.
На границах х = 0 и х = L задан тепловой поток (первые два
условия (5), (6)) и условие непротекания для каждой фазы (вторые
два условия). Если тепловой поток на границах не зависит от
координат вдоль плоскостей, то возникающее термокапиллярное
движение будет одномерным. Справедлива следующая
Теорема. Предположим, что выполнены условия гладкости
с0еС1+а[0, £](0<а<1), Т0^С3+ЧО, L], ф0 еС(3+а)/2[0, *0], ^Le=
<= С(3+а)/2[0, t0], условия согласования Т'0 (0) = г|)0 (0), f0 (L) = i|)L(0),
%(0)-Kc'0(0)tf0(0) - Кс0(0)Ц0(0)Т1(0) = Х[1-с0(0)Г1Т:(0) +
+ ^(0)[1-с0(0)Г2Г; (0), у'ь (0) - Ke0(L) tfL (0) - Кс0 (L) yL (0) tf(L) -
- X И - 'о (L)rlTo (L) + %c0 (L) [1 - c0 (Ь)Г% (L), с0(Щ0(0) -
= c0(L)if>L(0) и дополнительные условия 0^с0^1/3, Г0>0, для
0 < я ,^ L и с0(0) > 0; ф0 > 0, ^L > 0 для 0<t<tQ. Тогда существует
такое t% e (0, £0], что задача (2) — (6) имеет единственное решение с,
Т, f в прямоугольнике Qt* = [0, L] X [0, £*], причем cgC1+°(^),
ГеС3+а,(з+а)/2((?^ / еС1+а ^ ^ ^ K/^ го^ 0 ^ С < 1/2, Г, > 0
/г/?и всея (ж, t) e (?*.„.
Приведем схему доказательства теоремы. Возьмем некоторое
те(0, t0] и обозначим р = KcQ(0)^Q(0) > 0. Определим замкнутое
множество Мр в пространстве функций /(£) класса С1+а[0, т] по-
иинэшонюоэ Koaioifado|/|([^)<2p, />Q для *е[0, т], /(0)=р.
При заданном f^Mp рассмотрим вспомогательную задачу: в
прямоугольнике Qx найти решение системы (2), (3), удовлетворяющее
условиям (4) и (5) и первому условию (6). Эта задача решается
методом последовательных приближений. Положим с(0) = c0U), Ti0) =
= Т0(х) и будем последовательно определять функции с{п)(х, t),
Т{п)(х, i) (гг = 1, 2, ...) как решения линейных краевых задач
СМ + [/ + КТ^Х) (1 - 2с{п^)] с™ + КТ%Гг) (1 - с(п-1}) с(п) = 0,
(1 _ ,<»-!>) до»> _ (jfс<«-«г<г*> _ /) т™] = хгй?, -
cc»>(sf 0)-с0Ы, Г(п)(я, ())«№),
с(«)(0, t)=fti)/K^Q(t),
Заметим, что при / ^ 0, 7т^г""1) > 0 и c(n"1} < 1/2 характеристика
первого уравнения имеет положительный наклон к оси х, и поэто-
°* 115

му краевая задача для с(п) поставлена корректно [2]. По индукции
доказывается, что с(я)еС1+а(^), Г(п) еГа- (3+а)/2(<?т). При этом
используется метод характеристик для решения уравнения переноса
и теоремы о гладкости решений обыкновенных уравнений [2], а
также априорные оценки решений второй краевой задачи для
линейных параболических уравнений [3]. Необходимые (и
достаточные) для гладкости функций с(п), Т{п) условия согласования
соответственно нулевого и первого порядка выполнены вследствие
равенства /(0) =Хс0(0)г|)о(0) =р и условий согласования, которым
подчинены функции Г0, г|з0, ^ь, с0 (они указаны в условии теоремы).
Также по индукции устанавливается, что с{п) > 0, 7* > 0 и с(п) < 1/2
в Qx. Первое неравенство следует из однородности уравнения для с(п)
и неотрицательности краевых и начальных значений этой функции.
Второе вытекает из строгой положительности Т0 для х е [0, Ь\
и if>0, ^l для t e [0, т] и того факта, что для уравнения, которому
удовлетворяет функция Z* , справедлив принцип максимума [3].
Выбирая т > 0 достаточно малым и учитывая, что с(п)(я, 0) <
< 1/3, можно добиться выполнения и неравенства с(п) < 2/5 в Qx
при любом гг. Если последовательные приближения с(п), Т{п)
сходятся к функциям с, Г, то в пределе мы будем иметь Тх > 0, (X
^ с ^ 1/2 в Qx. Сходимость этой последовательности (и притом к
решению вспомогательной задачи) доказывается путем стандартных
рассуждений, использующих априорные оценки решений линейных
уравнений первого порядка и параболических уравнений. При этом,
возможно, придется еще уменьшить величину т. Столь же
стандартные рассуждения устанавливают единственность построенного
классического решения вспомогательной задачи.
Обратимся теперь к неиспользованному до сих пор второму
условию (6). Правая часть этого соотношения определяет
нелинейный вольтерровский оператор F(f), ставящий в соответствии
функции / функцию Kc(L, t)tyL(t), где с находится из решения
вспомогательной задачи. Из свойств гладкости и знакоопределенности
функций с и i|)L вытекает, что Flf(t)] е=С1+а[0, т] и Flf(t)] > 0 при
£<=[0, т], если /еЛ/р. Более того, при подходящем выборе т будет
и F(f)^Mp (по существу, это следует из имеющейся оценки нормы
c(L, 0|[од] и того, что F[f(0)] ==p). Далее проверяется, что
оператор F(f) удовлетворяет условию Липшица в М9. Для этого
детально прослеживается зависимость решения вспомогательной задачи
от функции /, входящей в коэффициенты уравнений (2), (3).
Выбирая t% e (0, т) достаточно малым, мы можем добиться малости
константы Липшица и обеспечить наличие неподвижной точки
отображения F(f) в множестве Мр. Это завершает доказательство
теоремы.
2. Процесс распространения тепла в однородной среде
описывается уравнением
Ч(и)щ - div (K(u) grad и) =0, (7)
где и — температура; X — коэффициент теплопроводности; f— про-
116

изведение плотности среды на удельную теплоемкость. Хорошо
известно, что уравнение (7) обладает классом автомодельных решений,
простейшее из которых имеет вид
в = 9(g), Ъ=*х/П
(х — одна из декартовых координат). Функция Э удовлетворяет
обыкновенному уравнению
Ш)0" + Х'(0)0'2 + 6^(6)972 = 0. (8)
Здесь и в дальнейшем штрих обозначает производную по £, точка
будет обозначать производную по Э.
Автомодельные решения уже использовались для определения
теплофизических характеристик сред (см. [4—6] и цитированную
там литературу). Во всех предшествующих работах одна из
функций y или X считалась известной функцией температуры, а другая
подлежала определению. Ниже рассматривается задача одновре--
меного нахождения зависимостей уЫ) и ХЫ). Для этой цели
естественно использовать два решения уравнения (8): 0Д§) и 02(£)-
Будем предполагать гладкую функцию X и непрерывную
функцию ч определенными и строго положительными при всех и ^ 0.
Для уравнения (8) рассмотрим краевую задачу
е = е0 при i = о, е -> е^ при g -> «>, О)
где 0О > 0, 0оо > 0. Предположим для определенности, что 0О > 0«>.
Нетрудно доказать, что задача (8), (9) имеет решение 0(g), причем
0 — строго монотонно убывающая функция при £ > 0.
Придавая 0О значения 0Oi и 0О2 > 0oi, получим два решения
задачи (8), (9); обозначим их 0i и 02. Перейдем в уравнении (8) к
обратной функции § = у(0):
4-^ + | = 0. (10)
UU UV
Обозначим через v{ функцию, обратную к 0*(§) (i — 1, 2), и
положим в (10) у=Уг(0). Учитывая, что М0), ^(0) не зависят от
выбора vu и вычитая одно из полученных уравнений из другого, будем
иметь:
1 * Ч-fA-VU-o. (И)
Предположим теперь, что нам известны функции 0t(§) для £ >
> 0, а значит, и функции уД0) для 0<х> ^ 0 < 0Oi. Потребуем
выполнения условия
v2Vi Ф VtVi при 0оо < 0 < 001 (12)
(в терминах автомодельных решений это означает, что 01=7^=02 при
()<!■< <*>). Тогда, зная значение X в некоторой точке 0# е (0«>,0oi],
из соотношения (11) посредством квадратуры мы можем восстано-
117

вить (и притом однозначно) функцию % на всем интервале Goo < G ^
^ 001. При известном К функция Tf(0) находится из (10) в явной
форме.
При попытке практической реализации предложенного
алгоритма определенную трудность может представить
поддержание постоянной тепературы G0 на одном из концов достаточно
длинного теплоизолированного по боковой поверхности стержня,
который в начальный момент имел постоянную температуру Goo. Можно
видоизменить данный способ, реализуя автомодельный режим
путем соединения в точке х = 0 двух «полубесконечных» стержней,
один из которых (х<0) при £ = 0 имел постоянную температуру
G_oo, а второй — постоянную температуру 0оо<6_оо. Характеристики
Я, «у левого стержня при этом должны быть известны. В частном
случае, когда эти величины не зависят от температуры (обозначим
их Л, Г) краевые условия для уравнения (8) принимают вид
2V^7r]U6'- 9 + 6.00 = 0 при 6 = 0,
6 ->■ Goo При § -*- оо.
Зная решения полученной краевой задачи для двух значений 6-*,,
мы можем повторить описанную выше процедуру.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воинов О. В., Пухначев В. В. Термокапиллярное движение в газожидкостной
смеси.—Журн. прикл. механики и теорет. физики, 1980, № 5, с. 38—45.
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1964. 272 с.
3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и
квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
4. Васильев Г. И., Демьянов Ю. А., Курнаков В. И. и др. Экспериментальное
определение коэффициента теплопроводности теплоизоляционных
материалов методом автомодельных режимов.— Журн. прикл. механики и теорет»
физики, 1963, № 3, с. 67—70.
5. Искандеров А. Д., Ахундов А. Я. Применение автомодельных решений для
определения теплофизических характеристик сред.—Изв. АН АзербССР.
Сер. физ.-техн. и мат. наук, 1976, № 5, с. 82—85.
6. Каниболотский М. А. Использование автомодельных решений для
определения теплофизических характеристик сред.—В кн.: Теплофизические и мае-
сообменные свойства гигроскбпических материалов. Якутск: ЯФ СО АН
СССР, 1977, с. 56-66.
В. Г. РОМАНОВ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(Новосибирск)
Последние два десятилетия были периодом бурного развития
теории обратных задач математической физики. Если в 1960-х
годах публикации по обратным задачам были единичными, то к
началу 1980-х годов ежегодно в печати появляются десятки статей,
118

связанных с этой тематикой. Вышло уже около десятка
монографий по обратным задачам. Теория обратных задач за это время
оформилась как важное научное направление математической
физики. Публикуемые исследования дают развитие этой теории как в
глубь, так и вширь. Вглубь — путем создания новых методов
изучения обратных задач и осознания тесных связей новой теории с
другими разделами математики, и вширь — увеличивая наши знания
об области применимости обратных задач!
Отметим некоторые характерные черты развития теорпи
многомерных обратных задач. Большая часть опубликованных по
обратным задачам работ посвящена вопросам однозначности их решения.
Это довольно естественно, ибо возникающие задачи являются не-
- классическими, чаще всего некорректными, и вопрос о возможности
определения решений задаваемой информацией имеет
принципиальное значение. Среди многочисленных возможных постановок
обратных задач наибольший практический интерес представляют задачи
непереопределенные, когда размерность дополнительной
информации, требуемой для определения коэффициентов дифференциального
уравнения, минимальна. Исследование таких задач представляет,
как правило, наибольшие трудности. К настоящему времени
имеются довольно хорошо разработанные методы исследования
обратных задач для линейных уравнений второго порядка (см. [1—5])
на условную корректность. Начали появляться также работы по
исследованию обратных задач для систем уравнений и
квазилинейных уравнений. Большой и практически очень важной задачей
является задача создания численных методов для решения обратных
задач. Определенный прогресс здесь уже имеется. При создании
численных алгоритмов оказалось важным также описание
структуры множества данных обратной задачи. Последнее связано с
теоремами существования решения обратных задач, которым до
настоящего времени не уделялось должного внимания. Отчасти это
объясняется большими математическими трудностями в исследовании
вопросов разрешимости обратных задач.
Изучение вопросов единственности и устойчивости обратных
задач сводится к линейной задаче об определении правой части
специального вида, которую можно также трактовать как задачу
интегральной геометрии (см. [2]). До сравнительно недавнего времени
исследования подобных задач проводились либо в специальных
классах функций, либо в предположении, что носитель определяемой
функции мал. В работе А. Л. Бухгейма, М. В. Клибанова [6]
предложен метод, использующий оценки решений карлемановского
типа, который позволяет снять ограничения на малость носителя, но
требует взамен этого, чтобы носитель начальных данных совпадал
со всей областью, в которой разыскивается коэффициент уравйения
(или выполнялось некоторое эквивалентное условие). Это, видимо,
довольное хороший метод для исследования широкого круга задач.
Все его возможности к настоящему времени не ясны. В частности,
пока не ясно, можно ли с его помощью исследовать такой важный
для приложений класс обратных задач, как задачи с сосредоточен-
119

ными источниками. Ниже рассматривается вопрос, имеющий
непосредственное отношение именно к этому классу обратных задач.
Пусть D — область в Rn, ограниченная поверхностью S класса
С2. Рассмотрим уравнение
(*- + Ли =8(x-x<>,t), xglD, (l)
Lu = — div(c2(x)Vu) + q(x)u, c(x) >c0>0, q(x) > 0. %
Пусть u(x, t, x°) — решение уравнения (1) при условиях
M|K0™0f (S+a(*)»)ee0f o(«)>0. (2)
Здесь п — внешняя нормаль к S в точке х. Пусть
с(х) еC2(D), q(x) sC(D), a(x) eШ), ^°eS, . «
В обратных задачах об определении оператора L, т. е.
коэффициентов с(х), q(x), как правило, задается в качестве информации
решение задачи (1), (2) как функция точки х^ 5, времени t и
параметра я0 (см. [1—4]):
w|s = /U, t, x°), x&S, x°^S0, S0^S. (3)
Обычно при этом S0 = S. Если семейство геодезических,
порождаемых функцией cGz), регулярно внутри S и поверхность S выпукла
относительно геодезических, то информация (3) однозначно
определяет с(х), q(x), x^D. При этом для с(х) возникает обратная
кинематическая задача, а для q(x) — задача интегральной геометрии на
геодезических метрики, порождаемой с(х). Первая из этих задач
рассмотрена в [7, 8], вторая —- в [8, 9].
Основной результат данного сообщения состоит в
доказательстве того, что в информации (3) достаточно от множества S0<^S
требовать, чтобы оно имело положительную меру. Справедлива
следующая теорема.
Теорема Если mes*S0>0, то функция fix, t, x°) однозначно
продолжила по переменной х° с множества S0 на множество S.
Таким образом, эта теорема позволяет при рассмотрении задач
с сосредоточенными источниками уменьшить переопределенность
обратной задачи (1)—(3). Идеальным было бы, конечно, привести в
соответствие информацию (3) с количеством определенных
функций, скажем, ограничившись только дискретным множеством точек
х° е S. Некоторые соображения, однако, заставляют сомневаться в
том, что единственность решения обратной задачи при этом не
нарушится.
Для доказательства теоремы перейдем от задачи (1), (2) к
эквивалентной задаче в терминах образа Лапласа й(х, р, х°) функции
и(х, t, x°). Возможность такого перехода вытекает из
предположений о коэффициентах оператора L. Имеем
(p* + L)Z=b(x-x<>), (g + a(z)u)s = 0. (4>
120

решение задачи (4) можно выписать с помощью разложения по
собственным функциям оператора L. Известно, что при сделанных
предположениях спектр оператора L дискретен, все собственные
числа Aft оператора L положительны и имеют точку сгущения на
+ оо. Каждому собственному числу Xk отвечает конечное число
собственных функций cps (#), s — 1, 2, ..., rk, причем систему функций
(phs(x), 5 = 1, 2, ..., rk, к — 1, 2, ..., всегда можно считать ортонор-
мированной в области D.
Решение задачи (4) имеет вцд
z & р, х°)=2 i4t" 2 ф? и ф? и- - (5)
ft=i Р + Afe e=1
Ряд (5) сходится в пространстве обобщенных функций.
Обозначим через fix, р, х°) образ Лапласа функции fix, t, x*).
Согласно формулам (3), (5), имеем
7(х, р, х») = 2 tjtrrr-9 h (x, *°) = 2 Ф? (*> Ф- (*°)- (6)
ft=1 Р + h s=l
Формула (6) показывает, что fix, p, х°) является аналитической
функций переменной р с полюсами первого порядка в точках р =
=. ± il/Kk, A = 1, 2, ... Из формулы (6) однозначно находятся
fk(x,a?) = % q>?(*)q>?(s°), /7x
xs=S, x°s=S0.
Покажем, что, зная (7), можно выписать явно fkix, xn) для,
ix, x°) ^SXS. Основой этого являются две леммы,
сформулированные ниже.
Пусть х\, ..., хт — совокупность точек, принадлежащих S0.
При фиксированном к введем в рассмотрение прямоугольную
матрицу Фк (xi, ..., Хт) и квадратную симметрическую матрицу
"k\%ii • • • 1 хту,
Фк(х[, ...,4|) = (<р?0с?), s= 1,2, ...,rfcf / = 1,2, ...,m)f
Fh(xl .. .,х°т) = (/*(*?.*$). i,j = 1, 2, ..., т).
Символ «т» в дальнейшем означает транспонирование матрицы.
Лемма 1. Если l<m^rk, to существует такой набор точек
х\, .. .,хт, принадлежащих S, что матрица Fk(x°1, ..., xm)
положительно определена. Если же m > rk, то для любого набора точек
#?, ..., хт найдется такой единичный вектор v, что vFk (#5, ..., хт)
vT = 0.
Лемма 2. Если точки х\, .. .,Xrk принадлежат S uFk\x\,.. .
• • * » *^Г^
Хги)>0, то
121

Ф*(4, ...,4k) = QF{/2(*?,...,x\), (8)
где Q — произвольная ортогональная матрица.
Доказательство этих лемм приведем позднее. Лемма 1
позволяет по данным (3) определить кратность собственного значения Xh,
т. е. число rh. С помощью леммы 2 можно найти из формулы (7)
собственные функции на S с точностью до ортогональной матрицы
Q. В самом деле, полагая в (7) х° = х), / = 1, 2, ..., rk, для
отыскания ф« (х) приходим к системе алгебраических уравнений
(ф! (*), ..., Фг\ (*)) Ф* (хЪ ..., ar°J = {h (х, *?), ...,/*(*, з?л)).
Отсюда с учетом (8) получаем
(фх (*), •. • ,.< (*)) = (А (*.*?), • • •, h {x, 4к))Пиш (4, ...,<) <?\
же 5.
Следовательно,
/fk(x,xl)\
fk(x,x6) = (U(х,*?), ...,/*(*,4k))Fk1 (x\, ...,О i " , (9)
\h(x,x°rh)J
x s 5, x°^S.
Формула (9) дает продолжение функций fk(x, x") с множества 5Х
X .So на множество 5X5. Тем самым решается и вопрос о
продолжении данных (3).
Доказательство леммы 1. Имеет место равенство
Fh (4, • • •, *2.) = Ф1{х\, . • •, х°т) Фк(хЪ ...,х°т). (10)
Пусть v — единичный вектор. Тогда
vFkvT«v<DTOvT = \Ovr\2. (11)
Система функций ф* (#), s = 1, 2, ..., гл, линейно независима на 50,
ибо множество нулей каждой из функций Ф*(#) на S имеет
нулевую меру. Поэтому для 1 < т ^ rh найдется такое множество точек
х) е 50, j = 1, 2, ..., т, что ^vTJ > 0 для любого единичного
вектора v. Напротив, если т > rft, то для любого набора точек Xj e S^
система векторовф£{xf), . ..,фт(^?)> /=1, 2, ..., т, линейно
зависима и, следовательно, существует такой единичный вектор v, что
|OvT|==0. Из равенства (И) тогда и вытекает справедливость
леммы 1.
Доказательство леммы 2. Представим Ф&(#?, ..., я?А)
в виде (8). Тогда из (10) находим
где Е — единичная матрица. Равенство (12) показывает, что
матрица Q ортогональна.
122

ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные за-
* дачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.
2. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
3. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического
типа! Новосибирск: Наука, 1972. 164 с.
4. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.
Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.
5. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных
задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 118 с.
6. Бухгейм А. Л., Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса
многомерных обратных задач.—Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 2, с. 269—271.
7. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой
метрики в га-мерном пространстве.— Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 1,
с. 41—44.о
8. Бернштейн И. Н., Гервер М. Л. О задаче интегральной геометрии для
семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики.—
Докл, АН СССР, 1978, т. 243, № 2, с. 302-305.
9. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной
римановой метрики.— Докл. АН СССР, 1978, т. 241, № 2, с. 290—293.
В. Г. РОМАНОВ, В. Г. ЯХНО
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРА
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
В СИСТЕМЕ МАКСВЕЛЛА
(Новосибирск)
В работах [1—3] были рассмотрены обратные задачи для
системы уравнений Максвелла в пространстве (х, у, z, t) e Д4 для
случая, когда тензор диэлектрической проницаемости еЫ имеет
вид диагональной матрицы. В данной работе рассмотрена обратная
задача, связанная с нахождением положительно определенной
матрицы еЫ, обратная к которой имеет вид шЫ = (со^Ы), где g)i2 =
= co2i = 0, а он — соя —- произвольные кусочно-дифференцируемые
функции, при этом разрыв первого рода допускается в точке z = 0.
1. Прямая задача. Пусть (х, у, z, £)ei?4; Е(х, у, z, t), Н(ху у,
z, t) — векторы напряженности электрического и магнитного полей;
еЫ — тензор диэлектрической проницаемости; Д° —Д\{0}.
Рассмотрим для (х1 г/, z, t) ezR2XR°XR систему уравнений Максвелла
(d/dt)E-<a(z) rotН = 0, (d/dt)H+ TotE = 0 (1)
со следующими условиями:
(Я, #)1«-+0«0, (2)
АДЕ, #)|г=+0-(£, Н)\г—о]=?-б№(хШу), (3)
где соЫ — положительно определенная матрица, обратная к еЫ;
123

/° = (1, 1, 0, 0, 0, 0); б(t) — дельта-функция Дирака; As = (ai}) —
матрица порядка 6 X 6, у которой а15 = a5i = 1, а24 = а42 = — 1, а
остальные элементы равны нулю. Будем считать соЫ симметрической
матрицей с элементами G)tj(z), причем со12 = 0, (Оц \R± e С^Л*),
с°гз|д±^С'1(/?::1=), i = 1,2, (о3з|л±^С(Л±), о)и > (о22. Запись
а)а|й^е С^Я*) означает, что сужение функции (£>u(z) на
множества Я+ = {zeR\z> 0} и Я~ = {ze=#|z^0} есть дважды непрерывно
дифференцируемая функция, а в точке z = 0 у этой функции может
быть разрыв первого рода. Если матрица соЫ задана, то задачу
определения вектора (£, Я), удовлетворяющего равенствам (1)—-
(3), будем называть прямой задачей.
К равенствам (1) —(3) применим (пока формально) оператор
преобразования Фурье по (х, г/)*=Я2 и, учитывая обозначения:
U(z, t, Х)=Л(£, Я)](Я, z,.t)f U(z, t, k) = T(z)V(z, t, Д где T{z)—
матрица с элементами Тц, у которой Ти = Т66 = 1, Т7!, = — Тп =
= (сои)1/4, Г24 = - Г22 = (со22)1/4, Г33 = - Г31 = о)13/(о)и)3/4, Г34 =
= -Г32-со23/(со22)3/4, Г42 = Г44 = -(со22)-1/4, ТЪ1 = Тъз=(ь>п)-и\ а
остальные элементы — нули, перепишем исходные равенства в виде
Wdt + Kd/dz + D]v = o, (4)
FU+0 = 0, (5)
A3[T(+0)V(+0, t, Х)-Г(-0)У(-0, t, X)] = y°6tt). (6)
Здесь X = r-^r, D = D0 + DU D^T^AjJ, D1^T'1BT, A =
8=8 ( n г / 3' ^ = ~~~ * ( Mi + MJ; матрицы порядка 6X6
^i = («tj), 42 = (6ij) берутся такими, что а2б = а62 = — а35 = —an = 1,
^84 = &4з = — &i6 = — &6i = 1, а остальные элементы этих матриц —
нули.
Решение задачи (4)—(6) будем искать в классе
Г=Шг, t, Я)е0'(Я4)1Л,<о = О, V(z, t, Я) = У+(МД) + У~(МД>.
V± = Q(±z) 2 W(z,K)^(t^Ts(z))+bt(zA)Q(t^Ts(z))]+W±y
KS<2
jp± = e^*)!^, W±e=Cl£l(R±xR+xR2)()C{R±xR+-, 5'(Д2))},
где iZ)'(#4) — пространство обобщенных функций; 6"(Я4) —
пространство обобщенных функций медленного роста; C(R±XR+\
6"(Я2)) — класс непрерывных по (z, £) отображений вида (zt f)-*
->Уе=5ЧЯ2);тЛ^)= j (1//®ПТГ)М, 5 = 1, 2; 9Ы - функция
[0,2]
Хевисайда, функции а? (z,X), Ь?(гД), s = l, 2, подобраны таким
образом, что при подстановке формулы для V(z, t, X) в правую и
левую части равенств (4) — (6) выражения, стоящие в правых и
левых частях полученных равенств в качестве множителей при
одинаковых сингулярностях, стали тождественно равными. Найденные
124

описанным выше способом функции ae (z Д), Ь? (z Д), s = 1, 2, будут
принадлежать соответственно классам Cz'il(R±xR*)[}C(R±; S' (R2)).
Теорема 1. Пусть о)н|л± е С1^*), (о13|й±е С(Л±), г=1,2;
со3з1я±е Сд./?*). Тогда существует единственное решение задачи
(4)—(6) Viz, t, X)^T. Если, кроме того, сон|н±е C^R*), cDi3|R±e
&Сг(Я ), i = l, 2, со и > (о22, го регулярная часть W(z, t, Я) =
= W+(z, £, X) + PV"(z, t, К) решения V^Т является такой, что
(d/dt)W±€=C*$i(R±xR+xRa), W^ktjto) - 0.
В пространстве обобщенных функций 3)'{Rk) рассмотрим класс
<2/ = Jf7~"iF, где F~l — оператор обратного преобразования Фурье по
(х, y)eff.
Теорема 2. ЯусгьОн^еС1^), aJ^sC^), « = 1,2;
03з1д± е С (-Д )» Юн > tt>22. Тогда существует "единственное
решение задачи (1) —(3) (Е, H)^°U.
Из теоремы 2, в частности, следует, что применение оператора
преобразования Фурье F к решению задачи (1)—(3) (Е, H)^°U
оправдано.
2. Обратная задача. Будем считать матрицу соЫ известной
при z^R~ и неизвестной при z ^ Л+.
Обратная задача. Определить матрицу соЫ при zejf?+,
для которой имеют место равенства
FlEiliO, 0, +0, t) = gi(t), ШдШШ(0, 0, +0, t) = GM),
t = l, 2, №]а0, о, +о, *) = G0(t\
где Z?t-, j=1, 2 — первые две компоненты решения (Е, Е)^°Ы
задачи (1)—(3); Хо — фиксированное число, не равное нулю; gi(t),
Gi(t), i = 1, 2, G0(t) — известные функции.
Замечание. В постановке обратной задачи равенство
FLEJ (Л0, 0, +0, t) = G0(t) может быть заменено на равенства
FiEJiX^, %92, + 0, t)=fs(t), 5=1, 2, в которых Usl, Лв2), 5 = 1, 2 —
точки, не лежащие на одной прямой с точкой (0, 0); f8(t), 5 = 1, 2 —
известные функции.
Теорема 3. Для того чтобы функции (uu(z), (ог-3Ы, г = 1, 2;
о)зз(^), удовлетворяющие условиям (дц\Е±^ C\R ), coj3|R±e СдЛ*^
г = 1,2, йзз^^^!^)' сои > (о22, бьигг га/ш z^R+ решением
обратной задачи, отвечающим заданной информации gj(t), Gj(t), G0(t),
j = 1, 2, необходимо, чтобы информация удовлетворяла следующим
условиям
g.(t) = kfiit) + Ш\ h = Ую«(+0)ю«(-0|(Ую«(+0) + Усогг(-О)),
(7)
7 - 1, 2; ftft) es СЧД+), G,tt) е СЧД+), / = 1, 2; G0tt) e CW).
Теорема, сформулированная ниже, говорит о том, что необходимые
условия для существования решения обратной задачи будут в
«малом» также и достаточными.
125

Теорема 4. Пусть функции gM), £=*1, 2, имеют структуру
(7);gi(t), Gi(t), i = l, 2; G0(t) — функции из класса C'tO, 2TJ (Т7* —
фиксированное положительное число). Тогда найдется число Г*>0,
при котором существуют функции o)it(z), о)г-3Ы, г = 1, 2, (Озз^),
совпадающие при z ^ R~ с заданными функциями со$$|л_ €= С2(Д~)>
о)гз|д- ^ ^(i?"), г =1, 2, о)33|л_е С(/? ), о)и > о),22, л при z
удовлетворяющие условиям со** |н+ е С2 (#+), coi3 |н+ ^ Ci (-Й )» * =
= 1,2,со33|л+ е С(^+)> Юн > о)22, которые являются решением об-
ратной задачи, отвечающим информации gj(t), G}(t), / = 1, 2, G0(t),
t^[0, Г*]. Следующая теорема дает единственность решения
обратной задачи в «целом».
Теорема 5. Для заданной информации g&), Gj(t), ] =» 1, 2,
Goit), t^R+ обратная задача может иметь не более одного
решения o)fi(z), о)33Ы, 0)ТзЫ, г = 1, 2, 0ц > 0)22, которое совпадает при
z*=R- с заданными функциями (Оц |д- е С2 (Л~), о)гз lR- ^C^i?""),
г = 1, 2, co33[R_e С(^")» а гг£ц zs-jR+, удовлетворяет условиям
0Н|д+^С2(Л+), cDi3|R+e=C4#+), i = l,2,(o33|B+GC(n
3. Схема исследования обратной задачи. Положим в системе
(4) X = 0. Тогда из исходной постановки обратной задачи
получаются две задачи, связанные с определением функций о)«Ы, i = 1,
2 при z>0, которые также назовем обратными. Сформулируем эти
задачи. Введем обозначения Uj(z, t)~Vj(z, t, A,)L=o, / = i, 2, 3, 4.
Обратная задача г (г = 1, 2). Пусть о)«Ы —- известная яри
z^R* функция. Определить функцию oo«(z) при геЛ+? для
которой имеет место равенство
(о)*(+0))1/4[1г2+<(+ 0, t) - иД+0, *)] « #Ш,
где g*(£) — заданная функция, а (и*, 1г1+2) —- решение следующей
задачи:
(d/dt - iVud/dzHi + (l/2)d/dzU^)ui+2 = 0,
{dfdtJr1~uTiid/dz)ui+2 - (l/2)d/rfz(r^7)^ = 0,
(щ(-о,г) \(yr=W -r«_VM+o,*)\ .
Ui+i(+0ft)/ ^ r. /l-^vUi+it-O, 0/
+ (~ 41~(ri) j(1/2) ((0ii (+ 0))1/46 {t)■ где Г{ в
= ( /®«(+0) - /©«(-<>))/( /о„(+0) + /©«(-О)).
Исследованы вопросы единственности в «целом» и существования
в «малом» решения обратных задач 1, 2. При этом необходимые
и достаточные условия для существования решения содержатся в
теоремах 3, 4.
126

Далее считаем, что (Oti(z), i = 1, 2, суть известные функции,
удовлетворяющие условиям о)ц/н±е С2 (Л ), г = 1, 2. Применим к
равенствам (4)—(6) дифференциальный оператор д/д%2 и положим
Я = 0. Тогда из исходной постановки обратной задачи получается
задача, связанная с определением со13Ы. Введем обозначения
(d/dX2)V(z, t, Я)и=0=ЫМ), i^=16), V(M, X)L=o=(^(z, *), *=16).
Обратная задача 3. Пусть оо«Ы, г = 1, 2 —известные при
z^R функции, а 0)13(2) — известная функция только при z^R".
Определить функцию со13Ы при ze/J+, для которой имеет место
равенство
(сои(+0))1/4[г;з(+0, ^-M+O, *)1=G2(*).
Здесь G2(t) — известная функция, а вектор-функция (v4, у3) будет
решением следующей задачи
(d/dt - 1~nd/dz)v, + {№)d/dz{UTn)vz = ido)13(w2 + w4)/2,
(d/d* + Vw^5/5z)y3 - {iJDd/dzil^v, = - idtoi3(u2 + и4)/2,
(vit у3)1*«+о = 0,
/У1 (_о,m ^ //П^р -гг ^ /У1 (+ о,m
U(+0,0/ V rx V^l — (гх)2У Ч^з (— 0, f)/'
где d== 1/((ОцЫ(о22Ы)1/4. Исследованы вопросы существования и
единственности решения обратной задачи 3 в «целом».
Далее считаем функции (ОцЫ, со22Ы, CDi3(z) известными.
Применим к равенствам (4) —(6) дифференциальный оператор d/dki
и положим К = О, повторяя рассуждения, аналогичные проделанным
выше, из исходной постановки обратной задачи получим задачу 4
нахождения функции со23Ы по функции GM), что по форме и по
исследованию совпадает с обратной задачей 3. Далее, считаем
(ОпЫ, (o3i(z), $==1, 2 известными функциями.
Обратная задача 5. Пусть оо«Ы, <о3*Ы, i = l,
2,—известные при z^R функции, а со33Ы известна только при z^R~ и не
известна при z^R+. Определить функцию со33Ы при zefl+, для
которой имеет место равенство
(сон(+0))1/4[У3(+0, *, Г).-V4(+0, t, к0)] =Go(t).
Здесь yt(z, £,Х), F3(z, £, X) —-первая и третья компоненты решения
задачи (4)—(6); А,0 —(А,0, 0); Х0^=0; G0(f) — известная функция.
Исследование обратной задачи 5, так же как и исследование
обратных задач 1—4, проводится сведением исходной постановки
к эквивалентной ей системе нелинейных интегральных уравнений
типа уравнений Вольтерра второго рода. Использование принципа
сжатых отображений дает возможность получить
теорему-существования решения в «малом» и единственности в «целом».
127

ЛИТЕРАТУРА
1. Романов В. Г., Кабанихин С. И., Пухначева Т. П. К теории обратных задач
электродинамики.— Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 5, с. 1070—1073.
2. Романов В. Г. Обратные задачи распространения сейсмических и
электромагнитных волн.— В кн.: Методы решения некорректных задач и их
приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 111—118.
3. Пухначева Т. П. Совместное определение тензоров проводимости и
диэлектрической проницаемости в неоднородных слоисто-анизотропных средах.—
В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск:
ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 243—244.
В. Н. СТРАХОВ, М. А. БРОДСКИЙ
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
ПЛОСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПОТЕНЦИАЛА
ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
(Москва)
1. Проблема выделения классов источников гравитационных и
магнитных полей, в которых есть единственность решений
обратных задач, имеет огромное значение для прикладной грави- и
магнитометрии и является классической. Ей посвящена обширная
литература, начало которой положено исследованием П. С. Новикова
[1]. Представление о сущности основных результатов дают работы
[2—12]. В них изучаются классы распределений источников с
носителями в форме областей, на которые накладываются
определенные геометрические (выпуклость, звездность, контактность)
условия. Во всех случаях носители источников не описываются
конечным числом числовых параметров. В то же время для приложений
в геофизике (гравиметрии, магнитометрии) наибольшее значение
имеют классы распределений источников, в которых и носитель, и
закон распределения плотности (намагниченности) по носителю
описывается конечным числом числовых параметров. В случае
плоской задачи одними из важнейших являются классы, в которых
многоугольники являются носителями, а плотность (намагниченность)—
алгебраическим полиномом от двух переменных (в предельном
случае — целой аналитической функцией двух вещественных
переменных). В данной статье приводятся результаты по единственности
решения обратных задач в подобных классах.
На принципиальную важность исследования обратной задачи
логарифмического потенциала указывал М. М. Лаврентьев.
2. Следуя [13], приведем сначала аналитические выражения
комплексных напряженностей внешних гравитационного и
магнитного полей для конечных многоугольников с целыми вещественно-
аналитическими (в смысле функций вещественных переменных)
плотностями и намагниченностями. Пусть xOz — система координат
128

с осью Ох вправо, осью Oz вверх, s=*x + iz и б = | + г£ —
комплексные координаты точек, внешних по отношению к носителю
источников и принадлежащих этому носителю соответственно. Носитель-
многоугольник (конечный, в общем случае многосвязный)*
обозначим через EN, где Л" — общее число вершин многоугольника. Пусть
Ек есть гс-связный многоугольник, d0EN — внешняя граница EN,
dPEN, p = 1, ..., п — 1, — внутренние его границы. Вершины на
dPEN, р = О, 1, ..., п — 1, будем обозначать о^\ v = 1, 2, ..., Np и
(р) (р) тт (р) —2гЭ v
положим orjv+i = ог • Через а\? = е обозначим
геометрические параметры сторон Г/ многоугольника, соединяющих точки
а(р) и о\ч-и индексация осуществляется в соответствии с обходом
dpEN, р = 0, 1, ..., гс — 1 в положительном направлении. Через 9V
обозначен угол, составляемый прямой, несущей отрезок
с осью_<9#. Если по EN распределены массы с плотностью б(|, £) =»
= 6(с, а) и 6(§, £) — целая аналитическая функция двух
вещественных переменных §, £, то тогда комплексная напряженность
Gie)(s) = gz(x, z) + igx(x, z) внешнего (в CIntd0EN) поля дается
выражением
Np
о^--
С<'> (s) = f\K (s) + 22WP) - a&) (a™ - ,) A?> (,) In ^—1 , (1)
У p=0V=i in >
где / — универсальная гравитационная постоянная; sin —
координата некоторой внутренней точки. EN', в силу тождества
2 2 («(vP) - °#Л) (oiP) - *) А[р) (*) = 0, V* ё Int d0EN
выбор точки sin произволен. Функции K(s) и Лу (5) являются
целыми аналитическими функциями комплексного переменного 5.
Если б(|, £) — алгебраический полином степени не выше гс, то
K(s) и Av (^) — алгебраические полиномы степеней не выше
гс + 1 и гс соответственно. Если по EN распределена
намагниченность /(g, £)-Щ, £) + */.(£, О-Ло, о), где /*(g, V .и /x(g, £) -
компоненты намагниченности по осям координат, являющиеся
целыми аналитическими функциями двух вещественных переменных
(£, £). Тогда комплексная напряженность His) — Z(x, z) + iX(x, z)
внешнего (в CIntd0EN) магнитного поля дается выражением
п Np (р) _
Н(е) (в) _ к* w _ J 2 (с#> - а<РЛ) Л'*»'* (.) In 5L_I, (2)
р=о v=i гп
где Sfn — внутренняя точка EN, выбор которой несуществен в силу
соотношения
* Многоугольником мы называем область, ограниченную конечным числом
непересекающихся ломаных, из каждой вершины которых выходит по два
звена.
9 Заказ JSB 717
129

21 2 (<4P) -«tp2i) Aip)'*(s)sOVse Intd0EN,
P=0 V=l
a K*(s) и Лу (s) —целые аналитические функции комплексного
переменного s. Если /*(£, £) и /2(|, £) —алгебраические полиномы
степени не выше п, то Х*Ы и Л/'1*(5) —алгебраические полиномы
степени не выше п.
3. Ясно, что
A<p)(*)=2 4W-s)ft;
fc=o
л<р)->) = 2 4р^Кр)-*)й
Г О)
Если 8(§, £) и /(£, £)' — полиномы степени не выше /г, то -4^ = О
и Affi* = 0 для всех к> п. Имеют место соотношения [133:
43 = 4Р) (<#>) = $(<#>, o*>) = б (g<p), #>), (4)
. ^(а^>,аГ) , КР) + <РЛУ%1Р)^1Р)) ' ,«
„(р) 55 + I 2 J 55 ' (*>
.(р).._£^>)
4РГ = ЛГ(а<р)) = Г(а^,а^), (6)
0^(оУ>,У/>) , (<#> + «&) а?(аУ»,?/>Л
s=0(p) 1 »» + 9< ' да )'
(7)
Очевидны соотношения
(р)
c#)-o£>i-2ie~*1*v simp^,
. ,(Р)
atp) + с#Л = 2«T"*V со8ф<,р),
(8) -
где ф^ есть внутренний угол многоугольника при вершине щ ;
i|)vP — угол, составленный биссектрисой этого внутреннего угла с
осью Ох.
4. Из представлений (1) — (2) следует, что особыми точками
функций Gie)is) и H{e)is) могут быть только вершины
многоугольника En-
(р)
Теорема 1. Для того чтобы данная вершина av была
точкой аналитичности функции Gis) (His)), необходимо и достаточно,
чтобы было A(vp)(s)==0 в Clntd0EN(A(vp)>* (s) = 0 в Clntd0EN).
Теорема 2. Для того чтобы данная вершина о^ была
особой точкой функции Gis) {His)), достаточно, чтобы выполнялось
условие
130

№ip\&p))\* + \g™d8(&*\&p))\*>0,
(условие |адрЫР))|>0).
Доказательство теоремы 1 очевидно (в этой связи отметим
работу [14]), доказательство теоремы 2 базируется на следующих
фактах: 1) для всех v п^-о^!^ 0; 2)ecnnfgradб(^р), &р))|>0,
T0|4pi|>o.
5. Теперь перейдем к рассмотрению проблемы единственности
в классе конечных однородных односвязных многоугольников:
Многоугольник (конечный, односвязный) будем обозначать EN,
плотность afracc в нем — б.
Априорно известно, что многоугольник принадлежит конечной
односвязной области В, а в СВ задана комплексная напряженность
G{e)(s) внешнего поля. Обратная задача состоит в определении EN
и б по G{e)(s) в СВ.
Из приведенных выше общих формул следует, что в случае
однородного многоугольника EN
N
Gie) W = /б 2 (<*v ~ ccv_x) (orv - s) In -ZlZL, (9)
v=l *n
где av — координаты вершин многоугольника; sin — координата его
произвольной внутренней точки.
Нетрудно получить также следующую формулу для
комплексной напряженности G{i)(s) внутреннего поля конечного.однородного
односвязного многоугольника:
N
G{i) (s) = - 2nif6s + /б ^ (av - av-i) (<*v - s) lnT^7» (10)
v=l Se
где se — координата произвольной внешней по отношению к EN
точки.
Основной результат состоит в следующем.
1 еорема о. Пусть Е$ и Effl - два конечных
односвязных многоугольника (с числом вершин N и М) с плотностями 6i ==»
= const и Ьг = const и пусть множества En f| Е2М и СЛ^Ея (J Ем)
связны. Тогда из условия *
G(e)(s) = G(2e)(s), se=CB (11)
следует, что
Е& = Е&\ (12)
Доказательство теоремы 3 достаточно длинно, и его
целесообразно расчленить на ряд этапов, описываемых последовательностью
лемм.
* Здесь G^' (s) есть комплексная напряженность масс плотности 6i в
СЕ$'\ G£' (s) —комплексная напряженность поля масс плотности б2 в СЕ$\
9*
131

6. Положим
/ v. <13>
Лемма 1. Имеют место соотношения
N
r{s) = &~{е) (.) = ^(i) (s) = /б 2 'V**:1, »е с1. (14)
Доказательство с очевидностью вытекает из формул (9) и (10).
Лемма 2. Пусть поле порождается произвольным однородным
многоугольником. По G{e)(s) в СВ однозначно восстанавливаются
координаты вершин av (неупорядоченных, т. е. без указания
правильных значений индекса v) многоугольника и параметры pv при
вершинах
6(av-av_1) -2ii|jv .
pv = — \i = Sin фу* ^ )
Доказательство. Из (14) следует, что вершины av суть
полюсы функции #"(s), которая однозначно восстанавливается по
G{e)(s) в С5, а /?v суть величины, однозначно определяемые по
вычетам функции &~(s) в полюсах. _
Следствие. Если заданное поле в СВ порождается двумя
различными многоугольниками Е^ и Ем с однородными
плотностями 6i и б2, то iV = ilf и вершины обоих многоугольников
совпадают. Легко, однако, видеть, что из совпадения вершин еще не
следует совпадение самих многоугольников.
Очевидно, что теперь вместо Е$ можно писать £jv .
Обозначим через выпуклую оболочку множества
вершин многоугольников Е$ и Е%\ Ясно, ЧТО
и что 9й(/?$,2)) есть выпуклый многоугольник. Из выпуклости
WI(E(n) следует, что внутренние углы многоугольников EN и En
при вершинах, принадлежащих дШ{Е^ ), лежат в
интервале (0, л).
Лемма 3. Для вершин av многоугольников En и En ,
принадлежащих дШ(Е§'2)), по G{e)(s) в СВ однозначно
восстанавливаются:
1) положения биссектрис внутренних углов, которые
совпадают',
2) круги K(Gv, pv) с центрами в av достаточно малых радиусов
pv, в которых выделяются секторы Т?п и Tev » целиком
принадлежащие соответственно Щ^Е^ и C1\(£,(iy) U Е($).
132

Доказательство. Первая часть утверждения леммы следу*
ет из того, что для общих вершин многоугольников Z?jy и Е$\
принадлежащих dWl(E(x'2)), sin фу > 0 и поэтому arg/?v определены
с точностью до я.
Вторая часть утверждения следует из того, что число
многоугольников, имеющих заданные точки av общими вершинами,
конечно. Следовательно, для каждой вершины av e дШ (En ) может
быть указан круг K(gv, pv) достаточно малого радиуса pv, с центром
в av такой, что его граница пересекает лишь стороны En и Е$\
исходящие из ave %R(E$'2)). Кроме того, у углов фу определены
направления внутрь и наружу En и En по их общей
биссектрисе.
Лемма 4. Существуют пути:
1) Уы , соединяющие ov^dWl(E(N'2)) с любой точкой s^(E$ [) Е$)
и целиком расположенные в En Г) En >
2) yiv\ соединяющие cv^d$ft(E{N'2))_c любой точкой s^(E$'ПE(n)
и целиком расположенные в C1\(En[}E(n\
Докасательство следует из связности En ПEn и
С^Е^ЦЕ®) и леммы 3.
Замечание. В лемме 4 утверждается лишь существование
соответствующих путей, но не указывается способ построения этих
путей.
Рассмотрим множество Т, состоящее из точек En \En
с плотностью 6i, из точек En \En плотности (—б2) и T04ejK
е№(]Е($ плотности 6i — ба. Из требования G[e) {s) = G{e){s) в СВ
следует, что комплексная напряженность GT(s) описанного
распределения масс в СВ тождественно равна нулю. Обозначим через
Gt (s) комплексную напряженность внутреннего поля в Т.
Лемма 5. Имеет гЧесто соотношение
0Р {s) = -2nif (6X - б2) ~s + a0 + alS Vs e= E$ П Е$. (16)
Доказательство. Пусть s0 e En П En— произвольная
точка, U(s0) — ее достаточно малая окрестность, целиком лежащая в
En П En . Тогда по свойству аддитивности гравитационного поля
для всех s е U(s0)
G^ (s) = - 2nif (бх - б2) s + 2 М* - s0)\ (17)
fc=0
Но на основании того же свойства аддитивности и условия
G(re)(s) = 0 имеем
^T(s) = [^)(s) = {^sfG^(s)^0, sz=T, СТ.
133

Отсюда и из (17) сразу, в силу связности и односвязности*
Е$ П En и леммы 4, получается требуемый результат.
Лемма 6. Имеют место соотношения:
б1 = б2, G^W-^W, ве^П^.
Доказательство. Область $R(En2)) есть выпуклый
многоугольник, имеющий не менее трех вершин. Выберем три
произвольные вершины a(i), / = 1, 2, 3; они одновременно являются
вершинами Е(#_ и Е($. Ясно, что в случае G(^\(s) = G(2)(s),
s e C\{En U En ) должны выполняться соотношения
-2я*/(б! - W» + aQ + а,оа) = О, / = 1, 2, 3. (18)
В самом деле, это следует из того, что:
1) a(j) являются общими граничными точками для En(]En и
2) для любого однородного многоугольника комплексная
напряженность поля, рассматриваемая во всей плоскости (т. е.
включая стороны и вершины), есть функция непрерывная;
3) в силу 2) должны быть равны пределы
lim Cfip(s') = lim <#V). (19)
где s' принадлежит тому отрезку биссектрисы внутренних углов
En и En , который располагается в C1\£,jv)U£'iv, a s"
принадлежит тому отрезку этой биссектрисы, который располагается
Соотношение (18) можно рассматривать как систему линейных
уравнений относительно неизвестных б4 — б2, а0, а±. Но так как
точки o(j), / = 1, 2, 3, не располагаются на одной прямой, то для
определителя А этой системы имеем соотношение
Ф0.
Отсюда получаем утверждение леммы.
Лемма 7. Стороны многоугольников En и En\
исходящие из вершин av^59W(jEjv' ), совпадают.
Доказательство. Пусть crv е 9И<5 (£(jj'2)). Рассмотрим круг
Жоу, pv) и сектор Г|}? = введенные в
лемме 3. Обозначим далее АХ (pv, crv) = (E& U Я$) П К (crv, pv). Из
предыдущей леммы, в силу теоремы единственности аналитических
* Из связности Е$(]Е$ и односвязности Е$ и Effl следует
односвязность Е$()Е$.
-2я*/5(1) а(1)
- 2ш/а(2) а(2)
-2я^(3) а(3)
1
1
1
134

функций, следует, что в A#(pv, ov)
<#> (s) = - 2m/6a + Л2 (5) r= Gf (s) = - 2яг/ба + A2 (s),
т. е., что в AK(pv, Gv)Ai(s) = A2(s). Обозначим через сг = а^*)сг+
+ PvB,ft комплексное уравнение стороны, «входящей» в вершину
"~ (вых)^ , о(вых)
Ov, а через о = av,k а + Pv,fe — комплексное уравнение стороны,
«выходящей» из av (нижний индекс к = 1 соответствует сторонам
Е$\ к = 2 - сторонам tfj^). Известно [15], что в ГЙ? и^]
должны выполняться соотношения
* 3£>и (*) - А,вх (в) = - 2яj/б (c#fr + Р&>), *= 1, 2;
^вых (s) - ЛМых (,) = - 2ntf6(<#F)> + №)•
Здесь знак Д над функциями расшифровывается так: если 5
принадлежит основной области определения функции, то берется
сама функция, если же s принадлежит области, куда продолжима
функция, то берется это продолжение. Аналогичным образом
расшифровываются нижние индексы (вх) и (вых) — они указывают,
через какую именно сторону осуществлено аналитическое
продолжение (если только знак Д над функцией расшифровывается как
продолжение).
Но так как G(^BX (s) = S^U {s), Ait ВХЫ = A2,ВХЫ, Git ВЫХЫ =*
УЧ ^4 s*^
= Git выхЫ, AitWX(s) =42,вых(5), то отсюда следует
„<BX) — rv(BX) R(BX) — R(BX)
av,l — aV,2 i Pv,l — Hv,2 »
(ВЫХ) __ „(VbFX) о(ВЫХ) __ о(ВЫХ)
av,i — ^v,2 > Pv.i — Hv,2 •
Учитывая, что внутренние углы фу и <Pv многоугольников
Е^ и ^jv при вершине av не превышают я, отсюда получаем
требуемый результат.
Замечание. Так как положительное направление обхода
дШ (Е% ) известно, то положительное направление обхода для
дЕ$ и дЕ*$ восстанавливается однозначно. Следовательно,
общие стороны En и Е$ в вершинах Оу^дШуЕ^'2)
идентифицируются — определяются однозначно, какая из них входящая, а
какая — выходящая.
Итак, мы получили следующие результаты:
1) вершины многоугольников Е$ и En совпадают;
2) плотности 6i и б2 многоугольников Ew и En равны;
3) внутренние поля многоугольников Е$ и En в En 0 En
равны;
4) стороны многоугольников En и Ejjp, исходящие из
вершин, принадлежащих границе dWt(E$'2)) их общей вынуклой
оболочки, совпадают и идентифицируются.
Остается доказать, что все остальные стороны многоугольников
также совпадают. Для этого воспользуемся приемом введения по-
135

лярной нумерации вершин, который позволяет ситуацию для
произвольной вершины многоугольника сводить к той, которая имеет
место для вершин, принадлежащих границе выпуклой оболочки
52й(^'2)).
Пусть РР' — произвольная прямая, несущая одну из сторон
ЯЯ\Ен'2 ); ясно, что в одной (условно-верхней) из двух
полуплоскостей, на которые РР' делит плоскость, вершин ov пет, а в другой
(нижней) содержатся все вершины, не принадлежащие РР'. Пусть
о(0) — крайняя правая вершина, принадлежащая д%Я\Ен') и
лежащая на РР'. Луч на РР', исходящий из о(0), примем за ось
полярной системы координат; полярный угол ф будем отсчитывать от
полярной оси против часовой стрелки (вниз). Перенумеруем вершины
многоугольника по возрастанию угла ф и по возрастанию от начала
(если на одном луче содержится несколько вершин). Ясно, что для
вершин, принадлежащих лучу ф = 0, все входящие и выходящие
стороны определены. Остается провести индукцию. Пусть в новой
нумерации стороны, исходящие из вершин о(1), о(2), ..., aw,
известны. При этом стороны идентифицированы, т. е. известно, какая из
них является входящей для данной вершины, а какая — исходящей.
В вершине а(А+1) могут иметь место следующие ситуации:
1) известна одна (общая!) сторона многоугольников En и
Е»(2).
2) обе стороны многоугольников неизвестны.
Ясно, что в обоих случаях неизвестные стороны могут лежать
только в секторе нижней полуплоскости, левом по отношению к
лучу, несущему вершину a(ft+1) (т. е. в секторе ф(М_1)<ф<я), причем
во втором случае известная сторона является идентифицированной
(т. е. известно, входящая она или исходящая для данной вершины).
Первый случай прост. Параметр а(вых) — а(вх) для
рассматриваемой вершины известен, известен также параметр а(вх) или а(вых)
(и известно, какой именно!). Поэтому известны параметры а(вх) и
а(вых> и известно, в каком из секторов по отношению к лучу ф =
= ф(М_1) лежит неизвестная сторона. Поэтому эта неизвестная
сторона определяется однозначно — как идентифицированная.
Второй случай сложнее. Заметим прежде всего, что мы можем
построить круг Жо(Л+1), p(ft+1)) с центром в a(ft+1) достаточно малого
радиуса p(ft+1) > 0 такой, что его граница будет пересекать только
стороны Е$ и En\ имеющие a(ft+1) общей вершиной. Далее, так
как обе стороны располагаются в известной полуплоскости, то по
параметру а(вых) — а(вх) однозначно восстанавливается общая
биссектриса внутреннего угла многоугольников при вершине a(ft+1).
Кроме того, так как все уже найденные ранее общие стороны ^jv и
En идентифицированы, то мы однозначно определяем секторы
т&+1)= (^n^)n« (o(h+1\ P(fe+1)) и Tik+1) = Wni42)) n
П K(o(k+1\ p(fe+1)). (При этом, какой именно из секторов Г(Д+1) и
Т*£ располагается правее луча ф'=ф(л+1), мы знаем.) Заметим
далее, что в силу постулированной связности
136

U W)b секторе 7?+1) функции <??> (s) и G<e) (*) совпадают (ибо
точки сектора соединяются путями с СВ, не пересекающими
стороны En и En ). Поэтому остается воспользоваться схемой
рассуждений, использованной при доказательстве леммы 7.
Теорема 3 доказана.
7. Естественно поставить вопрос: можно ли улучшить
результат теоремы 3? Ответ дает следующая
Теорема 4. Существуют различные многоугольники En и
En\ заполненные массами одной и той же постоянной
плотности, внешние поля которых совпадают в C(d0W+ Intd0W), где d0W
есть внешняя компонента границы En U En. Для таких
многоугольников En [)En и C1\{En [)Enj не связны.
Доказательство. Очевидно, достаточно построить
соответствующий пример. Такой пример приведен на рисунке, где
показаны два многоугольника с одной и той же плотностью и одинаковым
внешним полем во внешности внешней компоненты границы их
объединения. Е^[\Е^ и C^Eft [] Ё$) обозначены различными
штриховками. Пример, приведенный на рисунке, отличается от
примера, данного в [16], присоединением к обоим многоугольникам
областей, ограниченных штриховой линией. У En и Ew имеются
общие участки границы.
Таким образом, в классе произвольных однородных односвяз-
ных многоугольников теорема 3 неулучшаема.
Вообще пример неединственности, данный в [16], позволяет
получить (совершенно элементарно используя прием удаления из
эквивалентных по внешнему полю распределений масс общих
частей) целый ряд важных фактов. Приведем два из них.
137

Теорема 5. Существует конечный односвязнЫй многоугдЛь*
ник Е^ и конечный v-связный многоугольник Е$ (v>2 может быть
любым, если N + v достаточно велико), заполненные массами одной
и той же постоянной плотности, внешние поля которых совпадают
*в C(d0W+ Intd0HO, d0W есть внешняя компонента границы E$\J
Теорема 6. Существует конечный односвязный многоуголь-
тик EN и п конечных односвязных многоугольников Е$, E^l, ...
• •> Е$П1 Ni + N2 +...+ Nn = N, заполненные массами одной и
той же постоянной плотности, внешние поля которых совпадают в
'*C(d0W + IntdoHO, dQW есть внешняя компонента границы
объединения всех многоугольников.
8. Нетрудно понять, что в случае магнитного поля ситуация
полностью аналогична и имеет место
Теорема 7. Пусть 2?jv и Ew— два конечных
односвязных многоугольника с намагниченностями I = /» + ilz — const
и 1(2) = /<?> + /<2) =const. Если Е$ П Е$ и С1\(Ё$ [} Е$) связны,
то из условия
H^(s)^H{e)(s), see С В (21)
следует, что Е$ = Е$. . _
Доказательство. По функции #(е)Ы в СВ однозначно
определяется суммарный магнитный момент
М = 1г j ds = I2 j ds.
Следовательно, arg/i = arg/2 определяется по Hie)(s) в СВ
однозначно и случай магнитного поля редуцируется к случаю
гравитационного поля.
9. С помощью теоремы 3 получается целый ряд результатов
для конечных односвязных многоугольников с заданной переменной
Плотностью или намагниченностью, если только плотность 6(§, £).
и компоненты /*(§, £), /2(£, £) вектора намагниченности являются
целыми аналитическими функциями двух вещественных
переменных. Суть дела в том, что если 6(£, £) (/(£, £)■) не обращается в
нуль в области неопределенности 5, то вершины многоугольника
оказываются особыми точками функции 'G{e)(s) (#(е)Ы). Тогда
нетрудно найти (см. (1), (2), (4), (6)), что по заданной в СВ G{e)(s)
{H{e)(s)) однозначно восстанавливаются величины (av — av-i)6(£v, v£)
(соответственно (av — av-i)/(6v, £v)), хотя при этом порядок обхода
вершин (значения v) остается неопределенным. Но если мы знаем
функцию б(|, £)=^0 (намагниченность /(£, £)=^0) в 5, то,
следовательно, мы определяем параметры (av*— av-i). Без знания
порядка обхода вершин этого достаточно, чтобы восстановить
функцию G(^(s) (функцию #*}(s)), порожденную многоугольником с
138

однородной плотностью 6 = 1 (намагниченностью 1=1). Поэтому
очевидными становятся следующие результаты.
Теорема 8. Пусть Е^ и Ем — два конечных односвяз-
ных многоугольника с заданной плотностью б(|, £), |6(£, £)| >0,
g(g, £) есть целая аналитическая функция двух вещественных
переменных. Пусть E(n} (]E% и C,1\(£,jv)U-£'m))~ связные множества.
Тогда из (11) следует (12).
Теорема 9. Пусть Е^ и Ем—два конечных односвязных
многоугольника с заданной намагниченностью /(§, £) = /ж(£, £) +
+ i/2(§, V, 1/(£, ?)1>0 в 5, /я(|, £) u /2(§, £) q/гь целые
аналитически^ функции двух вещественных переменных. Пусть Е$ П Ща
и Cv\{E{n)\]E{m)—связные множества. Тогда из (11) следует (12).
10. Неединственность решения обратной задачи гравиметрии в
классе однородных многоугольников (теорема 4), как кажется на
первый взгляд, делает безнадежной проблему отыскания таких
условий только на плотность, без наложения дополнительных
условий на геометрию многоугольников, при которых может иметь
место единственность решения обратной задачи. Оказывается, однако,
что такие условия существуют!
Пусть, как и выше, В есть область неопределенности в
расположении источников поля. Через К(В, EN, 6) и К(В, EN, I)
обозначены классы произвольных конечных (произвольного порядка
связности) многоугольников, содержащихся в В, с любым числом
вершин N, с плотностью (намагниченностью), описываемой функцией
5(|, £) (вектором намагниченности /(£, £)). Считаем, что 6(§, £) и
^*(|* £>\ ^(5> £) являются целыми аналитическими функциями двух
вещественных переменных. Обратная задача в классе К(В, EN, б)
(классе К(В>_, EN, /)) ставится так: считая заданными В, б(|, £) и
G(e)(s) в С.В, найти £^_(считая заданными В, /(£, £)=/ж(1, £) +
+ *7\(£, V и Я(е)(5) в С£, найти EN).
Теорема 10. Если в В |6(£, %)\ >0, Igrad6(£, £)| >0, ro
обратная задача в классе К{В, EN, б) однозначно разрешима.
Теорема 11. Если в B\I(%, £)| >0,
д! (а, а)
да
>0,
д! (а, а)
да
>
> 0, то обратная задача в классе К(В, EN, I) однозначно
разрешима.
11. Приведем схему доказательства теорем 8 и 9. Очевидно,
достаточно рассмотреть случай магнитного поля. Из теоремы 2
следует, что в условиях теоремы 9 все вершины многоугольника
являются особыми точками функции H{e)(s). Для каждой вершины a(vp)
однозначно восстанавливаются величины (a(vp) — av-i)^v и
(avp — av-ij-^ifv*» а так как намагниченность задана, то по (6),
(7) однозначно восстанавливаются и величины {а^ —ctv-i),
(av + ctv_i) (в гравитационном случае здесь надо пользоваться
формулами (4), (5)). Поэтому в каждой вершине однозначно
восстанавливаются величины а(ьх) и а(вых) — геометрические параметры
стороны, входящей в многоугольник, и стороны, выходящей из мно-
139

гоугольника. Далее вводим Wl{EN) — выпуклую оболочку
многоугольника EN; ясно, что 3R(EN) — тоже многоугольник с iV'^iV
вершинами, что EN <= 3R(EN) и что 3R(EN) определяется по найденному
множеству вершин EN однозначно. В силу (8) стороны многоугольника
EN, входящая и исходящая из вершин EN, одновременно
являющихся вершинами ШШы), определяются однозначно. Пусть РР' —
произвольная прямая, несущая одну из сторон Ш(ЕН); ясно, что в одной
(условно-верхней) из двух плоскостей, на которую РР' делит
плоскость, вершин EN нет, а в другой (нижней) содержатся все
вершины, не принадлежащие РР'. Пусть а(0) — крайняя правая вершина
EN, принадлежащая d$R(EN) и лежащая на РР'. Луч на РР',
исходящий из а(0), примем за ось полярной системы координат;
полярный угол ф будем отсчитывать от полярной оси против часовой
стрелки (вниз). Перенумеруем вершины многоугольника по
возрастанию угла ф и по возрастанию расстояния от начала (если на
одном луче содержится несколько вершин). Ясно, что для вершин,
принадлежащих лучу ф = 0, все входящие и выходящие стороны
определены. Остается провести индукцию: пусть в новой
нумерации стороны, исходящие из вершин о(0), о(1), ..., a(ft), известны. Ясно,
что в секторе нижней полуплоскости, правом по отношению к
Лучу, несущему вершину a(ft_1) (т. е. в секторе 0 ^ ф =^ ф(М_1)), либо
нет сторон EN, исходящих из a(fe+1), либо есть только одна известная
сторона, либо две уже известных стороны. В последнем случае
переходим к следующей вершине. В двух же первых неизвестные
стороны (сторона) однозначно определяются по а(вх) и а(вых), ибо
они могут располагаться только в'левом по отношению к лучу ф =
= ф(*+1) секторе. Таким образом восстанавливаются все стороны
многоугольника EN, т. е. и все dpEN, р = О, 1, 2, ..., п.
12. Теоремы 8 и 9 допускают обобщения во многих
направлениях. Обозначим через К (В, [Ехк]т, 6), К [В, [ENk}m, l\
совокупности из т попарно не пересекающихся многоугольников
(которые могут иметь произвольную связность) Е^к с Nk
вершинами, принадлежащими области В, по которым распределена
плотность 6(£, £) (намагниченность /(£, £)); закон плотности
(намагниченности) один и тот же для всех многоугольников. Функция б(|, £)
(функции /x(g, £), /,(g, £)) предполагается целой аналитической
функцией двух вещественных переменных.
Обратная задача в классах К (В, {Ejsk}m, б) и К (В, [Е^к] ,/)
ставится так:_заданы В, функция б(£, £) (функция /(£, £)) и
G(s)(H(s)) в СВ; требуется найти все Е??к, к*= 1, 2, ..., т.
Теорема 12. Если в В |6(g,£)| >0, Igrad6(£, £)1>0, то
обратная задача в классе K(B,[ENk}m, б) однозначно разрешима
Г*' Теорема 13. Если в В |/(о, о)1>0, 15/(а'а)
I до
значно разрешима.
> 0, то обратная задача в классеК(В,[Епк)т%1) одно-
140

Пусть далее Bk, к = 1, 2, ..., т — попарно \е шересекающиеся
конечные односвязные области, ENk a Bk— ко!ечшые (быть
может, многосвязные) многоугольники с Л" ве^шишами каждый,
6fc(^ V (A(S» £))— плотности (намагниченности) источников,
являющихся целыми аналитическими функциями двух вещественных
переменных (Д(£, £) — комплекснозначные). Класссы #({Z?fe}™,
{£Va}jT; (Mi1) и A'({5fe}?, {#лл}™; {^ь}™) определяются очевидным
образом. Обратная задача в этих классах стшвится так: в
С[ [) Bk) задана функция С(е)Ы(#(в)Ы), задщнвыми считаются
и все функции 6fe(§, £) (Д(§, £)); требуется нейти ENkczBk, к =
= 1, 2, ..., т.
Теорема 14. Если функции 6А(§, £) удовлетворяют условиям:
I6*(£, £)l>0, IgradбА(^, £)1>0 в Bk, /с = 1, 2, ..., т, то обратная
задача в классе К\{Въ)™, [Е^^'ч {^к}™) однсзнащно разрешима.
Теорема 15. Если функция Д(|, £) удовлетворяет условиям:
|/ь(о,о)1>0, '^М
до
>0,
3/b(a,a)
>0 вВкщ}к = 1ч2.
до
то обратная задача в классе К{{Вк}^,{Е^^\{1к^)
однозначно разрешима.
13. Теоремы 10 и 11 вселяют надежду на :о, што существуют
такие ограничения на плотность (намагниченность)! и геометрию
многоугольников, при которых однозначно восстанавливаются по
внешнему полю и многоугольник, и распределешие плотности
(намагниченности). Эти надежды, как показывают приводимые
ниже результаты, действительно обоснованы. Обюзначим через
К\В,Е^пу, Нп) класс конечных односвязных вьпукжых
многоугольников ECNny с п вершинами, принадлежащих оэласти В с
плотностью 6(§, £) = #«(§, £), через #п(§, V — плотность мсасс в виде
гармонического полинома степени п. Обратная задача (состоит в
задании G(s) в СВ; требуется найти EN и б(§, £) = #п§, £;).
Теорема 16. Если в В\Нп(%, £)|2+ IgraltfJl, £)12>0, то
обратная задача в классе K{B,ECNny, Hn) однозначно разрешима.
Обозначим через К [В, Ecnry, Рп, 6) класс кюнечных одно-
связных выпуклых многоугольников i?jvnv с N вершинами,
принадлежащих области В с плотностью (намагниченностью),
описываемой полиномом Рп степени не выше п, от аргуаент.а t = Re(ae~*9),
т. е. изменяющейся только по одному направление
Теорема 17. Если значение 0 известно, смеет место
неравенство тг^2 —5— ([#!—целая часть числа я), а полином РпШ
удовлетворяет условию
Pn(t)\* +
dt
г
>0, <Е [а, »],
141

где [а, Ь] — проекция области В на ось Otilm (oe~ie) = 0), то тогда
в классе К(В, Е^пу^ Рп, 0) обратная задача однозначно
разрешима.
ЛИТЕРАТУРА
1. Новиков П. С. Об единственности решения обратной задачи теории
потенциала.-Докл. АН СССР, 1938, т. 18, № 3, с. 165-168.
2. Раппопорт И. М. О некоторых достаточных условиях единственности
решения обратной задачи теории потенциала.— Докл. АН УССР, 1940, т. 5,
с. 23-30.
3. Сретенский Л. Н. О единственности определения формы притягивающего
тела по значениям его внешнего потенциала.— Докл. АН СССР, 1954, т. 99,
№ 1, с. 21-22.
4. Иванов В. К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического
потенциала для звездных множеств.— Изв. вузов. Математика, 1958. № 3,
с. 99—106.
5. Шашкин Ю. А. О единственности в обратной задаче потенциала.— Докл.
АН СССР, 1957, т. 115, № 1, с. 64-66.
6. Симонов В. П. К вопросу об единственности решения обратной задачи
потенциала.— Научн. докл. высш. школы, 1958, № 6, с. 132—136.
7. Прилепко А. И. О единственности решения внешней обратной задачи
ньютоновского потенциала.— Дифференц. уравнения, т. 2, № 1, с. 107—124.
8. Прилепко А. И. Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае
звездпых тел.—Сиб. мат. журн., 1971, т. 12, № 6, с. 1342—1353.
9. Прилепко А. И. Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае
контактных тел.— Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, № 1, с. 94—108.
10. Бродский М. А. О единственности решения обратной задачп теории
потенциала для цилиндрических тел конечного простирапия.— Изв. АН СССР.
Физика Земли, 1978, № 10, с. 117—127.
11. Исаков В. М. О единственности решения контактной обратной задачи
теории потенциала.— Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, № 1, с. 30—40.
12. Остромогильский А. X. О единственности решения обратной задачи теории
потенциала.— Шурн. вычисл. математики и мат. физики, 1970, т. 10, № 2,
с. 352-361.
13. Страхов В. Н. К теории логарифмического потенциала при переменной
плотности возмущающих масс— Изв. АН СССР. Физика Земли, 1975, № 12,
с. 64-81.
14. Никонова Ф. И., Цирульский А. В. К вопросу о граничных особых точках
логарифмического потенциала.—Изв. АН СССР. Физика Земли, 1975, № 6,
с. 76-80.
15. Голиздра Г. Я. Особые точки аналитического продолжения
гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс— В кн.: Дополнительные
главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск, 1976, с. 273—
388.
16. Бродский М. А., Страхов В. П. О единственности решения двухмерных
обратных задач гравиметрии и магнитометрии для многоугольников.—Докл.
АН СССР, 1982, т. 264, № 2, с. 318-322.
142

У. М. СУЛТАНГАЗИН, И. Ш. ИРКЕГУЛОВ
О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ
АТМОСФЕРНОЙ ОПТИКИ
(Алма-Ата)
1. Рассмотрим следующую задачу переноса излучения в
атмосфере
llgv^^ + I^^^gil^I^r^ds'+f^s), (1)
h
(г, sleCXfi,
/(г, s) - Ф(г, s), (r, s)^dGX Й, (s, n) < 0. (2)
Здесь Кг, s) — интенсивность излучения света в точке г в
направлении s(\s\ = 1); Mr) = о8(г)/о(г) — альбедо однократного
рассеяния света частицами среды, о(г) и а8(г) — коэффициенты ослабле-.
ния и рассеяния излучения; /(г, s) — функция источника; Ф(г, s) —
интенсивность излучения, проходящего через границу 0G внутрь
области*
Обратные задачи для уравнения (1) изучаются в работах
целого ряда авторов. Одни из этих работ ставят своей целью
получить численные результаты, используя их впоследствии в
приложениях, другие посвящены исследованию корректности обратных
задач и носят в основном теоретический характер. В качестве
дополнительных условий для обратных задач берется информация,
которую можно условно разделить на три вида: 1°) задаются
некоторые функционалы от решения прямой задачи; 2°) измеряется
значение интенсивности излучения, выходящего из области через
границу; 3°) используются некоторые эмпирические формулы,
связывающие решение прямой задачи с искомыми функциями.
Проведем краткий обзор этих исследований. В работах
Г. И. Марчука [1—3] идентифицируются коэффициенты о и о, на
основе метода теории возмущений. Информация берется в виде
1°), Ю. В. Князихиным [4J, а также Р. Беллманом и Р. Калабой [5]
используются методы, минимизирующие некоторый функционал
разности измеренной и вычисленной интенсивности для идентификации
о, о8 и /. Информация берется в виде 2°). В работах Г. И. Марчука
и др. [6J, а также в [7] решается задача восстановления
индикатрисы рассеяния. В [6] обратная задача решается на основе метода
возмущений, информация берется в виде 1°), а в [7] — некоторым
итерационным методом, информация берется в виде 3°). В [8]
отыскивается коэффициент ослабления а, как решение уравнения
Абеля, информация берется в виде 2°).
Исследованию корректности обратных задач посвящены работы
А. И. Прилепко [9], Ю. Е. Аниконова [10], Д. С. Аниконова [11],
М. В. Масленникова [12J. В [9—И] ставится задача отыскания
143

о8(г), air), fir, s), исследуется единственность обратных задач в
ограниченной выпуклой области в G в случае изотропного рассеяния.
Информация берется в виде 2°). В [12] восстанавливается
индикатриса рассеяния по угловому распределению измерений
излучения в глубине слоя.
Цель данной работы — исследование единственности решения
обратной задачи для плоскопараллельной, неограниченной
атмосферы.
2. Рассмотрим одну из краевых задач атмосферной оптики.
1
^_и^) + /(Т) ^ = ш j /(Т) ^^ + /(т)> (3)
-1
(т, \х) €= (0, то) X [-1, 1], 7(0, |х) = 0, \х > 0, 7(то, \х) = 0, \i < 0. (4)
Задача (3), (4) описывает процесс излучения в
плоскопараллельной неоднородной среде оптической толщины т0 со сферической
индикатрисой рассеяния и с вероятностью Я(т) (0^А,^1)
выживания кванта излучения в акте столкновения с частицей среды.
7(т, \х) — интенсивность излучения на оптической' глубине т в
направлении, образующем угол arccos \x с осью, направленной
перпендикулярно к слою среды в сторону возрастания т.
Из уравнения (1) при граничных условиях (2) найдем
7(Tf^)=fs_!L[X(T')ii(T') + /(Tf)]rfT'f ,i>0, (5)
• о
т0 т'—т
/ (т, ц) = - f е {к (т') п {%') + / (т')1 dx' |x < 0, (6)
X
где
1
-1
— плотность лучистой энергии на оптической глубине т.
Из (5) и (6) путем несложных преобразований можно
получить интегральное уравнение Пайерлса относительно
то
n(T)=--^E(\T-r'\)[X(r')n(T') + fix')]dT', (7)
о
где
t
о
— интегральная экспонента.
144

Укажем некоторые свойства функции E(t). Она бесконечно
дифференцируема при t > 0 и имеет логарифмическую особенность
при * = 0, E(t)>0 и §E(t)dt = l.
о
Очевидно, что E(t) ^ Ьи
Легко доказать, что при условии X, / е Lt и 0 ^ X =^ 1
существует единственное решение /г(т) уравнения (7), причем n^L^ В
работе [11] показано, что если к тому же />0, /^0, то /г(т) >0.
Обратная задача для уравнения (3) или (7) заключается в
отыскании функции Я(т) или /(т) по известным функционалам от
решения прямой задачи Лт, \х). В качестве такого функционала
возьмем [6]
& [I] = j j / (т, ц) Б (fx) б (т - т0) dxdii (8)
0 Ац
— это показания прибора, измеряющие интенсивность излучения в
точке т = т0 по углу, который соответствует углу зрения прибора.
§ — известная аппаратная функция, будем считать ее
положительной и ограниченной на А[х. А\х — косинус угла зрения прибора,
Дце[0, 1].
Перепишем функционал (8) в виде
У[1]= J/(xe,|i)E(,i)d|i.
Ац
Используя соотношение (5), получим
<?[/] = J ^—^l(li)l^^)n(T) + f(r)]drdii =
An 0
т0
- J Е* (т0 - т) [X (т) п (т) + / (т)] Л, (9)
о
где
£*W = j пг£0*)<*1* (<>o).
Ад
Очевидно, что Еч (t) <= L1#
В дальнейшем нам будет нужна следующая теорема:
Теорема Титчмарша. Пусть fix), g(x) — две функции из
Lu х *= L0, т], тогда из равенства J /(т — х) g (x) dx =0 (0 ^ т < °°)
о
следует, что почти всюду обращается в нуль одна из функций: fix)
или g(x).
Ю Заказ № 717
145

Как и в [11], будем пользоваться следующей терминологией.
Пусть Мт), Мт) — некоторые функции, которые мы
последовательно подставляем в (3), (7), (9) на место коэффициента Х(х).
При этом получается два уравнения, аналогичные (3), (7), (9),
а именно, два последних примут вид:
то
Л|(т)=4-|я(|т-тМ)[Л|(т>(т/) + /(т/)]Л/ * = 1,2, (Ю)
о
то
&к [I] = J Е* (т0 - т) [Xi (т) щ (т) + / (т)] dx, * = 1,2. (11)
о
Этим уравнениям соответствуют решения иДт), /Дт, \i) и значения
2fi{I), i = 1, 2. Имея это в виду, будем говорить, что пи 1и &^
соответствуют Xi и тг2, /2, ^2 соответствуют Xz. Аналогичные
рассуждения можно провести относительно функций /Дт), i = 1, 2.
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
1) a,lf Х2 s Llf 0 < А* < 1, г = 1, 2;
2) §(|л) — ограничена и положительна;
3)/eLlf/>0,/ч*0.
Ясли 3^(7) =»#,(/), го Я4 =Я2.
Доказательство. Условия 1) и 3) обеспечивают
существование функций AZi>0, i = l, 2. Вычитая из первого уравнения (11)
второе, получим
т?
j Е* (т0 —т) [Ях (т) лгх (т) — Х2 (т) >г2 (т)] dx = 0.
о
Обозначим g(x) =^1^ — ^г. Условие 2) гарантирует
принадлежность Е% пространству Lt. Из условий 1), 3) следует, что
g e Li. Поскольку Е* > 0, то на основании теоремы Титчмарша
ХхЩ =Я2^2, а тогда из уравнения (10) следует, что ni = n2 и отсюда
%i = А,2. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 1 справедлива и для более общего слу*
чая, когда / = fix, ц)еЬ41
Теорема 2. Пусть выполнены условия:
1) 0<lW<UeL,;
2)/i,/«eLi;
3) gC|Jt) —- ограничена и положительна.
Тогда из равенства 3^ = 2/2 следует Д = /2.
Доказательство. По аналогии с доказательством
предыдущей теоремы получим уравнение
Ч
j Е* (тв - т) [А, (т) [щ (т) - пг(т)) + А (т) - /2 (т)] dx = 0,
о
а отсюда найдем Хщ + Д = Хп2 + /2. Используя уравнения (10),
имеем Пх = гс2, откуда следует Д = Д. Теорема доказана.
146

Известно, что уравнение (3) аппроксимируется системой
уравнений метода сферических гармоник [15], которая представляется
в виде уравнения для полинома
1
fx—Tx— + In (т, v) = ~y J In (т' И> ) dP + (л + 1) Лц-i (|х) —5^-.
-1
(12)
п
где 1п (Т| ^ = 1 J (2/с + 1) Рк (р) щ (т), (13)
2
fc=o
ФА
(т)= J/(Tf|i)Pfc(|i)d|if Л = 0, лг, (14)
Pk(\i) — полиномы Лежандра.
Положим в соотношениях (12), (13) \x = ±\ij, |jIj>0, / = 0, г,
где \ij — корни полинома Лежандра Pn+i = ^г+г^М-). В этом случае
уравнение (14) распадается на две системы:
Ъд*п(КЬ) + In (т, W) = % (т) Фо (т) + / (т),
где
1
Фо (т) = "2 J 7n (т> Iх) #•
Граничные условия (4) в этом случае можно аппроксимировать
условиями Марка [16]:
. /»(0, и*) = 0, ] = 0,"г, /»(т0, -|ij) = О, У = 0,"г. (16)
Теперь из уравнений (15), (16) известными приемами можно
получить аналог уравнения Пайерлса для метода сферических
гармоник:
то
(т)=1[^(]т-т'|)[Я(т')ф0(т') + /(т')]йт', (17)
2 _
о
Фо
где
3
щ — веса квадратурной формулы Гаусса.
10*
147

Относительно (15) —(17) можно также рассматривать обратную
задачу, беря в качестве дополнительной информации функционал
т?
Уп [/] = j 2 Щ1п (Т, |i.) I (Hi) б (Т - Т0) Л, (18)
о '
где -а,- — веса квадратурной формулы Гаусса; щ — узлы этой
формулы.
Этот функционал аналогичен функционалу (9) для раствора
угла А|ы = [О, И и является его аппроксимацией.
Интегрируя теперь первое из уравнений (15) и подставляя
полученное значение /п(т, \ij) в (18), получим
то
Уп [/]= j Е*п (т0 - т) [X (т) Фо (т) + / (т)] dx,
о
где
Е*п (*) = 2ajexP [— ЗД * JTT Ц^)'
3 *
Доказательство единственности решения обратных задач для
метода сферических гармоник совершенно аналогично
доказательству теорем 1 и 2.
Теперь можно доказать, что при п-^оо (г->-оо) решение
обратной задачи метода сферических гармоник стремится к решению
обратной задачи уравнения переноса.
Замечание. Доказательство единственности обратной
задачи для уравнения переноса в случае граничных условий отражения
по Ламберту, а также в случае выбора граничных условий в виде
условий Маршака более сложно и здесь не приводится.
ЛИТЕРАТУРА
1. Марчук Г. И. Уравнения для ценности информации с метеорологических
спутников и постановка обратных задач.—Космич. исслед., 1964, т. 2,
вып. 3, с. 402—477.
2. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач.—Докл. АН СССР,
1964, т. 156, № 3, с. 503-506.
3. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса
нейтронов. М.: Атомиздат, 1971.
4. Князихин Ю. В. Определение распределения концентрации водяного пара
по измерениям вертикальных яркостных профилей атмосферы из
космоса.— Изв. АН ЭССР, 1981, т. 30.
5. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.
М.: Мир, 1968.
6. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике/Марчук Г. И., Михайлов Г. А.,
Назаралиев А. и др. Новосибирск: Наука, 1976.
7. Антюфеев В. С, Иванов А. П., Лмфшиц Г. Ш., Михайлов Г. А. Определение
аэрозольных индикатрис рассеяния безоблачной атмосферы в спектральной
области 0,55 -г- 2,4 мкм.— Йзв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1980,
т. 16, № 2.
8. Авасте О. А., Антюфеев В. С, Вайннкко Г. М. и др. Восстановление
высотного профиля коэффициента ослабления аэрозоля по оптическим измере-
148

ниям из космоса.— В кн.: Исследования атмосфернооптических явлений с
борта орбитальной научной станции «Салют-4». Тарту, 1979, с. 146—157.
9. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические,
параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса).—Мат.
заметки, 1973, т. 14, № 15, с. 777—789.
10. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных
задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978,
с. 22—31.
И. Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса.—Диффе-
ренц. уравнения, 1974, т. 10, № 1, с. 7—17.
12. Масленников М. В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием.— Труды
ордена Ленина МИ имени В. А. Стеклова, 1968, т. 97.
13. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высш. школа,
19§6.
14. Берлянд М. Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и
загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
15. Султангазин У. М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в
задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата: Наука, КазССР, 1979.
16. Девисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960.
В. П. ТАНАНА
ОПТИМАЛЬНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
В УСЛОВИЯХ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
(Свердловск)
Многие некорректные задачи могут быть сведены к
операторным уравнениям (см. [1—4]). Поэтому решение таких уравнений
очень важно. В монографии [3] разработана теория оценивания и
найдены оптимальные по порядку методы решения операторных
уравнений первого рода с приближенно заданным оператором при
условии единственности точного решения. Эта теория оказывается
совершенно непригодной в случае неединственного решения, так
как оценка снизу для оптимального метода не стремится к нулю
при стремлении уровней погрешности к нулю и поэтому не
представляет интереса.
В данной работе эта трудность преодолевается за счет
введения новой количественной характеристики точности метода,
которая позволила обобщить результаты [3] на случай неединственного
решения.
Для уравнений с точно заданным оператором близкие
результаты приведены в [5].
Пусть U =*F = V = Я, где Н — сепарабельное гильбертово
пространство.
А7 — линейный ограниченный оператор, отображающий
пространство U в F.
В — линейный, вполне непрерывный оператор, отображающий
пространство V в U.
149

Рассмотрим операторное уравнение первого рода
ATu = fT. (1)
Предположим, что при / = /т существует точное решение щ
уравнения (1) и uT^R(B), где R(B) — область значений оператора 2?,
но точные значения правой части /т и оператора Ат неизвестны.
Вместо них нам даны /в и Ah такие, что 11/б — /ТИ ^6и \\Ak — ATW ^ ft,
и уровни погрешности б, ft. Ah — линейный ограниченный оператор,
отображающий пространство U в F.
Требуется по исходным данным /e, Ah, -б, ft построить
приближенное решение u6h, в некотором смысле близкое к ит.
Обозначим через LT ортогональное дополнение ядра ker (CT)
оператора Ст = А^В. Известно, что 5(LT) — подпространство
нормальных решений (псевдорешений) уравнения (1). В дальнейшем
всегда будем предполагать, что vT e LT, где Bvr'— щ.
Обозначим через Ml множество, равное B(Sr П LT), где Sr =
— {v : llyll ^ г}, г>0, через (U -+ F) —пространство линейных
ограниченных операторов, отображающих U в F, а через Ш —
множество всех таких совокупностей {/в, Ah, -б, ft}, что Ah& Ш -> F),
О< б ^ б0, 0< ft ^ ft0 и существуют такие A'T(=(U-*F) и /tS^(mJ),
что ||/6-/ill < б, ||Л-4||<й.
Под методом приближенного решения уравнения вида (1)
будем понимать любое, вообще говоря, многозначное отображение Р
с областью определения D(P)=$R и со значениями в U, которое
исходным данным {/б, Ah, <б, .ft} задачи приближенного решения
уравнения (1) ставит в соответствие множество Uth = Pih, Ah, б, ft),
элементы которого названы приближенными решениями этого
уравнения.
Пусть SP — множество всех методов. Количественная
характеристика точности метода Ре^ вводится по формуле
^P,Ml,Ah,b,h) = sup {$(P(h,Ah,6,h),u):{f6,Ah,b,h}<=m,
uJ6,A
ut=Ml,Ae=(U-»F), ||Ли-/в|<6, ||ЛЛ—^||<Л>,
где fUPC/б, Ah, б, ft), и) — [5-расстояние от P(f6, Ah, б, ft) до и
(см. [3]).
Определение 1. Метод Р ^ !? будем называть
оптимальным по порядку, если существует величина к такая, что для любой
совокупности {/б, Ah, б, ft} е Щ?
А (Р, М гт, Л, б, ft)< fc Aopt (Ml, Ah, б, ft ), (2)
где Aopt (M?, Ah,8, ft) = inf {A (P, Ml, Ah, 6, ft):PG#l.
Обозначим через оз/1(т, r, L) функцию, определенную
следующим образом:
(оЛ(т, г, Zr) = sup {Hi/IL- u = Bv, v^L, 1Ы < г, УЛм11^т}, (3)
где Z/ — некоторое подпространство пространства V; т, г > 0.
150

Из результатов работы [4, с. 9—И] следует оценка снизу для
величины Aopt(^fr, 4Л, б, /г), имеющая вид
AoPt(Mjf Ah, б, h)^j(*h(r\\B\\h + б, г, LT), (4)
где (Oh — функция, определенная в (3).
Перейдем к построению оптимального по порядку метода и
получению оценки сверху для величины Аорт. Для этой цели
рассмотрим множество подпространств L пространства V таких, что
для ^любого yei1 следует, что \\Chv\\ ^ hWBvW, здесь Lx —
ортогональное дополнение подпространства L, a Ch = AhB. Обозначим
введенное выше множество подпространств через 3?.
Обозначим через L& подпространство из Й9, удовлетворяющее
условию
©Л(гШ11Л + 6, г, L.)<inf{©h(rllBllfc + «f г, L): L^^l + e, (5)
где е < ©л(гШНА + б, г, LT).
Рассмотрим некоторую модификацию обобщенного метода
невязки, предложенного в [6]. Метод Ре^ будем называть
обобщенным методом невязки, если
Р(/в| Ah, б, Л) = 5(pr (v6h, LJ), (6)
где рг (v6h, £8) — метрическая проекция элемента Уел на
подпространство £8, а элемент v6h является решением вариационной задачи
inf {Ы\: WChv - /.И < WvWWBWh 4- 6). (7)
Разрешимость и единственность решения вариационной задачи
(7) следует из результатов работы [4, с. 30—33]. Оттуда же
следует, что задача (7) эквивалентна задаче
inf {\\Chv - /б112 + abll2: v s V)% a > 0 (8)
с параметром a, удовлетворяющим соотношению
\Chvth-h\\ = \vth\\B\h+b,
где v%h—решение вариационной задачи (8).
Перейдем к оценке сверху для обобщенного метода невязки Р.
Рассмотрим два множества:
NA8, h) = {v:v^ LT, Ы < г, \\CTv - /4П < r\\BUh + в),
N,(b, h) '="7o Uv : v s L„ IMI < r, llCft pr (w, L.) - /«II «2
< 2гША + b)\iiv:ve [yj, IMI < r, \\Chv - ДИ sj 2HISIIA + 6)1,
где [i>Tl — линейная оболочка элемента vT, а со Ш) — выпуклая
замкнутая оболочка множества М. Из (5)—(7) следует соотношение
\\Bvr-P(ft, Ah, в, A)ll *S d(JVt(6, Л)) + dUV.(6, A)), (9)
.где dUVT(6, h)) = sup {UBv'-Bv"U :v', v" eiV,(5, A)}, a d(N.(6, A))-
= sup{ll5i/-Si/'ll:i/, p» etf.(6, А)}.
151

Перейдем к оценке величин d(Ne(8, h) и d(JVT(6, h)). Пусть
i/, /6C0[{i;:i;sLei ЫКг, HCAi;-/ell <2гША + 6} U {v : v^ [yj :
: IIЫ1 < r, HC^y — /6II ^ 2r\\B\\h + б)], где со Ш) — выпуклая оболочка
множества М.
Без ограничения общности можно считать, что
v' = 2 ai/i5 у" = 2 сч£ь
где a, > О, 2 a{ = 1, fu /2, gi, g2 e {у : у e= [yT], llyll ^ г, HO - /ЛИ ^
Ut<n
«*2гШНА + 6>, при i>2 /,-, ^e{y:yeL„ Hyll < r, \\Chv-fJ\^
<2гШИЛ + б). Тогда
«i/i + a2/2 - aigi - a*ga s L„
I! a,/, 4- a2/2 - otig, - a2g2H =S 2r,
IICft(a,A + a2/2 - aigt - a,ft)H *£ 4гША + .6.
Следовательно,
llfl(a,/i + a2/2 - a.g, - a2g2)W == iah(rl\B\\h + ё, г, Lt). (10)
Аналогично
S ai^-^el,, | 2 а4(/г-^)||<2г, a||C„( 2 «i(/i-
3<i^n ||3<i<n \3<i<n
-?i))K4r|S|H6. . .
Следовательно,
И S a, (/,-g»)\ | < 4coft (r IД |fc +6, r,Le). (H)
II \3<£i<n J\\
Из (10), (И) получаем, что
d(NM, Ю) < 4юЛ(гШ!1Л + б, г, LT) + 4©Л(гШИЛ + б, г, LJ. (12)
Из определения множества iVT(6, h) справедлива оценка
йШб, Ю) < 4©Л(гШ1Л + б, г, LT). (13)
Так как из определения Lz (см. (5)) следует соотношение
©А(гШНЛ + >б, г, Lz) < 2©А(гШ1Л + б, г, LT),
то, учитывая (12) и (13), окончательно получаем
А (Р, Ml, Л, б, А) < 16©А (г || 51 /г + б, r, LT). (14)
Из (2) —(4) и (14) следует, что обобщенный метод невязки Р
является оптимальным по порядку и для него справедлива оценка
А(Р, Ml, Ah, б, h) < 64Aopt {Ml Л, б, /г).
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1974. 223 с.
2. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической
физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.
152

3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных за-
дач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
4 Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.
' 157 с.
5. Морозов В. А. Регулярные методы решения линейных и нелинейных
некорректно поставленных задач. Докт. дис. М.: МГУ, 1978.
6. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Об одном регуляризующем
алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным
оператором.— Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1972, № 6, с. 1592—
1594.
С И.ТЕМИРБУЛАТОВ
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
ОБЩЕЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(Алма-Ата)
1. Дана система N уравнений параболических по И. Г.
Петровскому с постоянными коэффициентами
Л(|-,0)и = О, *>0, хп>0, |*|<оо (1)
порядка 2а, а"> 1.
Требуется найти решение ее в области
Q =* it > 0, Хп > 0, X €5 /?„-!, X = (хи . . ., #n-l)},
удовлетворяющее однородному начальному условию
«U-...-«^U-o (2)
и краевому условию вида
lim В, (*л\ ц = /,(*,*), (3)
где i = 1, 2, ..., aN; Dk = dk/dxi1 • •. дхпп, к0 — порядок
производной по t системы (1). Каждое равенство граничного условия (3)
может содержать производные по t и х, любого порядка. Указанную
задачу изучим при нарушении условия дополнительности, т. е. когда
задача поставлена некорректно.
Определение 1. Будем говорить, что функция и(х, хп, t)t
заданная в области Q, принадлежит классу U, если она имеет
непрерывные производные, требующиеся для решения задачи, и
обращается в нуль на бесконечности со всеми своими производными.
Пусть Z(x, xn, t) — фундаментальная матрица решений
системы (1). Путем присоединения а квадратных матриц Z, ZXn,...,
153

Za-i образуем прямоугольную матрицу G размера NXaN.
Тогда решение из класса U можно искать в виде потенциала
t
u(x,xn,t) = \di J G(x — y,xn,t — %)g(y,z)dy. (4)
Пусть гладкость вектора-плотности g(y, т) обеспечивает
существование необходимых для решения производных функции
и(х, хп, t) и, кроме того,
SD%*& V)=Q>S —'0,1, ..., si; I = 0,1, ..., 119 (5)
ijt
где Si и U определяются в зависимости от граничного условия.
Вычисление производных решения и по t и Xj, j Ф п, просто.
Обсудим вопрос об определении производной решения и,
определенного формулой (4), по переменной хп.
Когда порядок s производной по хп функции и(х, хп, t) меньше,
чем порядок уравнения (s<2a —-1), и s — нечетное число, при
хп -*- 0 получится нуль, что приведет к потере влияния
соответствующих слагаемых из граничного условия задачи. Наоборот, при
ds
s>2a интегралы в выражении для —- и (х, хп, t) расходятся. По-
дх
и п
этому важно уметь повышать или понижать порядок особенности
подынтегральных выражений при т ->■ t до определенной степени.
Для повышения особенности интеграла произведем интегрирование
по частям по переменной т, предварительно применив к плотности
g(y, т) оператор дробного дифференцирования /)?. Для понижения
особенности сначала с помощью линейной комбинации частных
производных по т и j/г, i Ф п, составляем специальные операторы F3 =
= F(FJ""1), F°k=1, а затем, интегрируя по частям, эти операторы Fi
относим в плотности потенциала. Очевидно, структура оператора F
и порядок / зависят от вида уравнений (1) и порядка s
производной по переменной хп.
Далее, подставив найденные предельные значения производных
решения (4) в граничное условие (3), получим относительно
неизвестной плотности g(i/, t) систему интегродифференциальных
уравнений:
/(*, тГя, y)g(y, т) = /(я, t). (6)
Утверждение 1. С помощью операторов интегрирования по
т, дробного дифференцирования D? и обратных операторов F~s к
оператору Fj (или к его некоторой части) систему (6) можно свести
к уравнениям типа Волътерра второго рода:
t
Cg (x, t) + $V (t, т, х, у) g (у,г) dx = Ф (*, *), (7)
о
где оператор v не содержит производной по т.
154

Теорема. Если в (7) матрица С неособая, то решение задачи
(1) — (3) в классе U единственно.
Доказательство теоремы следует из известных оценок для
производных фундаментальных решений параболических уравнений
[1] и из результатов работы [2J.
В качестве примера возьмем одно уравнение (N=1) высшего
порядка
щ
=<-<>• 2 5ь
г=1
фундаментальное решение которого определяется формулой
1 JL°r> -a?"*
Z (я, хп, t) = — JM cos а{х{е l da{.
О
Ради простоты рассмотрим двумерную область. Тогда можно
ограничиться изучением интегралов вида
t ОО /ОО ОО
v(x,y,t) = ±§dT J g(r,,T) je-62a(t-T)cos(y-T,)6d6je-a2a('-T) X
О —oo lo 0
X cosaxda\dv\.
Последовательным вычислением и с учетом (5) для т>0 найдем
2aV
Г е~° da r
la1-1'* J
X
J
^(g)
2г + 1
0 (t-T)
d2am+23+lv
dx2am+2j+l
oo t
X
cos(p§1/2a)dpdt,
;Ti=7/-(f-T)1/2aj3
i = 0,1, ..., a—-1;
/ >i4 am-J-m-J-jp (LjLl\ oo
_ ( } ' " ) f -a2 i+i/e - V
— о \ e ° aw,add X
О Л 31 J
f f ^m(g)
cos(pa1/a)dpdr,
7 = 0,1, . ..,a — 2;
^2am+2a-ly
^ж2ат+2а-1
я=0
^.(_i)am+m+Vm(^(y,f)),
r«e ^ = 57 + (— l)e^5s; Г — гамма-функция.
155

2. Определение 2. Квазифундаменталъным решением
дифференциального уравнения назовем функцию Z(x, t), обладающую
следующими свойствами:
а) при t>0 функция Z(x, t) ограничена во всем пространстве
и удовлетворяет уравнению;
б) при t = 0 особенность производной Z)£,fZ(#, 0) эквивалент-
на сингулярной функции D%8(x), где v, \x — неотрицательные
числа, указывающие порядок производной, Ь(х) — дельта-функция.
Легко видеть, что квазифундаментальное решение (к.-ф. р.)
переходит в фундаментальное при v = \i = 0.
Для некоторых уравнений определить к.-ф. р. гораздо легче и
их аналитический вид более прост. В таких случаях целесообразно
ядро потенциала составить исходя из к.-ф. р. При этом если
порядок сингулярности выше, чем у фундаментального решения (ф. р.),
то в качестве решения задачи берется интеграл по t от потенциала.
Пример. Уравнению (-^ — А)аи=0 наряду с ф. p. Z,
совпадающим с ф. р. уравнения теплопроводности, удовлетворяют
линейно независимые к.-ф. p.: tZ, t2Z, ..., ta~lZ. .
Следовательно, ядро G можем определить в виде G = (Z, ...
..., ta~*Z), значит достаточно исследовать следующий интеграл:
v°(*' *»• *)- ^Ыdx 1 • * <*• т>ехр vU-Tir - T)~dy'
0 ЕП-1
где O^s^a— 1; s — целое число. Известную формулу [3, с. 159]
j dxs J dx*-! . .. J / (т) dx = 4l j С - T)S/ (T) dx
0 0 0 °
исцользуем для повышения особенности интеграла для v8.
Дальнейшее вычисление проводится по формулам (7), (8) из работы [4].
В заключение ради наглядности сделаем сравнение нашего
исследования с решением корректной задачи:
Корректная задача Некорректная задача
1. Выполняется условие
дополнительности типа Лопатинского
(условие однозначной разрешимости).
2. Метод потенциала с ядром G(x,
£), в конструкции которого основную
роль играет G0— п ф. м. p.: A0G0 =
= 0, В0, G0 = б, А о, BQ —
соответственно главные части операторов А,
В] б— дельта-функция.
3. Равенствам из граничного
условия ставятся некоторые
ограничения, в частности порядок
граничного оператора В не более чем 2а — 1.
Нарушается условие
дополнительности (решение существует; можно
строить пример Адамара).
Метод потенциала с ядром,
составляющим исходя из Z — ф. м. р. или
Z — к.-ф. м. р.
(AZ = б).
Порядок оператора В любой,
точнее, каждое равенство граничного
условия может содержать всякие
производные по t и х$\ поэтому не-
156

4. Обычно граничное условие при- обходимо уметь вычислить значение
водит к интегральным уравнениям ,,« л ~ ^
а /г £ ^ и $ при хп-*~0 для любого s.
первого рода со слабой особен- х^ F n
ностью, которые (путем дробного Получается операторное уравне-
дифференцирования) сводятся ко ние типа Вольтерра первого рода,
второму роду, которое затем с помощью
регуляризации приводится ко второму роду.
Автор выражает глубокую благодарность академику М. М.
Лаврентьеву за постоянное внимание к своей работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. 443 с.
2. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых
пространств.— Докл. АН СССР, 1978, т. 242, № 2, с. 272—275.
3 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
М.: Наука, 1969, т. 3. 656 с.
4. Темирбулатов С. И. Некорректная смешанная задача для параболической
системы второго порядка.— Вестн. АН КазССР, 1982, № 5, с. 58—62.
С. А. ТЕРСЕНОВ
О ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,
ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ
(Новосибирск)
Рассмотрим уравнения
a*w dW\ dW
d2w , dw dw /оч
vl? + aW'St (2)
в области (|i/I < оо) X (О, Г), где W = u + iv, a = a + £8, 0<а<1„
Уравнение (1), как система уравнений относительно и и у, является
системой параболического типа, а уравнение (2) — системой
параболического типа с меняющимся направлением времени. Кроме
того, оба уравнения вырождаются внутри области.
1. Рассмотрим уравнение (1). Нетрудно видеть, что вместо
уравнений (1) можно рассматривать следующую систему:
~дГ = у-оУ+а1йГ' *=1'2' (3)
в области Q = (0 < у < «О X (О, Г), только краевых условий при
у = 0 нельзя задавать, так как эта часть боковой поверхности Q
входит в область определения решения.
Будем искать решения уравнений (3), удовлетворяющие:
157

1) начальным условиям Ws(y, 0) =0; 5=1, 2;
2) условиям склеивания (/(0) = /40) =0)
yalj(wi + ^)|у-о = 0, И%(0, *) - И\(0, t) = f(t),
где уа = yaei6 log^ а под log г/ понимается главная ветвь. Определим
пространство 2?2^Рд1^(@)» где будем искать решения задачи.
Пусть 0 < а + р < 1, 0 <р<-у.Обозначим через
DyW = f% В> = у^(у°^).
Функция ^еЯ2+3,1|Р(<?), если
£ II D2yWP + <DlW}% + <DVW)№> + <WM < ~. (4)
где < • > — коэффициент Гельдера, а || • \\q — норма в классе
непрерывных функций (см. [U). Выражение (4) назовем нормой W в
Рассмотрим потенциал
W
= ~Ш$е '"Х^-тГ0г(т)йт,
который является решением уравнения (3) и удовлетворяет
условиям
adW\
У 8у
^o = v(0, W(y,0) = 0.
Обычным путем (см. [1]) нетрудно показать, что если v€=i/a+p(0, Г),
v(0) = 0, то W^H2faj^(Q). Решения задачи (3), 1), 2) будем
AW
искать в пространстве Я2^д|р(0. Если обозначим ya-jr±=±*va(t)
при у = 0 и решения W8 будем искать в виде
* у_
^ = ~riJe ^(*-*ГЧ(т)Л,
о
то, удовлетворив условиям склеивания 2) для определения функции
v{t) =Vi(£) = — v2W, получим следующее интегральное уравнение
Абеля:
t
§(t-T)-av(T)dT = ±T(a)f(t),
о
обращение которого имеет вид
t
V <* > = ЗГа-a) J (' ~ %Г lf (T) dT- (5)
158

Для принадлежности v^#a+p(0, T) нужно, чтобы /'(£)€= #р(0, T)
и /'(0) = 0, причем
Ина+э<С1Л1Н1+е- (6)
Итак, имеет место
Теорема 1. Если /еЯ1+р(0, Я, /(0) =/'(0) = 0, то
существует единственное решение задачи (3), 1), 2) и
l|^||g2+p.i+B<C!l/||Hl+p. (7)
2. Рассмотрим уравнение (2). Как и выше, вместо него будем
рассматривать систему
d2W, dW, dW,
(8)
в той же области Q. Каждое из уравнений (8) как система является
параболической в Q, но вместе как система из четырех уравнений
не является параболической.
Будем рассматривать следующую задачу: найти решение
системы (8), удовлетворяющее:
1') начальным условиям Wiiy, 0) = W2(y, Я = 0;
2') У" ±№1 + W2) U = О, W2 (0, t) - W, (0, t) = ф (*).
Сначала задачу редуцируем к некоторому сингулярному
интегральному уравнению и потом укажем пространство, где задача
безусловно разрешима.
Как и выше, если решения будем искать в виде потенциалов
И^-г-^je ^(*-тГЧ(т)<*т,
°т „ О)
t
то для v{t) = Vi(t) = —v2(t) получим следующее интегральное
уравнение:
t т
f (£ _ т)-% (Т) dx + f (т - t)~av (т) йт = Г (а) Ф (t).
О i
Это уравнение при помощи обращения первого слагаемого
эквивалентно редуцируется к следующему сингулярному уравнению:
т t
= ^-аФо(0, ° (Ю)
= ^firle тч(^олм^,
159

где v0 = ti~av. Уравнение (10) в классе функций, ограниченных при
t = 0 и неограниченных при t = Т (имеющих особенность порядка
ниже единицы), безусловно и однозначно разрешимо (см. [2]), и
для v(t) имеем формулу
i.\ I±\ • ЯЛ 1 аП , 2 /m j.\ 2 I T
v(0 = q>o(*)smT--cosT* (У-0 J-
0
Если <p0(t) представим в виде
а~1 а~1 /» 2 /^ ч 2 , ч ,
Л - (Г — т) Фп (т) dr
т —f
(11)
где
Г(1
то (11) примет вид:
®(0 = f7r^j'('-T)e~V(T>dT'
a-l a-l Г 1=2. 1Г2_
_±C0S£^ 2 (T-t) 2 т 2 (f-T) 2 Ф(т)Дт.
0
rl
Пусть 0<а + 2р<1, 0<(1<а1фЙЕС(0,Г)П^(0,Г). Тог-
да фе^р, /? = 1/(1 — ос — р) и на основании свойств сингулярных
операторов (см. [3]) v^Lp. Если Vi^Lp, то решения W^Hy t{Q)>
Итак, имеет место
Теорема 2. Если у g С(0, Г) П^ х (0, Г), го существует
единственное решение задачи (8), 1'), 2') из #£*(()) и
ll^siuP<cbiwl .
я
у * _
Замечание. Вместо уравнения (1) можно рассматривать
случай, когда слева стоит оператор (yWm + aWy) sgn y + M(W), где М —
строго эллиптический оператор по переменным хи х2, ..., #п с
коэффициентами, зависящими только от хи х2, ..., хп.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева И. Н. Линейные и
квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука,
1968. 511 с.
160

3. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических
систем уравнения. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.
4. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения
переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.
А. Н.ТИХОНОВ
ОБ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ
(Москва)
Обратные задачи, связанные с обработкой наблюдений,
представляют в настоящее время большой раздел математики. Многие
объекты естественных наук недоступны для прямого изучения и
исследуются на основе их косвенного проявления. В настоящее
время роль обратных задач получает все большее значение в связи
с проникновением математики во все области естественных наук.
В геофизике эта роль особенно повышается в связи с тем, что
поиски полезных ископаемых переходят во все более низкие
горизонты земли и без косвенных наблюдений, получаемых на
поверхности, трудно иметь представление о строении глубоко
залегающих слоев.
В самых разнообразных областях наук обратная задача
сводится к уравнению
Az = u, . (1)
где z —■ математическая модель объекта из класса Z моделей
сравнения; и — результаты косвенных наблюдений; А — оператор связи
между z и и.
С уравнением (1) связаны два типа задач: прямая и обратная.
Прямая задача состоит в теоретическом определении и по
заданным z и А, и эта задача, как правило, устойчива. Определение
неизвестного объекта связано с решением обратной задачи,
заключающейся в определении z — математической модели объекта по
заданным и и А. Математическая природа обратных задач такова,
что если определение z из соотношения (1) трактовать как
решение этого функционального уравнения, то решение z, как правило,
сильно неустойчиво по отношению к сколь угодно малым
неточностям при определении и, неизбежно возникающим при
проведении наблюдений.
Часто под термином «обработка наблюдений» подразумевают
первичную обработку, заключающуюся в редуцировании обширных
данных непосредственных наблюдений, т. е. статистическую
обработку и учет различного рода поправок.
Результаты первичной обработки, обозначаемые ниже через и,
называются выходными данными эксперимента. Однако не они —
конечная цель наблюдателя, а определение характеристик объекта,
11 Заказ № 717
№

косвенное проявление которого гг, т. е. результат интерпретации
выходных данных эксперимента.
Таким образом, обработка наблюдений разбивается на два
этапа. Первый этап — первичная обработка (статистическая
обработка, введение поправок и т. д.), целью которой является получение
выходных данных наблюдений Ы). Второй этап — интерпретация
данных наблюдений — это определение модели объекта Ы па базе
решения обратной задачи.
Многие обратные задачи, в классической формулировке как
решение уравнения Az = и, относятся к числу некорректно
поставленных задач, т. е. задач, решение которых неустойчиво, или
задач, решение которых вообще не существует [1, 2].
Система полной или сквозной автоматизированной обработки
наблюдений содержит как первичную обработку, так и
интерпретацию, и ее задачей является получение модели искомого объекта.
Для интерпретации необходимо: 1) иметь устойчивый
математический метод решения обратных задач; 2) разработать
алгоритмы для реализации их на ЭВМ; 3) создать программный комплекс
для проведения сплошной обработки на ЭВМ.
Для задач с большим объемом первичных данных
интерпретация не может быть проведена без ЭВМ. Причем, очевидно,
программы на них должны базироваться на устойчивых методах
решения задач. Однако если сама задача неустойчива, то создание
устойчивого алгоритма для ее решения невозможно и это создает
принципиальную трудность, возникающую при интерпретации
наблюдений. Неустойчивость задачи аналогична неединственности ее
решения. Если математическая задача имеет неединствешюе
решение, то это означает, что она иедоопределена и ее постановку
необходимо дополнить условиями, позволяющими устранить
неединственность.
Аналогичная ситуация существует и для обратных задач. Если
задача решения уравнения Az = и неустойчива, то необходимо
наложить дополнительные условия на искомое решение. Введение
^аких дополнительных условий лежит в основе метода
регуляризации. Такие условия могут быть самые различные и должны,
естественно, входить в постановку задачи. Необходимо только
убедиться в том, что введение дополнительных условий делает задачу
устойчивой.
Остановимся на примерах из истории науки, связанных с
решением обратных задач. Лежандр [3] и Гаусс [4] занимались
задачей определения траекторий комет. Она сводится к определению
параметров траектории по наблюдениям, проведенным в различные
моменты времени U. Каждое измерение дает линейное соотношение:
A(i)z = a^Zi + а24° + . .. + flm^ =^(i),
причем коэффициенты a{i) и и определяются из наблюдений с
неизбежными при этом погрешностями (как случайными, так и
систематическими), возникающими при наблюдениях.
162

Чтобы получить больше информации о zu z2, ..., zm,
естественно набирать больше единичных наблюдений, так что мы приходим
к переопределенной системе
Ха = С^; Л = 1, 2, ..., т; 1= 1, 2, ..., щ п>т.
Если система линейных уравнений переопределена, то при неточно
заданных коэффициентах она практически неразрешима. Таким
образом, мы здесь встретились с неразрешимой задачей, если
трактовать ее в классическом смысле.
В самом деле, если мы имеем переопределенную систему, то,
в силу известной теоремы Кроиекера, для ее разрешимости
необходимо обращение в нуль ряда миноров расширенной матрицы.
Однако если элементы расширенной матрицы определяются из
наблюдений и связаны с неизбежными погрешностями, то детерминант
матрицы не может, как правило, обращаться в нуль. Таким образом,
если число уравнений больше числа неизвестных, то такая система -
не имеет решений.
Лежапдр (1806 г.) и Гаусс (1809 г.) опубликовали МНК для
определения z — обобщенного решения такой системы, при этом z
определяется из условия минимальности суммы квадратов невязок:
п п
2 (A(i)z-Z(i})2 = min 2 (A(i)z -Z(i))2
2=1 2=1
по всем zu z2, ..., zm. Для всякой системы алгебраических
уравнений всегда существует обобщенное решение в смысле МНК.
МНК широко распространен для обработки самых различных
наблюдений. Однако он не может быть математической базой для
автоматизации обработки наблюдений по следующим причинам.
МНК может давать неедииственное обобщенное решение, если
уравнение Azt = 0 имеет нетривиальное решение zv Ф 0. В этом
случае z + Cz^ (где С — произвольная константа, z — решение в
смысле МНК) также обобщенное решение.
Эту трудность легко преодолеть, вводя понятие «нормального
решения» в смысле МНК, т. е. z такого, что llzll < llzll на
множестве Z = {z} всех обобщенных решений в смысле МНК.
Нормальное,решение зависит от «принципа отбора», в частности от выбора
«нормы», которая в простейшем варианте есть просто
т
2 4
2=1
Можно сформулировать такую теорему, что любая система
имеет всегда нормальное решение и притом однозначно определенное.
Однако и это не снимает все трудности с определения
математического метода, который может быть положен в основу
автоматизации обработки наблюдений. Дело в том, что нормальное решение
может быть неустойчивым. Это видно на следующем простом
примере.
Пусть требуется решить систему:
И*
163

zt + 7z2'=5,
Vlzx + ]/98z2 = /50, т.е. A=,
1 7
VI /98
u =
5
/50
Нормальное решение легко вычисляется и равно z"i = 0,1, z2 = 0,7.
Решение этой системы на ЭВМ с точностью 100, 300 и 500
десятичных знаков показывает разброс решений при изменении
точности решения задачи. Это говорит о том, что метод, который
может давать такой разброс, не годится, чтобы его положить в
основу методов автоматизации обработки наблюдений на ЭВМ.
Отсюда следует такой вывод: индивидуальная приближенная система
при любой точности ее задания не всегда содержит достаточную
информацию для получения приближенного решения исходной
задачи.
Итак, что же такое приближенная система алгебраических
уравнений, какая информация дополнительно должна быть дана к
индивидуальной приближенной системе, с тем чтобы можно было
устойчиво определять приближенные решения исходной задачи?
Это фундаментальный математический вопрос, без решения
которого постановку задачи для автоматизации обработки наблюдений
сделать трудно. Он имеет близкое отношение также к
неустойчивым задачам оптимального планирования и управления и к
задачам статистики, в которых метод наибольшего правдоподобия тесно
связан с МНК. Таким образом, эти вопросы относятся к широкому
кругу математических задач.
Такой достаточной дополнительной информацией являются
параметры [х и б — оценки точности задания Ж ж и соответственно.
Предложенный нами регуляризованиый метод наименьших
квадратов (РМНК) [5] дает алгоритм для получения устойчивого
решения.
О принципе построения РМНК будет сказано ниже. Приведем
результаты применения РМНК к рассмотренной выше системе
двух уравнений. Обозначим через (Л, и) данные, определяющие
эту систему, и возьмем (А^ й6) — приближенные системы с
точностью и., б.
6 ^ Zj^o.l z2^0,7 Z\ Z\
10~i Ю-i —2,35 1,04 0,0968 0,6944
10-'4 10-4 1,78 0,46 0,09998 0,69998
Таким образом, в рассмотренном примере при б и п., равных
Ют1, регуляризованное решение дает относительную погрешность
во втором знаке, а при б и и., равных 10~4, относительная
погрешность — в четвертом знаке.
Конечно, пример никогда не определяет общее положение
вещей, но он показывает сопоставимость результатов, даваемых
РМНК и обычным МНК при неточно заданной исходной
информации. Надо сказать, что эти вопросы имеют широкое
математическое значение.
Выше говорилось о РМНК применительно к алгебраическим
задачам. Аналогичные результаты получены также применительно
164

к функциональным уравнениям первого рода в гильбертовых
пространствах.
Итак, обратную задачу для уравнения Az = u нельзя
рассматривать как решение задачи Az = й при приближенном значении и.
Для нахождения решения этой задачи при заданной матрице
достаточно дополнительно задать б (точность и), т. е.
приближенная система задается расширенной матрицей W, и, б], содержащей
не только приближенно заданную индивидуальную систему (А, и),
но и точность задания б. Таким образом, система [А, и, б]
определяет совокупность эквивалентных по точности индивидуальных
систем (А, и):
S = (Uf и) : Ив-в11<6>.
Допустимым решением называется элемент z, являющийся
решением одной из задач [A, w] e 26: Az = u или, что то же,
удовлетворяющий неравенству WAz — в II ^ б. Обозначим Z(e) = iz : IL4z —
— в II < 6} совокупность всех допустимых решений.
Нормальное решение z на Z(6) — множестве всех допустимых
решений определяется из условия Hzll = min llzell на Z(6).
Если задана только индивидуальная приближенная система
[А, в], то этой информации не всегда достаточно для получения
устойчивого решения.
Если неточно задается не только в, но и Ж, то будем задавать
наряду ^с А и и оценки их точности \л и б, т. е. расширенную
матрицу [А, в, |л, 61. Совокупность всех систем А, в, эквивалентных
[А, в] по точности б и в, определяется как
2(6lA) = {U, в) :\\А-А\\<\х, Ии-Ы1<6>.
Допустимым решением этой системы будем называть элемент
z\ если существует индивидуальная система L4, в],
принадлежащая 2(бц), для которой z' является точным решением:
Az' = в, [A, ui €=2(бц).
Нормальным решением системы 2(вц) назовем элемент ze^,
имеющий минимальную норму на множестве всех допустимых
решений:
||i6J<lz'|| на Z'm=[z':\\Az'-Z\\^8, |Л-Л|]<,х}.
Доказана теорема, что нормальное решение системы z6lk
совпадает с решением следующей
Задачи 1. WzJ < Ы\ на Z^ = [z: \Ъ—1\— \i\z\ = б}. Эта
задача проще предшествующей, так как является вариационной с
одним ограничением типа равенства. Для решения задач подобного
типа на ЭВМ существуют хорошо разработанные методики.
Отметим, в частности, что имеет место следующая
Теорема. Индивидуальная система [А, и], реализующая
нормальное решение z&n приближенной системы, определяется через
zt решение задачи 1 посредством формул
12 Заказ М 717
165

A = A + A, A = |h4W
1№)1ЫГ
|Д|=[г, Ъ = и—и\ ЦУ = p(gx) (1 — И p(;l|| \
Нгг — ггП = 6, где p(z) = {Az — и).
Таким образом, найдя решение задачи 1, мы не только
получаем решение искомой задачи, но и находим ту индивидуальную
систему [А, й], которая реализует это нормальное решение, что
существенно при решении задач проектирования и планирования.
На примере задач спектроскопии можно рассмотреть
некоторые аспекты применения метода регуляризации к функциональным
уравнениям и связь задач, возникающих при решении
функциональных уравнений, с проблемами, рассмотренными выше для
алгебраических систем.
Спектральный состав излучений, испускаемых изучаемыми
объектами, несет обширную информацию об их физическом строении.
Обозначим z(s) — распределение плотности энергии излучения по
спектру; здесь s — частота излучения для оптических измерений,
энергия ядерных частиц в потоке ядерных излучений и т. д. Чтобы
расшифровать спектр, гЫ-излучение пропускают через некоторый
аппарат, преобразующий z(s) в экспериментально измеримую
величину и(х), так что Az = u. Простейшие линейные
преобразователи представляются обычно в интегральной форме Az =
ъ
= \ А (#, s) z (s) ds. где пределы а, Ъ ^- диапазон частот пропускае-
а
мого спектра.
Обратную задачу нельзя рассматривать как решение
уравнения Az = й. Если в простейшем случае, когда оператор А задан
точно, вместо точной функции и поставить функцию и,
определенную с возможной погрешностью б, то мы, естественно, приходим
к неравенству WAz — иII ^ б.
Если в классе моделей сравнения Z = {z} имеются модели,
сопоставимые с и по точности, то обозначим через Zf = {z)
множество всех формально сопоставимых решений WAz' — gll ^ б. Их
много, и поэтому необходим принцип отбора, который позволял бы
из всего класса формально сопоставимых решений выбрать модель,
удовлетворяющую дополнительным условиям и отвечающую
смыслу задачи. Для задач спектроскопии этот выбор будем
осуществлять из условия наибольшей гладкости для нормального решения.
Для математической реализации нахождения нормального решения
разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ на ЭВМ.
Заменяя интеграл интегральной суммой, получаем
алгебраическую систему для z(s) в узлах выбранной сетки. К полученной
алгебраической системе можно применять алгоритмы РМНК. Но
получить какой-то численный результат еще не значит решить
166

задачу, надо убедиться в надежности результата. Для этого
используем метод «квазиреального эксперимента».
Выбирая в качестве z(s) какую-то известную функцию и
считая известной аппаратную функцию А (х, s), можно вычислить
и{х) на ЭВМ. Затем, внося в и(х) шумы задаваемого уровня,
можно, восстанавливая z(s) с помощью принятого метода решения
обратной задачи, судить о том, какая логрешность получается в
результате.
Метод квазиреального моделирования позволяет оценивать
точность получаемых результатов в зависимости от уровня шума.
Перейдем к вопросу реализации автоматизированной обработки
на ЭВМ. Для этого необходим устойчивый математический метод
решения обратной задачи, вычислительный алгоритм, его
реализация на ЭВМ и программный комплекс для ЭВМ. В него входят:
1) программный комплекс, реализующий первичную обработку
для получения щ ь»
2) программный комплекс для интерпретации, т. е. решения
обратной задачи;
3) программы для анализа установки, оценки точности и т. д.,
а также решения целого ряда других вопросов, которые могут
интересовать экспериментатора.
Таким образом, при автоматизации наблюдений, относящихся
к некоторой конкретной физической задаче, необходимо не только
создание математического метода решения этой обратной задачи,
но и создание программного комплекса, с помощью которого на
ЭВМ может быть решен круг вопросов, связанных с изучаемой
проблемой.
Подобный программный комплекс представляет собой
проблемно-ориентированные системы, или пакеты. Они должны быть
построены по иерархически-модульной структуре, где имеется
управляющий модуль, организующий работу всей системы, а также
субмодули различных порядков в соответствии с алгоритмами
решения задачи.
Такая иерархически-модульная структура необходима для того,
чтобы в случае необходимости изменения алгоритма обработки в
какой-либо его части можно было заменить только один из его
субмодулей, не затрагивая всю систему в целом. Архив системы
должен содержать как паспорта и исходные данные, относящиеся
к отдельным экспериментам, так и разнообразные варианты
алгоритмов для всех субмодулей.
Построение ряда проблемно-ориентированных программных
систем показывает их многоцелевое назначение, а именно, что общая
структура управляющей программы остается той же для решения
различных задач, а изменениям подвергается лишь некоторая часть
субмодулей.
Рассмотрим пример спектрометрической системы [6] для
полной математической обработки фотоядерных экспериментов,
являющейся первой в мире системой сплошной обработки наблюдений.
Она была выполнена в НИИЯФ МГУ, руководимом С. Н. Верно-
12*
167

Z9b Z63 E4t
г203&23б 22д
Рис. 1.
1 — точное решение; 2 — класс
приближенных решений без регуляризации (точная
правая часть); 3 — приближенные решения
с регуляризацией (точная правая часть).
10 S
вым. Реализована система
сотрудником этого института Ишхано-
вым и сотрудником факультета
вычислительной математики и
кибернетики МГУ Заикиным.
Экспериментальная установка
находится рядом с бетатроном,
генерирующим
немонохроматический поток гамма-квантов К(х, s),
х — энергия частицы. При бомбардировке гамма-квантами
исследуемого вещества могут происходить ядерные реакции с захватом
гамма-кванта и выделением одного или нескольких нейтронов,
протонов или других продуктов реакций. Управление машиной и
вся обработка результатов выполняются с помощью ЭВМ ЕС-1022.
Так как энергетический спектр гамма-квантов
немонохроматический, то искомое сечение z(s) и наблюдаемый в эксперименте
выход нейтронов и(х) связаны интегральным уравнением первого
рода. Особенностью этого эксперимента является его многократное
повторение и большое число данных, подлежащих обработке
(~107 чисел).
Ранее при интерпретации интегральное уравнение заменяли
алгебраическим и его решение принималось за истину, в то время
как оно обусловливалось влиянием^ погрешностей данных.
Проводился квазиреальный вычислительный эксперимент. Была задана
некоторая кривая, вычислены с машинной точностью значения и
внесен шум. Затем обратная задача решалась в рамках
элементарной алгебраической системы, получена пилообразная кривая,
в которой абсолютно невозможно разобраться. Метод
регуляризации дает сплошную черную линию, которая с высокой точностью
совпадает с исходными результатами (рис. 1).
На рис. 2 показаны выходная эксперимента и сечения
взаимодействий гамма-квантов с ядрами никеля. Сплошная черная
линия — взаимодействие с выходом одного нейтрона. Квазиреальный
эксперимент, проведенный многократно, позволяет определять
точность эксперимента, а толщина линии показывает ту точность, с
которой воспроизводятся результаты. Нижняя кривая — «двойные
взаимодействия», т. е. когда при реакции выделяется не один,
а два нейтрона. Это — тонкие эффекты, полученные впервые. В
результате проведенных работ в НИИЯФ создано отделение
Мирового центра банка ядерных данных по накоплению, обработке и
оцениванию результатов исследований по фотоядерным
взаимодействиям. Здесь же обрабатываются измерения, которые проводятся
в Советском Союзе, и концентрируются мировые данные.
168

MeV
Рис. 2.
В качестве второго примера приведем диагностику плазмен-
ных образований на установке в Институте атомной энергии
им. И. В. Курчатова.
Принципиальная схема измерений представлена на рис. 3.
Лазерный луч ударяет в фольгу, и в результате воздействия
излучения на нее образуется плазменная корона, которая
фотографируется сбоку в рентгеновских лучах с помощью камеры-обскуры
с применением различных фильтров. Темные пятна на рисунке —
это то, что получается в результате эксперимента.
Рассмотренные снимки — косвенное проявление распределений
температуры и плотности внутри короны. Распределения и
являются предметом изучения, недоступным для непосредственного
измерения. Реальный размер фотоизображения на пленке составляет
1 X 0,3 мм.
Решение обратной задачи позволяет восстановить температуру
и плотность, пространственные распределения которых приведены
на рис. 4.
(х0,Уо)
Рис. 3.
1 — рентгеновская фотопленка; 2 — фильтр; з — обскура; 4 — мишень; 5 —
плазма; 6 — лазерный луч.
169

Рис. 5.
1 — точные значения; 2 — результаты определения температуры и плотности по
зашумленным значениям; з — зашумленные значения (10%-ный шум).
Выполнявшийся «квазиреальный» эксперимент состоит в том,
что по полученным при обработке распределениям температуры и
плотности путем решения прямой задачи находились теоретические
значения интенсивности излучения с разными фильтрами. Затем
к ним был добавлен реальный шум и выполнен полный цикл
обработки. На рис. 5 видно хорошее согласие исходных и расчетных
данных.. Точность восстановления температуры и плотности
плазменной короны существенно зависит от фильтров камеры-обскуры.
После некоторых попыток, в результате которых плотность и
температура определялись с большой погрешностью, была поставлена
математическая задача о выборе оптимальных фильтров,
обеспечивающих наибольшую разрешающую способность измерительного
комплекса и системы обработки. Таким образом, проектирование
эксперимента вместе с методом обработки позволяет существенно
улучшить качество получаемых результатов.
170

Рис. 6.
На рис. 6 представлена интерферограмма короны и
пространственное распределение плотности, полученное в результате ее
обработки. Условия эксперимента такие же, как обсуждалось выше.
Эта работа выполнялась в ИАЭ им. И. В. Курчатова. Система
обработки и интерпретации была создана в ИПМ им. М. В.
.Келдыша АН СССР усилиями обоих коллективов. Следует отметить, что
проводились двумерные расчеты, моделирующие процесс ускорения
фольги с начальными условиями, соответствующими уже
изложенному эксперименту [7]. Полученные в расчетах распределения
температуры и плотности находятся в удовлетворительном согласии с
приведенным выше решением обратной задачи.
Квазиреальное моделирование эксперимента и определение
оптимального режима его проведения приводят к тому, что ЭВМ
вместе с соответствующим программным комплексом становится
элементом всякого большого эксперимента.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач.— Докл. АН
СССР, 1963, т. 157, № 3.
2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979.
3. Legendre A. M. Nouvelles methodes pour la determination des orbites des со-»
metes. P.: Conrcier, 1806.
4. Gauss C. F. Theoria motus corporum coelestium in Sectionibus conieis Solem
ambientinm. Hamburgi, 1809.
5. Тихонов А. Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных
алгебраических уравнений.—Докл. АН СССР, 1980, т. 254, № 3.
6. Tikhonov A. N., Shevchenko V. G., Galkin V. Ya. а. о. On the overall
automation of data processing for determining the photonuclear reaction cross —
section.— Information Processing — 68, Amsterdam, 1969.
7. Бондаренко Ю. А., Бурдонский И. Н., Гаврилов В. В. и др.
Экспериментальные исследования ускорения тонких фольг под воздействием мощных
лазерных импульсов.— Журн. эксперим. и теор. физики, 1981, т. 816, № 1 (7).
171

A. M. ФЕДОТОВ
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В ДАННЫХ
(Новосибирск)
1. Рассмотрим класс задач, который может быть в абстрактной
форме записан в виде операторного уравнения первого рода:
Ах = г/, (1)
где х — искомый, у — заданный элементы сепарабельных
рефлексивных банаховых пространств X и 7 соответственно; А —
заданное отображение, действующее из X в 7.
Как известно [1—3], большинство некорректно поставленных
задач математической физики может быть сведено к решению
операторных уравнений вида (1). Изложим подход к задаче
построения приближенного решения операторного уравнения (1), который
отличается от традиционного и фактически сводит
рассматриваемую некорректную задачу к корректной в определенном смысле.
Исходные данные для некорректно поставленных задач
получаются, как правило, в результате измерений и поэтому неизбежно
содержат случайные погрешности, т. е. вместо точных значений
исходных данных у ^ 7 известно только некоторое приближенное
значение
у = Уч + и, ут = Ахт, (2)
где #т — точное решение уравнения (1); и — элемент,
представляющий ошибки в задании исходных данных. Отметим, что элемент и,
вообще говоря, может не принадлежать пространству измерений 7,
а быть элементом некоторого расширения F пространства 7.
Примером такой погрешности может служить погрешность,
моделируемая реализациями случайной величины, носящей название «белый
шум» [4].
В дальнейшем пространства X с нормой II-И* будем называть
пространством решений, а 7 с нормой II -\\Y — пространством
измерений. Пространства X, 7 рассматриваются как измеримые
пространства (X, §3jt), (7, Эу) с а-алгеброй S3 цилиндрических (борелев-
ских) множеств.
2. Предложим, что:
а) оператор А уравнения (1) — непрерывный однозначный
оператор с плотной в X областью определения Dom (A) и с плотной в
У областью значений RanC4);
б) ошибки в задании исходных данных (2) моделируются
реализациями некоторой слабой случайной величины | со
значениями в пространстве 7. Слабой случайной величиной будем называть
семейство случайных величин {|уп}у сУ, где {7П} — множество все-
172

возможных конечпомерных подпространств пространства
измерений У. На семейство {£уп)у сУ наложим следующее условие
согласованности. Пусть Yu У2 — два конечномерных подпространства
пространства У таких, что Y{ <= У2, тогда проекция случайной
величины £у2 на подпространство Y{ совпадает со случайной вели-
чиной 1у1(^у21у1 = £ух)- Ввиду того, что обычно при проведении
измерений нам доступен только некоторый конечный набор
функционалов от измеряемой величины !/еУ, слабая случайная
величина является наиболее адекватной моделью погрешности,
сопутствующей измерениям. Подробное описание модели погрешности
можно найти в [51;
в) слабая случайная величина |, реализации которой
моделируют ошибки в исходных данных (2), обладает нулевым средним
Mb, ^]=0ViiG7*
(где М — оператор математического ожидания; У* — банахово
сопряжение пространства У; [., J — скалярное произведение) и
конечным вторым моментом
sup {М|[цД]|2}<оо. (3)
USY*
Ы\<1
Условие (3) позволяет ввести в рассмотрение корреляционный
оператор R : У* ->- У** = У слабой случайной величины |:
[Дв, у]=М[|, и][|, v] Viz,i;eP,
R — ограниченный положительно-определенный симметричный one-»
ратор (см. [5, 6]);
г) относительно искомого точного решения нам задана
некоторая априорная информация в виде
xT^WaX, (4)
где W — выпуклое- (а для линейных задач абсолютно выпуклое)
множество допустимых решений.
3. В дальнейшем мы отказываемся от использования
традиционного понятия (см. [1—3D приближенного решения уравнения
(1). Сформулируем проблему приближенного решения некорректных
задач на базе теории статистических решающих функций [7, 81*
Такой подход как раз и позволяет свести первоначально
некорректную задачу к корректной [9].
Введем в рассмотрение множество D всех решающих процедур
(допустимых методов) для построения приближенных решений
уравнения (1).
Определение 1. Произвольное непрерывное отображение
d : У -+• X из пространства измерений в пространство решений
будем называть решающей процедурой (РП) для задачи решения
уравнения (1), а значение РП на исходных данных x = d(y)—
приближенным решением уравнения (1).
Заметим, что в приведенном определении нет никакой связи
ни с самим уравнением (1), ни с моделью ошибок в задании исход-
173

ных данных. Для того чтобы получить такую связь, а также иметь
возможность сравнивать между собой различные РП, необходимо
учесть тот принципиальный момент, что речь идет о приближенных
решениях уравнения (1) и неотъемлемой частью любого
приближенного решения (или РП) является его погрешность.
Следуя теории статистических решающих функций,
погрешность произвольной РП будем характеризовать функцией риска.
Определение 2. Функцией риска (или функцией потерь)
Шх, d) произвольной РП d^D будем называть функцию
to(x, d)=M[B(d(Ax + %)-x), d{Ax + %)-x\, (5)
где В : X -+- X* — ограниченный положительно-определенный
симметричный оператор.
Оператор В задает новую гильбертову норму в пространстве
решений X
\\х\\% = [Вх,х] (6)
с учетом наших требований к точности приближенного решения.
Отметим, что норма (6) порождает в пространстве решений
топологию более слабую, чем исходная.
Замечание 1. Функция риска 9?(#, d) произвольной РП d
имеет смысл средней погрешности РП d при условии, что точное
решение равно х.
Таким образом, мы свели задачу приближенного решения
уравнения (1) к поиску РП с «наименьшей» в каком-либо смысле
функцией риска. Эта задача является корректно поставленной в
том смысле, что функция риска Шх, d), которая фактически
является функцией четырех аргументов х, d, Л, |л6:
to(x, й)**Шх, d; А, ц5),
непрерывно зависит от этих аргументов [5, 10]. Здесь ^ — слабое
распределение, порожденное случайной величиной £, реализации
которой моделируют ошибки в задании исходных данных.
Сформулируем это свойство в виде теоремы.
Теорема 1. Функция риска Ш(х, d; Л, щ) непрерывна по
каждому из аргументов при любых фиксированных прочих в
пространствах #е=Х, 4е^(1, У), Ве^(Х, X*), defl, ц6,
удовлетворяющих условию в). Сходимость на множестве D определим
нормой
ld% = M\\d(Ax+t)\\l, (7)
а сходимость по и$ рассматривается в пространстве корней
квадратных из мер [11].
Опираясь на теорему 1, введем определение допустимости
произвольной РП.
Определение 3. Решающую процедуру d:Y-+X будем
называть допустимой РП для задачи решения уравнения (1) со
случайными ошибками в исходных данных, если она порождает в
174

пространстве решений X сильную случайную величину ti = d{Ax,-¥i
+ £) с конечной нормой (7) для всех х^ W.
Как показано в [5, 91, допустимость РП является необходимым
и достаточным условием конечности функции риска для всех
допустимых \Хъ-
Замечание 2. Норма (7) в случае линейных РП L для
линейных уравнений (1) эквивалентна норме Гильберта-Шмидта на
множестве линейных операторов, действующих из У в Хв
(пополнение X по норме (6)) с весом R:
\\LfHS(R) = M\\LlfB = tvB(LRL*),
где trB (LRL*) — след оператора LRL* : Хв -*- Хв.
4. К сожалению, на приведенном уровне общности получить
какие-либо более сильные результаты пока не удается. Мы можем
конкретизировать задачу в двух возможных направлениях: 1)
конкретизация вида распределения случайной величины,
моделирующей ошибки в задании исходных данных; 2) сужения множества
допустимых РП.
Рассмотрим некоторые конкретизации вида распределения |Л$.
Например, предположение о унимодальности (весьма естественное
предположение для модели шума) позволяет доказать следующую
теорему.
Теорема 2. Пусть \ли \i2 — dea распределения,
соответствующих моделям ошибок в задании исходных данных таких, что
R^Rz; /?!, R2 — ux корреляционные операторы. Тогда для любых
фиксированных х^Х, А^2?{Х, У), ВеЩ X*), d^D,
Шх, d\ A, \Xi)>fH(x, d; A, \x2).
Более сильная конкретизация распределения \х$ — гауссо-
вость — позволяет построить оценки погрешности произвольной
допустимой РП [5, 12, 13].
Выбор оптимальной решающей процедуры затруднен тем, что
среди всех "без ограничения РП не существует РП с равномерно
наименьшим риском для x^W. Например, РП d% (y)= x% e W,
функция риска которой 9? (#, d%) ~ \х — х*\в будет абсолютно
точна, если точное решение #т = %*, и неприемлема при больших
JsT—Я*1|В.
Для некорректных задач можно предложить два выхода из
создавшегося положения:
первый — упорядочить функции риска по их
предпочтительности. Для этого можно ввести некоторый положительный
функционал погрешности, например
Q (d) = sup dt (х, d), (8)
и выбирать РП, минимизирующую этот функционал (см. [5, 9]);
второй — рассматривать состоятельные РП.
5. Рассмотрим сначала второй случай.
Определение 4. Для исходных данных вида
175

P-0I+O& у? = Ахт, о>0 (9)
состоятельной РП в точке х^Х будем называть семейство РП
{da}a о такое, что lim Ш (х, dG) = О. Здесь о — числовой параметр,
носящий название мощности шума.
Замечание 3. Состоятельная РП является аналогом регу-
ляризующего семейства операторов в теории некорректных задач
с детерминированной моделью ошибок в задании исходных
данных [11.
Теорема 3: Для рассматриваемой задачи существуют
состоятельные РП для всех х^Х. Для линейного уравнения (1)
существуют линейные состоятельные РП для всех х^Х. Для а-
компактного множества W существуют конечномерные и прини^
мающие конечное число значений РП для всех x^W [14].
Этот результат аналогичен результатам В. А. Винокурова [15]
для детерминированных моделей ошибок, хотя получен другим
способом. Примером линейной состоятельной РП для линейного
уравнения (1) может служить
La = (С"1 + (1/о1)Л"1Л*(1/о8)Д-1, ^ (Ю)
где F = А*R"iA : X -*■ X* — информационный оператор задачи,
С : Хв -+ Хв — произвольный положительный самосопряженный
ядерный оператор полного ранга, действующий в гильбертовом
пространстве Хв^Х. I
6. В первом случае мы не только имеем правило для построе-
ния РП, но и можем определить понятие оптимальной по точности
и оптимальной по порядку РП. _.^ я
Здесь опять стоит вопрос о конкретизации задачи. Постулируя
гауссовость распределений, моделирующих Ошибки в задании
исходных данных, можно построить оценки снизу для минимально
возможной погрешности произвольной допустимой РП (см. [51) и
относительно построенной оценки анализировать качество
конкретных РП. С другой стороны, ограничиваясь множеством" линейных
РП для линейной задачи, оценки минимально возможной
погрешности можно построить для любых распределений с конечным
вторым моментом и указать оптимальную линейную РП.
Пусть X — гильбертово пространство, а В — тождественный <Ш@*
ратор, (1) — линейное уравнение.
Теорема 4. Для любого абсолютно выпуклого компактного
множества W существует положительный самосопряженный
ядерный оператор Cw : X -*■ X такой, что
Q (L) = sup 3J (х, L) > tr ((Cw1 + FY1) (11)
ocew
для всех L^SiY, X)(F = A*R-iA :X-+X).' , '~\^
Неравенство (11) обращается в равенство на РП
Lw = (Cw1 + ^)"M* Д"1 (12)
<ср. с (10)). Отметим, что РП (12) является состоятельной для всех
176

x^W и, более того, если W является поглощающим множеством,
то (12) состоятельна для всех х^Х.
Если вопрос об оптимальности линейных РП решается просто,
то относительно произвольных методов решения он остается
открытым. Однако можно показать (см. [51), что для гауссовских
распределений оптимальная линейная РП является оптимальной
по порядку с константой три.
7. В заключение рассмотрим нашу задачу на неограниченном
множестве корректности W. Если оценку минимально возможной
погрешности строить как функцию от нормы (в каком-либо
пространстве Х+ cz X) точного решения, а оптимальность понимать как
максимально возможную скорость стремления погрешности к нулю
при о -> 0, то легко можно показать существование оптимальных
линейных РП. Это не удивительно, поскольку так определенная
оптимальность будет оптимальностью по порядку. А как следует
из предыдущего раздела, линейные оптимальные РП являются
оптимальными по порядку. Поэтому в данном случае
оптимальность следует определять, подобно минимально возможной
погрешности, как функцию от нормы точного решения. При
детерминированной модели ошибок в задании исходных данных можно
доказать, что если множество корректности является линейным
множеством (например, область значений вполне непрерывного
оператора), то среди всех оптимальных РП существует линейная. Этот
результат оказывается неверным при случайной модели
погрешности. Справедлива
Теорема 5. При гауссовской модели ошибок в задании
исходных данных для любой линейной РП L^3?HS(Y, X) РП вида
d(y) = (cxi + V(a2 + \Су\2х)) Ly имеет меньшую функцию риска
для всех x^W (x^X) при соответствующем выборе параметров
«1, а2 и оператора С: Y-+X, если эффективная размерность
множества решений не меньше 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979. 288 с.
2. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных
задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
4. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. М.:
Наука, 1970. 384 с.
5. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками
в данных. Новосибирск: Наука, 1982. 189 с.
6. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. М.: Наука,
1975. 232 с.
7. Вальд А. Статистические решающие функции.— В кн.: Позиционные игры.
М.: Наука, 1967, с. 300-522.
8. Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы.
М.: Наука, 1972. 520 с.
9. Лаврентьев М. М., Федотов А. М. О постановке некоторых некорректных
задач математической физики со случайными исходными данными.— Журн.
вычислит, математики и мат. физики, 1982, т. 22, № 1, с. 133—143.
177

10. Федотов А. М. Некоторые свойства погрешности, возникающей при
линейных методах решения операторных уравнений со случайными ошибками в
исходных данных.—В кн.: Единственность, устойчивость и методы
решения обратных и некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980,
с. 82-92.
11. Неве Ж. Математические основы теории вероятности. М.: Мир, 1969. 310 с.
12. Федотов А. М. Некоторые неравенства для погрешности приближенных ре-у
шений операторных уравнений.— Шурн. вычислит, математики и мат. фи-/
зики, 1979, т. 19, № 2, с. 277-291.
13. Федотов А. М. Неравенство информации для операторных уравнений в
гильбертовом пространстве.— Теория вероятностей и ее применение, 1981,
т. 26, № 2, с. 377—384. -
14. Федотов А. М. Состоятельные решающие процедуры для операторных
уравнений первого рода.— В кн.: Методы решения некорректных задач и их
приложения. (Труды Всесоюзной школы-семинара, Нооруе, 1981 г.).
Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 260-264.
15. Винокуров В. А. Приближенное вычисление функции с неточно заданным
аргументом. Дис. на соискание учен, степени д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ,
1980. 289 с,
В. А. ФИЛАТОВ, В. Н. ФИЛАТОВА
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
В МЕТОДЕ ЗСБ
ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНО-СЛОИСТЫХ СРЕД
(Новосибирск)
1. В 1940-х гг. при поисках нефтегазоносных структур на
территории Северного Кавказа и Западной Сибири
геофизики-электроразведчики столкнулись с непонятным явлением. В момент
включения в длинную проволочную линию постоянного тока стрелка
гальванометра в измерительной цепи вопреки существующим
теоретическим представлениям и имевшейся практике не замирала
мгновенно, а некоторое время перемещалась по шкале прибора.
В связи с этим высказывались мнения о неполадках в аппаратуре,
об ошибках в измерениях*и т. д.
В 1944 г. А. Н. Тихонов [3] и независимо от него в 1945 г.
С. М. Шейнман [5] теоретически показали, что подобное явление
обусловлено вполне реальным процессом установления
электромагнитного поля в горных породах. Геофизический метод, основанный
на использовании этого процесса, нашел широкое применение на
практике при изучении геоэлектрических разрезов и
непосредственно для поисков проводящих рудных залежей.
В квазистационарном приближении для электрического
диполя, расположенного на поверхности горизонтально-слоистой среды
с кусочно-постоянной проводимостью слоев, можно написать [1]
дНг (х, */, z, t)
Ft =
-Sfdx J 2WX (И дХ (у' %)dl, (1)
178

где Hz — вертикальная компонента магнитного поля; & — сила
тока в питающем диполе длиной йх\ г— разнос; 3\(х) — функция
Бесселя первого рода первого порядка.
Функция X(z, t, К) подчиняется в каждом слое
параболическому уравнению
0-Х«Х=М§ (2)
при нулевом начальном условии X\t==0 = 0, условиям непрерывности
X, — на границах раздела слоев и регулярности на
бесконечности. В уравнении (2) а означает удельную проводимость вещества
слоя, |Л0 — магнитную проницаемость.
Прямая задача в методе становления поля (метод ЗС) заклю-
чается в нахождении —- по заданному распределению проводи-
dt
мости о = o(z) и известным параметрам установки.
В обратной задаче требуется определить параметры слоев,
т. е. o(z), по известным —z\ t, г, &л у. Математическая интер-
dt |z=o
претация на этом обычно заканчивается, а геофизики затем
проводят геологическую интерпретацию полученного распределения
a = a(z), используя обычно сторонние данные.
Мы будем рассматривать некоторые вопросы решения
обратной задачи метода ЗС для ближней зоны (метод ЗСБ), т. е. когда
разнос г установки сравнительно невелик по отношению к
глубине до опорного горизонта.
2. В последние годы проблема решения обратной задачи в
методе ЗСБ обострилась. Это связано с увеличением объемов
полевых работ и отсутствием эффективных алгоритмов и программ для
решения обратной задачи даже в простейшем случае, когда a =
= o(z). Такое положение можно объяснить несколькими
причинами, действующими в совокупности. Укажем некоторые из них:
а) обратная задача для уравнения (1) является типичным
примером некорректно поставленных задач со всеми вытекающими
отсюда последствиями. Попутно отметим, что электроразведчики
довольно давно ввели в обиход термин «эквивалентность»,
который по существу своему и отражает некорректность постановки
обратной задачи (1). Действительно, несмотря на теорему
единственности, в ряде случаев довольно разные геоэлектрические
разрезы создают близкие по величине поля («широкая
эквивалентность»);
б) в недалеком прошлом отсутствовали эффективные
алгоритмы решения прямой задачи в методе ЗСБ. Действительно, обычно
обратные задачи в электроразведке решают методом подбора
(причем, как правило, число приближений достигает нескольких
десятков), поэтому время решения прямой задачи 5—10 мин на ЭВМ
БЭСМ-6 делает математическую интерпретацию даже на таких ЭВМ
проблематичной; , _, „^ ^
179

1000
Рис. 1. Кривые кажущегося сопротивления рт геоэлектрических
разрезов.
1 — исходная кривая рт; 2 — рт нулевого приближения; 3 — рт I
приближения; &ф— начало логарифмической системы координат для fe-той кривойрт.
в) неудовлетворительным является представление результатов
измерений, что обусловливает плохой выбор начального
приближения решения обратной задачи.
3. Остановимся кратко на некоторых моментах, связанных с
численным решением обратной задачи метода ЗСБ с помощью
ЭВМ. При этом основное внимание уделим выбору нулевого
приближения решения в качестве одного из главных при проведении
интерпретации кривых в методе ЗСБ.
А., Прежде всего отметим, что в последнее время начинают
появляться эффективные алгоритмы и программы решения прямой
задачи для уравнений (1), (2). Один из них разработан авторами
сообщения [4] и в течение ряда лет используется на практике.
Это создает определенные предпосылки для решения обратной
задачи с помощью ЭВМ в ближайшее время;
Б. Успех в решении обратной задачи в методе ЗСБ
существенно зависит от выбора его нулевого приближения и, следовательно,
удачного представления результатов измерений или вычислений.
Обычно электроразведчики стремятся изобразить результаты
измерений таким образом, чтобы по виду вычисляемых кривых
получить некоторое представление о геоэлектрическом разрезе.
Поэтому хорошее изображение результатов измерений позволяет
сделать удачное начальное приближение решения обратной задачи.
В настоящее время имеется в ходу несколько вариантов
изображения, но каждый из них обладает определенными
недостатками. Например, одно из них предложено сибирскими геофизиками
и основано на асимптотике формулы (1) в ближней зоне в поздней
стадии. Формула для электрического диполя имеет следующий вид
[1, с. 24, формула (35)]:
P^Pi^MoCii^-^-'5 —J . (3)
На рис. 1 приведена кривая 7, вычисленная по формуле (3) с по-
180

мощью программы авторов [4].
Параметры разреза и разнос установки г
указаны в таблице.
По виду графика pt/pi,
представленного на рис. 1, трудно определить
даже число слоев, не говоря уже об
оценке параметров слоев в разрезе.
На рис. 2 представлена кривая
Sh(t), полученная для того же самого
разреза с помощью представления
результатов измерений (вычислений) по
Сидорову [2]. Оно основано на замене
геоэлектрического Л'-слойного разреза
плавающей эквивалентной S-плоскостью,
расположенной на некоторой глубине
Hk. Из этого графика, сравнительно
легко определить число слоев в разрезе и
оценить параметры слоев. Обычно
практически на этом решение обратной
задачи заканчивается и найденное
решение считается окончательным
результатом.
Однако проведенные нами на
многочисленных примерах расчеты
показали, что полученное решение далеко от
действительного даже для
теоретических примеров, т. е. при отсутствии
погрешностей измерений. Результаты
расчетов параметров слоев на основании
представления измерений по Сидорову
приведены в таблице. В зависимости от
полученных параметров была
вычислена кривая рт/pi (см. рис. 1, 2). При этом
выяснилось резкое расхождение кривых
Pt/pi (исходной и от нулевого
приближения) при поздних временах.
Используя представление рт из (3)
и совмещая кривые рт в поздней стадии
(см. рис. 1, i, 5), находим
исправленные параметры первого слоя и затем
пересчитываем параметры остальных
слоев. Эти данные приведены в таблице.
Полученные результаты являются
весьма хорошим приближением
(особенно для первых двух слоев) к
решению и должны существенно уменьшить
число последующих итераций.
Таким образом, комбинация обоих
представлений, т. е. в виде рт и Sh, по-
Первое приближение
1 ~
S
1 о
-
1 10е0
So
«1
1 ffl
1 &
1 >*
Я
1 т
1 **
1 »
1
*г
1 *»
1 »
1 -
со
сб
'В
3
X
X
со
«
гб
СО
г воко
примечание
ад
•с
о.
ад
•с
о.'*
ад
•<«»
•с
а
йэион
•
-W.7 -WTT
и ii
со со ю
00^ 00^ СО^
тН со" I>* ZD
*<Н *<н *.#
о ю t^ ^
"чн4 счГ о" оо*
чН тН
t>- СО
О «^ CSI^ t^
чн" «чн" оо" t"**
t^- чн Ю Г"»
о -^ о^ <м^
^н* о" csf О*
со со ю
О 00^ 00^ СО^
со" со" t^-" со*
чгн -«н *.#
C\J^ Ю^ t^ ^
■*-Г CST О" 00*
<м^ со^ <n t^
чн" чн" оо" !>"
(М Ю 1>
4f; -^ О^ <М^
о" о" csf о*
OS CS СО
^ <М^ (М^
чн со" с* стГ
тн гн vf
со
со
00^ 00^ СО^
чн csf csf со"
чН чН
со
со
°° о ю-
чн чн чн О
1
0,114
0,0178
тн (М СО SC
13 Заказ Л1 717
181

ю-
15Л
20-\
25-
50-
10
_j
20 SO 40 Sk
зволила получить приемлемые
результаты в качестве нулевого приближения
решения обратной задачи.
В. Уже при выборе нулевого
приближения мы столкнулись с
проявлением «некорректного» характера
обратной задачи. В первую очередь для
нахождения Sh требуется вычислить
производную от ЭДС; последняя измеряется
и имеет, следовательно, погрешности.
При последующих итерациях также
придется, по-видимому, иметь дело с
эквивалентностью, т. е. неустойчивостью
решения обратной задачи. Кроме того,
практически ситуация осложняется и
отклонением нашей
горизонтально-слоистой модели от реальной среды.
Поэтому так важны опыт и искусство
интерпретатора '(причем на разных
стадиях истолкования), чтобы получить
приемлемые для практики результаты.
Г. Одним из самых перспективных
направлений в интерпретации данных
электроразведки авторы считают
интерактивный (диалоговый) режим работы с ЭВМ. Наиболее просто
такой диалог осуществить при использовании микроЭВМ и ЭВМ
среднего класса.
Большую помощь здесь могут оказать полевые вычислительные
комплексы, включающие микроЭВМ типа «Электроника-60» и
графический дисплей. Один из таких комплексов,, разрабатываемый в
СКВ вычислительной техники СО АН СССР, успешно испытыва-
ется в последние три года в полевых условиях Нижнего Поволжья.
Задача теоретиков — обеспечить подобные комплексы
эффективными программами, которые позволили бы практикам рассчитывать
различные варианты геоэлектрических разрезов, чтобы выбрать
удовлетворительные решения.
Таким образом, намечаются определенные сдвиги в решении
трудной задачи математической интерпретации кривых в методе
становления поля.
Рис. 2. Кривая кажущейся
проводимости Sh, вычисленная
для заданного разреза по
исходной кривой рт.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дмитриев В. И., Скугаревская О. А., Фролов П. П. Некоторые вопросы
метода становления электромагнитного поля в ближней зоне. М.: МГУ, 1973. 77 с.
2. Сидоров В. А., Тикшаев В. В. Электроразведка зондированиями становлением
поля в ближней зоне. Саратов: НВНИИГГ, 1969. 68 с.
3. Тихонов А. Н. О становлении электрического тока в однородном проводящем
полупространстве.— Изв^Н СССР. Геогр. и геофиз., 1946, № 3, с. 243—247.
4. Филатов В. А., Филатова В. Н. Вычисление кажущегося сопротивления
многослойного геоэлектрического разреза в методе ЗС.— Геол. и геофиз., 1981,
№ 7, с. 88—98.
5. Шейнман С. М. Об установлении электромагнитных полей в Земле.— В кн.:
Прикладная геофизика. Вып. 3. М.: ГИТТЛ, 1947, с. 3—55.
182

А. И. ХИСАМУТДИНОВ
ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ
СТАНДАРТНЫХ ОЦЕНОК В МЕТОДАХ МОНТЕ-КАРЛО
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
(Новосибирск)
1. Рассмотрим интегральные уравнения второго рода
Ф (dx) = Кц {dx) + / (dx), Zcp (dx) = j Ф (dy) Ж(у, dx), (1)
x
Ф* {dx) = JC*9* (Ac) + /г (z), Я *<р* (ж) з= f Ж (s, dy) Ф* (г/) (2)
и вычисление методами Монте-Карло величины Ш
&=\<p(dz)h{z). ' (3)
х
Считается, что X — r-мерное координатное пространство (X = Rr),
(X, $) — измеримое пространство с о-алгеброй борелевских
множеств; <p(dx), %(dx) — меры из пространства М(Х, $) конечных
мер, при любом фиксированном х ядро Ж(х, е) является
относительно е конечной мерой на (X, 3&), а при любом фиксированном
е — измеримой функцией; ядро Ж(.,.) обладает свойствами:
supmu, X)^Cl<cx), (4)
X
sup J IЖ I (x, drj | X | fodr!)... | Ж1 (*L-i, *cl) < cL < 1, 1 < L < oo,
* *ь
Ф*(#), /гЫ принадлежат пространству В{Х, $) ограниченных
измеримых функций.
Пусть 9* — однородная иеветвящаяся цепь Маркова,
«подходящая для вычисления Sfb [2], цепь с состояниями в {Х + а), где
Ш — поглощающее состояние; Pi(dx) — начальное распределение
цепи, р(я, dy) — переходная вероятность, g(x) = р(х, а) —
вероятность обрыва в состоянии #, со == #!, #2, ..., #п, а, а, ...—
траектория цепи, лг = лг(оз) — ее случайная длина (до обрыва), Qt[, Qt =
= (?z((o)], Z=l, 2, ...— «веса», (tai = <?z(?!+i, <?i+i = <?' fa, a*+i),
J^te, d#j+1) = (?'(#f, ^+4)/?(^, d#/+1); M(-) и /?(•) — символы
математического ожидания и дисперсии; М^...^-)— символ
математического ожидания при условии, что фиксированы состояния
[#i, ..., хг].
В данной работе для вычисления (3) рассматриваются методы
(^, |) с оценками из подмножества SjCiS, где S — «единичный»
класс оценок.
1о*
183

Будем обозначать на траекториях цепи & как hh gt и lx,i
соответственно h(xi), g(xi) и lx(xi\ где Ix(-) — индикатор
пространства X, (lx(a) = 0) и положим h(a) = 0, Qihl/H=- =0.
Множество Si образует оценки §4,.,
Eif. И = 2 еЛФГ V), ФГ'Ч©) = 1 + Х,[1— lxfi+i-(l ~ ft)"1],
z=i
каждая из которых однозначно определяется какой-либо функцией
Х(х), h = X(xt). В St содержатся оценки «по столкновениям»
gifMa) == 0] и «по поглощениям» &ДЫ = l/g(x) — 1]. В данной
работе в Si определяется оценка с минимальной дисперсией,
предлагаются новые методы, ставится и решается задача: при
фиксированных цепи и оценке определить, если оно существует,
уравнение (2) (т. е. ядро Х(-, •) и функцию МО), для которого заданная
оценка есть оценка с минимальной дисперсией. В частности,
такому исследованию на «оптимальность» подвергнуты оценки £0 и £i.
Наконец, в работе для двух заданных множеств уравнений (2)
сравниваются дисперсии D(1-it.) ~и ZK§i). Отметим, что это
сравнение касается также пары [|0 и §J, сравнение дисперсий которых
рассматривалось в [3].
Сразу же оговорим, что при рассмотрении дисперсий
различных оценок будем предполагать их существующими;
соответствующие условия не формулируются, чтобы не загромождать
изложение. Полные доказательства утверждений данной работы
содержатся в [7].
2. Обозначим как yv{dx) решение уравнения
фр (dx) = J фр (dy) p (у, dx) + pt (dx)
х
и как Xj множество Х^ = ix:h(x) =^0, фр —п. н.}. Функцию Я(-) и
[\|:(1'-)] достаточно определять лишь на Х1# Будем считать, что
g(x) > 0 на Xi\ в случае {g(x) = 0 на XJ все множество Si
вырождается в оценку §i. Отметим, что если gi—i на Х„ то фш) = 1
(и h = 0).
Представим А. (ж) = [l/g(x) — И fix) и, далее,
№ = Т«# + (1" 7i) 4>i\ У1 = У (*i). (5)
где i|>j0) и \|)(г1) соответствуют оценкам |0 и £,; i|>|0) = (1 — ix,i+i)/gu
том частном случае, когда функция у(х) — постоянная
If, мы получаем в Si оценки известного типа, являющиеся
линейной комбинацией §0 и £4, [уЪо + (1 — ч)Ы- В общем случае, исходя
из (5), оценки из Si можно интерпретировать как обобщенные
линейные комбинации go и £ь
Запишем, не производя здесь выкладок, выражение для
дисперсии D(|i,.). Предварительно введем на Х{ функцию %*(х) =»
*=K*y*(x)/h(x), обозначим как 6i оценку glf. с %{х) *=Х*(х) и
обозначим как ф<Дй#) решение интегрального уравнения
184

Фд (dx) = J Фд (dp) p (у, Ac) [<?' (г/, *)]2 + Pl (<fe) [Q± (Ж)]2в
Отметим, что q>g(-) — неотрицательная мера и что qq(dx) < фр(Аг).
Итак, имеем
D (6х..) = Л (БО + J Фд (Ас) ^щ [h (х)]* {{X (х) - Я* И]2 [X* (*)12}, (6)
Л (Бо) = # (Ei) + f Фд (Аг) [Л (*)]2 [1/йГ (*) - 1 - 2Х* (*)], (7)
Д (^,) = D (|0) + J Фд (At) [Л (г)]2 j-lGL. W (*) ~ ^* (*)]8 ~
-[b*{x)-l/g(x) + l]*}. (8)
Непосредственно из (6), а также и из (8) следует утверждение,
которое мы сформулируем как теорему.
Теорема 1. Решение задачи
min{D(llr)}
2i
доставляется оценкой £i-
В практике (в конкретных оценках) вместо Я*(#) следует
использовать различные приближения к этой функции. Известная
«оптимальная» линейная комбинация оценок Бо и |4- соответствует
тому, что функция ч*(х) = g(x)K*(x)/(l —g(x)) «приближается»
одной постоянной.
Рассмотрим одну возможность улучшения оценок Бо и Бь
Определим на множестве Xi функцию d(x) = l/g{x) — 1 — 2h*{x). Как
видно из (7), если d(x)<0, то £)(Бо) <-D(|i), если же d(#) >0, то
D(l0)>D(li)t Построим оценку Б01 из Si такую, что Х(х) = A,0iOr),
(О для d(s)>0,
X*{x)~\g(x)-1 для <*(*)<0.
Предложение J9(|0i) <пппФ(Бо), Ж&Ж
3. Здесь и в следующем пункте считается, что фиксированы
цепь &, мера /(•) и множество \х:к(х)Ф0), причем lx:h(x) =^0) —
= Zb (Следует помнить также, что в схеме Неймана — Улама
множества определения вероятностей рД-), /?(.,.), мер /(•), Ж(.,.) и
функции МО связаны определенными ограничениями.) Далее
потребуются обозначения: °g(x) =» 1 —Ж(х, X) и X0|=Z/X1.
Поставим вопрос: при каких Х(.,0 и МО [или для какого
уравнения (2)]
It - 6i. (9)
Поскольку для Vxi^Xj.1 — lx.z+id —ft)"1] ^0, то для выполнения
te(9) достаточно, чтобы
185

Х*<р*(х) = 0 на Х^ (10)
В случае Х(.,.)>0, h(-)>0 (10) будет выполняться тогда и
только тогда, если для V# <= Х{
Х(х, dy) = 0 (и °gU) = l). (11)
В этом случае и при выполнении (11) и если g(x) < 1 на Хи
то оценка |4 доставляет минимум дисперсии не только в Si, но и
во всем классе Н. Однако это — патологическая ситуация,
поскольку в случае (11) возможно (и лучше) полагать g(x) — 1 на Х4; для
цепей же с g(x) = 1 на 14 весь класс S вырождается в
оценку {QnhJ.
Таким образом, в случае Х(. ,.)> 0, h(-)>0, если g(x)¥=0
в Хи то ни для какой невырожденной задачи оценка |4 не может
доставлять минимум дисперсии в S4, а следовательно, п в любом
более широком множестве оценок. Рассмотрения в [4, с. 186]
показывают, что §i доставляет экстремум в задаче, в которой
требуется одновременно минимизировать дисперсии вычисления
каждого члена ряда Неймана для Э'.
Фиксируем теперь какое-либо Х(х) и соответствующую оценку
li.a, из Si и поставим вопрос: при каких Х(.,.) и h(-)
It = li,%- (12)
Для выполнения (12) достаточно, чтобы
<р*Ы/ЛЫ = ЯЫ + 1 на Х4. (13)
Для выяснения возможности выполнения (13) необходимо
исследовать совместность уравнений (2) и (13); ограничимся здесь при
этом исследовании случаем К(х) >0.
Обозначим через 3&0 и $i наименьшие а-алгебры борелевских
подмножеств соответственно Х0 и Хь введем функции
Хц(х, dy\ Xuiz, dy), XM, dy) и Х(х, dy), (14)
областями определения которых являются соответственно Xi X 3$и
XiXtfflo, XqXJ?! и X0XJf0, и такие, что в областях своего
определения эти функции совпадают с функцией Х(х, dy). Введем далее
интегральные операторы К1Х, К10, К () и К00, ядрами которых
являются соответственно функции (14)
Ж*цу(х)=§Хц(х,<1у)у(у), У=0,1-
Введем, наконец, тождественный оператор / и интегральный
оператор U*:
С/* = ^*1 + ^*0(/-<0)-1<1,
переводящий функции из В{Хи 38у) в В(Хи ^). Заметим, что для
случая субстохастического ядра Xi.,.) функция U*lx± {%)•> где
1хг(х)— индикатор множества Хи есть вероятность перейти из
х ^ Xi в Хь Справедлива
186

Теорема 2. При Х(х) > 0 существуют такие ядро Ж(.,.) и
функция МО, что для них имеет место (13).
В процессе доказательства теоремы устанавливается, что
совместность системы уравнений (2), (13) эквивалентна вопросу о
разрешимости уравнения
Ux)h(x) = U4(K + 1)Л]Ы на Хь
Для последнего же строится частное решение, в котором
ЛЫ = СЛ[*1 + Ш)]-1 на X,
и где Ch — произвольная постоянная, а Ж(х, dy) таково, что
[l + m(x)]U4Xi(x)=l на Хг;
для указанного решения
Ф*Ы = СЛ на Xt.
Один из принципиальных выводов, к которому ведет теорема 2,
состоит в том, что оценки с К(х) > 0 обладают в 34 свойством «не-
доминируемости» (или «допустимости») (см. терминологию в
[1, с. 3001).
Рассмотрим теперь как частный случай вопрос об
«оптимальности» оценки |о, т. е. вопрос об уравнении (12) при Х(х) ^
= iJgix) — 1. Согласно теореме 2, существуют Ж{.,.) и МО
такие, что
h(x) = Ch.g(*), ff *lZl (*) = 1 - *(*) на Хи
для которых |ft «оптимальна». Ранее, в [51, вопрос об
«оптимальности» £0 рассматривался для частного случая, когда h(x) > 0 в X
(и £/* == к*) и р(х, dy) =Ж(х, dy). Если |0 «оптимальна», то
g(x) = М#)Лр*Ы на Х4.
Последнее, в частности, имеет место для хорошо известной цепи
с р(х, dy) =Ж(х, dy)y*(y)/y*(x).
Наряду с оценками |0 и |4 интересной представляется также
оценка с %1х) = 1 — g(x); обозначим ее как |4. Имеем
I, И = S (?M(z4) (со), г|>14) И = 2 - ft - lz,i+i.
Как следует из теоремы 2, для |4 существует уравнение (2), для:
которого £* = Si-
4. Укажем два множества пар [«?£?, h] таких, что для них
справедливы соответственно (15) и (16). В дополнение к сказанному в
начале предыдущего пункта считается, что Ж{.}.)>0, М-)>0 и
что Мх)>0.
Теорема 3. Пусть
1) %<&х) — некоторая определенная на Xi и конечная функция,
Я0Ы>0;
187

2) {Ж, h}^% , {Ж, h}<%Q —множество пар [Ж, h] ядер Ж(.т.)
и функций А(-) таких, что для V тройки [/(•), Ж(.,.), А(01 цепь
gz _ «подходящая», и таких, что для У [Ж, Н]^{Ж, Щ^%0
K*(p*ix)>X0(x)h(x) на Хи
а для У[Ж,к]<={Ж,к}<к
К*ц*{х) <ЫхШх) на Xt.
Тогда, если
0<ХЫ <2%0(х) на Хи
то
D (I,д) < D (I,) для У[Ж,Ы^ {Ж, h}>%0; (15)
если же
kix) > 2Х0(х) на Хи
то
D (У < Щ1Д) для V [Ж, h] е= {Ж, Л}<Ло. (16)
Замечание. Множества [Ж,К}^%0 и {Ж', й}<а0» как следует
из теоремы 2, не пусты. Отметим также, что часть теоремы 3,
связанная с (15), «внутренне» аналогична теореме «о доминируемо-
сти |i» в [6]; но несколько иными являются условия на пары
[Ж, h] и на цепь &*.
Как следствия теоремы 3 получаются нижеследующие
утверждения.
Следствие 1. Пусть
g(x)>[l + 2K0(x)]-i на Xt\
тогда
D (50) < D (^ для V [X, h) e {X, h}>h.
Если же
g(x)<[l + 2X0(x)]-i на Xh
то
D (У < D (10) для V [X, h) е= {X, fe}<v
Следствие 2. Пусть
£Ы>1-2Л0Ы на Xi; * (17)
тогда
D (54) < Л (Ei) Для V [Ж, h] €= {X, M>V
Если же
gЫ < 1 - 2Я,о(«) на X,, (18)
188

то
D Цг) < D (Б4) для V [Ж, h] €= {Ж, *}<v
Относительно следствия 2 отметим, что если К0(х) > 1/2, то
(17) выполняется всегда, т. е. имеет место для V могущей
рассматриваться цепи [соответственно (18) не выполняется никогда].
Как видно из следствий 1, 2, преимущества |4 (в сравнении с |0
и £4) связаны с «быстро» сходящимися рядами Неймана («малые»
Я0(*)) и «малыми» #(•) на Х1ш
ЛИТЕРАТУРА
1. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.
472 с.
2. Хисамутдинов А. И. «Единичный» класс оценок для вычисления методом
Монте-Карло итераций линейных операторов.— В кн.: Исследование
операций и статистическое моделирование. Вып. 3. Л.: ЛГУ, 1975, с. 194—208.
3. Кертис Дж. Методы Монте-Карло для итераций линейных операторов.—
УМН, 1957, т. 12, с. 149-174.
4. Хисамутдинов А. И. Оценки «единичного» класса с минимальной
дисперсией.— В кн.: Вероятностные методы решения задач математической
физики. Новосибирск, 1971, с. 184—210.
5. Хисамутдинов А. И. О сравнении двух простых монте-карловских моделей
для вычисления суммы ряда Неймана.— В кн.: Методы Монте-Карло в
вычислительной математике и математической физике. Новосибирск, 1974,
с. 122-127.
6. Хисамутдинов А. И. Доминируемость оценки «по столкновениям».—Докл.
АН СССР, 1978, т. 241, № 1, с. 37—39.
7. Хисамутдинов А. И. Обобщенные линейные комбинации стандартных оценок
в методах Монте-Карло для интегральных уравнений. Препринт № 336.
Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. 16 с.
В. А. ЦЕЦОХО
К ОБОСНОВАНИЮ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
СО СЛАБЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
В СЛУЧАЕ РАЗОМКНУТЫХ КОНТУРОВ
(Новосибирск)
1. Методы интегральных уравнений широко применяются для
численного решения многих задач математической физики. При
этом в ряде случаев дифференциальная задача сводится к одному
или системе одномерных интегральных уравнений, содержащих
уравнения первого рода с ядрами, имеющими слабую особенность
логарифмического типа. Так обстоит дело, например, при решении
методами теории потенциала плоских и осесимметричных задач
для уравнения Лапласа и Гельмгольца [1—3]. Наличие уравнений
189

первого рода не позволяет непосредственно для обоснования
численных методов их решения использовать общую схему,
предлагаемую, например, в [4L Однако практика расчетов показывает,
что прямые численные методы, использующие простейший из
принципов — принцип коллокации, весьма эффективны как в задаче
отыскания самих потенциалов, так и их плотностей (например,
в задаче Робена).
В работе [5] цолностью исследованы вопросы обоснования
приближенного метода решения интегрального уравнения первого
рода по замкнутой кривой с ядром, имеющим логарифмическую
особенность. В случае разомкнутой кривой, а он имеет место в осе-
симметрических задачах для незамкнутых поверхностей, вопросы
обоснования до последнего времени оставались открытыми.
В данной работе предложен способ исследования вопросов
разрешимости и обусловленности систем линейных алгебраических
уравнений, получаемых по методу Боголюбова — Крылова при
аппроксимации интегральных уравнений первого рода вида
ъ
$p{jf)K(\x-y\)dy = f(z), *e=[afb]f (l)
a
где K(t), t(0, b — а\,— выпуклая вниз функция. Приведены
оценки обусловленности для ядер вида
К (t) = In т4т, c = const>0; (2)
I * \
К(*) = тЬ' 0<а<1. . (3)
2. Установим ряд вспомогательных утверждений относительно
симметричных циркулянтных и симметричных теплицевых матриц.
Лемма 1. Пусть а = (ak)k==0t ±it ±2t...— периодическая с
периодом N + 1 функция целочисленного аргумента. Если а — четная
функция, то собственные числа A,e, s = 0, 1, 2, ..., N симметричной
циркулянтной матрицы А =-- (aik = a^k)^±\:\\N выражаются
формулами
N-[N/2]
Я0= S akf (4)
fc=_[JV/2]
+ °° / \
4sin8FTT*—<»
где -'
(б2 — оператор второй центральной разности),
_ lak - a[(iv+i)/2], I к | < [(N + l)/2],
Cft~l0, \k\^[(N + l)/2]. ()
190

Доказательство. Известно, что собственные числа
циркулярной матрицы А (не обязательно симметричной) находятся
по формуле
ъ= 2аьехр(— *ftt)' * = о, 1,...,лг.
С учетом периодичности и четности функции а можем написать
N-[N/2]
К= 2 a*cos (лГГ7**)» $ = 0, 1, ...,#. (8)
Заметим, кстати, что
Я. = W-*, 5 = 1, 2, ..., N. (9)
Из формулы (8) при 5 = 0 получаем (4).
Пусть теперь s Ф 0. Тогда для любого s = 1, 2, ..., W
iV-[2V/2]
2 cosbvTT5/i:) = 0'
fc=-[JV/2] N ~ J
и поэтому формулу (8) с учетом (7) можно записать в виде
iV-[JV/2] +оо
К= £ К~а[(^+1)/2])соз(д^ц7 = 2 ^C0Slv^r7> 5=^0.
(10)
Представив &-й член сеточной функции f cos 2nsk ) /b = 0, dfcl,
±2, ..., в виде
2ns 7 1 , x
где б2 — вторая центральная разность по к, применим к правой
части (10) дважды формулу суммирования по частям. Получим
формулы (5), (6). Лемма доказана.
В дальнейшем, говоря о матрице А леммы 1, будем называть
ее циркулянтной матрицей с главной строкой (а0, fli, ..., aN).
Лемма 2. Пусть А — симметричная циркулянтная матрица
с главной строкой (а0, аи ..., aN). Если последовательность (а0,
в>и •••> ах) выпукла вниз, N+1— простое число, то для всех
собственных чисел (5) матрицы, кроме нулевого, справедлива
оценка
у ^/ ч sin2 n/(iV+ 1) . Л 3,3 \%-Ч Жч
Ь = W-s > (a0 - a,) s.n2 m/(N + 1} > (1 ~ ^П?) -7^> (И)
5,= lf 2, ..., N/2.
Доказательство. Имеем
191

max cos -tj-гт = cos I min Zn WZTT "" т
Kh<N/2
Ввиду простоты числа N + 1
15^
iV + 1'
5 = 1,2, ...,N12.
Следовательно,
iS/2C0S^?i = C0S^Ti' 8 = 1'2'---'ЛГ/2- (12)
Обратимся теперь к формуле (5). Здесь в силу условия вы*
пуклости главной строки и четности функции а = (а*)*в0| ±i,...
сеточная функция (Ь*)л-о, ±i, ±2,... четна, Ь0'= 2(а0 — а4) > 0, a feft ^ О
при к¥=0. На основании сказанного с привлечением (12) имеем
следующую цепочку очевидных равенств и неравенств
1 (1 . о V 7 2юк 1 ^ 1
b0+2 2bftcos;rTl > Г1^ К +
л* I ° ' " <*J A w JV +1 / ^ о ns
4sin ЗГ+Т ft=i / 4sin щг], х
+ 2 cos jJJL. 2 bfc ) = ТТ^Чг (l - cos^) =
N + l
h=i J 4 sin2 ■
V ° 1; sin2 jw/(tf + 1)
Первая часть неравенства (11) доказана. Вторая часть выводится,
^ ns
если воспользоваться неравенствами: sin#<# для х — ^ , .,
(sin лг/лг)2 > 1 - лг2/3 для х = я/ДО + 1), я2 ^ 9,9.
Следствие. В условиях леммы 2, если главная строка
N
(яо, #1, ..., а^) матрицы 4 непостоянна и 2 ai¥=0, то матрица Л
г=0
невырожденная, а если 2 «г>0, то она положительно
г=0
определена.
Лемма 3. Пусть А — симметричная циркулянтная матрица
с главной строкой (а0, аи ..., aN). Если главная строка выпукла
вниз, то собственные числа (5) матрицы А, отличные от %0,
допускают оценку
К>а0- 2а, + а2, s = 1, 2, ..., N. (13)
Доказательство. Согласно формуле (5), используя
четность функции (ЬА=о, ±i,..., можем написать
192

K =
4 sin2
tf + 1
f oo \
Так как bfe ^ 0 при к > 2, a cos ^ ^ 1 для всех 5 и ft, то
*• > —ТЯГ (feo + 26x cos^ + 2 J 4
Но, как нетрудно убедиться,
Ьо + зг^-гб!.
fe=2
Поэтому, продолжая последнее неравенство, получим
г\ N+iJ
%s > — = — Ьг = а0 — 2аг + а2#
4 sin
N + 1
Что и требовалось доказать.
N
Следствие. Если в условиях леммы 2 2 аг>0, а0 — 2at +,
+ а2 > 0, то матрица 4 положительно определена и для ее
собственных чисел Я„ s = 0, 1, 2, ..., iV, имеет место оценка
lks^min\a0—2a1 + а2, 2 аЛ.
(14)
Теорема 1. Пусть Т — теплицева симметричная матрица
порядка п + 1 > 3, ^ = (£jk = *w-fc|)A=oa7."'.'n- £*с./ш
последовательность (t0, ti9 ..., tn) (будем ее называть главной строкой
симметричной теплицевой матрицы Т): 1) не возрастает; 2) выпукла
п
вниз; 3) t0 — 2ti + t2 >0; 4) 2 *н|>0, го матрица Т положи-
г=-п+1
телъно определена и для любого вектора § =* (|о, ...» Бп) e Rn+i
имеет место неравенство
(Tl,l)^minL-2t1+t%, 21 'ill (Б, Б), (15)
I г=-п+1 J
где (,) —- скалярное произведение в Rn+i.
Доказательство. Продолжим главную строку U0, *i, ..»
..., £п) матрицы Г четным образом и 2п — периодически на
множество целых чисел. Полученное продолжение обозначим через
а = (flfc)fc=o, ±i, ±2,.... Тогда циркулянтная матрица А с главной
строкой (а0, #i, ..., fl2n-i) симметрична и удовлетворяет всем условиям
следствия из леммы 3. Поэтому для всех х = (£, ц) <^ Rn+1 X Rn~l

(Ax,x)'^min\a0—2a1 + a2, 2 ai\(x,x)==mmlt0--2t1 +
n \
+ t2, 2 tHi\(x,z). (16)
i=-n+l )
Полагая в неравенстве (16) х=(Ъп 0), |^/?n+1, в силу равенств
(Г£, |) = (Ах, х), (х, х) = (£, §), получим (15). Терема доказана.
Замечание 1. Доказательство теоремы 1 основано на
погружении матрицы Т в виде главной подматрицы в циркулянтную
симметричную матрицу А с длиной главной строки N +1 = 2и,
удовлетворяющую условиям следствия леммы 3. Такое погружение
возможно и с N+ 1<2п, если члены главной строки U0, *i, ..-., tn).
постоянны, начиная с некоторого п\ 1 < п' < п. В этом случае
можно положить N+l = n + n\ при этом условие 4) теоремы мож-
71
но заменить более «слабым» условием 2 *Н|>0.
Замечание 2. Положительную определенность матрицы Т
можно доказать и в случае, когда а0 — 2at + а2 = 0. Здесь
используется идея погружения матрицы Т в циркулянтную матрицу
порядка N + 1>2п, где N+1 — простое число с последующим
применением леммы 2. Мы не приводим доказательства, так как в
излагаемых далее приложениях условие а0 — 2а{ + а2 > 0 выполнено.
3. Применим результаты предыдущего пункта к уравнению
(1) с ядрами вида (2) и (3). В качестве [а, Ь] выберем
стандартный промежуток [0, 1].
Разобьем промежуток [0, 1] с шагом h = 1/п на п
промежутков точками Xi = ih, г = 0, 1, 2, ..., п. Левую часть уравнения (1)
аппроксимируем по методу Боголюбова — Крылова, заменяя на*
каждом промежутке [xt, xi+i], г = 0, 1, ..., п — 1, функцию |д
постоянной \Xi= \x(xi+i/2). Неизвестные |лг-, г = 0, 1, ..., п — 1,
отыскиваем из п условий коллокации
Ей J K{\xk+1/2 — a:|)dar = /(arft+1/2), к = 0, 1, ..., п— 1. (17)
*—0 Xi
Обозначим через Тп матрицу этой системы уравнений. Очевидно,
что Тп есть симметричная теплицева матрица с главной строкой
(^о, *i, ..., ^n-i), элементы которой задаются формулой
h
t{ = J К(|х — xi+x/2 \)dx, i = 0, 1, ..., n — 1. (18)
0
3.1. Логарифмическое ядро (2). В этом случае
*0 = -ftln-|- + fc(l + lnc),
ti=(i-l/2)hln(i-l/2)h-(i+l/2)hln(i + l/2)h + h(l+lnc),
i = l, 2, ..., n-1;
194

PiW = ^o-2^ + ^2=A-ln^ = (0^18...)A, (19)
3125
n-i
P. (л)" 2 t[i\ = 2(l-h)(l + lnc)-U-^rh)lnU jU)-
i=_n+2 \ * / \ /
- (i - 4)ln I1 - ~r)>2 (* -л)ln °+2 - 2'5/*2- <2°)
Кроме того, последовательность (£<,, *i, ..., £*-i) убывающая и
выпукла вниз. Таким образом, условия 1)—3) теоремы 1 для
матрицы Т = Тп выполнены. Исследуем выполнимость условия 4) в
зависимости от постоянной с и найдем min{()i, p2K Выберем
постоянную с в ядре (2), удовлетворяющую неравенству
Тогда из оценки (20) получаем
Un)>2h-2$h\
Из этой оценки и оценки (19) следует, что для любого с 5s e'1 и
любого п > 3 выполнено неравенство
. Ш) > Pi(n). (21)
Таким образом, согласно теореме 1 для квадратичной формы/
(Тпх, х), x^Rn, получаем оценку
0,91w8"-(g, x)^(Tnx, х), с>-^-, га>3. (22)
Оценим сверху спектральный радиус р(Тп) матрицы Тп. По
следствию из теоремы Гершгорина
р(Г„)< max SI'h-mI. (23)
Далее, для любого /b = 0, 1, 2, ..., w — 1 имеем
тг-1
п-1
ij*H-ftrt= ^
г=0
4+1
*ft+l/2 I
jdz
<
j
In
*ft+l/2 |
dx^i
<
max 1 ln
2/e[o,i] J >
d# =
1
ln,
1/2 \
dx.
(24)
0 0
Заметим, что последний шаг в (24) требует очевидных, но
громоздких выкладок, поэтому их опускаем.
Из (23) и (24) заключаем, что
p(r»)<v(c)f (25)
1 1/2
где
v(*) = j
In
| а? — 1/2 1
d#
-*JH-i
In — | dx.
X
195

1 1
14c — 1 — In 2c при — <c<-y,
! (26)
1 + In 2c при c>-2-.
Неравенства (22) —(25) делают справедливой следующую теорему.
Теорема 2. Для любого с^~матрица Тп системы
линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующей по методу
Боголюбова—Крылова уравнение (1) с логарифмическим ядром,
положительно определена и ее собственные числа Х? , i = 1, 2, ..., п,
удовлетворяют неравенствам
'^O^vfc), п^З, i=l,2,...,n, (27)
где vie) определена по (26).
Заметим, что функция v(c) монотонно возрастающая и
v (^-) = -| In2 = 0,78..., v(l) = l.
3.2. Степенное ядро (3). В этом случае
2а э—
/ о ol—а | и-а , ^ '
&<*>=- 2 '|«-14г[(1-т*)1"в+(1-т)1"в]>14з-2*-
{=—71+2
Данная по (28) последовательность (£0, tu ..., £ft-4) убывает —
это очевидно, положительность вторых разностей ti-i — 2ti + ti+i,
1=1, 2, ..., га — 1, можно устновить прямым вычислением (чтобы
не загромождать изложение, мы его опускаем). Наконец, для
любого п ^ 3 имеем
Pi И = *о- 2*! + t2<t0 + 2*х + t2<t0 + 2*x + 2ta + ...
e i s + 2£n_2 + £n-l = H2 (W)-
Тогда на основании теоремы 1 для любого вектора x^Rn
m^«*.•>«'** tс» - 4-з2з:::+5'"°. еэ)
Для спектрального радиуса р(Г„) матрицы Тп аналогично
предыдущему случаю получаем
196

n-i
P (Tn) <1 max Zj t\i-M = max i г ^ max I i——\ =
1/2
о
Из (29) и (30) получаем следующую теорему.
Теорема 3. Матрица Тп, п^З алгебраической системы
уравнений, аппроксимирующей по методу Боголюбова — Крылова
уравнение (1) со степенным ядром, положительно определена, а ее
собственные числа X/1, i = 1, 2, ..., п, удовлетворяют неравенствам
■ V (а) = £1=5 * (61>
max Л"
В заключение исследуем поведение числа Тодда т (а, гс) = *
ШШ Л?
матрицы Гп при а-* 1 и аг->-0. Согласно (31),
Но Iim2an1""a/Y(a)=l. Следовательно, и limt(a, п) — 1. Это озна-
a-»l a-»i
чает, что оценка (31) является асимптотически точной при arrM.
При а<-*~0 имеем
7(a) "" 4- 9(1 -a In 3) + 5(1- a In 5)+ о (а) "^ а _ 19623 Л + ° W—
In
3125
Т0^18+°(а)-
Интересно отметить, что главный член п/(а • 0,918...) полученного
разложения с точностью до множителя 1/а совпадает с оценкой
числа Тодда для матрицы Тп в случае ядра с логарифмической
особенностью при с= 1 (см. (27)).
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоносов С. М. Интегральные уравнения краевых задач для уравнений
Лапласа и Гельмгольца в случае тел вращения.— В кн.: Вычислительные
системы. Вып. 12. Новосибирск, 1964, с. 5—25.
2. Цецохо В. А. Задача об излучении электромагнитных волн в слоистой среде
с осевой симметрией.— В кн.: Вычислительные системы. Вып. 12.
Новосибирск, 1964, с. 52—78.
3. Дробница В. В., Цецохо В. А. Метод расчета плоского электромагнитного
поля в среде со слоем переменной толщины.— В кн.: Математические
проблемы геофизики. Вып. 2. Новосибирск, 1971, с. 251—284.
197

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
' 744 с.
5. Воронин В. В., Цецохо В. А. Численное решение интегрального уравнения
первого рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и
ко л локации.—Шурн. вычислит, математики и мат. физики, 1981, т. 21, № 1,
с. 40-53.
С. П. ШИШАТСКИЙ
О ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ
ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
(Новосибирск)
Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со
скалярным произведением (•,•) и нормой 11-11. Будем предполагать, что
в Н выделено плотное линейное множество D и на D задана
неотрицательная билинейная форма [ •, •] (относительно которой D,
вообще говоря, не замкнуто). Пусть A(t) — линейный оператор,
определенный и симметричный па D, A(t) :/)->#, и для Ait)
выполняются следующие условия:
(-ЛШ&, h)>a,[h, h\-az\M2 (h&D, at >0, a2>0), (1)
I (At(t) h, h) | < а3Гx In ~2 i- [A, h] (h e= D, a3>0) (2)
(производная At(t) понимается как предел на D в норме Н\ мы
предполагаем, что на D этот предел существует).
Рассмотрим вопрос о единственности продолжения решения
u(t) неравенства
|| tut + A (t) 42 <ln"2 i- (bt[u9 и] + Ьа || и Ц2) (3)
из точки £ = 0. Простейшим примером такого неравенства является
уравнение
tut + Us* = 0,
рассматриваемое, например, на периодических по х функциях.
Решение задачи Коши с данными при t = 0 для этого уравнения,
очевидно, не единственно: для любого целого п мы имеем
периодическое по х решение
u(t, х) — tn sinnx
с нулевыми данными Коши. Оказывается, что в этом случае имеет
место теорема, подобная по своей форме теореме Аронзайна — Кор-
деса об эллиптических уравнениях.
198

Теорема 1. Пусть решение u(t) неравенства (3) таково, что
для любого X > О
Гхи(*)-*0 U-0).
Тогда u(t)^0.
Доказательство. Начнем с доказательства неравенства
(ait), х(£), y(t), ijrU)— гладкие скалярные функции):
+ Ua24Kt)t + 2oqx^ - ^21Ы12} + {щъЧШ, и) - акМ\\2]}и (4)
Полагая v = еуи, получим
^е2х11сш< + Л м112 = yllaivt — ntv) + AvW1 ==?
=* ^["^у — axti; + -фи — -фг^П2 + a2lb*H2 + 2aC4y — ax«y, у«М >
>l[-2$(Av, v) + 2ol(Av, vt)-2a2%t(v, vt) - 0v\\2 + 2ai|wJMI2L
Используя равенства
2a*i(Av, vt) =* — (a^)t(Av, v) — a^(Atv, v) Jr[a*{(Av, v)]t,
-2a2^xt(v, vt) - (а2тк,),Ы2 - (с^х,Ы2)„
получаем (4).
Полагая в этом неравенстве
a = t, x = — X |"ln t + 2 (k + 1) In In jl, у = *~\ ^ = A b~2 j
(Я>0, *>0),
вычисляя коэффициенты его правой части и учитывая условия (1),
(2) и неравенство (3), придем к оценке
rax-i 1п-2(/г+1д-2 ||(2bi_ a3_fei) [Mj u] + 2A,(1 — гАлаХ"1 -
_ Ь23Г1 _ |.ft2 ln-2 j) | uf\ < {Г2Х ln-2(h + l)X j [(__ Ащ и) +
+ я(-1 + 2(А + 1) In"1 y)|N2]}r
Полагая
/с*= (a3 + bi)/2ai
и считая Я достаточно большим, а t — достаточно малым, получим
ЯГ2*"1 Ь-2^1»-2 i||a|»<{r2Xln-«ft+1),l{[(- Ли, и) +
+ M-l + 2(u + l)ln-1f)|H2}r
Стандартное рассуждение теперь дает равенство u(t) = 0.
Замечание. Если в (3) 6i ~ 0, то множитель &21п~2у можно
заменить константой с сохранением заключения теоремы, наложив
199

некоторые дополнительные условия на A(t). Именно пусть АШ **
s=2 А не зависит от £, самосопряжен и (о — спектр)
00
о(— А)а(—оо, + оо) — у (cn,dn),
1
причем интервалы (с„, dn) таковы, что
Тогда справедлива следующая простая оценка (Я, =* (сп + dn)/2):
rl-2X\\tut + Auf^hlrl-2X\\uf + [Г2к[(Аи,и) + X\\uf]}t. (5)
Действительно {v=^t~ku):
Гг~2Х 1 tut + AuI2 - Гx|| tvt + Av + fa;||2 = t\\vt f + 2 (vt, Av + %v) +
+ t^WAv + Xvf^r^WAu + Xuf + [r2h[(Au,u) + X|M|2]h>
^h2nrl-2X\\uf + [r2l[(A.u,u) + X\\uf]}t
и утверждение замечания следует из оценки (5) в том же порядке
идей, что и в теореме 1.
Теорема 2. Пусть р > 1 и решение u(t) неравенства
|| tQut + Auf < t*-1 In"2 i (Ьх [и, и] + Ь2|И2)
таково, что для любого X > О
ехрШ-р+1ЬШ->-0 (t-*0).
Тогда u(t)^0.
Доказательство следует из оценки (4), в которой теперь следует
положить
а-*р, x = -W~p+1
1 + (2к+1)Ы-гЦ, у^ГР,
ip = top"1ln"ai- (Jt>0, Л>0).
Перейдем к рассмотрению уравнений второго порядка (условия
(1) и (2) мы по-прежнему считаем выполненными).
Теорема 3. Пусть решение u(t) неравенства
\t*uu + Auf <ln-2|(V2|^I2 + b2[u,u]_+ b3\\uf) (6)
таково, что для любого X > О
t-kuit), г-%(г)-+о (*-*о).
Тогда u(t) = 0.
Доказательство основано на следующей оценке;
уе2" | auit + Au f > 2е2* {[(а2у)гщ + ау (ах„ + г|))] || щ f +
+ [— (^V)^t + 7 (— аи« + ^)] (— Au, и) + стух* (Atu, и) +
200

+ [2a?x2 (ax« —1|>) — Г1 [* (aV?)t]« + -| a»?* V - (ауг|>)(х4 -
- т ^2 ~ т (a^)»l IIu I2} + F' (*) <7>
(функция e~2yF{t) есть квадратичная форма относительно вектора
(ut, Аи, и). Точный ее вид в данной ситуации несуществен). Метод
получения оценки (7) в основном аналогичен использованному для
получения оценки (4). Для доказательства теоремы 3 в (7) надо
положить
а=£2, х = — Я [in* + 2/clnln-i), 7 = ^"2exp[2/cln"'1yV
* = я[1~2Л1п"11 + Л1п"я1] (Л>0, Л>0).
Замечание. Если в неравенстве (6) bi = Ь2 = 0, то
коэффициент Ь31п~27" можно заменить константой с сохранением
заключения теоремы 3. Доказательство этого факта проводится так же, как
и в замечании к теореме 1.
Из теоремы 3 вытекает следующее усиление теоремы Аронзай-
на — Кордеса.
Теорема 4. Пусть и(х) <^С2 — решение неравенства
12 D^Dfii |2 < In"2 Лу {Ъг \ х Г21 Vu |2 + Ъ21 х |"V)
(a7'jeC2; матрица (aij) положительно определена; Ъи Ь2 — любые
числа). Если для любого К>0
\х\-Ы{х), |*hxVM(*)->0 (Ы->0),
то и(х) = 0.
Теорема 5. Пусть р>2 и решение u(t) неравенства
\t%t + Auf^t2 ln-2l(VP|^f + Ъ2[и,и] + bd\\uf)
таково, что для любого К>0
eip\Xt 2 ){u(t),ut(t)}^0 (t-+0).
Тогда u(t) « 0.
Для доказательства этой теоремы также используется оценка
(7), в которой теперь следует положить
р
a = t«\ x = W~r+1(l-*ln-1|), Y = rpexp(ftln-14-).
г|з = Я*2
I
[£(|-l)(l-*ln-l) + ^(3p-2)*ln-l]
a>o, k>o).
14 Заказ № 717
201

Предыдущие результаты формулировались как теоремы теории
операторыо-дифференциальиых уравнений, это связано с тем, что
для справедливости сформулированных теорем мы должны требовать
от решения не только заданного убывания при t -> 0, но и
удовлетворения некоторым условиям по трансверсальным переменным
(периодичность, условия первой краевой задачи и т. п.). Существенный
интерес представляет вопрос: в какой степени можно отказаться от
этих дополнительных условий? Мы приведем здесь два результата
в этом направлении. Первый из них можно трактовать как теорему
типа Фрагмеиа — Линделёфа для эллиптических уравнений. В ней
требуется, чтобы область, в которой решение убывает по t, была
«достаточно велика по х». Во втором, относящемся к
параболическим уравнениям, какие-либо дополнительные условия по
переменной х вообще отсутствуют.
Теорема 6. Пусть решение u(t, x) e С2 неравенства
(t2utt + uxx)2^bt-<»u2
таково, что для—^-^.я^^— выполнены неравенства
и?, ul, и2 < С ехр(- Г°) (Q > ©).
Тогда u(t, x) = 0.
Доказательство теоремы основано на оценке
Г2+2(0 exp (2M— cos tox)(t2utt + uj1 >
> ы2М~2+t0 cos ax exp (2kt~и cos ых)и2 + div U
(обе компоненты вектора exp (—2W_(0cos (ox)U есть квадратичные
формы относительно вектора (ut, ux, и)).
Теорема 7. Пусть р ^ 2, Й > р - 2, 0< Й/2. Если u(t, х)^Сг
есть решение неравенства
(tpun + Uxxy < v2p_9~2«? + M2p-36-v
такое, что
и2, ul, и2 ^ С exp (— t~ ),
то u(t, x) =0.
Доказательство этой теоремы использует следующую оценку:
Гр ехр (2ХГ° - 2k2x2) (tQuit + их)2 > 2юХ ехр (2А.Г ш - 2%2х2) X
Х{(0)"" 9~1Г) 'P"W"V + 2о)2(со - ^)lH^3^[l+o(l)]u2\+divU
(С/ —вектор, аналогичный вектору того же наименования в оценке
теоремы 6).
202

Ш. ЯРМУХАМЕДОВ
О ЗАДАЧЕ КОШИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПОСТАНОВКЕ
М. М. ЛАВРЕНТЬЕВА
(Самарканд)
1. В работе обсуждается задача продолжения гармонической
функции и(х) в области D по ее значениям f(y) и значениям ее
о ди , ч п
нормальной производной ^ = ё\У) на гладком куске о границы,
т. е. задача Коши для уравнения Лапласа. Эта задача относится к
числу некорректно поставленных задач. Для произвольных
непрерывных f(y) и g(y) задача неразрешима. Если S — кусок
гиперплоскости и /, g аналитичны и аналитически продолжимы в D, то
продолжение осуществимо и единственно. Но, как заметил Адамар,
полученное продолжение неустойчиво. Из эксперимента известны
f&(y) и gt>(y) — приближенные значения — Ку) и gly) соответственно
(с уклонением 6>0). Из-за отсутствия устойчивости построение
приближенного решения по заданным f6(y) и gs(y) невозможно.
Адамар привел пример гармонической функции на плоскости
(£, и), являющейся действительной частью целой функции порядка
единицы, равной нулю и с малой нормальной производной на и = О,
которая принимает сколь угодно большие значения при любом
фиксированном и > 0. С другой стороны, всякая функция,
гармоническая в полуплоскости и > 0, равная нулю и с ограниченной
нормальной производной на и = 0, порядка меньше единицы, согласно
принципу Фрагмена — Линделёфа, сводится к линейной функции.
Следовательно, если гармоническая в полуплоскости функция
растет не очень быстро, то задача продолжения устойчива к малому
изменению данных Коши. Это обстоятельство, характерное для
некорректных задач математической физики, в общем случае было
замечено А. Н. Тихоновым еще в 1943 г. Ш. Он подчеркивал тогда
необходимость рассмотрения неустойчивых задач, их практическую
важность и показал, что если сузить класс возможных решений до
компакта, то из существования и единственности следует
устойчивость решения. Как только рыделен класс корректности, то
возникает задача построения приближенного решения по заданным /б(у),
g&(y), которые могут не принадлежать классу существования
решений. Классические методы приближенного решения здесь
неприменимы. Отличительная особенность рассматриваемой задачи состоит
в том, что здесь требуется строить приближение к решению,
принадлежащее к данному множеству по заданным /б(у), g&(y). Это
обстоятельство налагает определенное ограничение на семейства функций,
стремящихся к точному решению. Здесь речь идет о построении
семейства функции иа6(х) =*иа(х, /в, ge), которое при подходящем
выборе зависимости о = о(6) и 8->0 сходится к решению задачи в
точке x^D области. Введение дополнительного параметра,
согласованного с погрешностью исходных данных, здесь обусловлено сущест-
14*
203

вом задачи. Впервые па это обстоятельство указал М. М.
Лаврентьев в 1956 г. [3].
Следуя А. II. Тихонову, семейство иаь(х) назовем регуляризован-
пым решением задачи [7]. Регуляризованное решение определяет
устойчивый метод приближенного решения задачи.
В работе [3] задача Кошп для областей специального вида
сводилась к решению интегрального уравнения первого рода, для этой
задачи впервые был предложен метод регуляризации. В трехмерном
пространстве метод построения регуляризованного решения задачи,
основанный также на решении задачи Дирихле, предложил
С. М. Мергеляп [8]. Когда S — произвольный кусок границы,
построение регуляризованного решения задачи в явном виде
указанными методами затруднительно.
Следуя М. М. Лаврентьеву [4], фундаментальное решение
уравнения Лапласа Ф£(г/, х), зависящее от скалярного параметра е > О,
назовем функцией Карлемана для части S границы и точки х ^ D,
если
[ФеК1 Е
дп
dD\s
dsy ^ е.
Когда D — ограничена, конечносвязна, то, используя функцию
Карлемана, регуляризованное решение задачи Коши можно
написать в явном виде [5]. В нашей работе предлагается метод
построения функции Карлемана, с помощью которой регуляризованное
решение выписывается в явном виде в каждой точке x&D для
ограниченной гармонической функции.
В плоском случае задача Кошн для уравнений Лапласа
сводится к задаче продолжения голоморфной функции в D по ее
значениям на S. Для этой задачи, когда область имеет специальный
вид, функция Карлемана построена самим Карлеманом [3]. Когда
D — трехмерная область, для специально выбранных x^D функция
Карлемана построена в [31.
Поскольку ряд прикладных задач геофизики приводится к
задаче Коши для уравнения Лапласа [2—5], то построение функции
Карлемана в явном виде, в элементарных п специальных функциях,
представляет значительный интерес.
2. Пусть Rm — евклидово пространство размерности два пли
три, т. е. яг = 2, 3; х = (х^ х2) & R2, х =• (хи х2, х3) ей3, у =
= (г/i, г/г) е R\ У =■ (г/i, У г, Уз) е Д3; xQ = (0, х2) е= R2, х0 =* (0, 0, х3) е=
^#3, r=\y-z\, a2=(yi-xi)2, m = 2; a2 = (у, - x{Y + (у2- х2)2,
т =» 3; ао = х\, т = 2; а* = х\ + х\, т =» 3; {1 = ху2 — а0, пг = 2; р =
= ту3 — а0, т = 3; D — ограниченная область в Л3 с кусочно-гладкой
границей <9Z), s£(D) — пространство гармонических функций в D,
непрерывных на D = D\JdD, Ж£), £ = g + щ — целая функция,
вещественная при действительном | = £ и удовлетворяющая условиям
К(Ъ)Ф0, \1\<оо:
suvrf+1\Kp(t + H)| = A/(S,P)< оо, р = 0,1,2,3/ (1,
204

Функцию Ф(г/, х) при «>0 определим равенствами: если т =
= 2, то
о iri 4rrw ч Тт K{iVu2 + a2 + y2) udu -„.
- 2лК (х2) Ф (г/, х) = Im i/TT-V (2)
J iK«4a+S2-^ К и2 + а2
если то =• 3, то
8я2Я (*,) Ф (i/, ж) = - Im 2_ _^^
-L ГУ* -4- 7/
: /и2 + «2 + г/, - *, /и2 + а2
(3)
3
В работе [9] доказано, что для u{y)^A{D) справедлива
формула Грина
ы(*)=Яы^-ф£К *еа (4)
Функция Ф(г/, я) является фундаментальным решением
уравнения Лапласа по переменному у в Ят, и ее можно использовать
в качестве функции Карлемана. Точнее, покажем, что Ф(г/, х)
можно выбирать в зависимости от параметра о > 0 и при а -*■ °° она
исчезает вместе со своими производными вне любого
фиксированного конуса, когда х лежит внутри конуса.
Пусть граница односвязной ограниченной области D9 состоит
из части Т поверхности конуса
«1 = ™/з> «1 = ^1+ J/*» m = 3,
|J/i| = ti/2, тл = 2, x = tg~-, р>1
и гладкого куска поверхности Ляпунова 5, лежащего внутри конуса.
Будем считать, что Dp содержит точку #0, а вершина конуса
принадлежит Т вместе со своей некоторой окрестностью. Фиксируем х s
eflp и часть 5* с= S определим неравенством хуш — а0 > а, г/ е 5*.
Если # = #о, то S* = S (часть S* лежит внутри конуса а=Р =
= т(г/т 2.)(/w=>2, 3) с вершиной на конусе (5)).
Пусть а > 0. При а > 0 функцию Фа(г/, я) определим
следующими равенствами: если тп = 2, то
- 2яЯр (а1/рТ) Фа (у, *) = р f Im *Ч_«* ^=f
и; = itVm2 + а2 + р, f = та2 - W >0, jsflP) (6)
- 2я^р(^т) ^ (,,х) = ^ Re exp он* +
Г 7/ Д? | II -£ I "1
+ 1 2 * cos а2 — 2 cos ах Im expowj, (7)
205

n==(coscxi, cos a2) — направление внешней нормали на <ЭД>; 0 =
= </г, г> — угол между г и п {у е= dZ)p, a: e= Z?p), г^0 = гт(г/± - а^) + (3.
Если т = 3, то
Vp2_a2
X iW + a2 + y,-*, V*2 + a2
w — ilu2 ■+ a2x + p, 4 = та3 — c&0 > 0, # e Д,,
причем производные D=—, —■ —, у- от интеграла в правых
частях (7) и (8) определяются по формуле
Vp2_a2 Vp2_a2
* I - 1 °
0 0
и при вычислении производной по я,- в точке х = x0&Dp сначала
следует величину £ = тг/т — а0 заменить на р = тг/т. Здесь 2?РЫ —
целая функция Миттаг — Леффлера, для которой приводим
интегральное представление [1].
Пусть -jrj- <Р0 <—-. Обозначим через ^е(ро) контур в
комплексной плоскости £, пробегаемый в направлении неубывания arg£
и состоящий из следующих лучей:, 1) arg£ = — ро; 2) дуга — [}0 ^
< arg£ ^ р0 окружности |£|=е>0; 3) луч arg£ = fj0. Контур
разбивает плоскость £ на две неограниченные односвязные области
D~ и D+, лежащие соответственно слева и справа от ^Д^о).
Обозначим
Тогда
Ve(Po)
£P(z) = tP(z), zsfl-, (10)
£P(z) = р ехр гр + г|5р(г), г е D+, (11)
1пи|)РИ = ^, f Гтше"р^Д. (13)
Пусть и(у) ^S&(DP). Положим
дх
EL (Т\ _ Г ( д дФ ^Фа 0и | , п
(14)
206

ди
ои
Предположим, что вместо и{у), &г(у) на S заданы их
непрерывные приближения /в(*/), £$(*/) с уклонением 6 >0 соответственно:
max \и{у) — /6 (у) | < б,
(15>
тах|^)-Ы*/)1<8, 0 < в < 1.
о
Обозначим
ио6 (х)
(&Gg6\ds, x<=D9,
s* [
ди . Г ( д2Ф 0ф ]
о = /?-р In -i, Д? = max Re (гта + р)р.
Теорема. Если и(у) ^<s&(Dp) удовлетворяет неравенству
Ы(У)\ +
ди , ч
<1, x^dD0,
то для x^D9 справедливы неравенства
/ч / VI _/СРехр(— а7Р), ог>1, тл = 2,
и(я)—иа(#)|<| , nN
1С0(я)аехр(—(гур), а>1, /?г = 3,
1С0(я)аехр( — <тур), cr^l, wi = 2,
1с1(а:)а2ехр(—аур), a^l, т?г = 3,
( р>
\дх> ' Ох- х '
<
\и{х)~ иоб (х) К<
дааЬ / х 0и
CP6V
, яг = 2,
(16>
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
^j
<«>-£/«>
Ct(x)6^Ro) ln|, m = 3,
С0(*)6^ ln±, i» = 2,
f—)P
С1(ж)в^0'' In2! и» = 3,
(23)
где
Cfc(s) = J д^г» Cp = const.
Следствие. Предельные равенства
limua(x) = u(x), Hm-^- (ж) =-j£-(x),
£07

lim uG6 (x) = и (х), Hm^6 (x) =-|^- (x)
выполняются равномерно в Z)p.
Доказательство теоремы. Пусть т = 3 и (J > а. В (3)
положим Ж£)=2?р(о!/ри?), о>0, Ф(г/, я) = Фа(у, х). Тогда
8я^р (ар у)Фа(у, *) = ГIm У°Р^
«' . 1/ 2 , .2 ,
— Im
я
Так KaK0<argw;<^~,0^u^yp2-a2, то учитывая (И),
*Фа(у, х) представим в виде
Фа (г/, х) = Фа(г/, ж) + iff (г/, ж),
тде
dzz
«я^р(а^)£а (</,*) = J т~ У"**») ^_
■j/^I^i i К "2 + а2 + г/3 —^з W + a2
Ур2_а2
+ I
+
Im ._Щ_ -. «>=« Vu2 + а2 + p.
а2 + а2 + у3 - х3 У и2 + а2
Если гг^УВ2 —а2, то argw^ -^—, поэтому из (10) —(12) выводим
оценки
|?а(1/^)кСрг-1ехр(-аТр), |^(у^)|<Сраг-2ехр(-.аТр>
(24)
О/, ж)
<Сраг 2ехр(—аур),
0-£а
dyjdxj
уфх.
Теперь из (14) и (4) имеем
и(х)-и0(х)= J |и —— 0Лч/о
(»,«)
<Сра2г3 ехр (— аур),
^Фа ди л 1 j , П dga ~ ди] ,
az>pis*
дп 8а <Ы
S*
(25)
Здесь на вершине конуса полагаем
ди ди дФ6 дФ0
— -«-- (правые
дп ду^ ду3 дп
части являются предельными значениями изнутри конуса).
Когда yezdDQ/S*, то argli7^<£- (в этом случае 0 < a, x^Dp)
Поэтому из (10) —(12) заключаем, что для Фа(*/, х) и ее производ
:208

ных при у е dDp/S* справедливы те же оценки (24), что и для go.
Теперь из (24), (25) и (19) выводим неравенства (20) и (21).
Далее, из (25) и (16) имеем
и (*) - и« (I) = j L - /,) ^ - 1£ - гЛ Ф„Ь. +
+ 1 1»£-<^}*+П4--г.£-|*. *=*
aj?0/s* l ) s* { )
(26)
aj?p/s* '
Из (15) и (8) видим, что первое слагаемое в (26) по абсолютной
величине не превосходит величину
Срб ехр (оЩ — ву9) I -|, Ср = const.
s* г
Теперь из (26) выводим неравенство
\и(х) — wa6(^)|<Cpaexp(— avP)[l + 8expa#£] j -fi
До.
аяр
Выбирая о из (18), получим (22).
Дифференцируя (26), аналогичным образом доказываем
неравенство (23).
Доказательство теоремы на случай, когда т = 2, проводится по
той же схеме.
Пусть и(х) — ограниченная в D гармоническая функция,
непрерывная вместе со своим градиентом вплоть до S. По заданным
/б(г/) и ge(j/), последовательно применяя формулы (16), (17),
вычислим приближенно и(х) в каждой ограниченной замкнутой
подобласти из D.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функции
в комплексной области. М.: Наука, 1966. 127 с.
2. Воскобойников Г. И. Функция Карлемана и ее применение к решению
некоторых задач геофизики.—Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1962, № 11у
с. 1579-1590.
3. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.— Изв. АН СССР.
Сер. мат., 1956, т. 20, с. 819—842.
4. Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала.— Докл.
АН СССР, 1956, т. 106, № 3, с. 640-643.
5. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической
физики.— Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962, с. 43.
6. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач.—Докл. АН СССР, 1943,
т. 39, № 5, с. 195-198.
7. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979, с. 55.
8. Мергелян С. Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение
задачи Коши для уравнения Лапласа.—Успехи мат. наук, 1956, т. И,
№ 5 (71), с. 337—340.
9. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа.— Докл. АН СССР,
1977, т. 235, № 2, с. 281—283.
10. Ярмухамедов Ш. Формула Грина в бесконечной области и ее применение.—
Изв. АН УзбССР. Сер. физ.-мат., 1981, № 5, с. 36—42.
209

в. г. яхно
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:
ПРАВАЯ ЧАСТЬ —МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК,
РАЗМЕЩЕННЫЙ НА ГРАНИЦЕ
(Новосибирск)
1. Введение. Пусть
ze=tf, te=R+ = {t(=R\t>0}, yz-Rn, L = c0(d/dz)2 +
+ 2 eoS(d/dz)(d/dyj)+ 2 ci5(d/dyi)(d/dVj)+ 2 М^ВД +
+ b0 (д/dz) + d, c{j = cH.
Под оператором Lz будем понимать оператор L с коэффициентами,
.зависящими только от переменной z.
; , Рассмотрим гиперболическое уравнение
Ш l(d/dt)*-Lt]u = 6(tmz)f(y), z, t^R+,
со следующими начальными и граничными условиями:
u\t=+o = (d/dt)u\t=+o = (d/dz)u\z==+0=-0.
Здесь 6(t) = lim6(t— tQ), 6(z)= lim 6(2 — z0), б (•) —функция
Дирака. Для случая, когда L = Lz — равномерно эллиптический
оператор, /(г/) = б(г/), задача определения коэффициентов
оператора Lz по информации типа u\z=0 = H(y, t) исследовалась А. С.
Благовещенским [1]. Было показано, что единственным образом можно
определить только линейные комбинации искомых коэффициентов.
Например, если bj£=C{R+), b0^Ci(R+), de C(R+) — известные
функции, то Со ^ С2Iff+), с0>0, с0,-еСЧД+), Сц^СШ+)
определяются однозначно. Более содержательными в математическом плане
получаются задачи, в которых правая часть — набор функций
6(t)q>l(z, у), 1 = 1N (N — число всех коэффициентов), а информация
о решениях ut(z, 1/, t) — щ\z=y=0 = И\(t), где #Д£), I = IN —
известные при £е[0, оо) функции. Тогда, если при геД+ выполнено
условие
det((d/0z)V(z, 0), Wdz)q>l(z9 0), фЧМ», id/dzHd/dyt)<pl(z, y)\y=0,
(d/dyi)(d/dyj)q)l(z, y)\y=0; у = i, rc; i = 1, n)i={^N¥=0,
то коэффициенты c0 g= {C2[0, 00) |r < c0 ^ M,c'0( + 0) = 0) (r, ilf—за-
данные числа из Д+), Ь0» boj^^IO, «О, c{JeC[0, со), d, Ь,€=С[0, «>);
£, у = In находятся однозначно. Однако задание таких правых частей
не соответствует реальной ситуации в задачах определения
характеристик сред, в которых происходит волновой процесс. Это связано
с тем, что мы можем размещать источники только на границе
среды. Таким образом, более реальными будут правые части вида
6(£)6-Ы/(г/), которые моделируют мгновенный источник,
размещенный на границе z = 0. Функция /(*/) подбирается для успешного ре-
210

шеиня той или иной обратной задачи. Так, например, для
исследования одномерных обратных задач для гиперболических уравнений
пригодными являются функции из класса полиномов или класса
финитных достаточно гладких функций. Исследования обратных задач
в этих случаях аналогичны исследованиям, содержащимся в работах
[2-4].
Для решения линеаризованных постановок многомерных
обратных задач функцию fiy) можно брать в классе полиномов. Пример
такого типа постановки многомерной обратной задачи для одного
гиперболического уравнения приведен в пункте 2. За счет удачного
выбора функций f(y) можно успешно решать обратные задачи не
только для одного гиперболического уравнения, но и для таких
систем гиперболических уравнений, как система уравнений Ламе и
система уравнений Максвелла. Примеры постановок обратных задач
для этих систем указаны в пунктах 3, 4.
2. Линеаризованная постановка многомерной обратной задачи
для гиперболического уравнения. Пусть для каждого мультииндекса
а= (аь а2, ..., ап), lal = ai + а2 + ...+ ап < 2 выполнены равенства
[(d/d£)2-Lj£a = rz,^a, 2, *e=#+, (l)
ga|*=+o= (d/dt)uJt=+0 = (5/52)Salz=+o==0, (2)
где Lz — известный равномерно эллиптический оператор с
коэффициентами, удовлетворяющими условиям, описанным в пункте 1, иа —
известная функция, являющаяся решением следующей задачи:
Ш/dt)2-Lz]ua = аауаШ)№, z, t^R+,
uJt=+0 = (d/dt)uJt=+0 = (d/dz)ua\z=+o=Q, lal ^2.
Пусть T^R+, zT — корень уравнения Т/2 = J (l/]fc0(l)) d%. Бу-
[0,2]
дем предполагать коэффициенты оператора Г такими, что
FylcHiz, v),4Fy[S0](z, v)eC4t0, zT] XRn) П СЧЮ, zj; S'(Rn)),
ВД](г, v)eC([0, zT] X^)nC([0, zT]; S'(Rn)),
y = 1, n — известные функции, а набор коэффициентов
g(z, у) = (со, со/, / = In; ci}; i = jn, j = In) e= Wl(T) =*
= {r/(z, y)\Fy[c0Hz4 v)gC2([0, zT]XRn)nC2([0, zj; S'(Rn))9
Fy[cojl(z, vJeCUtO, 2Г]ХДП)ПСЧ[0, zrl; S'UT)), /=*!/£
№,Ш, v)eC([0, zJXOTOCaO, zTl; S'(Rn))}
неизвестен. Здесь Fy — оператор преобразования Фурье по у ^ Rn;
v — параметр этого преобразования; S'(Rn) — пространство
обобщенных функций медленного роста; С'ЦО, zT1; S'(Rn)).— класс i раз
непрерывно дифференцируемых отображений вида z-> с s S'(Rn).
Обратная задача 1. Определить вектор-функцию 5(2, у) е
е=дЯ(Я, для которой при U, [/) е= [0, ЯХЛП, |al ^2 имеют место
равенства гга|2=0 = Ha{t, 7/), где гга — решения задач (1), (2) при
211

Ы*£2; Had, у), I al ^2-известное при (*, у) s [0, ЯХЙП
функции.
Теорема 1 (существования). Пусть аа Ф О для каждого
\а\ ^2. Гогда для любого набора функций Ha(t, у), \а\ < 2, z/doe-
летворяющего условиям Fy[Hj(t, v)eC2([0, Я ХЛП) П C2U0, Я;
S'(Rn)), найдется число Г*еД+ такое, что существует
вектор-функция q(z, у) ^ЗЙ(Г*), которая является решением обратной задачи 1,
отвечающим информации Ha(t, у) при U, г/) е [О, Г*] X#n, |al <2.
Теорема 2 (единственности). Пусть аа Ф О для
каждого \а\ ^2. Тогда для каждого T&R+ обратная задача 1 может иметь
в классе 9ЖГ) только единственное решение, отвечающее
информации Ha(t, у), (t, 0) €5 [О, Г] Х#П, [Об! <2.
3. Одномерная обратная задача для системы уравнений Ламе.
Пусть
и = (щ, ц2, цв), иДг/, *), i = 1, 2, 3, у =■ (г/1? уг, у3);
9?iU = div (о<), Ог = (Ой, oi2, ой),
Gtj = \x((d/dyj)ui + (д/дудщ) + Х8цdivw, 6«
— символ Кронекера. Будем считать параметры Ламе Я, |л и плотг
ность р зависящими только от переменной г/3, которую для
удобства обозначим через z.
Рассмотрим систему уравнений Ламе
p(z)(d/dt)2u-gzu = 8(t)8U)F(y), z, tefl+f (3)
со следующими начальными и граничными условиями
u\t==+0 = (d/dt)u\t=+0 = 0, z&R+, (4)
(Kdivu + 2\x(d/dz)u3)\z==+0 = \i((d/dz)iii+ (д/ду{)щ)\г=+о=-0, (5)
i = l, 2.
Далее, через uk(y, t), /c = l, 2, 3, обозначим решение задач (3)—(5),
соответствующее
F(y)=Fu(y)^fk(y2) 2 «г(*/1)'(1, 0, 0), ft =1,2; F(y)=F3(y)=
= 2 ^Ы'(^(о,о,1),
а через £/ft(i/, £) — решение (3) — (5), соответствующее
F(y)^Fk(y)^6(yl)fk(y2)(i, 0, 0), Л = 1, 2;
F(y)^F4y)^8(yMy2)(0, 0, 1).
Здесь /ft(j/2), k= 1, 2,— заданные функции из класса Cl(R).
Обратная задача 2. Определить вектор-функцию (Я, [X, р)е
eft^fWz), \l(z), рЫ)еС2[0, °о)||г>0, р>0, ц + 2Ь>0, |г'(+0) =
== р'(+0) =ЯЧ+0) = 0}, для которой при £^(0, Т) выполнены
равенства
{dldVl)mu\ |У1=У2=0 = Hk (t), к = 1,2, (5/%1)mul |„1=V8=e = Я3 (0,
где Hk(t), к ==■ 1, 2, 3,— известные при £ & (0, Г) функции.
212

Обратная задача 3. Определить вектор-функцию (А,|х,р)е
е. Q{, для которой при £е (О, Т) выполнены равенства
Рух №] |v1=y2=o = Hk (t), к =1,2; *V8 [Ul\ |Vl=v2=„ = Я3 (О,
где FVl, FVly2— операторы преобразования Фурье по yi^R и
(i/i, Уг)^Я2', Vi, &=1, 2,—параметры преобразования Фурье; #fe(£),
/с = 1, 2, 3,— известные при t е (0, Г) функции.
Теорема 3. Для существования решения обратных задач 1, 2
(Я, |я, р)е@ь отвечающего информации Hh(t), £ е (0, Г), /с = 1, 2,3,
необходимо, чтобы Я^) g С2[0, Л, й = 1, 2, 3, и были выполнены
условия согласования
ЯД+0)=/Д0)р1/2(+0)/(2ц1/2(+0)); / = 1, 2,
#з( + 0) = р1/2( +0)/[2(^( + 0) + 2Ц + 0))1/2], Я1( +0) = 0, i = 1,2, 3.
£с/ш, «роле гого, Д =» detll/fc(0), /1(0); /с = 1, 211=^=0, а для задачи
2 выполнено ат0 Ф 0, ат ^ 0, го
det ИД(0), #ft(+0); к = 1, 211/Л > 0.
Теорема 4. Пусть ат0Ф0, атФ0, а функции fk(y2)^Cl(R),
Hj(t) ^С2[0, Г], /с = 1, 2; 7 = 1, 2, 3, такие, что АФ0, и выполнены
необходимые условия для существования решения обратных задач
2, 3, сформулированные в утверждении теоремы 3. Тогда найдутся
числа Г*, г*ей+, такие, что существует вектор-функция (К, \х, р) ^
&(?!, являющаяся при ге[0, z*] решением обратных задач 2, 3,
отвечающим информации Hj(t), j = 1, 2, 3, £^ (0, Г*).
Теорема 5. Пусть fk(y2) ^ C80(R), /с=1, 2 такие, что Д=^0,
а для задачи 2 выполнено ато Ф 0, а™ =й= 0. Тогда обратные задачи
1, 2 могут иметь только единственное решение (А,, \х, р) s @ь oree-
чающее информации Hj(t), j = 1, 2, 3, t^R+.
Замечание. Задачи определения функций р, А,, ц, входящих
в систему (3), правая часть которой — мгновенный точечный
источник, рассматривались ранее в работах [5, 6]. Из анализа
результатов этих работ и данной статьи следует, что рассмотрение
размещенного источника вместо точечного дает более корректные постановки
задач определения р, К, \х по измерениям в точках границы z = 0
компонент смещения.
4. Одномерная обратная задача для системы уравнений
Максвелла. ПустьЕ= (Еи Ег, Е3), Н = (Н{, Н2, Нг) — векторы
напряженности электрического и магнитных полей; e(z), \x(z) — тензоры
диэлектрической и магнитной проницаемости; {х, у, z)^R3, t^R+.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла
TotH-(d/dt)(BE)=6(t)b(z)F(x, у), rotE+ (d/dtHpH) =0 (6)
213

со следующими начальными данными:
(£, Я)|<=+0=0. (7)
Будем считать, что еЫ = diag (e4(z), e2(z), е3Ы), a ji(z) —-
скалярная функция, причем вектор-функция ([х, г) ^Q2 = {(\i(z), еЛЫ,
/с = 1, 2, 3)еС2(Я)|^Ы>0, eft(z)>0, |г' (0) =ei(0) = 0, А: = 1,2,3}
при z < 0 считается известной вектор-функцией. Далее, через
(Z?j, Я''), / = 1, 2, 3, 4, обозначим решение задач (6), (7),
соответствующее F = F,= efi(t)6(z)8(x)fi(y)9 / = 1, 2; F = F3 - erae(*)6(z) X
Х6(у)ДЫ, F^F^e36(t)8(z)6ix)U(y). Здесь /,, / = 1, 2, 3,
4,-заданные функции из класса Cl(R), et., &=1, 2, 3,—базисные
векторы пространства Я3.
Обратная задача 4. Определить при z^R+
вектор-функцию (|х, е) е@2, для которой выполнены равенства
Fx [Е\] (Vl, г/, г, t) |Vl=,=2=0 = К (*), 4=1,2;
^у [^2] (*» v2, 2, t) |x=v2=2=o = К (t), Fx [H$] (vb г/, 2, t) |Vi=y==z==e==u4(£),
где hi(t),i=-1, 2, 3, 4,—известные при £^ (0, T) функции. Отметим,
что постановки обратных задач для системы Максвелла, отличные
от нашей, рассматривались ранее в работе [7].
Теорема 6. Для существования решения обратной задачи
(jli, е)^<?2, отвечающего информации h^t), /=*1, 2, 3, 4, £е(0, Г),
необходимо, чтобы А^)еС2(0, Л, 7=^1, 2, 3, 4, w ЛД+0) =
=;/Д0)е1(0)^.(0)/2, / = 1, 2; А,(+0) =/Д0)е2(0)(г(0)/2, / = 3,^ 4,
^( + 0) = 0, / = 1, 2, 3, 4. £с/ш, кроме того, Д = det H/fc(0), /1(0);
&=*1, 211 #0, го
detll/ft(0), М+0); А: = 1, 2И/Д >0.
Теорема 7. Яг/сгь функции /,- (г/) € С? (Я), hj(t) е С2(0, Г),
7 = 1, 2, 3, 4, такие, что А=^=0, /Д0)=й=0, / = 3, 4, и выполнены
необходимые условия для существования решения обратной задачи 4,
сформулированные в утверждении теоремы 6. Тогда найдутся числа
Г*, 2*ей+, такие, что существует вектор-функция (\х, s)^Q2,
совпадающая при z^0 с заданной вектор-функцией и являющаяся
при zg(0, z*) решением обратной задачи 4, отвечающим
информации hs(t), /=*1, 2, 3, 4, *е(0, Г*).
Теорема 8. Пусть функции fj (у) ^СЦЩ, 7 = 1, 2, 3, 4, ш-
тше, что Д¥=0, /a(0)^0, /c = 3, 4. Тогда найдется только одна
вектор-функция (jx, е)е(?2, совпадающая при z<0 с заданной вектор-
функцией и являющаяся при z e Я+ решением обратной задачи 4,
отвечающим информации hj(t), / = 1, 2, 3, 4, t^R+.
214

ЛИТЕРАТУРА
1. Благовещенский А. С. Одномерная обратная краевая задача для
гиперболического уравнения второго порядка.— В кн.: Математические вопросы
распространения волн. Т. 2. Л., 1969, с. 85—90.
2. Яхно В. Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения.—Докл.
АН СССР, 1980, т. 255, № 4, с. 807-810.
3. Яхно В. Г. Теорема единственности и устойчивости одомерной обратной
задачи для волнового уравнения.— Сиб. мат. журн., 1982, т. 23, № 2, с. 189—198.
4. Лаврентьев М. М., Резницкая X. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи
математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. 88 с.
5. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики.— В кн.:
Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука,
1967, с. 9-84.
6. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения
сейсмических волн.— В кн.: Проблемы математической физики. Вып. 1. Л.: ЛГУ,
1966, с. 66-81.
7. Романов В. Г., Кабанихин С. И., Пухначева Т. П. К теории обратных задач
электродинамики.— Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 5, с. 1070—1073.

Раздел второй
А. АБДУКАРИМОВ
О ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
(Самарканд)
YI усть и(г, ф, 0) — гармоническая
функция в единичном шаре D = {(г, ф, 0): 0^ г< 1, 0^ф^2я,
0^0^ л), непрерывна на D и удовлетворяет соотношениям
|и(г, <р, 8)1 <1, (г, ф, в)еВ, (1)
ю(г, ф, а) =/(г, ф), (2)
где 0 ^ г < 1, О^ф^ 2я; а — заданное число из промежутка (0, я);
/(г, ф) — заданная функция. По этим данным требуется определить
гармоническую функцию и(г, ф, 0) во всем шаре D.
Теорема 1. Пусть при 0 < г < 1, 0^ф=^2я
1/(г, <р)|<е, (3)
а таково, что для всех натуральных п, иг
РТ\со5а)фО, (4)
где Рп (х) — присоединенные многочлены Лежандра. Тогда для
любой точки (г, ф, 0) еД
In Mr
( Г 2 ii-^-^P Ь^-М 1ПбР
|ц(г,Ф,0)|<|с(гАр,г,б)[-^^] * 8Л , (5)
где Д/ >0, б>0, р</?<1 1г С зависит только от указанных
параметров.
Доказательство. Подставляя 0 =*а в разложение
гармонической функции и(г, ф, 0) по сферическим функциям [1] и
продолжая этот ряд в комплексную плоскость по г, получим
оо п
/(*, ф)= 2 2 (4m cos my + 5nm sin my) Р^ (cos a) zn. (6)
?г=о m=g
216

Для этой функции в круге D = {z = г + щ: \z\ < /?}, где р < 1, верна
оценка
i/(z'<p)i<idbr (7)
Из (3) и (5), применяя теорему о двух константах к функции f(z, qp),
получим для z^Dp
ms'*)]<h=ir\ e • (8)
Для коэффициентов ряда (5) верны формулы
А», —
Чй
W JJ^C0S^^ « = 0,1,....и,
2я2$Р<° (cos „, . - _
|zj=p0
#n! =
31
) n+i sin ^Ф^ Z=l,2, ...fn,
■р)ш\
2n2iP(J;) (cos a) •' J z1
где p<p. Учитывая оценку (7), получим
2 1 Г 2
J PW (cos a) I pn L (1— \
0<т<л. (9)
Так как a удовлетворяет условию (4), то по известной теореме Кар-
тана [2] существует такое положительное число б, что верна оценка
| Р« (cos a) | >-Ш^- 6п-т. (10)
2 п\ (п — т)\
Оценим и (г, ф, 8), используя неравенство для присоединенных
многочленов Лежаыдра [3]
|P^(cosa)|<-^+^
и оценки (9), (10) для (г, «р, 6) еД,р = Ю«£г<6р, 0<ср<2я, 0<
|и(г,Ф,в)|<С(а,р,г,6)[-^-?-| я 8я
где C(a'P'r'6) = iI^r2nfe)"
П=1
Применяя теперь теорему о трех шарах для гармонической
функции [4], получим требуемую оценку в D.
Рас§мотрим кривую ф = <р(г), 0^г<1, лежащую на конусе
б = а и проходящую через начало координат, где а удовлетворяет
15 Заказ JA 717
217

условию (4). Предположим, что на этой кривой известны значения
гармонической в D функции uir, ф, В):
uir, а, ф(г)) =/(г).
Теорема 2. Пусть вещественная, непрерывная на [0, 1)
функция ф = ф(г) для любого натурального m удовлетворяет условию
г = о(фт(г)), г-+0.
Тогда, если а удовлетворяет условию теоремы 1 и на промежутке
[О, 1)
/(г)-О,
го и (г, ф, 0) = 0.
Доказательство проводится аналогично теореме 2 работы [51.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1977. 735 с.
2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 732 с.
3. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952.
476 с.
4 Ситников Е. Г. Теорема о трех шарах для эллиптического уравнения
высокого порядка.— Мат. сб., 1970, т. 82, вып. 16, с. 213—219.
5. Абдукаримов А. Об определении гармонической функции в шаре по ее
значениям на некоторых множествах.— В кн.: Вопросы корректности обратных
задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 5—11.
Г. В. АЛЕКСЕЕВ
О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ИЗЛУЧЕНИЯ ВОЛН
(Владивосток)
Решение многих задач излучения гармонических по времени
волн сводится к нахождению потенциала Ф волнового поля из
условий
£ф = -/Ы, xeQ, BO> = g(x), x^Z = dQ. (1)
Здесь Q — область пространства W, где изучается волновой процесс;
ЫВ) — линейный дифференциальный (граничный) оператор,
описывающий поведение потенциала Ф внутри области Q (па границе
I области Q), fig)—плотность объемных (поверхностных)
источников волнового поля. В случае, если Q — неограниченная область,
краевые условия в (1) следует дополнить некоторыми условиями,
218

характеризующими поведение потенциала Ф па бесконечности,
которые в дальнейшем будут предполагаться выполненными.
Рассматривая для простоты скалярную задачу излучения
акустического типа, обозначим через GU, y){Gs(x, у)) ее объемную
(поверхностную) функцию Грина. В таком случае решение указанной
задачи может быть представлено в виде
Ф (х) = f G (z, у) / (у) dy + f Gs (x, у) g (у) dSy, (2)
Ъ s
где D(S) — носитель функции /(g). Формула (2) показывает, что
в общем случае волновое поле излучается двумя системами-парами
(Д /) и (S, g). В соответствии с физическим смыслом пару (Д /),
((5, g)) будем называть объемной (поверхностной) излучающей
системой, а само множество D(S) — объемной (поверхностной)
антенной. Таким образом, прямая задача излучения заключается в
нахождении потенциала Ф по заданным парам (Д /) и (S, g) и
схематически может быть изображена в виде
(Д /) + (5, g) - Ф.
Наряду с прямой задачей важное прикладное значение имеют
обратные задачи излучения волн, т. е. задачи, в которых требуется
восстановить излучающую систему — поверхностную или объемную,
либо обе вместе, по заданной информации об излучаемом поле. На
практике в качестве указанной информации о волновом поле очень
часто служит совокупность значений Фоо (я) потенциала Ф в точках
некоторой сферы Soo достаточно большого радиуса /?<*> (либо вне
этой сферы), расположенной по отношению к источникам излучения
в дальней зоне. С теоретической точки зрения право на
существование имеют три типа обратных задач, которые условно можно
изобразить в виде:
1) Фоо - (Д /), 2) Фто -> (5, g) иЗ)Фю-> (Д /) + (S, g).
Указанные задачи будем называть общими обратными задачами
синтеза излучающих систем соответственно I, II п III типа.
Следует, однако, отметить, что общая задача синтеза III типа
на практике обычно не рассматривается ввиду почти непреодолимых
математических трудностей, связанных с ее решением. Решение
первых двух задач также сопряжено с серьезными математическими
трудностями ввиду неизвестности в их постановках геометрии
антенны — участков D или S. Поэтому на практике часто
рассматриваются так называемые частные задачи синтеза излучающих
систем, в которых задаются не только значения потенциала Ф«>, но
и геометрия антенны:
1) (Фоо, D) - /, 2) (Фоо, S)-+g и.З) (Фоо, Д S) - (/, g).
Как вытекает из вышеизложенного, решение обратных задач
излучения сводится к нахождению функции Грина соответствующей
15*
219

прямой задачи и последующему определению плотности / или g из
уравнения вида (1) при Ф = Фоо. Отметим, что в простейшем
случае, когда jL==A + A:2, a 2 = 0, уравнение (1) принимает вид [1]
U-j J(y)dy = Ooo(x). (3)
J 4л \x—y\
Методы решения указанных уравнений можно разделить на
точные и приближенные. Точные методы аналогичны методам,
применяемым в теории обратных задач гравитационного потенциала.
Используя эти методы, в [1], в частности, показано, что уравнение
(3) может иметь бесчисленное множество решений. Приближенные
методы основаны на введении упрощающих предположений, среди
которых первостепенное значение имеет так называемое
приближение дальней зоны. Сущность его состоит в том, что функция Грина
(например, Gs) приближенно представляется в виде
G.U, y)~$(r)K(l, n; 9, ф) при \x\>R„, (4)
где £, 41 — безразмерные координаты точки у ^S; r, В, ф —
сферические координаты точки х\ г|)(г) —сингулярное решение оператора L\
К — некоторая безразмерная функция. Подставляя (4) в уравнение
(1) при D=i0, Ф = Фоо, рассматриваемое в точках x^S*,, можно
получить после деления на некоторое значение Ф0 потенциала О» (я)
интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
j J К (Б, т|; 9, Ф) U (Е, т|) <£*) = F (0, Ф).
s
Здесь U — неизвестная функция, имеющая смысл безразмерной
плотности; F(8, ф) = ФооЫ/Фо — заданная функция. Аналогичный
подход применим и в случае объемных излучающих систем.
Из анализа интегральных уравнений, полученных указанным
способом в некоторых частных, но практически важных случаях,
следует, что во всех случаях соответствующее однородное
уравнение имеет лишь нулевое решение [2]. Таким образом, можно
сделать вывод, что приближение дальней зоны позволяет, с одной
стороны, избавиться от необходимости отыскания явного выражения
функции Грина, а с другой — играет роль регуляризатора,
позволяющего избавиться от всех посторонних ыефизичных решений,
которые задача излучения могла бы иметь в точной постановке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев Г. В., Чередниченко В. Г. К теории обратных задач излучения
звука.— В кн.: Акустические антенны и преобразователи. Владивосток: ДВПИ,
1982, с. 54-57.
2. Алексеев Г. В. К теории многомерных задач синтеза излучающих систем.—
Журн; вычислит, математики и мат. физики, 1982, т. 22, № 3, с. 663—670.
220

Б. К. АМОНОВ, Е. А. БУБНОВ
О ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С ДАННЫМИ НА ДИСКРЕТНЫХ МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК
(Самарканд)
Пусть функция и(хи х2, t) в области !) — {(#!, x2, t)\x1 + x2^L\,
t > 0} удовлетворяет уравнению
d^ = Lu (1)
и условиям
u(xlk,0,t) = yok(t)
uXl (xlk, 0, t) = ylk (t) \ (t > 0), (2)
Ux2(xlk,0, t) = <p2k(t)
u(xu x2, 0) = ut(xu x2, 0)=0, (3)
где L = ап (хъ х2) — + 2а12 fo, яа) ^ дх + а22 (xlJ х2) — +
+ Ъ± {х1, х2) э^ + Ь2 (%, х2) ^ + h (*ь Ч)
и {#1А} — множество дискретных точек, лежащих на отрезке N =
= —--£; -^ и имеющих хотя бы одну предельную точку,
принадлежащую N. На коэффициенты накладываются следующие условия:
1) а212 — апа22 < 0;
2) a,-,- U, / = 1, 2) и 6fe (& = 1, 2, 3) обладают первыми
производными и удовлетворяют условию Гельдера с показателем \х, 0 < \х < 1;
3) а*,- и fcft ограничены сверху некоторой положительной
константой М.
Задача заключается в восстановлении функции и(хи х2, t) по
данным (pih(t) Q = 0, l, 2) внутри области D.
Применяя преобразование Лапласа по t к уравнению (1),
получим
2— 2~" 2~" л—
%i (*ъ *г) ^ + 2а12 (жх, я2) ^ ^ + а22 (хх, х2) -^ + Ьг (хг, х2) £ +
1 2
+ Ь2 (хи х2) ^т" + Ь4 (*ъ *2> p)u = Lu + b^(хъ х2, р) и = 0, (4)
где
221

= J ue~ptdt,
а условия (2) имеют вид
и
о
aUifc, 0, р) = ф0Л(р),
Мх1(^1Л,0,р) = ф1?1(р), (5)
Mx«(Slfc,0,p) = ф2Л(р).
После некоторых элементарных преобразований задача (4) —(5)
приводится к следующей задаче: найти решение обобщенного
уравнения Коши-Римана
при условиях:
где
d-W + Cl (z, p) W + с2 (z, p)W = 0 (6)
W(zft, 0, p)=U(p),
Wl(zht О, р)=Ыр), (7)
Wy*ft, 0, p)=f2k(p),
*i о*, p)=4[a■(&■r)' p) +*ь №, л. p)i,
c2 (2, p) = 4- Ia (&» 4. P)~ ^ (S. Л, P)I, (8)
лЙэЛ.Р). Ь(б.Л.Р). /te(p) -
— известные функции.
Теорема 1. Если фЛи)=0 U = 0, 1, 2), то и(хи х2, t) = 0
в области D.
Доказательство. Из условия доказываемой теоремы
вытекает, что /*&(/?)—О U = 0, l, 2). Поэтому на основании теоремы
Т. Карлемана в [1] уравнение (6) при условиях (7) имеет
единственное решение, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если
оо оо
max и |8Л<1, max |Vw|2df<l, (9)
Д о D о
оо оо
maxf|u|»di<e, max f | V«|sd*<е, (10)
" о N 0
го справедлива следующая оценка:
| и | < ехр (,„*) С3 {С4 ехр [с5 - JET^ Y (*)]}"(Р> М^9\
где 50, С3, С4, С5, Л/4 — положительные константы; *у(г), о)(/>) — не-
которые известные функции.
222

ЛИТЕРАТУРА
4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. 256 с.
М. А. АТАХОДЖАЕВ, И. А. ГАФФАРОВ
ОБ ОДНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
(Ташкент)
Требуется найти функцию и (г, ф), удовлетворяющую
следующим условиям:
Ди(г, ф)->с2гг(г, ф)=0, (г, ф) е= (О, RJ; (1)
и(Д«, ф)=/(ф), Д*<Д|. (2)
В задаче (1) —(2) не имеет места непрерывная зависимость
решения от данных
и>п (rf ф) = сп sin лф, ип (я2, ф) = сп sin Лф, сп = лтг=~"-
Тогда || ип (Л2, ф)|ь2[о,2я] ->- 0, || ип (г, ф) ||-* оо при п -+ <*>, где /л —
функция Бесселя мнимого аргумента.
Теорема. Пусть рассматриваемая функция и(г, ф)
удовлетворяет неравенствам
1|«»(Д1,Ф)Лр<1; (3)
О
2Я
1|^(Л2,Ф)йф<82, (4)
О
тогда имеет место и неравенство
2Я
If «*(г1ф)Лр<-^1
гая часть
уравнения
г)
где р — целая часть положительного корня р(г) трансцендентного
M**i) е' . '
причем р(е) -+■ °о при г -+• 0.
Для приближенного решения при условии (3) справедлива
оценка
223

где
П /fc(xr]
B»f = 2 / \KR ) (^ C0S fccP + d* Sin fc(P)> I/ —/el<e.
Если вместо условия (3) выполняется только неравенство
2Я
~J ^2(/?1.ф)^ф<°°,
О
то из неравенства
|и&)(г,ф)->и(г,Ф)|< 2 ^ я(4' + 4') +
„=1v+i [а'п №) + 'п (иЛ2)]
+ 2 Га/ /x/fl^ ГИД Ч' Я [(4 ~ С")2 + (4 - *^ +
у <(*г»п(Щ) (4 + 4
где
JV
4*) (г, ф) = 2 к/га(4га)+м^2)(с"cos геф + ^sin n<p)'
следует, что иа^)-^и при 6-^0, N -* °°, здесь единственный а —
оптимальный параметр регуляризации найдется из уравнения невязки
я2
«M**i)
2. 62
(42 + 42) = 6*
_«M**l)+M**2)
методом итераций (см. [2, с. 78]).
ЛИТЕРАТУРА
1, Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической
физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.
2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979. 288 с.
Б. М. БАГАЕВ
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
(Красноярск)
Рассмотрим уравнение с однородными граничными условиями:
Lu = —e2Au + a2u = f, (я, y)eQ; (1)
и = 0, (s, y)&dQ. (2)
224

Предположим, что
a, /eC2(Q), а>а>0, Q = {Х0 < a; < Хи Y0<y<Yi}. (3)
Используя работу [1], построим асимптотическое разложение
й = и0 + П + Q,
где щ = f/a\
Il^-iu0 (Хь у) e-'< W-W ъ(\х-Х<\),
z=o
<?1 = w0(X0, y0)yi(^, ff)^i(^ — X0, */-F0), -e2Aiv+a2(X0, F0)i;1 = 0.
Функции i72, (?2, (?3, $4 определяются аналогично в окрестности
точек (Хо, FJ, (Xi, F0), (Хи Y{) соответственно. Из работы [1]
следуют оценки:
О < % < а.
Здесь и далее через С( будем обозначать константы, не зависящие
от е, h, при этом
(1 *е=[0,8], [1 Me [0,б],
Ф (t) = |гладкая (е[6,26], ^ (t, s) = \ гладкая s,te[6,2S],
I 0 *е=[26,1], I 0 s,*e=[28,l],
| и - и | < С0 (в» + е (е-^х-^/е + е-к^-*>/8 + Г*^" +
Л-*(У1-!/)М\
+ е
5?11
ду
Яг ' Я» Г* о VI)
d2Q,
дхду
>
d2Q,
ду2.
<ktQ»
д\
dx*
х2
8
и выполнены аналогичные оценки для Q2f Q3, Ql.
Введем билинейную форму и норму
*(*»>-Я,'ё£+«'££+'Ч«.
\1/2
Построим разностную сетку с равномерными шагами /г4 =
=- (Xi-X0)/Ni, h2=z(Yi-Y0)/N2 (Nu N2>i). Введем билинейные
базисные функции щ(х, у) (см. [2]). Приближенное решение
запишем в виде
iVi-i.iVa-i
uh(x,y)= 2 <*1№*Ля,у) + Ф(х,у),
225

где
Ф = Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4+Р1 + Рг+Р3 + Л,
W,-l
Ф1= 2 »o(Xo,Yi)(^i(x,y)-e~a{X°'V){X~Xo)/S4(x-:xA
г=1
Ф2= 2 uAX1,Yi)^Nii(x,y)-e-a^y^-x^(X1-a:)),
Ф3= 2 u0(Xh Y0)(%o(x,.y)-e-a^Y^v-Y^(y-Y0)),
Ф4 = Y u0 (Z,, Ух) (ф (х, у) - e~a^Y^% (Yl - у)),
3=1 2 J
Р, = и0 (Х0, Y0) (2Фоо (х, у) - e-a{X»'Yo){x-X^ (х - Х0) -
-e-a^Y^-Y^{y-Yo)),
Р2 = и0 (Х0, YJ (2%N2 (х, у) _е-а< WX*-*^ (х - Х0)~
-e-a^Y^-^{Yl-y)),
Ps = и0 (Хи Y0) (2?JV (х, у) - е-а(х^о№-хУ\ {Xl -x)-
-e-a^Y^-Y^(y-Yo)),
P, = u0 (Хъ YJ (2Ф^Л (x, у) - e-alxi'Y№-*)\ {Xl -x)~
Система метода Галеркина записывается в виде
JVX—l,JVa—i
2 & (ф«» Ф»„) «у = (А О - # (Ф, Фтп),
i,j=l
/re
= 1 ЛГЖ — 1; n = i,...,Nt-l.
Теорема. Пусть коэффициенты задачи (1), (2) удовлетворяют
условию (3), гогда гшеег жесго оценка
Ни — илНе<Свй, /г ^maxUi, /г2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения [л2Аи — &2и = /. Дифферепц.
уравнения, 1973, т. 10, № 9, с. 1654—1660.
2. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 273 с.
226

в. м. волков
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(Новосибирск)
В областях D(Ti), i=l, 2, где D<^Rn, n>3, обладает
следующими свойствами: существует е > 0 такое, что Ке(0) <= D, где Ке(0) —
шар радиуса е с центром в точке х = 0; D — звездная относительно
точки х =* 0, для уравнения
щ — g(u)Au + q(u) + /(#, t)
рассмотрим две краевые задачи:
Ui\\=0 =фгЫ, X^D,
ди.
_1
дп
= М*,*). °<*<ть * = 1,2.
эсег
Пусть относительно решений этих задач известны в точке х = 0
функции
и,(0, *) = Vi(<), 0<t^Ti, i = 1, 2.
Наша задача заключается в отыскании функций а(и), д(и) по
известным функциям v*U), & = 1, 2. _
Теорема. Пусть функции ср*W e H3+a(D),
ц<(*, ^)еЯ2+а'1+а/2(ГХ[0, Г,]), /(ж, г)е#1+а>а/2(Л(Г<)),
v<U) еСЧ[0, 7\-]), г = 1, 2, ц удовлетворяют условиям
(х, ОеГХ [0, Т7*],
->
-*
дп
дср^х)
d?
^<о,
^<о,
< —«11
А
цЛ*, t) ^ -а2, (ж, «)еГХ [0, Т{], i = 1, 2,
max vx (0 = max v2 (*), | v/ fo) - / (0, *x) - v'2 (tt) + f (0, *2)| > a,,
где ti и t2 связаны условием ViU4) =v2U2); obi, а2, а3 —
положительные постоянные, а также выполнены условия согласования
дФ. (х)
дг
= juti (^г, 0), i = 1,2.
хег
Гогда решение обратной задачи единственно и устойчиво
относительно изменения функций Vi(t), i = 1, 2, в классе функций а(и) е
227

^C3([RU #2]), q(u) = C4lRi, Rzi\ \с'Ы)\<$, 1д'(и)1<р, v^oUX
^ \i, v > 0, \i > 0, и совпадающих на отрезке [Ди v2(0)].
Замечание. Условия ограниченности первых производных
|о'(и)1 < (J, \q'(u)\ ^ {} требуются при получении оценок
устойчивости. Теорема единственности может быть доказана и без данных
ограничений.
Доказательство. Аналогичная обратная задача по
определению неизвестного источника доказана в [1]. Доказательство
сформулированной выше теоремы проводится аналогичным образом,
а именно пусть нам заданы два решения обратной задачи
{иц(я, t), Uziix, t), Gi(u), qi(u)} и {щг(х, t), u22(x, t), g2(u), q2{u)},
соответствующие двум наборам функций К'нШ, v2i(t)} и {vi2(t),
v22(t)}. Обозначим
Vi(x, t) = Unix, t) — ui2(x, t), i = 1, 2,
a(u) = Gi(u) — о2(и),
q(u) — q^u) — q2(u),
Vi(t) =Vu(t) —Vi2(t).
Тогда для vdx, t), i = 1, 2, о(и*2), q(ui2) получим задачу
Vu = ai(uii)AVi+Ai(x9 t)v{i-a(ui2)Aui2 +q(ui2), (x, t)^D(Ti), (1)
yJi-o^O, я^Д (2)
Щ = 0, 0<t<rlf (З)
5w |эсег
i;,(0, t)=Vi(t), 0^t^Tu *=»lf 2. (4)
Выписывая решения вторых краевых задач (1) —(3) в интегральном
виде и используя условия (4), получим систему интегральных
уравнений для определения функций вЫ) и q(u), из которой после
преобразований следует оценка устойчивости, а как следствие — и
теорема единственности для рассматриваемой нами обратной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Волков В. М. Определение источника в квазилинейном уравнении
теплопроводности. Новосибирск, 1982. (Деп. ВИНИТИ, № 3155-82).
Е. А. ВОЛКОВА
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
(Новосибирск)
Исследуются две обратные задачи определения плотности среды
р и элементов шестимерпой, симметричной, положительно опреде-
228

ленной матрицы А, характеризующей закон Гука в анизотропной
среде.
Систему уравнений теории упругости можно записать в виде
симметрической ^-гиперболической системы.
U = 0, (1)
где Aj, j = 1, 3,— постоянные симметричные матрицы, состоящие из
нулей и единиц; матрица А0 имеет блочную структуру
К'1 О "1
О рЯ, ■
Л =
UT = (on, 022, а33, 012, 023, 031, Vi, v2, v3), здесь а^ — проекция на ось
Xj напряжения, действующего на площадке с нормалью,
параллельной оси Хи Vj— проекция скорости частицы на ось #,-. Система (I)
рассматривается в полупространстве {(#, t)\xi>0}.
Основной вопрос, который нас интересует, заключается в
следующем: можно ли, наблюдая за процессом колебаний границы
полупространства, найти плотность среды р и матрицу К, что
равносильно определению матрицы А0.
Рассмотрим для системы (1) матричное решение U = Ыц, i=
= 1, 9; / = 1, 3), удовлетворяющее условиям
U |*<0 = ^» Uid 1^=0 ~ — " \Х2 X2t ХЪ X3i tfiih \£)
Для задачи (1), (2) исследуются две обратные задачи.
Задача 1. Пусть A0 = A0(xi), х° = (0, 0, 0). Требуется найти
матрицу А0, если относительно решения задачи (1), (2)
дополнительно известно, что
uij 1^=0 — fa \x2i хъ-> 4i i — * »9; / = 1,3. (3)
Эту постановку удается исследовать при следующих
ограничениях на матрицу К:
з.) л14 == /с16 =* /^46 == и;
б) /си > fc44 > free > 0;
в) кхг — 1/кцкиФ0;
Г) ^15 Ф \К\2 У ^11^44) \"13 У ,^11^66/-
Обозначим множество матриц А0, удовлетворяющих этим условиям
через 2W. Справедлива
Теорема 1. Пусть А0(х{) ^С3[0, °°)П2Я. Тогда решение
обратной задачи (1) — (3) единственно при Xi e [0, °°).
Задача 1 является естественным обобщением задачи,
рассмотренной в [1] в случае изотропной среды.
Задача 2. Пусть А0 =* А 0Ы, точка х° = (0, х°2, xl) является
параметром задачи и пробегает все множество точек плоскости
229

Xi = 0. Требуется найти матрицу А0, если относительно решения
задачи (1), (2) дополнительно известно, что
uij 1*1=0 ^ fij 1^2» X3i ^» Х2ч x3/i l == ' »J» 7 === 1»«J- (4)
Исследование задачи 2 проводится в линейном приближении,
а именно, предположим, что матрица А0 в области {х, t\xi>0)
представима в виде
А0(х) =*А00(х{) +Aoi(x),
где А00^С3[0, оо) — известная матрица и удовлетворяет условиям
а)—г); A0i мала по норме пространства С2 по сравнению с А00 и
финитна по сГ2, #3 при каждом фиксированном xt ^ 0. Таким
образом, определению подлежит матрица A0i.
Представим решение задачи (1), (2) в виде
и = и \Xi, х2 — #2» хз хзч */ + с/ (#, t, #о)»
где С/0 — решение задачи (1), (2) при А0 — А00. Для С/1 получим в
линейном приближении задачу
{А^-%А^ц)и1 + АЛи^^ . (5)
V1 |t<0 = 0; ^ 1^=0 = 0; г, 7 = 1,3;
I = 7~9;
Uij Ui=0 — hid \X2i Х3"> t' Х2ч X3J — fij uij\x,=o . -—- (Ь)
7 = 1,3.
Справедлива
Теорема 2. Пусть А00^Ш. Тогда решение обратной задачи
(5), (6) единственно при — оо < ^2,^^3 < °°; 0 =^ #! < «>.
Задача 2 является естественным обобщением задачи,
рассмотренной в [2] в случае изотропной среды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения
сейсмических волн.— В кн.: Проблемы математической физики. Вып. 1. Л.: ЛГУ, 1966,
с. 68-81.
2. Романов В. Г. Обратная задача Лэмба в линейном приближении.— В кн.:
Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск,' 1982, с. 170—192.
А. С. ЗАПРЕЕВ
О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ
(Новосибирск)
1. В теории распространения волы большое прикладное
значение имеет прЪблема определения строения среды по заданному на
230

некотором многообразии волновому полю. Широкий класс
волновых процессов с достаточной точностью может быть описан
волновым уравнением. Поэтому указанная проблема часто приводит к
постановке обратных задач для волнового уравнения, а последние
в ряде случаев могут быть редуцированы к обратным задачам для
волнового уравнения Гельмгольца.
Обратные задачи определения правой части для неволнового
уравнения Гельмгольца (обратные задачи гармонического и мета-
гармонического потенциалов) рассматривались Л. Н. Сретенским,
П. С. Новиковым, В. К. Ивановым, А. И. Прилепко и др.
Коэффициентную обратную задачу исследовал А. Н. Тихонов в связи с
задачей электромагнитного зондирования.
Настоящая работа инициирована также некоторыми
проблемами, возникающими при интерпретации геофизических данных,
в частности данных электро- и сейсморазведки. Ниже покажем,
каким образом ряд обратных задач дифракции может быть
редуцирован к обратной задаче определения правой части уравнения
Гельмгольца, а также приведем теоремы единственности, которые
имеют место для последней. Отметим, что рассматриваемая нами
постановка обратной задачи учитывает многочастотность волновых
данных.
2. Рассмотрим задачу дифракции волпового поля на локальном
объекте.
Пусть* и(М) — решение волнового уравнения Гельмгольца с
кусочно-постоянным волновым числом
АиШ) + к2иШ)=0, (1)
где к = к0, M&Q; к = ки M&Q; М=Ши z), Iefln, z^R1; Q —
ограниченное открытое множество положительной меры, лежащее
в полупространстве {z < —б) <= #п, б > 0. Считаем границу Q глад-
/nj\ ди(М)
кои, и на ней выполнены условия непрерывности и\М) и —т—.
Пусть поле иШ) вызвано падающей из верхнего полупространства
плоской волной и0Ш) = exp (ik0z), параллельной плоскости {z — 0}.
Пусть вторичное поле v(M) = и(М) — щ{М) удовлетворяет условиям
излучения на бесконечности.
Эта дифференциальная задача эквивалентна следующему
интегральному уравнению:
и(М) -~^ f u{P)G(P;M) dVP + и0(М),М€= Q, (2)
h
где G{P; M) — функция Грина внешней среды. Причем, вне Q
функция и(М) находится также по формуле (2). Если норма
интегрального оператора уравнения (2) мала, то решение с хорошей
точностью приближается первым членом ряда Неймана
щ (М) = ^^ J щ (Р) G (P; M) dVP + и0 (Л/), М €= Q.
я
231

Отсюда получаем
(k\-k$)u0(M)%Q(M),
(3)
где %q(M) — характеристическая функция Q.
Малость нормы интегрального оператора в уравнении (2)
означает, что задача рассматривается в низкочастотном диапазоне. При
этом трудно надеяться на хорошее восстановление Q. Для
улучшения точности восстановления необходимо использовать
высокочастотную информацию. В случае высоких частот обратная задача
дифракции может быть приведена к аналогичной обратной задаче.
Пусть Q — абсолютно отражающее тело с гладкой выпуклой
границей, т. е. на границе dQ имеют место условия
да
дп
dQ
= [£ + £-•11 =о,
[ дп дп J |дй
щШ) — падающая из верхнего полупространства плоская волна,
v(M) — вторичное поле, удовлетворяющее условиям излучения.
Пусть главные радиусы кривизны dQ много больше длины волны
% = -г-. Тогда, согласно приближению Кирхгофа, v(M) дается
интегралом
"(М)-а1,^Ь(Р)"Р'%'У"Ь-
где <9Qi — освещенный падающей волной участок dQ.
выражение может быть приведено к виду
(4)
Последнее
1
v =-
8
J ^0тт*г- Jco^0 m&uw
*t
+ 0(8),
где Qi — слой толщины е около поверхности dQu соответственно
вне Q и внутри Q; ayh — некоторая осредняющая функция,
зависящая от расстояния h нормали от границы dQi. Отсюда получаем,
что v(M) приближенно удовлетворяет следующему уравнению
Гельмгольца:
Ду + к2и = 4 ®пЩ (XQ+ - Х0Л
3. Приведем постановку обратной задачи.
Пусть иШ) — решение уравнения Гельмгольца
Ди(АГ) + к2и(М) = Ф(Л) exp [z 9ШШМ), (5)
где к — комплексное число. Полагаем МАО— ограниченная,
измеримая, финитная функция, ее носитель Q — ограниченное
множество положительной меры, лежащее в нижнем полупространстве.
Пусть В — открытое множество с достаточно гладкой границей,
содержащее замыкание Q. Под решением уравнения понимаем
функцию иШ) из пространства W\, когда М^В, и из класса С°°,
232

когда M<£Q. Пусть и{М) удовлетворяет условиям излучения на
бесконечности.
Задача 1. Требуется по известному на гиперповерхности
{z = 0} семейству решений внешней прямой задачи для
уравнения (5)
икШи 0) = fk(Mi), к^А, (6)
где А — некоторое множество волновых чисел, определить
функцию h Ш).
Имеют место следующие результаты.
Теорема 1. Пусть А—множество комплексных чисел,
имеющее конечную предельную точку. Пусть ф(/с) — комплекснознач-
ная функция, отличная от нуля на А, 0(/с) — функция
аналитическая и ограниченная в окрестности предельной точки множества А.
Тогда решение задачи 1 единственно.
Теорема 2. Пусть Q расположено в слое {—а ^ z < — б <
<0}с=Дт (иг = 2, 3). Пусть выполнено одно из условий:
1) А =|/сп| \кп\ = —, п^Ю <=/?, где N — множество
натуральных чисел; д(к) =0; h(M) — комплексно значна;
2) А == |&п||й;п| = |^' п<=№ <=/?; Q(k) = ik (i —мнимая
единица); h(M) — действительная функция.
Пусть ф(/с) отлична от нуля на А. Тогда решение задачи 1
единственно.
Теорема 3. Пусть M<=Rm (т = 2, 3). Пусть
А—множество комплексных чисел к таких, что множество точек Uk, —ik}k(=A
содержит счетное подмножество чисел (^п) ?г—i (ReA,n>0), удовлет-
воряющих условию расходимости ряда 2 (1 + I ^nl2)-1" Re^n.
n=l
Пусть фШ отлична от нуля на подмножестве А, соответствующем
множеству {^п}п=х. Пусть 8Ш=0, h(M) — действительная
функция. Тогда решение задачи 1 единственно.
Отметим, что доказательства теорем, вообще говоря,
конструктивны, т. е., следуя им, можно получить алгоритмы обращения,
позволяющие строить функцию h(M) по данным (6).
В отделе математических задач геофизики Вычислительного
центра СО АН СССР простейший случай такого алгоритма (фШ =
= 1, 8Ш = 0, M^R3, h(M) — действительна) численно реализован
С. П. Виноградовым п В. А. Чевердой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Запреев А. С. О единственности определения правой части волнового
уравнения.—Геол. и геофиз., 1981, № 4, с. 113—119.
2. Запреев А. С, Чеверда В. А. О некоторых обратных задачах для волнового
уравнения.— В кн.: Математические методы решения прямых и обратных
задач геофизики. Новосибирск, 1981, с. 39—54.
16 Заказ Nt 717
233

С. И. КАБАНИХИН, В. И. ПРИЙМЕНКО, К. АБДИЕВ
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ
ПОВЕРХНОСТНОГО ИСТОЧНИКА ТОКА
В ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
(Новосибирск)
Рассматривается следующая обобщенная задача Коши:
аЕ = rot# + у, \
£* + rot*-0, ^*»f«>0fJ W
£Uo = 0, #l*=0 = 0, x<=iR\ (2)
Здесь
у = h(xi, х2)8(х3, t),
o = diag (OiUs), OiUs), o2U3)),
А —финитная функция класса C4(/?2); огг(#3) — ограниченные
строго положительные функции класса C3~4R). Аналогичные задачи
были исследованы широким кругом авторов, начиная с А. Н.
Тихонова [1].
В данной статье предлоячен новый алгоритм построения
решения задачи (1), (2), основанный на формулах, связывающих
решение задачи Коши для параболического уравнения с решением
задачи Коши для некоторого гиперболического уравнения [2].
Рассмотрим вспомогательную задачу
o±U = votV + j, )
x<=R\t>0,\ (3)
°V + rotU = 0,
ot J
17|,_, = 0, VI,=o = 0, jeff. (4)
Обозначим
w = {u,j-tu j^iw^w^w,).
Теорема. Пусть решение задачи (3), (4) существует и
обладает следующими свойствами: ,
1) W\€=C4Q), й = 1, 2, 3; Q = {z, t\t>\s(x3)\, xe=R3},
*з
s= f Ya1(k)dX;
о
2) для любого x^R3 существуют М{>0, М2>0 такие, что
\Wh(z, t)\<MiexviM2t}1 t>\s\, & = 1, 2, 3.
234

Тогда решение задачи (1), (2) существует и представило
в виде
V ° 1 (5)
оо j
Я(а;'0 = лЬ75'1техр{_ЭУ(;г'т)Л-
V Q )
Формулы (5) введены и использованы для исследования
обратной задачи для системы (1) в работе [3].
Алгоритм численного решения задачи (3), (4), основанный на
комплексировании неполного разделения переменных с методом
конечных разностей, изложен в работе [4].
Отметим, что указанный конечпо-разностный алгоритм
решения прямой задачи может быть использован для численного
решения обратной задачи, т. е. задачи определения тензора с по
измеренному на поверхности х3 = 0 электромагнитному полю, вследствие
взаимно однозначного соответствия между решениями задач (1),
(2) и (3), (4), а также результатов работ [5, 61.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н. О становлении электрического тока в однородном проводящем
полупространстве.— Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз,, 1946, № 3, с. 243—
247.
2. Резницкая К. Г. Связь между решениями задачи Коши для уравнений
различного типа и обратные задачи.— В кн.: Математические проблемы
геофизики. Вып. 5, ч. 1. Новосибирск, 1974, с. 45—55.
3. Приименко В. И. О единственности определения тензора проводимости в
.одномерно-неоднородной среде.—В кн.: Вопросы корректности обратных
задач математической физики. Новосибирск, 1982, с. 120—130.
4. Кабанихин С. И., Абдиев К. Численное моделирование начальной стадии
процесса становления электрического тока и его использование в задаче
определения тензора проводимости.— В кн.: Вопросы корректности обратных
задач математической физики. Новосибирск, 1982, с. 85—94.
5. Романов В. Г., Кабанихин С. И.^ Пухначева Т. П. К теории обратных задач
электродинамики.—Докл. АН СССР, 1981, т. 266, № 5, с. 1070—1073.
6. Кабанихин С. И. Конечно-разностный метод определения коэффициентов
гиперболической системы первого порядка.— В кн.: Единственность,
устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск, 1980,
с. 36—44.
16*
235

У. Э. КОБИЛОВ
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
(Ташкент)
В данной работе исследуется задача
^ + ^=0 -л<*<л, 0<*/<Ь (1)
дх ду"
при условиях
и (я, 0) = /(*), u',(x,0) = g(x), (2)
и (— л, у) = и (л, у), их (— я, у) = их (л, I/). (3)
В задаче (1)—-(3) не имеет места непрерывная зависимость
решения от данных:
1
ип (х, у) = ап ch /гг/ cos пу, ип (хч 0) = ап cos га, ап = — .
Т°ГДа ||ип (х, 0)|ь2[-я,л] ~> 0, ||ип {х,у)\\-+оо
При П -* оо.
Теорема. Пусть рассматриваемая и{х, у) — гармоническая
функция, определенная в полосе 0^ у ^Ь и удовлетворяющая
соотношениям (3), и, кроме того, выполняются неравенства:
л
2Н" j w2(x,b)d*<M2,
— Л
1 ^
2^ J и2 (я, 0)^<e2, (4)
-л
л
1 г
2^ \ и\ (х, 0) dx ^ в2,
— л
то имеет место неравенство
1 Г т2(Ч)
2^ J u2(z,i/)dr<(!/2 + l)MbeV ъ>.
— Л
Эта теорема доказывается аналогично, как в работе [1].
Для приближенного решения при условии (4) справедлива
оценка
,, п /, v t ч и ^ / 1 , sh т/\ , л г Г ch 1/ (п + 1) , sh у (га + 1) "I
ISn(/г, ёг)~и (х, к)Ке (ch тгу + —) + М [^^Г^ + s-hTF+1)J.
236

где
п
Вп (/, g) = 2 (йк ch кУ cos ^ + ь^ пг sin ^)»
afe = 2я I f(x)cos ^ ^#, ^= "2я 1 ^(^) sinAarAr.
—я —я
Если вместо условия (4) выполняется только неравенство
я
2^ и2(х, b)dx< + оо,
—я
то из неравенства
оо
n=^V+i (1 + arashreb)
J±oo (1 + «» sh nb)2 V "; „^ (1 + an sh *b)2
следует, что
N fi
JV / V Ann sh Л& in* /
Иа(в> (*,»)= 2 l+a/zsh^6 -**(*'»>
n=-N '
при б ->■ О, Л" -+■ оо. Здесь единственный а-оптимальный параметр
регуляризации находится из уравнения невязки
п
П=—оо
а„ sh пЪ
2 А2
А* = б2
[1 + a/г sh пЪ\
методом итераций (см. [2, с. 781).
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.—Изв. АН СССР.
Сер. мат., 1956, т. 20, № 6, с. 819—842.
2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979. 286 с.
Н. Г. ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, В. П. ФЕДОСОВ
О НЕКОТОРЫХ ОБРАЩЕНИЯХ СВЕРТКИ
(Новосибирск)
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра первого рода
с разностным ядром
х
$K(x-y)<t(y)dy = f(x). (1)
237

Его формальное решение в трансформантах имеет вид
у(р)=7(р)/К(р\ Р^С\ ' (2)
где чертой сверху обозначено преобразование Лапласа.
Поскольку функции с экспоненциальной мажорантой
конечного роста
Ж*)|<М*ехр(М); a,t(=R\ (3)
имеют аналитическое £(лапласовское)-отображение при о>а,
причем
р = а + т; со = const; lim ty (p) = О,
р-»оо
то целесообразно выделить класс ядер К, L-отображеиие
которых обладает следующим свойством:
limprK(P) = i; pr = p11pl2...Pnn. (4)
р->эо
Нетрудно показать, что при этом величину К~*{р) = 1/К(р) можно
представить в форме
K-'{p)=PM{p)/Q{p), (5)
где Р{т)(р) — полином степени т\ Q(p) — функция со степенным
ростом q = m — r, т>г>0, т = (ти т2, ..., mn), (7 = (?i>?2» • • •"
...,gn), w, деД+; Щ. здесь и в (3) — выпуклый острый конус.
Подчеркнем, что Ш{ — максимальная степень р{ в Р{т)(р), Qi —
степенной рост pi в Q(p).
В силу линейности свертки, являющейся левой частью (1),
и соотношения
ь(£ф)=^б%ф)=рУф(р)' (6)
я v я vl я vn v vl vn cv cvl kvn
где дх = dxi .., дхп ; p = px ... pn \ о = 6X . . . 0„ ,
а бг = бixi) — дельта-функция Дирака, решение уравнения (1)
приобретает вид
Ф (*)=]" в(^-1/)Р(т)(^)/Ы^, (7)
причем k<n, 0 = L"1(e_1(p)), ^т (^-] — полиномиальный
дифференциальный оператор.
Рассмотрим случай ядра типа потенциала:
к%ф = кпр{т)Ф = J а: ^ - у) р(т)(|-) ф (у) с&, (8)
238

р —достаточно гладкая функция и р(0)¥=0. Для векторов из Rn
п
можно ввести норму | л/г | = ^т{ц определить показатель коррект-
ности оператора К^ в виде
a (#(nm)) = /г + | и01 — | /гоо 1 — \ то J. (9)
При этом а(#Г}) = l + noi—nooi — mi, (Ю)
f—\iv \x.<0; [О, [х.<0;
Где Щг = \ п -^л поа=\ ^п
(О, |^.>0, [|i., ^.>0,
т. е. ?г0, тгоо — порядок нуля либо полюса в Ve(x) — шаре радиуса &
с центром, принадлежащим ребру х = у:
VE(x) = [y: \х-у\<г]. (11)
Можно показать, что L-отображение оператора К^ имеет
следующую асимптотику при р-+ <х>:
L(KnP<m))~p-^Kn К (12)
Кроме того, из. приведенных выше формул следует
. a(£-i)==_a(£>; а,(Х-1) = -аг(Ю. (13)
Операторы Кп, Р{т) коммутируют на классе функций,
обращающихся в нуль при t ^ 0 вместе с производными до порядка а
включительно:
\к{х-у) 1*тЦ) Ф (у) dy = Р(т) (£) J К (х - у) Ф (у) dy. (14)
Если носитель функций' ф, / из (1) компактен в i?+, т. е.
ограничен со стороны конуса Щ. (множество А ограничено со стороны
конуса Г, если ЛсГ + S, где В — компакт), то решение (7) также
справедливо. Если функции на границе носителя не обращаются
в нуль со своими производными, то операторы Кп и Р{т) на этом
классе функций не коммутативны п решением (1) служит
следующее выражение:
ф (*) = Р(т) (■£]J e(*-y)f (у) dy. (15)
Отметим, что под множеством корректности оператора А
понимается некое банахово пространство, в норме которого оператор
Л-1 является ограниченным.
239

Л. И. ПРИЛЕПКО, А. Л. ИВАНКОВ, Д. Г. ОРЛОВСКИЙ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(Москва)
Для гиперболической системы первого порядка
п
Щ = S AiUx. + Ви + Ф/, (1)
рассматриваемой в полупространстве x^Rn, t>0 с данными Коши
и(х, 0) = и0(х), x<=Rn, (2)
ставится задача определения функции /, зависящей только от
переменной t; А{ (1<1</г), В и Ф — матрицы размера NXN,
зависящие от х, t; и и / — ^-мерные векторы. Дополнительная
информация задается в виде
и(х0, *)=ф(*), t>0. (3)
Обозначим через В3 класс функций, имеющих непрерывные и
ограниченные производные до порядка s включительно, W2 —
пространство Соболева.
Теорема. Пусть симметрические матрицы Ai<^ Ct(Bs+2), B&
е С,W), s> Щ + 2, и0е= Ws+\ ф s С?(Ял), ФеС,(Ws2+1) и
выполнено условие согласования и0(х0)=у!р{0), причем |det<D(#o, t)\¥=
=^= 0, тогда задача (1) —(3) имеет единственное решение в классе
u^C]{Ws2)') f^Ct(RN). При этом меСДИг *) и решение
непрерывно зависит от начальных данных на отрезке £е[0, Т].
W2 \[0,Г] ^2 J „
sup || / ||д^ < М (sup || Црг ||R + I и0|| s+1'\
U0.TJ \[о,Г] W2 J'
Существование решения доказывается сначала для системы с
коэффициентами, не зависящими от переменной t, методом
полугрупп, который позволяет свести обратную задачу к интегральному
операторному уравнению Вольтерра второго рода. В общем случае
используется метод «замораживания» коэффициентов. С помощью
энергетического неравенства устанавливается единственность
решения.
Отметим также, что теорема справедлива и в случае
регулярно гиперболической системы.
240

Для стационарного одиоскоростного уравнения переноса
^ (s, grad ф (х, s)) + ф (я, 5) — ХЬ (ж) J ф (я, О ds' = F (ж, s), (5)
где s*=Q, Q = {5:se/?n, Ы = О, x^G, GciRni n = 2, 3, причем
G — ограниченная, строго выпуклая область с гладкой границей,
рассматривается граничное условие
<p(s, s)=0, (х, s)e=dGXQ, (ъ, ri<0. (6)
Здесь АгЛ — внешняя нормаль к 0G в точке я; <96? — граница
области G; (/г*, s) — скалярное произведение G в /?п. Обратные задачи
ставятся следующим образом.
Задача 1. Найти а(х) по значению решения прямой задачи
<р(#, s) на dG X й.
Задача 2. Найти Fix, s) по значению решения прямой
задачи ср(#, s) на «9GXQ.
Имеют место следующие теоремы единственности.
Теорема 1. При выполнении следующих условий:
1) ЬЫ^О; _
2) FU, 5) = fix)gis), gis) е= C(Q), #Ы > 0, seQ, /Ы > О,
/<*>e^<5)f^ = 0,Vi,/ = 1,2,3;
3) а^я), а2(я)е={/}00 ад G, а^я) >0, а2(я) > 0 почти всюду
на G, решение задачи 1 единственно.
Теорема 2. Пусть Fix, s) = v\(z) и функции ц(х), aix), Ь(х) —
аналитичны в G. Тогда, если X не является характеристическим
числом интегрального оператора Пайерлса:
Кп=) К (х, у) а (у) Ъ (у) г| {у) dy,
G
а(#) > О, Ъ{х) >0 почти всюду, то решение задачи 2 единственно.
А. И. ПРИЛЕПКО, В. В. СОЛОВЬЕВ, А. Е. УЗЛОВ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(Москва)
Для уравнений параболического типа в области QT = Rn X (О, Т]
рассматривается задача определения функций и(х, t) и fiy, t) из
условий
ut=Lu + fiy, t)g,(x, t) + g2(x, t), (x, t)^QT, (1)
uix, 0)=фЫ, x^Rn, (2)
241

u(y, dm+u ..., d„, t)=h(y, t), (x, y)<^Rn, J^tO, T],
(3)
Теорема 1. Пусть L — равномерно эллиптический оператор
с коэффициентами из #a-a/2p(QT), gx(x, t), g2(x, ^Яа'а/2р(0),
фЫеЯ2^(йп), Л(у, «Ei/^^^t^XtO, Я), 0<^< 1^(^)1,
ф(г/, 0, ..., 0) = h(y, 0), тогда решение задачи (1) —(3) существует
и единственно.
Исследуется также задача определения коэффициентов
уравнения (1). Задача (1) —(3) допускает обобщение на случай, когда
правая часть имеет следующий вид:
п
г=1
где надо определить функции /*(г/, t) (Кг<гс) по
дополнительной информации
и(Мш+1 d(»,t) = hi(y,t).
Решение этой задачи также существует и единственно, для
нее проводились расчеты на ЭВМ, а также показана сходимость
Л1 устойчивость численного метода.
А. М. ФЕДОТОВ, Т. СЫДЫКОВ
ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЙ МЕТОД
ДЛЯ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ
(Новосибирск, Фрунзе)
Рассматривается задача восстановления функциональных
зависимостей (фильтрации), исходными данными для которой являются
измеренные значения функции на некоторой равномерной сетке
«значений аргумента.
1. Пусть измеряемая функция x(t) является элементом сеиа-
рабельного гильбертова пространства непрерывных функций X,
заданных на интервале (0, Т) (например, W£(0, T) при р>1).
Рассмотрим равномерную сетку {tn}n=0 значений аргумента, ^ = 0,
^ = Т с шагом hi = T/N. Измеряемой величиной является вектор
zN^EN+i с компонентами zn = x(tn), n = 0, 1, ..., N. Так как
любое измерение нельзя провести точно, будем предполагать, что
вместо точного значения исходных данных нам задано
приближенное значение
zN = zN + %ezEN+l, (1)
242

где %N — случайная величина, реализации которой моделируют
ошибки в задании исходных данных; М [|, и]в^+1 = 0 и М[|,
ubjv+1 [1>v]ejv+i = [Ди' vbjv+i Для любых u, ve£x+1, Здесь
М — оператор математического ожидания, [•, -]н — скалярное
произведение в евклидовом (гильбертовом) пространстве Н.
Как правило, рассматриваемая задача фильтрации
принадлежит к классу некорректных [1, 2J. Изучение задачи фильтрации
восходит к Н. Винеру; из последних работ, где имеются близкие
результаты, следует отметить [3—7J. Наша постановка задачи
близка к постановке, предложенной в работе [4], однако для ее
решения предлагается иной подход, изложенный в [8—10],
основанный на теории статистических решающих правил, (процедур).
Построение оптимальной фильтрации в данной работе ведется
на основе приближения по некоторой системе базисных функций.
Решение задачи строится в виде проекции на соответствующее
конечномерное подпространство, а оптимальность понимается в
смысле выбора наилучшей размерности конечномерного
подпространства. Таким образом, построенное решение не будет оптимальным
по точности, но, как показано в [8, И], является оптимальным по
порядку и состоятельным (регулярпзующим).
2. Пусть Y — гильберт-шмидтовское расширение пространства
X, В : Y -+ X — оператор вложения В е 2?HS. Рассмотрим
произвольную аппроксимирующую последовательность {Ym}m=i
конечномерных подпространств для пространства F, YM a YM+U Пусть
{фт}т=1 — произвольная система базисных функций в
пространстве YM, a {il)m}m=i — сопряженный базис [фг-, %1у = бг> Следуя
[7—11], дадим определение решающей процедуры (решения) "для
задачи фильтрации.
Произвольное линейное отображение LNM ; EN+l -> YM вида
^ м ^ м
LNMZ= 2 [z, lmjEjv , /pm = 2 [Qn(%) + SJm]E^+19m (2)
m=l m=l
будем называть решающей процедурой для задачи фильтрации.
Здесь QN : X -+• EN+l — оператор проектирования, соответствующий
процессу измерения функции. Качество произвольной решающей
процедуры характеризуется ее функцией риска:
®(хгЬгт) = М\\х- LNU(QN(х) + 1)$.
Согласно лемме о разложении функции риска, для произвольной
линейной решающей процедуры [11] имеем:
$ (я, LNM) = || х — LNMQNx$ + tr (LnmRLxm) =
= Ax (x, LNM) + A2 (/?, LNM),
где Ai, A2 — систематическая и случайная компоненты
погрешности решающей процедуры LNM соответственно,LNM : Уд/-^ £V+i—
оператор, сопряженный к LNM, R : EN+i -+ EN+i— корреляционный
243

оператор случайной величины %, реализации которой моделируют
ошибки в задании исходных данных.
3. Рассмотрим вопрос об оценке компонент погрешности.
Согласно определению следа в гильбертовом пространстве, получим,
что случайная компонента погрешности равна:
А2 № Lnm) = tr [LNMRLNM) ^ || R [| tr (LnmLnm) =
м
= IR || tr (ФМАМ) < IRI 2 ||Ф ЛI Im I2en+1, (3)
где Фм = (Ф#), А = (^ij) — матрицы с компонентами Ф# =
= [фг 9|j]y» ^ij = ['ь b'l^iv+i соответственно. Как уже отмечалось,
мы ограничимся рассмотрением только проекционных решающих
процедур. Решающую процедуру будем называть проекционной на
подпространстве Ум, если для любого y<=YM АДг/, LNM)=0. Тогда,
согласно [12], существует монотонно убывающая функция g(M)\0
При Д/-НОО, ЧТО
Ах (х, LNM) = | х - Ljvm&v* ||£ < g (Д/) |] я* fY = g (M) \\х |||. (4)
Построение проекционной решающей процедуры сводится к
построению кубатурных формул вида
Лт
[X, ^тЪ = [1m, QnX]En, = 2 ^nm^ (*n), ttl = 1, 2, . . . , М,
7г=о
точных для всех х ^ УлГ. Если М =ЛГ, то такая кубатурная
формула единственна, поэтому следует выбирать М < N, а возникающий
при этом выборе произвол в определении коэффициентов формулы
{lm}^f=1 использовать для минимизации случайной ошибки.
Учитывая, что с ростом М размерности аппроксимирующего
подпространства случайная ошибка возрастает, а систематическая
уменьшается, получим, что для рассматриваемой задачи существует
оптимальное значение размерности Afopt, минимизирующее риск.
4. Пусть X = W2(0, Г), y = L2(0, Г), тогда случайная
компонента погрешности с учетом того, что{1т}т=1 суть коэффициенты
кубатурных формул с наименьшей нормой ||1т1|я^+11 равна
Д2(Д, LNM) < C2\\R\\M/N, -C2 = const, а систематическая определяется
точностью аппроксимации Соболевского класса функций (см. [12])
Wg [С; (О, Г)], С =з const подпространствами {Ym}m=v Наилучшая
аппроксимация такого класса дает следующую оценку
систематической погрешности (колмогоровский поперечник):
Эта оценка достигается при аппроксимации сплайнами или
тригонометрическими полиномами. В этом случае $/opt ^ (N/\\R\\)i/{2p+i\
а функция риска оптимального проекционного метода
Шх, Lopt) X (N/WR\\)-2*/{2p+l).
244

Численная апробация предложенного метода фильтрации дала
полное совпадение с описанной выше теорией и па модельных
примерах удовлетворительное совпадение с точными
решениями [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979. 288 с.
2. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шншатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
3. Ляшко И. И., Диденко В. П., Цитрицкий О. Е. Фильтрация шумов. Киев:
Наукова думка, 1979. 232 с.
4. Марченко Н. А., Пергамент А. X. Некоторые вопросы теории приближений
и задачи фильтрации. Препринт № 178. М.: изд. Ин-та прикл. математики
им. М. В. Келдыша АН СССР, 1979. 20 с.
5. Арсенин В. Я., Зябрев Н. Б. О построении приближений к оптимальной
фильтрации. Препринт № 4. М.: изд. Ин-та прикл. математики им.
М. В. Келдыша АН СССР, 1978, № 4, 10 с.
6. Василенко В. А., Зюзин М. В. О применении осредняющих функций в
задачах обработки экспериментальных данных. Препринт № 59. Новосибирск:
изд. ВЦ СО АН СССР, 1979. 18 с.
7. Федотов А. М., Сыдыков Т. Проекционно-сеточный метод решения задачи
фильтрации. Препринт № 395. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1982.
19 с.
8. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в
исходных данных. Новосибирск: Наука, 1982. 189 с.
9. Лаврентьев М. М., Федотов А. М. О постановке некоторых некорректных
задач математической физики со случайными исходными данными.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1982, т. 22, № 1, с. 133—143.
10. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных.
См. наст, сборник.
И. Федотов А. М. Оптимальные линейные решающие процедуры для
линейных операторных уравнений со случайными ошибками в данных.— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1981, т. 21, № 5, с. 1075—1090.
12. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач
математической физики/Под ред. К. И. Бабенко. М.: Наука, 1979. 295 с.
А. ХАЙДАРОВ
ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(Самарканд)
Ряд прикладных задач связан с определением коэффициентов
эллиптического уравнения по некоторой дополнительной
информации о решении. Подобные задачи называют обратными. Как
правило, они некорректны по Адамару и часто нелинейны. За
последнее время по обратным задачам получены существенные
результаты [3, 8].
В настоящей работе неизвестный коэффициент считается
независящим от переменной хп и в дополнение к данным Дирихле
245

на части гиперплоскости хп = 0 задаются данные Неймана.
Получена теорема единственности для неизвестного коэффициента.
В доказательстве используется метод ортогональности, впервые
предложенный П. С. Новиковым [1] и развитый в работе [2].
Аналогичная постановка задачи для уравнения гиперболического типа
предложена в [41 и исследовалась в [61. Для параболических
уравнений задача исследовалась в [7] при условии «малости»
неизвестного коэффициента, а в [5] получена теорема единственности
и устойчивости в «целом».
Пусть D — ограниченная область с гладкой границей класса
C(2,M в евклидовом пространстве En-i\ Т — цилиндр DXI; I —
интервал (-#, 0); #>0. Обозначим Г0 = £Х{0}, Г- = £>Х{-#},
Г = дА(Г0иГ_).
Теорема. Если решения и1 и и2 двух краевых задач:
-Awj+aV = 0 на Г(а>>0, а]ЕС(оД)(в),4п = 0), (I)
u5 = g на дТ, (2)
где g = 0 на Г U Г_, g^C{2>», Ag^O, g#0, Ag = 0 на dDXiO),
удовлетворяют условию
uln = uln на Г0, (3)
то а1 = а2.
Вначале приводим леммы.
Лемма 1. При условии теоремы существует решение
задачи (1), (2) в классе С^%){Т).
Доказательство леммы использует классическую теорию
краевых задач для областей с гладкими границами, четное
продолжение относительно гиперплоскости Г и нечетное относительно Г0.
Кроме того, в силу условия а%п = 0 заметим, что
Лемма 2. Если uj — решение задачи (1), (2), то и'>0,
4п>0на Т.
Доказательство. .Положительность и} вытекает из
принципа максимума для эллиптических уравнений.
Дифференцируя обе части уравнения (1) по хп и обозначая
v = и3Хп, получим
-Ai; + aji; = 0 на Т. (4)
Выражая иХпхп из уравнения (1) на Г0 U Г_ и дифференцируя
и по хп на Г, получим краевые условия
lvXn = a3g — Ag>0, vXn#0 на Г0, vXfi = 0 на Г_,
\v = 0 на Г.
Отметим, что в силу эллиптичности уравнения (1) и
независимости а? от хп функция уеС(2-м(Л. Очевидно, i;eC(1'M(D.
2 46

По принципу Зарембы-Жиро минимум у достигается на Г и,
стало быть, min у = 0. Таким образом, иХп > 0 на Т, так как у не
постоянна.
Доказательство теоремы. Пусть и = к1 — иг. Тогда из
(1), (2)
—Аи + ахи1'+ а2иг = 0.
Откуда
—Аи + аги = аи{ (а = а1 —а2), (6)
w = 0 на 07\ ^ = 0 на Г0, ие^'^Г), (7)
Лемма 3. Если и удовлетворяет условиям (6), (7), то
] vauldx = \ uXnvdT (8)
т г_
<9ля любой функции у:
-Ау + а2у = 0 в Г; (9)
у = 0 на Г, уеС(1'1,(Я. (10)
Доказательство. Из уравнений (6), (9) и формулы
Грина имеем
J vauHx = j [v (— Аи + a2w) — w (— Ay + a2u)] dx =
т г
= ] (^iv^ — ЗДУ) dT = — j uvdT
дТ Г_
в силу условий (7), (10). Если учесть, что внешняя нормаль N на
Г- противоположна направлению хп, то получим равенство (8).
Продолжаем доказательство теоремы. Предположим аФО.
Введем обозначения D+ = {ieD, а(#) >0), D- = {x<^D,
aUXOK
Предположим, что D_ = 0. Тогда D+ Ф 0. Выбирая в
качестве у решение первой краевой задачи (9), (10) у = 0 на Г_, у>0
на Г0, получаем противоречие с равенством (8)
\ vauldx > 0,
г
так как в силу принципа максимума v > 0 на Г, а ^ 0, а Ф 0 на D
и и1 > 0 на Т по лемме 2. Аналогично невозможен случай D- Ф 0,
£+ = 0.
Таким образом, для доказательства можно считать D+ Ф 0,
Z)_¥=0.
Если у, ^сС(2, }(Г) и у удовлетворяет условиям (9), (10),
то и vXn удовлетворяет этим же условиям. По лемме 3
247

f vau4x = 0 (11)
для любой такой функции v с дополнительным условием v = О
на Г_.
Интегрируя по частям (11), получим
] vauldY — ] vau}dY — j avu\ndx = 0.
г0 г г
Отсюда в силу условий (2)
f vau4T — f aulvdz =0. (12)
г0 г
Обозначим через ф ограниченную и измеримую функцию на Г0
такую, что
_ J1 на Г0+,
ф ~ 10 на Г0_,
где Г0± = ix, (xh х2, ..., xn-i) e D±, хп = 0}.
Выберем последовательности функций фь е СЦ° (Г0),& =1,2,...
таких, что 0 < cpfc < 1, ф0 < фл, фл -* ср в ^(Г0).
Заметим, что ф^ можно построить с помощью усреднений.
Обозначим через vh решение задачи:
—Avk + a2vk = 0 в Т,
vk = 0 па Г, vh = 0 на Г_, vk = фл на Г0.
По принципу максимума из 0 ^ ф^ < 1, фь^фо вытекает
0 < vfc < 1, v0<vk на Т. (13)
Полагая в (12) v = vk и обозначая Т± = D±X/, получим
0 •-= J щаиЧТ — ) aulnvdx — J aulnvhdx ^ ) ф^аыЧГ —-
г0 т+ г_ г0
— ] аиЧх— j aulvQdx (14)
в силу (13) и неравенств а>0 iiz4n > 0 на Г+, а<0,^эсп> 0 на Т-.
Переходя к пределу в (14) при &-*«>, получим
0 ^ ( бшЧГ — J auldx) — \ au^v^dx > 0,
так как последний интеграл строго отрицателен в силу неравенств
леммы 2 и (13), а слагаемое в скобках есть нуль.
Полученное противоречие показывает, что
а1 = а2,
и теорема доказана.
248

ЛИТЕРАТУРА
1. Новиков П. С. О единственности решения обратной задачи теории потенциа- ^
ла.— Докл. АН СССР, 1938, т. 18, с. 165—168.
2. Прилепко А. И. Об обратных задачах теории потенциала.— Дифференц.
уравнения, 1967, т. 3, № 1, с. 30—44.
3. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
4. Исаков В. М. О единственности решения некоторых обратных
гиперболических задач.— Дифференц. уравнения, 1979, т. 10, № 1, с. 165—167.
5. Исаков В. М. Об одном классе обратных задач для гиперболических
уравнений.— Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № б, с. 356—359.
6. Романов В. Г. Об одной обратной задаче для слабо связанных
гиперболических систем первого порядка.— В кн.: Некорректные математические задачи
и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976, с. 135—148.
7. Dummel S. On some inverse problems for partial differential equations.—
Equadiff IV, Proc. 1977, Lect. Not. Math., 703, Springer, 1979, p. 93—98.
8. Бухгейм А. Л., Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса
многомерных обратных задач.—Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 2, с. 269—271.
М Заказ Nt 717

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Раздел первый
A. X. Амиров. Об одной обратной задаче для кинетического уравнения 4
Ю. Е. Аниконов. О многомерных интегральных уравнениях первого рода 8
B. Я. Арсенин. О математических задачах вычислительной томографии 13
А. Б. Бакушинский. Регуляризирующие алгоритмы в банаховом
пространстве, основанные на обобщенном принципе невязки . . 18
А. С. Благовещенский. Обратные задачи акустики движущихся сред 21
Б. А. Бубнов. Задача Коши и смешанная задача в полупространстве для
некоторых классов ультрагиперболических уравнений с
переменными коэффициентами 25
A. Л. Бухгейм. Многомерные обратные задачи 31
B. А. Винокуров. Апостериорные оценки погрешности и регуляризуе-
мость обратных задач ...» 36
М. Г. Гасымов. Единственность решения обратной задачи теории
рассеяния для обыкновенных дифференциальных уравнений четного
порядка на всей оси 40
Т. И. Зеленяк, М. М. Лаврентьев (мл.). Об одном классе асимптотически
нормально параболических задач , 45
A. Д. Искендеров. О вариационных постановках некоторых многомерных
обратных задач 49
C. И. Кабанихин. Проекционный метод решения многомерных обратных
задач для гиперболических уравнений 55
B. Р. Кирейтов, В. А. Шарафутдинов. Обратные задачи фотометрии . . 60
Р. А. Кордзадзе. Бесконечные семейства интегральных уравнений в
пространстве стремящихся к нулю семейств непрерывных функций 68
М. М. Лаврентьев. Интегральная геометрия и обратные задачи ... 81
О. А. Лисковец. Некорректные задачи с монотонными немонотонно
возмущаемыми операторами 86

В. Н. Монахов, Е. В. Семенко. О корректных постановках краевых задач
сопряжения с бесконечным индексом для квазианалитнческих
функций 91
Л. П. Нижник. Многомерные обратные задачи рассеяния 101
В. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский. Вычислительная томография в
газовой динамике и физике плазмы 106
A. И. Прилепко. Обратные задачи для потенциалов эллиптических
уравнений 111
B. В. Пухначев. Две обратные задачи механики сплошной среды . . . ИЗ
В. Г. Романов. Обратные задачи математической физики 118
В. Г. Романов, В. Г. Яхно. Задача определения тензора диэлектрической
проницаемости в системе Максвелла 123
В. Н. Страхов, М. А. Бродский. О единственности решения плоской
обратной задачи потенциала для многоугольников . ... . . 128
У. М. Султангазин, И. Ш. Иркегулов. О некоторых обратных задачах
атмосферной оптики 143
B. П. Танана. Оптимальная регуляризация в условиях неединственности
решения 149
C. И. Темирбулатов. Единственность решения общей некорректной задачи
для параболической системы . 153
С. А. Терсенов. О первой краевой задаче для некоторых параболических
уравнений, вырождающихся внутри области 157
А. Н. Тихонов. Об обратных задачах . . 161
A. М. Федотов. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных 172
B. А. Филатов, В. Н. Филатова. О численном решении обратной задачи
в методе ЗСБ для горизонтально-слоистых сред 178
A. И. Хисамутдинов. Обобщенные линейные комбинации стандартных
оценок в методах Монте:Карло для интегральных уравнений 183
B. А. Цецохо. К обоснованию метода коллокации решения интегральных
уравнений первого рода со слабыми особенностями в случав
разомкнутых контуров 189
C. П. Шишатский. О единственности продолжения решений
вырождающихся дифференциальных уравнений с неограниченными
операторами в характеристическом случае 198
Ш. Ярмухамедов. О задаче Коши для уравнения Лапласа в постановке
М. М. Лаврентьева 203
В. Г. Яхно. Обратные задачи для гиперболических уравнений: правая
часть — мгновенный источник, размещенный на границе . . . 210
Раздел второй
А. Абдукаримов. О внутренней задаче для уравнения Лапласа . . . 216
Г. В. Алексеев.. О некоторых обратных задачах излучения волн . . «. 218
Б. К. Амонов, Е. А. Бубнов. О единственности и устойчивости решения
уравнения гиперболического типа с данными на дискретных
множествах точек 221
17*

М. А. Атаходжаев, И. А. Гаффаров. Об одной некорректной задаче для
уравнения Гельмгольца 223
Б. М. Багаев. Вариационно-разностный метод решения эллиптических
уравнений с малым параметром при старших производных 224
B. М. Волков. Обратная задача для квазилинейного уравнения
параболического типа 227
Е. А. Волкова. Обратные задачи для системы уравнений теории упругости
анизотропных сред 228
А. С. Запреев. О некоторых обратных задачах дифракции 230
C. И. Кабанихин, В. И. Прийменко, К. Абдиев. Алгоритм определения
поля поверхностного источника тока в диффузионном
приближении 234
У. Э. Кобилов. Задача Коши для уравнения Лапласа в прямоугольнике 236
Н. Г. Преображенский, В. П. Федосов. О некоторых обращениях свертки 237
А. И. Прилепко, А. Л. Иванков, Д. Г. Орловский. Обратные задачи для
уравнения переноса и систем уравнений гиперболического типа 240
А. И. Прилепко, В. В. Соловьев, А. Е. Узлов. Обратные задачи для
уравнений параболического типа ♦ 241
А. М. Федотов, Т. Сыдыков. Проекционно-сеточный метод для задачи
фильтрации 242
А. Хайдаров. Об одной обратной задаче для эллиптических уравнений 245

НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И АНАЛИЗА
Ответственный редактор
Анатолий Семенович Алексеев
Утверждено к печати
Вычислительным центром СО АН СССР
Редактор издательства В. Я. Дятлов
Художественный редактор Т. Ф. Наминина
Художник Я. А. Пискун
Технический редактор А. В. Сурганова
Корректоры Я. В. Лисина, В. В. Игнатьева
ИБ № 23470
Сдано в набор 20.07.83. Подписано в печать 11.05.84. МН-02527. Формат 60X907ie. Бумага
типографская № 2. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 16,5. Усл.
кр.-отт. 16,5. Уч.-изд. л. 19. Тираж 2000 экз. Заказ № 717. Цена 3 р.ф^к.
Издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99, Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.

УВАЖАЕМЫЕ ТОВАРИЩИ^!
Для ускорения выпуска академических изданий
издательство «Наука» переходит на новую систему сбора заказов.
Ежеквартально будут выпускаться бюллетени, включающие
в себя общественно-политическую, естественно-научную,и
техническую, а также научно-популярную литературу. В них
будет представлена литература, намеченная к выпуску в
соответствующем квартале. Бюллетени заменят три годовых
аннотированных тематических плана, выпускавшихся раньше
(кн. 1, кн. 2 и план выпуска научно-популярной литературы).
На книги Главных редакций физико-математической и
восточной литературы сбор заказов будет проводиться в прежнем
порядке, т. е. по самостоятельным годовым планам.
Тиражи квартальных бюллетеней на 1985 г. поступят в
книготорговую сеть в следующие сроки:
I квартал — в августе 1984 г.
II квартал — в ноябре 1984 г.
III квартал — в феврале 1985 г.
IV квартал — в мае 1985 г.
Тиражи квартальных бюллетеней на последующие годы
будут поступать по такому же графику.
Сбор заказов по каждому номеру бюллетеня будет
производиться в течение 2,5 месяцев со дня его поступления.
Для оформления заказа на книгу издательства необходимо
указать номер бюллетеня и позицию.
Издательство «Наука»

ВНИМАНИЮ ЗАКАЗЧИКОВ!
Книги можно предварительно заказать в магазинах
Центральной конторы «Академкнига», в местных магазинах
книготоргов или потребительской кооперации:
480091 Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97 («Книга— почтой»)
734001 Душанбе, проспект Ленина, 95 («Книга— почтой»)
664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 289
660049 Красноярск, проспект Мира, 84
191104 Ленинград, Д-120, Литейный проспект, 57
199164 Ленинград, Таможенный пер., 2
196034 Ленинград, В/О, 9 линия, 16
103009 Москва, ул. Горького, 8
117312 Москва, ул. Вавилова, 55/7
630076 Новосибирск, Красный проспект, 51
630090 Новосибирск, Академгородок, Морской проспект, 22
(« Книга — почтой »)
620151 Свердловск, ул. Мамина-Сибиряка, 137 («Книга —
почтой»)
700029 Ташкент, ул. Ленина, 73
700100 Ташкент, ул. Шота Руставели, 43
700187 Ташкент, ул. Дружбы народов, 6 («Книга— почтой»)
634050 Томск, наб. реки Ушайки, 18
720001 Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42 («Книга— почтой»)

УДК 517.946
Об одной обратной задаче для кинетического уравнения. А м и-
р о в А. X.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Исследуется единственность решения одной обратной задачи для
кинетического уравнения.
Библиогр. 3.
УДК 517.946
О многомерных интегральных уравнениях первого рода. Анико-
иов Ю. Е.—В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Рассматриваются различные подходы к исследованию вопросов
единственности решения многомерных интегральных уравнений первого рода.
Приводится ряд теорем об однозначности решения таких уравнений.
Библиогр. 4.
УДК 517.9
О математических задачах вычислительной томографии.
Арсении В. Я.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Обсуждаются математические аспекты вычислительной томографии.
Приводятся постановки основных задач, указаны алгоритмы их решения, основанные
на методе регуляризации.
Ил. 3. Библиогр. 9.
УДК 518:517.948
Регуляризнрующие алгоритмы в банаховом пространстве,
основанные на обобщенном принципе невязки. Б а к у ш и н с к и й А. В.—В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск:
Наука, 1984.
Описывается способ получения обобщенных принципов невязки для
общих схем аппроксимации решений уравнений первого рода в банаховом
пространстве.
Библиогр. 4.
УДК 534.21
Обратные задачи акустики движущихся сред. Благовещен-
с к и н А. С.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Рассматриваются задачи определения параметров движущейся среды:
скорости звука, плотности, скорости движения среды по данным об акустическом
поле. Изучен случай слоистой среды и случай одномерной среды.
Библиогр. 3.
УДК 517.946
Задача Коши и смешанная задача в полупространстве для некоторых
классов ультрагиперболическнх уравнений с переменными
коэффициентами. Бубнов Б. А.—В кн.: Некорректные задачи математической
физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Изучается задача Коши и смешанная задача в полупространстве для
некоторых классов ультрагиперболических уравнений. Доказывается корректность
этих задач по Адамару.
Библиогр. 6.
УДК 517.946
Многомерные обратные задачи. Бухгейм А. Л.— В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука,
1984.
Предложен метод исследования обратных задач, основанный на
применении априорных весовых оценок карлемановского типа.
Библиогр. 7.
256

УДК 518:517.048
Апостериорные оценки погрешности и регулярнзуемость обратных
задач. Винокуров В. А.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Вводится понятие строгого регуляризатора и показывается, что применение
регуляризуемой функции к строго регуляризуемой дает регуляризуемую
функцию. Показано, что при применении схемы выделения компакта по М. М. Лав-
рентьеву при решении обратных задач возможно построение апостериорной
оценки погрешности решения, и проводится соответствующее построение.
Библиогр. 6.
УДК 517.946
Единственность решения обратной задачи теории рассеяния для
обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка та всей
оси. Гасымов М. Г.— В кн.: Некорректные задачи математической
физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Пусть L — самосопряженный оператор, порожденный в L2(= oo, оо)
дифференциальным выражением
2п—2
/ (у) = (- Wvffi + 2 P,Wj) <*>
в предположении, что коэффициенты функции р.(ас), j = 0, 2п — 2, являются
вещественными и имеют вид
Vj (*) = <
2 bJsQ Х> х<0.
Вводится совокупность данных рассеяния для дифференциального оператора
L и доказывается, что по заданной совокупности данных рассеяния
коэффициентные функции pj (x) определяются однозначно. Указывается метод для
восстановления pj(x).
Библиогр. 4.
УДК 517.95
Об одном классе асимптотически нормально параболических задач.
Зеленяк Т. И., Лаврентьев М. М. (мл.).— В кн.: Некорректные
задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Излагаются в основном результаты, относящиеся к априорным оценкам
решений уравнений со знакопеременным коэффициентом диффузии.
Библиогр. 8.
УДК 517.97
О вариационных постановках некоторых многомерных обратных
задач. Искендеров А. Д.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Изучена корректность вариационных постановок обратных задач об
определении коэффициентов уравнений математической физики. Показано, что
вариационная задача сохраняет основные характерные особенности многомерных
обратных задач и является некорректной. Доказаны теоремы существования
единственности, устойчивости и регуляризуемости решения рассматриваемой
вариационной задачи. Проанализированы условия этих теорем и показано, что
они не могут быть ослаблены.
Библиогр. 15.
УДК 517.946
Проекционный метод решения многомерных обратных задач для
гиперболических уравнении. КабанихинС. II.—В кн.: Некорректные
задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Изложен алгоритм разностной регуляризации задач определения
коэффициентов многомерных гиперболических уравнений.
Библиогр. 19.
257

УДК 517.945
Обратные задачи фотометрии. К и р е й т о в В. В., Шарафутди-
н о в В. А.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Рассмотрены постановки и некоторые результаты исследования обратных
задач фото,метрии.
Библиогр.. 23.
УДК 517:9
Бесконечные семейства интегральных уравнений в пространстве
стремящихся к нулю семейств непрерывных функций. К о р д з а д-
з е Р. А.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Исследовано произвольное бесконечное семейство интегральных уравнений
второго рода типа Фредгольма в пространстве стремящихся к нулю семейств
непрерывных функций, определенных на бикомпактных хаусдорфовых
пространствах.
Библиогр. 7.
УДК 517.946
Интегральная геометрия и обратные задачи. Лаврентьев М. М.—
В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа.
Новосибирск: Наука, 1984.
Дается обзор ряда новых результатов по интегральной геометрии и
теории обратных задач для дифференциальных уравнений, полученных в
последние годы сотрудниками Вычислительного центра СО АН СССР.
Библиогр. 5.
УДК 517.972:517.988.6S
Некорректные задачи с монотонными немонотонно возмущаемыми
операторами. Лисковец О. А.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Для некорректных вариационных неравенств с монотонным хеминепре-
рывным оператором в случае произвольной его аппроксимации предлагается
новый способ регуляризации при помощи вариационных неравенств с е-уступ-
кой. Доказана сильная устойчивость в пространствах Ефимова-Стечкина и
рассмотрен способ отыскания регуляризационных элементов. Рассмотрено
уравнение Гаммерштейна первого рода.
т
Библиогр. 8.
УДК 517.946
О корректных постановках краевых задач сопряжения с
бесконечным индексом для квазианалитических функций. Монахов В. Н., С е-
м е н к о Е. В.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Изучается краевая задача сопряжения аналитических функций.
Библиогр. 8.
УДК 517.94
Многомерные обратные задачи рассеяния. Нижннк Л. П.— В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск:
Наука, 1984.
Излагаются результаты по многомерным обратным задачам рассеяния,
полученным в Институте математики АН УССР в последнее время. Подробно
рассмотрен алгоритм решения обратной задачи рассеяния для одного интегро-
дифференциального уравнения, являющегося континуальным аналогом
гиперболической системы уравнений первого порядка.
Библиогр. 10.
258

УДК 518.517.948 + 530.143.43
Вычислительная томография в газовой динамике и физике плазмы.
Пикалов В. В., Преображенский Н. Г.— В кн.: Некорректные
задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Анализируются и сопоставляются особенности традиционной
радиологической вычислительной томографии (ВТ) и томографических методов, широко
применяемых в газовой динамике и физике плазмы. Сделан вывод, что вследствие
специфики тех задач, которые характерны для указанных разделов науки,
требуется значительное развитие ряда математических и физических
вопросов ВТ, изученных пока еще недостаточно. Намечены пути соответствующих
разработок.
Библиогр. 15.
УДК 517.948
Обратные задачи для потенциалов эллиптических уравнений. Прн-
лепко А. И.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Даются постановки обратных задач теории потенциала и приводится обзор
по исследованию этих задач.
Библиогр. 2. ,
УДК 532.69+517.946
Две обратные задачи механики сплошной среды. П у х н а-
ч е в В. В.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Изучается одномерное движение газожидкостной смеси под действием
термокапиллярных сил. Установлена теорема существования и единственности
решения начально-краевой задачи для системы уравнений движения,
содержащей неизвестный коэффициент. Показано, что знание двух автомодельных
решений квазилинейного уравнения теплопроводности позволяет одновременно
найти зависимость коэффициента теплопроводности и произведения плотности
на теплоемкость от температуры.
Библиогр. 6.
УДК 517.946
Обратные задачи математической физики. Романов В. Г.— В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск:
Наука, 1984.
Рассматривается вопрос о продолжении информации в обратных задачах
математической физики с сосредоточенными источниками.
Библиогр. 9.
УДК 517.946
Задача определения тензора диэлектрической проницаемости в
системе Максвелла. Романов В. Г., Я х н о В. Г.— В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука,
1984.
Рассмотрена обратная задача для системы уравнений Максвелла в
пространстве (х, у, z, t) Gfl4, связанная с нахождением положительно
определенной матрицы e(z)(£(z)—тензор диэлектрической проницаемости), обратная к
которой имеет вид o)(z) = (со^(г))зхЗ» гДе 0)J2 = co2i = 0, cou(z) > co22(z),
G>jj=G)j$, co^j (z) — произвольные кусочно-дифференцируемые функции, при
этом разрыв первого рода допускается в точке z = 0.
Библиогр. 3.
УДК 517.946
О единственности решения плоской обратной задачи потенциала для
многоугольников. Страхов В. Н., Бродский М. А.— В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука,
1984.
Получены новые результаты о единственности в обратной задаче
гравиметрии для многоугольников.
Ил. 1. Библиогр. 16.
259

УДК 517.946
О некоторых обратных задачах атмосферной оптики. Султанга-
зин У. М., И р к е г у л о в И. Ш.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Доказываются теоремы единственности некоторых обратных задач
атмосферной оптики.
Библиогр. 16.
УДК 517.948
Оптимальная регуляризация в условиях неединственности решения.
Тана на В. П.— В кн.: Некорректные задачи математической физики
н анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Введена оценка погрешности для методов решения линейных операторных
уравнений с приближенно заданным оператором в гильбертовом пространстве
при условии неединственности решения. Найдены точные по порядку оценки
погрешности для оптимального метода и предложен оптимальный по порядку
метод.
Библиогр. 6.
УДК 517.946
Единственность решения общей некорректной задачи для
параболической системы. Темирбулатов С. И.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Рассматривается смешанная задача в полупространстве хп> 0 для
параболической по И. Г. Петровскому системы t с постоянными коэффициентами
порядка 2а, а>1, при нарушении условия дополнительности. Установлена
единственность решения для одного класса задач в определенном множестве U.
Отличительной особенностью работы является то, что ядро потенциала
составляется исходя из фундаментальной матрицы решения системы и, кроме
того, каждое равенство граничного условия может содержать производные
любого порядка.
Библиогр. 4.
УДК 517.946
О первой краевой задаче для некоторых параболических уравнений,
вырождающихся внутри области. Терсенов С. А.— В кн.:
Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск:
Наука, 1984.
Доказываются теоремы существования и единственности решения первой
краевой задачи для некоторых параболических уравнений, вырождающихся
внутри области.
Библиогр. 4.
УДК 517.946
Об обратных задачах. Т и х о н о в А. Н.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Для абстрактной обратной задачи, которая может быть сформулирована в
виде нахождения z из уравнения Аг = и при известных А и и, исследуются
вопросы, связанные с устойчивостью нахождения г из некоторого класса Z по
приближенным значениям А и и. Наряду с хорошо известным методом
наименьших квадратов рассматривается регуляризованный метод наименьших
квадратов, который позволяет избавиться от недостатков МНК, а именно — от
неединственности и неустойчивости. Эти вопросы рассматриваются для
алгебраических систем и для функциональных уравнений первого рода в гильбертов
вых пространствах. Приведены результаты модельных экспериментов.
Ил. 6. Табл. 1. Библиогр. 7.
УДК 519.6:517.958
Некорректные задачи со случайными ошибками в данных.
Федотов А. М.— В кн.: Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
Приведена постановка задачи приближенного решения операторных
уравнений первого рода со случайными ошибками в исходных данных и
представлен ее анализ.
Библиогр. 15.
260