РХИМЕДОВО ЛЕТО
Государственное Издательство Детской Литературы
Министерства Просвещения РСФСР
Москва 1962
51
Б 72
Научный редактор
профессор
И. Н. Веселовский
Оформление Ю. Киселева
Рисунки И. Архипова и Ю. Кисе лева
Портреты Ю. Казмиче в а
Чертежи Е. Яковлева
Дорогой читатель!
В книге, которую ты раскрыл, рассказывается о математике, о ее
замысловатых рассуждениях и способах решения самых запутанных и
необыкновенных задач, которые понемногу объяснили человеку почти
все явления природы, а затем позволили ему овладеть ими. На этих
страницах ты найдешь еще рассказы о тысячелетних путях развития
математики, самой древней науки на белом свете, о том, с какими труд-
ностями овладевал разум людской тайнами расчета.
Книга эта написана не для математиков. Наоборот, она специально
написана для не мат е м ат и ко в, главным образом для того, кто
мечтает стать математиком в будущем, кто интересуется наукой, кото-
рая помогала человеку строить первые жилища, измерять первые поля,
считать первые стада, впервые учила рассуждать.
Кто хочет вынести из книги знаний как можно больше, должен
с бумагой и карандашом проследить все выкладки, рассмотреть и по-
нять все доказательства так, чтобы самому потом объяснить их това-
рищу. При чтении этой книги надо строго выполнять одно важное пра-
вило: если чего-нибудь не понимаешь, не торопись заглядывать в
объяснения, а сначала попробуй найти решение или доказательство
самостоятельно. Если это сразу не получается, не пугайся. Это не с од-
ним тобой бывает. Попробуй еще раз. А если хочешь и дальше расши-
рять свой научный кругозор, разбирайся сначала в более доступных кни-
гах, а затем сумеешь разобраться и в более серьезных сочинениях по ма-
тематике.
Если ты незнаком с первой книгой «Архимедова лета», то придется
тебе вкратце рассказать, что в ней заключается.
Дело в том, что Николай Тимофеевич и Мария Алексеевна Туска-
ревы со своими ребятами Левой и маленьким Вовкой поехали летом
в деревню. Рядом была прекрасная речка, густой лес и вообще было
раздолье. Вскоре Лева познакомился с Наташей Лещинской. Выясни-
лось, что у ребят общие интересы: оба увлекаются математикой. На-
таша рассказывает Леве о детстве Софы Ковалевской, о том, как Софа
училась и работала. Дедушка Левы и Вовки, Тимофей Иринархович,
3
сам любитель математики, помогает ребятам. Начинается история лю-
бознательных «тускарийцев», как они сами себя именуют, с маленькой
конференции по вопросам лабиринтов и фигурок, которые можно нари-
совать, не отрывая карандаша от бумаги. Эта конференция так понра-
вилась ребятам, что они устроили еще целый ряд заседаний своего
маленького кружка любознательных. К ним вскоре присоединились еще
трое: Ника Петушков —товарищ Левы, Вася Сизов — мальчик, жив-
ший неподалеку, и Вета Богданова — подруга Наташи.
На совещаниях ребята припоминают математические шутки, задачи,
обсуждают игру в Дразнилку (пятнадцать шашек в коробочке, где есть
шестнадцать мест). Затем Вася делает им доклад о совершенных чис-
лах. Дальнейшие заседания посвящены вопросам, связанным с систе-
мами счисления; в частности, много внимания уделяется двоичной
системе, где имеется всего лишь два числа (нуль и единица) и где
легко умножать, не зная таблицы умножения. Затем устраивается кон-
ференция, посвященная магическим квадратам и задачам, связанным
с ходом шахматного коня, говорится о числах, которые при делении на
данное число дают один и тот же остаток. Потом ребята рассматри-
вают так называемый арифметический треугольник, фигурные числа,
известные в глубокой древности, а дедушка рассказывает кое-что из
истории математики. На конференциях, которые происходят вслед за
этим, обсуждаются вопросы, связанные со случайными явлениями, с из-
мерениями разных объемов.
Все эти вопросы обсуждаются ребятами сообща, а дедушка, кото-
рый единогласно выбран «президентом Тускарийской академии», на-
правляет изыскания «академиков» и помогает им.
Председательствует обычно на собраниях Ника, а Вовка исполняет
обязанности секретаря.
В заключение секретарь Вовка делает доклад об односторонней по-
верхности и о знаменитой сказочной бутылке джинна.
Дедушка не ленится напоминать ребятам то, о чем они уже гово-
рили, но все же во второй книге есть много ссылок на первую книгу.
Поэтому, если хочешь поближе познакомиться с исследованиями усерд-
ных тускарийских академиков, постарайся достать и прочесть первую
книгу.
Дорогой читатель, если ты в этой книге встретишь ссылку: «см. гла-
ву такую-то и раздел такой-то» и при этом указана глава от I до XIV,
то ссылка эта относится к первой книге «Архимедова лета».
4
асшъ
шце ш ья-
Корень из двух
Первое квадратное уравнение
Три знаменитые задачи древности
Удвоение угла
Трисекция угла
Квадратура круга
5
Глава пятнадцатая
Любезный Теренций встречает гостей. — Три знаменитые задачи древ-
ности. — Как удвоить площадь? — Как сказать «два» на языке пло-
щадей? — Два треугольника, а потом четыре. — Корень квадратный
из двух. — Есть ли такой квадрат, который равнялся бы удвоенному
квадрату другого числа? — Как египтяне вычисляли корень из двух. —
А как это делали вавилоняне и индусы. — Наши удобные знаки. — Гео-
метрическая пропорция. — Вовка добывает шесть верных знаков, дей-
ствуя по-вавилонски. — Надо еще сказать слово «два» на языке объ-
емов. — «Музыка» древней Греции. — Разделить октаву пополам. — Как
древние артиллеристы учились музыке и как нашли следы этой учебы
на стенах хорезмийских замков. — Первая знаменитая задача древ-
ности: удвоение куба. — Пропорция Гиппократа Хиосского. — Вави-
лонское решение квадратного уравнения. — Вовка предлагает задачу на
самое обыкновенное умножение.
1
Был ясный теплый день. На узкой скамеечке около самой калитки
в сад тускаревской дачи, кругло подвернув бархатные лапки, посижи-
вал огромный серый кот Теренций, с неослабевающим вниманием по-
сматривая узенькими щелочками зрачков на воробьев, у которых шло
7
очередное собрание в кустах желтой акации. Внезапно кот насторожил
уши, глянул направо и расправил свои богатырские усы.
Затем котовья рожица приняла благодушное и ленивое выражение,
кот не спеша поднялся, очень ловко выгнул спину, потянулся вправо
передними лапами и застыл в лукавом ожидании.
И тотчас же из-за поворота показались Наташа и Вета, оживленно
разговаривавшие и весело посмеивавшиеся. Кот изобразил на своей
усатой физиономии искреннее изумление, будто он и не слыхал их ша-
гов. Он спрыгнул им навстречу со скамейки и важно прошелся около
Наташиной ноги.
— A-а, приятель Теренций Котофеич! — сказала ему Веточка. —
Сизая шкурка, усы, как у турка.
Теренций мурлыкнул, прижался к Веточкиной ноге и даже стара-
тельно обогнул ее своим пушистым хвостом.
— Наши идут! — крикнул Вовка с террасы.
Кот Теренций мурлыкнул очень важно, давая понять Вовке, что
он-то заметил это гораздо раньше его, и направился первым в сад.
— Наши! — повторил Вовка, прикрывая глаза ладошкой от солнца.
— Добрый день, великолепный герцог Тускарини! — церемонно рас-
кланиваясь и приседая, промолвила Наташа. — А мы к вашей милости
по делу. Именно к вам.
— Пора уж доклад назначать, товарищ секретарь, — сказала Ве-
точка мальчику.
Герцог Тускарини немедленно принял очень важный вид, сделал
некий неопределенный жест и вопросил:
— Ваш доклад? Следующая ассамблея?
— Наш, конечно, — отвечали девочки.
Тут герцог внезапно забыл о том, что ему надо еще поважничать, и
живо воскликнул:
— А что тут думать? Айда сейчас в лес. Там вчера сено косили.
Как сеном пахнет вкусно. И поваляться можно, сено-то мягкое!.. Там
сегодня и устроим заседание... Диду, ты что скажешь, а?
— Так что ж, — отвечал дедушка, — коли не торопясь, так пойти
можно.
Через полчаса пошли. По дороге их догнал Ника, а затем появи-
лись откуда-то и Вася с Левой.
— Вот о чем еще нужно было бы поговорить, — сказал Лева, когда
уже вышли за деревню. — Меня интересует такой вопрос: можно счи-
тать науку всемогущей или нет?
— Хм... — промычал дед. — А в каком это смысле «всемогущей»?
Что-то я не совсем себе представляю. Это немножко похоже: по щучь-
ему веленью, по моему хотенью!
— Вот еще! — сказал Лева. — Я спрашиваю: можно ли сказать, что
нет такой задачи, которую нельзя было бы разрешить?
8
— Добрый день, великолепный герцог Тускорили!— церемонно раскланиваясь
и приседая, промолвила Наташа.
— Существует немало задач, еще не решенных. А что будет дальше,
сказать очень трудно. Мы ведь не знаем, какие задачи будут постав-
лены в будущем. Но, с другой стороны, нет сомнений в том, что общий
круг задач, которые мы можем решить и исследовать, все расширяется,
возможности науки увеличиваются. Из этого, конечно, не следует,
что любая задача может быть в наше время решена. На протя-
жении многих тысячелетий были примеры того, как некоторые решения,
считавшиеся окончательными, по мере роста науки признавались не-
удовлетворительными. Вопрос изучался глубже, чем ранее. А бывали
случаи, когда весь анализ проблемы в целом затягивался на века.
Ведь наука растет не только вширь, то есть не просто накапливает
все больше и больше решений, она еще растет ввысь, то есть приво-
дит в систему все, что она накопила, связывает все свое имущество
воедино, заимствует от иных наук новые взгляды. И то, что казалось
вполне удовлетворительным век или два назад, сегодня может пока-
заться решением недостаточно обоснованным. Хватит тебе этого
или нет?
Левка неопределенно посмотрел прямо перед собой, сощурился,
пожал плечами.
— Да, пожалуй, и хватит, — сказал он. — Но ты бы, дедушка, при-
вел хоть пример какой-нибудь пояснее, чтобы стало понятно, как это
получается.
— Что ж, отчего бы и нет! —сказал Тимофей Иринархович. — Не
помню, рассказывал ли я вам когда-нибудь о трех знаменитых
задачах древности. Эти задачи сперва решались довольно грубо,
приблизительно, затем их стали решать более точно, и самые вопросы
и способы решения были подвергнуты глубокому обсуждению и из-
учению. Потом пришло время, когда все наследство древней науки стало
жадно изучаться и пересматриваться; этими задачами занялись снова,
начали вспоминать, что о них говорили сами древние, какие трудности
вставали перед ними. Это было время возрождения наук в Европе.
Ученые того времени положили немало сил, чтобы понять и разъяснить
затруднения древних ученых. В конце концов все древние задачи были
изучены во всех подробностях. Мы теперь понимаем, чем вызывались
затруднения древних ученых и над чем задумывались ученые эпохи Воз-
рождения. Но на все это пошло много времени и труда. В общем, окон-
чательно разрешить все основные вопросы, поднятые этими тремя зна-
менитыми задачами древности, удалось только лет на... тысячу позже
после того, как их изучали древние.
— Ого, — воскликнул Вовка, — вот так задачка, над которой надо
тысячу лет корпеть! Нет, дедушка, послушать я, конечно, послушаю, но
чтоб я сам стал сидеть над задачей тысячу лет... Никогда!
— Молодчина! — ответил Ника под общий смех. — Люблю нашего
секретаря за откровенность. У него что на уме, то и на языке.
ю
— А какие же это задачи? — спросила Наташа.
— Задачи эти,— ответил медленно дед,— могут теперь на первый
взгляд показаться даже и не такими трудными. Но только... Вот еще,
что я должен вам сказать. Для того чтобы все это хорошенько усвоить,
нам придется на некоторое время отойти от тех научных приемов,
к которым мы привыкли, и вспомнить, как думали, рассуждали и дела-
ли свои подсчеты люди на заре людской цивилизации. Не знаю, не
трудно ли это будет?
— Попробуем, — отвечал Ника. — Все-таки очень хочется узнать,
как и из чего выросла современная наука.
— Хорошо, — отвечал дед. — Давайте. Это будет экскурсия в очень
отдаленные времена, за много тысячелетий до нас с вами. Когда дума-
ешь об этих древних задачах, начинаешь понимать, что они неизбежно
должны были возникнуть на заре человеческой культуры. Как
только человек стал жить сравнительно большими обществами, лишь
только ему пришлось думать о том, как по справедливости распреде-
лить работу среди своих соплеменников, как разрешать разные споры,
как делить поля, как строить жилища, чтобы они были удобные и чтобы
их не так трудно было строить, и прочее, так они перед ним и возник-
ли— эти три задачи. Так, например, как удвоить площадь, люди
довольно скоро догадались...
— А как? —спросил Вовка.
— Постой, — сказал ему дедушка, — ты не торопись, а слушай хоро-
шенько. Все скажу в свое время.
Колоннада Карнакского храма.
ность считать площади,
Вовка тяжело вздохнул, но покорился.
— Ну, рассудим, как это получилось.
Сперва был придуман счет отдельных
предметов. А когда люди начали зани-
маться оседлым сельским хозяйством —
это случилось примерно около пятого
тысячелетия до нашей эры, — им прихо-
дилось целой толпой охотиться на диких
травоядных зверей, и это навело на
мысль, что животных можно приручать.
Когда же образовались большие селения,
пришлось уже думать, как удерживать
полые воды рек. Это требовало участия
больших масс людей, которые должны
были действовать сообща.
— А ведь верно! — заметил Вася.
— По археологическим данным, —
продолжал президент Тускарийский, —
можно с известной достоверностью уста-
новить, что систематическая обработка
поймы Нила начата была примерно меж-
ду годами 4400 и 3900 до нашей эры.
Люди, жившие в то время по берегам
Нила, добывали кремень, им была изве-
стна кованая медь, а осел уже стал до-
машним животным. У них, по-видимому,
была какая-то примитивная письменность.
Это было накануне того периода, когда
началось настоящее земледелие и ското-
водство. К концу четвертого тысячелетия
относятся первые глиняные таблички со
знаками. Это самые древние из известных
в наше время письменных знаков. Это —
начало человеческой цивилизации. И вот
тогда-то появилась неотложная потреб-
то есть определять их величину. Как же
это сделать? Раньше всего, разумеется, начали мерить по обходу,
то есть по периметру, по общей длине границ этой площади. Но очень
скоро выяснилось, что этот способ не очень хорош, ибо если обход
прямоугольной площади равен 20 линейным единицам, а, значит, полу-
периметр—10, то площадь может быть равна и 9 и 25 квадратным
единицам. Разница, как видите, получается больше чем вдвое.
— Верно! — сказал удивленный Вовка. — Единожды девять будет
девять, а пятью пять — двадцать пять. Совершенно верно!
12
— Про что тебе и говорят, — спокойно промолвила Наташа, улыб-
нувшись и кивнув Вовке. Потом нагнулась к нему и добавила: — Мы уж
об этом говорили !.
— Дедушка, — вдруг закричал Вовка, — а когда же египтяне начали
свои чудные постройки строить?
— Это уже много позже было, — ответил ему дед. — Чтобы предста-
вить себе, как все это развивалось в течение долгих веков, я тебе вот
что скажу: основание календаря в Египте относится примерно к време-
ни между XXXII и XXIX веками до нашей эры. При этом заметьте, что
первые памятники письменности относятся к концу четвертого тысячеле-
тия, так что понадобилось немало времени — может быть, триста — че-
тыреста лет, чтобы от письма добраться до календаря. Постройка вели-
чественных египетских пирамид относится к XXX веку, а более поздняя
замечательно красивая архитектура Египта относится к следующим да-
там: известный Карнакский храм был выстроен в XX веке, Луксорский
храм с колоннами по четырнадцати метров вышины — в XV—XIII веках
до нашей эры1 2. Вот когда... Ну, продолжаем: значит, надо было на-
учиться измерять площади. Первый шаг в этом деле — удвоить
площадь. Это будет число 2 по отношению к площадям, не так ли?
Если мы решили, что будем считать единицей площади такой квадрат,
у которого обе стороны равны линейной единице, то первый вопрос, ко-
торый встает в таком случае перед нами, это —чему будет равна сто-
рона квадрата, у которого площадь вдвое больше, чем
у единичного квадрата? Если просто удвоить сторону квадрата, площадь
получится не в два, а в четыре раза больше; если взять среднее ариф-
метическое между единицей и двумя, опять получается больше, чем
надо, потому что 1,5 • 1,5 = 2,25, но не двум. Как же быть? Наверное, из
затруднений вывел очень простой чертеж: нарисовал человек палочкой
на песке квадрат, разделил его диагональю на
треугольника, а потом и приложил с двух сторон
квадрату еще три таких же треугольника. Там
четыре, а тут два, вот тебе и удвоение! Гео-
метрически задача решилась очень просто. Но
как же вычислить? Для этого надо опре-
делить длину диагонали квадрата. Как
это сделать? Вероятнее всего, после
1 Архимедово лето, глава XIV, раздел 6.
2 Если читатель достанет книгу М. Э. Матье
«Искусство древнего Египта» М., «Искусство»,
1958, то он сможет прочесть немало инте-
ресного об этих замечательных храмах и
полюбоваться фотографиями древних памят-
ников.
два
к
13
многократных попыток и прикидок, нашли подходящее и удовлетвори-
тельное для практики отношение стороны квадрата к его диагонали.
— Разве это уж так трудно? — недоверчиво спросила Веточка.
2
— Сейчас, милая Веточка, конечно, это совсем не трудно, — сказал
дед, улыбаясь и покачивая головой. — Но тогда было очень трудно. Сей-
час мы просто составим уравнение:
х2 = 2
и мигом решим его:	_
л = у/2.
Но в те незапамятные времена никто еще не слыхал ни об уравнениях,
ни об алгебре, ни о знаке корня. А задачу нужно было решать. С нашей
современной точки зрения всю эту историю и завел квадратный
корень из двух, который всегда людям был очень нужен именно
для удвоения площади. Если^повторяю, сторона квадрата равна еди-
нице, то диагональ его равна у/~2, и квадрат, построенный на этой диаго-
нали, будет в точности едва раза больше первого квадрата. Так или нет?
— По теореме Пифагора как раз так, — отвечал Ника. — Возраже-
ний не имеется.
— Но как же можно было одолеть квадратный корень в древности,
когда люди не представляли себе, что это может значить. А в жизни, на
практике, этот корень необходим. Надо, например, отмерить поле вдвое
больше данного, надо окно, скажем, сделать вдвое больше, и прочее
в этом роде. Как быть? И вот египтяне в эпоху пирамид придумали та-
кой окольный путь для этого. Так как они убедились, что нельзя найти
два таких целых числа, чтобы квадрат одного в точности равнялся удво-
енному квадрату другого, то они попробовали найти пару таких чисел,
которая довольно близко подходит для решения нашей задачи. Самые
простые числа в этом роде —это 5 и 7, ибо удвоенный квадрат пяти
равен 52 - 2 = 50, а 72 = 49, разница на единицу. Египтяне и воспользо-
вались этим. Для этого у них в качестве меры длины была заведена не
одна, а целых три: был локоть большой, или царский, в семь пядей, был
локоть малый, в шесть пядей, и была еще «рука» в пять пядей. Зачем
нужны были меры по семь пядей и по пять? А вот как раз для того, что-
бы удваивать площадь. Как же это удавалось? На основании прибли-
женного 1 равенства:
2 • 52 ~ 72,
1 Знак » означает приближенное равенство.
14
получаем после извлечения корня из обеих частей:
к/2 • 5^7, или у/2 7:5= 1,4-
Так вот и получаем приближенное значение для /2, правильное до пер-
вого десятичного знака, ибо
к/2= 1,4142135624
с точностью до десятого знака.
— А как же все это делалось на практике? — спросила Наташа.
Вася поднял руку:
— Могу объяснить.
— Объясни, — попросила Наташа.
— Если не ошибаюсь, — начал Вася, — то так. У тебя поле, которое
надо удвоить. Ты его меришь малыми локтями, по пяти пядей. А за-
тем утверждаешь, что удвоенное по площади поле имеет те же размеры,
но не в малых, а в больших, царских, локтях, по семи пядей. Вот и всё!
Даже очень остроумно.
— Верно, — сказал Ника.
Дед кивнул ребятам и продолжал:
— По-видимому, такого рода пересчеты долго практиковались, по-
тому что не только философ Платон 1 в IV веке до нашей эры, но и
Прокл Диадох, греческий математик, который жил на тысячу лет позже,
в V веке нашей эры, оба упоминают об этом приближенном равенстве:
2 • 52	72. О малом египетском локте мы еще с вами поговорим в даль-
нейшем. Затем вавилоняне нашли другое приближение для у/2. Исто-
рики говорят, что древние египтяне были одним из самых счастливых
народов на свете, потому что разливы Нила, которые создали их богат-
ства, повторяются с необыкновенной правильностью как по времени, так
и по своим размерам. Народы, которые жили на берегах замечательно
плодородных, но весьма своевольных и грозных в своих диких прихотях
рек, Тигра и Евфрата, вынуждены были гораздо более серьезно отно-
ситься к своим ирригационным сооружениям, чем египтяне. Вероятно,
поэтому и наука вычислений у них пошла дальше. Сама жизнь заста-
вила! Вавилоняне были замечательные строители. Историки древности
Геродот и Диодор Сицилийский рассказывают, что в самом городе Вави-
лоне река Евфрат была укреплена кирпичными набережными, а для
переправы через нее был построен мост длиной триста метров. Быки этого
моста имели форму судна, плывущего против течения, — то, что мы те-
перь называем удобообтекаемыми формами. Под рекой был даже про-
ложен просторный подземный ход, по-теперешнему туннель, который
1 См книгу Б. Л. Ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука». М., Физматгиз,
1959, гл. VI.
15
Клинописный текст из Вавилонской
коллекции Иэльского университета.
Изображен квадрат с его диагона-
лями. На диагонали написано число,
выражающее отношение диагонали
к стороне.
в сечении имел примерно 4X5 метров.
Кирпичные стены его, обложенные
асфальтом, были шестиметровой тол-
щины. Для такого рода построек надо
уметь вычислять! Так вот какое при-
ближение получили в Вавилоне:
/2г 1^ = ^ = 1,4167.
Итак, вавилоняне добыли еще один
десятичный знак для у/2. Обратите
внимание, если египетское приближе-
ние (7:5) является приближением с
недостатком, то вавилонское при-
ближение (17:12) является, наоборот,
приближением с избытком.
Вовка бросился к деду и схватил
его за руку:
— Дедушка, я ничего не понимаю!
Что это такое за «избыток»?
— Ничего тут особенного нет, Во-
ва, — отвечала Наташа. — Представь
себе, что у тебя есть поле прямоуголь-
ное, длина его тридцать метров, ширина двадцать, всего шестьсот
квадратных метров. Ты хочешь его удвоить. Если ты пользуешься
египетским приближением, то поступаешь так:
30 •	• 20 •	600  ^ = 24 • 49=1176.
о о	2d
Сколько тебе недостает до 1200? Двадцати четырех единиц. Но ведь
24 это 0,02 от 1200, или два процента. Вот это и есть недостаток. А если
возьмешь вавилонское приближение, получишь
30 ’ П • 20 • ^ = 600 • ш = Т ’ 289 = 1204-|-.
— Догадался, — хмуро произнес Вовка. — Теперь получается лиш-
нее, то есть немного больше чем 1200. А так лучше выходит!
— Вот тебе и избыток, — подтвердил Ника. — Да, конечно, лучше.
Примерно одна треть процента.
— Затем, — продолжал дед свой рассказ, — долгое время спустя эта
задача — найти квадрат, равный удвоенному другому квадрату, — не
попадается нам в истории нашей науки. Однако примерно во время от
V века до нашей эры и до II века нашей эры в древней Индии состав-
ляют особые сочинения, известные под названием «Сутр»; некоторые из
них носили название «Сутры шнура», то есть «Сутры измерений при
16
помощи шнура», где приведены некоторые правила для различных архи-
тектурных построений геометрического свойства. Одно из этих сочине-
ний связано с именем ученого Апастамбы. Ученые индусы того времени
тоже стали искать два квадрата, связанные удвоением, как я уже гово-
рил. И им удалось найти нечто гораздо более точное, нежели древним
египтянам. Они взяли те же самые числа, которые брали и вавилоняне,
то есть 17 и 12, однако воспользовались этими числами немного иначе
и гораздо более остроумно. Вавилоняне заметили, что удвоенный квад-
рат числа 12 очень близок к квадрату числа 17, ибо 2-122 = 288, тогда
как 172 = 289.
— Ито же, как в Египте, на единицу разница, — заметил Вовка.
з
— Да ведь это верно, что тоже на единицу, Вовочка, — отвечал
дед, — да единица-то, как ты сам видел, не та! У египтян надо было
измерить квадрат, равный пятидесяти единицам, и не хватало единицы,
которая равнялась 0,02 ото всей площади. Здесь надо измерить квадрат
в двести восемьдесят восемь единиц, и одна единица у нас лишняя, но
она составляет только 0,004 от всей площади. То есть в пять раз мень-
ше. Мало того, что единица не та, с ней еще и распорядились по-друго-
му. Древние индусы решили, что если от квадрата со стороной 17 отре-
зать с одного и с другого бока по тоненькой полоске, то как раз полу-
чится квадрат со стороной, соответствующей удвоенному — по площади,
разумеется, — квадрату, сторона которого 12. Полоску надо отрезать
тонкую, потому что корень квадратный из 288...
Дедушка приостановился, вытащил свою записную книжку:
— Этот корень равняется 16,97, а ведь это число отличается от 17
всего на 0,03. Определим ширину этой полоски. Пусть она будет х. Тогда
из уравнения
2 • 17х=1
получаем, что ширина этой полоски должна быть ^.Теперь пишем так:
От1
2  12а = 288= 17а — 1 = 17а — 2 • 17 • X.
34
Пока у нас равенства точные. А теперь попробуем действовать уже не
точно, а приближенно. При этом, разумеется, не будем упускать из
виду, с каким приближением мы работаем. Другими словами, какую
ошибку мы делаем и считаем допустимой. Будем теперь считать, что мы
отнимаем у нашего квадрата, равного 172, не две полоски, а фигуру
2 Архимедово лето	17
в виде буквы «Г». Такую фигуру греки на-
зывали гномон. Но если мы вместо двух
полосок берем такой гномон, то выходит, что
мы добавляем маленький квадратик со сторо-
ной, равной xj. Это ясно: когда мы отрезаем
две наши полоски, они ведь накладываются
одна на другую и маленький квадратик в углу
вычитается дважды. И тогда наше точное ра-
венство, которое мы только что привели, заме-
няется приближенным:
2- 122~172—2- 17 -^ + (54)’.
Это равенство можно записать сокращенно, пользуясь формулой квад-
рата суммы двух чисел, которую мы хорошо знаем.
— А ну-ка, Вова, — весело сказала Веточка, — вспоминай буквы
а и Ь.
— Знаю... — пробурчал Вовка, не очень довольный этим предложе-
нием, но не желая показывать это. — У меня записано.
—	Ну-ка, покажи, — попросил дедушка.
Вовка взял прутик и написал на песке:
а3 + 2 ab + Ьг = (а + b)a.
—	Верно, — подтвердил дед. — А из этого вот что у нас теперь полу-
чается:
2 • 122 (17 - 1)2= (17 - 0,02941 )2.
Из этого приближенного равенства видно, что ошибка наша измеряется
(1 \2 1
-34-), или Yigg, то есть меньше 0,001, а именно 0,0009. Далее
мы извлекаем квадратный корень из обеих частей нашего равенства.
Получаем
12^^17-1,
откуда определяем приближенно /2, который будет
V/2 = |2 — 12 • 34 = 1 + у + 3Т4 ~~ з . 4.34 ’
Получается очень неплохое приближение для /2,точное на этот раз уже
до пятого десятичного знака, то есть 1,414216. Вот как хорошо решили
эту задачу древние индусы, раздобыв еще три десятичных знака. Они
18
ухитрились извлечь корень с помощью простого деления, подобрав очень
подходящее в данном случае приближенное равенство. Разумеется, если
покопаться в таблице натуральных квадратов, то можно найти другие
квадраты, еще более подходящие для этого индусского способа извле-
кать у/2. Так, например, если взять вместо чисел 12 и 17 числа 70 и 99,
получим уже шесть правильных знаков /2, а можно, конечно, добиться
и лучшего. Но, так или иначе, вот вам краткая история того, каким об-
разом человек научился измерять площади, вот как он впервые сообра-
зил, с помощью каких ухищрений можно произнести слово «д в а» на не-
ведомом ему до тех пор языке площадей. Повторяю: площадей,
а не длин. Остальное было уже не так трудно. Мы с вами потом еще
вспомним об утроении площадей.
— А греки как же поступали? — спросила Наташа. — Они умели
извлекать квадратный корень?
— Может быть, — заметил Вася, — с помощью теоремы Пифагора,
о которой мы недавно вспоминали? 1
— Циркулем и линейкой?— спросила Веточка.
— Дедушка, — вдруг жалобно пискнул Вовка, — да как же можно
решить такую ужасно непонятную задачу, да еще циркулем и линей-
кой? Я не понимаю! Ты бы хоть какой-нибудь пример показал.
— Хм... — произнес дед, задумавшись. — Конечно, пример пока-
зать можно. Да поймешь ли ты? Хочешь, я тебе вот что покажу: как
геометрически извлечь квадратный корень из произведения двух чисел?
Это можно.
— Ну хоть это, — отвечал Вовка приободрившись.
— Геометрическая пропорция, — пробормотал Ника, а дед взглянул
на него и кивнул в знак согласия.
— Я покажу этот пример, — вызвалась Веточка. — Я его знаю.
Наши путники остановились и палочкой на дорожной пыли сотво-
рили чертеж.
Веточка начала объяснять:
— Берем два числа. Только мы их будем называть буквами а и Ь.
Выберем какой-нибудь масштаб, ну хоть в сантиметрах. Отмеряем
столько сантиметров, сколько единиц есть в а, и проведем прямую ли-
нию в а сантиметров... сколько именно, это нам сейчас неважно. А по-
том продлим эту линию и отмерим еще столько сантиметров, сколько
есть в Ь. Теперь у нас получилась линия, которую мы назовем (а-]-Ь).
Разделим ее пополам...
— Ну, это мы тебе показывали, — сказал Ника, — как циркулем
делается такое деление. Ты, Вова, должен знать.
Вовка кивнул.
— Теперь мы берем циркуль, — продолжала Веточка, — и ставим
1 См. главу XIII, раздел 1.
2*
19
а+6
—VMr*j '-1U nv/iinj d xviiijf, 1дс начинайся и«ш
?-&В отрезок, равный (a^-b), а другую ножку —в
\ середину этого отрезка. И вот таким раствором
\ циркуля мы описываем полуокружность. Затем
восстанавливаем перпендикуляр из точки, где
сходятся отрезки а и Ь, до пересечения с полу-
окружностью. Вот этот отрезок и будет корнем
квадратным из произведения чисел а и Ь. То есть
не самый отрезок, конечно, а численное его значение в том же масштабе.
— А как же это так получается? — спросил Вовка удивленно.
— А вот доказать, что это действительно так, — отвечала де-
вочка,— можно, например, при помощи той же теоремы Пифагора.
Подлинней будет. Как-нибудь расскажу.
— Конечно, можно и с Пифагором. Торопиться некуда, — заметил
дед, — в свое время узнаешь. А то забудешь...
— Дедушка, — сказал укоризненно Вовка,— но это очень хороший
способ! Думать не надо, а просто циркулем провел, и всё!
— Н-да, — согласился дед, — в этом заложено очень хорошее общее
геометрическое правило. Вот за это геометрия и ценится! На это до-
стоинство геометрии еще сам великий Ньютон обратил внимание, и это
ему очень и очень пригодилось. Но об этом потом. В математике немало
есть, и кроме циркуля, разных приборов и машин, которые прекрасно
могут рассчитывать и решать задачи. Есть, например, приборы, которые
считают, чему равняется площадь, ограниченная каким-нибудь конту-
ром ‘. Мы еще об этом вспомним. Вообще самый принцип имеет очень
большое значение. Впрочем, коли хочешь, Вовушка, я могу тебе сооб-
шить один очень простой численный способ извлечения квадратного
корня, которым пользовались в древнем Вавилоне примерно около
XX века до нашей эры.
— А греки? — снова повторила Наташа свой вопрос.
— И греки пользовались этим способом. Сам Архимед применял его
с большим успехом. Да и сейчас еще этим способом пользуются инже-
неры, когда под рукой нет нужных таблиц. Представь себе, что тебе
нужно извлечь квадратный корень из числа, которое не является точным
квадратом. Пусть число это будет D. Ты берешь ближайший к этому
числу точный квадрат а1 2, который меньше или больше заданного
числа D, извлекаешь из него корень а, потом делишь твое подкоренное
число на этот корень, складываешь корень с частным и сумму делишь
пополам. Если записать алгебраически, выйдет вот что:

1 См. книгу А. М. Лопшица «Вычисление площади ориентированных фигур». Серия
«Популярные лекции по математике». М., Гостехиздат, 1956, выпуск 20, гл. II.
20
Попробуй. Очень полезная формула. Она приводится во всех справоч-
никах. Мы еще поговорим о ней *.
— Постой, — пробормотал Вовка, полный и рвения и недоумения. —
Сейчас запишу... то есть вот эти буквы ваши. Ничего не поймешь. Если
я вздумаю корень извлекать из сорока трех...
— Тогда D и будет равен сорока трем, — подсказала Веточка.
— Сорока трем, — повторил
Вовка. — А маленькое а какое?
— Поищи квадрат по таблице
умножения, — посоветовал Лева.
— Шестью шесть — тридцать
шесть, — ответил Вовка.
— Ну и всё! — крикнул ему
Лева.—Вот вечно извольте его
за шиворот тянуть. Лень мозгами

пошевелить.
— Записываю, — бормотал Вовка, присев на корточки. — Попробую
обязательно. Я и не знал... Дедушка, а как же мне быть, если я хочу
из двойки извлечь корень? Где же я такой квадрат точный возьму, что-
бы он был меньше двойки?
— Ты возьми тогда двести, — посоветовала Веточка, — а когда полу-
чишь решение, раздели его на десять.
4
Вовка немедленно принялся вычислять, пыхтя и торопясь. Через не-
сколько минут он торжественно заявил:
— Вышло! И как здорово, дедушка! Четыре знака после запятой, и
всё, как у тебя. А дальше уже не получилось...
— Ну не жадничай, вавилонянин! — посоветовал ему Лева. — Хватит
с тебя, клоп, и четырех знаков. Куда тебе больше?
— Сам ты «вавилонянин»! — прошептал Вовка, не глядя на него.—
И «клоп» — ты тоже, а не я. Тебе хватит...
Вовка сердито глядел в сторону и шептал что-то еще.
— Постой, Лева, — произнес дед. — Зачем его путать. А ты, Вовуш-
ка, не робей. Еще раз сделай. Ты брал среднее из ближайшего ква-
драта и частного от деления подкоренного количества на этот квадрат?
Так! А теперь еще раз возьми среднее: из того, что ты получил, и нового
частного от деления подкоренного количества на первое приближение.
1 См. главу XXIII, раздел 5. Сравни книгу Н. Я. Виленкина «Метод последователь-
ных приближений». Серия «Популярные лекции по математике». М., Физматгиз, 1961,
выпуск 35, § 3.
21
— А ну-ка, Вова, —сказала Веточка,— давай вместе.
А через несколько минут Вовка воскликнул:
— Шесть, дедушка! Шесть знаков получил верных!
— Ну вот, — отвечал дед.
— Так это очень хороший способ, — в некотором недоумении вымол-
вил Лева, следивший за вычислениями братишки, — даже лучше нашего
школьного, который считается настоящим! Скорей выходит.
— Конечно, — ответил Тимофей Иринархович, — а для инженерской
практики одного среднего обычно вполне достаточно1. Но сейчас суще-
ствуют таблицы для всяких величин, в том числе и для корней.
— Вот и выходит, — сказал Вовка Леве, — что не я, а ты...
Дед засмеялся и погладил Вовку по голове. Тот прижался к деду
и даже забыл, что хотел сказать брату.
— Интересный способ! — сказала Наташа.
— Так вот, значит, — начал снова дедушка, — как был разрешен
вопрос об измерении площадей. Теперь далее. Как обходились с объе-
мами на Востоке во время самой седой древности, мы толком не
знаем. Тут геометрия оказать _ту непосредственную помощь, которую
она оказала при разыскании у/2, то есть для первых шагов по части
счета площадей, уже не могла. Перед древними встала такая задача:
единичный объем есть куб, ребро которого равно единице длины, а
грань — единице площади. Как, спрашивается, его удвоить, то есть как
произнести слово «два» на языке объемов? Опять-таки, чтобы разо-
браться, начнем с того, что ныне эту задачу можно представить в виде
уравнения:
х3 = 2,
откуда
з
х = у/2.
Но так в древности написать было невозможно. Наши удобные алгебраи-
ческие знаки еще не были придуманы. Приближенным значением для
корня кубического из двух является 1,25, потому что 1,253 = 1,95312, и,
может быть, это значение — один с четвертью —и употреблялось.
— А когда придумали наши современные знаки? — спросила На-
таша.
— Не так уж давно,— отвечал ей бессменный президент Тускарий-
ский. — Во всяком случае не в древности. Ведь из-за крайне неудобных
обозначений древним приходилось даже составлять огромные таблицы
умножения. Наши знаки «плюс» и «минус» были придуманы в XV веке
нашей эры; буквенные алгебраические обозначения в XVII веке ввели
Виета и Декарт, Картезий по-старинному, а за ними последовал
1 Если разность между а* н D не превышает четверти илн трети а2, то ошибка опре-
деления окажется не больше 1 процента истинного значения.
22
Ньютон. Скобки появились в XVI веке, ими осо-
бенно широко пользовались Лейбниц и Эйлер в
XVIII веке. Современные показатели степени
ввели Декарт и Гаусс в 1629 году; знак корня по-
явился в этом же году. Так что все это случилось
не так давно *. До возникновения греческой древ- миму
ней науки о задаче извлечения /2 мы ничего не
знаем. В древней Греции, наоборот, она обсужда-
лась нередко и решалась целым рядом способов.
Но сперва просто было непонятно, с какой сторо-
ны надо подойти к этой новой задаче. Изучая во- ^аНМИИИиКтак
просы удвоения площади, древние не могли не
заметить, что сторона удвоенного квадрата боль- Исаак Ньютон.
ше единицы, но меньше двух, а кроме того, она
еще меньше, чем среднее арифметическое еди-
ницы и двух, ибо это среднее есть 1,5. Древним была известна ариф-
метическая пропорция
a — b = c — (I
и так называемая непрерывная арифметическая пропорция:
а — b = b — с.
Правило арифметической пропорции гласит: «сумма крайних членов
равна сумме средних», откуда при помощи непрерывной арифметиче-
ской пропорции мы и получаем среднюю арифметическую:
Ясно было, однако, что все эти соображения и построения никакого от-
ношения к удвоению площадей, а тем более объемов, не имеют. Здесь
люди столкнулись с более сложным явлением. Удвоение площадей
заставило их прийти к непрерывной геометрической про-
откуда мы теперь по правилу «произведение крайних членов равно про-
изведению средних» и получаем наше уравнение, из которого можно
найти икс:
х1 2 = 2.
Если внимательно взглянуть на чертеж удвоения квадрата, то ясно, что
диагональ нового удвоенного квадрата равна удвоенной стороне еди-
ничного квадрата.
1 Подробнее об этом можно узнать из примечаний к книге И. Ньютона «Всеобщая
арифметика». М., АН СССР, 1948.
23
— А поэтому, — сказал Лева, — я бы написал, дедушка, с твоего
милостивого разрешения, эту непрерывную геометрическую пропор-
цию так:
(СТОРОНА КВАДРАТА = 1) : (ДИАГОНАЛИ ЕДИНИЧНОГО
КВАДРАТА =х) = (СТОРОНА УДВОЕННОГО КВАДРАТА =х):<
•.(ДИАГОНАЛИ УДВОЕННОГО КВАДРАТА =2).
или еще проще: «сторона единичного квадрата так относится к своей
диагонали икс, как сторона удвоенного квадрата, равная иксу, отно-
сится к диагонали, равной двум»!
— Очень хорошо! — сказал Вася. — Дельно ты, Лева, придумал. Те-
перь ясно, откуда взялась эта пропорция.
— Вот почему эта новая средняя величина и была названа сред-
ней геометрической,— сказал дедушка, с удовольствием посмо-
трев на Левку. — Она всегда меньше средней арифметической. То, что
в средней арифметической достигается сложением и делением на
два, то в средней геометрической получается умножением и извле-
чением корня, степень которого равна двум. Когда же дело дошло до
того, чтобы удвоить не квадрат, а куб, грекам помогла одна задача из
физики, а именно из теории звука, то есть из так называемой акусти-
ки, которую они естественно связывали с музыкой и так и называли.
Музыка у них считалась не только искусством, но и наукой. Мы приду-
мали для этой науки новое название. Вот в чем тут было дело: все
знают, что такое высота звука. Бас, например, гораздо ниже по
высоте, чем тенор, это голоса взрослых мужчин, а мальчики поют либо
альтом, который выше тенора, либо дискантом или сопрано,
которые выше альта.
— Известно! — коротко ответил Вася.
— Женские голоса выше мужских. Если перейти к музыкальным
инструментам, то опыт показывает, что, чем чаще колеблется струна
или чем короче длина струны музыкального инструмента — например,
гитары, арфы, скрипки, рояля, — тем звук выше. Если взять струны из
одинакового материала и при одинаковом натяжении, то частоты их
колебаний будут обратно пропорциональны их длинам. Из-за этого
в музыке имеет очень большое значение самое отношение частот
звуков. Оно в музыке называется интервалом. Если частоту коле-
баний удвоить, получается интервал1, который называют октавой.
Если пропеть всю гамму «-до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до-», то первое до
будет ниже второго до как раз на октаву. Если отношение частот равно
5:4, получается большая терция, отношение 4:3 дает кварту,
1 Об этом можно узнать еще в книгах Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп».
М.—Л., 1949. стр. 22; И. В. Арнольда «Логарифмы в курсе элементарной алгебры». М.,
Изд. Академии пед. наук, 1949, стр. 248.
24
отношение 3:2 дает квинту и так далее. Надо вам еще сказать, что
совместное звучание нескольких нот — так называемый аккорд — осо-
бенно красиво и приятно звучит для нас, когда входящие в него звуки
связаны по частоте колебаний простыми отношениями, как 2:1, 3:2 и
так далее. Если же эти отношения усложняются, то звук аккорда не так
приятен для слуха: он не так гармоничен. Все это было очень
хорошо известно древним грекам. Они заметили еще и следующее:
если взять кварту (до —фа) и квинту (фа —до), то два этих ин-
тервала в целом дают целую октаву, от одного до до другого. Между
тем отношение октавы есть не что иное, как 2:1, тогда как квинта дает
отношение 3 :2, а кварта 4 : 3. Каким же образом из соединения воедино
отношений 3:2 и 4:3 получается отношение октавы, то есть 2:1? Ясно,
3	4	,
что сложение не поможет, ибо сумма дробей j и у равна без малого
трем, но не двум. Как же быть?
— Может быть, — нерешительно предложил Ника, — следует их пе-
ремножить? ..
— Угадал! — отвечал ему дедушка. — Так и есть. Ибо
3 . 4 -9
2	3 ~2-
Теперь попробуем разделить октаву пополам. Это будет нота фа-
диез. На рояли она же соль-бемоль, первая черная клавиша из группы
в три черные клавиши, если начинать с ноты до. Первая половина от до
до фа-диез, вторая — от фа-диез до следующего до. Получим пропорцию
2 :х = х : 1,
откуда х = /2, число иррациональное, то есть не может быть вы-
ражено конечным числом цифр’, и аккорд до—фа-диез отнюдь не
будет гармоничным. Это так называемый диссонанс. Естественно,
возникает вопрос: а при каких же условиях наш икс будет рациональ-
ным? Это случится тогда, когда оба крайних члена нашей непрерывной
геометрической пропорции будут точными квадратами:
а2: х = х : Ьг.
Таким образом, между двумя квадратами всегда можно вставить одно
число среднее пропорциональное или геометрическое. До
греков мы этого простого наблюдения не находим. У греков это стало 1
1 Об этом см. в следующей главе.
25
известно примерно около V века до нашей эры. Теперь, если нужно
разделить какой-либо интервал не на два, а на три, то для этого необ-
ходима уже более сложная пропорция, состоящая из трех равенств (или
отношений). Вот какова она:
а8: а2& = a2b: ab2 = ab2: Ь3.
Следовательно, рациональное деление интервала на три вполне воз-
можно, но для этого необходимо, чтобы интервал лежал между двумя
кубами. Все это уже подробно изложено — но не алгебраически, конеч-
но, а геометрически — в «Началах», в восьмой книге великого Евклида.
Усложняя такого рода пропорции, можно получать и более высокие
степени. Долгое время степени именно таким способом и изучались. Из
всего этого вы легко можете заметить, что отношения между степенями
чисел сложнее, чем отношения между самыми числами. Так, например,
сложение показателей степени равносильно умножению1, что очень
легко проверить:
28 . 25_28_8 • 32 = 256.
5
— А удвоение куба? — спросила Веточка.
— А мы к нему как раз понемножку и двигаемся. Все, что я расска-
зывал о музыке у греков, было, так сказать, длинным предисловием
к решению этой важной для древности задачи. Музыка помогла грекам
увидеть существование особых отношений, которых они в других отрас-
лях науки не находили. Все эти отношения и были использованы для
удвоения куба. В древности музыка считалась весьма важной наукой,
а следовательно, привлекала к себе внимание. Когда была изобретена
древняя камнеметная артиллерия, то для нее удвоение куба было
вопросом, без разрешения которого эта древняя артиллерия существо-
вать не могла.
— Какая такая артиллерия? — изумился Вовка. — Да разве у них
были пушки?
— Нет, — отвечал дедушка, — это были различные дальнометные
приспособления, вроде баллист, катапульт, скорпионов и тому подобных
устройств. Все они действовали путем натяжения упругих и прочных
канатов, свитых из волос или жил животных, с помощью кованых брон-
зовых пружин и даже сжатого воздуха. Большие устройства подобного
рода швыряли в неприятельское войско или осаждаемую крепость
огромные камни или свинцовые снаряды весом около восьмидесяти,
1 См. главу IX, раздел 3.
26
а иногда и больше ста килограммов на расстояние до километра.
Советские археологи при раскопках в среднеазиатских пустынях нахо-
дили в стенах древних хорезмийских крепостей и замков пробоины,
нанесенные этой древней артиллерией, а также и огромные камни-
снаряды, застрявшие в крепостных стенахНекоторые из этих огромных
камнеметов, или литоболов (как говорили греки, баллист), имели по
две тетивы из сыромятной кожи, жил животных или волос. Командир
баллисты, древний артиллерист, в те времена должен был «знать музы-
ку» и уметь хорошо определять звуки, чтобы по тону, издаваемому
натянутыми тетивами машины, убедиться, что обе тетивы натянуты
одинаково.
— Вон, оказывается, какая эта музыка! — в недоумении промолвил
Ника.
— Да. Именно так рассказывает нам это римский военный инженер
и зодчий I века до нашей эры Витрувий, оставивший нам любопытней-
шее сочинение — «Десять книг об архитектуре», где, помимо архитек-
туры, есть много другого, и, в частности, есть сведения о древних камне-
метных машинах1 2. Итак, музыка была необходима даже и далеким от
1 Читатель может ознакомиться с работой советских археологов, сделавших откры-
тия мирового значения. В книге С. П. Толстого «По следам древнехорезмийской цивили-
зации» (М., АН СССР, 1948) иа стр. 321 рассказывается, как на развалинах огромных
хорезмийских замков были обнаружены следы действий осадных машин, относящиеся
к войнам V—VI веков. См. также журнал «Огонек», 1959, № 38, где помещена фотогра-
фия каменных ядер для древнерусского камнеметного орудия.
’Витрувий. Десять книг об архитектуре. М., Изд-во Академии архитектуры
СССР, 1938, стр. 21 и 375 — 0 тетивах баллист; стр. 201 — о музыкальных интервалах.
27
Стреломет.
подлинной науки римлянам. Эти античные
камнеметы были чрезвычайно мощным ору-
жием. Древний историк Аммиан, побывавший
во многих походах, пишет, что баллисты
нельзя было устанавливать на твердой почве
или на утесе, ибо отдача их была так сильна,
что могла раздробить самое орудие. Их уста-
навливали на специальной подстилке из
травы или щебенки.
— Вот бы нам сделать такую баллисту!—
с разгоревшимися глазами сказал Вовка.
— И пробовать не советую, — ответил
дед.— Опасное оружие. Однажды военные
теоретики уже в наше время захотели вос-
произвести одну из таких древних военных
машин, описанную Витрувием. Эта машина метала стрелы длиной по
восемьдесят восемь сантиметров на расстояние триста семьдесят метров,
а это побольше пятисот шагов! И стрелы эти пробивали насквозь дере-
вянный щит, обитый железом, проникая в него на сорок сантиметров.
Первые пушки в XVI веке еще не могли соперничать с этими машинами.
Византийский историк Прокопий Кесарийский рассказывает, какой ужас
на италийских варваров в VI веке нашей эры наводили ромейские, то
есть византийские, войска Велизария, в распоряжении которых были
такие стрелометы. Когда византийские войска попали в осаду в захва-
ченном ими городе Риме, однажды выстрелом из ромейского стреломета
один из бойцов варварского войска был не только убит, но и тело его
было крепко пригвождено стрелой к дереву, около которого он стоял *.
Так что эти машины для игрушек совершенно не подходят. Ныне ката-
пульты, действующие сжатым воздухом, употребляются на больших
военных судах, чтобы сразу поднимать в воздух самолеты с палубы
такого судна... Вернемся, однако, к нашему кубу...
— Дедушка, — перебил Вовка, который до крайности был заин-
тересован идеей камнемета, — так это все вроде лука было уст-
роено?
— Да, вроде лука, конечно, — отвечал Тимофей Иринархович, —или,
вернее, огромной рогатки. Самые большие машины, однако, были
устроены несколько иначе, то есть боевые канаты натягивались в них
так же, как натягивается в ручной, так называемой лучковой, столяр-
ной пиле стягивающая ее веревка. Чтобы вы получили представление
1 Читатель может найти описание этого случая в книге Прокопия из Кесарии «Вой-
на с готами». М., АН СССР, 1950, стр. 147. На стр. 142 дается довольно подробное опи-
сание стрелометов и камнеметов Велизария; на стр. 145 есть указание, что стрелометы
были орудиями крепостного типа.
28
об этих машинах, можно вот еще что добавить: боевые
канаты баллист делались из жил животных, а большей
частью из женского волоса...
— Женского? — удивилась Веточка.
— Представь себе! — отвечал дедушка. — И у ан-
тичных писателей есть упоминания о том, что нередко
женщины, когда начиналась война, жертвовали свои
косы на это дело!.. Эти тетивы были так мощны, что
приходилось натягивать баллисту не руками, а рыча-
гами, воротами или даже сложными блоками, которые
называются полиспастами. Можете себе вообра-
зить, какова была сила удара такой машины! Однако
были в ходу еще и другие устройства, основанные
на иных, более экономных принципах. Надо еще кстати
сказать, что в старину и на Руси эти машины бы-
ли известны. Летописцы, рассказывая о монголь-
ском нашествии, нередко объясняют неудачную обо-
рону русских городов сильной камнеметной артилле-
рией захватчиков, разрушавшей стены и укреп-
ления.
— Вот как!—сказал Лева с интересом.
— В XIII веке на Руси в военном деле были в ходу так называемые
пороки, которые, судя по дошедшим до нас миниатюрам примерно
XIV века...
— Что это такое миниатюра, дедушка? — спросил Вовка.
— Такая маленькая картинка в древней рукописи, — отвечала
ему Веточка. — Есть замечательно красивые. Я видела снимки в
красках.
— Именно, — сказал дедушка. — Старинная сред-
неазиатская живопись дает удивительные образцы
этого замечательного искусства. Так вот, на одной из
миниатюр изображена такая машина. Она действовала
по принципу пращи — приспособления для метания
камня. Камнеметы эти у византийцев назывались
манганиками; во время крестовых походов
французские войска занесли их и в Европу. Манганики
действовали не с помощью толстых мощных тетив, как
это было в древней Греции и в Риме, а с помощью
рычага *.
— Как же действовал рычаг в таком случае? —
спросил Никита. — Плохо себе представляю.
Камнемет
1 Снимок с такой миниатюры см. в книге «Очерки истории
СССР». М„ АН СССР, 1953, т. I, стр. 470.
29
— На той миниатюре, о которой я говорю, изображено следующее.
На массивной деревянной подставке укреплено на манер обычных весов
коромысло, но с неравными плечами. Вроде известного русского коло-
дезного «журавля». К короткому плечу подвешен тяжелый груз, а на
длинном укреплена праща, несущая каменное ядро. Груз поднимается
до некоторого уровня и закрепляется в этом положении особой подстав-
кой. Затем в пращу вкладывается ядро, и по команде «Отдай!» деревян-
ным молотом из-под груза вышибается подставка, груз с силой устрем-
ляется вниз, а другое длинное плечо манганика с пращой резко взлетает
вверх и выбрасывает каменное ядро. Эти машины и назывались «по-
роки». Были и специалисты по этому делу — «порочных дел мастера»,
военные инженеры того времени... Так вот, вернемся к нашей теме.
Когда возникла задача удвоения куба, замечательный математик и
астроном древности Гиппократ Хиосский, живший в V веке до нашей
эры, предложил воспользоваться тем приемом, с помощью которого де-
лится на три музыкальный интервал. Древние чрезвычайно высоко ста-
вили эту идею Гиппократа. Она дала им путь для изучения объемов, ска-
зала слово «два» на языке объемов.
— Наконец-то!—с облегчением произнес Лева. — Выходит все-таки,
что математике учила человека сама природа. Ведь музыкой не только
люди занимаются, — соловей до чего же хорошо поет!
Все засмеялись. Ребятам очень понравилась эта простая мысль
Левы.
— Итак, — продолжал дед, — Гиппократ Хиосский составил такого
рода пропорцию:
1 :х = х : у = у :2.
Кто сам все это не торопясь разберет, тот получит
х3 = 2,
а следовательно,
з_
х = \/2.
Сам Гиппократ не оставил нам решения этой задачи. Но зато от других
древнегреческих ученых до нас дошло немало весьма интересных реше-
ний этой задачи.
— Дедушка, — сказал Лева, —ведь это просто кубическое
уравнение!
в
— Да!—отвечал Тимофей Иринархович. — Во всяком случае одно
из первых кубических уравнений, составленных человеком. Несмотря на
то что среди других кубических уравнений оно оказывается почти са-
30
мым простым, все-таки в те времена ре-
шить его было нелегко. Если уж ты,
Лева, заговорил о кубическом уравнении,
то есть о таком, куда неизвестное
входит в третьей степени, то нам
тогда придется вообще поговорить об
уравнениях. Это нелишнее. Пригодится, и
даже очень. А не скучно, ребята, будет?
Придется слушать ведь внимательно.
— Будем, значит, слушать повнима-
тельнее! — отвечала ему Веточка.
— Точно! — поддержал ее Вася.
— Тогда так,— сказалдед. — Начнем..
Ну, во-первых, уравнение первой степени
вам известно. Займемся квадратным. Писец царя Дария подсчитывает
Впервые, вероятно, его решили в древ- налоги. Рисунок на древнегрече-
ности вавилоняне. Не совсем так, как мы ской вазе, ill век до нашей эры.
теперь решаем, но довольно похоже.
Надо думать, что эти задачи на квадратные уравнения возникли уже
тогда, когда стали регулярно собираться налоги, а для этого надо было
знать величину земельных участков. Может быть, у писцов на местах
требовали данных об обходе площади и о величине самой площади.
Затем в центре это все приходилось проверять, а для этого надо было
решать квадратное уравнение такого свойства: дана сумма двух вели-
чин, то есть половина обхода, полупериметр поля, и дано их произведе-
ние, то есть площадь в квадратных единицах. Найти эти величины.
Впрочем, насчет писцов — это, конечно, только догадка. Возможно, что
эта задача родилась уже на почве настоящей научной любознатель-
ности, подлинного интереса к теоретическим изысканиям. Решить, так
оно было или по-другому, сейчас пока еще невозможно. Это вавилон-
ское решение квадратного уравнения относится примерно к XVIII веку
до нашей эры, то есть за тысячу с лишним лет до первых известных
нам древнегреческих ученых. Надо сказать, что древние вавилоняне
строили не одно, а два уравнения:
х 4- у = а; ху = Ьъ.
Что эти два уравнения приводят к квадратному, показать нетрудно...
И дедушка оглядел своих слушателей.
— Надо попробовать! — сказала Наташа. — Храбрость, говорят, го-
рода берет... Найду сперва значение игрека из второго уравнения:
31
теперь подставлю его в первое уравнение:
привожу к одному знаменателю и отбрасываю его:
х2 + Ь2 = ах,
или, наконец,
х2 — ах + Ь2 = 0.
Ну вот и квадратное уравнение!
— Правильно! —сказал дедушка.— Умница! Как делали древние
вавилоняне? Берем эти два уравнения:
х 4- у = а-, ху = Ь2.
Сначала сделаем самое простое предположение. Допустим, что х и у
1 п
равны друг другу, то есть, что х = у =-%а. Попробуем подставить во
второе уравнение и убедимся, что это не подходит. Введем поправку,
которую мы назовем буквой z.
Пусть
х = -1 а g; у = А. а — s.
Таким образом, мы делаем предположение, что если наша задача
решается, то, значит, имеется какое-то число г, которое таково, что если
его сперва прибавить к половине свободного члена первого уравнения а.
а потом от той же величины отнять, то мы как раз и получим то, что
нам требуется. Попробуем. Если мы рассудили верно, то можно на-
писать
или
А- а.2 — z2 = b2\ S2 = а2 — Ь2,
откуда получаем:
2 =
32
А теперь все уже просто:
х = ±-а + 2; у = у а — £,
и мы приходим к той формуле решения квадратного уравнения, кото-
рая известна из школьного курса алгебры. Вот как на самом деле роди-
лась наша формула. Это было очень давно, почти за две тысячи лет до
нашей эры. Задача рассматривалась сперва как уравнение с двумя неиз-
вестными. Теперь вернемся к нашему способу решения. Мы можем пред-
ставить квадратное уравнение в виде произведения, то есть в таком
виде:
(х — а) (х — Ь) = х3 — х (а 4- b) + ab = 0.
Положим, для частного примера, что а у нас будет 3, а & будет 5. Тогда
получим
(х-3) (х-5)=х2-8х+ 15 = 0,
решениями уравнения являются его корни, то есть именно 3 и 5.
Можно подставить их в уравнение и проверить. Коэффициент при неиз-
вестном в первой степени равен сумме корней с обратным знаком, а
свободный член равен их произведению. Это так называемая теорема
Виеты, одного из крупнейших деятелей времени возрождения наук
XVI века. Виета и французский математик и философ XVII века Ренэ
Декарт являются зачинателями всей нашей современной алгебры. Когда
корни квадратного уравнения целочисленны, то по этому правилу до-
вольно легко их назвать сразу. Попробуем! Назовите мне корни ква-
дратного уравнения:
х2 — 10х + 9 = 0.
— Единица и девять! — довольно быстро сказал Вася.
— Ну да! — подтвердил Ника, а к нему присоединились и остальные.
— О решении мы с вами еще поговорим. Но по тому же правилу
можно составить и уравнение третьей степени. Пусть его корни будут —
их будет три! —два, три и четыре. Получим
(х —2)(х —3) (х-4) =
= (х2 — 5х+6) (х — 4) =
= X3 — 9ха + 26х — 24 = 0.
Коэффициент при неизвестном в квадрате равен сумме корней с обрат-
ным знаком, свободный член — их произведению, а коэффициент при
3 Архимедово лето	33
неизвестном в первой степени — сумме попарных произведений корней,
то есть 2.3 + 2- 4 + 3- 4 = 26. Когда корни кубического уравнения
целочисленны и невелики, тоже можно догадаться о их значениях по
этому правилу.
— А как же быть, если не догадаешься? — спросил Лева.
— Ну, — вымолвил дед, — тогда уж послушайте, как решается ква-
дратное уравнение. Не так трудно. Идея решения — обратите на это
внимание!—заключается в том, чтобы как-нибудь выделить точный
квадрат. Тогда все упрощается. Как же это делается? Вот как. Дано
уравнение
х2 + рх + q = 0.
Умножаем все уравнение, то есть каждый член, на четыре, а потом при-
бавляем к левой части и отнимаем одну и ту же величину1 р2. Тогда
у нас получится выражение
(4х2 + Ьрх + р2) — р2 + 4q = 0.
Теперь скобку, которая и является точным квадратом, можно заменить
выражением (2х-|-р)2, после чего, оставив в левой части одну эту
скобку, извлекаем корень квадратный из правой и левой частей урав-
нения и получаем
2х+р= \/p2 — 4q.
Как вы видите, квадрат неизвестного исчез, и теперь определить, чему
равен икс, уже нетрудно. Советую проделать самим все эти выкладки.
Вот как решается квадратное уравнение. Все это можно получить гео-
метрически, как и делали греки. Алгебраический способ решения был
известен уже индусам около V века нашей эры.
— Дедушка, — пискнул Вовка,— вот вы всё про уравнения ваши,
а у меня одна очень хорошенькая задачка есть. Можно, я покажу?
Никто не решит, вот увидишь, диду, никто не решит!
— Давай!—сказал дед. — Посмотрим, какая задачка.
— Очень хорошая задачка! — продолжал Вовка. — Это мне еще зи-
мой мама показала, да я забыл. Задачка такая. Один мальчик сидел и
умножал одно число на другое. Получился у него квадрат. .. Я потому
вспомнил, что вы всё про квадраты говорите... Но только этот мальчик
не хотел, чтобы другие догадались, что он делает. Он сделал по-своему.
Подходит его товарищ и говорит: «Ты что делаешь?» А мальчик пока-
1 См. главу X, раздел 6.
34
зывает тетрадку и говорит: «Разбери-ка сам». Тот, другой, мальчик бе-
рет тетрадку в руки и видит:
АБВ
Х АБВ
ГДЕВ
+ ВДБЗ
ДИИЗ
ДАДСЕЕВ
«Что это?» — спрашивает он. А тот отвечает: «Что ж, не видишь? Это
умножение! А какие числа, догадайся сам!»
— Ну и что же, Вовочка, тот, другой, мальчик догадался? —спро-
сила Веточка.
— Догадался... только не сразу.
— А ты нам не скажешь, в чем тут дело? — спросила Наташа.
— Не могу, — сказал Вовка. — Сами подумайте. Могу только ска-
зать, что если взять сумму цифр, то выйдет... выйдет...
— Не говори! Сами догадаемся! — засмеялся Вася.
3
Глава шестнадцатая
Кубическое уравнение. — Николо Тарталъя. — Находка древней рукопи-
си и труды Франциска Виеты. — Вторая знаменитая задача древности:
трисекция угла. — Снова работа Виеты. — Невсис Архимеда и нев-
сис Неморария. — Эллипс, патрон Леонардо да Винчи и Карданово
движение. — Третья и самая трудная знаменитая задача древности:
квадратура круга. —Лева пытается обосновать вавилонское ре-
шение. — Хитроумные египтяне. — Догадка насчет одной девятой. —
Замечательный чертеж, которому около четырех тысяч лет. — Как вы-
шло, что у египтянина шестьдесят три оказалось равно шестидесяти
четырем, а задачу он все-таки решил неплохо? — Логика у греков.—
Квадратриса Гиппия Элидского. — Размышления Антифона и Бризона
и промахи их критиков. — Квадратура круга в древнегреческой коме-
дии. — Еще раз об алгебраических знаках. — Вовка под аплодисменты
товарищей с большим успехом делит одного живого слона натрое. —
Вычисления спешно требуются звездочетам и древним артиллеристам-
камнеметателям. — Измерения углов. — Гиппократовы луночки. —
Вовка записывает еще несколько новостей о чудесах с квадратами и
о простом признаке делимости на семь.
Зв
1
Вскоре хитроумная задачка Вовки с удивительным умножением
общими силами была разгадана. И Лева даже заметил, что можно
придумать и похитрее, на что ему Вовка отрезал:
— Да ты и эту-то еле решил!
— Ну-с, тускаришки, —начал дедушка, — теперь мы с вами, если
позволите, займемся кубическим уравнением.
— Позволим... — потихоньку сказала Веточка.
— Вот и спасибо за разрешение! — весело отвечал ей руководитель
Тускарийский. — Значит, с кубическим уравнением дело оказывается
несравненно сложнее. Геометрически, с циркулем и линейкой, кубиче-
ское уравнение решить нельзя. Даже когда уже научились составлять
уравнения, то решить алгебраически кубическое уравнение — исключая
частные случаи —очень долго не могли. Вот как индусский астроном
и математик ХП века Бхаскара Ачария — мудрец Бхаскара — решил
одно кубическое уравнение:
х8-6ха+ 12х = 35;
дело в том, что, если к левой части уравнения прибавить и вычесть
восемь, получается точный куб разности:
(х8 - 6х2 + 12х - 8) + 8 = 35,
а дальше все уже просто: переносим одну восьмерку в правую часть
с обратным знаком и получаем
Xs — 6х3 4- 12х — 8 = 27, или (х — 2)® = 27,
откуда х — 2 = 3 и, наконец, х = 5. Но такие удобные случаи бывают
очень редко, а сверх того, и это решение еще недостаточно, потому что
кубическое уравнение имеет не один, а три корня, наподобие того, как
квадратное их имеет два. Мы с вами об этом уже говорили только что,
составляя кубическое уравнение из трех множителей.
— Как же все-таки его решили, это кубическое уравнение? — про-
молвила Наташа.
— Только через четыреста лет после Бхаскары Ачария итальянские
математики нашли общую формулу для решения кубического уравне-
ния. Она называется нередко формулой Кардана, хотя открытие это
было сделано не Карданом, который, по-видимому, только опублико-
вал это решение, а Сципионом Ферро и почти одновременно с ним и
Николой Тарталья, замечательным ученым XVI века, который был
самоучкой и вышел из семьи бедняков.
— Бедняк, — сказал Вася с поблескивавшими глазами, — а всех
богатеев обогнал! Работник был небось знатный!
37
— Да уж, работник он был замечатель-
ный! — отвечал Тимофей Иринархович.—
Отца его убили неприятельские солдаты, ко-
гда брали приступом его родной город Брес-
чию; самого Николу вражеский солдат по-
11 -ajl	лоснул по губам саблей, из-за чего он остался
на всю жизнь заикой. А мать его до того
была бедна, что ей пришлось взять Николу
_[ / из школы, когда он азбуку только до буквы
«К» выучил. Но маленький заика потихоньку
бегал на кладбище и там, чертя угольком по
VvAjo белым плитам памятников, научился сам
писать и читать. И сделался замечательным
/математиком своего времени. С ним советова-
лись п0 теории стрельбы крупнейшие военные
специалисты.
.	— В°т молодец! — сказала Наташа с чув-
ством. — Кажется, совсем невозможно, а он
—* C-JoV** все-таки настоял на своем...
— Геройски! — вставил Вася.
— Так, так, — кивнул дедушка. — Это ты верно говоришь, На-
таша... Ну, а что касается этой формулы Тартальи — Кардана, то она
очень громоздкая, применять ее на практике неудобно, а иной раз и
совсем нельзя. Обо всех этих подробностях мы с вами еще когда-нибудь
потолкуем, потому что история науки об уравнениях — это одна из
самых поучительных глав в истории математики >. Одним словом, вот
как получается: вопрос о первом кубическом уравнении был поставлен
в V веке до нашей эры, а вопрос о том, как вообще решаются алге-
браические уравнения такого рода, получил свое разрешение только
через две тысячи лет. Видите как! Но и этого еще мало, ребята. После
Кардана прошло еще около полувека. И вот однажды итальянские
математики в одной римской библиотеке нашли манускрипт с работой
Диофанта и изучили это замечательное древнее сочинение. И только
тогда Виета сумел доказать, что алгебраически задача удвоения куба
поистине сводится к кубическому уравнению.
— Вот уж не понимаю, что тут доказывать! — воскликнул Лева.
— Вот и радуйся, что не понимаешь! — ответил ему дед. (И Леву
удивил его суровый тон при этом.)—Да благодари всех тех ученых,
которые довели преподавание математики до такой простоты, что вот
ты, подросток, легко разбираешься ныне в том, на что полтысячи лет
1 По этому вопросу читатель может почерпнуть немало интересного в книге А. Г. Ку-
роша «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., Гостехиздат, 1951, серия
«Популярные лекции по математике».
38
назад мог отважиться только редкостно одаренный ученый! Чувствуешь,
в чем дело?
— Кажется... — пробормотал изрядно смущенный Лева. — Но ведь
ты, дедушка, все-таки прими во внимание, что я все это в первый раз
слышу! Трудно сразу...
— Да, уж действительно! — подтвердил Ника. — Ну, а другие за-
дачи, дедушка Тимоша?
— У меня несколько вопросов, — сообщил Вася.
— Постой с вопросами, — сказал Ника. — Пусть уж лучше дедушка
Тимоша расскажет нам про все эти задачи, а потом будем задавать
вопросы. У меня тоже есть вопрос.
— И у меня, — добавила Наташа.
— Теперь о задаче удвоения куба, то есть первой из знаменитых
задач древности, — продолжал дед, — мне надо только то сказать, что
решение Гиппократа было чисто теоретическим, а как действительно
решалась задача, скажу далее. Ведь надо было решить построением!
Поэтому был устроен ряд остроумнейших механических приспособле-
ний. .. Но на этом мы пока оставим задачу удвоения куба и возьмемся
за вторую знаменитую задачу древности, так называемую трисекцию
угла, где требуется разделить данный угол на три части.
Надо сказать, что в частном случае эта задача решается без особого
труда. Если тебе дан прямой угол, то есть равный...
— ...девяноста градусам, — подсказал Лева.
— ... то отделить от него третью часть нетрудно, построив на одной
из сторон угла равносторонний треугольник так, чтобы один из его
углов совпадал своей вершиной с вершиной прямого угла. Это так,
потому что угол в равностороннем треугольнике...
— ...равен шестидесяти градусам, а девяносто минус шестьдесят
равно тридцати градусам, то есть третьей части прямого, — подсказала
Наташа.
— Ясно! — подтвердил дед. — Это было известно еще в Вавилоне,
Но разделить любой данный угол натрое, это
несравненно более трудная задача. А ведь с ней
связаны другие, на вид тоже как будто неслож-
ные задачи, вроде построения правильного де-
вятиугольника. Греки придумали для трисекции
угла особые кривые, довольно сложного свой-
ства, но проанализировать вопрос было уже
очень трудно. Ко времени возрождения наук
в Европе, когда греческая наука стала образ-
цом научного исследования, достоинства древ-
ней геометрии циркуля и линейки подчеркива-
лись гораздо более настойчиво, чем в древности.
Тогдашним ученым хотелось работать, во вся-
Трисекция прямого угла.
39
ком случае, с не меньшей точностью, чем древним. И очень возможно,
что в те времена в этом отношении пересаливали.
— Позволь, дедушка! — вмешался Лева. — Все-таки не пойму, по-
чему ученым эпохи Возрождения обязательно все надо было решать
с циркулем и линейкой? А если я придумаю какой-нибудь более усовер-
шенствованный прибор, чем циркуль. Чем же это будет плохо?
— Бесконечные попытки найти простое решение трисекции угла
с циркулем и линейкой привели к глубокому изучению всего вопроса
в целом. Так что это упорство, которое даже может показаться просто
упрямством, имело свое оправдание. Они говорили: все, что делается —
или, лучше сказать, все, что можно сделать с линейкой и циркулем,—
понятно, потому что мы знаем основания этих построений и можем про-
следить за всеми рассуждениями, которые в таком случае необходимы.
Что же касается других более сложных геометрических инструментов,
то, несмотря на то что их полезность была очевидна, ученые Возрожде-
ния не могли еще найти прямых оснований для этих построений и не
видели, какого рода допущениями и рассуждениями можно к ним
прийти. Только уж после открытий XVI века по части кубического урав-
нения, а также и четвертой степени, ко второй половине XVII века
тому же самому крупнейшему французскому математику Франциску
Виете удалось наконец разобрать, в чем заключается подлинная труд-
ность задачи о трисекции угла. В этом ему пришел на помощь тот же
великий Архимед, который дал решение этой задачи одним довольно
любопытным способом.
— Опять Архимед! —не без удивления прошептал Вовка.
— Мотай на ус! — шепнул ему в ответ Вася.
2
— У греков в ходу были построения, в которых употреблялись
циркуль и линейка с некоторым, так сказать, усилением этого простей-
шего математического инструмента: на линейке разрешалось поставить
две метки. Построения такого рода назывались невсис. Аполлоний
Пергейский, древний геометр II века до нашей эры, написал целое сочи-
нение об этом. У Евклида в его «Началах» подобного рода построения
не упоминаются. Рассмотрим очень остроумный невсис Архимеда для
трисекции угла. На линейке отмечается некоторое расстояние, которое
является радиусом того круга, дугу которого требуется разделить на три
части. Начертим окружность EABF с центром D. Пусть дугу АЕ надо
разделить на три части. Продолжим диаметр EF за точку F и вставим
между продолжением диаметра и окружностью отрезок BC = ED, то
есть радиусу круга, так, чтобы прямая прошла через точку А. Эта
40
вставка и есть невсис. Делает-
Линеика с двумя метками
ся это так. На линейке нано-
сятся две метки. В нашем слу-
чае— поближе к правому концу
линейки. Расстояние между
метками определенное — в на-
шем случае оно равно радиусу
окружности. Затем край линей-
ки, у нас — нижний, совме-
щают с неподвижной точкой А
на чертеже и далее перемещают
линейку так, чтобы край ее
скользил, не отрываясь, от точ-
ки А, а две метки попали: одна
на дугу окружности AF, а дру-
гая— на продолжение диамет-
ра EF. Отметим на прямой
точки С и В, на которые при-
Архимедов невсис.
шлись метки линейки. Тогда дуга BF и будет одной третью дуги АЕ.
Доказать это нетрудно...
— Надо обязательно попробовать! — закричал Вовка.
— А кто ж тебе мешает, — ответил дед. — Возьми линейку...
— А можно, я попробую доказать? — спросил Вася.
— Прошу, — предложил дедушка.
— По теореме «внешний угол треугольника равен сумме двух вну-
тренних, с ним не смежных», угол ABD равен сумме углов BDC и BCD,
а так как треугольник BCD равнобедренный, то угол BDC равен углу
BCD. Поэтому мы можем сказать, что угол ABD равен двум углам BCD.
Угол ADE по той же теореме равен сумме углов DA С и ACD. Поскольку
треугольник ABD равнобедренный, углы DAB и ABD равны между
собой; следовательно, угол ADE можно считать равным сумме углов
ACD и ABD. Однако угол ABD равен двум углам ACD; значит, угол
ADE равен трем углам ACD, или угол ACD равен третьей части ADE.
— Так вот, — продолжал дедушка, — Виета и вывел, что задача
трисекции угла приводит в конце концов к решению кубического урав-
нения.
— Интересно... — протянул, усиленно поскребывая затылок, Лева. —
Н-да, действительно! А собственно, как бы от этого самого невсиса...
И смолк. Вася усмехнулся и докончил за него:
— ...как бы от этого невсиса да добраться до кубического уравне-
ния? Похоже, ты, Лева, этого добиваешься?
— В этом роде. .. — пробурчал Лева.
— Да, видишь ли, — отвечал ему Тускарийский предводитель, — тут
есть одно маленькое обстоятельство: еще задолго до Франциска
41
Виеты, — которого в свое время называли
Аполлонием Галльским1, то есть француз-
ским, ибо во времена Римской империи Фран-
ция именовалась Галлией,— жил и трудился
в ХШ веке, в трудные для науки годы, видный
средневековый итальянский ученый Иордан
Неморарий. Он был талантливым математи-
ком: продолжил и развил одну довольно важ-
ную работу Птолемея и предложил еще один
невсис для решения той же задачи. Нарисуем
чертеж, похожий на тот, который послужил
нам для рассмотрения невсиса Архимеда. На-
чертим окружность с центром D. Радиусы AD
и DE образуют угол ADE, который надо раз-
делить на три части. Проведем прямую DF и
продолжим ее за окружность. Проведем еще
один диаметр LK, перпендикулярный к диа-
метру EDF. Как и в предыдущем случае, мы при помощи невсиса
Архимеда находим точки В и С. Отметим, что отрезок DL пересечет
прямую АВС в точке Я. Если еще провести прямую AG = BD, то из этого
чертежа можно сделать следующее заключение: ясно, что ВН = ВС...
— А почему? — робко спросила Наташа.
Дед обернулся, подождал. Но так как никто ему не помог, то он
сказал:
— Почему? Ну, BC=BD по построению. Следовательно, угол
BCD — назовем его углом а (альфа) для краткости — равен углу
BDC—a.. Угол CBD равен 2d —2а. Значит...
— ...значит, — докончил, не утерпев, Вася, — угол DBH равен 2а,
а угол BDH равен d — а. Отсюда угол BHD тоже равен d — а., то есть
треугольник BDH равнобедренный. Следовательно, BH=BD, то есть
ВН равен радиусу нашей окружности.
— А если так, — продолжал предводитель Тускарийский, — то
невсис может заключаться в том, что между окружностью и новым
диаметром LK вставляется отрезок ВН, равный радиусу окружности.
Это и есть невсис Неморария. Теперь обозначим отрезок DG через а и
отрезок DC через х и отметим, что
ВН • НА = х-.а.
Эту пропорцию нетрудно вывести, опустив из Л и В перпендикуляры
1 Виета сумел восстановить одну из утерянных работ Аполлония Пергейского и сам
назвал эту небольшую книжку, которая вышла в Париже в 1600 году, «Аполлоний
Галльский». Вот откуда это прозвище.
42
на диаметр EF. Затем определим от-
резок DH из прямоугольного тре-
угольника CHD-.
(DH)2 — 4r2 — x3.
Из пропорции нашей
НА = аг :х,
а с другой стороны, по правилу пере-
секающихся хорд:
(DH)2 + ВН • НА ==г2...
— Вот уж и не понимаю! — пере-
бил Лева. —Я такого правила не
знаю.
— Тогда, — кротко ответил ему дед, —я напомню тебе одну теорему,
а ее-то ты уж наверно знаешь: «если через некоторую точку Н внутри
окружности провести секущие к этой окружности, то произведение рас-
стояний от точки Н до двух точек пересечения каждой секущей с окруж-
ностью есть величина постоянная» ’. С этим ты согласен?
— Это верно... — согласился Лева не очень охотно.
— А если это верно, то, поскольку диаметр тоже есть отрезок секу-
щей, мы можем составить такое равенство:
АН  ВН=НК- HL,
но так как
HK=r + DH-, HL = r — DH,
то, подставив в наше равенство эти значения для НК и HL, мы и полу-
чаем то, что нам требуется.
— Это степень точки, кажется, — заметил Ника.
— Ну-ка, напомни, — попросил дедушка.
— Сейчас, — отвечал Ника, —одну минуточку... Как будто: сте-
пенью точки Н относительно окружности называется произведение
отрезков какой-либо секущей, выходящей из этой точки, считая отрезки
от точки Н до точек пересечения с окружностью. А секущая от одной
такой точки до другой это и есть хорда.
'Ж. Ада мар. Элементарная геометрия. М., Учпедгиз, 1948, книга III, гл. IV,
«Пропорциональные отрезки в круге».
43
— Да, да, да! —заторопился Лева, —Верно ведь! А степень точки Н
относительно окружности с центром D равна разности квадратов ра-
диуса и расстояния DH. Справедливо! Виноват! Сдаюсь!
— Вот видишь! — заметил Вовка. — Сам знаешь, а кричишь: «Не
понимаю!»
— Ну, если я так провинился, — сказал Лева, сердито покосившись
на брата, — то позволь, дедушка, я за тебя докончу. Теперь понял!
— Будь так любезен, докончи, — отвечал дед.
— Дедушка написал равенство такое, — начал Лева. —
(DHY + BH  НА=г2.
Подставим в него значение (D//)2, которое дедушка раньше вывел, то
есть 4г2 — х2, кроме того, вместо ВН ставим просто г, а НА определяем
из дедушкиной пропорции (ВН: НА = х:а). Тогда получаем
г2 _ 4Гг _ х2 4- (ага: х);
делаем приведение, и всё:
х3 = Зг®х 4- аг2.
Ну вот и получилось кубическое
Патрон Леонардо. В крестовине по проре-
зям ходит укрепленная на шарнирах А и В
линейка АВМ; если в муфте М укрепить
карандаш, он начертит эллипс. Когда точат
эллиптическое колесо, линейка неподвижна,
в точке М находится резец, а крестовина
вращается.
уравнение!
— Которое и нашел Виета,—
добавил Тимофей Иринархович.—
Не так страшно, брат! Кстати,
могу добавить, что если взять от-
резок прямой — в нашем случае
отрезок СН — и перемещать его
так, чтобы концы его СпН сколь-
зили по сторонам прямого угла
HDC, то любая точка на этом
отрезке, включая и продолжения
его (в обе стороны), будет чер-
тить эллипс — замкнутую кри-
вую овального вида, которая по-
лучается, если конус пересечь
плоскостью, наклонной к основа-
нию. Однако это правило не ка-
сается средней точки всего
отрезка, которая в отличие от
всех других будет чертить окру-
жность, — это и будет окруж-
ность нашего чертежа. Такое
движение отрезка по сторонам
прямого угла механики называют
Карданов ым движением, в па-
мять того самого ученого XVI ве-
44
ка, которого мы с вами не раз
уже вспоминали. Это движение
было известно еще древним
грекам. Великий итальянский
художник и ученый Леонардо
да Винчи воспользовался этим
движением, чтобы устроить
особое приспособление для вы-
тачивания на станке эллипсов,
так называемый патрон
Леона рдо.
— Эллипс, ты говоришь,
дедушка? — спросил Вовка. —
Как же его начертить, если у
тебя нет станка, какой был
у этого великого художника?
— Можно и без станка на-
чертить, — отвечал дед. — Ста-
Построение эллипса по принципу патрона
Леонардо. Отрезок АВ равен большой
полуоси, ВС — малой полуоси.
нок не чертит, он вытачивает.
Сделаем так: нарисуем сперва две перпендикулярные прямые, на них
расположатся оси нашего эллипса. Вот они у меня на чертеже: ведь
эллипс в одну сторону длиннее, чем в другую, а два его наибольших
поперечника в том и другом направлении под прямым уголом — это и
есть его оси. Затем берем линейку — а, впрочем, ее можно и самому сде-
лать, сложив бумагу в несколько раз так, чтобы край был прямой и что-
бы не гнулась, — ина этой линейке сделаем три отметки: А, В и С. Рас-
стояние от Л до В у нас будет равно половине большой оси эллипса
(большой полуоси) и расстояние от В до С — половине малой оси (ма-
лой полуоси). А теперь будем чертить. Ты
ведешь свою линейку так, чтобы точки А и
С все время находились на сторонах пря-
мого угла, образованного осями либо их про-	.
должением, и отмечаешь карандашом поло-
жение точки В. Когда ты этих точек полу-
чишь побольше, то надо их соединить плав-
ной кривой линией, — это можно сделать
при помощи особой кривой линейки, назы-
ваемой лекалом...
— У папы есть! — воскликнул Лева.
— Можно и от руки провести. А если ты точку В наметишь как раз
посередине отрезка АС, то оси получатся равные, и тогда ты вычер-
тишь не эллипс, а окружность: ее полуось будет равна ее радиусу.
— Будет готово сегодня после обеда! — отвечал Вовка. — Как при-
дем домой, так и сделаю.
45
— Значит, — сказала Веточка, — если
я правильно поняла, выходит, что эллипс —
if	это сжатый круг?
/Я	— Вот именно! — отвечал дед. — Ты
а	поняла правильно,
кажется, эллипс начертить еще и
по-другому можно? — осторожно осведо-
/ /	X милея Ника.
I /	\	— Конечно, можно! — сказал дед.—
I ------------------~2 J Эллипс можно определить и так: он есть
\	] геометрическое место точек, сумма рас-
\	У стояний которых от двух данных точек есть
величина постоянная. Точки эти называ-
----------------^^Эллипс ются фокусами эллипса. Существует
простой способ построения эллипса при
помощи двух кнопок и ниточки. Нитку связывают узелком, надевают на
кнопки, а карандаш подсовывают под нитку так, чтобы он ее натяги-
вал,— и тогда карандаш нарисует эллипс (как показано на чертеже).
Есть еще один способ: нарисуй эллипс, вырежь его из плотного кар-
тона, прикрепи этот эллиптический шаблончик к бумаге, снова сделай
нитку с узелком, надень на шаблончик, натяни ее карандашом —
и опять получишь эллипс. Только, конечно, эти два последних спо-
соба не имеют уже отношения к тому, с чего мы начали, к Немора-
риеву невсису. Это просто так, в качестве приложения.
— Записано! — громко пыхтя, за-
с теми Же фокуса-
ми (софокусшй]
явил Вовка. — Все будет проверено
на опыте. Вот как!
— Правильно! — подтвердил Ва-
ся, посмеиваясь. — Никак иначе не-
возможно! Конечно, на опыте лучше.
А то вдруг...
— Небось,—заметил дедушка,—
одолеет.
— Хорошо! — сказал Лева. —
Очень хорошо! Спасибо, дедушка.
Теперь ясно!
— А хорды вот эти, да еще пере-
секающиеся!..—недовольно ворчал
полушепотом Вовка, старательно
растирая кулаком наморщенный лоб.
Веточка наклонилась низко к не-
му, взяла за плечо и прошептала в
ответ:
— Не трусь, мой герцог! Мужай-
46
ся! Ты ведь у нас герой... Они на чертеже, эти хорды... Вот одна,
а вот другая. Я тебе потом всё покажу. Это только на вид так страшно,
а в общем, знаешь, раскусим, не поперхнемся, не бойся.
8
— Так вот, — продолжал Тимофей Иринархович, посматривая на чер-
теж,—именно эта последняя формулировка и позволила Виете привести
наконец в ясность вторую великую задачу древности. Оказалось, и за-
дача трисекции угла и задача удвоения куба приводится к кубическому
уравнению, что же касается квадратуры круга, то и здесь Франциск
Виета сделал немало, и труды его оказались подлинным рубежом в исто-
рии математики, после которого стало развиваться и бурно расти вверх
то, что теперь называется высшей математикой, и о чем мы еще с вами
когда-нибудь потолкуем всласть. Работы Виеты покончили с древними
трудностями, и наука получила возможность сделать гигантский шаг
вперед, изменивший все мировоззрение людей. Виета, как и Декарт, рас-
сматривавший впоследствии задачу о трисекции угла, отметил, что глав-
ная трудность — в нахождении двух основных точек или двух средних
пропорциональных, к чему, собственно, и сводится способ невсиса.
— А ведь по эллипсам, — заметил Вася, — ходят планеты вокруг
Солнца?
— Которое как будто, — добавил Ника, — стоит именно в фокусе та-
кого эллипса?
— Да,— отвечал дедушка Тимоша. — Только эти эллипсы не очень
вытянутые, они похожи на круги. Так-с... Теперь мы с вами займемся
третьей, самой хитроумной из знаменитых задач древности — квадра-
турой круга.
— А-а!—сказал Лева. — Слышал что-то...
— Может быть, расскажешь?— спросила Веточка.
— После тебя с большим удовольствием, — отвечал, не задумываясь,
Лева с церемонным поклоном. — Не хочешь ли? Прошу!..
— Что за речи я слышу? — строго спросил председатель. — Не пере-
бивать докладчика! Эй, вы, тихо!..
— Конечно, Лева, ты слышал! — сказал дедушка посмеиваясь.—
Ну из самого названия задачи ясно, в чем дело: требуется найти квад-
рат, равновеликий данному кругу. Древние египтяне при-
думали выход из положения, и, надо признаться, неплохой. Некогда,
в очень давние времена —во всяком случае, раньше XX века до нашей
эры,— у египтян было уже найдено довольно точное приближение квад-
ратуры круга.
— Почему ты так говоришь, дедушка, —спросил Лева, — «раньше
XX века»? А что же такое случилось в этом XX веке?
47
Египетская квадратура круга:
внутренний квадрат приближенно
равен кругу.
— Ничего не случилось, — ответил де-
душка. — Но мы знаем про египетскую
квадратуру из одного папируса, который
ученые относят ко времени между XX и
XVII веками до нашей эры. А так как
это, по всей вероятности, довольно рас-
пространенный в те времена учебник или
справочник, то отсюда и выводят, что са-
мое открытие это было сделано раньше.
Египтяне вывели, что площадь круга рав-
няется площади квадрата, сторона кото-
рого составляет у диаметра круга. Длина
окружности составляет по этому правилу
3,1604 диаметра, или-^р, что можно еще
и так изобразить:^. Надо сказать, что
это очень недурное приближение. Вавило-
няне тоже интересовались кругом. Это
доказывает один древний вавилонский
текст — клинопись на глиняной обожженной таблетке, где дан расчет,
сколько надо семян ячменя, чтобы засеять поле в форме прямоуголь-
ника, трапеции и круга. Вавилоняне и древние евреи вслед за ними
удовлетворялись худшим приближением, чем египтяне: они считали, что
окружность ровно в три раза длиннее диаметра. По-видимому, тем же
приближением пользовался
и древний Китай. С первого взгляда, это
целочисленное приближение кажется соб-
лазнительным. Если в круг вписать пра-
вильный 12-угольник, то его площадь не
так трудно вычислить. Для этого весь мно-
гоугольник нужно разбить на двенадцать
равнобедренных треугольников, вершины
которых сойдутся в центре круга. Пло-
щадь многоугольника будет отличаться от
площади описанного вокруг него круга
только на пять процентов, или на 0,05
всей площади круга. Сторону вписанного
12-угольника определить нетрудно: она
почти в четыре раза меньше диаметра
круга, точнее — в 3,86 раза! Если при-
нять радиус круга за единицу, то площадь
вписанного 12-угольника в точности будет
равна трем.
Если радиус круга равен 1,
то площадь вписанного
12-угольника равна 3.
48
— Подожди-ка, дедушка, — воскликнул Лева, широко раскрыв гла-
за, — у меня мелькнула одна блестящая мысль! Позволь-ка мне сейчас
ее высказать...
— Пожалуйста!—любезно отвечал дед. — Слушаем твою блестя-
щую мысль.
— Дело вот в чем... — продолжал Левка уже не так уверенно. — Что
ты скажешь о квадратах? Конечно, 12-угольник — дело сложное, но если
в круг с радиусом, равным единице, вписать квадрат, то диагональ его
будет равна двум радиусам, а следовательно, и площадь его будет рав-
на 2,0. Если же описать вокруг круга квадрат, то его сторона будет равна
двум радиусам, то есть площадь равна 4,0. Стоит только допустить, что
площадь круга представляет собой среднюю арифметическую между опи-
санным и вписанным квадратами, и ты получишь для площади круга
значение 3,0.
— Недурно! — заметил Ника-председатель.
— Ну что ж, — поддакнул дед, — занятно придумал. На самом деле
лучше бы, конечно, взять среднюю взвешенную, то есть площади
описанного квадрата придать вес 4,0, а площади вписанного квадрата
вес 3,0, и тогда бы все вышло очень хорошо.
— А откуда, дедушка, ты знаешь, что четыре и три? — спросил на-
хмурившийся Вовка.
— Откуда знаю?.. — переспросил Тимофей Иринархович. — Да, ви-
дишь ли...
— Довольно просто! — перебил его Лева. — Вот как это получается:
4.1 , 2.1-^
* у I ~ у ---- у •
Вот тебе и все.
— Архимедово число! — сказал, улыбаясь знакомой дроби, Вовка. —
Вот что ты придумал, дедушка. Все-таки лучше бы Левка рассказал, как
это у него выходит?
— Не так уж это хитро, Вовочка, — отвечала ему Наташа за бра-
та.— Я думаю, что если мы хотим получить взвешенную среднюю, то
всегда можно добиться того, чтобы сумма весов равнялась единице, а са-
ми веса были бы правильными дробями. Ведь всегда при взвешивании
умножаешь усредняемые величины на веса, а полученную сумму произ-
ведений делишь на сумму весов. А следовательно, ты можешь прямо
умножать каждую усредняемую величину на дробь, равную частному от
деления данного веса на сумму весов. А в таком случае сумма весов и
будет равняться единице.
— Правильно! — поддержал Лева. — А если так и у тебя только две
усредняемые величины, то ты можешь определить их веса для получения
нужного результата, назвав один из весов буквой а, а другой (1 — а).
Получается уравнение, которое и решаем для определения величины а.
4 Архимедово лето
49
— Ну-ну... и как же? — в недоумении спросил снова Вовка, кото-
рому эти разъяснения помогли мало.
— Да очень просто! — отвечал Лева. —Мы спрашиваем на алгебраи-
ческом языке, какие веса надо придать величинам 4 и 3, чтобы получить
22	4	3
в результате -у-, а в ответе получаем — и — .
— Подогнал, значит. .. — не совсем уверенно решил Вовка.
— Дело нехитрое, — ответил дед. — А вы вот на что обратите внима-
ние: ведь эти веса, которые я предлагаю, имеют в виду исправить, улуч-
шить эти грубые приближения. И вот на опыте даже с такими нехитрыми
многоугольниками мы убеждаемся, что описанный многоугольник лучше
подходит для определения площади круга, нежели вписанный *, ибо нам
приходится давать ему вес больше, чтобы приблизиться к Архимедову
числу. Впрочем, недавно было выяснено, что вавилоняне занимались пло-
щадями некоторых правильных многоугольников и для отношения длины
окружности к диаметру у них, кроме 3,0, было и более точное приближе-
ние, а именно З-g-, то есть 3,125. Правда, египтяне оказались в этом от-
ношении более требовательными, хотя, быть может, все это получилось
случайно. Тут-то, вероятно, и применяли третий египетский — малый —
локоть, равный шести пядям. Снова используют приближенные равен-
ства; одно из них такое:
другими словами: если диаметр круга равен одному царскому локтю —
в семь пядей, то сторона равновеликого ему в приближении квадрата бу-
дет равна малому локтю. Разумеется, эти правила были довольно удобны
на практике.
— Я все записал. Если тебе нужно будет что-нибудь для практики,
ты только мне мигни — и я сейчас же! — заметил Вовка.
— Запасливый мужичок! — весело ответил ему Вася. — Все у него
есть.
Лева хотел что-то сказать, но дед погрозил ему пальцем. Лева прику-
сил губу, усмехнулся и... смолчал.
— Значит, — подвела итоги Веточка, — у них было три локтя: в семь
пядей, шесть и пять. Первый и третий употреблялись для удвоения пло-
щади 1 2, а первый со вторым вместе — для квадратуры круга.
— А как же они всё это придумали? — спросила Наташа. — Насчет
квадратуры, например? Мне кажется, что удвоение площади все-таки
гораздо легче выдумать.
— Откуда у египтян появилось такое хорошее приближение для квад-
1 См. главу XIV, раздел I.
2 См. главу XV, раздел 2.
50
ратуры круга, сказать довольно трудно, — отвечал дедушка, покачивая
головой. — Можно сделать несколько любопытных предположений по
этому поводу, но только предположений, не больше.
— А хорошо бы все-таки узнать, что за предположения такие, — за-
метил Лева.
— Начнем вот с чего, — отвечал Тимофей Иринархович: — современ-
ные измерения убедили ученых и инженеров в том, что определить точно
длину какого-нибудь данного предмета, стержня например, — задача
куда более сложная, чем определить вес чего бы то ни было. Поэтому
в наше время нередко для определения площадей фигуры рисуют на
плотной бумаге, вырезают, взвешивают и, сравнивая их вес с весом не-
которого определенного образцового квадратика из той же бумаги, по-
лучают довольно точные данные о размерах площадей. Этот способ реко-
мендуется целым рядом современных руководств по машинной матема-
тике и методам использования различных опытных измерений *. Длину
труднее измерить, чем вес, а легче всего измерить время. Его теперь
измеряют с изумительной точностью! Так вот, что-то вроде взвешивания
такого образцового квадратика могли проделывать и египтяне. Искусный
золотых дел мастер, разумеется, и в те времена сумел бы изготовить точ-
ный металлический квадратик и точный кружок одинаковой толщины.
Ювелирное искусство в древнем Египте стояло на очень большой вы-
соте. Это нам хорошо известно по предметам из древних могильников.
Сравнить вес того и другого не так трудно. Могли быть изготовлены две
коробочки — квадратная и круглая; их вместимость тоже легко измерить
и сравнить с помощью воды или очень мелкого песка, опять-таки взве-
шивая и то и другое. Возможно, что среди искусных ремесленников Егип-
та существовали какие-то полезные прикидки на этот счет. Но...
— Прикидка-то очень уж хороша! — заметил вполголоса Вася.
Однако дедушка услыхал его замечание.
— Д-да... — протянул он. — Это, конечно, всякому в голову прихо-
дит, Вася. Кстати, обратите внимание и на то, что и в той египетской
задаче, откуда мы все это узнали, речь тоже идет о засеве круглого
поля, то есть о весе необходимых для
такого высева семян.
— Круглое поле... — с сомнением по-
вторил Вася. — Где же это круглые поля
делают?
— А может быть, клумба в саду? —
предложила свое решение Наташа.
1 Читатель найдет необходимые указания
в книге А. Уорсинга и Дж. Геффнера «Методы
обработки экспериментальных данных». М., ИЛ,
1958, стр. 105 и 108.
4*
51
— Клумба — дело маленькое, — отвечал Вася. — Много ли там се-
мян надо! Нет, мне думается, это просто для задачника придумали, как
вот про бассейны задачи есть, и обязательно, чтобы все в целых числах
решалось.
4
— Вполне возможно, — согласился дедушка, — что учебник либо
справочник мог до известной степени повлиять на формулировку за-
дачи. Просто я хотел обратить ваше внимание на то, что снова здесь
приходится вспоминать о весе. Ибо по весу измерять легче, чем каким-
либо другим способом... Однако вернемся к египетскому приближению.
Мы уже говорили о том, что в древности в большом ходу были дроби
с единичным числителем, так называемые кантьемы. Так вот, пред-
ставьте себе, что человек, привыкший вычислять все с помощью таких
кантьем, берется за проблему квадратуры круга. Разумеется, он не за-
дается особо сложными требованиями, какие в дальнейшем появились
у древнегреческих математиков и у философов, — ему просто надо было
получить простое и удобное на практике приближение. Он вписывает
круг в квадрат и пробует определить: какую же часть надо отнять от
стороны этого квадрата, чтобы получить квадрат, равновеликий кругу?
Конечно, проверить свои предположения он может проще всего, как
я уж говорил, путем взвешивания. Вероятно, когда египтянин раз-
мышлял, он вспоминал свои любимые дроби с числителем, равным еди-
нице. Итак, он начинает пробовать: ему сразу ясно, что отнять надо
11	In
не очень много — не у и не у, а когда он доходит до-g-... Вполне ве-
роятно, что он думал о двоичных дробях!
У.m>«v	— Конечно, о- наших двоичных, дедуш-
[	\ ка, конечно! — воскликнул Вовка. — Что ж
I	I он новые, что ли, еще будет придумывать? 1
I — Ясно, Вовушка, как же иначе! —
рассмеялся дед. — И вот он пробует у и
U/ /	.,._г видит —отнял слишком много. Надо взять
Y	поменьше. То есть кантьему с большим зна-
И U менателем. Когда он пробует отнять он замечает, что
/г отнял мал0- И тут он, естественно, останавливается на у.
I/ |/ Если радиус круга, вписанного в квадрат, равен единице
6» Ju (Так называемый единичный круг), а следовательно, диаметр
1 См. главу X, раздел 4.
52
8
круга равен двум, то площадь круга египтянин определял как у
диаметра в квадрате:
Отсюда мы можем прийти без труда к тому выражению, которое я при-
водил выше:
1 V _ л ( 8 V 256 44
-4(^9-; =-8г=г
Теперь, чтобы оценить замечательное египетское решение этой трудной
задачи, попробуем сравнить его со знаменитым Архимедовым числом,
—, которое, как мы знаем, дожило в инженерной практике вплоть до
наших дней. Сравнивая египетское приближение с Архимедовым чис-
лом, мы заметим, что если в нашей формуле взять знаменателем не де-
вять, а девяносто, то есть увеличить знаменатель в десять раз, то ни-
какого улучшения мы еще получить не сможем. Надо этот знаменатель
увеличить в сто раз, то есть взять не девять, а девятьсот, и вот тогда
уж мы заметно улучшим египетское приближение, приравняв его
к Архимедову числу. Разумеется, для того чтобы показать, какова
должна быть эта поправка, нам уж кантьемы не подходят. И мы по-
лучаем:
103\1_лЛ	1 зм
900/ ~ 4 V 9 900J •
Замечаете ли вы, какая скромная поправка здесь требуется? Однако
в подобной точности египтянин никакой надобности не испытывал. Знал
он не так много, но пользоваться своими небогатыми знаниями он умел
с изумительным остроумием.
— Очень вы хорошо это сказали, дедушка Тимоша! — воскликнула
Наташа.— Уметь пользоваться тем, что ты имеешь,— вот что всего
дороже!
— Площадь круга, — продолжал дедушка Тимоша, — определяется
с помощью египетского приближения. По сравнению с более совершен-
ными способами — с некоторым избытком, который, впрочем, очень не-
велик, меньше одного процента, — 0,006.
— Неплохо, — объявил Вася.
— Значительно лучше, — отвечал дедушка, — чем это выходило
53
с тройкой у вавилонян, когда площадь круга определяли с недостатком,
равным примерно пяти процентам с лишним. Ну, а уж если мы допу-
стим, что изыскания египетских ученых шли не просто по пути опытного
нащупывания решения, — кстати скажу вам, что и позже такие опыты
делались, без них не обойдешься!— то тогда можно было бы поставить
вопрос: не отождествляли ли они площадь круга с площадью описан-
ного 24-угольника. Удваивая стороны треугольника, можно скоро дойти
и до двадцати четырех сторон. Тогда площадь круга с единичным ради-
усом как раз и получается 3,1597, то есть около 3,16. Однако, по правде
сказать, такое предположение трудно было бы защищать. Египетская
наука не доросла еще до таких стройных и сложных рассуждений. За-
мечу кстати, что с легкой руки русского академика Леонарда Эйлера
отношение длины окружности к длине диаметра, или площадь единич-
ного круга, всегда обозначается греческой буквой «пи» (it).
— Ну да, — подхватил Лева, — это я знаю: длина окружности равна
2 it г, а площадь круга ~г2, причем г — это радиус круга.
— Совершенно верно, — отвечал дед. — Поэтому, пользуясь египет-
ским приближением, мы для единичного круга можем написать:
^^4(1----д~ )
или еще
Л-fi -±>а
4 ~ V 9 ) ,
а в связи с таким написанием некоторые историки высказывали еще
следующее предположение. Если у исследователя имеется два сосуда:
один в форме цилиндра, а другой — квадратной призмы, причем основа-
ние цилиндра представляет собой единичный круг, а сторона квадрат-
ного основания призмы равна диаметру того же круга, то соотношение
между площадями этих двух оснований можно определить следующим
путем. Нальем некоторое количество воды в цилиндрический сосуд и
отметим высоту жидкости, а затем перельем воду в призматический
сосуд и снова отметим достигнутую жидкостью высоту. Тогда отноше-
ние этих высот позволит нам найти число * из пропорции
iz _ h
где Н — высота воды цилиндра и h — высота воды в призме. Но, ко-
нечно, все это слишком хитро для первых египетских шагов (правда,
необычайно удачных шагов!) в области квадратуры круга. Впрочем, на-
ряду с этим приближением в Египте употреблялось и вавилонское:
it = 3,0.
54
— Все-таки как-то... — промол.
вила Веточка, —не знаю, как ска-
зать... не верится!
— Н-да, — согласился дед. —
Конечно, не очень-то ясно. Но в по-
следнее время, изучая один из важ-
нейших математических египетских
папирусов ’, нашли нехитрый чер-
теж, касающийся решения вопроса
о египетской квадратуре круга, и это
как будто дает более или менее
основательное — или, во всяком слу-
чае, довольно правдоподобное! —
объяснение этой замечательной исто-
рической и научной загадке и про-
ливает некоторый свет на мышление
древнего ученого или, если хотите,
инженера, архитектора. Взгляните-
ка на этот чертеж!.. Египтянин дей-
ствовал, можно думать, так: он бе-
Египетское построение квадратуры круга.
рет квадрат, состоящий из девяти
малых квадратов, и каждый такой малый квадрат делит еще на девять
маленьких (единичных) квадратиков, которых таким образом в боль-
шом квадрате набирается восемьдесят один. Затем египтянин начинает
думать, как бы этот большой квадрат обрезать так, чтобы он стал по-
хож на круг, и решает у каждого из четырех квадратов по углам боль-
шого отрезать диагональю половину. Таким образом, у всего квадрата
отнимется два малых квадрата по девять единичных. Значит, остается:
9 • 5 + 9 • 2 = 9 • 7 = 63.
Теперь ему необходимо найти, какова же будет сторона искомого квад-
рата, равновеликого кругу? Для этого, очевидно, надо из числа 63 из-
влечь квадратный корень. Но корень из 63 нацело не извлекается. Тогда
египтянин говорит, что, в сущности, число 63 немногим отличается от
числа 64, которое есть натуральный квадрат, и вместо 63 берет 64. Вот
8
и выходит диаметра.
— Египтянин думал, что 63 = 64? — недоуменно проворчал Лева.
— Э, нет! —сказал дед с усмешкой. — Нет, брат! Ты, значит, самого
интересного не ухватил. Египтянин был не так прост, нет. Этот чертеж
служил ему в качестве подмоги для решения, но совсем не средством
1 Речь идет о так называемом «папирусе Ринда», тщательное описание которого
было сделано в 20-х годах нашего века А. Б. Чойсом.
55
.для решения, как это бывает у нас при геометрических построениях.
Если бы он взял 81 — 18 = 63, то получил бы 63-4:81=3,1111, а эта
величина для числа к не годилась —была бы слишком мала. Вот по-
этому-то он и взял 64, хотя в таком случае катет прямого уголка, кото-
рый надо было отрезать с четырех сторон от большого квадрата, рав-
ного 81 единице, должен быть не 3,0, а 2,915. Но египтянин не любил
этих путаниц с дробями и предпочитал просто говорить: «возьми 64,
а не 63». Действительно, в качестве правила это короче1.
— А сколько же надо было взять, чтобы совсем хорошо вышло? —
спросил Вовка.
— Да, разумеется, — сказал ему дедушка, — поправку-то надо было
взять очень маленькую, на которую никто в древнем Египте и внимания
g
бы не обратил, если вместо -д- диаметра взять 7,976:9. В таком случае
число it равнялось бы
4 • 63,617 : 81 = 254,468 : 81=3,14158,
ошибка на единицу пятого знака. А додуматься о смысле и о надоб-
ности такой еле заметной поправки, друг ты мой, без развитой науки
никак невозможно.
— 7,976... — повторила Наташа. — Ведь это почти восемь полу-
чается! 0,024 не хватает только.
— Так в том-то и сила! — пояснил дедушка. — Вот поэтому египтя-
нин и взял 64, а не 63.
— Тогда извини, дедушка! — произнес Лева. — Выходит, что твой
египтянин знал, что ему требуется. То есть понимал, что это такое —
хорошее приближение для числа-. Как же это могло случиться?
— А вот тут-то и могло пригодиться взвешивание круглой и
квадратной коробочек с песком или водой, о котором я говорил. Ведь
мы знаем египетское приближение из папируса, который представляет
собой не то учебник, не то справочник, но отнюдь не изложение уче-
ного исследования. Никаких упоминаний о том, как было получено то
или иное правило, там нет, да и быть не могло.
— Выходит так, значит, — сказал Вася, — начал резать уголок егип-
тянин с катетом, равным 3,0, потом видит — много отрезал, взял 2,915.
А сколько же надо было ему отрезать, чтобы совсем хорошо вышло?
— Легко подсчитать, что если бы он взял не 2,915, а 2,9481, то у него
вышло бы на славу! — сказал дед. — Надо, однако, понимать, что и то,
что он сумел сделать, было превосходным результатом при имевшихся
в его распоряжении средствах.
1 Сравни другое объяснение в статье А. Е. Раик «Новые реконструкции некоторых
задач из древнеегипетских и вавилонских текстов». Сборник «Историко-математические
исследования». М., Физматгиз, 1958, выпуск XI, стр. 174.
56
— А у греков как было? — спросила нетерпеливая Веточка.
— У греков.—начал дедушка Тимоша.
— Постой, дедушка! — нетерпеливо перебил его Вовка.— Ты подо-
жди! Ты сперва скажи, что это ты начал насчет измерения вре-
мени, а потом не стал рассказывать? Ты расскажи лучше про время.
— Про время? — переспросил дед. — Немножко можно. При по-
мощи теперешней тонкой радиоаппаратуры, с помощью некоторых элек-
трических свойств кристаллов, измерение времени делается с удивитель-
ной точностью. Сейчас в технике часто можно встретить величины, на-
зываемые миллисекунда, то есть одна тысячная секунды, и мик-
росекунда — одна миллионная секунды. Эти деления понадобились
прежде всего тоже для измерения расстояний, то есть для измерения
длины. Знает ли кто-нибудь из вас про радиолокацию?
— Я знаю, — отвечала Веточка.
— Я тоже знаю... — пробурчал Лева.
— Рассказывай! — сказал дед, взглянув на девочку.
— Радиолокация заключается в определении расстояний при по-
мощи явления радиоэха. Радиоволны направляются очень узким пучком
на какой-нибудь предмет, до которого надо измерить расстояние. Волны
отражаются от этого предмета и возвращаются обратно. По тому вре-
мени, которое потребовалось радиоэху, чтобы дойти до этого предмета
и вернуться обратно, и определяют расстояние.
— Это делается, — добавил Лева, — с учетом того, что радиоволны
двигаются со скоростью света — триста тысяч километров в секунду.
— Значит, —прибавила Наташа,— за миллисекунду радиоволны
пройдут триста километров, а за микросекунду — триста метров.
— Вероятно,— добавил дед, — в ближайшем будущем этим же спо-
собом будут делать измерения и сравнительно небольших расстояний,
которые нужны землемерам для составления планов и карт.
— Понимаю! — сказал Вовка. — Вот теперь понимаю. Записываю:
ми-кро-се-кун-да... Правильно!
5
— Теперь займемся древними греками. Как рассказывает древнегре-
ческий писатель Плутарх, философ Анаксагор, находясь в темнице, раз-
мышлял о квадратуре круга. Это событие относится примерно к 425 году
до нашей эры. V век. Он отмечен рядом трудов и мыслей греческих
ученых по этому поводу.
— Какое большое значение у древних греков имело размышление
над задачами науки! — заметил Лева.
— Да, разумеется, — отвечал Тимофей Иринархович, — очень суще-
ственно, что древние греки внесли в математику искусство рас-
57
суждать, умение доказывать справедливость и основательность своего
суждения. Общественный строй древней Греции способствовал этому.
По сравнению с восточными деспотиями, в древней Греции люди чувст-
вовали себя очень свободно. На публичных заседаниях суда обе сто-
роны и их доверенные лица не только имели возможность, но и должны
были доказывать свою правоту, то есть справедливость своих требова-
ний или поступков. Учение о суждении — логика — и было то основ-
ное, что древние греки принесли в дар математике. Глубокие и обшир-
ные математические завоевания древневосточных держав, как Египет и
Вавилония, были изучены греками с точки зрения их основательности,
их бесспорности. Ко времени расцвета греческой науки и обществен-
ности восточные царства уже накопили достаточно материала в области
решений самых разнообразных математических задач. Древний мысли-
тель — грек уже мог испробовать на них силу своей науки о правилах
разумного суждения, укрепить их этим, привести их в систему, а тем
самым и развить свое представление о справедливом, непреложном
суждении, которое действительно может служить основой для деятель-
ности человеческого общества.
— Вот как! — с видом полного удовлетворения сказал Вася.
— Правильно! — заметил Лева.
— Геометрия была приведена древними греками в стройную и
ясную систему, одно из замечательных достоинств которой заключалось
в том, что, исходя из небольшого числа простых начальных положений,
можно было все остальные достижения геометрии выводить как логи-
ческие следствия из этих начальных положений.
— Это аксиомы? — спросил Никита.
— Да! —отвечал дедушка. — Но пока мы этого больше касаться не
будем *. Необходимо еще отметить и подчеркнуть, что крупнейший дея-
тель греческой логики Аристотель в своих трудах по логике постоянно
ссылается на примеры из геометрии. Так что не исключена возможность,
что древнегреческая математика и логика росли и развивались если и
не вместе, то, по крайней мере, имея много общих точек соприкоснове-
ния. Из Вавилонии в древнюю Грецию пришел циркуль, которого Еги-
пет, может быть, и не знал, а за ним и ряд других практических при-
емов. Философ Платон в одном из своих сочинений говорил, что «все,
что эллины (греки) перенимали от варваров, они всегда развивали до
высокого совершенства». Многие греческие писатели указывают, что
материал для своей геометрии и астрономии греки заимствовали в Егип-
1 См. статью Б. Н. Делоне в журнале «Природа», 1956, № 2. Более подробно об
этом см. в предисловии к книге Д. Гильберта «Основания геометрии». М., Гостехиздат,
1948. Изложение этого вопроса можно найти и в статье А. С. Есенина-Вольпина в жур-
нале «Вопросы философии», 1959, № 7. Кроме того, см. книгу А. И. Фетисова «О дока-
зательстве в геометрии». Серия «Популярные лекции по математике». М., Гостехиздат,
1954, выпуск 14, § 4,
58
те и в Вавилоне. Все это научное восточное наследство с большим инте-
ресом было рассмотрено, изучено и разработано. В V веке до нашей эры
пришел черед и для круга. Руководствуясь своими строгими правилами,
древние греки в то время избегали приближенных вычислений. Они на-
шли немало весьма важных правил для всевозможных точных вы-
кладок или геометрических построений и думали провести эти требо-
вания полной точности повсюду. Громадное количество геометрических
задач того времени решалось с циркулем и линейкой. Греки попытались
сперва с этими математическими инструментами подойти и к задаче
о вычислении площади круга. А потом были сделаны попытки решить
задачу по-иному. К сожалению, получилось не совсем то, в чем так нуж-
дались древнегреческие ученые: получилось решение вполне удовлетво-
рительное с практической стороны, но теоретически оно не имело особой
ценности.
— Что это значит, «теоретически оно не имело ценности»? — спросил
Лева. — Объясни, дедушка, попроще.
— Видишь ли, — сказал дедушка, — когда у тебя что-нибудь хорошо
получается с теоретической точки зрения, это значит, что ты построил
в своей теории еще одну крепкую ступеньку, на которую ты можешь
спокойно взобраться и двигаться далее, строить еще новые и новые сту-
пеньки. Ты можешь твердо и ясно определить, что именно ты сделал и
какие следствия из сделанного можно вывести. А если это не так, вот
тогда и получается, что новое открытие теоретически мало полезно.
— Но, может быть, вы, дедушка Тимоша, нам расскажете, как это
все было, — сказала Веточка,— а то все-таки...
— Хорошо! — согласился дед. — В середине примерно V века до на-
шей эры Гиппий Элидский открыл новую кривую, которая, по-видимому,
была построена для деления данного угла
на любое количество частей. Как же это было
сделано? Гиппий взял квадрат, начертил в
нем четверть окружности — то, что ныне
именуется квадрантом, — и поставил для
своего построения следующие условия: пусть
прямая АВ двигается вниз, сохраняя гори-
зонтальное положение, в то же время прямая
ВС вращается вокруг точки С, двигаясь по
часовой стрелке, и пусть обе прямые равно-
мерно двигаются так, чтобы они одновремен-
но совпали с прямой CD. Найдем теперь гео-
метрическое место пересечений этих двух
перемещающихся прямых АВ и ВС. Сделать
это нетрудно, ибо разбить прямые AD и ВС
на любое количество частей довольно просто,
а прямой угол BCD можно разделить и на
Гиппиева квадратриса
59
две и на три части, угол в сорок пять градусов тоже можно разделить
подобным же образом. Итак, сделаем это и отметим точки пересечения
вращающейся прямой ВС (такую вращающуюся прямую называют р а-
диусом-вектором) и опускающейся вниз прямой АВ. Вот смотри-
те, как это получается на чертеже... Получив несколько точек пересече-
ния, всю искомую кривую можно аккуратно провести от руки; всего
труднее найти точку Е, но если найти много других точек, то и это, ко-
нечно, возможно. Кривая Гиппия называется квадратрисой. Имея
в руках такой хорошо выполненный чертеж, вы получаете возможность
делить углы на все лады. Прошло затем около века, и другой древний
грек, Динострат, ученик великого геометра Евдокса, доказал, что эту
трудную точку Е можно найти из пропорции:
дуга DB : ВС — ВС: СЕ.
Однако если это так ’, то тогда длина отрезка СЕ позволяет найти и
длину четверти окружности. Вот почему кривая и была названа ква-
дратрисой, то есть квадрирующей. Если все это аккуратно проделать на
миллиметровке, то можно найти число it примерно в виде Архимедова
приближения. Но древним не нравилось все это построение, и критики
говорили, что, пока не найдено отношение отрезка АВ к длине дуги BE,
невозможно определить в точности, что обозначает требование равно-
мерности движения двух названных прямых. А определить это отно-
шение, по их мнению, нужно было, не просто проведя кривую от руки,
а обычным геометрическим построением.
— А если взять миллиметровку, — спросила Веточка, — получится?
— Разумеется, получится! — отвечал дед. — Попробуйте. Так что,
как видите, квадратриса практически дает возможность найти длину
окружности, но теоретически она не давала древней науке того, что этой
науке требовалось. Вслед за этим в том же веке появляются два фило-
софа, высказавшие ряд важных соображений. Конечно, всякому ясно,
что если вписать в круг сперва треугольник, а затем шестиугольник, то
последний отнимает у круга большую часть площади по сравнению
с тем, сколько отнимает треугольник. 12-угольник отнимает еще боль-
шую часть, 24-угольник еще большую и так далее. Чем больше будет
углов у многоугольника, тем больше будет угол между соседними сто-
ронами его и тем плотнее будут прилегать стороны многоугольника
в окружности. Это ясно?
— Как будто, — отвечал Вася.
— Так вот, — продолжал дедушка Тимоша,— опираясь на эти сооб-
ражения, философ Антифон и предлагал удваивать и удваивать число
сторон вписанного многоугольника, пока он не сольется с окруж-
ностью. К сожалению, и в этом рассуждении нашлись серьезные недо-
1 Доказательство этой пропорции читатель может найти в книге Б. Л. Ван дер Вар-
дена «Пробуждающаяся наука». М., Физматгиз, 1959, стр. 263—265.
60
четы. Во-первых, как доказать, что мы действительно дойдем до такого
положения? Во-вторых, как мы догадаемся, что на данной стадии
работы мы действительно вправе остановиться? Еще один философ, Бри-
зон Гераклейский, высказал другое замечание: он сказал, что если впи-
санный многоугольник меньше круга, а описанный больше, то истина,
по-видимому, лежит где-то посередине. Бризон предполагал, что «где-
то» между описанным и вписанным многоугольниками должен находить-
ся некий средний многоугольник, который уже не будет отличаться
от самой окружности. Эта задача вызвала много споров, а в пылу спора,
как всегда бывает в таких случаях, начали говорить не о деле, а о сло-
вах. Говорили, что будто бы эти философы предлагают не способ реше-
ния задачи, а самое решение. Благодаря частым обсуждениям задача
получила в древности большую известность. Даже в веселой древнегре-
ческой комедии «Птицы», написанной Аристофаном, появляется некий
персонаж —не то землемер, не то геометр —и рассказывает, как он рас-
планирует воздушный птичий город: в середине у него будет круглая
базарная площадь. Затем он возьмет линейку и мигом превратит этот
круг в квадрат! А чтобы доказать, что это построение вполне возможно,
он говорит, что это у него получится точь-в-точь как... на Солнце. По-
тому что Солнце хоть и круглое, а ведь лучи у него прямые. Вот тебе и
доказательство! Разумеется, этот великий мудрец награждается в коме-
дии за свою квадратуру тумаками, на чем эпизод и кончается *.
— Смешно придумано, — заметила Наташа.
— Забавно, — согласился дедушка. — Тем не менее идеи этих фило-
софов заключали в себе много интересного. Оба их предложения в даль-
нейшем были широко использованы. Мысль Бризона о том, что возмож-
но найти и указать границы, между которыми заключается искомое,
была ценной. Но так как ни Бризон, ни Антифон не имели возможности
довести до конца свои рассуждения, то критика начала осыпать их
упреками, не имевшими, в сущности, к этому отношения.
в
— Видный философ древности Симпликий Киликийский, — продол-
жал дедушка, —один из самых последних философов античности, кото-
рого в VI веке нашей эры император Юстиниан изгнал из своего царства,
как идолопоклонника, рассказывает о квадратуре Антифона и Бризона.
Симпликий, последователь и толкователь Аристотеля, говорит, что
сколько бы раз мы ни увеличивали число сторон многоугольника, все
•Интересные сведения об этой комедии, Аристофане и Греции того времени можно
найтн в книге С. И. Соболевского «Аристофан и его время». М., АН СССР, 1957,
стр. 192—209.
61
равно каждая сторона описанного многоуголь-
ника будет соприкасаться с окружностью только
«jwRJmWv» в одной точке> а стоРона вписанного — только в
двух, и исчерпать площадь последовательным
шВЯг удвоением числа сторон многоугольника невоз-
можно вообще, хотя бы это удвоение и п р о-
должалось до бес конеч ност и. Что ка-
кл’Л сается самого Аристотеля, то он отвергал прин-
цип’ пРеДложенный Антифоном, говоря в своем
сочинении «Физика», что ошибка в рассуждении
Антифона — это не геометрическая погрешность
Кт,< \ и осудить ошибку Антифона должен не геометр,
*•*4 • •*• **^* ' а философ. Аристотель отзывается о рассужде-
Аристотель.	ниях днтифона и Бризона самым пренебрежи-
тельным образом, обвиняя и того и другого
в ошибках против логики, то есть против разумного суждения вообще1.
Симпликий утверждает, что если согласиться с Антифоном, то придет-
ся отказаться от дорогой древним идеи о бесконечной делимости, ибо
Антифон утверждает, что, деля последовательно на два сторону много-
угольника, мы в конце концов достигнем того, что разницы между сто-
роной многоугольника и крошечной дугой окружности уже не будет, а
это-де невозможно, ибо прямое не может обратиться в кругообразное!
— А почему же не может? — спросил Ника.
— Не может потому, — отвечал Тимофей Иринархович, — что для
Аристотеля и его последователей между прямым движением и круговым
имеется совершенно особое различие: прямая знаменует движение в на-
шем земном, грешном и смертном мире, а круговое движение символи-
зирует бессмертное движение небесных тел. Только этими суеверно-ре-
лигиозными страхами и можно объяснить странное пренебрежение
к этим недюжинным мыслителям. Для Аристотеля «небо» было божест-
вом, как он сам говорит об этом в «Метафизике» и в сочинении «О небе».
Древний историк Геродот подтверждает это, говоря в своих рассказах
о персах, что «Зевсом — главным божеством — они называют весь не-
бесный свод». Следовательно, это верование имело в древности большое
распространение. Сам Аристотель в подтверждение своих мыслей о бо-
жественности «неба» признает в «Метафизике», что только для обмана
доверчивых простаков «богов объявляют человекоподобными». То же
самое можно найти и у римского писателя Плиния Младшего, который,
как истый римлянин, глубоко презирал Грецию со всей ее наукой. Пли-
ний сочинил похвальное слово римскому императору Траяну. И там он
объясняет, что такое было «небо» в древности, говоря, что царь Траян
’«Физика» Аристотеля. М., Соцэкгиз, 1937, кн. 1, § 2, стр. 9. «Аналитики» Аристо-
теля. М., Госполитиздат, 1952, ч. 11, гл. IX, стр. 197.
62
был указан Риму самим Юпитером — римским Зевсом, главным боже-
ством—и был избран перед теми же жертвенниками и алтарями, у тех
же священных мест, где «присутствие божества столь же очевидно и до-
стоверно, как и среди звезд небесных».
— Вот оно как! — заметил Вася. — Значит, и Аристотель, и Геродот,
и Плиний, все говорят, что их «небо» это божество. И все, что там, на
небе, происходит, все это божественное. Ишь, как придумали!
— Это суеверие, — добавил дедушка, — идет из очень далекой древ-
ности, ибо еще в древнейшем месопотамском царстве Шумере, в третьем
тысячелетии до нашей эры, иероглифический знак звезды обозначал
«божество». Но именно древность этого поверья, как говорил сам Ари-
стотель в своем сочинении «Метафизика», была для него залогом того,
что это истина. Серьезные современные исследователи ставят Антифона
рядом с великим математиком древности Евдоксом, а наши советские
ученые не без основания считают Антифона последователем великого
материалиста Демокрита, «смеющегося философа». Впрочем, надо за-
метить еще и то, что мало в науке высказать разумную мысль, указать
дельное направление, надо еще и сделать кое-что. Вряд ли эти фило-
софы были способны на это. В их времена, например, могли уже дока-
зать, что площадь круга с радиусом, равным единице, то есть единич-
ного круга, не меньше чем 3,0 и не больше чем 3,5...
— Так, может быть, — спросила Наташа, — они из этих двух чисел
и думали среднюю вычислить?
— 3,25 получается, — заметил Вася. — Что-то не больно складно!
— Много хуже египетского решения, — пожав плечами, сказал
Ника. — Куда же это годится?
— Да нет! — запротестовала Наташа, покраснев до ушей. — Это я
просто так сказала. Конечно, пустяки.
— Никаких данных в пользу такого предположения, — отвечал де-
душка Тимоша, — не имеется...
— Естественно, — процедил Лева.
— ... но, конечно, думавшие решить этот вопрос одним махом мог-
ли к тому же предложить еще что-нибудь математически совершенно
непригодное, а решение задачи от этого не двинулось бы ни на шаг.
Проще сказать, споры все эти зашли в древней Греции в тупик. Такого
решения, которое покоилось бы на незыблемых теоретических основа-
ниях, не было найдено... Хотя все-таки надо отметить, что эта сначала
как будто незрелая мысль Бризона о некоторой средней между пло-
щадью описанного и вписанного многоугольников через много-много
веков нашла себе место в науке. Но, как мы увидим позже, все это ока-
залось делом очень далекого будущего, а продолжать в те времена дело,
начатое открытием квадратрисы Гиппия, из-за теоретических трудно-
стей было невозможно. Квадратура круга оказалась задачей гораздо
более трудной, нежели удвоение куба. Научно обоснованного выхода не
63
было видно. Следовало придумать какой-то новый подход к этой задаче,
который был бы теснее связан с практическими потребностями, и за-
быть о странных «затруднениях» Аристотеля, которые в значительной
мере были созданы суеверием и страхом задеть издавна сложившиеся
предрассудки. Во времена возрождения наук преобразователь науки
Галилео Галилей решительно отвел все эти рассуждения очень простым
примером. Он сказал так: «Если я могу согнуть данный стержень — ме-
таллический, скажем, — в квадрат, то я делю его на четыре, но я его
могу согнуть и в круг, а тогда как раз и получится многоугольник с бес-
конечным числом сторон».
— Вот как! —сказал Вася. —Хорошо придумал! Конечно, если ему
скажут, что это не круг, так он в ответ спросит, а как же иначе круг
сделать.
— Так-то оно так, — отвечал дедушка, поразмыслив, — но ведь в
науке каким-нибудь одним остроумным замечанием не отделаешься. Ты
придумал ловко, а другой еще ловчее придумает. Не забудь, что по уче-
нию Аристотеля вообще считалось невозможным приравнять кривую
линию прямой! И если Галилей и смог отвести возражения таким удач-
ным примером — не забудьте, что это все-таки лишь пример! — то
это потому, что он имел возможность ссылаться на основополагающие
труды Архимеда, который смог довести до конца это труднейшее дело,
опираясь на смелую и остроумную догадку Бризона, полагавшего, что
окружность должна лежать между вписанным и описанным много-
угольниками, и на чрезвычайно важные работы Евдокса. Кстати, не ду-
майте, что и Галилею легко было спорить на эту тему в XVII веке, то
есть через две тысячи лет после Архимеда! Католической церкви очень
были дороги «божественные» рассуждения Аристотеля, и она всячески
цеплялась за его авторитет, созданный, разумеется, не этими рассуж-
дениями, а подлинными заслугами великого мыслителя, и весьма косо
поглядывала на труды Архимеда, пытаясь противопоставлять Архимеду
Аристотеля, хотя Архимед жил позже и кругозор его был шире.
— Ну вот и опять наш Архимед Сиракузянин! — воскликнула Наташа.
— Внимание! — строго провозгласил ученый секретарь.
— Ушки на макушке! — поддержал Вася.
— Ждем не дождемся!— оживилась Веточка.
— Вот это я понимаю! — одобрил Ника.
— Надо представить себе, что после этих споров прошло немало вре-
мени, почти два века. Греческая математика за это время несколько
изменила свое общее направление: под влиянием неотступных требова-
ний со стороны шагавшей вперед астрономии греческая математика
уклонилась в сторону вычислений. Это, конечно, отнюдь не значит,
что в эту эпоху греческая математика отказалась от своей неуклонной
логической строгости. Но под влиянием такой опытной наблюдательной
науки, как астрономия, в математике возникли некоторые новые на-
64
правления. Древние греки очень ценили астрономию; еще Платон, жив-
ший лет за двести до Архимеда, настоятельно советовал своим совре-
менникам изучать астрономию математическим путем. Весьма возмож-
но, что и бурно развивавшаяся в то время инженерия — камнеметные и
иные военные машины —тоже оказала свое влияние: ей требовались вы-
числения в гораздо большей степени, чем построения. Архимед ведь был
не только математик, он был еще и физик, и военный инженер.
— Постой, дедушка, — живо сказал Лева, — подожди! Ты объясни.
Ведь все это ужасно трудно. То есть как же это получается? Значит,
греки внесли в древневосточную математику рассуждение, или, как ты
сказал, логику. А потом, ко времени Архимеда, вот ты говоришь: «новое
направление». Но в чем же оно, собственно, выразилось? Мне очень хо-
чется это... понимаешь ли... ухватить!
— Видишь ли, — сказал дед, закинув голову и щурясь, — ты уж
очень, брат, мне трудные вопросы задаешь. Ну что ж, попробую тебе
объяснить, как умею. Тут придется немного опять назад обернуться.
Весьма вероятно, что древние греки в самом начале развития их куль-
туры обращали очень большое внимание на арифметику, и следы этого
внимания дошли до нас в виде, скажем, тех же фигурных чисел, о кото-
рых мы уже знаем ’. Но когда в те же примерно времена они открыли
существование несоизмеримых чисел —таких, например, как /21 —то
перед ними встало совершенно своеобразное решение всей математиче-
ской проблемы.
— Непонятно,— воскликнул Лева,— что это за «решение»? Не по-
нимаю!
7
— А ты не спеши, — отвечал дедушка. — Сейчас услышишь. Древ-
негреческие ученые выяснили, что несоизмеримое, или иррациональное,
число вроде у*2 невозможно точно выразить арифметическим путем.
А в то же время они видели, что его очень просто можно построить
геометрически. И к этому наблюдению человека волей-неволей ведет
строительная практика. Найти диагональ квадрата легко, а выразить ее
численно не только крайне трудно, но это вычисление связано с весьма
сложными приемами, которые в то время представляли собой сплошную
неразбериху. Но если это так, то вполне естественно, что древние греки
и пришли к своему решению, которое заключалось в том, что геометрия
дает более общие и более простые способы, для того чтобы
разобраться в количественных соотношениях, нужных человеку в его об-
щественной жизни. Вот о каком решении я говорил.
1 См главу XII, разделы 3 и 4.
5 Архимедово лето	65
— Ах, вот ты про что... — пробормотал Лева.
— А теперь, — продолжал его наставник, — вспомни-ка об алгебраи-
ческих знаках. В чем их сила? Именно в том, что они могут иметь любое
значение, и когда ты в алгебре вводишь в дело какую-то букву а, то она
может быть и целым числом и дробью, может принимать значение сте-
пени или корня, который, как тот же \/2, невозможно точно выразить
численно. Одним словом, этот твой знак а может изменяться как у год-
но, а не только так, как изменяются целые числа, — скачками, равными
единице. Понимаешь, Лева, в чем тут суть? Так вот и геометрические
образы греков тоже были такими, которые могли представлять собой
любую величину. И греки прекрасно понимали это. Об этом прямо гово-
рит Аристотель. Тем-то эти образы и были дороги древним ученым.
Если арифметика становится в тупик перед несоизмеримостями, то гео-
метрия их не боится и предоставляет ученому свои образы, которые
вполне могут соответствовать неизмеримостям. Вот почему нередко и го-
ворят о геометрической алгебре древних греков.
— Вон как!.— задумался Никита. — Вот ведь не приходило в голову.
— Надо еще принять во внимание, — продолжал Тимофей Иринар-
хович, — что многое в то время было еще крайне неясно; первые мате-
матики среди древних греков учили, что единица это не число, а начало
всех чисел. Отсюда на основании очень неясных рассуждений они
утверждали, что обычные вещи, с которыми мы имеем дело каждый
день, можно делить, а математические образы делить нельзя. А если
так, то единицу, которая тоже есть математический образ, нельзя де-
лить, ибо она есть образ некоего неделимого единства — ну, приблизи-
тельно на манер живого организма...
— Дедушка, — крикнул вдруг Вовка, — ведь это нам Ника расска-
зывал сказку про то, как нельзя одного живого слона натрое разделить'.
Ты про это?
Вопрос Вовки был заглушен общим хохотом и громкими рукоплеска-
ниями.
— Ну что за философ! — воскликнула Веточка. — Какой пример
смешной придумал! А ведь верно...
— Правильно, Вовушка! — отвечал дед, улыбаясь. — Действительно,
что-то в этом роде. А в результате этих туманных рассуждений до Архи-
меда в древнегреческой общепринятой науке дроби не встречаются,
хотя нет сомнения, что они были известны. Одна треть упоминается, на-
пример, еще в поэмах Гомера. Да и, разумеется, обходиться в общежи-
тии без дробей никак невозможно. Но древнегреческая классическая
наука проходила мимо этого. Не замечала! А что до Евдокса, то тут на-
чинаются еще новые хитрости... Не знаю уж, как вам и рассказать об
этом. Может быть, на будущее лето этим займемся?
* См. главу VII, раздел 1.
66
— На будущее лето!.. — в полном разочаровании протянула Веточ-
ка. — Да что вы, дедушка Тимоша!
Дед пожал плечами:
— Сейчас только одно могу сказать: метод Евдокса был сложнее
того, что я только что назвал геометрической алгеброй древней Греции.
Это был новый и очень сильный метод, ему были по плечу и такие за-
дачи, для которых геометрической алгебры не хватало.
— А что же это был... — начала было Наташа.
— Хватит, хватит! — прервал ее дедушка Тимоша. — А то мы с вами
никогда до конца не доберемся. Удовлетворитесь пока этим моим заме-
чанием. А потом оно само собой выяснится. Итак, повторю еще раз, что
ко времени Архимеда древнегреческая наука несколько охладевает
к своим прежним исключительно геометрическим пристрастиям и все
больше обращает внимания на вычисления. Как я уж говорил,
основной причиной этой важной перемены была, вероятно, не столько
теория, сколько практические задачи, которые задавали тогдашней ма-
тематике развивающаяся астрономия и древняя артиллерия. Надо ведь
считаться с тем, что изменения в военной технике очень быстро оказы-
Камнемет в каземате башни.
5*
вают влияние на общественную мысль. Каждый гражданин, в сущности,
солдат, а следовательно, эти новости распространяются очень скоро.
Если греки времен Аристотеля верили в то, что брошенный камень летит
потому, что его подталкивает воздух...
— Смешно! — ввернул Вася.
— ... то после того, как в войсках везде ввели эти осадные камне-
меты самой различной мощности, ни один солдат в это странное правило
поверить уже не мог! А своеобразные задачи астрономии потребовали
совершенно новых способов решения. В астрономии ведь основные из-
мерения представляют собой измерения углов, под.которыми мы
видим с Земли небесные тела. Значит, надо научиться складывать углы
и так овладеть искусством их измерения, чтобы сообразить, как опре-
делять очень малые углы. Греческая геометрия не была к этому подго-
товлена, и тогда начала строиться новая наука, т р и г о н о м е т р и я,
где изучались соотношения между углами и сторонами треугольника
именно путем вычислений. Надо еще заметить, что в V веке до нашей
эры еще один древний математик, Ги ппокр ат Хиосски й...
— Да мы о нем уже говорили, дедушка! — подсказал Вовка.
— Говорили, — согласился дед. — Гиппократ занялся вопросом о кру-
ге вообще. Он рассуждал так: известно, что площади подобных прямо-
угольников относятся, как произведения двух сторон, ширины и длины;
площади квадратов — как квадраты их сторон. Но если это так, то, по-
скольку все круги (как и квадраты) подобны друг другу, ясно, что пло-
щади кругов относятся друг к другу, как квадраты линейной меры
кругов. Линейной же мерой круга является его поперечник, то есть ди-
аметр. Так и выяснилось, что площади кругов относятся, как квадраты
их диаметров. За чем же была остановка? Сейчас, когда подумаешь об
этом, то кажется, что им оставалось только найти некоторый численный
множитель пропорциональности, на который надо было умножить диа-
метр, и задача квадратуры круга была бы решена; казалось, что уже
все было подготовлено к этому. Но это так можно сейчас рассуждать,
а тогда надо было еще додуматься и доказать, что такой множитель про-
порциональности действительно существует. А разные численные при-
кидки, вроде египетской, вавилонской или еще какой-то средней, что
Наташа нам сегодня выдумала насчет 3,25, только сбивали с толку. Так
что эта остановка только из-за множителя в те времена представляла
для науки очень большое затруднение. Но вслед за этим Гиппократу
удалось сделать одно открытие, для того времени просто поразительное.
Он показал, что можно построить такую фигуру, составленную из д у г,
то есть из частей окружности, для которой можно совершенно строго
доказать, что площадь ее равняется площади хорошо известной фигуры,
а именно треугольника. Эти фигуры так и называются гиппокра-
товы луночки. Вот чертеж.
Все остановились, и дедушка нарисовал на дороге чертеж.
68
— Смотрите! — сказал он. — Если мы по-	с
строим квадрат на стороне АВ, то он будет
вдвое больше квадрата на стороне АС. Но так 4|||Ж/Х
как площади кругов и полукругов относятся	\
друг к другу, как квадраты диаметров, то вы- Wf zzZ	\
ходит, что полукруг АСВ будет в два раза	|
больше полукруга ДЕС. Значит, квадрант Л CD, a D В
то есть четверть круга, будет равен полукругу
АЕС Ясно?	Гиппократова луночка.
— Ясно, — тихо произнесла Веточка.
— Теперь античный геометр вычитает из фигуры AECD, которая обра-
зована квадрантом и луночкой, сегмент — то есть часть круга, — который
заключается между стороной квадрата АС и дугой окружности AFC.
Остаются луночка AECF и треугольник ACD, которому она и будет
равна. Но треугольник легко сделать равным некоторому квадрату,
а следовательно, луночку можно квадрировать.
— Вот здорово! — воскликнул Вася. — Вот придумал! Видно, что ма-
стер был своего дела.
— А вот еще орнамент, который был очень распространен в древно-
сти. Рассмотрим его. Большой круг равен сумме четырех малых полу-
кругов. Отнимем общие сегменты, и тогда ясно, что четыре внешние лу-
ночки равны квадрату, который вписан в большой круг.
— Красота! — сказал Ника.
— Работа Гиппократа, однако, — добавил дедушка, — тоже вызвала
возражения. Его не без основания упрекали в том, что он, удачно ра-
зобрав несколько интересных частных случаев, придает им слишком
большое значение, надеясь одолегь тем же путем и квадратуру круга.
А это было неосуществимо. Именно эту чисто геометрическую погреш-
ность Аристотель и противопоставлял ошибке Антифона, совершившего
не геометрическую, а философскую ошибку, не-
простительную с точки зрения этого мыслителя.
Но важный опыт был сделан: Гиппократ пока-
зал, что так или иначе, но возможно приравнять
по площади прямолинейную фигуру и фигуру,
ограниченную кривыми линиями. Попытки опре-
делить площадь фигур, ограниченных дугами
круга, предпринимались еще в Вавилоне. Позд-
нее этой задачей занимался очень крупный араб-
ский ученый Альхацен, живший в XI веке нашей
эры, а затем к ней вернулись уже в XVI веке,
во времена эпохи Возрождения *.
* См. книжку В. Литцмана «Старое и новое о круге».
М., Физматгиз, 1961, § 8.
69
8
— Вова, — крикнула Веточка, — как ты думаешь, число 2 099 846 де-
лится на семь или нет?
— Не знаю, — чистосердечно отвечал Вовка. — Как-то Ника нам
рассказывал о признаках делимости на семь *, да я забыл. Путаный ка-
кой-то этот признак.
— А хочешь, я тебе простой покажу?
— Давай! — отвечал Вовка. — Если простой, то хорошо.
— Попробуем разобрать: делится на семь число 2 099 846 или нет?
Пишем наше число и отделяем два знака справа: 2 099 8’46, берем эти
два знака справа, отделенные апострофом, и делим на семь:
то есть остаток от деления равняется четырем. Мы этот остаток и запи-
сываем сбоку....................................................4.
Затем берем число, которое у нас осталось слева от апострофа, то есть
20 998, и удваиваем его. Получаем 20 998 -2 = 41996. Снова отделяем
апострофом два знака справа: 419’96, и число за апострофом опять де-
лим на семь:
96 :7 — 13 4” j
Остаток пять записываем сбоку...................................5.
Число 419 затем множим на два и отделяем справа два знака:
419 • 2 = 8’38.
Делим число 38 на семь и записываем сбоку остаток...............3.
Теперь последнее оставшееся слева число 8 множим на два, потом де-
лим на семь и записываем сбоку остаток..........................2.
А теперь складываем все наши остатки:
4 + 5 + 34-2 = 14.
Эта сумма делится на семь, значит, и все число делится. И всё!
— Делится! — сказал Вовка. — Я проверил: 299 978 получается. Это
запомнить нетрудно. А еще что ты покажешь?
— Еще хочешь? — спросила Веточка. — Задачка — найти такое
1 См. главу XI, раздел 6.
70
число, чтобы его квадрат, если число написать в обратном порядке, тоже
был квадратом.
Вовка посмотрел удивленно и пожал плечами.
— Вот что будет: 33 в квадрате равно 1089, — продолжала Веточ-
ка.— А если взять число 9801, то оно будет квадратом числа 99.
— В три раза больше. А с квадратами-то не так!
— Еще: найти квадрат из четырех знаков, такой, что, если разбить
на два числа по два знака, они тоже были бы квадратами. Не знаешь?
Смотри:
4®= 16; 9® = 81; 1681 = 41®.
— Здорово! — сказал Вовка, и рожица его просияла.
— Еще в этом роде тоже:
6® = 36; 1О’=1ОО; 36100=190®;
9® = 81; 15® = 225; 81225 = 285®;
12®=144; 20® = 400; 144400 = 380®.
— Пишу! — вымолвил Вовка.— Ты какие хорошие штуки показы-
ваешь!
— Постой-ка! Вот еще у меня парочка такая есть:
15® = 225; 25® = 625; 225625 = 475®;
18® = 324; 302 = 900; 324 900 = 570®.
А теперь еще одна задачка, только это уже похитрей. Хочешь?
— А она очень хитрая? — опасливо спросил Вовка.
— Нет, не очень. Вот слушай: правда ли, что если написать та-
кой ряд:
100® - 99® + 98® — 97® + ... + 4® - 3’ + 2® - 1,
то есть на месте многоточия стоят все числа от 96 до 5, а знаки все вре-
мя чередуются. Понимаешь?
Вовка утвердительно кивнул.
— Так вот: правда ли, что это выражение равняется такому:
14-2 + 3 + 4 + ...+97 + 98 4-99 + 100,
а если правда, то почему?
— Во втором ряду все числа от единицы до ста? — спросил изум-
ленный Вовка.
71
— Все до одного.
Вовка тяжело вздохнул:
— Очень непонятно!
— Ишь что придумала! .. — вымолвил присоединившийся к ним
Вася. — Да ты не горюй, секретарь, сейчас как-нибудь обмозгуем!.. Ты
мне, Веточка, разрешаешь принять участие?
— Можешь, — небрежно проронила Веточка, не очень-то довольная
его вмешательством, но делая вид, что ей все равно.
Вася посмотрел на нее искоса, чуть улыбнулся.
— Нет, хитро! — сказал он, поглядывая немножко лукаво. — Ну-ка,
рассказывай сама!
— Пожалуйста! — сказала Веточка, мигом оживившись. — Тут надо
только одну формулу из алгебры знать. И тогда все сразу ясно станет.
Если умножить сумму двух чисел на их разность, получается разность
их квадратов. Например: 7 + 2 = 9, а 7 — 2 = 5, дальше: 9 • 5 = 45, но
то же самое получится, если взять разность квадратов 72 — 22 = 49 —
— 4 = 45.
— И так всегда будет? — недоверчиво спросил Вовка.
— Всегда, конечно, — отвечала Веточка.
— На то и алгебра, — поучительно заметил Вася.
— Ну так вот, — продолжала Веточка: —мы и напишем наш пер-
вый ряд так:
(100 + 99)  (100 - 99) + (98 + 97) • (98 - 97) + ...
и так далее до самого конца. Но теперь уже ясно, что каждая вторая
скобка равняется единице, а следовательно, все их можно в качестве
множителей опустить. А тогда и получается второй ряд.
— А второй ряд по сумме арифметической прогрессии, — сказал Ва-
ся. — Тут просто: возьмешь полусумму первого и последнего членов и
умножишь на число членов. Вот и получится
100 • (100 + 1) :2 = 5050.
Да у нас уже это было!
— Хорошо! — произнес Вовка, сияя. — Слушаешь, пишешь, и все
ясно. Правда, вот про то, как квадраты вычитать, я не очень понял, но,
кажется, верно выходит.
— Точно!—сказал, смеясь, Вася. — От самого Вавилона проверяли,
и ни разу это правило никого не подвело. Можешь надеяться, как на
каменную гору...
А затем они втроем присоединились ко всей остальной компании.
— Знаете что, — заявил Ника: — а ведь уже поздно. Давайте-ка со-
бираться. А то когда же домой попадем?
72
— А квадратура? — спросил негодующий Лева.
— Квадратура от нас никуда не уйдет, — отвечал дед. — Ника прав.
Пора! Еще разок сходим.
— Дедушка, — громко закричал Вовка,— да они с ума сошли! Ведь
наш сегодняшний доклад даже еще и не начинался!
— Как так? — спросил Вася.— Ах да, верно!
— Конечно, верно, — сказала Наташа. — Доклад-то должен был
быть наш с Веточкой.
— Эх, — вздохнул Ника, — как же это я забыл! Виноват! Кругом
виноват! Веточка, ты не возражаешь, если ваш с Наташей доклад мы не-
множко отложим? Ведь, в общем, торопиться-то нам некуда. Или, мо-
жет быть, вы с ней вызубрили наизусть и позабудете?
— Конечно, позабудут! — обрадовался случаю Лева.
— Не изволь беспокоиться! — отвечала ему очень церемонно Наташа
и даже присела перед ним, как фигуристка на коньках к концу выступ-
ления. — Как бы вам, уважаемый академик, чего-нибудь не забыть!
— Ну конечно, можно отложить, — сказала Веточка. — Дедушка
Тимоша рассказывал нам такие интересные вещи, что мы заслушались, и
у нас даже из головы вылетело, что докладчицы-то сегодня мы с Ната-
шей. Ну, неважно! Успеется. Пошли домой.
Г лава семнадцатая
Первый раз на белом свете точно квадрируется криволинейная пло-
щадь. — Новые мысли Архимеда.— Начать с длины окружности. —
Вычисление, а не построение. — Географу Эратосфену понадобилось из-
мерить один круг... — Птолемеево число. — Число Цзу Чун-чжи.— Рим-
ское приближение. — Индийские решения, одно лучше другого! — Гия-
седдиново число с семнадцатью точными знаками. — Несоизмеримые
числа. — Чет и нечет. — Число Леонардо Пизанского. — Философские
сосуды. — Удивительная находка Николая Кузанского. —Шести-
угольник посылает вызов девяностошестиугольнику! — Кузанский опре-
деляет длину дуги с ошибкой, меньшей полупроцента. — Неосторожные
восторги изобретателя и жестокая месть неумолимых педантов. — Лео-
нардово колесо. — Число Оронтия Финея. — Ученые Возрождения знако-
мятся с творениями Архимеда. — Замечательный вывод Виеты.— Нет
такого уравнения с конечным числом членов... — Наконец-то Вовка по-
лучает решение замысловатой задачки с прыгающими спичками.
1
Пробежало еще несколько ясных летних дней, отцвела липа, и геор-
гины стали понемногу поднимать головки, завязывая свои бутоны.
74
Ника подошел к дедушке, который, сидя на крылечке, перечитывал
Диккенса, и сказал будто невзначай:
— Насчет этих луночек Гиппократа мы как будто кое-что поняли...
— Вот как! —ответил дедушка. — Приятно слышать.
— Н-да... — согласился Ника. — Ну а вот...
— Что «а вот»? — спросил дедушка.
— Дедушка Тимоша, а что, если бы нам продолжить разговор про
квадратуру круга? — предложил Ника.
— Даже не понимаю, о чем тут говорить! — ввязался неизвестно от-
куда появившийся Вовка. — Идемте-ка опять в лес!
— В лес? — сказал дедушка спокойно, захлопнув свою книжку. —
Ну что ж, можно и в лес пойти. Погода хорошая.
И вскоре вся наша компания пошла знакомыми тропинками туда,
к знаменитым оврагам тускарийским.
— Итак, — начал дедушка, — впервые в древнем мире, как мы уже
говорили, Гиппократ строго доказал, что квадратура луночки возможна.
Но от этого еще далеко до квадратуры круга. Попытки Гиппократа до-
биться квадратуры круга при помощи луночек ни к чему не привели.
Это было хорошо известно еще в древности. Сама луночка квадрируется,
как показали дальнейшие исследования уже в наше время, только при
вполне определенных отношениях между радиусами тех двух кругов, из
дуг которых она состоит. Однако эта любопытная работа Гиппократа
имела свое значение — она впервые показала, что возможно найти со-
вершенно точную квадратуру фигуры, ограниченной кривыми линиями.
Вот что было замечательной научной новостью! Правда, решение было
получено для частного случая, но все на свете начинается с частного
случая. Прямого пути для развития в этом направлении не было видно,
но самый факт, что подобное решение оказалось возможным, был чрез-
вычайно важен. Это был определенный шаг вперед. Теперь, ребята,
когда мы с вами собственными глазами убедились, что существует пря-
молинейная площадь, равновеликая криволинейной луночке, поговорим
об Архимеде. Его крупнейшим математическим завоеванием в древней
науке — завоеванием, которое прожило более двух тысяч лет, а для мно-
гих инженерных потребностей и поныне не утратило своего значения! —
было вычисление того самого множителя, которого не хватало в теореме
Гиппократа о квадратах диаметров кругов.
— Как же это он сумел, дедушка? — спросил Вовка.
— Сейчас узнаешь! — ответил дед, положив руку на плечо вну-
ка. — Чтобы разобраться во всем этом хотя бы приблизительно, надо
принять во внимание еще некоторые обстоятельства, которые сперва
могут показаться незначительными. Когда греческий ученый утверждал,
что площадь описанного многоугольника больше площади круга, а пло-
щадь круга, в свою очередь, больше площади вписанного многоугольни-
ка, то он доказывал это, исходя из правила «целое больше части». Это
75
Общий принцип Бризона и Ар-
химеда: круг находится между
описанным и вписанным мно-
гоугольниками.
правило приводится и у Евклида. Ко времени
Архимеда выяснилось, что, кроме самых общих
заключений, из этого невозможно что-либо по-
лучить. Более тонкие способы доказательств,
примененные в данном случае великим Евдок-
сом, как бы звали научную мысль дальше, но
в данном случае тоже не давали ничего нового.
Поэтому Архимед придумал совершенно новый
путь для изучения проблемы квадратуры кру-
га, который, кстати сказать, уводил всю эту
задачу далеко от тех рассуждений, которые
всем уже изрядно надоели благодаря беско-
нечным и бесплодным спорам.
— «Целое больше части»...— повторила
Веточка. — То есть сперва говорится, что опи-
санный многоугольник — это целое, а круг —
его часть, потом уже говорят, что круг —
целое, а вписанный многоугольник — его часть. Так я говорю или нет?
— Правильно! — отвечал ей дедушка Тимоша.
— А что же придумал Архимед? — спросил Лева.
— Он, во-первых, решил испробовать, к чему может повести вычис-
ление, а во-вторых, он придумал новый подход к решению задачи, при
котором правилом «целое больше части» невозможно уже было пользо-
ваться. И тогда началась новая глава в истории задачи квадратуры кру-
га. Сначала Архимед по методу Евдокса доказал, что площадь круга
можно приравнять площади прямоугольного треугольника, основа-
ние которого равно длине окружности, а высота — радиусу. Это,
впрочем, было известно древнегреческой науке задолго до Евдокса. Но
Архимед, опираясь на это положение, предложил совершенно новый
способ для определения площади круга. Для этого способа уже невоз-
можно было воспользоваться правилом «целое больше части», так как
при определении длины кривой, то есть окружности, это правило ничем
помочь не может. И все изыскание пошло по другому пути, освободясь от
надоевших старых споров о квадратуре. Во-вторых, воспользовавшись
теоремой Евдокса о том, что площади кругов относятся друг к другу
как квадраты их диаметров, для которой Евдокс пользовался вписанным
многоугольником, а также догадками Антифона и Бризона, Архимед
начал ряд важных попыток. Сперва древний геометр действовал по
примеру Евдокса и Антифона, то есть начинал решение со вписанных
фигур, и достиг этим путем успеха в одной из прежних своих работ.
А затем уже перешел к воплощению домысла Бризона, полагая, что
окружность лежит между вписанным и описанным многоугольниками.
Однако самая задача, поставленная Архимедом, была небывалой но-
востью в древнегреческой науке: геометр решил не доказывать некую
76
теорему о соотношениях частей данной фигуры или выполнить какое-то
построение, — он решил найти численный коэффициент, кото-
рый должен был связать радиус единичного круга и его площадь.
— Трудно, наверное, было в то время догадаться, что эту задачу
можно решить, — заметил Никита.
— Все это, — продолжал дедушка, — разумеется, стоило долгих и
серьезных предварительных размышлений. Правда, в древнегреческой
геометрии и до того имелись некоторые численные правила, как, напри-
мер, о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым, но
задача квадратуры круга нисколько не была похожа на теоремы, кото-
рые приводят к таким ясным и простым численным соотношениям. Разу-
меется, Архимед знал, что существует немало прикидок для решения
этой проблемы и что все они не только разные, но и все они, более или
менее подходят для решения этого вопроса. Следовательно, он не мог не
знать, что перед ним стоит задача особого рода. Рассказы об Антифоне
и Бризоне наводят на мысль, что уже до Архимеда были попытки заме-
нить площадь круга площадью вписанного или описанного многоуголь-
ника. Нет сомнения, что и эти попытки были известны Архимеду. И вот,
когда он начал сам повторять с большой тщательностью все эти при-
кидки, он должен был обратить внимание на очень простое обстоятель-
ство, которое открыло ему глаза на некоторые стороны этой проблемы.
Допустим, что можно без особой опаски для практических приложений
сказать: «в общем, вот такой вписанный или описанный, многоугольник
подходит по площади к нашей задаче», но как решить, на каком много-
угольнике следует остановиться? И, когда ученый начал брать разные
многоугольники, ему стало ясно, почему существует так много прибли-
зительных решений этой задачи и почему все они разные: просто потому,
что многоугольников существует бесконечное множество *. Это не значит,
конечно, что египетское или вавилонское решение было получено из
правильных многоугольников.
— То есть, дедушка Тимоша, — ввернула Веточка, — он обнаружил,
что эта задача и должна иметь много решений?
— Вот именно! А доказав теорему, согласно которой окружность ле-
жит между вписанным и описанным многоугольниками, ученый пошел
в своих рассуждениях и далее: он заметил, что перед ним задача особого
и нового рода, в которой не видно никакой прямой дороги к такому
определенному, точному решению, с каким мы встречаемся в других
привычных задачах, и что в этом случае можно только указать гра-
ницы, в которых лежит решение. Сказать: решение должно быть н е
больше такого-то числа и не меньше такого-то.
'См. И. Г. Башмакова «Лекции по истории математики в древней Греции». М.
Физматгиз, 1958, «Историко-математические исследования», выпуск XI, лекции 7, 9—10.
77
— И, значит,— заключил Вася, — нельзя уже сказать, что решение
равно вот такому-то числу!
— И в го же самое время заметьте, — продолжал дед, — Архимеду
ясно было, что, невзирая на эту неточность решения, определенное ре-
шение все-таки существует в том же смысле, в каком между увеличи-
вающимися по площади вписанными многоугольниками и уменьшающи-
мися по площади описанными многоугольниками лежит площадь круга,
больше которой не может стать вписанный многоугольник и меньше ко-
торой не может стать описанный.
— А нельзя ли сказать, — спросил Ника, — что площадь окружности
в таком случае является чем-то вроде предела для площадей впи-
санных и описанных многоугольников? То есть я не совсем уверен, ко-
нечно, но мне кажется...
— Да... разумеется, — не очень охотно ответил дедушка, — но ведь
это в наше время легко сказать. Это было связано с новыми методами
Евдокса. Однако нам пока еще говорить об этом рано. Подождем. Торо-
питься некуда.
— Послушай, дедушка! — громко закричал Лева. — Я каждый раз...
ну, просто удивляюсь! Нет, так это-то ты и называешь новым на-
правлением мысли в древнегреческой математике? Так я тебя
понял?
— Да, — сказал Тимофей Иринархович, — именно это я и имел
в виду.
— Кажется... — пробормотал Лева, — начинаю соображать. Но как
же все это хитро!
— Да, древняя наука встречалась с очень большими трудностями.
Постепенно они преодолевались. Не сразу, конечно... Итак, перед Архи-
медом встала задача определения длины окружности, и он ее решает,
опять-таки опираясь на предположение, что длина окружности меньше
периметра описанного многоугольника и больше периметра вписанного.
А затем начинаются самые вычисления — обширные и кропотливые, —
те самые, на которые до Архимеда в древности никто и отважиться не
посмел.
— Все-таки ужасно это странно! — заметила Наташа.
2
— Нам, конечно, странно, — согласился дедушка. — Да мало еще
этого. Может быть, вся эта огромная работа была затеяна Архимедом
не только из естественной для ученого любознательности и пытливости.
Около этого времени в Египте Эратосфен произвел первое довольно
удачное измерение некоторой линии — градуса земного меридиана — на
78
земной поверхности. И это могло послужить для
измерения диаметра земного шара, если бы в ру-	>—>4®
ках вычислителя был множитель пропорциональ- ( L-lUжЗ»
ности, пригодный для определения и площади /
круга, и длины окружности. Как вы понимаете, /
для определения длины такой огромнейшей
окружности необходимо было иметь довольно '/I ||//7iT\vk
точный множитель пропорциональности. Архимед	I Г iTJS
и вычислил этот множитель, который, как уже
сказано, всегда обозначается теперь греческой
буквой it. И Эратосфен дал первое определение nSJ-П	J
диаметра Земли, которое было не так уж плохо.	f -И
Архимед, определяя длину окружности, перехо- гд	I
дит последовательно от треугольника — через	'
шестиугольник, 12-угольник, 24-угольник, 48-угольник — к 96-уголь-
нику. Мы об этом уже вспоминали*. Сначала он с помощью опи-
санных многоугольников определяет верхнюю границу длины окруж-
ности, то есть такое число, больше которого эта длина быть
не может, а затем с помощью вписанных многоугольников определяет
нижнюю границу, то есть такое число, меньше которого она быть не мо-
жет. Самое трудное — это были бесконечные извлечения корней, которые
Архимеду пришлось сделать. Ныне полагают, что он действовал тем же
самым способом, который так понравился Вове и о котором мы уже говори-
ли 2. После всех этих вычислений он получает такие результаты — площадь
единичного круга находится в следующих пределах: она не больше не-
22	223
правильной дроби у и не меньше дроби у. Второе число ближе к дей-
ствительности, но так как первое проще, то оно и вошло во всеобщее
употребление под именем...
— Архимедова числа! — подсказала Веточка.
— Да мы уже не раз о нем вспоминали 3.
— Значит, — сказал Ника, — Архимед дал первое, можно сказать,
настоящее решение вопроса о квадратуре круга. Так я понимаю?
— Видишь ли, — отвечал ему президент Тускарийский, — египетское
приближение тоже не так плохо. Но Архимед подходил к этому вопросу
совсем по-иному. У него все от начала до конца было обдумано, прове-
рено и каждый шаг ясен, прост и очевиден. И любой при желании может
в этом разобраться. Это и было первое научное решение вопроса.
* См. главу XIV, раздел 1.
1 См. главу XV, раздел 3.
3 Работа Архимеда «Измерение круга» имеется в сборнике Ф. Рудио «О квадратуре
круга». Одесса, 1911. Было еще и более позднее издание, в 1934 году. Вскоре выйдет
из печати русский перевод всех творений Архимеда.
79
— Постой-ка, дедушка! — произнес довольно медленно Лева. —
Я, кажется, что-то придумал... Вот как: ты ведь говорил, что во вре-
мена Антифона и Бризона греки уже знали, что число it находится между
числами 3,0 и 3,5. Значит, промежуток между этими двумя числами, где
и находится число «, был у них равен 0,5. А у Архимеда к находится
22 223
между дробями -у-и у. Если их привести к одному знаменателю, то вы-
ходит, что разность между ними, то есть опять-таки тот самый проме-
жуток, в котором находится число it, равняется всего-навсего Ну,
чтобы попроще сравнить, будем в круглых числах считать: скажем, не
a ведь там была половина! Или так: 0,5 и 0,002; Архимедов
промежуток в двести пятьдесят раз меньше, то есть уже!
— Правильно, Лева, — отвечал дедушка.
— «Вот такой ужины! ..» — пропел Вовка строку из известной дет-
ской хороводной песенки, поднеся к глазу два своих близко сдвинутых
ногтями больших пальца и сощурившись.
И все весело рассмеялись.
— Я думал еще над другим вопросом, — насупившись, произнес
Лева. — Как согласовать все эти квадратуры: египетскую, вавилонскую
и греческую? И вот к чему я постепенно пришел. Если египетская ква-
256
дратура круга в конце концов дает для числа значение -gp, то, по-моему,
это очень близко к значению 3 + -|- = 3,16667. Вавилоняне утверждали,
что число it близко к 3 + у. А вот Архимед показал, что на самом-то
деле лучше принять, что число « равняется 3-(-у, а это с р ед н я я
между египетским и вавилонским приближениями.
— Н-да, — усмехнулся дедушка, — в этом роде, конечно. То есть,
можно сказать, что и египтяне и вавилоняне были на правильном пути.
Немного им оставалось еще сделать... практически. Но зато как много
надо было сделать Архимеду теоретически.
— Значит, — сказала Веточка, — египтяне подходили к разумному
решению задачи с одной стороны, а вавилоняне — с другой.
— А во II веке нашей эры, — прибавил дедушка, — знаменитый
астроном и математик древности Клавдий Птолемей приводит еще луч-
шее приближение для числа it , равное в шестидесятиричных дробях
3, 8, 30, то есть
о . 8 . 30
° + 60 + 3600 ’
80
что дает в десятичной дроби: 3,14166. Полагают, что это приближение
было получено крупным математиком, современником Архимеда, Апол-
лонием Пергейским. После трудов Архимеда сделать это было сравни-
тельно легко.
— Так у кого же из них верное решение? — спросил Вовка,—
Я совершенно не понимаю.
— Они, Вовушка, и сами этого долгое время не понимали. Вот это-то
оказалось настоящим камнем преткновения. Сами греки могли только
убедиться, что линейка и циркуль в этом вопросе отказываются помо-
гать. Кстати уж, могу вам сообщить, что не кто иной, как ваш приятель,
художник Альбрехт Дюрер, в 1525 году напечатал сочинение, носившее
название: «Наставление к измерению циркулем и линейкой», причем это
было не единственное его математическое сочинение. И случилось это,
знайте, примерно в то же самое время, когда болонские математики
в Италии нашли первое алгебраическое решение кубического уравне-
ния, о котором мы с вами вспоминали'.
— А дальше что было с нашим числом it? — напомнила Наташа.
— Дальше были решения индийских математиков — например, Ари-
абхаты в V веке нашей эры, — которые приводят значение 3,1416, то есть
нечто близкое к Птолемееву или Аполлониеву числу. Около того же при-
мерно времени китайский математик Цзу Чун-чжи нашел еще лучшее
355
приближение для it, равное дроби -цу. Это прекрасное приближение
легко запомнить... Записывай-ка, секретарь. Берешь три первых не-
четных числа, каждое по два раза...
— По два раза! — повторил Вовка, развернув свою драгоценную
тетрадку.
— Потом разбиваешь эти шесть цифр на две группы, по три цифры
в каждой, и вторую делишь на первую. Вот и всё. Получается очень хо-
рошее приближение. В других странах его, по-видимому, не знали, и
в Европе в XVI веке его нашли снова.
— В Индии! — немедленно сообщила Наташа. — А в Риме что же
было?
— Римский архитектор Витрувий, нам уже известный, приводит для
«значение 3,125, то есть 3-|-, —то самое вавилонское приближение, о ко-
тором мы вспоминали2. У индийцев на протяжении времени, начиная с VI
века до нашей эры и вплоть до XI века нашей эры, употреблялся при ре-
шении задач целый ряд приближений для числа it, как, например, v/io
* См. главу XV, раздел 7.
“Сравни в книге А. А. Ваймана «Шумеро-вавилонская математика», М., Изд. Вос
точной литературы, 1961, стр. 133.
6 Архимедово лето
81
Ти 1250’ ошкбка на единицу четвертого знака, прекрасное приближение!
Причем, по-видимому, все эти приближения получены были индийскими
учеными самостоятельно. Позже, в XVIII веке, употреблялись прибли-
355	104 348
жения щ и 33 215 —девять точных знаков, а в первой половине XIX
века известно было шестнадцать точных знаков числа В Индии ранее,
чем в Европе, были получены и другие более совершенные способы
исчисления этого числа. В Европе эти вычисления связывались с имена-
ми крупных математиков XVII века, вроде Лейбница. В XV веке нашей
эры в Самарканде, в обсерватории Улуг-Бека, о которой мы уже знаем1,
математик Гиясэддин вычислил число ^с необычайной для того време-
ни точностью! Ученый поставил себе задачей дать такое приближение
для it, чтобы при вычислении окружности, диаметр которой в шестьсот
тысяч раз больше диаметра Земли, ошибка была бы не больше толщины
волоса! Для этого ему понадобился многоугольник с числом сторон,
* В Индии до сих пор еще существуют дотелескопические обсерватории, каменные
здания которых сами являются огромными угломерными инструментами. Образцом для
этих строений была обсерватория Улуг-Бека. Обсерватории эти находятся в городах
Джайпуре, Бенаресе, Дели. Читатель может ознакомиться с этим вопросом по статье
в журнале «Защита мира», 1956, № 3. См. главу XII, раздел 3 «Архимедова лета».
82
равным восьмистам пяти миллионам. Дело было в XV столетии. Стоит
отметить, что еще в XII столетии видные представители арабской фило-
софии утверждали, что точное вычисление тс неосуществимо. Путь, кото-
рым следовал в своих замечательных вычислениях Гиясэддин, довольно
близок к тому, чего через полтораста лет добился в Европе Франциск
Виета. Гиясэддин получил семнадцать точных знаков.
— Дедушка, — сказал в полном изумлении Вовка, — а всего-то там
сколько же знаков?
— Сколько хочешь! — улыбаясь, сказал дед. — Сколько хочешь,
столько и можно вычислить. Теперь уже вычислено на новых счетных
машинах две с половиной тысячи знаков... Надобности в этом, правда,
никакой особенной нет — практически, по крайней мере.
— Но в чем же тогда все-таки дело? — спросил Лева.
— Придется, — сказал дед, вздохнув, — еще вернуться к /"2 • Нена-
долго! В древней Греции еще в VI веке до нашей эры было выяснено,
что сторона единичного квадрата и его диагональ несоизмеримы.
То есть нельзя найти такую несократимую дробь, которая выражала бы
отношение стороны квадрата к его диагонали, или, что то же, единицы
к / 2. Можно найти ряд приближений, вроде
1_	17 44	99
5 ’ 12 ’ 29 ’ 70 • • •
и так далее, но точно выразить это отношение дробью невозможно. Та-
кие числа, как мы говорили, называются иррациональными. Для
того чтобы их понять, рассмотрим, как греки доказывали иррациональ-
ность /"2. Пусть дан квадрат со стороной а, и его диагональ будет Ь.
Допустим, что отношение соизмеримо и выражается несократимой
дробью Так как b больше, чем а, то и с больше d. Если -^ = то и
квадраты этих величин находятся в таком же отношении, то есть
12 _ £1
а3 ~~ d3 ’
Но 62=2а2, ибо квадрат, построенный на диагонали, вдвое больше
исходного квадрата. Если так, то и c2 = 2d2. Отсюда я вправе заклю-
чить, что, очевидно, с2 есть число четное. Но раз так, то, значит, и самое
число с четное, иначе его квадрат не был бы четным. Так как наша
дробь j несократима, а следовательно, числа с и d не имеют общего де-
лителя, то ясно, что число d есть число нечетное. Теперь, поскольку с —
четное число, мы можем его разделить на два, и пусть частное от этого
деления будет е=^. Из равенства с = 2е следует, что с2 = 4е2, но так
6*
83
как с2 = 2d2, то, следовательно, d2 = 2е2. Однако е и его квадрат — числа
нечетные, а значит, d есть четное число — то самое d, а ведь мы толь-
ко что доказали, что оно нечетное. Вот таким-то образом у нас и полу-
чается, что число d, если наше предположение о соизмеримости сторон
квадрата с его диагональю справедливо, является одновременно и чет-
ным и нечетным. А это невозможно. Очевидно, наше предположение лож-
но, н диагональ квадрата с его стороной несоиз мер и м ы, то есть
иррациональны. Никакой конечной дробью /~2 выразить невозможно.
Это было известно философу Аристотелю.
— Удивительное какое доказательство! — прошептала Наташа.
з
— Доказательство очень даже поучительное!—сказал Тимофей Ири-
нархович внушительно. — Итак, для того чтобы одолеть некоторые
иррациональности, грекам пришлось от целочисленной своей арифме-
тики обратиться к геометрии, к геометрической алгебре, но и в гео-
метрии нашлись свои секреты, еще более трудные и загадочные. Усилия
греков разобраться в несоизмеримостях привели их к довольно громозд-
ким построениям, которые дошли до нас через Евклида. А в XVI веке
нашей эры они казались видному прогрессивному математику тех
времен, Симону Стевину, «настоящей казнью для математиков». Это
обстоятельство оказалось недочетом древнегреческой науки, одним из
тех, которые впоследствии оборвали ее развитие... Но этого мало. Воз-
никли еще новые затруднения. Они-то снова и заставили греков обра-
титься к арифметике, но это была уже арифметика дробей. Мы с ва-
ми говорили об иррациональных числах. И заметили, что есть и более
трудные числа. Они называются т р а н с цен ден т н ы м и. Иррацио-
нальное число может быть решением некоторого алгебраического урав-
нения, коэффициенты которого представляют собой целые числа. Так,
например, /"2 является решением такого простого уравнения:
х2 —2 = 0.
Математики нередко говорят, что это решение, то есть /"2, есть ко-
рень этого уравнения. Однако, какие бы целые числа мы ни
брали для коэффициентов нашего уравнения, нам не удастся их подо-
брать так, чтобы корнем уравнения было число, выражающее отношение
длины окружности к ее диаметру. И чисел такого рода наука знает не-
мало. Однако это известно только теперь. Хотя задача квадратуры
круга была поставлена еще в древней Греции, но вплоть до времен
Петра Великого математикам еще не удалось выяснить, о каком числе
84
идет речь в данной задаче — об иррациональном или о каком-либо дру-
гом. Вот до какой степени трудна оказалась вся эта проблема, взятая,
так сказать, в целом! В XVII веке математик Грегори утверждал, что
выполнить квадратуру круга с помощью линейки и циркуля невозмож-
но, и пытался это доказать...
— А другие ученые что думали? — перебил деда Лева.
— Большинство математиков того времени соглашались с ним, но
для точного доказательства время еще не пришло. Доказательство Гре-
гори было неосновательно, и вскоре знаменитый голландский ученый
Христиан Гюйгенс показал, что Грегори неправ, и при этом заметил, что
в их время никто еще до конца не разобрал даже вопроса о том, соиз-
мерим ли вообще круг с квадратом своего диаметра. Но раз этот пер-
востепенный вопрос не решен, говорил Гюйгенс, как же можно делать
какие-нибудь заключения насчет задачи, которая как раз от этого во-
проса и зависит... Решен был вопрос окончательно только в конце
прошлого века. Но из того, что я сказал, вам должно быть ясно — и
тебе, Вовушка, тоже, — что если иррациональное число не выражается
конечной дробью, так уж более сложное число, то есть трансцендент-
ное1, и подавно!
— А далее как же дело пошло? — спросил Ника.
— Далее? — продолжал Тимофей Иринархович. — Потом долгое
время дело не двигалось вперед. В XIII веке Леонардо Пизанский, ко-
торого часто называют Фибоначчи, берет для числа тс среднее из пре-
делов, полученных с помощью 96-угольников, получая 3,1418; это при-
377
ближение несколько хуже Птолемеева числа 3,14167, или . Фило-
22
софы-схоласты XIV века считали, что Архимедово число представ-
ляет собой точное значение тс. При этом эти странные философы были
уверены, что точное значение числа те вполне возможно найти, поскольку
они не сомневались, что какое-то отношение между квадратом и кругом
существует. А это они доказывали ссылкой на то, что возможно-де из-
готовить два сосуда — один шарообразный, другой кубический, — такие,
что в каждом будет помещаться одно и то же количество воды. Ну, я
думаю, вы и сами понимаете, насколько неосновательны и легковесны
были такого рода чисто словесные доказательства.
— Сказать можно, а как сделать — неизвестно, — заметил Вася.
— Образованность в средние века была крайне низкой, — продол-
жал дедушка. — Последний римский ученый Боэций в начале VI века
нашей эры еще знал, что Архимедова квадратура круга приближенная.
1 См. книги Г. И. Дринфельда «Трансцендентность чисел л и е». Харьков, 1952;
И. В. Арнольда «Теория чисел». М., Учпедгиз, 1939, гл. VI, «Алгебраические и трансцен-
дентные числа».
85
Но во времена раннего средневековья образованность в Европе чрез-
вычайно упала, а о числен толки ходили самые несуразные. Так, напри-
мер, в IX веке видный ученый того времени Иоанн-Скотт Эригена при-
водит вычисление, из которого получается, что он считал число < рав-
ным. .. двум! Весьма вероятно, что это ошибка, потому что Эригена
читал и даже комментировал одно византийское сочинение, откуда он
мог бы почерпнуть лучшие данные *. Через два века дело идет понемногу
на поправку, однако и в XI веке средневековый ученый Франков Льеж-
ский говорит, что известные ему ученые, его современники, пытались до-
казать, что сумма углов треугольника равна 2d, но никому это не уда-
лось! Франкон уверяет, что задача квадратуры круга была решена... и
кем же? Аристотелем! По традиции землемеров изустно передавалось
Архимедово число, которое Франкон и считает точным решением
проблемы. Теорема Пифагора Франкону, по-видимому, неизвестна, хотя
он знает, что квадрат, построенный на диагонали другого квадрата,
вдвое больше последнего. Это дошло до них, вероятно, понаслышке, бла-
годаря тому что об этом говорит в одном своем сочинении древнегре-
ческий философ Платон, который это равенство отмечает особо, приводя
его как пример общедоступной наглядной и очевидной истины. В XI веке
византийский ученый Михаил Пселл «учил», что мнения по вопросу
о квадратуре круга расходятся, однако «чаще всего» берут среднюю про-
порциональную между площадью описанного и вписанного квадрата, то
есть \/2- 4 = /8 = 2,8284, что, конечно, еще хуже вавилонской или биб-
лейской тройки! Однако из мавританской Испании идет другое: в XII ве-
1 См. книжку Я. С. Дубнова «Ошибки в геометрических доказательствах». Серия
«Популярные лекции по математике». М., Гостехиздат, 1953, выпуск 2, глава 3, при-
мер 13.
86
ке ученый математик и переводчик Савасорда Каталонский давал Птоле-
меево число для тс, которое он изображал в такой форме: 3+ (8,5 : 60),
справедливо замечая, что это приближение (которое он предлагал астро-
22
номам) лучше Архимедова числа у. Из других источников известно, что
в это время знали египетское приближение для числа тс и Витрувиево,
равное 3,125. Впрочем, это мало помогало, ибо геометрию путали то
с землемерием, где математическая точность ускользала от тогдашнего
наблюдателя, то с богословскими разглагольствованиями насчет того,
что «бог сам геометр», но все его дела —тайна от человека и нашему по-
знанию недоступны.
— Как это такое «бог-геометр»? — спросил Лева. — Я слышал, что
в древности были у каждого искусства свои боги и богини: богиня ба-
лета, богиня стихов и так далее. Так это что же, особое божество для
геометрии?
— Нет,— отвечал дедушка, — тут похитрее немножко. С самого на-
чала, по всей вероятности, это было невольным признанием того, что
законы природы, которая и казалась древнему человеку чем-то вроде
бога, представляли собой нечто столь же точное, как и законы геометрии.
— Ну, — сказал Вася, — это еще не так плохо.
— Это в древности только так было, — отвечал дедушка, — а затем
позже, а в особенности в средневековье, все это вспоминали только для
того, чтобы еще раз провозгласить, что тайны природы человеку постиг-
нуть «не дано». В VI веке церковники проклинали ученых не только за
геометрию, а даже за изучение грамматики!
— Ловко! — с удивлением заметил Ника.
— Только уже гораздо позднее, — продолжал дедушка Тимоша,—
когда Европа после крестовых походов ознакомилась через арабов за-
ново с древнегреческой культурой, математик XV века Пурбах знает
уже несколько приближений для числа тс, в том числе Архшледовы пре-
делы, число Птолемея и индийское приближение, равное/10. В том же
XV веке философ Николай Кузанский занялся задачей квадратуры
круга. Кузанский начал, по-видимому, с простых измерений, рассматри-
вая след тонкого диска или измеряя длину окружности нитью. Вероятно,
и до него многие делали подобные измерения, но наш философ был не
только любознателен, но и необыкновенно наблюдателен. Он начал
сравнивать длину измеряемой дуги с длиной касательной к кругу и
вскоре напал на чрезвычайно удачное решение, которое и изложил в со-
чинении «О математическом совершенстве». Мы с вами можем все это
разобрать на чертеже. Допустим, что мы собираемся измерить дугу BG.
Откладываем на продолжении диаметра нашей окружности отрезок ED,
равный радиусу круга ОЕ, проводим прямую DBA и касательную AG,
перепендикулярную к диаметру. В таком случае, говорит Кузанский,
отрезок касательной AG равен дуге BG. Мы с вами говорим: «прибли-
87
Архимед считал, что длина дуги ВО не
меньше отрезка BF и не больше отрезка СО.
Николай Кузанский, впервые после Архи-
меда, другим путем нашел более точное ре-
шение задачи. Так как длина дуги близка
к длине отрезка АО (АО немного меньше
дуги BG), то, полагая радиус равным 1,
получаем:
ЛО_ з .	?.(BF)
BF ~ 2 +OF’ Ли — 2 + OF 
женно равен», а Кузанский — и это
была одна из его роковых ошибок! —
уверял, что это равенство точное.
Определить, чему равен отрезок ка-
сательной AG из подобия треуголь-
ников, нетрудно...
— Конечно, — заметил Лева, —
тут все ясно. Составляем пропорцию
AG;GD = BF:FD.
— Принимаем радиус...— начал
было дед.
Но Лева перебил его:
— .. .за единицу и пишем:
AG :3 = BF:(2 + OF),
потому что GD равен трем радиусам,
a BF— двум.
— Верно,— сказал дед.— Теперь
давайте измерять такую дугу, что-
бы отрезок BF равнялся у нас поло-
вине стороны некоторого вписанного
многоугольника. Ну, скажем, шести-
угольника. Тогда отрезок OF будет
радиусом вписанного в шестиуголь-
ник круга. Лева составил нам пропорцию, откуда отрезок касательной...
— .. .будет равен, — поспешил Лева, —
Л(7_ ЗГВ/9
2 +OF'
или, пожалуй, я бы еще так написал:
3
~2 С
Л Q __ &
2-\-а
где с будет стороной вписанного в круг многоугольника, как нам дедуш-
ка предложил, тогда как а — апофема его.
— Точно! — ответил ему дедушка. — Но ты, кажется, Лева, знаешь,
что такое синус и косинус в прямоугольном треугольнике, если, разумеет-
ся, принять гипотенузу за единицу. Ты их здесь не видишь?
88
— Как будто вижу.—произнес не очень решительно Лева.—
Только как бы это сказать... Ведь синус и косинус это, если я не вру,
они определяются углом BOF.
— Назовем его углом а,— предложил дед.
— Тогда так, пожалуй,— опасливо выговорил Лева,—
•	3 sin а
— Ну вот вам, — сказал дед, — формула, найденная Кузанским. Если
взять шестиугольник, как наш философ и сделал, то угол а будет равен
тридцати градусам. Кузанский получил это выражение для у полу-
окружности. Умножив на шесть, получаем
6 • 3 :(4Ч-у/з) =^|=3,1402...
Выходит, что формула Кузанского связывает число тс с длиной сто-
роны вписанного многоугольника, вернее, с полустороной и его апо-
фемой.
— Апофемой... — повторил Вовка.
— Апофемой, — ответила ему Наташа, — называется перпендику-
ляр, опущенный из центра круга на сторону вписанного в круг мно-
гоугольника, или просто радиус вписанного в этот многоугольник
круга.
— Находка Кузанского,— продолжал дедушка, — это просто нечто
поразительное! Если действовать по способу Архимеда, то для длины
окружности вписанный шестиугольник дает приближение, равное 3,0, а
описанный — 3,4641. То есть либо очень слабое вавилонское при-
ближение, либо число, близкое к 3,5. А формула Кузанского уже
для шестиугольника дает два знака правильных. Возьми 12-уголь-
ник и получишь 3,14166 — число Птолемея! А 12-угольник у Архи-
меда дает либо 3,1056, либо 3,2154, опять-таки числа неудовлетво-
рительные.
— Так это просто великолепно!—воскликнул Ника. — Ай да фило-
соф! А сколько же надо взять сторон у многоугольника, чтобы добыть по
способу Архимеда Птолемеево число?
— Да придется, — отвечал дедушка, — взять описанный многоуголь-
ник с 384 сторонами.
— Хорошо! — заметил Вася. — Ровно в тридцать два раза меньше.
89
4
— Да.—протянул дедушка Тимоша.—Но получилось у Казан-
ского, как в сказке говорится, хорошо, да не дюже! Конечно, число Ку-
занского немного отличается от Архимедова числа, которое равно 3,1429,
ибо оба эти приближения почти одинаково отклоняются от более пра-
вильного решения, с точностью до единицы четвертого знака 3,1416;
число Кузанского отличается на 0,0014, а Архимедово — на 0,0013. Раз-
ница в четвертом знаке. Однако дать строгое доказательство своего от-
крытия Кузанский не мог, а при этом он был так им обрадован и увлечен,
что начал уверять, что нашел точное значение числа тс, хотя мы с вами
знаем, что это невозможно.
— А тогда знали, что это невозможно? — спросила Веточка.
— Нет, тогда еще не знали, но серьезные математики были близки
к этой мысли. Критика обрушилась на Кузанского: крупный астроном
и математик того времени Региомонтан — ученик Пурбаха, основатель
первой европейской обсерватории, первый серьезный наблюдатель ко-
мет — в 1464 году отверг труды Кузанского. Во-первых, вероятно, он был
возмущен разговорами о «точном» решении, во-вторых, он не мог себе
представить, как может человек, толком не понимающий, до чего трудна
эта задача, добыть хорошее решение из шестиугольника, когда самому
Архимеду понадобился 96-угольник! А в-третьих, и это было самое силь-
ное на вид обвинение, число Кузанского было меньше Архимедова и
даже лежало за пределами, найденными и указанными Архимедом!
Действительно...
— выходит, — перебил дедушку Вася,—что число Кузанского
223
меньше нижнего предела Архимеда, то есть меньше -ур; правда, нена-
7
много — всего на , но все-таки меньше и лежит за Архимедовыми
пределами.
— Так! — согласился дедушка. — Вот Региомонтан и заметил весьма
ядовито, как обычно делают в таких случаях люди, уверенные в своей
непогрешимости, что он готов «допустить», что открытие Кузанского
философически справедливо, но вот математически оно никуда не годит-
ся. Это ехидство было целиком основано на недоразумении. Критик Ку-
занского рассматривал только его окончательный результат, очевидно
считая ниже своего достоинства рассматривать способы, предложенные
Кузанским. Однако все же этого было достаточно, чтобы открытие
Кузанского осталось непризнанным.
— Странно! — передернув плечами, бросил Лева.
— Н-да, — согласился дедушка. — Вот сам-то Архимед так не посту-
пал. Когда великий древний философ-материалист Демокрит нашел
объем конуса, но строго доказать справедливость своего решения не
сумел, то Архимед все-таки написал, что нашел-то объем конуса имен-
но Демокрит, а Евдокс несколько позже дал только доказательство
этого.
— Вот это по совести! — обронил Вася.
— Разумеется, в наши дни странно даже и слышать, — продолжал
дед,— что когда-то серьезные люди полагали, что число тс можно вы-
числить точно. Однако лучше не просто удивляться, а подумать: в чем
дело? В том, что способ Кузанского дает возможность вычислить дугу
окружности с такой точностью, что относительная ошибка (если угол,
соответствующий дуге, равен сорока пяти градусам) не превышает 0,003,
или 0,3 процента этой дуги! Другими словами, если дуга равняется
у метра, ошибка в ее определении по Кузанскому будет около милли-
метра! Неудивительно, что человек, открывший такой способ измерения
дуг в XV веке при полном отсутствии того, что у нас теперь называется
«точными приборами», был уверен, что он получил точное решение за-
дачи. Знайте, что первый замысел о приспособлении для точного изме-
рения углов был высказан в Португалии человеком, родившимся лет че-
рез тридцать после кончины Кузанского. Это был Петер Нониус, по
имени которого и называется это приспособление, хотя после него
должно было пройти еще целое столетие, пока французский ученый
Верньер воплотил его в жизнь. Так что удивляться ошибке Кузанского
не приходится. Критики Кузанского даже и представить себе не могли,
чтобы что-нибудь похожее на его открытие оказалось возможно! Ну
а теперь мы ненадолго расстанемся с Кузанским и обратимся к одной
91
остроумной работе его современника, Леонардо да Винчи, который дал
своеобразное решение нашей задаче. Леонардо интересовался всевоз-
можными математическими инструментами и измерительными прибо-
рами. Разумеется, его острый и самобытный ум не мог пройти и мимо
задачи о квадратуре круга. Он писал о квадратуре круга в одной из
своих замечательных записных книжек,
относящихся к 1513 и 1514 годам. Дра-
гоценная книжка эта ныне хранится
в рукописном отделе Национального
института Франции *. Вот что мы там
находим по этому вопросу: «Движение
повозок всегда показывало нам, как вы-
прямлять окружность круга. Полный обо-
рот колеса, толщина которого будет рав-
на половине радиуса, оставляет по себе
след, равный квадратуре круга».
— Другими словами, — продолжал
президент Тускарийский, — если взять ци-
линдр, то есть знаменитое Леонардово ко-
лесо, высота которого будет равна поло-
вине радиуса его основания, и прокатить
его, то отпечаток боковой его поверхности
Леонардо да Винчи. даст нам прямоугольник, площадь кото-
рого. ..
— ... площадь которого, — перебил
Левка, — будет равняться произведению длины окружности на половину
радиуса. Длина окружности есть 2 тс г, и, значит, получаем
S = 2itry = itr2.
Вот и всё! Действительно, очень остроумно и совсем по-своему. Наблю-
дательныйон был человек!
— Художник был замечательный, — пояснил дедушка. — А настоя-
щие художники — народ наблюдательный! Все подметит, на то он и
художник, брат ты мой. Но Леонардо, кроме того, был и ученый немалый.
Его записями по части науки интересовались даже такие видные дея-
тели науки его времени, как Кардан. И некоторые исследователи пола-
гают, что Кардан из этих записей кое-какие немаловажные мысли по-
заимствовал. Вот как!
— Но ведь это все-таки, — спросила Наташа, — не ведет к такому
решению, которое давало бы правильный переводной коэффициент,
вроде Архимедова числа?
•Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М.,
АН СССР, 1955, стр. 75 и 76.
92
— Разумеется, нет, —ответил ей Тимофей Иринархович.— Затем
примерно через сто лет после Кузанского французский математик Орон-
тий Финей дал для числа я приближение, равное .78 , которое лучше
числа Архимеда и Кузанского и ненамного отличается от Птолемеева
числа (опубликовано было в 1556 году). Но Оронтий, как и Кузанский,
не дал доказательств и утверждал, что
нашел точное решение задачи, — и тоже
подвергся нещадной, но, к сожалению,
заслуженной критике. Немецкий худож-
ник Альбрехт Дюрер в начале XVI ве-
ка в своих учебниках математики давал
для числа я значение 3,125, которое мы
уже с вами встречали. Затем в середине
XVI века в Венеции Николо Тарталья
опубликовал свое изложение работ Ар-
химеда, а через год в Базеле вышло пер-
вое печатное издание творений этого ве-
ликого геометра древности, и таким
образом они стали доступны многим
ученым. Интерес к работам Архимеда
был громадный, они вызывали восхище-
ние и изумление перед эллинским гением.
Великий реформатор науки Галилей на-
зывал Архимеда «божественнейшим». До-
стижения его казались превыше всяких
возможностей человеческих. Это, конеч-
Альбрехт Дюрер.
но, оживило работы ученых того времени.
В конце XVI века Адриан Меций нашел для числа « значение -щ-, кото-
рое уже дает шесть точных знаков, то есть повторил открытие Цзу Чун-
чжи ’.Ав 1579 году вышел замечательный труд Франциска Виеты.
— Ну, Виета уж наверно что-нибудь особенное придумал! — сказал
мечтательно Ника. — Уж наверно!
— Это справедливо, — сказал дедушка. — Работы Виеты положили
начало совершенно новому подходу к этой знаменитой проблеме.
— Дедушка Тимоша, — взмолилась Наташа, — у меня вопросик!
— Это можно, — отвечал дедушка. — Что скажешь?
— А вот вы говорили про Галилея, который таким остроумным отве-
том отвел все разговоры о невозможности измерить длину окружности2.
А Галилей знал о работе Николая Кузанского?
1 См. книгу А. П. Юшкевича «История математики в средние века». М., Физматгиз,
1961, стр. 72.
2 См. главу XV, раздел 4.
93
— Ты думаешь, что его пример был навеян отчасти трудами Кузан-
ского? Что же! Наверное, на это ответить очень трудно, но я полагаю,
что можно. Галилей был человек в высшей степени здравомыслящий.
И твое предположение мне нравится. Вполне возможно... Ну, возвра-
тимся к Виете. Он дал наконец такого рода алгебраическую формулу
для квадратуры круга, которая показала, что не существует таких алге-
браических способов, которыми эта задача могла бы быть решена.
— Не понимаю, — грустно сказала Наташа, — как это может быть
и что это значит.
— Ты ведь представляешь себе, — терпеливо отвечал ей дед, — что
диагональ единичного квадрата выражается алгебраически через его
сторону.
— Корень из двух?—спросила девочка.
— Конечно! Ну так вот, в этом роде существует и другая, тоже алге-
браическая, формула, которая связывает между собой длину диаметра
и длину окружности. Но смысл у нее совсем иной.
Дедушка выколотил старательно трубку, оглядел своих слушателей
и начал:
— В конце XVI века математик Франциск Виета, который, в сущ-
ности, был основателем нашей алгебры, дал замечательное решение, где
он применил новый и совершенно своеобразный способ. Посмотрим на
этот чертеж, где нарисован круг, в который вписаны два многоугольника:
квадрат и восьмиугольник. Что такое диаметр круга и радиус его, вы
знаете...
— Диаметр будет АС,— важно заметил Вовка, — а радиус О А.
— Точно! — откликнулся Вася.— Все знает секретарь!
— А отрезок OF, то есть часть радиуса от центра круга до пересече-
ния со стороной квадрата, как мы уже говорили, называется апофемой
ОА-радиус
OF-апофема
нашего вписанного многоугольника, то есть
этого самого квадрата. Виета в своих изыс-
каниях начинал с теоремы, которая утвер-
ждает следующее: если мы возьмем вписан-
ный многоугольник, а затем удвоим число его
сторон, то площадь второго много-
угольника (с двойным числом сторон) будет
относиться к площади первого много-
угольника, как радиус круга к апофе-
ме первого многоугольника.
— Значит, — сказал Левка, — на твоем
чертеже, дедушка, площадь восьмиугольника
так относится к площади квадрата, как ра-
диус О А к апофеме OF? Так или нет?
— Именно!— подтвердил дедушка.— Убе-
диться в этом при помощи нашего чертежа не
94
так трудно *. Давайте разбирать замечательную работу Виеты дальше.
Найти площадь вписанного квадрата совсем нетрудно. Сторона его рав-
няется. ..
— По-моему, — перебила Наташа, — если диаметр у нас равен будет
единице, то сторона вписанного квадрата равняется у, а следова-
тельно, площадь квадрата равняется половине. Очень просто! Даже не
верится!
— Вот и хорошо, что просто! — заметил дедушка.
5
— Так! — сказал дедушка. — А теперь Виета рассуждает следую-
щим образом. Сперва он находит отношение площади вписанного вось-
миугольника к площади вписанного квадрата1 2. Затем таким же образом
он находит отношение площади 16-угольника к площади восьмиугольни-
ка, затем отношение площадей 32-угольника и 16-угольника и так далее.
Каждый раз получается многоугольник со все большей площадью, кото-
рая таким образом все приближается и приближается к искомой пло-
щади круга. Ясно, что таких отношений можно вычислить любое коли-
чество. Ведь вычислять самые площади нет надобности, нам нужны
только последовательные апофемы. Теперь нелишне будет заметить, что
поскольку радиус описанного круга, половина стороны многоугольника
и апофема образуют—как вы видите на чертеже — прямоугольный тре-
угольник AOF, то квадрат апофемы будет равняться квадрату радиуса
минус квадрат половины стороны:
(ОГ)а = (ОА)2-^)2, или =
а так как мы с вами берем радиус, равный половине, то апофема а будет
определяться через сторону с следующим образом:
о = у/1 — с2 
1 Наш читатель, конечно, не поленится доказать это...
•Формулу Виеты, разумеется, можно вывести и для описанных многоугольников;
подробнее см. в книге И. В. Арнольда «Логарифмы в курсе средней школы». М., 1949,
стр. 113—119.
95
Выкладки все нетрудные, только не надо торопиться, и все будет в по-
рядке. Теперь давайте найдем сторону АЕ вписанного в круг восьми-
угольника на нашем чертеже. Ясно, что
(Л£)2 = (ЛГ)2+(£Т)а,
что касается отрезка EF, то он легко определится из равенства
EF = ОЕ - OF= ОА - AF= Q-
Чему равно AF, нам уж сказала Наташа, а значит, сторона восьмиуголь-
ника (при единичном диаметре)

а если раскрыть не торопясь (то есть не путаясь!) скобки и всё привести
в порядок, получится вот что:
Теперь если мы воспользуемся формулой для апофемы, то получим апо-
фему восьмиугольника, которая равна
но так как
OF— а4 = -g-	>
то, следовательно, апофема многоугольника связана с апофемой много-
угольника с двойным числом сторон соотношением
аал — 2	2 a,t ’
96
а это дает нам возможность вычислять нужные нам апофемы одну за
другой простой подстановкой. Ну-ка, Никитушка, не попробуешь ли ты?
Смотри не ударь в грязь лицом!
— Постараюсь... — ответил Никита, старательно вглядываясь в чер-
теж.— Апофема вписанного квадрата нам теперь уже известна. Апо-
фему вписанного восьмиугольника только что нам вывел дедушка Ти-
моша. Так... Значит, на мою долю остается вывести апофему 16-уголь-
ника. Пользуясь последней формулой дедушки Тимоши, я получаю,
подставляя в формулу вместо ап полученное уже а8,
Л _ 1  Г1	।	1 1/1	।	1 1/1
«-16 — 2 I/ 2	‘	2~ ' "2	'	2 т ~2	*
— Три корня один под другим! — в ужасе прошептал Вовка.—
А дальше-то что же будет?
Ребята прыснули со смеху, но дедушка успокоительно сказал
Вовке:
— Теперь уже всё. Больше выводить не будем, перейдем к оконча-
тельной формуле.
— Ну, если к окончательной, — сказал с глубоким вздохом Вовка,—
тогда потерплю еше маленько.
— Потерпи, Вовушка! — посоветовала ему Веточка.
— Правильно! — поддержал девочку Тимофей Иринархович. — Хо-
рошо-с... А затем Виета решил, что если он вычислит огромное количе-
ство таких отношений и перемножит их, затем это произведение умно-
жит на площадь вписанного квадрата, то он тем самым получит отноше-
ние площади квадрата к многоугольнику с любым, сколь угодно боль-
шим, числом сторон...
— Даже можно, чтобы было сто миллионов сторон? — вопросил
Вовка.
— И сто миллионов, и сто биллионов, и вообще сколько хочешь!
И, чем их больше будет, тем ближе будет та площадь, которую ты таким
образом получишь, к площади круга. Можно даже сказать так: если бы
мы взяли бесконечное число таких отношений, то мы получили бы
в точности площадь круга. Этого мы, конечно, сделать не можем, но
зато этим способом можно получить площадь круга слюбой точ-
ностью.
— Так что, значит, — воскликнул Вася,— это и есть решение задачи
о квадратуре круга?
— Во всяком случае, одно из решений. И притом заметьте, это было
первое решение такого рода. До Виеты никто еще не давал решения за-
дачи о квадратуре единичного круга в виде алгебраической
7 Архимедово лето
97
формулы. Правда, надо добавить, что эта алгебраическая формула
особенная — она не имеет конца. Пишется она так:
1
2
1.1
2'2
— Вот так формула! — в недоуменном восторге выпалил Вовка.—
Да ведь все равно ничего не разберешь!
— Разберем! — отвечал ему Вася. — От нашего брата, тускаренка,
никуда она не денется.
— Нажмем, следопыты! — закричал Лева. — Сейчас разберу. Чест-
ное слово, разберу!.. Давайте-ка по порядку. Первый множитель в этой
формуле должен быть равен площади вписанного квадрата, она у нас
есть на чертеже, это будет половина. Есть она в формуле? Есть. Наверху
стоит единица, внизу двойка. Правильно! Второй множитель есть отно-
шение радиуса описанного круга к апофеме квадрата. Это отношение
у нас тоже уже теперь выведено: оно равняется единице, деленной
на корень из половины. Перемножаем:
1 1 1
2 ' i/~i~
Есть это у нас в формуле? Есть. Следующий множитель есть отношение
радиуса в апофеме восьмиугольника, то есть
1'1
2 • 2
1
Перемножаем:
1
2
Дальше идет тем же самым порядком отношение радиуса к апофеме
16-угольника, которую нам только что Ника вывел. И здесь то же самое:
опять половинки в числителе и знаменателе сокращаются, остается
единица, деленная на корень этот тройной... Ну, этого я уж и записы-
вать не буду, потому что все равно получается та самая формула, кото-
рую нам дедушка написал. Дальше там пойдет уж апофема 32-угольни-
ка, затем 64-угольника, и пошло по степеням двойки. Ясно?
— Справедливо, — заключил дедушка. — Заметьте еще, что по-
98
скольку площадь круга при единичном диаметре равняется четверти зна-
менитого числа я, равного отношению длины окружности к длине
диаметра, то эта формула и дает нам число к, деленное на четыре.
Обратите еще внимание, как мало чисел в этой формуле — всего только
два, и они повторяются: единица да двойка!
— Дедушка, — вымолвил насупившийся Вовка, — ну, а все-таки, ты
хоть бы сказал: что же получится из всех этих страшных корней?
— Что получится? — ответил братишке Лева. — Что надо, то и полу-
чится: то есть число я, деленное на четыре, потому что радиус-то у нас
равен половине, а его еще надо в квадрат возвести! Теперь смотри вни-
мательно. Если я возьму только одну половину, то есть просто площадь
квадрата, то, умножив ее на четыре, получаю два. Конечно, это для
числа « не годится...
— Должно быть больше трех! — недовольно проворчал Вовка. —
А вы тут столько корней нагородили, и двойка получается!
— Не торопись, — отвечал Лева, — слушай дальше, умная голова!
Если взять еще один множитель в делителе, то уж получается не ква-
драт, а восьмиугольник, тогда получим я, равное 2,8284. Опять мало!
Берем еще множитель в знаменателе. Теперь у нас не восьмиугольник,
а 16-угольник, и для я получаем значение 3,0615. Еще возьмем множи-
тель—тот самый тройной корень! — и тогда у нас я будет равно 3,1214.
Если еще множитель взять в числителе, получится 3,1366. А это уже не-
плохо.
— Хуже, чем Архимедово число, — заметил Ника, — но разница не
очень велика. Правда, у него 96-угольник взят.
— Конечно, — согласился дедушка. — Сам Виета вычислил я с де-
вятью знаками. На практике редко случается надобность в большем.
Математик Симон Ньюкомб в конце прошлого века заметил, что десяти
знаков числа я достаточно, чтобы вычислить окружность земного шара
с ошибкой не больше 2,5 сантиметра. Значение формулы Виеты еще
в том, что она, если и не доказывает, то показывает наглядно,
что число « представляет собой такую величину, которую никак нельзя
выразить точно.
— Не понимаю! — возразил Лева. — Как так?
— Дело вот в чем, —отвечал руководитель Тускарийский. — Ты
можешь увеличивать число сторон многоугольника сколько хочешь
раз, никаких запретов в этом отношении не имеется. Ты можешь
это делать безгранично. Чем дальше ты пойдешь, тем более точное
значение для к получишь. Но как бы ты хорошо это ни сделал, все-таки
всегда можно будет сделать еще лучше. Правда, твои улучшения, что ни
дальше, тем будут становиться все более и более незначительными,
совсем уже ничтожными и не имеющими практически никакой ценности,
но зато из этого можно сделать еще один и тоже немаловажный вывод —
число w существует, и мы знаем, как его надо вычислять, хотя выра-
7*
99
зить его точно при помощи цифр невозможно. Формула Виеты представ-
ляет собой то, что в математике называется бесконечным произ-
ведением. Как рассказывал сам Виета, он пришел к этому решению,
размышляя над рассуждениями философа Антифона1. Вот вам и еще
одна заслуга Виеты: он показал, что тот способ постепенного приближе-
ния к значению числа «, который избрал Архимед, был правильным.
И с тех пор ученые стали отдавать немало внимания не только самому
решению задачи, но и тому, так сказать, процессу приближения,
которое постепенно ведет нас к решению. А кроме того, работа Виеты
показала, что сама бесконечность может играть немалую роль
в математическом анализе. На этом — именно на этой работе Виеты — и
оканчивается геометрически-алгебраический период изысканий по части
квадратуры круга. Не забудь, что алгебра, зародившись в Вавилоне,
дошла до Индии, а в Европу она пришла от ученых раннего средневе-
ковья из Средней Азии, с территории братских советских республик. Мы
уже вспоминали ал-Хорезми. Он-то и научил европейцев алгебре.
— Да... — задумчиво протянул Ника. — Но, может быть, дедушка
Тимоша, вы скажете, почему подход Виеты был совершенно новый и
особенный?
— Это можно, — отвечал дедушка. — Самое важное в работе Виеты,
поставившей определенную веху на пути разрешения знаменитой задачи
о квадратуре круга, не то, что он дал алгебраическую формулу, заме-
нившую сложные геометрические построения, а что он доказал нечто
совершенно новое: определить число я можно только в том случае,
если мы согласимся допустить именно такое бесконечное нагромождение
корней. Другими словами: нельзя найти такой алгебраической формулы
типа уравнения с конечным числом членов, которое определило
бы число «.
— Но послушай, дедушка, — сказал Лева, — все-таки, когда ты возь-
мешься вычислять число « при помощи формулы Виеты, ты ведь остано-
вишься на каком-нибудь из этих бесконечных корней? Все равно беско-
нечного их числа ты взять не в состоянии. И я что-то не пойму в таком
случае, про что же ты говоришь.
— Сейчас расскажу, — ответил ему дед. — Я говорю сейчас не о вы-
числении, которое, разумеется, всегда производится с конечным числом
членов формулы Виеты, а об определении числа я. Вычислять ты мо-
жешь, как тебе угодно и удобно. Но определить число я с помощью
алгебраических символов ты можешь только вот такой бесконечной
формулой. Это и значит, что число « не является алгебраической ирра-
циональностью наподобие, скажем, того же / 2.
— Ну да, — сказал Вася, — там написал два числа, и готово!
1 См. главу XVI, раздел 3.
100
— Совершенно верно! — громко заявил Вовка. — Ия это очень хо-
рошо знаю. Вот пожалуйста:
х2 = 2.
— Правильно, Тускарь-секретарь! — подтвердил Вася. — Выходит:
два числа, а не бесконечное число. Правильно: конечное число членов.
в
— А у меня что-то есть! — сообщила Веточка.
— Что? — с загоревшимися глазами закричал Вовка.
— Догадайся!
Вовка пожал плечами.
— Замучили тебя сегодня?
— Ничего не «замучили»! — гордо заявил секретарь. — И я отлично
понял: Архимед был умней всех!
— А помнишь, Вова, — спросила девочка, — загадки со спичками,
где надо десять спичек разложить в пять кучек, по две спички в каждой,
перепрыгивая каждый раз через две спички на третью? 1
— Еще бы! Очень хорошо. А главное, на Дразнилку похоже, — отве-
чал с готовностью секретарь. — Через три еще можно.
— А ты помнишь, в чем дело? — поинтересовалась Веточка.
— Помню!
— Рассказывай.
— У меня на столе лежат восемь спичек. Вот так:
1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
и я должен разложить их в четыре кучки, по две спички в каждой. Четыре
спички остаются на месте, а четыре другие прыгают, делая каждая по
одному ходу. Ход этот заключается в том, что каждая из четырех пры-
гающих спичек перепрыгивает через две соседние и ложится на третью.
Можно справа налево, можно слева направо. Но лучше вместо спичек
брать шашки из Дразнилки, потому что на них есть номера. Начинаю.
Пятая шашка прыгает через четвертую и третью и попадает на вторую.
Получена первая кучка. Затем третья шашка прыгает через четвертую и
шестую и попадает на седьмую — вот тебе и вторая кучка! Затем четвер-
тая прыгает через левую кучку на первую шашку, а шестая через пра-
вую кучку на восьмую. Разумеется, последние две кучки могут уклады-
ваться в каком хочешь порядке: сперва третья, потом четвертая или как
1 См. главу VII, раздел 2.
101
раз наоборот. А если хочешь, вместо того чтобы класть четвертую на
первую и шестую на восьмую, можно положить первую на четвертую и
восьмую на шестую. Вот и всё! Решили задачку. Четырьмя ходами сде-
лано из восьми шашек четыре кучки, каждая по две шашки. Можно
начинать всю игру по-другому: сперва четвертую положить на седьмую,
а шестую на вторую.
— А ну-ка, напиши мне все это.
— Хм... — протянул Вовка. — А как бы мне записать эти мои кучки?
— Ну, давай запишем в квадратных скобках через дробную черту
каждую кучку; перед дробной чертой у нас будет стоять та шашка, кото-
рая прыгнула, а после дробной черты — та, которая оставалась на своем
месте. Хорошо?
— Хорошо. Я понял. Ну, пиши, Веточка!
— Пишу. Первый твой случай изобразится так:
[4/1], [5/2], [3/7], [6/8],
или:
а второй такой:
или:
[5/2], [1/4], [8/6], [3/7],
[3/1], [6/2], [4/7], [5/8],
[6/2], [1/3], [8/5], [4/7].
Значит, у нас теперь есть четыре решения нашей задачи. Правда, они
очень похожи друг на друга. Мы построили четыре схемы. Разберем и
сравним первую и третью. В обоих случаях те спички или шашки, кото-
рые стоят справа — в знаменателе нашей дроби, — одни и те же, а ме-
няются только те, которые прыгают. Можно так и сказать: в третьей
схеме числители нечетные и четные меняются местами — первый стано-
вится третьим, а второй — четвертым. Если же сравнить между собой
вторую и четвертую схемы, то там получается немного посложнее. Но ты
помнишь, мы ведь разбирали еще случай, когда спичка прыгала через
три спички, а в каждой кучке тоже было по три? Знаешь ли ты, что мож-
но взять и больше чем три? И если ты позволишь мне вспомнить нашу
старую знакомую букву а...
— Опять эта буква а, — недовольно протянул Вовка. — Вы без нее
жить не можете!
— Действительно, не можем! — согласилась его собеседница. —
Буква хоть куда! Хочешь, она тебе покажет, как можно взять шестна-
дцать спичек и уложить их в четыре кучки, прыгая каждый раз через
четыре спички на пятую? А можно и через пять на шестую, если взять
102
двадцать спичек. Буква а хороша тем, что она может указать тебе пра-
вило для любого случая.
— Ну что ж делать!— огорченно согласился Вовка.—Давай уж по-
слушаем про твою букву...
— Допустим, мы берем вообще 4а спичек, — начала свои объяснения
Веточка. — Их надо собрать в а кучек. Но если у тебя а = 2, то можешь
взять...
— ...восемь спичек! — сказал Вовка. — Знаю. Четыре кучки.
— Очень хорошо, что ты знаешь, но, быть может, буква а расскажет
тебе еще что-нибудь такое, чего ты еще не знаешь. Ты мне сейчас пока-
зал, что двигаются у нас за каждую игру 4 (а — 1) спичек, каждая пры-
гает через а спичек и ложится на (а+ 1)-ую. Теперь, как же надо ре-
шать вообще? Обратим внимание на предпоследние с обоих концов
шашки. Для случая, когда а = 2, а всех шашек восемь, ты поступал так:
от второй с левого края спички ты отсчитывал две шашки вправо, там и
находится та спичка, которую надо положить на вторую. Теперь ты
взял седьмую спичку, слева от нее через две спички находится третья,
ее-то и надо положить на седьмую. Когда эти две кучки получены,
остальное ясно.
— Так это для восьми. А как же с десятью?
— Как быть с восемью, ты знаешь. Задача может быть еще услож-
нена добавочными кучками. Если для прыжков через две спички взять
не восемь, а десять, надо устроить сперва пару на краю, тогда задача
сводится к случаю восьми спичек, который разрешается, как ты мне по-
казал:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 [7/10].
Можно для случая двойного прыжка взять и двенадцать спичек и,
устроив две кучки на двух краях, снова перейти к основному случаю
восьми:
[4/1], 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11 [9/12].
После того как ты уже устроил кучку слева в первом случае или две
кучки по обоим концам во втором, у тебя одинаково остаются неразло-
женными по восемь спичек, а с восемью ты уже умеешь управляться.
— А про двенадцать я, кажется, забыл.
— Совершенно так же действуем, когда мы должны прыгать больше
чем через две спички. Снова идут в ход две предпоследние спички с того
и с другого конца. Когда же на той и на другой кучке уже соберется
столько спичек, сколько требуется в данном случае, то, прыгая через
кучки в том и другом направлении, мы и получаем еще две кучки на
юз
последних спичках. Вот и всё! Для двенадцати спичек либо шашек и
тройного прыжка — через три спички на четвертую — получаем
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12;
а потом устроим две кучки на предпоследних шашках:
1, [7/6/2], 3, 8, 9, 10, [4/5/11], 12;
теперь третья и восьмая по очереди прыгают через левую кучку на пер-
вую спичку, девятая и десятая — на двенадцатую. Но можно добавить
еще спичек или шашек и для тройного прыжка, взяв не двенадцать спи-
чек, а пятнадцать. Или, взяв добавление вдвое, решить задачу для
124-3-|-3 =18 спичек. Попробуй! У тебя теперь имеется решение...
— ...для всех случаев, — сказал с удовольствием Вовка. — Значит,
если у меня шестнадцать шашек и я должен прыгать через четыре на
пятую, то я начинаю с того, что на предпоследнюю слева переношу седь-
мую, восьмую и девятую. И так далее. Вот здорово! Ты хорошо приду-
мала. Только при чем здесь твоя буква а, все-таки я не совсем понимаю.
— Узнаешь скоро, — отвечала ему Веточка.
Глава восемнадцатая
Десятичные дроби и бесконечные ряды. — Опять Васина коврижка! —
Колоссальные вычисления Лудольфа Кёльнского. — Многоугольник ро-
стом с земной экватор и еще один многоугольник чуть-чуть побольше
орбиты Плутона. — Триангуляция и землемерие. — Эратосфен впервые
пробует измерить земной шар. — Снеллий находит изобретение Кузан-
ского и продолжает его труды. — Не все у Снеллия получается удачно.—
Теперь Гюйгенс идет за Кузанским и Снеллием, а по дороге поправляет
их промахи. — Архимедова квадратура параболы. — Гюйгенс спешит по
его следам. — Бесконечная геометрическая прогрессия и ее сумма. —
Формулы Гюйгенса.— Открытие Грегори и Лейбница. — Число те ре-
шило распроститься с геометрией. — Отрезок и число те. — Иголка, шах-
матная доска и новое появление числа те. — Еще раз об индийском
приближении в изложении Вето-Ташенькиной секции. — Как состарились
за какую-нибудь тысячу лет Птолемеевы приближения.— Фантазии Ска-
лигера.—Адам Коханский придумывает изящное построение числа те,—
Веточка и Вовка снова секретничают.
1
Через несколько дней Лева начал торопить деда:
— Дедушка, ты подумай: такая интересная тема про эту квадратуру,
а мы не договорили! Ведь из головы вылетит!
105
— Да я-то что! —отвечал ему дед, покряхтывая. — Я всегда готов,
как пионер. А вы как? Готовы дальше слушать? А может быть, как вче-
ра, айда на речку и до самой полночи пропадете.
— Ну, уж не до полночи, дедушка Тимоша! — заметил Никита.
— Чуток прибавил, — согласился дед.
Но в эту минуту из-за куста сирени осторожно вылез Вовка.
— Сговариваетесь! — сказал он укоризненно. — А секретарь ничего
не знает. Ловко!
— Вот что, секретарь, — сказал ему Ника, — собирай всю нашу
команду. Пошли в лес, дедушка нам сегодня будет опять про квадратуру
дальше рассказывать.
— К озеру, значит? — спросил секретарь и бросился бежать, крикнув
на бегу: — Сейчас всех изловлю и приведу!
Через четверть часа все были в сборе и шагали к лесу.
— Все, что вы нам рассказываете, дедушка Тимоша, очень интерес-
но,— сказала Наташа. — И нам даже кажется, что за лето мы все вы-
росли и стали ужасно умные...
— «Умные»!.. — насмешливо протянул Вовка.
И Наташа сама засмеялась:
— Ну, может быть, я не так сказала. Простите! Просто пришлось о
разных хитрых вещах подумать, и многое прояснилось. Но, с другой сто-
роны, некоторые вещи как-то просто в голове не укладываются. Ну вот,
например, формула, у которой нет конца. Мне хотелось бы посмотреть
на какую-нибудь еще такую формулу, но не такую, как формула Виеты,
а... попроще. Покажите нам, дедушка Тимоша!
— Могу, — отвечал руководитель любознательных следопытов.—
Начну с того, что напомню вам о периодических десятичных дробях, ко-
торые тоже не имеют конца, вы ведь их знаете, и они вас не удивляют.
Подобный пример сам Ньютон приводил1. Затем, ты ведь знаешь, что та-
кое алгебраическое деление? Возьми и подели единицу на бином (1 —х).
Ты получишь бесконечный ряд:
= 1 + х + х2 + ха 4- х4 + х5 +...
Такие бесконечные ряды рассматриваются в математике и являются
одним из самых мощных средств для решения важнейших задач.
— Та-ак, — протянул в некотором недоумении Лева. — А все-таки я
не пойму, что ты видишь любопытного в этом равенстве? И как ты ду-
маешь им воспользоваться? Для чего?
— Можно пояснить, —отвечал дед.— Такого рода равенства подчи-
1 Замечание Ньютона о десятичных дробях и бесконечных рядах можно найти
в книге Исаака Ньютона «Математические работы*. М., 1937, стр. 25.
106
няются некоторым довольно хитрым правилам. Одно из них гласит, что
данное равенство может быть для нас полезно, если икс меньше еди-
ницы. Вот мы и положим для примера, что икс у нас равняется половине.
Тогда, очевидно, t _х = 2. А что же будет, если мы в правую часть на-
шего равенства
•у == 1 + х + х2 + х3 + х* 4- х6 + ...
подставим л = у? А вот что:
1 + | + | + | + ^ + ^ + ...
— Позвольте, дедушка Тимоша, — воскликнула Наташа, — так ведь
это же опять получается та самая Васина «коврижка», которую мы уж
рассматривали1, только в ней еще единица прибавлена спереди. Но ведь
это не так уж важно?
— Ясно! — согласился дед. — Не в этом дело...
— Ав том, — не выдержала и Веточка, — что, взяв довольно много
членов в правой части, — а ведь их мы можем написать сколько угод-
но!— мы можем приблизиться к нашей двойке в левой части,
так близко, как нам только вздумается!
— Значит,— решил Вася, — и тут у нас предел?
— Вот именно!—ответил дедушка. — В нем-то вся и сила. Но, разу-
меется, не для того, чтобы вычислять простую двойку, а делать другие,
более трудные веши, которые так, попросту, в руки не даются. Примерно
такую же формулу получил и Виета, только у него была не сумма, а
произведение. А если, — добавил дедушка, оглядывая свою маленькую,
но смышленую аудиторию, — взять еще ряд, похожий на тот, о котором
мы сейчас говорили, то есть
.j;— = + 1 — X + х2 — х3 4- х1...
то перед нами будет знакопеременный ряд, полученный Ни-
колаем Меркатором и опубликованный в 1667 году. Первый ряд, кото-
рый я привел, известен был еще древним грекам, а этот ряд — это вто-
рой бесконечный ряд, полученный наукой, и с него-то и началось бурное
развитие удивительного метода рядов, связанное с именем Ньютона.
1 См. главу X, раздел 4.
107
В чем тут сила, вы можете сообразить по примеру ряда Виеты: некое
трудноопределимое число постепенно вычисляется все точнее и точнее
с помошью небольших изменений, которые все время порождают такой
ряд и которые сами по себе делаются все меньше и меньше, так что раз-
ность между двумя соседними изменениями можно сделать меньше
любого наперед заданного числа.
— А какие же... применения? — еле слышно спросила Наташа.
— Речь идет о логарифмах, — ответил дед. —Не торопись. Мы о них
еще поговорим. Скоро мы познакомимся с одним довольно знаменитым
знакопеременным рядом, сами увидите. А вообще о рядах можно вот
еще что сказать. Нередко бывает, что поставить некоторую задачу
мы можем, можем и формулировать ее математически, то есть составить
уравнение, а решить его по всем правилам не удается. Причем слу-
чается это довольно часто. Вот тут-то и приходит к нам на помощь при-
ближенное решение при помощи ряда, которое практически выводит
нас из затруднения. Всегда можно рассчитать, сколько членов данного
ряда следует взять, чтобы ошибка решения не выходила за определенные
пределы. Нередко в тех случаях, когда нужно решить вопрос, имеющий
много важных приложений в технике, решения вычисляются раз навсе-
гда и потом издаются в виде таблиц. Таковы таблицы тригонометриче-
ских функций — синусов и косинусов, о которых вы кое-что знаете, и
многих других не менее важных функций, как, например, логарифмов,
о которых я уже упомянул *.
2
— Ко времени возрождения наук в Европе, — начал снова дедуш-
ка,— вопросом квадратуры круга очень заинтересовались. Многочислен-
ные работы, которые ставили себе целью получить более точные резуль-
таты по Архимедову способу, заканчиваются работой великого труже-
ника Лудольфа Кёльнского, который вычислил те с тридцатью пятью
знаками при помощи поистине колоссальных вычислений.
— Как это «колоссальных»? — спросил Вовка.
— Лудольф, — отвечал дедушка,—-вписал в круг многоугольник,
число сторон которого превышало тридцать два биллиона...
— Тридцать два биллиона!— воскликнул Лева.
— Отхватил! — сказал Вася.
— Очень много... — недовольно произнес Вовка, поглядывая на
деда вопросительно.
— Попробую пояснить,— сказал дед. — Представь себе, что каждая
сторона этого многоугольника равна миллиметру.
1 См. книгу А. И. Маркушевича «Ряды». М., Физматгиз, 1961.
108
— Одна десятая сантиметра, понимаю! — заметил Вовка.
— Значит, периметр всего многоугольника равен тридцати двум бил-
лионам миллиметров. А биллион миллиметров составляют сколько,
Вова?
Вовка вздохнул, помолчал. Еще вздохнул и выговорил:
— Если взять миллион миллиметров, выйдет целый километр, а если
биллион миллиметров — тысяча километров.
— Немножко не так мы с тобой взяли,— заметил дедушка. — Давай
увеличим чуточку нашу сторону многоугольника: пусть она будет не
один миллиметр, а один миллиметр с четвертью. Если взять милли-
метр, то вся окружность будет тридцать две тысячи километров.
А если каждую сторону увеличить на четверть миллиметра, то окруж-
ность получится сорок тысяч километров. А это как раз длина эква-
тора.
— Вот так многоугольничек! — сказала Наташа.
— Если довольно быстроходный турбовинтовой самолет полетел бы
вдоль по периметру этого Лудольфова многоугольника, каждая сторона
которого равна одному с четвертью миллиметра, а в час он делал бы ты-
сячу километров, то летел бы кругом сорок часов, почти двое суток без
остановки. А если бы он пролетел расстояние, равное диаметру этого
нашего Лудольфова многоугольника, он летел бы около тринадцати ча-
сов. Если взять скорый поезд, который делает в час, скажем, сто кило-
метров, то наши числа увеличатся в десять раз: четыреста часов и сто
тридцать. Почти семнадцать дней будет мчаться скорый поезд вдоль
периметра и больше пяти суток —поперек. Вот какой многоугольничек!
Уж кажется, небольшая длина — миллиметр с четвертью, а когда их
взять столько, сколько Лудольф взял, вот что получается.
— Дедушка, — сказал замирающим от восторга голосом Вовка,—
а если на велосипеде?
— Сколько помнится, мировой рекордсмен 1953 года ехал на вело-
сипеде немного скорее, чем пятьдесят один километр в час. Значит,
числа, относящиеся к нашему скорому поезду, надо еще удвоить.
— Целый месяц! — сказал Вовка. — Дедушка, это все будет запи-
сано в нашей секретарской главной архивной тетради. В главной, де-
душка!
— Ну еще бы! — сказал важно дед, хитро усмехаясь. — Конечно,
в главной. Где же еще? Только вот что я должен тебе еще сказать: при
помощи этого огромнейшего многоугольника Лудольф получил двадцать
правильных знаков числа те. Да, брат, только еще двадцать! А когда он
добрался до тридцати пяти знаков, этот многоугольничек оказался ему
маловат...
— «Маловат»! — повторил, чуть ли не взвизгнув, Вовка.
— Да! И он взял другой. В том сторон было столько, сколько вый-
дет, если двойку возвести в шестьдесят вторую степень, то есть 4,6 квин-
109
тиллиона, а ведь квинтиллион это биллион биллионов или миллион
триллионов. Для этого многоугольничка Земля уж мала!
— Орбиту планеты какой-нибудь.—посоветовал Ника.
— Плутона разве? — подсказала Наташа.
— Мало! — ответил Вася.— Орбита Плутона около девятнадцати
биллионов километров. И если сторона многоугольника будет в милли-
метр, еще бы эту орбиту надо увеличить... ну... в двести пятьдесят
раз, пожалуй, вот тогда получится.
— Вот это да! — произнес, весь сияя, Вовка.
— Н-да, — невольно согласился и Вася. — Поневоле задумаешься.
Ведь число Архимеда —вот вы и сами, дедушка Тимоша, говорили —
для практики вполне достаточно. И поправки очень маленькие. Поду-
мать страшно — многоугольник в двести пятьдесят раз больше орбиты
Плутона! А зачем? Даже и для египетского приближения надо такую
махонькую поправочку взять...
— Дело не в этих поправках, конечно, — отвечал ему дед, — а в
том, что надо было разгадать до конца загадку с числом я. Долго
над этим бились, да и неудивительно —задача была слишком свое-
образна.
— Но если приходится, — сказала Веточка, — брать такие громад-
ные круги, как орбиты планет, так ведь, если тебе покажут отрезочек от
такой окружности, разве догадаешься, что это не прямая.
— Вот именно, — подтвердил президент Тускарийской академии,—
чем окружность больше, тем ближе ее дуга к отрезку прямой.
— Выходит, — продолжала Веточка, — что это самое простое воз-
ражение на древние басни насчет ужасной разницы между круглым и
прямым.
— Конечно... — заметил Ника. — Правда, орбиту планеты можно
считать небесным явлением, но ведь если взять экватор земной, о кото-
ром древние имели представление, так то же самое получится.
— То же самое! — подтвердил дедушка. — Надо сказать, что на за-
кате античной цивилизации уже понимали, что многое в рассуждениях
древних философов не очень основательно. И Симпликий, о котором мы
вспоминали, начинает в некоторых случаях выгораживать Аристотеля,
указывая, что позднейшие завоевания древних астрономов великий Ста-
гирит, конечно, знать не мог. А еще позже в Византии иной раз даже
поговаривали, что индийская вычислительная математика гораздо полез-
нее, чем все сложные рассуждения греков. Разумеется, это преувеличе-
ние, но оно характерно для перемены взглядов после постепенного зами-
рания древней цивилизации. А что касается этой выдуманной разницы
между «земным» и «небесным», то ведь кто это старался распространять
и поддерживать больше всех? Конечно, это делали и делают церковники,
да главным образом в глухие времена средневековья, когда для борь-
бы с наукой им была полная свобода. Но ведь на то они и церковники,
но
другими словами, не что иное, как злейшие враги науки от самой глу-
бокой древности и до наших дней.
— А почему в это время, в XVII веке, — спросила Наташа, — все
ученые так трудились над квадратурой круга?
— Видишь ли, —отвечал ей дедушка, — мы обычно обозначаем
углы, как доли окружности. Например, прямой угол, как четверть окруж-
360° ппо л _
ности, то есть -^- = 90°, или-^-. Так как во всевозможных приложениях
очень важно находить довольно малые углы, равно как их полухорды и
апофемы, то надо уметь быстро и без хлопот определять доли числа и,
отчего так и важна квадратура круга. И вот после значительных дости-
жений Меция и Лудольфа профессор Лейденского университета Вилле-
брорд Снеллий выпустил в 1621 году книгу под названием «Эратосфен
Батавский». Батавия —это древнее наименование устья Рейна, то есть
территории, на которой и располагалась родина Снеллия — Голландия.
Дополнением к этой книге было сочинение «Циклометрия, или Сочине-
ние о размерах круга» —труд немалых достоинств. Снеллий еще в
1615 году положил основание триангуляции, важнейшему земле-
мерному приему, который заключается в том, что измеряемый участок
предварительно разбивают на тре-
угольники. По-латыни треугольник —
«триангулюм», откуда и слово «три-
ангуляция». Одна или две стороны
тщательно измеряются, а затем путем
вычислений получаются все осталь-
ные измерения. Для этого необходи-
мо было сколь возможно точное изме-
рение углов, в силу чего квадратура
круга и оказалась столь важной.
В своей «Циклометрии» Снеллий и
дал целый ряд важных указаний по
геометрии круга. Занимаясь этими
вопросами, Снеллий перевел на ла-
тинский язык, который тогда был об-
щепринятым научным языком, вы-
шедшую на голландском языке в 1596
году работу Лудольфа «О круге», где
были изложены результаты огромных
вычислительных работ этого автора.
— Мне бы хотелось узнать более подробно, — сказала Веточка, — что
такое триангуляция?
— Видишь ли, — отвечал ей руководитель Тускарийский, — непосред-
ственные измерения довольно больших расстояний на земной поверх-
ности — дело чрезвычайно трудное. Эратосфен, впервые вычислявший
ill
большое расстояние, чтобы выяснить, каковы размеры земного шара,
исходил из расчета о среднем времени, нужном верблюжьему каравану,
чтобы добраться из города Сиенны до города Александрии. По числу
этих переходов и средней длине перехода и были произведены вычис-
ления. Насколько точно было определение Эратосфена, сказать трудно.
Известное представление о размерах нашей планеты эта прикидка да-
вала, а некоторые исследователи даже считают, что измерение Эрато-
сфена было довольно близко к истине1. Триангуляция Снеллия является
чуть ли не второй после Эратосфена важной и удачной попыткой изме-
рения Земли. Подлинно научные измерения оказались возможными
только в XVII веке, когда угломерные инструменты были снабжены зри-
тельными трубами, а сама зрительная труба была оснащена особой
сеткой из паутинок, позволяющей установить ее центр. Но как обстоит
дело с самой триангуляцией? Измерения длины практически невозмож-
но сделать без ошибок. С ошибками, зависящими от неправильности
инструментов измерения, от различия температурных условий и про-
чего, можно бороться при помощи особых приемов. Измерение углов
1 Об Эратосфене см. в книге Д. О. Томпсона «История древней географии». М.,
ИЛ, 1953, гл. V, стр. 230, 235. Сведения о землемерии можно почерпнуть из книги
П. В. Дензина «Геодезия». МГУ, 1953.
112
сравнительно легче, ибо в таком случае имеется возможность некоторой
проверки, так как сумма углов треугольника должна равняться двум
прямым углам. Это всегда справедливо, если мы измеряем не слишком
большие треугольники на земной поверхности — со сторонами не больше
двадцати пяти километров. Случайные ошибки при измерении относятся
к области теории вероятностей: можно доказать, что при очень большом
числе измерений средняя арифметическая из многих измерений будет
правильным определением. Вот на этом чертеже изображено, как посту-
пают, когда надо измерить длину АВ: меряется MN и затем измеряются
восемь углов, обозначенные цифрами от 1 до 8. Это, конечно, самый
простой пример, однако он дает представление о смысле триангуляции.
— А у самого Снеллия хорошо выходило? — спросил Вася.
— Нет, не очень. У него еще не было в руках хорошего угломерного
прибора,— отвечал дед. — Но принцип триангуляции он придумал пре-
красный, и им пользуются и теперь.
— Постой-ка! — сказал Лева. — Я вот что еще придумал. Пусть каж-
дая сторона этого большого Лудольфова многоугольника будет равна
одному миллиметру. Тогда весь его периметр будет равен 4,6-1018 мил-
лиметров. Скорость света 300 000 километров в секунду, или 3-105 ки-
лометров. За год свет пройдет расстояние 1013 километров или 1019 мил-
лиметров— это так называемый световой год. Значит, чтобы пройти
вдоль всего периметра Лудольфова многоугольника, свету потребуется
4,6 • 1018
IO» —
0,46 года,
то есть около полугода. А ведь для того чтобы обежать весь земной
экватор, свету надо только
4-101	4	2
ЗИ05==Зб=15 секунды.
Вот и соображайте, какой много-
угольничек был у Лудольфа!
— Лихо! — сказал Вася. —
Просто голова кружится.
— Справедливо! — отозвался
дед. — И тем не менее это в разви-
тии математики было необходимо.
Без этого, как вы увидите, дальней-
шие работы по квадратуре круга
осуществить было бы трудно. Вы-
числения Лудольфа помогали де-
лать всё новые попытки вычи-
слений и проверять их.
Принцип триангуляции.
8 Архимедово лето
113
— Какие вычисления? Расскажите, дедушка, —попросила Наташа.
— Скоро узнаешь, — отвечал он девочке.
— А квадратура, а квадратура? — не унималась Веточка.
з
— А вот теперь, — произнес с ударением дедушка Тимоша, —мы
с вами можем снова припомнить квадратуру Николая Кузанского. Спо-
соб его дает очень хорошие результаты, но они всегда немного меньше
того, что нужно, то есть это приближение с недостатком. Кузанский на-
шел свое решение около 1420 года. Затем прошло примерно полтора
века, пока не нашелся проницательный ученый, и он, рассмотрев целый
ряд неудачных попыток найти метод, который был бы проще и сильнее
Архимедова...
— То есть как «сильнее»? — спросил Ника.
— Крепче брал бы быка за рога! — засмеялся Вася.
— В этом роде, — отвечал дедушка, —То есть давал бы результат,
не требуя таких усилий, которые неизбежны при способе Архимеда.
И вот спустя полтораста лет нашелся человек, который взял на себя
труд рассмотреть изыскания Кузанского. Это и был Виллеброрд Снел-
лий. Переведя книгу Лудольфа, Снеллий, хотя и был изумлен этим ги-
гантским трудом, все-таки отдавал себе отчет, что Лудольф, следуя по-
корно заветам Архимеда и Антифона, ничего нового по теоретической
части не дал. Тут-то Снеллий, перебрав ряд разных работ по квадра-
туре круга, и обратился к «неудачнику» Кузанскому. Он проверил его
способ и быстро убедился, сравнивая вычисления с результатами Лу-
дольфа, что способ Кузанского дает возможность необыкновенно быстро
и просто получить превосходные результаты. При этом Снеллию не-
трудно было выяснить, что формула Кузанского дает решение с недо-
статком, то есть ближе к нижней границе числа ж. Тогда Снеллий стал
искать способ, который давал бы приближение с избытком. Оказалось,
что для этого требуется совсем немного изменить способ Кузанского.
А именно: вместо того чтобы откладывать на продолжении диаметра
EG отрезок DE, равный радиусу, проведем прямую AD так, чтобы рас-
стояние DH равнялось радиусу, другими словами, введем невсис. Тот
самый, с которым мы недавно познакомились1. Ясно, что при таком по-
строении длина отрезка ED станет несколько меньше, чем при по-
строении Кузанского. Снеллий имел возможность убедиться, что этого
уже достаточно, чтобы получить значение числа w с избытком. Таким
образом Снеллий получил новые пределы для числа «, несравненно
более тесные, нежели Архимедовы пределы.
1 См. главу XVI, раздел 2. Сравни чертежи на стр. 88 и 124.
114
с
D	Е
н--1-----1
А
G
— А как Снеллий узнал об этом? — спросила Наташа.
— Снеллий был уверен, что он нашел доказательство этого,
но он ошибался — доказательство его было неосновательно. Но i
ведь у него в руках уже было Лудольфово число, то есть число к I
более чем с тридцатью знаками. И он имел поэтому	/
полную возможность просто сравнивать свои вычисле-	/
ния с данными Лудольфа, полученными, может быть, и .------ >
не столь совершенным способом, но, во всяком случае, |Д<7~АС?|/
способом безошибочным и неос-
поримым. Снеллиево определение
новых границ для числа тс было,
конечно, замечательным достиже-
нием: впервые после Архимеда
было найдено не только нечто
теоретически новое, но еще и не-
что гораздо более простое. Мате-
матик Гринбергер, современник
Снеллия, вскорости вычислил тс
вятью знаками, превысив результаты Лудольфа и положив труда много
меньше, чем должен был положить Лудольф. Снеллий мог убедиться,
что его способы дают возможность, пользуясь тем же самым много-
угольником, удвоить число верных знаков числа тс. Гринбергер от
квинтиллиона сторон мог перейти к полубиллиону, от числа сторон
260 к 229.
— Разница!— заметил Ника.
— Нет, дедушка, — громко закричал Вовка, — так нельзя! Я, как
секретарь и даже как ученый секретарь, протестую и возражаю! Я дол-
жен записать. Скажи прямо, чему это равняется.
— Что же делать! — ответил дедушка. — Придется сказать.
Дедушка достал свою всеведущую записную книжку, полистал и вы-
молвил:
— Ну, пиши, ученый секретарь:
по способу Снеллия с тридцатью де-
260 = 1 152 921 504 606 846 976, или 1,15 квинтиллиона;
229 _ 535 дуд 912, или 0,54 биллиона.
— Ну, вот это другое дело! — важно заявил Вовка, торопливо пере-
писывая числа.
И дедушка продолжал свой рассказ:
— Самым важным новшеством в работах Кузанского и Снеллия было
то, что они показали, что существуют методы квадратуры круга более
совершенные, нежели методы Архимеда. Как вы знаете, у Архимеда
длина окружности для квадратуры круга определялась либо через
8»
115
периметр описанного многоугольника, либо через периметр вписанного.
Кузанский и Снеллий вслед за ним нашли, что гораздо лучшие резуль-
таты можно получить, если исходить либо из подобных многоугольни-
ков описанного и вписанного, рассматриваемых вместе, либо из двух
вписанных многоугольников, причем у одного вдвое больше сторон, чем
у другого. Мы с вами уже упоминали о замечательной формуле Снел-
лия *, когда при вычислении площади круга берется площадь описан-
ного и площадь вписанного многоугольников, причем первой придается
вес вдвое больший:
о __ 2 S 4- s
Лк— з ,
где Sic —площадь круга; S —площадь описанного многоугольника и
$ — площадь вписанного1 2 * *. Одно из довольно важных открытий Снеллия
как раз касалось соотношений между площадями трех многоугольни-
ков, о которых я говорил, причем Снеллий убедился, что эти соотноше-
ния могут быть определены точно и что площадь вписанного многоуголь-
ника с удвоенным числом сторон — скажем, 12-угольника — является
средней геометрической между площадью вписанного и опи-
санного многоугольников, в данном случае между вписанным и описан-
ным шестиугольниками.
-Давайте-ка составим пропорцию! — предложила Наташа. — Вы-
ходит так:
$п '• S2n = S?n • Sn >
где Sn —площадь описанного многоугольника; $„— площадь вписан-
ного, a s2„ — площадь вписанного с удвоенным числом сторон. Значит,
S2n = \/$п ' Sn •
Вот как оно получается!
— Эта формула, — заметил дед, — стоит того, чтобы на ней на ми-
нутку остановиться. Помните, что мы говорили о древнегреческом фи-
лософе Бризоне, который полагал, что площадь круга лежит «где-то»
между вписанным и описанным многоугольниками? Так вот, Снеллию
1 См. главу XIV, раздел 1.
2 Некоторые исследователи, впрочем, указывают, что в последних своих работах
Николай Кузанский под влиянием критики знаменитого космографа того времени, Тоска-
нелли (это был человек, чьими советами пользовался Христофор Колумб), пришел имен-
но к этой формуле, которая обычно приписывается Снеллию.
116
удалось найти то, что действительно «лежит между вписанным и опи-
санным многоугольниками», и это оказался вписанный же многоуголь-
ник с удвоенным числом сторон. Многоугольник снова, но не круг! И тем
самым одна из древних фантазий была разоблачена, а вместо нее по-
явилось новое важное и точное научное достижение. Книга Снеллия
вышла в свет в 1621 году, а через тридцать с лишним лет, в 1654 году, вы-
шла книга Христиана Гюйгенса, в которой были строго доказаны предло-
жения Кузанского и Снеллия и разработаны предложения других авто-
ров. Гюйгенс, кстати сказать, знал и ценил труды Николая Кузанского,
на которые он ссылался в одном своем научно-популярном сочинении.
Итак, Гюйгенс показал всю силу и полезность замечательных открытий
Кузанского — Снеллия, а сам пошел далее своих предшественников: дал
еще более совершенные способы определения числа «. Следует, однако,
заметить, что, если представить себе справедливость способа Архимеда,
совсем не трудно...
— Разумеется, у Архимеда все очень ясно! — перебил Лева. — Да
это еще даже этот древний философ Бризон понимал: что круг лежит
между описанным и вписанным многоугольниками.
— Вот я про это и говорю, — согласился Тимофей Иринархович.—
Ну, а вот с пределами Кузанского — Снеллия получается нечто совсем
иное. Стоит, ребята, обратить внимание на то, что если на первых по-
рах в геометрии все представить себе довольно легко, то далее стано-
вится все труднее и труднее. И, когда Гюйгенсу пришлось доказывать
эти новые важные положения, которые, как он сам писал, «содержат
весьма замечательную истину», ему пришлось начать издалека. Сам Гюй-
генс в предисловии к своему труду указывал, что наиболее важным
для него было предположение о том, что если, имея описанный и впи-
санный многоугольники, построить еще два многоугольника как средние
пропорциональные между двумя упомянутыми исходными многоугольни-
ками, то периметр меньшего больше окружности и площадь большего
в таком же отношении больше площади круга.
— Опять, значит, две средние пропорциональные! — сказал с инте-
ресом Ника.
— Да! Однако эта теорема Гюйгенса говорит только о верхнем
пределе, о большей границе, то есть доказывает теорему Снеллия, но
не теорему Кузанского.
— А как же получилось с Кузанским? Вот интересно! — воскликнул
Лева.
— Для доказательства предложения Кузанского Гюйгенсу пришлось
искать новый путь. Ему пришлось руководствоваться не только знаме-
нитой работой Архимеда «Об измерении круга», которую изучали все
занимавшиеся проблемой квадратуры круга, но применить к решению
своей трудной задачи способы, развитые великим геометром древности
в работе «О квадратуре параболы». Это было вообще первое опреде-
117
□ '/512 а >/1024 ° '/2048 ° ’/4096 ° '/8192
Васина коврижка.
ление площади, ограни-
ченной кривой линией.
Самое вычисление это,
которое мы когда-ни-
будь разберем во всех
подробностях, было сде-
лано Архимедом с при-
менением некоторого
подсобного механиче-
ского приема, но мы его
пока касаться не бу-
дем ', а разберем тот
метод, которым Архи-
мед доказывает спра-
ведливость своего опре-
деления. Вспомним еще
раз знаменитую Васину
«коврижку» 1 2 * * * * * 8. Вспомним, как постепенно исчерпывается площадь
этого прямоугольника его прямоугольными частями, которые стано-
вятся всё меньше и меньше. Общий принцип такого приема — это и
есть способ исчерпывания, детище великого Евдокса. Однако
прямоугольная «коврижка» — это только пример. Никто так вычис-
лять площадь прямоугольника не станет.
— Еще бы! — гордо произнес Вовка. —
Только этого и не хватало!
— Н-да, — усмехнулся дед в ответ
ему. — Парабола представляет собой кри-
вую, которую можно получить...
— ... рассекая конус плоскостью, па-
раллельной образующей, — подсказал Ле-
ва.— Это ведь кривая, по которой брошен-
ный камень летит...
— Снаряд из пушки I — поправил
Вовка.
Парабола — коническое сечение.
1 «Механические» решения математических за-
дач у Архимеда основывались на использовании
понятия центра тяжести. О центре тяжести см.
книгу М. Б. Балка «Геометрические приложения
понятия о центре тяжести». М., Физматгиз, 1959,
«Библиотека математического кружка», выпуск 9.
Введение, а также § 8 «Способ Архимеда для взве-
шивания площадей», стр. 91—96.
8 См. главу X, раздел 4.
118
— Стрела из лука! —заявил Вася.
— А еще, — заметила Веточка, — по параболе льется струя из бочки
и фонтан бьет.
Дедушка не без удовольствия оглядел своих маленьких друзей.
— Так! — сказал он. — Рад убедиться, что вы кое-что об этой кривой
запомнили. Это ведь кривая очень важная в математике: по ней рас-
тут квадраты чисел — и в физике, и в инженерии... Итак, Архимед
определяет площадь ее сегмента. В сегмент параболы вписывается наи-
больший треугольник, основанием которого
является прямая, отсекающая сегмент. Обе
боковые стороны треугольника отсекают еще
два сегмента параболы, в которые опять-таки
вписываются треугольники — на этот раз их
два, снова наибольшие. Четыре боковые сто-
роны этих двух многоугольников отсекают че-
тыре сегмента параболы, в которые снова
вписываются треугольники, их уже четыре...
и так далее. Вы и сами видите, что число этих
треугольников растет по степеням двойки...
— Один, два, четыре, восемь... — живо
пробормотал Вовка.
— Молодчина! — поддержал его дед, по-
смеиваясь. — Вспомни! .. Так как эти тре-
угольники всё уменьшаются и уменьшаются,
как вы видите на чертеже, то и площади их
уменьшаются: если мы примем площадь пер-
119
вого самого большого треугольника за единицу, то площадь двух вторых
будет равняться четверти этого первого, — а дальше так и пойдет по сте-
пеням одной четвертой, или, если хотите, по четверичным дробям.
Веточка спросила:
— Так, кажется?
Четверть в нулевой степени, потом в первой и прочее?
— Точно! — отвечал ей дедушка Тимоша. — А общая сумма такого
ряда все теснее сближается с величиной у. Немного погодя я объясню,
как это получается. На основании этого Архимед и пришел к выводу,
что площадь сегмента параболы не может быть ни меньше, ни больше,
чем у площади первого из вписанных треугольников, самого большого.
Именно этот способ исчерпывания площади Гюйгенс и применил к пло-
щади сегмента круга. Но с кругом вышло не так, как с параболой.
В случае сегмента параболы этот прием привел Архимеда к точному и
полному решению задачи, тогда как Гюйгенс для сегмента круга полу-
чил только нижнюю границу площади этого сегмента.
— Да ведь ты же сам, дедушка, сказал, что ему именно это и нуж-
но было! — воскликнул Лева.
— Правильно! — согласился дед. — И вот это-то и оказалось дока-
зательством предложения Кузанского.
— Хотелось бы узнать, как это... — заметила Веточка.
— Попробуем, — откликнулся Тимофей Иринархович, ибо слух ему
не изменял и он старательно следил за откликами своих питомцев.—
Давайте попробуем. Гюйгенс начинает с доказательства, что если в кру-
говой сегмент вписать наибольший треугольник, а в оставшиеся два сег-
мента тоже вписать по наибольшему треугольнику, то если общую пло-
щадь этих двух треугольников, вторых по величине, увеличить в четыре
раза, она будет больше площади первого треугольника. Проведем пря-
мую EF. Дуга АВ делится вершиной одного из малых треугольников Е
пополам. Значит, каждая из хорд ЕА и ЕВ будет больше, чем половина
хорды АВ. Если это так, мы мо-
жем сказать, что АВ в квадрате
меньше чем четыре квадрата ЕВ
(или Теперь заметим, что
SАВ есть не что иное, как ка-
//	тет прямоугольного треугольника
АВН, высота которого есть AD;
следовательно, АВ есть средняя
пропорциональная между диа-
Квадратура параболы.	метром ВН и отрезком BD. Таким
120
образом, АВ в квадрате равно произведе-
нию BD на диаметр нашего круга, тогда
как ЕВ в квадрате равняется произведению
BG на тот же диаметр. Если это справед-
ливо, то
(ЛВ)’ _ DB
(BE)2 ~ GB'
следовательно, и DB меньше, чем четыре
раза взятый отрезок GB. Но ведь АС мень-
ше дважды взятого EF, ибо EF равно АВ.
Значит, треугольник АВС меньше, чем взя-
тый восемь раз треугольник EBF, которому
равен каждый из треугольников АЕВ и BFC.
Отсюда ясно, что треугольник АВС меньше,
чем четыре раза взятая сумма последних	Гюйгенсова квадратура
двух треугольников, а вот это нам и нужно	кругового сегмента.
было.
— Но это еще не всё? — неуверенно заметил Лева и посмотрел на
дедушку Тимошу.
— Нет, это только начало, но довольно важное.
— А теперь? —настаивал Лева.
— А теперь давай впишем в оставшиеся у нас сегменты четыре
третьих треугольника, по величине опять-таки наибольших. А в получив-
шиеся новые сегменты — еще восемь четвертых по величине треуголь-
ников. Потом шестнадцать, и так далее. Эти треугольники будут посте-
пенно исчерпывать площадь кругового сегмента. При этом, совершенно
так же, как два треугольника АЕВ и BFC меньше четверти треугольника
АВС, два новых треугольника, третьих по величине, будут меньше чет-
верти треугольника АЕВ (или равного ему BFC) или меньше четверти
в квадрате от треугольника АВС и так далее. А если это так, то и вся
площадь кругового сегмента AEBFC будет больше, нежели площадь
треугольника АВС, умноженная на такой ряд:
1 + т + те + я + 2В6 + • • 
Как бы нам вычислить теперь сумму такого ряда? Как вы, ребята, по-
лагаете?
— Нельзя ли нам воспользоваться для этого той формулой, которую
мы недавно получили? — осторожно предложила Наташа.
— Какой формулой? — спросил Лева, пожав плечами.
— Запамятовал? — сказал с усмешкой ему Вася.— А насчет деле-
ния единицы на (1—х) не помнишь? Как будто она самая!
121
— Я о ней и говорю, — согласилась Наташа.
— Хм... — выдавил из себя несколько сбитый с толку Лева. —
Разве эта самая формула...
— Чтобы ты, Левка, важничал поменьше, — сказал Ника, — давай-
ка подставляй!
Лева усмехнулся довольно криво, но пришлось делать, что велят.
— Можно подставить, конечно, — лениво выговорил он, — вот так,
пожалуй:
-j-J-j = 1 + X + Ха + X8 + X1 + . . .
о	1 л
Значит, придется положить, что х = -^. А тогда
1 + l + ± + ± + _L +	=_L_ = 1
1 ' 4 ' 16 ' 64 ' 256 ' ‘	_ £	3-
4
Так как будто?
— Наконец-то! — вымолвил, вздохнув с облегчением, дедушка. —
Кстати, такой ряд называется геометрической прогрессией.
И суммируется убывающая бесконечная геометрическая прогрессия
именно этим способом. Этим мы доказали, что площадь нашего круго-
вого сегмента больше у треугольника АВС. Гюйгенс сам, показывая
это, ссылается на Архимеда и его квадрирование параболы.
— А теперь как? — спросила Веточка.
— Чему равняется площадь единичного круга? — спросил, в свою
очередь, дедушка. — Известно?
— Известно, — отвечала девочка.— Она равняется числу тс.
— Ее-то мы ищем, — продолжал дедушка. — И теперь мы можем
сказать, что разность между этой искомой площадью и площадью впи-
санного многоугольника, которую мы обозначим буквой згя (с подпис-
ным значком 2п, который обозначает число сторон многоугольника), бу-
дет тс — Зги. Эта разность равняется суммарной площади такого рода
сегментов (вторых по величине), как сегменты АЕВ и BDC, а если так,
4
то, значит, она больше, чем вписанных в них треугольников, ибо сег-
менты больше треугольников. Но мы уже доказали, что сумма двух
таких треугольников больше, чем четверть треугольника АВС (самого
большого). А если так, то
122
или
те — s„ -5- S ABC.
" V
— Что это за странная буква? — спросил Лева. —И что она обо-
значает?
— Это греческая буква «сигма прописная», и она обозначает: «сум-
ма всех таких треугольников, как треугольник АВС». Но треугольники,
такие, как АВС, если их собрать все вместе, представляют собой раз-
ность между вписанным многоугольником и другим вписанным много-
угольником с числом сторон вдвое меньшим: у первого 2п сторон, у вто-
рого п сторон. Следовательно, можно написать
К S2n> 3 (52л
Отсюда можно вывести, что нижнюю границу числа те можно опреде-
лить так:
ТС = S2„ + у (s2„ — S„) = у (4 «2„ — «„)•
Эта формула, довольно близкая к формуле Кузанского, но дающая
значения для числа те меньшие, чем у Кузанского. Таким образом Гюй-
генс доказал справедливость нижнего предела, который еще меньше
предела Кузанского, чем косвенно была доказана справедливость и фор-
мулы Кузанского. Формула эта представляет собой тоже некоторую
среднюю взвешенную между площадями двух вписанных многоуголь-
ников.
— Не понимаю! — решительно заявил
Лева. — Позволь, дедушка! Ты только что
показывал нам среднюю взвешенную из
площади описанного и вписанного много-
угольников, которая у тебя была такая:
q  2S -Т $
Лк — —3— .
И это я вполне могу себе объяснить: пло-
щади описанного многоугольника прида-
ешь вес вдвое больший, поскольку она
дает лучшее приближение к площади
круга, которую мы хотим найти. Но в этой
новой твоей формуле — для нижнего пре-
дела числа я — одна из двух этих пло-
щадей входит с минусом? Что это за взве-
123
Кузанский, Снеллий и Гюйгенс нашли, что длину вы-
прямляемой дуги АВ можно заключить в гораздо бо-
лее тесные границы, чем дал Архимед.
шивание такое, когда одна
из величин, вместо того
чтобы прибавляться к об-
щей сумме, вычитается?
— Левушка, — сказал
дед,— прими во внимание,
что нам надо при помощи
средней взвешенной полу-
чить площадь круга из
двух многоугольных пло-
щадей, которые обе — и та
и другая — меньше пло-
щади круга. Значит, нам
надо получить такую сред-
нюю, которая больше обе-
их величин, из которых
она выводится. В таком
случае неизбежно одна из
этих величин получает от-
рицательный вес. Про-
верь-ка на примере, по-
пробуй!
— Можно попробовать, — отвечал дедушке Вася. — Пусть у меня
имеются две величины, 20 и 8, а я собираюсь получить из них среднюю,
которая будет 24. Составляю уравнение. Сумму весов, как мы уже гово-
рили, я могу положить равной единице'. Тогда один вес у меня будет
равен а, и, следовательно, другой будет (1—а). Пишу в таком случае:
20 а 4~ 8 (1 — а) = 24,
4
нахожу неизвестное а и получаю у. Значит, вес меньшей величины бу-
дет равен минус у. Вы правы, дедушка Тимоша, действительно полу-
чается отрицательный вес:
20 • 4 - 8  4 = 24.
О	о
— Ну, Левушка, —спросил дед,— что ты на это скажешь?
— Всё! — отвечал тот. — Сдаюсь. Лапки вверх!..
— Далее Гюйгенс, — продолжал Тимофей Иринархович, — изучая
примерно тем же способом соотношения между многоугольниками опи-
1 См. главу XVI, раздел 3.
124
санным и вписанным, доказывает справедливость Снеллиева определе-
ния верхнего предела числа я, который только что нам приводил Ле-
вушка. Получив эти очень хорошие приближения, Гюйгенс, однако, не
остановился на них, но пошел дальше, воспользовавшись еще одной ра-
ботой Архимеда, посвященной изысканиям центров тяжести. Сопоста-
вив определение площади круга с изысканием центра тяжести круго-
вого сегмента, Гюйгенс получил еще более точное определение числа
w. По способу Кузанского — Снеллия Гюйгенс получал границы Архи-
меда, пользуясь 12-угольником, тогда как способ самого Гюйгенса, осно-
ванный на изучении центра тяжести, дает то же самое с применением
треугольника. Вот какой прогресс был достигнут Гюйгенсом!
5
— Все это, конечно, очень интересно, — заметил Ника, — но мне ка-
жется, что надо все-таки выяснить, какая из всех этих работ по квадра-
туре круга важнее. А то как бы не запутаться в них...
— Да, правда! — воскликнул Лева. — Ну вот, например, какая квад-
ратура лучше: Виетова или Снеллиева... то есть Гюйгенсова?
— Видишь ли, — отвечал дедушка, — нет сомнений, что Виетова ра-
бота с принципиальной стороны чрезвычайно важна. Правда, сама фор-
мула очень громоздкая, неудобная для вычисления и, так сказать, труд-
нообозримая.
— Вот уж истинная правда! — сокрушенно согласился Вовка.
Кругом засмеялись, усмехнулся и дедушка Тимоша, добавив:
— Конечно, правда. Что касается Кузанского, Снеллия и Гюйгенса,
то, конечно, труды Кузанского и Снеллия сослужили большую службу
для Гюйгенса, а работа этого замечательного голландского матема-
тика в дальнейшем сравнительно скоро повела к новым достижениям,
еще более важным. Но, чтобы разобраться в этом толком, придется мне
сказать вам еще несколько слов по поводу общего развития матема-
тики. Задача квадратуры круга, или, если смотреть на это шире, задача
определения площадей криволинейных фигур вообще, была самой основ-
ной задачей той новой математики, которая начала бурно развиваться
в Европе после векового застоя со времени Иоганна Кеплера и Галилео
Галилея, великих реформаторов науки. Эти ученые начали то, что было
в основном завершено Ньютоном и Лейбницем, —создание высшей ма-
тематики.
— Позволь-ка, дедушка, — вмешался Лева, — я недавно тут копал-
ся в энциклопедии, мне хочется установить даты. Кеплер жил с 1571 го-
да по 1630, Галилей с 1564 по 1642. Завершители их дела Ньютон и
Лейбниц жили соответственно с 1643 по 1727 и с 1646 по 1716. Так что
125
речь идет о времени с конца XVI века
до первой четверти XVIII века. Так
я говорю, дедушка?
— Да, — согласился дед. — Пока
не будем касаться других очень круп-
ных ученых, трудившихся в это время.
Однако Гюйгенс был как раз одним
из них. В общем, XVII век сумел по-
кончить с великими затруднениями
античной науки. Когда-нибудь мы с
вами все это разберем. А сейчас я
кратко скажу то, что непосредственно
касается нашей темы. Вскоре после
Гюйгенса проблема эта была решена,
хотя общее доказательство, что ре-
Готфрид Вильгельм Лейбниц. шение это окончательное, было по-
лучено гораздо позднее, только в сере-
дине прошлого века. И тогда природа числа w была выяснена пол-
ностью.
— Хотелось бы разобраться, — сказал Ника, — что надо понимать
под этим вашим выражением, дедушка Тимоша, — «проблема решена»?
— Постараюсь, — сказал Тимофей Иринархович, — ответить тебе по-
яснее. Мы уже с вами видели некоторые математические ряды. Та-
ким рядом является и формула Виеты. При ее помощи, правда довольно
хлопотно, но все-таки можно получить число к с любым количеством
знаков, то есть с той точностью, которую ты сам себе закажешь. Таков
же, кстати сказать, ряд, который через степени половины, через двоич-
ные дроби, дает нам некоторое постоянное число — опять-таки с лю-
бы м приближением.
— Дедушка, — закричал Вовка, — значит, я записываю: «с любым
приближением». Записываю. Я даже подчеркну, чтобы нам не
забыть.
— Справедливо! — поддержал его дед.— Это надо подчеркнуть. Так
вот: все важнейшие работы после Гюйгенса показали, что решение за-
дачи квадратуры круга получается именно в виде рядов. Это был
период стремительного развития и преобразования математики. Один
из крупнейших советских математиков, академик Лузин говорил, что
эпоха, начинающаяся со времени открытий Ньютона и Лейбница была
такова, что расцвет ее был похож на чудо. Едва решались верить тому,
что видели1. Гюйгенс был одним из предшественников этого знамена-
1 Подробнее об этом см. в книге «Исаак Ньютон», 1643—1727. Сборник статей
к трехсотлетию со дня рождения. Под редакцией академика С. И. Вавилова. М., АН
СССР, 1943. Статья академика Н. Н. Лузина «Ньютонова теория пределов», стр. 68.
126
тельного периода. Его решения задачи квадратуры круга были первы-
ми серьезными шагами в том направлении, которое позже оказалось
решительным. Метод исчерпания площади, который Гюйгенс применил
к круговому сектору, в руках его младшего современника, Грегори,
в 1670 году, всего через шестнадцать лет после выхода в свет работы
Гюйгенса, позволил Грегори 1 доказать, что если взять дугу окружности
а, угол которой не достигает девяноста градусов, то ее длину можно
выразить через длину касательной t, вроде АВ на чертеже, принимая ра-
диус за единицу при помощи такого ряда:
„	. fl . fl fl .
a — t—-$ + у — 7- + . ••
Через три года ряд этот нашел и другой крупнейший математик того
времени, Лейбниц, опубликовавший через несколько лет это разложе-
ние в сочинении, озаглавленном «Об истинном отношении круга к опи-
санному квадрату, выраженном рациональными числами». Действитель-
но, в отличие от формулы Виеты, в формулу Грегори—Лейбница входят
только степени, которые получить не так трудно. А самое интересное
в том, что знаменатели дробей, из которых состоит ряд, представляют
собой последовательные нечетные числа, взятые поочередно с раз-
ными знаками, причем степени в числителе совпадают с величинами
знаменателей. Следовательно, закон строения коэффициентов
этого ряда прост, и его очень легко формулировать. Если мы возьмем
дугу в сорок пять градусов, то получим следующее выражение:
к -1	1	1	1 < 1	1 >
— Ведь это, дедушка, — спросил Лева, размышляя, — у тебя опи-
санный многоугольник, не так ли?
— Описанный,— ответил Тускарийский пре-
зидент.
— А если я возьму дугу в сорок пять граду-
сов, то у меня получится равнобедренный тре-
угольник, катетами которого будут с одной сто-
роны радиус, с другой — касательная. Так что
касательная эта— или сторона многоугольника—
будет равна радиусу или единице. Но ты опреде-
1 См. Г. Вилейтнер «История математики от Декарта до лп-нп &
середины XIX столетия». м„ Физматгиз, 1960, гл. V, § 1, н
гл. VIII, § 1.
127
ляешь не длину касательной, а длину дуги. Вся окружность при единич-
ном радиусе равна 2 те, и это триста шестьдесят градусов, а сорок пять
градусов, значит, и выходит у. Теперь понял!
— Хорошо, что понял, — сказал дед. — Ну, смотрите на формулу.
Как вы видите, в этом ряду, в правой части, уже никаких намеков на
геометрию не остается, и важное в математике число те таким образом
отрешается от своего геометрического отечества и становится общим
достоянием математики. Выясняется таким образом арифметиче-
ская природа этого числа. Тонкие и глубочайшие методы высшей
математики — а этот ряд был одним из ее первых блестящих завоева-
ний! — позволили построить довольно простое и доступное средство для
определения длины окружности или квадратуры круга. При этом мы по-
лучаем в руки средство для определения числа к с любой точностью,
с любым числом знаков. Ряд этот задолго еще до европейских откры-
тий был найден в Индии. Правда, ряд Грегори — Лейбница на практике
неудобен, он очень медленно ведет к результатам. Математики говорят:
«ряд медленно сходится к величине j». Когда этот ряд попал в руки
Ньютону, ученый заметил, что надо считать без остановки тысячу лет,
чтобы получить с помощью этого ряда двадцать знаков числа я. Этот
ряд, однако, можно преобразовать в формы, гораздо более удобные, ко-
торыми обычно и пользуются. Именно с помощью одного из видоизме-
нений этого ряда и было вычислено число к на современных электронно-
счетных машинах с числом знаков более двух тысяч.
— Хочется узнать, — сказал Вася, — можно ли в результате всего,
о чем мы говорили, сказать, что этот ряд лучше, чем формулы Ку-
занского или Гюйгенса?
— Конечно, можно, — отвечал мальчику Тимофей Иринархович,—
конечно! Ведь способы Кузанского, Снеллия и Гюйгенса не позволяют
получить решение задачи квадратуры круга с любой точностью. Чтобы
все это выяснить как можно проще, я приведу еще один ряд, с помощью
которого тоже можно получить число те с любой точностью. Если ряд
Грегори—Лейбница пользуется описанным многоугольником, то при-
мерно в то же время были получены и другие ряды, которые решают
ту же задачу, исходя из вписанного многоугольника. Не буду касаться
подробно этой стороны дела, в ней участвовали, кроме Грегори, и дру-
гие ученые, а окончательный результат был дан Ньютоном ’. Опираясь
на это решение, можно определить число 2те через периметры Р1п и Рп
двух вписанных многоугольников, причем число сторон одного вдвое
'Исаак Ньютон. Математические работы. М., ОНТИ, 1937. «Анализ с по-
мощью уравнений с бесконечным числом членов», стр. 8, 19. Задача, где требуется по
данной дуге найти полухорду двойной дуги (синус дуги) или половину стороны вписан-
ного многоугольника.
128
больше числа сторон другого. Этот ряд, подобно ряду Грегори — Лейб-
ница, дает истинное значение числа к. Выбираю этот ряд по той
причине, что с ним удобно сравнивать достижения прежних ученых. Вот
каков этот ряд в современном написании:
9__р	, 1 (р р ч , 2	2 (Р2„-Р„Я
2 '• — ^2П + 3 (^2П -	+ Jg ----р-----h gg ---2-----
in	г 2п
Вы и сами можете заметить, что первый член этого ряда...
— ...как будто нижний предел Архимеда? — неуверенно предполо-
жила Веточка.
— Он самый! — отвечал ей предводитель Тускарийский. — А если
взять два первых члена, получим... Ну, кто скажет?
— ...что-то вроде нижнего предела Гюйгенса? — вопросительно про-
молвил Ника.
— Справедливо! — отвечал ему дед, довольный своими слушате-
лями.— Гюйгенс затем добился еще лучшего приближения, вплоть до
трех членов этого ряда. Однако соответствие с этим рядом не вполне
достигается. Впрочем, и этот ряд сходится тоже довольно медленно.
Однако стоит попробовать, взяв хотя бы шестиугольник и треугольник.
— Попробуем! — отвечал Вася.
— Не попробовать ли и ряд Грегори — Лейбница? — предложил
Лева.
— Отчего нет? — возразил дед. — Только имей в виду, что для по-
лучения двух правильных знаков тебе придется взять —ни много, ни
мало — семьдесят членов этого ряда.
— Семьдесят? — переспросил Лева, и брови его поднялись доволь-
но высоко. — Многовато что-то...
— То-то и оно, — отвечал ему дедушка, — то-то и оно. Даже сам
Эйлер, уж на что был вычислитель неутомимый, и то говорил, что вычи-
сления такого рода — «труд невероятный»...
в
— Вот что еще хотелось бы разобрать, — сказала Наташа. — У Архи-
меда есть две границы: верхняя и нижняя. У Снеллия и Гюйгенса тоже
две. А вот в этом длинном ряду как же будет?
9 Архимедово лето	129
— В этом ряду, как и в ряду Грегори — Лейбница, немного по-
иному,—отвечал дедушка. — Тут приближение будет улучшаться с каж-
дым следующим членом: чем больше членов возьмешь, тем лучше
получишь. Примерно так же, как с суммой уменьшающихся двоичных
дробей:
1 + у + |+| + ^ + ^+...
а ведь мы уже с вами видели, что эта сумма что ни дальше, то все
ближе подходит к двойке. Так и тут.
— Насчет вписанных и описанных многоугольников, — заметила
Веточка, — я как будто усвоила. А вот откуда берется эта большая
последняя формула, связанная с именем Ньютона? Это что-то для меня
не очень ясно.
— Откуда «эта» формула берется? — переспросил дедушка, по-
смотрев на девочку. — Как тебе сказать... Уж не знаю... рассказать
это трудновато. Высшая математика обладает довольно тонким спосо-
бом исследования криволинейных площадей и длин кривых, которые
позволяют получать такие прекрасные результаты. На чем они осно-
ваны? На исследовании того, как изменяются кривые линии. И на
том методе исчерпывания, о котором мы уже с вами вспо-
минали.
— Хорошо, — сказал Лева, — допустим, что так. Но ты вот что еще
объясни, дедушка: этот ряд, он уже является окончательным решением
этой задачи о квадратуре круга или нет?
— Разумеется, — отвечал дед.— Однако все-таки исследование было
не совсем еще закончено. Окончательное теоретическое решение по-
лучили только в восьмидесятых годах прошлого века, когда было нако-
нец доказано, что числодействительно трансцендентное, то есть
не может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффи-
циентами. Следовательно, иначе, как вот таким рядом, его не выра-
зишь.
— Та-ак... — произнес Лева, нахмурившись. — Все-таки, пожалуй,
всего удивительнее — это число сторон многоугольника: Архимеду пона-
добилось 96 сторон, Кузанскому— 12, а Гюйгенсу только три.
— Как это получилось-то?—добавил Вася.
— Все дело в способе вычисления, — ответил дед. — Мы уже
с вами разбирали некоторые важные примеры. И мы убедились, что
способ средней пропорциональной сильнее способа четвертой пропорцио-
нальной к трем данным...
— То есть непрерывной геометрической пропорции по сравнению
с простой? — спросила Наташа.
— Именно, — отозвался дед. — А далее мы видели, что способ двой-
ной пропорции, двух средних пропорциональных, примененный Гиппо-
130
кратом ', еще сильнее, чем способ средней пропорциональной. А могу-
чий математический образ ряда увеличивает свою мощь от члена к по-
следующему члену именно в том же направлении. Конечно, Кузанский не
мог этого знать, но тонкое математическое чутье и ряд внимательней-
ших опытов по вычислению подтолкнули его на правильный путь.
А дальше уже пошло вполне сознательное исследование и осозна-
ние не только результатов вычисления, но и самих этих способов.
Ребята немного помолчали, а затем Вася осторожно спросил:
— А верно ли будет, дедушка Тимоша, если я вот так скажу: у Архи-
меда был самый простой способ вычисления, но зато ему и приходилось
брать стороны 96-угольника, то есть очень маленькие отрезочки пря-
мой, потому что ведь у 96-угольника стороны-то невелики!
— Конечно, невелики!—согласился Тимофей Иринархович. — Мень-
ше 0,1 радиуса описанной окружности, точнее 0,08.
Вася приостановился, поглядел на деда, затем продолжал:
— А у Кузанского число сторон уже в восемь раз меньше, значит,
отрезки прямых, которыми он измеряет дугу, гораздо больше. У Гюй-
генса, ясное дело, они еще больше.
— В три с лишним раза больше, — подсказал дедушка. — У Кузан-
ского примерно половина радиуса описанной окружности.
— «В три с лишним»! — повторил Вася. — Так вот я отсюда и вы-
вожу, что развитие нашей науки шло в том направлении, чтобы при по-
мощи все более хитроумных способов брать все большие и большие
отрезки прямых и гнуть их так, чтобы они подходили к дуге все ближе.
— Ах, вот в чем дело! — обрадовалась Наташа. — Конечно, малень-
кий Архимедов отрезочек так тесно прижимается к дуге, что с ним не
так трудно управиться, а у Гюйгенса надо из большого отрезка...
— Который почти в два раза больше радиуса описанной окружности,
вернее в 1,73 раза, — вставил Тимофей Иринархович.
— Ну да! — подтвердила Наташа. — И вот такой большой надо со-
гнуть в дугу! А способ такой превосходный, что мало того, что это
удается, но и выходит-то очень хорошо.
7
— Все-таки жаль их, — вздохнула Веточка, — этих ученых, Ку-
занского и Снеллия, которые так хорошо придумали, а доказать не
сумели!
— Очень хорошо придумали, — согласился дедушка. — Заслуга их
в том, что они доказали, что для получения хорошего приближения не
нужно брать такие огромные многоугольники, как у Гияседдина или
’ См. главу XV, раздел 5.
9*
131
Лудольфа. Есть другой путь, попроще. И они предугадали дальнейшее
развитие этого важного дела. Теперь вы знаете, что математика была
всегда наукой творческой, рвущейся вперед, завоевывающей новое и
новое! Этих далеких от нас ученых не сразу поняли, не сразу оценили.
Но все равно труды их не погибли, а принесли науке и людям великую
помощь. А что они не сумели... так ведь это не они одни виноваты, это
зависело еще от общего состояния науки в те времена. Именно эта
формула Ньютона и была тем, так сказать, путеводным маяком, кото-
рый словно где-то в тумане еле-еле виднелся далеким труженикам
науки — Кузанскому, Снеллию — и который уже гораздо явственнее
видел Гюйгенс. Это и есть та самая желанная цель, к которой они,
сбиваясь немного, путаясь, шли опытным путем...
— Неужели, дедушка, — сказал недоверчиво Лева, — можно сказать
«опытным»? Что-то даже не верится.
— Видишь ли, —отвечал ему дедушка Тимоша, — конечно, это были
довольно тонкие опыты по сравнению с другими, но все-таки опыты.
Вскоре после Гюйгенса дело почти совсем прояснилось. Ну, а в XV веке? ..
Все-таки надо отдать должное замечательной прозорливости Кузанского!
Его находка была самой первой, но зато и довольно грубой; может быть,
именно из-за этого Гюйгенс ее не смог доказать.
— Вот вы, дедушка Тимоша, — сказала, хмурясь, Наташа, — гово-
рили «разложение в ряд». Немножко я догадываюсь, в чем тут дело,
но хотелось бы узнать более определенно...
— Да это вроде раскрытия скобок! — воскликнул Лева. — Напри-
мер, у тебя сумма (а + &) в некоторой степени, хотя бы в третьей, вот
ты ее и р а з л а га е ш ь в ряд, открывая скобки:
а8 + За2Ь + ЗаЬ* + Ь3,
а если вспомнишь наши беседы насчет арифметического тре-
угольника1, то можешь взять степень для разложения и побольше.
Вот тебе и получился ряд.
— Еще и у получали сегодня! — напомнил Вася.
— Ну да! — подтвердил дедушка.— А есть и другие ряды. Не такие,
конечно, но тоже ряды.
— Еще одну вещь я что-то не пойму, — сокрушенно признался
Ника. —Вы ведь говорили, дедушка Тимоша, что способ Кузанского
дает замечательное приближение, дуга определяется с ошибкой в
0,3 процента, а теперь вы говорите, что этот способ был «довольно
грубым»! Как же это так? Такая маленькая ошибка — и вдруг «доволь-
но грубо»? Признаться, я просто в недоумении!
— Да! — поддакнула и Веточка. — Ведь и правда...
1 См. главу XII, раздел 3.
132
— Приближение Кузанского очень хорошее, слов нет, — отвечал
дедушка, — но все-таки это, повторяю, приближение, прикидка. Формула
Кузанского дает не более того, что могут дать всего лишь два пер-
вых члена Ньютонова ряда. Понимаешь, какая разница получается?
Этот ряд дает возможность получать число w с любым приближе-
нием, а поразительная догадка Кузанского — это только первых два
шага — даже немного меньше! — по направлению к такому совершен-
ному орудию, каким является этот ряд. Конечно, 0,3 процента— очень
небольшая ошибка, но, пользуясь рядом Ньютона, ты можешь поставить
после запятой еще целую кучу нулей. И ты становишься полновластным
хозяином того числа, которое ты ищешь. Ты ничем не ограничен.
— Интересно вот еще что,— вставила Веточка, — как хитро полу-
чается с многоугольниками Виеты, которые прижимаются к кругу всё
ближе и ближе. Но помнишь, Наташа, твоя мама нам говорила, что
можно взять даже и не треугольник, а просто отрезок прямой, и опять
число я выходит.
— Был такой разговор, — отвечала Наташа, припоминая. — Только
в чем там было дело?..
— Хм... — произнес дедушка. — Действительно, есть такой удиви-
тельный способ для вычисления числа «, или, вернее, его обратной
величины, то есть числа -i-. Мы начинаем с того, что проводим диа-
метр круга и объявляем, что это у нас будет такой особенный «пра-
вильный многоугольник», — или д в у у го л ьн и к. У него две стороны.
То есть мы считаем длину этого диаметра дважды: сперва слева на-
право, потом справа налево. Если положим, что диаметр круга равен
единице, то радиус равен половине. Апофема такого многоугольника,
которая есть расстояние стороны от центра круга, равна нулю. Теперь
берем эти два числа, то есть нуль и половину, и составляем из них ряд
чисел по такому правилу: каждый член нашего ряда представляет собой
среднюю из двух предыдущих членов, причем попеременно берем
две средние — сперва арифметическую, а затем геометриче-
скую среднюю. И мы получим такой ряд:
и так далее.
Чем дальше, тем члены этого ряда стремятся всё ближе и ближе
к числу -i-. При этом можно заранее указать, сколько надо взять
133
членов такого ряда, чтобы получить с данной точностью число Оно
ведь равняется 0,31831 примерно, потому что этот способ дает нам
число ~ с ошибкой, которая будет меньше чем 1 : 22п-1, где 2п есть
порядковый номер члена нашего ряда. Если, например, возьмем десять
членов такого ряда, то ошибка будет меньше чем
1 :29= 1 :512 = 0,00195,
то есть получим два правильных знака обратной величины числа я.
Если проделать все эти вычисления, то десятый член нашего ряда дей-
ствительно дает 0,3188 — и на два первых знака можно положиться.
— Да-а... — протянул Ника. — Поистине удивительный способ!
— Н-да, — повторил дедушка, посмеиваясь. — Способ действитель-
но любопытный. Но, если хотите, могу сообщить еще один способ для
определения числа я, который, пожалуй, еще более удивителен. Берут-
ся два предмета, которые к площади круга, казалось бы, никакого отно-
шения не имеют. Именно, берем обыкновенную иголку и не менее обык-
новенную шашечницу.
— Шахматную доску? — заинтересовался Вовка. — У нас есть. А игол-
ку мама даст.
— Отлично, — усмехнулся дед, — больше нам с тобой ничего и не
потребуется. Тогда...
— А что же с ними делать? — не выдержал Вовка.
— Сейчас, торопыга, узнаешь! Доску мы положим на стол... Впро-
чем, еще удобнее прямо на пол положить. Затем берем иголку и сверху
бросаем ее на доску. Ясно?
Полное молчание всех тускарят было красно-
речивым ответом на этот дедушкин вопрос.
— Мы будем бросать иголку на доску очень
много раз. Ну, скажем, несколько тысяч раз.
И каждый раз будем записывать, как легла на
доске упавшая иголка.
— «Как легла»? — переспросил в
недоумении Лева.
— Точно так! — подтвердил дедуш-
ка.— Шахматная доска делится у шах-
матистов на восемь горизонтальных
линий, ширина каждой равна стороне
шахматной клетки; шахматисты назы-
вают эти линии по номерам, снизу
вверх по порядку, от первой до вось-
мой. Вертикальные линии эти нас сей-
134
Лева. — Значит, если центп иголки
час не интересуют. Иголка наша
по длине как раз равна стороне
шахматного квадрата, поэтому
она может упасть так, что либо
ляжет вся на одной шахматной
линии, либо ляжет на двух, то
есть пересечет ту или другую из
границ горизонтальной линии. Пе-
ресечет она такую границу или
нет, зависит от двух причин: во-
первых, насколько близко к одной
из двух соседних горизонтальных
границ, между которыми она упа-
ла, пришелся центр иголки; во-
вторых, под каким углом к бли-
жайшей из горизонтальных гра-
ниц легла иголка.
— Это-то ясно... — вымолвил
ляжет почти рядом с какой-нибудь горизонтальной границей, то доста-
точно иголке чуть-чуть отклониться от параллели с горизонталью, и она
уже пересечет горизонталь. А если середина иголки попадет примерно
на равное расстояние между двумя горизонталями, тут она должна
лечь почти перпендикулярно к горизонтали, чтобы получилось пере-
сечение. Двух горизонталей она по своей длине пересечь не может.
— То есть, — сказал Вася, — угол, который иголка образует с гори-
зонталью в первом случае, должен быть около нуля, или сто восемь-
десят градусов, а во втором —около девяноста градусов.
— Ну да, — подтвердила Наташа, — чтобы пересекала.
— Справедливо, — согласился Тимофей Иринархович. — Если все
это рассмотреть подробно, подсчитать все возможности, которые в дан-
ном случае существуют, и сравнить их с благоприятствующими пере-
сечению возможностями —для нас пока еще это трудновато, — то мы
узнаем вероятность того, что игла пересечет горизонталь. Вероятность
эта будет —. Вот каков этот своеобразный способ для определения
числа те. Искомая вероятность примерно равняется 0,6366. Если взять
22
Архимедово приближение -j-, то четвертый знак окажется меньше.
— Все это так, — сказала Наташа, — но при чем здесь число те ?
Дед взглянул на нее и на других ребят, потом сказал:
— Не так уж трудно. Давайте попробуем. Прошу тебя, Веточка,
ответь-ка мне: может быть случай, чтобы площадь круга равнялась
в точности числу те ?
Веточка поглядела на деда с удивлением.
135
— Да мы только что... — начал было Лева.
Но Веточка поспешно перебила его:
— Может, может! При единичном радиусе. Потому что площадь
круга есть тег2. Если r= 1, то площадь будет равна я.
— Точно! — отвечал президент Тускарийский. — Еще один вопрос:
а часть окружности может равняться числу те? А если да, то какая
это будет часть окружности?
— Это... — с запинкой начала Веточка, — если опять так же рассу-
ждать. .. опять при единичном радиусе. .. причем длина окружности
есть 2 те г, и если г= 1, то просто 2те... Выходит, что половина
окружности единичного радиуса есть те. Вот как!
— Эге! — произнес Ника.— Как будто... Нет, подожду лучше.
— Подожди, — помог ему Вовка. — Поспеешь.
— Откуда круг на шахматной доске? — изумился Лева.
— Я понимаю, где ты путаешься, — отвечал дедушка. — Но мы к тому
и ведем. Представь себе, что игла наша упала на доску. Давай-ка мы ее
закрепим в этом положении какой-нибудь проволочной петелькой с ост-
рыми концами, так чтобы она могла вращаться около своей середи-
ны. Но если мы будем вращать иголку, то она должна описать...
— ...единичный круг! —решил Ника.
— Вот он, круг-то! — с облегчением выговорила Веточка.
— Он самый, — отвечал дедушка Тимоша. — И заметьте, если угол,
который нам нужен, изменяется в пределах от нуля до ста восьмидесяти
градусов, то половина окружности, которая соответствует такому углу,
как раз и измеряется числом те.
— Значит, — рассуждал Вася, — это как вероятность выкинуть пя-
терку на игральной кости, у которой шесть сторон, равна -g , так и тут
отношение числа тех случаев, когда иголка оказалась на двух шахмат-
ных линиях, пересекла границу между этими линиями, к общему числу
2
падений иголки равно —. Это я соображаю... Только вот, как эта вели-
чина получается?
— Узнаем в дальнейшем! — успокоил Ника. — При чем тут те, мы
теперь знаем, а вот как добыть его?.. Давайте уж поверим пока на
слово нашему дорогому и достопочтимому президенту Тускарийскому!
Вот что я предлагаю.
— Правильно,— закричал Вовка, —я поддерживаю! Есть поверить
на слово дедушке насчет вероятности иголочки!. .* А нам самим можно
будет попробовать? С иголочкой?
1 Подробное изложение этой задачи см. в книге А. М. Яглома и И. М. Яглома
«Неэлементарные задачи в элементарном изложении». М., Гостехиздат, 1954; задача 100;
а также в курсах теории вероятностей. Например, в книге Г. П. Боева «Теория вероят-
ностей». М„ Гостехиздат, 1950, гл. II, стр. 104. Задача эта была предложена Бюффоном
в 1777 году.
136
— Отчего же, — сказал дедушка, — можно. Только не теперь. Позже,
когда мы получше будем знать про углы и дуги. Надо, однако, заметить,
что, для того чтобы получить сколько-нибудь точное значение числа я,
иголку надо бросать очень много раз. Один такой опыт, когда иголка
была брошена пять тысяч раз, дал для числа я значение 3,159, то есть
уже второй десятичный знак был неправильный. Выходит, что пяти
тысяч раз еще мало.
— «Пять тысяч»... — с кислой миной повторил Вовка. — Да еще так
плохо выходит. Сколько же времени бросать надо?
— Итак, вот каковы три знаменитые задачи древности, которыми мы
так старательно занимались, — заключил Ника-председатель. — В сущ-
ности, это ведь ответ на один вопрос, который однажды задал дедушке
Тимоше наш приятель Левка. Надо его теперь спросить, доволен ли он
ответом.
— А что он спросил? — поинтересовался Вовка.
— Кажется, я так спросил дедушку: «Можно ли считать, что нет
такой задачи, которую нельзя было бы разрешить?» —ответил Лева.—
Но после этих наших бесед о трех знаменитых задачах древности мне
даже как-то странно и вспоминать об этом вопросе.
— А почему же «странно»? — удивилась Наташа. — Мне кажется,
что теперь у тебя есть и ответ на этот вопрос.
— Ну-ка, Наташа, — посмеиваясь, заметил Вася, —скажи нам, как
бы ты ответила!
— Как бы я ответила?.. Пожалуй, я бы так сказала: «Многовеко-
вой опыт науки показывает нам, что постепенно, в течение целых веков,
решаются самые трудные задачи. Но, по-видимому, есть такие особенно
трудные задачи, которые можно только тогда решить, когда вся наука
совсем перестроится, и даже не один раз».
— Значит, по-твоему, — хмурясь, спросил Лева, — получается, что са-
мые трудные задачи заставляют науку переступать, так сказать, с одной
ступени на другую?
— Да... —вымолвила Наташа не сразу.— То есть, по крайней мере,
я так поняла. Греки сперва отбросили простые вычисления с дробями,
а ко времени Архимеда им снова пришлось к ним вернуться, только уж,
как говорится, во всеоружии их геометрической науки.
— Ты, дедушка, — спросил Лева, — одобряешь Наташины рассуж-
дения?
— Думается, — отозвался дедушка, —в общем, можно одобрить.
— А я,— важно произнес Вовка, — не могу все-таки одобрить того,
что я так и не узнал после всех этих длинных разговоров, как же...
то есть чему же равняется это число « . Про Архимедово-то число я
давным-давно знаю, а больше ничего!
И секретарь в полном негодовании сердито развел руками.
— Да! — произнес дедушка. — Даже и не знаю, как твоему горю
137
помочь. Рассуждали, рассуждали, а ты все недоволен нами. Для числа я
есть много хороших приближений. Например, еще два, причем первое
очень давнее: индиец Бхаскара и ал-Хорезми предлагают для я дробь
которая в десятичном написании будет равна 3,1416. Это очень
377
хорошее приближение, даже лучше Птолемеева числа В Индии оно,
конечно, было известно еще до арабов. Много позже академик Гольд-
бах, современник и^друг Эйлера, предлагал для я такое несложное при-
ближение: 3 + 0,1/"2, погрешность коего меньше 0,0002, а запомнить его
нетрудно.
Тут Веточка вдруг вскрикнула: «А-а-а!..» —подняла руку, а когда
посыпались вопросы «отчего» да «почему», она ответила:
— Да ведь мы с Натали...
— Уж и «Натали»! — возмущенно проворчал Лева.
— А как же вы думаете, молодой человек!.. — огрызнулась Веточ-
ка.— Так вот, значит, мы с Натали давно уже слышали — вы, дедушка
Тимоша, нам говорили —про это число Бхаскары, а мы сами приду-
мали способ, как его легко запомнить и не забыть...
— Рассказывай скорей! — крикнул Вовка. — Будет тебе тянуть-то!
«Натали» еще какую-то придумала. Наташа она —Наташа и есть! Вот
и всё.
— А вы, мальчик с пальчик, помолчите! — ответила ему Веточка
которая в таких случаях за словом в карман не лезла. — Записывай-ка
лучше, секретаришка-тускаришка! Значит, вот как надо действовать.
Берешь и пишешь подряд: три в первой степени, три в квадрате, три
в кубе. Получаешь 3927...
— Верно! — заявил секретарь.
— Умножаешь это число на два в кубе, то есть на восемь, а за-
тем делишь на сто в квадрате, то есть на десять тысяч. Или, еще
проще, ставишь запятую после первого знака слева. Получаешь как
раз 3,1416.
— Одобряю вполне, — сказал Вася. — Три, девять, двадцать семь и
помножить на восемь... И всё. Хорошо придумали.
— Мало этого, — очень важно произнесла Наташа, — еще и стишок
придуман запоминательный. Очень хороший стишок!
Три — девять — двадцать семь
Умножьте-ка на восемь...
Вы спросите: «Зачем?»
А мы о том же спросим...
— Ничего, — усмехнулся Ника, — стишок забавный.
— Пишу! — воскликнул секретарь.— Пишу!.. Наташа, объясни
только, почему же на восемь множить надо?
138
— Да ведь обратная величина восьми будет 0,1251 — ответил ему
Вася.
Вовка сразу не сообразил, при чем тут обратная величина, уста-
вился в недоумении на Васю, потом поглядел в сторону и тихо про-
молвил:
— Дошло.., доехало... Верно!
— А вот я... — начал было Ника, но вдруг почему-то смутился,
отвернулся и умолк.
— А ты что? — немедленно заинтересовался этим маленьким про-
исшествием Вовка. — Ну что ж ты замолчал, товарищ председатель?
Товарищ председатель повернулся —и все заметили, что он немного
покраснел, — пожал плечами, обвел всех недоуменным взглядом и снова
произнес:
— Да я, видите ли, собственно... — И тут он опять замолк.
— Ну,— крикнул Лева,-давай-ка выкладывай, чем это ты хотел
нас порадовать! Нечего в молчанку играть!
Ника еще раз оглядел своих друзей, пожал плечами и неохотно за-
говорил:
— Дедушка Тимоша сказал, что Гольдбахову формулу «запомнить
нетрудно». Мне известно еще одно... хм... ну, вроде приближения для
числа v, которое еще легче запомнить, а правильных знаков в нем
целых семь.
— Чего ж ты тянешь? — изумилась Наташа. — Ты сам его, что ли,
придумал?
— Да нет, —отвечал все так же неохотно Ника, —нет, не сам. Это
так... один молодой человек. В прошлом году на даче мы жили. У нас
там соседи были. Их сын, ну уж он сам инженер, молодой. Он молод-
чина, этот инженер-то! Звали его Камов Илья Алексеич. Вот он мне и
сказал. Башковитый парень... Как-то увидел у меня книжку одну и гово-
рит: «Ах, это ты про число я читаешь? Представь себе, я тоже когда-то
увлекался! Не хочешь ли, я тебе кое-что сообщу об этом числе?» — и
прочел мне такой стишок:
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все, как есть:
Три — четырнадцать — пятнадцать —
Девяносто два — и шесть!
— Вот здорово! — закричал во весь голос Вовка. — Сейчас же за-
писываю. А еще не хотел говорить! 3,1415926...
Веточка поглядела на Нику искоса.
— А что, товарищ председатель, — сказала она ледяным тоном, — вы
нам не расскажете уж кстати, когда это вы сочинили?
139
— Честное пионерское... — забормотал Ника, красный как рак.—
Не сойти мне с этого места! Не сочинял я этого! Нет!
— Не-ет? — переспросила Веточка.
Но тут она не выдержала, фыркнула и захлопала в ладоши, а за
ней захохотали и стали хлопать все остальные. Кроме Ники, разумеется,
который только пожимал плечами в полном замешательстве.
8
— Скажу еще напоследок, — выговорил дед, помолчав, — что твор-
чество Архимеда знаменовало собой решительный сдвиг в древней науке
и значительное движение вперед по пути научного прогресса. Недаром
в эту же эпоху Аполлоний Пергейский создает остроумнейшую геометри-
ческую базу для древней астрономии, изложенную в дальнейшем Клав-
дием Птолемеем, — систему, которая дожила до Коперника. Недаром
в те же годы появляется и физически гораздо более основательная
точка зрения на нашу солнечную систему, где в центре находится
Солнце. Эта точка зрения была высказана Аристархом Самосским, на
которого ссылался Архимед в своих бессмертных творениях. Вот откуда
история начинается...
— Этого Аристарха, — сказал Ника, — кажется называли «Коперни-
ком древности»? А ведь он правильно говорил.
— Правильно в общем... — отвечал дедушка. — На него нападали,
ссылаясь на разные предрассудки древности, вроде тех, о которых мы
с вами припоминали, когда говорили о квадратуре Антифона и Бризона
и рассуждениях насчет Аристотелева «неба». У философа Платона
таких рассуждений тоже хоть отбавляй. Но, с другой стороны, справед-
ливость требует еще принять во внимание и то, что систему Аристарха,
по-видимому, невозможно было приспособить к вычислениям, хотя
ее физические основы были неоспоримы.
— Постой, дедушка! — сказал Лева, недовольно морщась. — Ну
хоть намекни, почему это?
— Коротко говоря, вот почему: планеты ходят вокруг Солнца по
орбитам, которые не являются просто кругами. И пока вопрос
о форме планетных орбит не имеет еще решения, нельзя всерьез гово-
рить обо всем остальном, ибо без этого ты не можешь заранее вычис-
лить, где в такое-то время будет находиться данная планета. Но во-
проса о форме орбиты система Аристарха не решала.
— А система Птолемея ставила в центре нашей системы Землю,—
сказал Вася. — Ведь это было неправильно?
— Конечно, неправильно с физической точки зрения, —отвечал
Тимофей Иринархович. — Но вычислять по системе Аполлония — Пто-
140
лемея можно было в те времена превосходно. Сам Птолемей в своем
«Альмагесте» говорил, что принять Солнце за центр нашей системы
было бы гораздо удобнее, но...
— Что же за «но» такое? — удивленно спросил Лева.
— «Но» очень простое, — засмеялся президент Тускарийской акаде-
мии.— Не так-то легко убедить людей в том, что «восход» Солнца и
«заход» представляют собой нечто вроде обмана зрения. Как у Пуш-
кина сказано:
Ведь каждый день над нами Солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей!
Не сразу это можно сделать.
— Очень хорошо! —сказала Веточка. — Только еще один вопрос
у меня. Почему вы, дедушка Тимоша, говорите, что только «в те вре-
мена» можно было вычислять по системе Птолемея? Не все ли равно,
в те времена или в другие?
— Отнюдь не все равно! — отвечал дед. — Система Аполлония —
Птолемея была системой приближенного решения задачи, осно-
ванного на тех наблюдениях, которыми располагали звездочеты древ-
ности. В дальнейшем этого приближения оказалось недостаточно.
И когда прошла тысяча лет со времени установления этой системы, то
пользоваться ею для предсказания небесных явлений — скажем, вроде
затмения Луны — уже оказалось невозможным: получались ошибки и
довольно грубые. В начале нашей эры расхождения эти были очень
невелики, а затем они стали постепенно накапливаться. Были сделаны
попытки улучшить, поправить систему Птолемея. Но всего этого уже
было мало. Вот как было дело, ребятишки!
— А все-таки до конца я не поняла,—произнесла Веточка. — Объ-
ясните еще разочек, дедушка Тимоша! Почему «в дальнейшем» Птоле-
меева приближения «оказалось недостаточно»? Как это понять? Выхо-
дит, что прошло время, и его приближение вроде как состарилось! Ну
как же это так?
— Да, — наставительно ответил ей дедушка Тимоша, — поистине
состарилось! Тебе хочется узнать, почему это произошло? Если тебе
в наше время нужно будет начертить путь некоторой планеты на фоне
так называемых неподвижных звезд, —то есть звезд, не принимающих
участия в движении нашей солнечной системы, — причем именно так,
как это движение видно с нашей Земли, то математически это движе-
ние всего удобнее выразить с помощью некоторого ряда. Припомни
для сравнения ряды, определяющие число я, которые мы только что
видели. Приближение, которое для определения путей планет дал
в древности Птолемей, так относилось к такому современному ряду, как
приближение Гюйгенса для я к ряду Ньютона. То есть тоже давало при-
кидку, совпадающую с одним или двумя членами этого ряда, в точности
141
решающего задачу. Когда приближение Птолемея получали впервые,
его старались сообразовать с данными наблюдений и получали хорошее
совпадение. Но, поскольку это было приближение, все-таки оно давало
известную погрешность. В дальнейшем погрешность стала изменяться,
потому что из истинного ряда были использованы только первых два
или три члена. И вышло так, что ошибка стала уже практически больше
той части, которая была верной.
— Замечательно интересно! — провозгласил Ника. — Мы все вам
ужасно благодарны, дедушка Тимоша. Такие рассказы очень полезны,
потому что на живых примерах показывают, как ученые боролись за
победу на научном фронте и отважно преодолевали такие трудности,
что можно было прийти в отчаяние.
— Признаюсь, — отвечала Наташа, — мне все это казалось до того
трудным, что я ждала, что дедушка Тимоша скажет: «Тут они увидели,
что ничего не выходит, и бросили»! А вышло наоборот. Вот какие на-
стойчивые!
— В том-то и дело, — улыбаясь, отвечал Тимофей Иринархович,—
что в науке бывает так: один разочаруется, бросит, а глядь, кто-нибудь
и поднимет. И опять пошло. С квадратурой круга были престранные
истории. Один ученый-филолог из Лейдена в конце XVI века даже опуб-
ликовал целое сочинение, доказывавшее, что поскольку вписанный
12-угольник больше окружности, то нет смысла удваивать дальше
число сторон многоугольника. Конечно, он просто напутал в вычисле-
ниях. Ряд крупных математиков, в числе которых был и Виета, опро-
верг его домыслы. Но таких «чудес» было немало.
— А что же он предлагал, этот филолог?
— Он предлагал в качестве отношения длины окружности к диа-
метру взять
у/10 = 3,16228,
которое, как вы видите, уже во втором десятичном знаке отличается
в худшую сторону от Архимедова приближения, и это, конечно, шаг
назад даже и от египетского решения ’. Это приближение было известно
еще ученым-математикам Индии и на Среднем Востоке в раннем средне-
вековье. Его приводит Моххамед-бен-Муса ал-Хорезми в сочинении, из
которого Европа впервые познакомилась с алгеброй 2, приводя рядом
и Архимедово число. Филолог Скалигер пытался спорить с критиками
да еще уверял, что то, что правильно геометрически, не всегда пра-
вильно арифметически. Средневековая наука вечно путалась в таких
1 Это основано на том, что = 9,8696, то есть близко к 10.
‘См. главу XII, раздел 3.
142
странных выводах. И Скалигер еще рассуждал по-средневековому.
Впрочем, у него было немало других чудачеств. А по учебнику ал-Хорез-
ми примерно с XII века учился весь мир. В то время, когда появилось
сочинение ал-Хорезми — это IX век нашей эры,— ученые Среднего
Востока считали эту работу элементарной... Но не то было на Западе.
Математик болонской школы Кардан писал об ал-Хорезми, что это один
из «двенадцати величайших гениев», облагодетельствовавших человече-
ство. Он ставил ал-Хорезми рядом с древним Архитом, незаурядным
ученым. Это показывает, каким уважением ко времени возрождения
наук в Европе было окружено имя великого хорезмийца, крупного пред-
ставителя той замечательной культуры, которая расцветала в начале
средних веков на Востоке, на теперешней советской территории, среди
предков наших братьев, членов великой дружной семьи советских на-
родов! Кроме математики, ал-Хорезми оставил важные труды по гео-
графии, которыми занимался крупный наш советский арабист, акаде-
мик Крачковский. Но в эпоху Виеты поздно было на ал-Хорезми ссы-
латься.
— Вот как интересно! — произнес Вася. — Наши, значит, никогда не
зевали!
— А все-таки, — сказала Веточка, — почему же Кардан так высоко
ставил ал-Хорезми?
— Мне кажется, — ответил Ника, — дедушка Тимоша нам уже гово-
рил об этом. Ал-Хорезми дал европейским ученым алгебру, а ведь
Кардан как раз и занимался небезуспешно решением алгебраических
уравнений третьего порядка, то есть кубических. В дополнение к древне-
греческой геометрии европейцы получили от представителя арабской
культуры новый раздел математической науки и сразу оценили его не-
обыкновенное значение.
— Труженики они великие были, эти ученые, — произнес дедушка
тихо и очень серьезно. — Нелегко все это доставалось, нелегко! Это те са-
мые люди, о которых один хороший поэт прошлого столетия сказал:
Те, чья лампа ночная весь мир освещает...
Сидит он за полночь, трудится за своим рабочим столом, а затем
весь мир пользуется его открытиями, с благодарностью поминая его слав-
ное имя.
— А я вспомнил еще одну полезную штучку насчет квадратуры кру-
га, — сказал Лева. — Это — построение польского математика XVII ве-
ка Адама Коханского. Чертим круг с радиусом, равным единице. Про-
водим диаметр АСВ, а к кругу — касательную BE, перпендикулярную
к диаметру. От точки В откладываем хорду BF, равную радиусу. Затем
находим точку G так, чтобы BF = BG = FG. Затем откладываем
143
треугольников ВСН и BDH. Теперь по той
ника АВЕ
DE = ЗВС и проводим
АЕ; в таком случае этот
отрезок АЕ приближенно
равняется половине окруж-
ности, то есть числу
— Откуда это видно?-
спросила Наташа.
— А вот откуда, — от-
вечал ей Лева. — Смотри-
ка хорошенько. Посколь-
ку FB равно радиусу, ясно,
что НВ = 0,5. Отсюда
DH = 1 : 2/"3, тогда как
DB = 1 : /1. Все это по-
лучается по теореме Пифа-
гора из прямоугольных
же теореме из треуголь-
(АВ)2 + (В£)2 = (А£)2 = 22 + ГЗ- 4=1’
f - 2 /З.
Если поделить и извлечь корень, получим
13,33333 - 2 • 1,73205 = 9,86923,
а извлекая корень из последнего числа, имеем
3,14153 = АЕ,
то есть число т. с ошибкой на шесть единиц пятого знака. А для полу-
чения длины окружности построением лучше и придумать трудно!
— Очень красивая вещица! — заметил дедушка. — В сущности, при
помощи циркуля и линейки дается приближенное построение числа я.
И неплохое! Вроде Птолемеева числа.
— Алгебраически, — добавил Лева, — дело сводится к квадратному
уравнению:
х2-6х +3,130396 = 0,
1
причем х получается очень близким к величине ^Fg.
— Как будто это довольно известное построение, — проронил Ника.
— Известное, — согласился дедушка. — А все-таки не следует забы-
144
вать старика Аристотеля, который по этому поводу хорошо сказал:
«Известное известно немногим».
— Вот уж что правда, то правда! — с чувством произнес Вася.—
Как у нас бабушка иной раз скажет: святые слова!
— Похоже на это, — откликнулся дедушка, — похоже... Да-а... Вот,
значит, ребятишки мои дорогие, мы с вами и проследили все наиболее
важные работы на свете по квадратуре круга, начиная с древнего
Египта и до XVII века нашей эры. Путешествие долгое, пожалуй даже
и нелегкое, но зато какое поучительное!
»
Вовка и Веточка занялись какими-то цветочками, отстали и шли
теперь далеко сзади всей компании.
— Одни степени да корни! — неожиданно вымолвил Вовка. —Корни
да корни! А я опять ничего не понимаю.
— Ну как ты не понимаешь! — возразила Веточка мальчику.—
Я приберегла тебе кое-что насчет корней для твоей знаменитой тетрад-
ки, где у тебя хранятся всякие математические чудеса.
— А что? — сразу оживившись, спросил Вовка.
— А вот что. В XI веке нашей эры жил на востоке ученый ал-Кархи.
И вот он придумал такое равенство:
\/8 + \/18 = \/5б .
— Не понимаю! — угрюмо отвечал Вовка.
— Сейчас поймешь. Слушай-ка. Если мы будем возводить в
квадрат...
— ...а и Ь, — подсказал Вовка.
— ... и если просто перемножить самое на себя их сумму, то мы
получим
а3 + 2аЬ 4- ba.
Попробуй проверь. Мы уже говорили об этом *.
— Да это я слышал! — сердито отвечал Вовка. — Записано у меня
где-то. А дальше что?
— Дальше? А дальше я хотела давно у тебя спросить, Вовка: ты не
боишься, что я надуюсь и не стану тебе ничего показывать?
— Как ?— переспросил несколько смутившийся Вовка.
1 См. главу XV, раздел 3.
10 Архимедово лето
145
— А вот так. Ты огрызаешься, а я возьму да и надуюсь.
— Не-ет, что ты! Зачем огрызаться? Я не буду!
— Посмотрим, как ты не будешь. Значит, возведем в квадрат обе
части нашего равенства.
— А разве так можно делать?
— Отчего нельзя? Если равны первые степени чисел, то и их квад-
раты равны. Как ты думаешь? Вот мы по нашей формуле и получим
тогда
8 + 2/П~18 + 18 = 50.
— Значит, если корень возвести в квадрат, то просто он исчезает?
А если перемножить, они под корень, оба множителя, забираются? —
догадался Вовка.
— Конечно! Теперь смотри, что дальше будет:
8 + 2/144 + 18 = 50.
Ты не помнишь, чему равняется /144. Это ведь точный квадрат двена-
дцати. Вот и выходит
8 + 2 • 12 + 18 = 50.
— Верно! — сказал изумленный Вовка. — Я обязательно запишу.
Только вот что, Веточка: если просто извлечь эти корни, это можно?
— Отчего же нельзя. /8 будет 2,828; /18 будет 4,243; ну, а / 50
с точностью до третьего знака как раз и будет равен их сумме. Могу
тебе еще такое равенство предложить. Вот оно:
/12 + /147 = /243-
Эти равенства составлять нетрудно. Хочешь, научу? Надо найти такой
точный квадрат, который делился бы без остатка на четыре, потом
частное разложить на первоначальные множители — ну как ты де-
лаешь, если ищешь наименьшее кратное, когда общий знаменатель
дробей находишь! — и разбить это частное на два множителя, вот и
получишь числа, которые будут твоими слагаемыми. Конечно, только
нехорошо, если они сами точными квадратами будут, потому что тогда
неинтересно. Попробуй и потом объясни, почему мое правило верное?
— Запишу, — сморщив лоб, отвечал Вовка.
— Запиши, —сказала Веточка.— И еще есть. Только потрудней.
Там с кубами:
з__ з з_______
/54 —/2 = /16.
Попробуй повозись. Тоже все верно выходит. А не выйдет, я тебе
помогу. Насчет куба суммы у нас ведь тоже разговор был Здесь,
правда, разность...
В это время шедшие впереди с дедушкой ребята остановились и
стали звать Веточку с Вовкой.
— Эй, вы! — крикнул Лева, —За вами самолет посылать, что ли?
Академики!
— Побежим? — сказала Веточка Вовке.— Догоним их!
— Решили двинуться обратно! — объяснил Ника. — Шагом марш...
— А у нас, — сказала Наташа, — есть задачка на дорогу.
— Давай задачку! — отвечал Лева.
— По городу с площади едет автобус. И в нем довольно много на-
роду. Ну и кондуктор, конечно, есть. Поехали. Приезжают на первую
остановку...
— Около почты? — серьезно спросил Вовка.
— Около, — нимало не затрудняясь, ответила Наташа. —Автобус,
конечно, останавливается, водитель открывает дверцы. И что бы вы
думали? Оттуда выходит половина всех ехавших в автобусе пассажиров
и еще полчеловека.
— Это не Вовка был? — спросил Лева.
— Сам ты... — возмущенно начал Вовка, но он был до того удивлен,
что даже не знал, что ответить брату.
— Постой, Наташа, что это ты говоришь? Как полчеловека? Что же,
он на одной ноге прыгал, этот полчеловека?
— Не обратила внимания! — отвечала Наташа. — Но только дей-
ствительно так и было. Да ты слушай дальше. Потом кондуктор дает
звонок водителю, водитель дает сигнал, и поехали дальше. Приезжают
на вторую остановку.
— Около кино «Аврора»? — снова ввязался Вовка.
Все засмеялись, а Наташа терпеливо ответила:
— Может быть, и там. Опять открывается дверца. И опять выходит
половина всех оставшихся пассажиров и еще полчеловека.
— Не понимаю! — возмутился Вовка. — Да разве полчеловека пу-
стят в кино?
— Тебя ж пускают, — отвечал Лева. — Не перебивай, дай дослу-
шать!
— Затем, — продолжала Наташа, — автобус едет дальше и приез-
жает на конечную станцию...
— Так это, значит, не около кино! — огорченно решил Вовка.
— Про что тебе и твердят!.. — отвечал ему брат. — Ну, дальше,
Наташа!
’ См. главу XIII, раздел 1.
10*
147
— Открывается снова дверь. Выходит снова половина всех остав-
шихся пассажиров и еще полчеловека.
— Опять!.. — прошептал Вовка.
— Да, опять. И, когда эти две половинки вышли, оказалось, что
в автобусе никого больше, кроме кондуктора, нет. Вот и всё. Спраши-
вается: сколько было пассажиров?
— Я считаю, — заявил Вовка, — что эту задачу решить нельзя. Что
это за половинки. Если, например, взять от дяди Вани половинку да
и прибавить ее... Ну, к кому бы ее прибавить?
— К Парфену Иванычу! — предложил, хихикая, Вася.
— Ну, хоть к Парфену Иванычу. Так разве это человек выйдет?
Получится просто неизвестно что!
Конец третьей части

тая
Древние математические приборы
Последняя теорема Ферма
Диагональные числа
Непрерывные дроби
Глава девятнадцатая
Тускарийский матч на первенство мира. — Секретарь попадает в поло-
жение почти безвыходное. — Числа склеиваются, а буквы нет! — Секрет
на весь свет. — Почему у квадрата такая большая площадь? — Древние
математические приборы для удвоения куба. — Месолабий Эрато-
сфена.— Механические инструменты. — Как Архимед научил точку дви-
гаться и к какому заключению пришел по этому поводу Ньютон.—Декарт
отменяет геометрическую алгебру. — Почему линейка и циркуль отказы-
ваются идти дальше квадратного уравнения? — Задача, над которой
бьются целых триста лет. — Комплексные числа. —Пьер Ферма читает
творения Диофанта. — Целочисленный Пифагоров треугольник. — Числа
разной четности. — Произведение двух квадратов. — Формулы пифа-
горовых треугольников.—Веселое кувыркающееся число. — Как один
ученик одолел сердитую кляксу.
1
У серого пенька в тускаревском садике примостились Вася с Никой
и, размышляя весьма старательно, играли не торопясь в шахматы.
У них давно уже был затеян матч «на первенство тускарийского мира».
151
Остальные ребята играли хуже их. Ненамного, но все-таки похуже. Было
уже сыграно несколько партий, и у Ники было лишнее очко.
Подошел посмотреть на них и Лева, но они его тотчас прогнали, по-
тому что он был малый горячий и нетерпеливый: не мог выдержать, гля-
дя, как другие играют, и начинал подсказывать то тому, то другому.
И кончалось это тем, что кто-нибудь обязательно зевнет.
— Иди, иди, погуляй, Лайон! — сказал ему Ника. — А то опять по-
ругаемся, как прошлый раз.
— Лайон! — повторил Вася, игравший черными, потихоньку подтал-
кивая своего слона на поле е2. — Что за Лайон такой?
— По-английски значит «лев», — объяснил Никита. — Это Пушкин
так брата своего называл, он ведь тоже Лева был.
— Ишь ты! — отозвался Вася. — А я и не знал. Ну, ходи, твой ход...
А с тобой, Лайон, еще наиграемся!
Лева пожал плечами и ушел от них. Но на улице около лавочки его
уже поджидал чрезвычайно взъерошенный Вовка.
— Левка, — хмуро выговорил он, а на глазах его вот-вот готовы
были навернуться слезы, — ты, конечно, мне брат... И я... и я...
— Так! — в полном недоумении отозвался Лева. — А дальше что? ..
Ну брось, Вовка! Ну что нюнить?
— Я... — промолвил Вовка, глотая горючие слезы, — забыл. А я ей
обещал... А ты, ты ведь брат!
— Брат, конечно! — отвечал Лева, начиная уже сердиться. — Если
ты не перестанешь нюнить, уйду! Вытри сию минуту свой бессмыслен-
ный нос и говори толком. Что тебе надо? Отвечай прямо или будь здо-
ров! Понял?
— Понял... — проворчал Вовка, яростно утирая нос рукавом — од-
ним, потом другим. — Объясни. Я забыл.
— Что ты забыл?
— Про Пифагора. Вета мне объяснила, а я опять забыл.
— Что про Пифагора?
— Как выходит, что если перпендикуляр и чтобы он пересекся
с окружностью...
— А-а, — спокойно протянул Лева, догадавшись наконец, в чем
дело, — это насчет средней геометрической. Тебе она рассказала, а в тво-
ей голове не держится! Ясно. Ты думаешь, я хорошо знаю? Тоже, брат,
не очень. Ну, давай попробуем. Как-нибудь да вылезем.
Но Вовка готов был претерпеть все насмешки, лишь бы ему напом-
нили забытое. И он геройски промолчал и только про себя повторил:
«Ты сам такой...»
— Ну, — сказал хмуро Лева, — во-первых, если нарисовать внутри
полуокружности угол, так он будет прямой...
— Да, — возмущенно воскликнул Вовка, — я и сам знаю, что пря-
мой. Но почему?
152
с
— «Почему»? .. — повторил Лева. — По-
чему он прямой, ты спрашиваешь? Толком
не помню. Но давай нарисуем круг, а потом
два диаметра, чтобы они перекрещивались
под прямым углом... Пораскинем мозгами.
Вот что: давай рисовать разные углы так,
чтобы их вершина была в точке С. Нари-
суем острый угол, совсем тоненький, как
стрелка, — HCF. Проведем линию FH. Это
называется хордой. Она получается мень-
ше диаметра. Теперь нарисуем тупой угол,
больше прямого, гораздо больше, BCD. Про-
ведем хорду DB. Опять хорда меньше диа-
метра. Теперь, если я буду увеличивать острый угол HCF, то и хорда HF
будет расти. Если я буду уменьшать тупой угол BCD, то и хорда DB
тоже будет расти. До каких же пор обе хорды будут расти? До тех пор,
пока не станут равны диаметру, а когда перейдут через диаметр, начнут
уменьшаться. Тогда острый угол станет тупым, а тупой острым. А на
диаметре они станут одинаковые. Если они будут одинаковые, значит,
они будут не тупые и не острые. Вот и выходит, что на диаметре лежит
прямой угол.
— Совсем она не так показывала, — мрачно ответил Вовка.
— Разве я неверно тебе сказал?
— Нет, — вздохнув, признался Вовка, — кажется, верно...
— Вот и радуйся, что верно. Значит, мы с тобой, худо ли, хорошо
ли, а все-таки своего добились. Если угол на диаметр опирается, значит,
он прямой.
— А если вершина не в точке С, — спросил Вовка, — а где-нибудь,
например, между точками С и В?
— Ну и что? — сказал Лева. — Повернем чертеж, круг-то все равно
такой же останется. Ну ладно, едем дальше. Нарисуем твой чертеж на-
счет средней геометрической или средней пропорциональной... Конечно,
можно было бы и попроще, да разве тебе, пигмею, втолкуешь? .. Соеди-
няем точки А и Е, Е и D. Получается треугольник AED. Какой? Сообра-
жай быстрей!
— Прямоугольный.
— Правильно. По только что доказанному он прямоугольный. Зна-
чит, для него справедлива теорема Пифагора.
— Справедлива... — прошептал Вовка.
— Еще какие тут есть треугольники? Ну, отвечай!
— Еще? .. Вот этот.
— Что за «вот этот»? — строго сказал Лева. — Называй по буквам,
вавилонянин!
— По буквам так: АЕС.
153
— Какой он?
— Тоже прямоугольный. Потому
что... СЕ перпендикуляр. Потом...
CED тоже прямоугольный треуголь-
ник. И тоже из-за этого перпенди-
куляра.
— Так,— согласился Лева,— это
верно. Значит, три прямоугольных
треугольника. АВ — это у нас радиус
круга. О точке В, значит, говорить нечего. Теперь, Каменный Зуб, набе-
рись храбрости и не нюнь. Начинается алгебра. А не хочешь тер-
петь, ничего не поймешь. Будешь терпеть, Тускарини, или нет? Отвечай
прямо, вавилонская душа!
— Буду.
— Тогда слушай. Как бы мне самому-то не сбиться с тобой... Нам
теперь надо проехать через длинное доказательство, которое строится на
теореме Пифагора для всех трех треугольников. Заруби на носу! Значит,
будем писать. Теперь, чтобы нам не мучиться, мы все наши отрезки на-
зовем каждый одной маленькой буквой. Вот как: АС = a; CD = Ь:
СЕ = с; DE — d; АЕ = е. Эти маленькие буквы обозначают такие числа,
какие у тебя получатся, когда ты измеришь все эти отрезки.
— Написал бы просто числа, — сказал Вовка.
— Ничего не выйдет, — отвечал Лева. — Это так в арифметике мож-
но, а здесь нельзя — запутаемся!
— Почему «запутаемся»? — плаксиво и укоризненно вымолвил Вов-
ка. — Так всё на числах хорошо получается!
— «Почему»! — мрачно повторил Лева. — А нельзя без «почему»?
Начнем числа складывать, они друг с дружкой «склеятся», и тогда нипо-
чем не разберешь, где у тебя что было и что из чего получилось. Вот
почему! Как же доказывать, когда ты сам не будешь знать, куда у тебя
что пошло? Догадываешься, тускареныш? Ворочай-ка мозгами, не
ленись.
Вовка молча пожал плечами, но больше спорить не решался.
— Это потом, — продолжал его неумолимый брат, — ты можешь под-
ставить какие-нибудь числа для а и для Ь, а уж остальное само собой
выйдет... Ну, значит, радиус равен у нас полусумме а и Ь. Теперь при-
ступаем. Держи ухо востро, а то опять выскочит. Начнем не с большого
треугольника, а с самого маленького, который у нас направо. Ну, дик-
туй мне, следопытишка, что там по Пифагору получается?
Вовка тяжело вздохнул и начал:
— Один катет Ь, другой — с, гипотенуза будет d.
— Ну вот мы и пишем:
й2 + с* = (Z2.
154
Дальше из левого треугольника получаем:
а.2 4- с3 = е2.
Теперь, набравшись духу, беремся за большой треугольник. Диктуй, ца-
ревна Критская!
— Катеты d и е. Гипотенуза... а гипотенуза... она будет (a-f-d).
— Так! Пишем:
d2 4- е2 = (а 4- Ь)2.
Ты с этим согласен?
Вовка посмотрел, пошептал, вздохнул и — согласился.
— Теперь, — сказал Лева, почесывая в затылке и немного запи-
наясь, — надо нам будет все это наше хозяйство привести в порядок.
Ты видишь, что у тебя в левой части нашего третьего равенства стоит
как раз то, что находится в правых частях первого и второго равенств,
или не видишь?
Вовка долго водил глазами с одного равенства на другое, но наконец
согласился. Действительно, так оно и было.
— Ну, вавилонянин, давай подставлять. Вместо d2 в третье равенство
подставим его значение из первого равенства. Смотри в оба! Вместо е2
подставим его значение из второго. Вот что получится:
(Ь2 4- с2) 4- (а2 4- с2) = (а 4- Ь)2.
Надо вспомнить, чему равен квадрат суммы. Это ты должен знать. По-
этому раскроем скобку в правой части и получим:
&2 4- с2 4- а2 4- с2 = а2 4- 2аЬ 4- Ь2.
Видишь, как я делаю? Понял?
— Понял.
— Не ври, ничего ты не понял! Ты смотри хорошенько. В левой части
переписал все без изменений, видишь? Правую раскрыл по формуле
квадрата суммы. Вот что! Ты смотри, царевна, да не ври, что понял,
когда ничего не понял. А то опять, брат, ни с чем останешься! Так...
Ну теперь почти что и всё. Значит, у нас в каждой части равенства, и
справа и слева, есть сумма (а2-±-Ь2). Она нам совершенно не нужна.
Мы ее вычтем и справа и слева. Это можно сделать, потому что есть
такое правило: если от равного отнять равное, то останется тоже равное.
Верно я говорю или нет? .. Если верно, то вот что останется:
2с2 = 2аЬ.
155
Двойки эти можно тоже вон выкинуть, то есть сократить... Ну, как ты
дробь сокращаешь! Потому что есть такое полезное для нашего брата
правило: если двойные количества равны, значит, и не двойные тоже
равны. Вот тебе и вывод:
с» = ab,
а отсюда уж — сам должен понимать! — и выходит
c = \fab,
Вот и всё! Уф!
— Как длинно! — сказал Вовка. — Ну разве это можно запомнить?
— Да-а... — отвечал брат. — Длинновато! Все запоминать и не надо.
Нужно только запомнить, в чем тут самая соль. А тогда оно уж само
вспомнится. А соль в том, что к трем треугольникам по очереди приме-
няется теорема Пифагора. Вот и всё! А подставить уж нетрудно. Только
бы не сбиться! Это, брат, очень теорема полезная, так и дедушка гово-
рит. Теперь ты можешь сказать Веточке, что ты всё знаешь. Она скажет
«повтори», а ты опять ни в зуб! Итак, следовательно, отойди от меня
ровно на семь шагов. Повернись ко мне лицом. Подними правую руку и
произнеси: «Благодарю вас, досточтимый братец, батюшка и благоде-
тель, за пифагорейское поучение!» Ну, повторяй!
— Не буду! — сказал Вовка в полном негодовании. — Вовсе ты не
благодетель и никакой ты мне не батюшка! Батюшка, это если кто отец.
Пожалуйста, не выдумывай.
— Ах, вот как! — зарычал Лева.— Все расскажу Вете и больше ни-
чего показывать никогда не буду.
Минут пять шло жаркое препирательство. Наконец Вовка согласился
произнести благодарность в сокращенном и менее пышном виде. Обсуж-
дение этой формулы все еще длилось, так как Лева требовал себе все-
возможных почестей, а Вовка доказывал, что тот таких почестей недо-
стоин, когда появились девочки. Лева сделал страшные глаза. Вовка
перетрусил и быстро выпалил все, что требовалось, про «братца, бла-
годетеля» и все прочее. Девочки залились хохотом, услыхав эту ти-
раду.
— Расскажи, в чем дело, Лева! — потребовала Наташа.
— Не знаю, — отвечал Лева. — По-моему, Каменный Зуб рехнулся.
Я не знаю, почему он это говорит.
— Вова, рассказывай!
— Это все он! — отвечал рассерженный Вовка, показывая брату ку-
лак. — Он! Он! Меня даже здесь и не было, я только что пришел.
— Вот враль! — изумился Лева.
Но, так как он все-таки должен был хранить страшную пифагорей-
скую тайну, девочки и от него ничего не добились.
156
Вовка бросился к Наташе, как тигренок, и быстро начал стирать ногой
с дорожки остатки чертежа.
— Напрасно вы хитрите, — сказала Наташа: — все равно всем из-
вестно, что девочки гораздо хитрее мальчиков. Вы нас не проведете,
имейте в виду!
— Да... — промолвила Веточка, поглядывая в сторону и делая вид,
что она чем-то ужасно огорчена. — Вот уж я не думала, что у Вовы за-
ведутся от меня какие-то невероятные секреты... Как это несправедливо
с твоей стороны, Вова!
— Как же это так? — сказала Наташа, глядя внимательно на совер-
шенно смешавшегося Вовку.
— Держись, Каменный Зуб! — посоветовал Лева. — Не верь ни од-
ному слову, все вранье!
— Чему учит маленького брата! — сказала возмущенно Веточка. —
Не верить таким хорошим девочкам, как мы!
— Не торопись, Вета, — спокойно произнесла Наташа, присев на
землю. — Ты знаешь, я что-то нашла.
Вовка бросился к Наташе, как тигренок, и быстро начал стирать но-
гой с дорожки остатки чертежа.
— Ах, вот в чем дело! — отвечала ей Веточка. — Теперь мы догада-
лись. Все ясно! Это Левка не мог вспомнить теорему Пифагора, и Во-
вочка был так добр, что объяснил ему. Так, так!
— Ладно! — буркнул Лева. — Видали мы вас!
Тут около них неожиданно выросли Вася и Ника и, в свою очередь,
потребовали объяснений.
Леве и Вовке пришлось пережить несколько неловких минут, пока де-
вочки выдумывали про них невесть что, но мальчики все-таки выдер-
жали и ни в чем не признались.
— Молчите, умники? — сказал Ника братьям. — Видно, вы что-
то набедокурили. Ну, уж так и быть, я вас прощаю. Вперед будете
умнее.
Пришел дедушка. Он выслушал все, что ему рассказали, покачал го-
ловой, сказал:
— Хитрость — не глупость... — и спокойно вытащил свою вековеч-
ную трубку.
Кот Теренций любезно прошелся около его ноги, но, так как малень-
кая порошинка табака из дедушкиного кисета попала ему на самые
усы, кот фыркнул, отскочил и сделал вид, что он незнаком ни с кем изо
всей этой неучтивой компании. Тут он два раза чихнул, девочки на-
чали смеяться, кот совсем обиделся и с негодующим «М-мя-а-ау!..»
исчез.
— Ты, дедушка, — сказал Вовка, — совершенно не считаешься с ин-
тересами кота Терехи!
— Обойдется, — коротко отвечал дед.
Вовка был совершенно не согласен с дедом, но ему только что при-
шлось пережить такое испытание, что спорить он был не в силах.
158
2
Вся тускарийская компания была уже в сборе. Ника-председатель
огляделся и сказал:
— Как быть, дедушка Тимоша? Мы хотели вас попросить еще кое-
что нам разъяснить, а то у всех очень много вопросов набралось. Не ка-
кая-нибудь новая тема, а из того, о чем уже говорили, есть такие
пункты, что требуется ваша помощь. Давайте в садике поговорим.
— Ну что ж, — ответил дедушка, — поговорим.
— Решено!—отрезал Ника.— Всё! Усаживаемся, будем беседо-
вать. .. Вася, давай свой вопрос!
— Мой первый вопрос, — начал Вася, — относится даже и не к на-
шему последнему разговору. Просто мне это вспомнилось, когда Веточ-
ка недавно начала показывать, как находить среднюю пропорциональ-
ную. Вот что я хотел спросить. Это как будто к прошлой нашей беседе
относится. Нет ли какого-нибудь не очень трудного доказательства на-
счет того, что из всех прямоугольников с данным периметром у квадрата
самая большая площадь? 1
— Да этот же самый чертеж, — ответил дед, — который чертила
Веточка, является отличным доказательством твоего положения, Вася.
Давай-ка начертим полуокружность. Центр ее в точке С. Возьмем ка-
кую-нибудь точку на диаметре AD. Пусть это будет точка В. Восстано-
вим перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке Е и соединим
точки Е и С. Это будет радиус окружности. Теперь, согласно тому, что
нам говорила Веточка, квадрат отрезка ЕВ равен произведению АВ на
BD, причем неважно, где именно поставим мы точку В. Далее: ясно,
что отрезок ЕС больше отрезка ЕВ, а сверх того, никакой перпендикуляр
к диаметру до пересечения с окружностью не может быть больше ЕС,
ибо это радиус. Не так ли?
— Понятно, — отвечал Ника.
— А если это так, то очевидно, что максимальный перпендикуляр
к диаметру можно восстановить именно в точке С, то есть посереди-
н е диаметра. В таком случае и квадрат его, или квадрат, построенный
на диаметре, будет наибольшим, а тем самым и произведение отрезков
АВ на ВС гоже именно в этом случае
будет наибольшим. Не забудьте, что,
говоря это, я подразумеваю не ту точку,
которую мы на чертеже называли бук-
вой В, а любую точку на прямой AD.
Итак, мы доказали, что для получения
максимального произведения из двух
частей какой-либо величины — отрезка
1 См. главу XIV, раздел 5.
159
данной длины или числа — надо эту величину раз-
делить пополам. Мне кажется, что это довольно
простое рассуждение. Тем самым мы и решили
поставленную Васей задачу. В этом доказатель-
стве еще хорошо и то, что, когда смотришь на чер-
теж, ясно видишь, что искомая наибольшая ве-
личина, или максимум, существует на самом
деле. Тут все ясно. Бывают задачи, где не так-то легко доискаться,
существует такой максимум или нет.
— По-моему, хорошее доказательство! — решил Лева.— Но все-таки
это похоже на квадратное уравнение.
— Разумеется, похоже, — отвечал Тимофей Иринархович. — Надо
сказать, что, исходя из этого положения, греки и строили решение ква-
дратного уравнения. Не забудьте, что греки никакого общего пра-
вила для квадратного уравнения не имели. Решались частные случаи.
— Однако квадратное уравнение иногда решить нельзя, то есть не
получается, — заметил Ника.
— Видишь ли, — отвечал дедушка, — пока я еще могу ответить на
твое замечание только так: при решении квадратного уравнения возни-
кают случаи, когда нельзя подобрать никаких обыкновенных чисел для
его решения, другими словами — приходится для этого подбирать осо-
бые числа. Давайте только отложим пока этот вопрос. Мы еще к нему
вернемся.
— Я хотел бы только знать, — сказал Лева, — что ты понимаешь под
«обыкновенными числами»?
— С помощью этих чисел, например, ты можешь пересчитать горо-
шины, которые держишь в руке.
— А разве есть какие-нибудь другие числа? — робко спросил Вовка.
— А на градуснике? — спросила его, в свою очередь, Веточка. —
Когда он девятнадцать градусов мороза показывает на улице, это разве
обыкновенное число?
Вовка поглядел на девочку с некоторым недоумением.
— Оно с минусом, отрицательное, — снисходительно объяснил бра-
тишке Лева.
— Та-ак... — протянул Ника. — Ну, еще какие у кого вопросы к пре-
зиденту нашей академии имеются?
— У меня вопрос, — сказал Вовка. — Я не понимаю, что тут возить-
ся, когда надо удвоить квадрат. Пририсовал рядом другой — вот и
удвоил.
— Это верно, конечно, Вова, — отвечал ему Ника, — но тогда ты по-
лучишь фигуру, которая уже не будет квадратом. А задача требует по-
строить другой квадрат, который был бы в два раза больше первого по
площади. Понял?
— Ах да! — спохватился Вовка. — Верно...
160
— Римский ученый Витрувий, о котором мы уже вспоминали —
сказал дедушка, — в своем сочинении об архитектуре касается вопроса
об удвоении квадрата и куба. Это сочинение очень любили во времена
Возрождения: его переводили, составляли к нему примечания, изучали...
— У меня еще вопрос, — сказал Вася. — Почему у греков задача
удвоения куба решалась при помощи этих пропорций...
— Дело в том, — сказал дед Васе, — что другого способа тогда не
знали. И вплоть до XVII века нашей эры этот неудобный, громоздкий
способ все еще был в ходу. Самые показатели степени довольно поздно
вошли в употребление. Это начал только Декарт, но и сам-то он не
всегда так делал. Теперь обратимся к древним решениям задачи удвое-
ния куба. Их было довольно много. Некоторые в высшей степени
остроумные. Начну с того, которое приписывается без особенных осно-
ваний философу Платону. Оно как будто самое простое. Оно основано
на том самом свойстве средней пропорциональной, которое мы недавно
обсуждали. Как я уже говорил, в древности это Гиппократово сведение
задачи об удвоении куба к двойной пропорции считали чрезвычайно
ценным открытием, так как принципиальная сторона проблемы —теоре-
тическая — была раскрыта. По этому пути и шли все, кто решал эту
задачу уже практически. Сделаем чертеж. Возьмем вертикальную ли-
нию и пересечем ее горизонтальной. Отложим на горизонтальной на-
шей оси вправо от пересечения осей величину а, а на вертикальной оси
вниз от пересечения — величину Ь, между которыми мы должны найти
две пропорциональные по Гиппократу:
а :х = х :у = у :Ь.
Когда все у нас будет готово, мы можем положить, например, что
Ь = 2а, или потребовать какого-нибудь иного соотношения между а и Ь,
а сейчас попробуем решить задачу вообще. Начертим отрезки а и b под
прямым углом. Соединим затем концы отрезков а и
b прямой AD и получим прямоугольный треуголь-
ник. Теперь нам надо найти такую ломаную пря-
мую. изломанную дважды под прямым углом, чтобы
ее концы совпали с точками А и D. Пусть это будет
ломаная ABCD, как показано у нас на чертеже. —
Если это удастся сделать, тогда отрезок СЕ пре-
вращается в игрек нашей пропорции, а отрезок BE
станет иксом. Припоминая построение, которое нам
показывала Веточка, можно сообразить, что... —
И дедушка замолчал, дожидаясь, не закончит ли
кто-нибудь за него речь.
Прошла минута молчания, и Ника сказал:
1	См. главу XV, раздел 5, и главу XVI, раздел 7.
11	Архимедово лето	161
—- ... сообразить, что икс есть средняя геометрическая между игре-
ком и отрезком а, тогда как игрек — средняя геометрическая между
иксом и отрезком Ь. Точно! Только у одного прямоугольного треуголь-
ника, АВС, гипотенуза лежит горизонтально, а у другого — BCD — вер-
тикально.
— Очень хорошо! Есть возражения?
3
Никто не возражал. И дедушка стал объяснять далее:
— Вопрос теперь сводится к тому, как построить эту ломаную. Если
взять два обыкновенных чертежных треугольника и сложить их больши-
ми катетами, то, двигая их один относительно другого, можно найти эту
ломаную. Надо только следить, чтобы малые катеты угольников не съез-
жали с линейки. Для этого был изобретен прибор, необычайно просто
устроенный и очень удобный. Это обыкновенный плотничий науголь-
ник, по одной стороне которого скользит еще одна планочка, которую и
надо передвигать. «Платоновым» этот прибор называется, кажется, по
недоразумению. Судя по некоторым литературным домыслам, Платон,
ознакомившись с этим прибором, вскользь заметил, что для обучения
геометрии в нем нет ничего особо полезного и что он скорее делает честь
искусному мастеру-белодеревщику, который его так хорошо изготовил.
Из-за этой простенькой фразы этот несложный прибор и получил назва-
I	ние Платонова. Передвигая планочку,
;	можно найти ломаную, а коль скоро ломаная
найдена, так или иначе определены икс и
игрек. Как мы уже с вами говорили,
3 _
x — \jb ;
если мы теперь положим, что а = 1, а Ь = 2,
то
з
Этот прибор приписывается
Платону, потому что философ
как-то заметил, что решение
задачи будет скорее зависеть
от той точности, с которой из-
готовит прибор столяр, чем от
рассуждений геометра.
Отсюда ясно, что Гиппократово решение
было тем ценно, что задача на объемы ре-
шалась им при помощи плоских фигур.
— Хорошее решение, — сказала Ната-
ша. — И такое простое!
— Другое решение было основано, в об-
щем, на той же самой идее. Дело в том, что
парабола — кривая, о которой мы уж с вами
говорили, — представляет собой геоме-
трическое место точек, которые суть
162
средние пропорциональные между не-
которым постоянным, заданным отрез-
ком и рядом любых других отрезков,
откладываемых на той же самой пря-
мой. Смотрите на чертеж. Я провожу
горизонтальную прямую, которая бу-
дет осью симметрии моей параболы.
На ней я откладываю некоторую вели-
чину а = АВ. Затем, двигаясь вправо
от точки В, я откладываю ряд других
отрезков; пусть они будут ВС, CD, DE
и так далее. Затем строю среднюю про-
порциональную между АВ и ВС, за-
тем между АВ и BD, затем между АВ
и BE и так далее. АВ все время один и
тот же, а другой отрезок постоянно
растет. Если я соединю плавной кри-
вой вершины перпендикуляров, изобра-
Прибор Платона можно заменить линей-
кой и двумя угольниками.
жающих средние пропорциональные, то эта кривая и будет как раз
параболой. Так греки ее и определяли. Теперь возьмем две параболы
так, чтобы оси их пересекались под прямым углом, и построим их совер-
шенно тем же способом, как мы только что строили одну параболу. Но
одной из парабол мы зададим постоянную величину АВ, равную а,
а другой мы зададим постоянную величину вдвое большую, то есть от-
резок, соответствующий АВ, у второй параболы будет равен 2а, ибо
этого-то как раз и требует задача удвоения. Мы таким образом получим
чертеж, который и даст нам искомые икс и игрек. Действительно,
а : х = х : у = у : 2а.
Это чрезвычайно остроумное построение принадлежит Менехму, ученику
замечательного математика Евдокса. Решение это интересно тем, что
в нем кубическое уравнение ре-
шается при помощи двух ква-
дратных, потому что парабола,
как геометрическое место неко-
торых средних пропорциональ-
ных, связана с квадратами ве-
личин.
— А действительно ведь по-
хоже на первое решение! —
заметил Лева.
— Знаменитый ученый Эра-
тосфен Александрийский стоя-
11*
вший во главе знаменитой Алексан-
дрийской библиотеки, прославился
своим необыкновенно точным по то-
му времени измерением длины зем-
ного меридиана, а также одним сво-
им изобретением по части простых
чисел, которое называется Эрато-
сфеново решето...
— Дедушка, — взмолился Вов-
ка,— что за решето такое? Расска-
жи, пожалуйста, про решето! Я сей-
час же запишу.
— Постой,— откликнулся дед,—
не всё сразу. Мы сейчас говорим об
удвоении куба. А про решето в свое
время услышишь.
— Дедушка, — не унимался Вовка, —я запишу, что ты сегодня сам
обещал рассказать про решето. Так и знай, у меня все будет записано!
— Согласен... — кротко ответил Тимофей Иринархович. — Так вот,
этот ученый соорудил для получения двух средних пропорциональных
особый прибор, довольно простой и в некоторых отношениях более удоб-
ный, чем другие, который он назвал месолабий. По-русски это зна-
чит — прибор для получения средних. Сохранилось письмо Эратосфена
к царю Птолемею, где описывается этот прибор. Сам автор ценил его
очень высоко и даже пожертвовал в храм, где он и хранился наряду
с другими диковинками. В дальнейшем, правда, выяснилось, что письмо
это поддельное, но тем не менее в нем имеется немало полезных истори-
ческих сведений. Устроен этот прибор так. В жесткой прямоугольной ра-
мочке слева укреплена неподвижная дощечка ABGF, под ней вставлены
такой же величины две дощечки, одна под другой, так, что они могут вы-
двигаться из-под первой дощечки, а третья может выдвигаться и из-под
второй — средней. В точке А укреплена на шарнире длинная линейка
AL, а в правых нижних вершинах всех трех дощечек — G, Н и К— укреп-
лены небольшие линейки GA, HP
и КО. На краях дощечек на-
носятся деления. Когда нам надо
найти две средние пропорцио-
нальные между двумя величина-
ми AFhKN, мы ставим большую
линейку AZ и вторую выдвиж-
ную дощечку с краем /УК так,
чтобы большая линейка совпала
с точкой N на второй выдвижной
дощечке. Закрепив большую ли-
164
нейку и вторую подвижную дощечку, устанавливаем первую подвиж-
ную дощечку так, чтобы все три малые линейки — A G, PH и ОК —
стали параллельно друг другу. Когда это будет достигнуто, отрезки
AF, PG, ОН и NK будут находиться в таком соотношении:
АР PG _ ОН
PG ~ ОН~~ NK'
Доказать, что это так, я уже предоставляю вам, мои дорогие академики!
Здесь столько подобных треугольников вам Эратосфен наставил...
— ...что как-нибудь управимся!—закончил за дедушку Ника.—
Из сказанного, сколько я соображаю, ясно, что отрезок AF есть та ве-
личина, которую мы называли все время а, а отрезок NK есть вели-
чина Ь.
— Но ведь можно и еще дощечку вставить? — спросила Наташа.
— Можно, — отвечал дедушка, — тогда получим корень четвертой
степени. И так далее.
— Сколько все-таки древние греки придумали разных способов для
решения этой задачи удвоения куба! Просто удивительно! — сказала
Веточка деду.
Дедушка кивнул ей в знак согласия и продолжал:
— Вот поэтому и можно сделать вывод, что эта задача очень интере-
совала научный мир. Для той же самой цели были построены и другие
приборы, которые основаны на особых свойствах новых математических
кривых, специально придуманных для этой цели. Во II веке до нашей
эры математик Никомед построил кривую, которая называется конхо-
ида. Ее нетрудно построить, легко показать, но пока мы еще этого ка-
саться не будем. В дальнейшем разберем все как следует. Сейчас еще не-
множко рано. Это был механический прибор, и не совсем такой, как
многие другие.
— А как надо понимать, — спросил Лева, — что он «не совсем
такой»?
— Про конхоиду можно коротко сказать, — отвечал дедушка, — что
она гораздо хитрее и окружности и параболы ’. И хотя построить ее со-
всем нетрудно, но понять все ее свойства не так уж легко. Геометрия
циркуля и линейки представляла собой у древних греков вполне разра-
ботанную систему, то есть нашу элементарную геометрию. Когда дело
касалось построения подобного треугольника, раскрытия иррациональ-
ного выражения с квадратными корнями или даже более сложного во-
1 Кто хочет познакомиться с конхоидой подробнее, пусть раскроет книгу Г. Штейн-
гауза «Математический калейдоскоп» на стр. 68 и разберет задачу 60. Кроме того, мож-
но обратиться к книге Г. Цейтена «История математики в древности и в средние века»
(М., Гостехиздат, 1932, стр. 66), где рассказано о связи конхоиды с невсисом.
165
проса, античная геометрия могла со всем этим легко справиться. Когда
же нужно было построить какой-нибудь прибор или такую математиче-
скую линию, которая выходила за пределы возможности элементарной
геометрии, то эта наука вынуждена была молчать. Никакого мерила для
решения вопроса, кроме «так выходит», у древних ученых не было.
А опираться только на то, что «так выходит», наука не может: она
должна выяснить все основания и знать, почему «так выходит». По-
нятно это вам?
— Но, если что-то всегда «так выходит», это что-нибудь да зна-
чит! — заметил Лева.
— И не наобум ведь они строили все эти кривые и приборы! — доба-
вил Вася.
— Конечно, не наобум, — отвечал дед. — В основании каждого та-
кого прибора был положен здравый принцип, а иной раз — очень тонкая
догадка. И, конечно, Вася прав, говоря, что если что-нибудь «выходит»,
так это что-то да значит. Верно. Но вся трудность и заключалась в том,
что невозможно было еще рассудить, что же именно такое решение озна-
чает. Надо было, чтобы древний мир ощутил потребность в развитии
механики, и тогда взгляды постепенно бы переменились. Взгляд на
геометрию как науку только теоретическую должен был отойти в про-
шлое. Вопросы практической необходимости неизбежно стали заслонять
вопросы чисто теоретические. И тогда некоторые случаи особенно очевид-
ных по ясности решений вынудили теоретиков обратить внимание на эти
до тех пор не доказанные решения. В стихотворной эпиграмме Эрато-
сфена 1 подчеркивается, что месолабий — очень полезный прибор для
вычислений, так как при его помощи легко рассчитать, как удвоить
какое-нибудь сооружение, свести к кубу меры сыпучих или жидких
тел, удвоить силы древних военных орудий, метавших стрелы или камни.
Следовательно, внимание обращалось больше на практическую полез-
ность изобретения. А в дальнейшем Архимед во многих своих трудах
механические расчеты применял к решению очень трудных математиче-
ских задач определения площадей и объемов, ограниченных кривыми
линиями. Ведь как раз эти задачи и являлись камнем преткновения для
древнегреческой науки! Но обо всем этом пока еще молчок! Потому
что все это вы узнаете подробно в дальнейшем. Архимед и Эратосфен
были современниками. Архимед был немного старше Эратосфена.
— В таком случае, — задумчиво заметил Ника, — я бы попросил раз-
решения задать один вопрос.
— Слушаю, — отвечал дедушка.
— Что же изменилось к этому времени? Почему механические реше-
ния уже перестали огорчать ученых и они примирились с ними?
— Увеличилась потребность в решениях, и нельзя было уже прида-
1 См. книгу Ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука», гл. VI, стр. 223.
166
вать такое значение теоретической стороне. Кроме того, изменилось и
многое в общих взглядах на вещи. Аристотель, например, был уверен,
что точка не может двигаться, тогда как Архимед уже строил новые кри-
вые, предполагая, что точка двигается и, двигаясь, чертит кривую.
— Все-таки это очень странно, — решительно сказал Лева. — Ну как
можно говорить о том, «может» или «не может» точка двигаться? Точка
не живое существо и не мотоцикл. Как она действительно может дви-
гаться? А, с другой стороны, кто мне может помешать двигать по бума-
ге острие карандаша? Я его могу рассматривать как точку, вот она и
движется! Не пойму, в чем тут дело.
— Основанием для рассуждения Аристотеля, — терпеливо объяснил
дедушка, — были наглядные представления. Точкой для Аристотеля, на-
пример, была вершина параллелепипеда. Науке надо было отрешиться
от этого узкого взгляда на точку, который вполне пригоден в элементар-
ной геометрии, и считать, что точка, двигаясь, образует не ряд точек,
а линию, и, что самое важное, кривую линию. Тогда, с одной стороны, по-
теряло бы смысл отрицание механических решений, а с другой — появи-
лась бы надежда, что и механические способы могут давать такие по-
строения, которые можно рассмотреть и оправдать с теоретической точки
зрения. Ньютон еще в XVII веке прямо говорил, что не только нельзя
противопоставлять механику геометрии, но утверждал в своем труде
«Математические начала натуральной философии» — так в те времена
называли физику! — что и сама «геометрия основывается на механиче-
ской практике», что сама эта наука, будучи «искусством точного измере-
ния», есть в некотором роде как бы часть механики >.
— Вот это уже похоже на дело! — воскликнул Вася с довольной
улыбкой. — Если бы я догадался, как это надо выразить, так я бы тоже
так сказал!
— А в другом своем сочинении, во «Всеобщей арифметике», Ньютон
говорит, что геометрия была изобретена для того, чтобы мы, проводя ли-
нии, могли с удобством избегать утомительных вычислений 2. Он пола-
гал, что в геометрии заложен некий еще неведомый принцип, более мощ-
ный, чем геометрическая алгебра, позволяющий обходиться без слож-
ных вычислений. Перед наукой стояла неотложная задача — обнаружить
этот принцип и разработать его для общей пользы. Многое в деятель-
ности этого замечательного ученого объясняется именно его стремлением
1 Эти указания Ньютона можно найти в его книге «Математические начала нату-
ральной философии». Петроград, 1915, стр. 2. Предисловие автора к первому изданию
книги в 1687 году.
См. еще книжку В. А. Успенского «Некоторые приложения механики к матема-
тике». Серия «Популярные лекции по математике». М., Гостехиздат, 1948, выпуск 27.
’Исаак Ньютон. Всеобщая арифметика. М., АН СССР, 1948, стр. 298. Кто
хочет узнать о Ньютоне побольше, пусть прочтет книгу С. И. Вавилова «Исаак
Ньютон». М, АН СССР, 1945.
167
изучить и понять эти сложные геометрические построения, — недооце-
ненные самими греками. Значение этой важной задачи до Ньютона еще
никто не сумел отгадать и оценить во всем ее объеме; впрочем, до него
еще и средств для этого не существовало.
— Так я как раз это и говорил! — возмущенно воскликнул Вовка.
— Да ведь это ты Ньютон и есть! — немедленно заключил Лева. —
А мы-то и забыли совсем. Вот беда!
— Тсс, малыши! — зашипел на них председатель Ника.
4
— Разумеется, — добавил еще дедушка, — Ньютону помог его бли-
жайший предшественник — Декарт. Ньютон сам говорил, что потому он
так много мог сделать, что сам он «стоял на плечах гигантов». Декарт
осуществил полную реформу математики, которая стала благодаря
этому доступна не только исключительно одаренным людям, как это
было в древности, но всем, кто хотел с ней познакомиться. Но пока об
этом мы подождем говорить. Коротко говоря, геометрическая алгебра
греков после Декарта была заменена нашей алгеброй.
— Ну хорошо, — сказал Лева. — Теперь еще один вопрос: по-
чему с линейкой и циркулем нельзя забраться дальше корня квадрат-
ного?
— Вот почему, — отвечал дед. — Рассуди, что такое линейка? Ведь
это геометрический образ равномерного возрастания, как в арифмети-
ческой прогрессии! Ибо каждое ее деление получается из предыдущего
с помощью прибавления какой-нибудь постоянной величины, ну хотя бы
единицы. Так или нет?
— Пожалуй, — отвечал Лева.
— Что же касается круга, то он представляет собой построение,
тесно связанное с теоремой Пифагора...
— Как это так? — спросила Наташа. — Круг есть геометрическое
место точек, равно отстоящих от данной точки, то есть от центра!
— Правильно, — усмехнулся дед, — спорить нельзя. Даже знаешь
что, Наташа: я готов принять и твою формулировку, но с одним малень-
ким добавлением. Скажу так: «окружность есть геометрическое место
точек, равноотстоящих от данной» — и добавлю: «причем квадрат этого
расстояния равен сумме квадратов проекций радиуса на два перпенди-
кулярных друг к другу диаметра окружности». Как это тебе нравится?
— Что я скажу? — растерянно переспросила Наташа. — Право, не
знаю, дедушка Тимоша, я еще потом одна посмотрю, подумаю...
— ... и кротко сдамся на милость победителя! — со смехом крикнул
ей Лева.
168
— Ладно тебе, Левка!—остановил
его Ника. — А ты сам-то понял как сле-
дует, что дедушка Тимоша сказал?
— То есть, видишь ли, — забормотал
Лева, — я... я...
— Ну, значит, Левушка,— отвечал
ему с укоризной Ника, — и торопиться
некуда. Вот что!
— Так вот, — продолжал дедушка Ти-
моша, — если теперь мы проведем в кру-
ге два диаметра, один поставим горизон-
тально, а другой вертикально и попро-
буем определить какую-нибудь точку
круга — все равно какую — при помощи
этих двух осей, то радиус круга окажется
гипотенузой прямоугольного треугольни-	r=Vx2+yz
ка, а катетами будут отрезки осей от
их пересечения до проекции этой точки на ту и на другую ось. Вот как
это получается на чертеже, смотрите! Следовательно, радиус опреде
лится как
г=\/хг + у2,
где х и у — отрезки, о которых я говорил. Итак, в круге, с точки зре-
ния алгебры, дело идет не далее корня квадратного. Как же можно
построить корень высшей степени, зная только, как строить корень
низшей? Конечно, в круге имеются и более сложные соотношения, напри-
мер, хорд с дугами, но тогда еще с ними были плохо знакомы, не умели
ими пользоваться. Я думаю, пожалуй, на этот раз и довольно. Навер-
ное, у кого-нибудь еще вопросы есть, так что эту тему пока отложим.
И без этого я вам много разных новостей рассказал. Одних математи-
ческих инструментов сколько! Самое, однако, удивительное в том, что
ни один из них не оказал никакого влияния на развитие греческой
науки...
— Итак, — сказал Ника, — хоть и жаль расставаться с этой интерес-
ной темой о трех древних знаменитых задачах, но... куда торопиться!
Она ведь от нас не уйдет. Обсуждение этой темы заканчивается тор-
жественным объявлением «премногой благодарности» дедушке Тимоше,
нашему удивительному Тускарийскому президенту. Ура в честь дедушки
Тимоши!
Ребята повскакали с мест и крикнули «ура», да так звонко, что даже
все воробьи тускаревского садика разом вспорхнули ввысь врассыпную.
Кот Теренций с интересом выглянул из продуха в кирпичном фунда-
менте дачи и засмотрелся на воробьев. И вдруг скорчил недовольную
169
гримасу: он никак не мог понять, почему воробьи от испуга летят на-
верх, а не вниз... Ну, не прямо, конечно, коту в лапы, но вообще куда-
нибудь поближе!
5
Через несколько дней Веточка спросила Вовку:
— Как же, товарищ секретарь, будет у нас доклад или нет? А то,
смотри, мы откажемся.
— Что ты! — испуганно возразил Вовка. — Как это так отказывать-
ся? У меня уже все готово. Сейчас Левка с Никой придут с речки.
И Вася, наш Сизарик, тоже ведь...
— «Сизарик»!—засмеялась Веточка. — Что за Сизарик еще?
— Да ведь деревенские ребята его Сизарем зовут! — отвечал Вов-
ка. — Потому что по фамилии он Сизов, вот и выходит, что он Сизарь.
Вася Сизов был верным членом Любознательной академии, всем нра-
вился его мягкий нрав и осторожные рассуждения.
— «Сизарик»! — повторила, посмеиваясь, Веточка. — Ну, значит, так
и запишем, что он Сизарь Меланхолический.
Вовка засмеялся, сделал Веточке какой-то таинственный знак и ми-
гом исчез. А вскоре собралась и вся наша академическая компания.
— Ну что ж, — сказал Ника, — пора и за дело. Пошли в поле на
опушку.
— А ребята там вчера зайца видели, — сообщил Вася.
И все пошли на опушку: к черемухе, бересклету и молоденьким
елочкам.
— Итак, — произнес Ника, когда все устроились кто как мог, — се-
годня у нас, в дополнение к рассказам дедушки о трудных задачах, до-
клад насчет одной задачи, которую тоже никак решить невозможно...
Твое слово, Наташа!
— Конечно, — начала Наташа, — наша задача не такая знаменитая,
как те задачи древности, о которых рассказывал дедушка Тимоша, но она
все-таки тоже интересная. Наша задача помоложе. Ей всего-навсего
лет... триста, да и тех еще нет. Но зато дедушкины задачи все уже ре-
шены, а наша еще нет. Но сперва придется рассказать о квадратных
уравнениях такого вида:
х2 + рх + Q = 0.
— Очень трудные эти ваши уравнения, — заметил Вовка.
— Не бойся, Вова, — ответила ему Веточка, —мы постараемся рас-
сказать попроще. Тут еще будет про твою любимую теорему Пифаго-
ра. .. Но что же это ты, Вовочка, не хочешь на меня смотреть? Почему
ты отворачиваешься?
170
— Ничего я не отворачиваюсь, — пробормотал Вовка, опуская нос
пониже.
— Ну ладно! — сказала Наташа. — Давайте-ка лучше дальше. Мы
уже недавно говорили про квадратное уравнение, вспоминали, как его
решать *. Вы помните, что в формуле решения есть корень квадратный.
Вот из-за этого-то иногда и получаются затруднения. Потому что из точ-
ного квадрата корень извлечь ничего не стоит, из неточного тоже можно
как-нибудь его выразить, как дедушка Тимоша говорит, «с известным
приближением», но бывают еще и другие случаи. Корень — ведь это сто-
рона квадрата, у которого известна площадь. Но площадь всегда число
положительное. Значит, и квадрат — число положительное. Но мало еще
этого. Если помножить два на два, будет плюс четыре. А умножь минус
два на минус два, тоже выйдет плюс четыре. По алгебраическому пра-
вилу — одинаковые знаки дают при умножении плюс, а разные—минус.
Но иной раз выходит вот что: ведь под корнем в формуле, которая дает
решение квадратного уравнения, стоит разность:
х* = — Р_ р/ р^_ — ,
и легко может случиться так, что вычитаемое окажется больше умень-
шаемого. Тогда получится, что под корнем стоит у нас отрицательное
число. Как из него извлечь корень?
— Нельзя, — решил Вовка.
— Нельзя, — продолжала Наташа, — потому что нет на свете такого
числа, которое, если его умножить на самого себя, давало бы отрица-
тельное число.
— Ну хорошо, — сказал недовольно Вовка, — а зачем у тебя перед
корнем стоит сразу и плюс и минус? Что же надо делать — прибавлять
или вычитать?
— И то и другое, — отвечала девочка, — потому что нельзя сказать
заранее, плюс это будет или минус. Может быть, и то и другое. Вот по-
этому-то у квадратного уравнения и есть два решения. А если, как уже
мы тебе показывали, разложить самое уравнение на два множителя, то
они будут
(х — а) (х — Ь) — х2 — х (а 4- b) 4- ab,
следовательно, вот тебе еще доказательство, что у квадратного уравне-
ния два решения или два корня. Один корень будет
- q,
1 См. главу XV, раздел 6.
171
а другой
b=-
А все-таки может быть случай, когда корень не извлекается. Тогда
вместо обычного решения мы получаем особое число, состоящее из двух
чисел: одно из них простое, которое у нас теперь будет называться дей-
ствительным числом, а другое — это корень из отрицательного
числа — будет называться мнимым, то есть это такое число, которое
можно только вообразить. Если в уравнении есть два таких решения, то
эти числа мы будем называть комплексными или составными.
А как же они получаются, если коэффициенты уравнения обыкновенные
числа? А вот как. Мы уже говорили о том, что в квадратном уравнении
один коэффициент — это сумма корней с обратным знаком, а другой —
их произведение, если коэффициент при х2, конечно, будет единица.
Возьмем два таких корня, сложим или перемножим:
а = 2 + /^-Г; 6 = 2
Если мы их сложим, то получится четыре, а перемножим, получим
пять... Если не веришь, Вова, попробуй!.. А тогда выходит, что это
корни вот такого квадратного уравнения:
х2 —4х + 5 = 0.
Комплексные числа имеют много очень хороших качеств. Скажу только
о том, что если мы умеем разлагать на множители разность квадратов:
а2-63 = (а + 6)(а-6),
то сумму квадратов разложить не удается. Но стоит нам взяться за ком-
плексные числа, как это разложение сейчас же становится очень про-
стым:
а2 62 = (и + \/ — 6) (а — \/ — Ь).
— Ну, — сказал дедушка, — мы еще о них не раз поговорим, об этих
комплексных числах. Хорошие числа!
— Ну вот, — сказала Наташа, усаживаясь на траву, — это было вве-
дение. А теперь Веточка будет дальше рассказывать.
— Мой рассказ, — начала Веточка, — касается одной довольно
странной задачи насчет целых чисел. На вид задача удивительно про-
стая, известна с давних пор. И с тех пор в математике решено множест-
172
во самых разнообразных и самых трудных за-
дач, а вот та задача, о которой я говорю, все Ляш*аФ**.Ф11
еще не решена. И нельзя сказать, чтобы она |
была очень важная или такая интересная, 8
чтобы так уж необходимо было ее решить, — ¥ "	яр
ничего такого нет. Но эта задача такая удиви- |
тельная загадка, что до сих пор разрешить ее, &
в общем, не удается. Говорят, если бы даже I -Лг
ее и удалось решить, то особенно важного зна- I
чения в науке это бы не имело. А все-таки, ко-
нечно, интересно!1 В XVII веке жил во Фран-
ции математик Пьер Ферма, один из самых крупных ученых того вре-
мени. Он сделал очень много полезного для науки и был одним из осно-
вателей той области, которая называется математическим ана-
лизом...
— ... или, еще проще, высшей математикой, — вставил Тимофей Ири-
нархович. — Мы уже говорили об этом 2.
— Да... Ферма интересовался теорией чисел, высшей арифметикой.
И он очень любил греческого математика Диофанта, о котором мы уже
говорили 3. Однажды Ферма читал сочинения Диофанта, которые были
выпущены во Франции в 1621 году новым изданием, и задумался над
одним вопросом. Этот странный вопрос заметили когда-то еще матема-
тики Среднего Востока в раннем средневековье. Задачами, близкими
к той задаче, о которой мы с вами будем говорить, занимались и в древ-
ней Греции, и в древней Индии. По преданию, из древнего Египта в Гре-
цию пришел один довольно важный в строительном деле инструмент, он
называется мерный египетский шнур. Греки называли людей,
которые им пользовались, гарпедонаптами, что значит по-на-
шему — вервиетягатели. Эти вервиетягатели считались в древнем
мире замечательными геометрами. Древнегреческий философ Демокрит,
по преданию, гордился тем, что он в геометрии не менее искусен, чем
эти гарпедонапты. Что это был за инструмент? Просто шнур, связанный
в петлю, или веревка, разделенная узлами на двенадцать равных ча-
стей. Число 12 можно разбить на слагаемые так: 12 = 3 + 4 + 5. Если
вбить в землю колышек, а на расстоянии четырех единиц вбить другой,
то с помощью этого мерного шнура можно легко построить прямой угол,
который бывает очень нужен при постройке, когда надо угол дома на-
метить.
1«... Мы не должны забывать, что великая теорема Ферма, несмотря на весь
интерес, который она к себе вызывала и продолжает вызывать, все же является про-
блемой частного характера, то или иное решение которой само по себе вряд ли могло
бы значительно расширить горизонт научной мысли в ее современном состоянии». —
пишет А. Я- Хинчин в своей книге о теореме Ферма (1927).
2 См. главу XI, раздел 2.
3См. главу XI, раздел 3.
173
— Можно, —заметил дедушка, —даже попытаться примерно уста-
новить по археологическим данным, когда египтяне открыли этот цело-
численный прямоугольный треугольник со сторонами, равными трем,
четырем и пяти. Это случилось в эпоху пирамид, во время четвертой
династии египетских фараонов, которая начала царствовать около
2900 года до нашей эры. Сначала построили огромную пирамиду фара-
она Хеопса, которая имеет сто сорок шесть метров высоты, а если
обойти ее кругом, то пройдешь без малого километр! А затем пирамиду
его преемника — фараона Хефрена. В период между этими двумя ги-
гантскими постройками, сколько мы теперь знаем по исследованиям
советских специалистов, египтяне и нашли этот треугольник.
— Ну вот, — весело сказала Веточка, — а теперь ты, Вовочка, рас-
скажи-ка нам, в чем тут дело, с этим мерным египетским шнуром?
в
— Я не знаю! —сказал Вовка. — Совершенно не знаю!
— Ну не выдумывай! — отвечала Веточка. — Прекрасно знаешь. Вот
тебе веревочка, натяни-ка ее на два колышка... Что получается?
Вскоре выяснилось, что получается превосходный прямоугольный
174
треугольник, в котором, как и полагается по теореме Пифагора, сумма
квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
9 + 16 = 25.
— Это, —сказала докладчица, —пример доказательства теоремы
Пифагора в целых числах...
— Вот хорошее доказательство! — сказал Вовка.
— Доказательство хорошее, — отвечала Веточка, — но вот ты сам
увидишь, какие с ним начинаются потом затруднения. Кроме того, если
даже и не говорить про теорему Пифагора, это пример такого равен-
ства, где сумма двух точных квадратов дает снова
квадрат:
324-42 = 53.
Но тут такой вопрос: из каких же чисел можно составить такой цело-
численный прямоугольный треугольник? Ясно, что не изо всех.
Давайте рассуждать, из каких можно. Начнем с самого простого во-
проса: можно ли из двух равных квадратов получить квадрат? Алге-
браически так выходит:
а2 а2 = Ь2, или 2а2 = Ь2,
а тогда, значит,
Ь = а\]2.
Ясно, что не выходит. Так как нет таких натуральных квадратов, кото-
рые при удвоении дают другой натуральный квадрат, то мы, чтобы нам
зря не возиться, наметим себе такой путь: не будем рассматривать
такие тройки чисел х, у, z, чтобы у любых двух чисел из этой тройки
были общие делители.
— Почему? — спросил Вася.
— Просто потому, что ведь у нас сумма. И если какие-нибудь два
числа из этих трех делятся на какой-то делитель, то, значит, и третье
делится. А зачем нам, например, такие равенства, как
62 4- 82= 102.
его можно ведь сократить на 4 = 22 и получится опять то же самое
равенство, которое мы только что видели:
32 4-42 = 52.
Так... Но если мы теперь посмотрим на это самое равенство повнима-
тельней, то увидим, что в левой части одно число четное, другое нечет-
175
ное. Разберем! Может ли быть так, чтобы оба числа в левой части были
нечетными? Возьмем два нечетных числа, возведем их отдельно каждое
в квадрат и сложим. Что получится? Вот что:
(2т + I)2 + (2га + 1 )2 = 4/га2 + 4т + 1 + 4га2 + 4га + 1 =
= 4(гаг2 + га8) + 4(/га + га) + 2 = 2 [2 (/га2 + га8 + т + га) + 1].
Эта сумма является четным числом. Но если квадрат числа четный, так
и само число, наверное, четное! Так, если эта сумма есть квадрат, и,
кроме того, квадрат четного числа, то должна делиться на четыре, по-
тому что четное число мы так пишем: 2га, а, значит, его квадрат будет
4га2. Вот мы и попробуем разделить на четыре сумму двух нечетных
чисел в квадрате. Получим
4 (nfl 4-ni + т -4- га) + 2	, , , ,,	, . , 2
.5..т—- 4...х.......- = (гаг2 + га2 + т + га) 4-^-
Оказывается, не делится и в остатке получается два. Значит, это наше
четное число не есть квадрат, а отсюда ясно, что в левой части равен-
ства не могут стоять два нечетных числа. А два четных числа и подавно
там стоять не могут, потому что тогда их можно было бы сократить на
два. Поэтому приходится сказать, что так и должно быть, как в первом
нашем примере, — одно слагаемое четное, другое нечетное. Вова, тебе
понятно?
— Понятно, — буркнул Вовка.
— Говорят, — добавил дедушка, — в таких случаях: это числа раз-
ной четности.
— Будем знать! — отвечала докладчица, оглядев внимательно своих
слушателей, —Теперь: какова же самая сумма? Разобрать нетрудно:
одно число у нас нечетное, и квадрат у него тоже нечетный, другое чет-
ное, и квадрат его четный; значит, сумма нечетная. Итак, будем счи-
тать, что в нашей тройке чисел, как в первом случае (3, 4, 5), первое
и последнее — нечетные, среднее число четное. Назовем их х, у и г.
Получается
х2 4- у2 = г2,
а можно и так написать:
у2 = z2 — х2 = (г + х) (г — х),
то есть разность квадратов разбиваем на сумму и разность первых
степеней. Какие же это числа, эта сумма и разность первых степеней?
176
— Как будто четные... — не очень уверенно сказал Лева.— Ведь
эта сумма и разность двух нечетных чисел, ну а, значит, сами-то они
четные.
— Точно! — подтвердил дед.
— Тогда мы так и запишем, — продолжала Веточка, —что они у нас
четные; вот так:
z + х — 2т-, z — x = 2n.
Тогда наши z и х можно определить так:
2 = /п + «; х = т — п.
Заметим теперь, что новые наши числа, тип, общих делителей не
имеют, а, кроме того, легко догадаться, что они тоже разной четности.
Определим у2. Он будет
у2 = (г + х) (г — х) = 4 тп.
Тогда можно отметить, что наши числа тип являются сами квадра-
тами, потому что, если какой-нибудь квадрат мы напишем в виде про-
изведения двух множителей, то они не будут иметь общего делителя
только в том случае, если они сами будут квадраты...
— Непонятно!.. — проворчал Ника.
— Можно привести пример, — ответила Наташа. — Возьмем число
100, это 102. Если написать 100 = 2 • 50, то у сомножителей есть общий
делитель...
— Два... — ввернул Вовка.
— Так! А если написать вот так: 100 = 4 • 25, то общего делителя не
будет, но зато оба сомножителя сами точные квадраты.
— А еще пример? — сказал Вовка.
— Ну, — отвечала Наташа, — возьмем число 3600, это 602. Разложим
его на множители. Получим 3600 = 2 - 2- 2- 2- 3- 3- 5-5. Если мы для
одного множителя отберем все двойки, или все тройки, или все пятерки,
то для другого множителя останутся какие-нибудь другие первоначаль-
ные множители, не так ли? Но другие-то не могут в квадрат входить не
парами! Иначе квадрата не получится! Так я говорю или нет?
— Теперь ясно! — сказал Вася. — Они все входят парами. И, когда
ты какие-нибудь одинаковые множители все отбираешь, у тебя другие
обязательно парами остаются, и из них тоже волей-неволей квадрат
получается! Хорошо. Сообразили наконец. Дошло, как говорится!
12 Архимедово лето	177
А если не все одинаковые выберешь, то у тебя для того и для другого
множителя остаются общие первоначальные множители. Сразу-то не
поймешь!.. Давай, Вета, дальше!
— Постойте, — сказал с неудовольствием Ника, — да как так? Ведь
я могу разложить 3600 надвое и попроще: 36 • 100, вот вам и всё! Оба
квадрата, произведение тоже квадрат, а общие делители имеются.
— Вот правда! —поддержал своего председателя Вовка.
— Не-ет! — ответил ему Тускарийский президент. — Ведь правило
утверждает только то, что если нет общих делителей, так сомножи-
тели обязательно будут квадратами. А ты теперь требуешь, чтобы была
справедлива и обратная теорема, то есть чтобы при разложении
точного квадрата на произведение двух точных квадратов они обяза-
тельно не имели общих делителей. А ты и сам хорошо знаешь, что
обратная теорема вовсе не обязательно справедлива.
— Ах да! — пробурчал Ника. — Виноват...
— Дальше, — сказала Веточка, — мы, значит, можем написать
т = р2-, п = q2\
и теперь получаем окончательные формулы для наших Пифагоровых
треугольников. Впрочем, иногда их называют еще индийскими,
потому что ученые Индии знали их, быть может, еще много раньше
греков. Знали их и в Вавилоне. Формулы вот какие:
х=р2 — q2,
y = 2pq,
z=p2 + q3.
Вот и всё! По этим формулам можно сочинить любое количество таких
целочисленных Пифагоровых треугольников1.
— Записываю! — громко воскликнул Вовка. — Ты бы так сразу и
сказала! А то тянешь, тянешь...
Все дружно засмеялись.
— Терпение надо иметь, молодой человек! — наставительно заметил
Вовке Ника-председатель. — А что, товарищи академики, не устроить ли
нам пока что маленький перерыв?
— А можно, я нашему секретарику-тускарику покажу попроще? —
спросил Вася.
И гак как председатель Никита дружелюбно кивнул ему, Вася про-
должал:
1 Любознательный читатель может познакомиться с книгой польского математика
Вацлава Серпинского «Пифагоровы треугольники». М., Учпедгиз, 1959.
178
— Небось ты, Вова, помнишь, как из нечетных чисел квадраты де-
лаются? Берем квадрат, который сам нечетное число, как 81 или 361 и
так далее, и сейчас же подберем еще два квадрата из такого рас-
чета: пусть наш первый квадрат будет нечетным числом, то есть
(2n + I)2, тогда второй квадрат будет п2, а третий (п + I)2.
— Значит, Вовушка, — начала помогать Веточка, — для 81 это бу-
дут 40 и 41. Их квадраты будут 1600 и 1681. Как раз:
92 402 = 412.
А для 361 это будут 180 и 181, их квадраты будут 32 400 и 32 761. Толь-
ко, знаешь, это не все получатся Пифагоровы числа.
— Ну ничего, что не все! — возразил Вовка. — Да и зачем уж так
жадничать, чтобы обязательно все? А зато как просто!
Вета с Васей переглянулись, но спорить не стали.
7
Тут Наташа положила руку на плечо Вовке и очень серьезно ска-
зала ему:
— У меня, Вовочка, есть один маленький вопрос: приходилось ли
тебе встречаться с веселым кувыркающимся числом?
— Нет,— сказал недовольно Вовка. — Что за кувыркающееся такое?
— Напиши мне какое-нибудь трехзначное число. Только, чтобы
число единиц было меньше числа сотен.
— Ну вот, — сказал Вовка и написал число 543.
— Вычти из него число с теми же цифрами, только в обратном по-
рядке.
— Получай! — ответил мальчик.
543 - 345=198.
— Запиши это число в обратном порядке и прибавь к числу 198.
198 + 891 = 1089.
— Хорошо! — похвалила она его. — Теперь умножь это число на
единицу и отдельно на девять.
Вовка умножил:
1089 • 1 = 1089; 1089  9 = 9801.
— Перекувырнулось! — сказал он совсем уже другим голосом. —
Ишь, какой кульбит!
12*
179
— Теперь умножай на два и на восемь.
Тогда у Вовки получилось
1089 • 2 = 2178; 1089 • 8 = 8712.
— Теперь множь на три и на семь.
Вышло
1089 • 3 = 3267; 1089 • 7 = 7623.
Затем умножили на четыре и на шесть:
Ю89 • 4 = 4356; 1089 • 6 = 6534.
Наконец, умножили на пять:
1089 • 5 = 5445.
— Ишь, как ловко! — сказал заинтересованный секретарь.
— Ну и, наконец, сделаем еще одно умножение, — сказала Ната-
ша. — Вот смотри:
10998900109989 • 5 = 54994500549945.
— Обязательно всегда так будет получаться? — спросил Вовка.
— Нет, не совсем, — отвечала ему девочка. — Если мы начнем
с числа 695, у которого разность между сотнями и единицами равна
единице, то 695—596 = 99. В таком случае мы рассматриваем эту раз-
ницу, как 099, и сложение делаем такое: 099 + 990, и снова приходим
к числу 1089.
— Вот чудно как! — вымолвил Вовка, по-видимому удивленный не
на шутку.— А как же так может быть, чтобы так всегда получалось?
Я не понимаю.
— Как может быть? — повторила Наташа. — Да, в общем, не так уж
хитро. Но в объяснении участвуют твои нелюбимые буквы а и b и числа
9 и 11, причем последнее число разбивается по-разному на целочислен-
ные слагаемые. А после этого множитель 11 появляется еще раз. Вот
как, Вовочка.
— А без букв нельзя? — грустно спросил Вовка.
— Нет, не выйдет.
— Ну ладно, запишу.
180
— Пиши, пиши! — промолвила Веточка, подошедшая к ним, —И вот
от меня на закуску еще одна игрушечка. Ученик списывал с доски
задачу, где встретилось такое число: 2592, но тут он зазевался и смазал
рукавом свою запись. А когда надо было дома делать уроки и он до-
шел до этой задачи, то уже забыл, что писал, и не мог разобрать, что
за число у него написано. Думал, думал и решил, что у него написано
вот что: 25 • 92. И стал решать задачу. На другой день, придя в школу,
он убедился, что решил задачу верно. Как же это могло случиться?
Глава двадцатая
Новая тетрадка имени Паппа Александрийца. —Геометрическое постро-
ение корней квадратных по методу Феодора Киренского. — Как геоме-
трически получаются степени целых чисел. — Таблицы целочисленных
квадратов в древнем Вавилоне. — Как прибавить квадрат. — Предложе-
ния Ники и Левы. — Разность квадратов и простые числа. — Веточка
продолжает свой доклад. — Решение неопределенного уравнения. — Как
Вова делал кубы по папиному рецепту. — Способ бесконечного спуска
у Диофанта и у Ферма. — Задача Кардана с решением, не похожим ни
на одно из обычных решений. — Делимость алгебраических выраже-
ний. — Шестерку разложить на первоначальные множители, оказывает-
ся, можно по-разному. — Геометрическое истолкование комплексных
чисел.— Сложение и умножение.—Единичный вектор, который повора-
чивается. — Умножение и подобные фигуры. — Сумма, которая не раз-
решает переставлять свои слагаемые. — Что придумал Куммер? —
Число двести двадцать пять и Никомаховы кубы. — Число, очень
похожее на колесо.
182
1
Не успел еще Вася войти в калитку тускарийского садика, не успел
еще знаменитый кот Теренций изъявить ему полное свое благоволение
(кот очень хорошо помнил, что иной раз вместе с Васей появляется вкус-
нейшая сметана!), как Вовка, сделав какой-то весьма значительный
жест, с заговорщическим видом поманил Васю за собой. А когда они,
подняв повыше руки, забрались в самую крапиву за сараем, Вовка ска-
зал своему товарищу вполголоса:
— Вася, я должен тебе, как другу, доверить одну тайну...
Вася мотнул головой вполне утвердительно.
— Но, Сизарь, строго секретно, понимаешь?
— Есть строго секретно!
— Только мама одна знает. Ей пришлось сказать, ничего не поде-
лаешь. .. — И Вовка тяжело вздохнул, пожав плечами. — Пришлось!
Я к ней прихожу и говорю: «Мама, купи мне еще одну тетрадку». Она
говорит: «Куда еще? У тебя их много». Я говорю: «Мама, это секрет!
Обещайся, что никому не скажешь, тогда я расскажу». Она говорит:
«Ну уж рассказывай, не скажу». И я должен был ей признаться...
Тут Вовка осторожно огляделся, не подслушивает ли кто его таин-
ственные речи. И затем почти шепотом доверил тайну Васе:
— Ия тогда даже с ней посоветовался. Мы надпись вместе выду-
мали. Вот смотри, какая будет надпись. Тетрадки еще нет — мама еще
не купила, но купит! — а надпись я уже сделал, вот смотри:
УДИВИТЕЛЬНЫЕ РАЗНЫЕ
редкости
Туск, академии
собрал
ВОВА ТУСКАРЕВ
Академия, ученый секретарь
Слово «секретарь», конечно, подчеркнуто. Вот какая будет тетрадка!
— Так! —отвечал Вася. — Хорошо вы с мамой придумали. А все-
таки, секретарь, зачем она тебе, тетрадка-то эта?
— Как «зачем»? — в полнейшем негодовании воскликнул Вовка, по-
раженный Васиной непонятливостью и чуть не забыв о своих тайнах. —
Ну как же ты не понимаешь, Сизарь! Да я там отдельно буду выпи-
сывать всякие чудеса, что ты мне рассказываешь, или Веточка, напри-
мер, или даже Наташа... И больше ничего писать не буду.
— Вон оно что! — сказал важно Вася. — Так это, значит, будет твое
собственное собрание! Вроде как у грека древнего, Паппа Алек-
сандрита!
— Александрит? — повторил с интересом Вовка, снова снижая го-
183
лос. — Почему ты его так назы-
ваешь?
— Он из города Александ-
рии, можно по-ихнему сказать:
Александрит, либо по-нашему,
как в старину писали: Алексан-
дриец, а теперь попросту пишут:
Але кса ндр и йски й.
— Вася! — сказал Вовка со-
всем уже шепотом. — Это я то-
же в эту тетрадку запишу. На
первой странице!
— А знаешь, секретарь,—
сказал Вася, приняв, в свою оче-
редь, таинственный вид. — Хо-
чешь, я тебя научу для твоей те-
традки еше двум замечательным
вещам: во-первых, как строить
корни из двух, из трех и так да-
лее, а во-вторых, как геометриче-
ски возводить в степени?
— И не трудно? — с интере-
сом спросил Вовка.
— Совсем легко!
— Давай! — решил Вовка.
Рисуешь как обыкновенно, пря-
моугольный треугольник, оба катета по единице, а гипотенуза равна v/2?
Теперь около острого угла слева — прямой угол у тебя справа — опять
строишь отрезок в единицу перпендикулярно к гипотенузе, соединяешь
его конец с началом гипотенузы. Значит, снова получаешь прямоуголь-
ный треугольник. Но гипотенуза его будет уже равна /~3. Поступаешь
тем же порядком дальше — и пошло! v/~4, потом v/~5, /б и так дальше,
корень за корнем. Вот я нарисовал чертеж.
— Хорошо! — похвалил Вовка. — И как правда просто!
— Это еще в древности, до Евклида, греческий математик Феодор
Киренский придумал.
— А степени как же?
— А со степенями,—сказал Вася, — вот как получается. Чертишь
две перпендикулярные прямые. На пересечении их стоит буква О. Откла-
дываешь по горизонтали вправо от О единицу и вверх по вертикали от-
кладываешь двойку. Соединяешь гипотенузой АВ. Теперь строишь пер-
пендикуляр к АВ в точке В до пересечения с горизонталью в точке С.
Тогда отрезок ОС будет равен четырем. Смекаешь почему?.. Теперь
строишь еще перпендикуляр CD, и отрезок OD будет равен восьми. Нако-
184
нец, отрезок DE, перпендику-
лярный к CD, дает отрезок
ОЕ, равный шестнадцати.
От точки Е можешь постро-
ить еще перпендикуляр, рав-
ный тридцати двум. Так и
пойдет по степеням двойки.
Но можешь идти по степе-
ням тройки, если отрезок ОВ
будет у тебя равен трем.
— А если взять пять?
— Твое дело! Сколько хо-
чешь бери.
— И все равно выйдет?
— Ну а как же? По теореме Пифагора получается. Будь покоен!..
Когда позавтракали, Вовка мигом собрал всех академиков, и вся ком-
пания двинулась на речку. Увязался с ними даже и кот Тереха, чем
Вовка был в высшей степени польщен. Но, пройдя шагов десять, кот
остановился почесать задней лапой за ухом, огляделся со скучающим
видом и мигом шмыгнул под загородку на чужой участок. Вовка смотрел
на это неодобрительно, но ничего поделать не мог. Кот любил фантази-
ровать по-своему.
После того как на речке наплескались вдоволь, полежали на теплом
песке, пошли потихоньку на ближайшую лесную опушку. А там устрои-
лись под густой черемухой.
— Ну-с, тускарята-следопыты, —произнес дедушка Тимоша, —мы
сегодня дальше будем насчет наших Пифагоровых треугольников рассу-
ждать. Вот что я вам хотел сказать еще. Надо иметь в виду, что тре-
угольник со сторонами 3—4—5, о котором мы с вами говорили, конечно,
имел ограниченное применение в строительном деле. Если его нарисо-
вать, то можно убедиться, что углы его будут примерно девяносто,
пятьдесят три и тридцать семь градусов. Между тем при решении задач
строительного характера могут понадобиться совсем другие углы. Древ-
ние вавилоняне—большие мастера по составлению различных подсоб-
ных таблиц — составили специальную табличку, по данным которой
легко построить целый ряд целочисленных прямоугольных треугольни-
ков, причем один из острых углов у них будет меняться от сорока пяти
градусов до тридцати одного градуса. Ясно, что при помощи такой таб-
лички можно определить стороны различных треугольников, а удвоив
их — и стороны прямоугольников, начиная с квадрата, который разби-
вается диагональю на два равнобедренных треугольника, и кончая та-
ким прямоугольником, у которого ширина составляет примерно g длины,
и острый угол в этом случае будет около тридцати одного градуса.
185
— У египетского шнура это отношение ширины к длине составляет
примерно три четверти, — вставил Ника.
— Всякого рода измерения, — продолжал Тимофей Иринархович,—
которые касались земельных участков и зданий, считались очень важ-
ными в древнем Вавилоне. Среди богатейших коллекций Государствен-
ного Эрмитажа в Ленинграде имеется печать-амулет из древневавилон-
ского царства ’, относящаяся примерно к половине третьего тысячелетия
до нашей эры. На этой печати изображен царь, получающий от бога
Солнца, который был богом света и плодородия, знаки своей власти.
И оказывается, что важнейшими знаками могущества у вавилонского
царя были два предмета: один из них булава, а другой — м е р н ы й
шнур для измерения полей. Возможно, впрочем, что при земледелии
обходились иногда и без теоремы Пифагора, но вот в строительстве-то
она уж была необходима!
— Мне кажется, — заметил Лева,— что называть поэтому эти цело-
численные прямоугольные треугольники Пифагоровыми или индийскими
не очень-то правильно, раз их так хорошо знали еще в древнем Вави-
лоне.
— Разумеется, — отвечал дед, — но ведь не в названии дело...
2
— А теперь я, — сказала Веточка, — предложу Вове две задачки. На
клетчатой бумаге... У тебя тетрадка в клеточку, Вова?
— Ну а как же! — гордо сказал Вовка. — Что ж я, не понимаю, что
ли? Конечно, в клеточку.
— Тогда мы с тобой, Вова, вот как поступим. Нарисуй квадрат так,
чтобы каждая сторона его равнялась 15 клеточкам. Значит, выйдет всего
225 клеточек. То есть 151 2. Нарисуй другой квадрат, у которого сторона
будет 8 клеточек.
— Будет 82, то есть 64, — отвечал Вовка, старательно изображая ква-
драт в тетрадке.
— Верно. Теперь сложи, сколько будет 225 да 64?
— 289... Это ведь тоже квадрат...
— ...квадрат 17. Теперь давай сложим два первых наших квадрата
так, чтобы у нас получился новый квадрат, который будет их суммой.
И не просто стороны сложить, а самые квадраты сложить!
— А как же это сделать? — недоуменно спросил секретарь Тускарий-
ский.
1 См. брошюру «Культура и искусство Вавилонии, Ассирии и соседних стран». Путе-
водитель Государственного Эрмитажа в Ленинграде. М„ Искусство, 1953, стр. 17
и рис. 12.
186
'КН»МММВИ
«ими
»яям
|»Мй»
8г+15г=17г
17
8
— Сейчас расскажу. На стороне квадрата, равной 15 клеткам, на
расстоянии 3,5 клеточек от вершины ставим точку. 15 — 3,5= 11,5; но
11,5 — 3,5 = 8, однако 8 — это как раз и есть сторона нашего...
— ... маленького квадратика! — отозвался Вовка.
— Именно. Теперь ты берешь ножницы...
— Вот они! — сказала Наташа. — Получай!
— Везет Вовке! — произнес завистливо Лева. — Скажи пожалуйста,
они ему и ножницы потихоньку притащили!
— Ну, Вова, — продолжала Веточка, — бери ножницы. Но сперва ты
должен еще наметить, как будешь делить большой квадрат. Соедини пря-
мыми твои точки на углах большого квадрата так, чтобы внутри полу-
чился тоже квадрат, поменьше. А теперь проведи в этом новом квадрате
диагонали. Бери ножницы и разрежь твой большой квадрат по этим
диагоналям. Получим четыре кусочка. Теперь клади маленький квадра-
тик со стороной в восемь клеток, а кругом него аккуратно уложи эти
четыре кусочка. Получается...
— ...новый квадрат! — отвечал Вовка. — А сторона у него равна 17.
Ясно! И он тоже из целых чисел. Жаль только, что когда резали, то
взяли 3,5. Хорошо бы тоже целое число взять!
— А можно это сделать, Вовушка? — спросил дед.
Вовка недоуменно воззрился на деда и молчал.
— В данном случае нельзя, — отвечал за него Ника. — Здесь надо
сделать так, чтобы одно — нечетное — число, это 15, разделить на две
части так, чтобы разность этих двух частей была четным числом — это
187
будет 8. Но 15 — 8 = 7, а 7 пополам без остатка не делится. Уравнение
получается (Л—х)—х=В- значит, х = 0,5 (Л — В).
— Я подумаю... — отвечал Вовка. — Наверное, так, только я что-то
не совсем понял.
— Необязательно эти числа брать, — заметил Вася. — Возьми, ска-
жем, большой квадрат со стороной, равной 32, в квадрате будет 1024.
А другой квадрат со стороной 24, в квадрате этом получится 576. Вместе
будет 1600...
— Квадрат сорока! — догадался Вовка.
— Ну вот! Тогда у тебя, Тускарь, получится полуразность целая:
32 — 24 = 8, половина будет четыре, — объяснил Вася. — А то могу еще
предоставить числа: 90 и 56, квадраты будут 8100 и 3196, сумма будет
11 236, а ведь это квадрат 106. Это знаменитая тройка, настоящая вави-
лонская!
— Откуда ты добыл такую? — поинтересовалась Наташа.
— Здравствуйте! — насмешливо ответил Вася. — Сбегал к царю
Хаммурапи, попросил, а он и мигнул своему визирю: «Выдай, говорит,
этому постреленку одну нашу настоящую вавилонскую троечку!»
— А тот и выдал! — сказал Лева под общий смех. — На глиняной
таблеточке. Разбирай, Вовка!
— Разберет! — отвечала Наташа. — А у нас, Вова, есть еще один
способ. Хочешь?
— Конечно, хочу! — горячо ответил Вовка. — Это ведь гораздо инте-
реснее, чем когда вы начинаете из ваших букв корни вычитать...
— Ну не ворчать! — сказал Ника. — Ты слушай лучше.
— Другой способ, — сказала Наташа, — такой. Возьми начерти
снова квадрат со стороной 15. Теперь маленький квадратик, который ты
прибавляешь к большому, начерти в левом нижнем углу большого —
HBDF. Маленький квадрат будет KEFG. Теперь проведем прямые CF
и AF. Прямоугольники CDFG и AEFH равны между собой. Тогда, зна-
чит, и треугольники CDF, CFG, AEF и AFH тоже равны. Теперь слушай
внимательно! Мы возьмем эти четыре треугольника и прибавим их все
вместе к маленькому квадратику АВСК. Но если мы начнем резать, то
два треугольника мы сумеем отрезать — либо треугольники CFD и CFG,
либо два других —AFH и AEF, но все четыре отрезать не удастся. По-
этому давай вырежем еще один прямоугольник, равный прямоугольнику
AEFH, а квадрат AKGH просто выбросим. Оба наших прямоугольни-
ка— новый и старый — разрежем по диагонали на треугольники. Затем
положим квадрат АВСК и приставим к нему наши четыре треугольника
со всех сторон.
— Опять квадрат! — сказал Вовка. — Опять сторона равна 17. А он
все-таки не совсем такой, в середине стоит другой квадрат.
— Интересно, — заметил Вася. — Ловко выходит.
— А есть и еще задачка, — сказала Наташа. — Будете слушать?
188
I—•-8->" I —7—*4
WS»
iMSM
Г'ЭНВВЯа
мЕававв
ввааввв
2ВВВВВВ
ввввввв
ввввввв
ввввввв
ввввввв
ьВ|
7
La :-
8
W-
-------15
225-49+64 =240;	240 + 49=289:
15*- 72+8*=2.15.8	4 -От + 7*=172
______ £
— Будем, будем!— отвечал Ника.
— Эта задачка обратная по сравнению с предыдущей, — продолжала
Наташа. — Дан квадрат, надо из него вычесть другой квадратик по-
меньше так, чтобы разность оказалась тоже квадратом. Рисуй, Вова,
квадрат со стороной, равной 13. Надо его разбить на два квадрата,
причем сторона одного будет равна 12, а другого... Чему, Вова, будет
равна сторона другого?
— Едини... — начал было Вовка, но осекся, оглядел с испугом лица
своих друзей, вздохнул и сказал: — Надо квадраты вычесть... Выйдет:
144 вычесть из 169... Пять получится! То есть не просто пять, а в квад-
рате пять!
— Верно! — сказала Наташа. — Теперь начнем. Рисуем большой
квадрат. Берем циркуль...
— Вот тебе и циркуль, — сказала Веточка.
Лева только головой покачал, а Веточка посмотрела на него очень
хитро и засмеялась.
— Ставим ножку на середину стороны большого квадрата и раство-
ром циркуля, равным половине стороны, то есть 6,5, проводим полуокруж-
ность. Теперь если мы в эту полуокружность впишем прямой угол, то он
будет опираться на диаметр, который есть сторона нашего большого
квадрата. Ты, кажется, Вова, недавно с кем-то об этом рассуждал? Ты
не помнишь?
189
13
Тут обе девочки поглядели друг на друга и залились таким смехом,
что еле остановились. Лева сердито отвернулся, а Вася и Ника смот-
рели на эту сцену с большим интересом.
— Помню... — протянул с явным неудовольствием Вовка.
— Получится прямоугольный треугольник, гипотенуза которого рав-
15	v226=15,0333
190
на 13. Если мы ему дадим один катет, равный 12, то
ясно, что второй будет равен 5, потому что это будет
индийский треугольник. Согласен ты с этим, Вовоч-
ка, или нет?
— Согласен, — отвечал Вова. — Ведь 25 + 144=
= 169. Да как ты это сделаешь?
— Очень просто, — отвечала Наташа. — Для
этого надо только провести прямую из вершины D
длиной в 12 единиц до пересечения с нашей полу-
окружностью в точке G. Теперь проводим такие же Удвоено!
полуокружности и с остальных трех сторон нашего квадрата и всюду
укладываем между вершиной и соответствующей полуокружностью наш
отрезок прямой, равный 12 единицам, то есть клеточкам. Эти же самые
линии, СЕ, BE и АН, дают нам и другие катеты: CG, BF, АЕ и DH, каж-
дый из которых равен пяти.
— Тут не все ясно, — заметил Лева, —Откуда это видно, что линия,
например, АЕН прямая? Надо доказать.
— Просто потому, — отвечала ему Наташа, —что угол АВЕ равен
углу BCF... Остальное сам разберешь! Теперь эти наши линии выде-
ляют маленький квадрат EFGH, сторона которого равняется разности
между двумя катетами. Тогда остается только отрезать четыре равных
прямоугольных треугольника и уложить их около квадратика EFGH
двумя равными прямоугольниками, причем они частью улягутся один
на другой, а в правом верхнем углу поместится квадратик EFGH. Про-
должим его стороны до пересечения с границей нашего нового квадра-
та и получим квадрат со стороной, равной 5, а весь квадрат будет равен
122. Вот как можно разделить квадрат со стороной, равной 13, на два
точных квадрата.
191
— Все записываю!— провозгла-
сил Вовка. — Только я думаю: а
что, если удвоить квадрат этим са-
мым первым твоим способом? Хо-
рошо получится! А если к данному
квадрату прибавить всего-навсего
одну-единственную клеточку? Вот
будет здорово!
— Все это можно, — отвечала, посмеи-
ваясь, Наташа. — Была бы бумага да
ножницы.
— Так... — произнес Вася. — Это все
довольно интересно. Кто это придумал,
ты не знаешь, Наташа?
— Был в раннем средневековье, в X
веке, на Среднем Востоке замечательный
математик Абул-Вефа. Говорят, это он
придумал.
— По-моему, — заметил Лева, — все это можно сделать не так за-
мысловато, а значительно проще. Нарисуем рядом два квадрата. Допу-
стим, что их надо сложить. Проводим прямую BE, которая будет продол-
жением АВ, а потом диагональ BF. По теоре-
ме Пифагора эта диагональ и будет стороной
квадрата суммы.
— Это индийское правило из книги Шуль-
ба-Сутра, — сказал дедушка, — написанной
в VII или в V веке до нашей
эры. Там есть и правило
для построения квадрата,
равного разности двух квад-
ратов.
— Знаю это правило,—
отвечал Лева. — Берем
циркулем отрезок BE, как
радиус, и отсекаем им
часть стороны FH. Отрезок
GH и будет стороной квад-
F'
£'
\В
А
J.—
с
н'
FGHE^F'G'H'E
рата-разности. Опять та же
самая теорема Пифагора
объясняет все.
— Ну, если уж на то
пошло, — проговорил важ-
но Ника, —так у меня то-
же есть одна задачка на-
Колесо Леонардо да Винчи. Великий художник
предлагал решить квадратуру круга с помощью
цилиндра с высотой, равной половине радиуса.
Тогда след его боковой поверхности окажется
прямоугольником, равным площади круга —
основания цилиндра
счет квадратов. Я знаю, как из трех квад-
ратиков сделать один квадрат. И при
этом сразу. Вот как это делается. Два
квадратика разрезаем по диагонали, по-
лучаем четыре равных треугольника.
Укладываем их вокруг третьего квадра-
тика. А потом соединяем вершины их
прямых углов прямыми. Получается квад-
рат, который равен трем данным одинако-
вым квадратикам. Эта задачка тоже
пришла из раннего средневековья Сред-
него Востока. Тот же самый Абул-Вефа.
Вовка все это старательно записал.
Он был очень доволен: ему долго расска-
зывали очень простые и интересные для
него вещи. Вспомнили, кстати, и Леонар-
дово колесо, о котором уже говорили
раньше * *.
JC=a*b. BJ^Ta+bf-b^x
x*=BJM)“LEFK
Как превратить прямоугольник
в квадрат? Отнимаем от пря-
моугольника LEFK квадрат на
стороне LK; остаток делим по-
полам и сносим одну половину
к вертикальной стороне ква-
драта. Затем из квадрата
ACGK геометрически вычитаем
квадратик Ь2, получаем сторону
квадрата, равновеликого пря-
моугольнику. Так же преобра-
зован на предыдущем черте-
же след Леонардова колеса в
квадрат.
8
— По поводу разности таких квадра-
тов, — сказал дедушка, — можно еще до-
бавить кое-что, имеющее отношение к
простым числам. Хотите?
— Хотим, — отвечала Веточка.
— Если у нас есть некоторое нечетное
число и его можно представить в виде
разности двух квадратов только одним
способом, то, значит, это число простое.
Если это можно сделать несколькими
способами, то оно не простое, а составное.
— Как бы это понять? — спросил
Вася.
— Не так уж сложно,— отвечал президент Тускарийской акаде-
мии.— Пусть наше число называется п, тогда мы можем написать
п = Xi — у2 = (х + у) (х — у),
но если это так, то, значит, наше число п делится на (х-\-у) и на
(х— у). Теперь, если наше п — число простое, то ясно, что это возможно
только в том случае, если
	х + у = гт, х — у = 1,
* См. главу XVII, раздел 2.
13 Архимедово лето
193
откуда
если же наше п такое составное число, что, предположим, п = а-Ь,
причем а больше Ь, то можно написать, что x-j-y = a; х — у = Ь, и
тогда
„	а—Ъ
X-----	; у _	2
Эта теорема, доказанная Эйлером, упрощает проверку простых чисел,
потому что в этом случае вместо испытания разными делителями
можно взять таблицу натуральных квадратов и прибавлять последова-
тельно к числу п квадраты целых чисел, то есть у2, и следить, не полу-
чится ли у нас в сумме квадрат, когда мы к нашему числу п прибавим
такой у2, что его первая степень будет
Положим, что мы проверяем число 6319 и хотим узнать, простое оно
или нет. Когда мы прибавим к этому числу 92, то есть 81, получаем 6400 =
= 802, откуда ясно, что
803 - 98 = 6319 = (80 + 9) (80 - 9),
и сразу получаем разложение нашего числа, которое оказывается
составным:
6319 = 89 • 71.
— Так! —заключил Левка. —Будем знать. Намотаем на ус.
— А если простое взять? — спросил Вася.
— Попробуем, — отвечал Ника.—А какое простое?
— Ну какое-нибудь не очень большое, — посоветовал дедушка.—
Возьми 223.
— 223! — с презрением процедил Вовка. — Что в этом числе инте-
ресного? Уж очень оно маленькое.
— Ну что ж, — примирительно заметил дед. — Давай выберем по-
больше— например, 2617. Это тебе годится?
Вовка отвечал не сразу. Он не решался согласиться сразу в таком
серьезном деле. Подумал, затем согласился.
— Прибавлять квадраты. — проворчал Лева, — что-то не получает-
ся... Квадрат половины этого числа без единицы, то есть квадрат
1308...
— Это будет I 710864.
— Хороший квадрат, настоящий! — заметил Вовка, записывая число.
194
— А теперь, — продолжал Лева, — надо к нашему числу прибавить
1710864, получим 1 713581. Извлекаем корень, выходит 1309. Пра-
вильно!
— Выходит, если очень долго квадрат не получается в сумме,—
заметил Вася, — так число наверное не составное?
— Примерно так, — усмехнулся дедушка.
— Теперь,— сказала Веточка, —мне еще надо, наконец, показать то,
для чего я все это вам рассказывала. Мы знаем, как решаются обыкно-
венные уравнения. Но есть на свете еще и неопределенные урав-
нения, которые отличаются тем, что у них слишком много неизвестных.
Уравнение, например, одно, а неизвестных два:
ах + by = с.
У такого уравнения, конечно, бесконечное число решений. Дай игреку
какое-нибудь значение, вот и получишь икс. И так без конца. Но задачу
можно придумать похитрее. Можно найти все решения неопределенного
уравнения, которые будут выражаться целыми числами, или, как
говорят ученые, будут целочисленными. Это потрудней. Тут есть
особенные правила. Во-первых, если с, которое стоит в правой части
уравнения, не делится без остатка на общий наибольший делитель
чисел а и Ь, то решить это уравнение в целых числах нельзя. А если
делится, то стоит только найти одну какую-нибудь пару целых чисел
для икса и игрека... и потом уже нетрудно найти и множество других.
Но я все это рассказывать не буду, а дам просто пример. Возьмем
такое уравнение:
91х-28у = 35.
Самое простое решение в целых числах: х=1; у = 2. А можно еще
подобрать сколько хочешь. Но не в этом дело...
— Постой-ка! — вмешался Вася.— Как же подобрать? Я что-то
никак не догадаюсь. Ты не можешь пример привести?
— Пример? — переспросила Веточка. — Да, можно, конечно. Эго
проще простого.
— А коли можно, — сказал Лева, — так и давай его сюда. По-
смотрим!
— Ну хорошо, — отвечала Веточка. — Только я уж все подробно
рассказывать не буду. Начнем с того, что попробуем определить из
этого уравнения игрек. Получаем
_91х-35_о , 7х —35
У 28	— йХ +	28	•
13*
195
Вводим новое обозначение для целого выражения нашего урав-
нения:
7х - 35	.
28	—
Можно написать еще и так:
7х - 35 = 28/,
а отсюда определяем икс через t. Получаем
28*+ 35	.. . _
х —----у--= 4t + 5.
По этой формуле мы будем находить величину икса, давая t разные зна-
чения. А для игрека будет так:
у = Зл + ^-^ = Зх + Л
или
у = 3 (4/+ 5) + / = 12/+ 15 +/= 13/+ 15.
Мы получили две общие формулы для решения нашего неопре-
деленного уравнения. Вот, собственно, и всё! Допустим, что мы даем t
в этих уравнениях значение 1. Тогда х = 9; у = 28. Проверим:
91 • 9-28 • 28 = 819-784 = 35.
Если мы дадим t значение 2, получим х= 13; у = 41. Подставляем для
проверки:
91 • 13 -28 • 41 = 1183- 1148 = 35.
Ну вот!
— Мы еще об этом когда-нибудь потолкуем,— заметил дед.— Пока
еще это только пример. Можно в этих двух уравнениях положить
/ =—1; подставляя, мы получим для икса значение 1, а для игрека 2.
Продолжай, Веточка.
— Тогда, значит, — сказала Веточка, — я буду продолжать. Однажды
ученым встретилось такое неопределенное уравнение:
№ + у’ = zi.
Оно, как мы видели, очень хорошо решается в целых числах, и мы для
196
этого вывели особые формулы. Получается, что из двух квадратов
можно сделать третий. Что мы с вами и делали на разные лады. А если
кубы?.. Об этом задумывались и ученые Среднего Востока в раннем
средневековье. Такую задачу рассматривал Ал-Кархи в XI веке. А Пьер
Ферма однажды внимательно перечитывал книгу античного математика
Диофанта, в издании французского математика Баше, который любил
разные занимательные математические задачи, вроде тех, которыми и
мы с вами занимаемся1 *. У Диофанта есть как раз задача о разложении
полного квадрата на сумму двух других квадратов. Ферма задумался
над этой задачей и на полях книжки написал, что знает замечательное
доказательство того, что если из двух квадратов можно составить тре-
тий, то для кубов — и вообще для всех степеней, кроме второй, — это
невозможно. И тут же написал, что на полях книжки места очень
мало — это доказательство не упишется! Заметки эти нашли, когда сам
Ферма уже скончался. Начали проверять. На числах все выходит, как
он сказал: нельзя подобрать такую сумму двух кубов, выраженных
целыми числами, чтобы из этого получился опять-таки куб, тоже выра-
женный целым числом.
До сих пор Вовка сидел смирно и прислушивался потихоньку
к речам наших докладчиков, но тут он вдруг вскочил, неожиданно
ворвавшись в разговор.
— Вот и неправда! Совсем не так! — громко закричал он, оглядывая
всю компанию.
— Неужто неправда? —спросил дед в полном изумлении. —Да что
ты, брат, с чего это ты взял?
— А вот так и неправда! — вдруг сразу ожесточившись, закричал
Вовка. — Мне папа сказал. Вот у меня записано, смотрите! Я давно
уже собирался сказать, потому что вижу, что вы не знаете! Вот у меня
записано, как можно куб сделать! Сейчас прочту и покажу. Надо взять
все нечетные числа, начиная с единицы, выписать их, а потом разделить
на группы: в первой одно число, затем два и так далее. Вот как: (1);
(3 + 5); (7 + 9+11); (13+15+17+19); (21+23 + 25 + 27 + 29)
и так далее. Сложи числа в каждой скобке, и будут кубы. Вот как:
1 = Р; 3 + 5 = 8 = 23; 7 + 9 + 11 = 27 = З3; 13+ 15+ 17+ 19 = 64=43;
21+23 + 25 + 27 + 29= 125 = 53 и так далее, сколько хочешь. Сирий-
ский математик Никомах Геразский придумал. Вот вам, пожалуйста!
У меня записано. Это все папа мне рассказал!
— Это очень хорошо! — снисходительно покачивая головой, сказал
дедушка. — И ты молодец, что вспомнил, умница! Но только речь-то
идет, Вовушка, не о том. Ты рассказал нам, как из первых степеней
сделать куб. А Веточка нам говорит о том, как из суммы двух цело-
1 Французский математик Баше деМезириак (1587 — 1638) первым выпустил книгу
математических развлечений (1612).
197
Леонард Эйлер.
численных кубов сделать третий цело-
численный куб. Вот оно что! Понял или
нет?
— А-а... — протянул Вовка. — Из
дву-ух. Вот что! Ну, тогда, значит, я не
понял... я нечаянно...
Вовка не выдержал и сам над собой
расхохотался. За ним и все остальные.
— Вавилонянин,—сказал ему Лева,—
да еще третьестепенный, кубический, вот
ты кто! И как это ему всегда раньше
всех надо. Разлетелся!
Когда все успокоились. Веточка нача-
ла рассказывать дальше:
— Но самое странное было в том,
что никто не мог найти доказатель-
ство, о котором говорил Ферма. Такая
на вид несложная задача, а решить невозможно. Прошло больше ста
лет, пока замечательный математик, член Петербургской Академии
наук, Леонард Эйлер нашел доказательство того, что для третьей и для
четвертой степеней действительно теорема Ферма справедлива. И то он
нашел доказательство только для двух этих степеней.
— А сложные доказательства? — спросил Вася.
4
— Да как тебе сказать? — отвечала ему девочка. — Они не такие
уж сложные, только очень длинные. Еще для четвертой степени по-
проще, но и то надо очень внимательно разбираться!
— Ну, а все-таки? — спросил Ника.
— Доказательство это сперва может показаться странным, оно осно-
вано на идее о бесконечном спуске. Замысел у этого доказатель-
ства от противного довольно хитроумный. Нам надо доказать, что мы,
думая составить в целых числах равенство,
хп уп = zn,
но не со вторыми степенями, как у нас уж было,
х3 у3 = z3,
а с четвертыми, то есть
xi 4- yi = zi,
198
собираемся сделать нечто неосуществимое, другими словами — ведущее
к противоречию. Как же это делается? Все рассуждения построены так,
что ведут нас к очень странному заключению: если бы нам удалось
составить такое равенство с четвертыми степенями, то это значило бы,
что можно получить еще одно такое же равенство с теми же четвертыми
степенями, но с числами, которые будут меньше тех, которые вошли
в полученное нами равенство. Но ведь если это так, то, значит, получив
второе равенство с меньшими числами, можно получить третье с еще
меньшими, а от третьего перейти к четвертому, там числа будут еще
меньше! И так далее. Ведь мы решаем задачу в общем виде, значит,
конца этому уменьшению не будет. А с другой стороны, нельзя же без
конца уменьшать и уменьшать целые числа. Вот таким-то образом мы
и убеждаемся, что наше предположение ведет к нелепости. Однако если
мы приходим к противоречию, то, значит, наше предположение
о том, что можно из двух целых квадрато-квадратов, то есть четвертых
степеней, сделать третий квадрато-квадрат — так называли четвертую
степень в старину, — неправильно.
— Можно указать, — заметил дедушка Тимоша, — что еше арабам
в XI веке было известно, что для п = 3 задача в целых числах нераз-
решима. В рассуждении по другому поводу, но тоже по вопросу из тео-
рии чисел, у Ферма имеется доказательство того, что при п = 4 задача
также неразрешима
— Трудное доказательство? — спросил Лева хмуро.
— Как тебе сказать... — вымолвил дед. — Требует, конечно, внима-
ния. Но одолеть можно.
— Расскажите, дедушка Тимоша! — попросила Веточка.
— У Диофанта есть замечание, как решается вопрос, существует ли
прямоугольный треугольник, у которого не только стороны, но и пло-
щадь представляет собой натуральный квадрат. Ферма начинает с того,
что определяет стороны треугольника по известным уже нам фор-
мулам:
х24~у2; х2 — у2; 2ху.
Как уже говорилось, числа эти суть взаимно простые. Следовательно,
числа х и у тоже взаимно простые, а так как, если сложить числа
и (х — у), мы получим 2х, число четное, то ясно, что оба эти
числа нечетные. Площадь треугольника, о которой идет речь, будет
ху (х2 — у2) = ху (х + у) (х — у),
и она должна быть полным квадратом. Все множители этого выраже-
ния суть числа взаимно простые, а так как их произведение есть, по
1 А. Я. X и н ч и и. Великая теорема Ферма. М., Госиздат, 1927, § 4, стр. 15.
199
предположению нашему, полный квадрат, то и каждый из них тоже
должен быть квадратом, то есть
х = «2; y = v2.
Теперь обозначим
й! + V2 = р2; и2 —1>2 = q2.
Вычитая друг из друга эти два равенства, получаем
2-и2 = р2 — q2 = (р + q) (р — q).
Мы положили, что числа р2 и q2 нечетные числа, следовательно, числа
(p + q) и (р— q)—четные, но никаких других общих множителей,
кроме двойки, они иметь не могут, так как иначе и их квадраты имели
бы их, а ведь мы положили, что р2 и q2 взаимно простые числа. Но если
все это так, то получается, что возможны только два положения:
либо	(р + q) = 2m2 и (р — q) = п2,
либо	(p + q) = n2 и (р — q) = 2m2,
где п есть четное число. Но если это так, то, припоминая наши урав-
нения
«2	4)2 — рг; и,2 — V2 = q\
мы можем определить из них и2 и получим

а затем на основании наших двух исключающих друг друга предполо-
жений (либо то, либо другое) пишем
и2==^ + ±а=(/й2)2 + ^у.
Теперь у нас есть еще два целых числа т2 и -у, которые, в свою оче-
редь, могут оказаться тоже сторонами некоторого нового прямоуголь-
ного треугольника, тогда как площадь его, очевидно, будет равна
200
выражению —g—. Однако стороны этого нового треугольника меньше
сторон нашего исходного треугольника, поскольку квадрат его гипо-
тенузы и2 (или х, что то же!) оказывается множителем одного из
катетов исходного треугольника, то есть входит множителем в выра-
жение 2ху. Итак, если все наши предположения справедливы, то по-
строенный нами треугольник отличается тем качеством, что на его базе
можно построить меньший треугольник, который будет отличаться
теми же качествами. Но тогда в том же направлении можно двигаться
и дальше. Однако, если это так, мы, очевидно, постепенно спускаясь
все к меньшим числам, в конце концов придем к такому равенству:
х* + /= 1,
которое ни в каких целых числах решить невозможно. А если так, то
ясно, что и наше допущение, что существует целочисленный прямо-
угольный треугольник, плошадь которого есть квадратное число, невоз-
можно. Это вот и есть доказательство по способу бесконечного спуска.
— Хитро! — с неудовольствием сказал Вовка.
— Хитро, конечно, — согласилась Наташа.
— Что ж делать! — сердито воскликнул Ника. — Хитро, не хитро,
а надо учиться рассуждать. Значит, в таком предположении, если числа,
из которых мы составляем стороны нашего целочисленного Пифагорова
треугольника, сами полные квадраты, то получается, что
рг = 2v2 + «Д
с другой стороны,
р = т2 + 2 0-)’ ,
а отсюда и выходит, что если существует такой квадрат р2, который
представляет собой сумму квадрата и удвоенного квадрата, то и первая
степень его, р, должна быть тоже суммой квадрата и удвоенного квад-
рата, значит, так будет до бесконечности!
— М-да... — промычал Вася.— Не совсем еще дошло...
— Неясно, как и2 через тип определить? — заметила Наташа.
— Сложи равенства, где «либо-либо». Вот и всё! — ответил ей Лева
насмешливо.
— Ах да! — спохватилась девочка. — Правильно...
— Так вот,— продолжал дед, — в этом рассуждении Ферма и за-
ключается доказательство того, что разность двух четвертых степеней
z4 — у4 не может быть квадратом, следовательно, не может быть и
четвертой степенью. Однако в таком случае уравнение x4 + t/4 = z4 не
201
х	может быть решено в целых числах, и показа-
/ \	\% тель не может равняться четырем в нашем не-
; х \	\ определенном уравнении хп уп = гп. В об-
/	\	\ щем, мне кажется, теперь вам должно быть
' I д \| ясно
— А кому неясно, — заметил Ника, — тот
6--------м пускай еще погрызет... Дедушка Тимоша, а у
Ферма и дано такое доказательство?
— В общем, такое, — отвечал дед. — Но, конечно, алгебры там не-
много, все больше по-старинному, с геометрической алгеброй. Кстати,
не хотите ли по дороге заглянуть: тоже с разностью квадратов — очень
простой и превосходный пример геометрической алгебры древних гре-
ков. Вот как объясняется у Евклида построение средней геометриче-
ской. ..
— Любимая, кажется, Вовочкина теорема! — усмехнулась Наташа.
Веточка тоже рассмеялась, а Вовка посмотрел на нее очень не-
довольно.
— И вовсе не моя!.. — сердито прошептал он.
Лева улыбался и поглядывал в сторону. Вася и Ника переглянулись,
но, в чем дело, догадаться не могли. Засмеялся и дедушка.
— Ну ладно, — сказал он. — Посмотрите-ка на чертеж... Вот и
соответствующая формула:
х1 2 = г2 — $2 = (г — $) (г 4- s) = ab.
Ну, а уж свести чертеж и формулу, я думаю, вы и сами сумеете.
Вовка негодующе смотрел на брата.
— Я ведь тебе говорил, — сказал Вовка, — что ты не так!
— А тут как? — ехидно спросил тот Вовку. — Что ж молчишь?
— Вот видишь, Вовочка,— наставительно сказала Веточка, —как
нехорошо секретничать!.. А уж ты-то, Лева!..
— А что случилось? — спросил с невинным видом Лева. — Конечно,
так проще и умней, но ведь поди-ка растолкуй ему разность квадратов!
— Хорошее доказательство, — заметил Вася. — Ни одного отрезка
лишнего на чертеже: точь-в-точь, сколько надо.
— Красиво! — промолвил Ника.
— Еще бы! — отвечал дедушка. — В таких простых случаях геомет-
рическая алгебра работает просто на славу. А вот когда что-нибудь
посложней, так уж она начинает тебя путать... Ну, в общем, давайте-ка
дальше.
1 Для случая п = 3 Эйлер дал доказательство, которое снова приводится к тому же
случаю бесконечного спуска. См. книгу А. Я. Хинчина «Великая теорема Ферма»,
стр. 21—28.
202
5
— Дальше было так, — снова начала Веточка, — что, невзирая на все
старания ученых, до половины прошлого века удалось доказать эту
теорему Ферма только для показателей 3, 4, 5 и 7. И всё! Дальше,
а главное вообше доказать эту теорему никак не удавалось. Один
математик прошлого века назвал ее за это великой теоремой
Ферма, но она от этого проше не стала.
— Ав чем же тут дело? — спросил Левка.
— В чем дело?.. — повторила Веточка.
— Если бы кто-нибудь знал, в чем дело, тогда давно бы решили! —
ответил за нее Вася.
— Не так-то легко ответить на Левин вопрос, — заметил дедушка,—
не так-то легко. Попробую ответить в самом общем виде. Но, конечно,
это будет не очень ясно и не очень точно. Ну уж, как возможно, так и
попробую. Начну вот с чего. Мы уже говорили о комплексных числах.
Престранные числа, не правда ли? Однако очень полезные в некоторых
случаях. В XVI веке математик Кардан, мы о нем уже говорили1, при-
думал такую задачу: «Найти два числа, сумма которых десять, а про-
изведение— сорок». Задача как будто совершенно бессмысленная, ибо
наибольшее произведение, которое можно получить из двух чисел,
дающих в сумме десять, это 5-5 = 25. А Кардан хочет получить сорок!
Но попробовать все-таки можно? Составляем квадратное уравнение.
Решаем. И получаем в ответе
(5 + у/^Лб) (б - у/^Лб) = 40.
Советую перемножить, проверить, и вы убедитесь, что так и есть. Конеч-
но, можно сказать, что «на самом деле» ничего подобного не бывает.
Так во времена Кардана сначала и думали. Потом выяснилось, что
некоторые сравнительно простые алгебраические задачи без этих чисел
вообше решить нельзя, то есть, как ты только немножко поглубже за-
берешься в алгебру, так сейчас же столкнешься с комплексными чис-
лами. То же самое получается и с последней теоремой Ферма. Стоит
тебе за нее взяться, как сейчас же приходится рассматривать вопросы,
связанные с делимостью. Мы уже видели, что, даже обсуждая
Пифагоровы треугольники, и то все время надо говорить о четности,
то есть о делимости на два. А как только мы беремся за теорему Ферма,
в первом же случае, когда дело идет об уравнении
х3 4- у3 = г3,
1 См. главу XVI, раздел 1.
203
какое-нибудь алгебраическо
— Не так уж это трудно! — во
надо уже рассматривать делимость на три. Но только не чисел,
а алгебраических выражений.
— Трудно все-таки, — сказала, хмурясь, Наташа, — представить
себе, как можно говорить, делится или не делится на данное число
выражение... Не понимаю!
дзил дедушка. —Как ты думаешь,
делится ли на три вот такое выра-
жение: а3 + За2 + 2а?
— Причем а — это любое целое
число? — спросил Вася. —Так или
нет?
— Конечно, так, — рассеянно
произнесла Наташа. — Нет, не
знаю, что и сказать, дедушка Ти-
моша!
— Разве а за скобку взять, раз-
ложить на множители? Разложит-
ся? Похоже, разложится, — заме-
тил Ника.
— Раскладывается! — ответила Веточка. — Вот как: а(а+ 1)
(а + 2).
— Правильно! — подтвердил Лева.
— Но если это так?.. — протянул вопросительно дед.
— Если это так, — отвечал Никита, —то тогда получается, что это
не что иное, как произведение трех последовательных нату-
ральных чисел, а в таком случае...
— Ну теперь и я догадалась! — обрадовалась Наташа. — Если это
три последовательных натуральных числа, то тогда обязательно какое-
нибудь из них делится на три. Вот какой интересный пример! Теперь
ясно, что если рассуждать осторожно, то и в таких случаях вполне
можно говорить о делимости.
— Насчет делимости алгебраических выражений, — заметил Вася,—
я еще вот что вспомнил. Мы выводили 1 сумму натуральных квадратов,
которая будет
п(п+ 1)(2«+ 1)
6
Но если это так, то ясно, что, какое бы целое положительное число п
мы ни взяли, выражение n(n+ 1) (2n-f- 0 всегда делится без остатка
на шесть.
* См. главу XII, раздел 6.
204
— Ясно! — согласилась Веточка. — Но поскольку сумма натураль-
ных кубов равна
«2 (л + 1)2
4
то, рассуждая совершенно так же, можно решить, что произведение двух
последовательных натуральных квадратов всегда делится без остатка
на четыре. Но тут разобраться нетрудно: ведь всякий квадрат четного
числа обязательно должен делиться на четыре, потому что (2m)2 есть
4m2. Одним словом, теперь ясно! Можно привести еще немало примеров,
которые показывают значение понятия делимости в применении к ал-
гебраическим выражениям. Например, каковы бы ни были два числа,
а и Ь, всякое число, которое подходит под формулу
4* 1 I	4- I
не может быть простым, у него есть делители. Кроме того, если раз-
ность (а — Ь) больше единицы, то никакое число вида ап—Ьп тоже не
может быть простым. Причины этого легко открыть, обратившись к не-
которым хорошо известным алгебраическим формулам. Мы как будто
вспоминали одну француженку-математичку, Софи Жермен *. Так вот ей
принадлежит теорема, утверждающая, что если число а больше еди-
ницы, то число (a4-j-4) не может быть простым. Почему? Потому что,
представляя это выражение в виде разности квадратов, (а24-2)2—
— (2а)2, мы можем разложить его на два множителя: (а2 + 2а + 2) и
(а2 — 2а+ 2). Проверьте-ка!
— Н-да, действительно! — проронил Лева.
— Ну-те-с... —продолжал дедушка. — Именно с этого пункта и
начинаются новые и совершенно неожиданные затруднения. Если у нас
есть не только обычные натуральные числа, а еше и комплексные,
то сразу окажется, что разложение чисел на первоначальные множи-
тели вовсе не так просто, как мы привыкли думать. Возьмем число 6.
Его можно разложить двояко, вот как:
6 = 2 • 3 = (1 +/TZ5)(1 - /Т=5)-
Подумайте, до чего же трудно разрешать вопросы о делимости,
когда разложение на первоначальные множители неоднозначно, то есть
его можно сделать не один раз и по-разному! О числе 6 в области дей-
ствительных чисел мы можем определенно утверждать, что оно ни на
что, кроме двойки и тройки, не делится. А как только мы пускаемся
• См. главу II, раздел 1.
205
в обшие рассуждения, го есть в алгебру, нам приходится считаться
с тем, что это как будто очевидное обстоятельство неожиданно пере-
стает существовать. Опираться на него, как это раньше мы делали,
нельзя. И что ни далее, что ни глубже, эти затруднения всё усложня-
ются и усложняются. Миновать их невозможно. И вплоть до прошлого
века их одолеть не могли. Только тогда появилась работа математика
Куммера, в которой он, заново пересмотрев всю теорию делимости,
заложил тем самым начала особой математической науки, которая на-
зывается алгебраической теорией чисел. Куммер сумел
развить чрезвычайно сложную теорию, которая дала возможность дока-
зать справедливость утверждения Ферма для большого числа показа-
телей в пределах первой сотни чисел. Теория эта гораздо обширнее и
интереснее самой последней теоремы Ферма. Но эта теорема тем заме-
чательна, что благодаря ей был построен новый раздел математической
науки. А кроме того, она любопытна как пример очень трудной задачи,
при этом на вид очень несложной. Ныне при помощи новых скородей-
ствующих электронно-счетных машин справедливость последней тео-
ремы Ферма проверена для всех чисел, вплоть до 4003. Кстати, это
пятьсот пятьдесят третье простое число по порядку. Разумеется, про-
веряются только простые числа, а не их кратные. Но все-таки в общем
эта задача еще не решена.
— Вот какая задача! — проговорил Вася.
— Дедушка, — умоляюще сказал Вовка, схватив деда за руку, — ты
знаешь что? А давай мы вынесем такое постановление!
— Какое? — спросил дед, спешно вытаскивая свою неизменную
трубку.
— Вот такое: чтобы все мы, то есть тускарята, когда вырастем, сде-
лались математиками и чтобы все до одного засели за задачу этого
Ферма! И мы обязательно решим. И начнем с завтрашнего дня! Как
это такое нельзя решить? Решим!
— Ну что за Каменный Зуб! — захохотал Лева. — Скажи, что при-
думал Третьестепенный!
— Не выйдет! — отвечал дедушка. — Сейчас, то есть с завтрашнего
дня, мы с тобой ровно ничего не сделаем. А потом... когда выучишься
да еще станешь математиком... тогда, брат, ты еще многое-многое
узнаешь. Увидишь, что есть задачи куда важнее, чем последняя теорема
Ферма. Но вообще вы все-таки на всякий случай имейте в виду, что
задача эта представляет собой исключительные трудности. Есть чудаки,
которые за нее сослепу хватаются, но это люди нерассудительные и
обычно математически не образованные. А если за нее всерьез браться,
так надо университет кончить да специализироваться по теории чисел...
А это дело не коротенькое. Вот что!
Вовка взглянул на деда вопросительно, но дед только пожал плечами
в том смысле, что ничем помочь ему не может.
206
в
— Дедушка, — сказал в раздумье Лева,— а ты не мог бы нам хоть
намекнуть, в чем же состоит этот новый метод Куммера, который сразу
позволил доказать последнюю теорему Ферма для целой сотни чисел-
показателей, тогда как до этого еле-еле четыре числа осилили?
— Видишь ли, — произнес дед, находясь, видимо, в затруднении,—
не так-то легко тебе ответить, но могу все-таки попробовать. Извини уж,
придется начать издалека.
— Издалека так издалека, — отвечал Ника. — Послушаем!
— Надо вам сказать, — начал дедушка свое объяснение, — что мно-
гие математические приемы или способы решения тех или иных задач
нередко вначале имели характер неожиданной и непонятной находки,
и она довольно мало походила на открытие или на изобретение. Скорее
это было внезапное преодоление какого-то незнакомого до тех пор
затруднения, которое очень трудно понять, обойти или разрешить. Но,
когда это препятствие преодолено, оно само уже постепенно обращается
в новое математическое орудие. Очень многие открытия такого рода
произошли когда-то, в глубине тысячелетий, как бы сами собой, а смысл
их был разгадан уже много позже. Так, разумеется, «открылись сами
собой» дроби. Сперва это были так называемые кантьемы, то есть
просто обратные величины целых чисел, или простые дроби с числи-
телем, всегда равным единице, как половина, четверть и прочие в этом
роде. А затем развитие общественных потребностей и работ заставило
уже прибегнуть и к другим числителям, и так-то получились особые
«числа», которые представляли собой не одно число, как, например,
5, 7, 11, 13..., а являлись парой чисел, объединенной в дробь, как
5 II
или -уд- и так далее.
— Понятно, — вымолвила Наташа.
— Нечто в этом роде, только гораздо сложнее, получилось и с реше-
ниями уравнений. Сперва обнаружились неожиданные трудности с квад-
ратным уравнением, затем с кубическим. Мы уже с вами знаем, что
некоторые квадратные уравнения нельзя решить, потому что под
корнем в решении оказывается отрицательное число. Когда люди
столкнулись с квадратным уравнением, а это было еще в Вавилоне, то
не сразу догадались, что уравнение имеет два решения, не сразу по-
няли, что бывают не только положительные, но и отрицательные реше-
ния и эти последние тоже имеют иногда смысл. Еще дольше не обра-
щали внимания на те решения, куда входит корень квадратный из
отрицательного числа, пока наконец исследование кубического уравне-
ния не доказало ученым, что пренебрегать такими «странными» реше-
ниями невозможно, так как без них нельзя было разобраться в некото-
рых случаях при решении кубического уравнения. Так что эти числа
оказались неизбежными и необходимыми в математике.
207
— И опять-таки получилась пара чисел, —заметил Лева, —Как
в дробях. Так, дедушка, я говорю или нет?
— Да, примерно так. Потому что комплексное число представляет
собой своеобразную сумму самого обычного числа, которое называют
в таких случаях действительным или вещественным чис-
лом, и другого, которое имеет в качестве множителя \J — I ; второго
этого слагаемого нет среди действительных чисел, и оно называется
мнимым числом. Величина обычно обозначается буквой I,
первой буквой французского слова, которое и значит «мнимый». Итак,
комплексное число таково:
z = а -|- b \j — 1 = а 4- bi.
После введения этих чисел в науку получилось, что все квадратные
уравнения могли быть решены. Наконец-то вопрос с квадратным урав-
нением был решен вообще. Тогда можно было даже сказать, что
всякое квадратное уравнение имеет решение в виде комплексного
числа а + Ы, причем только в некоторых случаях, тех самых,
с которых дело и началось, бывает, что 6 = 0. Вышло, значит, что для
общего решения квадратного уравнения пришлось ввести новые числа.
Необходимость их выяснилась около XVI века, а высокая их полез-
ность для математики и техники —еще позднее. Ныне существует уже
целый раздел математической науки, посвященный комплексным чис-
лам, который имеет ряд важнейших применений и в инженерии, в част-
ности в электротехнике, и в изучении водяных и воздушных потоков,
а следовательно, в самолетостроении и в строительстве гидростанций.
— Вот как! — заметил Вася. — Началось с квадратного уравнения,
а кончилось чуть ли не полетами в стратосферу!
— Именно!.. Итак, изучение комплексных чисел постепенно пока-
зало, что этот новый род чисел, который дает возможность обобщить
вопрос о квадратном уравнении, не только необходим при рассмотрении
кубического уравнения, но является и чрезвычайно полезным матема-
тическим орудием, которое во многом раздвинуло пределы нашей науки.
Выяснилось, что, вводя в науку новые числа, можно в некоторых слу-
чаях добиться новых и значительных результатов. Затем начались
попытки строить такие новые виды чисел искусственным путем, и мно-
гие из этих опытов дали замечательные результаты. Это уже были не
столько открытия, сколько изобретения, которые расширяли воз-
можности математиков. Нередко оказывалось, что исследования, про-
веденные из чисто теоретического интереса, в дальнейшем оказывались
прямо-таки неоценимым подспорьем для физиков, а потом и для инже-
неров. Скажу, кстати, кратко, что именно чисто теоретические труды
древнегреческого ученого Аполлония Пергейского послужили в XVII веке
208
основанием для перевернувших все человеческое сознание трудов по
астрономии и механике Кеплера и Галилея.
— Почти две тысячи лет прошло! — робко произнесла Веточка.—
Две тысячи!
— Интересно!—сказал Лева. — Просто очень интересно! Только я
вижу, что все это... довольно трудно. Все-таки мне неясно, как можно
исследовать такие особые числа или другие математические, как ты
говоришь, образы, когда ты их даже еше и не знаешь? Как это воз-
можно?
— А когда путешественник приезжает в незнакомую страну,— спро-
сил дед, — как он поступает? Берет внимательностью, осторожностью,
пытливостью, наблюдательностью и сметкой! Ты действуешь с твоими
новыми образами очень осторожно и каждый шаг свой проверяешь.
Мы с вами не раз встречались с такими случаями, когда алгебра помо-
гала геометрии, а геометрия — алгебре. И всякий раз, когда открыва-
лась такая возможность, это шло на пользу и той и другой науке.
И когда нашли способ геометрического истолкования комплексных
чисел, то и это оказалось полезно.
— Но как же это случилось, дедушка Тимоша? — спросила осторож-
но Наташа.
— Как случилось? .. — повторил дед. — Попробую кое-что расска-
зать об этом. Все вы знаете, что такое диаграмма, чертеж, на кото-
ром изображается развитие какого-нибудь процесса в связи с течением
14 Архимедово лето	209
другого, ну... хотя бы времени. По горизонтали, на
абсциссе, как говорится в математике, мы отме-
чаем время — месяцы, скажем, или годы; а по верти-
кали, по ординате, — размеры,достигнутые к тако-
му сроку развитием... Ну, что бы нам такое взять для
примера?
— Выплавку стали в СССР, — предложил Ника.
— Производство электроэнергии, которое растет
у нас из года в год, — сказал Лева.
— Лучше всего, — сказал Вася, — взять число учащихся у нас в
Союзе!
— Ну вот! —сказал дедушка. — Значит, все вы знаете, что такое
диаграмма, на которой чертится ломаная кривая, изображающая
развитие того или иного процесса. Так уж повелось, что движение по
абсциссе вправо мы считаем естественным движением, прямым, а ма-
тематик называет его положительным. Апо ординате положитель-
ное движение — это движение вверх.
— А если по горизонтали влево и по ординате вниз, — добавил
Лева, — это уже будет отрицательное?
— Конечно, — согласился дедушка. — Правда, на обычных диаграм-
мах по горизонталям этого не бывает, но если мы составляем, напри-
мер, диаграмму температуры, то в зимние месяцы, конечно, тем-
пература будет изображаться по вертикали отрицательными числами,
мороз! Ну, а в математике бывает, конечно, и то и другое. Теперь возь-
мем маленький отрезочек нашей ломаной кривой на диаграмме между
двумя делениями горизонтали — скажем, от одного года к другому.
Допустим, что мы видим рост. Изобразим наш отрезочек стрелкой,
которая направлена вперед по горизонтали. Чем больше прирост
изучаемого нами явления за единицу времени, тем выше поднимется
стрелка. Математик называет такую стрелку направленной вели-
чиной или вектором. В общем, вектор задается двумя величи-
нами: отрезком горизонтали — его проекцией
на ось абсцисс — и отрезком вертикали — про-
екцией на ось ординат. Вы встречали, конечно,
векторы в физике, когда речь шла об изображе-
нии сил. Припомните сложение сил, парал-
лелограмм сил!
— Это знаем, — заметил Ника. — Они скла-
дываются так, как будто бы две силы действо-
вали одна за другой, порознь.
— Сперва в одну сторону, потом в другую,
а выходит вперед, — пояснил Вася.
— Как на коньках, — сказал Вовка. — Теперь
я все понял. Даже очень просто! Вот как: правой
210
ногой ты едешь вправо, а левой влево, а в общем,	.— ------
поедешь вперед!	X р
— Ну вот и хорошо, что все это знают, — в/	/
решил дедушка.— Мы такое сложение сил, вер-	~ /
нее, векторов, изображающих силы, будем назы-
вать геометрическим сложением. Теперь —
внимание!
— Внимание! — сердито повторил Вовка, оглядев всех своих дру-
зей строгим взглядом.
— Давайте, ребята, — продолжал дедушка, — будем изображать и
комплексные величины, которые ведь представляют собой объединение
двух величин. На оси абсцисс мы будет откладывать действитель-
ную часть, то есть коэффициент а в выражении
z = а + Ы,
а на оси ординат — мнимую часть, или коэффициент b в том же выра-
жении. Тогда наше комплексное число изобразится на нашей диаграм-
ме, в нашей системе координат1, как говорит математик, векто-
ром. Сложение двух комплексных чисел сводится к сложению отдельно
их действительных и мнимых частей, то есть
а + Ы
с + di
(а + c) + (b + d)i ’
а на нашей диаграмме это сведется к сложению отдельно их проекций,
то есть просто отрезков, и к изображению проекции-суммы. Когда мы
это сделаем, мы построим равнодействующую двух этих взаимно пер-
пендикулярных проекций-сумм и получим новый вектор, который и есть
геометрическая сумма двух векторов-слагаемых. Нетрудно убедиться,
что наше алгебраическое сложение двух комплексных чисел в точности
соответствует тому, что у нас получилось геометрически в системе
координат.
— Длину нового вектора можно вычис-
лить по теореме Пифагора? — спросил Ни-
ка.—То есть проекции будут катетами, а
вектор — гипотенузой?
— Ясно! — отвечал дедушка.
— Это сложение, — сказал Вася. — И мы
его знаем из сложения сил. Это понятно.
1 См. книгу А. Г. Смогоржевского «Метод коор-
динат» Серия «Популярные лекции по математике»,
М., Гсстехиздат, 1952, выпуск 10.
14*
211
А как быть с умножением? Можно эти числа перемножать? А если мож-
но, то что получится?
— Правда! — поддержала его Веточка. — Интересно, что получится?
— Давайте разберем, — согласился дедушка Тимоша.— Если ты
умножишь положительное действительное число на другое такое же, про-
изведение станет больше умножаемого. Что же тогда будет с отрезками
абсциссы, изображающими у нас это умножаемое, то есть действитель-
ные числа?
— И вектор тоже соответственно вырастет, — отвечала Наташа.
— Верно! То же самое случится, если мы мнимое число умножим на
положительное действительное число. А теперь попробуем умножить
комплексное число на комплексное. Только не будем забывать, что
z = /Z7i;	- 1; z’ = — z; ?= 1.
Итак, попробуем!
— Ну-ка, — покряхтывая, произнес Лева, — возьмусь я.
+bi
___________________* с + rft__________________
ас + bci + adi 4- bdP = (ас — bd) -f- {be + ad)i ’
Вот что получилось. Вышел новый вектор. Хитро они расставились, все
эти четыре коэффициента, но разобрать можно.
— Так, — сказал дедушка. — Это у нас будет часть первая. Пойдем
далее. Как вычислить длину вектора, мы только что говорили. Это нам
Ника сказал.
— Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора, — повторил
Ника.
— Вот, вот! Значит, если нам дан комплексный вектор a-j-W, мы
легко получим его длину, и она будет / a2 + fc2 . А теперь давайте поде-
лим проекции нашего вектора на эту длину. Посмотрим, что выйдет?
— Вот что выйдет, — сказала Веточка. — Вот как:
а	b
v/a2 4- b3 ^а3 + Ь3 '
— Хорошо, — сказал ей Тимофей
найдем длину этого нового вектора:
Иринархович. — А ну-ка, давай
/____\2 ( ь________________у
\v'a3 4- Ь3) + У/
а3+Ь3
а3+Ь3
— Значит, — сказала Вета с запинкой, — длина этого вектора равна
единице, так как /Т - 1.
— Единичный вектор, — сказал Лева.
— Да, единичный,— согласилась Веточка.
— Так и есть, — подтвердил дед. — Теперь еще один шаг. Повторим
степени. Возьмем вот такой вектор: О + 11, или, еще проще, просто I.
Я думаю, что нет сомнений, что это единичный вектор?
— Ясно! — отвечал Вася. — Спору нет, единичный.
— Умножим его на самого себя:
i2== I • i = — 1 \/ — 1 = — 1,
получилось — 1. Но ведь это тоже вектор! А куда он направлен? Срав-
ним-ка на диаграмме эти два направления. Первый идет по вертикали
вверх, а второй — по горизонтали влево. Еще раз умножим:
z8 = — 1  z = — z’.
Опять единичный вектор, но он уже направлен вниз по вертикали. Еще
раз умножим:
z4 = — z • z= 1.
Снова единичный вектор, но теперь он направлен вправо по горизонталь-
ной оси. Если еще раз умножим, получим I, то есть то самое, с чего мы
начали. Итак, от умножения единичный вектор меняет свое направ-
ление. А как он его меняет?
— Как будто... — сказал Лева. — Он, по-моему, поворачивает-
с я. Так?
— Поворачивается, — поддержал Вася.
— Вертится, — сказала, сморщив брови, Веточка, — и как раз про-
тив часовой стрелки.
— Верно, — согласился с кислой миной Лева. Ему было очень обид-
но, что не он оказался самым догадливым.
Дед посмотрел на него с усмешкой, но ничего не сказал и продол-
жал объяснения:
— Итак, при перемножении направления векто-
ров меняются, а длины их изменяются так же, как
действительные числа. Комплексное число мы рас-
сматриваем как сумму действительной и мнимой
его частей, так и комплексный вектор мы можем
представить как произведение единичного вектора
на некоторое действительное число, равное по числу
единиц длине вектора. Значит, при умножении одно-
го комплексного вектора на другой длина множи-
мого изменяется пропорционально длине множителя,
213
а направления изменяются. Как они изменяются, выяснить нетрудно,
разобрав наши умножения единичных векторов: углы, под которыми век-
торы наклонены по отношению к положительному направлению оси
абсцисс, складываются. Вектор своим концом определяет одну
точку на плоскости. Но если взять не одну точку, а множество их,
которое составляет, например, целую геометрическую фигуру, и ко всем
этим точкам применить сложение с некоторым вектором, то вся эта
фигура передвинется не изменившись. А если фигуру умножить на век-
тор, то фигура пропорционально увеличится либо уменьшится, в зависи-
мости от множителя, и повернется, и мы получим другую, подобную
ей фигуру. Вот что такое умножение комплексных чисел, векторов,
с точки зрения геометрической. Это подобное преобразование и поворот.
— Вот оно что... — задумчиво произнес Вася. — А какой смысл в та-
ком умножении? Ведь это, наверное, не просто так, ради разнообразия,
придумали?
— Ну, почему для разнообразия? — возразил Лева. — Все-таки очень
интересно, как можно умножать отрезок на фигуру и что получается!
— Это я понимаю, — сказал Вася, — но, наверное, не только в этом
дело?
8
— Может быть, и не совсем так, — отвечал Тимофей Иринархович.—
Лева прав в том отношении, что всякое развитие науки полезно и инте-
ресно, а Вася прав в другом, и не менее важном! Построение таких
особых, так сказать двойных, чисел расширяет возможности нашей на-
уки, а поэтому некоторые вычисления, которые имеют очень важный
прикладной характер, облегчаются и упрощаются. В частности, важ-
нейшие конструктивные задачи в самолетостроении становятся гораздо
более доступными. Речь идет о такой, например, важной задаче, как
определение формы крыла самолета... Ну и хватит с вас, остальное по-
том сами узнаете1. Кроме того, это геометрическое изображение комп-
лексных чисел, которое вернее было бы назвать их геометрическим
истолкованием, явилось важным шагом в развитии математики. Благо-
даря этому впервые удалось сблизить алгебру с геометрией столь тесно
и так своеобразно, что выросли целые новые отрасли математики и мно-
гие установившиеся взгляды изменились. Скажу еще напоследок, что
некоторые другие —еще более сложные, чем комплексные числа,— ма-
тематические построения позволили, например, суммировать такие
математические образы, для которых несправедливо утверждение, что
«сумма от порядка слагаемых не зависит».
1 Читателю будет интересно познакомиться с книгой А. И. Маркушевича «Комплекс-
ные числа и конформные отображения». Серия «Популярные лекции по математике».
М., Гостехиздат, 1954, выпуск 13.
214
— А разве есть такие? — с величай-
шим удивлением спросил Лева.
— Есть, — отвечал дед. — Вот тебе
чертеж. Это участок плана большого го-
рода. Перед нами четыре улицы, которые
называются: Столешников переулок, Пет-
ровка, Кузнецкий мост и Петровские ли-
нии. Ты идешь по Столешникову переулку
по направлению к Петровке и спраши-
ваешь прохожего: «Как пройти на Кузнец-
кий мост?» Он тебе отвечает: «Направо,
потом налево!» А что же будет, если ты
переставишь слагаемые в той сумме, ко-
торая и есть указанный тебе путь? Пой-
дешь сперва налево, а потом направо?
Ясно, что ты не попадешь на Кузнец-
кий мост, а выйдешь на Петровские линии. Вот тебе простой пример.
— Действительно! — сказала с искренним изумлением Наташа.—
Даже и в голову не придет!
— Еше бы! — посмеиваясь, заметил дед. — Ну, ребята, а теперь ска-
жу несколько слов и о том, что заставило меня все это припомнить. Кум-
мер много работал по теории чисел и, в частности, над последней теоре-
мой Ферма. Он пришел к мысли, что двинуться вперед в этой области не
удастся без новых математических орудий или образов. Что же он сде-
лал? Возьмем тот самый пример с разложением шестерки, который мы
только что рассматривали. Для шестерки в той области, где нам при-
шлось ее рассматривать, мы знаем четыре множителя: 2; 3; 1-)-/ — 5;
1 — / — 5. Тогда ученый предположил, что, всушности, мы настоя-
щего однозначного — того, которое нам нужно,— разложения шестерки
на множители еше не знаем, но что какие-то уже совершенно определен-
но однозначные множители, составляющие шестерку, имеются1. Каковы
же они, если это так? Они суть некоторые математические образы, кото-
рые мы назовем буквами А, В, С и D. И тогда мы скажем, что перечис-
ленные выше четыре множителя представляют собой какие-то, пока еще
неизвестные, комбинации этих четырех букв:
(2) — комбинация А и В
(3) — комбинация С и О
(|	— комбинация А и С
(1 — у/^5) — комбинация В и О,
। Изложение теории Куммера можно найти в книге А. Я. Хинчина «Великая теорема
Ферма», а также в книгах И. В. Арнольда «Теория чисел*. М., 1939, § 59, «Задача Фер-
ма*. стр. 240 и А. О. Гельфонда «Решение уравнений в целых числах». М., Гостехиз-
дат, «Популярные лекции по математике», выпуск 8.
215
причем эти буквы, А, В, С и D, представляют собой уже далее неразложи-
мые множители. Они были исследованы, и таким образом были построе-
ны новые математические образы. А эти мощные орудия позволили по-
иному, с недостижимой до тех пор силой, взяться за эту задачу. Вот от-
сюда вы и можете создать себе некоторое представление о том, какого
рода было это замечательное исследование Куммера, продолженное дру-
гими учеными, в том числе и талантливым русским ученым Егором Ива-
новичем Золотаревым...
Домой шли весело, потому что, оказывается, у Наташи был мяч, ко-
торым можно было перекидываться, играя в некоторый «вол ей бол-без-
сетки-на-ходу», — не больно-то удобная игра, но зато очень веселая, с су-
матохой, криком и смехом.
А когда подходили к дому, Наташа заговорила с Вовкой.
— А знаешь, Вова, как можно разложить на слагаемые число 225?
При этом, чтобы начинать с единицы? — спросила она его.
— Да можно попросту, — вмешался Вася. — Вспомнив, что 225 это
ведь 152, изобразить 225 как сумму нечетных чисел...
— Ах да! — сказал Вовка. — Так это и я знаю. Вот так:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 +
+ 29 = 225.
— Верно! — сказала Наташа. — А можно вот еше как:
1 + 23 + 45 + 67 + 89 = 225.
— Хорошо!— сказал Вовка. — Все цифры одна за другой в дело
пошли.
— Вот ты про Никомаховы кубы нам рассказывал,— заметил Вася.—
Хорошее дело. Но про кубы еще есть одна интересная история. Мы вы-
водили сумму арифметической прогрессии, помнишь?
Вовка наморщил нос:
— Постой! Сейчас... Значит, надо взять с обоих концов по числу,
потом понолам их и на все число членов помножить. Так?
— Так. Молодец секретарь! Запомнил. Похвально, ничего не ска-
жешь. Ну вот, давай считать:
1+2 = 3,
14-2 + 3 = 6,
1 +2 + 3 + 4= 10
и так далее. Это треугольные числа, помнишь? Мы о них говорили. Еше
я доклад целый делал ’.
1 См. главу XII, раздел 4.
216
— Давно уж...
— Верно, секретарь. Теперь давай возведем в куб каждое число в ле-
вых частях этих равенств. Посмотрим-ка, что у нас получится. На-
чинай!
Вовка начал:
1 + 8 = 9,
1 +8 + 27 = 36,
1 + 8 + 27 + 64=100.
— Ну, — сказал Вася, — смотри-ка, что у тебя направо получается?
Видишь?
— Квадраты... — не сразу ответил Вовка, — и тех же самых чисел,
которые и раньше у меня получались.
— Правильно! Пиши прямо со степенями.
И Вовка написал:
13 + 23 = 3’,
I3 + 23 + З3 = 6s.
— А потом будет 102.
— Затем 152. Ты ведь только что раскладывал число 225, так вот тебе
для него еще одно разложение, — добавил Вася.
Вовка тут же написал:
1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.
— А если, — добавила Наташа, — ты теперь еще сличишь твое пер-
вое разложение числа 225 на сумму нечетных чисел с тем, которое ты
сейчас получил, — внимательно, конечно, посмотришь! — то можешь по-
нять, как получается то Никомахово правило насчет кубов, которое ты
нам недавно рассказал.
Вовка уставился на свои записи, что-то шептал, а подсказывать не
позволял. Наконец он отодвинул тетрадку. На лице его было написано
полнейшее удовлетворение.
— Тебе, Вова, — сказала Веточка, — кажется, понравилось Ната-
шино веселое кувыркающееся число. А не хочешь ли посмотреть еще на
одно число, которое «ходит колесом»?
— Хм... — произнес Вовка. — А какое же это число?
— Это знаменитое число 142 857. Начинается с того, что если его ра-
зорвать пополам и обе половинки сложить, получится
142 + 857 = 999.
217
Если разорвать его на три части и сложить их, получим
14 + 28 + 57 = 99.
Но самое интересное получается, если это число умножать на разные
однозначные множители. Попробуй-ка! Умножай на единицу, на три, на
два, потом на шесть, на четыре, на пять и наконец на семь.
Вовка попробовал. И вот что у него получилось:
142 857 . 1 = 142857,
142 857 • 3 = 428571,
142857  2 = 285714,
142 857  6 = 857142,
142 857  4 = 571428,
142857 • 5 = 714 285,
142857  7 = 999999.
— Интересно! — пробормотал Вовка. — Цифры все те же, только ко-
лесом идут. А вот если на семь? .. Тут уж не то?
— Потому что это число представляет собой период той десятичной
периодической дроби, которая получается, если попробовать -j- изобра-
зить десятичной дробью. Нечто в том же роде, но не совсем, получится
от Но там получится два разных столбика. Ну-ка, попробуй!
Вовка получил период который оказался равен числу
± = 076923,
1 о
а потом получил два таких столбика чисел:
1 . ± = 076 923, 10	2 • ±=153846, 10
3 • ±=230 769, 10	5 . ± = 384615,
4  ± = 307 692, 10	6 • ± = 461 538,
9 • ± = 692307, ю	7 • ± = 538461, 10
10 • ± = 769230, 10	8  ± = 615384.
218
В одном столбике вертелись пять цифр с нулем, а во втором — целых
шесть цифр. Выходило так, будто возьмешь цифру или две от начала или
от конца и переставишь их на другой конец.
— Мы о таких перестановках говорили, — напомнила Веточка. — Это
круговые, или циклические, перестановки.
d
Глава двадцать первая
Кот Теренций спасается бегством. — Один раз даже и сам Ферма
ошибся, но Эйлер его поправил. — Число, длиннее земного экватора
в шесть биллионов раз. — Двадцать один нуль и сто тридцать пять ну-
лей.— Метод сравнений спешит на помощь академикам. — Машина ста-
вит бедного Вовку в угол носом, после чего они с Васей сооружают не-
виданный аппарат.— Изобретатели являются на поклон к президенту.—
Додекаэдр и железный колчедан. — Пирамидальный куб. — Как пере-
кроить одну фигуру в другую.—Равносоставленные фигуры.—Архи-
медова игрушка. — Снова центральная симметрия. — Боковые и диаго-
нальные числа. — Правило и путь к нему. — Как плыл по Нилу огром-
ный кирпич, как рос многометровый барельеф и какое все это имело
отношение к египетской квадратуре круга.
1
После обеда как-то девочки вместе с Васей пришли звать своих дру-
зей на новую экскурсию, но ребята замешкались, начав перебирать свои
книжки. Внезапно с севера рванулись один за другим резкие порывы
ветра, на дворе потемнело и сразу похолодало.
220
Кот Теренций довольно поспешно соскользнул со своего наблюдатель-
ного пункта на самом верху шкафа, спрыгнул не очень-то ловко на пол
и проворно шмыгнул под кровать в самый темный угол.
— Труса празднуете, батюшка Терентий Васильич! — сказал ему
укоризненно дедушка Тимофей Иринархович.
Небо закрыла огромная темно-лиловая туча с клубящимися белесо-
ватыми краями. Березы в испуге начали метаться в темнеющем небе,
роняя листья, которые понеслись высоко-высоко. Вдруг на миг с необыч-
ной пронзительной яркостью блеснуло и тут же с трескучим грохотом
разорвался сильнейший удар грома, потрясший всю маленькую тускарев-
скую дачку до последнего бревнышка.
— Мама! — перепуганно вскрикнул Вовка. — Мамочка! Что такое?
— Гроза, Вова! — ответила мама так спокойно, что все невольно за-
улыбались.—А зато потом какой воздух будет, чистый и душистый...
А за окнами бушевал ливень, заволакивая все какой-то молочной
мглой, а струи с крыши трезвонили по только что подставленным ведрам
и бубнили басом в большую бочку. Ветер свистел резко и обрывисто, а по
крыше барабанило все громче и громче.
Вовка посмотрел в окно и вдруг воскликнул:
— Да это град пошел! И, смотри, какой крупный! ..
А когда гроза, громыхая и сверкая, ушла со своим градом к югу, дож-
дик лил все с тем же упорным постоянством и, видно, зарядил всерьез.
Лева прошелся по комнате со скучающим видом, не зная, чем бы
ему сейчас заняться, но в это время Ника его надоумил.
— Лайон,— сказал он,— а что ты собирался у дедушки Тимоши
спросить? Не насчет ли Ферма?
— Да, да, да! — живо откликнулся Лева. — Ведь и правда. Знаешь,
дедушка, я думал у тебя спросить...
— Я вас слушаю, молодой человек! — отвечал ему дедушка.
— ... вот что, — сказал Лева, энергично жестикулируя. — Так, значит,
Ферма просто ошибся, когда говорил, что у него есть доказательство его
теоремы?
— Трудно сказать, — отвечал дед. — Разумеется, все, что сделано
для доказательства его великой теоремы, было достигнуто средствами,
которыми он не располагал, которых он просто не мог иметь в руках. Это
так. Но, с другой стороны, может быть, какой-то подход у него был?
Трудно сказать. Видишь ли, Лева, в науке очень важно умение последо-
вательно и точно рассуждать. Но не менее важна способность такой
тонкой сметки, которая помогает догадываться, не столько, как оно есть,
а сколько, как должно быть. В науке человек всегда исследует что-то но-
вое, пробирается туда, куда пути еще не проложены.
— Да, это я себе представляю, — медленно выговорил Лева.
— Начинается наука, конечно, с того, что так или иначе практически
решено. А раз решено — значит, и обдумано. Но потом все усложняется.
221
И надо находить способы обходить трудности, достигать решений там,
где совсем еще ничего не известно. И вот тут-то сметка, способность до-
гадываться, как бы заглядывая вперед, очень важна. А Ферма был заме-
чательный ученый. Он, наверное, и догадывался... Вот что! До сих пор
во всех его работах пока была обнаружена только одна ошибка. Нашел
ее тот же самый русский академик Эйлер.
— А какая ошибка? — заинтересовался Вася.
— Ферма полагал, что если число 2 возвести в степень, которая сама
является степенью того же числа 2, а к результату, то есть к 22” приба-
вить единицу, то мы обязательно получим простое число, то есть
такое...
— ...у которого нет никаких делителей, кроме самого себя и едини-
цы, — подсказала Наташа.
— Первое простое число после единицы будет 3. Как оно получается?
22° будет равно 21, так как всякое число в нулевой степени — единица.
Значит, 2 4-1=3, а это простое число. Второй показатель будет первой
степенью двух, 2г\ добавим единицу, получим 5, снова простое число.
Затем 2г2 это 16, с единицей выходит 17, простое число. Потом 2г3. это
будет 2s, то есть...
— ... 256! — громко заявил Вовка.
— Правильно! Значит, выходит 257. Это опять простое число. Дальше
224 или 216...
— Ого! Это уж я не помню,— сказал Вовка.
— 216 будет 65 536. Прибавим единицу, получим 65537. И это простое
число. Далее — 225 равно 232, то есть 4 294967 296.
— Четыре биллиона с лишним! — воскликнул Вовка. — Записываю!
— Прибавим единицу, получаем 4 294 967 297. Эйлер, который много
занимался теорией чисел, нашел, что число, которое мы только что с ва-
ми написали, не простое. Оно делится на простое число 641, а в частном
получается еше одно простое число, 6700 417. Так была найдена единст-
венная ошибка Ферма. Что это действительно так, можно доказать при
помоши сравнений1, о которых мы уже с вами говорили. Эйлер на-
шел теорему, которая утверждала, что у чисел Ферма могут быть простые
нечетные делители вот такого вида: 2-2"z-|- 1; для нашего последнего
числа таким делителем будет число вида 64z-|~ 1. Подставляя в эту фор-
мулу вместо z натуральные числа и отбирая те, при которых получаются
в результате простые, Эйлер нашел ряд чисел: 193; 257; 449; 577; 641...
и, пробуя их одно за другим, убедился, что наше число делится на 641,
соответствующее значению г — 10. Вот как это произошло!
— А дальше? — спросила Веточка.
1 См. главу XI, разделы 5 и 6.
222
— А дальше эти числа Ферма исследовали тоже до самого послед-
него времени. Самое большое из рассмотренных чисел этого рода было
такое:
2273 + 1.
В нем довольно много цифр, а именно больше, чем 1021. Теперь слушай,
Вовочка, внимательно: подробности об этом числе специально предназна-
чаются для тебя! Если ты напишешь это число цифрами, и каждая буква
будет в миллиметр шириной, то оно будет в 6 • 109 длиннее земного эква-
тора. ..
— Шесть биллионов раз! — воскликнул Вовка.
— ... и если на каждую цифру, для того чтобы ее написать, тебе по-
надобится хоть полсекунды и ты будешь писать не отрываясь день и ночь,
то на это приятное и полезное занятие у тебя уйдет 2 • 1014 лет...
— Десять в четырнадцатой! — сказал Вовка. — Какое ужасное число!
— Не так страшно! Сотни триллионов, не более того. Но теперь по-
думайте о том, что способ сравнений, о котором мы вспоминали, не оста-
навливается и перед таким великаном. И этим способом было доказано,
что это тоже число не простое. У него есть делитель, который равен числу
5 • 27s + 1.
Вот какие задачи можно решать с помощью этого способа сравнений.
— При чем тут сравнения? — в недоумении пробормотал Лева.
— Да, видишь ли... — начал дедушка, но остановился, спохватив-
шись.— Впрочем, постой! Я ведь и забыл совсем: мне дядя Ваня про-
шлый раз сунул одну бумажонку полезную. Где это она у меня? Неужели
дома оставил?.. Нет, стой, попалась! Вот она, голубушка. Тут, брат
Вовушка, еше есть такие великаны, что посмотришь — шапка с головы
валится. Так вот: я уже говорил, что после Эйлера нашли еше несколько
составных чисел Ферма. Вот каков в них показатель п: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 16, 18, 23, 26, 38 и 73. Как уже говорили, самое большое — 73. И мы
с тобой все это обсудили. А теперь эту задачку дали решать современным
электронно-счетным машинам. И когда этот Считала-Богатырь взялся
своими молниеносными электромозгами ворочать, так он скоро нашел
еше немало составных чисел Ферма, для которых п равняется: 39, 55, 63,
117, 125, 144, 150, 207, 226, 228, 268, 284, 316 и 452. Итак, самое большое
из найденных до сих пор составных чисел Ферма таково:
22*и+1.
В нем не меньше чем 10135 знаков.
— Сто тридцать пять нулей!—сказала Наташа. — Чуешь, Вовочка?
— Ох! — глубоко вздохнул Вовка. — Вот это да! Уж действительно...
223
А он, этот Считала-Богатырь, все сам сосчитал? Ему велели —он и счи-
тает? Так, дедушка?
— Не совсем, конечно, так, Вовушка, — отвечал дед. — Пришел его
поводырь-математик, запряг его и велел ехать в эту сторону. Богатырь
послушался, повез, куда велели. Вот они вдвоем и привезли тебе оттуда
такую кучу нулей. Известен один из делителей этого колоссального чис-
ла. Оно, кстати, примерно в сто четырнадцать раз больше того числа, ко-
торое мы только что обсуждали. Этот делитель равен 25  2't55 + 1, и зна-
ков в нем сто тридцать девять. Выходит, что Ферма оказался неправ.
Однако среди его чисел было немало и простых: из первых ста семна-
дцати натуральных чисел девяносто девять оказались простыми! И толь-
ко восемнадцать — составными, то есть около шестнадцати процентов.
Не так плохо для ученого XVII века, у которого не было не только чудо-
действенной электронно-счетной машины, но даже простого арифмометра.
— Да уж!—не мог не согласиться Ника. — А дальше ведь лучше
выходит. На триста с лишним чисел после ста семнадцати всего десять
составных, около трех процентов!
— Интересно! Надо бы нам как-нибудь еше подробнее поговорить
о простых числах,— предложила Наташа.
— Да, — отвечал дед, — не мешает. Ведь из простых чисел умноже-
нием получаются все натуральные числа. Так что они являются как бы
основными элементами, из которых образуется каждое целое
число. Еше Евклид ими занимался... Кстати, было высказано впослед-
ствии предположение, что выражение Ферма (22”+ 1) дает, хотя и не
подряд, бесчисленное множество простых чисел. Предположение это не
доказано, но и опровергнуть его никто не мог.
2
— Все это так, — произнес Лева недоуменно, — но я не пойму, ка-
кое отношение могут иметь сравнения к таким вопросам? Конечно, они
относятся к делимости, это я знаю, но...
— Эх! — сказал дедушка. — Ну так и быть: попробуем разобрать,
как можно доказать с помощью метода сравнений, что Ферматово-
Эйлерово число, 4 294 967 297, действительно делится на 641. Надо ска-
зать, что метод сравнений, построенный Гауссом, во многом напоминает
равенства и в том, что касается сложения, вычитания и умножения, с ни-
ми можно обращаться, как с равенствами. Кроме того, к любой части
сравнения можно всегда прибавить или вычесть из нее число, кратное
модулю, и ничего не изменится. Если у нас есть сравнение
7ml (mod 3),
224
то я могу написать с равным правом такие сравнения:
13=1 (mod 3); (13 = 7 + 2 • 3),
или
7 = 4 (mod 3); (4=1+ 3).
— Минуточку! — попросила Веточка. — Как же это получается?..
Впрочем, кажется, поняла: действительно, если разность правой и левой
частей сравнения должна делиться без остатка на модуль, то... Так и вы-
ходит, потому что:
7-1=6; 13-1 = 12; 7-4 = 3,
а дальше все ясно:
6 = 3 • 2; 12 = 3 • 4; 3 = 3 • 1.
Все верно!
— Конечно! — согласился дедушка. — Ну, теперь попробуем разо-
брать это доказательство... Разумеется, Лева, во всяком деле надо иметь
сноровку, а она, как ты понимаешь, дается упражнением. Итак: дано
число (232+ 1), и надо выяснить, делится ли оно на 641? Мы попробуем
представить число 641 в виде суммы:
641=640 + 1=5 • 128 + 1=5 • 2’ + 1.
Затем попытаемся подобрать еще одно разложение 641, такое, чтобы
в нем опять-таки участвовали оба эти числа, 2 и 5. Тогда получим
641 = 625 + 16 = 54 + 24.
На основании нашего первого разложения мы строим сравнение
5 • 27 = — 1 (mod 641).
Почему у единицы стоит знак минус, я думаю, понятно: она попала из
левой части сравнения в правую и, естественно, переменила знак. Срав-
нения можно возводить в любую степень. Мы возведем обе части нашего
сравнения в четвертую степень. Почему в четвертую? Потому что во вто-
ром разложении стоят числа в четвертой степени, а нам надо к ним при-
близиться. Итак, возводим: 5
54 • 228=l(mod 641).
15 Архимедово лето
225
Единица потеряла свой знак из-за степени. Теперь беремся за второе раз-
ложение и на его основании пишем
54=« —24(mod 641).
Поскольку это так, то мы можем просто подставить в наше первое
сравнение вместо множителя 54 множитель (—24). Получаем
-24 • 228=l(mod 641),
или
-2S1=1 (mod 641).
Таким образом, мы получили все, что нам требуется. Переносим единицу
в левую часть и меняем знак:
283 + 1 H=0(mod 641).
Что и требовалось доказать. Ну, Лева, доволен ты или нет?
— Кажется, сыт! — ответил за него Вася.
— Что-то начал разбирать, —ответил Лева.— А очень интересные
эти сравнения. Надо бы позаняться. Честное слово, надо!
— Позвольте, дедушка Тимоша, — сказал Ника, — если при п = 452
число Ферма получается составное, то, очевидно, при п = 451 оно полу-
чается простое? Так я рассуждаю или нет?
— Так, — отвечал Тимофей Иринархович.
— Но если это так, — продолжал с воодушевлением Никита, — и если
число
простое, то, сколько я понимаю, громадное простое число, которое вы нам
показывали раньше *, когда мы обсуждали числа Мерсенна, в частности
семнадцатое Мерсенново число, равное
22281 _ |
есть самое большое из Мерсенновых чисел.
— Перебью тебя, — заметил дедушка. — Дело в том, что в 1957 году
в Швеции найдено было восемнадцатое Мерсенново число, а стало быть,
и восемнадцатое совершенное число, которое будет
* См. главу X, раздел 9.
226
— Записываю! — важно ввернул Вов-
ка.—И что ты, дедушка, раньше не ска-
зал, прямо удивительно!..
— Отлично! — согласился Ника. —
Пусть степень двух будет для восемна-
дцатого Мерсеннова числа 3217. Но все
равно, теперь, когда найдено это ко-
лоссальное составное Ферматово число,
нельзя уже считать восемнадцатое Мер-
сенново число ни самым большим из изве-
стных простых чисел, ни даже очень боль-
шим, как это ни странно слышать! Так я
рассуждаю или нет?
— Так, — отвечал ему дед. — В восем-
надцатом Мерсенновом числе около двух-
сот знаков, а в Ферматовом при п = 451
получается побольше. Кстати сказать, в
настоящее время некоторые исследова-
тели приходят к выводу, что, по всей
вероятности, чисел Мерсенна, а значит, и
совершенных чисел, существует не беско-
нечное множество, а конечное число.
— По-моему,— сказала Наташа,—тут
просто разобрать можно, когда сравни-
ваешь эти два числа, о которых нам сей-
час говорил Ника. В первом случае пока-
затель степени двух равен двум, возве-
денным в степень 451. А во втором
случае степень двух равна 3217. Выразив
это число как степень двух, получаем 11.
А ведь 11 меньше 451 в сорок один
раз.
— Ох уж эти машины! — застонал Вовка. — Мне так хочется, чтобы
у меня была такая машина!
— Н-да! — ехидно сказал ему Лева. — Ты сядешь с ней в шахматы
играть, а она тебе даст ферзя вперед да и вздует! И скажет громкогово-
рительным голосом: «Поди стань в угол носом, играть не умеешь, а ту-
да же!..»
— Ну да! — возразил Вовка недоверчиво.
— А что ты думаешь? — ответил ему Вася.— Ты слыхал, как один
знаменитый американский шахматист—настоящий гроссмейстер, на меж-
дународных турнирах первые призы брал! — сел с машиной играть и
выиграть у нее не смог, ничья получилась!
— Вполне ферзя нашему брату даст, — заключил Ника.
15*
227
Вовка растерянно посмотрел на брата, на смеющиеся лица ребят и
замолк со вздохом *.
— Не робей, Вова, — сказала ему Веточка, — все в свое время.
— Кто усидчив и проворен — тот нигде не пропадет... — пробормотал
себе под нос Ника.
— Что-о? — в недоумении протянул Вовка.
— Опять стишки! — засмеялась Веточка.
— Ну, вот как будто кое-что и разобрали, — заметил Ника, степенно
поднимаясь с места, словно и не слыхал того, что сказала Веточка.
Наташа подошла к Вовке:
— Ну, секретарь, как дела у нас с тобой идут? Как у тебя там на-
счет теоремы Ферма? Еще не вышло?
— Не знаю! — озабоченно проговорил Вовка. — Да вот дедушка го-
ворит: ты обожди, поспеется... Может быть, и правда так* 2.
Вовка пожал плечами, не зная, что сказать.
— А я,— сказала Наташа, —еще тебе одну штучку приготовила. Не
очень хитро, а зато полезно. Не хочешь ли?
— Показывай! — сказал Вовка, оживившись немедленно.
— Ты нам очень хорошо рассказал, как из нечетных чисел кубы де-
лать. А как из нечетных чисел квадраты делать, ты знаешь?
— Ну да! — храбро заявил Вовка, но вдруг сбавил тон,—То есть, ви-
дишь ли, я, конечно, знаю... Все время про это помнил... Ах да, постой,
вспомнил: нечетные надо складывать!
— Почему это получается?
— Почему получается? .. —И Вовка тяжело вздохнул.— Да уж так!
— Вот что, — отвечала ему девочка. — Ты помнишь формулу для
квадрата суммы?.. Давай сперва напишем нечетное число алгебраи-
чески, то есть не какое-нибудь отдельное нечетное число, а вообще не-
четное число. Это будет 2пЦ- 1; вместо п можно поставить любое число,
все равно выйдет нечетное.
Вовка посмотрел, пошептал что-то, подумал. И наконец согласился.
— Теперь возьмем какое-нибудь число. Назовем его п. Следующее за
ним число (п-ф-1). Возведем оба эти числа в квадрат и первое вычтем
из второго. Второе будем возводить в квадрат по формуле квадрата сум-
мы: (n2-|-2n-|- 1) — п2. Что же у нас теперь получится? Один п2 стоит
с плюсом, другой такой же п2 — с минусом. Стало быть, они друг с дру-
гом уничтожаются. Останется 2n-j- 1. А что это такое?
— Нечетное число.
— Ну вот! Разность двух последовательных квадратов есть нечетное
• См. книжку Н. А. Архангельского и Б. Н. Зайцева «Автоматические цифровые
машины». Серия «Популярные лекции по математике». М., Гостехиздат, 1958, вы-
пуск 28.
2 Немало интересного наш читатель найдет в книге В. Литцмана «Теорема Пи-
фагора». М., Физматгиз, 1960.
228
число. Из четырех вычесть единицу — три, из девяти
четыре — пять и так далее.
— Верно.
— Если это верно, то, складывая нечетные числа
одно за другим, ты и будешь получать все квадраты.
— Хорошо! — сказал Вовка. — Просто я сразу не
мог вспомнить, а теперь получу все квадраты...
— Богатый будешь! — сказал ему, улыбаясь, Вася,
который незаметно появился около них.
— Ас теоремой Ферма я уж, пожалуй, не буду торопиться! — вздох
нув, решил Тускарийский секретарь.
— Куда она от нас денется? — отвечал ему Вася. — Небось подождет.
— Тебе, Вовочка,—добавила Наташа, — ясно, почему так с квадра-
тами получается?
— Ну, потому что так выходит по формуле твоей.
— Это верно, Вова. Но можно и попроще рассудить. Представь себе,
что ты нарисовал квадратик на клетчатой бумаге. Сколько в его стороне
клеток —не так важно. Но это квадратик —значит, стороны одинаковые.
— Конечно, одинаковые.
— Правильно! Теперь ты вздумал свой квадратик увеличить с каж-
дой стороны на одну клеточку. Ну-ка, скажи: сколько тебе придется
тогда клеточек к нему пририсовать?
— Сколько? Ну, еще я полоску пририсую сбоку и снизу, а ширина
полоски в одну клеточку.
— А полоски будут одинаковые сбоку и снизу?
— А-а! — сказал Вовка. — Теперь догадался, что ты придумала. По-
лоски-то будут такие же, только в уголке придется еще одну клеточку
поставить.
— Ну вот и всё! — сказала Наташа.—Твой квадратик первый был
со стороной равной п, и ты к нему прибавил один раз п, и еще раз п, да
еще единицу. И вышло 2 п -ф-1, то есть нечетное число. Просто и ясно!
— Ловко вышло! — с удивлением признался секретарь. — Просто здо-
рово. Как бы опять не забыть...
— Запиши подробно, — посоветовал Вася. — Чертеж сочини, вот и не
забудешь. Хочешь, я тебе еще покажу, как среднюю пропорциональную
найти без циркуля... то есть не совсем без циркуля, но не проводя по-
луокружности? Показать?
— Давай! — отвечал секретарь. — Как раз у меня в тетради осталось
ровно полстранички, я запишу.
Тут Вовка оглянулся, встал на цыпочки, приложил обе ладони к губам
и шепнул на ухо Васе. Да так это вышло громко, что Вася даже помор-
щился.
— Да это ведь не та совсем тетрадка, Сизарь! Ты понимаешь?..
— Надейся на меня, как на каменную гору!. . — шепнул Вася Вовке,
229
затем он стал громко объяснять среднюю пропорциональную: — Чертеж!
Значит, берешь прямую. На ней откладываешь одну твою величину,
пусть она будет АВ, и тут же от той же точки А откладываешь в ту же
сторону другую величину, она будет АС. А теперь от точки В в другом
направлении ты откладываешь величину BD, которая будет равна АС.
Значит, ты вторую величину сперва откладываешь от точки А направо,
потом еще раз от точки В налево. Понял?.. А теперь берешь циркулем
величину АС и отмечаешь точку Е, ставя ножку циркуля сперва в D, по-
том в С. И тогда у тебя отрезок АЕ будет средней пропорциональной
между отрезками АВ и АС. Почему? Потому что АЕ для одного тре-
угольника, АЕС, — основание, а для
другого, АЕВ, — сторона, а тре-
угольники вроде одинаковые, только
у одного стороны побольше. Такие
треугольники называются подоб-
ными. Углы у них равные. Разо-
брать можно! Попробуй. Это один
ученый в XVII веке выдумал. Звали
его Фомой, а по фамилии Строд.
Ловко придумал!
— Хорошо! — прошептал секре-
тарь.
— А насчет сложений твоих квад-
ратов, — продолжал его товарищ, —
я вот что тебе предложу. Достанем-ка мы гладкую дощечку — ну хоть
фанеры обрезок! — и выпилим квадратик. Отметим точку А: вся сторона
квадратика у нас будет семнадцать сантиметров, а точка А ее разделит
на две части; маленькая часть будет пять сантиметров, которая поболь-
ше — двенадцать сантиметров. Можно все эти числа помножить на два,
тогда стороны будут равны: тридцать четыре, десять и двадцать четыре
сантиметра. Но это неважно. Какая дощечка попадется, посмотрим.
— Постой-ка, Сизарик! — сказал Вовка. — Подожди. А где точку
ставить и какие числа в длину брать? Ну-ка, Сизый, расскажи мне!
— Тут так... — начал Вася. — В большом квадрате, который мы раз-
резаем, сторону назовем твоей любимой буквой а, а сторона другого
квадрата, который мы хотим прибавить к первому, пусть будет Ь. Понял?
Вовка с готовностью кивнул.
— Ясное дело, что наше а больше Ь. Теперь надо разбить а на две
части: одна поменьше, другая побольше. Которая побольше, та будет
—2~ > а которая поменьше — тут уж легко сообразить! Она будет
а 4- b	1а — а —Ь	а —Ь
1	2	2	2 •
230
Сторона квадрата KAF = а, часть ее АК= (а-\-Ь): 2; надо найти,
чему равны поверхности всех четырех квадратов, изображенных на
первом и на последнем чертежах.
Вот тебе и всё! Когда мы с тобой все это рассчитаем, то распилим до-
щечку по линиям АС и BD, как ты на чертеже и делал. Потом мы в точ-
ках В, С и D приладим петельки, а можно прибить и кусочки ремешка,
и тогда опять квадрат будет целый. Когда готово, ты берешь за точку А
и начинаешь поворачивать первый кусок AFBE против часовой стрелки,
пока отрезок BF не упрется в отрезок BG. Тогда двинется второй кусок —
BGCE, и вслед за этим будут поворачиваться два куска: первый — AFBE
и второй — BGCE, пока отрезок GC не упрется в отрезок СН. Тогда при-
дет в движение третий кусок дощечки, ECHD, пока отрезок HD не оста-
новится около отрезка DK. Если начнешь поворачивать обратно, опять
то же самое получишь. Чтобы все это держалось крепче, можно послед-
ний кусок, AEDK, закрепить на другой дощечке двумя шурупами или
просто приклеить и нижнюю дощечку взять потолще и побольше —так,
чтобы все остальные куски ходили вокруг неподвижного
— Ох! — еле вымолвил Вовка, схватив друга за руку. — Правда, сде-
лаем? Да разве у тебя есть лобзик? И выпиливать ты умеешь?.. А до-
щечка?
— Эка невидаль, дощечка! — отозвался Вася.
8
Пробежало незаметно еще несколько летних дней. Иногда было пове-
селее, иногда поскучнее. Как-то два дня подряд Ника ходил взъерошен-
ный, беспрестанно пожимая плечами, ибо умудрился проиграть Васе
партию в шахматы, имея лишнего коня. Правда, он не заметил —то есть,
вернее, заметил, но не оценил! — одной дальней пешки у Васи, которая
почему-то оказалась очень резвой, а когда Ника обнаружил это, она уже
была далеко.
Вася с Вовкой пропадали неизвестно где по целым дням и совсем
уже онемели, ибо предпочитали объясняться только никому не понят-
ными знаками. На других они глядели рассеянно и отвечали преимуще-
ственно невпопад.
Как-то утром Лева подошел к Тимофею Иринарховичу.
— Да, дедушка, — сказал он, наклонившись к своему наставнику,
который не торопясь возился с бобами, разросшимися и совершенно
перепутавшимися около самой террасы, — ты себе и представить не мо-
жешь, как ты нас всех заинтересовал своими рассказами насчет куба,
квадратуры круга и прочего. Мы теперь, как сойдемся друг с другом,
только об этом и говорим. Замечательно!
Дед полегоньку поднялся на ноги, покряхтывая. В руках у него было
несколько красивых красно-оранжевых цветов. Откуда ни возьмись, по
1 В упоминавшейся уже у нас книге Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп»
можно найти схожее преобразование, где из квадрата получается треугольник.
232
своей воздушной дороге вдруг примчался шмель и сразу уселся на один
из цветков, который дед держал в руках.
— Брось, — закричал Лева, — ужалит!
— Ничего, — отвечал дед. — Зачем ему меня жалить? Он за делом
прилетел. Сделает свое дело и улетит.
Так и случилось. Шмель поднялся с цветка, постоял одно мгновение
в воздухе над другими цветами, не нашел в них ничего любопытного,
поднялся выше и исчез в солнечных лучах.
— Красиво! — залюбовался его полетом Лева.
— Все живое красиво... — задумчиво отвечал дед. — А насчет того,
что я себе «и представить не могу», как вам все это понравилось, так
это, видишь ли, Лева, не совсем так. Я сам, когда со всеми этими про-
блемами понемножку познакомился, тоже был поражен этой картиной
последовательных упорных наступлений человеческого ума на эти труд-
ные и умные задачи. Заметь кстати, что мы когда-нибудь еще с вами —
или с тобой — вернемся к этой теме, так как она не закончена тем, что
я вам рассказал. В дальнейшем, уже в новое время...
— После Гюйгенса?
— Примерно начиная с его времени... начинаются еще более глубо-
кие и тонкие исследования, которые и создали то, что мы называем со-
временной наукой.
— Трудно небось? — спросил подошедший Ника.
— Люди и более трудные вещи одолевают, — ответил дед.—Трудно
вот лопатой землю копать или на весельной лодке по морю в бурю
ходить, это вот действительно трудно. И то, брат, люди добиваются!..
Но человек из этих трудностей понемногу выходит: строит машину, кото-
рая ему землю копает; строит большой корабль, который бури не так уж
боится; организует наблюдения за бурями и по радио предупреждает
суда в открытом море, откуда и куда идет ураган. А исследовать задачу
о кубе по сравнению с такими вещами не так уж трудно. Одолеть
можно.
В это время появился сам ученый секретарь Тускарийский, а с ним
и Вася.
— Добрый день! —сказал Вася.— А у нас целая получилась ко-
миссия! Разбежались мы тут с одной задачкой... да и уткнулись со всего
размаха носом в стену.
— Да, — согласился, разводя руками, Вовка, — уж так мы с Васей
хорошо придумали, а вот почему-то не вышло.
Дед уселся на скамеечку.
— Ну, секретарь, — сказал он, — выкладывай, что вы там наизобре-
тали?
— Дедушка! — горячо начал Вовка. — Мы... то есть я, потому что
это я сам придумал, а Вася... он только сказал: «Что ж, давай попро-
буем». Ну мы и попробовали.
233
— Что же вы попробовали? —
спросил Ника, подошедший к
друзьям.
— Вот куб удвоить... Больше
ничего. Ведь квадрат же удва-
ивается геометрически,—убеждал
слушателей Вовка. — Дедушка
так и сказал, что геометрия по-
могла. Я подумал, что и здесь
можно. Сперва так: я разрезал
куб на восемь частей...
— Эти части называются ок-
тантами, то есть восьмыми частями, — объяснил дед.
— ... а потом подумал, сколько надо таких же частей доложить
еще, чтобы опять куб вышел. Ну и получилось, что два раза надо по
двенадцать добавить да два раза по шестнадцать — это снизу и свер-
ху,— да еще в самом моем маленьком кубе восемь частей, выходит,
всего шестьдесят четыре.
— Четыре в кубе! — заметил Ника.
— Вот то-то и дело, — огорченно сказал Вовка, — что выходит вчет-
веро, а вовсе не вдвое!
— Учетверил, а не удвоил, — подтвердил Лева.
— Тогда Вася и говорит мне, что надо не так... Ну, рассказывай,
Вася, ты сам.
Вася засмеялся и покачал головой.
— Не додумали! — сказал он. — Но все-таки попробовали. Отчего
43=64
За~27
не попробовать? Попытка, как говорится, не пыт-
ка. Мы после этого еще подумали: а нельзя ли
вместо целого куба положить с двух сторон по
четыре кубика, в соединении поставить по два ку-
бика, а верх и низ закончить половинками ма-
леньких кубиков. Но тогда у нас получилось всего
вместе, в новом кубе, двадцать семь единиц.
Опять не то!
— Утроили, — сказал Лева. — Это три в кубе.
Да у вас куб так и не получается!
— Это мы и без тебя догадались! — сердито
ответил Вовка. — Какой ты хитрый!
— Ну, затем мы еще всё надеялись, что одолеем, — продолжал Ва-
ся. — Стали вспоминать, как квадрат удваивается. Режем квадрат на
два равных треугольника и берем таких четыре...
— Ну да! — отвечал Ника. — А дальше что?
— А дальше вот что: мы решили и куб разрезать на равные части.
Провели диагонали крест-накрест. Нашли среднюю точку, где диаго-
наль из одной вершины идет в другую наискось и пересекается с другой
диагональю. Эти диагонали делят куб на шесть частей, каждая вроде
пирамиды.
— Значит, у твоей пирамиды в основании лежит грань куба, так я по-
нимаю? — спросил дед.
— Конечно. Теперь берем другой куб. И приклеиваем к каждой его
стороне такую пирамидку. Шесть пирамидок и шесть граней куба. Полу-
чается тело, объем которого ровно в два раза больше объема куба.
— Очень хорошо вышло, — грустно добавил Вовка. — Получилось
в самый раз. Только... только он совсем на куб не похож этот новый,
который мы склеили!
Дед усмехнулся:
— Сколько у вас таких частей-пирамидок из этого куба получилось?
— Шесть.
— Сколько у куба вершин?
— У куба восемь, — отвечал Ва-
ся. — Это и мы потом сообразили.
— Ну что ж,— сказал дед, — уже
из этого одного соображения ясно, что
куб у вас никак не получится. А потом
ведь у этих ваших пирамидок грани
неравные. Грань при основании равна
единице, а грань при боковой треуголь-
ной стороне меньше единицы. Значит,
это неправильные тела. И, когда сой-
дутся в одной точке шесть вершин
235
Ромбоэдр. Это правильное те-
ло составлено из октаэдра
BCDEFG и двух тетраэдров:
ABCD и HFGE. Ромбоэдрами,
как и кубами, можно запол-
нить пространство. Некоторые
минералы — железный шпат,
марганцевый шпат, цинковый
шпат — образуют кристаллы в
виде ромбоэдров.
таких пирамидок, лежащих каждая у осно-
вания твоей пирамидки, опять новая вер-
шина будет, потому что вровень они сойтись
не могут. Но, если бы они даже и со-
шлись, вышел бы шестиугольник, а не квад-
рат. Вы получили тело, ограниченное ром-
бами. Сколько их? Сосчитать нетрудно.
У вас всего шесть пирамидок, на каждой че-
тыре боковые стороны. Значит, таких сто-
рон двадцать четыре; следовательно, ром-
бов из них выходит двенадцать. Имеется на
свете такое тело, которое называется
ромбоэдр; оно имеет шесть сторон-ром-
бов и составляется из правильного октаэд-
ра— восьмигранника из восьми правильных
треугольников, — к двум наискось противо-
положным сторонам которого добавлены
два тетраэдра. Но ромбоэдр, заметьте, со-
ставлен из правильных тел... Думали вы,
ребята, какова длина ребра одной из верх-
них граней ваших пирамидок?
— Думали, только вычислить не суме-
ли,—ответил Вася.
— Ведь это не так трудно, — сказал
дед. — Давай попробуем. Начнем вот с чего: если я возьму два ребра
куба — одно горизонтальное, а другое вертикальное, то все прямые ли-
нии, выходящие из вершины куба, к которой прилегают оба эти ребра,
и лежащие на вертикальной грани, перпендикулярны к ребру горизон-
тальной грани. Так или нет?
— Кажется, так,— ответил с усилием Вася. — Если я положу уголь-
ник на стол, а потом буду его поворачивать
около большого катета, то прямой угол между
катетами так и останется прямым...
_	— Верно! — согласился дед. — Отсюда я
п делаю вывод, что ребро горизонтальной грани
куба составляет с диагональю горизонтальной
грани прямой угол. Теперь провожу диагональ
1 куба и получаю прямоугольный треугольник.
i Диагональ куба будет его гипотенузой. Диаго-
наль единичного квадрата, который есть грань
единичного куба, равная /2, сторона квадра-
та, ребро куба, равное 1, это катеты прямо-
угольного треугольника. Чему равна его гипо-
тенуза?
236
4
— Сейчас! — отвечал Вася. — Начинаю соображать:
|/(v/2)1 2+l = /3,
\/з
затем делим пополам, получаем , вот эта величина и будет как раз
длиной верхнего ребра нашей пирамидки.
— А угол при основании вашей пирамидки примерно будет равен
57°30'. Если сложить шесть таких углов, получится в общем триста сорок
пять градусов, а этого не хватит, чтобы заполнить плоскость вокруг точ-
ки, ибо для этого требуется триста шестьдесят градусов, а следовательно,
это будет вершина. Между тем — вспомните-ка! — когда вы делили ква-
драт на четыре части, то углы получались прямые: четыре прямых запол-
няют плоскость вокруг точки, ибо 4 • 90 = 360, а с пирамидками, равными
по объему одной шестой куба, этого не получается. Это тело составлено
из шести октаэдров. Однако октаэдры эти неправильные, потому что
у правильного октаэдра двенадцать равных ребер, а у ваших —восемь
ребер, равных ХД, и четыре ребра по единице. Так что опыт ваш удался
только в известной мере: вам удалось составить почти правильное тело,
ограниченное почти правильными ромбами, равное по объему удвоен-
ному кубу, но само оно, как вы видите, не является кубом. То, что воз-
можно на плоскости — с квадратом, вовсе не обязательно возможно
в пространстве, ибо там все соотношения гораздо сложнее. Вот, напри-
мер, известно, что если разрезать любой многоугольник на плоскости
определенным образом по прямым, на куски, то всегда эти куски можно
так сложить, что из них выйдет квадрат. Если нам дан многогранник и
мы разрежем его плоскостями на отдельные куски, то невозможно сло-
жить из этих кусков куб. Из-за этого так трудно вычисление некоторых
объемов, ограниченных плоскостями.
— Так! — сказал Лева. — Хорошо, дедушка. А почему ты говоришь
«почти правильное тело»?
— Да потому что, если вспомнить ромбоэдр, о котором я говорил,
то его грани — такие ромбы, что не только стороны их равны, но и ма-
лая диагональ также равна стороне. А у ваших стороны меньше малой
диагонали.
— А все-таки, дедушка, — сказал Вовка, поглядывая на свою бумаж-
ную модель, — он красивый, этот наш двенадцатигранный ромбоэдр
1 Читатель получит представление об этом любопытном многограннике, если, за-
пасись небольшим количеством плотной бумаги, клея и терпения, он сам склеит такой
многогранник.
237
— Этот многогранник, — добавил Тимофей
Иринархович, — у минералогов и ученых, за-
нимающихся наукой о кристаллах, называется
пирамидальным кубом, и есть на свете
минералы, которые образуют кристаллы этой
формы. Историки математики полагают, что
в Греции изучение додекаэдра, двенадцати-
гранника с гранями, которые суть правильные
пятиугольники, началось с разработкой ита-
лийских железных руд, состоявших из желез-
ного колчедана — пирита. Отдельные кристал-
лы пирита как раз и представляют собой до-
декаэдры. Иногда минералоги добавляют:
«пентагональные», чтобы указать, что грани —это пятиугольники. Имен-
но там древние ученые впервые увидели эти красивые, довольно хрупкие
кристаллы светлого латунно-желтого цвета с металлическим блеском.
При ударе по ним железом сыплются искры с резким серным запахом.
Ученые не могли не обратить внимания на затейливую и в то же время
совершенно правильную форму этих кристаллов. Греческие ученые
много занимались задачей правильных тел. «Начала» Евклида кон-
чаются этой задачей.
— Вот интересно! — воскликнул Лева.
— Да уж, — поддержал его Никита-Кожемяка, председатель Туска-
рийский, — нельзя спорить. Начали люди копать железную руду...
— Не забудь, что с этого времени, с наступлением железного века,
человек и начал уже всерьез освобождаться от рабского подчинения при-
роде! — добавил дед.
— Вот именно!.. — продолжал Ника. — Копает он руду и вдруг на-
ходит такую замечательную геометриче-
скую фигуру, как додекаэдр! Поневоле по-
думаешь, что сама природа учила геомет-
рии и заставляла человека размышлять над
формой тел.
— Еще бы, еще бы!—согласился дед,—
И вот что можно к этому добавить. Не толь-
ко природа и не одна природа, а еще в
гораздо большей степени — т р у д. Как го-
ворили древние греки, сама необходимость
была матерью изобретения. И это не шут-
ки, а очень поучительное сказание. Планы
строений дошли до нас еще от древнего
Египта. Значение формы различных ору-
дий или частей сооружений тоже было за-
мечено в глубокой древности. Одна и та же
238
доска, положенная и поставленная на ребро,
имеет различную прочность. Что лодку, стрелу
или бумеранг надо делать определенной формы,
тоже давным-давно было известно. Что вход в
шалаш должен иметь форму равнобедренного
треугольника, люди давно догадались. Все эги
неизбежные правила, мимо которых пройти не-
возможно и которые так или иначе касаются
формы разных насущно необходимых предметов,
и заставили человека на практике заниматься
геометрией.
— Да, — согласился Ника, — выходит, что са-
мые основания науки уже с давних пор посте-
пенно накапливались у людей...
— Насчет того, — сказал еще дедушка, — как
вообще из кусков одного геометрического тела составить другое, можно
указать, что если, скажем, взять тетраэдр и равновеликий ему куб, то
нельзя эти два тела перекроить плоскими разрезами так, чтобы из
кусков одного сложить другое. Из-за этого-то и трудно вывести, напри-
мер, объем пирамиды. В качестве исключения можно привести пример
таких перекраивающихся тел: это равновеликие прямоугольные
параллелепипеды и равновеликие призмы.
— Прошу пояснить! — мрачно заметил Лева. — Не понял.
— Представь себе, — объяснил Тускарийский президент, — что ты пе-
рекраиваешь прямоугольник в квадрат. Это можно сделать различными
способами. А затем ты просто выпиливаешь такой же прямоугольник из
толстого бруска, который таким образом, не меняя формы своих основа-
ний, приобретет вышину...
— Толщину! — подсказал Вася.
— Можно сказать и толщину. Так и делается во всех головоломках
на составление разных фигурок из разрезанного на куски квадрата.
Куски именно такого параллелепипеда ты и можешь переложить так,
чтобы получился параллелепипед иной формы. Здесь просто копируется
плоскостной случай при помощи утолщения той плоскости, на которой ты
рисуешь прямоугольник. С призмами дело обстоит немного сложнее. Но
и в этом случае ты убеждаешься, что основание призмы равносоставлено
с некоторым прямоугольником, отсюда уже идет и все дальнейшее.
— Как надо понимать это слово «равносоставлено»? — спросила На-
таша.
— Если у нас есть два таких многоугольника, что их можно разбить
на одинаковые многоугольные части, то они называются равносоставлен-
ными. Разумеется, два равносоставленных многоугольника равновелики,
то есть площади у них равные, — отвечал ей дедушка. — На этом чертеже
разбери одно из решений такой задачи в обычной головоломке.
239
s
Китайская древняя
головоломка.
— Вот видишь,
Вовка слушал все это с недовольным видом.
Вдруг он ударил себя по лбу.
— Дедушка, — воскликнул он,— так я это знаю!
Есть такая игрушка — из кусочков дерева состав-
лять разные фигурки. Ты про это, дедушка?
— А как же? — отвечал ему Тимофей Иринархо-
вич. — Игрушка хорошая, очень полезная.
— Нуда, — сказала Наташа, — коробочка квад-
ратная, а в ней фигурки с прямыми сторонами...
— Попросту сказать, — продолжал дед, — квад-
рат разделен прямыми линиями. Об этом сам Архи-
мед писал. Эта его работа называется «Стомахион».
дедушка! — в полном восторге закричал Вовка,—
Значит, даже сам Архимед в эту штучку играл! А когда он играл? Он
тогда маленький был или уже вырос?
— Да, должно быть, и маленький еще играл, — отвечал дедушка.—
Почему бы и нет? Пошла Архимедова мама на базар в Сиракузах да,
кстати, и игрушечку сынишке принесла. Эту игрушку, наверное, задолго
еще до Архимеда придумали. Однако Архимед впоследствии этот квадра-
тик разрезал по-своему: пополам по вертикали, а каждая половина де-
лилась на семь частей, вот как у нас на чертеже. При этом площади
всех маленьких кусочков квадрата находятся в простых рациональных
отношениях с площадью всего квадрата.
— Ты бы, дедушка, — попросил Лева, — показал, как разрезаются
плоские фигуры, чтобы из этих кусочков составлять новые фигуры.
— Довольно интересные задачки получаются, — ответил дедушка.—
Вот вы с Вовой много тут разных сложений квадратиков делали', а те-
перь, брат секретарь, вот тебе еще один совершенно особенный способ
складывать квадраты. Даны тебе два квадрата, у одного будет сторона
равна... Ну, какую ты ему сторону назначишь?
Стомахион Архимеда. 
— Сейчас, — заторопился Вовка, — сейчас ска-
жу. .. Пусть одна сторона будет десять... то есть
нет, пятнадцать! А другая... а другая будет восемь.
— Хорошо! — сказал ему дедушка. — А если
сложить?
— Сложить? — с удивлением сказал Вовка.—
Ах да, ведь складывать надо! Дедушка, ты меня не
путай, пожалуйста, я сам сейчас все скажу. Про-
сто будет 152 и 82 или 225 + 64 = 289. Все верно!
172. — Тут Вовка с облегчением произнес: — О-ох! —
‘См. главу XVIII, раздел 5.
240
и замолчал, оглядев с ви-
дом победителя своих това-
рищей.
— Герой! — сказал ему
Вася. — Выписать ему в по-
рядке поощрения шоколад-
ную медаль за покорение 15
числа 17!
— И то! — согласился
дед. — Придется поразмыс-
лить... Теперь давай дей-
ствовать дальше. Мы на-
рисуем эти твои два квадра-
та рядом: налево большой,
направо маленький. Даль-
ше на левой верти-
кальной стороне боль-
шого квадрата мы на-
рисуем прямоугольный
треугольник. Один его
катет будет совпадать
со стороной большого
квадрата, а другой ка-
тет будет равен сто-
роне малого квадрата.
И еще такой же тре-
угольник изобразим,
только первый у нас
стоит во весь рост сле-
ва, а этот будет лежать
справа, а стороны у
него такие же. Вот смо-
три у меня на чертеже!
Видишь: две гипотенузы этих треугольников делят общую площадь
двух квадратов на пять отдельных кусков. А теперь из этих пяти
кусков нужно сложить еще один квадрат, который и будет суммой двух
начальных. Прекрасное доказательство теоремы Пифагора.
— Сейчас! — еле прошептал снова воодушевившийся Вовка. — Не
лезь ты ко мне, Левка, с твоими этими... Дай лучше ножницы поско-
рей! .. Кажется, не выходит... Да не подсказывай ты! Нет, не склады-
вается. ..
— А ты потихоньку, —примирительно посоветовал Вася. — Куда то-
ропишься? Что у тебя горит, что ли! Ведь надо перехитрить Пифагора.
Вот ты и хитри, секретарь, да половчей!
16 Архимедово лето
241
— Ox, — воскликнул Вовка с облегчением, — вышло! Вот это я по-
нимаю! Вот это действительно настоящее доказательство! Разрезал да
и сложил. Тут хоть кому хочешь покажи, никто ничего не скажет: просто
само собой выходит. Запишу сейчас, всем буду показывать.
— С помощью этого чертежа, — заметил Вася, — можно соорудить
такую дощечку, которая из одного в другое превращается. Возьмем ку-
сок фанеры в форме ABCDEFG и распилим его по линиям AFnFD. В точ-
ках А и D приладим петельки, а затем один кусок повернем по часовой
стрелке, а другой — наоборот. Можно и по-другому.
— Сизарик, — обрадовался Вовка, — давай
пилить!
— Можно то же самое и по-другому сде-
лать,—добавил дедушка. — А с многогранника-
ми так не выходит*. На плоскости можно, а в
пространстве совсем не то получается.
Пришли девочки. Вовка и Вася подробно рас-
/	2 сказали им о своем опыте.
Веточка сказала:
— Есть простой способ получить / 3. Вот смотрите на чертеже: полу-
чаешь среднюю геометрическую из единицы и двух. Этот_перпендикуляр
равен /Т. А гипотенуза треугольника и будет как раз /3.
Вовка стоял смирно и помалкивал, но глаза его сверкали вовсю. Впер-
вые его секреты с Васей доставили ему такое необыкновенное удоволь-
ствие: Веточка рассказывает ему, а он уже об этом знает.
— Э-э, брат, — сказала Веточка, взглянув на него, — ты, я вижу, что-
то хитришь! Ну-ка, признавайся, в чем дело.
Вовка молчал, но не мог удержать улыбку, а Вася, посмеиваясь, отве-
тил за него:
— Мы уже с ним про это говорили...
— Вася,— в притворном негодовании воскликнула Веточка, —как
ты смел?
— Виноват, — покорно ответил Вася, разводя руками, — ошибся!
— То-то, — сказала ему Наташа, — вперед будь умнее!
— «Умнее»! — насмешливо повторил
Вовка. — А вот это ты знаешь?
И Вовка с гордостью продемонстриро-
вал девочкам новое, только что им получен-
ное от деда доказательство теоремы Пифа-
гора.
А
АВ=А'В'
Равносоставленные фигуры.
1 Об этом можно прочесть в книге Д. О. Шкляр-
ского, Н. Н. Ченцова, И. М. Яглома «Избранные за-
дачи и теоремы элементарной математики», часть III.
Стереометрия. М„ Гостехиздат, 1954, стр. 38—42,
187—189.
242
— Да ведь мы давно
уже говорили об этом,—
сказала Наташа. — Ты же,
Вовочка, нам показывал,
как при помощи разрезов
можно переделать треуголь-
ник в прямоугольник1. Мне
кажется, этот чертеж дока-
Равнодополненные фигуры.
зывает, что всякий треуголь-
ник можно переделать в прямоугольник, переставляя его куски 2.
— Мне кажется, — добавила Веточка, — когда мы говорили о дока-
зательстве теоремы Пифагора3, то и там было тоже что-то в этом роде.
Так я говорю, дедушка Тимоша, или нет?
— Да, в общем, так, — отвечал дед, — только такие фигуры, о ко-
торых сейчас вспомнила Веточка, называются не равносоставленными,
а равнодополненными. В чем же здесь дело? А вот в чем: мы бе-
рем два наших квадрата I и II и дополняем их четырьмя треугольника-
ми, из которых каждый равен треугольнику АВС на первом чертеже.
Каждые два таких треугольника состав-
ляют прямоугольник; из двух таких пря-
моугольников и квадратов I и II состав-
ляется большой квадрат на втором чер-
теже, а затем из тех же фигур получаем
и третий чертеж... Мы уже это разбира-
ли. Два квадрата в этом доказательстве
дополняются четырьмя треугольни-
ками, а затем теми же самыми треуголь-
никами дополняется квадрат-сумма на
третьем чертеже. На втором и третьем
чертежах мы видим равные дополнения
разных фигур. Могу еще сообщить вам,
что эти вопросы в конце прошлого века
обсуждали крупнейшие математики мира,
как, например, Давид Гильберт. Они
пользовались древними приемами китай-
ской головоломки при решении сложней-
ших вопросов о сущности геометрии4.
1 См. главу XII, раздел 5.
1 Эти вопросы разбираются в книжке В. Г. Болтянского «Равновеликие и равно-
составленные фигуры», серия «Популярные лекции по математике». М., Гостехиздаг,
1956, выпуск 22.
3См. главу XIII, раздел 1.
4 См. книгу Д. Гильберта «Основания геометрии». М., Гостехиздат, 1948, гл. IV,
§ 18. А также сборник «Об основаниях геометрии». М., Гостехиздат. 1956, стр. 463—
464. «Отзыв А. Пуанкаре о работах Д. Гильберта».
16*
243
Правило параллельного переноса:
фигура F двигается по направле-
нию вектора-стрелки так, что каж-
дая ее точка двигается параллель-
но этой стрелки и на расстояние
Правило центрально-симметри-
чного переноса: фигура пово-
рачивается вокруг точки О, ко-
торая называется центром сим-
метрии, на 180Р. Все точки но-
вой фигуры Fi центрально-сим-
метричны относительно соответ-
ственных точек фигуры F. Точ-
ки А и А' симметричны относи-
тельно точки О.
Только не надо забывать, что речь идет
о плоских многоугольниках. Кстати,
тут есть одна подробность, которой сразу
не так-то просто и поверить. Не только
всякие два равновеликих многоугольника
можно перекроить один в другой прямы-
ми разрезами. Можно еще это сделать
такими разрезами, которые будут со-
ответственно параллельны >. И вот вам
еще чертеж с новым доказательством
теоремы Пифагора (стр. 243).
— Вот интересно! — воскликнула Ве-
точка и даже покраснела, потому что не
ожидала, что так громко проявит свою
любознательность. — А в чем же здесь
дело?
— Дело в том, — откликнулся дедуш-
ка,— что именно ты будешь делать с
этими отдельными кусками фигуры, кото-
рую ты разрежешь. Тебе надо будет их
переложить в другом порядке, не так ли?
— Конечно, — ответил Лева.
— Как же ты будешь достигать этого
другого порядка? Ты можешь, во-первых,
передвинуть данный кусок, не поворачи-
вая его, так, чтобы он двинулся по дан-
ной прямой, и, во-вторых, повернуть его
на сто восемьдесят градусов так, чтобы
этот кусок оказался в центральной сим-
метрии 2 со своим прежним положением.
Если ты будешь передвигать разрезанные
куски только этими способами, то тогда
можно достигнуть параллельности раз-
резов.
— Почему это?! — воскликнул Лева.
— «Почему»? — повторил дедушка.—
Причина этого, в общем, довольно про-
стая. Если ты вспомнишь, что такое цен-
тральная симметрия — мы об этом гово-
рили, и примеры у нас были,— то вскоре
догадаешься, что если дважды повернуть
1	Доказательство читатель найдет в упомяну-
той книге В. Г. Болтянского, стр. 15.
2	См. главу XI, раздел 3.
244
некоторый кусок фигуры, перемещая его по принципу центральной
симметрии, то это равносильно тому, как если бы ты его просто пере-
двинул, не поворачивая, параллельно данной прямой, то есть подверг-
нул бы его так называемому параллельному переносу.
— А-а-а! — вдруг многозначительно замычал Ника, подняв вверх
указательный палец. — Действительно, что-то в этом роде получается!..
в
Снова вспомнили рассказы о трех знаменитых задачах древ-
ности.
— Хотелось еще, — сказал Лева, — узнать, как все это началось. Те-
перь мы немножко стали соображать, как человек стал измерять, запи-
сывать, складывать, приближенно определять корни квадратные и все
такое. А раньше что же было? Как человек считать научился?
— Откуда наши цифры взялись? — добавила Наташа.
— Да что «цифры»! — возразил Лева. — Но как, скажем, дошли
до понятия число? Ведь цифра сама по себе — это только изображе-
ние числа!
— Да нет... — задумчиво протянул дедушка, — и понятие «цифра»
тоже имеет свой смысл ’. Тоже не надо пренебрегать. Кстати, окончатель-
ную форму им придал все тот же художник Дюрер, который вам теперь
известен.
— Мне хотелось узнать, — заговорила Веточка, — откуда взялись
числа 17 и 12, которые_вавилонские и индийские математики положили
в основу вычислений у/ 2. И еще другие вы называли.
— Эти числа, — отвечал дед, — конечно, можно и просто так подо-
брать. Найти такой квадрат натурального числа, который будет на еди-
ницу больше другого удвоенного квадрата...
— Слышишь, Вася! — громким шипящим шепотом обратился Вовка
к Васе. — Понимаешь? ..
Вася кивнул Вовке, но потихоньку положил себе палец на губы
в знак молчания.
Все переглянулись.
— Секреты! — заметил Лева.
— Так что для начала это нетрудно, — продолжал дед, вытащив
свою записную книжку и заглянув в нее. — Разумеется, можно найти и
другие пары чисел, которые еще лучше подходят для приближенного вы-
ражения у/Т, чем 12 и 17. Таковы, например, следующие пары чисел:
1 В указанной выше книге Ван дер Вардена см. главу И.
245
Боковые и диагональные числа.
408 и 577, или 2 378 и 3 363, или 13 860 и
19 601. Если взять в качестве приближения
к /У дробь -J2-, можно доказать, что ошиб-
ка будет меньше, чем единица, деленная на
удвоенный квадрат двенадцати, то есть
меньше ggg. А это составляет 0,00347. Если
взять вторую нашу пару чисел, 70 и 99, то
ошибка будет меньше единицы, деленной
на удвоенный квадрат семидесяти, то есть
9800, что составляет уже 0,00010 204.
— А как получаются эти числа? — за-
интересовалась Веточка.
— Надо сказать, — отвечал дед, — что
эти любопытные дроби, которые одна за
другой дают всё лучшие и лучшие прибли-
жения к значению /Т, могут быть легко получены при помощи так
называемых диагональных чисел, известных еще в глубокой
древности.
— Что же это за числа, —спросила с интересом Наташа, —и по-
чему они так странно называются?
— Название это им дано за то, что построение их начинается
с диагонали квадрата. Вот по какому правилу они строятся: на
сторонах прямого угла откладываем один и тот же отрезок, длину
которого мы обозначим ао. Соединим концы горизонтального и верти-
кального отрезков; это и будет диагональ квадрата со стороной а0.
Ясно, что если ао мы положим равной единице, то диагональ, кото-
рую мы назовем Ьо, будет равна у/~2 . Но мы сейчас отступим от
этого равенства и примем приближенно, что ао^6о=1. Построим
затем еще одну диагональ следующим образом: повернем наш тре-
угольник так, чтобы гипотенуза его совпала с вертикальной, а затем
и с горизонтальной стороной нашего прямого угла. Тогда на сторонах
прямого угла будут отложены отрезки, равные ао + &о. Снова соединим
концы этих отрезков и получим вторую диагональ, длину которой мы
уже можем определить точно: она равняется 2а0 + Ьо. Но, поскольку
мы уже положили, что ао = Ьо=1, то длина ее определится так:
2	1 = 3, в то время как стороны нового треугольника будут а0 + Ьо =
= 1 + 1=2. Назовем величину а0 + Ьо той же буквой а, но уже с под-
писным значком 1, то есть ait тогда 2ао + &о будет у нас 6|. Отношение
(3:2) дает нам первое самое грубое приближение для /2", равное 1,5.
Построим третью диагональ совершенно тем же способом и получим
а1 + Ь{ = йЕг = 5,
Ь1 + 2а1 — Ьг = 7;
246
четвертая диагональ даст нам
а2 + Ь2 = а3—12,
b2 ~Ь 2а2 = Ь2 = 17
и так далее. Отношения (Ь : а) будут давать нам все лучшие приближе-
ния для значения у/2. ..
— Так это и есть как раз эта самая дробь! — обрадовалась Веточка.
— Да, — согласился дед,— она самая. Нетрудно заметить, что раз-
ность квадратов данного диагонального числа и соответственно его боко-
вого, взятого дважды, то есть
Ь2п - 2а2п,
всегда будет равна единице. При этом, если значок п у букв а и b
представляет собой нечетное число, то эта единица будет положи-
тельной, а если значок ч е т н ы й, то она будет отрицательной.
— Верно! — подхватила Наташа. — Потому что
7!-2 • 58 = 49 —50 = — 1, а 172 — 2 • 12* = 289 - 288= 1.
— Правильно! — отвечал дедушка. — Пойдем дальше. Если мы с ва-
ми теперь найдем наши диагональные числа и боковые, которые мы
обозначили буквой а, а затем возьмем отношения диагональных чисел
к боковым и вычислим их значения, то, ограничиваясь четырьмя деся-
тичными знаками, получим:
1) 1,5000,
2)	1,4000,
3)	1,4167,
4)	1,4138,
5)	1,4143,
6)	1,4142,
7)	1,4142.
Вы видите, что все нечетные приближения — первое, третье и пятое —
больше действительного значения у/2, так как единица положитель-
ная, тогда как второе и четвертое — меньше его, здесь единица отри-
цательная! Те и другие приближаются к истинному значению, но только
с разных сторон. Нечетные уменьшаются, а четные увеличиваются. К ше-
стому и седьмому приближениям то и другое направления сходятся на
точном значении для четырех знаков. Если бы мы взяли побольше зна-
ков, то могли бы проследить и дальше этот поучительный и чрезвычайно
полезный для математического познания процесс. Математики говорят,
247
что четные дроби образуют в о з р а с т а ю щ у ю последователь-
ность, а нечетные — убывающую последовательность.
В последнее время выяснилось, что так можно извлекать корни и из дру-
гих чисел.
— Если взять, скажем, не четыре, а шесть знаков? — спросил Вася.
— Если взять шесть знаков, то наши седьмая и восьмая дроби бу-
дут различаться на три единицы шестого знака, а между девятой и деся-
той дробями уже не будет разницы. Обе они сойдутся на значе-
нии 1,414214.
— Вот это да! — воскликнул Вовка. — А если побольше знаков?
— Побольше? Можно и побольше:
1,4142135623 73095.
— Да-а... — недоверчиво протянул Лева. — Все это так, но я хотел
бы разобрать: как это так получается? Начали мы с заведомо непра-
вильного положения: сказали, что диагональ квадрата равна егостороне!
Потом вдруг из этого выходит что-то почти точное. Как же это?
— Не торопись! — отвечал дед. — Потихоньку разберешься. Не за-
бывай, что правило не всегда похоже на тот путь, при помощи ко-
торого оно было получено. Для того чтобы понять это, надо обратиться
к уравнению, связывающему а и Ь. Попробуй обдумать его, и все станет
ясно.
7
Наступило молчание. Лева нахмурился, но Наташа догадалась
раньше его.
— Я думаю, — произнесла она, — разница между квадратом числа
b и удвоенным квадратом числа а равняется у нас единице. Этот способ
диагональных чисел позволяет находить, какие нам только вздумается
большие числа, связанные тем же самым соотношением...
— Ну конечно! — сказал Лева, —И что же?
— А то, что разность между 2а2 и Ь2 остается все время одна и та
же. А делитель, то есть знаменатель дроби, все растет, и поэтому...
— Ох! — воскликнул Лева. — Понял, понял! Наконец-то сообразил!
Относительная ошибка становится все меньше и меньше. Другими сло-
вами. .. Ну тут трудно рассказывать, а я лучше просто напишу:
Ь2 — 2а2=1,
или
b2 - 1 = 2а2,
248
а отсюда ясно, что
следовательно, чем больше а и Ь, тем меньше значение этой единицы.
Вот интересно!
— Ну вот видишь! — отвечал дедушка. — Твою схему можно еще
в более убедительном виде представить, а именно:
^-2=1
Разность между двойкой и отношением Ь2 и а2 равняется обратной вели-
чине а2. Выбери а побольше и приблизишься к твоей искомой двойке
как угодно близко. Если я возьму двенадцатую диагональ, то я получу
отношение 47321 :33 461. Посмотри-ка, чего здесь стоит твоя единица?
Возведи знаменатель в квадрат, получишь 1 119638521. И, чтобы оце-
нить ошибку, надо единицу твою разделить на это довольно почтенное
число!
— Ну да... — протянул Никита недовольно. — Но мне хочется по-
своему это формулировать. Вот как: начинаем мы действительно с заве-
домо неточного решения, которое у нас является как бы предваритель-
ным. А затем мы пускаем в ход математический аппарат, который шаг
за шагом ведет нас к такой степени точности, какую мы сами ему
закажем по условиям данной живой задачи.
— Хорошо! — отвечала Веточка. — А что значит «живая» задача?
— Я хочу сказать, что мы можем остановиться на такой точности,
какую от нас требует сама задача. Настоящая! А не выдуманная для
задачника. Плотнику одно решение надо, а тому, кто строит, скажем,
микроскоп, надо другое. Плотнику смешно смотреть на приближение,
с которым работает мастер по точной механике, а тому смешно смо-
треть на плотничье. И оба по-своему правы.
— Ну тогда верно, — решила Веточка.
— Скажу еще, — продолжал дедушка, — если просматривать ряд
натуральных квадратов, то можно заметить, что там время от времени
попадаются пары квадратов, связанных друг с другом соотношением:
Ь2-2а2 = ±1,
то есть либо получается, как в случае пяти и семи: 49 —2-25 = — 1,
либо, как в случае двенадцати и семнадцати: 289 — 2 • 144 — + 1.
Ясно, что, чем больше наши а и Ь, тем меньшую долю от них составляет
эта разность, равная единице. И, следовательно, чем больше а и b мы
берем, тем ближе мы подходим к равенству Ь2 = 2а2, а ведь оно-то
249
нам и нужно. Этим законом строения ряда натуральных квадратов
мы в данном случае и пользуемся.
— А нельзя ли сказать точно, какой закон? — спросила Веточка.
— Да что ж тут говорить? — сказал дедушка. — Эта самая схема диа-
гональных чисел и является формулировкой этого закона. Числа эти
особенно любопытны тем, что их теория в значительной мере создана
до Евклида.
— Какое это, собственно, имеет значение? — недоуменно процедил
Лева.
— Значение то, что в «Началах» Евклида вообше не говорится о та-
кого рода вычислениях. Кажется, что автор книги даже и не хочет ка-
саться этого важного вопроса, полагая, может быть, что он выходит за
рамки его сочинения. Однако эти диагональные и боковые числа не имеют
никакого другого смысла, кроме доказательства того, что можно вычис-
лить у/2, стало быть, иррациональное число, с любой точностью
— Может быть, он просто хотел построить такое число? — спросила
Веточка.
— Построить такое число можно проще: провел диагональ квадрата,
вот и готово! Нет. Здесь, кроме того, еще на геометрическом примере по-
казывается, что это число может быть выражено приближенно, как мы
бы теперь сказали — с любой степенью точности — при помо-
щи отношения рациональных чисел или отрезков.
Вовка пожал плечами и недовольно заметил:
— Да мы уж все эти способы для у/~2 знаем...
— Дедушка, — снова начал Левка, — все это очень интересно! Но
все-таки: ты всегда скажешь что-нибудь интересное, а мы потом и ломай
голову, что ты хотел сказать.
— Что же я такого сказал, — спросил дед, улыбаясь, — над чем тебе
надо голову ломать?
— Вот ты сказал: «правило не всегда похоже на тот путь, при помо-
щи которого оно получено».
— Речь шла о диагональных числах, — отвечал дед, не спеша развя-
зывая свой кисет. — Можно предположить, что тот, кто впервые по-
строил эти числа, знал, конечно, о древних приближениях к у'У, то есть
об отношениях -|-, у, или ибо нам хорошо теперь известно, что эти
приближения много старше Евклида. Нельзя ли предположить, что этот
мыслитель решил исследовать, откуда берутся эти отношения? Разве не
мог он в этом исследовании рассуждать не так, как мы, а идти в обрат-
ную сторону — от более точных приближений к менее точным? При этом
он мог заметить, что 17 — 12 = 5, что 7 — 5 = 2; что, кроме того, 17 —
-2-5 = 7, тогда как 7 — 2  2 = 3. Следовательно, он мог догадаться,
1 См. книгу Ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука», стр. 175, «Боковые и
диагональные числа».
250
что имеется правило, по которому из старшей по приближению дроби
можно получить младшую. Но когда он получил это правило, то тогда
уж совсем было просто придумать, что отношение, которое еше на одну
,	3	1
ступень ниже приближения у, есть не что иное, как отношение у .
— Как, — спросила Веточка, — могло ему прийти в голову, что все
эти отношения получаются по одному и тому же правилу?
— Конечно, потому, что он хорошо понимал, что все эти отношения
стремятся выразить одно и то же иррациональное число, то есть /2.
Поэтому довольно легко заподозрить, что общее правило существует, и
этого могло быть достаточно, чтобы взяться за исследование.
— И что же, дедушка, — спросил Лева, — ты уверен, что так оно и
было?
— Да нет, — отвечал ему дедушка, улыбаясь, — не могу сказать,
чтобы был уверен, но не сумел придумать лучшего объяснения. Некото-
рые исследователи истории нашей науки считают теорию боковых и
диагональных чисел одним из самых блестящих завоеваний древности.
И недаром!
— А ведь, наверное, обстоятельство, что нельзя среди натуральных
чисел найти такой квадрат, который был бы равен другому удвоенному
квадрату, было очень хорошо известно грекам, — рассуждал Ника. —
Мне теперь кажется, что древнее доказательство иррациональности /2,
о котором мы уже говорили', когда одно и то же число оказывается
сразу и четным и нечетным, в сущности, основывается именно на этом
обстоятельстве.
— Видишь ли, Никита, пожалуй, не совсем так, — возразил дедуш-
ка.— То, что среди натуральных квадратов нельзя найти двойной нату-
ральный квадрат, могло, разумеется, навести на мысль об этом доказа-
тельстве. Но не больше. Зная это положение, греческий мыслитель мог
задать себе вопрос: а что же получится, если допустить, что это возмож-
но? И вот тут-то он и получил свой удивительный результат: оказывает-
ся, должна существовать некая область чисел, где квадрат можно удво-
ить. Но это уже не область целых чисел или их отношений, ибо в этой
новой области понятия четного и нечетного теряют смысл.
— Это и есть область иррациональных чисел, — заметила Наташа.
— Конечно. Греки ценили это доказательство. Аристотель в своих
«Аналитиках» упоминает о нем неоднократно. Древний Восток до таких
опытов еше не дожил, ученые смотрели на свои задачи более узко.
— Вот еще что... —начал Лева. — Ты, дедушка, нам говорил, что
ряд Грегори — Лейбница для числа «
1 । 1 1 . 1 1
4 — 1—-уфу — у + g п
‘ См. главу XVII, раздел 2.
251
тем хорош, что закон строения его коэффициентов очень прост: один за
другим в знаменателях идут нечетные числа с разными знаками. И всё!
— Ясно! — подтвердила Наташа. — А что ты из этого выводишь?
— Сейчас скажу... — отвечал Лева. — Так вот, поскольку матема-
тические ряды — предмет очень важный, то и строение их — дело
серьезное. В случае ряда Грегори — Лейбница и думать нечего. Но не
всегда так все просто!
— Еще бы, — заметил дед, — далеко не всегда. Скорей наоборот.
— В случае ряда натуральных квадратов, — продолжал Лева, — по-
лучается то же, только наоборот: зная ряд, ученые ищут закон его стро-
ения. Если допустить, что этот ряд получен путем сложения, то тут до-
вольно ясно...
— Сумма последовательных нечетных... — начал Вася.
— ... чисел! — важно докончил Вовка.
— Вот именно! — подхватил Лева. — А если взять не сложение,
а умножение? И притом удвоение? И мы приходим к тому, о чем напом-
нил Ника.
— Ну что ж, — отвечал дедушка, — в таком толковании, пожалуй, и
я нахожу кое-что любопытное.
— Но мне хотелось бы знать, — начал Ника, — зачем грекам понадо-
билось это построение? Зачем им было нужно определять у/Т с такой
точностью?
— Твое собственное рассуждение, — отвечал ему дедушка, — кото-
рое мы только что выслушали, является ответом на твой вопрос. В об-
щем, конечно.
Ника посмотрел на деда и молча пожал плечами.
— Тебе невдомек? — спросил дедушка. — Видишь ли, для того
чтобы толком ответить тебе, опять придется идти по дороге разных
предположений. А ведь это опасная дорога! Очень уж легко оши-
биться.
— Это я понимаю, — отвечал Ника. — А все-таки, знаете...
— Ну давай, — отвечал дед, усмехнувшись, — попробуем еще разок.
Ведь грек готов был все, что угодно, сделать, лишь бы добиться ответа
на вопрос: откуда Восток взял свои замечательные достижения? Или,
другими словами, почему все это нужно делать так, как в Египте, а не
иначе? А когда грекам попали в руки замечательные восточные прибли-
____________	7	17
жения для у/ 2, то есть -=- или -ру, они и добились геометрического
истолкования для этих приближений — это и есть теория боковых
диагональных чисел. И это истолкование объяснило им, почему можно
брать разные решения для этой задачи. Одно это было уже достиже-
нием самого первого класса! Получив его, они, вероятно, пошли далее,
не только в сторону все более точных приближений, а попробовали вы-
яснить, с чего же это все началось. Об этом я только что говорил. Зна-
252
чит, грекам удалось обобщить разрозненные восточные догадки. Вот
зачем они все это и предприняли.
— Да! — веско произнес Вася. — Вот теперь, пожалуй, ясно. Выходит,
что это очень важное дело — эти боковые н диагональные числа.
— Вот именно, — подтвердил дед.
Наступило короткое молчание.
Потом Веточка вздохнула и сказала:
— Как жаль все-таки, что сами древние греки ничего нам об этом не
оставили, то есть не написали!
— Н-да,— отозвался Тимофей Иринархович, — жаль, конечно. Те-
перь некоторые историки полагают, что очень многое в греческой науке
развивалось путем устных собеседований и споров, а записывалось срав-
нительно мало. Но даже из того, что и было некогда записано, до нас
дошла, очевидно, только сравнительно небольшая часть.
8
— Слушай, дедушка, — воскликнул неожиданно Лева, — вот еще
что: мы тут с Васей и Никой спорили, спорили... а в общем, пришли
к заключению, что не понимаем...
— Да о чем вы спорили? — спросила с интересом Наташа.
— Чего вы не поняли? — спросила, в свою очередь, Веточка.
— «Чего, чего»! — сердито повторил Лева. — Вот чего... Я прошу
разрешения вернуться назад. Еще два слова насчет египетской квадра-
туры.
— Да ведь мы уже, — сказал дедушка Тимоша, — все там как будто
разобрали.
— Да, — отвечал Лева, — конечно, мы разобрали, но, понимаешь,
дедушка... еще одна подробность. Мы никак не додумаемся, как могло
случиться, что египтяне, не владея математикой вообще, не имея ника-
кой теории, все-таки так хорошо справились с квадратурой! Ты, правда,
нам объяснял, но у нас что-то это в голове не укладывается. Ты не-
множко еще нам помоги, поясни: в чем тут дело?
Дедушка ответил не сразу.
— Вопрос нелегкий, — сказал он. — Но все-таки попробую ответить.
Придется, однако, пользоваться примерами, ссылками на деятельность
египтян в других областях. Потому что материала для прямого ответа
нет. Чтобы нам немного разобраться в особом характере древнеегипет-
ской цивилизации, я расскажу одну интересную историю насчет египет-
ского строительства. Как я уже говорил, египетские пирамиды сложены
из огромных каменных глыб, а доставка каждого такого «кирпичика» ве-
сом более двух тысяч пятисот килограммов была в те времена крайне
253
затруднительна. Перевозки по водам Нила были, конечно, легче. Но как
взгромоздить на лодку такую махину? Лодка может просто проломиться
или опрокинуться, и каменная глыба утонет. Что же придумали егип-
тяне? Они подвязывали глыбу под лодку, к ее дну! Благодаря этому
глыба становилась легче, потому что по закону Архимеда тело, погру-
женное в воду, теряет в своем весе столько, сколько весит объем вытес-
ненной им воды. Но это было до Архимеда! Итак, воспользоваться за-
коном природы египтяне умели, но формулировать его не могли. Вот как
они были удивительно наблюдательны!
— Закон Архимеда до Архимеда! — пробормотал Лева.
— Да, представь себе! — отвечал ему дед. — Явления замечены, про-
верены и использованы, ио не сформулированы. Возможно, что и в ма-
тематике было так же. Скажи, Лева, что такое подобные треуголь-
ники?
— Треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходствен-
ные стороны пропорциональны.
— Мы ниоткуда не можем почерпнуть сведений, что это в древнем
Египте было сформулировано и осознано. Но нам известно, что египет-
ские художники и ваятели пользовались принципом подобия, когда им
надо было перевести рисунок на другое место и увеличить его. В Мо-
сковском Музее изобразительных искусств имени Пушкина есть подлин-
254
ная египетская барельефная скульптура, разбитая на квадратики для
перенесения ее с увеличением на другой, вероятно больший, камень1.
— А может быть, — спросил Ника, —они сделали это просто для
того, чтобы скопировать?
— У них были огромные статуи, по двадцати метров в высоту, и
большие фрески, поэтому нет сомнений, что, кроме простых копий, нуж-
ны были и увеличенные. Когда делают большую скульптуру, обычно уве-
личивают ее постепенно, даже несколько раз. Иначе выходит неверно,
не сохраняются живые пропорции статуи.
— Получается, что знали многое, а рассказывать не любили, — за-
метил Вася.
— Это была культура необыкновенно искусного ремесла, — продол-
жал дед, — навыки которого заключали в себе тонкое понимание тех за-
конов природы и математических соотношений, с которыми приходи-
лось сталкиваться. Египтяне интересовались только результатами своих
догадок, но не задавались вопросами о том, почему так выходит, что зна-
чат эти результаты? Деспотические правители Востока думали только
о том, чтобы дело было сделано, а как это достигалось, это их не инте-
ресовало. Греческая наука пошла по другому пути. Создавая научную
систему, ученые древней Греции справедливо считали, что научить мы-
слить гораздо труднее, чем посвятить человека в тайны некоторой на-
учной системы. Однако вряд ли это было бы возможно, если бы сперва
не был накоплен этот древневосточный опыт.
— Если легче научить, — сказал рассудительно Вася, — значит, и
больше народу можно научить. А когда грамотных больше, так и дело
идет веселей!
— Ну да! — поддакнул и Лева. — Это ты верно говоришь. Я тоже
так думаю.
— Один древнегреческий философ, — добавил дедушка, — рассказы-
вает, будто бы некогда греческий мудрец беседовал с египетским жре-
цом. «Греки, — сказал ему старец, — вы счастливые дети! И нет на свете
эллина-старца — вы юны душой, вы не умудрены веками, ибо у вас нет
ни поучительных древних преданий, ни науки, поседевшей от протекших
веков...» Египтянин был уверен, что все «прекрасное, великое или заме-
чательное» было в свое время записано египтянами и веками хранилось
в их храмах, причем история Египта, охраняемого благотворными во-
дами Нила, никогда не прерывалась. В то же время другие народы не
раз истреблялись различными бедствиями до такой степени, что в даль-
нейшем все их развитие начиналось как бы с самого начала, и многие
поколения не оставляли о себе письменных памятников. Греческий исто-
рик времен Юлия Цезаря рассказывает, что египетские врачи считались
самыми искусными в древнем мире. У них учились крупнейшие медики
1 Снимок этого барельефа можно найти в книге «Памятники искусства древнего
Египта в музеях Советского Союза». М., «Искусство», 1958, рис. 105.
255
греков. Древнеримский врачеватель Гален рассказывает, что он учился
медицине по древнеегипетским рукописям, хранившимся в библиотеке
храма Имхотепа в Мемфисе. Там же за семь веков до этого учился и
знаменитый греческий медик Гиппократ, которого называли «отцом ме-
дицины». Египетские врачи строго придерживались давным-давно уста-
новленных правил при лечении больных, а за отступление от этих правил
в случае неудачи врач мог поплатиться головой. Слепое подчинение
древним традициям и отсутствие теоретических запросов были харак-
терны для египетской культуры.
— А почему так? — спросил Ника.
— Трудно сказать. Возможно, что когда-то... может быть, во время
так называемого египетского древнего царства, в XXVIII — XXIII веках
до нашей эры, Египет пережил удивительный расцвет. Это отчасти под-
тверждается резким улучшением египетской архитектуры того времени.
Эти достижения так поразили египтян, что в дальнейшем они уже не
решались ни на шаг отступать от того, что было достигнуто. Но ко вре-
мени подъема древнегреческой цивилизации все в мире изменилось. Во-
сточный мудрец не понимал, что интересует грека, не представлял себе,
что прошло время действовать по догадке и по древним правилам и на-
ступил момент систематически размышлять и обратиться от рецептов
к научной системе.
— Система... А дальше что? — спросил Лева.
— Раз уже построена система, то она способна развиваться дальше.
Не только практика порождает теорию, но и теория в своем развитии
начинает воздействовать на практику.
— Верно! — обрадовался Ника.
— Все это очень интересно! — снова заговорил Лева. — А какие
есть примеры того, как греческая наука своей теорией влияла на прак-
тику?
— Таких примеров, — отвечал Тимофей Иринархович, — мы знаем
немного. Разумеется, это было слабой стороной древнегреческой науки.
Однако астрономические теории древности, конечно, создавались на ма-
тематической основе. О теории звука мы уже говорили. Теория перспек-
тивы основывалась тоже на математике, а грекам она понадобилась для
театральных декораций, то есть для такого изображения на плоскости,
которое давало бы впечатление пространства. Тем же путем развивалось
и древнегреческое учение о движении и отражении световых лучей, ко-
торое теперь называется геометрической оптикой. Первые по-
пытки создать теорию механики и гидростатики у Архимеда тоже связа-
ны с практикой. Очень вероятно, что и в военном деле кое-что было
использовано. Разумеется, все это было несколько отрывочно, слабо
связано с общественной жизнью... но все-таки! Еще большей заслугой
явилось то, что древняя Греция создала те незыблемые основы для точ-
ных наук, на которых в дальнейшем расцвело европейское возрождение
256
наук, примерно с XVII века нашей эры, а за ним и вся наша цивили-
зация. Греки оставили в наследство будущим поколениям бесценное
научное богатство. Правда, оно было использовано не сразу, но это
его значения не уменьшает... Ну вот, Лева, это примерно все, что я
могу ответить на твой вопрос.
— Очень хорошо! — отвечал деду старший внук. — Что-то начинает
проясняться.
— Подумаем! — решил Вася. — Есть тут над чем подумать. А полу-
чается хорошо. Интересно.
— Мы теперь, — добавил еше дед, поразмыслив, — до такой степени
сжились с основами нашей науки, впервые сформулированными древ-
ними греками, что нам очень странно все иное. Поэтому нас так и удив-
ляет египетская наука. А если рассуждать, то скорее надо удивляться
древней Греции. Ибо именно Греция была блистательным исключением
в древности. Недаром один исследователь называл древнегреческую
культуру греческим чудом. Оно вспыхнуло после Вавилона и Египта и
медленно потухло под железной пятой Рима. И много еще веков прошло,
когда после пробуждения арабского мира, в VIII — IX веке нашей эры,
наследники греческой культуры снова вернули ее человечеству.
Глава двадцать вторая
Лева и Вася являются к ребятам с неприятным известием. — Непрерыв-
ные или цепные дроби.. — Планетарий в III веке до нашей эры и в
XVII веке нашей эры. — Как оценивается приближение. — Подходящие
дроби. — Удобная табличка для их вычисления. — Периодические непре-
рывные дроби. — Два предложения Евклида. — Вовка и Вася нашли еще
один египетский локоть. — Им грозит страшная египетская казнь! —
Как Вовка поссорился с одним числом. — Еще одно изобретение! — Что
думали Эратосфен, Филон и Дюрер. — Чума на острове Делос.
1
Однажды ясным солнечным утром Ника с девочками на берегу
речки обсуждали вопрос, как интереснее проводить заседания Любозна-
тельной академии. Ученый секретарь бурно спорил по поводу каж-
дого предложения и каждой поправки. Вдруг на высоком берегу появи-
лись Лева с Васей. Они бежали что было сил. У Васи под мышкой был
какой-то сверток.
258
Ребята замолчали и застыли в полном недоумении. Лева и Вася ку-
барем скатились с песчаного обрыва.
— Тише вы! — крикнул удивленный Вовка.
— Ну, Лайон, ты пробежался как следует! — сказал Ника.— Но по-
чему у тебя такой обиженный вид? Тебе попало за что-нибудь?
— Как тебе сказать? — заговорил Лева, опускаясь на песок. — Со-
рвалось одно дело, и довольно важное.
— Какое дело? — тревожно спросила Наташа.
— Мама телеграмму сейчас получила от папы, и там сообщение...
— Что-нибудь случилось?
— Да нет, — успокоил Вася, — ничего такого...
— Говори скорей, чего тянешь! — вмешалась Веточка.
— Сказать? — спросил Вася у Левы.
Лева кивнул, не глядя на Васю.
— Дело-то самое обычное, — начал Вася, — да Левка огорчается.
Дядю Колю срочно вызвали в Москву, уехал прямо ночью...
— Он из Киева маме телеграфировал, — заметил Лева.
— Ну и что тут такого? — удивилась Веточка.
— Да ведь он сказал, что надолго. Понимаешь?
Вовка мигом вскочил на ноги, точно его оса укусила.
— Как так, — завопил он, — как надолго?! А про Архимеда когда
же он рассказывать будет?
— Ах да... — только теперь сообразил Ника.
— Значит, ты из-за этого расстроен? — спросила Наташа Леву.
Лева даже не отвечал.
— Ну, будет тебе! Мы сами во всем разберемся! — сказала Наташа.
— И еще одна новость есть. Вот бандероль получили. — И Вася про-
тянул ребятам свой сверток.
— Книжки... — сообщил секретарь.
— Они самые, — отвечал Вася.— Это про машины...
— Которые сами считают? — закричал Вовка. — Так это же заме-
чательные книжки! Показывай, Сизарище, сейчас же!
— Показать нетрудно, — отвечал Вася. — Да только и дядя Ваня
свой рассказ откладывает — не может сейчас приехать. Вот он и послал
нам книжки. А в письме к тете Маше говорит: «Пусть ребята читают.
Книжки хорошие и для них доступные».
— Вот видишь, «доступные»! — снова закричал Вовка. — Мы с Ве-
точкой их обязательно прочтем.
— А дедушка дал две книжки об Архимеде, — добавил Вася.
— Ну что ж, будем книжки читать...1 — наконец заговорил Лева.
1 Речь идет о книгах: И. А. Полетаева «Сигнал». М., «Советское радио», 1958;
Н. Кобринского и В. Пекелиса «Быстрее мысли». М., «Молодая гвардия», 1959; И. Н. Ве-
селовского «Архимед». М., Учпедгиз, 1957; В. Ф. Кагана «Архимед». М., Гостех-
издат, 1951.
17*
259
2
И вот на самом берегу синего озера, довольно далеко от дома, ре-
бята уселись в кружок и завели беседу.
— Ну как? — сказал дедушка. — Ты вот, например, Наташа, все
усвоила или нет?
Наташа задумалась на минутку.
— Да как вам сказать, дедушка Тимоша... Пожалуй, да. Но все-
таки, знаете ли...
— У тебя, конечно, есть еще вопросик! — закончил за нее дедушка.
— Есть, — призналась Наташа. — Вы нам показывали, что у индий-
ских математиков была получена поправка 1 к отношению . Значит,
они придумали что-то такое, еще лучше диагональных и боковых чисел?
— Эту поправку тоже можно получить через диагональные числа, —
отвечал дед. — Но все числа для этих отношений можно получить и дру-
гим способом, который —по крайней мере, в таком виде, в каком мы
его знаем, — гораздо моложе диагональных чисел. Эти числа получа-
ются еше при помощи некоторых особенных, очень интересных дробей,
которые называются непрерывными или цепными. Это своеоб-
разные дроби, которые отличаются, например, тем, что их невозможно
складывать... По крайней мере, правила их сложения неизвестны. Но
они замечательны тем, что дают превосходные способы для приближен-
ных выражений всевозможных иррациональностей, и особенно тех, кото-
рые связаны с квадратными корнями. Эти дроби дают нам способ улуч-
шать наши приближения. Мы получаем одну за другой дроби, у которых
все растет и растет знаменатель, а за ним — и числитель. Для / 2 они
дают те же самые приближения, что и диагональные числа. Дроби эти
применял Христиан Гюйгенс, математик XVII века, о котором мы уже
раз вспоминали. Гораздо раньше, впрочем, Гюйгенса о непрерывных
дробях говорили знаменитый таджикский ученый и поэт XII века Омар
Хайям и азербайджанский ученый XIII века Насирэддин Туси. Работа
этого ученого была известна в Европе, излагалась и обсуждалась.
— Постой-ка, дедушка, — воскликнул Лева, — а не тот ли это самый
Гюйгенс, популярную книжку которого — она распространяла среди чи-
тателей передовые идеи Коперника — перевели на русский язык еще
в петровское время? Папа рассказывал даже, что, по мнению некоторых
наших советских исследователей, ее переводил Яков Вилимович Брюс,
фельдцейхмейстер (начальник артиллерии) Петра Великого, по лично-
му заданию Петра. Дядя Ваня, когда ездил в командировку в Москву,
видел эту старинную книжку, держал ее в руках, хотя всю ее прочесть
ему не удалось. Она есть в Москве, в Исторической библиотеке, и хра-
нится там в особом Отделе редкой книги!
1 См. главу XV, раздел 3.
260
— Это он самый! — с удовольствием
подтвердил дед. — Книжка эта называется
«Космотеорос», а в русском переводе: «Гос-
подина Гюйгенса мирозрение». Для своего
времени это была просто замечательная
книга,одна из самых научно-прогрессивных
книг целой эпохи, пропагандировавшая
великую систему Коперника. Что касается
Брюса, то он был одним из самых образован-
ных людей в петровской России. Он пере-
писывался с Эйлером по довольно сложным
математическим вопросам. У него была
прекрасная библиотека и собственная об-
серватория, инструменты которой очень
хвалил видный астроном того времени, пе-
тербургский академик француз Делиль. Но
перевод на русский язык научной книги	Христиан Гюйгенс.
был до того труден, что Брюс жаловался
царю, как над иной фразой ему приходилось размышлять целый день.
Языка научного еще на Руси тогда не было, и Брюс был одним из его
создателей.
— Ну, а дроби? — сказала Наташа.
— Гюйгенс однажды приступил, по примеру Архимеда, к постройке
такой машины, которая давала бы изображение движения светил по
небесному своду...
— Никогда не слыхал, чтобы у Архимеда была такая машина! —
вскричал Левка.
— Не слыхал, так послушаешь! — весело возразил ему Вася.
Все засмеялись. Засмеялся и дедушка.
— Вот это дело! — решил он. — Гюйгенс задумал построить то, что
ныне называется планетарием. Эта модель солнечной системы
должна была работать при помощи сцепления многочисленных зубчатых
колес. Но если ты хочешь, чтобы два, скажем, колеса поворачивались —
причем одно вращает другое —так, чтобы времена их оборотов находи-
лись в том же отношении, как и времена оборотов двух планет вокруг
Солнца, то необходимо, чтобы и число зубцов на них находилось в том
же отношении. Но изготовить в точности такие «звездно-относительные»
шестерни невозможно: слишком уж велики и числители и знаменатели
в таких отношениях! Следовательно, надо ограничиться некоторым при-
ближением. Вот, занявшись вопросом о подобного рода приближениях,
Гюйгенс и пришел к построению непрерывных дробей.
— А что это за дроби? — тихо вымолвила Веточка, повторяя Ната-
шин вопрос.
— Сейчас, — сказал дед, — ты не торопись. Попробуем сперва со-
261
ставить уравнение, которое объединяло бы все эти труды древности по
приближению /2. Составим уравнение по примеру Левы. Вот оно:
Х2_2уз= 1.
Уравнение неопределенное, но для нашей цели чрезвычайно полезное.
Будем рассматривать левую его часть как разность квадратов и разло-
жим ее, как полагается, на сумму и разность первых степеней:
(х — у /2) (л + у \/2) = 1.
— А Vх2 уж тут как тут! — заметил Вася.
— Дальше! — продолжал дедушка. — Поделим обе скобки на игрек.
Ясно, за скобку выходит величина у2:
У’(у-'/2)(у + '/2) = 1-
Теперь, поделив обе части на вторую скобку и на у2, получим
Так как в правой части у нас положительная величина, то, значит, икс,
деленный на игрек, больше / 2 :
а если так, то можно сказать, во-первых, что наша дробь у-,если к ней
прибавить еще самый корень, будет больше удвоенного нашего корня.
Это интересное неравенство уже что-то нам сообщает важное о ха-
рактере нашего приближения. Во-вторых, сам удвоенный корень, очевид-
но, будет больше двойки. Так я говорю или нет?
— Как будто так,— отвечал Левка. — Каждую ступень твоего рас-
суждения я как будто одолеваю, но что у тебя в общем должно полу-
читься. ..
— Это ты сейчас увидишь. Ты пока соглашаешься со мной?
— Пока соглашаюсь.
— Соглашаемся, дедушка Тимоша! — подтвердил и Вася.
262
— Ну и хватит! Слушайте дальше. Запишем-ка все, что мы с вами
рассудили, — во-первых и во-вторых:
^ + v/2>2v/2>2.
Теперь смотрите хорошенько. В том нашем равенстве, которое я отметил
звездочкой сбоку, чтобы не переписывать его каждый раз, в знамена-
теле стоит у2, умноженный на скобку, которая больше двойки. Заменим
ее по этому случаю двойкой. Но раз мы в знаменателе заменяем вели-
чину меньшей, то дробь у нас увеличивается, а, значит, левая часть ра-
венства со звездочкой, которая была равна своей правой части, станет
после этого меньше, чем единица, деленная на удвоенный квадрат
игрека:
(”)
Вот так и получается та самая оценка, о которой мы только что говори-
ли с Левой по поводу диагональных чисел ’.
3
— А сами дроби? — еще раз спросила Наташа.
— А сами дроби получаются на манер разыскания общего наи-
большего делителя способом последовательного деления. Вот как
это получается. Допустим, что нам дана какая-то неправильная дробь
(а :Ь). Мы выделяем из нее целое число и получаем дробный остаток:
Т=9о + т-
Теперь, совершенно так же, как это делается и при разыскании общего
наибольшего делителя, перевертываем остаточную дробь, снова делим
(второе деление!) и получаем
Таким образом, в общем, после двух делений у нас выходит вот что:
1 См. главу XXI, раздел 7.
263
Продолжая эти перевертывания дробей и деля снова и снова, получаем
выражение
+......+ —
Чп
которое и есть непрерывная дробь. Отношение между двумя
числами характеризуется либо тем, что одно из этих чисел делится без
остатка на другое, либо это отношение есть некая несократимая дробь.
Такие отношения мы называем рациональными. Между тем иные
соотношения между числами не поддаются точному определению. Тако-
во в первую очередь отношение между стороной квадрата и его диаго-
налью, которое называется иррациональным.
— Мне кажется, — осторожно ввернул Ника. — что это мы уже
усвоили.
— Рад слышать! — отвечал Тимофей Иринархович. — Теперь, значит,
если два числа, а и b (числитель и знаменатель нашей несократимой
дроби), не имеют никакого общего наибольшего делителя, кроме едини-
цы, и представляют собой очень большие числа...
— Какие, дедушка, например? — немедленно ввязался неугомонный
Вовка.
— Да какие хочешь. Ну возьмем, скажем, такие:
а = 1 350 851 717 672 992 089,
b = 49 714 987 269 413 385 435.
Хватит тебе этого?
— Ух какие! — произнес со вкусом Вовка, торопливо записывая
длинные числа, нимало не задумываясь о том, что он с ними будет де-
лать. — Ишь ты, какие придумал!
— Сам напросился... — тихонько объяснил ему Вася.
— Если разложить это отношение в непрерывную дробь, то конца
у нее не будет, но каждая лишняя ступень ее будет давать тебе всё луч-
шие и лучшие приближения к этому отношению, чем мы и пользуемся.
Наконец, если ты хочешь приближенно выразить некое иррациональное
число, то и его можно разложить в непрерывную дробь. Это будет не-
много посложнее. Я потом расскажу, как это делается... Но даже и
трансцендентное число, которое невозможно представить как корень
некоего алгебраического уравнения с конечным числом рациональных
коэффициентов — таково известное нам число it, — то и такое число
можно изобразить непрерывной дробью, но это еше сложнее. Итак,
постепенное улучшение приближенных выражений — вот какая прекрас-
264
ная мысль была (может быть, невольно) заложена в первых попыт-
ках приближенно выразить у/2~1 Советую познакомиться с этим по-
ближе А теперь, когда мы с вами кое-что уже знаем о задаче при-
ближений, давайте-ка рассмотрим еще, удачно ли придумали древние
„	, П	1
индиицы — математики, вычитавшие из дроби поправку 2.j"7 Л2~ '
Вернемся к рассмотрению того же уравнения, которое нас кое-чему на-
учило. По инициативе Эйлера это уравнение называется уравнением
Пелля. Мы установили, что
но если это так, то дробь-j, очевидно, меньше обратной величины /У.
Напишем это неравенство и отметим его тремя звездочками. Скоро оно
нам понадобится.
2- < -4=.
х у' 2'
Вернемся к исходному уравнению. Каждую скобку, из которых состоит
его левая часть, мы делим на игрек. Поделим теперь одну на икс, а дру-
гую на игрек. Получим

или
(у= Х
но ведь мы только что установили, что дробь меньше обратной вели-
чины /Т, а следовательно, вторая скобка меньше двойки. А если мыеше
припомним неравенство (**), выведенное нами ранее, где мы дока-
1 Читатель найдет немало интересного по этим вопросам в книге И. В Арнольда
«Теория чисел». М., Учпедгиз, 1939. глава И, § 16, «Элементарная теория непрерывных
дробей», глава VI, § 49, «Представление иррациональных чисел непрерывными дро-
бями»; там же, § 52, «Уравнение Пелля», а также § 54 55, 58; см. еше «Энциклопе-
дию элементарной математики» статью А Я Хинчина. стр. 307, 322, 342, а также
книжку того же автора «Цепные дроби», Физматгиз, несколько изданий; книгу
А А. Бухштаба «Теория чисел», М., Учпедгиз, 1960. гл 5, 24, 25 и 26 и книгу
Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи». Серия «Популярные лекции по математике».
М., Гостехиздат, 1958, выпуск 6, § 3.
265
зали, что разность между отношением у и /У меньше, чем отношение
—, то можно написать
2уа
2^2 > (у - /2) > 2^ •
Таким образом, мы нашли пределы, в которых лежит наша погреш-
ность. Попробуем теперь выяснить, как же это будет выглядеть на деле.
17
Возьмем известную дробь и найдем оба предела, между которыми
лежит погрешность нашего определения \Г2~.
Согласно нашей последней формуле, эта погрешность меньше чем
1 1 1 1 1 1
, то есть или 288, и больше чем то есть 2.......;..уу.Г2, или w.
В десятичных дробях это получится 0,00347 и 0,00245. Другими словами,
17
дробь уз дает нам два знака верных, а ошибка в третьем и четвертом
знаках будет не меньше чем 24,5 и не больше чем 34,7.
— А на самом деле? — поинтересовался Вовка.
— А на самом деле так выходит, — отвечал ему дедушка: — дробь
17	__
уу с пятью знаками будет 1,41667, а у/ 2 с пятью знаками равен 1,41421,
разность равна 0,00246, или, короче, это равно 0,0025.
— Совсем рядом с нижней границей, — прикинул Вася.
— Ясно! — согласился дедушка Тимоша. — Значит, мы, пользуясь
этими неравенствами, можем заранее выяснить погрешность, а следова-
тельно, и установить, на какой дроби следует остановиться. Если же мы
99
возьмем следующую подходящую дробь, то есть то ошибка будет
в границах дробей и тЙбО’ т0 есть межДУ 0,0001020 и 0,0000714, а
это меньше 0,0001. Прекрасные приближения!
— А на числах?
99
— А на числах вот как будет, — сказал Вася: —дробь с шестью
знаками равна 1,414286, а настоящий V/T равен 1,414214, разность
0,000072 и выходит на самом деле меньше 0,0001. И опять очень близко
к меньшему пределу.
— Значит, — сказал, удовлетворенно вздыхая, Вовка, — дедушка хо-
роший способ придумал! Ловко это ты!..
— Придумал-то, правда, не я, — отвечал дедушка, посмеиваясь,—
но способ действительно хороший. Он хорош тем, что ты заранее мо-
жешь рассчитать, то есть составить себе разумный план действий, вот
тут в чем сила. И каждый раз пробовать не надо. Ну, давайте-ка еще
266
немного двинемся вперед в наших изысканиях: попробуем упростить
найденное нами выражение. Вычтем правую часть из всех трех частей
нашего последнего неравенства. Получим
1	1	(х	1 п
2уз	~	—
или
Если вы, ребята, помните, в чем заключается та самая индийская
поправка, о которой мы с вами говорили раньше ’, то вы видите, что
она имеет непосредственное отношение к погрешности определения /2.
Если мы возьмем разность между истинным корнем квадратным и его
приближенным значением, а из этой разности вычтем еще величину
верхнего предела этой погрешности, то тогда только мы приблизимся
к той точности, которую нам дает индийская поправка.
4
— Надо разобрать!.. — сказала Наташа, внимательно вглядываясь
в дедушкины формулы. — Но как будто все так и есть. Действительно,
если мы возьмем числа 12 и 17, то ошибка в индийском определении по
- б
выведенному нами неравенству окажется меньше чем дробь 2896’ чт0 с0‘
ставляет 0,00102. Если же мы возьмем числа 70 и 99, то ошибка будет
меньше чем 0,00003. Вот какой хороший способ придумали древнеиндий-
ские математики!
— Надо помнить, — продолжал дедушка, — что арифметические дей-
ствия с большими числами — а в особенности умножение и деление! —
представляли собой в древности трудности непреодолимые! Поэтому
остроумная поправка индийских математиков очень полезна: она без по-
мощи больших вычислений дает пять верных знаков. Если ее приме-
99
нить к дроби уд-, получаем шесть верных знаков.
— Шесть... — повторил Вася.
— Определение погрешности, — добавил дедушка, — имеет большое
значение и не только чисто практическое. Раз мы выяснили, какова не-
которая погрешность и от чего она зависит в данном случае, то это пра-
вило является еще и некоторой характеристикой тех иррациональностей,
которые мы находим с помощью наших приближений. Если мы найдем
1 См. главу XV, раздел 3.
267
особые случаи, где погрешность можно сделать еше меньше, чем пока-
зывает наше правило, то вправе будем сделать вывод, что этот случай
относится к какому-то особому случаю иррациональностей, не таких, для
которых мы вывели наше правило. Двигаясь осторожно и последова-
тельно по пути, который начинается с изложенного соображения, можно
найти, определить и исследовать более трудные теоретические задачи,
чем вопрос об иррациональности. Кстати сказать, у Диофанта, о кото-
ром мы уже вспоминали, есть два уравнения-:
х* 2 —26у2== 1; х2 —30у2 = 1,
из которых тем же порядком мы можем определить с любым приближе-
нием \/26 (= 5,099) и v/зо (= 5,477). Есть одно уравнение в этом роде
и у Архимеда в задаче, которая точно нарочно требует самых голово-
ломных вычислений '. Тут еще можно заметить вот что: неопределенные
уравнения первой степени с двумя неизвестными тоже решаются при по-
мощи способа непрерывных дробей, которые, следовательно, имеют не-
посредственное отношение к таким вопросам.
— А вот те числа, то есть пары чисел, — сказала Веточка, — которые
вы, дедушка Тимоша, раньше приводили? Как же их этим способом раз-
добыть? 17 и 12 и так далее?
— Тут дело обстоит так: непрерывная дробь дает нам так называе-
мые подходящие дроби, которые и суть искомые приближения.
Каждая следующая подходящая дробь дает лучшее приближение, чем
предыдущая, подобно тому как мы и видели на примере диагональных
чисел. Но диагональные числа — это частный случай, а непрерывные
дроби — общий метод, который гораздо, как говорится, сильнее, чем пра-
вило диагональных и боковых чисел. Через непрерывные дроби можно
получить ряд полезнейших приближений и не только для иррациональ-
ных, но и для чисел более сложной природы — трансцендентных, как,
например, и для знаменитого числа п, отношения длины окружности
к ее диаметру.
— Если, — сказал Ника, — мы будем действовать тем способом, ко-
торым ищут общий наименьший делитель, то мы получим ряд частных.
А как же перейти от них к этим подходящим дробям? Это очень сложно?
Я что-то пока не понимаю.
— Это не трудно, — отвечал дед. — Если взять те же обозначения, ко-
торыми мы пользовались раньше 2, то, назвав числитель первой подходя-
 Знаменитая задача Архимеда о быках Солнца ведет к ответу, который изобра-
жается более чем двумястами знаков. Уравнение таково:
у2 — 410 286 423 278 424 х2 = 1.
Уравнение это, конечно, неопределенное, но трудность в том, что надо найти целочислен-
ные значения неизвестных.
2 См. начало раздела 3 этой главы.
268
щей дроби Ро, ее знаменатель Qo, мы можем сразу написать, что Ро
равно первому частному от деления. Эти частные называются непол-
ными частными, то есть qQ, тогда как Q0=l. Поэтому дробь
5l = -£o — это целое число. Следующая подходящая дробь равна
V0 1
Приводя к одному знаменателю, получаем
Pi __ 4Mi +1 _ Py<h + *
Qt 4i	4i
Действуя подобным же образом, мы видим, что в дроби (Рг: Q2) вели-
чину <71 надо заменить выражением q\ Н-, откуда
4z
р° G+D
+ 1
С?з
+ Г
?2
<7? + Pq
Qi4z + Qo ’
а из этого уж получается общее правило:
Pk-i <h + Pk-z
Qk	Qk — i ik + Qk - 2 ’
где, разумеется, значок k может обозначать любое число. Если это так,
то мы, взяв три последовательные подходящие дроби, можем напи-
сать, что
Pk = Pk -1 Яч + Pk - 2; Qfe — Qk -1 qk + Qk - 2,
а отсюда имеется возможность все это проделывать совершенно меха-
нически, пользуясь особой табличкой, где в первой строке идет значок k,
то есть просто номер подходящей дроби, во второй строке идут непол-
ные частные одно за другим, в третьей — числители, а в четвертой —
знаменатели подходящих дробей. Для того чтобы все вычисления шли
одинаково, вводится еще
Р— 2 = О, Р—1 = 1; Q -2 — 1 и Q—1 = 0.
269
Тогда для /2",— тут дедушка потянулся за тетрадкой, которая ле-
жала на балюстраде террасы, и вытащил лист бумаги, — получим такую
табличку:
k	— 2	— 1	0	1	2	3	4	5	6	
q			1	2	2	2	2	2	2	...
р	0	1	1	3	7	17	41	99	239	
Q	1	0	1	2	5	12	29	70	169	1
В этой табличке, начиная с k = 0, каждое число как третьей, так и чет-
вертой строки получаем согласно формулам трех последовательных под-
ходящих дробей, умножая данное qb на число, которое стоит ниже, сле-
ва от него, отступя на столбец, и прибавляя к нему то, которое стоит
ниже, строкой слева, отступя на два столбца. Следовательно, для нашей
таблички получаем:
Ро=1- 1+0=1; Qo= 1 • 0+ 1 = 1;
pt = 2 • 1 + 1 =3; Q1=2-l+0 = 2;
Р2 = 2-3 + 1 = 7; Q2 = 2-2 + 1 = 5
и так далее. Как видите, все это довольно несложно!
— Дедушка, — закричал Вовка, — я сам хочу попробовать!
— Пробуй! — отвечал ему дед.
— Значит, — начал действовать Вовка, — я хочу получить значение
для Р большого, то есть первое его значение. Я беру число q, умножаю
его на то число, которое стоит в строке Р; q у меня равняется единице
и число Р тоже единице; значит, в произведении я получаю единицу,
а к ней надо еще прибавить то число, которое за первым Р слева стоит,
а там стоит нуль; значит, выходит, в общем, единица. Если я дальше
буду определять Р, то я два умножу на один да еще прибавлю единицу,
выходит три. Все верно! Я понял, как делается. В строчке, где стоят Q,
то же самое. Понял!
— Да, — сказал Лева, — как будто так. Но все-таки надо записать,
а то забудешь.
— Уже записано! — гордо ответил ему ученый секретарь.
270
5
— Чтобы понять, почему так все просто с диагональными числами
получается, — добавил дед, подумав немножко, — надо принять во вни-
мание, что разложение /~2 в непрерывную дробь представляет собой
очень несложную периодическую непрерывную дробь. Если взять
и рассмотреть все k во второй строке нашей таблички, то, если не счи-
тать k0, каждое из них равно двойке.
— Да... двойка! — произнес с искренним изумлением Вовка. — И как
это ты, диду, все замечаешь? Удивительно!..
Но дед только усмехнулся и продолжал:
— Период равен одному числу. Поэтому так просто подсчитываются
и подходящие дроби. Для других иррациональностей это отнюдь не так.
Попробуйте найти подходящие дроби для /19 или /46. Всякая ирра-
циональность, которая получается из корней квадратных — квадрати-
ческая иррациональность, — всегда дает периодическую непрерывную
дробь, но не все они, разумеется, одинаково просты. Для /У — это один
из самых простых случаев — ряд k представляет собой ряд: 1; 2, 2, 2, 2,
2, 2... и так до бесконечности. Единица, стоящая перед точкой с запя-
той, есть целое число. Скажу еще кстати, что у Архимеда встречается
одно указание — и без всяких объяснений — о том, что величина /3
о котором нам уже Веточка сегодня кое-что рассказала, лежит между
двумя дробями: эта величина больше чем дробь (265: 153) и мень-
ше чем дробь (1351 :780). Если разложить /з" в непрерывную дробь,
то в качестве неполных частных мы получим ряд: 1; 1, 2, 1, 2, 1, 2.
а восьмая и одиннадцатая подходящие дроби будут в
точности соответствовать приведенным Архимедом дробям. Правда, мы
не знаем, как вычислял Архимед и вряд ли он употреблял именно этот
способ, но любопытно отметить, что и наш этот способ и способ Архи-
меда приводят к одному и тому же результату. При этом заметьте, что
одиннадцатая подходящая дробь дает уже шесть правильных знаков,
она равна 1,732051, а истинное значение /з" будет 1,7320508. Для раз-
ложения в непрерывные дроби корней более высоких порядков, чем два,
мы таких простых и отчетливых законов, как для квадратических ирра-
циональностей, не знаем.
— А у Евклида, — сказала Наташа, глядя на деда умоляющими гла-
зами, — наверное, все это насчет диагональных чисел очень трудно до-
казывается? Нам, вероятно, не под силу, да?
— Как так «не под силу»? — возразил дед. — Старая пословица, ко-
торая, наверное, Евклиду ровесница, а может быть, и постарше его,
говорит: «Не боги горшки обжигают»! Это ведь только на самой заре
древнегреческой культуры писатели тех времен уверяли, что египетский
бог Тот выдумал игру в шашки и в кости, а кстати, он же «придумал»
и числа. Ко времени Евклида над подобными басенками дети уже смея-
271
О ...........о.О ........-о
А	С D	В
АС=СВ
Начала Евклида, книга вторая,
предложение IX.
лись. Вопросу о диагональных числах
во второй книге «Начала Евклида по-
священы два предложения, или теоре-
мы, девятое и десятое. Девятое предло-
жение утверждает следующее: если от-
резок прямой АВ рассечен в некоторой точке С пополам, а между точ-
ками С и В взята еще некоторая точка D, отсекающая отрезок BD, кото-
рый, очевидно, меньше А С или СВ, то два квадрата, построенные на
неравных отрезках прямой, на AD и DB, взятые вместе, будут равны
удвоенной сумме квадратов, построенных на АС и CD. Доказывается эта
теорема Евклида при помощи теоремы Пифагора. Доказательство это
вполне по силам нашему Любознательному сообществу следопытов.
— Сами сделаете! — мрачно ввернул Вовка.
— Сделаем, Вовочка, сделаем! — отвечала ему Веточка.
Вовка смягчился и важно кивнул головой.
— Теперь, — продолжал президент Тускарийский, — назовем отрезок
DB буквой х, отрезок CD буквой у, и тогда отрезок АС у нас опре-
делится, очевидно, как х-\-у. А так как мы знаем по девятой теореме
второй книги Евклида, что
(AD)2 + (D5)3 = 2 (АС)2 + 2 (CD)2,
то, заменяя все эти обозначения нашими х и у, получаем
(х + 2у)2 + х2 = 2 (х + у)2 + 2у2,
а из этого равенства уж нетрудно получить такое:
х2 — 2у2 = 2 (х + у)2 — (х + 2у)2.
Левая часть этого равенства нам уже знакома *.
ADGH — (АС + CD)*; DB = AC — CD;
DBEF =* ACLK — NGHKLM + CDNM;
2(ACLK + CDNM) = ADGH + BEFD.
— Знакома, — отвечал Лева.
— Теперь, значит, мы перевели гео-
метрическое построение древнего грека
на более понятный нам алгебраический
язык. Рассмотрим внимательно, что у нас
находится в правой части. Первое слага-
емое этой правой части есть не что иное,
как удвоенное а из наших диагональных
чисел, тогда как второе слагаемое — это
b оттуда же2. Вот каковы предложения
Евклида и их доказательства! Здесь мы
убеждаемся в существовании одного
важного приема для изыскания и опре-
*См раздел 2 этой главы.
*См. главу XXI, раздел 6.
272
A
деления некоторых иррациональностей. Он заклю-
чается вот в чем: раз нам удастся найти таких два
числа, х и у, что разность квадрата первого и удвоен-
ного квадрата второго будет равна е д и н и ц е, то мы
тем самым можем получить любое количество
чисел,
если вместо
C D
P
COPR=
=AJCLC+
+CW/M
О
D
P
связанных таким же точно соотношением,
следующего за данным у возьмем х + у,
а получив еще пару чисел, мы полу-
чим и следующую — и так сколько
угодно раз! Такого рода соотношения
называются в математике рекур-
рентными, то есть, в вольном пе-
реводе с латинского, «возвращающи-
мися снова к тому же старому пра-
вилу». Вот как Евклид выводит свое
замечательное правило диагональных
и боковых чисел!1
Вася наклонился к Вовке и шепнул
ему что-то на ухо. Наташа навострила
уши, но ничего не разобрала, кроме
«если бы вот только...», но этого, ко-
нечно, было
A
STUV=(DBf
О
R
C
D
Сумма квадратов есть средняя между ква-
дратом суммы и квадратом разности (срав-
ни с Васиной дощечкой).
В
Вася
ждал
обратили внимание' на это бурное объяснение.
еще мало.
— В древности, — за-
метил дед, — было, как
видите, придумано не-
мало способов для при-
ближенного определения
/2*. Одни решали эту за-
дачу так, другие — ина-
че. Последний способ
наш — это уже, веро-
ятно, время Возрожде-
ния. Но такое обилие
способов в древности
показывает, что зада-
ча была важна на прак-
тике.
шептал что-то на ухо Васе,
головой. Вовка горячо убе-
это время Вовка громко, торопясь,
улыбался неопределенно, покачивая
в чем-то товарища и так махал руками при этом, что наконец все
1 Любознательный читатель, конечно, ие поленится достать «Начала» Евклида
в русском переводе. М., 1948, т. I, стр. 71 и 312.
18 Архимедово лето	273
— Что такое у вас там случилось? — спросил Лева.
— Да, правда, — сказала Веточка, — чего вы там не поделили?
— «Не поделили»! — возмущенно воскликнул Вовка. — Вот именно,
что поделили! А он не хочет!
— Чего «не хочет»? Расскажи, сделай милость!— вмешался и дедушка.
— Потому что... — произнес Вовка, очень недовольный, — потому
что... у нас есть еще одно... Ну, как бы это вам рассказать...
— Открытие, наверное! — захохотал Лева. — И такое же удачное?
— Нет, не такое! — отвечал обиженный Вовка. — И совсем даже не
такое. А очень хорошее!
— Так расскажи же и нам, — посоветовал дедушка. — Хорошее от-
крытие для всех вещь приятная.
— Мы с Васей нашли кубический египетский фут.
— Ах вы, египтяне! —закричал Левка.— Какой такой кубический фут?
— Не фут, а локоть, — поправил Вася.
— Да, да, — спохватился Вовка, — локоть!
— Важная поправка! — заметил дед. — Однако мы все-таки ничего
не понимаем.
— Как у египтян... — начал Вовка, —ты нам сам, дедушка, гово-
рил! .. — было три локтя разных: один для удвоения площади, другой
для квадратуры круга... Верно или нет?
— Верно! — отвечал дед. — Я это говорил.
— Так мы им... ну, египтянам этим... придумали с Васей еще один
локоть. То есть даже не один, а два. Делается очень просто: из их ста-
рого царского локтя. Берется сперва три локтя и две пяди, вместе два-
дцать три пяди. Это наш первый египетский локоть, а по-ихнему это
уже будет четвертый! А второй наш египетский локоть — а у них, вы-
ходит, будет уже пятый — такой: берется четыре царских локтя и одна
пядь, выходит двадцать девять пядей. Когда тебе надо удвоить куб,
ты его сторону меришь четвертым египетским локтем — по двадцать
три пяди, а потом и говоришь: если мы построим такой куб, сторона
которого будет во столько же локтей, только локти будут не четвер-
тые, а пятые — по двадцать девять пядей, то вот, пожалуйста, все и
готово! Куб удвоен. Всё! Можете проверять. Очень, дедушка, хорошее
изобретение! Просто замечательное! И эго мы с Васей всё сами при-
думали.
— Проверим! — зловещим шепотом произнес Ника. — Сейчас про-
верим наших египтян пятилоктевых! И, если только вы наврали, бросим
прямо в Нил на съедение самым страшным, самым длинным крокоди-
лам, по пятнадцати метров длиной.
— Даже и нет таких! — засмеялась Наташа.
— Ну, немножко покороче, — не стал спорить Никита. — Все равно,
разницу эту они, кубатурщики египетские, заметить не поспеют! Да-с...
Там, брат, в древнем Египте, разговор был короткий. Сейчас проверим.
274
6
3__
— / 2 , — сказал Вася, — равен 1,259921...
— Так! — отвечал Ника. — А дробь ваша, -Ц-, будет равна...
— ...1,26!—закричал Вовка. — Проверено! Сам в куб возводил.
Уж я множил, множил, наврал два раза. Выходит 2,000 376. Если на
двоечку множить, так ему все равно, оно не обижается...
— Кто не обижается? — спросил Лева. — Ты что, спятил?
— «Кто»! — обиженно повторил Вовка. — Ну, число! Ведь ему не
хочется в куб возводиться, вот оно и врет!
— Ах вот как! —сказал дед. — Выходит, число врет, а не ты?
— Конечно, и я немножко наврал, — ответил Вовка, сморщившись.
— Тебе, наверное, эта канитель уже надоела, вот ты и сказку про
число придумал, —решил Ника.
— Ну, это неважно... — сказал рассеянно Вовка. — Да чего вы,
правда, прицепились, как репейник на огороде! Вам про что говорят:
вот изобретение!
— Изобретение ничего себе! — сказал дедушка. — Если бы ты раз-
добыл знаменитую машину времени, которую когда-то английский писа-
тель Уэллс придумал, то тебе стоило только сесть на нее, пустить ее
в ход, проскакать вверх по течению истории этак целый пяток тысяче-
летий, ты бы явился ко двору фараона Хефрена и сказал бы ему: «Вот
вам, ваша египетская милость, новых два локтя, один другого лучше»,
и, разумеется, тебя бы...
— ...сейчас же назначили старшим египетским крокодилом! — за-
кончил под общий хохот Лева.
Хотя Вовка чувствовал себя очень обиженным, но все-таки хохотал
не меньше других, время от времени произнося:
— Сам крокодил!.. Тебя бы назначили...
— А как вы это сделали? — спросила Веточка Васю.
— Два дня мучились! — вполголоса объяснял Вася. — Еле-еле нашли
таких два числа, чтобы куб одного равнялся удвоенному кубу другого.
Ну не совсем, понимаешь, а около того... Дедушка говорил, что они
в древности, наверное, брали 1,25. Ну вот нам и захотелось получше
сделать.
— Хорошо! — похвалил дедушка. — Мне ваше изобретение нравится.
Конечно, сейчас оно уже не очень нужно, но вам с такими задачами не
29
мешает повозиться. Кстати уж сказать, ваше это приближение ^дает
возможность и самый куб построить...
— Видишь! — с негодованием воскликнул Вовка, обращаясь к Ва-
се. — Что я тебе говорил?
— ... то есть взять и прибавить к ребру куба, равному двадцати
трем, с обеих сторон по шести единиц.
18*	275
— Ну вот видишь, дедушка, — жалобно сказал Вовка, — ты сам го-
воришь! А он не велел мне этого говорить. А мы сами и это придумали.
А он говорит: «Давай-ка помолчим». Вот видишь, какой он!
— Если вы сами заметили, — сказал дед, — то очень хорошо.
— Превосходно! — отрубил Лева. — Но все-таки, дедушка, ты нам
лучше расскажи...
— Постой! — прервал его Никита.
— Слушай, Кита! — возмутился Лева. — Почему ты мне не даешь
говорить?
— «Кита»! — повторил Вовка и рассмеялся.
— А что такого? — сказал Никита. — Меня так мама иногда зовет,
когда она в хорошем настроении. Так вот...
— Ах, мама! — произнесла с интересом Веточка. — А по-моему, очень
славное имя — Кита!
276
— Ничего себе, — отвечал Ника. — Давайте-ка, однако, к делу.
— Я хочу... —снова начал Лева.
— Позволь! — снова прервал его Ника. — Я только сейчас сообра-
зил, а вы сказать не даете! Если они искали удвоенный куб некото-
рого числа, так в таком случае это, на мой взгляд, весьма почтенное
занятие!
— Конечно! — поддержала Наташа. — Это как будто такое же урав-
нение: только там квадратный корень, а у них кубический:
х3 — 2у3 = 1
— Справедливо. — согласился и дедушка. — Только такие уравне-
ния меньше исследованы, чем те, которые ограничиваются квадратным
корнем. Дроби, которые приближенно выражают корень, если их полу-
чают по способу непрерывных дробей, называются, как мы только что
говорили, подходящими дробями. Такова и та дробь, которую нашли
Вова с Васей. А следующая такая дробь, если мне память не изменяет,
будет gg.
— Значит, мы всё правильно сделали! — заявил Вовка.
— Конечно! — отвечала Наташа. — Что-то придумали сами — зна-
чит, умники!
635
— Еще одна подходящая дробь, — продолжал дед, — будет . Вот
з _
эта уже с округлением дает шесть правильных десятичных знаков /2.
Если взять такой корень поточнее... — Тут дедушка вытащил из кар-
мана свою записную книжку, полистал ее и продолжал: — Это будет:
1,25992 10498 94873.
Вовка смотрел на Васю с выражением полнейшего негодования.
— Ну, — сказал он, — да Вася же! Так ты и будешь молчать и мол-
чать? .. Ты понимаешь, что дедушка говорит? Ше-есть!
Вася огляделся кругом и неловко засмеялся.
— Ну уж вываливайте все ваши затеи! — сказал недовольно Лева.—
У вас еще что-то, я вижу, есть.
— Есть-то есть, — сказал, пожимая плечами, Вася, — да как-то рас-
сказывать неловко. Потому что... на баловство похоже. Тыкались так,
пробовали — вот и всё. И говорить не стоит. Вот насчет единицы этой
самой... Да не стоит.
— Нет, стоит! — возразил неукротимый секретарь.
— Пусть рассказывает, — решил Лева. — Все равно от него теперь
добром не отделаешься!
— Говори, Вася, — сказал дедушка.
29
— Когда мы нашли эту дробь, , то подумали: а нельзя ли найти
277
и ей поправку, как знаменитые индийские вычислители нашли для
корня квадратного? Решили попробовать. Возьмем квадрат 29, он
равен 841. Хорошо. Теперь дальше. Индийцы от своего квадрата отре-
зали две полоски 1, а у нас куб, значит, надо не полоски отрезать, а пла-
стинки. Отрежем с трех сторон куба три пластинки, площадь которых
равна 841 квадратной единице, а толщину их мы найдем из уравнения:
841 • 3 • х = 55,
потому что разность
293 — 2  233 = 24 389 — 24 334 = 55,
но в том-то и беда, что у нас получается 55, а не единица. Уж как мы ни
искали, а таких кубов, чтобы на единицу разница была, как с квадра-
тами было, не нашли. Из этого уравнения мы узнаем, что толщина пла-
стинки х = 0,0218. А уж отсюда мы вывели, что
2 • 233 = (29 — 0,0218)3.
Конечно, равенство это приближенное. Если же по формуле куба раз-
ности разложить этот бином: (29 — 0,0218)3, то получается почти в точ-
ности. Извлекаем корень кубический из той и из другой части пред-
последнего равенства и получаем
3/о _ 29 - 0,0218
V 2 —	23 ~ •
з _
И когда мы все это до конца проделали, то получили для /2 значение
1,259922, ошибка всего на одну единицу в шестом знаке. Мы и сказали
друг дружке, что все-таки у нас ничего себе получилось... Ну, конечно,
просто это так — попробовали, больше ничего. Все ведь решали эту
задачу — и вавилоняне, и греки, и индийцы. Вот и мы с Вовкой туда же
полезли. Интересно ведь самому-то попробовать!
— Здорово придумали! — сказал Ника. — Просто молодцы! По этому
случаю я предлагаю: от сего числа и впредь именовать нашего досто-
почтенного ученого секретаря Тускарийской знаменитой академии любо-
знательных следопытов не просто секретарем, а с этой минуты — не-
пременным секретарем. Возражений нет?.. Принято! Поздрав-
ляем нашего глубокоуважаемого ученого секретаря, доктора всекуби-
ческих древнеиндийских наук с назначением его непременным секрета-
рем нашей любознательной академии следопытов!
1 См. главу XV, раздел 3.
278
— Мы, — сказала Веточка, — от нашей секции вполне поддержи-
ваем, присоединяемся и поздравляем Вовочку с повышением в чине, ибо
его сверхквадратное исследование кубических иррациональностей дей-
ствительно заслуживает быть отмеченным как пример неутомимого тус-
карийского следопытства!
Вовка сиял, как новая медная копейка, и даже соблаговолил кив-
нуть несколько раз в ответ на громкие аплодисменты ребят. Потом
вдруг не выдержал, захохотал и громко закричал:
— Да это все Вася! Меланхолический кавалер!
— Неважно, — сказала ему Наташа, — все равно ты молодец у нас!
Да еще какой!
Но вдруг Вовка поглядел в замешательстве на Васю, затем схватил
его за рукав, оттащил в сторону от ребят и зашептал ему в самое ухо:
— Сизарик! Я теперь переделаю надпись на тетрадке. Теперь вот
как напишем — и самыми большими буквами:
Собрал
ВОВА ТУСКАРЕВ
Ученый и непременный
секретарь
Тускарийской
академии
Понимаешь как?
— Ну ясно! — отвечал тоже шепотом Вася. — А как же иначе? Раз
уж ты непременный, то так и надо писать. Иначе будет непра-
вильно!
— Вот и я тоже так думаю, — отвечал ему в полном упоении Вовка.
7
— Вот что, — добавил дед, — надо еще отметить. Уравнение, приве-
денное Наташей, как уже заметил Вася, не совсем верное. Лучше на-
писать:
х8 — 2у8 = а,
279
где а — некоторое целое число. Тогда становится ясно, что поправка,
которую ввели Вова с Васей, будет вот как изображаться:
Лз — 2у3   а
Зх-у	Зх-у ’
ибо остальные члены разложения бинома слишком малы по сравнению
с ее знаменателем.
— Какие интересные способы! — сказала Наташа.
— Этот опыт Вовы и Васи, — добавил дедушка, — показывает, что
3
можно добыть хорошие подходящие дроби и для \/~. Все это можно
сделать прямым последовательным делением по правилу отыскания
общего наибольшего делителя между числами 1 259 921 и 1000000,
з
считая, что значение /У с достаточной точностью выражается числом
1,259921. Ряд частных от этих последовательных делений и дает основ-
ные элементы, из которых строятся подходящие дроби1.
— А если не знаешь, чему корень равняется, — сказал Ника, — тогда
как быть?
— Вот посмотрим, — промолвил дедушка Тимоша, — как получается
разложение /У в непрерывную дробь. Это не очень сложно, и я при-
веду довольно простой способ. Начнем с того, что напишем тождество,
в котором, я полагаю, у вас не будет оснований сомневаться:
(/2 — 1) (/2 + 1)=1.
Поделим обе части на (/У +1). Получим
А теперь, заметив, что
/2+l=2 + (v/2-l),
заменим выражение /У + 1 через 2+ (/У — 1), а тогда сможем на-
писать
1 Немало интересного по поводу непрерывных дробей читатель может найти в со-
чинении .Леонарда Эйлера «Введение в анализ бесконечно малых», т. I, М., 1936,
глава XVIII, «О непрерывных дробях», стр. 301—322.
280
Но если это так, то мы можем разность, которая у нас в знаменателе
правой части, поскольку она равна всей левой части, заменить этой всей
левой частью. И тогда мы пишем
2 + \/2 - 1
или
\/ 2 = 1 4~--------------------------1——.
2 + 2 + (^ -1)
А теперь мы снова повторяем ту же замену, подставляя вместо разности
в знаменателе_полученного равенства (/Т —1) то же самое выраже-
ние 1 :[2 + (/Т — I)]. И получаем
v/2 = 1 +--------Ч-------
2 + 2 + (v/2-l)
Продолжая снова и снова все ту же самую подстановку, мы и получаем
разложение / 2 в непрерывную бесконечную дробь:
V2 = 1 +---------Ц------
2 + ——-р
2+2
Этот способ применим во всех случаях, когда неквадратное число, стоя-
щее под корнем, можно представить в виде /п24-1, где т не равно
нулю. Следовательно, неполные частные будут: 1; 2, 2, 2, 2,.., а отсюда
вы можете получить известные уже вам подходящие дроби.
— Ав древности, — спросил Лева, — вычисляли кубические корни,
кроме этого случая удвоения куба?
— Разумеется, — сказал дедушка, — задача удвоения куба является
типичной задачей, когда надо увеличить некоторый объем или какую-
нибудь пространственную конструкцию, вроде той же баллисты. В зна-
менитом письме Эратосфена так прямо и говорится о назначении месо-
281
лабия. То же самое слово в слово — только уже не о баллистах, а о
пушках! — повторил в XVI веке ваш любимец Альбрехт Дюрер в своем
учебнике математики, который выдержал много изданий в те времена
и был переведен чуть ли не на все европейские языки. Военные инже-
неры эллинистической эпохи в городе Александрии нашли, по свидетель-
ству древнего ученого Филона, формулу, которая связывала диаметр ка-
нала баллисты, по которому проходили упругие тяжи из воловьих жил,
с величиной ядра. А в эту формулу входил корень кубический из веса
ядра.
— Как ты назвал художника, дедушка? — спросил с беспокойством
Вовка. — Дюрер?
— Дюрер! — отвечал Тускарийский президент. — Тот самый, о ко-
тором ты не так давно вспоминал, автор вашей любимой «Меланхолии».
Интересно, что он, описав задачу об удвоении куба, говорит: «Так как
это искусство очень полезно и весьма важно для мастеров всех ремесл,
но ученые его держат в большой тайне и тщательно скрывают, то я ре-
шил изложить его и сообщить. Пусть поэтому каждый мастер обратит
на это внимание!» Ибо, по мнению Дюрера, эта задача имела значение
во всех случаях, когда надо было увеличить в масштабе пушки и коло-
кол, бочки и сундуки, комнаты и статуи. Впрочем, насчет тайны задачи
Дюрер ошибался, ибо незадолго до его книги вышла книга одного не-
мецкого математика, который изложил делосскую задачу.
— Какую задачу? — живо откликнулся Лева.
— Задача удвоения куба очень часто называется делосской
в связи с одной легендой древней Греции.
— А какая легенда? — спросила Наташа.
— На голубых просторах прекрасного Эгейского моря, — отвечал
дед, — среди многочисленных Кикладских островов, лежит небольшой
остров Делос, имеющий всего восемьдесят квадратных километров по-
верхности. Остров был посвящен древнему богу Аполлону, тому самому,
о котором Пушкин написал, как этот бог попал среди богов в неми-
лость, и никто...
— Я знаю! — воскликнул Никита. — Я знаю это стихотворение.
— Ну и скажи его!
— Там так сказано:
Он бродил во мраке леса.
И никто, страшась Зевеса,
Из богинь иль из богов
Навещать его не смели —
Бога лиры и свирели,
Бога света и стихов...
— Вот именно, — отвечал ему дедушка, —эти две последние строчки
я хотел вспомнить. «Бога лиры и свирели, бога света и стихов...» Ну,
разумеется, этот «свет» надо понимать в смысле солнечного света, то
282
есть, в сущности, это бог Солнца, выращивающий урожай. Так вот на
острове Делос было святилище бога Аполлона, весьма чтимое в те древ-
ние времена. И там, конечно, находилась одна из его статуй, которые
греческие ваятели умели так неподражаемо красиво высекать из чудес-
ного греческого мрамора. Но вот остров Делос посетила страшная
гостья — болезнь чума. Делосцы отправились в святилище и стали спра-
шивать храмовых гадателей, как им избавиться от этой ужасной на-
пасти. И оракул, то есть предсказатель, ответил: «Удвойте жертвенник
Аполлона». А жертвенник этот, как вы догадываетесь, представлял со-
бой куб. Делосцы, не задумываясь, поставили на этот куб другой такой
же. Но чума не прекращалась — и тут-то им и разъяснили сведующие
люди, что надо было построить куб двойного объема. Эта сказка приво-
дится в письме Эратосфена царю Птолемею о месолабии'. Вот из-за
этой-то сказки наша задача и называется нередко делосской за-
дачей.
— Спасибо вам, дедушка Тимоша! — сказала Наташа. — Как вы ин-
тересно рассказываете!
— Очень хорошее у нас сегодня было заседание!—сказал Лева.—
Только ведь...
— .. .покушать бы не мешало! — заключил Вовка.
Все засмеялись, а дед снова достал свою неизменную спутницу —
старинную пенковую трубку.
— Правильные слова! Давайте-ка возьмем ноги в руки, да и айда
обедать! — предложил дедушка.
1 В главе XV, разделе 5 была указана книга Витрувия, в которой на стр.
284 можно найти письмо Эратосфена.
Глава двадцать третья
Вовка и Вася добиваются новых достижений. — Реконструкция сарай-
чика. — Индийский секрет. — Истинно тускарийское приближение с пят-
надцатью десятичными знаками. — Еще некоторые забавные новости по
части игры в Дразнилку. — Периодизм в непрерывных дробях. —
Погрешность приближения можно оценить при помощи этого же прибли-
жения. — Какая разница между вавилонским и индийским способами? —
Приближаемся к нулю как угодно близко! — Почти — равенство... —
Замечательный способ решения задачи, когда врать не воспрещается. —
Ньютонов способ для определения корня. — Промежуточные дроби.—
Еще несколько слов по поводу вавилонского, египетского и Архиме-
дова определений числа к. — От энной дроби к два-эн-плюс-первой. —
Приближение для кубического корня. — Много ли квадратов в нату-
ральном ряду? — Тускарийский походный марш.
1
Ночью прошел хороший, дружный дождик, заря была алая и утро
ясное. Воздух был чист и звонок, наполнен душистым запахом осве-
женной зелени, и только легкий запах сырой земли да туманно-голу-
боватые дали напоминали о ночной влаге.
284
Дедушка вышел, присел на крылечке, уже просохшем на солнце, и,
конечно, вытащил свой кисет. Не спеша он размотал его и достал ще-
поточку пахучего табаку.
Лева допил чай, вышел в сад и сорвал длинную травинку с пуши-
стой лиловой кисточкой на конце.
Вдруг калитка с треском распахнулась, и к дедушке подбежал рас-
трепанный и раскрасневшийся Вовка, который, очевидно, был набит са-
мыми свежими новостями по самое горло.
— Дедушка,— выпалил он скороговоркой, —мы...
— Где ты пропадаешь, Вова? — сказала недовольно мама. — Что
это такое? Убежал ни свет ни заря, даже не сказал, куда это тебя по-
несло. Ты чай собираешься пить или нет?
— Ах, мама, — отвечал запыхавшийся мальчик, — ну как ты не по-
нимаешь!.. Я сейчас. Подожди... То есть я не хочу... Дедушка, слу-
шай, у нас достижения! Мы с Васей...
— Рассказывай! — отозвался Лева. — Опять небось наврали!
— Нет, не наврали! Дедушка, я тебе расскажу. Вот и Вася идет. Он
расскажет. Дедушка, понимаешь...
— Пока еще не очень, — признался дед.
— Нет, ты слушай. Васе в деревне сказали: «Академик, ты можешь
сарайчик нам удвоить?» А я сейчас же им ответил: «Он может! У нас
есть своя подходящая дробь!»
— Своя! — засмеялся Левка.
— Дедушка, он просто от зависти. Тогда те и говорят: «Валяй,
удвояй, да смотри, чтобы верно вышло»... Так я, Вася, рассказываю?
— Так,— отвечал Вася, который уже поздоровался, стоял в сто-
ронке и посмеивался.
— А дальше? —спросил дед, обращаясь к нему.
— А дальше, — ответил Вася, — дают размеры сарайчика: шесть
метров на пять метров, вышина — два. Всего шестьдесят кубометров.
А надо, чтобы было сто двадцать. Ну, мы с Вовой карандаши в зубы и
за нашу дробь: -gg-. Все эти величины умножили на эту нашу дробь:
15 = 2,522; 5^ = 6,304; ^ = 7,565,
а потом сейчас же проверка. Перемножили их и получили
2,522  6,304 • 7,565= 120,274.
Готово! Чуток только побольше вышло. Ну, Парфен Иваныч говорит:
«Это малость, неважно. Бывает, говорит, и плотник на соломинку встояк
ошибется, а вам и бог велел!»
285
— Лихо! — похвалил Лева.
— Вот, значит, у нас достижение. Вот уж верно названо: подходя-
щая дробь! Она и подошла! — восторгался Вовка, подпрыгивая. — А по-
том он, Парфен Иваныч, вдруг замолчал да как прищурится — паль-
цами по столу забарабанил... И говорит: «Это да! А только у нас коло-
дец сбоку, вот что! Ты, Васятка, вот как: нам ширину нельзя. А если без
ширины, так эта твоя дробь уже не может действовать?» Я смотрю, де-
душка, никак не пойму, что он говорит. А Вася нисколько не испугался!
Отвечает ему прямо: «Эта не может, другая есть». Так я говорю, Вася?
— Так.
— А как ты сказал?
— Я сказал: «У нас еще есть одна подходящая дробь».
17
— Да, да! Он так и сказал:-^! И сделал. Вася, как ты сделал?
— Оставил им ширину без изменений, раз у них там колодец стоит.
Да я знаю, про какой он сарай говорит! А длину шесть метров и вы-
17
шину два метра на увеличил, и всё! Вышло 8,50, потом 5 остается,
как было, а вышина будет 2,83. И вышло опять 120,275.
— А тогда самое главное, дедушка, ты слушай! Он и говорит, то
есть Парфен Иваныч: «Так, говорит, твои дроби, верно, подходящие, я
запишу, они пригодятся». Потом опять как сощурится и говорит: «Скажу
председателю, пусть-ка он твоей матери за трудодень выпишет!» Ты
понимаешь, дедушка?
— Здорово! — сказал Лева.
— Выпишет или не выпишет,— отвечал дед,— это там видно будет.
Но хоть посулил, и на том спасибо.
— И теперь я, дедушка, — продолжал Вовка в волнении и ероша
свои волосы, — я все теперь понял, все до копеечки понял про куб. По-
нял, зачем надо кубический корень брать, если кубатуру увеличивать.
— А ну-ка, не хвастайся! Расскажи, что ты понял? — проговорил
Лева.
— Вот что: ведь их три величины — длина, вышина, ширина — и каж-
дую надо на равное помножить, то есть на одно и то же так, чтобы по-
том, если эти самые три множителя перемножить, получилось в произве-
дении ровно два. Надо получить два, а значит, надо, чтобы из трех оди-
наковых и еще неизвестных множителей получилась бы двойка. Выхо-
дит, что надо разбить двойку на три одинаковых множителя. Вот и надо
брать /Т, потому что если его самого на себя три раза помножить, то
в произведении и получается то, что нам нужно, то есть ровно два!
— Рассудил! — заметил дед. — Верно.
— Н-да... —произнес Лева задумчиво. — Вот как выходит!
И даже Вовка рассудить может. Получается, что стоит тебе построить
такую дробь...
286
Васе в деревне сказали: «Академик, ты можешь сарайчик нам удвоить?»
— Построить, — ввернул дедушка, —и рассмотреть, где ее приме-
нять можно, да с какой погрешностью!
— Ну да! — отвечал Лева. — Так я про это самое и говорю. И стоит
это довести до конца, и в руках у тебя точно какая-то машина оказы-
вается: она и будет на тебя работать, когда понадобится. Вот ведь что
хорошо!
— А ты знаешь, какой у нас здесь угол есть, Вова? — неожиданно
раздался голос мамы с террасы.
— Какой угол? — презрительно вопросил Вовка.
— Обыкновенный! — отвечала мама. — Девяносто градусов. Не хо-
чешь ли в нем постоять этак с полчасика?
— Это с какой же радости?! — возмущенно завопил Вовка.
— А вот с такой, что иди чай пить! А то не буду больше пускать
бегать.
— Странно... — сказал Вовка, который вдруг догадался, что дей-
ствительно у мамы есть основания быть недовольной. — Что ж... я
могу, конечно, выпить чаю.
С этими словами Вовка нехотя сел за стол и сейчас же спросил:
— А творогу сегодня разве нет?..
Кот Теренций подошел к Вовке и глянул на него умильно и вопро-
сительно. Большой хитрец был этот кот Теренций.
В это время пришли с речки девочки. Сзади них шел сам председа-
тель Любознательных ассамблей, Ника, и делал Леве за их спиной
какие-то в высшей степени непонятные, но весьма настойчивые знаки.
Он рисовал в воздухе квадрат двумя указательными пальцами, а потом
еще пририсовывал что-то правой рукой сбоку вроде уголка. Лева при-
щурился, потом ударил себя по лбу, показывая, что наконец догадался.
Левочки с интересом посмотрели на того и на другого, а Вовка, крик-
нув маме:
— Я сейчас, мама, сию минуту, честное слово! — сбежал к Леве и
громким шепотом на ухо спросил его: — А с какого треугольника на-
чинать?
Но не успел еще Лева сообразить, о чем Вовка спрашивает, как
Веточка, услыхав Вовкин вопрос, захохотала и сказала:
— С маленького, Вовочка, с маленького удобнее!
И сконфуженный Вовка направился обратно за стол, ибо мама гля-
дела с террасы на него слишком уж внимательно. Вовка не очень лю-
бил, когда на него так смотрели...
— Так вот, — начал чрезвычайно важно Кита, — я полагал бы, что
пришел час, когда и наша досточтимая и заслуженная Кито-Львиная
секция должна выступить во всей красе и сказать свое веское слово!
Вот что!
— Подумаешь, «Львиная»! — отозвался Вовка с терраски. — Ишь,
что придумал! Тоже, скажет...
288
2
на
А то тут мешают...
чирикает, говорить не
будет
нему
Вова,
ты
не
тебе, Лева, — сказала
приставать. Какой
сиди, без тебя они
— А на березе скворечник видел.’’--
спросил его Лева. — А не хочешь, Ту-
скарини, мы туда тебя запрем на две
недели. Сиди и чирикай! Ты, царевна,
знай свои ниточки да и помалкивай,
когда большие разговаривают.
— «Большие»! — негодующе про-
ворчал Вовка, старательно уписывая
большой ломоть свежего хлеба с мас-
лом и медом.
— А что такое есть у вашей секции
новенького? — спросила Наташа.
— Пошли на озеро, — отвечал Ле-
ва.— Там уж, так и быть, мы вам кое-
что расскажем.
Царевна наша
дает.
- Ну
мама, — к
задира!..
уйдут.
Через некоторое время пришли
озеро, где славно шумели камыши,
а чайки низко летали над самой во-
дой, ловко покачиваясь в воздухе всем
корпусом, точно они были вырезаны из целого куска дерева.
Друзья расположились. Дедушка набил свою трубку, закурил, при-
крываясь полой, потому что ветер тушил спичку за спичкой, и про-
молвил:
— Ну, Кито-Львы, чем вы нас сегодня порадуете?
19 Архимедово лето
289
— Докладывать будет он сам, — важно отозвался Лева.
— Видите ли, дедушка Тимоша, — начал Ника-председатель, ви-
димо немного волнуясь, — конечно, весьма возможно, что мы и через
край хватили, все может быть... Но... но все-таки я должен объявить
во всеуслышание, что наша секция, кажется, открыла секрет ин-
дийского способа вычислять /Т.
— Секрет?—повторил дедушка. — А разве там есть секрет? Там
как будто все довольно просто.
— Не совсем! — веско ответил ему Лева, метнув, однако, на деда
беспокойный взгляд.
— Ну, послушаем, — спокойно ответил дед.
— Напомню, — начал Никита, — что вы нам показывали такое ра-
венство
/	1 \2
2 • 122^(17-1).
\	34/
Из него все остальное получается, как говорится, само собой. Наша
секция обратила на это равенство самое пристальное внимание. Ре-
шили исследовать. В силу вышесказанного...
— До чего же он торжественно выражается сегодня! — заметила Ве-
точка вполголоса.
Но Ника в пылу вдохновения не расслышал ее слов и продолжал:
— ...наша секция решила рассмотреть вопрос с самого начала. Мы
составили табличку подходящих дробей, как вы нам показывали2, и
з
начали с первой подходящей дроби у. Уравнение, которое вы нам
показывали3,
хэ _ 2уг = 1
годится для этой цели, потому что
З2 — 2 • 22=1.
Затем проделали с нею совершенно то же самое, что вы, дедушка Ти-
моша — вернее, индийские мудрецы времени Шульба-Сутры 4 — проде-
17
лывали с дробью -у. Вот что получилось:
2 • 22 « З2 - 2 • 3 (1 :6) + (1 :6)2,
затем
/	1 \2
2 • 22^( 3--^-),
у	о /
1 См. главу XV, раздел 3.
гСм. главу XXII, раздел 3.
гСм. главу XXII, раздел I.
« См. главу XXII, раздел 3.
290
а отсюда следует:
2\/2 =3-(1 :6) = (17:6),
или	_
/2^(17:12).
И таким образом пришли к тому, с чего начали индийцы! Из этого ре-
шения мы и сделали важный вывод. Выходит, что индийская по-
правка к некоторой данной подходящей дроби переводит ее в стар-
шую— и даже гораздо более старшую — подходящую дробь!
Если у— это первая подходящая дробь, то — уже третья подхо-
дящая дробь. Заметив это, мы решили двинуться дальше. Тогда из этой
же самой третьей подходящей дроби с индийской поправкой мы сразу
получили уже седьмую подходящую дробь. Из пятой — одинна-
дцатую, а из седьмой — пятнадцатую. Если бы мы шли прямо,
то могли бы получать подходящие дроби так: первая — третья — седь-
мая — пятнадцатая. И выходит это гораздо скорее и удобнее, чем с этой
табличкой подходящих дробей. Потому что там мы шагаем со ступень-
ки на ступеньку, а здесь, если шагать по-индийски, мы с некоторой
энной ступеньки попадаем прямо на два-эн-плюс-первую, то
есть с первой на третью, с третьей на седьмую и так далее. Берется но-
мер подходящей дроби, умножается на два да еще прибавляется еди-
ница. А затем, дедушка Тимоша, мы занялись и четными подходя-
“J
щими дробями. Взяли вторую, у.
72 = 2 • 52—1,
переписали так:
2.52 = 72 + 1,
затем:
2 • 52 ~ 72 + 2 • 7 [1 : (2 • 7)] + 1 : (2 • 7)2 = (7 + ^}а,
а уж отсюда получаем:
/2 ~ 99:70,
а это, как ясно из нашей таблички подходящих дробей есть не что
иное, как пятая подходящая дробь! Тем же порядком четвертая пе-
реходит в девятую, а шестая в тринадцатую. Заметьте: и чет-
ные и нечетные подходящие дроби с индийской поправкой идут по ряду
нечетных чисел, начиная с трех, это и естественно, потому что если но-
мер подходящей дроби есть п, то с индийской поправкой она превра-
ти. главу XXII, раздел 3.
19*	291
щается в старшую подходящую дробь, номер которой есть (2«+ 1). Вот
что мы нашли. Нам с Левой это очень понравилось. И мы решили, что
способы индийской поправки — это нечто вроде способа диагональных и
боковых чисел Евклида, только индийский способ гораздо быстрее пере-
прыгивает через несколько подходящих дробей, а четных даже и не
различает.
— А почему же это так хорошо выходит? — спросила Веточка.
— Почему выходит? .. — повторил Лева.
— Почему?.. — сказал и Ника.
Оба помолчали, взглянув друг на друга, а потом Лева очень мрачно
заметил:
— Этот вопрос еще не вполне ясен, находится в разработке. Будет
доложено в свое время!
— Ничего... — мягко улыбаясь, выговорил дедушка. — Значит, вы
обнаружили, что каждый раз, когда применяем индийскую поправку, мы
шагаем через несколько подходящих дробей к следующей, то есть еще
более точной по части приближения. Индийский способ только начинает
, 17	, 577
с дроби |2> а на самом деле приводит к дроби ^д, отсюда, естественно,
получаются пять правильных десятичных знаков. Хорошо!
— Если знаешь, — подтвердил Ника, —самое грубое приближение.
3,1	«	-	л
то есть у, или 1-у, то, пользуясь индииским способом, можно добиться
какой хочешь точности!
— Мы, конечно, могли бы и еще кое-что добавить, — неуверенно вы-
говорил Лева,— боимся только, как бы не ошибиться.
— Подумаешь! — улыбнулся дедушка. — Не велика беда, если и
ошибетесь.
— Дело вот в чем, —осторожно начал Лева. —Если взять две та-
кие подходящие дроби, что младшая переходит в старшую при помощи
индийской поправки, то ... я уж буду называть такие подходящие
дроби индийскими дробями. Так вот, если взять две такие «со-
седние» индийские дроби и вычесть младшую из старшей, то можно об-
наружить, что их разность равна единице, деленной на знаменатель
старшей, а сам знаменатель старшей индийской дроби равен удвоен-
ному произведению числителя и знаменателя младшей дроби. Возь-
мем, например, девятую подходящую дробь, ее знаменатель равен 2378,
41
а четвертая дробь, та самая, которая переходит в девятую, равна gg.
Но 2378 равно 2-41 -29. Еще пример: пятнадцатая подходящая дробь
и седьмая. У пятнадцатой знаменатель будет 470832, что в точности
577
равняется 2 • 577.408, а седьмая дробь как раз и есть ^д. Может быть,
292
дедушка, индийские математики все-таки знали эти твои цепные дроби?
Только много рассказывать не хотели, а показали, что про них знают.
Они пользуются теми же числами, что и вавилоняне, а на самом деле
в полном секрете дают гораздо лучшие приближения. Разве так не
могло быть?
— Трудно сказать... — осторожно вымолвил дедушка. — Вообще
чаще всего дело начиналось с решения задачи в частных случаях...
— А почему ты, Лева, говоришь только о знаменателе? — удивился
Ника. — То же самое получается и с числителем. Если взять формулу
нашей поправки, то получаем
х	1 _ 2х’ — 1
у	2ху 2ху ’
У меня есть табличка, которая показывает, как при помощи этой формулы
получаются следующие старшие подходящие дроби для / 2 . В первом
столбце указан номер подходящей дроби по порядку, а в последнем —
номер той, которая получается с индийской поправкой. Вот она:
Порядко- вый номер дроби	Подходя- щая дробь	С индийской поправкой		Порядковый номер подходя- щей дроби после поправки
п	X 7	[2x3 +	1)Л] (числитель)	2ху (знаменатель)	2п+ 1
1	3 2	17	12	3
2	7 5	99	70	5
3	17 12	577	408	7
4	41 29	3363	2378	9
5	99 70	19601	13860	11
6	239 169	114 243	80782	13
7	577 408	665 857	470 832	15
293
В третьем столбце у нас в формуле числителя стоит не просто еди-
ница, а минус единица в степени п, потому что единица эта иногда вы-
читается, иногда прибавляется, а тут уж само собой выходит: если но-
мер подходящей дроби четный и показатель п тоже четный, единица
получается с плюсом, и наоборот.
— Та-ак... — промолвил дед, внимательно рассмотрев Кито-Льви-
ную табличку. — Ну что же, хорошо! Нашли еще одну рекуррентную
формулу1 для подходящих дробей при разложении УТ в непрерывную
дробь. Похвально!
— Тогда, дедушка, — сказал, наморщив лоб от старания, непремен-
ный секретарь Тускарийский,— я уж должен буду записать в нашей
главной архивной тетради, что, дескать, так и так... Мы сегодняшнего
числа, то есть во вторник, все это, что они выдумали, выслушали...
— Приняли к сведению! — подсказала Веточка.
— Да, приняли к сведению. А ты, дедушка Тимошенька, потому что
ведь ты президент, сам сказал, что похвально!
— Запиши, запиши, — согласился дед. — Действительно, похвально.
— Покорнейше благодарим! — ответил Лева, церемонно расклани-
ваясь.
Ника добавил:
— Там есть еще много всяких интересных соотношений в этом ряду
подходящих дробей. Если назвать числитель дроби х, а знаменатель у,
то сама дробь будет (х:у), а следующая дробь будет (хЦ- 2у) : (х-|- у).
Разность между х и у всегда будет равняться знаменателю предыдущей
дроби, то есть
хп-уп = Уп-1.
А если взять три последовательные дроби, то между их знаменателями
будет соблюдаться такое соотношение:
Уп -1 • ул + 1 = Уд + (—1)л-
— А между числителями, — добавил Лева, — вот какое соотноше-
ние:
хп-1  Хл+1 = х2 +(—2)я.
Мы думаем, что все это из-за того, что это периодическая
непрерывная дробь.
— Поэтому нам теперь кажется, —прибавил Ника, —что древние
индийские математики были очень наблюдательны, а нам, тускарятам,
скромным следопытам дедушкиной академии, посчастливилось напасть
на следы этого и показать их нашим уважаемым товарищам.
1 См. главу XXII, раздел 4.
294
s
— А теперь, чтобы подвести итоги нашим изысканиям, — небрежно
выговорил Лева, — я приведу численный результат. Последовательное
применение индийской поправки к грубому приближенному выражению
для У 2", то есть 1,5, ведет вот к чему:
первая поправка, от первой дроби к третьей, дает
вторая, от третьей к седьмой, дает ,
третья, от седьмой к пятнадцатой,	,
четвертая, от пятнадцатой к тридцать первой, “527 01+566 048"'
Мне кажется, этого довольно, хотя можно продолжать. Все эти поправ-
ки с минусом, их надо вычесть из 1,5. Переведем их все в десятичные
дроби и сложим:
0,083333333333333
0,002450980392157
+ 0,000002123899820
0,000000000001595
0,085786437626905
Вычтем эту общую поправку из 1.5. Получим 1,414213562373095. По-
моему, это истинно тускарийское приближение может выдержать са-
мую придирчивую критику!
— Пожалуй, выдержит, — отвечал президент Любознательной ака-
демии.
Дедушка улыбнулся, снова не без труда разжег свою трубку и пу-
стил в честь преуспевающей Кито-Львиной секции преогромное дымное
кольцо, которое быстро понеслось по ветру.
— Очень это все интересно! — вымолвила Веточка. — А все-таки мне
каждый раз хочется спросить опять: зачем нужны приближения с та-
кой точностью? Разве они на практике имеют какое-нибудь значение?
— Сами по себе, — отвечал дедушка, — они, разумеется, не столь
важны. Важно другое. Важно овладеть методом... или способом, кото-
рый дает возможность безошибочно получать любые приближения.
Если мы этого добились, значит, задача решена окончательно. Вот тут
в чем дело. Ты вот о чем подумай: ведь когда математик получил пра-
вильную формулу, то ею уже будет пользоваться на практике инженер,
архитектор, мореплаватель, водитель самолета и многие-многие другие.
Чтобы они не попали впросак, пользуясь формулой, математик и дол-
жен быть совершенно уверен, что его формула никого не подведет ни
295
при каких условиях. Если выяснится, что какая-нибудь формула при-
ведет к серьезным недоразумениям на какой-нибудь важной стройке,
тогда уже поздно будет ее проверять.
Вовка тяжело вздохнул, оглянулся, пожал плечами и с усилием вы-
говорил:
— Дедушка, а Ника с Левкой всё сами выдумали? А не ты им под-
сказал?
— Нет, — засмеялся дед, — я об этом ничего не знал. Всё сами.
Вовка еще раз вздохнул, еще раз негодующе пожал плечами и, низ-
ко опустив нос, проговорил скороговоркой, крайне неразборчиво:
— А наша секция с тобой? Ничего не может? Это как же так, де-
душка?
— Ну почему же... — протянул в ответ дедушка. — Почему не мо-
жет? Мне вот что приходит в голову. Если взять уравнение, которое
сегодня нам приводил Ника:
хг-2уг = 1,
то, умножив обе его части на 4х2 и прибавив к обеим частям по еди-
нице, можно постепенно привести его вот к какому виду:
(2х2 — I)2 — 8х2у2 = 1,
или к такому:
(2х2- I)2 — 2(2ху)г = 1.
Если сличить то, что мы сейчас получили, с первым нашим уравнением,
то получается, что теперь у нас
Xi = 2х2 — 1; yt = 2ху,
а так как мы с вами уже выяснили *, что погрешность нашего опреде-
ления /Т лежит между дробями
1 1
2у2 И 2ху ’
то теперь с новыми иксом и игреком, которые мы отметили подписным
значком —единицей, мы получаем границы другие, то есть
1 1
4х1у] И 2(2xf — lyixtfi'
’См. главу XVIII, раздел 4.
296
Совершенно ясно, что эти новые дроби значительно меньше прежних.
Из ранее выведенной формулы
->.- ...
2уа к у V > 2ху
ясно, что наша ошибка не может быть больше чем (1 : 2у2) и не будет
меньше (1:2ху). Обычно в таких случаях говорят о том, в каких
границах находится ошибка, причем ясно, что выражение (1:2у2)
будет больше чем (1 :2ху} по той простой причине, что у нас вообще
х>у, в таком случае большая величина называется верхней грани-
цей, а меньшая — н и ж н е й. Так, например, нижняя граница для дроби
3	111
убыла у нас равна у: 2.3.2 =12= 0,08333, а теперь она стала равной
2-17-12~158~= 0>00245, то есть уменьшилась как раз в 2(2х2—1) раза,
где х есть числитель предыдущей дроби, которая была нашим при-
ближением, то есть в 2-17 = 34 раза. Верхняя граница была-|-, а те-
1	1 п
перь она стала...5-7=777. При этом старая нижняя граница при возве-
дении в квадрат стала верхней границей. Вот как!
— Ну теперь-то, — с торжествующей усмешкой заявил непременный
секретарь, — все ясно, как на ладошке!
— В скворечник! В скворечник! — ответил ему, посмеиваясь, Лева.
Но Вовку не так-то просто было сбить с толку, он твердо верил, что
дед его не подведет, особенно в тех случаях, когда сам Вовка потихоньку
начинал позевывать в кулак...
— Ну, дедушка, — сказал Лева, — теперь, собравшись с силами и
убедившись на деле, что твои подручные стараются как умеют, даром
времени не теряют, ты бы мог выполнить свое давнишнее обещание на-
счет числа, цифр и прочих любопытных вещей в этом роде. Что ты,
дедушка, на это скажешь?
— Ну что ж! — отвечал дед. — Все это «вещи», как ты выражаешь-
ся, довольно поучительные...
— Постойте! — вдруг произнесла Наташа и даже покраснела из-за
того, что так задержалась со своим замечанием.— Мне вот еще что по-
казалось. Вы свои вычисления начали с дроби у, а ведь можно было
начать и еще раньше. Если взять самое первое, то есть нулевое, при-
ближение, которое у нас в табличке обозначается как-р то, воспользо-
вавшись вашей формулой для четных подходящих дробей, где еди-
297
ница берется не с плюсом, а с минусом, мы из этого нулевого прибли-
жения как раз и получим у. Вот!
— Верно, Наташа! —засмеявшись, сказал Кита.— Это мы просмот-
рели. ..
— Прозевали! — ехидно захихикал Вовка.
Но тут Веточка потянула его за рукав и на ухо сказала ему:
— А я придумала тебе еще одну очень интересную позицию в Драз-
нилке. Вот какая, смотри! Называется диагональ. Попробуй пере-
делать в бустрофедон. У меня что-то больше семидесяти ходов получи-
лось. И с поворотами я запуталась. Ну, сделай сам, ты специалист
у нас — у тебя, наверное, лучше выйдет.
Вовка с жадностью схватился за новую комбинацию шашек в Драз-
нилке:
12 6 7
3 5 8 13
4 9 12 14
10 И 15 .
Потом он обернулся к Веточке и тоже шепотом заявил:
— Вот спасибо. Хорошая! Наискось идет. Косой бустрофедон!..
Трудная! — Но тут Вовка что-то вспомнил, крепко зажал в кулак Веточ-
кину бумажку и громко крикнул: — Дедушка, я должен сделать одно
важное заявление: все-таки их Кито-Левкино вычисление хорошее, по-
тому что очень числа большие!
Общий смех был ответом на это торжественное заявление. Но де-
душка не стал смеяться. Он покачал головой и сказал:
— А представьте себе: в его «заявлении» есть свой смысл. Очень
важно, что эти знаменатели так скоро растут, потому что именно бла-
годаря этому члены нашего ряда для \П1, который мы сегодня рас-
сматривали, так сильно разнятся друг от друга. Именно потому-то этот
способ и ведет быстро к таким точным результатам. Сравните простые
подходящие дроби, где изменение идет не так быстро: там нужно сде-
лать 31 4- 1 шаг. Я считаю и нулевое приближение, указанное Наташей
не зря, то есть тридцать два шага, чтобы добиться того же, что в Кито-
Левином индийском способе достигается всего лишь за пять шагов. По-
добные преобразования рядов для вычислений иррациональных величин
делал с изумительным мастерством великий Леонард Эйлер. В его со-
298
чинениях можно найти немало превосходных примеров этого1. Укажу
простенький пример. Возьмем корень не из двух, а из пятидесяти. Ведь
легко догадаться, что это не что иное, как...
— ... пять корней из двух! — подсказал Вася.
— Именно! И если для /Т пятая подходящая дробь дает то для
99	90
50 уже первая подходящая дробь дает нам = 5 • ур Потому что
в этом разложении все идет быстрее, чем в первом. Когда ряд быстро
подходит к искомой величине, математики говорят, что он быстро схо-
дится. Вопросы этой сходимости имеют очень важное значение.
— Держи-ка! — шепнула Веточка Вовке, всовывая ему в кулак смя-
тую записку. — Лучше у меня не выходит.
Вовка поспешно развернул бумажку: «Срочное донесение от Вето-
Ташенькиной секции непременному секретарю. — Переделать диагональ
в бустрофедон2:
14, 12, 8, 5, 3, 4, 10, 11, 9, 8, 12, 13, 5, 3, 4, 10, 11, 9, 15, 14, 13, 5, 3,4,8, 11,
10, 1, 2, 6, 7, 3, 4, 7, 6, 2, 1, 8, 7, 6,3,4... »
— Ишь! — пробормотал в полном увлечении Вовка. — Ишь как лов-
ко придумала! А теперь уж сразу все готово:
5, 12, 11, 10, 9.
И всё. Сорок семь ходов. А ты говорила семьдесят?
— Забыла, что потом лучше вышло. А в обратную сторону не про-
веряла. Сам посмотришь!
Вовка кивнул девочке с выражением живейшей благодарности.
— Всё, всё посмотрю, — сказал он. — Хорошая диагональ! Сколько
инверсий! Целых двадцать две.
— На-ка, Вовочка! — шепнула Наташа и сунула мальчику аккурат-
но свернутую записочку. — А это от меня! — добавила она.
Вовка открыл и прочел: «Непременный! Очень прошу тебя, рассмотри
следующий мой опыт, замечательно интересный! Надо в нашей диаго-
нали переставить 1-ю шашку на место 15-й, в самый конец. Начинаем:
1 Много интересного можно найти, например, в книге Эйлера «Дифференциальное
исчисление». М., 1949, глава IV, «О представлении функций рядами». Указания, касаю-
щиеся корня из двух, читатель найдет на стр. 257—258, 368—369, 374—375.
2 Поскольку при игре в Дразнилку всегда может ходить только одна шашка, запись
всего решения очень проста: один за другим пишутся номера шашек, которые ходят
(глава VIII, раздел 1). Данная запись начинается с хода шашки 14. Второй ход де-
лается шашкой 12 и так далее.
299
Диагональ
1 \ 2\ 6 \ 7
---—।-----1—
3 I 5 ! 8 113
4 У э! 12\14
ю\п 1/5;
I I,,", I..
2 !	з	;	z;	8
---4-----i——।-
4 !	6	!	9	'14
__j______I_।__
5 ; 10\ 13 ! 15
---( г—I 
111/2 I 1 I
---1 1 I
Бустрофедон
---1--j--!--
8 I 7 Гб [ 5
5 !/£;//1/f
।i i
14, 13, 8, 6, 7. 8, 13, 12, 9.
5, 3, 1, 2, 3, 1, 4, 5. 1. 4. 5, 10,
11. 1, 10, 5, 4, 6, 9, 12, 13, 9, 6,
10, 12, 13, 14, 15, 1, 12, 10, 6,
9, 14, 15.
Выходит всего сорок четыре
хода. Вот тебе и всё! Проверь,
Непременный. Я думаю, что, ес-
ли ты постараешься, ты, навер-
ное, еще скорее сделаешь. Привет. Будь здоров и
расти большой непременно!»
— Вот здорово! — бормотал Вовка. — Какая пози-
ция интересная! И как ловко выходит: ползают шаш-
ки туда и сюда и вдруг — все уже на месте стоят.
Не прошло и пяти минут, как Наташа получила в
ответ целый ряд каракулей, нацарапанных на странич-
ке из драгоценной тетрадки:
«А я вот как придумал: беру спираль в третьем по-
вороте, и тогда «Меланхолия» * пикнуть не смеет, вы-
ходит моментально. Смотри:
13, 2, 3, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 13, 8, 9, 10, 11, 13, 8, 2,
3, 14, 15.
Нижняя строка и правый столбец на месте — гномон, как дедушка гово-
рит. Теперь дальше — ужасная путаница, потому что здесь получаются
четыре пары шашек: 3 и 2, 10 и 11, 6 и 7, 5 и 9. Только одна пара, 5 и 9,
стоит удобно, так что ее прямо можно вести на место, остальные стоят
как раз наоборот. Но я все-таки не испугался и вот как стал делать:
9, 2, 3, 9, 5, 6, 7, 10, 2, 3, 11, 2, 3, 7, 6, 5, 7, 6, 10, 3, 2, 11, 6, 7, 9, 6,7...
А дальше— 10, 5, 9, 6, 7, 11, 2, 3. Вот и всё. Видишь, как хорошо!
С меланхолическим приветом
Непр. секр. Вова.
Если вы с Веточкой сумеете скорей моего сделать, тогда ничего
не поделаешь!»
Наташа прочла Вовкино посла-
ние, усмехнулась, а затем накло-
нилась к Вовке и прошептала ему
на ухо:
— Выходит-то выходит, толь-
ко не «моментально» — пятьдесят
1 «Меланхолией» ребята называют ма-
гический квадрат в 16 клеток, изображен-
ный немецким художником Альбрехтом
Дюрером на гравюре «Меланхолия» (см.
главу VIII, раздел 7).
пять ходов. А помнишь, Лева переводил твою «лошадку» в ту же «Ме-
ланхолию», но у него был только пятьдесят один ход. Правда, он гномон
сделал за сорок пять ходов, а ты за двадцать! Зато потом ему осталось
всего шесть ходов, а ты делал за тридцать пять. Первые ряды всег-
да легче сделать, потому что сначала все шестнадцать мест в ко-
робочке к твоим услугам. А потом становится тесно и переводить
шашки труднее.
Вовка пожал плечами и задумался. Но так ничего и не ответил.
4
Но Ника-председатель еще никак не мог успокоиться. Он рассеянно
оглядел собравшихся и сделал какой-то странный жест, который мог
означать: «Ну а как же все-таки быть? ..» — и обратился к Тимофею
Иринарховичу:
— Дедушка Тимоша, а нельзя ли все-таки как-нибудь докопаться,
в чем тут дело в этой странной особенности индийского способа, что
индийская формула сразу шагает через несколько подходящих дробей.
Нас это очень заинтересовало, но, какая тут причина, мы разобраться
не можем. Правда, Лева уверен, что разберемся, но я...
— Непрерывные дроби, — начал дедушка свой ответ нашим следо-
пытам, — представляют собой один из интереснейших разделов высшей
алгебры и высшей арифметики — теории чисел, а также той матема-
тической дисциплины, которая занимается специально исследованиями
приближенных вычислений. У математиков эти вычисления называют-
ся аппроксимациями, от латинского глагола «аппроксимаре»,
что по-русски значит «приближаться». Надо сказать, что свойства этих
дробей в высшей степени любопытны и своеобразны. Мы уже с вами
говорили, что все непрерывные дроби, связанные с квадратическими ир-
рациональностями— то есть с квадратными корнями из чисел, которые
не есть натуральные квадраты, — представляют собой периодиче-
ские непрерывные дроби. Нашел это замечательное явление — перио-
дизм в непрерывных дробях — русский академик Леонард Эйлер, и это
было одним из самых замечательных достижений математики XVIII века.
Можно рассказать немало интересного об этом свойстве непрерывных
дробей, однако многое для нас с вами окажется трудновато. Но кое
о чем мы можем потолковать. Периодизм непрерывных дробей заклю-
чается в том, что неполные частные, то есть знаменатели нашей
дроби, повторяются. Иногда повторяется одно и то же число, как, напри-
мер, число 2 при разложении /У, четыре для /5“ и двенадцать для /37.
— А для других? — не утерпел Вовка.
— А вообще для всякого числа, имеющего форму (с2-|- 1), повторя-
301
ющееся число будет равняться 2с. Для других чисел периоды эти иногда
бывают очень сложные, так, например, для числа 61 получаем 7; 1, 4, 3,
1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14; целая часть в у/бГ, конечно, равна семи, а последний
член периода всегда равен удвоенной целой части (14 = 2 • 7). Если не
считать последнего числа 14, легко заметить, что числа периода идут
симметрично, и вторые пять чисел (2, 1, 3, 4, 1) повторяют первые
пять (1, 4, 3, 1, 2), только в обратном порядке!
— Верно! — с удивлением подтвердил Вовка. — Ишь как...
— Когда это периодическое свойство квадратических иррациональ-
ностей при разложении их в непрерывную дробь стало известным, Эйлер
остроумно воспользовался им. Заметив, что поскольку при разложении
числа « в непрерывную дробь никакого периодизма не обнаруживает-
ся, Эйлер решил, что число очевидно, нельзя выразить через квадрат-
ные корни, какие бы сложные комбинации из них ни получать. Это важ-
ное наблюдение Эйлера явилось одним из первых шагов по пути
определения истинной природы знаменитого числа к. Сам Эйлер вычис-
лил сто двадцать семь знаков для «.
— «Наблюдение»!.. — повторил Ника. — Вот и выходит, что и ма-
тематик должен наблюдать, как это делает естествоиспытатель.
— Этот периодизм разложения квадратических иррациональностей
в непрерывные дроби создает ряд особенных явлений, на одно из кото-
рых и натолкнулись наши тускарийские исследователи, двигаясь по
следам древнеиндийских математиков. Все это мы отлично можем разо-
брать, если только не торопиться и стараться быть повнимательнее.
Возьмем снова то же самое уравнение, которое мы уже раньше рассма-
тривали:
х2 —2у2=1;
из него нетрудно вывести ту самую индийскую поправку, которой зани-
малась наша славная Кито-Левина секция.
— Интересно! — сказал Лева с завистью. — Посмотрим, как это у
тебя получится?
— Получится вот как... — отвечал дедушка. — Разложим правую
часть уравнения, как мы уже делали раньше, на два множителя:
(х — у у/2) (х + у у/2) = 1;
теперь поделим первую скобку на у, вторую — на х и вынесем множи-
тель (ху) в виде делителя в левую часть уравнения...
— Мы и это уже делали, — заметила Наташа 1.
1 См. главу XXII, раздел 1.
302
— Правильно. Просто напоминаю. Получаем
Теперь, если мы перенесем вторую скобку в правую часть делителем,
у нас слева останется_просто разность между приближенным и действи-
тельным значением . Другими словами, это будет ошибка или п о-
грешность нашего приближенного определения. Она равна
f- — /2) = —.
\У / у(л+уЛ)
Теперь нам надо оценить как следует то, что у нас получилось, и мы
применим для этого один чрезвычайно полезный прием — мы заменим
/Т в правой части нашего последнего равенства его собственным при-
ближенным значением, которое будет у. А в левой мы всё оставим так,
как и было. Посмотрим, что же у нас получится? В знаменателе правой
части у нас будет
а отсюда ясно, что
__ Zq ^7
У V z ~ 2ху •
Другими словами: если попробовать оценить погрешность приближения
той же самой дробью, которая является этим приближением, то мы и
получим исследованную вами индийскую по-
правку. Теперь вы видите, каков ее действи-
тельный смысл. Она оценивает погрешность
при помощи того же самого приближения, с
которого она начинает, и благодаря этому
вполне разумному приему приходит к у луч-
ше н н о м у приближению. Получается ре-
куррентная формула, которой можно пользо-
ваться столько раз, сколько ты считаешь
нужным. Вот это разъяснение первое.
— Исчерпывающее... — заметил Ни-
ка. — Чего уж лучше?
— Не совсем еще! Постой! — засмеялся
дедушка. — Пойдемте теперь немного далее.
Рассмотрим, что получается, если применять
303
этот индийский способ. Вы нам показали такое равенство:
х________________________________1 _.2ха —1
у 2ху 2ху '
Но что представляет собой числитель дроби в правой части (2х2— 1)?
Попробуем определить его. Если вернуться к исходному уравнению
х2 — 2у2 =1,
затем прибавить к обеим частям его по х2, а потом поменять местами
единицу и выражение (2у2), перенеся первое в левую часть, а второе —
в правую, мы получим
2х2 — 1 = х2 + 2у2,
а следовательно,
х^___i__j_ . -*2+2у3
у	2ху 2 ху ’
и теперь если...
— ...можно поделить числитель правой части на (ху)... — под-
сказал Лева.
— Правильно! Поделим числитель_на (ху) и получим вавилонский
способ приближенного вычисления у/ 2 :

Вот вам и второе разъяснение. Оно показывает, что между вавилонским
и индийским способами нет никакой разницы в данном случае. Это одно
и то же. Однако не следует забывать, что мы все время опирались на
наше уравнение
х2-2у2 =1,
а стало быть, все наши рассуждения справедливы тогда и только тогда,
когда это уравнение оправдывается! Правда, Лева и Ника показали
нам, что можно опираться на него еще и в том случае, когда в правой
части стоит не плюс 1, а минус 1. Но это требует уже дополнительных
разъяснений. Желаете ли вы их послушать?
— Просим! — отвечал Вася.
— Начнем вот с чего. Когда Лева и Ника пытались выяснить, како-
ва разность между двумя последовательными подходящими дробями,
304
они получили выражение 1 : (уу\), где у есть знаменатель одной подхо-
дящей дроби, а у\ — знаменатель следующей. Таково общее правило для
всех подходящих дробей. Так как знаменатели этих дробей, как вы
могли убедиться, все время непрерывно растут, то дробь, которую я при-
вел, все время уменьшается. Более сложными способами, чем те, кото-
рыми мы с вами владеем, можно доказать, что она уменьшается прибли-
зительно с той же быстротой, с какой уменьшается дробь, равная едини-
це, поделенной на некоторую степень двойки, если эту степень мы будем
все время увеличивать.
— Так ведь это, — заметила Наташа, — получаются снова наши за-
мечательные двоичные дроби!1 Так я говорю или нет?
— Так, Наташа, правильно! — отвечал Тимофей Иринархович. — Мы
видели, как быстро уменьшаются одна за другой эти двоичные дроби.
Но для нас сейчас важнее всего то, что, двигаясь вперед по ряду двоич-
ных дробей, мы можем заказать себе сколь угодно большой знаменатель
дроби и таким образом получить малюсенькую дробь, которая будет еле-
еле отличаться от нуля! То есть можем получить дробь сколь угод-
но малую.
5
— Дедушка, — воскликнул Вовка, услыхав что-то хорошо знако-
мое, — давай возьмем для такого знаменателя число этого капризного
шаха, то есть
2б< — 1 = 18 44б 744 073 709 551 616.
Вот это знаменатель так знаменатель! Квинтиллионы! Ведь если еди-
ницу поделить на это число, то у нас получится десятичная дробь, где
после запятой будет стоять... будет стоять... Сколько, Вета, там ну-
лей будет стоять?
— Сообразить нетрудно, — отвечала ему девочка. — Я в таких слу-
чаях вот как делаю — напишу твое число по-своему:
1,8446744073 70955 1615-1019.
Так выходит или нет?
— Та-ак... кажется... — протянул Вовка. — Да, так!
— А теперь, зная, что, деля единицу на какую-либо степень десяти,
я получаю десять в той же степени только с минусом, сразу пишу обрат-
1 См. главу X, раздел 4 или главу XVIII, раздел 1.
20 Архимедово лето	305
ную величину приведенного числа, то есть ту самую дробь, которую ты
предлагаешь:
1 : (1,84467 44073 70955 1615) • 10~19,
откуда ты и видишь, что нулей будет как раз...
— ... девятнадцать! — с облегчением вымолвил Вовка. — Нет, давай
я все-таки поделю да напишу:
0,00000 00000 00000 00005 421...
Не девятнадцать! Двадцать получилось! Еще нулик набежал от деления
единицы на эту скобку. Понял! Девятнадцать после запятой, а если счи-
тать нуль перед запятой, так двадцать получается нулей. Получается
пять стоквинтиллионных...
— Можно взять и эту дробь, — сказал дед. — Разумеется, эта дробь
чрезвычайно мала. Ведь квинтиллионы — это миллионы триллионов. Но
никто нам не мешает взять еше в квинтиллионы раз больший знамена-
тель и еще ближе подвинуться к нулю. Вот тут в чем дело!
— Ты бы объяснил, дедушка, — недовольно произнес Вовка, — на-
сколько моя эта дробь мала? Ну — меньше чего?
— Можно так пояснить, — отвечал дедушка. — Допустим, что эта
дробь представляет собой квадратный отрезочек огромной Васиной ков-
рижки, о которой мы с вами не раз вспоминали1. Примем для про-
стоты, что коврижка у нас квадратная. Теперь допустим еще, что наш
квадратный кусочек коврижки имеет сторону, равную миллиметру, и
представляет собой 10~20всей коврижки. Спрашивается, какова длина
стороны нашей этой коврижки?
— По-моему,— сказал Вася, — выходит, что в стороне всего 1010 мил-
лиметров, а так как 106 миллиметров равно 1 километру, то, значит,
в стороне 104 километров или 10 тысяч километров.
— Вот так коврижка! — ахнул Вовка.
— Угощенье на славу! — решил дед. — Но в том-то и дело, что мож-
но взять дробь еще меньшую. Сколь угодно малую. Другими словами,
мы можем с этой единицей, деленной на степень двойки, приблизиться
к нулю как угодно близко! Вот я прошу вас на э т у именно фор-
мулировку обратить внимание и запомнить ее! Но коли так, то, следо-
вательно, и дробь может стать как угодно близкой к нулю. А когда
она приблизится к нулю, то, очевидно, разница между двумя последо-
вательными подходящими дробями станет совершенно неощутимой, то
есть, грубо говоря, эти две соседние подходящие дроби станут почти рав-
ными друг другу. Установив это, мы должны теперь вспомнить, что при
1 См. главу XVI11, раздел 1.
306
вычислении квадратного корня с помощью подходящих дробей одна из
двух соседних подходящих дробей всегда оказывается больше искомого
корня, а другая меньше его, так что истинное значение лежит
всегда между двумя соседними подходящими дробями. Если взгля-
нуть на какую-нибудь табличку подходящих дробей, то сразу заметишь,
что промежуток между двумя соседними подходящими дробями, что ни
дальше, становится все меньше. Но если это так и если, кроме того, мы
имеем возможность добиться, чтобы две соседние подходящие дроби
стали почти равными друг другу, то мы неизбежно приходим
к выводу... Ну-ка, Никита, скажи мне теперь: какой должен получиться
вывод?
Никита вскочил на ноги с такой удивительной быстротой, что кру-
гом невольно рассмеялись. Он совершенно не ожидал дедушкиного
вопроса.
— Ладно вам зубы скалить, — обратился он к товарищам, — сейчас
скажу! Итак: если истинное значение корня лежит между двумя сосед-
ними подходящими дробями, а мы имеем возможность добиться того,
чтобы эти дроби стали почти равными друг другу, то очевидно...
они станут почти равными и тому самому числу, которое они прибли-
женно выражали, то есть... самому корню.
Затем Ника произнес очень громко «уф» и вытер пот со лба. Видно
было, что ответ этот ему дался нелегко.
— Так-с... — заключил Тимофей Иринархович. — Как я уже сказал,
все это было высказано, грубо говоря...
— А если не «грубо»? — осторожно ввернула Веточка.
— Если попытаться говорить не так грубо, надо будет сказать, что
эта дробь — разность двух последовательных подходящих дробей — бу-
дет стремиться к нулю. Лева и Ника показали на примере, как это
происходит. Итак, разность между двумя подходящими дробями будет
стремиться к нулю, а тем самым будет стремиться к нулю и разность
между корнем квадратным, приближение к которому мы ищем, и каж-
дой из этих дробей. Разность между действительным значением /“2' и
подходящей дробью мы можем таким образом сделать сколь угодно ма-
лой. А когда это так, то математик говорит: этот процесс сходится
к значению корня из двух. Когда подрастете, то узнаете, как
велико для математика значение этого понятия сходимости и ка-
кими способами оно изучается.
— Это относится, значит, — спросила Веточка, — вообще к вычисле-
нию вот таких иррациональных чисел, как
— Да. Но не только к ним, а еще к ряду важнейших вопросов, о ко-
торых мы с вами пока что говорить не будем. Я сейчас просто хотел вам
объяснить, что подходящие дроби представляют собой теоретически не-
погрешимый аппарат для такого рода приближений.
20*
307
— Хорошо, дедушка, — ответил Лева, — спасибо! Как будто теперь
ясно. Но вот еще что: мы никак не разберем, во-первых, почему иногда
этот вавилонский способ дает что-то такое, что совсем не похоже на
подходящие дроби, и, во-вторых, чем объясняется, что индийский способ
дает возможность перескакивать от дроби энной к дроби два-эн-
плюс-первой?
— Разберем и это, — отвечал дед. — Начнем с вавилонского способа.
Не помню уж, говорил ли я вам или нет, что этим способом в свое время
интересовался Ньютон и на его основе разработал целую систему при-
ближенных решений задач. И не только для корней квадратных, но и
для более сложных вопросов.
— Мы!.. — вдруг громко крикнул Вовка и внезапно умолк, вызвав
всеобщее недоумение.
— Что за «мы» такие? — спросил, нахмурясь, Ника-председатель.
— Потому что, — гордо заявил Вовка, выпрямившись во весь свой
великаний рост, — у нас с Васей есть еще и не такие достижения. Да,
почище есть!
И Вовка глянул на Васю.
— Поспеешь! — отвечал, густо покраснев, Вася, на которого все
уставились, ожидая разъяснения. — Чего перебивать? Потом рас-
скажем.
— Этот вавилонский способ, — продолжал дедушка, покосившись на
Вовку, — замечателен еще тем, что начать работу с ним можно при по-
мощи любого, даже самого неподходящего числа. Например, ты вычи-
сляешь /То". Конечно, всего проще начать с предположения, что первое
приближение есть корень из ближайшего натурального квадрата, то
есть...
— ...три! — подхватил Вовка. — Потому что 32 = 9, а 42=16, а это
уже будет много.
— Ясно, — согласился дед, — три! Но совершенно не обязательно
брать именно три. Можно взять хоть единицу. Попробуйте и увидите,
что хотя сперва вы получите совершенно несообразный ответ, но уже на
четвертом приближении вы получите три точных знака, а на шестом —
все семь точных знаков. Но если это так, то вам не запрещается при вы-
числениях врать...
— Вот какой хороший способ! — со вздохом сказал Вовка. — А ведь
в других-то врать не велят...
Общий смех был ответом на это печальное размышление Вовки.
— И это потому, — продолжал дед, — что. если вы соврете, получится
то же самое, как будто бы вы начали не с того приближения, которое
выбрали, а с какого-нибудь другого. Но все подобного рода вольности,
разумеется, только затрудняют работу. По поводу этого вавилонского,
или Ньютонова, способа можно сказать, что и он теоретически пра-
вилен. Теперь рассмотрим, на каких основаниях построен этот метод,
308
если не касаться ни индийской поправки, ни того уравнения, которое
связано с подходящими дробями.
— Разберем по-другому! — весело заметил Вася. — Не мешает и
с другой стороны взглянуть.
— Итак, нам надо извлечь корень квадратный из числа D. Мы знаем,
что D не есть точный квадрат, и поэтому берем ближайший корень из
натурального квадрата — можно брать и меньший и больший! Пусть он
будет равен некоторому а. Значит, мы полагаем
\[D ~ а h,
где h — какая-то поправка, пока нам еше неизвестная ’. Возводим обе
части равенства в квадрат:
D = а2 + 2ah -f- h\
значит,
2ah = D — а2 — hr.
Вот этой величиной h2 мы теперь считаем возможным пренебречь, ибо
это величина небольшая, дробь, да еще в квадрате...
— А правильная дробь от возведения в квадрат уменьшается, — за-
метила Наташа.
— Вот именно. Если, например, мы будем с вами вычислять /Ю, по-
ложив а = 3,0, то получится h = 0,1623; /г2 = 0,0263. Как видите, вышло
немного. Итак, мы, пренебрегая величиной h2, вычисляем
а теперь, получив приближенное выражение для h, определяем и J~D:
а
2 ’

или проще:
+ D_ а , D_ 1
2а — 2 + 2а — 2
Как видите, вот мы и получили вавилонскую формулу. Из этого вывода
ясно, на чем основан вавилонский способ, и, кроме того, видно, что
в принципе он не разнится от индийского способа.
1 Об этом уже шла речь выше — глава XV, раздел 3.
309
в
— А мне, — сказала Веточка, — все-таки хотелось бы понять и по-
крепче усвоить, как можно в математике чем-нибудь пренебрегать.
— Если с умом пренебрегать, не забывая ни на минуту о том, чем
ты именно пренебрег, — отвечал ей дедушка, — то можно. Но ты не за-
бывай, что мы с того и начинаем, что говорим: ищем приближенное
решение, а не точное. А кроме того, Лева и Никита нам показали, что,
последовательно применяя наш «не совсем точный» способ, можно полу-
чить решение с любой точностью. Они нам привели тридцать пер-
вую подходящую дробь для /2”. Какова ее погрешность? Вычислим ее
по тому же способу, который мы уже применяли сегодня: определим ее,
как 2^-. Она равна единице, деленной на 3 127 489 309 890, а ведь это...
— ... три триллиона! — подсказал Вовка.
— Так! А если поделить на него единицу, то получится десятичная
дробь, у которой после запятой будет стоять ровно тринадцать нулей.
Отсюда ясно, что тринадцать знаков мы наверно получим точных. А ни-
кто нам не мешает получить и больше. Погрешность наша с каждым
новым вычислением все скорей стремится к нулю. А раз мы это знаем,
то мы вправе и пренебречь кое-чем. Потом нагоним. Заметьте, что мы
еще и погрешность-то вычисляли приближенно.
— Ясно, — решил Лева.
— Теперь разберем, почему иногда Ньютонов способ дает резуль-
таты, не похожие на наши подходящие дроби? Отмечу, что в самых
простых случаях, когда подкоренное количество представляет собой
число формы (с2+ 1), где с2 есть натуральный квадрат, все будет в по-
рядке, никаких расхождений не будет. Это как раз число 2, потому что
2= 12+ 1; затем 5; 10; 17 и так далее. При разложении в непрерывные
дроби такие числа дают период, состоящий из одного-единственного
числа. Для двойки все неполные частные равны двум, для пяти — четы-
рем, для десяти — шести и так далее, то есть они всегда равны 2с. По-
пробуем проверить это на /5”. Подходящие дроби одна за другой дают
следующие приближения к истинному значению/5 = 2,2360680,
2,000000,
2,235294,
2,236111,
2,236066,
2,236068.
Ньютонов способ, если начать с двойки, дает, как легко убедиться,
те же самые дроби.
— Точь-в-точь, — подтвердил с готовностью Вася, — я пробовал!
— Мы вместе пробовали... — поправил его обиженным шепотом
Вовка.
310
И Вася кивнул ему в знак согласия.
— Так-с... — сказал дед. — Теперь пойдем далее: подходящие дроби
являются наилучшими приближениями в том смысле, что невоз-
можно построить дробь с меньшим числителем и знаменателем, которая
давала бы такое же хорошее или еще лучшее приближение к искомой
величине. Но если мы имеем две последовательные подходящие дроби,
то можно построить третью дробь и даже целый ряд дробей и получить
приближение лучше первой из взятых нами дробей, но хуже второй. Это
будет так называемая промежуточная дробь. Любопытно при этом,
что знаменатель этой дроби будет больше, чем знаменатель второй
дроби, а приближение она будет давать худшее. Эти дроби получаются
довольно странным на первый взгляд способом: берутся две подходящие
дроби; у них отдельно складываются числители и знаменатели. Первая
сумма будет числителем, вторая — знаменателем промежуточной дроби.
Дробь, полученная при помощи такого необычного сложения, называет-
ся медиантой1. Однако, если припомнить наше определение подхо-
дящей дроби2:
Рк __ Pk—l4k~yPk — 2
Qk Qk-ltk + Qk-2
где Pk и Qk — числитель и знаменатель подходящей дроби, a q k— соот-
ветствующий знаменатель непрерывной дроби, то ясно, что если qk равно
единице, то соответствующая подходящая дробь будет в точности равна
медианте. Если же q k не равно единице, то можно построить еще ряд
так называемых промежуточных дробей,где	Q4-iполучают
вес 2, 3... и так далее вплоть до значения (q — 1), тогда как Р^-i и
Qft_2 все время остаются с весом, равным единице. Получается своеоб-
разно взвешенная средняя, а о ней мы уже говорили с вами3.
— А как это «с весом»? — спросил Вовка. — Я забыл... — И Вовка
умоляюще посмотрел на Леву.
— Когда мы вычисляем среднюю из двух чисел, — отвечал братишке
Лева, — скажем, из трех и пяти, то, если у нас только два числа, мы
просто их складываем, а сумму делим на два. Получаем, разумеется, че-
тыре. Но допустим, что у нас не два числа, а девять чисел, и они такие:
3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5. Вычисляя из этих девяти чисел среднюю, мы по-
лучим:
2-3 + 7 -5 __6 + 35	41 л 5
24-7	~	9	— 9 — 4 9 •
*А. Я. X и н ч и н. Цепные дроби. М., Гостехиздат, 1949, § 4.
*См. главу XXII, раздел 3.
3См. главу XII, раздел 2.
311
Простая средняя
(невзвешенная)
Вот эти-то два множите-
ля, два и семь, показы-
вающие, сколько раз по-
вторяются значения три и
пять, и называются веса-
ми данных величин, а са-
ма средняя называется в
таком случае взвешен-
ной. Смысл очень про-
стой: та величина имеет
для нас большее значение,
которая повторяется ча-
ще, она более весома. Это
легко показать на черте-
же, где изображены весы.
— Получилось больше
четырех,— заметил Вовка.
— Конечно, больше!—
отозвалась Веточка. — Но
ведь пять и три повторяются не поровну, как в простой средней, и троек
у нас меньше чем пятерок.
— Да-а... — протянул Вовка не очень уверенно, потом вдруг сооб-
разил и прибавил: — Если бы пять и три у нас были оба по два раза
или оба по семь раз, тогда бы опять четыре вышло.
— Правильно, Вовочка! — ответила ему девочка.
— Постой-ка, дедушка! — попросил Лева, видя, что Тимофей Ири-
нархович собрался объяснять далее. — Я вот еще что вспомнил. Когда
мы рассматривали коэффициенты бинома Ньютона *, то по арифметиче-
скому треугольнику1 2 мы получили такой ряд чисел, то есть коэффициен-
тов для десятой степени двучлена: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120,
45, 10, 1.
— Получили, — согласился дед. — Ну и что же?
— А то, что Наташа тогда еще спросила, какое отношение имеет
средняя величина к самому большому коэффициенту, то есть к числу
252. И ты, дедушка, на это ответил, что пусть какой-нибудь признак не-
которого живого существа, который мог бы измерять естествоиспыта-
тель, изменяется от 1 до 11, а число этих существ с такими величинами
признака пусть идет по этому самому ряду коэффициентов. Тогда, ска-
зал ты, если вычислить среднюю, она как раз и придется против
числа 252.
— Возражений не имею! — ответил дедушка.
1 См. главу XIII, раздел 4.
г См. главу XII, раздел 3.
312
— Так вот, когда я проделал это вычисление, у меня вот что получи-
лось: 1  1 +2  10 + 3 • 45 + 4 . 120 + 5 • 210 + 6 • 252 + 7 • 210 + 8 •
• 120 + 9 • 45+10 • 10+11 • 1. А когда я перемножил, получилось:
1 + 20 + 135 + 480 + 1050 + 1512 + 1470 + 960 + 405+ 100+ 11 =
= 6144. Теперь я делю: 6144:1024 = 6. Действительно, средняя моя,
шесть, как раз и стоит против числа 252. Все правильно! Но вот что я
хотел спросить: верно ли будет, если я при вычислении средней назову
эти коэффициенты, на которые я множил значение «признака», весами?
И можно ли назвать эту среднюю взвешенной?
— Верно! — отвечал дедушка Тимоша. — И назвать можно. Этот
случай средней взвешенной как раз и является одним из наиболее важ-
ных. Это взвешивание имеет серьезнейшее значение и не только в этом
случае, как вы узнаете в дальнейшем.
— Угадал! — сказала Наташа Леве, взглянув на него искоса.
— А теперь вернемся к нашим цепным дробям, — продолжал свои
объяснения дедушка Тимоша. — Взвешивание промежуточных дробей
получается довольно своеобразное, потому что, в отличие от обычного,
вес придается не всей дроби в целом, но в равной мере как числи-
телю, так и знаменателю отдельно, так что получается, что эта
новая дробь равна частному от деления средней взвешенной числителей
на среднюю взвешенную знаменателей. Так как при таком делении сум-
ма весов сокращается, то и получается несколько необычная картина
взвешивания. Сейчас мы это рассмотрим на примере /89. Этот корень
с точностью до шестого знака равен 9,433981. Если мы будем получать
приближенное значение корня по Ньютонову способу и начнем
с числа 9, то в ответе получим неправильную дробь . Если же мы по-
пробуем разложить этот корень в непрерывную дробь, мы получим сле-
дующие неполные частные: 9; 2, 3, 3, 2, 18,.., откуда подходящие дроби
9 19 66 • 217
будут-р, у, у, и так далее. Пробуя получить значение корня по
способу Ньютона, мы получаем дробь, которой нет среди подходящих
дробей. Однако нетрудно заметить, что наше Ньютоново приближение
есть не что иное, как медианта первой и второй подходящих дробей:
19 + 66 _ 85
2 + 7 — 9 ’
или первая промежуточная дробь между первыми двумя подходящими.
Вот вам пример, когда расхождение между способом Ньютона и
подходящими дробями объясняется при помощи промежуточных дро-
бей. И вот каковы, стало быть, эти промежуточные дроби, на которые вы
натолкнулись, рассматривая разные способы приближенного определе-
ния корней квадратных. Очень интересно отметить, что так и выходит
313
с приближенным выражением числа «. Если разложить it в непрерыв-
ную дробь, мы получим следующие подходящие дроби:
3 22 333 355	33102
1’7’ 106> 113’ 103993 •••
Вы можете заметить, что первая из этих дробей совпадает с вавилон-
ским приближением, вторая — Архимедово число, а четвертая является
медиантой второй и третьей подходящих дробей. При этом это послед-
нее китайское приближение весьма выгодно с практической точки зре-
ния, так как далее приходится брать уже не трехзначные, а пятизнач-
ные числитель и знаменатель в подходящей дроби. Число Птолемея,
377
I?® , можно получить из двух подходящих дробей при разложении числа
к в непрерывную дробь, взяв сумму числителей и знаменателей второй
и третьей подходящей дробей, то есть ~ и ^||, своеобразную комбина-
цию чисел Архимеда и Цу Чун-чжи.
— А что же можно сказать о знаменитом египетском приближе-
нии? — спросил Ника.
— В египетском приближении указывается, в сущности, не « , а
величина \/ я = 1,77245 38507 5... Если разложить эту величину в не-
прерывную дробь, а затем вычислить, чему будет равно -j-, которое
64
у египтян приравнивается -дрто мы получим следующие подходящие
дроби:
49 64	961	1521
64’ ST’ 1225’ 1936 ’ И таК далее-
— Вижу!—закричал Вовка. — Вон она, вторая! Поймали!
— Поймали, внучонок, поймали! — весело отвечал предводитель Ту-
скарийский. — Так-то, ребята... Эти промежуточные дроби на практике
оказываются очень полезными.
— А все-таки, — сказал Вовка очень серьезно, — ты должен со-
гласиться, дедушка, что древние египтяне были просто молодцы
ребята!
— Конечно, — ответил ему дедушка Тимоша, — чуткие они были
в научном отношении люди, нельзя спорить. Хорошие основы заложили.
Недаром грек Демокрит похвалялся, что по части сочетания геометриче-
ских линий и доказательств его не могли превзойти даже египетские вер-
виетягатели. Значит, они свое дело знали!
— Молодцы египтяне! — заключил Вовка.
314
7
— Вот и хорошо! — сказал Лева с удовольствием. — Еще новость,
потому что мы об этих промежуточных дробях не знали. Ну, а что же
ты скажешь, дорогой наш президент, насчет перехода от номера эн к но-
меру два-эн-плюс-единица?
— Давай разберем и это. Придется снова вернуться к нашему урав-
нению
х2 — Dy2= 1.
Я ставлю не 2, a D, потому что мы будем рассматривать не только /77
Разложим снова левую часть на два множителя и возьмем первый из
них, равный (х— уу/77).Из этого выражения мы получаем какую-нибудь
подходящую дробь у. Если мы перейдем к следующему приближению
при помощи индийской поправки или вавилонского способа, мы получим
дробь
Присмотритесь к числителю и знаменателю этой дроби, и вы заметите,
что эту дробь можно получить, то есть и числитель, который не содер-
жит иррациональности, и знаменатель, который иррацио-
нальность содержит — из первого приближения (х — i//7o~),
если только это выражение... Что с ним надо сделать? Ну-ка, кто мне
поможет?
— Возвести в квадрат? — робко предложила Наташа.
— Разумеется, милая Наташа! — отвечал дедушка. — Именно! По-
тому что
(х — у y/D )2 = (х2 + Dy2) — (2ху y/D ).
При этом первая скобка в правой части, которая не содержит иррацио-
нальности, будет у нас числителем, а вторая, где содержится иррацио-
нальность,— знаменателем. Вот и снова вы получаете ту же вавилон-
скую формулу. Если мы все_это снова повторим, то получим четвертую
степень выражения (х — у D ), затем восьмую и так далее- Если поде-
лить это выражение на у, вы получите вашу погрешность. То же самое
вы получите, если выражение х2Dy2— 2xyjD разделите на 2ху. Это
будет погрешность следующего приближения. Теперь — самый главный
вопрос! Почему это можно сделать с подходящими дробями? Потому,
что разложение квадратических иррациональностей в непрерывные дро-
би дает периодические непрерывные дроби. Вы получали переход
от эн к двум-эн-плюс-единица, потому что все время возво-
315
дили в квадрат. А если бы вы брали и нечетные степени, например
кубы, пятые степени и прочие, вы получили бы все нечетные подхо-
дящие дроби.
— Попробуем с кубом, — отвечал Ника. — Ну-ка! Берем /2“ и пер-
вую подходящую дробь. Пишем 3 — 2 у/ 2 . Возводим в куб:
(3 - 2/2)®=38 -3 • З2 • 2\/2 + 3- 3 • 4 • 2-28 • 2^2 =
= 27-54^2 + 72-16^2 = 99 - 70 ^2.
Поделив на 70, получим разность между пятой подходящей дробью и
/2 . Верно, получается нечетная дробь. Но это можно получить из вто-
рой дроби, возведя в квадрат выражение (7 — 5/2). Мы так и дела-
ли... То есть так выходило. У нас получились, так сказать, две л и-
н и и: одна из нечетных нечетные, а другая из четных нечетные. Те-
перь вы показываете, что из нечетных тоже получаются еще другие
нечетные.
— Н-да... —вымолвил дед. — Ну хорошо. А из чего мы могли бы
получить первую дробь, -|-? Ты что на это скажешь, Наташа?
— По-моему, — сказала Наташа, очень довольная тем, что о ней
вспомнили, — из нулевой.
— А ну-ка, — сказал дед, — как же это сделать?
— Кажется, я сообразил! — воскликнул Лева.— Да, да! Постой,
Наташа, сейчас объясню! Мы будем считать, что дробь у уже получена
при помощи индийской поправки или вавилонского способа, и поставим
вопрос так: надо определить ту исходную дробь, из которой получена
данная. Тогда можно написать:
х2 + 2у2 = 3; 2ху = 2.
Получается квадратное... нет, не квадратное, а биквадратное уравне-
ние. Тут решать-то нечего. И так ясно, что х = 1 и у тоже. Значит, На-
таша права и будет так: 1 — / 2 .
— Вот это выражение, нулевая дробь, и является исходным,—
объяснил дед.— Возводя его в квадрат, приходим к первой дроби у,
а это есть наименьшее из целочисленных решений нашего урав-
нения:
х2 — 2у2 = 1.
Возводя его последовательно в остальные степени, получаем все прочие
целочисленные решения нашего уравнения. Это и будут все нечетные
316
подходящие дроби. С четными дело обстоит немного иначе. Но ведь
для них и уравнение наше пишется по-иному:
х2 — 2у2 = — 1,
что и оправдывается для всех четных подходящих дробей вроде у, и
прочих. А в частности, и для нулевой. Поэтому-то без ее участия и
нельзя получить четных дробей. Если какой-нибудь ряд периодичен,
то, как вы знаете из теории десятичных дробей, определенные значения
или даже целый ряд значений повторяется. В этом и заключается
явление периодизма. В данном случае таким общим множителем^ кото-
рый как раз и создает эти повторения, для выражения (х — где
х и у — числитель и знаменатель нечетной подходящей дроби, является
именно множитель (1 —/2). Когда этот множитель в нечетной степени,
уравнение наше имеет в правой части минус, когда в четной — плюс.
И это есть его решения, ибо оно вообще берется с плюсом. Значит, плюс
и минус чередуются. Этот простейший двойной период можно рассма-
тривать как состоящий из пар подходящих дробей, что, в сущности,
вы и делали. Но все это чрезвычайно просто для корней из таких чисел,
которые имеют форму (с2 + 1), у которых весь период состоит из одного
неполного частного, равного 2с. Но, как только мы переходим к другим
числам, периоды которых много длиннее, дело становится куда более
сложным и запутанным.
— А кубический корень? — вдруг жалобно запищал Вовка, —А для
него есть вавилонский способ?
— Можно построить, — отвечал дедушка.
Вовка схватил Васю за руку, но Вася только усмехнулся и поти-
хоньку отвел его руку.
— Да ну тебя, Сизарь! Так и будешь молчать?
— «Сизарь»! — повторила со смехом Наташа. — Вася — Сизарь!
— Кто Сизарь, а кто Пескарь, — отвечал Вася, посмеиваясь. — Как
в старинной поговорке говорится: хоть и постится щука, а ты, пескарь,
не зевай! Надо кому-нибудь и Сизарем быть.
Но Вовка совсем был не склонен обращать в шутку такой серьезный
разговор.
— Вася, — громко крикнул он, — если ты будешь молчать, то я...
я тогда. ..сам!..
Вася пожал плечами, усмехнулся краешком губ и нехотя вымолвил:
— Ну что поделаешь, придется доложить. Мы уж с Вовкой попро-
бовали!
— Да чего «попробовали»? Говори уж! — подтолкнул его Лева.
— Сейчас скажу. Ну не так, конечно, мы попробовали, как вы, де-
душка Тимоша, нам все здесь объясняли, а по-своему. А в общем, вы-
шло, как мы говорили про квадратный корень. То есть взяли куб суммы,
317
да и пренебрегли отважно всеми теми членами, где поправка в квад-
рате входит или в кубе. Хорошо вышло! И вот какая формула полу-
чилась:
з
\JD х у +	= I (2а +	.
Из 145 извлекали кубический корень. На третьем приближении пять точ-
ных знаков получилось, и шестой не такой все-таки плохой. Величина а,
как и в случае с квадратным корнем, — это корень кубический из бли-
жайшего н а т у р а л ь н о г о куба. Когда из 145 извлекали кубиче-
ский корень, то ближайший натуральный куб равен 125, значит, а = 5.
Настоящее значение будет 5,2535779. А у нас с этой формулой так вы-
шло: первое приближение 5,266, второе — 5,2537, а третье — 5,253585.
з
Еще сделали у/~Т . Там потрудней оказалось: на третьем приближении
получили только один знак после запятой, на четвертом — два, а на пя-
том — все пять. Потом уж сообразили, что нечего было с единицы начи-
нать, если 23 = 8, поближе к семи, чем единица. И когда начали с двух,
то сразу пошло: на первом приближении получили один знак верный
после запятой (1,92 вместо 1,9129312), а на втором, пожалуй, и все пять
(вышло 1,912938). Значит, если сообразить, какой натуральный куб по-
ближе, так хорошо выходит. Пожалуй, можно сказать, что с умом можно
на третье приближение нацеливаться вполне! В общем, по-нашему, ни-
чего себе получилось.
— Чего же еще! — заметил дедушка. — Проворно, и знаков много.
Но я уже говорил, что таких простых соотношений между кубическими
иррациональностями и непрерывными дробями, какие мы наблюдали
с квадратическими иррациональностями, до сих пор не найдено. И это
ваше приближение для корня кубического с подходящими дробями
сходиться будет не очень...
— Да, — согласился Вася, — не хочет. Уж как я не подъезжал, не
выходит, и баста!
— Про квадратические иррациональности, — продолжал дед, — мы
знаем, что они обязательно разлагаются в периодическую непрерывную
дробь, а про кубические не можем даже сказать ничего определенного.
Во всяком случае, известно, что существует некоторый предел для при-
ближения этим способом. Для квадратических иррациональностей мы
знаем выражение которое является пределом погрешности. Другими
словами, мы обеспечены от ошибки большей, нежели эта величина. Так
и, вычисляя кубические иррациональности, мы не сделаем ошибки боль-
шей, чем величина, которая, в общем, будет пропорциональна выра-
жению Дг .
у»
И Вовка обменялся с Васей взглядами, в которых светилось ис-
318
тинное ликование. Веточка весело усмехнулась Вовке, а тот прошеп-
тал ей:
— Мы сами с усами!..
— Особенно ты! — ответила Веточка.
— Так-с! — вымолвил дедушка Тимофей Иринархович, тускарийский
староста, весело оглядывая своих питомцев. — Так-с... Наше славное
Архимедово лето пришло к самому концу, вон уж и ласточки улетели
восвояси. В Африку... Н-да... А представляете ли вы себе, дорогие
мои тускарята, чем мы с вами главным образом занимались? Ну-ка, кто
мне ответит?
— Мне кажется, — скромно отвечал ему Никита-председатель, — что
главной темой наших бесед к концу лета было то, что можно назвать
приближенными вычислениями.
— Справедливо! —отвечал дед.— Так оно и было. Мне даже и до-
бавить-то к этому нечего, кроме того, что в наше время этот вопрос при-
обрел самое серьезное значение. Новые электронно-счетные машины ра-
ботают главным образом на этом принципе. А стало быть, с ним
связано и громадное облегчение всякого счетного труда, и решение
многих таких задач, которые совсем еще недавно были человеку не под
силу, либо требовали столько времени для решения, что и браться не
стоило, и небывалый расцвет автоматики, и даже те великие достижения
по части космических полетов, которые вывели нашу Родину на первое
место в мире. Мы с вами познакомились еще только с самыми начат-
ками этого дела, но ведь начатки и есть основание всякого дальнейшего
преуспевания и развития.
8
— Дедушка Тимоша, — заговорила Наташа, — а нельзя как-нибудь
объяснить, почему с корнями квадратными в одних случаях так все
просто выходит, а в других так хитро и замысловато?
— Это уж,— отвечал ей дед,— зависит от расположения точных
квадратов в натуральном ряду чисел. Если выражаться попросту, как
мы говорим не о научных истинах, а о вещах менее значительных, то
можно было бы сказать, что квадраты в натуральном ряду стоят не
очень густо.
— В каком смысле «густо»? — спросил довольно сердитым тоном
Лева. — Не понимаю! Что это значит?
— Кое-что может значить, — мягко отвечал дед. — Если взять нам
с тобой простые числа...
— ... которые делятся только на себя самих и на единицу, — быстро
проговорил Лева, —два, три, пять, семь, одиннадцать и прочие!..
А дальше что?
319
— А дальше то, что простые числа расставлены в натуральном ряду
гуще, чем квадраты. Сказать, что одних больше, а других меньше,
нельзя, потому что и тех и других в натуральном ряду бесконечное мно-
жество. Но имеется весьма вероятное предположение — правда, оно до
сих пор не доказано, — утверждающее, что между любыми двумя ква-
дратами всегда найдется хоть одно простое число. Я привожу тебе это
предположение не как математический факт, а просто в виде иллюстра-
ции, чтобы тебе было ясно, как надо понимать в данном случае слово
«гуще».
— А если просто взять и попробовать? — сказал с сомнением
Вася. — Берем первых два квадрата — единица и четыре. Так между
ними стоят уже два простых числа, а не одно!
— Так дедушка Тимоша и говорит, — ответил ему Ника. — Дедушка
сказал: «Хоть одно простое число». А если больше, так еще лучше! Это
каждому ясно!
— А между 16 и 25, — заметила Веточка, — так даже три: 17,
19 и 23.
— А между 36 и 49,— добавила Наташа, — четыре простых числа:
37, 41, 43 и 47.
— Хватит! — мрачно ответил Лева. — Любопытно. И это можно
доказать насчет того, где «гуще»? Не просто на примерах, а как
следует?
— Разумеется, можно, — отвечал ему Тимофей Иринархович, — ина-
че стоило ли бы об этом говорить! Если тебе хочется иметь фактические
данные, то я могу тебе сообщить следующее: в первой сотне натураль-
ных чисел имеется 25 простых чисел, в первой тысяче— 168, в первых
десяти тысячах—1229 простых. Тогда как квадратов будет соответ-
ственно 10, 31 и 100. Но надо иметь в виду, что простые числа располо-
жены в натуральном ряду, хотя и весьма прихотливо, но, в общем,
постепенно встречаются все реже и реже. Так что представить себе, как
они расположены в дальнейшем, рассматривая самое начало натураль-
ного ряда, как это вы сейчас хотели сделать, невозможно. Само такое
распределение простых чисел в натуральном ряду было найдено заме-
чательным русским математиком Чебышевым. Когда-нибудь и об этом
мы с вами поговорим. Так вот... И, когда мы с вами хотим определить
значение /2, мы разыскиваем среди этих «сравнительно редко» встре-
чающихся натуральных квадратов два таких, чтобы один превышал
удвоенный другой на единицу или был меньше его на единицу. В пре-
делах первой тысячи натуральных чисел имеется восемь таких пар,
а можно даже считать и девять. Но если взять не двойку в качестве
множителя, а какое-нибудь другое число, скажем 13, то первая пара
квадратов, связанная таким тринадцатикратным отношением, будет
18 и 5, а следующая уже — только 649 и 180- В пределах первой тысячи
только две таких пары, а третья уже лежит далеко от первой тысячи —
320
— А между 36 и 49, — добавила Наташа, — четыре простых числа:
37, 41, 43 и 47.
это будут числа 23382 и 6485. Видите, как далеко такие пары расстав-
лены! Однако между ними есть и другие пары, пригодные для прибли-
жений, но трудность здесь в том заключается, что для таких пар раз-
ность (х1 2 — 13i/2) уже не будет единицей.
— Выходит, — заметил Вася, — что в строении натурального ряда
есть свои особенности и любопытнейшие тайны. А нельзя ли сказать, что
высшая арифметика этим и занимается?
— Можно! — отвечал дед. — Именно исследованием этих сложных
и во многом еще таинственных соотношений в строении натурального
ряда она и занимается *. И постепенно эти тайны становятся нашей соб-
ственностью и начинают работать для нас, становясь орудием человече-
ского ума, покоряющего природу.
— А значит, — сказала нерешительно Наташа, — простых чисел бес-
конечное количество?
— Разумеется.
— А как это понять? — продолжала девочка. — Про обыкновенные
числа я понимаю: какое большое число ни возьми, прибавь к нему еди-
ницу, и оно станет больше, и поэтому им нет конца. Про квадраты не
так понятно...
— Можно и про квадраты так сказать! — вмешался Вася, —Вот как
бы я сказал: какой бы большой полный квадрат ты мне ни назвала, я
всегда могу его написать как сумму последовательных нечетных чисел.
И, добавив еще одно нечетное число, я получу квадрат еще больший!
А нечетных чисел бесконечное множество — какое бы большое ни взять,
прибавь два, вот тебе еще одно.
— Ясно! — буркнул Лева. — Тут не очень хитро. А вот насчет про-
стых чисел2 действительно задумаешься!
— Постой-ка! — заговорил Ника, слушавший эту беседу с напря-
женным вниманием. — А по-моему, ясно. Если, как говорит дедушка Ти-
моша, существует настоящее теоретическое доказательство того, что
простые числа расставлены в натуральном ряду гуще, чем квадраты,
так, значит, их количество... Вот я только не знаю, можно ли тут гово-
рить «количество», раз их бесконечное множество?
— Ты так и говори: «бесконечное множество», — посоветовал де-
душка.
— Тогда я скажу вот как: раз мне ясно, что квадратов в натураль-
ном ряду мы находим бесконечное множество, а насчет простых чисел
мы никак не можем допустить, чтобы они встречались в натуральном
ряду реже квадратов, то и выходит, что и простых чисел тоже беско-
нечное множество. Так, дедушка Тимоша, или нет?
1 См. книгу А. А. Бухштаба «Теория чисел». «Введение» и «Исторические коммен-
тарии».
!Э. Трост. Простые числа. М., Физматгиз, 1959.
322
— Ну что ж, по-моему, верно, — сказал дедушка, доставая свою зна-
менитую записную книжку. — Французский математик Бертран выска-
зал о простых числах одно немаловажное утверждение, которое было
доказано позже нашим русским математиком Чебышевым: «если взять
число п большее, нежели 3, то всегда в промежутке между числом п
и числом 2 (п— 1) найдется хотя бы одно простое число». И действи-
тельно. ..
— .. .между 4 и 6 есть число 5, — отвечал живо Вовка.
— Ишь, как ловко формулу понимает! — удивился Лева. — Какой
проворный стал! А между 5 и 8 есть число 7.
— И так далее!.. — заметил дед. — А знаете, ребятишки, ведь сей-
час самое время назад поворачивать. Ишь, солнышко-то где! Про удво-
ение потолковали? Про трисекцию не забыли? Про квадратуру круга
всё от самых пирамид до XVII века откопали? И непрерывным дробям
должное отдали! Так ведь? И вот что еще я хотел бы вам, дорогие мои
ребятки, сказать на прощанье... Представляете ли вы себе, какой раз-
мах в наше время приобрели у нас, в Советском Союзе, математические
изыскания? Так вот позвольте вам указать, что за сорок с лишним лет
советской власти (по неполным данным) три с половиной тысячи
наиболее видных наших математиков опубликовали более двадцати
двух тысяч ценных работ по математике! Позвольте, кроме того, заме-
тить, что зарубежные ученые неоднократно выражали свое глубокое
уважение к советской математике и не раз замечали они, что Советская
страна — научный центр мирового значения. Нередко бывает, что не
успеет у нас выйти в свет математическая книга, как уже через два-три
месяца за рубежом появляется перевод этой книги. И не раз виднейших
наших математиков приглашали прочесть курс лекций в крупнейших
европейских университетах. А ведь вы очень хорошо знаете, что все, что
делает советская наука, делается только ради мира на нашей планете
и во имя человека, живущего на Земле, потому что «человек чело-
веку—друг, товарищ и б р а т», как сказано в Программе КПСС.
Вот эти дорогие слова и вдохновляют нас всех, от мала до велика, слу-
жить Родине на научном фронте — служить верно, преданно и горячо.
Много ли ты можешь сделать или мало, сделай все, что ты можешь
сделать. И дороже этого нет ничего на свете! Ну, а теперь и пере-
дохнуть можно'.
1 Если иаш читатель, заинтересовавшись историей любознательных тускарят, за-
хочет еще что-нибудь найти интересное и не очень трудное по математике, то можно
ему посоветовать обратиться к превосходной серии маленьких книжек, которые под
названием «Популярные лекции по математике» выпускает московское издательство
Физматгиз (ранее — Гостехиздат). Вышло уже 36 выпусков этой серии: книжки не-
большие и недорогие (в среднем около 9 копеек за выпуск) и касаются самых раз-
нообразных математических вопросов. Более трудные и более объемистые книжки вы-
пускаются тем же издательством в серии «Библиотека математического кружка»: эти
книжки рассчитаны иа работу с руководителем.
323
9
— Правильно! — громко крикнул Вовка. — А ну, Тускарийская
команда, становись! Смир-р-но!.. Товарищ Ника-председатель, у вашего
высокопревосходительства все готово?
— Так точно, ваша герцогская светлость! — отвечал Ника, низко кла-
няясь. — Все готово-с!
— Прекрасно... — процедил сквозь зубы с самым независимым ви-
дом владетельный герцог Тускарини. — Попрошу ваше высокопревосхо-
дительство раздать участникам ученой экспедиции текст. И побыстрей,
пожалуйста!
— Текст?.. — повторил с удивлением Лева. — Какой такой
текст? Это что-то новое!
— Вопросов задавать не разрешается! — мрачно ответил ему Ни-
ка. — Стой смирно и слушай!
При этих словах Ника вытащил из-за пазухи смятые листочки бума-
ги и раздал всем присутствующим. Все с интересом начали разбирать
на них Вовкины каракули.
— Всё! — важно отрубил Вовка. — А дедушке дали?
— Получил и я! — отвечал дедушка Тимоша. — Благодарю. Не за-
были.
— Ну... — снова заговорил Вовка, оглядывая снисходительно всю
компанию. — Значит, пошли. Ша-гом марш!.. Ника, затягивай!
В первой паре двинулись вперед Ника и Вовка. И как только пошли,
они громко запели, а другие стали им подтягивать, сначала неуверенно,
а потом все громче.
И вот что они запели:
Тускарята-следопыты —
Замечательный народ!
Все усвоит, все поймет,
Все, что было шито-крыто,
По косточкам разберет!..
— Стоп! — громко закричал Лева, и все остановились. — Неправиль-
но! Так нельзя! Разве это стихи?
— Скажите, какой знаток! — произнес недоуменно Ника. — Чем же
ты недоволен?
— «По косточкам...» приходится читать, — отвечал ему Лева.— Что
это за стихи?
— Ничего не понимаешь! — гордо с усмешкой отвечал ему Вовка. —
Мы уже это обсуждали. Это перебор такой, как на гитаре. Идет мотив,
а потом вдруг перебор, то же самое, да не совсем.
— Да-а? — неуверенно произнес Лева.
— Вот именно, что да! — наставительно отвечал ему Ника. — И ни-
324
чего не «по косточкам», а «по косточкам»! И, пожалуйста,™ нас больше
не перебивай. Не понимаешь, так потом спросишь. Давай, ребята, опять
с самого начала. Ну-ка!
Ника лихо свистнул в два пальца, и начали снова:
Тускарята-следопыты —
Замечательный народ!
Все усвоит, все поймет,
Все, что было шито-крыто,
По косточкам разберет...
На! Возьми-ка карандаш,
Покажи свое уменье,
Разбери примерчик наш
И давай скорей решенье.
Не спеши. Не кипятись.
Действуй ловко и толково,
Не выходит — не сердись,
Потихоньку разберись,
И еще разочек — снова.
Тускария, марш вперед!
Раз — два — три — четыре!
Наша сметка все возьмет,
Будем всех сильнее в мире,
Всех богаче, всех сильней,
Всех красивей и умней!
Ч	КНИГИ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Глава пятнадцатая..........................................................
Любезный Теренций встречает гостей. — Три знаменитые задачи древности. —
Как удвоить площадь? Как сказать «два» иа языке площадей? — Два треуголь-
ника. а потом четыре. — Корень квадратный из двух — Есть ли такой квадрат, ко-
торый равнялся бы удвоенному квадрату другого числа? — Как египтяне вычисляли
корень из двух.— А как это делали вавилоняне и индусы. — Наши удобные знаки. —
Геометрическая пропорция. — Вовка добывает шесть верных знаков, действуя по-
вавилоиски. — Надо еще сказать слово «два» на языке объемов. — «Музыка»
древней Греции. — Разделить октаву пополам.— Как древние артиллеристы учи-
лись музыке и как нашли следы этой учебы иа стенах хорезмийских замков. —
Первая знаменитая задача древности: удвоение куба. — Пропорция Гиппократа
Хиосского. — Вавилонское решение квадратного уравнения. — Вовка предлагает
задачу иа самое обыкновенное умножение.
Глава шестнадцатая.........................................................
Кубическое уравнение. — Николо Тарталья.— Находка древией рукописи и
труды Франциска Виеты. — Вторая знаменитая задача древности: трисекция
угла. — Снова работа Виеты. — Невсис Архимеда н иевсис Неморария. — Эллипс,
патрон Леонардо да Винчи и Кардаиово движение. — Третья и самая трудная зна-
менитая задача древности: квадратура круга. — Лева пытается обосновать
вавилонское решение. — Хитроумные египтяне. — Догадка насчет одной девятой. —
Замечательный чертеж, которому около четырех тысяч лет. — Как вышло, что
у египтянина шестьдесят три оказалось равно шестидесяти четырем, а задачу он
все-такн решил неплохо? — Логика у греков. — Квадратриса Гиппия Элидского. —
Размышления Аитифоиа и Бризона и промахи нх критиков. — Квадратура круга
в древнегреческой комедии. — Еще раз об алгебраических знаках. — Вовка под
аплодисменты товарищей с большим успехом делит одного живого слона натрое. —
Вычисления спешно требуются звездочетам и древним артиллеристам — камнеме-
тателям. — Измерения углов. — Гиппократовы луночки. — Вовка записывает еще не-
сколько новостей о чудесах с квадратами и о простом признаке делимости на
семь.
Глава семнадцатая..........................................................
Первый раз на белом свете точно квадрируется криволинейная площадь. — Но-
вые мысли Архимеда. — Начать с длины окружности. — Вычисление, а ие постро-
ение. — Географу Эратосфену понадобилось измерить одни круг.. . — Птолемеево
число. — Число Цзу Чуи-чжи. — Римское приближение. — Индийские решения, одно
лучше Другого! — Гияседдииово число с семнадцатью точными знаками. — Несо-
измеримые числа. — Чет и нечет. — Число Леонардо Пизанского. — Философские со-
суды. — Удивительная находка Николая Кузанского. — Шестиугольник посылает
вызов девяиостошестиугольнику! - Кузанский определяет длину дуги с ошибкой,
меньшей полупроцеита. — Неосторожные восторги изобретателя н жестокая месть
неумолимых педантов. — Леонардово колесо. — Число Оронтия Фииея. — Ученые
Возрождения знакомятся с творениями Архимеда,— Замечательный вывод Виеты.—
Нет такого уравнения с конечным числом членов. .. — Наконец-то Вовка получает
решение замысловатой задачки с прыгающими спичками.
Глава восемнадцатая........................................................
Десятичные дроби и бесконечные ряды. — Опять Васина коврижка! — Колос-
сальные вычисления Лудольфа Кёльнского. — Многоугольник ростом с земной эква-
тор и еще одни многоугольник чуть-чуть побольше орбиты Плутона. — Триангуля-
ция н землемерие. — Эратосфен впервые пробует измерить земной шар. — Сиел-
лий находит изобретение Кузанского и продолжает его труды. — Не все у Сиеллия
получается удачно. — Теперь Гюйгеис идет за Кузаиским и Снеллием, а по дороге
поправляет их промахи. — Архимедова квадратура параболы. — Гюйгеис спешит по
его следам. — Бесконечная геометрическая прогрессия и ее сумма. — Формулы Гюй-
генса. — Открытие Грегори и Лейбница. — Число « решило распроститься с гео-
метрией. — Отрезок и число я . — Иголка, шахматная доска и новое появление чис-
ла к. — Еще раз об индийском приближении в изложении Вето-Ташеиькиной сек-
ции. — Как состарились за какую-нибудь тысячу лет Птолемеевы приближения. —
Фантазии Скалигера. — Адам Кохаиский придумывает изящное построение числа
к. — Веточка н Вовка снова секретничают.
Зв
74
105
326
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
Глава девятнадцатая...........................................................   151
Тускарийский матч на первенство мира. — Секретарь попадает в положение
почти безвыходное. — Числа склеиваются, а буквы иет. — Секрет на весь свет. —
Почему у квадрата такая большая площадь? — Древиие математические приборы
для удвоения куба. — Месояабий Эратосфена. — Механические инструменты. — Как
Архимед научил точку двигаться и к какому заключению пришел по этому поводу
Ньютон. — Декарт отменяет геометрическую алгебру. — Почему лииейка и циркуль
отказываются идти дальше квадратного уравнения? — Задача, над которой бьются
целых триста лет. — Комплексные числа. — Пьер Фермй читает творения Диофан-
та. — Целочисленный Пифагоров треугольник. — Числа разной четности. — Произ-
ведение двух квадратов. — Формулы Пифагоровых треугольников. — Веселое кувыр-
кающееся число. — Как один ученик одолел сердитую кляксу.
Глава двадцатая................................................................. 182
Новая тетрадка имени Паппа Александрийца. — Геометрическое построение кор-
ней квадратных по методу Феодора Киреиского. — Как геометрически получаются
степени целых чисел. — Таблицы целочисленных квадратов в древнем Вавилоне. —
Как прибавить квадрат. — Предложения Ники и Левы. — Разность квадратов и
простые числа. — Веточка продолжает свой доклад. — Решение неопределенного
уравнения. — Как Вовка делал кубы по папиному рецепту. — Способ бесконечного
спуска у Диофанта и у Ферма. — Задача Кардана с решением, не похожим ии иа
одно из обычных решений. — Делимость алгебраических выражений. — Шестерку
разложить на первоначальные множители, оказывается, можно по-разному. — Гео-
метрическое истолкование комплексных чисел. — Сложение и умножение. — Единич-
ный вектор, который поворачивается. — Умножение и подобные фигуры. — Сумма,
которая ие разрешает переставлять свои слагаемые. — Что придумал Куммер? —
Число двести двадцать пять и Никомаховы кубы. — Число, очень похожее иа ко-
лесо.
Глава двадцать первая........................................................... 220
Кот Теренций спасается бегством. — Одни раз даже и сам Ферма ошибся, но
Эйлер его поправил. — Число длиннее земного экватопа в шесть биллионов раз. —
Двадцать одни нуль и сто тридцать пять нулей. — Метод сравнений спешит иа по-
мощь академикам. — Машина ставит бедного Вовку в угол носом, после чего они
с Васей сооружают невиданный аппарат. — Изобретатели являются на поклон к
президенту. — Додекаэдр и железный коачедан. — Пирамидальный куб. — Как пе-
рекроить одну фигуру в другую. — Равносоставлеииые фигуры. — Архимедова
игрушка — Снова центральная симметрия. — Боковые и диагональные числа. —
Правило и путь к нему. — Как плыл по Нилу огромный кирпич, как рос много-
метровый барельеф и какое все это имело отношение к египетской квадратуре
круга.
Глава двадцать вторая........................................................... 258
Лева и Вася являются к ребятам с неприятным известием. — Непрерывные или
цепные дроби — Планетарий в III веке до нашей эры и в XVII веке нашей. — Как
оценивается приближение. — Подходящие дроби. — Удобная табличка для их вычис-
ления. — Периодические непрерывные дроби. — Два предложения Евклида. — Вовка
н Вася нашли еще одни египетский локоть. — Им грозит страшная египетская
казнь! — Как Вовка поссорился с одним числом. — Еще одно изобретение! — Что
думали Эратосфен, Филон н Дюрер. — Чума иа острове Делос.
Глава двадцать третья........................................................... 284
Вовка и Вася добиваются новых достижений. — Реконструкция сарайчика. —
Индийский секрет. — Истинно тускарийское приближение с пятнадцатью десятич-
ными знаками. — Еще некоторые забавные новости по части игры в Дразнилку —
Периодизм в непрерывных дробях. — Погрешность приближения можно оценить
при помощи этого же приближения. — Какая разница между вавилонским и ин-
дийским способами? — Приближаемся к нулю как угодно близко! — Почти — равен-
ство. . . — Замечательный способ решения задачи, когда врать ие воспрещается. —
Ньютонов способ для определения корня. — Промежуточные дроби. — Еще не-
сколько слов по поводу вавилонского, египетского и Архимедова определений чис-
ла к,—От энной дроби к два-эи-плюс-первой. — Приближение для кубического
корня. — Много ли квадратов в натуральном ряду? — Тускарийский походный марш.
327
К читателям
Отзывы об этой книге просим присылать
по адресу: Москва, А-47, ул. Горького, 43.
Дом детской книги.
ДЛЯ СРЕДНЕГО И СТАРШЕГО
ВОЗРАСТА
Бобров Сергей Павлович
АРХИМЕДОВО ЛЕТО
Ответственный редактор 3. П. Микоян.
Художественный редактор Г. С. Вебер.
Технический редактор Т. В. Перцева.
Корректора
Л. М. Николаева и А. В. Стрельник.
Сдано в набор 9/XI 1961 г. Подписано
к печати 17/VII 1962 г. Формат 70х90‘/и —
20.5 печ. л. = 23,99 усл. печ. л. (20,39 уч.-
изд. л.). Тираж 30000 экз. ТП 1962 № 673.
А05216. Цена 71 коп.
Детгиз. Москва. М. Черкасский пер., 1
2-я фабрика детской книги Детгиза Ми-
нистерства просвещения РСФСР. Ленин-
град. 2-я Советская. 7. Заказ № 500.
Scan - AAW, Djvu - Joker2156