Jl РХИMEJ.OBО
А ЕТО,
или
История
содружества
юных
математиков
КН И ГА
ПЕРВАЯ
Государственное Издательство Детской Литературы
Министерства Просвещения РСФСР
Москва 1959
Научный редактор
профессор
И. Н. Веселовский
Фигуры одного росчерка
Лабиринты
Геометрия путей и узлов
М ногогранники
Математические загадки и шутки
Игра в Дразнилку
Совершенные числа
Глава первая
Лева и Наташа встречаются у речки. — Старинная пушка и ее
огромные ядра. — Семья Тускаревых на даче. — Вовина игрушка.—
Таинственная лошадка и загадочное число.—Интересные рассказы
1.
Из-за пышной, блестящей и шумливой зелени с берега было хо-
рошо видно, как уходит вдаль, неторопливо извиваясь на широких
поворотах, тонкая голубоватая и серебристая лента реки. А около
нее, все мельчая и мельчая, ложась все ровнее и незаметнее, идут
вдаль мягкие ломти отмелей коричневатого намокшего песка. И кое-
где к воде осторожно подкрадываются то поодиночке, а то и густыми
низенькими толпами камыши, такие ярко-зеленые, изумрудные!
Очень хорошее выдалось лето!
То есть еще лето не совсем пришло, и иной раз видно было, как
над чешуйчатым волнением реки быстро несутся, низко приопуская
свои острые длинные крылья, небольшие стайки диких уток — три,
5
четыре птицы. И в этом прозрачном воздухе они, казалось, словно
были ловко нарисованы двумя — тремя взмахами кисти, захватившей
с палитры чуть-чуть какой-то темной краски.
Нынешний год летом поехали подальше, просто чтобы не было
соблазна часто ездить в город.
Небольшой поселок стоял высоко над речкой.
В ту сторону, на юг, почти что наискосок против солнышка, река
казалась зеркально блестящей, а блеск ее был чистый, серебряный,
прозрачный. А прямо перед глазами волны бежали быстро, весело,
торопливо и вольно, рисуя замысловатые круговороты, неся вокруг
легкие кружевца пены; на этих водяных кругах плясали, колеблясь,
трепеща, отражения деревьев на том берегу. А когда взглянешь туда,
вдаль, в другую сторону, то там река лежала недвижно, застывшая,
словно красиво согнувшаяся темно-лилово-синяя змея, и на спинке
у этой змеи поблескивал еле-еле замерший в серебристых линиях
тонкий узор. Трудно было оторвать взгляд от этой простой и могучей
красоты...
Дети познакомились у речки. Конечно, стали плавать наперегонки.
Лева остался не совсем доволен: он старался, право, изо всех сил,
но еле-еле смог обогнать Наташу на каких-нибудь полкорпуса. У ост-
ровка Наташа показала ему «заводь» — опасное место, где надо быть
очень осторожным, а то бывали и несчастные случаи. «Ишь, как пла-
вает здорово!..» — подумал несколько озадаченный Лева, рассеянно
поглядывая на опасную заводь.
За рекой из-за леса важно тянулась тонкая вышка колхозного вет-
ряного двигателя. Иногда она лениво поворачивалась и словно исче-
зала, а потом вновь красовалась своим полупрозрачным колесом и
стреловидным хвостом. Там, за речкой, все перелески, ленты дорог,
крохотные издали домики —все это тихо утопало в смутней голу-
бизне хрустальной дали. И если сравнить взором то, что видно там
вдали, с огромными телами вековых сосен и вязов на этом, на нашем,
берегу, то видишь, что оно действительно совсем голубое. Не то
что вот эта жирная, густая зелень бузины совсем рядом с тобой.
Потом ребята пошли потихоньку домой. Сперва наверх, прямо по
желтому сыпучему песку, в котором разъезжались и тонули ноги,
потом — крутой тропиночкой, прихотливо вившейся меж черно-оран-
жевых колонн громадных сосен; высоко было лезть —даже запы-
хались.
Ивы теперь снова отошли и стояли немного поодаль — там, внизу
у моста, — сплошной густой массой; их серовато-голубая зелень резко
отделялась от темной поблескивавшей зелени дубков, ютившихся
около. Понурые старые ветлы, дуплистые, полуразрушенные, но все
6
еще упорно боровшиеся за жизнь, угрюмо и упрямо
поднимали свои кряжистые, дряхлые, усталые тела.
Иногда они напоминали какие-то развалины — так
странно торчали вверх эти обломанные стволы, го- И гСЖ. Т
лые, толстые, обрушившиеся ветви. И только снизу
к ним, как к развалившимся стенам, жалась близ-
ко-близко воздушно-сероватая, мелкая и затейли-
вая, неотчетливая, но многолистная, кудрявая и	* *
пышная зелень побегов.
— А знаешь,— сказала Наташа, когда они с Левой настоялись
вдоволь над рекой и налюбовались всеми этими прозрачными зеле-
новатыми переливами, — здесь вечером летает прямо целая масса
летучих мышей.
— И ты, конечно, труса празднуешь! — заметил ее новый товарищ.
— Ничего подобного! — живо откликнулась девочка. —И не ду-
маю. Я, может быть, еще даже по зоологии пойду... Вы ведь здесь
первое лето?.. Ты еще ничего и не знаешь, а говоришь!
— А вы?
— Мы уж давно. Каждое лето. Здесь хорошо!
— Ничего, — согласился Лева. — Можно просто сказать: недурно.
Пахнет славно— травой и речкой. Раздолье!
Высоко на холме над рекой, там, подальше, за стройной березовой
рощицей, стояли, словно заблудившись на малоезжей дороге, поко-
сившиеся, полуразвалившиеся поверху фигурные каменные ворота
в виде маленькой арки. Около них виднелись остатки совсем уже рас-
сыпавшейся стены. Все это густо обступила зелень: лопухи, крапива
и темно-зеленая густая бузина. За воротами стоял невысокий старин-
ный дом, украшенный, как и ворота, затейливыми цветными блестя-
щими изразцами с разными рисунками, надписями, глубокой резь-
бой по камню и узорами, выложенными с разными хитростями из кир-
пича. Все это было в большой ветхости и постепенно дряхлело и
дряхлело. Но старинный дом был все же кое-как приспособлен под
жилье: свежий кирпич старательно окружал новенькие оконные рамы,
висели занавесочки, цвела герань на подоконниках. Одно окно было
распахнуто, и слышен был гортанный глуховатый голос радио: актер
размеренно и отчетливо вычитывал строка за строкой стихи Маяков-
ского. Дети перебрались через стену мимо ворот. Лева остановился
и начал разглядывать рисунки на изразцах. На одном из них охотник
высоко поднимал зайца, а надпись восклицала: «Держу косого!»
Мальчик засмеялся.
— А это ты видел? — спросила Наташа.
Лева обернулся:
7
— Смотри-ка, пушка!
— Да, — отвечала ему спутница. — Она прежде на этой каменной
подставке стояла. Громадная какая! А вот рядом, за крапивой,—
только смотри не обожгись: тут крапива злая, кусачая! — вот видишь,
ядра.
Действительно, на источенных временем больших белых камнях
лежали четыре больших чугунных ядра: три внизу, а одно сверху.
Лева попробовал сдвинуть верхнее, но оно, очевидно, было прикле-
пано к нижним. И все это грузное сооружение даже и не покачнулось
от Левиного толчка.
— Крепко!—сказал он.— Да иначе бы
давно уж растащили.
— Говорят, будто это еще от семнадцатого
века осталось. Давно они здесь лежат... Я сю-
да совсем еще маленькая бегала. Тогда даже
вон тех д0МИК0В еше не было. . .
Прошли еще немного, повернули, обошли
овраг.
— А вот и наш летний замок, — показал Лева на домик, весь уто-
павший в густой и славно пахнувшей сирени.
— A-а, значит, вот вы где — вы у Лавровских живете! А мы вон
там, подальше, за кооперативом. Беленький домик...
— Я еще здесь ничего и не видал, — сказал Лева.
2.
— Ну, вот и пришли, — сказал Лева, открывая калитку.
На ступеньках террасы сидел сухонький, сморщенный старичок
в форменной, совершенно выцветшей фуражке и белой, очень опрят-
ной блузе. В руках у него были самодельная корявая палка, по-види-
мому только что вырезанная из можжевелового корня, и развернутая
газета. Рядом с ним на ступеньке сидел белобрысый мальчик и ста-
рательно разглядывал какую-то коробочку. Увидев брата с незнако-
мой девочкой, он положил осторожно коробочку на ступеньку, уста-
вился на пришедших, покраснел, потом перевел на старика вопроси-
тельно-умоляющий взгляд.
— Дедушка!—сказал он наконец жалобно и возмущенно.
Дед не торопясь отвел глаза от газеты.
— Гостью привел? — спросил он, обращаясь к Леве.
— Мы на речке познакомились, — сказал Лева.— Ее зовут
Наташа...
8
— Лещинская... — подсказала девочка. — Здравствуйте!
— Здравствуй, милая, — отвечал дед.
— Вот именно... — продолжал Лева. — И она...
Но в это время на террасу вышла хозяйка.
— А-а, — воскликнул Лева, — мама, ты приехала! Вот здорово!
А ведь мы тебя к вечеру ждали... Мама, это Наташа Лещинская.
Она плавает прямо как рыба...
— Ну да!—засмеялась девочка. — Добрый день!
— Добрый день, Наташа.
— Да, вот именно как рыба... Мы познакомились на речке. Шли
сюда, я ее позвал к нам... Мы пушку видели.
— Вот и выдумал! — живо откликнулся белобрысый мальчик. —
Где это ты пушку-то видел? Ну, признавайся!
— Теперь будешь десять раз просить — и не покажу ни за что!
— Небось покажет, Вовушка, — сказал дед. — Покажет. Да мы
сами найдем.
— Вот что, товарищи молодые люди! — громко сказала мама.—
Идите руки мойте да садитесь-ка за стол. Позавтракайте, а потом
можете отправляться хоть на все четыре стороны.
Когда усаживались есть яичницу с корейкой, Вовка поставил ко-
робочку около своей тарелки. На крышечке коробки красовалась
цифра «15».
— А, Дразнилка!—сказал Лева, открывая коробочку.
— Моя игрушка! — важно отрезал Вовка. — Сделай милость, не
трогай!
— Какой строгий стал! — покачал головой Лева. — Откуда это
видно, что это твоя игрушка? Докажи.
— И докажу... — отвечал Вовка, продолжая с жаром уплетать
яичницу. — Вот возьму и докажу!.. И не смеешь трогать! Мне мама
подарила— значит, моя... И не вынимай шашек. Что ты делаешь?!
Нельзя!
— Почему это — нельзя?
— Нельзя. Не будет выходить. А секрет ведь тебе неизвестен.
— Пустяки! — отвечал Лева. — Выну, переложу — и выйдет. И без
всяких секретов.
В квадратной плоской коробочке лежало пятнадцать квадратных
же плоских шашек с номерами от первого до пятнадцатого. А одно
место оставалось свободным. Сдвигая шашки одну за другой, можно
было менять их порядок.
— Ничего, ничего, Вовушка, — заметил дедушка. — Пусть попро-
бует. Посмотрим, что у него выйдет. Хитрей нашего с тобой он разве
сделает? А потом переложим по порядку, как и было. Дело неважное.
9
Вовка покосился на деда, но спорить не стал. Они с дедом были
закадычные друзья. И Вовка считал, что на деда можно положиться,
как на каменную гору.
Вовка прищурился, хитро посмотрел на деда и сказал:
— Пусть-ка Левка сам лошадкой попрыгает!
Дед ответил ему в тон:
— Пусть-ка он нам тридцать четыре покажет! Ну-кась! Личико
такое при этом пусть грустное сделает... Так, Вовушка?
Вовка посмотрел сперва на деда с недоумением, а потом вдруг
сообразил, расхохотался и захлопал в ладоши.
— Да-да-да! — закричал он. — Личико печальное!.. Ха-ха-ха!
Наташа весело засмеялась вслед за ним, а Лева недовольно усмех-
нулся.
— А что за лошадка? — спросила Наташа. — Почему личико
грустное?
— Что за тридцать четыре такие? — пожал плечами Лева.
— А вот вы и не знаете! — отвечала им мама. — Вовка вместе
с дедушкой придумали. А вы и не знаете!
— У нас, брат, теперь архив есть, — хихикая от удовольствия, го-
ворил Вовка, — все записано. Реестр. И печать поставили.
— Откуда ж вы печать взяли? — поинтересовалась Наташа.
— А двугривенный на что? — спросил дед. — Чем не печать?
С гербом...
Лева отдал коробочку Вовке.
— Вот я переложил,—сказал он, — а потом и поставил все по
порядку. Ничего особенного.
— А возился сколько времени!—заметил дед. — Споро, да не
скоро. Нет, брат ты мой, надо и верно сделать и не канителиться.
Затем изволь рассказать, отчего да почему, все по порядку. Вот оно
как. А ты вертел сколько времени!
— Неправильно! — важно решил Вовка.
Но тут все всерьез занялись едой, и споры прекратились сами
собой. Потом напились чаю, и Лева сказал дедушке:
— Дедушка, а ну-ка, выкладывай ваши секреты. Что это за тай-
ная канцелярия такая!
— Ага, брат! —укоризненно вымолвил дед. — Теперь уж на попят-
ную. Врешь, подождешь! Мы сейчас со старичком, с Тимофей Ири-
нархычем, пойдем в гамачок под липку — храповицкого задать на
полчасика, он об нас соскучился. А вы уж как хотите! Вот как...
И дедушка пошел потихоньку в садик.
— Кто это старичок Тимофей Иринархович? — спросила Наташа
потихоньку у Левы.
10
— Да это он сам.
— Мой дедушка! — наставительно повторил Вовка, и таким тоном,
будто кто-то спорил с ним по этому поводу. — Дедушка мой, вот кто!
— Поняла... — ответила ему Наташа и погладила мальчика по
головке, что тот и принял как должное.
— Ну, теперь всё! — сказала Наташа. — Вы меня накормили, спа-
сибо вам! Только мама будет сердиться, потому что я теперь дома
есть не стану.
Лева вышел с ней вместе за калитку.
— Дедушка у нас в семье считается культурником, — объяснил
он. — Любитель всякие разные головоломки решать, и сам придумы-
вать мастер. Кроссворды всякие — это он в одну минуту всё разбе-
рет. Иногда довольно интересно выходит. Не знаю, чего это он там
с Вовкой насчет Дразнилки придумал. Ну, потом покажет. Что за
лошадка такая? У него и книжки разные хорошие в этом роде на по-
лочке стоят.
— Да? Ну, знаешь, мне идти надо... А ты любишь про ученых
читать? — спросила Наташа.
— Ну, еще бы! — ответил Лева. —Вот я читал недавно про путе-
шествие на корабле «Бигль» Чарлза Дарвина. Интересно.
— Это я не читала, — ответила Наташа. — А вот про Ковалевскую
ты знаешь? Я читала. Хочешь, расскажу? .. Или тебе неинтересно? ..
— Почему же это мне неинтересно? Она ведь была математичка,
так?
— Ну да!.. Я побежала, прощай, а то мама будет беспокоиться.
Пошла на речку и пропала... До свиданья!
Глава вторая
Рассказ Наташи о знаменитых женщинах-математиках. — Русский
академик Леонард Эйлер пишет письма к одной принцессе. — Подруга
Вольтера и Ньютон. — Дочь знаменитого поэта Байрона. — Софья
Ковалевская и ее отрочество. — История с нехваткой обоев на даче. —
Софа сама открывает новую науку. — Встреча со знаменитым ученым
Вейерштрассом за границей, и дальнейшее
1.
Через несколько дней Лева отправился со своей новой знакомой
на прогулку в лес.
В лесу шли, шли, а потом вдруг повернули налево, на просвет, и
вышли на неширокую полянку.
— Стоп! —сказал Лева. — Как раз — два пенька первого класса
добротности. Всё! Рассказывай.
Наташа кивнула в знак согласия, уселась на пенек и начала свой
рассказ.
12
— Ну, я не очень хорошо, но в общем все-таки помню. Говорят,
раньше образованных женщин было очень мало. Особенно таких,
которые занимались математикой. Первая, о ком как будто есть све-
дения,— это была Гипатия, это еще в древности, в эпоху, когда тем-
ный и грозный Рим владел почти всем Средиземноморьем, это в конце
четвертого и в начале пятого века нашей эры. Ее отец, Теон, был
видный ученый того времени, математик и астроном. Он издал
творения Евклида... Ну, Евклида ты, конечно, знаешь — ведь не
первоклассник!
Лева кивнул.
— Гипатия преподавала, у нее было очень много учеников. Она
писала разъяснения и примечания к сочинениям ученых...
— Это, кажется, комментарии называются, а кто писал —тот ком-
ментатор, — заметил Лева.
— Вот именно. Это название выдумали позднее, в средние века.
— Не буду перебивать. Говори.
— Можешь перебивать, это ничего. Так вот, ей принадлежит не-
сколько таких разъяснительных сочинений. Отец ее, кстати сказать,
комментировал знаменитый астрономический трактат Птолемея, древ-
него астронома второго века нашей эры, который придумал эту ста-
ринную астрономическую систему, где в центре мира стоит не Солн-
це, а Земля.
— А все-таки для своего времени Птолемей был большой, неза-
урядный ученый!
— Еще бы! Его сочинение называлось «Великое построение мате-
матическое». .. Не удивляйся, что я по бумажке читаю, это кое-что я
записала, а то ведь забудешь! —И Наташа расхохоталась.
— Ничего, — немного хмуря брови, сказал Лева, — ничего! Хо-
рошо сделала, что записала. Я тоже что-то слышал о Птолемее.
— Это было первое большое сочинение по астрономии...
— Про нашу солнечную систему главным образом.
— Это был итог всей древней астрономии. Была придумана очень
остроумная система для описания путей планет нашей системы по
небесному своду. Эта старая система мира дожила до Коперника, а
прожила она всего тысячу двести лет! У Гипатии были еще рассуж-
дения и объяснения арифметических сочинений знаменитого грека
Диофанта, который жил около третьего века нашей эры. И рассуж-
дения о геометрических сочинениях Аполлония Пергейского... Это
третий век до нашей эры. Гипатия была известна своей образованно-
стью и редкой красотой. Но с ней случилась большая беда. Ее счи-
тали «язычницей»; рассказывали о ней, будто бы она верила во мно-
гих богов, которые олицетворяли собой различные явления природы.
13
Так оно было или нет, я не знаю, но самое главное было в том, что
Гипатия знала, ценила и уважала древнюю греческую науку, а фа-
натики, христианские монахи, ненавидя науку, боролись с учеными и
выдумывали всякую клевету на них. И вот, представь себе, они умни-
цу Гипатию побили камнями, то есть заставили озверевшую толпу
вытащить ее из дома на улицу и швырять в нее камни, покуда не
убили!
— Эх, — сказал Лева, — терпеть не могу таких подлых историй!
Наших бы туда двух бойцов с пулеметом. Они бы им показали, как
камнями ученых убивать!.. Ну, рассказывай дальше.
— А потом в истории долго нет сведений об ученых женщинах.
Очень долго. Только уж много-много позже выделяются некоторые из
самых знатных женщин, разные принцессы, которых учили самые
знаменитые математики. В конце шестнадцатого века один из них,
Виета...
— Знаю, был такой. Теорему его проходили...
— Потом в семнадцатом веке — Декарт.
— Философ, француз. Папа говорил. Обещал рассказать...
— И еще в семнадцатом веке, попозже, один немецкий философ
и математик, Лейбниц. Вот эти-то ученые и занимались с принцес-
сами. Уж не знаю, что из этого получилось, но одной из них, тоже,
наверно, довольно образованной женщине, русский академик-матема-
тик в восемнадцатом веке написал целую книгу о математике и
тогдашней науке вообще.
14
— Кажется, это я тоже слышал. Это не Эйлер ли?
— Он самый. Леонард Эйлер. Книга так и называется: «Письма
к принцессе». Родом швейцарец Он был наш русский академик. Дру-
жил с Ломоносовым. Жил и работал в Петербурге, там умер и похо-
ронен. А потом еще в том же веке была одна очень образованная
женщина, друг французского знаменитого писателя Вольтера, Эмилия
Шателэ. Так вот, понимаешь ли, она, по совету Вольтера, перевела на
французский язык очень трудное, но замечательное сочинение Исаака
Ньютона.
— Ну, это знаменитый английский ученый, который открыл
всемирное тяготение!.. Откуда ты все это знаешь, скажи пожа-
луйста?
— Да, видишь ли, — отвечала ему Наташа, — я вот тут прочла эту
книжку о Ковалевской, потом с мамой об этом говорила. Она и ска-
зала: тебе надо все-таки узнать, как женщины в старину добивались
образования. В выходной день, когда мы с ней поехали на электричке
за город, я целый день слушала, как она мне рассказывала, а по-
том я опять эту книжку прочла. А то бы мне и пересказать тебе не-
чего было.
Лева посмотрел на Наташу недоверчиво. Помолчал, сорвал тра-
винку, засунул в рот. Потом сказал:
— Давай-ка рассказывай дальше. В общем, очень интересно!
— Эмилия Шателэ перевела книгу Ньютона и тоже написала
к ней комментарии. А один французский ученый, академик Клеро, не
поленился: прочел внимательно всю ее работу и там, где нужно было,
даже поправил. Мама говорит, что перевести такую книгу, как это
сочинение Ньютона, мог только очень образованный человек. Потом
была итальянка Мария Аньези, которая придумала свою собственную
кривую, мне мама ее показывала в учебнике высшей математики.
Аньези жила в восемнадцатом веке и была профессором в городе
Болонье. Затем француженка Софи Жермэн, это уж в начале про-
шлого века. С ней был такой случай: она написала письмо видному
французскому математику — академику Лагранжу — и подписалась
мужским именем, будто она не девушка, а молодой человек, ученик
высшей школы. Ученый захотел познакомиться, потому что удивился,
какую хорошую работу прислал ему этот молодой человек. Она при-
шла к нему. И он стал ей помогать. Говорят, в детстве ей не позво-
ляли заниматься математикой, так она писала свои выкладки по
ночам, под одеялом...
— Здорово! — заметил Лева.
— Потом еще были две англичанки: одна, не помню фамилии,
переводила очень важную работу французского ученого Лапласа, где
15
излагается теория движения неоесных тел — математически, разу-
меется! — а ее подруга, дочь английского поэта Байрона...
— Которого Лермонтов так любил...
— Да, да! И Пушкин тоже... Ее звали Ада. Она тоже переводила
кое-что и писала о машинах, которые сами могут вычислять.
— Да, я уж слышал о них. Только толком не разберешь, в чем тут
дело. Читал немножко. Есть, говорят, разные. Некоторые попроще,
а есть и такие, что настоящие чудеса делают.
— Да ведь это давно было, когда Ада Байрон писала. В начале
прошлого века... нет, кажется, не в самом начале.
— В школу бы нам такую машинку!.. Однако надо будет спро-
сить у папы. Впрочем, постой! У меня есть дядя, он радиоинженер,
вот он мне говорил... — Лева задумался. — Слушай, а вот счетная
линейка — знаешь?
— Да видеть-то я ее видела...
— Вот ее можно считать машиной или нет?
— Не знаю, должно быть, можно...
— Спрошу у дяди Вани — когда приедет, конечно. Как бы не
забыть...
2.
— Как видишь, я очень немного имен назвала. За целые века!
А теперь я буду говорить про Софу Ковалевскую. Те, о которых я
раньше говорила, или только переводили или примечания составляли,
а эта была уж настоящим, совершенно самостоятельным и крупным
ученым. Вот в чем дело.
Во времена ее молодости в России женское образование было,
попросту сказать, запрещено. Высшего образования девушка получить
не могла. Дом Ковалевской был домом интеллигентной семьи. У них
бывали люди с немалым образованием, но отец ее все-таки считал
высшее женское образование просто прихотью и поэтому слышать не
хотел, чтобы дочка получила специальное образование. А Софе
нравилась математика. Когда ей не позволяли заниматься, она клала
книгу под подушки и ночью, при свете ночника или лампадки, учи-
лась алгебре. И вот какой с ней в детстве был удивительный случай!
Ей было одиннадцать лет. Ее дядя, очень образованный человек и
любитель математики, рассказывал ей разные любопытные вещи про
математику, например о бесконечности...
— Вот счастливая!.. — сказал мечтательно Лева. Он уже слез
с пенька и сейчас лежал на мягкой траве и с удовольствием слушал
16
Наташу. — Я тоже бы послушал. Обещал папа... да никак от него
не добьешься. Сегодня, завтра!..
— Ты слушай, что дальше было, — продолжала девочка.— Семья
Ковалевских переезжала в деревню. У них там был дом, и этот дом
к их приезду начали ремонтировать. И вот, как стали оклеивать ком-
наты новыми обоями, на одну комнату обоев и не хватило. Это как
раз была детская комната, наверху, в мезонине. Что делать? Ехать
за новыми обоями далеко в город из-за одной комнаты весной, по рас-
путице, никому не хотелось. Тут вспомнили, что на чердаке лежит
пропасть никому не нужной старой бумаги и можно ею воспользо-
ваться. И случилось так, что рядом с грудами старых газет нашлись
листы более плотной бумаги. Решили, что эта бумага куда лучше
будет для оклейки стен. Сказано — сделано! Комнату наверху окле-
или этой бумагой. А это были литографированные записки лекций
крупного ученого академика Остроградского (он жил в начале про-
шлого века) —лекции по высшей математике, которые когда-то
слушал в Петербурге отец Софы совсем еще юным офицериком. Софа
была девочкой любопытной и обратила внимание на «обои» в своей
комнате. Стала рассматривать, и ей однажды показалось, что
там как раз говорится о тех интересных, завлекательных и таин-
ственных вещах, которыми, по ее мнению, была полна высшая мате-
матика. ..
— Вот именно, что таинственных! — невольно воскликнул Лева.
— Вот и ей так казалось, как нам с тобой теперь кажется!
— А ты действительно этим интересуешься?
— А по-твоему как?
— Хм...— промычал Лева. — Ладно. Отложим это пока... Рас-
сказывай дальше.
— Так что Софе показалось, что это то же самое, о чем ей гово-
рил добрый дядюшка, горячо, беззаветно любивший науку. Она иног-
да целыми часами не отходила от этой стены, все стояла и всматри-
валась в эти странные иероглифы, которые должны были обозначать
что-то замечательно умное и интересное. Перечитывала одну за дру-
гой разрозненные страницы и все старалась найти тот порядок, в ко-
тором эти страницы должны были идти одна за другой в неизвестной
ей книге. Вот так она и стоит чуть ли не каждый день перед этой непо-
нятной стеной — стоит, читает и перечитывает. И вышло так, что неко-
торые из формул прямо врезались ей в память, а многие места она, не
понимая их смысла, заучила наизусть. Была одна самая интересная
страница, которую она особенно часто перечитывала. На этой стра-
ничке излагались самые основные понятия высшей математики. И что-
то в этом Софа ухватила. Она, может быть, и сама даже не могла
2 Архимедово лето
17
объяснить, что именно усвоила из того, что видела на своей любимой
стене, но что-то, задевавшее не только ее любознательность, но и горя-
чее сердечко, осталось. Прошло несколько лет — Софе исполнилось
лет пятнадцать...
— И мне пятнадцать!.. — со вздохом вставил Лева, старательно
ероша волосы. — Интересно все это, конечно, очень. Но удивляешься,
как это они добивались!
3.
— Так я буду дальше рассказывать? — произнесла девочка.
— Конечно! — И Лева снова улегся в траве.
— Софе в дальнейшем давал уроки один очень хороший препода-
ватель. Однажды он объяснял ей как раз те самые понятия, о кото-
рых она читала у себя в детской на стене... Ты подумай — в пятна-
дцать лет уже проходила высшую! Каково, а? Подумай, какая
была способная девочка!.. И, когда ей стали все это объяснять, она
вдруг моментально все поняла. Учитель удивился, потому что эти
основные понятия очень трудны для усвоения, когда начинают зани-
маться высшей. Он сказал: «Вы так всё поняли, будто это наперед
знали!» Сама Ковалевская, вспоминая об этом впоследствии, гово-
рила, что хотя она в детстве не совсем понимала истинную суть дела,
но все-таки все правила этой премудрости затвердила крепко и
хорошо знала. И потом, когда учитель рассказал и объяснил, все
ее воспоминания ожили в памяти — точно кто-то фонарик принес
в темный чуланчик! — и сразу все так и стало на место. И вдруг
выяснилось, что к чему там относится и что с чем связано. Все уло-
жилось, словно по полочкам, в целую систему и стало понятно!..
Ты понимаешь?
— Н-да... — задумчиво отозвался Лева, глядя в высокое синее-
синее небо, на котором покачивалась дальняя ветка сосны, — да, бы-
вает иногда... Думаешь, думаешь над какой-нибудь задачей — вдруг
словно тебя осенит. Разом всё поймешь. Когда я тебя слушал, мне
вот что в голову пришло: ведь она думала над тем, что прочитала на
этих «обоях», правда? И ей только каких-то еще нескольких страни-
чек не хватало, чтобы во всем этом разобраться. А когда преподава-
тель стал ей по порядку рассказывать, все у нее сразу и сложилось.
Так что выходит, что она действительно «наперед знала»... только
знала не очень хорошо! Да... Завидно даже слушать.
— Это первый рассказ. А второй рассказ, пожалуй, еще удивитель-
нее. Первые уроки арифметики Софу не очень заинтересовали, потому
18

что рассказы дядюшки насчет оесконечности и других высоких мате-
матических образов ей были более интересны. Надо тебе сказать, что
Ковалевская, уже взрослой, сама призналась, что в математике ей
всегда нравилась самая суть ее... ну, как бы тебе сказать? .. то есть,
как именно математика справляется с самыми различными зада-
чами— для естествознания, для физики, для инженеров по разным
специальностям. Как математика умеет по-своему понять эти задачи,
передумать их особенным образом, подойти к ним так, чтобы решение
каждый раз было приспособлено к этим разным, не похожим друг
на друга задачам, и при этом все объединяется одной мыслью. А не
то чтобы только как-нибудь решить, да и ладно!
— Удивительно! — сказал Лева. Он даже сел и энергично хлоп-
нул себя по коленке. — Просто удивительно! Ну точь-в-точь мне как
раз вот именно это-то и приходило в голову. Замечательно!
— Когда ее первый учитель — это не тот, о котором я раньше го-
ворила,— начал ей объяснять алгебру, она почувствовала к матема-
тике такое сильное влечение, что стала даже запускать другие пред-
меты.
— Как же, — заметил недовольно Лева, — у нас запустишь!..
— Ее отец, не беспокойся, тоже был очень недоволен и распекал
свою дочку. Он даже решил прекратить эти уроки. Но Софе удалось
выпросить у своего учителя курс алгебры, и она потихоньку от всех
взрослых, по ночам, при лампадке, стала изучать эту книгу самым
старательным образом. Но все-таки понимала, что этим путем далеко
не уйдешь, и уж плакала, размышляя о том, что, наверно, этот курс
алгебры — ее последняя математическая книжка. Однако тут вы-
дался вдруг опять один счастливый, просто необыкновенный случай.
У них был один знакомый, который часто приезжал к ним в гости,—
это был профессор физики Тыртов. Однажды он подарил ее отцу но-
вую книгу — свой только что напечатанный учебник физики. Софа
сейчас же стянула эту книжку и бросилась читать ее. Читает, чи-
тает — все сперва идет очень хорошо, а потом добралась до отдела,
где говорится о свете, и тут она стала в тупик, потому что там на
каждой странице были разные тригонометрические понятия и обозна-
чения... Ты знаешь, что такое тригонометрия?
— Совсем немножко! — сказал Лева. — Ну, знаю, что это синусы
и прочее. Ну, как тебе сказать, — это соотношения сторон в прямо-
угольном треугольнике... Синус, например, отношение одного из ка-
тетов к гипотенузе, а косинус — другого.
— Не знаю! Мама говорит, что это часть геометрии главным обра-
зом про треугольник, про подобие и про теорему Пифагора. Это ты
знаешь! Но не совсем так, как в геометрии, где все больше к построе-
20
нию идет, а скорей так, как в алгебре,— для вычисления. Надо вы-
числить, скажем, расстояние до недоступного предмета — например,
у астрономов, до звезды. Птолемей, о котором мы говорили, в древ-
ности такой наукой занимался. Мама говорит еще, что все это очень
близко связано с высшей. Из этого рассказа про Софу видно, что это
и для физики имеет значение! Вот она эти формулы в учебнике
физики нашла. Однако Софа тоже ведь, как и мы с тобой, ничего
этого не знала! А знать ей очень хотелось. Она стала спра-
шивать своего преподавателя. Но тот, видя, что папаша и
без того сердится на упрямую девочку, не захотел новых
неприятностей и сказал ей просто, что он не знает, что такое
синус.
— Жалко было рассказать! — возмутился Лева. — Я бы
на его месте, если б знал, все бы рассказал.
— А он не решился... И тогда она стала сама копать-
ся, сообразуясь с формулами, которые ей там попались,
и с чертежами. И, представь себе, ей в конце концов уда-
лось самой придумать и даже разработать целую новую
науку!
— То есть как — новую науку?
— Лева, я сама не очень хорошо это знаю. Ну, вот ту
самую, о которой мы сейчас говорили и которая называется триго-
нометрия.
— А-а... —промычал Лева. —Вот что!
— Но, разумеется, она не очень хорошо представляла себе, как
за это взяться. И, представь себе, что у нее в конце концов вышло не
так, как у нас теперь в старших классах преподают, а вроде того, как
это когда-то в древности впервые придумали. Ну вот, как было у Пто-
лемея, которому все это для астрономии понадобилось. А в общем,
так у Софы получилось, что для тех самых случаев, которые ей
в учебнике Тыртова попались, все оказалось совершенно верно. Ты и
сам теперь, наверно, понимаешь, до чего она была довольна. Поду-
май, как она торжествовала! Ей не хотели объяснять, прятали от нее
книги, а она все сама придумала. Потом проходит некоторое время, и
приезжает к ним опять этот самый профессор физики Тыртов в гости.
Тут уж она не утерпела. Выбрала осторожно минутку и словно не-
взначай заговаривает с ним о его книжке...
— А он, разумеется, слушает в пол-уха!
— Конечно. И говорит, что ей вряд ли удастся разобраться
в книге, а когда она напрямик сказала ему, что прочла всю книжку,
он недовольно нахмурился: «Ну, вот и хвастаетесь!» Софа, конечно,
обиделась, но, закусив губу, сдержалась и стала рассказывать, как
21
разобралась в его физике. Сперва он не поверил, но, когда она пра-
вильно объяснила некоторые формулы и растолковала, каким обра-
зом она сама себе их объяснила, он был несказанно удивлен и совер-
шенно переменил свой недоверчивый тон. Тыртов тут же пошел к ее
отцу и стал горячо убеждать его, что такую способную девочку нельзя
оставлять без серьезной помощи. И тут только отец позволил Софе
заниматься с тем преподавателем, о котором я раньше тебе говорила.
4.
— Вот это да! — сказал Лева. — Это я понимаю. Но ведь это
просто исключительные способности?
— Понимаешь ли, мама говорит так: да, конечно, очень хорошие
способности. Но ведь теперь-то никто не мешает никому учиться. На-
оборот, только и стараются помогать. Значит, дело не столько в спо-
собностях, сколько в настоящем старании... Затем Софа Ковалев-
ская вышла замуж, уехала за границу, потому что в России тогда
женщинам нельзя было учиться. Ею заинтересовались крупные уче-
ные. И скоро она сама стала замечательным ученым. А как эти
ученые заинтересовались Ковалевской, тоже довольно интересно.
В Германии она прямо пошла на дом к очень известному в те вре-
мена крупному ученому, математику Вейерштрассу. Говорят, он не
очень любил ученых женшин, а у нее был такой моложавый вид-
она совсем была как девочка. Вдобавок Ковалевская была очень ма-
ленького роста. Вейерштрасс видит: пришла какая-то девчонка, да
еще в университет просится! Он решил ее отучить от таких выдумок.
Дал ей нарочно такие задачки, насчет которых он уж был совершенно
уверен, что она к ним и приступиться не сумеет. Через неделю Софа
является снова. Вейерштрасс сам потом рассказывал, что сперва он
не заметил, как она миловидна, какой у нее живой умный взгляд.
Пришла и говорит, что все задачи решила. Вейерштрасс не поверил,
говорит: «Будьте добры, садитесь, мы с вами посмотрим». Усадил ее
рядом с собой и начал по пунктам проверять все ее решения. И, к ве-
ликому его удивлению, оказалось — все задачи решены правильно,
да, мало того, и все решения необыкновенно хорошо и точно обосно-
ваны. Он потом считал Софу своей лучшей ученицей. Благодарил
Ковалевскую в письмах за многие ее меткие замечания, которые на-
вели его на подлинные открытия. Наукой Софа занималась с неверо-
ятным увлечением. Во вред себе работала целые ночи напролет.
Конечно, ей было очень тяжело, что она не могла работать у себя на
22
родине, ведь в те времена женщинам в России не позволялось рабо-
тать на научном поприще!.. Получила премию от Парижской Акаде-
мии наук. Премию еще специально для нее увеличили, потому что ее
работа была исключительно хороша!.. Была профессором в Швеции,
в городе Стокгольме. Умерла рано. У нее было больное сердце.
— Нет, это все-таки способности!..
— Мама говорит, что теперь многие преподаватели занимаются
специально вопросами, как бы облегчить ребятам ученье, — из-за
этого учиться теперь во много раз легче, чем во времена Ковалевской.
Надо иметь рвение, а потом действительно любить свой предмет.
— Ну-у! — протянул Лева. — Что за разговоры. Что ж ты ду-
маешь, я не люблю?
Наташа посмотрела на него внимательно, ничего не ответила и
стала аккуратно развязывать сверточек, куда им положили дома хо-
лодные вчерашние котлеты, хлеба да свежих огурчиков.
— Но ведь не всякому же, впрочем, — сказал Лева, помолчав,—
надо обязательно в вуз идти и ученым сделаться!
— Нет, конечно! — тотчас же откликнулась Наташа. — Мне ка-
жется, когда уж человек выделяется на производстве, показывает,
какое у него рвение, смётка да упорство, и видно, что ему просто
только широкого образования не хватает, вот такой человек достоин
высшего образования. Или кто особенно любит науку и с малых лет
в ней обнаруживает большие способности, да еще терпение у него
железное... Но образованным должен быть всякий советский че-
ловек.
— Еще бы! — подхватил Лева,—-Нам нужна техника, автоматы и
чтобы у нас все было самое лучшее. А машины всё хитрее да сложнее
с каждым годом. Так как же ты будешь около этих машин работать,
если ты разобраться не можешь? Тут уж без математики не обой-
дешься.
— Ясно, Левушка! — ответила Наташа.
— Да, — произнес Лева, — а рассказала ты здорово.
— Но ты мне прошлый раз тоже очень хорошо про Дарвина и его
корабль рассказывал.
— Да разве в этом дело! — с досадой сказал мальчик. — Я просто
не понимаю, откуда ты все это так хорошо и подробно знаешь?
Наташа посмотрела на него и засмеялась.
— Уж если ты так говоришь, — сказала она, — придется мне все
тебе начистоту выложить. Про Ковалевскую у меня было кое-что
записано в мою памятную тетрадку. А потом вспомни-ка: ты говорил,
что мы сегодня в лес пойдем?
— Говорил вчера.
23
— Я знала, что сегодня придется тебе рассказывать... Вот я вчера
вечером маму и попросила, чтобы она мне напомнила. Она и стала
опять рассказывать. Мы уж заснули с ней, когда светать начало. Так
что — ничего удивительного... Подготовилась. Вот что!
— Хорошая у тебя мама!
— Мама у меня очень хорошая!
Глава третья
Любопытная история с «конвертиком». — Число «сто», оказывается,
пишется по-разному. — Разговор о науке идет всерьез. — О чем мечтал
Лева? — На чем же наконец ребята остановились? — Как исследовать
лабиринты при помощи узлов
1.
Лева вылез из воды и натянул майку. Пригляделся. Довольно да-
леко от него, против солнца, видимо совсем около моста, мелькнул
пестренький сарафанчик Наташи. «Купаться идет, наверно...» — по-
думал он. Сарафанчик исчез, затем появился снова.
— Что это она там делает?—вслух спросил он самого себя. Застег-
нул сандалии, схватил мохнатое полотенце и двинулся к мосту.
Через некоторое время, то сбегая вниз, то поднимаясь бегом
в горку по ложбинкам около самой реки, а то и напрямик, чтобы не
идти болотцем рядом с излучиной, мальчик заметил, что Наташа си-
дит на земле, а кругом целая куча ребятишек. «Это еще что такое?»—
снова спросил сам себя Лева. Он был не совсем доволен, обнаружив,
25
что происходит что-то без его ведома. Припомнив, однако, обычаи
некоторых отважных путешественников, чей непреклонный нрав ему
очень нравился, Лева остановился, осмотрелся, не видит ли его кто, и
важно сказал самому себе: «Лев Николаевич, я предложил бы вам
не волноваться! Первое условие плодотворной деятельности: спокой-
ствие и хладнокровие!» Прочитав себе самому это вразумительное
нравоучение, он переложил полотенце с одного плеча на другое, при-
крыл глаза ладонью, остановился и внимательно начал смотреть, что
делается у моста. Однако, невзирая на все свое хладнокровие, раз-
глядеть он ничего не мог. «Нет подзорной трубы!» — с огорчением
признался себе Лева, вздохнув.
Но Наташа уже заметила его, оставила ребятишек и пошла на-
встречу.
— Здорово, Наташа! — весело сказал Лева. — Ты что это там
делала? Я тебя далеко-далеко, вон еше оттуда, увидал.
— Ребятишки возились с «конвертиком». Я им и показала не-
сколько фигурок... Здравствуй!
— С каким конвертиком?
— Ну знаешь, который одним росчерком надо нарисовать. Иду,
смотрю, они чертят палочкой на песке, ну и обсуждают. Я им рас-
сказала что вспомнила. Очень довольны были. Видишь, как они в кру-
жок все сбились и чертят там разные мудреные фигурки.
— Ну что ж, — сказал Лева, — пускай повозятся. Ведь это что-
то вроде геометрии?
— Н-да... — сказала неуверенно Наташа. — Конечно, что-то
в этом роде. Рассказала им еще про волка, козу и капусту.
— Постой, это я забыл.
— Задачка шуточная. Человек должен перевезти через реку вол-
ка, козу и кочан капусты. Взять все сразу в лодку он не может, а
может взять только что-нибудь одно. Но если он оставит на одном
берегу козу с волком или капусту с козой, то или волк съест козу...
— ...или коза капусту, ясно! Надо сообразить, как всё перевезти
так, чтобы остались целы и коза и капуста. Не так уж трудно при-
думать, как это сделать.
— Все-таки подумать надо. Я им еще другие задачки показала.
Да они дроби-то еще плохо знают. Вот какую я им дала задачку:
напиши единицу всеми десятью цифрами.
— Как так?
— Очень просто:
148 , 35
296 ' 70 ‘
— Забавно, — сказал Лева, — все цифры, правда. Впрочем, по-
стой, и я такую же вспомнил. Написать сто всеми десятью цифрами.
Знаешь?
— Знаю! — ответила она. И написала:
| + 50 + -^- + 49 = 100.
— Есть и другой способ, — сказал Лева:
з__
78 + /9 + 15 + \/64 = 100.
— У нас дедушка на это мастер! Он массу таких задачек знает.
Вот про лошадку они говорили — значит, опять что-нибудь новенькое
придумали. Дедушка рассказывал, что задачка про козу и волка
очень старинная, в средневековых книжках она встречается—еще
с десятого, кажется, века. Вон старина какая!.. Ты купалась?
— Купалась.
— Знаешь, — вдруг горячо заговорил Лева, — у меня товарищ
есть, вот плавает лихо! Скоро приедет к нам. Паренек сообрази-
тельный. Любит и книжки почитать — одним словом, разбирается.
Мы с ним довольно часто разговариваем; идем из школы или просто
так пойдем по городу куда-нибудь подальше — идем и рассуждаем.
Иногда надо ведь и поговорить. Рассказать друг другу, что ты
собираешься делать... ну, когда вырастем...
— О чем мечтаешь, — подсказала Наташа.
— Он еще и стихи пишет.
— У нас тоже некоторые девочки пишут. Ну, такие стихи,
школьные.
— Да нет!—сказал Лева, криво усмехнувшись.— Он не такие...
Всерьез.
— Не знаю, — отвечала она, — не пробовала.
— Я тоже не пробовал. Я стихами не очень интересуюсь. По-
моему, быть инженером лучше...
— Твой папа — инженер?
— Да... по слабым токам, электрик. А твой?
— Мой папа убит на войне, — грустно отвечала Наташа. — Он
был археолог, ездил в экспедиции, очень интересные вещи рассказы-
вал про старинные древние культуры. Там, в пустынных песках Сред-
ней Азии, целые города они откопали... дворцы, крепости... А мама
у меня преподает историю.
27
— Моя мама — специалист по химии. Но я тебе вот что хотел
сказать...
Тут Лева приостановился, осмотрелся кругом, не подслушивает ли
кто его глубокомысленные речи, потом очень внимательно вгляделся
в Наташино лицо — а вдруг она будет насмехаться над ним? Но на
загорелом спокойном лице девочки Лева при всем старании не мог
найти ни малейшего намека на какую-нибудь насмешку.
Наташа привычным движением поправила сбившуюся прядь своих
темных, немного вьющихся волос; ее ясные синие глаза вдумчиво
и внимательно взглянули на Леву.
Лева успокоился, ругнул себя за излишнюю подозрительность,
помолчал и начал снова:
— Вот что я тебе хотел сказать. Мне кажется, что самое важное,
что может человек в жизни сделать, — это что-нибудь такое очень
полезное придумать, изобрести. Скажем, сконструировать новую
машину, по части радио или телевидения сделать какое-нибудь важ-
ное усовершенствование!
— Наши девочки говорят, что для этого надо по математике быть
очень сильной...
— Кроме пятерок, ничего не получал! — гордо сказал Лева.—
Правда, раз в третьем классе налетел на двойку. Один только раз!
Ну... проспал, знаешь. В общем, сам сглупил. Поправился через
неделю.
— Так и у меня пятерки! — сказала девочка. — Но мало ли что!
То средняя школа, а то высшее учебное заведение! Там совсем
не то.
— Что это значит «совсем не то»! — возразил с горячностью
Лева. — Об этом надо заранее подумать. Почитать. Поинтересовать-
ся! С умными людьми поговорить... А помнишь, что ты мне расска-
зывала про Софи Жермэн и ее тезку Софу Ковалевскую? Ведь им
даже не позволяли, а они потихоньку занимались! И своего добились.
Каково это было Софе без учебника прямо по книжке, которая насчет
оптики, восстановить неизвестную науку! И мы должны стараться.
Я считаю, что математика — прекрасная наука. Папа говорит, что без
нее инженер как без рук. Он мне вот что один раз сказал: чтобы
в конструкции... ну, в машине, понимаешь? ..
Наташа кивнула.
— .. .чтобы каждая часть работала на совесть, толково, нигде
ие заедало, не ломалось, не заклинивало, лишней смазки не требо-
вало, не нагревалось слишком, чтобы все было дельно и экономно...
для всего этого нужно, чтобы каждая часть — пусть даже мелочь —
была с математической точки зрения проработана со всех сторон,
28
осмотрена, выверена. И если у тебя в машине какая-нибудь часть бу-
дет круглая — скажем, вроде шарика,— так ты сперва докажи мате-
матически, что эта часть должна быть круглой. А не просто так — на
глазок, авось сойдет.
Наташа задумалась.
— А ты думаешь, можно, — вымолвила она, прищуриваясь не-
много, — чтобы всегда так все-все было точно? Мне кажется, на са-
мом деле так не бывает. И, мне думается, на глазок многое еще
делается. Почему же? Если какой-нибудь мастер очень давно рабо-
тает на заводе, так ведь у него опыт очень большой. Просто он уж
знает, что так вот выходит, а так нет...
Лева замотал головой:
— Представь себе, что как раз это самое сказал папе и дедушка.
А папа ответил так: никто, говорит, не станет спорить с опытом;
опыт — наставник человека, и вся наука выросла из опыта; я и не пре-
небрегаю опытом рабочего, мастера, инженера, нет, но надо этот
опыт вооружить теоретическим пониманием данной задачи.
— Да-а, это, конечно, верно.
— Папа еще вот что сказал. Не в том, говорит, дело, что нельзя
на глазок вообще работать — глазок великое дело, его забывать
нельзя! — а в том, что наши современные машины, во-первых, очень
сложны, во-вторых, детали их требуют высочайшей точности, а
в третьих, скорость движения у них слишком велика. И в силу этого
простая сметка помогает не так уж хорошо, как помогала раньше.
Одного наблюдения не хватает. Вот в чем дело!
— Интересно! — заметила девочка.
— Я, видишь ли, — продолжал Лева с не меньшим жаром,—
я ведь теперь!..
Тут он остановился, поглядел на далекий синеватый лес, еле раз-
личимый через освещенный воздух, прозрачный и заманчивый, и, пре-
рвав сам себя, вдруг спросил Наташу совсем другим голосом:
— А вон тот лес ты знаешь?
— Знаю.
— Хороший?
— Очень.
— Пойдем как-нибудь, а?
— Конечно, — отвечала девочка. — Скоро малина поспеет! Вот
будет благодать!
После этого разговора про лес Лева опять принял сосредоточен-
ный и даже немного опасливый вид:
— Так, понимаешь, я ведь теперь перешел в девятый класс. И хо-
чется немножко кое в чем разобраться... Знаешь, в школе привы-
29
кают сквозь пальцы смотреть. Да, в сущности, и я сам не без греха...
Выучили, ответили, контрольную промахнули, не споткнулись — ну
и ладно, всё в порядке. А в общем, мы ведь уж не дети.
— В девятый!—сказала Наташа с завистью. — А я еще только
в восьмой!
— Будешь и в девятом, — ободрительно заметил мальчик, испытав
при этом почему-то чувство некоторого облегчения. — Разве в этом
дело, Наташа!
Они пошли домой к поселку ускоренным шагом. Все как будто
было выяснено, и пора уж было действовать. Правда, что именно
должны они были делать, Лева не очень хорошо себе представлял.
— Только надо все обдумать, — сказал он.
— Да, уж конечно, — согласилась Наташа, — придется голову
поломать.
— Покуда об этом молчок.
Наташа посмотрела на Леву с интересом, но не ответила. Прошли
мимо затейливых ворот, снова глянули на угрюмые, спящие век за
веком тяжелые чугунные ядра, лежавшие такой дружной, неразлуч-
ной семьей, и потихоньку дошли до Левиного домика.
2.
Вовка стоял около скамейки в саду и читал нотацию огромному
серому коту Терехе, который, не обращая никакого внимания на Вов-
кину декламацию, умывался лапой самым старательным образом.
— Ах, это ты, Наташа! — сказал Вовка, прервав свою возвышен-
ную речь. — Представь себе, этот недопустимый кот, как выясни-
лось,— совершеннейший разбойник. Опять сожрал прехорошенькую
птичку! А папа его еще Теренцием величает...
— Какую же он птичку съел? — поинтересовалась Наташа.
— Воробышка. И, знаешь, вот, наверно, того самого, который
у нас здесь, на березе, жил. Очень был хороший воробышек! Ну, раз-
ве это простительно?
Кот продолжал умываться с прежним усердием.
— Вряд ли, — сказала Наташа. — Это, наверно, с чужого двора
был воробышек. Со своего он есть не станет.
— Ну, если чужой... — задумчиво сказал Вовка, бросая в сто-
рону длинный прут. — Но своего!.. А я уж было хотел его хворости-
ной. .. А вы где были?
— Мы на речке. Видели там ребят, которые рисовали на песочке
конвертик. Знаешь, одним росчерком?
30
Вовка сейчас же взял прутик и присел на дорожке:
— Но ведь конвертик не выходит. Нельзя сразу, не
отнимая прутика, нарисовать.
— А ведь его можно распечатать.
— Как это так «распечатать»? — удивленно спросил Вовка, под-
няв голову.
Наташа показала.
— Вон как! — заметил Вовка и начал старательно обводить чер-
тежик.
Но тут над ними раздалось старческое покряхтывание.
— Куда, куда повел! — сказал дедушка, наклоняясь над Вов-
кой. — А пути считал? Ведь я тебя учил...
— Здравствуйте, дедушка Тимофей Иринархович! — сказала
девочка.	печатать, совсем. — На-
— Здравствуй, милая,—
отвечал старик. — Это ты
ему показала? .. Хорошо
придумала, молодец... Ну,
сделал?
— Вышло! — ответил
таша начертила еще фи-
гурку.
— Ну, это просто! —
заметил Вовка. — Тут
и я вижу, что все про-
сто.
Подошел Лева и по-
— Можно еще раз рас-	смотрел на их занятия.
— Дедушка, — спросил он, — а это ведь тоже геометрия?
— Конечно! — отвечал дед. — А как же иначе? Даже и в этой
игрушечной штучке есть свои особенные правила, которые можно
обнаружить и вывести.
— Это называется узлы! — торжественно заявил Вовка, кото-
рому Наташа уже начертила еще фигурку.
— А вот лабиринты еще? —спросил Лева.
— Вот это замечательная вещь, лабиринты! — воскликнул Вова.—
Говорят, есть и настоящие. В садах. А в древности, мне мама сказа-
ла, был один такой лабиринт, который был совсем настоящий. В нем
жил очень страшный Минотавр, людоедише, ужасная образина и с
бычьей головой. Рогатый! Ел людей. Рога —
вот такие!
И Вовка раздвинул руки как только мог,
чтобы показать, какие были у Минотавра
страшные рога.
— Это сказка, — заметила Наташа.
— Что ж, что сказка, — отвечал ей дед, —
а все-таки интересно!
— А может быть, что-нибудь такое в древ-
31
ности и было в этом роде, — сказал Лева. — И потом из каких-то
событий вот и вышла этакая легенда, то есть сказка.
— Вполне возможно, — отвечал дед. — Известно, что один лаби-
ринт был на острове Крит. Может быть, это было что-то вроде двор-
ца. Были лабиринты и в Египте. Само слово «лабиринт» произошло
от слова labrys, обозначающего боевую секиру, двойной топор. На
Крите в эпоху, которая предшествовала древнегреческой культуре,
были в обычае особого рода праздничные, церемониальные «игры с
быками», отсюда и пошли, возможно, греческие сказки о чудовищах
с бычьими головами.
— Ведь всякий лабиринт можно обойти, — сказал Лева.
— Далеко не всякий, — возразил дед, — напрасно ты думаешь.
Если взять лабиринт подземный, где система коридоров, переходов
и залов располагается не в одной плоскости, как это обычно делается
в разных головоломках, а в пространстве, то есть различные части ла-
биринта находятся то выше, то ниже, а коридоры идут наклонно из
одного этажа лабиринта в другой, самые этажи расположены как
попало, — обойти такой лабиринт отнюдь не просто! Такие лабиринты
сами собой получаются в копях, в каменоломнях. Известны римские
катакомбы как раз такого строения, а у нас существуют знаменитые
одесские подземелья, где, как ты, наверно, знаешь, скрывались во
время Великой Отечественной войны наши доблестные партизаны, не
прекращавшие ни на час своей борьбы с наглыми фашистскими захват-
чиками. Немцы туда и сунуться не смели, ибо запутаться там —
одна минута!.. Ты, вероятно, читал повесть Катаева «За власть Со-
ветов». .. А лабиринты, которые даются в разных задачках, — это
совсем другое дело. Здесь можно все рассказать и разъяснить. На
плоскости, на плане все ясно.
— Я и не подумал про лабиринты из каменоломен. Ну, а такой
лабиринт на плоскости, скажем в саду, — тот ведь можно обойти?
— Этот можно, — сказал дедушка. — Но если устроить настоящий
такой лабиринт в большом парке, густо засадить промежутки между
ходами деревьями и кустарником, так чтобы насквозь не было видно,
то легко заблудиться!
— А знаменитое правило правой руки? — спросил Лева.
— А что это за правило? Я не знаю, — вмешалась Наташа.
— Ладно, — сказал Тимофей Иринархович, доставая из кармана
огромнейшую пенковую трубку с фигурами, прокуренную до корич-
невого цвета, — давайте откроем конференцию по сему вопросу. До
обеда еще долго. Разберем по косточкам. Даем слово Леве Пусть
он нам доложит про правило правой руки. А Владимир Николаевич
будет у нас ученым секретарем.
32
Вовка открыл широко глаза, подошел к деду и сказал громким
шепотом, который все отлично слышали:
— Дедушка, ведь я потерял свой зелененький карандашик! Так
как же я буду секретарем, когда у меня нет карандашика?
3
Архимедово лето
Г лава четвертая
Приезжает Никита Петушков — нашего полку прибыло! — Обсуж-
дается правило правой руки. — Тупики. — Как дойти до центра? —
Четное и нечетное число путей. — Кольцевой маршрут. — Одномарш-
рутная сеть. — Вова путешествует по шахматной доске. — Мост
и дерево
1.
— Хорошо!—сказала со смехом Наташа. — Как-нибудь мы это
дело с карандашом уладим... А кто же у нас председатель? Конечно,
это будет Тимофей Иринархович.
— Невозможно! — отвечал дедушка, пыхтя своей трубкой и вы-
пуская в воздух огромные клубы дыма. — Я должен быть оппонентом
Леве, который у нас докладчик.
— Дедушка, — сказал Вовка, — но я, как секретарь, должен ска-
зать. .. ты подумай сам!
В это время скрипнула знакомым звуком калитка садика, и так
как до нее было ровно три шага с половиной, то почти немедленно
34
из-за пышного куста сирени появился мальчик чуть-чуть повыше
Левы, рыженький. Глаза прозрачные, внимательные, смышленые.
Опрятная холщовая блуза и рюкзак за плечами. Поклонился и ска-
зал:
— Петушков Никита явился в ваше распоряжение! Привет всем,
а дедушке особо. Добрый день!
— Ура! — закричал Лева, бросившись к нему. — Вот и Ника,
самый лучший товарищ на свете!
Вовка влез на лавку и закричал:
— Ура в честь Ники Петушкова! Троекратное гип-гип-ура!
Тут поднялся такой крик, что дедушка даже почесал в затылке.
А Наташа сказала:
— Ну вот, Ника и будет у нас председателем.
На крик появилась и мама.
— Добрый день, Мария Алексеевна! — поклонился Ника Петуш-
ков. — Наши все вам кланяются, а бабушка прислала вам некий
таинственный сверток, который мне не разрешено развертывать.
— Никита будет председателем! Мама, ты не понимаешь, мама, ты
не мешай! — закричал Вовка.
— Немножко придется помешать, — отвечала Мария Алексеев-
на.— Ну-ка, Никитушка, снимай свою поклажу, иди умойся, и я дам
тебе закусить.
— Умыться можно, — отвечал Никита, идя за ней. — Но мама
меня так накормила перед отъездом, что совершенно даже немысли-
мо.... Она, понимаете ли, купила ветчины двести граммов...
— К чему умываться? — философически пробормотал Лева. —
Все равно на речку пойдем... Впрочем, неважно... Дедушка, а что
именно будет обсуждать наша конференция? .. Никита — просто при-
рожденный председатель! Так ведет собрания — просто удивительно.
Кроме того, он и сам может выступать не хуже меня. Нисколько!
— Мы можем несколько расширить нашу программу, — отозвался
Тимофей Иринархович. — Отчего же и нет?
— Добавим фигурки единого росчерка, — предложила Наташа.
— Вполне уместно! — заметил дед. — Присоединяюсь к предыду,-
щему оратору. И даже приветствую. Это нам в самый раз по нашей
теме.
Появился Никита, обтирая ладонью мокрые волосы. Ему подроб-
но рассказали, по какому поводу собралась эта конференция и почему
именно он выдвигается на пост ее председателя. Никита не стал долго
церемониться, уселся на скамью и сказал:
— Тускарев Лева имеет слово.
— Прекрасно... — сказал Лева. — Мы решили обсудить вопрос о
3*
35
лабиринтах вообще, а кстати и о том, какое они
' /VI имеют отношение к геометрии. Я немножко читал о
\	лабиринтах, правда в позапрошлом году, но кое-
что помню. Пытался и решать их, то есть находить
X"' путь к центру, потому что задачей лабиринта яв-
ляется войти в него, дойти до его центра, а потом выйти обратно. Цент-
ром может быть, конечно, любая заранее назначенная точка в лаби-
ринте, но обычно выбирается такая, которую труднее других достиг-
нуть, а потом выбраться на волю. Правило правой руки, про которое
я говорил, заключается вот в чем. Если я, войдя в лабиринт, буду все
время держаться правой рукой за ту стену, которая у меня окажется
справа, то я, очевидно, никогда не потеряю связи со входом. А если
так, то я, значит, всегда смогу к нему вернуться. Следовательно, я не
заблужусь в лабиринте. Для того чтобы разобраться, представим
себе такой простой «лабиринт», в котором и запутаться-то нельзя:
обыкновенный коридор, только замкнутый с другого конца, или ту-
пик. По-моему, нет надобности доказывать, что я могу, касаясь пра-
вой рукой стены, обойти его весь, как бы он ни изгибался, и выйти
наружу. Если мой тупик имеет еще и ответвления, то есть от него
отходят добавочные тупики — но
_______	именно тупики, а не что-нибудь
g. _ —	другое! — то я их все обойду тем
*	•	же самым порядком, вернусь на-
|	|	конец в главный тупик и выйду
।	।	беспрепятственно на белый свет.
’	.	— Прекрасно! — одобрил
\	’	дед. — Ты сказал «именно тупи-
Ш	__ ки, а не что-нибудь другое». Зна-
<' **	* •	чит, «что-нибудь другое» может
тебе помешать? Ну-ка, расскажи,
что это такое?
— Дело вот в чем, — глубокомысленно продолжал Лева, сосредо-
точенно смотря вниз на песок, на котором он что-то чертил прути-
ком,—что в лабиринте может встретиться петля. Если я все время
держусь стены правой рукой, я обойду петлю и снова попаду в мой
тупик, который, как доказано, можно обойти без затруднений. Но если
я не буду следить за тем, чтобы не потерять моей стены справа, и по
ошибке переменю руку или повернусь тогда, когда мой коридор и
не думал поворачивать, то я могу попасть не к наружной стенке петли,
а ко внутренней, и уж тогда...
— Определи, что такое «наружная» стенка! — вмешался председа-
тель Ника. — Иначе запутаемся.
36
— Вот именно! — под-
держал оппонент, дедуш-
ка Тимофей Иринархович,
выпустив замечательной
красоты дымное колечко,
а вслед за ним еще и дру-
гое, поменьше.
— Наружная стен-
ка... — начал, немного
запинаясь, Лева, — это,
видишь ли, стенка, являю-
шаяся непосредственным продолжением стены основного тупика, а он
ведь сам представляет одно целое со своим входом. Теперь представь
себе, что я иду и все время провожу мелом по стене непрерывную
линию правой рукой. Попавши из тупика в петлю,
меловую линию и на всей ее наружной стенке.
А внутренняя стенка петли не имеет непрерыв-
ного соприкосновения со стенами исходного ту-
пика. На ней меловую линию начертить этим
способом нельзя. Ясно?
— Да, ясно, — отвечала Наташа.
— Так вот, если я переменю руку в петле,
то оторвусь от той стенки, которая имеет непре-
рывное соприкосновение со входом, попаду к
внутренней стенке и так и буду вокруг нее
ходить. Вот это и значит — я заблудился. Конеч-
но, на самом деле лабиринт устроен много
хитрее, чем я тут нарисовал, и нарочно так при-
думано, чтобы была не одна петля, а целая система
ты на каждом шагу мог оторваться от той стенки, которая связана
со входом, и попасть на внутреннюю стенку — вернее, на систему вну-
тренних стенок, — и тогда ты попался! Вот в чем основная трудность
лабиринта. Я все сказал.
я вычерчу мою
петель и чтобы
2.
— Так, — промолвил Ника, председатель конференции. — Кто же-
лает высказаться?
— У меня вопрос, — сказала Наташа. — При чем же тут центр
лабиринта? Ты, Лева, о нем еле упомянул, а говорил ведь только
о том, как войти и выйти.
37
— Ну да, — вмешался ученый секретарь, — войти да выйти — это
не штука. А ты дойди-ка до самого центра, вот тогда посмотрим!
— Правильно! — заметил дедушка.
— Мне кажется, — отвечал Лева,—
что центр должен быть расположен в
оконечности тупика.
— Вот тут-то тебя ничего и не стоит
обмануть, — возразил, улыбаясь, дед,—
а мы возьмем да и устроим центр как
раз в самой глубине системы петель, ко-
торой ты так боишься. Ну-ка, отвечай, что ты тогда будешь делать?
— Я принес, — отвечал Лева, который не считал еще себя побеж-
денным,— чертеж одного старинного лабиринта. Смотрите... Он без
труда обходится по правилу правой руки. И, пользуясь этим прави-
лом, ты легко и, даже можно сказать, автоматически, попадешь в
центр там, в самой середине.
— Стоит только, — сказал дедушка, — обнести твой лабиринт еше
одним круговым забором, и твое правило окажется непригодным. Ты
войдешь за этот забор, потом обойдешь его весь. И что же дальше?
Ты придешь к выходу, вот и все. А в самый лабиринт ты даже и не
попадешь. Что ты на это скажешь? А ведь этот забор нам ничего не
стоит снабдить еще целой системой самых запутанных петель, не так
ли? Ну-с?
— Хм... — протянул Лева, несколько озадаченный. — Да, пожа-
луй, будет затруднительно. Выходит, что это правило правой руки
применимо только в некоторых случаях...
— В частных случаях... — подсказал дедушка.
— А кроме того, как с этим правилом дойдешь до центра, когда
понятия не имеешь, в какой части лабиринта он расположен? — доба-
вила Наташа.
— Значит, вопрос, по-видимому, так не решается, — заключил
Никита. — В силу этого я как председатель прошу высказаться тех,
у кого есть соображения более полезные, чем только что изложенное
и обсужденное правило правой руки.
— Позволь, — сказал Лева, — я все-таки не убежден. Быть может,
я не привел каких-нибудь веских аргументов в пользу этого правила!
Я должен подумать.
— Кто ж тебе мешает? — ответил Никита. — Думай, сделай ми-
лость! Когда придумаешь, мы тебе дадим слово. Но сейчас ты ничего
нового не можешь сказать?
— Н-нет... сейчас, пожалуй, не могу.
— Тогда повторяю свое предложение. Я считаю, что доводы, при-
38
веденные Тимофеем Иринархычем, справедливы. Конечно, голосовать
такие предложения было бы смешно, но все-таки интересно: кто про-
тив моего заключения?
Никто не сказал: «Я против», только Лева, подумав, заявил:
— Воздерживаюсь!
— Так и запишу!—закричал Вовка. — Дай мне, я тебя умоляю,
дедушка, карандаш. Я запишу: он воздержался!
— Тогда у меня вот какое предложение есть, — вымолвил Тимо-
фей Иринархович. — По-моему, нам сейчас будет всего удобнее рас-
смотреть то, что нам предлагала Наташа о фигурах, которые чер-
тятся непрерывной линией. Это у нас будет нечто вроде разведки
в странах этой своеобразной геометрии. Попробуем! Как, Наташа, ты
думаешь?
— Очень хорошо! — ответила девочка.
— Тогда, — объявил Ника, — ты, Наташа, и докладывай.
Наташа пожала плечами:
— Да ведь я не готовилась!
— А я... — вскричал в негодовании Лева, вскочив с места, — я
разве готовился?
— Это конференция летучая, — пояснил дедушка, — каждый гово-
рит что знает. Готовиться необязательно.
— Ну хорошо, — согласилась Наташа.— А вы, дедушка Тимофей
Иринархович, конечно, будете помогать?
— По мере сил! — ответил дед. И огромнейшее кольцо табачного
дымка, расплываясь и покачиваясь, поплыло вверх к цветам сирени,
а усы деда шевельнулись в хитренькой усмешке.
Все засмеялись, потому что всем показалось, что дед ответил
Наташе очень удачно.
— Я начну с самого, на мой взгляд, простого, — сказала Ната-
ша.— С квадрата. Если его рассмотреть в качестве такой фигуры,
которая рисуется одним росчерком, то с какой бы вершины я ни
начала обходить его, я нарисую весь квадрат и обойду каждую
его сторону один раз. В этом ведь весь и секрет, чтобы по каж-
дому пути от точки до точки, от вершины до вершины пройти только
один раз.
— Это узлы, а не точки! — важно сказал Вовка. — Я знаю!
— Хорошо, — ответила она, — пусть узлы.
— А дорожки — пути! — еще более важно заметил Вовка. — Как
это ты не знаешь?
— Вот и молодец, что знаешь! — отвечала Наташа. — А теперь,
когда ты сказал, и я буду знать... Вот в этих-то точках, то есть узлах,
по-моему, и есть вся хитрость. Если узел можно пройти насквозь
39
и попасть на новый путь или; пройдя узел, к нему можно вернуться, —
это один случай; а если это узел такой, что в нем в конце концов надо
обязательно совсем остановиться или уйти так, что уж назад нельзя
вернуться, — это совсем другой случай. И благодаря тому, что суще-
ствуют два разных рода узлов, и сами фигурки эти бывают разные.
Первый род узлов отличается тем, что к ним всегда подходит чет-
ное число путей. А другой род узлов — тем, что к ним, наоборот, ве-
дет нечетное число путей.
— Короче говоря, — заключил дедушка, — есть четные узлы и не-
четные. Но скажи, пожалуйста, Наташа, тебе не приходило в голову,
что ведь и улицы в городе тоже можно рассматривать как пути, а
перекрестки — как узлы. Если ты с этим согласишься, то я бы пред-
ложил тебе на рассмотрение такую задачу. Представь себе, на ново-
стройке где-нибудь вырос довольно большой рабочий поселок.
Решили завести в нем автобусное сообщение. И надо сделать так,
чтобы по каждой улице, где автобус может проехать, шел бы только
один маршрут. Теперь спрашивается: нельзя ли все это нам так
устроить, чтобы число таких маршрутов было наименьшим? Я пред-
лагаю рассмотреть эту задачу и могу заверить почтенную конферен-
цию, что это будет полезно для рассмотрения поставленных перед
нами двух задач, то есть задачи о фигурках одного росчерка и о ла-
биринтах.
— Постой, диду! — заявил Вовка. — Как это так — наименьшим?
Я не понимаю.
— Это очень просто, — ответила за дедушку Наташа. — Вспомни:
ведь ты свой конвертик хочешь обойти за один раз, а не за два, не за
три раза, правда? Значит, нужно сделать прогулок по конвертику
поменьше, верно? И самое лучшее — одну. Вот и выходит — наимень-
шее число прогулок. Ну, а тут маршруты...
— Чтобы за один раз, а не за десять! — ответил Вовка, мотнув
головой в знак того, что сообразил, в чем дело.
— Могу рассказать еще про Тезея и Ариадну, — заявил Лева.
— Я запишу, что он может, — заявил Вовка. — Я и сам отлично
могу, ну уж пусть он!
— Запиши, — разрешил Никита,— это будет дополнительный
доклад.
— Так вот, ты, Наташа,— продолжал Тимофей Иринархович, — и
рассуди, как можно было бы приступить к этой задаче?
— Тут пример с квадратиком тебе не поможет! — буркнул Лева.
— Почему? — отвечала девочка. — Нет, немножко может и здесь
помочь. Но если речь идет о маршрутах автобусов, то надо начать
с одного особого случая, — он, кстати, и самый легкий: просто прямой,
40
то есть незамкнутый путь. Ну, дорога железная из Ленинграда в
Москву. Один, так сказать, узел —это Москва, а другой — Ленинград.
Поезд и ходит «челноком» — туда и сюда. А совсем другой по виду
путь—это кольцевой, или круговой. Например, Окружная железная
дорога вокруг города Москвы. Она охватывает кольцом весь город.
По правде сказать, это было давным-давно. Теперь город из нее вы-
рос, но это в данном случае неважно. Важно то, что она круговая.
Мне кажется, что эти два маршрута и есть самые главные, основные.
Из них можно составить все остальные.
— Так и есть, — вставил дедушка благодушно.
— Какая между ними разница? — продолжала Наташа. — У пря-
мого, или разомкнутого, пути есть два конечных пункта, скажем на-
чало и конец. А у кольцевого совсем нет конечных пунктов. Любой
пункт на нем можно выбрать за начальный. Он же в таком слу-
чае будет и конечным. Вот и все, что я могу сказать про самые
маршруты. А теперь надо разобрать подробно вопрос о перекре-
стках. ..
— A-а, значит, — перебил Вовка, высоко поднимая выпрошенный
у деда карандаш, — об у-з-л-а-х! Вот о чем!
— ... по которым будут проходить наши автобусы. Я могу сейчас
привести три примера перекрестков, или, как говорит Вова, узлов.
И мне кажется, что после этого многое выяснится. По-моему, я не
ошибаюсь. .. их именно три.
Наташа немного задумалась, посмотрела на деда. Но тот стара-
тельно выколачивал свою трубку, не обращая на нее никакого вни-
мания.
— Да, как будто три. Во-первых, на концах нашей автобусной
сети — на окраине поселка — найдутся те самые тупики, о которых
говорил Лева в своем докладе о правой руке. Впрочем, тупик может
оказаться даже и в центре города — это конечные точки некоторых
маршрутов, и от каждой такой точки выходит один путь. Пусть те-
перь из какого-нибудь узла выходят	9
два пути. Что это обозначает? А вот	4
что: или он лежит на кольцевом	*4,	|	.
маршруте, или где-то на середине .	г../
прямого маршрута. Наконец — и это л*** Чгх \
последний из моих примеров—когда
из данного узла выходят целых три
пути. Тут нужно припомнить оба
первых случая. Такой тройной узел,
очевидно, лежит либо на кольцевом	j
маршруте, либо где-то в середине	f	*
41
прямого — это раз. И из него обязательно выходит еще один прямой
путь — это два...
— Получается так, — заметил Лева, — что третий твой пример
соединяет в себе свойства первого и второго.
— Конечно! И я очень рада, что это понятно. Теперь мы опреде-
лили главные свойства всех наших узлов, и нам легко вывести,
сколько потребуется маршрутов. Правило очень простое: все двойные
узлы можно обойти одним маршрутом. Каждую точку на кру-
говом маршруте можно рассматривать как двойной узел:
остановился, а потом пошел дальше — точка и стала двойным
* узлом. По одному пути пришел, по другому ушел. Кроме того,
/**\ к каждой такой точке можно присоединить круговую петлю —
Lsjibi от этой точки отошел, сделал петлю, потом вернулся и
\ J опять пошел по первому круговому маршруту, значит, теперь
к этой точке подходят не два пути, а четыре.
— Петли? .. — задумчиво проговорил Ника. — А нельзя ли
(	\ узнать, какое отношение эти твои, Наташа, петли имеют к тем
1 петлям, о которых говорил Лева, то есть к петлям в лаби-
i J ринте?
К У — Петли и в том и в другом случае, — отвечала ему де-
е вочка, — конечно, одни и те же. Разница только в том, что
Левушка рассматривает у них стены, наружную систему стен
и другие, а мне этого делать не приходится, так как стены
меня не интересуют... Ну, так я продолжаю. Ясно, что к лю-
бой точке всегда можно добавить сколько угодно петель, то есть уве-
личивать и увеличивать число путей от данного узла и каждый раз
прибавлять еще два пути. А следовательно, все, что говорится о двой-
ных путях, можно сказать и вообще о всех четных узлах. Это будет
у нас пункт первый. А второй наш пункт таков: для каждой пары
нечетных узлов необходим один прямой, или «челночный», маршрут.
потому что...
— .. .в одном начинается, в другом кончается! Мы с мамой так на
пароходе ездили. Известно! — подтвердил Вовка.
— А если это так, то и получается, что нечетные узлы всегда попа-
даются парами, и у каждой такой пары есть свой прямой маршрут.
И, значит, в любой сети путей, где только есть нечетные узлы, их
должно быть обязательно четное число: два, четыре, шесть и так да-
лее. И если на нашем кольцевом маршруте есть хотя бы два нечетных
узла, то, значит, к нашему кольцевому маршруту присоединен еще
один прямой маршрут. Раз это так, мы можем рассматривать весь
наш кольцевой маршрут как часть прямого. Почему же? А потому,
что теперь придется начинать и кончать наш путь именно в нечетных
42
узлах. Вот я рисую схему (стр. 42). Один узел четный четверной,
а два нечетных тройных. Очень легко убедиться, что эту фигуру можно
обойти всю, если обход начать с любого нечетного узла. А если мы
начнем с четного, то часть фигурки останется необойденной.
— Присоединяя к кольцевому маршруту прямой, — заметил
Лева, — мы, так сказать, в итоге такого присоединения получаем
маршрут не кольцевой, а прямой.
— Конечно! — отвечала докладчица. — Если у нас есть кольце-
вой маршрут и мы к нему добавляем еще и прямой, который идет как
раз поперек кольцевого, то его можно присоединить к кольцевому
тремя различными способами, как вот у меня на чертеже. Итак, чет-
ные узлы ничего особого не требуют, а каждая пара нечетных требует
отдельного маршрута. Вот теперь у меня как будто и получается
решение дедушкиной задачи. Первое: если все узлы четные, хватит
одного маршрута; второе: если есть нечетные узлы, то число маршру-
тов равняется половине числа нечетных узлов.
— А разделится? — спросил Вовка. — То есть без остатка?
— Конечно, у каждого прямого маршрута ведь обязательно есть
начало и конец.
— Задача, — сказал дедушка, — решена хорошо и правильно.
А теперь я попрошу нашего уважаемого председателя, который очень
снимательно слушал Наташин доклад, объяснить нам, коли он не
возражает...
— Не возражает! — сказал Лева за председателя.
Тот кивнул утвердительно, а секретарь Вовка нахмурил брови и
погрозил Леве своим карандашом за то, что он осмеливается гово-
рить без разрешения.
— ... коли он не возражает, какое же значение имеет все сказан-
ное для того, чтобы придумать и нарисовать или построить одно-
маршрутную сеть, которая обходится одним росчерком, или — а это
в сущности то же самое — как обойти уже	„
построенную сеть. Это и есть задача школь-	Г\
ного конвертика.	__ ill
— Вот какой наш конвертик знамени-	\	I I
тый! — заметил с большим удовольствием / \	\ V	/	/
Вовка. — Сколько автобусов надо, чтобы I	\	| ^4
его распечатать!	\	\ J д.
— Полагаю, — начал Ника, — что, как	/’'"’/Х
было выяснено из доклада Наташи, одно-	(	! \
маршрутная сеть, или «одночеркальная» фи-	I / j
гурка, есть не что иное, как кольцевой	\ / у
маршрут, к которому всегда можно при-
43
соединить один прямой маршрут. Выходит, что в такой фигурке не
может быть больше двух нечетных узлов. Если больше двух нечетных
узлов, одним росчерком фигуру не нарисуешь. Короче: число отдель-
ных росчерков, как и число отдельных маршрутов, равняется поло-
вине числа нечетных узлов в фигурке. Пересчитай, сколько нечетных
узлов, раздели пополам — вот тебе и число росчерков.
3.
— А вот еще задачка, — вдруг взволновался Вовка, — я и забыл
совсем! Обойти шахматную доску, то есть начертить ее как решетку,
а указывать, которые черные поля, которые белые, не надо; ходить не
по полям, а по решетке. Сколько же надо на это
,--------------отдельных росчерков? Четырнадцать. А почему?
_	4j|	j. Да потому, что на всех скрещиваниях путей
...Т....--------। решетки внутри доски находятся только одни
—JL— .......четные узлы и только по краям доски имеются
нечетные узлы (тройные); их с каждой стороны
по семи штук, а всего, значит, двадцать восемь. На каждую пару
нечетных узлов, как сказал Ника, полагается один маршрут, следова-
тельно, всех их будет четырнадцать. Вот вам объяснение. А если через
все черные поля провести диагонали, то нечетных узлов останется
меньше: их будет только шестнадцать, а росчерков — восемь. Можете
проверить! А если еще и этот последний чертеж немножко пере-
делать, то есть в двух крайних клетках на концах «большой дороги»,
которая идет из левого нижнего угла доски через всю доску в верхний
правый угол... (Чертеж на стр. 45).
— От поля al до поля Ь8, — вставил дед.
— Конечно! — кивнул деду Вовка. — Так вот, если провести диа-
гонали перпендикулярно к другим диагоналям, причем самой-то
большой диагонали мы не будем проводить, так тогда надо только
шесть росчерков. Мы с дедушкой делали. А если взять на чертеже
кусок кирпичной стены с тремя стыками кирпичей... вот такой! Так
надо четыре росчерка!
— Так и есть, — сказал Лева, успевший начертить и проверить.
— Есть еще «подпись Синдбада-морехода»! Он ее чертил на песке.
— Так! — заключил дед. — Теперь разреши мне, председатель,
сделать маленькое добавление.
— Просим! — сказал председатель.
— Тереха, — крикнул Вовка коту, который вспрыгнул к нему на
колени, — проваливай немедля! У нас конференция!
44
Кот не торопясь осмотрел всю конференцию довольно презри-
тельно, спрыгнул и величественно удалился.
— Уходит по прямому маршруту! — заметил Вовка.
И все засмеялись.
— Так вот, — продолжал Тимофей Иринархович, — под названием
путь мы с вами будем понимать линию, соединяющую два узла, из
которых один является началом дан-
ного пути, а другой — его концом.
От каждого узла нашей маршрутной
сети можно по путям, которые и со-
ставляют эту сеть, перейти к любому
иному узлу этой сети. Это свойство
называется связностью. Если
внутри нашей системы имеется та-
кой путь, удаление которого ведет
к уничтожению связности, после чего
наша система распадается на две
отдельные системы, то такой путь
мы называем мостом. Вот перед
вами чертеж, на котором мы видим
мост ab, тогда как на другом чер-
теже Ьс не является мостом; если
его удалить, связность системы не
будет нарушена. Одиночный путь, которым кончается прямой путь,
будем называть тупиком, а конечный узел его — свободным
концом. Если все это ясно, то теперь я укажу, что существуют
особые сети, где совсем нет кольцевых марш-
рутов, а есть только одни мосты и тупики. Та-
кую систему путей называют деревом. Ясно,
что дерево одним маршрутом обойти нельзя:
зашел в первый попавшийся тупик, и гото-
во — застрял!
— А если оно состоит из одного пути? —
спросил Лева.
45
— А стоит ли отдельный путь деревом называть? — спросил дед. —
Это только основа для дерева...
Лева молча пожал плечами: он, по-видимому, все-таки остался при
своем мнении.
— Характерной особенностью дерева, — продолжал дедушка.—
является то, что оно теряет связность, если из него изъять любой путь,
потому что каждый из них либо мост, либо тупик. А ведь тупик это
тоже в некотором смысле мост — он связывает нашу систему со сво-
бодным концом: если тупик удалить, то этот конец останется в виде
ни с чем не связанной точки. Из этого необходимо заключить, что
у дерева число путей меньше... чем что? Кто скажет?
— Меньше числа узлов. И меньше как раз на единицу! — ответил
Лева почти без запинки.
— Докажи сейчас же! — потребовал Вовка.
— Это нетрудно, — отвечал ему брат. — Возьми самое простое
дерево, отрезок — вот как я сейчас дедушке говорил, — то есть от-
дельный путь, который представляет собой один мост, соединяющий
две точки. А из него, как из основы, можно сделать какое хочешь
дерево, прибавляя к нему постепенно тупик за тупиком, превращая
тем самым один из предыдущих тупиков или часть такого тупика
в мост и так далее. Сколько бы, однако, ты ни прибавлял, все равно —
одна лишняя точка, которая была вначале, так и останется. Значит,
в дереве путей на единицу меньше, чем узлов.
— Дедушка, — спросил Вовка, который, видимо, не сразу разо-
брался, — это он верно говорит?
— А ты как думаешь? — спросил, в свою очередь, Тимофей Ири-
нархович.
— Верно, верно! — сказала Наташа.
— Тогда, — нерешительно выговорил Вовка, — ничего не подела-
ешь. .. придется записать... ну, что он верно сказал.
— Рассмотрим еще, — продолжал оппонент Тимофей Иринархо-
вич, — что у нас получится, если из связной системы путей постепенно
изымать один за другим некоторые пути, но только не такие, изъятие
которых нарушает связность. То есть будем изымать пути так, чтобы
наша система не распадалась...
— Значит, — подсказал Лева, — мосты мы изымать не будем.
— Именно. И вот тогда из любой данной системы путей в конце
концов мы получим дерево. Можно это сделать самыми различными
способами. Но самое интересное заключается в том, что, как бы мы
ни изымали эти пути, число изъятых путей для данной си-
стемы всегда останется о д н и м и тем же!
— Что же это будет за число? — спросила Наташа.
46
— А вот мы попробуем его определить! — наставительно сказал
дедушка. — Это будет довольно интересная задача.
В это время на площадке перед скамеечкой снова появился кот
Теренций и, оглядев всех самым надменным взглядом, уселся прямо
перед Вовкой, однако спиной к нему. А за ним пришла Мария Алек-
сеевна и заявила:
— Товарищи делегаты, устроим перерыв. Все равно Вовка у вас
b jt-bot заснет. Вы его заучили.
— Ты, мама, это совершенно напрасно! — взмолился Вовка. —
Я здесь секретарь, а ты...
— ... а я министр снабжения. И поэтому приглашаю вас всех
обедать. Пожалуйте-ка, руки мыть и садиться за стол. Да и дедушке
надо отдохнуть.
Лева быстро подошел к Никите и сказал ему вполголоса:
— Перерыв так перерыв. Мы с тобой им таких лабиринтов за это
время придумаем, что останутся довольны!
— Очень хорошо! — ответил ему в тон Никита. — У меня тоже
есть кое-какие соображения. А кстати, и насчет одномаршрутных
путешествий. Нажмем!
Глава пятая
Наташина подруга. — Важный вопрос о числе изъятых путей. —
Сколько путей может быть на дереве? — Куб — правильное выпуклое
тело. — Как из шести спичек сделать четыре треугольника? —
Тетраэдр.—Замечательная теорема Леонарда Эйлера о многогран-
никах. — Решение вопроса о фигурах одного росчерка. — Калинин-
градские мосты. — Геометрия путей и узлов. — Что такое отвлечение?
1.
Маршрутную конференцию собирались было продолжать после
обеда, но это, конечно, не вышло. Пошли гулять. Выяснилось, что,
может быть, удастся найти лодку на речке. Потом оказалось, что хоть
лодка и есть, но нет весел — за ними надо идти. И вот решили, что уж
лучше сегодня пойти в лес. Там, кто-то рассказывал, есть очень инте-
ресное лесное озеро, совсем черное, и будто бы на нем живет новый
заморский зверек — ондатра. А еще кто-то сказал, что за речкой есть
48
курганы, а еще дальше, километров за семь, — самая настоящая
пещера!
В силу всех этих важных обстоятельств конференция была отло-
жена, и собрались ребята чуть ли не через целую неделю, потому что
зарядил обложной дождик и пришлось сидеть дома.
Вовка пришел к деду и сказал:
— Дедушка! Вот мы с ребятишками... Это соседи наши: вот
Катя, ты ее видел, и потом с другого еще двора — не те, которые на-
против, а вон оттуда... Это еще Ванька. И мы хотим играть в лаби-
ринты. Мне, понимаешь, мама дала моток штопки, но она сказала,
чтобы потом назад принести, вот в чем дело!
— Так, — сказал Тимофей Иринархович. — Что же из этого всего
получается? И чем я могу тебе помочь?
— А получается вот что. Мы так решили, что Катя будет Тезеем.
Ты мне дашь для нее свою палку — это будет палица суковатая.
Ванька будет Минотавр. У него есть маска — заяц с длинными уша-
ми. Это у него будут рога, как у Минотавра. Катя будет с ним сра-
жаться. А я буду Ариадна, потому что у меня есть мамин моток
штопки — только ведь мама велела назад принести! — и я буду ее
спасать от Минотавра.
— Пре-крас-но! — протянул дед. — Правда, Ариадна была царев-
ной и на мальчика мало была похожа...
— Вот в том-то и дело! — вздохнув, продолжал Вовка. — Но ведь
мотка-то у Кати нет... моток-то ведь у меня! А мама велела принести
обязательно назад. И чтоб цело было!
— Да! — посочувствовал дедушка. —Действительно, затрудне-
ние. .. А где же будет лабиринт?
— Лабиринт у нас в бузине. Лабиринт хороший — не проде-
решься!
— А дождик как же?
— Вот и не знаю. Дедушка, а может быть, нам сегодня опять
устроить конференцию?
— Да я не прочь. А ребята как? Лева с Никой?
— Сейчас узнаю! — решил Вовка, с чем и исчез.
Ника и Лева пришли довольно скоро. Вид у них был какой-то
странный, замысловатый и даже заговорщический. Они важно пере-
глядывались друг с другом, делая какие-то таинственные знаки.
Вовка принялся искать свой зелененький карандашик, который он
за эту неделю терял уже два раза.
— Ведь вот здесь был! — сказал Вовка с огорчением. — Только
что был!..
Тут Вовка, став на четвереньки, открыл дверь на террасу, чтобы
4 Архимедово лето	ДО
было на полу посветлее, но остановился, поднял голову и, не вставая,
сказал не очень громко:
— Ползет чудо.. .
— Что за чудо? — спросил дед.
— Босое, четвероногое, и с него льется вода.
Мальчики бросились к двери смотреть на чудо, но из садика разда-
лось фырканье, сдержанный хохот, шлепанье босыми ногами по лу-
жам, а затем появилось и само «чудо». Это был широкий синий
дождевой плащ, а из-под него были видны босые ноги, целых четыре,
и загорелая ручонка, которая держала тапочки.
— Эге! — сказал дед. — А как сие надлежит разуметь?
Но «чудо» уже вскочило на ступеньки террасы. Огромный плащ
свалился, и показались раскрасневшаяся Наташа и незнакомая де-
вочка, небольшого роста, курносенькая, немножко бледненькая, но
с очень веселыми серенькими глазками.
— Привет всей честной компании! — сказала Наташа, кланяясь
дедушке и надевая тапочки. — А я привела мою подругу. Ее зовут
Веточка Богданова.
— Веточка? — повторил с удивлением Вовка.
— Виктория, — объяснила Наташина подруга, приглаживая сбив-
шиеся под тяжелым плащом волосы. — Мама меня звала Веточкой,
так оно и осталось.
— «Звала»?—переспросил дед.
— У нее нет мамы, — сказала Наташа. — Фашисты ее угнали, и
так она там где-то и погибла.
— Да, — подтвердила Веточка, — даже и не узнали где...
— А ты с кем же? — спросил Тимофей Иринархович.
— У меня только бабушка. Ну, потом... вот еще есть подруга
Наташа... Мы решили, что вы все сидите дома, ну и пришли к вам
в гости.
— Превосходно! — сказал Лева. — Правильно придумали. А мы
собираемся как раз продолжать нашу одночеркальную конферен-
цию. .. про мосты, про деревья...
— Это то, что ты рассказывала? — обратилась Веточка к На-
таше.
— А Веточке будет интересно? — спросил Ника.
— Ну да! .. — ответила Наташа, кивнув подруге, а потом сказала
Нике: — Отчего же нет? Мы в одном классе... И вместе даже читали
про Софу Ковалевскую. А ты знаешь, как Софа стихи любила? У нее
даже отняли хрестоматию, потому что она — ну, когда маленькая
конечно! — только и делала, что ходила по залу и читала лермонтов-
ского «Мцыри» вслух! Она и сама стихи писала.
50
— Как же можно Лермонтова не любить? — сказала Веточка. —
Помнишь, Наташа, как это у него сказано про одинокую гробницу?
— Это из Байрона, — заметил Ника.
— Мы про Байрона с Наташей тоже недавно вспоминали, — за-
явил Лева, — то есть про дочку его. Аду... Дедушка, ты не знаешь,
что это была за счетная машина, о которой она писала?
— Нет,—отвечал дед, подумав, — что-то не слыхал. Вот дядя
Ваня приедет, ты попробуй потолковать с ним насчет этого дела. Он
это все знает.
— А счетная линейка — это машина или нет?
— Конечно, — отвечал дед. — Математический инструмент. А надо
вам все-таки об этом с дядей Ваней поговорить. Он в этих делах
как рыба в воде.
— А еще, знаешь, — добавила Наташа,— Ковалевская дружила с
английской писательницей Джордж Эллиот. Ты, Ника, ничего не чи-
тал из ее сочинений? .. У нее есть очень хорошая книга — «Мельница
во Флоссе». Есть и русский перевод. Это повесть о ее детстве. Так
хорошо написана, просто читаешь — и сердце радуется! И, пони-
маешь, Ковалевская, такая горячая и сердечная, должна была
любить писателя, который написал такую хорошую книгу о детстве,
Вот как...
— Да. Повесть хорошая.. . — ответил дедушка. — Ну, а я от себя
лично предлагаю — продолжать нашу одночеркальную... как выра-
жается Никита, или это ты, Лева, придумал? .. конференцию.
— Принято! — ответила Веточка.
— Убери ты свою коричневую ногу!.. — неожиданно раздалось
из-под стола. — Вот он, оказывается, где мой карандашик!
И Вовка радостно вылез из-под стола с зелененьким карандаши-
ком в руках.
— Теперь можно начинать! — торжественно заявил он. — Все
готово!
— Да уж действительно больше нечего дожидаться... —согла-
сился дед. — Ну, Никита, вступай в свои обязанности.
— Открываю заседание конференции! — заявил Никита, постучав
косточками пальцев по столу. — Прошу товарищей занять места. Мы
остановились прошлый раз на рассмотрении вопроса об изъятии путей
из данной системы с целью превращения ее в дерево. Докладчиком
по данному вопросу конференция выдвинула доктора Одночеркаль-
ных Наук и заслуженного почетного культурника всей Тускарии, де-
душку Тимофея Иринарховича! Его слово.
Взрыв дружных рукоплесканий покрыл это витиеватое начало вто-
рого заседания Тускарийской конференции.
4*
51
2.
— Благодарю за оказанное доверие, — отвечал дед в тон Нике. —
Приступаю к докладу. А все ли знают, о чем идет речь?
— Мне Наташа все рассказала! — заявила Веточка.
— Начертим для начала какую-нибудь систему путей. Вот тут
у нас семнадцать путей и одиннадцать узлов. Если я начну превра-
щать эту систему в дерево, изымая пути, то узлов у меня останется
столько же — я ведь их
нс трогаю! — а путей, как
® jo ,--.® |,«® мы Уже заметили раньше,
............------------------'----------------'*	'» будет на единицу меньше,
\ чем узлов, то есть не один-
I ; надцать, а только десять.
/ ; Сколько же я всего изъял
X 4® путей? У меня их бы-
III । ло семнадцать, а теперь
			-——осталось десять. Слсдова-
©_______________________________ф_®	тельно, я изъял семь. Ясно,
I	чт0( дЛЯ того чтобы полу-
чить число изъятых путей,
надо из общего числа пу-
тей вычесть число узлов без единицы... Ну, Вовка, ты уж не оби-
жайся, а мы запишем это алгебраически...
Вовка вздохнул, почесал в затылке и сказал:
— Я уж у Левки брал алгебру... да там что-то одни буквы —
ничего не поймешь!
— Ничего, Вовочка! — сказала Веточка. — Годика через три все
разберешь.
— И не через три вовсе, — возразил в негодовании Вовка, —
а раньше! Потому что я опять в алгебру полезу. Очень
мне интересно три года дожидаться!
— Ишь, какой прыткий,— ответил дед.— Поспешишь,
говорят, людей насмешишь. Куда спешить? Кто не торо-
пится— тот счастливый... Так вот, назовем число
узлов буквой п, число путей — буквой т, тогда путей
после изъятия у нас останется (п—1); ясно,
что это будут именно те пути, которые уже А*
нельзя изъять без того, чтобы наша система ш
не распалась ..
— Значит, дерево имеет наименьшее воз-
можное число путей? — спросила Веточка.	'
52
б
5
— Конечно, так, — продолжал дед.— Теперь число изъятых путей,
очевидно, будет равно [т—(п—1)], или (т — «4-1). Затем обра-
щаю ваше внимание еще на один любопытный факт. Посмотрите, на
сколько отдельных участков делят пути ту часть плоскости, которая
ограничена нашей системой линий. У нас на чертеже таких участков,
обозначенных римскими цифрами...
— Семь! — поспешил заявить Вовка.
— То есть, — продолжал Тимофей Иринархович, — столько же,
сколько...
— ... сколько вы изъяли путей, — докончила Наташа.
— Объясни почему!— немедленно придрался Вовка.
— Потому, — отвечала ему девочка, — что, как только мы уда-
ляем из системы один путь, тотчас же и число участков у нас умень-
шается на единицу, а когда мы удалим все пути, которые возможно...
— А их будет по указанной формуле (/я — л 4- 1), —подсказал
Ника-председатель.
— Ну конечно! — продолжала Наташа. — И тогда у нас уже не
останется ни одного ограниченного участка, как оно для дерева и по-
лагается. Ясно, что число изъятых путей системы для превращения
ее в дерево и равно числу участков.
— Точно! — ответил дед. — А вот теперь, когда мы нашли это важ-
ное соотношение, я позволю себе предложить нашей нескучной кон-
ференции еще одну прогулку в неизвестные страны, где имеется для
любознательных ребят немало превосходных подарков. Всем нам
хорошо известно, что такое куб...
— Да просто кубик! — вмешался Вовка. — Вот он!
И Вовка торжественно вытащил из кармана самый обыкновен-
ный детский кубик с буквами из раздвижной азбуки.
— Вот и хорошо, что куб сам к нам явился! — заявил дед, взяв
Вовкин кубик в руки. — Куб есть выпуклое тело. Его можно положить
на плоскость, то есть на стол — на одну из его граней или сторон, — и
весь он при этом, целиком, лежит над этой своей гранью, которая
вплотную прилегает к столу. Если бы он не был выпуклым, то легко
сообразить, что этого не случилось бы: невыпуклое тело, кроме отдель-
ных случаев, так лечь на плоскость не может. Кроме того, это пра-
вильное тело в том смысле, что каждая его сторона — правильный
многоугольник, то есть равносторонний четырехугольник, или квадрат.
Значит, квадраты — стороны куба, или его грани; скрещиваются грани
на ребрах куба, а ребра, в свою очередь, пересекаются в его верши-
нах. Пересчитаем, сколько у куба их всего... Ну-ка, Вовка!
— Сейчас, — торопливо отвечал Вовка, — сию минуту! Сейчас
скажу... А ты не смей меня, Левка, перебивать! .. Диду, подожди, я
53
сейчас скажу. Значит, так: вершин у куба восемь! Теперь... ребер
у него двенадцать, а граней. .. ну, это известно! .. граней шесть. Все!
Дедушка, видишь, я все сказал!
— Все верно! Молодчина!.. — ответил дед. — А теперь еще во-
прос. Все ли знают, как решается одна очень славная старинная за-
дачка? Вот какая: из шести спичек сделать четыре треугольника. Ра-
зумеется, треугольники равносторонние, сторона равняется спичке.
— Кажется, я припоминаю, — сказал Лева.
— А я не знаю! — жалобно пропищал Вовка.
— Сейчас узнаешь.— И дед осторожно вытащил из кармана
блузы склеенную из спичек фигурку.
— Ах, — сказала Наташа, — так это пирамида! Да, правда, спи-
чек шесть, а треугольников... четыре. Хорошо!
— Это, — объяснил дед, — тоже правильный выпуклый много-
гранник. Он называется тетраэдр, от греческого слова tetra, что
в переводе означает «четыре», ибо у него, как вы уже заметили,
четыре грани. Ребер столько...
— .. .сколько спичек! — обрадовался Вовка. — Шесть!
— Так. А вершин сколько?
— Вершин? — переспросил Вовка. —Три внизу, одна наверху,
всего четыре.
— Теперь возьмем третье правильное тело. Их всего только пять,
и все они были известны еще древнегреческим геометрам. Это третье
правильное тело тоже составлено из треугольников. Только на этот
раз их не три, а больше. Здесь из двенадцати спичек можно сделать
восемь треугольников. Зовут его октаэдр, от греческого слова
okto, которое значит «восемь»... А вот и он!
И столь же осторожно дедушка извлек из другого кармана блузы
склеенный из спичек октаэдр.
— У нас, — продолжал он, — теперь есть три правильных много-
гранника. Имеется еще два. Те похитрее, и о них мы поговорим по-
позже. Рассмотрим октаэдр... Сколько у него вершин, ребер и граней,
Вовушка?
54
— Вершин, диду, шесть; ребер, значит, — сколько спичек, то есть
двенадцать, а граней — восемь.
— Запишу, — сказал дед. — Вот здесь, на этом листе бумаги,
большими буквами красным карандашом, чтобы все видели эти циф-
ры. Смотрите внимательно: буквы «В», «Р» и «Г» обозначают «вер-
шины, ребра, грани». Вот что получается:
	В	Р	f'
Тетраэдр . .	4	6	4
Октаэдр . . .	6	12	8
Куб		8	12	6
— Замечаете ли вы, что из этих трех чисел в каждой строчке то,
которое стоит в середине, меньше суммы двух крайних? Верно?
— Верно, верно! — раздались голоса.
— А на сколько меньше?
— Дедушка, я знаю! —закричал Вовка. — Диду, не говори, я сам
скажу! Вот я уж говорю, подожди... дедушка! Меньше ровно... на...
Тут на лице внезапно умолкнувшего Вовки появилось какое-то
странное полуиспуганное выражение, и совсем уж другим голосом,
очень робко он вымолвил:
— Кажется, на два...
— Молодец! — воскликнул дед. — Правильно, совершенно верно!
Так и есть! Это и составляет содержание замечательной теоремы ве-
ликого математика русского академика Леонарда Эйлера (он жил
в восемнадцатом веке), которая гласит: сумма вершин и граней пра-
вильного многоугольника больше числа его ребер на две единицы.
А при чем же тут наши одночеркальные фигурки, вы спросите? При
том, что мы сейчас с вами не только покажем, но и докажем эту уди-
вительную теорему с помощью того, что мы только что с вами вывели
относительно наших фигурок, числа путей и числа участков, на кото-
рые эти пути разбивают часть плоскости, ограниченную нашей си-
стемой.
Вовка, совершенно истомленный решением той ужасно трудной
задачи, которая только что выпала на его долю, сидел с безучастным
и даже немного сонным выражением лица. Он так старался, что со-
вершенно обессилел. Сполз со стула и громко прошептал деду на ухо:
55
— Пойду посмотрю, что там Тереха делает... — и исчез.
Участники конференции улыбнулись, переглянулись, но ни у кого
не хватило духа сказать что-нибудь Вовке, так как все понимали, как
ему было трудно и чего ему стоило не ударить в грязь лицом при та-
ких затруднительных обстоятельствах.
— Итак, — продолжал дед, — я беру тот же самый куб. Теперь
я должен мысленно проделать над нашим кубом некоторые операции.
Прошу внимания. Возьмем и удалим у нашего куба одну из сторон
или граней — например, сторону abed. Мой куб после этого превра-
тится в открытую коробку, открытую именно с этой стороны abed.
Теперь вообразим, что стороны нашего куба сделаны из гибкой ре-
зины. Она очень крепкая, не рвется, и ее можно растягивать как
угодно. Тогда я ставлю мою резиновую открытую кубическую коробку
на плоскость — и она будет стоять на стороне efgh, которая совпа-
дает с этой плоскостью, а остальные четыре стенки коробки я растя-
гиваю так, чтобы они совпали с той же плоскостью, и закрепляю их
на ней. Вот чертеж и показывает, что у меня после этого получится.
Смотрите-ка хорошенько! У нас получилась система линий, которую
мы можем рассматривать, как...
— . . .систему путей! — подсказал Лева.
— Верно, Левушка! Вот именно так мы и поступим. Ну-ка, попро-
буй нам рассказать, что из этого получится.
— Получится вот что, — начал Лева. — Ребра куба теперь пре-
вратились в пути, число узлов системы равно числу вершин куба,
а число ограниченных путями участков плоскости равно числу граней
без одной, потому что одну сторону куба мы удалили. Теперь я по-
пробую все это изложить на буквах. Число вершин В равно нашему
прежнему п, которое есть число узлов; число путей т равно Р, кото-
рое есть число ребер нашего многогранника, а число ограниченных
путями участков плоскости (т — п-\- 1) равно числу граней, но без
одной, удаленной, то есть Г— 1.
— Так, — сказал дедушка, — верно. Теперь переходим к теореме
Эйлера.
— Мне надо, — сказал Лева, — взять число вершин, вычесть из
него число ребер и прибавить число граней без единицы:
В —Р + Г— 1 = ?,
причем, как я уже сказал:
В = п\ Р=т-, Г — 1 = (щ — «4-1).
Чему же это будет равняться? Подставляю наши латинские
буквы:
« — /« + (/« — «Ц-1).
Раскрываю скобки и получаю единицу. Следовательно, и первое
мое равенство дает ту же единицу:
В — Р4-Г— 1 = 1.
Переношу единицу из левой части равенства в правую с плюсом
и получаю:
В — Р + Г = 2,
что и требовалось доказать. Теперь, по-моему, теорема наша до-
казана.
— Ну вот, — сказал дедушка, — вот видите, с какой интересней-
шей теоремой мы с вами познакомились по дороге к нашим лаби-
ринтам.
3.
Немедленно появился и Вовка.
— А про лабиринты и я хочу! —заявил он.— А вы опять будете
буквы из букв вычитать или нет?
— Как-нибудь уж постараемся обойтись, — пообещал дедушка.—
Но, воля твоя, мы еще не совсем до лабиринтов добрались. Нам еще
немножко надо потолковать о твоих конвертиках. Ты о конвертиках
согласен слушать?
— Согласен! — сказал со вздохом Вовка, усаживаясь за стол.
— Теперь мы должны разобрать еще один вопрос, касающийся
одномаршрутных сетей. Действительно ли, если у нас есть только
одни четные узлы, мы можем последовательно обойти все пути и вер-
57
нуться в исходный узел? Почему мы так уверены, что кольцевой путь
требует всегда только одного маршрута? Ведь, кстати сказать, коль-
цевой путь может включать в себя любое число петель, то есть до-
бавочных кольцевых маршрутов. Ну-с?
— Вот чертеж, — сказала Веточка.— На нем есть два четных
узла: один двойной, а другой восьмерной. Если у нас только один
простой кольцевой маршрут —он нарисован на
а_	этом чертеже рядом справа, — то ясно, что его
можно обойти, тут и доказывать нечего: и
/'*”^'4 так видно- Более сложный случай четного узла
f (])/	(	] представляет собой не что иное, как несколько
\ J простых четных, то есть двойных, узлов, кото-
рые слились вместе. Так как каждый из них
(	)	обходится в отдельности, то, значит, можно
обойти и их все вместе, по очереди и в каком
хочешь порядке. Так что тут у нас не может
быть никаких затруднений, исключая тот слу-
чай, когда просто прозеваешь, да и уйдешь совсем из этого узла,
обойдя не все петли, то есть не четыре, а только три. С какого узла
мы начинаем наше путешествие, это для обхода значения не имеет.
Начнем с узла а — перед нами будут три петли, соединяющиеся
в узле Ь. Мы обойдем половину верхней петли, затем из узла 6 осталь-
ные три петли и вернемся в а, закончив обход тем, что пройдем остав-
шуюся непройденной половину верхней петли. Если же начинаем
с узла Ь, то мы обходим в любом порядке все четыре наши петли. Где
можно прозевать? Начиная с узла а, можно вернуться к нему, не
пройдя, например, одной из петель.
— По-моему, — сказала Наташа, — вот еще что надо сказать.
Когда мы уходим из начального четного узла, в нем остается нечетное
число нехоженых путей, потому что по одному пути мы прошли, и он
теперь использован, погашен. Таким образом, из четного числа путей
один удален и число путей стало нечетным. А затем мы, проходя
насквозь через остальные четные узлы, всякий раз погашаем тем са-
мым в каждом четном узле два пути, а следовательно, из четного чи-
сла путей вычитаем четное же число путей, а это, как ни ходи, должно
неизбежно кончиться тем, что, вычитая каждый раз по двойке, мы све-
дем к нулю число путей всех четных узлов, кроме начального. И тогда
у нас останется единственный непройденный путь, который и приведет
нас к начальному четному узлу, если он просто двойной. А если он
больше чем двойной — Вовочка, извини, тут нужны еще буквы, но
только немного, ты не бойся! — то есть если число путей в нем будет
2га, то мы пройдем через этот узел насквозь (га—1) раз и погасим
58
2(л—1) путей. Так как один раз уже мы
в нем были, когда отправлялись в наше путе-
шествие, то всего мы пройдем [2(га—1) Ц- 1]
путей, или просто (2га — 1). А у нас всего пу-
тей там было 2га, и значит, нам и останется
один-единственный путь, на котором дело и
кончается.
— Верно! — сказал дед. — Одобряю. Ну,
девочки рассказали про четные узлы. Маль-
чики, теперь вы рассказывайте про нечетные.
— Хорошо, — сказал Никита. — Да уж де-
вочки почти всё сказали. Мы выяснили,
что если в одночеркальной системе есть нечет-
ные узлы, то их, по крайней мере, должно быть
два. В точности продолжая рассуждения Ве-
точки и Наташи, я должен прийти к такому
заключению: если у меня есть два нечетных
узла, то вернуться под конец в исходный не-
четный узел ни в каком случае не удастся.
Уйдя из него, я ведь оставил в нем четное
число путей — другими словами, превратил его
в четный узел. А проходя через него насквозь,
я погашаю, как уже было сказано, два пути;
узел остается четным. Ясно, что из двух нечет-
ных узлов у меня остается только один нечет-
ный, где и должно окончиться мое путешествие.
— Так! — подтвердила Наташа.
— А отсюда, — продолжал Ника, — следует, что, если в системе
больше, чем два нечетных узла, путешествие наше разобьется на
столько заново начинаемых прогулок по системе, сколько имеется пар
нечетных узлов, как уже мы говорили. Теперь, наконец, почему нель-
зя, если у нас есть в системе два нечетных узла, начать прогулку не
с нечетного, а с четного узла? Да потому, что, отправившись из чет-
ного узла, мы создаем еще один нечетный узел,
а тогда по крайней мере один из путей, ве-
дущих в один из прежних нечетных узлов —
тех, которые были нечетными с самого на-
чала, — останется непройденным, и обход не
будет завершен,— следовательно, задача наша
решена не будет. Вот здесь у нас с Левой на-
рисованы три очень красивые фигурки, кото-
рые мы подносим нашему ученому секретарю
59
за его замечательные научные труды по рассмотрению теоремы
Эйлера...
— Я даже и не знаю, что такое теорема, — заметил Вовка, тщетно
стараясь скрыть довольную улыбку, от которой вся его рожица так и
расплывалась, и беря в руки чертежики Ники.
— Теорема иначе будет предложение, — объяснил дедушка
Тимофей Иринархович, почетный культурник Тускарии, — только не
такое предложение, как в грамматике, а некое утверждение по
математической части, которое сразу не очевидно и требует подроб-
ного и строгого доказательства.
— Очень замечательные фигурки! — заявил секретарь и уже со-
бирался находить пути обхода, как дедушка сказал:
— Постой, брат! Этим ты после займешься. А теперь я предлагаю
тебе выступить на нашей Тускарийской дождливой конференции и
сделать доклад... О чем ты можешь нам доложить?
— Я буду докладывать? — спросил Вовка. — А, знаю! Я буду де-
лать доклад от нашей с дедушкой секции. ..
— Ах, вот как, а я и не знала! — сказала Веточка. — Значит, у вас
с дедушкой есть своя секция? Это что же за секция такая?
— Ну как это — какая секция? — возразил Вовка. — Обыкновен-
ная секция, наша дедушкина секция. Вот еще пристала!
— Да как она называется? — спросил Ника под общий смех.
— Ну, просто наша секция, — объяснил Вовка, — наша с дедуш-
кой. Как она называется? Ну так и называется: наша! Точно вы не
понимаете!
— Уморительный тип! — решил Лева. — Ну ладно, докладывай.
Ты о чем докладывать-то будешь?
— Потише! — отрезал Вовка. — Ты ведь не председатель, ты про-
сто так. А докладывать я буду об одном замечательном происшествии.
Вот о чем. Одночеркальное происшествие. Только нет, не одночер-
кальное. А потом еще про одно, но это потом.
— Ваше слово, товарищ ученый секретарь!—сказал Ника.
— Доклад мой такой: есть на свете город Калининград. Он на за-
паде, около Балтийского моря. А раньше, очень давно... В каком это,
дедушка, веке было придумано старое его имя?
— В тринадцатом.
— Тогда Калининград назывался совсем по-другому, он называл-
ся Кенигсберг— Королевская гора, хотя там никакой горы и в помине
нет. Мы смотрели с дедушкой по карте и на картинке. Горы нет, а
есть речка, которая называется Приголя или Прегель. Это по-немеики.
А на речке остров. И на остров вели целых семь мостов. И был такой
знаменитый математик, которого звали...
60
— .. .Эйлером, — подсказал дедушка.
— Пришел он раз в гости к своим знако-
мым. Сели чай пить. Его кто-то и спрашивает:
можно ли по всем кенигсбергским мостам
пройти по одному разу и так, чтобы все мосты
обойти? Ну, как в нашей одночеркальной фи-
гурке. Все заговорили: один одно, другой дру-
гое. Эйлер не стал с ними спорить, потому что
видит, что они ничего не понимают, а сам
пошел домой и написал целый знаменитый до-
клад об этих мостах. Все решил и все объяс-
нил. Вот так и появилась на белый свет эта
наша конвертиковая наука! И у нас с дедуш-
кой нарисован замечательный план этих семи
мостов, а кроме того, есть чертежик, где все
ясно. Вот, нате вам!
— Так... — сказал Ника. — Ну, здесь це-
лых четыре нечетных узла. Сразу обойти HHKaF
в два приема. А что это ты собирался «потом» сказать, Вова?
— Потом и скажу. Сейчас еще нельзя. Это секрет.
— Ну вот, — заключил дедушка, — теперь мы всё разобрали по
части наших одночеркальных фигурок. Лабиринты уж мы будем
обсуждать на следующем заседании. А теперь я только скажу кое-что
насчет этой особенной «геометрии путей и узлов». Вот тут у меня есть
чертеж, который мы с Вовушкой составили, — семь фигурок (стр. 62).
Легко заметить, что первая фигурка, если ее рассматривать по части
обхода, совершенно равносильна фигурке второй, хотя первая —тре-
угольник, а вторая — окружность. Если это так, то ясно, что первая
фигурка может быть без нарушения правил нашей геометрии узлов
преобразована во вторую. И заметьте, что эта вторая фигурка, с на-
шей теперешней точки зрения — с точки зрения геометрии узлов,—
будет в точности такой же, как и первая. Согласны ли вы со мной?
— Разумеется, дедушка, согласны! — отвечал Лева за всех.
— Ав таком случае я прошу обратить внимание на то, что в этой
новой геометрии слово «точность» приобрело совершенно новый
смысл. Ни в каком другом случае в этом смысле его употреблять было
бы невозможно! Продолжаю. Как же мы могли бы сделать такое пре-
образование? Если сделать фигурку первую из тонкой крепкой и не-
клейкой резиновой нитки, которая не рвется (когда растягиваем) и
сама по себе не склеивается (если прижать два ее куска один к дру-
гому), то ясно, что такую ниточно-резиновую фигурку мы могли бы,
прогнув по кругу стороны треугольника, как нам нужно, преобразо-
61
вать во вторую. Можно даже ее превратить еще
в более сложную фигуру, которая у нас нарисована
под номером третьим. Это буква из бенгальского
алфавита, то есть одного из индийских. Видите, ка-
кая замысловатая! А если мы допустим вдобавок,
что нашу резиновую нитку можно разрезать, где мы
задумали, и соединять, где надо, то получатся еще
более сложные преобразования. Если мы разрежем
фигурку первую в точках с и d, получится фигура
четвертая, а склеивая затем концы Ci и dt, а кроме
того, концы с2 и d2. получим фигуры, где путь ab
уже превращается в мост, как, например...
— .. .например, на фигурке пятой! — не утерпел
Вовка. — Ведь я сам нарисовал! На шестой фигурке
показано, как из фигурки четвертой делается пятая.
— Ах, вот как! — сказала Наташа. — Так...
А на фигурке восьмой у тебя, Вова, значит, пока-
зано, как из четвертой делается седьмая? Так я
поняла?
— Правильно! — важно процедил ученый се-
кретарь.
— А из фигурки седьмой, — продолжал Тимофей
Иринархович, — стянув внутреннюю окружность
в узкую петлю, а внешнюю окружность изогнув
разными прихотливыми узорами, можно сделать фи-
гурку девятую. Это у нас уже не бенгальская буква,
а прямо с острова Ява — яванская. Вот какие уди-
вительные и неожиданные преобразования допус-
кает наша геометрия узлов! Обратите внимание на
то, что все фигурки нашего с Вовой чертежа, не
считая, разумеется, подсобной четвертой фигуры,
которая приведена только для объяснения, все они
одинаково одночеркальные фигурки с двумя нечет-
ными узлами. Выходит, что эта наша новая геомет-
рия уже не является той геометрией твердых тел,
которую вы проходите в средней школе. Вот оно
как!
— А почему ты, дедушка, называешь нашу
школьную геометрию геометрией твердых тел? —
спросил Лева.
— Когда ты рассуждаешь в школе о геометри-
ческих фигурах, углах, отрезках и прочем, ты ведь
62
предполагаешь, что все они совершенно твердые, не
гнутся и не рвутся, не могут удлиняться или сокра-
щаться. Иначе, как мог бы ты двигать и совместить
два равных треугольника и тем доказать их равен-
ство, если бы не допускал, что они совершенно 5	S’""
твердые?
— Такое совмещение называется конгруэн- х—
цией, — заметил Ника.	(
— Да, — ответил дедушка, — и понятие геоме- ЧУ
трического равенства именно на нем и основы-
вается.	6
— Но разве, — не отставал Лева, — существуют
на самом деле твердые тела, которые были бы со- )
вершенно твердыми? Мне кажется, что если взять “Lz
какой-нибудь паровой пресс с настоящего завода,
так он что хочешь сожмет.	7
— Конечно,—сказал дедушка,—абсолютно твер- /s'
дых тел на свете нет. Это то, что мы называем от- I (	\ 1
влечением или абстракцией. В данном случае мы II	<7 1
отвлекаемся от сжимаемости тела. Подобно этому
мы отвлекаемся и от величины тела, когда говорим
о геометрической точке, которая не имеет изме-
рения. На белом свете не существует тел без изме- • У'
рений, а в геометрии они есть. И они нам полезны, /
Еще в древности были такие несговорчивые вор- ( (	) ’
чуны, которые уверяли, что и вся математика ничего к Чау )
не стоит, раз она допускает существование тел, ко-
торых на самом деле быть не может. Один такой
«мыслитель» уверял, что на самом деле настоящий 9
деревянный шар не может соприкасаться с плос- z""\ Z"
костью деревянного же пола в одной точке, он со-	/ СС. (t
прикасается некоторой своей вполне измеримой	| гч jjj
частью. Даже предлагал сделать опыт: вымазать
шар черной краской и прокатить его по полу, а по-
том смерить ширину следа на полу! Все это, одна-
ко, только на первый взгляд похоже на серьезное
рассуждение, но, в сущности, это пустая болтовня,
потому что все наши отвлечения не существуют «на
самом деле» и не должны в этом смысле существо-
вать. Они существуют только в нашем представле-
нии и являются, так сказать, подсобными орудиями
для нашей мысли. Они помогают нам рассуждать,
63
упрощают целый ряд рассуждений. А какая польза от них, видит
всякий. Вот мы приехали сюда на электричке. А ведь перед тем, как
ее построить, надо было рассчитать всю эту сложнейшую систему
динамомашин, станций, проводов, трансформаторов, двигателей вну-
треннего сгорания, электромоторов, реостатов и так далее и так да-
лее. Не считая насыпей, рельефа пути, мостов, рельсов, укладки
шпал, закруглений пути, которые рассчитываются так, чтобы огром-
ный поезд, на всем ходу, несясь со скоростью ста километров в час,
плавно и даже незаметно для пассажиров повернул, а не слетел бы
вниз с насыпи!.. А надо подсчитать еще и многое-многое другое. Вот
я, например, сейчас сказал: «закругление пути», а ведь на самом-то
деле это закругление вовсе не круглое, оно особо рассчитывается по
некоторой специально для этого подобранной математической кривой,
которая сложнее окружности. Так что все решительно надо толком и
обдуманно рассчитать и с такой точностью, чтобы вся эта система
различных машин и приспособлений работала в буквальном смысле
слова, как хорошие часы, а опоздание поезда было редким исключе-
нием! А ничего этого нельзя было бы достигнуть, не будь у нас в ру-
ках этого мощного орудия человеческой мысли и культуры, которое
мы называем отвлечением! Именно им пользуется с таким успехом
математика, а ведь она-то и учит инженера всем этим расчетам!
— Ну, спасибо вам большое-пребольшое!—сказала Веточка.—
А нам уж с Наташей пора. До свидания и до скорого... Пошли, Та-
шенька!
Девочки опять забрались под свой огромный синий плащ и быстро
зашлепали босыми ногами прямо по лужам.
А дождь все лил и лил.
Глава шестая
Древние лабиринты. — Миф о Тезее.—Примеры лабиринтов в раз-
ные времена и в разных странах. — Путешествие по плану с планшет-
кой в руках. — Стрелки-указатели на стенах лабиринта. Системы
коридоров и системы стен. — Что делать? — Ниточка протянулась
вдоль всего коридора!
1.
— Сегодня у нас на повестке дня стоит вопрос о лабиринтах, —
заявил в начале третьего заседания знаменитой Тускарийской нескуч-
ной конференции бессменный ее председатель Никита.
При этом он старался принять вид седовласого академика и го-
ворить таким тоном, которым, по его мнению, и должен был разгова-
ривать на ученой конференции академик. Ника и сам понимал, что
это немножко смешно, но ведь кругом были свои, такие же ребята, как
и он, а играть в конференцию было так интересно и приятно! Поэтому
5 Архимедово лето
65
наш председатель сделал вид, что на минутку задумался, а затем
церемонно произнес:
— Докладывает, если я не ошибаюсь, Лева... а содокладчиком
выступает родной его братец, наш высокоученый секретарь, Тускарев
Владимир Николаич.
— Хорошо, — отвечал докладчик. — Начинаю с того, что задача
лабиринтов известна с незапамятных времен. Из различных истори-
ческих сочинений древности, а также из древней поэзии известно не-
сколько знаменитых лабиринтов. Трудно сейчас сказать, что именно
собой представляли эти лабиринты. Быть может, просто это некогда
были богатые дворцы с сотнями комнат, которые на взгляд людей из
менее развитых племен, не знавших таких крупных сооружений, ка-
зались чудом. А может быть, это были целые группы зданий, в кото-
рых человеку, незнакомому с их расположением, легко было заблу-
диться. Возможно, что именно таким и был знаменитый Фаюмский
лабиринт, построенный в Египте примерно к концу третьего тысяче-
летия до нашей эры. По словам греческих историков Геродота и
Страбона, в нем было двенадцать дворов и три тысячи комнат, из них
половина в подземельях. Это было что-то вроде громадной усыпаль-
ницы, то есть гробницы. Лабиринт этот находился неподалеку от
озера Мерида и города Крокодилополя. ..
— Ты нарочно!.. — заявил совершенно возмущенный секретарь.
— Нет, нет! Именно так и назывался этот город. Крокодилы ведь
в Египте считались священными животными. Потом археологи нашли
остатки фундамента этого сооружения: оно было очень велико: в дли-
ну достигало более чем четверти километра. Другой знаменитый
в древности лабиринт находился на острове Крит, в городе Кноссе,
а вернее всего — это был просто царский дворец. Возможно, что в то
же время это была и крепость или часть ее. Сведения о Критском ла-
биринте подтверждаются находками древних монет и печатей древ-
нейшего периода критской культуры потому что на них встречается
грубое изображение лабиринта Вот мы с Никой разыскали снимок
с одной такой монеты и, как умели, перерисовали его. Этот высокоху-
дожественный рисунок мы посвящаем Тускарийской конференции и
передаем его торжественно нашему секретарю для хранения в его
знаменитом архиве в тридцать четыре клетки!
— Вот и не угадал!—ответил Вовка, принимая картинку, на ко-
1 Вопрос о древних лабиринтах — дело довольно путаное. Любозна-
тельный читатель мог бы узнать о лабиринтах довольно много интерес-
ного из книги А. Ф. Лосева. Античная мифология. М., 1957, Учпедгиз,
ч. 1, гл. VI, «Минотавр и лабиринт». Впрочем, книга эта не очень легкая.
66
торую все посмотрели с интересом. — Вовсе и не клетки, а просто —
вниз, вбок и наискось! А ты и не знаешь!
— Опять секреты? — тихонько сказала Наташа Вовке.
Вовка поглядел на нее хитро и шепотом произнес:
— Ни гу-гу!
Так она и не узнала, в чем тут дело. Веточка наклонилась к ним и
промолвила совсем тихо:
— Поживем, узнаем!..
Лева бросил на них завистливый взгляд, но не решился прерывать
доклад и продолжал:
— Кроме того, был лабиринт на Лемносе, его развалины видел
еще писатель Плиний Старший, который жил в первом веке на-
шей эры...
— Это который написал «Естественную историю» и погиб при из-
вержении вулкана Везувий в семьдесят девятом году? — спросила
Наташа.— Когда были разрушены города Помпея и Геркуланум?
— Он самый, — отвечал докладчик.
— Есть письмо его племянника, — сказал дед, — где все это гроз-
ное стихийное бедствие описывается довольно подробно. Кто хочет,
может взять «Письма Плиния Младшего», они есть в русском пере-
воде, и прочесть это письмо ’.
— Обязательно надо прочесть! — прошептала Веточка.
— И еще, — продолжал Лева, —- был один лабиринт в древнем
Римском царстве, в Италии... Ну, Вова, твоя очередь!
— Я,— сказал прочувствованно ученый секретарь, — должен...
— .. .будучи царевной Ариадной... — вставил Лева.
— Дедушка, — запищал Вовка, — да ты скажи ему, чтобы он ко
мне не приставал! Сам он царевна! Как он смеет называть меня, когда
я даже перешел в четвертый класс? Дедушка!..
— Он больше не будет, — сказала примирительно Веточка. — Но
ты знаешь, Вовочка, сказочной царевной быть — это совсем не так уж
плохо. Я бы не отказалась.
— Да, не плохо! — мрачно пробормотал Вова. — Ну, я буду рас-
сказывать, но пусть он не смеет...
— Больше не посмеет!—ответил дедушка. — Рассказывай, не
бойся.
1 «Письма Плиния Младшего» в переводе М. Е. Сергеенко, А. И. Доватура и
В. С. Соколова. М., изд. Академии наук СССР, 1950, стр. 175 («Между тем по Ве-
зувию во многих местах широко разлилось пламя...») и стр 517 Извержение это
случилось в 79 году нашей эры. Город Помпея был засыпан вулканическим пеплом
и осколками камней и в продолжение семнадцати веков пролежал под ними, пока
в XVIII веке его не раскопали; эти раскопки дали возможность ознакомиться
с жизнью древнего города.
5*
67
— На острове Крит был страшный лабиринт. В нем жил людоед,
которого звали Минотавр. Настоящее чудовище, с бычьей головой.
И ел всех людей. Критский царь победил греков и велел им, чтобы они
каждый год присылали ему в дань семерых юношей и семерых деву-
шек. И отдавал их Минотавру, который, конечно, сейчас же их всех
поедал живьем. Он был людоед. Все греки ужас как жалели этих ре-
бят! И вот один царский сын, которого звали Тезей, достал себе
огромную суковатую палицу и говорит отцу: «Пошли меня, царь, с
этими ребятами на Крит как будто в виде дани. Я приеду, пойду в ла-
биринт, притворюсь, будто иду на съедение, а сам возьму да и убью
этого людоеда моей палицей». Отец говорит: «Нельзя, не смей, все
равно там лабиринт, ты не выйдешь!» Тезей не послушался и поехал.
Приезжает. Видит, идет по садику царевна Ариадна...
— Он и говорит ей, — вставил Лева: — «Ну, Вовочка, как ты по-
живаешь?»
Общий хохот покрыл это замечание. Вовка стоял весь красный, но
сам невольно смеялся и грозил Леве кулаком.
— Видишь, диду, что он про меня говорит! А ты говорил, что не
посмеет!
— Это он нечаянно! — объяснила Наташа.
— Ничего, Вовушка! — промолвил дед — А почему не посме-
яться? Что тут такого? Не обращай внимания. Рассказывай дальше.
— Он ей все рассказал. А она дала ему целый моток ниток...
Чтобы идти по лабиринту и разматывать. А назад идти прямо по ни-
точке. Он так и сделал. Прошел весь лабиринт, нашел Минотавра,
крикнул ему: «Выходи на страшный бой!» — и доблестно поразил его
своей непобедимой палицей. А потом по ниточке вышел на волю.
И после этого критяне уж не смели просить дани. Потому что Тезей
был герой и не испугался ни лабиринта, ни страшного рогатого лю-
доеда. Вот и всё.
— Ты очень хорошо рассказал!—заключила Веточка. — Кажется,
это у римского поэта Овидия в одной из его поэм Ариадна пишет
письмо царевичу Тезею, и вот там-то об этом и рассказывается.
— Тот самый Овидий, — вставил председатель с немалой важ-
ностью,— о котором Пушкин вспоминает в стихах. Несколько раз:
в «Онегине», потом в «Цыганах». Овидий, как и Пушкин, был
в ссылке:
В Молдавии в глуши степей,
Вдали Италии своей...
— Ну вот еще — о стихах!— недовольно возразил ВовкаЛучше
о лабиринтах.
68
— Все своим чередом, — ответил Ника. — Ну,
Лева, продолжай свой доклад о лабиринтах.
— У нас в СССР, — начал снова Лева,— есть
на Севере такие довольно странные сооружения
из больших камней, которые местное население
называет вавилоны. Они тоже очень напоми-
нают лабиринты. А в Европе в средние века на-
чали делать лабиринты в церквах. Они были на-
рисованы или выложены мозаикой на каменном
полу церкви, вроде ковра. Не очень сложные, но
все-таки и не такие уж простые. Вот образчик
такого лабиринта из Шартрского собора во
Франции, двенадцатый век.
— Этот лабиринт, — заметил дедушка, — яв-
ляется отличным примером лабиринта, который
допускает применение Левиного правила...
— ...правой руки, — подсказала Веточка.
— Именно!
Вовка взял в руки прутик и, сопя от старания,
постоянно сбиваясь, потому что ему не терпелось поскорей добраться
до центра, отправился в обход этого лабиринта. Наташа стояла около
него и осторожно поправляла прутик, когда Вовка путался.
— Подожди ты!—сказал ей Вовка нетерпеливо. — Уже все го-
тово. Вот сейчас... Ах, нет! Сбился. ..
— А ты не торопись, — посоветовал дедушка.
— Готово! — закричал Вовка. — Ты сказал совершенно правиль-
но, дедушка! Обходится по правилу правой руки. Мне очень нра-
вится этот лабиринт. Сперва кажется — вот уже совсем пришел...
Нет, пожалуйте обратно!
— Затем, — продолжал Лева,— ко
времени новой истории стали устраи-
вать в парках для забавы, для укра-
шения лабиринты из деревьев и ку-
стов или из решеток. О таких лаби-
ринтах есть упоминания в пьесах Шек-
спира. Вот пример лабиринта, который
придумали в Англии в самом начале
тринадцатого века. Центр не указан,
мы сами его поставили — вот где
крестик (стр. 70).
Вовка сейчас же завладел черте-
жом и быстро воскликнул:
69
— Тоже обходится! И по правой руке, и по левой...
— А разве, Вовушка, может так быть, — спросил дед, — чтобы
лабиринт с одним входом по правой руке обходился, а по левой
нет?
— Как? .. — сказал смущенно Вовка. — Вот я и не знаю как...
— Что тут трудного? — заметила Наташа. — Выходишь-то ты из
лабиринта в ту же самую дверь, так ведь? Только
держишься за другую стенку. А эта другая стена
была левой, когда ты входил, держась за пра-
вую. Так или нет?
— Ты думаешь? — произнес Вовка неуве-
ренно. — Кажется, понял. То же самое, только
с другой стороны.
— Да нет! — промолвил Ника усмехаясь. —
Не всегда то же самое... Если лабиринт таков,
что в нем существует только одна система стен, которая есть не что
иное, как разветвления того же самого тупика, с которого мы нача-
ли (см. чертеж на стр. 36), то в таком случае Наташа права. Дей-
ствительно, ты выходишь в ту же самую дверь, в которую входишь.
Но вход может быть разделен надвое стеной, ко-
торая не соприкасается с основной системой стен
и представляет собой вторую систему стен.
В этом лабиринте, как ты видишь на моем чер-
теже, ты можешь дойти до центра, начав с левого
входа и идя по левой же руке или с правого
входа по правой руке. Но ты ничего не добьешь-
ся, если из левого входа пойдешь по правой руке
или из правого входа по левой руке. Если такая
стена, не связанная с основной системой стен,
помещена внутри лабиринта, то это-то и есть та
самая ловушка, которой надлежит опасаться.
Взгляни теперь на чертеж на этой странице и
ты найдешь в таком довольно простом лабиринте
одну стену, не соприкасающуюся с основной системой, — она отме-
чена дополнительно пунктиром. Если ты, дойдя до нее, сменишь не-
осторожно руку, попадешь в ловушку!
На этом Ника замолчал и кивнул Леве, чтобы он продолжал свой
рассказ.
— Вот сейчас я покажу еще один лабиринт,— снова начал Лева,—
который был придуман в 1728 году Бетти Лэнгли. У него три входа.
И все они разные. Восточный вход обманывает нас и с правой руки
и с левой...
70
— .. .выводит вон! — сказал Вовка, уже
завладевший чертежом, но в полном разо-
чаровании.
— Южный вход обманывает с правой
руки, но зато с левой...
— Ас левой можно! — веско заявил
Вовка.
— И наконец западный вход обманывает
с левой, но позволяет с правой. Теперь я
показываю знаменитый лабиринт в Версаль-
ском парке во Франции, под Парижем.
Здесь центр мы решили наметить там, где крестик стоит, но можно,
конечно, и другое место назначить центром. Этот лабиринт устроен
немножко посложнее. Все три входа таковы, что не позволяют вос-
пользоваться правилом одной руки — ни правой, ни левой!
2.
— Да! — сказал Вовка. — Вот удивительно —
никак не пройдешь к этому вашему центру! А как
же здесь быть?
71
Jf>
— Расскажем! — коротко ответил Ника.
— Вот еше довольно известный лаби-
ринт в Южном Кенсингтоне, в Англии. Три
входа Юго-восточный с левой руки сейчас
же приводит к центру. Юго-западный позво-
ляет идти по правой стенке. А северный
обманывает и так и сяк. Вот еще английский
лабиринт из парка Солсбери, с которым
тебе, Вовка, придется повозиться как сле-
дует. У него два входа, но ни тот, ни другой
не допускают применения правила одной
руки.
— Как же быть? — спросил Вовка.
— Поспеешь! — отвечал ему с низким поклоном докладчик, от
которого недовольный Вовка живо отвернулся. — Вот еще немецкий
лабиринт, он тоже с некоторыми секретами (стр. 73). Теперь я отмечу,
что задача лабиринта казалась ранее неразрешимой, но если к во-
просу о лабиринте подойти с точки зрения одномаршрутных сетей,
или, как выражается Вовка, с точки зрения нашей замечательной
конвертиковой науки, то можно убедиться, что секрет лабиринта не
так трудно раскрыть. Конечно, если ты попадешь в настоящий лаби-
ринт, план которого тебе неизвестен, да к тому же ты еще не знаешь,
можно ли там пользоваться правилом одной руки, ты нагуляешься
вдосталь. Но это ничего не значит. Нам надо выяснить дело с теорети-
ческой стороны. Между прочим, должен заявить, что, после того как
я был разбит наголову дедушкой насчет правила одной руки на пер-
вом нашем заседании, мы с Никой взялись, что называется, всерьез.
Я это к тому говорю, что мой доклад подготовлен с Никой вместе.
Он сидит молчит, но мало ли что! Он тут немало потрудился.
Конференция дружно похло-
пала своему председателю, а тот,
слегка поклонившись, невозму-
тимо вымолвил:
— Прошу докладчика при-
держиваться существа дела.
— Слушаю-с! — покорно отве-
чал тот. — Итак, приступаю к рас-
смотрению вопроса в целом. Нач-
ну с того, что сеть путей лаби-
ринта — дорожек, аллей либо ко-
ридоров по подземелью — отли-
чается от других систем путей,
с которыми мы познакомились
раньше, тем, что у нее есть заранее
назначенный центр, который путе-
шественник обязательно должен
посетить. Разумеется, и при путе-
шествии по городу тоже можно по-
ставить себе целью добраться до
некоторого, заранее определенного
пункта. Однако путешественник по
лабиринту не знает, где находится этот центр. На плане, разумеется,
все гораздо проще. Там видно.
— Вот из-за этого-то не так и интересно разбирать эти нарисован-
ные на бумажке лабиринты — и так отлично видишь, где центр,—
сказала Наташа.
— Предусмотрено!.. — заявил ей в ответ Ника. — Докладчик,
изволь ответить!
— Отвечаю,— проворно возразил Лева. —Для этого у нас при-
думано следующее приспособление, которое называется планшет-
ка. Берешь кусочек плотной бумаги, вырезаешь в нем небольшое
квадратное отверстие чуть-чуть побольше коридора в твоем лаби-
ринте и накладываешь эту планшетку на план. Тогда ты увидишь
в это маленькое отверстие примерно то же самое, что бы ты увидела,
если бы пустилась гулять по настоящему лабиринту. Вот попробуй!
— Обязательно попробуем! — сказали обе девочки в один голос.
Обернулись друг к другу и засмеялись, ибо ни одна не ожидала, что
другая скажет то же самое.
— Итак, — продолжал Лева, — посмотрим теперь, что следует
делать, когда мы попадем в лабиринт. Ясно, что, для того чтобы
найти его центр, возможно, придется обойти все закоулки лабиринта,
другими словами — пройти по всем его путям. Когда мы дойдем до
центра, то снова, может быть, еще раз придется обойти все пути,
чтобы попасть к выходу. Но если все это может происходить так,
то, значит, путешествие по необследованному лабиринту легко может
превратиться в двойной обход всех путей данной связной системы.
— Ну да!— подтвердил Вовка. —Туда и обратно.
— Так! — отвечал ему брат. — А теперь я спрошу вас вот о чем:
если мы будем рассматривать пути лабиринта как систему, которую
надо обойти дважды, то что же тогда станется с узлами этой рас-
сматриваемой нами системы?
— А какие там узлы? — спросил Вовка.
— Какие хочешь!
— Тогда, — промолвила Веточка, — мне кажется, вот как должно
73
выйти. Если я должна пройти узел два раза, то, каков бы он ни был,
все равно он станет у меня при двойном обходе четным. Двойной
пройду четыре раза, а тройной шесть раз. И так далее.
— Вот так ловко! — восхищенно выпалил Вовка. — Это ты здо-
рово придумала.
— А что, Вовушка, из этого следует? — спросил дед.
— Значит, как хочешь, так и ходи!
— Не очень-то «как хочешь»! — отвечал Вовке докладчик.— Не
очень-то! Из того, что нам сказала Веточка, можно сделать другой
вывод: обход лабиринта всегда возможен. А причина этого такая: мы
имеем возможность обратить лабиринт в систему путей, где будут
только одни четные узлы, а, как уже доказано ранее, такая система
путей обходится, подобно нашим одночеркальным фигуркам, начиная
с любого узла. А как же надлежит действовать, когда ты идешь по
настоящему лабиринту, а плана его не знаешь? Самое опасное в ла-
биринте — это попасть на кольцевой путь, по которому ты и будешь
кружиться без толку, ни к центру не двигаясь, ни к выходу. Мы уже
показывали простые лабиринты, где все решается по правилу одной
руки. Они построены, конечно, вроде тупика, только с разветвлениями.
Вьется такой тупик и вьется, а все-таки он тупик, а не что-нибудь
другое. Еше может быть целая система ложных входов, которые тоже
просто ведут в тупики в самом настоящем смысле слова, потому что
они с основной системой путей лабиринта, где находится центр, не
связаны. Теперь я попрошу вас вспомнить о том, что было сказано
насчет дерева. Дерево, конечно, — это просто усложненный тупик.
Стоит посмотреть на его чертеж, как становится ясно, что если кори-
доры лабиринта устроены по схеме дерева, то обойти его по правилу
одной руки ничего не стоит. И если где-нибудь назначить центр, то
легко его достигнуть, а потом вернуться к выходу. Но ведь мы дока-
зали прошлый раз, что любую связную систему можно превра-
тить в дерево, и рассказали, как это делается при помоши изъятия
путей (чертеж на стр. 79).
— А как же мы будем изымать пути в лабиринте? То есть не на
плане, а в настоящем лабиринте? — задала вопрос Наташа. — Что-то
я запуталась!
— Сейчас распутаешься! — утешил ее председатель.
— Будем слушать дальше, что он скажет, — предложила Веточка.
— Мы уже выяснили, что изымать пути надо, не нарушая связ-
ности. Но так как я сам буду идти из одного коридора лабиринта
в другой, то связность у меня нарушиться не может. Весь вопрос
в том: как изымать? Ясное дело, что ложных входов я касаться не
буду. Задача моя заключается в том, чтобы каждый путь лаби-
74
ринта превратить в мост, либо в тупик.
Как я могу этого достигнуть? Я буду для
этого преграждать пути лабиринта.
— Как же это так? — недоуменно
спросил Вова.
— Слушай и узнаешь! Всякий прой-
денный мною путь, который я прошел
туда и обратно, я уже считаю обследо-
ванным или, скажем, погашенным, как
марку штемпелем на почте гасят. Третий
раз я туда возвращаться не должен.
А для этого необходимо ставить особые
отметки, или знаки, на путях лабиринта.
Их у нас будет три сорта. Они ставятся
в самых концах коридоров, когда ты уж
совсем подошел к перекрестку. Вот здесь у нас есть чертеж. Смо-
трите! Отметка первого рода — оперённая стрелка, направленная на
перекресток; мы ее ставим, подходя к перекрестку, на котором еше не
были. Отметка вторая: простая стрелка от перекрестка; мы ее ставим,
вступая в новый коридор. Отметка третья: простая стрелка на пере-
кресток; мы ее ставим, когда приходим на перекресток, где уже были.
Теперь, Вовка, допустим, что ты попадаешь в тупик. Ты его обошел...
— Ну да, обошел! А дальше что?
— Вернулся к его выходу. По указанным правилам, выработан-
ным нашей с Никой лабиринтоведческой комиссией, ты должен поста-
вить у выхода из этого тупика третий знак. Тогда у тебя получится,
что у входа в этот коридор стоят две простые стрелки: одна направ-
лена в одну сторону, другая —в противоположную. И это обозначает
знак зап рета— значит, путь обследован, пройден дважды и тем
самым погашен окончательно. Больше ты туда уж не пойдешь.
— А если это не тупик?—спросила Наташа.
— А если не тупик, то могут быть только два случая. Или это
продолжение основного пути, либо это петля, но ее-то нам и надо
уничтожить, то есть превратить тоже в тупик. Как же это сделать?
Наша Львино-Никитская комиссия предлагает...
— Уж и львиная! — с завистью заметил Вовка. — Наша дедуш-
кина нисколько не хуже. Ишь, придумал!
— Никто вашу секцию не хает... —отвечал Лева. — Продолжаю.
В этом случае предлагается поступать так. Надобно каждый раз
обследовать все пути на перекрестке. При этом, пока все остальные
пути не будут обследованы, не надо ходить по тому пути, по кото-
рому мы на этот перекресток пришли. Тогда дело пойдет так: если мы
75
отправились с перекрестка по новому пути (где поставили в начале
нового коридора второй знак) и пришли опять на тот же самый пере-
кресток, то должны тут же возвратиться обратно по тому же пути.
И отмечаем: во-первых, наше возвращение простой стрелкой от пере-
крестка, то есть вторым знаком; во-вторых, третье наше возвращение
на тот же перекресток — новой простой стрелкой на перекресток, это
знак третий. А эти две стрелки суть знак запрета; тем самым петля
погашена, пройдена как тупик и закрыта окончательно. Вот как изы-
маются пути в настоящем лабиринте. На левом чертеже показано, на
каких местах и в какой последовательности — по номерам — ставятся
знаки, а на правом чертеже — как идет путь.
— Если я все поняла правильно,—сказала Веточка,—получается,
что все излишние извилины, закоулки и петли проходятся, когда я иду
от входа к центру дважды, тогда как основной путь проходится
только один раз. И, значит, когда я пойду от центра назад, у меня
только этот путь и останется.
— Совершенно правильно!—ответил Лева.
— А связность,—заметила Наташа, — нигде нарушена быть не
может, потому что ни один мост у нас изъят не будет. Наоборот, все
пути лабиринта превращаются в мосты, поскольку от каждого узла
к другому ведет только один путь, а остальные обращены в тупики.
Вот и выходит, что таким способом лабиринт действительно превра-
щается в дерево, а уж дерево обойти труда не составляет.
— Верно! — ответил докладчик. — Я должен еще отметить
вот что. Существуют более сложные лабиринты, где путаница увели-
чивается тем, что от каждого узла правильный путь разветвляется
на несколько путей, и получается, что правильных путей несколько.
Вот вам чертеж такого лабиринта, который называется Филадельфий-
ским (стр. 77). Тут как следует помучаешься, покуда дойдешь!
— Н-да! —заметил дед, посмеиваясь. — Четыре перекрестка, да
еще от каждого отходит пять путей. В общем, как в фигурке одного
росчерка — нечетные узлы. Ну, тут даже и буквы у каждого такого
перекрестка поставлены! Так... В таких случаях иной раз полезно
придумать какое-нибудь правило, потому что с правилом действовать
все-таки лучше, чем без правила! Например, свертывать с пере-
крестка в ближайший соседний
коридор по отношению к тому, по
которому ты пришел, то есть
в такой, который отделяется от
прежнего всего лишь одной сте-
ной. .. Впрочем, можно и что-ни-
будь другое придумать.
— Да! — отозвался Лева. —
Отдельно стоящие стены, не име-
ющие соприкосновения с наруж-
ной стеной, как раз и являются
ловушками для неопытных людей
в лабиринте: ходи вокруг них, не
двигаясь ни вперед — к центру,
ни назад —к выходу. Ну, я про-
должаю! Вот вам еще очень сим-
патичный лабиринт, небольшой,
но довольно сложный. Дедушка
сказал, что можно всякий лаби-
ринт обнести еще стеной. Здесь
устроено так, что имеются целые
четыре независимые друг от дру-
га системы стен (стр. 78). Мы
нарисовали план путей этого лабиринта. Смотрите-ка! Буквами
обозначены основные узлы, или перекрестки, этого поучительного
лабиринта (см. три чертежа на стр. 78 и 79).
— Четыре нечетных узла, — заметил Вовка.
— Теперь мы упрощаем этот план, образуя схему, где все по-
вороты коридоров лабиринта выровнены. Как видите, все довольно
просто. Теперь начинается изъятие петель при помощи наших знаков
запрета. А вслед за этим наш лабиринт превращается в дерево.
А его обойти ничего не стоит. Вот, значит, как надо разбираться
в лабиринте. Я кончил.
— И наконец, — сказал, приподнявшись, председатель Никита,—
от лица нашей, как уже было сказано, Львино-Никитской комиссии
мы подносим конференции один особый лабиринт, который смело
можно назвать Сверхфиладельфийский! Тот, кто его разберет по
косточкам и все в нем объяснит, заслуживает серьезной награды.
77
— Д-да!— вымолвил дедушка,
взглянув на чертеж Сверхфила-
дельфийского лабиринта. — При-
дется тебе, Вовушка, постараться!
Интересный лабиринт. Недурен,
ничего не скажешь (стр. 79).
— Мы тебе поможем, Вовоч-
ка, ты не трусь! — сказала Ве-
точка.
— Трусить! — презрительно сказал Вовка, в полном недоумении
смотря на запутанный чертеж. — Да они сами-то пройдут или нет?
Напутали!..
— Секретарь! — внушительно произнес Ника, скрестив руки на
груди. — Первое условие успеха в неизведанных странах — это, с од-
ной стороны, осторожность и неторопливость, но с другой — отвага
и бесстрашие! Могу тебе кое-что сообщить доверительно насчет этого
удивительного лабиринта. Если ты составишь план его путей, как мы
делали только что, то получишь нечто вроде любимых твоих одно-
черкальных фигурок, где можно насчитать до двадцати узлов, из
которых многие тройные, а есть и пятерные. Не страшись их, секре-
тарь! Начерти их. А затем составь схему, по которой лабиринт пре-
вращается в дерево. И я смею заверить тебя, секретарь, что все
разберется так, что лучше и не надо!
— Если наш докладчик, Лева, — заговорила Веточка, — окончил,
то у меня вопрос к нему. Скажи, пожалуйста, Левушка, а после
того как ты расставил все свои знаки по лабиринту, нельзя ли пройти
по нему, пользуясь твоим старым правилом одной руки? Как будто
это возможно.
— Разумеется, — сказал Лева, — вполне возможно, но при том
обязательном условии, что, когда ты встретишь направо от себя,
если ты, скажем, решила идти по правой руке, дверь, за которой
виднеется наш знак запрета — две простые стрелки, направленные
в разные стороны, — то ты будешь считать...
— ...что никакой двери здесь и
нет! — подсказала Веточка. — Так?
— Совершенно правильно!
— Ну вот, спасибо! Я так и поду-
мала, но решила спросить тебя. По-
тому что, раз это уж дерево... то...
_м _______________	— Ясно! — кивнул ей Лева.
I.—...-'. ' ' *1. .'.........—	Так, — сказал Тимофей Иринар-
1	хович, — допустим, я прошел все пути
78
лабиринта два раза, а могу ли я их
обойти не два, а три раза и обяза-
тельно каждый путь?
— По-моему, нет, — ответила На-
таша, — ведь это было бы все равно,
как если бы вы захотели сделать этот
обход за один раз, а это для фигуры
с большим числом нечетных узлов не-
возможно.
8.
— Теперь, — сказал Никита, — пе-
ред самым закрытием нашей превос-
ходной конференции Тускарийской, я
должен задать собравшимся, и в
частности именно Вове, один важный
вопрос. Представь себе, Вова, что ты
Тезей...
— Ну какой же он Тезей! — ввернул Лева. — Он...
— Дедушка! — жалобно сказал Вовка. — Ведь ты же, дедушка,
видишь, он меня прямо заел!
— Постой!—сказал Леве Ника. — Вопрос серьезный. Так, значит,
Вова, ты Тезей и идешь по страшному Критскому лабиринту со своей
палицей. Ниточка у тебя прикреплена у самого входа в лабиринт,
и ты все время разматываешь моточек царевны...
Лева собирался еще подразниться, но дед погрозил ему паль-
цем — и он смолчал.
— Идешь, идешь, коридор за-
ворачивает, и вот ты выходишь
в новый коридор. Ты еще не зна-
ешь, куда тебе двинуться — на-
право или налево. И вдруг смо-
тришь — и видишь, что вдоль
этого нового коридора лежит твоя
ниточка! Что ты должен в этом
случае делать? Как надо посту-
пить?
— Значит, я уж там прохо-
дил, — сказал Вовка, — это не
новый коридор.
- Ну и что же?
— Значит... значит, я попал в петлю.
— И как же быть?
— Как быть?.. Дедушка, а ты не знаешь, как тут быть?
— Нет! — ответил дедушка. — Откуда мне знать?
— Тогда, — сказал совершенно растерявшийся Вовка,— я бы...
я бы... Знаешь, Ника, я пошел бы назад.
— Отлично! — сказал дед. — Умник, не подвел деда!
— Верно! — подтвердила Веточка. — Ты действительно должен
пойти назад, пока не выйдешь к тому перекрестку, откуда начался
твой последний путь... лучше даже сказать — последний отрезок
твоего пути, тот самый, который и привел тебя к уже пройденному
коридору. Это ведь и есть как раз тот самый случай изъятия петли,
который предусмотрен правилом двух знаков: второго и третьего.
Вот я начертила, смотри: путь до встречи с ниткой обозначен сплош-
ной линией, а пунктиром показано, что следует делать дальше.
— И у меня тоже есть для Вовочки вопрос, — заявила Наташа.
— Пожалуйста! — сказал Ника.
— Представь себе, Вова, что ты, будучи героем Тезеем, дошел до
центра страшного Критского лабиринта, сразился там, в самом
центре, с людоедом Минотавром, поразил его своей палицей и ду-
маешь идти обратно. А на земле у входа в центр лежит твой моточек,
который, конечно, размотался и стал совсем тоненьким. Тебе пора
идти назад. Как ты здесь должен поступить, чтобы как можно по-
скорей добраться до выхода? Ну-ка?
— Пойду назад... — ответил Вовка, — ну... по ниточке.
— Это верно, — сказала Наташа, — но тогда ведь тебе придется
опять заново обходить все те закоулки, когда тебе приходилось кру-
жить, возвращаться назад, вот, когда ты ниточку свою встречал.
А нельзя ли этого избежать, как ты думаешь?
Вовка вздохнул и молча пожал плечами.
— А покороче как-нибудь разве дойти
нельзя, Вовушка? — спросил дед. — Подумай-
ка! Нитка ведь у тебя там крепко прикреплена,
у входа в лабиринт, не оторвется? А? ..
— Нет, — сказал в сомнении Вовка, — не
оторвется... A-а, понял! Можно пройти по-
скорее.
— Как?
— Потяну к себе потихонечку ниточку к
центру — она у меня изо всех закоулков и вы-
лезет. А тогда я прямо и пойду к выходу.
80
— Имей в виду,— заметил ему Лева,—
что ты только тогда можешь ее так выта-
щить, если шел правильно. А если ты путал,
то не только из центра, а даже и от самого
входа можешь не вытащить. А ведь мама велела, чтобы цело было,
помнишь?
— Будет тебе, Левка! — сказал дед. — Он все нам сказал верно.
Старайся, Вовушка, так и надо!
— Правильно! — сказал Ника. — Молодец секретарь!
И все тускарийцы захлопали в ладоши.
— В силу этого, — продолжал Ника, — от имени президиума
конференции Вове подносится превосходный чертеж великолепнейшей
одночеркальной фигуры, которую построил сам знаменитый геометр
Иоганн-Бенедикт Листинг, а он по этой части был великий мастер,
на радость и утешение всем юным одночеркателям... Прошу при-
нять, Вова!
— Путеводительный моток ниток царевны Ариадны, — добавил
дедушка Тимоша, — еще и по-другому может нам помочь, и помочь
даже лучше, чем до сих пор помогал. Представьте себе, что герой
идет с моточком по лабиринту. При этом, гак как Тезей был юноша
догадливый, то он уже заранее старается обеспечить себе самый ко-
роткий путь в обратную сторону. Поэтому, когда он идет вперед пра-
вильным путем, он разматывает свой клубочек ниток, а когда попа-
дает в петлю и снова натыкается на нитку, которая ведь является
его собственным следом, он тут же идет обратно...
— Конечно, обратно! — торжественно подтвердил Вовка.
— .. .и при этом уж не разматывает свой клубочек, а наматывает
нитки снова на клубочек. Вот как помогает нам еще ниточка
Ариадны'.
— Теперь, значит, наша конференция закончила свои труды? —
несколько разочарованно спросила Веточка.
— Жаль, если так! — поддержала ее Наташа.
— А знаете что, — предложила Веточка,—давайте-ка устроим
такую викторину...
— В твою честь! — заметил Ника.
— Ах! Я и не подумала об этом! — застеснялась Веточка, слегка
6 Архимедово лето
1 Читатель найдет рассуждение о мотке Ариад-
ны в очень хорошей книжке Б. А. Трахтенброта
«Алгоритмы и машинное решение задач». Гос-
техиздат, М., 1957, серия «Популярные лекции по
математике», вып. 26. Книжка недорогая, стоит
всего 1 р. 60 к.
81
порозовев. — Нет, правда! Такую, где всякий может предлагать раз-
ные задачи... но только не скучные!.. а другие отгадывают и тоже,
в свою очередь, предлагают. Как вы думаете?
— Ну что ж, — сказал дед, — очень хорошо!
— Значит, устраиваем, — решил Лева. — Товарищ ученый секре-
тарь даст нам всем знать, на какой день у нас назначается особое
викторианское...
— .. .веточкианское! — ввернул Вовка.
— ... загадочное совещание!
— Ах, во-от как! — сказала Веточка Вовке, прищурившись.— Куда
конь с копытом, туда и рак с клешней? Тогда вот тебе в назидание
задачка от меня: изволь разделить число десять на две такие части,
чтобы их разность равнялась единице. Понял? Ну-ка!
— Э-э!—закричал Лева. — Ты задаешь задачу, а я сейчас же
предлагаю замечательное решение! Вот какое: напишу на бумажке
число десять, а потом разорву ее пополам, как раз между единицей
и нулем. Вот я и разделил твою десятку надвое, и разность между
двумя частями равна единице! Хорошо?
— Ишь ты какой! — рассмеялась от души Веточка над Левкиной
выдумкой. — Ишь, какой ловкий!.. Ты, Вовочка, ему все-таки не
очень верь! Все это так, но это ведь просто баловство, а у моей задачи
есть и настоящее решение. Найди-ка его!
Глава седьмая
Конференция с викториной. — Небылица про Великого Могола, про
семьдесят семь слонов. — Не очень надежные, но зато необыкновенно
легкие способы сокращать дроби и решать задачи. — Совершенно
невозможное доказательство. — Как опасно слушать подсказыва-
ние. — Интересные задачи со спичками
1.
Когда Наташа подошла к Левиной даче, откуда-то из-за кустов
сейчас же выполз Вовка и вполголоса, словно по секрету, сказал ей:
— Папа наш приехал!
— Ты доволен?
Вовка кивнул. Дети вошли в садик.
— А где ж твоя подруга Веточка? — спросила Мария Алек-
сеевна.
— Разбирают с моей мамой узоры для вышивания. Сейчас при-
бежит.
— Хорошие узоры? Гладью?
— Крестиком, — ответила Наташа. — Для подушки.
— Надо и мне посмотреть.
В это время подошел Лева, положив палец на губы в знак полного
молчания. Сделал еще несколько совершенно загадочных знаков
Наташе и сказал матери шепотом:
— Мама, я пойду поговорю!
— Лева, — сказала настойчиво Мария Алексеевна и тоже негром-
ко, — это, знаешь, вовсе не так просто, как тебе кажется! А папа кое-
как делать не любит. Советую подождать Он только что из города,
устал, у него совещание было. Умоется, закусит, отдохнет, тогда мо-
жешь поговорить. Подожди. Куда торопиться — завтра воскресенье!
Лева смотрел на мать недовольно, но спорить не решился.
— Подожди,— повторила мама помягче. — Смотри, рассер-
дишь — дольше ждать придется.
— Истинная правда! — отозвался дед из гамака.
— Пойдем, Лева, пройдемся. Видел, какие разборные ульи у Са-
востьяновых поставили? — сказала Наташа.
Лева неохотно повернулся и пошел к калитке. Вовка немедленно
увязался за ними.
Часика через два вернулись целой гурьбой. Потому что, как
только они вышли к речке, их увидали с горки Веточка с Никой и
присоединились к ним. На террасе сидел папа, посматривал на густые
кисти лиловой сирени и одной рукой лениво пошевеливал газету.
— Однако! — сказал он. — Целая толпа народу. Ну, как вы,
герои, нагулялись? Всё ли в порядке?
Вовка полез к отцу на колени, а Лева внимательно посмотрел на
Марию Алексеевну. Та взглянула на него и тихонько опустила веки,
что обозначало: «Можно...» Лева встрепенулся.
— Вовка, — сказал он, — чего ты, правда, пристал к папе? Он
устал — у него совещание было!
Вовка поглядел на отца с испугом, но папа сказал:
— Ладно, пусть сидит.
— Вот что, — сказал Лева, высоко подняв брови, а вид у него стал
сразу взъерошенный и отчаянный: — а я давно уже, папа, видишь ли,
хотел с тобой всерьез поговорить... Конечно, это не так просто! ..
— С ума сойти! —отвечал папа. — Что это с тобой случилось?
Кругом засмеялись.
— Папа! — возмущенно сказал Лева, —Я совершенно серьезно
говорю. Понимаешь?
— Еше того не легче! — отвечал ему отец. — Ну, выкладывай, в
чем дело. Надеюсь, не секрет?
84
— Да нет! — продолжал Лева, пожимая плечами. — Какой там
еше секрет! Дело вот в чем... Да ты не смейся! .. Ты мне обещал —
и давно уж, да! — рассказать про Архимеда. Разве ты не помнишь?
И не так вообще, что вот дескать был такой, а потом сейчас же начи-
наются эти ваши любимые фразы, что отстань, «вырастешь — узна-
ешь»! .. Нет, не так, а по-настоящему, как следует!
И вот ты приехал. .. А у нас в это лето, ну, просто
замечательная компания ребят подобралась! Такие
ребята...
— Конференция! — закричал Вовка, не утер-
пев. — Да, ты понимаешь, Тускарийская конферен-
ция, наша!! Я секретарь! Все записано в старую
тетрадку из-под чистописания! Архив есть... Я на-
гражден... знаешь, чем? ..
— Слышал, слышал, — отвечал папа.
— Ну вот видишь! — в отчаянии воскликнул	* w
Лева.
— Значит, ты говоришь, — задумчиво произнес папа, — что будто
бы надо рассказать... И вся эта компания тебя поддерживает? И де-
вочки тоже? .. Вот беда какая!
— Мы полностью поддерживаем, Николай Тимофеич! — сказала
Наташа.
— Длинная история!.. — папа немного поморщился. — Кстати,
ты, Наташа, можешь меня просто звать дядя Коля, и Веточка то же
самое. У нас это так уж повелось.
— Вот спасибо, дядя Коля! — откликнулась Веточка.
— Да нет!—завопил Лева. — Что вы там о пустяках!.. Нет, ты
объясни, папа. А что тут такого, что длинная история? Я не понимаю.
Совершенно не понимаю!
Мама внимательно поглядела на папу, тихонько вздохнула, усе-
лась за стол, спокойно подперлась кулачком, отвернулась в другую
сторону и будто нехотя проговорила:
— Разумеется, для лета довольно сухая материя... Купание, реч-
ка — это все гораздо веселей. Но если уж им так хочется! А...
зимой? Уж не знаю! Ведь девятый класс! Очень занят мальчик будет,
пожалуй...
Лева поглядел сперва на одного, потом на другую, перевел взгляд
еще раз и никак не мог сообразить: в его это пользу говорится
или нет?
— Эх! — промолвил папа, покачав головой. — Ну что мне с то-
бой делать? Да еще такая огромная компания настоящих разбой
ников...
85
Мама ушла на минутку, а потом принесла папе стакан крепкого
чая, нарезанный черный хлеб, масло и тертый зеленый сыр.
— Ладно! — произнес папа, поразмыслив и выбирая себе ломтик
хлебца потоньше. — Возможно, что ты, Левка, в некотором роде, так
сказать, и прав...
— Ну конечно, он совершенно прав, дядя Коля! — сказала Ната-
ша. — И мы все тоже будем очень-очень рады, если вы расска-
жете.
— Н-да! — произнес дядя Коля, скушав свой кусочек и посматри-
вая, нет ли еще такого же тоненького. — Превосходная штука, если
зеленый сыр с маслом да с черненьким хлебцем! Так-с... Значит, на
повестке вопрос: прав Лева или нет? Я согласен, что до известной
степени он, пожалуй, прав. Разговор такой был.
— Ну, как же ты решаешь? — спросила мама.
Девочки переглянулись, а у Левы отлегло от сердца. Мама явно
помогала.
— Как решаю! — воскликнул Николай Тимофеич, шумно вздох-
нув. — Легко сказать! Ох-ох-ох! Ну что ж я могу сделать, когда вас
такая пропасть, а я один-одинешенек? Вот как я решаю: принимая во
внимание, что у меня шестого числа будущего месяца начинается
отпуск и мы, значит, собирались удить рыбку, кататься по травке,
землянику собирать, коли она еще не сойдет, или, например, соловьев
послушать...
— Поют, — закричал Вовка, — вовсю поют! Вот у нас на жимоло-
сти сидел вчера. Да к твоему отпуску они уж перестанут!
— Не лезь, Вовка! .. — прошипел Лева, потихоньку показывая
брату кулак. — Папа, да говори скорей!
— Так вот, по всей видимости... — продолжал папа, выбрав нако-
нец подходящий кусочек хлебца, намазав его и опрокинув маслом
вниз прямо на тарелочку с натертым сыром. — А знаешь, Лева, сыр
просто недурен! Это не ты покупал?.. Боюсь, что окажется нуж-
ным... или допустим...
— ... рассказать... — тихонько подсказала Веточка.
— .. .или, скажем, изложить, — продолжал ей в тон дядя Коля
совершенно невозмутимо, — в форме более или менее доступной для
малышей и несмышленышей...
— Которые это малыши? — мрачно проворчал Лева.
— Которые, конечно, захотят меня слушать... Н-да-с! А не хо-
чешь — не надо...
— Мы, дядя Коля, очень хотим. Просто просим вас!—сказал до
сих пор молчавший Ника.
— В более или менее, говорю я, доступной форме изложить то
86

именно, чего от меня и добивается с таким упорством Левка, мой
сынок ненаглядный?
— То есть? — закричал Лева совсем другим голосом.
— Про Архимеда, великого ученого древности. И даже можно без
опаски сказать: величайшего!
— Ура! — закричал Лева. — Победа! Вопрос согласован! Все
ясно! Значит, после шестого?
— После шестого.
— Вот за это спасибо! — вымолвил Никита. — Амы тем временем
проведем наше загадочное совещание.
— Знаете что? — сказала Наташа. — Пойдемте-ка к нам. Дядя
Коля отдохнет на терраске... А у нас очень хорошо.
— А дедушка? — спросил Вовка.
— Э-эх! — промолвил Тимофей Иринархович, выбираясь из вы-
соко подвешенного гамака. — Ну что ж делать! Поплетусь уж и я
с вами. А мама-то твоя, Вера Васильевна, меня не прогонит?
— Не прогонит, — ответила Веточка за подругу.
И вся компания двинулась к Наташе.
С шутками, разговорами, смехом пришли к Вере Васильевне. Ника
состроил сумрачную мину и заявил:
— Предлагаю выбрать председателя совещания. В силу того,
что оно — по условию — загадочное, то председательствовать должна
Веточка, вот что!
— Пожалуйте-ка, Виктория Викторовна!—сказала Наташа, по-
казывая Веточке на кресло.
— Ну! — сказал дедушка. — Коли она еще и «Викторовна», так
какой тут еще может быть разговор! Председательствуй — и ника-
ких, Викторина Викторовна!
— Внимание! Внимание! — сказала Веточка. — Раз уж я безо вся-
кого основания попала в председатели, так вы не думайте, что я ма-
ленького роста, значит, меня можно не слушаться, ничего подобного!
У меня ухо держи востро! Ну-ка, все по местам! Открывается заседа-
ние Первого Тускарийского Загадочного Совещания. Слово для сроч-
ного сообщения об одном ужаснейшем... просто вспомнить страш-
но! .. леденящем душу происшествии имеет Никита. Слушайте!
— Так вот.. . — начал Никита, пугливо озираясь и самым нудным
голосом, который только мог из себя выдавить.— Я расскажу вам
сейчас ужасную загадочную историю, которая случилась давно, очень
давно, так давно, что все ее даже позабыли и вот только недавно
еле-еле вспомнили...
— «Нет ли небылицы иль старинной были?..» —продекламировал
Тимофей Иринархович. — Старинная быль — штука хорошая.
88
— А что это вы говорите, дедушка? — спросила Наташа. — Что
это за небылица?
— Такой стишок есть. Дельвига, приятеля Пушкина. А Глинка на
него романс написал. Вот и вспоминается...
— Как раз, — сказал Ника, — на небылицу, по правде сказать,
моя ужаснейшая история гораздо больше смахивает. Но на сего-
дняшнем заседании надлежит утверждать, что все это чистая правда,
и так оно и было.
— Слушаем! — сказала Наташа.
— Некогда, — начал Никита, — за лесами, за морями, за скали-
стыми горами, где-то далеко, в сказочном царстве Великого Могола,
где все было из чистейшего мрамора и порфира, повсюду били рос-
кошно-прохладные фонтаны и летали самые настоящие райские
птицы, вдруг приходит к самому Великому Моголу его визирь, кла-
няется ему до земли, как у них тогда положено было, и говорит, что
вот, дескать, так и так — уж извините! — приехали послы из самой
высокой страны... Тот спрашивает: «Визирь, а какая это самая высо-
кая у нас? Я забыл!» Заинтересовался, даже газету уронил на пол...
— Вот врет! — с изумлением сказал Вовка. — Какая же тогда
газета? ..
— Постой, Вова! — сказал дед. — Знаешь поговорку: не любо—
не слушай, а врать не мешай!
— Именно! — отозвался Никита вполне серьезно и продолжал. —
Визирь поднял ему газету и говорит: «Это которая на самой верхушке,
на Гималайских горах. И они просят разрешения поговорить с ва-
шей милостью». — «Не может быть! — говорит Великий Могол.—
Я занят». — «Я уж им говорил», — отвечает визирь, вздыхая.—
«Хорошо, — отвечает Великий Могол. — Позови придворных, зажгите
большую люстру»...
— Люстру! — повторил Вовка.
— Тсс! — сказала председательница.
— «Мальчика с опахалом, музыку с турецкими барабанами, вооб-
ще чтобы все было, как следует. И объясни им, что это великая
честь, а то я им покажу, понимаешь?» — «Как не понимать!» — гово-
рит визирь, почесывая в затылке. Ну, позвали придворных, зажгли
люстру в тысячу двести тридцать четыре свечи, привели ученых
обезьян, накурили благовониями, ковры свежие притащили, пришел
мальчик и принес огромное опахало из настоящих павлиньих перьев,
чтобы махать над Великим Моголом, и пустили в зал трех мух, чтобы
мальчику было что отгонять...
— Все неправда! — сказал возмущенный Вовка. — Как же это так
они мух по счету пускали?
89
— Тише, тише, Вовка! — отвечала Наташа. — Слушай!
— Входят послы. Их уже настращали до того, что у них еле
языки ворочаются. Снимают они свои высокие бараньи шапки и рас-
сказывают следующую ужасную историю. У них был свой Могол,
только не великий, а так, не очень большой. Он состарился и помер.
Оставил трех сыновей. А сыновьям — наследство. Громадное наслед-
ство— одних алмазов два погреба. А кроме того, он им оставил це-
лое стадо замечательных ученых ручных слонов, один лучше другого.
И велел всё поделить по совести. А про стадо сказал так: дайте стар-
шему сыну треть всего слоновьего стада, среднему сыну — одну ше-
стую стада, а младшему — одну двенадцатую. Тут все, даже ученые
обезьяны, удивились — о чем же тут говорить? Все так просто! Ока-
зывается, не так-то просто. Дело в том, что слонов-то было ровно
семьдесят семь голов. А от семидесяти семи слонов, говорит посол
с самой верхушки Гималайских гор, невозможно отделить одну треть
без того, чтобы одного живого слона не разделить натрое...
— Все нарочно! — возмутился опять Вовка. — Я не буду этого
записывать!
— Постой, постой, Вовочка, это еще не все! Слушай дальше...
Нельзя отделить, так как тогда придется от одного живого слона
отрезать целую треть, а если так поступить с живым слоном...
— .. .то он издохнет! — сказал Вовка. — Ну что ты рассказыва-
ешь? Прямо уши вянут.. .
— Это верно, что издохнет, — отвечал докладчик. — Так вот это-то
им и не нравилось. В этом-то вся и трудность была. Нарушить пра-
вила завещания нельзя, а сделать так, как там написано, тоже невоз-
можно. Они затем и приехали, чтобы их научили, как им быть. Пони-
маешь? А когда Великий Могол это услыхал, он начал сердиться, вот
вроде тебя, Вова. Тут придворные и визирь стали перешептываться,
потому что он шутить не любил. И вдруг нашелся нежданный избави-
тель. Мальчик с опахалом пригрозил своим мухам, чтобы они не
90

приставали к повелителю, и говорит: «Позволь-
те мне!» Могол сидит ужасно сердитый и мол-
чит. А визирь и кивнул мальчику: «Говори,
дескать, будь что будет!» Мальчик и говорит:
«Позвольте, я их помирю. Дайте мне, говорит,
на две недели пятьдесят пять ослов из царской
конюшни. Я пойду с ними на самую верхушку
Гималайских гор, а потом вернусь с ослами
невредимо назад, поделю их без обиды, вот и
все!» Моголу все это ужасно надоело, и он
махнул рукой: «Убирайтесь и делайте как хо-
тите!» Вот они и поехали. Ехали, ехали, до-
брались до места. Послы говорят своим: «Ну,
смотрите, слушайтесь этого мальчишку, а то
нам плохо будет!» А мальчик говорит: «Ве-
дите сюда ваших слонов». Приводят целое ста-
до огромных слонов. Он велел их поставить
в ряд. А рядом выстроил всех своих ослов. Все
высыпали на улицу — что такое будет? «Те-
перь,— говорит им мальчик, — значит, у нас
здесь стоит сто тридцать два зверя. Верно?»
«Верно», — отвечают те. «Разделите на три!»
Ну, те кое-как разделили...
— Сорок четыре! — быстро ответил Вовка.
— «Так, — говорит мальчик. — Это будет
доля старшего сына. Делите теперь сто трид-
цать два на шесть».
— Пополам! — отвечал Вовка. — Двадцать
два!
— «Верно! — говорит мальчик. — Делите
теперь на двенадцать».
— Еще пополам! — отвечал Вовка.— Один-
надцать!
— «Ну вот вам, — говорит мальчик, — и
все ваши слоны поделились!»
— Верно! — воскликнул Вовка, успевший
сложить на бумажке. — Вот так здорово!
— «Ну, а теперь, — говорит им мальчик, —
будьте здоровы, счастливо оставаться, а мои
царские ослики пойдут со мной, извините,
обратно, потому что, как выяснилось, ослов
в вашей стране вполне достаточно!..»
92
— Как же это так вышло? — сказал Вовка удивленный. — Делил
сто тридцать два, а разделил семьдесят семь!
— А вот в том-то и загадка! — сказал дед. — Ведь у нас сегодня
загадочное совещание. Вот ты и разбирай, как это у него вышло.
— Ну, это нетрудно! — заметила Наташа.
— Ничего, — ответил дедушка, — пусть повозится. Ему в самый
раз. Пропорциональное деление...
2.
— Следующий доклад делает Наташа, — заявила председатель-
ница.
— Мой доклад очень полезный, — сказала Наташа и тут же рас-
хохоталась. — Дело в том, что в школе нас учат сокращать дроби
очень длинным способом. Разлагать на множители, потом общее наи-
меньшее кратное искать, ужас какая канитель! Так вот мы от нашей
Вето-Ташенькиной секции предлагаем усовершенствованные способы
сокращения дробей. Очень все коротко и ясно делается. Вот как со-
кращается у нас дробь шестнадцать шестьдесят четвертых. Смотрите:
я просто вычеркиваю сразу шестерку в числителе и в знаменателе,
получаю одну четверть — и готово! Можете проверять!
— А разве так можно? — с ужасом сказал Вовка. — Как же это
так вычеркиваешь, у тебя даже там ничего и не остается! Как так?
— А ведь вышло-то верно? — спросил дед.
— Сейчас еще покажу, — сказала Наташа. — Вот дробь девятнад-
цать девяносто пятых. Девятки вон — и готово: получается одна
пятая, точь-в-точь. Мало вам — еще покажу. Вот дробь двадцать
шесть шестьдесят пятых, снова шестерки вычеркиваю, получаю пра-
вильный ответ: две пятых. Еще могу привести один пример: сорок
девять девяносто восьмых. Вычеркиваю разом обе девятки — и в от-
вете получаю правильно: четыре восьмых.
— Мне кажется, — сказал Лева, — это уж не так трудно разо-
брать. Я берусь.
— Но ведь так нельзя же делать? — жалобно сказал Вовка.
— Вообще нельзя, — отвечал Лева, — а иной раз, как видишь,
выходит, что и можно. Есть на свете такие неопределенные уравнения!
— Вот тебе и наука, — заметил дедушка, — вот ты и примечай.
И не забывай, что если у тебя в отдельных, то есть в частных, слу-
чаях что-то такое выходит, то это вовсе еще не значит, что оно всегда
будет выходить. Вот и надо каждое правило, которое ты применяешь,
проверять не на частном случае, а рассматривать вообще
93
— А я все-таки не пойму, — недовольно произнесла
Веточка, — о каком это ты, Левушка, неопределенном
уравнении говоришь?
— О каком уравнении? — повторил Лева. — Могу по-
казать.
— Показывай! — сердито крикнул Вовка.
Лева лукаво глянул на Вовку и начал свое объяс-
нение:
— Возьмем какой-нибудь из примеров: ну хотя бы
девятнадцать девяносто пятых. Назовем девятку бук-
вой а и пятерку буквой Ь, а затем записываем алгебраи-
чески какую-нибудь из Наташиных задачек. Получаем
вот что:
10 + а _ 1
10а + b ~ b ’
м
ж
ж
я
а отсюда можно вывести — только торопиться не надо! — что
буква а, которую можно без стеснения вычеркнуть, вместо того
чтобы сокращать дробь по всем правилам искусства, определяет-
ся из такой формулы:
9&
а — 10^6 •
Ну, а как только ты это вывел, подставляй в эту формулу чис-
ло за числом от единицы до девятки на место буквы Ь, и, когда а
у тебя получится целым числом в тех же пределах, получишь
решение. Вот и всё! Пиши, секретарь! Пиши, чернильная душа!
Но ученый секретарь Тускарийский был все еще не в ладах
с алгебраическими знаками и поэтому он только сердито отвер-
нулся, вздохнул, подумал и шепотом произнес:
— Сам чернильный!..
— Теперь, если Вова нам позволит немножко алгеброй по-
забавиться, то можно еще кое-что показать, — сказала Ната-
ша.— Ну, тоже шутки, конечно. Я беру формулу:
а + Ьс
а+ Ь
и утверждаю, что можно сократить букву Ь. Тогда у меня полу-
чается вот что:
а + Ьс_а + с
а + Ь а
94
Вы скажете—неверно! Но я доказываю подстановкой, то есть про-
веряю на числах. Пусть мое а = 6, b — 2, а с = 3. Тогда я сокращаю
два и два и получаю:
64-2-3	6 + 3	3
6 + 2 — 6 ~~ 2 •
Все верно. Еще такой же пример:
2 + 3-6	2 + 6
..2 + 3 =—у-— *•
Может быть, ты, Лева, и это разберешь?
— Хорошо, — отвечал мальчик. — Как будто нетрудно. Я со своей
стороны могу предложить очень полезное доказательство того, что
число одиннадцать в точности равняется числу двенадцати...
— Неправда... — прошептал Вовка.
— Ну хоть по-твоему и неправда, а я сейчас докажу. И выйдет
правда. Смотри: пишу
144 — 121 =276—253.
Верно или нет?
— Постой! — закричал Вовка. — Постой... Да, верно — выходит
двадцать три.
— Теперь из каждой части равенства я вычитаю одно и то же
число. Если от равных отнять равные, получится опять равное...
С этим ты, Вовка, спорить не станешь?
— Так и сам Евклид говорит, — заметил дед.
— Слышишь? — сказал Лева.— Сам Евклид так говорит. А ты
с этим согласен?
— Кажется... согласен.
— Ну вот, я напишу, а ты проверяй:
144 — 121 — 155 = 276 — 155 —253.
— Не вычитается! — жалобно сказал Вова.
— Это отрицательные числа! — объяснила Веточка. — Не бойся,
Вовочка, выходит верно. Надо из ста пятидесяти пяти вычесть два-
дцать три и получится сто тридцать два, а на знак не обращай вни-
мания.
— Это верно, дедушка?
— Верно, верно, — ответил Тимофей Иринархович, — покуда он
нас еще не обманул. Посмотрим, что дальше будет.
95
— Дальше я получаю:
144 — 276= 121 — 253.
— Н-да, — промолвил дед, — ну, можно и так. А дальше?
— Дальше прибавлю к каждой части моего равенства одну и ту
же дробь, отчего справедливость его не нарушается:
144-276 + ^=121 -253 + ^.
А теперь вижу, что обе части моего равенства суть полные квадраты,
а значит, можно написать:
(12 - I)’ - (11 -	.
Извлекаю квадратный корень и получаю:
12 —у=11 -у.
Ну, тут уж всякий видит, что дроби взаимно уничтожаются и в ре-
зультате:
11 = 12.
— Путал, путал... — сказал огорченно Вовка.
— Для тебя немножко хитро, Вовка, — отвечала Веточка, — а по-
моему так. Пока дело не дошло до корня, все было верно... Однако
из того, что равны квадраты, еще не следует, что и первые степени
равны...
— Отгадала! — сказал дед.
— Не вышло! — сказал Вовка. — Не мог обмануть. Не равняется
у тебя, все врешь! Ты придумал, а Веточка тебя и поймала!
— Ну, если об алгебре, — сказал Никита, — то и я могу привести
пример одного замечательного деления. Вызывают двоечника к доске.
Педагог ему диктует: «Пиши: а2—Ь2 разделить на а+ 6». Он напи-
сал и стоит, ничего не может. Тогда ребята с передней парты ему шеп-
чут: «а — Ь, а — Ьъ. Он повторяет громко: «а—Ь-». Преподаватель
видит, что это он просто так бубнит, и спрашивает: «А почему?» Тот
подумал и отвечает: «Делю а2 на а, будет а; минус на плюс, будет
минус; Ь2 на Ь, будетй». — «Очень хорошо!— рычит на него педагог. —
96
Квадрат, говоришь ты? Вот я тебе квадрат и поставлю!» И вклеивает
ему двойку.
— Неважный ученичок! — сказал дед. — Неважный! В этом роде
я тоже приведу пример, как один лентяй решал два уравнения с двумя
неизвестными. Ему дали два уравнения:
х —2 _ 3	х — 1 _ .
у—1 ~ 5 ’ у — 2 ~~ *•
Решай! Он стал их решать так: если, рассуждает он,
х__ 2 ___3_
У —у —у,
то, очевидно,
х 3_____ 2
у — у —у-
Но коли так, то, по его мнению, можно написать:
х__3 + 2___5
а отсюда у него сразу выходит х = 5, у = 6. Вот и всё!
— Ловко! — сказал Лева. — Обошелся даже и без второго урав-
нения. А ведь верно получилось!
— Ну, — сказала Наташа, — это Вове скучно... Ну-ка, Вова,
напиши мне число тридцать один пятью тройками!
— Наташенька, — сказал Вовка жалобно, — покажи ты!
Наташа засмеялась:
38 + 3 + у = 31.
— Стой! — сказал заинтересованный Вовка. — Это я знаю — это
куб, то есть три в кубе... это будет... будет двадцать семь. Да...
Верно! Я это запишу.
— Я предлагаю задачку со спичками, — сказала Веточка. — Вот я
кладу десять спичек подряд, как единички. Требуется положить их
парами, одна на другую, крестиком. Но при этом такие условия: пер-
вое — можно перепрыгивать только через две спички, то есть перекла-
дывать, например, седьмую на десятую или обратно; второе — каж-
дую спичку можно перекладывать только один раз. Решается в пять
ходов.
1 Архимедово лето
97
— Спичек десять, — сообразил Вовка, — а пар пять бу-
дет-
— Правильно, Вовочка! Ну, давай решай!
му — Две так остаются, лежат отдельно... — огорченно заме-
тил Вовка.
— И у меня тоже так вышло, — подтвердил Никита.
Уу^ — А надо рассудить, как сделать, чтобы не оставалось от-
дельных спичек, — сказал Вове дед.
— Я сделал! — сказал Лева. — Не так хитро. Но все-таки.
Вот решение. Раскладываю спички по порядку:
123456789 10.
Делать можно, конечно, по-разному. Но я вот так сделал:
кладу четвертую спичку на первую, затем шестую на девятую, потом
восьмую на третью... Ну, а уж теперь всякому ясно, как поступать
дальше. Пятую на вторую или наоборот, а затем десятую на седьмую
или, если тебе больше нравится, седьмую на десятую. Теперь я запи-
сываю расположение, которое получается после перекладки, каждая
пара спичек стоит в скобках, причем первой стоит спичка, которую
я перекладываю, а второй, которая остается на месте:
(4; 1) (8; 3) (2; 5) (6; 9) (7; 10).
Начинать надо в определенном порядке, как я уже сказал.
— А у меня вышло, — сказала Наташа, — немножко не так: я
сперва положила седьмую на десятую, затем четвертую на восьмую и
шестую на вторую... Попросту сказать, Левка начал с левого конца,
а я с правого, вот и всё:
(6; 2) (1; 3) (4; 8) (5; 9) (7; 10).
— А как бы это понять, дедушка? — спросил Вовка.
— Попробуй взять поменьше спичек, — посоветовал тот.
Вовка взял четыре спички, потом прибавил еще две.
— Шесть не выходит! — сказал он. — Возьму еще две.
— Очень хорошо, — ответила ему Наташа. — Ты видел сейчас,
что с шестью спичками не выходит. Так вот, когда будешь склады-
вать, смотри, чтобы не вышло так, что ты задачу с десятью или
восемью спичками приведешь к невозможному случаю, то есть
к шести.
— Как так? — удивился Вовка.
— А вот как. Разложишь свои десять спичек по порядку, а потом
положишь: седьмую на десятую, а пятую на девятую. У тебя справа
98
две пары: (5; 9) и (7; 10), а слева от них лежат как раз шесть спичек.
Вот ничего и не сделаешь! Не выйдет. Видишь? То же самое может
и с восемью получиться. Да, вот что я тебе, Вова, могу посоветовать:
чтобы не путаться с номерами спичек, ты вместо них можешь взять
шашечки из своего любимого Дразнилки, тебе будет удобнее, потому
что на них номера уже написаны — от первого до десятого.
Вовка посмотрел на нее непонимающими глазами, потом провор-
чал под нос «Ага!», быстро вытащил из кармана Дразнилку, рас-
ставил шашки. Помолчал минуту, другую. Потом счастливо улыб-
нулся и произнес с облегчением:
— Как с шашечками-то хорошо! Вот спасибо, Наташа! С восемью
теперь у меня вышло.
— Ну вот тебе и объяснение, — заключил дед. — Смотри еще раз
внимательно. Спички у тебя лежали так:
1 2 3 4 5 6 7 8.
Как же ты поступил? Ты соединил четыре спички в две пары так,
чтобы получилось в общем вполне симметричное расположение:
1 (6; 2) 3 5 (4; 7) 8.
Ты помнишь, что тебе надо так поставить твои пары, чтобы около
каждой с той и с другой стороны лежало по спичке или по шашечке,
это ведь неважно. Поэтому будет неправильно, если ты начнешь с
того, что положишь четвертую на первую, — ведь эта пара стоит на
самом краю и ее использовать не удастся! А если ты положишь чет-
вертую на седьмую, то, во-первых, у тебя справа, сбоку от этой пары,
остается одна спичка (восьмая), а во-вторых, уводя четвертую с ее
места, ты даешь возможность шестой прыгнуть через две спички
(пятую и третью) и образовать еще одну пару, слева от которой
опять-таки остается одна спичка (первая). И готово! А если ты уме-
ешь разобраться с восемью спичками, то разберешься и во всяком
другом случае, потому что случай большего их числа легко свести
к восьми.
— То есть как? — спросил Вовка.
— Устрой на самом краю одну пару, начни с этого. И тогда от
десяти спичек у тебя останется восемь. Вычти!
— А-а! — протянул Вовка. — То есть сначала положить четвертую
на первую или седьмую на десятую. Так?.. Ну теперь-то понял. Вон
оно в чем дело! Теперь догадался... Дедушка, а если по три шашки
складывать?
7*
99
— Можно и по три, — ответил
дед, — тогда и прыгать будем через
три. Возьми двенадцать спичек и по-
пробуй.
Вовка долго возился, и у него не
выходило. Наконец Наташа показала
ему, как можно это сделать. Сперва
формируются пары, а затем уже трой-
ки. Если разложить все спички в ряд:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,
то сперва надо составить симметрич-
ные пары (6; 2) и (7; 11). Затем со-
ставляется первая тройка (8; 6; 2).
А в конце концов приходим к такому
расположению:
(5; 3; 1) (8; 6; 2) (4; 7; 11) (9; 10; 12).
Веточка шепнула Вовке, что все это
гораздо легче разобрать, если начать
все с другого конца, то есть в обрат-
ном порядке: сложить спички сразу
тройками, а потом разобрать эти трой-
ки и разложить все спички по одной.
Вовка глянул благодарными гла-
зами на девочку, но тут, конечно, вме-
шался Лева.
— Не понимаю! — сказал он.— Вот
еше какую путаницу и неразбериху за-
водишь! Зачем это?
— Почему — путаницу?— спокойно
отвечала Веточка. — Давай-ка попро-
буем. И увидишь, что никакой путаницы нет. Только надо соблюдать
те же самые правила: первое — делать перекладываемой спичкой
один ход и второе—прыгать каждый раз через три спички, которые
могут лежать и кучкой и в разбивку — это для нас безразлично.
И еше одно правило, третье: из каждой кучки ходят только две спички,
а третья остается на месте.
— Ага... — протянул, помолчав минутку, Лева. — Да, действи-
тельно. .. Пожалуй, ты права. Постой-ка! Сейчас соображу!.. Зна-
100
чит, вот тут в чем дело: меньше четырех кучек, то есть двенадцати
спичек, брать нельзя. Нам надо образовать в середине между двумя
кучками — иначе кучки эти не разберешь! — по крайней мере три
спички, лежащие вразбивку. И тогда все пойдет как по маслу.
— Верно! — закричал Вовка. — И я понял. Верно, верно! Пожа-
луйста, ты, Левка, не мешайся! Ты ужасно любишь командовать, а
сам ничего не понимаешь! Дай-ка я сделаю.
Лева с усмешкой отодвинулся в сторону, и тогда Вовка с неодно-
кратным подсказыванием и Веточки и путаника-Левы наконец одолел
эту непосильную задачу. Исходное расположение было таково:
(1; 2; 3) (4; 5; 6) (7; 8; 9) (10; 11; 12).
Вовка одну за другой переложил первую и вторую спички через
вторую кучку, после чего получилось такое расположение:
3 (4; 5; 6) 2 1 (7; 8; 9) (10; 11; 12),
Вслед за этим он переложил десятую и одиннадцатую спички через
вторую кучку с правого конца. Получилось такое расположение:
3 (4; 5; 6) 2 1 10 11 (7; 8; 9) 12.
— Ну, а теперь остались пустяки!— сказал обрадованный Вов-
ка. — Полный простор: прыгай в середину через три спички—вот
и всё!
Но вдруг Вовка неожиданно для всех, в том числе и для самого
себя, громко воскликнул:
— Да постойте вы! Это ведь и на самом деле вроде как Драз-
нилка! .. Дедушка, ведь правда? Нет, ты скажи: правда?.. А про
Дразнилку можно загадывать загадки? .. А? Потому что я тоже хочу,
дедушка!
— Пожалуйста, — сказала председательница, — просим!
— Только я буду долго рассказывать! — угрожающе сказал
Вовка.
— Пожалуйста, милый Вова, — ответила Веточка, — рассказывай
сколько хочешь! Мы все играли в Дразнилку. У каждого из нас есть
эта игрушка. Это одно из любимых детских математических развле-
чений, но ни у кого из нас не хватило терпения так это все подробно
рассмотреть, как, наверно, вы с дедушкой это проделали.
— А вы, дедушка, — заметила Наташа, — просто замечательный
математик!
101
— Что ты, Наташа, что ты! — замахал на нее руками дед. — Какой
я математик! Я просто любитель этого дела, вот и всё! Смолоду я
учительствовал — ох, и трудное это тогда дело было! — а потом
война первая империалистическая: на войну погнали. Затем за совет-
скую власть с белыми воевал, контузию получил, по госпиталям
намаялся. Годы-то и ушли. Потом окончил курсы и в библиотекари
пошел, вот так оно и вышло, что вся моя жизнь около книжек про-
шла да около школы, около вашей братии, ребятишек. Сын учился,
помогать ему немножко приходилось. Потом сын вырос и, спасибо
Советскому государству, инженером стал. Вот как, значит. А тут еще
случай вышел: как говорится, не бывать бы счастью, да несчастье
помогло. Заболел я. Попал в больницу да год с лишним в больнице
отвалялся. Ноги сильно болели. Лежишь, такая скука берет! Вот
Николай, отец их, Левы и Вовки, пришел раз ко мне и говорит: «Вижу,
говорит, папенька, ты у меня скучаешь! Так, говорит, нельзя. Ты
этак и не поправишься. Вот тебе две книжечки — покопайся! А не
понравятся, я назад возьму...» И оставил мне книжки. Это были
книжечки с такими вот задачками, которыми вы сейчас занимаетесь.
Потом, гляди, и Вовка подрос. А он хороший кнутик — как что,
так к деду: «Дедушка, скажи, дедушка, объясни, почему да отчего!»
Приходится поворачиваться!
— Значит, это ты, Вовка, дедушку выучил? — засмеялась Наташа.
Однако Вовка посмотрел на нее важно и очень серьезно сказал:
— Конечно, я! А ты как же думала?
Глава восьмая
Ученый секретарь Тускарийской ассоциации делает доклад об игре
в Дразнилку. — Пять исходных позиций Вовы. — Повороты. — Ма-
ленький Дразнилка и средний.—Запись игры.—Главный закон
Дразнилки: два круга. — Инверсии и четное их число. — Сколько
перестановок? — Факториал и его половина. — Самое большое число,
которое можно изобразить тремя цифрами. — Дразнилка «благора-
зумный». — Сорок процентов экономии. — «Убедительная» позиция. —
Новое четное число. — Наконец-то открывается секрет Вовиной
«лошадки», а за ним и таинственного числа! — Вращение позиций.—
Замкнутый змеиный круг. — Дразнилка огромный. — «Серебряная»
позиция. — О том, как ладья плавала вкруговую, подражая змеиным
изворотам. — Дразнилка-великан. — Как средний Дразнилка вертелся
вокруг гвоздика.—Замечательный рассказ тети Веры о страшном
кораблекрушении неподалеку от известных своими опасными подвод-
ными камнями Голубых Берегов
103
1.
После этого Вовка оглядел с немного растерянной
рожицей всех присутствующих, сделав какой-то умо-
ляющий знак Тимофею Иринарховичу, однако тот
хоть и улыбнулся, но отвернулся от своего внука.
Вовка вздохнул и начал свой доклад.
— Теперь я буду рассказывать про Дразнилку.
Ну, какой он, Дразнилка, и так все знают. Коробочка
плоская, в которой лежат пятнадцать квадратных ша-
шечек и одно место пустое. Перепутай шашки — они
ведь нумерованные, от одного до пятнадцати, — а по-
том, не вынимая шашек из коробочки, надо поставить
все их, передвигая, на место, как было или как ты
сам себе задумал. Ну вот! Если расставить шашки
в каком-нибудь порядке, то у нас с дедушкой это на-
зывается позиция. И самые главные наши пози-
ции — их у нас всего установлено пять, но это только
самые главные! — «книжка», бустрофедон,
потом...
— Что? — сказал Лева.— Что ты сказал? А ну-ка,
повтори!
— Не перебивай, — ответил ему Тимофей Иринар-
хович, — он объяснит... Рассказывай по порядку,
Вовушка!
— Бу-стро-фе-дон, — недовольно, но очень отчет-
ливо выговорил Вовка, — а третья — «спираль».
Вот я их покажу, а потом объясню Левке, потому что
он ничего не понимает! «Книжкой» это мы называем
потому, что там числа идут, как буквы в книжке печа-
тают. А бустрофедон не так. Вот смотрите хорошенько на чертежи.
Ну, первая позиция — это понятно. А вторая потому называется
бустрофедон, что тут числа идут так, как быки, когда поле пашут:
ходят вперед, потом в другую сторону повернут и назад пойдут. Слово
1
I,
I-
9
2
6
10
2
7
11
4
8
12
I 13 * 15 I
		гТГ	
S 1	2	3	4 г
г 8	7	6	5 1
5 9	10	11	12 р
	15	14	13 8
			
l_L	2	3	4 В
112	13	14	
111		15	в в
о be	9	8	7 К
			
это и значит по-гречески «повора-
чиваясь, как быки». А у древних
греков сперва так и писали: одну
строчку в одну сторону, а дру-
гую — обратно, пока не догада-
лись, что так писать, как мы сей-
час пишем, удобнее. Третья
позиция — «спираль». Тут и объ-
яснять нечего. И так видно, что спиралью закручивается. Потом «об-
ратная спираль», которая изнутри начинается, и еше «з м е и н а я»
позиция, где шашки идут, змейкой извиваясь по всей коробочке.
У нас есть и другие, тоже очень хорошие позиции, но о них я уже после
буду рассказывать. Все эти позиции можно еще изменять, то есть
поворачивать, как у меня на рисунке поворачивается буква «Б»:
I	2
4
3
2
1
А потом можно подставить зеркало и получить зеркальные отобра-
жения всех этих поворотов:
5
Затем, если тебе надо записать, который поворот, то ты просто пи-
шешь, например КЗ, это значит «книжка» в третьем повороте; или
С4 —«спираль» в четвертом повороте. Покажу «книжку» в первых
поворотах — первую позицию я уже показывал, а вот здесь вторая,
третья и четвертая:
К2
рз	9	5	1
114	10	6	2 (
1 15	11	7	3!
	12	8	4 I
КЗ
1		15	14	13
	12	11	10	9
	8	7	6	5
	4	3	2	1
К4
5
12
11
10
9
8
1
6
Кб
з
Остальные четыре позиции, то есть пятая, шестая, седьмая и восьмая,
получаются, если эти первые четыре позиции отразить в зеркале.
Нижние строки при этом становятся верхними, а верхние— нижними.
Кб получится из К2, как на чертеже (на предыдущей странице).
Ну так и все остальные: К5 получится из KI, К7 — из КЗ, К8 — из
К4. У меня все записаны, да долго показывать. Ну и остальные все
так же. Обыкновенный Дразнилка в шестнадцать клеток, который
в магазинах продается, у нас называется большой Дразнилка, а
есть еще средний и маленький. Средний состоит из девяти кле-
ток с восемью шашками, а маленький — из четырех клеток, и там
только три шашки. Маленький такой:
1 2
3
а средний —
Я их показываю бустрофедоном, потому что бустрофедон самый важ-
ный у нас. На бустрофедоне можно все очень легко разобрать;
строчка его нигде не прерывается: дошел до конца справа — идешь
налево; дошел до конца налево — идешь направо. Впрочем, на спи-
рали тоже все можно очень хорошо разобрать. Для маленького и для
среднего Дразнилки у нас склеены особенные коробочки. Для малень-
кого дедушка клеил, а для среднего — я.
— Очень хорошо, Вовочка, ты склеил! — похвалила Веточка.
— Я старался!—с гордостью поглядывая на свое произведение,
отвечал товарищ секретарь.—А теперь посмотрим-ка, что нам
скажет маленький Дразнилка. Он хоть и маленький, а вся хитрость-
то в нем именно и заключается! Его позицию, передвигая шашки,
можно переделать так, как показано
на чертеже.
Слева у меня исходная пози-
ция, а дальше еще две, ко-
торые из нее получаются.
В Дразнилке ходы записывать
очень легко, так как всегда
может ходить только одна
шашка, и записывается ее но-
106
мер. Посмотрим, как от первой позиции маленького Дразнилки можно
перейти ко второй и третьей. Записываем ходы, начиная с первой по-
зиции:
1,	2, 3, 1,...
Готово! Мы перешли ко второй позиции. Если мы теперь, начиная
с этой позиции, сделаем ходы:
2,	3, 1, 2,
мы перейдем к третьей позиции. А если, начиная с третьей позиции,
сделаем ходы:
3,	1, 2, 3,
то мы снова вернемся к первой позиции. Так или нет?
— Конечно, Вовочка, так! — отвечала ему Веточка. — Мы слу-
шаем тебя внимательно. Ты только не торопись. Ты объясняешь очень
хорошо.
— Не буду торопиться, — отдуваясь, произнес Вовка. — Все-таки
объяснять-то очень трудно!
— Ничего, Вовочка, — подбодрила его Наташа, — ведь ты ста-
раешься для своих же товарищей.
Вовка поглядел на нее недоверчиво, передохнул, собрался с си-
лами и снова приступил к делу:
— Если мы, сделав двенадцать
ходов, вернулись назад, значит, ни-
чего больше в маленьком Дразнилке
сделать и нельзя! Конечно, если, как
полагается при игре в Дразнилку, не
вынимать шашек из коробочки. Но
если переставить местами две шаш-
ки в третьей позиции, то у нас
получится четвертая позиция и, зна-
чит, вышло новое положение, которое нельзя получить, не вынимая
шашек из коробочки. Если мы сделаем, начиная с последней позиции,
четыре хода (3, 2, 1, 3), а потом снова четыре хода (2, 1, 3, 2), то
получим еще две новые позиции, которые
внизу на чертеже, а если еще сделаем затем 7
четыре хода (I, 3, 2, 1), снова вернемся к
четвертой позиции. Это и значит, что всего
есть шесть разных позиций шашек...
— Заметьте, ребята, — перебил Вовку
107
дедушка, — во всех этих позициях нуль-пустышка стоит на одном
и том же месте — в левом нижнем углу.
— Верно! — с досадой сказал Вовка. — Я забыл про это! Значит,
шесть позиций. Но три из них, которые я первыми показывал, в три
другие перевести нельзя. Мы и говорим: в маленьком Дразнилке есть
два круга, которые один в другой не переходят. Первый круг — это
три первые позиции: первая, вторая и третья, а второй — три другие:
четвертая, пятая и шестая. Это самый главный закон Дразнилки —
закон о двух кругах. Вот они какие (чертежи на стр. 106 и 107).
— Интересно, как они идут! — заметила Веточка. — Сперва
1—2—3, затем 2—3—1, а потом 3—1—2. Выходит, будто ты перестав-
ляешь одну из шашек спереди назад, и они таким кругом одна за
другой и ходят.
— Такие перестановки, — сказал дедушка, — называются цик-
лами или циклическими перестановками, что значит по-русски:
круговые перестановки. Заметьте, что это название не предпола-
гает определенного числа элементов (шашек) в перестановке, то есть
их может быть и больше чем три. Теперь еще два слова о поворотах.
Если маленького Дразнилку повертывать так, как показывал
Вовушка с буквой «Б» (стр. 105), то получатся четыре разные по-
зиции, которые переходят одна в другую через три хода. Попробуйте
сами! Мы для всяких обозначений будем пользоваться именно номе-
рами этих поворотов, а не шестью Вовушкиными позициями, которые
только приведены для объяснения.
— Покажи нам, Вова, — сказал Ника, — все эти повороты малень-
кого Дразнилки, чтобы нам уже не путаться.
это первый круг. А второй получается из него, если отобразить все
эти позиции в зеркале:
Вот они и все. Дедушка тут насчет нуля говорил. Так вот, когда я
показывал мои шесть позиций, у меня нуль всегда стоял на одном и
том же месте. Но ведь когда играешь, нуль у тебя может на разных
местах очутиться. И поэтому удобнее рассматривать такие позиции,
когда и нуль меняет место.
— Так, — сказал Ника, — отлично!
— Теперь... — продолжал секретарь, искоса по-
сматривая на деда с опаской (как бы не сбиться),—
теперь переходим к среднему Дразнилке. Начинаем,
как всегда, с самой простой позиции — с бустрофе-
дона; вот она на чертеже у нас сверху. Вот, смо-
трите-ка! Мы сделаем в ней маленькие перемещения.
Я буду опять записывать ходы. Хожу так:
8, 7, 6, 1, 2, 3, 4, 5,
получается позиция, как на следующем чертеже.
Смотрите хорошенько! Шашки первая, вторая и
третья стоят так, как они стояли и в маленьком Драз-
нилке в четвертом повороте. Теперь...
— А теперь, — сказал лениво Лева, — отлично
можно переставить. Не то что в маленьком Дразнил-
ке! И выйдет 3—2—1. Вот тебе и всё!
2.
— Попробуем... — с лукавой усмешечкой сказал Вовка. — По-
смотрим, как это у нас «отлично» выйдет. Записываю ходы таким же
образом и дальше. Начинаю ходить. Хочу переставить шашки, как
Левка сказал, чтобы стояло 3—2—1:
1, 2, 3, 1, 5, 4, 1, 5, 2, 3, 5, 2, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 5, 2, 1, 5, 4...
— Переставились, — сказала Наташа, глядя на получившееся по-
ложение (нижний чертеж).
— Конечно, переставились! — насмешливо сказал
Вовка. — А погляди-ка, что случилось с парой шашек:
четвертой и пятой? Видишь? Они стояли по бустро-
федону правильно, то есть 4—5, а теперь стоят на-
оборот: 5—4 Верно я говорю, Наташа, или нет?
— Верно... — протянула Наташа.
— А если мы другие шашки привлечем к делу? —
предложил Ника.
109
— Можно! — отвечал Вовка. — Попробуем выпра-
вить эту пару 5—4, чтобы она стала правильно по
бустрофедону... Вы ведь, ребята, конечно, не забыли,
что в бустрофедоне вторая-то строка идет не слева на-
право, а справа налево. Хожу, значит, дальше:
4,	7, 8, 5, 7, 4, 6, 8, 5, 7, 4, 5, 7...
Ну, вот пару 4—5 выправили, а зато перепутались шашки седьмая и
восьмая, вы и сами можете посмотреть на чертеже, что получается!
Теперь эта пара 8—7 стоит по бустрофедону неверно, потому что
третья строка в бустрофедоне идет слева направо. А дальше уж после
пары 7—8 идти некуда, это последние шашки. Вот и выходит, что по-
ставить в среднем Дразнилке позицию 3—2—1, которая в маленьком
будет из другого круга, можно только в том случае, если еще другую
пару шашек поставить неправильно.
— А если взять не 3—2—1, а только 2—1—3? — спросила Веточка.
— Попробуем, — отвечал секретарь. — Это проверить недолго.
Начинаем с той позиции, какая у нас получилась:
7, 5, 6, 3, 2, 1, 4, 6, 3, 2, 1, 3, 6, 4, 3, 1, 2, 6, 5, 7.
Готово! Поставили 2—1—3 в первой строке, а все равно пара 8—7
стоит по бустрофедону неверно.
— А если ее выправить? .. — сказал Ника нерешительно.
— Тогда другая пара станет неверно!
— Ах, вот в чем дело! — воскликнул Лева. — Наконец-то я дога-
дался! Эти две неправильные пары можно выправить только обе
сразу, то есть вместе и ту, и другую, и 2—1, и 8—7. Вот оно в чем
дело-то!
— Правильно! — важно отвечал Вовка. — Вот это ты верно ска-
зал. Это можно. Сейчас устроим:
4, 5, 1, 2, 6, 1, 7, 4, 5, 3, 2, 6, 1, 7, 6, 2, 3, 5, 4, 8, 7, 6, 5, 4.
Все стало теперь на место. Красота! А если ты только одну пару
будешь исправлять, обязательно другую наоборот переставишь. А тут,
когда у тебя две неправильные пары, как раз и получается: одну
исправляешь и другую переворачиваешь, а другая-то тоже неправиль-
ная, ее и надо было перевернуть.
— А что же в таком случае получится, — спросила Наташа,—
если есть только одна неправильность? Значит, ее совсем уже невоз-
можно устранить? Так я рассуждаю или нет?
ПО
— Точно! — неторопливо ответил гордый секретарь. — Дошло
наконец!
— Выходит, — продолжала Наташа, — что все равно, маленький
у тебя Дразнилка или средний, но если одна пара шашек стоит не-
правильно— это уж получается именно то, что ты, Вова, называл
другой круг?
И Вовка кивнул ей утвердительно.
— Правильно! — подтвердил дедушка. — Мы относим позицию
к тому или другому кругу в зависимости от того, можно ли из нее по-
лучить указанные нами позиции первого круга или нет.
— Да, — сказал Ника, — в маленьком Дразнилке сразу ясно: пе-
реставил две шашки — попал в другой круг; еще две переставил —
снова вернулся в первый круг. В среднем Дразнилке это не так ясно,
потому что шашек больше. А получается, что закон маленького
Дразнилки действует совершенно так же и в среднем.
— Если бы у нас, — сказал Лева, — шашки просто стояли на
столе в ряд, то все это можно было бы и проще показать. Если позво-
лено обходить шашкой две, как в твоем маленьком Дразнилке, то
можно было бы вот как действовать. Допустим, что у нас была такая
позиция:
1—2—3—4-5;
теперь переводим третью шашку налево через первую и вторую:
3—1—2—4—5,
затем четвертую шашку налево через вторую и первую:
3—4—] —2—5,
потом вторую налево через первую и четвертую:
3—2—4—1—5
и наконец четвертую направо через первую и пятую:
3—2—1—5—4.
Вот мы и получили расположение 3—2—1 для первых трех шашек,
но зато шашки пятая и четвертая тоже изменили свое расположение.
Следовательно, если прыгать через две шашки, то такого результата
избегнуть нельзя.
111
— Как раз так и у Вовы получается, — заметила Наташа. — И ты,
Лева, только доказал, что Вова рассуждает правильно.
— А кроме того, — добавил Ника, — я не совсем понимаю Левино
рассуждение! Ведь здесь он хочет прыгать, как ему вздумается.
А разве это в Дразнилке возможно? Там, по-моему, можно тогда
только прыгнуть, если на том месте, куда прыгает твоя шашка, нуль
стоит. А ты, Лева, это во внимание не принимаешь.
— Пожалуй... — согласился Лева нехотя.
3.
— А сколько же может быть в Дразнилке всего разных переста-
новок?— спросила Наташа. — В маленьком Дразнилке как будто
шесть?
— Шесть в том и в другом круге вместе, — ответил Вовка, — если
не считать положение нуля. А с нулем выйдет двадцать четыре, по
двенадцати в каждом круге. Да я все сейчас могу показать.
— Ну-ка! — попросила председательница.
— Возьмем две шашки, — сказал Вова. — На одной единица, на
другой двойка. Как их можно переставлять?
— Ясно — как! — отвечал Лева. — Давай дальше!
— 1—2, — продолжал Вовка, — и 2—1. Вот и всё. Прибавим
третью шашку. После этого каждую комбинацию из двух шашек при-
дется рассматривать отдельно. Выйдет так:
из комбинации 1—2 получаем:	1—2—3
2—3—1
3—1—2
из комбинации 2—1:	2—1—3
1—3—2
3—2—1
А если взять еше четверку, то каждую комбинацию с тройкой при-
дется рассматривать отдельно. Значит, всего...
— ... будет четырежды шесть. На четыре места можно поставить
четверку, а комбинаций шесть. Перемножить надо, — заключила
Веточка.
— А что перемножить? — спросил дедушка.
— Все эти числа... — предложил Никита, — начиная с двойки.
— Начинают обычно с единицы, — отвечал дедушка. — Это произ-
ведение называется факториалом. Растет оно очень быстро. Для
четырех будет двадцать четыре, для пяти — сто двадцать, для
112
« 21000000000000
шести — семьсот двадцать и так далее. Для среднего Дразнилки уже
получаем триста шестьдесят две тысячи с лишним комбинаций.
— Недурно!—сказал Ника.
— Большой Дразнилка, — продолжал дед, — дает почти что два-
дцать один триллион без малого. Вот сколько!
— Ого! — сказал Лева. — Триллион... Это после биллионов идет.
То есть миллион миллионов? Так я говорю?
— Так, так! — отвечал ему старик.— Обозначается факториал вос-
клицательным знаком: например, 6! означает произведение
1  2 • 3  4 • 5 • 6. Это предмет немаловажный в математике. Но нас
интересует, разумеется, не столько сам факториал, сколько его поло-
вина, потому что половина всех возможных перестановок — это пере-
становки другого круга, которые нам неинтересны. Следовательно,
перестановок своего круга всегда будет (6!) : 2. Разделится ли? Ко-
нечно, разделится, так как всякий факториал — начиная с 2! — заклю-
чает в себе множителем двойку и, следовательно, это число четное.
— Интересная вещь — большие числа! — заметил Лева.— Вот бы
ты нам, дедушка, еще бы и о них рассказал.
— Могу привести пример. В метре тысяча миллиметров. В кило-
метре их миллион. Рассуди-ка, какая это вещь миллион! А если
целую тысячу километров разделить на миллиметры — прикипь-ка,
что это за расстояние тысяча километров, это ведь почти в полтора
раза дальше, чем от Москвы до Ленинграда!.. — то во всем этом рас-
стоянии будет биллион миллиметров. И если взять миллион километ-
ров — расстояние примерно в три раза большее, чем расстояние от
Земли до ее спутника Луны, — и вот уж в таком расстоянии будет
триллион миллиметров! Впрочем, вот тебе еще один пример трилли-
она, коли хочешь. Как ты думаешь, Лева, чему равняется такое выра-
жение:
I11,
то есть единица в степени «единица в первой степени»?
— Единице, разумеется!
— Так. А это:
2=а?
— Это... Ну, это будет шестнадцать, потому что это (22)2.
— Для двойки действительно:
22’= (22)2 = 2(2,).
8 Архимедово лето
Но это только для двойки. Потому что уже для тройки будет иное:
(33)з = 27з = (з . з . 3) . (3 . з . 3) . (3 • 3 • 3),
3<3’> =327 = [(3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3) • (3  3 • З)]3.
Этой-то последней величине и равняется искомая наша величина.
Если мы будем этим способом возводить в степень натуральные числа
одно за другим, то у нас таким образом получается ряд чисел, при-
чем второй член этого ряда вырос против первого в шестнадцать раз.
— Скорее факториала растет! — заметил Никита.
— А сколько же для тройки-то будет, дедушка? — завопил Вовка.
— Тройка в двадцать седьмой степени, — отвечал Тимофей Ири-
нархович, — это семь триллионов с лишним, почти что восемь.
— Вот это число!—с торжеством заявил Вовка. — Диду, давай
мне поскорее все это число в точности, я сейчас же запишу его!
Дедушка не спеша вытащил из кармана свою записную книжку,
заглянул в нее и ответил:
— Точно будет вот сколько:
7 625597484 987.
Однако как ни велико это число, а число комбинаций, то есть воз-
можных позиций в большом Дразнилке почти в три раза больше
его!.. Ты как будто, Лева, упросил наконец папу рассказать тебе
об Архимеде? Так вот имей в виду, что при этом ты узнаешь немало
интересного про большие числа.
— Диду, — просительно выговорил Вовка, надув губы, — ты бы
лучше еще что-нибудь про триллион сказал такое, чтобы сразу все
можно было понять!
Дед засмеялся.
— «Чтобы сразу»! — повторил он. — Ишь, какой ты прыткий! Ну,
давай возьмем еще пример. Если взять миллиметр и сделать такой
малюсенький кубик, у которого каждое ребро будет равняться мил-
лиметру, — представляешь ты себе, Вовушка, какой он будет ма-
ленький?
— Представляю, —отвечал внучек. — Ну... вроде большой кру-
пинки соли.
— Верно. Возьмем теперь тысячу таких маленьких кубиков и сло-
жим их аккуратно в новый кубик. Это можно сделать, потому что
тысяча есть куб десяти. Но если у нас ребро нового куба будет рав-
няться десяти миллиметрам, то, значит, оно будет в один сантиметр
ростом. Так? Возьмем третий кубик, побольше, с ребром в десять
114
сантиметров. Сколько там будет наших маленьких миллиметровых
кубиков?
— В ребре десять сантиметров, то есть сто миллиметров. А сто
в кубе будет миллион, — подсказала Вовке Наташа.
— Итак,— продолжал дед,— в третьем кубике, не очень большом,
вроде твоего кубика, в который ты играешь, будет заключаться целый
миллион маленьких миллиметровых кубиков. Но триллион, как мы
уже говорили, есть миллион миллионов. Значит, надо взять целый
миллион таких кубиков, вроде твоего, с ребром по десяти сантимет-
ров, сложить из них новый, четвертый куб — и вот в таком новом кубе
уже будет триллион миллиметровых кубиков. Но тогда ребро такого
куба будет равняться десяти тысячам миллиметров, другими сло-
вами— десяти метрам. Вот какой куб получается из триллиона куби-
ческих миллиметров! Как ни скромны эти наши малюсенькие кристал-
лики соли, но, когда их у тебя набирается целый триллион, перед то-
бой вырастает огромнейший куб. Вот ты и сравни кристаллик соли
с кубом, у которого ребро равно десяти метрам, а сторона — ста квад-
ратным метрам. Комната в двадцать квадратных метров — это ведь
довольно просторная комната, не так ли? Так вот, нам надо взять
площадь пяти таких комнат, чтобы получить сторону нашего большого
куба.
— А что же это будет, дедушка, — вымолвил Вовка,— если мы не
тройку в три этажа напишем, а возьмем вместо тройки девятку?
— Если взять девятку, — отвечал Тимофей Иринархович, — то по-
лучится самое большое число, которое только можно изобразить
тремя цифрами, и знаков в нем без малого триста семьдесят миллио-
нов, то есть больше, чем третья часть биллиона. Начинается оно циф-
рами четыреста двадцать восемь, а кончается цифрами восемьдесят
девять.
— Триста семьдесят миллионов!—восторженно выговорил Вова.—
А если его все написать, это число?
— Если все его написать на бумажной ленте, вроде той, которая
на телеграфном аппарате Морзе употребляется, так этой ленты пой-
дет примерно полторы тысячи километров.
— Записываю! — воскликнул секретарь, яростно кусая свой
карандашик.
4.
— А я вот еще что хотела спросить, — начала Веточка: — ведь
сколько бы комбинаций в Дразнилке ни было, все равно они делятся
по кругам, которые один в другой не переводятся, и число комбина-
8*
115
ций в каждом круге будет одно и то же? Если я буду ставить просто
наудачу, как попало, шашки, то у меня один раз выйдет, а другой раз
не получится. Так я говорю или нет?
— Конечно, так! — ответил ей Лева.
— Теперь, — сказал Тускарийский президент, — вот еще о чем
надо потолковать. Неправильность в положении одной пары шашек,
иными словами — случай, когда шашка с высшим номером стоит
раньше шашки с низшим номером в избранной нами позиции,
называется беспорядком или инверсией. Что мы делаем,
меняя шашки местами? Мы производим некоторую переста-
новку наших шашек, или, как говорят математики, некоторых эле-
ментов. Перестановка двух шашек называется транспозицией;
легко сообразить, что, произведя несколько перестановок соседних
шашек, можно поменять местами любые несоседние шашки. Если мы
возьмем среднего Дразнилку в начальной позиции бустрофедона, ко-
торую уж приводил Вовушка, то—меняя подряд местами шашки:
первую и вторую, затем первую и третью, затем первую и четвертую,—
мы перемещаем постепенно первую шашку и придем к той же самой
позиции, что получилась бы, как будто мы прямо поменяли местами
первую и четвертую. Следовательно, безразлично, какие шашки мы
меняем местами, важно только одно: сколько шашек поменяли мес-
тами. Это первый вывод из опытов, которые нам показывал Вовушка,
наш ученый секретарь...
— Управделами Главдразнилки! — ввернул Лева.
Вовка быстро оглядел всех, но так как все улыбались, то и он
решил улыбнуться.
— Перейдем теперь ко второму выводу, не менее важному. Вы
видели, что две инверсии можно выправить. Но если можно выпра-
вить пару инверсий, то, следовательно, вообще можно выправить
четное число инверсий. А если их у нас нечетное число, то несколько
пар инверсий выправим, а одна инверсия у нас останется невыправ-
ленная, и мы неизбежно попадем в другой круг.
— А теперь, — произнес, высоко подняв палец, Вовка, — ну-ка,
Левка, изволь отвечать: как, по-твоему, нуль — это какое число —
нечетное или четное?
Вовка смотрел на брата очень снисходительно. Когда ему удава-
лось с помощью деда узнать что-нибудь такое, чего Левка мог не
знать, удовольствию его не было границ.
— Нуль?.. — повторил Лева осторожно, опасаясь попасть впро-
сак. — Ну, как тебе сказать... ведь он стоит между плюс единицей
и минус единицей, то есть между двумя нечетными числами. Отсюда
я заключаю, что нуль — четное число.
116
Вовка, хитро улыбаясь, поглядел на товарищей. Наступила
маленькая заминка.
— А дедушка что скажет? — спросил наконец Лева.
— Соглашусь с тобой, — отвечал Тимофей Иринархович, — ты
прав. Так оно и есть.
— А значит, — снова начал секретарь, — когда ты еще ничего
с данной позицией не делал, — она у тебя относится к числу позиций,
которые можно назвать четными.
— Ас большим Дразнилкой, в шестнадцать мест? — спросила
Наташа. — Там как получится?
— То же самое,— отвечал секретарь.— А теперь надо определить
правило, по которому можно узнать: переделывается одна данная по-
зиция в другую заданную или нет? Это у нас самое важное.
— По-видимому, — сказала Веточка, — если ты прав, Вова, что
правила одной транспозиции — поменять местами две шашки! — или
одной инверсии, остаются справедливыми и для большого Драз-
нилки. ..
— Даже и для большего, чем большой, шестнадцатнместный! —
добавил президент любознательной Тускарии.
Веточка на минуту остановилась, подумала, сообразила и продол-
жала:
— ...если все это так, то нам, для того чтобы решить, переходит
ли одна позиция в другую, надо подсчитать число инверсий. Если оно
четное, то...
— ... то и перестановка четная! — помог Веточке дедушка.
— Ну да! Перестановка четная, а следовательно, перестановка
такая в Дразнилке возможна. Если инверсий нечетное число, то пере-
становка нечетная и в Дразнилке ее сделать нельзя.
— А почему именно нельзя?— спросил Ника.
— Очень просто! — ответил ему Вовка. — Возьмем для примера
наш бустрофедон у того же среднего Дразнилки, как это показано
у нас на чертеже (а черная стрелка — маршрут!).
Если рассматривать бустрофедон как маршрут, — ну вот, как мы
маршрут в одночеркальных фигурках рассматривали!—то это один
маршрут с двумя нечетными узлами-концами: первыГ
начале, второй в самом конце. И вьется такой змейкой
слева направо, справа налево и опять слева направо.
Поэтому всякое движение — вперед или назад, все
равно! — но вдоль по бустрофедону ничего в позиции
не меняет и никаких инверсий не вносит. Сделаем та-
кие ходы:
8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1...
узел в самом
и никаких инверсий не будет, только нуль-пустышка переберется из
нижнего правого угла коробочки в верхний левый. Но если ход де-
лается не вдоль по бустрофедону, а наперерез маршруту, то шашка
обходит другие шашки, и получаются инверсии.
— Если взять, — добавил дед, — последние две строки бустрофе-
дона в большом Дразнилке, то шашки в этих двух последних строках
стоят так, как это изображено на нашем чертеже.
Ясно, что движение шашек в последней строке не
меняет числа инверсий, то есть число инверсий бу-
дет равняться нулю, иначе говоря — оно четное.
Если мы, следуя маршруту бустрофедона, сделаем
ходы:	15, 14, 13, 12...
9	10	11	12
	15	14	13
то мы откроем нуль в предпоследней строке и убедимся, что и в ней
движение шашек по горизонтали не дает инверсий, их снова нуль,
снова четное число. Теперь поставим шашки по-прежнему и сделаем
два хода:
15, 14...
Если мы теперь сделаем ход наперерез маршруту, то есть пойдем
одиннадцатой шашкой, то мы образуем пару инверсий. Это самое
малое возможное число инверсий после нуля. Меньше этого уж сде-
лать нельзя, если, конечно, тебе не придет в голову фантазия выни-
мать шашки из коробочки! Нельзя это сделать потому, что шашки
Дразнилки ходят только по прямым на манер шахматной ладьи, но
всегда на одну клетку. Если мы, снова начав с исходной позиции, сде-
лаем ход пятнадцатой шашкой, а затем пойдем десятой, то приба-
вится еще пара инверсий и будет уже две пары инверсий: десятая
будет инвертировать с четырьмя шашками — от одиннадцатой до
четырнадцатой. Если наконец, опять вернувшись к исходной позиции,
мы сразу сделаем ход девятой шашкой, то прибавляется еще новая
пара инверсий и образуются три пары инверсий, девятая будет инвер-
тировать с шестью шашками: от десятой до пятнадцатой. Следова-
тельно, инверсии добавляются парами, и никаких других возможно-
стей в Дразнилке не имеется. Отсюда можно догадаться, что всякий
ход в Дразнилке либо образует, либо, наоборот, изымает четное
число инверсий. Нечетное их число может возникнуть только в ре-
зультате непосредственной перестановки двух шашек — транспо-
зиции.
— А если это не бустрофедон? — спросил Лева.
— А если не бустрофедон, — повторил дедушка, — то кое-что
зависит от того, какая это позиция. Если позиция представляет собой
118
единый маршрут — вот как показывал Вовка про бустрофедон!— та-
ковы, например, «спираль», «обратная спираль» и «змея», то там по-
всюду действует то же самое правило: движение шашки вдоль марш-
рута вперед или назад не вводит инверсий, а движение шашки не по
маршруту, наперерез ему, ведет к инверсии. В особом положении
находится позиция, которую мы называем «книжкой», ибо в ней нет
единого маршрута, он прерывается в среднем Дразнилке два раза, а
в большом Дразнилке даже три раза. Для разбора всевозможных
перестановок в Дразнилке эта позиция «книжки» и неудобна из-за
этого. Впрочем, то, что я говорил о бустрофедоне, легко распростра-
нить и на все остальные позиции (чертеж на стр. 120).
— Почему? — удивился Лева.
— Вот почему: если ты повернешь бустрофедон на девяносто гра-
дусов, то есть возьмешь его во втором повороте (стр. 105), он ста-
нет, как легко убедиться, другого круга, а справедливость наших
рассуждений насчет инверсий от этого не изменится. Следовательно,
эти рассуждения справедливы для всех позиций.
— Значит, каждый раз надо считать инверсии. Длинная исто-
рия,— заметил, зевнув слегка, Лева.
— Инверсии считать нетрудно, — отвечал дед. — Сейчас мы возь-
мем один пример, разберем его по косточкам, а потом дадим очень
простые правила для таких подсчетов. Допустим, что ты хочешь
в большом Дразнилке из бустрофедона сделать «обратную спираль».
Для этого сравним заданную нам позицию, то есть «обратную спи-
раль», с нашей основной позицией — бустрофедоном:
«Обратная спираль"	15	14	13	12	11	2	3	4	5	1	10	9	8	7	6
Число инверсий, образуемых данной шашкой		14	13	12	11	10	1	1	1	1	0	4	3	2	1	0
Четность числа инверсий 		0	1	0	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1	0
В первой строке записано расположение шашек в «обратной спи-
рали», если ее рассматривать с точки зрения «правильного» марш-
рута бустрофедона. Другими словами, в первой строке показано, ка-
кая шашка в «обратной спирали» попадает на те места, где по бустро-
119
0	1	0	1
1	1	1	0
1		0	0
0	1	0	1
федону стоят шашки по порядку: первая, вторая и так далее. Во
второй строке идет подсчет инверсий; пятнадцатая образует инверсии
со всеми остальными четырнадцатью шашками, мы ей и ставим число
четырнадцать, а вторая, например, шашка образует всего лишь одну
инверсию (с первой), ей и ставится число один. В третьей строке мы
отмечаем не число инверсий — ведь само по себе оно нас нисколько не
интересует, нам важно только знать: будет ли оно четным или нет! —
отмечаем то, что именуется в математике четностью числа инверсий.
Для такого рода отметок мы можем ограничиться всего двумя числами:
единицей и нулем. Нечетное число инверсий обозначается единицей,
четное — нулем. Затем, подсчитав число единиц — а их у нас наби-
рается всего восемь, — мы сразу можем сказать, четно число инвер-
сий или нет. Если число единиц четно, то и число инверсий четно. На
практике все это делается, конечно, проще. Составляем табличку
со столькими же клетками, сколько мест в Дразнилке, и в каждой
клеточке прямо ставим нуль или единицу, в зависимости от четности
числа инверсий. В данном случае получаем такую табличку:
Подсчитав единички, получаем:
2 + 34-1 + 2 = 8.
Позиция четная, того же круга — переделать можно.
— Удобный способ, — согласился Лева.
— Можно вообще взять себе за правило, — доба-
вил дед: — подсчитывать всегда инверсии по бустро-
федону, это проще всего. Если даны две позиции,
обе запутанные, то, вместо того чтобы сравнивать их друг с другом,
сравним их, ту и другую, с бустрофедоном. Если число инверсий
в каждой по сравнению с бустрофедоном получается одной четности,
то позиции относительно друг друга четные и переходят одна в дру-
гую, если они относительно бустрофедона разной четности, то и пози-
ции друг относительно друга нечетные.
120
— Хороший способ! —
сказал Ника. — Это удоб-
но. Но вот что мне при-
шло в голову. Если я возь-
му бустрофедон в боль-
шом Дразнилке, то я мог
бы перевести нуль-пус-
тышку. .. Ну конечно,
нуль сам не ходит, а ходят шашки — это я по-
нимаю! Так вот я мог бы перевести нуль на ме-
сто девятой шашки двумя по крайней мере спо-
собами — во-первых, сдвинув все шашки по
маршруту бустрофедона:
15, 14, 13,12, 11, 10, 9...
\ 1	2	3	4
3	7	6	5
	9	10	11
15	14	13	
1 1	2	3	40
1 5 6	7	6	5 I
	10	11	12 
j 9	15	14	13 1
во-вторых, сдвинув прямо девятую шашку вниз,
то есть сделав не семь ходов, как в первом случае, а только один.
Разница в том, что, когда я открываю нуль по первому способу, ника-
ких инверсий не образуется, а если ходит прямо девятая шашка, то
образуются три инверсии.
— Это верно, — сказал дед. — Разумеется, надо считаться с тем,
что, когда ты играешь, тебе нередко надо открыть нуль в том или
ином месте, чтобы пропустить туда одну шашку или целую вереницу
их. Надо стараться открывать нуль так, чтобы делать поменьше лиш-
них ходов и не заводить слишком много ненужных инверсий. В этом
и заключается вся хитрость этой игры.
— Дедушка, — возразил Вовка, — а почему ты не скажешь, что
и тут надо всегда смотреть, как это все получается в маленьком
Дразнилке? Ты ведь говорил!
— А ты сам скажи, — предложил ему дедушка.
5.
Вовка немедленно вытянул из своей знаменитой архивной тетрад-
ки большой чертеж и разложил его перед зрителями.
— Вот! — сказал он торжественно. — Здесь у нас с дедушкой
все показано, все до копеечки! Ведь, если ты не хочешь делать лиш-
них ходов, не заводить путаницы, ты должен понимать, как можно
обойти одной шашкой две другие; что у тебя получается, когда ты
обходишь шашки, и сколько надо на это примерно ходов. В большом
Дразнилке очень легко запутаться, а в маленьком все ясно. У нас на
121
этом очень хорошем чертеже все показано: в какую сторону ходить,
сколько ходов надо и как при этом нуль-пустышка ползает по ма-
ленькой коробочке. Ну вот, скажем, ты в большом Дразнилке заго-
нишь нуль в самый угол, а тебе надо еще что-то переставить, — ты
должен тогда нуль снова открывать, значит, опять лишние ходы!
Если рассмотреть внимательно, как ходят шашки у нас на этом
чертеже, то все станет ясно. А рассказывать очень долго. Не
буду.
— Хорошо! — сказала Веточка. — Правда, ведь если внимательно
рассмотреть этот чертеж, то все понять можно. Минут пять или, уж
от силы, десять на это пожертвовать, и всё разберешь!
— Д-да... — процедил Лева. — Это все так, конечно, но ты,
Вовка, лучше бы рассказал, как надо играть в твоего Дразнилку,
чтобы действительно поэкономнее выходило с числом ходов.
— Этому сразу не научишься, — отвечал дед. — Надо попракти-
коваться. Надо разглядеть хорошенько, как все эти обходы получа-
ются в Дразнилке. Придется тебе изучить Вовин чертеж! .. Там пе-
ред тобой — маленький Дразнилка, то есть три шашки на четырех
клетках. Если будешь их переставлять, двигая шашки в каком-нибудь
определенном направлении, например, против часовой стрелки, то
через двенадцать ходов ты придешь к исходной позиции. Если
какая-нибудь позиция может быть достигнута за шесть ходов, то
безразлично, в каком направлении переставлять шашки, по часовой
стрелке или против нее. Но если некоторая позиция достигается при
движении в одном направлении за четыре хода — меньше, чем за
шесть ходов, — то в противоположном направлении на это надо це-
лых восемь ходов; если за пять, то в обратном направлении потре-
буется семь ходов. Это очень легко проверить. Следовательно, если
какая-нибудь перестановка трех шашек на четырех полях требует
более шести ходов, надо вернуться к исходной позиции и двигать-
ся в обратную сторону.
— Придется! — подхватил Вовка. — Конечно, Дразнилка — это
игра, скажем, вроде шашек, но она все-таки хитрая. Мы с дедушкой
придумали очень хорошие разные приспособления, чтобы выучиться.
Л4ожно склеить такие специальные коробочки для особенных Драз-
нилок, сейчас я их покажу. А можно еще — если уж так тебе лень
клеить коробочки! — просто взять кусок бумаги или картона, расчер-
тить его линейкой на клетки. Выходит такая дощечка, и по ней от-
лично можно двигать шашки из Дразнилки.
— А есть еще, — добавил дедушка, — Дразнилка с барьерами.
— Да, правда, — подхватил Вовка, — еще есть и с барьерами!
Это все очень полезные игрушки, и на них можно хорошо научиться,
122
нуль двигается
по диагонали
как обходить шашки, сколько можно их обойти и как это сделать по-
скорее. Вот они какие, смотрите!
И Вовка показал ребятам две коробочки, склеенные им с великой
тщательностью и интересом к делу. Дедушка всегда учил, что, если ты
взялся за какое-нибудь дело, хоть и самое маленькое, его надо делать
не спустя рукава, а внимательно, точно, не отвлекаясь в сторону. И не
надо сердиться, если что-нибудь сразу не выходит! Переделай-ка раза
два или три—оно, глядишь, и выйдет!
— Эти обе коробочки одно и то же, только расположение немного
не такое. Ну можно просто выбрать ту, которая понравится! А лень
клеить — начерти на дощечке (см. чертеж). На каждом из этих «бла-
Н { 2 j ’ 1 ' ‘ с 1 * й
I ”115;
3 | 4 I 5 ! 6
12 ! 11 |10 J 9

горазумных» Дразнилок есть разъезд, обозначенный пунктиром; на
левом чертеже слева вверху, на правом в середине; это единственное
место во всем «благоразумном», где шашка может обойти две другие.
И надо еще попробовать, нельзя ли обойти
одну, и выяснить, что из этого получится.
— А почему этот Дразнилка с разъездом
называется «благоразумным»? — спросила
Веточка.
— Для этого, — отвечал Вовка, — надо
сперва подумать, почему наша игрушка на-
зывается Дразнилкой. Это ты знаешь или
нет?
— Н-не очень...
— Вот то-то, что даже очень «не
очень»! — с торжеством произнес Вовка, на-
ставительно покачивая пальцем в лад сво-
ему объяснению. — А дело-то в том, что
наш Дразнилка очень любит дразниться.
Как же он дразнится? А вот как: он подсо-
124
вывает тебе десятки разных решений. Начал ты делать так, а он тебя
смущает: «А может быть, так лучше?» Нет! «А вот, может быть, этак
еще лучше будет?» Ты пробуешь и так и сяк — ив конце концов так
запутаешься, что уже не можешь сообразить, что ты хотел сделать, и
с чего ты начал, и как у тебя получилась эта ужаснейшая неразбе-
риха! Вот отчего он и называется Дразнилка! А наш «благоразум-
ный» Дразнилка — совсем другое дело: он тебя никуда не торопит, ты
там можешь все хорошо обдумать и разобрать. Не хочешь клеить
коробочку? Если ты уж такой лентяй, что тебе даже и дощечку в
клетку разлиновать руки не поднимаются, мы тебе дадим несколько
позиций обыкновенного большого Дразнилки в пятнадцать шашек,
но с барьерами.
— Что за барьеры? — спросил Лева.
— Барьеров, конечно, настоящих, через которые на скачках кони
скачут, мы делать не будем, — сказал дедушка, — а просто уславли-
ваемся, что у нас в коробочке есть такие линии, через которые
шашкам переходить воспрещено. И тогда игра принимает иной харак-
тер. Вот они нарисованы у нас на чертежах. Первая: это позиция
«убедительная», которая построена совершенно так же. как и «благо-
разумный» Дразнилка, только не в особой коробочке и не на разлино-
ванной дощечке, а в самой коробочке большого Дразнилки. Здесь
есть тоже разъезд в четыре поля, он обозначен пунктиром. Нигде
в другом месте шашки обходить друг друга не могут. На разъезде
у нас в начальной позиции стоят шашки первая, вторая и пятнадца-
тая, а на четвертом месте разъезда — нуль-пустышка. Кроме того,
есть еще две поучительные позиции, тоже с барьерами. Вторая на-

зывается «двое ч а с о в ы х»; в этой позиции легко обойти не только
две, но и одну шашку. Правда, это достигается тем, что в позицию
вводятся некоторые особенности. Рассказывать, в чем тут дело, долго
и может показаться, пожалуй, кое-кому не только скучным, но даже и
125
ненужным, поэтому мы только показываем эту позицию. Кто заинте-
ресуется, тот сам найдет в ней немало интересного. Третья называется
«четверо в дозоре, одиннадцать в походе», где можно
делать еще более интересные перемещения. Попробуйте! И найдете
немало любопытных вещей.
— Интересно!—произнесла Веточка. — Одна позиция называется
«двое часовых», откуда я заключаю, что в ней две шашки стоят,
а остальные двигаются. Так я рассуждаю или нет?.. А в этой пози-
ции — «четверо в дозоре, одиннадцать в походе» — вероятно, целых
четыре шашки стоят, пока другие одиннадцать двигаются?
Вовка хитро посмотрел на Веточку, покачал головой, но кончил
тем, что положил себе палец на губы. Это, по-видимому, означало,
что он ничего рассказывать не собирается и предоставляет своим
товарищам самим докопаться, в чем дело с этими хитроумными
барьерными позициями.
Веточка усмехнулась, пожала плечиками и взглянула на дедушку.
А дедушка посмотрел на нее, потом на Вовку и, невзирая на негодую-
щие жесты своего внука, сказал так:
— Во всех трех наших барьерных позициях маршруты устроены
примерно так же, как они устроены в нашем «благоразумном».
Шашки могут обходить другие только на разъездах. Если мы возьмем
позицию, которая именуется «двое часовых», то в левом верхнем
углу ее имеется разъезд, где шашки могут обходить друг друга.
Вовушка уже вам намекнул, что в «благоразумном», как, впрочем,
и в «убедительной», можно обойти не только две шашки, но даже и
одну — правда, за счет того, что некоторая пара шашек образует
инверсию... Попробуйте-ка проверьте это указание! Что же касается
позиции «двое часовых», то она устроена посложнее, хотя и в ней вся
вереница шашек тоже двигается целой лентой, как в «благоразум-
ном». Например, если взять наших «часовых», то ясно, что (см. чертеж
на стр. 125) можно двинуть вперед всю вереницу шашек, оставив
первую шашку в левом верхнем углу:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 2;
затем идет вторая серия ходов (каждая серия по четырнадцати
ходов):
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 3;
теперь — третья серия из четырнадцати ходов:
4,5, 6,7, 8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,3,4;
далее — четвертая серия из четырнадцати ходов:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 4, 5
и так далее. В каждой серии ходов, как легко заметить, кроме первой,
стоит «на часах», пропуская свой ход, еще одна шашка. В первой
серии «на часах» четырнадцатая шашка, во второй — пятнадцатая,
в третьей — вторая, в четвертой — третья. Шашки, попадающие в ле-
вый нижний угол, могут ходить так, что одна шашка пропускает
целую серию из четырнадцати ходов, если она остается в самом углу.
Следовательно, «на часах» стоят первая шашка и еще одна из других
поочередно в левом нижнем углу: или та, которая попадает в началь-
ной позиции на место тринадцатой или на место четырнадцатой.
В позиции «четверо в дозоре» это правило распространяется не на
две, а на четыре шашки. Проверьте.
— А все-таки, — сказал Ника, — хорошо было бы, если бы вы,
товарищи докладчики, дали кое-какие прямые указания насчет того,
как же все-таки можно добиваться той или иной позиции в Дразнилке,
не тратя лишних ходов. Мы, разумеется, попробуем одолеть все пред-
ложенные вами позиции, но, может быть, вы дадите и еще какие-
нибудь хорошие советы?
— Как играть? — воскликнул Вовка. — Вот дедушка очень хорошо
мне говорил: играть надо с толком!
Все засмеялись, а Вовка посмотрел на товарищей со страшной
обидой.
— Что, неверно? — произнес он в полном возмущении.
— Верно, милый Вовочка! — сказала сквозь смех Наташа.— Ну
конечно, верно — играть надо с толком! Мы не спорим...
— А чего ж вы хохочете?
— А смеемся мы потому, что это и так всякий понимает, что
играть-то надо с толком, но в чем именно этот твой толк заключает-
ся — вот этого-то мы и не знаем!
— Сейчас узнаете! — ворчливо ответил Вовка.—
Слушайте хорошенько. А зубоскалить это не дело!
— Надо примеры, Вовушка, — сказал дед.
— Хорошо, — согласился внучек. — Ну вот: у нас
большой Дразнилка. Возьмем первые его две строки:
Требуется поставить первую шашку на третье место.
Начнем делать что называется напролом — как-нибудь, только по-
скорей:
7, 2, 1, 7, 2, 6, 3, 1, 7, 2.
Готово! За десять ходов поставили первую на третье место. Но ведь
теперь надо все в порядок привести! Займемся этим:
6, 3, 5, 4, 1, 7, 3, 6, 2, 3, 7, 1, 4, 5, 6, 7, 3, 2;
вот и еще набежало восемнадцать ходов. Всего вышло двадцать
восемь. Попробуем-ка теперь сделать не торопясь, как дедушка учит,
благоразумно:
1, 2, 3, 6, 7, 1, 2, 3, 1, 7, 6, 1, 3, 2.
Все на месте и—в четырнадцать ходов. Вот как выходит оно, если
рассудить: в два раза скорее!
6.
— Так! — промолвил Никита. — Ну, а еще?
— А еще, — отвечал наш докладчик, — возьмем вот такую
позицию как вы видите, конечно, это наш основной
бустрофедон...
— Только единичка переставлена в левый ниж-
ний угол, — перебила его Веточка, — то есть через
двенадцать шашек. Постой-ка! Двенадцать — это
ведь четное число... а переставить шашку через чет-
ное число шашек, это все равно что четное же число
раз поменять ее местами с соседками.
— Как это ты говоришь? — не поняла Наташа.
— Очень просто, — отвечала ей подруга. — Ты
меняешь местами единичку со второй шашкой —
	Eras		тЕ*
П 2	3	4	5 п
। 9	8	7	б :
1 10	11	12	13 :
	15	14	1
кАЛ Л	жл. а &			
			
одна инверсия, затем ту же единичку с третьей
шашкой, это уж получилось две инверсии, четное число инверсий.
Значит, через четное число шашек можно переставлять шашку. Полу-
чается, что позиция, которую нам привел Вовочка, — четная, того
же круга, как и сам бустрофедон. Вот это-то я и хотела выяснить.
— Выяснила, — добавил дедушка. — И хорошо сделала!
— Так вот, — вступил в свои права докладчик, — мы в этой пози-
ции сперва попробуем поставить единичку на место «попросту».
А потом сделаем подумавши, рассудительно. А после этого... ну, что
рассказывать, покажу — сами увидите! Значит, начинаю «попросту»
без затей:
15, 14, 1, 13, 12, 1, 14, 11, 1, 7, 8, 1, 10, 9, 1, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
За двадцать два хода довели. Получилось шесть инверсий. 7-я и 11-я
обошли по три шашки. Надо порядок навести:
9, 10, 11, 14, 13, 12, 5, 6, 7, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 12, 13, 14, 15,
вот вам еше двадцать ходов на укладку пошло — почти столько же,
сколько для всего путешествия единички! А всего получилось сорок
два хода. Попробуем теперь не торопясь:
15, 14, 1, 13, 12, 1, 13, 12, 6, 7, 1, 11, 10, 9, 8, 1, 7, 6, 11, 10, 9, 8, 1,
7,6,5, 4, 3, 2, 1.
— Целых тридцать ходов вел, — сказал Лева.
— Верно! Тридцать, — отвечал Вовка. — А зато теперь...
Смотри-ка:
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
и все стоит на месте за восемь ходов. Вышло всего тридцать восемь
ходов вместо сорока двух. Экономия получилась на четыре хода. Ну,
вот, а теперь смотрите-ка: дедушка придумал для этого случая комби-
нацию, ну, как вот в шашках или шахматах бывают комбинации: от-
дали тебе коня, а потом — хвать! — и ферзь у тебя полетел! И вот
из-за этой-то дедушкиной комбинации еще экономнее выходит. На-
чинаю:
15, 14, 1, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7...
— Зачем это всю строку двигать? — проворчал Лева. — Не по-
нимаю!
— То-то и дело, что не понимаешь! — яростно огрызнулся Вовка,
не удостоив братца объяснением. — Дальше:
11, 1, 14, 10, 1, 11, 7. 1, 10, 15, 9, 8, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Готово! На укладку еше два хода:
8, 9.
И всё! Вышло тридцать два хода.
— Целых двадцать шесть процентов экономии, — заключила Ве-
точка. — Больше четверти от первого раза.
— Дело! — решил Ника. — А теперь давайте-ка выясним: в чем
же тут секрет?
9
Архимедово лето
129
— Весь «секрет», как ты говоришь, Никитушка, — отвечал ему
дед, — заключается только в том, чтобы держать шашки маленькими
связными группами в их естественном порядке и, по возможности, не
разрывать этих групп. Пока мы еще не касались нашей позиции, все
у нас стояло в порядке, только единичка стояла между тринадцатой
и четырнадцатой шашками. Вот на этих чертежах показано, как по-
степенно изменяется вся эта позиция. Нуль — это большая черная
точка. А связи между шашками даны линейным обводом этих малень-
ких групп шашек. Можно проследить, как идет игра. Вся сила здесь
в том, что эти маленькие группы или не разрываются, или разрыва-
ются ненадолго, и при этом так, чтобы их можно было без труда
свести снова воедино. Позиция А получается после первых двена-
дцати ходов, приведенных Вовушкой; позиция В — после следующих
трех ходов; позиция С — после следующих за ними новых трех ходов;
и, наконец, позиция D— еще после пяти ходов. Остаются последние
семь ходов, которые уж сами собой разумеются.
— Но ведь это еще сравнительно нехитрый случай, — сказал
Ника, — задачка простенькая. А разве можно всегда так рассчитать?
— Конечно, — отвечал дед, — не всегда все так ясно бывает, но
нехитрые случаи хороши тем, что общие правила на них видны очень
отчетливо. В этом их смысл и значение. Но можно и еще яснее по-
казать, что такое ошибочная игра и что из нее получается. Возьмем
еще один вариант той же игры. Ходов в нем столько же, то есть три-
дцать два, только некоторая перестановка ходов устроена... это
можно делать. Так вот как:
15, 14, 1, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 11, 1, 14...
До сих пор все так же, как и в предыдущем примере, а теперь не-
большое изменение: перед тем, как пойти 10-й шашкой, чтобы дать
единичке обойти шашки седьмую и одиннадцатую, делаются ходы:
15, 9...,
которые в предыдущей игре делались уже после того, как единичка
обойдет седьмую и одиннадцатую. Теперь все можно отлично уладить
в семнадцать ходов, но я прошу запомнить получившуюся у нас те-
перь позицию. Эти семнадцать ходов такие:
10, 1, 11, 7, 1, 10,8, 1...
Затем, начиная с семерки, вся вереница вместе с первой строкой от-
ступает назад, пропуская единичку на место, а затем на место ста-
новятся восьмая и девятая. И делу конец! Но теперь я прошу вас
вернуться к той позиции, которую просил запомнить. Легко видеть,
что ход десятой шашкой хороший, благодаря ему единичка, обходя
седьмую и одиннадцатую, сразу ставит обе эти шашки на свои места,
а поднявшись на вторую строку, дает возможность и десятой шашке
стать на ее место, а восьмой занять удобное положение, откуда она
сразу шагнет туда, где ей и быть надлежит. Так вот представьте себе,
что мы ошиблись и на шестнадцатом ходу пошли не десятой шашкой,
а восьмой. Что же из этого получится?
— Вот, слушайте-ка хорошенько, — ввернул Вовка. — Вот тут-то
вы и начнете соображать, в чем дело...
— Теперь нам придется играть так:
8,7, 10. I, 11, 10, 1, 8, 7, 1, 10,6, 5,4,3, 2, 1, 7, 8. 10. 7, 8, 9 — и вместо
семнадцати ходов мы сделали двадцать три — на шесть ходов больше.
Откуда же набежали эти лишние ходы? Разберем шаг за шагом.
В первом варианте движение вереницы — 10—1 — 11—7 — сразу по-
зволяло единичке обойти две шашки — восьмую и десятую — и по-
пасть куда ей нужно (на поле аЗ по шахматной нотации коробочки),
да еще при этом одиннадцатая попадала сразу на свое место. Теперь
же приходится двигать пять шашек (8—7—10—1 — 11), чтобы сдви-
нуть единичку на один ход, да и то ей теперь загораживают дорогу
не две шашки, восьмая и десятая, а три, ибо к этим двум еше присо-
единяется и седьмая. А когда наконец единичка попадет на аЗ, то
не две шашки стоят на чужих местах (восьмая и девятая), а целых
пять (7—8—9—10—11), и все это надо еще приводить в порядок. Дви-
жения делаются запутаннее, а те же шашки делают лишние ходы,
топчась на месте. По возможности надо стараться, чтобы движения
шашек были согласованные.
9*
131
1	2	3	4		—1	1	2	3	4
5	6	7	8		12	13	14	5
9	10	11	12		11		15	6
13	14	15			10	9	8	7
— Хорошо, мы не спорим, — сказала Веточка. — Попробуем по-
следовать твоим примерам, Вовочка. Будем стараться играть толково.
— Да! — веско проронил секретарь. — Посмотрим, как это у вас
получится. Проверим! Давайте-ка для примера сделаем одну задачку.
«Книжка» и «спираль» одного круга, можете проверить. Вот они:
— Сейчас проверим. —
откликнулась Наташа и со-
ставила табличку инверсий
по дедушкиному способу. —
Получается, — продолжала
девочка, — всего шесть ин-
версий, значит, позиция чет-
ная, того же круга. Начнем-
те-ка все разом.
Защелкали шашки.
— Выходит!—промолвил
Лева.
— Когда играют в Дразнилку целой компанией, — заметил
Вова, — то обыкновенно делают так: берут одну позицию, все ее ста-
вят на своих Дразнилках, потом показывают, что из нее надо сделать,
то есть другую позицию. А затем замечают время — ну по секундо-
меру, а то и просто по часам. Кто скорее сделает, тот и молодец —
он выиграл. Ну, а мы с дедушкой решили проверять прямо по числу
ходов. Это вернее, а то кто-нибудь делает наобум, кое-как, а двигает
шашки проворно, глядишь — он и сделал первый. Так ведь это непра-
вильно! Конечно, неправильно... Ну, так вот во сколько же ходов
у Левы сделано?
— Не считал, — ответил Лева. — Впрочем, подожди... сейчас
скажу.   всего у меня было шестьдесят три хода. Вот сколько!
— «Шестьдесят три»! — презрительно повторил Вовка. — А я де-
лаю в сорок девять ходов. Показать? ..
— Я сделала в пятьдесят три хода,—сказала Наташа.
— Лишних четыре хода! — еще насмешливее заметил Вовка.
— Да здравствует славная секция Нико-Левов!—закричал Ни-
кита — Наша взяла! Обогнали! Идем с просветом!
— Сколько? — с испугом спросил Вовка.
— Сорок семь!
— Только на два хода, — несколько спокойнее сказал Вовка. —
Покажи!
— Изволь, — сказал Никита. — Вот как, смотри:
12, 11, 10, 9, 13, 14, 15, 12, 11, 8, 7, 6, 5, 13, 14, 15, 12, 11, 8, 7,
6, 5, 13, 14, 15, 12, 11, 10,9, 15, 12, 11, 10,9, 15, 13, 14, 12, II,
10, 9, 8, 7, 6, 5, 14, 13.
— Неплохо, — сказал дед, — экономно. Хорошо пятерку задер-
жал, не поторопился. Молодец Никита-Кожемяка!
— Значит, дедушка, — сказал Вовка, — Ника тоже комбинацию
придумал? Так ведь?
— Конечно! — отвечал дед. — И неплохую комбинацию.
— Всего проше запутанную позицию прямо по строкам делать —
первую, потом вторую, — сказал Вовка, — или по столбцам. Но зато
уж потом на последних двух строках такая путаница получается!
Конечно, лучше комбинации придумывать... Да не всегда выходит.
Скажем, сделал ты из «обратной спирали» бустрофедон, а когда сде-
лал, проверь — сделай из бустрофедона «обратную спираль». Сразу
заметишь, где ты лишних ходов наделал. Мы с дедушкой вот еше что
пробовали: повернуть шашки изнанкой вверх, затем сделать наугад
двадцать пять ходов — какие придется! — а потом поверии осторожно
шашки опять лицевой стороной да попробуй в те же двадцать пять
ходов привести все в порядок. Не так-то просто! Ну, а теперь делайте
задачку: дается «книжка», единичка поставлена на предпоследнее
место. Извольте переделать в бустрофедон. Инверсий — четное число,
значит, это позиция другого круга.
— У меня семьдесят шесть ходов! — жалобно
сказала Веточка.
— У меня семьдесят семь! — ответил ей в тон
Лева.
— А у меня все восемьдесят один, — сказала
Наташа.
— Слабо! — отвечал дедушка. — Надо еше по-
трудиться маленько.
— Шестьдесят один! — сказал Ника. — И вот
как получается...
— Постой ты! — перебил возмущенно Вовка. —
«Шестьдесят один»! И не стыдно тебе’ Вот я буду
диктовать, а вы ставьте на своих Дразнилках...
— А сколько у тебя? — небрежно спросил Лева.
— Сорок пять.
— Сорок пять! .. — раздались разочарованные
голоса.
— Ишь, хитрец! — засмеялась Веточка.
— Слушайте-ка! — прикрикнул на них Вовка:
13, 12, 11, 1, 15, II, 8, 7, 1, 10, 6, 1, 10, 8, 7, 9, 5. 4,
а_2	3	4	5
16	7	8	9
но	11	12	13
[14	1	15	
1	2	3	4
8	7	6	5
9	10	11	12
	15	14	13
3, 2, 1, 10, 8, 6, 10, 8, 9, 7, 6, 9, 7, 6, 9, 15, 14, 10, 15,9, 11, 14, 10, 15, 9,
10, 15.
— Ловко! — сказал не без легкой зависти Лева. — Это дедушка
тебе небось все делает. Знаем мы вас!
— Не угадал, — спокойно ответил старик, — не угадал, и вышло,
что соврал. Как раз это он все сам сделал.
— Видал? — выпалил с торжеством Вовка. — Ты, брат, еще сла-
боват, конечно...
— Верно, верно, Вовочка, — принялись хохотать девочки, — ты
у нас молодец! Куда ему за тобой угнаться!
Лева посмотрел на них мрачно, но не выдержал и сам расхохо-
тался.
— Теперь дальше... — произнес Вовка. — Ну, прямо скажу, это
вещь не простенькая. Начнем с того, что возьмем «обратную спи-
раль» в четвертом повороте (верхний чертеж) и из
этой «обратной спирали» мы сделаем вот то самое,
что у меня на нижнем чертеже вы, ребята, видите!
— Это ты просто так шашки наставил? — спро-
сил Лева. — Какой интерес это делать?
— Очень даже не просто! — сказал с хитренькой
улыбочкой Вовка. — А за то, что ты так говоришь,
вот ты сперва сделай, тогда скажу.
— Н-да, — промолвил Ника после некоторого
молчания, в продолжение которого все старательно
щелкали шашечками, — канитель изрядная!
— Что ж, — усмехнулся дед, — на то и голово-
ломка. Не торопись, что-нибудь да и придумаешь.
— Довольно хитро получается, — со вздохом
признался Никита, — но я тут свою систему приду-
мал. Вот как:
1, 8, 9, 10, 8, 9, 7, 1, 9, 2, 3, 14, 15, 4, 5, 9, 14, 5, 9, 6,
1, 14;
первый столбец справа готов:
6, 9, 4, 15, 5, 6, 2, 8, 11, 3, 13, 12, 3, 13, 6, 2, 8, 11, 13. 6;
готова и первая строка. Получился «глаголь» такой, словно буква
«Г» повернутая. Теперь навести надо порядок на оставшихся девяти
местах:
2, 8, 9, 4, 8, 2, 11, 9, 4, 8, 2, 11, 9, 4, 11, 2, 15 —
все! Пятьдесят девять ходов получилось. Не знаю, может быть, улуч-
шить можно.
134
7.
— Нет, в общем ничего, — заявил докладчик. — А теперь делайте
еще задачку. И вот какую: из той же самой «лошадки»...
— Да что же это за «лошадка», наконец?! — воскликнула Наташа.
— Вот сделайте из «лошадки» еще одну позицию, а раньше нипо-
чем не скажу. Вот смотрите на чертеже, какая это уди-
вительная позиция! Называется «меланхолия»!
— Э-э, — вдруг закричала Наташа, — я что-то при-
поминаю! А ты, Лева?
— Я тут при чем?
— А помнишь, был разговор, что ты такое «личико
печальное» сделаешь? Когда я к вам в первый раз
пришла?
— Вот именно! — подтвердил дед, усмехаясь. — По-
<6	3	2	13
5	10	11	8
1 9	6	7	12
1 *	15	14	
пался, брат!
— Ага, забыл! .. — сказал Вовка, подмигивая деду. — Обвели!
— Да, да, — присоединилась к ним и Веточка, — ты ведь мне рас-
сказывала, вспоминаю! .. Посмотрим! Тут даже Вовочка и шестнадца-
тую шашку на месте пустышки-нуля пунктирчиком изобразил!..
— Посмотрим, — мрачно повторил Лева. — Сейчас попробую эту
штуку одолеть. Подумаешь, какая хитрость! ..
Снова защелкали шашки по Дразнилкам, а затем Лева сказал:
— Вот как я сделал:
5, 12, 9, 2, 11, 4, 2, 11, 12, 5, 15, 12...
— Теперь двенадцатая у меня стала на верный путь: будем уж
хитрить вовсю. Затем надо четырнадцатую подтягивать... а за ней и
тринадцатая поползет:
4, 14, 7, 10, 13, 2, 11, 9, 5...
тринадцатая на своем месте, а кроме того, у меня в полном секрете
заготовлены новые жильцы для правого крайнего столбца, и они
сейчас домой поедут. Выходит вроде как в шашки, когда в «волки
и овцы» играешь, только там надо запереть, а здесь, наоборот, надо
целую вереницу шашек пропустить. Итак:
4, 14, 7, 1, 8, 12, 14,
четырнадцатая попала в веренице на свое место. Пора уж единичке
пропустить шашки правого крайнего столбца, а самой пойти куда ей
полагается:
7, 1, 8, 12, 1...
135
Затем десятую вон из правого крайнего столбца, а вторую на место:
7, 9, 6, 2, 11, 10 —
а теперь уж все пойдет как по маслу:
8, 12, 1, 14, 15, 4;
осталось уголок разобрать. Это мы мигом!
9, 6, 10, 11, 2, 3.
Всё! Пятьдесят один ход. Ну, Вовка, я твою задачку одолел, как ви-
дишь. Давай-ка, рассказывай. Выкладывай свои секреты.
— Ах, — промолвила Веточка, — кажется, я догадалась.
— Говори скорей! — закричал Лева.
— Боюсь наврать... — ответила она. — Вот на бумажке написала
и отдаю дедушке.
Дедушка взял бумажку и сунул ее, не глядя, в карман.
— Ну, Вовочка, — обратилась к докладчику Наташа, — будет тебе
нас за нос водить. Рассказывай!
— Я сказал Левке, что это одно и то же и сверху вниз, и сбоку,
и наискось.
— Позволь, — сказал Ника, — кажется, и я догадался. Ну-ка, по-
смотрим. .. Да, верно.
— Да что ж такое? — спросил Лева. — Я один ничего не понимаю!
Вот беда!
— Это... — медленно произнес Вовка, наслаждаясь общим вни-
манием, — настоящий магический квадрат!
Дед вынул из кармана бумажку Веточки и с улыбкой отдал де-
вочке.
— Догадалась!—сказал он ей.
— Вот оно что! — воскликнул Лева.
— Если, — продолжал Вовка, — пустышку считать за число шест-
надцать, то сумма по строкам, по столбцам и по диагоналям будет
равняться тридцати четырем.
— Забавно, — сказала Наташа.— Ай да Вова! А что за «ло-
шадка»?
— А «лошадка» — это обход всей коробочки
Дразнилки, кроме пустышки, ходом шахматного
коня.
— Правильно!.. — проверил Никита. — Так и
есть. Вот молодец Вова!
— Ах, вот какая «лошадка»!.. — досадливо про-
бормотал Лева.
136
— Ага! — торжествующе отвечал ему Вова, показывая на него
пальцем. —А ты и не мог догадаться целых две недели. Ты что ду-
маешь, я не видал, как ты третьего дня ходил перед садом и скреб
в затылке, ходил и думал — а догадаться не мог!
— Я не о том думал.
— Да, не «о том»! Рассказывай!
— Дедушка, — сказал Лева, которому почему-то хотелось переме-
нить тему разговора,— ты нам рассказал бы, как это получается
с ходом коня и что это такое, эти магические квадраты. И про «мелан-
холию» вашу...
— Ну что ж, — протянул дед, — можно, конечно... А вот что,
Вовушка, ты бы лучше нам объяснил еше насчет того, как все эти
позиции в Дразнилке можно поворачивать. Ты об этом мало сказал.
— Хорошо, — отвечал ему внук, — если хорошенько посмотреть
все эти вращения, как я показывал (стр. 105), где у меня буква «Б»
поворачивается, можно подсчитать, сколько там инверсий полу-
чается. И вот тут есть разница между маленьким и средним Дразнил-
ками и большим. В маленьком Дразнилке сделал три хода, и уже
позиция повернулась — да я показывал (см. раздел 1)...
— .. .на девяносто градусов,
— вставил дедушка.
— Конечно, на девяносто! — сер-
дито согласился Вовка. — В среднем
Дразнилке получается то же самое,
только там не три хода надо сде-
лать, а четырнадцать. Смотрите,
вот две позиции бустрофедона:
начиная с первой позиции, делаем
ходы:
4, 3, 2, 1, 6, 7, 8, 4, 3, 2, 1, 6, 7, 8—
получаем вторую. Ну, а уж с большим Дразнилкой совсем не то
выходит.
— Позиции большого Дразнилки, — объяснил дедушка, — можно
поворачивать только на сто восемьдесят, но не
на девяносто градусов.	1
— Д-да... — протянул Лева, раздумывая. —
Конечно, в среднем Дразнилке, как ни повора-
чивай, все равно в середине остается неподвиж-
ной одна единственная шашка, пятая. А в боль-
шом остаются в серединке целых четыре шашки.
Возьмем этот ваш бустрофедон в первом пово-
роте. Если подвинуть все крайние шашки, то
137
шестая, седьмая, десятая и одиннадцатая в середине, разумеется, не
повернутся. Застрянут. И как с ними тут быть?
— Вот сейчас увидишь! — проворно заявил Вовка. — Возьмем
бустрофедон в трех поворотах — пятом, шестом и седьмом:
13
14
15
12
11
10
5
4
9
6
3
7
8
2
Попробую перевести пятый поворот бустрофедона в шестой. Буду
двигать шашки сразу тройками, причем двигаю крайние шашки, а
середину трогать не буду. Записываю эти ходы — буду отделять каж-
дую тройку шашек в записи черточкой:
15, 14, 13—12, 5, 4—3, 2, 1—8, 9, 15—14, 13, 12—5, 4, 3—
2, 1, 8—9, 15, 14—13, 12, 5—4, 3, 2—1, 8, 9.
Всего тридцать три хода — немножко длинно, зато думать не надо.
— Внимание не утомляется, — заметил дедушка.
— Теперь берусь за серединку:
15, 14, 10, 11, 6, 7, 11, 10, 14, 15.
Еше десять ходов, но толку мало, остается одна инверсия 11—10. Ее
можно заменить какой-нибудь другой инверсией, но убрать нельзя.
Попали в другой круг. Попробуем теперь из того, что получилось,
ничего не меняя, перейти к седьмому повороту опять тем же способом:
15,14, 13 — 12,5,4 — 3,2,1 — 8,9,15 — 14,13,12 — 5,4,3 — 2,1,8 —
9,15,14— 13,12,5 — 4,3,2— 1,8,9.
— Одни и те же ходы! —с удивлением отметила Веточка.
— А выйдет совсем другое! — возразил Вовка. — Смотри:
15, 14, 11, 10, 6, 7, 10, 11, 14, 15—
снова десять ходов и тоже очень похоже... И все стало на место! Пя-
тый поворот в седьмой переходит, а в шестой переходить не согла-
шается!
— Это сообразить нетрудно, — сказала Наташа, — потому что,
если внимательно рассмотреть эти серединки пятого и седьмого
поворотов, из-за которых все затруднения и начинаются, то видишь,
что эти два положения (на чертеже)
отличаются друг от друга на две ин-
версии, значит, переделать можно.
Если в первой сделать две транспози-
ции, то есть поменять местами седьмую
и одиннадцатую, а потом шестую и де-
сятую, все будет на месте. А в другом

случае, если сравнить серединки пятого
и шестого, без трех транспозиций не управишься.
— Конечно, не управишься, — согласился Вовка. — Вот и вы-
ходит, что в большом Дразнилке на сто восемьдесят градусов можно
позиции поворачивать, а на девяносто градусов — нельзя. Давай
проверим по дедушкиному способу четность инверсий. Вот вспомни,
как у меня прописная буква «Б» поворачивалась. Ведь все повороты
для большого Дразнилки делятся на две половины. Одна половина
это первый круг (круг основной позиции бустрофедона), другая —
второй круг (это круг основной позиции «книжки»), В большом
Дразнилке (как на нижнем чертеже)
все повороты в светлых клетках этой
таблички — это четные позиции, если
сравнивать с первой позицией, то есть
они того же круга, что и первая пози-
ция. Все те, которые в темных клет-
ках, — другого круга, нечетные отно-
сительно первой позиции. Надо сказать,
что к первому кругу, то есть к кругу
бустрофедона, относятся «обратная
спираль» и «змеиная» позиция, «убеди-
тельная» и две другие с барьерами.
«Спираль», «лошадка» и «меланхолия» — второго круга.
— Значит, — сказала Наташа, — ты можешь взять бустрофедон
в первом повороте и переделать его в «лошадку» во втором? Так
я тебя поняла?
— Верно! Теперь насчет поворотов еше: «лошадку», конечно,
можно поворачивать. «Змеиную» позицию можно поворачиватьитак,
как я показывал насчет бустрофедона, а можно еше и по-другому —
139
непрерывным движением: сделай ход первой шашкой — и все шашки
поползут за ней. Все наши пятнадцать шашек — ну, вся их компания,
одним словом! — обойдут всю коробочку, все места в коробочке. За
один раз передвигаются все пятнадцать шашек! Дедушка сказал, что
это получается... значит... одна... Дедушка, а как это называется?
— Одна серия ходов, — подсказал дедушка.
— Получается одна серия ходов, — повторил
Вовка, — и все передвинется на одну клеточку, то
есть каждая шашка. Значит, в каждой серии пятна-
дцать ходов. Вот смотрите-ка, что у нас получается
после четырех повторений пятнадцати ходов всеми
нашими пятнадцатью шашками. Начинаем с первой
(шашки двигаются против часовой стрелки). Спер-
ва у нас было как на верхнем чертеже, а потом
получился нижний чертеж. И вот этим новым спо-
собом. ..
— Непрерывным движением, — вставил Тимо-
фей Иринархович.
— Да, непрерывным движением, — повторил до-
кладчик, — можно нашу «змею» даже и на девяно-
сто градусов повернуть. Только это уж будет особый
поворот... Вот вы попробуйте-ка! А так, как я по-
казывал (это когда у меня сразу тройки крайних
шашек ходили) вы «змею» на девяносто градусов
не повернете! И это невозможно ни для одной по-
зиции большого Дразнилки. Ну вот... я только про
«меланхолию» еше ничего не сказал — ее-то уж никак нельзя по-
ворачивать!
— Это почему? — удивился Лева.
— Так ведь это тогда уж будет не «меланхолия»... — произнес
Вовка нерешительно, — просто квадратик и всё!
— Опять тайны пошли! — поморщился Лева. — Вот любитель
секретничать Вовка. Не зря мы его в секретари-то провели!
— Секрет нехитрый!—заметил дед. — Вовочка называет «мелан-
холией» тот магический квадрат, который знаменитый немецкий
художник Альбрехт Дюрер в шестнадцатом веке нарисовал на своей
гравюре, которая и носит название «Меланхолия». На последней
строке квадрата в двух средних клеточках — в Дразнилке это будут,
конечно, шашки! — стоят рядом четыре цифры: 1514, — это и есть тот
год, когда Дюрер сочинил и выгравировал свое произведение. По-
вернешь — будет не то.
— Так что, — продолжал Вовка, даже не взглянув на Леву,—
140

если у тебя какой-нибудь поворот не вышел, то можешь сделать
позицию из другого круга. Какую тебе вздумается, ту и делай, только
чтобы круг был другой.
8.
— Хорошо, — сказал Ника, — значит, большого Дразнилку можно
поворачивать только сразу на сто восемьдесят градусов. Так и за-
пишем! А среднего и маленького—можно и на девяносто градусов...
Насчет маленького ты, Вова, уже показывал нам все его повороты
(см. раздел 1). Там, сколько я припоминаю твои ученые объяснения,
секретарь, такой пестрой таблички, как ты сделал
для большого Дразнилки, делать не надо. Для
маленького и среднего просто вся верхняя строка
таблички будет белая, вся нижняя — темная.
Вот я бы так нарисовал — только я букву «Б»
не буду вертеть, а напишу просто номера пово-
ротов, как вы это видите на верхнем чертеже.
Для среднего и маленького Дразнилок все повороты первой строки
одного круга, все повороты второй строки — другого.
— А что. — мечтательно промолвил Лева, — если нам соорудить
в честь нашей памятной Дразнилкиной ассамблеи огромного
Дразнилку —с двадцатью четырьмя шашками, с двадцатью пятью

местами в коробочке? А, что вы скажете?
— Коробочку новую клеить надо, — заботливо
пробормотал секретарь. — А с шашками как же?
Где двадцать четыре шашки взять?
— Можно разлиновать дощечку вроде шахмат-
ной, — сказала Веточка, — очень хорошо будет!
А шашек нарежем из картона, да и напишем но-
мера — вот и всё!
— Ну, материальную часть, — продолжал Ле-
ва, — как-нибудь да оборудуем, сообразим! Но
дело-то вот в чем, и вот к чему я веду: ведь если мы
соорудим такого «огромного» Дразнилку, то его, как
и среднего, можно будет поворачивать и на сто
восемьдесят и на девяносто градусов. Вот оно как
выходит. Какие любопытные задачки с Дразнилкой
получаются!
— Молодец, Вова! — похвалила Веточка. — Как
хорошо все нам растолковал...
— Да постойте! — закричал Вова. — Мне надо
142
аТ	2	3	4|
И12	13	14	5
|и		15	6
Hip	9	в	7J
еще сказать! Я еще не кончил, подождите вы! Вот
еще как можно переставлять интересно. Возьмем
нашу «спираль». Разделим «спираль» на четыре
четверти и каждую пометим в уголку двумя черточ-
ками, как у меня показано на верхнем чертеже,
и теперь переставим эти четверти, не поворачивая,
так, чтобы наши черточки сошлись в центре, и тогда
получается такая позиция, как на нижнем чертеже,
и она того же круга, что и сама «спираль» (вто-
рой круг). Проверяйте! Называется «с е р е б р я -
н а я» позиция... Только долго делать! И еще вам
напоследок одна задачка: из барьерной позиции
«двое часовых» — она ведь первого круга — сделать
бустрофедон, а барьеров не нарушать!.. Ну вот уж
теперь совсем все! Больше нечего рассказывать.
Вовка, немного усталый от своего длинного вы-
ступления, но в полном удовольствии оттого, что
он один столько времени занимал аудиторию, со-
стоявшую из ребят постарше его, огляделся
кругом.
— Так, — сказал дедушка. — Можно еще добавить несколько слов.
Вы уже знаете, что число инверсий, когда шашка прыгает через
четное число шашек, обязательно меняется на четное число. Как это
получается? Довольно просто. Предположим, что наша шашка пере-
прыгивает через 2п шашек; разумеется, 2п есть четное число. До-
пустим, в числе этих шашек имеется а шашек, с которыми она образо-
вывала инверсии и b = (2п — а) шашек, с которыми инверсий не
было. Тогда очевидно, что числа а и Ь, как говорится, одной чет-
ности, то есть либо оба четные, либо оба нечетные, иначе сумма их
не была бы четной. Но так как сумма двух чисел всегда той же чет-
ности, что и их разность, то, когда вычту b из а, я снова получу
четное число. Вот откуда это происходит. Значит, каждый прыжок
через четное число шашек уменьшает число инверсий на четное число,
а отсюда ясно, что если у нас четное число инверсий, то путем ряда
прыжков через четное число шашек мы постепенно сведем число
инверсий к нулю. Имейте, кстати сказать, в виду, что вопросы, связан-
ные с инверсиями, существенны не только в Дразнилке, айв других,
довольно важных разделах математики.
— Прошу слова!—сказала Наташа.— Вот что я подумала, когда
Лева предложил соорудить достопамятного «огромного» Дразнилку:
поворачивать его, разумеется, можно, в этом Лева совершенно прав.
Но нам только что Вовочка еще про одно обстоятельство рассказал...
143
a 6 c t£ e P 9 h
— Про какое? — спросил Лева.
— А вот про «змеиную» пози-
цию, в которой вся вереница шашек,
извиваясь, ползет, скользя по своему
маршруту, так, что можно и нуль
и любую шашку поставить на любое
место. По-моему, такие позиции
можно было бы назвать замкну-
тыми. В них начало смыкается
с концом, и как раз между началом
и концом и стоит нуль.
— Замкнутая позиция... — по-
вторил Ника. — Ну что ж, очень
хорошо — пускай так и называется!
— Так вот, — продолжала Наташа: — а
ведь в среднем Дразнилке такую замкнутую
позицию устроить невозможно!
— Не выходит, — подтвердил Вовка. —
Только в большом можно.
— Нет, — отвечала ему Наташа, — можно
еще в маленьком, где замкнутая позиция, так
сказать, сама собой получается. А кроме того,
замечу, что в достопамятном «огромном»
Дразнилке замкнутой позиции тоже делать
нельзя. И вот отсюда вывод: замкнутые пози-
ции можно делать только в тех Дразнилках,
у которых по стороне коробочки стоит четное
число шашек, то есть две или четыре, но не три или пять.
— Отличие между Дразнилками четного и нечетного порядка! —
громко провозгласил Лева. — Молодец, Наташа! Сформулирован но-
вый закон о Дразнилках: первое — поворачивать позицию на девя-
носто градусов, двигая сразу всеми теми шашками, которые стоят
на одной стороне коробочки — а на той же стороне находится у нас
и нуль! — можно только в Дразнилках нечетного порядка, в виде
исключения сюда добавляем и самого простого Дразнилку, трех-
шашечного; второе — устроить замкнутую позицию можно только
в Дразнилке четного порядка. Даже не один, а целых два закона...
Записать сейчас же в главную архивную тетрадь нашего чистописа-
тельного секретариата!
— Ты, пожалуйста, очень не распоряжайся! — отвечал ему
обиженно братец.— И без тебя обойдемся. Все уже давно записано:
на, читай! Это, правда, не главная тетрадь, но я потом перепишу.
144
— Есть одна любопытная задачка, — заметил дедушка, — кото-
рая поясняет вопрос о замкнутых позициях. Берется обыкновенная
шахматная доска — в шестьдесят четыре клетки — и спрашивается:
может ли ладья обойти всю доску, побывав на каждой клетке
только один раз?
— Так это задача, как про одночеркальные фигурки! — возразил
Вова. — Ну конечно, наша задачка!
— Что-то не совсем ясно! — пробурчал Лева.
— Не совсем ясно, — отозвался дедушка, — по той простой при-
чине, что я еще не договорил. Ясно, что, начав с какой-нибудь одной
определенной клетки, ладья, обойдя всю доску и побывав на каждой
клетке один раз, в конце обхода на некоторые клетки может попасть,
а на некоторые нет.
— Она, — сказал с усилием Вовка, — должна, значит, сделать
круговой, замкнутый путь, как в «змеиной»...
— Верно! — отвечала ему Наташа. — Ну, и следовательно?..
— Следовательно?.. Не знаю... То есть вот что: если это круго-
вой путь, то на нем должен быть четный узел. Следовательно, если
будет четный узел в начале, то можно обойти, и этот узел будет и
конечным.
— Молодец секретарь! — заговорил и Лева. — Ты рассудил пра-
вильно. Отсюда я делаю вывод, что если надо обойти всю доску
и для маршрута ладьи можно выбрать такое начальное поле,
которое в данном случае является четным узлом, то задача решается.
Смотри на чертеже (стр. 144) первый маршрут: я начинаю обход ша-
шечницы с поля аЗ и иду с него ладьей так (записываю те поля, на
которых моя ладья поворачивает; где идет прямо, тех не пишу):
аЗ, ЬЗ, Ь2, а2, al, cl, с4, d4, dl, el, e5, f5, fl, hl, h2, g2, g3, h3, h4, g4,
g5, h5, h6, g6, g7, h7, h8, f8, f6, e6, e8, d8, d5, c5, c8, a8, a7, Ь7, Ь6, a6,
a5, b5, b4, a4,
а дойдя до поля a4, ладья уже может опять попасть на поле аЗ.
Понял?
— Так это и есть вроде «змеиной»! — воскликнул Вовка. — Вот
как я и говорил: на поле аЗ у тебя четный узел — он двойной!
— Так, Вовочка, — заметила Наташа,— Лева же с тобой и не
спорит.
— Тогда, — возмущенно заявил Вовка, — я не понимаю!..
— Постой! — вмешался Ника. — Кажется, я придумал тебе хоро-
шее объяснение. Вот слушай! Допустим, что наша ладья, как шашка
в Дразнилке, может одним ходом только с одной клетки на другую
перейти. Это допущение ничего не меняет, оно только разбивает путь
1о
Архимедово лето
145
ладьи на отдельные маленькие ходы. Но, когда мы его сделаем, ста-
новится ясно, что, обойдя всю доску, ладья сделает шестьдесят три
хода. Каждым ходом она меняет цвет своей клетки: с черной клетки
идет на белую, и наоборот. Если она начнет с черной клетки аЗ, то
с каждым нечетным ходом она попадает на белое поле, значит, и
с шестьдесят третьим ходом ладья очутится на белом.
— Теперь, — решила Веточка, — изволь нам объяснить, Никитуш-
ка, толком: какое же все это имеет отношение к «змеиной» позиции
в коробочке с четным или нечетным числом мест?
— Не лишний вопросик! — заметил Тимофей Иринархович,
усмехнувшись.
— По-моему, теперь уже ясно, — ответила подруге Наташа. — На
доске или в коробочке, это неважно, с нечетным числом клеток —
пусть, скажем, их будет девять, как в среднем Дразнилке,—ладья
может обойти всю доску, побывав на каждом поле один раз, и из
одного угла попасть в другой, который находится на другом конце
доски, если идти по диагонали доски, как слон шахматный ходит.
Ведь на такой доске ладья сделает четное число ходов — если взять
доску с девятью полями, как средний Дразнилка, это будет всего
восемь ходов! — и, значит, наша ладья попадет на поле того же
цвета.
— Правильно! — сообразил наконец и Вовка. — Верно, Наташень-
ка! И выходит, что тогда для нее на девяти клетках будет два нечет-
ных узла: один в начале, другой в конце. А круговой путь на нечетной
доске сделать никак нельзя! Тогда твоя ладья должна обойти все
поля и прийти непрерывным движением на поле другого цвета — не
такого, с которого она начинает. Все выходит правильно, как дедуш-
ка и говорил. На нечетной доске четный узел не получается. А в Драз-
нилке можно говорить не то что о белых и черных полях, а просто
о четных и нечетных местах по номерам. Вот и всё! Распутались!..
— Этот вопрос, — решила Веточка, — теперь-то я поняла! —
только с первого взгляда трудный, потому что сразу не сообразишь,
как за него взяться, а на самом деле он очень простой. Стоит только
придумать такой пример подходящий. Вот что мне пришло в голову.
Допустим, что наша эта доска — речка, а ее края — берега. Беру
вертикальные края. Ладья наша может плавать по речке различным
образом, но, чтобы оплыть определенный участок, ей всего проще
плавать от одного берега к другому, потом обратно, и так далее...
— Ну, как в бустрофедоне! — обрадовался Вовка.
— Вот именно! — откликнулась Веточка, —И в таком случае, все
делов том, сколько она таких поездок от берега к берегу совершит.
Если будет их четное число, то она вернется на тот берег, с которого
146
началось ее путешествие. Получится замкнутый маршрут. Но если
ладья сделает нечетное число поездок от одного берега к другому,
то путешествие ее закончится на другом берегу, а не на том, с кото-
рого она отплыла впервые. И тогда замкнутый маршрут не получится.
— Не совсем ясно, — произнес с сомнением Ника.
— Дело вот в чем, — ответила Веточка, посматривая на своих
товарищей не совсем уверенно: — мы можем начать с двух самых ма-
леньких Дразнилок — маленького и среднего. Посмотрите, как в них
идет линия маршрута по бустрофедону. в маленьком эта линия идет
по букве «С», только не обычной, а зеркально-отображенной, а в сред-
нем Дразнилке — по латинской прописной букве «5», тоже зеркально-
отображенной:
1	2
	3
1	2	3
6	5	4
7	оо	
Если мы хотим устроить замкнутый маршрут, то для нас важнее
всего его начало и конец. Во всех четных Дразнилках концы марш-
рута бустрофедона лежат так, как они лежат у перевернутой буквы
«С», во всех нечетных —как у перевернутой буквы «5»; разница
в маршрутах Дразнилок с большим количеством шашек касается
только середины маршрута, но не его концов. Как же свести эти
концы воедино? Если число поездок нашей ладьи четное, то концы
маршрута оба находятся на одной и той же стороне, и их возможно
соединить. Если же концы лежат на разных сторонах, как у латин-
ской прописной буквы «5», то их свести нельзя. Для того чтобы их
свести, ладья должна сделать еще одну поездку, но это невозможно,
потому что число поездок ладьи станет четным, а мы рассматриваем
нечетный случай.
— Ясно! — решил Лева и в подтверждение своих слов крепко
шлепнул себя ладонью по коленке.
— А сейчас, — церемонно произнес Ника, —я еще одно сооруже-
ние предложу: Дразнилка-великан с тридцатью пятью шашками и
тридцатью шестью местами на дощечке. Говорю «на дощечке», чтобы
заверить всех, что нет надобности клеить еще коробочку. Согласно
высказанным здесь новым двум законам для всех Дразнилок, его
10*
147
можно будет поворачивать только на сто восемьдесят градусов, но
зато в нем возможно будет организовать замкнутый маршрут, по
которому, скользя, может двигаться вся вереница из тридцати пяти
шашек.
— Записываю! — сердито проговорил секретарь.
9.
— Дедушка!.. — недоуменно и даже немного жалобно протянул
Вовка, оторвавшись от своей любимой тетрадки. — А не мог бы ты
мне прямо сказать... а почему же все-таки так оно выходит, что
никак из позиции первого круга нельзя сделать позицию второго
круга?
— Хм... — произнес дед, выпуская огромный клуб табачного
дыма. — Что ж тебе сказать? Ведь про инверсии ты знаешь?
— Знаю, — недовольно согласился Вовка.
— Могу, пожалуй, — продолжал дедушка, — привести пример
одного геометрического явления, которое весьма тесно связано с яв-
лениями вроде твоих двух кругов в Дразнилке. Добавлю, что все, что
я сейчас скажу, относится только к среднему Дразнилке. Ты ведь
прекрасно знаешь, что среднего Дразнилку мы можем поворачивать
как нам угодно. Теперь допусти, что мы все это хотим проделать не
с коробочкой нашего Дразнилки, а с настоящим квадратом, который
сделан из плотного, но прозрачного материала — вроде целлофана.
На нем мы нарисуем наши шашки из среднего Дразнилки и поставим
их номера по бустрофедону. Затем в самую середину этого квадрата
мы вбиваем гвоздик (прямо в середину пятой шашки) и прикрепляем
его к некоторой плоскости...
— К стене! — подсказал Вовка.
— Пусть к стене!—согласился дедушка. — Теперь будем наш
квадрат вращать вокруг гвоздика, который является его центром,
и ставить его каждый раз совершенно прямо, так чтобы две сто-
роны его стояли вертикально, а две горизонтально. Другими словами,
будем поворачивать его на один прямой угол, на два и на три пря-
мых. Когда повернем его на четыре прямых, он снова станет по-преж-
нему, как стоял с самого начала. Я думаю, тебе ясно будет, что все
эти движения нашего квадрата, то есть вращения его, происходят
в одной плоскости?
— Ну да! — сказал Вовка, пожимая плечами.— Как был на
стене, так и остался!
— Это как раз и будут те три поворота, которые можно сделать
148
в среднем Дразнилке. Это и есть твой первый круг. Теперь мы от-
делим наш квадрат от плоскости, перевернем его и увидим все наши
цифры на шашках с другой стороны, словно в зеркальном отобра-
жении, затем снова прикрепим квадрат гвоздиком и опять будем вра-
щать его на один прямой угол, на два и на три, мы получим все
четыре позиции второго круга. Но для того чтобы от первого круга
перейти ко второму, надо вывести наш квадрат из его плоскости и
перенести в пространство, где квадрат можно перевернуть. А в плоско-
сти квадрат перевернуть нельзя.
— Конечно, нельзя, — отвечал Вовка. —Как же ты его там пере-
вернешь?
— Ну вот, теперь сделаем выводы из нашего примера, — закончил
Тускарийский руководитель. — Как нельзя вывернуть квадрат изнан-
кой, не отрывая его от плоскости, в которой он лежит, так же невоз-
можно путем передвигания шашек в среднем Дразнилке, не вынимая
их из коробочки, перейти от позиции первого круга к позиции вто-
рого круга.
— А почему все-таки нельзя? — упрямо повторил свой вопрос
Вовка, хотя и сам догадывался, что ему уже сказали все, что только
можно.
— Потому, — сказал наставительно дедушка, — что в первом
круге нет такой позиции, какие есть во втором. А на нет и суда нет!
Вовка открыл было рот для возражения, нерешительно оглядел
своих товарищей, помолчал, а потом тихонько выговорил:
— И правда нет...
В эту минуту из сада вошла Вера Васильевна с большим, веселым
и пестрым букетом полевых цветов. Теплый, сладкий запах цвету-
щей кашки и свежих трав так и поплыл над столом. Она бережно
положила цветы на подоконник раскрытого настежь окна и поздоро-
валась со своими гостями.
— Ну как вы здесь поживаете, детишки? — спросила она. — На-
сиделись, наверно? Идите-ка в лес!
— А дедушка должен нам рассказывать про серебряные квад-
раты! — возмутился Вовка.
— На сегодня, пожалуй, и хватит, — пробормотал дедушка,
раскуривая свою огромную пенковую трубку, которая не слушалась
его и презрительно шипела.
— Шипит! — захихикал Вовка. — Дедушка, я забыл — ты мне
говорил: у тебя кто это па трубке-то вырезаны, кто они — эти двое,
в чалмах-то таких замечательных?
— Как — кто? — сказал дед, сердито ковыряя непослушную труб-
ку.— Сам шах Шеран и его пресловутый мудрец Сесса-бен-Дагер...
149
— Кто, кто? — заинтересовалась Веточка.
— Это насчет шахматной доски! — сказал Вовка. — Это секрет.
Ни за что тебе не расскажем! А вот и не расскажем!
— Расскажут, расскажут, Веточка, не верь! — засмеялась Вера
Васильевна. — Это они просто так, чтобы тебя раззадорить. А я вам
вот что скажу, ребята. Ходила я только что в лес, там сейчас так
хорошо, цветы кругом, сосной пахнет, птицы щебечут, пчелы звенят
над цветами, просто прелесть. И вспомнилась мне одна история...
очень интересная.
— Тетя Вера, — сказал Никита, — вы ее нам расскажете?
— Согласна, расскажу,— отвечала тетя Вера, — так сказать,
в заключение сегодняшнего вашего совещания. А решением моей за-
гадки вы уж займетесь в другой раз.
— Сегодня я председательствую! — объявила Веточка. — И по-
этому от лица всех с благодарностью принимаю ваши условия.
— Ну, слушайте! — сказала тетя Вера, усаживаясь поудобнее
в качалке. — Но, чур, чтобы не перебивать.
Ребята навострили уши, и Вера Васильевна рассказала им сле-
дующую в высшей степени поучительную историю.
РАССКАЗ ТЕТИ ВЕРЫ
Однажды некий корабль, находясь в восточ-
ной части Индийского океана, известного своими
жестокими и внезапными ураганами, попал в
одну из таких ужасных бурь и потерпел крушение
в виду какого-то малоизвестного острова. Только
несколько человек из этих злосчастных морепла-
вателей, и то лишь с величайшим трудом, спас-
лись от грозных волн разбушевавшегося океана
~~и выбрались на этот полупустынный остров. Сре-
ди спасшихся нашелся матрос, который когда-то
был на этом острове.
«Окажут ли нам здесь помощь?» — стали
спрашивать его сотоварищи по несчастью. Ма-
трос задумался и потом сказал так: «Насколько мне помнится, на
этом острове живут два племени, одно из них отличается большой
воинственностью и очень не любит чужеземцев...» — «Ах, какой
ужас!» — воскликнула одна из девушек. Матрос поглядел на нее и
продолжал свою речь: «И у них считается большим грехом, если
кто-нибудь из них, разговаривая с чужестранцем, обмолвится хоть
150
единым словом правды...» — «Как это неприятно слышать!» —
заметила мамаша девушки. «Ах, мама, — сказала ей дочь, — это
очень интересный рассказ! Подожди, пожалуйста, дай послушать!»
Матрос посмотрел на ту и на другую и продолжал: «В то же самое
время другое племя, наоборот, считает, что большой грех не помочь
человеку, когда он попал в беду, кто бы он ни был...» — «Какой пре-
красный обычай!» — сказала бабушка этой девушки. Матрос не
взглянул на нее и продолжал: «Первое племя именуется Несвоимги
Воинственные, а второе — Скалоустры Голубых Берегов. Я, с вашего
позволения, замечу, что по виду их друг от друга отличить совер-
шенно невозможно. Я все сказал, что знал, и на этом, прошу изви-
нить, мой рассказ кончается».
Путешественники принялись обсуждать это любопытное сообще-
ние, как вдруг они увидели, что прямо к ним, легко прыгая по гро-
мадным прибрежным утесам, направляются три человека с огром-
ными копьями в руках.
«Позвольте! — сказала бабушка. — Надеюсь, они не едят по-
жилых женщин?» Матрос пожал плечами и сказал, что ему об этом
ровно ничего не известно.
Туземцы подошли к нашим злосчастным путешественникам и на-
чали их внимательно разглядывать.
«Я помню несколько слов на их языке», — сказал матрос. И он
обратился к пришедшим с несколькими в высшей степени странно
звучавшими словами.
«Умоляю вас, переведите!» — воскликнула мамаша. Матрос от-
ветил: «Я спросил их, как их зовут».
Тогда один из туземцев повыше ростом, чем другие, и с богато
украшенным копьем показал сперва на себя, потом на двух своих
товарищей по очереди и сказал: «Ау, Бау, Вау». — «Странные
имена, — сказала девушка, — но по-моему довольно красивые...»
Матрос поглядел на нее пристально и продолжал: «Ау! Ты Не-
своимг Воинственный или ты Скалоустр Голубых Берегов?» На что
получил следующий ответ: «Дрбрртс! .. Сстррбрд!» — «Ничего не
понял! — вымолвил матрос со вздохом. — Скажите мне вы, Бау и
Вау, он из племени Несвоимгов Воинствен-
ных или он из Скалоустров Голубых Бере-
гов?» — «Ау — Несвоимг!» — ответил Бау.
«Ау — Скалоустр...» — ответил Вау.
Объясните мне теперь, как же наши зло-
счастные путешественники разобрались в
этой столь важной для них загадке?	ц1_1Гм Г |И II
С широко раскрытыми глазами Вовка	jfl/I
151
оглядел внимательные лица своих товарищей. Досада и зависть
выразились на его растерянном лице.
— Что, брат, — спросил его, посмеиваясь, Лева, — засох? Да ты,
верно, не понял? Может быть, еще разочек рассказать? Шли три
медведя по дороге и читали записку, в которой было написано, что
шли три медведя по дороге и читали...
Вовка опустил нос и мрачно молчал.
— Будет тебе дразниться, Лева! — вмешалась тетя Вера. — А ты
в его годы много понимал?
— Не вешай нос, Вовочка! — посоветовала Веточка. — Разберем
небось!
— Это загадка, тетя Вера? — спросил Вовка, приободрившись
немного.
— Нет, Вова, это задача. Надо рассудить, разобрать, как это
они догадались, кто какого племени.
— А по-моему, — весело закричала Наташа, — Ау с Голубых
Берегов, вот что!
— Голубых? — воскликнул Вовка, сразу воодушевившись, когда
он увидел, что все-таки, оказывается, эта непонятная задача имеет
какое-то решение. — Это правда? Да как же ты догадалась? Ната-
шенька, да расскажи поскорей!
— А ты сам не можешь? .. Ну уж, так и быть, расскажу ".
1 Немало интересного о подобных задачах любознательный читатель может
найти в книжке А. М. Яглом и И. М. Яглом «Вероятность и информация». М„
1957, гл. III.
Глава девятая
Рыбак рыбака видит издалека: тускарийцы находят нового друга. —
Трудная задача, которую Вася Сизов решает собственными силами,
противопоставляя ей проблему, еще более замысловатую и начинаю-
щуюся совершенно неожиданным наступлением белого короля. —
Докладчик ассамблеи падает прямо с неба к сосновому Туска-
рийскому игреку. — Совершенные числа. — Египетский локоть. —
Нулевая степень. — Как складывать степени двойки? — Простые
числа руководят всем построением. — Разность кубов приходит
ребятам на помощь. — Одна из довольно упрямых задачек. — Числа
Мерсенна. — Сперва девятнадцать знаков, затем тридцать семь, а
потом уж и все семьдесят семь! — Формула Катальди. — Дважды
два равняется два да два... — Проверим всё с самого начала. —
Геометризованная алгебра греков. — Васина задача разрешена. —
Любопытная история по поводу одного круглого озерка
153
1.
Когда мальчики, задумчивые и обессилевшие, вернулись к обеду
с футбольного поля, где здешняя, то есть наша, команда одержала
блестящую победу над соседней, которая была районная, со счетом
6:3, и обсудили все сложнейшие перипетии этой великой битвы
с кожаным мячиком, Мария Алексеевна посмотрела на них внима-
тельно и промолвила:
— Да, а вы что же, забыли ваши научные конференции?
Надоело?
— Нет,— возразил Лева,— почему «надоело»? Нет, просто,
знаешь, в лес повадились, кое-где уж и земляника понемножку.
Футбол еше...
— А я вам, кажется, еше товарища нашла.
— Кого? — с удивлением спросил Лева.
— Пошли мы вчера с Верой Васильевной за молоком в деревню
Волногу. Заходим в один домик. Бедненькая избушка. В углу —
Ленин и Пушкин, а около Пушкина что-то написано и в аккуратной
рамочке Вера Васильевна пригляделась и говорит: «Это та самая
«Меланхолия», по которой наши ребята с ума сходят!» Спрашиваю
хозяйку: чье? Она вздохнула: «Да это, говорит, мой старшенький,
такой книгочий, чернильная душа, все в книжку носом. Учится вроде
ничего, и всё. «Мама, купи книжку!» А мать где возьмет?» Их у нее
трое, сама четвертая.
— Так! —сказал с интересом Лева. — Ну, а ты что?
— А я... не знаю уж, будете ли вы довольны!., сказала ей:
«Присылайте его к нам, у нас тоже ребятишки по этой части доки».
Она говорит: «Не пойдет — он очень стеснительный». Тогда я говорю:
«Нам нужно сметаны, у вас есть? Пришлите его будто со сметаной».
Сказала, пришлет. Все-таки интересно, где я вашу «Меланхолию»
нашла!
— Очень даже интересно, — ответил Никита. — Что ж, а может
быть, он всерьез. Ты как думаешь, Лева?
— Поглядим, — ответил ему товарищ.
На другой день, к вечеру, на террасу потихоньку вошел худень-
кий черномазый мальчик в выцветшей майке и сереньких трусиках.
Он осторожно поставил черную кринку на стол на террасе, огляделся
и сказал:
— Хозяйка ваша сметану хотела купить. Вы будете брать?
Наташа и Лева вскочили с мест, бросив страшно интересную
шахматную партию, где Лева решил проверить, что это за музыка
такая — этот гамбит Стейница, где белые на пятом ходу ходят
154
королем на е2... Надо признаться, что Леве на белых пришлось не
больно-то весело в этом гамбите!
— Ты из Волноги? — спросил Лева.
— Ага.
Лева и Наташа быстро переглянулись. Лева посмотрел на нее
вопросительно, но Наташа только пожала плечами.
— Стой! —сказал мальчику Лева. — Сейчас маму позову... Да
вон она сама идет.
Появилась Мария Алексеевна, а за ней кот Теренций, на усатой
морде которого было написано какое-то томительное беспокой-
ство.
Кот в тот же миг усмотрел, что на столе что-то такое имеется не-
безынтересное, и немедленно начал тыкаться в ноги Марии Алексеев-
не, приговаривая: «Мурр-мурр...», что, по всей вероятности, обозна-
чало, что Тереха отнюдь не враг свежей сметаны.
— Отвяжись, Терешка!—с досадой воскликнула Мария Але-
ксеевна, чуть не споткнувшись на кота. — Вот приставала какой!
Наверно, хорошая сметана — кот сразу учуял. Как тебя зовут,
паренек?
Мальчик слабо усмехнулся одним уголком губ:
— Сметана хорошая... Зовут Васькой.
— Вася... — промолвила, словно в раздумье, Мария Алексеев-
на,— ты подожди — я деньги разменяю. Побудь немного здесь —
сейчас принесу.
— Подожду, — сказал мальчик равнодушно.
— В шахматы играешь? — спросила Наташа.
— Немного, — ответил тот.
— А вот задачку решишь? — спросил Лева задорно, смахивая
мигом с доски свою партию, которая ему не совсем была по душе
(у Наташи были три лишние пешки!). — На-ка, посмотри. Ну, черные
идут сюда, конечно... (стр. 156).
Мальчик кивнул.
— Белые начинают и делают черным мат в три хода. Ну-ка,
попробуй!
— Конем разве шах? Да что толку? — заметил Вася. — А ты
скоро отгадал?
— По совести сказать, не отгадал, — отвечал Лева. — Показали.
— И я не отгадала, — добавила Наташа. — А ты любишь такие
задачки?	„
— Ничего.. . — сказал мальчик, вни-	® «к
мательно вглядываясь в доску. — Разве	I д
обе пешки отнять? Тогда выиграешь.
155

a 4 c d i у k
— С пешками навозишься! — сказал
Лева. — А ведь надо в три хода.
— Сказать? — спросила Наташа.
Мальчик густо покраснел.
— Не надо!.. — проговорил он обижен-
но, почти шепотом. — Чего говорить? Я дома
сам.
— Вот что, — сказал Лева: — а ты вооб-
ще любишь разные задачи?
— Мы тут этим увлекаемся, — заявила
Наташа. — Ну, знаешь, такие, по алгебре
или по арифметике, ну, такие, замысловатые!
Про магические квадраты тоже. Ты как?
— Читал, — сказал мальчик, — разное
такое. Ничего!
— У нас, видишь ли, — начала объяснять Наташа, — подобра-
лась такая компания. Вот я перешла в восьмой класс...
— И я в восьмой... Да только по русскому у меня... на осень
отложили. Ну, ничего, не боюсь теперь — выдержу.
— Чего бояться! — сказал Лева.
— И мы здесь... — продолжала Наташа. — Знаешь, так у нас
вроде игра, почти как кружок. Рассказываем друг другу, кто что
прочел, кто какие задачки знает. Весело было. Вот и про магиче-
ские квадраты был разговор. И еще будет.
— Мой дедушка, — вставил Лева, — он, брат, по этой части
собаку съел! Ух, какой! Насквозь эти штуки видит.
— Хорошо вам! — с завистью промолвил Вася. — А у нас тут
книжек мало!
— Слушай-ка, Вася! — с жаром заговорила опять Наташа.—
Может быть, ты уж что-нибудь такое читал и разбирал, чего мы и
не знаем? А?
Вася посмотрел на нее недоверчиво и задумался.
— Конечно, — сказал Лева, — ведь это, знаешь, очень интересные
вещи. А вот папа мой обещал — только не сейчас, а попозже,
когда отпуск у него будет, — нам всем рассказать про Архимеда.
Разве неинтересно?
— Еще бы! — сказал мальчик. — А ваши-то, отец с матерью, не
рассердятся?
— Не-ет! — ответил горячо Лева. — Что ты, что за чепуха!.. Вот
и ты бы послушал. Правда!
— А ты про совершенные числа знаешь? — спросил Вася,
помолчав немного.
156
— Даже и не слыхал, — ответил ото всей души Лева, — понятия
не имею! А ты знаешь?.. И рассказать можешь?
Вася утвердительно кивнул.
— Ну, вот и делай нам доклад про эти числа, — сказала На-
таша.— Вся наша компания будет тебя слушать. А потом мы чего-
нибудь еще приготовим. По очереди!
— А ничего? — опять спросил мальчик.
— Ничего, ничего! — ответила ему, входя на террасу, Мария Але-
ксеевна.— Вот тебе деньги, отдашь маме. Как ее звать-то?
— Анна Дементьевна. Фамилия наша — Сизовы.
— Ну так вот, Вася Сизов, слушай! Отдашь Анне Дементьевне
деньги. Сметана хорошая Поблагодари ее... Приходи к нашим
ребятам. Мы будем рады... Ты любишь математику?
— Ну да! — ответил мальчик.
— Значит, и тебе будет интересно, и им тоже. Мама тебя к нам
отпустит?
— Отпустит, — ответил тот, забирая пустую кринку.— Так я
зайду. В воскресенье, что ли?
— Как знаешь, — отвечала мама,— когда тебе можно будет,
тогда и приходи.
— Тогда, — сказал Вася, вдруг улыбаясь, — вот как решим: приду
послезавтра. А если завтра задачку твою разберу, завтра приду.
Ладно, что ль?
— Ну да! — сказал Лева. — Да это неважно, насчет задачи.
Все равно приходи.
— Как — неважно? — ответил тот уже из сада,—До свидания!
Будьте здоровы!
— Какой мальчик славный!—сказала Наташа.
2.
На другой день Лева с Никитой-Кожемякой пошли купаться.
Только что стали они спускаться к речке, как из-за кустов вдруг
выскользнула худенькая фигурка и сделала им знак ладонью:
«Стой!»
Это был Вася Сизов. Он быстро пошел к ним навстречу, но, еще
не дойдя, остановился и крикнул:
— Один — нуль в нашу пользу! Решил задачку. Вертел, вертел,
еле додумался... Слон идет под пешку, на поле f6. Черные стоят
в пату, им делать нечего, они должны брать слона...
— Берем слона! — отвечал Лева.
157
— Тогда король подходит на шаг ближе — на поле f8. Опять
тебе нечем ходить, кроме пешки.
— Что ж делать, — сказал Ника, — пошли вперед пешкой!
— И тогда тебе мат конем в один ход. Вот и решено в три хода.
— Здорово! — сказал удивленный Лева. — Вот уж не думал, что
ты решишь. Просто молодец!
— Чемпион мира! — усмехнулся Ника. — Ну что: пойдешь к нам
в товарищи или нет? Говори прямо! Будешь про совершенные числа
рассказывать или не хочешь?
— Расскажу, — решил Вася. — Только вот что: когда расскажу,
тогда и скажете — зовете вы меня в товарищи или нет.
— Да мы и так тебя зовем, — сказал Лева.
— Так, это что! — отвечал ему Вася. — Нет, ты послушай, а потом
и скажи... А не хотите-ка, я вам дам шахматную задачку? Очень
задачка хорошая. Только там не говорится в условии, сколько ходов
надо сделать, а просто говорится: «Белые начинают»...
— Такая задачка, кажется, шахматным этюдом называет-
ся?— спросил Ника.
— Вроде, — отвечал Вася. — Вот, смотрите, я вам рисую на
песочке доску. Черные идут вниз, как полагается. И у них лиш-
няя фигура — слон. А белые начинают и делают ничью. Ну-ка, по-
пробуйте.
— Дай-ка посмотреть хорошенько! — заявил Лева. — Сейчас!..
Да... конечно... я сюда, он туда... я сюда, а он... Нет, не пойму!
Как тут сделать ничью, когда у них слон лишний?.. Это ты не вы-
думал?
— Вот еше! — обиженно произнес Вася.
— Тогда я запишу, — отвечал Лева. — Значит, белый король стоит
на d7, белая пешка на с7 — один только ход
и в ферзи! Черный король на 13, черный
слон на Ь7, и черная пешка на Ь7. Вот и
всё.
— Погоди, — сказал Ника, — дай попро-
бовать. Пешку проводить белым нет смыс-
ла: сейчас же шах слоном — и ферзь летит,
а потом черную пешку не догонишь. Ясно...
Попробуем по-другому. Король идет вниз
на поле d6.
— А он, — возразил Лева, — слоном
на f5.
— Пусть! А я королем на с5.
— Мы королем на е4, — отвечал Вася.
158
— А я, — возразил Ника, — королем на Ь6.
— А мы слоном на с8 и защитили нашу пешечку.
— Я королем на а7.
— А мы, — отвечал Вася посмеиваясь, — пешкой впе-
ред на два хода — и прощай, будь здоров!
— Правильно... — в недоумении сказал Ника.—
Опять ведь уйдет слоном и белые продуют. А что же
можно еще сделать? ..
— А вот поломайте-ка головы! — с торжеством за-
явил Вася. — Я-то вашу задачку разобрал, а нуте-ка вы
теперь мою разберите!
— Ладно, — ответил Никита, — посидим, пораски-
нем мозгами. А насчет нашего совещания спорить уж не
будем. Просто я назначаю на завтра совещание. Повест-
ка дня: совершенные числа. Докладчик: Сизов Вася.
Совещание открываем: десять нуль-нуль. Точка. Всё!
— Стоп! — сказал Лева. — А где?
— Где?.. — задумался Ника. — А знаешь что? Мах-
немте в лес, на ту поляну, где такая сосна с развилиной, красивая.
Как дедушка, пойдет?
— Хм... — задумался Лева. — Да что там! Утащим!
— Ну всё! — заключил Никита. — Пошли по этому случаю
купаться. Решено и подписано.
— Полный ход вперед! — скомандовал Лева.
И ребята весело понеслись вниз по песчаному откосу прямо
к реке.
Совещание хотели устроить завтра, но воздержались: мама брала
с собой Вовку в город показать этого героя зубному врачу. Вовка
приехал назад надутый, наплакавшийся, но непомерно гордый и всем
показывал тот самый зуб, который и оказался причиной его путеше-
ствия. Зуб был завязан в уголке нового платка и на сегодняшний
день считался первым Вовкиным сокровищем.
Утречком, дня два спустя, Тимофей Иринархович с младшим
внуком потихоньку добрались до знаменитой поляны, на которой
общее внимание привлекала огромнейшая сосна, имевшая форму
латинской буквы «игрек». Именно по этой-то причине полянка и была
облюбована ребятами. «Это наш сосновый игрек!» — заявил однажды
Лева. И все согласились, что это и есть подлинный Тускарийский
сосновый игрек, вполне подходящий для этого лета. Все были уже
в сборе, но самого докладчика нигде не было видно. Однако никто
еще не успел ничего сказать по этому случаю, как вдруг где-то
наверху громко зашуршало, и сверху, с того самого кудрявого дубка,
159
под которым уютно примостились обе девочки, посыпались куски
коры, прутики, затем целые ветки с листьями. Дерево шумно закача-
лось. .. Девочки завизжали, вскочили, мальчики в тот же миг со всех
ног бросились к ним на выручку. И не успел еще дед высказать по
этому неожиданному поводу свое авторитетное мнение, как в ту же
минуту с нижней ветки не совсем ловко слетел вниз сам товарищ
докладчик, кувыркнулся и быстро встал на ноги — весь взъерошен-
ный, красный как рак и в самом отвратительном настроении.
— Та-ак! — протянул дед, не без интереса осмотрев незадачли-
вого акробата. — А мы, знаешь, пешком пришли. Пешечком-то оно
куда спокойнее!
Вася стоял надутый, сердитый и смущенный, переводя глаза
с одного на другого и стараясь не смотреть на девочек, которые,
прячась одна за другую, не могли удержаться от смеха.
— Ну? — вымолвил Лева нерешительно. — Значит, ты вон где
был...
— А кто вас знал, — вдруг выпалил почти в отчаянии Вася,—
придете вы или нет?
— Вон оно что! — засмеялся, покачивая головой, дедушка. — Он
нас, выходит, ждал и надумал слезть с дерева потихоньку, когда все
соберутся. А вы взяли да под самым его дубком и уселись! Вот и
получилась такая заковыка. Ну, это дело десятое!.. По-моему, ты,
Кожемяка, можешь приступать к своим обязанностям. Пора.
Девочки снова прыснули со смеха еще пуще прежнего, но дед
укоризненно покачал головой, и они кое-как успокоились, вытирая
глаза и не смея больше взглянуть друг на друга.
— Итак, — сказал важным баском Никита, стараясь сделать вид,
что ничего такого не произошло, — возобновляются ученые заседания
нашей знаменитой Тускарийской конференции, посвященной рассмо-
трению самых запутанных вопросов древних и новых наук... Ну
конечно, главным образом по части математической. Сегодня будет
наше пятое заседание. Первое было посвящено, если не ошибаюсь,
вопросам исторического характера — это первое заседание было про-
ведено при... ограниченном составе участников, но мы можем его и
повторить! Затем были заседания по маршрутам и одночеркальным
фигуркам, по лабиринтам. Было еше заседание, наполовину посвя-
щенное загадкам, а наполовину разбору труднейшего вопроса отно-
сительно Дразнилки — известной игры в пятнадцать квадратных
шашек, — каковой вопрос был подробнейшим образом разработан
нашим многоуважаемым секретарем... ученым секретарем, хотел я
сказать!.. Владимиром Николаичем, славным владетельным герцо-
гом Тускарини, по прозванию Каменный Зуб...
160

Кругом весело захихикали.
Девочки обрадовались случаю и опять залились так, что еле оста-
новились.
Польщенный «герцог» покраснел, опустил голову и пробурчал еле
слышно:
— Сам ты каменный...
— Итак, сегодняшнее наше заседание посвящается интересней-
шему вопросу о совершенных числах, а докладчиком выступает
знаменитый волножский исследователь Василий Сизов! Содокладчи-
ком выступает президент и заслуженный руководитель Тускарийской
академии, сам дедушка, сам Тимофей Иринархович!.. Вася, твое
слово.
3.
Все остались очень довольны длинной вступительной речью своего
председателя, который сумел сказать несколько приятных фраз, по-
забавивших наших друзей, а с другой стороны, отвлек внимание от
происшествия с докладчиком и тем самым дал Васе время успо-
коиться.
— Сейчас!.. — буркнул Вася, бросился неожиданно в сторону,
добежал до какого-то кустика и вытащил из него маленькую запис-
ную книжечку. — Тут у меня... так записано кое-что. Значит, я начи-
наю. Ну, слушайте. Задача, о которой я буду сегодня вам рассказы-
вать, очень старинная. Уж не говоря о древних греках, об этих
числах знали и раньше — например, в древнем Египте. Я читал, что
оттуда древняя Греция очень много получила. Человеку всегда было
интересно, что такое на самом деле, то есть в самой своей сущности,
есть числа. И он всегда желал их разобрать, рассмотреть, чтобы все
узнать в полных подробностях. А исследовать, как все складывается
с числами, что от чего зависит и так далее, — все это очень трудно.
И вот у древних мудрецов возникла такая мысль, что надо исследо-
вать раньше всего, как устроены сами числа, из чего они, так сказать,
сложены...
— Из каких начальных элементов, — подсказал дед.
— Правильно! Из каких элементов. Но, не зная, как подойти
к этой загадке, они обратили внимание на делителей числа.
И вот тут они столкнулись с одним странным явлением, которое их
поразило. Они заметили, что небольшое и всякому известное число
шесть, которое по-нашему, по-теперешнему, можно изобразить так:
1-23 = 6.
то есть которое делится на один, на два и на три, можно записать
еще и таким образом:
6=1 2 *4” 3.
Другими словами, шесть равно сумме своих делителей, если, конечно,
не считать самого числа. Им показалось это странно, и было интерес-
но: существуют ли числа еще в том же роде, то есть обладающие
тем же свойством, что и число шесть? Оказалось, что среди неболь-
ших чисел, которые всем хорошо известны, есть еще одно число:
двадцать восемь, которое также равняется сумме своих делителей:
1 +2 + 4 +7+ 14 = 28.
Они назвали такие числа совершенными, в отличие от чисел
недостаточных, у которых сумма делителей меньше самого
числа, и чисел избыточных, у которых сумма делителей больше
самого числа. Возьмем, например, число десять. Сумма его дели-
телей будет:
1+2+5 = 8,
это число недостаточное. А сумма делителей числа двенадцать будет:
1+2 + 4 + 34-6 = 16.
Значит, это число избыточное. Итак, первыми совершенными числами
были шесть и двадцать восемь. Но когда попробовали двинуться
дальше, то оказалось, что, кроме этих двух, в пределах первых
четырех сотен таких чисел совсем не имеется! Выяснилось, что такие
числа довольно редко встречаются. Третье совершенное число такое:
24 • 31 =496.
Я здесь вместо четырех двоек просто пишу: «два в четвертой степени».
А если собрать все делители числа четыреста девяносто шесть, то
получим:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
Вот каково третье совершенное число. Когда оно было найдено, мне
кажется, древние математики обязательно должны были подумать,
что если разность между последовательными совершенными числами
так быстро растет: между первым и вторым она равна двадцати
двум, а между третьим и вторым — четыремстам пятидесяти восьми
(в двадцать раз с лишним больше!), то, значит, четвертое совершен-
11*
163
ное число должно лежать где-то довольно далеко. И действительно,
четвертое совершенное число лежит уже за пределами первых восьми
тысяч. Оно будет вот какое:
26 • 127 = 8128.
И если собрать все делители этого числа, получим:
1 +2 + 4 + 8+16+ 32 + 64+ 127 + 254 + 508 + 1016 +
+ 2032 + 4064 = 8128.
Разность между этим совершенным числом и предыдущим равна уже
числу, которое больше семи с половиной тысяч. Так что ясно, что чем
дальше мы идем...
— ... по натуральному ряду чисел! — вставил дедушка.
Вася поглядел на него с некоторым замешательством, потом
сказал:
— Действительно, я упустил сказать, что обыкновенный ряд
чисел, то есть 1, 2, 3... и так далее до бесконечности называется
в математике натуральным рядом. Итак, далее по натураль-
ному ряду совершенные числа встречаются все реже и реже. В пер-
вых десяти тысячах чисел их всего только четыре, которые я и привел.
— Стоит еще указать, — добавил дедушка, — что древние мате-
матики, сколько нам теперь известно, только эти четыре совершен-
ных числа и знали. По крайней мере, греческий математик Никомах
Геразский, который жил и трудился в конце первого и в начале вто-
рого века нашей эры (около сотого года), знал только эти четыре
числа. Другой древний писатель, Боэций, который жил уже много
позже Никомаха, в конце пятого и в начале шестого века нашей эры,
переводчик сочинений Никомаха, тоже не упоминает ни одного со-
вершенного числа, кроме тех четырех, которые
^4	я назвал. Следовательно, до этого времени
| ’| |	только эти четыре числа и знали. Эти числа
I I	привлекали к себе большое внимание в древ-
- » f ности. Мы знаем еще, что одна из древнейших
L/	мер длины, египетский локоть, делилась на
Ц||мь.	двадцать восемь единиц. У египтян, впрочем,
было еще два других локтя: в двадцать четыре
единицы (пальцы, или дюймы) и в двадцать пальцев. Пока об
этих последних говорить не будем, мы о них поговорим позд-
нее. Займемся этим двадцативосьмипальцевым локтем. Быть
может, он был введен тогдашними учеными, которые пола-
164
гали, что единицу длины удобно разделить на пять таких частей, со-
ответствующих приведенным Васей делителям, которые составляют
11111	г,
Т’ Т’ 7’ 14 и 28 часть этого египетского локтя. Правда, вероятно на
практике употреблялись деления по степеням двух, то есть половина,
четверть, восьмушка, а далее этого обычно и не приходилось идти...
Ну, Вася, продолжай!
— Продолжаю! — отвечал докладчик. — Несмотря на то, что
древним были известны всего лишь четыре таких числа, они очень
ими заинтересовались. Древнегреческие ученые попробовали опре-
делить, каковы эти числа вообще. Раньше всего заметили, что все эти
числа четные. И возник вопрос: не связано ли это обстоятельство
с самой, так сказать, природой этих чисел? Начали внимательно рас-
сматривать разложения этих чисел на делители. Давайте и мы с вами
посмотрим. Возьмем одно из этих чисел, скажем, двадцать восемь.
Мы его записывали так:
I 4-2 + 4 + 7+14 = 28.
Сперва идут степени двух...
— Придется опять прервать тебя, Вася, на минуточку, — сказал
дед. — Нужно сперва указать, что единицу мы тоже можем считать
степенью двух...
— Да, да! — спохватился Вася.—Сейчас скажу. Вот как. Если
делить число в какой-нибудь степени на то же самое число в другой
степени, то степени вычитаются. Это легко проверить. Возьмем
двойку в пятой степени, будет тридцать два; разделим это число на
двойку во второй степени — на четыре, получим восемь, которое есть
двойка в третьей степени:
25:22 = 23 = 25-2.
А если разделить число в некоторой степени на то же самое число
в той же самой степени, получим, с одной стороны, при помощи деле-
ния, единицу, с другой, при помощи вычитания степеней, это число
в нулевой степени:
1 8 28 -з — з 
* — 8 — 2» —z — Z 
Значит, всегда можно рассматривать единицу как любое число в ну-
левой степени. Итак, у нас, в нашем разложении числа двадцать во-
165
семь, сперва идут степени двойки: нулевая, первая и вторая. А затем
идет число семь, и оно же умноженное на два. Можно так записать:
14-2 + 4 + 7 (1+2)=28.
В скобках повторяется тот же самый ряд, который шел сперва, толь-
ко он на один член короче, а перед ним стоит множитель семь, кото-
рый, заметьте, равен сумме первых трех делителей. Возьмем теперь
третье совершенное число и изобразим его так же:
1+2 + 4 + 8+16 + 31-(1+ 2 + 4 + 8) =496.
Как видите, получается очень похоже на разложение числа двадцать
восемь. Сперва идут одна за другой степени двойки, затем число три-
дцать один, которое так же, как это было и в первом нашем примере,
равняется сумме первых (пяти) членов ряда. Теперь надо сказать
несколько слов о том, как получить сразу сумму нескольких воз-
растающих одна за другой степеней двойки. Если взять два первых
члена такого ряда, то будет:
1+2 = 3,
а три есть четыре без единицы. И поэтому:
1 +3 = 4 - 1,
или
2° + 21 — 22_1
И дальше:
1+2 + 4 = 2° + 21 + 22 = 7 = 8—1 = 23—1.
Так оно пойдет и далее. Сумма последовательных степе-
ней двойки, если начать с нулевой степени, равна двойке
в степени числа членов этого ряда минус единица.
Правило простое! Берется следующий член того же ряда и из него
вычитается единица. А если это так, то число двадцать восемь можно
записать так:
28= (1 +2 + 4) +7(1 + 2) = (23 — 1) + (23— 1) • (22 - 1).
Берем первый множитель, то есть (23—1) за скобку:
28= (23— 1) . (1 +22— 1) = 22 • (23— 1).
— Так тогда и шесть можно в этом роде написать! — сказала
Веточка.
— Правильно! — отвечал Вася. — Вот я теперь все наши четыре
совершенных числа и запишу по тому же образцу:
I) 2(22 — 1)=	6,
II) 22(23 — 1)= 28,
III) 24(25 — 1)= 496,
IV) 26(27— 1) =8 128.
— Интересно, — сказала Наташа, — как ровно идет! В первом
множителе степень повышается на два и во втором... нет... не совсем.
— То-то и дело, что не совсем! — ответил дедушка. — В первом
множителе степени представляют собой просто четные числа, но во
втором степенями двойки являются простые числа...
— Те, которые делятся только на единицу и на самих себя, —
подсказал Ника.
4.
— Так, может быть, — предложила Веточка, — это все ты, Вася,
запишешь алгебраически, а то трудно разобраться.
— Можно и так, — отвечал докладчик Вася. — Охотно это сделаю.
Тогда, исходя из моей записи числа двадцать восемь (сумма степе-
ней двойки у меня будет обозначаться буквой S„), я напишу так:
Sn = 2°+2l + 22 + ... +2Л=2', + 1 — 1,
а теперь я обозначаю буквой Рп совершенное число, и оно будет:
Рл=(2п + 1-1) + (2', + 1-1) • (2я — 1).
Беру множитель (2" + 1— 0 за скобку и получаю:
Рп=(2л + ,-1) . (1 +2Л-1) =2Л(2л + 1 -1).
Подписной значок п у больших букв S и Р обозначает, как и всегда
в таких случаях, что речь идет или о сумме п членов ряда степеней
167
двойки или о таком совершенном числе, куда двойка входит с пока-
зателем п. А многоточие в формуле, определяющей S„, обозначает:
«и так далее вплоть до...». Так что первую мою формулу надо так
читать: «два в нулевой плюс два в первой, плюс два во второй и так
далее вплоть до двух в энной степени». Вот что это значит.
— Ну, это сообразить нетрудно, — отвечал ему Лева. — Давай-ка
дальше. Рассказывай, как ты применяешь эту формулу.
— Применяю я ее вот как. Легко видеть, что все приведенные
мною четыре совершенных числа можно тоже получить по этой фор-
муле. Попробуем подставлять вместо п различные числа. Дадим п
значение единицы. Тогда получим:
6 = 2-3 = 2(22—1).
Для п = 2 получаем:
28 = 4 -7 = 22(23 — 1).
Для и = 3 получаем:
23(24 — 1) = 120.
Но сто двадцать, как легко убедиться, не есть совершенное число.
Действительно,
23(24 — 1) =8 - 15,
причем второй множитель, то есть пятнадцать, не является простым
числом! Ну, к этому я еще вернусь... Берем для п следующее значе-
ние, то есть четыре. Тогда по нашей формуле получаем:
496= 16 • 31 =24(25 — 1).
Тридцать один есть простое число, и формула дает нам третье совер-
шенное число. Но для п, равному пяти, опять получается осечка, ибо
мы получаем:
2 016 = 32-63.
Но шестьдесят три не простое число и две тысячи.шестнадцать не со-
вершенное. Даем п значение шесть и получаем:
8128 = 64-127 = 26(27— 1).
Это четвертое совершенное число, а сто двадцать семь есть простое
число.
168
— Значит, — спросил Лева, — второй множитель совершенного
числа должен быть обязательно простым числом? Так я понимаю?
— Конечно, — отвечал Вася, — а отсюда следует, как уже сказал
дедушка Тимоша, что и показатель степени при двойке во второй
скобке тоже должен быть простым числом. Почему это так? Вот по-
чему. Если бы число (п 4- 1) не было простым, то и выражение
2« + i — । тоже не было бы простым. Предположим, что наша степень
( п + 1) представляет собой составное число. В таком случае мы мо-
жем написать, что
(«+ 1) — ab,
где a nb — простые числа. Тогда, значит,
(2л + 1-1) = (2ай-1).
Теперь вспомним, что сумма степеней двойки равна двойке в степени
числа членов нашего ряда минус единица. Так или нет?
— Так, — ответил Ника.
— Тут еще один секрет надо знать насчет суммы ряда степеней
двойки. Если взять несколько членов такого ряда, вычислить их
сумму, а потом взять удвоенное, утроенное и вообще кратное число
членов того же ряда и вычислить их сумму, то вторая сумма разде-
лится без остатка на первую. Возьмем сумму трех первых членов:
1	2 + 4 7 = 23 — 1,
Теперь удвоим число членов:
14-24-44-8+ 16 +32=63 = 26- 1.
Но шестьдесят три делится на семь. Утроим число членов:
1 4-2 + 4+ 8 + 16 + 32 + 64+ 128 + 256 = 511 =29 — 1.
Но пятьсот одиннадцать тоже делится на семь. Так всегда и будет.
Значит, если (п+1) есть составное число, то и (2n + I —1) пред-
ставляет собой тоже составное число. И если (n+ 1) не есть простое
число, то выражение 2” + 1 — 1 тоже простым быть не может. Весь
секрет в том, что если складывать степени двойки, начиная с нулевой,
то не всегда получается простое число.
— Все-таки,— сказала Наташа, — лучше бы ты показал это все
алгебраически!
169
— Алгебраически? —сказал в затруднении Вася.— Да, веро-
ятно, можно, только я еще сам-то ни разу не пробовал, видишь ли...
— Хм... — произнес дед.
Его перебил Ника:
— Вот что, позвольте-ка мне. Мне одна мыслишка в голову при-
шла. Ручаться не могу, а, кажется, годится!
— Попробуй,— разрешил дед.
— Так вот, — сказал Ника. — Только вы уж не ругайтесь, если
не получится. Все мы знаем, что разность кубов разлагается на раз-
ность первых степеней и неполный квадрат суммы:
х3— 1 = (х24-х4-1) (х—1).
А теперь я положу, что
х = 2а.
Подставляю это значение икса в эту хорошо известную всем нам
формулу. Тогда
23а — 1 = (22а +2° + 1) (2а —1).
А отсюда ясно, что выражение с составной степенью раскладывается
на два множителя. Проверим! Вычислим, что будет, если взять два
в девятой степени:
2® - 1 = (23)3 - 1 = [(2»)2 + 23 + 1] (2s - 1) =
= (64 + 8+ 1) • (8- 1) = 73 • 7.
Понятно?
Дедушка молча кивнул ему головой, и наш Никита просиял.
Лева тоже порадовался сметке своего закадычного друга и крик-
нул ему:
— Понятно, Кожемяка, понятно! Ну, а если бы ты не куб взял?
Ведь то же самое получится, правда?
— Верно! — сказал Вася. — Ну конечно, то же самое получится.
Экая досада — я не догадался!.. Ну, так я, значит, буду дальше рас-
сказывать.
— Просим, — отвечал Ника.
— Дальше так: пробовать подставлять в нашу формулу п = 7
нет смысла, как ясно из только что сказанного, ибо
7+1=8
не простое число. Подставлять восемь опять нельзя, потому что
8+1=9
снова не простое число. А если уж попробовать, то получается число
130816 = 256-511.
Но ведь мы с вами заметили, что пятьсот одиннадцать не простое
число. Дальше,
9 + 1 = 10
тоже не годится. Но отсюда уже начинаются серьезные трудности.
Хотя мы и выяснили, что выражение (п+1) необходимо должно
быть простым числом, но мы не знаем еще: достаточно ли этого усло-
вия, чтобы выражение 2л+1 —1 было простым числом? И вот при
п = 10 мы убеждаемся, что этого еще недостаточно! Ибо
2" —1 = 2047,
но, к сожалению, это число не простое и равно произведению 23 • 89.
Значит, строить новые совершенные числа по образцу первых четы-
рех не так легко, как кажется с первого взгляда.
— Вот видите, — прибавил Тимофей Иринархович, вынув изо рта
свою удивительную трубку, где не отрываясь смотрели друг на друга
шах и его мудрец, — вот вы и учитесь, как осторожно надо относиться
ко всяким сходствам, или аналогиям. Сперва кажется, все идет так
гладко и просто, а потом — хвать! — и все уж пошло по-
другому. Правда, случай с совершенными числами — это
случай особый, один из тех, какие нередко встречаются
в высшей арифметике (теории чисел): на вид задача как Ji
будто бы и несложная, известна с незапамятных времен,
а решения до сих пор никак не добьются. И задача-то не
такая уж важная, а вот все еще не удалось выяснить,
для каких значений простого числа р выражение 2р — 1
будет простым числом, а для каких — составным. А отсюда и еше
одно затруднение — нельзя ответить на вопрос: сколько есть всего
совершенных чисел? Может быть, их всего-навсего есть какое-то
определенное количество — ну, скажем, хоть биллион! — а может
быть, их столько же, сколько нечетных чисел, то есть бесконечное
множество. Так что эта задачка с совершенными числами хоть и не-
замысловата, но довольно упряма.
171
— Спорить не приходится! — ответил докладчик. — Дальнейший
успех в этом вопросе был достигнут лишь через тысячу лет. Только
в пятнадцатом веке математик и астроном Региомонтан, один из не-
посредственных предшественников Коперника, нашел пятое совершен-
ное число. Вот оно каково:
V) 212 • (2'3— 1) =33 550 336.
Региомонтаново совершенное число можно изобразить так:
33550336 = 4 096-8 191,
где второй множитель, как и полагается, есть простое число. Еще век
спустя ученый Шейбель нашел следующие два совершенных числа.
Первое его число таково:
VI) 2'6 (217— 1) =8 589 869 056.
Это число можно представить в виде:
65 536  131 071.
Затем идет второе Шейбелево число:
VII) 218 • (219— 1) = 137 438 691 328,
где второй множитель, равный 524 287, — простое число. Восьмое
число было найдено опять-таки через целое столетие хорошо извест-
ным в те времена математиком и переводчиком древних ученых Мер-
сенном...
— Который, — поторопился добавить Тимофей Иринархович, даже
забыв об одном удивительной правильности дымном колечке, только
что подготовленном им в качестве приятного подарка чистому лес-
ному ветерку, — был другом и товарищем по школе крупнейшего
математика того времени, философа Рене Декарта, или Картезия, как
он сам называл себя по-латыни, о котором у нас уже вспоминали —
тогда ведь ученым международным языком была латынь!— и посред-
ником между многими видными учеными того времени. Именно Мер-
сенн напечатал в Голландии знаменитые «Беседы» Галилео Галилея
и перевел книгу о механике великого реформатора и мученика науки.
Обо всем этом мы с вами, может быть, еше поговорим в дальнейшем
подробно.
— Вот хорошо бы! — сказала Веточка. — И поскорей бы, а то ведь
мне уезжать уж пора будет.
172
— Постараемся тебя не обидеть, — ответил дед, добродушно
улыбаясь. — Затем замечу, что Мерсенн много переводил древнегре-
ческих математиков, он деятельно трудился над тем, чтобы основания
научной картезианской философии и других мыслителей, кото-
рые резко разрывали со средневековым невежеством, стали достоя-
нием тогдашнего общества. Он много занимался числами вида
2^—1, где показатель при двойке простое число, и в его честь эти
числа и называются числами Мерсенн а.
— Так вот, — продолжал свою речь Вася, — восьмое совершенное
число, которое нашел Мерсенн, таково:
VIII) 230 (231 — 1) =2305843008 139952 128.
Оно заключает в себе показателем простое число — 31, а простые
числа 23 и 29 опять не подходят. Если шестое и седьмое совершенные
числа выражались биллионами, то восьмое — это уж настоящий вели-
кан — выражается квинтиллионами!
— Квинтиллионами!.. — прошептал в высшей степени заинтересо-
ванный Вовка.— Вот так числище!
5.
— Число недурное! — с удовольствием согласился Вася. — Ведь
если триллионы это миллионы миллионов, то квинтиллионы это уже
миллионы триллионов! Надо представить себе, какого труда стоило
Мерсенну в те времена вычислить такую громадину! Скажу еще вам,
что хотя Мерсенн и знал, что его число действительно совершенное,
но доказать этого он не мог, потому что не так-то легко выяснить
насчет какого-нибудь большого числа, действительно ли оно простое.
И только знаменитому русскому академику Леонарду Эйлеру целое
столетие спустя удалось показать, что число
231 — 1 = 2 147 483 647,
которое входит в совершенное число Мерсенна, есть число простое.
До семидесятых годов прошлого века это было самое большое извест-
ное простое число. В 1883 году замечательный русский вычислитель
И. М. Первушин доказал, что еще большее число,
261 — 1 = 2 748 779 069 441,
тоже простое. Именно при помощи этого Мерсеннова числа и было
образовано девятое совершенное число. Мерсенн вычислил свое
173
(восьмое!) совершенное число в 1644 году, а девятое совершенное
число было найдено в конце девятнадцатого века. В нем тридцать
семь цифр:
IX)	260(281 — 1).
Еще три совершенных числа — десятое, одиннадцатое и двенадца-
тое— были найдены уже в нашем веке:
X)	288 ( 289 — 1),
XI)	2|М(2107 — 1),
XII) 2126(2127 — 1).
Последнее Мерсенново число
2127 — 1 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727
заключает в себе, как видите, тридцать девять знаков, и долгое вре-
мя оно было самым большим из известных простых чисел. В двена-
дцатом совершенном числе семьдесят семь знаков.
— Семьдесят семь!.. — вымолвил со вздохом Вовка, пожал пле-
чами, хотел что-то еще сказать, но раздумал.
— Должен еще добавить, — продолжал Вася,— что исследова-
нием чисел Мерсенна занимался великий французский математик
Пьер Ферма. Именно он и нашел, что
211 — 1=2047 = 23-89.
Он же нашел, что показатели 23, 29 и 37 дают такой же результат.
Общая формула совершенных чисел, которую я уже приводил:
Р„ = 2Я (2я + 1-1),
принадлежит великому Евклиду. Греческий математик Ямвлих (чет-
вертый век нашей эры) утверждал, что никаких других четных совер-
шенных чисел, кроме тех, которые строятся по формуле Евклида, быть
не может. Русский академик Леонард Эйлер в восемнадцатом веке
доказал, что это утверждение Ямвлиха справедливо. Еще можно при-
помнить, что математик семнадцатого века Антонио Катальди указал,
что все совершенные числа, кроме шести, подчиняются формуле:
9й+ 1.
Так, например,
28 — 9 • 3 + I; 496 = 9-55+ 1 и так далее.
Никаких, однако, полезных выводов из этого равенства пока еше не
было сделано. Ну вот, пожалуй, это все, что я мог рассказать об этих
замечательных числах, которые древность недаром назвала совер-
шенными.
— Ия хочу сказать!—заявил Вовка. — Доклад, конечно, очень
хороший, только все-таки мы его потом еще раз с дедушкой раз-
берем. ..
— Ясное дело! — ответил дед.
— А я вот что хотел спросить, — сказал Лева: — а почему у тебя
всё одни двойки? Разве нельзя взять тройки или пятерки?
— Я было попробовал, — отозвался докладчик, — да нет, пони-
маешь, не выходит! Нескладно получается. Может быть, это оттого,
что сумма степеней тройки или пятерки не выражается так просто,
как сумма степеней двойки... Тут можно прибегнуть к тому, что
Ника нам говорил насчет разности кубов. Так вот, если снова взять
ту же формулу разложения разности кубов:
(х3—1) = (х2 + х+1) (х—1),
то, когда мы даем иксу значение двойки, наш второй множитель
обращается в единицу. Значит, имея дело с произведением, на него
можно не обращать внимания. Но, если мы возьмем для икса не двой-
ку, а тройку, второй множитель станет двойкой:
(З3 — 1) = (32 + 3+ 1)  2.
Приходит в голову, что вот эта-то двойка и путает все расчеты, а на-
верно, сказать по совести, не знаю!
— Н-да... — вымолвил дедушка. — Почему с двойкой все так хо-
рошо выходит, а с другими числами не получается? .. Конечно, не
надо забывать, что и с двойкой тоже совсем не просто и вовсе не всег-
да выходит. Васино объяснение можно немножко облегчить. Возьмем
лучше не разность кубов, а разность квадратов:
х2— 1 = (х+ 1) - (х — 1).
Давая иксу значение два, получаем:
22 — 1 = 2+ 1.
Однако это можно записать еще и так:
22 = 2 + 2,
или, еще проще:
2  2 == 2 —I- 2,
но ни для какого другого числа, кроме двух, это не получится. Вот в
этом-то обстоятельстве и заключается ответ на вопрос Левы. Нако-
нец, можно составить уравнение по нашему последнему равенству.
Оно будет:
а а = а • а.
Возьми и реши это уравнение. В ответе получишь ровно два. Это и
есть причина Васиных неудач в его опытах. Больше здесь и говорить
не о чем.
Совершенные числа—очень древняя задача. Известны они были
в Греции в очень раннюю эпоху, в самом начале древнегреческой
науки.
— Вот оно что... — вымолвил Вася потихоньку.
— За самое последнее время, — добавил дедушка, — найдено еше
пять новых совершенных чисел. Получены они при помощи новейших
быстросчетных машин. Числа очень большие. В будущем я вам кое-
что об этом расскажу.
— Эх!—сказал Лева завистливо. — Опять машины счетные!
Надо прочесть про эти машины!.. Или дядю Ваню попросить рас-
сказать!
— Поспеешь! — отвечал ему дед. — Однако по поводу совершен-
ных чисел можно и еще кое-что любопытное сказать. Спросим, а
какое строение вообще должны были бы иметь совершенные числа,
если бы мы не знали ни единого примера? Ясное дело, мы должны нх
так составлять, чтобы неожиданных лишних делителей у нас не появ-
лялось, а для этого, очевидно, нам надо начать с простых чисел,
избегая составных. Простые числа не разлагаются на множители.
В арифметике они являются как бы основными элементами, из кото-
рых и образуются все остальные целые числа. Но само по себе про-
стое число совершенным быть не может, так как у него только два
делителя, оно само и единица, а следовательно, все простые числа
будут не совершенными, а недостаточными, потому что, с точки зре-
ния теории совершенных чисел, у простого числа есть единственный
делитель — единица. Ведь само число при рассмотрении совершенных
в число делителей не включается. Из рассмотрения разности квадра-
176
тов или кубов, как уж нам показывал Вася, ясно, что ни квадрат, ни
куб простого числа тоже не могут быть совершенными...
— Почему?—удивленно спросил Лева.
— Нет, это ясно, — отвечал ему Ника. — Сейчас, дедушка, я ему
покажу. Напишем равенство с разложением куба разности:
(ро +Р2) . (р _ 1) = (Рз _ 1).
Смотри внимательно! Первая скобка представляет собой сумму дели-
телей куба простого числа. Так или нет?
— Так! — подтвердила Веточка.
— Но если это так, — продолжал Ника, — я могу переписать это
мое равенство вот каким образом:
р0+р1+р2 = ^_1.
А из этого уже ясно, что сама сумма делителей куба простого числа
значительно меньше, нежели куб без единицы. Чтобы приравнять
сумму делителей к этому кубу без единицы, надо эту разность разде-
лить еще на (р— 1). Следовательно, куб простого числа и подавно
больше сумм своих делителей — значит, куб простого числа есть
число недостаточное.
— Правильно! — подтвердил Вася. — Да и с остальными степе-
нями то же самое получится. Попробуй разделить (р4 —1) или
(р5 — 1) на (р — 1) — и увидишь!
— Следовательно, — отозвался дедушка, — надо начинать с чего-
то другого.
— Хоть бы пример привели... — глядя в сторону, пробурчал
Вовка.
— Получай пример! — отвечал Ника. — Возьмем число двадцать
семь. Какие у него делители? Единица, три и девять. В сумме выходит
тринадцать. Посмотри по нашей формуле:
14-3 + 9 = (27— 1) : (3 — 1) =26:2.
Вот и выходит, что степень простого числа — в нашем примере это
три в кубе — не может иметь никаких делителей, кроме единицы и сте-
пеней самого себя — первой и второй, то есть три и девять. Следова-
тельно, три в кубе есть число недостаточное. Так и со всяким кубом
будет. Понял?
12 Архимедово лето
177
— Так бы сразу и сказал! — отвечал вполне удовлетворенный уче-
ный секретарь Тускарийских ассамблей, усердно переписывая пример
в тетрадку.
6.
— Итак, — продолжал дедушка Тимофей Иринархович, — мы с
вами начнем с самого простого — с суммы степеней двойки, которая
для наших целей особенно удобна тем, что, как правильно указал
Вася, сумма ее степеней очень просто выражается. Возьмем некото-
рую сумму степеней двойки; допустим при этом, что мы имеем воз-
можность выбрать такую именно сумму, которая равна некоторому
простому числу; обозначим его буквой р. Тогда я утверждаю, что
возможно построить четное совершенное число
Ря = 2лр,
где р равняется
I 2 + 4 +... + 2я = р.
А теперь разберем, какие делители будут у нашего числа. Во-первых,
поскольку в него входит степень двойки, то его делителями будут все
степени двойки вплоть до той, которая равняется п. Во-вторых, дели-
телем будет, конечно, простое число р, а также все его кратные, кото-
рые мы получаем, умножая р на ряд всех степеней двойки. Значит,
у нас будут такие делители:
1, 2, 22, ... ,2я “ 2я,
р, 2р, 2гр, . . . , 2п~1р.
Ясно, что никаких других делителей у нашего совершенного числа
нет и быть не может. Попробуем теперь доказать, что сумма этих
делителей действительно равняется нашему совершенному числу:
1 + 2 + 4+ ... + 2я + р + 2р +22р + ... +2" ~‘р = 2лр. (*)
У нас уже раньше было положено, что
1 4-2 + 4...4-2я = р,
следовательно, мы можем написать наше число так:
р + р(1+2 + 4 + ... + 2я-1) =2яр,
или так:
p[l + (1 + 2 + 4 + ... + 2” “ 1 )] = 2яр,
а теперь сокращаем обе части нашего равенства на р и получаем:
1 + (1 4-2 + 4 4-... + 2я-1) =2".
Если это равенство справедливо, тогда справедливо и то равенство,
с которого мы начали, — я его обозначил звездочкой в скобках спра-
ва. Но последнее равенство можно и так записать:
| +2 + 4 + ... +2я-1= 2" — 1.
Теперь мы получили то самое равенство, которое дает сумму степеней
двойки и которое нам приводил Вася. Следовательно, мы действи-
тельно получили совершенное число, откуда ясно, что наши предполо-
жения были вполне основательны.
— Послушай, дедушка! — снова заговорил Лева. — Но почему ты
сразу пишешь, что вторым множителем в твоем — тебе еще неизвест-
ном! — совершенном числе Р будет простое число? Откуда ты это
знаешь?
— У Эйлера, — отвечал дед, — этот вопрос был проанализирован,
разобран. Он начинает с предположения, что второй множитель про-
сто будет нечетным числом.
— А он очень трудный, этот вывод Эйлера? —
осторожно вымолвил Лева.
— Да нет, —отвечал дедушка Тимоша,— не
особенно трудный, но требует некоторых предвари-
тельных объяснений, а потом... конечно, и внима-
ния, потому что вывод это довольно длинный. Сам
понимаешь: недоступного ничего нет для тебя, но...
Вовушка, наш секретарь, как бы не завял от скуки!
Вовка поглядел на деда пронзительно. Наташа
улыбнулась ему и сказала:
— А мы тут с Вовушкой под шумок Дразнилкой
займемся, пока дедушка Тимоша будет Леву на ум
наставлять!.. Вот, не хочешь ли, Вова, посмот-
реть— у меня есть очень интересная позиция, кото-
рая называется «нечетно-четная спираль».
Она у меня в двух видах, и оба первого круга. Вот
они:
: 1
< т
> 4
3
10
2
5
12
14
15
7
9
11
13
12*
179
— Ишь, какие хорошие! — отвечал Вова, доставая из кармана
коробочку с шашками. — Сперва идут нечетные...
— Ну, дедушка, — сказал Лева, — ты хоть намекни, как это там
получается.
— Видишь ли... — начал дедушка, находясь, видимо, в некотором
затруднении. — Ну ладно! Так и быть, давай попробуем. Смотри хо-
рошенько, не зевай! Мы с тобой только что рассматривали сумму
делителей числа 2пр. А ведь из этого легко вывести, что если нам
даны два числа и суммы их делителей, то сумма всех делителей
произведения этих чисел будет равна произведению двух сумм дели-
телей.
— Два числа? — повторил Лева. — Потом берем их произведение.
И, зная суммы всех делителей двух данных чисел, хотим найти сумму
делителей этого произведения. Так?
— Правильно.
— Мммм... — замычал Лева. — Кажется... Впрочем, давай-ка
я проверю! Возьму два простых числа, ну хоть три и пять, и суммы их
делителей: (1 + 3) и (1+5). Произведение этих чисел 5• 3 = 15.
Сумма его делителей равна (1+3 + 5+15). Теперь я беру суммы
делителей моих множителей, то есть тройки и пятерки, и перемножаю
их почленно:
(1+3)  (1+5) = (1 + 3 + 5+15).
Все в точности получается! Правильно. Согласен.
— Хорошо, — отвечал руководитель тускарийцев. — Теперь мы
с тобой положим, что наше совершенное четное число будет таково:
Р=2па,
где а — любое нечетное составное число. Поскольку оно составное, то
мы вправе рассуждать так: очевидно, сумма его делителей больше, чем
(1 + а). Не так ли?
— По-видимому, так, — согласился Лева. — На этот раз ты, как
я и сам делал при перемножении, включаешь в сумму делителей и то
самое число, о котором идет речь?
— Да, включаю.
— Тогда ясно, что сумма делителей составного числа больше, чем
(1 + а), по той простой причине, что такая сумма делителей может
принадлежать только простому числу.
— Так! — подтвердил президент Тускарийской любознательной
академии. — Итак, эта сумма больше, чем (1 + а). Назовем ее А. За-
180
пишем, что А> 1 4-л. Далее: сумма делителей числа 2я равна, как
мы уже вывели ранее, числу (2я + 1—1). Значит, сумма делителей
нашего совершенного числа Р будет равна произведению:
(2” + 1-1) А.
Теперь я должен тебе напомнить, что совершенным числом называется
число, равное сумме всех своих собственных делителей, то есть сумме
всех делителей, исключая самое это число. А мы с тобой сейчас вклю-
чили в число делителей и самое наше число. Но если сумма делителей
равна совершенному числу и к этой сумме прибавлено еше и самое
совершенное число, то ясно, что в таком случае сумма делителей бу-
дет равняться удвоенному совершенному числу. Поэтому можем на-
писать:
(2я + 1- 1)Д = 2Р-
Ты с этим согласен или нет?
— Согласен, — отвечал сильно нахмурившийся Лева, старательно
следя за рассуждениями деда.
— Однако, — продолжал дедушка, — у нас положено, что
Р = 2"а,
а следовательно, мы вправе написать и так:
(2я + ,-1)Д=2 • 2яа,
или
(2я + * -1)Д = 2я + ,а.
Откроем скобки:
2Я + С А-А = 2п + 1а.
Возьмем 2я + 1за скобку:
2я + 1(Д — а) = Д.
Отнимем теперь от правой части равенства, а потом прибавим к ней
одну и ту же величину а...
181
— Таким образом, ты прибавляешь к правой части круглый
нуль!—удивился Лева.— Это, конечно, можно сделать, ничто не
изменится, но только зачем это? Какой смысл?
— Сейчас увидишь зачем, — отвечал дедушка. — Это один из спо-
собов алгебраических преобразований и нередко весьма полезный
способ. Итак, получаем:
2л + ’(Л— а)==А-а + а,
затем я беру (А — а) за скобку:
(2л + ‘— 1)-(А — а) = а.
Ну, а теперь давай рассмотрим, что у нас в конце концов получилось.
Если мы перенесем (А — а) в правую часть делителем, то получим
выражение:
2л + 1-1 = -3-^—,	(**)
А — а ’	v '
которое является доказательством того, что при всех значениях а и А
величина а делится на сумму своих делителей (А —а) без остатка,
ибо (2" + 1—1) есть несомненно целое число. Однако таким дели-
телем может быть только единица — ведь только при делении на еди-
ницу любое нечетное число может давать целое число; следовательно,
(А — а) = 1.
Но тогда
А — 1 = а,
то есть а и является своим единственным делителем (кроме единицы).
Но если это так, то а есть действительно простое число! Вот тебе и
доказательство. То самое, которое Эйлер дал утверждению Ямвлиха.
А поскольку, как мы уже выяснили,
А — а— 1,
этот же самый вывод дает, сверх того, еще и указания на форму этого
простого, как только что было доказано, числа а, потому что наше
последнее равенство (помеченное двумя звездочками в скобках спра-
ва), если мы в нем заменим (А — а) единицей, обратится вот во что:
2" + 1 — 1 = а,
и, таким образом, устанавливается, что число а должно иметь совер-
шенно определенную, известную нам уже форму.
— Дедушка Тимоша, — спросила Наташа, — а как доказать спра-
ведливость Васиной формулы? Ведь он ее выводил только на при-
мерах.
— Можно и это доказать, — отвечал Тускарийский почетный и
заслуженный руководитель, — это не так уж трудно. Мы не будем
переносить единицу в правую сторону, как это мы делали (на
стр. 179), а оставим ее слева, где она и была. Тогда нам надо доказать
справедливость следующего выражения:
1+(1+2 + 4+ . . . +2Я-1) = 2Я.
Рассмотрим такие равенства, очевидно справедливые:
1 + 1=2
1 + 1+2= 4
1	+ 1+2 + 4= 8
и так далее. Каждый раз мы к предыдущему равенству прибавляем
сумму членов его левой части; можем это делать до любой степени
двойки — и все время будем получать справедливые равенства. Это
явствует из того, что, как мы уже видели,
2	+ 2 = 2  2,
и стоит только умножить обе стороны этого равенства на 2я ~2 , как
мы получим общую формулу, разъясняющую всё:
2« -1 + 2« -1 _ 2».
Если я, например, возьму четвертое из приведенных только что чис-
ленных равенств
(1 —1“ 1 —1“ 2 +* 4) “|“ 8 —— 16,
то сумма чисел в скобках равна восьми, откуда ясно, что это как раз
случай, подходящий под нашу общую формулу:
2я ~1 + 2” “1 = 2я.
Значит, равенство, с которого мы начали наше рассуждение, справед-
183
ливо. Именно этим доказательством и пользовались древние матема-
тики. Скажу вам еще, что теория совершенных чисел в древности
имела немалое значение, потому что именно изучение этой теории и
привело древних ученых к задаче — как просуммировать ряд, состоя-
щий из возрастающих степеней двойки? Когда этот вопрос был решен,
открылась возможность перейти к другой, более сложной задаче.
Этой задачей было — вывести общее правило для суммирования ряда
возрастающих степеней не только двойки, но и любого другого числа.
Нам еще не раз придется видеть немало примеров того, какое это
могучее математическое средство — суммирование рядов! Обратите
еще внимание на то, какое значение имеют в нашем вопросе простые
числа. Числа эти изучали еще в древности, а замечательные достиже-
ния в этой области связаны с именем одного из крупнейших русских
математиков, Пафнутия Львовича Чебышева (середина прошлого
века). Простые числа — одна из интереснейших проблем высшей
арифметики, или теории чисел. Надобно еще заметить, что деление
египетского локтя на двадцать восемь пальцев у египтян было свя-
зано с различными трудностями по суммированию дробей; в древно-
сти употреблялись главным образом дроби с числителем, равным еди-
нице. Мы и сейчас еще очень часто употребляем такие дроби в оби-
ходе: всякий из вас слыхал, как хозяйка говорит, что она в магазине
«взяла два полкило сахара», в данном случае «полкило» и есть
дробь с числителем, равным единице, иногда говорят также «чет-
верка», «четвертинка» в смысле «четверть» либо «одна четвертая».
7.
— Имейте в виду, — продолжал дед, — счет придуман не для за-
бавы, — это одно из средств общения людей друг с дру-
гом в их коллективном существовании, средство, которое служит
помощью в коллективной работе, а следовательно, счет и меры
должны быть просты, понятны и удобны в обращении. Сам вопрос
о совершенных числах теперь уже в современной математике боль-
шого значения не имеет, но для знакомства с высшей арифметикой
небесполезен. Что же касается попыток Васи, нашего докладчика,
строить совершенные числа на иной основе, чем степенной ряд двой-
ки, то вообще, конечно, такую предприимчивость у юного исследова-
теля надо приветствовать; однако не следует думать, что такими спо-
собами можно чего-нибудь серьезного достигнуть. Можно просто
попробовать, как Вася и делал, но дальше — стоп, машина! Если хо-
184
чешь добиться чего-либо в какой бы то ни было отрасли математики,
надо действовать не так. Надо изучить всерьез эту отрасль, или, как
часто говорят, эту математическую дисциплину, и тогда, вооружив-
шись мощными средствами современной науки, можно чего-нибудь и
добиться. Надо еще принять во внимание, что когда мы говорим на-
счет совершенных чисел — «формула Евклида», то это не совсем точ-
но, ибо сам Евклид формулы не давал, у него все это изложено без
алгебры, геометрически. Алгебра была довольно хорошо известна во
многих своих приложениях еще в древнем Вавилоне, но древнегрече-
ская наука шла иным путем. У греков была «своя» — геометрическая
алгебра. Она давала возможность построить иррациональное число,
скажем тот же корень из двух. Позднее многое стало делаться иначе
и проще. После того как в семнадцатом веке Виета, а за ним Декарт
(или по-старинному Картезий) построили то, что мы теперь называем
алгеброй, все чрезвычайно упростилось. И то, что до реформы Декар-
та доступно было только избранным умам, после него и его продол-
жателей стало общим достоянием. И теперь, когда мы пишем:
ab = х2,
то не следует забывать, что для древних греков это звучало так: «по-
строй квадрат, равновеликий прямоугольнику со сторонами a nb, най-
ди его сторону». И в Европе вплоть до самого семнадца-
того века говорили вместо слова «произведение» слово «прямо-
угольник».
Никита поднялся со своего председательского места, коим на этот
раз была превосходная кочка, вся из глянцевитого брусничного листа,
и торжественно заявил:
— Отличный доклад, который мы все с великим интересом сегодня
прослушали и который, разумеется, будет обдуман и принят каждым
к сведению, на мой взгляд, решает в положительном смысле вопрос,
поставленный перед нами докладчиком Васей Сизовым. Вася считал,
что мы не должны утверждать его в звании действительного члена
великой Тускарийской ассоциации по рассмотрению самых трудных
наук, пока он не сделает нам вступительного доклада. Ныне это со-
вершилось. Доклад прочитан. Он всеми признан прекрасным докла-
дом. Поэтому я считаю, что вопрос о безотлагательном принятии Васи
в число членов нашего содружества любознательных тускарийцев тем
самым решен.
Собрание дружно захлопало в ладоши, а очень довольный своим
успехом Вася раскланялся, причем прижимал руку к сердцу так ста-
рательно, что можно было подумать — это не ученик восьмого клас-
185
са, а какой-нибудь виртуоз-скрипач, который только что исполнил
восхитившее всех замечательное музыкальное произведение.
Вова отвел Васю в сторону и сказал ему вполголоса:
— Знаешь что, Вася, я тебе дам хороший совет. Ты ведь наших
не знаешь, а я знаю! Ну, просто даю совет как товарищу. Ты лучше
иди к нам, в нашу дедушкину секцию — тебе у нас гораздо лучше
будет. Потому что, конечно, он ничего, Левка, он тоже иногда объ-
яснить может, это верно, но, знаешь, дедушка мой — он тебе по-
больше Левкиного расскажет. Так что я тебе прямо советую. Пони-
маешь?
Вася усмехнулся.
— Ладно, — отвечал он. — Подумаем. А без секции никак невоз-
можно? ..
— Да, — сказал дедушка, поднимаясь с пенька и почесывая спи-
ну, — доклад подходящий. Ничего сказать нельзя. Приобрели дель-
ного товарища. Помогать нам будет, и сам будет на ус мотать. Так,
чго ли, Вася?
— Совершенно верно, — ответил мальчик.
— Ну, пошли, — сказал дедушка. — Насиделись, наслушались, а
теперь и домой пора. Сколько нам времени идти-то? Минут, пожалуй,
двадцать, а то и все двадцать пять...
— Полчасика прошагаем, — заметил Ника.
— Хм... — промолвил дедушка задумчиво, — полчасика, ты гово-
ришь, вот как?.. А не хотите ли по дороге, пока идти будем, одну
маленькую задачку решить?
— Какую задачку? — спросила Наташа.
— Постой, постой, дедушка! — вдруг завопил Лева. — Постой!
Я, кажется, догадался! .. Вот ловко!
— Что такое случилось? — спросил дед. — Чего это ты на весь лес
заорал’
— Ах, дедушка! — заговорил Лева. — Тут, понимаешь, нам Вася
задачку такую хитрую по шахматной части притащил (см. раз-
дел 2), что мы чуть совсем не погибли...
— Уж очень ты скоро погибаешь,—заметил дед.
— И вдруг я сейчас догадался!
— Догадался? — удивился Ника. — А ну-ка, рассказывай!
— Да ты сперва покажи, — обиженно проговорила Наташа, — что
за задачка такая! Кричит, а в чем дело, никто не понимает!
— Да вот, пожалуйста! — отвечал Лева. — На-ка, получай!
И Лева показал страничку из записной книжечки, где кое-как
была изображена Васина задача.
— Ни-чью? — протянула Веточка. — А как же?
186
— А я догадался!
— Ну, рассказывай! — торопил его Ника. — Если только ты не
наврал.
— Да все вышло верно! — воскликнул Лева.—Дело в том, что
надо заставить черную пешку ходить! А для этого король должен
напасть на нее. И вот белый король идет на с8.
— Странно... — сказала Наташа. — Как так? А он пешкой вперед
на два хода — вот тебе и всё.
— Нет, не всё — тогда я возвращаюсь королем обратно...
— Ну и не догонишь пешку! Ау!
— Да я сам боялся, а, оказывается, догоняю. Он ведь не может
меня в ферзи пропускать, правда? Значит, он должен слоном ходить
и беречь поле с8. Так?
— Так, — отвечал Ника.
— Тогда я иду еше вниз королем. Пешка его, конечно, мчится
дальше. А я королем нападаю на его слона. Ведь он слона опять-
таки отдавать не смеет — должен его королем защитить. И тут я коро-
лем вбок — и пешка его попалась. Вот тебе и ничья.
— Точно! — отвечал, улыбаясь, Вася.—Сквитались. Молодчина*.
— А у вас, дедушка Тимоша, — спросил Ника, — какая задача?
— А вот какая! У нашего владетельного герцога Тускарини...
— ... по прозванию Алмазный Зуб! — сейчас же вставил Лева.
— Дедушка, — закричал Вовка, — чего он дразнится!
— Слушай, слушай-ка задачку лучше, — отвечал дед, положив
руку на плечо, а внучонок так и схватился за эту руку, словно ища
защиты от Левкиных насмешечек, — слушай лучше... Так вот в этих
замечательных владениях, за морями, за горами, за дремучими ле-
сами, против неба, на земле было очень красивое озеро. Зелененькое
такое, прозрачное. И представьте себе, что однажды в самый разгар
лета, кажется, третьего июля — давно уже это было, да и память что-
то ослабела, — на самой серединке этого озера распустилась чудной
красы кувшиночка. Хорошенькая, беленькая, сердечко золотое.
Одним словом — цветочек на заглядение! И с каждым днем, как
в сказке говорится, она все становилась красивее, все милее, а запах
от нее шел такой сладкий, такой приманчивый, что и рассказать не-
возможно! И самое интересное было в том, что она с каждым днем
все увеличивалась и площадь ее с каждым днем делалась вдвое
больше. А надо вам сказать, что если это Тускарийское озеро пере-
1 Читатель может найти этот замечательно остроумный этюд в книжке «Совет-
ский шахматный этюд» (М, 1955. стр. 38). где дается подробный разбор этой
весьма поучительной для юного шахматиста позиции.
187
плыть поперек, то придется грести целый километр. И вот вообразите,
ребята, эта кувшиночка на девятнадцатый день закрыла все это озеро
своими благоуханными и узорными лепестками. Теперь, когда вы всё
узнали и про озеро, и про кувшиночку, объясните мне, пожалуйста,
вот что: на какой же день этот наш удивительный цветок закрывал
половину озера? .. Ну-ка, орлы, кто скажет?
Конец первой части
acmt
£ w о а я
Двоичная система счисления
„Ханойская башня*
Ход коня
Магические квадраты
Арифметический треугольник
Фигурные числа
Сочетания
Понятие о вероятностях
Лента Мебиуса и бутылка Клейна
Глава десятая
Приехали наши! — Ботвинья и лекарская латынь. — Дядя Ваня
с трудом считает по пальцам. — Лева узнает странную новость по
поводу мыла. — Дедушка с Вовой складывают два и два, и у них
получается восемь. — Запятая делит число на четыре. — Вавилонская
система. — Пирамида Хеопса и грузовик-пятитонка.—Двойки сигна-
лизируют. — Конденсаторы из радиоприемников, лампочки, счеты
и шестеренки. — Вова не хочет учиться арифметике. — Как склады-
вать двоичные дроби? — Оказывается, что и у коврижки есть свой
предел! — «Да и нет». — Как попал в немилость один догадливый
визирь. — «Ханойская башня». — Скучливый султан и его предприим-
чивый мудрец-советник. — Как умножать, не зная таблицы умноже-
ния? — Замечательный способ тайнописи. — Лева опять недоволен. —
Пять новых чисел.—Машина Бабеджа. —Звук летит по радио и
бежит по воздуху. — Послушная машина, приказали помнит всё
наизусть; велели — и она моментально всё забыла! — Страшная
191
история трех уже немолодых морских инженеров, которым однажды
пришлось уезжать от пальм города Сочи по голубым волнам Черного
моря в неизвестном направлении
1.
Когда однажды вечером почтенная компания любознательных тус-
карийцев со смехом и шумом ввалилась в уютный садик Тускарий-
ского замка, Вовка бросился к террасе и громко закричал:
— Приехали! Приехали! Папа с дядей Ваней приехали!.. Ура,
тускарийцы! Вперед, бойцы-молодцы! Окружай их, захватывай в
плен! Теперь всё у них выпытаем! Папа...
— Бежим! — крикнул ему в тон папа. — Спасайся, кто может!..
Где наши чемоданы, Ванечка?
Дядя Ваня засмеялся, высоко поднял свою ложку и сказал своим
страшным низким басом:
— И рад бежать, да сил нет, ботвинья не пускает! Уж очень бот-
винья знаменитая у Машеньки. Просто что-то неслыханное, до чего
хороша! Как говорил один великий писатель — правда, по другому
поводу, но это неважно, —
... Нои поссум сатис
Удивлятис, восторгатис!
— Как, как? — закричали кругом ребята с хохотом. — На каком
это языке? Что это такое, дядя Ваня?
— Дядя Ваня, — заявил Лева, — вот ты всегда так! Скажешь
что-то такое, а что ты сказал, никто не знает!
— Ну, уж и никто! — возразил дядя Ваня, снова с усердием при-
нимаясь за великолепную ботвинью.
— Мама! — крикнул Вовка. — Ну что это такое: он очень смешное
говорит, а мы не знаем! Пусть расскажет, мама!
— Я сделала ботвинью... — начала мама.
Но дядя Ваня снова высоко поднял свою ложку и снова своим
густейшим басом, покрывая все голоса, громко воскликнул нараспев:
— Совершантур чудесорум!
Новый дружный взрыв общего хохота приветствовал это удиви-
тельное выражение, которое показалось ребятам еще более странным
и еще более смешным.
— Просим объяснений! — сказал Никита.
— Дядя Ваня удивляется, — сказала мама, — и восторгается,
192
какая вкусная у нас сегодня состряпалась ботвинья, а откуда он взял
эти странные стишки, я, кажется, догадываюсь. У знаменитого фран-
цузского писателя семнадцатого века, Мольера, есть комедия под
названием «Мнимый больной», а в конце ее интермедия вроде балета
с комическими песенками, которую исполняют шарлатаны-лекари, и
вот они-то и поют эти диковинные стишки, которые вам прочел дядя
Ваня '. А переводит уж пускай он сам.
— Нон поссум сатис, — отвечал дядя Ваня, — это все по-латыни,
значит: «не могу в достаточной степени»... Чего я не могу? А вот
«удивлятис»...
Снова хохот.
— Удивлятис, восторгатис! .. — громко кричит Вовка.
— Ну, значит, наудивляться, до чего же хороша Машенькина
ботвинья! В силу чего я и заявляю, что совершено истинное чудо.
На старинной лекарской латыни и выходит: совершантур чу-
десорум.
И снова общий смех. И снова Вовка кричит в полном восторге:
— Совершантур, совершантур!..
— Бене, бене, превосходно! — отвечал дядя Ваня. — Это тоже от-
туда. «Бене» значит «хорошо». Ну, всё!.. Объясни мне немедленно,
повелитель карапузов, доктор Вовус, что ты хотел сказать? Что это
ты думаешь из нас «выпытать?» Ну-ка, признавайся! Это еще что за
новости?
— Целый заговор, — заметил Тимофей Иринархович.
— Поймать всех заговорщиков, — отвечал дядя Ваня, — связать
по рукам, по ногам кислой капустой и утопить в манной каше! Вот
какая им казнь, заговорщикам!
— Нет! —сказал Лева, давясь от неудержимого смеха. — Ты так
нас не смей смешить, дядя Ваня, а то мы говорить не можем.
Папа махнул рукой и сказал:
— Ничего с ними не поделаешь.
— Так что ж вы хотите, злодеи? — закричал в комическом ужасе,
высоко поднимая руки, дядя Ваня.
— Всё!—закричал ему Лева. — Всё, всё про машины, которые
сами считают!
— Ма-ши-ны, — переспросил дядя Ваня в величайшем изумле-
нии, — которые... считают? Да что ты, голубчик, да я сам с большим
1 Любознательный читатель может найти эту забавную интермедию великого
Мольера в книге Жан Батист Мольер. Комедии. М., изд-во «Искусство», 1953,
стр. 575. Интермедия третья.
13 Архимедово лето
193
трудом еле-еле по пальцам считаю! Один да один у меня вечно три
получается...
— Это случай возможный, — заявил дедушка, лукаво улыбаясь. —
А два да два выйдет восемь!
— И это у нас бывает! — ответил дядя Ваня. — Да разве это мыс-
лимо, ребятишкам такие вещи рассказывать?
— Нет, почему же, дядя Ваня! — сказала мама.—Ты все-таки
мог бы...
— Ничего слушать не хочу! — отвечал дядя Ваня, затыкая уши.—
К концу лета — вот что! И ни слова больше!
— Запишем! — торжественно провозгласил Вова.
— Поздравляю всех товарищей — неустрашимых тускарят! — за-
кричал Никита.
— Это справедливо,— заметил дедушка. — Очень будет любо-
пытно.
— Ну, а теперь все, — заявил дядя Ваня,— никаких претензий
не принимаю. Завтра с утра идем на речку и будем плавать, как
караси. Кстати, есть ли в этом гостеприимном доме мыло? Левка,
найдешь мне мыло?
— Найду! — отвечал Лева с полной готовностью.
— То-то!—заметил дядя Ваня. — Ты ведь небось и не подозре-
ваешь, какой это замечательный математический инструмент—мыло!
Верно я говорю, дедушка Тимоша?
— Совершенно справедливо, — серьезно ответил дедушка, на ко-
торого воззрилась вся Тускарийская команда. — Есть на свете мыль-
ные пузыри и иные полезные вещицы для вашего брата, Тускарий-
ского следопыта.
— Тускарята-следопыты! — с величайшим удовольствием произ-
нес Вовка. — Вот это имечко! Вот мы кто такие!
2.
Ранним утром в понедельник, когда еще ребята спали, папа с дя-
дей Ваней укатили в город. Вовка с большим огорчением убедился
в этом. Веселый басистый дядя Ваня, снабдивший его несколькими
совершенно невероятными словечками, вроде «чудесорум», не выхо-
дил из головы.
— Дедушка, — сказал он, как только увидал Тимофея Иринар-
ховича, — а что это такое дядя Ваня говорил, что у него один да
один получается три? А ты слушал да поддакивал. Что же это
такое?
194
— Да, — сказал дед, посматривая куда-то вдаль, — бывает,
бывает! Ты должен был бы догадаться. Загадка-то не больно
хитрая.
— Как не хитрая! — возмутился Вовка. — А потом ты сам еще
сказал, что два да два будет восемь. Как это такое?
— Ты, вероятно, думаешь, что «один да один» это сумма, то есть
значит «один плюс один»?
— Ну да!
— А может быть, просто две единицы подряд стоят...
— Так тогда это будет одиннадцать! — И Вовка нацарапал на
песочке прутиком:
это —11.
— Необязательно, — сказал дедушка, посмеиваясь и качая голо-
вой, — необязательно, мой хороший. Нет, нет! Я вижу, ты кое-что
позабывать стал. Я тебе покажу сейчас одно деление, а ты попробуй-
ка разберись. Вот оно:
213113 I 3211
13022	1-23—
22233
22233
— Вот так деление! — произнес в полном недоумении Вовка. —
Дважды один — два, это верно; дважды один — два, тоже верно; а
дальше? Нуль откуда взялся? Дедушка, я не пойму.
— Не торопись! — посоветовал дед, вытаскивая свою трубку и
объемистый кисет с табаком. — Куда нам с тобой торопиться?.. По-
думай лучше хорошенько. Погляди, какие здесь знаки, разберись.
— Из одиннадцати два вычитает — и получается три! — в еще
большем недоумении плаксиво сказал Вовка. — А это не просто так
у тебя, дедушка?
— Нет, нет, — поспешно возразил дед, — тут все правильно!
Давай я тебе попроще в этом роде напишу:
1 -|- 3 = 10,
20 — 12 = 2,
13 • 2 = 32.
Ну, а деление ты уже видел. Рассуди-ка, в чем тут дело?
13*	195
— Не знаю! — сказал Вовка с возмущением. — Нет, ты нарочно!
Вижу, что нарочно! Не хочу...
— Вова, — сказала мама с удивлением, услышав этот разговор,—
что это ты? Неужели ты с дедушкой ссориться хочешь?
Вовка сразу притих. И, не отвечая матери, начал упрашивать
деда:
— Де-едушка, расскажи-и! Де-едушка!..
— Вот нетерпеливый! — сказал дед, покачивая седой головой.—
Надо, брат, терпение иметь, вот что. Ну, ты попробуй проверить мое
последнее умножение.
Вовка начал проверять:
— Делю тридцать два на два. Хорошо. В трех два содержится
один раз. Это верно. Вычитаю. Получаю единичку. Верно. Сношу
вниз двойку. Выходит двенадцать... А теперь получается, что если
двенадцать разделить на два, так будет три? Как же это может быть?
Не три должно быть, а шесть.
— Да, обыкновенно получается шесть. Но ведь здесь, наверно,
что-то не совсем так, как «обыкновенно». У меня один да три —
десять выходит!
— Я вижу, что у тебя не так! — вымолвил с огорчением Вовка. —
А что такое — не знаю.
— Давай, — сказал дедушка, — проверим вычитание. Ну-ка!
— Из десяти вычитаю два... и получаю два! Ну что же это
такое?
— А вот представь себе, что так и есть! Что же ты можешь мне
рассказать про эту десятку, которая такая, что если из нее вычесть
два, то только два и остается?
— «Такая» десятка! .. — повторил Вовка. — Да что ж она, ка-
кая-нибудь особенная, твоя десятка?
Дед ничего не ответил на это. Вовка посмотрел на него, потом
снова на песок, где все это было нарисовано.
— Она, выходит, — с трудом выговорил наконец Вовка, — такая,
что в ней только. ..четыре единицы. Так вот у тебя и в сложе-
нии получается.
— Ав вычитании?
— Ив вычитании тоже!.. Кажется, и в умножении... Да разве
так бывает?
— А как называется наша система счисления?
— Наша система... — растерянно повторил Вовка, который так
старательно размышлял, что даже сразу и не понял, о чем его спра-
шивают,— наша система?.. Стой, дедушка Тимошенька, я вспомнил,
вспомнил!
196
— Хорошо, — подбодрил его дед, — очень хорошо. Ну, расска-
зывай.
— Наша система десятичная. А эта — нет. А это...
четверичная. Первый класс — единицы, а второй — четверки, а
третий... не знаю!
— Умножь второй на самого себя. Вот и всё! Ну-ка, попробуй
напиши, как там классы идут.
Вовка медленно, не без труда написал:
1, 4, 16, 64, 256...
— И дальше все так же, — сказал он. — Все-таки десятичная
наша система лучше: приписал нуль — и всё! А здесь множить
надо...
— Так ведь, когда нуль приписываешь, ты тоже умножаешь.
А здесь?.. Да ведь нисколько не хуже! Припиши справа нуль —и
вот тебе число уже умножено на четыре!
— Верно! — весело закричал Вовка.— Я и не подумал. Ведь по
этой системе одиннадцать это будет пять... Приписываю нуль спра-
ва — и теперь у меня — сто десять... Это должно быть двадцать —
4 • 5 = 20... Да, совершенно верно: 16 + 4 = 20. Вот ловко! А делить
тоже на четыре так можно? Перенес запятую... А как же с запя-
той? .. Это ведь в десятичных дробях только, дедушка?
— А что ж тут такого? — сказал дед.— Только это будут у тебя
не десятичные дроби, а четверичные дроби: одна четвертая, потом
одна шестнадцатая и так далее. Если ты перенесешь запятую влево,
то есть напишешь 1,1 при условии, что это четверичная дробь, то ты
получишь в десятичном написании 1,25. Умножь на...
— ... на четыре и получу снова пять. Верно!
3.
— Вот, брат, как!—заключил дедушка. — Это мы уж теперь
с тобой привыкли к нашей десятичной системе, и из-за этого и на-
ходим ее необыкновенно удобной. Даже кажется, что никакой другой
и быть не может. Между тем долгое время в древности и в средние
века существовала и другая система счисления, которая имела свои
преимущества. Она была в употреблении еще в древнем Вавилоне.
Это шестидесятиричная система, основанием которой было
число шестьдесят. Очень удобная система, ибо у числа шестьдесят
много делителей. Этой системой пользовались древнейшие астроно-
197
.........мы, халдейские звездочеты. И вот вплоть до начала но-
|li. н н”Ш|Н вого времени у астрономов, до самого Коперника, были
в употреблении шестидесятиричные дроби. Да и у нас они
Mkllfdii.HilM еще остались ПРИ определении времени: одна шестидеся-
|Дгб1|4и|и тая часа — это минУта> одна шестидесятая минуты —
ESigjJiai секунда. А по отношению к часу секунда — одна три ты-
сячи шестисотая часа, ибо три тысячи шестьсот — это квадрат шести-
десяти. Круг делится на триста шестьдесят градусов. Как измеряют-
ся углы, я тебе показывал... А что такое триста шестьдесят в шести-
десятиричной системе? Это шесть десятков.
— Во-от! — сказал Вовка. —А я и не подумал про часы!
— Дедушка, — откликнулась мама с терраски, — а как объяснить
эту странную систему, шестидесятиричную? Я понимаю, что это
удобно, но как ее придумали? Десятичная это просто: десять паль-
цев на руках, отсюда и счет по десяткам. А шестьдесят?
— Конечно, — сказал Тимофей Иринархович, — пока еще трудно
наверно сказать, откуда она выросла, эта шестидесятиричная систе-
ма. Есть одно довольно правдоподобное предположение... Как и ког-
да начался счет вообще? И об этом можно сказать кое-что. Во вся-
ком случае это было и даже очень задолго до возникновения шести-
десятиричной системы. Памятников материальных найдено очень
мало; от времен древнего каменного века, так называемого палеоли-
та, сохранилась одна кость (нашли ее в тысяча девятьсот тридцать
седьмом году в Моравии) с такого рода зарубками, которые никак
невозможно понять, если не допустить, что это запись каких-то чисел,
вероятно хозяйственного свойства. Запись сделана на кости молодого
волка, одного из предков нашей собаки дворовой... Ведь пес — это
самое первое прирученное человеком животное. Как только страшные
ледники ушли на север и стало возможно охотиться, а человек приду-
мал себе первое поражающее на расстоянии оружие — это был
лук, — так у него и появился этот бесценный помощник и друг:
собака.
— А вот у нас нет собаки! — грустно заметил Вовка.— Конечно,
дедушка, это совершенно настоящий друг —собака. Они ведь всё,
всё понимают. А некоторые могут даже смеяться!
— Н-да... — отозвался дед. — Песик, что ж, зверь хороший...
Вернейший! Так что считает человек сыздавна. Как произошел самый
счет? Есть основания думать, что один — обозначало мужчину,
два — женщину, его жену и подругу, а три — это просто значило
много. Но, разумеется, до изобретения шестидесятиричной системы
прошла уйма времени. И к этому времени уже выросли и города и го-
сударства. Это было время позднего каменного века, неолита, когда
198
человек научился очень искусно отделывать камень. Тогдашним ка-
менным топором можно было дерево срубить. Может быть, намечался
первый век металла — бронзовый век. Примерно это что-то около
четырех или трех тысяч лет до нашей эры. Люди уже научились хо-
рошо строить, они селились в долинах огромных рек — это были Нил,
реки долины Двуречья, Тигр и Евфрат, Инд и Ганг, Хуанхе и Янцзы,
Аму-Дарья и Сыр-Дарья. В этих богатейших речных долинах разви-
лись древние царства. Вот там-то, в ту эпоху, когда эти царства стали
формироваться, пришлось считать урожай, стада, вино и масло, из-
мерять поля, возводить плотины, рыть каналы, строить крепости —
и вырос счет. Конечно, развивалось все это не сразу и даже не очень
постепенно, а по-разному. Есть, например, основания полагать, что
культура, существовавшая когда-то на месте теперешней Индии, не-
когда подверглась такому вражескому нашествию, столь истреби-
тельному и губительному, что существовавшая уже там древняя
письменность после этого погибла и была забыта! И снова уж потом
пришлось... Каким был счет в те стародавние времена, сказать
очень трудно. Разумеется, похоже на то, что некогда счет велся по
пальцам. Но шестидесятиричную систему из счета по пальцам вы-
вести не удается. Нужно допустить, что это был счет не по пальцам,
а по суставам пальцев.
— Как так—по суставам? — удивился внучек.
— А вот слушай как! —отвечал ему дед. — Началось, вероятно,
с того, что понадобились сравнительно большие числа — несколько
сотен, а быть может, и тысяч. Тут обыкновенного счета по пальцам
уже не хватало. Вот и придумали счет по суставам, который давал
возможность обращаться с числами довольно большими.
— Ну, рассказывай, как же они считали! — поторопил Вовка.
— Слушай! Человек поднимал левую руку, касался большим
199
пальцем верхнего сустава мизинца — это было «раз»,
второй сустав мизинца — «два», третий — «три». Безы-
минный палец тем же порядком давал четыре, пять и
5	шесть. Средний палец семь, восемь и девять. Теперь
большой палец прижимался к верхнему суставу указа-
/ > / тельного — и это было десять. Затем — если смело раз-
/ х 7 вивать и дальше нашу гипотезу! — вступала правая ру-
/ ка: указательный палец правой руки начинал все зано-
во: первый сустав мизинца левой был одиннадцать,
второй — двенадцать, третий — тринадцать. Безымянный
50 палец левой руки и средний давали числа четырнадцать,
пятнадцать, шестнадцать и семнадцать, восемнадцать,
I	девятнадцать. Затем большой палец левой руки перехо-
I ^7 дил на второй сустав указательного пальца левой руки —
'	и это было двадцать. Таким же образом, снова пройдя
/ девять суставов трех пальцев левой руки, мы получаем
еще девять чисел, от двадцати одного до двадцати девя-
ти, а большой палец левой спускался до последнего сус-
61	~ тава указательного левой — это было тридцать. После
этого все шло еще два Раза по-прежнему, только десятки
Меи теперь отмечал не большой палец левой на указатель-
/ у ном левой, а наоборот, указательный левой на первом
1 \‘ / суставе большого пальца левой. Так получалось сорок.
V \ ' А затем тем же порядком второй сустав большого паль-
ца левой обозначал пятьдесят. После этого на левой
руке можно было сосчитать еще девять единиц; вся ле-
вая рука давала таким образом пятьдесят девять еди-
ниц. Затем переходили на правую руку, и на ней ее
большой палец касался первого сустава мизинца: это было шестьде-
сят. Таким образом, мы переходим во второй разряд шестидесятирич-
ной системы. Тогда все начиналось сначала. На левой руке отсчиты-
вались единицы, а на правой руке шестидесятки. Очевидно, что
подобным образом на обеих руках можно было досчитать до числа три
тысячи шестьсот. Это почтенное
число, разумеется, вполне по-
крывает всякую потребность в
хозяйственном счете. Поэтому-
то, возможно, оно и считалось
«самым большим числом»; не
потому, разумеется, что нельзя
было придумать большего, а
потому, что в большем особой
надобности для хозяйства и не было. Вот каково, вероятно, происхож-
дение шестидесятиричной системы. В ней много удобств, и на цифер-
блате часов и при измерении углов мы ею и по сие время пользуемся
постоянно.
— Дедушка, а древние знали числа больше, чем три тысячи
шестьсот?
— Да, конечно, знали! — отвечал дед. — Когда египетский фараон
Хеопс строил свою знаменитую пирамиду, для нее было заготовлено
в каменоломнях и привезено на стройку без мало-
го два с половиной миллиона огромных каменных «--Оч
глыб, каждая примерно около двух с половиной
тонн, так что грузовик-пятитонка больше двух та-
ких глыб не увез бы! А ведь все это надо было со-
считать. Правда, это было в Египте, а не в Вави-
лоне. Но и Вавилон возводил очень большие строе-
ния. Понял, Вовушка? .. Давай-ка теперь проверим
мое деление!
— Верно, — сказал через несколько минут с тяжким вздохом
Вовка, — все так! Только у дяди Вани еще по-другому.
— По-другому? А как у него?
Вовка еще раз вздохнул. Написал на песочке: 22 = 8, 11=3, по-
глядел искоса на деда. Но дед спокойно смотрел на его цифры, не
выражая никакого неудовольствия.
— Понял... — наконец вымолвил Вовка. — Теперь понял. У него
опять всё не так. Сперва троичное, это вот где двадцать два, а
где одиннадцать — двоичное.
— Заметь, — сказал дед, — до чего же оно зато простое, это
двоичное счисление: всего две цифры: единица да нуль. Если умно-
жаешь, таблицы умножения знать не надо.
— Как так?
— Напиши семерку по двоичной системе.
Вовка написал: 111 — и сам засмеялся, как это просто получилось
у него.
— Теперь тройку... И умножь одно на другое.
Вовка написал:
111
11
111
111
10101
— Так? — спросил он опасливо. — Постой, я проверю... Да,
вышло верно.
— Ну, вот тебе и отгадка того, что дядя Ваня говорил.
В это время к ним присоединился Лева, а вслед за этим откуда-
то неслышно появился и Вася, который имел некоторую слабость
к таким «таинственным» появлениям. Теперь он уже был свой человек
в Тускарийской компании.
Поздоровались.
— Двоичная система! — сказал Вася. — А все-таки проще всего
алгебраически написать.
— Конечно! — отвечал Лева. — Наша десятичная так изобра-
жает некоторое число, х:
х = а110° + а2101 + аз102 + щ103+...,
а в двоичной системе то же самое, только вместо десятки стоит
двойка:
х = й]2° -|- аг2* -|- Сз22 -|- йц23 -}”•••
Но в первом случае буква а может принимать значения от нуля до
девяти, а во втором она может быть только либо нулем, либо еди-
ницей.
— Хорошая система двоичная! — заметил Вася.— Только уж
очень много цифр надо, длинные числа получаются.
— Она удобна, — сказал дедушка, — когда какое-нибудь число
надо представить механически. Например, тебе надо изобразить по
двоичной системе какое-нибудь число, скажем, шестью знаками.
Шестой знак справа по двоичной системе будет...
— ...тридцать два, — подсказал Лева.
— Так! И вот я устанавливаю в ряд шесть электрических лампо-
чек. Если лампочка включена, то есть она горит, это у меня обозна-
чает единицу, а если лампочка выключена, не горит, то нуль. Таким
образом, я могу легко обозначить шестью знаками все числа до...
— ...до шестидесяти трех! — сообразил Вася, вспоминая суммы
степеней двойки.
— Да, до шестидесяти трех, простым включением лампы или, до-
пустим, какого-нибудь иного электроприбора, скажем, хотя бы кон-
денсатора, который всем нашим ребятам прекрасно известен по
радиоприемникам. Заряжен конденсатор — единица, не заряжен —
нуль.
— Можно придумать и сигнализацию, — сказал Лева. — Стоят,
например, шестеро ребят в ряд: который поднял руку, тот будет
202
единицей, который не поднял, тот изображает нуль. Здорово вы-
ходит!
— А можно и так, — предложил Вася: — скажем, я кричу гром-
ко «А» — это будет единица, свищу — это нуль. Условный язык для
передачи цифр. Интересно!
Вовка тут же попробовал новый способ:
— А!.. А!.. Фью!.. А!.. Фью!..
— Двадцать шесть! — в один голос крикнули Вася и Лева.
— Занятно! — сказал Лева. — Ну, а зачем же все это дяде Ване?
Ведь он свистать и выкрикивать букву «А» не станет?
— Еще бы! — ответил дед. — То, о чем говорил
дядя Ваня, относится к некоторым чрезвычайно важ-
ным для науки и техники новым изобретениям, кото-
рые касаются механического счета. Однако Лёвин при-	/
мер лучше: нет расчета изображать нуль особым	/
знаком. Просто нет знака — вот и нуль. Обходимся	—-Дх
одним знаком!
— То есть это машины, которые сами считают!—воскликнул
Вовка. — Вот что!
— Таких машин немало, — отвечал дед. — Возьми для начала
простые наши русские счеты. Какой прекрасный, простой и
удобный прибор! Сложение на нем делается гораздо скорее, чем на
некоторых и более совершенных счетных машинах. А если привык-
нуть и набить, что называется, руку, так можно и умножение делать
довольно быстро.
— Да! — сказал Вася. — Наш колхозный счетовод здорово умно-
жает на счетах. И даже делит.
— А возьмите полезный прибор, — добавил дед, — который назы-
вается арифмометр. Он имеется почти во всех учреждениях и
устроен, в сущности, наподобие наших счетов. Разница в том, что на
счетах при сложении, когда на металлическом прутике накопится
десять шашек, их надо скидывать рукой и самому положить одну
шашку на следующем прутике, а арифмометр все это делает сам,
автоматически — тебе думать об этом не надо. На шестеренке у него
десять зубцов, и против каждого стоит цифра — от нуля до девяти.
Когда шестеренка повернется до девяти, то еще один поворот приво-
дит в действие следующую за ней шестеренку, которая поворачи-
вается на один зубец или на одну единицу следующего разряда, а на
первой выскакивает в окошечке нуль. Надо вам, кстати, сказать, что
большинство счетчиков — водяные, газовые, электрические — устро-
ены наподобие арифмометра, так же как и кассовые аппараты в ма-
газинах. Что касается арифмометра, то он очень быстро множит,
203
делит и извлекает квадратные корни. На арифмометре можно нередко
производить умножение сокращенным образом. Вот, например, тебе
надо умножить некоторое число а на семьсот восемьдесят шесть. Ты
эту операцию можешь записать так:
а  786 = а( 1000 — 214) = а  1000 —а • 214.
— А что же из этой записи следует? — спросил Лева.
— Следует вот что: вместо того чтобы непосредственно умножать
на семьсот восемьдесят шесть, ты множишь на тысячу, а затем вычи-
таешь из полученного произведения число, равное а  214. Экономия
получается довольно заметная: для того чтобы умножить на семьсот
восемьдесят шесть, надо повернуть ручку арифмометра двадцать один
раз, а если делать, как я показывал, то только девять раз. Теперь
имеется уже немало и более усовершенствованных счетных прибо-
ров. Многие из них приводятся в действие маленькими электриче-
скими моторчиками. Надо только поставить цифры, которые тебе
требуются, скажем — делимое и делитель. Затем нажимаешь кнопоч-
ку, и аппарат сам начинает трудиться, вертеть свои шестеренки,
покачивать свои рычаги, и не успеешь ты оглянуться, как он уже всё
разделил. Тебе только остается записать. А есть и такие, которые еще
к тому же сами и пишут, то есть соединяют арифмометр с пишущей
машинкой.
— Вот хорошо! — сказал Вовка мечтательно. — Поставил числа,
а она уж сама разделит. Дедушка, а зачем нас в школе заставляют
задачи решать? Я, когда буду большой, куплю себе такую машину,
она мне и будет все считать. Зачем задачки делать?
— А ведь он, пожалуй, прав,— сказал Лева.
— Прав, да не очень... — ответил Тимофей Иринархович, хитро
поглядывая на внуков. — Вот скажи, Лева, ты разве не замечал, что
алгебраические задачи легче делать, чем арифметические?
— Ну, это-то всякий из нас замечал, — ответил за Леву Вася.
— Так зачем в таком случае учить трудной арифметике? Не
лучше ли прямо с алгебры начать? Но ведь это никому не придет
в голову, потому что раньше надо вполне освоиться со счетом, при-
обрести необходимые навыки, и только тогда у тебя и алгебра хорошо
пойдет. То же самое и с машинами. Если ты не привык к арифметике,
то ты не сумеешь даже и сформулировать задачу. Арифметика на
первых порах учит маленького человечка, как надо размышлять мате-
матически. А этому машина научить не может.
— Что ж, — печально заявил Вовка, — тогда что же делать —
буду уж учиться арифметике! А машину все равно куплю.
— Конечно, купишь! — сказал дедушка. — Вот подожди, дядя
204
Ваня приедет к нам в конце лета, он вам еще и не то о машинах
расскажет... Кстати сказать, чем более совершенствуются счетные
машины, тем более внимательной, заботливой и трудоемкой работы
они требуют от тебя. Если ты работаешь со счетами или простым
арифмометром, весь ход твоих вычислений у тебя перед глазами,
если же ты все это поручаешь машине, то ты должен заранее обду-
мать весь ход и порядок сотен тысяч вычислений с величайшей
пунктуальностью и небывалой еще до сих пор предусмотритель-
ностью. Никаких поправок или изменений «на ходу» ты делать не
можешь. Если же ты что-нибудь прозевал и нечаянно заставишь
машину делать какую-нибудь нелепицу — заставишь, например, из-
влекать квадратный корень из отрицательного числа, — машина оста-
новится. А ну-ка, догадайся сейчас, почему она остановилась? Где
ты наврал? И самая задача: «составить программу» для действий
машины — дело невероятной кропотливости и сложности. Надеяться,
что машина «вывезет», нельзя, это такой тончайший и сложнейший
аппарат, с которым надо обращаться с величайшей бережностью и
обдуманностью. Работу свою из-за многих тысяч очень тонких и
крайне хрупких деталей (вроде радиоламп и прочего) сама машина
проверяет каждые несколько минут. Так что вы не думайте, что все
это так просто, — это дело исключительной трудности, но зато уж,
если удается все эти трудности одолеть, результаты получаются пря-
мо-таки баснословные...
4.
— А дроби! — вспомнил Вовка. — Мы здесь с дедушкой сейчас
придумали новые дроби! Да какие — четверичные!
— А мне больше нравятся двоичные, — сказал Вася. — Там все
пойдет по степеням двойки: одна вторая, одна четвертая, одна вось-
мая и так далее. И, если поупражняться, очень легко сразу сказать,
какая дробь получится в сумме. Например:
J. _з 1 . Хд_±_2 _Lj_Lj_L_l L —
а если приглядеться, то и получается...
— А-а, — сказал Лева, — догадываюсь! Ты хорошо придумал!
— Да, да, очень интересно выходит! — продолжал Вася. — Сколь-
ко бы ты таких дробей — со знаменателем, равным последовательным
степеням двойки, и с числителем, равным единице, — ни складывал,
сумма их всегда будет равняться дроби, знаменатель которой равен
205
знаменателю последней твоей дроби, а числитель равен тому же зна-
менателю минус единица! Видишь, как просто выходит!
— Да, — сказал Лева, — очень хорошо. А с другой стороны, полу-
чается, чем ты больше таких дробей одна к другой прибавляешь, тем
твоя сумма все больше и больше приближается...
— ... к единице! — в восторге завопил Вовка. — К единице!
-— А если так, — продолжал Лева, — значит, эта сумма равняется
единице минус последняя дробь, которую ты прибавлял. То есть
можно так написать:
1 L—1_±	—
4 ’ 8 — 1	8 ’ 16 — 1	16 - •'
или:
2
4
И поэтому, если мы такую двоичную дробь запишем без знаменате-
лей, как мы десятичные дроби пишем, с запятой, например 0,11111, то
можно написать:
0,11111 = 1 —0,00001.
— Ну да, — сказал Вася, усмехаясь, — да я как раз к этому и
вел. А ты сам догадался.
— А если есть нули, то уж так просто не выйдет, — заметил
Вовка.
— Конечно, — отвечал дедушка Тимоша, — если в дроби есть
нули, то уж так просто не выйдет, это верно. Но тем не менее эти два
вывода, особенно последний, имеют немалое значение. Молодцы Вася
с Левой! Очень важно ваше на-
блюдение, что сумма некоторого
ряда имеет вполне определенное
выражение. В таком случае мож-
но в точности указать число, ко-
торого эта сумма превысить не
может. Таким образом, говорят,
что эта сумма ограничена, а како-
ООООООО/
о.оооссоооо/
q ооосооооооо/
О OOOOOQf^/ \	0.0000 0 000004
ва ее граница, мы можем в данном случае определить, пользуясь про-
стым правилом.
— Значит, — сказал Вася задумчиво, — ей предел положен.
А дальше этого ни-ни! И вычислить удобно. Я даже и чертеж для
этого составил, вот покажу. Не знаю уж, как он вам понравится.
По-моему — хороший. Возьмем... ну, что бы такое взять? .. ну,
возьмем коврижку...
— Плохо ли! — усмехнулся Тимофей Иринархович. — Коврижка,
да если еше на меду, — штучка очень симпатичная...
— И будем ее делить, — продолжал Вася, — именно так, как
двоичные дроби идут. Очень интересно получается! Сперва отрежу
половину, потом четверть и так далее. Вот я рисую. Жаль только,
что уж потом такие маленькие кусочки идут, что их не рассмотришь.
— Прекрасный чертеж, — решил дед. — Одобряю. Рассмотришь,
не рассмотришь, это, брат, дело двадцать восьмое! Ведь вся сила в
том, имеешь ли ты возможность обо всем этом последовательно и
правильно рассуждать? А если ты это можешь, значит, все у тебя в
порядке! Ты будешь хозяином своего чертежа, он станет твоей лопа-
той, а ты какую хочешь канавку им и выкопаешь. Вот оно как!
В это время к нашей компании приблизились девочки с удивлен-
ными лицами и нахмуренный Никита.
— Тускарь-пескарь, — обратился Никита к Леве, — я объявляю
тебя изменником!
— Фу, как нехорошо!.. — пожимая плечами, воскликнула по-
красневшая Веточка.
— Вот уж этого мы от вас не ждали! — укоризненно сказала
Наташа. — Спрятались за сиренью, молчок, и что-то тут такое тиха-
рем выводят на песочке палочкой, а мы ничего и не знаем!
— Форменное предательство! — подтвердил рассерженный Ника.
— Вот что я вам скажу! —заявила Веточка. — Либо вы нам все
решительно сейчас расскажете, что вы тут такое придумали, либо мы
с вами ссоримся на всю жизнь... то есть самое уж малое на целую
неделю!.. и сейчас же уходим и забираем Нику, который не такой,
как вы, и на подобные поступки не способен!
— Да уж так и быть, расскажем, — сказал дедушка, выпуская
огромнейший клуб табачного дымка под самую сирень.
Оттуда сейчас же выпрыгнул серый кот Тереха и взглянул на деда
в высшей степени пронзительно.
— Виноват, — вежливо ответил дед на эту котовью негодующую
ужимку, — обеспокоили вас!..
Кот взглянул на дедушку возмущенно и медленно удалился,
надменно и свирепо помахивая хвостом.
207
— Даже Теренций кот и тот с вами разговаривать не желает! —
сейчас же придралась Веточка.
— Да расскажем! — крикнул Лева. — Сами куда-то пропали, а
мы виноваты. Говорили о двоичной системе счисления и...
Девочки и Ника выслушали все внимательно, а затем Веточка
сказала:
— Это хорошо. Мы с Ташенькой тоже об этом думали. Эта систе-
ма очень похожа на старинную побасенку: «стрижено — брито»...
— Вот уж не вижу никакого сходства! — сказал в недоумении
Лева.
— Хмм... — произнес дедушка, прищуривая глаз, в который за-
брался едкий табачный дым, — н-нет, пожалуй, это не так уж плохо.
— Дав каком смысле? — спросил Ника.
— А вот в каком, — объяснила Наташа: — две цифры, нуль и еди-
ница, то есть либо то, либо другое. Третьего уж быть не может. Либо
верно, либо нет. Или так, или сяк.
— Стрижено — брито! — сказала Веточка.
— Если припомнить, — не спеша вымолвил Вася, — что мы здесь
говорили о сигнализации лампочками при помощи двоичной системы:
горит — это единица, не горит — нуль, то выходит, что они правильно
говорят. Если я считаю что-нибудь верным, я могу это назвать еди-
ницей, а если неверно — то нуль. Вместо системы «единица — нуль»
беру систему «да — нет».
— Так-то оно так, — вымолвил Ника, — но тогда я не совсем по-
нимаю, к чему все это? Какой от этого толк?
— Скажи, пожалуйста, Никита,— спросила Веточка, — а ты
помнишь эту задачку тети Веры насчет Несвоимгов и Скалоустров?
Ведь там как раз так и выходит. Вся и задача в том состоит, чтобы
рассудить именно насчет «да» и «нет». Разве ты с этим не согласен?
— С этим я согласен, — отвечал Никита.
— Ну вот мы об этом и говорим, — заключила Наташа. — Вспом-
ни геометрию. Когда ты теорему доказываешь, ты так ведь и гово-
ришь: допустим, что это может быть не так, как мы сперва предполо-
жили. А потом находим, что допустить этого нельзя, потому что
получается противоречие, — и отсюда мы выводим, что первое наше
предположение справедливо...
— Ну да! — сказал Ника. — Доказываем, как говорится, «от про-
тивного»!
— Вот, вот! — отозвалась Наташа. — Если я говорю — это не мо-
жет быть «не так», то, очевидно, оно должно быть именно «так»!
— Если не «не так», то значит «так»! — повторила, улыбаясь.
Веточка.
208
— Конечно! — продолжала Наташа. — А уж когда ты до этого
дошел, ты и говоришь: «что и требовалось доказать».
— Но ведь могут быть такие странные случаи, где «да» и «нет» не
помогают, — сказал Лева. — Вот мне один из нашей школы парень
такой вопрос задал: «Скажи мне, перестал ли ты бить своего отца?
Да при этом вилять не смей, а отвечай прямо: «да» или «нет»!»
— Ловко! — засмеялся Вася. — Вот и молчи. Нечего сказать.
— А он тогда говорит, — продолжал Лева: — «Если ты молчишь,
значит, тебе стыдно признаться»!
— Так!—сказал дедушка. — Если ответишь «перестал», значит,
ты его бил, а если скажешь «нет», выходит, что и сейчас бьешь. Я вам
могу в этом роде еще басенку рассказать. Жил на свете такой свире-
пый султан. Неподалеку от его дворца был большой мост. И каждый
день по этому мосту едут возы на базар и страшно грохочут. Султану
это надоело. Он позвал своего визиря и говорит: «Чтобы этого больше
не было!» Как быть визирю? Ослушаться нельзя, а прямо запретить
ездить по мосту тоже как-то нехорошо, народ его будет ругать за это.
Вот он и выдумал. Поставил у выезда с моста стражу, которая каж-
дого ехавшего через мост начинала допрашивать: кто он? да почему?
да как? Если скажешь правду, тебя тут же утопят, а соврешь — вон
виселица стоит здоровенная, тут же и повесят. Ну и перестали ездить
по этому мосту. И визирь доволен, и султан доволен. А однажды сул-
тан просыпается утром и слышит: опять по мосту грохот — едет воз
за возом. Что такое? Зовет визиря. Нет визиря! Куда-то уехал...
Позвать начальника стражи предмостного караула! Зовут. Приходит
начальник стражи, ни живой ни мертвый от страха. «Это еще что та-
кое?— спрашивает его султан. — Знаешь, что я с тобой сделаю? Да
я тебя через решето протру!» — «Помилуй, повелитель! — отвечает
тот.— Мы всё делали, как нам приказано, да народ-то уж очень хи-
тер. Они такое придумали, что мы уж не знаем, что делать». — «Что
это они такое придумали?» — «А то, что они на все наши вопросы
одно твердят: «Все равно вы нас повесите!» Что ж нам делать? Пове-
сить нельзя, ибо тогда это выйдет правда, а за правду надо топить.
А утопить нельзя, потому что тогда выйдет, что они врут, а за враки
надо вешать! Вот мы и не знаем, как нам быть. А они едут да едут!»
— Да,— заметила Наташа, — выдумал визирь хитро и коварно,
но оказалось, что одного коварства еще недостаточно.
— Правильно! — сказал дед. — Бывают такие случаи, когда какое-
нибудь условие необходимо, но одного его еще недостаточно. А бы-
вает и так, что некоторого условия вполне достаточно, но оно не
является необходимым, можно обойтись и без него. А иной раз слу-
чается и похитрее... Да.
14
Архимедово лето
209
5.
— Так...— промолвил Никита. — А я хотел еще поговорить на-
счет одной математической игрушки, которая, по-моему, тоже
к двойкам имеет отношение.
— Вполне уместно, — решил дед. — Рассказывай!
— Это так называемая Ханойская башня, математическое раз-
влечение, которое придумал французский математик Люка. Он был
большой любитель таких научных забав, и у него есть книжка —
она так и называется «Ма-
тематические развлечения»
Игрушка эта состоит из ма-
ленькой дощечки, на которой по
трем вершинам равносторон-
него треугольника укреплены
стойком три столбика или па-
лочки: А, В и С. На палочке А
надето несколько металличе-
ских или картонных кружков,
начиная с довольно большого,
который лежит внизу, и до самого маленького, который лежит на всех
остальных сверху. Задача состоит в том, чтобы переложить эти круж-
ки с палочки А на палочку С в том же порядке, причем пользуются
палочкой В как промежуточной. При этом запрещено класть боль-
ший кружок на меньший. Вот мы с Левой изготовили эту игрушечку.
И как раз подоспели.
Все дети с интересом начали рассматривать «Ханойскую башню».
— Начнем с самого простого, — объяснял Ника. — Возьмем всего
лишь два кружка. Если один, тут и думать нечего, просто переносишь
его на палочку С, и готово. Однако и об этом решении тоже забывать
не следует — оно нам еще пригодится. Итак, у нас два кружка.
Ну-ка, Вова!
— Сейчас! — сказал Вова, уже заинтересовавшись новой зада-
чей.— Переношу первый, маленький, сюда, на В, второй, побольше
который, прямо уж на С, а потом маленький с В на С. Вот и всё.
Сделал!
* Книжка Э. Люка. Математические развлечения, в переводе В. И. Обреимова,
вышла в Петербурге в 1889 году. У Люка есть хорошие работы по высшей ариф-
метике. В одном из французских изданий книжки о математических развлечениях
он с величайшим уважением пишет о работах замечательного русского математика
П. Ф. Чебышева, в частности описывает арифмометр особой конструкции, построен-
ный русским ученым, а также некоторые машины, придуманные Чебышевым.
210
— Заметьте, — сказал Ника, — что в этом случае первый кружок
сперва попадает на В. Это очень важно. Вокруг равностороннего
треугольника, в вершинах которого стоят наши палочки А, В и С,
опишем круг... Представьте себе, что кружки от палочки к палочке
двигаются именно по этому кругу. У нас получается: когда был
один кружок, двигался он с палочки А на палочку С по кругу по
направлению часовой стрелки, то есть слева направо в верхней
половине круга. А когда было два кружка, то первый кружок дви-
гался от палочки А к палочке В, в другом направлении по кругу,
то есть против часовой стрелки — слева направо в нижней половине
круга. Может ли быть иначе?
— По-моему, нет, — отвечала Наташа,—в первом случае ничто
не мешало одному кружку попасть на палочку С, и поэтому он прямо
к ней и двинулся. Во втором случае он должен был дать дорогу вто-
рому кружку и поэтому пошел в другом направлении, уступив
направление на палочку С, то есть по часовой стрелке — второму
кружку, который больше его.
— Так, — сказал Ника, — а теперь давайте посчитаем, сколько
раз каждый кружок путешествовал, сколько на его долю пришлось
перемещений, или попросту ходов? Ясно, что первый кружок дви-
гался два раза, а второй, большой, — только раз. Всего три хода.
Возьмем теперь три кружка. Действуй, Вова!
Эта задачка оказалась немножко потруднее. Но и тут Вова до-
вольно скоро справился. Первый кружок попал на палочку С, второй
на В, затем первый снова попал на второй, на палочку В, палочка С
освободилась, и на нее надели третий кружок. После этого первый
кружок попал на А, второй на С поверх третьего, а за ним туда же
явился и маленький кружок.
Никита подсчитал, сколько ходов сделал каждый кружок. Оказа-
лось, что первый кружок сделал четыре хода, средний два хода и по-
следний один ход; всего было сделано семь ходов.
14*
211
Затем попробовали с четырьмя кружками. Теперь решение оказа-
лось более запутанным: потребовалось для первого кружка восемь
ходов, для второго — четыре, для третьего — два и для четвертого —
только один. Задачка выходила только в том случае, если первым
ходом маленький кружок перемещался с А на В, но не на С.
— Ну, — сказал Ника, — прошу делать выводы.
— Во-первых, — начала Наташа, — ясно, что если у нас нечетное
число кружков, то первый ход надо делать на С, а если четное, то
первый ход на В.
— А во-вторых, — продолжала Веточка, — я уже вижу, что здесь
опять пошли в ход наши двойки. Сперва прибавляется два хода, то
есть 2*; затем четыре, то есть 22; а потом уже восемь — 23. Предска-
зываю, что для пяти кружков прибавится 24, или шестнадцать ходов.
И всего, значит, будет тридцать один ход.
Попробовали сделать, и предсказание Веточки после нескольких
неудачных попыток оправдалось.
— Мы играем так, — заметил Ника, — чтобы добиться нашей
цели в самое малое число ходов...
— Обычно говорят,—прервал его дедушка,— в наименьшее, или
минимальное, число ходов.
— Хорошо: в минимальное число ходов. Проще путешествия
одного кружка ничего не придумаешь. Путешествие двух кружков
отличается от путешествия одного главным образом тем, что первый
кружок, уступая дорогу второму, идет не прямо на палочку С, а
сперва отступает на палочку В. Если взять три кружка, то надо
играть так, чтобы первый со вторым вместе попали на палочку В, а
палочка С оказалась свободной. Для этого надо сделать то же самое,
что мы делали с двумя кружками, с той лишь разницей, что собрать
два кружка надо не на палочке С, а на палочке В. Из за этого на-
правление круговых движений кружков по палочкам и меняется.
— Дедушка, — спросил Вовка, — значит, опять двойки друг на
дружку множатся?
— Выходит как будто так, — отвечал дедушка.
— Опять, — решил Вася, — сумма того же самого ряда из после-
довательных степеней двойки. Ясно!
— Дедушка, — спросил Вовка, — а почему это? При чем тут
двойки?
— Можно объяснить, — ответил Никита.
— Очень хорошо! — разрешил ему Тимофей Иринархович.
— Возьмем случай трех кружков, — начал Ника. —Для того что-
бы перевести кружок номер три на столбик С, надо, чтобы ему не
мешали кружки номеров один и два. Для этого переносим эту пару
212
на столбик В. Это требует нескольких ходов. Записываю эти ходы:
1С, 2В, 1В. Сперва ставлю номер кружка, а потом букву столбика, на
который попадает кружок. Столбик С свободен. На него можно пере-
нести кружок номер три. Делаем этот ход, а затем уводим кружок
номер один на столбик А, чтобы освободить кружок номер два: ЗС, 1А,
а теперь ясно: 2С, 1С. Всё на месте. Семь ходов. Разберем общий
случай, то есть случай с любым числом кружков. Пусть у нас п круж-
ков. Чтобы их перенести на столбик С, нам надо сделать несколько
ходов, скажем ап ходов. Но для того чтобы перенести последний,
n-й, кружок со столбика А на столбик С, надо, чтобы все остальные
кружки уже были собраны на столбике В. Их у нас будет п—1, и
ходов на это потребуется ап — 1. Переносим самый большой кружок
на столбик С. Теперь надо еще перенести остальные п — 1 кружков
со столбика В, пользуясь столбиком А как вспомогательным, тоже на
столбик С. Но для этого снова надо сделать ап — 1 ходов. Следова-
тельно, всего мы должны сделать:
ап _ 1 + 1 + an-i = ап ходов; или ап = 2ап-\ + 1.
Однако нам известно, что
ai = 1.
Определим по нашей формуле, сколько потребуется ходов для двух
кружков. Очевидно,
а2 = 2 • 1 + 1 = 3.
Но число три мы можем изобразить так:
3 = 4 — 1, или 3 = 22— 1.
Для трех кружков по нашей формуле, зная, что
аг = 3,
получаем:
2.3+1 =7, или 7 = 8— 1=23 — 1
и так далее. Если у нас будет, скажем, десять кружков, то потре-
буется сделать всего тысячу двадцать три хода, чтобы их перевести
на другой столбик, потому что
2io—l= 1024 — 1.
— А что, если взять еще больше? — спросил дед. — Ты как пола-
гаешь, Вовка, что будет, если взять шестьдесят четыре кружка?
213
• (j&j — Это я знаю, дедушка. И могу даже расска-
зать! — отвечал немедленно Вовка. — Жил на свете
✓уЙИР। султан, а может быть, и шах, которого звали Шеран,
а у него был его любимый советник и мудрец, Сесса
Jf бен-Дагер. Шах этот не любил заниматься делом, а
Ни 1гп1 больше всего старался веселиться и играть в разные
\il hl I игры. Под конец, разумеется, все это ему ужасно на-
YbO L доело, и что они ему только ни придумают, чтобы его
развеселить, а он все зевает да сердится. Что же де-
^"**'‘*——> лать? И вот, чтобы как-нибудь его позабавить, этот
мудрец Сесса и выдумал новую игру. И такую он игру придумал, что
над ней надо было голову как следует поломать. Он придумал игру
в шахматы. Шаху так понравилась новая игра, что он решил дать за
эту выдумку Сессе все, что тот попросит. А Сесса и говорит: «Мне
много не надо. Дай мне просто несколько зерен пшеницы: положи на
первую клетку шахматной доски одно зерно, а на каждую следующую
вдвое больше!» Шах и говорит: «Дать ему сейчас же,
сколько он просит!» А когда стали считать, оказалось, fSflF
что не только во всем царстве у шаха столько пшеницы
не наберется, но даже и на всем земном шаре столько
ее нет! Потому что это как раз и вышло такое число,	1
которое от сложения последовательных степеней двойки
получается. Если вспомнить, как нам Вася говорил, ког- 9ИМ|
да про совершенные числа рассказывал, как складывать
этот ряд последовательных степеней двойки, то выйдет,
что надо сложить все степени двойки, начиная с еди-	ЫУ
ницы...
— Это будет нулевая степень двойки, — подсказала
Веточка.
Вовка кивнул ей утвердительно и продолжал:
— Начиная от единицы и кончая двойкой в шестьдесят третьей
степени — это уж будет то количество зерен, которое надо на послед-
нюю, шестьдесят четвертую клетку шахматной доски положить. Сле-
довательно, как нам и говорил Вася, это будет в сумме как раз почти
восемнадцать с половиной квинтиллионов. Вот какое знаменитое
число! А оба они у дедушки на трубке вырезаны: и шах и его мудрец.
— Как-то раз,— добавил Вася,— я попробовал подсчитать, сколь-
ко же это он потребовал себе зерна. Покопался в справочниках и
разузнал, что вес тысячи двадцати четырех зерен озимой пшеницы
примерно равен сорока одному грамму. А
1024 = 210.
Поэтому, если умножишь 254 на 41, то примерно и получишь вес та-
кого количества зерна.
— И сколько же у тебя получилось, Вася? — торопливо спросил
секретарь.
— Много! Больше девяноста биллионов тонн зерна. Вот сколько!
Это чуть ли не в двести раз больше всего мирового урожая. При
этом мирового урожая в наши дни, а не в те далекие времена, когда
сложилась эта легенда!
в.
— А мне вот что показалось любопытным, — заговорил Лева: —
интересно выяснить, как повторяются в «Ханойской башне» ходы.
Мне кажется, вот что надо добавить к тому, что Ника сказал: мы
стараемся все эти перемещения кружков сделать как можно скорее,
то есть в наименьшее число ходов. Чтобы все это разобрать, начнем
с самого простого — с одного кружка: он просто переносится одним
ходом с палочки А на палочку С. Это нам подсказывает, как действо-
вать в следующем случае, когда у нас не один, а два кружка. Снова
ходит первый кружок, но на палочку С он сразу попасть не может,
он должен отойти на палочку В и дать тем самым дорогу второму
кружку, который и ходит на палочку С. А за вторым следом идет и
первый. Берем теперь три кружка и видим, что мы должны сложить
в порядке первые два кружка так же, как они складывались в слу-
чае двух кружков, но только это произойдет не на палочке С, а на
палочке В, потому что на палочку С у нас должен попасть третий
кружок. Ходы действительно повторяются.
— Так, — сказала Веточка, — это мы уж слышали. А ты что нам
доложишь...
— ... из неслыханного? — подхватила Наташа.
Лева немного смутился, попытался даже взъерошить свою ше-
велюру, что было не так-то легко, ибо не так давно его папенька,
человек настойчивый, уговорил сынка обстричься под «первый
номер».
— Ну-с? —строго произнесла Веточка, старательно изображая
недовольную учительницу в классе.
— Вот что... — вымолвил с трудом Лева. — То есть... По-
стойте! .. Если ходы повторяются, то получается, что первый кружок
ходит очень часто: каждый второй ход делает первый кружок, потому
что ему все время приходится уступать дорогу второму. И в чередо-
вании этих ходов получается замечательная правильность. Вот я вам
215
сейчас покажу. Смотрите!.. Я составляю табличку. Какая симмет-
рия! У меня цифры обозначают, какой кружок ходит:
один кружок	1
два кружка	1,	2,	1
три кружка	1,	2,	1,	3,	1,	2,	1
четыре кружка	1,	2,	1,	3,	1,	2,	1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1
и так далее. Вы видите, что кружки ходят такими сериями и серия
двух кружков (1, 2, 1) повторяется для трех кружков дважды, а для
четырех — четырежды. И все это совершенно симметрично. Серия
трех кружков повторяется дважды в серии четырех кружков — и так
пойдет и далее. В центре всегда стоит ход старшего кружка. И выхо-
дит еще, что первый кружок ходит через ход, второй — через три,
третий — через семь и так далее, опять-таки по суммам степеней
двойки. Как хотите, мне кажется очень привлекательной эта правиль-
ность в чередовании ходов.
— Подметил!.. — произнес дед, усмехнувшись. — Недурно, про-
явил наблюдательность. Так-с... А теперь надо и заключение сделать
из твоего наблюдения. Ну-ка, попробуй!
На лице Левы нарисовалось что-то очень странное. С одной сто-
роны, он был польщен предложением деда, и ему до смерти хотелось
сделать то, чего от него просят, а с другой — увы! — никакого реше-
ния у него еще не было. В отчаянии он скорчил такую смешную гри-
масу, что кругом все так и прыснули. Но Лева был до того погружен
в размышления, что даже не огрызнулся. Вдруг лицо его сразу про-
яснилось, и он произнес:
— Весь ряд ходов, который нужен для того, чтобы перевести все
кружки со столбика А на столбик С, я буду называть и г р о й. Так вот
какое у меня получается заключение: каждая игра, независимо от
того, сколько кружков в ней участвует, исключая игру с одним круж-
ком, представляет собой по числу и порядку ходов удвоенную преды-
дущую игру (игру, в которой одним кружком меньше) плюс еще один
ход — это ход старшего кружка. Почему? Потому, что сперва надо
собрать все кружки на палочке В, а затем перенести их на старший
кружок, который к этому времени переберется на палочку С.
— Дело! — одобрительно вымолвил Тимофей Иринархович.
— Еще вот что, — продолжал Лева: — так как столбиков у нас
три, то кружок может сделать только такое количество ходов, кото-
рое можно записать формулами:
Зп; Зп+ 1; Зп~|~2,
причем п может быть и нулем. Так оно и бывает для старших, боль-
ших кружков, самых больших. Однако если кружок сделает Зп хо-
216
дов, то он просто вернется на тот же столбик, с которого он ушел; сле-
довательно, это исключается. Остаются два случая: либо, идя по
часовой стрелке, кружок сделает Зп+1 ходов, либо, идя против
часовой стрелки, он сделает Зп + 2 ходов. Но что же это за числа,
имеющие форму Зп-|-1 и 3n-f-2? Если посмотреть на степени
двойки, то легко заметить, что все четные степени двойки при деле-
нии на три дают в остатке единицу; другими словами, если из четной
степени двойки вычесть единицу, то разность будет делиться на три;
все же нечетные степени двойки при делении на три дают в остатке
два; словом, если из нечетной степени двойки вычесть два, то раз-
ность разделится на три без остатка. Вот и все, что я хотел сказать!
— Занятно! — похвалил его Вася.
— Эти усложнения, — добавил в заключение дед, — как вот у Ле-
вушки, дело поучительное. Начинается все очень просто, а что ни
дальше, то хитрее. Но разберись — и получишь ключ к этой загадке!
Нечто подобное получается иной раз в Дразнилке, где тоже ведь не-
которые шашки должны уступать дорогу другим, как и кружки в Ле-
вушкиной башне. Правда, это случай довольно простой, но ведь все
с простого начинается! Надо поставить шашки бустрофедоном. Все
готово, только на нижней строке пятнадцатая стоит впереди трина-
дцатой и четырнадцатой, вот так:
9 10 11 12
14 13 15
Все улаживается в восемнадцать ходов:
9, 10—14, 13, 15—12, 11—15, 13, 14, 15—11, 12—13, 14, 15—10, 9;
я делю всю игру на отдельные эпизоды — разберите-ка, почему! —
главный эпизод, самый обход напечатан курсивом. И смотрите: вслед
за главным эпизодом остальные подготовительные повторяются в об-
ратном порядке, и шашки в них почти всегда ходят тоже в обратном
порядке (а почему не всегда?).
— Вот именно!— закричал Вовка,— это наше с дедушкой драз-
нилкинское достижение. Наврешь, напутаешь — и все будешь еще раз
повторять. Вот разберите-ка!
— А у меня, — промолвила Наташа, — есть, знаете ли, еще один
интересный вопросик для Вовочки. Однажды один весьма почтенный
секретарь одного ученого общества вошел к себе в класс. Смотрит,
а на доске большими-большими цифрами написано мелом:
1010= 100.
Он поглядел на это и буркнул: «Правильно!» Верно он это сказал
или нет?
Вовка взглянул на Наташу в полном недоумении. Однако Вася
усмехнулся, подошел к секретарю и что-то шепнул ему на ухо. На
лице секретаря сперва изобразилось несказанное удивление, потом
брови его опустились, он даже улыбнулся и важно произнес:
— Понятно... Опять она, эта самая...
7.
— Двоичная система,— добавил дедушка, — невзирая на свою
кажущуюся громоздкость, весьма полезна во многих случаях. При ее
помощи можно производить умножение, не зная таблицы умножения
и действуя только сложением. Этот способ был хорошо известен
в древнем Египте. Долгое время как будто был в ходу и у нас на ро-
дине. О нем вспоминал Лев Толстой, когда занимался с деревен-
скими ребятами в своей замечательной Ясно-Полянской школе.
В чем тут дело? Вот в чем. Допустим, что нам надо умножить трина-
дцать на одиннадцать. Берем число одиннадцать (меньшее!) и начи-
наем его удваивать; сперва пишем его, а затем последовательные его
удвоения. Чтобы не раздумывать долго, соображаем так: одиннадцать
один раз равно одиннадцати; это число вдвое — равно двадцати
двум; это число вдвое — равно сорока четырем; это число вдвое —
равно восьмидесяти восьми. Если мы еще раз удвоим, то мы повто-
рим одиннадцать уже шестнадцать раз, а это нам не нужно, потому
что мы ведь умножаем одиннадцать только на тринадцать. Как же
нам составить тринадцать из чисел, которые стоят как раз посереди-
не в нашей табличке? Ясно, что
	8 + 4 + 1 — 13.	
11	взято I раз = 11	(+)
11	»	2 раза = 22	
11	»	4 раза = 44	(+)
11	» 8 раз =88	(+)
Отметим теперь крестиками в скобках справа те произведения, ко-
торые стоят против указанных сейчас чисел среднего столбика, то
есть против единицы, четырех и восьми. Сложим эти произведения:
11 + 44 + 88= 143.
Но сто сорок три и есть одиннадцать, умноженное на тринадцать. За-
метим теперь, что поскольку:
13 = 8 + 4+ 1,
или
13 = 23 + 22 + 2°,
то тринадцать, записанное по двоичной системе, будет тысяча сто
один. И дело сводится к тому, что мы изображаем множителя на-
шего числа одиннадцать по двоичной системе и берем слагаемыми те
произведения числа одиннадцать на степени двух, которые в двоич-
ном написании числа тринадцать соответствуют единице. Допустим,
например, что нам надо перемножить семьдесят два и пятьдесят три.
Берем меньший множитель...
— Дай-ка, дедушка, — сказал Лева, — я по-своему попробую!
Начинаю с того, что пишу столбиком ряд чисел, который начинается
с единицы, а каждое следующее есть удвоенное предыдущее.
— Последовательные степени числа два, — заметил Вася.
— Они самые. Останавливаюсь на том числе, которое меньше
множителя 53, — это, очевидно, будет 32; следующая степень двух,
64, больше 53. Это левый столбик. Справа пишу сначала число 72
(больший из множителей), а затем числа, которые получаются из
него путем последовательного удвоения:
+ 1 _72
2 144
+ 4 288
8 576
+16 1152
+ 32 2 304
Теперь нам надо получить наш меньший множитель, 53, из чисел,
стоящих в левом столбике. Начиная снизу (то есть с самого боль-
шого числа — с 32), я отмечаю знаком «плюс» слева те числа, кото-
рые в сумме дают 53:
32+ 16 + 4+ 1=53,
а в правом столбике подчеркиваю те числа, которые находятся как
раз против этих чисел, то есть 72, 288, 1152 и 2304. Сложив, получаю
произведение 53 • 72:
72 + 288+1152 + 2304 = 3816 = 53 • 72.
Так как число 53 в двоичном написании будет 110101, то я искла-
219
дывал произведения числа 72 на составляющие этого числа 53, по-
тому что по двоичной системе
110101 = 100000+ 10000+ 100 + 1.
А эти составляющие как раз и будут
100 000 по двоичной системе = 32 по десятичной
10000 »	»	»	= 16	»	»
100»	»	»	= 4	»	»
1 »	»	»	= 1	»	»
— А я знаю, — сказал Ника, — еще один способ двоичного умно-
жения, и по-моему он гораздо проще!
— А ну-ка, покажи! — ответила Наташа.
— Этот способ, — начал Никита, — можно применять совершенно
механически, не думая. Вот в чем его сила. Ну, будем опять умно-
жать те же 72 на 53. Составляем два столбца чисел. В первом столб-
це я пишу множитель (у нас 53), затем делю его на два; если у меня
в остатке получается единица, я ее отбрасываю, а затем поступаю
тем же порядком со всеми получающимися у меня частными. Во вто-
ром столбце пишу множимое и в каждой следующей строке умножаю
его на два. Вот что у меня получается:
53	72
26 (53 делю	на	два,	остаток	отбрасываю)	144
13 (=26: 2)	288
6(13 делю	на	2,	остаток отбрасываю)	576
3 (= 6 : 2)	1 152
1 (3 делю на 2, остаток отбрасываю)	2 304
Теперь мы выбираем из второго столбца те числа, против которых
в первом столбце стоят нечетные числа, и складываем их...
— Только что складывали... — пробормотал Вася.
— Правильно! —вмешался Вова. — Проверяли. Опять 3 816 полу-
чается. .. только вот что... а как же это у тебя выходит?
— Только что мы писали, как получается число 53 по двоичной
системе!
— Писали... — согласился секретарь. — Ну и что ж, что писали?
— А теперь надо кое-что сообразить. В десятичной системе у нас
в ходу все десять цифр, поэтому у меня могут быть и два десятка,
и семь десятков. Однако десяти десятков быть не может, это уж не
десятки, а сотня. Ясно?
— Это-то ясно, — недоуменно ответил Вова.
— Ав двоичной системе только две цифры: 1 и 0, вот и все. По-
220
этому там у тебя может быть в четвертом разряде либо одна восьмер-
ка, либо ни одной. А если их две — то это уже не восьмерка, а 16,
то есть не две единицы четвертого разряда (цифры 2 у тебя теперь
нет!), а одна единица пятого разряда. Если у тебя четыре восьмерки,
то это не четыре единицы четвертого разряда, а одна шестого. Так?
— Так... — произнес с неохотой ученый секретарь. — А вдруг их
три, восьмерки-то? Тогда что?
— Тогда, значит, у меня одна восьмерка и плюс еше одна единица
следующего класса... Но о следующем классе мне беспокоиться сей-
час не надо, его очередь впереди, но если у меня получается в част-
ном, вот как ты говоришь, три (или вообще любое нечетное число),
то, выходит, на месте этого разряда в двоичном написании стоит еди-
ница, а не нуль.
— А если четное частное, будет нуль? — спросила Наташа.
— Конечно! Вот и выходит, что если ты получил в частном чет-
ное число, то на месте этого разряда в двоичном написании делимого
стоит нуль, а единичка будет в старшем разряде. Но ведь на нуль
умножать нет нужды! Мы множим только единицы. Вот, когда я делю
последовательно мой множитель на два раз за разом, я и отбираю
эти значащие единицы — а в то же время отбираю и множимое, ко-
торое путем последовательных удвоений на них именно и умножено.
Ясно?
— Как будто... — протянула Наташа. — Путаешься потому, что
у тебя в одном столбце число (множитель) уменьшается, а в другом
(множимое) растет...
— Хм-м... — вымолвил в недоумении Ника. — Тогда вот что: если
тебе надо написать какое-нибудь число по двоичной системе, ты мо-
жешь воспользоваться этим же самым способом... Вот, например,
ты хочешь написать по двоичной системе число сорок восемь. Заме-
чаешь: само оно четное, значит, в первом разряде стоит нуль. Делишь
на два — 24, снова четное, значит, и во втором разряде нуль. Делишь
на два— 12, значит, и в третьем разряде нуль. Делишь на два —
шесть, значит, и в четвертом разряде нуль. Делишь на два — три, не-
четное! Следовательно, в пятом разряде у тебя единица. Делишь еще
раз на два — в ответе единица, нечетное, следовательно в шестом
разряде у тебя снова единица. И выходит, что 48 по двоичной систе-
ме будет изображаться вот так:
110 000
И если, представь себе, тебе надо будет какое-нибудь число умно-
жать на 48, то тебе придется удвоить его — раз, другой, третий, чет-
вертый. .. и только на пятый и на шестой раз твои удвоения пойдут
221
в дело. Но ведь пятое удвоение — это умножение на 16, а шестое на
32. Вот и выходит в сумме 48. Ясно теперь?
— Ах, вот что! — с облегчением сказала Вета. —Так, значит, в ле-
вом столбце ты просто молчаливо переводишь число в двоичное на-
писание, а в правом постепенно умножаешь множимое на разные раз-
ряды двоичной, чтобы потом отобрать те, где у тебя единица полу-
чается. Интересно!
— А самое главное, что просто, — поддержал дедушка. — Вот что
дорого. Старинный наш, простой народный способ умножения. Деды
наши и прадеды так множили... и ничего: верно выходило.
— Как делать, понял, — вымолвил стеснительно Вовка, — только
вот почему так можно? .. это я тоже понял, ну... не очень... На
нуль, конечно, множить не надо... а вот дальше как? Ты, Левка, по-
том мне расскажешь?
— Ладно уж! — усмехнулся Левка.
8.
— Мы тоже можем кое-что о двойках рассказать, — заявила На-
таша.— У нас есть способ тайнописи, или криптограммы,
который тоже в некотором роде связан с двоичной системой.
— Тайнопись! — проворчал Лева. — Теперь говорят не тайнопись,
а шифр, или код.
— Неважно! — ответила Наташа. — Криптограмма наша изготов-
ляется так. Мы берем на клетчатой бумаге шестьдесят четыре клетки,
как на шашечнице правильный квадрат. И в этих клетках мы пишем
наше письмо...
— Коротенькое письмецо! — заме-
тил Вася.
— С тебя хватит, — живо ответила
ему Веточка, — еще останется!
— И оно пишется некоторым осо-
бенным образом. Вот как на чертеже.
Имейте в виду, что как клеточки, так
и само письмецо должны быть в точ-
ности квадратные!
— Превосходно! — сказал насмеш-
ливо Лева. — Лучше не придумаешь.
Интересно, что дальше будет?
— Сейчас узнаешь, — отвечала На-
таша. — К этому прилагается «ключ».
м	А	X	А	ы	Р	н	У
с	д	ж	И	п	Е	й	Е
3	Е	с	Л	к	А	X	А
О	Е	м	О	Е	В	м	Й
п	Ч	н	в	А	С	А	О
Е	ш	т	с	Е	К	Е	й
Л	О	т	й	Р	ь	У	к
О	с	Е	н	К	м	Е	ы
222
Вот он какой:
136, 33, 20, 66, 20, 129, 34, 72.
Восемь чисел по числу строк. Их
надо все написать по двоичной си-
стеме. А потом приготовить такой
особенный шаблончик-сетку. Де-
лается сетка опять-таки квадратная.
Некоторые клетки прорезаются, так
чтобы можно было прочесть букву,
которая под ними находится. Для
первой строки наш ключ дает число
136, которое по двоичной системе
будет: 10001000. Значит, в первой
строке надо прорезать четвертую и восьмую клетки, если считать
справа налево, то есть те места, где в двоичном написании ключе-
вого числа этой строки стоят единицы. Подобно этому поступаем
и для всех остальных строк. Всего прорезов будет у нас шестна-
дцать. Если мы все это аккуратно проделаем, то получим сетку
с прорезями, через которые, когда пишешь письмо, видишь пустые
клеточки, а когда читаешь — видишь буквы нашего тайного письма.
Таким образом, мы, значит, накладываем сетку с отверстиями на
письмо и читаем — первые шестнадцать букв слева направо, как
обычно. Затем поворачиваем сетку на девяносто градусов против
часовой стрелки так, чтобы очередная цифра (два, три или четыре)
стояла наверху прямо, и читаем следующие шестнадцать букв, а за-
тем поворачиваем так же еще два раза.
— Дай мне сеточку, Наташа!— закричал Вовка. —Я обязательно
должен прочесть! Дай мне поскорее эту сетку! Нет, нет, я буду
читать!..
Вовка взял письмо, взял сетку, вертел, сопел, вздыхал и наконец
с умиленным лицом выговорил:
— Про нашу Тускарийскую компанию... А что—никак не
пойму!..
Тут и все остальные бросились читать криптограмму. Чуть не
разорвали.
Наконец Лева торжественно прочел письмо целиком.
— Благодарим за добрые пожелания! — сказал Никита. — Ну,
рассказывайте теперь, как это вы сделали.
— Очень просто, — отвечала Веточка: — вся доска делится на че-
тыре четверти, по шестнадцать клеток. Первая левая верхняя чет-
верть ..
223
— У математиков она считается вторая, — заметил дедушка.—
Первой считается правая верхняя, а затем мы ведем счет, двигаясь
против часовой стрелки.
— Ну, значит, мы начали со второй и пошли в другую сторону, —
беззаботно отвечала Веточка. — Так вот в этой на-
шей первой четверти клетки нумеруются по той самой
«спирали», которую нам Вовочка в Дразнилке пока-
зывал (см. чертеж на стр. 104). Когда это сделано, мы
сейчас же переходим направо, к нашей второй чет-
верти, и поворачиваем «спираль» по часовой стрелке
на девяносто градусов, затем спускаемся вниз, в нашу
третью четверть...
— Четвертую! — проворчал дед.
— А затем в последнюю налево внизу...
— Третью,— поправил дед.
— И каждый раз поворачиваем «спираль»
на девяносто градусов. Когда все клетки пере-
нумерованы, как на чертеже, мы берем в каж-
дой четверти четыре клетки, какие угодно, но
с тем условием, чтобы из четверти в четверть
номера ни в каком случае не повторялись.
У нас были выбраны (по ходу шахматного
1	2	3	4
12	13	14	5
11	16	15	6
10	9	8	7
коня) такие числа:
В первой четверти .............. 1,	6,	9,	14
Во второй	»	  2,	5,	10,	15
В третьей	»	  4,	8,	11,	13
В четвертой	»	  3,	7,	12,	16.
А затем изготовляется сетка с прорезями про-
тив выбранных чисел. И через нее-то и пи-
шется письмо. Вот и всё. Вот, значит, милые
друзья, наша криптограмма, которой теперь все могут
пользоваться, если надо что-нибудь под великим се-
кретом сообщить. Кто не знает «ключа», прочесть не
может. Кто не знает секрета, тот увидит просто бес-
смысленный набор букв — вот, как Левушка начал
над нами смеяться: «Прекрасно, лучше не придума-
ешь!» А что «прекрасно» — и сам не знает! И эти
записи можно делать по-разному.
— Я всё запишу,— сказал Вовка, —только бы не забыть... Это
мне очень нравится: написал, а никто разобрать не может. Вот это
я понимаю!
224
— Интересно, что двоичная система
и здесь оказалась полезной, — прими-
рительно заметил Лева.
— Да-с, очень полезной, весьма
полезной! — отвечала немного надув-
шаяся Наташа.
Лева был немного смущен. Он бро-
сил взгляд на деда, но тот поглядел
на него искоса и промолчал. Лева по-
думал: а что, если он со своими под-
дразниваниями немножко надоел това-
рищам? Он помялся, почесал затылок.
Обижать Наташу не хотелось.
— Слушай-ка! — сказал он. — Ты
понимаешь...
Но Наташа передернула плечами и отвернулась. Тут Лева совсем
смутился.
— Что это я вижу?—-с напускным удивлением проговорила Ве-
точка.— Как понимать? Что это вы — поссориться собираетесь?..
А кто же это вам позволит, хотела бы я знать! Ах, вы!.. Товарищ
председатель Никитушка, ну-ка, поговори с этими бунтовщиками!
С этими словами Веточка оглянулась. На этот раз ее удивление
было уже совершенно неподдельным.
— А где же Ника? — произнесла она.
— Наверно, сбежал! — сказал Вася. — И Вовки нет...
Лева обошел густые кусты жимолости.
— Да вон они! — воскликнул он.
Ребята проворно бросились к Леве и увидели картину, которая
им показалась немного странной.
— Хм... — произнес Вася с сомнением.
Шагах в тридцати от них, на высоком пригорке, около обросшего
пушистым мохом огромного пня, широко раскинувшего свои могучие
серые лапы, стояли Ника и Вовка. Первое впечатление ребят было,
что Ника в чем-то ужасно провинился, а Вовка его за это отчиты-
вает. Да как отчитывает!
— Интересно... — сказала Наташа в недоумении. — Что это за
объяснение такое?
Прошла минута настороженного молчания. А Вовка все с той же
энергией и крайним возмущением распекал Никиту. А тот стоял, за-
думавшись, поглядывая то на Вовку, то на облака, потом поднял как-
то странно правую руку и рассеянно пошевелил пальнами.
— Побежим! — решила Веточка. — Что это еще такое?
15 Архимедово лето
225
Но не успела она сделать и двух шагов по направлению к бегле-
цам, как внезапно они, словно по команде, опустились оба на кор-
точки около пня и стали что-то мастерить. Вовка опасливо обернулся,
увидел ребят, грозно нахмурился и негодующе замахал руками.
— И подходить не велит! — рассмеялся Вася.
— Сбоку бы надо подобраться... — вполголоса начал Лева.
— С пригорка увидят, — ответил ему Вася.
Но пока ребята раздумывали, как бы им похитрее поступить при
таком чрезвычайном случае, оба мальчика на пригорке поднялись и
направились к друзьям. Вид у них был замысловатый. Ника шел
улыбаясь, посматривая по сторонам, делая вид, будто ничего особен-
ного не произошло. Вовка шагал решительно, широкими шагами, и
на его рожице было написано что-то очень лукавое, но он изо
всех сил старался это скрыть, важно хмуря
брови и крепко сжимая губы.
— Получайте! — надменно произнес он,
протягивая листок бумажки Веточке и даже
не глядя на нее. — Вы думали — вы одни! Как
бы не так — и у нас готово!
Веточка взяла в руки листок и увидела на
нем новую криптограмму.
— А «ключ»? — сказала Наташа.
— Что «ключ»! — гордо заявил Вовка.—
«Ключ»-то ваш. Да вот вы прочтите!
— За десять минут... — начал было Ника,
но замолчал и рассмеялся.
Все четверо—девочки, Лева и Вася — на-
клонились над новой загадкой. Но она далась
п	и	Е	И	О	п	я	и
и	с	Ж	0	У	н	д	Е
ы	с	Р	Л	У	А	и	X
г	Е	И	Е	в	X	м	А
О	Е	м	Т	и	У	с	в
с	д	Е	И	д	3	р	к
ы	А	А	У	т	X	р	3
ъ	Я	Е	д	м	я	и	н
им не сразу.
— Ах, вот что! — наконец догадалась Веточка.
— Какие рифмачи-стихоплеты! Ишь, что выдумали! И поти-
хоньку, — сказала Наташа.
— Помалкивай! — сказал ей сияющий от восторга Вовка. — Ну,
куда вам! А кто придумал? Тускарийский секретарь придумал,
вот кто!
9.
— Все это, конечно, так, — с неожиданно унылым видом произнес
Лева.
— Так почему же ты нос вешаешь? — спросил его Никита, —Или
тебя уж так Наташа обидела?
226
— Да нет! — отвечал ему с крайней досадой товарищ. — Но я
теперь еще больше хотел бы узнать про эти счетные машины. А де-
душка просто так, подразнил, да и ладно. Ну что это такое! Да еще
обещал про новые совершенные числа рассказать. А сам ни гу-гу!
— Немножко могу рассказать, — отвечал дед, — только совсем
немножко. За последнее время найдено еще пять новых совершенных
чисел. Формула совершенных чисел, как вы, вероятно, помните (см.
гл. IX, разд. 4), такова:
Pm = 2n(2', + 1 -1).
Весь секрет заключается во втором множителе. Эти числа, которые
изображаются у нас (2" + 1 — 1), называются числами Мерсенна.
Чтобы число было совершенным, соответствующее ему число Мерсен-
на должно быть простым. До сих пор было известно только двена-
дцать чисел Мерсенна. Новые пять чисел имеют следующие показа-
тели степени: п + 1	при двойке:
для	13-го Мерсеннова числа	521
»	14 то	»	»	607
	15-го	»	»	1 279
	16-го	»	»	2 203
	17-го	»	»	2 281
Эти числа найдены совсем недавно при помощи новейших быстро-
действующих счетных машин. Число 22281 — 1—одно из самых боль-
ших ныне известных простых чисел. Значит, самое большое семна-
дцатое совершенное число таково:
Р17 = 22280 ( 22281 — 1).
Каковы же его размеры? Число знаков в нем равно примерно тысяче
тремстам семидесяти двум. Значит, в нем четыреста пятьдесят семь
разрядов по три знака. Огромнейшее число!
— Ну, брат Вася, — сказал Лева, — у дедушки-то, оказывается,
есть покрепче твоих примеры!
— Да уж! —отвечал, усмехаясь, Вася.
— Вот это число так число! — торжествующе заявил Вовка —
Только ты, диду... я тебя очень, очень прошу... ты вот еще что
скажи Ты говоришь, что они очень быстро считают, эти машины, при
помощи которых нашли это число...
— Мало того, что нашли, — добавил Ника, — еше разложили на
первоначальные множители, собрали всех его делителей! Вот что
сделали!
15 е
227
— Ну да1 — сказал Вова. —Так я же про это самое и говорю!..
Нет, ты, дедушка, вот что скажи: а как это так они скоро считают?
— С необыкновенной быстротой! — отвечал дед. — Например,
скажем, надо умножить два числа... причем числа немаленькие — из-
меряются десятками разрядов! На это некоторым из таких машин
требуется всего-навсего примерно четыре тысячных доли одной
секунды...
Дети даже примолкли.
— «Одной секунды»?! — повторила Веточка. — Значит, за одну
секунду эта машина может проделать двести пятьдесят таких умно-
жений! Да как же это возможно?
— Оказывается, возможно, —отвечал дедушка.— Вот представь
себе, что возможно! Самое долгое дело для такой машины — это «за-
писать», что она сосчитала. Но она может даже и «запомнить», что
она сосчитала. Правда, пластинка граммофонная обладает еше более
замечательной «памятью» — помнит наизусть, например, целую оперу
и со всеми мельчайшими оттенками и подробностями! Только плас-
тинка помнит одно навсегда, а здесь это устроено несколько
иначе... Однако вот что я вспомнил. Кто-то из вас спрашивал насчет
Ады Байрон, дочки знаменитого поэта?
— Это Лева спрашивал, — отвечала Наташа.
— Спрашивал, — подтвердил Лева.
— Так вот я узнал про эту машину, о которой писала Ада Бай-
рон. Это была машина, построенная в тридцатых годах прошлого
века Бабеджем. Когда-нибудь мы поговорим и о том, как она была
устроена. Новые быстродействующие машины в своем главном ма-
тематическом принципе построены на тех же основаниях, как и ма-
шина Бабеджа. Но технически они совсем, конечно, иные. Русские
математики — в том числе и Чебышев, который сам построил одну
счетную машину, — придавали изобретению Бабеджа большое зна-
чение.
— Простите, дедушка Тимоша, — нерешительно выговорила Ве-
точка,— но мы с Наташей совсем запутались. Как же это возможно,
чтобы за одну секунду была сделана такая масса действий? Вы рас-
сказывали нам про шестеренки арифмометра (см. гл. X, разд. 3), но
разве успеет шестеренка повернуться хоть один раз за тысячную до-
лю секунды?
— Да, — согласился Вася, — действительно неясно.
— Шестеренки с десятью зубцами употребляются в самых про-
стых счетных машинах. В новейших быстросчетных машинах никаких
шестеренок такого типа не имеется. Они работают совсем по-иному.
Чтобы дать вам представление о том, каким способом может быть
228
достигнута такая невероятная быстрота, я вам вот что на- *
помню. Слыхали ли вы, что радиослушатель, находясь за Т
тысячу километров от того театра, из которого передается	|
опера, слышит звуки ее раньше, чем они доносятся до зрителя,	А
сидящего в театре в последних рядах?	Лл,
— Слышал! — отвечал Ника. — Это объясняется тем, что ЮМ
радиоволны несутся с быстротой света, а звук по воздуху идет ИИ
гораздо медленнее. Прошлый год мы ездили летом в Москву, таи
И вот однажды совсем поздно, потому что как раз било пол-
ночь, я отчетливо наблюдал это явление сам.	IjHKl
— Как так? —закричал Вовка. — Ну-ка, расскажи! дИКЯНЭ!
— Было включено радио. И вот оно в полночь передает
бой часов с Кремлевской башни. Дон, дон, дон... двенадцать раз.
А когда радио отзвонило свои двенадцать ударов — дело было летом,
тепло, окошки настежь! — вдруг я слышу, что где-то повторяются
эти звуки колокольных ударов, только уже потише и гораздо мягче.
Я сразу понял, что это настоящие, подлинные звуки колокола, а не
переданные по радио. И ударов было уж не двенадцать, а три или
четыре, точно не помню. Это вдогонку к радиопередаче до меня
донеслись по воздуху звуки настоящего колокола с Кремлевской
башни. На другой день я проверил мое наблюдение и убедился, что
рассудил правильно.
— А знает ли кто, какова скорость света? — спросил у ребят дед.
— Как будто триста тысяч километров в секунду, — отвечал
Вася. — А звука — тысяча двести тридцать пять километров в час!
Разница выходит огромная: за час свет промчится 1 080 000 000 кило-
метров, значит, он летит скорее звука почти в девятьсот тысяч раз!
— Биллион километров с лишним... — пробормотал Вовка, торо-
пясь записать эту драгоценную новость в свою тетрадку.
ю.
— Дело в том, — сказал дедушка, помолчав сперва и подумав,
как бы объяснить попроще ребятам эту сложную механику, — что
машины эти работают с помощью электрических импульсов, так ска-
зать толчков особого рода. И есть возможность производить при
помощи таких толчков измерения, которые хотя и не являются
в буквальном смысле слова арифметическими (или вообше матема-
тическими) действиями, но могут быть подсчитаны. Представьте
себе, хозяйка варит варенье. Она берет из мешка несколько стаканов
сахару-песку и высыпает в медный таз с ягодами. Мы можем ведь
229
сказать, что таз просуммировал эти единицы, а в мешке с сахаром
теперь находится разность между тем числом единиц, которое было
в нем сначала, и тем, которое теперь находится в тазу с ягодами.
Сами действия хозяйки могут рассматриваться как арифметические
действия. Наподобие этого и подсчитываются некоторым образом
электрические импульсы. Что же касается скорости, с которой эти
действия происходят, то она приближается к самой большой скорости,
какая только может существовать в природе, то есть к скорости
света. Распространение электромагнитных волн происходит со ско-
ростью света, а распространение электроимпульсов хотя и не так
скоро, но все-таки происходит с исключительно большой скоростью,
превышающей скорость всякого механического движения. Поэтому-то
новые счетные машины и могут делать по двести умножений в секун-
ду. Впрочем, новейшие машины делают и больше. Когда-нибудь мы
и об этом потолкуем. А на сегодняшний день, ребятишки, попрошу
вас удовлетвориться тем, что сказано.
Через минуту Лева со вздохом сказал:
— Про скорость света я читал. Значит, эти машины работают
немного вроде радиоприемников или телевизоров. Хорошо! Но тогда,
дедушка, что же такое эта «память» в этих машинах? Ты говорил
о пластинке граммофонной, но ведь та одно навек затвердила, а здесь
как же?
— Звуки записывать можно по-разному — например, магнитным
способом на особой ленте. Существует такой специальный звуко-
записывающий электромагнитный аппарат, который называется
магнитофон. Он прекрасно передает и музыку и речь. Запись эту
с ленты магнитофона, по миновании надобности, можно, пользуясь сно-
ва некоторыми электромагнитными способами, «стереть»! Значит, ты
можешь записать то, что тебе нужно, на такой электромагнитной
«памяти», а затем «сотрешь» и напишешь новое. Вот твоя машина
«помнила» что-то, а потом ты ей велел это «забыть» — и она слу-
шается тебя.
— Ага! — сказал с облегчением Лева.— Кажется, начинаю
соображать. Так, так! А записывать на магнитофонной ленте можно
числа при помощи условных знаков, как вот мы здесь выдумывали
с Васей: «А!» обозначает единицу, а «фью!» — нуль. Или что-нибудь
в этом роде. Только придумать надо, как это при помощи магнита
сделать... но я думаю, что это уж не так трудно.
— Сообразить можно, что и говорить! — отвечал Тимофей
Иринархович. — А что касается этой сигнализации, которой вы сего-
дня так забавлялись, то как раз вот в этом-то деле она и имеет
наиважнейшее значение.
230
— То есть? — сказал Лева, насторожив уши.
— Эти машины как раз и работают главным образом по двоич-
ной системе. Иногда применяется и троичная '.
— Теперь я все понял, — заявил Вовка. — Четверичная, значит,
ни к чему. А вот двоичная!.. Запишем, запишем.
— Сюит записать! — отвечал ему дедушка.
— Ну, наговорились? — спросила вышедшая к ребятам мама.—
Всё разобрали? А я к вам с просьбой.
Вовка решил, что мама обращается не к кому-нибудь, а именно
к нему лично, и оглядел своих товарищей с видом истинного победи-
теля: вот оно каково! К нему уже люди за советом приходят!
С просьбой!
— Поехала я вчера в город. И разговорились мы на электричке
в вагоне с одним симпатичным старичком. Оказался преподаватель
и книголюб. То да се, я ему рассказала про ваши увлечения. А он
засмеялся и говорит: «Вот, кстати, говорит, у меня задачка одна
имеется. Не хотите ли? Делать нечего, от скуки можно по дороге
запяться». Рассказал мне свою задачку и тут же прощается: «Мне,
говорит, пора, это моя станция». И ушел. А я, как ни старалась,
решить не могла. Может быть, перепутала? Уж не знаю...
— Какая такая задача? Что за задача?.. —раздалось со всех
сторон.
— Слушайте внимательно! В один прекрасный день из замеча-
тельного порта в городе Сочи вышел красавец-теплоход. Разумеется,
все моряки этого прекрасного теплохода очень хорошо знали друг
друга, а трое из них были даже закадычными друзьями. Заметьте это!
Кто же были эти трое друзей? Это был старший механик теплохода
и его помощник, а третьим был не кто иной, как повар нашего пре-
восходного теплохода. Наше прекрасное стройное черноморское судно
везло из летнего отпуска на работу троих морских инженеров, прия-
телей и однокашников по вузу. Наши друзья-мореходы были все
'Для первого знакомства с этим современным математическим чудом —элек-
тронными счетными машинами — любознательный читатель может обратиться к
книжке акад. С. А. Лебедева. Электронные вычислительные машины. Изд-во
Академии наук СССР, изд 2-е, М., 1956. Кроме того, .можно еще указать книжки
М. С. Т у к а ч и н с к о г о. Как считают машины. Гостехиздат, М., 1952, и
Ф. В. Майорова. Электронные вычислительные машины. Изд. «Знание», М.,
1955. Гораздо более обширные сведения можно получить из книги «Быстродей-
ствующая вычислительная машина М-2» (сборник статей под ред. чл. корр. Академии
наук СССР И. С. Брука. Гостехиздат, М., 1957). Описывается советская машина,
действующая со скоростью двух тысяч операций в секунду, в которой 1676 радио-
ламп; машина начала работать весной 1952 года.
231
люди молодые, здоровые и энергичные, а пассажиры-инженеры все
уже были в летах и поэтому, в противоположность друзьям-морякам,
относились ко всяким спортивным затеям с великой прохладцей,
а сами —ну, разве в винт когда-нибудь поиграют. Карточный
винт — игра трудная, вроде шахмат. Этих троих друзей, работни-
ков теплохода, звали Коля, Боря и Сережа. Только, признаться,
совсем я позабыла, которого как звали... Да! Вот что я еше должна
добавить: этих инженеров, которые все ехали в отличной каюте пер-
вого класса, звали Сергей Николаевич, Николай Леонидович и Борис
Павлович. Надо вам сказать, что инженер Николай Леонидович при-
ехал в Сочи из Херсона, потому что он там постоянно жил, а вот
повар этого корабля, о котором я вам сейчас рассказываю, жил до-
вольно далеко от Херсона и Сочи — он жил в городе Касимове.
Инженер Сергей Николаевич был изобретатель, и, надо сказать,
довольно удачливый изобретатель, благодаря чему он очень неплохо
зарабатывал, так что вот в этот самый год, когда он был в Сочи,
он положил в обшей сложности на книжку в сберкассе двадцать
пять тысяч рублей да еше девятнадцать копеек. А повар наш с ко-
рабля зарабатывал ровно в семь раз меньше того, сколько зарабаты-
вал один из инженеров-пассажиров, тот именно, с которым он живет
по соседству, то есть тот, который ему земляком приходится. Что же
касается тезки повара нашего, то тот жил не где-либо, а в Москве,
у самых Красных ворот, в новом замечательном высотном доме и
при этом как раз на девятнадцатом этаже! Что же касается спорта,
то надо вам знать, что один из этих шестерых людей, которые уча-
ствуют в моем правдивом рассказе, тот именно, которого зовут
Борисом, в прошлом году на этом же самом Черном море около
чудно красивого мыса Пицунда так ловко обставил вплавь—стилем
баттерфляй! — помощника механика, что тот, рассердившись, с до-
сады даже плавание бросил и теперь сделался замечательным горо-
дошником! Вот вам и всё...
— А узнать-то что же надо? — спросил Лева.
— Как раз то, что я забыла, — отвечала мама, — надо узнать,
как кого зовут из этих троих молодых людей—друзей-матросиков
с теплохода!
— А как узнать, мама? — спросил в полнейшем недоумении
Вовка, цепляясь за мать.
— Н-ничего... — не очень уверенно проговорил Вася,— по-
копаемся. Как-нибудь доберемся...
— От нас не уйдет!— весело заявила Веточка. — Поймаем!
— Да ты уж, наверно, всё знаешь! — недовольно проворчал
Вовка.
232
— Знать я не знаю, — ответила ему девочка, —а узнать соби-
раюсь. Вот я записала себе эту задачку. Сяду на скамеечку в садике
после обеда и, пока не добьюсь своего, с места не сойду.
— Прекрасный способ! — заметил Тимофей Иринархович. — Я и
сам так делаю и вам всем советую. Умеешь себя заставить работать —
так никакая задачка тебя не одолеет.
— Да, не одолеет!.. —ворчал недовольный Вовка, заглядывая
с завистью в Веточкину записную книжечку. — Они ехали себе да
ехали, а я скажи, как их зовут. Почем я знаю!
Глава одиннадцатая
Сегодня дедушка не пойдет с ребятами: дождик. — Вася бежит по
следам своей добычи.—Замкнутый ход коня.—Два ромба и два
квадрата. — Обход Вандермонда. — Обход шахматиста Яниша. —
Вася пытается связать арифметическую прогрессию и магический
квадрат.—Веточка предлагает другой путь.—Диагонали и «тер-
расы». — Правило для квадратов с четным числом клеток. —
Центральная симметрия. — Перестановки квадратов. — Ход коня. —
Вспомогательные квадраты и соответственные клетки. — Преобразо-
вание подставки для чайника. — Шахматная нотация и обозначения
на магическом квадрате, координаты. — Магическое уравнение. —
Строка, пять чисел и магическая сумма. — Что общего у чисел два
и семь? — Равноостаточные числа, вычеты и модуль. — Сравнимые
числа и полная система вычетов. — Куда ставить данное число? —
Преобразование при помощи сравнений, соответственных клеток и
магического уравнения. — Признаки делимости, «Ханойская башня»
еще раз, правило повторяемости в календаре. — Васина задачка
234
1.
Когда утром, через несколько дней после предыдущего разговора,
Лева проснулся, то ему показалось, что холодно, и он старательно
натянул на плечи одеяло. Но в эту минуту занавеска на окне колых-
нулась. «Ветер!» — подумал, поморщившись, Лева. Но из-за занавески
показалась мокрая голова Васи.
— Вставать тебе пора! — сказал Леве гость укоризненно. — Ох,
и льет сегодня! Еше не светало, как зарядил. Льет и льет!
Лева сел на кровати.
— Ну, что же ты стоишь тут, мокнешь? — сказал он. — Иди на тер-
раску. Сейчас оденусь, умоюсь и приду. Вот так погода! Мокредь
какая!
Дети сошлись на терраске. А дождик тихонечко, не переставая, все
лил да лил. Попили чаю.
— Пойдем к Наташе! — предложил Вася. — У меня есть кое-что
новенькое.
Тимофей Иринархович отказался идти с ребятами.
— Ну вас! —сказал он. — Обойдетесь. А потом мы как-то на днях
вечерком толковали с вами. Вот вы вместе и обсудите все это сами.
— Конечно, — посоветовала мама, — будет вам дедушку мучить.
Не маленький! Пусть посидит дома. А вы уж шлепайте по дождю.
Обязательно калоши возьмите и плащи. А иначе Вовку не пущу.
Пришлось взять всю эту непромокаемую снасть. Побрели по лу-
жам, осторожно прижимаясь, где можно, к плетням, куда еше грязь
не успела добраться. Мокрые листья акации и сирени так и норовили
забраться в самые глаза, заставляя ребят отворачиваться или жму-
риться, — точно нарочно, чтобы те угодили ногой прямо в лужу.
— У меня есть задачка, — предложил Вася, перепрыгивая через
лужу.
— Давай задачку, — сказал Ника.
— Вот какая: существует некоторое число, такое, что если его
утроить или удвоить, а потом еще прибавить к произведениям по еди-
нице, то обязательно получишь квадратные числа, то есть полные
квадраты. А число двузначное. Найти!
— И всё? — удивился Лева.
— Всё.
— Ты решил?
— Докопался. Целая история. Выследил это число, как зверя
в лесу, по следам.
— Ну, где же сейчас по дождю! — сказал Ника, отстраняя осто-
рожно длинную ветку вербы, которая только того и дожидалась, как
235
бы его облить с головы до ног. — Смотри не забудь, потом расска-
жешь. Следопытство — дело хорошее.
— Вот и наши богатыри! — с удовольствием сказала Веточка,
увидав четверых мальчишек.
— А мы-то, — добавила Наташа, — сидим думаем: чего это они
не идут?
— Да мы все время шли да шли, — объяснил Вовка. — Шлепаем,
шлепаем. А тут еще мама калоши велела надеть... Вам хорошо!
— А тебе чем плохо? — отозвалась Веточка. — Ползи-ка вот сюда,
на качалку. Здесь и плед есть.
Вовка забрался на качалку. Веточка укрыла ему ноги. Сперва
Вовка смотрел на эту операцию с удовольствием и даже прибавил:
— Как дедушка Тимоша... — но потом, заметив насмешливый
взгляд, который искоса кинул на него Лева, надулся, сбросил плед
и заявил: — Не хочу, спеленала!.. — И тут же заговорил совсем дру-
гим голосом: — Веточка, а ты знаешь что? Ты мне еще одно скажи.
— Что ж тебе сказать?
— Веточка, да я не понял про эту мамину задачу. Она не говорит!
Ну как же так? Куда ехали да где живут, а скажи как зовут! Это на
смех, правда?
Веточка поглядела на него внимательно:
— А может быть, помощника механика Борькой зовут?
На лице Вовки написалось полнейшее недоумение:
— Как так? — спросил он не сразу. — Нет... не может быть...
— Почему же не может быть?
— Да ведь... Борька-то помощника механика, когда они купались,
и обогнал! Выходит, помощник механика не Борька!
— Значит, — сказала Веточка, — ты уже кое-что знаешь, как там
кого зовут, а говоришь, что решить не можешь. Ты что-то выдумы-
ваешь, Вовочка! Ты подумай лучше.
Вовка задумался и смотрел не отрываясь на девочку.
— Ну как же? — сказала она. — Верно я говорю или нет?
— Кажется... верно... — прошептал Вовка. — Ты хитрая очень.
Ужасно прямо какая хитрая!..
— Сегодня, — заявил Лева, — у нас задание от дедушки. Разо-
брать, что сумеем, насчет магических квадратов и ходов коня, то есть
то, о чем мы немножко поговорили, когда Дразнилкой занимались
(см. гл. VIII, разд. 7). Помните?
— Помним, помним! — отвечала Веточка. — Мы тоже об этом
уже вспоминали. У нас готово кое-что.
— Тем лучше, — согласился Ника.— Тогда уж вы докладывайте.
Согласны?
236
— Согласны, — промолвила Наташа. — Я буду рассказывать, что
мы раскопали насчет того, как обойти ходом коня какую-нибудь доску,
вроде шахматной... но можно и поменьше. Ведь у Вовы была Драз-
нилка — дощечка в шестнадцать клеток. Ее обойти всю конем нельзя —
не получается, а доску в двадцать пять клеток можно. Но только ход
3	10	21	16	5
20	15	4	11	22
9	2	25	6	17
14	19	8	23	12
1	24	13	18	7
не получится замкнутый, то есть с последней клетки нельзя опять на
первую прыгнуть. На доске в тридцать шесть клеток это уже воз-
можно.
— На двадцатипятиклеточной доске, — задумчиво заметил Вася,—
как ни броди, а замкнуть маршрут коня, разумеется, не удастся. То
же самое будет и на доске, где стороны по одиннадцати клеток, а
всего сто двадцать одна клетка.
— Ты думаешь? — спросила не совсем уверенно Веточка.
— Расчет простой, — ответил ей Вася: — конь при каждом ходе
меняет цвет поля. Если на доске четное число полей, как на шашеч-
нице, то последним ходом он станет на поле другого цвета по сравне-
нию с тем, от которого он отправился. Но на доске с нечетным числом
полей это невозможно. Следовательно, замкнутый маршрут коня на
такой доске неосуществим.
— Да мы это уже разбирали, — вставил быстро Вовка, — когда
о Дразнилке говорили! Насчет замкнутых маршрутов. Ведь шашка
в Дразнилке тоже с каждым ходом то на четное попадет, то на
нечетное, все равно, что на белое или на черное.
— Правильно, — сказала Наташа, — упустила из виду. Говорили.
Я скажу о самой обыкновенной шахматной доске. То есть в шестьдесят
четыре клетки. Ее можно обходить конем по-разному, выписывая на
ней разные замысловатые узоры ходами коня. Вообще-то полностью
задача эта не решена, то есть существует очень много решений, но
237
каковы они все и сколько их — неизвестно. Общего правила для того,
чтобы находить обходы шашечницы конем, тоже не имеется. Есть
только одно указание, проверенное на практике, и, говорят, довольно
полезное. При каждом ходе надо стараться выби-
рать такую клетку, с которой можно соединить
ходом коня наименьшее число еше свободных
клеток. Рассказывают, что хорошие шахматисты легко обходят
всю доску конем, начиная с любого поля, даже не глядя на доску,
то есть вслепую. Но ведь они и играть вслепую могут очень хорошо!
Мы уже видели обход доски в двадцать пять клеток, незамкнутый.
Если взять обыкновенную шашечницу в шестьдесят четыре клетки, то
можно привести два хороших примера; они покажут, как можно ре-
шить эту замысловатую задачу. Разобьем доску на четыре четверти,
как мы делили, когда составляли нашу криптограмму (см. гл. X,
разд. 8), и посмотрим, какие можно устроить на такой шестнадцати-
клеточной доске замкнутые ходы коня. Оказывается, что таких ходов
может быть четыре. Возьмем какое-нибудь слово из четырех букв, на-
пример «елка», и обозначим клетки квадрата этими четырьмя буквами:
Е	Л	К	А
К	А	Е	Л
Л	Е	А	К
А	К	Л	Е
Клетки, в которых стоят одинаковые буквы, связаны ходом коня.
Пойдешь по букве Е или по букве А, то есть по гласным, полу-
чишь замкнутый ромб, а по согласным буквам Л и К — замкнутые
квадраты. Возьмем теперь четыре доски по шестьдесят четыре
клетки и нарисуем на одной из них ромбы Е во всех четырех
четвертях. Далее — удалим у каждого из этих ромбов одну из сторон:
у верхних ромбов удаляем нижнюю сторону, а у нижних ромбов —
верхнюю. Соединим эти ломаные, как показано на чертеже Е. Полу-
чаем тоже замкнутый маршрут: конь отправляется с поля Ь6 и прихо-
дит в конце концов на поле а4, с которого он может опять попасть на
свое начальное поле. Затем берем ромбы буквы А. Рисуем их на вто-
рой доске и удаляем у верхних нижние стороны, а у нижних —
238
верхние. Снова смыкаем, как на чертеже А. Конь отправляется с поля
е5 и приходит на поле сб; с него он может так же попасть на первое
поле е5 этого второго обхода. Теперь принимаемся за квадратные хо-
ды, обозначенные согласными
буквами. Берем квадрат Л, ри-
суем его четыре раза на треть-
ей доске, удаляем у левых
квадратов правую сторону, а
у правых квадратов — левую.
Соединяем, как на чертеже Л,
получаем еше замкнутый марш-
рут, конь отправляется с по-
ля с5 и приходит на поле d3,
опять-таки связанное с полем
с5. Наконец рисуем последний
квадрат К, удаляем у левых
квадратов правую сторону, у
правых — левую, соединяем,
как на чертеже К, получаем
на четвертой доске еше марш-
рут. Конь начинает с поля е7 и
приходит на поле с8, связан-
ное с е7. Теперь у нас четыре
доски и четыре замкнутых
маршрута по шестнадцати кле-
ток каждый, то есть всего шестьдесят четыре. Конь всюду идет в на-
правлении часовой стрелки. Надо теперь соединить наши маршруты.
Это просто: соединяем маршрут ромбический Е с квадратным марш-
рутом Л, причем с поля а4, то есть с последнего поля маршрута £,
конь шагает на с5, на первое поле квадратного маршрута Л. С по-
следнего поля этого маршрута, то есть с поля d3, конь шагает на е5,
то есть на первое поле второго ромбического маршрута А, и тот та-
ким образом присоединяется к первым двум. Когда конь пройдет
весь этот маршрут, он попадет на поле сб, с которого он прыгает на
поле е7, а оно есть начальное поле четвертого, последнего квадрат-
ного маршрута К; так конь приходит на поле с8, а с него можно опять
скакнуть на поле Ь6, с которого и началось путешествие нашего коня.
Вот и весь обход. Вся доска обойдена. Существует еше много дру-
гих способов. Знаменитый Эйлер, который тоже занимался этой зада-
чей, делил доску не на четыре, а на две части; получилось тоже очень
хорошо.
— Интересно! — похвалил ее Ника.
239
2.
— А теперь я! — сказала Веточка. — Я расскажу еще об одном
способе. Его придумал видный математик Вандермонд. Этот способ
немножечко похитрее, и, на мой взгляд, он гораздо красивее первого.
Дело начинается с того, что на доске рисуется довольно сложный
замкнутый маршрут в шестнадцать ходов, как на первом чертеже.
Начинается он на поле е5, а заканчивается на поле f3, с которого
можно снова пойти конем на начальное поле е5. Большая часть этого
маршрута заполняет левый нижний угол доски. Как видите, маршрут
довольно замысловатый. Он рассчитан так, что его можно симметрично
повторить во всех четырех углах шахматной доски. Эти четыре марш-
рута надо соединить в один общий маршрут. И вот как это делается:
первый маршрут начинается на поле е5 и кончается на f3; второй
начинается на d4, а кончается на сб, заполняя верхний правый угол
доски, второй маршрут может быть связан с первым ходом f3 — d4.
Так же возможно поступить и с двумя другими маршрутами. Тогда
получаем два новых тридцатидвухходовых маршрута; один от поля
е5 до сб, другой — от с4 до сЗ. Каждый из этих двух маршрутов может
замкнуться ходами е5 — сб и е4 — сЗ. Чтобы соединить эти два
маршрута, выбирают два поля d2 и Ы, которые находятся на рас-
стоянии одного хода коня от двух других полей — е4 и сЗ — из второго
маршрута. Тогда в первом маршруте изымается ход d2 — Ы, вместо
пего делается ход d2 — е4, и конь вторым маршрутом доходит до
поля сЗ, откуда он переходит на Ы и идет далее первым маршрутом.
Вот чертежи, которые показывают и составные и окончательные
маршруты Вандермонда. Можно еще бо-
лее усложнить задачу. Знаменитый рус-
ский шахматист начала прошлого века,
Яниш, составил такой маршрут конем по
всей доске, который дает номерами хо-
дов— магический квадрат, потому что
все суммы по строкам и столбцам дают
везде двести шестьдесят. Очень хороший
квадрат! Если повернуть на сто восемь-
десят градусов первую половину марш-
рута— от первого до тридцать второго
хода, получишь вторую половину. Его
можно еше разбить на два замкнутых
круга, потому что первая клетка соеди-
няется с тридцать второй, а тридцать
третья с шестьдесят четвертой1. Вот и
всё. Есть еще масса всяких обходов, толь-
50	11	24	63	14	37	26	35
23	62	51	12	25	34	15	38
10	49	64	21	40	13	36	27
61	22	9	52	33	28	39	16
48	7	60	1	20	41	54	29
59	4	45	8	53	32	17	42
6	47	2	57	44	19	30	55
3	58	5	46	31	56	43	18
ко эти самые интересные.
* Очень хороший чертеж в две краски этого магического квадрата читатель
найдет в книжке Г. Штейнгауза. Математический калейдоскоп. М., 1949,
стр. 17. — Очень интересные указания можно найти в книжке Л. Я. Окунева.
Комбинаторные задачи на шахматной доске. М., 1935; гл. III, «Задача Эйлера
о ходе коня».
16 Архимедово лето	241
— Теперь насчет магических квадратов... — начала Наташа.— Кто
хочет говорить?
— У меня есть несколько слов,— вызвался Вася,— не очень много.
Просто так, что пришло в голову. Начнем с того, как суммировать
натуральный ряд. Это довольно просто. Надо тебе, скажем, просумми-
ровать все числа от одного до десяти. Чтобы долго не думать, запи-
сываем их сперва с начала до конца, затем с конца до начала:
123456789 10,
10 98765432 1.
Каждая пара по вертикали дает одиннадцать, всех пар десять, всего,
значит, сто десять. А так как нам нужна только одна сумма, а не
две, то делим пополам, вот тебе и всё! Вышло пятьдесят пять. Можете
проверять!
— Совершантур чудесорум... — тихо промолвил Лева.
— Это, — сказал Вася, — арифметическая прогрес-
сия. Такой ряд чисел, в котором каждое предыдущее число отли-
чается от своего последующего на некоторую определенную разность.
Можно и не с единицы начинать, и необязательно, чтобы разность
была равна единице или положительному числу. Ряд нечетных чисел
тоже, конечно, будет арифметической прогрессией. Из моей суммы
ясно, что все это совершенно симметрично: с одной стороны стоит
4 + 7, а с другой 7 + 4, и так всюду. Так вот я и хотел сказать, что
все эти магические квадраты, они же серебряные, они
же и китайские квадраты, тоже имеют отношение к
этой симметрии. Попробую доказать мое утверждение
на примере магического квадрата. Вот он на чертеже.
Ну это, конечно, та же самая наша с Вовочкой «мелан-
холия», правда немножко переставленная...
— Так это уже не «меланхолия»!—перебил Вовка.
— Да, конечно, — согласился Вася, — это уж не
«меланхолия», а другой магический квадрат, но он
получен из магического квадрата, нарисованного
художником Дюрером, при помощи небольшой пере-
становки. Ведь эти квадраты можно переставлять самыми разными
способами.. . Когда я, кстати сказать, смотрю на эту гравюру худож-
ника Дюрера, то мне всегда кажется, что художник, наверно, хотел
изобразить не просто печальную задумчивость, а что-то другое, то есть
серьезные размышления над очень трудными задачами, которые,
однако, человеку обязательно приходится решать. И, значит, дело не
в том, что бывает иной раз скучно, а в том, как замечательно работает
1	7	16	ю
12	14	5	3
6	4	11	13
15	9	2	8
242
мысль человеческая. Уж не знаю, верно ли я рассуждаю, но я, по край-
ней мере, эту гравюру вот так понимаю. Трудно не трудно, а ты сиди
да думай — и придумаешь, как решить трудную задачу! Вот что.
— Так, наверно, Вася, и есть, — поддержал докладчика Ника.
— Так вот, давайте теперь посмотрим на мой квадрат. Я составил
маленькую табличку, которая показывает, какое из шестнадцати этих
чисел в какую строку квадрата попадает. Смотрите:
Каждая строка, как видите, составлена совершенно симметрично отно-
сительно средней линии, проходящей между числами восемь и девять.
Вот, по-моему, и весь «секрет» магических квадратов. Это, собственно,
все, что я могу сказать. Когда-то магическими квадратами
крупные ученые, как, например, знаменитый фран-
цузский математик Ферма в семнадцатом веке, но
теперь эта задача особого интереса не представля-
ет. Хотя Тимофей Иринархович мне говорил, что и
в наше время еще появляются научные работы по
этому поводу... Я все сказал.
— Не знаю... — сказала Наташа. — Как хо-
чешь, Вася, это хоть интересно, но что-то не со-
всем ясно...
— Не спорю, — согласился Вася. — Рассказы-
вайте вы, послушаю с удовольствием. Я только хо-
занимались
тел сказать, что когда я это узнал, то мне
уже стало не так интересно. Раньше я очень этими квадратами
увлекался.
— Мы особенно не увлекались, — ответила ему Веточка. — Просто
нам захотелось посмотреть, как они составляются. Ты составлял
квадрат по строкам, но если бы ты начал рассматривать не строки
твоего магического квадрата, а его столбцы, то так красиво и сим-
16*
243
метрично не получилось бы! Попробуй и увидишь. Ты подметил ка-
кое-то свойство магического квадрата, но это, по-моему, не главное
свойство, и на основании этого их строить нельзя.
— Что ж, — сказал Вася, — может быть, и правда. Спорить не
буду. Послушаю тебя.
— А потом, — сказала Наташа, — говоря о магических квадратах,
надо с самого начала указать, что способы построения квадратов с не-
четным и с четным числом клеток совершенно различные.
— Это справедливо, — снова согласился Вася. — Слушаем, докла-
дывайте!
3.
1	2	3
4	5	6
7	8	9
— Начну с того, — промолвила Веточка, — что возьму просто са-
мый обыкновенный маленький — меньше уж нельзя! — квадрат из
девяти чисел; вот он перед вами, смотрите!
Числа в этом моем «самом обыкновенном» квадра-
тике идут так, как они идут у Вовы в среднем
Дразнилке, в известной нам всем позиции «книж-
ки». Имейте в виду, что я говорю сейчас не только
о девятичленном магическом квадрате, но и вообще
о магических квадратах с нечетным числом клеток.
Подсчитаю, чему равняется его магическая сумма,
то есть та самая сумма, которую нужно получить
для каждой строки и каждого столбца в нашем квадрате. Вася уже
нас научил, как считать сумму в натуральном ряду. Я возьму эту
сумму, подсчитаю и разделю на три (на число строк или столбцов).
Получится:
<44^ = 5-3=15.
Z • о
А теперь посмотрим, что делается на диагоналях моего квадратика? Диагональ из правого верхнего угла в левый нижний называется главной, а другая, из левого верхнего угла в правый нижний,— е	. побочной. Главную диагональ						
1	2	3	/ Iх ✓	/ ,2 /	✓ Z3z	составляют числа три, пять и семь, побочную диагональ — чис- ла единица, пять и девять. Но я хочу к этим диагоналям приба- вить еще другие, так сказать до- полнительные. Напишу два моих квадратика рядом (см. чертеж)
4	5	/	/ 4'	/ /	в	
7	✓ у /	/ у /	/ z ✓	8	9	
и проведу три диагонали, начи-
ная с правого верхнего угла; у
меня получится: а— моя главная
диагональ: три, пять, семь; Ь—
одна дополнительная: два, четы-
ре, девять; с —другая дополни-
тельная: единица, шесть, восемь.
Возьму побочную диагональ: а1 —
полнительные: Ь1 — два, шесть и с<
единица, пять и девять и две ее до-
:мь и с1 — три, четыре и восемь. Вот
я получила целых шесть диагоналей, то есть столько же, сколько есть
строк и столбцов в моем квадратике, и каждая из моих диагоналей
дает мне искомую магическую сумму. Если бы нам суметь расста-
вить эти диагонали в квадрате, по столбцам и стро-
кам, то все будет в порядке. Как же это сделать?
Переставлю квадрат так, чтобы его строки шли бы
вкось, как они у него идут по диагоналям.
Теперь у меня в средний вертикальный столбец и
горизонтальную строку попадают
главная и побочная диагонали.
Чтобы получить одну из допол-
нительных диагоналей, то есть
числа два, четыре и девять, мне
нужно вставить «лишнее» число
справа, то есть девять в свобод-
ную клетку между числами два
и четыре в первом столбце. Совершенно так же, если я вставлю
«лишнюю» единичку между числами шесть и восемь в третьем столб-
це, получу вторую дополнительную диагональ, то есть единицу, шесть
и восемь. Так же поступаю и со средним столбцом: семь ставлю
наверх, а три вниз. Этот способ годится для всех магических квад-
ратов с нечетным числом клеток. Для квадрата с двадцатью пятью
клетками получается как показано на следующих двух чертежах
(стр. 246).
С четырех сторон к квадрату добавляются такие «террасы», которые
потом вдвигаются в основной квадрат так, чтобы левая «терраса»
попала справа, правая — слева, нижняя — наверх, а верхняя — вниз.
Этот способ составления нечетных магических квадратов так и назы-
вается способ террас. Его придумал французский математик
восемнадцатого века Баше. В результате вот что у нас получится:
строки или столбцы в уже составленном магическом квадрате можно
переставлять самыми различными способами.
— Ну хорошо, — сказал Лева. — А я попробую рассказать насчет
245
магических квадратов с четным
числом клеток. Рассказ будет до-
вольно коротенький. В них все
делается, исходя из симметрии.
Существует такая диаграмма —
вот она у меня списана на сле-
дующей странице, — которая по-
казывает, как следует переставить
числа в «обыкновенном», как го-
ворила Веточка, квадрате, чтобы
сразу получить из него магиче-
ский квадрат. Берем квадрат с
числами, вписанными в каждую
клетку так, как это обычно делается у Вовы в его «книжке» в пятом
повороте (см. гл. VIII, разд. 1), и когда мы его изобразим, берем нашу
диаграмму и в этом «обыкновенном» квадрате делаем необходимые
перемещения, чтобы превратить его в магический квадрат, по указа-
ниям диаграммы (стр. 247).
— А как же это сделать? — спросил недоверчиво Вовка.
— Вот я сейчас и расскажу, как это делается. Как вы видите,
самый центр этой диаграммы не заполнен, и он заполняется при
помощи еще двух маленьких дополнительных диаграмм. Немного
погодя я их покажу и объясню, а потом мы на примере шестнадцати-
клеточного квадрата и тридцатишестиклеточного все и разберем
по косточкам. Скажу сперва, кстати, что большая диаграмма доказы-
вает, что Вася в своих замечаниях до известной степени прав —
ведь и действительно все здесь делается на основании симметриче-
ских перемещений чисел! Правда, они не совсем такие, как Вася
показывал, но все-таки... Возвращаюсь к диаграммам. Основная
диаграмма заполнена знаками «=», Г, В и Ц. Что же они обозна-
чают? А вот что: во-первых, если в данной клетке стоит знак равен-
ства, «=», то число, стоящее в нашем начальном квадрате, остается
на том же самом месте и в магическом квадрате.
Таких чисел довольно много. Если взять квадрат
в сто клеток, так тридцать два числа из сотни и
останутся на старых местах. Однако и тогда,
когда Веточка показывала нам способ «террас»
для нечетных магических квадратов, то и там
немало чисел остается на прежних местах
(см. предыдущий раздел): из двадцати пяти оста-
лось на местах тринадцать, больше половины,
следовательно, это бывает почти всегда.
246
— Это верно, — заметила Веточка.
— Далее, — продолжал Лева, —во-вторых, число, которое в на-
чальном квадрате стояло в той клетке, где на диаграмме стоит бук-
ва Г, должно быть переставлено в другую клетку, которая располо-
жена симметрично относительно средней горизонтальной линии диа-
граммы; такой линией является прямая АС. Другими словами, число
переставляется снизу вверх или на-
оборот. В-третьих, число, в началь-
ном квадрате занимавшее клетку,
которая на нашей диаграмме отме-
чена буквой В, должно быть пере-
ставлено в клетку, симметричную
прежней относительно средней вер-
тикальной линии диаграммы, кото-
рой является прямая BD; значит,
число переставляется слева направо с
или наоборот. В-четвертых, число,
стоявшее в начальном квадрате в
клетке, в которой на диаграмме по-
ставлена буква Ц, должно быть
в магическом квадрате переставлено
симметрично относительно центра
диаграммы...
— Как это понять? — спросила
Наташа.
— Вот как это надо понимать —
прошу внимания! — на нашей диаграмме имеется центр, он обозначен
черным маленьким ромбиком, ясно?
— Вот он! — сказал Вовка, показывая на центр диаграммы паль-
цем. — А дальше я не знаю...
— Сейчас узнаешь! Соединяем прямой линией клетку, в которой
поставлена буква Ц, с центром, а затем продолжаем прямую по ту
сторону от центра на такое же расстояние, на каком отстоит от центра
клетка с буквой Ц. Тогда наш этот отрезок прямой и окончится
в клетке, которая симметрична с первой относительно центра. Вот
вам пример: я беру шестнадцатиклеточный квадрат, заполненный чис-
лами — ну, «книжку» в пятом повороте, по Вовкиной терминологии! —
и отмечаю на нем три случая центральной симметрии. Смотрите на
чертежи на следующей странице: на первом симметричны относи-
тельно центра клетки восьмая и девятая, на втором — шестая и один-
надцатая, на третьем — третья и четырнадцатая. На мой взгляд, это
совсем не трудно.
247
— А если они по диагонали стоят, — нерешительно спросил
Вовка, — так их можно считать симметричными по отношению к
центру?
— Конечно, можно. Так оно и есть на нашем среднем чертеже...
Теперь, как я уже сказал, в дополнение к моей большой диаграмме
имеются еще две маленькие, которые поясняют, как надо переставлять
числа в самой середине «книжки» в пятом повороте, для
того чтобы получить из нее магический квадрат. Это
W
касается восьми средних клеток, которые на большой
диаграмме ограничены пунктирной рамочкой. Если чис-
ло клеток одной стороны квадрата можно изобразить
формулой 4К (например, 4, 8, 12, 16...), то эти восемь
клеток заполняются как на верхнем чертеже с буквой «А».
Если же число клеток стороны квадрата можно изобра-
зить формулой 4^ + 2 (например, 6, 10, 14, 18...), то
надо руководствоваться нижним чертежом с буквой «Б».
Положим, мы хотим сделать магический квадрат четвер-
того порядка, то есть со стороной, равной четырем
клеткам. Так как число четыре может быть изображено
по формуле 4К (или 4- 1), то мы должны выбрать ма-
ленькую диаграмму А. Если же мы будем строить маги-
ческий квадрат шестого порядка (с тридцатью шестью
клетками), а число шесть изображается по второй фор-
муле (4/( + 2), или (4 • 1 + 2), то нам, ясное дело, при-
дется взять маленькую диаграмму Б. Вот на этом черте-
же у меня подробно изображено, как все это делается
для магического квадрата шестого порядка. Имеется
начальный квадрат, часть большой диаграммы со вставленной в нее
уже малой диаграммой Б, и, наконец, приведен получающийся маги-
ческий квадрат, где числа, остающиеся на своих местах и перестав-
ленные по различным правилам, нарисованы по-разному, так что ра-
зобраться во всем этом совсем просто. Вот как оно у нас получается:
248
31	32	33	34	35	36
25	26	27	28	29	30
19	20	21	22	23	24
13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6
Большую диаграмму для четных ма-
гических квадратов, если кому захо-
чется, можно продолжить еще во все
стороны насколько нужно.
— А ты обещал, — вымолвил не-
довольно Вова, — показать еще и
в шестнадцать клеток, вроде «ме-
ланхолии»!
я
И	2	3 и	ел
30	1261	S) то	1291 7
24	23		® 19
и	17		® И
12	ш		ш ®
1		зз ш	® Е
0
остается на месте по знаку «=»
перемещается по знаку «Г»
перемещается по знаку «В»
перемещается по знаку «Ц»
— Можно и это, — отвечал ему брат. — Если составить по тому же
способу шестнадцатиклеточный квадрат, то он получится такой,
будто составлен из того самого квадрата, который приводил Вася
(см. разд. 1 этой главы), только из каждого Васиного столбца слева
направо сделана четверть квадрата (взгляни-ка повнимательнее на
чертеж!):
1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16
Вот он какой! Ну, а уж составить, я думаю, ты теперь, Вовка, и сам
сумеешь. Посмотри только повнимательнее, как я составлял тридцати-
шестиклеточный. Вот и всё!
249
— Сделаем! — сказала Веточка, улыбнувшись Вовке. — Все будет
в порядке!
— Конечно! — отвечал ей Лева. — Довольно любопытно, что если
взять этот мой квадрат, то при помощи ходов коня из него можно
получить строки Васиного квадрата.
— Не понимаю! — отрезал Вовка. — Покажи!
— Ох! — вздохнул Лева. — Ну и ленив же ты, брат, стал насчет
того, чтобы понять! Ну, так и быть, смотри. Берем мой квадрат и на-
чинаем по нему путешествовать конем. Начинаем с левого верхнего
угла. С первой клетки (там стоит единица) конь попадает на ту, где
у меня стоит семь, оттуда на ту, где у меня стоит шестнадцать, на-
конец на ту, где у меня стоит десять. Таким образом, конь написал на
моем квадрате тот самый ромб, который у нас обозначался буквой Е,
когда мы с Наташей рассматривали ходы коня по шашечнице (см.
раздел 1). А что же вышло? А вышла первая строка Васиного квадрата
(см. разд. 1). Вторую Васину строку дает «квадрат» буквы К, третью
строку—«ромб» буквы А, четвертую — «квадрат» буквы Л. Заметь,
все начинается из той четверти моего квадрата, которая занимает
левый верхний его угол; каждый раз конь идет в одном и том же на-
правлении, по часовой стрелке. Это имеет значение для того, чтобы
понять, как можно переставлять, то есть преобразовывать, уже получен-
ные магические квадраты. А крометого, показывает, что конь шахмат-
ный в этом деле помощник не лишний. Напомню тебе, Вовка, еще твой
собственный способ перестановки шашек в большом Дразнилке, кото-
рый у тебя назывался «серебряной» позицией (см. гл. VIII, разд. 8).
Он годится и для переста-
новки четных магических квад-
ратов. А для нечетных можно
другой способ указать. Вот он
каков: квадрат делится на де-
вять частей, которые затем и
переставляются, как показано
на этих наших чертежах.
Ну, и еще очень много раз-
ных переделок можно устраи-
вать. Можно складывать соот-
1 1 нэ •	1 ® • 1	1 1 1
 СП 1	О	- Г
К» 1 1 1	А	- <
1 1 - 1	1« < 1	1 1 1
—» р	О	Б -
ч* 1 1 1	в	1 « 1 1
ветственные числа двух квад-
ратов, причем не обязательно эти квадраты должны быть равных
порядков. Можно брать, например, квадрат четвертого порядка и
складывать его с квадратом шестого порядка. При этом малый квад-
рат попадает как раз в середину большого. Это, так сказать, сложе-
ние «подобных» квадратов, если можно так выразиться. Очень много
250
существует всевозможных видоизменении уже готовых квадратов.
Можно нередко переставлять строки или столбцы, брать зеркальные
отображения квадратов и так далее. Можно еще их повертывать, как
показывал Вовка для Дразнилки (см. гл. VIII, разд. 1), восемью спо-
собами.
4.
Вася поглядел на товарищей в нерешительности и сказал:
— Коли так, так и я хотел бы кое-что рассказать. Веточка говорила
о диагоналях в магическом квадрате третьего порядка — то есть
со стороной в три клетки! — и показала, что эти диагонали вместе
с теми, которые она называла «дополнительными», сразу дают маги-
ческую сумму. Лева только что показал нам пример, как можно пере-
ставлять числа в магическом квадрате, в частности как это можно
делать по ходу коня. Конь идет по магическому квадрату и своими
ходами, так сказать, набирает магическую сумму.
— Как «набирает»? — спросила Наташа.
— Набирает в том смысле, что конь за четыре последовательных
хода обходит четыре такие клетки, числа которых в сумме и дают
магическую сумму. Вытяни эти числа в строку и получишь строку
переставленного квадрата — ну вот, как Лева сейчас только что
показывал. Есть еще один хороший старинный, византийский
способ для составления магических квадратов, который основан
именно на ходе коня. Для того чтобы составить магический квадрат
по византийскому способу, нам надо еще сперва ознакомиться со
схемой дополнительных квадратов, но только не совсем таких «до-
полнительных», как у Веточки были. Дело вот в чем. Когда начинаешь
составлять магический квадрат, ты на клетчатой бумажке пририсовы-
ваешь рядом с ним и сверху над ним еще несколько таких же квадра-
тов. Это и будут подсобные, дополнительные квадраты. Сейчас я
покажу, как ими в данном случае пользоваться. Будем составлять по
этому способу квадрат седьмого порядка, у которого сторона рав-
няется семи клеткам. Я рисую на клетчатой бумажке квадрат в сорок
девять клеток. Рядом с ним направо рисую еще один. Затем еще два:
один над основным, а другой над тем дополнительным, который на-
рисован справа. Основной квадрат у меня оказывается в левом ниж-
нем углу чертежа (см. стр. 252). Я размечаю все сорок девять клеток,
а в дополнительных можно ограничиться и меньшим числом — не все
они нужны. Далее: клетки всех моих квадратов я обозначаю, как
в шахматах: горизонталь буквами от «а» до «g», а вертикаль чис-
лами— от «1» до «7». Каждая клетка квадрата таким образом полу-
251
чает свое название: самая крайняя в левом углу будет al, самая край-
няя в верхнем правом углу будет d7 и так далее. Как в шахматах!
— Ясно, — сказал скучающим голосом Лева.
— Итак, — продолжал Вася, — значит, византийский способ этот
основан на том факте, что если ты будешь ходить конем по доске и со-
блюдать еще некоторые особые правила, то числа, которые суть но-
мера ходов коня — первый ход, второй ход и так далее! — должны
в общем образовать магический квадрат. Что же это за правила?
Первое правило — конь у нас всегда ходит по квадратику вверх
и направо, как показано на маленьком чертежике вверху. Начнем хо-
дить. Ставим коня на поле al —оно в силу этого получает номер 1! —
и оттуда идем вверх и направо и попадаем в клетку ЬЗ; это второй
наш ход, и поэтому мы в этой клетке ставим число два. Идем дальше —
третий ход приведет нас в клетку с5, где мы и ставим число три.
Четвертым ходом мы попадаем в клетку d7. Теперь начинают работать
дополнительные квадраты. Прошу внимания! Пятым ходом коня мы
Г
II
Зв]
попадаем уже во второй
дополнительный квадрат,
на его клетку е2.
— Едва-едва попали
на е2! — пробурчал Лева
всем известную шахмат-
ную шутку.
— Теперь, когда мы с
нашим конем попали во
второй дополнительный
квадрат,— продолжал Ва-
ся,—мы должны позна-
комиться еще с одним
важным названием: клет-
ки дополнительных квад-
ратов называются соот-
ветственными клет-
ками по отношению к
клеткам основного квад-
рата и обратно. Чему же
они соответствуют? А вот
эта клетка е2 в первом до-
полнительном квадрате
соответствует одноимен-

J
1 8
«7
I I 42 j II I 29 ^5 I 23 С<8
I । 26 >44 • 20 1 38 I 14 J 32
•_т
17 1
41	10	35	4	22	47	16
25	43	19	37	13	31	7
9	34	3	28	46	15	40
49	18	36	12	30	6	24
33	2	27	45	21	39	8
17	42	11	29	5	23	48
1	26	44	20	38	14	32
в
*	7
261
9 ।
_ _L_.
4_9L_
зз!
8
в
ной клетке основного, то
есть клетке е2 в основном
квадрате. И теперь мы начинаем применять второе правило
византийского способа: если конь попадает в дополнительный квад-
рат, то номер его хода (данное число магического квадрата) перено-
сится в соответственную клетку основного, то есть с клетки е2 допол-
нительного квадрата число пять переносится в клетку е2 основного.
Конь тоже помещается на эту клетку и снова начинает свое путеше-
ствие наверх и вправо с этой клетки. Ясно, что шестым ходом он
попадает в клетку f4, седьмым — в клетку g6. Из этой клетки восьмым
ходом конь попадает в третий дополнительный квадрат, в клетку al.
Но когда мы хотим перенести число восемь в соответственную клетку
основного квадрата, мы замечаем, что эта клетка давным-давно уже
занята числом один. В таком случае начинает действовать третье
правило византийского способа: если соответственная клетка
основного квадрата уже занята, отсчитай в основном квадрате четвер-
тую клетку вверх от предыдущей (в нашем случае, от той, в которой
стоит число семь) и в эту клетку поставь твое очередное число. Когда
же мы отсчитываем четвертую клетку от клетки g6, где у нас стоит
число семь, мы снова попадаем в дополнительный квадрат, но не в
третий, а во второй — в клетку g3. И теперь уже горемычное число
восемь находит себе место и в основном квадрате, попадая в клетку g3.
Из этой клетки конь снова начинает свое путешествие тем же поряд-
ком и попадает в клетку а5 первого дополнительного квадрата, откуда
беспрепятственно переносится в соответственную клетку основного.
Ну... остальное уже нетрудно! Все делается на основании изложен-
ных трех правил византийского квадрата. Доделывайте уж сами!
— Опять забрались на а5! — со вкусом выговорил Лева вторую
шахматную шуточку. — Но это ведь только для нечетных квадратов?
— Только, — ответил Вася. — Для четных не годится.
— Получается, — сказала Веточка, — что шахматный конь, раз-
гуливая по квадрату, размещает в нем по порядку своих ходов числа
натурального ряда так, что по строкам и столбцам квадрата снова
набирается магическая сумма. Любопытно, в чем тут секрет? Это ведь
не то, что мои диагонали (см. разд. 3), где просто такие направле-
ния, а здесь пути, по которым двигается конь, так пересекают строки
и столбцы магического квадрата, что они становятся магическими!
— Так! — сказал Вася. — Верно.
— Но имеются и другие направления, — ответил девочке
Ника, — которые до некоторой степени напоминают и твои, Веточка!
Мне тоже хочется рассказать кое-что насчет нечетных магических
квадратов, соответственных клеток в дополнительных квадратах.
Правда, те особые направления, о которых я буду говорить, в самом
маленьком квадрате (третьего порядка) не всегда обнаружишь, но
253
уже в квадрате пятого порядка их легко найти. Сейчас покажу. Начер-
тим квадрат в 52 = 25 клеток и напишем в нем всю Вовину «книжку»
в пятом повороте. Ставим коня на крайнюю клетку в нижнем левом
углу. Отсюда двигаемся конем все время вправо. Конь с поля al мо-
жет двигаться в двух направлениях: или на клетку с2 (этот ход коня
мы будем называть длинным скачком) или на клетку ЬЗ
(а этот ход коня будем называть высоким скачком). В первом
случае конь идет по первой строке снизу будущего магического квад-
рата, во втором — по его первому столбцу слева (см. чертеж на
стр. 255).
— Интересный способ! — промолвила Веточка. — Ну и как же
дальше получается?
— Вот у меня на чертеже все это изображено, — отвечал Ника. —
Мы рисуем квадрат пятого порядка так, как рисуется «книжка» в пя-
том повороте, о чем я уже говорил, а рядом с этим квадратом направо
сбоку и сверху над ним рисуем вспомогательные дополнительные
квадраты. В этом случае их приходится рисовать довольно много —
всего восемь, так что получается сетка из девяти квадратов: девя-
тый — основной, как у меня изображено на чертеже. В этом способе
соответственные клетки играют тоже немалую роль, но не совсем та-
кую, как это было у Васи. Сделав два первых хода: один на с2 и вто-
рой на ЬЗ, ты попадаешь в клетки восьмую и двенадцатую. Из этих
двух клеток конь снова может двигаться вперед (направо!) в двух
направлениях. Если он идет — смотри на чертеже!—длинным
скачком, то он продолжает уже начатую строку магического квад-
рата: первую, если он идет с клетки с2 на еЗ, и вторую, если он идет
с ЬЗ на d4. Если же он идет высоким скачком, то из клетки с2 он попа-
дает в клетку d4, но из клетки ЬЗ он, двигаясь по первому столбцу,
попадает в клетку с5 и начинает этим третью строку магического
квадрата. Так или иначе, конь обходит в начальном квадрате шесть
клеток: первую, восьмую, двенадцатую, пятнадцатую, девятнадцатую
и двадцать третью. Двигаясь направо дальше, теперь уже не по на-
чальному квадрату, а по дополнительным, он рисует своими ходами
вытянутый вправо косой параллелограмм; в нем будет столько же
перекрещиваний прямых, сколько клеток в основном квадрате,—
в нашем случае двадцать пять. Когда конь сделает два первых
длинных скачка, он попадет сперва в клетку, где стоит номер восемь
(с2), а затем в клетку номер пятнадцать (еЗ). Далее, двигаясь тем же
манером, он из клетки еЗ начального квадрата попадает в клетку Ь4
первого вспомогательного квадрата. Правила этого способа требуют
поставить в клетку дополнительного квадрата, в которую своим ходом
попал конь, число из соответственной клетки начального квадрата,
254
то есть семнадцать. Из клетки Ь4 дополнительного квадрата конь,
шагая дальше, попадает в клетку d5 того же квадрата. В соответ-
ственной клетке начального квадрата, в клетке d5, стоит число два-
дцать четыре — я и переношу его в соответственную клетку дополни-
тельного. Итак, сделано четыре хода, конь побывал в пяти клетках.
Строка готова!
— А почему он не идет дальше? — спросила Наташа. — Не пони-
маю, почему конь, сделав в направлении первой нижней строки пять
длинных скачков, которые у тебя, Ника, на чертеже обозначены чис-
лами один, восемь, пятнадцать, семнадцать и двадцать четыре, не
может сделать еще один такой же длинный скачок?
— Сейчас объясню!—отвечал Никита. — Тут к нам приходит на
помощь нотация (то есть наименование клеток) в дополнительных
квадратах. Смотри хорошенько! Если конь сделает еще пятый ход
в том же направлении,
попадет в пятый допол-
нительный квадрат. Но
в какую клетку он по-
падет? Он попадет в
клетку al! Другими
словами, соответствен-
но в ту же самую клет-
ку, или, если хочешь,
в такую же клетку, где
он уже был с самого
начала и поставил чис-
ло один. Другими сло-
вами, цикл закончен,
конь может только
снова повторить весь
свой путь еше раз, а
это нам совершенно не
нужно! Мы строим вы-
сокими скачками линию
1, 12, 23, 9 и 20, а за-
тем из каждой клетки
этой линии путем четы-
рех длинных скачков
строим всю нашу фигу-
ру. Каждый раз, как
только мы делаем но-
вый ход конем и попа-
то он из первого дополнительного квадрата
<n>'
in) j
ЙЛ
«Г
45.1—
«Ц_
М|
“Ц—
M]
I
I
I
$
SIBEB
|||B|g|€SBs!SriBS85^BB™sai
шиф.'вшяш!
omm._________-__
ИКЕИ .ФШИ1  ПЧОМ11
s^gsmmHii
ЩЩШКШЙ.Ф a iiiiiMH
»ис5 a>.1ашш 
о *!□□□□□  IIIIMII

I/
1^444*44’I-H 4-и I-N
•1 «>*•• s' • »•«> (•> м h wmi н «»'
J.
даем в некоторую клет-
ку одного из дополни-
тельных квадратов, мы
ставим в эту клетку
число из соответствен-
ной клетки начального
квадрата. Если мы за-
тем перепишем — как
сделано сбоку на чер-
теже — все эти числа в
том же порядке в квад-
рат, то мы и получим то,
что нам требуется, —
магический квадрат пя-
того порядка.
— Ишь... — раздал-
ся Вовкин голос с ка-
чалки, причем голос
уже был немного сон-
ный — плед, по-видимо-
му, делал свое дело! —
у мамы есть такая под-
ставка для чайника,

—h
она вот тоже из квад-
рата может в ромб вытягиваться. А дедушка говорит: «Это преобра-
зование»!
И с этими словами Вовка снова юркнул под плед, благо из-под
него ему не было видно, хихикает над ним Лева или нет.
— Ну да... — ответил ему не совсем уверенно Ника, а затем про-
должал: — Для магического квадрата седьмого порядка можно вос-
пользоваться еще более сложным движением, шагнув с al на поле
d2 — это уже прыжок не коня, а, наверно, жирафа! Действуя во всем
остальном совершенно так же, как я рассказывал для квадрата пятого
порядка, получаем магический квадрат. Второе направление опреде-
лится ходом жирафа с al на поле Ь4. По-моему, это очень простой
и красивый способ.
5.
— А какое имеют значение эти соответствия, — спросил Лева, —
и почему они так важны в магических квадратах?
— Видишь ли, — отвечал Ника, — почему можно пользоваться со-
256
ответственными клетками вспомогательных квадратов — это, пожалуй,
самый интересный вопрос в задаче магических квадратов. Возьмем
для примера тот же самый магический квадрат пятого порядка, кото-
рый я только что показывал. Всюду для обозначения клеток я поль-
зовался довольно удобной в таких случаях шахматной нотацией. Но
можно взять и другие обозначения. Возьмем буквы г и s. По горизон-
тали у меня (см. табличку) пойдет буква s, которая принимает значе-
ния 1, 2, 3, 4 и 5, а по вертикали пойдет буква г, которая принимает
значения 0, 1, 2, 3 и 4. Горизонталь и вертикаль, обе вместе, обыкно-
венно называются координатами (горизонталь обычно назы-
вается абсциссой, вертикаль — о р д и н а то й; на шахматной
доске абсцисса размечается буквами, ордината — цифрами). Таким
образом, если я скажу, что у меня s = 3, а г =4, я вполне определю
одну-единственную клетку в моем квадрате.
— Совершенно то же самое ты делаешь, когда называешь
клетку с5! — заметил Вася. — Одно и то же. Не все ли равно?
— Точно! — отвечал Ника. — Но я введу еще одно усовершенст-
вование в мое обозначение клеток. Напишу некоторое уравнение,
которое будет мне определять не только
самую клетку, но даже и самое число,
которое в ней стоит.
— Как же ты это сделаешь? — удиви-
лась Наташа.
— А вот как! — отвечал Никита. —
Беру, например, квадрат, в котором
числа стоят на манер «книжки» в пятом
повороте, а п обозначает числа в нем.
Вот он каков! А теперь пишу мое маги-
ческое уравнение:
п = s + рг.
Про буквы s и г я уже говорил. Но
здесь есть ещё одна буква, а имен-
но р, — она есть не что иное, как порядок
s г \	1	2	3	4	5
4	21	22	23	24	25
3	16	17	18	19	20
2	11	12	13	14	15
1	6	7	8	9	10
0	1	2	3	4	5
моего квадрата, то есть в данном случае
равняется пяти. Следовательно, мое уравнение для квадрата пятого
порядка пишется так:
п = s + 5 г.
А теперь, если я подставлю в эту формулу значения «и г, которые
17 Архимедово лето	257
соответствуют данной клетке квадрата, то моя формула и даст мне то
число, которое стоит в этой клетке!
— Проверим! — сказала Веточка. — Подставляю s = 4 и г = 3.
Должна получить девятнадцать. Ну-ка!
л = 4 + 5 • 3 = 4+ 15= 19.
Да, действительно девятнадцать и выходит. Очень хорошо ты при-
думал, Никитушка! Изволь рассказывать: зачем тебе все это понадо-
билось?
— А вот теперь-то, — со смаком произнес Ника, — самое интерес-
ное и начинается! Если мы будем следовать моим обозначениям, то
мы можем записать числа первой и второй строки снизу моего квад-
рата, который я только что привел, таким образом:
1 = 1 +5  О
2 = 2 + 5 • О
3 = 3 + 5 • О
4 = 4 + 5 • О
5 = 5 + 5 • О
6=1+5 • 1
7 = 2 + 5  1
8 = 3 + 5- 1
9 = 4 + 5  1
10 = 5 + 5-1
Верно или нет?
— Разумеется, верно, — ответил Вася. — Ты просто показываешь
нам, как твоя формула определяет числа в первых двух строках снизу.
Твое s принимает в первой строке значения 1, 2, 3, 4 и 5, тогда как г
всюду равно нулю. А во второй строке s идет совершенно так же, но
г равно не нулю, а единице. Твое р ьсюху, конечно, равно пяти, это
порядок квадрата. Правильно! Но что из этого следует?
— Вот что следует, — отвечал Ника. — Допусти, что мне удастся
из всех моих чисел, определенных таким образом, отобрать пять таких,
для которых ур, то есть у пятерки, стоят множителями все значения г,
то есть 0, 1, 2, 3 и 4, а слагаемыми при этом произведении — все
значения s, то есть 1, 2, 3, 4 и 5. Как ты полагаешь, что будет, если
я отберу эти числа, а затем сложу их?
— Вот что... — тихо промолвила Веточка. — Ты знаешь, я, ка-
жется, начинаю понемножку догадываться!
— Можно сообразить, что это будет, — сказал Лева.
— Ясно! — подтвердил Вася. — Ну, что же это будет? Во-первых,
все значения s, если их сложить, дадут в сумме пятнадцать.
Потому что
1+2 + 3 + 4 + 5=15.
Затем пятерка, это твое р, будет в общем умножена на десять, потому
что сумма значений
04-1+24-34-4 = 10.
Значит, получится:
5  10 = 50.
А всего:
15 4- 50 = 65.
— Так ведь это и есть магическая сумма квадрата пятого поряд-
ка!— воскликнула Веточка. — То же самое правило, что и в моих
диагоналях, или что-то очень-очень на него похожее (см. разд. 3).
— Почему? — недовольно спросил Лева, смотря на Нику.
— А вот давай подсчитаем магическую сумму,— отвечал его друг,—
и ты увидишь почему. Нам, значит, надо сосчитать сумму натуральных
чисел от 1 до 25, а 25 = 52. А затем надо разделить ее на число строк
или столбцов квадрата. Итак, получаем по правилу суммы арифмети-
ческой прогрессии:
0Л^>£1 = (1+р2)| = (1+25)| = 65.
где р, как обычно, обозначает порядок нашего квадрата.
— Верно! — воскликнул Лева, догадавшись наконец, о чем ему
говорят. — Значит, ты, отобрав свои числа по этому способу, действи-
тельно получаешь магическую сумму. А дальше что же?
— Сперва отвечу Веточке: необязательно диагональ, но действи-
тельно нечто похожее на нее... Теперь, Лева, ведь нам и нужно для
магического квадрата пятого порядка пять раз по пяти таких чисел.
Как только мы сумеем их отобрать, так мы и получим пять наших
строк или столбцов. Возьми для примера первую строку из того самого
квадрата, который нам проскакал конь (см. чертеж на стр. 255).
Представим их так, как мы только что делали:
1 = 14-5-0
8 = 34-5 • 1
15 = 54-5  2
17 = 24-5 • 3
24 = 4 4- 5 • 4
Как видите, в этой строке имеются все значения г и все значения s.
Значит, это магическая строка! Сумма чисел равна шестидесяти пяти
17*	259
— Позволь, Ника!—сказала Веточка. — Так это же и есть как
раз то, что я хотела сказать. Если я возьму диагональ из твоего на-
чального квадрата (см. чертеж), то есть числа 21, 17, 13, 9 и 5, то,
представив их так, как это ты только что сделал с первой строкой,
через которую проскакал конь, я тоже получу все слагаемые от еди-
ницы до пяти и все множители пятерки от нуля до четырех. И сумма
будет шестьдесят пять.
— Ясно! — сказал Ника. — Совершенно ясно! Это и есть основное
правило для нечетных магических квадратов. Надо найти такое на-
правление, которое, как и твоя диагональ, дает нам то, что требуется,
то есть магическую сумму, все слагаемые и все множители порядко-
вого числа квадрата. Теперь давайте-ка разберем, какой смысл име-
ли для нас соответственные клетки дополнительных квадратов?
— Наконец-то! — пробурчал Лева. — Добрались и до них.
— Их смысл в том, что они давали нам все значения г, те самые
множители для р = 5 и те самые значения s, которые нам нужны.
Теперь ты, Лева, спросишь меня: почему это так? Потому что, если на
том же нашем чертеже нанести значения s и далее вправо от
начального квадрата, то мы увидим, что число семнадцать попадает
в седьмой столбец, а в начальном квадрате оно стоит во втором столб-
це. Но теперь ты можешь задать другой вопрос: что же общего между
числами два и семь? То, что они при делении на порядковое число
квадрата — на пять — дают один и тот же остаток, равный двум. Сле-
дующее число, двадцать четыре, попадает в девятый столбец, а в на-
чальном квадрате оно стоит в четвертом. Но опять-таки числа четыре
и девять при делении на пять снова дают один и тот же остаток. Та-
кие числа называются равноостаточными и получаются при
делении на некоторое определенное число, которое в таком случае
называется модулем (у нас это пять). А самые числа четыре и де-
вять называются вычетами относительно друг друга. Равнооста-
точные числа называются сравнимыми по данному модулю, это
значит, что разность их делится на модуль без остатка. Если делить
на некоторый модуль одно за другим числа натурального ряда, то
остатки будут периодически повторяться.
— Хорошо бы пример! — попросила Веточка.
— Можно и пример, — согласился Ника. — Ну, скажем, будем
делить числа натурального ряда на одиннадцать. Сперва в частном
получаем нуль, а остатки будут:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0.
Затем в частном будет единица, а в остатках снова те же самые чис-
ла. Следующее частное — два, а остатки те же самые. Ни одно из
260
чисел, входящих в эту десятку остатков, не сравнимо с другим. Но все
числа, дающие один и тот же остаток при делении на одиннадцать,
сравнимы по модулю одиннадцать и из них образуется класс чи-
сел, сравнимых по модулю одиннадцать. Например, числа 2, 13, 24,
35, 46, 57... и так далее составляют класс чисел, сравнимых по мо-
дулю одиннадцать, ибо все они дают при делении на одиннадцать один
и тот же остаток, равный двум. Очевидно, что все числа натурального
ряда таким образом разобьются на одиннадцать классов. Если же мы
из каждого класса выберем по одному числу, например:
111, 101, 179, 92, 82, 72, 1360, 85, 196, 43, 110,
то мы и получим полную систему вычетов по модулю один-
надцать. Действительно, числа эти при делении на одиннадцать дают
все остатки, которые возможны:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0.
Значит, в полной системе вычетов есть числа, которые дают любой
остаток, но нет ни одного, которое повторяло бы уже имеющийся
остаток. Что же касается записи, то сравнимость двух чисел по
модулю записывается так:
9 = 4 (mod 5).
Читается это так: «девять сравнимо с четырьмя по модулю пять»
Весь секрет соответственных клеток в том, что их координатные числа
s и г сравнимы с координатными числами, определяющими клетки
начального квадрата. Возьми хоть число одиннадцать. Оно в началь-
ном квадрате имеет такие координаты: s = 1, г=2. Попадая в
четвертый дополнительный квадрат, это число одиннадцать приобре-
тает s = 6, а г = 7. Но ведь шесть сравнимо с единицей по модулю
пять, так же как семь сравнимо с двумя по тому же самому модулю.
—	Ага! — промычал с удовлетворением Лева.
—	А если, — продолжал Никита, — рассматривать в косом парал-
лелограмме строки, столбцы и диагонали, как в квадрате, то каждая
1 Читатель может ознакомиться со всем этим подробнее по учебнику
акад И. М. Виноградова, Основы теории чисел. М., 1953, гл. Ill, «Сравнения».
Можно еше рекомендовать книжку Л. Я. Окунева, Краткий курс теории чисел,
пособие для пединститутов. М., 1956, гл. IV и V См. также «Энциклопедию элемен-
тарной математики», изд. Академии педагогических наук М.. 1951, т. 1, статью
чл.-корр. Академии наук СССР А. Я. Хинчина «Элементы теории чисел», гл. II,
«Метод сравнений» — чрезвычайно ясное и доступное изложение вопроса.
261
его строка, каждый его столбец и каждая его диагональ одинаково
дают нам полную систему вычетов по модулю пять. Поскольку все
числа в клетках дополнительных квадратов (а из этих чисел состоит
косой параллелограмм) образуют строки и столбцы с таким же чис-
лом клеток, что и начальный квадрат (полная система вычетов за-
ключает в себе столько же вычетов, сколько единиц имеется в моду-
ле), то тем самым задача составления магического квадрата и раз-
решается.
— Но как же узнать, — спросила Наташа, — какое именно число
куда следует ставить?
— А это уже автоматически определяется правилами, которые мы
сегодня приводили. Эти правила движений коня по начальному и
дополнительному квадратам могут быть выражены в общем виде при
помощи тех же сравнений. Но это сложно.
— А все-таки? — спросил недовольно Лева.
— Все-таки! — повторил возмущенно Ника. — Хорошо тебе гово-
рить! То есть, видишь ли, я могу, разумеется, дать тебе ответ по по-
воду того, как превратить, или, как говорится, преобразовать, началь-
ный квадрат вот в такой косой параллелограмм, как я показывал
насчет магического квадрата пятого порядка...
Никита запнулся, посмотрел кругом и растерянно почесал в за-
тылке.
— Попробую рассказать...— продолжал он. — Ну, уж если запу-
таюсь, так не обессудьте!
— Мы тебе поможем, — скромно опустив глазки, вымолвила Ве-
точка. — Не дадим погибнуть!
— Да? .. — протянул недоверчиво Ника. — Ладно, давайте... На-
чинаю с того, что возьму те же s и г и продолжу их значения
вправо и вверх и на дополнительные квадраты. Вот смотрите, они у
меня на чертеже поставлены в скобочках! Затем, чтобы нам не путать
точки нашего косого параллелограмма, то есть преобразованного
квадрата, с клетками начального квадрата, я буду называть их коор-
динаты не s и г, а соответственно к и у ...
— Ну, — сказала Наташа, — это как в геометрии, ты один тре-
угольник обозначаешь А, В и С, а другой А', В' и С'. Так я тебя по-
нимаю?
— Совершенно правильно! — отвечал Никита-Кожемяка. — Толь-
ко уже больше не перебивай, а то совсем запутаюсь... Теперь я по-
пробую составить два сравнения опять-таки по модулю пять (потому
что ведь пять — это порядок нашего магического квадрата!). Эти
сравнения позволят нам по данным виг (определяющим место
данного числа в начальном квадрате) перейти к к и у, которые опре-
262
делят нам ту точку косого параллелограмма, куда должно из началь-
ного квадрата попасть данное число. Правда, так как это у нас будут
сравнения, а не уравнения, то сразу мы наших х и у не получим. Мы
получим не самые эти числа, а только числа, сравнимые с ними.
И тогда, чтобы отыскать в косом параллелограмме нужную нам точку,
надо еще заменить полученные нами числа х и у наименьшими поло-
жительными числами, сравнимыми с ними по тому же модулю
пять.
— Постой!—сказал Вася, наморщив лоб. — Я, кажется, что-то
начинаю соображать. Ведь твое магическое уравнение
п = s + рг
определяет число не только в зависимости от s и г, оно прини-
мает во внимание еще и р. Поэтому, находя точку по данным s и г,
ты должен принять во внимание и р. Беря именно наименьшие срав-
нимые числа по отношению к тем, которые ты получил, ты и вводишь
в дело твое р, а это и есть твой модуль и твой порядок квадрата. Так
или нет?
— Да, — отвечал Ника, — именно так. Разберем сравнения, кото-
рые соответствуют нашему примеру:
х — — 1 2s -f- f (mod 5),
у E - 1 + s + 2r (mod 5).
Для того чтобы определить число, которое попадет в данную клетку
нашего будущего магического квадрата, надо координаты этой клет-
ки s и г подставить в два этих сравнения. А когда получим ре-
зультаты, то есть найдем наши х и у, надо вместо них взять наимень-
шие положительные сравнимые с ними числа. Эти числа и покажут,
какое именно число из начального квадрата должно попасть в задан-
ную тобой клетку магического.
— Проще сказать, — заметил Лева, — из какой клетки начально-
го квадрата надо взять число, чтобы поставить его в выбранную тобой
клетку магического.
— Значит, — сказала Наташа, — это как раз и есть ответ на мой
вопрос? Так?
— Конечно!.. — ответил ей Лева. — Ну, Ника, давай пример...
— Дай-ка, Левушка, — перебила его Наташа,— я сама попробую.
Итак: я хочу узнать, какое число должно в магическом квадрате сто-
ять на месте, например, числа семнадцать в начальном квадрате? По
263
чертежу я вижу, что для клетки числа семнадцать s будет равно 2,
г будет равно 3. Подставляю эти s и г в Никины сравнения:
Х{2-, з) ЕЕ — 1+4 + 3 (mod 5) ЕЕ 6(mod 5),
У(2; з) Е — 1 + 2 + 6 (mod 5) ЕЕ 7 (mod 5).
В скобочках внизу около х и у я ставлю значения s и г из начально-
го квадрата — просто, чтобы не забыть и потом не перепутать! Итак,
получается по Никиным сравнениям, что вместо числа семнадцать
я должна взять число, которое имеет в начальном квадрате коорди-
наты, сравнимые с числами шесть и семь.
— Так это очень легко, оказывается!—воскликнула Веточка.—
Вон и ответ на том же чертеже, то есть в косом параллелограмме. На
перекрещивании линий шестой и седьмой как раз и стоит число один-
надцать. Вот и готово!
— Нет, Вета, не совсем, —сказала Наташа. — Это-то мы и раньше
Никитушкиных сравнений могли найти по ходу коня или по чертежу.
Сравнения дают еще кое-что. Стоит только по нашему модулю пять
выбрать наименьшие положительные числа, сравнимые с шестью и
семью — а ведь это будут один и два, — и ты прямо найдешь искомое
число одиннадцать в начальном квадрате. Если дать s значение 1,
а г значение 2, то ты в начальном квадрате найдешь клетку, в которой
и стоит число одиннадцать. Вот в чем дело!
— И еще того проще, — заметил Вася, — просто подставь свои
наименьшие сравнимые числа в Никитино уравнение:
п = s + рг
и сразу получишь:
Я(1,2) = 1 + 5 • 2=11.
Вот и всё! Коротко и ясно.
— Точно! — ответил, улыбаясь, Никита. — Ну, все теперь рас-
сказал.
6.
— А у меня еще маленький вопросик, — заявила Веточка. — Вот
эти сравнения, которые ты, Ника, привел, годятся ведь только для
этого магического квадрата пятого порядка (см. чертеж на стр. 255)?
— Разумеется, — отвечал Ника. —Это просто пример одного из
механических приемов для построения нечетных магических квадра-
тов; мы видим, как можно привести все это в ясность при помощи
сравнений. То же можно сделать и для способа «террас» и для визан-
264
тийского способа, которые мы разбирали. Но тогда получится еще
более сложно. Вопросы сравнений относятся к высшей арифметике, то
есть к теории чисел — очень важной математической дисциплине,
которую знаменитый немецкий математик прошлого века Гаусс на-
зывал царицей математики. Говорят, теперь с новыми счет-
ными машинами этот раздел математики приобретает очень важное
значение'.
— Интересно! — заявил Лева. — У дедушки я видел книжку,
которая называется «Математические беседы». Дедушка говорил, что
там есть немало интересного про теорию чисел * 2. Вот уж я не думал,
чтобы остатки от деления имели такое важное значение. Всегда смот-
рел на них, признаться, с досадой: вот опять не делится! И больше
ничего о них и не думал.
— Ты просто забыл, — поправила его Наташа. — А при нахожде-
нии общего наибольшего делителя?
— Д-да, пожалуй, — согласился Лева, — действительно.
— Это просто так кажется, — объяснила Веточка, — что остатки
от деления не играют большой роли. А если вдуматься, так это не
совсем так. Если спрашивают: «в котором часу произошло событие,
случившееся через п часов после &-го часа пополуночи?» — то в ответе
мы и получим остаток от деления числа п + k на двадцать четыре.
Или, скажем, такая задачка: даны два числа а и Ь; спрашивается,
в каком случае их сумма будет делиться на три? Ясно, что либо оба
эти числа можно написать в виде Зп, либо одно из них можно
написать так: Зга + 1, а другое: Зга + 2. Значит, нам нужно, чтобы при
делении этих чисел на три получались остатки либо нуль, либо один
и два, ну вот как нам Лева рассказывал про «Ханойскую башню»
(см. гл. X, разд. 5).
— «Ханойская башня»?—переспросил Лева.— Она тут при
чем?
— При том, что снова идет вопрос о сравнимости. Ты разбивал
весь ряд степеней числа два на два класса, которые друг с другом
несравнимы, а внутри каждого класса все числа сравнимы. Так, на-
пример,
4 = 1 (mod 3),
но ведь и
16 Е 1 (mod 3),
* На эту тему написана статья академиков Несмеянова и Топчиева; она напеча-
тана в журнале «Коммунист» № 9 за 1953 год.
2Книжка эта — Е. Б. Дынкин и В. А. Успенский, Математические бе-
седы. М., Гостехиздат, 1952. Раздел второй.
265
потому что сравнение останется справедливым, если его левую часть
увеличить на число, кратное модулю. В данном случае это число рав-
но двенадцати, то есть трижды четыре. С другой стороны,
8 Е 2 (mod 3) и 32 Е 2 (mod 3).
— Верно, — решил Лева. — Я не подумал об этом. Правда!
— Конечно, правда, — раздался недовольный голос из качалки. —
Я тебе уж сколько раз говорил, что Вета все совершенно верно гово-
рит, а тебе только бы спорить и спорить! Лучше спроси того, кто зна-
ет, да помалкивай хорошенько!
— А признаки делимости, — напомнил товарищам Ника, — чего
лучше! Хотя бы на три. Все при помощи сравнения объясняется про-
ще простого:
10 Е 1 (mod 3),
а сверх того:
10я Е 1 (mod 3),
потому что сравнения можно возводить в степень.
— А вот про дни в календаре? — робко вставил вопросик и Вов-
ка. — Помнишь, Левка, в журнале-то? ..
— Ах, да, — воскликнул Лева, — правильно! Это тоже интересно.
Бывают такие годы, например 1949 и 1955, когда числа месяцев и дни
недели совпадают точка в точку. В этом случае тоже получается вроде
сравнений, потому что делимость здесь все определяет. Если рассто-
яние между годами, которое надо вычислять в днях, делится без ос-
татка на семь, то дни недели и числа будут совпадать. Вот и еще
пример!
— Что это такое? — спросила Веточка. — Ну-ка, расскажи как
следует!
— Дело вот в чем, — отвечал Лева. — В году, как все знают, триста
шестьдесят пять дней. Недель в году пятьдесят две. Умножим пятьде-
сят два на семь. Получаем триста шестьдесят четыре. Но если это так,
то дни недели не могут совпадать с началом года. Если год начался
с понедельника (а мы будем считать дни не по дням месяца, а просто
давая им номера по порядку, от первого до триста шестьдесят пятого),
то на понедельники будут приходиться дни, номера которых сравнимы
с единицей по модулю семь, как, например: 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50...
— Если поделишь на семь, в остатке будет единица, — подтвердил
Вова, — я весь год проверил! Верно получается.
— Правильно, секретарь! — громко крикнул Лева, усмехаясь. —
Так, значит, оно пойдет и дальше и дойдет до дня с номером триста
266
пятьдесят восемь, которое сравнимо с единицей по модулю семь, и по-
следний понедельник приходится на триста шестьдесят пятый день.
Следовательно, новый год начнется во вторник. Так что вот начало
года, первое января, и будет двигаться вперед на один день по неделе,
пока снова не накопится полная система вычетов по модулю семь:
то есть было один, потом должно быть два и так далее до шести и
до нуля. Но дело здесь усложняется високосными годами. Так что
с полной системой вычетов не получается. Должна была бы эта
повторяемость случаться через семь лет, а она случается — как видно
на примере 1949 и 1955—через шесть из-за того, что 1952 год был
високосный. А потому и 1953 отступил по дням недели не на один
день, а на два.
— А у меня записано, — важно добавил Вовка:—два года это
семьсот тридцать дней, остаток от деления на семь будет два; три
года—тысяча девяносто пять дней, остаток равен трем; четыре года—
тысяча четыреста шестьдесят дней, остаток равен четырем; пять
лет — тысяча восемьсот двадцать пять дней, остаток равен пяти;
шесть лет — две тысячи сто девяносто дней, остаток равен шести. На
седьмой год остатка уже не будет. Да вот с високосным годом набе-
гает еше день. И получается не седьмой год, а шестой.
— А про признаки делимости все-таки любопытно,— заметил Вася,
возвращаясь к прежней теме, — я где-то читал насчет признака дели-
мости на семь... Не помню только, в чем там дело!
— Наверно, можно разобрать, — сказал Ника.— Ну-ка, попробуем.
Начнем... с чего бы нам начать? .. С десяти разве?
— А не лучше ли с единицы? — возразил Вася.
— Да, пожалуй, ты, Васятка, прав! — согласился Никита. — Нач-
нем с единицы: делим единицу на семь — в частном нуль, в остатке
единица. Записываем сие сравнением:
lEEHmod 7), или 10° Е 1 (mod 7).
Теперь берем десяток:
101 E3(mod7).
Другими словами, десять при делении на семь, как это всем на свете
известно, дает в остатке три. Теперь будем брать следующие степени
десяти одну за другой, что соответствует последовательным знакам
числа, написанного по десятичной системе:
10* Е 2 (mod 7); 103E6(mod 7); 104E4(mod 7);
Юз = 5 (mod 7); 10е E 1 (mod 7).
Значит, я взял десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч и миллион.
Однако начиная с миллиона и дальше остатки от деления на семь на-
чинают снова повторяться. Действительно: миллион дает в остатке еди-
ницу, как и десять в нулевой степени; десять миллионов снова три и
так далее.
— Что-то хитро получается! — заметил Вася.
— А толку пока еще не видно!—заявил Лева.
— Не торопись! — ответил Никита. — Сейчас припомню, как это
выходит... A-а, вспомнил! Вот в чем дело: мы уже говорили, что
сравнение остается справедливым, если к одной его части при-
бавить число, кратное модулю. Но если можно прибавлять,
то можно и отнимать! Поэтому я, не касаясь моих трех первых сравне-
ний (для 10°, 101 и 102), вычту из правых частей следующих трех срав-
нений (для 103, 104 и 10s) наш модуль семь. Тогда, очевидно, у меня
в правых частях этих трех последних сравнений появятся отрицатель-
ные числа. И я получу:
Ю» = — 1 (mod 7); 104 Е — 3 (mod 7); 10s Е - 2 (mod 7).
— Так, — произнесла Наташа. — Это, конечно, верно, спору нет.
Только... зачем тебе это надо?
— А вот сейчас увидишь, — ответил Ника, бессменный (или
почти бессменный) председатель Тускарийских ассамблей. — Если
я теперь буду обозначать при помощи буквы а последователь-
ные цифры в числе, написанном по десятиричной системе, а внизу
около буквы а буду ставить подписной значок, который будет равен
той степени десяти, которая соответствует знаку, стоящему на этом ме-
сте, то есть а0 у меня обозначает единицы, ах—десятки и так далее, то
я могу утверждать, что число, которое удовлетворяет такой формуле:
п = Qq 4” Зй[ -j- 2^2 — а3 — Зо4 — 2с- + ae + 3^4 ~Ь • • 
должно делиться на семь без остатка.
Ребята ненадолго замолчали. Наконец Вася промолвил:
— Действительно... что-то в этом роде.
— Не пойму! — возразил Лева.
Снова ребята замолчали.
Никита подождал еше минутку.
— Смотрите! — сказал он. — Ведь я уже говорил, что в этой фор-
муле ао есть число единиц, ai — число десятков и так далее. Ясно, что
период этих повторяющихся остатков равен шести, и он делится на
две одинаковые части, только одна с плюсом, другая с минусом.
268
— A-а! — протянула Наташа, — теперь я, кажется, догадалась. Это
затем ты взял отрицательные вычеты, чтобы у тебя получилось все со-
вершенно симметрично: один, три, два, а потом минус один, минус три,
минус два. А то бы вышло один, три, два, а затем шесть, четыре, пять.
И такого простого периода не вышло бы. Хорошо придумал!
Ника засмеялся и кивнул ей.
— Я сам тоже сначала не понял, — ответил он. — Теперь возьмем
пример. Допустим, у нас шестизначное число. Значит, надо вот как
поступать: разбить число справа налево на разряды по три знака
в каждом. Вычесть из второй тройки справа первую. Знак из знака.
Первую разность справа взять один раз, вторую — три раза, третью —
два. Сложить эти произведения. Если получившееся число делится
на семь, то и все число делится. Попробуем. Возьмем число 289 135.
Вычитаем:
2; 8; 9
“ 1; 3; 5
1; 5: 4
Повторяем четыре один раз, пять — три раза и один — два раза.
В сумме будет:
4- 1+5-3+1-2 = 4+15+ 2 = 21.
Это число на семь делится. Значит, и число 289 135 тоже делится на
семь. И действительно...
— Получается в частном 41305, — заговорил и Вовка —Только
уж очень долго делать. А если девятизначное число?
— Тогда придется знаки первого и третьего разрядов сперва сло-
жить, а потом из этой суммы вычесть знаки второго разряда.
— Хорошо тебе, — сказал Вовка, — когда такое длинное число!
А если поменьше—например, тысяча шестьсот десять. Как тогда быть?
— Совершенно так же, — отвечал ему Вася, — только отрицатель-
ные остатки получаются. Вот как:
1
~6; 1; 0
— 6; — 1 j 1
и берешь сумму:
(1  1) — (1 • 3) = (6  2) = 1 — 15 = —14.
Четырнадцать на семь делится, значит, и все число делится. А на знак
не обращаешь внимания.
— Число-то делится, — отвечал Вовка, — двести тридцать полу-
чается. Только вот эти ваши минусы!..
269
— Небось, — отвечал Вася, — привыкнешь помаленьку.
— Ну что ж, — вымолвила Наташа, — итак, сегодняшнее дедуш-
кино задание, как умели, выполнили.
— Постой! — сказал Вовка. — А как же Васенькина задачка? Он
ее рассказывал, когда мы к вам по грязи шлепали.
— Что за задачка? — поинтересовалась Веточка.
— Задачка забавная, — сказал Лева. — Найти такое двузначное
число, которое если умножить на два или на три, а потом прибавить
единицу, так получится точный квадрат.
— Даже и не поймешь, как за нее взяться, — сказал Ника. — Ну,
давай-ка рассказывай.
— Вот то-то и дело, — засмеялся Вася, — что сразу не поймешь,
как за нее приняться! Я думал, думал и потом выдумал такой следо-
пытский способ решения. Назовем это число буквой х. Тогда, значит,
2хЦ-1 будет точный квадрат. Теперь я беру таблицу квадратов
целых чисел, там нахожу, что квадраты кончаются только такими
цифрами:
О, 1, 4, 5, 6 и 9.
Затем я вычитаю из этих чисел по единице. Получаю:
9, 0, 3, 4, 5 и 8,
из нуля вычитаю единицу, считая, что перед нулем что-то есть, конеч-
но. Но ведь мое число 2х обязательно четное, значит, его квадрат не
может кончаться на нечетную цифру. Тогда у меня остается только:
О, 4 и 8.
Если так, то на какую же цифру оканчивается самое число х? Ясно,
что могут быть три случая: на нуль или на пять, на два или на семь,
на четыре или на девять. Теперь уж больше из числа 2х+ 1 ничего не
выжмешь, и я перехожу к числу ЗхЦ- 1. Если верно все, что я вывел
для числа х из рассмотрения числа 2x-f- 1, то тогда и число Зх
должно оканчиваться на
О, 5, 6, 1 , 2, 7,
а число Зх + 1 соответственно оканчивается на
1,6, 7, 2,3 и 8.
Но ведь число Зх -|- 1 это тоже точный квадрат, значит, из всех этих
чисел у меня остаются только единица да шесть. А если так, то число
270
3 х может оканчиваться на нуль и на пять. Но в таком случае и самое
число х не может ничем оканчиваться, кроме тех же самых чисел, то
есть нуля и пятерки. Если так, то и число 2х + 1 в том и в другом слу-
чае оканчивается на единицу. Но по условию х есть двузначное число,
то есть оно или равно десяти или больше десяти, а кроме того, оно
меньше ста. Тогда можно еще вывести, что, значит, и число 2х-|- 1
больше двадцати и меньше, чем двести один. Теперь открываем таблицу
квадратов. Ищем внимательно! И обнаруживаем, что между двадцатью
и двести одним есть только два точных квадрата, которые оканчивают-
ся на единицу: это квадраты чисел девяти и одиннадцати, то есть
восемьдесят один и сто двадцать один. В таком случае наш х может
равняться сорока или шестидесяти. Хорошо! Попробуем теперь на
числе Зх-|-1. Если х = 40, то Зх-|-1 = 121, а если х = 60, то Зх +
+ 1 = 181. Но сто восемьдесят один не квадрат. Итак, прихожу к окон-
чательному выводу:
х = 40; 2х+ 1 =81 = 92; Зх + 1 = 121 = II2.
Задача решена!
— Очень хорошо!—похвалила его Наташа. — Ты действительно
гонялся за этим хитроумно спрятавшимся числом, как настоящий сле-
допыт!

Г лава двенадцатая
Оказывается, половина лета уже прошла... — Что такое тускаремы?
Левино определение. — Веточка убеждается, что она подлинная туска-
рийка. — Опыты и наблюдения. — Три знаменитых оврага.—Доклад
с пушечной пальбой. — Рассказ из детства знаменитого Гаусса. —
Гениальный ученый Николай Иванович Лобачевский. — Треуголь-
ник Паскаля.—Замечательный среднеазиатский ученый XV века
Гиясэддин Джемшид Каши. — Треугольные числа. — Славный
алгебраист Мухаммед бен-Муса Хорезмийский. — Как в средние
века считали площадь треугольника. — IX век в Средней Азии и
XI век в Европе. — Квадратные числа или натуральные квадраты. —
Многоугольные числа. — Пирамидальные числа. — Шестиугольник на
блюдечке. — Решетчатое расположение кругов. — Как устроена ядер-
ная куча? — Со сколькими ядрами соприкасается ядро, лежащее
внутри кучи? — Сумма натуральных квадратов. — Сверхпирамидаль-
ные числа. — Названия больших чисел.—Задача о профессоре,
272
который однажды пошел домой пешком. — Вова записывает еще
несколько любопытных сведений
1.
— Хорошо!.. — медленно выговорил Ника, выбравшись на высо-
кий бугор над речкой и схватившись рукой за сосновый сук. — При-
волье. Конечно, лето — хорошая штука. Только... знаешь, что мне
показалось?
Наташа пристально вгляделась в дальнюю ленту реки, помолчала,
потом усмехнулась и ответила:
— Что тебе показалось?.. Ну, как тебе сказать! В общем,
разумеется, знаю...
— Ясно. .. — каким-то очень скучным голосом подтвердил Лева,
разлегшийся в густой траве около серого пня, по которому неустанно
шмыгали юркие маленькие черные муравьи. — Уж лучше бы ты не
начинал этого разговора!
— Нет, — возразил Ника, — почему ж не начать. Дело в том...
— .. .что половина нашего лета уже прошла, — подсказала ему
Наташа.
— Приблизительно, — подтвердил Лева. — И охота вам! Теперь
уже назад ее не возьмешь. Стоит ли говорить?
— Да почему же! — заспорил Ника, —Но ведь мы что-то делали
все-таки, наша академия Тускарийская все время действовала. И здо-
рово действовала. Прямо скажу: будь я один, столько со всеми этими
нашими тускаремами, конечно, не сумел бы повозиться!
— Что за «тускаремы» такие еще? — сердито спросил Лева.
— Ну, это так, просто такое словечко подвернулось. Вроде там
как теоремы или проблемы, то есть задачи. Вопросы, рассмотренные
тускарятами.
— Следопытами! — раздался тоненький голосок откуда-то снизу,
из-под обрыва.
— Так и есть! — заметил Лева. — Сам товарищ секретарь лезет.
Как только о Тускарийских ученых заседаниях речь заведется, так он,
откуда ни возьмись, появится. Вот пролаза!
— Ты — пролаза! — не задумываясь, отвечал ему запыхавшийся
на крутой горке ученый Тускарийский секретарь, который в крайних
случаях жизни обыкновенно прибегал к сильным, но необыкновенно
кратким способам выражения своего негодования.—Ты! Вот и всё.
А не я!
— Постой, секретарь, — остановил его Ника, — у нас дело есть. Мы
18 Архимедово лето
273
сейчас пришли здесь к заключению, что некоторая, и, я бы сказал,
довольно значительная часть...
— .. .нашего лета... — вставила Наташа.
— Вот именно! Нашего лета...
— ...так сказать, прошла! — помог Лева.
— Не дают говорить человеку! — возмутился Вовка. — Чего вы
к нему пристали? Да он сам все скажет не хуже вас!
— Да больше ему уж и говорить-то нечего, — заметил лениво Лева.
— Ошибаешься! — возразил Ника. — В том-то и дело, что есть.
Я хочу сказать, что мы кое-что уже сделали...
— Слышали! —отвечал Лева, зевая во весь рот.
— А сверх того, вот что: давайте подумаем, что нам осталось, что
мы успеем за это время еше сделать, какие еше у нас могут появиться
тускаремы...
— «Тускаремы»! — взвизгнул в упоении Вовка. — Вот это я пони-
маю! Ай да Ника! А что это такое «тускаремы»? Расскажи, пожалуй-
ста. Сейчас запишу...
— Под тускаремами, — объяснил Лева, — отныне понимаются вся-
кого рода научные вопросы и, так сказать, проблемы или задачи, кото-
рые рассматриваются нашей превосходной академией. Ты еще мал, ко-
нечно — пигмей в общем, — а то бы я тебе еще много рассказал ин-
тересного.
— Выдумки! — кратко пояснила Наташа.
— Ну, хорошо, — рассудительно отвечал Вовка. — Так ты, Ника,
говори, а я как секретарь, конечно, запишу в мою тетрадку. Потом мы
с дедушкой обсудим, вынесем решение, какое надо... Вот тебе и все.
А пигмей он сам. Впрочем, постой! Ведь у меня уже есть кое-что.
— Что такое?
— Во-первых, папа нам обещал про Архимеда. Это раз. Затем мама
с дедушкой говорили, что надо устроить заседание насчет одной заме-
чательной ленты, а дедушка сказал, что еше что-то будет насчет мыль-
ных пузырей и вообще про мыло...
— Мыло? — спросил Лева в раздумье. — Ах, да! Ведь был про
мыло разговор. Верно!
— Вот тебе два заседания, значит, — продолжал Вовка. — А у тебя
еше что есть?
— У меня, — отвечал Ника, — есть одна тема, насчет того, как
один знаменитый черный король путешествовал по своим необъятным
владениям, сиречь по шашечнице, по шахматной доске. Ну, и что из
этого получилось — и все остальное. Еше будет тут и рассказ про
орлянку.
— Это в денежку играть? — спросил Вовка.
274
— Играть нет нужды, — отвечал Никита, — а в чем там дело —
разобрать нужно, вот что! Это мы с Васей подработали.
— А у нас с Веточкой тоже будет одна тема, — отозвалась Ната-
ша. — Она, правда, сейчас уехала...
Раздались смешки.
— Ну, нечего вам! — ответила Наташа. — Не тема уехала, а Ве-
точка! Подумаешь, как вы сами безукоризненно выражаетесь!.. Но это
ненадолго, скоро они обе вернутся — Веточка приедет, и для темы на-
шей она еще книжку привезет. Вот что. У нас есть одна задачка осо-
бенная с числами и их квадратами. Мы там немножечко запутались, ну
нам Тимофей Иринархович кое-где помог. Одним словом, скоро будет
готово.
— Четыре заседания, — заключил Вовка. — Ровно четыре. А еще
что? И дедушка еще что-то обещал. Это он сам придумал.
— А это что будет?
— Н-не знаю... — признался Вовка, огорченно вздыхая.
— Ну приблизительно-то о чем речь будет идти?
— Приблизительно... — повторил, задумываясь, Вова,— как тебе
сказать... ну, вот вроде как о том, как это люди научились считать и
все такое — ну, когда еще школ, в общем, не было там и букварей да
задачников разных тоже... ну, в древности... не знаю, как вам рас-
сказать.
— Поняли больше половины, — ответила Наташа. — Значит, у нас
дел всяких на целых пять заседаний. Еще, наверно, не уместится! Ну
вот и хорошо! А ведь больше-то, пожалуй, у нас и не выйдет. Каждый
ведь день тоже сидеть не будешь. Надо погулять.
— Допустим, что так, — лениво согласился Лева. — А смотри, как
здорово облака плывут! И заметь: их несколько ярусов. Вот те, кото-
рые прозрачные вроде паутинки, они выше всех... Ника, а когда же
вы с Васей будете нас просвещать?
— Когда хочешь, — отвечал ему товарищ. — У нас готово.
— Тогда, значит, — решил Лева, поднимаясь из травы и отряхи-
ваясь постепенно,— мы должны назначать уже твой доклад с Васей...
Товарищ секретарь, деятельная личность, изволь-ка заняться: сообщи
Васе, столкуйся, спроси деда и назначай день собрания. А то ведь и
правда мы уже давно не собирались. А тут еще малина! Ведь малину
не бросишь. Зевать нельзя — не успеешь оглянуться, как она и отой-
дет. .. Дожидаться не будет.
Прошло несколько теплых летних деньков, главным содержанием
которых были усиленные экспедиции в поисках поспевшей душистой
лесной малины с разными маленькими приключениями и удивительны-
ми лесными зрелищами... Все — и не то что кто-нибудь один, а реши-
18'
275
дении такого
тельно все — например, видели, как с лесной тропинки, сверкнув ди-
кими, любопытными, хитрыми и веселыми глазами, махнув широким
пушистым хвостом, быстро мелькнула влево, в самые кусты, отличная
желтая-разжелтая лиса: самая настоящая лиса на воле. «Совсем не то,
что в Зоопарке, — заявил восхищенный Вовка, — та какая-то такая,
будто двойку заработала! ..» И все засмеялись, а потом долго вспоми-
нали Вовкину лису, которая заработала в Зоопарке двойку. Затем по-
явилась Веточка из города, которая все посматривала на верхушки де-
ревьев и говорила, что в городе совсем-то не так пахнет и что однажды
ночью она там проснулась и поняла, что она теперь стала самая на-
стоящая тускарийка и ей без этой нашей компании просто становится
совсем скучно!.. Дня два она всем рассказывала о новой книжке, ко-
торую читала в городе: это была книга знаменитого наблюдателя на-
секомых, человека, удостоившегося похвалы от самого Чарлза Дар-
вина,— Жюля Фабра, об удивительных сражениях отважной осы со
страшным пауком и еще много разного такого. А самое интересное
в этой книжке было необыкновенное терпение самого наблюдателя, его
неустанные старания, горячая приверженность науке — то самое, что
было так близко сердцу всех тускарят-следопытов.
Зашел спор однажды — и весьма бурный спор! — по поводу наблю-
ютвоиспытателя, каким был Фабр, и изысканий по
части математики, которые так нравились нашим
юным друзьям.
— Это все гораздо проще! — решительно заявил
Лева. — Потом, все это совершенно другое. Подсмо-
трел эту осу или серого червя какого-нибудь — и
готово!
Но его точка зрения не всем понравилась. Вася,
по крайней мере, начал, по своему обыкновению,
осторожно и немножко неуверенно доказывать, что
ведь и Фабру приходилось делать опыты и даже
довольно сложные, пока он наконец не догадывался
о тех или иных тайнах из жизни тех крохотных ле-
тучих и ползучих народпев, которых он так лю-
бил. .. А опыт и есть настоящий учитель человека.
Лева отвечал на это так:
— Конечно, насчет опыта это верно, тут нечего спорить, но ведь
в таких науках, как математика, опыт почти ничего не значит... При
чем тут опыт?
Но когда ребята стали вспоминать, как сами они решали задачи,
как путались, ломали головы, а потом наконец выбирались на правиль-
ный путь, то все это вместе взятое оказывалось, по общему мнению,
276
ужасно похожим на те затруднения, которые испытывал Жюль Фабр,
а значит, и всякий естествоиспытатель. А ведь такой крупный ученый,
как Чарлз Дарвин, очень ценил Фабра как тончайшего и проница-
тельнейшего наблюдателя и переписывался с ним.
— Н-да, — размышлял вслух по этому поводу Никита,— конечно,
это только отчасти, одной какой-то стороной похоже на математику.
Разумеется, математика — она особенная! Это так. Но все-таки что-то
общее есть. То есть, может быть, только в самом начале... когда ты
сам, учась, добиваешься, как будто тоже что-то вроде опытов произво-
дишь. А что касается наблюдений, то, как ни говори, наблюдение всюду
полезно! И в математике наблюдательность очень много дает уче-
ному — то есть мне так кажется! Когда тебе растолкуют, как решают
другие, так все ведь кажется просто, а ну-ка, попробуй сам додумайся!
Тут-то наблюдение и приходит на помощь. А потом опыт дает все время
проверку — так ты придумал или нет? Не знаю уж, может быть, оши-
баюсь, но мне вот так кажется!
— Да! — поддержал его Вася. — Ведь раньше не умели делать
таких машин, скажем вроде тракторов, а теперь умеют. Как же это
случилось? Конечно, все это были разные опыты —целые, я думаю,
миллионы разных опытов! — и потом наблюдение, раздумье, размыш-
ление, то есть проверка, ну или, скажем, изучение... и все такое.
А математика тут совсем рядом, потому что как ты без математики
конус какой-нибудь выточишь? А если шестеренку сделать, так еще
ведь труднее. А разные там кулачки, гайки, муфты, ролики, шайбы,
зубья и все это! Ведь надо рассчитать! Уж, кажется, на что простой
прибор часы стенные, которые называются ходики, а и то ведь,
пока ученые в семнадцатом веке не изучили, что за штука такая
маятник, не могли их толком сделать!
— Правильно! — отвечал ему Лева. — Про маятник мне папа рас-
сказывал. Первым за него взялся великий Галилей, а затем Гюйгенс.
Это было то время, когда в мире начали снова возрождаться науки,—
семнадцатый век... Мне папа как-то раз так сказал— вот ты видишь,
как маятник в часах ходит взад и вперед, — тик-так — тик-так...
а вот представь себе, что для того, чтобы его понять, Гюйгенсу при-
шлось особую кривую из высшей математики изучить! Вот смотри на
ходики и помни, что этот повсеместно распространенный прибор сде-
лал тебе великий ученый!
— Знаешь, — добавил Ника, — я слышал, что некоторые ученые
считали сочинение Христиана Гюйгенса о часах с маятником до такой
степени важным в развитии науки, что оно даже может быть постав-
лено рядом со знаменитым сочинением самого Ньютона, где изложен
великий закон всемирного тяготения.
277
Всем эта тема показалась ужасно интересной, но все чувствовали,
что материала у них на этот счет маловато и надо было бы набрать его
побольше. Разумеется, все это было между прочим — так, словно не-
взначай — рассказано и дедушке, который выслушал все это благо-
склонно и пробурчал:
— Поговорим, поговорим... Поспеете, непоседы! Поспешишь —
людей насмешишь.
И больше ничего от него так и не добились. Дед раскуривал свою
пенковую трубку, попыхивал голубоватым дымком, улыбался. И еще
раз повторил:
— Цыц, непоседы! Поспеете.
Но Лева с Никой потихоньку решили, что обязательно достанут
книжку — не ту, так другую — насчет Галилея... Ну, атам посмотрим,
кто кого! Рассказ об Архимеде они себе выпросили, значит, и о Гали-
лее когда-нибудь им расскажут. Или сами разузнают. Конечно, трудно-
вато одному без помощи взрослых в таких книжках разбираться, но
ведь — что станешь делать! — и этому приходится учиться1.
2.
Наконец как-то собрались и все пошли за речку в большой лес,
отличавшийся тем удивительным качеством, что в нем было три боль-
ших оврага, которые у ребят назывались «О», «О-прим» и «О-два» и
славились необыкновенным обилием очень крупной и душистой малины.
Ходили слухи, будто бы кто-то однажды даже видел здесь... медведя,
который неведомо откуда заявился полакомиться этой удивительной
малиной. Разумеется, эти слухи придавали овражной малине еше бо-
лее завлекательный привкус. Экспедиция в овраг «О-прим» считалась
особенно рискованной, ибо там однажды Лева сорвался с кручи и по-
летел прямо в объятия прегустейшей крапивы, которая, разумеется,
только того и дожидалась. Хорошо еще, что под крапивой была масса
хвороста и валежника, так что наш герой только труса отпраздновал.
— Хватит, всё! — сказал басом Ника, усаживаясь поудобнее на
кочку. — Садись, не шелохнись, в кусты за малиной не бегать, слу-
шать внимательно... и не хихикать зря! Да! Начинаем очередное
‘Важнейшие сочинения Галилея переведены на русский язык. Есть несколько
книг о нем, из которых юному читателю можно рекомендовать сборник «Галилео
Галилей», выпущенный в 1943 году Академией наук СССР в память 300-летия со дня
смерти великого ученого, состоящий из статей акад. С. И. Вавилова, акад.
А. Н. Крылова и проф. Н. И. Идельсона.
278
истинно Тускарийское заседание — лесное... на кочках да на пеньках,
под синим небом. Дон Базилио, прошу вашу милость к микрофону!
— Иду! — сказал Вася, не шелохнувшись на своем пеньке. — Сего-
дня у нас доклад громкий, с пушечной пальбой, то есть, если выра-
жаться поточнее, с пушечными ядрами, и даже...
— А ведь мы с Наташей видели здесь пушечные ядра! — ввернул
Лева.
— Тсс! — строго зашипел председатель. — Молчать, не рассуждать!
— Кто их здесь не видал! — ответил Вася. — Вот о них-то мы и по-
говорим. Одна из самых важных частей нашего доклада.
— Интересно! — тихо заметила Наташа.
— Ничего себе, — отвечал Вася, — очень даже неплохо... Ну так
вот, для того чтобы начать наш доклад, я попрошу всех участников
заседания написать столбиком такой ряд цифр: один — один —
один —один... и еще и еще, положим десять раз.
— Всё единицы? — спросил Вова.
— Всё единицы. Это самый простой ряд на свете, проще уж не при-
думаешь. С него начнем. Теперь второй ряд — и тоже столбиком, мы
его напишем справа — будет у нас составлен из сумм первого ряда.
Берется какое-нибудь число из столбца, и к нему при-
бавляется то число, которое стоит справа от него, одной
строкой выше. Это у нас будет общее правило. Число	4	4-.•.
слева плюс то, которое справа над ним.	'	/•	;
— Все равно, всё одни единицы! —заявил Вовка.	X
— Поменьше рассуждать! — заметил ему старший	у	0-^',
брат. — Ты, малыш, слушай в оба уха, вот что!	1	,	•
— Слушаю, — отвечал несколько смущенный секре-	. ,х	~	?
тарь.	]'
— Тогда, — продолжал Вася, — мы получаем напра- /	'
во второй столбик цифр, это будет просто обыкновенный j /х / У
ряд— раз, два, три и так далее... он в математике на- f
зывается натуральный ряд, прошу не забывать.
— Я записываю! — торопливо воскликнул Вовка. j
— Умник, пиши... — отозвалась ему полушепотом I
Веточка.
— Теперь давайте вспомним, — продолжал спокойно Вася, — что
говорили на одном нашем заседании про то, как получить сумму этого
ряда (гл. XI, разд. 2). Мы говорили о сумме арифметической прогрес-
сии. А если взять натуральный ряд, так это и будет самый простой
пример арифметической прогрессии...
— Васенька, — вмешалась, не удержавшись, Наташа, — а я вспо-
мнила: я по этому поводу очень хороший рассказ знаю! Про одного
279
очень знаменитого математика, когда он еще школьником был. Ты
знаешь?
— Нет, — ответил коротко Вася.
— Вася рассказывал нам про арифметическую прогрессию. И как
ее суммировать. У Васи был такой пример: возьмем десять первых
чисел и напишем их в строчку, а под ними, во второй строчке, напишем
те же самые числа, только в обратном порядке:
123456789 10
10 98765432 1.
Сумма каждой пары —все пары дают одну и ту же сумму —равна
одиннадцати, всех пар десять, значит, общая сумма равна ста десяти.
Но так как нам нужна сумма одной строки, а не двух, то делим эту
сумму пополам — и получаем пятьдесят пять.
— Так и есть, — подтвердил Вовка.
— Так вот, — продолжала девочка, — говорят, что когда знамени-
тый немецкий математик Гаусс был маленьким и учился в школе, то
учитель как-то раз задал в классе задачу: сосчитать, чему равна сумма
всех чисел от единицы до ста. Все ребята стали старательно считать,
а маленький Гаусс через две минуты встал, да и сказал: «Вот здесь
у меня всё!» С этими словами он положил первым учителю на стол
аспидную доску *. И преподаватель, и все товарищи Гаусса по школе
были очень удивлены. Спросили его, как он мог так скоро получить
ответ на эту задачу, равный пяти тысячам пятидесяти. И тогда Гаусс
объяснил, как он догадался...
— Гаусс жил с 1777 по 1855 год и был одним из крупнейших мате-
матиков прошлого века, — сказал дедушка. — Между прочим, он много
занимался высшей арифметикой, теорией чисел. Теория сравнений,
о которой вы вспоминали, когда говорили о магических квадратах
(см. гл. XI, разд. 5), была создана им. Нам еще придется, наверно,
не раз вспомнить о нем. Он, между прочим, состоял в переписке с ос-
нователем нашей замечательной отечественной Пулковской обсерва-
тории — Василием Яковлевичем Струве, и через его сына, Оттона Ва-
сильевича, Гаусс находился в курсе всех тех замечательнейших работ,
которые вел в то время наш гениальный соотечественник, великий
русский геометр, Николай Иванович Лобачевский. Когда-нибудь мы
1 В те времена, экономя бумагу, школьникам в младших классах давали не-
большие шиферные дощечки в деревянных рамках, на которых писали грифелем.
Влажной тряпкой написанное можно было стереть, так что это было нечто похожее
на маленькую классную доску. Такие доски были в ходу еще в начале нашего века.
280
с вами потолкуем и о нем. Труды Лобачевского оказались почти не-
постижимыми для его современников, до того новы и необычны были
его открытия! И тот интерес — правда, довольно молчаливый, — кото-
рый Гаусс проявлял к его великим трудам, был некоторой поддерж-
кой ректору Казанского университета. Лобачевский жестоко страдал
от невнимания своих соратников-ученых, от невнимания, нередко пе-
реходившего почти в преследование.
— Ну вот видишь, дедушка! — воскликнул Лева. — Ну как это та-
кое может быть?! Ты вот говоришь, что Лобачевский был замечатель-
ный — да я уже это не в первый раз слышу, — и вдруг никто не помо-
гает, никто его не поддерживает. Ну как же это может случиться?
— Вот, могло!—тихо ответил дед. — Бывало, брат. Уж очень он
далеко забрался — поспеть они за ним не могли. Но ты на это не об-
ращай внимания, а вот что заметь: трудно ли ему было, легко ли, но он
не сдавался! Ведь он даже не получил ученой степени доктора наук,
так и в могилу сошел с первой ученой степенью магистра, а тогдашний
магистр —это то же самое, что у нас теперь кандидат наук. Но ныне
уже весь мир знает, что прав-то был именно наш великий геометр Ло-
бачевский, а не те, кто его не хотел замечать, ни тем более те, кто про-
сто хихикал над ним... Вот оно как, ребятишки! Ну, когда-нибудь еще
потолкуем об этом вдоволь, а теперь, Вася, будем слушать твой доклад.
3.
— Правильно! — ответил Вася, которому не очень нравилось, что
он, докладчик, остался неожиданно в тени. — Я буду продолжать. Мы
уже говорили: арифметическим рядом или арифметической прогрессией
называется такой ряд чисел, где разность между двумя последователь-
ными числами всегда одна и та же, то есть не изменяется, другими
словами — остается всегда постоянной. Можно составить и другие
арифметические прогрессии, у которых постоянная разность может
быть даже и отрицательной. Формула, по которой подсчитывается сум-
ма арифметической прогрессии, вот какая:
Здесь S обозначает сумму, а1 — первый член прогрессии, ап — по-
следний член, а п —это число суммируемых членов. Ясно, что это про-
сто алгебраическая запись того самого правила, о котором мы — и я и
Наташа —уже говорили. Теперь вернусь к вертикальным рядам, кото-
281
рые вы написали. Итак, первый мой столбец — это единицы, второй —
натуральные числа. Я хочу так поступать и далее тем же самым спосо-
бом, то есть составлять каждый следующий столбец по тому же
самому правилу, о котором я уже говорил: каждое число в столбце
равняется сумме того, которое стоит слева от него, и того, которое
находится над ним. Будем продолжать составлять таким же образом
один столбец за другим. В третьем столбце, значит, первым числом
у нас будет опять-таки единица, потому что над ней ничего не стоит,
а вторым будет тройка, то есть сумма того числа, которое стоит
слева (это двойка), и того, которое стоит над тройкой (это единица).
Затем мы складываем тройку слева с предыдущей тройкой, получаем
шесть, и так далее. Вот какая у меня получается замечательная
таблица:
11111 111111...
12	3	4	5	6	7	8	9...
1	3	6	10	15	21	28	36 ...
1	4	10	20	35	56	84	...
1	5	15	35	70	126	...
1	6	21	56	126	...
1	7	28	84	...
1	8	36	...
1	9 ...
1 ...
Таблица, как видите, симметричная, столбцы такие же, как и строки.
Эта табличка обыкновенно называется арифметическим тре-
угольником Паскаля, по имени одного из крупнейших фран-
цузских математиков семнадцатого века, который построил ее и изучил.
Однако название это, конечно, неправильное, ибо эту таблицу китай-
ские математики знали уже по крайней мере за полтысячи лет до
282
Паскаля, а за целое столетие до него эту табличку получил заново один
итальянский математик, Николо Тарталья, который, разумеется, о ки-
тайских работах не слыхал, как и Паскаль не знал об итальянском
открытии...
— Надо вот что тут еще добавить, — заметил дедушка: — воз-
можно, что от китайцев эта табличка попала в Самарканд, на совре-
менную территорию СССР. Там в пятнадцатом веке работала под по-
кровительством замечательного узбекского деятеля Улуг-бека целая
группа ученых, которых он сумел объединить вокруг великолепной об-
серватории, построенной им в Самарканде... Но хоть я говорю — «ве-
ликолепной», не забудьте, что это было давно, за двести лет до изобре-
тения подзорной трубы и задолго до того, как великий Галилей на деле
показал, какую замечательную роль в астрономии призван играть
телескоп! Обсерватория Улуг-бека была приспособлена для наблюде-
ний простым глазом (или, как говорится теперь, для визуальных
наблюдений)...
— «Великолепная»!.. — повторил словцо деда Вовка. — А какая
это, дедушка, «великолепная»? Она очень красивая была, да?
— Ну еще бы! — отвечал дедушка.—
Восточная архитектура вообще очень на-
рядная, вся в цветных изразцах, с резным
каменным орнаментом... Но, конечно, не
только в этом дело, а в том, что эта обсер-
ватория состояла из громадных каменных
инструментов для измерения движений све-
тил с такой точностью, которая до тех пор
в дотелескопической астрономии еще не
была достигнута. Удивительная обсервато-
рия Улуг-бека была широко известна по все-
му Востоку, и в Индии вслед за нею был
сооружен целый ряд подобных обсервато-
рий. Некоторые из них сохранились до на-
шего времени. Кстати сказать, вопросами
математики в применении к архитектуре
тоже как раз занимались ученые того вре-
мени. Если немножко подальше копнуть в
глубь веков, так можно еще вспомнить, что
в шестом веке (то есть за девять веков до
самаркандских ученых!) византийский гроз-
ный император Юстиниан, разгромив всю
древнюю античную науку, издал закон, при-
равнивавший занятия математикой — кото-
283
рую этот фанатик не отличал от
лженауки астрологии, то есть га-
даний по звездам, — к самым
тяжким преступлениям и рассма-
тривавший эти занятия как кол-
довство. В царствование Юстини-
ана в роскошной Византии сгорел
самый большой храм в городе,
посвященный христианскому богу
как источнику всякой «премуд-
рости».
— Что за «премудрость»! —
засмеялся Вася.
— Ну, разумеется, обычные религиозные сказки, — отвечал дед.—
Но тут не в этом дело. Храм сгорел, надо было выстроить новый, а это
было не так-то просто, ибо храм был громадный. И тут кесарю Юсти-
ниану пришлось обратиться именно к людям, которые были сведущи
в древней науке. Они ему этот храм и выстроили. Ученик одного из
этих строителей, Антемия, Евтокий оставил нам свой научный труд,
комментарий к трудам Архимеда... Все это я вам рассказываю,
чтобы вы понимали, как древняя наука, даже гонимая, тайно жила
в среде строителей, архитекторов, инженеров. Ко времени Улуг-бека
различные указания специально для инженеров-строителей уже вво-
дились в учебники по математике. Впрочем, школа Улуг-бека недолго
жила, вскоре она была совершенно уничтожена фанатическим сред-
неазиатским духовенством.
— Дедушка, а что это был за храм византийский? Он большой
был? — спросил Вовка.
— Храм этот стоит в полной сохранности и в наши дни, теперь это
мечеть Айя-София в городе Стамбуле, который и есть древняя
Византия.
— Хорошо строили!—заметил Ника. — Почти полторы тысячи
лет стоит!
— Знали свое дело!—отвечал дедушка. — Учились старательно,
вот и выстроили! Храм этот очень высок — выше кремлевской коло-
кольни Ивана Великого в Москве. А замечательная обсерватория
Улуг-бека была, по отзывам современников, примерно той же вы-
соты. Именно благодаря огромным размерам этой обсерватории, ко-
торая сама по себе была громадным астрономическим каменным
инструментом, и сделались возможными наблюдения, по тем време-
нам отличавшиеся замечательной точностью. Это действительно были
великолепные измерения. Улуг-бек объединил около своей обсервато-
284
рии ряд крупных ученых. Одним из таких ученых был Гиясэддин
Джемшид Каши, работавший у Улугбека с 1420 года. Именно он и
писал насчет архитектурных расчетов *. Ему таблица треугольника
Паскаля была очень хорошо известна. Кроме того, можно полагать,
что это было известно в мире восточной науки у тех ученых девя-
того—двенадцатого веков, которые писали главным образом на араб-
ском языке, и там это знали еще века за четыре до Улуг-бека. Евро-
пейские ученые семнадцатого века очень мало знали о трудах ученых
Азии (хотя астрономические таблицы Улуг-бека были им хорошо из-
вестны и пользовались их уважением), и многое из-за этого европей-
ским ученым пришлось начинать сызнова. Правда, они действовали
немного по-иному, чем ученые Азии.
— Да, — произнесла Наташа, — как все это интересно! И так хо-
телось бы узнать получше, как это люди умудрялись постепенно овла-
деть всеми интересными, полезными и такими трудными задачами!
Вот, дедушка Тимоша, вы бы нам обо всем этом и рассказали...
— Как-нибудь поговорим... — ворчливо отвечал Тимофей Ири-
нархович, ковыряя свою неразлучную трубку. — Пока могу еще доба-
вить, что в книге астронома Гевелия (семнадцатый век), которая
называется «Селенография», то есть «Описание Луны», она вышла
в 1647 году, — ее, кстати сказать, с большим вниманием изучал
в юности Петр Великий! — имеется гравюра, изображающая симво-
лическое собрание всех великих астрономов. На ней не забыт и
Улуг-бек. Таблицы Улуг-бека издавались уже и в наше время,
в двадцатом веке, так как они дают превосходное описание неба пят-
надцатого века. Так-с... Я полагаю, однако, что мы сегодня слушаем
Васю... И зачем отвлекаться? Всё в свое время. .. Давай-ка, Вася,
дальше!
— Возвращаюсь к моей табличке, — продолжал Вася. — Я уж не
знаю, как ее называть теперь... может быть, лучше называть ее
треугольником Гиясэддина? Но ведь вы сами, дедушка Ти-
моша, говорите, что ее знали еще и до него. Буду уж называть просто
арифметическим треугольником. Так вот, если мы посмот-
рим на третий столбец — или на третью строку, это из-за симметрии
таблички безразлично, — то заметим, что у нас там идут одна за дру-
гой последовательные суммы чисел натурального ряда, которые
1 Читатель может узнать немало интересного об Улугбеке и Гиясэддине из
книги Т. Н. Кар ы-Н и я з о в а, Астрономическая школа Улуг-бека. М., изд-во
Академии наук СССР, 1950, и из перевода трактата Гиясэддина, напечатанного
с обширными примечаниями в VII томе «Историко-математических исследований».
М., Гостехиздат, 1954.
285
в точности удовлетворяют приведенной выше формуле. Числа
идут так:
1; 3; 6; 10; 15; 21
и так далее, но это и есть сумма одного, двух, трех и так далее членов
натурального ряда. Эти числа, которые у нас стоят в третьем столбце,
называются треугольными числами. Почему? Вот эта диа-
грамма из точек — точечная диаграмма — хорошо поясняет, почему
этим числам дано такое название. На чертеже видно, что первый тре-
угольник состоит из трех точек, второй — из шести, пятый — из два-
дцати одной точки и так далее. Как раз по нашему ряду чисел! Эти
ряды чисел, как и другие ряды из нашего арифметического треуголь-
ника— а его строки совершенно такие же, как и столбцы, — состав-
лены из чисел, которые называются фигурными числами. Такое
название им дано именно потому, что их можно показать на такого
рода диаграммах...
— Этому обстоятельству, — вставил дедушка, — в древности при-
давали слишком большое значение. Фигурные числа были известны
и в более отдаленные времена, о чем мы знаем из сочинений крупного
и оригинального математика примерно половины третьего века на-
шей эры, Диофанта, о котором мы уже говорили. Он занимался пре-
имущественно высшей арифметикой. Его работы стоят несколько
особняком среди античных математических изысканий, судя, по край-
ней мере, по тому, что мы знаем о древней науке. Надо сказать, что
ко времени шестнадцатого века сочинения Диофанта были извлечены
из пыли монастырских библиотек. В семнадцатом веке появился хо-
роший латинский перевод Диофанта. Это значительно помогло разви-
тию алгебры, которая в те времена в Европе только что еще начинала
внедряться и постепенно становиться той наукой, которую мы теперь
286
знаем. Начатки алгебры были хорошо известны в древнем Вавилоне.
Очень большое значение для европейской науки сыграли математики
раннего средневековья из Средней Азии—таков, например, славный
Мухаммед бен-Муса ал-Хорезми, то есть Хорезмийский. Эта мест-
ность находится ныне на территории СССР *. И хотя, быть может, все
это было еще далеко от той алгебры, которая существует в наше
время, но самую сущность основных ее положений дал именно Дио-
фант. В первоначальной алгебре буквенные обозначения употребля-
лись не всегда, зачастую многое обозначалось словесно.
— Красивый треугольничек получается из точек!—заметила На-
таша.— Однако ведь число точек — само по себе, а самая площадь
треугольника—сама по себе? Так я говорю, дедушка Тимоша,
или нет?
— Да,— отвечал дедушка, — так. Надо тебе сказать, кстати, что
в древнем Риме, который по части наук никаких особенных подвигов
«	d (d "4“ 1)
не совершал, формулу треугольного числа ——- стали употрео-
лять для вычисления площади треугольника. Теперь это кажется
очень странным, потому что если взять самый нехитрый треугольник,
прямоугольный, у которого основание такое же, как и высота, и равно
некоторому а, то простой чертежик ясно покажет, что площадь его
„	а (а 4- 1)	а2 ,
будет равна не ...2—а просто (по известному правилу: поло-
вина основания на высоту!). Один довольно вид-
ный для своего времени, то есть для десятого века,
ученый, Герберт Аврилакский, от которого до нас
дошли, кроме других сочинений, еще и письма, об-
суждал со своими друзьями, монастырскими учи-
телями-монахами, стоит ли вычислять площадь тре-
* Об этом замечательном ученом любознательный чита-
тель может осведомиться в статье А. П. Юшкевича
«Арифметический трактат Мухаммеда
бен-Муса ал-Хорезми» в сборнике «Тру-
ды Института истории естествознания и
техники», т. I, История физ.-мат. наук.
М„ изд-во Академии наук СССР, 1954,
стр. 85—127. Недаром один из видней-
ших математиков XVI века. Кардан,
работавший в те времена над вопросом
о решении кубического уравнения (фор-
мула для решения кубического уравне-
ния даже носит его имя), называл ал-
Хорезми одним из благодетелей чело-
вечества!
угольника по первой формуле или лучше предпочесть вторую, но
к окончательному выводу прийти не мог.
— Вот странно!..—заметил Лева.
— Постой! — отвечал ему дедушка.— Тут дело не так-то просто,
как ты думаешь. Не в том дело, что они просто «не знали» — да и
точка! Они кое-что тут приметили. Дело в том, что, чем больше ве-
личина а по сравнению с исходной измерительной единицей, тем мень-
ше разница между результатами этой и точной формулы. Формулу
эту употребляли римские землемеры (называвшиеся «агрименсо-
рами»), и на практике они, разумеется, могли, выбирая очень
маленькую исходную меру, добиваться довольно точных измерений.
Именно это-то обстоятельство и сбивало с толку ученых монахов
в средние века, так что они даже начинали поговаривать, что геомет-
рия вообще наука не очень точная. Они указывали, что отношение
диаметра круга к длине окружности по различным источникам рав-
няется то одной величине, то другой. До них как-то дошли изыскания
Архимеда, и они знали знаменитое Архимедово число, равное
22/?, а с другой стороны, им было также известно, что в библейских
сказаниях о храме царя Соломона (десятый век до нашей эры) го-
ворится, что это отношение равно просто трем. А для монахов такого
рода «свидетельство» было, разумеется, немаловажным!
— Вот об этом-то нам и надо было бы поговорить! — заметил,
вздыхая, Лева. — То есть я хочу сказать: об Архимеде!
— Тебе обещали,—отвечал дед, укоризненно покачивая седой го-
ловой. — Ну, и не торопись. Поспеешь.
— Все время Васю перебивают!—с негодованием вставил Вовка.
— Ничего, — засмеялся Вася, — я могу и обождать. Только я что-
то не пойму: при чем тут библейские сказания?
— Только при том,— отвечал дед, — что в них, как-никак, отрази-
лись знания тех времен. И больше ни при чем.
4.
— Насчет Архимеда, — откликнулся Вася, — надо все-таки ска-
зать два—три слова. Архимед первый вывел, что отношение длины
окружности к длине ее диаметра равняется 22/7. Это довольно
точно...
— И сейчас этим числом инженеры пользуются, — вставил де-
душка.— Только я думаю, что все-таки мы пока этой темы касаться
не будем.
— Нет, нет! — отвечал Вася. — Я только чтобы показать, о чем
288
речь идет. Вот в средние века были уверены, что отношение длины
окружности к длине диаметра можно выразить совершенно точно.
Из-за этого и получалась путаница. Ну, а остальное мы потом раз-
берем!
— Коротко можно вот как сказать, — вмешался снова дедушка: —
они потому не могли в этом разобраться, что до них Архимедово ре-
шение дошло только через изустную передачу, которая так и шла
от учителя к ученику среди инженеров. Решение это они знали,
а каким образом Архимед это число получил, они понятия не имели.
Вот из-за этого-то все их и затруднения. Дело в том, что только
в тринадцатом веке Архимед был переведен на латинский язык, кото-
рый в то время был общепринятым международным и научным язы-
ком на Западе.
— Все ясно! — решил Лева.
— Тут вот еще что надо добавить, — заметил дед: — это что даже
не очень точная формула для вычисления площади может дать недур-
ные результаты, если ее применять к малым или очень малым деле-
ниям. Представьте себе, что вам нужно измерить земельный участок
с границами неправильной формы — ограниченный, скажем, ручьем,
который вьется, словно тропиночка, между своими берегами. Если мы
будем мерить квадратными метрами, то, наверно, вычислим эту пло-
щадь с большой ошибкой, а если возьмем меньшие меры (хотя бы
дециметры квадратные), то чем они меньше будут, тем вычисление
наше будет становиться все точнее и точнее. Для развития матема-
тики это наблюдение сыграло немалую роль. Если обратиться к исто-
рии, то можно отметить, что некогда в древней Греции полагали, что
прямая линия и окружность — веши настолько различные, что их
даже сравнивать или сопоставлять ни под каким видом невозможно.
Считалось даже, что этот вопрос до того замысловат, что он выше
всяких математических способов решения задач. Однако нужда в из-
мерении площадей, ограниченных не только прямыми линиями, ста-
новилась все более настоятельной, вероятно, в связи с нуждами аст-
рономии, а возможно, что и в связи с запросами военной инженерии.
Тогда-то математики и вспомнили об этом землемерном правиле:
чем меньшими мерами меришь, тем точнее получается! Отсюда
и родилась попытка приближенно измерять плошадь окружности при
помощи плошади многоугольника, каждая сторона которого очень
мала. Это и было сделано Архимедом с большим успехом. Когда
в семнадцатом веке в Европе снова начались обсуждения подобного
рода вопросов, великий Галилей учил так: если я могу согнуть желез-
ный прут в четырехугольник, то ведь можно свернуть его и в круг,
а это и будет многоугольник с очень большим числом сторон.
Iе) Архимедово лето
289
— Хорошо бы опыт такой, дедушка! — попросил
Лева.
— Ну что ж, попробуем! — ответил дед. — На-
рисуйте круг, а потом вписывайте в него много-
угольники, постепенно удваивая число сторон.
Начнем с квадрата. А когда дойдете примерно до
шестидесятичетырехугольника, увидите, что этот
многоугольник уже почти неотличим от окружности.
Вот оно как... Этот рассказ вам вроде задаточка насчет Архимеда.
— Нет, — вымолвила Веточка, — я все-таки не совсем поняла.
Насчет измерения плошади квадратами это ясно —чем квадрат
меньше, тем точнее измеряем... Я имею в виду тот квадрат, при по-
мощи которого мы измеряем...
— Понятно... — сказал Вася.
— Это,—продолжала девочка,—вроде того,
как на специальной бумаге в мелкую клеточку
рисуют узор для вышивания по канве, меньше
одной клеточки нарисовать на такой бумаге
для узоров нельзя, значит, если будешь рисо-
вать круг, он там обязательно превратится в
такую угловатую фигуру. Это я понимаю: он
будет угловатый, а если отойти немножко и
издали посмотреть, уголков не различишь —
и он покажется круглым. Но как же это вы
говорите, дедушка Тимоша, насчет круга и многоугольника? Как со-
гласовать это? С одной стороны, квадратики маленькие... так при
чем же тут сторона многоугольника?
— Да, — ответил дедушка, — тут немножко не так. Впрочем, раз-
ница невелика. Мы можем наш многоугольник разбить не на квад-
раты, а на треугольники, обшей вершиной которых будет центе много-
угольника, а стало быть, и круга. Значит, чем больше этих треуголь-
ничков, из которых
складывается вся эта измеряемая площадь, тем
ближе прилегают их основания к окружности
и тем точнее будет наше измерение.
— Ах, вот как! — воскликнула Веточка. —
А я-то сразу не догадалась!
— Ну, хватит!—закончил дедушка,—
Только еще замечу напоследок. Разумеется,
Герберт и те монастырские монахи-учителя, с
которыми Герберт переписывался, неправы:
площадь треугольника по формуле треуголь-
ных чисел вычислять нельзя. Но они правы в
290
том, что какую-то полезную неясность они в этом деле заметили.
Правда, полезную не для них, ведь дело было в десятом веке! Эти
монахи-учителя сами признавались, что доказать теорему о сумме
углов треугольника они были не в состоянии.
— А все-таки знали, что сумма углов треугольника равна двум
прямым? — спросила Наташа.
— Да, это им было известно из средневековых маленьких энци-
клопедий, где давались разные сведения, но очень кратко и безо вся-
ких доказательств. Вычисления Архимеда иногда даже приписывали
Аристотелю; путаница получалась из-за того, что они считали это
определение вполне точным, но знали, что, кроме него, существуют и
иные. Таков же, по их мнению, был и случай с двумя формулами для
вычисления площади треугольника. Впрочем, в этом историческом
эпизоде гораздо важнее другое: все это показывает, что у землемеров
Архимедово приближенное вычисление передавалось из рода в род
и так дожило до средних веков... А теперь давайте фигурные числа!
А то Вася скоро на нас рассердится.
— Потерпит! — сказал Ника важно. — Вы что ж думаете: ему
разве неинтересно про Аристотеля? Тоже слушает, не смигнет...
Ну, давай, Вася!
— Одну минуточку! — жалобно проговорила Веточка. — По-
стойте! Нет, я что-то вас опять не понимаю, дедушка Тимоша, или,
может быть, я прослушала, так тогда вы меня поправьте, будьте уж
так добры... Как же это так выходит? Вы говорили, что ал-Хорезми
в девятом веке писал об алгебре, а в то же самое время Герберт в де-
сятом веке, то есть через сто лет, не умел еще доказать, что сумма
углов треугольника равна двум прямым? Как же это так?
— В десятом веке, — отвечал ей дедушка, — Европа переживала
самые темные века. А в Азии как раз был расцвет науки. Только
тогда Европа и очнулась от своего средневекового сна, когда наконец
европейцам в руки попали сочинения ученых с Востока. Сочинения
ал-Хорезми попали в Европу несколько позднее и были переведены
на латинский язык только в двенадцатом веке. Сперва и греков-то
в Европе изучали по переводам на латинский с арабских переводов!
5.
— Ну, Васенька, уж извини! — сказала Веточка.
Вася спокойно кивнул девочке и продолжал свой доклад:
— Итак, эти треугольные числа мы находим в третьем ряду ариф-
метического треугольника. Возьмем еще одну арифметическую про-
19*
291
грессию. Пусть ее первый член будет опять-таки единицей, а разность
равна не единице, а двум. Тогда формула, по которой можно получить
любой ее член — эта формула называется общим членом, — бу-
дет уж не просто п, как у нас было в случае натурального ряда, а
(2л— 1). И мы получим ряд нечетных чисел:
1,3, 5, 7, 9.. (2л—1).
А если мы этот ряд будем последовательно суммировать, как мы сум-
мировали натуральный ряд, чтобы получить треугольные числа, то
выйдет вот что:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 81,..., (л2).
Всякий сам может без труда убедиться, что этот ряд будет состоять
из точных квадратов. У нас получился ряд натуральных квад-
ратов, или ряд квадратных чисел (см. чертеж на стр. 290).
Это свойство последовательных сумм нечетных чисел было очень хо-
рошо известно еще до возникновения греческой математической куль-
туры в древнем Вавилонском царстве — примерно за два тысячелетия
до нашей эры. Греки это знали около пятого века до нашей эры.
— Ого! — мечтательно произнес Лева. — Однако!..
— Да, брат. Значит, суммы нечетных чисел дают ряд последова-
тельных квадратов. Чтобы доказать это, надо просто просуммировать
нашу прогрессию — ряд нечетных,— у которой первый член равен
единице, разность равна двум, а последний член нашего суммирова-
ния равен (2«— 1). Пользуясь нашей формулой, мы получим:
с 1 + 2л — 1	,
5 = —. п = «2.
— Позволь мне, Васенька, — вмешался дедушка, — еше одно при-
мечаньице сделать. Ты, конечно, совершенно прав в том, что начет-
ная сумма (получаемая от последовательного суммирования) ряда
нечетных чисел дает нам квадраты. И верно, что это еше во времена
седой древности было известно. Но вот какое замечательное открытие
сделано было совсем недавно, несколько лет тому назад, через много
тысяч лет после Вавилона: оказалось, что это правило — просто част-
ный случай одного гораздо более общего правила, касающегося полу-
чения из натурального ряда ряда любых натуральных степеней. Ког-
да ты получаешь из нечетных чисел квадраты, ты 1) вычеркиваешь из
натурального ряда все вторые числа и 2) суммируешь оставшиеся в
начетную сумму. Оказывается, можно пойти и дальше! Если ты
1) вычеркнешь из натурального ряда все третьи числа, 2) образуешь
292
из оставшихся начетный ряд, 3) вычеркнешь из этого нового ряда
все вторые числа, 4) из оставшихся образуешь начетный ряд — ты
получишь ряд натуральных кубов. Если ты 1) вычеркнешь из нату-
рального ряда все четвертые числа, 2) образуешь из оставшихся на-
четный ряд, 3) вычеркнешь из полученного ряда все третьи числа,
4) образуешь снова начетный ряд, 5) вычеркнешь из него все вторые
числа, 6) снова получишь начетный ряд, — то в результате ты при-
дешь к ряду натуральных четвертых степеней и так далее, все время
от степени к степени увеличивая число ступеней преобразования на
две. Мы видим, как при помощи очень простого правила образуются
довольно сложные построения.
— Ишь ты, как оно стройно получается! — заметил докладчик
Вася. — По моему, Вова, тебе бы стоило все это записать: интересно!
Продолжаю: возьмем еще арифметическую прогрессию, у которой
общий член отличается от предыдущего (2п—1) тем, что оба его
крайних числа на единицу больше, то есть он будет не (2«—1),
а (Зп — 2). Тогда получим:
1, 4, 7, 10, 13.(Зл—2).
Если этот новый ряд мы будем почленно суммировать, то получим:
1, 5, 12, 22, 35..[1я(Зя-1)].
Мы получим пятиугольные числа (средний чертеж на стр. 290).
Если взять арифметическую прогрессию с общим членом (4« —3),
то путем почленного суммирования получим шестиугольные
числа (нижний чертеж на стр. 290). Совершенно тем же порядком,
увеличивая на единицу крайние числа нашей формулы и суммируя их,
можно получить семиугольные и так далее числа. Для наших
арифметических прогрессий, из которых мы получали многоугольные
числа, можно вывести общую формулу. Вот она какая:
1; 1+Л; 1 +2Л; 1 +3й;...
Общая формула й-го числа, которую легко вывести, будет:
1 + k (ti — 1).
Если дать k значение нуль, получим тот самый ряд сплошных еди-
ниц, с которого мы и начали. Дадим k значение единицы:
1; 1 + 1; 1 +2.1; 1 +31; 1 +4.1;...
Как вы видите, получается натуральный ряд:
1, 2, 3, 4,...
и так далее. Попробуем дать k значение два:
1; 1+2; 1+2-2; 1+3-2; 1+4-2;...
или:
1,3,	5, 7, 9,...,
то есть ряд нечетных чисел. Если положить k равным трем, а затем
почленно суммировать получившийся ряд, придем к только что выве-
денным нами пятиугольным числам.
— Пятиугольным... — старательно повторил громким шепотом
ученый секретарь, возясь со своей драгоценной тетрадкой.
— Итак, — продолжал докладчик,— числа прогрессий, из которых
путем последовательного суммирования членов мы получаем все наши
фигурные числа, называются линейными. Из всех фигурных чисел
линейные — самые простые. Обозначим наши фигурные числа про-
писной буквой F, у которой снизу и сверху будем писать маленькие
указатели — индексы. Верхний индекс будет обозначать порядок фи-
гурного числа, нижний — его степень. Порядком фигурного числа
называется число, указывающее, сколько раз суммировались один за
другим ряды. Ряд линейных чисел (начальную прогрессию) считаем
первого порядка. Степенью же фигурного числа будем называть зна-
чение коэффициента k при (п— I) в общем члене прогрессии. Значит,
числами первого порядка и первой степени у нас будут:
F\= 1, 2, 3, 4, 5,...
Числа второго порядка, или плоские числа, получаются от суммиро-
вания соответствующих чисел первого порядка. Например, треуголь-
ные числа Fi получаются от суммирования чисел F\:
F\= 1, 2, 3, 4, 5,...
Fl= 1, 3, 6, 10, 15,...
Квадратные числа Fl получаются от суммирования чисел ряда Fl:
Fl = 1,3, 5,7,9,...
Fl= 1, 4,9, 16, 25,...
Таким же образом получаются пятиугольные F3, шестиугольные F%
и так далее — все плоские числа. Если указаны порядок и степень, мы
получаем ряд чисел, например:
Н = 1, 4, 7, 10, 13,...
А для того чтобы указать какое-то одно определенное фигурное число,
в этом ряду надо указать не только порядок и степень, но еше и но-
мер его в ряду (третий индекс, который пишется в скобках, рядом
с нижним). Тогда получается, что
F'i(2) = 2; Гад = 5; Гад = 10 и так далее.
Если указаны порядок и степень, получаем целый ряд чисел. Если же
указан только порядок, мы получаем k рядов чисел, каждый из кото-
рых начинается с прогрессии, имеющей разностью число k. Суммиро-
вание линейных чисел дает плоские числа, общая формула которых
будет:
Я=1; 2-f-A; З + ЗА; 4 + 6k; 5 + Ш;..	[2 + k(n - 1)].
Эти плоские числа и есть многоугольные числа, а число углов
в них равно всегда (2 + k) — это второй член ряда.
— Так, — сказал Лева,— немножко длинно, но, пожалуй, иначе
и нельзя, если уж все рассказывать по порядку. Ну, а что же будет,
если я начну теперь последовательно суммировать и эти многоуголь-
ные числа?
— Тогда мы получим еше новые фигурные числа, которые назы-
ваются уже объемными или телесными фигурными чис-
лами третьего порядка, обозначаемые Г*. Если просуммировать
треугольные числа:
Я = 1, 3, 6, 10, 15,...
мы получаем первые пирамидальные числа или треуголь-
но-пирамидальные Fi:
1, 4, 10, 20, 35,..., [-£-(«+ 1)(«+2)].
И по формуле общего их члена можно подсчитать то самое число пу-
шечных ядер в треугольной ядерной куче, которой так у нас здесь
заинтересовались Лева с Наташей...
295
— Интересно!—сказала Наташа. — А я и не знала, что для такой
кучи особая формула есть.
— Ну как это так! — воскликнул Лева. —Я хоть тоже этого не
знал, но был уверен, что что-нибудь такое в этом роде обязательно
имеется —уж очень они правильно лежат! А отдельные слои такой
кучи?
— Отдельные слои будут как будто треугольными числами опре-
деляться...— не очень уверенно сказала Наташа. — Так я говорю,
Вася, или нет?
— Правильно, — подтвердил дедушка, — так оно и
JlHb есть! И по этой причине насчет треугольных чисел и
многоугольных вообще надобно сказать, что если попро-
рДИмМЬьбовать составить из одинаковых шаров... а ядра — такие
МмРЯЫРшары как раз и есть!... тот или иной многоугольник, то
их число как раз и определится тем или иным много-
угольным числом. Так что это не только условная точеч-
ная диаграмма, какие нам показывал Вася, это нечто более близкое
к действительности. Конечно, с точными шарами природа не имеет
дела, но кое-какие из самых маленьких телец, существующих в при-
роде, нам приходится воображать себе наподобие шаров. И оказы-
вается, что эта более или менее схожая с действительностью картина,
или, как говорится, аналогия, полезна для рассуждений о строении
вещества. Если положить на блюдечко десятка три — четыре ма-
леньких шариков, хотя бы кругленьких конфеток, и осторожно по-
трясти это блюдечко, то наши шарики обязательно улягутся шести-
угольничком!
в.
Тут дедушка сделал озабоченное лицо и вытащил из своего широ-
кого внутреннего кармана довольно плоское блюдечко.
— Терешкино блюдце!.. — прошептал товарищ секретарь с выра-
жением явного неодобрения.
— Не-ет, брат! — засмеялся дедушка, — ошибся ты. Терешкино
беленькое, краешек отбитый, а это, видишь, целое да с незабудками.
— А-а... — протянул Вовка, — а я думал Терешкино, и что ты
за это Терехе колбаски кусочек дашь.
— Колбаски и так можно дать,— откликнулся дед. — Кусочек,
так и быть!
— Лучше два!—сказал с глубоким вздохом секретарь.
Затем дедушка вынул из другого кармана пригоршню круглень-
кого разноцветного драже и высыпал на блюдце. Все сошлись около
296
дедушки. Ои потряс немного свое блюдечко — и сладкие шарики по-
слушно и аккуратно легли ровным шестиугольником.
— Давай и я, дедушка, потрясу!—умоляющим голосом сказал
Вовка. — Ведь у меня они тоже лягут, ты как думаешь?
— Ну еше бы, как же они смеют не лечь? — отвечал дед.
— А конфетки? — спросил недоуменно и заботливо Вова.
— А конфетки твои.
— Я одну штучку Веточке дам, — важно отвечал секретарь.
Веточка засмеялась и осторожно взяла одну конфетку. Поглядела
пристально на Вовку и протянула конфетку Наташе. Та взяла, а Ве-
точка снова улыбнулась Вовке и спросила:
— А мне?
Вовка пожал плечами в полном недоумении.
— Ну уж дай каждому по конфетке! — попросила Наташа.
Вовка недоверчиво посмотрел на нее, потом на Веточку, подумал
и ответил:
— Дам... по одной, а то мне и трясти не-
чего будет.
Дедушка усмехнулся и подсыпал внуку
еще несколько сладких шариков на блюдечко.
— Вот, — продолжал Тимофей Иринархо-
вич,— вы теперь и сами видите, что такой
простенький физический опыт приводит нас
прямиком к фигурному числу— плоскому ше-
стиугольному, которое Вася запишет как Fl.
Если составить диаграмму, на которой нарисованы рядами круги,
прилегающие друг к другу как только возможно тесно, то это будет
перед нами картина заполнения плоскости одинаковыми кругами, или
так называемое решетчатое расположение кругов. Чем больше кругов,
не перекрывающих друг друга, расположится у нас на некотором
участке плоскости, тем это расположение плотнее. Отсюда легко сооб-
разить, что если центры наших кругов —любые три соседних цент-
ра—образуют правильные треугольники, то есть равносторонние,
то именно в этом случае мы и получим
наиболее плотное расположение кругов.
Ну, а теперь Вася нам расскажет подробно,
как дело обстоит с ядерной кучей. Там
не круги заполняют плоскость, а шары
заполняют пространство. А этим уже инте-
ресуется и физика.
— Я просто напомню всем моим друзь-
ям, какова она на вид, эта ядерная куча! —
297
сказал Вася.— Наверху у нас одно ядро, в следующем
ряду — три, ясно. Это как раз ответ на знаменитую задач-
ку со спичками: сделай из шести спичек четыре треуголь-
ника!
— Сейчас, — откликнулся Вовка, — сейчас сделаю. По-
тому что мне дедушка уже показывал... Ну только ты, де-
душка, дай мне спичек... Шесть штучек... Нет, — добавил
грустно Вова через минуту,— не выходит, потому что я за-
был, как это делается.
— Очень просто, — отвечала ему Наташа. — Как лежат
ядра в куче? Наверху одно, вот тут сходятся головки трех
спичек... верно? А потом внизу... Там что, Вова? .. Там
ведь три ядра. Вот в этих трех точках — это будут, скажем,
центры этих трех ядер, так? — там сходятся по три все
остальные концы... Шесть спичек — значит, концов двена-
дцать. Три сверху мы уже посчитали. Значит:
12 — 3 = 9.
Ну, Вова, да проснись же! Так как же?
— А-а!—закричал Вова. — Подожди ты, Наташа, не мешай,
я сам все сделаю!
— «Не мешай»!—лениво повторил Лева. — Много бы ты сделал,
если бы она тебе «не мешала»!
Но Вова уже ничего не слушал и сделал наконец свою фигурку,
которая у него не хотела стоять ровно.
— Ну вот, — решил Лева, — эта фигурка и называется тетраэдр.
Мы о нем вспоминали, когда разговаривали насчет фигур одного рос-
черка (см. гл. V, разд. 2).
— Ах,— грустно вымолвил Вовка, — я и забыл! А ведь у меня
записано... Вот досада!
— Тетраэдр, — продолжал Вася, который тихо посмеивался, пока
тускарийны напоминали своему секретарю, что такое тетраэдр, —
образован тремя правильными треугольниками. А за тремя ядрами
второго слоя ядерной кучи идет третий слой, в котором уже — как это
ясно из нашего ряда треугольных чисел—лежит шесть ядер, а затем
десять и так далее. Обратите внимание на то, что в третьем ряду мы
видим, если поглядеть со всех сто-
рон сбоку, все шесть ядер, но в чет-
вертом ряду одно из ядер, среднее,
уже сбоку не видно. Это первое из
ядер, которых сбоку нельзя увидеть,
298
а затем, что ни дальше, таких ядер поибавляется все больше и боль-
ше. Теперь дается задачка. Попробуйте определить, со сколькими
ядрами соприкасается ядро, которое лежит внутри кучи и которого,
следовательно, сбоку не видно? Ну-ка, кто скажет?
— Ну, Вова, действуй вовсю!—сказал дед.
— Всё Вова да Вова! — сказал товарищ секретарь с плохо
скрытым опасением. — Точно я всё могу решить...
— Ничего, решишь, — отвечал Ника. — Да ведь ты секретарь!
— Про четвертый ряд я понял, — отвечал с огорчением секре-
тарь,— действительно не видно. С каждого боку видишь по четыре,
но три ядра считаются по два раза — это которые по углам, — зна-
чит, три умножить на четыре — будет двенадцать, да вычесть три,
остается девять, а у нас всего десять, то есть вот и выходит: есть
одно, которого мы не видим.
— Все верно разобрал!—сказал Лева. — А любишь ты нюни рас-
пускать зря!
— Сам «зря»! — сердито ответил Вовка. — А вот как теперь рас-
считать, со сколькими оно там внутри соприкасается, уж не знаю.
— Все ты верно сообразил, — сказала Наташа. — Не торопись —
и все остальное тоже сделаешь.
— Ты уж, наверно, сделала! — завистливо пробормотал Вовка.
— Нет, — отвечала девочка,—зачем мне делать, когда ты сам
сейчас все сделаешь.
— Ну хорошо, — отвечал секретарь, видя, что деваться уж не-
куда,— вот я смотрю на этот мой чертежик; там нарисован четвертый
ряд кучи, то есть десять ядер; я вижу, что если крайние ядра, кото-
рые в углах, отбросить, то останутся только те, которые прикасаются
к среднему ядру... их шесть.
— Это сбоку, ну а теперь сочти... — начала Наташа.
— Да я понял, понял! Что ты мне подсказываешь! — рассер-
дился секретарь. — Теперь надо счесть, сколько наверху. Там
лежит третий ряд, и в нем целых шесть ядер... А уж дальше я не
понимаю!
— Ты начни лучше с самого верха кучи, — посоветовала Ната-
ша.— С самого верха. Наверху...
— ... одно ядро.
— А под ним...
— ...три ядра.
— Ну вот тебе и всё!
— Значит, — помог дедушка, — у тебя, Вова, одно ядро всегда
лежит на трех. Всегда у него три сверху, так же и снизу его под-
пирают три ядра. Подумай — и сообразишь, что иначе и быть не
299
/1\ может. Ядро лежит в ямке. А ямку образуют три ядра—
/ртввй не больше, не меньше.
/ \4п1\	— Это верно, — сказал Вовка, приободрившись, — то-
гда, значит, шесть да три да еше три, выходит двенадцать.
— Так! — сказал Вася. — Люблю друга за правду. Что
за молодчина наш секретарь — всё сосчитает! Теперь я вот
что еще должен насчет строения этой кучи сказать: если первые два
ряда представляют собой нечто вроде тетраэдра, то три первых ряда,
взятые вместе, представляют собой не что иное, как четыре тетраэдра,
поставленные опять-таки пирамидой. Вот смотрите на чертеж — все
ясно будет! Поставлены они так: три тетраэдра стоят внизу — они
образуют собой второй и третий ряды нашей ядерной кучи, а наверху
стоит еще один —это первый и второй ряды. Смотрите-ка на чертеж
повнимательнее! Общее количество ядер в такой треугольной куче
подсчитывается по общему члену треугольно-пирамидальных чисел
Fi — эти числа составляют третий столбец арифметического треуголь-
ника. Если мы далее возьмем квадратные числа, которые есть не что
иное, как ряд натуральных квадратов:
Fl = 1, 4, 9, 16, 25,... пг.
и будем их последовательно суммировать, то получим очень полез-
ный в своих многочисленных приложениях для разных отделов мате-
матики ряд квадратно-пирамидальных чисел:
Fl= 1, 5, 14, 30, 55,...,-J-(«+1) (2« + l),
а они дают нам число ядер в
квадратной ядерной куче или
число кубов, составляющих сту-
пенчатую пирамиду каменной
кладки, которую в древности изо-
бражали особой буквенной схе-
мой, как показано на моем черте-
же. С другой стороны, эти же
числа дают нам сумму натураль-
ных квадратов.
— Эта сумма, — добавил дедушка, — имеет
важнейшие приложения во многих отраслях мате-
матики и очень полезна в самых различных вычис-
лениях точных и технических наук. Сумма эта была
известна еще наследникам древнего Вавилона, то
«X
<<о<
оС о4сЧ
сС <Х<Х
<Х сХ оС
X <4 о< ot
04. ОС ОС <Х
С< сХ (X <Х
__ ос <Х сХ. <Х
<Х <Х сХ с<
<Х	о<	ос	сХ	о<
оС	пС	of	qC
04	ос	ОС	<Х	<Х
<Х	сХ	<х	<Х	о(.
300
есть примерно ко времени четвертого века до нашей эры, а веком
позже, в третьем веке, она была заново вычислена Архимедом.
— А я, — заявил Лева, —знаю очень хороший способ вывода
этой формулы при помощи шашечницы, то есть шахматной доски!
— Как так, при чем тут шахматная доска? .. — раздались друж-
ные голоса.
— Если позволите, покажу, — отвечал Лева.
— Послушаем...— решил Ника.— Ты, Вася, как? Не возражаешь?
— Нет, — отвечал Вася, — интересно узнать, в чем тут дело
с шашечницей.
— При помощи шашечницы можно производить разные довольно
интересные суммирования, — начал Лева. — Только, разумеется, надо
представлять себе не обыкновенную шашечницу в шестьдесят четыре
поля, а побольше, у которой п горизонтальных и вертикальных линий,
а всего, значит, у нее ровно га2 полей. Будем суммировать двояко:
во-первых, просто по линиям — например, скажем, на обыкновенной
шашечнице, — вся седьмая полоса, то есть сумма всех ее восьми
чисел. Это будет способ суммирования по прямым. Во-вторых,
у нас будет способ сложения по гномонам...
— Это что такое? — вопросил секретарь.
— Не перебивай и сейчас же узнаешь! Будем действовать вот как:
первым слагаемым будет число в верхней левой клетке (по шахмат-
ной нотации это число на поле а8), вторым — сумма трех чисел,
которые стоят на трех полях, образуемых вертикальной полосой b
и второй горизонтальной линией до их пересечения (по-шахматному
это будут поля Ь8, Ь7 и а7). Третье слагаемое — сумма чисел на пяти
полях, образуемых вертикальной полосой с и третьей горизонтальной
полосой до их пересечения (по-шахматному это будут поля с8, с7,
сб, Ь6 и аб). И так далее каждый гномон идет вот таким уголком, и
каждый следующий шире предыдущего. Поле пересечения для четвер-
того слагаемого, очевидно, будет поле d5, для пятого — поле е4 и так
далее. Для начала, чтобы пояснить, как я буду действовать, я ставлю
на каждом поле единицу. Начинаем складывать. Каждая полоса дает
мне п (не забудьте, что у меня в каждой полосе п полей!), а так как
и полос (или линий, как любят говорить шахматисты) у меня тоже#,
то выходит, что на всей доске умещается...
— ... ровно га2, — подсказал Вася. — Несложно!
— Очень хорошо! — отвечал Лева. — Идем дальше. Начинаем
второе суммирование тех же самых единиц. Мы складываем по
прямым. Теперь—по гномонам. Ну-ка, Вася, что у нас тут полу-
чится?
— В углу, — отвечал Вася, — стоит единица; второй гномон —
301
я считаю, спускаясь сверху вниз и поворачивая потом налево,—
дает 2+1, третий дает 3 + 2 и так далее. Последний даст, очевидно:
п + (п - 1) = 2л — 1.
В общем, получаю:
1 + 3 + 5 + ? + ... + 2л —1.
Этот случай мы как раз сегодня разбирали. Сумма...
— Стой, стой, не торопись! — закричал Лева. — Шашечница нам
все сама сосчитает!.. Теперь мы приравниваем сумму по прямым
сумме по гномонам и получаем: все это равно л2. Вот вам еше раз
тот же вывод, который давал сегодня Вася: сумма нечетных после-
довательных чисел равна квадрату общего количества нечетных чисел
в данном отрезке ряда. Гномонов у наел, а значит, л слагаемых. Это
просто для примера того, как шашечница может считать:
j з + 5 + 7 +•.. + 2п — 1 = л2.
А теперь другой пример. На этот раз в каждой горизонтальной
линии доски я пишу натуральный ряд с самого начала, то есть от
единицы дол. Если вспомнить то самое правило, которое нам сооб-
щил Вася, то есть правило суммирования арифметической прогрессии,
то сумма каждой такой строки — линии — будет равна:
Но если это так и по всей доске у меня п линий, следовательно, вся
доска даст мне:
Теперь будем складывать то же самое по гномонам. Ну-ка, Наташа,
помоги мне!
— Помочь? — произнесла Наташа. — Ах ты бедненький! Сам
не можешь? Ну, уж так и быть... Рисую чертеж. В углу по-прежнему
остается единица. Второй гномон — получается так: 2 + 2 и еше
единица... я сверху начинаю считать, как Вася считал, потом влево
по гномону. Третий гномон: 3 + 3 + 3 + 2 + 1. Значит, так полу-
чается: в вертикальной части гномона у нас стоит число, совпадаю-
щее с его номером: второй гномон — два, третий — три и так далее.
Это число повторяется столько раз, сколько в нем единиц, следова-
302
тельно, это число у нас будет в квадрате. А налево стоят числа от
единицы до номера гномона без единицы. Записываю:
fl% -j- (1	2 -j- 3 -j-... “j-/? -— 1).
Только что-то уж очень длинно вышло.
— Запиши покороче, — посоветовал дедушка.
— Хорошо, — отвечала Наташа, поглядывая на свою запись.—
У меня в скобках опять арифметическая прогрессия. По нашему
правилу...
— По Васиному! — наставительно ввернул секретарь.
— ... да, Васиному... получается вот что:
п* +..1.+...-..(га - 1) = га2 + п.
А если привести к одному знаменателю, получается так:
— Превосходно! — решил Лева. — Больше ничего и не надо.
Теперь подсчитаем суммы по каждому гномону. Для этого я буду
в этой последней формуле давать числу га — это ведь порядковый
номер гномона! — все значения от единицы дога. Подставлю в мою
формулу единицу, у меня получится:
з. p_.ll
Затем двойку:
Т2’~Т2-
И так далее, и так далее, одно число за другим вплоть до последнего,
которое равно га:
3 г 1
у га2—у га.
Теперь я должен сложить все эти выражения от единицы дога. Когда
я все эти выражения сложу, я получу следующее:
|Д-уД.
Разберем теперь, что такое Л? Ясно, что это сумма всех квадратов
чисел от единицы доп. Что такое В? Это сумма их первых степеней.
Но последнюю мы умеем уже определять по правилу суммы арифме-
тической прогрессии, следовательно,
R л(л+1)
в =--------.
Теперь я приравниваю мою сумму по прямым сумме по гномонам:
3 Л 1 л (л + 1)	л1 2 (л + 1)
_ л .
Откуда и определяю мое А. Как уже показал Вася, оно равняется:
. _(2л+ 1) • (л + 1)л
А	6
Вот как прекрасно считает шашечница!
— Интересно! — решила Веточка. — А еще что можно на шашеч-
нице сосчитать?
— Еще можно, — объяснил дедушка,— написать на ее полях всю
пифагорову таблицу умножения, и тогда ты узнаешь, чему равна
сумма кубов натурального ряда. Напиши квадраты чисел пифагоро-
вой таблицы умножения — узнаешь, чему равна сумма пятых сте-
пеней. Тоже небезлюбопытно.
1.
— Так, — сказал Вася, — теперь уж совсем немного осталось,
рассказал почти всё. Можно еще образовать пирамидальные числа
следующих степеней, пользуясь обычным нашим последовательным
суммированием или по общей формуле чисел вида ft:
1; 3 Ч- Л; 6 ч- 4А?; 10+ ЮЛ; 15 -+ 20Л
|(«+ 1) [3 + k(n-1)).
При помощи суммирования пирамидальных чисел получаем так
называемые тр еу гол ь н о-тр е у г о л ь н ы е числа (сверхпирами-
дальные или кубоидные), это будут фигурные числа четвертого
304
порядка Fk, причем первые из них, когда k равно единице, полу-
чаются суммированием треугольно-пирамидальных:
F* = 1, 4, 10, 20, 35,...
откуда получим:
Л = 1,5, 15, 35, 70,..., п(п + 1).(2^3;; 4П ± ~ •
Эти числа дают нам четвертый столбец арифметического тре-
угольника.
— Советую еще обратить внимание, — добавил Тимофей Ири-
нархович, — на выражение, которое в этой формуле у Васи стоит
в знаменателе. Узнаете ли вы его? Мы ведь с ним встречались.
Никто не вспомнит, когда это было?
— Кажется, — произнесла не совсем уверенно Наташа, — когда
мы о Дразнилке говорили и рассчитывали, сколько там может быть
разных комбинаций?
— Конечно! — поддержал ее Лева. — Да это факториал. Про-
изведение чисел натурального ряда от единицы... в данном случае
до четырех:
4! = 1 -2-3 • 4 = 24.
— Факториал,— сказал руководитель Тускарийский, — растет
очень быстро. Если сопоставить рост факториала с ростом степеней
числа десять, то уже около степени, равной двадцати, факториал
начнет обгонять ряд степеней десяти и что ни дальше, то все скорей
будет уходить от него. Мы уже видели факториал четырех, он равен
двадцати четырем. Четвертая же степень десяти равна тысяче, то
есть почти в сорок два раза больше соответственного факториала.
Если же взять число 10100, то для изображения его нужен сто один
знак, а для изображения числа 100! требуется уже не менее ста
пятидесяти восьми знаков. Вообще факториалы растут быстрее сте-
пеней любого числа, и, конечно, любопытно взглянуть на примеры.
— Можно! — отвечал Лева.—У меня есть маленькая табличка:
1! =	1	6!=	720
2!=	2	7!=	5 040
3! =	6	8! =	40 320
4! =	24	9! =	362 880
5! = 120	101 = 3 628 800
А затем факториалы растут всё скорее и скорее. Факториал пят-
надцати равен 1307 674 368000, триллион с лишним, а двадцати —
20 Архимедово лето
305
2 432 702 008176640 000, два квинтиллиона! Вот как они быстро
растут, эти факториалы!
— Это особенно ясно получается на таком примере, — добавил
дедушка. — Возьмем число 99! Разумеется, оно очень велико, однако
следующий за ним факториал, то есть 100!, больше его ровно в сто
раз.
— Верно, дедушка? — спросил немного удивленный Вовка, а за-
тем повторил Левину цифру:—Два квинтиллиона! А хорошо бы нам
раз навсегда записать все эти названия...
— Эти названия, — ответил ему дедушка Тимоша, — теперь посте-
пенно выходят из употребления. Вместо них обычно пишут степени
числа десять. Это гораздо удобнее. Но в обычной речи и в финансо-
вых документах такие слова, как миллиард или триллион, употребля-
ются. Теперь чаще пользуются французской системой названий, когда
через каждые три разряда знаков название меняется. Тысячи, мил-
лионы, биллионы, триллионы и так далее.
— По степеням десяти это так как будто выйдет, — сказал Лева и
показал свою запись:
10 3 = 1 000 — тысяча,
10 6 = 1 000 000 — миллион,
10 9 = 1 000000000 — биллион, или миллиард,
1012= 1000000 000000—триллион.
— А дальше, — добавил Лева, — идут по тому же правилу назва-
ния: квадриллион—1015, квинтиллион — 1018, секстиллион—1021,
септиллион — 1024, окталлион — 1027, ноналлион — 1030 и дециллион —
1033. Иногда вместо «квинтиллион» пишут «пенталлион», вместо
«секстиллион» пишут «гексаллион», вместо «септиллион» — «гептал-
лион» и вместо «дециллион» — «декаллион».
— То есть, — объяснил дедушка, — просто заменяют слово, про-
изведенное от латинского корня, словом, которое имеет греческий
корень. Надо еще вам сказать, что слово «миллион» сравнительно
новое —его придумали в Италии в четырнадцатом веке. Им обозна-
чалась «большая тысяча», то есть тысяча тысяч, или тысяча в квад-
рате, то, что мы теперь называем миллионом. Есть и другая класси-
фикация названий, употребляемая в Англии; там название меняется
не через три разряда, а через шесть. Так что биллион по английской
традиции будет 1012, а триллион— 1018 и так далее. Но все это теперь
употребляют довольно редко.
— Ясно! — подтвердил Вася и продолжал: — Теперь, так уж
кстати, просто отмечу, что формула для сверхпирамидальных чисел
такова:
306
ft=l; 4 + 6; 10 + 56; 20+156; 35 + 356;...;
(fl + 1) (n, + 2) [4 + 6 (fl— 1)].
Это будут фигурные числа 6-ой степени, разумеется. В этом же роде
можно идти и далее. Конечно, всегда у нас получается так, что
— Наверно, можно дать и общую формулу для всяких фигурных
чисел? — спросил Лева.
— Можно, — отвечал Вася. — Это будет формула фигурных чисел
rf-ro порядка и 6-ой степени. Смотрите! Для n-го числа 6-ой степени
мы получаем следующие формулы. Для чисел первого порядка мы
получаем:
F k (л) — [1 + 6 (п, — 1)].
Для чисел второго порядка:
=	[2 + k(n-\)\.
Для третьего и четвертого порядков:
(л) = j . 2 . з (^ + О [3 + 6 (fl — 1)],
w = ь+з.4(« + 1) (« + 2) [4 + 6(« - I)],
а вообще получаем:
f«<>=+'++) ^+^('>-1)1.
Если мы просуммируем последовательно такой ряд, то получим
фигурные числа (t/+1)-го порядка. Это, так сказать, самое общее
правило по этой части. Что касается арифметического треугольника,
то он весь составлен из фигурных чисел первой степени F\ , где d
равняется 1, 2, 3,... Если бы мы составили треугольник по тому же
правилу, но взяли фигурные числа иных степеней, например второй
или третьей, то этот треугольник уже не был бы симметричным.
А в чем тут дело, мне уж не придется объяснять...
20*	307
— Это почему? — возмущенно откликнулся, вдруг вскочив на
ноги, Лева.
— Потому, — сказал Вася, тоже поднявшись на ноги и отвесив
Левушке низкий-пренизкий поклон, — что это находится в ведении
Никиты-Кожемяки. Он тебе доложит. Передохни, Левка, а то как бы
тебе не лопнуть.
Раздался общий смех, Лева в негодова-
нии махнул рукой, но в ответ ничего не при-
думал, пожал плечами и уселся на свое ме-
сто.
— А я вот еще что хотел вам сказать,—
заговорил Вовка, — вот насчет треугольни-
ка! У нас с дедушкой есть еще один способ
вычислять площадь треугольника. Индий-
ский, древний! Очень хороший. Вот я нари-
сую, а вы уж сами разбирайте — тут про-
сто. Сразу все понять можно!
И Вовка нарисовал чертеж.
— Вот как! — сказала Наташа. — Хо-
рошо! Правда просто.
Дедушка Тимофей Иринархович отки-
нулся немного вправо, залез в маленький
кармашек, вытащил оттуда не без труда старинные серебряные часы
с крышкой и, щелкнув ею, заметил:
— На сегодня, пожалуй, и хватит, ребятишки. Во-первых, заме-
тим, что все эти ряды, которые мы сегодня рассматривали, носят
название арифметических рядов. Как вы видели, все они
образуются один из другого по довольно простым правилам и в ре-
зультате этих постепенных переходов всё усложняются и услож-
няются. Очень важно заметить то, что эти ряды начинаются просто
с суммирования ряда единиц и при помощи одного и того же
приема доходят до очень сложных построений. По этому общему пра-
вилу— то есть с последовательным применением одного и того же
приема — в математике строятся самые различные и весьма важные
формулы, которые, конечно, касаются не только арифметики, но и
гораздо более сложных областей нашей науки. Такого рода матема-
тические построения могут быть и очень сложными, но в своих осно-
ваниях они обладают простотой и доступностью, а в силу этого мы
очень легко можем обсуждать все их постепенно усложняющиеся
свойства. Это обстоятельство следует особенно подчеркнуть: оно
касается некоторых не только важных, но, пожалуй, даже и основ-
ных положений нашей науки, о которых мы когда-нибудь еще пого-
308
ворим. Вот как... Ну, а во-вторых, ребятки, надо ведь отдать долж-
ное и малине. А в-третьих, скоро уж нужно и к дому двигаться.
А то ведь как бы нас не заругали — куда это вы провалились? Вста-
вай, молодцы! Ша-а-гом... марш!
8.
— А у меня, —сказала Наташа, —есть очень миленькая задачка
на дорогу. Нетрудная, но очень занятная.
— Ну, рассказывай!— сказал дедушка. —По дороге это очень
удобно. Идешь посматриваешь — тут лесок, там лужок, иволги
звенят, белки по елкам прыгают, стоят вдалеке сарайчики, да кол-
хозный ветряной двигатель своим веером машет...
— Веером? —спросил Лева недоверчиво. — Веер ведь похож ви-
дом на сектор круга?
— Есть такие раскладные японские веера, они совсем кружком
раскрываются, — ответил ему дед, — вот на такой веер и похожа эта
огромная вертушка... Стадо двигается потихоньку на водопой, а ты
идешь себе помаленьку, да и размышляешь над задачкой. Хорошо!..
Ну-ка, Наташа!
Задача Наташи была такая:
— Жил был на свете один ученый человек, который работал
в важном исследовательском институте. Жил он не в этом самом го-
роде, где был его институт, а неподалеку от этого города, на даче.
И ездил он на работу на машине, а к концу дня, к пяти часам вечера,
его шофер опять приезжал за ним и вез его на «Победе» домой.
Однажды так случилось, что наш ученый освободился на работе
раньше обычного, то есть не в пять часов, а ровно в четыре. Так как
он хорошо знал, по какой дороге едет его машина, то он взял и пошел
прямо ей навстречу. Идет, идет и наконец встречает свою машину,
остановил ее, сел и домой поехал. И приехали они домой ровно на
двадцать минут раньше обычного. Вот и всё. А теперь надо узнать,
во сколько раз скорее ехал наш профессор на машине, чем шел
пешком?
— Очень просто! — сказал Вовка. — Сейчас решу. Ничего тут
трудного нет. Вычитаю двадцать минут...
— Из чего вычитаешь? — мрачно возразил Лева.
— Как — из чего? — удивленно спросил Вова. — То есть как
из чего?
— Ну, очень просто: если вычитаешь, то ведь ты из чего-нибудь
вычитаешь? Так ведь? Так из чего же ты вычитаешь?
309
— Не знаю!—сказал Вовка, насупившись. — Я подумаю.
— Подумай, — сказала ему Наташа, — подумай, милый Вова, это
никогда не мешает.
— Очень трудно.проворчал Вовка. — Вы что-то последнее
время такие уж трудные разные штуки выдумываете!
— Да что ты! — удивилась Веточка. — Нет, почему же трудные? ..
А знаешь, Вова, у меня для твоей тетрадочки есть несколько слав-
неньких игрушечек.
— Какие игрушечки?
— Вот какие... Я буду диктовать, а ты записывай. Хорошо?
Напиши-ка сто четырьмя девятками, ну-ка!
— А как?
— А вот как:
99|.
А теперь то же самое, только не четырьмя девятками, а шестью:
99 —
уу99'
А теперь скажи, нельзя ли ту же сотню написать пятью единицами?
Оказывается, можно:
111 — 11.
А пятью пятерками? Пожалуйста, получай:
5  5 • 5 — 5 • 5.
— Выходит, — сказал Вовка, —
125 — 25= 100.
— А можно то же самое, еше по-другому:
100 = (5 + 5 + 5 + 5) -5,
а вот еще интересные примеры. Если взять тринадцать в квадрате —
132= 169,
а если переставить цифры, и взять тридцать один —
312 = 961,
и то же самое выйдет, если взять 12 и 21. Попробуй сам! А если возь-
мем одиннадцать в квадрате?
310
— Знаю! Будет сто двадцать один.
— Верно. Но можно и дальше:
112 = 121
1112= 12 321
11112 = 1 234 321
и так далее и так далее, пока не дойдем наконец до такого числа:
111 111 1112 = 12 345678987654 321.
Видишь, как все красиво получается!
— Замечательно! — провозгласил восхищенный секретарь.
— А вот еще. Только смотри не сбейся... Задачка такая: есть
на свете такое число, которое кончается цифрой два, а если ее взять
с конца и поставить в самое начало этого числа, то оно удваивается.
Найти это число. Я прямо тебе скажу — это не так легко... А вот
тебе и ответ на эту задачу:
105 263 157 894 736842.
А если тебе этого не хватает, то вот еще одно число в таком же роде:
3 103 448 275 862 068 965 517 241 379.
— Вот так число! — завопил в полном восторге секретарь. — Как
оно называется? Я уже забыл...
— Это три окталлиона с лишним, вот это сколько. А дело с этим
числом вот в чем. Если взять с самого начала тройку и переставить
ее в самый конец, число это уменьшится втрое.
— Ну еще что-нибудь! Веточка, милая! — взмолился Вовка.
— «Еще»? — засмеялась она. — Все мало? Ну вот что еще могу
тебе сообщить под страшным секретом. Ты в домино умеешь играть?
Вовка кивнул.
— Ав шахматы?
— Тоже... ну, только не очень. Левка всегда обыгрывает. Как-то
подмостится ко мне, что-то такое там двинет или рокируется, и обя-
зательно мне шах конем: и королю и ферзю, — хвать! — и нет коро-
левы! Вот какая у него замашка! Прямо глаз спускать нельзя!
А прошлый раз — вдруг смотрю, отдает пешку...
— Ты, конечно, цап!
— Ну ясно! Я думал — он прозевал. Только я взял, вдруг он
потихонечку одним пальцем ладью пододвигает — ферзю гардэ! —
311
а уходить нельзя, потому что у меня сзади ферзя король стоит.
И, пожалуйте, опять я без королевы!
— Это ничего, — отвечала Веточка, — выучишься! Но насчет
домино я могу тебе сказать вот что. Математики подсчитали, сколько
вообще в домино может быть сыграно различных партий! Оказы-
вается, что много, но не так уж много, а именно
3979614 965 760.
Почти четыре триллиона. А вот в шахматы там только примерно
можно было подсчитать. Там вышло побольше:
25 • 10"\
вот сколько!
— Здорово! .. — удивился Вовка. — Только вот что: десять
в какой-то степени — это выходит единица со столькими нулями,
сколько единиц в степени. Так я говорю?
— Так. Сообразить нетрудно: просто десять это ведь десять
в первой степени? Ну, и нуль один. Видишь, как просто.
— Вот как ты хорошо придумала! Сто пятнадцать нулей!
— Доволен ты моими игрушечками? Угодила я тебе?
— Еще бы, — воскликнул Вовка, — просто замечательно! Уж так
угодила — лучше и не придумаешь. Уж я теперь постараюсь решить
эту задачку про ученого и про его шофера.
— Конечно, постарайся.
Глава тринадцатая
Ученые рассуждения о скамейке и трех мальчиках, а затем даже и
о четырех. — Снова факториал и снова триллионы! — Сумма, разность
и их квадраты. — Теорема Пифагора. — Куб суммы, за ним еще
четвертая и даже пятая степень. — Снова тот же арифметический
треугольник. — Важное замечание о различных ступенях арифмети-
ческих действий. — Чем занимается комбинаторика? — Сочетания. —
Совершенный цилиндр, который именуется монеткой. — Вероят-
ности. — Два герба и четыре монетки. — Фигурные числа начинают
работать. — Черный король отправляется в путешествие, но по дороге
его лишают трона, и он превращается в обыкновенную шашку. —
Дедушка Тимоша со своим лаборантом, к великому негодованию
ученого секретаря, показывают интересный опыт. — Загадки приро-
ды. — Природа и математика. — Что сказал древний мудрец? —
Воображаемые опыты математики. — Кривая вероятностей. — Рассея-
ние. — Кристаллография. — Шары в пространстве и яблоки во фрук-
313
товом магазине. — Одна стомиллионная сантиметра. — Щелкунчик и
Веточкина туфелька
1.
Следующая Тускарийская ученая ассамблея состоялась через
недельку, но только это уж было не в овражке «О-прим», а совсем
в другой стороне, там, где находилась знаменитая пещера—самая
настоящая пещера, только не очень большая! — по поводу которой
было высказано и тщательно обсуждено предположение Левы (он-то
сам его величал не «предположением», а гипотезой!), что, в сущ-
ности, это и есть пресловутая пещера Али-Бабы. Шуток, крика и
хохоту по этому поводу было немало. Невдалеке от этой пещеры
Ника и должен был доканчивать Васин доклад. Секретарь давно
уж приставал с этим заседанием, чтобы устроить его поскорее, ибо
Ника обещал ему рассказать в этот день кучу самых интересных
вещей, которые, так сказать, только еще подготавливались Васиным
докладом.
— Хорошо, — сказал Ника, когда все устроились на полянке кто
как сумел, а девочки начали плести очень хорошенькие венки из
ромашек пополам с васильками, — теперь я даю слово не кому-
нибудь, а самому себе и предлагаю в силу этого товарищу доклад-
чику рассказывать поинтересней, коротко, ясно, толково и — ни
в коем разе чтобы не путаться. Итак, товарищ докладчик, присту-
пайте! Отвечаю самому себе: слушаюсь! —и начинаю. Так как мы
теперь должны обсудить все живые и понятные выводы из Васиного
доклада, то я начну с простой задачи. Стоит скамейка, к ней под-
ходят два мальчика, Андрюша и Боря, то есть А и Б. Скамейка стоит
прямо по меридиану, с севера на юг. Начинаем рассмотрение с се-
верного ее края. Как могут на ней усесться мальчики, то есть сколь-
кими способами?
— Двумя! — презрительно процедил сквозь зубы ученый секре-
тарь.— Подумаешь, какая тут хитрость! А иБ или Б и А, вот
и всё.
— Превосходно! — отвечал Ника. — Продолжим наши ученые
изыскания. А если будет мальчиков не два, а три, то есть если к ним
еще Витя придет — и будет А, Б и В? Тогда как?
Тут уж Нике вскоре пришлось нарисовать подсобную диаграмму,
из которой выяснилось, что третий мальчик, Витя, может усесться на
скамейку трояко: то есть на северном ее краю, посередине между
двумя другими мальчиками и на южном краю. А так как первые два
314
мальчика могут усесться сами по себе двояко, то получается всего
шесть возможных комбинаций.
— Теперь позовем еще к нашим ребятам и Гришу, — сказал
Ника, — вот они уже вчетвером. Тогда что будет?
Опять же не без помощи диаграмм, нарисованных прутиком на
песочке, вскоре выяснилось, что Г, то есть мальчик Гриша, может
сесть на лавочку четверояко, что не так трудно сообразить или нари-
совать. .. Получилось, как заметил сам ученый секретарь — правда,
сильно покраснев и с трудом отдуваясь после такой почти непосиль-
ной работы над ужасающе трудной проблемой! — что каждый новый
мальчик, равно как и каждая следующая буква азбуки, которую он
за собой приводит в задачу, требует умножить число уже получив-
шихся комбинаций на порядковый номер нового мальчика.
— Что же это получается наконец? — спросил Ника.
— Получается вот что, — отвечал Вовка и написал:
АБВ — АВБ — Б АВ — БВА - ВАБ - ВБА.
А потом, — добавил секретарь, — сажай еще и Гришу.
— Так что ж получается? — повторил председатель.
И вскоре общими усилиями собравшихся Вовка был приведен
к необходимости сознаться, что перед ним оказалась задачка, кото-
рая неминуемо требует применения того нового математического
устройства, которое недавно только объявилось перед тускарятами
и которое именуется...
— Факториал! — выпалил в конце концов с великим облегчением
товарищ секретарь.
— Очень рад!—сказал Ника. — Теперь мы отправимся далее.
Мы выяснили, что, если несколько предметов переставлять, меняя их
порядок, число таких перестановок как раз и определяется факториа-
лом. Вспомним кстати, что, если взять любимую Вовкину игру-
шечку— то есть Дразнилку, и при этом большого, — то, поскольку
там у нас всего шестнадцать шашек, число возможных перестановок
выразится довольно солидным числом — около двадцати одного трил-
лиона. Л триллион это миллион миллионов.
— Много! — сказал Вовка, гордясь своей игрушкой. — Да я,
кажется, уже записывал...
— Затем, — продолжал Ника, — я попробую напомнить вам, что
такое квадрат. Это правильный четырехугольник, и площадь его
равняется произведению стороны на самое себя...
— Это я знаю, — равнодушно заметил Вова.
— Надеюсь! — с вежливым поклоном отвечал докладчик.—
315
ав
в
ав
Теперь разделим на чертеже каждую из его сторон
на две неравные части, притом по-одинаковому.
И из этих точек, которые делят стороны, проведем
прямые, параллельные сторонам. На чертеже назы-
ваю одну часть стороны квадрата буквой а, дру-
гую— буквой Ь, так их буду звать — это их имена,
Вова! Ну, теперь смотри внимательно на чертеж и
говори мне, что у нас тут получилось, на какие части разделился наш
квадрат.
Вовка вздохнул, но отвечал. Он заметил большой квадрат, пло-
щадь которого была (а X а) •   «Мы его будем звать а2», — подсказал
Ника. Затем нашли маленький квадратик, Ь2, а сверх того два одина-
ковых, то есть равных по площади (равновеликих) прямоугольника,
каждый из которых окрестили названием ab.
— Ну если ты так все отлично выяснил, — сказал Ника, — то уж
теперь не грех и записать, что получилось. Сторону мы изобразим
в виде суммы —так ведь оно и есть? —затем возведем ее в квадрат,
потому что мы интересуемся площадью, и напишем:
(a-{-b )2 = а2 + 2а b + Ь2.
Вот, Вовочка, так вот она и начинается, эта наука алгебра.
— Очень хорошо, — сказал дед.— В общем, самый простой и са-
мый наглядный вывод. Так ведь древнегреческая наука и делала.
Буквенной алгебры у нее не было, вместо этого они пользовались
вот такой геометризованной ал-
геброй, которая иногда в слож-
ных случаях была, сказать по
правде, довольно головоломной.
Зато вот в таких нехитрых слу-
чаях выходит очень хорошо и по-
нятно. Обратите внимание на то,
что если рассечь наши прямо-
угольники пополам диагоналями,
то получившиеся треугольнички
можно так расставить, что полу-
чится замечательно простое на-
глядное доказательство теоремы Пифагора, гласящей,
что в прямоугольном треугольнике...
— .. .сумма квадратов катетов равняется квадрату
гипотенузы, — произнес наставительно Лева.
— Проверить по этому чертежику это очень про-
316
сто, — продолжал дед. — Я обращу ваше внимание вот еще на что.
Ведь значение квадрата суммы вы можете легко получить алгебраи-
ческим умножением. А что же алгебраически означает собой пере-
ставленная диаграмма разрезанных на треугольники прямоугольни-
ков произведений? А вот что:
а2 + Ь2 = (аЦ- Ь)2— 2аЬ,
то есть своеобразное представление суммы двух данных квадратов,
однако с тем характерным отличием, что два отдельных квадратика
здесь преобразуются в один большой квадрат. Заметьте еще, что
длина гипотенузы треугольничка, само собой разумеется, равна
корню квадратному из суммы двух квадратов — это тоже полез-
ная вещь! Разберите уж, кстати, и третий чертеж!..
— Хорошо, — сказал Ника, — разберем. А теперь
немного далее. Если мы возьмем не квадрат суммы, а
куб суммы, то алгебраически это будет, как известно,
(а + Ь)3 = а3 + За2Ь + Заb2 + Ь3.
А на чертеже он вот какой! Все его части легко здесь
разобрать. Для четвертой степени геометрической мо-
делью пользоваться уже нельзя; поэтому попробуем
рассмотреть, нет ли какого-нибудь правила, которое
позволило бы без особенного труда и постоянных пе-
ремножений алгебраических выражений получать сте-
пени суммы. Для этого я предложу вам вот такую
схему. Здесь все черные стрелки (они идут справа налево) изобража-
ют собой умножение на а, стрелки же с пунктиром (слева направо)
изображают умножение на Ь. Единица в квадратике на самом верху
ничего, кроме себя самой, не изображает, исключая разве то, что а
или Ь, взятые один раз, равняются самим себе, а сверх того, что
любая величина в нулевой степени принимает-
ся равной единице (величина в нулевой степе-
ни обозначает частное от деления величины на
самое себя). В двух следующих (тройных)
кружках стоят в первом ряду начальные дан-
ные, а во втором крайние (двойные) кружки
дают произведения предыдущих величин на
начальные, то есть степени исходных данных,
а в остальных — суммы произведений (так как
к каждому простому кружку идут две стрел-
ки, то сюда сходятся два одинаковых произве-
317
дения, которые и складываются). Схему эту нетрудно продолжить и
далее, а тогда можно получить, построив четвертую и пятую строки
при помощи таких же стрелок-указателей умножения, еще степени
суммы:
(а + by = а4 + 4a3b + 6а1 2 b* + 4аЬ2 + Ь\
(а + 6)8 = а8 + 5а*Ь + Юа’й3 + Юаай8 +5аЬ* + Ь\
Если будем рассматривать нашу схему, дополненную (вместе с верх-
ней единицей) до шести строк, мы можем сделать из наших примеров
несколько важных выводов. Ну, первый —число членов разложения
степени суммы всегда на единицу больше, чем степень, в которую
мы возводили наш двучлен, то есть сумму; второй — степень первого
члена разложения и коэффициент при втором члене всегда равна
степени разложения; третий — коэффициенты идут симметрично,
первый с начала равен первому с конца и так далее; четвертый —
степени а идут, понижаясь, от степени разложения до нулевой
(когда а обращается в единицу!)...
— Невидимую единицу, — заметила Веточка.
— Ясно, что невидимую! — подхватил Ника. — Ав это же время
степени b идут как раз в обратном порядке, то есть возрастают.
Из этого выходит, что сумма степеней а и b в каждом члене оди-
накова. ..
— ...и равна степени разложения, — подсказал Вася.
— Точно! Теперь по этим правилам мы бы могли построить
любое разложение, да не хватает еще закона строения коэффи-
циентов. ..
— Можно добавить еще пятое правило, — сказала Наташа: —
коэффициенты при первом и последнем члене разложения всюду
равны единице.
— Да, — отвечал докладчик, — это будет в-пятых. Верно. А теперь
давайте просто выпишем все коэффициенты, которые у нас получи-
лись вплоть до пятой степени. Получим вот что:
1
1 1
1	2	1
13	3	1
1	4	5	4	1
1	5	10	10	5	1
................................. и	так далее!
А из этой таблички мы можем сделать сразу два вывода, один
другого лучше, первый это то...
— ...что это та же самая Васина табличка, арифметический
треугольник! — весело сказала Веточка. — Только ты написал ее по-
другому. Ишь, как подвел! Ох, и хитрющий же он, наш Кожемяка!
2.
Ника расхохотался, очень довольный своей уловкой, и продолжал:
— Да, собственно, мне и говорить-то теперь нечего. Веточка все
за меня уже сказала. Каждое число этой таблички равно сумме
двух чисел, стоящих над ним в верхней строке. Это раз. А потом —
действительно это арифметический треугольник, а следовательно, этот
замечательный треугольник легко продолжать как угодно далеко
(только не ври в сложениях!), и он дает нам коэффициенты для
разложения двучлена в любой степени! Это и есть самое его знамени-
тое качество.
— Добавлю еще одно качество,— заметил дед, — полезное для
проверки: сумма коэффициентов разложения — или любой строки
арифметического треугольника — равна 2", где « — степень разло-
жения.
— До чего все аккуратно выходит! —не вытерпел Вася. — Так
оно друг к другу и ложится вровень... Вот что мило!
— Да! — отвечала ему, засмеявшись, Наташа. — Это ты, Вася,
хорошо подметил.
— Если уж говорить о том, — отвечал им дед, — как все хорошо
друг к другу подходит, то я вот еще на какой важный пункт обращу
ваше внимание. Треугольник Паскаля в дальнейшем очень скоро
повел к построению особой формулы, которая дает возможность воз-
вести сумму (или разность) в любую степень. Эта формула и есть
знаменитый бином Ньютона, с которым вы ближе познакоми-
тесь в последних классах школы. Повторю еще раз—сумму в любую
степень! Математики по этому поводу отмечают следующее. Они го-
ворят, что арифметические действия можно разбить на три ступени:
к первой относятся сложение с вычитанием, ко второй — умножение
с делением и к третьей, наконец, — возведение в степень и извлечение
корня. Долгий опыт математиков научил их, что взаимоотношения
между различными образами, которые возникают на какой-нибудь
одной ступени действий, довольно просты и законы этих взаимоотно-
шений формулировать не так уж трудно. Но зато, когда мы хотим
точно изложить, как связаны образы, возникающие на разных
319
только самыми
ступенях, то все такого рода задачи оказываются очень трудными.
И бином Ньютона, происшедший из треугольника Гиясэддина —
Паскаля, тем-то особенно и дорог, что он устанавливает связь между
понятием, которое возникает на первой ступени, то есть понятием
суммы, и понятием, которое возникает на третьей ступени, то есть
понятием степени! В дальнейшем вы еще не раз убедитесь, какое это
правильное и тонкое замечание.
— Сразу не проглотишь, — сумрачно вымолвил Вася, — однако
запомним. На досуге подумаем. Что-то тут есть замечательное. Не
скажу что, а как-то чуется!
— Чувствуется!.. —поправила Веточка. — Верно, верно!
— Так, — подтвердил Ника. — Теперь вот что еще мне надо ска-
зать. .. В том разделе математики, который занимается соединениями
и называется комбинаторикой, рассматривают несколько ви-
дов соединений, и одним из них как раз и являются перестановки,
которыми мы сейчас только что занимались. Но при перестановках
меняется только порядок соединяемых предметов (или, как говорят
обычно, элементов). Л1ожно рассматривать еще иной вид соединений,
когда мы получаем группы элементов, отличающихся друг от друга
элементами, причем на порядок мы в этом случае
обращать внимания не будем. Это будут соче-
тания. Возьмем очень простую задачку. Ну-ка,
ЁЗ Вовка, берись за дело! Стоят четыре стула...
И — Рядом? — спросил секретарь внимательно.
Ж — Конечно, рядом. В комнату приходят два
Я мальчика: ну, ты и твой приятель Ванька. Спра-
I шивается, сколькими способами вы с Ванькой
можете рассесться на этих четырех стульях? На-
зовем стулья буквами: А, Б, В, Г.
— То есть какие стулья будут заняты, а
кто где усядется, неважно?
— Именно.
— Тогда так, — начал Вовка: — значит, я са-
стул, а он садится на остальные по очереди. Выхо-
дит:
жусь на первый
АБ, АВ, АГ...
Потом я сажусь на второй стул, я на нем еще не сидел, а он пере-
саживается на остальные. Получается так:
БВ. БГ.
Наконец я сажусь на третий стул, а он на четвертый:
ВГ —
вот и всё. Шесть разных случаев у нас получается с Ванькой!
БА писать не надо, раз есть АБ...
— Верно. Молодчина секретарь! Это называется: сочетания из
четырех элементов по два. Теперь еще один интересный и весьма
важный пример на сочетания. Я собираюсь поиграть в орлянку, или
«в денежку», как иной раз говорится. Бросаю монетку и
слежу, как она у меня падает на землю: гербом или
решеткой? Мы предполагаем, что монетка сделана
хорошо, и если ее рассматривать с точки зрения геомет-
рической, то она представляет очень низенький цилинд-
рик из металла...
— Вполне однородный, — добавил дедушка, — будем
говорить так: совершенный цилиндр, то есть без сучка, без задорин-
ки, с точки зрения игры в денежку. Это не так-то просто сделать такой
совершенный цилиндр, но я уж на эту тему распространяться не
стану.
— Ну да! — сказал Ника. — И вот, когда я бросаю такую очень
точно изготовленную монетку, я рассуждаю так: монетка может вы-
пасть либо гербом, либо обратной стороной, где надпись, — решет-
кой. Иначе монетка никак упасть не может — на ребро она ведь не
станет. Теперь я вам вот что напомню: когда не уверен в чем-нибудь,
а говоришь наугад, то нередко выражаешься так: «Да, вероятно, это
вот как будет...» Когда математик начинает рассуждать о том, что
вероятно, он всегда начинает с чего-нибудь вполне определенного.
И если дело доходит до монетки, то он так говорит: «Можно с пол-
ной уверенностью утверждать, что выпадет либо герб, либо решетка,
это совершенно достоверно». Давайте оценим эту полную достовер-
ность единицей! И теперь спросим себя: какова же вероятность этих
двух вполне возможных событий, которые вместе и составляют эту
полную достоверность? Так как этих событий два, то единица и де-
лится пополам, а следовательно, вероятность выпадения герба или
решетки оценивается дробью, равной 0,5 — половине. А вероятность
выкинуть сразу в решетку и герб есть вещь невозможная, и ее веро-
ятность равна нулю. Ясно я рассказал или нет?
— Ясно, — сказала Наташа.
— Хорошо! Теперь перейдем к немного более сложному случаю.
Возьмем теперь две монетки. И вот тут приходится нам рассматри-
вать не две, а уже четыре разные возможности. Вот они каковы: пер-
вая— обе монетки падают гербами; вторая — первая монетка падает
21 Архьчгдово лето	321
гербом, вторая решеткой; третья — первая падает решеткой, вторая
гербом; четвертая — обе падают решеткой. Мы видим, что у нас мо-
гут случиться четыре одинаково возможных события, а следовательно,
вероятность каждого из них равна одной четверти. Но если это так,
то получается:
комбинация	ГГ	имеет	вероятность	0,25,
»	ГР	»	»	0,50,
»	РР	»	»	0,25,
а в сумме опять, разумеется,	получается та	же	единица. Иначе все
это вместе я изображу еще и так:
j (1 + 2+ 1).
Кстати уж замечу, что для того, чтобы получить для комбинации ГР
половину, мы сложили вероятности комбинаций ГР и РГ, а с другой
стороны, вероятность выкинуть двумя монетками два герба равна
произведению отдельных вероятностей, так как
0,25 = 0,5 • 0,5.
Рассуждая совершенно тем же способом, то есть подсчитывая отдель-
ные возможности (их называют еще статностями или шан-
сами), можно вывести схему для трех монеток, и получим:
Для четырех монеток подобным же образом:
1^(1 +4 + 6 + 4+ 1)
и так далее. Ну, а теперь ясно, что знаменатель дроби перед каждой
скобкой равен сумме чисел в скобках или двойке, возведенной в сте-
пень, изображаемую вторым числом внутри скобки (второго с того
или с другого конца!) и что наконец, а это самое главное...
— ...что это те же строки того же самого арифметического тре-
угольника' — заключил Лева.
— Только что хотела это сказать! — воскликнула Наташа.
— Вот и очень хорошо, что все догадались, — ответил им Ника-
322
председатель, — так и надо. Разберемте-ка теперь случай с четырьмя
монетками подробно, специально для двух гербов. По нашей схеме
получается, что выкинуть два герба четырьмя монетками можно шесть
раз из шестнадцати...
— Надо предупредить,— сказал дед поспешно, — что это вовсе не
значит, что каждый раз, когда ты бросишь шестнадцать раз, у тебя
шесть раз выпадут два герба! Это только при очень большом числе
бросаний так получится в общем! А вовсе не на каждые шестна-
дцать бросаний!
— Правильно, правильно! Забыл! — подхватил Ника. — Разу-
меется, все это выходит верно, если очень много раз бросать. Ведь
даже если одну монетку бросать, то легко себе представить, что не
станет же она все время аккуратно ложиться по очереди то гербом,
то решеткой! Она будет ложиться как придется, то есть наудачу или,
скажем, случайно, но в общем и целом получится именно так. По-
чему? Да потому, что нет никаких причин, чтобы оно так не получи-
лось! Если, конечно, не считать физических недостатков в монетке.
— Самый простой случай такого недостатка, — подсказал дед,—
когда у монетки из-за неоднородности металла смещен как-либо
центр тяжести. А могут быть и иные причины.
— Ясно! Но этих недочетов мы не касаемся, мы разбираем, как
всегда в математике, случай, который освобожден от всяких частных
особенностей... ну, вроде положения центра тяжести. Считаем, что
это все должно быть в порядке. Итак, возвращаюсь к случаю двух
гербов и четырех монеток. Выкинуть два герба четырьмя монетками
можно в случае, если осуществятся такие комбинации:
1) Г Г Р Р, 2) Г Р Г Р, 3) Г Р Р Г,
4) Р Р Г Г, 5) Р Г Р Г, 6) Р Г Г Р.
Буквы Г и Р обозначают, как и всюду, герб и решетку. Первая буква
относится к первой монетке, вторая — ко второй, третья — к третьей
и четвертая буква к четвертой монетке. В первом случае два герба
выпадают на первой и второй монетках, во втором — на первой и
третьей и так далее. Всего получается шесть различных комбинаций
на шестнадцать возможных случаев. Вероятность, следовательно,
равняется 0,375 (шесть шестнадцатых, либо три восьмых). Это число
нетрудно определить. У нас имеются четыре монетки, которые падают
наудачу. Нам нужно найти, сколько может быть случаев, когда какие-
нибудь две из них лягут гербами вверх. Но это число и есть не что
иное, как число сочетаний из четырех элементов по два.
— Как у нас было со стульями и мы с Ванькой на них усажи-
21
323
вались! — решил Вова. —Буква Р — это мы сидим с Ванькой, а бук-
ва Г — это выходит пустой стул!
— А ну-ка, — сказал ему Ника, — нарисуй нам, как это у тебя
получается! Вот здесь, на песочке.
— Сейчас, — отвечал секретарь, — сию минуту! Вот я рисую.
Я буду себя называть буквой В, это моя буква, а Ваньку буквой И,
потому что он Иван. Я его даже спрашивал: «Ты, говорю, Иван?»
А он отвечает: «А ты, говорит, как думал? Я — Иван Савельич!»...
А пустой стул буду называть маленькой буквой с. Он ведь неживой,
стул-то, ему и маленькой буквы хватит!
1)	АБ — ВИсс,
2)	АВ — ВсИс,
3)	АГ — ВссИ,
4)	БВ — сВИс,
5)	БГ — сВсИ,
6)	ВГ — ссВИ.
Вот и всё! Никаких других случаев, кроме этих, быть не может. По-
пробуйте и сами увидите.
— Совершенно правильно ты рассудил! — отвечал ему доклад-
чик.—Теперь я еще замечу, что когда мы говорим о перестановках,
то там всегда речь идет о нескольких разных элементах: о разных
шашках Дразнилки, например, и о том, как их можно по-разному
расставить. Когда же речь идет о некотором количестве таких эле-
ментов, которые нам отличать друг от друга нет надобности, то
тогда мы говорим о сочетаниях. Это случай мальчиков на стульях,
случай гербов и надписей на монетках, а также и коэффициентов при
разложении степеней суммы двучлена. Как это выходит в последнем
случае, легко показать хотя бы на всем известном случае с квадра-
том суммы. Там у нас есть выражение 2аЬ. Откуда оно берется? От-
того, что мы сперва а умножаем на Ь, а потом b на а. Для того чтобы
показать еще раз, как все это получается, я запишу сейчас возведе-
ние (а + &) в третью степень. Буду записывать произведения без по-
казателей степени и в том самом порядке, в каком буквы берутся
нами из всех наших трех скобок-множителей, а вместо скобок и не-
скольких плюсов я буду ставить вертикальную черту и один плюс:
(а + Ь)3 = (а + Ь) (а + Ь) (а + Ь)
= ааа +
aab +
aba
baa bba
abb + bbb =
bab
= a3 4- 3a!b 4- 3ab3 4- b\
Рассматривая, как у нас записано а*Ь, мы видим, что буква b побы-
вала на всех трех возможных местах, будучи взята из третьей, вто-
рой и первой скобок по очереди. Но это и есть число сочетаний из
трех элементов по два. А если тем же способом разобрать возведение
двучлена в четвертую степень —и я горячо советую всем товарищам
проделать это!..
— Сделаем! — отвечал Левка.
— ... тогда еще яснее будет, какую роль в этом деле играют со-
четания. .. Теперь ты, Вася, дополнишь?
— Да уж у меня, пожалуй, и всё! — ответил Вася.
Дедушка Тимоша поглядел на ребят и заметил:
— Тогда уж мне два словечка разрешите.
— Просим! — важно отозвался Лева, потому что он помнил, как
его собственный отец иногда так говорил за столом, когда хотел быть
с кем-нибудь полюбезней.
— Можно еще заметить, — выговорил дедушка, —что фигурное
число of-го порядка и первой степени —а мы уж говорили с вами
о том, что в арифметическом треугольнике все фигурные числа
именно первой степени (k= 1), — будет таково:
Fa _ 1 [rf + (n-l)]
1(я) dl (п— 1)!	•
Но если бы мы с вами занялись изучением числа сочетаний из (d+n—1)
элементов по d или по (п — 1) (что сводится к одному и тому же
числу сочетаний), то убедились бы, что число их как раз и равняется
этому фигурному числу первой степени е/-го порядка- Обычно
число сочетаний обозначается прописной буквой С с двумя индек-
сами. Нижний индекс обозначает число всех элементов, верхний —
число элементов в группе. Из соображений симметрии можно все
сказанное записать таким образом:
r?d	f>d	/-»(я — 1)
' 1 (я) — (я — 1) — (л — 1).
Возьмем те же Вовины стулья, только не четыре, а пять. Из этого
примера можно понять, что нам безразлично, что именно под-
считывать: либо как усаживаются два мальчика, либо как расстав-
лены три пустых стула относительно тех, на которых мальчики усе-
лись. Существует немало важных математических вопросов, которые
можно разрешить с помощью теории соединений. Насчет треуголь-
ных чисел и квадратных можно продемонстрировать одну красивую
325
диаграмму, которая была известна еще
знаменитому греку Диофанту. Она пока-
зывает, что если из квадрата нечетного
числа вычесть единицу, то разность мож-
но представить в виде восьми треуголь-
ных чисел. Это можно записать так:
8Г+ 1 = К,
где Т — треугольное число; К — квадрат-
ное. Или так:
8П+ ° 4- 1 = (2/г Ч- I)2.
Откуда ясно, что если ты хочешь представить квадрат какого-нибудь
нечетного числа через восемь треугольных чисел, то надо взять такие
треугольные числа, номер которых (см. гл. XII, разд. 3) будет равен
а— 1
2 ’
где а — это число, о квадрате которого идет речь. Поэтому, вспомнив
наши обозначения (см. гл. XII, разд. 8), первую формулу можно запи-
сать еще и так:
8F2
+ 1 —
или если начинать не с квадрата, а с треугольного числа:
8Д? (а) + 1 = F\ (2а + 1).
3.
— Хорошо... — протянул недовольно Вовка. — А где же рассказ
про знаменитого черного короля? А ведь обещали!
— Сейчас будет и король, — отвечал Ника. — У нас без обмана —
что обещали, то и получишь. С королем дело обстоит так: берем ко-
роля. .. только, кажется, это будет король не совсем черный, а ско-
рее белый... и даже не король, а просто шашка.
326
— Ну вот, извольте! — воскликнул Вовка. — А говоришь, что не
обманываете!
— Ничего, Вовочка, — отвечала ему Веточка, — про шашку тоже
будет очень интересно... А какой веночек мы тебе связали! На-ка!
Вовка лениво взял веночек, но вдруг загляделся на него и спо-
рить больше не стал.
— Итак, берется обыкновенная шашка и ставится на поле белого
короля — вот он где, король-то! — то есть на поле el. Спрашивается,
сколькими кратчайшими путями может наша шашка достигнуть чер-
ных полей на последней, то есть восьмой, линии, двигаясь по прави-
лам игры в шашки, — значит, только по диагоналям и только в на-
правлении от белых к черным?
— Она в дамки, или в доведи, идет, это ведь то же самое, — по-
яснил Вовка.
— Конечно. Но чтобы нам было удобнее все это себе представить,
мы допустим, что доска наша не ограничена шестьюдесятью четырьмя
полями, как обычно бывает с шашечницей, а простирается как угодно
далеко и вправо и влево (а коли нужно, так и вверх, за восьмую ли-
нию). Теперь начинаем двигать нашу шашку. С поля el шашка мо-
жет попасть на поля d2 и 12, делая по одному ходу. Мы поставим на
поле el единицу, а на полях d2 и 12 тоже по единице, потому что и
на то и на другое шашка может попасть только одним путем. С по-
ля d2 шашка попадает на поле сЗ одним путем, а на поле еЗ двумя
путями (с поля d2 и с поля 12) и на поле g3 одним путем. Следова-
тельно, мы поле сЗ отмечаем единицей, поле еЗ — двойкой, поле g3 —
снова единичкой. Подобным образом рассуждаем и дальше, и для
следующего ряда полей, то есть четвертого ряда, получаем: для по-
лей Ь4 и h4 — по единице, для полей d4 и 14 — по тройке. Затем сле-
дующий, пятый ряд —для поля а5 и для поля 15 (расширяем доску,
как было сказано, вправо и добавляем вертикальный ряд 1) — по еди-
нице, для с5 и h5 — по че-
тыре, для е5 — шесть.
Действуя таким образом
и дальше, мы и получаем
вот этот чертеж... Легко
заметить,
шечнице нашей получаем
довольно хорошо уже нам изве-
стный. ..
— ... Гиясэддинов арифмети-
ческий треугольник! .. — провор-
чал себе под нос Вовка, спра-
з
2
1
6 с d е
а
7
6
5
что мы и на ша-
/ 3 h
вившись предварительно в своей тетрадке, как звали этого замеча-
тельного средневекового восточного математика.— Только написан
вверх ногами!
— Треугольник наш, — продолжал Ника, —конечно, совершенно
симметричный. Ну, и нетрудно сообразить, почему в таком случае
число кратчайших путей шашки, когда она шествует в доведи, имеет
самое ближайшее отношение к сочетаниям. Вот и всё.
Тут, немножко покряхтывая и старательно выколотив о пенек
свою знаменитую трубку, да оглядевшись не торопясь, не попали ли
искры в сухую траву, поднялся и сам дедушка, Тимофей Иринархо-
вич, президент Тускарийской академии.
— Ну-с, — произнес он, — а теперь, молодые люди, мы с Васей
будем вам показывать один удивительный фокус... А ну-ка, Вася, ты
ведь мой лаборант. Давай действуй!
— Готово! — заявил Вася, вытаскивая откуда-то из густых кустов
нечто вроде довольно плоского ящика.
В другой руке у него оказался маленький холщовый мешочек вроде
табачного кисета. Когда Вася поставил свой ящик на ребро около
небольшого молодого клена, оказалось, что ящик с одной стороны
открыт, снизу у него сделаны тоненькие перегоро-
дочки и получаются какие-то вроде как маленькие
стойлица. В середине ящика набита масса гвозди-
ков, и стоят эти гвоздики в шахматном порядке, а
повыше укреплены наклонно две планочки так, что
между ними остается небольшой проход (на рисун-
ке все это видно довольно ясно!). А сверху ящик
был прикрыт большим стеклом.
— Сооружал наш аппарат главным образом
Вася,— добавил дедушка.
— А Ника помогал, — сказал Вася.
— И Левка тоже! — сказал Ника.
— А меня они не взяли! — с крайним возмуще-
нием завопил Вовка. — Да что не взяли — они да-
же, бессовестные, и не сказали! Вот они какие,
видишь! А ты, дедушка, молчишь — я теперь вижу:
ты с ними заодно, вот что! Я маме скажу.
— Далеко очень ходили, —сказал дед.— Стекла такого, видишь
ли, под рукой не было. А то бы и тебя взяли... Ну-с, значит, зай-
мемся нашим аппаратом. В сущности, в нем происходит примерно то
же самое, что делается и с шашкой, когда она идет в доведи. Пред-
ставьте себе, что с той же самой клетки на восьмую линию идет не
одна шашка, а одна за другой очень много шашек, и путь они себе
328
выбирают случайно, как придется, наудачу. Что же из этого полу-
чится? Вот мы сейчас и попробуем проверить это на опыте. У вас
здесь, как я слышал, как-то недавно спор был, какое математика
имеет отношение к опыту и имеет ли вообще? Но ведь опыт — вели-
кий учитель человека, и только на опыте человек и учится. На опыте
он проверяет и свои рассуждения, и это вполне естественно, потому
что и рассуждения наши —тоже дитя человеческого опыта. Если и
не нашего с вами личного опыта, то многих и многих наших предков,
которые ведь тоже учились на опыте и от которых нам досталось по
наследству уменье рассуждать разумно. Математика служит нам для
овладения природой. Это в сущности ее задача, как, разумеется, и
всякой науки. Овладеть же природой без опыта немыслимо.
— Вот этого я не понимаю! — воскликнул Лева. — Ну почему же
это так невозможно?
— Почему это так? А вот почему. Как только ты начинаешь на-
блюдать природу, ты сталкиваешься с тем, что нередко называют
загадками природы. И надо очень много наблюдательности,
опытов и немало надо над этим голову поломать, чтобы все эти за-
гадки одну за другой разгадывать. Замечательный мыслитель начала
семнадцатого века Бэкон Веруламский, тот самый, кому принадле-
жит широко известное изречение «Знание — сила!» и которого не без
основания считают основоположником современной материалистиче-
ской науки (он родился в 1561, скончался в 1626 году), недаром ведь
говорил, что открытия обычно бывают неожиданные. В основаниях
своих природа проста, но разгадать ее особенную простоту, понять,
в чем там сила, очень трудно, потому что все это имеет совершенно
своеобразный характер и в большинстве случаев совсем не похоже
на нашу обыкновенную деятельность. Великий Ньютон, крупнейший
математик и астроном семнадцатого века (родился в 1642, скончался
в 1727 году), ученый, на долю которого выпало счастье открыть и
сформулировать закон всемирного тяготения, объяснивший людям
наконец, как устроена наша солнечная система, учил нас так: «При-
рода всегда проста и всегда сама с собой согласна», но поколение за
поколением трудится человечество и только с громадными трудами
вырывает у природы эти ее простые и согласные друг с другом тайны!
А если объяснять явления природы на манер нашего собственного
существования, то из этого ничего, кроме сказок да глупых легенд
религиозного свойства, не получается. Научная правда добывается
только при помощи глубоко обдуманного опыта, который раньше
всего старается выделить одно своеобразное и доселе непонятное
явление из целой массы других, затуманивающих его. Это расчле-
нение явлений и есть важнейший научный метод.
329
— А математика? — спросила Веточка.
— И математика поступает так же. Она выделяет отдельные сто-
роны явлений: скажем, плоскость выделяет из тела, то есть из
объема, хотя сама по себе плоскость не может отдельно существо-
вать; линию из плоскости; точку из линии. Для чего все это делается?
Чтобы легче было рассуждать обо всем этом. Вся природа в глубине
своей как бы пронизана математическими соотношениями и связями,
надо уметь только это подметить. Еще великий философ древности
Аристотель учил: как могла бы математика прилагать-
ся к явлениям природы, если бы в этих явлениях
не заключалась бы уже ее суть? Вот каков смысл слов
этого древнего мудреца! Имейте, кроме того, в виду, что, когда наш
великий учитель Ленин занимался философией и изучал творения
Аристотеля, он заметил эту мысль, остановился на ней и выписал
к себе в памятную тетрадку, как истинно правильный и разумный
завет античного философа, которым нам и должно руководствоваться.
— А где бы это прочесть? — спросил Вася.
— Прочесть это можно в книге Аристотеля «Метафизика», в ле-
нинских «Заметках на Метафизику Аристотеля»1.Не забывай, однако,
что книги эти не очень-то легко читать. Философия — вещь серьез-
ная, и, чтобы в ней разобраться, надо знать многое. А философия
древности требует еще больших знаний — она ведь была написана
тысячи лет назад совсем не для нас, а для своих современников, и ее
понимать из-за этого нелегко. То, что вы учите в школе, очень близ-
ко к тому, что в древности собрал воедино в своих Началах Ев-
клид... с которым всякий, кстати сказать, может ознакомиться:
имеется русский перевод! — а это был как бы свод важнейших завое-
ваний древней науки. Вся сила здесь была в строгом и последова-
тельно логическом изложении. Но ведь математика — живая наука;
нет дня, чтобы она не двигалась вперед. И вот когда математика
идет вперед, развивается, решает новые, небывалые еще задачи для
физика, инженера, астронома, то тут она делается поистине опытной,
экспериментальной наукой, опирается на обобщения опыта, а стро-
гость и неоспоримость ее выводов приходят обычно уж гораздо поз-
же. .. да и то не всюду и не всегда. Вот оно как. А теперь займемся
делом и перейдем к нашему замечательному опыту. Вот в этом ме-
шочке у нас стеклянная дробь...
— ...которую добыла с опасностью для жизни Наташа! — ввер-
нул Лева.
‘Аристотель. Метафизика, пер. А. В. Кубицкого. М-, 1934; В. И. Ленин,
Конспект книги Аристотеля «Метафизика». Этот конспект можно иайти в книге
В. И. Л е н и н а «Философские тетради».
330
Вовка позеленел и устремил на Наташу такой уничтожающий
взгляд, что тут же раздался общий хохот.
— А мешочек... — начал Ника.
Но Веточка бросилась к нему и закрыла ему рот ладошкой.
— Понимаю! — сказал Вовка, вставая, пока из закрытого рта
отбивавшегося от Веточки Ники раздавались какие-то странные
звуки, состоявшие сплошь из одних гласных. — Понял. Сшила мешо-
чек! Спасибо! Значит, и ты тоже, Вета? Хорошо!
Вовка круто повернулся и пошел крупными, широкими, как только
умел, шагами, вон с полянки — домой... он с такими обманщиками
водиться не будет! Но к нему бросились девочки, поймали его и кое-
как уломали, чтобы он не обижался, ведь это ему же сюрприз все
готовили! И гораздо лучше остаться и посмотреть, потому что опыт
будет очень интересный.
Наконец все было улажено.
I.
— В отверстие между верхними наклонными планочками нашего
аппарата,— объяснял дедушка, — сыплются одна за другой стеклян-
ные дробинки. Каждая из них старается как можно скорее добежать
до одного из стойлиц внизу. Но вот столкнулись две дробинки у гвоз-
дика, и одной пришлось уступить, а то и три столкнуться могут, да и
больше. Теперь я просто буду сыпать дробь из мешочка, а вы смот-
рите, что у нас будет получаться внизу.
Внизу получилось, что дробинки, скапливаясь преимущественно
около середины доски, образовали очень правильно очерченную
фигуру (чертеж на стр. 328).
— Что это за фигура? — спросил дед. — Если бы мы с вами взяли
разложение десятой степени двучлена, то мы по Гиясэддиновому
треугольнику получили бы вот что:
1
1 1
1	2	1
13	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	I
1	8	28	56	70	56	28	8	1
1	9	36	84	126	126	84	36	9	I
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 I
У нас здесь как раз одиннадцать стойлиц для
дроби. А вот и диаграмма, где изображена ло-
маная ступенчатая линия (своеобразный мно-
гоугольник, или полигон), которая изображает
нижнюю строку нашего арифметического тре-
угольника. Как видите, она довольно похожа
на то, что получилось в наших стойлицах с
дробью. Иногда вместо гвоздиков ставят та-
кие шестиугольные плашки тоже в шахматном
порядке, число путей между ними подсчитать
нетрудно, но, к сожалению, наша досточтимая
Тускарийская высокоученая академия не удо-
сужилась соорудить такой аппарат. Впрочем,
и с гвоздиками тоже получается недурно. Вот
теперь вы и видите, что наши рассуждения о
коэффициентах при разложении различных
степеней двучлена, о многоугольных числах, о
подпрыгивающих монетках и прочих как буд-
то бы совершенно не похожих друг на друга
явлениях и предметах объединяются нашим
опытом воедино. Чем большую степень разло-
жения мы с вами будем брать, тем плавнее
будет получающаяся кривая. Но это, ребятиш-
ки, еще не всё!.. Самый удивительный из се-
кретов математики, самый замечательный и
самый полезный заключается в том, что мате-
матика умеет проделывать воображаемые
опыты, которые и оказывают мыслящему чело-
вечеству просто неоценимые услуги, ибо они освобождают нас во мно-
гих случаях от необходимости проделывать настоящие опыты, кото-
рые нередко проделать бывает крайне трудно! Вообразите-ка себе,
что вам надо изучать на опыте свойства треугольника, который со-
ставлен из таких отрезков: из здоровенных бревен по три метра дли-
ной да по четверти метра толщиной!
— Приятные «отрезки», нечего сказать! — за-
метил Лева.	/Т\
— Ну вот, математика и позволяет нам все / ; \
заранее рассудить. И вам не придется воло- / ; \
чить эти неповоротливые, тяжеленные «отрезки». / • \
А ведь бывают еще и такие случаи, когда опыт /	!	\
вообще осуществить невозможно, как, например, /	!	\
в астрономии. Вот в этом-то и сила математи- /	!	\
332
ки... Все это становится еще тысячекратно более могучим, если
мы владеем всеми удивительными ухищрениями высшей матема-
тики. ..
— Которыми мы не владеем! — пробурчал кто-то потихоньку.
— Нет, извините-с, — вдруг с воодушевлением воскликнул дед, —
владеете! Только нередко вы сами не знаете, чем владеете! А кроме
того, у вас есть дедушка Тимоша, который готов вам кое-что об этом
так или иначе рассказать. Так вот: возьмемся, значит, за увеличение
степени нашего разложения двучлена. Что же тогда получится? Ясно,
что число ступеней нашей ступенчатой кривой будет все увеличи-
ваться, а сами эти ступени будут делаться все мельче и мельче, так
что, что ни дальше, наша ступенчатая кривая будет все больше и
больше походить на какую-то уже не ступенчатую, а плавную кривую.
А мы все дальше и дальше будем увеличивать степень разложения
бинома, пока эта степень не начнет уже перерастать любую самую
большую — какую нам только вздумается назвать! — величину.
В воображении мы это сделать можем. И тогда наконец мы дейст-
вительно получим уже совершенно плавную кривую — какой бы ма-
лый промежуточек ее мы ни взяли, — ровно поднимающуюся до вер-
шины и так же ровно и симметрично опускающуюся. Это кривая
вероятностей, которую математики называют нормальной
кривой или кривой Гаусса-Лапласа, по имени двух круп-
нейших математиков, немца и француза, которые изучали эту кри-
вую. Она имеет громадное число самых разнообразных применений
в математике, физике, астрономии, технике, биологии. Она употреб-
ляется в инженерии при выработке способов контроля различных
фабричных изделий массового производства, стандартного свойства,
вроде электролампочек и тому подобных предметов. Если взять
какое-нибудь массовое явление, скажем, большое число людей,
у которых мы думаем изучать рост — например, целую дивизию бой-
цов, — тогда больше всего в этой массе людей найдется людей сред-
него роста, а все остальные выше среднего, а также ниже среднего
роста окажутся в таких количествах, которые, если их изобразить на
диаграмме, довольно близко совпадут с графиком опускающихся
плавно с вершины боков нашей кривой. Допустим, что нам с вами
надо прикинуть: сколько каких надо шить шинелей для бойцов на-
шей дивизии? Сколько больших, сколько средних, сколько малень-
ких? Наша кривая отлично в этом нам поможет! Таким образом то,
что называется в математике рассеянием около средней
величины, очень недурно описывается этой так называемой нор-
мальной кривой. А если вы меня спросите, что это за «рассеяние»,
я вам отвечу, что вы видели сами сейчас, как рассеиваются стеклян-
333
ные дробинки около средней точки всех стойлиц? Вот об этом-то рас-
сеянии и идет речь. Примерно то же самое получается, когда изучают
отклонения отдельных экземпляров стандартного фабриката, а это
особенно важно при автоматизированных производствах. Разумеется,
и кроме этой нормальной кривой имеются иные в том же роде, она
не единственная, но одна из самых важных. Как-нибудь мы с вами на
эту тему еще потолкуем, а на сегодня довольно и этого. Вы видели
на примере этих коэффициентов разложения степени двучлена —так
называемых биномиальных коэффициентов, — как одно матема-
тическое построение захватывает целый ряд чрезвычайно важных
явлений, изучаемых в разных науках.
— Вы сказали, дедушка Тимоша, — спросила Наташа, — что в на-
шей дивизии среднего роста людей будет больше всех? Так вот, если
бы у нас было как раз столько людей, сколько в вашем численном
примере (см. выше, в этом разделе)...
— Их, по-моему, тысяча двадцать четыре! — ввернул Вася. — Де-
сятая степень двойки, а сумма коэффициентов равна двум в той
степени, которую мы рассматриваем, значит, двум в десятой
степени.
— Точно! — ответил ему дед.
— Да, именно тысяча двадцать четыре, — продолжала Наташа.—
Так я вот что хотела спросить: на этом численном примере это отно-
сится к самому большому числу, то есть к двумстам пятидесяти
двум?
— Именно, — отвечал дед.
— А как понять, при чем тут средняя величина?
— А средняя величина вот при чем. Допустим, что мы измеряем
рост... человека, животного какого-нибудь, бабочки, моллюска...
Ну, мало ли чего, мало ли что может измерять натуралист! И пусть
этот рост измеряется какими-то величинами — неважно какими! — на-
чиная, скажем, с единицы; и эта единица будет стоять на самом конце
слева, до одиннадцати. Одиннадцать у нас будет на самом краю
справа — и тогда средняя величина роста окажется как раз на том
месте, которое стоит на самой середине подножия нашей кривой. Как
раз против числа двести пятьдесят два. Вычисли среднюю!
— Ясно! — пробурчал Лева.
— Добавлю еще, — продолжал дедушка, — что то,
что мы слышали о строении ядерной кучи, имеет ис-
ключительно важное значение в науке о строении кри-
Tfcr сталлов, в так называемой кристаллографии,
* Л/ J в учении о строении молекул химического вещества —
самых обыкновенных, вроде поваренной соли, скажем!
334
Одним из первых ученых об этом говорил наш Ломоносов ', а замеча-
тельный русский кристаллограф Е. С. Федоров (конец прошлого ве-
ка) создал из этого целую науку, которую он назвал «Учение о фигу-
рах» (основное его сочинение вышло в 1885 году). Что касается тео-
рии вероятностей, с самыми начатками которой мы с вами чуточку
ознакомились в связи с биномиальными коэффициентами, то ее при-
ложения в настоящее время просто необозримы! Это один из самых
важных разделов современной математики. Артиллерист и летчик
(ведущий бомбардировщик) должны изучать рассеяние своих снаря-
дов вокруг той точки, куда они целятся, ибо на большом расстоянии,
куда летят современные бомбы и пушечные гранаты, начинают играть
серьезную роль всевозможные причины (вроде сопротивления возду-
ха, непостоянства его плотности, ветра, всевозможных неточностей
в обточке снаряда или пушечного канала), отклоняющие снаряд от
того места, куда он нацелен. Со своей стороны, астроном по вероят-
ностным кривым изучает распределение звезд; физик — вероятности,
связанные с явлениями внутри атома, со светом, с явлениями проник-
новения жидкостей через проницаемые перегородки, с диффузией, в
чем заинтересована и биология; землемер-геодезист с помощью тео-
рии вероятностей уточняет деление измеряемых участков земли на
правильные треугольники; сапожная фабрика, пользуясь теми же спо-
собами, определяет, сколько какого размера надо выпускать сапог;
энтомолог изучает размеры своих красавиц бабочек; инженер-гид-
равлик изучает расход воды в реках, которые должны приводить
в движение наши замечательные, великолепные и могучие гидроэлек-
тростанции! Инженер, работающий в области радиолокации, констру-
ирующий всевидящий радиоглаз, с помощью методов теории вероят-
ностей допытывается, как из хаоса беспорядочных сигналов добыть
именно тот сигнал, который ему требуется, в чем не менее радиоло-
каторов заинтересованы работники по автоматике. Агрономы с по-
мощью тех же методов изучают влияние удобрений и всевозможных
подкормок на растения... и так далее, и так далее. Вот с какой заме-
чательной наукой мы с вами ознакомились во время наших прелест-
ных заседаний великолепной и многолюдной Тускарийской академии
по распространению любопытнейших начатков математических
наук!..
Общие дружные рукоплескания заключили это поучительное вы-
ступление Тимофея Иринарховича.
1 Обо всем этом очень интересно рассказано в книжке А. И. Китайгород-
ского. Порядок и беспорядок в мире атомов. М., изд-во Академии наук СССР.
1954, Научно-популярная серия Академии наук.
335
5.
— Вот как замечательно все нам объясняет наш досточтимый
президент! — воскликнул Ника, поднимаясь со своего места на кочке,
поросшей глянцевитыми листиками брусники. — Но перед тем как
закрыть наше очередное ученое и любознательное заседание, я все-
таки хочу попросить у нашего знаменитого президента, которому мы
все очень благодарны...
— Все, все! — раздались крики. — Очень-очень благодарны!..
— ... попросить позволения задать еще один вопрос.
— Прошу! — отвечал дедушка, который только что развязал свой
кисет, дабы снабдить горючим свою пресловутую пенковую трубку.
— Я попрошу вас, дедушка Тимоша, сказать нам еще несколько
слов о том, как это выходит, что расположение шаров в ядерной куче
связано со строением вещества, молекулы и всего такого.
— Присоединяюсь, — заявил Лева.
— Мы тоже, — сказала Наташа за себя и за подругу.
— Если только дедушка не очень устал, — промолвил Вася.
— Немножко можно, — отвечал Тимофей Иринархович.— Сде-
лаем такой опыт. Пусть в нашем распоряжении имеется несколько
деревянных кружков небольшой, вполне определенной толщины и
одного и того же диаметра, то есть поперечника. Толщина этих круж-
ков небольшая; соотношение между диаметром и толщиной пусть
будет примерно такое же, как у медного пятачка. Положим их на
плоскость стола. Постараемся придвинуть их друг к другу как только
возможно плотнее. Что из этого получится? Каким образом кружкй
мои улягутся на плоскости?
— Они будут соприкасаться друг с другом...— заметил, размыш-
ляя, Левка.
— Но ни один из них, — добавил дедушка, — не будет накрывать
другой.
— В таком случае, — нерешительно сказал Ника, — это, пожалуй,
будет напоминать до известной степени пол, вымощенный шести-
угольными плитками, а не квадратными. Бывают такие плитки, камен-
ные, небольшого размера.
— Да. До известной степени это расположение кругов будет на-
поминать шестиугольный паркет —бывают ведь и деревянные плитки
такой же формы. Но я хочу спросить вас вот о чем: если мы уложим
как можно плотнее наши деревянные кружкй, то какую фигуру будут
образовывать точки их центров?
Ребята немного помолчали. Затем Вася посмотрел наверх,
сощурился и вымолвил:
336
— Да... наверно... треугольник получится... вроде как равно-
сторонний.
— Позвольте, — сказал Ника, — да мы уже об этом говорили! Вы,
дедушка Тимоша, рассказывали (см. гл. XII, разд. 6).
— Верно, — ответил дедушка. — Итак, решетчатое (или сетча-
тое) расположение кругов на плоскости будет наиболее плотным...
то есть на плоскости уместится наибольшее число кругов, если центры
кругов образуют правильные — или равносторонние—треугольники.
Тогда мы можем сказать, что плоскость заполняется кругами единст-
венным (то есть только одним) способом. Никакого другого способа,
для того чтобы уложить как можно плотнее круги на плоскости, не
существует. С шарами в пространстве получается не так просто. По-
ложим на плоскость шесть шаров треугольником.
— Это так шары на бильярде укладывают, — вдруг припомнил
Вовка. — Я видел! Там не шесть, а пятнадцать. Это называется
«играть в пирамидку». Знаю!
— Да,—отвечал дед.—Треугольное число! А теперь скажите мне:
если я положу так шесть шаров — подумайте, на чертеж посмотрите!—
сколько шаров можно положить на них сверху? Шесть шаров обра-
зуют четыре ямки. Но заполнить все четыре ямки шарами нельзя,
не хватает места. Можно положить двумя способами: или один шар
в среднюю ямку, или три шара в три крайние ямки. Поэтому, когда
мы положим на плоскость как можно более плотно первый слой ша-
ров, то второй слой мы можем укладывать на первый двумя спо-
собами. Не в том, конечно, сила, сколько ты кладешь
шаров, а в том, в какие ямки ты их кладешь. В пер-
вом случае у тебя шар третьего слоя окажется над
шаром первого, во втором он окажется над про-
пущенной ямкой — это как раз будет случай ядерной
кучи.
— И яблоки в магазинах так на витринах раскла-
дывают, — ввернул Вовка.
— Верно, Вовочка, — заметила Веточка.
И все заулыбались.
— Так как эти способы, — продолжал Тимофей Иринархович,—
можно и так и сяк друг с другом перемешивать, двигаясь от слоя
к слою, то поэтому и шары в пространстве можно расположить бес-
численным количеством способов. Но как ни располагай шары, они
все-таки заполнят пространство не полностью — около двадцати
шести процентов всего пространства окажется пустым, это проме-
жутки между шарами.
— Понятно! — заметил Ника.
22 Архимедово лето
337
— А коли так, — сказал дедушка, — то теперь еще несколько
слов о кристаллах. Разумеется, люди с самой глубокой древ-
ности видели и, вероятно, любовались красотой природных кри-
сталлов. Недаром ведь все драгоценные камни стараются для
украшений представить в виде какого-нибудь затейливого кри-
сталла с чудно поблескивающими гранями! Но объяснить себе, в чем
именно коренится эта приятная для глаза правильность кристалла,
было не так-то легко. Мы уже говорили с вами о пяти правильных
телах. Надо прямо сказать, что некоторые из них человек не сам вы-
думал и построил, а сперва нашел в рудниках. Но этого еще было
мало. Потому что природные кристаллы бывают не только этих пяти
форм — они гораздо более разнообразны. Архимед, а за ним заме-
чательный ученый семнадцатого века Иоганн Кеплер занимались
этим вопросом и достигли интересных результатов. А вслед за Кепле-
ром один из видных учеников и последователей великого Галилея,
Николай Стено (родился в 1638, скончался в 1686 году), изучая кри-
сталлы, подметил основное и самое важное свойство кристаллов.
Дело в том, что ребра кристаллического многогранника (как и грани
его) сходятся для кристалла одного определенного типа всегда под
одними и теми же углами. Поэтому, если ты точно определишь вели-
чины этих углов, то ты тем самым можешь определить и тип кри-
сталлического многогранника, что зачастую вполне определяет и его
минералогическую природу! Затем, как я уже говорил, из этого на-
блюдения постепенно образовалась целая наука — кристаллогра-
фия, учение о кристаллах. Эта правильность внешней формы кри-
сталла и еще одно важное свойство, которое вы, наверно, все знаете
и которое заключается в том, что кристалл всегда раскалывается
в определенных направлениях...
— Так и камни некоторые раскалываются! — вставил Вовка.
— Разумеется!.. Эти два обстоятельства заставляют думать, что
отдельные атомы или молекулы, из которых составлен кристалл, об-
разуют нечто вроде плотной ядерной кучи, хотя, конечно, в таком
случае эти «ядра» совершенно ничтожно-крохотного размера, почему
это построение и называется точечной решеткой. Первые по-
пытки построить такое расположение точек, которое могло бы быть
схемой кристалла, сделаны были математиками еше в середине про-
шлого века, но опытное подтверждение это получило только в начале
нашего века, когда стали изучать кристаллы при помощи всепрони-
цаюших рентгеновских лучей. В природе кристаллы строятся и по
первому способу расположения шаров в пространстве и по второму.
Расстояния между соседними «точками» в кристалле алмаза, напри-
мер, составляют величину 1,53, но ее еще надлежит умножить на
338
десятичную дробь, у которой семь нулей стоят перед значащими циф-
рами, то есть на 0,00000001; это и будет та доля сантиметра — одна
стомиллионная, которая измеряет это расстояние.
— Вот так расстояньице! — сказал Вовка. —До чего же малень-
кое. И рассчитали! Молодцы какие ученые!
— Что правда, то правда, — ответил ему с улыбкой дедушка.
— А у меня, — осторожно промолвила Веточка, — есть, кажется,
задачка насчет разных происшествий, которые могут встретиться при
случайном выборе.
— А ну-ка, —сказал дедушка, — рассказывай, что за задачка
такая?
— Я второпях вхожу в комнату, где стоит большой гардероб
с платьем. Только что мне позвонила по телефону моя подруга, и мы
сейчас пойдем в театр смотреть замечательный балет Чайковского
«Щелкунчик»! Вхожу в комнату — хлоп-с! — лампочка перегорела.
Я впотьмах к шкафу поскорей, открываю, роюсь и достаю свои ту-
фельки, а их две пары у меня. Вытащила одну туфлю, а другую не
знаю, которую брать: одна пара черная, другая темно-коричневая, на
ощупь различить никак нельзя. Вытаскиваю наугад. Ну вот скажите:
какова вероятность, что я вытащу ту туфлю которую мне нужно?
Вот... А разрешите эту задачу, я вам другую задам: что, если их было
не две пары, а три или четыре?
22*
Глава четырнадцатая
Муха, которая укусила Васю. —Яма, бочка и стог. —Надо помочь! —
Измерить участок земли. — Взвешенная средняя. — Обелиск. — Гео-
метрия винных бочек Кеплера. — Парабола и параболоид. — Едино-
борство братьев Тускаревых. — Кот Теренций бросается на подмогу. —
Кеплеров лимон. — Задача о двух ведрах и шести литрах воды. —
Траектория падающего тела. — Чудесная переправа через речку. —
Модель, которую зовут Бушмейстером. — Это лист Мебиуса! —
Односторонняя поверхность. — Жук и точка. — Выстроим запруду,
устроим пруд! — Точка обходит пруд, меняя свое направление. —
Как раскрасить эту поверхность? — Опыт с часиками. — Неориенти-
руемая поверхность. — Попробуем разрезать! Что получится? — Раз-
режем натрое. — Двухцветный Бушмейстер. — Опыт с колпаком. —
Бутылка джинна, которая называется бутылкой Клейна. — Два вида
винтов. — Геликоида. — Самый большой объем — может ли он суще-
ствовать?— Мыльный пузырь сам доказывает геометрическую теоре-
340
му. — Опыт с двумя мыльными пузырями. — Свет выбирает себе
наикратчайший путь
1.
Не успел Лева довести до благополучного конца все, что было свя-
зано с утренним завтраком на терраске, не успел еще он подобрать с
маленькой тарелочки последние крошки очень вкусного творога, как
из-за кустов шиповника выглянула физиономия Васи, на которой было
написано неподдельное смущение. Вид у него был всклокоченный и
недоумевающий.
— Эй, — крикнул ему Лева, — Базилевс византийский! Ты чего
это? Какая тебя муха укусила?
— А вот нашлась муха... — мрачно отвечал Вася. — Допрыгался.
Лева спешно отодвинул свою тарелочку, поблагодарил мать и
быстро выскочил из-за стола.
Через минуту они уже сошлись с Васей на тропинке, которая
вела в лесок.
— Валяй рассказывай!
— Да, видишь,— отвечал, пожимая плечами, Вася,— я тут
кое-кому говорил про наши занятия, ну, про наши заседания, по-
нимаешь. ..
— Ну и что ж такого?
— Да ничего такого, а вышла целая история. Дядя мой, он не то
что родной дядя, а дальний, ну все-таки считается дядя... Парфен
Иваныч. Так. Вот я недавно иду, а он стоит с матерью около нашей
избы, разговаривает. Ну, говорят — их дело, я мимо, конечно. Он меня
цап за плечо. «Стой, говорит. Ишь, какой проворный! Врешь —не
уйдешь!» Ну, я стою, думаю он так что-то. Нет, не так. «Ты, говорит,
академиком заделался». Ну, так, вроде шутит. «А мы тебя проверим.
Ты ведь землемер теперь».
— «Землемер»! — засмеялся Лева. — Что ж, ведь геометрия по-
гречески и будет землемерие. В общем, прав.
— Да, прав! Ты слушай дальше. «Ты, говорит, землемер и должен
нам в колхозе помогать». — «Да он маленький», — мать говорит. Я ей
говорю — ведь мне обидно: «Оставь ты, мама, какой я маленький!» —
«Видишь,— он ей говорит, — еще ершится! .. Ну. академик, у меня
есть тебе задание. А не исполнишь —не будет тебе жизни! Скажу
матери, чтоб больше не пускала шляться, вот что! Либо толк какой
от тебя должен быть, либо дело найдем. Давай, и всё». А мать
говорит: «Да что ты к нему пристал?» А он ей говорит: «Нечего
341
нюни распускать — давай достижения». Я говорю: «А вам какие
достижения надо?» —«Как —какие? Очень просто». Начинает счи-
тать и каждый раз палец загибает: «Копаю я, говорит, яму, стенки
косые, скошено, а то выбирать оттуда неудобно, понял?» Я говорю:
«Понял». — «Докажи, какова вместимость ямы? Говори!» Мать на
меня смотрит. Я отвечаю: «Сразу не скажу, а к завтрему будет».
Хорошо. Он другой палец загибает: «Надо участок смерить. Как ты
поступишь?» Я говорю: «Обыкновенно: ширину на длину помно-
жить». — «Ишь, говорит, какой ловкий! А если он весь кривой, косо-
бокий, тогда что? А вот у Ионы Ефимыча так он весь по речке.
Сосчитай, академик!.. Что, брат?» Я говорю: «Я подумаю». — «Ду-
май!» — говорит, а сам ухмыляется. Это еще не всё.
— Здорово!— задумчиво проговорил Лева.
— «Два задания, а будет и третье. Бочка — какова у нее вмести-
мость? Железная, это первое, а второе, обыкновенная — клепка. Объ-
ясни. Это третье. А будет и дальше! Вот на поле стог стоит — какой
у него объем имеется? Каждый год ведь мучаемся. А копна... с ней
как быть? Вот тебе четыре загадки. И я тебе по совести говорю, без
обмана, изволь выручать, ты должен уважить — понимаешь? — а то
не будет тебе дыху, вот и весь сказ. Как хочешь! Любишь кататься —
люби и саночки возить!..» Вот как, Левка, получилось!
— Ну и как же ты теперь?
— «Как»! — сказал Вася. — Ничего не сдела-
₽—----------—я ешь, надо придумывать. Обязательно. Я в геомет-
। рию полез. Ну, насчет участка я уже добрался...
не совсем только, если участок кривобокий. Но если
г	/1 ограничен прямыми, то есть какой-нибудь непра-
ъ.	/ вильный многоугольник получается, это ничего.
L / I Разбиваю на треугольники и площадь сосчитаю в
\	/ лучшем виде.
V f	— Верно! — отвечал Левка. — Конечно. Но, на-
\/	верно, придется весь план начертить? ..
*	— А вот если около речки участок... Что ж тут
окружность, что ли, проводить? Вот уж я не знаю.
Яма — не нашел еще, но это я, наверно, найду.
А вот бочка и стог — даже не знаю, как тут и взяться. Он еще сказал:
«Смотри не наври!» — да пальцем погрозил. А он, знаешь, такой
серьезный — с ним шутки плохие. Ну, что делать?
Левка задумался.
— Знаешь, — выговорил он, размышляя, — ведь, вернее всего, не
так уж все это замысловато. Вот что. Просто мы с тобой не знаем, где
найти. Пойдем спросим у дедушки.
342
— А вдруг откажет! Скажет: да ну вас, и всё!
— Не-ет! — протянул Левка. — Вряд ли. Ну, пусть скажет, где
искать. А то... в крайнем случае, отец приедет, мы его спросим. Од-
ним словом, давай искать — горевать раньше времени нечего. Пошли.
Дедушка с Вовкой занимались в это время какими-то странными
склеиваниями лент и бантов из бумаги. Наши друзья появились со-
вершенно неожиданно, ибо кругом им было идти лень, и они перелез-
ли через изгородь, в силу чего и выскочили, откуда их никто не ждал.
Как только Вовка их увидел, он начал с великой поспешностью под-
бирать все эти бумажные сооружения и моментально исчез вместе
с ними. Друзья переглянулись — очевидно, дед с внуком затеяли что-
то новое.
— Доброе утро, дедушка!— сказал Лева. — Ты, может быть, не-
множко нам тут в некоторых вопросиках поможешь? Мы что-то не
разберем.
— Помочь? — сказал дед. — Кому помочь? Зачем помочь? Через
плетни помочь лазить, что ли? Что такое?
— Да не-ет! — сказал Вася. — Это мы так через загородку, то есть
торопились...
— Загорелось? — усмехнулся дед.
— Вот в том-то и дело! — вздохнув, признался Лева. — Просто
кое-что насчет геометрии. Там все-таки бывают довольно затрудни-
тельные задачи.
— Как не бывать, — отвечал дед. — Ну, выкладывайте, разбойни-
ки, где вы там оплошали?
— Видишь, дедушка, — сказал Лева. — Васю просят помочь кое
в чем для колхоза...
— Правильно делают, — отвечал дед.
— Ну и вот: одну задачу он, конечно, сейчас же решил, и, по-мо-
ему, просто очень хорошо решил, но вот другие, понимаешь...
— Какая задача?
— Измерить неправильный участок земли. То есть площадь вы-
числить. Вася предлагает следующий способ, мне кажется, очень
остроумно он придумал: разбить весь этот многоугольник на тре-
угольники и подсчитать площадь.
— Ну что же, хорошо! — сказал дед. — А потом что?
— А потом, — сказал Вася,— вот если граница участка идет по
речке или пруду... тут как быть?
— Ну, как быть? —рассудил дедушка.— Опять так же: замени
эту кривую линию вписанной в нее ломаной, вот и опять получишь
многоугольник. Чем ты мельче проведешь отрезки ломаной, тем точ-
нее вычислишь. Вот тебе и всё.
343
— А окружности не надо проводить?
— К чему? — спросил Тимофей Иринархович. — Во-первых, кри-
вая вовсе не обязана быть окружностью. С какой стати? И есть очень
много кривых, которые нисколько на окружность не похожи. Вообще
всегда надо сперва решить: с какой точностью собираешься ты изме-
рять? Если участок большой, скажем, больше ста квадратных метров,
то имеет ли смысл заботиться о точности, которая была бы ниже од-
ного процента или одной сотой всего участка, то есть одного квадрат-
ного метра? Мне сдается, что это не так уже важно. Опасна была бы
в таком случае ошибка в десять квадратных метров, но ошибка в один
квадратный метр вряд ли имеет значение. Мы уж об этом говорили.
— Хорошо, — сказал Вася,— это я как будто понимаю. Но как
же вписывать в кривую ломаную? Если кривая замкнутая, ведь
я тогда обязательно получу меньше того, что есть на самом деле!
— Конечно, — отвечал Тимофей Иринархович, — надо сообразо-
ваться с обстоятельствами. Ясно! Но ведь кривая твоя вовсе не
обязательно замкнутая. Твой участок может иметь кривую границу
только с одной стороны, а другие стороны у него могут быть прямоли-
нейными. Кроме того, если ты боишься, что вписанная ломаная даст
большое преуменьшение, попробуй взять в помощь ей еще и описан-
ную. Эта может дать небольшое преувеличение. А чтобы избегнуть и
преуменьшения и преувеличения, можно взять среднюю из того и
другого измерения. Если попробовать взять какой-нибудь пример на-
счет измерения при помощи описанной ломаной и вписанной...
— Действительно,— заметил Лева, — хорошо бы пример!
— Можно снова вспомнить об измерении окружности, — сказал
дедушка. — Если мы хотим вычислить площадь круга и возьмем для
этого вписанный и описанный шестиугольники, то описанный дает
ошибку в сторону преувеличения примерно на десять процентов, а
вписанный в другую сторону — семнадцать процентов. Если удвоить
число сторон многоугольника и взять вместо шестиугольника двена-
дцатиугольник, ошибки резко падают и вместо плюс десяти процентов
и минус семнадцати процентов получаем соответственно приблизитель-
но плюс 2,3 процента и минус 4,5 процента. Трудно сказать, известно
ли это было в древности у восточных математиков, но в Вавилоне и
в Иудее принимали, что площадь круга в три раза больше квадрата,
построенного на радиусе круга. Это чрезвычайно простое соотношение
между площадью круга и квадрата, построенного на радиусе, как раз
и получается, если положить, что площадь круга можно приближенно
получить при помощи вписанного двенадцатиугольника. Од-
нако пойдем немного далее древнего Вавилона: возьмем не двена-
дцатиугольник, а двадцатичетырехугольник. В этом случае ошибки
344
определения круга будут еще меньше: они будут равны плюс 0,6 про-
цента и минус 1,1 процента, то есть около одной сотой.
— Совсем уж хорошо! — заметил Вася.
— Недурно, — согласился дед. — А если взять для площади круга
среднюю величину между теми, которые дают описанный и вписанный
многоугольники, то двенадцатиугольник даст очень недурное прибли-
жение: ошибка равна минус 1,1 процента, тогда как двадцатичетырех-
угольник даст ошибку, всего-навсего равную минус 0,3 процента.
Средняя, как видишь, хорошо помогает.
— Действительно! — признался Лева.
— Но можно пойти и дальше, — продолжал дедушка. — Если мы
теперь перейдем к сорокавосьмиугольнику, то заметим, что для тако-
го многоугольника — как и при всех дальнейших удвоениях числа сто-
рон многоугольников! — существует следующее очень полезное пра-
вило: площадь круга, которую мы получаем при помощи описанных
многоугольников, не только всегда точнее, но даже точнее в опреде-
ленной пропорции: примерно в два раза.
— Не понимаю, — сказал Лева, — что это может обозначать:
«точнее в два раза»? Если одна величина больше другой в два раза,
это ясно, но как может быть одна «точнее» другой в два раза?
— Это не так трудно понять, — отвечал дед. — Вот тут в чем
дело. Если мы говорим, что одно приближение точнее другого в два
раза, то мы будем и среднюю вычислять из двух приближений так,
что более точному приближению мы дадим веры в два раза больше,
чем второму. Доверие же наше в данном случае выразится в том, что
мы будем повторять более вероятную величину два раза, а менее
вероятную — только один раз, а сумму этих трех величин для получе-
ния средней разделим уж не на два, а на три. Это называется взве-
шенной средней, и вес первого приближения будет равен двум,
а второго — одному. Назовем первую величину буквой а, вторую
буквой Ь, взвешенную среднюю буквой с и получим формулу:
с~ 3	•
— Это получается вроде «правила товарищества», — сказал
Лева, — или тройного правила. Так как будто?
— Конечно, — отвечал дедушка. — И вот таким-то образом можно
получить очень хорошее приближенное решение задачи о площади
круга, если взять удвоенную площадь описанного многоугольника,
прибавить к ней площадь вписанного, а сумму разделить на три. Если
у нас будет двенадцатиугольник, то мы получим площадь круга
с ошибкой, равной лишь 0,07 процента, то есть меньше одной тысячной
345
— Выходит, — сказал Лева, — что тот многоугольник, который
больше искомой площади, уменьшаясь по площади с каждым удвое-
нием своих сторон, скорее приближается к искомой площади круга,
чем тот многоугольник, который меньше нужной нам площади и ко-
торый постепенно увеличивается с удвоением сторон.
— Да, выходит так, — отвечал дедушка. — И если бы великий
Архимед знал это правило — а найдено оно было только в семнадца-
том веке — насчет соотношений точности (одна треть и две трети), то
он мог бы получить из своего девяностошестиугольника (он ведь как
раз на нем остановился!) не два правильных десятичных знака, а це-
лых пять. Но даже известный уже нам Гиясэддин в пятнадцатом веке
нашей эры еще не знал об этом, хотя и довел число сторон своих
многоугольников до восьмисот пяти тысяч.
— Восемьсот пять тысяч!.. — повторил Вася, покачивая голо-
вой. — Все-таки то, что он получил, оказалось правильным для всех
кругов, потому что все круги подобны друг другу?
— Конечно, — отвечал дед.
— Попробую, — вымолвил Вася, — взять среднюю.
— Попробуй! — откликнулся Тимофей Иринархович. — Ну, а в за-
труднительных случаях приходи ко мне, сосчитаем небось! Есть раз-
ные, очень хорошие способы приближенных вычислений площади.
Только в солдатском древнем Риме боялись всяких научных «хитро-
стей», суеверно считая, что одни лишь безумно дерзкие греки могут
этим заниматься. ..Ив силу этого было предписано законом, чтобы
у всех участки земли были всегда и всюду прямоугольные. А нам с то-
бой бояться нечего!
2.
— У Васи еще задачи есть. Целых три,— постарался помочь то-
варищу Лева.
— Ну, давай, — отвечал дедушка, посмеиваясь, — попробуем. Что
не решим, то книжки скажут, а с книжками не сладим — люди
помогут. Что ж такого! Ты того не знаешь, а другой этого не знает.
Так уж оно и ведется. Хлебопек сапожнику хлеб печет, а сапожник
ему сапоги шьет. Ясно?
— Да, ясно! — сказал немного приободрившийся Вася. — А те
задачи потруднее даже, пожалуй. Вместимость ямы надо опре-
делить. ..
— С косыми боками небось? — догадался дед.
— Ну да!
— Эта фигура в справочниках, — отвечал дед, — обыкновенно име-
346
нуется обелиск. Бока наклонены к основа-
нию одинаково. Это узнать нетрудно. Где-то у
меня есть. Еще что?
— Бочка... — почти с содроганием произ-
нес Вася, — а потом еще... даже уж не
знаю... стог и копна тоже.
— Ну, объем цилиндрической железной
бочки подсчитать нетрудно — в геометрии най-
дешь, а обыкновенную — это я могу тебе дать.
Это немножко похитрее. У одного замечатель-
ного ученого семнадцатого века, математика и т/-_
астронома Кеплера, есть даже целое сочи- ' ~ 6 I? ' '	' \
нение, которое так и именуется «Стереометрия винных бочек».
— Вот бы прочесть! — воскликнул Вася.
— Кто ж тебе не велит, — отвечал Тимофей Иринархович,—
читай, она есть в русском переводе *. Кеплер был одним из немногих,
кто в те времена начал снова применять особые мето-
ды Архимеда, служащие для нахождения криволиней-
ных площадей и объемов. Кеплер и сам понимал, что
его сил и математических знаний на это мало, и в
книге разбросан целый ряд призывов к математикам,
которых он просит помочь ему в разрешении его за-
дач. .. «Помогайте, Аполлонии!» — восклицает он од-
нажды, любезно титулуя своих современников-матема-
тиков именем одного из крупнейших геометров древ-
ней Греции — Аполлония Пергейского.
— Что ж они, откликнулись? —спросил с беспокой-
ством Вася, которому показалось, что в эту минуту он
очень хорошо понимает, что испытывал некогда Кеп-
лер.	1Г 11 Л.
— Конечно, — отвечал ему дедушка, — нашлись у ='7цс1Л
люди, которые ответили ему делом, стали развивать
его предприимчивые изыскания. И уж если тебе ска-
зать по совести, то с этого-то времени и начала зарождаться высшая
математика.
— Значит, бочку без высшей математики не вычислишь? — груст-
но спросил Вася.
— Высшая математика, — пояснил президент Тускарийской ака-
демии, — видишь ли, вообще редко занимается вычислениями, кото-
‘Кеплер Иоганн. Новая стереометрия винных бочек, пер. Г. Н. Свешникова.
М„ Гостехиздат 1935.
347
рые решают какую-нибудь одну задачу. Она обычно берет вопрос
шире и всегда старается решить его в целом, в общем виде. А ког-
да уж она выведет определенную формулу, то тогда всякий, кто знает,
что такое алгебра, может такой формулой воспользоваться. Так что
формулу для объема бочки я тебе тоже поищу и думаю, что найду.
— Ах, — сказал Вася, — вот бы хорошо! А уж насчет стога и
копны... просто я не знаю. Неужели же и ими математик какой-ни-
будь занимался? Да нет, вряд ли!..
— А что, Вася, — произнес дед, хитро прищурившись, — как ты
думаешь, может быть, мы и сами как-нибудь с этой копенной про-
блемой справимся? Давай-ка рассудим. Стог ведь в основании своем
представляет собой просто цилиндр, как ты полагаешь?
— Конечно, цилиндр, — сказал Лева.
— Его верхушку мы можем принять за часть
шара. А еще лучше принять ее за объем тела, кото-
рый впервые был найден Архимедом. При помощи
этого Архимедова объема объем твоего стога выра-
жается очень просто — вот тебе и решение. А коп-
на тоже может быть подсчитана тем же способом.
— А какое это тело? — спросил Вася.
— Вот какое. Представь себе конус. Ты его рас-
секаешь плоскостью, которая параллельна его
образующей, то есть боковой его линии. Тогда
в сечении у тебя получится такая дуга, которая на-
зывается параболой.
— А-а! — воскликнул Лева. — Да ты, дедушка,
33 cLx(a* в} нам ГОВОРИЛ' это та самая кривая, по которой летит
= "28	V**0/ брошенный камень, стрела, пущенная из лука, или
снаряд из пушки,— кривая, по которой вода из
бочки льется и из фонтана бьет. Да?
— Она самая! Это, брат, очень полезная кривая. Так вот, если
взять ось симметрии этой кривой и вращать кривую около оси, то ты
и получишь некоторую особую поверхность, ограничивающую тело,
похожее на конус. Разница с конусом та, что у
конуса заостренная вершина, а у этой поверхно-
А /	сти вращения параболы вершина сильно сглаже-
X	на и похожа не столько на острие, сколько, по-
жалуй, на тупой конец яйца. Вот рисую ее на
]/~\ д	чертеже... (стр. 349). Поверхность эта называется
параболоидом. Если налить воды в цилиндри-
ческий сосуд и быстро вращать его вокруг оси,
\ najia foj « то вода под действием центробежной силы по
348
краям цилиндра поднимется, а к середине обра-
f	I	зуется впадина, — поверхность такой впадины и
/	।	\ есть поверхность параболоида. Когда ты разме-
/ j \ шиваешь сахар в стакане чая и приводишь ло-
/	\h	\ жечкой жидкость в стакане в довольно быстрое
/	}	\ вращение, у тебя там тоже нечто в этом роде по-
/	।	1 лучается...
/------I — Ах, да! — сообразил Лева. — Да, да, вер-
-----i-------Ч но! Воронка такая получается в чае.
—	.— Она только из-за ложки не очень правиль-
t ную форму имеет. А если это проделать, как, на-
У = ж h пример, делается в сепараторе, то...
— ... получается хорошая воронка, — под-
твердил Вася. — Мы с ребятами на молочной ферме в сепараторе
видели.
— Ну так вот, — заключил дед, — значит, вы с этой поверхностью
до известной степени знакомы. Встречались! На твое счастье, Вася,
великий Архимед когда-то уже нашел объем этого тела, который про-
сто-напросто равняется половине объема цилиндра с той же высотой
и тем же основанием '. Понимаешь, как это просто? Вот при помощи
объема этого тела, на мой взгляд, и можно приближенно выразить
объем копны или объем круглой верхушки стога. Трудного ничего тут
нет.
— Вот видишь, — сказал другу Лева, — а ты боялся! Дедушка —
он ведь наш президент. Уж он не выдаст!
— Я поищу у себя кое-что, а потом ты зайдешь через денек,
мы с тобой все это разберем и запишем, — успокоительно сказал
Дед.
— Значит, — сказал Вася, — я разобью стог на две части: нижняя
у меня будет вычисляться как цилиндр,
а верхняя как половина цилиндра с тем
же основанием и высотой, как у этой
верхушки? Так я вас понял?
— Верно.
— Вот уж спасибо вам, дедушка Ти-
моша,— сказал Вася, кланяясь. — А я
прямо не знал, как и приступиться.
1 Читатель может узнать, как получается эта
формула, в книжке И. П. Натансона. Сумми-
рование бесконечно малых величин. М., Гостех-
издат, 1953, стр. 39, § 27.
349
— Ничего особенного и нет, что ты не знал, — отвечал ему добрый
старик, — ты этого вовсе и не должен по твоим годам знать. Над то-
бой подшутили. Но эту шутку мы можем повернуть всерьез. И от нее
будет даже и некоторая польза.
В это время из-за кустов осторожно выполз Вовка и спросил:
— Дедушка, долго эти пустые разговоры еще продолжаться бу-
дут? Когда ж мы склеим наши модели?
— Ого,— сказал Лева, — до чего строг стал наш секретарь! «Пу-
стые разговоры»! Каково? Да ты. клоп, пигмей и младший правнучек
воробышка, даже и представить себе не можешь, до чего это важно!
— Ты!.. — произнес с презрением Вовка. — Это вот ты даже и
вообразить себе не можешь, какие у нас с дедушкой высокие за-
мыслы! ..
— Вот еше! — закричал Лева. — Да, честное слово, этот богатырь
скоро меня в угол ставить будет. Нет, невыносимо! Я должен с этим
покончить! Вынужден растерзать его в клочки. Урра!
С этими словами Лева кинулся на Вовку, раздался визг, и оба
они полетели на траву, где поднялась невероятная возня.
— Пусти! — кричал Вовка. — Ты не понимаешь наших высоких
замыслов!
— Не пущу! — отвечал Лева, кувыркаясь вместе с братцем в ло-
пухах.— Ты еще так глуп, что даже сообразить не можешь, что та-
кое высокий замысел, Каменный Зуб!..
В эту минуту кот Теренций поспешно спрыгнул с березы и бросил-
ся к сражающимся. Вдруг он остановился, недоуменно мурлыкнул, и,
очевидно сообразив, что все это одно сплошное баловство, почесал
за ухом, брезгливо потряс задней лапой в знак своего полного пре-
зрения и величественно удалился.
Пока эти двое «ученых» усердно катались по траве, Вася спросил
дедушку:
— Насчет параболы, как она получается из конуса, я как будто
понял, Тимофей Иринархович. Но как насчет бочки? Может быть, вы
мне хоть самую основу укажете, а то я никак не
соображу, как тут подойти, как взяться.
|	— Кеплер в старину делал вот как. Берется
I окружность, пересекается хордой, которая Ko-
fi роче диаметра. И меньший отрезок окружности
i вращается вокруг этой самой секущей хорды. По-
лучается такое тело вращения...
— А-а! — обрадовался Вася.— Значит, опять,
как и с параболоидом, — тело вращения! Вот
Квочки = 0,Шс(2вх’а') как!
350

— Конечно, — отвечал дед. — Это тело Кеплер называл лимо-
ном...
— Лимоном! — со смехом повторил Лева, выпустив наконец совер-
шенно растрепанного Вовку из своих объятий. — Что это еще за ли-
моны такие?
— Да, — отвечал дед, — Кеплер любил такие замысловатые на-
звания. Тело вращения... если бы ты не возился, ты бы знал, в чем
дело! Кот Тереха и тот тебя не одобрил. Да... Ну, а потом это тело
просто обрезается с обоих концов— вот и получается бочка.
— Вот ведь не пришло в голову!.. — с сожалением произнес Вася
задумчиво.
— Подумаешь, бочки! — презрительно фыркнул Вовка.
— Потише, приятель! — заметил дед.
Вася протянул руку Вовке:
— Предлагаю выкуп за похищенные полчаса времени.
— Какой выкуп? — сердито отозвался Вовка, но уже помягче.
— Замечательную задачку. Берешь?
— Беру, беру! — с интересом сказал Вова, пожимая руку това-
рищу.
— Тогда слушай! Ты пришел на берег реки, и у тебя с собой два
ведра. Одно большое, другое маленькое. Большое девять литров,
маленькое четыре. Ясно?.. Тебе надо принести домой ровно шесть
литров воды. Никаких делений на ведрах — вроде полведра, четверти
и так далее — нет. Как ты поступишь? Можешь наливать воды из
речки и выливать обратно сколько хочешь.
— Ше-есть? — удивленно протянул Вовка. — И выходит?
— Выходит.
— Хорошая задачка, — заметил дед. — Можно сказать, поучи-
тельная.
— А я не понимаю, — промолвил Вовка, морщась.
— Ты вот что попробуй сделать, — посоветовал дед.— Ты допусти,
что у тебя все готово. Ты ухитрился отмерить нужные тебе шесть
литров. Вообрази, где они у тебя...
— В большом ведре, конечно, — быстро ответил Вовка, но потом
задумался, — а может быть... нет, не знаю.
— Сперва, разумеется, лучше делать самые простые допущения,—
объяснил дед.— Когда ты это себе представишь, подумай, а что
у тебя в ведрах было перед этим? Вот и двигайся от решения, как
будто уже готового, обратно. И все сделаешь. Вот как, внучек мой
хороший. Займись-ка!
— Значит, через денек, — задумчиво промолвил Вася, посматри-
вая на дедушку. — Интересно это с лимоном. А я, простите уж, дедуш-
352
ка Тимофей Иринархович, даже не решался и допустить, что бок у
бочки это что-то вроде окружности. Думал, какая-нибудь другая
кривая.
— Легко может статься, — отвечал дед, — конечно. И из-за этого
лучше взять не лимон Кеплера, а нечто подобное, только не из окруж-
ности, а из параболы.
— Как же это так —из параболы? — спросил Лева (про лимон
Вася уже успел ему показать прутиком на песочке).
— Видишь ли, — отвечал президент Тускарийской академии,—
дело в том, что параболы могут быть разные. Играешь ты в лапту и
посылаешь мячик на ту сторону, к тем, кто ловит. Он летит, конечно,
по параболе. Но ты можешь так его послать, чтобы он улетел как
можно дальше, а можешь послать его свечкой, то есть так, чтобы он
взмыл чуть ли не вертикально вверх, а потом также и опустился бы.
В обоих случаях мячик опишет параболу, только одна парабола будет
очень узкая и крутая, а другая — широкая и пологая. Совершенно
то же самое и со струей воды: из крана в чане парабола струи, кото-
рая льется вбок, будет широкая, а струя фонтана вверх бьет парабо-
лой узкой. Кстати сказать, именно эту параболу, изображающую
траекторию летящего или падающего тела, и нашел в свое время
Галилей; это было одно из его важнейших открытий, предопределив-
шее вместе с работами некоторых его современников, главным обра-
зом Кеплера, полный переворот в науках и во всем мировоззрении
людей. Для вычисления объема бочки мы, конечно, возьмем параболу
пошире, то есть пологую, а не крутую, пересечем ее секущей, перпен-
дикулярной к ее оси симметрии, и будем вращать около секущей.
Получится тело вращения, близкое к тому же лимону, только это
будет лимон параболический, а затем отрежем у него концы сверху
и снизу. Вот тебе другое приближение. Вероятно, оно будет лучше
простого лимона.
23 Архимедово лето
353
Прошло два дня, и Вася с торжеством по-
тащил к себе домой целую кучу разных фор-
мул, добытых им от дедушки Тимоши. Не-
сколько дней он ходил героем, а потом снова
стал задумываться.
— Еще чего затеял? — удивленно спросил
его Лева.
— Формулы очень все-таки сложные... —
раздумывая, отвечал ему товарищ. — Я вот
хожу и сам к себе пристаю: нельзя ли как-
нибудь еще упростить расчеты? ..
Снова потолковали с дедушкой. Оказалось,
что это затруднение возможно разрешить при
помощи некоторых графиков, которые сами
будут считать. Однако временно это дело было
пока отложено.
1Z -ппчо/ , мА — А еще вот какая история получается,—
И60Чки- 0,0524с («^*3а;сообщил Леве через денек Вася. - Парфен-то
Иваныч поглядел и так сказал: «Это, гово-
рит, всё так, дельно, не возражаю. Но вот где будем спотыкаться:
ты ведь пишешь, поперечник надо брать? Ну, у бочки железной это
спору нет — там поперечник легко взять. А как у стога, как у копны?
Сам подумай! Ты, говорит, нам давай так, чтобы не от поперечника
начинать, а от того, чтобы стог кругом веревкой смерить». То есть —
ну ты, Лева, понимаешь —ему длину окружности вместо диаметра
надо.
— Ну да, — отвечал Лева. — Со стогом-то действительно удобнее
так будет.
— А я так решил: возьму-ка я Архимедово число! И объявил ему:
«По окружности — ну, если кругом смерить! — можно найти и попе-
речник». — «Как так?» — он говорит. «А очень просто, — отвечаю. —
Длина окружности есть 22/7 диаметра. Значит, зная окружность, по-
лучаем для диаметра, то есть поперечника, 7/22 длины окружности.
А если трудно смерить всю окружность, возьмите половину ее — тог-
да будет не 7/22, а 7/ц». Вот и всё! Он записал. Посмотрел на меня
и сказал: «Ладно!»
Прошло еще два дня, и Вовка гордо заявил ребятам, что они с де-
душкой назначают очередное собрание пытливых тускарийцев, где
будет поставлен великий и никем еще не рассматривавшийся вопрос
о том, как перейти с одного берега речки на другой, не переправляясь,
то есть не переплывая через оную...
— И не перелетая? — спросила, улыбаясь, Веточка.
354
— Конечно, нет! — надменно отвечал глубокомысленный товарищ
секретарь.— Ишь чего захотела, какая птичка нашлась!
— А она, правда, немножко на птичку похожа, — сказала мама
Левы и Вовки, с удовольствием посматривая на живые Веточкины
глазки, которые весело заблестели в ответ на эти слова.
Вовка поглядел на девочку мрачно, но не выдержал, фыркнул
и быстро сменил гнев на милость. Дело в том, что он почти совсем
решил Васину задачку о двух ведрах, но почему-то никак у него
в ответе шесть литров не получалось. И он надеялся почерпнуть по
этому вопросу кое-что от этой самой «птички», в чем как будто и не
ошибся.
— Так, — сказала ему Веточка. — Задачка мне нравится. Ну, рас-
сказывай, как ты ее думаешь решать?
— Дедушка мне так объяснил, — отвечал Вовка, — что надо себе
представить, будто ты уже задачу совсем решил. Если я ее решил, то,
значит, у меня в большом ведре уже есть целых шесть литров воды,
или в большом два, а в маленьком четыре. Но с маленьким, как я ни
бился, ничего не выходит, потому что семь литров из большого никак
не отольешь!
— А если там шесть, в большом-то?
— А если шесть, то тоже очень трудно... Значит, я вылил из
большого ведра три литра. А как это сделать? Четыре можно вылить,
а три?..
— А что, Вовочка, — сказала Вета,—если два раза отлить по
четыре?
— Два раза по четыре? — повторил Вовка. — Тогда там останется
только один литр.
— Видишь, значит, ты один литр можешь получить!
— Один-то я могу получить, — невесело отвечал Вова, — а даль-
ше что?
— Дальше подумай, что ты можешь сделать с этой единицей.
Ничем она тебе помочь не может?
— Единица? .. А что от нее толку? ..
Но так как Веточка промолчала, то Вовке пришлось соображать
самому.
— Один литр, единица у меня в большом ведре... — рассуждал он
вслух. — А в маленьком сейчас пусто — ничего нет... Вот что, Веточ-
ка! А если мне из большого ведра перелить этот один литр?
Веточка улыбнулась и опять промолчала.
— Выходит! — вдруг закричал Вовка, хлопая в ладоши. — Вы-
ходит, если в маленькое перелить! Понял, понял!
В эту минуту к нашим друзьям подошел Лева.
23*
355
— A, — вымолвил он, — Васина задачка! Хорошая, ничего не ска-
жешь. Кстати, знаешь, Веточка, что я тебе скажу об этом одном
литре, который с таким трудом Вовке достался? Ведь это наимень-
ший положительный вычет из сравнения:
9 = 1 (mod 4).
Вспомни-ка, что мы говорили о вычетах, когда магические квадраты
разбирали.
з.
Пришел и день следующей ассамблеи. Любознательное собра-
ние было назначено у Тускаревых на терраске, причем секретарь
предварительно выгнал всех из дачи и из садика, распоряжаясь до
того решительно и свирепо, что не только Лева, но даже и девочки
начали на него коситься. Но Тимофей Иринархович, вытащив свой
объемистый кисетик, только посмеивался да пошучивал.
— Ничего!— приговаривал он. — Ничего, пускай действует!..
В общем, все были изгнаны за ограду. Через две — три минуты по-
явилась улыбающаяся Левина мама и сказала ребятам:
— Ну, как будто всё, идите!
Когда дети вошли на террасу, все увидели, что над самым столом,
в воздухе, покачивается огромное— в целый метр длиной — престран-
ное сооружение из толстой чертежной бумаги, напоминающее собой
какой-то бант.
— Ничего подобного никогда не видала! — всплеснув руками,
заявила Веточка, весело улыбаясь.
— А ведь небось выдумываешь!—тихо шепнул ей Лева.
Веточка и виду не подала, что она что-то слышала, но когда
Лева взглянул на нее, то она быстро на секундочку показала ему
язык... правда, только самый кончик. Лева ухмыльнулся, теперь
уже вполне уверенный, что его подозрения имели некоторые осно-
вания.
— Ну-у,—сказала Наташа в тон подруге, — рассказывай нам,
Вовочка, что это ты такое здесь повесил?
— Ясно! —басом уронил Ника.— Дожидались, дожидались!..
Ну-с, Тускарийский секретариат, начинай действовать.
— Прошу слова! — важно вымолвил Вовка.
— Имеешь! — не менее чинно отвечал ему Ника и даже для важ-
ности постучал костяшками пальцев по столу.
— Здесь перед вами... — начал Вовка.
356
— ... перед тускарями... — ввернул Левка.
— Дедушка, — сказал Вовка, — я не буду делать доклада, если
этот вражеский элемент не замолчит совершенно!
— Цыц! — сказал Ника-председатель. — Прекратись в одну ты-
сячную секунды, ты — «элемент»!
— Есть прекратиться! — покорно отвечал Лева.
— Так-то вот лучше! — наставительно отвечал ему братишка.—
Итак, я должен сейчас приступить к моему докладу. Это доклад очень
удивительный. Пожалуй, можно сказать: такого еще в нашей замеча-
тельной академии и не было. Перед вами здесь находится некоторый
лист, который есть поверхность. Вот этот философ древний, который
был Аристотель, учил — то есть тогда, в старину, в древности! — что
поверхность тогда получается, если мы рассекаем — то есть разре-
заем аккуратно — тело... Так я говорю, дедушка?
— Совершенно правильно! — подтвердил дедушка.— Так и есть.
— Но так как он был очень древний, то он напутал. Вот тут и есть
перед вами поверхность, которая не получается от сечения тела...
— И никакого объема не ограничивает,— добавил дед.
— Да, и не ограничивает! Вот она какая! Мы с дедушкой про-
звали ее Бушмейстером...
— Это кто ж такой? Голландец какой-то? — спросила Веточка.
— Нет, — отвечал очень довольный Вовка.— Это такой змей, очень
опасный, который водится под самыми тропиками, главным образом
в самых густых зарослях, хитрый и ядовитый. Очень хитрый. Вот
из-за хитрости-то — потому что этот лист тоже замечательно хитрый
и всех всегда обманывает —мы его и назвали Бушмейстером. На са-
мом делеон называется лист Мебиуса, по имени одного немец-
кого математика, который его нашел и изучил...
— Ну, Вова, извини, что прерываю, — сказала мама, поднявшись
на лесенку террасы, — а я все-таки, воля твоя, не могу согласиться,
чтобы этот твой лист выдумал математик. Я уверена, что женщины
его знали гораздо раньше всяких математиков.
— Вот еще новости!—возмущенно воскликнул Вовка.
— Новости самые простые, — отвечала ему мама. — Всем мама-
шам очень хорошо известно, что, когда ребята надевают пояс, они
нередко его перекручивают, застегивают неверно, а потом очень часто
видишь, как такой малыш, чувствуя, что у него в костюме что-то не-
исправно, начинает время от времени перекручивать свой пояс.
Ничего у него, конечно, не выходит. Пока мама не увидит —не рас-
стегнет да не поправит!
— Это, конечно, вещь вполне возможная, — отвечал маме Тимо-
фей Иринархович, поковыривая трубку. — И тут дело не в том, что
357
Мебиус что-то «придумал», а в том, что он обратил внимание на это
явление, понял, что его имеет смысл исследовать и рассмотреть
с геометрической точки зрения.
— А все-таки,—заметила Наташа, — мы, любознательные Тус-
карийские академики, так еще и не знаем, о чем идет речь...
— Н-да.. . — согласился председатель с довольно кислой гри-
маской.
— Да-да! —отозвался и дедушка и, подав Вовке бумажную по-
лоску, сказал: — Начни-ка ты, братец, вот с этого. Сразу дело на лад
пойдет!
Вовка взял бумажную полоску, посмотрел на нее, собрался было
спорить, потом раздумал и, показывая всем эту полоску, начал снова:
— Мы берем вот такую полоску
бумаги. Вот они лежат, эти полоски.	————
Прошу взять каждого. Конечно, ничего %	q
не стоит свернуть ее колечком... вот .......—..
так! А потом и склеить концы. Выйдет
такой низенький цилиндрик без верхушки и бездонный. А теперь вот
что и вот в чем у нас дело. Перед тем как свести концы, а потом скле-
ить, перевернем один конец наоборот, другой стороной. У нас вот
некоторые полоски так раскрашены: одна сторона белая, другая ро-
зовая. Так надо повернуть, чтобы один конец был белый, другой ро-
зовый. ..
— На сто восемьдесят градусов повернуть! — подсказал дедушка.
— Ну да, дедушка! Вот я только что хотел сказать, потому что
у меня даже записано, что сто восемьдесят, а ты сам говоришь! Я не
понимаю, ну зачем ты говоришь!.. Так вот, а когда это сделаете,
у вас и получается лист Мебиуса. Это такая особенная поверхность,
у которой есть только одна сторона, почему она и называется одно-
сторонняя поверхность. Теперь вы все сами видите, что
у нас над столом и висит большущая наша с дедушкой модель Меби-
_____________ усовой односторонней поверхности, по прозванию
Бушмейстер! Теперь мы и будем ее рассматри-
У	вать во всех подробностях.
/ / г )	— Какая модель хорошая!—сказала Веточка.
У /	— Будет выдумывать-то! — ответил ей Лева.
У У Упг	— чем плохая?— со страшной обидой спро-
уЙ'^УУ?	сил Вовка.
— Да нет< — отвечал Лева, — модель ничего
Ссуь /	себе. Уж очень только она к тебе подлизывается,
\x>VLX	вот я про что.
— И все ты врешь, — спокойно отвечала ему
358
Веточка. — Я только правду говорю — врать не люблю. Модель очень
хорошая. И неужели, Вовочка, это все ты сам склеил?
— А то кто же? — сердито спросил Вовка, кидая на брата испе-
пеляющий взор. — Дедушка, скажи ему обязательно, чтобы он боль-
ше не смел. Никто его даже не спрашивает.
— Кто его будет спрашивать!— весело сказал дедушка. —Да ты
не обращай внимания. И давай дальше!
— Я не буду обращать внимания,— отвечал Вовка. — Конечно,
кто умнее, тот отстанет.
— Ясно, — отвечал Ника. — Продолжай, докладчик... Левка,
отвяжись!
— Начнем с того, что пусть по нашей модели ползет жук. Вот
он начинает отсюда и ползет по самой середине ленты. Я показываю
палочкой, как он ползет. Вот он загибает вниз, потом сюда... и вот
он приползает на старое место. Значит, он обползал всю нашу по-
верхность. Теперь мы будем считать, что поверхность наша прозрач-
ная и толщины у нее нет...
— Геометрическая поверхность, — заметил дедушка.
— Мы на ней ставим ма-аленькую точку. Но ведь у поверхности
толщины нет, значит, точка проходит насквозь. Пусть теперь точка
ползет по поверхности, как будто она жук... Тогда выйдет, что она
сразу и с той и с другой стороны поверхности ползет.
— Вовка хочет сказать, — пояснил дедушка, — что поскольку
у нас одна поверхность и она, как и полагается геометрической по-
верхности, толщины не имеет, то точка, двигаясь по ней, двигается
так, что ее видно и сверху и снизу. Так как мы имеем дело не с са-
мой поверхностью Мебиуса...
— Не с самим Бушмейстером! — ввернул Вовка.
— ... а только с его моделью, то мы и говорим устами нашего до-
кладчика: «ползет с той и с другой стороны». Я это напоминаю
к тому, чтобы вы не забыли, что сторона-то все-таки одна, а только
на модели их две.
— Непонятно, — возразила Веточка,— как же это так?
— Нет, ясно, — ответил ей Лева. — Модель сделана из бумаги,
так ведь?.. Следовательно, у нее — у бумажной ленты — можно раз-
личать две стороны. Жук, когда полз, так и делал. И точка, двигаясь
по геометрической поверхности, ползет не по ней, а сквозь нее! Про-
никает на обе стороны бумажки, как клякса на промокашке.
— А тогда, — продолжал докладчик, — получается, что она —
точка! — приползет на старое место вдвое скорей жука, потому
что ей не надо обползать всю ленту — хватит и половины! Ясно?
— Как будто ясно, — отвечала Наташа. — То есть ее видно, когда
359
она на модели достигает того места, которое как раз находится под
тем, с которого началось путешествие.
— Верно, — ответил дед.
— А теперь дальше! — продолжал Вовка, оглядывая слуша-
телей с торжествующим видом. — Вот у нас на модели проведена по-
середине голубая полоса. Проведена и сверху и снизу. Это у нас
будет речка, которая называется Речка-быстротечка. Если бы мы
пустились в плавание по этой нашей речке, то тут ничего особенного
не случится, будет точь-в-точь, как с точкой, вот как я сейчас гово-
рил. Но если пойти просто по берегу этой речки, то тут-то и начнутся
самые удивительные чудеса. Пускай у нас точка идет по берегу... вот
я показываю, как она идет. Вот она пошла отсюда —я на этом месте,
откуда она отправляется, ставлю красненький крестик. Вот, значит,
она пошла... идет... идет... А вы не забудьте, что плоскость наша
толщины не имеет! И она пришла сюда, на это место и как раз нахо-
дится на другом берегу, напротив моего крестика...
— На другой стороне листа... — пробурчал Лева.
— Не понимаешь! — презрительно отвечал ему докладчик. — Ведь
тебе, кажется, русским языком сказали: толщины нет! Значит, точку
видно и с той и с другой стороны. Ты даже и не можешь на самом
деле разобрать, по какой стороне она идет — она видна с той и с дру-
гой стороны... Вот она приходит на это место — и получается...
Ну-ка, скажи сам, что получается?
Лева что-то забормотал, но Веточка проворно перебила его:
— Получается, что точка, не переплывая речку, оказалась на
другом берегу!
— Правильно! — с удовольствием подтвердил Вовка, секретарь и
докладчик. — А если она теперь пойдет дальше, то вернется на свое
старое место — значит, еще раз перейдет на другой берег речки, не
переплывая и не перебираясь через нее.
4.
— А что будет, — спросила Наташа, — если через речку выстроить
мостик?
— Мостик? .. — переспросил Вовка, опасливо оглядываясь на
деда.
— Это у нас, Наташа, плоскость, — объяснил дед. — Поэтому ли-
бо мостик нас уведет с плоскости в пространство, если мы его наклеим
над речкой — как обычно и делаются мосты, — либо он превратится
в нечто похожее на мост, но это будет совсем другое...
360
— Да, —обрадовался Вовка, — вот другое — можно. И знаешь,
Наташа, что это будет? Это будет перемычка, плотина, запруда. Сей-
час покажу! Это еще интереснее, чем речка.
Вовка снял свою модель и повесил на ее место другую, где голу-
бая лента речки пересекалась белой полосой «запруды», разумеется,
опять-таки с обеих сторон ленты.
— Теперь вместо речки, — объяснил докладчик, — у нас получился
пруд. Ясно?
— Ясно, — согласился Вася, внимательно осмотревший Вовкину
модель. — Пруд как есть.
— Теперь, — продолжал Вовка, — пусть наша точка будет ходить

около этого пруда, то есть кругом него. Вот я поставлю крестик здесь
справа, не доходя до запруды, на той стороне пруда, которая ко мне
поближе. Теперь отсюда точка пускается в путь. Она переходит запру-
ду и идет направо по берегу пруда. Идет... идет... и, когда я гляжу
на нее сверху, я вижу, что пруд у нее остается по правую руку. И вот
видите, где она оказалась? Она оказалась на том же берегу и при-
ходит теперь к запруде слева, переходит запруду опять в том же на-
правлении— то есть от того берега, который ко мне поближе, идет
налево...
361
— Почему — налево? — спросил Ника.
— Как — почему? — немного смутился Вовка. — А куда же ей
идти?
— Может идти направо.
— Не-ет... —не совсем уверенно произнес Вовка, искоса погля-
дывая на своего спасителя-деда.
Но тот отвернулся в другую сторону и уже вытащил свою пресло-
вутую трубку.
— Почему же нет? — повторил Ника.
— Очень просто! — вмешалась Веточка. —
Ведь это теперь не речка, а пруд. И наша
точка обходит этот пруд кругом...
— Верно! — воскликнул в восторге Вов-
ка.— Я и забыл! Конечно, вот ты, Ника, не
понимаешь! Она должна обойти весь пруд
кругом. Так зачем же ей идти на то место, где
она уже была? Она идет туда, где она еще не
была. Вот и выходит, что ей надо идти налево, — она там еще не была.
И теперь смотрите: она уходит налево, а потом снова попадает на то
самое место, где я крестик поставил. И теперь она обошла уже весь
пруд. Но самое важное в том-то и заключается, что для того, чтобы
обойти весь пруд, ей один раз надо с запруды поворачивать налево,
а другой раз направо. Если начать путешествие вокруг пруда не с той
точки, которую я крестиком пометил, а с самой отдаленной от за-
пруды, то вы попробуйте — и сами увидите, что иначе пруд и нельзя
никак обойти!
Ника встал, взял палочку и аккуратно обошел пруд на модели с
самой отдаленной от запруды точки. Действительно, так оно и вышло,
как говорил товарищ секретарь, на лице которого даже пот выступил
от страшно трудного доклада.
— Так вот какая это хитрая наша плоскость, которая называется
Бушмейстер! — сказал Вовка.—-А теперь, может быть, ты, дедушка,
еще что-нибудь скажешь...
— Конечно, дедушка Тимоша! — подтвердила Наташа. — Теперь
вы нам расскажите еще что-нибудь про Бушмейстера, а то наш бед-
ный докладчик совсем устал, ему передохнуть надо.
— Правильно, — отвечал дед. — Ну, давайте потолкуем еще об
этой удивительной поверхности. Эти путешествия точки, о которых
рассказывал наш уважаемый докладчик, показывают нам, что наша
поверхность действительно односторонняя. Как в этом убедиться?
Мы можем проделать вот еще какой опыт. Если мы вырежем из на-
шей плоскости маленький кружок, то его, разумеется, ничего не стоит
362
выкрасить с одной стороны в красный цвет, а с другой в синий.
А можно ли сделать то же самое со всей нашей плоскостью? Легко
убедиться, что это невозможно, ибо кисть, как и точка или жук в тех
примерах, которые приводил мой внучонок, обойдет всю поверхность
и, следовательно, выкрасит ее в какой-нибудь один цвет на всем ее
протяжении.
— Вместо того чтобы красить кистью, — заметил Лева, — можно
просто в ведро с краской окунуть, то же самое получится.
— Конечно, — отвечал дед. — Из-за этого-то и получается, что
если выберешь какой-нибудь маленький кружок на нашей ленте, то
ты никак не сможешь ответить на вопрос: «С какой стороны ты на
него смотришь?» А второй опыт Вовы — опыт с обходом пруда, кото-
рый проделывала точка, — показывает еще более интересные вещи.
Мы уже с вами неоднократно говорили о том, что вращение может
происходить в двух разных направлениях. Когда вы запираете замок,
вы поворачиваете ключ в одну сторону, когда отпираете — в другую.
Когда вы ввинчиваете буравчик в деревянную доску, вы его вращаете
в одну сторону, а вывинчиваете — в другую. То же самое и в природе
происходит: и боб и хмель — вьющиеся растения. Но взгляните на
них внимательно — и вы заметите, что хмель двигается снизу вверх,
поворачивая вокруг лицевой стороны плоского колышка слева напра-
во, а боб поворачивает справа налево. Для того чтобы различать эти
вращения в разные стороны, математики и говорят, что вращение
происходит...
— ...по часовой стрелке или против часовой стрелки! — при-
помнила Наташа. — Мы об этом говорили, когда рассуждали, как
ходят шашки в маленьком Дразнилке. А еще, когда говорили насчет
кружков в «Ханойской башне».
— Верно, — подтвердил Вася, — по часовой стрелке — это по верх-
ней половине круга слева направо — посолонь, по-старинному. А про-
тив часовой стрелки — по верхней половине круга справа налево.
Еще и чертеж у кого-то был (стр. 123).
— Прекрасно! — сказал дед. — Вот и хорошо, что помните. Так
вот, возвращаясь к листу Мебиуса, и надо сказать, что опыт Вовы
с точкой, которая обходит кругом пруд, показывает, что на этой
поверхности невозможно определить, в каком направлении идет вра-
щение. Вспомните, что, когда точка у Вовы начинала свой путь, она
шла, поворачивая так, как поворачивается часовая стрелка, а когда
она снова появилась около запруды, то она пошла, поворачивая
в сторону против часовой стрелки. А простая проверка показывает,
что иначе обойти весь пруд кругом и невозможно. Полагаю, что мно-
гие из вас слышали слово «ориентироваться»? Что оно означает?
363
— Ориентироваться, — отвечал Лева, — значит разобраться или
быстро сообразить, где ты, скажем, находишься. Я так понимаю.
— Ориентироваться, — объяснил Тимофей Иринархович, — про-
исходит от латинского слова «ориент», что значит по-русски просто
«восток». Ориентироваться — значит рассчитать, где у тебя восток, где
север, то есть так называемые страны света. Если я могу ориенти-
роваться, то могу сообразить, куда — к какой стране света—стану
я лицом, если повернусь налево?
— Конечно, — подхватила Наташа, — если я стояла лицом к се-
веру, а повернусь налево, то я стану лицом к западу. И так далее.
Так я вас поняла?
— Правильно,— ответил дедушка Тимоша.— Так вот понятие
ориентированности употребляется в одном из разделов высшей гео-
метрии, который называется топологией. Представьте себе, что
нам дана некоторая поверхность и мы можем вокруг любой точки
этой поверхности описать маленький кружок, так что этот кружок
весь будет лежать на этой поверхности.
— Циркулем обвести? — спросил Вовка.
— Можно и циркулем, — сказал дед, — но не обязательно, чтобы
это был очень правильный кружок, а так, что-нибудь вроде кружка,
замкнутая кривая. Будем чертить такие кружкй вокруг ряда точек
и отметим на кружках какое-нибудь определенное направление,
скажем —против часовой стрелки. Так что мы проводим кружок и
ставим стрелку. Когда мы это будем делать на различных поверх-
ностях, то при этом нам могут встретиться два случая: во-первых,
какие бы точки мы ни окружали кружками с указанием направления,
по которым мы обходим (или чертим) кружок, всегда близкие друг
к другу точки будут обходиться в одном направлении.
— Ясно,— решил Лева,—если будем чертить на плоскости —на
столе, на стене! — то так оно и будет.
— Не только на стене, — отвечал Тимофей Иринархович, —то же
самое получится и на поверхности цилиндра. Попробуй рисовать
кружкй на чем-нибудь вроде банки и увидишь.
— Ясно, — ответил Вася,— так и будет.
— Во-вторых, — продолжал дедушка, — может случиться, что, не-
смотря на то что мы будем все время вращать наш циркуль в одном
направлении, в результате у некоторых близких точек получится
разное направление обхода.
— Не понимаю!— заявил Лева. —Как это так может случиться?
— Это как раз и может случиться, — терпеливо объяснил дед,—
на том самом листе Мебиуса, который мы сейчас ^рассматриваем.
Если мы будем вдоль средней линии нашего Бушмейстера рисовать
364
такие кружки с указанием направления, то мы как раз и встретимся
со вторым случаем. В первом случае в математике говорится, что
возможно установить ориентацию поверхности, а сама поверх-
ность при этом называется ориентируемой...
— То есть, — ввернула Наташа, — на ней всегда можно сообра-
зить, куда ты будешь глядеть, когда повернешься в ту или другую
сторону. Так я говорю?
— Приблизительно так, —согласился дед. — Если же ориентацию
на данной поверхности установить невозможно, то такая поверх-
ность называется неориентируемой, и наш Бушмейстер именно
и принадлежит к такого рода поверхностям... Давайте-ка проделаем
еще один опыт. Допустим, что мы сделаем такие карманные часики,
у которых стрелки будут видны с обеих сторон, тогда на обратной
стороне, ясное дело, стрелки будут идти «против часовой стрелки»,
не так ли?
— Ну конечно, — ответил Левка, — если будет их видно с обрат-
ной стороны, то они и будут двигать стрелки в обратную сторону...
Ну это вроде того, как ты смотришь на часы в зеркале: нипочем не
сообразишь, который они час показывают, пока не вспомнишь, что
надо принять во внимание, что в зеркальном отражении стрелки дви-
гаются в обратную сторону!
— Это и я замечала, — подтвердила Веточка.
— Конечно, — продолжал дедушка. — Так вот представьте, что
мы с вами возьмем такие часики и вставим их в нашу ленту. Как
теперь решить: с какой стороны смотреть? То есть, где часы идут
«правильно»? Выходит, что и там и сям они идут правильно, а отсюда
и следует, что установить какое-либо одно направление вращения
невозможно.
— Не совсем все-таки ясно, — сказал Ника, — ведь с другой-то
стороны и все цифры будут навыворот... Выходит, что та сторона
правильная, где цифры поставлены как надо? Или я запутался?
Не пойму...
— Ты очень легко разберешься сейчас, — отвечал ему Тимофей
Иринархович. — Представь себе на минутку, что ты жук...
— Он и есть жук!—тихо ввернул Левка-насмешник.
— Тем лучше, — отвечал Ника, — если я жук, тем проще мне все
это будет себе представить.
— Он сам жук,— мрачно заметил Вовка, показывая пальцем на
Леву.
— Разберешься в этом,— сказал дед,— ты вот как. Представь
себе, что ты, Ника-жук, ползешь по нашему листу. Ты ползешь и
ползешь, и, не перелезая через край нашего листа, или, как иногда
365
говорится, через его берег, ты доходишь до вделанных в лист часиков.
Это те же ведь часики, не так ли? Но они идут в другую сторону.
Ползешь еще — и снова их видишь, а теперь они снова идут «в дру-
гую сторону», по сравнению с тем, что ты только что наблюдал! Вот
тут в чем дело. То направление вращения, которое ты считаешь «пра-
вильным», будет все время сменяться противоположным — «не тем»,
«неправильным»!
— А-а! — сказала Наташа, —Я поняла. Вот, дедушка Тимоша,
можно еще лучше, по-моему, привести пример. Я ползу — я тоже
буду жуком...
— Нет, — сердито перебил ее Вовка, — ты будешь не жук, а ты
будешь... жучиня!
— Жучка! — поправил Лева. — Так короче.
Раздался общий хохот, Вовка вскочил в негодовании со своего
места — и дедушка еле-еле урезонил наших академиков.
— Итак, — продолжала Наташа, заливаясь смехом, — я буду
ползти по нашему листу, а уж как меня будут звать, это неважно.
— Да он сам Жучка!— огорченно заявил Вовка, —Как он смеет
нашу Наташу так называть!
— Да будет тебе, Вова!— сказала Наташа. —Ну что об этом
говорить, поменьше бы обращал внимания, так он бы так не драз-
нился! Ты лучше выслушай, что я придумала. Выберем какую-нибудь
часть листа, хотя бы ту, на которую сейчас возвратилась точка...
или... да, в общем, все равно какую! Какую-нибудь. Вот начиная
с этой точки я буду вставлять в Бушмейстер такие двойные дедуш-
кины часики. Я буду их вставлять много, одни за другими, рядом.
Начинаю вставлять мои часики одни за другими с той стороны листа,
которая мне кажется верхней. Но, когда я вернусь к тому же месту,
я ведь подойду к нему с нижней стороны! Так или нет?
— Как будто так, — отвечал Вася. — Как же иначе?
— А если так, то допустим еще, что в ленту можно вставить
всего, скажем, тридцать часиков. Дохожу постепенно до этого
места — хвать! — оказывается, что у меня уже вставлено двадцать
девять штук, остались одни часики. И вот, когда я последние часики
вставляю, я их вставляю снизу. И тогда и получается, что они стоят
наоборот по сравнению с теми, которые были вставлены первыми.
А я все время вставляла одним и тем же способом! Вот и выходит,
что нельзя сказать, где направление движения стрелок верное, а где
нет! И откуда бы я ни начала, все равно получится именно так...
Вот теперь вы, дедушка Тимоша, скажите: верно я придумала
или нет?
— Совершенно справедливо! — отвечал дед.
366
— Н-да, — задумчиво протянул Вовка, — я, правда, не совсем
понял. Ты мне потом еще раз расскажешь, Наташенька? .. Но я тоже
думаю, что это совершенно справедливо.
— Вот это умно,— сказал Лева, — за это хвалю!
— Никто тебя не спрашивает!—сердито отвечал ему братишка.—
А мне Наташа все расскажет...
— Значит, у тебя, Наташа, — сказала Веточка, — когда ты все
это окончишь, через всю ленту — или вдоль всей Вовиной Речки-
быстротечки — будут лежать вплотную рядом друг с другом часики,
у которых стрелки видны с обеих сторон. Так я тебя поняла? Целая
лента часиков?
— Так.
— И ты говоришь, что с какого бы места ни начать вставлять
в ленту часики, кончится обязательно тем, что, когда у тебя останется
вставить одни только последние часики, окажется, что те, которые ты
вставила первыми, когда только начала все это, смотрят на тебя
своей «изнанкой»! Так?
— Вот именно.
— Ну что ж, —решила Веточка,— мне кажется, на этой ленте
так оно и должно быть, и если поглядеть на нее, то сообразить не
так уже трудно. Действительно, ясно выходит на этом простом опыте,
что установить одно какое-нибудь определенное направление враще-
ния на нашей плоскости невозможно.
— Дедушка, — вдруг воскликнул Вовка,— ты только смотри,
насчет этого самого — ни гу-гу! Это я буду!
— Ну конечно, Вовочка, ты!—ответил дед, внимательно вгляды-
ваясь во внутренность своей замечательной пенковой трубки. — Ясно.
Да я уж сказал все что надо. Так что можешь продолжать.
Давай-ка!
Глаза у Вовки заблестели, он приосанился и выговорил не
торопясь:
— Теперь вы... можете взять — вон лежат полоски. Берите их и
клейте...
— Да у всех уже готово,— отвечал Ника.
— Тогда, —сказал Вова, немного запинаясь (и в горле у него
что-то даже от волнения екнуло), — берите и эти... ну, как их!.. ну,
то есть... ножницы.
— Берем по возможности, — отвечал Лева.
— А теперь пусть мне кто-нибудь ответит на вопрос: что будет
с Бушмейстером, если его разрезать ножницами посередине вдоль
всей его спинки...
— Которая в то же время есть и его брюшко, — добавил Вася.
367
— Спино-брюхое существо, — решил Лева.
— Пожалуй, что и так, — согласился, засмеявшись, дед.
— Ну, — сердито заметил Вовка, — я прошу отвечать!
— Кажется, я что-то уже такое видела... — произнесла Веточка,
разглядывая своего маленького Бушмейстера с ножницами в руках.—
Не совсем только припоминаю, как это получается...
— Разрежется и разрежется! — сказал Ника. — Ну что тут рас-
суждать, надо попробовать!
— Постой! — крикнул Вова. — Нет, ты подожди немножко. Ты
сперва все-таки скажи: что, по-твоему, должно получиться?
5.
— По-моему,— сказал задумчиво Ника, — получатся два кольца
бумажных. Почему я так думаю? Вот почему. Ведь этот твой
Бушмейстер все-таки представляет собой кольцо, не так ли? А что
может случиться, если ты разрежешь кольцо? Ясно, что оно превра-
тится в два кольца. Но только вот удастся ли их расцепить, это я
не знаю. Возможно, что и нет.
— Ставлю на голосование! — заявил Вовка. — Кто за — то есть
за предложение Ники-Кожемяки, — поднимите руки!
— Не вижу никакого смысла в таком голосовании. Разве такие
предложения можно голосовать? Смешно! — возразил Вася. — Пусть
лучше каждый скажет, что он думает.
— Ну хорошо, — согласился докладчик, — пусть скажет... Вася,
говори ты.
— Трудно ответить, — нерешительно произнес Вася, — ведь это
кольцо не простое, а с вывертом. Поэтому я не совсем понимаю, что
хотел сказать Ника. То есть я не понял, как именно он думает: или
Бушмейстер, по его мнению, разрежется на два простых кольца, или
на два кольца с вывертом? Или так, что одно будет простое кольцо,
а другое с вывертом?
— Да ты сам-то как думаешь? — спросил Лева.
— Не могу точно ответить, — произнес Вася, морща лоб. — Дело
в том, что, когда я себе представил это, мне сперва казалось, что
должно бы получиться два кольца с вывертом, но, когда смотрю на
эту модель, я начинаю в этом сомневаться. А чтобы получилось два
простых кольца, это, по-моему, совсем уж невероятно. Не должно!
Вообще... нет, не знаю!
— Почему это такое? — возмущенно спросил Лева. — Объясни.
Ну, расскажи: почему невероятно?
368
Вася пожал плечами:
— Не верится! Объяснить не могу.
— Давайте-ка попробуем!—сказала На-
таша. — Что тут может быть такого особен-
ного? .. Вова, разрешаешь?
Вова снисходительно улыбнулся.
— Ну уж ладно, — разрешил он, —
режьте. Все равно не догадаетесь.	gepez
— Поехали! — сказала Наташа, воткнула острие ножниц в сере-
дину спинки бедного Бушмейстера и стала резать.
Все внимательно следили за ее движениями.
— Ничего не понимаю! — воскликнул Лева, следя за проворными
пальчиками Наташи.
— То-то и дело! — укоризненно отвечал Вася.
Но тут Наташа разрезала Бушмейстера до конца и подняла по-
выше длинную гирлянду, замыкавшуюся в кольцо, но несколько раз
перекрученную так хитро, что никак сразу
нельзя было понять, как она устроена.
— Ага, — в восторге закричал Вовка,—
вот видите! Значит, все-таки кольцо-то одно
получается, а вы говорили — два! Да еще
с какими вывертами — смотрите-ка хоро-
шенько!
— Н-да... — протянул Ника, невольно
соглашаясь. — Перекрученное!.. Одно, но
не два.
— Задачка!.. — сказал Вася. — Вот чу-
деса! Позволь, да как же это так?
— Выходит, — сказал Лева, — что этот
ихний Бушмейстер вообще, если его разрезать, так сказать «уничто-
жается», в том смысле, что он превращается в нечто совершенно
иное... Но ведь это странно!
— Очень странно, — злорадно произнес Вовка, — попался, за-
путался!
— Ведь это все-таки кольцо...— начал было Ника, но вдруг
смолк.
— Конечно, кольцо, — поддержала его Веточка, — только ведь оно
не простое. А разве нельзя как-нибудь так разрезать этого Бушмей-
стера, чтобы получить такую же фигурку, только поменьше? То есть
фигурку, подобную Бушмейстеру?
— А зачем? — спросил недовольно Лева.
— «Зачем»?—тревожно повторила Веточка, опасаясь, как бы
24 Архимедово лето	„„„
369
Лева не сбил ее с толку. — А вот «зачем»...
Если мы, понимаешь, сумеем это сделать, то,
наверно, тогда сможем и разобрать, на какие
части можно разрезать нашего Бушмейстера.
— Ты, наверно, Веточка, — вмешалась На-
таша, — хочешь сказать, что это можно сде-
лать наподобие того, как делают с бумажным
кружком, когда его разрезают? Так?
— Конечно! — отвечала ей подруга. — Ра-
зумеется, если у меня есть бумажный кружок
и я вырежу из этого кружка еще другой кру-
жок, поменьше, то мой первый кружок тем са-
мым разделится надвое — будет маленький
кружок и колечко. Вот так и с Бушмейстером:
мне хочется посмотреть, нельзя ли сделать
так, чтобы у меня остался маленький Бушмей-
стер и еще некоторое колечко. А уж какое оно
будет, не знаю! Это другой вопрос.
— Да и будет ли еще? — с сомнением до-
бавил Вася. — Но как же ты думаешь это сде-
лать? Скажи!
— Сделаем попросту,—предложил Ника.—
Будем действовать постепенно. Попробуем
немного усложнить наш опыт: мы делили Бушмейстера на две части,
а он на два делиться никак не хочет! Вот до чего упрям! Таблицы
умножения не признает.
— Он, Бушмейстер хитроумный! — ввернул Вовка. — Он зна-
менитый хитрец!
— Так вот, — продолжал Ника, — а теперь мы попробуем разде-
лить его не на два, а на три. Давайте-ка. Ну-ка, Наташа, разметь-ка
карандашиком вот эту мою полоску по ширине на три равные части,
склеим, да и давай резать.
— Это выходит то же самое, — заметила Веточка, — как если бы
мы от Вовиной Речки-быстротечки совсем отрезали ее берег... то есть
и тот и другой...
— А он у нее один! — мрачно пробурчал Вовка.
— Да... — невольно согласилась девочка с искренним изумле-
нием.—И действительно ведь один!..
Снова Наташа начала резать, и опять все внимательно смотрели,
как это у нее выходит.
— Размечали два раза,— сказал Ника, —а разрез один полу-
чается!
370
И, когда Наташа довела разрез до конца, снова все были уди-
влены *.
— Теперь, — сказала она, разглядывая результаты своих тру-
дов, — действительно он разделился. Но не на три части, а только
на две. При этом одна часть в самом деле представляет собой
Бушмейстера— только поменьше, поуже! — а другая... вероятно, это
и есть его берег. Но они, эти две части, зацепились друг за друга, как
звенья цепи. А берег этот — то есть край нашего Бушмейстера — очень
странный, перекрученный совсем. Даже не поймешь, что это такое.
— А мне уже теперь кажется, — с неуверенным вздохом произ-
нес Вася, — что если мы продолжим наши опыты и разрежем его
теперь не на три, а на четыре части, то мы просто получим два вот
таких края, или берега, похожих на гирлянду, и больше ничего.
— Н-да... — проворчал Ника. — Пожалуй, что ты и прав. Даже
почти несомненно. Даже неоспоримо... Н-да. Но... край?
— Стоп! — закричал Лева. — Я придумал. Все ясно.
— Что это ты придумал? — презрительно вопросил Вовка.
— Всё придумал! — отвечал Лева. —Очень просто. То есть не
очень, но... неважно. Начну вот с чего. Когда мы пускали по Буш-
мейстеру жука, один раз, как было сказано, он шел по самой сере-
дине ленты, а второй раз он держался ближе к краю. Так я говорю
или нет?
— Когда он шел по берегу речки, — сказала Наташа, — он дей-
ствительно шел не по самой середине, а ближе к краю.
— Следовательно, — заключил Лева, —он ходил один раз так,
а другой раз по-другому. Совершенно так же шли и наши разрезы:
первый раз ножницы резали по самой середине ленты, второй раз
они двигались, разрезая ленту, ближе к ее краю. Верно или нет?
— Верно, — ответили ему ребята.
— А если верно, то примите во внимание вот что еше: во-первых,
оба раза был сделан один разрез, во-вторых, разрез-то один, а ре-
зультаты получились разные.
— Это мы видели, — сказала Веточка. — Ну и что же?
— То, что, когда жук шел во второй раз, он шел по одному
берегу...
— А-а-а! — промычал Вася. — Да, он, кажется, действительно
придумал!
1 Кстати, если читателю интересно, как все это происходит, то он тоже должен
склеить себе несколько таких моделей и попробовать разрезать, потому что иначе
разобраться во всем том. что здесь происходит, будет очень трудно. Удобные раз-
меры для бумажных полосок, длина 25—28 сантиметров, ширина 4 сантиметра; бу-
магу лучше выбирать поплотнее.
24’
371
отвечал Лева. — Бери еще
— Конечно, придумал! — отозвался Лева. — По одному берегу он
шел обыкновенно, а по другому —вниз головой. Так ведь? А почему
же он, спрашивается, не может иначе действовать?
— Ах, во-от что! — воскликнул и Ника. — Это ты ловко подметил.
— Не понимаю! — пропищала Наташа.
— Подожди минутку, сейчас растолкуем и покажем на опыте,—
полоску бумаги, раздели пополам и
раскрась ее — на вот тебе сине-крас-
ный карандашик! — одну половину
в красный цвет, а другую в синий...
Раскрасила? Постой... Теперь свер-
ни ее Бушмейстером... Нет, клеить
подожди. Теперь пометь, куда у тебя
при повороте одного края на сто
восемьдесят градусов приходится
синяя половина, куда красная...
— Дедушка, — жалобно запи-
щал Вовка, — да он, наверно, под-
слушал! Как он посмел, дедушка?
Видишь, он какой...
— Не-ет, — отвечал Тимофей Иринархович, густо попыхивая своей
трубкой и посмеиваясь, — не похоже, чтобы подслушал. Нет, сам
догадался. Молодей!
— А теперь, — продолжал Лева, искоса бросив насмешливый
взгляд на братца, — раскрась синим и красным карандашом и дру-
гую сторону бумажной полоски, но с таким расчетом, чтобы когда
ты ее свернешь Бушмейстером, повернув один конец на сто восемь-
десят градусов, у тебя синяя полоска совпала с синей, а красная
с красной.
— Ну да! — сказала Веточка. — Кажется, я тоже что-то начинаю
понимать.
Наташа раскрасила свою полоску, свернула и склеила. Получился
двухцветный Бушмейстер. Немнож-
ко подождали, пока клей схватится.
И Наташа снова взялась за нож-
ницы.
— Теперь, — сказала она, — ка-
жется, действительно все станет
ясно.
И когда Наташа разрезала свою
полосатую фигурку, Лева сказал:
— Теперь и получается, что по-
372
еле того, как разрежешь, эта поверхность перестает быть односторон-
ней. Вот в чем разгадка! Видите: одна сторона у нее вся синяя, а дру-
гая вся красная! Вот и всё.
— Не совсем всё, — сказал дедушка. — В общем, Лева, ты при-
думал недурно. Но этого еще мало. Надо теперь все объяснить —
отчего и почему?
— Теперь уж это не так трудно сделать, — заметил Вася.
— Попробуй, Вася, ну-ка!—отвечал ему дед.
6.
— Мне кажется, — начал Вася, — что дальше надо рассуждать,
помня о том, что получается при делении Бушмейстера на три части.
Да, вероятно. Лева к тому и вел. По-моему, можно так сказать: ведь
у Бушмейстера мало того, что одна сторона, у него еще, заметьте, и
один-единственный край!
— Один берег, —сказал дедушка.
— Пусть берег. — согласился Вася. — И, когда мы его режем
вдоль, мы ему прибавляем еще один берег. После этого он становится
двубережным, а стало быть, и двусторонним. Это происходит, когда
мы режем его по самой серединке. Что же происходит, когда мы
режем ближе к краю, то есть когда мы стараемся разделить Буш-
мейстера на три части? При этом мы удаляем от него только часть
берега, которая получает при таком разрезе второй берег. Отсюда
ясно, что она, эта часть берега, тоже будет двусторонняя Вот какие
я выводы делаю из того, что нам показали Лева с Наташей. А теперь
скажите, верно я решил или нет?
— По-моему, как будто правильно, — решил Лева.
— Выходит, — продолжал Вася,— что если мы будем заранее
цветным карандашом делить нашего Бушмейстера на две части, то,
когда разрежем, мы получим одну кольцеобразную гирлянду, то есть
обыкновенное кольцо... можно даже сказать, что это цилиндр, толь-
ко перекрученный. Вся сила в том, что эта гирлянда двусторонняя.
А вот если и эту гиолянду теперь разрезать вдоль. .
— Получатся два колечка! — отвечал Ника, —Так оно и должно
быть, потому что эта гирлянда двусторонняя. Она и должна рас-
пасться. Но ты не договорил, Вася.
— Не договорил! — подтвердил Лева. — Если делишь на три за-
ранее и отрезаешь берег, то отрезанная часть будет двусторонней
гирляндой, но то, что останется еще, будет не чем иным, как умень-
шенным Бушмейстером.
373
— А если заранее наметить четыре
доли? — спросила Наташа, потом поду-
мала и сама себе ответила: — Тогда, зна-
чит, сперва получится то же самое, что
получается при делении на три полоски,
а затем две гирлянды. А вот если взять и
разделить на пять долей, тогда у нас по-
лучатся две гирлянды двусторонние и ма-
ленький Бушмейстер. Теперь как будто
ясно, как это выходит. Если наметить
четное число частей, то все кончится двусторонними гирляндами,
а нечетное — будет еще, кроме того, и маленький Бушмейстер'.
Хитро!
— Значит, насколько я понимаю, — выговорил Ника, — разрезать
Бушмейстер так, чтобы получилось два Бушмейстера, невозможно...
так же, как кружок нельзя разрезать на два кружка, а получится
обязательно кольцо и кружок. Веточка придумала очень хороший
пример! Интересно!
— Видишь ли,— отвечал ему дед неторопливо, — возможно по-
строить такую особенную фигуру, которая будет, так сказать, геометри-
ческой суммой двух Бушмейстеров, но это будет уже нечто совер-
шенно новое. Мы это с Вовушкой вам, конечно, покажем...
— Обязательно покажем! — важно подтвердил Вовка.
— Да... А теперь,—продолжал руководитель Тускарийской любо-
знательной академии, — я еше кое о чем скажу. Вы сами заметили...
и я должен вам заявить, что мне понравился анализ Бушмейстера,
который вы провели обшими силами!..
— Рады стараться! — отвечал на этот комплимент как бы от лица
всех участников Ника-председатель.
— . . .вы сами заметили, что у Бушмейстера есть только один край,
или берег. Это очень важно, и это позволит проделать с Бушмей-
стером еше некоторые весьма своеобразные математические опыты.
Надо вам сказать, что, кроме нашего Бушмейстера, существуют и
другие односторонние поверхности довольно разнообразного свой-
ства. Если мы разрежем Бушмейстер по самой серединке, как мы
делали в первый раз, мы получим двустороннюю замкнутую ленту,
которую сегодня у нас называли «гирляндой» и «перекрученным
цилиндром». Если вы внимательно ее рассмотрите, то вам, вероятно,
1 Все эти разговооы наших любознательных тускарийнев по поводу хитроум-
ного Бушмейстера могут остаться совершенно непонятными, даже несмотря на по-
мощь чертежей. Чтобы разобраться во всем этом как следует, обязательно нужно
самому склеить и разрезать несколько разных Бушмейстеров.
374
удастся заметить, что ее можно сделать и из обычной полоски, по-
вернув один конец, перед тем как склеить ее, не на сто восемьдесят,
а на семьсот двадцать градусов, то есть повернув его не один раз,
а четыре раза. Но из этой перекрученной двусторонней ленты можно
снова Сделать модель односторонней поверхности. Только на этот
раз она будет уже с самопересечениями.
— Как это так — с самопересечениями? — спросил Вася.
— Лента будет по некоторым линиям пересекать сама себя.
— Интересно, — сказал Лева, — взглянуть бы на такую ленту.
— Можно показать, — продолжал дедушка. — Начнем с того, что
снова склеим Бушмейстер. Возьмем бумажную полоску и разметим
ее так, как указано на этом чертеже. Во-первых, мы делим ленту
вдоль пополам и одну ее половину выкрасим с обеих сторон в синий
цвет карандашом, причем выкрасим1 так, чтобы на каждой стороне
ленты одна ее продольная половина оказалась белой, другая — синей,
причем оборотная сторона у белой — всегда синяя, а у синей — всегда
белая. Во-вторых, всю длину ленты делим поперек на четыре равные
части пунктирными линиями. В-третьих, на этих пунктирных линиях
рисуем черные столбики, в четверть ширины ленты каждый, —это
места будущих прорезов. В-четвертых, ставим номера первый, второй
и третий, причем разными карандашами (черным, синим, красным
и зеленым), и окружаем каждый из этих номеров четвертью круга
с разным рисунком, как показано на чертеже. Заметим, что одну из
сторон ленты мы будем считать лицевой; это будет та, на которой
у нас находятся черные и зеленые метки, а буквы А, В, С и D по
углам идут против часовой стрелки. Другую сторону ленты будем
считать оборотной. Когда все это сделано, склеим нашу полоску
в Бушмейстера. Для этого поворачиваем угол с буквой D на сто
восемьдесят градусов. Подождем, пока клей схватится хорошенько,
затем берем ножницы и аккуратно разрезаем полученный Бушмей-
стер как раз по границе между белой и синей полосами. Получаем
тот же самый перекрученный цилиндр, который мы уже сегодня
видели не раз.
Пока дедушка все это рассказывал, Вовка вытащил из-под стола
уже размеченную таким образом ленту; ребята ее склеили, а затем
и разрезали.
— Как мы уже с вами выяснили, — продолжал Тимофей Ири-
нархович,— лента, которую мы получаем после такого продольного
разреза, представляет собой двустороннюю ленту. Теперь надо ее
аккуратно расправить, чтобы она как можно больше походила на
1 Лента раскрашивается так, как это указано на нашем чертеже на стр. 376.
375
черная
метка
черная
метка
зеленая
метка
лицевая сторона
красная	синяя
метка	метка
красная
метка
оборотная сторона
у места для
1 прорезов
[1/ч ширины ленты)
пунктирные линии поперек
делят ленту на четыре
разные ча сти
красные синие
метки	метки
сзади красных меток сзади синих меток
находятся черные
находятся зеленые
восьмерку. Затем мы сделаем прорезы по тем самым темным столби-
кам, о которых я говорил. Каждый прорез делается во всю длину
этого нарисованного на ленте темного столбика — то есть в поло-
вину получившейся у нас двусторонней ленты. Теперь надо эти про-
резы сомкнуть, вдевая нижний прорез в верхний так, чтобы у нас
сошлись, во-первых, две черные метки (первая и третья) и две крас-
376
ные метки (первая и третья), а во-вторых, две зеленые метки, обе
помеченные номером вторым, и две синие, помеченные тем же вторым
номером. Когда мы все это проделаем, мы получим из нашей ленты
три скрепленных друг с другом цилиндра ( конечно, не очень правиль-
ной формы!). Посмотрите хорошенько: левый цилиндр, обозначенный
греческой буквой а («альфа»), обращен к нам белой стороной,
а внутренняя сторона у него синяя. Средний цилиндр, обозначенный
греческой буквой р («бета»), обращен к нам синей стороной, а вну-
тренняя сторона у него белая. И у последнего цилиндра слева
по deu.ou,
Стороне
синяя.
Сторона
(обозначенного греческой буквой
7—«гамма») снова внешняя сто-
рона белая, внутренняя синяя. Эта по-
верхность опять-таки односторонняя.
— По-видимому, так... — сказал за-
думчиво Ника.— Как я понимаю, ее
можно всю обойти сперва по внешней
стороне, то есть по той, которая на чер-
теже обращена к нам, а затем, проник-
нув через любое самопересечение внутрь, и по внутренней. Но только
разобраться на этой модели, куда какая часть Бушмейстера попа-
дает, по-моему, довольно трудно.
— Сейчас поможем!—с довольной улыбкой сказал Вовка, до-
ставая с табуретки из-под стола еше одну заранее размеченную
ленту. — Вот смотрите!
На ленте, которую достал Вовка, каждая четверть лицевой и
оборотной стороны сверху и снизу была перемечена номерами от
одного до восьмого. Сверху они были нарисованы прямо, а снизу —
в зеркальном отображении. Снова ленту склеили, получившийся Буш-
мейстер разрезали, расправили в восьмерку, сделали прорезы и
сомкнули их. Опять получились три цилиндра.
— Вот теперь, — сказал дедушка, — можно спокойно разобраться,
куда попадет какой кусок ленты. Впрочем, если идти с левого края,
легко заметить...
— .. .что номера слева направо идут по порядку, — сказала Ната-
ша,—до четвертого, а потом с пятого назад справа налево до
восьмого.
— Рассматривая эти ленты (см. чертеж на стр. 377), — продолжал
дед, — можно вот что сообразить. Мы с вами
разрезать Бушмейстер по самой середине,
то получится двусторонний перекрученный
цилиндр (гирлянда), который можно скле-
ить непосредственно из ленты, не склеивая
Бушмейстер: для этого один конец перед
склейкой надо повернуть четыре раза. Здесь
у нас два пересечения. Легко догадаться,
что на каждое пересечение требуются два
поворота конца ленты перед склейкой. Из
этого тройного цилиндра можно построить
модель еше одной односторонней поверх-
ности, так называемого скрещенного
колпака. Эта односторонняя поверхность
уже видели, что если
378
будет с одной стороны замкнутая. Для этого надо закрепить наши два
самопересечения, вклеив внутрь их уголки из бумаги, так, чтобы все
сооружение приобрело известную прочность (см. чертеж на стр. 378).
Затем надо отрезать правый большой цилиндр от двух малых слева.
— Отрезали!.. — пробурчал Лева. — Дальше что? Командуй,
товарищ президент!
— Слушай мою команду! — отвечал в тон ему дедушка. — Теперь
нам надо приклеить нижние края двух соединенных малых цилинд-
ров, альфа и бета, к верхнему краю большого цилиндра — гамма.
Приклеить цилиндр альфа к цилиндру гамма нетрудно. С цилиндром
бета начинаются затруднения — ведь у нас здесь самопересечение,
ибо цилиндр бета обращен к нам оборотной стороной, а цилиндр
гамма — лицевой! Поэтому мы склеим их попросту —так же, как мы
делали с цилиндром альфа! — но будем считать, что, поскольку на
линии склейки смыкаются лицевая и оборотная стороны, мы полу-
чили здесь самопересечение. Когда это будет сделано, нам нужно еще
замкнуть нашу поверхность сверху. Это уж совсем никак не устроишь
на бумажной модели, и поэтому придется призвать на помощь наше
воображение. Допустим, что полученная нами поверхность сделана
не из бумаги, а из гибкой резины, которую можно растягивать как
угодно, и она при этом не только не рвется, но даже и не сжимается,
когда растяжение прекращается. Как растянули — так и остается!
И рот мы с вами, владея подобным совершенно гибким материалом,
во-первых, сильно растягиваем вниз нижний цилиндр гамма, во-вто-
рых, вытягиваем вверх самопересекаюшиеся цилиндры альфа и бета,
смыкая их вверху. Получается фигура, изображенная на чертеже,
которая и есть скрещенный колпак. Он, подобно Бушмейстеру, яв-
ляется также односторонней поверхностью, и с какой бы ее точки
мы ни начали обход, мы обойдем ее всю, проникая внутрь и снаружи
через линии самопересечения. Этих линий собственно две: одна соеди-
няет друг с другом малые цилиндры альфа и бета, другая соединяет
малый цилиндр бета с большим гамма.
— Вот так колпак! — сказал Вася.
— А если, — добавил дедушка, — еще взять круг, заклеить им
нижнее отверстие колпака, получится еще одна односторонняя по-
верхность, более сложного строения, чем скрещенный колпак или
Бушмейстер, и которая, как вы когда-нибудь узнаете, имеет непосред-
ственное касательство к искусству живописи и перспективного изобра-
жения.
— Ах! — вымолвила Веточка. — Все это так, дедушка Тимоша,
и все это нам ужасно интересно. Только... очень трудно понять: как
это так поверхность пересекает самое себя?
379
— Ничего,— отвечал дедушка, — не все сразу! Возьмем еще при-
мер. Представь себе, милая Веточка, что ты хочешь склеить лист
Мебиуса,— в старину его нередко называли еще пояс Мебиуса...
— Об этом мама, быть может, и припоминала, — заметил Лева.
— Возможно... Так вот, Веточка, ты сделала этот пояс Мебиуса.
Теперь допусти, что ты хочешь сделать его пошире. Вообрази себе,
что ты все увеличиваешь и увеличиваешь ширину той ленты, из кото-
рой склеена твоя модель. Можешь ли это ты продолжать неограни-
ченно долго?
— Нет... — отвечала не сразу Веточка, — конечно, не могу. По-
тому что вскоре одна часть берега на самом изгибе упрется в
противоположную часть листа Мебиуса. И дальше уже расширять не
придется.
— Так вот допусти, что все-таки это можно! Тогда как раз
Бушмейстер и будет пересекать сам себя. Но мы сейчас покажем
с Вовкой еще одно замечательное чудо!
— Бутылка джинна! — громко воскликнул Вовка. — Удивитель-
ная бутылка из знаменитой сказки! Да, да, да! Вот она, пожалуйста,
полюбуйтесь!
Перед зрителями оказалось на столе крайне странное сооруже-
ние, слегка напоминавшее бутылку. Это был небольшой цилиндр из
плотной серой бумаги, кончавшийся конусом сверху.
Из вершины конуса выходил толстый ребристый рези-
<1 новый рукав, какой бывает в противогазах; гибкий
рукав этот поворачивал вниз, изгибался и уходил вбок,
/ j 2J проникал внутрь цилиндра. А когда Вовка высоко
/	/ поднял над столом это дивное сооружение с криком:
/	«Мы с дедушкой склеили сами!», то все увидели, что
/	в донышке цилиндра имеется круглое отверстие, и
<<&¥	ясно видно> что оно ведет прямехонько внутрь этого
самого резинового рукава.
— Вот так бутылочка! — сказал Вася. — Значит,
если ты, скажем к примеру, пошел с ребятами в ночное коней пасти.
Решил захватить кваску, попить ведь захочется, да нечего. Как же
ты будешь его туда наливать?
— Через дырочку в донце! — объяснил Вовка.
— Эту удивительную бутылочку придумал математик Клейн
в прошлом веке, — объяснил дедушка. — Она замечательна тем, что
тоже односторонняя. Если какой-нибудь любознательный жучок...
— Вроде Наташи... — ввернул Лева потихоньку.
— Я не отказываюсь, пожалуйста! — отвечала девочка.
А Вовка потихоньку показал брату кулак.
380
— Так вот этот жучок, независимо от того, как его будут звать,—
продолжал Тимофей Иринархович, Тускарийский предводитель,—
может ползать по нашей бутылке, то по ее внешней стороне, то по
внутренней, нигде не переходя через какой-нибудь край. И, как вы
видите, эта поверхность действительно сама себя пересекает.
— Да уж, — сказала Веточка, — спорить не приходится. Как по-
лезно иногда бывает убедиться собственными глазами!..
— А теперь, — сказал Тимофей Иринархович, — я уж могу отве-
тить на один из ваших вопросов. Легко сообразить, что плоскость
симметрии — то есть такая плоскость, относительно которой данная
фигура или тело разбивается на две симметричные части,— этой
бутылки Клейна проходит через ось ручки и ось симметрии
самого тела бутылки. Ясно?
— Как будто, — отвечал Левка.
— Теперь давайте разрежем эту Вовину бутылочку джинна
именно вдоль этой плоскости симметрии на две части. Что же это
у нас получится? А вот глядите: вот вам модель того, что получается
при таком разрезе... Вы видите, что бутылка Клейна распадается
в таком случае на два листа Мебиуса. Вот это и есть мой ответ на
вопрос Ники о том, нет ли на белом свете такой фигуры, которая
представляла бы собой двух Буш-
мейстеров сразу, или, как я ему
тогда сказал, нечто вроде геометри-
ческой суммы двух Бушмейстеров.
— А все-таки, — заметила Ве-
точка, — они не совсем одинаковые.
— Завертываются в разные сто-
роны,— добавил Вася.
— Один как бы представляет
собой зеркальное отображение дру-
гого, — пояснил дедушка. — Возьми
в руки обыкновенный штопор— ведь
это винт, не так ли? .. Если ты бу-
дешь вращать его против часовой
стрелки—такое вращение математик называет положитель-
ным,— штопор будет вывинчиваться из пробки и двигаться таким
образом вверх, а в противном случае будет наоборот. Посмотри на
этот винт в зеркало, и все изменится — положительное станет отри-
цательным. Первый винт, обыкновенный штопор, называется право-
сторонним винтом (мы еще поговорим, откуда это название),
второй — левосторонним. Бушмейстер бывает и такой и другой,
в зависимости от того, как ты поворачиваешь конец перед склейкой.
Здесь ты и видишь ту и другую разновидность Бушмейстера — и
правостороннюю и левостороннюю.
— Значит, штопор, то есть винт, это тоже что-то математиче-
ское?— спросил Вася.
— Разумеется! — отвечал президент знаменитой любознательной
академии. — Ясно, что так. Существует такая винтовая линия,
или геликоида, давным-давно известная в математике, еще из
древности. Если к прямому вертикальному стержню перпендикулярно
прикрепить горизонтальную стрелку и устроить такой механизм, что-
бы она равномерно двигалась вокруг стержня и в то же время ползла
382
потихоньку по стержню вверх, то ее кончик как раз и вычертит тебе
в пространстве винтовую линию. Кстати сказать, все вьющиеся расте-
ния чертят ее: одни в правую сторону, другие в левую. То же самое
мы видим на закручивающихся раковинах улиток. А витые рога гор-
ных козлов устроены так, что один вьется в одну
сторону, а другой — в другую. В технике, в часовых
механизмах, в крыльях ветряных мельниц, гребных
винтах судов и самолетов и прочих устройствах
употребляются оба направления винта. И ничего
тут такого головоломного, как вы видите, нет.
Просто вы никогда об этом не размышляли. Мало
ли что нам с первого взгляда кажется необычным!
Ведь когда тебе в первый раз показали мыльный
пузырь, ты тоже был очень удивлен. Верно я го-
ворю, Вова?
— Ну еще бы! — отвечал внучек. — Я прямо не
знал, что и подумать! Так чудно и такой он красивый, весь радужный,
переливается.
— А представьте себе, что и мыльный пузырь, как, впрочем, и
другие мыльные пленки, они тоже имеют свое место в геометрии!
— Мы уже слышали об этом, — отвечал Лева, — но хотелось бы
узнать более подробно, в чем тут дело?
— Много рассказать я не могу, — отвечал Тускарийский руково-
дитель, — но кое-что можно. Допустим, что ты поставил себе такую
немного необычную для вас математическую задачу: определить, ка-
кую форму имеет геометрическое тело, у которого при данной поверх-
ности имеется самый большой объем, а при данном объеме самая
малая поверхность?
— Странно!.. — промолвил Ника. — А разве на такой вопрос
можно определенно ответить? Разве может существовать только один
ответ на этот вопрос?
— Странная задача какая!—сказала Наташа. — Ни одного
числа нет.
— Да, — отвечал дед, — верно. Задача на первый взгляд стран-
ная. И все-таки у такого рода задач есть свои решения, и при этом
очень часто единственные решения. Вот очень простой пример. Возь-
мем прямоугольник. При каком соотношении сторон его площадь
будет наибольшей? Очень легко показать и не так трудно и дока-
зать, что таким прямоугольником будет квадрат. Проверьте и убе-
дитесь!
— Д-да... — протянул Вася, быстро подсчитав что-то на бумаж-
ке.— Действительно, так и получается.
383
— Стой, стой! —закричал Вовка. — Ну-ка, покажи, как это у тебя
выходит, что квадрат самый большой?
— Не самый большой, — отвечал Вася,— а из всех прямоуголь-
ников с одним и тем же периметром у него самая большая площадь.
Вот тебе пример: возьмем прямоугольник, у которого ширина и
длина, вместе взятые, равны десяти... ну... хотя бы метрам.
— Десяти метрам. Понял! — подтвердил Вовка. — Это в сумме
ширина и длина.
— А теперь положим, что ширина равна одному метру, а длина
девяти, и потом будем по одному метру набавлять к ширине, а у дли-
ны отнимать, и посмотрим, что будет делаться с площадью:
Ширина	Длина	Площадь
1	9	9
2	8	16
3	7	21
4	6	24
5	5	25
6	4	24
7	3	21
8	2	16
9	1	9
Видишь, когда ширина равна длине, площадь наибольшая!
— Вот так здорово! — в восхищении произнес Вовка. — Сию ми-
нуту записываю.
— Так вот, — продолжал дедушка Тимоша, — и у этой задачи
о теле, у которого при наименьшей поверхности имеется наибольший
объем, тоже есть решение. Это шар. Доказать это математически до-
вольно сложно, а при помощи мыльного пузыря очень просто. Дело
в том, что существует физическое явление поверхностного на-
тяжения, которое позволяет, например, осторожно положить игол-
ку на поверхность жидкости и она будет лежать на ней...
— Да, да! — сказал Лева. — Это мы знаем.
— Это же самое явление мы наблюдаем и на мыльной пленке.
Что же получается из-за этого с ней? Получается то, что пленка в си-
лу натяжения стремится принять форму поверхности с наименьшей
площадью. Она натягивается так, что, если ее попытаться еще натя-
нуть, она лопнет — как оно и бывает нередкое мыльным пузырем.
Поэтому естественно, что она и стремится иметь наименьшую из воз-
можных площадей. Теперь давайте возьмем и выдуем хорошенький
мыльный пузырик. Пустим его летать по воздуху — он почти ничего
не весит и может поэтому полетать немножко. Посмотрим на него.
Ясно, что он из-за поверхностного натяжения стремится как только
384
возможно стянуться. Вы ведь и сами замечали, что, если оставить
мыльный пузырь на соломинке, через которую вы его надували, и от-
нять соломинку ото рта, пузырь начнет уменьшаться.
— Ну еше бы, — сказал Вовка, — ведь не дуешь!
— Не в том дело, что не дуешь. А в том, что пленка сама сжи-
мается и гонит воздух из пузыря через соломинку вон. Так вот это
натяжение и стремится стянуть пленку. Но, с другой стороны, в на-
шем летающем пузырике заключен некоторый вполне определенный и
неизменный объем воздуха. Следовательно, и выходит, что пузырь
при заданном объеме имеет наименьшую поверхность. А мы видели и
знаем, что если только к пузырю не прицепится капля жидкости, то
пузырь всегда имеет форму шара. Вот вам и доказательство! Добав-
лю, что эти задачи о наибольших и наименьших величинах имеют гро-
мадное значение в высших отделах математики. Скажу кстати, что
поверхностное натяжение мыльной пленки можно доказать следую-
щими двумя весьма поучительными опытами. Берем проволочное
кольцо — с ручкой, разумеется! — опускаем его в мыльный раствор
(есть даже специальные растворы для этих опытов1)—на кольце
натягивается мыльная пленка. Вынув кольцо с пленкой осторожно из
сосуда с раствором, держим колечко горизонтально и с величайшей
осторожностью кладем на него петельку из тонкой нитки. Понятно,
что как мы эту петельку положим, так она и ляжет. Но стоит только
после этого осторожно проткнуть
мыльную пленку в середине петель-
ки, как она немедленно растянется
в круг! Другой опыт такой. Берется
стеклянная трубочка в виде буквы
Т, причем посередине крышечки
этого Т сделан кран, который позво-
ляет либо соединять два пузыря,
либо разъединять их. Концы кры-
шечки Т сведены в тоненькие тру-
бочки, и на них можно выдувать
мыльные пузыри. Сперва сажаем пузырь на один конец крышечки Т,
затем на другой. Физики доказывают, что, чем меньше радиус пу-
зыря, тем больше разность между давлением внутри пузыря и давле-
нием внешнего воздуха на него. Итак, когда оба пузырика наши на-
1 Вот рецепт для подобного раствора: на пол-литра дистиллированной воды бе-
рется 10 граммов чистого сухого олеата натрия. Затем 15 кубических единиц этого
раствора смешиваются с 11 кубическими единицами глицерина. Каркасики лучше
делать из латунной проволоки; в диаметре они должны быть не более 12—15 сан-
тиметров.
25 Архимедово лето
385
дуты, мы повертываем наш кран так, чтобы средняя трубочка была
закрыта, а боковые соединились друг с другом. Что же получается?
То, что воздух из того пузыря, который поменьше, начинает перехо-
дить в большой, и постепенно меньший пузырь стянется вовсе!
— Так... — сказала Наташа. — А не оттого ли это, что у малень-
кого пузыря пленка потолще и давит сильнее?
— Возможно, — произнес дедушка. — Однако для нас гораздо
важнее то, что эти опыты превосходно показывают существование
упругости мыльной пленки. А это и решает дело в нашем доказатель-
стве! Физики говорят, что эта пленка в некоторых отношениях напо-
минает резиновую пленку. Мыльный пузырик — очень красивая вещь.
Один древнегреческий математик даже уверял, что боги, в которых
он твердо верил, потому выбрали для мира форму шара, что она са-
мая красивая изо всех, которые только есть на белом свете. Если
смотреть на это просто как на сказку, то выходит, пожалуй, зани-
мательно. ..
— Пустяки, — заметил Вася.
— Ну конечно, — отвечал дед.
— Любопытно! — произнес Лева. — А нельзя ли еще какой-ни-
будь пример такой задачи насчет наименьшего?
— Можно вот еще какой пример привести. Вам из физики должно
быть известно, что у г о л падения равен углу отражения.
И это справедливо и для отражающегося луча света и для шарика
из слоновой кости, когда он отскакивает от гладкой мраморной пла-
стинки. Так или нет?
— Правильно, — отвечал Ника.
— Относительно луча света это было еще известно Герону Алек-
сандрийскому, древнегреческому ученому, работавшему, вероятно, во
второй половине первого века нашей эры. Самое замечательное с ма-
тематической стороны в этой проблеме то, что при таких условиях
луч света или отскакивающий шарик пробегает ломаную линию, ко-
торая является наикратчайшей из всех возможных ломаных такого
рода.
— А трудно это доказать, что она наикратчайшая?—спросил
Бася.
— Нет, нетрудно. Попробуем доказать на примере. Допустим,
что ты играешь на бильярде. Ты ударяешь кием шар —тот ударяется
в борт и отскакивает. Допустим, что и шар и борт представляют со-
бой достаточно упругие тела, кий идет параллельно плоскости биль-
ярда, а удар кием по шару нанесен так, что, если бы кий мог про-
ткнуть шар, он прошел бы как раз через его центр, а следовательно,
шар от удара идет по прямой (потому что иногда бильярдный шар
386
искусный игрок может пустить и не по прямой, но это, уж конечно,
особый игрецкий удар!). Тогда шар должен отскочить от борта по за-
кону: угол падения равен углу отражения. Поставим зеркало по борту
бильярда и снова пустим шар в том же направлении, так чтобы он
отразился в зеркале. И ты увидишь, как шар по бильярду добежит
до борта и «пойдет» в зеркале по прямой от борта. Всякая другая ло-
маная не даст такого совпадения действительного пути с отраженным
в одну прямую. Следовательно, всякая иная вместе со своим отраже-
нием дала бы ломаную. А ведь ломаная длиннее прямой! Таким обра-
зом, явления, в которых заложен самой природой этот принцип наи-
меньших величин, существуют и давно уже известны ученым. Когда
в семнадцатом веке науки начали оживать от средневекового сна, то
знаменитый французский математик Пьер Ферма сделал из этого на-
блюдения Герона необыкновенной важности выводы, которые в ка-
честве одного из основных правил вошли в новую математику. Да и
не только в математику, а вообще во многие из тех наук о природе,
которые в те времена начинали формироваться. Эйлер, великий мате-
матик, о котором мы уже не раз вспоминали, в своих знаменитых
«Письмах к принцессе» немало говорит о том, что многие процессы
в природе происходят по «правилу наименьшего действия» (которое
сформулировал Ферма), то есть с затратой наименьшей энергии либо
наименьшего количества того или иного материала. Можно указать
еще на один замечательный факт из явлений всем известных, но
имеющих непосредственное отношение к данному вопросу, — это пче-
линые соты. Они строятся в форме шестигранников. Нет особого
труда доказать, что при такой форме они, требуя минимального (наи-
меньшего) количества воска для своего построения, вмещают макси-
мальный (наибольший) объем меда! Это обстоятельство также было
известно еще в древности. Размышления о правиле наименьшего дей-
ствия были очень распространены в восемнадцатом веке и сыграли
важнейшую роль в деле обоснования правил механики, ибо что ни
дальше, то эта, так сказать, бережливость природы находила все
больше и больше подтверждений. В частности, это правило оправда-
лось и на законе преломления света, когда из одной среды свет пере-
ходит в другую —из воздуха в воду хотя бы. Именно этот случай и
заставил Ферма задуматься над значительностью этого своеобраз-
ного явления. Вот вам еще живой и имеющий громадное значение
пример того, как явления математического характера обнаружи-
ваются среди явлений природы! Мы уже вспоминали прозорливые
замечания Аристотеля и Ленина по этому поводу. Нелишне вспо-
мнить о них ныне и еще раз. Здесь связь математики с явлениями
природы выявляется особенно сильно. Однако мало еще понимать это
25’
387
обстоятельство, надо не забывать и того, что великая Книга Природы,
которую мы хотели бы всю прочесть, написана, как говорил великий
Галилей, особыми буквами — вместо букв там начертаны разные гео-
метрические фигуры! И только тот может ее читать, кто хорошо зна-
ком с этими фигурами. Математика и природа говорят одно, но не
всякий разберется в том, что они говорят. Учись — и все тебе
откроется!
Конец второй части
ОГЛАВЛЕНИИ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава первая............................................. 5
Лева и Наташа встречаются у речки. — Старинная пушка и ее
огромные ядра. — Семья Тускаревых на даче. — Вовина игрушка. —
Таинственная лошадка и загадочное число. — Интересные рассказы.
Глава вторая....................................... ...	12
Рассказ Наташи о знаменитых женщинах-математиках. — Русский
академик Леонард Эйлер пишет письма к одной принцессе. — Подруга
Вольтера и Ньютон. — Дочь знаменитого поэта Байпона. —Софья Кова-
левская и ее отрочество. — История с нехваткой обоев на даче. — Софа
сама открывает новую науку. — Встреча со знаменитым ученым Вейер-
штрассом за границей, и дальнейшее.
Главатретья.............................................. 25
Любопытная история с «конвертиком». — Число «сто», оказывается,
пишется по-разному. — Разговор о науке идет всерьез. — О чем мечтал
Лева? — На чем же наконец ребята остановились? — Как исследовать
лабиринты при помощи узлов.
Главачетвертая .......................................... 3*
Приезжает Никита Петушков — нашего полку прибыло' — Обсиж-
дается правило правой руки. — Тупики. — Как дойти до центра? — Чет-
ное и нечетное число путей. — Кольцевой маршрут. — Одномаршрут-
ная сеть. — Вова путешествует по шахматной доске. — Мост и дерево.
Главапятая............................................... 48
Наташина подруга. — Важный вопрос о числе изъятых путей. —
Сколько путей может быть на дереве? — Куб — правильное выпуклое
тело,— Как из шести спичек сделать четыре треугольника? — Тетраэдр. —
Замечательная теорема Леонарда Эйлера о многогранниках. — Решение
вопроса о фигурах одного росчерка. — Калининградские мосты. — Гео-
метрия путей и узлов. — Что такое отвлечение?
Главашестая............................................. 65
Древние лабиринты. ~ Миф о Тезее. — Примеры лабиринтов в раз-
ные времена и в разных странах. — Путешествие по плану с планшет-
кой в руках. — Стрелки-указатели на стенах лабиринта. — Системы кори-
доров и системы стен. — Что делать? Ниточка протянулась вдоль всего
коридора!
Глава седьмая........................................... 83
Конференция с викториной. — Небылица про Великого Могола, про
семьдесят семь слонов. — Не очень надежные, но зато необыкновенно
легкие способы сокращать дроби и решать задачи. — Совершенно невоз-
можное доказательство. — Как опасно слушать подсказывание. — Интерес-
ные задачи со спичками.
389
Г л а в а восьм а я . ........................................... 103
Ученый секретарь Тускарийской ассоциации делает доклад об игре
в Дразнилку.— Пять исходных позиций Вовы. — Повороты. — Малень-
кий Дразнилка и средний. — Запись игры. — Главный закон Дразнилки:
два круга. — Инверсии и четное их число. — Сколько перестановок? —
Факториал и его половина. — Самое большое число, которое можно изо-
бразить тремя цифрами. — Дразнилка «благоразумный». — Сорок процен-
тов экономии. — «Убедительная» позиция — Новое четное число. — На-
конец-то открывается секрет Вовиной «лошадки», а за ним и таинст-
венного числа! — Вращение позиций. — Замкнутый змеиный круг. —
Дразнилка огромный. — «Серебряная» позиция. — О том, как ладья пла-
вала вкруговую, подражая змеиным изворотам. — Дразнилка-великан. —
Как средний Дразнилка вертелся вокруг гвоздика. — Замечательный рас-
сказ тети Веры о страшном кораблекрушении неподалеку от известных
своими опасными подводными камнями Голубых Берегов.
Гл а ва д евята я.............................................. 153
Рыбак рыбака видит издалека: тускарийцы находят нового друга. —
Трудная задача, которую Вася Сизов решает собственными силами, про-
тивопоставляя ей проблему, еще более замысловатую и начинающуюся
совершенно неожиданным наступлением белого короля. — Докладчик
ассамблеи падает прямо с неба к сосновому Тцскарийскому игреку —
Совершенные наела. — Египетский локоть. — Нулевая степень. — Как
складывать степени двойки? — Простые числа руководят всем построе-
нием. — Разность кубов приходит ребятам на помощь. — Одна из до-
вольно упрямых задачек. — Числа Мерсенна. — Сперва девятнадцать зна-
ков. затем тридцать семь, а потом уж и все семьдесят семь! — Формула
Катальди — дважды два равняется два да два. . — Проверим всё с са-
мого начала. — Геометризованная алгебра греков. — Васина задача раз-
решена. — Любопытная история по поводу одного круглого озерка.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава десятая............................... 191
Приехали наши/ — Ботвинья и лекарская латынь. — Дядя Ваня с три-
дом считает по пальцам. — Лева узнает странную новость по поводу
мыла. — Дедушка с Вовой складывают два и два, и у них получается
восемь. — Запятая делит число на четыре. — Вавилонская система. —
Пирамида Хеопса и грузовик-пятитонка. — Двойки сигнализируют. —
Конденсаторы из радиоприемников, лампочки, счеты и шестеренки. —
Вова не хочет учиться арифметике — Как складывать двоичные
дроби? — Оказывается, что и у коврижки есть свой предел! — «Да и
нет». — Как попал в немилость один догадливый визирь — «Ханойская
башня». — Скучливый султан и его предприимчивый мудрец-советник. —
Как умножать, не зная таблицы умножения9 — Замечательный способ
тайнописи. — Лева опять недоволен. — Пять новых чисел. — Машина
Бабеджа. — Звук летит по радио и бежит по воздуху. — Послушная ма-
шина: приказали — помнит всё наизусть; велели — и она моментально
всё забыла! — Страшная история трех уже немолодых морских инжене-
ров, которым однажды пришлось уезжать от пальм города Сочи по
голубым волнам Черного моря в неизвестном направлении.
Глава одиннадцатая............................................234
Сегодня дедушка не пойдет с ребятами: дождик. — Вася бежит по
следам своей добычи. — Замкнутый ход коня. — Два ромба и два
квадрата. — Обход Вандермонда. — Обход шахматиста Яниша. — Вася
пытается связать арифметическую прогрессию и магический квадрат,—
Веточка предлагает другой путь. — Диагонали и «террасы». — Правило
для квадратов с четным числом клеток. — Центральная симметрия. —
390
Перестановки квадратов. — Ход коня. — Вспомогательные квадраты и
соответственные клетки. — Преобразование подставки для чайника. —
Шахматная нотация и обозначения на магическом квадрате, коорди-
наты. — Магическое уравнение. — Строка, пять чисел и магическая
сумма. — Что общего у чисел два и семь? - Равноостаточные числа,
вычеты и модуль. — Сравнимые числа и полная система вычетов. — Куда
ставить данное число? — Преобразование при помощи сравнений соответ-
ственных клеток и магического уравнения. — Признаки делимости.
«Ханойская башня» еще раз, правило повторяемости в календаре. —
Васина задачка.
Глава двенадцатая
Оказывается, половина лета уже прошла. . . — Что такое «туска-
ремы»? Левино определение. — Веточка убеждается, что она подлинная
тускарийка. — Опыты и наблюдения. — Три знаменитых оврага. — До-
клад с пушечной пальбой. — Рассказ из детства знаменитого Гаусса. —
Гениальный ученый Николай Иванович Лобачевский.—Треугольник Па-
скаля.— Замечательный среднеазиатский ученый XV века Гиясэддин
Джемшид Каши. — Треугольные числа. — Славный алгебраист Мухаммед
бен-Муса Хорезмийский. — Как в средние века считали площадь тре-
угольника. — IX век в Средней Азии и XI век в Европе. — Квадратные
числа или натуральные квадраты. - Многоугольные числа — Пирами-
дальные числа. — Шестиугольник на блюдечке. — Решетчатое располо-
жение кругов. — Как устроена ядерная куча? — Со сколькими ядрами
соприкасается ядро, лежащее внутри кучи? — Сумма натуральных квад-
ратов. — Сверхпирамидальные числа. — Названия больших чисел. — За-
дача о профессоре, который однажды пошел домой пешком. — Вова
записывает еще несколько любопытных сведений.
Глава тринадцатая .
Ученые рассуждения о скамейке и трех мальчиках, а затем даже и
о четырех. — Снова факториал и снова триллионы! — Сумма, разность
и их квадраты. — Теорема Пифагора. — Куб суммы, за ним еще чет-
вертая и даже пятая степень. — Снова тот же арифметический треуголь-
ник. — Важное замечание о различных ступенях арифметических дей-
ствий. — Чем занимается комбинаторика? — Сочетания. — Совершенный
цилиндр, который именуется монеткой.-Вероятности. —Два герба и
четыре монетки. — Фигурные числа начинают работать. — Черный ко-
роль отправляется в путешествие, но по дороге его лишают трона, и он
превращается в обыкновенную шашку. — Дедушка Тимоша со своим
лаборантом, к великому негодованию ученого секретаря, показывают
опыт. — Загадки природы. — Природа и математика. — Что сказал древ-
ний мудрец? — Воображаемые опыты математики. — Кривая вероятно-
стей. — Рассеяние. — Кристаллография. — Шары в пространстве и яблоки
во фруктовом магазине. — Одна стомиллионная сантиметра. — Щелкун-
чик и Веточкина туфелька.
Глава четырнадцатая
272
313
340
Муха, которая укусила Васю. — Яма, бочка и стог.—Надо по-
мочь! — Измерить участок земли.—Взвешенная средняя,—Обелиск. —
Геометрия винных бочек Кеплера. — Парабола и параболоид. — Едино-
борство братьев Тускаревых. — Кот Теренций бросается на подмогу. —
Кеплеров лимон. — Задача о двух ведрах и шести литрах воды. —
Траектория падающего тела. — Чудесная переправа через речку. — Мо-
дель, которую зовут Бушмейстером. — Это лист Мебиуса!— Односторон-
няя поверхность. — Жук и точка. — Выстроим запруду, устроим пруд! —
Точка обходит пруд, меняя свое направление. — Как раскрасить эту по-
верхность? — Опыт с часиками — Неориентируемая поверхность? — По-
пробуем разрезать! Что получится? — Разрежем натрое. — Двухцветный
Бушмейстер. — Опыт с колпаком — Бутылка джинна, которая называется
бутылкой Клейна. — Два вида винтов. — Геликоида. — Самый большой
объем — может ли он существовать? — Мыльный пузырь сам доказы
вает геометрическую теорему. — Опыт с двумя мыльными пузырями. -
Свет выбирает себе наикратчайший путь.
К ЧИТАТЕЛЯМ
Отзывы об этой книге просим присылать
по адресу: Москва, Д-47, ул. Горького, 43.
Дом детской книги.
Оформление (переплет, титул, шмуцтитулы,
заставки и концовки)
Ю. КИСЕЛЕВА
Рисунки, чертежи и схемы в тексте
И. АРХИПОВА, Л. КАТАЕВА, Ю. КИСЕЛЕВА.
М. ЛОХМАНОВОИ, Ю. МОЛОКАНОВА. И. МАЛИКОВОЯ.
И. НАЙДЕНОВОЙ. Т. ПРОКУДИНОЙ
ДЛЯ СРЕДНЕГО И СТАРШЕГО ВОЗРАСТА
Бобров Сергей Павлович
АРХИМЕДОВО ЛЕТО
Ответственный редактор Ю. П. Тимофеев. Художественный редактор В В Пахом
Технический редактор Н. 3. Левинская.
Корректоры В. Л. Данилова н Н. В. С а м б о р.
Сдано в набор 24/1 1958 г. Подписано к печати 17/Х1 1958 г. Формат 70 У 92‘/„ — 24,5 печ. л.
28,59 усл. печ. л. (23,12 уч.-изд. л.). Тираж 30 000 экз. A0985I. Цена 7 р. 95 к.
Детгиз. Москва. М. Черкасский пер., 1.
2-я фабрика детской книги Детгнза Министерства просвещения РСФСР. Ленинград. 2-я Советская
Заказ № 211.
Скан - AAW, Djvu - Joker2156