АТЕМАТИКА
;3 ФОРМУЛ ,
НАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
ухначев
опов
1978
НАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Естественнонаучный факультет
Издается с 1961 года
Ю.В. Пухначев
Ю.П. Попов
МАТЕМАТИКА
БЕЗ ФОРМУЛ
Выпуск 2
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1978
Scan AAW
Пухначев Ю. В. и Попов Ю. П.
П58 Математика без формул. Выпуск 2. М.,
«Знание», 1978.
160 с. (Нар. ун-т. Естественнонаучный фак.).
Математика присоединяет к своим владениям все новые
области человеческой деятельности. Знание математики в той
или иной мере необходимо каждому современному человеку.
Но для многих математика представляется нагромождением
замысловатых формул и малопонятных терминов. Конечно, фор-
мулы — это наиболее удобный и лаконичный язык для выра-
жения идей и методов математики. Однако об этих идеях и
методах можно рассказать общепонятным языком, обращаясь
за примерами к окружающей действительности.
Книга адресована широкому кругу читателей. Она может
быть полезна также слушателям народных университетов есте-
ственнонаучных знаний.
„ 20200-016 л
П 073(02)—78 48 78
51
© Издательство «Знание», 1978 г.
ПРОСТРАНСТВО
Перед вами — малярная кисть, плакатное перо, фло-
мастер и тонко очиненный карандаш. Каким из этих ин-
струментов вы бы воспользовались, чтобы нарисовать
прямую линию на бумаге?
По-видимому, вы сразу потянетесь за карандашом.
И это понятно: малярная кисть рисует широкую полосу
с неровными краями, с кляксами по сторонам, с расхо-
дящимися во все стороны усами, то есть с теми много-
численными деталями, которые не имеют никакого отно-
шения к понятию прямой линии. Не свободны от этих
недостатков и плакатное перо, и фломастер. А у следа,
оставленного на бумаге тонко очиненным карандашом,
таких приложений нет. По крайней мере они незаметны
невооруженным глазом.
Но посмотрите на след карандаша через увеличитель-
ное стекло: он ничем не лучше следа, оставленного ма-
лярной кистью! Та же непостоянная ширина, те же не-
ровные края.
Карандаш нужно заменить инструментом более со-
вершенным. Но где же тот инструмент, который позволит
свести на нет все несущественные подробности? Трезво
поразмыслив, вы наверняка придете к единственно воз-
можному выводу: такого инструмента не найдешь ни в
одной готовальне.
Может быть, роль такого инструмента сыграло бы
слово? Ведь говорят же: линия есть длина без ширины.
Но что такое длина? Что такое ширина? Не подменяется
ли здесь одно определение другим? Не определяется ли
один объект через другие, которые, в свою очередь,
нуждаются в аккуратном определении? На этом пути
тоже нет конечной остановки.
Не запутались ли мы в своих поисках? Получается,
что мы не можем дать определение прямой. А ведь это
одно из основных понятий геометрии. Можно ли строить
3
ее, основываясь на том, что не имеет строгого определе-
ния?
Обратимся к авторитетам. Раскроем книгу немец-
кого математика Давида Гильберта «Основания гео-
метрии».
«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи
первой системы мы называем точками, вещи второй сис-
темы мы называем прямыми, вещи третьей системы мы
называем плоскостями. Мы мыслим точки, прямые и
плоскости в определенных соотношениях и обозначаем
эти соотношения различными словами, как-то: лежать,
между, конгруэнтный (то есть совмещаемый наложени-
ем.— Авт.), параллельный, непрерывный. Точное и для
математических целей полное описание этих соотноше-
ний достигается аксиомами геометрии... Аксиомы гео-
метрии... выражают определенные, связанные друг с дру-
гом основные результаты нашего опыта».
Как видно, Гильберт и не собирается определять
основные объекты геометрии — точка, прямая, плоскость...
«Нельзя быть настоящим математиком, не будучи
немного поэтом»,— говорил немецкий математик Карл
Вейерштрасс.
Если геометрия упорно отказывается выдавать исто-
ки своих понятий и представлений, если нам никак не
удается определить их в строгих математических тер-
минах, то, быть может, нам в наших затруднениях по-
могут поэтические образы?
«Звезды на небе как искорки». «Луч света как тети-
ва лука». «Равнина как гладь озера».
Поэтический дар, которым человек наделен от приро-
ды, побуждал его подмечать сходство в различном.
Многократно отмечая то или иное свойство у различных
предметов, человек выкристаллизовывал это свойство в
своем сознании и, получив его в чистом виде, давал ему
имя.
Тетива лука и луч света прямы. В этом обобщаю-
щем суждении уже явно выражено понятие прямой. На-
поминая о тетиве лука и о луче света, оно в то же время
уже отделено от них, существует само по себе в нашем
сознании.
4
(В нашем сознании... Вот почему мы так и не нашли
подходящего инструмента для проведения прямой на
бумаге. Штрих карандаша, как и мазок кисти,— все это
были заведомо безуспешные попытки точно выразить
в том или ином конкретном реальном образе идеальный
образ прямой.)
Так появлялись абстрактные геометрические поня-
тия, общие для всех тех предметов реального мира, от-
влечением от которых они были созданы.
И чем настойчивее искал человек простые, но харак-
терные, немногие, но существенные свойства предметов,
чем смелее отбрасывал при обобщении черты второсте-
пенные и случайные, чем шире был круг предметов, в
которых удавалось выделить ту или иную роднящую их
черту, тем более содержательным и вместе с тем более
отчетливым становилось соответствующее абстрактное
понятие, будь то плоскость или прямая, точка или ок-
ружность...
Так складывался набор элементарных геометричес-
ких образов.
Но человек—не только созерцатель и поэт. Чело-
век — прежде всего труженик.
В своей практической деятельности, постигая свой-
ства реальных предметов и их взаимосвязи, человек ус-
танавливал соответствующие свойства созданных им гео-
метрических образов и отношения между ними.
По старинной легенде, дошедшей до нас от Эвдема
Родосского, геометрия родилась в Древнем Египте.
Разливаясь с каждой весной, Нил затоплял поля и унич-
тожал межи, разделявшие земельные участки. Межи
приходилось восстанавливать каждый раз заново. Из
года в год, из века в век совершенствовались приемы
землемерия. Если произнести это слово на древнегречес-
ком языке, мы узнаем в нем название науки, о которой
рассуждаем: геометрия.
Натягивая межевую веревку между двумя колыш-
ками, древние землемеры не раз имели возможность
убедиться, что эта несложная операция всегда приводит
к одинаковому результату. Многократно повторенный
опыт внушал вывод: через две точки можно провести пря-
мую и притом только одну.
Так рождались аксиомы, общие для всех, кто тру-
дится на земле.
5
И чем настойчивее вскрывал человек устойчивые и
закономерные связи между предметами реального мира,
чем глубже осмыслял йх логику, чем чаще узнавал при
самых различных обстоятельствах то или иное соотно-
шение, чем успешнее использовал его в своих рассужде-
ниях и действиях, тем надежнее подтверждала свое зва-
ние соответствующая аксиома, то есть положение, без
доказательств принимаемое при рассуждениях в качест-
ве исходного (будь то возможность провести прямую че-
рез любые две точки или существование трех точек, не
лежащих на одной прямой).
Так складывались основания геометрии.
И вот в III веке до нашей эры александрийский мате-
матик Эвклид пишет свои знаменитые «Начала» — пер-
вое систематическое изложение достигнутых к тому
времени геометрических знаний.
«Точка есть то, что не имеет частей. Линия же —
длина без ширины. Концы же линии — точки. Прямая
линия есть та, которая равно расположена по отношению
к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только
длину и ширину. Концы же поверхности — линии...»
Эвклид считал необходимым предпослать рассужде-
ниям надежные основополагающие определения. На-
сколько это ему удалось, судить можно по приведенно-
му отрывку из «Начал»: например, равным образом по
отношению к точкам на ней расположена не только пря-
мая, но и окружность.
Как видим, удовлетворительного определения прямой
Эвклид не дал. И упрекать его за это в нестрогости было
бы бесполезно. Мы уже знаем, что абсолютная строгость
тут попросту недостижима. Однако во времена Эвклида
об этом еще не подозревали. Первые сомнения появились
много веков спустя. Ньютон, например, выразил их так:
«Самое проведение прямых линий и кругов, служащее
основанием геометрии, в сущности относится к механи-
ке. Геометрия не учит тому, как проводить эти линии, но
предполагает выполнимость этих построений... В гео-
метрии показывается лишь, каким образом при помощи
проведения этих линий решаются разные вопросы и за-
дачи... Итак, геометрия основывается на механической
практике». (Хотелось бы добавить, что слово «механика»,
столь близкое Ньютону, может быть заменено в его
высказывании названием любого из видов человеческой
деятельности, где используется геометрия.)
6
Сказанное о геометрии мы могли бы перефразиро-
вать для любой области математики. Мы показали бы при
этом, что в любой из них основные понятия не имеют
строгих определений. И это естественно, как естественна
недоказуемость аксиом. Основные понятия любой области
математики неопределимы. Но, к счастью, они не нуж-
даются в определениях. Математика приняла их в ка-
честве основных лишь после того, как они стали обще-
употребительными и общепонятными. Не будь этого, не
помогли бы никакие определения.
Блез Паскаль, французский математик, получил не
школьное, а домашнее образование. Его учителем был
отец, Этьен Паскаль, один из просвещеннейших людей
своего времени.
Согласно учебному плану Паскаля-старшего матема-
тику предполагалось проходить с пятнадцати-шестнад-
цати лет. Но ребенок поломал все планы своего учителя.
Услышав от отца про геометрию, узнав от него несколько
аксиом из «Начал» Эвклида, Блез стал интересоваться
дальнейшим.
Отец, считая, что время для этого еще не настало, от
разговоров о геометрии уклонялся. Каково же было его
удивление, когда через некоторое время, зайдя в детскую,
он застал двенадцатилетнего сына за доказательством
теоремы о сумме углов треугольника.
Ранняя зрелость гения поражает. Однако, на наш
взгляд, в этой истории не менее удивительно другое.
Дело в том, что свои построения Блез проводил
с помощью «палочек» и «колечек» — так он называл
прямые и окружности. По всей вероятности, он пред-
ставлял их себе имеющими вполне ощутимую толщину.
Точками в его мысленных построениях, вероятно, слу-
жили этакие бусинки, шарики определенного и постоян-
ного радиуса.
То, что столь необычный инструментарий не помешал
Паскалю преуспеть в геометрических доказательствах,
объяснимо лишь одним: для бусинок и палочек справед-
ливы все те же аксиомы, что и для точек без частей
и прямых без ширины, как их определял Эвклид.
Через две точки можно провести прямую и притом
только одну, говорим мы. Две бусинки можно соединить
7
палочкой и притом только одной — так, вероятно, это
положение представлял себе маленький Блез.
Если угодно, Паскаль дал наглядную интерпретацию
аксиомам геометрии. Он моделировал своими палочками
абстрактное понятие прямой — точно так же, как мы
моделируем его, проводя карандашом на бумаге ровные
полоски, более или менее тонкие, как моделировал его
древний землемер, натягивая веревку между колышками,
как моделирует его современный геодезист лучом лазе-
ра.
Подобных моделей может быть сколько угодно.
И если в них воплощены одни и те же геометрические
аксиомы, все они в равной мере подчиняются всем след-
ствиям из аксиом.
Нечто похожее мы наблюдаем и в других точных на-
уках.
Одно и то же уравнение описывает распространение
тепла в твердом теле, проникновение электромагнитного
поля в плазму и диффузию частиц в жидкости. Одно
и то же уравнение описывает течение несжимаемой
жидкости, прогиб мембраны и напряжения в брусе, под-
вергнутом кручению.
В свою очередь, уравнение вместе с теми условиями,
которые из множества возможных его решений позволя-
ют выбрать одно определенное, служит математической
моделью явления или процесса. Согласно сказанному,
одна и та же модель пригодна для целого ряда процес-
сов и явлений, совсем непохожих друг на друга внеш-
не, но подчиняющихся одним и тем же математическим
закономерностям. Более того, если общее для них урав-
нение оказывается слишком сложным и пока не поддает-
ся решению, можно перейти с пути математического
моделирования на путь моделирования физического:
следя за одним процессом, хорошо изученным и доступ-
ным наблюдению, безошибочно судить о его математиче-
ском двойнике.
Не заглянешь в толщу стального бруса, не увидишь
картину напряжений внутри него. И тогда эксперимента-
тор натягивает гибкую мембрану на жесткий контур,
повторяющий своей формой профиль бруса. Под равно-
мерной нагрузкой мембрана вспучивается. Ее изгибы
точь в точь соответствуют распределению напряжений
по сечению бруса. Работает эта мембранная аналогия
потому, что математическая задача формулируется оди-
8
наково и там и тут. Мембрану и брус породнила матема-
тика.
Откуда же у математических уравнений такая общ-
ность? Она обусловлена их абстрактностью. Происходит
примерно то же самое, что и при выработке основных
понятий и аксиом математики: наблюдая различные
процессы и явления, естествоиспытатель старается раз-
глядеть самые существенные их черты, самые глубокие
их закономерности. Единство материального мира и ис-
кусство исследователя сказываются в том, что одни и те
же глубокие закономерности оказываются общими для
широчайшего круга процессов и явлений. Общей для
них оказывается и математическая модель, построенная
на основании этих закономерностей. И если они обнару-
живаются в каком-то новом процессе или явлении, на
него тотчас автоматически переносятся все соображе-
ния, подсказанные математической моделью.
В том-то и сила математики и всех наук, начала ко-
торых сформулированы на ее языке: в любом вопросе,
который входит в компетенцию такой науки, можно ра-
зобраться, исходя из немногих взаимосвязанных основ-
ных принципов.
В том-то и слабость наук, которые еще не встали на
путь математического моделирования, что они не прео-
долели отягчающей конкретности мышления, что в пред-
метах своих исследований не вскрыли общих форм, без-
различных к содержанию, что не сформулировали одно-
значно своих основных понятий и аксиом—так что на
пути к результатам им приходится опираться на наблю-
дение и опыт, интуицию и здравый смысл, которые могут
и подвести.
Впрочем, в многоголосом хвалебном хоре во славу
математики можно расслышать и сдержанные голоса.
В основании любой математической теории лежат
абстрактные начала. А всякая абстракция — это лишь
слепок с реального мира, лишь его бледный силуэт.
И поэтому та же приближенность свойственна и резуль-
татам теории, какими бы строгими и логичными путями
они ни были получены: выводы не могут быть точнее
посылок.
Выделяя абстрактные понятия в чистом виде, мате-
матик всегда дистиллирует жизнь. Вскрывая логику их
9
взаимосвязей — всегда обтесывает природу, отсекая вто-
ростепенные детали.
Язык математических рассуждений привлекает ло-
гичностью, строгостью, последовательностью. Но в нем
нет места неожиданным ассоциациям, шутке, каламбуру.
Математическая мысль не исчерпывает всех проявлений
человеческого разума.
Прекрасная вещь — спелый арбуз. Но как убедиться
в его спелости? Одни стучат по арбузу костяшками сог-
нутых пальцев, другие сжимают его с боков, прислуши-
ваясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают
хвостик. Однако самый надежный способ — вырезать
уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните,
какую форму он имеет?
Конечно, арбуз появился на этой странице не из-за
своих гастрономических качеств. К вырезанному кусоч-
ку, напоминающему пирамиду, мы хотим привлечь ваше
внимание совсем не к той стороне, которая инте-
ресна при выборе арбуза,— не к красной вершине этой
пирамиды, а к зеленому треугольнику в ее основании.
Вероятно, вам никогда не приходило в голову изме-
рять его углы. А зря. Ведь если бы вы измерили их
и сложили, то пришли бы к любопытному результату:
сумма углов этого треугольника превышает 180 граду-
сов!
10
Еще более любопытный результат получился бы,
если бы пробный кусочек увеличился до восьмушки ар-
буза. У треугольного основания этой «пирамиды» каж-
дый из углов составляет по 90 градусов, а значит, их сум-
ма в полтора раза больше нормы, которую предписыва-
ют законы школьной геометрии.
Непорядок у арбузных треугольников не только с уг-
лами. Чтобы выразительнее подчеркнуть то, что мы име-
ем в виду, возьмем последний из треугольников, рассмо-
тренных нами,— тот, у которого все углы прямые. По-
пробуем применить к нему теорему Пифагора, гласящую,
что в прямоугольном треугольнике квадрат гипо-
тенузы равен сумме квадратов катетов. Но наш треу-
гольник, как нетрудно заметить, еще и равносторон-
ний — гипотенуза и оба катета у него равны друг другу.
Стало быть, их нельзя подставить в пифагорово равен-
ство, не нарушив его: сумма положительных количеств
не может равняться каждому из слагаемых!
Разумеется, мы несколько утрируем свое изумление.
Противоречия с эвклидовой геометрией, которые обнару-
жились при дегустации арбуза, понятны: ведь поверх-
ность, на которой нарисованы парадоксальные треуголь-
ники, искривлена, а 180-градусная норма установлена
для суммы углов плоских треугольников, которые толь-
ко и изучаются в школьном курсе геометрии; для них же
выведена и теорема Пифагора.
Однако на дело можно взглянуть и по-иному. Можно
изучить геометрические закономерности, лежащие в ос-
нове удивительных фактов, с которыми мы только что
столкнулись, свести эти закономерности в систему акси-
ом и затем, исходя из этих аксиом, строить некую новую
геометрию, отличную от эвклидовой...
Нетерпеливый читатель, вероятно, уже ждет, когда
мы заговорим о Николае Ивановиче Лобачевском, рус-
ском математике, создателе первой неэвклидовой гео-
метрии. Но мы упомянем сначала о Бернгарде Римане.
Именем этого немецкого математика называют другую
неэвклидову геометрию, которой подчиняются прямые
на сфере — будь то поверхность арбуза или Земли.
(Ради точности заметим, что прямыми здесь считаются
дуги так называемых больших окружностей, центры ко-
торых совпадают с центром сферы).
И в геометрии Лобачевского, и в геометрии Римана
целый ряд утверждений противоречит привычным пред-
11
* +у <
ставлениям эвклидовой геометрии,
которую излагают школьные учеб-
ники.
Например, аксиома о параллель-
ных. В геометрии Эвклида через каж-
дую точку, не принадлежащую неко-
торой данной прямой, можно провес-
ти прямую, параллельную данной, и
притом только одну. Геометрия Ри-
мана не знает параллельных, в ней
любые две прямые имеют общую точ-
ку. Геометрия Лобачевского допуска-
ет более чем одну параллельную,
проведенную к данной прямой через
данную, не принадлежащую ей
точку.
В геометрии Лобачевского сумма
углов треугольника всегда меньше
чем 180 градусов, отношение длины окружности к ра-
диусу всегда больше чем два «пи». В геометрии Ри-
мана — все наоборот. В этом можно убедиться с
помощью все той же сферы. Об углах треугольни-
ков на ней мы уже говорили, а по поводу окружностей
можно привести не менее ошеломляющий пример. Самая
большая окружность на сферической поверхности зем-
ного шара, экватор, в четыре раза длиннее своего радиу-
са, половины меридиана. «Нормальная» эвклидова ок-
ружность более чем в шесть раз длиннее своего радиу-
са (2л = 6,28...).
В геометрии Эвклида всего три признака равенства
треугольников. Геометрии Лобачевского и Римана до-
бавляют к ним еще и четвертый: два треугольника рав-
ны, если у них равны все углы. Дело в том, что и та и
другая неэвклидова геометрия не знают подобия фигур.
Например, равномерно увеличивая стороны треугольни-
ка, мы не сможем сохранить его углы, как в эвклидовой
геометрии, где на этом и строится учение о подобных
треугольниках. В этом мы убедились сами в опытах с ар-
бузом, увеличивая маленький пробный кусочек до
восьмушки арбуза. Если у маленького треугольника сум-
ма углов лишь чуточку превышала 180-градусную нор-
му, то у большого она превысила эту норму уже в пол-
тора раза.
Однако не надо думать, что у Лобачевского и Рима-
12
на все не так, как у Эвклида. Например, в каждой из
трех геометрий справедливы неравенства треугольника:
сумма любых двух сторон больше третьей, а разность —
меньше. Для геометрии Римана мы могли бы доказать
это, проведя соответствующие построения на сфере.
«А для геометрии Лобачевского? Почему мы не ил-
люстрируем ее положений? — вероятно, уже порывается
спросить читатель. — Есть ли наглядное пособие для
нее?»
Да, есть. Вот оно, на рисунке рядом. Эта диковинная
поверхность, состоящая как бы из двух воронок, сомк-
нутых раструбами, называется псевдосферой.
Мы подозреваем, что калейдоскоп непривычных ис-
тин, мелькавших в предыдущем разделе, поверг читате-
ля в состояние растерянности: какая из геометрий самая
правильная? Геометрия Эвклида? Лобачевского? Ри-
мана? Чьи аксиомы самые точные?
Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так
может лишь тот, кто считает, что аксиомы — это истины
очевидные, незыблемые, единственно мыслимые, устанав-
ливаемые раз и навсегда и т. п. Это неверно. Напомним:
аксиомы — это положения, без доказательств принимае-
мые в качестве исходных при рассуждениях.
Любая из геометрических аксиом — это некая аб-
стракция от пространственных форм реального мира.
А поскольку любая из них возникает и существует лишь
в нашем сознании, мы вольны в выборе того или иного
ракурса, той или иной точки зрения, той или иной ак-
сиомы.
Дело здесь исключительно в том, какая система ак-
сиом (разумеется, непротиворечивая!), какая геометрия
более соответствует результатам опыта, более удобна для
практических нужд.
Смешон был бы тот, кто планировал бы садовый
участок или теннисный корт по геометрии Римана на
том лишь основании, что земная поверхность есть
сфера. В садово-теннисных масштабах отклонения
земной сферы от плоскости так невелики (не более де-
сятой доли миллиметра), что здесь вполне приемлемы
простые и привычные нормы эвклидовой планиметрии.
Неразумен был бы и тот, кто, оборудуя новую квар-
13
тиру, решил бы не пользоваться старомодной эвклидо-
вой стереометрией, а сначала изучить теорию относи-
тельности, давшую самые верные представления о про-
странстве-времени.
Не следует отказываться от старых испытанных ак-
сиом, если они согласуются с опытом в пределах допу-
стимых погрешностей. Но если выводы, диктуемые ка-
кой-либо из этих аксиом, противоречат данным опыта,
от нее следует отказаться, даже если она кажется со-
вершенно очевидной, единственно мыслимой.
Лобачевский, усомнившись в эвклидовой аксиоме
о параллельных, доказал, что без нее сумма углов тре-
угольника уже не равна 180 градусам. И тогда он обра-
тился к результатам астрономических измерений. С до-
стигнутой к тому времени точностью (порядка миллион-
ных долей угловой секунды) выяснилось, что треуголь-
ники, своими размерами достигающие масштабов Сол-
нечной системы, придерживаются 180-градусной нормы.
Результаты проверки говорили за то, что эвклидовой
геометрией можно пользоваться даже на столь широких
просторах космоса.
Но мысль человека преодолевает любые пределы, ус-
тремляется к далеким галактикам. Какой геометрии
будут подчиняться результаты наших измерений в про-
странствах столь колоссальных масштабов?
Наука ведет человека по шкале расстояний и к дру-
гой крайности, в микромир. Где гарантия, что эвклидо-
вы аксиомы не будут противоречить измерениям в про-
странствах столь малых масштабов?
Мы не претендуем на авторство этих умозаключений.
Мы всего лишь повторяем предположение самого Лоба-
чевского о том, что отклонения от эвклидовой геометрии
могут встретиться «либо за пределами видимого мира,
либо в тесной сфере молекулярных притяжений».
Реальный мир бесконечно разнообразен. По мере
расширения наших знаний о нем мы должны быть го-
товы к неожиданностям, к необходимости заменить те
или иные аксиомы традиционной эвклидовой геометрии,
вполне приемлемой в прежних узких масштабах прак-
тической деятельности.
И мысль геометров загодя испытывает возможные
замены: какие логические следствия повлекут они? Так
создаются различные неэвклидовы геометрии; мысли-
мые неожиданности будут встречены во всеоружии.
14
Нам, пережившим уже не одну реформу школьного
образования, трудно поверить, что на протяжении двух
с лишним тысячелетий со времен Эвклида его «Нача-
ла» были единственным школьным учебником геоме-
трии. Более того: «Начала» Эвклида были единствен-
ной и непререкаемой системой геометрических знаний,
своеобразным священным писанием геометров.
В благоговейном почитании, которым эта книга окру-
жалась веками, было нечто родственное тому, отчего
средневековая иконопись так богата безымянными ко-
пиями: казалось, что удачные краски и линии ориги-
нала внушены свыше и смертным остается лишь повто-
рение.
Величественной древней мозаике была в этом смысле
подобна геометрия Эвклида. Так удачно подогнаны
друг к другу ее камешки, в такую цельную картину они
складывались, что казалось: черты природы отразились
в ней безошибочным и потому единственно мыслимым
образом.
И вот оказалось, что в этой мозаике камешки неко-
торого оттенка можно заменить на камешки оттенка сов-
сем иного. И хотя он поначалу казался абсурдно рез-
ким, впоследствии выяснилось: новому изображению
присуща столь же безупречная соразмерность, что
и прежнему. Продолжая сравнение с мозаикой, пожа-
луй, так можно было бы рассказать о геометрии Лоба-
чевского с ее новой по сравнению с геометрией Эвклида
аксиомой о параллельных.
Тем временем появился еще один вариант замены тех
же камешков — геометрия Римана. Новый цвет бросал
отблески на остальные: новая аксиома о параллельных,
предложенная Риманом, заставила его по-новому сфор-
мулировать и так называемые аксиомы порядка.
Оказалось, что древнюю мозаику можно выклады-
вать камешками более мелкого размера и благодаря
этому отображать все более тонкие черты реальности.
Обратившись к новейшим систематизациям геометричес-
ких знаний, мы увидим, что в перечне основ названы уже
не «точка», «прямая», «плоскость», а понятия теории
множеств.
Оказалось, что можно заменять сам материал камеш-
ков и в новой технике отображать такие черты реаль-
15
ности, которые выходят далеко за пределы прежней гео-
метрической картины.
Из разговора грибников: «Езжайте по Волоколам-
скому шоссе, потом по бетонке налево и на восьмом ки-
лометре почти у самой дороги белых — хоть косой коси».
Из «Краткого справочника почтовой индексации»;
«Предприятиям связи Белгородской области присвоены
первые три цифры индекса 309. Участок маршрута поч-
тового вагона 159/160 в пределах Белгородской области
обозначен цифрой 9 (четвертая цифра индекса). При-
железнодорожному предприятию Ливенка в качестве
пятой цифры выделена 4. Отделения связи, получающие
почту через Ливенку, имеют такие индексы; Лазарено-
во — 309941, Валуйчик — 309943, Арнаутов — 309944».
Из рассказа Эдгара По «Золотой жук»: «Хорошее
стекло в трактире епископа на чертовом стуле 21 гра-
дус и 30 минут север-северо-восток главный сук седьмая
ветвь восточная сторона стреляй из левого глаза мертвой
головы прямая от дерева через выстрел на пятьдесят фу-
тов».
Что объединяет эти разнородные фрагменты?
В каждом из них встречаются числа. Эти числа по-
зволяют сориентироваться в пространстве и указать нуж-
ное место — будь то грибная поляна или адрес, по кото-
рому послано письмо. Даже в последнем отрывке, кото-
рый смахивает на откровенную тарабарщину, герой рас-
сказа Легран по приведенным числам угадывает место,
в котором закопан пиратский клад.
Место, уточненное до предела,— это точка. Числа,
определяющие положение точки в пространстве, называ-
ются координатами.
В каждом из приведенных примеров применялась
своя система задания этих чисел — своя, как говорят,
система координат.
Свои системы координат применяет и математика.
•
Не сразу Москва строилась. Вначале, как гласит ле-
генда, князь Юрий Долгорукий «повеле соделати град
мал, древян» в месте слияния Москвы-реки и речки Her-
16
линной. Вокруг деревянной крепости кольцом располо-
жился посад. Лучами из крепости, как из центра, на все
стороны расходились торговые пути: во Владимир и Суз-
даль, Новгород и Смоленск. Росло население, и ново-
стройки все новыми кольцами опоясывали центральную
часть города.
Так складывалась радиально-кольцевая структура
нашей древней столицы.
Конечно, прихотливое течение Москвы-реки, пересе-
ченный рельеф местности нарушали строгость структу-
ры. Лучи шли отнюдь не по линейке, кольца — не по
циркулю.
Петербург в отличие от Москвы строился по плану,
утвержденному Петром Первым. Линии и проспекты
Васильевского острова, пересекаясь под прямым углом,
создают геометрически правильную сетку.
По такому же принципу застроен остров Манхет-
тен — центральная часть Нью-Йорка. Математическая
строгость застройки подчеркнута тем, что улицам Ман-
хеттена— продольным авеню и поперечным стрит —
присвоены не названия, а номера. В такой сетке улиц
не запутаешься: два числа — номер стрит и номер аве-
17
ню - однозначно указывают положение каждого пере-
крестка, а добравшись до него, уже нетрудно отыскать
нужный дом.
Впрочем, города радикально-кольцевой структу-
ры — типа Москвы — отнюдь не должны считать себя
чересчур далекими от геометрической строгости. Стоит
выпрямить радиальные улицы и сгладить до окружнос-
тей кольцевые, как возникает весьма четкая схема.
И числа в нее ввести нетрудно. Собственно, это уже
и сделано. Основные радиальные магистрали Москвы
пронумерованы, а кольцевым улицам присвоены буквен-
ные обозначения: А — Бульварное кольцо, Б — Садовое,
В — кольцо валов.
В предыдущем отрывке мы бросили беглый взгляд на
карту острова Манхеттен. Теперь приглядимся к ней
внимательней.
18
Прямоугольная сетка стрит и авеню, оказывается, не
столь уж математически безукоризненна. По самому
краю острова, почти вплотную к берегу проходит первая
авеню. Но капризная природа сотворила берег не иде-
ально ровным на всем его протяжении. В одном месте,
уклоняясь от направления первой авеню, он выдается
значительным мысом. Мыс застроен, причем градостро-
ители выдержали принцип: авеню здесь проложены
строго параллельно остальным. Однако градостроители
не выдержали принцип в обозначении улиц: вместо цифр
в ход пошли буквы — авеню А, авеню В, авеню С и D.
А если сохранить верность номерным обозначениям?
Приближаясь к мысу и перебирая номера авеню — тре-
тья, вторая, первая — какой номер естественно увидеть
на следующей авеню? Очевидно, нулевой. А дальше, ра-
зумеется, должны идти минус первая, минус вторая...
Теперь переведите взгляд в район четвертой и пятой
авеню. Между ними пролегает Мэдисон-авеню — не ну-
мерованная, как все, а именованная. Что если и ее пере-
19
именовать на числовой манер? Какой номер получила бы
она тогда? Четыре с половиной — не так ли? А если бы
она располагалась к одной $тз соседних авеню ближе,
чем к другой? Скажем, отступая от четвертой на деся-
тую долю ее расстояния до пятой? Не правда ли, тогда
ее было бы целесообразно назвать авеню номер 4,1?
Все эти гипотетические рассуждения мы провели,
чтобы дать наглядное представление о декартовой пря-
моугольной системе координат.
Заменим карту Манхеттена бесконечной плоскостью.
На месте нулевой стрит и нулевой авеню проведем пря-
мые линии. Назовем их осями координат, а точку их пе-
ресечения — началом координат. Осям присвоим тради-
ционные для математики обозначения X и Y. Начало от-
метим буквой О. Четвертушки, на которые плоскость
рассекается осями координат, будем называть квадран-
тами.
Проведем прямые в направлении всех прежних улиц.
Они образуют сетку координат. Все линии сетки, как
и улицы на плане, параллельны друг другу и отстоят
друг от друга на одно и то же расстояние, называемое
единицей масштаба. (На плане Манхеттена стрит рас-
полагались чаще, чем авеню,— это допускается и при
построении декартовой прямоугольной системы коорди-
нат: на различных осях можно задавать различные мас-
штабные единицы.)
Теперь любую точку плоскости можно определить
как перекресток двух «улиц» — двух прямых, параллель
ных осям координат. Номер каждой «улицы» определя-
ется ее положением, а точнее, длиной того отрезка, ко-
торый она отсекает на соответствующей оси координат.
Отрезок, отсекаемый на оси X, называется абсциссой
той точки, положение которой определяется перекрест-
ком «улиц», на оси Y— ординатой.
Теперь займемся «исправлением» плана Москвы. Мы
знаем, что для этого нужно спрямить радиальные улицы
и превратить в четкие окружности кольцевые.
И тогда, как и в предыдущем случае, положение лю-
бой точки на плоскости будет определяться как пере-
кресток двух «улиц» — радиальной и кольцевой.
20
Номер кольцевой улицы будет равен радиусу соот-
ветствующей окружности, измеренному в принятых еди-
ницах масштаба, иными словами, расстоянию точки до
центра, до начала координат.
С номерами радиальных улиц дело сложнее. Прежде
всего — откуда их отсчитывать? Какое-то направление
нужно принять за основу, уже привычным нам приемом
присвоить ему нулевой номер, и каждую радиальную
улицу определять углом, который она составляет с ну-
левой. Заметим, что улице «номер нуль» присвоено осо-
бое наименование — полярная ось.
Итак, две координаты: длина отрезка, проведенного
в точку из начала (его называют радиус-вектором, а его
длину обозначают греческой буквой р), и угол, образо-
ванный этим отрезком с полярной осью (этот угол назы-
вают полярным, а его величину обозначают греческой
буквой <р). Это — полярная система координат.
Забивая гвоздь в стену, чтобы повесить на него кар-
тину, вы отмечаете нужное место крестиком — пересече-
нием вертикального и горизонтального штрихов.
На архивной фотографии, приведенной в мемуарах,
лицо, о котором идет речь, отмечено крестиком.
Крестиком же принято отмечать положение отверстия
на машиностроительном чертеже, положение светильни-
ка на архитектурном плане.
Что это? Случайность или система?
Почему именно крестиком, а не штрихом, не звез-
дочкой из трех или четырех черточек?
21
Содержание предыдущих
разделов позволяет дать ответ
на.эти вопросы. Всюду, когда
речь шла о положении точки на
плоскости, мы задавали его дву-
мя числами, «номерами» двух
пересекающихся координатных
линий. Крестик, которым отме-
чается положение точки на пло-
скости, можно считать состав-
ленным из отрезков двух этих
линий. Двух достаточно. Имен-
но двух. Одного было бы мало.
Третий — лишний. Плоскость,
как говорят, объект двумерный.
Линия — объект одномер-
ный. Здесь только одно измере-
ние— длина, а для указания
места достаточно одного числа.
«Грибное место — на восьмом
километре», — говорит один
грибник другому, и этого доста-
точно, чтобы добраться до нуж-
ного пункта дороги.
Дорога никогда не бывает
прямой, как мерная линейка.
Но это не мешает принять ее за
координатную линию и задать
на ней систему координат точно
такими же приемами, которыми
размечается любая координат-
ная ось декартовой системы.
22
Выбираются начало отсчета и масштаб длины. «Номер»
каждой точки на кривой тогда будет определяться длиной
пути, который нужно пройти до нее от начала отсчета. По
одну сторону от начала расположатся точки с положи-
тельными номерами, по другую — с отрицательными. Роль
сетки здесь будут выполнять точки с целыми «номерами»,
подобные километровым столбам на шоссе.
Как прямая — не единственный пример одномерного
объекта, так и плоскость — не единственный пример
объекта двумерного. Другой пример вы, сами того не
подозревая, построили, перелистывая страницу 21. Бу-
мажный лист изогнулся, и система координат на плос-
кости превратилась в систему координат на изогнутой
поверхности. Нетрудно привести и третий пример —
взгляните на глобус, модель нашей Земли. На его сфе-
рической поверхности — сетка координат двоякого рода,
меридианы и параллели. И координат у каждой точки
две, как на плоскости,— широта и долгота. Четвертый,
несколько диковинный пример может дать Шуховская
башня. Если располагать ее арматурные прутья погу-
ще, чтобы они слились в сплошную поверхность (ее на-
зывают однополостным гиперболоидом), то положение
каждой точки на этой поверхности можно было бы
задать двумя линиями, проведенными подобно пересе-
кающимся прутьям.
Ну а наше реальное пространство? Оно трехмерно,
и здесь положение точки указывается тремя числами.
Примеры двумерных координатных систем мы по-
дыскивали, изучая планировку различных городов —
Москвы, Ленинграда, Нью-Йорка, угадывая систему в
рисунке их улиц.
За примерами трехмерных координатных систем,
пожалуй, нужно отправиться в пространство, подняться
над землей.
Но почему подняться? В третье измерение можно
выйти и в противоположном направлении. Человек сде-
лал это задолго до эры авиации и космонавтики — копая
шахты, добираясь до угольного пласта и рудных жил.
Взгляните на чертеж, изображающий горную выра-
ботку. Чтобы добраться до своего рабочего места, шах-
тер должен спуститься до нужного квершлага, затем
23
проехать до нужного штрека, а затем—до нужного
участка. Номер квершлага, номер штрека, номер участ-
ка— вот три числа, которые записаны в наряде у шах-
тера, когда он отправляется под землю, три числа, опре-
деляющие пункт его назначения.
Подобно горной выработке устроена любая трех-
мерная декартова система координат. Две из ее осей
отмечаются буквами X и Y (как в двумерной системе),
третья — буквой Z.
Три числа, определяющие положение точки в декарто-
вой системе координат, называются абсциссой, ордина-
той и аппликатой. Первое указывает, насколько точка
сдвинута относительно начала вдоль оси X, второе —
вдоль оси У, третья — вдоль оси’/.
Карл-Филипп-Теодор, кур-
фюрст пфальцский, был не
чужд математики. Однажды,
вспоминая прожитое, он ска-
зал: «Мне было X лет в году
X2».
Жозеф-Луи Лагранж,
французский математик, од-
нажды беседовал с Симоном
24
Пуассоном, только начинавшим свой путь в науке?, и, меж-
ду прочим, сказал: «Я стар; во время бессонных ночей я
развлекаюсь числовыми сравнениями. Гюйгенс был три-
надцатью годами старше Ньютона, я тринадцатью годами
старше Лапласа. А Лаплас тридцатью годами старше
вас».
В какой из этих исторических зарисовок больше ма-
тематического колорита?
По-видимому, ответ не вызывает сомнений: в первой.
Хотя курфюрст и не задал вопроса, его высказывание
воспринимается как формулировка задачи. Учтя, что ро-
дился он в 1722 году, можно составить квадратное урав-
нение для X и определить из него неизвестное: речь идет
о 1764 годе, когда курфюрсту было 42* (422= 1764).
Ну, а второе высказывание? Хоть это и слова мате-
матика, никакого математического содержания в них не
видится.
Действительно, что из того, что Гюйгенс тринадцатью
годами старше Ньютона? Возраст человека — величина
переменная. Если второе высказывание рассматривать на
манер первого, как уравнение, то у этого уравнения бу-
дет не одно решение, а много: 33 и 20, 34 и 21, 40 и 27,
55 и 42...
Такие уравнения в математике принято называть
неопределенными. Именно в силу своей неопределеннос-
ти они исстари считались скорее диковинками, нежели
чем-то имеющим практический смысл.
Так продолжалось до 1637 года, когда был опублико-
ван знаменитый трактат французского математика и
философа Рене Декарта «Рассуждение о методе».
Декарт иначе взглянул на неопределенные уравнения
и увидел в них огромный интерес. Суть его подхода, дав-
шего начало целой науке — аналитической геометрии,
мы поясним все на том же примере с Гюйгенсом и Нью-
тоном.
Начертим на листе бумаги систему декартовых коор-
динат. (Заметим, что именем Декарта она названа не
спроста: ученый описал ее принцип все в том же «Рас-
суждении о методе», упомянутом выше.) По вертикаль-
ной оси будем откладывать возраст Гюйгенса в какой-
либо год, по горизонтальной — возраст Ньютона в тот
же год. Отложив на вертикальной оси число 33, на го-
ризонтальной отложим 20 и соответствующую точку от-
метим на координатной плоскости. Еще одну точку на-
25
Возраст
Гюйгенса
несем, отложив 34 и 21 соответственно на вертикальной
и горизонтальной осях, еще одну — взяв за ординату и
абсциссу 40 и 27 соответственно...
Смотрите: точки выстраиваются по прямой!
Но ведь на плоскость можно наносить точки не толь-
ко с целочисленными координатами. Ведь одна и та же
тринадцатилетняя разница в возрасте сохранялась меж-
ду Гюйгенсом и Ньютоном ежедневно, ежегодно, еже-
минутно. Что будет, если на координатную плоскость
нанести все точки, ординаты которых превышают абсцис-
сы на одно и то же число 13? В итоге получится прямая.
Прямая.Та самая — длина без ширины. Та самая —
одно из так трудно определимых основных понятий
геометрии.
Здесь, на координатной плоскости она возникла как
выражение простого соотношения между переменными
величинами.
В любом неопределенном уравнении Декарт видел
линию на координатной плоскости. И не только прямую.
Сумма квадратов абсциссы и ординаты, приравненная
положительной постоянной, давала окружность. Произ-
ведение абсциссы на ординату, соединенное знаком ра-
венства с постоянной,— гиперболу. Равенство ординаты
и квадрата абсциссы — параболу с вершиной в начале
координат. Заменяя в этом равенстве квадрат абсциссы
тем или иным квадратным трехчленом, можно передви-
гать параболу по координатной плоскости. Кстати,
прямая, которую мы построили, сравнивая годы Гюйген-
са и Ньютона, тоже легко поддается сдвигам: если при-
равнять разность ординаты и абсциссы другому, боль-
шему или меньшему числу, прямая приподнимется или
опустится, не изменив своего наклона: наклонять же ее
можно, умножая абсциссу на какие-либо коэффициен-
ты.
Декарт увидел, что его метод дает замечательные
результаты, будучи применен и в обратном направлении.
Любая из тех кривых, которыми занимались тогдашние
математики, выражалась уравнением. Например, геомет-
рическое место точек, равноудаленных от данной,— урав-
нением окружности, суммой квадратов абсциссы и ор-
динаты, приравненной постоянной величине (когда
центр окружности выбирался за начало координат).
Уравнением гиперболы описывалось геометрическое
место точек, разность квадратов расстояний которых от
27
двух данных точек равнялась данной постоянной величи-
не.
Задачи на построение заменялись теперь вычисления-
ми, геометрические теоремы доказывались средствами
алгебры. А поскольку алгебра в ту пору достигла нема-
лого совершенства, то становится вполне объяснимой
уверенность, с которой изобретатель метода координат
заявлял: «Я решил все задачи».
Декартов метод координат пробил брешь в глухой
стене, которая до того времени разделяла алгебру и
геометрию. Каждая из наук выиграла от завязавшихся
тогда связей.
Геометрия получила возможность заменять свои ис-
следования выкладками. Зачастую преобразования фор-
мул вели к цели более простым и коротким путем, неже-
ли построения.
Алгебру, в свою очередь, обогатила геометрическая
наглядность. Появились графики, и нередко то, что бы-
вало непонятным в аналитической формулировке, ста-
новилось очевидным в геометрическом представлении.
Из пункта А в пункт В ходят поезда. Навстречу им
из пункта В в пункт А поезда ходят тоже и тоже с оста-
новками на всех промежуточных станциях. Нужно соста-
вить расписание их движения. Трудность заключается
28
в том, что дорога, соединяющая пункты А и В,— одно-
колейная, и разойтись поезда могут только на станциях.
На первый взгляд, эта задача — крепкий математи-
ческий орешек. Особенно, если расстояние между А и В
велико, промежуточных станций много и одновременно
на линии находятся много поездов.
И действительно, задачу такого рода рискованно было
бы помещать в задачнике по алгебре.
Но средствами геометрии она решается без особого
труда.
Если взять декартову прямоугольную систему коор-
динат и на одной оси, скажем, вертикальной, указывать
положение поезда между пунктами Л и В, а на другой,
горизонтальной — время, то на координатной плоскости
возникнет непрырывная линия. Эта линия оказывается
ломаной: ее наклонные звенья соответствуют движению,
горизонтальные — остановкам на станциях.
Ломаная линия другого наклона изобразит движение
встречного поезда. Очевидно, провести ее нужно так,
чтобы с уже построенной ломаной они пересекались по
одному из своих горизонтальных участков. А потом —
одна ломаная за другой.
И вот построение закончено. Остается превратить
сетку линий на координатной плоскости в сетку расписа-
ния — в столбики цифр, указывающих отправление и
прибытие.
Вот что значит геометрическая наглядность!
29
э
На стене тикают ходики. Как работает это неслож-
ное механическое устройство?
При всей его несложности не так-то просто ответить
на поставленный вопрос. Но геометрия поможет нам и
тут.
Давайте присмотримся к движениям маятника.
Отклоненный в крайнее положение, он устремляется
к точке равновесия, но, разогнавшись, пролетает даль-
ше и замирает на миг в другом крайнем положении.
Сходным образом маятник возвращается в начальную
точку своего пути, затем все повторяется снова и снова.
Нетрудно изобразить, как с течением времени меняют-
ся отклонение маятника от положения равновесия и его
скорость. Получатся две синусоидальные кривые, одна
сдвинута вдоль оси времени на полпериода по сравнению
с другой (рис. на стр. 29 слева).
«Все верно, но чуточку громоздко»,— сказал бы ме-
ханик, взглянув на эти два графика. Механик умеет
совмещать их в один.
Как это делается? Посмотрите.
Снова нарисуем на листе бумаги две координатные
оси. Только теперь разметим их по-другому. По верти-
кальной будем откладывать отклонение маятника от
положения равновесия, по горизонтальной — его ско-
рость в тот же момент.
Такую систему координат механики называют фазо-
вой плоскостью.
Если удачно выбрать масштабы осей, то движение
маятника изобразится на ней окружностью. Можете
убедиться в этом, прослеживая ход кривой и сверяя ее
с предыдущими синусоидальными графиками.
Макушка окружности соответствует исходному от-
клонению маятника. Сдвинувшись по кривой в левый
конец ее горизонтального диаметра, мы воспроизводим
начало движения, когда маятник приходит в точку рав-
новесия, достигая при этом максимума скорости. Сдвиг
в наинизшую точку окружности — это приход маятника
в другое крайнее положение... и так далее.
Справедливости ради надо сказать, что наш график
несколько идеализирован. Окружность — кривая замкну-
тая. Отправившись в путь по такой кривой из любой
точки, мы вновь вернемся туда же, и путь повторится
30
еще и еще в том же неизменном порядке. А это значит,
что неизменный циклический порядок присущ и движе-
нию, портретом которого служит замкнутая кривая на
фазовой плоскости: размах колебаний ничуть не умень-
шается со временем, не замедляется скорость движения.
В действительности дело обстоит совсем иначе. Ко-
лебания маятника, предоставленного самому себе, за-
тухают со временем из-за трения, и он замирает в поло-
жении равновесия.
Исправим наш график с учетом реальности. Окруж-
ность превратится в спираль, навитую на начало
координат, на ту точку, которая соответствует равнове-
сию маятника — нулевому отклонению и нулевой ско-
рости.
Часы с таким маятником не ходили бы. Их приходи-
лось бы подталкивать, чтобы они не остановились после
нескольких качаний.
Но если уж подталкивать, то в какой момент? В ка-
кой точке спирали удобнее перебрасывать маятник с вну-
треннего витка на внешний?
Разумное предложение на этот счет мы выразим
опять-таки языком графика. Зубчик на кривой — это
легкий удар, которым анкерный механизм ходиков, пи-
таемый энергией гири, придает маятнику мгновенный
скачок скорости в тот момент, когда маятник минует точ-
ку равновесия.
И все возвращается на круги своя. График становит-
ся замкнутой линией, колебания — незатухающими, и
стрелки ходиков исправно описывают круг за кругом.
31
Метод фазовой плоскости, который мы продемон-
стрировали на примере ходиков, весьма популярен в
механике, позволяя представить в наглядных геометри-
ческих образах течение процессов, свойства уравнений.
Если вам хочется нучиться рисованию на фазовой
плоскости, попробуйте изобразить на ней движение мя-
чика, который падает на пол с некоторой высоты и начи-
нает подпрыгивать.
Готово? Сверьте свою картину с нашей. В полном
соответствии с реальностью линия и тут имеет вид стяги-
вающейся спирали: прыжки мячика становятся все более
невысокими, и, наконец, мячик замирает на полу.
Рядом — график, дополненный деталью, которую
вносит в это затухающее движение баскетболист во вре-
мя дриблинга, когда он ведет мяч. Подгоняя рукой мяч,
когда тот устремляется вниз, баскетболист заставляет
его наращивать скорость быстрее, чем в свободном па-
дении. Получается так же, как с маятником ходиков,
подгоняемым толчками анкерного механизма: закорочен-
ные витки спирали, замкнутая кривая, незатухающие
колебания.
Вновь все наглядно, просто, понятно.
Недаром Платон говорил: «Геометрия приближает
разум к истине».
ЛИНЕЙНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
Наш век — век математизации. Она охватывает все
новые области знания, поднимая их на все более высокие
ступени развития.
Однако многие сферы повседневной практической
деятельности почему-то все еще остаются обойденными
математикой. Например, кулинария.
Попробуем хотя бы отчасти заполнить этот досадный
пробел.
Множество чашек кофе готовится по утрам к завтра-
ку. Эти чашки разного размера, и содержимое их весьма
различно. Есть любители черного кофе. Другие предпо-
читают основательно разбавить кофе молоком.
Объектом математизации мы и выберем это множест-
во чашек кофе.
Как принято писать в математических статьях, вве-
дем над элементами нашего множества—сиречь над
чашечками кофе — операции сложения и умножения на
число.
Если к приготовленной порции кофе вы прильете,
скажем, еще две точно такие же, отчего содержимое
сосуда увеличится втрое, то будем говорить, что мы ум-
ножили порцию кофе на три. Если к чашечке прилито
полчашечки — на полтора. Если от порции осталось пол-
порции— на половину. И так далее.
А теперь возьмем две разные чашечки кофе, приго-
товленные по разным рецептам, и сольем их вместе — да
простят нам кофеманы этот кощунственный акт! Будем
говорить, что мы произвели сложение двух элементов
нашего множества.
И что характерно: в результате сложения двух пор-
ций кофе мы получим снова кофе, а не кисель и не ком-
пот. То есть элемент того же множества. Заметим также,
что в предыдущих примерах результатом умножения пор-
ций кофе на число были опять-таки некоторые порции
кофе.
2. Зак. 1067
33
Итог наших рассуждений представим диаграммой. По-
строена она в уже знакомой нам декартовой системе
координат. Каждая точка диаграммы изображает неко-
торую порцию кофе: абсцисса показывает, сколько в
порции молока, ордината — сколько чистого черного
кофе.
Точки вертикальной оси на нашей диаграмме — это
порции черного кофе без всякой примеси молока. Точки
горизонтальной — порции молока без примеси кофе.
Точки лучей, исходящих из начала координат,— это пор-
ции кофе одного и того же состава, хотя и различного
объема. Получаются они одна из другой пропорциональ-
ным увеличением молочной и кофейной компоненты.
В таком увеличении нетрудно углядеть одну из двух
операций, которые мы ввели на множестве порций
кофе,— операцию умножения на число.
А как отразить на диаграмме операцию сложения
порций кофе? Соответствующий метод, называемый пра-
вилом параллелограмма, несложен и понятен из чер-
тежа. Из начала координат проводятся стрелки до тех
точек диаграммы, которые соответствуют той и другой
из складываемых порций. Этот уголок достраивается до
параллелограмма. Возникшая при этой недостававшая
вершина параллелограмма представит собой результат
слияния двух складываемых порций в одну.
У
Молоко 1-ой порции , Молокд 2-ой порции
Черный
кофе.
2-ай
порции
- -Черный кофе
1-ой порции
ОС
34
Читатель, знакомый с наукой механикой, наверняка
подметил в описании наших действий сходство с приемом,
который применяется для сложения сил и скоростей.
В чем же причина столь неожиданного сходства меж-
ду кулинарией и механикой? Этих причин две, и они до-
вольно просты.
Во-первых, подобно тому, как мы могли увеличивать
и уменьшать объем порции кофе, не меняя ее состава,
мы можем увеличивать силы и скорости, не меняя их
направления.
Во-вторых, подобно тому, как мы могли сливать две
порции кофе в одну, мы можем складывать силы и ско-
рости. Иными словами, когда на тело действуют две
независимые силы, мы можем заменить их одной, рав-
нодействующей. Когда тело участвует в двух независи-
мых движениях, мы можем рассчитывать его суммарную
скорость.
Применение подобных приемов, как мы увидим вскоре,
не ограничивается механикой и кулинарией. Их можно
применять к элементам любого множества, для которых
определены операции сложения и умножения на число.
Обе операции можно определить каким угодно обра-
зом — вычерчивая ли диаграммы на бумаге, сливая ли
растворы... Важно лишь, чтобы в результате той и другой
операции получались элементы того же множества.
Важно еще и то, чтобы выполнение этих операций
подчинялось определенным аксиомам, о которых речь
пойдет ниже.
Такое множество называется линейным пространст-
вом.
Элементы этого множества могут иметь какую угод-
но природу. Термин «линейное пространство» своим гео-
метрическим звучанием обязан не их форме или распо-
ложению, но лишь характерным особенностям их отно-
шений и действий, над ними совершаемых, а также
возможности иллюстрировать эти отношения и действия
с помощью наглядных образов. Уже наша кофейная диа-
грамма была убедительным тому примером.
Состав порций кофе мы указывали точками в декар-
товой системе координат. Поясняя их сложение, прово-
дили стрелки из начала координат в соответствующие
точки. Такими же стрелками, такими же направленными
отрезками в физике изображаются силы, скорости и дру-
гие величины, именуемые векторами. По аналогии эле-
35
менты любого линейного пространства тоже называют
векторами (реже точками), а вместо термина «линей-
ное пространство» употребляют также термин «вектор-
ное пространство». Буквы латинского алфавита, которы-
ми обозначаются элементы линейного пространства,
часто отмечают стрелочками или черточками над ними.
Вглядитесь еще раз в чертеж, которым мы пояснили
правило параллелограмма. А теперь поглядите на сле-
дующий рисунок. Вариация на ту же тему, однако здесь
несколько больше деталей. Теперь яснее видно, что в
суммарной порции столько же черного кофе и молока,
сколько их было в складываемых порциях.
А еще из нового чертежа видно, что правило паралле-
лограмма можно переиначить. Проведя первый вектор-
слагаемое из начала координат, второй можно провести
из конца первого; замкнув начало первого вектора и ко-
нец второго, мы и получим искомую сумму.
Этот метод предпочтителен, когда приходится скла-
дывать много векторов. Их удобно выстраивать цепоч-
кой, стыкуя конец каждого из суммируемых векторов
с началом следующего, а затем замкнуть начало первого
и конец последнего вектора.
Рисунок, подсказавший нам удобную замену для
правила параллелограмма, демонстрирует еще и на-
глядный геометрический способ вычитания векторов:
чтобы получить разность двух векторов, нужно провести
направленный отрезок из конца вектора вычитаемого
в конец вектора уменьшаемого.
Систематизируя опыт механики и других областей
физики, применяющих понятие вектора, математика
выработала так называемые аксиомы линейного прост-
ранства.
Вот одна из них: векторы можно складывать в лю-
бом порядке—результат будет один и тот же. Напри-
мер, сливая две порции кофе, можно прилить вторую
к первой, а можно и первую ко второй. Это — так назы-
ваемый переместительный закон сложения.
Вот другая аксиома: при сложении векторы можно
36
и=Г/+г?
(o+U)+D= о>+(П+Ш
объединять в любые группы. Например, сливая три
порции кофе, можно сначала слить первую со второй
и затем влить туда третью, а можно сначала слить вто-
рую с третьей и затем влить туда первую. Результат
опять-таки будет одинаковый. Это — так называемый
сочетательный закон сложения.
Не нужно думать, что тот и другой закон сами собой
разумеются для элементов всякого множества, в котором
определена операция сложения.
Переместимся из кухни в химическую лабораторию
и заменим кофе и молоко на воду и концентрированную
серную кислоту. Казалось бы, чтобы получить разбав-
ленный раствор кислоты, можно прилить ее к воде, а
Н20 + 4^ = растбор серной иисло/пы
Н2ЗО^ + Нг0 = JhacHo!!'
можно поступить и наоборот — прилить к ней воду.
Однако техника безопасности предписывает именно
первый способ и категорически запрещает второй. Дело
в том, что при смешивании концентрированной серной
кислоты и воды выделяется много тепла, кислота вски-
пает, разбрызгивается и грозит обжечь того, кто наивно
полагает, что переместительный закон выполняется при
всяком сложении.
Итак, в химической лаборатории при слиянии реак-
тивов не всегда выполняется первая из названных нами
аксиом сложения.
Не всегда выполняется здесь и вторая аксиома. Хими-
ки знают, как готовить водный раствор кристаллического
йода: йод сначала нужно растворить в спирте, а затем
полученный раствор разбавить водой.
37
Изменив порядок сложения, мы не придем к тому же
результату: с водой йод образует взвесь, которая уже
не превратится в раствор от добавки спирта.
Мы видим, что аксиомам линейного пространства
подчиняется не все, что складывается и умножается на
числа — например, химические реактивы.
Аксиом линейного пространства всего восемь.
Две из них мы уже назвали.
Третья требует, чтобы среди векторов был нулевой,
то есть такой, от прибавления которого к любому друго-
му вектору тот оставался бы неизменным. В нашем при-
(Н20 +	+ С2Н5ОН « Ззбесь
^2° + (^2 +	= Р^рлМор
мере линейного пространства, во множестве чашек кофе
нулевой вектор указать нетрудно — это пустая чашка.
Нетрудно указать его и на кофейной диаграмме — это
начало координат. (Кстати, из третьей, четвертой и
пятой аксиом линейного пространства можно вывести —
попробуйте! — что умножение любого вектора на нуль
дает нулевой вектор. Этот вывод пригодится нам в даль-
нейшем.)
Четвертая аксиома: от уложения вектора на едини-
цу он не изменяется. Пятая: умножить вектор на сумму
чисел — это все равно, что умножить вектор порознь на
каждое из этих чисел, а результаты сложить. Шестая:
умножить число на сумму векторов — это все равно, что
умножить его на каждый вектор по отдельности, а за-
тем сложить результаты. Седьмая: последовательное
умножение вектора на два числа можно заменить одно-
кратным умножением на произведение этих чисел. Вось-
мая...
Впрочем, прервем на минутку этот монотонный пере-
чень.
Рассказывают, что английскому физику Полю Дираку
однажды предложили шуточную задачу на смекалку.
38
Вот она, эта задача. Три рыбака ловили рыбу. Ловля
закончилась затемно, и рыбаки решили разделить до-
бычу утром при свете дня. Один рыбак проснулся рань-
ше других и решил, не будя остальных, взять причитаю-
щуюся ему треть и уйти. Число рыб на три не делилось,
и чтобы это сделать, пришлось выбросить одну. Рыбак
ушел, взяв свою долю. А потом проснулся другой и,
ничего не подозревая, с теми же намерениями, что и
первый, принялся вновь делить добычу на три части. Для
этого ему, как и первому, снова пришлось выбросить одну
рыбу. Забрав свою треть, ушел и он. Последний поступил
так же, как и предыдущий. Спрашивается, сколько рыб
поймали рыбаки? Из всех возможных ответов указать
наименьший.
Ответ задачи — двадцать пять рыб. Можете прове-
рить.
Однако ответ Дирака был другим и, как ни странно,
правильным. Дирак ответил: рыбаки поймали минус две
рыбы. Нет, нет, не торопитесь с возражениями. С точки
зрения математики Дирак прав, во-первых, в том, что
указал меньшее число (минус два действительно меньше
чем двадцать пять), а во-вторых, его ответ действительно
удовлетворяет условию задачи. Первый рыбак из общего
числа рыб, указанного Дираком, выбросил, то есть вычел
одну и их стало мцнус три. Рыбак забрал свою минус
одну рыбу и их осталось минус две. Второй и третий пов-
торили эту операцию.
Конечно, ответ Дирака, как говорится, не имеет физи-
ческого смысла. Но нам, с нашими разговорами о линей-
ных пространствах, ценнее тот факт, что Дирак в своих
рассуждениях не делает принципиального различия меж-
ду положительными и отрицательными числами.
Не делают различия между ними все те, кто имеет
дело с линейными пространствами. Говоря об умножении
вектора на число, под числом подразумевают любое из
положительных и отрицательных.
Умножить вектор на отрицательное число... Напри-
мер, умножить чашечку кофе на минус единицу... Что
это такое? Сразу не сообразишь.
Но мы не зря сформулировали аксиомы линейного
пространства. Возьмем ту, которая идет у нас пятой по
счету: «умножить вектор на сумму чисел — это все равно,
что умножить вектор порознь на каждое из этих чисел,
а результаты сложить».
39
Умножим чашеку кофе
на сумму единицы и минус
единицы. Умножение мож-
но провести порознь и
получить сумму чашечки,
умноженной на единицу
(при этом она остается со-
бой) и чашечки, умножен-
ной на минус единицу (что
это такое, мы сейчас и пы-
таемся понять). А теперь,
следуя названной аксио-
ме, просуммируем числа
до умножения. Единица, сложенная^ минус единицей, дает
нуль. Нуль, умноженный на любую чашечку кофе, дает
пустую чашечку, нулевой элемент нашего множества.
Итак мы приходим к выводу, что если к любой чашеч-
ке кофе прибавить точно такую же, умноженную на ми-
нус единицу, то в результате получится нулевая, пустая
чашечка.
Для кулинара это, быть может, удивительный факт.
Для механика — само собой разумеющийся, наблюдае-
мый, скажем, при сложении сил. Умножение любой силы
на минус единицу в механике трактуется как смена на-
правления силы на противоположное. Две взаимно про-
тивоположные силы при сложении дают нулевую: прило-
женные к телу, они действуют на него так, будто никакая
сила к нему и не приложена. Для всякой силы можно по-
добрать ей противоположную.
Придавая подобным фактам строгое математическое
оформление, скажем так: для любого элемента линейно-
го пространства должен существовать противоположный
элемент, такой, что оба элемента в сумме дают нулевой.
В этом и состоит восьмая аксиома линейного прост-
ранства.
Подчиняясь ей, давайте и мы наряду с обыкновенны-
ми «положительными» чашечками кофе рассматривать
и «отрицательные». Сложение чашечки кофе с противо-
положной будет давать в результате нулевую, пустую
чашечку. Умножение чашечки кофе на минус единицу
будет давать противоположную чашечку, минус одну ча-
шечку кофе.
Кофе по-дираковски — так мы будем его называть.
40
После утомительного разбирательства с умножением
чашечек кофе на отрицательные числа позвольте, чита-
тель, развлечь вас небольшим фокусом.
Задумайте три различных рецепта кофе. Приготовьте
по ним три порции кофе любого объема. Готово? А те-
перь— внимание! Мы отливаем от порции, приготовлен-
ной вами по первому рецепту, некоторую часть в отдель-
ную чашечку, в следующую чашечку отливаем немного
от второй порции, в следующую — чуть-чуть от третьей.
Затем сливаем в первую чашечку содержимое второй и
начинаем медленно подливать туда же кофе из третьей.
Смотрите внимательнее! Свет на арену, барабаны —
дробь! Струя кофе льется в чашку, но чашка пустеет!
Вот упала последняя капля, и в чашке обнажилось дно!
Чашка пуста!
Вы изумлены? А между тем фокус несложен. Мы
откроем вам секрет, и тогда вы сможете с неизменным
успехом демонстрировать его знакомым и родственникам.
Правда, для большой наглядности нам придется обра-
титься к геометрической интерпретации, к той кофей-
ной диаграмме, которую мы
У
строили уже не раз.
Три порции кофе, при-
готовленные вами по заду-
манным рецептам, отло-
жим на диаграмме в виде
векторов. Эти порции, как
видно, совершенно различ-
ны по объему и составу, о
чем свидетельствуют раз-
41
ная длина и разный наклон векторов. Нужные нам для фо-
куса доли каждой порции на следующем рисунке показа-
ны жирными стрелками.
Пусть вас не удивляет, что одна из предложенных
вами порций кофе превратилась в кофе по-дираковски.
Она составлена в той же пропорции. Соответствующая ей
точка лежит на том же луче, проходящем через начало
координат, точнее, на его продолжении за начало коор-
динат.
Теперь начнем складывать эти стрелки-векторы. Бу-
дем делать это последовательно, как сливали чашечки
кофе,— приставляя к концу первой стрелки начало вто-
рой, а к ее концу— начало третьей.
Смотрите: конец третьей стрелки совместился с на-
чалом первой! Мы действительно получаем в сумме нуле-
вой вектор, пустую чашку.
Вы разочарованы? Слишком просто? Что ж любой
фокус теряет свою загадочность после объяснения.
Однако наш фокус, утратив после объяснения долю
таинственности, приобрел математическую содержа-
тельность.
Мы сложили три вектора, предварительно изменив
их длину, то есть умножив каждый на некоторый коэффи-
циент. Сумма такого вида называется линейной комби-
нацией векторов.
(Один из коэффициентов, употребленных нами, был
числом отрицательным, но это не должно нас смущать —
ведь мы уже отменили знаковую дискриминацию чисел,
на которые умножаем векторы.)
Нам удалось составить такую линейную комбинацию
наших векторов, которая оказалась равной нулю. Век-
торы, из которых можно составить нулевую линейную
комбинацию, именуют линейно зависимыми. В противном
случае, если сделать это удается лишь тривиальным об-
разом, лишь взяв в качестве коэффициентов одни нули,
векторы называются линейно независимыми.
Своим фокусом мы доказали, что любые три вектора
нашего абстрактного кофейного пространства являются
линейно зависимыми.
В то же время в нашем кофейном пространстве всег-
да можно найти два линейно независимых вектора. Возь-
мем порцию кофе по-варшавски, обильно сдобренного
молоком, и порцию кофе по-турецки без всякой примеси
молока. В каких количествах ни подливай второй кофе к
42
первому, положительных или отрицательных, чашка не
будет пустой: молочная составляющая останется неиз-
менной по величине и в нуль не обратится, так что на
диаграмме вектор, изображающий сумму обеих порций,
не упрется в начало координат; сделать это можно, лишь,
взяв оба кофе в нулевых количествах.
Если в линейном пространстве существует N линейно
независимых векторов, а любые (N+1) зависимы, гово-
рят, что пространство N — мерно.
Итак, наше кофейное линейное пространство двумер-
но. Как говорят, его размерность равна двум.
Сейчас мы дадим еще одно истолкование фокусу,
проделанному в предыдущем разделе.
Согласитесь: он доказывает, что из трех различных
порций кофе две всегда можно слить в таких количест-
вах, что сумма будет тождественна третьей порции. Не-
сложная перестройка предыдущих чертежей дает нагляд-
ную геометрическую интерпретацию этого вывода.
Напрашивается вопрос: а можно ли раз навсегда
взять две такие страндартные порции кофе, чтобы, сли-
вая их в нужных количествах, получать любую задуман-
ную? Тогда любой рецепт кофе можно будет записывать
в предельно простом виде — парой чисел, указывающих
эти самые количества.
«Помилуйте! —изумится любой кофеман.— А разве
не так составляются рецепты кофе? Возьмем любой из
них — ну, скажем, такой: для приготовления кофе по-
варшавски берется четверть стакана черного кофе и три
четверти стакана молока. За стандартную основу, как
видно, приняты стакан черного кофе и стакан молока.
Порция коазе по-бар-
шаоски-L ст. черного
кофе ст. молока
МОЛОЩСМ.
43
Первый умножается на три четверти, второй — на одну
четверть и результаты умножения складываются, то
бишь сливаются».
«А разве не так записывается любой кулинарный
рецепт? — подхватит разговор хозяйка.— Вот рецепт
омлета, который в русской кухне называется драченой:
три яйца, три столовые ложки молока, одна столовая
ложка муки. Тут тоже можно обойтись одними числами:
3, 3, 1. Надо только условиться, что первое число — это
количество яиц, второе — столовые ложки молока,
третье — столовые ложки муки. Классический омлет го-
товят без муки, а ради густоты берут поменьше моло-
ка — всего одну ложку. Стало быть, здесь тройка чисел
будет уже другая: 3, 1, 0. Впрочем, некоторые считают,
что омлет такого состава жестковат, и предпочитают
брать молока побольше, ложки две. Тройка чисел для
такого «нежного» омлета будет выглядеть так: 3, 2, 0.
Надо только не забывать, чему какие числа соответст-
вуют. Ведь если нуль отнести за счет яиц, это будет уже
не омлет».
«Забавно, забавно! —оценит эти кулинарные рассуж-
дения физик. —Но если говорить всерьез, то с силами
в механике поступают точно так же, когда представляют
их разложенными по осям координат. И записывают их
тоже строчками чисел, например: (5, 3, 2). Конечно, при
этом должно быть условлено, в каких единицах это вы-
ражено— скажем, в килограммах. А порядок осей —
традиционный: X, Y, Z. Так что, если пишется (5, 3, 2),
то подразумевается, что речь идет о силе, которая скла-
дывается по законам векторного сложения из пятикило-
граммовой, направленной по оси X, трехкилограммовой,
направленной по оси Y, и двухкилограммовой, направ-
ленной по оси Z. Разложенными по осям координат пред-
ставляются в механике и скорости, и ускорения».
Как видим, подобный подход применим в любом ли-
нейном пространстве. Его следовало бы описать постро-
же.
Если в линейном пространстве существует такой
набор линейных независимых векторов, что в виде их
линейной комбинации представим любой вектор про-
странства, то такой набор называется базисом. Коэффи-
циенты линейной комбинации, с помощью которой неко-
торый вектор выражается через базисные, называются
компонентами данного вектора в данном базисе. В таком
44
случае еще говорят о разложении данного вектора по
данному базису.
Коль скоро базис выбран и порядок базисных векто-
ров указан, то любой вектор пространства однозначно
представляется набором своих компонент. Вот почему
часто говорят: вектор есть упорядоченный набор чисел.
Такие наборы принято записывать в строчку или в стол-
бик. Действия над векторами тогда становятся выклад-
ками со строчками или столбиками их компонент. Скла-
дывая два вектора, складывают по отдельности соот-
ветственные компоненты — полученный набор чисел пред-
ставит собой компоненты суммы векторов. Вычитая из
одного вектора другой, вычитают их соответственные
компоненты. Умножая вектор на число, умножают на
это число все его компоненты по отдельности — в ре-
зультате получатся компоненты вектора, умноженного
на число.
Количество базисных векторов равно размерности
пространства. Разложение любого вектора пространства
по данному базису единственно.
Что удобнее — метровая линейка или складной метр?
Судя по тому, что предпочитают столяры и плотники,—
второе. А еще удобнее рулетка — линейка, каждый раз
выдвигаемая на нужную длину.
Сходное понимание удобства заставляет и математи-
ков, рисуя векторные диаграммы, не разграфлять лист
бумаги осями координат, а лишь вычерчивать с краю
набор базисных векторов.
Согласовать новый графический прием со старым не-
сложно. Если применяются оба, базисные векторы долж-
ны упираться своими концами в единичные отметки на
координатных осях. (Когда речь идет о трехмерном
пространстве, базисные векторы размечают буквами
i, j, k или е2, е3\ когда о двумерном — берут первые
два обозначения из трех.)
Возьмем теперь какой-нибудь вектор линейного про-
странства, заданный набором своих компонент. Эти ком-
поненты нужно умножить на соответствующие базисные
векторы и результаты умножения сложить. В этом и вы-
разится представление вектора в виде линейной комбина-
ции базисных векторов.
45
После такого умножения каждый базисный вектор,
прежде упиравшийся концом в единичную отметку своей
оси, дотянется им до отметки, равной соответствующей
компоненте вектора. И если результат последующего сло-
жения изобразить стрелкой, исходящей из начала коор-
динат, ее конец окажется в точке с координатами, равны-
ми компонентам вектора.
Вот мы и согласовали «компонентный» и «координат-
ный» способы задания векторов линейного пространства:
координаты конца направленного отрезка, которым не-
который вектор представляется в декартовой системе
координат, равны компонентам этого вектора.
Художник смешивает краски на палитре. Театраль-
ный осветитель скрещивает цветные лучи прожекторов
на персонаже сценического действия. Ребенок раскру-
чивает ярко раскрашенную юлу, и пестрый рисунок сли-
вается в одно цветное пятно.
И тот, и другой, и третий, с точки зрения математи-
ка, выполняют одну и ту же операцию — операцию сло-
жения цветов.
Цвета можно не только складывать, но и умножать
на числа. Глядя на картину старого мастера и видя, как
она потускнела, можно сказать, что время умножило пер-
воначальные цвета картины на числа, меньшие единицы.
Похоже, что набор всевозможных цветов можно рас-
сматривать как линейное пространство. Просмотр акси-
ом линейного пространства показывает, что они выполня-
ются при сложении цветов и их умножении на число.
У
о 1 z J
Яомпоненть/ деи/пора х
3 дазасе {ё1 ёг}
Зариан/пь/ записи:
х=(х
на приведенном	2
</ер/пе*е х^-3^73
*	~х~
46
В ложе осветителя — с десяток цветных прожекторов.
Под рукой у художника — с полсотни различных красок.
Но каким минимальным их числом можно обойтись, что-
бы составить все возможные цвета? Где те базисные
краски, линейной комбинацией которых можно пред-
ставить любую, а их друг через друга представить уже
невозможно? Какова размерность линейного простран-
ства цветов? Как построить его базис?
Закономерности цветовых сочетаний изучали такие
умы, как Ньютон, Грасман, Гельмгольц, Максвелл, Шре-
дингер. Характерно, что все они — физики и математики.
Грасман, например,— один из основоположников вектор-
ного исчисления. Он же установил первые законы сло-
жения цветов.
Вот один из открытых им законов: существуют тройки
линейно независимых цветов, и в то же время любая
четверка цветов линейно зависима.
Что это значит? Прежде всего то, что можно подо-
брать три таких цвета, что ни один из них нельзя будет
представить смесью двух других. В самом деле, возьмем
красный, фиолетовый и зеленый цвета. Смесь первых
двух дает пурпурные цвета различных оттенков, и ни
один из них, конечно, не тождествен зеленому. Точно так
же смесью красного и зеленого никак не удастся создать
фиолетовый цвет, смесью фиолетового и зеленого — крас-
ный.
Доказывая линейную зависимость любой четверки
цветов, Грасман выбрал тройку базисных оттенков, ли-
нейной комбинацией которых можно представить почти
любой из предложенных цветов. Слово «почти» упот-
реблено здесь с умыслом. В силу физиологических осо-
бенностей человеческого глаза, некоторые цвета требуют
более сложного представления. Их приходится смеши-
вать с одним из базисных, добиваясь того, чтобы сумма
равнялась некоторой линейной комбинации двух других
базисных цветов. Возникнет цветовое уравнение, из ко-
торого цвет выражается опять-таки линейной комбина-
цией базисных, однако среди коэффициентов комбина-
ции на сей раз есть и отрицательные числа.
Все эти исследования и привели Грасмана к выводу:
линейное пространство цветов трехмерно.
Каковы же те три цвета, которые способны послужить
базисом этого пространства? Однозначен ли их выбор?
47
Конечно, нет,
отвечает богатый
опыт работы с
цветом, накоплен-
ный к сегодняшне-
му дню. В поли-
графии для цвет-
ной печати исполь-
зуют желтую, кра-
сную и синюю
краски. Цветное
телевидение из-
брало в качестве
базисных зеленый,
красный и синий
цвета. Как видим,
наборы базисных
цветов различны,
но их число и там
и тут равно трем—
размерности цве-
тового простран-
ства.
Всмотритесь в его схематическое изображение, в «цве-
товой фунтик», как шутливо называл эту пространствен-
ную диаграмму Шредингер. Известно, что цвета спектра
в сумме дают белый. Прямая линия, проходящая
по оси фунтика, как раз соответствует бело-серым
цветам. Чем ближе к этой линии, тем меньше насыщен-
ность цвета. Насыщенность — это тот признак, которым
отличаются друг от друга бордовый и малиновый, или
алый и розовый цвета: они одинаковы по тону, но раз-
личны по насыщенности. Кстати, о малиновом и прочих
пурпурных цветах: их нет в солнечном спектре, и полу-
чают их, смешивая два крайних спектральных цвета —
красный и фиолетовый. Вот почему пурпурные цвета на
нашей диаграмме образуют плоскость, двумерное под-
пространство трехмерного пространства цветов. Начало
координат — это чернота, полное отсутствие цвета. Близ
этой точки находятся коричневые тона, которые, как до-
казано, отличаются от красного, оранжевого и желтого
цветов лишь интенсивностью. Заметим, что точки нашего
«фунтика», соответствующие цветам одинаковой интен-
сивности, образуют плоскости, рассекающие «фунтик»

поперек. (По одной из них цветовой фунтик и срезан на
нашем рисунке.)
...«Взгляните на солнце — оно трезвучие!» — восклица-
ет герой новеллы Гофмана «Кавалер Глюк». Не ручаясь
за верность цветомузыкальной аналогии, содержащейся
в этой фразе, мы еще раз со всей решительностью под-
твердим иносказательно выраженную здесь математи-
ческую суть: абстрактное линейное пространство всех
цветов, заключенных в солнечном спектре,— трехмерно,
его размерность равна трем.
•
«2, 1, 1»,— перечисляет телеоператор компоненты не-
которого цвета. «2, 2, 1,» — говорит про тот же самый
цвет полиграфист. И оба правы. Потому что первый на-
зывает те количества, в которых он станет смешивать
красный, синий и зеленый цвета, добиваясь нужного от-
тенка, а второй будет подбирать тот же оттенок, смеши-
вая красную, синюю и желтую краски. Если же базисные
краски не указаны, называть составляющие того или
иного цвета бессмысленно.
Так дело обстоит в любом линейном пространстве, а
не только в пространстве цветов. Говорить о компонен-
тах вектора и не указать базис, в котором представлен
этот вектор,— все равно, что назвать температуру и не от-
метить, по какой шкале она измерена — шкале Цельсия
или Кельвина, Фаренгейта или Реомюра. Компоненты
одного и того же вектора различны в различных базисах.
А если базис не назван — говорить о компонентах векто-
ра бессмысленно.
Как и многое другое, связанное с линейными прост-
ранствами, это положение лучше один раз увидеть, чем
сто раз услышать.
Разберем по этому поводу небольшой шахматно-гео-
метрический этюд. На шахматной доске—всего две
фигуры: белый ферзь и черный король. От первой фи-
гуры ко второй проведена стрелка. Спрашивается: чему
равны компоненты этого вектора?
Вы затрудняетесь с ответом? Что ж, тогда мы зададим
вопрос в другой, равнозначной формулировке: чему рав-
ны координаты черного короля в системе, за начало ко-
торой принят белый ферзь?
49
У
Матрица перехода
ё; = 1-^р1-ёг
Компоненты первого
„нового* базисного
вектора ё' 6.старом'
базисе {ё^ё^
Первая компонента
вектора ос в „ста-
ром* базисе £ё^ et
Компоненты бектора х Компоненты вектора X
в„старом*базисе(ё1	6„новом*базисеfe* e£J
х = xief + xzez
"2 2
ёг =(-(№ +£ёг
Компоненты второго
„нового* базисного
вектора	в „ста-
ром* базисеfe1 ёЛ
1 1
7 f
Компонента!
первого „ нового
базисного
вектора 3
„ старой"
базисе
'Компоненты
второго
„ нового "
базисного
бен тора 3
„старом "базисе

е.
•Элементы первой
страна матрицы
перехода
Компоненты вектора X
б „новом*базисе £ё' ё^
1*4 t 1*3
вторая компонента Элементы второй
вектора 3„старом* строки матрицы
базисе £et e2J.	перехода
7
«Но где же эта система?—удивленно переспросите
вы.— Указать ее начало мало, надо еще показать на-
правление осей и на каждой из них задать единицу мас-
штаба».
Претензия справедливая, и нам остается лишь ее
удовлетворить. Поскольку ферзь может ходить по гори-
зонталям и вертикалям, в таких направлениях мы и
проведем оси системы координат. А за единицу масштаба
естественным образом примем кратчайший ход ферзя по
этим направлениям. Координаты черного короля в по-
строенной системе +1 и +7: именно за два таких хода
в положительных направлениях осей X и Y до него может
добраться белый ферзь.
Но ведь ферзь может ходить и по диагоналям! Строя
систему координат, мы могли бы провести оси и в этих
направлениях и соответственно выбрать новые единицы
масштаба. В такой системе координаты черного короля
+4 и +3: именно такие ходы должен сделать ферзь
вдоль осей Хг и У' новой системы, чтобы вступить на
королевское поле.
Точка одна и та же, а координаты у нее там и тут
разные. Ибо различны системы координат, в которых
указывается положение точки.
Эта точка — конец вектора, давшего повод к нашей
шахматной беседе. Координаты точки — компоненты век-
тора в базисе, векторы которого изображены единичны-
ми отрезками координатных осей. Итог всего сказан-
ного можно подвести уже знакомым нам утверждением:
компоненты одного и того же вектора различны в раз-
личных базисах.
Иногда бывает нужно заменить один базис другим.
Тогда приходится выяснять, как компоненты того или
иного вектора в старом базисе связаны с компонентами
вектора в новом базисе. Все, очевидно, зависит от того,
как новые базисные векторы сориентированы по отно-
шению к старому базису, точнее, каковы их компоненты
в старом базисе. Эти компоненты выписывают в столбцы,
а из столбцов составляют таблицу, называемую матри-
цей перехода. Так вот, оказывается, что «старые» ком-
поненты любого вектора (первая, вторая и т. д.) пред-
ставляют собой линейные комбинации «новых» компо-
нент и коэффициентами таких комбинаций служат числа
строчек матрицы перехода (первой строчки, второй
и т. д.).
51
Есть в языке слова, которые с течением времени на-
полняются все более богатым содержанием.
Пример тому—слово «машина». В каких только со-
четаниях не встречается оно сегодня! Автомашина и
пишущая машинка, швейная машина и машина време-
ни, паровая машина и машинка парикмахера...
Термины математики, этого универсального языка
естествознания, тоже подвержены подобному обогаще-
нию. По мере ее развития они приобретают все более ши-
рокий смысл.
Пример тому — термин «пространство».
Даже житейский смысл этого слова богат оттенками.
Какие только ассоциации не вызывает это слово! Ин-
терьер большого зала. Простор полей. Глубины космоса.
Все это, впрочем, одно и то же реальное физическое
пространство, лишь взятое в разных масштабах. Именно
в этом пространстве, именно ради описания его свойств,
пространственных форм реальных предметов, простран-
ственных отношений между ними и была создана наука
геометрия.
Но оказалось, что понятия этой науки способны во-
брать в себя более глубокое содержание. Цвета спектра
и состояния вещества, комплексные числа и решения ал-
гебраических систем — некоторые отношения между
ними напоминают пространственные отношения между
предметами реального мира. Когда принимают во вни-
мание лишь эти отношения и отвлекаются от всех прочих
качественных особенностей, тогда становится уместным
термин «пространство», становятся применимыми гео-
метрические методы исследования.
Круг подобных исследований ширится, термин «про-
странство» становится все употребительнее. Какими толь-
ко прилагательными не оснащают его ныне математики!
Гильбертово, многомерное, риманово, фазовое, конфигу-
рационное, финслерово пространство...
Геометрические аналогии делают предмет исследова-
ния нагляднее, на помощь приходит геометрическая ин-
туиция, пространственное воображение.
Заметим, однако: геометрические аналогии, зачастую
весьма полезные, иногда могут вводить в заблуждение —
именно в тех случаях, когда решающими оказываются
52
те качественные особенности, отвлечение от которых
делает возможным геометрический подход.
Поэтому все, что такой подход позволяет достичь
в абстрактных пространствах современной математики,
должно затем подкрепляться строгими доказательст-
вами.
Где-то на предыдущих страницах мы поставили жа-
риться омлет. Теперь он уже готов, и мы приглашаем вас
его отведать.
Что, недосолили? Естественно: пространство, в кото-
ром мы готовили омлет, было трехмерным — яйца, мо-
локо, мука. Для соли не хватило измерений.
Похоже, что высококачественные омлеты можно го-
товить только по четырехмерным рецептам.
До сих пор наши абстрактные пространства не отли-
чались большим числом измерений. Кофейная диаграмма
была двумерной, цветовой фунтик — трехмерным. Мы
подбирали столь простые примеры исключительно ради
наглядности.
Реальная жизнь сложна. И не всегда ее удается втис-
нуть в рамки двух или трех измерений, не теряя соль
исследуемых проблем.
Кулинарные рецепты в абстрактных пространствах —
это, конечно, шутка. Но вот, например, состав сплава,
оптимальное сочетание его компонент — это уже проб-
лема серьезная. Решая ее, металловеды обращаются
к многомерным пространствам.
На фотографии — шлифы трех сплавов. Образованы
они одними и теми же металлами — свинцом и сурьмой.
Но процентное соотношение компонент — различно. Это
и обусловило заметные различия в структуре сплавов.
Различия в структуре определяют существенные
4	В	С
53
с
400
1250
200
А В
1300
<350
О
10
20	3t
Содержание сурьмы,
различия в свой-
ствах, . будь то
твердость, элек-
тропрово д н о с т ь
или что-либо иное.
Зависи м о с т ь
этих свойств от со-
става сплавов по-
могают проследить
так называемые
диаграммы состоя-
ния. Если компо-
нент сплава всего
две, то всю информацию о его составе можно разместить
на одной оси координат — скажем, оси абсцисс. На ней
нужно откладывать процентное содержание одной из ком-
понент. Дополнение до 100 процентов укажет содержание
Другой.
Структуру сплавов различного процентного состава
диаграмма описывает, рассказывая о том, что происхо-
дит при затвердевании жидкого сплава. Именно поэтому
по ее вертикальной оси откладывается температура.
Вот диаграмма состояния для сплава свинца и сурь-
мы. Одна из линий диаграммы горизонтальна, другая
раскинула над ней свои ветви подобно крыльям дико-
винной птицы. Солидус — так называется первая линия.
Ликвидус — вторая. Их общая точка—точка эвтектики.
На нее-то мы и обратим внимание в первую очередь. За-
метим ее координаты: температуру и процент сурьмы в
сплаве.
Если начать охлаждать жидкий сплав такого состава,
то при достижении отмеченной температуры начнут од-
новременно образовываться кристаллы и сурьмы и свин-
ца. В результате образуется та мелкокристаллическая
структура, которая видна на среднем снимке,— ее на-
зывают эвтектикой.
Иное дело, если процент сурьмы окажется большим.
Тогда затвердевание сплава будет изображаться на диа-
грамме нисходящей вертикалью, лежащей справа от
точки эвтектики и пересекающей сверху вниз обе ли-
нии — ликвидус и солидус. Достигнута первая — начали
выпадать кристаллы сурьмы. Опустились до второй —
между кристаллами сурьмы стали одновременно образо-
54
вываться кристаллы обоих металлов.
В итоге возникает структура, пока-
занная на правом снимке.
Нечто подобное (но, как говорит-
ся, с точностью до наоборот) будет
происходить, если большим по срав-
нению с эвтектическим окажется
процент свинца. Тогда вначале ста-
нут выпадать его кристаллы, а затем
одновременно — кристаллы сурьмы и
свинца. Возникнет структура, пред-
ставленная левым снимком.
Даже беглый рассказ обо всем
этом занял немалое место. А ведь мы
обратились к предельно простому,
если угодно, хрестоматийному приме-
ру, который приводится обычно во всех пособиях по метал-
ловедению. Сплавам, применяемым в технике, свойствен-
ны более сложные диаграммы состояния. Однако слож-
ность не скрадывает их основного достоинства: специалис-
ту достаточно лишь взгляда, чтобы по хитроумному рисун-
ку линий на диаграмме узнать о структуре и свой-
ствах сплава того или иного состава. Небольшая картин-
ка делает ненужными многие страницы словесных пояс-
нений.
Говоря о рисунке линий, мы, разумеется, по-прежне-
му имеем в виду двумерные диаграммы состояния, пригод-
ные для описания лишь двухкомпонентных сплавов. Но
ведь сплавы, которые используются в современной тех-
нике, насчитывают и три, и четыре, и больше компонент.
Их свойства тоже желательно представлять наглядными
графическими образами. В случае трехкомпонентных
сплавов еще помогают трехмерные графики, подобные
приведенному на этой странице, с их сложными поверх-
ностями. А если компонент больше? Диаграммы неиз-
бежно оказываются четырехмерными, пятимерными
и т. д.
К подобным многомерным построениям приходит
и химик, и биолог, и представители других наук, когда
им приходится изучать многокомпонентные системы.
Нет, не математический снобизм, не жажда изыскан-
ной игры ума, а запросы самой жизни, наука и практика
сегодняшнего дня заставляют осваивать целину много-
мерных пространств —пространств N измерений.
55
Высь, ширд глубь. Лишь три .координаты.
Мимо них где путь? Засов закрыт.
С Пифагором слушай сфер сонаты,
Атомам дли счет, как Демокрит.
Путь по числам? — Приведет нас в Рим он.
(Все пути ума ведут туда!)
То же в новом — Лобачевский, Риман,
Та же в зубы узкая узда!
Но живут, живут в N измереньях
Вихри воль, циклоны мыслей, те,
Кем смешны мы с нашим детским зреньем,
С нашим шагом по одной черте!..
Брюсов, «Мир N измерений»
Вам никогда не приходилось бывать в ААмерном
пространстве?
Не спешите отвечать «нет». Ведь если N равно трем,
загадочное ААмерное пространство приобретает вполне
привычные очертания. В таком трехмерном простран-
стве мы живем и работаем. Двумерное пространство тоже
хорошо знакомо нам — это чертеж, картина, диаграмма.
Одномерное пространство — это луч солнца, натяну-
тая нить, прямая на листе бумаги. Мы уже говорили
об этом, рассказывая про различные системы координат.
Здесь же добавим, что в математике употребителен так-
же термин «нульмерное пространство»: так говорят про
точку, «не имеющую частей», как ее определил Эвклид.
Ну, а если N больше трех? Что можно сказать о свой-
ствах такого пространства? Какую форму имеют много-
мерные тела? Можно ли их изобразить, измерить?
Оказывается, можно. Каким бы числом измерений ни
обладало пространство, есть в нем что-то такое, что род-
нит его с другими пространствами, в частности — с хоро-
шо известными нам одномерным, двумерным, трехмер-
ным. Если знать эти общие свойства, эти аналогии,
можно многое порассказать о пространстве любого чис-
ла измерений.
Ради краткости и наглядности будем рассматривать
в каждом из них самые простые фигуры и тела.
Начнем с одномерного пространства, с прямой. Сколь-
ко ни думай, фигуры проще, чем отрезок, здесь не при-
думаешь. На двумерной плоскости простейшая фигура,
сложенная из одномерных отрезков,— это треугольник.
56
В трехмерном пространстве простейшее тело, состав-
ленное из треугольников (простейших фигур двумерного
пространства) —это тетраэдр, треугольная пирамида.
Тут уж можно сказать и о первой аналогии. И от-
резок, и треугольник, и тетраэдр можно получить, в сущ-
ности, одним и тем же способом: в пространстве вво-
дится декартова система координат, и начало ее отсека-
ется.
Возьмем за начало координат некоторую точку
на плоскости, проведем из нее луч и, отступив от нее на
некоторое расстояние, отделим ее булавкой — у нас полу-
чится отрезок. Если перед нами плоскость, от одного
из квадрантов, органиченного осями координат, острием
ножа отрежем кусочек, содержащий начало,— получится
треугольник. Если теперь у нас часть трехмерного прост-
ранства, лежащая между осями X, Y, Z,— отпилим но-
жовкой уголок, и тетраэдр готов.
Читатель уже заметил, вероятно, что размерность
наших инструментов, а значит, и наших сечений на еди-
ницу меньше размерности пространства. Кончик булав-
ки— нульмерная точка, острие ножа — одномерная
прямая, полотно ножовки — двумерная плоскость. Так
что, собираясь в путешествие по Af-мерному пространству,
не забудьте захватить с собой (W—1)-мерную «ножов-
ку». И если на глаза вам попадется кусочек Димерного
пространства, заключенный между W осями координат,
не упустите случая обзавестись сувениром, отпилите на-
чало координат. В руках у вас окажется простейшее из
тел Димерного пространства, Af-мерный симплекс, как
говорят математики.
Его сходство с меньшими братьями, треугольником
и тетраэдром, чувствуется сразу: он тоже ограничен, со-
стоит из одного куска, у него тоже есть угловые точки.
Кстати, сколько их? Давайте займемся подсчетами.
Пользуясь методом аналогии, пересчитаем вершины,
ребра и грани ^мерного симплекса.
Как повелось, сначала изучим отрезок. У него две
57
«вершины» и одна «сторона». У треугольника три верши-
ны, три стороны и одна грань — ограниченная сторонами
часть плоскости. У тетраэдра таких граней четыре, а ре-
бер и вершин — соответственно шесть и четыре, к тому
же у него есть и трехмерный элемент—объем.
Ряды чисел, упомянутых нами для каждой фигуры,
выпишем построчно. К каждой строке добавим по еди-
нице слева.
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Как видим, добавка единицы, была умышленной:
наша табличка приобрела вид так называемого треу-
гольника Паскаля. Конструкция этого треугольника весь-
ма проста: выписываем в строчку 12 1, под каждой
парой чисел записываем их сумму и с боков приписыва-
ем по единичке, затем точно так же составляем следую-
щую строку и т. д. Именно по этому правилу в нашей
табличке и возникла четвертая строка. Она, как нетруд-
но догадаться, описывает четырехмерный симплекс. Про-
пуская добавленную единицу, читаем: у него пять вер-
шин, десять ребер, десять двумерных граней (треуголь-
ников), пять трехмерных граней (тетраэдров) и один
четырехмерный элемент (его объем).
Быть может, вас озадачивает, что гранями четырех-
мерного симплекса служат тетраэдры? Это можно по-
нять, развивая аналогию: сторонами двумерного симп-
лекса, треугольника, служат простейшие одномерные
фигуры, отрезки, гранями трехмерного симплекса, тетра-
эдра — треугольники... Так что ничего неправдоподоб-
ного в нашем сообщении о трехмерных гранях четырех-
мерного симплекса нет.
Выписывая одну за другой строки треугольника
Паскаля, можно добраться до любой Af-ной, числа кото-
рой расскажут про форму интересующего нас симплекса.
Метод аналогий позволит вычислить и его объем.
Вспомним, как вычисляются площадь треугольника,
объем тетраэдра. По очень простой формуле: «основание
на высоту, деленное на...» На что же именно? У двумер-
ного треугольника — на два, у трехмерного тетраэдра —
на три... Так и хочется сказать: у четырехмерного сим-
плекса — на четыре. А почему бы и нет? Аналогия под-
58
сказывает недвусмысленно: чтобы вычислить четырех
мерный объем четырехмерного симплекса, надо умно-
жить его высоту на объем тетраэдра, лежащего в осно-
вании, и результат разделить на четыре. Отсюда уже
недалеко и до формулы, по которой отыскивается объем
любого N-мерного симплекса: «основание на высоту, де-
ленное на N».
Конечно, аналогия не принадлежит к числу строгих
методов исследования. Это, скорее, один из творческих
приемов, которые наряду с логикой составляют неотъем-
лемую черту математической деятельности.
Слепо доверяться аналогиям нельзя. Например, они
вряд ли дадут верные указания в вопросе о числе пра-
вильных фигур и тел в пространстве той или иной раз-
мерности. На двумерной плоскости их бесконечно мно-
го — равносторонний треугольник, квадрат, правильный
пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д. В трех-
мерном пространстве — всего-навсего пять: тетраэдр,
куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В четырехмерном —
уже шесть. А во всех пространствах с большим числом
измерений — по три штуки в каждом. Закономерности
в этом не видно никакой.
Заметим, однако, что все приведенные до этого ре-
зультаты верны: их можно подкрепить безупречными до-
казательствами.
— Послушайте, сосед! Вы не могли бы мне помочь?
— Пожалуйста. А в чем дело?
Так начался разговор двух садоводов-любителей.
— Я тут принялся удобрять сад и запутался в рас-
четах — сколько какого удобрения взять для смеси.
А вы, я знаю, математик. Так не помогли бы вы мне?
— Попробую. Но в чем, собственно, задача?
— В справочнике написано, что на сотку нужно вно-
сить калия, азота и фосфора по 600 граммов, не меньше.
А у меня — аммофос и нитрофоска. Как бы их скомбини-
ровать поудобней?
— Такие задачи мне знакомы. Но скажите — сколько
в каждом удобрении калия, азота и фосфора?
— Вот вам табличка — все в процентах:
аммофос
нитрофоска
калий	азот	фосфор
0	12	50
17	12	10
59
— Прекрасно! Это будут наши исходные данные.
Теперь, если вы не возражаете, давайте немного пори-
суем. Вот оси координат. Любая точка с координатами
х и у в этом уголке соответствует смеси из х килограм-
мов нитрофоски и у килограммов аммофоса. Теперь
взгляните на первый столбец таблички: в аммофосе нет
калия.
— Значит все 600 граммов калия придется набирать
за счет нитрофоски.
— Нов ней всего 17 процентов калия. Значит, нитро-
фоски нужно взять по крайней мере... ноль шесть разде-
лить на ноль семнадцать... Это будет примерно три с по-
ловиной килограмма. В них при семнадцатипроцентном
содержании калия его будет примерно 600 граммов.
Я провожу на графике вертикальную прямую через точ-
ку горизонтальной оси х=3,5. Все, что левее этой пря-
мой,— это недостаток калия. Нас же будет интересо-
вать лишь область правее прямой. Я заштрихую ее.
— А как быть с азотом? Его в каждом удобрении
поровну, по 12 процентов. Значит, можно брать либо то,
либо это?
— Верно. Либо пять килограммов аммофоса, либо
столько же нитрофоски. При двенадцатипроцентном
60
содержании азота и там и тут его будет ровно по 600
граммов.
— А, может быть, взять поровну? По два с половиной
кило?
— Пожалуйста. И если какого-то удобрения вы за-
хотите взять долей меньше, для восполнения азота нужно
будет добавить в смесь такую же долю другого удобре-
ния. Согласны?
— Еще бы!
— Тогда поглядите на чертеж. В результате таких
вариаций на нем возникнет прямая. Точки на ней и вы-
ше — это смеси с нужным и избыточным количеством
азота. Я заштрихую эту область. Честно говоря, мне
было бы проще выразить эту прямую уравнением:
0,12х+0,12у=0,6. Понять его совсем нетрудно: 12 про-
центов азота, которые содержатся в х килограммах
нитрофоски, плюс 12 процентов азота, которые содер-
жатся в у килограммах аммофоса, должны составлять
вместе необходимые нам 600 граммов, то есть шесть
десятых килограмма. Обратите внимание: всякий раз,
когда координаты х и у умножаются на постоянные коэф-
фициенты, складываются и приравниваются постоянно-
му числу, получившееся уравнение соответствует прямой
на координатной плоскости.
— Если я вас правильно понял, то из третьего столб-
ца таблицы тоже получится прямая?
— Вы ловите мою мысль на лету.
— И снова нас будет интересовать область над пря-
мой?
— Верно. А теперь совместим все три рисунка. Очер-
тим область, в которой все три штриховки перекрываются.
Ее называют областью допустимых значений. Какую точ-
ку на этой области вы ни возьмете, в смеси такого соста-
ва можно гарантировать не менее чем по 600 граммов
калия, азота и фосфора. Вот вам мой ответ.
— Большое вам спасибо. Но не помогли бы вы мне
выбрать из всех ответов самый дешевый? Я чувстую, что
все они стоят по-разному.
— Что же, вы практичный человек. Выражаясь на-
учно, вы хотите минимизировать целевую функцию, то
бишь цену допустимой смеси. Но тогда скажите, почем
вы покупали свои удобрения?
— Что-то копеек пятьдесят за кило аммофоса и ко-
пеек двадцать пять за кило нитрофоски.
61
— Стало быть, на рубль идет два килограмма аммо-
фоса — смотрите, я отмечаю эту точку на вертикальной
оси! — или четыре килограмма нитрофоски— точка на
горизонтальной оси! — или смесь, соответствующая лю-
бой точке прямой, которая соединяет две отмеченные
точки.
— Но эта прямая не пересекает очерченную область!
— Да, за такие деньги нужной смеси не составишь.
— Не удвоить ли ставку?
Давайте. У новой прямой будет уже не одна общая
точка с областью допустимых значений.
— То есть можно обойтись и меньшими затратами?
—Да, если опустить прямую параллельно самой себе.
Лучше всего так, чтобы она имела одну-единственную
общую точку с областью допустимых значений. Эта точ-
ка — одна из вершин ломаной, которой очерчена область.
В смеси такого состава азота и фосфора столько, сколь-
ко нужно, а калия даже чуть больше. Но дешевле уже
ничего не придумаешь. Ну вот, позвольте вручить вам оп-
тимальное решение: 250 граммов аммофоса и 4 кило-
грамма 750 граммов нитрофоски. И все — за один рубль
тридцать две копейки.
— Лихо! Видать, такие смеси вам составлять не
впервой.
— Нет, что вы — по части удобрений это мой первый
опыт. Просто я долго занимался линейным программиро-
ванием...
...Еще через несколько фраз разговор соседей вновь
вернулся к аммофосу и нитрофоске, яблоням и сливам,
окулировке и приживлению. Нам же хотелось бы продол-
жить фразу, на которой мы оборвали речь математика.
Составлением смесей не исчерпывается круг задач
линейного программирования. В него входят и транс-
портные задачи, когда перевозки необходимо вести с наи-
меньшими затратами, и задачи об оптимальном расхо-
довании ресурсов, планировании производства, составле-
нии диеты...
Переменных, для которых нужно отыскать оптималь-
ные значения, в таких задачах бывает не две, как у нас,
а много больше. Вместо чертежа на плоскости тогда
возникает область в многомерном пространстве. Но если
условия задачи выражаются уравнениями, в которых пе-
ременные лишь умножаются на постоянные коэффициен-
ты и складываются, на границе области допустимых
62
значений есть угловые точки, совсем как в знакомой нам
задаче о смешивании удобрений. Аналогия подсказыва-
ет, что одна из таких точек и соответствует искомому оп-
тимальному решению. Это действительно так. А уж пере-
брать такие точки обычно не составляет труда.
Кому не приходилось приводить подобные члены,
решая задачки по алгебре?
..На бумаге длинной цепочкой, соединенные плюсами
и минусами, стоят иксы в разных степенях, с разными
коэффициентами. Такие цепочки называются полинома-
ми. Приводить подобные члены приходится тогда, когда
полиномы, например, складываются. Одна и та же сте-
пень икса в образовавшейся сумме может встречаться
несколько раз. Коэффициенты всех таких слагаемых
в этих случаях складываются — особо для каждой сте-
пени. Это и называется приведением подобных членов.
Попробуем взглянуть на описанное с высоты своих
знаний о линейных пространствах. Не напоминает ли
приведение подобных членов сложение векторов? Конеч-
но, напоминает: коэффициенты при одинаковых сте-
пенях икса складываются так же по отдельности, как со-
ответствующие компоненты векторов при их сложении.
(2хг-5х +3)+(Цхг+Зх-1)~ (2*Ч)х*+(-5+3)х*(3-1)~
= 6хг-2х+2
2х:^Ух+5) = (3-2)хг+ [3-4)х < (3-3) -
= 6хг+12х + 15
А умножение полинома на число? Оно, как известно,
сводится к умножению на число коэффициента при каж-
дой степени по отдельности — стало быть, делается по
тем же правилам, по которым на число умножается
вектор.
Итак, линейное пространство полиномов? Да.
Размерность? В каждом конкретном случае она, оче-
видно, равна максимально возможному числу слагаемых
в полиномах, о которых идет речь. Например, все линей-
ные функции (включая функцию-константу) образуют
двумерное пространство, а если добавить к ним квадрат-
63
ные трехчлены, получится трехмерное пространство,
а если добавить к ним еще и кубические полиномы — че-
тырехмерное... Приплюсовали к полиному новую, на еди-
ницу более высокую степень — размерность пространст-
ва увеличилась на единицу, добавили еще одну степень —
размерность опять повысилась...
Но ведь так ее можно увеличивать неограниченно!
Какова же размерность пространства всех мыслимых
полиномов?
Так мы приходим к представлению о бесконечномер-
ном пространстве, играющем важную роль в математи-
ческой физике, квантовой механике и других дисципли-
нах.
МЕТРИЧЕСКОЕ
ПРОСТРАНСТВО
— Невдалеке от города Боголюбова, среди залив-
ных лугов, стоит всемирно прославленный храм Покрова
на Нерли — шедевр древнерусского зодчества.
— Картины Пикассо «голубого периода» близки
друг другу своим колоритом.
— Мясо морского гребешка по вкусу отдаленно на-
поминает крабы.
«Близкий», «далекий» — эти понятия носят отчет-
ливый пространственный характер. Между тем только
первая из приведенных фраз имеет прямой геометричес-
кий смысл. Правда, построенные нами раньше кофейная
диаграмма и цветовой фунтик напоминают, что про-
странственные представления уместны и в учении о цве-
тах, и в кулинарной рецептуре. Но знают ли об этом
те, кто произносит фразы, приведенные нами в начале
отрывка, столь естественные по своему звучанию? Вряд
ли.
Это наводит на мысль, что понятие расстояния мож
но вводить в таких множествах, о которых неизвестно,
представляют ли они собой линейные пространства.
Дальний родственник. Близкий друг. Близкое по зву-
чанию. Близок по форме, но далек по содержанию. Такие
выражения встречаются в нашей речи сплошь да рядом.
Как понимать близость в этих случаях? Как изме-
ряют расстояния между друзьями, родственниками, зву-
чаниями, формами? Кто ближе — деверь или племянник?
Какую меру близости здесь можно предложить?
А вот фразы, за которыми стоят вещи посерьезней.
— Химический реактор работает в режиме, близком
к оптимальному.
— Спутник выведен на орбиту, близкую к круговой.
Здесь успех дела решает расчет и потому здесь на-
стоятельно необходимы четкие количественные крите-
рии близости. Но близость в этих случаях не измеришь
штангенциркулем.
3. Зак. 1067
65
Похожа ли эта фигура на
окружность? Можете ли вы се-
бе представить в виде такой ли-
нии орбиту спутника, близкую к
круговой? Конечно, нет! Откло-
нения от окружности достигают
здесь почти половины радиуса.
А с другой стороны, разрежьте
пополам яблоко, и вы увидите
на срезе как раз ту фигуру, ко-
торая здесь изображена. Но
ведь яблоко — это почти шар, а следовательно, каждое
его сечение — почти круг.
Итак, далеко от окружности, -но близко к кругу. Па-
радокс? Отнюдь нет. Просто две разные меры близости.
Если мерить близость этих двух линий их максимальным
расхождением, то они действительно весьма несходны.
Если же сравнивать площади, ими ограниченные, то они
весьма близки друг другу.
Вот уж поистине «далекое — близкое»!
— Да это недалеко — десять минут ходу.
— Совсем близко — полторы остановки на трам-
вае.
— Почти рядом — пятьдесят копеек на такси.
Всюду здесь речь идет о расстоянии в самом прямом
смысле слова. Как видим, мы часто измеряем его не
только километрами. Способов измерения расстояния
много — вплоть до «холодно — теплее — горячо» в дет-
ской игре, где нужно найти спрятанный предмет.
Как же смотрит математика на такое разнообразие?
Наука предельно строгая, неужели она соглашается
с тем, что каждый волен придумывать свою меру рас-
стояния? Да, пожалуйста. Рассматривая некоторое мно-
жество элементов, можно (и даже нужно!) так опреде-
лять расстояние между элементами, чтобы это наиболее
соответствовало существу дела.
Множество, для каждой пары элементов которого
определено число, называемое расстоянием, именуется
метрическим пространством. Элементы метрического
пространства называются его точками. Определение
66
расстояния — метрикой. Как только что говорилось, оно
может быть каким угодно.
Однако полную свободу в выборе меры близости и
дальности математика все же ограничивает с трех сто-
рон. Существуют три аксиомы расстояния, три метри-
ческие аксиомы, как их еще называют.
Расстояние между любыми несовпадающими точ-
ками метрического пространства есть число положитель-
ное, а между совпадающими — равное нулю.
Для любой пары точек метрического пространства
расстояние от одной до второй равно расстоянию от вто-
рой до первой.
Для любой тройки точек метрического пространства
расстояние от первой до второй плюс расстояние от вто-
рой до третьей всегда больше или равно расстоянию от
первой до третьей. Это — так называемое неравенство
треугольника. Оно становится особенно наглядным, если
мыслить точки метрического пространства точками плос-
кости: сумма двух сторон треугольника больше третьей.
Правда, если одну из вершин треугольника совместить
с противоположной стороной, то сумма двух сторон
будет в точности равна третьей. Но ведь мы не зря
употребили выражение «больше или равно», объединяю-
щее все мыслимые случаи!
Ничего надуманного в этих трех аксиомах нет. Они
естественным образом возникли из повседневной прак-
тики измерения расстояний.
Первая аксиома означает, что, переходя от точки
к точке, вы всегда удлиняете свой путь. А пока вы еще
не тронулись с места, пройденный путь остается преж-
ним.
Вторая устанавливает равенство путей туда и обрат-
но. Шел ли Счастливцев из Вологды в Керчь, пришел
ли Несчастливцев из Керчи в Вологду, расстояние они
преодолели одинаковое.
А последняя значит, что окольный путь всегда длин-
нее прямого.
Введем попутно важный термин. Совокупность точек
метрического пространства, расстояние которых от дан-
ной меньше некоторого указанного числа, называется
окрестностью данной точки, а указанное число — раз-
мером окрестности.
В рамках таких представлений фраза «химический
реактор работает в режиме, близком к оптимальному»
67
приобретает вполне точный смысл, если определена мера
близости режимов, расстояние между ними. Множество
режимов работы реактора тогда* становится метрическим
пространством. Точка этого пространства, соответствую-
щая установившемуся режиму, лежит в некоторой ок-
рестности точки, соответствующей оптимальному, — вот
что означает закавыченная фраза.
Если телеграмма, которая сообщает вам о чьем-то
прилете, начинается со слова «выметаю» или «выле-
заю», то вы лишь посмеетесь опечатке или слегка ругне-
те телеграфистов за небрежность; но в тупик отнюдь не
встанете. Ошибка в одной букве легко исправима по
смыслу фразы: «вылетаю».
Но ведь опечатка могла вкрасться и в дату вылета
и в номер рейса! Ошибка в одной лишь цифре способна
сделать смысл сообщения невосстановимым.
Ну а если подобный сбой произошел при передаче
сигналов, управляющих сложным станком, эксперимен-
тальной установкой, космическим кораблем?
Можно ли придумать такой способ кодирования ин-
формации, чтобы не слишком частые ошибки не искажа-
ли ее смысл, не приводили к неразрешимым задачам?
Казалось бы, вряд ли. А между тем специалисты по
кибернетике не только ставят такую проблему, но и
предлагают пути ее решения.
Один из таких путей мы проследим, конструируя
устойчивый к ошибкам код для передачи обыкновенных
буквенных текстов — скажем, тех же телеграфных сооб-
щений.
В кибернетике при передаче информации широко
используется своеобразная морзянка, состоящая из ну-
лей и единиц. Представьте, что буквы русского алфави-
та шифруются нулями и единицами, объединяемыми в
комбинации определенной длины. Представьте далее,
что при передаче каждой такой «буквы» один из нулей
может превратится в единицу или наоборот. Что нужно
предпринять, чтобы при этом каждая буква остава-
лась узнаваемой?
Пусть каждая буква передается комбинацией из
трех знаков. Разбор столь простого случая позволит
нам наметить удачное решение поставленной проблемы,
68
хотя алфавит пока получается
небогатый — всего из восьми
«букв».
ООО 001 010 011 100 101
ПО 111.
А теперь строчку, составлен-
ную формальным перебором
всех возможностей, изобразим
в виде пространственной фигу-
ры. Возьмем трехмерную систе-
му координат (по числу знаков
в «букве») и отметим в ней во-
семь точек, абсциссы которых совпадают с первыми зна-
ками наших «букв», ординаты — со вторыми, апликаты —
с третьими. Эти точки расположатся по вершинам куба.
Построенный нами куб позволяет наглядно предста-
вить и те ошибки, которые могут случиться при передаче
каждой «буквы». Вот, скажем, «буква» 000, образом ко-
торой у нас служит начало координат. Замена любого
нуля единицей — это сдвиг в одну из трех соседних
вершин. Очевидно, от употребления букв, расположен-
ных в этих вершинах, следует отказаться: ведь их можно
принять за искаженные облики «буквы» 000.
Поищем теперь такую «букву», искаженные образы
которой не совпадали бы с разновидностями «буквы» 000.
Очевидно, это 111 и никакие варианты тут невозможны.
Все возможности исчерпаны. Алфавит из восьми трех-
значных «букв» с учетом разового сбоя при передаче
каждой сокращается всего до двух: 000 и 111.
Но в русском алфавите не две, а тридцать две бук-
вы! И если мы хотим применить тот же прием кодиро-
вания, гарантирующий от однократной ошибки, мы
должны изображать буквы в виде более длинных ком-
бинаций нулей и единиц.
Искать среди них такие, спутать которые не заста-
вил бы разовый сбой, будет сложнее, чем среди трехзнач-
ных. И все-таки нельзя сказать, что поиск придется вести
совершенно вслепую. Как и при разборе трехзначного
алфавита, мы будем представлять все мыслимые ком-
бинации нулей и единиц вершинами многомерного куба.
А для них критерий отбора уже сложился по ходу пре-
дыдущих рассуждений: пригодные для дела вершины
многомерного куба должны располагаться друг от дру-
га достаточно далеко.
69
Если определять расстояние между ними числом
ребер, образующих кратчайшую дорогу от одной верши-
ны до другой, то это расстояние, очевидно, должно со-
ставлять по меньшей мере три. Так оно, кстати, и было
для трехзначных «букв» ООО и 111 — посмотрите еще
раз на рисунок, убедитесь.
Нетрудно проверить, что такое определение расстоя-
ния согласуется с метрическими аксиомами — и первой,
и второй... Что же касается третьей аксиомы треуголь-
ника, то удовлетворяется и она. Действительно, распо-
ложим вершины треугольника по каким угодно верши-
нам нашего многомерного куба. Сумма двух сторон тре-
угольника — это длина дороги от одной вершины до
другой с заходом в третью. А такая дорога не может
быть короче третьей стороны треугольника, поскольку та
согласно определению представляет собой самый ко-
роткий путь от одной вершины до другой по ребрам
многомерного куба.
Принятое нами определение расстояния оказывается
удачным. Оно позволяет достаточно быстро осматривать
кубы все большего числа измерений и, наконец, остано-
виться на десятимерном. Теория утверждает: пользуясь
десятизначными комбинациями нулей и единиц, можно
передавать алфавит русских букв, не боясь однократных
опечаток в каждой.
•
Таня дружит с Петей и Ваней еще со школьной
скамьи. И Петя и Ваня неравнодушны к Тане и связы-
вают с ней свои мечты о семейном счастье. Поэтому от-
ношения между Петей и Ваней более чем прохладные.
Любопытно, что этот вариант классического треу-
гольника парадоксален с точки зрения геометрических
канонов. Действительно, в плане дружеских отношений
Петя и Таня достаточно близки; столь же близки Таня
и Ваня. Иными словами, две названные стороны тре-
угольника невелики. Третья же сторона, учитывая ан-
тагонизм интересов Пети и Вани, огромна и заведомо
превышает сумму двух других сторон.
Итак, в классическом треугольнике не выполнена
одна из метрических аксиом — аксиома треугольника.
Вот и получается, что в плане человеческих взаимо-
отношений расстояния между Таней, Петей и Ваней не
удается определить, не нарушая при этом аксиомы рас-
70
стояния. А поскольку они должны соблюдаться для
любых элементов метрического пространства, разобран-
ное нами пространство не является метрическим.
Этот пример носит предостерегающий характер. Выше
мы говорили, что расстояние в одном и том же абстракт-
ном пространстве можно определять различными спосо-
бами. Сама возможность определить расстояние при этом
не подвергалась никакому сомнению. И вот мы столкну-
лись со случаем, когда способ измерения близости и
дальности вступил в противоречие с одной из метри-
ческих аксиом — неравенствОхМ треугольника.
Возможны и другие конфликты с метрическими ак-
сиомами: например, по улицам с односторонним движе-
нием дорога «туда» может оказаться неодинаковой по
длине с дорогой «обратно».
Все это учит нас, определяя расстояние в абстракт-
ном пространстве, тщательно проверять, насколько при-
нятое определение согласуется с метрическими ак-
сиомами.
Пространство метрическое. Здесь введено понятие
расстояния.
Пространство линейное. Здесь определено сложение
элементов и их умножение на число.
Пространство линейное метрическое. Возможно и та-
кое — оно соединяет в себе качества обоих пространств,
по имени которых названо.
Коль скоро оно линейное, в нем можно ввести базис
и координаты. Для наглядного представления этого про-
странства удобно использовать прямоугольную декарто-
ву систему координат. Скажем, если пространство дву-
мерное, начертить оси этой системы на листе бумаги.
И уж тут-то определить расстояние между точками —
не проблема. Для этого можно воспользоваться обычной
линейкой.
С такой точки зрения фраза «химический реактор
работает в режиме, близком к оптимальному» приобре-
тает весьма наглядный смысл. Режим работы реактора
определяется температурой и давлением внутри него.
Отведем этим параметрам оси прямоугольной декарто-
вой системы координат. Близость установившегося в ре-
акторе режима к оптимальному тогда выразится в том,
71
что расстояние между соответствующими точками коор-
динатной плоскости достаточно мало, что она попада-
ет в достаточно малую круговую окрестность другой.
(Заметим, что подобные графики, построенные в ко-
ординатах «температура — давление», называются фа-
зовыми диаграммами. Ради примера на этой странице
показана фазовая диаграмма воды — рисованный свод
общеизвестных сведений о таянии льда и кипении чай-
ника, о перегретом паре в котлах высокого давления
и холодном кипении воды в горах, где атмосферное дав-
ление понижено, об инее и высыхающем на морозе оле-
деневшем белье.).
Расстояние, согласно определению, — это число. Ко-
ординаты точек линейного пространства — это тоже
числа. Разумно попытаться выразить расстояние через
координаты.
Это позволяет сделать самая известная теорема ма-
тематики — теорема Пифагора: «квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов».
72
Отложите в сторону линейку, которую вы только что
прикладывали к точкам диаграммы, чтобы промерить
расстояние между ними. Соедините обе точки отрезком
прямой. Вероятнее всего, этот отрезок наклонен к осям
системы координат, в которой вычерчена диаграмма.
Теперь соедините обе точки двузвенной ломаной линией,
состоящей из вертикального и горизонтального отрезка.
Получится прямоугольный треугольник. Его гипотену-
за — искомое расстояние (на чертеже оно обозначено
греческой буквой р). Длина его горизонтального кате-
та — разность абсцисс обеих точек, вертикального —
разность ординат. Квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов. Вычислим эту сумму квадратов, из-
влечем из нее квадратный корень — вот вам и искомое
расстояние.
Казалось бы, пифагоров рецепт годится только для
плоскости. А ведь мы живем в трехмерном мире. И нам
приходится не только чертить графики на бумаге, но и,
например, входить в кабину лифта с длинными лыжами.
И тут приходится решать задачу: войдут ли лыжи
в лифт? Не придется ли взбираться по лестнице пешком?
Наибольшее расстояние в кабине лифта — из ниж-
него угла в противоположный верхний угол. Чему же оно
равно? Оказывается, рецепт для определения этого рас-
стояния аналогичен тому, что Пифагор рекомендует для
плоскости. Нужно измерить ширину, длину и высоту лиф-
та, возвести все три числа в квадрат, сложить и извлечь
из суммы квадратный корень. Это и будет искомая длина
диагонали лифта.
Так обобщается теорема Пифагора на случай трех-
мерной прямоугольной декартовой системы координат.
Чтобы измерить расстояние между любыми двумя точ-
Рассгпояние между
точками Аид
координаты точек А ид
73
ками в ней, нужно определить разность между соответ-
ственными координатами обеих точек — абсциссами,
ординатами, аппликатами — а затем поступить с ними
точно так же, как с шириной, длиной и высотой лифта.
По-видимому, теперь вы не растеряетесь, входя с лы-
жами в УУ-мерный лифт. В А-мерном мире естественно
определить расстояние между любыми двумя точками
как корень квадратный из суммы квадратов разностей
между всеми соответственными координатами обеих
точек.
Абстрактное пространство, где метрика введена та-
ким способом, называется эвклидовым.
Элементы линейного пространства мы называли век-
торами. Элемент метрического — точками. Как женам
называть элементы линейного метрического простран-
ства?
Оно объединяет в себе свойства обоих пространств,
именами которых названо, так что здесь пригоден лю-
бой термин — и «вектор», и «точка»... Но какой предпоч-
тительнее?
В прямоугольной декартовой системе координат, ко-
торую мы уже приспособили для наглядного изображе-
ния линейного метрического пространства, представим
оба термина привычными зримыми образами. Крохот-
ная точка — и стрелка, проведенная в нее из начала ко-
ординат. Что выразительнее? Конечно, второе! Итак,
решено: заимствуем от линейного пространства его тер-
мин — «вектор».
X
74
Ну, а метрическое пространство? Чем обогатит наш
лексикон оно?
В нем можно определять расстояние между элемента-
ми. Используем эту возможность. Определим расстоя-
ние между элементом, который соответствует заостренно-
му концу стрелки, и нулевым элементом — началом
координат. Полученное число назовем длиной вектора.
(Обозначая его, обычно заключают в прямые скобки
обозначение вектора.)
Новый термин позволяет ввести порядок среди век-
торов линейного метрического пространства. Теперь их
можно сравнивать между собой по длине.
(Нам могут поставить в упрек, что к мысли сравни-
вать векторы по длине мы могли бы прийти и раньше,
еще беседуя о линейном пространстве, где определено
умножение векторов на число. Число, умножением на
которое один какой-то вектор получается из другого,
очевидно, и соразмеряет их длины. Но такому сравне-
нию, как нетрудно сообразить, поддаются лишь векторы,
которые можно получить один из другого умножением
на число, то есть векторы одного направления, ле-
жащие на одной прямой, коллинеарные, как их еще
называют. Сравнивать по длине неколлинеарные векто-
ры линейного пространства можно лишь тогда, когда
определено понятие длины вектора.).
Как же вычислить длину вектора? Скажем, двумер-
ного — обратимся для начала к чему-то простому.
Воспользуемся привычным пифагоровым рецептом,
по которому определяется расстояние в эвклидовом
пространстве. Ответом будет: длина вектора эвклидова
пространства есть корень квадратный из суммы квад-
ратов его компонент. Нетрудно проверить, что точно так
же длина вектора вычисляется в эвклидовом простран-
стве любого числа измерений.
После сказанного мы можем по-новому взглянуть на
формулу расстояния, принятую в эвклидовом простран-
стве. Под знаком квадратного корня в ней стоят возве-
денные в квадрат разности координат тех точек, между
которыми измеряется расстояние. Вспомним теперь, что
компоненты разности двух векторов определяются как
разности их соответственных компонент. Отсюда неда-
леко до вывода: расстояние между двумя точками эвкли-
дова пространства есть длина разности векторов, соот-
ветствующих этим точкам.
75
Стрелки, в зримом образе которых перед нами пред-
стают векторы линейного метрического пространства,
подсказывают: длина — не единственный критерий, по
которому можно сравнить два вектора. Можно еще су-
дить о том, насколько два вектора разнятся по направле-
нию, говорить об угле между ними.
Спектр возможных вариантов здесь широк: от пол-
ной слиянности, когда оба вектора глядят в одну и ту
же сторону вдоль одной прямой, — до полной противо-
положности, когда векторы отвернулись друг от друга,
располагаясь опять-таки вдоль одной прямой. Между
двумя этими крайностями находится случай полного,
так сказать, безразличия векторов друг к другу, когда
они взаимно перпендикулярны.
Критерием близости в сравнении векторов по направ-
лению математикам служит некоторое число. Оно вы-
числяется по несложному правилу: берутся длины векто-
ров, берется косинус угла между ними, и все это пере-
множается.
Если в разговоре о векторах появляется число, его
называют скаляром. Скаляром является, например, дли-
Скалярное произведение
бемтороб а и б
угол между ними
на вектора, поскольку она выражается числом. То же
самое можно сказать и о произведении, которое появи-
лось в нашем разговоре как мера близости двух векто-
ров по направлению. Потому эта величина и называет-
ся скалярным произведением векторов. (Обозначая его,
обычно пишут через запятую обозначения обоих векто-
ров и по бокам ставят круглые скобки.)
Когда угол меняется от нуля до 180 градусов, коси-
нус угла принимает все значения от плюс единицы до
минус единицы, обращаясь в нуль для прямого угла.
Это отражается на скалярном произведении векторов.
Если два вектора глядят в одну и ту же сторону вдоль
одной прямой, их скалярное произведение равно произ-
ведению длин векторов (ведь косинус угла между ними
длины бемп7ороо\
76
0 cos (p= 1
(aZp=|a||0|«7S tp = |a|[Jj
a 6
-"">...
0«p<90c cosy»0
|a||J| cos </» 0
90 < ip< ISO0 cos <p<0
(a^=|a||^| cos (p<0
(p-180° cos<p--1
(ав)= |J||^|a7S^=-|5||^|
a	6
tp-Q0o cosp-0
(a6)=	ф-0
в этом случае равен единице). Чуть раздвинув векторы,
мы уменьшим скалярное произведение (поскольку коси-
нус ненулевого угла меньше единицы), но оно еще оста-
нется положительным. Когда векторы, расходясь все
сильнее, станут взаимно перпендикулярными, их скаляр-
ное произведение обратится в нуль. Для векторов, разо-
шедшихся еще сильнее, оно будет отрицательным. Нако-
нец, когда векторы развернутся до угла 180 градусов и
будут глядеть в противоположные стороны, их скаляр-
ное произведение снова будет равно произведению их
длин, но уже со знаком минус.
Но остановимся на минуту. Не показалось ли чита-
телю, что наше повествование содержит элементарную
логическую ошибку, называемую порочным кругом?
Скалярное произведение предложено нами как мера
угла между векторами — определяется и вычисляется
оно через косинус того же самого угла, как будто он
уже известен.
На самом деле порочного круга тут нет. Скалярное
произведение двух векторов действительно определяет-
ся через косинус угла между ними, но вычисляется оно
обычно по другому правилу. Дело в том, что векторы,
77
как уже успел заметить читатель, задаются не стрелка-
ми на чертеже (чертеж — всего лишь иллюстрация),
а рядами чисел, наборами своих компонент. Как тут
измеришь угол между ними? В таких случаях в дело
идет другая формула, по которой скалярное произве-
дение двух векторов выражается через их компоненты.
Особенно она проста в эвклидовом пространстве: нужно
попарно перемножить соответственные компоненты обо-
их векторов и все эти произведения сложить.
Каким получилось скалярное произведение? Поло-
жительным? Значит, угол между векторами меньше пря-
Скалярное произведение
белтороб а и б	_
/ компоненты бе/vnopa О
(аб) =
компоненты бектора б

мого, они смотрят примерно в одну сторону. Отрицатель-
ным? Тогда в разные. Скалярное произведение равно
нулю? Значит, векторы взаимно перпендикулярны.
Если же нужно знать точно, какой угол образуют
два вектора, следует поделить их скалярное произведе-
ние на длины обоих. Частное есть косинус угла между
векторами. Сам угол можно определить, заглянув в три-
гонометрические таблицы.
И что замечательно: формула, выражающая скаляр-
ное произведение двух векторов через их компоненты,
годится для пространства с любым числом измерений.
Бери у вектора одну компоненту за другой, умножай на
соответственную компоненту второго вектора и склады-
вай одно произведение за другим, покуда не перебе-
решь все компоненты.
Поистине, скалярное произведение — это универсаль-
ный транспортир для измерения углов, в каком бы про-
странстве их ни приходилось измерять.
Если бы скалярное произведение годилось только
для того, чтобы сравнивать векторы по направлению,
цена ему была бы невелика.
...На движущееся тело действует сила. Как подсчи-
тать мощность, развиваемую силой? Учебники физики
73
рекомендуют на сей счет правило: перемножить абсо-
лютные величины силы и скорости друг на друга, а по-
том — на косинус угла между ними.
Только что освоенная нами терминология позволяет
выразить сказанное в более строгой математической
форме: мощность есть скалярное произведение вектора
силы на вектор скорости.
В физике часто встречаются векторные величины.
Поэтому в ней весьма употребительно и понятие скаляр-
ного произведения.
В определении скалярного произведения (длина од-
ного вектора на длину другого на косинус угла между
ними) можно усмотреть идею любопытного эксперимен-
та: что получится, если вектор скалярно умножить на
себя?
Поскольку сомножители в этом случае одинаковы,
угол между ними равен нулю, а косинус угла — едини-
це. Искомое произведение представится квадратом дли-
ны вектора.
Выразим то же самое иначе: длина вектора есть ко-
рень квадратный из его скалярного произведения на
себя.
Это маленькое открытие позволит нам понять новый
подход к измерению расстояний в линейных метричес-
ких пространствах. Он несколько длиннее, но зато и пло-
дотворнее, нежели известный нам, когда формула рас-
стояния между точками пространства вводится с само-
го начала.
Если о пространстве уже известно, что оно линей-
ное, в нем прежде вводят скалярное произведение. При
этом говорят так: пусть любым двум векторам линей-
ного пространства по определенному закону поставлено
в соответствие число, называемое их скалярным произ-
ведением. А дальше формулируется закон этого соответ-
ствия. Он может быть каким угодно, лишь бы выпол-
нялись четыре аксиомы скалярного умножения. Боль-
шинство из них напоминают правила, по которым нас
еще в школе учили обращаться с произведениями чи-
сел — переставлять сомножители, раскрывать скобки...
Короче, эти аксиомы таковы:
79
От перемены мест сомножителей скалярное произве-
дение не меняется.
Если один из сомножителей увеличить в несколько
раз, то во столько же раз увеличится и скалярное про-
изведение;
Скалярно умножая какой-то вектор на сумму двух
других, мы можем умножить его на каждое слагаемое
отдельно, а результаты сложить.
Четвертая аксиома не имеет аналогий с произведе-
ниями чисел. Состоит она в том, что скалярное произ-
ведение любого вектора на себя всегда положительно
или равно нулю, причем последнее бывает в том и
только в том случае, если вектор нулевой.
Зачем нужна четвертая аксиома, понять нетрудно.
Из положительного числа можно извлекать квадрат-
ный корень. Это позволит, пользуясь скалярным произ-
ведением, определить и длину каждого вектора — как
корень квадратный из его скалярного произведения на
себя. Умея определять длины векторов, можно ввести
и метрику в пространстве, то есть определять расстоя-
ние между его точками — как длину разности векто-
ров с концами в этих точках.
Смысл сказанного можно подытожить фразой: было
бы скалярное произведение, а уж метрика будет!
Линейное пространство, в котором определено ска-
лярное произведение векторов, называют эвклидовым —
в общем смысле этого термина. Стало быть, то, что мы
называли эвклидовым пространством до сих пор, было
лишь одной из разновидностей эвклидова пространства.
Отличается оно тем, что каждая пара его различных
базисных векторов в скалярном произведении дает нуль;
если же скалярно умножить любой базисный вектор на
себя, получится единица.
(Такой базис называется ортонормированным. Толь-
ко в пространстве с таким базисом скалярное произве-
дение двух векторов выражается уже знакомой нам
простой суммой попарных произведений их соответствен-
ных компонент. Любитель математических выкладок без
труда докажет это. Нужно лишь представить каждый
вектор его разложением по базису и затем почленно
перемножить слагаемые обоих разложений. Этим же
способом можно выразить скалярное произведение двух
векторов через их компоненты и в пространстве с неор-
тонормированным базисом, если известно скалярное про-
80
изведение каждой пары базисных векторов. Выражение»
естественно, получится посложнее.)
Линейное пространство по-разному можно превра-
тить в эвклидово — смотря, как определить скаляр-
ное произведение. Мы определяли его через длины век-
торов и косинус угла между ними. Это лишь одна из
разновидностей скалярного произведения, одна из воз-
можностей удовлетворить аксиомам скалярного умно-
жения.
Нечто подобное мы наблюдали, едва начав разговор
о метрическом пространстве. Так мы назвали простран-
ство, где в соответствии с метрическими аксиомами опре-
делено расстояние между точками. Мы сразу же от-
метили тогда, что способы определять расстояние могут
быть различными.
Нелегкий путь прошли мы с вами, читатель, по раз-
нообразным пространствам. За красивой спиралью, ко-
торую мы нарисовали в фазовом пространстве, возни-
кал стремительный баскетболист, ведущий мяч. В линей-
ном пространстве, развернув цветовой фунтик, мы обна-
ружили там все краски солнечного спектра. В метричес-
ком пространстве мы научились правильно понимать те-
леграмму, переданную с ошибками.
И вот теперь — пространство линейное метрическое.
С первых шагов по нему мы чувствуем себя, как
странник, вернувшийся в родные края. Сквозь туман
новых понятий проглядывают знакомые образы, слышат-
ся знакомые слова — расстояние, длина, угол...
Все это привычно нам еще со времен школьной гео-
метрии.
В таком сходстве нет случайных совпадений. Эвкли-
дово пространство школьной геометрии — это линейное
метрическое пространство двух или трех измерений,
смотря по тому, идет речь о планиметрии или о стерео-
метрии. Так что предмет нашего рассказа, по существу,
тот же, что и в школе. Только теперь у нас к нему дру-
гой подход: вместо треугольников и окружностей —
иные образы, вместо циркуля и линейки — другие ин-
струменты. И тому и другому на смену пришли числа.
С этих новых позиций содержание древней науки
геометрии впервые было пересказано в книгах Германа
81
Бейля «Пространство, время, материя» (1918 г.) и Ио-
ганна фон Неймана «Математические основы квантовой
механики» (1927 г.). Как свидетельствуют хотя бы назва-
ния обеих книг, их авторы отнюдь не ставили своей
келью объяснить старое по-новому. Нет, они стремились
создать новые математические методы для решения на-
сущных проблем естествознания. Но то, что их подход
позволил с новых позиций систематизировать старое
богатство геометрии, свидетельствует, что новое знание
не порывает с прошлым, а стоит на прочном фундаменте
его завоеваний.
Рассказ об эвклидовом пространстве влечет за собой
естественный вопрос: а что такое неэвклидово пространт
ство? И почему его называют искривленным?
Прежде чем отвечать на такие вопросы, порассуж-
даем о том, какая бывает миллиметровка.
Канал Москва — Волга строился в сложных гидро-
геологических условиях: его трассу пересекает высокая
Клинско-Дмитровская гряда.
На диаграмме — рельеф канала. Выемки, насыпи,
водохранилища, шлюзы... Однако с графико-математи-
ческой точки зрения это прежде всего фигура на коор-
динатной плоскости. В рисунке линий, которыми рас-
черчена диаграмма, нетрудно опознать координатную
сетку, в цифрах, расставленных по краям разграфленно-
го прямоугольника, — масштабную разметку координат-
ных осей.
82

Используя эту разметку, простым вычитанием можно
определить, насколько каждый шлюз удален от сосед-
него, какой перепад высот приходится преодолевать,
перекачивая воду с одного уровня на другой.
А как быть, если потребуется измерить расстояние
между точками, не лежащими на одной горизонтали или
одной вертикали?
Измеряя расстояние между точками на координатной
плоскости, мы до сих пор использовали два стандартных
приема — либо прикладывали к этим точкам мерную
линейку, либо применяли теорему Пифагора, предвари-
тельно определив, насколько разнятся абсциссы и орди-
наты обеих точек. Искомое расстояние получалось тогда
как корень квадратный из суммы квадратов этих раз-
ностей.
Первый прием на сей раз, очевидно, неприменим.
Ведь единицы, отложенные по осям графика, различны:
по горизонтали — километры, по вертикали — метры.
А вот второй прием использовать можно. Нужно только
слегка усовершенствовать пифагорову формулу. Прежде
чем возводить в квадрат и складывать разности абсцисс
и ординат, их нужно выразить в единой мере. Скажем,
в метрах. Для этого разность абсцисс следует умножить
на тысячу. А в пифагоровом выражении, где она возво-
дится во вторую степень, перед нею следует поставить
множителем миллион, вторую степень тысячи.
Подобные множители, стоящие перед однотипными
слагаемыми какой-либо суммы, называются весовыми
коэффициентами.
Итак, усложнив пифагорову формулу весовыми ко-
эффициентами, мы сможем применять ее для измерения
расстояний на разграфленной бумаге с какими угодно,
пусть даже неравными масштабами по осям.
Впрочем, разграфленная бумага бывает и более
сложных фасонов. Вот образец так называемой логариф-
мической миллиметровки. Здесь оси проградуированы
неравномерно. Одному и тому же сдвигу в различных
участках сетки соответствуют различные приращения
координат (обозначенные на чертеже через dx и dy). Это
придает еще большую сложность пифагоровой формуле,
выражающей расстояние между точками через их коор-
динаты: весовые коэффициенты зависят от того места
на координатной плоскости, где определяется расстоя-
ние.
84
А ниже образец раз-
графленной бумаги для
приборов-самописцев со
стрелкой на оси. В силу са-
мой конструкции прибора
линии сетки искривлены.
Соединив две какие-либо
точки на такой бумаге
Лк	а=У 62+ с2— 2 вс cos л
/	теорема л
с!	косинусов
б
сначала напрямую, а потом по линиям сетки, мы получим
уже не прямоугольный треугольник, как в прежних слу-
чаях, а косоугольный. Здесь уже не воспользуешься тео-
ремой Пифагора: здесь квадрат расстояния между точка-
ми не равен сумме квадратов смещений по линиям сетки.
Но оказывается, что пифагорову формулу можно
усовершенствовать и для такого случая ценой еще одно-
го усложнения: следует лишь приплюсовать под знаком
корня к квадратам смещений их произведение с неко-
торым коэффициентом. Он равен удвоенному косину-
су угла между направлениями смещений, взятому с про-
тивоположным знаком (вот почему описанное соотноше-
ние, обобщающее теорему Пифагора на случай ко-
соугольных треугольников, называется теоремой косину-
сов). Поскольку в разных участках сетки ее линии пере-
секаются под разными углами, весовой коэффициент
при новом слагаемом также будет зависеть от того места
на координатной плоскости, где определяется расстоя-
ние.
Следует подчеркнуть, что переменность весовых ко-
эффициентов усложненной пифагоровой формулы весьма
ограничивает ее применимость: с ее помощью можно
мерить расстояния лишь между достаточно близкими
точками. Иначе не избавиться от логического изъяна,
который заметен во фразе «весовые коэффициенты зави-
сят от места, где определяется расстояние». Место на
координатной плоскости мы привыкли указывать парой
координат. От какой же из двух точек, между которыми
измеряется расстояние, позаимствовать эту пару?
Возьмем от одной — получим один результат, возьмем
от второй — получим другой. Разница между обоими
результатами будет пренебрежимо малой лишь в том
случае, если точки будут достаточно близки.
Ну, а если потребуется определить расстояние между
двумя не так уж близкими точками? Путь от одной до
другой придется тогда промерить достаточно малыми
85
шажками, величина которых определяется допустимой
погрешностью измерений. Если же требуется точный ре-
зультат, то шажки нужно выбирать все мельче и мельче
и за искомое расстояние взять предел, к которому стре-
мятся получаемые раз за разом величины. (Сведущий
читатель, конечно, узнает в этом процессе процедуру
интегрирования.)
Тут, правда, есть один нюанс: расстояние, определяе-
мое таким способом, зависит от пути, вдоль которого оно
измеряется. Какой же из всех возможных результатов
принять за искомое расстояние между точками? Наи-
меньший — так принято считать. А кратчайший путь
между точками принято называть геодезической линией.
Стоит заметить, что по линиям координатной сетки она
может пройти отнюдь не прямолинейно.
(Расстояние между близкими точками называют эле-
ментом расстояния и обозначают ds. Здесь $ — тради-
ционное обозначение пути, a d, традиционный символ
интегрирования, напоминает, что идти по этому пути
следует мелкими шажками).
Опыт работы с разграфленной бумагой поможет нам
углубить наши знания о метрических пространствах.
Обратимся еще раз к фазовой диаграмме, точками
которой мы изображали режимы работы химического
реактора. Мы говорили: близость одного режима к дру-
гому соответствует тому, что одна точка на диаграмме
попадает в достаточно малую круговую окрестность
другой.
Не насторожило ли тогда вас, читатель, слово «кру-
говая»? Образ круга естествен, когда говорят о точках,
которые по любому направлению удалены от централь-
ной на расстояние, не превышающее заданного. Но
такое представление естественно лишь в тех случаях,
когда все направления в пространстве равноправны.
Справедливо ли это для нашей фазовой диаграммы?
Разве прирост температуры в реакторе на один градус
разнозначен приросту давления в нем на одну атмосфе-
ру? Скорее всего, нет. Допустимое отклонение от опти-
мальной точки диаграммы по горизонтальной оси может
оказаться иным, чем по вертикальной. И тогда допусти-
мая окрестность оптимальной точки, которая прежде
86
представлялась нам круговой, теперь примет вид эллип-
са. Если же мы захотим определять расстояния между
точками фазовой диаграммы через их координаты, нам,
очевидно, придется воспользоваться не простой пифаго-
ровой формулой, а усложненной — с весовыми коэффи-
циентами, которые, сообразуясь с сутью происходящего в
реакторе, соразмеряли бы приросты температуры и дав-
ления.
Казалось бы, такого усложнения можно избежать,
выбрав новые, соразмерные единицы температуры и дав-
ления. Другими словами, разметив оси диаграммы но-
выми масштабными единицами, мы вновь превратили бы
в круг допустимую окрестность оптимальной точки.
Граничные точки этой окрестности стали бы тогда равно-
удаленными от ее центра не только по существу дела,
но и по форме изображения.
Да не всегда все бывает так просто. Один и тот же
прирост температуры в реакторе может означать далеко
не одинаковые изменения режима, если в одном случае
начальная температура низка, а в другом высока. То же
самое можно сказать и о давлении. Весовые коэффици-
енты в пифагоровой формуле расстояния для нашей диа-
граммы в силу этого могут оказаться переменными.
Равновеликие, по физическому смыслу, окрестности раз-
личных точек диаграммы станут тогда изображаться
неодинаковыми кругами. Чтобы уравнять их и тем са-
мым привести изображение в соответствие со смыслом
отображаемых явлений, можно растянуть координатную
сетку в тех местах диаграммы, где круги получились
малыми.
Не очевидно ли, что сетка при этом станет искрив-
ленной? Пифагорова формула получит тогда еще одно
усложнение: под знаком корня в ней наряду с квадра-
тами смещений по координатным направлениям появит-
ся произведение смещений с некоторым коэффициентом,
вообще говоря, переменным.
Метрическое пространство, где расстояние между точ-
ками определяется столь усложненной пифагоровой фор-
мулой — с произведениями смещений по координатным
направлениям, с переменными весовыми коэффициента-
ми, — называется римановым пространством.
Желая подчеркнуть отличие применяемой в нем
метрики от той формулы расстояния, которая использу-
ется в эвклидовом пространстве (корень квадратный из
87
суммы квадратов смещений по координатным направле-
ниям), о таком пространстве говорят как о неэвкли-
довом.
Желая отметить переменность весовых коэффициен-
тов, о пространстве говорят как о неоднородном. (Впро-
чем, весовые коэффициенты могут оказаться постоян-
ными — тогда пространство называется однородным.)
Расстояние между дбумя близкими тоннами ринаноба лространстба
c/s -^A(x,y)(dx)z+ lB(x,y)dxdy + C(x,y)(dy)z
весобые назухриуиенть/'i'
Разность абсцисс^ Разность ординат
Обеих точен , обеих точен
Желая обратить внимание на произведения смеще-
ний по координатным направлениям, входящие в форму-
лу расстояния, о пространстве говорят как об искрив-
ленном.
Вспомним: в наших рассуждениях о разграфленной
бумаге необходимость в таком произведении появилась
именно тогда, когда мы перешли от прямолинейных се-
ток к искривленным. Можно, конечно, пользоваться и
равномерными прямоугольными сетками и свыкнуться
с некруглыми окружностями, с непрямыми кратчайши-
ми путями и прочим. Но все-таки естественнее ценою
искривления сетки изображать окружностью множество
точек, равноудаленных от данной, и прямолинейным от-
резком — кратчайший путь между двумя точками.
Именно по этой причине не очень популярны геогра-
фические карты с равномерной прямоугольной сеткой
меридианов и параллелей: города, равноудаленные на
сферической поверхности Земли, на плоской карте с
такой сеткой могут оказаться на различных расстояниях.
Уменьшить степень такого несовершенства помогают
различные картографические проекции с нарочито ис-
кривленными линиями меридианов и параллелей.
Здесь самое время вспомнить, как когда-то мы выби-
рали арбуз и обнаружили при этом, что углы треуголь-
ников на сферической поверхности арбуза в сумме не
дают привычные 180 градусов. Вскоре после этого нас
ждал еще один сюрприз: на сфере отказывает теорема
88
Пифагора — испытанное средство для измерения рассто-
яний. Иными словами, здесь неприменима эвклидова
метрика, выражаемая простой пифагоровой формулой.
Но, быть может, положение удастся спасти, услож-
нив пифагорову формулу произведениями смещений по
координатным линиям и весовыми коэффициентами?
Действительно, так оно и есть. Мы приходим к выводу:
двумерное пространство, которое представляет собой
поверхность арбуза, — это не эвклидово, а риманово
пространство.
Как вспоминает читатель, арбуз послужил нам гарни-
ром к рассказу о геометриях Лобачевского и Римана
и о том, в чем они расходятся с геометрией Эвклида.
Мы понимаем теперь, что эти расхождения имеют метри-
ческую природу: на поверхности арбуза непригодна про-
стая пифагорова формула, применяемая в эвклидовом
пространстве. Однако если усложнить ее на описанный
выше манер, то мы придем как раз к тем положениям,
которые составляют либо геометрию Лобачевского, либо
геометрию Римана — в зависимости от выбора весовых
коэффициентов.
Попутно предостережем читателя от возможной пу-
таницы. Риманово пространство и неэвклидово простран-
ство Римана (то есть такое, которое описывается гео-
метрией Римана) — вещи разные, хотя и взаимосвязан-
ные. Первый термин употребляют, когда хотят сказать,
что в пространстве принята описанная выше усложнен-
ная формула расстояния. Второй — когда хотят отме-
тить, что в пространстве нет параллельных линий, сум-
ма углов треугольника превышает 180 градусов, отно-
шение длины окружности к ее радиусу меньше двух «пи»
и т. д.
Римановы пространства, о которых мы говорили до
сих пор — будь то сферическая поверхность арбуза или
плоскость фазовой диаграммы, — были двумерными.
Нетрудно сообразить, что такое риманово пространство
трех измерений, по какой формуле определяются рассто-
яния в нем. Это все тот же корень квадратный, под
ним — возведенные в квадрат смещения по координат-
ным осям и их попарные произведения, просуммирован-
ные с весовыми коэффициентами. Аналогично выглядят
89
формулы расстояния для римановых пространств лю-
бого числа измерений.
•
Слова «искривленное пространство» часто встреча-
ются в рассказах о теории тяготения, созданной Альбер-
том Эйнштейном,— так называемой общей теории от-
носительности. Эти слова служат собирательным обо-
значением для тех парадоксальных геометрических выво-
дов, которые следуют из теории Эйнштейна.
Вот один из таких выводов: если измерить длину ок-
ружности, проведенной вблизи тела большой массы, то
отношение ее длины к радиусу окажется заметно отличаю-
щимся от двух «пи». Как видно, эвклидова метрика здесь
не годится.
Обстоятельный рассказ о теории относительности не
входит в наши планы. Ведь помимо математических
аспектов, которые и составляют содержание нашего раз-
говора, здесь потребовалось бы основательное знаком-
ство с физическим существом дела, чего мы не вправе
требовать от читателя.
Поэтому, если читателю хочется поговорить об ис-
кривленных пространствах и неэвклидовой метрике, мы
обратимся за новым примером к абстрактному простран-
ству цветов.
Проведем в цветовом фунтике плоскость, соответ-
ствующую цветам одинаковой яркости. На этой плос-
кости проведем линию, соответствующую цветам какой-
то определенной насыщенности. Казалось бы, все ее
точки должны одинаково отстоять от точки нулевой на-
сыщенности — точки белого цвета, а потому образовы-
вать окружность с центром в точке белизны.
Так нет же! Проведенная нами линия вовсе не окруж-
ность, и чем больше ее размер, тем больше она похожа
на криволинейный треугольник.
Возникает подозрение: привычные нормы эвкли-
дова пространства не соблюдаются в пространстве
цветов.
Но пойдем дальше. На нашей неудавшейся «окруж-
ности» выберем несколько точек так, чтобы зрительное
ощущение сходства было одинаковым для каждой пары
90
цветов соответствующих
соседним точкам. Новая	\
неожиданность: дужки, на	-----ЛМета
которые делят нашу «ок-
ружность» намеченные	А
точки, оказываются нерав-
ными по длине.	Х Белый
Подозрение переходит
в уверенность: пространство цветов — неэвклидово.
Это — урок для каждого, кто, построив абстрактное
линейное пространство, пытается ввести в нем метрику.
Здесь может оказаться непригодным привычный и про-
стой эвклидов рецепт (расстояние есть корень квадрат-
ный из суммы смещений по координатным направлени-
ям), и, возможно, потребуются те усложнения, с которы-
ми мы связываем понятие риманова пространства.
Впрочем, и риманов рецепт не исчерпывает все воз-
можные способы измерения расстояний. И если форму-
ла расстояния построена по какому-либо иному правилу,
пространство называется финслеровым.
Как называется эта фигура с центром в начале коор-
динат (см. стр. 92)?
«Конечно, квадрат»,— слышим мы ответ читателя.
А хотите пари? Мы докажем, что это... окружность.
Будем рассуждать совершенно строго. Что есть ок-
ружность? Геометрическое место точек, удаленных на
одинаковое расстояние от точки, называемой центром.
Таково определение.
А что такое расстояние? Некоторое число, поставлен-
ное в соответствие двум точкам пространства. Закон
соответствия может быть каким угодно, лишь бы выпол-
нялись три метрические аксиомы.
Мы воспользуемся этой свободой, чтобы сконструи-
ровать такую формулу расстояния, которая позволит нам
выиграть пари.
Пусть расстояние от какой-либо точки на координат-
ной плоскости до начала координат будет равно наи-
большей из координат точки, взятых по абсолютной
величине. (Для любителей математической строгости
отметим, что все метрические аксиомы удовлетворяются
при таком способе измерения расстояний.)
91
Посмотрите теперь на правую сторону нашего квад-
рата: абсцисса любой точки этого отрезка равна едини-
це, а абсолютная величина ординаты выражается чи-
слом, меньшим единицы. Согласно нашей формуле рас-
стояния все точ*ки правой стороны квадрата удалены от
начала координат на одинаковое расстояние, равное еди-
нице. Посмотрите теперь на верхнюю сторону квадрата;
в сравнении по абсолютной величине здесь выигрывает
ордината, равная единице для всех точек этой стороны.
Стало быть, согласно нашей формуле расстояния и у
этого отрезка все точки удалены от начала координат
на одинаковое расстояние, равное опять-таки единице.
Левая и нижняя сторона квадрата подсказывают тот
же вывод.
Получилось, что все точки сторон квадрата равноуда-
лены от начала координат. Ваш квадрат, читатель, по-
нашему оказался окружностью.
Осознать этот факт помогут шахматы. Поставьте на
шахматную доску короля и рассмотрите все поля, на
которые он может переместиться за один ход. Эти поля,
равноудаленные (с точки зрения шахматиста) от на-
чального положения короля, образуют квадрат.
Вот ведь какие диковинки таят в себе формулы рас-
стояния, построенные не на риманов манер!
Как мы уже знаем, метрические пространства, где
приняты такие формулы расстояния, называются финс-
леровыми. Их пример и представляет собой пространство
шахматного короля, где окружности имеют вид квад-
ратов.
92
Чрезмерная подозрительность не является достоин-
ством даже в такой предельно строгой науке, как мате-
матика.
Подметив кривизну у линий координатной сетки, вве-
денной в пространстве, не нужно поспешно навешивать
на пространство ярлык «кривого».
Кривизна пространства — это свойство самого про-
странства. Она проявляется, например, в том, что в таком
пространстве отношение длины окружности к ее радиу-
су не равно двум «пи», сумма углов треугольника отли-
чается от 180 градусов. Все подобные отклонения можно
обнаружить, не прибегая ни к какой координатной си-
стеме. Они органически связаны с самим пространством
и не зависят от того, какую координатную сетку мы на
пего набросили. Когда же мы строим такую сетку, она
представляет собой продукт нашего творчества и может
быть какой угодно. Ее искривленность еще не позволяет
утверждать, что пространство, в котором она введена,
искривлено.
Даже в нашем реальном земном пространстве, где
применимость эвклидовой метрики в свое время с высо-
кой точностью гарантировал сам Лобачевский, часто
оказывается удобным пользоваться криволинейными си-
стемами координат.
С одной из двумерных систем такого рода мы уже
знакомы: «исправляя» план Москвы, мы пришли к поня-
тию полярных координат.
Идею еще одной любопытной системы координат под-
сказывает план Парижа. Ни к прямоугольному, ни к по-
лярному типу его не отнесешь. Здесь, похоже, не один
полюс, как в Москве. Структура, близкая к радиально-
кольцевой, складывается, например, вокруг площади
Нации и вокруг площади де Голля. Улицы, по которым
лежит кратчайший путь от одной из названных площадей
до другой, идут почти по прямой. Устраним это
«почти» — протянем прямую между площадями. А все
окольные улицы, идущие от одной площади к другой,
заменим окружностями, проходящими через оба полю-
са. Кольцевые улицы, охватывающие ту и другую пло-
щадь, также заменим окружностями, причем такими,
что пересекались бы с окружностями первого семейства
под прямым углом.
93

Исправленная и дополненная сетка улиц Парижа при-
обретает математически завершенный вид. Такая систе-
ма координат называется биполярной, двухполюсной.
С точки зрения ориентировки на местности она ничем
не хуже декартовой и полярной. Окружности обоих се-
мейств удается перенумеровать, и положение точки на
плоскости, как и в упомянутых системах, определяется
опять-таки числами — «номерами» улиц разных се-
мейств, пересекающихся в этой точке.
Чтобы познакомиться с каким-либо примером трех-
мерной системы криволинейных координат, нужно лишь
немного внимания, когда случится заказывать лекарство
в аптеке. Если лекарство готово, оно находится во вра-
щающейся стойке. Положение приготовленного снадобья
здесь задается тремя числами — номером полки, номе-
ром сектора и глубиной, на которую аптекарь должен
засунуть руку внутрь, к оси стойки.
Вращающаяся стойка поможет нам представить ци-
линдрическую систему координат, строгое изображение
которой приведено рядом. Аппликата г, полярный угол ф
и радиус-вектор р — вот три числа, определяющие поло-
жение точки в такой системе координат. Последние две
величины — это полярные координаты проекции точки
на горизонтальную плоскость. В ней проведены оси х
и у, так что рисунок помогает понять связь цилиндри-
ческих координат с декартовыми.
95
9
Фотография военных лет *дает повод поговорить еще
об одной пространственной системе координат — сфери-
ческой (рис. внизу).
Наводя свое орудие на вражеский самолет, зенитчики
поворачивают его на определенный угол вокруг верти-
кальной оси и под определенным углом к ней устанав-
ливают ствол. Теперь для того, чтобы точно задать по-
ложение самолета в пространстве, нужно еще указать
расстояние до него.
Эти величины, задающие положение точки в сфери-
ческой системе координат, отмечены на графике буквами
Ф (долгота), 'ft (полярное расстояние) и г (радиус — век-
тор). Направление, от которого отсчитывается долгота,
отмечено буквой х, вертикальная ось — буквой z; нако-
нец, введя ось у, мы сделали наглядной связь между
сферическими и декартовыми координатами.
На предыдущих страницах мы демонстрировали раз-
нообразные системы координат.
Человек рационального склада спросит: зачем все
это разнообразие? Кому нужны все эти математические
диковинки, кроме их создателей — жрецов чистой
науки?
Что ж, пройдем из храма чистой науки в картинную
галерею. И да простят нас искусствоведы — мы будем
96
приглядываться не только к тому, что изображено на
холсте, но и к его форме.
Форма неплохо соответствует содержанию. Вот кар-
тина Георгия Нисского «Перед Москвой. Февраль».
Вертикальные края холста параллельны стволам елей
и стенам домика, видного меж елями. Горизонтальные —
нижним обводам облаков и полоске дальнего леса...
А вот потолок собора св. Иоанна (Парма, Италия),
расписанный Антонио Корреджо. Округлая форма по-
толка определила композицию росписи: фигуры людей
располагаются по кругу. Рассматриваемые снизу, их тела
закономерно оказываются направленными к центру кру-
га. Их радиальную ориентацию диктует и содержание
картины: стоящие по кругу устремлены к центральному
персонажу. Мысленно можно прослеживать радиусы и
в противоположных направлениях, по которым свидетели
чудес разойдутся во все концы земли с вестью о виденном.
Форма и содержание должны соответствовать друг
другу — творцами прекрасного это понято давно.
Осмысленно и целенаправленно этот принцип прово-
дится и в точных науках. Форма, то есть способ описания
изучаемого явления, выбор системы координат, должна
соответствовать характеру явления.
•
Пронести полные ведра воды, не облившись,— для
этого нужна сноровка. Нужно так соразмерять свои шаги,
чтобы от толчков вода не плескала через край.
Сценка у деревенского колодца, с точки зрения физи-
ка, повторяется при взлете ракеты. По существу, топ-
ливный бак ракеты, заполненный горючим,— это огром-
ное ведро. И если не соразмерять вибрации, возникаю-
щие при работе двигателя, с колебаниями жидкости
в баке, может произойти несчастье, гораздо более серь-
езное по сравнению с мокрой одеждой.
Прежде чем запускать ракету, нужно рассчитать ча-
стоты колебаний жидкости. А прежде чем их рассчи-
тывать, нужно выбрать удобную систему координат.
Разумно прибегнуть к цилиндрической системе: ее струк-
тура соответствует и форме топливного бака, и харак-
теру протекающих в нем прцессов.
Астрофизики изучают процессы, происходящие на
поверхности Солнца и в его глубине. Понимание этих
4. Зак. 1037
97
процессов немаловажно: ведь с деятельностью нашего
дневного светила связано многое из того, что происходит
на Земле, — от магнитных бурь до инфарктов.
Но Солнце — это лишь одна из мириадов звезд,
рассеяных по просторам Вселенной. И характер его дея-
тельности яснее* всего может быть понят как проявле-
ние глубоких законов, управляющих рождением, жизнью
и гибелью звезд.
Ясное понимание требует точных расчетов. А точный
расчет требует удобной системы координат. Какой же
системой координат разумнее всего пользоваться при
исследованиях звезд? Ответ подсказывает их сферическая
поверхность: сферической.
«В год 6453. В тот год сказала дружина Игорю:
«Отроки Свенельда изоделись оружием и одеждой, а мы
наги. Пойдем, князь, с нами за данью, да и ты добу-
1
98
дешь и мы». И послушал их
Игорь — пошел к древлянам за
данью и прибавил к прежней
дани новую...»
В приведеннОхМ отрывке по-
вествуется о делах давно ми-
нувших дней, а дата события
явно сдвинута в далекое буду-
щее. Но это вряд ли выглядит
загадочным: в ту пору, когда
писалась «Повесть временных лет» (отрывок из нее мы и
процитировали), годы отсчитывались «от сотворения
мира».
Петр Первый, великий реформатор России, сдвинул
точку отсчета: на Руси, как и в Европе, годы стали от-
считываться «от рождества Христова», по церковной
легенде произошедшего через 5508 лет после «сотворе-
ния мира». Эту цифру и следует вычитать из дат древ-
них летописей при переводе их в современное лето-
счисление.
Дата события, о котором нам рассказала «Повесть
временных лет», — 945 год.
Две системы летосчисления с точки зрения матема-
тики — это две одномерные системы координат, позво-
ляющих ориентироваться во времени. Пересчет дат —
это переход из одной системы в другую. В вычитании
числа 5508 заключается формула такого перехода.
Переходы из одной системы координат в другую
часто приходится совершать и физику, когда он ищет
форму описания явлений, наиболее соответствующую
содержанию. Иногда случается переходить из цилиндри-
ческой в сферическую систему, иногда — из полярной
в декартову... Всмотритесь в план Москвы: поверх рисун-
ка улиц — тонкая прямоугольная сетка. Радиусы и коль-
ца улиц — это полярная система координат, горизонтали
и вертикали дополнительной разметки — декартова. Ко-
ординаты любой точки на плане можно указать как в
одной, так и в другой системе. Но можно указывать ко-
ординаты точки лишь в какой-то одной системе и по фор-
мулахМ перехода выводить координаты в другой.
Правда, формулы перехода для двумерных и трех-
мерных систем координат гораздо сложнее, чем для
одномерных.
99
АФФИННЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Эти рисунки взяты из
руководства для начинаю-
щего фотографа.
. Как, право, не вы-
разителен исходный сни-
мок — и сколько экспрес-
сии в окончательном ва-
рианте! Сдвинули да по-
вернули изображение в
кадре — рисунок букваль-
но преобразился.
Слово «преобрази-
лся» здесь поставлено не
случайно. Эти рисунки мы
выбрали для того, чтобы
начать с них обстоятель-
ный разговор о геометри-
ческих преобразованиях.
На взгляд непосвя-
щенного, не совсем право-
мерно называть преобра-
зованием то, что мы сде-
лали с рисунком. Все фи-
гуры на нем сохранили
свою форму.
Но все-таки они изме-
нили свое расположение.
И потому мы заносим в
перечень геометрических
преобразований обе опе-
рации, которые мы совер-
шили над рисунком, и присваиваем им строгие математи-
ческие обозначения: первую операцию назовем парал-
лельным переносом, вторую — поворотом.
100
Про ходжу Насреддина рассказы-
вают, как однажды он водил по Бу-
харе некого любознательного чуже-
странца и как тот, остановись перед
знаменитым бухарским минаретом
Каляном, изумленно воскликнул:
— Как вы строите такие высокие
минареты?
— Очень просто,— отвечал ход-
жа.— Сначала выкапываем глубокий
колодец, а потом выворачиваем его
наизнанку.
Преобразование колодца в мина-
рет, показанное на этой странице,
математик назвал бы зеркальным от-
ражением или осевой симметрией.
Суть термина хорошо поясняется
картинкой: верх и низ на ней поменя-
лись местами, зеркально отразились
относительно горизонтальной пря-
мой, отделяющей небо от земли. Назовем своим именем и
эту прямую: ось симметрии.
Рисунок убеждает нас в том, что зеркальная симмет-
рия полностью сохраняет формы фигур, подобно парал-
лельному переносу и повороту. Есть, однако, один нюанс,
который отличает от них отражение.
Представьте себе, что минареты строятся именно так,
как описал ходжа,— выворачиванием колодцев. Пред-
ставьте теперь, что строители хотят украсить стены соо-
ружаемого минарета надписями. Как наносить их на
стенки колодца? Конечно, вниз головой,— наверняка от-
ветите вы. И только? А в остальном — как обычно? То-
гда, вывернувшись наизнанку вместе с колодцем, надписи
окажутся написанными наоборот.
Суть такого сюрприза легче всего понять, рассмотрев,
что делает преобразование отражения с какой-нибудь
простой геометрической фигурой, например, с треуголь-
ником, которым на нашем рисунке очерчена верхушка
минарета.
Обратимся сначала к нижней половине рисунка и
обойдем вершины треугольника, скажем, по часовой
стрелке. В той же последовательности обойдем теперь
101
соответствующие вершины отраженного треугольника на
верхней половине рисунка. Мы обнаружим, что на сей
раз идти приходится против часовой стрелки. Говорят,
что зеркальное отражение меняет ориентацию фигур.
В противоположность ему параллельный перенос и по-
ворот ориентацию фигур не меняют.
Выигрыш приятен в любой игре, даже в самой неза-
тейливой. Секрет же победы может оказаться порой сов-
сем простым.
Играют двое. Каждый по очереди выкладывает на
стол круглые фишки — один черные, другой белые. Фиш-
ки постепенно покрывают поверхность стола (для опре-
деленности будем считать ее прямоугольной). Выигры-
вает тот, кто положит фишку последним — так что про-
тивнику не останется места, куда положить свою.
Ключом к победе в этой игре владеет тот, кто на-
чинает. И если ваш ход первый, не мешкая, ставьте свою
фишку в центр стола. Теперь, куда бы ни поставил свою
фишку противник, выставляйте свою симметрично ей
относительно центра стола — на таком же расстоянии
от центральной фишки, но в противоположном направле-
нии от нее.
Ход за ходом на столе возникает узор из черных и
белых фишек. Причем скопление черных центрально-
симметрично скоплению белых. Центром симметрии для
фишек служит центр стола.
Центр симметрии — ваш надежный союзник в этой
игре. Если противник нашел место на столе для своей
фишки, у вас всегда в распоряжении место центрально-
симметричное. Так что последний ход, а вместе с ним и
победа наверняка за вами.
Конечно, читатель, вы думаете, что игра в фишки,
с которой мы вас познакомили,— это типичный завлека-
тельный приемчик, повод для того, чтобы поговорить
о центральной симметрии.
И ошибаетесь. Ради одной лишь центральной сим-
метрии мы не стали бы играть с вами в эти игры.
102
о
Наша цель — глубже. Мы
хотим поговорить о некото-
рых фундаментальных пред-
ставлениях, которые лежат в
основе и центральной, и про-
чих видов симметрии, и во-
обще всех геометрических
преобразований — уже пред-
ставленных нами или состав-
ляющих тему нашего даль-
нейшего рассказа.
Приглядимся повнимательнее к процессу игры в фиш-
ки, как она только что была описана. Вот на поверхности
стола появилась очередная черная фишка, и ответным
ходом по определенному закону ставится белая. А те-
перь — чуточку математической абстракции. Заменим
слово «фишка» словом «точка». Каждой черной точке
ставится в соответствие белая. Впрочем, какой цвет
у точки? Она ведь не имеет размеров, ее не покрасишь.
Просто есть закон, согласно которому одной точке плос-
кости ставится в соответствие другая точка той же плос-
кости. А поскольку правила игры позволяют ставить
фишки куда угодно, закон такого соответствия должен
охватывать все точки плоскости.
При этом точка, для которой подбирается соответ-
ствующая, называется прообразом, а точка, которая ста-
вится в соответствие точке-прообразу, — ее образом.
(Может случиться, что образ какой-то точки совпадет
со своим прообразом. Так при центральной симметрии
центральной точке ставится в соответствие она же. Имен-
но на этом, кстати сказать, и основана беспроигрышная
стратегия описанной выше игры в фишки.)
Правило, по которому совершается всякое такое дей-
ствие, будь то параллельный перенос или поворот, осе-
вая или центральная симметрия, называется геометри-
ческим преобразованием плоскости.
Представление о соответствии точек лежит в основе
понятия геометрического преобразования. Иногда, слы-
ша этот термин, думают о замысловатых деформациях
каких-нибудь фигур. Не спорим, эффектными деформа-
циями хорошо иллюстрировать рассказ о геометрических
преобразованиях, когда он только начинается. Очень
скоро выясняется, однако, что основные черты того или
иного преобразования не зависят от того, какие фигуры
103
ему подвергаются. Тогда становится естественным гово-
рить о «деформации», то бишь о преобразовании всей
плоскости в целом, и преобразуемые фигуры пред-
ставлять как бы нанесенными на этот деформируемый
фон.
Чтобы уследить за изменениями любой мельчайшей
детали преобразуемых фигур, нужно, очевидно, знать,
как в ходе преобразования плоскости перемещается каж-
дая ее точка. Процесс перемещения здесь, конечно,
вряд ли представляет интерес — важно знать лишь на-
чальное и конечное положение каждой точки.
Так естественным и логичным путем мы приходим
к представлению о геометрическом преобразовании плос-
кости как о законе соответствия ее точек. Деформации же
и перемещения фигур — это нечто вторичное, это резуль-
таты преобразования. Ведь любая фигура состоит из
точек, и каждой из них ставится в соответствие новая
точка. Из этих новых точек образуется какая-то новая
фигура. Говорят, что она получается из исходной в ре-
зультате проведенного преобразования.
(При этом исходную фигуру естественно назвать про-
образом, а полученную — образом.)
•
Здесь может возникнуть закономерный вопрос: при
всяком ли преобразовании точки-образы соберутся в
столь же цельную фигуру, что и исходная? При каком
условии преобразованная фигура не распадется на части,
не рассыпется на точки?
Математики отвечают на этот вопрос так: если пре-
образование непрерывно.
Какой смысл вкладывается в этот термин? В поисках
ответа на вопрос давайте немножко поэксперименти-
руем. В качестве исходного пункта выберем из точек-
прообразов какую-то одну. А затем по соседству с ней
будем брать все новые точки, неограниченно к ней при-
ближающиеся.
Что будет происходить с образами этих точек? Если
их последовательность стремится к образу исходной точ-
ки, то о преобразовании говорят, что оно в этой точке
непрерывно. Если же оно непрерывно в любой точке
плоскости, то о нем говорят еще короче: непрерывное
преобразование.
104
Если несколько поступиться строгостью, которая весь-
ма утяжелила приведенное определение, можно сказать,
что непрерывное преобразование — это такое, которое
близкие точки переводит в близкие.
Таковы, например, все преобразования, с которыми
мы уже познакомились. Взять хотя бы центральную сим-
метрию. Ее непрерывность вы можете проверить на
деле — за знакомой вам игрой в фишки, ведя ее по пред-
ложенной нами стратегии. Если противник станет сгу-
щать свои фишки вокруг какой-то одной, то и ваши от-
ветные фишки, очевидно, будут ложиться все ближе
к образу точки сгущения, выбранной противником, где бы
он ее ни выбрал. А это и означает, что центральная сим-
метрия — преобразование непрерывное.
Напоследок перечтем еще раз формулировку, кото-
рая ложится в основу всех наших дальнейших рассуж-
дений: «Геометрическое преобразование плоскости есть
закон, согласно которому каждой точке плоскости ста-
вится в соответствие определенная точка той же плос-
кости».
После всего сказанного каждое слово этого опреде-
ления выявило для нас свой смысл, кроме, пожалуй,
слов «той же». Почему, взяв какую-то точку плоскости,
мы должны брать соответствующую ей обязательно на
той же плоскости? Разве нельзя рассматривать соответ-
ствия точек двух разных плоскостей?
Луч кинопроектора ставит в соответствие каждой точ-
ке кинокадра определенную точку экрана. Как это опи-
сать на математическом языке?
«Отображение» — вот то слово, которое употребил бы
здесь математик вместо слова «преобразование». Мате-
матик сказал бы, что луч проектора отображает плос-
кость кадра на плоскость экрана.
Умудренные знанием того, что всякое геометриче-
ское преобразование есть закон соответствия точек, бро-
сим ретроспективный взгляд на фотографию с тракто-
ром и картинку с минаретом, которыми мы поясняли
преобразования параллельного переноса, поворота, и
зеркальной симметрии.
Разберемся, исходя из «точечной» концепции, какие
соответствия устанавливаются при каждом из этих пре-
105
образований между точками-прообразами и точками-
образами.
Итак, параллельный перенос. Какую бы точку плос-
кости мы ни соединили с ее образом, мы всегда будем
получать отрезок одной и той же длины и направления
(заметим, что он считается направленным от точки-про-
образа к точке-образу). Вектор параллельного перено-
са — вот как называется этот направленный отрезок.
Теперь поворот. Точка, вокруг которой он совершает-
ся, называется центром поворота. При этом отрезки,
соединяющие с центром поворота любую точку-прообраз
и соответствующую ей точку-образ, равны друг другу по
длине и образуют один и тот же по величине и направ-
лению угол, называемый углом поворота (заметим, что
он отсчитывается от направления на точку-прообраз до
направления на точку-образ; он считается положитель-
Центральная симметрия
относительно центра О
Л'О-ОА 8'0*03
Р'ОЛ 180°
106
ным, если отсчитывается против часовой стрелки, и отри-
цательным—если наоборот).
Зеркальная симметрия. Отрезок, соединяющий любую
точку-прообраз с соответствующей ей точкой-образом,
перпендикулярен оси симметрии и делится этой осью
пополам.
Наконец, центральная симметрия. Отрезок, соединяю-
щий любую точку-прообраз с соответствующей ей точ-
кой-образом, проходит через центр симметрии и делится
им пополам.
Не утомились ли вы, читатель, от всех этих преобра-
зований и отображений, переносов и поворотов? Не пере-
дохнуть ли нам? Не уделить ли пару минут физкультуре?
...На зеленом ковре стадиона — спортсмены в ярких
костюмах, участники массового представления. Вот они
собрались в круг в самом центре поля, вот круг превра-
тился в звезду, вот звезда распалась на буквы, протянув-
шиеся по зеленому фону словами лозунга...
Наш наметанный глаз сразу усматривает в подобных
перестроениях зримые образы теории геометрических
преобразований. Каждый спортсмен, замерев на месте
точкой некоторой фигуры, знает, в какую точку зеленой
плоскости поля он должен переместиться, чтобы образо-
валась новая фигура. А правило соответствия точек —
это и есть геометрическое преобразование.
Но вот, окончив выступление и построившись в ко-
лонну, спортсмены уходят. Четкий прямоугольник плывет
по полю. Как теперь описать происходящее математиче-
ским языком? Как выразить самую существенную гео-
метрическую черту этого прямоугольника — его неиз-
менность?
Спортсмены держат равнение. Интервалы между ше-
ренгами, промежутки между спортсменами в каждой
шеренге остаются постоянными. Сохраняется расстояние
между любыми двумя спортсменами, шагают ли они бок
о бок или находятся в разных концах прямоугольника.
Вспомним, как в самом начале разговора о геометри-
ческих преобразованиях, передвигая и поворачивая фото-
графию с трактором, мы отметили, что изображение трак-
тора не изменяло ни размеров, ни формы, оставалось
равным самому себе. Теперь мы понимаем, в чем тут
107
дело: параллельные пере-
носы и повороты плоскос-
ти оставляют неизмен-
ными расстояния между ее
точками.
Так «точечная» концеп-
ция привела нас к просто-
му и исчерпывающему оп-
ределению равенства фи-
гур: две фигуры равны
друг другу, если одну из
них можно перевести в
другую некоторым преобразованием, сохраняющим рас-
стояние между точками.
Такие преобразования называются ортогональными.
К ним принадлежит параллельный перенос и поворот,
осевая и центральная симметрия. Никаких других орто-
гональных преобразований плоскости не существует.
Между пунктами А и В прокладывается дорога. Есте-
ственно желание сделать ее покороче. Однако по прямой,
соединяющей А и В, дорогу прокладывать нельзя: на
пути — широкая река. Через реку придется перекидывать
мост — разумеется, перпендикулярно ее берегам.
Где же построить мост, чтобы дорога получилась
кратчайшей из возможных?
Мы не зря привели эту задачку вслед за разговором
о геометрических преобразованиях, ибо ее изящное ре-
шение опирается на преобразование переноса.
Решение ясно из чертежа. Если вы любитель геомет-
рических головоломок, разберитесь в нем, и вы поймете,
что путь АСС'В короче любого другого пути из А в
В — скажем, ADD'В. Сравнение становится особенно
убедительным, если участки АС и AD заменить равными
им участками А'С' и A'D', которые получаются из преды-
дущих переносом на вектор, равный ширине реки и пер-
пендикулярно направленный к ней от точки А. Тогда
остается доказать, что прямолинейный отрезок, соеди-
няющий точки А' и В, короче ломаной A'D'B, а это уже
очевидно.
Не правда ли, как упростилась задача благодаря
простому преобразованию переноса! А преобразование
108
симметрии? Оно тоже не-
редко служит ключом к
решению трудных геомет-
рических задач.
Мы надеемся, что чита-
тель уже готов согласить-
ся с нами: геометрические
преобразования — важ-
ный инструмент математи-
ческих исследований.
Традиционные русские
матрешки. Традиционный вопрос на сообразительность,
которым сопровождаются набсфы схожих картинок в раз-
влекательных отделах популярных журналов.
Какие различия вы видите здесь? Чем отличаются
друг от друга эти матрешки в верхнем ряду?
Выражения лиц — одинаковые. Узоры на платках —
одинаковые. Кроме роста, как-будто бы различий нет.
Ошибаетесь, читатель. Если бы дело было только в
росте, ряд матрешек был бы другим (нижний ряд).
Дело здесь не только в росте, но и в ширине. Если
не в меру раздавшихся матрешек из второго ряда сжать
с боков, получится тот привычный их набор, который
приведен в первом ряду.
Теперь давайте разберемся пообстоятельнее, какие
генетические связи существуют между всеми матрешка-
ми. Как, например, совершается переход слева направо
в том и другом ряду? И там и тут сосредоточим свое вни-
мание на матрешках, различающихся по росту в два
раза (рис. на стр. 110)..
Уже привычный нам «точечный» подход к делу позво-
лит и сейчас внести полную ясность в поставленную
проблему. Возьмем произвольную точку на левом
изображении в нижнем ряду и опустим ее перпендику-
лярно линии пола так, чтобы ее расстояние до этой линии
сократилось ровно в два раза.
То же самое проделаем со всеми другими точками
плоскости. И тогда изображение станет таким, как пока-
зывает прерывистая линия.
Вот так описывается преобразование сжатия в терми-
нах соответствия точек. Линия пола, к которой в нашем
109
примере придвигались точки плоскости, называется осью
сжатия.
И еще один термин: коэффициент сжатия. Это
число, указывающее, в каком отношении находятся но-
вое и старое расстояния точки до оси сжатия. В нашем
примере коэффициент сжатия равен половине, но мог бы
равняться любому другому ненулевому числу. Например,
трети. Тогда матрешка уменьшила бы свой рост в три
раза. В качестве коэффициента сжатия можно взять и
число большее единицы. Тогда это будет уже не сжа-
тие, а растяжение.
/омотетия	Подобие
с центром О	с коэффициентам к-~
и коэффициентом
к оси * *	к оси * *
с коэффициентом с коэффициентом
д'с-Цас	/ГвЦа'о
по
Генетические связи между четырьмя матрешками на
нашем рисунке начинают понемногу проясняться. Чтобы
совершить переход слева направо в нижнем ряду, нужно
сначала совершить сжатие к горизонтальной оси, а за-
тем параллельным переносом поставить сжатую матреш-
ку на свое место. Чтобы превратить ее в стоящую над
нею в верхнем ряду, нужно сжать ее к вертикальной оси
и совершить еще один параллельный перенос — снизу
вверх.
Ну, а как совершается переход слева направо в верх-
нем ряду? Задумавшись над этим вопросом, мы поймем,
как опрометчиво называть матрешек из верхнего ряда
различающимися лишь ростом. У них различаются все
размеры и притом в одно и то же число раз. Чтобы выра-
зить эту мысль предельно четко (на «точечном» языке,
как догадывается читатель), будем мыслить правую
матрешку в верхнем ряду полученной из левой в резуль-
тате некоторого геометрического преобразования. Опре-
деляющее свойство этого преобразования в том, что рас-
стояние между любыми двумя точками оно изменяет в
одно и то же число раз. Такое преобразование называ-
ется подобием, а присущая ему мера изменения расстоя-
ний — коэффициентом подобия. (В данном случае он ра-
вен половине.)
Стоит отметить, что, изменяя расстояния, длины от-
резков, подобие сохраняет углы между отрезками и, ста-
ло быть, формы фигур.
Какова же, так сказать, техника преобразования по-
добия? В чем состоит закон соответствия точек, задаю-
щий подобие?
Эти вопросы подводят нас еще к одному геометриче-
скому преобразованию. Называется оно гомотетией, или
сжатием к точке, или центрально-подобным преобразова-
нием. Первый из этих трех терминов звучит мудрено, но
он вполне разъясняется картинками, помещенными на пре-
дыдущей странице.
Точка, к которой сжимается плоскость, называется
центром гомотетии. (Его роль на картинке играет се-
редина основания матрешки.) Эта точка остается непод-
вижной, совпадает со своим образом. Образ любой дру-
гой точки берется на луче, соединяющем ее с центром
гомотетии, с таким расчетом, чтобы отношение расстоя-
ний от центра до точки-образа и точки-прообраза равня-
111
лось определенному числу, называемому коэффициентом
гомотетии. (В нашем примере он равен половине.)
Сжатая к точке, наша матрешка превратится в свой
центрально-подобный образ, очерченный прерывистым
контуром. Теперь, передвигая по плоскости и поворачи-
вая центрально-подобный образ матрешки, мы всегда
будем получать ее подобный образ, например, тот, что
находится справа в верхнем ряду.
Заметим, что центром гомотетии может служить лю-
бая точка плоскости, даже не принадлежащая преобра-
зуемой фигуре. Например, если бы им была точка, отме-
ченная на нашем рисунке крестиком, мы получили бы
правую матрешку верхнего ряда из левой в один прием,
не прибегая к дальнейшим перемещениям, лишь совер-
шив гомотетию с тем же коэффициентом.
Вглядимся еще раз в квартет матрешек, служивший
нам иллюстрацией в предыдущем разделе. Матрешка в
правом верхнем углу дважды была итогом последова-
тельных преобразований, но эти преобразования были
различными.
Сначала их последовательность была такой: сжатие
к горизонтальной оси — параллельный перенос — сжа-
тие к вертикальной оси — параллельный перенос. Потом
такой: гомотетия — параллельный перенос.
При решении геометрических задач нередко прихо-
дится совершать несколько следующих друг за другом
преобразований. И если их результат можно получить
путем одного преобразования, то оно называется произ-
ведением тех нескольких, которые дают тот же результат.
Введя в оборот новый термин, мы можем сказать, что
превращение левой нижней матрешки в правую верхнюю
есть произведение:
(сжатие к горизонтальной оси) X (параллельный пе-
ренос) X (сжатие к вертикальной оси) X (параллельный
перенос).
А превращение левой верхней матрешки _ в правую
верхнюю есть произведение такого вида:
(гомотетия) X (параллельный перенос).
А что, если в обоих произведениях опустить парал-
лельные переносы? И логика, и чертеж подсказывают
очевидный ответ: произведение двух сжатий ко взаимно
112
перпендикулярным прямым есть гомотетия. Двух сжатий
с одинаковыми коэффициентами.
Ну, а если два сжатия ко взаимно перпендикулярным
прямым выполнить с разными коэффициентами? Пример
такого произведения преобразований можно усмотреть
в картинах Эль Греко. Изображая натуру на холсте, ху-
дожник, очевидно, сжимал ее по горизонтали гораздо
сильнее, чем по вертикали, добиваясь тем самым боль-
шей выразительности.
А вот другой пример — из древнерусской живописи.
Известна икона, на которой изображен Кирилл Белозер-
ский, основатель древнего монастыря, названного его име-
нем. Икона написана знаменитым Дионисием в те вре-
мена, когда Кирилл уже был объявлен святым. Желая
придать его облику возвышенные черты, живописец при-
бегает к тому же приему, что Эль Греко. Особенно явно
этот прием обнаруживается при сравнении иконы с при-
жизненным изображением Кирилла, написанным в весь-
ма реалистической манере.
Эль Греко и Дионисий, матрешки и минареты... Рас-
сказ о них познакомил нас с преобразованиями парал-
лельного переноса и поворота, зеркального отражения и
сжатия.
Все это — представители обширного семейства так
называемых аффинных преобразований. Принадлеж-
ность к этому семейству определяется простым усло-
вием: аффинное преобразование любую прямую превра-
щает в прямую.
Эту определяющую черту аффинных преобразований
наглядно и убедительно демонстрирует каждый из четы-
рех представителей замечательного семейства, упомяну-
тых в начале этого раздела. Про параллельный перенос,
поворот и зеркальное отражение мы уже знаем, что они
сохраняют формы фигур, стало быть, они сохранят и
прямолинейность любой прямой линии. Что же касается
сжатия, то и при нем, как несложно показать, любая
прямая перемещается с сохранением своей прямолиней-
ности, образуя с осью сжатия подобие ножниц (если пе-
ресекает эту ось) или тисков (если параллельна ей).
Очевидно, что прямая останется прямой и после не-
скольких преобразований, если каждое из них не нару-
113
шит ее прямолинейности. Именно это и имеют в виду
математики, когда говорят, что любое произведение аф-
финных преобразований есть аффинное преобразование.
Это означает, например, что прямая сохранит свой строй-
ный вид при гомотетии — ведь ее можно выполнить за
счет двух сжатий, и при подобии — ведь оно предста-
вимо произведением гомотетии, параллельного переноса
и поворота.
Итак, и гомотетия, и подобие — это аффинные преоб-
разования. Почему же их не было среди тех примеров,
которыми начинался этот раздел? Почему мы назвали
тогда лишь параллельный перенос и поворот, зеркальное
отражение и сжатие?
Потому, что в мире аффинных преобразований эта
четверка играет основную, фундаментальную роль, по-
рождая собой весь этот мир — подобно тому, как всю
нашу Вселенную античные мудрецы представляли порож-
дением четырех стихий (земли, воды, воздуха и огня).
А говоря точнее, любое аффинное преобразование можно
представить произведением таких «сомножителей»:
параллельный перенос,
поворот,
зеркальное отражение,
два сжатия ко взаимно перпендикулярным осям.
Предвидим недоумение читателя: как может эта чет-
верка порождать собой все без исключения аффинные
преобразования, разнообразие которых неисчислимо?
Попытаемся разъяснить суть дела аналогией.
...Затихли зрители, зазвучала музыка, и очередная
пара конькобежцев-фигуристов начала свою обязатель-
ную программу. Всего лишь шесть канонических фигур
должны исполнить спортсмены: парное вращение, парал-
лельное вращение, параллельный прыжок, тодес, под-
держка, дорожка шагов. Но как не похожи друг на друга
выступления различных пар! Это вполне объяснимо:
каждая из обязательных фигур допускает широкие ва-
риации в пластике движений, которая определяется за-
мыслом всего выступления, сопровождающей его музы-
кой.
Примерно так же дело обстоит и с аффинными преоб-
разованиями. Их неисчислимое разнообразие сводимо
к четверке основных, потому что каждое из этих четырех
преобразований допускает широкие вариации своих черт.
По-разному можно выбирать оси сжатия и отражения,
114
различными могут быть коэф-
фициенты сжатия, поворот мож-
но совершать вокруг любого
центра и на любой угол, пере-
нос — на любой вектор.
Быть может, только что ска-
занное не убедило кое-кого и из
наших читателей. Быть может,
кто-то упорно подыскивает пример аффинного преобразо-
вания, которое невозможно представить произведением
четырех основных.
Вот, скажем, сдвиг. Наглядное выражение этого пре-
образования — квадрат, превращающийся в параллело-
грамм с тем же основанием и той же высотой. Или, если
нужны образы поматериальнее, кусочек стирательной ре-
зинки, сдвинутый легким нажатием пальца. Какую пря-
мую ни провести на резинке, она останется прямой, лишь
слегка изменит свой наклон. А это и означает, что дан-
ное преобразование — аффинное.
Но представимо ли оно произведением четырех ос-
новных?
Да, представимо. Это становится особенно ясным,
если в квадрат, подвергаемый сдвигу, вписать окруж-
ность. Эксперимент с резинкой подтвердит: при сдвиге
эта окружность превращается в эллипс, причем взаимно
перпендикулярные диаметры эллипса получаются из вза-
имно перпендикулярных диаметров окружности.
Отметим эти диаметры на исходном круге, сожмем
его к этим осям до эллипса нужной формы, а затем па-
раллельным переносом и поворотом совместим этот
эллипс с тем, что получился из окружности при сдвиге,
Вот мы и представили преобразование сдвига произведе-
нием трех из четырех основных аффинных преобразо-
ваний.
(Как видим, в представлении того или иного аффин-
ного преобразования отнюдь не должны участвовать все
четыре основных. Кстати, преобразуя друг в друга матре-
шек, мы тоже обходились лишь сжатиями и переносами,
без отражений и поворотов. Наконец, «чистое» отражение
или сжатие представляется произведением, состоящим из
одного-единственного «сомножителя».)
115
Эксперименты с резинкой могли бы познакомить нас
еще с одной интересной особенностью аффинных преоб-
разований.
Сеткой параллельных линий рассечем резинку на па-
раллелограммы. Сжимая резинку так, чтобы прямые на
ней сохраняли свою прямолинейность и только изменя-
ли бы свой наклон, мы увидим, что любые две парал-
лельные прямые поворачиваются на один и тот же угол и,
стало быть, остаются параллельными. Поэтому все па-
раллелограммы сетки будут оставаться параллелограм-
мами и после сжатия. Правда, их стороны будут пересе-
каться уже под другими углами. ’
Итак, любой параллелограмм остается параллело-
граммом при сжатии. Переправив точку в конце этой
фразы на запятую, мы могли бы продолжить: «а также
при параллельном переносе, повороте и зеркальном отра-
жении»— ведь все три эти операции не деформируют
фигуры.
Распространив свое утверждение на все четыре ос-
новных аффинных преобразования, заключаем: любой
параллелограмм останется параллелограммом при вся-
ком аффинном преобразовании.
Эту характерную особенность можно расценивать как
надежный опознавательный признак аффинных преобра-
зований.
У читателя мог возникнуть вопрос: почему в рассказе
об аффинных преобразованиях мы обходим молчанием
центральную симметрию? Она превращает прямые ли-
нии опять-таки в прямые и, стало быть, принадлежит
к аффинному семейству. Почему же мы забываем о ней?
Упрек в забывчивости не обоснован. Центральная
симметрия упомянута в перечне основных аффинных пре-
образований. Ведь она представляет собой поворот на
180 градусов, убедитесь в этом.
(Впрочем, ее можно истолковать как гомотетию, если
в качестве коэффициентов гомотетии признавать также
и отрицательные числа. Нужно только учесть, что при
гомотетии с отрицательным коэффициентом точка-образ
и точка-прообраз берутся по разные стороны от центра
113
гомотетии, разумеется, на одной с ним прямой. И когда
отношение их расстояний до центра приравнивается ко-
эффициенту гомотетии, одно из этих расстояний берется
со знаком «минус». Учтя это, легко понять: центральная
симметрия есть гомотетия с коэффициентом минус еди-
ница.
Даже не прислушиваясь к словам, по одной лишь
интонации говорящего можно понять, что его речь бли-
зится к концу.
Проницательный читатель, вероятно, уже догадался,
что наш рассказ об аффинных преобразованиях заканчи-
вается. Да так оно и есть, по существу: окинув беглым
взглядом все семейство этих преобразований, мы научи-
лись представлять каждое из них произведением четвер-
ки основных. Чего же боле?
Но чудится нам, будто именно эти завершающие нот-
ки будят в проницательном читателе ощущение незавер-
шенности.
Все аффинные преобразования, о которых говорилось
до сих пор, совершались на плоскости. В трехмерном про-
странстве, вероятно, тоже можно рассматривать аффин-
ные преобразования, определив их как превращающие
любую прямую опять-таки в прямую. С практической же
точки зрения ознакомиться с ними было бы намного по-
лезнее — ведь мы живем в трехмерном мире, а не на
плоскости.
Полезнее — с этим нельзя не согласиться. Но все
существенные черты аффинных преобразований про-
странства присущи и аффинным преобразованиям плос-
кости. Вести же объяснения на плоскости гораздо проще.
И если объяснения понятны — выводы легко перенести
на пространственные объекты.
Поняв, как плоские фигуры сжимаются к прямой
(помните картинки с матрешками?), легко сообразить,
как пространственные тела сжимаются к плоскости
(представьте матрешек объемными!).
Разобравшись, как двумерные фигуры поворачивают-
ся вокруг точки (помните фотографии с трактором?),
легко уяснить, как трехмерные тела вращаются вокруг
прямой (вообразите реальный трактор, с которого сде-
ланы снимки!).
Но нам знакомы пространства и большего числа из-
мерений. Аффинные преобразования пригодились бы и
там при решении задач, допускающих геометрическую
117
трактовку. Как перенести туда опыт, накопленный нами
при аффинных преобразованиях двумерной плоскости?
Вспомним: об jV-мерном пространстве мы заговорили,
уже владея методом координат. Этот метод поможет нам
и сейчас.
Возьмем любое из преобразований плоскости, уже
освоенных нами. Но теперь дополним плоскость прямо-
угольной системой координат.
Что есть преобразование плоскости? Закон, по кото-
рому каждой ее точке, называемой прообразом, ставится
в соответствие точка, называемая образом.
С позиции метода координат каждая точка плоскос-
ти — это пара чисел, пара ее координат.
Перефразируя предыдущий абзац в согласии с только
что сказанным, будем говорить, что преобразование
плоскости по определенному закону ставит в соответствие
некоторой паре чисел (абсциссе и ординате точки-прооб-
раза) опять-таки пару чисел (абсциссу и ординату точки-
образа).
Соответствия чисел мы привыкли называть функция-
ми. Итак, каждая из координат точки-образа есть функ-
ция двух переменных, каковыми являются координаты
точки-прообраза.
Это важный вывод, его следует запомнить. И хоро-
шо бы ради этого разобрать какой-либо пример.
Ну, скажем, функциями какого вида описываются
аффинные преобразования?
Возьмем для начала самое простое из них — парал-
лельный перенос. Несложный чертеж подсказывает, как,
зная вектор переноса, описать в координатной форме
соответствие между точкой-прообразом и точкой-образом:
к абсциссе точки-прообраза следует прибавить абсциссу
вектора переноса, то же самое сделать с ординатами, и
получатся координаты точки-образа.
Возьмем сжатие. Прямую, к которой сжимается плос-
кость, примем за ось обсцисс. Тогда ордината любой
точки при сжатии изменится во столько раз, каков коэф-
фициент сжатия. Иначе говоря, она умножится на этот
коэффициент. Абсцисса же любой точки останется неиз-
менной. (Это можно истолковать как умножение на еди-
ницу — вскоре мы увидим, что такое толкование не слу-
чайно.)
Теперь рассмотрим сдвиг. Ось абсцисс сориентируем
по направлению сдвига. И тогда мы заметим, что орди-
118
о
ната любой точки остается неизменной при сдвиге (умно-
жается на единицу).
А вот с абсциссой дело обстоит сложнее.
Чтобы вычислить ее для некоторой точки-образа,
нужно взять абсциссу соответствующей точки-прообраза
и прибавить к ней ординату точки-прообраза, умножен-
ную на некоторый коэффициент (если быть точным — на
тангенс угла, на который при сдвиге поворачиваются вер-
тикальные прямые).
Напрашивается вывод: при всяком аффинном преоб-
разовании плоскости каждая координата любой точки-
образа выражается через координаты соответствующей
точки-прообраза с помощью умножения их на некоторые
постоянные коэффициенты и последующего сложения.
Так оно и есть на самом деле.
Набор коэффициентов, на которые умножаются коор-
динаты точки-прообраза,— свой для каждого преобра-
зования. Этот набор невелик — всего четыре числа. В са-
мом деле, два числа умножаются на абсциссу и ордина-
ту точки-прообраза при вычислении абсциссы точки-обра-
за (выпишем в строчку эту пару чисел), два — при вы-
числении ординаты точки-образа (эту пару чисел припи-
шем снизу к выписанным прежде).
Квадратная табличка из четырех чисел, которая обра-
зовалась у нас, называется матрицей преобразования.
Читатель, понаторевший в математической термино-
логии, перефразирует сказанное так: каждая координата
любой точки-образа (первая, вторая и т. д.) выражается
линейной комбинацией координат соответствующей точ-
ки-прообраза, причем коэффициентами этих линейных
комбинаций служат числа из строчек матрицы преобра-
зования (из первой, второй и т. д.).
В том случае, когда в ходе аффинного преобразова-
ния совершается параллельный перенос, к каждой такой
линейной комбинации прибавляется соответственная
компонента вектора переноса. Эти два дополнительных
слагаемых не представляют большого интереса — ведь
стоящий за ними перенос не деформирует фигур и даже
не наклоняет их. Всеми подобными деформациями пра-
вят числа в строчках матрицы преобразования.
Вот почему эта компактная числовая табличка слу-
жит одной из важнейших характеристик аффинного пре-
образования.
120
Аффинное преобразование, представленное этими ри-
сунками, выполнил знаменитый немецкий художник Аль-
брехт Дюрер в своем трактаке «Наставление изменять
все меры». (Наряду с рисунком мастера здесь приведена
его нарочито «уточненная» копия.)
Что же произошло с физиономией (рисунок слева)
в результате преобразования (рисунок справа)? Лоб из
нависающего сделался скошенным, подбородок выдался
вперед, а затылок — назад...
Чем детальнее мы станем описывать результаты
происшедшего, тем яснее будем ощущать, как помогает
такому описанию разметочная сетка. В сущности, все
описание можно свести к показу того, что произошло
с сеткой: ведь все детали изображения остались в своих
клетках.
(Подобным приемом пользуются не слишком опыт-
ные рисовальщики, когда делают копии иного масштаба,
нежели оригинал. Прибегая к уже освоенной терминоло-
гии, можно сказать, что копиист совершает при этом
преобразование подобия. Рисунок Дюрера позволяет
обобщить этот прием на произвольное аффинное преоб-
разование.)
Итак, вместо рассказа о том, что произошло с изобра-
жением, проще рассказать о том, что произошло с сет-
кой. Но сетка состоит из совершенно одинаковых парал-
лелограммов, и каждый из них преобразился совершенно
одинаковым манером. Так что проще всего рассказать
только о том, что произошло с одним каким-то паралле-
лограммом, например, с левым нижним.
Но пойдем еще дальше по пути упрощений. Всякий
параллелограмм образован четырьмя попарно равными
и параллельными сторонами. Поэтому весь рассказ
о преобразовании можно ограничить справкой о том, что
произошло с какими-либо двумя смежными сторонами
краеугольного параллелограмма,— например, какими
стали его нижнее основание и левая боковая сторона.
121
Вычертим их в преобразованном виде. Достроим этот
уголок до параллелограмма., Пристраивая к нему дру-
гие, вычертим всю преобразованную сетку. Остается рас-
ставить по ее клеточкам детали преображенного рисун-
ка, благо канву можно сделать сколь угодно густой.
Все получилось легко и просто. А в чем секрет про-
стоты?
На этот вопрос мы дадим два ответа.
Прежде всего заметим, что уголок, на котором мы
выстроили всю преобразованную сетку, можно задать
лишь тремя точками — вершиной уголка и концами его
сторон. Существенно, что эти точки не лежат на одной
прямой, иначе уголок не был бы уголком и никакую сет-
ку на нем мы построить не смогли бы. Перефразируя
говорившееся ранее, можно сказать: все происшедшее
с изображением полностью определяется тем, что про-
изошло с тремя точками сетки.
Но ведь сетка могла быть какой угодно. Это значит,
что все происшедшее с изображением полностью опреде-
-7 0/
Образ первого компоненты образа
базисного	первого базисного
бектора	векторов базисе/ё^ё^

базисные
векторы
Пбраз второго вомлоненты образа
базисного второго базисного
бектора	бектора б базисе/её^
Матрица преобразования:
4 2 3 д 5 в 7 8 9 70 11 72 73 74 76 76 77
Пример: данное преобразование
топке М с координатами(39 2)
! ставит б соответствие тоикр
М' С координатами/72,4)
диена первой
боординать/ строки матрицы
топки-образаМ*преобразования
V"''—12-1-3 +(-1)-2 * 11.
\ воордтаты /	\
\. топки-прообраза И	\
Посла второй бомлоненты
строки	вектора перено-
z	матрицы са ос -лоорди-1
компоненты образа :'бомпОненты образа преобразования наты тонки
первого базисного второго базисного	образа нонана
бектора	бектора	координат
.122
ляется тем, что произошло с какими-то тремя точками,
плоскости, не лежащими на одной прямой. Потому мате-
матики и говорят, что любое аффинное преобразование
плоскости полностью задается попарным соответствием
между двумя тройками точек, если каждые три — и точки
прообразы и точки-образы — неколлинеарны (то есть не
лежат на одной прямой).
Теперь подойдем к делу с другой стороны.
Разметочная сетка, накинутая на исходное, левое
изображение,— это система координат. Левый нижний
уголок сетки — это пара базисных векторов. Информации
о том, что произошло с базисными векторами, вполне
хватило для того, чтобы описать результаты всего преоб-
разования в целом. А эту информацию можно передать
всего четырьмя числами, четырьмя компонентами преоб-
разованных базисных векторов в исходном базисе — по
две компоненты от каждого вектора.
Компоненты преобразованных базисных векторов вы-
пишем в столбцы, столбцы составим в таблицу. Оказы-
вается, у нас получится не что иное, как матрица преоб-
разования.
(Подчеркнем: компоненты преобразованных базисных
векторов указываются все в том же исходном базисе. Но
базис пространства можно выбрать по-разному. Это зна-
чит, что в разных базисах матрица преобразования будет
иметь не один и тот же вид, будет состоять из различ-
ных чисел).
Теперь становится понятным, как в матричном виде
описать любое аффинное преобразование и в трехмер-
ном, и в четырехмерном пространстве, и в пространстве
любого числа измерений. Введем в пространстве некото-
рый базис и к каждому базисному вектору подойдем
с вопросом: в какой вектор он превращается в резуль-
тате преобразования? Координаты преобразованных ба-
зисных векторов в исходном базисе выстроим в столбцы,
из столбцов образуем квадратную таблицу. Это и будет
матрица данного преобразования, описывающая его дей-
ствие в данном базисе. Строки матрицы дадут коэффи-
циенты линейных комбинаций, которыми при данном
преобразовании координаты любой точки-образа в дан-
ном базисе выражаются через координаты соответствую-
щей точки-прообраза.
Если в ходе аффинного преобразования совершается
параллельный перенос, к каждой из этих линейных ком-
123
бинаций нужно будет приписать дополнительное сла-
гаемое — соответственную компоненту вектора переноса.
Как же найти эти слагаемые? Г1роще всего посмотреть,
какая точка в ходе преобразования ставится в соответ-
ствие началу координат. Очевидно, координаты этой точ-
ки и будут представлять собой компоненты вектора пе-
реноса, искомые слагаемые. Их не потребуется (точнее,
они будут равны нулю), если при данном преобразова-
нии начало координат остается на месте.
К сожалению, в матричном виде, простой таблицей
чисел представимо не всякое геометрическое преобразо-
вание.
Матрица преобразования — это, так сказать, прото-
кол о происшествии с базисными векторами. Базис же
можно ввести лишь в линейном пространстве.
Судя по рисунку Дюрера, в происшествии с базисны-
ми векторами лишь тогда полностью отразится произо-
шедшее со всей плоскостью, если преобразование превра-
щает параллелограммы в параллелограммы, прямые в
прямые. Это свойственно лишь аффинным преобразо-
ваниям.
Итак, матричное представление возможно лишь для
аффинных преобразований линейных пространств.
ГРУППЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Чем кончится это столкновение? Миром? Жестокой
схваткой? Или чьим-то позорным бегством?
«Позвольте, о каком столкновении вы говорите? —
мог бы сказать математик, поглядев на эту картинку.—
Ведь здесь два раза изображена одна и та же рыба.
Одна рыба равна другой с точностью до преобразо-
вания».
Заметившему это не откажешь в правоте. Стоило бы
только сделать ее более явной, разъяснив замысловатое
выражение «с точностью до преобразования».
Как в цирке при исполнении рискованного номера над
манежем натягивают предохранительную сетку, так и мы
ради надежности выводов прибегнем к сетке — разме-
точной. Нанесем ее на изображения наших рыб.
Теперь начнем преобразовывать правую рыбу (см. стр.
126). Сжатие по вертикали и горизонтали.
Поворот. Параллельный перенос. Отражение.
Действительно, две рыбы совместились в одну.
Итог проделанных дей-
ствий и выражается сло-
вами: изображения равны
с точностью до преобра-
зования.
«До аффинного преоб-
разования»,— вставил бы
уточняющую реплику ма-
тематик. Определяющий
признак аффинных преоб-
разований (прямые в пря-
мые) наглядно проявился
в той стройности, которую
сохранил узор рыбьих че-
шуек. Оно и понятно —
все, чему подвергалось
изображение рыбы, пред-
125
ставляло собой аффинные
преобразования.
Потому и параллело-
грамм, в который было за-
ключено изображение
правой рыбы, превратил-
ся опять-таки в паралле-
лограмм, правда, весьма
специального вида — в
прямоугольник. В этой
прямоугольности, конеч-
но, нет ничего фатально-
го — мы нарочно вели пре-
образование так, чтобы
параллелограмм принял
ту же форму, что и рам-
ка левого изображения.
Будь эта рамка другой, мы
выбрали бы другие оси и
коэффициент сжатия,
другой угол поворота и
вектор переноса, но в кон-
це концов обязательно
привели бы исходный па-
раллелограмм к нужной
конфигурации. В уже зна-
комых нам терминах эта
уверенность выражается
так: все параллелограммы
равны с точностью до аф-
финного преобразования.
Эту уверенность не-
трудно обосновать. Ведь
каждый из двух паралле-
лограммов, которые мы
хотели бы «приравнять»
друг другу аффинным пре-
образованием, можно за-
дать тремя вершинами.
Две эти тройки точек сво-
им попарным соответ-
ствием и определят нуж-
ное нам аффинное преоб-
разование.
Поборот-
-----Параллельный перенос
--------- Отражение--------
---------Изображения собнестились
126
Если забыть о параллелограммах и представить обе
эти тройки точек вершинами треугольников, наш вывод
примет такой вид: с точностью до аффинного преобра-
зования равны все треугольники.
С точностью до аффинного преобразования равны все
окружности и эллипсы, поскольку вторые можно полу-
чить из первых сжатием. И подобно тому, как прямо-
угольник есть разновидность параллелограмма, так
окружность есть разновидность эллипса — эллипс с рав-
ными осями.
Равны с точностью до преобразования...
Это магическое словосочетание — девиз одного из
важнейших математических методов.
Восхищения и уважения заслуживает тот исследова-
тель, который создает новые методы для решения новых
задач. Но не меньшего заслуживает тот, кто в хаосе
неизведанного сумел разглядеть черты изученного. Уви-
дел, что новую задачу можно свести к старой, уже ре-
шенной. Заметил, что к новой задаче применимы старые
испытанные методы. Сумел найти такое преобразование,
после которого сложная задача становится элементарной.
«Интеллект есть способность находить разницу в сход-
ном и сходство в различном»,— говорил французский
философ Шарль Монтескье.
Суметь увидеть сходство в различном, обнаружить,
что два предмета равны с точностью до некоторого пре-
образования, найти это преобразование — великое уме-
ние исследователя.
Если вы попытаетесь нарисовать профиль птичьего
крыла, то у вас, вероятно, получится нечто этакое:
Когда воздух обтекает крыло парящей
птицы, то по верхней поверхности крыла
он совершает более длинный путь, чем по
нижней, а стало быть, поверху движется
1013X1	быстрее, чем понизу. Известный закон
гидроаэромеханики гласит: чем выше
скорость потока, тем ниже давление в нем. Вот почему
давление обтекающего воздуха на нижнюю поверхность
127
крыла превышает давление на верхнюю. Так создается
подъемная сила, которая поддерживает парящую птицу.
Закономерности этого явления скрыты в картине
обтекания, в рисунке так называемых линий тока, по
которым движутся частицы воздуха, обтекающего крыло.
Как вычертить этот рисунок? Конечно, для этого можно
составить необходимые уравнения и приступить к их ре-
шению. Однако нужные результаты можно получить и
по-другому, идя в обход многих трудностей геометриче-
ским путем, сначала преобразовав картину реального
явления.
На профиль птичьего крыла ложится координатная
сетка. Каждая точка плоскости теперь представляется
парой чисел. От этой пары переменных берутся две функ-
ции. Их значения полагаются парой координат той же
плоскости. Так каждой точке ставится в соответствие
новая, совершается некоторое преобразование плоскости.
В результате точки, из которых состоял профиль пти-
чьего крыла, образуют другую фигуру. Какую же
именно?
Смотрите: причудливый профиль птичьего крыла пре-
вратился в круг, в профиль цилиндра, простого геометри-
ческого тела!
Две эти картинки весьма не похожи друг на друга. Но
есть у них нечто общее. Оказывается, образы точек, из
которых состоит любая линия тока на первой картинке,
образуют на второй опять-таки некоторую линию тока.
Это вытекает из математических свойств тех функций,
с помощью которых проводится описанное преобразо-
вание. Математики говорят, что оно сохраняет линии
тока.
Сказанное нам хотелось бы немедля отметить точным
математическим термином. Свойство геометрических
объектов, которое сохраняется после того или иного пре-
образования, называется инвариантом этого преобразо-
вания. Свойство «быть линией тока» — инвариант рас-
смотренного нами преобразования «крыло — цилиндр».
По рисунку линий тока, огибающих цилиндр, теперь
можно построить картину обтекания крыла. По данным
не сложно решаемой задачи об обтекании цилиндра
можно определить и подъемную силу крыла.
Что же это за преобразование, которое позволило так
удачно заменить исследование птичьего крыла задачей
об обтекании цилиндра? Его называют преобразованием
128
Преобразование
Жуковского ••
.. - х (1 л. °2	1
и~7 \f+x*+yt)
ir-JL If
и 2 *'	х*+у2)
Жуковского. В свое время эта замечательная находка
русского ученого сыграла важную роль в математиче-
ском обосновании созданного им учения о подъемной
силе.
«Зимой и летом — одним цветом»,— говорят про елку.
Используя эффектное словечко «инвариант», с которым
мы только что познакомились, мы могли бы сказать, что
Б. Зак. 1067
129
зеленый цвет елки инвариантен относительно смены вре-
мен года.
Однако наша цель не в том, чтобы уснащать свою
речь новыми эффектными выражениями, а в том, чтобы
на конкретных примерах выяснять точный смысл поня-
тий, появляющихся в нашем рассказе. Жаждущий точ-
ности читатель ждет от нас новых иллюстраций, которые
разъясняли бы понятие инвариантности.
Мы готовы предложить читателю такие иллюстрации,
только не на следующих, а на предыдущих страницах
нашей книги. Загляните туда, и вы увидите, что мы уже
хорошо знакомы с понятием инвариантности, хотя по
имени узнали его совсем недавно.
Помните про переносы и повороты трактора? Про
выворачивание колодца наизнанку? Назвав подобные
действия ортогональными преобразованиями, мы под-
черкнули, что они сохраняют расстояния между точками.
Итак, расстояние между любыми двумя точками — ин-
вариант ортогональных преобразований. Когда мы иска-
ли, где соединить мостом берега реки, разделяющей
пункты Л и В, нам помогло то, что длина любого отрезка
прямой инвариантна относительно параллельных пере-
носов.
Определяя аффинные преобразования самого общего
вида, мы говорили, что они переводят прямые линии в
прямые. Итак, свойство линии быть прямой — инвариант
аффинных преобразований.
Взявшись за это основное звено, усилием строгих до-
казательств можно вытянуть целую цепочку других инва-
риантов. Любое аффинное преобразование превращает
параллельные прямые в параллельные, а пересекающие-
ся — в пересекающиеся, причем точка пересечения преоб-
разованных прямых есть образ точки пересечения пря-
мых исходных. Любое аффинное преобразование пере-
водит отрезок прямой опять-таки в отрезок, и если
какая-то точка делит исходный отрезок в некотором от-
ношении, то ее образ будет делить в том же самом отно-
шении преобразованный отрезок. Наконец, любое аффин-
ное преобразование сохраняет отношение между площа-
дями преобразуемых фигур. Скажем, если до преобразо-
вания одна из них вдвое превышала другую по площа-
ди, то так оно останется и после преобразования.
Располагая столь небольшим запасом инвариантов,
можно доказать немало важных теорем. Скажем, строго
130
обосновать (попытайтесь!) вывод, полученный нами ког-
да-то экспериментальным путем в опытах со стиральной
резинкой,— что любой параллелограмм остается парал-
лелограммом при всяком аффинном преобразовании.
Можно решить немало трудных задач.
Ну, например: в данный параллелограмм вписать
эллипс наибольшей площади. Задача перестает быть за-
дачей и становится пустяком, если надлежащим аффин-
ным преобразованием превратить данный параллело-
грамм в квадрат. (Это возможно — ведь любые два па-
раллелограмма равны с точностью до аффинного преоб-
разования, а квадрат — разновидность параллелограм-
ма.) Среди всех эллипсов, которые можно вписать в
квадрат, наибольшую площадь очерчивает, очевидно,
окружность — эллипс с равными осями. У этой окруж-
ности есть замечательная особенность: сторон квадрата
она касается в их серединах.
Квадрат со вписанной в него окружностью превратим
теперь соответствующим аффинным преобразованием в
данный параллелограмм. Что станет при этом с окруж-
ностью? Она превратится в эллипс, и этот эллипс будет
наибольшим по площади среди всех, которые можно впи-
сать в данный параллелограмм,— ведь отношения пло-
щадей сохраняются при аффинных преобразованиях.
Точки, в которых он касается сторон параллелограмма,
будут серединами сторон — ведь отношение, в котором
точка делит отрезок, тоже сохраняется при аффинных
преобразованиях. Вот вам и решение поставленной за-
дачи: если требуется вписать в параллелограмм эллипс
наибольшей площади, впишите его так, чтобы он кос-
нулся каждой стороны параллелограмма точно в ее се-
редине.
Напоследок — короткое примечание.
131
Бывает, что образ некоторой фигуры, возникший в
результате преобразования, совпадает со своим прооб-
разом. Такую фигуру называют инвариантной относи-
тельно данного преобразования или говорят, что она пе-
реходит в себя. Например, при осевой симметрии в себя
переходит ось симметрии и все прямые, ей перпендику-
лярные. (Правда, у оси симметрии в себя переходит каж-
дая точка, и оттого эту прямую называют точечно-инва-
риантной относительно осевой симметрии, а про пря-
мые, перпендикулярные оси, такого не скажешь — их
называют инвариантными в целом.) Про фигуры, пере-
ходящие в себя при некотором преобразовании, говорят
также, что они неподвижны относительно этого преоб-
разования.
Возникновение науки геометрии древние греки свя-
зывали с именем полулегендарного мудреца Фалеса Ми-
летского. Он первый стал доказывать геометрические
выводы строгим логическим путем.
Приемы его доказательств не отличались сложнос-
тью. Например, равенство фигур Фалес устанавливал
наложением.
Что же это за операция — наложение? Какой мате-
матический смысл у этого действия, к которому из-за его
наглядности до сих пор прибегают на уроках геометрии?
Постарайтесь воскресить в своей памяти воспомина-
ния школьной поры, и вы согласитесь с нами: когда одну
фигуру мысленно накладывают на другую, то представ-
ляют, что она перемещается как одно жесткое целое.
Жесткость, интуитивно приписываемая перемещаемой
фигуре, имеет четкое математическое истолкование: это
значит, что расстояние между любыми двумя точками
фигуры остается неизменным в ходе перемещения.
Такая неизменность расстояний — определяющее
свойство ортогонального преобразования. Итак, наложе-
ние— это ортогональное преобразование. Точнее, целая
совокупность ортогональных преобразований: взаимное
расположение фигур, одна из которых накладывается на
другую, может быть различным; сколько вариантов рас-
положения, столько и ортогональных преобразований,
переводящих одну фигуру в другую, ей равную.
132
Раз уж мы зашли в своих воспоминаниях в школь-
ный класс, задержимся здесь еще на некоторое время и
прислушаемся к тому, что говорит учитель.
Он собирается доказывать теорему: «Каждая меди-
ана равностороннего треугольника совпадает с высотой,
опущенной на ту же сторону». Учитель рисует на доске
чертеж и просит учеников поточнее перерисовать его в
свои тетради.
Поточнее? Значит ли это, что треугольники в тетра-
дях учеников должны быть равны нарисованному на дос-
ке в том смысле, что их можно совместить наложением?
Но ведь это невозможно, тетрадь — не доска!
Впрочем, судя по тому спокойствию, с которым уче-
ники выполняют просьбу учителя, никто из них не нахо-
дит ее невозможной. Значит, они как-то по-иному пони-
мают слово «поточнее», руководствуются каким-то осо-
бым критерием равенства.
Если мы заглянем в чью-нибудь тетрадь, мы увидим
там уменьшенную копию чертежа на доске. Выражаясь
математически, рисунок учителя и рисунок в тетради
подобны друг другу.
Подобие — вот тот критерией равенства, которым ру-
ководствуются ученики. И это понятно. Ведь какие гео-
метрические свойства фигурируют в доказываемой тео-
реме и должны быть точно переданы при перерисовке
с доски? Только те, что определяют форму фигур: отно-
шения длин отрезков (равенство сторон треугольника и
тех частей, на которые они делятся медианами) и вели-
чины углов (высоты пересекаются со сторонами под пря-
мым углом).
Но отношения длин отрезков и величины, углов — это
инварианты преобразований подобия. Абсолютные вели-
чины отрезков не принадлежат к этим инвариантам —
но ведь о них и речи нет в теореме! Поэтому треуголь-
ники учеников и учителя не должны совпадать при на-
ложении, и тем не менее они равны — с точностью до
преобразования подобия.
А теперь пройдем по рядам и заглянем во все тетради.
Мы увидим треугольники одной и той же формы, но
весьма различных размеров. Ученики, не сговариваясь,
совершили целую совокупность преобразований подобия.
И все нарисованные треугольники — на доске, в тетра-
дях — одинаковы, если иметь в виду равенство с точ-
ностью до преобразования подобия.
133
Кстати сказать, в большинстве теорем эвклидовой гео-
метрии речь тоже идет лишь об отношениях длин и углах,
то есть о геометрических свойствах, которые сохраняют-
ся при преобразованиях подобия и общи для всех фигур
равных с точностью до этого преобразования. Никакой
выделенной единицы длины эвклидова геометрия не
знает. (Странно звучала бы такая формулировка, ска-
жем, теоремы Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов, если и та и другие измерены
в локтях».) Так что, обнаружив какое-то свойство у тре-
угольника, нарисованного в школьной тетради, мы с точ-
ки зрения эвклидовой геометрии можем с уверенностью
предсказывать то же свойство для любого подобного
треугольника, будь он образован тремя горными верши-
нами или тремя небесными телами.
Между тем учитель взялся за доказательство новой
теоремы: «Все медианы треугольника пересекаются в од-
ной точке, которая делит их в отношении 1 : 2. И снова
ученики перерисовывают с доски поясняющий чертеж
учителя.
Если теперь мы соберем тетради, нас поразит еще
большая свобода в копировании чертежа с доски. Пора-
зит, но не удивит.
Ведь какие геометрические свойства фигурируют на
сей раз в условии задачи? Только соотношения частей
отрезков (медианы определяются тем, что делят стороны
треугольника пополам, то есть в отношении 1 :1, а дока-
зать нужно, что сами они, пересекаясь, делятся в отноше-
нии 1:2).
Соотношение частей отрезка сохраняется при любом
аффинном преобразовании, это инвариант всей совокуп-
ности аффинных преобразований. А поскольку любые
два треугольника можно «приравнять» друг другу над-
лежащим аффинным преобразованием, то каждый уче-
ник волен рисовать в своей тетради какой угодно тре-
угольник, лишь бы его медианы были медианами, то
есть упирались в середины сторон треугольника.
Но если для доказательства теоремы пригоден любой
треугольник, то и вывод ее справедлив для любого тре-
угольника: медианы всегда пересекаются в одной точке
и всегда делятся при этом в отношении 1 : 2. Действи-
тельно, это так, какой треугольник ни возьми.
Вот ведь как хорошо получается: установив некото-
рый факт для одной конкретной фигуры, мы можем рас-
134
пространить свой вывод на все без исключения фигуры,
которые получаются из исходной с помощью некоторой
совокупности преобразований. Лишь бы свойства, кото-
рые служат предпосылками обнаруженного факта, были
инвариантами этой совокупности преобразований. Тогда
и сам факт будет их инвариантом, и его можно будет не
передоказывать каждый раз заново, а гарантировать на-
перед для всех фигур, равных с точностью до преобразо-
ваний из этой совокупности.
За гарантиями такого рода мы уже обращались, как
помнит читатель, к ортогональным преобразованиям,
преобразованиям подобия и аффинным преобразованиям
общего вида.
Но всякой ли совокупности преобразований можно до-
верить установление равенства между фигурами?
Вопрос не из простых, и к ответу мы пойдем путем
извилистым. Прослушайте для начала три небольших
отступления.
Человек преобразует природу. Он орошает засушли-
вые земли и сажает сады в пустынях, осушает болота
и создает моря.
Но вырубленные леса? Обмелевшие реки? Загрязнен-
ная атмосфера? Это тоже вольный или невольный ре-
зультат преобразовательной деятельности человека.
Защита окружающей среды — вот одна из острейших
проблем века. Ее решение требует громадных средств и
титанических усилий. Если угодно, сохранение ценней-
ших уголков природы — это тоже некоторое преобразо-
вание, сущность которого — оставить все как было. Тож-
смирно!
135
Явственное преобразование — так назвал бы его мате-
матик.
Команда «смирно», на взгляд армейского старшины,
ничем не хуже команды «кругом» или «шагом марш»,
хотя и не понуждает ни к каким перемещениям. «Покой
есть частный случай движения»,— говорят физики. Умно-
жение на единицу — это тоже умножение, считают мате-
матики, хотя умножаемое на единицу число и остается
после этого собою, ничуть не умножившимся.
Этими рассуждениями мы хотим подвести читателя
к выводу: говоря о геометрических преобразованиях,
нельзя не упомянуть о самом простом из них, тождест-
венном, которое оставляет неподвижной любую фигуру,
сохраняет неизменной всякое ее свойство.
Нетрудно понять, какой ценой это достигается. Тож-
дественное преобразование как бы говорит «замри!»
каждой точке и ставит ей в соответствие ее же.
Тождественное преобразование называют также еди-
ничным. Это говорится по явной аналогии с арифмети-
кой. Если в произведении чисел участвует сомножителем
единица, ее можно опустить без боязни, что произведение
окажется иным. Если в цепи последовательных преобра-
зований встречается тождественное, его можно и не вы-
полнять—без опаски, что окончательный результат по-
лучится другим.
Именно эти забавные фигурки привели в ужас герои-
ню рассказа Конан Дойля «Пляшущие человечки». По-
хожие на невинную детскую шалость, они содержали
угрозу: «Илей, готовься к смерти».
Разумеется, Илей осталась жива. Знаменитый Шер-
лок Холмс расшифровал надпись и, как всегда, обезвре-
дил злоумышленника.
Шифр, которым пользовался преступник, был несло-
жен. Каждая буква алфавита заменялась фигуркой че-
ловечка в определенной позе. С точки зрения математи-
ка, преступник совершал отображение множества букв
на множество пляшущих человечков. Буквы — прообра-
133
зы, человечки — образы. Это отображение можно на-
звать прямым, имея в виду, что Холмс при разгадке кода
совершал обратное отображение. Он превращал шеренги
человечков в слова, заменяя каждую фигурку определен-
ной буквой.
Конан Дойль увлекательно рассказывает, как Холмс
и в этом деле блеснул находчивостью. Он разгадал код
всего лишь по нескольким фразам!
Но математик вправе упрекнуть писателя в том, что
в рассказе не подчеркнута самая важная особенность
шифра, которая позволила Холмсу разгадать тайну.
В самом деле, почему в группе из четырех человечков,
с которой начиналось несколько записок преступника,
Холмс опознал имя «Илей», состоящее также из четырех
букв? Знаменитый сыщик определенно был уверен в том,
что ни один пляшущий человечек не нарисован просто
так, что за каждым значком шифра стоит буква и при-
том единственная, то есть, что каждый образ в этом
отображении имеет прообраз и притом только один (по-
следнее можно выразить еще так: что разным прообра-
зам соответствуют разные образы).
Такие отображения называются взаимно-однознач-
ными. Только для такого отображения имеет смысл
искать обратное.
В самом деле, что было бы, если бы преступник шиф-
ровал каждую букву одним и тем же значком? Его
надписи превратились бы в бессодержательный орна-
мент. Столь экономный шифр расшифровке не поддается.
Если отображение не является взаимно-однозначным,
обратного для него не существует. Если же оно взаимно-
однозначное, то обратить его можно и притом единст-
венным путем, не допускающим кривотолков.
Больного готовят к операции. Предстоит удалить ос-
колок, застрявший где-то в груди. Но где именно? Куда
должен быть направлен скальпель хирурга? Перед вра-
чом — рентгеновский снимок. Белое пятнышко на нем —
осколок. Но по снимку его местонахождение установить
невозможно — и вот почему.
Снимок — это образ. Грудная клетка с осколком в
ней — прообраз. Отображение — съемка в рентгенов-
ских лучах. Она дает проекцию объемного объекта на
плоскость снимка. И при этом с неизбежностью все точ-
ки, лежащие вдоль рентгеновского луча, проецируются
на снимок в одну. Одной точке-образу соответствует не
137
одна точка-прообраз, а бесчисленное множество точек,
которые нанизал на себя проецирующий луч. Взаимной
однозначности точек нет/ Обратное отображение не вы-
полнимо. Хирургу необходим другой снимок, сделанный
в ином ракурсе.
Но довольно вводных слов. Читатель и так уж, веро-
ятно, упрекает нас в том, что в этом разделе мы отсту-
паем от своей привычки — объяснять новое, опираясь на
уже известное. Зачем этот мудреный пример с шифрами,
когда наша тема — геометрические преобразования?
Неужели те из них, что мы уже знаем, не имеют обрат-
ных?
Имеют — и притом все без исключения. Но именно
отсутствие исключений мешает понять правило, и пото-
му мы обратились сначала к криминалистике и медици-
не, чтобы пояснить столь важный для поиска обратных
преобразований принцип взаимной однозначности.
Все известные нам аффинные преобразования обла-
дают ею — и параллельный перенос, и поворот, и зер-
кальное отражение, и центральная симметрия, и сжатие,
и гомотетия, и подобие. Раскройте соответствующие
страницы нашей книги, перечитайте их, и вы убедитесь
в этом. Так что для каждого из них обратное преобра-
зование существует.
Скажем, вы произвели параллельный перенос на
заданный вектор. Совершите теперь перенос на противо-
положный вектор, и все точки плоскости займут перво-
начальные места.
Или вы проделали поворот вокруг некоторого центра
на некоторый угол. Теперь поверните плоскость вокруг
того же центра на тот же по величине, но на противо-
положный по направлению угол — и все вернется в ис-
ходное положение.
Интересны с этой точки зрения обе известные нам
разновидности симметрии — зеркальная и центральная.
Каждое из двух этих преобразований является обратным
по отношению к самому себе. Именно поэтому человек,
желающий узнать, каким его видят другие, смотрится в
два зеркала, составленные углом: облик, отраженный
дважды, обретает прежний вид.
Заключительные слова трех последних абзацев —
о первоначальных местах, об исходном положении,
о прежнем виде — подсказывают нам довольно очевид-
ное суждение: произведение любого преобразования на
138
обратное к нему (если оно существует) есть тождествен-
ное преобразование (причем сомножители такого произ-
ведения можно брать в любом порядке).
Проницательный читатель, вероятно, догадался об
этом и раньше, когда мы знакомили его с понятием тож-
дественного преобразования. Мы говорили тогда, что
сохранение природы требует больших усилий. Эти уси-
лия направлены на компенсацию вреда, который нано-
сится природе. Произведение вредного воздействия на
обратное, компенсирующее и дает в итоге тождественное
преобразование.
...Дрожащей рукой вы нащупали кнопку выключате-
ля, и свет погас. Вы взволнованы. Еще бы — ведь это
впервые в жизни. В первый раз вы выносите на суд ауди-
тории— пусть маленькой, доброжелательной, семей-
ной — свои слайды, свои первые опыты в этом не прос-
том жанре фотоискусства.
Но что за смешки среди зрителей? Люди на экране
стоят вниз головой. Сконфуженный, вы выдергиваете
слайд и суете его в проектор другим боком. Опять не
то — буквы надписей идут справа налево...
Знакомая картина, не правда ли? Чтобы избежать
подобного конфуза, нужно знать немногое. Луч проекто-
ра в соответствии с законами оптики меняет в изображе-
нии верх и низ, левое и правое. И потому, взяв слайд
так, как вы хотели бы видеть его на экране, вы должны,
прежде чем вставлять его в проектор, повернуть его на
180 градусов вокруг горизонтальной оси, а потом—на
те же 180 градусов вокруг вертикальной. Иными слова-
ми, вы должны подвергнуть слайд преобразованиям, об-
ратным по отношению к тем, которые совершает луч.
Эти два вращения можно заменить одним: достаточно
(можете проверить!) повернуть слайд на 180 градусов
вокруг продольной оси, перпендикулярной его плоскости,
и он окажется в нужном для просмотра положении.
Итак, поворот слайда на 180 градусов вокруг про-
дольной оси есть произведение двух поворотов на тот же
угол вокруг горизонтальной и вертикальной оси.
К этим трем поворотам присоединим тождественное
преобразование. И тогда обнаружится замечательный
факт: какие бы два из четырех этих преобразований мы
139
ни «перемножили», произведением будет одно из преоб-
разований той же четверки.
И еще одна замечательная деталь: «сомножители»
любого такого произведения можно переставлять — оно
от этого не изменится.
Вам это кажется естественным и не заслуживающим
того, чтобы над этим задуматься? Что ж, причину такого
безразличия понять нетрудно. Говоря о произведениях
преобразований, мы не можем отрешиться от ассоциаций
с перемножением чисел. А для них всегда справедлив
закон, называемый переместительным или коммутатив-
ным: от перемены мест сомножителей произведение не
меняется. И еще: произведение любых двух чисел всегда
представляет собой некоторое число. Арифметика не
знает равенств типа «дважды два = стеариновая свечка».
140
В мире преобразований эти строгие законы, к сожале-
нию, не имеют абсолютного могущества и иногда нару-
шаются.
Приступим к новой серии поворотов — теперь уже не
на 180 градусов, а на 90, как показано на рисунках.
Поставив слайд в исходное положение — в плоскости
вертикальной и горизонтальной осей, повернем его на
90 градусов сначала вокруг первой, а затем — вокруг вто-
рой оси. Слайд встал ребром.
Повторим повороты в другой последовательности —
сначала вокруг горизонтальной, потом вокруг вертикаль-
ной оси. Слайд лег плашмя.
Произведение преобразований оказалось зависящим
от порядка сомножителей!
И обратите внимание: ни то, ни другое окончательное
положение слайда не достичь из исходного ни одним из
трех оговоренных заранее поворотов.
Произведение двух преобразований из нашей сово-
купности не представимо ни одним преобразованием из
той же совокупности!
141
Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный
тремя разделами выше: какой должна быть совокуп-
ность преобразований, чтобы с их помощью можно было
устанавливать равенство фигур, понимая его в обобщен-
ном смысле — с точностью до преобразования?
Очевидно, это своеобразное равенство в главных
своих чертах должно походить на равенство в привычном
смысле слова. А оно связано в нашем сознании с тремя
незыблемыми аксиомами.
Во-первых, каждая фигура всегда равна самой себе.
(Это можно выразить простым и неоспоримым образом;
Л=Л.)
Во-вторых, если одна фигура равна другой, то и вто-
рая не отличается от первой. (Иными словами, если
А —В, то и В=А.)
В-третьих, если одна фигура равна другой, а та —
третьей, то первая равна третьей (если А —В и В = С, то
Л = С).
Каждую из трех аксиом легко перефразировать для
равенств с точностью до преобразования.
Если какая-то фигура равна самой себе с точностью
до некоторого преобразования, то ясно, о каком преобра-
зовании идет здесь речь — о тождественном. Вывод:
тождественное преобразование должно принадлежать
той совокупности преобразований, с помощью которой
мы надеемся ввести равенство нового типа.
Если некоторым преобразованием мы приравняли
одну фигуру другой, то приравнять вторую первой можно
лишь обратным преобразованием. Вывод: для каждого
преобразования из нашей совокупности в ней должно
быть и обратное.
Если, употребив равенство с точностью до преобразо-
вания, мы превратили одну фигуру в другую, а ее в тре-
тью, то дважды преобразованная фигура должна полу-
чаться из исходной и в один прием. Вывод: произведение
любых двух преобразований из нашей совокупности дол-
жно принадлежать той же совокупности.
Итак, три условия. Если всем трем удовлетворяет не-
которая совокупность преобразований, то ее называют
группой преобразований или говорят, что она обладает
групповыми свойствами.
142
Преобразования, образующие группу, как бы отмече-
ны «знаком качества»: их с уверенностью можно приме-
нять при доказательстве теорем и решении задач,— про-
водимым рассуждениям будет свойственна логическая
стройность и теоретическая законность.
Когда мы говорили, что большинство теорем эвклидо-
вой геометрии можно доказывать на чертеже любого
масштаба, мы ссылались на то, что в этих теоремах го-
ворится лишь о соотношениях длин и углах, то есть
о величинах, инвариантных относительно преобразова-
ний подобия. Теперь мы видим, что этой ссылки мало.
Для полной уверенности нужно еще знать, что преобра-
зования подобия образуют группу.
Это, к счастью, действительно так. В этом нетрудно
убедиться, перебрав три условия, которым должна удов-
летворять всякая группа преобразований.
Нам будет удобно перебирать их в обратном порядке.
Если из всех подобий выбрать какие-то два, то про-
изведение двух этих преобразований, очевидно, будет
опять-таки подобием, и его коэффициент будет равен про-
изведению коэффициентов тех двух подобий. (Итак, тре-
тье условие выполняется.)
Взяв любое подобие, можно подобрать затем такое,
чтобы их коэффициенты в произведении дали единицу.
Примененные последовательно к любой фигуре, два таких
подобия в итоге вернут ее в исходное состояние. Значит,
два таких подобия — взаимно обратные. Стало быть, для
любого подобия можно подобрать обратное ему. (Итак,
выполняется и второе условие.)
Наконец, среди преобразований подобия есть тожде-
ственное — его коэффициент равен единице. (Итак, пер-
вое условие удовлетворяется тоже.)
Столь же быстро и легко проверку групповых свойств
проходят и все аффинные преобразования в целом, и про-
стейшие из них, ортогональные...
Эта легкость вызывает подозрение: а можно ли при-
думать такую совокупность преобразований, которая не
была бы группой?
Да, можно. Взгляните на свою обувь, сравните пра-
вый и левый ботинки и подумайте о преобразованиях
зеркального отражения. Посмотрим, как у них с группо-
143
выми свойствами? Например, с третьим? Всегда ли два
последовательных зеркальных отражения можно заме-
нить одним?
Зеркальное отражение превращает левый ботинок в
правый, а тот — снова в левый.
Итак, левый ботинок получается из левого же за два
зеркальных отражения. Но можно ли превратить левый
ботинок снова в левый одним-единственным отражением?
Нет, никогда. Итак, о третьем групповом свойстве не мо-
жет быть и речи.
Поистине, мы договорились до абсурда: ботинок не
равен самому себе! Это, как легко заметить, равносиль-
но заключению: среди зеркальных отражений нет тожде-
ственного преобразования. Стало быть, нечего говорить
и о первом групповом свойстве.
Окончательно: совокупность зеркальных отражений
не является группой.
Восток славится легендами... Рассказывают, что в
давние-давние времена жили в неком городе два знаме-
нитых резчика по ганчу (так на Востоке называют резь-
бу по еще не застывшему алебастру). И было их умение
столь велико, а их орнаменты столь восхитительны,
что люди никак не могли решить, кто же из них искус-
нее.
И вот задумали устроить им состязание. Комнату
только что выстроенного дома, которую предстояло от-
делать резьбой, перегородили пополам занавесом, и ма-
стера начали работать каждый в своей половине.
Когда же работа была закончена и занавес убрали,
изумлению зрителей не было предела: узоры в обеих
половинах комнаты совпадали до мельчайшего завитка!
Лишь приглядевшись, люди обнаружили, что один мас-
тер добросовестно выполнил свое дело, а второй решил
взять смекалкой: он до зеркального блеска отшлифовал
стены своей половины, так что они отразили узор на сте-
нах другой.
Легенда гласит, что победу присудили второму масте-
ру. И мы, как математики, без сомнений присоедини-
лись бы к такому решению. Ведь превратив стены в зер-
кало, он проявил не только мастерство (о котором все
знали и раньше), но и глубокое понимание самой сути
1144
орнамента, которая заклю-
чается именно в повторяе-
мости элементов узора.
Такая повторяемость хо-
рошо заметна на орнамен-
тах простейшего вида —
бордюрах. Взгляните на
рисунки, где представлено
несколько типов бордю-
ров. Повторяющийся эле-
мент везде обведен прямо-
угольной рамкой. Его на-
зывают раппортом.
Выделив раппорт како-
го-либо бордюра, мы смо-
жем неограниченно про-
должать узорчатую ленту.
Простейший способ таков:
изготовить трафарет с ри-
сунком раппорта и пере-
носить его шаг за шагом
вдоль прямой, по которой
вытянулся бордюр.
Но почему только пере-
носить? Внимательно
вглядевшись в приведен-
ные рисунки, мы обнару-
жим, что на некоторых из
них трафарет перед пере-
носом поворачивается во-
круг горизонтальной оси;
на некоторых других ниче-
го не изменилось бы, если
бы перед переносом мы
стали бы поворачивать его вокруг вертикальной оси либо
на 180 градусов вокруг центра, то есть подвергать его
таким преобразованиям, при которых прямоугольная
рамка раппорта совмещалась бы с собою. Таких преобра-
зований немного, всего четыре — три пречисленных да
еще тождественное, когда трафарет переносится без вся-
ких поворотов. Однако их, по-видимому, можно сочетать
в различных последовательностях да к тому же вклю-
чать в такие сочетания обратные повороты... Подвергая
трафарет перед каждым переносом той или иной комби*
Н5
нации преобразований, мы могли бы, кажется, получить
бесконечное разнообразие узорчатых лент.
Но это только кажется. Легко убедиться, что любые
два из четырех преобразований, которььм мы собираемся
подвергать трафарет, в произведении дают одно из чет-
верки. Два последовательных поворота вокруг одной
какой-либо оси раппорта, вертикальной или горизонталь-
ной, возвращают его в исходное положение, то есть, рав-
носильны тождественному преобразованию. Два пово-
рота вокруг обеих этих осей равносильны повороту во-
круг центра на 180 градусов... (закончить проверку чита-
тель может и без нашей помощи). Итак, к каждому
переносу мы можем подготовить трафарет лишь четырь-
мя различными способами.
В рассуждении, приведшем нас к такому выводу, чи-
татель, вероятно, отметил слова «обратное», «тождествен-
ное», «произведение». Они напоминают о групповых свой-
ствах. Все эти свойства, как легко проверить, есть у со-
вокупности преобразований, которыми мы собираемся
готовить трафарет к переносу. Иными словами, эти пре-
образования образуют группу. Именно это, как понимает
вдумчивый читатель, и позволило исчислить все приемы
рисования бордюров.
Попробуем теперь исчислить все варианты раппортов.
Судя по приведенному иллюстративному материалу, сре-
ди них возможны вовсе не симметричные; бывают сим-
метричные относительно вертикальной или горизонталь-
ной осей или относительно центра; наконец, встречаются
такие, которые обладают всеми тремя перечисленными
видами симметрии. Итого пять вариантов.
(Кстати, сказанное позволяет дать строгое математи-
ческое определение понятию симметрии: симметричной
кажется нам фигура, которая переводится в себя одним
таик
Несимметричен Симметричен Симметричен Центрально- Обладает бсеми
относительно относительно ^симметричен тремя,ранее
бертилальной горизонтальной	названными
оси	оси	бидами симметрии
146
или несколькими преобразованиями. Чем больше таких
преобразований найдется, тем более симметричной вы-
глядит фигура. Весьма симметрична, например, буква Ж:
ее можно совместить с собою отражением относительно
вертикальной или горизонтальной оси или поворотом
вокруг центра на 180 градусов. Менее симметричны бук-
вы А, С, И — каждую можно превратить в себя лишь
одним из трех только что названных преобр’азований.
М/чМ/чГИ/ч1
М/чМ/чШ
I<I<I<I<I<I<I
1<МФТ<Я
I <1 <1 «геи
I о I ог<я
И/И/7И
ZKZNZS
1/N/N/N
0Z0ZHZ
0Z0Z0Z

IXlXtXIXtXIXI«—2
gSiEHKSjiH
IXIXIXIXIXIX1

147
Совсем не симметрична буква Ы: ее оставляет собою
лишь тождественное преобразование).
Итак, пять раппортов и четыре способа их перенесе-'
ния. Все 20 возможностей нарисовать бордюр схема-
тически представлены таблицей (см. первую колонку
рисунков). Впрочем, эти возможности часто приводят
к одинаковым узорам, каждый из которых в нашей таб-
лице мы оставим в одном экземпляре (вторая колонка).
Теперь приглядимся к сдвоенным раппортам, обведен-
ным прерывистой рамкой: каждый из них по типу сим-
метрии не отличается от одного из тех пяти раппортов,
с которых начинались наши построения. Стало быть,
сложенные из них бордюры можно отождествить с дру-
гими, что и показано обоюдоострыми стрелками. Это
позволяет произвести еще одно сокращение таблицы
(третья колонка). Подсчитав оставшиеся рисунки, за-
ключаем: все разнообразие бордюров охватывается
семью типами их симметрии.
Бордюр — орнамент одномерный, вытянутый вдоль
прямой. А каким богатством возможностей располагают
мастера, покрывающие орнаментами двумерные стены?
Сходный расчет приводит к числу 17. Надежное подтвер-
ждение вывода дает дворец Альгамбра в Испании — ве-
ликое произведение мавританских зодчих. Здесь можно
обнаружить орнаменты любого из возможных семнадца-
ти типов симметрии.
Ну а если перейти к трехмерным орнаментам? Не
спешите возражать, что таких никто не делает. Их соз-
дает самый искусный умелец — природа. Мы имеем в
виду кристаллы, точнее, их пространственные структуры,
так называемые кристаллические решетки. Разнообразие
этих трехмерных орнаментов громадно, и вряд ли оно
поддалось бы надежному пересчету, если бы не теория
групп. Именно она составляет основу работ русского
ученого Евграфа Степановича Федорова, которые позво-
лили установить, что существует всего 230 типов кристал-
лических решеток. Для всех, кто исследует строение кри-
сталлов, свод этих трехмерных орнаментов значит то же,
что для химика таблица Менделеева.
•
В университетах Германии долгое время существовал
такой порядок: претендент на профессорскую должность
148
выступал перед ученым советом с лекцией на свободную
тему. Прослушав лекцию, совет решал, достоин ли соис-
катель кафедры.
В 1872 году в ЭрлангенскохМ университете с подобной
лекцией выступил немецкий математик Феликс Клейн.
Ставшее известным под названием «Эрлангенская про-
грамма», это выступление надолго определило многие
пути развития геометрии.
Вводную часть знаменитой лекции мы изложим сей-
час в кратком и довольно свободном пересказе.
Что такое геометрия? Наука о геометрических свой-
ствах фигур. Какие же свойства следует называть гео-
метрическими? Те, что не зависят от положения, зани-
маемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных раз-
меров и, наконец, от ориентации (под этим понимается
то свойство расположения, которое является источником
различия между данной фигурой и ее зеркальным изоб-
ражением). Отсюда вытекает, что геометрические свойст-
ва фигуры не изменяются от параллельных переносов и
поворотов, от преобразований подобия, от зеркально-
го отражения и от всех преобразований, которые могут
быть составлены из перечисленных. (Отметим, что все
они в совокупности образуют группу.) Можно сказать,
геометрические свойства — это те, которые не изменяют-
ся от группы перечисленных преобразований.
Будем говорить теперь о произвольной группе преоб-
разований. Как обобщение геометрии тогда получится
следующая задача.
'Дано пространство и в нем группа преобразо-
ваний. Нужно исследовать те свойства фигур, ко-
торые не изменяются от преобразований этой груп-
пы. Иными словами, требуется развить теорию инва-
риантов этой группы.
Это — общая задача, заключающая в себе не только
обыкновенную геометрию, но и новейшие геометрические
теории.
Так говорил Клейн.
С тех пор каждую геометрию, порождаемую некото-
рой группой преобразований (в том смысле, какой имел
в виду немецкий математик), называют клейновской
геометрией.
Так, например, наша обычная школьная эвклидова
геометрия, как отметил сам Клейн, порождена группой
преобразований подобия. Как одну из других клейнов-
м»
ских геометрий было бы любопытно изложить неэвкли*
дову геометрию Лобачевского или Римана. Такая цель
выполнима, однако не соответствует возможностям на-
шей популярной книги. Мы расскажем ради примера
о более простой, так называемой аффинной гео-
метрии.
По ее названию нетрудно догадаться, что она порож-
дается группой аффинных преобразований.
Уже само определение аффинных преобразований
(они переводят прямые в прямые) указывает на один из
инвариантов этой группы — свойство линии быть пря-
мой. К инвариантам той же группы принадлежит и отно-
шение, в котором отрезок делится’ его какой-либо внут-
ренней точкой, и наличие у двух’ прямых одной общей
точки. Зная хотя бы это, мы уже можем назвать неко-
торые понятия аффинной геометрии. Это, например, тре-
угольник, медиана—в основе обоих понятий лежат
только что названные инварианты группы аффинных
преобразований. Мы можем даже сформулировать и до-
казать какую-нибудь теорему аффинной геометрии,
например, теорему о том, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
1:2.
А вот, скажем, теорема о том, что высоты равносто-
роннего треугольника совпадают с медианами, к аффин-
ной геометрии не принадлежит. Некоторые слова, упот-
ребленные в формулировке этой теоремы, в аффинной
геометрии не имеют смысла. Что такое, например, равно-
сторонний треугольник? Тот, у которого стороны равны
по длине? Но ведь отношение длин непараллельных от-
резков не принадлежит к инвариантам аффинной геомет-
рии. С ее точки зрения все отрезки равны между собой,
поскольку любой из них можно совместить с любым дру-
гим при помощи надлежащего аффинного преобразова-
ния — повернуть до нужного направления, сжать до нуж-
ной длины и перенести куда надо. А величина угла?
И такого инварианта не знает аффинная геометрия, по-
скольку теми же поворотами и сжатиями можно «прирав-
нять» любые два угла. А раз так—в аффинной геомет-
рии не имеет смысла говорить ни о прямом угле, ни о
высоте треугольника.
Прямой угол, равносторонний треугольник — это по-
нятия эвклидовой геометрии, которая, по Клейну, порож-
дается группой преобразований подобия.
150
Как видим, круг теорем у аффинной геометрии го-
раздо уже, чем у эвклидовой. Причина понятна: слишком
узок круг ее инвариантов, круг свойств, которые оста-
ются неизменными при аффинных преобразованиях.
Казалось бы, какой прок от такой геометрии?
Прок есть—и немалый. Она выявляет геометриче-
ские свойства, которые сохраняются при весьма неде-
ликатных преобразованиях. Она помогает понять, какие
из этих свойств наиболее глубоки и существенны.
В редакцию известного научно-популярного журнала
пришла рукопись от некого естествоиспытателя-самоуч-
ки. По ряду причин его сочинению не нашлось места на
журнальных страницах. Ниже мы предлагаем читателю
выдержки из этого оригинального трактата.
«Последние годы наука о природе все более впадает
в крайности. С одной стороны, она устремляет свой
взор в бездонные просторы Вселенной, с другой — впе-
ряет его в не менее неисчерпаемые глубины микромира.
При этом само собой разумеется, что где-то посе-
редине, в мире житейских масштабов все установлено
давно и навсегда. Какой безумец рискнет ныне опровер-
гать представление о шарообразности и выпуклости Зем-
ли или гелиоцентрическом строении Солнечной системы?
И все-таки я утверждаю: человечество ошибается!
Вселенная устроена совсем не так, как нас учат в школе,
как об этом написано в учебниках и энциклопедиях.
Вот мои постулаты. Их тоже три (как у Эйнштейна).
1.	Да, Земля действительно есть сфера с радиусом
около 6400 км, но сфера полая, и мы живем не на внеш-
ней, а на внутренней ее поверхности.
2.	Все многообразие объектов и явлений природы,
весь видимый мир заключен внутри этой сферы.
3.	Лучи света распространяются в этом мире по
окружностям, проходящим через центр сферы — «центр
мира».
Каждая теория должна опираться на строгие доказа-
тельства. С чего обычно начинают убеждать школьника
в том, что Земля выпукла? С общеизвестной истории
с кораблем, отправляющимся в плавание. Вот корабль
достиг горизонта и начинает медленно скрываться за
ним. Вот провожающие видят с берега лишь палубу и
151
Солнечное
^затмение
Центральный
I сгусток
^материи
день
Вечер
У^Луна
Солнце
Эффект
бекопола
Утро
мачты, вот одни только мачты, вот из-за горизонта вид-
неется лишь вымпел, и, наконец, корабль исчезает из
виду.
Все верно в этой картине. Но разве для объяснения
этого факта так уж необходимо предположение о вы-
пуклости Земли?
Обратимся к моей системе мира (см. рисунок). Дуги
окружностей 00' — это световые лучи, которые приходят
к наблюдателю. Заштрихованная область, в которую
уходит корабль, наблюдению не доступна. Последова-
тельные положения корабля позволяют легко проследить
процесс его исчезновения за горизонтом.
Ну, да бог с ним, с кораблем. Займемся более фун-
даментальными проблемами.
День и ночь. Их принято объяснять вращением Земли
вокруг своей оси. Но такое объяснение — отнюдь не
единственно возможное. В моей системе мира смена дня
и ночи происходит в результате движения Солнца вокруг
центра мира.
Солнце в моей системе — не гигантский раскаленный
шар, каким мы считаем его по традиции. Я, скорее, упо-
доблю его узконаправленному прожектору, лучи кото-
рого расходятся веерообразно по искривленным траекто-
риям. Лучи, идущие по направлениям, близким к ради-
альному, падают на земную поверхность почти отвесно —
там день в разгаре. А к другим участкам земной поверх-
ности лучи Солнца приходят под углом — там утро или
вечер. Легко заметить, что при этом за Солнцем в на-
правлении центра мира пролегает шлейф мрака и тем-
ноты. Когда Луна в своем блуждании по орбите заходит
в эту мрачную зону, на Земле случается лунное затме-
ние (см. рисунок). Когда же она входит в область света
и загораживает собою часть солнечных лучей, идущих
к земной поверхности, случается затмение солнечное.
В центре мира располагается сгусток материи, усеян-
ный светлыми точками — звездами. Можно усомниться:
как огромный небосвод, усеянный мириадами звезд и об-
нимающий Землю со всех сторон, может быть представ-
лен каким-то малым сгустком со светящимися точками
на нем? А между тем здесь все просто (см. рисунок).
Лучи света приходят к наблюдателю от нижней части
этого сгустка по круговым траекториям, причем под
всеми углами к земной поверхности — от нуля до 90 гра-
дусов. Потому-то наблюдателю и кажется, что над ним,
153
подобно куполу, нависает искрящийся звездами небес-*
ный свод.
...Земля древних была плоской. Потом ученые загнули
края диска, превратили его в сферу, предоставив всему
живому ее выпуклую поверхность. Я полагаю, что они
загнули не туда».
Гипотеза полой Земли, с которой мы познакомили чи-
тателя, вероятно, уже знакома ему. Ее использует, на-
пример, в своем научно-фантастическом романе «Плуто-
ния» известный советский ученый-геолог академик
В. А. Обручев. Автор цитированного трактата развивает
гипотезу, пытается увязать ее с повседневными наблюде-
ниями и при этом, как кажется на первый взгляд, при-
ходит к полнейшему абсурду.
Но позвольте, а что, собственно, абсурдного в этом
трактате? Мысль о том, что свет распространяется не
по прямым, а по окружностям? А почему бы и нет? Ведь
и современная физика допускает искривления его лу-
чей — например, вблизи массивных тел.
Противоречия в странной теории есть, но они лежат
не так уж близко к поверхности, как может показаться
на первый взгляд. Более того, с чисто геометрической
точки зрения оба мира — описанный в трактате и наш
реальный мир — по отношению друг к другу являются
своеобразными взаимными отражениями. Пользуясь уже
привычным для нас термином, можно сказать, что оба
мира равны друг другу с точностью до преобразования.
Что же это за преобразование?
Вообразим полую сферу. Возьмем какую-нибудь точ-
ку пространства и проведем через нее луч, исходящий из
центра сферы. На луче отметим еще одну, точку — выбе-
рем ее так, чтобы произведение расстояний обеих точек
до центра сферы было равно квадрату ее радиуса. При
этом обе точки будут располагаться по разные стороны
от сферической поверхности, служа друг для друга свое-
образным отражением. Любая точка сферической поверх-
ности при этом сольется со своим отражением.
Такая процедура позволяет поставить в соответствие
каждой точке пространства (кроме центра сферы) впол-
не определенную новую точку. Речь, стало быть, идет
о некотором преобразовании. Его называют инверсией.
Как зеркальное отражение пространства задается
некоторой плоскостью зеркальной симметрии, так, говоря
об инверсии, необходимо указать ту сферу, относительно
154
которой она про-
изводится. При-
мем за такую сфе-
ру поверхность
земного шара. В
результате инвер-
сии внутрь сферы
переместится все
внешнее простран-
ство. Прямые при
этом примут вид
окружностей, упи-
рающихся в центр
Земли. (Исключе-
ние составят лишь
прямые, проходя-
щие через центр
сферы,— они пе-
рейдут в себя.) Ес-
ли мы считаем лу-
чи света прямоли-
нейными, то, пе-
рейдя во внутрен-
ний мир, мы долж-
ны будем согла-
ситься с автором
диковинного трак-
тата: лучи света
распространяются
здесь по окружностям, проходящим через «центр мира».
Вместе с лучами света из необозримого пространства
Вселенной в окрестность центра нового мира переходят
звезды, планеты... Причем орбиты планет по-прежнему
близки к круговым: окружности при инверсии переходят
в окружности. (Обобщая, можно сказать, что инверсия
переводит прямые и окружности в прямые и окружности.
По этому поводу еще говорят, что прямая есть частный
случай окружности — окружность бесконечно большого
радиуса.)
Четкая схема инверсии, определение которой факти-
чески и содержится в постулатах странной теории, весь-
ма искусно маскирует внутренние противоречия гипоте-
тического мира. Дело в том, что инверсия сохраняет
углы между пересекающимися линиями (напомним, что
155
такие углы определяются как углы между касательными
к линиям в точке их пересечения). А наши зрительные
представления о геометрической структуре мира основы-
ваются в первую очередь на угловых оценках, которые
производит глаз. Вот почему автор изложенного трак-
тата легко сопрягает свои положения с привычными зри-
тельными представлениями о видимом мире.
Казалось бы, геометрические расхождения между
«внутренним» и «внешним» миром должны быть весьма
явными от того, что инверсия превращает отрезки пря-
мых в дуги окружности. Однако чем короче отрезок, тем,
очевидно, менее заметна его искривленность. Поэтому
с достаточно малыми фигурами инверсия поступает поч-
ти так же, как преобразование подобия, так что искаже-
ние форм остается неприметным. В тонком же слое,
прилежащем к сфере, относительно которой совершается
инверсия, /это преобразование почти тождественно зер-
кальному отражению, а уж оно и вовсе сохраняет все
размеры фигур.
Получается, что для опровержения странной теории
недостаточно одной лишь геометрии. Необходимо при-
влекать на помощь физику. Тогда несостоятельность уче-
ния о полой Земле доказывается просто и легко — напри-
мер, в его рамках невозможно объяснить тяготение.
Но физические рассуждения выходят за рамки нашей
математической книги. Да и цель наша в том, чтобы
познакомить читателя не со сногсшибательной гипотезой,
а с преобразованиями инверсии.
Любопытно сравнить их с аффинными. Те сохраняют
прямые линии, но, вообще говоря, искажают углы. Ин-
версия, напротив, сохраняет углы, но, как правило, не
оставляет прямые линии прямыми, превращая их в ок-
ружности.
Казалось бы, противоположность полная. Но можно
подметить и сходство между сравниваемыми преобразо-
ваниями. Мы говорили, что с достаточно малыми фигура-
ми инверсия поступает так же, как подобие, одно из
аффинных преобразований. Потому-то и говорят, что пре-
образование инверсии в малом аффинно.
Мы совершали инверсию пространства относительно
сферической земной поверхности. Однако то, что изобра-
жено на рисунках, можно рассматривать как инверсию
плоскости относительно окружности. Такое преборазова-
ние принадлежит к классу так называемых конформных
156
преобразований плоскости. Их общая отличительная осо-
бенность в том, что они сохраняют углы между линиями.
Именно это важное свойство и обусловливает ту популяр-
ность, которой конформные преобразования пользуются
в гидроаэромеханике, в теории упругости, в других от-
раслях физики. К конформным, кстати сказать, относится
и преобразование Жуковского, с помощью которого мы
так эффектно превратили цилиндр в крыло птицы.
Позвольте пригласить вас, читатель, к чайному столу.
Он, правда, не такой уж чайный, скорее демонстрацион-
ный, и не чайку мы предлагаем вам попить за этим сто-
лом, а продолжить наше знакомство с геометрическими
преобразованиями.
Вот ложка в стакане. Как вы отнесетесь к нашему
утверждению, что с точностью до некоторого преобразо-
вания ложка и стакан — одно и то же? Вам это кажется
неправдоподобным? А между тем такое преобразование
существует. Вот рисунки, на которых показаны его пос-
ледовательные стадии. Приглядитесь: как будто руки
гончара формуют податливую массу, превращая одно
тело в другое, стакан в ложку (рис. на стр. 158).
А вот бублик и чашка. Мы утверждаем, что и они
родственники. Роднящее их преобразование показано на
рисунках справа.
Разглядывая эти рисунки, заметьте, каким вниманием
в ходе преобразования окружена дужка. Мы заботливо
сохраняли ее в моменты самых сильных деформаций. Мы
тщательно следили, чтобы это ушко не разорвалось и не
заплыло. В этом проявилась определяющая особенность
всех тех преобразований, о которых мы сейчас ведем речь.
При всей своей смелости они не так уж произвольны. Они
не могут перевести все, что попадется, во все, что поже-
лается. Будь у нас полная свобода действий, мы гораздо
проще превратили бы бублик в чашку. Сначала мы смя-
ли бы его в один ком, затем вылепили бы из него чашку
с округлым выступом для дужки и напоследок проко-
лоли бы этот выступ. Но как раз такое и запрещает опре-
деляющая особенность тех преобразований, о которых мы
говорим. Эта особенность заключается в простом требо-
вании: ни одного разрыва и ни одной склейки. Преобра-
157
зова ния, удовлетворяющие это-
му условию, называются топо-
логическими.
' Сформулировав это условие,
мы без труда разобьем на се-
мейства, на топологические ти-
пы все предметы на нашем сто-
ле. Скажем, стакан отнюдь не
родня чашке, поскольку для
превращения в чашку его необ-
ходимо проколоть. Не родня
бублик ложке, поскольку ради
превращения в ложку дырка у
бублика должна затянуться.
Судя по той роли, которую
играют дырки в таком разбие-
нии, предметам разных се-
мейств можно было бы при-
своить звания двухдырочных (чайник, сахарница), одно-
дырочных (чашка, бублик), нульдырочных (стакан, лож-
ка, блюдце). Впрочем, в математике давно уже сложи-
лась система названий для разбиения тел на топологи-
ческие типы: тела без дырок называют односвязными,
с одной дыркой — двусвязными и т. д.
Снова вглядимся в рисунки, на которых развертывае-
тся преображение стакана в ложку или бублика в чашку.
Как резки искажения на каждой стадии этих преобра-
жений! Это не аффинные преобразования с их заботой
о прямолинейности отрезков: прямые ребра граненого
стакана изгибаются, искривляются его плоские грани.
Это не инверсия, гарантирующая сохранность углов и
окружностей: углы между гранями стакана расправ-
ляются, округлая дырка бублика превращается в капле-
видный вырез между стенкой чашки и ее ручкой.
Это преобразования наиболее общего характера среди
всех, с которыми мы знакомились до сих пор.
Однако какими бы жестокими ни казались нам эти
преобразования, каким бы чудовищным деформациям ни
подвергали они преобразуемые тела и фигуры, все-таки
и здесь можно обнаружить такие геометрические свой-
ства, которые остаются неизменными.
158
Как ни расплющивай, ни раскатывай ком глины, он
не превратится в двумерную плоскость, толщины не
имеющую. Иначе говоря, он сохранит свою размерность.
А запрет на разрывы и склейки гарантирует неизменную
связность преобразуемых тел и фигур.
Итак, размерность и связность — инварианты тополо-
гических преобразований. А поскольку эти преобразова-
ния — самые произвольные из всех известных нам, сле-
дует признать, что размерность и связность — одни из
наиболее фундаментальных свойств геометрических
объектов.
Но вглядимся в преобразуемые тела еще глубже,
в самую их толщу. Мы с удивлением увидим тогда нечто,
что родни г столь бесцеремонные топологические преоб-
разования с самыми бережными из известных нам —
с аффинными.
Представьте себе, что к нашему столу мы взялись
испечь булочки с маком. Формуя куски теста, мы под-
вергаем их топологическим преобразованиям.
Давайте проследим за теми перемещениями, которые
испытывают маковые зерна в процессе всех кулинарных
приготовлений. Мы увидим: какие бы эволюции ни пре-
терпевала будущая булочка, внутри нее близкие маковые
зерна остаются близкими.
Мы знаем: преобразования, отличающиеся этим при-
знаком, называются непрерывными. Итак, всякое топо-
логическое преобразование непрерывно. Более того, то-
пологические преобразования обычно и определяются
как взаимно-однозначные и взаимно-непрерывные. Так
переводится на математический язык требование: «ни од-
ного разрыва и ни одной склейки».
Отметим еще одну важную деталь. Если бы маковые
зерна поначалу располагались в тесте прямолинейными
цепочками, образуя маленькие параллелепипеды, то каж-
дый из них остался бы близким к параллелепипеду и в
готовой булочке. Прямолинейность цепочек, конечно, на-
рушилась бы, но малые их участки остались бы близки-
ми к отрезкам прямых — тем более близкими, чем они
короче.
Мы видим, что в малых масштабах наше топологи-
ческое преобразование сходно с аффинным, в ходе кото-
рого прямые линии остаются прямыми.
СОДЕРЖАНИЕ
Пространство ......................................3
Линейное пространство.............................33
Метрическое пространство..........................65
Аффинные преобразования ,	.	.	,	.	,	, 100
Группы преобразований .......................... 125
Юрий Васильевич ПУХНАЧЕВ,
Юрий Петрович ПОПОВ
МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ
Выпуск 2
Редактор Н. И. Феоктистова
Заведующий редакцией естественнонаучной
литературы А. А. Нелюбов
Младший редактор Н. Т. Карячкина
Худож. редактор Т. И. Добровольнова
Художник Н. А. Гончарова
Техн, редактор Т. В. Луговская
Корректор Н. Д. Мелешкина
ИБ № 1331
А 04035. Индекс заказа 86708. Сдано в набор 26. VIII 1977 г. Под-
писано к печати 1. II 1978 г. Формат бумаги 84X108’/«2- Бумага
типографская № 1. Бум. л. 2.5. Печ. л. 5,0. Уел. печ. л. 8,40.
Уч.-изд. л. 8,31. Тираж 100 000 экз. Издательство «Знание».
101835. Москва, Центр, проезд Серова, д. 4. Заказ. 1067. Типо-
графия № 2 издательства «Радянська УкраТна», Киев, Анри
Барбюса, 51/2.
Цена 45 коп.