Справочная книга по математической логике. Часть 2 - Барвайс Дж.

Автор: Барвайс Дж.
Теги: алгебра математика
Год: 1982
Похожие
Справочная книга по математической логике. Часть 1
Справочная книга по математической логике. Часть 4
Справочная книга по математической логике. Часть 3
Математическая логика и основания математики. Модальная логика.
Текст
                    

СПРАВОЧНАЯ
КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКЕ
В ЧЕТЫРЕХ ЧАСТЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ДЖ. БАРВАЙСА
ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ
Перевод с английского
В. Г. Кановея
Под редакцией
В. Н. Гришина
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
Scan AAW
22.12
С 74
УДК 512.8
HANDBOOK
OF
MATHEMATICAL LOGIC
J. BARWISE (ED.)
NORTH-HOLLAND
PUBLISHING COMPANY
AMSTERDAM-NEW YORK-OXFORD
1977
Справочная книга по математической логике: В 4-х частях/Под ред.
Дж. Барвайса. —- Ч. II. Теория множеств: Пер. с англ. — М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литераторы, 1982 — 376 с.
С
1702020000—119
053(02)-82
Подписное,
© North-Holland
Publishing Company-1977
© Перевод аа русский язык
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1932
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Настоящая книга состоит из ряда глав и добавления, напи-
санных видными специалистами по теории множеств. Каждая
глава—это самостоятельная статья. Она содержит в основном
замкнутый в себе материал и может читаться независимо от
остальных глав сборника. Главы очень разные по характеру и
подробности изложения. Например, глава 2, написанная Т. Йехом,
представляет собой весьма беглый обзор проблематики и ре-
зультатов, относящихся к аксиоме выбора. Написанная Берд-
жесом глава 4 о методе вынуждения, напротив, дает довольно
подробное изложение доказательств некоторых основных ре-
зультатов. Упор в справочном руководстве по теории множеств
сделан на разъяснение основных идей и методов аксиоматиче-
ской теории множеств, а не на охват как можно большего чис-
ла результатов. В этом отношении наиболее показательна гла-
ва 5 о комбинаторике, написанная К. Кюненом. Вводная гла-
ва, принадлежащая Дж. Шенфилду, посвященная аксиоматике
системы Цермело — Френкеля, доступна широкому кругу чита-
телей. Наиболее трудна для чтения написанная К. Девлином
глава 5 об аксиоме конструктивности, излагающая громоздкие
конструкции и насыщенная большим количеством формул.
В книгу включены также топологические приложения аппарата
аксиоматической теории множеств. В главах 6 и 7, принадле-
жащих М. Рудин и Й. Юхасу, рассматриваются топологические
следствия аксиомы Мартина и различных комбинаторных прин-
ципов, вытекающих из аксиомы конструктивности Гёделя.
Было решено перенести в русский перевод второй части
справочника из его третьей части — Теории рекурсии — главу
о дескриптивной теории множеств, написанную Д. Мартином
(глава 8 данной книги). Дело в том, что материал этой главы
как по своим истокам, так и применяемым в доказательствах
методам тесно связан с аксиоматической теорией множеств.
К сожалению, Мартин не включил в свою главу интересный
материал, связывающий дескриптивную теорию с основными
идеями аксиоматической теории (с конструктивными по Гёделю
множествами и методом вынуждения). Этот пробел воспол-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
няется в добавлении переводчика к главе 8, в котором рассмат-
риваются также некоторые классические дескриптивные про-
блемы, не нашедшие места в самой главе, и обсуждается их
состояние на сегодняшний день. Кроме того, дескриптивная
теория множеств представляет такую область теории множеств,
в которой применяется весь арсенал средств аксиоматической
теории множеств. Поэтому обращение к этому материалу по-
зволяет показать «в работе» методы аксиоматической теорий,
изложенные в разных главах книги. Более подробно о выборе
темы для дополнения рассказано в предисловии переводчика
к добавлению.
Следует отметить, что по охвату материала настоящая кни-
га на самом деле не может служить справочником по теории
множеств. Это сборник статей, рассчитанный на широкий круг
читателей-математиков. Цель ее — дать представление об аксио-
матической теории множеств, основанной на аксиоматике Цер-
мело — Френкеля.
Аксиоматическая система Цермело — Френкеля хорошо от-
ражает свойства интуитивного мира множеств, описанного в
главе 1. Она служит основой для других более сильных систем,
также не вступающих в явное противоречие с интуитивным уни-
версумом главы 1. На ее основе осуществляется естественная
формализация понятий и доказательств реальной классической
математики, благодаря чему результаты о невыводимое™ в си-
стеме Цермело — Френкеля имеют особую значимость.
Вопросы, не освещенные подробно в главах данной книги,
можно найти в достаточно представительной библиографии к
этим главам.
При переводе были исправлены незначительные неточности
и опечатки без специальных оговорок. Немногочисленные
ссылки на материал других частей справочника оформлены сле-
дующим образом. Если в английском издании имеется ссылка
на главу 3 части III (например), то в настоящем переводе
написано: см. гл. 3 «Теории рекурсии».
В. Н. Гришин
ВВЕДЕНИЕ
Бурное развитие теории множеств, последовавшее за фун-
даментальными открытиями Гёделя и Коэна, привело к много-
численным результатам о непротиворечивости в различных об-
ластях математики. Основной целью настоящей книги является
изложение ряда основных методов и результатов теории мно-
жеств в доступном виде.
Вводная глава написана Дж. Шенфилдом. В ней на осно-
вании анализа интуитивного теоретико-множественного универ-
сума вводятся и рассматриваются аксиомы системы Церме-
ло — Френкеля ZF. Мы настоятельно рекомендуем прочесть
эту главу каждому, кто не очень искушен в аксиоматической
теории ZF, а также каждому, кто считает, что аксиомы приду-
маны только лишь для того, чтобы избежать парадоксов.
Следующая глава, написанная Т. Йехом, раскрывает осо-
бую роль аксиомы выбора АС. Автор анализирует характерные
примеры использования аксиомы выбора в математике и пока-
зывает, как выглядела бы математика без аксиомы выбора.
В этой главе также содержится обзор результатов о непроти-
воречивости (совместимости) и невыводимое™, относящиеся
к АС.
Предложение ф языка ZF называется совместимым с ZF,
если мы не можем вывести его отрицание ~~1ф из аксиом ZF.
Иными словами, ф совместимо с ZF, если теория ZF + ф не-
противоречива. Предложение ф называется_невыводимым bZF,
если ф не является теоремой ZF, т. е. если 1ф совместимо с ZF.
Имеются два способа доказательства совместимости математи-
ческих предложений с аксиомами теории . множеств — легкий
способ и трудный способ.
Легкий способ доказательства совместимости некоторого
предложения ф с ZF состоит в подыскании другого предложе-
ния ф, совместимость которого с ZF уже известна, и в доказа-
тельстве средствами ZF того, что из ф следует ф. Известно не-
сколько хороших кандидатов на роль предложения ф. Мате-
матик, знакомый с ними, может вообще не знать логики, по-
лучая результаты о непротиворечивости. Можно упомянуть, в
частности, аксиому Мартина МА, континуум-гипотезу СН и бо-
8
ВВЕДЕНИЕ
лее сильный принцип Йенсена Q. Аксиома Мартина и ее при-
ложения рассматриваются в шестой главе, написанной М. Ру-
дин. Приложения СН и ф рассматриваются в третьей и седь-
мой главах, написанных соответственно К. Кюненом и И. Юха-
сом.
Трудный способ состоит в построении моделей. Именно, если
мы хотим доказать, что некоторое предложение ср совместимо
с ZF, то мы строим модель Ш1, в которой истинны все аксиомы
(а следовательно, и теоремы) теории ZF, а также истинно рас-
сматриваемое предложение ф.
Первой такой моделью был построенный Гёделем универ-
сум L всех конструктивных множеств. Он является очень
естественной моделью — именно, наименьшей моделью теории
ZF, содержащей все ординалы. Гёдель доказал, что в модели L
истинны аксиома выбора АС и континуум-гипотеза СН. Сле-
довательно, АС и СН совместимы с аксиомами теории мно-
жеств. Многие красивые и более глубокие свойства этой мо-
дели такие, как принцип ф, были открыты Йенсеном. Эти ре-
зультаты Гёделя и Йенсена представлены К. Девлином в главе 5.
Второй чрезвычайно плодотворный метод построения мо-
делей— это метод вынуждения Коэна. Сам Коэн использовал
свой метод для установления невыводимое™ АС и СН в ZF.
Впоследствии этот метод был усовершенствован и упрощен Со-
ловеем и другими математиками и в настоящий момент яв-
ляется мощным и не таким уж сложным методом получения
результатов о непротиворечивости. Берджес в главе 4 излагает
метод вынуждения в доступном для математиков-нелогиков
виде, позволяющем им получать собственные результаты о не-
противоречивости. Предварительный материал этой главы (об
абсолютности) используется в пятой главе. -
Написанная К. Кюненом третья глава посвящена комбина-
торике и не предполагает никакого знакомства читателя с ло-
гикой. В ней рассматриваются йнфинитарные комбинаторные
принципы теории множеств (некоторые из этих принципов воз-
никли из работ по логике), нашедшие широкое распростране-
ние. В частности, показано, что АС, СН и Q можно рассматри-
.< вать как возрастающие по силе принципы «перечисления», и
указаны примеры их использования в математике. Обсуж-
дается также теорема Рамсея и ее обобщения на несчетные
кардиналы. Заканчивается глава введением в теорию больших
кардиналов, появляющихся при анализе указанных обобщений
теоремы Рамсея. В добавлении к этой главе рассмотрены боль-
шие кардиналы другой природы.
К. Кюнен
Глава 1
АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Джозеф Р. Шенфилд
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1.	Введение .....................................................9
§ 2.	Множества и образование множеств..............................9
§ 3.	Аксиомы .....................................................12
§ 4.	Развитие теории	множеств.....................................16
§ 5.	Ординалы.....................................................19
§ 6.	Аксиома выбора	.........................................24
§ 7.	Классы.......................................................27
§ 8.	Новые аксиомы................................................30
§ 1. Введение
В принципе аксиоматическая система строится следующим
образом. Сначала мы выбираем основные понятия и как мож-
но полнее разъясняем их природу. Затем пишем аксиомы для
этих понятий. При этом наши разъяснения должны сделать
очевидной истинность написанных аксиом.
Попытаемся представить аксиомы теории множеств именно
таким образом. Начнем с объяснения понятия множества.
Наше объяснение может показаться слишком сложным мате-
матику, считающему, что он понимает множества достаточно
хорошо. Мы увидим, однако, что это объяснение довольно по-
лезно, и не только для проверки аксиом теории множеств, но и
для введения новых аксиом, а также для доказательства теорем
о множествах.
Представленные здесь идеи развивались постепенно на про-
тяжении последнего столетия. Но они редко появлялись в пе-
чати в последовательном изложении, хотя и хорошо известны
для большинства специалистов по теории множеств. Этим объ-
ясняется отсутствие библиографии.
§ 2. Множества и образование множеств
Как объяснить понятие множества? В первом приближении
множество есть совокупность объектов. Множество образуется
путем отбора определенных объектов, называемых его элемен-
тами; множество полностью определено своими элементами.
10
ГЛ. 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Элементы множеств могут быть объектами любой природы.
В частности, мы хотим рассматривать любое множество как
объект и поэтому разрешим ему быть элементом другого мно-
жества. Объекты, не являющиеся множествами, но используе-
мые в качестве элементов множеств, называются праэлемен-
тами.
Даже без помощи праэлементов мы можем построить доста-
точно много множеств. Можно образовать пустое множество 0;
множество {0}, состоящее из единственного элемента 0; мно-
жество, элементами которого являются только 0 и {0}, и т. д.
Ограничимся только такими множествами и будем использо-
вать буквы х, у, z для их обозначения. Мы объясним позже,
почему это ограничение ничего не упускает.
Итак, мы приходим к тому, что любое множество х обра-
зовано отбором тех множеств, которые являются элементами х.
Существуют ли какие-нибудь ограничения на такой способ об-
разования множеств? Как показывают парадоксы теории мно-
жеств, ограничения действительно существуют.
Напомним парадокс Рассела. Пусть г есть множество, эле-
ментами которого являются все такие множества х, что х не
есть элемент х. Тогда для любого множества х будет
хег -- - х ф х.	(1)
Подставив г вместо х, получим противоречие.
Объяснение в сущности не сложно. Когда мы строим какое-
то множество г, выбирая его элементы, мы еще не имеем z как
объект и поэтому не можем использовать его в качестве эле-
мента множества г. По той же причине некоторые другие мно-
жества также не могут быть элементами z. Например, предпо-
ложим, что zz=.y. Тогда мы не можем образовать множество у,
пока не построено г. Следовательно, при построении г у нас
нет в распоряжении множества у, и поэтому у не может быть
элементом z. Иными словами, элементами множества z могут
быть лишь те множества, которые построены раньше1) z. Та-
ким образом, для построенного выше множества г условие (1)
выполняется только для множеств, построенных раньше г; по-
этому нельзя подставлять г вместо х.
Продолжая этот анализ, приходим к следующей схеме. Мно-
жества строятся последовательно по шагам. Для каждого шага
S имеются шаги, предшествующие шагу S, т. е. осуществляю-
щиеся раньше шага S. Каждая совокупность, которую мы
строим на шаге S из множеств, построенных на шагах раньше
!) Слово «раньше» понимается здесь скорее в логическом, чем во вре-
менном смысле, аналогично тому, что мы имеем в виду, когда говорим, что
одна теорема должна быть доказана раньше другой.
§ 2. МНОЖЕСТВА И ОБРАЗОВАНИЕ МНОЖЕСТВ
11
S, является множеством1). Нет других множеств, кроме по-
строенных на одном из шагов.
Эта схема достаточно ясно поясняет понятие множества в
терминах понятий шаг и раньше. Что можно сказать об этих
понятиях? Несомненно, отношение раньше должно частично
упорядочивать шаги; и это является единственным свойством
указанного отношения, необходимым для наших аксиом.
Шаги важны для нас потому, что они дают возможность
строить множества. Предположим, что х есть совокупность
множеств, a S есть такая совокупность шагов, что каждый эле-
мент множества х строится на каком-нибудь шаге из S. Если
существует шаг после всех шагов из S, то на этом шаге можно
построить множество х. Поэтому возникает следующий фун-
даментальный вопрос: если дана совокупность S шагов, то су-
ществует ли шаг, следующий за каждым шагом из S?
Мы хотели бы иметь положительный ответ на этот вопрос
всегда, когда это возможно. Теоретико-множественные пара-
доксы не разрешают каждой совокупности множеств быть мно-
жеством, но мы избежали парадоксов, ограничившись множе-
ствами, которые строятся на каком-то шаге. И мы хотим иметь
достаточно много шагов, чтобы не слишком ограничивать по-
нятие множества.
Тем не менее ответ на наш вопрос не всегда может быть
положительным. Например, если S есть совокупность всех ша-
гов, то, разумеется, нет ни одного шага после всех шагов из S.
Возможный ответ на наш фундаментальный вопрос таков:
если можно представить себе ситуацию, когда все шаги из S
осуществлены, то существует шаг после всех шагов из S. В слу-
чае, когда S содержит все шаги, мы не можем представить
себе такую ситуацию, поскольку всегда имеем в виду следую-
щий шаг. Но это в лучшем случае довольно неопределенный
ответ, так как, вообще говоря, не всегда ясно, что мы можем,
а что не можем себе представить. Тем не менее этот ответ
дает полезный ключ для получения более ясных принципов, на
которых основаны наши аксиомы.
В частности, существуют три случая, в которых наш неопре-
деленный ответ приводит к выводу, что существует шаг после
всех шагов из S. Первым является случай, когда S состоит из
единственного шага. Вторым — когда S состоит из бесконечной
последовательности So, Si, ... шагов. И третьим — тот случай,
когда мы имеем множество х и шаг Sy для каждого у из х, и S
состоит из всех таких шагов Sy.
]) Заметим, что множество, построенное на шаге S, может быть по-
строено и па любом последующем шаге. Можно было бы организовать схему
так, что каждое множество строилось бы только на одном шаге. Однако нет
оснований стремиться к этому.
12
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
В первых двух случаях мы отчетливо можем представить
себе ситуацию, когда все шаги из S уже осуществлены.
В третьем случае можно рассуждать следующим образом. Если
какое-то у из х построено, то мы считаем шаг Sy осуществлен-
ным. Когда мы дойдем до шага, на котором строится множе-
ство х, каждое у из х уже будет построено, и, следовательно,
каждый шаг Sy из S будет осуществлен.
Мы уже продвинулись в наших рассуждениях достаточно
далеко для получения обычных аксиом теории множеств. Все
же остается еще немало темных пятен, дальнейший анализ ко-
торых мог бы привести к лучшему пониманию аксиом или к
новым аксиомам. По мере дальнейшего продвижения мы будем
обращать внимание на некоторые из них.
Конечно, не исключено, что возможен совсем иной анализ
понятия множества, и это могло бы привести к совершенно дру-
гой системе аксиом. Однако в настоящее время нет анализа
понятия множества, существенно отличающегося от предло-
женного здесь и приводящего к удовлетворительной системе
аксиом.
§ 3. Аксиомы
Перед тем, как обратиться к аксиомам, нужно описать язык
теории множеств. Этот язык содержит переменные для мно-
жеств х, у, z, ..., которые обозначают произвольные множе-
ства. Он также содержит символ е для отношения принадлеж-
ности.
Остальные обозначения являются логическими. Мы имеем
символ = для тождественно с. Мы имеем пропозициональные
связки: “1 для не; V для или, Д для и, для влечет, <-> для
если и только если. Имеются кванторы: V для для всех, В для
для некоторого, и 3! для существует и единственно. Пере-
менные, следующие за квантором, могут быть ограничены не-
которым множеством; например, Vxez/ означает для всех х из у.
Конечно, одни логические обозначения могут быть выра-
жены через другие, но мы интересуемся теорией множеств, а
не логикой. По этой причине мы не будем формулировать ак-
сиомы логики первого порядка и даже не будем давать точное
определение формулы логики первого порядка. Все это под-
робно обсуждается в вводной главе 1 «Теории моделей», напи-
санной Барвайсом.
Напомним, как вводятся операции в логических системах.
Унарная операция F вводится путем определения F(x) как един-
ственного у такого, что ср(х, у) (где ср(х, //) есть произвольная
формула нашего языка, не содержащая F). Точнее, мы сперва
доказываем VxB!z/cp(x, у), а затем вводим F аксиомой ф(х, F(x)).
§ 3. АКСИОМЫ
13
При этом формула ty(F(x)) рассматривается как сокращение
для Зг/(ф(х, у) Л ф(у)). Бинарные и n-арные операции рассмат-
риваются аналогично.
Замечание. Операции могут зависеть от параметров.
Можно определить, например, F(x)= x\J у, так что F зависит
от у.
Теперь обратимся к аксиомам. В самом начале нашего ана-
лиза было установлено, что любое множество полностью опре-
деляется своими элементами. Это и является содержанием на-
шей первой аксиомы.
Аксиома объемности. Vz(z^ х z <= у) -> х = у.
Одним из наиболее важных моментов нашего анализа яв-
ляется утверждение, что определенные совокупности множеств
будут множествами. Переводя это в наш язык, мы встречаемся
с трудностью: нет возможности говорить о совокупностях в
этом языке, если уже не установлено, что они являются мно-
жествами. Существуют однако совокупности, о которых мы мо-
жем говорить. Именно, если дана формула ф(х), то можно вы-
ражать определенные суждения о совокупности всех таких
множеств х, что ф(х). В частности, мы можем следующим об-
разом сказать, что указанная совокупность есть множество:
3z/Vx (х е у <-> <р (х)). Сокращением этого выражения является
Set{x: ф(х)}.
Нашим первым принципом существования множеств будет
следующий: если каждый элемент некоторой совокупности мно-
жеств принадлежит определенному множеству у, то эта сово-
купность есть множество. Чтобы понять это, предположим, что
у строится на шаге S. Тогда каждый элемент множества у уже
построен раньше S, и, следовательно, таковым является каж-
дый элемент рассматриваемой совокупности. Таким образом,
сама совокупность может быть построена на шаге S как мно-
жество. Мы выражаем этот принцип следующей аксиомой:
Аксиома выделения. Vx (ф (х) -> хе у)-+ Set {х: ф (х)}.
Заметим, что аксиома выделения является не одной аксио-
мой, а бесконечным семейством аксиом, содержащим по одной
аксиоме для каждой формулы ф(х). Название аксиомы объяс-
няется тем, что мы выделяем такие х, которые удовлетворяют
ф(х), из всех элементов множества у.
Наш следующий принцип утверждает: объединение всех эле-
ментов любого множества х есть множество. Предположим, что
х строится на шаге S. Тогда каждый элемент множества х по-
строен раньше S, и тем самым каждый элемент элемента мно-
жества х также построен раньше S. Это означает, что каждый
элемент рассматриваемого объединения уже построен раньше
S, и поэтому объединение может быть построено на шаге S.
Этот принцип сформулирован в следующей аксиоме:
14
ГЛ. 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Аксиома объединения. Set {z: Зу е х(ге у)}.
Следующий принцип таков: совокупность всех подмножеств
произвольного множества х является множеством. Предполо-
жим, что х строится на шаге S. Поскольку каждый элемент
множества х построен раньше S, то каждое подмножество мно-
жества х строится на шаге S. Таким образом, множество всех
подмножеств множества х может быть построено на любом
шаге после S.
Чтобы сформулировать этот принцип в виде аксиомы, опре-
деляем
X С Уг (2 Е Х->2 Е //).
Аксиома степени. Set {у: у^х}.
Нашим следующим принципом будет: если F есть унарная
операция, а х является множеством, то совокупность всех та-
ких F(y), что у х, является множеством. Чтобы проверить
это, допустим, что Sy есть шаг, на котором строится множество
F(y). Тогда существует шаг после всех шагов Sy. На этом шаге
можно построить искомое множество всех' таких F(y), что
£/ е= х.
Аксиома подстановки. Set {zi Зу x(z = F (г/))}1).
Наша следующая аксиома гарантирует существование беско-
нечного множества. Это не совсем просто, поскольку в нашем язы-
ке нет прямого способа выражения бесконечности множества.
Аксиома бесконечности. Эх ((Зг/ xVz (z ф. у))
/\Уу& x3z <= xVw	w = у))2).
Покажем, почему аксиома бесконечности истинна. Пусть
х0 — пустое множество, и для каждого п пусть хп±\ есть мно-
жество, элементами которого являются только элементы мно-
жества хп, а также само хп. Мы можем построить х0 на любом
шаге, и если хп построено на некотором шаге, то хл+1 можно
построить на следующем шаге. Предположим, что хп строится
на шаге Sn. Тогда существует шаг после всех шагов Sn. На
этом шаге мы можем построить множество х, элементами кото-
рого будут хо, Xi, ... Это х и будет множеством, существование
которого утверждается аксиомой бесконечности.
Элемент у множества х называется минимальным элемен-
том х, если у и х не имеют общих элементов. Наша следующая
1) Здесь снова речь идет о бесконечном семействе (иногда пишут — схе-
ме) аксиом, поскольку аксиому подстановки можно записать в виде
Vt/3!z ф (у, z) -> Set {z: Зг/ехф (у, z)}> где Ф («/, z} — произвольная формула. —
Прим, перев.
2) Таким образом, аксиома бесконечности утверждает существование не-
пустого множества х, одним из элементов которого является пустое множе-
ство и которое содержит вместе с каждым своим элементом у е х множе-
ство z = {w: w & у у w = у}. — Прим. ред.
§ 3. АКСИОМЫ
15
аксиома утверждает, что каждое непустое множество имеет ми-
нимальный элемент.
Аксиома регулярности1). Зу (г/ех)-> Зу^хЧ z^yiz^x).
Покажем, почему истинна аксиома регулярности. Скажем,
что шаг S минимален для х, если некоторый элемент множе-
ства х строится на шаге S, но никакой элемент х не строится
раньше S. Если шаг S минимален для х и у есть элемент мно-
жества х, строящийся на шаге S, то у является минимальным
элементом х, поскольку каждый элемент этого множества у
строится раньше S и поэтому не может быть элементом х.
Таким образом, достаточно показать, что для каждого не-
пустого множества х существует шаг, минимальный для S.
Это часто признается очевидным свойством шагов. Мы приве-
дем однако принадлежащее Д. Скотту доказательство того, что
это свойство следует из фактов, которые мы уже знаем о шагах.
Множество х называется фундированным, если каждое мно-
жество, содержащее х, имеет минимальный элемент. (Конечно,
если аксиома регулярности истинна, то каждое множество яв-
ляется фундированным.)
Если каждый элемент множества х является фундирован-
ным, то таково же и само х. Действительно, пусть х&у. Еслих
и у не пересекаются, то х есть искомый минимальный элемент
множества у.
В противном случае у содержит некоторый элемент мно-
жества х, который является фундированным по предположе-
нию. Следовательно, множество у снова содержит минималь-
ный элемент.
Для каждого шага S пусть Gs есть множество всех фунди-
рованных множеств, построенных перед S. Это Gs на самом деле
будет множеством, поскольку оно может быть построено на
шаге S, и Gs является фундированным, как показано выше.
Если шаг Т находится раньше S, то множество Gr фундировано
и строится на шаге Т раньше S; поэтому Gt Gs.
Пусть теперь множество х непусто и строится на шаге S.
Пусть у есть множество всех таких Gt, что шаг Т находится
раньше S и некоторый элемент множества х строится на шаге
Т. Это у будет множеством, так как каждое Gt построено перед
S. Оно непусто (поскольку х непусто) и все его элементы фун-
дированы. Следовательно, у имеет минимальный элемент GT.
Мы утверждаем, что Т является минимальным шагом для х.
В самом деле, иначе найдется шаг U раньше Г, на котором
построен какой-то элемент множества х. Как показано выше,
Gu^ GT, а поскольку U находится перед S, то Gu^y. Это про-
тиворечит выбору GT. Доказательство закончено.
!) Называемая также аксиомой фундирования. — Прим. ред.
16
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Ниже будет добавлена еще одна аксиома — аксиома выбора.
Аксиоматическая система, состоящая из всех этих аксиом, обо-
значается через ZFC. Она обычно рассматривается как стан-
дартная система аксиом для теории множеств.
§ 4. Развитие теории множеств
Мы собираемся лишь показать, как различные аксиомы уча-
ствуют в построении теории множеств, но не проводить это по-
строение в деталях. Будет использоваться обозначение {х:ф(х)}
для множества таких х, что ф(х). Более строго, {х: ф(х)} вво-
дится аксиомой
Vx (х е {х: ф (х)} «-> ф (х)).
Однако перед введением этой аксиомы нужно доказать следую-
щую формулу:
3!z/Vx (х е у ф (х)).
Если такое у существует, то оно единственно по аксиоме
объемности, и утверждение о существовании такого у и есть
Set{x: ф(х)}. Значит, мы можем использовать {х: ф(х)} только
в предположении, что уже доказано Set{x: ф(х)}.
Будем писать {F(x): ф(х)} вместо {у. Зх (ф (х) Д у — F (х))}.
Таким образом, аксиому подстановки можно записать в виде
Set{F(x): хе//}.
Прежде всего введем обычные теоретико-множественные опе-
рации. Главной ролью аксиом при этом будет доказательство
существования тех или иных множеств. Покажем, как это де-
лается.
Сначала определим пустое множество
0 = {х: х х}.
Чтобы доказать его существование, возьмем какое-нибудь
множество у. (Аксиома бесконечности гарантирует существо-
вание хотя бы одного множества. Из обычных аксиом логики
также можно получить существование хотя бы одного множе-
ства.) Тогда Vx(x^x->xe//), и, следовательно, Set {х: х #= х}
по аксиоме выделения.
Теперь мы определим множество
U Z = {х: 3// G 2(ХЕ у)},
&(у) = {х: х<=у}.
Эти множества существуют по аксиомам объединения и сте-
пени. Множество называется объединением г, а множество
&(у) называется степенью у.
§ 4. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
17
Далее, определяем множество, состоящее из х и у.
{х, y} = {z\ z = x\f z = y}.
Доказательство существования этого множества требует не-
больших усилий. Введем операцию F условиями F(0) = x и
P(w) — y при ш=И=0. Каково бы ни было множество и, сово-
купность {F(w)'. w v} будет множеством по аксиоме подста-
новки. Следовательно, в силу аксиомы выделения достаточно
построить v так, чтобы х и у принадлежали {F(w): шеи}.
Это означает, что v должно содержать как 0, так и множество,
отличное от 0. Легко видеть, что такому свойству удовлетво-
ряет множество v = 59(59(0)).
Теперь можно определить булевы операции:
xU// = UK у},
x(]y — {z: ze х Д z <= z/J,
х — у = {z: zex f\z£y}.
Последние два множества существуют по аксиоме выделения.
Далее, можно определить множество, элементами которого
являются множества Xi, ..., хп (и только они), индукцией поп:
{х1} = {х1, xj,
{Хр ••• > хп+1} = {хр ••• > Хп} U {хп (.
После этого без труда определяются и другие операции над
множествами.
Теория множеств имеет дело не только с множествами, но
также и с отношениями и функциями, которые являются мно-
жествами упорядоченных пар1)- Обычно упорядоченную пару
не рассматривают как множество, однако мы можем отожде-
ствить ее с множеством, если это множество обладает всеми
желаемыми свойствами упорядоченной пары. К этим свойствам
относится лишь способность полностью определяться своими
первым и вторым членами. Иными словами, единственным
существенным свойством упорядоченной пары является
<х,	=	w)~>x = z /\ у = w.	(2)
Известно несколько определений <х, у), обеспечивающих вы-
полнение записанной формулы; простейшим является
<х, у) = {{х}, {х, у}}.
Мы оставляем читателю проверку (2).
9 Мы отождествляем функцию f с множеством упорядоченных пар
<х, f(x)), а не с множеством упорядоченных пар (f(x),x).
18
ГЛ. 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Теперь можно определить декартово произведение:
я X У = {(г,	* е х Л w е у}.
Чтобы показать его существование (как множества), заметим,
что
z е х Д w е у(г, w} е Ф (Ф (я U у)),
а затем используем аксиому выделения.
Можно обобщить аксиому подстановки на случай двух (или
большего числа) аргументов:
Set{F(z, w}: z^x /\w&y}.	(3)
В самом деле, введем новую операцию G условием
G((z, w)) = F(z, w) и G (v)=0 в случае, когда v не является
упорядоченной парой. (В силу (2) это определение корректно.)
Тогда
{F(z, w): z^x Awe y} = {G(v): v&x\y},
и поэтому (3) следует из аксиомы подстановки.
Теперь мы собираемся показать, что в нашей теории можно
работать с обычными математическими объектами. Такие объ-
екты строятся из чисел с помощью теоретико-множественных
операций. Однако хорошо известно, что все числа (действитель-
ные, комплексные, рациональные) могут быть построены из на-
туральных чисел с помощью теоретико-множественных опера-
ций. Мы покажем, как определяются натуральные числа в ZFC.
Очевидно, что каждое натуральное число п должно быть
отождествлено с каким-нибудь множеством; какое же множе-
ство целесообразнее выбрать? Естественным является выбор п-
элементного множества, а из таких множеств напрашивается
выбор множества всех натуральных чисел, меньших чем п. Та-
ким образом, 0 отождествляется с пустым множеством 0, 1
отождествляется с {0}, 2 с {0, 1} и т. д. При этом операция
перехода к следующему натуральному числу должна быть оп-
ределена так:
Sc(x) = x|J {х}.
Будем говорить, что множество является индуктивным, если
оно содержит 0 и замкнуто относительно операции Sc.
Натуральным числом назовем каждое множество, принадле-
жащее любому индуктивному множеству.
Нужно доказать аксиомы Пеано для так определенных на-
туральных чисел. Единственной аксиомой, проверка которой
нетривиальна, является
Sc(x) = Sc(t/)->x = у.	(4)
Пусть Sc (я) = Sc(y). По аксиоме регулярности множество
{я, у} содержит минимальный элемент, а в силу симметрия-
§ 5 ОРДИНАЛЫ
19
ности можно считать, что этим элементом является у. Тогда
х^у. Но xg Sc(x)= Sc(z/) = у U{у}, и поэтому либо х<=у,
либо х = у. Следовательно, х — у. (В случае, когда х и у яв-
ляются натуральными числами, мы можем доказать (4) без
использования аксиомы регулярности. Однако (4) иногда ис-
пользуется для произвольных множеств х и у.)
Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные мно-
жества существуют. Отсюда и из аксиомы выделения следует
существование множества всех натуральных чисел.
Теперь видно, почему праэлементы не являются необходи-
мыми: все объекты, которые мы хотели бы изучать, являются
множествами или по крайней мере могут быть отождествлены
с множествами. На самом деле лишь небольшое дополнитель-
ное усилие требуется для переформулировки нашей аксиомати-
ческой системы с тем, чтобы она допускала праэлементы, и это
иногда бывает полезным.
Довольно удивительным является то, что мы можем опре-
делить все обычные математические объекты и доказать их
свойства в ZFC. Несомненно, это показывает, что ZFC является
очень сильной аксиоматической системой. Тем не менее мы не
склонны преувеличивать это. Было бы ошибочным и бесполез-
ным отождествить математику с ZFC или рассматривать ZFC
как основание математики. Такой взгляд привел бы к тому, что
объекты, неопределимые в ZFC, не считались бы математиче-
скими объектами, а факты, недоказуемые в ZFC, — математи-
ческими фактами. Это было бы бесплодным ограничением ма-
тематики.
§ 5.	Ординалы
Хотя понятие шага и фигурировало в нашем описании мно-
жеств, но оно не вошло в формулировки аксиом. Чтобы пока-
зать, что при этом ничего не потеряно, мы в ZFC определим
шаги и докажем, что они имеют соответствующие свойства.
Мы собираемся отождествить шаги с определенными мно-
жествами, которые называются ординалами. Грубо говоря, ор-
диналы получаются продолжением последовательности нату-
ральных чисел.
Множество х называем транзитивным, если каждый элемент
множества х является подмножеством х. Множество х назы-
вается ординалом, если х транзитивно и каждый элемент мно-
жества х также транзитивен. Для обозначения ординалов бу-
дем использовать греческие буквы.
5.1.	Теорема. Множество 0 есть ординал. Если а — орди-
нал, то Sc (а) также будет ординалом.
20
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Доказательство. Доказательство тривиально и остав-
ляется читателю. □
Следствие. Каждое натуральное число является орди-
налом.
5.2.	Теорема. Каждый элемент ординала есть ординал.
Доказательство. Пусть хеа. Тогда х транзитивно, и
поэтому остается проверить, что каждый элемент у множества
х является транзитивным множеством. Поскольку а транзитив-
но, то х S а; следовательно, у е а, и поэтому у транзитивно,
что и требовалось. □
Определим теперь для ординалов аир:
а < Р а G р,
а Р <-> а < Р V а = р.
Докажем сначала, что •< частично упорядочивает ординалы, т. е.
“1 (а < а),	(5)
а<РДР<у->а<у.	(6)
По аксиоме регулярности а является минимальным элементом
множества {а}. Это означает, что а,фа,, т.’е. (5). А (6) есть
следствие транзитивности у. □
5.3.	Теорема. Если Va((VP < a <р (р))-> <р (а)), то Va<p(a).
Доказательство. Предположим, что посылка верна, но
~l<p(ao), и получим противоречие. Пусть
х = {а: а < а0 Л ~1 ф (а)};
это множество существует потому, что каждое такое а принад-
лежит ао. Более того, х ф 0, так как иначе посылка дала бы
ф(ао). Таким образом, х имеет минимальный элемент а. Если
Р < а, то Р < ао по (6) и р ф х по выбору а. Значит, при
Р < а будет ф(Р). Теперь посылка дает ф(а), что противоречит
выбору а. □
Теорема 5.3 говорит нам, что если мы хотим доказать ф(а)
для произвольного ординала а, то можно предполагать, что
ф(р) выполняется при любом р < а. Такой метод доказатель-
ства называется доказательством ф(а) индукцией по а; пред-
положение о том, что ф(Р) выполняется для всех р < а, назы-
вается индуктивным предположением.
Докажем теперь, что < линейно упорядочивает ординалы,
т. е.
a<pVa = PVP<a.	(7)
Обозначим (7) через С (a, Р) и докажем VPC (a, Р) индукцией
по а. Для этого докажем С (a, Р) индукцией по р (при фикси-
рованном а) . Таким образом, мы доказываем С (а, р) с по-
§ 5. ОРДИНАЛЫ	21
мощью двух индуктивных предположений:
Vy < аС (у, р),	(8)
Vy<pC(a, у).	(9)
Ясно, что либо а = р, либо а — р=/=0, либо р — а=#0. Если
а = Р, то С (а, р) очевидно. Предположим теперь, что а — р =/=
=# 0. По теореме 5.2 и определению < найдется такое у, что
у < а и П (у < р). Согласно (8) будет С (у, Р), т. е. либо у < Р,
либо р у. Так как первое ложно, то выполняется Р у. Те-
перь, поскольку у < а, то из (6) следует Р < а, т. е. С (а, Р).
Аналогичное доказательство (с использованием (9) вместо (8))
проходит и в случае р — a #= 0.
Итак, (7) доказано. С помощью этого утверждения докажем
a<p<->a^p.	(10)
В самом деле, если а Р, то из у < а следует у < р по
(6), и а^р вытекает из теоремы 5.2. Если же П(а^Р), то
Р<а согласно (7) и ~1 (Р < Р) согласно (5). Таким образом,
р е a - р, т. е. П(а £ р).
Будем говорить, что а есть наименьший ординал такой, что
<р(а), если имеет место ф(а), но для любого ординала Р<а
выполняется Пф(Р). В силу утверждения (7) существует не
более одного такого ординала а.
5.4.	Теорема. Если За<р (а), то существует наименьший
ординал а такой, что <р(а).
Доказательство. Предположим, что таких а нет, и до-
кажем 1<р(а) индукцией по а. Если ф(Р), то из индуктивного
предположения следует ~1(Р < а), т. е. а р. Таким образом,
1ф(а), так как иначе а было бы наименьшим ординалом та-
ким, что ф(а). □
Существуют два тривиальных примера. наименьших орди-
налов: 0 есть наименьший ординал, а Sc (а) есть наименьший
ординал р такой, что a < р.
5.5.	Теорема. Если х есть множество ординалов, то Ux
является наименьшим ординалом а таким, что Vp^x(p^a).
Доказательство. Объединение множества, состоящего
из транзитивных множеств, транзитивно; поэтому U* транзи-
тивно. Каждый элемент множества Ux принадлежит некото-
рому ординалу из х и, следовательно, является транзитивным.
Таким образом, U* есть ординал. Теперь теорема следует из
(10). □
Следствие. Если х есть множество ординалов, то су-
ществует ординал, превосходящий все ординалы из х.
Доказательство. Нужно взять a = Sc (Цк). □
Согласно этому следствию существует ординал, не являю-
щийся натуральным числом. Наименьший такой ординал обо-
22
ГЛ. 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
значается через со. Поскольку со =/= 0 и О есть наименьший орди-
нал, то
О < со.	(11)
Также имеет место
а < со—► Sc(a) < со.	(12)
В самом деле, если а < со, то Sc(a)^co, так как Sc (а) есть
наименьший ординал, больший, чем а. Но поскольку а < со, то
а — натуральное число. Тем самым Sc (а) — также натуральное
число, и, следовательно, Sc(a)=/= со.
Из (11) и (12) следует, что каждое натуральное число при-
надлежит со. Но каждый элемент со является ординалом, мень-
шим, чем со, и тем самым является натуральным числом. Таким
образом, со есть множество всех натуральных чисел.
Теперь обратимся к определениям по индукции. Идея со-
стоит в том, что мы хотим определить Г (а) через а и Г(Р) для
р < а. Все эти Г(р) можно собрать в одно множество F Г а,
определяемое равенством
/Ча = {(р, F(p)>: Р < а}.
5.6.	Теорема. Если G есть бинарная операция, то су-
ществует такая унарная операция F, что F(a)= G(a, F Га) для
всех ординалов а.
Доказательство. Под a-функцией “будем понимать
функцию f, определенную на а и удовлетворяющую равенству
f(p) = G(p, f Г р) для всех Р < а. Легко видеть, что если f
есть a-функция и Р < а, то f Г Р будет р-функцией.
Покажем, что для каждого а существует не более одной
a-функции. Действительно, предположим, что fug являются
a-функциями, и докажем
Р<а->НР) = Я(Р)
индукцией по р. Если у < р, то f(y) = g(y) по индуктивному
предположению. Таким образом, frp = grp, и поэтому
f(P) = G(P, HP) = G(p, g Г Р) = £(Р).
Если существует a-функция f, то полагаем F(a)=G(a, f):
в противном случае полагаем F(a) = 0. (Этот второй случай
на самом деле не имеет места ни при каком а.)
Докажем для начала, что если a-функция существует, то
выполняется F(a)= G(a, F Га). Достаточно показать, что если
f есть a-функция, то F Г а = f. Если Р < а, то / Г Р является
P-функцией; поэтому F(P) = G(p, f Г Р) = f (Р), так как f есть
a-функция. Таким образом, F\a = f, что и требовалось.
Осталось проверить, что для каждого а существует а-функ-
ция. Докажем, что FTa будет a-функцией, индукцией по а.
§ 5. ОРДИНАЛЫ
23
Пусть f = F f а. Если £ < a, то из индуктивного предположения
и результата предыдущего абзаца следует F(P)=G(p, Ftp).
Но это равенство эквивалентно равенству /(Р)= G(P, f tP), ко-
торое и требовалось установить. □
На практике теорема 5.6 обосновывает любое определение,
в котором F(a) выражается через а и F(P) для р < а. Напри-
мер, пусть х — произвольное множество. Положим F(a) равным
{х} при a = О, равным 0(^(Р)) при a = Sc(p) и равным
U{F(P): Р < а} в остальных случаях. Нетрудно подобрать G
так, что теорема 5.6 дает эту операцию F. Важность рассмот-
ренного примера заключается в том, что F(<o) есть транзитив-
ное множество, содержащее х как элемент. В самом деле, по
(11) и (12) F(co) будет объединением всех F(a) для a < со.
В частности, F(0)ef(o)), и поэтому xsF((o). Далее, если
z/e F(<o), то у F(a) для некоторого a < <о. Это означает, что
(J (F (a)) = F (Sc (а)) F (<*>) по (12). Таким образом, F(co)
является транзитивным множеством.
5.7.	Теорема. Если Vx((Vz/^ хф (//))-> ф(х)), то Vxq>(x).
Доказательство. Предположим, что посылка выпол-
няется, но >(z), и получим отсюда противоречие. Как пока-
зано выше, существует транзитивное множество w, содержащее
г. Полагаем v = {х: х е w А ~1ф(х)}. Поскольку z е и, то v
имеет минимальный элемент х s v. Если теперь у е х, то у е w
(так как w транзитивно) и у ф v, т. е. ф(у). В этой ситуации
посылка теоремы дает ф(х), что противоречит выбору x&v. □
Теорема 5.7 говорит нам, что если мы хотим доказать ф(х)
для произвольного множества х, то можно предполагать, что
ф(у) выполняется для всех у & х. Такой метод доказательства
называется доказательством ф(х) с помощью ^-индукции пох\
предположение о том, что ф(у) справедливо для всех i/sx, на-
зывается индуктивным предположением.
Теперь мы отождествляем шаги с ординалами, а отношение
раньше — с порядком < на ординалах. Скажем, что множество
х строится на шаге а, если хе/?(а), где операция опреде-
лена индукцией по а следующим образом:
/?(a) = U{^(^(P)): ₽<«}’)•
Таким образом, мы определили понятия § 2 в ZFC. Теперь
уже можно доказать соответствующие свойства этих понятий.
По определению /?, выполняется
г/е	<a(z/s/?(P));	(13)
таким образом, у принадлежит /?(а), если и только если у
строится раньше а. Следовательно, х строится на шаге а, если
9 При а = 0 это определение дает /?(а) = 0, так как множество в фи-
гурных скобках оказывается пустым при a = 0. — Прим, перев.
24
ГЛ 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
и только если каждый элемент множества х построен раньше а.
Это и есть первое основное свойство процесса построения мно-
жеств.
Далее, мы должны доказать, что если каждый элемент не-
которой совокупности построен раньше а, то эта совокупность
является множеством. Согласно (13) сказанное записывается
следующей формулой:
Vx (ср (х) -> х е (а)) -> Set {х: ф(х)}.
Но записанная формула есть следствие аксиомы выделения.
Наконец, нужно доказать, что каждое множество строится
на каком-нибудь шаге, т. е.
За(хе/?(а)).	(14)
Доказываем это утверждение е>индукцией по х. Пусть F(y)
есть наименьший ординал |3 такой, что y^R($), или 0, если
таких р нет. Используя следствие к теореме 5.5, выбираем
ординал а, превосходящий все ординалы из {F(y): у ех}. Если
уех и (3 = F(y), то y^R($) по индуктивному предположению
и в силу р < а. Из (13) следует, что y<^R(a). Таким образом,
х /?(а), что и требовалось.
Если мы заменим х на {х} в утверждении (14), то получим:
каждое множество принадлежит какому-нибудь R(a). Этот
факт часто используется. Например, можно вводить операцию
F на всех множествах путем определения ее на всех множест-
вах из /?(а) индукцией по а. Другое применение будет указано
в следующем параграфе. Итак, мы видим, что шаги полезны
не только при проверке аксиом, но и в. доказательстве теорем.
§ 6.	Аксиома выбора
Функцией выбора на множестве х называется функция f с
областью определения х — {0} такая, что f(y)^y для всех у
из области определения f. Аксиома выбора утверждает, что
для каждого множества х существует функция выбора на х.
(Строго говоря, аксиомой выбора является перевод этого пред-
ложения на язык теории множеств.)
Почему аксиома выбора истинна? Мы уже знаем, что
xXUx есть множество, и, следовательно, оно строится на не-
котором шаге S. Тогда каждая пара <#,£>, где ге у Л у е *,
построена раньше S. На шаге S мы можем взять одну такую
пару <у, z> для каждого у из х—{0} и построить множество
всех таких <у, z>. Это множество и будет искомой функцией вы-
бора на х.
В этом рассуждении есть одно слабое место: что мы имеем
в виду, когда говорим, что можно выбрать одну пару (у, z)
§ 6 АКСИОМА ВЫБОРА
25
для каждого у? Конечно, мы не имеем в виду, что человек фак-
тически в состоянии выбрать эти пары, так как возможен слу-
чай бесконечного числа таких пар. Мы также не имеем в виду,
что есть какой-то закон для выбора таких пар, поскольку не-
зависимо от нашего понимания слова закон мы не видим при-
чин, почему такой закон должен быть для каждого множества
х. Таким образом, мы имеем в виду лишь существование сово-
купности множеств, содержащей ровно по одной паре <у, z> для
каждого у из х—{0}. Если совокупность понимать как произ-
вольное разбиение рассматриваемых объектов на принадлежа-
щие и не принадлежащие к этой совокупности, то разумно
было бы утверждать, что такая совокупность существует.
Аксиома выбора имеет много приложений в математике; не-
которые из них рассматриваются в гл. 2. В теории множеств
наиболее интересными являются приложения к теории карди-
налов. Сделаем краткое введение в эту теорию.
Будем говорить, что множества х и у равномощны, и писать
х ~ у, если существует взаимно однозначное отображение х
на у. Тривиально проверяется, что ~ есть отношение эквива-
лентности. Мы хотим сопоставить каждому множеству х дру-
гое множество |х|, называемое кардиналом или мощностью х,
так, чтобы
\х\ = \у\<-> х~у.	(15)
Напрашивается использование классов эквивалентности, т. е.
|х|={у: У ~ х}. Но это не проходит, поскольку {у: у ~ х} не
является множеством при х =/= 0. Предыдущий параграф под-
сказывает такое определение: |х|={у: у е R(a) А у ~ х}, где
а есть наименьший ординал такой, что 3z/^/?(a) (у ~ х).
(Такой ординал существует, так как х ~ х и х принадлежит
некоторому /?(а).) Хотя такое определение достаточно прием-
лемо, существует еще более удобное определение. Именно, оп-
ределим |х| как наименьший ординал, равномощный с х.
Прежде всего, нужно доказать, что такой ординал существует.
6.1.	Теорем а. Если f является функцией выбора на ^(х),
то существует взаимно однозначное отображение g некоторого
ординала а на множество х, удовлетворяющее равенству g(p) =
= f(x — {g(y): у < Р}) для всех р < а.
Доказательство. Определяем F индукцией следующим
образом:
F(a) = f(x-{F(p): 0 < a}).
(Здесь в качестве f(0) можно взять любое множество, напри-
мер 0.) Тогда
x-{F(p): P<a}=# 0 ->F(a)exA VP<a(F(P)y=F(a)). (16)
Докажем сначала, что №{F(B): Р < а} для некоторого
ординала а. Если это не так, то (16) показывает, что/7взаимно
26
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
однозначно отображает совокупность всех ординалов в множе-
ство х. Тогда обратная к F операция отображает некоторое под-
множество множества х на совокупность всех ординалов, ввиду
чего эта совокупность является множеством по аксиоме подста-
новки. Получилось противоречие со следствием к теореме 5.5.
Пусть а — наименьший ординал такой, что {!’($) : р<
< а}. Согласно (16) F f а будет отображать а взаимно одно-
значно на х и, следовательно, g = F f а и есть искомое ото-
бражение. □
Итак, мы обосновали возможность определить |х| как наи-
меньший ординал, равномощный множеству х. Как отмечено
выше, |х| называется кардиналом х. Множество называется
кардиналом, если оно есть кардинал некоторого множества.
Каждый кардинал является ординалом, и ординал а будет кар-
диналом, если и только если а = | а |.
Теперь мы собираемся исследовать отношение < на карди-
налах. Во-первых, докажем
х S б ->| х | <б.	(17)
Определим функцию выбора f на ^(х) следующим образом:
если уе^(х)— {0}, то f(y) есть наименьший ординал в мно-
жестве у. Пусть g и а таковы, как в теореме 6.1. Легко прове-
ряется, что
з < y->g(0) <g(y).	(18)
Теперь докажем
Р < а->Р<£(Р)	(19)
индукцией по р. Предположим, что р < а, но #(р)< р. Из (18)
следует g(g(P)) < g(P). Но так как £(Р)< Р, то индуктивное
предположение дает £(р)	g(g(P)). Полученное противоречие
доказывает (19).
Теперь завершаем доказательство утверждения (17). Пред-
положим, что б < |х|. Поскольку |х|^а, то б < а, и, следо-
вательно, 6 ^#(6) по (19). Но g(6)ex. Значит, £(б)еб, т.е.
£(б)<б. Это дает противоречие, завершающее доказатель-
ство (17).
6.2.	Теорема. Пусть аир — кардиналы. Тогда а р,
если и только если найдется множество, имеющее кардинал р,
некоторое подмножество которого имеет кардинал а.
Доказательство Если а р, то а^р по (10). Так
как |а| = а и |Р| = Р, то р будет искомым множеством. Пусть
теперь |х| = а, |z/| = p, х^у. Тогда существует взаимно одно-
значное отображение у на Р; оно отображает х на некоторое
множество z^p. Таким образом, a = |x| = |z|^p по (17). □
Довольно легко можно показать, что каждое натуральное
число есть кардинал и со — также кардинал. Большие карди-
налы могут быть получены благодаря следующей теореме:
§ 7. КЛАССЫ
27
6.3.	Теорема. Для любого множества х выполняется не-
равенство | х | < 13 (х) |.
Доказательство. Существует взаимно однозначное ото-
бражение х в 3(х). По теореме 6.2 имеем |х|^|^(х)|. Пред-
положим теперь, что |х| = |^(х)|, и получим противоречие.
Согласно (15) существует взаимно однозначное отображение
f множества х на 3*(х). Пусть у = {z: zex A zc£f(z)}.
Тогда y = f(w) для некоторого w&x. Теперь получаем проти-
воречие
wGy++w&f(w)++w^y. □
Это краткое введение в теорию кардиналов дает некоторое
представление о ней, но, возможно, не раскрывает ключевой
роли аксиомы выбора. Без использования этой аксиомы мы мо-
жем определить кардиналы первым из упомянутых выше спо-
собов. При этом можно определить, что а Р (для кардиналов
аир), если существует множество, имеющее кардинал р, не-
которое подмножество которого имеет кардинал а. При таком
определении без помощи аксиомы выбора невозможно дока-
зать, что для произвольных кардиналов аир выполняется
а р V Р а.
В заключение этого параграфа покажем, как лемма Цорна
следует из аксиомы выбора. Частично упорядоченное множе-
ство называется индуктивно упорядоченным, если каждое ли-
нейно упорядоченное подмножество этого множества имеет
верхнюю грань. Лемма Цорна утверждает, что каждое индук-
тивно упорядоченное множество х имеет максимальный эле-
мент.
Для доказательства возьмем какую-нибудь функцию выбора
f на 3(х). Определим индукцией операцию F следующим об-
разом. Пусть ха есть совокупность всех таких у х, что F(P)<
< у для любого Р < а. Положим F(a)= f(xa) при ха =# 0 и
F(a) = 0 при ха = 0. Аналогично доказательству теоремы 6.1
можно показать, что ха = 0 для некоторого а. Выберем наи-
меньшее такое а. Тогда по выбору 77(Р) при у < р < а будет
/7(у)</7(Р). Следовательно, множество {F(P): Р < а} линейно
упорядочено. Значит, оно имеет верхнюю грань у\ это у и будет
искомым максимальным элементом, так как любой больший
элемент множества х должен был бы принадлежать множе-
ству ха.
§ 7.	Классы
Мы уже отмечали, что в языке теории Множеств можно го-
ворить и о некоторых совокупностях множеств, не являющихся
множествами. Остановимся на этом более подробно.
28
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Впредь {х: <р(х)} обозначает совокупность таких множеств
х, что имеет место <р (х), даже если эта совокупность не яв-
ляется множеством. Такие совокупности называются классами.
Точнее, если каждая свободная переменная формулы <р(х), от-
личная от х, замещена каким-нибудь множеством, то {х: <р (х)}
является определимой совокупностью, и каждую такую сово-
купность мы называем классом.
Каждое множество х есть класс, потому что х = {у: у&х}.
Но не каждый класс является множеством. Например, парадокс
Рассела показывает, что {х: х^х} не является множеством, а
следствие к теореме 5.5 показывает, что совокупность всех ор-
диналов (очевидно, являющаяся классом) также не является
множеством. Класс, который не является множеством, мы на-
зываем собственным классом.
Мы хотим, чтобы {х: <р(х)} было определяемым символом,
т. е. чтобы каждое предложение, содержащее такие символы,
было сокращением некоторого предложения в языке теории
множеств. Но мы не можем этого сделать методом § 4 ввиду
того, что символ {х: <р(х)} получил новое значение. Поэтому
рассмотрим способы вхождения {х: <р(х)} в предложения.
Желательно разрешить выражению {х: <р (х)} входить как
перед, так и после знаков = и е. В случае, когда оно встре-
чается сразу после е, положим
у<={х: <р (х)} <->- <р {у).
Перед тем как продвигаться дальше, введем следующее оп-
ределение. Термом называется выражение, которое является
либо переменной, либо записью вида {х: ф(х)}. Для обозначе-
ния термов используем буквы А, В, С.
Если {х: ф(х)} встречается перед или после знака = , то
А = В •*-*• Vx (х е А «->• х е В).	(20)
Вхождения хеЛихеВв правой части эквивалентности рас-
крываются с помощью предыдущего определения.
Строго говоря, (20) является определением, только когда
по крайней мере один из термов А, В не является переменной;
если же оба этих терма являются переменными, то А = В уже
будет выражением языка теории множеств. Тем не менее (20)
будет истинно и в этом случае благодаря аксиоме объемности.
Наконец, если {х: ф(х)} непосредственно предшествует зна-
ку е, то
{х: ф (х)} <= В *-> Зу (у = {х: ф (х)} Д у <= В).
Таким образом, {х: ф(х)}еВ не может быть истинным,если
{х: ф(х)} не является множеством. Следовательно, как мы и
ожидали, каждый элемент класса является множеством.
§ 7. КЛАССЫ
29
Теперь нужно позаботиться об одной технической детали.
Поскольку отношение = между термами является теперь опре-
деляемым, а не логическим понятием, то свойства этого отно-
шения должны доказываться, а не извлекаться из аксиом ло-
гики. Это доказательство немного скучно, но несложно; из всех
аксиом теории множеств оно использует лишь аксиому объем-
ности.
Полезным классом является класс всех множеств, опреде-
ляемый следующим образом:
V = {х: х = х}.
Отметим, что Л g V есть один из способов выражения того
обстоятельства, что А является множеством. В частности, наше
предыдущее обозначение Set{x: <р(х)} можно заменить на
{х: ф(х)}еУ.
В обращении с классами необходима определенная осто-
рожность. Мы теперь можем использовать {х: <р(х)}, не дока-
зав предварительно, что эта совокупность есть множество. Од-
нако это не означает, что можно утверждать ({х: <р(х)}),если
уже доказано Vyty(y)- Поскольку Уу означает «для всех мно-
жесте у», то сначала необходимо доказать, что {х: <р(х)} яв-
ляется множеством.
Теоретико-множественные операции и понятия естественным
образом продолжаются на классы. Так, можно определить
А П В = {х: х (= А А х <= В}.
Однако снова необходима некоторая осторожность. Мы можем
определить {А} = {х: х = А}, но нужно иметь в виду, что если
А есть собственный класс, то {А} будет пустым множествогл
(так как ни одно множество не равно А).
Если мы имеем дело с классами, то естественно разрешить
отношениям и функциям быть классами (а не только множе-
ствами) упорядоченных пар. При таком подходе теоретико-мно-
жественные операции (над множествами) могут рассматривать-
ся как функции. Например, операция U становится классом
всех таких троек <<т/, z>, х>, что х = у U z. (Легко видеть, что
этот класс является собственным.)
Теперь мы без труда можем выразить все, что хотим сказать
о каком-то одном классе. Однако ни одна формула теории мно-
жеств ничего не может сказать обо всех классах. Покажем на
двух примерах, как эту трудность можно устранить.
Первым примером будет доказательство простейшего свой-
ства классов: каждый класс равен самому себе. Чтобы пока-
зать это, нужно доказать равенство А = А для любого терма А.
Для этого заметим, что, согласно (20), А — А означает
30
ГЛ. I. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
V* (х е А х е Д), а последнее утверждение следует из ак-
сиом логики.
Этот простой пример иллюстрирует общую процедуру. Мы
доказываем истинность какого-нибудь утверждения для всех
классов тем, что докажем ф(Л) для произвольного терма А.
Для этого надо доказать не одну формулу языка теории мно-
жеств, а бесконечно много формул, по одной для каждого тер-
ма А. Но обычно это несущественно, так как за редкими исклю-
чениями доказательство одно и то же для всех А.
Все оказывается несколько более сложным, когда мы хотим
утверждать существование класса с определенными свойствами.
Проиллюстрируем ситуацию, переформулировав теорему 5.6 с
тем, чтобы в ней речь шла о классах, а не об операциях. Пусть
ф(Д,В) есть результат перевода на язык теории множеств сле-
дующего выражения: если А есть функция с областью опреде-
ления VXV, то В есть функция, определенная на классе всех
ординалов, удовлетворяющая равенству В (а) = А (а, В fa)
для всех а. Тогдц теорема, о которой идет речь, интуитивно
выражается посредством УАЭВф(А, В). Но эта запись не яв-
ляется формулой языка теории множеств даже в смысле вве-
денных выше правил обращения с термами, поскольку термы,
не являющиеся переменными, не могут стоять после кванторов.
Что значит доказать УАЭВф(А, В) в ZFC? Анализ нашего
доказательства теоремы 5.6 дает ответ. Это значит, что мы
должны показать, как по данному произвольному терму А
можно построить другой терм В так, чтобы затем можно было
доказать ф(А, В) в ZFC.
Эти процедуры делают возможным обращение с любыми
предложениями о классах. Имеется и еще один путь, состоящий
в расширении языка введением специальных переменных для
классов и разрешении таким переменным появляться после
кванторов. Этот путь дает более простое и непосредственное
решение проблем, обсуждавшихся выше. Однако существует и
недостаток: дополнительная символика приносит и дополни-
тельные хлопоты при проведении доказательств непротиворечи-
вости. В целом в настоящее время существует тенденция при-
держиваться языка теории множеств и использовать методы,
изложенные в этом параграфе.
§ 8.	Новые аксиомы
Наиболее значительным открытием в теории множеств за
последние годы является открытие невозможности решения
средствами ZFC многих важных нерешенных проблем теории
множеств. Среди них — гипотеза континуума и проблема Сус-
лина. Было бы интересно найти новые аксиомы, которые ре-
§ 8 НОВЫЕ АКСИОМЫ
31
шали бы эти проблемы. Попробуем познакомить читателя с тем,
что сделано в этой области и что еще предстоит сделать.
Как можно искать новые аксиомы? Одна идея вытекает из
материала § 4. Там сформулированы два принципа следующего
вида: каждая совокупность множеств, удовлетворяющая опре-
деленным условиям, является множеством. Когда мы перехо-
дим к формулировке этих принципов в виде аксиом в языке
теории множеств, мы можем сказать только, что каждый класс,
удовлетворяющий этим условиям, является множеством. Нетри-
виальность этого момента обнаруживается некоторыми моде-
лями теории множеств, используемыми в доказательствах не-
противоречивости. Эти модели всегда имеют множество, при-
надлежащее рассматриваемой модели, некоторое подмножество
которого этой модели не принадлежит.
К несчастью, затруднительно иметь дело с совокупностями,
которые не являются классами. Рассмотрим, например, подход,
связанный с добавлением новых переменных, обозначающих
произвольные совокупности. Нетрудно написать аксиомы, кото-
рые говорят, что каждая совокупность, имеющая определенные
свойства, является множеством. Однако этими аксиомами нель-
зя пользоваться, пока нет аксиом, утверждающих существова-
ние совокупностей. Очевидными аксиомами такого вида яв-
ляются аксиомы, утверждающие, что каждый класс есть сово-
купность. Когда такие аксиомы введены, мы приходим к тому,
с чего начали.
Лучшей была бы идея ввести в язык символы для новых
операций над множествами так, чтобы было больше совокуп-
ностей вида {х: ф(х)}. Конечно, такие операции должны в са-
мом деле быть новыми, т. е. они не должны быть определи-
мыми в языке теории множеств. В настоящее время известно
очень мало таких операций; к тому же их введение в язык не
решает ни одной из открытых проблем теории множеств. Таким
образом, мы ничего не достигаем, используя этот подход.
Использование произвольных совокупностей может происхо-
дить другим путем. Если ф(х) есть формула некоторого разум-
ного языка, то мы можем думать о ней как о формуле, дающей
закон для определения, какие множества принадлежат совокуп-
ности {х: ф(х)}. Как было отмечено при обсуждении аксиомы
выбора, нет оснований считать, что каждая совокупность долж-
на иметь такой закон. Если бы мы смогли глубже проанализи-
ровать понятие совокупности, построенной не в соответствии
с каким-нибудь законом, то мы могли бы получить другие ак-
сиомы, помимо аксиомы выбора, использующие такие совокуп-
ности, или по крайней мере найти более приемлемые аргумен-
ты для принятия самой аксиомы выбора.
32
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Существует другой, более успешный подход к поиску новых
аксиом. Напомним, что в § 2 был сформулирован неопределен-
ный принцип существования шагов, из которого следуют три
более определенных принципа. Если бы мы могли получить
другие более определенные принципы, то можно было бы на-
деяться на получение новых аксиом.
Упомянутый неопределенный принцип утверждает существо-
вание шагов, находящихся после многих других шагов. Таким
образом, в свете отождествления шагов и ординалов в § 5
можно ожидать, что новые аксиомы будут утверждать суще-
ствование очень больших ординалов. Так как эти ординалы
обычно оказываются кардиналами, то новые аксиомы назы-
ваются аксиомами больших кардиналов. Такие аксиомы интен-
сивно исследуются; мы собираемся только указать наплавления
этих исследований. По этому вопросу см. также § 7 гл. 3 и до-
бавление после указанного параграфа.
Пусть S есть совокупность всех шагов, которые могут быть
получены с помощью трех более ясных принципов § 2. Оче-
видно, что самым слабым следующим принципом такого рода
было бы утверждение: существует шаг после всех шагов из S.
Чтобы проверить это с помощью нашего неопределенного прин-
ципа, мы должны быть в состоянии представить себе такую си-
туацию, когда все шаги из S полностью осуществлены, т. е.
когда три принципа § 2 не приводят к новым шагам. Без неко-
торых дополнительных рассуждений неясно, можем ли мы в са-
мом деле представить себе такую ситуацию. (Здесь начинает
проявляться слабость нашего неопределенного принципа.) Пред-
положим тем не менее, что наше воображение достаточно раз-
вито для выполнения этой задачи, и посмотрим, какая при этом
получится новая аксиома.
Наша аксиома должна утверждать, что существует такой
большой ординал а, что три принципа § 2, применяемые к ор-
диналам до а и множествам, строящимся раньше а, дают в ре-
зультате снова ординалы, меньшие чем а. Что касается третьего
принципа, то это означает, что если x&R (а) и f есть функция
из х в а, то (J (область значений f)<a (см. теорему 5.5).
Если мы теперь предположим со < а, то будет (ое/?(а). От-
сюда следует, что если у является счетным множеством орди-
налов, меньших чем а, то U//<a- Таким образом, справед-
ливы и первые два принципа § 2, применяемые только к орди-
налам, меньшим чем а.
Итак, мы пришли к следующему определению: ординал а
называется недостижимым, если со < а, и всякий раз, когда F
есть отображение некоторого множества, принадлежащего R (а),
в а, то U (область значений f) < а. Нетрудно проверить, что
каждый недостижимый ординал является кардиналом и что
§ 8. НОВЫЕ АКСИОМЫ
33
данное определение недостижимого кардинала эквивалентно
стандартному 1).
Наша первая аксиома больших кардиналов утверждает, что
существует недостижимый кардинал. Необходимо проверить,
что это будет в самом деле новая аксиома, т. е. она недока-
зуема в ZFC. Сделаем набросок такой проверки.
Все, что нам нужно, — это построить модель теории ZFC,
в которой эта новая аксиома ложна. Если недостижимых кар-
диналов нет в классе всех множеств, то этот класс и образует
такую модель. В противном случае предположим, что а есть
наименьший недостижимый кардинал. Поскольку а и /?(а)
удовлетворяют трем принципам § 2, то можно ожидать, что
R(a) является моделью ZFC. Это и в самом деле так; доказа-
тельство очень похоже на наш вывод аксиом ZFC из принципов
§ 2. То, что новая аксиома (существования недостижимого кар-
динала) не выполняется в /?(а), выводится из отсутствия не-
достижимых кардиналов в /?(а).
Влечет ли новая аксиома какие-нибудь интересные след-
ствия? Известно по крайней мере одно из них. Знаменитая тео-
рема Гёделя утверждает, что непротиворечивость ZFC не м< -
жет быть доказана в ZFC. Но эта непротиворечивость может
быть доказана с помощью нашей новой аксиомы. Ключевое
факт уже сформулирован: если ординал а недостижим, то /?(а)
есть модель теории ZFC. Поскольку мы имеем множество, яв-
ляющееся моделью ZFC, то нетрудно доказать, что ZFC непро-
тиворечива.
В то же время эта аксиома не дает ничего нового для ре-
шения проблем, упомянутых в начале этого параграфа; извест-
ные доказательства независимости сохраняют силу при добав-
лении аксиомы недостижимого кардинала. Это означает, что
нужно искать более сильные аксиомы больших кардиналов.
Рассмотрим одну такую аксиому, которая утверждает су-
ществование измеримого кардинала. Мы не приводим точного
определения измеримого кардинала (см. § 7 гл. 3). Достаточно
сказать, что в этом определении нет ничего, указывающего на
то, что измеримый кардинал должен быть большим. Тем не
менее можно доказать, что измеримые кардиналы являются
недостижимыми и, более того, в определенном смысле они пре-
восходят по величине недостижимые кардиналы. Например,
если а является измеримым кардиналом, то существует а не-
достижимых кардиналов, меньших, чем а.
Что мы хотели бы на самом деле сделать (но в настоящий
момент не можем), так это переформулировать определение
измеримого кардинала следующим образом: а является изме-
’) См. гл. 3. — Прим, перев.
2 Справочная книга, ч II
34
ГЛ 1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
римым, если и только если а и /?(сс) замкнуты относительно
некоторых операций. Тогда мы смогли бы обосновать существо-
вание измеримого кардинала, представив себе ситуацию, в ко-
торой эти операции не дают новых ординалов.
Мы видим, таким образом, что имеется меньше причин ве-
рить в существование измеримого кардинала, чем в существо-
вание недостижимого. С другой стороны, первое предположе-
ние решает различные интересные проблемы теории множеств.
Упомянем один результат, который, вероятно, интересует
математиков. Если существует измеримый кардинал, то каждое
множество действительных чисел, являющееся непрерывным
образом дополнения непрерывного образа борелевского множе-
ства, измеримо в смысле меры Лебега. Удивительно, что су-
ществование большого кардинала влечет измеримость опреде-
ленных множеств действительных чисел.
Упомянем здесь еще одну аксиому (не относящуюся к ак-
сиомам больших кардиналов): аксиому проективной детермини-
рованности. Эта аксиома (о ней пойдет речь в § 10 гл. 2) ре-
шает значительно больше проблем, чем аксиома существования
измеримого кардинала. С другой стороны, нет оснований ве-
рить в истинность этой аксиомы, за исключением того, что она
является красивой аксиомой с интересными следствиями.
Итак, мы видим, что чем больше проблем решается новой
аксиомой, тем меньше оснований имеется для того, чтобы по-
верить в ее истинность. Более того, вообще нет ни одной прием-
лемой аксиомы, которая решала бы самую важную из нере-
шенных проблем — гипотезу континуума. Поэтому мы нахо-
димся очень далеко от цели решить наши проблемы с помощью
новых аксиом. Однако нет оснований огорчаться. Если очень
простые рассуждения § 2 привели нас так далеко, то есть на-
дежда на то, что более глубокий анализ приведет нас к новым
аксиомам с далеко идущими следствиями.
Г л а в а 2
ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
Томас Дж. Hex
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1.	Введение......................................................35
§ 2.	Нужна ли нам аксиома выбора?..................................38
§ 3.	«Парадоксальное» разбиение шара...............................41
§ 4.	Некоторые применения аксиомы выбора...........................44
§ 5.	Непротиворечивость аксиомы выбора.............................49
§ 6.	Невыводимость аксиомы выбора......................~...........51
§ 7.	Теоремы о переносе............................................55
§ 8.	Математика без аксиомы выбора.................................57
§ 9.	Определимый выбор.............................................61
§ 10.	Аксиома детерминированности — альтернатива к аксиоме выбора 62
Литература....................................................63
§ 1.	Введение
Будем предполагать знакомство читателя с аксиомой вы-
бора и с доказательствами некоторых теорем, использующими
аксиому выбора.
Формулировка аксиомы выбора очень проста и часто фигу-
рирует в дискуссиях по проблемам оснований математики.
1.1.	Аксиома (рис. 1). Пусть = {Аг есть сово-
купность попарно непересекающихся непустых множеств. Тогда
найдется множество С = {хг i^I}, содержащее ровно по од-
ному элементу Xi из каждого множества Ai е
Почему же эта простая (если не самоочевидная) аксиома .
привела к столь многочисленным обсуждениям? Ни одна из
аксиом после пятого постулата Евклида о параллельных пря-
мых не вызвала такого волнения в математических кругах и не
возбудила так много споров по проблемам оснований матема-
тики.
Ответ состоит в неконструктивной природе аксиомы выбора.
Эта аксиома утверждает существование множества С с опре-
деленными свойствами (именно, выбирающего ровно по одному
элементу из каждого А/), но не дает ни малейшего намека,
как такое множество построить. Напротив, все остальные ак-
2*
36
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
сиомы теории множеств утверждают, что определенные кон-
струкции, отправляясь от множеств, снова дают множества, и
построенные определенным образом совокупности множеств
также являются множествами. Например, аксиома степени ут-
верждает, что для любого множества X совокупность
всех его подмножеств является множеством.
Если читатель не считает это различие очень существен-
ным, то я напомню, что вплоть до конца девятнадцатого века
существование в математике по традиции считалось синонимом
возможности построения. Сделанное Кантором альтернативное
доказательство существования трансцендентных чисел и пред-
ложенное Гильбертом решение проблемы Гордана встретили
скептическую реакцию и да-
\	же непризнание ведущих
/	/ \ \ /	/ С	математиков своего време-
ни. (В широких математи-
\_У	ческих кругах упор на по-
строение был даже еще
сильнее: профессор Гермес
Рис. 1.	потратил десять лет своей
жизни на построение пра-
вильного 65 537-угольника, существование которого было дока-
зано Гауссом столетием раньше.)
Явная формулировка аксиомы выбора обычно приписы-
вается Цермело. Согласно Френкелю, Бар-Хиллелу и
Леви [1] (дающим прекрасный обзор не только аксиомы
выбора, но и проблем аксиоматических оснований теории мно-
жеств вообще) первая ясная ссылка на аксиому выбора сде-
лана Пеано в работе по дифференциальным уравнениям, хотя
Кантор еще раньше применял эту аксиому без явного упоми-
нания.
В 1904 г. Цермело доказал, что каждое множество можег
быть вполне упорядочено (линейный порядок < на множестве
S называется полным порядком, если каждое непустое подмно-
жество множества S имеет наименьший элемент). Ранее, по-
строив теорию кардинальных чисел, Кантор поставил проблему
определения величины континуума (континуум-гипотезу) и вы-
двинул предположение, что множество всех действительных чи-
сел (континуум) может быть вполне упорядочено, или, что то
же самое, это множество можно расположить в трансфинитную
последовательность. Излишне говорить, что это предположение
было встречено в штыки, так как никакого полного упорядоче-
ния континуума не было построено.
Для доказательства того, что каждое множество может
быть вполне упорядочено, Цермело сформулировал аксиому
выбора примерно в той же форме, в какой она используется
§ 1 ВВЕДЕНИЕ
37
теперь. В современной терминологии эта аксиома формули-
руется следующим образом.
1.2.	Аксиома выбора. Для каждого семейства ЗГ не-
пустых множеств найдется такая функция f, что	для
каждого множества X из семейства ЗГ.
Такая функция называется функцией выбора на ЗГ. Перед
тем, как взглянуть на доказательство Цермело, убедимся, что
формулировка 1.2 эквивалентна первой формулировке 1.1. Ко-
нечно, 1.1 есть частный случай 1.2, так как если семейство ЗГ
•состоит из попарно непересекающихся множеств, то 1.1 и 1.2,
очевидно, выражают одно и то же. Теперь покажем, что если
предположить принцип выбора для семейств непересекающихся
множеств, то можно доказать общую формулировку 1.2.
Пусть ЗГ есть семейство непустых множеств: ЗГ = {Х\ Хе
е 3^*}. Чтобы применить 1.1, используем следующий прием, «де-
лающий множества из ЗГ непересекающимися». Для каждого
X е ЗГ, пусть Ах есть совокупность всех таких упорядоченных
пар <Х, а>, что а е X:
Ах = {Х}ХХ.
Теперь совокупность {Ах: X е £Г} состоит из попарно непересе-
кающихся непустых множеств, и с помощью 1.1 мы можем вы-
брать по одному элементу zx из каждого множества Ах. Но
каждое множество zx имеет вид <Х, ах), где ах е X. Следова-
тельно, мы можем легко получить искомую функцию выбора
на определив ЦХ) = ах для каждого XeF
Снова вернемся к Цермело. Доказательство теоремы о пол-
ном упорядочении проходит примерно так. Пусть S — произ-
вольное множество; мы хотим построить полное упорядочение
этого множества. Используя аксиому выбора, заключаем, что су-
ществует функция выбора f на семействе ЗГ всех непустым
подмножеств множества S. С помощью трансфинитной индук-
ции можно построить трансфинитную последовательность
<аа: а < 0> элементов множества S следующим образом: если
уже построены первые а членов а0, ли, ..., бц, ... (g < а)
этой последовательности, то проверяем, существуют ли элемен-
ты множества S, не фигурирующие среди этих членов, т. е. яв-
ляется ли непустым множество X = S—{а%: £<а}. Если это
множество непусто, то выбираем аа с помощью нашей функции
выбора f: aa = f(X). Эта процедура продолжается до тех пор,
пока для некоторого ординала 0 множество S — {а$: g < 0} не
станет пустым; иными словами, пока не будет S={a$: g<0}.
Такое перечисление множества S ординалами и дает полное
упорядочение S.
Теперь видно, что хотя мы и доказали предположение Кан-
тора о возможности полного упорядочения континуума, мы,
38
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
однако, не построили никакого «осязаемого» полного упорядо-
чения. В сущности, одно сомнительное предположение мылишь
заменили другим столь же сомнительным предположением,
именно аксиомой выбора.
Фактически аксиома выбора и теорема Цермело о полном
упорядочении являются логически эквивалентными. Покажем,
как аксиома выбора выводится из предположения о том, что
каждое множество можно вполне упорядочить. Возьмем произ-
вольное семейство ST непустых множеств и через 5 обозначим
объединение всех множеств этого семейства: S = U{^‘. X е ST}.
С помощью какого-нибудь полного упорядочения < множе-
ства 5 мы можем определить функцию выбора / на семействе
F следующим образом: если ХеЗ2’, то /(X) есть наименьший
элемент множества X в смысле порядка <.
§ 2.	Нужна ли нам аксиома выбора?
Ответ, конечно, зависит от того, в какой области математи-
ки мы работаем. Если речь идет о решении дифференциальных
уравнений, о расслоенных многообразиях или об исследовании
групп большого, но конечного порядка, то мы никогда не столк-
немся с проблемой, имеющей отношение к аксиоме выбора. Од-
нако значительная часть современной математики имеет дела
с абстрактными бесконечными структурами, и во многих обла-
стях математической науки все больше и больше интересуются
вопросами оснований теории множеств. Без аксиомы выбора
нельзя обойтись не только в логике (теории множеств и тео-
рии моделей), но и в других современных областях: теоретико-
множественной топологии, алгебре, функциональном анализе,
теории меры.
Чтобы проиллюстрировать использование аксиомы выбора,
давайте рассмотрим следующий общеизвестный факт: объеди-
нение счетного семейства счетных множеств является счетным.
Это утверждение широко используется в математическом ана-
лизе, и большинство математиков даже не подозревают, что его
доказательство использует аксиому выбора. Обычно доказа-
тельство проходит примерно так:
До «00	«01	«02 • • • «Од • • •
А «10 «11	«12 • • • «1п
..................................... d>
Ат «т0 «ml «m2 • • • «тп • • •
Мы имеем счетное семейство множеств До, Дь ...» Дт, ...»
и каждое Ат также счетно, таким образом Ат = {атП' пеш}»
§ 2. НУЖНА ЛИ НАМ АКСИОМА ВЫБОРА?
39
Значит, элементы объединения А — U Ат можно располо-
те®
жить в счетную последовательность с помощью хорошо извест-
ного метода пересчета:
#00,	^01,	#ц,	#10,	#02,	#12,	#22,	#21,	#20, • • •
Но где же здесь аксиома выбора?
Давайте, еще раз просмотрим доказательство. У нас есть
счетное семейство множеств; поэтому можно занумеровать
элементы семейства натуральными числами и получить
— Mo, Ah ..., Ат, .. .}Ш€Е(Й.
Каждое множество Ат также является счетным, и поэтому
для каждого т существует нумерация множества Ат натураль-
ными числами:
Ат = {#m0, #ml, • • •,	• • * е	(2)
Однако существует более чем одна нумерация каждого множе-
ства Ат. Если при любом т через Ет обозначено множество
всех нумераций множества Ат вида (2), то возникает следую-
щая проблема: если мы хотим применить диаграмму (1), то
нужно выбрать одну конкретную нумерацию для каждого мно-
жества Ат. Иными словами, мы должны выбрать по одному
элементу из каждого множества Ет. Таким образом, нам нужна
функция выбора на семействе множеств {Е0,Е{, .. -,Ет, .. .}те<й.
Конечно, это рассуждение показывает, что аксиома выбора
используется лишь в данном доказательстве теоремы о том, что
объединение счетного числа счетных множеств счетно, оставляя
открытым вопрос о возможности другого доказательства, не
опирающегося на аксиому выбора. Однако уже установлено
(с помощью методов, о которых речь пойдет ниже в этой гла-
ве), что без использования аксиомы выбора нельзя доказать,
что объединение счетного числа счетных множеств счетно. Бо-
лее того, нельзя доказать даже, что множество всех действи-
тельных чисел не является объединением счетного числа счет-
ных множеств (!).
Нужда в аксиоме выбора становится все более сильной по
мере того, кек мы переходим от континуума к абстрактным
структурам и пространствам. Ниже будут указаны примеры
фундаментальных теорем абстрактной алгебры и топологии, в
доказательствах которых используется аксиома выбора. В не-
которых случаях эти теоремы столь же сильны, как и сама ак-
сиома выбора: примером утверждения, эквивалентного аксиоме
выбора, является теорема Тихонова о произведении в теоре-
тико-множественной топологии.
40
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
Если мы хотим в качестве критерия для принятия аксиомы
выбора рассмотреть степень ее использования, то широкое при-
менение этой аксиомы в различных ветвях математики за
последние 50 лет недвусмысленно говорит в ее пользу. С дру-
гой стороны, заметив, что неконструктивный характер этой ак-
сиомы делает ее менее самоочевидной, чем остальные акеиомы,
мы должны поставить вопрос о ее формальной непротиворе-
чивости: не приведет ли к противоречию добавление этой ак-
сиомы к остальным аксиомам теории множеств? К счастью, Гё-
делем было установлено в 1939 г., что аксиома выбора не про-
тиворечит теории множеств (если эта теория сама непротиворе-
чива). Кроме того, нельзя удовлетворяться формальной непро-
тиворечивостью аксиомы. Если мы собираемся принять ее, то
мы должны поверить в ее правдоподобность. Мы должны быть
уверены, что доказательства, использующие аксиому выбора, и
результаты, получаемые с ее помощью, не противоречат нашим
представлениям о математическом мире. (Впрочем, я бы не
слишком настаивал на этом. В конце концов, математика изо-
билует «противоестественными» примерами. Достаточно вспом-
нить построение Вейерштрассом непрерывной недифференци-*
руемой функции.) Наконец, снова в силу неконструктивного
характера этой аксиомы было бы интересно выяснить, действи-
тельно ли необходимо использование аксиомы выбора в дока-
зательствах некоторых теорем, и в какой степени: это подни-
мает вопрос об относительной силе различных ослабленных
форм и следствий аксиомы выбора.
Сначала займемся вопросом правдоподобности. На первый
взгляд аксиома выглядит почти очевидной: мы должны вы-
брать по одному элементу f(X) из каждого множества X, при-
надлежащего данному семейству 5Г.
В популярных изложениях аксиому выбора часто сравни-
вают с выборами кандидатов на должность: на каждое мно-
жество X нужно смотреть как на список кандидатов на данную
должность, и процесс голосования дает функцию выбора, опре-
деляющую избранного кандидата /(X) для каждого списка X,
Конечно, эта аналогия дает обоснование аксиомы выбора
в ее конечном случае, когда как семейство ST, так и все мно-
жества Х<^3~ являются конечными. Однако, как известно,
нельзя опрометчиво переносить на бесконечные множества наши
представления, основанные на мире конечных множеств. Все же
аксиома выбора доказуемо истинна в случае, когда семейство
конечно, независимо от того, являются ли конечными мно-
жества X е ST.
Это доказывается индукцией по количеству множеств в
Если ST состоит из одного непустого множества X, то любая
функция f, единственным аргументом которой является X и
§ 3 «ПАРАДОКСАЛЬНОЕ» РАЗБИЕНИЕ ШАРА
41
значение которой на X является (произвольным) элементом а
множества X, будет функцией выбора на X. А существование
такой функции легко следует из того, что множество X не-
пусто: последнее означает, что существует некоторое а е X.
Предполагая, что аксиома выбора выполняется для всех
л-элементных семейств мы без труда докажем, что она вы-
полняется и для всех п + 1 -элементных семейств. Пусть ЯГ —
= {Xb ..., Хп. Хп+\} есть семейство, состоящее из п+1 непустых
множеств. По индуктивному предположению семейство {Xj, ...
..., Хп} имеет функцию выбора g. Но поскольку Хп^ не пусто,
то существует продолжение f функции g на все семейство Зг,
значение которого на множестве Хп±\ есть некоторое а^Хп+[.
Такая функция, очевидно, и будет функцией выбора на ЯГ
Другим случаем, когда аксиома выбора доказуемо истинна,
является случай, при котором каждое Хе состоит всего из
одного элемента. Тогда ЯГ имеет функцию выбора, причем та-
кая функция единственна.
Мы уже видели, что каждое конечное семейство ЯГ имеет
функцию выбора. Напротив, конечность элементов семейства Зг,
вообще говоря, не обеспечивает существования функции вы-
бора. В некоторых случаях конечность все же помогает: в осо-
бенности если множества Х^.ЯГ связаны с некоторой внешней
структурой. Например, если ЯГ есть семейство конечных мно-
жеств действительных чисел, то функция выбора на ЯГ суще-
ствует. Именно, для каждого	можно определить f(X)
как наименьший элемент множества X. С другой стороны, если
ЯГ состоит из конечных множеств множеств действительных
чисел, то не видно способа найти функцию выбора на ЯГ (на
самом деле в этом случае нельзя доказать существование функ-
ции выбора).
В классической иллюстрации, сделанной на эту тему Рас-
селом, случай бесконечного множества пар ботинок сопостав-
ляется со случаем бесконечного множества пар шнурков. В то
время как множество пар обуви, очевидно, имеет функцию вы-
бора (именно, берем правый ботинок из каждой пары), нет
видимого пути для выбора (без обращения к аксиоме выбора)
одного шнурка из каждой пары одновременно для всех пар
шнурков.
§ 3.	«Парадоксальное» разбиение шара
Некоторые возражения против аксиомы выбора основывались
на том, что эта аксиома имеет парадоксальные следствия. С ее
помощью можно получить результаты, противоречащие нашей
интуиции. Наиболее известным примером такого рода является
следующий парадокс.
42
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
3.1.	Парадокс Банаха — Тарского. Используя ак-
сиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей*
которые можно переставить так, что получится два шара та-
кого же размера, как и исходный шар.
Дадим набросок доказательства этого «парадокса» с тем,
чтобы показать, как используется аксиома выбора, и для того,
чтобы выяснить, что в теореме в сущности нет ничего пара-
доксального, так как части шара, о которых идет речь, ока-
жутся неизмеримыми множествами, конструкция которых по су-
ществу мало чем отличается от хорошо известной конструкции
неизмеримого множества действительных чисел.
Конечно, части, на которые указанным образом разбивается
шар, не могут быть измеримыми множествами, так как иначе
получилось бы противоречие со свойством аддитивности меры.
Напомним принадлежащую Витали известную конструкцию не-»
измеримого множества действительных чисел. Рассмотрим сле-
дующее отношение эквивалентности на действительных числах
интервала [0, 1]:
х ~ у, если и только если х — у рационально.
Это отношение эквивалентности порождает разбиение еди-
ничного интервала на классы эквивалентности. Используя ак-
сиому выбора, мы выбираем по одному элементу из каждого
класса эквивалентности и собираем эти элементы в множество
М. Это множество 7И^[0, 1] не может быть измеримым. Дей-
ствительно, определим для каждого рационального г множе-
ство Мг — {х г: х^ТИ}. По построению М множества Мг по-
парно дизъюнктны, и каждое действительное число принадле-
жит некоторому (единственному) Мг. Если бы М было изме-
римо, то каждое Мг имело бы ту же меру, что и М. Если М
имеет меру 0, то каждое Мг имеет также меру 0, и действи-
тельная прямая оказывается объединением счетного числа
множеств, имеющих меру 0, чего не может быть. Если, напро-
тив, М имеет положительную меру, то объединение U{Mr: г
рационально и 0 г 1} бесконечного числа непересекаю-
щихся множеств одинаковой положительной меры должна
иметь бесконечную меру. Но этого также не может быть, по-
скольку указанное объединение включено в интервал [0,2].
Парадокс Банаха — Тарского базируется на более ранней
теореме Хаусдорфа, дающей парадоксальное разбиение сферы.
3.2.	Теорема Хаусдорфа. Сфера S может быть разбита
на непересекающиеся множества S=XU£UCUQ так, что:
(i)	множества А, В, С конгруэнтны между собой',
(ii)	множество В\]С конгруэнтно каждому из множеств
А, В и С',
(iii)	множество Q счетно.
§ 3 «ПАРАДОКСАЛЬНОЕ» РАЗБИЕНИЕ ШАРА
43
Дадим очень краткий набросок доказательства. Более под-
робное доказательство содержится в книге Йеха [1].
Рассмотрим две оси и аф вращения сферы и рассмотрим
группу всех вращений, порожденных поворотом ф на 180° во-
круг оси и поворотом ф на 120° вокруг аф. Каждое враще-
ние из этой группы может быть описано формальным произве-
дением («словом»), составленным из ф, ф и ф2, с учетом того,
что ф2 = 1 и ф3 = 1 (получилось, если угодно, свободное про-
изведение групп {1, ф} и {Кф, Ф2}).
Во-первых, мы утверждаем, что оси аф и аф можно выбрать
таким образом, что разные «слова» описывают разные враще-
ния, порожденные поворотами ф и ф. Чтобы доказать это, до-
статочно определить угол 0 между аф и аф так, чтобы никакое
нетривиальное слово не описывало тождественного вращения.
Если некоторое слово описывает тождественное вращение, то 0
будет решением определенного уравнения. При этом оказы-
вается, что это уравнение имеет только конечное число реше-
ний, и, следовательно, существует лишь счетное множество та-
ких углов 0, что некоторое нетривиальное слово описывает
тождественное вращение. Значит, любой угол, не принадлежа-
щий этому счетному множеству, будет искомым.
Пусть G есть группа всех слов (или вращений, порожден-
ных поворотами ф и ф). Решающим моментом доказательства
является разбиение множества G ыа три непересекающихся
множества & и таких, что
^•ф=^и^»	=
Построение такого разбиения несложно, и читатель, вероятно,
сумеет самостоятельно его осуществить.
Теперь используем аксиому выбора аналогично тому, как
это сделано в построении Витали. Каждое вращение аеО
имеет две неподвижные точки на сфере. Значит, совокупность
Q всех точек сферы, остающихся неподвижными при каком-ни-
будь отличном от тождественного вращения из G, является
счетной, а множество S — Q есть объединение непересекаю-
щихся классов эквивалентности («орбит»), соответствующих
отношению эквивалентности: х ~ у, если и только если у = ха
для некоторого ае G. Согласно аксиоме выбора существует
множество Af, содержащее ровно по одному элементу из каж*
дой орбиты. Если мы теперь положим
Д = М-^, B = С = М-&,
то множества Д, В, С и Q будут удовлетворять требованиям
теоремы Хаусдорфа.
44
ГЛ 2 ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
Теперь, чтобы получить парадокс Банаха — Тарского, рас-
смотрим следующее отношение эквивалентности между мноя*е-
ствами в трехмерном евклидовом пространстве: X ~ У, если и
только если существует такое разбиение X = Х\ U • •• UXm
множества X на конечное число непересекающихся множеств и
такое разбиение У = У1 U • • • U Ут на то же самое число непе-
ресекающихся множеств, что Xi конгруэнтно Yi для каждого-
1 = 1, ..., т.
Нетрудно проверить, что ~ действительно будет отноше-
нием эквивалентности, причем, если X не пересекается с X', У
не пересекается с У', X « У и Хг « У', то X U X' « У (J У'. Бо-
лее важным свойством является следующее: если X У Z и
X ~ Z, то X « У. (Доказательство этого свойства похоже на
доказательство теоремы Кантора — Бернштейна: если X^Y^
sZh |X| = |Z|,to |Х| = |У|.)
Имея в нашем распоряжении разбиение сферы, даваемое
теоремой Хаусдорфа, можно без особого труда с помощью упо-
мянутых свойств отношения ~ доказать следующую теорему:
3.3.	Теорема (Банах — Тарский, 1924). Замкнутый шар
U может быть разбит на два непересекающихся множества
U = X[)Y так, что U X и U Y.
§ 4.	Некоторые применения аксиомы выбора
В этом параграфе рассмотрим некоторые типичные прило-
жения аксиомы выбора в математике. Уже была упомянута
теорема Тихонова, утверждающая, что топологическое произ-
ведение любого семейства компактных пространств является
компактным. Не удивительно, что эта теорема использует ак-
сиому выбора; утверждение о том, что декартово произведение
любого семейства непустых множеств непусто, само является
переформулировкой аксиомы выбора. (Элементы декартова
произведения являются функциями выбора.)
Связь между теоремой Тихонова и аксиомой выбора дей-
ствительно очень близкая: Келли показал, что аксиому выбора
можно вывести из предположения о том, что теорема Тихонова
справедлива. Таким образом, эти два утверждения логически
эквивалентны (в теории множеств без аксиомы выбора).
Большое число доказательств, использующих аксиому вы-
бора (в частности, в алгебре), проходит примерно одинаковым
путем. Рассматриваемая теорема сводится к утверждению, го-
ворящему о существовании максимального объекта в опреде-
ленном классе объектов. Например, рассмотрим теорему, ут-
верждающую, что каждое векторное пространство имеет базис.
Очевидно, что множество векторов образует базис, если и толь-
ко если оно линейно независимо и, кроме того, максимально
§ ! НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ АКСИОМЫ ВЫБОРА
45
среди всех линейно незав] симых множеств (т. е. нет строго
большего линейно независимого множества). Таким образом,
для доказательства этой теоремы достаточно показать, что су-
ществует максимальное линейно независимое множество век-
торов.
Другим примером такого рода является теорема Хана — Ба-
на а в функциональном анализе. Один из вариантов этой тео-
ре ы утверждает, что каждый линейный функционал, опреде-
ленный на подпространстве данного векторного пространства,
может быть продолжен на все пространство. Если снова рас-
смотреть семейство ST всех продолжений данного функционала
(не обязательно всюду определенных), то искомые всюду опре-
деленные продолжения этого функционала будут в точности
максимальными элементами семейства 3^.
Когда это явление было осознано, оно привело к формули-
ровке некоторого общего принципа, на который часто ссы-
лаются как на лемму Цорна (этот принцип был впервые дока-
зан Куратовским и через двадцать лет после этого передоказан
Цорном).
Пусть <Р, О есть частично упорядоченное множество.
Множество Cs Р называется цепью, если оно линейно упо-
рядочено отношением <. Элемент аеР называется верхней
гранью С, если для каждого се С выполняется с а. Эле-
мент а&Р называется максимальным, если нет таких хеР,
что а < х.
4.1.	Лемма Цорна. Пусть (Р, <> есть непустое частично
упорядоченное множество, удовлетворяющее следующему усло-
вию-. каждая цепь в Р имеет верхнюю грань. Тогда в Р най-
дется максимальный элемент.
Давайте посмотрим, как лемма Цорна может быть исполь-
зована в примерах, о которых шла речь выше. В первом при-
мере пусть Р есть совокупность всех линейно независимых под-
множеств данного векторного пространства, и X < У означает
X cz У. Цепью в Р будет каждое семейство С Р линейно не-
зависимых множеств, удовлетворяющее такому условию: если
X, У е С, то либо X е У, либо Y X. Для каждой такой цепи
С множество U{^: X С} будет линейно независимым и бу-
дет верхней гранью для С. Следовательно, <Р, <> удовлетво-
ряет посылке леммы Цорна и поэтому имеет максимальный эле-
мент В^Р. Это В и будет базисом рассматриваемого вектор-
ного пространства.
Аналогично проходит доказательство теоремы Хана — Ба-
наха. В качестве Р возьмем совокупность всех линейных функ-
ционалов, продолжающих данный функционал, и определим
f < g в случае, когда g продолжает f. Легко проверяется, что
лемма Цорна применима к нашему множеству <Р, <>, а соот-
46
ГЛ. 2. ОБ АКСИС ME ВЫБОРА
ветствующий максимальный элемент будет искомым продолже-
нием.
Лемма Цорна без труда доказывается в предположении ак-
сиомы выбора. Действительно, пусть <Р, <> есть такое час-
тично упорядоченное множество, каждая цепь в котором имеет
верхнюю грань. Строим возрастающую трансфинитную пег ле-
довательность элементов множества Р: aQ<Z < ... < а <?
< ... Пока мы не достигаем максимального элемента, все
время можно находить еще больший элемент (и достраивать
им последовательность), так как каждая цепь имеет верхнюю
грань. В конце концов будет получен максимальный элемент.
Стоит отметить, что и наоборот, из леммы Цорна вытекает
аксиома выбора. Давайте посмотрим, как получить функцию
выбора для произвольного семейства непустых множеств с
помощью леммы Цорна. Пусть Р есть совокупность всех функ-
ций выбора на различных подсемействах семейства SP, упоря-
доченная следующим образом: f < g, если и только если g про-
должает f. Применяя лемму Цорна, получаем функцию выбора
на £Г.
Рассмотрим теперь одно следствие аксиомы выбора, обла-
дающее тем замечательным свойством, что ряд казалось бы не
имеющих к нему никакого отношения теорем оказываются эк-
вивалентными этому следствию.
Предполагается знакомство читателя с понятием булевой
алгебры. Подмножество / булевой алгебры В называется идеа-
лом, если имеют место следующие три условия:
(i)	Ое/, 10/,
(ii)	если а^1 и Ь а, то b е /.
(iii)	если ае / и 6е/, то а-|-&Е/.
Идеал / в алгебре В называется простым идеалом, если для
каждого а^В выполняется либо а^1, либо — а^1.
4.2.	Теорема о простом идеале (Тарский). Каждая
булева алгебра имеет простой идеал.
Доказательство теоремы о простом идеале снова является
типичным приложением леммы Цорна. Так как идеал в алгеб-
ре В будет простым, если и только если он является макси-
мальным в совокупности всех идеалов, мы просто применяем
лемму Цорна к совокупности всех идеалов алгебры В.
Отметим, что теерема о простом идеале влечет свой более
сильный вариант: в любой булевой алгебре каждый идеал
можно вложить в простой идеал.
В самом деле, пусть / — идеал в алгебре В. Рассмотрим
фактор-алгебру В/I. В ней существует простой идеал. Возьмем
прообраз этого простого идеала относительно естественного
гомоморфизма h: B-+BJI.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ АКСИОМЫ ВЫБОРА
47
В частном случае, когда В является алгеброй все?; под-
множеств некоторого множества 3, указанный более сильный
вариант означает, что каждый идеал над 3 можно вложить в
главный идеал над 3. Соответственно, используя двойственное
понятие фильтра и ультрафильтра, можно доказать, что каж-
дый фильтр над любым множеством 3 может быть вложен в
ультрафильтр. (На самом деле это утверждение эквивалентно
теореме о простом идеале.)
В свете формулировки теоремы о простом идеале в терми-
нах ультрафильтров становится ясным, насколько важна эта
теорема в теоретико-множественной топологии. Это подчерки-
вается еще и тем, что теорема о простом идеале эквивалентна
теореме Тихонова для произведений компактных хаусдорфовых
пространств.
Теорема о простом идеале является важным инструментом
и в логике. Например, одним из основных принципов теории
моделей является теорема компактности: если каждое конечное
подмножество некоторого множества предложений 2 имеет
модель, то 2 само имеет модель. (См. «Теорию моделей»). Ока-
зывается, что теорема компактности эквивалентна теореме о
простом идеале.
Посмотрим теперь, как теорема компактности может быть
использована в некоторых доказательствах вместо аксиомы вы-
бора. Докажем, что каждое множество можно линейно упоря-
дочить. (Так как теорема о простом идеале слабее, чем аксиома
выбора, то мы не будем пытаться доказать, что каждое мно-
жество можно вполне упорядочить.) Пусть множество 3 про-
извольно. Рассмотрим язык, содержащий имя х для каждого
элемента х множества 3 и имеющий бинарный предикат <.
Пусть 2 есть следующее множество предложений:
п(х<х),
/о	о	о	о\	о	о
U <	г/Л	у	<	z)	->	х	<	z,
О	О	О	О	О	о
X <	У V	У	<	X	V	х	—	у
* для всех х, у, z<= S.
Поскольку каждое конечное подмножество множества 3
можно линейно упорядочить, то, следовательно, каждое конеч-
ное подмножество множества 2 имеет модель. По теореме ком-
пактности само 2 также будет иметь модель, и эта модель дает
линейное упорядочение множества 3.
Для тех читателей, которым больше нравятся аргументы
топологического характера, приведем пример доказательства,
использующего топологический вариант теоремы о простом
идеале. Следующий принцип довольно часто встречается в раз-
48
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
личных ситуациях и в разных видах (одна из версий называет-
ся леммой Радо о селекции):
4.3.	Лемма. Пусть S — произвольное множество, Е — ко-
нечное множество, а ЯГ является таким семейством функций t,
что:
(i)	dom(/) есть конечное подмножество множества S, а
гап(/)^ Е, где dom(0= {х: Эу(<х, у> е 0} —область определе-
ния функции t, а гап(/) = {у. Зх«х,//)е/)}—область всех
значений t,
(ii)	если t и f t, то f
(iii)	для каждого конечного X^S найдется такое t^ST,
что X dom(Z).
Тогда найдется такая функция f: S-+E, что для каждого
конечного множества X^S сужение f fX принадлежит ЯГ.
Доказательство. Чтобы доказать эту теорему, рас-
смотрим топологическую степень Е3 (топология на Е считается
дискретной). Согласно теореме Тихонова для хаусдорфовых
пространств Е3 будет компактным пространством. Для каж-
дого конечного	положим 9rx={\^Es: ffX^g"}.
Каждое множество &"х замкнуто, а семейство <g? = {<Fx:
конечно} удовлетворяет требованию непустоты конечных пере-
сечений. Следовательно, пересечение всех множеств из
непусто и дает искомую функцию f. □
Поскольку теорема Радо о селекции может быть использо-
вана для доказательства теоремы компактности, то она эквива-
лентна теореме о простом идеале.
Заметим, что теорема Хана — Банаха является на самом
деле следствием теоремы о простом идеале; поэтому для ее
доказательства полная аксиома выбора не является необходи-
мой. Еще одно замечательное следствие теоремы о простом
идеале — это теорема Стоуна — Чеха о компактификации.
В различных приложениях аксиомы выбора не всегда обя-
зательно использовать ее самый общий вариант, утверждающий
существование функции выбора на любом семействе непустых
множеств. Во многих доказательствах, в частности в анализе,
достаточно использовать утверждение о том, что каждое счет-
ное семейство непустых множеств имеет функцию выбора. До-
вольно странно, что этот вариант аксиомы выбора более прием-
лем для критиков этой аксиомы, ведь он имеет такой же некон-
структивный характер, как и общая формулировка, и лично
мне не ясно, почему он должен быть более правдоподобным.
Одним из очевидных следствий счетной аксиомы выбора яв-
ляется утверждение о том, что объединение счетного числа
счетных множеств счетно (см. доказательство в § 2). Этот факт
часто используется в классическом анализе и теории меры, в
частности для доказательства основных свойств борелевских
§ 5 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМЫ ВЫБОРА
49
множеств и меры Лебега или утверждения о том, что множе-
ства первой категории (т. е. объединения счетного числа нигде
не плотных множеств) замкнуты относительно счетных объеди-
нений.
Счетная аксиома выбора также необходима в дескриптив-
ной теории множеств (гл. 8); без нее, например, может слу-
читься так, что континуум будет объединением счетного числа
счетных множеств. Она используется и в некоторых других
теоремах дескриптивной теории множеств. Однако специалисты
по дескриптивной теории множеств больше любят следующий
более сильный принцип {принцип зависимого выбора):
Если р есть бинарное отношение на непустом множестве А,
причем для каждого хеД найдется такое //е/1, что хру, то
существует такая последовательность <xzn: m е со> элементов
множества Л, что
хорхь Х!рх2, xmpxm+b...
Принцип зависимого выбора влечет счетную аксиому выбора.
Действительно, пусть дана счетная последовательность непу-
стых множеств So, Si, S2, ... Определим А как совокупность
всех функций выбора на первых п множествах So, ...» Srt-i
для всех натуральных п. Определим также fpg в случае, когда
g продолжает f. Последовательность /0, А, А, ..., удовлетво-
ряющая fopfi, fipA и т. д., порождает функцию выбора на всём
семействе {Srt: п со}.
Принцип зависимого выбора влечет и некоторые другие
замечательные следствия. Например, если линейный порядок
< не является полным порядком, то существует бесконечная
убывающая последовательность aQ > ai > а2 > ...
§ 5.	Непротиворечивость аксиомы выбора
В отличие от вопроса правдоподобия, непротиворечивость
аксиомы выбора является чисто формальной проблемой аксио-
матической теории множеств.
Система аксиом S для какой-то математической теории на-
зывается непротиворечивой, если нельзя получить противоре-
чие, опираясь на аксиомы из S. Теорема Гёделя о неполноте
утверждает, что непротиворечивость достаточно сильной теории
(как, например, теория множеств) не может быть установлена
методами, формализуемыми в рассматриваемой теории. Иными
словами, нельзя формально доказать непротиворечивость аксио-
матической арифметики, теории множеств и тому подобных тео-
рий в рассматриваемой теории.
Однако можно все же поставить вопрос, является ли опре-
деленная аксиома А непротиворечивой относительно некоторой
50
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
аксиоматической системы S, т. е. будет ли система S с добав-
ленной аксиомой А непротиворечивой в предположении, чго
сама S непротиворечива. Иными словами, это означает, что
отрицание аксиомы А нельзя доказать в теории S (в указанном
предположении). В случае аксиомы выбора вопрос состоит в
том, чтобы доказать, что она непротиворечива относительно
остальных аксиом теории множеств, т. е. ее нельзя опроверг^
нуть, используя остальные аксиомы (если эти аксиомы сами
образуют непротиворечивую теорию).
Непротиворечивость аксиомы выбора в этом смысле была
доказана Гёделем в 1939 г. (вместе с непротиворечивостью
континуум-гипотезы). Перед тем как наметить основную идею
доказательства Гёделя (подробное доказательство — в гл. 5),
скажем несколько слов о доказательствах непротиворечивости
вообще.
Читатель, вероятно, знаком с проблемой постулата Евклида
о параллельных прямых и с различными моделями неевклидо-
вой геометрии. Эти модели устанавливают недоказуемость по-
стулата о параллельных в геометрии тем, что они удовлетво-
ряют всем остальным аксиомам геометрии, кроме постулата о
параллельных. Вообще, для того чтобы доказать непротиворе-
чивость некоторой аксиомы относительно какой-то теории S
(или, что то же самое, недоказуемость отрицания), обычно
строят модель теории S, в которой эта аксиома истинна, от-
правляясь от некоторой данной модели теории S.
Укажем два метода получения моделей теории множеств,
которые удовлетворяют аксиоме выбора. Оба метода принад-
лежат Гёделю.
Первая модель состоит из конструктивных множеств. В ос-
нове конструктивных множеств лежит следующая идея. Так как
аксиомы теории множеств постулируют возможность различ-
ных построений, то должна существовать минимальная сово-
купность множеств, замкнутых относительно всех возможных
теоретико-множественных конструкций. Таким образом, кон-
структивную модель L (универсум всех конструктивных мно-
жеств) строят трансфинитной индукцией, отправляясь от
пустого множества и производя замыкания относительно теоре-
тико-множественных операций. (Детали этого построения со-
держатся в главе 5 о конструктивных множествах.) Конструк-
тивная модель удовлетворяет всем аксиомам теории множеств,
а также аксиоме выбора. Аксиома выбора оказывается истин-
ной в этой модели по той причине, что все множества в кон-
структивной модели можно расположить в трансфинитную по-
следовательность: конструктивное множество X предшествует
конструктивному множеству У, если X строится раньше У.
§ 6 НЕВЫВОДИМОСТЬ АКСИОМЫ ВЫБОРА
51
Иными словами, в модели L мы имеем полное упорядочение
универсума, и поэтому аксиома выбора выполняется в L.
Другая модель (модель HOD) использует определимые мно-
жества. Она состоит из всех множеств, которые являются на-
следственно ординально определимыми. Это означает, что бе-
рутся множества, определимые формулой, содержащей только
ординалы в качестве параметров, причем таким же образом
определимы элементы этих множеств, элементы их элементов
и т. д. Модель HOD замкнута относительно теоретико-множе-
ственных операций и в основном по этой причине удовлетво-
ряет всем аксиомам теории множеств. Снова существует пол-
ное упорядочение универсума HOD: мы можем перенумеровать
все возможные способы определения множеств, и с помощью
этой нумерации и естественного полного упорядочения орди-
нальных параметров устроить полное упорядочение HOD мно-
жеств.
§ 6.	Невыводимость аксиомы выбора
В 1963 г. Коэн построил модель теории множеств, в кото-
рой аксиома выбора оказалась ложной, доказав таким образом,
что аксиому выбора нельзя вывести из остальных аксиом тео-
рии множеств. Коэн ввел новый мощный метод построения мо-
делей, метод вынуждения (форсинга), и использовал этот ме-
тод для доказательств невыводимости аксиомы выбора и кон-
тинуум-гипотезы.
Поскольку метод вынуждения подробно изложен в гл. 4, то
мы здесь лишь наметим основные идеи этого метода и глав-
ные свойства генерических моделей. Построение генерической
модели начинают с некоторой данной модели теории множеств»
которая называется исходной моделью, и пробуют расширить
эту модель до большей модели, в которой те же ординалы, что
и в исходной модели, однако есть новые множества, которых
в исходной модели нет. Поскольку все делается в исходной мо-
дели, то новые множества являются только гипотетическими,
или воображаемыми, и не могут быть полностью описаны внут-
ри исходной модели. Вместо этого выделяются некоторые усло-
вия, вынуждающие частичную информацию о новых множе-
ствах. Основной концепцией понятия вынуждения является
отношение «р вынуждает о», где р есть вынуждающее условие»
а о — предложение, содержащее имена для новых множеств.
Для каждого такого предложения о некоторые условия могут
вынуждать его истинность, некоторые другие — его ложность,
а могут быть и такие, которые не вынуждают ни того, ни дру-
гого. Однако всегда существует такое условие р, которое ре-
шает о>т. е. либо р вынуждает о, либо р вынуждает По,
52
ГЛ 2 ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА*
Для построения генерических моделей постулируют сущест-
вование генерического множества G условий, т. е. такого не-
противоречивого множества вынуждающих условий, что для
каждого предложения а в О найдется условие, решающее а.
Генерическое множество, вообще говоря, не принадлежит ис-
ходной модели. С помощью такого множества G каждое пред-
ложение рассматриваемого языка объявляется либо истинным,
либо ложным, а каждому имени приписывается вполне опреде-
ленное множество (возможно принадлежащее, а возможно и не
принадлежащее исходной модели). Совокупность множеств, ко-
торые получаются таким способом, включает все множества
из исходной модели и множество G и является замкнутой отно-
сительно всех теоретико-множественных построений. Эта сово-
купность является моделью теории множеств и называется ге-
нерическим расширением исходной модели. Важным свойством
генерического расширения является то, что его можно изучать,
не выходя из исходной модели, так как любое предложение
будет истинным в расширении, если и только если оно вынуж-
дается некоторым условием из G.
Если в исходной модели М истинна аксиома выбора, то она
остается истинной и в любом ее генерическом расширении. Та-
ким образом, если мы хотим построить модель, в которой ак-
сиома выбора ложна, то мы должны провести дополнительное
построение. Идея этого построения состоит в том, что новые
множества в некоторых типах расширений М [G1 очень похожи
друг на друга, и поэтому не существует определимых полных
упорядочений в M[G]. Мы берем бесконечное семейство А е=
eAf[G], состоящее, скажем, из новых множеств натуральных
чисел, Л ={а: аеЛ}, и рассматриваем модель N = М({а: as
еЛ}), полученную добавлением всех множеств а^А к ис-
ходной модели. При этом получится М cz N cz M[G], и по-
скольку мы не добавили к М полного упорядочения множества
Л, то можно ожидать, что в N не окажется полных упорядо-
чений этого множества.
Такое построение модели N, называемой симметрическим
расширением М, использует идею, восходящую еще к Френ-
келю, который в двадцатых годах предложил метод установле-
ния недоказуемости аксиомы выбора. Его идеи были разрабо-
таны Мостовским в тридцатых годах. Мостовский ввел метод
построения моделей, известных как модели Френкеля — Мостов-
ского, или пермутационные модели.
Хотя метод Френкеля — Мостовского и привел к моделям,
в которых аксиома выбора ложна, но он не решил полностью
проблему недоказуемости аксиомы выбора в теории множеств,
так как полученные модели оказались не совсем моделями
теории множеств. Универсум Френкеля — Мостовского (рис. 2)
§ 6 НЕВЫВОДИМОСТЬ АКСИОМЫ ВЫБОРА
53-
отличается от обычной теории множеств тем, что в нем есть
атомы, или праэлементы — объекты, не содержащие элементов
(но и не совпадающие с пустым множеством, которое также
не содержит элементов). Универсум Френкеля — Мостовского
состоит из всех множеств, которые строятся из атомов, в то
время как настоящий универсум теории множеств строится толь-
ко из пустого множества. (См. обсуждение в гл. 1.)
Как показано на рис. 2, настоящий универсум представляет
собой часть универсума Френкеля — Мостовского; будем назы-
вать его ядром последнего.
Полезным свойством атомов является то, что они очень по-
хожи друг на друга. Этот факт используется как главный ин-
струмент в методе Френкеля — Мостовского.
Рассмотрим простейший пример пермутационной модели.
Пусть множество А всех атомов бесконечно. Каждая переста-
новка л множества А есте-
ственным образом продол-
жается на универсум FM
(Френкеля — Мостовско-
го). Именно, если множе-
ство X таково, что л(х) уже
определено для всех х X,
то полагаем л(Х)={л(х):
х<=Х}. Перестановка л мо-
жет сдвигать лишь множе-
ства, не входящие в ядро,
так как л(0)= 0, и поэтому л(Х) = Х для каждого множества
X, входящего в ядро.
Назовем множество X симметрическим, если найдется такое
конечное множество атомов {«i, ..., ап} (основание X), что
л(Х) = Х для каждой перестановки л, оставляющей все а<,
неподвижными: л(а1)=«1, л(ап)= ап. Пусть<2/
есть класс всех наследственно симметрических множеств X (т. е.
симметрическим является само X, все элементы X, все элементы
элементов Хит. д.). Этот класс °U замкнут относительно всех
операций, и тем самым °Ы является моделью теории множеств-
с атомами. Ясно, что все элементы ядра симметрические, и по-
этому содержит ядро; содержит и все атомы, поскольку
каждый атом образует свое основание. Заметим также, что
если некоторая совокупность S атомов принадлежит универ-
суму °U, то либо S конечно, либо А—S конечно: нетрудно про-
верить, что бесконечное множество атомов с бесконечным до-
полнением не может иметь конечное основание!
Теперь понятно, почему аксиома выбора не верна в °U. Мно-
жество А нельзя вполне упорядочить в так в противном слу-
чае его можно было бы разбить на два бесконечных множества.
54 '	ГЛ 2 ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
Метод Френкеля — Мостовского очень прост и был исполь-
зован для получения многих результатов о независимости. Од-
нако эти результаты ничего не давали для настоящих множеств,
поскольку ядро не затрагивается построением пермутационной
модели. В нашем примере есть множество, которое не может
быть вполне упорядочено, но оно является множеством атомов,
а не множеством действительных чисел или каких-нибудь дру-
гих истинно математических объектов.
Идею пермутационных моделей можно использовать в ме-
тоде вынуждения и построить модели настоящей теории мно-
жеств, в которых не выполняется аксиома выбора. Как сказано
выше, строится симметрическая модель N такая, что М cz N cz
gz A1[G]. Идея пермутаций используется следующим образом.
Рассмотрим перестановки множества вынуждающих условий
(или автоморфизмы соответствующей булевой алгебры) и при-
меним эти перестановки для построения перестановок имен
(или для построения автоморфизмов булевозначной модели).
Затем расширим исходную модель М добавлением только тех
новых множеств, которые имеют симметрические имена (и та-
кие же имена имеют их элементы, элементы их элементов
и т. д.). Таким образом, получится совокупность 7V^A4[G], ко-
торая включает М, так как никакая перестановка не изменяет
канонические имена для множеств из исходной модели. N бу-
дет моделью теории множеств, называемой симметрическим
расширением модели М.
Этот метод использует аргументы, очень похожие на те,
которые участвуют в построении пермутационных моделей.
С его помощью получены модели, в которых ложна аксиома
выбора. Самым простым примером симметрической модели яв-
ляется расширение с помощью бесконечного множества А имен
для генерических множеств натуральных чисел. При этом ана-
логично случаю универсума U нужно использовать переста-
новки множества А и конечные основания. Получается модель
N = М({а: а^А}), в которой множество А является бесконеч-
ным множеством множеств натуральных чисел и не может быть
вполне упорядочено. На самом деле, никакое бесконечное под-
множество множества А не может быть вполне упорядочено, и,
таким образом, А будет примером дедекиндова множества, т. е.
бесконечного множества, не имеющего счетных подмножеств.
Поскольку множества натуральных чисел можно отождествить
с действительными числами, то мы имеем пример дедекиндова
множества действительных чисел.
Сходство между пермутационными моделями и симметри-
ческими моделями лежит в основе многих построений, и в сле-
дующем параграфе мы обсудим, как результаты для теории
§ 7. ТЕОРЕМЫ О ПЕРЕНОСЕ
55
множеств с атомами можно некоторым единым методом преоб-
разовать в соответствующие результаты для теории множеств
без атомов.
§ 7.	Теоремы о переносе
Как уже упоминалось выше, метод симметрических моделей
теории множеств использует идеи, которые были ранее разра-
ботаны для моделей Френкеля — Мостовского. Например, мо-
дель Л4({а: аеЛ}), построенная Коэном для доказательства
независимости аксиомы выбора, аналогична рассмотренной выше
простейшей пермутационной модели. Вместо атомов в модели
Коэна фигурируют генерические множества натуральных чисел.
Все же аналогия между пермутационной моделью и моделью
Коэна не совсем полная. Мы видели, что в пермутационной мо-
дели множество А нельзя разбить на два непересекающихся
бесконечных множества. С другой стороны, в модели Коэна А
есть множество действительных чисел, а каждое бесконечное
множество действительных чисел можно разбить на два непе-
ресекающихся бесконечных подмножества (в действительности
это можно сделать с каждым бесконечным линейно упорядо-
ченным множеством). Различие объясняется тем, что в модели
Коэна множество А имеет внешнюю структуру (наличие линей-
ного порядка), которая и препятствует его элементам быть со-
вершенно похожими, как это получается в случае атомов.
В другой модели Френкеля — Мостовского множество А яв-
ляется объединением счетной совокупности пар {ап, Ьп} атомов,
и при этом счетное семейство пар {{ап, Ьп}: песо} не обладает
функцией выбора. (Здесь атомы играют роль шнурков в при-
мере Рассела.) Поскольку каждое семейство конечных мно-
жеств действительных чисел имеет функцию выбора, то нельзя
надеяться на построение симметрической модели, которая была
бы аналогична этой FM модели с заменой атомов действитель-
ными числами. Однако другая модель Коэна дает как раз такой
результат; в ней множества ап и Ьп являются множествами дей-
ствительных чисел. Иными словами, более точной будет такая
аналогия между пермутационными моделями и симметриче-
скими расширениями, когда вместо атомов берутся более аб-
страктные, менее различимые множества. Оказывается, что если
роль атомов будет поручена множествам множеств ординалов,
то мы получим достаточно удовлетворительную аналогию между
пермутационными моделями и симметрическими моделями. Сле-
дующая теорема показывает, что любую пермутационную мо-
дель можно вложить в симметрическую модель теории мно-
жеств «с достаточной степенью точности».
56
ГЛ 2 ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
Для каждого множества S и каждого ординала а вводим
а-ю итерацию ^a(S) операции степени (множества всех под-
множеств) :
^i(S) = ^>(S) = {X: х <= S},
&а+1 (s) == g>* (S) и & О“ (S)).
^*“(S)= U 0^(S), если ординал а пределен.
0 < a
7.1.	Теорема о вложении (Йех — Сохор, см. рис. 3).
Пусть А является множеством всех атомов некоторой пермута-
ционной модели a a — некоторый ординал в °U. Тогда суще-
ствует симметрическая модель N теории множеств и вложение
е. <U-+N такие, что множество &а(А) в °U и множество
^а(е(А)) в N окажутся при этом ^-изоморфными.
Модель N строится как симметрическое расширение ядра
М модели а множество е(А) состоит из множеств множеств
ординалов в N,
Эта теорема о вложении играет большую роль потому, чго
многие результаты о независимости, полученные для теории
множеств с атомами методом Френкеля — Мостовского, могут
быть автоматически перенесены на обычную теорию множеств.
Этот метод переноса годится для довольно широкого класса
утверждений (который здесь не будет описан); речь идет об
экзистенциальных утверждениях определенного вида.
Типичным примером является утверждение «существует
множество, которое нельзя линейно упорядочить». Пусть <2/есть
пермутационная модель, содержащая множество, которое не-
возможно упорядочить. Для простоты предположим, что само
А нельзя упорядочить в В этой ситуации мы строим модель
теории множеств, в которую можно так вложить что ^°(А)
окажется изоморфным множеству ^°(е(А)). Отсюда следует,
что е(А) нельзя упорядочить в N, поскольку каждое упорядо-
чение множества А, будучи бинарным отношением на А, обя-
зано принадлежать множеству ^°(A).
§ 8 МАТЕМАТИКА БЕЗ АКСИОМЫ ВЫБОРА
Г7
Известны многочисленные приложения этого метода перено-
са, причем рассматриваемые утверждения всегда оказываются
экзистенциальными. Однако описанный метод неприменим^
когда мы хотим доказать невыводимость одного утверждения
из другого. Рассмотрим следующий пример: мы хотим доказать,
что аксиома выбора сильнее, чем теорема об упорядочении; для
этого нужна модель, в которой аксиома выбора не выполняется,
но каждое множество может быть линейно упорядочено. Такая
модель существует (результат Леви).
Мы строим пермутационную модель методом Френкеля —
Мостовского и пытаемся перенести этот результат о невыво-
димости с теории множеств с атомами на обычную теорию мно-
жеств. Отрицание аксиомы выбора легко переносится указан-
ным методом, но утверждение «каждое множество можно ли-
нейно упорядочить» не переносится. Все же оказалось возмож-
ным, исследовав структуру пермутационной модели, «нало-
жить» затем эту структуру на соответствующую симметриче-
скую модель. Для случая теоремы об упорядочении можно
использовать технику конечных оснований, упомянутую в § 6,
и ввести аналогичную структуру в модель N. Этого оказывается
достаточно для того, чтобы перенести утверждение «каждое
множество можно линейно упорядочить».
Метод переноса усовершенствован в последние годы Д. Пин-
кусом, и теперь теоремам о переносе поддается большинство
результатов о невыводимости, полученных методом Френкеля —
Мостовского, несмотря на то, что эти теоремы имеют дело со
слишком специфическими на первый взгляд формулами.
Поскольку присутствие атомов отличает модели Френкеля —
Мостовского от моделей теории множеств, то нужно иметь в-
виду, что «е всякий результат о невыводимости может быть
перенесен. Закончим этот параграф примером утверждения, ко-
торое эквивалентно аксиоме выбора в обычной теории мно-
жеств, но имеет пермутационную модель, в которой не выпол-
няется аксиома выбора.
(Аксиома кратного выбора.) Для каждого семейства SF
непустых множеств найдется такая функция f, определенная
на ЗГ, что f(X) будет непустым конечным подмножеством мно-
жества X при любом
§ 8.	Математика без аксиомы выбора
Так как аксиома выбора не противоречит остальным аксио-
мам теории множеств, то не видно причин, почему ее нельзя
было бы применять в математических доказательствах. Тем не
менее в силу того, что характер этой аксиомы отличает ее or
остальных аксиом, имеет смысл исследовать модели теории мно-
58
ГЛ. 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
жеств, которые не удовлетворяют аксиоме выбора. Ситуация
аналогична неевклидовым геометриям: изучая такие модели, мы
узнаем, какие теоремы в действительности опираются на ак-
сиому выбора и каковы связи между следствиями и различными
ослабленными формами этой аксиомы.
Наиболее интересными из большого числа известных резуль-
татов являются те, которые относятся к действительным чис-
лам. Особенно интересен результат Соловея, построившего мо-
дель теории множеств, где каждое множество действительных
чисел измеримо по Лебегу. В модели Соловея также выпол-
няется принцип зависимого выбора, и поэтому могут ‘быть до-
казаны все стандартные теоремы из теории меры Лебега и
дескриптивной теории множеств. Кроме того, универсум модели
Соловея привлекает специалистов по анализу тем, что в нем
нет таких искусственных контрпримеров, как неизмеримое мно-
жество Витали, множество, не имеющее свойства Бэра, разрыв-
ная аддитивная функция и т. д.
Как мы уже указывали, в построенной Коэном модели
имеется дедекиндово множество действительных чисел, т. е.
бесконечное множество, не содержащее счетных подмножеств.
Такое множество А порождает ряд интересных примеров. Не-
трудно показать существование предельной точки у множества
Л. Однако эта предельная точка а не может быть пределом
никакой последовательности элементов множества А—{а}, так
как А дедекиндово. Это показывает, что два стандартных оп-
ределения предельной точки (одно через окрестности, а другое
через последовательности) не будут эквивалентными, если нет
аксиомы выбора.
Непрерывность функции действительной переменной также
определяется двумя способами: один через 8 — б-определение,
а другой говорит, что из limxrt = x следует limf(хп) = f(х).
С помощью дедекиндова множества действительных чисел можно
построить функцию, которая непрерывна в смысле определения
через пределы, но разрывна в смысле 8 — б-определения.
Другая интересная модель построена Феферманом и Леви;
в ней множество всех действительных чисел является объеди-
нением счетного числа счетных множеств.
Пермутационные модели вместе с теоремами о переносе яв-
ляются источником некоторых других интересных контрприме-
ров. Следующие примеры были построены Лёйхли в пермута-
ционных моделях, а затем перенесены на теорию множеств
с помощью теоремы о вложении (за исключением примера поля
без алгебраического замыкания, перенос которого сделал Пин-
кус):
(а)	векторное пространство, не имеющее базиса;
§ 8 МАТЕМАТИКА БЕЗ АКСИОМЫ ВЫБОРА
59
(Ь)	векторное пространство, у которого есть два базиса
различной мощности;
(с)	свободная группа, коммутант которой не является сво-
бодной группой;
(d)	поле, не имеющее алгебраического замыкания.
В § 4 подробно обсуждалась теорема о простом идеале. По-
скольку она влечет теорему об упорядочении, а эта последняя
недоказуема в теории множеств (без аксиомы выбора), то, сле-
довательно, и теорема о простом идеале будет недоказуема. Она
следует из акеиомы выбора, но не эквивалентна ей: Халперн и
Леви показали, что аксиома выбора не следует из теоремы о
простом идеале.
Несколько слов об ультрафильтрах. Феферман построил мо-
дель, в которой нет нетривиальных ультрафильтров над мно-
жеством всех натуральных чисел; этот результат был усилен
Блассом, который построил модель, где вообще нет нетривиаль-
ных ультрафильтров.
Теория кардинальных чисел становится весьма интересной,
если убрать аксиому выбора. К примеру, без аксиомы выбора
нельзя доказать, что любые два кардинала сравнимы; справед-
ливо только то, что отношение |Х| < | У| является частичным
порядком на совокупности всех кардиналов. Не слишком много
фактов можно установить об этом порядке, поскольку, согласно
результату автора этой главы, для любого частично упорядо-
ченного множества существует модель теории множеств, в ко-
торой есть множество кардиналов, изоморфное данному час-
тично упорядоченному множеству.
Известно много результатов, относящихся к дедекиндовым
кардиналам (кардиналам дедекиндовых множеств). Например,
можно построить модель с таким бесконечным кардиналом х,
что 2х является в этой модели дедекиндовым кардиналом.
(В то же время нетрудно показать, что для каждого бесконеч-
2х	Ч
ного кардинала х будет 2
Один старый результат Тарского утверждает, что если для
каждого бесконечного кардинала х выполняется х-х = х, то
аксиома выбора имеет место. Недавняя конструкция Сагеева
показывает, что для равенства х + х = х ситуация иная. В мо-
дели Сагеева это равенство истинно для всех бесконечных х, но
аксиома выбора не верна.
Если аксиома выбора имеет место, то каждый непредельный
кардинал Na+l регулярен. В упомянутой выше модели Леви —
Фефермана кардинал оказывается сингулярным, так как
в ней существует возрастающая счетн-ая последовательность
ординалов а0 < он < ... < ап <Z ...» предел которой равен
(Оь Вот одна открытая проблема: построить модель теории мно*
S')	ГЛ 2 ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
жеств, в которой каждый кардинал является пределом счетной
последовательности1)- Известно только, что для такого по-
строения требуется предположение о существовании некоторого
большого кардинала.
Закончим этот параграф формулировкой одной интересной
проблемы комбинаторного характера, ставшей предметом боль-
шого числа статей и решение которой может включать не толь-
ко описанные выше теоретико-множественные методы, но и не-
которые фрагменты теории чисел и теории конечных групп. Для
каждого натурального п рассматривается утверждение:
Сп. Если есть семейство множеств, каждое из которых
имеет ровно п элементов, то существует функция выбора на
семействе
Изучение этих утверждений было начато Тарским: он, в
частности, заметил, что из С2 следует С4.
Пусть множество А четырехэлементно, и предположим, что
существует функция /, осуществляющая выбор на двухэлемент-
ных множествах. Используем f для выбора некоторого элемента
из множества А. (Предлагаемая процедура выбора окажется
вполне определенной и одинаковой для всех четырехэлементных
множеств А.) Имеется шесть двухэлементных подмножеств
множества А. Для каждого хе А пусть q(x) есть количество
таких пар {х, г/}^А, что f({x,y}) = x. Пусть q есть наимень-
шее из всех #(х), и В = {хе A: q(x) = q}. Нетрудно проверить,
что В =# А, и, следовательно, В имеет один, два или три эле-
мента. Если В имеет один элемент, то мы и выбираем этот
элемент; если В имеет три элемента, то выбирается оставшийся
элемент из А. Наконец, если В имеет два элемента, то выби-
раем элемент f(B).
Это тонкое рассуждение поднимает ряд вопросов. Общая
проблема состоит в том, чтобы установить, какие комбинации
утверждений Сп выводятся из остальных комбинаций этих ут-
верждений. Разные теоремы в литературе дают необходимые и
достаточные условия (носящие теоретико-числовой или теоре-
тико-групповой характер) для такой выводимости. Одним из
примеров таких теорем является теорема о том, что имплика-
ция Сг->Сл доказуема, если и только если п=1, 2 или 4.
Часть «только если» в этой теореме была доказана Мостовским
для теории множеств с атомами, а затем перенесена на теорию
множеств методом Йеха — Сохора и Пинкуса. Читателю, может
быть, будет интересно узнать, что доказательство Мостовского
использует идеи теории чисел, в частности постулат Бертрана.
‘) Эта проблема решена в работе: Гитик (Gitik М.) АП uncountable
cardinals can be singular. — Israel J. Math., 1980, 35, № 1—2, p. 61—88.—
Прим, nepee.
§ 9 ОПРЕДЕЛИМЫЙ ВЫБОР
61
§ 9. Определимый выбор
В этом параграфе рассматривается вопрос, когда можно
явно определить функцию выбора. В § 5 были упомянуты две
модели теории множеств: конструктивный универсум L и мо-
дель HOD всех наследственно ординально определимых мно-
жеств. В обеих этих моделях универсум имеет определимое
полное упорядочение. (Модель L является наименьшей мо-
делью, содержащей все ординалы, а модель HOD есть наи-
большая модель, в которой существует определимое полное
упорядочение универсума.)
Генерические модели дают различные примеры определи-
мого выбора. С одной стороны, известны модели, содержащие
неконструктивные множества и имею-
щие определимое полное упорядоче-
ние универсума. С другой стороны,
есть модели, удовлетворяющие аксио-
ме выбора, но не имеющие определи-
мых функций выбора для некоторых
•семейств множеств. Например, в моде-
ли Коэна М(0), упомянутой в § 6,
множество всех действительных чисел
не имеет определимого полного упоря-	Рис. 4.
дочения. В некоторой другой модели
каждое определимое полное упорядочение множества всех дей-
ствительных чисел счетно (а аксиома выбора верна).
Следующий вопрос относится скорее к дескриптивной теории
множеств. Пусть А есть множество действительных чисел, а
<?~ = {SX: х^А} является семейством непустых множеств дей-
ствительных чисел, причем каждое Sx определимо относительно
х некоторым равномерным образом (например, каждое Sx есть
П}-множество с кодом х). Можно ли определить функцию вы-
бора {ах: х^А} на семействе Г?
Вопросы такого типа часто возникают в дескриптивной тео-
рии множеств (см. гл. 8). В частности, теорема униформизации
Новикова — Кондо — Аддисона утверждает, что для каждого
бинарного П[-отношения Р на множестве всех действительных
чисел найдется такая П}-функция f, которая является подмно-
жеством множества Р и имеет ту же проекцию, что и Р (рис. 4).
Этот рисунок объясняет, как теорема униформизации связана
с поставленным выше вопросом.
Никакой теоремы такого рода нельзя доказать для П^-мно-
жеств, так как множество всех неконструктивных действитель-
ных чисел принадлежит ГЦ, а в упоминавшейся выше модели
62
ГЛ 2 ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА
Коэна нет определимых неконструктивных действительных чи-
сел. Это дает пример непустого ГЦ-множества действительных
чисел, не содержащего определимых элементов.
§ 10. Аксиома детерминированности — альтернатива
к аксиоме выбора
Аксиома выбора имеет ряд следствий, являющихся до опре-
деленной степени нежелательными (таких, как существование
неизмеримого множества действительных чисел). В связи с
этим было сделано несколько попыток формулировать аксиомы,
противоречащие аксиоме выбора, из которых вытекают более
привлекательные следствия. (Здесь снова проявляется анало-
гия с неевклидовой геометрией.) Наиболее интересной извест-
ной альтернативой к аксиоме выбора является аксиома детер-
минированности.
Каждое множество А бесконечных последовательностей на-
туральных чисел определяет следующую бесконечную игру Од
двух игроков. Игрок I пишет натуральное число по, игрок II
отвечает тем, что пишет натуральное число п\, затем игрок I
пишет п2, игрок II пишет и т. д. Если получающаяся в ре-
зультате игры последовательность п0, П\, п2, ... принадлежит
множеству А, то выигравшим считается игрок I, в противном
случае выигрывает игрок II. Игра Ga называется детерминиро-
ванной, если либо игрок I имеет выигрывающую стратегию,
либо игрок II имеет выигрывающую стратегию. Аксиома детер-
минированности утверждает, что для каждого такого множества
последовательностей А игра Ga является детерминированной.
Используя полное упорядочение множества всех последова-
тельностей натуральных чисел, можно построить игру, которая
не будет детерминированной. Следовательно, аксиома детер-
минированности противоречит аксиоме выбора.
Специалисты в области дескриптивной теории множеств осо-
бенно оценили аксиому детерминированности. Эта аксиома вле-
чет счетную аксиому выбора, и вследствие этого основные тео-
ремы теории действительных чисел не страдают от отсутствия
аксиомы выбора. Из этой аксиомы также следует, что каждое
множество действительных чисел измеримо по Лебегу, имеет
свойство Бэра и либо счетно, либо имеет мощность континуума.
Кроме того, аксиома детерминированности разрешает различные
проблемы дескриптивной теории множеств вроде теорем уни-
формизации и редукции, см. гл. 8.
Помимо тех желательных следствий, которые аксиома де-
терминированности имеет в дескриптивной теории множеств,
мало что можно было бы сказать в пользу этой аксиомы как
альтернативы к аксиоме выбора. Можно отметить, например(
ЛИТЕРАТУРА
63
что из нее вытекает, что кардиналы Nj и К2 измеримы, карди-
налы Кз, ^4, Х5, ... сингулярны, а кардиналы Xtt+j и Nffl+2
опять измеримы1). Все же эта аксиома чрезвычайно интересна.
Поскольку она влечет выполнение различных свойств типа
больших кардиналов, то нужно отправляться от больших кар-
диналов, если мы хотим доказать непротиворечивость аксиомы
детерминированности. Это выглядит очень трудной проблемой,
так как мы до сих пор не знаем даже, являются ли непротиво-
речивыми некоторые следствия детерминированности. Одним из
следствий этой аксиомы является, к примеру, такое утвержде-
ние:
(*) Каждое подмножество кардинала Ki либо содержит
некоторое замкнутое неограниченное в множество, либо не
пересекается с некоторым таким множеством2).
Это утверждение влечет измеримость кардинала Кь Но
даже если считать установленной непротиворечивость предло-
жения об измеримости X ь утверждение (*) выглядит значи-
тельно более сильным. Недавно Мартин и Митчелл 3) подтвер-
дили это, построив модель теории множеств, в которой есть
много измеримых кардиналов, отправляясь от утверждения (*).
Мы считаем, что доказательство непротиворечивости (*) или
других утверждений такого же рода должно быть первым ша-
гом на пути решения проблемы непротиворечивости аксиомы
детерминированности, которая определенно является наиболее
интересной проблемой, относящейся к аксиоме выбора.
ЛИТЕРАТУРА
Йех (Jech Т.)
1. The Axiom of Choice. — Amsterdam: North-Holland, 1973.
Френкель, Бар-Хиллел, Леви (Fraenkel A, Bar-Hillel Y., Levy A.)
1. Foundations of Set Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1973.
Если читатель хотел бы получить ссылки на оригинальные работы, в кото-
рых доказаны обсуждавшиеся в этой статье результаты, то он может найти
исчерпывающую библиографию в книгах Френкеля, Бар-Хиллела и
Леви [1] и Й е х а [1].
1) См. книгу Клейнберга, добавленную к библиографии гл. 3 при пере-
воде. — Прим, перев.
2) См. Bull Е. L., К 1 е i n b е г g Е. М. A consistent consequence of AD.—
Trans. Amer. Math. Soc., 1979, 247, p. 211—216, где доказана непротиворечи-
вость аналогичного утверждения для %2- — Прим, перев.
3) Martin D. A., Mitchell W. On the ultrafilter of closed unbounded
sets.— J. Symbolic Logic, 1979, 44, № 4, p. 503—506. —- Прим, перев.
Глава 3
КОМБИНАТОРИКА
Кеннет Кюнен
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...........................................................-64
§ 1.	Обозначения....................................................65
§ 2.	Замкнутые неограниченные и стационарные	множества..............65
§ 3.	Принципы перечисления..........................................68
§ 4.	Деревья........................................................75
§ 5.	Почти дизъюнктные множества....................................82
§ 6.	Партиционное исчисление........................................85
§ 7.	Большие кардиналы............................................. 92
Добавление. Чрезвычайно большие	кардиналы.....................95
Литература .....................................................97
Введение
Мы рассматриваем эту главу как небольшую статью, а не
как обзор: большинство сформулированных теорем снабжено
доказательствами. Наша цель — ввести читателя в круг основ-
ных методов комбинаторной теории множеств.
Предполагается знакомство читателя с «наивной» теорией
множеств в рамках, скажем, книги Хал мош а [1] или гл. 1.
Знание логики не только не считается необходимым, но и неже-
лательно.
За исключением одного тривиального замечания, ни один
из результатов этой главы не принадлежит автору. Мы не стали
указывать авторство каждой теоремы или делать ссылки на
оригинальные статьи; библиография приведена в основном для
дальнейшего знакомства с темой. Некоторые понятия оказались
столь близко связанными с фамилиями (например, преобразо-
вание Лапласа), что уже невозможно упоминать их вне связи
с первооткрывателем. Но некоторые другие, часто значительно
более важные понятия, уже стали частью математического
фольклора. Тот, кто считает, что его имя должно было бы быть
упомянуто в этой главе, может утешиться тем обстоятельством,
что Ньютон и Лейбниц не упоминаются всякий раз, когда речь
идет о производной.
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ МНОЖЕСТВА 65
§ 1. Обозначения
Напомним терминологию. Греческие буквы употребляются
для обозначения ординалов (по фон Нейману). Через cf(a)
обозначается конфинальность а, т. е. наименьший ординал р
такой, что найдется сохраняющее порядок отображение f:
₽ а, область значений которого неограничена в а. Кардина-
лами являются начальные ординалы; соа есть a-й бесконечный
кардинал (счет начинается са = 0: о) = со0 — наименьший бес-
конечный кардинал). Через %+ обозначается наименьший кар-
динал, больший чем %. |Х| есть кардинал (мощность) множе-
ства X. Кардинал х называется регулярным, если и только
если cf(x) = x; в противном случае говорят, что он сингулярен.
&(Х) есть совокупность всех подмножеств множества X,
а YX — совокупность всех функций из У в X. Далее, < аХ =
= и {5Х: g < a}; f f X обозначает сужение функции f на множе<
ство X, а ran(f)— область всех значений функции f.
Если х и X—кардиналы, то через хх и х<х будем обозначать
мощности множеств хх и <хх соответственно. Таким образом,
если кардинал X бесконечен, то x<x = sup{xe: 0 < X Л 0 яв-
ляется кардиналом}. Иногда вместо 2х будем писать ехр(Х),
если это диктуется типографскими соображениями, как в слу-
чае exp(exp(exp(X))).
R есть множество всех действительных чисел, Q— множе-
ство всех рациональных чисел, с = | R | = ^(со) | = 2° — мощ-
ность континуума.
§ 2. Замкнутые неограниченные и стационарные множества
Основное отличие предмета этой главы от элементарной
теории множеств, изучаемой в университетах, состоит в исполь-
зовании трансфинитной индукции на бесконечных ординалах.
В этом параграфе мы постараемся развить у читателя ин-
туитивное представление об ординалах, а также ввести новые
понятия, которые окажутся полезными позже. Во многих слу-
чаях можно рассматривать ординалы как естественное продол-
жение натуральных чисел. Однако замкнутые неограниченные
и стационарные множества являются принципиально новым яв-
лением, появляющимся лишь на несчетном уровне.
Несколько определений. Фиксируем регулярный несчетный
кардинал х. Множество Сех называется замкнутым, если вся-
кий раз, когда у<х и CQy неограничено в у, будет уеС
(эквивалентное определение: С замкнуто в порядковой топо-
логии). Множество Сех называется з. н. о. (замкнутым неог-
раниченным), если оно замкнуто и неограничено в х.
3 Справочная книга, ч. II
66
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Примерами з. н. о. множеств являются: множество всех пре-
дельных ординалов < х и множество всех ординалов, которые
предельны в ряду предельных ординалов < х. Множество
{у <х: у есть кардинал} всегда замкнуто в х; оно является
неограниченным, если и только если кардинал х пределен (и,
следовательно, слабо недостижим, поскольку х предполагается
регулярным) в ряду кардиналов.
Существует определенная аналогия с теорией меры. Именно,
о з. н. о. множествах можно думать как о больших, или почти
полных, или имеющих меру 1. При таком подходе необходимо
доказать, что пересечение двух больших множеств снова будет
большим. В действительности имеет место следующая
2.1.	Лемма. Пересечение з. н. о, подмножеств кардинала х
в числе < х будет з. н. о. множеством.
Доказательство. Пусть а<х и для каждого g < а
дано з. н. о. множество Q е х. Нетрудно проверить, что пере-
сечение П замкнуто. Чтобы* проверить его неограничен-
5 < а
ность, определим для каждого g<a функцию fc. х->х так,
что есть наименьший ординал в С\, больший, чем у. По-
ложим g(y) = 8up{^(y): g<a}. Тогда из регулярности х сле-
дует ^(т)<х. Определяем й(у, п) индукцией по п так:
h(y, 0) = 7, и й(у, п + 1) = g(h(y, п)). Наконец, положим
7* = suprtft(7, п). Тогда 7 < 7* < х, и для каждого g < а мно-
жество С$Г|7* будет неограниченным в 7*, и поэтому у* е
П □
S < а
Читателю стоит обратить внимание на то, что все вышеска-
занное теряет смысл при кардинале х, равном со.
Продолжая нашу аналогию с теорией меры, мы введем ста-
ционарные множества как те, которые не имеют меру 0. Имен-
но, назовем множество Sex стационарным, если пересечение
С П S непусто, каково бы ни было з. н. о. множество С £ х.
Тогда А будет нестационарным (аналог меры 0), если ДрС =
= 0 для некоторого з. н. о. множества С £х.
2.2.	Лемма, (а) Объединение <в числе <х нестационарных
множеств нестационарно.
(Ь)	Если S стационнарно, а С является з. н. о., то S (] С будет
стационарным.
(с)	Если а < х, множество S стационарно и f: S-> а есть
произвольная функция из S в а, то найдется такое g < а, что
множество f-1{g} = {0 eS: f (0) = g} стационарно.
Лемма легко проворяется с помощью 2.1. Интуитивно (а)
говорит, что объединение небольшого числа малых множеств
будет малым множеством, (Ь) говорит, что пересечение множе-
ства меры 1 с множеством положительной меры остается мно-
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ МНОЖЕСТВА 67
жеством положительной меры, а (с) утверждает, что множе-
ство положительной меры нельзя разбить на небольшое число
множеств меры 0.
Аналогия с теорией меры, однако, заходит не очень далеко.
Например, мы увидим в § 3, что существует семейство, состоя-
щее из х попарно дизъюнктных (непересекающихся) стацио-
нарных множеств S %. Отметим, что пока еще не является
очевидным существование хотя бы двух таких множеств.
Следующее усиление 2.2 (с), известное как лемма о сдавли-
вании, играет фундаментальную роль в многих комбинаторных
доказательствах.
2.3.	Теорема (Фодор). Пусть S^x стационарно, f есть
функция из S в х, причем /(ц) < ц для всех t]gS. Тогда най-
дется такое £ < х, что множество f-1 {£} стационарно.
В частности, теорема 2.3 означает, что не может быть взаим-
но однозначных функций f: {ц: 0<ц<х}->х таких, что
Уг)(/Сп)< ц). Это выглядит неестественным, если иметь в виду
функцию п — 1 на натуральных числах, но нужно помнить, что
X > (0.
Доказательство теоремы 2.3. Предположим, что
таких g нет. Тогда для каждого £ < х найдется такое з. н. о.
множество С$, что Уц е QQ 5(/(т])=И= £). Пусть D= {q: Vg <
< т) (т] е Q)}. Тогда D П S = 0, поэтому мы получим противо-
речие, если только докажем, что D есть з. н. о. множество. Как
и выше, замкнутость D тривиальна. Для проверки неограничен-
ности D фиксируем у < х. Пусть уо = У и yrt+i является произ-
вольным ординалом >уп в множестве П {Q: £<Yn) (которое
будет з. н. о. в силу 2.1). Тогда suprt уп е D. □
Мы закончим этот параграф вариантом теоремы Скулема —
Лёвенгейма (см. гл. 2 «Теории моделей»). Хорошо известно,
что каждая группа имеет счетную подгруппу. Мы покажем, что
если на множестве <х>1 задана групповая операция •, то {а <
< coi: (а,-) есть подгруппа группы (соь •)} будет з. н. о. мно-
жеством в (0ь Финитарной функцией на х называется функция
из тх в х для некоторого m е со. Имеет место
2.4.	Теорема. Если х > со — регулярный кардинал и
{fn: п е со}—семейство финитарных функций на х, то множе-
ство С = {а < х: ¥/г(а замкнуто относительно fn)} является
з. н. о.
Доказательство. Ясно, что С замкнуто. Чтобы прове-
рить его неограниченность, фиксируем у < х. Пусть каждая fn
есть функция из т"х в х. Положим у0 = у, a определим
как наибольший из ординалов yk и sup {fn(s): se n(yk) Дп s ®}.
Тогда sup^y^>Y и sup^^C. □
3*
68
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Хотя мы избежали прямого употребления теоретико-модель-
ных понятий в теореме 2.4, читатель может заметить, что эта
теорема утверждает следующее: если 51 является алгебраиче-
ской системой в счетном языке, имеющей основное множество
х, то множество {а < х: 51Г X 91} являются з. н. о. в х.
§ 3.	Принципы перечисления
Этим общим названием мы объединяем три сходных прин-
ципа комбинаторной теории множеств.
В качестве первого принципа перечисления рассмотрим ак-
сиому выбора АС. Эта аксиома не может быть доказана с по-
мощью остальных аксиом теории множеств (см. гл. 2). Сфор-
мулированная в виде утверждения о непустоте декартова про-
изведения непустых множеств, эта аксиома интуитивно оче-
видна. Однако она становится подозрительной, если ее сформу-
лировать в виде утверждения о том, что каждое множество мо-
жет быть вполне упорядочено, поскольку нет естественного спо-
соба вполне упорядочить континуум действительных чисел.
Тем не менее в соответствии с распространенной математиче-
ской практикой мы будем продолжать использовать АС (как
мы делали это в § 2) без дальнейших комментариев.
Аксиома выбора имеет несколько следствий в анализе, ко-
торые выглядят в каком-то смысле патологическими. Один из
простых примеров:
3.1.	Теорема. Существует функция f: [0, 1]->[0, I], график
которой имеет внешнюю лебегову меру 1 в плоскости.
Конечно, график любой разумной функции имеет меру 0.
Все же функцию /, удовлетворяющую 3.1, легко можно по-
строить трансфинитной индукцией. Пусть Ка (а < с) есть пере-
счет всех замкнутых подмножеств квадрата [0, 1]X[0, I],
имеющих положительную меру. Индукцией по |3 < с построим
рр, так, чтобы
1)	а<р->ра=^рр,
2)
Заметим, что выбор таких pp, q$ возможен, так как, согласно
теореме Фубини, множество {р: ?*7(<р, q) е/Ср)} имеет положи-
тельную меру и тем самым мощность с. Определим теперь f
равенством f(p$)=q$ для всех |3. Тогда дополнение графика f
не будет содержать ни одного замкнутого подмножества поло-
жительной меры и, следовательно, будет иметь внутреннюю
меру 0. □
Более глубоким следствием АС является парадокс Бана-
ха— Тарского [1], который утверждает, что земной шар
можно разбить на конечное число частей так, что из этих час-
§ 3. ПРИНЦИПЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
69
тей можно составить шар величиной с Солнце. Чтобы доказать
это утверждение, используют теорему 3.3 гл. 2 с учетом еде л а н-
ных там же замечаний об отношении
Более близким к материалу этой главы следствием АС яв-
ляется
3.2.	Теорема (Улам [1]). Если множество	ста-
ционарно, то S можно разбить на ан непересекающихся ста-
ционарных множеств.
Доказательство. С помощью АС выбираем для каж-
дого а < (01 некоторую функцию из со на а. Для п е со и
g е (01 полагаем А% = S (] {а: /а(я) = £)- Каково бы ни было
п е (о, множества Af(g<(oJ попарно дизъюнктны. Не все они
могут быть стационарными; однако достаточно доказать сле-
дующую лемму:
3.3.	Лемма. Найдется такое п е (о, что среди множеств
встретится (Oi стационарных.
Таким образом, совокупность {А??: А% стационарно} удов-
летворяет теореме 3.2 (нужно только добавить к одному из
стационарных множеств А% объединение всех нестационарных
л?).
Для доказательства леммы отметим, что для каждого §
множество U А$ = {а: а > £} стационарно, и поэтому в силу
2.2(a) найдется такое что А^ будет стационарным. Теперь
выбираем п так, чтобы | {£:	= я}| = (оь □
Матрицу множеств Af размерности (oX«i называют мат-
рицей У лама.
Теорема 3.2 остается справедливой, если (oi заменить лю-
бым регулярным кардиналом х > (Oi. Если х есть кардинал
вида (оа+ь то доказательство остается в сущности тем же. Если
же х слабо недостижим, то теорема 3.2 тривиальна при S = х,
так как множества {a: cf(a)=X}, где X < х — регулярный кар-
динал, образуют искомое разбиение. Теорема 9 из статьи Со-
ловея [1] показывает, что 3.2 выполняется при произволь-
ном S.
Нашим вторым принципом перечисления будет континуум-
гипотеза СН. Если она формулируется как утверждение о том,
что нет множеств, мощность которых заключена между (о и С,
то в нее легко поверить (попробуйте представить себе множе-
ство промежуточной мощности!). Однако если мы используем
эквивалентную формулировку, утверждающую существование
такого полного упорядочения всех действительных чисел, что
каждое из них имеет лишь счетное число предшественников,
то СН выглядит еще более недоказуемой, чехМ аксиома выбора.
70
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Поэтому мы не будем в этой главе предполагать СН и всегда
будем явно указывать места, где СН используется как гипо-
теза. Как известно, СН нельзя ни доказать, ни опровергнуть
с помощью обычных аксиом теории множеств, см. гл. 4 и 5.
Имеется довольно много приложений СН к теории действи-
тельных чисел (см. Серпинский [1]). В первом приближе-
нии эти результаты можно разбить на два класса. Один из
них содержит, в сущности, комбинаторные утверждения, всегда
истинные для coi и перенесенные с помощью СН на континуум.
Другой класс образуют собственно теоремы о действительных
числах, от которых ничего не остается, если не предполагать СН.
Примером результата из первого класса является
3.4.	Теорема (СН). Существует такое счетное семейство
функций fn: [0,1] + [0, 1],чго (U MU(U Г;‘\ = [0,1] X [0,1].
\neco / \пео) /
Здесь мы отождествляем функцию с ее графиком. Эту тео-
рему можно сравнить с 3.1. Для доказательства 3.4 достаточно
доказать аналогичный результат с coi вместо [0, 1]; в этом слу-
чае СН не нужна. Пусть для каждого а < coi через ga обозна-
чено какое-нибудь отображение со на а+1- Положим Ма) =
= ga(n). □
Примером результата из второго класса является существо-
вание множества Лузина. Множество А £ R называется мно-
жеством Лузина, если L несчетно, но L[\K счетно всякий раз,
когда множество К R замкнуто и нигде не плотно (з. н. н. п.).
Такое множество L имеет несколько специфических свойств.
Что касается категории, то оно не очень мало, так как никакое
несчетное подмножество множества L не будет множеством пер-
вой категории. Что же касается меры, то L является настолько
малым, насколько это возможно: L имеет меру 0 в смысле меры
Лебега, а также в смысле любой неатомарной меры Бореля
(поскольку для каждого е > 0 существует такое з. н. н. п. мно-
жество К R, что разность R — К имеет меру <в).
Существование множеств Лузина нельзя доказать без ис-
пользования некоторых дополнительных теоретико-множествен-
ных аксиом. В частности, аксиома’ Мартина (см. гл. 6) вместе
с отрицанием СН влечет отсутствие множеств Лузина. Однако
имеет место
3.5.	Теорема (Лузин [1]). Из СН следует существова-
ние множеств Лузина.
Доказательство. Пусть (а < ©1) есть пересчет
всех з.н.н.п. множеств /(^R. По индукции выбираем рр е R
так, что:
1)	а<0->ра=/=рр,
2)	рр^ U Ла.
§ 3. ПРИНЦИПЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
71
Возможность построения на шаге р следует из теоремы Бэра
о категории, утверждающей, что R не является объединением со
з. н. н. п. множеств. В частности,
Множество {рр: 0 < <oi} будет множеством Лузина. □
Основные свойства множества Лузина можно еформулиро-
вать как внутренние свойства самого этого множества. Именно,
справедлива
3.6.	Теорема (СН). Существует такое множество L в
порядком <_ на нем, что:
(a)	< есть плотный линейный порядок без конечных точен.
(Ъ)	Каждое з. н. н. п. (в смысле порядковой топологии)
множество не более чем счетно.
(с)	Само L несчетно.
Доказательство. Следуя обозначениям из доказатель-
ства теоремы 3.5, положим L={p$: 0<a>i}llQ. Тогда (а) и
(с) очевидны, а (Ь) имеет место в силу того, что если д яв-
ляется з. н. н. п. в L, то замыкание К в R будет з. н. н. п. в R. □
Большинство утверждений о действительных числах, дока-
зуемых с помощью СН, являются независимыми от отрицания
СН. Это касается и теорем 3.5 и 3.6. Приведем без доказа-
тельства утверждение, которое, напротив, эквивалентно СЙ.
3.7.	Теорема (Эрдёш). Гипотеза СН эквивалентна сле-
дующему утверждению: существует несчетное семейство 9" це-
лых функций такое, что для каждого комплексного числа z
множество {f (z): f е счетно.
Нашим следующим принципом перечисления будет принцип
О Йенсена. Этот принцип утверждает:
Существует такая последовательность (Аа: а < <»i>, что
Аа S а при любом а < ©I и, кроме того, выполняется
(*)VX£wi (множество {а: ДЛа = Да} стационарно).
Из О следует СН, так как (*) влечет УЛ s <о За (Л = Да).
Однако из СН не следует 0 (Йенсен, см. Девлин иЮнсб-
ротен [1]). С другой стороны, О вытекает из аксиомы кон-
структивности Гёделя (теорема 11.2 гл. 5). Непротиворечи-
вость принципа <0> может быть также доказана методом вы-
нуждения (упражнение 4.18 гл. 4).
Как и СН, принцип О дает пересчет счетных множеств, но
теперь этот пересчет аппроксимирует все подмножества орди-
нала (01. Доказательства, использующие О, похожи на доказа-
тельства с помощью СН, однако дают более сильные резуль-
таты. Это можно проиллюстрировать следующей конструкцией
континуума Суслина.
72
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Гипотезой Суслина (SH) называется утверждение о том,
что каждое множество L с порядком <, удовлетворяющее сле-
дующим условиям:
(i)	< есть плотный линейный порядок без конечных точек;
(ii)	L удовлетворяет условию счетности цепей (у. с. ц.), т. е.
каждое семейство непересекающихся интервалов в L счетно;
(iii)	L с порядком < является полным по Дедекинду,
— изоморфно действительной прямой R с естественным поряд-
ком.
Гипотеза SH не противоречит теории множеств; например,
она следует из аксиомы Мартина плюс отрицание СН (см.
гл. 6). Более того, SH не противоречит СН (Йенсен; см. Дев-
лин и Юнсбротен [1]). С другой стороны, из 0 следует
отрицание SH. Чтобы показать это, построим в предположении
О множество L с порядком <, удовлетворяющее требованиям
(i) — (iii), но не изоморфное R (с естественным порядком). Та-
кое множество L называется континуумом Суслина.
Мы докажем следующую теорему, аналогичную 3.6.
3.8.	Теорема (О.)- Существует такое множество L с по-
рядком <, что:
(а) < есть плотный линейный порядок без конечных точек.
(Ь) Каждое з. н. н. п. множество K^L не более чем счетно.
(с+) L не является сепарабельным.
Условие (с+) означает, что каждое плотное в L множество
несчетно. Перед доказательством 3.8 покажем, как эта теорема
дает нам континуум Суслина. Пусть L с порядком < удовлет-
воряет 3.8. Тогда L удовлетворяет требованию (ii). В самом
деле, предположим противное, т. е. пусть {(а/, 6/): i е 1} есть
несчетное семейство непересекающихся открытых интервалов.
Благодаря лемме Цорна мы можем предполагать, что это се-
мейство максимально. Тогда множество K=L — U (ah bi) будет
i <= I
з.	н. н< п. и в то же время будет содержать все точки ai и 6/,
нарушая (Ь). Далее, L может и не быть полным по Дедекинду,
поэтому пусть L* есть дедекиндово пополнение L. Нетрудно про-
верить, что свойство (ii) переходит с L на L* (этого нельзя
утверждать о свойстве (Ь)). Теперь L* удовлетворяет (i) —
(iii), но не может быть изоморфным R, поскольку иначе L
было бы изоморфным некоторому подпространству прямой R
и, следовательно, сепарабельным.
Как и в построении множества Лузина, будем строить иско-
мое в смысле 3.8 множество L индукцией, избегая в ходе по-
строения все з. н. н. п. множества. Но поскольку L не может
быть подпространством прямой R, то у нас нет заранее дан-
ного упорядоченного множества, из которого можно выбирать
точки. В связи с этим мы должны по ходу построения индук-
§ 3. ПРИНЦИПЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
73
тивно определять также и порядок на точках пространства L.
При этом совершенно неважно, чем на самом деле являются
точки пространства А; для определенности возьмем в качестве
L множество <оь Теперь будем строить порядок < на «и, удов-
летворяющий требованиям 3.8.
Порядок < определяется шагами длины <о. В следующем
рассуждении аир пробегают совокупность всех счетных пре-
дельных ординалов. Индукцией по а мы определяем порядок
<]а на множестве а так, что:
(i)	Каждое < а является плотным линейным порядком без
конечных точек.
(ii)	Если а < р, то <|а = П(а X а).
Согласно (ii) каждый последующий порядок продолжает
предыдущий, a (i) означает, что каждое а с порядком <1а изо-
морфно совокупности Q всех рациональных чисел. Очень важ-
но, однако, каким образом одно упорядочение «вставляется»
в другое. Мы можем в качестве <]© взять любой порядок на .со,
изоморфный Q. Если ординал р пределен в ряду предельных
ординалов, что (ii) заставляет нас определить Ой = U <За*
р а<Р
Аналогично, положим < = U <1а; тогда coi с порядком <1
а<(01
удовлетворяет требованию (а) из 3.8. Осталось только лишь
уточнить это построение в переходе от <]р к <р+(0; это нужно
сделать так, чтобы обеспечить выполнение (Ь) и (с+).
С (с+) дело обстоит просто. Достаточно гарантировать, что
никакое р не будет плотным в coi (в смысле порядка <]). Пусть
<р уже построено. Пусть D$ есть какое-нибудь собственное де-
декиндово сечение в р в смысле <|р (иными словами, D$ есть
собственный начальный сегмент в р, не имеющий наибольшего
элемента). Строим <]р+со, помещая копию Q в Dp, т. е. упорядо-
чиваем ординалы Р + и (пе (о) изоморфно порядку Q и поме-
щаем их после всех ординалов из Dp, но перед всеми ордина-
лами из р — Dp. Тогда р не будет плотным в р + <о и поэтому,
конечно, не будет плотным и в соь
Теперь покажем, как с помощью подходящего выбора Dp
можно добиться того, чтобы <01 с порядком <1 удовлетворяло
(Ь). Идея состоит в использовании теоремы Бэра с целью избе-
жать все предварительно выписанные з. н. н. п. множества. Сна-
чала нужно посмотреть, что теорема Бэра дает для счетных
упорядоченных множеств вроде Q. Пусть К является з. н. н. п.
в Q, a D есть собственное дедекиндово сечение в Q. Будем го-
ворить, что D избегает К, если найдутся такие а и &, принадле-
жащие множеству Q, что а < b в Q, [а, 6]П/( = 0иа<О<
< Ь. Теперь из теоремы Бэра следует
74
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
3.9.	Лемма. Если Кп (п е со) есть з. н. н.п. в Q множе-
ство, то найдется собственное дедекиндово сечение D в Q, избе-
гающее каждое из множеств Кп-
Доказательство. Замыкания всех множеств Кп в R
являются з. н. н. п. в R. Поэтому найдется иррациональное х,
не принадлежащее ни одному из замыканий множеств Кп- В ка-
честве D берем сечение, определяемое этим х. □
Пусть теперь <Ла: а < coi> — последовательность, удовлет-
воряющая (*), существование которой утверждается принци-
пом О. Используя доказанную лемму, строим каждое D& так,
чтобы оно избегало все з. н. н. п. в 0 (в смысле <]р) множества
вида Да, где а < 0.
Таким образом, построение порядков <]$ индукцией по 0
закончено. Осталось проверить, что оно приводит к искомому
результату — выполнению требования (Ь) из 3.8.
Пусть множество К £ (Oi является з. н. н. п. в coi в смысле
<1. Тогда множество К А а не обязательно будет з. н. н. п. в а
для всех а, однако будет таковым для достаточного числа орди-
налов а < а>1. Чтобы увидеть это, рассмотрим такие функции /,
и Л, h': (of—>соь что для каждого gGcoi — К будет
f(£) <£<lg(l) И (f(g), g(l))f[K = 0 и для всех g<]r] будет
ft(t, ц), Л' (f, г]) е (5, п) > Л(£, ri)^ft и h'(l, i])eK всякий раз,
когда И (£,»])=/= 0. Согласно теореме 2.4 множество С = {а<
< «и: а — предельный ординал, замкнутый относительно f, g,
h, h'} будет з. н. о. Отметим, что если ее С, то замкнутость
относительно f и g означает, что К Л а замкнуто в а в смысле
< а, а замкнутость относительно h означает, что Д’ Л а является
н. н. п. в а.
Используя (*), фиксируем такое аеС, что /СЛ« = ^а-
Счетность К будет доказана, если мы сможем доказать К Е а.
А это вытекает из утверждения (i) следующей леммы:
3.10.	Лемма. Для всех предельных ординалов Р а вы-
полняется:
(i)	ft Л Р = Л'Л а»
(ii)	если уер— ft, то найдутся такие т] е а, что |<]
<у<г] и (е, п)П ft = 0 в g>i с порядком <|.
Доказательство проходит индукцией по р. Если р *=*
— а, то используем замкнутость а относительно f и g. Индук-
ция тривиальна на предельных шагах. Предположим теперь,
что 3.10 выполняется для р, и докажем эту лемму для р + со.
По индуктивному предположению для р множество Аа = Д Л Р
будет з. н. н. п. в р в смысле <]р; поэтому избегает Аа. Тем
самым найдутся такие принадлежащие р ординалы у, у', что
[у,?']ПЛЛР = 0, и каждый ординал p-f-n(ne<o) лежит в
(у, у'). Пусть ч, т]' < а — такие ординалы, существование
которых следует из (И), примененного соответственно к у и у'.
§ 4. ДЕРЕВЬЯ	75
Тогда (§, лЭПа = 0, откуда в силу замкнутости а относи-
тельно h' вытекает (£, т/)Г1 Д’= 0. Теперь свойства (i) и (ii)
для Р + (о немедленно следуют из того, что каждое (3 + п лежит
в интервале (§, rf). □
На этом мы закончим обсуждение АС, СН и О. Более пол-
ное обсуждение комбинаторных принципов, обобщающих <£>,
можно найти в гл. 5 или в книге Девлина и Юнсброте»
на [1].
§ 4.	Деревья
Индукция вдоль дерева является обобщением индукции по
ординалу и часто используется в комбинаторных рассуждениях.
Теоремы, доказанные в этом параграфе с помощью деревьев,
достаточно элементарны. Более глубокие результаты будут по-
лучены в § 6.
Несколько определений. Множество Т с частичным порядком
< называется деревом, если для каждого у е F совокупность
{х: х<у} вполне упорядочена порядком <. а-уровенъ Т есть
множество {у: {х\ х < у} имеет порядковый тип а}. Высотой Т
называется первый ординал а такой, что а-й уровень дерева Т
есть пустое множество; все более высокие уровни в этом случае
также будут пустыми, но все меньшие уровни непусты.
Т' называется поддеревом дерева Т, если Т' получается уда-
лением из Т некоторых ветвей, т. е. Т' s Т и Vy е T'Vx е Т
(х < !/->хеГ).
Для каждого ординала а и каждого множества А построим
полное А-арное дерево <аА высоты а: <аА = U {М: £ < а} .
Для sjs <аА положим s t, если и только если s = t Таким
образом, <аА — это дерево всех <«-последовательностей эле-
ментов множества А. Говоря о таких деревьях, мы будем ис-
пользовать запись зла (где seM, а е Л) для обозначения та-
кого	что Z|‘^ = s и t(l)==a; < > обозначает пустую
последовательность, a lh s = dom (s) (длина s); формально
< )—0 и sAa = $U {(lhs, a)}.
Дерево T, изображенное на рис. 5, является поддеревом
полного бинарного (2-арного) дерева высоты 3; Т имеет вы-
соту 3, т. е. три непустых уровня. 0-м, 1-м и 2-м уровнями
дерева Т являются соответственно множества {< >}, {<0>, <1>},
{<1, 0>, <1, 1>}. Заметим, что математическое дерево — это то,
что остается от настоящего дерева после того, как от него
отделить все ветки, корни, листья и ствол.
Ординал а образует тривиальный пример дерева высоты а;
его £-м уровнем будет множество {£}.
76
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Следующая теорема представляет простой пример использо-
вания индукции на дереве <й>2.
4.1.	Теорема. Если X является замкнутым непустым под-
множеством отрезка [0, 1] и не содержит изолированных точек,
то | X | = с.
Множество X, удовлетворяющее посылке теоремы 4.1, на-
зывается совершенным. Для доказательства теоремы сначала
отметим следующий факт:
4.2.	Лемма. Если множество X совершенно, то найдутся
непересекающиеся совершенные множества Хо, Xi s X.
Доказательство теоремы 4.1. Определяем совер-
шенное множество Xs (s е <“2) следующим образом: Х<> = Х;
, х если Xs уже построено, то в качестве
и берем какие-нибудь непере-
\ / секающиеся совершенные подмножества
\ / множества Xs. Для каждого f е “2 пола-
V/<\ гаем Xf = П Xf, . Если f пробегает мно-
\	/ жество “2, то множества Xf будут непу-
\	/	стыми (в силу компактности) и непересе-
\/	кающимися, и поэтому |Х|:> с. Наконец,
поскольку Х = |0, 1], то |Х| = с. □
рис 5	Очевидно, обобщением теоремы 4.1
с тем же самым доказательством яв-
ляется утверждение о том, что каждое компактное хаусдорфово
пространство без изолированных точек удовлетворяет неравен-
ству IX | с. Аналогичный результат, использующий индукцию
на дереве <Ш|2, представляет следующая
4.3.	Теорема (Чех — Поспишил). Если X есть компактное
хаусдорфово пространство, никакая точка которого не образует
О6-множество, то | X |	2“‘.
Такие пространства X будем называть глубоко совершен-
ными. Глубоко совершенные пространства не часто возникают
в обычной математике. Стандартные примеры: $N — N, единич-
ный шар пространства, дуального к пространству L°°(R) в сла-
бой топологии, и любое произведение несчетного числа ком-
пактных хаусдорфовых пространств, содержащих более чем по
две точки. Перед доказательством 4.3 докажем три легких лем-
мы о глубоко совершенном пространстве X.
4.4.	Лемма. Если Y s X является замкнутым G^-множе-
ством в X, то Y глубоко совершенно.
Доказательство. Если какая-нибудь точка у множе-
ства Y образует бб-множество в У, т. е. {у} = П С/„ПУ, то она.
п ею
§ 4. ДЕРЕВЬЯ
77
образует О6-множество и в X, так как {у} = П О Vn, где
HG(i)
Vn s X открыты и таковы, что Y = П Vn- □
п ею
4.5.	Лемма. Для каждого непустого открытого множества
U X найдется непустое замкнутое G^-множество Y U.
Доказательство. Фиксируем p^U. Индуктивно опре-
деляем открытое множество Vn, содержащее точку р, так, что
выполняется U з Vo з — Vi ~ V2 ... Теперь пола-
гаем n vn = П □
П€=Ш	Пе©
4.6.	Лемма. Существуют непересекающиеся замкнутые не-
пустые G^-множества Xo, Х\ X.
Доказательство. Берем два непересекающихся откры-
тых непустых множества и применяем 4.5. □
Доказательство теоремы 4.3. Определяем непустые
6д-множества Xs(s е<<012) следующим образом: Х<> = Х; если
Xs уже построено, то в качестве и берем непустые
непересекающиеся замкнутые 6д-подмножества множества Xs\
если ординал lh s пределен, то Xs=	а < Ihs}. Теперь
для каждого /е“'2 полагаем Xf= П А}и-Тогда множества
a <(Di
Xf(f&®' 2) будут непустыми и непересекающимися, и поэтому
Х|>2Ю1. □
Доказательство теоремы 4.3 без труда обобщается на сле-
дующее утверждение: если хаусдорфово компактное простран-
ство X таково, что каждая его точка имеет характер ^х, то
|X|	2х. Дополнительную информацию о приложениях де-
ревьев к топологии можно найти в гл.7 и в работе Юхаса [1].
Рассмотрим теперь некоторые вопросы, относящиеся к пу-
тям сквозь деревья. Называем Р путем сквозь дерево Т, если Р
линейно упорядочено порядком < на Т и содержит ровно по
одному элементу из каждого непустого уровня Т. Если Т имеет
высоту а и является поддеревом дерева <<дД то будем отож-
дествлять путь Р с такой функцией f: а->Д, что P = {f\%:
g<a}. Деревья вида <<ХЛ и все деревья непредельной высоты
тривиально имеют пути, но некоторые деревья не имеют пу-
тей. Например, фиксируем у^(ои положим Т = {$ е<<й у:
$(0) > $(1) > $(2) > ...}. Тогда Т имеет высоту со, но не имеет
путей, поскольку нет убывающих ^-последовательностей орди-
налов.
Для деревьев высоты со справедлива следующая
4.7.	Лемма (Кёниг). Если дерево Т имеет высоту со и
каждый уровень Т конечен, то найдется путь сквозь Т.
78
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Доказательство. Выберем такое xQ из 0-го уровня Г,
что множество {у^Т: у > х0} бесконечно; такой выбор возмо-
жен, так как Т бесконечно, а каждый уровень конечен. Далее,
индукцией по п выбираем хп (п е со) из n-го уровня дерева
Т так, что для каждого п выполняется хп+1 > хп и множество
{у^Т: у>хп+\} бесконечно. Множество {хп\ песо} будет пу-
тем сквозь Т. □
Очевидное обобщение леммы Кёнига на coi не проходит:
4.8.	Теорема. Существует такое дерево Т высоты coi, что
каждый уровень Т счетен, но нет путей сквозь Т.
Доказательство. Пусть S = {s е < °* со: S взаимно од-
нозначно} . Это S будет поддеревом дерева <й),со. Поскольку мно-
жества со и coi неравномощны, то не существует путей сквозь S.
Конечно, уровни S несчетны, и поэтому нужно выбрать подхо-
дящее поддерево дерева S. Если s, t е асо таковы, что множе-
ство {£: s (£)=/= t(%)} конечно, то пишем s ж t.
4.9.	Лемма. Найдется последовательность (sa: а < coi>
элементов дерева Т такая, что sa ж s$ f а всякий раз, когда
а < р.
Если лемма уже доказана, то дерево Т = (J {s е асо: s е
а <0)1
eS As & sa} удовлетворяет 4.8. Для доказательства 4.9 опреде-
лим sa индукцией по а, обеспечивая бесконечность разности
со — ran(sa). Тогда sa+i может быть любым взаимно однознач-
ным продолжением sa. Если же ординал у пределен и все
sa (a < у) уже построены, то выберем сначала последователь-
ность ординалов <уп: п е со>, возрастающую и сходящуюся к у.
Индукцией по п найдем такое s' е$, что s' « sm ипг<п->
уп ,	уп уп
-+s' = F Y™- Определим / = U . Наконец, подберем такое
уш	т	П Yn
sYsS, чтобы sY (£)=/(£) для всех £0{уп: песо} и чтобы
множество со—ran(sY) было бесконечно. □
Для любого регулярного кардицала х, к-деревом Ароншайна
называется всякое дерево высоты х, каждый уровень которого
имеет мощность меньше х и которое не имеет сквозных путей.
Тогда лемма Кёнига утверждает, что не существует со-деревьев
Ароншайна, в то время как 4.8 показывает, что coj-деревья
Ароншайна имеются. Доказательство 4.8 нетрудно обобщить
для построения х-дерева Ароншайна в случае, когда х = Х+,
кардинал X регулярен, и для всех кардиналов 0 < X выпол-
няется 2е X (в доказательстве аналога леммы 4.9 нужно обес-
печивать нестационарность множеств ran(sa)). В частности,
если выполняется обобщенная континуум-гипотеза GCH, то х-
деревья Ароншайна существуют для каждого кардинала х, еле-
§ 4. ДЕРЕВЬЯ
79
дующего за регулярным кардиналом. Для кардиналов, следую
щих за сингулярным кардиналом, этот вопрос остается откры-
тым в предположении GCH, хотя если выполняется аксиома
конструктивности V = L, то х-деревья Ароншайна существуют
и для таких х (Йенсен — см. гл. 5). С равенством с = со2 совме-
стимо отсутствие со2-деревьев Ароншайна (Митчелл [1]). Об-
суждение деревьев Ароншайна для сильно недостижимых кар-
диналов будет сделано в § 6.
Деревья очень тесно связаны с линейными порядками и
проблемой Суслина (см. § 3). Вообще, если дано дерево Т с
порядком <, то мы можем следующим образом получить ли-
нейное упорядочение <] всех точек дерева Т. Сначала предста-
вим Т нарисованным на доске, а не растущим из земли. Тогда
точки каждого уровня упорядочи-
ваются слева направо. Чтобы срав-
нить точки разных уровней, при-
жмем дерево Т вниз на планку для
мела (прижимаем только точки де-
рева, но не линии между ними, см.
рис. 6). Более формально, линей-
ный порядок <] на Т называется
сжатием частичного порядка <,
если справедливы следующие	рис. 6.
утверждения:
(а)	Если b и с принадлежат одному уровню дерева Г, b d,
с g и b <] с, то d <] g.
(b)	Если a <Z с <Z et то а <] с, если и только если а <] е.
Такой порядок < без труда строится индукцией по уров-
ням Т, однако он не является единственным; мы совершенно
свободны в устройстве порядка на точках, непосредственно сле-
дующих за какой-нибудь точкой х, и положение х относительно
этих точек также совершенно произвольно. Заметим, что если Т
является поддеревом дерева вида <а2, то лексикографический
порядок будет сжатием естественного порядка на Т.
4.10.	Теорема. Пусть кардинал к регулярен, множество
Т с порядком < является х-деревом Ароншайна, а <] есть сжа-
тие <. Тогда не существует строго возрастающих или строго
убывающих х-побледовательностей в Т в смысле <].
Доказательство. Пусть, напротив, <ха: а < х> есть,
к примеру, возрастающая последовательность. Для каждого
g < х выберем точку у% из g-ro уровня следующим образом.
Фиксируем такое а < х, что для всех Р > а точка х$ лежит
выше уровня g. Для каждого (3 > а через гр обозначаем эле-
мент g-ro уровня, лежащий под хр. Тогда последовательность
<гр: а < Р < х> будет неубывающей в смысле <], и тем самым
она в конце концов стабилизируется, сохраняя постоянное зна-
80
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
чение. Это значение и обозначим через у^. Теперь {у$: § < х}
есть путь сквозь Т — противоречие. □
Деревья Суслина являются весьма изящными деревьями
Ароншайна. Сжатое дерево Суслина становится (после незна-
чительного преобразования) континуумом Суслина. С другой
стороны, отправляясь от континуума Суслина, с помощью ме-
тода доказательства теоремы Чеха — Поспишила можно полу-
чить дерево Суслина.
Более формально, антицепью в Т называется такое множе-
ство А Г, что для любых различных х, i/еА будет х <£ у и
у х. Каждое х-дерево Ароншайна, не имеющее антицепей
мощности х, называется к-деревом Суслина. Справедлива
4.11.	Теор е м а. Континуум Суслина существует, если и
только если существует ^-дерево Суслина.
Доказательство. Пусть сначала Т с порядком < яв-
ляется (Oi-деревом Суслина. Достаточно построить плотный ли-
нейный несепарабельный порядок, удовлетворяющий у. с. ц., по-
скольку дедекиндово пополнение такого порядка (с удаленными
первым и последним элементами) окажется континуумом Сус-
лина.
Пусть < есть какое-нибудь сжатие порядка <. Порядок <|
удовлетворяет всем необходимым условиям, за исключением
того, что он может не быть плотным и не удовлетворять у. с. ц.
Чтобы обеспечить плотность, назовем точки х и у эквивалент-
ными (х ~ у), если между ними имеется не более чем счетное
число элементов в смысле <. Положим L = TI ~ с естествен-
ным отношением порядка, который также обозначим через <].
Пусть [х] есть класс эквивалентности точки х.
Построенное L, очевидно, плотно в себе. Чтобы проверить
у. с. ц. для L, предположим противное, т. е. существует несчет-
ное семейство F непересекающихся открытых интервалов в L.
Если ([х], [r/])e F, то между х и у имеется несчетно много
элементов из Т в смысле <. Это позволяет индукцией по а < ац
выбрать ха, уа, га так, что ([ха], [г/а])(= F, ха < га < г/а, уро-
вень га в Т выше уровней ха и ya, а уровни ха и уа в Т выше
уровня каждого гр, р < а. Теперь множество {га: а < (oj ока-
зывается несчетной антицепью в Т.
Докажем несепарабельность L. Пусть множество X L
Счетно. Выбираем ординал а < (Oi, превосходящий уровни всех
элементов классов эквивалентности, принадлежащих X. Если х
принадлежит а-му уровню дерева Т, то [х] и все классы экви-
валентности точек, лежащих над х в Т, определяют одно и
то же дедекиндово сечение в X. Поэтому не более чем два из
таких классов могут принадлежать замыканию X. Таким обра-
зом, замыкание X счетно.
§ 4. ДЕРЕВЬЯ
81
Построение дерева из континуума Суслина аналогично до-
казательствам 4.1 и 4.3. Пусть L с порядком < — конти-
нуум Суслина. Положим L' = L U {— °°, +°°} с очевидным
порядком; тогда L' будет компактным. Теперь индукцией по
se<(Ol2 определим замкнутые (возможно, вырожденные) интер-
валы [а5, b J s L' (as < 6S). Положим [а( >? b< >] = L' = [— оо, +оо].
Если as = bs, то положим 0,	= [а$ ч» = Если
же as < bs, то в качестве = возьмем какую-нибудь
точку из(а5, &5)и определим as~Q = as, bs~ j = bs, т. e. интервал
[as, 6J расщепляется на два смежных интервала. Если же
ординал Ihs пределен, то положим [«s’ M = n{[asbQ,
а < lh s).
Пусть T = {s *=<и'2: as < Z>s}. Тогда T будет поддеревом
дерева<и'2; проверим, что оно является (^-деревом Суслина.
Во-первых, для каждого psL мы можем выбрать функцию
fp: ю,—>2 так, что Va <	<= [afpha, &fpba])- Поскольку не
может быть строго убывающих (^-последовательностей интер-
валов, то должно существовать такое а, что at^a = bf^a — р.
Если а —наименьшее из таких, то положим sp = fp\a. Тогда
ординал lh (sp) пределен и для всех g < lh (sp) выполняется
sp Is g e T. Так как
(ri=Л\,(t} I < ihW),
то множество {ar. t &T}[){bt: t^T} будет плотным в L' и,
следовательно, несчетным. Поэтому и само Т несчетно. С дру-
гой стороны, каждая антицепь (и, следовательно, каждый уро-
вень) в Т счетна, так как если А — антицепь, то все интервалы
(as, bs), где se.4, попарно не пересекаются. Наконец, Т будет
деревом Ароншайна, поскольку любой путь сквозь Т порождает
строго убывающую ом-последовательность интервалов в L'. □
Согласно теоремам 3.8 и 4.11 принцип 0 обеспечивает су-
ществование а>гдеревьев Суслина. Такое дерево можно по-
строить также с помощью прямого применения 0.
Как раз это построение более полезно для обобщений на боль-
шие кардиналы (см. § 11 гл. 5).
Хотя в элементарной топологии континуум Суслина вызы-
вает более значительный интерес, дерево Суслина может быть
непосредственно использовано для построения различных то-
пологических пространств (см. Рудин [1]).
Более подробно о деревьях вообще см. Йех [1].
82
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
§ 5.	Почти дизъюнктные множества
Ясно, что со нельзя разбить на несчетное число непустых
попарно непересекающихся (дизъюнктных) множеств. Тем не
менее, если назвать множества я, у <== со, удовлетворяющие ус-
ловиям |я| = |у| = со и | х П у | < со, почти дизъюнктными, то
будет справедлива
5.1.	Теорема. Существует такое семейство з^^^(со),
«/то 1^1 = 2° и элементы семейства попарно почти дизъ-
юнктны.
Доказательство. Идея состоит в том, что любые два
различных пути сквозь полное бинарное дерево высоты со яв-
ляются почти дизъюнктными. Поскольку <й2 и со равномощны,
то будем строить	Для каждого f ^®2 положим
a,f = {f I" п\ п е со} и возьмем = {af: f “2}. □
Обобщения на большие кардиналы зависят от дополнитель-
ных аксиом. Если я, у^п таковы, что |я| = |у| = х, но | я Г)
П#|<х, то я, у назовем почти дизъюнктными. Чтобы повто-
рить приведенное выше доказательство, дерево <х2 должно
иметь мощность ровно х, а это не обязательно так. Известно,
что существование семейства, состоящего из 201 попарно почти
дизъюнктных подмножеств ординала coi, нельзя ни доказать, ни
опровергнуть в теории ZFC + 2“ = 2"1 == со3.
Метод доказательства теоремы 5.1 оказалось возможным
использовать и для доказательства утверждений о поведении
степеней сингулярных кардиналов. Теории ZFC не противоре-
чит утверждение о том, что функция степени ехр на регулярных
кардиналах может принимать любые значения, подчиняясь лишь
некоторым очевидным ограничениям (например,' утверждения
ехр (©) = ©*, ехр («>,) = ехр (а>2) = (оЮ1т + 35 и т. п. непротиворе-
чивы, см. статью Истона [1] или теорему 5.9 гл. 4). Но для
сингулярных кардиналов положение остается неопределенным.
Неизвестно, непротиворечиво ли утверждение о том, что GCH
впервые нарушается на кардинале (т. е. Vn < со (ехр (шЛ) =
= сои+1), но ехр (cow) cO(d+2) . Однако этого не может быть для
соФ1 в силу следующей теоремы:
5.2.	Теорема (Сильвер). Бели для всех а < coj выполняется
ехр((оа) = «)а+1, то exp(®J = ®ai+1.
Доказательство Сильвера включало метаматематические
идеи, лежащие вне материала этой главы. Мы изложим прямое
комбинаторное доказательство, найденное независимо Баум-
гартнером, Йенсеном и Прикры.
Следующая лемма является обобщением теоремы 5.1, хотя
в ней речь идет о почти дизъюнктных функциях,
§ 5. ПОЧТИ ДИЗЪЮНКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
83
5.3.	Лемма. Предположим, что ехр (<оа) = coa+i для всех
a < соь Тогда найдется такое &	(®ш,)> что:
(а) V/, g s F (f Ф g -> За < <охVP > a (f (0) =# g (0))).
(b)Vfe^Va<®1(f(a)<®e+1).
(с)|^-| = ехр(соШ1).
Доказательство. Для каждого a < ®1 зафиксируем би-
екцию <ра из (<оа) в ®а+1. Если X S то положим fx(a) =
= <ра (X П ®а). Теперь определим SF равенством = X =
s ® ). □
tol)
Попытаемся ограничить мощность 9Г. Если в (Ь) написать
f(a)<(oa, то искомое ограничение можно было бы получить
из леммы о сдавливании 2.3. Имеет место более общая
5.4.	Лемма. Пусть exp (coa) = coa+i для всех a < соь Пусть
также ST удовлетворяет 5.3 (а) и следующему условию',
(Ь') V/ е (множество {a: f (а) < соа} стационарно^.
Тогда \5Г 1^^.
Доказательство. Для каждого	определим /*:
(Oi -> (Oi так, что | f (a) | = (of*(a). Тогда множество {a: f* (а) < а}
стационарно, и поэтому, согласно 2.3, найдется такое Р/ < «и
и такое стационарное Sf (оь что Va е Sf (f* (a) = pf).
Мы имеем только сщ возможных значений величин Pf и (02
возможных значений величин Sf. Более того, для любых фик-
сированных р и S выполняется
0f = 0 и Sf = S)IC(«>e+1)<0,<®|}+2,
так как все функции вида ftS являются различными (по (а))
функциями из S в сор+ь Таким образом, I	□
Можно получить следующее обобщение доказанной леммы:
5.5.	Лемма. Пусть exp (®a) = <ва+1 для всех а < Юр Пусть
функция g:	такова, что Va(g(a) < ®а+1). Пусть, наконец,
семейство удовлетворяет 5.3 (а) и следующему условию:
(b") Vf е iF (множество {a: f (а) < g (а)} стационарно).
Тогда |	| < ®Ш1.
Доказательство. Для каждого a < ® 1 фиксируем
биекцию фа из g(a) в соа. Пусть f' (а) равно фа (/(а)) при
f(a,)<. g(a) и равно f(a) при f(a)^g(a). Теперь применим
лемму 5.4 к семейству {f': f е ^F}. □
Пусть теперь семейство SF таково, как в 5.3. Для заверше-
ния доказательства теоремы 5.2 достаточно установить равен-
ство l^’l = ®(Bl+i- Если f, g<=&’ различны и множество {а:
84
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
f(a)<g(a)} нестационарно (т. е. множество {a: g(a)<f(a)}
содержит з. н. о. подмножество), то будем писать g<Zf. Тогда
лемма 5.5 утверждает, что, каково бы ни было g^&~, неравен-
ство g < f выполняется для всех, за исключением не более чем
со элементов f семейства Тем самым мы можем индук-
цией по ц < соо) +1 выбрать	так, что будет
< fv. Положим =	g<fi*}- Из 5.5 следует равен-
ство	Н <®0)l+i}===^"» н0 снова из 5.5 вытекает
С Для каждого Это и дает | ST	□
л	Теорема 5.2 допускает следую-
щее обобщение:
5.6.	Теорема. Если со <
р	< cf (X) < X и множество {х < %:
ехр (х) = х+} стационарно в X, то
ехр (X) = Х+.
О дальнейших обобщениях см.
///Ж.	Галвин и Хайнал [1].
/п\	С почти дизъюнктными семей-
////	\\\\	ствами связано следующее понятие
// / /	\\\\	квазидизьюнктности. Если семейст-
/ /I \	\ \\\	во st таково, что для некоторого
/ /	\	\ \\\	фиксированного Ь равенство
< / I I	I	а(]а' = Ь выполняется для любых
ai	различных а, а' то говорят,
Рис. 7.	что семейство st квазидизъюнктно,
или образует Д-систему (см. рис. 7).
Это b называется корнем <s$. Следующая «лемма о Д-системах»
часто используется в топологии и комбинаторике.
5.7.	Теорема. Если st есть несчетное семейство конечных
множеств, то найдется несчетное квазидизъюнктное семейство
9&<=^st.
Доказательство. Поскольку существует только со ко-
нечных кардиналов, то мы можем предполагать, что все мно-
жества из st имеют мощность п для некоторого фиксирован-
ного п е со. Теперь проводим доказательство индукцией по п.
Для п = 1 теорема 5.7 тривиальна (корень b = 0). Пусть п =
= m + 1, где m 1. Рассмотрим два случая.
Случай 1: некоторый элемент р принадлежит несчетному
числу членов семейства st. Применим индуктивное предполо-
жение к семейству {а —{р}: a^st и р^ а}.
Случай 2: такого р нет. Индукцией по а < coi подберем аа <=
st так, чтобы аа Г1 ар = 0 для всех Р < а. Положим & =
= {аа: а < coj. □
Относительно обобщений теоремы 5.7 на другие кардиналы
см. Юхас [1].
§ 6. ПАРТИЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
85
Укажем одно из элементарных топологических приложений
теоремы 5.7. Говорят, что топологическое пространство X удов-
летворяет у. с. ц., если не существует несчетных семейств по-
парно непересекающихся непустых открытых в X множеств.
Пространство R" удовлетворяет у. с. ц. для всех п. Континуум
Суслина (если он существует — см. § 3) также удовлетворяет
у. с. ц., но его квадрат не удовлетворяет. Теории множеств не
противоречит утверждение о том, что любое произведение про-
странств, удовлетворяющих у. с. ц., также удовлетворяет у. с. ц.
(см. гл. 6). Следующая теорема показывает, что в этом вопросе
достаточно смотреть только на конечные произведения. Из нее
также следует у. с. ц. для пространств Rx при любом карди-
нале %.
5.8.	Теорема. Пусть Ц Xt есть произведение пространств
i&I
Xi, не удовлетворяющее у. с. ц. Тогда найдется такое конечное
b s I, что Ц Х( не удовлетворяет у. с. ц.
/е Ъ
Доказательство. Пусть множество {Va: a < ©J со-
стоит из попарно непересекающихся базисных открытых мно-
жеств в данном произведении. Каждое Va зависит лишь от ко-
нечного множества координат	Согласно 5.7 найдется
такое несчетное множество Т cdi, что семейство {аа: аеТ)
образует A-систему с корнем Ь. Через V* обозначим проекцию
Va на П Xt. Тогда все V*(aeT) попарно не пересекаются, и
поэтому П Xi не будет удовлетворять у. с. ц. □
§ 6.	Партиционное исчисление
Интуитивно, графом является любое множество точек про-
странства, некоторые из которых соединены линиями (рис. 8).
Формально пусть [Z]2 = {{х, у}-, х, у&1 и х =£у}. Тогда гра-
фом является такая пара <7, <§Г>, что <S [Z]2. Таким образом,
в графе на рис. 8А / = 4 и <^={{0,1}, {1,3}, {1,2}}. Граф
</',^Г'> называется подграфом графа </, <F>, если Г и <£' =
= <S П [/']2; поэтому граф А будет подграфом графа В. Полным
графом на / называется граф </, [/]2>, а пустым — граф </, 0).
Один из частных случаев конечного варианта теоремы Рам-
сея утверждает, что если граф имеет не менее шести точек, то
либо он содержит пустой трехточечный подграф (например,
{1, 4, 5} в графе В), либо содержит трехточечный полный под-
граф (например, {0, 1, 2} в графе Г). Граф Б показывает, что
это может быть не так для графов, содержащих лишь пять то-
чек. Мы предлагаем читателю проверить, что шести точек ока-
зывается достаточным.
86
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Рамсей доказал следующее общее утверждение: для каж-
дого / е со найдется такое is®, что если граф </,*?> имеет
по меньшей мере i точек, то у него есть либо пустой, либо пол-
ный подграф с j точками. Через /?(/) обозначаем наименьшее
из таких Z; тогда R(2) = 2 и R (3) = 6. К несчастью, мы не
имеем хорошей формулы для /?(/). С другой стороны, беско-
нечная комбинаторика, к счастью, оказывается более простой,
чем конечная: R((o) = co, и R для большинства остальных бес-
конечных кардиналов можно явно выразить в терминах карди-
нальной арифметики.
Все эти понятия могут быть обобщены двумя способами.
Во-первых, если о есть кардинал, то функция Р; [/]2->о
называется разбиением [/]2 на о частей. Это Р можно пред-
ставлять себе как раскраску ребер полного графа на / в одну
из а возможных красок. При этом графы в предыдущем смысле
можно рассматривать как разбиения множества [/]2 на две
части; например на рис. 8 в графе А ребра {0, 1}, {1,3}, {1,2}
раскрашены в черный цвет, а остальные три ребра — в белый
(и поэтому их не видно).
Во-вторых, можно рассматривать множества [I]n = {F^i:
|F| = n} и разбиения Р: [/]"->(?.
Если Р: [/]"-> а и множество Н<=1 таково, что функция Р
постоянна на [//]", то назовем Н однородным для Р. Обозначе-
ние Эрдёша х-> (X)" используется как сокращение следующего
утверждения: для каждого разбиения Р: [х]п->о найдется од-
нородное для Р множество Н х мощности X. В частности,
§ 6. ПАРТИЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
87
выполняется 6->(3)2, но 5у>(3)^. Заметим, что если x~>(X)g,
х'^х, X'<1Х, о'и и'^и, то х' ->(Х')£.
Конечный вариант теоремы Рамсея, который мы не будем
доказывать, утверждает, что для всех натуральных п, о, X най-
дется такое натуральное х, что х—>(Х)". Вопрос о том, насколь-
ко малым может быть х, все еще остается предметом многих
исследований (см. Эрдёш, Хайнал и Радо [1]). Ниже х
и X всегда будут бесконечными кардиналами. Эрдёш и Радо
[1] заметили, что	для любого х, и поэтому п всегда
будет конечным (если опустить аксиому выбора, то отношения
вроде х->(Х)£ могут быть непротиворечивыми, см. Клейн-
берг [1]).
Мы докажем, что для любых п, о и X найдется такое х, что
х->(Х)", и во многих случаях будет получена формула, даю-
щая наименьшее из таких х. Начнем со следующей теоремы.
6.1.	Теорема (Рамсей). co->(<o)g для любых п, оеш.
Первым нетривиальным случаем этой теоремы является
Доказательство 6.1 будет проведено после того, как мы об-
судим ситуацию для больших кардиналов, так как довольно
много результатов можно получить одним и тем же методом.
Если в 6.1 заменить со на coi, то теорема станет ложной.
Это показывает любое из утверждений (а), (Ь) следующей
теоремы (нужно взять х = со):
6.2.	Теорема. Для любого % выполняется:
(а)2к^(3)2„
(Ь)2х^(х+)|.
Доказательство. Для доказательства (а) отождест-
вим 2х с множеством всех функций из х в 2 и положим P({f, g})
равным наименьшему из таких ординалов а, что /(а)8/2 g(a)-
Перед доказательством (Ь) сначала докажем лемму.
6.3.	Лемма. Если х->(Х)2ц множество L с линейным по-
рядком < имеет мощность х, то найдется либо возрастающая,
либо убывающая ^-последовательность элементов L.
Доказательство. Пусть < есть произвольный пол-
ный порядок на L. Определим разбиение Р: [L]2-> 2 следую-
щим образом: Р({х, у})— 0, если и только если < и <| совпа-
дают на х, у. Теперь однородное для Р множество мощности X
дает искомую последовательность. □
Чтобы вывести (Ь) из леммы, достаточно построить упоря-
доченное множество мощности 2х, не имеющее возрастающих и
убывающих х+-последовательностей. Если х = <о, то подходит
88
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
еовокупность всех действительных чисел. В общем случае бе-
рем в качестве L упорядоченное лексикографически множество
всех функций из х в 2. Требуемые свойства этого множества
доказываются совершенно аналогично доказательству тео-
ремы 4.10. □
Если перейти в 6.2 к кардиналу (2х) +, то можно получить
положительный результат, именно (2Х)+ ->(х+)х. Вообще, опре-
делим ехр0(х) = х;ехрп+1(х) = 2ехРл(х). Тогда справедлива
6.4.	Теорема. (Эрдёш и Радо [2]). Для любого х
и любого п 1 выполняется (exprt-i (х))+ ->(х+)х.
Мы докажем эту теорему позже, но сформулируем здесь без
доказательства утверждение о том, что она дает наилучший
возможный результат. Доказательство может быть извлечено из
статьи Эрдёша, Хайнала и Радо [1].
6.5.	Теорема. Для всех п 1 справедливо:
(a) expn-i (х)т4(%+)2>
(Ь)ехрп_1(х)74(п + 2)"
В силу 6.4 для любых п, о и X найдется такое х, что х->(Х)д.
В некоторых случаях, например, когда X не пределен и о < X,
теоремы 6.4 и 6.5 дают наилучшее из таких х. Можно указать
наилучшее х и для большинства остальных случаев (см. Эрдёш,
Хайнал и Радо [1]), но результаты выглядят слишком скуч-
ными, чтобы их здесь приводить. Наиболее интересный вопрос:
может ли х равняться X? Первая нетривиальная возможность
х->(х)2 немедленно приводит к большим кардиналам.
6.6.	Теорема. Если х > со и х->(х)г» то кардинал к силь-
но недостижим.
Доказательство. В силу 6.2(b) для каждого Х<х
будет 2Кт4(Х+)2- В то же время поскольку Х+ х, то х->(Х+)1.
Таким образом, из X < х вытекает 2х < х. Предположим, чтох
нерегулярен, скажем, х= (J Л$, где все Л$ попарно не пере-
ча .
секаются, имеют мощность <х, и а < х. Определим разбиение
Р: [х]2->2, положив Р({х, г/}) = 0, если и только если х и у
принадлежат одному и тому же /Ц. Тогда Р не может иметь
однородное множество мощности х. □
На самом деле х->(х)2 влечет даже, что х является х-м по
счету сильно недостижимым кардиналом (см. § 7).
Теперь перейдем к рассмотрению полного спектра свойствз
х->(х)2, х->(х)| ит. д. К счастью, все они в сущности совпадают:
6.7. Теорема. Если %	(х)^, то х -> (х)£ выполняется для
всех п<® и о < х.
§ 6. ПАРТИЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
89
Мы должны теперь представить читателю три доказатель-
ства: 6.1, 6.4 и 6.7. Мы отложили их потому, что они настолько
похожи, что с одинаковым успехом могут быть сделаны одно-
временно. Сходство наблюдается в четырех моментах. Во-пер-
вых, все три теоремы доказываются индукцией по и. Во-вторых,
они тривиальны для п = 1.
В-третьих, все они используют понятие предоднородного
множества в осуществлении индуктивного шага. Пусть Р:
[0]п+1->а и /7^0. Множество Н называется предоднородным
(п. о.) для Р, если Р на [77]п+1 не зависит от последнего эле-
мента (п + 1)-ки, т. е. Р({%1, ...» хп, у}) — P({xi, хп, z})
всякий раз, когда xi < х2 < ... < хп, хп < у, хп < z и х\, ...
..., хп, у, г^Н. Если Н является п. о. для Р и Н не имеет
наибольшего элемента, то можно определить Q: [77]rt->a, по-
лагая Q({%i, ..., Xn}) = P({*i, ..., хп, у}) для некоторого
(любого) у^Н, превосходящего все ординалы х\, ..., хп. Если
множество К^Н однородно для Q, то оно будет однородным
и для Р. Тем самым существование большого п. о. множества
вместе с индуктивным предположением о разбиениях n-ок мо-
жет дать партиционное отношение для n+l-ок. Точнее, тео-
ремы 6.1, 6.4 и 6.7 доказываются индукцией с использованием
соответственно утверждений (а), (Ь), (с) следующей леммы:
6.8.	Лемма. Пусть п 1 Тогда-.
(а)	Если а < <о и Р: [<о]п+1 о, то существует бесконечное
п. о. множество для Р.
(Ь)	Если 0 > а<х и Р: [О]^1 -> а, то найдется п. о. множе-
ство для Р мощности %.
(с)	Если а < %, х—> (х)2 и Р: [х]п+1 -> а, то найдется п. о. мно-
жество для Р мощности х.
Заметим, что в доказательстве 6.4 утверждение (Ь) исполь-
зуется при 0 = (ехрл(х))+, % = (expn-i(x))+ и а = х. Утверж-
дение (Ь) применяется также для получения других партицион-
ных отношений, не покрывающихся сформулированными выше
теоремами. Например, если х строго недостижим, то х+->(х)а
для любого о < х (нужно взять 0 = х+ и Х = х). Вероятно,
целесообразнее помнить доказательство леммы 6.8 (оно следует
ниже), чем большое количество разрозненных на первый взгляд
партиционных отношений.
Четвертым моментом сходства наших доказательств являет-
ся то, что искомое п. о. множество строится по некоторому пути
сквозь подходящее дерево. В доказательстве 6.8 (а) исполь-
зуется лемма Кёнига 4.7 о том, что нет co-деревьев Ароншайна.
В доказательстве 6.8 (Ь) используются прямые мощностные со-
ображения. Наконец, доказательство 6.8(c) основано на сле-
дующей лемме Кёнига для х:
90
гл. з. комбинаторика
6.9.	Лемма. Если х -> (х)|, то нет и-деревьев Ароншайна.
Доказательство. По теореме 4.10 х-дерево Ароншайна
может быть сжато до линейного порядка мощности х, не имею-
щего возрастающих и убывающих х-последовательностей. Но
тогда, согласно 6.3, мы получим ху^х)2. □
Докажем теперь лемму 6.8 для случая п= 1. Общая кар-
тина такова: мы имеем разбиение Р: [0]2->а и хотим получить
п. о. множество мощности X. Будет определено дерево Т, яв-
ляющееся поддеревом полного о-арного дерева <ко. Также бу-
дет построена функция h: T-+Q, удовлетворяющая условию:
если f: К-^-а есть путь сквозь Т, то {h(j	является
п. о. множеством для Р, занумерованным в возрастающем по-
рядке. Кроме того, разбиение-Q, определяемое так, как указано
перед 6.8, будет связано с функцией f равенством Q({h(f [“
f £)}) = /(£). Поэтому Т окажется деревом возможных разбие-
ний Q, a h будет определять возможные п. о. множества для
элементов дерева Т.
Перейдем к деталям. Для каждого se<la определим
0 и A (s) G 0 следующим образом:
(0 а« »=е.
(ii)	Если Аф)=/=0, то h(s) является наименьшим элемен-
том множества A (s); в противном случае й(з)= 0 (второй слу-
чай несуществен).
(iii)	Если ординал lh з пределен, то А (з) = П{А (з f £): |<
< Ihs}.
(iv)	А (з» = A (s) fi {у > h(s): P({h(s), у}) = ц).
Пусть T — {s: А(з)=^0}. Если теперь функция f:
такова, что Vg<X(f^eT), то для всех £ < т) < X будет
/1(Ип)еА(И(а + 1)), и поэтому P({h(f№, й(Пг])}) = Н1).
Таким образом, множества {A (f Г S):	будет п. о. множе-
ством. Чтобы убедиться в существовании такой функции f, за-
метим, что если для всякого s е <ко ординал у < 0 не равен
А(з), то можно построить функцию f индукцией так, что уе
eA(f t £) для всех Такое построение осуществимо, поскольку
h (з) есть единственный элемент множества А (з), не принадле-
жащий множеству (J{А (з^ц): ц < а} и, таким образом, у <= A (з~р)
для некоторого (единственного) ц < а.
Это рассуждение приводит нас к желаемому результату в
случае, когда кардинал а<х меньше чем 9. Таким образом,
6,8 (Ь) доказано (при п=1). Что касается 6.8(a) и (с), то
здесь 0 = А и 0 есть либо «о, либо недостижимый кардинал, и
поэтому <т<х = 0, но а<а<0 для всех а<0. В этом случае
наше рассуждение показывает только, что рассматриваемое
§ 6. ПАРТИЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
91
дерево имеет высоту 0, так как для любого а < 0 мы можем
выбрать ординал у, не равный никакому h(s) при lh s < а, и
получить такое f длины а, что yeA(f). Таким образом, если
нет путей сквозь Т, то Т должно быть деревом Ароншайна. По-
этому 6.8(a) и (с) (для /2=1) следуют соответственно из
леммы Кёнига и леммы 6.9.
Чтобы доказать 6.8 для произвольного /2^1, мы будем
работать не с <хо, а с деревом всех возможных разбиений
n-ок. Для каждого К Л положим S£ = {$: s: [£]п->о}. Тогда
будет g-м уровнем дерева Sn = |Ж: &<*}, упорядочен-
ного так: s если и только если sst. При п = 1 дерево
3" можно отождествить с <ка.
Пусть Р: [6]"+1 -> а — данное разбиение. Для каждого seS"
определим h (s) е 0 и A (s) s 0 так:
(1)Д(0) = 0.
(ii) h (s) есть наименьший элемент множества A (s), если
A(s)^=0; если же A(s) = 0, то h(s) — Q.
(iii) Если ординал i] пределен и seS^, то A (s) = nU(s t ir)=
£<n}.
Оу)Если sgS^, / е 3£+1 и то Д(/) = Д($)П{у > h(s):
VF е [g + l]n (P (h (F) U {YJ) = i (P)))-
В записи (iv) h(F) означает {h(t [“ [r]i]n)» h(t ['['Пг]”). •••
.... h(t	где F= {t)i, ..., т]п). После этих определений
доказательство для произвольного п проходит совершенно ана-
логично доказательству для п = 1. □
Таким образом, доказана лемма 6.8 и теоремы 6.1, 6.4 и 6.7.
Более внимательный просмотр рассуждений, относящиеся к
6.7, показывает, что фактически доказана
6.10. Теорема. Пусть х (о. Тогда следующие четыре
утверждения эквивалентны:
(i)x->(x)2.
(п)Для всех п<а> и а<х выполняется х->(х)"_
(iii) х сильно недостижим и нет n-деревьев Ароншайна.
(iv) В каждом линейно упорядоченном множестве мощно-
сти х найдется возрастающая или убывающая и-последователь-
ность.
Доказательство. (ii)->(i) тривиально. (i)->-(iv) есть
лемма 6.3. Доказательство 6.9 обеспечивает (iv)->-(iii), если
только мы докажем, что (iv) влечет сильную недостижимость х.
Чтобы проверить это, вернемся назад к доказательству 6.6. До,
казательство того, что из X < х следует 2х < х, остается тем же.
92
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Если х нерегулярен, то мы могли бы, следуя обозначениям 6.6,
определить порядок <] на и следующим образом: х < у, если
либо х < у п х, у принадлежат одному и тому же Л$, либо же
х е Л*, у е и £ > т). Тогда в х не может быть возрастающих
или убывающих в смысле <] х-последовательностей. Наконец,
наше доказательство теоремы 6.7 позволяет установить (iii)—>
□
Работа Эрдёша, Хайнала, Мате и Радо [1] со дер -
жит еще k теорем о партиционном исчислении.
§ 7.	Большие кардиналы
Математики часто играют в следующую детскую игру: иг-
роки по очереди называют числа с целью превзойти число со-
перника. Это является игрой скорее в психологическом, чем в
формальном смысле, так как я могу всегда добавить единицу
к числу соперника. Однако моей целью будет попытка пол-
ностью подавить соперника, превзойдя его число с помощью ка-
кого-то совершенно нового принципа. Таким образом, последо-
вательность ходов может быть такой:
я: 17,
противник: 1 295 387,
я: Ю10'0»
противник: со,
я: ш(%)>
Следующие этапы этой игры, являющиеся предметом рас-
смотрений этого параграфа, основаны на различных свойствах
недостижимости. Мы будем проводить здесь различие между
слабыми и сильными свойствами. Например, кардинал х назы-
вается (слабо) предельным, если Х+ < х всякий раз, когда
X < х, и он называется сильно предельным, если 2х < х всякий
раз, когда X < х. Кардинал х называется слабо недостижимым,
если он регулярен, пределен и >со; кардинал х называется
сильно недостижимым, если он регулярен, сильно пределен и
>(о. В предположении GCH слабые и сильные свойства совпа-
дают, но непротиворечиво предположение о том, что существует
слабо недостижимый кардинал <2°, если существование ка-
кого-нибудь недостижимого кардинала не приводит к проти-
воречию.
После того как противник назвал первый недостижимый
кардинал, с моей стороны было бы не очень большой хитростью
§ 7. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
93
назвать второй недостижимый, поэтому взамен я назову пер-
вый гипернедостижимый кардинал. Кардинал х называется
(слабо/сильно) гипернедостижимым кардиналом, если он регу-
лярен и является пределом слабо/сильно недостижимых кар-
диналов. Понятие гипергипернедостижимости и т. д. будет после
этого очевидным, и поэтому противнику придется использовать
первый кардинал /Чало.
Кардинал х называется слабо /Мало кардиналом, если х > со
регулярен и совокупность всех регулярных кардиналов <х ста-
ционарна в х. Кардинал х называется сильно Мало кардина-
лом, если он слабо Мало и сильно недостижим.
7.1.	Лемма. Если х является (слабо/сильно) Мало, то
множество {а < х: а (слабо/сильно) недостижим} стационарно
в х.
Доказательство. Заметим, что множество {а < х: а
(слабо/сильно) пределен} является з. н. о. в х, а пересечение
з. н. о. множества и стационарного множества стационарно. □
Теперь легко видеть, что в 7.1 мы можем заменить «недо-
стижим» на «гипернедостижим» или «гипергипернедостижим».
Далее возникает понятие кардинала гипер-Мало, получаю-
щееся, когда мы потребуем, чтобы множество всех кардиналов
Мало до х было стационарным в х, а затем и очевидный пере-
ход к гипергипер-Мало, и т. д. В этой ситуации я полностью
уничтожу противника, назвав первый слабо компактный кар-
динал.
Кардинал х называется слабо компактным, если х > со и
х—>(х)2. В 6.10 мы получили различные комбинаторные утверж-
дения, эквивалентные этому определению. Оно также эквива-
лентно различным логическим предложениям, включающим ин-
финитарные формулы длины <х (см., например, Б ар вайе
[!])•
Сразу не очевидно, что слабая компактность является свой-
ством больших кардиналов, хотя мы знаем (6.6), что она вле-
чет сильную (!) недостижимость (к несчастью, «сильная ком-
пактность» употребляется совсем в другом смысле, см. добав-
ление или Дрейк [ 1 ]). Однако справедлива
7.2.	Теорема. Если кардинал к слабо компактен, то к яв-
ляется сильно гипергипер-Мало.
Сначала удобно доказать следующую теорему:
7.3.	Теорема. Если кардинал х слабо компактен, а мно-
жество S х стационарно, то найдется такой регулярный кар-
динал % < х, что S П X стационарно в %.
Чтобы получить 7.2 из 7.3, применим сперва 7.3 к произволь-
ному з. н. о. множеству S ^х, Получим регулярный кардинал
X е S; поэтому х является сильно Мало. Далее, пусть Si =
= {Х<х: X сильно недостижим}. Каково бы ни было з. н. о.
94
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
Csx, мы можем применить 7.3 к множеству S = CTlSi и по-
лучить такой регулярный кардинал Z е С, что Si П стацио-
нарно в % (т. е. % является сильно Мало). Итак, совокупность
сильно Мало кардиналов <х стационарна в х. Теперь мы мо-
жем заменить Si на S2 = {А, < х: X сильно Мало} в предыду-
щем рассуждении, и доказать, что х будет сильно гипергипер-
Мало.
Доказывая 7.3, мы можем предполагать, что S состоит толь-
ко из бесконечных кардиналов. Пусть f: и ->х — возрастающая
взаимно однозначная функция, перенумеровывающая S. Поло-
жим Т = {s е <хх: s — биекция и V£ < lh s (s (£) < f (£))}.
Это T является поддеревом дерева <хх. Если бы высота Т
равнялась х, то Т было бы х-деревом Ароншайна, так как лю-
бой путь сквозь Т порождает взаимно однозначную сдавливаю-
щую функцию на S, что противоречит 2.3. С другой стороны,
в силу 6.10 не существует х-деревьев Ароншайна. Поэтому 7.3
следует из такой леммы:
7.4.	Лемма. Пусть А является таким множеством беско-
нечных кардиналов, что для любого регулярного % множество
А П % не стационарно в %. Тогда существует взаимно однознач-
ная функция g, определенная на множестве А и удовлетворяю-
щая неравенству g(a) < а при любом а е А.
Доказательство. Обозначим у = sup (А) и предполо-
жим, что 7.4 справедливо для всех А' с меньшим sup. Имеем
три случая:
Случай 1: кардинал у непределен. Этот случай тривиален.
-Случай 2: кардинал у сингулярен. Пусть 0 = cf(y), ь
<бц: ц < 0> является непрерывно возрастающей конфинально*
в у последовательностью, причем каждое бц — кардинал i
60 >0.
Пусть gu:	удовлетворяет 7.4. Определим g:
следующим образом:
g(a) =
go (а) + 1, если а < So,
6ц + ^+1(«), если дц<а<б(1+1,
® • р, если а = бм>.
Случай 3: кардинал у регулярен и пределен. Действуем ан
логично случаю 2 (с 0 = у), но обеспечиваем бц^А для вс*
р. □
Можно было бы предполагать, что заключение теоремы 7.3
эквивалентно слабой компактности, но это оказывается неопро-
вержимым (Йенсен, см. теорему 14.2 гл. 5) и недоказуемым
(Кюнен [2]) в теории ZFC + GCH (см. § 3 гл. 3).
Слабо компактные кардиналы являются началом, а не кон-
цом теории больших кардиналов. Эта игра продолжается уже
ДОБАВЛЕНИЕ. ЧРЕЗВЫЧАЙНО БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ	95
на значительно более высоких уровнях (см. Сильвер [1],
Шенфилд [1], Соловей, Рейнгардт и Канамори
[1]). Необходимо отметить, что можно ошибочно назвать несу-
ществующее число. Уже было несколько случаев, когда правдо-
подобные предположения о больших кардиналах оказывались
противоречащими теории ZFC (Кюнен [1]). Противоречи-
вость слабо компактных кардиналов не установлена. Однако
возможно сама ZFC противоречива.
Добавление1). Чрезвычайно большие кардиналы
Задаваясь каким-нибудь свойством Р кардиналов х, мы ис-
следуем, будет или не будет выполняться Р(х) для некоторых,
большинства или всех кардиналов х. В этой главе обсуждались
результаты именно такого рода, в которых Р есть какое-то ком-
бинаторное свойство. Иногда обнаруживалось, что некоторое
комбинаторное свойство, как, например, х-*(х)2» встречается
чрезвычайно редко, поскольку наименьшее х, удовлетворяющее
Р(х), невероятно велико: настолько велико, что мы даже не
можем доказать с помощью обычных аксиом теории множеств,
что найдется кардинал х, удовлетворяющий Р(х). В таких слу-
чаях предложение «существует кардинал х такой, что Р(х)> на-
зывают гипотезой большого кардинала, по крайней мере до тех
пор, пока оно не опровергнуто.
Для всех гипотез больших кардиналов, рассмотренных в § 7
этой главы, можно предложить более или менее удовлетвори-
тельное обоснование, следуя идеям, изложенным в конце гла-
вы 1, — удовлетворительное во всяком случае настолько, что,
пожалуй, никто не ожидает, что эти гипотезы будут опроверг-
нуты.
Существуют, однако, другие, более проблематичные гипо-
тезы больших кардиналов. Для них до сих пор нет удовлетво-
рительного обоснования. Тем не менее они далеки от того, чтобы
быть опровергнутыми, и приводят к построению чрезвычайно
красивых теорий. Исследования в этом направлении очень полно
представлены в литературе, и поэтому мы только наметим ос-
новные направления и укажем соответствующие источники из
списка литературы.
Две гипотезы больших кардиналов можно рассматривать
как непосредственные усиления слабой компактности. Это ги-
потеза кардинала Рамсея и невыразимого кардинала. Через
обозначим следующее утверждение: каково бы ни
было семейство <РП: п е со> разбиений Рп‘. [х]п->а, найдется
множество #£х мощности X, однородное для каждого разбие-
9 Добавлено редакторами английского издания книги.
96
ГЛ. 3. КОМБИНАТОРИКА
ния Рп. Кардиналом Рамсея называется такой кардинал х, что
х-> (х)^®; последнее условие эквивалентно х—^х)^® для всех
о < х. Далее, через x->(stat)o обозначим следующее утверж-
дение: для каждого разбиения Р: [х]Л->о найдется стационар-
ное однородное для Р множество Я £х. Невыразимым назы-
вается такой кардинал х, чтох—>(stat)2; утверждение х—>(stat)2
эквивалентно x->(stat)^ для всех о < х, но строго слабее, чем
х-> (stat):* (Баумгартнер [1]).
Конечно, каждый невыразимый кардинал или кардинал Рам-
сея х будет слабо компактным. Кроме того, множество всех
слабо компактных кардиналов до такого х стационарно в х.
Первый кардинал Рамсея не является невыразимым, но невы-
разимые кардиналы образуют стационарное множество в лю-
бом кардинале Рамсея.
Существование невыразимого кардинала не противоречит
аксиоме конструктивности V = L Гёделя, в то время как су-
ществование кардинала Рамсея влечет счетность множества
^(со)ПЬ (см. Сильвер [1]). Оно также позволяет доказать
измеримость по Лебегу каждого 2^-множества действитель-
ных чисел, в то время как это утверждение ложно в L (см.
гл. 8).
Свойство, приводящее к еще большим кардиналам, — изме-
римость— исторически мотивировано проблемой совсем иного
рода: может ли существовать счетно полный ультрафильтр.
Кардинал х > со называется измеримым, если существует х-пол-
ный неглавный ультрафильтр на х. Существование измеримого
кардинала эквивалентно существованию счетно полного неглав-
ного ультрафильтра на любом множестве. Если х измерим, то
он невыразим и является кардиналом Рамсея, причем множе-
ство всех кардиналов до х, удовлетворяющих этим обоим свой-
ствам, стационарно в х.
В главе 3 «Теории моделей» рассматриваются ультрасте-
пени. Многие из свойств измеримых кардиналов доказаны ме-
тодом Скотта, состоящим в использовании ультрафильтра на х
для построения ультрастепени универсума всех множеств. Из-
ложение этого материала, данное Шенфилдом [1], остается
наилучшим.
Аксиомы существования еще больших кардиналов полу-
чаются постулированием ультрафильтров некоторых специаль-
ных видов. Например, кардинал х сильно компактен, если каж-
дый х-полный фильтр на любом множестве может быть рас-
ширен до х-полного ультрафильтра. Соловей [2] доказал,
что если кардинал х сильно компактен, то GCH выполняется
на всех сингулярных сильно предельных кардиналах выше х.
ЛИТЕРАТУРА
97
Известно (Леви и Соловей [1]), что существование
измеримого кардинала не влечет ни СН, ни отрицание СН.
Пока остается открытым следующий вопрос: могут ли карди-
налы вроде сильно компактного давать что-нибудь интересное
для дескриптивной теории множеств, скажем, измеримость по
Лебегу всех ^-множеств действительных чисел.
ЛИТЕРАТУРА
Банах, Тарский (Banach S., Tarski А.)
1. Sur la decomposition des ensembles de points en parties respectivement
congruentes. — Fundam. math., 1924, 6, p. 244—277.
Б a p в а й c (Barwise J.)
1. Admissible Sets and Structures. — Berlin: Springer, 1975.
Баумгартнер (Baumgartner J.)
1. Ineffability properties of cardinals I. — In: Coll. Math. Soc. Janos Bo-
lyai 10, Infinite and finite sets. Keszthely, 1973, p. 109—130.
Галвин, Хайна л (Galvin F., Hajnal A.)
1. Inequalities for cardinal powers. — Ann. Mat., 1975, 101, p. 491—498.
Девлин, Юнсбротен (Devlin К., Johnsbraten H.)
1. The Souslin Problem. — Berlin: Springer, 1974.
Дрейк (Drake F.)
1. Set Theory, an Introduction to Large Cardinals. — Amsterdam: North-
Holland, 1974.
Истон (Easton W.)
1. Powers of regular cardinals. — Ann. Math. Logic, 1970, 1, p. 139—178.
Йех (Jech T.)
1. Trees. — J. Symbolic Logic, 1971, 36, p. 1—14.
Клейнберг (Kleinberg E.)
1. Strong partition properties for infinite cardinals. — J. Symbolic Logic,
1970, 35, p. 410—428.
Кюнен (Kunen K.)
1. Elementary embeddings and infinitary combinatorics. — J. Symbolic Logic,
1971, 36, p. 406—413.
2. Saturated ideals. — J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 1, p. 65—76.
Леви. Соловей (Levy A., Solovay R.)
1. Measurable cardinals and the continuum hypothesis. — Israel J. Math.,
1967, 5, p. 234—248.
Лузин H. H.
1. Sur un probleme de M. Baire. — C. r. Acad. Sci. Paris, 1914, 158,
p. 1258—1261. [Русский перевод: Об одной проблеме Бэра. — В кн.:
Лузин Н. Н. Собр. соч., т. II. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 681—683.]
Митчелл (Mitchell W.)
1. Aronszajn trees and the independence of the transfer property. — Ann.
Math. Logic, 1972, 5, p. 21—46.
Рудин (Rudin M. E.)
1. Lectures on Set Theoretic Topology. — Providence, R. L, 1975.
Сер п ински й (Sierpinski W.)
1. Hypothese du Continu. — Chelsea, N. Y., 1934. 2 ed. — Chelsea, N. Y.,
1956.
Сильвер (Silver J.)
1. The bearing of large cardinals on constructibility. — In: Studies in Mo-
del Theory, MAA Studies in Math., 8. Buffalo, N. Y., 1973, p. 158—182,
Соловей (Solovay R.)
1. Real-valued measurable cardinals. — In: AMS Proc. Symp. Pure Math.,
13, part 1. Providence, R. I, 1971, p. 397—428.
4 Справочная книга, ч. IT
98
ГЛ. 3. комбинаторика
2. Strongly compact cardinals and the GCH. — In: AMS Proc. Symp. Pure
Math.. 25, Providence, R. I., 1974, p. 365—372.
Соловей, рЧйнгардт, Кана мори (Solovay R., Reinhardt W., Kana-
mori A.)
1. Strong axioms of infinity and elementary embeddings. — Ann. Math. Lo-
gic, 1978, 13, № 1, p. 73—116.
У л а м (Ulam S.)
1. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre. — Fundam. math., 1930,
16, S. 140—150.
X а л м о ш (Halmos P.)
1. Naive Set Theory. — N. Y.: Van Nostrand, 1960.
Шенфилд (Shoenfield J.)
1. Measurable cardinals. — In: Logic Collegium 69/Ed. Gandy R. D. and
Yates С. M. E. Amsterdam: North-Holland, 1971, p. 19—49.
Эрдёш, Радо (Erdos P., Rado R.)
1. Combinatorial theorems on classifications of subsets of a given set.—
Proc. London Math. Soc., 1952, 2(3), p. 417—439.
2. A partition calculus in set theory. — Bull. Amer. Math. Soc., 1956, 62,
p. 427—489.
Эрдёш, Хайна л, Радо (Erdos P., Hajnal A., Rado R.)
1. Partition relations for cardinal numbers — Acta Math. Acad. Sci. Hun-
gar„ 1965, 16, p. 93—196.
Эрдёш, Хайна л, Мате, Радо (Erdos Р., Hajnal A., Mate A., Rado R.)
1. Combinatorial Set Theory: Partition Relations for Cardinals. — 1977.
Ю x a c (Juhasz I.)
1. Cardinal Functions in Topology. — Amstredam: Mathematisch Centrum,
1971.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Абрамсон, Харрингтон, Клейнберг, Цвиккер (Abramson F.,
Harrington L., Kleinberg E., Zwicker W.)
1. Flipping properties: a unifying thread in the theory of large cardinals.—
Ann. Math. Logic, 1977, 12, p. 25—58.
Клейнберг (Kleinberg E.)
1. Infinitary Combinatorics and the Axiom of Determinateness. — Berlin:
Springer, 1977.
Книга Клейнберга [1] содержит полное исследование комбинаторики
в теории множеств с аксиомой детерминированности. Статья Абрамсона
и др. [1] дает изложение теории больших кардиналов с помощью флип-опре-
делений. Оказывается, что большие кардиналы, имеющие довольно разнород-
ные классические определения, получают «однородные» определения в тер-
минах флипов.
Добавленная при переводе литература содержит обширную библиогра-
фию по вопросам комбинаторики. — Прим, перев.
Глава 4
ВЫНУЖДЕНИЕ
Джон П. Берджес
СОДЕРЖАНИЕ
§ 0.	Введение .....................................................99
Добавление. Некоторые определения.............................102
§ 1.	Анализ моделей теории множеств...............................104
§ 2.	Вынуждение...................................................109
§ 3.	Континуум-гипотеза...........................................118
§ 4.	Полезные комбинаторные принципы..............................127
§ 5.	Однократное расширение вместо двукратного....................139
§ 6.	Аксиома Мартина..............................................147
Литература ...................................................156
§ 0. Введение
Коэн [1] доказал, что, добавляя отрицание ПСН конти-
нуум-гипотезы СН к аксиомам теории множеств, мы не полу-
чим противоречия, если сами эти аксиомы непротиворечивы.
Как говорят логики, ~1СН совместимо с аксиомами теории
множеств, или непротиворечиво относительно этих аксиом. По-
скольку вся классическая математика основана на этих аксио-
мах, то маловероятно, что в них удастся найти противоречие.
Таким образом, результат Коэна исключает возможность опро-
вержения ~1СН (т. е. доказательства СН) в обычном матема-
тическом смысле. Так как Гёдель [1] еще раньше исключил
возможность опровергнуть СН (это обсуждается в гл. 5 о кон-
структивности), то ни положительное, ни отрицательное реше-
ние проблемы континуума не может быть дано в рамках клас-
сической математики.
Метод Коэна, называемый вынуждением (форсингом), с тех
пор был использован для доказательства (относительной) не-
противоречивости различных гипотез трансфинитной арифме-
тики, инфинитарной комбинаторики, общей топологии, теории
меры, топологии действительно прямой, универсальной алгебры
и теории моделей. Мы надеемся представить этот метод в виде,
доступном для читателя, неискушенного в логике и имеющего
минимальные знания о теории множеств (в рамках, например,
4*
100
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
книги Халмоша [1]). Наше изложение метода вынуждения
сопровождается доказательствами непротиворечивости некото-
рых принципов, часто используемых в настоящей книге.
Аксиомами теории множеств мы называем аксиомы Церме-
ло— Френкеля, включающие аксиому выбора (ZFC). (См. гл. 1.
В книге Халмоша [1] в сущности используется теория ZFC.)
Точное знание аксиом не является обязательным. Однако обя-
зательной является вера в то, что вся классическая математика
следует из этих аксиом. Основные определения, относящиеся
к кардиналам и ординалам, собраны в добавлении к этому
параграфу.
Непротиворечивость неевклидовой геометрии была доказана
построением моделей для нее. Аналогично модели участвуют в
доказательствах непротиворечивости методом вынуждения. Оп-
ределение модели теории ZFC требует некоторых предваритель-
ных определений.
0.1. Формальные символы теории множеств. Для работы с
множествами вводится некоторая формальная символика:
Переменные для множеств х, у, z, ...
Логические знаки “| (не),
А (и), V (или),
-►(если ..., то ...),
<-*(если и только если).
Кванторы V (для каждого), Э (существует).
Знак равенства = .
Знак принадлежности е.
Используются также круглые скобки.
Примеры. С помощью этой символики мы можем выра-
зить (у есть подмножество множества х) так:
(i)	Vz (ze#-*z<=x).
Далее, равенство w — ^fx) (степень, или множество всех
подмножеств множества х) можно выразить следующим обра-
зом:
(ii)	Vy (у <= w «-► Vz (г е= у -* z €= х)).
Наконец, утверждение о том, что ^(х) существует для каж-
дого множества х, выражается так:
(iii)	УхЭоЛ7г/(г/ е w *-* Vz (z е у-+ ге х)).
Это одна из аксиом теории ZFC.
0.2. Определение (синтаксис). Последовательность фор-
мальных символов, которая соответствует предложению рус-
ского1) языка и не является пустым выражением или бессмыс-
*) В оригинале — английского. — Прим, перед.
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
101
ленной комбинацией знаков, является (правильно построенной)
формулой. Таким образом, записи 0.1 (1) — (iii) являются фор-
мулами, в то время как следующая запись формулой не яв-
ляется:
Mz (z е у -> Д V Эх)у = .
Вхождение переменной х в формулу <р называется свобод-
ным, если она не является частью никакой подформулы ф, на-
чинающейся с Vx или Эх. Таким образом, в 0.1 (i) переменные
х и у свободны. В 0.1 (ii) х и w свободны, а у и z нет. Фор-
мула 0.1 (iii) вообще не имеет свободных переменных. Такие
формулы называются замкнутыми формулами или предложе-
ниями. (Более строгие определения см. в §§ 2 и 3 гл. 1 «Теории
моделей».) Ниже в § 1 будут указаны другие примеры пере-
вода русских предложений на язык формальной символики.
Надеемся, что читатель поверит в возможность выражения даже
таких утверждений, как СН, в виде замкнутой формулы.
0.3. Определение (семантика). Множество а называет-
ся транзитивным, если всякий раз, когда b ед и с е Ь, мы
имеем се а, или, эквивалентно, если каждый элемент множе-
ства а является подмножеством а. Пусть множество М тран-
зитивно, а формула q> замкнута. Будем говорить, что q> истинна
внутри М, и писать М )= <р, если <р становится истинной, когда
мы будем истолковывать кванторы Vx и Эх в ф не буквально,
т. е. «для всех множеств х» и «для некоторого множества х»,
а относительно, т. е. «для всех хеЛ4» и «для некоторого хе
еМ», Если формула <p(xi, ..., хл) имеет свободные перемен-
ные Xi, ..., х„ и множества Дь .... а„ принадлежат М, то бу-
дем писать М |= ф(аь ..., ап), если ф становится истинной при
вышеуказанном понимании кванторов и замене переменных
Xi....х„ множествами дь ..., ап соответственно.
Пример. Пусть <р(х,у) есть формула 0.1 (i), выражаю-
щая у s х. Тогда М |= ф (а, Ь), если и только если для каждого
с&М из с^Ь следует сед. Поскольку в силу транзитивности
М содержит все се А, то это означает, что все с е b удовлет-
воряют сед, т. е. b s а. Таким образом, в этом случае М (=
|=ф(д, Ь), если и только если ф(д, Ь) на самом деле истинно.
Пусть теперь ф(х, w) есть формула Vy(z/e да*->ф(х, у)),
выражающая равенство ш = ^’(х). Тогда Л1|=ф(д, d), если и
только если для всех Ь^М мы имеем: b^.d, если и только
если М^=ф(д, 6), т. е. b s а. Поскольку все b <= d принадле-
жат М, то это означает, что все бе d являются подмноже-
ствами д, а все подмножества д, которые принадлежат М, бу-
дут принадлежать и d, т. е. d = ^(д)П-М- Но так как вовсе не
обязательно, чтобы все подмножества множества д принадле-
жали М, то мы можем получить Л4^=ф(д, d), в то время как
102
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
ф(а,б/) на самом деле ложно, т. е. d = ^(а)ПМ Ф&(а). Ак-
сиома степени УхЭшф(х, w) истинна в М, если всякий раз,
когда а&М, найдется такое d&M, что М |= ф(а, d), или, что
то же самое, если из а ® М следует £Р(а)(]М М.
Моделью теории ZFC называется такое транзитивное мно-
жество, внутри которого истинны все аксиомы ZFC. Сокраще-
ние СТМ расшифровывается как счетная транзитивная модель
ZFC. Везде ниже предполагается, что СТМ существует. Мы
покажем, что это предположение влечет существование такой
СТМЛ4, что М[=~]СН. С помощью одного из нескольких из-
вестных логикам приемов доказательство этой импликации мо-
жет быть превращено в доказательство того, что если в ZFC
нет противоречия, то его не будет и в ZFC + ПСН. Это как раз
и есть упомянутый выше результат об относительной непроти-
воречивости. (Указание. Нужно использовать теоремы ком-
пактности, отражения и Лёвенгейма— Скулема, см. также
Коэн [1], гл. IV, § 11.)
Могло бы показаться (цитируем Скулема [1]) «весьма
странным и, очевидно, парадоксальным положением дел», что
теория ZFC, в которой можно доказать существование очень
больших несчетных множеств, может иметь счетную модель.
Кроме того, любой элемент а данной СТМ М будет подмно-
жеством М и поэтому будет счетным, как и сама М. Тем не ме-
нее (снова цитируем Скулема) «в сущности нет никакого про-
тиворечия в том, что множество а ... несчетно в этом смысле
[внутри М]; действительно, это означает только, что в М нет
взаимно однозначного отображения Ф множества а на ... по-
следовательность [натуральных] чисел», что вовсе не препят-
ствует существованию такого отображения вне модели М.
Мы будем допускать вольность речи и говорить, что неко-
торое предложение русского языка истинно в модели, в то вре-
мя как истинна формула, соответствующая этому предложению.
В случае, когда имеются два «перевода» ср, ф одного и того же
русского предложения и когда они оба разумны, эквивалент-
ность ф <-> ф должна быть теоремой. Поэтому она должна быть
истинной в любой СТМ М. Таким образом, М |= ф, если и
только если М [= ф, и не имеет значения, какую именно фор-
мулу мы берем в качестве «официального» перевода. Мы уже
допускали ранее такую вольность речи, когда говорили о не-
счетности множества а & М в смысле модели М.
Добавление. Некоторые определения
См, также гл. 1 и гл. 3 (о з. н. о. множествах и деревьях).
Ординалы могут быть охарактеризованы либо как те тран-
зитивные множества, все элементы которых транзитивны, либо
ДОБАВЛЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
103
как те транзитивные множества, элементы которых линейно
упорядочены ^-отношением. Малые греческие буквы, кроме ф,
ф, X, 0, резервируются для обозначения ординалов. Пишут а < р,
если и только если а е р. Тем самым, а= {р: Р < а}. Непо-
средственным последователем а + 1 ординала а является а U
U {а}. Ординал, не равный 0 и не являющийся последователем
другого ординала, называется предельным. Lim(a) означает, что
а пределен. Наименьший предельный ординал обозначается че-
рез со, его элементы — это конечные ординалы. Верхней гранью
supX множества X ординалов называется наименьший орди-
нал, который не меньше любого ординала из X. Это совпадает
с объединением U X, состоящим из всех элементов элементов
множества X. Полным упорядочением множества X является
такое линейное упорядочение X, в смысле которого каждое не-
пустое множество У X имеет наименьший элемент; е-отно-
шение дает естественное полное упорядочение любого орди-
нала а. На самом деле любое полное упорядочение изоморфно
естественному упорядочению некоторого единственного орди-
нала, называемого (порядковым) типом данного полного упо-
рядочения.
Мощностью cardX множества X называется наименьший
ординал х такой, что существует биекция между X и н. Кар-
динал— это любой ординал х, удовлетворяющий равенству
cardx = х. Если х есть кардинал, то через 2х, или ехр2(х), обо-
значаем card^(x). х+ есть наименьший кардинал >х. Через
(01 обозначается со+, через <о2 — и т. д. Континуум-гипотеза
(СН) — это равенство 2ю = соь Обобщенной континуум-гипоте-
зой GCH называется утверждение о том, что равенство 2х = не-
справедливо для всех бесконечных кардиналов х. Конфиналь-
ностью cf а предельного ординала а называется наименьший
ординал % такой, что найдется функция f с областью опреде-
ления X, удовлетворяющая равенству sup ran/= а, где ran/
есть множество всех значений /. Если х — кардинал, то cf х
есть наименьший кардинал X такой, что х является объедине-
нием X множеств, каждое из которых имеет мощность <х. Кар-
динал х регулярен, если cf х = х, в противном случае х син-
гулярен. Кардиналы вида х+ называются непредельными, ос-
тальные кардиналы — предельными. Сильно предельным назы-
вается такой кардинал х, что 2х < х выполняется для всех кар-
диналов X < х. Кардинал со и все непредельные кардиналы ре-
гулярны. Регулярный сильно предельный кардинал называется
(сильно) недостижимым.
Пусть ординал а пределен. Множество А а неограничено
в а, если sup А = а. А замкнуто в а, если всякий раз, когда
Р < а и sup (А П р) = р, будет р е А. Множество А а назы-
вается з.н.о. в а, если оно одновременно замкнуто и неограни-’
104
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
чено в а. Множество А е а стационарно в а, если A f| С #= 0
для любого з. н. о. С s а. Эти определения тривиальны при
cf а = ©. Если cf а > <о, то пересечение з. и. о. множеств в
числе <cf а снова будет з. н. о., а пересечение з. и. о. множества
и стационарного множества стационарно. (См. § 2 гл. 3.)
Отношение частично упорядочивает множество X, если
рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Деревом на-
зывается пара Т = <|Т|, такая, что отношение ча-
стично упорядочивает множество ITI, причем существует
наименьший элемент, и для любого а е | Т | множество всех
^^-предшественников а вполне упорядочено отношением ^г.
Тип этого полного порядка называется рангом а. Множество
Та = {а: ранг а = а} есть а-й уровень дерева Т. Высота Т —
это наименьший ординал а такой, что Та = 0. Путем сквозь Т
является такое множество В s | Т|, что любые два элемента
множества В ^т-сравнимы и В содержит по одному элементу
из каждого уровня Та, где а меньше, чем высота Т. Обычно
мы будем отождествлять | Т) и Т (ср. § 4 гл. 3).
§ 1.	Анализ моделей теории множеств
Мы видели, что формула <р(х,у), выражающая включение
у S х, имеет следующее свойство: каковы бы ни были СТМ М
и множества а, Ь^М, утверждение М)=<р(а,Ь) имеет место,
если и только если <р(а, Ь) на самом деле истинно. Такие фор-
мулы будем называть абсолютными. Неабсолютной является,
например, формула ф(х, w), выражающая w — &(x). Будем
говорить, что предложение русского языка абсолютно, если аб-
солютной является соответствующая формула.
1.1.	Лемма. Следующие формулы абсолютны:
(i)	у — U х> множество всех элементов элементов множе-
ства х;
(ii)	z = xf]y (илиг = х[)у);
(iii)	z = {х, у}, неупорядоченная пара;
(iv)	z = <х, г/>, упорядоченная, пара;
(v)	z = х X у, декартово произведение;
(vi)	z является функцией;
(vii)	(г есть бинарное отношение) Л х — dom г, где dom г
есть множество всех первых членов элементов отношения z (или
х = ran z, т. е. х есть множество вторых членов, или х = dom z
и т. п.);
(vi'ii) z есть вложение (или биекция) из х в (на) у;
(ix)	множество х транзитивно;
(х)	OR (х), т. е. х является ординалом;
(xi)	Lim (х), т. е. х является предельным ординалом (или
ординал х непределен, или конечен, или равен ординалу <о);
§ 1. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
105
(xii)	Lim(x) А у х Л у неограничено (или замкнуто, или
з. н. о.) в х\
(xiii)	у является рефлексивным (или транзитивным, или
антисимметричным и т. п.) отношением на х.
Доказательство. См. леммы 1,3 и 1.4 ниже.
1.2.	Определение. Будем использовать выражения
Vx е уф (х) и Эх <= уф (х) как сокращения для Vx (х (= у-> ф (х)) и
Эх(ху Д ф(х)). Будем также использовать Vxee^(x) и
Эхгф(х)как сокращения для формул Vy е zVx <= у ф (х)
и Зу с= z3x<= у ф(х). Новые комбинации символов, использо-
ванные в этих обозначениях, называются ограниченными кван-
торами. Если с помощью перечисленных сокращений некоторую
формулу можно записать так, чтобы она содержала только
ограниченные кванторы, но не содержала обычных, то такая
формула называется Д0-формулой.
Следующий результат известен из статьи Леви [1], кото-
рая содержит много дополнительных сведений об абсолютности.
1.3.	Предложение. Все ^-формулы абсолютны.
Доказательство. Вообще говоря, высказывания «для
каждого множества х» и «для каждого х е М» не являются
эквивалентными, поэтому истинность внутри некоторой СТМ М
может отличаться от «настоящей» истинности. Но если уеЛ1,
то высказывания «для каждого хе у» и «для каждого хе М
такого, что хе у» означает одно и то же, так как в силу тран-
зитивности все хе у принадлежат модели М. Поскольку До-
формулы включают только ограниченные кванторы типа «для
каждого х <= у», то для этих формул истинность внутри М и
«настоящая» истинность совпадают. Это и означает, что такие
формулы абсолютны.
1.4.	Лемма. Предложения, о которых идет речь в лем-
ме 1.1, могут быть выражены ^-формулами.
Доказательство. Укажем подходящие Д0-формулы
(построение соответствующих формул для предложений, запи-
санных в 1.1 в скобках, оставляется читателю).
(i)	У/w уЗг е x(ws г) Д У/w х (w у),
(ii)	У/w z(w^x /\w& у) Д У/w х (w е у -> w е z),
(iii)	xezAye^A Vo; е z (w = х V w — у),
(iv)	3z0 z3L?i £z(z = {z0, zj Д z0 = {x, x} A z{ = {x, y}),
(v)	Vw e z3x' e x3y' e у (w = (x', y')) A Vx' e xVy' e у
За/ s z (w = (xf, y'}),
(vi)	У/w e z3x e &v3y e w (w = (x, у)) A \fwQ e z\fw{ e z
VxQ f= E= O/oVXi (= EE W{yfyQ EE W0Vyi S EE (wQ = <X0, Уо>
A^i = (xb У1) Ax0 = x1~>y0 = y1),
106
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
(vii)	Уш гЗх' е хЭу е е w (ш = (х', у)) Л Ух' е хЗш е z
3y^^w(w = <х', у}),
(viii)(z является функцией) Ах = domz Д ranz у
Д Уш0 е= гУш! g= zVx0 е= х\/х{ е= хУг/0 «= уЧух е= у (ш0 = <х0, #0)
д wi = <xb у\) Д yQ = z/i -> х0 = хО,
(ix)У// е xVze г/(г g х),
(х)(х транзитивно) ДУ# е х(у транзитивно),
(xi)	OR (х) Д Vz ехЭ// е х (z е у),
(xii)	Lim (х) Д у х Д Vz е хЗш е у (z е w),
(xiii)	(у есть бинарное отношение) Л x = domz/Дх = гап#
Л Vz е хЗш е у (w = (z, z)).
Ясно, что в (iv) равенство «z = {z0, Zi}> можно записать
в виде До-формулы с помощью (iii), □
1.5. Следствия абсолютности, (i) Нет необходимости посто-
янно писать длинные предложения вроде «пусть f <= М. таково,
что М |= (f есть функция)». Вполне достаточно написать «пусть
f е М является функцией». В силу абсолютности формулы «быть
функцией» истинность внутри М и «настоящая» истинность сов-
падают.
(ii)	Благодаря абсолютности все СТМ замкнуты относи-
тельно многих теоретико-множественных операций. Если М есть
СТМ, а а е М — бинарное отношение, то утверждение о суще-
ствовании множества ran а вторых членов элементов множества
а является теоремой (как «наивной» теории множеств, так п
ZFC), Значит, это утверждение истинно в М, и поэтому най-
дется такое Ь^М, что М |= (b = ran а). Но в силу абсолют-
ности формулы х = гап2 это множество b обязательно будет
настоящей совокупностью всех вторых членов элементов множе-
ства а. Значит, ran а е Л1, т. е. М замкнуто относительно опе-
рации ran.
Аналогично М замкнуто относительно операции образования
пар, относительно операций П и X и т. п. Ординал со и все ко-
нечные ординалы принадлежат М. А из нижеследующей лем-
мы 1.6 мы получим замкнутость М относительно операции
^й>(а) = {b е а: b конечно}.
(iii)	Аксиома выделения Цермело, играющая важную роль
в ZFC, утверждает, что для каждого множества а и любой
формулы ф(х) можно образовать множество {Ь е а: ф(&)}.
В приложении к СТМ М это означает, что для каждого а е М
мы можем образовать множество {Ь^а\ М^=ф(&)} внутри
модели М. Если формула ф абсолютна, то это множество совпа-
дает с множеством {Ь е а: ф(&)}. Таким образом, можно «вы-
§ 1. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
107
делить» ординалы, функции и т. п. из любого множества
образовывая в М множества- типа {b е а\ OR(fe)},
{b е а: b является функцией}.
(iv)	Из уже известных свойств замкнутости данной СТМ М
можно получать новые такие свойства. Например, если а\, ...
..., ап е М, то в соответствии с замкнутостью относительно
объединения и образования множества {%}, называемого син-
глетом, будет {<£1, ..., ап} е М. Таким образом, М замкнуто
относительно образования конечных подмножеств.
Рассматривая замыкания относительно операций П, X, ran
и и выделяя ординалы и функции, нетрудно доказать, что
если множества а и & принадлежат М, то следующие множе-
ства принадлежат М\
{с е ran а: 3d ({d, с} е а)} = ran {a f] (b X ran а)),
{ее rana\ OR(c)},
{f\ (f является функцией) A (domf конечно) A dom fsaAran f^b}
= {f e (a X b): f является функцией}.
Ниже при исследовании какой-нибудь СТМ М мы часто бу-
дем утверждать, что те или иные множества принадлежат М.
Эти утверждения могут быть проверены указанным методом
(хотя для такой проверки иногда бывает нужно использовать
абсолютность формул, не упомянутых в лемме 1.1). При пер-
вом чтении мы рекомендуем принять эти утверждения на веру,
чтобы не потерять нить рассуждений.
(v)	В силу абсолютности для любой СТМ М и любого мно-
жества а^М мы имеем Л4[=ОК(а), если и только если а на
самом деле является ординалом. Пусть ORM есть наименьший
ординал афМ. Тогда, если PgM и у < р (т. е. уеР), то
уе=М. Тем самым {реМ: OR(P)} = {P: р < ORM} = ORM.
(vi)	Укажем некоторые неабсолютные понятия. Если М яв-
ляется СТМ и аеЛТ, то через обозначим степень мно-
жества а в смысле М, т. е. такое множество b е М, что М (=
Н (Ь = ^(а)).Мы уже видели выше в 0.3, что (а) = ^(я)А М
в силу абсолютности отношения «быть подмножеством». Ана-
логично через cardia будем обозначать такое множество b <= М,
что М |= (b = card а). Из абсолютности понятий ординала и
биекции следует, что cardM а есть наименьший ординал а <
< ORM такой, что существует принадлежащая М биекция а
на а. Если а е (а) для некоторого а < ORM, то абсолют-
ность понятия з. н. о. множества показывает, что М |= (а ста-
ционарно), если а(]С*£0 для каждого з. н. о. множества
С s а, принадлежащего М.
Таким образом, хотя сами по себе понятия степени, мощно-
сти, стационарного множества и не являются абсолютными, но
108
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
абсолютность некоторых других понятий позволяет нам увидеть,
как меняется смысл этих понятий при «погружении» в данную
стм.
Грубо говоря, некоторое свойство абсолютно, если проверку
его истинности для элементов произвольной СТМ М можно осу-
ществить, оставаясь внутри Л4. Например, чтобы проверить,
выполняется ли равенство с = {а, Ь} для каких-то множеств
а, Ь, с <= М, необходимо установить, что а и b принадлежат с
и с не имеет других элементов, кроме а и Ь. Поскольку все
элементы множества с принадлежат модели М, то для проверки
указанного обстоятельства нет нужды выходить из М. Напро-
тив, если а < ORM и a s а, то для проверки стационарности
множества два необходимо установить, что a f| С ф 0 для
всех з. н. о. множеств С Sa. Но так как, возможно, не все та-
кие С принадлежат модели М, то мы не можем сделать этого
внутри М.
1.6. Лемма. Следующие формулы абсолютны:
(i) множество х конечно,
(и) г/ = ^ш(х),
(iii) у есть полное упорядочение множества х,
(iv) (у есть полное упорядочение множества х) A OR (z) Д
A (z есть порядковый тип полного упорядочения у).
Доказательство. Известно, что (i) — (iv) нельзя вы-
разить До-формулами, поэтому придется обратиться к интуи-
тивному пониманию абсолютности. Мы дадим доказательство
(i), оставив (ii) читателю. Для доказательства (iii) достаточно
заметить, что (iii) эквивалентно существованию изоморфизма
упорядоченного множества х на некоторый ординал, см. Леви
[1]. A (iv) доказывается с помощью (iii) и абсолютности по-
нятия порядкового изоморфизма (незначительного усиления
абсолютности понятия биекции).
Пусть М есть СТМ и а е М. Для проверки конечности мно-
жества а нужно установить, существуют ли биекции из неко-
торого конечного ординала на а. Но понятия конечного орди-
нала и биекции абсолютны. Кроме того, все конечные орди-
налы принадлежат М. Таким образом, для доказательства аб-
солютности достаточно показать, что если существует биекция f
между а и некоторым конечным ординалом п, то f принадле-
жит модели М. Но f является конечным множеством упорядо-
ченных пар элементов М, а М замкнуто относительно операций
образования пар и конечных подмножеств, т. е.	м. Та-
ким образом, f s Al, что и требовалось. □
Вооружившись этими фактами о СТМ, можно перейти к изу-
чению метода вынуждения, позволяющего строить различные
СТМ, обладающие специальными свойствами.
§ 2. ВЫНУЖДЕНИЕ
109
§ 2.	Вынуждение
Метод вынуждения Коэна (см. Коэн [1]) получил дальней-
шее бурное развитие в работах многих специалистов по тео-
рии множеств (автор этой главы в их число не входит). Мы
не указываем авторство основных лемм в этом и следующем
пунктах, так- как они стали частью теоретико-множественного
фольклора. Напротив, отдельные результаты о непротиворечи-
вости, полученные с помощью метода вынуждения, снабжены
указанием их авторов. В предлагаемом изложении автор сле-
дует Шенфилду [ 1 ] и лекциям Соловея.
2.1.	Определение. ЧУ множеством называется всякая
пара Р = < | Р |, ^р>, удовлетворяющая следующим условиям:
(i)	отношение s£2p частично упорядочивает множество |Р|
(т. е. является рефлексивным, транзитивным и антисимметрич-
ным отношением на |Р|),
(ii)	существует ^p-наибольший элемент 1Р,
(iii)	не существует ^р-минимальных элементов.
Обычно мы будем отождествлять структуру Р и ее основное
множество |Р|, а также опускать индексы у знаков и 1. Для
каждого ЧУ множества Р и любых р, q <=Р определим:
р < q, если р q и не выполняется q р,
р и q сравнимы, если р q или q р,
р и q совместимы, если найдется такое ге Р, что г р и
г < q,
р и q несовместимы, если таких г нет.
Для каждого ЧУ множества Р и любого A s Р определим:
А открыто, если из ре-4 и р следует q е А,
А плотно, если для каждого ре Р найдется такое q е А,
что q р,
А является антицепью, если любые два различных элемента
множества А несовместимы.
Заметим, что антицепь A S Р будет максимальной, если и
только если каждое ре Р совместимо с некоторым q е А. Мно-
жество А = Р назовем плотным ниже некоторого р ® Р, если
для каждого р' р найдется такое q е А, что q р'. Анало-
гично вводится определение антицепи ниже р.
Если ЧУ множества Р, Q таковы, что |Q|s|P|, lpe|Q| и
есть сужение порядка ^р на множество |Q|, То Q назо-
вем подпорядком ЧУ множества Р. Пусть Л — предельный орди-
нал. Назовем последовательность <Ра: a <Z ЧУ множеств Ра
возрастающей, если Рр является подпорядком Ра при 0 < а.
Объединением такой последовательности является ЧУ множе-
ство Р, основное множество которого совпадает с объединением
всех основных множеств |Ра| и отношение частичного порядка
на котором совпадает с объединением всех частичных порядков
110
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
на ЧУ множествах Ра. Эти определения будут играть важную
роль в § 5.
2.2.	Определение. Пусть Р есть ЧУ множество, a F —
произвольное семейство множеств. Множество G Р называется
F-генерическим 9, если выполнены условия:
(i)	Если ре G и р то ? G.
(ii)	Для любых р, q е G найдется такое г е G, что г р
и г q, В частности, любые два элемента множества G совме-
стимы.
(iii)	Gf)Z)=/=0 для каждого плотного принадлежащего се-
мейству F множества D Р.
2.3.	Предложение. Пусть Р есть ЧУ множество, р^Р
и семейство F содержит лишь счетное число плотных подмно-
жеств множества Р. Тогда найдется F-генерическое множество
G Р, содержащее р.
Доказательство. Пусть <Z)n: п е со> есть пересчет всех
плотных подмножеств множества Р, принадлежащих семейству
F. Выберем элементы рп^Р следующим образом. Положим
ро = р. Если рп уже определено, то выберем pn+i рп так,
чтобы рп+\ & Dn. Такой выбор возможен в силу плотности Dn-
Наконец, определим G = {q^P: Эп& to(pn^q)}. Ясно, что
реСи выполняются 2.2 (i), (iii). Проверка (ii) также не-
сложна. Действительно, пусть q, г G, рп^. q, pm г и k =
= max(m, п). Тогда, очевидно, pk q и pk г. □
Пусть ЧУ множество Р принадлежит некоторой СТМ М. По-
ложив F = М в 2.3, мы видим, что для любого р & Р найдется
Л4-генерическое множество G £ Р, содержащее р. Для боль-
шинства ЧУ множеств G можно показать, что такое G не при-
надлежит модели М.
2.4.	Определение. Пусть Р есть ЧУ множество. Любое
подмножество множества вида Р X я назовем Р-термом. Если
t Р X а есть Р-терм и G Р, то G-интерпретацию 10 (/) терма
t определим равенством IG(t) = {b&a: 3p^G((p,
Примеры. Для каждого множества а пусть а* = Р X я.
Тогда 1о(а*)=а, каково бы ни было непустое G^P. Пусть
также G— «р, р>: реР}. Тогда /g(G)=G, каково бы ни
было О £ Р.
Доказательство следующей леммы, а также лемм 2.9 и 2.11
читатель найдет в статье Шенфилда [1]. Пусть читатель не
удивляется, что в нашем кратком изложении приходится прини-
мать некоторые результаты без доказательств. Подлинно уди-
вительным является то, что эти три леммы содержат всю необ-
ходимую нам информацию о вынуждении.
!) Иногда пишут: Р-генерическим над F. — Прим, перев.
§ 2. ВЫНУЖДЕНИЕ
111
2.5.	Лемма существования и минимальности.
Пусть М есть СТМ, Р^М есть ЧУ множество и множество
G <=Р является М-генерическим. Тогда найдется наименьшая
СТМ N, удовлетворяющая условиям M^N и G^N. Кроме
того, если а<=М и а^ N, то а = 1а(Т) для некоторого Р-терма
t^M.
Эта модель N, обозначаемая через A1[G], называется гене-
рическим расширением, полученным присоединением G к ис-
ходной модели М.
(Отметим, что У есть собственное расширение модели М,
так как, как правило, G ф. М. Заметим также, что в соответст-
вии со сказанным в 1.5 (iv) для любой СТМ N, содержащей G
и t, выполняется	Таким образом, произвольное мно-
жество asAf принадлежит Af[G], если и только если оно
имеет вид 1а (/) для некоторого Р-терма t е М.)
2.6.	Предложение. Пусть М есть СТМ, РеМ есть ЧУ
множество и R = Af.[G], где множество G s Р является М-ге-
нерическим. Тогда ORy = 0RM.
Док а з ате л ь ст в о. Напомним, что ORw = {aeAf: OR (а)}
— наименьший ординал, не принадлежащий Af. Поэтому доста-
точно показать OR'14 ф. N. Предположим противное. Тогда 0RM=
= IG(t)для некоторого Р-терма t^M. Но, как отмечено в 1.5
(iv), мы имеем {а е ran a: OR (а)} е М всякий раз, когда asAI,
Следовательно, 0RM = {ае ran/: 0R(a)}eA! — противоречие. □
2.7.	Определение. Пусть М есть СТМ, РеМ есть ЧУ
множество, р е Р, /],..., tn^M являются Р-термами, а
<p(xb ..., х„)есть формула со свободными переменными xt, ...
.. .хп. Будем говорить, что р Р-вынуждает формулу <р (^./„)
над М, и писать
PlHмф(Л> • • •> U,
если M[G])= <p(/g(/i), ..., /о(/л)), каково бы ни было М-гене-
рическое множество G s Р, содержащее р. Верхний и нижний
индексы при ||— будут, как правило, опускаться.
Пример. Если р q и q*, G являются Р-термами, опре-
деленными в 2.4, то р\\- q*<^G. В самом деле, если р принад-
лежит М-генерическому множеству G s Р, то q = la(q*)& G =
= Напротив,если р, q^P несовместимы, то р||- q* ф. G,
так как ре G влечет q ф G, каково бы ни было генерическое
GsP.
Вынуждение предложений русского языка понимается в
смысле вынуждения соответствующих формул, см. 0.3. Некото-
рое предложение вынуждается каким-то р е Р, если мы мо-
жем утверждать его истинность в генерическом расширении
Af[G] всякий раз, когда знаем, что p^G, Таким образом, эле-
112
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
менты множества Р накладывают ограничения на то, что мо-
жет иметь место в Af[G]; поэтому их часто называют (вынуж-
дающими) условиями. Если р q, то р обладает большей
ограничивающей способностью, чем q (из ре G следует q е G
для генерических множеств GsP); в этом случае р назы-
вается более сильным условием.
2.8.	Предложение. Пусть М есть СТМ, Р^М есть ЧУ
множество, р е Р, а е М, а ф, 0 и т. п. являются формулами.
Тогда справедливо следующее-.
(i)	Если р||—Фь .... р||— ф„ и из формул фь .... фп и ак-
сиом ZFC логически следует ф, то р\\— ф.
(ii)	Не могут одновременно выполняться р||—ф и р||—~|ф-
(iii) Если р ||— ф и q р, то q ф.
(iv) Если р ф и <71|— П Ф, то р и q несовместимы.
(у) р||— Ф А Ф, если и только если р||— ф и р||— ф.
(vi)р||— Vxеа*Ф(х), если и только если для каждого Ъ^а
выполняется р ||— ф (Ь*).
(vii) р ||— Vx (х s а* -> 0 (х)), если и только если для каждого
Р-терма t М, t s а*, выполняется р |]— 0 (/).
Доказательство. Читателю стоило бы попробовать до-
казать эти хорошие упражнения на проверку определений,
прежде чем читать следующие указания:
(i)	Для любого ЛЬгенерического множества G s Р такого,
что ре G, формулы фь .... фп и все аксиомы ZFC истинны
внутри М[G]; следовательно, там истинна и ф.
(ii)	Согласно 2.3 найдется генерическое множество G та-
кое, что ре G. Но М[G] |= ф и М[G] |= ~1ф не могут выпол-
няться одновременно.
(iii)	Если q р, то каждое генерическое множество G, со-
держащее q, содержит и р.
(vi) Следует из (ii) и (iii).
(v)	Правая часть эквивалентности (v) значает, что для лю-
бого генерического G такого, что p^G, будет как М[G] |= ф, так
и 7И [G] |== ф. А левая часть (v) означает, что для любого такого
G выполняется Af[G]|= ф А ф. Но это, очевидно, одно и то же.
(vi)	Каково бы ни было генерическое G, любой элемент
множества IG(a*)=a имеет вид b = IG(b*) для некоторого
b е а. После этого замечания (vi), так же как и (v), становится
тавтологией.
(vii)	Каково бы ни было генерическое G, любое принадле-
жащее 7W[G] подмножество множества а имеет вид IG(t) для
некоторого Р-терма /еМ. Можно, не ограничивая общности,
предполагать, что t <= а*, поскольку справедливо равенство
IG(tf\a*) — IG(f)[\a. После этого замечания (vii) становится
тавтологией,
§ 2. ВЫНУЖДЕНИЕ
113
Чтобы определить, когда выполняется р||—~| Ф, необходим
более глубокий анализ, который дается следующей леммой (см.
Шенфилд [1]). Отметим, что утверждение «если» этой леммы
автоматически вытекает из определения 2.7.
2.9. Лемма об истинности. Пусть М есть СТМ, Р^М
есть ЧУ множество, G <^Р является М-генерическим, <p(xi, ...
...» хп) —некоторая формула и t\,..., tn е М являются Р-тер-
мами. Тогда M[G] |= фСМЛ), .Л?(6г))> если и только если
найдется такое ре G, что
2.1(1. Предложение. В обозначениях 2.8 справедливо сле-
дующее:
(О РII- П ф» если и только если нет таких q^p, что q ||— <р.
(ii)	Если множество {г g Р: г ||— <р} плотно ниже р в Р, то р ||— <р.
(iii)	р||— <р V Ф, если и только если для каждого q^.p най-
дется такое r^q, что либо г||—Ф, либо г||— ф.
(iv)	р||- Эх е а*6(х),если и только если для каждого q^p
найдутся такие r^q и Ь^а, что г ||—0 (£>*).
(v)	Р ||— Эх (х = а* /\ 0 (х)), если и только если для каждого
q^p найдутся такие г ^.q и t^M, t<=a*, что г||—0(7).
Доказательство, (i) Утверждение «только если» сле-
дует из 2.8 (iv). Для доказательства утверждения «если» пред-
положим, что не выполняется р <р. Тогда найдется такое
генерическое множество G = Р, что peG и 2И[О]Нф- По
лемме об истинности существует условие q^G такое, что q\\— <р.
Не ограничивая общности, предполагаем q р (если это не так,
то берем вместо q такое q' е G, что /	? и р; это q' по-
прежнему вынуждает <р в силу 2.8 (iii)). Таким образом, если
не выполняется р||— “] <р, то найдется такое q^p, что 7Ц— <р.
Отсюда и следует утверждение «если» в (i).
(п)Если множество {г е Р: г ||—<р) плотно ниже р, то, согла-
сно 2.8 (iv), никакое <?й^р не может вынуждать “| <р. Поэтому
р||—“|~1ф в силу(1), и р||— ф в силу 2.8 (i).
Наконец, (iii), (iv) и (v) следуют из (i), 2.8 (v), (vi) и (vii) с учетом
эквивалентности формул <р V ф и 3x0 (х) соответственно фор-
мулам “1 (И ф A “I Ф) и “| Vx ~| 0 (х). □
2.11.	Лемма об определимости. Каждой формуле
<р(хь ..., хп)можно сопоставить такую форму лу ф*(х,, ..., хп,у,г),
что, каковы бы ни были СТМ М, ЧУ множество Р М, усло-
вие р^Р и Р-термы tb ... , tn^M, будет выполняться:
р||— мф(^ь	Q, если и только если М|=Ф*(Л, • ••» ^n> Р> Р)-
Доказательство этой леммы также см. в статье Шенфилда
[1]. Отметим, что из нашего определения вынуждения 2.7
114
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
нельзя непосредственно получить такую формулу ф*. Определе-
ние вынуждения через посредство генерических множеств сде-
лано так, что о нем нельзя говорить внутри модели М хотя бы
потому, что в М нет генерических множеств. Построение ф* про-
ходит окольным путем, в результате которого даже для таких
простых формул ф, как хе //, получаются довольно сложные
формулы ф*.
Из леммы 2.11 вытекает следующее важное свойство замкну-
тости: если ЧУ множество Р принадлежит СТММ, а Гь ...
..., Тп е М являются множествами Р-термов, то для любой
формулы ф(%1, ..., хп) множество
£ = {<Р, /ь ...,^е=РХЛХ ... ХТп: р||—ф(/ь ...,«}
принадлежит модели М. Это следует из аксиомы выделения
(ср. 1. 5 (iii)), так как Е = {<р, h, ..., tn): М(=ф*(/Ь ...
..., tn, р, Р)}.
Иногда мы будем писать, например, Л11= (р ||— pt является
кардиналом), когда хотим сказать, что Л1(==ф*(^ Р, Р), где
ф(/) есть формула «/ является кардиналом», — иными словами,
когда мы имеем в виду, что р\\—рм (t есть кардинал). В любом
рассуждении о вынуждении, проходящем внутри СТМ М, обя-
зательно подразумевается ссылка на лемму об определимости.
Теперь полезно выяснить, что понятия, которые введены
определениями 2.1 и 2.2, являются абсолютными.
2.12.	Лемма. Следующие формулы абсолютны:
(i)	х является ЧУ множеством,
(ii)	(х есть ЧУ множество) /\у, z ^\х\Л у ^Zxz (или у < г,
или у и z сравнимы, или совместимы, или несовместимы),
(iii)	(х есть ЧУ множество) А р ^|х| Л у открыто (или
плотно, или антицепь, или плотно ниже х' е |х| и т. п.),
(iv)	(х есть ЧУ множество) Лг^|х|Л (z является у-гене-
рическим),
(v)	(х есть ЧУ множество) Ai/^|x|Aze|x|A
Л 3/ е= у (z г').
Доказательство. Мы можем выразить (i) — (v) с по-
мощью подходящих До-формул. Для (i), например, подходит
формула
Зх0 е е хЗх, е е х (х = (х0, х\) Л (хх является
рефлексивным, транзитивным, антисимметричным бинарным
отношением на х0) Л Зу е х0Уг/ е x03z е xt
(z = (у', у)) /\Уу<= х0Эу' <= х0 (Зг е (г = (у',sy))
Л "I Згех1(г = <у, /»)).
§ 2. ВЫНУЖДЕНИЕ
115
С другой стороны, мы могли бы в соответствии с нашим ин-
туитивным пониманием абсолютности показать, что если мно-
жество Р принадлежит некоторой СТМЛ1, то, не выходя из М,
можно проверить, является ли это Р ЧУ множеством. Это. в сущ-
ности не очень сложно, так как благодаря присутствию в М всех
элементов множества Р мы без труда можем проверить сущест-
вование наибольшего элемента и несуществование минимальных
элементов.
Проверка абсолютности (ii) — (v) оставляется читате-
лю. □
Наши замечания из 1.5 по поводу абсолютности различных
понятий применимы и к понятиям, связанным с ЧУ множест-
вами. Так, мы не будем говорить «пусть Р^М таково, что
М\=(Р является ЧУ множеством)». Вместо этого можно гово-
рить просто «пусть Р е М является ЧУ множеством». Анало-
гично, если ЧУ множество Р принадлежит данной СТМ М и
Ле^м(Р), то мы можем образовать множество D — {q^P:
Эр^А (q^p)} внутри модели М, поскольку для этого до-
статочно «выделить» те элементы множества Р, которые удов-
летворяют определенному условию, а это условие абсолютно в
силу 2.12 (v). Ниже мы часто будем утверждать, что некоторые
множества, определения которых основаны на понятиях, отно-
сящихся к ЧУ множествам, могут быть образованы внутри рас-
сматриваемой СТМ. При первом чтении мы рекомендуем при-
нять на веру такие утверждения. Все они могут быть доказаны
путем проверки абсолютности подходящих формул. Одно из та-
ких утверждений используется в следующей лемме.
2.13.	Лемма. Пусть М есть СТМ, Р <= М есть ЧУ множе-
ство, р е Р, a G s Р является М-генерическим множеством, со-
держащим р. Тогда для любого плотного ниже р множества
D &М, D Р выполняется G(]D 0.
Доказательство. Пусть E={q<=P: qeDVp, q не-
совместимы}. Это множество может быть образовано внутри М,
так как его определение абсолютно (ср. с 2.12 (ii)). Для каж-
дого q Р, не являющегося несовместимым с р, найдется такое
г q, что г р. Следовательно, в силу плотности D ниже р
для каждого такого q найдется s (= D такое, что s q. Это
показывает, что Е плотно в Р, и тем самым G (]Е	0 согласно
М-генеричности множества G. Но так как ре G, то никакой
элемент множества G не может быть несовместимым с р. По-
этому G П D =И= 0, что и требовалось. □
Следующее усиление 2.10 (v) будет использовано только
в § 6, и его можно опустить при первом чтении.
2.14.	Теорема. В обозначениях 2.8 и 2.10 выполняется сле-
дующая эквивалентность: р Эх (х а* А 0 (^)), если и только
если найдется такой Р-терм t^M, t^a*, что р ||— 0(/).
116
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
Доказательство. Утверждение «если» очевидно. До-
вольно тонкое доказательство «только если» опирается на две
леммы.
2.15.	Лемма. Пусть М есть СТМ., Р е М есть ЧУ множество,
рЕ Р и АеМ, А^Р является максимальной антицепью ниже
р. Тогда:
(i)	для любого М-генерического множества G Р, содер-
жащего р, существует единственное q е A A G;
(ii)	какова бы ни была формула <р, если 7||— <р выполняется
для всех q<=A, тор||— <р.
Доказательство, (i) Пусть G^P — генерическое мно-
жество и р е G. Поскольку элементы генерических множеств
совместимы, то A A G содержит не более одного элемента. По-
ложим D — {r^P: 3q с= А (г <?)}. Мы уже отмечали (после
2.12), что это множество может быть образовано в М. Докажем,
что D плотно ниже р.
Действительно, рассмотрим произвольное р' р. В силу
максимальности А найдется условие q^A, совместимое с р’.
Значит, найдется такое г р', что г q е А. По определению
D будет r^D. Это завершает доказательство плотности.
Теперь из 2.13 следует D A G Ф 0. Если г е D A G, то най-
дется такое q е А, что г q. Тем самым q е G. Итак, A A G =^=
Ф 0, что и требовалось.
(ii)	Предположим, что q\\— <р для всех q^A. Пусть G есть
генерическое множество, содержащее р. В силу (i) выполняется
A (J G ф 0, т. е. найдется условие q е G, вынуждающее <р. Та-
ким образом, М [G] |= <р, что и означает р||— <р. □
2.16.	Лемма. Пусть М есть СТМ, а РеМ является ЧУ
множеством. Тогда:
(i)	Если A GiM, <4 s Р есть максимальная антицепь, а
F^M — функция, определенная на множестве А и такая, что
F(q) является Р-термом при любом q^A, то найдется такой
Р-терм t^M, что q\\—t = F(q) для любого q<=A.
(ii)	Если реР ut, иеМ являются Р-термами, то найдется
такой Р-терм о^М, что р\— v = t, и для каждого условия q,
несовместимого с р, будет q\—v = u.
Доказательство, (i) Поскольку A, F е М, то мы можем
образовать внутри М множество а = U {ran F (q): q^A}. Оче-
видно, F (q'jSP'Xa при любом q^A. Аналогично в М можно
образовать множество
t = {<г, b) (= Р X a: 3qе АЗр <= P(r^q /\ г з^.р A, (р, b)<^ F(<?))}.
Теперь нужно проверить, что для любого генерического GsP
и любого q е A A G выполняется
§ 2. ВЫНУЖДЕНИЕ
117
Пусть сначала b е Ie(F(q)). Тогда {р, b) F (q) для неко-
торого p^G. Рассмотрим такое reG, что г^р и г^р.
По построению (г, b) <= t, т. е. & е IQ (/).
Обратно, пусть b^I0(t), т. е. найдется такое rsG, что
<r, by е t. Снова по построению найдутся такие условия q' е А
и р, что	и <р, &>е F(q'). Из г q' следует q' е G.
Поскольку А П G содержит ровно один элемент, то q' = q и
<р, b')^.F(q'). Теперь из г р получим peG, и окончательно
b е Ie(F(q)), что и требовалось. □
(ii)	Отметим, что в М истинна лемма Цорна, а понятие мак-
симальной антицепи абсолютно, см. 2.12 (iii). Значит, сущест-
вует максимальная антицепь А е М, содержащая р. Рассмотрим
функцию F е М, определенную на множестве А так:
F(p) — t и F(q) = u для всех <?еЛ, не равных р.
Применяя (i) к этой функции F, получаем такой Р-терм v е М,
что р\\— v — t и р||— о = идля всех остальных q^A. Если те-
перь вынуждающее условие q несовместимо с р, то А — {р} бу-
дет максимальной антицепью ниже q, и поэтому из 2.15 (ii)
следует q ||— v = и, что и требовалось. □
Теперь с помощью лемм 2.15 и 2.16 докажем утверждение
«только если» теоремы 2.14.
В обозначениях 2.8 и 2.10 мы имеем р||— Эх(х s а*ДО (х)).
Применяем (с учетом абсолютности) лемму Цорна внутри М и
находим функцию F е М, максимальную в смысле отношения
S среди функций F, обладающих следующим свойством:
(F есть функция, область определения domF которой яв-
ляется антицепью ниже р) А (р||— 0(F(р))для всех ре domF).
(Напомним, что множество
Е={<р, />еРХ^м(а*):р||-е(0}
принадлежит модели М вследствие леммы об определимости.
А вторая часть конъюнкции, определяющей F, дает F = Е.)
Мы утверждаем, что domF является максимальной анти-
цепью ниже р. Действительно, предположим противное: р' р
несовместимо ни с каким ре domF. Поскольку р\\— Эх(х=а‘Д
Д 0(х)), то в силу 2.10 (v) и 2.8 (iii) найдутся такие р" р'
и t е М, а*, что р" ||— 0 (/). Ясно, что р" несовместимо ни с
каким р е А. Поэтому функция F U {<р", />} дает противоречие
с максимальностью F.
Теперь применим 2.16 (i) к этой функции F. Получим такой
Р-терм ЙМ, что р||— t = F(q) для всех ре domF. Но так как
р ||— 0(F(p)) Для всех таких р, то р||— 0(0- Наконец, из 2.15
(ii) следует р||— 0(/). □
118
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
2.17.	Следствие. Пусть в обозначениях 2.8, 2.10, 2.14
имеет место 1Р||— Вх(х а* Л 0 (*)). Пусть также t<=M, t<=,a*
и Р ||— 6(0. Тогда найдется такой Р-терм	что с^а*,
IplH е(и) « pl~v = t.
Доказательство. Заметим, что вообще 1Р||—<р, если и
только если каждое условие q^P вынуждает <р. По теореме
2.14 найдется такой Р-терм и^М, что 1р||—0ш). Пусть макси-
мальная антицепь А такова, что ре<4. Используя 2.16 (ii),
подбираем такой Р-терм v^M, что p\\—v = t и ql~v = u для
всех остальных q^A. Каждое q^A вынуждает 0(и), и поэто-
му из 2.15 (ii) следует 1Р||—0(о). □
Часто вместо 1Р ||— <р пишут просто Р <р.
§ 3. Континуум-гипотеза
Что нужно понимать под ложностью континуум-гипотезы СН,
т. е. истинностью ~1СН, внутри некоторой СТМ М? Пусть х яв-
ляется кардиналом в М, т. е. М |= (х есть кардинал). Через
(2Х)Л1, или через ехрм(х), будем обозначать cardA1(^’M(x)), а
через (х+)м будем обозначать такое X е М, что М |= (% есть наи-
меньший кардинал >-х). Теперь положим ©Г = (®+)Л1,	=
= ((®^)+) и т. д. Отметим, что СН ложна, если и только если
существует вложение со2 в ^(о) или, что то же самое, если най-
дется такая функция g: ф2Х<о->{0, 1}, что
(*)	Если аУ=р, и <а, 0> и <0,0> принадлежат domg, то
существует такое п е о, что g(a, n)=^= g(0, п).
(Такое g порождает вложение f(a)= {песо: £(а,п) = 0}.)
Таким образом, Л4|=“1СН, если и только если существует
вложение feAl: w2M в ^/И(со). (Напомним, что понятие вложе-
ния абсолютно.) Другими словами, М |= ~]СН, если и только
если найдется функция g&M из со^Х® в {0, 1}, удовлетво-
ряющая (*).
Начнем с произвольной СТМ М (а существование хотя бы
одной СТМ предполагается). Мы.либо имеем в М такую функ-
цию g (и тогда Л4[== ~1СН), либо не имеем. Коэн [1] указал
способ построения такого расширения W модели Л4, в которой
эта функция g обязательно существует.
3.1.	Определение. Пусть а есть ординал. Рассмотрим
множество
Р = {р: (р является функцией)
Л (dom р конечно) Д dom р S a X ° Л ran р S± {0, 1}}.
Упорядочим это множество Р обратно включению*, р q, если
и только если q р, т. е. функция р продолжает q. Таким обра-
§ 3. КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
119
зом, Р становится ЧУ множеством. Его максимальный элемент
1р есть пустая функция, а минимальных элементов нет, так как
каждая функция, принадлежащая Р, имеет собственное про-
должение в Р. Это множество Р называется а-коэновским ЧУ
множеством. Заметим, что если М есть СТМ и а < ORM, то
а-коэновское ЧУ множество можно образовать внутри М со-
гласно сказанному в 1.5 (iv). Элементы а-коэновского ЧУ мно-
жества можно очевидным образом рассматривать как «прибли-
жения» функций из а X © в {0, 1}.
3.2.	Лемма. Пусть М есть СТМ, Р есть ы^-коэновское ЧУ
множество; Af = A4[G], где G^P является М-генерическим, и
g^N есть объединение U G всех функций p^G. Тогда:
(i)	g является функцией.
(ii)	domg = coM х©.
(iii)	g удовлетворяет требованию (*).
Доказательство, (i) Ясно, что g X ® X {0, 1}.
Если бы g не было функцией, то нашлись бы такие р, q е G и
<а, п) е dom р Q dom q, что р(а, п)=/=<?(а, п). Следовательно,
не нашлось бы ни бдной функции г, продолжающей как р, так
и q. Но поскольку любые два условия из G совместимы в G, то
такая г обязана существовать. Полученное противоречие дока-
зывает (i).
(ii)	Пусть а < со*1 и п < со произвольны. Определим D ==.
= {реР: <а, n>edomp}. Это множество D плотно, так как
если реР, то либо уже p^D, либо p' = pU {<«, п, 0» при-
надлежит множеству D и р' р. Вследствие плотности найдется
peDQG. Тогда <а, п} е domр domg, что и доказывает (ii).
(ii	i) Пусть а < р < произвольны. Положим
D = {pG Р: Зпе® ((а, п}, (Р, n)е dom р А р(а, n)=#p(Р, п))}.
Это множество D плотно, так как если ре Р, то в силу конеч-
ности dom р найдется такое п е со, что пары <а, гТ) и <р, п) не
принадлежат domp. Определяя p' = pU{<a, п, 0>, <р, п, !•>},
получаем р' р и р' е D. Теперь вследствие плотности найдется
р (= D П G. Но это означает g (a, n) = р (a, ti) =£ p (P, n) = g(fi, n),
откуда и следует (iii). (He составляет труда проверить, что мно-
жества D, использованные в доказательствах (ii) и (iii), могут
быть образованы внутри модели М.) □
Однако необходимо иметь в виду, что лемма 3.2 не гаранти-
рует еще, что МНПСН. Ведь для доказательства ДОНПСН
нам нужна функция g^N, удовлетворяющая (*) и имеющая
область определения dom g = X Собственно мы установим
N ПСН как раз тем, что докажем со^ = со^. Начнем со сле-
дующего простого замечания.
120
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
Если Л1, N являются СТМ, ^£^их < ORM есть кардинал
в N, то х должен быть кардиналом и в М. В самом деле, если
существуют % < х и функция f <= М из X на х, то эта функция f
принадлежит и модели N, и поэтому х не может быть кардина-
лом в N. Будем говорить, что кардинал х модели М сохраняется
в N, если он все еще остается кардиналом в N. В противном слу-
чае говорим, что х свертывается. Свертка имеет место в том
случае, когда найдется функция f^N — М из некоторого орди-
нала X < х на х.
Чтобы доказать равенство = в ситуации леммы 3.2,
нужно установить, что кардиналы со]1 и сохраняются в N.
Как отмечено выше, мы можем не опасаться появления новых
кардиналов в N. Предметом нашей заботы является возмож-
ность свертки в N (тогда вообще не будет кардиналом
в Af), а также свертки в N (тогда не будет вторым не-
счетным кардиналом в N). Покажем, что эти возможности в
ситуации 3.2 не реализуются. Начнем с такого определения:
3.3.	Определение. Пусть кардинал х несчетен. Будем го-
ворить, что ЧУ множество Р удовлетворяет к-условию антице-
пей, сокращенно х-УА, если не существует антицепей А s Р
мощностй Ясно, что Р удовлетворяет (сагбР)+-УА. К со-
жалению, coi-условие антицепей принято называть условием счет-
ности цепей (у. с. ц., см. гл. 3). Это название неудачно, но оно
твердо укоренилось в литературе.
3.4.	Теорем &. Пусть М есть СТМ, Р^М есть ЧУ множе-
ство и х е М. Пусть также М |»= (х является регулярным карди-
налом АР удовлетворяет х-УА). Тогда Р||—(х* является кар-
диналом).
Доказательство. Напомним, что Р||— (х* является кар-
диналом) означает, что 1Р||—(х* является кардиналом), и это
утверждение истинно, если и только если х сохраняется в М[G],
каково бы ни было ЛЬгенерическое множество G Р. Предпо-
ложим противное: G^P есть М-генерическое множество и
функция f^A4[G] отображает некоторое % < х на х. По
лемме 2.5 о минимальности мы имеем f = IG(t) для некоторого
Р-терма	А в силу леммы 2.9 об истинности некоторое
p^G вынуждает (t есть функция из X* на х*).
Теперь рассуждаем в М. Для каждого а < % пусть
Да = {Р<н:	(«*) = ₽*»•
Множество Аа можно представить себе как совокупность всех
«возможных значений /(а*)». Для каждого Р выбираем та-
кое 9 (Р) р, что р(Р)||— t (а*) = р*. Для разных р < х условия
<?(Р) будут несовместимыми, так как они вынуждают противо-
речащие суждения. Значит, выполняется card Аа < х, поскольку
§ 3. КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
121
Р удовлетворяет х-УА. Отсюда в силу регулярности и получаем
card А < х, где А= U Аа. (Все эти рассуждения действительно
а<А,
можно провести в М благодаря лемме 2.11 об определимости.)
Таким образом, доказано cardMA<x. Теперь мы получим
противоречие, если докажем, что к^А, т. е. и не является кар-
диналом в М. Рассмотрим произвольное 0 < х. Имеем р = f (а)
для некоторого а < Л. По лемме об истинности найдется q е G,
вынуждающее /(а*)=р*. Можно, не ограничивая общности,
предполагать, что q р. (Если это не так, то вместо q берем
такое г<= G, что и В силу 2.8 (iii) условие г также
будет вынуждать /(а*)=р*.) Но существование такого q как
раз и означает ре4а = /1. Итак, х = Л, что и требовалось. □
Отметим, что если в ситуации 3.4 X х является кардина-
лом в М, то тем более множество Р будет удовлетворять Л.-УА
внутри М, и Р||—(Л* является кардиналом). Значит, если
М |= (Р удовлетворяет у. с. ц), то все кардиналы модели М со-
храняются в любом генерическом расширении А4 [G]. Отметим
также, что каждое Р <= М тривиальным образом удовлетворяет
у. с. ц. в классе всех множеств, так как оно счетно. Но задача
состоит в том, чтобы установить, выполняется ли внутри мо-
дели М у. с. ц. для Р.
3.5.	Лемма. Каков бы ни был ординал а, а-коэновское ЧУ
множество удовлетворяет у. с. ц.
Доказательство основано на следующем результате:
3.6.	Комбинаторная лемма. Пусть кардинал и удов-
летворяет равенству кк = х для всех кардиналов К < х. Пусть
также семейство F мощности >х состоит из множеств, каждое
из которых имеет мощность <х. Тогда найдется такое подсе-
мейство E^F мощности >х и такое множество е мощности
<х, что для любых различных d, d'^E будет d(]d' — e.
Посылка этой леммы выполняется при х = ®. В предполо-
жении СН она также выполняется при х = ©ь Кроме того, по-
сылка влечет регулярность кардинала х, поскольку для любого
кардинала х справедливо неравенство хс,х > х. Доказательство
леммы 3.6 при х = со см. в гл. 3 (теорема 5.7) или в статье
Марчевского [1]. Доказательство 3.6 в общем случае яв-
ляется несложным обобщением.
Доказательство 3.5 (с помощью 3.6). Предположим
противное: существует несчетная антицепь А в а-коэновском
ЧУ множестве Р. Для каждого конечного a s а X ® существует
лишь конечное число функций из а в {0, 1}. Значит, семейство
F — {domp: реЛ} должно быть несчетным. Применяем 3.6 при
х = ® и находим такое несчетное Е s F и такое конечное мно-
жество е, что для любых различных d, d' Е будет d f| d' = е.
Поскольку существует лишь конечное число функций из е
122
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
в {О, 1}, то можно подобрать такие р, q^A, что множества
domp и dom q будут различными элементами семейства Е и p,q
согласованы на е. Но теперь r = p\}q является функцией, про-
должающей как р, так и q, т. е. различные р, q^A оказались
совместимыми — противоречие! □
Пусть М, Р, G и N таковы, как в 3.2. Применяя лемму 3.5
внутри модели М, имеем М |= (Р удовлетворяет у. с. ц.). Следо-
вательно, в силу 3.4 каждый кардинал модели М сохраняется
в N, и тем самым со^ = со^. Таким образом, сделан последний
шаг в доказательстве следующей теоремы:
3.7.	Теорема (Коэн). Существует такая СТМ N, что N h=
|= ЯСН.
Обратимся теперь к вопросу об истинности СН внутри СТМ.
Истинность СН внутри СТМ М означает, что существует функ-
ция f е Л1 из	на (со). Если таких функций нет
(т. е. М h= ПСН), то мы покажем, как можно построить гене-
рическое расширение У модели М, в котором такая функция f
существует.
3.8.	Определение. Антикоэновским ЧУ множеством назы-
вается множество
Р — {р\ (р есть функция) Д card dom р^ со
Д dom р (Oj Л ran р & (со)},
частично упорядоченное обратно включению.
3.9.	Лемма. Пусть М есть СТМ, и Р&М таково, что
М\= (Р есть антикоэновское ЧУ множество). Пусть также
G Р является М-генерическим множеством, N = М [G] и
g = U О. Тогда g<=N и g есть функция из cof1 на (со).
Доказательство. Поскольку G^N, то g^N очевидно.
Заметим, что Р совпадает со следующим множеством:
{р е М: (р — функция) A cardM dom р со
Д dom р^ о?1 A ran р (со)}.
Теперь, чтобы показать, что g является функцией, рассуждаем
аналогично 3.2 (i). Чтобы показать rang = (со) и domg =
= ®i\ рассуждаем аналогично 3.2 (ii) с учетом плотности мно-
жества {р е Р: а^ ran р} при любом а е (со) и плотности
множества {реР: ае domp} при любом a<cof4. □
Лемма 3.9 сама по себе еще не дает Aff=CH. Однако
если мы докажем, что &N (со) = (со) и что coj* сохраняется
в N (т. е. со^ = со^), то из 3.9 как раз и получится ЛГН=СН.
Начнем со следующего определения.
§ 3. КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
123
3.10.	Определение. Пусть х со — кардинал. ЧУ мно-
жество Р называется и-замкнутым, если для любого X х
и любой убывающей последовательности <р^:	условий
Pl&P (т. е. рх\ Ръ при £ т]) найдется такое реР, что
р р^ для каждого | < X. ЧУ множество Р называется и-дис-
трибутивным, если пересечение любого семейства, состоящего
из х открытых плотных подмножеств множества Р, является
плотным. (Ясно, что такое пересечение открыто).
Пример. Антикоэновское ЧУ множество Р является со-замк-
нутым. Если мы имеем счетную последовательность функций из
Р, каждый член которой продолжает все предшествующие
члены, то объединение р всех членов этой последовательности
остается функцией со счетной областью определения и, следо-
вательно, является элементом множества Р, продолжающим
любой из членов данной последовательности.
3.11.	Пр едложение. Для любого кардинала х > о и лю-
бого ЧУ множества Р выполняется'.
(i)	Если Р п-замкнуто, то Р является и-дистрибутивным.
(ii)	Если кардинал х сингулярен и Р К-замкнуто {или к-дис-
трибутивно) при любом К х, то Р является ^-замкнутым {со-
ответственно н-дистрибутивным).
Доказательство, (i) Пусть каждое < х, является
открытым плотным подмножеством данного х-замкнутого ЧУ
множества Р. Докажем плотность пересечения этих множеств.
Рассмотрим произвольное реР. Построим убывающую после-
довательность <р$: £ х> элементов множества Р следующим
образом. Положим ро = р. Если р^ определено, то выберем та-
кое Pfc+i р$, что р^+1 е (это можно сделать в силу плот-
ности D^). Если ординал Х^х пределен и р$ уже построены
для всех | < X, то пусть рк^ Р таково, что рх р$ для любого
g < X (такое существует в силу х-замкнутости). В конце концов
получим такое рк р, что рн е П £)^, так как множества
открыты и ри Ps+i е D$. Плотность пересечения множеств
доказана.
(ii)	(Для замкнутости.) Заметим, что из любой убывающей
последовательности <р$: g < х> можно выделить такую подпо-
следовательность (рц: т) < cf х>, что для каждого р$ наймется
Рп Pi-
(Для дистрибутивности.) Заметим, что любое пересечение х
множеств может быть представлено как пересечение cfx мно-
жеств, каждое из которых является пересечением <х мно-
жеств. □
3.12.	Теорема. Пусть М есть СТМ, Р^М есть ЧУ мно-
жество, а к является кардиналом в М. Предположим также, что
М |= (Р является и-дистрибутивным). Пусть, наконец, G Р
124
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
есть М-генерическое множество, lV = Af[G] и feN является
функцией, причем dom f — % и ran f = Af. Тогда f^M.
Доказательство. По лемме о минимальности найдется
такой Р-терм t е М, что f = IQ (/). Можно считать, что ZsP X
X(хXЬ). Предположим противное: f <£Х = {h<= М: h — функ-
ция Д h s V. X Ь}. По лемме об истинности некоторое p^G
вынуждает (t является функцией из х* в Ь* и t ф X*). Мы получим
противоречие тем, что найдем такие и /геХ, что q вы-
нуждает Va < х* (/ (a) = h* (a)), т. e. t — h*.
Следующие рассуждения проходят в модели Af. Для каж-
дого а<х пусть Da = {q ^.р: Все Ъ (</Ц— t (а*) = с*)}. Тогда
каждое Da открыто и плотно ниже р в множестве Р. Действи-
тельно, то, что Da открыто, следует из 2.8 (iii). Для доказа-
тельства плотности рассмотрим произвольное q р. Поскольку
<711—Вс е b* (t (a*) — с), то в силу 2.10 (v) найдутся такие се b
и г ^q, что г ||— t (a*) = с*. Последнее означает, что re£)a.
Плотность Da ниже р доказана.
Теперь в силу х-дистрибутивности пересечение П будет
а<х
плотным ниже р. (Строго говоря, дистрибутивность нужно при-
менить к множествам Еа = {q е Р: р, q несовместимы V q е
ейа}, которые плотны в Р; ср. с доказательством леммы 2.13).
Если теперь q принадлежит всем множествам Da, то, определяя
й = {(а, с) е х X b: q ||— t (а‘) = с*},
мы получим йеХ и, очевидно, q||— Va <х*(/(а) — h*(а)), что
и требовалось. (Все эти рассуждения «проходили внутри мо-
дели М». Любое использование вынуждения внутри М опи-
рается на лемму 2.11 об определимости.) □
3.13.	Следствие. В обозначениях 3.12 имеет место:
(i)	^(x) = ^M(x).
(ii)	Каждый кардинал К модели М такой, что Л^(х+)м, со-
храняется в N.
Доказательство, (i) Если бы нашлось множество
а е ^(х)- ^(х), то его характеристическая функция дала
бы контрпример к лемме 3.12.
(ii)	Пусть %, цеМ — кардиналы в М, и р < X (х+)м.
Если бы нашлась функция f^N из ц на А, то тривиальное
продолжение g функции f на множество х, определяемое усло-
вием §(«) = 0 при |л a < х, давало бы контрпример к лем-
ме 3.12. □
Пусть теперь М, Р, G и N таковы, как в 3.9. Тогда М |= (Р
является w-замкнутым). Значит, из 3.13 следует равенство
&N(ш) =	(ш) и сохранение кардинала®*1 в W. Как раз это
и требовалось нам для доказательства следующей теоремы:
§ 3. КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
125
3.14.	Теорема (Гёдель). Найдется такая СТМ N, что
N к СН.
Первоначальное доказательство этой теоремы, принадлежа-
щее Гёделю, на четверть столетия предшествовало открытию
метода вынуждения. Гёделем была построена модель, в которой
выполняется не только СН, но также и GCH, и даже более
сильный принцип, так называемая аксиома конструктивности
(V = L). Об этом см. гл. 5.
Следующая техническая лемма часто используется ниже:
3.15.	Теорема. Пусть М есть СТМ, Р&М есть ЧУ множе-
ство, а и, К, |i, v являются кардиналами в М. Пусть также
Л4 |= (v = х1»1 Л card Р = н Л Р удовлетворяет Х+-УА). Тогда
Доказательство. Пусть G ^Р есть М-генерическое мно-
жество и W = A1[G]. Мы докажем, что внутри У каждое под-
множество множества ц. может быть получено с использованием
интерпретации 1а из термов, принадлежащих определенному
множеству SsAl, которое удовлетворяет неравенству cardMS^
v. Тем самым будет доказано (2^)*^v. Определим S ра-
венством
S = {f е М: (f — функция) Д dom f s Р X Р Л ran f = {0, 1}
Л Va < ц (множество A (a, f)— {р е Р: (р, а) е dom f}
является максимальной антицепью)}.
Множество S принадлежит модели М в силу леммы об опреде-
лимости.
Рассуждаем внутри М. Любая антицепь в Р имеет мощ-
ность Поскольку card Р = х, то всего имеется =^хх анти-
цепей А = Р. Но область определения dom f каждого f е S пол-
ностью определяется последовательностью из ц. антицепей
A(a,f), а < ц. Кроме того, cardfgeS: dom g — dom f} 2X^
для каждого feS. Таким образом, cardS (хх)^-2х^ =
=	= V.
Поскольку все это истинно внутри М, то мы имеем
cardM S < v и тем более card* S ^v. Теперь рассуждаем внутри
модели N. Для любых а < ц и f е S множество А (а, f) П G
имеет ровно один элемент в силу 2.15 (i); обозначим этот един-
ственный элемент через q(a,f). Положим /(/)={а<р:
а) = 0}. Тогда J отображает S в ^Р(ц).
Мы закончим доказательство, если покажем, что наша функ-
ция J&N отображает S на ^*(ц). Чтобы проверить это, рас-
смотрим произвольное ae^v(|i); а = 7о(/) для некоторого
Р-терма t е М.
Снова рассуждаем внутри модели М. По лемме Цорна най-
дется множество fsPXnX{0> 1}> максимальное по отноше-
126
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
нию к следующему свойству:
(если (р, а, f, то р||—а*е /)
Л (если (р, а, 1) то р\\— а* /)
Л (множество А (а, /) = {р: <р, а) (= dom /}
является антицепью для всех а).
Отметим, что из первых двух условий вытекает, что f —
функция. Мы утверждаем, что множества A (a, f) будут на са-
мом деле максимальными антицепями. Действительно, пусть,
напротив, найдутся такие а < ц и q Р, что q несовместимо ни
с каким р^Л(а, f). Тогда существует такое г q, что либо
г||—	либо г||—(это следует из 2.10 (iii) и того,
что q ||— а* е t у а* ф t). В первом случае f (J {<г, а, 0» дает
контрпример к максимальности f, а во втором случае контрпри-
мер дает	1». Это показывает, что \4(а, f) в самом
деле является максимальной антицепью, ьт, следовательно,
f S.
Осталось доказать J(f)=a. Рассмотрим произвольное а <
< ц. Пусть сначала а^а. По лемме об истинности некоторое
р G вынуждает а* t. Теперь мы не можем иметь равенство
f(?(a> а) = h так как в этом случае по определению f вы-
нуждающее условие q(a,f)^G вынуждало бы а* ф /, что про-
тиворечит p^G и р||— а* е Л Поэтому должно выполняться
равенство f (#(а, f), а) = 0 и тем самым а е J(f). Совершенно
аналогично доказывается, что из аец — а следует а ф J(f).
Итак, J(f)==a) что и требовалось для доказательства тео-
ремы. □
3.16.	Следствия теоремы 3.15. Пусть СТМ М такова, что
M|=GCH. Как отмечено после теоремы 3.14, такая модель
существует.
(i)	Пусть Р е М является о^-коэновским ЧУ множеством,
G^P есть М-генерическое множество и Af = M[G]. Мы уже
видели, что Af[=2<0>o1. Теперь, применяя теорему 3.15 при
% = v = и Л = ц = со, получаем точное равенство N |= 2° = со2.
Если же применить 3.15 при x = v = <o^, Х = <о и ц = (д^, то
получим A^2O1=<02. (Отметим, что из GCH следует g>2'=g)2=g)2.)
Таким образом, установлена непротиворечивость равенства
2(й = 2(й‘.
(ii)	Точно так же с помощью о^-коэновского ЧУ множе-
ства можно получить модель, в которой 2® = со3. Вообще, можно
построить модель, в которой 2е0 имеет любую «разумную» вели-
чину. (Хорошо известно, что 2® =# (д®. Применение со^-коэнов-
ского ЧУ множества дает 2° = <owh-)
§ 4. ПОЛЕЗНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
127
(iii)	Пусть
Р = {р <= М: (р — функция) A cardM dom р < со
A dom р со*1 х о*1 л ran р {0, 1}}.
Нетрудно проверить, что М |= (Р является ©-замкнутым).
Используя лемму 3.6 и GCH внутри М, можно доказать, что
М |= (Р удовлетворяет со^-УА). Таким образом, если G^P
есть М-генерическое множество, то в силу 3.4 и 3.13 каждый
кардинал модели М сохраняется в N = М [G]. Теперь нетрудно
проверить, что Af «= 2 ю* > саг, и даже точно установить с по-
мощью 3.15, что N |= 2®1 = ©3. С другой стороны, из ©-замкну-
тости и 3.13 следует ^(©) = fPM (©), откуда, очевидно, Af|==
|= 2е0 = ©ь
Для получения таких комбинаций, как 2е01 = <о3 Д 2е0 = <о2,
необходимо применить более тонкие методы, изложенные
ниже в § 5.
§ 4.	Полезные комбинаторные принципы
В этом параграфе мы рассмотрим комбинаторные прин-
ципы, которые часто используются во многих областях, от уни-
версальной алгебры до общей топологии. (См., например,
гл. 7.) Будет доказана (относительная) непротиворечивость
каждого из этих принципов путем построения соответствующей
модели. В большинстве случаев непротиворечивость может
быть также установлена выводом рассматриваемого принципа
из аксиомы конструктивности V = L (см. гл. 5), но такой вывод
обычно значительно длиннее, чем предлагаемые здесь построе-
ния, основанные на вынуждении.
4.1.	Определение. Пусть х есть регулярный несчетный
кардинал, и-деревом Курепы называется дерево высоты х, каж-
дый уровень которого имеет мощность <х и которое имеет
>х путей, и-гипотеза Курепы, КН(х), утверждает, что суще-
ствует х-дерево Курепы. Мы докажем непротиворечивость ги-
потезы KH(©i).
Пусть Р есть совокупность всех таких пар р = <JP, 1Р), ко-
торые удовлетворяют следующим условиям:
(1)	Тр является деревом.
(2)	Множество \ТР\ состоит из ординалов <Х
(3)	Каждый уровень Тр имеет мощность <х.
(4)	Высота Тр равна некоторому непредельному ординалу
ар + 1 < х, т. е. дерево Тр имеет непустой ар-й уровень, яв-
ляющийся самым высоким.
(5)	1Р есть биекция из некоторого подмножества множества
х+ на самый высокий уровень дерева Тр.
128
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
Упорядочиваем множество Р, полагая р ^q, если и только
если:
(6)	Тр есть продолжение дерева Tq, т. е. все уровни Тр
вплоть до а,-го совпадают с соответствующими уровнями Tq,
но Тр возможно имеет еще некоторые уровни выше а^-го
уровня.
(7)	dom 1Р э dom lq.
(8)	Для каждого ре dom/, в Тр выполняется неравенство
Мр) ^р(р)-
Это множество Р с указанным порядком называется к-ку-
реповским ЧУ множеством. Если ре Р, то Тр можно представ-
лять себе как часть х-дерева Курепы, которое мы хотели, бы
построить, а 1Р — как часть (будущей) функции, которая для
каждого р < х+ будет указывать, который из элементов са-
мого высокого уровня Тр принадлежит р-му пути сквозь Т
(в некотором списке из х+ таких путей, который также будет
построен).
4.2.	Лемма. Пусть кардинал х регулярен и несчетен, а Р
есть и-куреповское ЧУ множество. Тогда Р является к-замкну-
тым, каково бы ни было А < х.
Доказательство. Пусть А<х и < А> является
убывающей последовательностью в Р. Чтобы избежать гро-
моздких обозначений, через Т^ обозначим первый член пары
р6. Обозначения и имеют аналогичный очевидный смысл.
Отметим, что последовательность ординалов является не-
убывающей. Поскольку при | т] дерево Т^ является продол-
жением Т^, то объединение Т всех деревьев Т^, £ < А, будет
деревом высоты a = sup{av £ < А}. Пусть d = U dom/g. Для
каждого ped положим
b (р) = {а е Т: 3g < А (р е dom /$ А а < (р))}.
Это множество b (р) является путем сквозь Т, так как при | гС
т] < А и pedom/^ будет /6(р)	/^(р). Более того, по-
скольку все отображения /$ взаимно однозначны, то b (р) =4=
=/=6(о) при р ф а. Образуем дерево Т', добавляя к Т новый,
самый высокий уровень, содержащий для каждого ped неко-
торый элемент ар, удовлетворяющий ар а при любом а е
<= Ь (р). Пусть функция / с областью определения d такова, что
/(р)=ар для всех ped. Нетрудно убедиться, что = (Г', I)
принадлежит множеству Р и рх Рч для всех | < А. □
4.3.	Предложение. Пусть х — такой несчетный карди-
нал, что хл = х для всех А < х, м пусть Р есть к-куреповское
ЧУ множество. Тогда Р удовлетворяет %+-УА.
Доказательство. Пусть A SР есть множество мощно-
сти х+. Докажем, что А не является антицепью. По условию
§ 4 ПОЛЕЗНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
129
существует только х подмножеств множества х, имеющих мощ-
ность <х. Более того, имея некоторое множество мощности
X, мы можем частично упорядочить это множество и превра-
тить его в дерево не более чем 2х хл = х способами. Следо-
вательно, существует не более х деревьев, удовлетворяющих
требованиям (1) — (4), которые накладывает на Тр определение
х-куреповского ЧУ множества. Поэтому найдется такое множе-
ство Д' А мощности х+ и такое фиксированное дерево Г, что
ТР = Т для всех р е Д'.
Далее, для каждого множества d х+ мощности X < х су-
ществует не более чем х биекций из d на самый высокий уро-
вень дерева Т и, следовательно, не более чем х таких р е Д',
что dom Zp = d. Таким образом, множество D = {dom lp\ р (=
е Д'} имеет мощность х+, и с помощью леммы 3.6 мы можем
подобрать такое множество Е D мощности х+ и такое в, что
d{\d' = e для любых различных d, d'^E. Но так как суще-
ствует не более чем х функций из этого е в самый высокий уро-
вень дерева Г, то найдутся такие р, q е Д', что dom 1Р и dom lq
являются различными элементами множества £, и /р, lq согла-
сованы на е. Доказательство предложения будет закончено,
когда мы докажем, что эти р и q совместимы.
Добавим к дереву Т новый, самый высокий уровень, содер-
жащий по одной точке над каждым элементом вида /Р(р), где
рее, и по двум различным точкам над каждым элементом
вида Zp(p), где ре domZp— е. (Отметим, что каждый такой
элемент также имеет вид Zp(p) для некоторого pedom/p— е.)
В результате получилось новое дерево Т'. Пусть функция I'
определена на множестве domZPUdomZt? следующим образом:
{единственная точка над Zp(p), если р е е,
1-я точка над Zp(p), если pedomZp — е,
2-я точка над Zp(p), если pedomZp—-е.
Нетрудно проверить, что р' = (Т', I'} принадлежит множеству
Р и удовлетворяет р' ^Zp и р' q, что и требовалось. □
Мы оставляем читателю проверку следующего утвержде-
ния: если кардинал х регулярен, Р есть х-куреповское ЧУ мно-
жество, то все множества Da = {ре Р: ар > а} при а < х
и все множества Ер = {р е Р: ре dom Zp} при р < х+ являют-
ся плотными в Р.
4.4.	Теорема (Стьюарт). Существует такая СТМ N, что
ДГНКНЫ.
Доказательство. Читатель может доказать самостоя-
тельно или принять на веру то, что понятие дерева, а также
понятия уровня, высоты и пути для деревьев абсолютны. (Ука-
зание. Нужно использовать 1.6 (iii) и (iv).) Таким образом,
5 Справочная книга, ч II
130
ГЛ. 4 ВЫНУЖДЕНИЕ
нет необходимости делать различие между употреблением этих
понятий внутри и вне СТМ.
Пусть СТМ М такова, что М |= GCH. Положим х = со^.
Пусть Р е М таково, что М (Р есть х-куреповское ЧУ мно-
жество). Возьмем М-генерическое множество G^P и обозна-
чим N = M[G] и Т— (J TP<=N. Докажем, что N (= (Т есть
реб
х-дерево Курепы). Отметим, что из 4.2 и 4.3 и из лемм § 3 сле-
дует: все кардиналы модели М сохраняются в W и тем самым
х = со^ и (oJ4 = (O2/V.
Если р, q^P совместимы, то либо Тр является продолже-
нием Tq, либо наоборот. Поскольку все элементы множества G
попарно совместимы, то Т будет деревом, продолжающим каж-
дое из деревьев ре G. Кроме того, каждый уровень де-
рева Т является уровнем одного из деревьев Тр, р е G, и по-
этому имеет мощность <х внутри М. Для каждого а < и
определенное выше х(после доказательства 4.3) множество Da
плотно в Р. Значит, Da f) G =/= 0. Отсюда следует, что высота
дерева Т больше чем а. Таким образом, высота Т равна х.
Если р, q е G и р е dom lp Q dom lq, то в силу совместимости
р и q точки /Р(р) и /<?(р) сравнимы в Т. (Обе они ^/г(р) для
любого г такого, что г^р и г q.) Если р, credom/p раз-
личны, то /Р(р) и /р(о) несовместимы в Г, поскольку они яв-
ляются элементами одного и того же ар-го уровня дерева Т.
Далее, если а < х, р < со^ и множество Ер таково, как ука-
зано выше (после доказательства 4.3), то вследствие плотности
найдется р е Z)a П Ер П G. При этом /Р(р) определено и имеет
уровень >а в Т. Приведенные рассуждения показывают, что
если для каждого р < определить
В (р) — {а е Т: Bp<=G(p<= dom р A a </р(р))},
то В(р) окажется путем сквозь Т и В(р)=/=В(а) для различных
р, о. Значит, внутри W имеется множество {В (р): р < co^J мощ-
ности > х, состоящее из путей сквозь дерево Т. Это и доказы-
вает N |= КН (х). □
Несложные изменения конструкции позволяют построить
модели, в которых истинно КН(ю2), КН(со3) и т. п. Также
можно получить coi-дерево Курепы, в котором будет со3 или
даже большее число путей; в такой модели автоматически вы-
полняется 201 > со2, так как дерево мощности х может иметь
не более 2х путей. Более интересным вариантом теоремы 4.4
является следующая
4.5.	Теорема (Сильвер4). Существует такая СТМ N', что
^Н(2и‘> <о2 А найдется (^-дерево Курепы, имеющее ровно <о2
путей).
§ 4. ПОЛЕЗНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
131
Доказательство. Пусть М, Р, G, N и Т таковы, как
в доказательстве теоремы 4.4. Тогда Т является <о{-деревом
Курепы внутри модели N. Мы имеем A^f=2<0 = co1, так как это
равенство истинно в М, a (со) = (со) (следует из со-замк-
нутости Р). Кроме того, поскольку GCH истинна внутри М,
то, применяя 3.15 при x = v = co£1 = cdW и Л = ц = сд^ = сд^,
получаем П |= 2Wl = со2. Значит, N\=(T имеет ровно <о2 путей).
Пусть теперь	есть множество {p^N: р — функция
A cardN dom р О д dom	ran р {0, 1}|, час-
тично упорядоченное обратно включению. Мы уже отмечали
в конце § 3 (см. 3.16 (iii)), что W |= (множество Q удовлетво-
ряет (02-УА и со-замкнуто). /Мы видели также, что если множе-
ство Н Q является А/-генерическим, то все кардиналы W со-
храняются в N[H] и	= со3. Поскольку все карди-
налы сохраняются, то Т остается coi-деревом Курепы внутри
N[H]. Теперь, чтобы проверить, что N[H]\=(T имеет ровно сог
путей), достаточно доказать, что каждый путь сквозь Т, при-
надлежащий П[Н], принадлежит уже модели В несколько
измененных обозначениях это утверждение составляет содер-
жание следующей леммы.
4.6.	Лемма. Пусть М есть СТМ, Р^М есть ЧУ множе-
ство, %еМ, Т е М. Предположим, что М |= (кардинал х непре-
делен ЛР является ^-замкнутым при любом X < х А Т — де-
рево, высота которого равна и А каждый уровень Т имеет мощ-
ность <х). Пусть также G^P есть М-генерическое множество
и W = A1[G]. Тогда каждый путь сквозь дерево Т, принадле-
жащий N, принадлежит уже модели М.
Доказательство. Для простоты рассмотрим случай
х = (014. Пусть X — {В^М\ В есть путь сквозь Т}. Предполо-
жим противное: путь В е П сквозь дерево Т таков, что В ф X.
Тогда В = Ig (О для некоторого Р-терма / еМ.
Назовем реР хорошим, если р\\— (t есть путь сквозь
Т*А/^Х*). Отметим, что существует хорошее p^G. Отме-
тим также, что:
(i)	Если р хорошее и q р, то q также хорошее.
(ii)	Если р хорошее, р\\— а* t и Ь а в Т, то р||— b*
(iii)	Если р хорошее, р ||— a*	и р||—то а и &
сравнимы в Г.
(iv)	Если р хорошее и а < х, то найдугся такие q^p и
а^Та, что q\\— a* (Так как р\\— ЗхеТ* (х е /).)
(v)	Если р хорошее и а < х, то найдутся: такое 0, а <
< 0 < х и такие q, г ^.р и различные а, Ь^Т$, что
q\\—a*^t и г||—
5*
132
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
Чтобы проверить (v), предположим, что таких fk q, г, а и b
нет. Тогда из (i) — (iv) следует, что множество С = {а^Т\
3q p(q ||— а* е /)} является путем сквозь Т. Более того,
С М. (Это следует из леммы об определимости.) С другой
стороны, нетрудно видеть, что р||— t = C*^X*, что противоречит
тому, что р хорошее.
Следующие рассуждения проходят внутри М. Для каждой
конечной последовательности $, состоящей из нулей и единиц,
построим хорошее p(s)eP, ординал a(s) < х, а также a(s)^Ta{s}
такие, что p(s)||—-(a(s))* е/. Построение проходит следующим
образом. Для пустой последовательности 0 в качестве р({ ))
берем любое хорошее р^Р, полагаем а(( )) = 0, а в качестве
а({ )) берем единственный элемент уровня TQ, т. е. наименьший
элемент дерева Г. Если p(s), a(s) и a(s) уже построены, мы
в силу (v) можем подобрать ординал Р, a(s)<P<x, условия
р($Л0), p(sAl)^p(s), и различные a(sA0), a(s^ 1) е так,
что будет р ($ Л i) ||— (a (s Л /)) для / = 0,1. Полагаем a (s Л 0) =
= а($Л1) = р. Из (iii) следует, что a (s) (sA 0), a(sAl) в Т.
Теперь с помощью ©-замкнутости мы можем для каждой ©-по-
следовательности S нулей и единиц подобрать такое р (S) е Р,
что р (S) р (S f п) для всех п ©.
Пусть a = sup {a (s): s есть конечная последовательность
нулей и единиц}. Согласно (iv) для каждого S существуют
такие q (S)	(S) и a (S)^Ta, что q (S) ||— a По построению
а ($Л0) и a(sA 1) являются несовместимыми в Г. Наконец, из
(iii) следует a (S f п) ^.а (S) для всех п < ©. Следовательно, при
S =/= S' будет a(S)=#a(S')- Но тогда card Га^2<0^©1.
Все эти рассуждения, которые мы провели в Л4, показывают,
что cardM Та ©f1, что противоречит посылке леммы. Это про-
тиворечие завершает доказательство 4.6 и 4.5. □
Изложенное доказательство принадлежит Сильверу [1].
Другое доказательство, также основанное на вынуждении,
см. Иех [1]. Рассмотрим теперь несколько измененный ва-
риант кн.
4.7.	Определение. Если Т есть дерево,ординал а меньше,
чем высота Г, и & является элементом Т уровня (или путем
сквозь Г), то через ла(&) обозначим единственное а е 7\, удов-
летворяющее неравенству а b (соответственно а е &).
Для каждого несчетного регулярного кардинала к через
W(%) обозначается предположение о том, что существуют:
(1)	х-дерево Курепы Т,
(2)	семейство F мощности >х, состоящее из путей сквозь Г,
(3) функция W с областью определения х
§ 4. ПОЛЕЗНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
133
такие, что каждое 1Г(а), а < х, есть семейство мощности
<х, состоящее из подмножеств уровня Та, и, кроме того, для
каждого множества S F мощности <х найдется такое а < х,
что, каково бы ни было 0, удовлетворяющее неравенствам
а < р < х,
{лр(В):
Пусть Р есть совокупность всех четверок р = <ТР, lp, Wp, Sp>,
удовлетворяющих условиям (4) — (7):
(4)	<ТР, 1Р) принадлежит х-куреповскому ЧУ множеству,
(5)	Wp есть функция, область определения которой совпа-
дает с высотой ар + 1 дерева Тр,
(6)	№Р(а) есть семейство мощности <х, состоящее из под-
множеств а-го уровня дерева Тр (при любом aEdomll/p),
(7)	Sp есть семейство мощности <х, состоящее из подмно-
жеств множества dom 1Р.
Вводим на Р частичный порядок, полагая р q, если
и только если выполняются условия (8) — (11):
(8)	<ТР, 1Р) {Tq, lq) в смысле х-куреповского ЧУ мно-
жества,
(9)	Wp продолжает Wq,
(10)	Sp=>Sq,
(11)	для любого ординала а такого, что aq < a ap, и лю-
бого S<=Sq множество {ла(/Р(р)): p^S} принадлежит Ц7р(сс).
Это множество Р с указанным порядком называется W (х)
ЧУ множеством. Доказательство следующей леммы (почти
аналогичное доказательствам 4.2 и 4.3) оставляется читателю.
4.8.	Лемма. Пусть Р есть W(и) ЧУ множество для неко-
торого регулярного несчетного кардинала к. Тогда:
(i)	Р является ^-замкнутым при любом Л < х.
(ii)	Если = х для всех Л < х, то Р удовлетворяет х+-УА.
(iii)	Для каждого а < х множество Da= {р^ Р: аР > а}
плотно в Р. Для каждого Ssx+ мощности <х множество
Es= {р^Р: S dom /р AS е Sp} плотно в Р.
4.9.	Теорема (Сильвер). Существует такая СТМ N, что
N\= r(cdi).
Доказательство. Пусть М есть СТМ, х = <о^ и
М |== GCH. Пусть Р^М таково, что М [= (Р есть W(%) ЧУ
множество). Пусть, наконец, множество G^P является Л4-ге-
нерическим и jV = M[G], Из предыдущей леммы следует, что
все кардиналы модели М сохраняются в N.
Определим Т— (JTeN. Для каждого р<<о^ = со^ через
peG Р
В(р) обозначим р-й путь сквозь дерево Т, определенный в до-
казательстве теоремы 4.4. Положим F = {B(p): р < Для
каждого a <	определим W (a) = Wp (а), где р е Da f] G
134
ГЛ. 4 ВЫНУЖДЕНИЕ
произвольно, a Da определено в 4.8 (iii). Это определение W (а)
не зависит от выбора р вследствие совместимости элементов
множества G и того, что если р, q е Р совместимы, то либо
Wp продолжает Wq, либо наоборот. Мы утверждаем, что мно-
жества Г, F и W как раз таковы, чтобы обеспечить выполнение
W (со,) внутри модели N.
Чтобы проверить это, рассмотрим произвольное множество
S е N, S F, имеющее внутри N мощность <х. Пусть
S' = {р<(о^: B(p)eS}. В силу со-замкнутости множества Р и
леммы 3.12 каждая функция f е Л/’, отображающая со на S',
принадлежит М. Следовательно, S'^M. Теперь, согласно
плотности множеств Es, определенных в 4.8 (iii), найдется та-
кое р G, что S'e Sp. Осталось доказать, что если < а < х,
то {ла(В): B^S}^W(a). &ля этого рассмотрим произволь-
ное q е G П Da, удовлетворяющее неравенству q р. Требо-
вание (11) в определении порядка на Р гарантирует нам, что
{ла(В): Ве$} = {ла(Мр)): Ре= S'} е= Г^а) = W(а). □
4.10.	Определение. Для каждого несчетного кардинала
х через □ (х) обозначается предположение о том, что сущест-
вует функция С с областью определения {а < х+: Lim(a)},
удовлетворяющая при любом a dom С таким трем условиям:
(i)	C(a)^a и С (а) является з. н. о. в а.
(ii)	Если cf а < х, то card С (а) < х.
(iii)	Если р есть предельная точка множества С (а), т. е.
если ₽<аи С(а)П0 конфинально в 0, то С(0)=С(а)П0.
В случае, когда кардинал х сингулярен, посылка в (ii)
обычно опускается, и (ii) принимает вид
(ii') card С (а) < х.
Докажем, что предположения □(coi), □ (со®) и т. п. непроти-
воречивы.
Используем для этого совокупность Р всех функций р с об-
ластью определения {а < а(р): Lim(a)} для некоторого пре-
дельного ординала а(р)<х+, удовлетворяющих условиям
(i) — (iii) для каждого aedomp. Вводим частичный порядок
на Р обратно включению. Это множество Р с указанным по-
рядком называется П(х) ЧУ множеством.
4.11.	Лемма. Пусть кардинал х несчетен, а Р есть П(х)
ЧУ множество. Тогда Р является и-дистрибутивным.
Доказательство. Будем доказывать именно дистрибу-
тивность: Р не является х-замкнутым. Сначала рассмотрим по-
следовательность <£>^: £ < Х> длины X < х открытых плотных
множеств Dt^P. Докажем, что пересечение Г1 плотно.
Тем самым будет установлена Х-дистрибутивность для всех
К < х. В случае, когда кардинал х регулярен, доказательство
§ 4. ПОЛЕЗНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
135
проходит и при к = х. Если же х сингулярен, то мы получим
дистрибутивность из 3.11 (ii).
Фиксируем произвольное ре Р. Будем строить убывающую
последовательность <р$: g Л> элементов множества Р сле-
дующим образом. Полагаем ро = р. Для непредельного орди-
нала £+1, если р^ уже построено, то берем такое p^+i р5,
что р vs 1 <= D%. Пусть ординал t ^к пределен и р$ уже построе-
но для всех g < g. Тогда f — U Pt будет функцией, удовлетво-
ряющей условиям 4.10 (i) — (iii) и определенной на множестве
всех предельных ординалов <а, где a = sup{a(p^): g < g}.
Рассмотрим продолжение g функции f на множество {0 а:
Lim(P)}, определенное равенством g(a) = {a(p$): g< g}. Если
эта функция g таюйе удовлетворяет 4.10 (i) — (iii), то в каче-
стве pi берем g. В противном случае р^ не определяем и по-
строение заканчиваем.
Если наше построение не заканчивается до шага Л, то в его
результате мы получаем множество рх, принадлежащее каж-
дому D%. Поскольку исходное ре Р было произвольным, то
это доказывает искомую плотность пересечения П Dp. Поэто-
му достаточно доказать, что построение действительно продол-
жается до к.
Предположим противное: построение заканчивается на не-
котором предельном ординале g < к. Это может быть только
в случае, когда g(a) = {a(p^): g < g} не удовлетворяет усло-
виям 4.10 (i) — (iii).
Ясно, что g(a) конфинально в а. Кроме того, если g < л <
< g, то из р^ < Рл следует а(р^)< а(рл). Поэтому каждый
ординал 0 < а, являющийся предельной точкой множества
g(a), имеет вид 0 = sup{a(p^): g < т]} для некоторого пре-
дельного т) < g. Тогда по построению выполняется а(рл) = 0 и
0eg(a). Таким образом, множество g(a) замкнуто в а, и
4.10 (i) не может нарушаться.
Далее, в соответствии с построением на предельных шагах
Т]<£ имеем £(а(рл)) = рл(а(рл))= {а(р6): £ < п} = £(«)Л
П&(рт]). Значит, 4.10 (iii) также нарушается. Наконец, и 4.10
(ii) не нарушается, поскольку card g(a) card а к < х.
Итак, мы получили противоречие, которое показывает, что по-
строение ръ действительно продолжается до к. □
4.12.	Лемма. Пусть х и Р таковы, как в лемме 4.11. Тогда
для каждого предельного ординала а < х+ множество Da =
= {р е Р: а(р) а} открыто и плотно в Р.
Доказательство. Открытость Da очевидна. Докажем
плотность индукцией по а. Если существует наибольший пре-
дельный ординал 0 <а и множество Dp плотно в Р, то мы
имеем а = 0 + <о. Кроме того, каждое p^D$ тривиальным
136
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
образом продолжается до q^Da определением ^(а)= {0 + п\
п < со}, и поэтому Da плотно. Если же а пределен в ряду пре-
дельных ординалов и все множества открыты и плотны для
предельных 0 < а, то множество Da — Г1 также будет
0<а р
плотным в силу х-дистрибутивности. □
Заметим, что в предположении QCH мощность П(х) ЧУ
множества равна х+, поэтому оно, очевидно, удовлетворяет
х++-УА.
4.13.	Теорема (Йенсен). Существует такая СТМ N, что
N ]== □(ел), и аналогично для П((02), □((о©) и т. п.
Доказательство. Пусть М есть СТМ и М (= GCH. По-
ложим х = (о^(или (о^, или вообще любой кардинал модели
М). Пусть Р^М таково, что М |= (Р есть П(х) ЧУ множест-
во). Возьмем М-генерическое множество G^P и обозначим
N = М [G] и С = (J G е N. Вследствие дистрибутивности и х++-
условия антицепей все кардиналы модели М сохраняются в N.
Нетрудно проверить, что С является функцией (ср. с леммой
3.2 (i)) с областью определения domC = (x+)M. В силу сохра-
нения кардиналов будет (n+)N = (х+)м. Нетрудно проверить
также, что С удовлетворяет условиям 4.10 (i) — (iii) внутри Af,
поскольку множества имеют одну и ту же мощность в М и в 7V,
а понятие з. н. о. множества абсолютно. Подробности мы остав-
ляем читателю. □
4.14.	Определение. Для каждого несчетного кардинала
и через Е(и) обозначается предположение о том, что сущест-
вует такое стационарное множество состоящее из пре-
дельных ординалов конфинальности со, что £ Г) а не является
стационарным в а ни для какого предельного кардинала а < х
конфинальности >со.
Пусть Р есть совокупность всех таких пар р = <£р, ар>,
что ар < х, множество Ер s ар состоит из предельных ордина-
лов конфинальности ш, а Ер П а не является стационарным в а
ни для какого предельного ординала а ар конфинальности
>(о. Введем частичный порядок на Р, полагая р q, если
ар aq и Eq = Ер Q aq. Это множество Р с указанным поряд-
ком называется Е(х) ЧУ множеством.
4.15.	Лемма. Пусть кардинал и регулярен и несчетен, а Р
есть Е(х) ЧУ множество. Тогда Р является ^-дистрибутивным
для всех X < х.
Доказательство. Пусть <J\. g < %> есть последова-
тельность длины % < х открытых плотных множеств Р.
Зафиксируем произвольное р е Р и попытаемся построить такое
рх^р, что рк^ П D$. Тем самым будет доказана плотность
£<х
пересечения.
§ 4. ПОЛЕЗНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
137
Это Рх будет получено в результате построения убывающей
последовательности пар р^ = (Е^, а^,	которое проходит
следующим образом. Пусть р0 — Р- Если р% уже построено, то,
очевидно, (Е^,	Выберем р^+1	«а+ 1), при-
надлежатцее множеству Dv Такое определение обеспечивает,
что а^&Е^. На предельном шаге когда все р^ = (Е^
уже построены для £ < £, положим а = sup {а/, g < g), Е= (J
Если при этом (Е, а)еР, то определим Е^=Е,	= а, р^ = {Е, а).
Если же {Е, а) ф Р, то р^ не определяется и наше индуктивное
построение заканчивается.
Ясно, что если рх определено в результате этого построения,
то оно, как нам и нужно, принадлежит каждому множеству D%.
Предположим, что, напротив, наше построение обрывается на
каком-нибудь предельном шаге £ < н. Это может случиться
только в случае, когда (в предыдущих обозначениях) Е f] р
оказывается стационарным в р для некоторого предельного ор-
динала р а. Если Р < а, то Р < для некоторого £ < £, и
Ef] р — р не является’стационарным в р. Поэтому само Е
должно быть стационарным в а.
Однако по построению множество Е не пересекается с мно-
жеством С= {а$: £<£}, так как a^E*+i. Ясно, что это С
неограничено в а. Если £ < л < £, то < ал. Значит, если Р
является предельной точкой множества С, то р имеет вид р =
= sup {о^: £ < л} Для некоторого предельного л < £• Но тогда
по построению будет р = ал е С, Таким образом, С замкнуто
в а, и множество Е оказалось непересекающимся с з. н. о. мно-
жеством С. Следовательно, Е не является стационарным. Про-
тиворечие завершает доказательство. □
4.16.	Теорема (Йенсен). Существует такая модель N, что
N\= Е(со2), и то же самое верно для Е(со3) и т. п.
Доказательство. Поскольку понятия з. н. о. и стацио-
нарного множества вырождаются в случае счетных ординалов,
то мы не рассматриваем Е (<х>1). Пусть М есть СТМ и М (= GCH.
Возьмем % = (о£*(или	или любой кардинал внутри
М). Пусть Р&М таково, что М\=(Р является Е(х) ЧУ мно-
жеством). Пусть G^P есть М-генерическое множество, N =
= М[О] иЕ = U Вследствие дистрибутивности и %+-усло-
P&G
вия антицепей (последнее тривиально, так как card МР = х)
все кардиналы модели М сохраняются в N. Покажем, что мно-
жество Е как раз обеспечивает истинность Е(х) внутри Af.
Если р, q^P совместимы, то либо Ер = Eq(]ap, либо нао-
борот. Поскольку все элементы множества G совместимы, то
Ер — Е(]ар для всех p^G. Далее, нетрудно проверить, что
138
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
множество Da = {р е Р: ар > а} плотно в Р при любом а < х.
Рассмотрим теперь произвольный предельный ординал а < и.
Для него найдется p^Da(]G. Для этого р будет £р|а = £рПа.
Но Ер П а не будет стационарным в а внутри М по определению
Р, т. е. найдется такое з. н. о. в а множество С^М,
что С (]ЕР= 0. Поскольку это множество С принадлежит и
модели N, то внутри W множество EQ а также не будет ста-
ционарным. Теперь остается доказать, что само Е стационарно
в и внутри N, т. е. Е(]С=/=0, каково бы ни было принадлежа-
щее модели W з. н. о. множество С
Каждое (и) имеет вид £=/<?(/) для некоторого Р-терма
/еЛ1. Если С является з. н. о.,то некоторое pQ^G вынуждает,
что t является з. н. о. в х*. Пусть G = {(p, р): р^Р}. Имеет
место равенство G_—Ig(G). Отметим, что если р е Р и а < ар,
то р\\— (ае (J domG), если и только если а^Ер. (Так как для
любого Р-генерическото множества Н^Р такого, что р е Н,
будет ае (J dom/H(G) = U Eqi если и только если а^Ер.)
q&H
Теперь для доказательства СПЕ=^0 достаточно найти такое
p^Q, которое вынуждает:
(*)	/Л( U dom 0)^0.
Мы докажем, что на самом деле уже р0||— (*)• Для этого уста-
новим плотность в Р ниже ро совокупности всех q р0, вынуж-
дающих (*). В свою очередь для этого достаточно для каждого
р ро указать такое q р и такое а е Eq, что q ||— а* е t.
Итак, пусть р ро произвольно. Следующие рассуждения
проходят в М. Строим убывающую последовательность элемен-
тов qn — (Еп, множества Р и возрастающую последователь-
ность ординалов р„ < х, где п < <о, следующим образом.
Пусть qo = Р, ₽о = 0. Если qn и ря уже построены, то
qn ||— (t неограничено в и*), так как qn р0. Значит,
qn ||— ЭР (а* + 1, р* < р < х*ДРе/). Таким образом, можно вы-
брать такие qn+x < (Е„, <х„ + 1) < qn и Р„+1, что % + 1, р„ < р„+1 <
< * и <ln+i IH Р*„+1 t-
Положим теперь Е' = U Еп и у = sup {а„: п < со} = sup {рп: п<
<со}. Тогда, если q = {Е' U {у}, у + 1), то y^Eq и q^qn цля.
всех п. Кроме того, q\\— (t замкнуто в х*) и q\\— Р*е/ для
всех п, откуда ^||—у*^/. Итак, мы подобрали такие q^p
и у е Eqi что q\\— у*^/, что и требовалось. □
В заключение этого параграфа остановимся еще на двух
принципах.
§ 5. ОДНОКРАТНОЕ РАСШИРЕНИЕ ВМЕСТО ДВУКРАТНОГО
139
4.17.	Упражнение. Если Т есть (о2-дерево Курепы, F яв-
ляется семейством путей сквозь Т и множество С Т имеет
мощность (Oi, то множество {В (1 С: В е F} будет иметь мощ-
ность ^(Оь (В самом деле, Та для некоторого а < <о2. Мно-
жество В Q С полностью определяется некоторым а е В (1 Та, a
card Та (Оь) Покажите, что можно построить СТМ, в которой
есть (о2-дерево Курепы Т и семейство В, состоящее из (Оз путей
сквозь Г, такие, что для любого счетного С <^Т множество
{В П С: В е F} также счетно. Это делается с помощью подпо-
рядка (о2-куреповского ЧУ множества, состоящего из таких р,
что для каждого счетного С Тр семейство {{а<=С: a^b}: Ь
принадлежит ар-му уровню дерева Т} также счетно. Покажите,
что этот подпорядок также является (oi-замкнутым и т. д., а
затем действуйте, как в доказательстве теоремы 4.4.
4.18.	Упражнение (более трудное). Для каждого регу-
лярного кардинала х через О (х) обозначается предположение
о том, что существует функция S с областью определения х,
удовлетворяющая таким двум условиям:
(i)	S (а) е а для всех а < х.
(ii)	Для любого А х • множество {а < х: S (а) = 4(1 а}
стационарно в х.
0 (х) ЧУ множеством назовем совокупность всех функций
р, область определения которых есть ординал <х, таких, что
р(а)^а для всех a^domp. Это множество упорядочивается
обратно включению.
Покажите, что если М есть СТМ, М |= GCH, х = со*1,
М |= (Р есть 0 (х) ЧУ множество), G Р является Л4-генери-
ческим, W = М [G] и S = (J G е AZ, то S будет обеспечивать
истинность 0 (х) внутри АЛ Для этого рассмотрите такие Р-тер-
мы i, и^М, что Ig (t), Ig(u)^h и /g(0 является з. н. о. в х.
Постройте внутри модели М такие последовательности мно-
жеств РпеР,ВпеМ и рл < х, что рп 1|— р^ е /, Рд+1 > dom рп
и рп+1||— и Г) Рд = В*. (Чтобы получить последнее утвержде-
ние, заметьте, что в силу замкнутости для каждого р < х вы-
полняется ^N(p) =	(Р). Значит, если v (== (Р X Р) и
Х=:^м(р), то р||— v^X*.) Затем покажите, что каждое 7^
всех рп будет вынуждать (р* /Д (J О (Р*) = В*), где р есть sup
всех рп, а В — объединение всех Вп. Все рассуждения анало-
гичны доказательству теоремы 4.16.
§ 5.	Однократное расширение вместо двукратного
Иногда естественный путь для построения интересующего
нас генерического расширения состоит в том, что мы, начиная
с некоторой СТМ М и ЧУ множества QeM, берем Л4-генери-
140
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
ческое H^Q и строим первое расширение М' — М[Я]; затем
уже рассматриваем другое ЧУ множество 7? е М', берем М'-ге-
нерическое К s R' и строим искомое расширение N = М' [К] =
=	[К]. В частности, по такой схеме проходит доказатель-
ство теоремы 4.5. Этот путь является естественным также для
доказательства непротиворечивости таких утверждений, как
2® > ©! Л 2®1 > 2®. Мы покажем, как такое двукратное вынуж-
дение может быть заменено однократным. Начнем со случая,
когда ЧУ множество R е М' принадлежит уже модели М.
В этом параграфе нам придется делать различие между ЧУ
множеством Р и его основным множеством |Р|.
5.1.	Определение. Пусть Q и R являются ЧУ множе-
ствами. Прямым произведением Q ® R множеств Q и R назы-
вается ЧУ множество Р, основное множество которого |Р| =
— IQIX |R | (декартово произведение), а частичный порядок
определяется так: <<?, г>=^р<?', г'>, если и только если q^Qq'
и г Rr'. Отметим, что наибольшим элементом 1₽ множества
Р будет пара <1q, 1/?>.
5.2.	Первая теорема о произведении. Пусть М
есть СТМ, Q, R е М являются ЧУ множествами и Р = Q ® R.
Тогда:
(i)	Если G есть М-генерическое подмножество множества
Р, и мы определим
Н = {q <= | Q |: Br s I /? I ((<?, г} <= G)},
К = {г в I R |: В? <= | Q | «<;, г) & G)},
то Н будет М-гвнеричвским подмножеством множества Q, К бу-
дет М[Н]-генерическим подмножеством множества R и G =
^нхк.
(ii)	Если И есть М-генерическое подмножество множества Q,
а К есть М [Я] -генерическое подмножество множества R, то
НХК будет М-генерическим подмножеством множества Р.
(iii)	Если И и К таковы, как в (ii), то К также будет
М-генеричвским, а Н будет М[К]-генерическим.
Доказательство, (i) Отметим, что если (q, r)^G, то
<1q, г> и <<?, 1«> также принадлежат G, поскольку эти элементы
больше чем (q, г}. Значит, Н= {^e|Q|: <9, U)eG} и R —
= {г е|#|: <1Q, r>sG}.
Для доказательства Л1-генеричности множества Н рассмо-
трим произвольное плотное D^M, D s|Q(. Тогда DX Р| бу-
дет плотным в Р. Значит, найдется (q, г>е(£>Х|Я|)П G. Та-
ким образом, q&.D[\H, DftH 0.
Для доказательства М [Я] -генеричности множества К рас-
смотрим произвольное плотное D М[Н], D е|7?|. Найдется
такой Q-терм t е М, что D = 1н (/). Некоторое qo е Q вынуж-
§ 5. ОДНОКРАТНОЕ РАСШИРЕНИЕ ВМЕСТО ДВУКРАТНОГО
141
дает, что t плотно. Положим Е = {<*?, r>: q qo Л q\\— г* е /}.
(Е ge М в силу леммы об определимости.) Мы утверждаем, что
Е плотно ниже <^о, 1р> в Р.
Действительно, если <^, r> <^о, 1р>, то #||—(/ плотно в
/?*), откуда q ||— Hr' е | R |* (г' г* Л г' е /). Поэтому найдутся
такие q' q и г' ^Rr, что q' ||— (/)* е I. Но </, г'> <5 p(q, г}
и <</', г'> принадлежит множеству Е. Плотность Е доказана.
Согласно лемме 2.13 найдется некоторое (q, r)(=E[}G.
Имеем геК, а так как q^H вынуждает г* е/, то r^D. Та-
ким образом, K[\D =# 0; генеричность К доказана.
Наконец, покажем Н X К — G. Если q Н и г е К, то
Ро = <^> 1р> и р\ = <1q, г> принадлежат множеству G, и по-
этому найдется такое р' = </, г'> е G, что р' Р ро, р\. Ясно,
что <#, г>^рр'. Значит, <<?, r> е G, что и требовалось.
Доказательство (i) закончено (включение G^H\K оче-
видно) .
Утверждение (ii) не будет использовано ниже, и мы остав-
ляем его доказательство заинтересованному читателю (см.
Шенфилд [1]). А утверждение (iii) следует из (i), (ii) и
из того, что множества Q 0 R и R 0 Q изоморфны. □
Случай двукратного вынуждения при R М' — М более
сложен. Введем следующие упрощающие соглашения:
(i)	Будем предполагать, что |/?| есть некоторый ординал р.
Тогда | R | е М, так как ORM = ORM .
(ii	) Будем предполагать, что наибольший элемент 1# мно-
жества R есть ординал 1.
Любое ЧУ множество, очевидно, изоморфно некоторому
множеству, удовлетворяющему указанным условиям.
Частичный порядок на множестве R имеет вид Intt)
&ля некоторого Q-терма t е М. Кроме того, некоторое q & Н
вынуждает, что t делает р* ЧУ множеством с максимальным
элементом 1*. Применяя следствие 2.17, мы можем найти такой
Q-терм R е М, что
(*) QII- (£ делает р* ЧУ множеством с максимальным эле-
ментом 1*),
и, кроме того, q\\—t = R, откуда следует /#(/?) =/я (/), т. е.
Ih(R) есть ^отношение порядка ЧУ множества R.
Термы R, удовлетворяющие (*), называем хорошими.
5.3.	Определение. Пусть М есть СТМ, QsM является
ЧУ множеством, p^ORM и R s М — хороший терм. Положим
I I = IQIX р- Упорядочим множество | Р |, определяя <7,
^p(q', о'\, если и только если q q' и q^— (а*	o'* в смыс-
ле/?, т. е. <о*, а'*>Е^). Тогда Р = < | Р |, будет ЧУ мно-
жеством с максимальным элементом 1₽ = <1q, 1>. Это множе-
142
ГЛ. 4 ВЫНУЖДЕНИЕ
ство Р называется произведением Q и R (относительно модели
М) и обозначается через Q®/?.
5.4.	Вторая теорема о произведении. Пусть в
обозначениях 5.3 G есть М-генерическое подмножество множе-
ства Р. Определим
Н = {q е I Q |: Зо < р ({q, о) е G)},
/С = {ст<р: 3<7<=|Q|«<7, о>е G)}.
Тогда Н будет М-генерическим подмножеством множества Р,
а К будет М[Н]-генерическим подмножеством ЧУ множества
/? = <Р, 1H(R)>.
Доказательство. Проверку ЛЬгенеричности множества
Н оставляем читателю. Покажем, что К является М [#]-гене-
рическим. Рассмотрим произвольное плотное в R множество
Найдется такой Р-терм	что D = Также
найдется такое	которое вынуждает, что t плотно.
Покажем, что множество Е = {{q,	q\\— а*е/} плотно ниже
{qQ, 1) в Р. В самом деле, пусть (/,</)	(<7о, 0- Поскольку
q'\\— (t плотно), то q'\\— Заер*(а<Х* в смысле R/\a^t). Значит,
найдутся такие q ^$q' и а < р, что q\\— A a*^az* в
смысле Р). Тогда {q, а)^Е и {q, a)^.{q', а'). Плотность мно-
жества Е доказана. Следовательно, существует некоторое {q,
е Е f] G. Ясно, что и q^H. Кроме того, так как
q\\— a*^t. Таким образом,D П 0, что и требовалось. □
Теорема 5.2 (ii) сводит двукратное вынуждение к одно-
кратному. Теорема 5.2 (i) дает возможность в некоторых слу-
чаях представлять однократное вынуждение в виде двукрат-
ного. Полезность последнего результата будет видна на при-
мере доказательства теоремы 5.7 ниже. В оставшейся части
этого параграфа мы возвращаемся к нашему прежнему согла-
шению не различать ЧУ множество и его основное множество.
Как и выше, это соглашение не приведет ни к каким недоразу-
мениям.
5.5.	Определение. Пусть кардинал % несчетен, к-свер-
тывающим ЧУ множеством называется множество
Р — {р* (р есть функция) A (dom р счетно)
A dom р % X A V (a, g) е= dom р (р (a, £) < а)},
частично упорядоченное обратно включению. Для каждого а<х
введем подпорядок Ра = {р е Р: dom р S а X ®i} и подпорядок
Ра = {р^Р: dom р S (х — а) X множества Р. Тогда мно-
жества Ра®Ра и Р изоморфны; каноническим изоморфизмом
будет отображение, переводящее (р, г) в q U г.
§ 5. ОДНОКРАТНОЕ РАСШИРЕНИЕ ВМЕСТО ДВУКРАТНОГО
143
5.6.	Лемма. Пусть кардинал х недостижим и Р является
и-свертывающим ЧУ множеством. Тогда Р удовлетворяет х-УА.
Доказательство. Пусть множество А^Р имеет мощ-
ность х. Покажем, что А не является антицепью. Для каждого
g < coj определим множество А$ А мощности < х следующим
образом. Положим AQ = {a}> где а^А произвольно. Если Л<(°1
и множества А$ уже определены для всех g < т), то определяем
Д) = U U dom Р- В СИЛУ регулярности card < х и Z\SaX<Oi
для некоторого a < х. Значит, множество В^ = {р [ D^: р^А}
имеет мощность card (card a)carda < х. Поэтому мы можем
выбрать такое множество А^А, что card An < х, (J Д^ДП
и для каждого q <= Вп найдется такое	что p^D^^q.
Пусть, наконец, А' есть объединение всех множеств /Ц,
£ < coi, a D есть объединение всех D^. Поскольку card Д' < х,
то найдется р е А — Д'. Множество dom р счетно, и поэтому
dompflD^D^ для некоторого g < сор Следовательно, сущест-
вует q^ Дн1 — удовлетворяющее равенству pr(dom р П D) —
= qfD^ Но так как domg^D, то р и q согласованы на мно-
жестве dompQdom^. Таким образом, p\}q есть функция, про-
должающая каждую из функций р и q, и А не является анти-
цепью. □
Свертывающие ЧУ множества были введены Леви и исполь-
зованы им и Соловеем для получения многих глубоких резуль-
татов. (См. Соловей [2].) Принадлежащее Сильверу [1]
доказательство следующей теоремы 5.7 также основано на
свертывающих множествах. Для доказательства 5.7 мы пред-
положим, что найдется СТМ М такая, что Л4|= (существует не-
достижимый кардинал). Имея такую модель М, мы можем с
помощью метода Гёделя (упомянутого выше после теоремы
3.14) получить такую же модель, дополнительно удовлетворяю-
щую условию М Н= GCH.
5.7.	Теорема (Сильвер). Найдется такая СТМ N, что
/V|= ПКН(со!).
Доказательство. Мы предположили, что существует
такая СТМ М и такое хеЛ4, что М |= (х — недостижимый кар-
динал). Как отмечено выше, можно предполагать, что МН
|= GCH. Пусть Р (= М таково, что М |= (Р есть х-свертывающее
множество). Пусть множество G Р является М-генерическим
и ^ = M[G]. В силу (тривиальной) со-замкнутости Р внутри
М и х-УА, кардинал со?4 и все кардиналы ^х модели М сохра-
няются в А. Однако нетрудно проверить, что для каждого
а < х множество
{(I, Р>: Эр g= G «а, g) (= dom р А р (а, g) = р)} е N
144
ГЛ. 4 ВЫНУЖДЕНИЕ
будет функцией из на а. Поэтому в модели W нет карди-
налов между и %, т. е. х = со^.
Любое дерево высоты coi, все уровни которого счетны, изо-
морфно некоторому дереву с основным множеством |Т| = соь
Пусть Т €= М есть дерево с основным множеством «м Че-
рез F обозначим совокупность всех путей сквозь Т, принадле-
жащих модели М. Тогда cardMF^co^ и, следовательно,
card77/7 card77= Но каждый принадлежащий модели
N путь сквозь Т принадлежит и модели М в силу леммы 4.6.
Поэтому Т не может быть coi-деревом Курепы внутри W.
Рассмотрим теперь общий случай: T^N (а не А!) есть
дерево с основным множеством со*1. Пусть Р-терм t е М таков,
что Io(t) есть отношение порядка дерева Т.
Следующие рассуждения проходят в А. Если g т), то
найдется такое р е G, что (р, (g, т))) е /. Одно из таких р обо-
значим через f(g, т]). Если же g, ц < <of, но не выполняется
gs^rT], то найдется такое p^G, что для каждого q^p мы
имеем (<?, (g, т])) 0/. (Именно, подходит любое р е G, выну-
ждающее (g*, т)) ф t.) Одно из таких р также обозначим через
f(g, ц). Согласно регулярности кардинала х(=со^) существует
такое а < х, что dom f (g, т]) а X Для всех g, т) < °{и-
Теперь, так как Р = Ра® Ра, то в силу теоремы 5.2 множе-
ство Ga = G п Ра будет М-генерическим, а множество Ga = G П Ра
будет М [GJ-генерическим, причем A4[Ga][Ga] = A4 [G] = Af. Да-
лее, все множества f (g, л) принадлежат Ga, и поэтому поря-
док совпадает с IQ (t П (Pa X «J1 X °f1))- Значит, T & М [Ga].
Пусть v есть (card a)++ в смысле М. Тогда v < х, так как х
недостижим внутри М. Нетрудно проверить, что cardMPa < v, и
поэтому М\= (Ра удовлетворяет v-УА). Таким образом, все карди-
налы^^ сохраняются в М [Ga]. Простые вычисления с помощью тео-
ремы 3.15 позволяют установить, что М [Ga] [=2Ц== v, где р = со^
Следовательно, если F есть совокупность всех путей сквозь Т
в М [Ga], то cardM F v < х и cardA^/7
Далее, М |= (ЧУ множества Ра и Ра со-замкнуты). В силу
co-замкнутости Ра в модели M[Ga] нет счетных последователь-
ностей элементов множества Ра, кроме тех, которые принадле-
жат модели М. Следовательно, M[Ga]|=(^a «-замкнуто). Та-
ким образом, мы можем использовать 4.6 и получить: каждый
путь сквозь Т, принадлежащий модели N = М [Ga] [Ga], при-
надлежит и Af[Ga], т. е. принадлежит множеству F. Это озна-
чает, что Т не является_деревом Курепы внутри W. Поскольку
Т произвольно, то Af|= ~KH(«i). □
§ 5 ОДНОКРАТНОЕ РАСШИРЕНИЕ ВМЕСТО ДВУКРАТНОГО
145
Ниже мы увидим, что теорема 5.2, дающая нам возможность
заменять двукратные генерические расширения однократными,
на самом деле применима и к бесконечнократным расшире-
ниям. Начнем со следующей ключевой леммы.
5.8.	Лемма. Пусть ЧУ множества Q, R принадлежат СТМ
М, P = QXR и и является кардиналом в М. Пусть также
регулярен Д VA < х (Q является К-замкнутым)
AR удовлетворяет и-УА).
Тогда Р||— (х*— кардинал).
Доказательство. Рассмотрим М-генерическое множе-
ство G^P. Пусть Н Q и K^R таковы, как в 5.2 (i). Мы
должны доказать, что х сохраняется в расширении М [G] =
= М [Я] [К]. Предположим противное, т. е. что существуют
Ji < х и отображение feAI[G] ординала X на х. Для некото-
рого Р-терма t^M выполняется равенство f = /G(Z), а неко-
торое ро = <?о, /о> вынуждает, что t есть отображение X* на х*.
Следующие рассуждения проходят в модели М. Пусть р < х
и	Будем говорить, что множество ^-поддержи-
вает q, если всякий раз, когда а < х, {q', г'}	(р, г0) и
||_ t (р*) = а*, мы получим аеЛ. Положим D$ = {q ЗА х
(card А < х Д А p-поддерживает q)}. Докажем, продолжая рас-
суждать в М, что каждое множество плотно в Q ниже qQ.
Доказательство проходит следующим образом. Пусть
q^Qqo произвольно. Индукцией по g построим убывающую
последовательность условий q^^Q (£^5), а также последо-
вательности условий е R и ординалов < х (0 < g < £)
так, что <9ь^>1|— ^(Р*) = (°Ч)* ПРИ 0<£<£ и	при
gj у= g2. Ординал £ < х, на котором построение обрывается,
будет определен в ходе построения. Положим q\ = q, Г[ = г0,
а1 = 0. Пусть 1 < т] < х и множества q^ уже построены
для всех g, удовлетворяющих неравенству 0 < g < тр В силу
^-замкнутости множества Q при любом X < х найдется такое
что qv<.Qq% для каждого q%. Если множество
{сс^: 0 < g < т|} p-поддерживает q^, то это означает, что мы
уже нашли q'е q' q. Положим в этом случае z/t] = </'
и £ == т| и закончим построение. В противном случае найдутся
такие <<?,), гл> <q', г'} и ап < х, что (c/v %) ||-/ (0‘) = а*, но
% Ф {<Y 0 < g < г]}. (Так как (/, r0)jf-3a < х* (/(0*) = сГ).)
Отметим, что построенные таким образом пары <^, г$> будут
несовместимыми при различных поскольку они вынуждают
противоречивые суждения о значении /(Р*). Значит, все усло-
вия е R должны быть несовместимыми, так как последо-
вательность условий q% убывающая. Но ЧУ множество R удов-
летворяет х-УА. Следовательно, наше построение должно за-
146
ГЛ 4 ВЫНУЖДЕНИЕ
кончиться на некотором шаге £ < х. Тогда и будет искомым
элементом множества удовлетворяющим < q q. Плотность
D$ доказана.
Продолжаем рассуждать в модели М. ЧУ множество Q яв-
ляется Х-дистрибутивным. Значит, пересечение £>=П£>Й
р < к р
плотно ниже qo- Для всех q и 0 < X через A (q, 0) обозна-
чим некоторое множество мощности <х, 0-поддерживающее q.
Положим A (q)= U A (q, 0). Тогда cardX(^)<x в силу регу-
лярности.
Рассуждения в М закончены. Поскольку множество D плот-
но ниже qo^H, то найдется q^D[\H. Но card МА (<?) < и.
Значит, найдется аех — A(q)- Для некоторого 0 < X имеем
а = /(₽)• Следовательно, можно подобрать пару <q', r')^G,
вынуждающую Z(0*) = a*. При этом, как обычно, можно пред-
положить, что <<?', г'>^р<9, Го). Но тогда a^A(q, ₽)£Л(^),
что противоречит выбору а. □
5.9.	Теорема (Истон). Существует такая СТМ N, что
N |= Vn е ® (2®« = ®п+2).
Доказательство. Для каждого п < со введем множе-
ство Рп ~{р: р — функция A card dom р < соп д dom р con+2 X
X A ran р {0, 1}}, частично упорядоченное обратно включе-
нию. Пусть Qn есть совокупность всех n-f- 1-ок <ро, Рь . Рп),
где pi е Pi, упорядоченная покомпонентно: <р0, ..., рп)
<<7о, ..., qn), если и только если pi qi в ЧУ множестве Pi
для всех i п. Пусть Qn есть аналогичным образом упорядо-
ченная совокупность всех бесконечных последовательностей
<Рл+ь Рп+2, ...>, где pi^Pi для всех I. В предположении GCH
нетрудно проверить с помощью леммы 3.6, что каждое множе-
ство Qn удовлетворяет соп+1-УА, а каждое множество Qn, оче-
видно, со/гзамкнуто. Также очевидно, что множества Qn0Qn
и Qm ® Qm изоморфны для всех т, п. Множество Qo ® Q0 на-
зовем ЧУ множеством Истона.
Пусть теперь М есть такая СТМ, что М [= GCH, а Р е М
таково, что М\=(Р является ЧУ множеством Истона). Возьмем
М-генерическое множество G Р и рассмотрим модель W =
= M[G]. Поскольку ЧУ множество Истона изоморфно каж-
дому произведению вида	то в силу леммы 5.8 каждый
кардинал модели М сохраняется в N. Нетрудно проверить (ср.
с 3.16 (iii)), что внутри W существует семейство мощности
(0/7+2 подмножеств множества con. Это семейство порождается
множеством {q^Pn: q есть n-я компонента некоторого peG}.
[Таким образом, Af|= (20rt ^(оп+2 для всех п. Покажем, что
имеет место точное равенство. Рассмотрим произвольное песо.
§ 6 АКСИОМА МАРТИНА
147
Обозначим Х = со^, х = со^+2. Как отмечено выше, Л и х —кар-
диналы в М [G].
Представим модель N в виде N = М [G] = М [Gn] [Gn], где
Оп={рГ(п+1): pf=G} и Gn = {рГ((о — (п+ 1)): p(=G}.
Поскольку ЧУ множество Qn является Х-замкнутым внутри Л4,
то по теореме 3.12 каждое принадлежащее модели М' = Af[Gn]
множество х х, имеющее мощность X внутри М', принадлежит
уже модели М и имеет в М мощность X. Отсюда следуют два
вывода.
Во-первых, если взять такое Q' е М', что АГ |= (Q' есть ЧУ
множество Истона), и представить Q' внутри М' в виде Q'=
= Qn®Q'\ то мы получим Qn — Q'n- Следовательно, ЧУ множе-
ство Qn удовлетворяет V-УА внутри М' (отметим, что V =
— (й^	А
Во-вторых, (хх)м = (хх)м = X.
В этой ситуации можно применить теорему 3.15 к модели
М' и ЧУ множеству Qn е М' при v = х и ц = %. Получим
М' [Gn] |= 2х %, что и требовалось. □ — Добавлено перевод-
чиком.]
Теорема 5.9 допускает многочисленные уточнения и обобще-
ния, см., например, Истон [1].
§ 6.	Аксиома Мартина
Аксиомой Мартина (МА) называется следующее предло-
жение:
Если ЧУ множество Р удовлетворяет у.с.ц. (т. е. coi-УА),
a F есть семейство мощности <2Ш, состоящее из плотных в Р
множеств, то найдется F-генерическое множество G Р.
Отметим, что континуум-гипотеза СН влечет МА согласно
2.3. Многие важные следствия СН могут быть доказаны с по-
мощью одной МА. МА представляет наибольший интерес в слу-
чае, когда 2ю > coi. Мы докажем здесь непротиворечивость
предположения МА + 2ю = сог- О приложениях МА см. гл. 6.
Сначала укажем несколько более удобную формулиров-
ку МА.
6.1.	Предложение. Пусть для каждого ЧУ множества Р
мощности <2Ю, удовлетворяющего у. с. ц., и каждого семейства
F мощности <2°, состоящего из плотных в Р множеств, най-
дется F-генерическое множество G Р. Тогда МА выполняется.
Таким образом, в формулировке МА можно ограничиться лишь
ЧУ множествами мощности <2°.
Доказательство. Пусть Р есть произвольное ЧУ мно-
жество, удовлетворяющее у. с. ц., а семейство F состоит из
плотных в Р множеств в числе <2Ю. Пусть функция f: Р^Р-*-
148
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
->Р такова, что для любых совместимых р, q^P выполняется
f(p,	и f(p, q)^.q. Для каждого D^F пусть функция
Id: P-+D такова, что fo(p)^p при любом р е Р. Пусть Q
есть наименьший подпорядок ЧУ множества Р, содержащий
элемент 1Р и замкнутый относительно функции f и всех /о. Тогда
card Q < 2°. В силу замкнутости относительно f любые два
элемента множества Q, совместимые в Р, остаются совмести-
мыми в Q. Значит, Q удовлетворяет у. с. ц. Аналогично, в силу
замкнутости относительно fo множество D П Q будет плот-
ным в Q для каждого D F. Теперь посылка влечет существо-
вание {Q П £): D е F}-генерического множества G Q. Нетруд-
но проверить, что множество {р е Р: Зр е Q (q р)} будет
тогда Р-генерическим подмножеством множества Р. Поскольку
Р и Р произвольны, то это и доказывает МА. □
ЧУ множество Р назовем нормализованным, если его основ-
ное множество есть либо со, либо coi, а его максимальный эле-
мент— это ординал 1. Ясно, что каждое ЧУ множество мощ-
ности <(02 изоморфно некоторому нормализованному ЧУ мно-
жеству. Именно такие множества мы будем рассматривать.
В связи с этим снова начнем проводить различие между ЧУ
множеством Р и его основным множеством |Р|. Таким об-
разом, фраза «D есть плотное подмножество множества Р»
означает, что D | Р | и D плотно в смысле порядка О.
Изложим основную идею построения модели, в которой
истинно МА + 2° = (02, следуя Соловею и Тенненбауму
[1]. Как показывает следствие 3.16 (i), существуют такие СТМ
М, что М |= 2W = 2<0‘ = (о2. Пусть множества Q и Р принадлежат
такой модели М, Будем говорить, что <Q, Р> образует контр-
пример для МА в Л4, если М [= (Q есть нормализованное ЧУ
множество, удовлетворяющее у. с. ц.), Р является семейством,
состоящим из плотных в Q множеств, cardM Р (of4, но не су-
ществует Р-генерических подмножеств множества Q, принад-
лежащих модели М. М Н МА, если и только если таких контр-
примеров в М нет. (Следует из 2.12 (iv) и предложения 6.1.)
Если <Q, Р> е М есть контрпример для МА в М, a G яв-
ляется Af-генерическим подмножеством множества Q, то тем
более G будет Р-генерическим. Значит, <Q, Р> не будет контр-
примером для МА в M[G]. Заметим, что в силу у. с. ц. модели
М и М [G] имеют одну и ту же совокупность кардиналов. Таким
образом, с помощью вынуждения можно «разрушить» один из
контрпримеров для МА. Но не исключено, что в М [G] остались
другие контрпримеры для МА, не «разрушенные» присоедине*
нием множества G. Также не исключено, что в TH [G] появились
и новые контпримеры. Если <Q', Р'> есть один из таких контр-
примеров в Af[G], то снова возьмем М [G] -генерическое мно-
§ 6. АКСИОМА МАРТИНА
149
жество G'^Q' и построим модель Af[G] [G'], в которой ни
<Q, F>, ни <Q', F') не являются контрпримерами. Это двукрат-
ное вынуждение с помощью теорем о произведении может быть
заменено однократным. Но если мы хотим получить в конце
концов модель, где нет ни одного контрпримера, то мы должны
быть готовы к тому, что придется присоединить бесконечное
число генерических множеств. Для этого потребуется весьма
тонкий аппарат итерационных генерических расширений, к из-
ложению которого мы сейчас приступим. Смысл нижеследую-
щих лемм 6.2 и 6.5 состоит в том, что некоторые сложные
построения ЧУ множеств можно осуществить без потери у. с. ц.
Эти леммы взяты из статьи С о л о в ея и Тенненбаума [1].
6.2.	Лемма. Пусть М есть СТМ, Q^M является ЧУ мно-
жеством, р < ORM, и ReM — такой Q-терм, что Q j|— (R де-
лает множество р* ЧУ множеством с максимальным элементом
Г). Пусть также P = Q(g)R, Тогда, если М h= (Q удовлетво-
ряет у. с. ц.) и Q ||— (R делает р* ЧУ множеством, удовлетворяю-
щим у. с. ц.), то М\== (Р удовлетворяет у. с. ц.).
Доказательство. Такие термы R мы назвали в § 5
хорошими. Ординал обозначим через х. Предположим про-
тивное, т. е. внутри М найдется последовательность попарно
несовместимых элементов (q$, <г$) (£ < х) множества Р. Если
£ < Л < х, то либо q$ и qn несовместимы в Q, либо же каждое
q^ вынуждает, что а* и а* несовместимы в смысле
порядка /?. (В самом деле, если q^Qqv qn вынуждает За < р*
(а меньше, чем и а*, в смысле порядка /?), то найдутся
такие qf ^Qq и а < р, что q\\— (а* меньше, чеАм а* и а*, в смы-
сле /?), т. е. (q't а) <JP (q%, а$) и (q', а) <^Р (q^, что противо-
речит несовместимости различных {q$, а^).)
Рассуждаем в М. Для каждого £ < х подберем, пользуясь лем-
мой 2.16 (ii), такой Q-терм г^, что q^—	= сг^ и q\\— г* = р* для лю-
бого q, несовместимого с q$. Мы утверждаем, что для каждых
9 и т), удовлетворяющих неравенствам £ < л < х, Q вынуждает
(*)	и несовместимы в смысле R.
Достаточно доказать плотность в Q множества всех q е | Q |,
вынуждающих (*). Пусть q е | Q | произвольно. Найдется такое
q' которое либо несовместимо хотя бы с одним из двух
условий q$, q^, либо же q^Qqi, qK В первом случае мы имеем
/||—г$^р* или q'\\— rn^p*. А во втором случае будет q'\\—
||—	= Д гт1 = а*), и тем самым /||— и несовместимы).
В обоих случаях найдено условие q' ^qq, вынуждающее (*).
Таким образом, Q вынуждает (*).
150
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
Имея последовательность £ < х), принадлежащую мо-
дели М, можно для любого тИ-генерического G^Q построить
в М [G] последовательность	£ < х). Это означает, что
в М [G] истинна следующая формула:
Эу: х*->(р+1)’ Vg <х (//(g)
= {а < р*: 3</ е= | Q Г (<7 е G Л <g, (q, ст» е= е*)}),
где е = <r$: g < х> S и X (Q X р)- Поэтому найдется такой
Q-терм	что множество условий q, вынуждающих фор-
мулу
(**) t: х* (р + 1)* Л Vg < х*(t (g) = 1°(е*(£))),
плотно в Q.
Вновь рассуждаем в М. Покажем, что найдется условие
q^Q, вынуждающее формулу Vg < х*Эп > g (/ (т]) е р*). Дейст-
вительно, пусть, напротив, каждое q вынуждает, что Bg < x*Vt] >
> g (/ (г])	р*). Тогда множество D = {q е Q: 3 g < х (q ||— Vt] > g*
(/ (т))	р*)} плотно в Q в силу 2.10 (v). По лемме Цорна най-
дется антицепь А Q, максимальная относительно свойства
А D. Поскольку D плотно, то А будет максимальной анти-
цепью в множестве Q. Пусть функция f: .4->х такова, что
(?||— Vt) > (f (р))* (/(т])0р*) для всех q е А. Антицепь А счетна,
так как Q удовлетворяет у. с. ц. Значит, в силу регулярности х
ординал £ = sup {/(<?): 7 А} меньше, чем х. Каждое q А
вынуждает Vr] > g*(/(r]) р*); следовательно, Q вынуждает это
суждение согласно 2.15 (ii). Но это противоречит тому, что
каждое условие q^q$+i, вынуждающее (**), будет вынуждать
и формулу (/ ((g + 1)*) = а^+1 е р*). Противоречие показывает,
что в самом деле найдется q (= Q, вынуждающее Vg < х*3т] >
(/(t])ep*). При этом можно считать, что q§— (**).
Но так как Q вынуждает суждение (*), а также (в силу
у. с. ц. для Q) вынуждает, что х* является кардиналом, то наше
q должно вынуждать, что множество {/(л):	х*Л/(п)е
е р*} является несчетной антицепью в смысле 7?, что противо-
речит условию леммы. Полученное противоречие завершает до-
казательство.
6.3.	Определение. Пусть Q является подпорядком ЧУ
множества Р. Отображение h: P-^Q назовем ретракцией Р на
Q, если:
(i)	Для всех ре Р выполняется р А(р).
(ii)	Для всех q^Q выполняется q = h(q).
(iii)	Если р' р, то h (р') й (р).
(iv)	Если й(р/)^й(р), то найдется такое р" р, что
й(р-)=й(р').
§ 6 АКСИОМА МАРТИНА
151
(v)	Если h(p) и q^Q совместимы в Q, то р и q будут сов-
местимыми в Р.
Поскольку Q является подпорядком ЧУ множества Р, то
в этом определении нет надобности проводить различие между
отношениями порядка и
6.4.	Следствия определения 6.3. (i) Понятие ретрак-
ции абсолютно.
(ii)	Если h есть ретракция Р на Q, a k есть ретракция Q
на /?, то композиция kh будет ретракцией Р на R.'
(iii)	Если существует ретракция Р на подпорядок Q ЧУ
множества Р, то любые q, q' e|Q|, совместимые в Р, будут
совместимыми и в Q.
(iv)	Если М есть СТМ, а РеМ является ЧУ множеством
вида Q®R, то отображение Л(<9, о»= <#, 1> является ретрак-
цией Р на некоторый подпорядок Q' множества Р, изоморфный
множеству Q. Это отображение h называется естественной ре-
тракцией.
(v)	Если М есть СТМ, Р, Q^M являются ЧУ множест-
вами, a h^M — ретракция Р на Q, то для любого М-генери-
ческого множества G <= Р множество G П | Q | также будет М-ге-
нерическим (в смысле Q). Кроме того, если формула <р(х)
абсолютна, a t^M есть Q-терм, то из Q||—ф(0 следует
р II-<₽(/).
Доказательство. Утверждение (i) можно добавить к
списку 2.12. Доказательства утверждений (i) и (ii) мы остав-
ляем читателю.
(iii	) Пусть р^Р таково, что p^q, q’. Тогда h(p)^.q, q’
в силу 6.3 (ii), (iii).
(iv)	Множество Q' содержит все элементы множества Р,
имеющие вид <9, 1>, и изоморфно множеству Q. Изоморфизм
обеспечивается отображением, переводящим каждое (q, 1> в q.
Проверка условий 6.3 (i) — (iii) оставляется читателю.
Проверим 6.3 (iv). Пусть р = (q, о>, р' = {q', о'> и
h(p')^.Ph(p), т. е. q'^Qq. Определим р" = <9', о>еР.
Тогда р" «С р р и h(р") = h(p') = (q', 1 >.
Проверим 6.3 (v). Пусть p = {q, о>, р'= <9', 1>, так что
р' е Q'. Предположим, что р' и Л(р) = <9, 1> совместимы в Q',
т. е. некоторое р" — (q", 1> удовлетворяет неравенствам р"
h(p) и р" р'. Тогда q" q q, q', и поэтому условие р'" —
— (q", о> удовлетворяет неравенствам р'" р, р'"	р'.
(v)	Пусть G есть М-генерическое подмножество множества
Р. Рассмотрим произвольное плотное в Q множество D
Мы утверждаем, что множество Е= {р е | Р |: ft(p)eZ)} плот-
но в Р. В самом деле, пусть ре|Р| произвольно. Найдется та-
кое q^D, что q^h(p). В силу 6.3 (iv) существует р' р
такое, что h(p') = h(q) — q, и тем самым p'^D. Плотность
152
ГЛ 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
множества Е в Р доказана. Теперь вследствие генеричности G
найдется некоторое p^.G[\E. Тогда ft(p)^Z), а так как р
^h(p), то h(p)^G. Таким образом, DflG =# 0. Генеричность
GQ|Q| доказана.
Заметим, что каждый Q-терм тривиальным образом яв-
ляется и Р-термом, причем, если t есть Q-терм, то для любого
Л4-генерического множества G^P будет IQ (t) — /Gnj Q । (/). Зна-
чит, если формула ф(х) абсолютна и Q||— ф(/), то Для любого
М-генерического множества G s Р будет A4[G П | Q | ] |= rp(/G(Z)),
и далее М [G] h= 4>(Jg (0) (в силу абсолютности). Поскольку
генерическое G Р было произвольным, то отсюда и следует
Р||-<р(0. □
Теперь мы видим, что было бы целесообразным изменить
определение Q0P так, чтобы само множество Q (а не изо-
морфное ему множество Q', упомянутое в 6.4 (iv)) было под-
порядком ЧУ множества Q®/? и чтобы естественная ретрак-
ция была ретракцией на Q. Это нетрудно осуществить, заменив
в множестве Q®/? все элементы вида <<?, 1> на q.
6.5.	Лемма. Пусть ординал X пределен, а g Х> есть
возрастающая последовательность ЧУ множеств такая, что для
всех предельных т] А, множество совпадает с объединением
множеств Р%, g < т). Пусть для каждого £ < А, задана ретрак-
ция h^. Р^ на Р%, причем	для любых g < т] < А,.
Пусть, наконец, каждое Р$, g < X, удовлетворяет у. с. ц. Тогда
и Р^ удовлетворяет у. с. ц.
Доказательство. Понятие объединения возрастающей
последовательности ЧУ множеств введено в определении 2.1.
Мы предлагаем читателю проверить, что при g < т] < А, суже-
ние ретракции на множество [PJ будет ретракцией
на Р^.
Предположим противное, т. е. А есть несчетная антицепь в
Рк. Поскольку каждое P%, £ < А,, удовлетворяет у. с. ц., то пе-
ресечение A П| Р^|, будучи антицепью в Р$ в силу 6.4 (iii), бу-
дет счетным. Следовательно, cf А, > со. Определим возрастаю-
щую последовательность ординалов g(n)<A, и последователь-
ность множеств В (п) | Р^(п) | индукцией по песо следующим
образом. Положим g(0)=0. Если g(n) уже построено, то в ка-
честве В(п) возьмем антицепь в Р^п), максимальную по отно-
шению к свойству «быть подмножеством множества {й$(п)(р):
реЛ}». Множество В(п) необходимо счетно. Поскольку Рх
является объединением всех Р^, £ < А,, то для каждого q е
^В(п) найдется такое r](^)<Z? что q = h^n}p для некоторого
р |РЛ((7)|Г1 А. Значит, так как cf А, > со, то найдется ординал
g(n+l), превосходящий g(n) и все ординалы т| (q), q^B(n),
§ 6. АКСИОМА МАРТИНА
153
Положим теперь tj = sup {g (п): п е со} < Л. В силу счетности
множества А ПI Pn I найдется некоторое р^А — | Рл |. Положим
р' = h^(p). Поскольку является объединением всех мно-
жеств Р* (п), то найдется такое п, что р' е|Р$(П)|. Если орди-
нал £ таков, что £(п)^£^т], то (р) =	(р) = (рЭ =
Значит, в силу максимальности антицепи В(п) условие р' =
= Л^(Л)(р) совместимо с некоторым q<^B(ri). Но по построению
само q имеет вид h^(ny (г) для некоторого г е А П| Р*(п+1) |.
Итак, р'е|Р$(л)1 и ^==:^(л)(г) совместимы в Р^ («)• Зна-
чит, р' иг совместимы и в Р$(п+1) согласно* 6.3 (v). Аналогично
из совместимости г е | P^n+i) I и р'= /^(ft+1) (р) в Pi(n+i) сле-
дует совместимость г и р в Рк. Но г и р принадлежат анти-
цепи А — противоречие. □
6.6.	Теорема (Мартин). Найдется такая СТМ N, что
w 1= (МА л 2® = <о2).
Доказательство. Приведем подробное доказательство
этой теоремы, идея которого была указана выше. Пусть СТМ М
такова, что М 2W = 2W1 = <о2. Через Л и и обозначим соответ-
ственно кардиналы и <о£*.
Следующие рассуждения проходят внутри М. Если Р яв-
ляется ЧУ множеством мощности ^х, удовлетворяющим у. с. ц.,
то из 3.4 и 3.15 следует Р\\— (X* и х* кардиналы и 2х* = х*).
Значит, Р\\— (существует только х* нормализованных ЧУ мно-
жеств). (Определение нормализованного ЧУ множества см.
после предложения 6.1.) Следовательно, мы можем в силу 2.16
выбрать такие Р-термы UQ(P), 1Л(Р), что Ui(P)^ РХ^Х
X у X У, где у = со или у = coi в зависимости от I = 0 или
f=l, и Р\\— (Ui(P) является функцией с областью определе-
ния х*, область значений которой совпадает с множеством всех
отношений порядка нормализованных ЧУ множеств с основ-
ным множеством у*). Зафиксируем некоторые функции а, Ь, с,
определенные на множестве х, такие, что а (|)^£, &(£)<х и
с(|)е {0, 1} для всех £, и удовлетворяющие следующему усло-
вию: каковы бы ни были а, |3 < х и i < 2, найдется такое
§ < х, что а(£)= а, &(£)= р и с(£)= L
Продолжаем рассуждать внутри М. Функции a, b, с, Uo и U]
используются для организации пересчета, лежащего в основе
построения специальной возрастающей последовательности ЧУ
множеств Р%, g х, каждое из которых, кроме Рх, имеет мощ-
ность максимальный элемент 1 и удовлетворяет у. с. ц.
Одновременно с построением этих множеств построим и сово-
купность ретракций hl из Рп на Р$ для всех g < т] < х, удов-
летворяющих равенству hl = h^ при £ < т] < £. В качестве
Ро возьмем нормализованное ЧУ множество с основным мно-
154
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
жеством и с порядком 1 > 0 > 2 > 3 > 4 > ... (1 должно
быть наибольшим элементом по определению нормализован-
ного ЧУ множества).
Переход от т] к г] -f- 1. Предположим, что построение прове-
дено для ординалов ^г]. Пусть а = а(т]), р = 6(т]), i = с(п)
и у = со или % в зависимости от i = 0 или 1. Обозначим и =
= и1(Ра) и рассмотрим такой Ра-терм v, что Ра||— v = u(fJ*).
Тогда Ра||— (v является отношением порядка некоторого нор-
мализованного ЧУ множества с основным множеством у*). За-
метим, что v также будет и Рл-термом, и Рл вынуждает то же
самое суждение в силу 6.4 (v). Пусть Рл-терм таков, что
Рл ((v удовлетворяет у. с. ц. Л R^ = у) V (у не удовлетво-
ряет у. с. ц. Л R^ есть следующее отношение порядка на орди-
нале у*:
1>0>2>3>4> ... > а > а + 1 > ... (а < у*))).
(Существование такого терма следует из теоремы 2.14.) Ясно,
что Р<ц ||— (Рл является порядком нормализованного ЧУ мно-
жества с основным множеством у*, удовлетворяющего у. с. ц.).
Положим = Рл ® Rd- Множество Ртн-i удовлетворяет у. с. ц.
в силу леммы 6.2. Заметим, что по построению | Pn+i | = | Рл | X
X У (где у = со или у = %). Поэтому, если card %, то
и card X.
Пусть h есть естественная ретракция P^j на Рп. Для
каждого определим Л?+1=Л при £ = т) и =h^h при
£ < П.
Предельный шаг £ х. Если все множества Р$, £ < £, уже
построены, то через Р^ обозначим объединение этих множеств.
Аналогично для £ < £ через /г| обозначим объединение всех
отображений h%, g < п < £. Нетрудно проверить, что отобра-
жения hl в самом деле образуют согласованную систему ре-
тракций, и тем самым Р^ удовлетворяет у. с. ц. в силу лем-
мы 6.5. Ясно также, что card Р^ X при £ < х„ a card Рн х.
В результате этих рассуждений, проходивших в Л4, мы по-
строили ЧУ множество Р = Р%^ М, удовлетворяющее у. с. ц.
внутри модели М. Пусть теперь G есть ЛТ-генерическое подмно-
жество множества Р, и N = Л4[О]. В силу у. с. ц. кардинальные
ряды моделей М и N совпадают, и N |== 2ю = 2К = х. Чтобы
проверить N |= МА, достаточно показать, что для любой пары
<Q, F) такой, что N (Q есть нормализованное ЧУ множе-
ство, удовлетворяющее у. с. ц. ДР является семейством плотных
в Q множеств в числе =СХ), найдется F-генерическое множе-
ство	принадлежащее модели N. (Генеричность абсо-
лютна, см. 2.12 (iv).) Для определенности рассмотрим случай,
когда основное множество О есть X, а не со.
§ 6. АКСИОМА МАРТИНА
155
Для каждого £ < х множество G$ = G П|^Ч1 будет /И-ге-
нерическим подмножеством согласно 6.4 (v). Пусть =
= M[G$]. Тогда М <=:	N и модели М, и N имеют одни
и те же кардинальные ряды. Сначала докажем, что <Q,
е Ма для некоторого а < х. Рассуждаем аналогично доказа-
тельству теоремы 5.7. Рассмотрим такой Р-терм	что
/о (О есть отношение порядка ЧУ множества Q.
Теперь рассуждаем в N. Пусть о, т < X. Если о qt, то
найдется такое psG, что <р, <о, т>>е t (т. е. р ||— <а, т>* е /).
Через f(o, т) обозначим одно из таких р. Если же о qt не
имеет места, то найдется такое peG, что для каждого q^Pp
будет <р, <о, т>> ф t (это означает, что р вынуждает <о, т>*	t).
Поскольку кардинал х > X регулярен, то найдется такое а < х,
что все условия /“(о, т) принадлежат множеству Ga.
Таким образом, отношение порядка ЧУ множества Q ока-
залось равным множеству IGa(t)^Ma для некоторого а < х.
Тем самым и Q принадлежит модели Ма. Чтобы доказать то же
самое для семейства F, рассмотрим некоторую функцию f е N
из X на F и применим те же рассуждения к множеству Е =
= {<о,т>е!Х^: ое/(т)}. Получим ЕеМа и, следова-
тельно, F Ма для некоторого а < х. Наконец, найдется такое
одно а < х, что <Q, Р> е Ма. Фиксируем это а.
Итак, Q е Ма является внутри Ма нормализованным ЧУ
множеством с основным множеством %. По выбору Gi терм
u=Gi(Pa) таков, что /<?а (и) является отображением из х на
совокупность отношений порядка всех таких ЧУ множеств. Зна-
чит, отношение порядка ЧУ множества Q есть (Л?а(и))(Р) для
некоторого р < х. Выберем такой Ра-терм v е М, что Ра ||—
||—у = и(р*); тогда Iaa(v) будет отношением порядка множе-
ства Q. Рассмотрим теперь такой ординал ц < х, что а(т]) = а,
&(-q)==P и с(-ц)= 1. Поскольку множество Q не имеет несчет-
ных антицепей в Af, то тем более таких антицепей нет внутри
модели Ма. Но, согласно нашему построению множества
терм был выбран таким образом, что для любого М-генери-
ческого множества Н^Р^ выполняется равенство /я(£г))==
= /я(у), если только последний порядок удовлетворяет у. с. ц.
Таким образом, в нашем случае будет Ig^(Rx\) = Ig^ (v) = /<?а (у),
и это множество и есть частичный порядок ЧУ множества Q.
Наконец, рассмотрим М-генерическое множество G^+i
=	По теореме 5.4 множество
^ = {Ч(ст): 3(?G(W	Gn+1)} s N
является Мл-генерическим подмножеством ЧУ множества с от-
ношением порядка (/?), т. е. ЧУ множества Q. Поскольку
156
ГЛ. 4. ВЫНУЖДЕНИЕ
F Ма Мп, то К тем более будет F-генерическим. Доказа-
тельство закончено. □
Сделав небольшие изменения в этом доказательстве, можно
построить модели, внутри которых истинно МА + 2° = (о3,
и т. п.
Соловей [1] предложил использовать вынуждение для
доказательства обычныых математических теорем (а не дока-
зательств непротиворечивости). К сожалению, недостаток места
не позволяет здесь коснуться этой интересной темы.
ЛИТЕРАТУРА
Ван Хейеноорт (Van Heijenoort J., ed.)
1. From Frege to Godel. — Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press, 1967.
Гёдель (G6del K.)
1. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Conti-
nuum Hypothesis. — Princeton, 1940. [Русский перевод; Гёдель К.
Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с
аксиомами теории множеств. — УМН, 1948, 3, № 1, с. 96—149.]
Истон (Easton W. В.)
1. Powers of regular cardinals. — Ann. Math. Logic, 1970, 1, p. 139—178.
Йех (Jech T.)
1. Trees. — J. Symbolic Logic, 1971, 36, p. 1—14.
Коэн (Cohen P. J.)
1. Set Theory and the Continuum Hypothesis. — N. Y.: Benjamin, 1966.
[Русский перевод: Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипо-
теза. — М.: Мир, 1969.]
Леви (Levy А.)
1. A hierarchy of formulas in set theory. — Mem. Amer. Math. Soc., 1965,
57.
Марчевский (Marczewski E.)
1. Separabilite et multiplication cartesienne des espaces topologiques. —
Fundam. math, 1947, 34, p. 127—143.
Сильвер (Silver J. H.)
1. The independnece of the Kupera’s conjecture and the two-cardinal con-
jectures in model theory. — In: Axiomatic Set Theory, 1. Providence, 1971,
p. 383—395.
Скотт (Scott D. S, ed.)
1. Axiomatic Set Theory, 1. — Providence, 197L
С к у л e м (Scolem Th.)
1. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begrundung der Mengenlehre.—
Proceedings of the Fifth Scandinavian Math. Congress, 1922, S. 217—
232. [Английский перевод: в книге Ван Хейеноорт [1],р. 290—301.]
Соловей (Solovay R. N.)
1. The cardinality of S2 sets. — In: Foundations of Math.: Symposium pa-
pers commemorating the sixteen birthday of Kurt Godel. Berlin: Sprin-
ger, 1966.
2. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurab-
le.— Ann. Math, 1970, 92, p. 1—56.
Соловей, Тенненбаум (Solovay R. M, Tennenbaum S.)
1. Iterated Cohen extensions and Souslin’s Problem. — Ann. Math, 1970,
94, p. 201—245.
X а л м о ш (Halmos P. R.)
1. Naive Set Theory. — N. Y.: Van Nostrand, I960.
ЛИТЕРАТУРА
157
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1. Unramified forcing. — In: Axiomatic Set Theory, 1. Providence, 1971,
p. 357—381. [Русский перевод. Шенфилд Дж. Неразветвленное вы-
нуждение. — В кн.: Шенфилд Дж. Математическая логика. М.:
Наука, 1975, с. 482—519.]
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Девлин (Devlin К.)
1. «г trees. — Ann. Math. Logic, 1978, 13, № 3, p. 267—330.
Манин Ю. И.
1. Проблема континуума. — В кн.: Современные проблемы математики,
т. 5. М.: Наука, 1973, с. 5—72.
[Статья Девлина является фундаментальной работой о деревьях Суслина
и Курепы и их взаимоотношениях с континуум-гипотезой и аксиомой Мар-
тина. В ней построены генерические модели для различных комбинаций ги-
потез Суслина, Курепы, континуум-гипотезы и аксиомы Мартина. Статья Ма-
нина содержит элементарное и исчерпывающее доказательство основных
свойств вынуждения. — Прим, перев.]
Глава 5
конструктивность
Кейт Дж. Девлин
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1.	Введение..............................•...................153
§ 2.	Конструктивный универсум.............................. .	. 159
§ 3.	Арифметизация языка ......................................162
§ 4.	Структура конструктивной иерархии ...	 165
§ 5.	Аксиома конструктивности..................................168
§ 6.	Аксиома выбора в L........................................169
§ 7.	Лемма о конденсации GCH в L	. . .........................171
§ 8.	21-функции Скулема........................................173
§ 9.	Допустимые ординалы...................................... 177
§ 10.	Гипотеза Суслина.........................................179
§ 11.	Обобщенная гипотеза Суслина............................  131
§ 12.	Тонкая структура конструктивной иерархии	 • • • 185
§ 13.	Комбинаторный принцип	............................133
§ 14.	Слабо компактные кардиналы в	L..........................194
§ 15.	Другие результаты......................................  199
Исторические замечания....................................200
Литература................................................200
§ 1.	Введение
Понятие конструктивности было введено Гёделем [1] для
доказательства невозможности опровергнуть аксиому выбора
средствами теории Цермело — Френкеля без аксиомы выбора
(теории ZF) и невозможности .опровергнуть обобщенную кон-
тинуум-гипотезу GCH средствами теории Цермело — Френкеля
с аксиомой выбора (теории ZFC). В основе определения кон-
структивных множеств лежит следующая идея. Рассуждаем
в ZF. Универсум всех множеств V можно построить, отправ-
ляясь от пустого множества 0, последовательно применяя
операцию степени (множества всех подмножеств). Таким об-
разом получается известная кумулятивная иерархия'.
vo = 0;
Va = U{^(V3): р < a}.
§ 2 КОНСТРУКТИВНЫЙ УНИВЕРСУМ
159
При этом мы имеем
V= U Vo,
а е On
где On есть класс всех ординалов. (Принимаются обычные
обозначения и соглашения теории множеств. В частности, лю-
бой ординал есть множество всех предшествующих ординалов,
а кардинал — это ординал некоторого специального вида,
см. главы 1, 3, 4.)
Причина, по которой некоторые вопросы о кумулятивной
иерархии остаются без ответа, состоит, как принято считать,
в том, что понятие множества всех подмножеств бесконечного
множества слишком расплывчато. Мы знаем, что степень ^(х)
множества х состоит из всех подмножеств множества х. Но как
понимать здесь слово «всех»? Аксиомы ZF и ZFC не дают опре-
деленного ответа.
Идея построения универсума конструктивных множеств со-
стоит в том, чтобы делать множество ^(х) как можно меньше,
не приходя при этом к противоречию. Заметим сначала, что
произвольное подмножество данного множества, которое опре-
делимо в языке 2? теории множеств из данных множеств,
должно «существовать» (в любом универсуме), если «суще-
ствуют» данные множества. Мы получим конструктивную иерар-
хию (имеющую пределом универсум конструктивных множеств)
процессом, аналогичным построению кумулятивной иерархии,
но на шаге а возьмем не все подмножества ранее полученных
множеств, а только те подмножества, которые определимы с по-
мощью ранее построенных множеств. «Минимальный» характер
этого построения приводит к тому, что для каждого кардинала
х кардинал 2х имеет минимально возможное значение (поэтому
GCH выполняется в конструктивном универсуме). А так как
каждое конструктивное множество может быть определенным
образом названо с помощью ранее построенных множеств, то
аксиома выбора также оказывается истинной в конструктивном
универсуме.
§ 2.	Конструктивный универсум
Для каждого множества X через Def(X) обозначим совокуп-
ность всех множеств а <=, X, определимых в X с параметрами
из X, т. е. определимых в системе (также говорят «над систе-
мой») (X, <=, (x)xsA).
Точнее, для каждого множества X введем расширение 3?х
языка 3? с помощью совокупности констант х для всех х^Х,
обозначающих множества х в системе <Х, е) (обычно х отож-
дествляется с самим х). Через Х\= обозначим предикат истин-
160
ГЛ 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
ности в системе <Х, для предложений языка 2? х (со стан-
дартной интерпретацией констант). Тогда Def(X) есть совокуп-
ность всех таких множеств а X, что для некоторой формулы
<p(v0) языка 2?х с единственной свободной переменной Vq вы-
полняется равенство
a = {xt=X: Х|=(р(х)}.
Построим уровни La конструктивной иерархии индукцией по
aeOn следующим образом:
Lo = O;
La+i= Def (La);
Lx= U La, если ординал Л пределен.
а<Л
Сходство с построением кумулятивной иерархии становится оче-
видным, если заметить, что Va+i = ^(Va) для всех ординалов
а и Vx = U Va для предельных Л.
а<Л
Конструктивным универсумом называется класс L = U La.
a е On
Множество х называется конструктивным, если х е L (т. е. если
найдется такой ординал а, что xsLa).
Следующая лемма без труда выводится из определений.
2.1.	Лемма, (i) Если а < р, то U {La} Lp.
(ii)	Каждое множество La транзитивно. Класс L транзи-
тивен.
(iii)	Для всех а имеет место LQa = Lana = a и a <= La+1.
Кроме того, On L.
Покажем теперь, что, как мы и предполагали, класс L об-
разует «подходящий» универсум для теории множеств, т. е.
является внутренней моделью ZF. (Это означает, что реля-
тивизация cpL любой аксиомы ср теории ZF к классу L дока-
зуема во «внешней» теории, в качестве которой рассматри-
вается ZF.)
2.2.	Теорема (Гёдель). Если ср есть аксиома теории ZF, то
ZFH<pL.
Доказательство (в ZF). Экстенсиональность. Мы долж-
ны проверить, что предложение Vx У у (Vz (z е х	z е у)
+-> х = у) истинно в L, т. е. для любых множеств х, y^L сира*
ведлива эквивалентность х = у *•-> Vz е L (z е х z е у}. Но
L — транзитивный класс, и поэтому указанная эквивалентность
следует из аксиомы экстенсиональности в классе V всех мно-
жеств.
Аксиома пары. Для любых х, у е L нужно доказать суще-
ствование такого множества zeL, единственными элементами
которого являются х и у. Пусть ординал а таков, что х, у е La.
§ 2. КОНСТРУКТИВНЫЙ УНИВЕРСУМ
161
Тогда {х, у} = {и е La: La |= и = х V и = у} е Def (La) =
= La+i s L, что и требовалось.
О
Аксиома объединения. Пусть xgL. Покажем, что L)x<=L.
Пусть снова а таково, что x^La. Поскольку множество La
транзитивно, то у = Ux La. Но формула <р (у0) s 3^ (fo^i Л
Л t?! е х) определяет La в La. Значит, у е Def (La) = La+1
L, что и требовалось.
Аксиома бесконечности. Из 2.1 (iii) следует coeLo+isL.
Аксиома степени. Пусть xeL. Рассмотрим множество у =
= ^(x)r|L (у — действительно множество в силу аксиом сте-
пени и выделения м V). Для каждого z^y через f(z) обозна-
чим наименьший ординал а такой, что z е La. Используя ак-
сиому подстановки в V, найдем ординал р, превосходящий все
ординалы f(z), z^y. Тогда y^L$. Теперь формула (р (я0) =
о
s е vQ-> е х) определяет множество в Lp, т. е.
у (= Ц+1 L. Очевидно, (у — & (х))L.
Аксиома регулярности. Поскольку отношение принадлежно-
сти в классе L есть сужение на L настоящего отношения при-
надлежности, то справедливость аксиомы регулярности в L не-
медленно вытекает из аксиомы регулярности в V.
Аксиома выделения. Пусть <р(и0, .ул) есть «^-формула,
и аъ ..., ап, x^L. Мы должны найти такое множество #gL,
что (y = {z^x: <p(z, a)})L, где а есть строка ab ..., ап. Выбе-
рем такое а, что х, a g La. Если теперь повторить для конст-
руктивной .иерархии хорошо известное доказательство принципа
отражения *), то можно найти такой ординал Р > а, что Vz е
е Lp (<pLP (z, а) «-> <pL (z, а)). Положим у = {z e x: <pL (z, а)}. Тогда
формула ф (vQ) Vq ex A (p (y0, а) будет определять у в Ц, так
как х,	и y^x^L^. Поэтому у^ Lp+1, что и требова-
лось.
Аксиома подстановки. Пусть ^-формула <р и n-ка agL
таковы, что (Vx3!z/<p (х, у, a))L. Поскольку аксиома выделения
в L уже доказана, то достаточно для каждого weL найти
такое v е L, что (Vx е иЗу е снр (х, у, a))L. Выберем такое а,
что и, La. Для каждого х^и через f (х) обозначим наимень-
ший ординал Р^а такой, что <pL(x, у, а) для некоторого у^ Lp.
Пусть ординал у превосходит все ординалы f(x), х^и. Тогда
множество v = LY будет искомым. □
Для доказательства истинности АС и GCH в L необходимо
провести более детальное исследование конструктивной иерар-
*) См., например, книгу: Йех Т. Теория множеств и метод форсинга.—
М.: Мир, 1973, с. 32. — Прим, перев.
6 Справочная книга, ч. II
162
ГЛ 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
хии, а также дать теоретико-множественное определение языка
S? и его основных семантических понятий. Такое исследование
необходимо в частности для того, чтобы показать, что играю-
щая фундаментальную роль операция Def является теоретико-
множественной операцией. Иными словами, нужно построить
такую формулу ф(х, у) языка S’v, которая выражает равенство
у = Def (х). Без этого, строго говоря, утверждения настоящего
параграфа не имеют смысла. Такую формулу мы построим
в конце следующего параграфа.
§ 3.	Арифметизация языка ^Ру
Следующие определения приведут к формальному определе-
нию языка в теории множеств.
Для любых конечных последовательностей s и t через
обозначим конечную последовательность, полученную приписы-
ванием справа к последовательности s членов последователь-
ности t с сохранением их порядка.
Переменные.
vn = (2, п),	П^(д.
Таким образом, переменная vn — это упорядоченная пара <2,
Предикат «...есть переменная» обозначим Vbl.
Константы'.
х = (3, х), х е V.
Предикат «...есть константа» обозначим Const.
Элементарные формулы:
(х^у) = (0, 4, х, у, 1), где х, у е Vbl U Const.
(х == у) = (0, 5, х, у, 1), где х, у е Vbl |J Const.
Предикат «...есть элементарная формула» обозначим EFml.
Формулы:
(фД1|)) = <0)Л<6>ЛфЛфЛ<1>,
(-]<р) = <0>л<7>ЛфЛ<1>,
(3«ф) = <0>л <8>л <м>л фл (1>. где Vbl (и).
(Таким образом, мы имеем схему для построения формул из
элементарных формул, состоящую из трех последних строк.)
Предикат «...есть формула» обозначим Fml. Для каждого
множества и через Constu(x) обозначим предикат Const (х) Л
Л(х)]еи (т. е. х = <3, (x)i> есть константа, стандартная ин-
терпретация которой принадлежит множеству и). Аналогично
получаются и релятивизованные предикаты EFmlu(x) и Fml«(x).
§ 3 АРИФМЕТИЗАЦИЯ ЯЗЫКА #
163
(Таким образом, Fmlu(x) означает, что х есть формула языка
2?и-) Мы рассматриваем эти предикаты как двухместные (с пе-
ременными хим).
Для каждого из введенных выше предикатов можно указать
соответствующее формальное теоретико-множественное опреде-
ление. Именно:
Vbl (х)	(х —- упорядоченная пара) Л ((х)0 = 2)
A ((x)i является натуральным числом); через (х)0 и (x)i
обозначены соответственно первый и второй члены пары х;
Const (х) (х — упорядоченная пара) Д ((х)0 = 3);
EFml (х) (х — конечная последовательность)
A(domx = 5)A(x(0) = 0) Д(х(1) = 4 Vx(l) = 5)
A(Vbl(x(2)) V Const(x(2))) Д (Vbl (х (3)) V Const(х(3)))Д(х(4)=1);
Fml (x)*->3f (Build (х, /)),
где Build — следующий предикат:
Build (qp, ф) «-> (ф — конечная последовательность)
л ’I’domt-i = Ф Л Vie dom(ф)(EFml(ф,)
V3/, feei (ф; = (ф/ Л ф*)) V 3/<= i (Ф/=(ПФ/))
V 3/ е /Эи е ran (<р) (Vbl (и) Л = (Зиф/)).
Аналогично определяются и предикаты Constu(x), EFmlu(x)
и Fmlu(x).
Теперь’ мы можем дать формальные теоретико-множествен-
ные определения основных синтаксических и семантических по-
нятий языка S’v.
Пусть Fr (<р) есть совокупность всех свободных переменных,
встречающихся в ф, если ф— формула; в противном случае
положим Fr(<p)=O. Функция Fr имеет следующее теоретик©'
множественное определение:
У = Fr (<р) *-> (“| Fml (ф) Л у == 0)
V Э/Эф (Build (ф, ф) Л (f — конечная последовательность)
Л dom (f) = dom (ф) Д f (dom (f) — 1) = у
Л Vi е dom (f) ((EFml (ф/) Л f (I) = F (ф,))
V 3/, k <= i (фг = (ф, Д ф*) и f (/) = /(/) U f (k))
V 3/ «= i (ф/ = (1 ф/) и f (i) = f (/))
V 3/ е /Эи е ran (ф) (Vbl (и) и фi = (Зиф/) и f (Z) = f (/) — {и}))),
где F = Fr f EFml. (Функция F имеет очень простое определе-
ние, которое мы для краткости опустим.)
6*
161
ГЛ 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
Для каждой формулы <р, переменной v и константы t через
<р(и//) обозначим формулу, полученную из <р подстановкой I
вместо каждого свободного вхождения v в <р. Введем следую-
щую функцию Sub:
_ , .	f ф (v/i), если Fml(<p) Д Vbl (у) Д Const (i),
Sub (<р, v, t) = <
(, 0 в противном случае.
Для этой функции укажем такое теоретико-множественное оп-
ределение:
ф' = Sub (<р, v, t) ("1 (Fml (ф) Д Vbl (и) Д Const (/)) Д ф' — 0)
V (Fml (ф) Д Vbl (и) Д Const (/)
Д ЗОЗф (Build (ф, ф) Д 0 — конечная последовательность
Д dom (0) = dom (ф) Л Odom 0-1 = ф' Л Vi е dom (ф)
((EFml (фг) Д 0z = S (фь v, /)) V 3/, k 6= I (фг = (ф, Д фА)
и 0, = (0/ Л 0*)) V 3/ е i (Ф/ = ("1 ф/ и 0Z = (П 0,))
Х/Э/ei 3zz е ran (ф) (Vbl (и) ии=#ки Фг = (3ггф/)
и 0z = (3zz0/)) V Э/ei (ф/ = (3иф/) и 0Z == ф,)))),
где S = Sub Г (EFml X V X V).
Введем еще один предикат Sat(zz, ф), который говорит: «ф
есть предложение языка 9?н такое, что и |= ф». Укажем для
него следующее теоретико-множественное определение;
Sat(zz, ф)*->«#=0 Л Рт1и(ф) Л З/За ((/ — конечная
последовательность) Л (ф е f (dom (f) — 1))
Д a s т = {vt = vf. i, j s ©} (J {vt e Vf. i, j e ©}
О	о
\J{vi = x: i s © Д x e «} U {x = yz: i e © Д x e u}
о	о
U {vi ех: г е® Д хе u}(J (хе и; i<= © Д хе и}
U {х е у: х, у е zz} U {х = z/: х, z/ <= zz}
Л Vg (((g — конечная последовательность)
Д (dom (g) = dom (/)) Д (о s g (0) s т)
Д Vze(dom(g)— l)(g(i+ l) = g(i)U^ Л Ф': Ф, Ф'
g (0) U {“I ф: Ф e g (i)} (J {Зитф: tn e © Л ф e= g (i)}))
-> (/ (0) s {x e y: x, у e и Д x e y} U {x = x: x e u}
Д Vi e (dom (/) — 1) (/ (i + 1) = f (i) U {ф Л Ф': Ф, Ф' g= f (i)}
11{Дф: <psg(i)~/(0)11{Зутф: m<= © Д фе= g(i)
Л Зх e и (Sub (Ф, om, x) s f (i))})))).
§ 4. СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ ИЕРАРХИИ
165
Наконец, даем следующее определение функции Def:
v = Def (и) Vx <= иЗф (Fml„ (ср) Д Fr (ср) = {и0}
Дх = {геи: Sat (и, Sub (ср, и0, г))})
Д Vср (Fmla (<р) Д Fr (ср) = {и0}
-> Эх е v (х = {г е и: Sat (и, Sub (<р, v0, г))})).
§ 4. Структура конструктивной иерархии
Большинство основных свойств конструктивной иерархии яв-
ляются следствиями леммы, которую мы докажем в этом пара-
графе. Сначала напомним читателю терминологию, связанную
с некоторыми совокупностями формул языка 3?у.
Формула <р языка 3?у называется ^-формулой, если она не
имеет неограниченных кванторов. (См. определение 1.2 из
гл. 4, где такие формулы назывались А0-формулами.) ^пФ°Р~
мулами (соответственно Х1п-формулами) (при м^1) называются
формулы вида Зх^х2Зх3 .. .—хпф (соответственно Vx!3x2Vx3 • ••
... — хпф), где ф является ^-формулой (xz их — кортежи
переменных).
-классом назовем каждый класс {/ = {х:ф(х)}, который
можно определить в ZF некоторой 2Л-формулой (т. е. можно
указать 2п-формулу ф(х) такую, что ZF Н Vx (ф (х) *-> ф (х))).
Аналогично вводится понятие -класса. Классы, одновремен-
viZF	rrZF	aZP
но являющиеся -классами и Пп -классами, называются А„ -
классами.
Пусть М — какой-то класс и N s М. Конечноместный пре-
дикат Р на М называется 2„ (^-предикатом, если он опреде-
лим в М некоторой 2п-формулой языка 2? N (т. е. с парамет-
рами из N). Совокупность всех таких предикатов обозначим
через	Аналогично вводятся понятия ('У)-предиката
и Ап (АО-предиката. Пишем 2„ вместо 2*(0), 2Д(Л1) вместо
(А4) и аналогично для П, А. (Таким образом, в каком-то
смысле Ел тождественно с SnF.)
Пусть N s М — произвольные множества. Каждая формула
языка S?N логически эквивалентна некоторой 2д-формуле
этого же языка для подходящего п. Поэтому любое множество
P^N будет определимым в М с параметрами из W (т. е.
определимым формулой языка <2?^), если и только если
Pg U 2n(Af). В частности, Р е Def (А4) «-> Р е U 2П(А1).
166
ГЛ 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
Будем говорить, что множество Р е М определимо в М, если
Ре (J т. е. если Р определимо в М без параметров.
Эти понятия тесно связаны с понятием абсолютности, иг-
рающим важную роль в теории конструктивности.
Предикат Р называется абсолютным для класса М, если для
всех х^М выполняется эквивалентность Р (х) Рм (х) (т. е.
Р имеет один и тот же смысл в М и в V).
Если класс М транзитивен, то каждая So-формула языка
очевидно, абсолютна для М (см. предложение 1.3 гл. 4).
Отсюда немедленно следует, что если Р есть Д?Р-предикат, а М
является моделью теории ZF (или по крайней мере той части
ZF, которая используется в доказательстве эквивалентности Sr
и Пгопределений предиката Р), то Р абсолютен для М,
Многие основные понятия теории множеств являются ^oF*
понятиями и даже Х^-понятиями для любого транзитивного
класса М. В частности, таким свойством обладают
X = у, X у, X у, у = {х, z}, у = <х, z>,
у =(*)<>, f/=(x)j, */ = Lk> =
x — упорядоченная пара,
у = х\2, у — х — z, х — функция, у = dom(х),
1/ = гап(х), f/ = x(z),
х— (предельный/непредельный) ординал,
х — натуральное число,
х — последовательность,
х — конечная последовательность,
X = (J), (j) G X И Т. П.
(см. 1.4 и 2.12 из гл. 4). Более того, каждый из этих предика-
тов является равномерно So1-предикатом для транзитивных М,
т. е. для него можно указать такую So-формулу, которая будет
годиться для каждого транзитивного класса Af.
Заметим также, что если предикат Р(х) является SoF- или
S^-npeAHKaTOM, где класс М транзитивен, то такими же будут
предикаты Р ((х)0) и Р ((х)0, а также предикаты Vx е dom (и) (Р (х))
и Vx е гап(и)(Р(х)).
Наконец, последнее замечание. Если транзитивный класс М
замкнут относительно операции образования упорядоченных
пар, то каждый S^-предикат Р на М можно выразить форму-
лой вида Bx1Vx2Bx3 ... — xft/?(xb ... , xft), где R является
So-предикатом. (Правило свертывания кванторов.)
§ 4. СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ ИЕРАРХИИ
167
^х-функцией называем функцию, график которой является
Si-классом.
Теперь мы уже достаточно подготовлены, чтобы доказать
следующую лемму:
4.1.	Лемма. Функция (Lv: veOn) является ^-функцией,
а функция (Lv: v е А) является равномерно х-функцией для
всех предельных ординалов X > со.
Доказательство. Ясно, что
z/ = La«->3f (/ — функция
A dom (f) = a + 1 A f (0) = 0 A Vy е dom (f) ((Lim (y)
Ay>0->/(y)= U /(б))ЛГ1Ыт(у)
• d<v
-> f (y)= Def (f (у - 1)))) A у = f (a)).
Мы должны показать, что предикат в правой части является
Si-предикатом, причем наше Si-определение должно работать
как для ZF, так и для произвольного множества Lx, где X > о»
предельно. Непосредственный анализ определений § 3 показы-
вает, что предикаты Vbl(x), Constu(x), EFmlH(x) являются So-
предикатами, а каждый неограниченный квантор остальных
предикатов § 3 может быть ограничен одним из следующих
множеств:
®, ^«e (Seq (9 (J Vbl U Constu ran 0),
Seq (^«e (Seq (9 U Vbl U Constu ran f))),
Seq (Seq (9 (J Vbl U Constu ran f)),
Seq (9 U Vbl U Constu ran f),
Seq (^<<a( Vbl)),
где Seq(x) есть множество всех конечных последовательностей
элементов множества х, ^<«>(х) = {у s х: у конечно}. Значит,
если определить функцию w, объединяющую все указанные
множества:
w (/) = <в U (Seq (9 (J Vbl U Constu ran f))
U Seq G?<w (Seq (9 (J Vbl (J Constu ran f)))
U Seq (Seq (9 (J Vbl U Constu ran f))
U Seq (9 U Vbl (J Constu ran f) U Seq (^«»(Vbl)),
то мы сможем получить определение в виде
y = Lat->BfBw(w = w(f)/\U(w, f, у, а)),
где U(w, f, у, а) есть So-предикат, который получается из пра-
вой части эквивалентности в начале доказательства вычерки-
168
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
ванием квантора 3/ и ограничением всех оставшихся неогра-
ниченных кванторов множеством w. Чтобы доказать, что полу-
ченное определение принадлежит классу 2Ь мы должны
установить, что функция w(f) принадлежит классу 2р Это, оче-
видно, сводится к тому, чтобы показать, что Seq(x) и Зс^(х)
являются 2гфункциями. Но так как (х) = у <-> 3z (г =
= Seq (х) Л У = {ran (и): и (= z}), то этот вопрос в свою очередь
сводится к доказательству принадлежности функции Seq(x)
к 21. Укажем соответствующее 21-определение:
у = Seq (х)
*-> 3g (g — последовательность д dom (g) = со
ЛУ= U ran(g) A g(0)= 0
Д Vne coVs е g(n + 1) 3/ g (п) За <= х (s = t U {(n, a)})
A Vn e coVs e g (n) Va e x3t e g(n-\- 1) (/ = s U {(n, a)}).
Ясно, что в правой части стоит 2гформула, причем это опре-
деление подходит и для любого множества Lx (т. е. абсолютно
для Lx), если ординал X > со пределен. В самом деле, если
xeLa, то Seq (х)	La+2, и поэтому, определив Seq(x) в La4-2,
получим Seq(x)^La+3. А единственное g, существование кото-
рого утверждается в последней формуле, тогда принадлежит
множеству La+4.
Осталось проверить, что наше окончательное определение
функции конструктивной иерархии, т. е. предиката у = La, го-
дится для любого L^, если ординал X > со Пределен. В само*!
деле, имеется лишь одна функция, которую можно взять в ка-
честве /, — именно, f = <LV: v a>. Но индукцией по а не-
трудно проверить, что из a < X следует <LV: v a> е Lx. Лем-
ма доказана. □
4.2.	Следствие. Функция <LV: veOn) является ^-функ-
цией, а функция <LV: v < Х> является равномерно ^-функцией
для всех предельных ординалов X > со.
Доказательство. Вообще любая 21-функция с Проб-
ластью определения принадлежит Ар В самом деле, имеет
место следующая эквивалентность: у = f (х) «-> х е dom (/) А
A Vz (г = f (х) -> z = у). □
, § 5. Аксиома конструктивности
Так называется утверждение о том, что все множества кон-
структивны. Эту аксиому обычно записывают в виде равенства
V = L. Из 4.2 немедленно вытекает
5.1.	Лемма, (i) Класс L является ^-классом.
(ii)	Формула V = L есть П2-формула языка 3!.
§ 6. АКСИОМА ВЫБОРА В L	169
Доказательство.	Ц, и поэтому
L является 2гклассом. Далее, V = L <-> Vx3a (х е La). □
Из 4.2 в силу абсолютности Дрформул также следует
5.2.	Лемма, (i) Пусть М есть транзитивная модель теории
ZF. Тогда для каждого ординала а^М будет LasM и La =
= (La)M. Следовательно, если X = On f| М, то (L)M = Lx, а если
OnczM, то (L)M = L.
(ii)	Для всех ординалов а выполняется (La)L = La. Следо-
вательно, (L)L = L.
(iii)	Если ординал X > со пределен, то (L)l* = La,.
Из утверждения (ii) этой леммы сразу получаем такую
теорему:
5.3.	Теорема (Гёдель). ZF Н (V = L)L.
Необходимо отметить, что слово «аксиома» применительно
к V = L вовсе не означает, что эту аксиому считают «разум-
ным» или «интуитивно истинным» добавлением к теории ZF,
когда последняя рассматривается как основание теории мно-
жеств. Аксиома V = L фигурирует в теоретико-множественных
работах скорее как интересное дополнительное предположение,
заслуживающее внимание хотя бы потому, что позволяет ре-
шить многие проблемы, неразрешимые в рамках теории ZFC.
(См. наше введение.) Кроме того, любое утверждение, доказан-
ное в теории ZF + V = L, автоматически оказывается непроти-
воречивым относительно ZF, так как конструктивный универ-
сум L построен средствами ZF и образует модель теории ZF.
§ 6.	Аксиома выбора в L
Мы покажем, что аксиома выбора выполняется в L в очень
сильной форме. Именно, будет указана формула, которая опре-
деляет в L полное упорядочение класса L. В основе определе-
ния этой формулы лежит идея установить «порядок построе-
ния» элементов класса L. Для того чтобы это сделать, сначала
несколько упростим построение конструктивной иерархии с тем,
чтобы ограничиться всего одним параметром в переходе от
к La-i-i.
6.1.	Лемма. Для каждого ординала а найдется определи-
мая в La функция <—, —>а из La X La в La такая, что для всех
х, У, х', yf е La выполняется
(х, У* = </, у'}а -^х = х' Л. у = у'.
Доказательство. Если X пределен, то подойдет обыч'
пая функция пары <—,—>. Для непредельных же а определим
<—, —>а индукцией по а. Пусть <—, —>“ уже определена. Тогда
<х, «/>“ е La+i, если х, у е La. Значит, для любых х, у е La+i
170
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
можно в La+J определить множество хХ ау = {<н, v>a:
^xAvEy}. Теперь <х, #>a+I = (хХ a{°})U(y ХаШ) будет
искомой функцией для а+ 1. □
Функцию <—, —>а назовем функцией а-пары. Она исполь-
зуется в доказательстве следующей леммы.
6.2.	Лемма. Если xeLa+b то для некоторой S?-формулы
<p(vo> Vi) и некоторого р е La будет
х = (геЕа: Lo |= q> (z, р)}..
Доказательство — с помощью функции a-пары (и об-
ратных к ней Ьа-определимых функций) методом свертывания
кванторов. □
6.3.	Лемма. Существует последовательность <<а: аеОп>,
удовлетворяющая следующим пяти условиям:
(i)	последовательность <<а: аеОп> является ^‘После-
довательностью, а <<а: а < Х> является равномерно по-
следовательностью для всех предельных ординалов X > со;
(ii)	если X > (о предельно, то <х является (равномерно для
всех таких ординалов А) полным ^-упорядочением множе-
ства Lx;
(iii)	если а < 0, то <р является концевым продолжением
порядка <а, г. е. <а и <р совпадают на множестве La^Lp,
и La — начальный сегмент множества Lp в смысле <р;
(iv)	если х^у^ La, то х < ау\
(v)	если ординал X > (о пределен, то функция рг(х) =
= {у: у<ах} является (равномерно) ^-функцией.
Доказательство. Построим <а индукцией по а. Поло-
жим <о = 0. Если X >0 пределен, то <\= U <а- Предпо-
a<h
ложим теперь, что <а определено. Пусть <<prt: пею> — неко-
торая рекурсивная нумерация всех формул языка имеющих
только две свободные переменные и Vi. Эта нумерация фик-
сирована в дальнейшем. Для каждого х е La+1 определим
° °
п(х) — наименьшее такое п, что x = {zeLa: La^=(pn(z, р)},
для некоторого р е La,
р(х) — наименьшее в смысле <а из таких р.
Теперь для х, у La+1 положим
X <а+1 У У J-'a А -V <аУ) V (х Д у La)
V (х, у & La А п (х) < п (у))
(х, у /\ п(х)—п(у) Лр(х) <ар(у))-
Ясно, что каждое <а является полным упорядочением мно-
жества La. Поскольку <а+1 для всех а является концевым про-
§ 7. ЛЕММА О КОНДЕНСАЦИИ
171
должением порядка <а, то условие (iii) очевидно. Условие (iv)
также проверяется без особого труда. Доказательство (i) ана-
логично доказательству леммы 4.1 и следствия 4.2, и мы оста-
вим его читателю. Для доказательства (ii) укажем 2гопреде-
ление х <ку <-->За < Л(х <ау) и Пгопределение х <ку х^
=#//А"]За<Х(у <ах) для <а. Наконец, для (v) подойдет
следующее ^-определение:
z = рг (х)	3v < % (х е Lv A z = {у: у <v х}).
Поэтому, как и в 4.2, рассматриваемая функция принадлежит
классу Дь □
Положим <L = U <а* Тогда <l будет полным SfF-yno-
а е On
рядочением класса‘L, причем <Д(](ГхХ Lx)= <\ для всех
предельных Л > со. Через <p(vo, vi) обозначим естественную
Si-формулу языка S’, которая определяет порядок <l, а через
ф обозначим следующую Пгформулу: Vo=/'Vi А ~1ф(У1,Уо). Те-
перь из леммы 6.3 немедленно вытекает
6.4.	Теорема (Гёдель; Йенсен — Карп). Найдутся такие
^-формула <р и Гц формула ф языка S, что-.
(i)	ф и ф абсолютны для L;
(ii)	ZFI— {<х,у}: ф(х,у))} есть полное упорядочение
класса L;
(iii)	ZF + V = L Н(ф(х, г/)*-»-ф (х, ^/)).
Следовательно, ZF Н (AC)L. Н
§ 7.	Лемма о конденсации. GCH в L
Если множество X S La таково, что для любого 2«-предло-
жения ф языка 9? к выполняется эквивалентность: X |= ф, если
и только если La |= ф, то будем писать X <(s La.
Ясно, что X Lo для каждого транзитивного X s La.
Если п > 0 и ординал а пределен, то выполняется эквивалент-
ность: X -<_ La, если и только если для каждого Sna (Х)-мно-
п
жества PsLa из Р =/= 0 следует РПХ=/=0.
7.1.	Лемма (лемма о конденсации). Пусть X -<2| Lo и ор-
динал а пределен. Тогда существуют и единственны такие 0
и л, что:
(i)	л есть изоморфизм систем <Х, е> и <Lp, е>;
(ii)	если УеХ транзитивно и хеУ, то л(х)=х;
(iii)	если хеХ, то л(х)^ Lx.
Доказательство. Если a — со, то, очевидно, X = LM,
и доказывать нечего. Поэтому будем рассматривать только слу-
чай a > <о. Так как X <(S)LO, а множество La транзитивно, то
172
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
X будет экстенсиональным (т. е. если х, у е X различны, то
х П X у П X). Следовательно, по известной теореме Мостов-
ского об изоморфизме существует единственное транзитивное
множество М и единственный е-изоморфизм л: X на М. (Об
этом см. результат 3.7 гл. 7 «Теории моделей».) Остается до-
казать, что М = Lp для некоторого (единственного) ординала р.
В силу 4.2 найдется So-формула <р(и0, tn, у2) такая, что:
(a)	v = Lv <—> 3z<p (z, v, у);
(b)	La |= Vy3t>3zq> (z, v, y);
(c)	La|= Vx3y3t»3z (<p (z, v, y)Axeo).
Поскольку для прообраза л-1”М = Х множества М имеет
место соотношение X -<Si La, то из (Ь) и (с) следуют:
(d)	Vy е М (M|=3n3zq)(z, v, у));
(е)	Vx е М (М |= ЗуЗоЗг (<р (z, v, у) А х е и)).
Но So-предложения абсолютны для транзитивных множеств.
Поэтому из (d) и (е) получаем:
(f)	Vy е M3v е M3z е Мер (z, v, у);
(g)	Vx е А43у е M3v е AlBz е М (<p (z, v, у) Л х е у).
Далее, из (а), (f) и (g) вытекают:
(h)	VysAl (Lvg=.M);
(i)	Vx еЛ13у <= M (x e Ц).
Но множество M транзитивно. Значит, (h) дает (J L„ s M.
С другой стороны, из (i) следует Ms U Lv. Таким образом,
Y e M
M = U Lv. Кроме того, M f] On есть некоторый ординал р.
уеМ
Этот ординал пределен, так как ординал а пределен и М -<Si La.
Следовательно, М — Lp.
Итак, утверждение (i) леммы доказано. Утверждение (ii)
без труда доказывается е-индукцией. Для доказательства (iii)
предположим, что, напротив, найдется такое х«=Л, что n(x)>L
> lX- Пусть хо есть <ь-наименьшее из таких х. Заметим, что
xoeLp, так как х0 < игс(х0)е = М = Lp, а Lp есть на-
чальный сегмент в смысле <ь. Значит, найдется такое Xi е X,
что х0 = л(Х1). Итак, л(Х1)< ьл(х0). Отсюда следует xi < LXe,
поскольку <l является Si^-отношением. Таким образом, мы
получим хо = jt(xi) Xi, что противоречит неравенству Xi < L
< LXo. □
С помощью доказанной леммы и следующей леммы 7.2 мы
сможем доказать GCH в классе L.
7.2.	Лемма. Пусть к является кардиналом в L. Если хе L
есть ограниченное подмножество кардинала н или х с La для
некоторого а <х, то xeLx.
§ 8. Si-ФУНКЦИИ СКУЛЕМА
173
Доказательство. Пусть а<х таково, что x£La. Вы-
берем такой предельный ординал Л, что х е Lx. Через М обоз-
начим совокупность всех элементов множества Lx, определимых
в Lx с параметрами из La J {х}. Поскольку полный порядок <х
определим в Lx, то нетрудно проверить, что М <	(т. е.
для всех riy Значит, согласно 7.1 существует е-изо-
морфизм л: М на Lv. При этом п f La — тождественная функ-
ция, и поэтому л(х) = х. (Так как л(х) = (л(г): z е х П М}.)
Значит, х е Lv. Но в силу счетности нашего языка мы имеём
| М |L = | La |L + <о. С другой стороны, индукцией по v нетрудно
доказать равенство | Lv |L = | v |L для всех бесконечных v. Следо-
вательно, | у |L | a |L о < х. Это означает, что у < х и
X G Lx. □
7.3.	Теорема (Гёдель). ZFH(GCH)l.
Доказательство. Для каждого бесконечного карди-
нала х будет 2*^|LH+| в силу леммы 7.2. Но |LH+| = x+.
Это и дает 2Л — х+. □
§ 8.	Si-функции Скулема
Эти функции играют важную роль в теории конструктив-
ности.
L
^-функцией Скулема для La называется каждая Si “-функ-
ция h такая, что dom (й) е ® X La, ran(ft)sLa, и для любого
xgL„ и любого Х1“({х))-множества Р s La из Р ф 0 следует
Э/ е ® (й (Z, х) е= Р).
Перед доказательством существования укажем несколько
элементарных свойств функций Скулема.
8.1.	Лемма. Пусть ординал а пределен, a h является ^\-функ~
цией Скулема'для La, и xeLa. Тогда х е й” (со X W) Ks, La-
Доказательство. Положим N = й” (® X W). Ясно, что
хе У. Рассмотрим произвольное Si “ (АО-множество PsLa.
Докажем, что P=^Q)->P[\N^0. Пусть yi...........ym<^.N
таковы, что Ре Si“((z/b ..., ym}). По определению множества N
найдутся числа ju ....	удовлетворяющие равенствам
—	х), ..., ym — h(jm, х). Заметим, что PeSi“({x}), так
L
как й является Si “-функцией. Значит,
Р ¥= 0->3г е со(й(г, х) е Р)->Р П W =/= 0. □
Доказанная лемма допускает обобщения. Например:
174
ГЛ 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
8.2.	Лемма. Пусть ординал а пределен, a h является Sr
функцией Скулема для La. Пусть также р е La и множество
X La замкнуто относительно образования упорядоченных
пар. Тогда
X\}{p}^h” (®Х(ХХ{р}))<2| La.
Доказательство. Положим N = Л” (<о X (X X {р})). Ясно,
что X U {р} N. Рассмотрим произвольное Sia (У)-множество
PcLa. Пусть у[9 ..., у т<=П таковы, что Pg= Sia(Gb ...» Ут})-
По определению N найдутся /\, ...,	и х{, ..., хт<=Х,
удовлетворяющие равенствам y = h{]b (хь р)), ..., ут =
= h(]mi {хт> р)). Положим х = (х1, ..., хт). По условию леммы
хеХ. Заметим, что P^Sia({(x, р)}), так как h является
^"-функцией. Значит, Р =/= 0 -> 3z ® (h (/, (х, р)) е Р) -►
->РП^#=0. □
Аналогично, имеет место
8.3.	Лемма. Пусть ординал а пределен, a h является Sp
функцией Скулема для La. Пусть также X La, а множество
h” (со XX) замкнуто относительно образования упорядоченных
пар. Тогда X Л” (<о X X) <Sj La.
Доказательство. Ясно, что если У = Л”(соXX), то
ft”(соX У) = А”(©XX). Теперь следует применить лемму
8.2. □
Две последние леммы показывают, каким образом обычно
применяются Si-функции Скулема. Теперь рассмотрим вопрос
существования таких функций. Будет доказано, что если орди-
нал a > <о пределен, то существует Si-функция Скулема для
множества La. Начнем со следующей вспомогательной леммы.
8.4.	Лемма. Пусть ординал a > со пределен. Тогда суже-
ние La(=Si> предиката истинности Lap= на совокупность всех
Ъъ-предложений языка 2!^ является (равномерно) ^-предикатом.
Доказательство. Для любого So-предложения ф языка
S?La мы имеем La |= ф, если и только если ТС(гап(ф))|= ф
(в силу абсолютности), где ТС(х) есть транзитивное замыка-
ние множества х, т. е. наименьшее транзитивное множество г
такое, что х z. Значит, для каждого So-предложения ф вы-
полняется: La |= ф, если и только если 5а1(ТС(гап(ф)), ф), где
Sat — предикат, введенный в §3. Но анализ определения
Sat (и, ф) показывает, что в нем каждый неограниченный кван-
тор можно ограничить множеством вица w — w(u), где w яв-
ляется подходящей Si-функцией типа той, которая была ис-
пользована в доказательстве леммы 4.1. Значит, Sat (и, ф)
§ 8 2, ФУНКЦИИ СКУЛЕМА
175
имеет следующее Si-определение над La:
Sat (и, <р) <-> 3w (w = w(u) A S (w, u, <p)),
где S(w, и, ф) есть So-формула, полученная из определения
Sat (и, ф) в § 3 ограничением всех неограниченных кванторов
множеством w.
Далее, ТС также является Е^-функцией в силу следующего
определения:
w = TC(x)+-*Bf (f — функция Adom(f) = ®
A f (0) = х A Vn g= «(f (n + 1) = (J f 00) A w = (J ran (f)).
Теперь лемма очевидна. □
8.5.	Следствие. Пусть ординал а > <о пределен. Тогда
сужение Ьд^2' предиката истинности La|= на совокупность всех
предложений языка , имеющих вид Зиоф(ио)» где ф есть
а	L
^-формула, является (равномерно) Si"-предикатом.
Доказательство. Рассуждая аналогично доказатель-
ству леммы 8.4, нетрудно проверить, что введенная в § 3 функ-
ция БиЬ(ф, у, t) является ^-функцией. Далее, для любого
предложения ф вида Зиоф, где ф есть So-формула, справедлива
следующая эквивалентность:
La ф, если и только если
Зфе La3xe Еа(чф = 3^о'Ф и Laf=2°Sub(ф, и0, х)).
Теперь искомое следует из леммы 8.4. □
8.6.	Лемма. Пусть ординал a > со пределен. Тогда най-
дется Ъ\-функция Скулема для La, являющаяся равномерно
Si ^-функцией.
Доказательство. Пусть <фх: /есо> — некоторая фикси-
рованная рекурсивная нумерация всех формул языка Z вида
Ф/ —Зиоф/(^о, и2), где ф/ есть So-формула. Введем частич-
ную функцию ra следующим образом:
w = Га (i, х) <-► La |= ф, ((ау)0, (ау)1, x)A Vz <L w "1	((z)0, (z)b x),
т. e.
w = ra(i, x) *-> La |= <pf ((да)о. Mi. x)
А 3м (u = {z: z <L®} A Vz e u “| Ф1 ((z)o. (2)1, x}}.
Согласно 8.5 и 6.3 ra является ^“-функцией. Следовательно,
функция ha, определенная условным равенством ha(i, x)zu
176
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
— (га(Л*))ь также будет Si “-функцией. Нетрудно проверить,
что /га — искомая функция. □
Функция Ла, определенная в доказательстве леммы 8.4, на-
зывается канонической ^-функцией Скулема для La. В сущ-
ности, для каждого / G(o из нашего доказательства можно
извлечь такую So-формулу Ht языка 2, что для каждого пре-
дельного a > ® и любых множеств х, у е La выполняется экви-
о о о
валентность y = ha(i, х)*-*• 3zе La(La|= Ht(z, у, х)). Через
ООО
Яа(г, У, Л *) обозначим отношение La (zt у, х). Поскольку
нумерация	предполагается рекурсивной, то из 8.5
имеем: На является Si “-отношением (равномерно для всех пре-
дельных a > со). В дальнейшем изложении мы будем часто
употреблять эти обозначения.
В качестве иллюстрации того, как используются функции
Скулема в доказательствах, докажем следующую лемму.
8.7.	Лемма. Если ординал a > со пределен, то найдется
Si(La)-функция из а на La.
Доказательство. С помощью не очень сложного
технического приема можно показать, что существует
Si(La)-функция из а на a X Итак, пусть	та-
L
ково, что существует Si“ ({р})-функция f из а на a X причем
р является Сь-наименьшим из таких параметров. Определим
функции-компоненты f° и f1 равенством f(v)=</°(v), f1 (v)> для
всех v < а. Индукцией по п введем функции fn из а на ап сле-
дующим образом: fi(v) = v и /m-i(v)= <f°(v), fntf'ty)))- Каж-
дая fn является 51“({р})-функцией. Пусть h — ha и X = Л” (со X
Х(аХ{р})).
Утверждение 1. Множество X замкнуто относительно обра-
зования упорядоченных пар.
В самом деле, пусть хь х2еХ. Выберем такие /ь /2 е со и
vb v2ge«, что х, = Л(/Ь (vb р» и х2 = Л (/2, <v2, р)). Пусть
(vb v2) = f2(r). Тогда {(хь х2>} будет Si“({(t, р)})-множеством.
Значит, (хь х2^еХ по определению h, что и требовалось.
Из доказанного и 8.3 следует X -<2l La. Используя лемму
о конденсации, найдем е-изоморфизм л: X на Lp. Поскольку
a X, то в нашем случае будет р = а.
Утверждение 2. Для всех i е со и х Е X выполняется услов-
ное равенство л (Л (Z, x))~h(if л(х)).
Действительно, пусть i е со, хеХ и у = h(i, х). Поскольку
h является Si “-функцией, а xeXXs,La, то у^Х. Далее,
о о	о о
так как у = h (1, х), то La (= 3zHt (z, у, х) и далее X |= 3zHt (z, у, х),
9. ДОПУСТИМЫЕ ОРДИНАЛЫ
177
ООО
т. е. для некоторого геХ будет X[=Ht(z, у, х). Действуя
изоморфизмом л. получим La )= (л (z)°, л(р)°, л(х)°), т. е.
La\=3zHi(z, л(уУ, л(х)°). Таким образом, n(y) = h(i, л(х)). Об-
ратно, если ft (г, л(х)) определено, то мы имеем А (г, л(х)) = л(р)
для некоторого у е X. Теперь, повторив рассуждения в обрат-
ном направлении, получим y — h(i, х). Утверждение 2 доказано.
Продолжаем доказательство леммы. Поскольку fsaX
X(aXct), а изоморфизм л тождествен на а, то n(f) = f. Кроме
того, в силу изоморфизма образ л’7 является S(“ ({л (/^-мно-
жеством. Значит, в силу выбора р выполняется неравенство
р^ъл(р). Но изоморфизм л из леммы о конденсации удовле-
творяет неравенству л(р)^1_р. Значит, л(р) = р. Поэтому, со-
гласно утверждению 2, для всех i е to и v < а будет
n(ft(t, <v, р>)) ~ft(i,'<v, р». Следовательно, функция л тож-
дественна на X, откуда X = л’Х = La.
Рассмотрим такой 2о°-предикат S, что
y = h (Z, х) <-> 3z е LaS (z, у, i, х).
Определим отображение g из аХ®Х“ в La таким образом:
( у, если у е Lx и 3z е LTS (z, у, i, (т, р)),
д U, v, т) = s „
( 0 в противном случае.
Для g можно дать следующее Si (La)-определение:
У = g(Z, v, т)<-*(//еL, и 3z се LTS(z, у, i, (v, р»
V (V/ e LtVz e L, 1S (z, y', i, (v, р» Д у = 0).
Очевидно ^”(aXaX“) = ft(«X(“X {p})) == La. Таким
образом, композиция g°fs является искомой функцией. □
§ 9.	Допустимые ординалы
Допустимым множеством называется каждое транзитивное
множество М, удовлетворяющее следующим пяти условиям:
(I)	М 0,
(II)	Vxg=M (UxeM),
(III)	Vx, у e M ({x, у} e M),
(IV)	если Р = М является Sq (М)-множеством, то V« е М
(«ПР М) (^-выделение),
(V)	если Р^МХМ является Ео(Л1)-множеством, то
Vx е МЗу е М «х, у)^Р) -> Vu<=M3v<^MVx<=u3y е v «х, р)еР)
С^о-подстановка или, точнее, 20-собирание).
Можно доказать, что для каждого допустимого множества
условия (IV) и (V) справедливы также и для Ai(Af)- и
178
ГЛ. Б. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
Si (М)-множеств Р соответственно (принципы Дрвыделения и
Si-подстановки). Об этом см. § 2 главы 7 «Теории моделей»,
посвященной допустимым множествам.
Ординал а называется допустимым, если множество La до-
пустимо. (Нетрудно проверить, что а является допустимым
ординалом, если и только если найдется такое допустимое мно-
жество М, что a = М П On. Поэтому понятие допустимого ор-
динала фактически не зависит от конструктивной иерархии.)
Читатель без труда сможет показать, что если ординал a
пределен, то множество La удовлетворяет условиям (I) — (IV)
определения допустимого множества (нужно действовать, как
в доказательстве теоремы 2.2, и использовать абсолютность
So-формул). Значит, справедлива следующая
9.1.	Лемма. Пусть ординал а пределен. Тогда а допустим*
если и только если для каждого S0(La) -предиката Р(х, у)
имеет место
Vx е La3i/ е LaP (х, у) -> Vw е La3v е LaVx s иЭу е оР (х, у).
9.2.	Лемма. Пусть ординал а пределен. Тогда а допустим*
если и только если не существует конфинальных Si(La)-oro-
бражений ординалов 6 < а в а.
Доказательство. Пусть a — допустимый ординал, 6 < а,
и f: б—>а является Sj (Ьа)‘отображением. Тогда Vg < бЗп
(x\ = f (g)). Поэтому в силу Ерподстановки найдется такое yea,
что V£ бЗт) е у Си ~ f (£))• Это означает f”6sy, т. е. f не
конфинально.
Обратно, предположим, что не существует конфинальных
Si (La)-отображений ординалов б < а в a. С помощью 9.1 по-
кажем, что a — допустимый ординал. Рассмотрим произвольный
So(La)-предикат Р(х, у) на La такой, что УхеЕаЗг/с
е LaP (х, у). Для данного и е La подберем такое v е La, что
Vx е иЗу е vP(x* у). Определим Si (La)-отображение f: и-+а
равенством f(x) = (наименьшее у такое, что Зу s LyP(x, у)).
Выберем такой предельный ординал б < а, что и L6. (Если
таких б нет, то в силу и е La ординал а имеет вид а = p + v,
где ц < а и v со. Отсюда легко получить противоречие с на-
шим предположением об а.) Продолжим f тривиальным обра-
зом на множество L6. Согласно нашему предположению и лем-
ме 8.7 f не может быть конфинальным в а. Значит, найдется
такое р < а, что f ’Ld р. Таким образом, множество v — L&
является искомым. □
Следующая лемма является усилением предыдущей.
9.3.	Лемма. Пусть ординал а пределен, но не является
допустимым. Тогда найдется Si(La)-отображение из некото-
рого ординала 8 на а.
§ 10 ГИПОТЕЗА СУСЛИНА
179
Доказательство. В силу леммы 9.2 существует конфи-
нальное Si (La)-отображение некоторого ординала S < а в а.
Пусть f е Sia({p}) — такое отображение, peLa. Заметим, что
для ординалов а вида a = p + v, где ц < а и v со, лемма
тривиальна. Поэтому предположим, что а не имеет указанного
вида, и выберем такой предельный ординал у < а, что 6, ре LY.
Положим X = ft” (со X LY), где h = йа. Тогда X <SlLa, так как
множество X замкнуто относительно образования упорядочен-
ных пар. Пусть теперь л есть ^-изоморфизм X на Ц. По-
скольку функция л тождественна на множестве LY, то анало-
гично утверждению 2 из доказательства 8.7 можно показать, что
л тождественна на X. Значит, X = Lp. Далее, множество X
замкнуто относительно f, так как f является Si “({^-отобра-
жением, и peX<sLa. Но б^Х, а f конфинально в а. От-
сюда следует а^Х. Таким образом, 0 = а и X = La.
Аналогично доказательству леммы 8.7 рассмотрим Soa-npe-
дикат S такой, что
y = h (i, х)	3z е LaS (z, у, Z, х).
Введем функцию g: соХ^Х LY->La условием
( у, если yeLf(v) и 3z е Lf(V)S(z, у, Z, х),
g(i, v, х) = <
s	{ 0 в противном случае.
Аналогично доказательству 8.7 g будет sta ({р})-функцией, при-
чем (<BX6X^Y) = A”((DX^Y) = X = La. Но в силу 8.7 су-
ществует Si(Ьу)-отображение /: у на °Х6ХЦ- Теперь ком-
позиция g°j будет Sj (Ьа)-отображением у на La, что и требо-
валось. □
Теория рекурсии на допустимых ординалах, а также связь
с конструктивностью обсуждаются в главе 5 «Теории рекур-
сии».
§ 10- Гипотеза Суслина
Гипотеза Суслина и ее обобщения позволяют дать одну из
лучших иллюстраций методов теории конструктивности.
Гипотезой Суслина SH называется утверждение о том, что
любое плотное полное по Дедекинду линейно упорядоченное
множество, не имеющее наименьшего и наибольшего элементов
и не имеющее несчетных семейств попарно непересекающихся
открытых интервалов, изоморфно континууму действительных
чисел. (Действительная прямая, очевидно, обладает всеми пе-
речисленными свойствами.)
ISO
ГЛ. 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
Старый результат Миллера позволяет переформулировать
SH в терминах деревьев. (См. теорему 4.11 гл. 3.) Деревом
называется каждое ЧУ множество Т = <Г, такое, что мно-
жество х = {у е Т: у < х} вполне упорядочено отношением
при любом х е Т. Порядковый тип множества х в смысле
называется высотой х в Т и обозначается через ht(x). а-м уров-
нем дерева Т называется множество Га={х^Г: ht(x)=a}.
Определим Т f a = U Та.
0<a р
Пусть ординал 0 пределен, а X является кардиналом. Де-
рево Т называется (0, X) -деревом, если имеют место:
(i)	Va < 0(0 < | Га | < Л) Л | Го |= 1 Л I Ге 1 = 0,
(ii)	Va<0Vxe=Ta(|{z/G=Ta+1: x<z/}|>2),
(iii)	Va < p < 0Vx e ТаЭу e7p(x < Ty),
(iv)	Va < 0Vx, у e Га (ординал a пределен -> (x = у ^x — //))
^-деревом называется (x, x)-дерево.
Пусть T — дерево. Ветвью в Т называется максимальное
линейно упорядоченное подмножество множества Г. а-ветвью
называется ветвь, имеющая порядковый тип а. Антицепью в Т
называется подмножество множества Г, состоящее из попарно
несравнимых элементов. Деревом Ароншайна называется coi-де-
рево, не имеющее coi-ветвей. Ароншайн доказал (в ZFC), что
такие деревья существуют (теорема 4.8 гл. 3). Деревом Сус-
лина называется wi-дерево, не имеющее несчетных антицепей.
Нетрудно показать, что каждое дерево Суслина будет и дере-
вом Ароншайна. Но обратное неверно: утверждение о существо-
вании деревьев Суслина неразрешимо в ZFC. (Об этом см.
Девлин и Юнсбротен [1].) Теорема Миллера утверждает
эквивалентность гипотезы Суслина и предположения о том, что
нет деревьев Суслина. Ее несложное доказательство содержится
в книге Девлина и Юнсбротена [1]. Следовательно,
SH неразрешима в ZFC. Однако эта гипотеза становится раз-
решимой, если мы предположим V = L.
10.1. Теорема (Йенсен). Предположим V = L. Тогда ~1SH.
Доказательство. Построим дерево Суслина Т индук-
цией по уровням. Элементами множества Г будут служить счет-
ные последовательности нулей и единиц, а отношением порядка
будет обычное включение. При этом окажется s / е Г->
->§еГ, откуда sera->sea2 (где а2 есть совокупность всех
последовательностей нулей и единиц длины а).
Положим Го = {0}. Если Га определено, то положим
7'а+1 = {«Л<0>: SG Та} и Ьл<1>: s е Та}.
Пусть ординал а < coi пределен, и Tfa уже построено. Для
построения уровня Та нам потребуется функция f: сп-хоь
определенная равенством /(g) = (наименьший ординал у такой.
§11. ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА СУСЛИНА
181
что LY |= «5 счетно»). (Для проверки корректности этого опре-
деления нужно воспользоваться леммой 7.2.) Для каждого
x^Tfa положим	где Ьх есть <д-наименьшая
а-ветвь дерева Т\а, содержащая х и пересекающаяся с каждой
максимальной антицепью в Па, принадлежащей множеству
Lf(a). Поскольку cf(a) = со и | Lf(a) | = со, то Ьх и, следовательно,
sx определено для каждого х е Та. Конечно, sx^a2. Полагаем
Та = {sx: х^Т\а}. Построение дерева Т = (J Та закончено.
a<coi
Покажем, что наше Т будет деревом Суслина. Ясно, что Т
является coi-деревом. Предположим, что Т не есть дерево Сус-
лина. Тогда существуют несчетные максимальные антицепи в
Т. Пусть А является Сь-наименьшей несчетной максимальной
антицепью в Т. В силу 7.2 имеем Т е LQ,. Кроме того, Т явля-
ется определимым в. L^. Значит, А е Ь02 также определимо
в L02. Следовательно, дерево Т и антицепь А принадлежат
г совокупности М L02 всех определимых в L02 элементов мно-
жества U2.
Утверждение. М Q сох е сор
Так как М, очевидно, счетно, то достаточно доказать, что
пересечение М П °>i транзитивно. Пусть у е М f| (Oj. Так как
у <= то L®21= «у счетно». Пусть / есть <ь-наименыпее ото-
бражение со на у. Тогда	поскольку yeAf^L» и
j является определимым в Ь»2 с параметром у. Но со М.
Значит, у = j”(o М, что и требовалось.
Согласно доказанному утверждению a = М П coi будет орди-
налом. Пусть л есть е-изоморфизм М на Lx. Тогда л тождест-
венно на La, л((01) = а, л(Т) = Т|ка, л(Л) = Л|"а = Л Q(T fa).
Кроме того, Lx 1= «^4 является максимальной антицепью в
Tfa», так как L021= «Л является максимальной антицепью в Т».
Значит, Л fa на самом деле есть максимальная антицепь в Tfa,
причем, конечно, AfaeLx. Но a=coi\ а с другой стороны, a
счетно в Lf(a). Отсюда следует %<f(a) и ЛfaeLf(a). Значит,
по определению Та каждый элемент уровня Та лежит над не-
которым элементом антицепи Л fa. Следовательно, Л fa является
максимальной антицепью в Т, т. е. Лfa = Л. Но это невозмож-
но, поскольку антицепь Л несчетна. Таким образом, Т — дей-
ствительно дерево Суслина, что и требовалось. □
Непосредственное построение континуума Суслина (контр-
пример к SH) содержится в доказательстве теоремы 3.8 гл. 3.
§ 11. Обобщенная гипотеза Суслина
Понятие дерева Суслина очевидным образом обобщается на
любой регулярный кардинал к > соь Именно, и-деревом Сус-
лина называют х-дерево, не имеющее антицепей мощности х.
182
ГЛ 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
(Любое такое дерево будет и х-деревом Ароншайна аналогично
случаю х = coi.) Через SH(x) обозначается утверждение о том,
что нет х-деревьев Суслина. Несколько изменив доказательство
теоремы 10.1, мы докажем, что из V = L следует HSH(x) для
всех непредельных кардиналов. Позже в § 14 мы рассмотрим
ситуацию для недостижимых кардиналов.
Если попытаться обобщить доказательство теоремы 10.1 на
произвольный непредельный кардинал, то немедленно встре-
тится следующее затруднение: нужно доказывать существование
ветвей несчетной конфинальности на предельных шагах. Этот
момент нетривиален. Например, если при построении (о2-дерева
Суслина Т мы на шаге он получим coi-дерево Ароншайна
то мы уже не сможем продолжить построение дальше. Чтобы
избежать эту трудность, вводят (в L) специальную комбина-
торную технику, а затем эту технику используют для построения
дерева Суслина. К сожалению, недостаток места не позволяет
нам рассмотреть более веские причины для развития этого
комбинаторного аппарата как такового. Мы ограничимся его
использованием в построении деревьев Суслина.
Пусть х — произвольный (возможно сингулярный) кардинал,
и £^х+. Через DX(E) обозначим предложение о том, что су-
ществует последовательность <С\: 1 <х+ и X пределен), удов-
летворяющая следующим трем условиям:
(i)	есть замкнутое неограниченное подмножество мно-
жества %;
(ii)	если cf (X) < х, то | Сх| < х;
(iii)	если у является предельной точкой множества С\, то
Е и Су = СхПт-
(Заметим, что из условий (ii) и (iii) следует cf(X) = x->
->otp(Cx) = x, где otp означает порядковый тип.)
Через Пх обозначим Е2К(0). Ниже в § 13 мы докажем
следующую теорему:
11.1.	Теорема (Йенсен). Пусть к — произвольный карди-
нал и выполняется V = L. Тогда найдется такое стационарное
множество Е s х+, что а е £ —► cf (а) = со, и имеет место
□х(£).
Для построения х-дерева Суслина нам потребуется еще
один комбинаторный принцип, который также был введен
Йенсеном.
Пусть кардинал х регулярен, и £sx. Через <0>и(£) обозна-
чим предположение о том, что существует последовательность
<Sa: а е £> множеств Sa S а такая, что для любого X S х
множество {аеЕ: X П а = Sa} стационарно в х.
Конечно, если имеет место фх(£), то само множество £
необходимо является стационарным в х. Следующая теорема
показывает, что при V = L это условие является и достаточным.
§11. ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА СУСЛИНА
18а
11.2.	Теорема (Йенсен). Пусть х— несчетный регулярный
кардинал, множество Е х стационарно в х и выполняется
V = L. Тогда имеет место фх(Е).
Доказательство. Индукцией по а^Е определим
<8а, Ca> как <ь-наименыиую пару такую, что 8a, Ca^a,
замкнуто и неограничено в а, и у е f] £-> Sa Я у У= 8У. (Если
ординал а непределен или же пределен, но таких пар нет, то
положим Са = 8а — 0.) Мы утверждаем, что последователь-
ность <8а: а е Е> будет искомой. Предположим противное.
Пусть <S, Су есть <ь-наименьшая пара такая, что S, С^х, С
замкнуто и неограничено в х, и ae Cf|E->Sn<x =И= Sa. По-
скольку последовательность <8a: а е Е>, очевидно, определима
в Lx+ с параметром Е, то пара <S, С) также определима в Lz+
с параметром Е. Построим последовательность <NV\ v < х>
элементарных подмоделей множества Lx+ следующим образом:
Nq есть наименьшее (в смысле включения) множество
N Lx+ такое, что Е и N П х е On.
Nv+i есть наименьшее множество W Lx+ такое, что
JVvU ММ и #Пхе=Оп.
NK = (J если ординал X < х пределен.
v<K
Положим av = Л\ 0 х для каждого v. Последовательность
<av- v < х>, очевидно, строго возрастает и непрерывна. Значит,
множество {av* v < х} замкнуто и неограничено в х, и мы
можем выбрать такое v < х, что av = v е Е Я С.
Пусть л есть е-изоморфизм Nv на Lp. Тогда л тождествен
на v, л (х) = v, л «8, С)) — (8 П v, С Я v), и, наконец, л ((8а: ае£)) =
= <8а: ае£Я^). А так как < Lx, то (8Я^, С Я v)
является <ь-наименыпей парой такой, что 8Я^, CЯv^v,
С Я v замкнуто и неограничено в v, иуеСЯ^Я£"^5Я^ Я y¥=8Y.
Значит, (8 Я v, С Я v) = (8V, Cv). В частности, 8Я^ = 8У. Но
¥еСЯ£, и поэтому мы получили противоречие с выбором
пары (S, С). Теорема доказана. □
Теперь мы уже готовы построить в L х-дерево Суслина для
любого непредельного кардинала х соь
11.3.	Теорема (Йенсен). Пусть х ш — произвольный
кардинал. Предположим, что существует такое стационарное
множество	что выполняется ПХ(Е) и <0>х+(£). Тогда
~]SH(x+), т. е. существует к+-дерво Суслина.
Таким образом, в силу 11.1 и 11.2 из V = L следует
Vx (П SH (х+)).
Доказательство. Пусть стационарно, последова-
тельность <С\: Л < х+ и Л предельно) удовлетворяет DjJf), а
184
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
последовательность <Sa: aeE) удовлетворяет	Будем
строить х+-дерево Суслина Т индукцией по уровням. При этом
Tfa будет (а, [а |+)-деревом для каждого предельного орди-
нала a < х+. Порядок <т дерева Т мы построим на ордина-
лах <х, причем окажется a<rP~>a<p. Положим TQ = {0}.
Если уровень Та уже построен, то определим уровень Ta+i так,
чтобы он содержал по два новых ординала над каждым эле-
ментом уровня Та. Пусть теперь ординал а пределен и Tfa уже
построено. Для каждого хе Tfa определим a-ветвь Ьх в дереве
Tfa, содержащую х, следующим образом.
Рассмотрим произвольное хе Tfa. Пусть v < Х> есть
монотонный пересчет множества Са. Через v(x) обозначим наи-
меньший ординал v такой, что xeTfyv Построим последова-
тельность (р*: v(x)^v<X> элементов множества Tfa сле-
дующим образом:
р?{х} есть наименьший (в смысле порядка на ординалах)
ординал г/еГу^(х) такой, что х у\
Pv + i есть наименьший ординал у е TYv+l такой, что ру^тУ*
А если ординал л пределен, то
р^есть единственный ординал ре7\^ такой, что для всех v < т|
выполняется неравенство р* < ту (если такой у существует).
Если это определение не дает результата, т. е. если pj не опре-
делено для некоторого предельного т|, то все построение не го-
дится. Предположим, однако, что такой неприятности у нас
не произойдет, и покажем, как в этой ситуации нужно строить
Ь*. Положим = {у Т f a: 3v < X (р rPv)}- Ясно, что Ь*
является a-ветвью в Т f а, содержащей х.
Определим теперь Та следующим образом. Если а ф Е, то
Та содержит по одной точке над каждой ветвью Ьх, хе Tfa.
Если aef и Sa не является максимальной антицепью в Tfa,
то поступаем аналогично. В противном случае уровень Та со-
держит по одной точке над каждой ветвью Ьх такой, что х
лежит над некоторым элементом антицепи Sa.
Построение дерева Т = U Та закончено. Осталось лишь
а<х+
проверить, что определение р* возможно для всех х и т). Предпо-
ложим противное, т. е. определение невозможно для некоторых
хит]. Рассмотрим наименьший предельный ординал a < х+
такой, что для некоторого хе Г f а последовательность (р*: v(x)
^v<X) не определена. Рассмотрим наименьший (предельный)
§ 12. ТОНКАЯ СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ ИЕРАРХИИ
185
ординал л < Л такой, что р* не определено. Поскольку ординал г|
пределен, то ул является предельной точкой множества Са, от-
куда уцфЕ и Су =YnQCa = {Yv: v < ц). Значит, если мы оп-
ределим последовательность 0*: v(x)^v<t^, отправляясь от
Yn, аналогично тому, как была определена последовательность
{Ру- v(x)<v<A), отправляясь от а, то для всех v < т) будет
q* = р*' Далее, последовательность v(x)^v<r]^ определя-
ет УтГветвь а так как
жение на уровне Т . Значит, и
Е, то эта ветвь имеет продол-
последовательность (р*: v(x)<
v < т]) имеет продолжение на уровне Т . Таким образом,
определено, что противоречит выбору т].
Итак, построение Т — U Та корректно, и Т является х+-
а<х+
деревом.
Мы утверждаем, что Т — дерево Суслина. Предположим про-
тивное. Пусть А Т является максимальной антицепью мощ-
ности Множество С = {а < 77а^аАДГ)а является
максимальной антицепью в 77a} будет з. н. о. в х+. Выберем
aeCpfi такое, что А Пa = Sa. По построению каждый эле-
мент уровня Та лежит над некоторым элементом множества
ЛГ|а. Значит, А П а будет максимальной антицепью в Т. Таким
образом, А Г) a = А — противоречие. Итак, Т в самом деле ока-
залось деревом Суслина. □
Замечание. С помощью комбинаторных рассуждений
можно доказать в предположении GCH, что из Пх следует су-
ществование такого стационарного множества Е х+, для кото-
рого справедливо Elx(E) и фх+(Е)- Таким образом, предполо-
жение GCH + оказалось достаточно сильным для построения
х+-дерева Суслина. Подробности этого доказательства, осно-
ванного на идеях Грегори, появятся в готовящемся перерабо-
танном издании книги Девлина [1].
§ 12. Тонкая структура конструктивной иерархии
Для получения более глубоких результатов о конструктив-
ной иерархии (в частности, для доказательства комбинаторного
принципа Пн) требуется более детальное исследование уровней
конструктивной иерархии. Это исследование, проведенное Йен-
сеном, отличается крайней громоздкостью. Однако для того,
чтобы применять результаты его теории, вообще говоря, не яв-
ляется обязательным подробное знакомство с деталями. По-
этому мы ограничимся здесь кратким изложением теории Йен-
186
ГЛ 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
сена. Подробности читатель найдет в книге Девлина [1]. (Не-
обходимо отметить, что изложение Девлина [1] использует
по техническим причинам несколько иное определение конструк-
тивной иерархии, немного отличающееся от принятого здесь.
Однако все доказатльства можно изменить так, что они подой-
дут и для иерархии, которую мы рассматриваем здесь. Поэтому
мы изложим теорию Йенсена именно для этой иерархии.)
В основе теории тонкой структуры лежит следующая идея.
ZF
Мы уже видели, что конструктивная иерархия является Si и
L
равномерно Siа для предельных ординалов а > со (лемма 4.1),
что Si-подмодели предельных уровней La сами изоморфны
предельным уровням этой иерархии (лемма 7.1) и что каждый
предельный уровень La(a > <о) имеет Si-функцию Скулема, ко-
торая является равномерно Sia (лемма 8.6). Используя эти
факты, мы можем с помощью леммы о конденсации получать
различные результаты о Si-предикатах над конструктивной
иерархией. Однако аналогичные рассуждения для S^-предика-
тов, вообще говоря, не проходят. В частности, хотя мы и можем
построить «Зя-функции Скулема» для предельных уровней
La(a><o), но эти функции оказываются весьма сложными
объектами, причем их определение не является равномерным
(одинаковым для всех предельных a). С другой стороны, мно-
гие красивые результаты, относящиеся к Si-предикатам на
предельных уровнях La, можно практически без всяких изме-
нений перенести на структуры вида <La, А>, где ординал a > о
пределен, А £ La и А П LY е La для каждого у < а. Такие
структуры <La,A> называются доступными С помощью теории
тонкой структуры установлено, например, что каждый Зя-преди-
кат на La (a > со предельно) эквивалентен (в некотором равно-
мерном смысле) некоторому Si-предикату на подходящей до-
ступной структуре <La, А). Таким образом, все сводится к изуче-
нию доступных структур.
Несколько слов о доступных структурах. Если ф есть So-
предложение языка 2ьа(А) (т. е. языка ^ьа с дополнительным
унарным предикатом А, обозначающим множество Л), то
<La, 4>|=ф, если и только если <ТС(гап(ф)), АПТС(гап(ф))>Н
|= ф. Но для доступных структур <La, А> и для каждой фор-
мулы ф можно показать, что А Г)ТС(гап(ф))е La. Поэтому с
помощью небольшого изменения доказательств 8.4 и 8.5 можно
получить доказательство следующей леммы:
12.1. Лемма. Предикат истинности (La, A)(=Zl является
равномерно SiLa’ ^-предикатом для доступных структур (La, А).
§ 12. ТОНКАЯ СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ ИЕРАРХИИ
187
Если понятие Si-функции Скулема для доступных структур
<La, А> ввести аналогично определению Si-функции Скулема
для La в § 8, то будут справедливыми аналоги лемм 8.1—8.3.
Кроме того, используя метод доказательства 8.6, имеем:
12.2. Лемма. Пусть структура <L«,A> доступна. Тогда су-
ществует Ъ {-функция Скулема для <La, А>, являющаяся равно-
v<La- л>
мерно Si “ -функцией.
Через ha,A мы обозначим каноническую Е(-функцию Скуле-
ма для (La, А). Пусть Ht есть каноническая So-формула языка
^(а) такая, что у==Ла.д(1> х)> если и только если 3zeLa
(<La, A)\=Ht (z, у, х))для любой доступной структуры (La, А).
Правда, мы уже использовали символы Яг, когда речь шла
о функциях Скулема ha. Но это не внесет путаницу в наши
обозначения. В самом деле, ha совпадает с йа,*, и поэтому
новый смысл формул Ht можно рассматривать как обобщение
старого. Аналогично § 8 последовательность (Н(: I <<о) рекур-
сивна, а отношение На, А, определенное эквивалентностью
(О о о\
г,у,х), является равномерно
SiL“’ ^-отношением для доступных (La, А). Предикаты На из § 8
являются частным случаем На,ф предикатов На,А.
Пусть a > <в, п > 0. Через р” обозначим %п-проектум орди-
нала а, т. е. наименьший ординал р«^а такой, что существует
Sn (Ьа)-отображение f, удовлетворяющее равенству La — f" Lp.
Можно показать, что р2 совпадает с наибольшим р^а та-
ким, что структура (Lp, А) доступна для всех S„ (LJ-множеств
A = LP, а также совпадает с наименьшим р таким, что ^(р)П
nS„(Ea)£La.
Нетрудно проверить, что /и <n—>р£^ра- По этой причине
о
определяют ра = а для всех а.
Каждому ординалу а>со’и каждому можно сопо-
ставить стандартный код А* и стандартный параметр р£, удов-
летворяющие следующим условиям:
(0 ^eSn(La) И A" S Lpn.
(ii)	А“=рО = 0.
(iii)	Для всех щ">0 выполняется равенство
Л:))=;?(Ч)П2"+- (*-")•
188
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
(iv)	Пусть а > со, /п^О, п 1, структура Л) доступна, и
л: <Lp, A) <\sm^Lpn, Ла^,
т. е. л есть ^-изоморфизм L, в L п, сохраняющий истинност-
р а
ное значение всех 2т-формул языка 3?Lq(a). Тогда существует
единственное а > р такое, что р = p£, А = А£. Кроме того, суще-
ствует единственный изоморфизм я2л такой, что л:	La
и для всех имеет место:	т+п
(э) й(Х) = р£;
(Ъ>рГЧ<):(Чь + Л} □
Заметим, что при п > 0 по определению проектума р£ лю-
бой 2л(Ьа)-предикат на La сводится к Sn (LJ-предикату на Lprt.
Следовательно, в силу условия (iii) каждый Sa (LJ-предикат
на La кодируется в виде Sj^Lpn, Л^-предиката на Lprt. A(iv)
дает возможность использовать метод конденсации для доступ-
ных структур с помощью введенных выше равномерных ^-функ-
ций Скулема /га, Л.
§ 13.	Комбинаторный принцип Пх
В этом параграфе мы докажем теорему 11.1. Сначала изба-
вимся от необходимости иметь дело со стационарным множест-
вом Е в этой теореме.
На протяжении всего доказательства х обозначает фиксиро-
ванный бесконечный кардинал. Поскольку Ох тривиальным
образохм истинно (в ZFC) при х = со, то мы будем предпола-
гать, что кардинал х несчетен. (Так или иначе для приложений
нам требуется именно результат для несчетных х.)
13.1.	Лемма. Предположим Пх. Тогда найдется такое ста-
ционарное множество Е х+, что a е £->cf (a) = со и выпол-
няется □х(£).
Доказательство. Пусть последовательность <ЛХ: X <х+
и % предельно) обеспечивает Dx. Пусть Вх есть совокупность
всех предельных точек множества для каждого X < х+. Мно-
жества Вх имеют следующие свойства:
(i)	Вх является замкнутым в X множеством;
(ii)	cf (X) > © -> Вх неограничен© в X;
(iii)	уеВх->Ву = уПВх;
(iv)	cf(X) < х-*|Вх| < х.
Поскольку cf (X) = co->-otp(Bx) < %, то можно определить
разбиение W = U Wv множества W = {а < х+: cf(a) = co},
V<H
§ 13. КОМБИНАТОРНЫЙ ПРИНЦИП
189
положив Wv={k^W: otp(Bx) = v}. Одно из множеств Wv,
v < х, скажем IVVo, должно быть стационарным, так как само
W стационарно (здесь используется лемма 2.2(a) гл. 3). Итак,
пусть Е = Wv стационарно в х+. Покажем, что справедливо
□ х(£).
Определим последовательность <Z\: X < х+ и X предельно>
следующим образом:
D = Гесли otP v°’
х (Вк — {аеВк: otp(Ba)^v0} в противном случае.
Нетрудно проверить, что последовательность множеств £>к так-
же имеет свойства (i) — (iv); причем DK(] Е = 0 для всех к.
Теперь определим индукцией по к последовательность (С*,:
к < х+ и к предельно) так, чтобы
с ==(U{c‘v:	если sup(DA,) = X,
х I U {Су: Y е U {<V п е °)} в противном случае,
где <an: песо) — какая-нибудь со-последовательность, конфи-
нальная в к и такая, что a0 = sup(Z\).
Нетрудно проверить, что последовательность множеств С\
будет □ ^последовательностью и что каждое является со-
вокупностью всех предельных точек множества (\. Таким об-
разом, последовательность множеств С\ обеспечивает выпол-
нение □ х(£).
Отметим, что в ходе доказательства леммы 13.1 фактически
была доказана следующая
13.2.	Лемма. Принцип эквивалентен существованию
последовательности к < х и к предельно), обладающей
свойствами (i) — (iv) из доказательства леммы 13.1.
Эта лемма дает другую формулировку Пх, которая, воз-
можно, чаще встречается в литературе.
Определим множество
5 = {а: х<а<х+Да предельно ДЬа|=«х является
наибольшим кардиналом»}
Мы докажем ниже, что существует последовательность {Са:
aeS>, удовлетворяющая следующим условиям:
(i)	Ca^a замкнуто и не ограничено в а;
(ii)	otp(Ca)^x;
(iii)	если у есть предельная точка множества Са, то yeS
и Су = у П
Чтобы получить Пк из такой последовательности, рассуждаем
следующим образом. Пусть есть совокупность всех предель-
ных точек множества Са. Отождествляя замкнутое неограни-
ченное множество S с самим х+, имеем:
190
ГЛ 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
(i)	С° является замкнутым подмножеством ординала а;
(ii)	если cf (а) > со, то неограничено в а;
(iii)	otp(C°)<x;
(iv)	если у^С°, то С° == у Л .
Если кардинал х регулярен, то из (iii) следует импликация
cf (а) < х-*|С° | < х, т. е. в силу 13.2 принцип Пн доказан.
В противном случае положим x=cf(x)<x, зафиксируем не-
которую непрерывную возрастающую конфинальную в х по-
следовательность <0V: v<x> предельных ординалов 6V и про-
ведем следующие дополнительные рассуждения.
Положим для удобства 0х = х. Предположим также, что
Оо=О и 0! = со. Если а таково, что 0V <otp (С£) < 0V+1, то определим
Са = {у^Са: otp(v ACa)>0v}. ЕСЛИ же таких v для данного
а нет, то otp(Ca) = 0v для некоторого предельного ординала
v х, и мы можем определить = {у е CQa: Вт < v (otp (у Г) Са)=
= 0Т)}. Теперь последовательность (С1а: а < х+ и а предельно^
удовлетворяет условию леммы 13.2, и поэтому мы снова име-
ем Пх.
Итак, для доказательства Сн достаточно построить после-
довательность <Са: ае5>, удовлетворяющую условиям (i) —
(iii). Построим такую последовательность с помощью изложен-
ной выше теории тонкой структуры. С этого момента предпо-
лагается V = L.
Вообще, доказательства, использующие тонкую структуру
конструктивной иерархии, часто выглядят длинными и скуч-
ными, и следующее доказательство не является исключением.
В связи с этим мы опустим ряд деталей с целью ярче проде-
монстрировать главную идею доказательства. Все же изложе-
ние остается весьма тяжелым. Мы сочли возможным поместить
этот набросок доказательства среди 'остального не очень слож-
ного материала нашей статьи, так как доказательства, исполь-
зующие тонкую структуру, занимают центральное место в со-
временной теории конструктивности, и в связи с этим нужно
познакомить читателя хотя бы с идеей одного из таких дока-
зательств. Если у читателя нет намерения тратить слишком
много усилий на теорию тонкой структуры, то он может пропу-
стить оставшийся материал этого параграфа без ущерба для по-
нимания последующего изложения.
Пусть а р — ординалы. Будем говорить, что а регулярен
в р, если нет определимых в Lp с параметрами из Lp отобра-
жений ограниченных подмножеств ординала а на неограни-
ченные подмножества а. Будем говорить, что а является
§ 13. КОМБИНАТОРНЫЙ ПРИНЦИП
191
гулярным в р (где п — положительное натуральное число),
если нет Sn(Lp)-отображений ограниченных подмножеств ор-
динала а на неограниченные подмножества а.
Для каждого cxeS пусть:
р(а) есть наименьшее р такое, что а не регулярен в Р;
и (а) есть наименьшее п такое, что а не является S«-pery-
лярным в Р(а);
р(а) = ргй|-’; Я(а) = Л^-‘.
Заметим, что а является ^п(а)_ ^регулярным в р(а), но не яв-
ляется 2п(а)-регулярным в Р (а). Поэтому pg а р (а) для
всех аeS. Нетрудно показать, что на самом деле имеет мес-
то Pg(2) = x для всех Это утверждение будет использо-
вано в доказательстве.
Разобьем теперь множество S на два множества: Р —
= {aeS: п(а)— 1 и ординал р(а) непределен} и R = S — P.
Определение множества Са зависит от того, будет ли яеР
или а е /?.
Определение Са при «еР очень простое. Именно, если
а Е Р, то cf (а) = со, и в качестве Са мы можем взять любую
ю-последовательность, конфинальную в а. (В этом случае Са
вообще не имеет предельных точек, и поэтому больше не о чем
беспокоиться.) Равенство cf (а) = <о для каждого а е Р дока-
зывается следующим образом. Найдется Si (L^)) -функция,
определенная на некотором ограниченном подмножестве орди-
нала а, область всех значений которой неограничена в а. Рас-
смотрим какое-нибудь Si (Ц(а))-определение этой функции
в Lp(a). Переменная, связанная внешним неограниченным кван-
тором этого определения, пробегает совокупность Lp(ct) всех
определимых в LY с параметрами из LY множеств X LY, где
Р(а) = у-|-1. Каждой формуле <р(с/0, и) языка Z можно сопо-
ставить «часть» нашего отображения, получающуюся ограни-
чением внешнего неограниченного квантора множеством
= {{г е= LY: LY 1= , (х, у)}-. у <= Lv}.
Каждая такая «часть», очевидно, определима в LY с парамет-
рами из Ly и поэтому не может быть конфинальной в а, так
как у < р. Но наше отображение, конфинальное в а, является
объединением счетного числа «частей» указанного вида. От-
сюда мы и заключаем, что cf(a) = <о.
Пусть теперь ае/?. Положим р = р(а), п = п(а), р =
= р(а), А =4(а). Поскольку либо 1, либо ординал р пре-
делен, то р является предельным. Положим h = hp,A- Так как
р£ = х, то мы можем определить р = р(а) как Сь-наимень-
192
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
шее р^Ър такое, что Lp = /Г(юХ(хХ {р})), и такое, что
а < р->а =(р)о.
Для каждого т р введем функцию Лт:
У== hx (i, х) < > X, у €= LT А 3 z €= Lt ((Lp, А) |= Нi (z9 у> я)).
Ясно, что hx = hx ЛПц для всех доступных структур (LT, А П L^.
Определим функцию g из некоторого подмножества орди-
нала х на а равенством g(tov + i) =	р>), если правая
часть определена и принадлежит а; в противном случае g не
определяется. Ясно, что g имеет равномерное ^-определение
следующего вида:
т = g (v) <-> 3z е LpG (z, т, v),
где G является (равномерно) SoLp’ Л\{р})-отношением.
Для каждого X Lp положим ах = sup (a Q X). Построим
функции fe: 0->х, Z: 0->а, т\ 0->р одновременной индукцией
(ординал 0<Jx будет определен в ходе построения) следующим
образом:
k(v) есть наименьшее redom(^) такое, что g(x)>l(v) и
|/(v)|L?w<x;
= где Х, = й;м(а>Х(хХ{р}));
fn(0)=max(x, т) + 1), где л есть наименьший ординал та-
кой, что р е L-q+i;
m(X) = supv<im(v), если правая часть <р (в противном
случае не определяется), для предельных ординалов X;
m(v+l) есть наименьшее у>т(у) такое, что g(k(v))<Z
< у, А П LW(y) е LY, и
I (v), т (v) 6= й” (со X (х X {р}))> Bz g= LyG (г, g (k (v)), k (v)).
Ясно, что это построение заканчивается на первом предельном
ординале 0 х, для которого supv<em(v) = р. Таким образом,
последовательность </(v): v < 0> является непрерывной, воз-
растающей и конфинальной в а.
Положим Са= {/(v): v<0}. Заметим, что otp(Ca) =
= 0 х. Нужно доказать, что если а является предельной
точкой множества Са, то а е R и Са = аПСа. (Таким образом,
удастся избежать рассмотрения случая a е Р, когда множе-
ство Са определялось совсем другим способом.)
Рассмотрим произвольную предельную точку й множества
Са. Выберем Х<0 такое, чтоа=/(Х). To^aZ(X) = supv<zZ(v).
В силу определения k нетрудно* проверить, что a s S.
§ 13. КОМБИНАТОРНЫЙ ПРИНЦИП
193
(Именно, /(v) < g(k(v)) < Z(v + 1) для всех v.) Оставшаяся
часть доказательства основана на принципе конденсации.
Сначала отметим, что а^Хк, так как	и v<X->
| |Lm<x> Поэтому, рассматривая е-изоморфизм л:
(Ц, Д)а*(Хх, ДЛ^х), мы имеем: л: (Lp, A} <Si <Lm (Х),Л П Lm(Jl)),
и л тождественно на а.
Поскольку л: (Lp, А} <Sq (Lp, Л}, то существуют и единст-
венны такие рил, что P = Pg1, Д = Др *, л = л ил: Ljj <(2iLp
(по меньшей мере). Положим р = л-1(р). Поскольку л тожде-
ственно на а, то л(а) = а. Следовательно, а<р-»а = (р)0.
Положим ft = ftp д. Ясно, что ft = л~‘°/гт(Х)°л.
Теперь с помощью чисто технических (но не простых) рас-
суждений (использующих то, что л: Lp <2i Lp, и т. д.), можно
показать, что Рр = л, Р = Р(а), п = п(а), р = р(а). В частности,
а е R. Оказывается, что если определить g, k, I, th, отправ-
ляясь от а, так же, как мы определили g, k, I, т, отправляясь
от а, то для всех v < Л будет л (g (v)) = g (v), л (ft (v)) = ft (v),
й (I (v) = I (v), и л (th (v)) = m (v). Тем самым, поскольку л тож-
дественно на а, то Са = аПСа, что и требовалось.
Столь сложное определение функций ft, I, tn необходимо для
того, чтобы было возможно доказать все упомянутые утверж-
дения. Ключевым моментом их доказательства является опре-
деление отображения g' над структурой <Lm(w, A f| Lm(W> с по-
мощью предиката О. Поскольку n_l”g' = g' и ft”% = dom(g'),
то g* является SiL₽’ Л\{р))-отображением некоторого подмноже-
ства ординала а, конфинальным в а. Теперь все нужные ра-
венства обеспечиваются каноническим характером определения
различных параметров. (Функция g' оказывается совпадаю-
щей с g.) Мы опускаем все дальнейшие детали, так как уже
должно быть понятно, что это действительно вариант принципа
конденсации. (Как в этом, так и в других аспектах наше дока-
зательство является типичным «тонкоструктурным» доказа-
тельством.)
Сильвер нашел доказательство Пх, не использующее тео-
рию тонкой структуры. Это доказательство основано на функ-
циональной иерархии, которая до некоторой степени похожа
на иерархию функций Скулема Ла,д, фигурирующую в нашем
доказательстве Dx- Преимущество этой иерархии, обеспечиваю-
щей Пх, состоит в том, что для ее построения необходимы
лишь «элементарные рассмотрения». Сильвер назвал свою
иерархию «машиной». С помощью этого метода были доказаны
7 Справочная книга, ч. II
194
ГЛ 5 КОНСТРУКТИВНОСТЬ
и другие хорошо известные следствия теории тонкой структуры,
помимо Пн. Оставаясь довольно длинным, доказательство
Сильвера все же значительно короче, чем доказательство с по-
мощью тонкой структуры. Кроме того, как мы уже говорили,
для его проведения можно ограничиться только стандартными
фактами о L, вроде тех, о которых шла речь в начале этой
главы. По изложенным причинам метод Сильвера, несомненно,
более привлекателен, чем известные доказательства, исполь-
зующие тонкую структуру. Все, что необходимо для краткого
и строгого доказательства, скажем Пн, этим методом, содер-
жится среди хорошо известных стандартных утверждений о L.
Основным недостатком «L-машины» Сильвера является отсут-
ствие для нее такой простой интуитивной мотивировки, какая
имеется для теории тонкой структуры. (Помимо этого, метод
Сильвера не очень подходит для доказательства более слож-
ных результатов теории тонкой структуры таких, как доказа-
тельство гипотезы о' n-разрыве, обобщающей теорему Чена
о двух кардиналах). По этой причине мы решили изложить
доказательство, основанное именно на тонкой структуре. Ана-
логичное изложение метода Сильвера было бы далеко не столь
прозрачным. Тем не менее мы рекомендуем читателю метод
Сильвера, если он желает получить сравнительно краткое
и строгое доказательство Пн. К моменту подготовки этой главы
к печати метод Сильвера еще не был опубликован. Он будет
изложен в готовящемся переработанном издании книги Дев-
лина [1].
§ 14.	Слабо компактные кардиналы в L
Определение и элементарные свойства слабо компактных
кардиналов см. в § 7 и теореме 6.10 гл. 3. С помощью теории
тонкой структуры получим полезную характеризацию слабо
компактных кардиналов в L. Сначала отметим, что с помощью
небольшого изменения нашего доказательства Пм можно полу-
чить следующую теорему:
14.1.	Теорема (Йенсен). Предположим, что V = L. Пусть
и — несчетный регулярный кардинал, не являющийся слабо
компактным. Тогда найдутся стационарное множество Е^н
и последовательность <С\: % < и и X предельно} такие, что:
(i)	С\ замкнуто и неограничено в X;
(ii)	если у < % является предельной точкой множества Сх,
то у ф Е и Су = у п
Предположение о том, что кардинал и не является слабо
компактным, необходимо в этой теореме, поскольку простое
рассуждение (в ZFC) показывает, что если х слабо компактен,
а Е х стационарно в х, то найдется такой регулярный кар-
§ 14. СЛАБО КОМПАКТНЫЕ КАРДИНАЛЫ В L
195
динал X < х, что Е П X стационарно в X. (См. теорему 7.3 гл. 3.)
Таким образом, в этом случае последовательностей со свой-
ствами (i) и (ii) не существует. Это замечание дает первую
характеризацию слабо компактных кардиналов.
14.2.	Теорема (Йенсен). Предположим, что V — L. Тогда
несчетный кардинал х является слабо компактным, если и
только если для каждого стационарного в х множества £ е х
найдется такой предельный ординал X < х, что Е П X стацио-
нарно в X.
С помощью метода вынуждения Кюнен показал, что пред-
положение V = L в этой теореме необходимо. (В том смысле,
что нельзя обойтись предположением GCH.)
Простое повторение доказательства 11.3 позволяет получить
из 14.1 еще одну теорему:
14.3.	Теорема (Йенсен). Предположим, что V = L. Тогда,
если несчетный кардинал х регулярен и не является слабо ком-
пактным, то существует и-дерево Суслина. Следовательно (так
как слабая компактность влечет отсутствие ^-деревьев Арон-
шайна), несчетный регулярный кардинал х слабо- компактен,
если и только если нет и-деревьев Суслина.
С помощью теоремы 14.3 можно получить еще несколько
эквивалентов слабой компактности в L. Укажем три из них,
имеющие отношение к инфинитарной комбинаторике.
Как обычно, через [X]rt обозначим совокупность всех п-эле-
ментных подмножеств множества X. Пишем х->(Л)ц, если
для каждой функции (разбиения) f: [х]п-найдется такое
множество Х^и мощности X, что образ является одно-
элементным множеством. (Такое X называется однородным для
разбиения f.) Хорошо известна следующая теорема системы
ZFC (теорема 6.10 гл. 3):
14.4.	Теорема. Несчетный кардинал х слабо компактен,
если и только если х-~>(х)| или если и только если
х (х —> (х)ц).
Будем писать х->(Л)" 0, если для каждого разбиения f: [х]п->
найдется такое множество Хех мощности X, что образ
имеет мощность ^0. Ясно, что если кардинал х слабо
компактен, то х —> (х)" 0 для всех ц, 0 < х и п е со.
14.5.	Теорема (Мартин, Шор). Предположим, что V = L.
Тогда регулярный несчетный кардинал х слабо компактен, если
и только если х->(х)" 0 выполняется для некоторых/всех
n>2uO<0<[i<x.
Доказательство. Пусть Т является х-деревом Суслина.
Достаточно для данных кардиналов р, 0 таких, что 0 < 0 <
7*
196
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
< |Л < х, доказать, что х~>(и)2>0 не выполняется. Мы можем,
не ограничивая общности, предполагать, что каждый элемент
дерева Т имеет не менее чем ц непосредственно следующих за
ним элементов. Для каждого хе Т через S(x) обозначим со-
вокупность всех непосредственно следующих за х элементов
дерева Т и выберем некоторое разбиение fx: [S(x)j2->p—{0}
такое, что каждый его класс является непустым. Определим
разбиение f: [Г]2->ц следующим образом. Если у, у\^Т
сравнимы в Т, то положим /({//о,//1}) = 0. В противном слу-
чае рассмотрим наибольший общий предшественник х элемен-
тов 4/о, У1 в Т. Выберем такие x,eS(x), что Xi Tyi, и поло-
жим f({y0, 4/i}) = fx({xot Xi}). Предположим, что образ А =
= f”[X]l некоторого множества Х^Т мощности х имеет мощ-
ность не более 0. Поскольку Т не имеет антицепей мощности х,
то, очевидно, ОеЛ. Пусть У есть совокупность всех элементов
дерева Т, которые либо принадлежат X, либо лежат ниже не-
которого элемента множества X. Ясно, что /”[У]2 = Д. Зна-
чит, для каждого у е У найдется непосредственно следующий
за у элемент дерева Г, не содержащийся в У. Множество всех
таких элементов, очевидно, образует антицепь в Т. Но это не-
возможно, так как |У| = х. Таким образом, разбиение f яв-
ляется контрпримером к х->(х)ц>0‘ □
Разбиение f: [х]п->х назовем разбиением Рассела, если
для всех ое[хр. Множество Х^х называется сво-
бодным для такого разбиения /, если f ’ [X]п П X = 0. Пишем
(х, п)->%, если каждое разбиение Рассела f: [x]rt->x имеет
свободное множество мощности X. Известно (Эрдёш — Хай-
нал), что если кардинал х слабо компактен, то (х, п)->х для
всех натуральных п. Это утверждение доказывается очень
просто. Пусть f: [х]л->х — разбиение Рассела. Определим
разбиение g: [x]rt+1->n + 2, полагая для х\ <. ... <.хп+\<2х
*•«4-1}) — *

i, где i есть наименьший из таких индексов,
что /({х,, .. хг_ь xi+l, .... хп+1)) = хь
если такие i существуют,
ч0в противном случае.
Пусть X е х является однородным для g множеством мощности
х. Ясно, что g”[X]"+1 = {0} (так как f является функцией).
Значит, X свободно для f.
14.6.	Теорема (Девлин). Предположим, что V = L. Тогда
регулярный несчетный кардинал и является слабо компакт-
ным, если и только если (х, 2)->х, или если и только если
Уп е ф ((х, п) -> х).
§ 14. СЛАБО КОМПАКТНЫЕ КАРДИНАЛЫ В L
197
Доказательство. Пусть Т есть х-дерево Суслина. Оп-
ределим разбиение f: [Г]2-следующим образом. Если
х, у^Т несравнимы в Г, то через /({х, у}) обозначаем наи-
больший общий предшественник х и у в Т. В противном слу-
чае в качестве f({x, у}) возьмем произвольный элемент мно-
жества Т—{х,у}. Рассмотрим произвольное свободное для
разбиения Рассела f множество X Т. Тогда для каждого хе
е X, очевидно, найдется непосредственно следующий за ним
элемент х'еГ такой, что Чу^Т (х'ту-+у ^Х). Множе-
ство {х': хеХ} будет антицепью в Т. Значит, | X | < х. Таким
образом, разбиение f дает контрпример к (х, 2)->х. Теперь
теорема очевидна. □
Две предыдущие теоремы относятся, собственно, к деревьям
Суслина, а не к аксиоме V = L. Но следующая теорема имеет
непосредственное отношение к конструктивности.
Графом называется структура вида G = </, С>, где множе-
ство I непусто, а С есть некоторая совокупность неупорядочен-
ных пар элементов множества /, которые (пары) называются
ребрами графа G. (Если {х, у} е С, то говорят, что х и у со-
единены в G.) Подграфом графа G называется любая под-
структура G в обычном смысле (см. § 6 гл. 3). Если то
G\J обозначает подграф графа G с областью J. Подграф
G\ J графа G называется маленьким, если | J\ < |/|.
Пусть G = </, С> является графом, а ц— кардинал. Раз-
биение й: /->|1 называется [i-раскраской, если й(х) = h(y)-+
-> {х, у} ф С. Наименьший кардинал ц, такой, что G имеет
ц-раскраску, называется хроматическим числом графа G, ch(G).
Иными словами, ch(G) есть наименьшее число красок, необхо-
димое для такой раскраски элементов множества /, что любые
две соединяющиеся в G точки будут раскрашены в разный
цвет.
Через Р(х) обозначим предположение о том, что любой
граф G, все маленькие подграфы которого имеют хроматиче-
ское число х, сам имеет хроматическое число х. Нетрудно про-
верить, что Р(х) выполняется для каждого слабо компактного
х. При V = L справедливо и обратное:
14.7.	Т еорема (Шелах). Предположим, что V = L. Пусть
кардинал х > coi регулярен. Тогда Р(к) выполняется, если
и только если кардинал х слабо компактен.
Доказательство. Пусть кардинал х > coi регулярен,
но не является слабо компактным. Согласно 14.1 найдется та-
кое стационарное множество Sex, что а <= S->cf (а) = со,
и S П X не является стационарным в X ни для какого предельного
ординала X < х. (Доказательство, которое мы имели в виду
в 14.1, дает стационарное множество предельных ординалов
счетной конфинальности, хотя мы и не указали этого явно
198
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
в 14.1.) Можно, не ограничивая общности, предполагать, что
р<а->р + о)<а для всех aeS. А в силу для каждого
а<х можно подобрать такое разбиение <В„: пе©) ординала
а, что для каждого разбиения <ВЛ: п е ©> ординала % мно-
жество
{ а < х: cf (а) = со Л Vn е со (ВЛ П а = В") }
стационарно в х.
Для каждого aeS выберем такую конфинальную в а ©-по-
следовательность Аа, что Vn (Вд неограничен© в a -* Aa Г)	0)*
Положим G «= (/, С), где I = х и {v, a} е С *-> a е S Л v е Аа
для всех v < a < х.
Сначала докажем, что ch (G) ©ь Рассмотрим произволь-
ное разбиение f: х->со. Пусть Вп = f~v'{n} для каждого песо.
Выберем ординал <хо < х такой, что sup(Brt)<ao для каждого
п, удовлетворяющего неравенству sup(Bn)<x. Определим
Е = {a е х: а > а0 Л Vn (Brt неограничено
в х-*ВЛГ|а неограничено в а)}.
Множество В, очевидно, замкнуто и неограничено в х. По-
этому можно выбрать такое aeB, cf(a) = ©, что Vne©
(В® = Вп П а). Поскольку а е В, то а > «о, и тем самым найдется
такое п, что sup(Bn) = x и f(a)eBn. Тогда В„ неограничено
в а и, следовательно, АаГ|Вп¥=0. Выберем произвольное
у е Аа И В®. Тогда f(y)*=n и {у, a}sC. Таким образом, f не
является раскраской графа Q.
Теперь докажем, что ch(G f X) © для любого X < х. До-
статочно построить такой пересчет <xv: у < 0> ординала X, что
множество {ц < у: {xn, xv} s С} конечно для всех у < 0.
(Имея такой пересчет, мы можем раскрасить G f X с помощью
элементарной индукции, используя лишь счетное число кра-
сок.) Построение указанного пересчета проходит индукцией
по X. Для X = 0 строить нечего. Для непредельных X индук-
тивный шаг тривиален. Рассмотрим предельный ординал X < х.
Пусть y = cf(X), а ЕеХ является замкнутым и неограничен-
ным множеством таким, что otp(B)==y и ВГ|5 = 0. Пусть
<av: у < у> есть канонический пересчет множества В. Для
каждого у <С у зафиксируем полное упорядочение <v множе-
ства (Zv+i — av, дающее пересчет графа G|"(av+i —av) с ука-
занным выше свойством. Определим полное упорядочение (т. е.
пересчет) <\ следующим образом: х <КУ *-> Зу < Х(х <vy или
x<av^z/). Это упорядочение и будет искомым для X. Дей-
ствительно, пусть у << X. Выберем такое у, что av у < av+i-
§ 15. ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
199
Предположим, что х < ку и {х,у}&С. Если х < av, то y^S
и хеАу, откуда у > av и х принадлежит конечному множеству
Если же х ccv, то x<vy, т. е. х принадлежит
конечному множеству {х < vy\ {%, у}^С}, Теорема дока-
зана. □
§ 15.	Другие результаты
Упомянем еще о нескольких следствиях аксиомы конструк-
тивности. Сначала о некоторых теоретико-модельных след-
ствиях V = L. Поскольку GCH широко используются в теории
моделей, то можно было бы ожидать, что V = L дает еще бо-
лее сильный эффект. Так оно и есть. Из многих известных
к сегодняшнему времени результатов наиболее интересные от-
носятся к так называемым теоремам о разрывах. Рассмотрим
некоторый фиксированный счетный язык S первого порядка, со-
держащий выделенный унарный предикат U. Через <х, А,> ->
-><х', V> обозначается следующее предположение типа тео-
ремы Лёвенгейма — Скулема: каждая S-система Я такая, что
|91| = х и |	| = Л, элементарно эквивалентна некоторой S-си-
стеме 53 такой, что |Э| = х/ и |[/8| = Л/ Известно, что если
и выполняется GCH, то <соа+р, й)а>-><соу, со6> для всех
у, 6 (старый результат Воота). С другой стороны, на простых
примерах можно показать, что если р < 6 и р < со, то
<й)а+3, соа> <<oY4-6, <°Y>- Так как <(оа+р, <оа> <(oa+6, cow> яв-
ляется частным случаем обычной теоремы Лёвенгейма — Ску-
лема при б р, то интересным открытым случаем остается
лишь <<oa+n, coa> <сор+л, (ор>. Единственный известный поло-
жительный результат в предположении GCH дает следующая
теорема Чена: если кардинал сор регулярен, то <<oa+i, ша> ->
->-<(00+1, шр>. Однако в предположении V = L удается полу-
чить полное решение проблемы:
15.1.	Теорема (Йенсен). Предположим, что V = L. Тогда
для всех р, а и п выполняется <©-а+л, <оа>-> <юр+п, о)р>.
Для доказательства «теоремы Чена» в случае сингулярных
кардиналов используется только комбинаторный принцип □.
Однако все остальные случаи этой теоремы основаны на чрез-
вычайно громоздком аппарате тонкой структуры. Идея этого
аппарата изложена в книге Девлина [1], где рассмотрен
простейший случай.
Скажем о нескольких результатах, относящихся к деревьям
в L. и-деревом Курепы называется х-дерево, имеющее не ме-
нее х+ ветвей. Сильвер установил, что существование таких
деревьев нельзя доказать в ZFC, даже предполагая GCH
(см. теорему 5.7 гл. 4). Однако в конструктивном универсуме
такие деревья являются обычной вещью:
200
ГЛ. 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ
15.2.	Теорема (Йенсен). Предположим, что V = L. Пусть
х— несчетный регулярный кардинал. Тогда существует к-де-
рево Курепы, если и только если х не является невыразимым
кардиналом.
(Кардинал х называется невыразимым, если для каждого
разбиения f: [х]2->2 найдется стационарное однородное мно-
жество. Таким образом, невыразимость является усилением
слабой компактности. Известно, что она строго сильнее, чем
слабая компактность, см. добавление к гл. 3.)
Аксиома конструктивности дает также интересные след-
ствия в области дескриптивной теории множеств. В их основе
лежит, как правило, следующая:
15.3.	Теорема (Гёдель). Предположим, что V = L. Тогда
найдется полное /^-упорядочение множества ^(со) по типу сор
Более подробно обо всех упомянутых результатах см. Дев-
лин [1].
Некоторые современные исследования по теории конструк-
тивности относятся, собственно, не к конструктивному универ-
суму L, а к взаимоотношениям между V и L. Недостаток места
не позволяет нам вдаваться в подробности, но, по-видимому,
умеренный подход к аксиоме V = L неприемлем. V либо
«очень похоже на L», либо же «очень сильно отличается от L».
Некоторые результаты из этой области, принадлежащие Йен-
сену, мы собираемся изложить в готовящемся переработанном
издании книги Девлина [1].
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Весь материал первых двух параграфов этой главы приндлежит Гёделю.
Результаты §§ 3—7, несомненно, также были известны Гёделю в той или
иной форме. Теоремы о том, что конструктивная иерархия и каноническое
nZF
полное упорядочение конструктивных множеств являются , впервые была
сформулирована и доказана в работе Йенсена и Карпа с помощью прими-
тивно рекурсивных теоретико-множественных функций. Представленные здесь
варианты доказательств этих результатов принадлежат автору, хотя он да-
лек от мысли настаивать на их оригинальности.
Все результаты §§ 8—15, за несколькими исключениями, принадлежат
Йенсену.
ЛИТЕРАТУРА
Девлин (Devlin К.)
1.	Aspects of Constructibility.— Berlin: Springer, 1973.
Девлин, Юнсбротен (Devlin К., Johnsbraten H.)
1. The Souslin Problem. — Berlin: Springer, 1974.
Гёдель (Godel K.)
1. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Conti-
nuum Hypothesis. — Princeton, 1940. [Русский перевод: Гёдель К.
Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с
аксиомами теории множеств. — УМН, 1948, 3, № 1, с. 96—149.]
Глава 6
АКСИОМА МАРТИНА
Мэри Эллен Рудин
Аксиома Мартина, обозначаемая МА, имеет несколько фор-
мулировок. Например, широко известна топологическая форму-
лировка МА. Довольно часто используется и формулировка
в терминах булевых алгебр. Мы дадим формулировку в терми-
нах частично упорядоченных множеств. Эта формулировка в
сущности не очень сложна, но необходима для эффективного
использования аксиомы Мартина и вводит в технику вы-
нуждения.
Пусть <Р, есть частично упорядоченное множество. Мно-
жество D £ Р называется плотным, если для каждого ре Р
найдется такое d^D, что d р. Множество Q Р называется
совместимым, если для каждого конечного F Q найдется та-
кое q^P, что q^p для всех p&F. Элементы р, q^P назы-
ваются совместимыми, если найдется такое геР, что г^.р
и г ^9 (т. е. если множество {р, q} совместимо). Множество
Q £ Р называется попарно несовместимым, если любые два
различных р, q^Q несовместимы. Условие счетности цепей
(у. с. ц.) утверждает, что любое попарно несовместимое мно-
жество Q Р не более чем счетно.
Аксиома Мартина МА: Пусть <Р, есть частично упоря-
доченное множество, удовлетворяющее у. с. ц., a S) является
совокупностью мощности <2Ш плотных подмножеств множе-
ства Р. Тогда найдется такое совместимое множество Q £ Р,
которое непусто пересекается с каждым D е 3).
В § 6 гл. 4 доказана следующая
1.	Теорема. Если теория ZFC непротиворечива, то тео-
рия ZFC + МА + ПСН также непротиворечива.
Известно также, что МА недоказуема в ZFC + ПСН.
Мы начнем с того, что получим топологическую формули-
ровку МА из формулировки в терминах частично упорядочен-
ных множеств. (На самом деле обе формулировки эквива-
лентны.)
Топологическое пространство удовлетворяет у. с. ц., если
каждое семейство попарно непересекающихся открытых мно-
жеств счетно.
2.	Теорема (МА)1). Если компактное хаусдорфово про-
!) Мы пишем «Теорема (МА)», если в доказательстве этой теоремы ис-
пользуется аксиома Мартина.
202
ГЛ. 6 АКСИОМА МАРТИНА
странство X удовлетворяет у. с. ц., то X не является объедине-
нием менее чем 2° своих нигде не плотных множеств.
Доказательство. Пусть со X < 2° и {Ха: а < X}
есть некоторая совокупность нигде не плотных подмножеств
компактного хаусдорфова пространства X, удовлетворяющего
у. с. ц.
Рассмотрим множество Р всех непустых открытых в X мно-
жеств, упорядоченное отношением включения: р q, если
р q. Множество Р удовлетворяет у. с. ц.» так как X удовлетво-
ряет у. с. ц. Для каждого а<Х определим £>а = {реР: рГ|Ха==0}.
Все Ьа плотны в Р. Значит, найдется совместимое множество
Q s Р, пересекающееся с каждым Da. Поскольку X компактно,
то найдется х е f] {q: q sQ} (q есть топологическое замыка-
ние q). Для каждого а < X существует такое q е Q, что
qft Ха = 0. Поэтому х ф Ха. Следовательно, Х=/= U Ха. □
а<К
В предположении СН теорема 2 превращается в теорему
Бэра о категориях.
3.	Т е о р е м а. Из СН следует МА.
Доказательство. Пусть {Dn\ ns со} есть некоторая со-
вокупность плотных подмножеств частично упорядоченного
множества <Р, ^>. Индукцией по п Q со выберем dn&Dn так,
чтобы dn dn+\ для всех п. Тогда {dn: песо} будет совмести-
мым в Р множеством, пересекающемся с каждым Dn. □
Еще одно следствие МА, относящееся к частичным по-
рядкам:
4.	Теорема (МА + ПСН). Если частично упорядоченное
множество <Р, удовлетворяет у.с.ц., a несчетно, то
найдется несчетное совместимое Q s Р.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что |Р|==соь (|X| есть мощность множества X.) По-
ложим G={peP: \{q^R: р и q совместимы} | = со}. Пусть
G* является максимальным попарно несовместимым подмноже-
ством множества G. Положим Р* = {реР: р несовместимо ни
с одним q s G} и Р* = R А Р*.
Множества G* и R — Р* счетны, поскольку <Р, удовле-
творяет у. с. ц. Значит, Р* несчетно. Пусть Р* = {qa: а < coj
есть пересчет множества Р* без повторений.
Рассмотрим совокупность Р' всех конечных совместимых
в <Р, множеств F Р*. Заметим, что если F s Р' и
р q для всех р s F, то q s Р*. Поэтому множество Р',
частично упорядоченное обратно включению, удовлетворяет
У- с. Ц.
Для каждого ascoi определим Da = {FsP': Ff]
> а} =# 0}.
АКСИОМА МАРТИНА
203
Если F^P', то найдется такое q е Р*, что^^Ср для всех
p^F. Так как q совместимо с несчетным числом элементов q$,
то каждое Da плотно в Р'. Поэтому найдется совместимое в Р'
множество Q'еР', которое пересекается с каждым Da. Таким
образом, Q = U Q' будет искомым несчетным совместимым
в Р подмножеством множества R. □
Напомним (см. гл. 3), что деревом Суслина называется не-
счетное дерево, не имеющее несчетных цепей и антицепей.
В дереве каждое совместимое в смысле обращенного порядка
множество является цепью (т. е. его элементы попарно срав-
нимы порядком дерева). Таким образом, теорема 4 влечет сле-
дующую теорему:
5.	Теорема (МА + ПСН). Не существует деревьев Сус-
лина.
С помощью дерева Суслина можно построить континуум
Суслина — связное, линейно упорядоченное пространство, удов-
летворяющее у. с. ц., но не сепарабельное (теорема 4.11 гл. 3).
Известно, что произведение двух континуумов Суслина не
удовлетворяет у. с. ц. МА меняет ситуацию.
6.	Теорема (МА+ ICH). Произведение любого семей-
ства пространств, удовлетворяющих у. с. ц., само удовлетворяет
у. с. ц.
Доказательство. Несложное рассуждение с помощью
Д-систем (не использующее МА, см. теорему 5.8 гл. 3) позво-
ляет установить, что если произведение не удовлетворяет
у. с. ц., то уже произведение некоторой конечной совокупности
рассматриваемых пространств не удовлетворяет у. с. ц. Таким
образом, для доказательства теоремы достаточно проверить,
что произведение двух удовлетворяющих у. с. ц. пространств
само удовлетворяет у. с. ц.
Предположим, что X и Y удовлетворяют у. с. ц., но {(7аХ
X Va: а < ©1} есть семейство непересекающихся непустых ба-
зисных открытых вХХ^ множеств. Рассмотрим совокупность
Р всех непустых открытых в X множеств, упорядоченную отно-
шением включения. По теореме 4 найдется несчетное совмести-
мое множество Q<^{Ua: a<coi}. Если Ua и U$ принадлежат
множеству Q, то Ua Г) =/= 0 и, следовательно, Va Г) Vp = 0.
Значит, {Va: а < cdi} содержит несчетное семейство непересе-
кающихся открытых множеств, что противоречит у. с. ц.
для У. □
Аксиома Мартина впервые была рассмотрена в работе
Мартина и Соловея [1]. Оказалось, что МА имеет место
во многих ранее построенных моделях, где нет деревьев Сус-
лина. Я рекомендую читателю превосходное оригинальное из-
ложение МА и ее следствий в названной статье Мартина и Со-
ловея. В этой статье показана приемлемость МА как альтер-
204
ГЛ 6. АКСИОМА МАРТИНА
нативы к СН. Многие известные проблемы, разрешимые с
помощью СН, оказались разрешимыми с помощью только МА.
Нередко именно МА является фактически используемой в том
или ином доказательстве частью СН. Почти так же часто
утверждение, истинное в предположении СН, оказывается лож-
ным при МА + ПСН. Поскольку предположение МА + ПСН
не противоречит теории ZFC, то каждое такое утверждение не-
доказуемо в ZFC.
Конечно, нетривиальное действие МА ограничено только та-
кими кардиналами %, что со < X < 2е0. Однако именно эти кар-
диналы часто представляют неприятности для математиков.
Специалисты по общей топологии нашли применение МА
к многим своим проблемам. Эта область применения аксиомы
Мартина подробно рассматривается в гл. 7, и поэтому мы не
будем больше останавливаться на многочисленных примерах
использования МА в топологии.
Один специалист по анализу, работающий с банаховыми
пространствами, задал мне два вопроса: Должно ли компактное
хаусдорфово пространство мощности ^2® быть секвенциально
компактным? Должно ли быть метризуемым каждое удовлетво-
ряющее у. с. ц. компактное хаусдорфово пространство с точечно
счетным отделяющим семейством открытых Fa-множеств? Ни
один из этих двух вопросов не может быть разрешен в ZFC.
Этот специалист уже знает, что в предположении МА + ~]СН
ответ на оба вопроса положителен. Специалисты по анализу
начинают использовать и признавать МА.
Недавно получено важное следствие МА в алгебре. Именно
Шелах доказал, что проблема Уайтхеда неразрешима в ZFC:
если выполняется аксиома конструктивности V = L, то каждая
^-группа свободна; однако в предположении МА + ПСН су-
ществует ^/-группа, не являющаяся свободной. Имеется пре-
красное изложение проблемы Уайтхеда и ее решения, написан-
ное Эклофом [1] для Amer. Math. Monthly. Поэтому мы
опускаем подробности и настоятельно рекомендуем обратиться
к этой работе Эклофа.
Мы также рекомендуем прочитать работу Шенфилда [1]
из того же журнала, в которой, помимо доказательства многих
из доказанных здесь теорем, содержится элегантное, элемен-
тарное обсуждение различных аспектов МА.
Данное Шелахом решение проблемы Уайтхеда проливает
свет на взаимоотношения между МА + ПСИ и V = L, которые
также проявляются в топологии. Грубо говоря, МА + ПСИ де-
лает область между со и 2® «вполне регулярной», в то время
как V = L полностью тривиализирует эту область. Так или
иначе, эти аксиомы очень различны по своему характеру
И часто дают противоположные результаты.
АКСИОМА МАРТИНА
205
Теперь обратимся к некоторым комбинаторным след-
ствиям МА.
7.	Теорема (МА). Пусть и & являются семействами
мощности <2®, состоящими из подмножеств натурального
ряда со. Предположим, что для каждого В <=& и каждого ко-
нечного подсемейства	разность B~lJs/' бесконечна.
Тогда найдется такое множество М со, что В — М бесконечно
для любого В <=98, но А — М конечно для любого
Доказательство. Пусть = {Аа: а < X} и & = {Ва:
а < X} для некоторого К < 2®. Рассмотрим множество Р =
= {<//,/(>: Н<=Л, Н конечно иК^^Д конечно}, упорядочен-
ное следующим образом: <Я',/С>	<Я,/<> в Р, если и только
если Я £ Н', К £= К' и (JC ~ К) П ( 11я пусто.
Любое несчетное подмножество множества Р имеет два
элемента с одной и той же второй компонентой, скажем,
(Н,К) и	‘Но <Я, К> > <(ЯUЯ'),/<> и <Я',К>>
< (Я U Я'), К). Значит, Р удовлетворяет у. с. ц.
Для каждого а<Х определим Da — {<Я, К) е Р: а^Н}.
Для всех а < X и п^со положим Еап = {<Я, К) s Р: |/<П
Г)Ва|> п}. Нетрудно проверить, что каждое из множеств Da
и Еап плотно в Р. Поэтому найдется совместимое Q Р, не-
пусто пересекающееся с каждым из Da и £an.
Положим М = со — U {А': (Я,	Рассмотрим произ-
вольное a < X. Найдется <Я, К) е Q Г) Da. Так как Q совмес-
тимо, то для всякого другого <Я', К'} е Q найдется такое
что <Я", К">	<Я, К> и <Я", А"> С <Я', К'>.
Из этих неравенств по определению и в силу того, что
аеЯ (так как <Я, K)<=Da), получим К' Г)Аа^ К" К.
Таким образом, Аа — М К, и поэтому множество Аа — Af ко-
нечно.
Наконец, для каждого п е со найдется такое <Я, К) е Q,
что | К П В а I > я. Значит, разность — М бесконечна для каж-
дого a < X. □
Доказательство теоремы 7 является характерным примером
доказательства с помощью МА. При X = со эта теорема стано-
вится хорошо известным фактом, не требующим МА для своего
доказательства. Но МА позволяет перенести этот факт на все
кардиналы X < 2®. Средствами теории ZFC без дополнитель-
ных предположений такое обобщение невозможно.
Укажем два следствия теоремы 7, которые, возможно, бо-
лее известны, чем сама теорема.
8.	Следствие (МА). Пусть & есть семейство мощности
<2®, состоящее из подмножеств множества со и такое, что каж-
дое конечное подсемейство	имеет бесконечное Пересе-
206
ГЛ. 6 АКСИОМА МАРТИНА
чение. Тогда найдется такое бесконечное множество L s со, что
L — В конечно для каждого В
Доказательство. Применим теорему 7 к семействам
^*=={((0 — В): В ее 98} и ^*={со}. Получим такое множе-
ство М со, что А —М конечно для каждого А е	но со — М
бесконечно. Возьмем L = со — М. □
9.	Следствие (МА). Пусть Ж и 98 являются семействами
мощности <2®, состоящими из подмножеств множества со, при-
чем В — U бесконечно для любого В ^98 и любого конеч-
ного	Тогда найдется такое бесконечное множество
L S со, что A QL конечно для каждого	но B[\L беско-
нечно для каждого В ^98.
Доказательство. В силу теоремы 7 найдется такое
Ms со, что А—М конечно для всех	а В — М беско-
нечно для всех В <^98. Определим L = со — М. Тогда для каж-
дого	будет В — М = В— (со — L) = L — (со — B) = L(]B
бесконечно. Аналогично L П А конечно для каждого	□
В свою очередь из следствия 8 вытекает
10.	Следствие (МА). Если А < 2°\ то пространство 2х
секвенциально компактно.
Доказательство. Рассмотрим произвольное бесконеч-
ное подмножество {fn. п е со} пространства 2Л и произвольную
предельную точку f этого множества. Докажем, что найдется
такое Л S со, что подпоследовательность {fn. n^L} сходит-
ся к f.
Пусть G есть совокупность всех функций g cz f, область
определения которых doing конечна (ясно, что domgsA).
Для каждого g^G положим Вё= {песо: g<=fn}. Поскольку
|G| = A, то посылка следствия 8 соблюдается, и поэтому суще-
ствует такое бесконечное множество L s со, что L — Bg ко-
нечно для каждого g е G. Это множество L и будет иско-
мым. □
На самом деле, в следствии 10 пространство 2х можно за-
менить любым компактным хаусдорфовым пространством мощ-
ности меньше чем 22“ (см. следствие I к теореме 1.7 гл. 7).
Следствие 9 также имеет интересное приложение. Пусть F
есть совокупность всех функций f: со->со. Для f, geF опре-
делим f < g, если найдется такое песо, что f(k)<Zg(k) для
любого k> п. Множество G F называется доминирующим,
если для каждого f^F найдется такое geG, что g > f. По-
следовательность {fa: а < А} функций fa^F называется лест-
ницей, если она является доминирующей и fa< f$ для всех
а < р < А.
11.	Следствие (МА). Каждое доминирующее множество
G s F имеет мощность 2®. Кроме того, существует лестница.
АКСИОМА МАРТИНА
207
Доказательство. Пусть Л < 2W и {fa: а < X} F. Для
каждого определим Аа = {</,/> е со2:	а для
каждого i со положим Bi = {1} X со. Применяя следствие 9,
найдем такое множество L со2, что все пересечения ДаПА
конечны, а все пересечения Bi A L бесконечны. Выберем f s F
так, чтобы <Z,	для всех fsco. Тогда fa < f для всех
а < Л. □
Из следствия 11 тривиально вытекает регулярность карди-
нала 2°. Еще одним приложением следствия 9 является сле-
дующая
12.	Теорема (МА). Пусть X есть множество действитель-
ных чисел, имеющее мощность <2°. Тогда каждое подмноже-
ство множества X является G^-множеством в пространстве X.
Доказательство. Рассмотрим произвольное
Пусть {Un\ п со} образует счетную открытую базу для чис-
ловой прямой такую, что всякое пересечение бесконечного
числа множеств Un содержит не более одного действительного
числа.
Снабдим индексами (возможно, с повторениями) множества
К = {//а: а<Л) и X — У = {ха: а < Л}, где Л < 2®. (Не ограни-
чивая общности, можно предполагать, что множества Y и
X — Y непусты.) Для каждого a < Л, положим Ва = {п е со:
ya^Un} и Аа = {п ^со: xa(=Un}. Применим следствие 9 к се-
мействам ^^={Аа: a < Л} и ^ = {Ва: а<Л}. Получим такое
множество L <о, что L А Ва бесконечно, а L А Аа конечно для
всех a < Л. Для каждого пг^ю определим Lm=* (J {Un: n^L
и nZ^m}. Тогда каждое уа принадлежит пересечению П
теа
так как Ва A L бесконечно, а каждое ха не принадлежит этому
пересечению, поскольку ЛаА£ конечно. Поэтому Y является
(/^-множеством в X. □
Если множество X бесконечно, то мощность совокупности
всех (7б-множеств в X равна 2°, а мощность всех вообще под-
множеств множества X равна 2\ где X < 2м есть мощность X.
Таким образом, имеем
13.	Следствие (МА). Если со Л < 2°, то 2х = 2м.
Следующая теорема относится к тому же типу, что и тео-
рема Бэра о категории:
14.	Теорема (МА). Пусть 0 < Л < 2®, X есть простран-
ство со счетной базой, а {Ха: а < %} — семейство нигде не
плотных подмножеств пространства X. Тогда множество JJ
а<Л
представимо в виде объединения счетного числа нигде не плот-
ных подмножеств пространства X.
Доказательство. Пусть {Un\ п<= со} является базой
пространства X, причем каждый элемент базы имеет бесконеч-
208
ГЛ 6 АКСИОМА МАРТИНА
ное число индексов п. Положим Вп = {лпесо: Um^Vn}. Для
каждого а<Х определим Аа = {neo): Unf]Xa=^ 0}. Приме-
ним следствие 9 к семействам = {Аа: а < %} и $ — {Вп\
Получим такое множество L s со, что Ь[\Вп беско-
нечно для всех neo), а Ь{\Аа конечно для всех а < %. Тогда
каждое множество Yn — X — U (U^: т<= L и т > п} будет
нигде не плотным, а для каждого а < % найдется такое /г, что
Xa<=Yn.
Таким образом, множество X' = U является объедине-
а<\
нием счетного числа нигде не плотных множеств УпПХ'. □
Замечание. По сути дела, все следствия 8—14 аксиомы
Мартина являются следствиями теоремы 7. Ван Дауэн доказал,
что из следствия 8 выводится теорема 7 и тем самым резуль-
таты 9—14. Для вывода теоремы 7 из следствия 8 определим
множество
0 = {[« — n]<G): п (= со} U {{$ е [со]<€0: s f] В#= 0 }: Ве
U{[® —Л]<й>: А<=а}
где и & — семейства из условия теоремы 7, а [/]<ш есть со-
вокупность всех конечных подмножеств множества I. Приме-
няя следствие 8 к семейству 3), получим такое бесконечное
множество L [со]<о, что L — X конечно для каждого Хе®.
Множество М = <о — (J L будет искомым для семейств и &
в смысле теоремы 7.
Известно, что результаты 4—6 и 15—17 не вытекают из
следствия 8.
Аксиома Мартина дает интересное следствие в теории меры
Лебега. Через т(Х) обозначим меру Лебега множества X^R,
где R — континуум действительных чисел.
15.	Теорема (МА). Пусть 0	% < 2® и для каждого
а<Х дано множество Xa^R такое, что т(Ха)=0. Тогда
mf U =
\а<Л )
Доказательство. Зададимся произвольным 8>0и до-
кажем, что существует такое множество У R, что т(У)^е
и Xa<=^Y для всех а < X. Тем самым будет доказана теорема.
Определим P={U^R: U открыто и m(t7)< е} и упоря-
дочим множество Р обратно включению.
Выберем какое-нибудь счетное семейство & открытых в R
множеств, образующее базу топологии R. Пусть есть сово-
купность всех конечных объединений элементов множества
Если S Р несчетно, то найдется такое несчетное S'
и такое натуральное п > 0, что для каждого U е S' будет
m(C/)+l/n<8. Для каждого U е S' выберем такое U*<^U,
что U* и т((7—\/2п. Поскольку S' несчетно, а
АКСИОМА МАРТИНА
209
счетно, то найдутся такие различные U, V S', что U* = V*.
Эти U и V должны быть совместимыми в Р, так как m(U U V) <
< 8. Таким образом, наше множество <Р, удовлетво-
ряет у. с. ц.
Теперь для каждого а < % определим Da = {U^P: Ха^
U}. Это множество, очевидно, плотно в Р. Поэтому найдется
совместимое множество Q Р, непусто пересекающееся со вся-
ким Da. Положим Y = U Q- Тогда Ха Y для всех а < X.
Множество Y открыто и поэтому измеримо. Докажем, что
т(У)^8. Предположим противное: ли(У)>е.
Так как пространство R наследственно линделефово, то най-
дется такое не более чем счетное Q' Q, что (J Q' ~ U Q — У*
Далее, согласно предположению ли(У)>8, найдется конечное
Q" £ Q', удовлетворяющее неравенству m((JQ,,)>c. Но Q"
^Q' Q, а множество Q совместимо. Значит, существует та-
кое У' е Р, что U Q' У7- По определению множества Р будет
т(Г)<8— противоречие. Итак, ли(У)<е, т. е. множество У
является искомым. □
Из доказанной теоремы нетрудно получить Z-аддитивность
меры Лебега. Аналогичный теореме 15 результат справедлив
и для идеала множеств первой категории.
Деревом Ароншайна называется всякое дерево мощности coi,
не имеющее несчетных уровней и несчетных цепей. Таким об-
разом, дерево Суслина — это в точности дерево Ароншайна, не
имеющее несчетных антицепей. (См. гл. 3.) Как мы уже отме-
чали, МА + ~1СН влечет отсутствие деревьев Суслина. Имеет
место следующий более сильный результат:
16.	Теорема (Баумгартнер; МА + ПСИ). Каждое дерево
Ароншайна является объединением счетного числа своих анти-
цепей.
(Такие деревья Ароншайна называют особыми.)
Доказательство. Рассмотрим произвольное дерево
Ароншайна <Т, ^>. Нашей целью является определить функ-
цию q из множества Т в совокупность всех рациональных чи-
сел Q так, чтобы для любых s, t е Т выполнялась импликация
s < t-+q(s) < q(t). Из существования такой функции немед-
ленно следует теорема, так как прообраз q~x(r) = {s е Т:
q(s) — г} будет антицепью для каждого reQ.
Пусть Р есть совокупность всех таких функций f: S-+Q,
область определения которых S^T конечна и s < <Z
для любых s, t^S. Определим f g, если функция g
продолжает f. Для каждого t^T положим Dt = {f P: t e
edomf}. Все множества Dt плотны в P, а |Т| = (0ь Значит,
если мы докажем, что Р удовлетворяет у. с. ц., то получим
совместное множество Q Р, непусто пересекающееся с каж-
210
ГЛ. 6. АКСИОМА МАРТИНА
дым Dt. Тогда найдется функция q: T-+Q, продолжающая лю-
бую функцию f е Q. Эта функция q и будет искомой.
Осталось проверить, что Р в самом деле удовлетворяет
у. с. ц. Пусть {/а: а < coi} Р и Sa = dom fa для всех а < (Оь
Мы докажем у. с. ц. для Р, если найдем такие ординалы а <
< Р < coi и такую функцию f е Р, что f продолжает как fa,
так и f$.
В силу теоремы 5.7 гл. 3 найдутся натуральные числа k и п,
k < п, и несчетное множество М coi такие, что:
(а)	Если аеМ, то множество Sa имеет п элементов: Sa =
== {^Оа, 5ia, • ••> Sn—la}*
(b)	Если a, P e M и i < k, to Sia = s/p.
(с)	Если k i < n, k j < n\ a, реЛ! и либо a =/= P,
либо i =/= /, то Sia Sj$.
Поскольку множество Q счетно, то мы можем сузить мно-
жество М (оставив его несчетным!) так, чтобы выполнялось
(d) Если a, р е М и i < и, то fa(sia) =
Далее, поскольку каждый уровень дерева Т счетен и у нас
уже есть (с), то мы можем еще раз сузить (оставив несчетным)
множество М так, что будет выполняться
(е)	Если а, р е Л4, а < Р, и k i < и, k j < п, то уро-
вень элемента sta в дереве Т предшествует уровню s^.
Заметим наконец, что каждое несчетное Т'^Т включает
несчетную антицепь (так как иначе Т' с индуцированным по-
рядком было бы деревом Суслина, а этого не может быть по
теореме 5). Поэтому можно еще раз сузить (оставив несчет-
ным) множество М так, чтобы выполнялось
(f)	Если k i < и, то множество {sia* ae М} является ан-
тицепью.
Зафиксируем произвольное (строго) счетное М' М и ис-
пользуем теорему Рамсея <д->(<д)2 (теорема 6.1 гл. 3) для су-
жения теперь уже множества М'. Пусть k i < и, k j <Z п.
Разобьем множество [Л4Х]2 на два подмножества: А = {{ос, р}:
a, р Л4', а < р и sai <Z s^} и В = {{а, р}: а, р е М', а < р,
и ~lsa/ < sp/}. Заметим, что если а < р < у и ординалы а, Р, у
принадлежат множеству М, то не может быть [{а, р, у}]2^
А. Действительно, если sai < sY/ и spz < sY/, то, согласно (е),
будет sai < spy, что противоречит (f). Значит, по теореме Рам-
сея найдется такое бесконечное множество М" е М'\ что
Проделаем последовательно указанные сужения нашего
множества М' для всех пар натуральных чисел /, / таких, что
k i < п и k j < п. В результате получим бесконечное мно-
жество М* <=М такое, что для всех принадлежащих М* орди-
налов a < р и всех натуральных /, /, удовлетворяющих нера-
венствам k i < п и k j < п, будет выполняться ~lsaz < 5р/.
АКСИОМА МАРТИНА
211
Возьмем произвольные ординалы а < ₽ из Л1*. По выбору
М* и в силу (Ь) — (d) функция f, определенная на множестве
5aUS3 условиями f(s) = fa(s) при	и f(s) = f^(s) при
seSp, определена корректно, принадлежит множеству Р и
продолжает как fa, так и f$. □
Похожим образом (но с другим доказательством у. с. ц.)
можно в предположении МА + ~СН доказать, что каждое де-
рево Ароншайна <Т, нормально в смысле топологии, инду-
цированной всеми множествами вида {х^Т:	где
s < t в Г.
Закончим эту главу одним комбинаторным результатом. Се-
мейство множеств называется почти дизъюнктным, если пе-
ресечение двух различных множеств из этого семейства
конечно.
17.	Теорема (Уэдж; МА). Пусть кардинал х регулярен
и со < х X < 2°. Тогда для каждого почти дизъюнктного се-
мейства мощности \ состоящего из счетных множеств А s
S х, найдется такое множество В s х мощности и, что семей-
ство U {В} также будет почти дизъюнктным.
Доказательство. Пусть = {Аа: а<А}. Рассмотрим
множество Р={</7, А>: П Н конечно и Asх, А ко-
нечно}, упорядоченное следующим образом: <//, А> <//', К'}
в Р, если Н^Н', К<=К', и (А'-А) П( U Н) = 0.
Покажем, что это Р удовлетворяет у. с. ц. Пусть множество
{</7a, Аа>: а <С (Di} S В несчетно. Используя теорему 5.7 гл. 3
о Д-системах, можно подобрать: несчетное М s an, натураль-
ное п и множества Н s и А х так, что для любых раз-
личных а, РеМ будет /Уар/Ур = /7 и АаПАр = А, и для лю-
бого а е /И множество Аа — А содержит ровно п элементов.
Заметим, что множества Аа —А(аеЛ1) попарно не пересе-
каются, а семейство {|J (На — Н): a s Af} почти дизъюнктно.
Пусть множество С s М бесконечно, но счетно. Поскольку каж-
дое U На счетно, а множества Аа ~ А (а е Л4) попарно не пе-
ресекаются, то найдется множество L s М такое, что | L | > п и
( LHU	А’р —	Далее, существуют такие аеС
и ре=Л, что (Аа-А)П(и(Яэ-Я)) = 0, так как \L\>n,
I Aa — А I = п для всех а е М, а семейство {U — //): р е А}
почти дизъюнктно. Таким образом, мы получим (Яа, Аа)^
>((ЯаиЯэ), (AaUAp)) и Ap>>W₽), (/<aU/<3)). Сле-
довательно, Р удовлетворяет у. с. ц.
212
ГЛ. 6. АКСИОМА МАРТИНА
Для каждого а < Л положим Ха = {(//, К) е Р : Ла е //}, a
для каждого 0 < % положим = {(Я, 70 е Р : (х — 0) Г) 0}.
Множества Ха и плотны в Р всех а < Л и 0 < х. Значит,
найдется совместимое множество Q непусто пересекаю-
щееся с каждым Ха и с каждым Y$. Положим B=(J{7<Sx:
{Н, К) е Q}. Тогда | В | = х, так как Q Г) #= 0 для всех 0<х.
Если а < Л, то существует (Я, К) Q Г) 4- Для любого другого
<Я', K')e=Q найдется такое (Я",Г)еР, что (Я, 70>(Я", 7<")
и (Я',	К"}. Тогда Т('П4^4 поскольку (К"-Д)П
П 4=0 и 70s 70'. Таким образом, Bf)AasK, т. е. множе-
ство ВП4 конечно. □
Какой же вывод можно сделать из всех этих довольно раз-
нородных теорем относительно того, когда использование ак-
сиомы Мартина приносит пользу? В топологии МА + ПСН при-
меняется для построения различных специальных нормальных
пространств. МА можно использовать для устранения опреде-
ленных патологий в пространствах, удовлетворяющих у. с. ц.
МА также позволяет решить многие проблемы, относящиеся
к компактным хаусдорфовым пространствам. Например, мно-
гие известные теоремы о стоун — чеховской компактификации
0Я натурального ряда N, доказанные в предположении СН,
можно в более общем виде доказать с использованием только
МА. Теоремы теории меры, классически справедливые для
счетных семейств множеств, с помощью МА могут быть дока-
заны для произвольных семейств мощности <2®. То же ка-
сается и свойства Бэра. Вообще, если мы умеем доказывать
некоторую теорему для счетных семейств, а хотим доказать ее
для произвольной мощности X < 2°, то использование МА мо-
жет дать желаемый результат. Основная трудность при этом
заключается, как правило, в том, чтобы доказать у. с. ц. для со-
ответствующего естественно возникающего частично упорядо-
ченного множества. Если такое доказательство не удается, то
МА применять нельзя.
ЛИТЕРАТУРА
Мартин, Соловей (Martin D. A., Solovay R. М.)
1. Internal Cohen extensions. — Ann. Math. Logic, 1970, 2, p. 143—178.
Ш e н ф и л д (Shoenfield J.)
1. Martin’s axiom.— Amer. Math. Monthly, 1975, 82, № 6, p. 610—617.
Э к л о ф (Eklof P. S.)
1. Whitehead’s problem is undecidable. — Amer. Math. Monthly, 1976, 83,
№ 10, p. 775-788.
Г л а в a 7
РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
В ТОПОЛОГИИ
И. Юхас
СОДЕРЖАНИЕ
Введение	............................................... 213
§ 1.	Приложения	аксиомы Мартина.................................214
§ 2.	Комбинаторные	принципы,	истинные в L.......................219
Литература	................................................233
Введение
Не стоит удивляться тому, что развитие теории множеств
отразилось и на топологии. Это развитие затронуло как теорию
наиболее известных топологических пространств вроде конти-
нуума действительных чисел, так и общую теорию топологиче-
ских пространств. Наиболее интересные результаты в первой
области касаются дескриптивной теории множеств — о них пой-
дет речь в главе 8. Целью же этой главы является изложение
результатов второго типа.
Мы будем иметь дело главным образом с некоторыми тео-
ретико-множественными предположениями вроде аксиомы Мар-
тина, принципа О и т. п., непротиворечивость которых была
установлена в работах по теории множеств и которые, соб-
ственно, пришли в топологию из теории множеств. Мы пока-
жем, как эти предположения используются для доказательства
топологических теорем или для построения контрпримеров.
В то же время мы не будем доказывать непротиворечивость
этих предположений. Такой подход не содержит ничего стран-
ного или нового. Достаточно вспомнить, что многие следствия
континуум-гипотезы были получены еще тогда, когда ее непро-
тиворечивость вообще не была установлена.
Можно указать несколько причин, по которым такой подход
привлекает топологов. Прежде всего, получаются красивые ре-
зультаты, приносящие эстетическое удовлетворение знатокам
теоретико-множественных методов в топологии. Кроме того, вся
совокупность полученных на этом пути результатов, вероятно,
приведет к лучшему пониманию «природы» самой теории
множеств.
214
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
Мы придерживаемся обозначений главы 3 и книги Юхаса
[1] с единственным исключением: тесноту будем обозначать
t(X) вместо д(Х). Введем следующее определение, я-характе-
ром л%(р, X) точки р в пространстве X назовем наименьшую
мощность такого семейства 9 непустых открытых в X мно-
жеств, что каждая окрестность точки р содержит некоторое
множество из 9. (Отметим, что глобальным аналогом такого
семейства 9 является п-база, т. е. такое семейство непустых
открытых в X множеств, что каждое непустое открытое в X
множество содержит подмножество из этого семейства. Соот-
ветственно глобальным аналогом л-характера является л-вес
л(Х) пространства X, определяемый как наименьший карди-
нал, являющийся мощностью какой-нибудь базы для X.)
Будем говорить, что пространство является х-бэровским,
если его нельзя представить в виде объединения менее чем х
своих нигде не1 плотных подмножеств. 2°-бэровские простран-
ства называются также сильно бэровскими.
§ 1.	Приложения аксиомы Мартина
1.1.	л-полнота. Как известно (см., например, Мартин
и Соловей [1]), аксиома Мартина МА эквивалентна пред-
положению о том, что каждое компактное Тг-пространство со
свойством Суслина является сильно бэровским, т. е. не пред-
ставимо в виде объединения менее чем 2° своих нигде не плот-
ных подмножеств. Оказывается, в этом утверждении компакт-
ность можно заменить некоторым более общим свойством
«полноты». Впрочем, в этом нет ничего удивительного, так как
вообще свойство Бэра относится скорее к полноте, чем к ком-
пактности.
Свойством полноты, которое мы собираемся определить, об-
ладают, например, все полные по Чеху пространства, а также
все почти субкомпактные пространства (см. Аартс и Лют-
цер [1]). Напомним, что если SF есть база фильтра в про-
странстве X и для любых Fj, F2^.ST найдется такое F^SF,
что F S int (Fi П F2), to база фильтра 9" называется регулярной.
Определение. Регулярное пространство X называется
я-полным, если найдется такое X < 2° и такое семейство {9*а:
а <Ц л-баз, что для каждой регулярной базы фильтра
ЗГ U {^а:а < М, имеющей мощность <2° и непусто пере-
секающейся с каждым ^а, будет #= 0.
Замечание. Ограничение регулярными пространствами
несущественно. Все изложенные ниже результаты остаются
в силе и для нерегулярных пространств, если вместо л-баз
рассматривать такие семейства непустых открытых множеств,
§ 1. ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ МАРТИНА
215
что каждое непустое открытое множество содержит замыкание
некоторого множества из данного семейства.
1.2.	Теорема (МА). Каждое л-полное пространство X со
свойством Суслина (т. е. с(Х) = со) является сильно бэровским.
Доказательство. Пусть Х<2сои семейство л-баз {^а:
а < Л} таково, как указано в определении л-полноты. Рас-
смотрим множество (J {3*а: а < А}, упорядоченное следую-
щим образом: Р < Q, если Р s Q и Р =/= Q. Ясно, что частично
упорядоченное множество <Р, <> удовлетворяет у. с. ц.
Пусть теперь х < 2W и {А&: £ < х} есть семейство нигде
не плотных в X множеств. Нужно доказать, что X=£U {А$: £<х}.
Для всех а < А и £ > х положим
Dat = {р е ^а: Р П А$ = 0}.
Нетрудно проверить, что каждое Da^ плотно в частично упо-
рядоченном множеству <^, <>. Поэтому в силу МА найдется
генерическое (см. главу 4) множество & непусто пересе-
кающееся с каждым Ьа^ Генеричность в <^, <•>, очевидно,
означает, что S’ является регулярной базой фильтра в X. Кроме
того, S’ пересекается с каждым За и содержит для каждого
g < х элемент, не пересекающийся с множеством А^. Теперь
применение теоремы Скулема — Лёвенгейма (см. главу 2 «Тео-
рии моделей») к структуре (Dat)a<K S<K) даст регулярную
базу фильтра	имеющую все перечисленные свойства
семейства S’ и имеющую мощность |^F| < 2°. По определению
х-полноты получим 0 S X — U {А$: £ < х}, откуда и сле-
дует теорема. □
Отметим, что если 2° = coi (т. е. выполняется континуум-ги-
потеза СН),то теорема верна даже без предположения с(Х)=ю.
Следствие (МА). Если пространство X является л-пол-
ным и с(Х) = со, то ХР является сильно бэровским простран-
ством.
Доказательство. Пусть {^а: а < А} есть соответствую-
щее семейство л-баз для X. Если а < А и п е со, то пусть
есть совокупность всех элементарных открытых подмножеств
произведения имеющих вид
ПКЧРЛ/е/),
где п е I, I е [<о]<й) и Р( е За для каждого i е /. Каждое се-
мейство является л-базой для X®, причем из определений
нетрудно получить, что если 3" s (J {Зап: а < А и п е со} является
регулярной базой фильтра, имеет мощность < 2“ и Зг Г)^ам=/=0
для всех а и /г, то семейство = {л„ (Р): Р е 3~} будет регу-
лярной базой фильтра, включенной в (J {За: а < А}, непусто
пересекающейся с каждым 3\ и имеющей мощность < 2°. Сле-
216
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
довательно, = П {nn (^)- Р &"} =/= 0 для каждого пе®,
откуда #= 0.Это рассуждение показало, что пространство
X® является л-полным. Согласно теореме 6 гл. 6 мы имеем
с(Х®) = (д, так как c(X) = co. Теперь осталось применить тео-
рему 1.2.
Следующая теорема не использует МА и поэтому имеет са-
мостоятельный интерес.
1.3.	Теорема. Пусть X — произвольное пространство, а и
является бесконечным кардиналом. Если X® является и-бэров-
ским пространством и л(Х)<х, то d(X) = co, т. е. простран-
ство X сепарабельно.
Доказательство. Пусть Ф есть л-база мощности <х
пространства X. Для каждого Ре^ введем семейство $р всех
элементарных подмножеств пространства X®, одна из проекций
которых совпадает с Р:
= 1 П «Г1 ((?<):
lie/
n V/ е I (Gi открыто в X)/\3i^I (Gi = P)j.
Ясно, что каждое семейство &Р будет л-базой для X®. Значит,
множество DP=(J$p открыто и плотно в X®. Но X® является
х-бэровским. Отсюда £)—П{£)Р: Р е ^}=/=0. Возьмем произ-
вольное x^D. Докажем, что множество S = {лп(х): пе®} плотно
в X. В самом деле, рассмотрим какое-нибудь непустое открытое
G ^Х. Найдется такое Ре#1, что Р s G, А поскольку х s Dp, то
найдется такое песо, что лп(х) е Р SG. Плотность множества
S вХ доказана. Следовательно, d(X) = co. □
Следствие (МА). Если пространство X является л-пол-
ным, с (X) =# со и л (X) < 2®, то d (X) = со.
Доказательство. Немедленно следует из следствия 1.2
и теоремы 1.3. □
1.4.	Замечание. Последний результат служит основанием
для многих теорем следующего вида: из МА+~|СН следует,
что если пространство X полно, имеет свойство Суслина
и имеет «небольшие» локальные характеры, то X сепарабельно
(см. Хайнал и Юхас [1], Шапировский [1], Толл
[1]). К этому же классу теорем относится следующая теорема.
Вывод этой теоремы из следствия к теореме 1.3 включает
рассуждения чисто технического плана, и поэтому мы опускаем
доказательство.
Теорема (МА). Пусть пространство X таково, что:
(i)	каждое его замкнутое подпространство л-полно:
(ii)	с(Х) = со;
(iii)	/(Х)+ <2® и л%(р, Х)<2® для всех р^Х,
Тогда X сепарабельно.
§ 1. ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ МАРТИНА
217
Полные по Чеху пространства являются примерами про-
странств, удовлетворяющих условию (i). Шапировский дока-
зал1), что для компактных пространств X выполняется
t(X). Поэтому из сформулированной теоремы следует, что
если в предположении МА + ~1СН пространстве X компактно,
имеет свойство Суслина и удовлетворяет равенству t(X) = a, то
X сепарабельно. Неизвестно, можно ли заменить в этом утвер-
ждении t(X) — со на л%(Х) — со.
По-видимому, для получения всех предыдущих результатов
требуется «полная сила» аксиомы Мартина. Напротив, не-
сколько следующих утверждений используют одно комбинатор-
ное следствие МА, которое, как известно, слабее, чем МА
(см. Кюнен и Толл [1]).
Напомним (следствие 8 гл. 6), что следующий комбинатор-
ный принцип является следствием МА:
(*) Если семейство ^s^(co) имеет мощность <2“ и
для каждого конечного	выполняется |П^1 = <»,
то найдется такое бесконечное множество S е со, что
S — А конечно при любом A^s£ (иными словами, S
почти включено в каждое из множеств А е .
Из этого принципа немедленно следует
1.5.	Теорема (МА; см. Хех л ер [1]). Пусть <U является
открытым покрытием некоторого сепарабельного и счетно ком-
пактного пространства X, причем < 2Ш. Тогда найдется
такое конечное подмножество Т что множество ЦГ
плотно в X.
Доказательство. Предположим, что °U> не имеет ко-
нечного подсемейства с плотным объединением. Возьмем про-
извольное счетное плотное в X множество S £ X. Тогда се-
мейство
^ = {S-U:Ug=<U}
подмножеств множества S, очевидно, таково, что пересечение
любого конечного числа элементов семейства Ж бесконечно.
Значит, вследствие (*) существует такое бесконечное множе-
ство С с S, что С — (S — U)= С П С7 конечно для каждого
U Это означает, что С не имеет предельных точек в про-
странстве X, так как °U является покрытием. Получилось
противоречие со счетной компактностью. □
Из доказанной теоремы вытекает следующая теорема
В. Вейсса, особенно интересная в сопоставлении с одим из по-
следующих результатов.
1.6.	Теорема (МА + ПСН). Каждое счетно компактное,
совершенное и регулярное пространство X компактно.
9 ДАН СССР, 1975, 223, Хе 4, с. 799—802. — Прим, перев.
218
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
Доказательство. Конечно, достаточно доказать, что
наше пространство X является линделефовым. Предположим
противное: X не линделефово. Известно (см., например, Сте-
фенсон [1]), что совершенное счетно компактное пространство
имеет счетный спрэд, и, таким образом, s(X) = a>. Так как X
не является линделефовым, то найдется справа разделенное
множество /? = {р^: g < (oj типа (Оь (Разделенность справа
означает, что пересечение {р$: g q} с замыканием {р^: g < q}
пусто для любого q < (Оь) Это множество /? наследственно
сепарабельно, поскольку s(X) = s(/?) = со, см. Юха с [1]. Для
каждого g < coi можно подобрать окрестность точки р^ в X
так, чтобы	для всех q>g (при этом принимается во
внимание также регулярность пространства X). Открытое мно-
жество G = U {U$: g< (Oi) является /^-множеством, так как X
совершенно. Пусть G = U {Fn:n& (о), где каждое Fn замкнуто.
Найдется такое п0^(о, что пересечение R(]Fn<i несчетно.
Рассмотрим множество Z — R П Fno. Z будет счетно ком-
пактным, так как замкнуто в X, и Z будет сепарабельным, так
как сепарабельно его плотное подмножество R Q Fn^ Наконец,
семейство °U = {U^. g < (oj образует открытое покрытие мно-
жества Z, причем \<U\ < 2°. Поэтому можно применить тео-
рему 1.5 и подобрать конечное подсемейство
=	...,	такое, что Z (J U%k-
Но если g/ есть наибольший из всех ординалов g* (& = 1, ...
..., п), то указанное объединение не содержит точек рл с q > g/.
С другой стороны, в силу выбора «о это объединение включает
несчетное множество R A F^ ~ противоречие. □
Комбинаторный принцип (*) влечет некоторые следствия со-
вершенно иной природы. Например, имеет место следующая тео-
рема Ма лыхин а и Шапировского [1].
1.7.	Теорема (МА). Пусть X — произвольное простран-
ство, а р&Х и S^X таковы, что | S | = (о и р^§ — S. Пусть
также выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:
(/) Х(Р, S)<2<0;
(ii) пространство X регулярно, счетно компактно uty(p, S)<
< 2®.
Тогда найдется последовательность точек множества S, сходя-
щаяся к р.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем
предполагать, что X = S. Пусть °U есть система окрестностей
точки р в X, имеющая мощность < 2W и такая, что:
если выполняется (i), то °U образует базу окрестностей
точки р;
§ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ, ИСТИННЫЕ В L
219
если выполняется (ii), то П{(/: U^U} = {p}.
Определим семейство Ж подмножеств S следующим образом:
<s^={t/p|S: U^Ql} в случае (i) и <5^= {f7QS:	в
случае (ii). Ясно, что в обоих случаях любое конечное пересе-
чение множеств из бесконечно (иначе р было бы изолиро-
вано от S, что противоречит равенству X = S). Применим прин-
цип (*) и получим бесконечное множество М s S, М =
= {qn\ со}, такое, что М — U конечно для каждого U
в случае (i) и М— U конечно для каждого U в случае (ii).
Таким образом, в случае (i) сразу получим: последовательность
qn сходится к р. В случае же (ii) мы можем утверждать только,
что эта последовательность не имеет предельных точек в мно-
жестве X—Др}. Но поскольку в этом случае пространство X
счетно компактно, то единственная предельная точка р после-
довательности qn и будет ее пределом, т. е. эта последователь-
ность сходится к р.
Следствие 1 (МА). Каждое компактное пространство
мощности, меньшей, 22<й, является секвенциально компактным.
Доказательство. Рассмотрим произвольное счетное
множество S £ X. Если S = S, то мы, очевидно, можем выбрать
сходящуюся последовательность из S. Поэтому предположим
S #= S. По теореме Чеха — Поспишила (теорема 4.3 гл. 3) най-
дется такая точка р е S — S, что % (р, S) < 2® (в противном
случае было бы | S |	22<й > | X | — противоречие!). Таким обра-
зом, мы находимся в ситуации (i) теоремы 1.7 и снова сможем
выбрать сходящуюся последовательность из точек множества
5. О
Следствие 2 (МА). Пусть пространство X регулярно,
экстремально несвязно и сепарабельно. Тогда каждая его неизо-
лированная точка имеет характер 2°. Если К к тому же
счетно компактно, то для каждой неизолированной точки р&Х
выполняется неравенство гр (р, X) 2Ш.
Доказательство. Достаточно заметить, что в регуляр-
ном экстремально несвязном пространстве не существует не-
тривиальных сходящихся последовательностей. Теперь резуль-
тат следует из теоремы 1.7. □
В качестве приложения этого следствия можно получить
равенство %(р, pAf)=2° для любого p^p/V — Af (в предполо-
жении МА).
§ 2.	Комбинаторные принципы, истинные в L
В то время как аксиома Мартина довольно успешно исполь-
зуется математиками (особенно она популярна среди Тополо-
гов), комбинаторные принципы, о которых здесь пойдет речь,
220
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
значительно менее известны. Конечно, они применяются не так
давно и выглядят более сложными, чем МА, но мы надеемся,
что следствия этих принципов покажутся читателю в достаточ-
ной степени интересными для того, чтобы убедиться в их полез-
ности. В главе б уже было отмечено, что эти принципы часто
дают противоположные результаты по сравнению с МА 4- “ICH.
Принципы, о которых идет речь, имеют одну особенность, кото-
рую аксиома Мартина не имеет: они легко обобщаются на боль-
шие, чем континуум, кардиналы. Эти принципы (вместе с дока-
зательствами их непротиворечивости) возникли из глубокого
исследования «тонкой структуры» конструктивного универсума
L, проведенного главным образом Р. Йенсеном (см. главу 5).
Однако их непротиворечивость может быть доказана значи-
тельно проще с помощью метода вынуждения (см. главу 4).
2.1.	Принцип0. Обозначение О служит сокращением для
следующего предложения: каждому ординалу а < coi можно
сопоставить множество Sa s а так, что для любого A s coi мно-
жество {a < cor. S П a = Sa} стационарно в (щ.
О стационарных множествах см. §§ 1 и 2 главы 3. Там же
доказано, что 0->СН и О -*--ISH.
Используем принцип 0 для построения пространства Дау-
кера небольшой мощности, имеющего различные интересные
дополнительные свойства. Основная идея нашего построения
состоит в том, чтобы соединить конструкцию Осташевского
[1] наследственно сепарабельного, локально компактного, счет-
но компактного и совершенно нормального, но не компактного
пространства с основной идеей Рудин [1]. В работе Рудин
[1] построено пространство Даукера в предположении сущест-
вования дерева Суслина (т. е. в предположении ~1SH). Поэтому
в свете импликации 0->~ISH наш результат не кажется не-
ожиданным, даже если иметь в виду интересные дополнитель-
ные свойства нашего пространства Даукера. Собственно говоря,
мы поместили здесь построение пространства Даукера не столь-
ко ради конечного результата, сколько ради самого метода
построения.
Отметим, что последовательность <Sa: a <Z coi> из определе-
ния принципа О удовлетворяет следующему условию:
(+) Если ^множество A £= <01 несчетно, то найдется такой
предельный ординал coi, что А и =	(т. е.
SK неограничено в X).
В самом деле, поскольку А неограничено, то совокупность
А' всех предельных точек множества А также неограничена и,
кроме того, замкнута в ©ь Поэтому пересечение А'П{«:
А П a = Sa} непусто. Но любой ординал X из этого пересече-
ния удовлетворяет условию (+).
$ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ, ИСТИННЫЕ В L
221
Пусть L\ есть совокупность всех предельных ординалов
% < соь Для каждого X е L\ положим
Г SK, если U5x = X;
t Л, если и^х=И=Х.
Тогда каждое множество 7\ будет неограниченным в %, и после-
довательность <7\: Хе L\) также, очевидно, будет удовлетво-
рять условию (+).
2.2.	Теорема (<0). Существует топология т на множестве
coi X и, имеющая следующие пять свойств'.
(i)	т локально компактна и хаусдорфова",
(ii)	т локально счетна;
(iii)	т наследственно сепарабельна',
(iv)	т нормальна',
(v)	т не является счетно паракомпактной.
Доказательств^. Начнем с некоторых определений.
Для каждого XeLi определим Хх=ХХ<о и положим Х =
= 11 Е £1} = (o1 X (о. Как отмечено выше, <}->СН. По-
этому все счетные подмножества множества X можно располо-
жить в последовательность {Л».: XeLj так, чтобы каждое Лх
было ограниченным в Хк множеством (это означает, что
Для некоторого а <. X). Далее, для каждой пары
<а, п) е X определим
В (а, п) = (а X (и + 1)) U {<а, п)},
С (а, п) = ((Oj — а) X — п).
Перед определением топологии т мы индукцией по X опре-
делим для каждого XeLi множество	и топологию тх
на Хк следующим образом.
Предположим, что и мы уже определили множество
Z0<=Xa и топологию та на Хо для каждого о е X П Ц так, что
выполняются следующие условия:
(1)	та локально компактна и хаусдорфова;
(2)	если р, о е X П Li и р < о, то <ХР, тр> является откры-
тым подпространством пространства <Ха, та>;
(3)	для каждого <а, п)^Х0 множество В (а, п) является
та-открытым;
(4)	для любых ординалов р, о е A A L\ таких, что р о,
множество Zp является ограниченным то-открыто-замкнутым
подмножеством множества Хр.
Если ординал X является пределом в ряду предельных орди-
налов (Л е L'), то в соответствии с (2) мы возьмем |J { V а е
е Л П Li) в качестве базы для топологии тх на Х^. При этом
условия (1) —(3) очевидным образом переносятся на тх- Кроме
222
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
того, поскольку каждое Zp является та-открыто-замкнутым в Хр
при р, о g XQ Li, р а, в силу (4), то Zp остается тх-открыто-
замкнутым. (Это немедленно следует из равенства XK — ZP =
= U {Ха “ 2р: а е А к П LJ.)
Рассмотрим теперь случай X 0 L', т. е. к = а + © для не-
которого neLj. Необходимо определить базисные окрестности
новых точек, принадлежащих разности Х^ — Ха. Для этого сна-
чала расположим элементы счетного семейства {Zp: р е X П Ц}
в ©-последовательность <Z(n\ пе©\ По определению множе-
ство То неограничено в а. Зафиксируем произвольную строго
возрастающую ©-последовательность G(a) = {у/: /ее©} орди-
налов yt ее Та. Тогда для каждой пары <а, п) е Хо выполняется
неравенство
|В(а, п)П(О^Х®)|<©.
Следовательно, в силу (3) множество G(or) X w не имеет пре-
дельных точек в <Ха, та>. Но <Х0, та> является счетным локаль-
но компактным ^-пространством (и тем самым нульмерным
метризуемым). Поэтому мы можем выбрать компактную откры-
тую окрестность Kts для каждой точки <у/, s> се G(or) X ® так,
чтобы эти окрестности попарно не пересекались и для всех
se© удовлетворяли следующим двум условиям:
Kts£B(xh s),
если (yt, s) ф то Kts П Z(/) = 0 для всех I <.t.
Последнее условие можно обеспечить в силу та-открыто-замкну-
тости множеств Z(Z).
Разобьем теперь натуральный ряд на бесконечные непере-
секающиеся множества, снабженные двойными индексами:
® = и {апт- п, те= <»}.
Таким образом, апт П а-п'т’ = 0 при (п, т) (п', т'} и
| апт I = ® для любых n, те а. Каждая точка разности ХК — Ха
имеет вид (а + п, т). Определим k-ю окрестность этой точки
равенством
V/t((j + n, tn) = U {Ajs: апт — k и s < tn} U {(a + n, m)}.
Из данного определения немедленно получим, что эти счет-
ные окрестности вместе с та порождают хаусдорфову топологию
тх на множестве Хъ в которой <Ха, та> будет открытым подпро-
странством. Также нетрудно проверить, что каждая окрестность
V*(a + n, т) компактна в (Хх, тх>, так как любое ее бесконеч-
ное подмножество либо покрывается конечным числом (ком-
пактных) множеств Kts, составляющих V^(a + n, т)у либо же
пересекается с бесконечным числом таких множеств, в обоих
случаях имея предельную точку. Далее, по построению выпол-
§ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ, ИСТИННЫЕ В L
223
няется Vo(o + ^» tn)^ В(о + п, tn). Наконец, для любого орди-
нала р о, p^Li, мы имеем Zp = Z{r> для некоторого /ео).
Но множество Z(Z) ограничено в Ха, а последовательность G(a)
сходится к о. Поэтому, выбрав достаточно большое /есо, мы
получим <у/, s> ф Z^ для всех s е (о. С другой стороны, также
по построению для любых фиксированных ги, п е со можно вы-
брать такое достаточно большое k, что Z^ П Va>(o + п, т)= 0.
Следовательно, никакая точка разности Х\— Ха не может быть
предельной точкой множества Zp =?= Z(Z), которое, таким обра-
зом, является тх-открыто-замкнутым.
Теперь определим множество Zx (определение одинаково
для обоих видов ординала XeLi). Используем множество А%.
Если оно не является тх-замкнутым, положим просто Zx = 0.
Если же оно тх-замкнуто, то сначала выберем a < % такое, что
Лх^«Хо>. В силу (3) множество аХ«, очевидно, тх-открыто.
Также очевидно, что <ХК, тх> является счетным метризуемым
пространством. Значит, можно выбрать такое тх-открыто-замк-
нутое множество Zx, что 4х£^^^Х«- Индуктивное опреде-
ление Тх и Zx закончено.
Пусть теперь топология т на X порождена семейством
и {ч: А Мы утверждаем, что эта топология будет иско-
мой в смысле свойств (i) — (v). Из условий (1) и (2) немед-
ленно следует, что т имеет свойства (i) и (ii). Для проверки
остальных свойств мы докажем, что т имеет следующее свой-
ство (vi), которое интересно и само по себе.
(vi)	Для всех geLi и п&ы выполняется включение
С (о, n)^clt(TaX {п}).
Для доказательства (vi) отметим сначала, что имеет место
clt (То X {л}) =2 (fa + ®) — a) X (<» — п).
Это очевидно из построения, так как каждая точка <о + /п, п'>
принадлежитт-замыканию множества G(a) X {п}	{п} при
г/ п. Далее, индукцией по ординалу X е L\ — о мы докажем,
что <X4-m, n'> е clT(71aX {л}) ПРИ п'п. Для % = о это
утверждение уже доказано. Докажем его для некоторого
^eAi — о в предположении, что оно уже доказано для всех
ординалов V е Li таких, что о V < %. Рассуждая анало-
гично случаю X = о, получим
(Л + /и, n')eclT(G^X{n})
всякий раз, когда п' п. Кроме того, множество G(X) П о ко-
нечно по определению. Следовательно, по индуктивному пред-
положению для точек множества (G(X) — о)Х {п} будет вы-
полняться
(% + tn, п'} <= clt ((G*w - о) х {«}) S cl. (Ta X {»}),
что и требовалось.
224
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
Теперь докажем, что справедливо (iii). В самом деле, пусть
множество У X несчетно. Рассмотрим минимальное нату-
ральное п такое, что пересечение УА((О1Х{^}) несчетно. Со-
гласно (+) найдется такой ординал oeAj, что То \ {п} ^Y.
Но в силу выбора п множество УП(ю1Хл) счетно. Следова-
тельно, ввиду (vi) множество
(УП (СО! х «)) и (то х {П}) и (У П хо)
будет счетным т-плотным подмножеством множества У.
Для доказательства (iv) отметим сначала, что фактически
мы доказали, что любое несчетное т-замкнутое множество
Y^X содержит подмножество вида С (о, /г). Но пересечение
двух любых множеств вида С (о, и), очевидно, непусто. Поэтому
если множества Н, К^Х не пересекаются и т-замкнуты, то по
крайней мере одно из них, скажем //, счетно. Тогда Н = А\
для некоторого XeLi. При этом является т-открыто-замкну-
тым множеством, и Н = Ах А а X для некоторого а < %.
Множества Н и /(П^х не пересекаются и являются т-замкну-
тыми (так как они тх-замкнуты). Значит, найдутся непересе-
кающиеся тх- и, следовательно, т-замкнутые множества U, V S
sXx такие, что H^U и K(]Xj,^V. Таким образом, множе-
ства t/f]Zx и VU(^ — Zx) будут служить непересекающимися
т-открытыми окрестностями множеств Н и К соответственно.
Это означает, что пространство <Х, т> нормально.
Для доказательства (v) рассмотрим множества Fn —
= С (0, п) = со 1 X (со — п) для каждого п е со. Ясно, что
Fq з Fi , П {Fn- ие о} = 0 и каждое Fn является т-замк-
нутым. Поэтому достаточно доказать, что для любой последова-
тельности т-открытых множеств <Gn: песо) такой, что Gn^Fn
для каждого песо, будет П {Gn: п е со} Ф 0. Мы покажем, что
на самом деле для любого песо и любого т-открытого мно-
жества Gn^Fn разность (coi X {0})—Gn будет счетной. Пред-
положим, что, напротив, эта разность несчетна. Но из доказа-
тельства (vi) мы знаем, что поскольку множество X—Gn
т-замкнуто, то С(а, 0)^Х—Gn лля некоторого аСсоь А это
противоречит соотношению Fn — С (0, п) Gn. □
Замечание. Читатель, знакомый с конструкцией Оста-
шевского (см. также Рудин [2]), без особых усилий может
добиться, чтобы каждое подпространство вида coi X п простран-
ства <Х, т> было счетно компактным, т. е. чтобы само <Х, т>
было о-счетно компактным. Другое изменение изложенного
доказательства позволяет построить изящное пространство Дау-
кера с использованием только СН вместо 0, см. Юха с, Кю-
нен, Рудин [1], однако при этом локальную компактность и
а-счетную компактность придется опустить.
§ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ, ИСТИННЫЕ В L
225
Идея этого построения содержится также в доказательстве
теоремы 2.9.
2.3.	Принцип W. Этот принцип, к обсуждению которого мы
переходим, уходит своими корнями в понятие «болота» Йенсена
(см. Девлин [1]). Впервые этот принцип был использован
Сильвером для того, чтобы заменить «болото» в построении
больших S-пространств в конструктивном универсуме. Мы сове-
туем читателю, которому принцип W покажется слишком слож-
ным, взглянуть на определение «болота».
Мы несколько обобщим сильверовский принцип П7, вводя
в него кардинальный параметр. (U7 совпадает с И^((о2).) Итак,
пусть х— бесконечный кардинал. Через №(х) обозначим сле-
дующее предположение:
Найдется дерево Т высоты (Di ~Ь 1, обладающее следующими
свойствами (i) — (iii) (Га обозначает а-й уровень дерева Г, а ра
обозначает функцию, которая сопоставляет каждому /еГр,
где Р а, (единственный) предшественник элемента t на
уровне Га):
(i)| T©J = x и | Га 1^ ® для всех а<<дг,
(ii)	если s, /еГ©, и $=/=/, то найдется такое а<(01, что
Ра(5) ¥= Pa(0;
(iii)	существует последовательность <ада: а < <oi> такая, что
каждое ша есть счетное семейство счетных бесконечных мно-
жеств S £ Та такое, что
(*) для каждого счетного множества Ле Г©, найдется та-
кое ал < coi, что ра”Л е wa при любом а, удовлетворяю-
щем неравенствам ал а < (0ь
(ра'А = {pa(0: t^A}—образ множества А при отображе-
нии ра.)
Нетрудно показать, что как W(со), так и U7(coi) эквивалент-
ны СН. Кроме того, W(х) влечет х^ 2®', так как | |J {Га: a <
<(о1)| = (оь а различные элементы уровня Г©, имеют различ-
ные множества предшественников. С другой стороны, с помо-
щью метода вынуждения установлено, что предположение
(кардинал 2®' сколь угодно велик + W (2®1)) непротиворечиво
относительно ZFC (теорема 4.9 гл. 4 для несколько иного опре-
деления W(х)). Значительно более тонким является результат
Сильвера, доказавшего, что принцип W (<о2) = W (2®’) выпол-
няется в конструктивном универсуме.
2.4.	Определение. Пусть £)(2) есть дискретное про-
странство на множестве 2 = {0, 1}. Бесконечное множество
назовем НФП-множеством (сокращение для «на-
следственно финально плотное»), если выполняется следующее
условие: 8
8 Справочная книга, ч. 11
226
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
(**) Для каждого счетного А s X найдется ординал
Уд < такой, что любую конечную частичную функцию
в из coi—уд в 2 можно продолжить до некоторой функ-
ции f е А.
Иными словами, (**) означает, что «хвосты» функций [&А
образуют плотное множество в произведении (D (2))“l“VA.
2.6. Теорема. Если выполняется то найдется НФП
множество X (D (2))“*, имеющее мощность к.
Доказательство. Пусть дерево Т и последователь-
ность (wa'- а < <oi> удовлетворяют формулировке 1Г(х). Вве-
дем следующее техническое определение. Для каждого Sg
положим
§ (S)— min {0: Vy ((0 < у < <*) -* PV"S<= wv,
и сужение pY tS взаимно однозначно)}.
Ясно, что 0(S)^a. Для каждого t е Та индукцией по a < <i>i
определим функцию f1: a+1—*2 так, чтобы эти функции слу-
жили аппроксимациями для элементов искомого множества X.
Предположим, что a <. <01 и для любых 0 < а и функ-
ции f* уже определены и удовлетворяют следующим условиям:
(1) если у<0<а и t е Т$, то
(2) если 5 е w$ и е является функцией из некоторого ко-
нечного подмножества разности (04-1) — 0(S) в 2, то множе-
ство Se = {ieS: esf*} бесконечно.
Определим f* для каждого t^Ta. Задача состоит, естествен-
но, в определении значения /((а), так как для всех 0 < а мы
должны положить (в соответствии с условием (1))
^(0) = ГРЮ(0).
Рассмотрим семейство Z(a) всех бесконечных множеств вида
5е, где S е wa, а е является частичной конечной функцией из
a — P(S) в 2. Это определение имеет смысл, поскольку значение
f*(0) уже определено для всех £ < а. Заметим, что для пустой
функции 0 справедливо равенство S^ = S, откуда следует
wa^Z(a).
Далее, семейство Z(a) является счетным семейством, со-
стоящим из счетных бесконечных подмножеств уровня Гд. Зна-
чит, по известной теореме Бернштейна мы можем разбить уро-
вень Та на два непересекающихся множества и так,
чтобы
|ХеПЯ(»)|ж=«>
выполнялось для всех Se оZ(a) и ( <2.
§ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ, ИСТИННЫЕ В L	227
Теперь определим значение fz(a) следующим образом:
t ( 0, если t е
f (a) —| । если
Из определения очевидно, что условие (2) выполняется для а.
Индуктивное определение функций f* закончено.
Рассмотрим множество X = {fs: s е Т^} D (2)<0‘» где каждая
функция fs из (Oi в 2 определена равенством
= a < <oj.
Достаточно проверить, что это множество X в самом деле яв-
ляется НФП. Пусть счетное множество A s произвольно.
Согласно (*) можно выбрать ординал a < coj такой, что суже-
ние ра М взаимно однозначно и ру”А е wy для всех
Теперь из (1) и (2) следует, что ординал Р(ра”А) можно взять
в качестве ординала va, требуемого в формулировке (♦♦). □
2.6.	3 а м еч а н и я. Хайнал и Юхас [2] показали, что
любое НФП множество X^D(2)®1 является наследственно се-
парабельным и наследственно нормальным. С другой стороны,
нетрудно проверить, что если каждой функции f^X поставлена
в соответствие функция ее £) (2р, отличающаяся от f лишь на
счетном числе ординалов а < (щ, то множество X' = {/': f еХ)
также будет НФП. Это позволяет построить, например, S-npo-
странство мощности х (в предположении №(х)). Таким обра-
зом, непротиворечиво существование S-пространств мощности
2Ш| = 2*“.
Несколько изменив доказательство теоремы 2.5, можно по-
строить НФП подгруппу пространства D (2)G)1, имеющую мощ-
ность х, и таким образом получить счетно компактную, наслед-
ственно нормальную и наследственно сепарабельную нелинде-
лефову топологическую группу (см. Хайнал и Юхас [3]
для случая №((di) = СН).
Аналогичным образом можно в предположении №(х) по-
строить L-пространство веса х. L-пространством называется
регулярное, наследственно линделефово, но не сепарабельное
пространство. (Понятие L-пространства дуально к S-простран-
ству, см. Хайнал и Юхас [2].)
Отметим наконец, что в предположении (МА+ДСН) мож-
но доказать, что НФП множеств вообще нет. Для этого нужно
воспользоваться тем, что, согласно следствию 1 к теореме 1.7,
пространство D(2)a>1 секвенциально компактно, в то время как
сходящаяся последовательность, конечно, не может быть плот-
ной в «хвостовой части».
Таким образом, аналогично принципу О, принцип W дает
следствия, противоположные следствиям из (MA-f-HCH).
8*
228
ГЛ 7 РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
2.7.	Принцип Е (х). Теперь мы хотели бы изложить некото-
рые топологические следствия комбинаторного принципа Пк.
Но мы будем использовать собственно не сам принцип Пх
(о котором интересующийся читатель может узнать в гл. 5),
л следствие этого принципа, обозначаемое Е(х):
Найдется множество Е^х, удовлетворяющее таким трем
условиям:
(i)	aE£->cf(a) = (o;
(ii)	множество Е стационарно в х;
(iii)	если ординал а<х пределен, то множество Ef|a не
является стационарным в а.
Утверждение Е(<01) тривиально истинно, но E(cd2) нару-
шается в некоторых моделях теории множеств. В то же время
Йенсен доказал, что в конструктивном универсуме Е(х) спра-
ведливо для «большинства» регулярных кардиналов х (см.
Девлин [1], а также теорему 14.2 гл. 5).
В качестве приложения принципа Е(х) можно указать сле-
дующий результат Хайнала и Юхаса [4]: если множе-
ство Е из формулировки Е(х) рассматривать как топологиче-
ское пространство, то каждое подпространство пространства Е,
имеющее мощность меньше х, будет метризуемым, в то время
как само Е не будет таковым. Вместо доказательства этого
утверждения мы поместили здесь построение более сложного
пространства, имеющего несколько красивых дополнительных
свойств. В этом построении, кроме Е(х), фигурирует следую-
щий обобщенный вариант принципа О.
2.8.	Определение. Пусть х является регулярным несчет-
ным кардиналом и множество Е^х стационарно в х. Через
фх(£) обозначим предположение о том, что существует после-
довательность <Sa: ae Е> множеств Sa а такая, что для каж-
дого X s х множество
{ae Е: X П « — Sa}
стационарно в х.
Таким образом, принцип О из 2.1 в точности совпадает с
Тот же. Йенсен доказал, что в конструктивном универ-
суме <0х(£) выполняется для каждого регулярного кардинала
х > со и каждого стационарного множества Е Е к (см. Девлин
[1], а также теорему 11.2 гл. 5).
Фактически мы будем использовать следующее утвержде-
ние, которое без труда выводится из	с помощью подхо-
дящей кодировки:
(•) Существует такая последовательность ((За, Та}: ае£)
пар множеств 5а, Га = а, что для любых X, У = х множе-
ство {a <= Е: X П а = S„ и Y Л а = Га} стационарно в к.
§ 2 КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ. ИСТИННЫЕ В L
229
Теперь сформулируем и докажем следующую теорему:
2.9.	Теорема. Пусть кардинал х > со регулярен и множе-
ство Е^и таково, что выполняются £(х) и QK(E). Тогда су-
ществует топология т на множестве Е, являющаяся:
(i)	локально счетной;
(ii)	локально компактной и хаусдорфовой;
(iii)	нормальной,
и в смысле которой
(iv)	каждое подпространство пространства Е, имеющее
мощность < х, метризуемо, но само Е не метризуемо.
Доказательство. Для построения искомой топологии
мы индукцией по определим топологию та на множе-
стве Е П а. (Имейте в виду, что каждый ординал a е Е является
<о-предельным!) Предположим, что а^Е и для каждого
Р е £П а и каждого у е Е Q р уже определена топология тр на
множестве EQP, а также определена убывающая последова-
тельность {Ип(у): пеш} (не зависящая от Р) так, что выпол-
няются следующие условия:
(1)	топология тр является метризуемой;
(2)	семейство {Vn(y): new} образует базу окрестностей
для у в пространстве <ЕПР>
(3)	каждое множество Vn(y) счетно, компактно и открыто
в пространстве <Е П Р, тр>;
(4)	последовательность ординалов уп = min V„(y) сходится
к ординалу у в смысле обычной топологии на ординалах.
Рассмотрим два случая. Пусть сначала ординал а не имеет
непосредственного предшественника в множестве Е. Тогда ни-
каких новых множеств Vn(у) определять не нужно, а в качестве
та возьмем топологию на Е Л а, порожденную семейством
U {тр: p^EQa}. Отметим, что в силу (2) при у<Р<а про-
странство <ЕЛ?» ty> будет открытым подпространством в
<Е П Р, тр> и, следовательно, будет открытым в <Е Л а, та>. По-
этому условия (2), (3), (4) автоматически переносятся на а.
Осталось проверить метризуемость топологии та. Положим
<x*==U(£Aa) и выберем некоторое замкнутое неограниченное
в а* множество С а* такое, что С(]Е = 0 (такой выбор воз?
можен, так как пересечение ЕЛ« — ЕЛ а* не является стацио-
нарным в а* в силу выбора Е). Разность а* — С можно пред-
ставить в виде объединения попарно непересекающихся макси-
мальных открытых интервалов:
a*-C=U{(<XbP/): 1^Г},
где (Xi, piС, Мы утверждаем, что для каждого множе-
ство (а/, р/)ЛЕ открыто в пространстве <Ef|a, та>. В самом
деле, если уеЕП(«б РО» то, согласно (4), найдется такое
песо, что Vrt(y)s(az, у] ^(az, РО- Но тогда <Е Л а, та> ока-
230
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
зывается топологической суммой своих подпространств Е П
П(«/, £Э, каждое из которых метризуемо в силу (1). Следова-
тельно, пространство <2? П а, та> метризуемо.
Рассмотрим теперь случай, когда £ является непосредствен-
ным предшественником ординала а в множестве Е. Сначала мы
должны определить множества Vn(£), которые образуют базу
окрестностей точки £ в пространстве <Z? П ос, та>. (Заметим, что
Е f) а = (Е П £)U {£}•) Придется рассмотреть два подслучая.
Подслучай a: U(£A£) = £ и Sp, Гр являются непересекаю-
щимися неограниченными подмножествами множества Е П £.
Зафиксируем два множества А = {оп: п е со} Sp и В =
= {рп: пе<о}^Гр, каждое из которых неограничено в £, и
оп < (Ул+ь рп < рл+ь Тогда А и В, очевидно, образуют замкну-
тые дискретные подмножества (метризуемого) пространства
<2? П £, тр>. Значит, можно построить систему попарно непере-
секающихся окрестностей Vk (<rrt) и Vt (prt) точек оп и рп мно-
жества Л U В- При этом с помощью (4) можно добиться выпол-
нения для каждого и 1 следующих неравенств:
°п-1< min	и р„_, <minV/n(p„).
Теперь определим искомые окрестности Vm(p) следующим об-
разом:
(Р) - и {V,n (о,) и	(р„): п > т) и «ч.
Ясно, что каждое множество Vm(£) счетно, а пересечение
У™(£)П(£П£) открыто в тр. Следовательно, мы в самом деле
получим топологию та на множестве Е П а = (Е Q £)U {£}, если
возьмем семейство множеств V™(£) в качестве базы окрестно-
стей точки £. Компактность каждой окрестности Vm(£) в та вы-
водится из индуктивного предположения аналогично доказа-
тельству теоремы 2.2. Кроме того,
Pm = min Vm (Р) > min {от-ь Pm-i}
для каждого т > 0. Значит, £ш->£, откуда следуют условия
(2) — (4) для а. Наконец, метризуемость топологии та следует
из того, что эта топология удовлетворяет первой аксиоме счет-
ности и регулярна (будучи локально компактной и хаусдорфо-
вой), а выбросив из 2?Па одну точку, именно £, мы получим
метризуемое подпространство, именно <£ П £, тр> (более под-
робно см. X а й н а л и Ю х а с [4]).
Подслучай б: когда подслучай а не имеет места. Здесь мы
просто добавим £ в качестве изолированной точки и положим
Ул(£)= {£} для всех п е со. Проверка условий (1)—(4) три-
виальна.
§ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ, ИСТИННЫЕ В L
231
Итак, топология та на множестве Е f| а определена для каж-
дого а < х. Возьмем семейство U {тв: а g Е} в качестве базы
для топологии т на множестве Е. Ясно, что топология т будет
удовлетворять требованиям (i) и (ii). Кроме того, каждое под-
пространство мощности < х пространства <£, т> является под-
пространством некоторого <£ П а, та> и, следовательно, метри-
зуемо.
Проверим нормальность. Пусть непересекающиеся множе-
ства Я, К^Е замкнуты в смысле т. Если оба этих множества
ограничены в £, то они содержатся в одном и том же открытом
метризуемом подпространстве вида <£f]a, ?а> и поэтому три-
виальным образом отделимы. С другой стороны, оба этих мно-
жества не могут быть неограниченными одновременно, так как
в противном случае множество
Я'ПГГКреЕ: ЯПР = $3 и =
было бы непустым в силу (*) (здесь, как обычно, FT и К' яв-
ляются совокупностями всех предельных в обычном смысле
точек множеств Н и К соответственно), а по построению каж-
дый такой ординал £ принадлежит т-замыканию любого из мно-
жеств Н и К.
Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда одно из
множеств, скажем Я, ограничено, а другое, соответственно К,
неограничено в Е. Выберем он-предельный ординал v < х та-
кой, что Н v. Пусть а есть наименьший элемент разности
Е — v. Тогда v < а и E(]v =Е(]а^ Н. Значит, Н и К П а яв-
ляются непересекающимися замкнутыми множествами в
<Е ПТаХ Поэтому их можно отделить та-открытыми и тем
самым т-открытыми множествами U и V. С другой стороны,
для любого Ре К — а мы имеем v < р. Значит, можно выбрать
k$ е (о так, чтобы Vk$ (Р) Е—v. Теперь открытые множества U и
VU(U{V\(p): Ре К -а}),
очевидно, отделяют Н и К, и таким образом доказано (iii).
Наконец, мы утверждаем, что множество J = {а е Е: а, не
изолировано в <£, т>} является стационарным в т. Действи-
тельно, по построению для любых непересекающихся неограни-
ченных множеств S, Т Е выполняется
S П а = 5tt А Г f] а = Га}.
Значит, J включает подмножество, которое стационарно в
силу (♦).
Доказав стационарность множества J, мы докажем, что
<£, т> не является даже метакомпактным и тем более не яв-
ляется метризуемым. В самом деле, семейство {£(](« + 1):
232
ГЛ. 7 РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
а е Е} образует открытое покрытие в <£, т>, и, каково бы ни
было открытое измельчение 9 этого покрытия, для каждого
ае/ найдутся такие пе© и Ga е 9, что Vn(a)^Ga. Тогда
/(а) = min Vn(a) < а для каждого а, т. е. f есть регрессивная
функция, определенная на стационарном множестве J. Поэтому
по теореме 2.3 гл. 3 найдутся ординал ре£ и стационарное,
следовательно, имеющее мощность х множество S е J такие,
что f(a)=p для всех ае$. Но каждое Ga, очевидно, ограни-
чено в х, откуда следует
|{Ga: ае$}| = х,
а также
р€=П{ба: ae$}^0,
и поэтому 9 не будет точечно конечным. Таким образом, требо-
вание (iv) также удовлетворяется. Теорема доказана. □
В заключение укажем некоторые приложения деревьев Ку-
репы. Напомним (см. главу 4), что деревом Курепы называется
©i-дерево, все уровни которого счетны и которое имеет более
G)i ветвей, имеющих порядковый тип ©j. Например, если х > ©ь
то дерево Т — из формулировки принципа №(х) будет де-
ревом Курепы. В главе 4 (теоремы 4.4 и 5.7) показано, что
существование деревьев Курепы нельзя ни доказать, ни опро-
вергнуть средствами обычных аксиом теории множеств.
К. Кюнен указал следующее приложение деревьев Курепы.
Предположим, что выполняется континуум-гипотеза СН, т. е.
2® = coi, но 2W1 > ©2. Хорошо известно, что каждое компактное
пространство счетного веса либо счетно, либо имеет мощность
2®, независимо от СН. Верно ли, что в нашей ситуации каждое
компактное пространство веса имеет либо мощность ^©ь
либо мощность в точности 2<°? Оказывается, что в рамках обыч-
ной теории множеств нельзя дать ни положительный, ни отри-
цательный ответ на этот вопрос. В одну сторону это справед-
ливо в силу следующей теоремы:
2.10.	Теорема. Предположим, что 2° = ©ь 2W1 > ©2 и де-
рево Курепы Т имеет в точности ©2 ветвей порядкового типа ©ь
Тогда существует компактное пространство мощности ©2 и
веса ©1.
Доказательство. Мы утверждаем, что подпространство
X пространства (D(2))r, состоящее из характеристических
функций всех связных цепей дерева Г, является искомым.
(Связной цепью мы называем такое линейно упорядоченное
порядком < дерева Т множество С s Г, что для всех / ® С и
s&T из s < t следует seC.) Поскольку свойство «не быть
связной цепью» всегда можно определить по двум элементам
дерева Т, то дополнение множества X в пространстве (D(2))r
ЛИТЕРАТУРА
233
открыто. Следовательно, само Л компактно. Мощность X равна
<02, так как в силу СН существует лишь coi ограниченных связ-
ных цепей в Г, а по условию теоремы существует ровно о)2 не-
ограниченных связных цепей (т. е. coi-ветвей) в Т. Наконец,
= тривиально, поскольку w((D(2))r) =» |Г| = (оь □
Наш последний результат дает ответ на вопрос, поставлен-
ный Р. Сикорским в 1950 г.: существует ли линделефово метри-
зуемое пространство мощности 2> coi (см. Сикорский [1],
с. 132)? В. Вейсс и автор недавно показали, что полный ответ
на этот (на самом деле очень естественный) вопрос дается с
помощью довольно странного дерева.
2.11.	Теорема. Существует линделефово ы\-метризуемое
пространство мощности > coi, если и только если существует
дерево Курепы, не содержащее поддеревьев, являющихся де-
ревьями Ароншайна.
Доказательство этой теоремы см. в работе Юхаса и Вейс-
са [1]. Отметим, что аксиома конструктивности V=L влечет
существование таких деревьев (результат Р. Йенсена, см. Дев-
лин [2]). С другой стороны, является непротиворечивым пред-
положение о том, что вообще нет деревьев Курепы (теорема 5.7
гл. 4).
ЛИТЕРАТУРА
Аартс, Лютцер (Aarts J. М., Lutzer D. J.)
1. Complemeness properties designed for recognizing Baire spaces. — Dls-
sertationes Math., 1974, 116.
Девлин (Devlin K. J.)
1. Aspects of Constructibility. — Berlin: Springer, 1973.
2. Order types, trees, and a problem of Erdos and Hajnal. — Period. Math.
Hungar., 1974, 5, p. 153—160.
Кюнен, To л л (Kunen K., Tall F. D.)
1. Between Martin’s axiom and Souslin’s hypothesis. — Fundam. math.,
1979, 102, № 3, p. 173—181.
M а л ы x и н В. И., Ш а п и p о в с к и й Б. E.
1. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств. — ДАН
СССР, 1973, 213, с. 532—535.
Мартин, Соловей (Martin D. A., Solovay R. М.)
1. Internal Cohen extensions. — Ann. Math. Logic, 1970, 2, p. 143—178.
Осташевский (Ostashewski A. J.)
1. On countably compact, perfectly normal spaces. — J. London Math. Soc.,
1976, 14, № 3, p. 505—516.
Рудин (Rudin M. E.)
1. Countable paracompactness and Souslin problem. — Canad. J. Math.,
1955, 7, p. 543—547.
2. Lectures on Set Theoretic Topology. — Providence, R. L, 1975.
Сикорский (Sikorski R.)
1.	Remarks on some topological spaces of high power. — Fundam. math.,
1950, 37, p. 125—136.
Стефенсон (Stephenson R. M.)
1.	Discrete subsets of perfectly normal spaces. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1972, 34, p. 605—608.
234
ГЛ. 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ
То л л (Tall F. D.)
1.	The countable chain condition vs. separability. — General Topology and
Appl., 1974, 4, p. 315—339.
Хайна л, Юх ас (Hajnal A., Juhasz I.)
1.	A consequence of Martin’s axiom. — Indag. Math., 1971, 33, p. 457—463.
2.	On hereditarily a-Lindelof and а-separable spaces. — Fundam. math.,
1974, 81, p. 147—158.
3.	A separable normal topological group need not be Lindelof. — General
Topology and Appl., 1976, 6, p. 199—205.
4.	On spaces in which every small subspace is metrizable. — Bull. Acad.
Polon. Sci., 1976, 24, № 9, p. 727—731.
X e x л e p (Hechler S.)
1.	On some weakly compact spaces and their products. — General Topology
and Appl., 1975, 5, № 2, p. 83—93.
Шапировский Б. E.
1.	Cardinal Functions in Topology. — Amsterdam: Mathematisch Centrum,
ДАН, 1972, 207, № 4, c. 800—803.
Ю x a c (Juhasz I.)
1.	Cardinal Functions in Topology. — Amsterdam: Mathematisch Centrum,
1971.
Ю x ас, Вейсс (Juhasz I., Weiss W.)
1.	On a problem of Sikorski. — Fundam. math., 1978, 100, № 3, p. 223—
227.
Юхас, Кюнен, Рудин (Juhasz I., Kunen K., Rudin M.)
1.	Two more hereditarily separable non-Lindelof spaces. — Canad. J. Math.,
1976, 28, № 5, p. 998—1005.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Т о л л (Tall F. D.)
1.	Set-theoretic consistency results and topological theorems concerning the
normal Moore space conjecture and related problems. — Rozprawy Math.,
1977, 148, p. 3—53.
Федорчук В. В.
1.	Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем
общей топологии с аксиомами теории множеств. — Матем. сб., 1976,
99, № 1, с. 3—33.
Юхас, Вейсс (Juhasz I., Weiss W.)
1.	Martin’s axiom and normality. — General Topology and Appl., 1978, 9,
№ 3, p. 263—274.
Дополнительная литература к этой главе любезно предоставлена
В. В. Федорчуком.
Г л а в a 8
ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ:
ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
Дональд А. Мартин
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .........................................................235
§ 1.	Основные понятия классической дескриптивной	теории множеств . .	237
§ 2.	Борелевские и проективные множества.........................239
§ 3.	Структурные свойства и свойства регулярности точечных	классов	248
§ 4.	Эффективная дескриптивная теория множеств...................253
§ 5.	Аксиома конструктивности и аксиомы больших	кардиналов	....	259
§ 6.	Аксиома проективной детерминированности.....................262
Литература .......................................................270
Введение
Эта глава посвящена как классической, так и эффективной
дескриптивной теории множеств, а главным образом теории
проективных множеств. Мы также остановимся на результатах
бурного развития этой области за последние десять — пятнад-
цать лет. В основе этого развития лежат некоторые сильные
теоретико-множественные предположения, например, аксиома
проективной детерминированности. Наш обзор был написан под
сильным влиянием работ, лекций и личных контактов с Я. Н. Мо-
сковакисом и А. С. Кекрисом.
Как известно, изучение произвольных множеств действитель-
ный чисел не привело к большим успехам. Например, не уда-
лось ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу Кантора,
утверждающую, что каждое множество действительных чисел
либо счетно, либо имеет мощность 2Н°, т. е. мощность множе-
ства всех действительных чисел. Знаменитые теоремы Гёделя
[2] и Коэна [1], [2] показывают, что средствами аксиомати-
ческой теории множеств Цермело — Френкеля ZFC (с аксиомой
выбора) невозможно ни доказать, ни опровергнуть континуум-
гипотезу. Более того, мы не знаем сколько-нибудь приемлемых
дополнительных аксиом, которые привели бы к определенному
решению континуум-гипотезы.
Ответы на другие вопросы о произвольных множествах, ко-
торые все же удается получить в теории множеств, часто ока-
236
ГЛ 8 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
зываются неудовлетворительными. Например, теорема Витали
утверждает существование неизмеримого по Лебегу множества
действительных чисел, но ее доказательство существенно ис-
пользует аксиому выбора и не приводит к конкретному примеру
неизмеримого множества. Оказывается, что все практически
используемые в математике множества действительных чисел
измеримы по Лебегу.
Дескриптивная теория множеств ограничивается рассмотре-
нием простых множеств действительных чисел: множеств про-
стой топологической структуры или множеств, определенных
некоторым простым способом. Можно указать три основных
преимущества такого подхода:
(1)	Многие вопросы, неразрешимые для произвольных мно-
жеств (например, континуум-гипотеза), оказываются разреши-
мыми для достаточно простых множеств.
(2)	Многие вопросы, имеющие неудовлетворительное реше-
ние для произвольных множеств, получают удовлетворительное
решение для достаточно простых множеств (измеримость).
(3)	Развивается интересная структурная теория простых
множеств — теория определимости.
Поясним (1) и (2) на следующем хорошо известном при-
мере. Наверное, первым результатом дескриптивной теории
множеств было утверждение о том, что каждое замкнутое мно-
жество действительных чисел либо счетно, либо имеет мощ-
ность 2*°. Таким образом, замкнутые множества не могут
служить контрпримерами к континуум-гипотезе. Этот пример
относится не только к (1), но и к (2). Полный вариант теоремы
Кантора — Бендиксона утверждает, что каждое замкнутое мно-
жество действительных чисел либо счетно, либо содержит со-
вершенное подмножество — непустое замкнутое подмножество
без изолированных точек. Не все множества действительных
чисел обладают этим приятным свойством.
Дескриптивная теория множеств в ее современном виде воз-
никла из двух независимых источников. Первый из них — это
классический геометрический подход, начатый работами Бо-
реля, Бэра и Лебега и превращенный в стройную теорию Сус-
линым, Лузиным, Александровым, Новиковым, Серпинским
и другими. Другой подход, основанный на теории рекурсив-
ных функций, появился позже; хотя и совершенно незави-
симо, в работах Клини и других логиков. Слияние этих двух
источников произошло, по-видимому, только в работах Адди-
сона [1] и [2].
В §§ 1—3 этой главы изложены основные понятия классиче-
ской теории. В § 4 рассмотрена эффективная теория Клини.
В §§ 5 и 6 речь идет о неразрешимых средствами аксиом тео-
§ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
237
рии ZFC вопросах дескриптивной теории множеств. Мы пока-
зываем, как некоторые дополнительные аксиомы теории мно-
жеств позволяют дать ответ на такие вопросы.
§ 1. Основные понятия классической
дескриптивной теории множеств
Хотя в конечном счете нас интересуют именно действитель-
ные числа, действительная прямая не будет основным простран-
ством нашей теории.
Одной из причин этого является то, что вся теория приме-
нима к многим пространствам, помимо действительной прямой.
В сущности, она применима к любому полному сепарабельному
метрическому пространству без изолированных точек, т. е. со-
вершенному польскому пространству. Поэтому можно было бы
развивать нашу теорию для произвольных совершенных поль-
ских пространств, как это делает, например, Москова-
к и с [4].
Мы, однако, предпочитаем иметь дело с одним конкретным
польским пространством. Использование в этой роли действи-
тельной прямой несколько неудобно по техническим причинам.
Вместо нее мы рассмотрим пространство Бэра ш®, которое бу-
дем обозначать через /.
1.1. Определение. <о есть множество всех натуральных
чисел. / есть совокупность всех функций а: со -> со. Мы наделяем
о) дискретной топологией, а / — топологией произведения, рас-
сматривая / как произведение бесконечного числа экземпля-
ров (0.
Базой для этой топологии на 1 служит совокупность всех
множеств следующего вида:
{а: а f п = о},
где п — натуральное число, а является конечной последователь-
ностью натуральных чисел длины и, a a t п обозначает после-
довательность <а(0), а (1), ..., а (и—1)>.
Пространство / гомеоморфно пространству всех иррацио-
нальных чисел с топологией, которая индуцирована обычной то-
пологией действительной прямой.
Несмотря на то, что наша теория будет развиваться для /,
почти все определения и теоремы в равной степени относятся
к любому совершенному польскому пространству. (Мы будем
отмечать все места, где это не так; однако, как правило, мы не
будем указывать те доказательства, которые учитывают специ-
фику пространства / и не проходят для произвольного про-
странства.) Большинство теорем, доказанных для /, можно пе-
ренести на произвольное совершенное польское пространство в
238
ГЛ 8 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
силу того, что любые два совершенных польских пространства
«борелевски изоморфны». К совершенным польским простран-
ствам, помимо /, относятся в частности:
(а)	действительная прямая,
(б)	канторов дисконтинуум, который в сущности является
множеством 2W всех функций а: со—>-2 с топологией, индуциро-
ванной включением 20) <==/.
Пространство / гомеоморфно своему квадрату. Для каждого
ае/ определим ао(п) = а(2/г) и ai(n) = a(2n + 1). Отобра-
жение [(а) = <ао, ai> будет гомеоморфизмом I на Р. Все важ-
ные свойства множеств, изучаемые в классической и эффектив-
ной дескриптивной теории множеств, сохраняются при этом
отображении. Таким образом, понятие размерности не играет
никакой роли в дескриптивной теории множеств. Как правило,
мы будем формулировать и доказывать теоремы только для
пространства /, но с помощью указанного гомеоморфизма их
можно перенести на любое пространство вида In, То же
касается и определений. Конечно, любая биекция между дей-
ствительной прямой и плоскостью не может иметь такого про-
стого определения (и уж никак не может быть гомеоморфиз-
мом). Это обстоятельство является одной из главных причин,
почему мы не берем действительную прямую в качестве основ-
ного пространства нашей теории.
1.2.	Определение. Следуя Московакису, всякое подмно-
жество любого из пространств /, /2, /3, ... назовем точечным
множеством.
Дескриптивная теория множеств организует точечные мно-
жества в специальные классы. Дадим следующее определение,
несколько отклоняющееся от терминологии Московакиса.
1.3.	Определение. Пусть f: I на /2 есть определенный
выше гомеоморфизм. Если 1 п, то введем гомеоморфизм
//: Г на /rt+l следующим равенством:
f" (<«Р «2...%)) = <«!> “2...“/-Р (“/)<» (а/)1- «/ + 1.«„),
где f (а,) = <(а,)0) (а;),>.
Совокупность Г точечных множеств назовем точечным клас-
сом, если для всех /, п, А, удовлетворяющих условиям 1 j п
и А s 1п, выполняется эквивалентность
Л е Г<-> f*”A е Г.
Таким образом, каждый точечный класс Г вполне определен
своим «одномерным» подклассом {Л: АеГ и	Если бы
мы использовали действительные числа вместо пространства /,
то было бы невозможно последовательно проводить такую не-
зависимость от размерности. Все же большинство наших по-
§ 2 БОРЕЛЕВСКИЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
239
следующих определений конкретных точечных классов имеет
смысл и для действительных чисел, а практически все теоремы
остаются справедливыми для соответствующих «точечных клас-
сов» подмножеств конечных степеней действительной прямой.
1.4.	Определение. Для каждого точечного множества
положим А = 1п — Л. Для каждого точечного класса Г
определим дуальный, или двойственный, класс Г следующей
эквивалентностью:
ДеГч->ЛеГ.
Если Г совпадает с классом Г, то Г назовем самодвойственным.
Например, если Г есть класс всех открытых множеств, то
Г будет классом всех замкнутых множеств, и наоборот. В этом
случае класс Г не является самодвойственным. Если же Г есть
класс всех открыто-замкнутых множеств, то Г = Г. (Отметим,
что определенные выше базисные открытые подмножества про-
странства I будут открыто-замкнутыми.)
§ 2.	Борелевские и проективные множества
Мы собираемся изучать свойства простых (или определи-
мых) точечных множеств. Однако мы не будем при этом рас-
сматривать общее понятие определимого (например, ординально
определимого относительно некоторого действительного числа)
множества, которое кажется слишком сложным, чтобы быть
плодотворным применительно к точечным множествам. Ко-
нечно, одной из задач дескриптивной теории множеств является
получение одних свойств определимых точечных множеств из
других свойств таких множеств. Однако в основном мы будем
интересоваться лишь множествами, определимыми в некото-
ром специальном смысле. Классическая дескриптивная теория
множеств имеет дело с множествами, которые получаются из
открытых множеств с помощью некоторых специальных про-
стых операций. Обычно рассматривают следующие две группы
этих операций:
(а)	операции булевой алгебры множеств одной размерно-
сти,
(б)	проекция.
Сначала мы ограничимся только операциями группы (а).
2.1.	Определение. Точечное множество А^1п называ-
ется борелевским, если оно принадлежит о-алгебре, порожден-
ной открытыми подмножествами пространства 1п.
Иными словами, борелевские подмножества пространства 1п
образуют наименьший класс Г, содержащий все открытые в 1п
240
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
множества, и такой, что
А е Г -> А е Г,
у/е:а)(ЛеЕ Г)-> U АеГ.
i е 0)
Ясно, что класс всех борелевских подмножеств всех пространств
вида 1п является точечным классом, причем самодвойственным.
Борелевские множества можно организовать в иерархию
следующим образом.
2.2.	Определение. Для каждого счетного ординала р>0
индукцией по р определим классы 2р, Пр точечных подмно-
жеств фиксированного пространства 1п:
А е S? <-> Д открыто, Л ее Пр А е Sp,
Л е Sj найдутся множества Ло, Alt ... такие, что ка-
ждое At е № для некоторого ординала р, < р и А = U At
(предполагается р > 1).
Положим также
Каждый из классов 2$, Пр, Др является точечным классом.
Нетрудно проверить, что объединение U S® есть в точности
0<0<©t
класс всех борелевских множеств.
Эта система обозначений принадлежит школе Клини. В клас-
сической терминологии Sp образует аддитивный класс р, Пр обра-
зует мультипликативный класс р, Др — двусторонний класс р.
Также полезно иметь в виду, что S2 = /7o, Пг = Сб, 2з = 6ба
и т. п.
2.3.	Теорема. Классы Sp, П^ и Др замкнуты относитель-
но конечных объединений, конечных пересечений и непрерывных
прообразов.
Класс Г называется замкнутым относительно непрерывных
прообразов, если для любого непрерывного отображения f: 1п-+
-+Im и любого множества ЛеГ, А /т. будет	Г. До-
казательство теоремы тривиально. □
2.4.	Определение. Множество U^I2 называется уни-
версальным для точечного класса Г, если Уе Г и совокупность
всех множеств вида
(0: (a, p)e=t/}
в точности совпадает с совокупностью всех подмножеств про-
странства /, принадлежащих классу Г.
Многие важные несамодвойственные точечные классы содер-
жат универсальное множество,
§ 2. БОРЕЛЕВСКИЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
241
2.5.	Теорема (Лебег [1]). Пусть 1 р < <оь Тогда най-
дется множество U, универсальное для класса Sp.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай р = 1.
Пусть Во, Вь ... есть база для открытых в / множеств. По-
ложим
(а, 0> G= U <-> Зм (0 е= Ва (rt)).
Нетрудно проверить, что U является искомым универсальным
множеством.
Пусть теперь р > 1 и для каждого v < р уже построено
универсальное для класса Sy множество Uv. Возьмем такую
функцию g:	l^v<p}, что каждый прообраз g“l(v)
бесконечен. Положим
<а, 0)G=f/«->3/((ab 0>^[/g(n),
где а/(м) = а(р"+1), а р, есть Z+ 1-е простое число. Функции ht,
заданные равенством ЛД(а, 0)) = (аь 0), непрерывны. Поскольку
классы П° замкнуты относительно непрерывных прообразов,
то каждое множество {(а, 0): (аь 0) Ug ({)} принадлежит классу
П°,ц). Следовательно, U е Sp. Для доказательства универсаль-
ности множества U достаточно заметить, что I2 принадлежит
SO	
у. □
2.6.	Следствие. Пусть 1 р < coi. Тогда найдется мно-
жество U, универсальное для класса Пр.
2.7.	Замечание. Свойство «иметь универсальное множе-
ство», как и многие другие свойства, выполняется для точечного
класса Г, если и только если оно выполняется для дуального
класса Г.
Теперь мы уже можем доказать теорему об иерархии для
So
р.
2.8.	Теорема. Пусть l^v<p<<o1. Тогда Ду 5	$ Ар-
Доказательство. Ay^Sy выполняется по определению.
Проверка Sy g: Ду составляет основную часть доказательства.
Введем множество А I эквивалентностью
а е Л а) е [/,
где множество U универсально для рассматриваемого класса Sy.
Тогда А е Sy, так как класс Sy замкнут относительно непре-
рывных прообразов. Предположим, что А е Ду. Тогда А е Пу.
В силу выбора множества U найдется такое ае/, что
0еЛ<->(а, 0)^С/.
Но тогда
(а, а) es U а э А (а, а} & U — противоречие.
242
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Далее, Si S2, поскольку каждое открытое множество яв-
ляется счетным объединением замкнутых множеств (именно,
базисных открытых множеств). Если l<v^p, то по опреде-
лению S^Sp. Если l<v<p и АеП$, то А = U А;, где
i to
каждое Л/ совпадает с Л. Значит, Пу s S°, и поэтому S° Пр.
Таким образом, мы доказали S° Др при l^v<p. Наконец,
если 1 v < р, то.S®у= Др, так как Sy $ Пу Др. □
Рассмотрим теперь вторую основную операцию дескриптив-
ной теории множеств — операцию проекции.
2.9.	Определение. Проекцией множества А^1п+Х назо-
вем множество
{(aj, ..., a„): BpKcq, ..., ап, 0) е= Л)}.
Таким образом, проекция множества Л является подмноже-
ством пространства 1п. Если бы мы хотели избежать рассмотре-
ния пространств 1п с различными и, то операцию проекции
можно было бы заменить операцией непрерывного образа. Сле-
дующее определение было введено Лузиным [2] и (по-види-
мому, независимо) Серпинским [1].
2.10.	Определение. Класс проективных множеств есть
замыкание класса открытых множеств относительно операций
проекции и дополнения.
Проективные множества образуют точечный класс, замкну-
тый относительно конечных объединений и пересечений мно-
жеств одинаковой размерности, но не относительно счетных
объединений и пересечений. Подобно классу борелевских мно-
жеств, этот класс можно организовать в иерархию следующим
образом.
2.11.	Определение. Индукцией для каждого песо опре-
делим:
Sj = S? —класс всех открытых множеств,
n‘=si,
Л е S^i ЗВ Пд (Л есть проекция множества В),
2.12.	Замечание. Если мы хотим рассматривать действи-
тельную прямую или дисконтинуум 2й, то в определениях класса
проективных множеств и класса So нужно S? заменить на класс 2°.
В классической дескриптивной теории множеств множества
класса S| назывались ^-множествами, множества класса
П{ — СК-множествами\ множества классов S2 и называ-
§ 2 БОРЕЛЕВСКИЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
243
лись соответственно А2-множествами (или РСА-множествами)
и СА2-множествами (или СРСА-множествами) и т. д.
Каждый из классов П„, является точечным классом.
Нетрудно показать, что класс всех проективных множеств есть
объединение (J
п е со
2.13.	Теорема. Классы П^, Д^ замкнуты относитель-
но конечных объединений, конечных пересечений и непрерывных
прообразов.
Аналогично случаю борелевских множеств, справедлива тео-
рема об универсальном множестве и теорема об иерархии.
2.14.	Теор ем а (Лузин). Если п(=ы, то найдется множест-
во Un, универсальное для класса
Доказательство. Пусть множество U* <=, 1п+2 является
универсальным для класса 2? (в том смысле, что множества
вида
{<Р, Рь Рт>: Р, Рь Рт>е= £/*}
образуют класс всех открытых подмножеств пространства
Предположим для определенности, что п четно. Тогда мно-
жество
£7rt = {<«, Р>: 3ptVp2 ... ЗР^^РДСа, р, pt.prt)e=f/*)}
будет искомым. □
2.15.	Теорема. Д„ $ 2« $ Дп+ь
Доказательство аналогично доказательству теоре-
мы 2.8. □
Булевы алгебраические операции, порождающие класс бо-
релевских множеств, существенно отличаются по своему харак-
теру от операции проекции. Однако борелевская и проективная
иерархии оказываются тесно связанными между собой. Для
доказательства теоремы об этой связи проведем более деталь-
ный анализ П[-миожеств. Этот анализ будет полезным и для
других целей.
Пусть для определенности натуральное п четно. Тогда мно-
жество А I является П^-множеством (т. е. принадлежит клас-
су П^), если и только если найдется открытое множество
В s /'l+1 такое, что
aeX^Vp^P, ... Vprt«a, Рь Р„)^ В).
Следующая теорема вытекает из определения топологии про-
странства /.
2.1ft	. Теорема. Множество А^1 является М{п-множеством
при нечетном п (2„-множеством при четном п), если и только
244
ГЛ. 8 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
если найдется такое п+ \-арное отношение R, что:
а А <-> VP3P2 • • •	(а f tn, pt f azz, ..., Prt f tri\
(a A <-> BPi Vp2 ... VprtB/n/? (a f tn, Pj f tn, ..., Prt f tn)
соответственно), где pf/n обозначает последовательность
<P(0),...,p(/n-l)>.
Таким образом, для каждого П[-множества А найдется би-
нарное отношение R такое, что
а еЕ Л <-> VpB/n/? (a f tn, р f tn).
В этом случае для любого а е / определим
XaR = {Р f ап: Р €= / Л Vn < m п R (a f п, Р I1 и)}.
Пусть Seq есть совокупность всех конечных последовательно-
стей натуральных чисел, включающая последовательность О
длины 0.
2.17.	Определение. Введем частичный порядок на
множестве Seq следующим образом: о<^т, если а есть соб-
ственное продолжение последовательности т.
2.18.	Теорема. Пусть множество А и отношение R таковы,
как указано выше. Тогда справедлива следующая эквивалент-
ность:
а е А •*-> отношение является фундированным на множе-
стве XaRl
т. е. не существует убывающих в смысле отношения -< беско-
нечных последовательностей элементов множества X^r-
Доказательство. Бесконечная убывающая последова-
тельность элементов множества Хая автоматически порождает
такую функцию ре/, что Уаи И R (a f аи, р f ш).
2.19.	Определение. Пусть отношение < фундировано на
некотором множестве X. Индукцией по хеХ определим для
каждого хеХ ординал [х^ следующим образом:
|x|< = sup(| 1/^4-1).
у<х
Длиной отношения < назовем ординал
sup (1x^4-1).
хеХ
Теперь мы уже достаточно подготовлены для того, чтобы
доказать следующую теорему, которая является одной из цент-
ральных теорем дескриптивной теории множеств.
2.20.	Теорема Суслина. Класс совпадает с классом
всех борелевских множеств.
§ 2 БОРЕЛЕВСКИЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
245
Доказательство. По теореме 2.15 2? = 2^А}. Следо-
вательно, каждое открытое множество является Армноже-
ством. Докажем, что класс А} замкнут относительно счетных
объединений и дополнений. Случай дополнений тривиален.
Пусть А = U Ah где каждое At есть Армножество. Поскольку
каждое At автоматически будет 21-множеством, то найдется
замкнутое множество Bt /2 такое, что
а е At Эр «а, р) е В^.
Таким образом,
а е А <-> Э/ЭР «а, р) €= BJ «-> ЭР «а, р') <= Вр (0)),
где Р' е I определено равенством Р (п + 1) = Р' (п). Отметим,
что каждое множество {(а, р): (а, р')е В^и)} замкнуто. Поэтому
А является 2рмножеством.
С другой стороны, каждое А{ принадлежит классу Пь
Значит, найдется открытое множество Bz / такое, что
а е VP «а, р) е Bi).
Но тогда
а е А BiXffi «а, р) е= Bt) VPB/ «а, (Ph) е BJ,
где (P)i(n) = P(p^+1), a есть z’+l-e простое число. (Третье
утверждение, очевидно, следует из второго, а если V/3P/((a, pf)0
BJ, то возьмем Ре/ такое, что (Ph=Po и получим
V/ ((a, (Ph) 0 В^.) Но множество
{<«. р>: 3» «а, (р),> <= Вг)}
открыто. Следовательно, А есть П'-множество и Д’-множество.
Таким образом, мы доказали, что каждое борелевское множе-
ство принадлежит классу Д’.
Рассмотрим произвольное nJ-множество A =I. По тео-
реме 2.16 найдется такое отношение R, что
а е А *-* VpBmT? (a 1 т, 0 f tn).
В силу теоремы 2.18 имеет место эквивалентность
а е А ♦-»> отношение -< фундировано на множестве XaR.
2.21.	Лемма. Предположим, что Зр<®( УаеЛ (отноше-
ние < f XaR имеет длину ^р). Тогда множество А борелевское.
Доказательство. Для каждого ст е XaR положим | ст |а =
= |стГ<?ЛоЛ. Индукцией по р < ®i докажем, что при любом
a е Seq множество
{а: а ф XaR или | а 1а р}
246
ГЛ 8 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
является борелевским. Если р = 0, то
{а: а ф XaR или | а U = 0} = Q {а: т ф XaR},
а последнее множество замкнуто, так как всякое {а:
открыто-замкнуто.
Если же р > 0, то
{a: <3&XaR или |а|а<р} = П U {а: tf£XaR или
т<а v<p
Теперь лемма очевидна, так как по условию
Л = {а: < f XaR есть фундированное отношение длины р}
= П и (а: (УфХаК ИЛИ I (Т la^v}‘
a^Seq v<p
Продолжаем доказательство теоремы Суслина. Пусть мно-
жество Asl принадлежит классу Д'; докажем, что А борелев-
ское. Рассмотрим отношения R и S такие, что
as Л V03n/?(a ( п, 0 f п),
as Л -<—► VySnS(a f п, у п).
Пусть Y есть совокупность всех троек <а f п, 0 f п, у f п) таких,
что
0 f п 6= XaR А у t п е= XaS.
(Заметим, что это условие зависит лишь от конечной части
а Г п функции а е /.) Упорядочим множество Y следующим
образом:
<a( t п, 0, t п, у J п) < <а21* п, 0г ( п, у2п)
«-*a1fn<a2|lnA0i|'n<02|'nAYi|'nKY2|'n.
Отношение -< фундировано на Y, поскольку бесконечная убы-
вающая последовательность троек из Y привела бы к существо-
ванию такой тройки <а, 0, у> е /3, что
Vn "1 /? (а I1 п, 0 f п) Л Vn ”| S (a f п, 0 ( п),
т. е. а ф. A U А.
Длину отношения -< на Y обозначим через р. Пусть a <= А.
Возьмем ys/ такое, что Vn “1S (a f n, у f n), и определим
f(0f tt) = <afn, 0(n, yfn}.
Тогда f отображает множество XaR на Y взаимно однозначно
и с сохранением порядка Следовательно, длина отношения
-< f XaR не превосходит р, и множество А является борелев-
ским согласно лемме 2.21. □
Доказательство следующей теоремы является тривиальным
обобщением первой части доказательства теоремы Суслина.
§ 2. БОРЕЛЕВСКИЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
247
2.22.	Теорема. Классы и Нд замкнуты относительно
счетных объединений и пересечений при п 1.
В некоторых результатах, связывающих проективные мно-
жества с действием булевых алгебраических операций на от-
крытые множества, фигурируют несчетные объединения.
2.23.	Теорема (Серпинский [1]). Каждое ^-множество
является объединением борелевских множеств.
Доказательство (эскиз). Доказательство теоремы Сус-
лина показывает, что каждое Прмножество Л £ / является
объединением Ki борелевских множеств:
А = U {«: К I1 Хая является фундированным
Р<(0|	.
отношением длины ^р}.
2.24.	Лемма. Каждое ^{-множество А является объедине-
нием Hi борелевских множеств.
Доказательство. Пусть Л = {а: B0Vn/?(а f п, 0 f п)}.
Упорядочим пространство / лексикографически: 01 < 02, если
наименьшее п такое, что 0i (fl) =#= 02 (fl), удовлетворяет неравен-
ству ₽i(n) < 02(fl). Нетрудно проверить, что для каждого
аеЛ найдется наименьшее 0 = 0а такое, что Vn/?(a f n, 0 f n).
Теперь для всякого a А положим
Za = {Y f и: Y < Pa A Y f fl#=0a f fl A Vflz < fl/? (a f га, у f m)}.
Ясно, что отношение фундировано на Za. Для каждого
р < (01 определим множество
Лр = {а: аеЛ и -< } Za имеет длину ^р).
Очевидно, Л= U Ар. Кроме того, каждое множество Лр яв-
Р<(01
ляется борелевским (доказательство этого факта аналогично
доказательству леммы 2.21). Лемма доказана. □
Продолжаем доказательство теоремы. Рассмотрим произ-
вольное Ег-множество А е 1. В силу теоремы 2.16 найдется
отношение R, удовлетворяющее следующей эквивалентности:
а е А *-»• 3pVy3n/? (a ) п, 6 I1 п, у I1 п).
Таким образом,
ае Л -«-► Эр (отношение < f ХарЛ фундировано),
где Харя определяется совершенно аналогично множеству Хац-
Тогда
ае Л *->Эр < <»I3p « f ХарЛ фундировано и имеет длину р)
*•* Эр < <0j3p3f (f:	сохраняет порядок).
248
ГЛ 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
С помощью свертывания р и f в одну функцию у: (о->со не-
трудно проверить, что множество
{a: 303/(f: Xa$R-+p /\ f сохраняет порядок)}
является Si-множеством, каково бы ни было р < Следова-
тельно, наше множество А является объединением Si 2}-мно-
жеств. Теперь теорема следует из леммы 2.24. □
Известно, что средствами теории ZFC нельзя ни доказать,
ни опровергнуть обращение теоремы 2.23, т. е. утверждение
о том, что каждое объединение Si борелевских множеств явля-
ется ^-множеством.
§ 3.	Структурные свойства и свойства регулярности
точечных классов
Все изложенные до сих пор свойства классов и Бр яв-
ляются одновременно и свойствами дуальных классов и Пр.
(Исключение составляет лишь теорема 2.23.) Но для других,
более глубоких структурных свойств такая дуальность не имеет
места. Есть также несколько свойств, для которых дуальность
не имеет места по тривиальным соображениям. Например,
класс 2° замкнут относительно счетных объединений, а П°
не обладает этим свойством. Можно сформулировать следую-
щий фундаментальный эмпирический принцип дескриптивной
теории множеств:
Имеется список & интересных структурных свойств точечных
классов такой, что если Г есть интересный не самодвойственный
точечный класс, то каждое свойство из списка Ф присуще либо
Г, либо Г, но не обоим этим классам одновременно.
Доказательство невозможности наличия у обоих классов Г
и Г конкретного свойства из списка & обычно довольно не-
сложно и использует некоторый общий принцип, а вот про-
верка рассматриваемого свойства у одного из классов Г и Г
представляет, как правило, определенные трудности. В ряде
случаев эти трудности не удается преодолеть, оставаясь на
базе аксиом ZFC.
3.1.	Определение. Пусть Г есть точечный класс. Прин-
цип редукции для класса Г, кратко V-редукция, формулируется
следующим образом:
Для любого z: > 1 и любых множеств Л, ВеГ таких, что
А, В<=:1п, найдутся непересекающиеся множества А', В' еГ,
удовлетворяющие следующим соотношениям:
А'<^А, В'^В, А'[)В' = А[)В
§ 3. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА
249
(рис. 9). Покажем, что при определенных условиях классы Г
и Г не могут одновременно иметь свойство редукции.
3.2.	Теорема. Пусть точечный класс Г имеет универсаль-
ное множество и замкнут относительно непрерывных прообра-
зов. Тогда по крайней мере один из классов Г и Г не обладает
свойством редукции.
Доказательство. Рассмотрим универсальное для клас-
са Г множество U. Пусть а»—»<<хо, ои> есть канонический го-
меоморфизм / на I2. Определим
множества	Л g
А = {{а, р): (оо, р) <= U} и	/
В = {(а, Р): <аь р) g= U}.	/
Если имеет место Т-редукция, то
пусть непересекающиеся принадле-
жащие классу Г множества Л' А
и В'<=, В таковы, что Л'U В'=Л U В.	рИс. 9.
Если имеет место Г-редукция, то
пусть непересекающиеся принадлежащие кл_ассу_Г множества
Л* s Лх и В* В' таковы, что Л* U В* = A' U В'. Ясно, что
Л* = В* откуда Л* е Г П Г. Для каждого а е I нетрудно про-
верить, что если множество {Р: <ао, Р> е U} является дополне-
нием множества {Р: <ои, р> е U}, то <а, р> е Л* <-> <а, р> еЛ
и <а, р> В* *-> <а, р> е В. Следовательно, каждое множество
Се ГПГ, Се/, имеет вид {р: <а, р> е Л*}.
Пусть С = {а: <а,а>еЛ*}. Имеем СеГПГ*, так как
класс Г замкнут относительно непрерывных прообразов. Зна-
чит, для некоторого а выполняется равенство С = {Р: <а, р> ф
^Л*}. Таким образом,
(а, а) е Л* а е С <-> (а, а) ф Л*
— противоречие. □
Следующий принцип представляет собой усиление принципа
редукции.
3.3.	Определение. Пусть Г есть точечный класс. Прин-
цип (полного) предупорядочения для класса Г, кратко Т-чгред-
упорядочение, формулируется следующим образом:
Для каждого множества ЛеГ найдутся: функция F: Л->
->On (On — класс всех ординалов) и множества /?, S е Г та-
кие, что при любом р €5 Л выполняются следующие эквива-
лентности:
а е= Л Д F (а) < F (р) «-> (а, р) е= /?,
аеЛ АВ(а)<В(Р)^><а, p)eS.
250
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
3.4.	Теорема. Пусть точечный класс Г замкнут относи-
тельно конечных объединений, конечных пересечений и непре-
рывных прообразов. Тогда из Y-предупорядочения следует Г-ре-
дукция.
Доказательство. Пусть 4, В е Г. Положим
Ci = «a,P>: а(0) = 0ЛИЛ},
С2 = «а,Р>: а(0)=1 Л0^В}.
Рассмотрим множество С = Ct J С2. По условию теоремы,
С е Г. Возьмем функцию F: С -> On и множества /?, S, суще-
ствование которых обеспечивается принципом предупорядочения
для Г. Пусть
Л' = {0е=4: Г(0, 0) <Г(1, 0)} = {0е= А: «1, 0), (0, 0» S};
В' = {0еЛ: F(1,0)<F(O,0)} = {0g=4: «0, 0>, <1,0» <£/?},
где 0, 1е/ — функции, тождественно принимающие значения
0 и 1 соответственно. Переходя к дополнениям множеств /? и S
и используя свойства замкнутости класса Г, нетрудно показать,
что множества А' и В' принадлежат классу Г. Кроме того,
легко видеть, что А' и В' обеспечивают редукцию для мно-
жеств А и В. □
Принцип предупорядочения влечет ряд других интересных
структурных свойств, кроме свойства редукции.
3.5.	Теорема. Если 1 р < то имеет место ^-предупо-
рядочение.
Доказательство. Рассмотрим произвольное ^-множе-
ство А s I. Имеем 4=0^, где каждое 4f есть Ар-множество.
i €= (О
Не ограничивая общности, можно предполагать, что At 4/
для всех i < j. Если ае4, то через F (а) обозначим наимень-
шее натуральное i такое, что ае 4Z. Для каждого 0е4 спра-
ведливы следующие эквивалентности:
а е4 Л F (а) < F (0)	(0 ф 40 Л V/ (0	4/+1 -> а е= 4J);
ае4 Л F (а)< F (0) *-> V/ (0 4^ае 4J.
Правые части этих эквивалентностей представляют собой
Пр-отношения. □
3.6.	Замечание. Если в качестве основного пространства
рассматривать действительную прямую, то доказанная теорема
не будет выполняться для класса St.
3.7.	Теорема. Имеет место Н\-предупорядочение.
Доказательство. Рассмотрим произвольное ^-множе-
ство 4 I. Пусть отношение R таково, что
а & 4 f XaR фундировано.
§ 3. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА
251
Через F(a) обозначим длину отношения < Тогда для
каждого 0 е А справедливы следующие эквивалентности:
а е А Д F (а) < F (0)	3f (f: XaR -> Л (о < т -> f (ст) < f (т))
Д пустая последовательность 0 не принадлежит области
всех значений функции f);
а <= А Д F (а)< F (0) ♦-* Bf (f: XaR -> X Д (ст < т -> f (а) < f (т))).
Для доказательства, к примеру, второй эквивалентности доста-
точно при F(a)s$F(0) определить f(o) индукцией по длине ст
так, чтобы |/(о) 10 = |о|а-
Наконец, с помощью какого-нибудь канонического взаимно
однозначного соответствия между натуральными числами и ко-
нечными последовательностями натуральных чисел можно по-
казать, что правые части записанных эквивалентностей выра-
жают Sj-отношения. (Функция f при таком соответствии мо-
жет быть представлена в виде функции из w в ю.) □
3.8.	Теорема (Московакис). Из Нп-пред упорядочения сле-
дует Ъп+гпредупорядочение.
Доказательство. Пусть 1 является 2п+гмножест-
вом. Тогда ае А *->30 «а, 0)е В) для некоторого П^-мно-
жества В.'Пусть функция F: В->Оп такова, как указано
в определении П^-предупорядочения. Для каждого аеД поло-
ЖИМ
G (а) = inf {В «а, у»: <а, у) е= В}.
Элементарные рассуждения показывают, что эта функция G
обеспечит Е1+1-предупорядочение для множества А. □
3.9.	Следствие. Имеет место Ъъ-предупорядочение.
3.10.	Замечание. Принцип предупорядочения впервые
был явно сформулирован, по-видимому, Московакисом, хотя
доказательство этого принципа для П[ является в определен-
ном смысле классическим результатом1 * * * У). Принцип редукции
для (следствие из 3.4 и 3.7) доказал Куратовский.
1) Имеется в виду замечательный принцип сравнения индексов, доказан-
ный Новиковым (Новиков П. С. Избранные труды: Теория множеств и
функций. Математическая логика и алгебра. — М.: Наука, 1979, с. 13—25 и
43—48). В принятых здесь терминах этот принцип может быть сформулиро-
ван следующим образом: Если R, Q Seq2, то найдется такое ^[-множество
У что эквивалентность «х е У длина < меньше длины < f Xaq*
справедлива для любой точки a е 1 такой, что отношение < фундировано
как на так и на — Прим, перев.
252
ГЛ 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Не все структурные свойства классов 11! и S1 следуют из
принципа предупорядочения. Самым известным примером та-
кого свойства является принцип униформизации. Мы отложим
обсуждение униформации до § 4, где сущность этого свойства
может быть сделана более ясной в терминах эффективной дес-
криптивной теории множеств.
Теперь перейдем к свойствам несколько иного рода — свой-
ствам регулярности точечных классов.
3.11.	Определение, (i) Множество А имеет свойство
Бэра, если А отличается от некоторого открытого множества на
множество первой категории. Множеством первой категории
называется всякое объединение счетного числа нигде не плот-
ных множеств.
(ii)	Множество А имеет свойство совершенного ядра, если
Д либо счетно, либо содержит совершенное (т. е. непустое,
замкнутее и без изолированных точек) подмножество (совер-
шенное ядро).
В отличие от определений (i) и (ii), имеющих один и тот
же смысл для различных пространств, следующее определение
приходится давать отдельно для разных пространств.
(iii)	Множество действительных чисел А назовем измери-
мым , если А измеримо в смысле меры Лебега. Введем на нату-
ральном ряде (о дискретную меру, определив меру каждого од-
ноэлементного множества {п} равной, скажем, 1 /2л+1 (кон-
кретные значения не важны; лишь бы все они были >0
и в сумме давали 1). Множество А^1 назовем измеримым,
если оно измеримо в смысле произведения (о экземпляров на-
турального ряда с введенной мерой. Эквивалентное определе-
ние получится, если индуцировать меру Лебега на простран-
ство / с помощью стандартного вложения в иррациональные
числа.
Аналогично введем меру на множестве {0, 1}, приписав каж-
дому из множеств {0} и {1} меру 1/2. Множество А^2Ш назо-
вем измеримым, если оно измеримо в смысле соответствующей
меры степени.
Существуют множества, не обладающие ни одним из этих
трех свойств. Но эти множества не могут быть слишком про-
стыми:
3.12.	Теорема. Каждое ^множество А 1 измеримо
(Лузин [1]), имеет свойство Бэра (Лузин и Серпинский
[1]) и имеет свойство совершенного ядра (Суслин)1).
!) Теорема о свойстве Бэра объявлена еще в заметке Лузина [I]
(теорема VI). Теорема о совершенном ядре (S о u s 1 i n М. Sur une definition
<ies ensembles mesurables В sans nombres transfinis. — C. r. Acad. Sci. Paris,
1917, 164, № 2, p. 89—91) была по существу доказана Александровым
§ 4. ЭФФЕКТИВНАЯ ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
253
3.13.	Следствие. Каждое Щ-множество измеримо и об-
ладает свойством Бэра.
Доказательство. Ясно, что эти свойства переходят
с каждого класса Г на дуальный класс Г. □
3.14.	Следствие. Каждое ^[-множество либо счетно, либо
имеет мощность континуума 2Й°.
3.15.	Следствие. Каждое ^-множество либо счетно, либо
имеет мощность либо имеет мощность 2Й°.
Доказательство — из теоремы 2.23. □
§ 4.	Эффективная дескриптивная теория множеств
Появление эффективной дескриптивной теории множеств
привело к двойному успеху в развитии дескриптивной теории:
(1)	Эффективная теория обобщила и углубила классиче-
скую теорию, дав подлинную теорию определимости как для
действительных чисел, так и для множеств действительных
чисел.
(2)	Основатели эффективной теории (в особенности Клини)
ввели современную систему обозначений (используемую, в част-
ности, в этой главе), а также разнообразную технику, вклю-
чающую технику кодирования, которая в значительной степени
упростила доказательства теорем классической теории.
Напомним, что множество Д^/ принадлежит классу Sfe
при нечетном k, если и только если найдется отношение /? та-
кое, что
(*) <аь'...,
H₽|VP2 • • • 3pftVrn/?(a1 \ m, ..., ап \ tn, \ m, ..., $k \ m).
Sfc-множества при четном k представимы аналогичным обра-
зом, но BPfcV/n меняется на Vp^B/n.
4.1.	Определение. Множество Д е 1п принадлежит
классу 21 (fe нечетно), если найдется рекурсивное отношение *) R,
для которого выполняется (*)•
Понятие рекурсивного отношения на конечных последова-
тельностях натуральных чисел получается естественным обра-
(Alexandroff Р. Sur la puissanse des ensembles mesurables B.—C. r. Acad.
Sci. Paris, 1916 162, p. 323—325) еще до введения понятия Д-множества.—
Прим перев.
9 Определение рекурсивного и рекурсивного в а отношения см. в гл. 1
«Теории рекурсии» или в гл. 6 книги: Ш е н ф и л д Дж. Математическая ло-
гика.— М.: Наука, 1975. В обозначениях гл. 5 рекурсивное и рекурсивное
в а отношение R s Seq принадлежит классу Д^° и Д^0, соответственно.—
Прим, перев.
254
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
зом (с помощью канонического взаимно однозначного соответ-
ствия между Seq и (о) из понятия рекурсивного отношения на
натуральных числах.
Определение класса для четных k дается аналогично.
4.2.	Определение. Пусть as /. Множество А 1п при-
надлежит классу Sl’a (k нечетно), если найдется рекурсией е
в а1) отношение 7? такое, что (*) выполняется. Аналогично
для четных k.
4.3.	Определение. П« = Дп = 2пППп. Аналогично
вводятся и классы Пп’а, Ап’а.
Эффективные и классические понятия связаны между собой
равенствами вида (J Sn’a-
ае/
Определение классов эффективной проективной иерархии
можно естественным образом распространить и на множества
натуральных чисел, а также на подмножества «смешанных»
пространств.
4.4.	Определение. Множество Л £ 0rtl X принадлежит
классу Si (k нечетно), если найдется рекурсивное отношение R
такое, что выполняется следующая эквивалентность:
<«р .... ani, ар ..., cQ «=
/?(ар ..ani, aj т, ..a„J т, 0J т, ..f т).
Остальные понятия вводим, как выше.
Точечным множеством назовем всякое подмножество любого
из пространств вида ®л’X/Л2- Точечным классом назовем каж-
дую совокупность точечных множеств, замкнутую относительно
наших канонических гомеоморфизмов, а также относительно
канонических рекурсивных биекций (О'1 на a>m.
Эффективную теорию можно распространить также и на
конечные уровни борелевской иерархии. Нетрудно проверить,
что множество А^1п принадлежит классу S* (k нечетно), если
и только если найдется отношение R такое, что
(♦*) ае 4 <-> 3aiVa2 ... BakR(a f ak, ab ...,
где все переменные a, пробегают натуральный ряд.
4.5.	Определение. Введем классып°, Д' п»	П„’“,
Дп'“ с помощью соотношения (**), отправляясь от рекур-
сивных /?, аналогично тому, как ранее были введены эффектив-
ные проективные точечные классы с помощью (*). Множества,
*) См. предыдущую сноску.
§ 4. ЭФФЕКТИВНАЯ ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
255
принадлежащие классу Д?, называются рекурсивными; множе-
ства, принадлежащие классу 2ь называются рекурсивно пере-
числимыми.
С небольшими изменениями эффективные классы можно
определить и для других польских пространств, как-то 2® и дей-
ствительная прямая. При этом, как и в классической теории,
класс 2? ведет себя несколько иначе, чем в случае простран-
ства /, и некоторые результаты об этом классе справедливы
только для пространства I.
Понятие борелевского множества также имеет эффективный
аналог — гиперарифметические множества. В их определении
первый несчетный ординал о>1 нужно заменить на ординал o>t
Чёрча — Клини — наименьший ординал, не являющийся поряд-
ковым типом рекурсивного полного упорядочения некоторого
множества натуральных чисел. Мы опускаем детали.
4.6.	Определение. Функция а: со-хо принадлежит клас-
су Г, если ее график	а{пг) = п} принадлежит этому
классу.
Все теоремы классической дескриптивной теории множеств
имеют эффективные аналоги. Мы формулируем следующие
результаты только для классов 2* и 2ь но обобщения на
классы Б* “ и 4’“ также справедливы, и из них следуют со-
ответствующие классические результаты. Доказательства клас-
сических теорем оказались в достаточной степени эффектив-
ными для того, чтобы преобразовать их в доказательства эф-
фективных теорем. Многие из следующих теорем принадлежат
Клини. (См. Клини [1], [2].)
Сначала рассмотрим эффективный аналог понятия непре-
рывной функции. Напомним, что база топологии пространства
/ была введена в § 1. Снабдим натуральный ряд (о дискретной
топологией с синглетами (одноэлементными множествами) в
качестве базовых множеств. Базисные открытые подмножества
пространства ©Г1 X являются произведениями базисных
множеств сомножителей. Пусть Во, Вь ... есть эффективный
пересчет всех базисных открытых подмножеств пространства
X Imt (т. е. эффективный пересчет всех конечных последо-
вательностей натуральных чисел, естественным образом опре-
деляющих базисные открытые множества).
4.7.	Определение. Функция F: о/1* X 1Пг X 1тг назы-
вается рекурсивной, если множество
{{k< ai...ат “р •••’ ап,)-	.....ап.’ “р ••••
принадлежит классу А? (т. е. является рекурсивным).
256
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
4.8.	Теорема. Каждый из классов Пд, A«, Si, Пи, А„
замкнут относительно конечных объединений, конечных пересе-
чений и рекурсивных прообразов.
4.9.	Теорема. Пусть Г есть один из классов S*, П„, 2», Iii.
а Г — соответствующий класс Un, П„.
Тогда найдется множество U еГ, универсальное для клас-
са Г. Кроме того, найдется множество U Г, U	такое,
что совокупность всех множеств вида
{0:
является в точности совокупностью всех принадлежащих клас-
су Г множеств А I.
4.10.	Теорема. Д°£2°„£Д°+1; Д^ 5 2. 5 Д«+1-
Первое утверждение теоремы 4.10 можно обобщить и на
несчетные уровни, которые мы здесь не рассматриваем.
Принадлежащий Клини эффективный аналог теоремы Сус-
лина 2.20 состоит в том, что
класс всех гиперарифметических множеств совпадает с клас-
сом А}.
4.11.	Теорема. Принцип предупорядочения имеет место
для классов S„, П|. При любом п предупорядочение для клас-
са П„ влечет предупорядочение для класса 2д+ь
4.12.	Следствие. Имеет место ^предупорядочение.
Эффективные понятия были определены нами в терминах
теории рекурсивных функций, однако их можно эквивалентным
образом определить и по-другому. Языком арифметики яв-
ляется язык логики первого порядка, снабженный функцио-
нальными символами для сложения, умножения и для опера-
ции прибавления единицы, а также символом для 0.
4.13.	Определение. Множество А натуральных чисел на-
зовем арифметическим, если найдется формула языка арифме-
тики <р(х) с единственной свободной переменной х такая, что
п е А N ср (п),
где есть стандартная модель арифметики.
4.14.	Теорема. Множество А со является арифметиче-
ским, если и только если Ле L) Sn-
new
Язык анализа получается из языка арифметики, если к по-
следнему добавить переменные, пробегающие совокупность /
всех функций из со в со, и разрешить связывать кванторами эти
переменные.
4.15.	Определение. Множество А X 1п назовем ана-
литическим, если найдется формула языка анализа ф такая,
§ 4. ЭФФЕКТИВНАЯ ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
257
ЧТО
(а,...ат, аь а„>€= А |= <р(аь ...» ат, а,, .... а„),
где М есть стандартная модель анализа, т. е. М = <®, />.
4.16.	Теорема. Множество А является аналитическим,
если и только если Ле U
песо
Таким образом, класс U состоит из всех множеств,
песо
определимых формулами анализа.
Эффективная теория позволяет поставить вопрос нового
типа: должно ли каждое непустое определимое множество
Д с / содержать определи-
мый элемент?
Уточним этот вопрос еле-
дующим образом:	'	\	\у
4.17.	Определение.	К ___________£
Класс Г1 является базисом	|	\	х
для класса Г2, если каждое	| 44—/
непустое множество ЛеГг,	|
А^1, содержит элемент	I	*
аеД, принадлежащий клас-	|
су Г1	------1------------------1_
Известны как положи-	рис
' тельные, так и отрицатель-
ные результаты о базисе.
4.18.	Теорема (Клини). Класс Д? Является базисом для
класса но класс Д* не является базисом для класса Пь
Доказательство. Первое утверждение теоремы триви-
ально, так как каждое 2?-множество (и даже каждое ^-мно-
жество) А^1 содержит функцию аеД, равную 0 для всех,
за исключением конечного числа, натуральных п. Для доказа-
тельства второго утверждения рассмотрим множество А = А* ПА
Можно доказать, что А является Пгмножеством. Пусть По
(т. е. ’ П?)-множество В таково, что а ф А *-> 30 ((а, 0) е В).
Если теперь (а, 0) е В f] Д}, то ае Д} — противоречие. □
Некоторые теоремы о базисе можно усилить, придав им вид
теорем об униформизации.
4.19.	Определение. Пусть B^A^I2 — произвольные
множества. Будем говорить, что В униформизует Д, если:
(1)	(а, рj> В Д (а, 02) (= В -> pj = ₽2,
(2)	Va(ЗВ«а, р)е= Д)«->30«а, 0)е= В)).
Пусть Г1 и Г2 — точечные классы. Будем говорить, что Г1
обеспечивает униформизацию множеств из Г2 (кратко: (Г], Г2)-
9 Справочная книга, ч. II
258
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
униформизация), если для каждого множества А е Г2, А /2,
найдется множество ВеГь В^А (рис. 10), униформизующее
данное множество А.
Принцип униформизации для точечного класса Г, кратко —
Г-униформизация, есть утверждение о том, что Г обеспечивает
униформизацию множеств из Г. Таким образом,
Т-униформизация (Г, Г) -униформизация.
В терминах эффективной теории принцип униформизации
для Г влечет теорему о базисе для класса Г, причем в «равно-
мерном» виде. Но принцип униформизации имеет смысл для
произвольных точечных классов и, в отличие от принципа ба-
зиса, является классическим понятием.
4.20.	Теорема Новикова — Кондо — Аддисона
Имеет место Пгуниформизация. Если а G /, то имеет место П}’\
униформизация.
4.21.	Следствие. Имеет место ^-униформизация.
4.22.	Следствие. Имеют место Пруниформизация и %2-уни-
формизация.
4.23.	Следствие. Класс Д2 является базисом для класса S2.
Результат 4.22 принадлежит Кондо [1] и представляет
уточнение результата Новикова (см. Лузин, Новиков [1]).
Эффективный вариант (теорема 4.20) принадлежит Аддисону,
который «эффективизировал» классические доказательства Но-
викова и Кондо.
Доказательство теоремы 4.20. Пусть
А = {(а, 3): Vy3n7? (а f п, 0 f п, у f п)
— произвольное Прмножество. Определим множества £=
Seq так, как мы это делали выше. Положим
1<Т|ар = 1<т|<Г^«.
Зафиксируем произвольную рекурсивную функцию ср: со на
Seq. Индукцией по п определим:
Ао = А;
А2п+1 = А2п П {(«, 0): V0' ((а, 0') А2п
-* I Ф («) lap < I Ф (И) |а₽, V ф («) Ф *ар«)} I
Л2„+2 = Лп+1 Л {(а, 0): V0'«а, 0')е= Л2„+1 ->0(п)<0'(п))};
В = П Ап.
песо
Используя идею доказательства теоремы 3.7, можно пока-
зать, что В является Прмножеством. Далее, определение А2п+2
гарантирует, что для каждого а существует не более одного 0
такого, что (а, 0)^В. Если 30 ((а, 0)еА), то определим
§ 5. АКСИОМА КОНСТРУКТИВНОСТИ
259
функцию р: со—>со равенством
р (n) = inf {Р' (n): Р' <= Л2„+1).
Ясно, что для каждого п найдется рл такое, что <ct, Е Л2ж-
Если ф(м)еЛа0Я, ТО ПОЛОЖИМ Ф(ф(^)) = |ф(п) |арп. Функция ф
будет сохранять порядок (как функция из множества Ла^
в On). Это означает, что <а,	Теперь <а, р> е В без
труда получается из определения Ап и В.
Второе утверждение теоремы выводится из первого с по-
мощью Прмножества, универсального для класса П[. След-
ствие 4.22 следует из второго утверждения теоремы и реляти-
визованного варианта следствия 4.21. □
Для доказательства следствия 4.21 рассмотрим такое Прмно-
жество С, что
(а, Р)е=Л~Эу((а, р, у)еС).
Применим теорему 4.20 к множеству С посредством «свертки»
<р, у> в одну точку пространства I. Пусть Ь^С — полученное
Ill-множество. Теперь положим
В={<а, р): Зу «а, ₽, у> ее О)}.
Для доказательства следствия 4.23 рассмотрим произволь-
ное ^-множество А /. Положим В = {(0, а): аеЛ}, где
функция 0е/ определена условием 0(м) = 0 для всех пео.
Пусть ^-множество С е В униформизует множество В.
Тогда единственное а такое, что <0, а> е С, удовлетворяет
следующим эквивалентностям:
а (п) = т ЗР ((0, Р) s С A Р W =
— VP«O, p>eC^p(n) = zn).
Из первой эквивалентности следует а е Z?, а из второй а е Iii. □
§ 5.	Аксиома конструктивности
и аксиомы больших кардиналов
Многие фундаментальные проблемы теории проективных
множеств не могут быть решены средствами аксиом теории
ZFC. Например, предположение о том, что каждое проективное
множество измеримо, имеет свойство Бэра и свойство совер-
шенного ядра, не приводит к противоречию, если непротиво-
речива теория ZFC + существует недостижимый кардинал
(см. Соловей [2]). С другой стороны, Гёдель [1] указал,
что если выполняется аксиома конструктивности, то существует
неизмеримое и не имеющее свойства Бэра А2-множество,
9*
260
ГЛ 8 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
а также существует Iii-множество, не имеющее свойства со-
вершенного ядра1)- По-видимому, вопрос о наличии таких
основных структурных свойств, как принципы предупорядоче-
ния, униформизации, редукции, у проективных классов Sn, ПД
при л^З также неразрешим средствами ZFC2). Некоторые
из известных доказательств непротиворечивости основаны на
очень сильных теоретико-множественных предположениях
и иногда годятся только для четных или только для нечетных п
(например, следствие 6.6 ниже). Проблемы о взаимоотноше-
ниях между высшими проективными классами и несчетными
булевыми алгебраическими операциями также оказываются
неразрешимыми.
Аддисон [2] показал, что многие важные вопросы о про-
ективных множествах становятся разрешимыми, если мы пред-
положим аксиому конструктивности V = L (об этой аксиоме
см. главу 5).
Если выполняется аксиома конструктивности, то существует
Аг отношение, вполне упорядочивающее точки пространства I
по типу <oi. Это полное упорядочение <l обладает важным до-
полнительным свойством. Именно, существует (при V = L) та-
кая Лгфункция Рг: /->/, что для каждого а^/ множество
{(Рг(а))п: л со}— {(Рг(а))о} есть в точности совокупность
всех предшественников точки а в смысле <l (определение
(Р)л для р<=/ см. в доказательстве теоремы 2.20). С помощью
этого полного упорядочения доказывается следующая
5.1.	Теорема (Аддисон). Предположим, что V — L. Тогда
для каждого п^2 имеет место ^п-предупорядочение и Спре-
ду по рядочение.
Доказательство (эскиз). Пусть А = {а: В₽((а, ₽)	В)},
где В есть П^-множество, л^1. Для каждого Р^/ через |Р|
обозначим порядок точки р в смысле <L. Если а е /, то положим
F(а) = inf {| р |: <а, р><=В}.
С помощью упомянутого дополнительного свойства порядка
<l можно определить требуемые множества R и S. □
5.2.	Теорема (Аддисон). Предположим, что V = L. Тогда
для каждого л 2 классы и 2^ имеют свойство униформи-
зации.
Униформизующее множество образуется выбором <ь-наи-
меньшего элемента из каждого непустого сечения.
9 Доказательство этого утверждения было впервые опубликовано
П. С. Новиковым в статье «О непротиворечивости некоторых положений де-
скриптивной теории множеств». — Тр. МИАН СССР, 38. М.: Изд. АН СССР,
/951, с. 279—316. — Прим, перев.
2) Более подробно об этом см. добавление, п. 7. — Прим, перев.
§ 5. АКСИОМА КОНСТРУКТИВНОСТИ
261
Таким образом, V = L делает теорию проективных мно-
жеств достаточно полной. Но эта аксиома не вполне приемлема
по двум причинам. Как мы уже указывали, она обеспечивает
отрицательный ответ на вопросы о свойствах регулярности.
Кроме того, получается некрасивая последовательность клас-
сов:
si, П}, si, Si, sj.....
обладающих одинаковыми свойствами (редукция, предупоря-
дочение, униформизация кроме SJ) в предположении V = L.
Соловей показал, что если использовать аксиомы больших
кардиналов вместо V = L, то свойства регулярности можно пе-
ренести на второй уровень проективной иерархии.
5.3.	Определение. Кардинал х называется измеримым,
если найдется функция ц (мера), определенная на совокупно-
сти всех подмножеств множества х и такая, что:
н(Л)е{0, 1} для всех множеств А s х;
ц({а}) = 0 для каждого а < х;
Ц (х) = 1;
И (х — А) = 1 — р (А);
р ( (J АЛ — 0> если X < х и ц (Да) = 0 для всех а < X.
\а<Х /
5.4.	Определение. МС есть утверждение о том, что су-
ществует несчетный измеримый кардинал.
Известно, что несчетные измеримые кардиналы (если они
существуют) должны быть очень большими. Например, каж-
дый несчетный измеримый кардинал х является х-м недости-
жимым кардиналом. Следовательно, аксиому МС нельзя до-
казать средствами теории ZFC. Все же существуют аргументы
(не слишком убедительные) в пользу принятия аксиомы МС
и других аксиом больших кардиналов, см. гл. 1 и гл. 3.
5.5.	Теорема (Соловей [1]). Предположим МС. Тогда
каждое ^множество измеримо, обладает свойством Бэра и
свойством совершенного ядра.
Удивительно, что аксиома МС, имеющая, казалось бы, отно-
шение только к очень большим кардиналам, позволяет дока-
зывать теоремы о пространстве / или о действительных числах.
С помощью измеримых кардиналов удается доказать также
некоторые структурные свойства проективных классов.
5.6.	Теорема (доказана Менсфилдом [1], усилившим
более ранний результат Мартина и Соловея [1]). Пред-
положим МС. Тогда имеет место (Пз, Т^-униформизация.
5.7.	Следствие (Мартин и Соловей [1]). Предполо-
жим МС. Тогда класс М является базисом для класса 2з*
262
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Используя идею доказательства 5.7, можно доказать еле*
дующую теорему:
6.8. Теорема (Мартин [4]). Предположим МС. Тогда
каждое множество является объединением К2 борелевские
множеств.
5.9. Следствие. Каждое ^-множество имеет либо мощ-
ность К2, либо мощность континуума 2*°.
К сожалению, аксиома МС не дает информацию о следую*
щих уровнях проективной иерархии. Например, Сильвер пока-
зал, что аксиоме МС не противоречит утверждение о том, что
существует неизмеримое и не обладающее свойством Бэра
Дз-множество, а также существует Пг-множество, не имеющее
свойства совершенного ядра. По-видимому, МС не может раз*
решить, скажем, вопрос о том, выполняются ли принципы уни-
формизации или предупорядочения для классов 2з и Пз. Эти
вопросы были исследованы Сильвером [1] с помощью
класса L [р] всех множеств, конструктивных относительно меры
р, обеспечивающей измеримость х. Сильвер установил, что
в классе L [р] существует полное Лз’упорядочение точек про-
странства /, имеющее свойство, аналогичное указанному выше
дополнительному свойству упорядочения Это полное упо-
рядочение было использовано Сильвером точно так же, как Гё*
дель и Аддисон использовали <ь
§ 6.	Аксиома проективной детерминированности
Те свойства регулярности, которые мы рассматривали выше,,
не имеют прямой связи со структурными свойствами проектив*
ных классов. Гейл и Стьюарт [1] ввели новое свойство ре*
гулярности — детерминированность. Результаты М ы ч е л ь •
ского и Сверчковского [1], Девиса [1], а также бо*
лее ранний результат Банаха показали, что свойство детерми-
нированности сильнее, чем обычные свойства регулярности,
и влечет все эти свойства. Позже были получены еще более
удивительные результаты: оказалось, что детерминированность
позволяет доказать даже структурные свойства проективных
классов. В последние годы аксиома детерминированности про-
ективных множеств все чаще используется для доказательства
теорем о проективной иерархии.
6.1.	Определение. Пусть А s /. Следуя Гейлу и
Стьюарту [1], мы ассоциируем с множеством А следующую
бесконечную игру Ga двух лиц. Игрок I начинает игру выбором
числа По есо. Затем игрок II выбирает число п\ е со, после
чего снова игрок I выбирает и т. д. В результате игры
§ 6. АКСИОМА ПРОЕКТИВНОЙ ДЕТЕРМИРОВАННОСТИ
263
получается функция а: со-хо, определенная условием а(0 =
= nt для всех f е со. Если ае А, то выигрывает игрок I; в про-
тивном случае выигрывает игрок II. Понятие стратегии или вы-
игрывающей стратегии для игроков I и II в этой игре вводится
очевидным образом. Множество А называется детерминирован-
ным, если один из игроков имеет выигрывающую стратегию
в этой игре. Принцип детерминированности для точечного
класса Г, кратко — Г-детерминированность, есть утверждение
о том, что каждое множество Л G Г, Л с/ является детерми-
нированным. Аксиома проективной детерминированности PD
утверждает, что каждое проективное множество детермини-
ровано.
6.2.	Теорема (Мартин, Кекрис; усиление более ранних
результатов Банаха, Мычельского и Сверчковского, Девиса).
Предположим ^-детерминированность. Тогда каждое ^^{-мно-
жество измеримо, имеет свойство Бэра и свойство совершенного
ядра.
Аналогично другим свойствам регулярности детерминиро-
ванность можно доказать для достаточно простых классов,
а в предположении МС — и для более широких классов.
6.3.	Теорема (Мартин [2], [3]). Имеет место ^{-детер-
минированность. В предположении МС имеет место ^[-детерми-
нированность (эквивалентная Недетерминированности).
Доказательство принципа детерминированности для класса
Л} значительно отличается от доказательства прочих свойств
регулярности борелевских множеств. Доказательства послед-
них можно провести средствами обычной формальной теории
натурального ряда со и совокупности ^(со) всех подмножеств
натурального ряда. (Эта теория называется арифметикой вто-
рого порядка. О ней см. гл. 4 «Теории доказательств».) Фрид-
ман [1] показал, что ^["детерминированность не может быть
доказана средствами этой теории; более того, она не может
быть доказана средствами теории Цермело (т. е. теории ZFC
без аксиомы подстановки). Таким образом, хотя ^{-детерми-
нированность есть утверждение, относящееся только к множе-
ствам со и /, в ее доказательстве нельзя ограничиться рассмот-
рением лишь «небольших» множеств (получающихся из со с по-
мощью конечного числа применений операции степени).
Детерминированность для класса S} не может быть дока-
зана в ZFC, и даже аксиома МС слишком слаба для доказа-
тельства детерминированности для Дг-
Блекуэлл [1] показал, как с помощью теоремы Гейла
и Стьюарта [1] о ^’детерминированности можно дать аль-
264
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
тернативное доказательство некоторых известных структурных
свойств класса П}. Аддисон и автор этой главы независимо
пришли к мысли о том, что в предположении PD метод Блек-
уэлла можно использовать для получения структурных свойств
более высоких уровней иерархии. Московакис (см. Аддисон
и Московакис [1]) и Мартин [1] независимо доказали
следующую теорему:
6.4.	Теорема. Предположим PD. Тогда при любом п из
принципа предупорядочения для следует принцип предупо-
рядочения для
6.5.	Следствие. Предположим PD. Тогда для нечетных п
имеет место №\гпредупорядочение, а для четных — ^п-предупоря-
дочение.
6.6.	Следствие. Предположим PD. Тогда для нечетных п
имеет место Hn-предупорядочение, а для четных — Ъхп-предупоря-
дочение.
Следствие 6.5 получается из теорем 3.8 и 6.4. Для доказа-
тельства 6.6 с помощью 6.5 достаточно, скажем при четном п>
применить принцип предупорядочения к множеству, универ-
сальному для класса (такое существует в силу теоремы 4.9).
Доказательство теоремы 6.4. Изложим вариант до-
казательства, принадлежащий Аддисону и Московакису
[1]. Пусть А = {а: Vy ((а,	где В есть ^-множество.
Рассмотрим функцию F: В->Оп, даваемую принципом Ъхп-пре*
дупорядочения для множества В, Каждому ае/ и каждому
ре Л сопоставим следующую игру Оар: игроки I и II по оче-
реди выбирают натуральные числа п0, пь п2, ... Побеждает
игрок I, если
а ф А или F ((а, у)) > F ((р, 6)),
где у, бе/ определены условиями у(/)= /г2х и б(0 = л2/+ь
Введем отношение а р следующей эквивалентностью:
а р игрок II имеет выигрывающую стратегию в
игре Gap.
Таким образом, если a Р, то автоматически а, Ре Л.
Покажем, что это отношение на множестве А имеет все
обычные свойства нестрогого линейного порядка.
Во-первых,	(при аеЛ), так как игрок II может
просто повторять ходы противника, обеспечивая этим у = б.
Пусть а, ре Л таковы, что ~а р, т. е. игрок II не имеет
выигрывающей стратегии в игре Gap. Ясно, что игра Gap имеет
вид Gc для некоторого проективного множества С = Cap е I
§ 6. АКСИОМА ПРОЕКТИВНОЙ ДЕТЕРМИРОВАННОСТИ
265
и тем самым является детерминированной. Следовательно, иг-
рок I имеет выигрывающую стратегию в игре Gap. Если теперь
определить s'«n2, ...» пЛ>) = s(<ni, ...» n*_i>), то s' будет вы-
игрывающей стратегией для игрока II в игре Gpa. Это озна-
чает 0 а. Итак,
а^0 или Р^а для всех а, 0еЛ.
Далее, пусть а р и 0 у. Тогда из выигрывающих стра-
тегий $1 и «2 для игрока II в играх Gap и GpY нетрудно соста-
вить выигрывающую стратегию для него в игре GaY. Следова-
тельно, отношение на Д транзитивно.
Теперь определим строгий порядок: a > р Па р для а,
Докажем, что < является фундированным порядком.
Пусть напротив, ao > ai > а2 > ... Пусть s0, «ь ... — вы-
игрывающие стратегии для игрока I в играх G^ai, Gaia2, ...
•соответственно. Предположим, что I и II играют друг против
друга одновременно на всех «досках» Ga^, Gaia2, причем
игрок I придерживается в игре Ga/a/+i стратегии S/, а игрок II
повторяет в игре Ga.a.+1 ходы противника из игры Ga/+ia/+2.
В результате мы получим последовательность уо, Уь У2, • • • та-
кую, что <az, у^> е В для всех i и
F «ао> Yo>) > F (<«ь Yi>) > • • •
Но этого не может быть, так как значения функции F — орди-
налы.
Доказанные свойства отношений и <, очевидно, позво-
ляют построить такую функцию G: Д->Оп, что а 0 «->
G(a)^ G(0) для всех а, 0еД.
Заметим теперь, что по определению для любых as/
и реД имеют место эквивалентности:
<х е Д Л a BsVy (« — стратегия для II
Л (a, У> е В Д F ((а, у» < F (ф, s (у)»),
а е А Д а < 0 BsVy (s — стратегия для I
Д (а, у> <= В Д F ((а, у» < F (ф, s (у)»).
(Доказательство второй эквивалентности использует детерми-
нированность.) Но отношения
(а, у) е В Д f ((а, у)) < (или <) F «0, б))
являются Пп-отношениями в силу выбора функции F. Поэтому
правые части обеих эквивалентностей являются 2^+i-отноше-
ниями. Таким образом, функция G является искомой с точки
зрения определения принципа предупорядочения для класса
П1+1. □
266
ГЛ 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Некоторое время не удавалось доказать принцип унифор-
мизации для при нечетных п в предположении PD. Этот
вопрос был решен Московакисом, доказавшим даже более
сильное утверждение.
6.7.	Определение. Пусть Г есть точечный класс. Прин-
цип лестницы для класса Г, кратко — V-лестница, формули-
руется следующим образом:
Для каждого множества Л е Г, А /, существует последо-
вательность Fi, Ri, Si, / = О, 1, 2, ..., удовлетворяющая сле-
дующим трем условиям:
(i)	Множества {</, а, р>: <а, Р> е Ri} и {</, а, £): <а, р> е
е SJ принадлежат дуальному классу Г.
(ii)	Каждая четверка A, F/, Ri, Si удовлетворяет требова-
ниям, которые накладываются на четверку A, F, R, S в опре-
делении принципа предупорядочения для Г.
(iii)	Предположим, что а0, он, аг, ... ^А, а= lim ап>
Л->оо
и для каждого i последовательность Л(ао), Л(а1)» ••• стано-
вится постоянной, начиная с некоторого номера. Тогда:
(а)	аеЛ,
(b)	Fi (а) lim Fj (ал) при любом i е со.
п->оо
6.8.	Теорема (Московакис [2]). Из И^-лестницы сле-
dyei лестница. В предположении PD из лестницы следует
Х\п^\-лестница.
Для доказательства более сложного второго утверждения
этой теоремы нужно определенным образом обобщить метод
доказательства теоремы 6.4.
6.9.	Следствие. Предположим PD. Тогда для нечетных tv
имеет место Un-лестница и П„-лестница, а для четных п — ^-ле-
стница и ^п-лестница.
Нетрудно проверить, что имеет место ^о-лестница. Поэтому
6.9 вытекает из теоремы 6.8. Заметим также, что доказательство
теоремы Новикова — Кондо — Аддисона фактически дает
П\-лестницу (без использования PD), из которой уже получа-
ется принцип униформизации для класса п}. Буквально повто-
рив доказательство теоремы 4.20 с использованием Fi(a, р)
вместо |ср(п) |ар, можно показать, что для всех достаточно «хо-
роших» классов Г из Г-лестницы следует Т-униформизация.
6.10.	Следствие. Предположим PD. Тогда для нечетных п
имеет место П„-униформизация и Нп-униформизация, а для чет-
ных п > 0 — Ъп-униформизация и ^-униформизация.
$ б АКСИОМА. ПРОЕКТИВНОЙ ДЕТЕРМИРОВАННОСТИ
267
6.11.	Следствие. Предположим PD. Тогда класс &{п явля-
ется базисом для класса для всех четных п>0.
Теоремы 6.4 и 6.8 вместе с еще одним результатом Моско-
вакиса [3] (который доказывается примерно теми же ме-
тодами) дают достаточно полную структурную теорию проек-
тивных множеств. Проективная детерминированность оказы-
вается примерно эквивалентной по силе с аксиомой конструк-
тивности относительно вопросов о проективной иерархии. Од-
нако аксиома проективной детерминированности выглядит
предпочтительнее, чем V = L, так как, во-первых, она положи-
тельно разрешает вопросы о свойствах регулярности и, во-вто-
рых, последовательность классов
4, П}, S2, HL...
выглядит более естественной, чем последовательность, получае-
мая из V = L.
Аксиома PD также проливает свет на связь между проек-
цией и булевыми алгебраическими операциями.
6.12.	Определение. есть наименьший ординал, не
-являющийся длиной фундированного отношения на /, принад-
лежащего классу Ад.
6.13.	Определение. Пусть и — кардинал. Множество
А I называется к-суслинским, если найдется отношение R та-
кое, что
а А <-> 3/ (f: w->x Л Vn/? (а f n, f f n)).
6.14.	Теорема. A^I является ^^суслинским
Вели А S-2, то А является гсуслинским (Шенфилд [1]).
В предположении МС, если А е S3, то А является it 2~СУмин-
ским (Мартин, основываясь на материале статьи Мартина и
Соловея [1]). В предположении PD, если	то
А является к-суслинским, где % есть мощность ординала 82д+1
(Московакис). Также в предположении PD, если A^SL+i, то
А является к-суслинским для некоторого % < 8^+1 (Московакис).
Утверждение для класса Si этой теоремы составляет содер-
жание теоремы 2.16. Доказательство теоремы 2.23 показывает,
что каждое ^-множество является К гсуслинским. Последние
два утверждения теоремы 6.14 можно получить из тео-
ремы 6.8.
6.15.	Теорема (Кюнен; Мартин [4]). Если кардинал к
бесконечен, то каждое п-суслинское фундированное отношение
имеет длину < х+.
268
ГЛ. «. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
6.16.	Следствие.	(Марти н [4]). МС->8,з^м3.
PD->84<«>4.
6.17.	Следствие. В предположении PD каждое ^-мно-
жество является объединением Кз борелевских множеств.
Остаются, однако, очень интересные открытые вопросы, ка-
сающиеся ординалов 8„ в предположении аксиомы проективной
детерминированности. Какова верхняя граница ординалов 8^
при и > 5? Кюнен получил некоторый частный результат для
п = 5. Являются ли ординалы 8„' кардиналами? Последний во-
прос представляет большой принципиальный интерес в связи
с тем, что континуум-гипотеза влечет неравенства ®i < 8„ < ог
при п > 2.
Укажем еще одно приложение проективной детерминирован-
ности, связанное с упорядочением Уэджа.
6.18.	Определение. Пусть А, Ве/. Пишем A
если найдется непрерывная функция f: I -> I такая, что f"A = В
6.19.	Теорема (Уэдж). Предположим PD. Если_множества
А, В е/ проективны, то либо A В, либо В ^уА.
Доказательство. Рассмотрим следующую игру G. Иг-
роки I и II по очереди называют натуральные числа no, ni, п2>
ns, ... Числа По, п2, «4, • • • образуют функцию а: <в -> со, а числа
«1, Пз, п8, ••• — функцию 0: «о-*- со. Игрок II выигрывает в слу-
чае, когда
а е Л р е В.
Выигрывающая стратегия для игрока II приводит к неравенству
Л В, а выигрывающая стратегия для игрока I — к неравен-
ству В □
6.20.	Определение. Пусть_ Л,_В =/. Пишем X~WB.
если (Л ^WB и В ^уЛ) V (Л ^WB и В ^^Л). Степень Уэджа
множества А есть класс эквивалентности [Л] = {В: Л
Пишем [Л] < [В], если Л <^WB и ~| Л ~WB.
6.21.	Теорема (Мартин). В предположении PD степени
Уэджа проективных множеств вполне упорядочены отноше-
нием <..
Замечание. Из теоремы 6.19 сразу следует, что степени
Уэджа проективных множеств линейно упорядочены.
Таким образом, степени Уэджа образуют весьма тонкую
иерархию проективных множеств в предположении PD. Если
предположить детерминированность более широкого класса
множеств, то эта иерархия соответственно продолжится. Если
§ 6 АКСИОМА ПРОЕКТИВНОЙ ДЕТЕРМИРОВАННОСТН
269
же ограничиться борелевскими множествами, то в силу теоре-
мы 6.3 вообще можно обойтись без предположений детермини-
рованности.
Степень Уэджа [Л] назовем самодвойственной, если A
Стил показал в предположении PD, что если множество А I
проектнвно, а соответствующая степень Уэджа [Л] не является
самодвойственной и замкнута относительно счетных объедине-
ний и пересечений, то принцип редукции имеет место для одного
из классов [А], [А]. Этот результат подчеркивает фундамен-
тальное значение принципа редукции в теории множеств.
В заключение рассмотрим «полную» аксиому детерминиро-
ванности, являющуюся доказуемо ложной.
6.22.	Определение. Аксиома детерминированности AD
есть утверждение о том, что каждое множество А I детерми-
нировано.
Эта аксиома, предложенная Мычельским и Штейнгаузом,
см. Мычельский [1], противоречит аксиоме выбора. Поэтому
ее нельзя рассматривать в качестве настоящего кандидата на
роль дополнительной аксиомы теории множеств. Все же следует
упомянуть некоторые следствия AD, так как AD может выпол-
няться, скажем, в универсуме всех множеств, определимых с
параметрами из совокупности On IJ /.
В предположении AD все множества А е I имеют основные
свойства регулярности. В частности, AD влечет измеримость
каждого множества (Мычельский и Сверчковский
[1]), а также свойства Бэра и свойство совершенного ядра у
каждого множества (Девис [1]).
В предположении AD совокупность степеней Уэджа всех
множеств A является вполне упорядоченной, и, таким об-
разом, множество всех подмножеств континуума организовано
в иерархию степеней Уэджа возрастающей сложности.
Аксиома AD влечет ряд очень интересных следствий, отно-
сящихся к проективной иерархии. Многие из этих следствий
противоречат аксиоме выбора. В предположении AD все орди-
налы 8„ являются кардиналами (Московакис [1]), причем
измеримыми кардиналами (Кюнен, Мартин, Соловей).
6.23.	Определение. Для каждого кардинала х через Вя
обозначим замыкание совокупности всех открытых множеств
относительно объединения и пересечения семейств мощности
< х. Таким образом, совокупность всех борелевских множеств
есть в точности BW1.
6.24.	Теорема (Мартин [4], Московакис [2]).
В предположении AD имеет место равенство В^ — А^ для всех
нечетных п.
270
ГЛ 8 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Случай п — 1 этой теоремы составляет содержание теоремы
Суслина 2.20. Для доказательства включения Ад В6^ лля не-
четных п можно обойтись аксиомой PD, и поэтому указанное
включение, по-видимому, не противоречит аксиоме выбора. Но
уже включение B6i Аз противоречит конъюнкции МС и аксио-
мы выбора. Таким образом, с помощью AD можно построить
более красивую дескриптивную теорию множеств, чем это
вообще возможно с аксиомой выбора. Влияние AD проявляется
еще больше при рассмотрении классов которые строятся
с помощью проекций на совокупность ^(/) всех множеств
А I. AD порождает очень красивую теорию этих классов.
С другой стороны, до сих пор нет сколько-нибудь интересных
структурных теорий этих классов, совместимых с аксиомой вы-
бора.
Истинна ли аксиома PD? Безусловно, она не является само-
очевидной. Аксиомы больших кардиналов рассматриваются не-
которыми специалистами как самоочевидные или по меньшей
мере вытекающие из. общих априорных принципов понятия
множества. Ослабленные формы PD (например, ^-детермини-
рованность) следуют из аксиом больших кардиналов. Возмож-
но, что полная аксиома PD также следует из подходящей ак-
сиомы большого кардинала, однако этот вопрос остается
открытым.
По мнению автора, роль PD в теории множеств можно срав-
нить с ролью теоретических гипотез в физике. Известны три
основных аргумента в пользу принятия PD:
(1)	Безрезультатность всех попыток доказать противоречи-
вость PD косвенно свидетельствует в пользу ее истинности.
(2)	Частные случаи PD, именно, ^{-детерминированность,
доказаны в теории множеств.
(3)	Следствия PD в дескриптивной теории множеств согла-
сованы между собой и образуют законченную очень элегантную
теорию. Это также является косвенным свидетельством в пользу
правдоподобности гипотезы, лежащей в основе этой теории.
ЛИТЕРАТУРА
Аддисон (Addison J. W.)
1. Separation principles in the hierarchies of classical and effective descrip-
tive set theory. — Fundam. math., 1959, 46, p. 123—135.
2. Some consequences of the axiom of constructibility. — Fundam. math.,
1959, 46, p. 337—357.
Аддисон, Москов а кис (Addison J. W., Moschovakis Y. N.)
1. Some consequences of the axiom of definable determinateness. — Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1968, 59, p. 708—712.
ЛИТЕРАТУРА
271
Блекуэлл (Blackwell D.)
1. Infinite games and analytic sets.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1967,
58, p. 1836—1837.
Гёдель (Godel K.)
1. The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum
hypothesis. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1938, 24, p. 556—557.
2. The Consistency of the Axiom of Choice and the Generalized Continuum
Hypothesis with the Axioms of Set Theory —Ann. Math. Studies 3, Prin-
ceton, 1940. [Русский перевод: Гёдель К. Совместимость аксиомы вы-
бора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории мно-
жеств.—УМН, 1948, 3, № 1, с. 96—149.]
Гейл, Стьюарт (Gale D., Stewart F. М.)
1. Infinite games with perfect information. — In:. Ann. Math, Studies 28.
Princeton 1953, p. 245—266.
Девис (Davis M.)
1. Infinite games of perfect information. — In: Ann. Math. Studies 52.
Princeton 1964, p. 85—101.
Клини (Kleene S. C.)
1. Introduction to Metamathematics. — Amsterdam: North-Holland, 1952.
[Русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.:
ИЛ, 1957.]
2. Arithmetical predicates and function quantifiers. — Trans. Amer. Math.
Soc., 1955, 79, p. 312—340.
Кондо (Kondo M.)
1. Sur Tuniformisation des complementaires analytiques et les ensembles
projectifs de la seconde classe. — Japan J. Math., 1938, 15, p. 197—230.
Коэн (Cohen P. J.)
1. The independence of the continuum hypothesis I. — Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1963, 50, p. 1143—1148.
2. The independence of the contiinuum, hypothesis II. — Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1963, 51, p. 105—ПО. [Русский перевод обеих статей:
Коэн П. Независимость континуум-гипотезы. — Математика, 1965, 9,
№ 4, с. 142—155.]
Лебег (Lebesgue Н.)
1. Sur les fonctions representable analytiquement. — J. de Math., 1905, 6 se-
rie, 1, p. 139—216.
Лузин H. H.
1. Sur la classification de M. Baire. — C. r. Acad. Sci. Paris, 1917, 164,
p. 91—94. [Русский перевод: Лузин H. Н. О классификации Бэра.—
В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 270—272.]
2. Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue. — C. r. Acad. Sci.
Paris, 1925, 180, p. 1572—1574. [Русский перевод Лузин H. Н.
О проективных множествах Лебега. — В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч.,
т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 304—306.]
Лузин Н. Н., Новиков П. С.
1. Choix effectif d’un point dans un complementaire analytique arbitrage,
donne par un crible. — Fundam. math., 1935, 25, p. 559—560. [Русский
перевод: Лузин H. Н., Новиков П. С. Эффективный выбор точки
в произвольном аналитическом дополнении, заданном посредством ре-
шета.—В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч. т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 617—618.]
Лузин Н. Н., Серпинский (Sierpinski W.)
1. Sur un ensemble non measurable B. — J. de Math., 1923, 7 serie, 2,
p. 53—72. [Русский перевод: Л у з ин Н. Н., Серпинский В. Об од-
ном множестве, неизмеримом В. — В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч.,
т. 2. —М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 285—300.]
272
ГЛ. 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Мартин (Martin D. А.)
1.	The axiom of determinateness and reduction principles in the analytical
hierarchy. — Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 687—689.
2.	Measurable cardinals and analytic games. — Fundam. math., 1970, 66,
p. 287—291.
3.	Borel determinacy. — Ann. Math. 1975, 102, p. 363—371.
4.	Projective sets and cardinal numbers. — J. Symbolic Logic.
Мартин, Соловей (Martin D. A., Solovay R. M.)
1.	A basis theorem for S3 sets of reals. — Ann Math., 1969, 89, p. 138—
160.
Менсфилд (Mansfield R.)
1.	A Souslin operation for nJ,.— Israel J. Math., 1971, 9, № 3, p. 367—369.
Московакис (Moschovakis Y. N.)
1.	Determinacy and prewellorderings of the continuum. — In: Math. Logic
and Foundations of Set Theory/Ed. Y. Bar-Hillel. Amsterdam: North-
Holland, 1970, p. 24—62.
2.	Uniformization in a playful universe. — Bull. Amer. Math. Soc., 1971, 77,
p. 731—736.
3.	Analytical definability in a playful universe. — In: Logic, Methodology
and Philosophy of Science, IV/Ed. P. Suppes et al. Amsterdam: North-
Holland, 1973, p. 77—85.
4.	Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1980.
Мычельский (Mycielski J.)
1. On the axiom of determinateness. — Fundam. math., 1964, 53, p. 204—
224.
Мычельский, Сверчкове к ий (Mycielski J., Swierczkowski S.)
1. On the Lehesgue measurability and the axiom of determinateness.—
Fundam. math., 1964, 54, p. 67—71.
Серпинский (Sierpihski W.)
1. Sur une classe d’ensembles. — Fundam. math., 1925, 7, p. 237—243.
Сильвер (Silver J. H.)
1. Measurable cardinals and Д3 wellorderings. — Ann. Math., 1971, 94,
p. 414—446.
Соловей (Solovay R. M.)
1. On the cardinality of 2l2 sets of reals. — In: Foundations of Mathema-
tics. Berlin: Springer, 1969, p. 58—71.
2. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measu-
rable. — Ann. Math., 1970, 92, p. 1—56.
Фридман (Friedman H.)
1. Higher set theory and mathematical practice. — Ann. Math. Logic, 1971,
2, p. 326—357.
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1. The problem of predicativity.In: Essays on the Foundations of Mathe-
matics/Ed. Y. Bar-Hillel et al. Jerusalem: Magnes Press, 1961, p. 132—
139.
литература, добавленная при переводе
К е к р и с (Kechris А.)
1. AD and projective ordinals. — Leet. Notes Math., 689. Berlin: Springer,
1978. n. 91—132.
Работа содержит доказательство почти всех теорем § 6 этой главы и
многих других интересных следствий детерминированности. — Прим,
перев.
Добавление
ПРОЕКТИВНАЯ ИЕРАРХИЯ Н. Н. ЛУЗИНА:
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ
В. Г. Кановей
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................273
Введение ......................................................274
§ 1.	Классическая теория...........................................278
$ 2.	Приложения конструктивности...................................299
§ 3.	Неразрешимые свойства регулярности множеств первого и второго
уровней проективной иерархии ..................................... 318
§ 4.	Модели Леви — Соловея.........................................333
§ 5.	Генерические расширения с помощью «почти дизъюнктных множеств» 350
Литература ....................................................360
Предисловие
Издательство «Наука» предложило переводчику написать
добавление к настоящей книге с целью осветить разделы теории
множеств, недостаточно отраженные в тексте книги.
Первоначально переводчик думал написать небольшие до-
бавления к некоторым главам, освещающие последние работы
в соответствующих разделах, но отказался от этого плана по
следующим причинам.
К первым двум главам нет смысла писать добавление: фун-
даментальная информация по основаниям теории множеств и
аксиоме выбора содержится в переведенных на русский язык
книгах Коэна [1], Йеха [1], Шенфилда [1],Куратов-
ского и Мостовского [1].
Седьмая глава относится, по существу, к топологии, и пере-
водчик не счел себя в достаточной степени квалифицированным
для того, чтобы писать к’ней какое-либо добавление.
Главы 3—6 дают вполне достаточное введение в соответ-
ствующие разделы теории множеств. Они содержат доказатель-
ства как относительно простых, так и весьма сложных теорем
(к последним относится, например, теорема Сильвера о сингу-
лярных кардиналах из § 5 гл. 3 и теоремы о «тонкой структуре»
из гл. 5). Отдельные результаты, оставленные без доказа-
тельств, снабжены ссылками на доступную оригинальную и
обзорную библиографию. В связи с этим переводчик решил от-
274
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
носительно этих глав ограничиться указанием дополнительной
литературы к главам 3 и 4 с краткими комментариями к ней.
Последняя глава 8, посвященная дескриптивной теории мно-
жеств, носит совершенно иной характер. Подавляющее боль-
шинство теорем оставлено в ней без доказательства, а некото-
рые из немногочисленных имеющихся доказательств редуциро-
ваны до состояния, требующего от читателя серьезной само-
стоятельной работы для их понимания. По существу, автор гл. 8
ограничился изложением основных классических результатов и
следствий аксиомы детерминированности и аксиомы проектив-
ной детерминированности, связанных с принципами предупоря-
дочения, редукции и униформизации, а также с обобщенными
суслинским и борелевским представлениями проективных мно-
жеств. Таким образом, практически вне рамок этой главы оста-
лись результаты и методы таких основных разделов дескрип-
тивной теории множеств, как:
теория однозначных и счетнозначных множеств первого и
второго уровней проективной иерархии, созданная работами
Н. Н. Лузина, его учеников и последователей;
дескриптивная теория множеств в предположении аксиомы
конструктивности, создание которой начато работой П. С. Но-
викова [6];
теория неразрешимых свойств регулярности множеств клас-
сов П{ и Si,
дескриптивная теория множеств в моделях Леви — Соловея;
приложения метода вынуждения для доказательства непро-
тиворечивости некоторых предложений дескриптивной теории
множеств и др.
Таким образом, глава 8 давала бы весьма поверхностное
представление о развитии и современном состоянии дескрип-
тивной теории множеств Поэтому переводчик счел возможным
и необходимым написать добавление, восполняющее в той или
иной степени отсутствие информации по названным разделам.
Добавление не касается таких разделов дескриптивной теории
множеств, как теория операций над множествами, теория боре-
левских классов, дескриптивные следствия больших кардиналов
и аксиомы детерминированности, по причинам, изложенным
ниже во введении.
Введение
Лебег [1] предложил начать изучение множеств и функ-
ций, «которые можно назвать». Этим была в целом определена
проблематика дескриптивной теории множеств: исследование
таких множеств, которые можно «назвать», «эффективно по-
строить», «определить» и т. п. Круг таких множеств вначале
ВВЕДЕНИЕ
275
ограничивался борелевскими множествами. Работы Бореля, Ле-
бега, Бэра, Валле-Пуссена и др. по теории борелевских мно-
жеств не дали, однако, ответа на центральный в свете проб-
лемы континуума вопрос о мощности этих множеств: может ли
борелевское множество служить контрпримером к континуум-
гипотезе?
Этот вопрос был решен П. С. Александровым в 1916 г. с по-
мощью A-операции. С этого момента начинается этап развития
дескриптивной теории множеств, неразрывно связанный с име-
нем Н. Н. Лузина. Лузин, а также Суслин, Серпинский и др.
исследовали класс A-множеств, получающихся из борелевских
множеств с помощью A-операции. Было установлено, что каж-
дое A-множество измеримо по Лебегу, обладает свойством Бэра
и свойством совершенного ядра. Были получены также основные
структурные принципы класса A-множеств и класса СА-мно-
жеств (дополнений к A-множествам). Наконец, был установлен
фундаментальный характер операции проекции: А-множества
оказались в точности проекциями борелевских множеств, т. е.
^’-множествами, а СА-множества— ^-множествами. Теория
классов 2! и А} приняла законченный вид в монографии Лу-
зина [2].
Однако изучение вопроса о мощности и совершенном ядре у
П}-множеств, а также вопроса об измеримости и свойстве Бэра
у множеств второго уровня проективной иерархии натолкнулось
на непреодолимые трудности. Анализируя причины этих труд-
ностей, Лузин указал на чрезвычайно неэффективный характер
связки «проекция — дополнение», с помощью которой проектив-
ные множества получаются из борелевских. Нельзя не уди-
виться, что задолго до появления современных методов Лузин
![3] (1925 г.) был убежден, что «неизвестно и никогда не будет
известно», измеримо ли каждое проективное множество, имеет
ли оно свойство Бэра или свойство совершенного ядра. В своих
работах тридцатых годов Лузин дал глубокий анализ трудно-
стей теории проективных множеств и поставил ряд проблем,
одни из которых определяли развитие дескриптивной теории
на протяжении десятков лет, а другие ждут еще своего ре-
шения.
В то же время в работах П. С. Новикова, М. Кондо, К. Кура-
товского и др. была разработана структурная теория второго
уровня проективной иерархии. Этим классическая дескриптив-
ная теория множеств приняла в целом законченный вид:
были доказаны основные свойства проективных множеств
и были выделены проблемы, решение которых в классическом
смысле казалось (и оказалось) невозможным. Основные дости-
жения классической теории изложены в § 1 нашего обзора.
276
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Подводя итоги классического этапа развития дескриптивной
теории множеств, Лузин в заключении к своей монографии [1]
пишет:
«Только два случая возможны:
Или дальнейшие исследования приведут когда-нибудь к точ-
ным соотношениям между проективными множествами, а так-
же к полному решению вопросов относительно меры, категории
и мощности этих множеств...
Или указанные проблемы... останутся навсегда нерешенны-
ми, и к ним добавится множество новых проблем, столь же
естественных и столь же недоступных. В этом случае ясно, что
пришло время провести реформу в наших идеях об арифмети-
ческом континууме».
Как мы знаем теперь, реализуется именно вторая альтерна-
тива. Не касаясь разнообразных конструктивистских изысканий,
можно выделить три основных направления той «реформы», о
которой писал Лузин:
использование дополнительных аксиом,
изучение связей между неразрешимыми предложениями, не
имеющими ранга аксиом,
перенос акцента на доказательства непротиворечивости.
Из интересных дополнительных аксиом можно отметить ак-
сиому конструктивности V — L и ее варианты, аксиому детер-
минированности AD и ее варианты и аксиомы, связанные с
большими кардиналами. Подробное изучение дескриптивных
следствий аксиомы конструктивности начато Новиковым
[6], давшим в предположении V = L примеры неизмеримого
Аг множества и несчетного П{-множества без совершенного
ядра, а также указавшим некоторые приложения к структурной
теории (принципы отделимости). В § 2 нашего обзора изложена
теория свойств регулярности и структурных принципов в пред-
положении аксиомы конструктивности.
С появлением в шестидесятые годы метода вынуждения и
принципа абсолютности стал возможным более детальный ана-
лиз контрпримеров Новикова, на основе которого был получен
ряд результатов, связывающих неразрешимые свойства регу-
лярности (§ 3 нашего обзора). Одним из результатов в этой
области является теорема о том, что из существования неизме-
римого З^-множества следует существование несчетного nJ-мно-
жества без совершенного ядра. Посылка и заключение этой
теоремы неразрешимы средствами аксиом ZFC. Интересно, что
известные доказательства этой и некоторых других теорем та-
кого же вида, в которых речь идет только о проективных мно-
жествах, основаны на идеях, выходящих за рамки проективной
иерархии: конструктивность, принцип абсолютности, метод вы-
ВВЕДЕНИЕ	277
нуждения. Здесь можно видеть аналогию с упомянутой выше
теоремой Александрова о мощности борелевских множеств, для
доказательства которой пришлось выйти за рамки борелевской
иерархии.
Наконец, о доказательствах непротиворечивости (независи-
мости, невыводимости). Можно указать два основных способа
доказательства непротиворечивости того или иного предложе-
ния. Первый состоит в выводе этого предложения из другого
предложения (или аксиомы), непротиворечивость которого
установлена заранее (как, например, V = L, гл. 5) или счи-
тается по тем или иным причинам априорной (как в случае
аксиом типа AD, гл. 8). В частности, вывод какого-нибудь пред-
ложения из V = L автоматически влечет его непротиворечи-
вость.
Второй способ состоит в построении генерических моделей.
Мы представим в § 4 самую, пожалуй, интересную с точки зре-
ния приложений к проективной иерархии генерическую мо-
дель — модель Леви — Соловея, в которой все проективные
множества измеримы, обладают свойством Бэра и свойством
совершенного ядра.
В семидесятые годы были разработаны методы построения
генерических моделей, содержащих проективные множества с
«необычными» свойствами: полное Пг упорядочение длины
(02 некоторого Пг-множества (в то время как всякое полное
^-упорядочение имеет длину <(о2), неконструктивное Аз-мно-
жество натуральных чисел (в то время как всякое ^-множество
со конструктивно) и др. Один из таких методов, введенный
Йенсеном и Соловеем, излагается в § 5.
Таково содержание нашего обзора. Кратко о разделах де-
скриптивной теории, не представленных в нем. Параллельно с
развитием теории проективных классов в двадцатые и тридца-
тые годы проводились исследования по структуре борелевских
классов (М. А. Лаврентьев, Л. В. Келдыш, позже А. Д. Тайма-
нов и др.) и исследования по теории операций над множества-
ми, в результате которых возникла теория R-множеств
(А. Н. Колмогоров, Л. В.'Канторович, Е. М. Ливенсон, П. С. Но-
виков, А. А. Ляпунов и др.). Более подробная информация и
обширная библиография по этим разделам приведены в преди-
словии В. Я. Арсенина, 3. И. Козловой, А. Д. Тайманова к
книге: Ляпунов А. А. Вопросы теории множеств и теории
функций. —М.: Наука, 1979.
Среди более современных разделов дескриптивной теории
множеств в нашем обзоре не представлены дескриптивные след-
ствия аксиом больших кардиналов и аксиом детерминированно-
<278
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
сти и проективной детерминированности. Читатель может по-
лучить достаточную информацию по этим разделам из §§ 5 и 6
гл. 8 (включая указанные там работы), а также из статьи Кек-
риса, добавленной при переводе к библиографии гл. 8.
Развитие классической дескриптивной теории множеств со-
провождалось дискуссиями философско-математического по-
рядка: об эффективности, о «законности» тех или иных матема-
тических построений, о бесконечности, об аксиоме выбора
и г. п. В этих дискуссиях приняли участие крупнейшие матема-
тики— Адамар, Картан, Борель, Лебег, Лузин и др. Мы опу-
стили эти дискуссии, но настоятельно рекомендуем читателю,
желающему глубже понять существо теории множеств, ознако-
миться с ходом этих дискуссий в работах Л уз и н а [1], [4], [10].
§ 1. Классическая теория
В этом параграфе представлены «классические» теоремы
дескриптивной теории множеств. Все эти теоремы относятся к
первому и второму уровням проективной иерархии.
Свойства регулярности Sl-множеств (Александров, Хаус-
дорф, Суслин, Лузин), теория конституант, теоремы отделимо-
сти, принцип сравнения индексов (Лузин и Серпинский, Лузин,
Новиков), теория однозначных и счетнозначных Aj-множеств
и 2}-множеств (Лузин, Новиков) составили замечательную
теорию классов первого уровня проективной иерархии, приняв-
шую законченный вид в монографии Лузина [1] (1930 г.).
Исследование второго уровня иерархии начато работами
Новикова, Куратовского, Лузина, Ляпунова, Лузина и Нови-
кова, Кондо. Эти работы касались в основном принципов уни-
формизации, редукции и отделимости. В то же время некото-
рые вопросы, относящиеся к счетнозначным и однозначным
множествам классов Аз и S2, оставались открытыми (см. Но-
виков, Келдыш [1]). В предлагаемом обзоре этот пробел
заполняется.
Общий обзор структурной теории в свете проблем, постав-
ленных Лузиным [1], дается в п. 7. Все эти проблемы (за
одним исключением, где ситуация неясна) оказываются разре-
шимыми в классическом смысле для первого и второго уровней
проективной иерархии, но, по-видимому, неразрешимыми (т. е.
недоказуемыми и неопровержимыми) для уровней, начиная с
третьего.
1. Класс S]: свойства регулярности. Этот класс достаточно
хорош, так как не содержит таких «патологических» объектов,
как несчетные множества без совершенных подмножеств, неиз-
меримые множества, несчетные полные упорядочения. Изложе-
$ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ	27$
ние этих результатов мы начнем замечательной теоремой о со-
вершенном ядре (Александров [2],Хаусдорф [1], Сус-
л и н [1]).
1.1. Теорема. Каждое несчетное ^[-множество содержит
совершенное подмножество, называемое также совершенным
ядром.
Доказательство этой теоремы основано на следующей
лемме:
1.2. Лемма. Пусть множество P^Im непусто и замкнуто,
а функция F: P-+I непрерывна, причем образ F”Q= {F(a):
а е Q} всякого непустого открытого в Р множества Q Р со-
держит не менее двух точек. Тогда множество F”P содержит
совершенное ядро.
Вывод теоремы из леммы. Пусть 2}-множество
А I несчетно. По определению А является проекцией, т. е.
непрерывным образом, замкнутого множества Р I2: А = F”P.
Согласно теореме Бэра — Хаусдорфа, см. Александров [1],
с. 161, найдется максимальное открытое в Р множество Q^P
такое, что F”Q счетно. Тогда множество Р' = Р — Q замкнуто,
удовлетворяет условию леммы, а разность F"P— F”P' не более
чем счетна. □
Доказательство леммы. Все пространства 1т гомео-
морфны; поэтому ограничимся случаем т=\. Из условия
леммы и хаусдорфовости пространства I следует, что если
о е Seq !) таково, что множество Ра = {а е Р: о а} непусто, то
найдутся Qi, аг Seq, удовлетворяющие следующим соотноше-
ниям:	а <= ст2, =/= 0, ₽„,=# 0, (^Х.) И (^”Лт2) = 0-
Поэтому можно построить семейство {ое: ee<(02}^Seq (где
< ю2 Seq — совокупность всех конечных последовательностей
О и 1) со следующими четырьмя свойствами:
1)	сго = О> где 0 —пустая последовательность (т. е. последо-
вательность длины 0);
2)	каждое из множеств Рое, е^<о2, непусто;
3)	ое сгеЛо и ое сгеЛ1 для всех ее=<(й2;
4)	0 для всех ее=<(й2.
(Замечание, e^i есть продолжение е числом Z, т. е.
е Л i = е U {{k, /)}, где k = dom е — длина последовательности е.)
Образ множества Р' = A U ?ое есть искомое совершенное
те© еет2
ядро множества F’P. □
!) Определение Seq и некоторые другие определения мы берем из гл. 8.
280
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Второе фундаментальное свойство 2[-множеств дается сле-
дующей теоремой Лузина [2] об измеримости:
1.3. Теорема. Каждое ^{-множество измеримо по Лебегу.
Доказательство. Рассмотрим ^-множество А = Р’Р,
где Р^1 замкнуто, а функция F: P-+I непрерывна. Пусть
верхняя мера ре(Л) множества А равна р > 0. Достаточно для
каждого е > 0 найти такое замкнутое множество Х^А, что
р(Х)^р —е, где р(Х)—мера Лебега множества X /, см.
§ 3 гл. 8.
Для каждого k е со введем множество
Ek — {« Р- а (0) k}.
Ясно, что	... и U Ek = P. Следовательно, найдется
fee (О
такое йо, что множество = Е^ удовлетворяет неравенству
(^”£(0)) (р — е) + е/2. Совершенно аналогично мы можем
подобрать такое что множество
£(0 = {« е Ео- а(1)<6,}
удовлетворяет неравенству ре (F £(1)) (р — е) + е/4 и т. д.
В конечном счете получим последовательность й0, k[t k2t ...
такую, что для любого tn множество
Е.т =	а(0)<60, а(1)<^|, . ..,а(тХ km)
удовлетворяет неравенству
— е> + e/2m+t-
Для каждого m введем открытое покрытие
Хт = {? е- /: За е Ет (F (а) I1 т = 0 f т}}
множества	Из последнего неравенства следуе<
(Хт) = р (Хт) >(р - 8) + e/2m+l.
Отметим, также, что Хо э э ... Значит, П®-множество.
X — П измеримо и имеет меру р(Х)^ц — в.
тео)
Осталось доказать X s F ”P. Пусть 0 е X. Для каждого т
найдется такое ат^Е(т), что F (ат^ f /п = Р f т. При
будетат(/)^&/. Поэтому в силу леммы Кёнига (лемма 4.7 гл. 3),
применяемой к дереву {ат } /:	©}, последовательность
точек ' 0, аь а2, ... имеет ' предельную точку а. Имеем аеР
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
281
так как Р замкнуто, и F(a) = 0, поскольку функция F непре-
рывна. □
Теперь о полных упорядочениях. Витали дал с помощью
аксиомы выбора пример неизмеримого подмножества М еди-
ничного отрезка [О, 1], см. § 3 гл. 2. При наличии полного
А„-упорядочения < отрезка [0, 1] мы можем построить неиз-
меримое множество М [0, 1] этого же класса А^, выбрав по
<-наименьшему элементу из каждого класса ~-эквивалент-
ности. С помощью стандартного вложения I в иррациональные
числа этот результат можно перенести и на пространство 1:
1.4.	Теорема (Витали — Серпинский). Если существует
полное ^упорядочение пространства I, то существует неизме-
римое множество X s / класса А„.
1.5.	Следствие. Нет полных 2}-упорядочений и полных
Н\-упорядочений пространства /.
Доказательство. Полное упорядочение пространства /
класса 2} или П} необходимо принадлежит и классу А}, так как
a < Р П (Р < « V Р = «). □
Для класса 2} известен следующий более сильный результат:
1.6.	Теорема. Каждое фундированное ^[-отношение на 1
имеет длину < <oi. Следовательно, каждое полное ^гупорядо-
чение некоторого множества I имеет счетную длину, г. е.
счетную область.
Доказательство Пусть, напротив, фундированное
2ротношение < имеет длину an. Рассмотрим произвольное
неборелевское Прмножество А = {а: отношение	фун-
дировано} (см. теорему 2.17 гл. 8). Имеем
А = {ае /: существует функция f: XaR —>I такая, что а т—►
-> f (о) <f (т) для всех а, т <= XaR}.
Отсюда нетрудно получить А е 2} — противоречие. □
2.	Класс П}: теория конституант. Глубокий анализ проб-
лемы совершенного ядра- у несчетных Прмножеств привел
Лузина к созданию замечательной теории конституант nj-мно-
жеств, некоторые проблемы которой до сих пор не решены, см.
§ 3. Напомним, что каждое Пр множество А ^1 имеет вид
А = {a I: отношение -< f Ха₽ фундировано}
для некоторого множества К Seq2 (теорема 2.18 гл. 8).
282
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
2.1.	Определение. Множество Л, определенное этим ра-
венством, обозначим через [/?]. Если p<coi, то положим
[/?]ц={а: отношение f (XaR— {0)} фундировано и имеет длину ц}.
Множество [/?]ц называется ц-й конституантой множества [/?].
Историческая справка. Конституанты, даваемые
этим определением, называются явными конституантами, см.
Лузин [6]. Значительно чаще в работах 20-х и 30-х годов
встречается другое определение конституант, в котором за ос-
нову берется не длина отношения Г(Хая— {0}), а порядковый
тип множества XaR — {0} в смысле специального линейного
упорядочения <дс Лузина — Серпинского, которое определяет-
ся на Seq следующим образом:
а<лстч^а<т
V 3m < dom о, dom t(q f /п = т f /и A a(/n) < т (m)).
Для любого X Seq справедлива эквивалентность
X фундировано X вполне упорядочено в смысле порядка <лс.
Нетрудно проверить, что множество Seq—{0} с порядком
< лс порядково изоморфно множеству Q всех рациональных
чисел с их естественным порядком. Зафиксируем порядковый
изоморфизм f: Seq — {0} на Q и определим
/?г = {а: rl(r)^XaR}(sI)
для каждого reQ. Семейство </?r: reQ> называется решетом.
Имеет место равенство
[/?] = {а: множество /?(а) = {г: а е /? J вполне
упорядочено в смысле естественного порядка на Q}.
Следующее множество:
{а: 7?(а) вполне упорядочено и имеет порядковый тип р}
называется р-й действительной конституантой П}-множества [/?],
см. Лузин [6]. Исторически определение явных конституант
(Суслин [1], Лузин и Серпинский [1]) предшество-
вало определению действительных конституант. Предпочтение
было отдано действительным конституантам в связи с тем, что
они допускают естественную геометрическую интерпретацию:
точки пространства / изобразим иррациональными точ-
ками действительной прямой, решето изобразим плоским мно-
жеством R' = .{<а, г>: ае/?г}; тогда каждое множество /?(*)
$ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
253
изображается сечением множества /?' вертикальной прямой
х — а.
Отметим, что в исследовании некоторых вопросов, связан-
ных с положением конституант в борелевской иерархии, исчер-
пывающие результаты удается получить лишь для явных кон-
ституант, см. Лузин [6]. В целом же свойства консти-
туант обоих видов совпадают; в частности, все результаты
п. 2 остаются справедливыми и для действительных консти-
туант.
2.2.	Лемма. Конституанты [/?] ц суть попарно непересекаю-
щиеся борелевские множества; [/?] = (J [/?]и.
Доказательство. Борелевость конституант доказыва-
ется аналогично лемме 2.21 гл. 8. □
Следующая теорема Лузина [1] занимает центральное
место в теории конституант:
2.3.	Теорема. Прмножество имеет совершенное ядро,
если и только если одна из его конституант несчетна.
Доказательство справа налево тривиально: если консти-
туанта [/?] ц несчетна, то содержит совершенное ядро в
силу 2.2 и теоремы 1.1. А обратная импликация вытекает из
такой леммы:
2.4.	Лемма (принцип ограничения Лузина—Серпинского
[1]). Если Ъ\-множество В включено в П\-множество [/?], то
найдется такое р < соь что В (J [/?]v.
V<H
Доказательство. В противном случае отношение < на
множестве В, определенное условием
а < р <-> длина [ Ха/? меньше длины f
было бы фундированным ^-отношением длины ам (см. гл. 8,
доказательство теоремы 3.7), что противоречит 1.6. □
2.5.	Следствие. Прмножество [/?] является борелев-
ским, если и только если- найдется такой ординал р < соь что
= 0 для всех v р.
Для построения в § 2 некоторых контрпримеров к свойствам
регулярности нам понадобятся следующие две технические
леммы:
2.6.	Лемма. Пусть ^-множество А [/?] выбирает по
одному элементу из каждой непустой конституанты [7?] данного
неборелевского Прмножества [/?]. Тогда А несчетно и не со-
держит совершенного ядра. Кроме того, существует полное
Ир упорядочение некоторого несчетного Прмножества.
Доказательство. Множество А несчетно в силу 2.5 и
не имеет совершенного ядра в силу 2.4. Далее, как отмечено в
284
ДОБАВЛЕНИЕ О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
доказательстве теоремы 3.7 гл. 8, найдется бинарное Еротно-
шение такое, что
а Р *-> длина < f XaR не больше длины << |
каковы бы ни были а, р е [/?]. Определим
а<рч->а, р (= [/?] А ~1Р<а.
Тогда < будет Протношением, вполне упорядочивающим А по
типу ©ь Согласно следствию 4.22 гл. 8 можно подобрать Пр
множество Р /2 так, чтобы
А = {а: ЗрР (а, р)} и Р (а, р) Д Р(а, у) -*Р = Y-
Упорядочим множество Р так:
(а, Y> < * <Р> ^а<РДР(а, у) Д Р (р, д).
Нетрудно проверить, что <* есть полное П}-упорядочение nJ-
множества Р. □
2.7.	Лемма. Если существует несчетное ^множество без
совершенного ядра, то существует и несчетное Пр множество
без совершенного ядра.
Доказательство. Пусть несчетное ^-множество A sI
не содержит совершенного ядра. Как и в доказательстве 2.6,
найдется Прмножество Ps/2 такое, что А = {а: ЗрР(а, Р)}
и Р(а, р)АР(а, у)->р = у. Это множество несчетно и не со-
держит совершенного ядра, так как в противном случае и мно-
жество А содержало бы совершенное ядро по теореме 1.1. □
Таким образом, для построения таких «патологических» мно-
жеств, как несчетное П1Гмножество без совершенного ядра
или полное Прупорядочение несчетной длины, было бы доста-
точно построить Sr множество, выбирающее ровно по одной
точке из каждой непустой конституанты какого-нибудь небо-
релевского Прмножества. В частности, хватило бы несчетного
Пр множества, каждая конституанта которого содержит не бо-
лее одной точки. Однако исследование вопроса существования
таких множеств, предпринятое в дескриптивной теории в 20-е
годы, не дало результатов: ни доказательство, ни опровержение
существования несчетных П1гмножеств со счетными (или одно-
элементными) конституантами не было получено. Мы вернемся
к конституантам Пр множеств в §§ 2, 3, где покажем, что пред-
ложение о существовании П}-множеств указанных видов нераз-
решимо средствами теории ZFC.
3.	Принципы отделимости. Формулировка первого и второго
принципов отделимости для произвольного точечного класса Е
§ 1 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
285
дается следующим определением (Лузин [1], [4], Аддисон
[1], К у р а т о в с к и й и Мостовский [1]).
3.1.	Определение. Принцип Г-отделимости: для любой
пары непересекающихся Г-множеств А, В Im найдется такое
множество U е Г П Г, U	что A<=U и B(]U = 0.
Принцип Г-отделимости-2-. для любой пары Г-множеств
А, В <=Лт найдется пара непересекающихся f-множеств Д', В'
£= !т таких, что А —В ^А' и В — А В'.
Напомним, что Г есть класс дополнений множеств из Г.
3.2.	Теорема (Л уз и н [I], [4] для класса 2}, Новиков [I]
для класса П[, Новиков [4] для классов 2г и П|). Принципы
отделимости справедливы для классов 2} и П1 и соответствующих
эффективных классов, но не имеют места для дуальных классов
п; и 21.
Доказательство положительной части этой теоремы полу-
чается из результатов 3.4, 3.7, 4.12 гл. 8 переходом к дополне-
ниям. Отрицательная часть вытекает из следующей леммы,
фактически установленной в ходе доказательства теоремы 3.2
гл. 8:
3.3.	Лемма. Если класс Г таков, как указано в теореме 3.2
гл, 8, то из V-редукции следуют отрицания обоих принципов
отделимости для класса Г.
Принцип редукции был введен и исследован Куратов-
ским [1] уже после доказательства теоремы 3.2. В основе всех
известных доказательств положительных утверждений теоре-
мы 3.2 (кроме принципа 21-отделимости) лежит тот или иной
вариант принципа предупорядочения для классов и 21. От-
метим, что принципы предупорядочения для этих классов в не-
сколько иной форме были известны в классической теории как
принципы сравнения индексов Новикова [1], [4].
3.4.	Следствие. Пусть ^[-множество А включено в Пг
множество В^1. Тогда найдется такое множество U, что
A^U^B.
Доказательство. Применим 2}-отделимость к мно-
жествам А и В. □
3.5.	Упражнение (Лузин [1]). Докажите теорему 2.20
гл. 8 с помощью принципа 2}-отделимости. Докажите сам этот
принцип с помощью леммы 2.4.
3.6.	Вопрос (Лузин [7]). Множества А, В I назовем
Дгнеотделимыми, если нет такого Дрмножества U, что А U
и В fl (7 = 0. В силу теоремы 3.5 существует пара непере-
286
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
секающихся Д}-неотделимых П}-множеств. Верно ли, что для
всякого неборелевского Прмножества А найдется такое nJ-мно-
жество В, не пересекающееся с Л, что А и В являются Aj-не-
отделимыми?
Обобщением принципов отделимости на случай более чем
двух множеств являются принципы кратной отделимости. На-
пример, справедливо следующее обобщение принципа 21-от-
делимости: если 2}-множества Хо, Х\, Аг, ••• имеют пустое
пересечение, то существует семейство Uo, СЛ, САг, ... множеств
класса Д} вновь с пустым пересечением такое, что Xi^ lh для
всех L Более подробно см. Лузин [8], Новиков [2], [3],
Ляпунов [2].
4.	Классы Д1 u Sj: теория однозначных и счетнозначных
множеств.
4.1.	Определение. Если Р<=Л2, то через пр Р обозначим
проекцию множества Р в смысле гл. 8 (на первую ось), т. е,
прР = {а: Вр?(а, Р)}.
4.2.	Определение. Множество Р^/2 называется одно-
значным, если каждое его сечение Ра = {₽: Р(а, ₽} содержит
не более одной точки. Множество Р <=12 называется счетнознач-
ным, если каждое сечение Ра не более чем счетно. Однозначное
множество Ре/2 называется кривой, если пр Р =/.
Однозначные множества — это частичные функции из / в /,
а кривые —всюду определенные функции (или, если угодно, их
графики). Ляпунов [1] называет однозначные и счетнознач-
ные множества соответственно униформными и счетноформ-
ными.
Структурная теория однозначных и счетнозначных множеств
классов Д11 и Si, восходящая к Лебегу [1], приняла заклю-
ченный вид в главах 3 и 4 монографии Н. Н. Лузина [1].
Основные положительные результаты этой теории содержатся
в следующих теоремах:
4.3.	Теорема (Лузин [1]). Каждое ^-множество X I
является проекцией некоторого однозначного множества Р /2
класса По.
4.4.	Теорема (Лузин [1], Новиков [1]). Проекция
любого счетнозначного ^-множества Р^12 принадлежит клас-
су д*.
£.5. Теорема (Лузин [ 1 ], Г ливенко [1]). Каждоеодноз'
начное ^{-множество Р £2 /2 можно вложить в кривую
класса А{.
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
287
4.6.	Теорема (Лузин [1]). Каждое счетнозначное ^-мно-
жество можно вложить в счетнозначное ^-множество.
4.7.	Теорема (Лузин [1]). Каждое счетнозначное /^-мно-
жество P<=J2 является объединением счетного числа попарно не-
пересекающихся однозначных А}-множеств. То же для класса
вместо А}.
Об отрицательных результатах см. ниже.
Теоремы 4.3 и 4.4 дают замечательную характеризацию
А}-множеств: множество Х<=1 является борелевским, если и
только если оно есть проекция однозначного П^-(т. е. замкну-
того) множества (Лузиц). Перейдем к доказательствам.
Доказательство теоремы 4.3 несложно. Через К
обозначим класс всех проекций однозначных I1J-множеств.
Нетрудно проверить, что класс всех борелевских множеств /
является замыканием класса всех Щ-множеств / относи-
тельно таких двух операций: счетное пересечение и счетное
объединение попарно непересекающихся множеств. Поэтому,
так как каждое По-множество Хд/, очевидно, принадлежит К,
то для доказательства теоремы 4.3 достаточно доказать сле-
дующие две леммы:
4.8.1.	Лемма. Если Х2, • •. К, то Х\ П Х2 А ... е К.
4.8.2.	Лемма. Если множества XQ, Х\, ... попарно не
пересекаются, то Хо U U • • • К.
Доказательство леммы 4.8.1. Пусть каждое Xi есть
проекция пр Pi однозначного По-множества Р/^/2. Образуем
в бесконечномерном пространстве множество
Р' = {(*о,	х2, ..Р{ (х0, х\) А P2U0, *2) А ..
Положим также
Р = {{х0, G «хь хъ, ...))): (х0, хь х2, ...)<= Р'},
где G — какой-нибудь гомеоморфизм /w"{0} на /. Построенное
множество Р принадлежит По и однозначно, а его проекция
совпадает с пересечением всех множеств Xi. □
Доказательство леммы 4.8.2. Пусть снова Xi =
= пр Р^ где каждое Р/ /2 однозначно и принадлежит классу
nJ. Не ограничивая общности, можно предполагать, что
РДа, p)->p(O) = z. В качестве искомого однозначного ^-мно-
жества Р, проекция которого совпадает с объединением всех
Xi, возьмем объединение всех Pi. □
Доказательство теоремы 4.3 закончено. □
Доказательство теоремы 4.4, которое мы предста-
вим здесь, опирается на некоторые результаты «эффективной»
288
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
теории. Лузин [1] и Ляпунов [1] дают другое доказатель-
ство.
4.9.	Лемма (Роджерс [1]). Пусть п е I и множество
Р Г2 принадлежит классу П}’я. Тогда множество {а:3ре
еА}’а‘яР(а, р)} принадлежит классу П},п.
Доказательство. Для простоты параметр л опускаем.
Используя вариант теоремы 4.9 гл. 8, можно подобрать Пр мно-
жество £/^/Х<о3, удовлетворяющее следующему условию:
если а е / и множество х s со2 принадлежит классу П}’а, то
найдется такое п^ю, что
x = Uan = {{k, I): U (а, nt k, /)}.
Рассмотрим U как подмножество пространства (/Х<о2)Х«.
Теорема униформизации 4.20 гл. 8 применима и в этой ситуации.
Она дает Прмножество V (7, удовлетворяющее при любых
ае / и п, Аеш следующей импликации:
3lUan(k, Z)->3!ZVan(fc, Z).
Таким образом, каждое множество Van = {<#, Z>: V(a, и, k, I)}
является «частичной» функцией, униформизующей множест-
во (Jan-
Для каждого a е 1 имеем
30 е= а!' аР (а, 0) 3n (dom Van = ® A Р (a, Уа»))
(В самом деле, по выбору U и V каждое Р е IП А}’а имеет вид
Vart для некоторого п, и, наоборот, если dom Vart = то Va„e А}’ а,
так как Vart (Л, Z) <-> VZ' (I' #= Z -> ~| Van (k, Z')).)
Bn (dom Van = со A VP (Р = Van -> Р (a, Р))).
Теперь равенство p = Vart заменим выражением
VM(Z#=P(£) -> nVaft(^,Z)). □
4.10.	Следствие. Множество {(а, у): у е А}’а} принадлежит
классу nJ. Если ае/, то множество А}*а П I принадлежит
классу П}’ а.
Доказательство, у^ A}’ a <-> BP s A}’a (Р = Y)- □
Таким образом, разность / —Aj*a является, очевидно, не-
пустым 2}’а-множеством, не содержащим ни одной А}’а-точки.
Следующая лемма показывает, что счетных Si’ “-множеств та-
кого рода нет.
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
289
4.11.	Лемма. Если ае/ и S}’“-множество А^1 не вклю-
чено в А}’“, то А содержит совершенное ядро.
Доказательство. В силу 4.10, не ограничивая общно-
сти, предположим, что пересечение A f] Д}’“ пусто. Пусть А есть
проекция По “-множества Р /2. Заметим, что проекция каж-
дого непустого открытого в Р множества Q е Р содержит не
менее двух точек (в противном случае единственная точка
Si* “-множества пр Q принадлежала бы классу Д}’ “, см. дока-
зательство 4.23 гл. 8). Теперь лемма следует из леммы 1.2. □
4.12.	Следствие. Если ае/, то каждое счетное ^'^-мно-
жество А I включено в Д}* “.
Доказательство теоремы 4.4. Пусть счетнозначное
множество Р^Р принадлежит классу Д}, т. е. классу Д1’л для
некоторого ле/. Из 4.12 следует включение
?<={<«,₽): 0еД1’я’“}.
Значит, проекция нашего множества
пр P = {a: ЗуР (а, у)} = {а: 30 «= Д}’“Р (а, 0)}
является П}’"-множеством согласно 4.9. Но, очевидно, пр Ре
Доказательство теоремы 4.5. Рассмотрим одно-
значное ^{-множество Р s /2. Через < обозначим лексикогра-
фический линейный порядок на I. Нетрудно проверить, что мно-
жества
Pi = «а, 0): Зу < 0Р (а, у)}, Р2 = «а, 0): Зу > 0Р (а, у)}
принадлежат классу 2J, причем (Р (J Pi) П Р%— 0- Следовательно,
мы можем использовать принцип Sj-отделимости (теорема 3.2)
и найти такое Д*-множество U^f, что Р U P^Ult но Р2Л £Л=0.
Совершенно аналогично найдется такое Дрмножество U2 s I2,
что P\]P2^U2 и Р]П^2 = 0- Пересечение U — UlnU2 при-
надлежит классу Д}, причем P^U и для каждого ае прР
существует и единственно такое 0, что U (а, 0) (именно, то 0,
для которого выполняется Р(а, 0)).
Рассмотрим Si-множество
S = {а: 30Эу (0 #= у A U (а, 0) Д U (а, у))}.
Ясно, что SflnpP = 0, и поэтому в силу Si-отделимости най-
дется Д!-множество £>sZ такое, что npPsD и S(]D—0>
Ю Справочная книга, ч. II
290
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Положим
Q' = {<«, Р): а е О А (а, р)}, Q = Q' (J {{а, а0)- а пр Q'},
где ао==а)Х{О}- Множество Q искомое: принадлежность Q к
классу А} нетрудно вывести из теоремы 4.4. □
Доказательство теоремы 4.6. Пусть счетнозначное
множество Р^!2, принадлежит классу 2}, т. е. классу 2}’я
для некоторого л^/. Положим S = {(a, у): у е А}’ я’ а}. Из
4.10 следует 5еП|’а, т. е. 5еП[, а из 4.12 имеем P^S.
Теперь нужно использовать 3.4. □
Доказательство теоремы 4.7 достаточно провести для
множеств класса А};результат переносится на класс 21 тео-
ремой 4.6. Рассмотрим счетнозначное А|-множество Р /2.
Пусть, для определенности, РеА} (случай РеА}’я для про-
извольного ле/ рассматривается аналогично). Идея в сущно-
сти очень проста: каждое сечение Ра={р: Р(а, Р)} включено
в А}’й согласно 4.12, и поэтому П}- множество V из доказатель-
ства леммы 4.9 обеспечивает пересчет в виде V ап всех точек
сечения Ра. Перейдем к деталям.
Рассмотрим множество
S = {(a,p,n): P(a,p)Ap=Van}sPX®.
Имеем S е Д', так как V е П* и
VkVan(k,№
dom Van = <о A Vk, I (Van (k, l)^ I = p (k)).
Поэтому каждое Pn={<a, p>: S(a, P, n)}sP также является
Дг множеством, причем, очевидно, однозначным.
Покажем, что Ps (J Рп. Пусть (а,Р)еР. Тогда РеД',а
песо
по 4.12, и поэтому найдется п такое, что р = Van (см. доказа-
тельство леммы 4.9), т. е. <а, р> е Рп, что и требовалось. □
Доказательства теорем об однозначных и счетнозначных мно-
жествах с помощью методов эффективной теории во многих
случаях выглядят более изящными, чем классические доказа-
тельства (например, из книг Лузина [1], Куратовского
[2], Ляпунова [1]). Особенно хорошо это видно на доказа-
тельстве теоремы 4.7. Классическое доказательство этой теоремы
проходит примерно так. Прежде всего, достаточно установить,
что каждое счетнозначное множество Р ^12 класса По яв-
ляется объединением счетного числа однозначных д{-множеств
(последние делаются попарно непересекающимися тривиальным
образом: вместо Рп берем Рп — (J РХ Доказав этот резуль-
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
291
тат, мы получаем теорему для всех Al-множеств с помощью
теорем 4.3 и 4.4.
Итак, пусть Р /2 счетнозначно и замкнуто. Индукцией по
v < coi определим PQ — Р, и далее
pv+1 = {(а, Р) е Pv: р является предельной точкой
сечения Ра множества Pv},
Рк = A Р\ если X < (Oj предельно.
v<K
Центральным моментом доказательства является лемма Лузина,
утверждающая, что некоторое Р* пусто. Раз так, то наше Р
оказывается объединением счетного числа Al-множеств Pv,
v < р, каждое из которых есть множество с дискретными се-
чениями (т. е. сечения Ра не содержат своих предельных то-
чек). С другой стороны, любое Армножество Q I2 с дискрет-
ными сечениями являются объединением счетного числа одно-
значных А}-множеств Qa, о е Seq, где
Qa = {<а. ₽>: Vy (у = р (Q (а, у) А <т s у))}.
Доказательство борелевости множеств QCT методами класси-
ческой теории само по себе представляет определенные труд-
ности, но легко проводится с помощью леммы 4.9 (пишем
Vye д1, Л вместо у у
где ле/ таково, что Q е А}’л).
4.13.	Следствие (из теоремы 4.7; Новиков [1]). Каждое
счетнозначное (^-множество Р s /2 можно униформизовать А}’
множеством (т. е. подобрать такое однозначное ^[-множество
Q^P, что npQ = npP).
В заключение этого пункта — несколько упражнений, содер-
жащих отрицательные результаты, а также несколько откры-
тых вопросов.
4.14.	Уп ражнение (Новиков [1]). Следствие 4.13
нельзя распространить на произвольные А}-множества Р s I2
и даже на те из них, для которых пр Р = /. Иными слов.ами,
найдется такое ^[-множество Р е /2, что пр Р == /, но Р не
включает ни одной &\-кривой.
Указание. По теореме 3.2 принцип Неотделимости не
имеет места. Пусть Хо, Х{ е / суть два непересекающихся и
Д}-неотделимых П}-множества, а Уо, У1~ их дополнения, при-
надлежащие классу S}.
Пусть Уо = пр PQ, У1=пр где По-множества Pt I2 таковы,
что РДа, Р)~>Р(О) = / для Z = 0,1. Объединение /) = РоиЛ
искомое; в доказательстве этого используется теорема 4.4. □
10*
292
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
4.15.	Упражнение (Лузин [7]). Существует неборелевская
П\-кривая.
Указание. Возьмем неборелевское ^[-множество X S /.
Согласно следствию 4.22 гл. 8 Х = прР для некоторого одно-
значного Прмножества Р^12. Кроме того, очевидно, I — X=npQ
для некоторого однозначного Прмножества Q /2. Не ограни-
чивая общности, предположим, что Р(а, 0)->0(О) = О и Q(a, 0)
—►(3(0)= 1. Объединение Р U Q — искомая кривая. □
4.16.	Вопрос. Верно ли, что каждое счетнозначное замкну*
тое Р I2 является объединением счетного числа однозначных
замкнутых множеств?
4.17.	Вопрос. На счетное число однозначных множеств
какого класса можно расщепить множество {(а, 0): 0 е А}’а}
(очевидно, счетнозначное и принадлежащее П{ по 4.10}?
5.	Теория однозначных и счетнозначных множеств второго
уровня проективной иерархии. Структурная теория второго
уровня проективной иерархии началась с результатов Нови-
кова [4] о том, что принципы отделимости справедливы для
класса П|, но не для 2г, т. е. наоборот по сравнению с первым
уровнем (теорема 3.2). Как показывают следующие теоремы,
основные результаты п. 4 также «обращаются» при переходе
ко второму уровню иерархии.
5.1.	Теорема (Кондо [1]; следствие 4.22 гл. 8). Каждое
Прмножество Р <=J2 содержит однозначное подмножество
Q^P класса П} такое, что пр Q = пр Р (ср. с. 4.16).
5.2.	Следствие. Класс всех ^-множеств I совпадает
с классом проекций всех однозначных П\-множеств, а также с
классом проекций всех счетнозначных ^множеств (ср. с 4.3 и 4.4).
5.3.	Теорема. Существует однозначное ^-множество
Р £ /2, не содержащееся ни в каком счетнозначном множестве
класса Пг(ср. с 4.5, 4.6).
5.4.	Теорема. Существует счетнозначное nJ’множество
Р s /2, не являющееся объединением счетного числа однознач-
ных множеств класса Si(cp. с 4.7).
Доказательство теоремы 5.3 несложно. Рассмотрим
^-множество U^I3, универсальное в том смысле, что совокуп-
ность всех множеств вида Ua — {<0, ?>: Ща, 0, у)} является
в точности совокупностью всех 2гмножеств Р /2. Положим
Z == {(a, 0>: t/(a, а, 0)}. В силу следствия 4.22 гл. 8 найдется
однозначное ^-множество P^Z такое, что npP = npZ. Это
множество Р искомое.
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
293
Отметим, что Новиков и Келдыш [1] построили одно-
значное множество класса S2, не содержащееся ни в каком
однозначном Д1- множестве, с помощью пары Дг-неотделимых
непересекающихся множеств класса Таким же образом
Гливенко [1] дал пример однозначного множества класса
П[, которое нельзя вложить в однозначное множество клас-
са д}.
Для доказательства теоремы 5.4 укажем счетнозначное мно-
жество, которое не является объединением счетного числа одно-
значных множеств. Таким множеством служит
t/(2) = {<a,p>: Р есть характеристическая функция
некоторого 2г’ ^-множества и^®}*
5.5.	Лемма. t/(2) не является объединением счетного числа
однозначных ^-множеств.
Доказательство. Пусть, напротив, С/(2) = U Рот, где
каждое ^г-множество Pm^I2 однозначно. Рассмотрим такое а,
что все множества Рт принадлежат 2г а. Множество {₽: t/2)(a, Р)}
содержит точку р^Дг а, так как 2г а^Дг а. Найдется такое т,
что Р есть единственный элемент множества {р: Рт (a, Р)}.
Согласно выбору а мы получим р^Дга (см. доказательство
следствия 4.23 гл. 8) — противоречие! □
Ниже в п. 13 будет дано доказательство следующей теоремы:
5.6. Теорема. Множество t/(2) принадлежит классу ^2-
Доказательство теоремы 5.4. Согласно 5.5 и 5.6
у нас есть счетнозначное ^-множество t/(2), не являющееся
объединением счетного числа однозначных ^-множеств. Со-
гласно «эффективному» варианту 5.2 найдется такое множество
Q^/3 класса П}, что (7(a, Р) <-> 2yQ(a, р, у) B!yQ(a, р, у)'.
Если теперь G: I2 на I — канонический гомеоморфизм, то мно-
жество Р = {(a, G(p,у)): Q(a, р, у)} будет искомым в смысле
теоремы 5.4.
Известное автору доказательство теоремы 5.6, играющей
ключевую роль в доказательстве теоремы 5.4, существенно ис-
пользует аппарат конструктивности. Было бы интересно полу-
чить доказательство этой теоремы в рамках круга идей пп. 1—5.
Возможно, теорему 5.4 удастся доказать с помощью множества
из следующего упражнения:
5.7.	Упражнение. Множество {(а, р): р е Дг а} принадлежит
классу 2г<
294
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Указание. Воспользуйтесь идеей доказательств 4.9 и 4.10
(вместо принципа П}-униформизации нужно применить принцип
^-униформизации).
5.8.	Вопрос. Является ли (счетнозначное) ^-множест-
во 5.7 объединением счетного числа однозначных множеств
класса 2? (Аг)?
5.9.	Упражнение. Принцип Н^униформизации ложен.
Указание. Для любого проективного класса Г из Г-уни-
формизации следует Г-редукция.
5.10.	Вопрос. Можно ли каждое однозначное Агмножество
продолжить до кривой класса Л2?
5.11.	Вопрос. Можно ли каждое счетнозначное Ш-мно-
жество вложить в счетнозначное ^-множество (ср. с 4.6 и 5.3)?
6.	Дескриптивные формы аксиомы выбора и континуум-ги-
потезы. Внимательный анализ материала пп. 1—5 (а также ре-
зультатов гл. 8) показывает, что, по сути дела, ни в одном до-
казательстве не использована аксиома выбора, за исключением
быть может, ее «счетных форм». Таким образом, применение
аксиомы выбора в дескриптивной теории множеств носит весьма
ограниченный характер (в отличие, скажем, от теории кардина-
лов). Вообще, использование аксиомы выбора в дескриптивной
теории множеств вызывало определенную критику со стороны
ряда математиков, см. Лузин [1], [4]. С появлением метода
вынуждения в последние 10—15 лет появился ряд работ, на-
правленных на исследование различных «дескриптивных» форм
аксиомы выбора. Наибольший интерес представляют следующие
четыре формы:
Аксиома счетного независимого выбора Г-АСШ для (точеч-
ного класса) Г. Если Г-множество РешХ/ таково, что
domP = (o, то найдется функция f:	такая, что P(kt f(k))
для всех k е со.
Аксиома счетного зависимого выбора r-DCw для Г. Если
Г-множество Р	таково, что domР = /, и если и^1, то
найдется функция f:	такая, что f(O)=u и Р (f(k),
f (k + 1)) для всех k е со.
Принцип (Гь Г2)-униформизации (см. гл. 8).
Принцип (Гь Гг) -селектора. Если бинарное Гг-отношение ~
на I является отношением эквивалентности, то найдется Ti-мно-
жество X /, выбирающее ровно по одному элементу из каж-
дого класса ~-эквивалентности. (Множество X называется се-
лектором для
Используя принцип ^-униформизации, нетрудно получить
ЕгАСсо и SrDCo в теории ZF без аксиомы выбора. (Этот ре-
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
295
зультат восходит к методу П. С. Новикова «эффективного вы-
бора точки в непустом nJ-множестве», см. Лузин, Новиков
[1].) Таким образом, некоторые формы аксиомы выбора дока-
зуемы. Более, подробный обзор результатов, относящихся к
АСЮ и DCco, дает Кановей [1]. О принципе селектора см.
Берджес [1]. Заметим, что, в отличие от принципов унифор-
мизации и счетного выбора, невозможно доказать существова-
ние проективного селектора для такого весьма простого отно-
шения, как борелевское отношение эквивалентности Витали:
если существует проективный селектор для этого отношения, то
существует и неизмеримое проективное множество (см. п. 1), а
предложение о существовании неизмеримого проективного мно-
жества недоказуемо в теории ZFC, см. § 4.
Естественной дескриптивной формой континуум-гипотезы
можно считать следующее предложение:
Принцип совершенного ядра Г-PS для множеств класса Г.
Всякое несчетное Г-множество X I содержит совершенное
ядро.
По теореме 1.1 выполняется Si-PS. Но уже предложение
nJ-PS (и эквивалентное ему S^PS) неразрешимы в ZFC, см.
п. 15. Аксиома проективной детерминированности PD влечет
Г-PS, где Г — класс всех проективных множеств (теорема 6.2
гл. 8). Таким образом, при предложения S„-PS, П^-PS
и An-PS неразрешимы средствами ZFC (по крайней мере если
аксиома PD не противоречит ZFC).
Контрпримером к СН можно считать не только несчетное
множество без совершенного ядра, но и отношение эквивалент-
ности Е на /, имеющее несчетное число классов Е-эквивалент-
ности, но не имеющее совершенного множества попарно Е-не-
эквивалентных точек. Такие отношения Е условимся называть
особыми. Сильвер [1] доказал, что П{-отношения (и тем
самым борелевские отношения) це являются особыми. В то же
время нетрудно проверить, что если множество [7?] неборелев-
ское, то отношение
аЕр «-> а, р ф [7?] V 3v (а, р е [R]v)
будет особым Sj-отношением. Таким образом, особые отноше-
ния имеются в классе S} и в более высоких проективных клас-
сах, но не в классах П} и Aj.
Больший интерес представляет
Принцип особых ограниченных по рангу отношений Г-SR
для класса Г. Не существует принадлежащих Г особых отно-
шений Е таких, что все классы Е-эквивалентности суть борелев-
ские множества ограниченного в совокупности ранга (т. е. все
296
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
они принадлежат некоторому одному борелевскому классу Пр,
р < ®1)-
Результат Сильвера [1] влечет n}-SR и A}-SR.
6.1.	Вопрос. Выполняется ли S}-SR?
По-видимому, следует ожидать положительного ответа на
этот вопрос. Автору удалось доказать S}-SR для отношений Е,
удовлетворяющих одному из таких условий:
1)	Если а^/, то {0: а£р}еД1,а.
2)	Найдется Si-множество F /2 — Е такое, что Va30F(a, 0)
и F(a, 0)->V/n~lE((a)m, 0).
Принцип ArSR неразрешим в ZFC (Штерн [2]). Принцип
Дз-SR недоказуем в ZFC-j-ArSR; этот результат можно полу-
чить из анализа полного Аз-упорядочения Сильвера, упомяну-
того в § 5 гл. 8. С другой стороны, аксиома PD влечет Г-SR для
класса Г всех проективных множеств (Штерн [3]). Работы
Сильвера [1] и Штерна [3] содержат более подробную
информацию. Доказательство принципа SJ-SR для некоторых
типов Sj-отношений эквивалентности, связанных с консти-
туантами, см. п. 19.
7.	Структурная теория более высоких уровней проективной
иерархии. Лузин [2], гл. 5, поставил ряд проблем структурной
теории проективных классов, которые «естественно возникают»
после построения проективной иерархии. Общий смысл этих
проблем состоит в следующем: каков класс проекций однознач-
ных множеств классов Ад и Пд? Можно ли вложить однознач-
ное или счетнозначное 2д-множество в такое же А1П-множе-
ство? Можно ли «расщепить» счетнозначное множество на счет-
ное число однозначных множеств того же класса, что и исход-
ное? Эти проблемы суть проблемы об истинности при различ-
ных п 1 следующих десяти утверждений:
7.1	П. Проекция всякого однозначного А„-множества принад-
лежит классу Ад.
7.2	д. Проекция всякого однозначного Х1\-\-множества при-
надлежит классу Д^.
7.3	П. Всякое однозначное ^-множество можно вложить
в ^-кривую.
1Ап. Всякое счетнозначное ^-множество является объедине-
нием счетного числа однозначных множеств класса Ад.
7.5	д. Всякое счетнозначное ^-множество можно вложить
в счетнозначное Ад-множество.
§ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
297
7.6	rt. Всякое счетнозначное Пд_гмножество является объеди-
нением счетного числа однозначных множеств класса Пд-ь
7.7	П. Всякое множество / является проекцией однознач-
ного Пд-r множества.
7.8	П. Всякое ^-множество / является проекцией однознач-
ного ^п-множества.
Т.9п. Принципы отделимости выполняются для класса 2д.
7.1	Од. Принципы отделимости выполняются для класса Пде
Наш обзор пп. 3—5 составлен так, чтобы дать решение в
классическом смысле каждой из этих проблем при п=1, 2
(кроме проблемы 7.6, решение которой при п = 1 автору неиз-
вестно).
п = 1. Предложение 7.10д ложно, а все остальные (кроме
7.6д?) истинны при п = 1, см. пп. 3, 4.
л = 2. Предложения 7.7Л, 7.8Л и 7.1 Од истинны, а все осталь-
ные ложны при п = 2, см. пп. 3, 5.
Таким образом, при п= 1, 2 предложения 7.1д—7.10п раз-
решимы в классическом смысле (возможно, за одним исключе-
нием). Ситуация меняется при п 3. «Исследование проектив-
ных множеств более высоких классов связано... с трудностями,
по-видимому, не преодолимыми методами теории множеств.
Большинство проблем здесь нельзя решить в классическом
смысле, т. е. дать положительный или отрицательный ответ на
поставленный вопрос. Но тогда можно ставить вопрос о непро-
тиворечивости того или иного утверждения...» (Новиков,
Келдыш [1]). В настоящее время известно три основных ме-
тода доказательства непротиворечивости утверждений дескрип-
тивной теории множеств: генерические расширения (гл. 4), ис-
пользование аксиомы конструктивности (гл. 5 или § 2 ниже) и
в известной степени использование аксиомы детерминированно-
сти AD и аксиомы проективной детерминированности PD
(гл. 8).
л>3 и V = L. Аксиома конструктивности позволяет решить
каждую из проблем 7.1д—7.10д, доказывая тем самым непроти-
воречивость того или иного ее решения. Мы покажем в § 2, что
предложения 7.7д, 7.8д, 7.1 Од истинны, а все остальные ложны
в предположении V = L, каково бы ни было п 3, — совершен-
но аналогично случаю п = 2.
л^>3; генерические расширения. С помощью подходящих
генерических расширений можно доказать непротиворечивость
отрицания любого из предложений 7.1д—7.1 Од, причем в неко-
торых случаях в более сильном виде, чем это достигается в
предположении V = L. Например, в хорошо известной генериче-
ской модели Леви — Соловея, которую мы рассмотрим в § 4, су-
298
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
ществует счетнозначное Прмножество, не являющееся объеди-
нением счетного числа однозначных проективных множеств
(в то время как при п 2 в предположении V = L каждое
счетнозначное 2д-множество является объединением счетного
числа однозначных Ад+1 множеств). Автором построены модели,
в которых для данного п 3 ложны предложения 7.7д, 7.8д,
7.10л, К а н о в е й [4].
Если говорить о непротиворечивости, то остается, таким об-
разом, открытый вопрос о непротиворечивости предложений
7.1л—7.4л, 7.6л, 7.9л. Нет оснований сомневаться, что положи-
тельное решение указанных предложений может быть достиг-
нуто в подходящем генерическом расширении, хотя построение
таких расширений, вероятно, потребует разработки совершенно
новых методов, приводящих к универсумам, устроенным «луч-
ше», чем конструктивный универсум L.
Чрезвычайно интересной выглядит проблема полной класси-
фикации доказуемых и недоказуемых связей между предложе-
ниями 7.1л—7.10л, в том числе и для разных п 3. Автор дока-
зал следующую теорему:
7.11	. Теорема (К а новей [4]). Если ф(*п) и ф(п)—фор-
мулы арифметики первого порядка, то конъюнкция следующих
двух предложений не противоречит теории ZFC:
Vn 3 (ф (п) А ф (п) «-> выполняется ^редукция),
Vn 3 (ф (п) «-> выполняется !!„-отделимость).
Замечание. Пд-отделимость вытекает из ^-редукции.
п^З; аксиома детерминированности. Известные результаты
свидетельствуют, что структурная теория нечетных уровней
п 3 идентична структурной теории первого уровня, а струк-
турная теория четных уровней идентична теории второго
уровня.
п 3 нечетно. Из результатов 3.4 и 6.6 гл. 8 следует, что
принцип редукции имеет место для класса Пл, но не для
а принципы отделимости соответственно наоборот — для 2д,
но не для Пд. Таким образом, 7.9д истинно, а 7.1 Од ложно.
Московакис [1] показал, что в рассматриваемом случае
класс Ад-множеств совпадает с классом проекций одно-
значных nU i-множеств, а также с классом проекций счетнознач-
ных А„-множеств. Следовательно, истинны 7.1„, 7.2П, 7.7П. По-
вторив доказательство 4.5, отсюда имеем истинность 7.3Л. Мо-
сковакис [1] доказал, что 7.4« и 7.5„ также истинны. Нако-
нец, из принципа П^-униформизации (следствие 6.10 гл. 8) вы-
текает 7.8Л.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
299
и 4 четно. В этом случае принцип редукции справедлив
для Ед, но не для П„ (3.4 и 6.6 гл. 8), т. е. 7.9П ложно, а 7.10п
истинно. Далее, принцип Пд_гуниформизации (6.10 гл. 8)
тривиально влечет истинность 7.7П и 7.8П и ложность
7.1Л и 7.2П. Наконец, повторив доказательство 5.3, можно по-
казать ложность 7.3п и 7.5П. Утверждения 7.4Л и 7.6ZI также
ложны.
Вопрос об истинности 7.5„ и 7.6„ для нечетных п 3
остается, по-видимому, открытым.
§ 2. Приложения конструктивности
Аксиома конструктивности V = L (см. гл. 5), введенная
Гёделем для решения вопросов, связанных с континуум-гипо-
тезой и аксиомой выбора, оказалась чрезвычайно плодотворной
и в дескриптивной теории множеств. Подробное изучение
проективной иерархии в конструктивном универсуме было на-
чато работой Новикова [6], где даны примеры неизмеримого
по Лебегу Агмножества и несчетного П}“множества без со-
вершенного ядра. Там же сформулировано утверждение о том,
что при V = L принципы отделимости на высших уровнях про-
ективной иерархии, начиная с некоторого, ведут себя так же,
как и на втором уровне. Более подробно принципы отделимо-
сти, редукции и униформизацищ исследовал Аддисон [1],
[2]. В частности, он показал, что «некоторый» уровень Нови-
кова — это в точности третий.
В шестидесятые годы, с доказательством принципа абсолют-
ности (Шенфилд [1]) и открытием метода вынуждения, Со-
ловей, Любецкий, Менсфилд и др. предприняли исследование
тех средств, которые по существу используются для построения
контрпримеров Новикова к свойствам регулярности в конструк-
тивном универсуме. Оказалось, что, скажем, несчетное П}-мно-
жество без совершенного ядра можно построить в значительно
более слабом, чем V = L, предположении
Вл е / ((оу [я] = 0^).
8.	Иерархия относительной конструктивности. В многих по-
строениях приходится использовать не только наименьший тран-
зитивный класс, содержащий все ординалы и являющийся мо-
делью ZF (т. е. конструктивный универсум L), но также и наи-
меньший транзитивный класс, содержащий все ординалы, яв-
ляющийся моделью ZF и, кроме того, содержащий данное (воз-
можно, неконструктивное) множество х. Этот класс L [х] всех
множеств,конструктивных относительно х, дается следующим
определением:
300
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
8.1.	Определение. Для каждого х индукцией по gG On
определим множество Ьц[я] следующим образом:
Ь0[я] = ТС(я)и{я},
где ТС (я) — транзитивное замыкание множества я, т. е. наи-
меньшее транзитивное множество у такое, что я у\
[я] = Def (Lg, [я]);
U[x]= U Ьц[я] для предельных ординалов Л. Положим также
L[x] = U Ц[х].
це On
Класс L[x] транзитивен, содержит все ординалы и множе-
ство х и образует модель аксиом ZF (не обязательно с аксио-
мой выбора). Если хе/, то в L[x] истинны аксиома выбора и
обобщенная континуум-гипотеза. Отметим, что L[®X{0}] =
= L [0] = L.
Сформулируем несколько утверждений об иерархии относи-
тельной конструктивности, аналогичных некоторым результатам
§§ 4—7 гл. 5.
8.2.	Определение. НС = {х: ТС(х) не более чем счетно}—
совокупность всех наследственно не более чем счетных мно-
жеств.
8.3.	Лемма. L [х] П НС = LM, [х] для любого хе НС.
8.4.	Лемма. Множество {<х, у}: х, i/eHC и х е L [г/]}
принадлежит классу Si*c.
(Обозначения для классов определимости см. § 4 гл. 5.)
8.5.	Лемма. Для каждого а е I существует полное упо-
рядочение <Za. множества Lra, [а] по типу оь При этом мно-
жество
{(х, у, а): х, у е НС А а е I А х <ау}
принадлежит классу S”0.
Перед формулировкой следующей леммы введем опреде-
ление:
ф<Лх} = {У’ У<<>х}-
8.6.	Лемма. Множество {<а, рга(х)>: ае/ и хе НС} при-
надлежит классу £ГС.
Читатель без труда докажет леммы 8.3—8.6, повторив соот-
ветствующие рассуждения гл. 5 с небольшими необходимыми
изменениями.
8.7.	Теорема об ограниченных кванторах. Пусть
п^ 1, ле / и Р(х, у, а, ...) есть отношение класса A„c((n})t
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
301
Тогда отношения
а, .. .)<-> Vx <ауР(х, у, а, ...),
Q2(*/,	<ayP(xt у, а, ...)
также принадлежат классу &nQ ({л}).
Доказательство проведем только для Qi. Из 8.5, оче-
видно, Qi (= Пдс ({л}). С другой стороны, справедлива такая
эквивалентность:
Qi G/, а,	(S = рга (у) A Vx е S ~] Р (х, у, а, ...)),
откуда в силу 8.6 следует QiG^c(^}). (Квантор Vx^S огра-
ничен и не влияет на сложность определения.) □
9.	Теорема о переводе. ' Теорема 8.7 лежит в основе боль-
шинства дескриптивных приложений конструктивности. Но для
получения этих приложений мы должны «перевести» эту тео-
рему вместе с остальными результатами п. 8 в проективную
иерархию. В первых работах Новикова [6] и Аддисона
[2] в этой области искомый эффект достигался переводом са-
мого определения конструктивности в проективную иерархию,
что приводило к довольно громоздким построениям. Мы исполь-
зуем другой метод, основанный на общей теореме о переводе,
которая часто фигурирует в работах последних лет, хотя ее
доказательство, по-видимому, нигде не опубликовано.
9.1.	Теорема (Йенсен и фнсбротен [1] без доказа-
тельства). Пусть п^1, лез I и X /. Тогда X е S^i, если и
только если Хе2„с({л}).
Доказательство. Для простоты предположим, что л =
= о)Х{0}, т. е. нужно доказать эквивалентность X е 2„+i«-*
Общий случай рассматривается аналогично (и сво-
дится к указанному).
Слева направо. Заметим, что множество {S^Seq: отноше-
ние фундировано} принадлежит классу ДГС (^-опреде-
ление очевидно, а 21-определение выражает существование со-
храняющей порядок функции из S в ординалы). Поэтому в
силу теоремы 2.18 гл. 8 всякое Прмножество принадлежит
классу AiHC. Теперь индукция по п дает искомый результат.
Справа налево. Смоделируем множества из НС с помощью
специальных бинарных отношений на со. Через С обозначим
совокупность всех множеств 8 S о2, удовлетворяющих следую-
щим трем условиям:
1)	Если tn, I е |е| = dom 8 U ran 8 и kem kel для всех
k е со, то m = I (условие экстенсиональности отношения в; kern
есть сокращение для <&, /и> е е).
302
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
2)	Если множество и S | е | непусто, то найдется такое т^и,
что \/k^u(~]ketri) (условие фундированности).
3)	Существует и единственно такое t <= | е |, что \fk (“] tek).
Это t обозначается через /8.
Пусть ееС. Для каждого k е | в | определим хе^еНС так,
что Xgk = {хет: mzk} (условие фундированности обеспечивает
корректность такого определения). Положим х8==х8, Тогда
НС = {х8: 8еС}. При этом всякому ае/ можно канониче-
ским образом сопоставить е(а)^С так, чтобы х8(а> = а.
Смоделируем отношения е и =. Пусть е, 6 е С. Опреде-
лим:
8 (=) б <-> 3f (f — биекция | 8 | на | 6 |, переводящая е в б);
8 <(=) б 3k (k б/б А е <=> 6 f k),
где б^= гб/бМ^б ... xkfik для некоторого 1^0 и
некоторых k\, ..., ki}.
Нетрудно проверить, что
(а)	8< = >б Хе = Х6, 8<е>б <-> Х8 Х6,
(б)	множества С, <=> и <е> принадлежат классу Д2.
(Мы пишем, к примеру, С е Д2, подразумевая при этом, что
множество {%8: е е С} принадлежит Д2, где %8	/— характе-
ристическая функция множества {2*-3z: /в/} для любого 8Ем2.)
Доказательство (б) получается с помощью правила 10.2 (п. 10).
Пусть теперь 2п-формула <р(а) определяет наше Sn ^мно-
жество Хе/в НС. Изменим формулу ф следующим образом:
а заменим на е(а);
е и = заменим на и <=> соответственно;
все неограниченные кванторы ограничим множеством С;
Эх е у (... х ...) заменим на 3k (kyty Д (... у \ k ...));
Vx е у (... х ...) заменим на Vkikyty—>(... у f k ...)).
Пусть ф(а)—полученная формула. Используя (а), нетрудно
проверить эквивалентность ф(а) <-> ф(а) для всех (хе/. Эта
эквивалентность объясняется тем, что отображение бь—>х8 осу-
ществляет изоморфизм систем <С/<=>, <=>, <е» и <НС, =,
&>. А используя (б) и правило 10.2, можно показать, что
формула ф(а) определяет Ед+гмножество. □
9.2.	Следствие. Пусть п^1, л^/,	Тогда
X е / е S„G ({л}) (и то же для П, Д),
X <= 2„+i «-> X <= 2П(НС)	(и то же для П, Д).
Доказанные теорема и следствие дают перевод результатов
п8 8 в проективную иерархию. С этого момента буквы а, |3, у, б,
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
303
л условимся употреблять только для обозначения элементов
множества /.
9.3.	Следствие. Множество {<а, ₽, у>: р < ау} принадле-
жит классу St Если ае/, то <а вполне упорядочивает мно-
жество L[а]П /. Если /^L[a], то <а вполне упорядочивает I.
9.4.	Следствие. Множество {<а, р>: peL[a]} принадле-
жит st
9.5.	Следствие. Пусть п^2, зт^/ и Р(а, Р, у, ...) есть
А);71 -отношение. Тогда следующие отношения также принад*
лежат Д„
Qi(«, у, ...)«->VP<ayP(а, Р, у, ...),
Q2(«, Y, •••)^->ЗР<ауР(а, Р, Y, •••)•
Докажем следующую лемму о порядках <а:
9.6.	Лемма. Если P<aY, то P^Al,a,Y.
Доказательство. Напомним, что (б)те/ определяется
условием (S)rtt(^) = 6(2'n(2&+1)—1). Согласно 9.5 множество
Р = {6: Vp'<aYBm((6),rt = P')}
принадлежит классу Ata’Y и, очевидно, непусто. Значит, оно
содержит элемент класса At a’ Y (следствие 4.23 гл. 8),
Но, очевидно, р = (6)т для некоторого т. □
Изложенных результатов вполне достаточно для получения
таких известных следствий аксиомы конструктивности, как су-
ществование неизмеримого At множества или принцип унифор-
мизации для классов А^ и при п 3 в конструктивном
универсуме. Но некоторые более тонкие свойства проективных
множеств, связанные с конструктивностью, требуют применения
замечательной теоремы Шенфилда об абсолютности.
10.	Принцип абсолютности. В § 1 мы изучали проективные
множества в универсуме всех множеств. Однако в дальнейшем
нам часто придется рассматривать, скажем, «одно и то же»
П[«множество [7?] как в универсуме всех множеств, так и в
каком-нибудь классе М. Введем подходящий формализм для
таких рассмотрений.
10.1.	Определение. Пусть k^l нечетно и формула
<p(Zi, ...» lp, pi, ..., pt/) имеет свободные переменные /1, ..., lp
(по со) и pi, ..., р^ (по /), а также имеет (не указанные явно)
параметры — множества любой природы. Формулу ср назовем
^-формулой, если найдется другая формула ф (Л,	1Р,
pi, ..., pt/) вида
3ajVa2 .. .	т, \ т, . .., ak f m,
/ь Zp, 0! \т......Mm)
304
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
такая, что в любом транзитивном классе М, являющемся мо-
делью аксиом ZF и содержащем все параметры ф, содержится
и отношение 7? Seq* X X Seq"7 и (в М) истинна эквивалент-
ность
Ф (/1,	/р, Pi, р^) ф Gi, /р, Pi, .Р^)>
каковы бы ни были /ь 1Р е со и Рь р^еТИр/. Отноше-
ние 7?, фигурирующее в ф, назовем кодом данной формулы ф
(ф может иметь много кодов). Если формулу ф указанного вида
можно подобрать так, чтобы отношение R принадлежало дан-
ному классу X, то ф назовем 2*-формулой с кодом из X.
Такое же определение, но с заменой 3a*V/n на Va^3/n,
дается для четных k.
Аналогично дается и определение п\-формулы ф (с кодом
из X), только кванторная приставка соответствующей фор-
мулы ф должна иметь вид V«i3a2 • • • Va^S/n при нечетном k
и VcqSc^ ... Sa^V/n при четном k.
Определению 10.1 можно придать вполне точный смысл в
духе § 7 гл. 1.
Следующее правило дает способы обращения с формулами,
введенными определением 10.1.
10.2.	Правило, (i) Формула а(т)—1 (а есть свободная
переменная по I, а т и I— по со) является ^-формулой с ре-
курсивным кодом, а также По-формулой с рекурсивным кодом.
То же самое справедливо для всех элементарных формул языка
арифметики (см. перед определением 4.13 гл. 8).
(ii)	Если k 1 и ф (т) естъ ^-формула (соответственно
П\-формула), то Вт е а>ф (т) и \fm е (Оф (т) являются ^-фор-
мулами (соответственно П\-фор мулами).
(iii)	Классы ^-формул и П^-формул замкнуты относи-
тельно Д, V. Отрицание ^-формулы является П\-формулой, и
наоборот.
(iv)	Любая формула, составленная из формул (i) с помощью
пропозициональных знаков и кванторов В(У)т^ со, является
как ^-формулой, так и П\-формулой.
(v)	Если ф(а) есть ^-формула, то Зае/ф(а) будет ^фор-
мулой, а VaeAp(a) будет П\+\-формулой.
(vi)	Если ф (а) есть ^-формула (а — свободная переменная)
и а0 <= /, то ф (а0) будет ^-формулой.
При этом во всех случаях некоторый код полученной фор-
мулы строится эффективно (рекурсивно) из кодов данных фор-
мул (и функции ао в (vi))e
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
305
Правило (i) доказывается непосредственной проверкой. Для
доказательства (iii) и первого утверждения (v) нужно приме-
нить свертку кванторов. Доказательство (ii) основано на идее
«пронесения» кванторов по со направо через кванторы по I (см.
доказательство первой части теоремы 2.20 гл. 8). Из (i) — (iii)
нетрудно получить (iv). Более подробно см. Шенфилд [2],
гл. 7. □
Теперь сформулируем и докажем принцип абсолютности
Шенфилда.
10.3.	Теорема (Шенфилд [1]). Пусть транзитивный
класс М содержит все счетные ординалы и является моделью
аксиом ZF. Тогда всякая ^формула <р с кодом из М абсолютна
для М. Иными словами, <р истинна в универсуме, если и только
если ф истинна в М.
Доказательство. Рассмотрим замкнутую ^-формулу
Ф <-> BpVyB/n/? (₽ f m, у f ni)
с кодом R^M. Обозначим x = ®1. Имеем эквивалентность
Ф<->ВрВ/: Seq->x (f сохраняет порядок на множестве
-XpR = (Y Н: Vn Сk п R (P f n, Y t «)},
t. e. \fa, т«=ХрЛ(а<т->/(а)</(т))).
(См. доказательство теоремы 2.23 гл. 8.)
Зафиксируем биекцию b: со на Seq, b s М, и положим
•X&R = {Ь (/)е ]<т и длина b(j) меньше пг}.
Тогда
Ф 3p3g: со—>xVm (композиция g°b 1 сохраняет поря-
док на множестве Х^).
Выражение в скобках зависит лишь от р h пг и g f пг. Таким об-
разом, найдено отношение Q такое, что
Ф *-> ЗРЭ^: ® -> х \fmQ (р [ m, g f пг).
Тривиальная свертка р и g в одну функцию h: и->х дает новое
отношение Р, обеспечивающее следующую эквивалентность:
Ф<->ЭА: со—'imPih ( пг).
Нетрудно видеть, что построение Р абсолютно для М, т. е.
Р s М, и последняя эквивалентность имеет место и в М. Рас-
смотрим, наконец, множество
Z — (h\m: пг<= (о /\ h: ® х A Vn иг (A t «)} s Af,
упорядоченное отношением <(, аналогичным 2.17 гл. 8. Совер-
шенно аналогично теореме 2.18 гл. 8 наша последняя эквива-
306
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
лентность преобразуется (как в универсуме, так и в М) в сле-
дующую:
П Ф отношение f Z фундировано.
Но правая часть этой эквивалентности абсолютна (лемма 1.6
(iii) гл. 4 дает родственный результат). □
11.	Свойства регулярности.
11.1.	Теорема (Новиков [6]). Предположим, что най-
дется л е / такое, что / S L [л] (т. е. все а е / конструктивны
относительно л). Тогда-.
(а)	Существует неизмеримое ^-множество /.
(б)	Существует несчетное И\-множество / без совершенного
ядра.
(в)	Существует полное ^[[-упорядочение некоторого несчетного
Т[\-множества /.
(Утверждения (а) и (б) этой теоремы доказаны Новико-
вым 16] в предположении V = L, т. е. л = (оХ{0}. Доказа-
тельство для произвольного л ничем, однако, не отличается от
доказательства в указанном частном случае. Добавим, что (в)
непосредственно получается из доказательства Новикова с по-
мощью леммы 2.6. Поэтому теорема 11.1 принадлежит Нови-
кову, хотя формально в работе Новикова [6] такой теоремы
нет.)
Доказательство. Согласно 9.3 мы имеем полное Агупо-
рядочение пространства /. Значит, (а) следует из 1.4. Для
доказательства (б) и (в) мы покажем, что выполняется по-
сылка леммы 2.6. Этого будет достаточно в силу 2.6 и 2.7.
Мы уже видели, что конституанты П1Г множеств являются
борелевскими множествами. Следующие определения направ-
лены на то, чтобы получить «равномерное по р» Доопределение
конституанты [/?] и.
Для каждого w е / положим
rw = {(Z, /): ^(2Z(2/+ 1) — 1)= 1} (<=<*>2),
z/w = dom rw|Jranrw.
Определим
Ord = {w^ I: rw есть линейный порядок на uw},
Word = {w& I: rw есть полный порядок на uw}.
Для каждого Word через |w| (<g>i) обозначим длину по-
рядка rw.
Прервем доказательство 11.1 для доказательства следующей
леммы:
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
307
11.2.	Л е м м а. Ко всякому R Seq2 можно подобрать
S'- формулу <р^(—, —) и П\-формулу <р2(—, —) с кодами, ре-
курсивными относительно R, так, что для всех w е Word и
ае/ справедлива эквивалентность
а S 1Я]| W | ** Фя (да- “) *“* Фя “)•
Доказательство леммы. Пусть X Seq, w е Ord,
и uw. Функцию f: X—{0} на и назовем (X, w, и)-функцией,
если
f(a) = sup1<a> теХ/(т) для всех <т<=Х —{0},
где sup берется в смысле порядка rw.
В качестве ф^ и ф^ можно взять следующие формулы:
Ф^(^, a)^->w^Ord и существует (XaR, w, ^-функция;
Фд (w, a)+-+w^ Ord Д Ут e uw (не существует (XaR, w, u)-
функций, где u = {k^uw: krwm}) A Vo <= XaR (не сущест-
вует (X, w, и^-функций, где X = {т е XaR: т < о}).
С помощью правила 10.2 нетрудно проверить, что эти фор-
мулы— нужных классов, а эффективный характер правила 10.2
влечет рекурсивность относительно R кодов построенных фор-
мул. □
Возвращаемся к доказательству теоремы 11.1. Для проверки
посылки леммы 2.6 фиксируем неборелевское Прмножество
[7?] и построим ^"множество А [7?], выбирающее ровно по
одной точке из каждой непустой конституанты [7?] ц. Этим мно-
жеством служит
А = {р: 3^ Word (6 е= [7?^ w ( A VY <np (у ф [7?], w ,))}.
Согласно 9.3 А действительно выбирает по одной точке из каж-
дой непустой конституанты [7?] ц. Далее, нетрудно проверить
Worden}. Если теперь в определении А заменить р (= [7?] f w f
и Т^[7?]|1И соответственно формулами ф^(^, р) и “| ф^ (w, у),
даваемыми леммой 11.2, и воспользоваться 10.2 и 9.5, то полу-
чится искомое А е Si- □
Следующие теоремы 11.3, 11.5, 11.6 показывают, что контр-
примеры к свойствам регулярности можно построить в значи-
тельно более слабых предположениях, чем Зл(/^Ь[л]).
11.3.	Теорема (Любецкий [Ц, Соловей [1], Менс-
филд [1]). Если найдется ле/ такое, что со^[л] = (д1, то
существует несчетное П[-множество без совершенного ядра и
существует полное П.\-упорядочение некоторого несчетного П\-
множества. '
308
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
11.4.	Опр еделение. Нумерация <ок'- Ае<о> множества
Seq считается фиксированной. Для каждого ₽е / положим:
Zp = {ae/: VA (р (k) = 0 <yk £ a)},
Up = U Z(P)z (определение (0)j см. в доказательстве леммы 9.6).
I е со L
({Zp: ре/} — совокупность всех замкнутых Z с /, а
{//р: ре/} — совокупность всех 2г-множеств U /.)
Пусть М — произвольный класс. Точка а е / называется слу-
чайной над М (Соловей [2]), если а принадлежит всякому
множеству Up меры 1 (по Лебегу) такому, что р е М f) /. Сово-
купность всех случайных над М точек а е / обозначим че-
рез 5?м.
11.5.	Теор ема (Любецкий [3]). Если найдется л е /
такое, что не является множеством меры 1, то существует
неизмеримое множество s / класса Sj-
11.6.	Теорема (Любецкий [3]). Если найдется ле/
такое, что $!цл] = 0, то существует неизмеримое множе-
ство Qi.
Для доказательства теоремы 11.3 необходимо проверить аб-
солютность некоторых свойств IlJ-множеств и их конституант.
11.7.	Л е м м а. Пусть транзитивный класс М содержит все
счетные ординалы и является моделью аксиом ZF. Пусть также
рцеа>{“ и R<=M. Тогда следующие формулы абсолютны
для М:
(а)	[R]^0-,
(б)	множество [/?] содержит совершенное ядро-,
•	(в) [/?]^ПР°.
Доказательство, (а) Поскольку ц < a>i, то найдется
такое toe Word ПА/, что р = | w |. С помощью этого w формула
(а) может быть записана в следующем виде, эквивалентном (а)
как в М, так и в универсуме всех множеств: 3a<p^(to, а). После-
дняя фопмула является Si-формулой с кодом из М (это не-
трудно проверить с помощью правила 10.2 и с учетом выбора
формулы ф^). Теперь абсолютность (а) следует из 10.3.
(б) Лемма 4.11 влечет следующую эквивалентность для лю-
бого Р:
Zp несчетно *-* Zp <£ Д}’3.
Поэтому формула (б) эквивалентна следующей:
ЗР (Va (a е Zp -> а е [/?]) Д 3a (а е Zp Д а ф Д}’3)).
Записанная формула является Хгформулой с кодом из М, что
нетрудно проверить с помощью правила 10.2 и следствия 4.10.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
309
(в) Анализируя конструкцию универсального Пр-множества
(теорема 2.5 гл. 8) и используя метод первой части доказатель-
ства теоремы Суслина 2.20 гл. 8, мы можем индукцией по р
построить для каждого ординала р < ©i* такую 2}-формулу
фр (а, Р) с кодом из М и такую Пгформулу фр (а, Р) также с
кодом из М, что как в универсуме, так и в М будут истинны
следующие два предложения:
1) УаУР(фр(а, Р)->ф2р(а, р)),
2) множество {(а, р): ф^(а, р)} является универсальным
По
р-множеством.
Теперь формула (в) получает следующую эквивалентную
запись, являющуюся Егформулой с кодом из М:
HaVP((qp^(®, р)->ф2(а, р)) Д (Ф‘(а, р)-><р^ (а>, Р))),
где w е Word П М таково, что ц — | w |. □
Доказательство теоремы 11.3. Согласно 11.1(6)
найдется /? е L [л] такое, что в L [л] истинно следующее пред-
ложение:
(*) П\-множество [/?] несчетно и не содержит совершенного
ядра.
Докажем, что (*) истинно и в универсуме. В самом деле, в
силу 2.3 из истинности (*) в Цл] следует несчетность в Цл]
числа всех непустых конституант [/?] ц. Следовательно, согласно
11.7 (а) и равенству	множество [/?] имеет несчет-
ное число непустых конституант и в универсуме. Стало быть,
[/?] несчетно в универсуме, а отсутствие совершенного ядра
у множества [/?] в универсуме непосредственно следует из 11.7
(б). Таким образом, построено (в предположении существова-
ния такого л, что <о^1л1 = coj несчетное П}- множество [/?], не
содержащее совершенного ядра.
Совершенно аналогично, отправляясь от 11.1 (в), можно до-
казать и вторую часть теоремы 11.3. □
Доказательство теоремы 11.5. Предположим, что
каждое S^-множество измеримо, фиксируем ле/и покажем, что
множество I — имеет меру 0. Если <оИл1 < сор то яв-
ляется пересечением счетного числа множеств меры 1, и иско-
мое очевидно. Поэтому, не ограничивая общности, предполагаем
(оЬ[л] = (й1> Тогда согласно 8.5, отношение <л вполне упорядо-
чивает множество Еа1[л] по типу (Оь Для каждого р < coi через
обозначим ц-й в смысле этого порядка элемент и определим
310
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
следующие множества:
Wp = l — Up (для всех р е /);
S = {Р е /: Wp имеет меру 0};
N = {у < <£4:	S};
cv = wx — U wx (для всех v <= N).
v iieNOv ц
Далее, для каждого v <Z o>i через gv обозначим <я-наимень-
шую функцию g: со на v U {v} (такие g имеются, так как
©с и _ о j Для всех ц < <01 и k е со положим
Tv.k = {^^N-. gv(k) = \k},	Х^= U Су,,
vsTnk
Х» = U X»k.
£ е со
Заметим, что последовательность <xv: v < coi> принадлежит
Ai(НС). Действительно, справедлива эквивалентность
X = Ху, *-> 3y3f (у е= Lra, [л] Д f: V и {v} на ргя (у)
Д Vy, Л < v (у < 1	/ (у) <я f (%)) A f (v) = х))
*-*• Vz/Vf (у «= La, [л] A f: V и {v} на ргя (у)
A Vy, А, < v (у < А, f (у) <я f (А,)) -> f (v) = х)),
и искомое следует из 8.4, 8.5, 8.6. Далее, последовательность
(gv: v < coi> также принадлежит ДДНС) в силу 8.7. Наконец,
множество S принадлежит классу S} и тем самым классу
Д1(НС) (по 9.2). Используя эти результаты, нетрудно прове-
рить, что множества и Хц принадлежат классу ЕДНС), т. е.
классу Sj (по 9.2). Значит, эти множества измеримы в соот-
ветствии с предположением в начале доказательства.
Далее, поскольку {gv(k): &есо} = {у: y^v), то выпол-
няется
(1)	= vSWA3fe^W = (i)}= (J Cv.
v & N, v > ц
В частности, множество Хо = U Cv= (J U7 совпадает
v<G)i	peS f)L[n]
с разностью Z —
Теперь предположим противное: множество / — 5?цл] = Хо
не является множеством меры 0. Но все Хц измеримы. Значит,
Хо имеет меру >0. Такую же меру имеет и любое другое Хц,
так как из (1) следует Хц X и Хо — Хц = (J Cv, а все Cv
v (= А АН
(при vgjV) являются Дз-множествами меры 0. Следовательно,
поскольку все также измеримы, то для каждого у < coi
найдется &(у) такое, что Х^ц) имеет меру >0.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
311
Возьмем fee co так, чтобы множество = {ц: fe(|i) = fe}
было несчетным. Получим несчетное семейство р,еЛй}
множеств положительной меры. Мы будем иметь искомое
противоречие, если покажем, что множества X^xk и X^lk не пе-
ресекаются при #= р2.
Пусть	Найдутся ординалы vb v2^N такие,
что gV/(fe) = p,i и aeCV/ для i = 1, 2. Но множества Cv при
v е W попарно не пересекаются по построению. Значит, vi = v2.
Теперь, очевидно, pi = |i2, что и требовалось. □
Доказательство теоремы 11.6 (эскиз). Достаточно
доказать, что если 5?цл] = 0, т. е. / — 5?цл] = Л то в обозна-
чениях доказательства 11.5 все множества Х^ и Х^ принадле-
жат А2. Каждое отличается от Хо — I — $ь[л] = I на ^-мно-
жество (J Cv, т. е. является даже борелевским. Поэтому
vejVOH
для доказательства Х^к е Аг было бы достаточно доказать, что
X^k, П Х11/!г= 0 при =И= &г. Чтобы доказать это утверждение,
нужно изменить определение gv так, чтобы gv было биекцией со
на v (J {v} при v > со. Тогда мы получим X^kl П Х^г = 0 при
pi и =/= &г, а множества X^k с р. < со можно вообще не
принимать во внимание. □
12.	Теорема униформизации и теоремы о базисе в конструк-
тивном универсуме. Следующая теорема занимает центральное
место в структурной теории проективных классов в конструк-
тивном универсуме.
12.1.	Теорема униформизации (Аддисон [2] или
§ 5 гл. 8). Пусть п^2 и ле/ таково, что	Тогда
принцип униформизации справедлив для классов А„’",	А„,
но не для классов П„" и П„.
Доказательство. Рассмотрим А« "-множество Р^12.
Множество Q = {(a, 0): P(a, ₽) A Vy <n₽ “] P(a, у)}, очевидно,
униформизует P и принадлежит классу A„’" в силу 9.5. Со-
вершенно аналогично проверяется принцип униформизации и
для А^. А результаты для и Si получаются из уже дока-
занных подобно выводу 4.22 из 4.20 в гл. 8.
Для доказательства отрицательной части теоремы доста-
точно заметить, что 2^-униформизация влечет 2«-редукцию
(редукция двух ^-множеств А, В s / обеспечивается унифор-
мизацией ^-множества (А X {«о}) U (В X {«i})> где a0, а, е / —
фиксированные различные точки /). Аналогично П„-униформи-
312
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
зация влечет П^-редукцию. Но принцип редукции не может
одновременно выполняться для классов и S„, см. тео-
рему 3.2 гл. 8. □
12.2.	Следствие. В условиях теоремы каждое непустое
Sn множество / содержит элемент класса Ап ".
Используя теорему униформизации Новикова — Кондо —Ад-
дисона (4.20 гл. 8), нетрудно показать, что всякое непустое
П}’"-множество содержит точку а такую, что {а}еП}’".
Согласно 12.1 упомянутая теорема не обобщается на п>2 в
предположении	Однако ее следствие допускает такое
обобщение:
12.3.	Теорема (Фридман; см. Харрингтон [ 1 ]). В усло-
виях теоремы 12.1 каждое непустое Пп"-множество Р^1 со-
держит точку 0 такую, что {0} е Ппя.
Доказательство. Найдется такое Sn-i-множество
С /2, что Р = {0: VyC (0, у))- Положим
U7 = {^: V0 <п wBy <nw~\C (0, у)}.
(Буква w, как и а, 0, у, б, используется только для обозначения
точек /.) Заметим, что W непусто (содержит <л-наименьшую
точку /), замкнуто в I в смысле порядка <л и удовлетворяет
соотношению w я0 для всех w е W и 0Е Р. Стало быть, су-
ществует <л-наибольший элемент множества W, который мы
обозначим через w*. Тогда выполняется
(1)	Если 0 е Р, то w* я0.
Рассмотрим множество
ф = {(0, w): w^W и Va/ <я0(w <л w'->w' ф W)}.
Из (1) и определения w* следует
(2)	Если и weI, то w =	<-> Ф(0, ш)'.
Следующее утверждение реализует основную идею:
(3)	Найдется такое 0<=A1’"’W*, что 0еР.
Доказательство (3). Через б обозначим <я-наимень-
ший элемент, очевидно, непустой разности I — &n,n,w . Из 9.4
вытекает
(4)	у < л б	у е= An "’w*, каково бы ни было у е/.
В частности, до*<лб, т. е. 8ф W. Это означает, что сущест-
вует 0<яб, удовлетворяющее следующему условию:
(5)	Уу<л6С(0, у).
Докажем, что 0 е Р. Предположим противное. Тогда Пп-"’
множество Z = {у: ~1С(0, у)} непусто и, следовательно, содер-
жит, элемент у eZ класса Ап"’ р согласно 12.2. Но 0 Зна-
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
313
чит, в силу (4) мы имеем 0 е А„"’и у	что проти-
воречит (4), (5) и выбору -у. Итак, 0 е Р. (3) доказано.
Согласно (3) найдется Ал "-множество Y /2 такое, что
3!0У (w*, Р), и единственное р, удовлетворяющее условию
У (w*, Р), принадлежит множеству Р. Покажем, что {0} е ",
т. е. найденное Р искомое. Из (2) следует равенство
{р} = {р'еР: Уау(Ф(Р', ш)->У(ш, 0'))}.
Но используя 9.5 и выбор С, нетрудно проверить, что W е Ал "
и Ф е А« ". Отсюда следует {0} е Пл ". □
Выбор множества У в этом доказательстве нарушает «одно-
родность доказательства относительно кода Р» и не дает преоб-
разовать доказательство 12.3 в доказательство Пл "-униформи-
зации.
13.	Структурная теория в конструктивном универсуме.
13.1.	Теорема. Пусть п^З и выполняется V = L. Тогда
предложения 7.7П, 7.8Л и 1AQn истинны, а 1Лп—7.6п и 7.9Л лож-
ны. Точнее'.
(а)	Принципы отделимости выполняются для класса Пл и не
выполняются для класса ^п.
(б)	Существует однозначное Ъ'п-множество, не содержащееся
ни в каком счетнозначном множестве.
(в)	Каждое ^-множество е / является проекцией однознач-
ного nLi-множества (несмотря на отсутствие Пп-гуниформи-
зации!).
(г)	Найдется счетнозначное Т^п-х-множество, не являющееся
объединением счетного числа однозначных множеств.
Утверждение (а), объявленное Новиковым [6] «для всех
и, начиная с некоторого», доказано Аддисоном [1]. Оно
получается из теоремы 12.1, так как 2л-униформизация влечет
2л-редукцию, а последняя влечет Пл-отделимость, см. доказа-
тельство 12.1 и рассуждения п. 3. Утверждение (б) доказыва-
ется с помощью 12.1 совершенно аналогично доказательству
теоремы 5.3.
Доказательство утверждения (в). Через Гл обо-
значим замыкание класса U П«-1 относительно счетных объ-
единений попарно непересекающихся множеств и счетных пере-
сечений. Используя 12.1 и метод доказательства теоремы 4.3.
нетрудно проверить, что каждое Гп-множество есть проекция
однозначного множества. Поэтому (в) следует из такой
леммы:
314
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
13.2.	Лемма. В условиях теоремы 13.1 каждое мно-
жество X s Z является проекцией однозначного Гл-множества.
Доказательство леммы. Для простоты пусть /ей*
Тогда
X = пр Р -= {а:	(а, р)}, Р = {{а, р): VyC (а, р, у)},
где PellLi, a Cg 2^-2. Положим
W = {{а, w): V6 <o w3y <0 w “] C (a, p, y)},
Ф = {{a, p, w): W (a, w) A Va/ <0 p (w <0 w' -> ~| W (a, w'))}.
(Через <o обозначено отношение <wX{0}, вполне упорядочи-
вающее Z, так как Z^L.) Аналогично доказательству 12.3 каж-
дое «сечение» №a={w: W(a, to)} содержит <0-наибольший
элемент to (а), который к тому же удовлетворяет следующим
соотношениям:
(1)	Если Р(а, Р), то to(a)^o р.
(2)	Если Р(а, Р) и w^I, то w = to (а) <-> Ф(а, р, го).
Кроме того, имеют место:
(3)	Если аеХ, то найдется р е w (а) такое, что Р(а, р)«
(4)	Фе Ai-i.
Не ограничивая общности, предположим Р S /Х“2. Зафик-
сируем Si-г множество D s /2Х®2, универсальное в смысле
следующего утверждения:
(5)	Если а, ш е / u и £ (о, ме Si’_“’w, то найдется k такое,
что u = Dawk = {l: D(a, w, k, I)}.
Множество Q= {<a, 6>: aeX=np P, 6 e “2 и V6, I((6)ft (/) —
=> 1 •*-> Daw (a) k (/))}, очевидно, однозначно и удовлетворяет в
силу (3), (5) и предположения Ps/X“2 равенству пр Q = X.
Осталось доказать Q е Гп. Используя (2), нетрудно проверить
следующее равенство:
Q = {(a, б): дей2 и 3m(P(a, (б)т)
Л V6, I ([Зш (Ф (а, (б)т, w) Л Dawk (/))] -> (6)ft (/) = 1)
Л V6, / ((d)ft (/) = 1 -> [Зш (Ф (а, (б)т, w) Л Dawk (/)] )}•
(Формула в квадратных скобках эквивалентна Dawwk(l) при
условии Р(а, (б)т).) Таким образом, в силу (4) и выбора D
множество Q имеет вид Q= U (ЗтПЛп), где SmeSi-i,
meco
а Tm ni-i. Теперь искомое соотношение Q е Гп вытекает
из такого равенства:
Q= U (Smnrmn(U (^и(^пЛ)т. □
meo)\	\i<m	JJ
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
315
Доказательство утверждения (г). Совершенно
аналогично 5.5 множество
[/(«) — {(а> р есть характеристическая функция некоторого
Sn множества и со)
не является объединением счетного числа однозначных ^-мно-
жеств. Поэтому достаточно проверить, что С/(л) е в условиях
теоремы 13.1, и воспользоваться уже доказанным утверждением
(в) так, как в доказательстве теоремы 5.4 использовано 5.2.
Следующая лемма дает искомый результат и доказывает также
теорему 5.6.
13.3.	Лемма. Пусть п 2, причем либо V = L, либо п = 2.
Тогда множество U(n) принадлежит классу
Доказательство леммы. Фиксируем формулу
0(&, а, /), универсальную в смысле следующего утверждения:
Ко всякой Sn-формуле ср (а, /) можно подобрать такое
k е со, что для всех а и I справедливо ср (а, /)	0(£, а, /).
Через /rt^a(ew2) обозначим характеристическую функцию
(х. ф.) множества {/: 0(&, а, /)}, а через f„ka — х. ф. множества
{/: 0aY(&, a, /)}. (Через 0a? обозначается результат замены всех
кванторов 36, V6 по I в формуле 0 на 36 <aY, V6 <ay. То же
относится и к фа? в определении множества ниже.) Будучи
Sn-формулой, 0 имеет вид 3fh|)(f$, k, а,/), где ф есть Пд-гфор-
мула. Положим
£a = {yeL[a]: Vfe, ZVP <ау('ф“7 (Р> k, а, /)«-*t(₽> k, а, /))}.
Справедливы следующие два утверждения:
(1)	Если ае/, у <= Еа, и множество D„a = /f]An“ включено
в pra (у), то для всех & е ® выполняется fnka = fynka.
(2)	Если	то /sL[a] и найдется такое уе£а,
что WUZ) па ЕрГа(у).
Для доказательства (1) нужно воспользоваться 12.2 в слу-
чае V = L и релятивизованным вариантом следствия 4.23 гл. 8:
если ле/, то каждое непустое "-множество s/ содержит
точку класса Аг " — в случае п = 2. Доказательство утвержде-
ния (2) в случае V = L достигается с помощью принципа отра-
жения (Йех [1], теорема 16): множество ШОАкхЕ/ счетно,
и поэтому можно подобрать уе/ так, чтобы {/} U/)«aSpra(y)
и множество рга(у) было элементарно эквивалентным всему I.
В случае же п = 2 нужно воспользоваться следствием 14.1 (см.
ниже) из принципа абсолютности, которое гарантирует воз-
можность, не ограничивая общности, предполагать V = L[a]
(при п = 2) в доказательстве утверждения (2).
316
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Решающим моментом является следующая эквивалентность:
(3)	и™ (a, f) — 3*3y (Y е Еа Д f < a Y A f =
для всех a, f e I. Доказательство импликации слева направо
тривиально: если t/(n)(a, f), то f — fnka для некоторого k; ис-
пользуя (1) и (2), находим такое у^Еа, что / = /7Аа<оу.
Докажем обратную импликацию. Пусть у^Еа и
/ = f„fta<aY- Если O„a = pra(Y), то из (1) следует f = fnka, т. е.
(а, /). Если же Dna рга (y), то возьмем р е Dna так, что
~IP<aY- Заметим, что yeL[a], так как yе Еа. Кроме того,
P<=L[a] (в случае V = L это очевидно, а в случае га = 2 сле-
дует из 14.1). Значит, у^аР. откуда f <ap, и /еДг a,p по 9.6.
Но реДп“. Поэтому /еД^’“ и, наконец, UM(a, f).
Эквивалентность (3) доказана. Используя 9.3—9.5, легко про-
верить, что правая часть (3) выражает -отношение. □
Доказательство теоремы 13.1 закончено. В заключение на-
шего обзора структурной теории конструктивного универсума
несколько упражнений.
13.4.	Упражнение. Если 2 и выполняется V = L, то
каждое одноэлементное множество Xsl можно вложить
в счетное ^-множество.
Указание. Пусть X = (a: Vp<p(P, а)}, где <р есть [-фор-
мула. Положим
Е = {у: Vp, a<oY(<Pv(P> а)*-*ф(Р, a))},
где <0 есть <шХ{0), а Ф7 получается из <р заменой всех кван-
торов V6, 36 на V6<oy, 36<0Y. Множество
{a: 3y (a есть единственная точка I, удовлетворяющая условиям
a<oY и ЗР <о УФ(Р, а))}
искомое. □
13.5.	Упражнение (следствие из 13.4 и 12.3). Если п^2
и выполняется V = L, то не существует максимальных счетных
^-множеств si.
(Можно доказать, что неравенство оф 1"! < <о1 является необ-
ходимым и достаточным условием существования максималь-
ного счетного 2г "-множества S1, которым служит множе-
ство /П Ь[л].)
13.6.	Упражнение («теорема счетноформизации»). Если
п^2 и выполняется V = L, го каждое П1п-множество Р s I2
содержит счетнозначное подмножество Q s Р класса Г«+1 та-
кое, что пр Q = пр Р.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КОНСТРУКТИВНОСТИ
317
Указание. Используйте метод доказательства леммы 13.2.
Мы видим, таким образом, что аксиома конструктивности
«решает» все основные структурные принципы на любом уровне
проективной иерархии, причем решения, даваемые этой аксио-
мой для уровней п 3, совпадают с решениями, имеющими
место в классическом смысле для уровня п = 2. Представляют
интерес следующий «философско-математический» вопрос: су-
ществует ли «нормальное» утверждение о проективных множе-
ствах, которое неразрешимо в теории ZF + V = L?
14.	О связи конструктивности и определимости. Из теоремы
10.3 немедленно вытекает
14.1.	Следствие. Если w^22,a,	то w^L[a], и
в L[a] истинно и 22’ а.
В частности, каждое множество и со класса 2г или Пг
конструктивно. Этот результат максимален, так как предло-
жение о существовании неконструктивного Дз-множества и со
не противоречит теории ZFC (Йенсен, Соловей [1], Йен-
сен [1], см. п. 29 нашего обзора). Получено следующее обоб-
щение:
14.2.	Теорема (Кановей [2]). Если п^2, то предложе-
ние о существовании неконструктивного \хп^\-множества и^&
не противоречит теории ZFC + Va, b (а конструктивно Д
Д b е 2lrt’а —> b конструктивно).
14.3.	Вопрос (Йенсен, Соловей [1]). Можно ли дока-
зать непротиворечивость предложения Va, ре/ (а е L[0]-
—> а е Дз р), используя непротиворечивость гипотезы существо-
вания недостижимого кардинала?
(Предложение, о котором идет речь, следует из гипотезы
существования измеримого кардинала, Соловей [3].)
Множество dn = / А Д^ счетно. Используя подходящее уни-
версальное множество, нетрудно проверить, что 4^Д«+1 для
всех п. Однако di е П} — 2} (следует из 4.10). Из леммы 13.3
следует	но	в силу следствия 4.23 гл. 8. Таким
образом, ^2^22 —П2. Совершенно аналогично	— П„
для любого п^З в предположении V = L. Можно указать
ряд интересных вопросов, относящихся к положению мно-
жеств dn и d^— (J dn в эффективной иерархии. Ограничимся
new
следующими двумя.
14.4.	Вопрос (Матиас [1]). Пусть п 3. Непротиворе-
чиво ли предложение dn = IП L?
318
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
14.5.	Вопрос. Будет ли непротиворечивым предложение
К а н о в е й [3] доказал, что предложение	— IЛ L непроти-
воречиво (относительно теории ZFC).
§ 3. Неразрешимые свойства регулярности множеств
первого и второго уровней проективной иерархии
Проблема совершенного ядра и мощности П}-множеств уже
в 20-е годы рассматривалась как одна из центральных проблем
дескриптивной теории множеств. Исследуя эту проблему, Лузин
получил эквивалентность следующих двух предложений (см.
теорему 2.3):
(1)	Всякое несчетное П}-множество содержит совершенное
ядро.
(2)	Всякое несчетное П}-множество имеет несчетную кон-
ституанту.
Но истинны или ложны эти предложения? Лузин [3] еще
в 1925 г. предсказал невозможность решения этого вопроса в
классическом смысле, и это подтвердилось дальнейшим разви-
тием дескриптивной теории. Новиков [6] доказал непротиво-
речивость отрицаний (1) и (2) (теорема 11.1). Непротиворечи-
вость же самих предложений установлена Соловеем [1].
Предложения (1) и (2) оказались эквивалентными предло-
жению
(3)	Vn е / (cob [л] <
Мы покажем, что многие другие предложения, выражающие те
или иные свойства регулярности, также эквивалентны предло-
жению (3), играющему роль своего рода эталона, имеющего
значительно более прозрачный теоретико-множественный смысл,
чем, скажем, (1) и (2). Мы докажем также, что достаточные
условия измеримости множеств классов 2г и А|, даваемые тео-
ремами 11.5 и 11.6, в то же время и необходимы.
В работах последних лет выделена еще одна группа инте-
ресных попарно эквивалентных предложений, содержащая в
качестве эталона предложение о том, что каждое 2}- множество
является детерминированным. В частности, 2}-детерминиро-
ванность эквивалентна тому, что любые два неборелевских
21-множества борелевски изоморфны. Более подробно см.
Харрингтон [3].
15.	Неразрешимые предложения. Мы рассмотрим следую-
щие предложения, выражающие различные свойства регулярно-
сти множеств классов nJ, А-», 2^:
§ 3. НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
319
15.1.	Всякое несчетное П} -множество содержит совершенное
ядро.
15.2.	Каков бы ни был ординал р < каждое ^-множе-
ство имеет не более чем счетное число непустых конституант
(или их номеров — все равно ввиду попарно дизъюнктности
конституант), принадлежащих классу Пр.
15.3.	Всякое полное ^-упорядочение Hi-множества имеет
счетную длину. (Иными словами, каждое П[-множество, которое
можно вполне упорядочить некоторым П\-отношением, счетно.}
15.4.	Для каждого ле 7 справедливо неравенство
15.5.	Всякое ^-множество s 7 измеримо по Лебегу.
15.6.	Совокупность	всех случайных над Цл] точек
имеет меру 1, каково бы ни было ле/.
15.7.	Всякое ^-множество S I измеримо.
15.8.	Совокупность непуста, каково бы ни было ле7.
15.9.	Не существует полных ^-упорядочений множества I.
15.10.	Нет таких п^1, что / £Ь[п].
Содержанием этого параграфа является доказательство сле-
дующей теоремы, классифицирующей рассматриваемые пред-
ложения:
15.11.	Теорема. 15.1 *-> 15.2*-> 15.3<-> 15.4
4
15.5 *->15.6
4
15.7 *->15.8
4
15.9» 15.10
Некоторые утверждения этой теоремы очевидны: 15.4->
-> 15.6-* 15.8-> 15.10. Другие уже доказаны выше: 15.2->15.4
и 15.3->15.4 (теорема 11.3), 15.5->15.6 (теорема 11.5), 15.7->
-*15.8 (теорема 11.6), а также 15.9^-15.10 (следствие 9.3). Та-
ким образом, остается проверить следующие импликации:
15.4->	15.2 (мы это делаем в п. 16),
15.4->	15.3 и 15.10—>15.9 (п. 17),
и, наконец,
15.6—>	15.5 и 15.8-*- 15.7 (п. 18).
Несколько замечаний. В работе Леви [1] доказана непро-
тиворечивость предложения 15.4. (Точнее, если предложение
IC о существовании сильно недостижимого кардинала не про-
тиворечит теории ZFC, то 15.4 также не противоречит ZFC.
Верно и обратное: из непротиворечивости 15.4 следует непроти-
320
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
воречивость IC, так как в предположении 15.4 «настоящий»
кардинал <хн сильно недостижим в конструктивном универсуме,
см., например, Леви [1].) С другой стороны, отрицание
предложения 15.10 также непротиворечиво: оно вытекает из
аксиомы конструктивности. Поэтому теорема 15.11 влечет не-
разрешимость средствами аксиом ZFC каждого из предложений
15.1 — 15.10.
Укажем еще несколько предложений, эквивалентных 15.1 —
15.4. Как уже было отмечено, предложение 15.1 эквивалентно
следующему:
15.2(a	). Каждое несчетное П' 'множество имеет несчетную
конституанту.
Новиков [5] установил, что предложение 15.2(a) в свою
очередь эквивалентно такому предложению:
15.2(6	). Каждое несчетное Т1\-множество имеет конститу-
анту, содержащую по крайней мере две разные точки.
Таким образом, теорема 15.11 дает эквивалентность предло-
жений 15.2(a), (б) предложениям 15.1 —15.4 и их неразреши-
мость. Прямое доказательство эквивалентности 15.1 и 15.4 (не
через посредство 15.2) содержится в работах Любецкого
[1], Соловея [1], Менефи л да [1].
Некоторые интересные предложения, лежащие «между»
15.2(a) и 15.2, также, естественно, эквивалентны 15.1 —15.4 и
неразрешимы. Среди них предложение о том, что. каждое не-
счетное П{-множество не может иметь несчетное число счет-
ных конституант, а также следующее замечательное предложе-
ние, проблема установления истинности или ложности которого
поставлена Л уз и н ы м [1], [6], [9], [10], [11]:
15.2(b	). Каково бы ни было р < ©ь каждое неборелевское
п! -множество имеет конституанту, не принадлежащую клас-
По
Р-
Предложения группы 15.2 говорят, что П]-множества не
могут иметь слишком много «маленьких» (в смысле мощности
или борелевской сложности) конституант. Все эти предложения
эквивалентны предложению 15.4 и неразрешимы, но становятся
разрешимыми после введения требования непустоты консти-
туант, см. п. 19.
Необходимо отметить, что инициатором исследования боре-
левской структуры конституант был Лузин. В указанных выше
его работах выделен важный класс П{- множеств, сложность
конституант которых монотонно стремится к соь Под слож-
ностью борелевского множества X понимается наименьший
ординал р такой, что X е Пр- Автору известен пример Прмно-
$ 3 НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
321
жества, сложность конституант которого стремится к coi, но не
монотонно, с какого бы номера мы ни начинали.
Некоторые предложения, связанные с отделимостью консти-
туант, также эквивалентны предложениям 15.1—15.4, см. 16.9
ниже.
Вот еще несколько предложений иного рода, эквивалентных
15.1 —15.4 и неразрешимых:
Для каждого ле/ нет максимальных счетных Sp я-множеств
(упражнение 16.8 ниже).
Каждое полное ^-упорядочение имеет счетную длину
(п. 17).
Каждое несчетное ^-множество содержит совершенное ядро
(эквивалентно 15.1 в силу 2.7).
Харрингтон [1] доказал, что предложение 15.10 эквива-
лентно тому, что для каждого ле/ найдется непустое П2 я-мно-
жество /, не содержащее одноэлементных подмножеств
класса Пр я. В одну сторону этот результат составляет содер-
жание теоремы 12.3.
В заключение отметим, что ни одна из импликаций 15.4->
15.6—>	-15.8-> 15.10 не является обратимой в ZFC. Модель N,
в которой истинно 15.6, но ложно 15.4, получается из исходной
модели М, в которой истинна аксиома конструктивности, так,
как указано в § 6 гл. 4. В этой модели N истинна аксиома Мар-
тина, но ложна континуум-гипотеза. Следовательно, в силу
теоремы 15 гл. 6 в N истинно 15.5. С другой стороны, N сохра-
няет кардиналы, ввиду чего в N истинно = (ор т. е. ложно
15.4.
Другая конструкция модели для 15.6 + П 15.4, а также кон-
струкция модели для 15.8+П 15.6 даны в работе Любец-
кого [3].
Наконец, модель для 15.10 + “115.8 получается генерическим
расширением М с помощью со^-коэновского ЧУ множества.
Изучение этих интересных моделей выходит за рамки нашего
обзора.
16.	О положении конституант в борелевской иерархии.
16.1.	Тео р е м а. 15.4—^15.2.
Доказательство этой теоремы основано на идее за-
метки Штерна [2]. Зафиксируем Прмножество [/?] ^ / и
ординал р < coi и покажем в предположении 15.4, что наше
множество [/?] имеет не более чем счетное число непустых
конституант из класса П£.
Для уменьшения громоздкости будем, не ограничивая общ-
ности, предполагать, что R L и р < сор (Если это не так, то
Vail Справочная книга, ч. II
322
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
вместо L, и т. п. ниже нужно рассматривать L [л], соИл]
и т. п., где те/ таково, что R е L [л] и р <	'Введем
несколько определений.
Для каждого ординала у через SeqY обозначим совокупность
всех конечных последовательностей ординалов < у, включая и
последовательность 0 длины 0. Таким образом, Seqw есть мно-
жество Seq из § 2 гл. 8. Множество Т SeqY назовем фундиро-
ванным деревом, если выполняются следующие условия:
1)	о е Т А т g SeqY /\х	-+х ^Т\
2)	Г =# 0 (откуда и из (1) следует ОеГ);
3)	нет бесконечных путей о0 cz Oi cz о2 ..., где каждое о*
принадлежит Т.
Пусть Т SeqY — фундированное дерево. Аналогично 2.19
гл. 8 каждому ее? сопоставляется ординал |о|т так, чтобы
|ff|r = supTer>at2T(|T|r + 1).
Ясно, что | а |г — 0 а е Max (Г), где
Мах (7) == {а е Г: Vt е Т (а </: т)}
— совокупность всех cz-максимальных в Т элементов. Наконец,
положим |Т| = |0|т.
Используем фундированные деревья для кодирования боре-
левских множеств. Изложенный ниже способ кодировки близок
к способу, указанному в заметке Штерна [2]. Борелевским
кодом назовем всякую пару <Т, d> такую, что Т е SeqY для не-
которого у < coi — фундированное дерево, a d е Мах(Т)Х Seq.
Если при этом аеГ, то определим множество [Г, d, о] £ 1
индукцией по |а| т следующим образом:
|а |г = 0-> [Г, d, cr] = / — (J /т, где = rcza};
«j,
|<т|г>1->[7’( d, cr] = Z — U [Л d, сг>].
es Т
Положим [Г, d]^[T, dt 0]. Множества [Г, d^ а] борелевские;
точнее, [Т, d, а] е П?+|а^. Поэтому [Г, ^]ЕП1+)Гр
Анализируя доказательство теоремы об универсальном мно-
жестве (теорема 2.5 гл. 8), каждому ординалу р < со^ (в част-
ности, фиксированному выше р) можно сопоставить фундиро-
ванное дерево Гр Seq, удовлетворяющее такому требованию:
16.2.	Если класс М транзитивен и является моделью ZF,
причем р < сорЛ1 (где LM = {хеМ: к конструктивно в М}), то
ТреМ и в М истинно следующее предложение'.
§ 3. НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
323
для каждого Подмножества X 1 найдется такое d £=
Мах (Тр) X Seq, что X = [Гр, d\.
Еще одно определение. Для каждого Л < aq введем сово-
купность Сх всех борелевских кодов (Г, d), удовлетворяющих
таким трем условиям: (Г, d)^ L, | Т |^Л, и ц < всякий
раз, когда	Каждое из множеств Ск конструктивно
и имеет мощность <о^+1 в L.
Следующая лемма элементарно влечет теорему 16.1:
16.3.	Лемма. Если v < (о1 и [/?]v е П?+р, то найдется такой
код (Т, d)^Cp9 что [Z?]v = [Г, d].
Вывод 16.1 из 16.3. Ординал р+1 счетен, а из 15.4
следует недостижимость «настоящего» coi в L. Поэтому (о^+1 <
<<о1,т. е. множество Ср счетно в универсуме. Поэтому лемма
16.3 влечет счетность числа всех конституант [7?]v из класса
тт°
И1+Р-
Доказательство леммы 16.3. Мы докажем, что эта лем-
ма верна в произвольной счетной транзитивной модели (СТМ) М
теории ZFC, после чего укажем, как получить ее доказательство
в универсуме всех множеств (т. е. в ZFC). Итак, пустьv < со
р < R е Ъм и [fl]v 6= П°+р в М.
Через Pv обозначим совокупность всех функций р таких, что
domре со и ranp^v. Упорядочим Pv обратно включению:
p^.q+^q^p. Таким образом, Pv есть ЧУ множество для
построения генерического отображения со на v, см. 3.8 и 3.9
гл. 4. Ясно, что Ру е LM.
Рассмотрим генерическое расширение A4[G], полученное
присоединением М-генерического множества G Ру к модели
А4. Согласно 11.7(b) в A1[G] истинно [Д]уеП}+р. Далее g =
=• U G(s L^[G]) отображает со на v. Значит, ординал v счетен
в LM [G], а р счетно даже в LM. Поэтому вновь из 11.7 (в) вы-
текает W]v^n?+p в LM [G]. Согласно 16.2 найдется множество
d е 1Л [О], d^Max(Tp)X Seq, такое, что в LM[G] истинно
(1)	=	d].
Наше множество G будет, очевидно, и Ьм-генерическим. По-
этому в соответствии с леммой 2.5 гл. 4 найдется Pv-терм
PvX(Max(7p)X Seq), такой, что d = lG(t).
Покажем, что предложение (1) истинно и в М [О]. Действи-
тельно, учитывая принадлежность Гр и d к модели LM[G], мы
можем подобрать Sj-формулу ф(а) с кодом из модели LM[G]
такую, что оавенство [Тр, d]={a: ф(а)} истинно как в LM[G],
так и в М [6]. (Эта формула выражает существование функции
g: Тр-*- {0, 1} такой, что:
Vill*
324
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1)	если | а |Гр = 0, то g(cr) = 1 <-> Vr(ae т) d),
2)	если | а |г 1, то g(a) = 1 <-> Vn (aAn е TQ ->g(<y^n) = 0),
3)	g(0) = i.P
Смысл функции g: g(a)=l<->aE-[?p, d, a].)
Теперь с помощью формулы ф(а) и формулы <р^, даваемой
леммой 11.2, мы выражаем равенство (1) следующим образом:
(2)	Va (<р^ (w, a) *-> Ф (a)),
где w & Word П [О] таково, что | w | = v. Используя пра-
вило 10.2, нетрудно убедиться, что формула (2) есть Пгфор-
мула с кодом из LM[G], Значит, она истинна в М[О] согласно
теореме об абсолютности 10.3, будучи истинной в LM[G], Таким
образом, равенство (1) истинно в Af[G], т. е. по выбору t в
A4[G] истинно [7?]v = [Тр, /о(0]- Но множество G Pv яв-
ляется М-генерическим. Поэтому найдется ро е G, удовлетво-
ряющее такому требованию:
(3)	Ро1Н/?г.=[7’;, q,
где ||— есть вынуждение ||—
Для p^Pv и as Гр определим множество
Zap = {ae/nAf: p||-a*	/, a*]} (е М).
Начиная с этого момента, ординал | а |Тр (где а ее Гр) условимся
для уменьшения громоздкости обозначать через | a |:| a | = | а |Тр.
В М истинны следующие три утверждения:
(4)	|or| = O^Zap = /- U Л, W
т е S
S = {tg Seq: Bq, r<= Pv(r^.p, q A {q, (a, xj) e /)};
(5)|a|>l->Zop = Z- Ц Z^n>9;
<?<P. а пеГр
(6) ZoPo = [/?]v(b M).
Утверждения (4) и (5) без труда выводятся индукцией по
|о| из определения множеств Zop, выбора t и предложения 2.10
гл. 4. Проверка (6) также несложна. Если аеZПМ и as[P]v
в М, то as[/?]v и в М[G], откуда и из (3) следует aeZoPo.
Обратно, если a [P]v в М, то a ZoPo.
Итак, мы имеем в М конструктивное множество t S PVX
X (Мах (Гр) X Seq) такое, что система множеств Zap, определяе-
мая для всех стеТр и pePv условиями (4) и (5) индукцией
по |ст|, дает множество ZOpo, удовлетворяющее (6). Имея такое
множество t, мы с этого момента отказываемся от предположе-
ния о том, что лемма 16.3 доказывается в СТМ М, и продол-
$ 3 НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
325
жаем ее доказательство в универсуме всех множеств (или, если
угодно, рассуждаем в М). Докажем следующую лемму:
16.4. Лемма. Ко всяким и р^Рх можно подобрать
код (Тор, dOp) е С|а| так, чтобы [Тор, dap] = Zap,
Доказательство проходит индукцией по |а|.
1*. Пусть и не Гр, |о| = 0. Определим множество S
так, как указано в (4), и положим
тор = {0} и dop = «О, т>: т ё= S}.
Из конструктивности t следует конструктивность S, ввиду чего
<Тар, dop) е Со = aJ, а равенство [ТОр, d0P] = Zop выполняется
согласно (4) и определению [Г, d],
2*. Пусть р е Pv и |a|^s 1, причем для всех т] е Тр, г] а,
лемма 16.4 уже доказана, т. е. для каждого q Ру и каждого
т) е Тр, т] => о, уже имеется код
£<1и(= U СЛ
такой, что [T^q, d^q\ = Z^q. Предположим, что
(*) функция т], q\—d^q) конструктивна.
В этом предположении (об обоснованности которого см. ниже)
конструируем искомый код <ТОр, dOp) е С|о г
По определению множество С< |а| имеет мощность coj^j в L.
Не большую мощность в L имеет и конструктивное в силу
(*) множество
и = {{Та~П' q, d^' чу. q(=pv /\q<P л оЛп<= Тр}
(хотя оно и заиндексировано множеством пар <n, q), имею-
щим при достаточно большом v мощность, превосходящую <^а|
в L). Поэтому существует конструктивная нумерация
&	qQ9 ^o^nQ, <70)‘ 9 < °1а |}
множества U в L. Положим
Т„=(0) и {e«n: е < «t,, л ч ₽
<,„ = {<влП, Ч	ЛЧ
где для ординала 0 и конечной последовательности ординалов т]
через 0Аг| обозначается последовательность, определенная
равенствами; dom(0A'n)==dom/r] + 1, (0А^)(О) = 0, и (0лт])(& +
+ 1)='П(&) Для всех fe<domr). Нетрудно проверить, что
(ТОр, dOp)eC|a| — ИСКОМЫЙ КОД.
Построения 1* и 2* могут в силу конструктивности t быть
полностью проведенными в конструктивном универсуме. Это и
дает обоснование допущения (*). Лемма 16.4 доказана. □
П Справочная книга, ч. II
326
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Из 16.4 и утверждения (7) следует лемма 16.3. Доказатель-
ство теоремы 16.1 закончено. □
Замечание. По ходу доказательства теоремы 16.1 нам
пришлось, доказывая лемму 16.3, предположить на некоторое
время, что универсум, в котором доказывается лемма 16.3, яв-
ляется СТМ в более широком универсуме. По существу, это
предположение сделано для того, чтобы иметь возможность
рассмотреть Pv-генерическое расширение универсума леммы
16.3. Метод булевозначных моделей позволяет обойтись без
этого предположения. Этот метод состоит в том, что вводится
специальный класс термов играющий роль Pv-генериче-
ского расширения универсума V. Всякий стандартный факт о
вынуждении, верный для расширения M->M[G] модели М до
модели M[G], оказывается верным и для «расширения»
V->V(P< В частности, существует конструктивное множество
t, приводящее указанным в доказательстве 16.3 образом к се-
мейству множеств Zap, обладающих теми же свойствами, и т. д.
Более подробно о такой реализации метода вынуждения см.
Соловей, Тенненбаум [1].
Теорема, аналогичная 16.1, может быть доказана и для не-
которых других coi-последовательностей борелевских множеств.
В частности, она справедлива для последовательностей, давае-
мых доказательством теоремы 2.23 гл. 8.
Результат следующего упражнения дает нижнюю границу
борелевской сложности непустых конституант.
16.5. Упражнение. Если 1 р <	[/?]veS°1+p и
Ф 0, ТО V <
Указание. Пусть для простоты	Аналогично 16.3
найдется код (Г', d') Ср такой, что [R]V = I— [T't d']. Под-
ходящая часть этого кода образует новый код (Г, d)^CK для
некоторого X < р, удовлетворяющий соотношению 0 #= [Г, d] s
[Z?]v. Используя вынуждение «над L» с ЧУ множеством PY,
где Y==a)x» в качестве множества вынуждающих условий,
можно найти множество G Ру такое, что =со^ Если
теперь	То равенство (*) [Г, d]f][/?]p = 0 истинно для
всех ц < IG] (^v), так как конституанты попарно не пере-
секаются.
По определению Ск будет Т SeqY, т. е. Т не более чем
счетно в L [G]. Поэтому равенство (*) абсолютно для L [G],
каково бы ни было ц<со^101. Значит, [Г, d] П [/?] = 0 в L [G].
Последнее равенство также абсолютно и истинно в универсуме,
что противоречит выбору (Г, d). □
Особо выделим результат 16.5 для р=1:
§ 3. НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
327
16.6	. Следствие. Если [/?]v2° (в частности, если кон-
ституанта [/?]v не более чем счетно^ и [7?]v =/= 0, tov
16.7	. Упражнение (Соловей [1], Менсфилд [1]).
Если Si’ Л" множество Y 1 содержит неконструктивную относи-
тельно л точку, то найдется совершенное множество Zp У с
«кодом» р^Ь[л].
Указание. Теорема П},я-униформизации 4.20 гл. 4 сводит
все к случаю, когда У есть Подмножество [/?], где 7?^Ь[л].
Конституанта [7?]v, содержащая точку не из L [л], не может
быть счетной в силу 16.6 и 4.11. Значит, [/?] содержит совер-
шенное ядро. Далее используем 11.7(6). □
16.8	. Упражнение. Предложение 15.4 эквивалентно тому,
что для каждого л / нет максимальных счетных Si’ п-мно-
жеств.
Указание. Справа налево. Общий случай сводится к
случаю /^Е[л] с помощью 10.3. Дальше используется реля-
тивизованный вариант 13.5. Слева направо. Если
то множество IA L [л] будет максимальным счетным si’ ^мно-
жеством в силу 16.7. □
16.9	. Упражнение. Покажите, что из 15.4 следует пред-
ложение о том, что, каков бы ни был ординал р < coi, каждое
П1Г множество [7?] имеет не более чем счетное число непустых
конституант [7?]v таких, что для некоторого Пр-множества У
выполняются соотношения [7?]v У и У П ( U [^]ц>|=:=0- Это
\u<v 7
предложение усиливает 15.2 и является, таким образом, еще
одним эквивалентом 15.1—15.4. Сформулируйте и докажите
аналогичное усиление 16.5.
17.	О полных ^-упорядочениях. Импликации 15.4-> 15.3 и
15.10-> 15.9, доказываемые в этом пункте, являются очевидными
следствиями такой теоремы:
17.1.	Теор ема (Менсфилд [1]). Пусть ле/ и < есть
полное S2’ ^-упорядочение, область которого D = {а: Зр (а
Р V Р <^а)} включена в I. Тогда D L [л].
Доказательство. Пусть, напротив, D 3= L [л]. В силу
16.7 найдется совершенное множество Zp0 s D с роеЬ[л]. Не
огоаничивая общности, можно предполагать, что Zpo = 02, где
w2 = {a: а есть функция из ю в 2 == {0, 1}}е/. (Общий случай
сводится к этому с помощью «конструктивного относительно р0»
гомеоморфизма “2 на Zp0.)
Для f е / положим
Ef = {<a, р): Vm, k (f(2m (2k + 1) - 1) = 0	$ a A ok $ p)}
11*
328
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(ср. с 11.4). Семейство {Ffi	дает нумерацию всех зам-
кнутых множеств F /2. Далее, множество
S = {ф, f): р, f IA L [л] A w2 совершенно
/\ Ff есть непрерывная биекция “2 на некоторое Y “2}
принадлежит классу Ег’" вследствие 9.4. Упорядочим S так:
<₽, f> <* (y, g) — s ZY A Va e Zp (Ff (a) < Fg (a)).
Множество S с порядком <* фундировано. Действительно,
если
(Ро, fo)>*(Pl, А) >*$2, А)
то, взяв точку а в очевидно непустом пересечении П Zp , мы
получим Ffo (a) > Ff} (a) > ..., чего не может быть.
Кроме того, S непусто: возьмем такие р, fe/f|L[n], что
Z3 = °2 и Ff= {<a, a>: aew2}. Следовательно, S имеет <♦-
минимальный элемент <р, f> <= S. Как и выше, не ограничивая
общности, предполагаем, что Zp = °2.
Для всякого осе “2 определим a е w2 условиями
a(0)=l—а(0) и а(£) = а(£) при k > 0.
Нетрудно указать такое	что Fg— непрерывная
функция из °2 в °2, причем Fg(a) = Ff(a) для всех aEG2.
Согласно взаимной однозначности Ff имеем Ff (a) =# Fg(a)
для всех а е °2. Поэтому °2 = A U 5, где множества
Л = {аЕй2: Fg(a)<Ff(a)},
B = {ae°2: Ff(a)<Fg(a)}
принадлежат классу S2'Но “2 ?£ L [л], так как иначе /£Ь[л].
Следовательно, по 16.7 найдется совершенное множество ZY
с у е 1[л] такое, что либо ZY Д, либо ZY В.
Во втором случае нетрудно выбрать S IП L [л] так, чтобы
Z6 = {a: aEZY}, и получить Z6 ^X. Поэтому, не ограничивая
общности, предполагаем ZY А. По определению <* это озна-
чает, что <у, g) < * <р, f>,— противоречие! □
17.2.	Следствие. Всякое полное ^[-упорядочение < имеет
длину а>1.
(Множество IП L [л] имеет мощность coi, каково бы ни
было ле/.)
Интересно, что уже для полных Аз-упорядочений невоз-
можно получить результаты, аналогичные 17.1, 17.2. В частно-
сти, Харрингтон [2] показал, что предложение о существо-
вании полного Аз-упорядочения пространства / не противоре-
§ 3. НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
329
чит теории ZFC + отрицание континуум-гипотезы, см. п. 28 на-
шего обзора.
18.	Об измеримости множеств классов 21 и Докажем
теорему, из которой следует импликация 15.6->15.5.
18.1.	Теорема (Соловей [1], [2]). Пусчь ле/ таково,
что совокупность 5?ця] всех случайных над L[л] точек а е /
имеет меру 1. Тогда всякое S2* ^-множество измеримо.
Доказательство начнем со следующих определений.
Через Р обозначим совокупность всех р е / Г1 L [л] таких, что
множество Zp (см. п. 11) имеет меру >0 (все равно: в Цл]
или в универсуме). Упорядочим Р так:
p<y<->Zp!= ZY.
ЧУ множество <Р, принадлежит классу Цл]. Множество
G Р называется L [л] -генерическим, если оно удовлетворяет
следующим двум условиям:
(1)	Если р, у G, то найдется такое 6eG, что б р, у.
(2)	Если множество D <= L [л], D^P плотно в Р, то
D(]G^0.
Данное определение совпадает с определением гл. 4 с той
лишь разницей, что здесь Цл] — собственный класс, а не счет-
ное множество А4, как в гл. 4. L [л]-генерические множества
G Р могут быть получены из случайных над L [л] точек:
18.2.	Лемма. Если точка ае/ случайна над Цл], то мно-
жество Ga = {р е Р: а е Zp} является L [л] -генерическим и
L [л, а] = L [л, Ga].
Доказательство леммы. Проверим (1). Пусть р, у е
еСа, т. е. a^ZpAZy. Найдется такое б е / A L [л], что Z6 =
= Zp QZy. В силу случайности а мера Z6 положительна. Значит,
б Р, б^р, 8 у и 6 е Ga.
Проверим (2). Пусть множество Д^Цл], D^P, плотно
в Р. Существует счетная в Цл] максимальная антицепь Де
еЬ[л], А^ Ь. Она имеет в Цл] вид А = {Z(Y)/: I е со} для
подходящего уе/АЬ[л]. При этом в силу максимальности А
мера объединения U Z(Y) =t/Y равна 1. Следовательно,
/GO) L
ae (7y. Теперь непустота Ga(]D очевидна.
Наконец, СаеЦл, а] выполняется по определению Ga, а
аеЦл, Ga] следует из равенства {a} = Г1 {Zp: реСа}. □
Генерические расширения класса Цл], т. е. классы вида
Цл, G], где множество G^P является L[л]-генерическим,
имеют те же свойства, что и генерические расширения счетных
моделей. В частности, если замкнутая формула ср содержит
Р-термы из Цл] в качестве параметров, а множество G^P
является L [л]-генерическим, то справедлива эквивалентность
(Ь[л, G] h Ф°) ~ ЗВ G (р ||- ф),
330
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
где <pG — результат замены каждого Р-терма /, входящего в ф,
множеством МО^Цл, G], а ||— — отношение вынуждения,
соответствующее Р-генерическим расширениям «модели» L [л].
(Предложение 2.3 гл. 4, выражающее существование достаточ-
ного числа L [л]-генерических множеств G^P, выполняется в
нашем случае, так как, если ре Р, то в силу предположения
о том, что мера множества 3?ця] равна 1, существует случайная
над Ь[л] точка	и, следовательно, существует L [л]-гене-
рическое множество Ga, содержащее р.)
18.3.	Следствие (из 18.2). Пусть формула ф такова, как
указано выше, и точка ае/ случайна над Ь[л]. Тогда
(L [л, а] |= ф°а) ЗР <= Р (а <= Л 01|- ф)-
Следующая лемма играет главную роль в доказательст-
ве 18.1.
18.4.	Лемма. Какова бы ни была формула ф(а) с пара-
метрами из Ь[л] и единственной свободной переменной а, мно-
жество
{а е /: в L [л, а] истинно ф (а)}
измеримо по Лебегу (в предположении, что мера Ж(л] равна 1).
Доказательство леммы (эскиз). Достаточно дока-
зать измеримость следующего множества:
{a и:	в L [л, а] истинно ф (а)}.
Для этого подберем у е / (] L [л] такое, что для каждого
а е Ж[л] будет выполняться эквивалентность
(*) a е Uy <-> в L [л, а] истинно ф (а).
Введем Р-терм
а — {(р, (m, р е Р A Va (a (m) = £)} L [л]).
(Тогда Л?а(а) = а, какова бы ни была случайная над Цл]
точка а.) Через гр (а) обозначим результат замены в ф(а) каж-
дого параметра хеЬ[л] термом х*=РХ^ (/G(x*) = x, ка-
ково бы ни было G Р). Множество
Q = {Pe=P: pW(a)}
принадлежит L [л]. Выберем максимальную счетную в Ь[л]
антицепь А Q, ЛеЦл]. Найдется уе/рЦл] такое, что
Uv = U Zft. При этом, согласно максимальности А, мера
Y а р
Zp — Uy равна 0 для любого р е Q. Используя это, а также
18.3, нетрудно проверить, что найденное у обеспечивает экви-
валентность (*) для всех а е &[я]. □
§ 3. НЕРАЗРЕШИМЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНОСТИ МНОЖЕСТВ
331
Закончим доказательство теоремы 18.1. Рассмо-
трим 2$ л-множество X /. Имеем Х= {а: ср (а)} для подходя-
щей Хгформулы ф с кодом из Ь[л] (см. п. 10). По теореме 10.3
об абсолютности имеет место равенство
X = {а е /: в L [л, а] истинно ф> (а)},
и измеримость X следует из леммы 18.4. □
Теперь докажем импликацию 15.8-> 15.7.
18.5.	Теорема (Любецкий [3]). Пусть пе! и множе-
ство Ж[л] непусто. Тогда каждое множество измеримо.
Доказательство. Предположим противное. Тогда су-
ществует множество X I класса Дг л с верхней мерой 1 и ниж-
ней мерой 0. Если а>Ия1 < <ор то множество $!цл] имеет меру
1, и можно воспользоваться теоремой 18.1. Поэтому предполо-
жим, что (0]-1л1 = (д1. Тогда X является объединением coi боре-
левских множеств «с кодом из Ь[л]» (см. доказательство тео-
ремы 2.23 гл. 8), каждое из которых имеет меру 0. Такой же
вид имеет и множество / — X. Но случайная над Ь[л] точка
не может принадлежать борелевскому множеству меры 0 «с ко-
дом из L [л]», так как каждое такое множество имеет пустое
пересечение с некоторым множеством Uy меры 1 таким, что
у <= L [л]. □
19.	Некоторые разрешимые свойства конституант.
19.1.	Теорема. Если р < coi и все конституанты [7?]v непу-
сты, то найдется конституанта [/?]v ф П^.
Доказательство. Для простоты предположим, что най-
дется СТМ М теории ZFC такая, что /? е М и р <	(На
самом деле можно ограничиться рассмотрением моделей доста-
точно широкого конечного фрагмента ZFC.) Аналогично дока-
зательству 16.3 найдется генерическое расширение N модели М
такое, что v < со^, где v =
По условию [/?]v#=0 в универсуме. Докажем, что [/?] v У2
=/= 0 и в N. Действительно, как показано в доказательстве лем-
мы 11.7, предложение [/?]у#=0 можно выразить подходящей
Si-формулой с кодом из N. Теперь искомое вытекает из сле-
дующего принципа абсолютности:
19.2.	Теорема (Мостовский). Если множество или класс
N является моделью ZF, то всякая замкнутая Х]\-формула с ко-
дом из N абсолютна для N (ср. с 10.3).
Несложное доказательство основано на результате 2.18 гл. 8
и оставляется читателю.
Итак, [/?]v =И= 0 в N. Применяя в N 16.5, мы имеем [/?]v 0
ф Пр в N. Выведем отсюда [/?]v П°р в универсуме всех мно-
332
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
жеств. Достаточно выразить предложение [/?]v П£ с помощью
^-формулы с кодом из М и воспользоваться 19.2.
Имеет место следующая эквивалентность:
14*4"^
где Up есть универсальное Sp-множество. (Нужно провести рас-
суждения из доказательства теоремы 6.19 гл. 8 с учетом боре-
левости [/?] v и Up и теоремы 6.3 гл. 8.) Но правую часть этой
эквивалентности нетрудно записать Sr формулой с кодом из N
с помощью формул 11.2 и формул, введенных в доказательстве
леммы 11.7(b). □
Еще одно разрешимое свойство конституант, на котором мы
остановимся, связано с внутренними конституантами. Пусть
Seq2. Множество I — [/?] (класса S}), подобно множеству
[/?], можно разбить на борелевские множества следующим об-
разом. Для каждого X Seq положим
Х' = {а^Х: отношение < f {т е X: т<а} фундировано},
и определим v-ю внутреннюю конституанту
[/?]*v = {ае / -(/?]: отношение< [ (Ха/* — {0})' фундиро-
вано и имеет длину v}.
Множества [/?] *v борелевские, попарно не пересекаются и дают
I — [/?] в объединении.
Свойства внутренних конституант в значительной степени
отличаются от свойств конституант 2.1 (называемых внешни-
ми), Для них не имеют места аналоги результатов 2.3—2.5. Раз-
личие проявляется и в следующей теореме:
19.3.	Теорема. Пусть р < coi и число непустых конституант
•[/?] *v несчетно. Тогда найдется конституанта[#]*
Доказательство (эскиз). Весь аппарат 16.1 —16.5 без
особых изменений переносится на конституанты [/?] *v- Поэтому,
повторяя доказательство 19.1, достаточно подобрать ординал
v,	такой, что [/?]*v#=0 в N. Для этого заметим,
что формула
€= /-[/?] А а ф и [Я]. Д
и<ь }
где Х = является SJ-формулой с кодом из N (так как
/ — [/?] е 2}), ввиду чего искомое достигается применением
принципа 19.2. □
Напомним, что аналог теоремы 19.3 для конституант [/?]v
(т. е. предложение 15.2(b)) неразрешим средствами ZFC.
За (а
§ 4 МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
333
19.4.	Упражнение. Пусть /? е Seq2. Определим
а£кР 3v (а> ₽ е Wv V а, р е [/?], v).
Покажите, что Er является 21-отношением эквивалентности на
/, причем не может существовать совершенное множество по-
парно ^^-неэквивалентных точек (используйте 1.6). Классами
£/?-эквивалентности будут в точности конституанты [/?] v и
[/?] *v. Покажите, используя 19.3 и 2.5, что если число классов
Ё/Гэквивалентности несчетно и р < coi, то найдется класс Er-
эквивалентности, не принадлежащий Пр. (Таким образом, отно-
шения Er не могут служить контрпримерами к 2}-SR, см.
п. 6.)
§ 4. Модель Леви — Соловея
Мы видели в § 2, что классические теоремы об измеримости
и свойстве совершенного ядра 2}-множеств «максимальны» в
теории ZFC, так как из аксиомы конструктивности следует су-
ществование неизмеримого А^-множества и существование не-
счетного П}-множества без совершенного ядра. В § 3 указаны
необходимые и достаточные условия измеримости множеств
классов и 2ги свойства совершенного ядра у множеств клас-
сов П} и 2|. Но как быть с проективными множествами более
высоких уровней? Является ли непротиворечивым, скажем, пред-
ложение об измеримости всех проективных множеств? Решение
этой задачи получено Соловеем [2] с помощью модели, по-
строенной Леви [1] для исследования вопроса об определимых
полных упорядочениях множеств I. Мы изложим в этом па-
раграфе основные свойства упомянутой модели, которая назы-
вается моделью Леви — Соловея.
Собственно, известны две модели Леви — Соловея. В пер-
вой из них истинна полная аксиома выбора, и основные свой-
ства регулярности переносятся на весьма широкий класс “Оп-
определимых множеств, включающий, в частности, все проек-
тивные множества. Во второй модели, которая получается из
первой, истинна только аксиома зависимого выбора, зато свой-
ства регулярности переносятся на все множества вообще (так,
во второй модели каждое множество измеримо и т. п.).
Мы дадим также доказательства двух теорем структурной
теории, относящихся к счетнозначным множествам.
20.	Множество вынуждающих условий. Зафиксируем неко-
торый бесконечный ординал Q (более точно величина Q опре-
деляется в п. 21). Следующее определение вводит ЧУ множе-
ство 3 вынуждающих условий Леви — Соловея.
334
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
20.1.	Определение. Пусть ц < й и	По-
ложим
Ри = {<&, v): <ц, k, v)<=p}.
Пусть X й. есть совокупность всех взаимно однозначных
функций из некоторого m е (о в ю + А. 3 есть совокупность
всех конечных множеств р ^ЙХ«ХЙ таких, что ц<й->
рц е Если р е то dom р = {ц: рц =/= 0} й конечно).
Положим
&<к = {р<=3>: domp^X,}, = ^<(x+i),
^ = {РЕ^: Xridomp=0}, ^>x = ^xx+i).
Все введенные множества упорядочиваются обратно включению:
р С q q <= р.
В отличие от определения 5.5 гл. 4, приводящего к «сверт-
ке» (Oi и всех ординалов < й с помощью счетных вынуждающих
условий, множество 3 приведет к «свертке» (о и всех ординалов
< й с помощью конечных вынуждающих условий.
20.2.	Лемма. Если й является недостижимым кардиналом,
то множество 3 удовлетворяет Q-условию антицепей.
Доказательство совершенно аналогично доказатель-
ству 5.6 гл. 4.
20.3.	Определение. ЧУ множества Р и Q назовем почти
изоморфными, если некоторое плотное Р' Р изоморфно неко-
торому плотному Q' Q.
Докажем несколько утверждений о почти изоморфности, свя-
занных с множествами, введенными определением 20.1.
20.4.	Лемма. Если X < й, то Зх и 3^к почти изоморфны.
Доказательство. Пусть р^3<к, и = dom р, т =
= dompx (е<о). Если выполняются следующие два условия:
(1)	и — {Х} = {рх(/): !<щ},
(2)	dompM, = m для всех цеи,
то пишем р^З'. Нетрудно видеть, что 3' с обращенным по-
рядком (т. е. совпадающим с есть дерево высоты (о (см.
гл. 3) с х-ветвлениями, где х = card (<d + М, т- е- за каждым
р е 3' имеется ровно х непосредственно следующих. Таково же
и 3^. Значит, 3' и 3\ изоморфны. Но 3' плотно в □
20.5.	Лемма. Пусть X < й ц непустое множество ^<^3\
не содержит ^-минимальных элементов и таково, что
pe=S /\q(=3K Ap<p-*pe=S.
Тогда множества 3 и Ъ®3^ь почти изоморфны.
Доказательство. 3\ есть дерево высоты со с х-ветвле-
ниями, где х = card((o + X), а наше S, очевидно, образует
§ 4 МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
335
©-дерево с ^х-ветвлениями (в смысле обращенного порядка).
Поэтому множество
= {<р, <t)' PG 2 f\q^$\ A dom p = dom q}
является деревом высоты co с х-ветвлениями, т. е. 3' изо-
морфно Но Зг плотно в S® Значит, в силу 20.4 мно-
жества 2 ® и почти изоморфны. Поэтому S ®	®
и	также почти изоморфны. Но ^\®^>л изо-
морфно	а ^<ь® изоморфно □
20.6.	Следствие. В условиях леммы 20.5 3 почти изоморф-
но множеству S 0 3> к-
Доказательство тривиально: применим 20.5 для Х+1
вместо %; S s 3\ ^x+i очевидно. □
20.7.	Лемма. Множества 3 0 3 и 3 почти изоморфны.
Доказательство. Каждому р^З сопоставим пару
<р\ р2>, где
Р1 = {(н,	v):	2m, v) е р},
р2 = {(р, m, v): (ц, 2m + К
Это отображение дает изоморфизм 3 на некоторое плотное в
3 0 3 множество. □
21.	Определение и основные свойства первой модели
Леви — Соловея. Зафиксируем до конца п. 21 некоторый счет-
ный ординал Q.
21.1.	Определение, ^-моделью назовем всякую счетную
транзитивную модель (СТМ) М теории ZFC такую, что Q е М
и Q является недостижимым кардиналом в М.
Будет предполагаться существование Q-моделей. Таким об-
разом, мы отправляемся от предположения о том, что сущест-
вуют СТМ с недостижимым кардиналом.
Определение 20.1, очевидно, абсолютно для каждой Q-mo-
дели; поэтому всякая такая модель содержит множество 3.
Первой моделью Леви — Соловея называется генерическое рас-
ширение M[G] произвольной Q-модели М, полученное присое-
динением к М некоторого ^-генерического над М множества
G <=3.
(Мы несколько изменяем в этом параграфе терминологию
гл. 4: вместо «М-генерическое подмножество множества 3» пи-
шем «3-генерическое над М множество». Это изменение вызвано
необходимостью иметь дело с различными исходными моделями
и различными множествами вынуждающих условий одновре-
менно.)
Чтобы не повторяться, до п. 25 фиксируем некоторую Q-мо-
дель М. Докажем несколько элементарных свойств модели Ле-
ви— Соловея Af[G]. Первым делом отметим, что при любом
X<Q отображение р З^к, q 3> p{J q 3 осущест-
336
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
вляет канонический изоморфизм к 0 х на 3*. Поэтому
теорема 5.2 гл. 4 влечет
21.2.	Следствие. Пусть множество является 3-ге-
нерическим над М. Тогда множество G<x = GA^<a будет
генерическим над М, а множество G>x = Gn^>x будет 3>-к-ге-
нерическим над М [G< х]. При этом М [G] = М [G< х] [G> х].
К этой же серии относятся следующие три леммы:
21.3.	Л е м м а. Пусть X < Q. Тогда для каждого 3^к-генери-
ческого над М множества G<x найдется такое 3\-генерическое
над М множество F, что М [G<xJ = Л4[Р].
Доказательство использует лемму 20.4 и следующее
утверждение:
(*) Если ЧУ множества Р, Q^M почти изоморфны в М, то
для каждого Р-генерического над М множества G найдется та-
кое Q-генерическое над М множество F, что М [У7] = M[G].
Доказательство (*). Пусть h е М — изоморфизм плот-
ного Р' Р на плотное Q'^Q(P',	Положим
F = {qe=Q: Зр G (]Р'(h(p)^q)}.
Более подробно см. Соловей [2]. □
Совершенно аналогично, используя (*), 20.6, 20.7 и теорему
5.2 гл. 4, можно доказать следующие две леммы:
21.4.	Лемма. Пусть X < Q и множество S удовлетво-
ряет условию леммы 20.5. Пусть множество 2 является
^-генерическим над М, a G\ является 3> ж-генерическим над
М [У]. Тогда найдется такое 3-генерическое над М множество
G', что M[G'] =M[F] [Gi].
21.5.	Лемма. Пусть множество G является 3-генерическим
над М, а множество G' является З-генерическим над М [G].
Тогда найдется такое З-генерическое над М множество G", что
M[G"] = M[G] [G'].
Следующая лемма дает несколько более конкретных свойств
модели Леви — Соловея:
21.6.	Лемма. Пусть множество G является З-генерическим
над М и feA4[G],	(т. е. f есть функция из а в М).
Тогда истинны следующие утверждения: -
(a)	= Q.
(б)	Найдется такое X < Q, что f е A4[G<x].
(в)	< Q, / Л М [/] счетно в Al [G], и М [f] является Q-mo-
делью.
(г)	Найдется а е I Л М [G] такое, что f е М [а].
Доказательство, (af Нетрудно проверить, что каждое
Fu= U pu(^Al[G]) является отображением со на со + р. По-
pe=G
$ 4. МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
337
этому	Обратное неравенство следует из 20.2 и тео-
ремы 3.4 гл. 4.
(б)	В силу леммы 2.5 гл. 4 найдется ^-терм t<=M такой,
что f = lG(t). Рассуждаем в М. Для каждого йесо пусть
Qk = {р 3v «р, (й, V» (= /)}.
Выберем антицепь Ak Qk, максимальную в совокупности всех
антицепей ^Qk- Согласно 20.2 каждое Ak имеет мощность
(в А4). Поэтому найдется такое X < Q, что Ak^9^K для всех
k е со.
Снова находясь в универсуме всех множеств, нетрудно про-
верить, что f — Ig^k (/) М [G^ х].
(в)	Под М [f] понимается наименьшее множество, удовле-
творяющее включениям М (J {/} М [f] М [G] и являющееся
моделью ZFC. (В рассматриваемой ситуации такое множество
существует, см. Соловей [2]). По доказанному (б) найдется
такое X < Q, что f е Af[G<xj. Поэтому (в) достаточно дока-
зать для M[G<aJ вместо ЛЦД. При этом множество G< к яв-
ляется *-генерическим над М согласно 21.2.
В силу недостижимости Q в М найдется кардинал х < Q
модели М такой, что к имеет мощность к в М. Вследствие
теоремы 3.4 гл. 4 все кардиналы >х сохраняются в M[G<a,].
Более того, доказательство теоремы 3.4 гл. 4 показывает, что
конфинальности кардиналов >х, имеющих конфинальность
> х в М, также сохраняются в M[G<x]. Поэтому Q остается
слабо недостижимым в M[G<x]. Далее, мы имеем 20 < Q в М
для каждого кардинала 0 < Q модели Л4, так как Q недости-
жим в М. Отсюда с помощью теоремы 3.15 гл. 8 нетрудно вы-
вести 2е < Q в М [G^ л] для каждого 0 < Q. Следовательно, Q
остается сильно недостижимым в Af[G< л], и множество
If] A4[G<a,] имеет мощность <Ов M[G<aJ. Дальше очевидно.
(г)	Согласно (б) и леммам 21.2 и 21.3 можно подобрать та-
кое Z < й и такое ^х-генерическое над М множество F ^х,
FeM[G], что	Нетрудно проверить, что множество
h = U F М [F] будет биекцией со на со + X, причем
F = {р е p^h}^ М [й],
и, следовательно, f^M[h]. Теперь в качестве а возьмем харак-
теристическую функцию множества {2т-3*: й(т)<й(й)}. □
Следующая лемма выражает однородность ЧУ множества 9.
21.7. Лемма. Пусть множество G является 9-генерическим
над М, а замкнутая ^-формула <р содержит параметры только
из М. Через ср* обозначим результат замены в ср каждого пара-
метра х^М соответствующим 9-термом х*. Через ||—обозна-
чим вынуждение (|—Тогда 0 ||—<р*, если и только если в М [G]
истинно <р.
338
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(Замечание. 0=1^— наибольший элемент ЧУ множе-
ства ^.)
Доказательство. Импликация слева направо очевидна.
Для доказательства справа налево предположим противное:
в M[G] истинно ф, но 0 не вынуждает ф*. Тогда, с одной сто-
роны, по лемме 2.9 гл. 4 найдется такое peG, что р\\— ф*.
С другой стороны, в силу 2.10(i) гл. 4 найдется такое
что zj||- ~|ф‘-
Построим порядковый автоморфизм Н множества 3 такой,
что Н (q) и р совместимы в 3. Для каждого ц < Q положим
= min {dom рц, dom рц} (е со).
Всякому г<=3 сопоставим	заменив в г каждую трой-
ку <ц, k, v> тройкой <ц, k, р>, где
{Рц (й)> если k <	и v = (гц(&)=) р^(6),
р^(£), если k <	и =
v во всех остальных случаях.
Тогда Н^М — искомый автоморфизм. При этом вынуждающее
условие	будучи совместимым с р, не может вынуж-
дать ~|ф*.
Теперь докажем противоположное: Н (q) ||—~1ф*. Рассмотрим
произвольное ^-генерическое над М множество Gi, содержа-
щее H(q). Нетрудно проверить, что множество
G2 = {rf=3>: H(r)<=G{}
также будет ^-генерическим над М, причем q^G% и M[G2] =
= Af[GJ. Следовательно, по выбору q мы получим: в Al[Gi]
истинно ~]ф, что и требовалось.
Итак, //(р)||— ~1ф* — противоречие. □
21.8.	Следствие («принцип абсолютности»). Пусть замк-
нутая формула ф содержит параметры только из М. Тогда ф
одновременно истинна или ложна во всех моделях вида M[G],
где G есть 3-генерическое над Л1 множество.
(Ниже этот результат будет существенно усилен.)
21.9.	Следствие. Пусть множество G является 3-генери-
ческим над М, а ф(х) есть формула с параметрами из М. Тогда
множество
Х = {ае/ПЛ1: в Л1 [G] истинно ф(а)}
принадлежит модели М.
Доказательство. Х = {а^/Г|Л4: 0 ||—^ф*(а*)}. □
22.	Основная техническая теорема. Напомним, что Q-модель
М фиксирована. Фиксируем также ^-генерическое над М мно-
жество G. При исследовании модели Леви — Соловея Af[G]
§ 4. МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
339
нам часто придется рассматривать M[G] как генерическое рас-
ширение своих подмоделей вида М [f], где f е М [G] П (во-
обще говоря, f^M). Мы уже знаем, см. 21.6(b), что в этой
ситуации М [f] является Q-моделью. Следующая «основная тех-
ническая теорема» показывает, что М [G] будет ^-генерическим
расширением модели М [f], а не только модели М. (При этом,
однако, само множество G вовсе не обязательно должно быть
^-генерическим над М [f].)
22.1.	Теорема. Пусть f е М [G] П °М. Тогда найдется такое
^-генерическое над Af [/] множество	что M[G] =
= M[fl [61].
Доказательство. Согласно 21.6(6) найдется такое
А. < Q, что /еМ[6<л], а в силу 21.2 и 21.3 существует ^-ге-
нерическое над М множество F такое, что М [F] = М [6<х] и
тем самым feMf/7]. Зафиксируем ^\-терм t<=M такой, что
f = Индукцией по це On П Л4 введем множество Ац^&ь.
А0 = {р^^к: нет таких и Yi> Y2 < 6, Yi #= Уг> что
f(k)==yl и рЦ—{(/г*) = у'},
где через ||— обозначено вынуждение ||— выразимое в М, а
0 = sup {f (k): k е ®} е On f| М.
Дм,+1 = {р^ А^: для каждого плотного в множества
D^M, D найдется такое q^D{\ Лц, что q р}.
Av= П А» для предельных ординалов v.
M»<v
Построенная последовательность множеств Дц, ц е On f| М,
определима в M[f] формулой, содержащей в качестве параме-
тров только f и множества
c1=={£)eAf:	плотно в е М,
Ci = {{p, k,y}\ у <0 и р||— t(k*) = y*}<=M
(с2^.М, так как вынуждение определимо в М). Но эта по-
следовательность убывающая. Значит, найдется ординал
такой, что Дц„+1 = Дщ. Положим 2 = Дц„.
Множество 2 играет фундаментальную роль в доказатель-
стве. В конечном счете мы покажем, что F является S-генери-
ческим над Af [f], после чего теорема элементарно получится
из 21.5.
Докажем следующие свойства множества 2:
(21)	2 S 2	удовлетворяет условию леммы 20.5.
(22)	Fs2.
(23)	Если множество D е М плотно в &>., то D П 2 плот-
но в
340
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(S4)	Если ре 2, то найдется такое ^-генерическое над М
множество Fi, что р е Fi S.
(S5)	Если множество F\ S является ^-генерическим над
М, то /Fl(t) = /F(/) = f.
(S6)	Множество F является h-генерическим над М [/](!).
Единственным нетривиальным моментом в (S1) является
отсутствие ^-минимальных элементов у множества S. Пусть
ре£. Предположим противное: ни одно из рлу(у < Л) не при-
надлежит S = ДИо. (рАу = р J {{пг,	у)}, где tn = dom р.)
Рассуждая в М, для каждого у < % находим плотное в мно-
жество Dy е М такое, что Vp е D П (И q рлу). Положим
D = {q: 3? <	< РЛТ А <7 е Р?)}.
Тогда D е М плотно в но нет таких q е D (") ЛЦо, что q р,
что противоречит предположению р е2 = Лцо+1.
Несложная проверка (S2) оставляется читателю. (Нужно
индукцией по ц доказать Г^Лц, используя генеричность F.)
(S3)	очевидно из выбора ро-
Проверим (S4). В силу счетности модели М мы можем за-
нумеровать все плотные в множества D^M: {Dn: new}.
Теперь с помощью (S3) нетрудно построить последовательность
Р Ро Pi Р2 • • •
так, что каждое рп принадлежит Dn П S. Множество
Fi = {reS: 3n(r>p„)}
искомое.
Из определения Ло нетрудно вывести (S5).
Наконец, докажем (S6). Достаточно доказать, что F непусто
пересекается с произвольным плотным в S множеством D е
е Al[f]. Предположим противное: F()D = 0.
Будучи элементом модели M[F] (так как feMjF]), мно-
жество D имеет вид D = IF(d) для подходящего ^-терма
dcM. Следующая лемма уточняет выбор терма cF.
Лемма. Найдется такой ^-терм d^M, что D = IF(d), и,
кроме того, для любого ^^-генерического над М множества Fi
выполняется импликация
IFl(t) = IF(t)^h,(d)=*IF(d).
(Такие термы d будем называть подчиненными терму t.)
Доказательство леммы. Можно показать, что
M[f] = U(L[*,	х(=М}.
Таким образом, найдется такое хеМ, что в истинно
PeL[x, f]. Следовательно, существует ординал v*=M такой,
§ 4. МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
841
что bM[F] истинно ф(х, v, f, D), где
Ф (х, v, f, D) -*-> (D есть v-й по счету элемент класса L [х, f ]
в смысле канонического полного упорядочения этого класса).
Ясно, что 0 (т. е. ^-наибольший элемент ЧУ множества
вынуждает 3! £>qp (х*, v*, /, D). Поэтому, согласно теореме 2.14
гл. 4, существует г?\-терм d е М такой, что 0 ||— ф (х*, v*, t, d).
Мы предлагаем читателю убедиться, что этот терм искомый. □
Продолжим доказательство (26). Зафиксируем даваемый
леммой ^x-терм d^M, подчиненный терму t и такой, что D =
= /r(d). Сделанное выше предположение противного влечет
существование условия q е G, вынуждающего d Q F = 0, где
F = {(г, г):
(Замечание. If(F) = F для любого F^0\.) Согласно (22)
и выбору D мы можем подобрать условие D такое, что
p^.q, а благодаря (24) существует ^-генеРическое над М
множество FjSS, содержащее р. Из (25) следует IFl(t) = f,
и поэтому IFl(d) = D по выбору терма d. С_другой стороны,
очевидно, р е Fx = IFx (F). Таким образом IFl (F) П (d) непусто,
и, следовательно, условие р не может вынуждать пустоту
d(]F. Но p^q, a q вынуждает d QF = 0 — противоречие.
(26) доказано.
Закончим доказательство теоремы 22.1. В силу доказанного
утверждения (26) F является 2-генерическим над М [/] мно-
жеством. Но М [/] [F] = М [F] = М [G^ х] по выбору F, и по-
этому множество G>x = GC)^>x будет х-генерическим над
М [F] вследствие леммы 21.2. Наконец, 2 е М [f] удовлетво-
ряет условию леммы 20.5. Теперь теорема следует из леммы
21.4, применяемой к модели (которая является Q-моделью
согласно 21.6(b)). □
Доказанная теорема влечет следствие, усиливающее 21.8.
22.2.	Следствие. Пусть замкнутая формула ф содержит
только параметры из М и некоторый параметр f е . Тогда ф
одновременно истинна или одновременно ложна во всех SP-ге-
нерических расширениях модели М, содержащих f.
Доказательство. Этот результат можно получить, либо
применяя 21.8 к модели М [f] (применимость гарантируется
21.6(b) и теоремой 22.1), либо непосредственно из следующего
утверждения:
22.3.	Следствие. Ко всякой формуле ф(х), содержащей
параметры только из М, можно подобрать формулу ф+(х) так-
же с параметрами только из М такую, что для любого &-гене-
342
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
рического над М множества G и любого f е М [G] f) спра-
ведлива эквивалентность
(в M[G] истинно <p(f)) (в Л4[Л истинно Ф+’(7))-
Доказательство. Формула ф+ (f) «-> 0 ||—[ f] Ф* (Г) будет
искомой вследствие леммы 21.7, применяемой к модели
(применимость 21.7 обеспечивается 21.6(b) и теоремой 22.1).
Записанная формула выразима в Af[f] согласно лемме 2.11
гл. 4 (эта лемма в достаточной степени «равномерна»). □
23.	Свойства регулярности в первой модели Леви — Соловея.
По-прежнему остаются фиксированными Q-модель М и ^-гене-
рическое над М множество G 9. Начнем с определения класса
множеств, для которых в модели M[G] будут справедливы
основные свойства регулярности.
23.1.	Определение. Пусть К— произвольный класс. Мно-
жество X называется К-определимым, если существует формула
ф(х) с параметрами только из К такая, что Х= {х: ф(х)}.
Предостережение. Совокупность всех /(-определимых
множеств не является, вообще говоря, «законной» совокупно-
стью, т. е. классом. В частности, совокупность всех 0-опреде-
лимых, т. е. просто определимых, множеств классом заведомо не
является. Однако справедлива следующая лемма:
23.2.	Лемма. Совокупность всех ^Оп-определимых мно-
жеств является классом.
(wOn = {f: f есть функция из со в On}.)
Доказательство. Указанная совокупность определяется
следующей ^-формулой со свободной переменной х:
Зц е On 3f е “On Зср (f 1/ц Д ср (—, —) есть формула
с двумя свободными переменными/\х={у^У^: 7И||—ф (/, у)}).
Возможность выразить записанную формулу средствами языка
ZF проверяется совершенно аналогично такому же факту о
формуле x = Def(y), § 3 гл. 5. Более подробно см. Майхилл,
Скотт [1].
Класс “On-определимых множеств достаточно широк. Он
содержит, в частности, все проективные множества и интуитивно
совпадает с совокупностью всех множеств, «определимых с по-
мощью счетного семейства условий» (в наиболее широком по-
нимании) .
Следующая теорема выражает основные свойства регуляр-
ности “Оп-определимых множеств в модели Леви — Соловея
M[G].
23.3.	Теорема. В A4[G] истинны следующие утверждения'.
(а)	(Соловей [2]) Каждое ®Оп-определимое множество
SI измеримо по Лебегу.
§ 4. МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
343
(б)	(Штерн [2]) Если р < coflG1, то каждая ®Оп-определимая
последовательность попарно различных множеств класса Пр имеет
счетную длину,
(в)	(Леви, Соловей [1]) Каждое ®Оп-определимое мно-
жество / является объединением coi борелевских множеств.
(г)	(Соловей [2]) Каждое несчетное Юп-определимое
множество / содержит совершенное ядро.
(д)	(Леви [1]) Каждое Юп-определимое полное упорядо-
чение множества / имеет счетную длину.
Доказательству этой теоремы предпошлем следующее
23.4.	Замечание. Справедливо равенство XI f| On =
= Af[G]nOn, см. предложение 2.6 гл. 4. Поэтому каждое °On-
определимое в M[G] множество X е A1[G] будет и “М-опреде-
лимым в Al [G]. Расширим модель М до модели Л4' присоедине-
нием всех параметров из “Л4, входящих в формулу, определяю-
щую X в XI [G]. Тогда М' будет Q-моделью вследствие 21.6(b),
a M[G] будет ^-генерическим расширением модели XI' со-
гласно 22.1. Наконец, X будет Л4'-определимым в Af [G]. Таким
образом, можно, не ограничивая общности, рассматривать в
утверждениях (а) — (д) теоремы 23.3 лишь ^-определимые в
Al [G] множества, что мы и будем делать.
Доказательство утверждения (а). Рассуждаем в
M[G]. В соответствии с 23.4 ограничимся доказательством из-
меримости множества Х={а^/: ф(а)}, определимого
(в М [G]) формулой ф(а), содержащей параметры только из М.
Имеем
/: в М [а] истинно ф+ (а)},
где ф+ есть формула, даваемая следствием 22.3. Заметим, что
совокупность всех случайных над XI точек а е I имеет меру
1 (в M[G]), так как М Г)I счетно в силу 21.6(b). Теперь нужно
провести доказательство леммы 18.4 для XI вместо Ь[л], и по-
лучится искомый результат об измеримости множества X. □
Замечание. Строго говоря, М не является в общем слу-
чае классом в A1[G], что делает данное доказательство (в ссыл-
ке на рассуждения 18.4) не вполне корректным. Однако можно
проверить, что М [G] является моделью теории ZFCM, получаю-
щейся из ZFC разрешением употреблять унарный предикат
М(х), интерпретирующийся как x&XI, в формулах аксиом вы-
деления и подстановки (Соловей [2], с. 5—7). Таким обра-
зом, мы можем все-таки обращаться с М как с классом в М [G].
Доказательство утверждения (б). Рассуждаем
в A4[G]. Для каждого Л < Q (= определим индукцией по
X ординал со(Х) следующим образом: co(0) = co, co(X-j-!)~—
==(2«а))М) и со(Х) = supn<xco(p) для предельных X. Последова-
344
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
тельность <<о(Х): X < й> монотонно стремится к й. Если в М
верна обобщенная континуум-гипотеза, то <о(Л) = (о^ для всех
Z <Й.
Для каждого X < й через С\ обозначим совокупность боре-
левских кодов (см. п. 16) <Т, d>, удовлетворяющих следующим
условиям: <Т, d)^M, |Г|^Х, и p <cd(|cf|7’) всякий раз,
когда сглц е Т. (Ср. с определением Ск в п. 16.) Каждое мно-
жество принадлежит М и имеет мощность <о(Х+ 1) в М,
т. е. счетно в M[G]. Поэтому для доказательства утверждения
(б) достаточно (с учетом замечания 23.4) доказать следующую
лемму, являющуюся аналогом леммы 16.3:
23.5.	Лемма. В M[G] истинно', если р < и множество
Х^1 является М-определимым и принадлежит классу П?+р, то
найдется такой код (Т, d) Ср, что X = [Т, d].
Доказательство этой леммы полностью повторяет доказа-
тельство 16.3. Нужно внести лишь следующие изменения. Вме-
сто универсума V всех множеств (или модели М в начале дока-
зательства 16.3) нужно рассматривать модель 7V1[G]. Вместо
класса L (или LM в начале доказательства 16.3) рассматри-
вается модель М. Вместо ЧУ множества Pv используется ЧУ
множество Вместо /^-генерических расширений универсума
V (или модели М в начале доказательства 16.3) нужно рассмо-
треть ^-генерическое расширение модели М [G]. (Такое расши-
рение, и это очень важно, будет также и ^-генерическим рас-
ширением модели М и любой модели вида М [а], где а е / П
П М [G], согласно 22.1 и 21.5.) Наконец, вместо принципа абсо-
лютности 10.3 и леммы 11.7 нужно использовать 21.8 и 22.2.
Подробное доказательство леммы 23.5 мы оставляем чита-
телю. □
Доказательство утверждения 23.3(b). Подобно
доказательствам (а) и (б), ограничимся рассмотрением M-опре-
делимых множеств и докажем следующую лемму, дающую даже
более сильный результат.
23.6.	Лемма. В M[G] истинно'. Каждое М-определимое
множество Х<=^ 1 является объединением coi борелевских мно-
жеств, являющихся также М-определимыми.
Доказательство леммы (в M[G]). Пусть X = {а:
ср (а)}, причем формула ф содержит параметры только из М.
Пусть ф+(а) есть формула, даваемая следствием 22.3 для
нашей формулы ф. Дадим такие определения для каждого
X < Q:
||—есть вынуждение |’—
7\ = {/еМ: /^<хХ (^Х<
§ 4. МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
345
*фх(а) — результат замены в формуле ф+(а) каждого пара-
метра х^А1 соответствующим	х- термом х* = ^<АХх;
Ск = {{р> fy	A t Тк А р ||—х О М[/] истинно фх(/))};
Denx = {Q^Af:	плотно в ^<х};
Genx = {F х: F является & ^-генерическим над AJ};
YK = Vf (0: F Genx А Эр g= F «р, /> (= Cx)}.
Последовательности множеств фх, 7\, Denx(A,<Q), оче-
видно, принадлежат М. То же справедливо и для последователь-
ности <СХ: X < Q> в силу леммы 2.11 гл. 4. Последовательность
<Genx: X < Q> является Af-определимой; в ее определении фи-
гурируют в качестве параметров последовательности множеств
<^х и Denx. Стало быть, последовательность <УХ: X < Q> так-
же М-определима (все в Af[G]). Докажем следующие две
леммы:
23.7.	Лемма. X = U YK.
X<Q	j
23.8.	Лемма. Каждое Ух является ^-множеством в М [G].
Доказательство леммы 23.7 (в Af[G]). Пусть аеХ,
т. е. ае / и истинно <р(а). В силу 21.6(6) найдется такое Л < Q,
что аеАЦ/7], где F = G<x =	является x-генери-
ческим над М множеством согласно 21.2. Далее, поскольку
а^соХ^, то найдется такой терм /е7\, что а=7р(/). По
выбору формулы ф+ в М [а] истинно ф+(а). Таким образом,
в Af[F] истинно:
(в М[/г(/)] истинно
Значит, существует вынуждающее условие ре F такое, что '
р||— к(в M[t] истинно фх(/)).
(Замечание. Мы можем элиминировать М [/] из вынуж-
даемой формулы двумя путями: либо предположим, что в М
истинно V = L[x] для некоторого хеЛ4, и заменим М [/] на
L[x*, /], либо разрешим вводить в вынуждаемые формулы спе-
циальный унарный предикат Л1(х), интерпретирующийся как
хеМ, и заменим Л4 [/] на {х: Л4(х)} [/]. См. замечание после
доказательства утверждения (а) выше.)
Теперь ае очевидно.
Обратное включение доказывается аналогично. □
Доказательство леммы 23.8 (в Af[G]). Множество
ZT^x имеет мощность < Q в М и поэтому сче*гно в М [G]. Зна«
чит, пространство S= {F: ГеЯсх} (с топологией 2^<х; то-
пология дискретна) гомеоморфно канторову дисконти-
нууму 2®	7. Множество Denx также счетно. Отсюда нетрудно
вывести, что Genx^S является борелевским в S, и множество
Genz(р) = {Fs Genr- ре/7}
12 Справочная книга, ч. II
846
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
также борелевское в пространстве 5 при любом р к. Ана-
логично при любом	отображение	суть боре-
левская функция из S в /. Поэтому ее образ
^ = {/Л0: pefsGen,}
на множестве Genx (р) является ^{-множеством в /. Наконец,
отметим, что YK= U{^p*: (Р> 0е^}, а множество Ск счетно
(в М [G]). □
Доказав леммы 23.7 и 23.8, закончим доказательство 23.6 и
утверждения 23.3 (в). Согласно доказанным леммам и 21.6 (а)
наше множество X является в Af[G] объединением cot M-опре-
делимых множеств Ух. Теперь используем лемму 2.22 гл. 4. □
Доказательство утверждения 23.3 (г). Рассуж-
даем в A4[G]. В соответствии с 23.4 рассмотрим несчетное
7И-определимое (в A1[G]) множество Х^1 и докажем, что оно
содержит совершенное ядро. Согласно лемме 23.6 мы имеем
X = (J Хк, где каждое множество Хк борелевское и является
ЛЬопределимым. Далее, раз X несчетно, то из 21.6 (в) следует
ХфМ, т. е. некоторое Х\фМ. Докажем следующую лемму:
23.9.	Лемма. В A4[G] истинно: каждое счетное М-опреде-
лимое множество Y I включено в М.
Доказательство леммы (в A4[G]). Согласно 23.5
найдется такой код <7, d)^ Сь что Y = I — [Г, d]. По опреде-
лению мы имеем Г, d^M и 1. Следовательно, в соот-
ветствии с определением [Г, d] (см. п. 16) найдется такое мно-
жество и^М, и^Ц что Y — (J Zq. При этом каждое Z$
Pgu Р
счетно (в Af[G]), так как Y счетно. Поэтому для каждого
/ выполняется включение Z^^AJ^3 согласно 4.11. Отсюда
вытекает Zp М и Zp Af. Теперь лемма очевидна. □
Вернемся к доказательству утверждения 23.3 (г). По дока-
занной лемме имеем: наше Хк несчетно. Значит, Хк содержит
совершенное ядро, будучи борелевским множеством. □
Доказательство последнего утверждения 23.3 (д) тривиаль-
но: если существует полное "Оп-определимое упорядочение с
несчетной областью ^/, то существует и 0Оп-определимая
строго возрастающая последовательность счетных множеств
£/, что противоречит уже доказанному 23.3 (б).
24.	Счетнозначные множества в первой модели Леви—Соловея.
По-прежнему остаются фиксированными й-модель М и ^-гене-
рическое над М множество G Структурная теория модели
Леви — Соловея разработана в гораздо меньшей степени, чем
теория свойств регулярности. Докажем следующие две теоремы,
имеющие отношение к счетнозначным множествам:
§ 4. МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
847
24.1.	Теор е м а. Предположим, что в М истинна аксиома
конструктивности V = L. Тогда в М [G] истинно утверждение:
существует счетнозначное Х\\-множество, не являющееся объ*
единением счетного числа однозначных ®Оп-определимых мно-
жеств.
24.2.	Теорема. Пусть в М истинна аксиома V = L.
Тогда в М [G] истинно утверждение: всякое счетнозначное
®Оп~определимое множество Р I2 можно вложить в счетно-
значное ^-множество.
Первая теорема показывает, что при любом и 2 предло-
жения 7.4 и 7.6 ложны в модели Af [G], причем в весьма силь-
ной форме. Вторая теорема показывает, что при любом и 3
предложение 7.5 истинно в A1[G], причем также в сильной
форме.
Доказательство теоремы 24.1 (в M[G]). Построим
сначала S^-множество U^I2 с указанным свойством. Таким
является множество
U = {(«, а> Р <= / A Р L [а]}.
Оно принадлежит классу 2’ в силу 9-4. Счетнозначность U сле-
дует из 21.6 (в) и равенства A4[a]=L[a] (в A4[G]), которое
для каждого ае/рАЦС] вытекает из предположения V = L
в М. Покажем, что U не является (в A4[G]) объединением
счетного числа однозначных “On-определимых множеств.
Предположим противное: U = U Рщ> где каждое Pm SI2
однозначно и “On-определимо. Докажем, что множество
W = {(m, а, р): Рт(а, Р)}
также будет “On-определимым. Используя рассуждения из до-
казательства леммы 23.2, мы можем построить последователь-
ности
(фт(Л х): иге со)формул q)m(f, х)без параметров;
{fm: т е со) параметров fme°On;
(ит: т е со) ординалов хт
так, чтобы Р =fxeVv : в V истинно Фт(/т, х)} для всех
т. Все эти три последовательности можно вполне эффективно
закодировать (в M[G]) подходящим g е wOn (формулы заме-
няются гёделевыми номерами). После этого построение фор-
мулы с параметром g, определяющей (в Al [G]) множество W,
с помощью материала § 3 гл. 5 не представляет затруднений.
Продолжаем доказательство теоремы 24.1. По доказанному
и в силу 21.6 (г) найдется ле/(f]A4[G]) такое, что множество
12*
348
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
W является М[л]-определимым. Рассмотрим множество
F = {(/n, р):	л, р)}.
Оно является Af [л]-определимой функцией из некоторого и ю
в /. Используя 21.9 для модели А1[л] вместо М (см. замечание
23.4) через посредство «свертки» F в некоторое уе/, нетрудно
проверить РеА![л]. Стало быть, множество
ranF = {p: Зт (F (tri) = р)} = {р: 3/пРт(л, р)}
=={р: Р(л, р)}=/ПЬ[л] = /ПМ[л]
принадлежит А4[л] и счетно в А1[л]—противоречие с теоремой
Кантора.
Итак, счетнозначное ^‘-множество U не является (в Af [G])
объединением счетного числа однозначных "Оп-определимых
множеств. Теперь построение П*-множества с такими же свой-
ствами проходит совершенно аналогично доказательству тео-
ремы 5.4. □
Доказательство теоремы 24.2 (в A4[G]). Рассмот-
рим счетнозначное “Оп-определимое множество Р^/2. Анало-
1ИЧНО доказательству предыдущей теоремы найдется ле / та-
кое, что Р будет А1 [л]-определимым, а множество
Q = {(а, р): а, ре I и р е L [л, а]}
счетнозначно и принадлежит классу 22 я- Остается проверить
Р е Q. Пусть <а, р>е Р. Тогда р принадлежит счетному
М [л, а] -определимому (в A1[G]) множеству {£: Р(а, р)}. Зна-
чит, по лемме 23.9, применяемой к А1[л, а] вместо А1 (приме-
нимость обеспечивается с помощью 22.1 и 21.6 (в), см. 23.4),
имеем р ее А4[л, а] = Ь[л, а]. Это и дает <а, Р>е Q, □
25.	Вторая модель Леви — Соловея. Как мы видели, в первой
модели Леви — Соловея основные свойства регулярности'спра-
ведливы для класса “Оп-определимых множеств включающего,
в частности, все проективные множества. Можно ли построить
модель, в которой эти свойства регулярности были бы справед-
ливы для всех множеств вообще?' Разумеется нельзя, если мы
хотим остаться на базе теории множеств ZFC с «полной» аксио-
мой выбора (это показывает хотя бы пример неизмеримого мно-
жества § 3 гл. 2). Однако если мы согласимся ограничиться в
наших требованиях к базисной теории множеств аксиомой зави-
симого выбора DC (т. е. Г-DCoj, где Г ={Х: Х^12}, в терминах
и. 6), то искомую модель удается построить, слегка преобразо-
вав первую модель Леви — Соловея.
Пусть, как и выше, множество G является ^-генерическим
над Q-моделью М. Мы знаем, что в первой модели М[G] класс
всех юОп-определимых множеств обладает интересующими нас
§ 4 МОДЕЛЬ ЛЕВИ - СОЛОВЕЯ
349
свойствами. Идея построения второй модели Леви — Соловея
состоит в том, чтобы взять в нее из M[G] лишь “Оп-определи-
мые множества (точнее, некоторую их часть).
Множество х называется наследственно ®Оп~определимым>
если само х, элементы х, элементы элементов х и т. д. являются
^Оп-оиределимыми множествами.
Совокупность N всех наследственно “On-определимых в
A1[G] множеств x^Af[G] назовем второй моделью Леви — Со-
ловея (см. Соловей [2]).
25.1.	Теорема. N есть счетная транзитивная модель тео-
рии ZF + DC, в которой истинны следующие предложения'.
(а)	(Соловей [2]) Каждое множество измеримо.
(б)	(Штерн [2]) Если р<соГ> то каждая последователь-
ность попарно различных ^-множеств имеет счетную длину.
(в)	(Леви, Соловей [1]) Каждое множество яв-
ляется объединением coi борелевских множеств.
(г)	(Соловей [2]) Каждое несчетное множество со-
держит совершенное подмножество.
(д)	(Леви [1]) Не существует полных упорядочений с не-
счетной областью ^/.
Если, кроме того, в М истинна аксиома конструктивности,
то в N истинны следующие предложения-.
(е)	Существует счетнозначное ^-множество s/2, не яв-
ляющееся объединением счетного числа любых однозначных
множеств.
(ж)	Каждое счетнозначное множество ^/2 можно вложить
в счетнозначное ^-множество.
Доказательство. N является классом в Af[G] вслед*
ствие 23.2. Поэтому в N истинны все аксиомы ZF. (Эти аксио*
мы, если отправляться от наследственно 0)Оп-определимых мно-
жеств, приводят снова к таким же множествам.) Далее, ис-
пользуя идею проверки “Оп-определимости множества W в до-
казательстве теоремы 24.1, нетрудно убедиться, что всякая
функция f: (o->Ar, f Af[G], принадлежит модели N. Поэтому
в N истинна DC.
Докажем утверждение (а) в /V. Пусть X^N, Х<=Л. Тогда
XeM[G] и X является “Оп-определимым множеством в М[G].
Значит, X измеримо в M[G] согласно 23.3 (а). Факт измери-
мости выражается существованием таких у, бе/, что UY е X,
U6[}X = 0, и сумма мер Лебега множеств Uy и равна 1.
Но / П A1[G] = / П/V, а указанное соотношение, связывающее Х9
v и б, абсолютно для перехода из M[G] в N.
Доказательство остальных утверждений аналогично. □
Более подробно о моделях Леви — Соловея см. Леви [1],
Соловей [2], Йех [ 1 ], Л е в и и Соловей [1].
350
ДОБАВЛЕНИЕ, О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
26.	О разбиениях континуума на <oi борелевских множеств»
В этом пункте речь пойдет о предложении Г-Part: существует
разбиение пространства I на сен непустых множеств класса Г.
Лузин и Серпинский [2] доказали Aj-Part, но их раз-
биение заведомо не давало Ш-Part ни для какого ординала
р < <х>1 (Лузин [6]). Предложение Эр (Ш-Part) недоказуемо
в ZF в силу теоремы 25.1 (б). Однако, в отличие от предложе-
ния 25.1 (б), предложение Эр (Ш-Part) имеет смысл и в присут-
ствии аксиомы выбора. Проблема о справедливости последнего
предложения поставлена Лузиным [1] и названа им «узкой
проблемой континуума».
Решение этой проблемы было получено Хаусдорфом [2]
(см. также Серпинский [1]), доказавшим П^-Part в ZFC.
(Фактически, Хаусдорф построил строго возрастающую после-
довательность П^-множеств, объединение которых совпадает
с /.) Можно ли улучшить этот результат?
Штерн [1] доказал, что предложение HJ-Part не противо*
речит теории ZFC + ~]СН, a SJJ-Part не выводимо в ZFC. От-
крытой проблемой остается доказательство непротиворечивости
отрицания ITJ-Part и даже отрицания 2®-Part. Отметим, что в
предположении континуум-гипотезы СН все предложения Г-Part
имеют тривиальный характер.
§ 5.	Генерические расширения с помощью «почти
дизъюнктных множеств»
Мы видели, что множество достаточно простых проективных
классов не могут иметь слишком необычные свойства. Так, ка-
ждое множество измеримо и обладает свойством совершенного
ядра (п. 1), каждое 2^-множество имеет мощность либо ^coi,
либо ровно 2® (следствие 3.15 гл. 8), каждое полное ^-упорядо-
чение имеет длину <со2 (п. 17), каждое S^- множество ^со кон-
структивно (п. 14) и т. п. Естественный вопрос: можно ли по-
строить контрпримеры в следующем по сложности проективном
классе? Конструктивный универсум образует модель с неизме-
римым А^-множеством, а также с несчетным ПР-множеством,
не содержащим совершенное ядро. Но в L, конечно, нет полных
упорядочений длины ^со2 множеств ^/, неконструктивных то-
чек е/ и т. п.
Одной из первый генерических моделей была модель, в ко-
торой континуум 2ю имел «произвольную» мощность, например,
2® = со17 (см. гл. 4). В этой модели, очевидно, существуют не-
конструктивные точки е/, множества любой мощности
§ 5 ГЕНЕРИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
351
^0)17 и полные упорядочения этих множеств. Вопрос состоял
в том, чтобы «проективизировать» такие контрпримеры, т. е.
сделать соответствующие множества проективными. С начала
70-х годов разработано несколько методов такой проективиза-
ции: метод «почти дизъюнктных множеств» (Йенсен, Соло-
вей [1]; Мартин, Соловей [1]; Харрингтон [2]; Ка-
новей [3]); метод Йенсена [ 1 ]; метод кодировки с помощью
специальных деревьев (Йенсен, Юнсбротен [1]; Хар-
рингтон [2]); метод кодировки с помощью степеней кон-
структивности. Каждый из этих методов имеет свои особенно-
сти и границы применения. Весьма плодотворный метод «почти
дизъюнктных множеств» состоит в том, что определимость
некоторого множества достигается соответствующей организа-
цией других множеств. Напротив, определимость методом
Йенсена U] носит «внутренний» характер. Кано вей [1],
[2] модифицировал метод Йенсена для построения моделей,
содержащих те или иные контрпримеры на данном проектив-
ном уровне п, но не содержащих контрпримеров такого же
вида на уровнях <п. Метод кодировки с помощью специаль-
ных деревьев хорош тем, что дает кодировку, сохраняющуюся
во всех Р-генерических расширениях, если ЧУ множество Р
удовлетворяет у. с. ц.
В этом параграфе представлены простые приложения ме-
тода «почти дизъюнктных множеств»: построение генерических
расширений, в которых данное множество из исходной модели
принадлежит некоторому проективному классу, и построение
моделей, содержащих полные Щ-упорядочения длины ^о>2.
О более сложных приложениях этого и других методов см. ука-
занную литературу.
27.	Как сделать данное множество I определимым в под-
ходящем генерическом расширении? Мы имеем в виду сле-
дующую ситуацию. Пусть множество Y I принадлежит неко-
торой СТМ М. Можно ли построить генерическое расширение W
модели М, в котором Y принадлежало бы данному проектив-
ному классу? Чтобы исключить тривиальные возможности, по-
требуем, чтобы кардиналы модели М сохранялись в N. (Иначе
можно было бы расширить М с помощью генерической функ-
ции из о) на У; У окажется счетным и, следовательно, ^-мно-
жеством в таком расширении.) При таком ограничении мы уже
не можем, вообще говоря, построить сохраняющее кардиналы
генерическое расширение N модели М так, чтобы Y е S* в N.
В самом деле, возьмем М и Y так, чтобы «2 < 2м в Л! и coi <
< card Y <Z 2° в M. Последнее неравенство выполняется и в
любом сохраняющем кардиналы генерическом расширении N
модели М, что препятствует Y быть Sr множеством в таком
352
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
расширении ввиду того, что в силу теоремы 2.23 гл. 8 каждое
S*-множество имеет мощность 2ю или ^coj.
Однако справедлива следующая теорема (Харрингтон
[2]):
27.1.	Теорема. Если Y <= М, Y 1 и в М истинно
то найдется сохраняющее кардиналы генерическое расширение
N модели М вида JV = Af[s], где s Seq таково, что в N ис-
тинно У^Щ5,
Доказательство этой теоремы составляет содержание п. 27.
Начнем со следующего определения.
27.2.	Определение. Пусть а <= /, s Seq (Seq есть со-
вокупность всех конечных последовательностей натуральных
чисел) и Пишем, что s покрывает а выше k, если най-
дется такое / > k, что а \ I s. Пишем, что s покрывает а,
если s покрывает а выше любого k со. В противном случае
пишем, что s не покрывает а.
Каждому множеству U^.1 сопоставим совокупность P(U)
всех пар p = <sD, Хр>, удовлетворяющих таким условиям:
(1)	sp Seq конечно;
(2)	Хр со X U конечно;
(3)	если <&, а>^ Хр, то s° не покрывает а выше k.
Упорядочим P(U) следующим образом:
p^q^sq^sp KXq^Xp.
Пусть <(7И: р, < Х> — последовательность множеств
Через	обозначим совокупность всех функций р та-
ких, что dom р X конечно и р(ц) <= Р(£/ц,) для каждого
p<=domp. Множество фи<л7)((7ц) упорядочивается покомпо-
нентно:
р q <~> dom q dom р Д Vp dom q (р (р) <1 q (н)).
В частном случае, когда все совпадают с некоторым U,
вместо ®ц<х^(^ц) будем писать ®^P{UY
Замечание. В нашем изложении метода «почти дизъ-
юнктных множеств» такими множествами являются множества
$a = {af&;	где сс^/. Ясно, что SaflSp конечно при
а#=р, и s Seq покрывает ае/, если и только* если s Q sa
бесконечно. Классическое изложение (Йенсен, Соловей
[1], Харрингтон [2]) оперирует, по сути дела, с множе-
ствами вида 6”sa, где а е/, а b: Seq на со — каноническая биек-
ция, в то время как мы работаем с самими a I.
27.3.	Лемма. Всякое множество вида ®M<x^(^ix) удов-
летворяет у. с. ц.
Доказательство. Покажем, что множество P(U) удов-
летворяет у. с. ц. Заметим, что если р, q^P(U) таковы, что
§ 5 ГЕНЕРИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
353
sp _ sq, то р и q совместимы в P(U)f так как г =(sp, Хр (J Xя)
принадлежит P(U) и г р, q. Но множество {sp: p^P(U)}
счетно. Отсюда и следует у. с. ц. для P(U). Совершенно анало-
гично любое произведение конечного числа множеств вида
P(JJ) удовлетворяет у. с. ц. Этого достаточно для доказатель-
ства леммы в силу теоремы 5.8 гл. 3. □
Доказанная лемма даст нам сохранение кардиналов, а сле-
дующая лемма дает основное свойство кодировки, присущее ге-
нерическим расширениям с помощью ЧУ множеств вида P(U):
27.4.	Лемма. Пусть U&M, 0^1, и множество G^P(U)
является P(U) -генерическим над М. Положим s — (J {sp: р е G}.
Тогда A4[G] = Al[s], и для любого а^1(]М справедлива сле-
дующая эквивалентность:
а е U <-> s не покрывает а.
Доказательство, s е М [G] очевидно, a G е М [s] выпол-
няется в силу следующего равенства, проверку которого мы
опускаем:
G = {р е Р (G): sp s s и пара (s, Хр) удовлетворяет требованию
27.2(3)}.
Пусть ае У. Покажем, что множество
D = {p^P(U): 3fe«fe, а)ЕГ)}
плотно в Р ([/). Пусть q Р ([/); построим такое р е £), что р ^q.
Множество sp конечно; пусть fee© таково, что domA<fe для
всех h е sp. Тогда пара р = {sq, Xя (J {{k, а)}) принадлежит Р (G);
при этом p^q и p^D. Итак, D в самом деле плотно в P(U).
Поэтому D П G Ф 0 в силу генеричности G. Пусть р е D П G,
и пусть (fe, а)еХр. Покажем, что s не покрывает а выше k.
Предположим противное: I > k и а f / е s. Тогда a f I е sq
для некоторого qeG. В силу генеричности G найдется геО
такое, что г р, q. Имеем a f I е sr, (k, a) e Xr и I > k, что
противоречит определению 27.2(3).
Обратно, пусть aeAff]/, но a &U. Покажем, что, каково
бы ни было бесо, следующее множество Dk плотно в P(U):
Dk — {p е Р (tZ)‘ sp покрывает а выше k}.
Пусть ?еР((/). Множество B = {0e=Z: 3Z (<Z, ₽> е= X*)} U
конечно и не содержит а. Поэтому найдется l^k такое, что
a t ₽ Н для всех В. Положим р = (sq (J {a f /}, Xя} и
получим ре/)ир<^.
Таким образом, G непусто пересекается с каждым Dk, от-
куда следует, что s покрывает а выше любого k е ю. □
Мы видим, что в генерическом расширении М[s], даваемом
леммой 27.4, множество U имеет вид U = М П / П А где мно-
354
ДОБАВЛЕНИЕ О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
жество F = {ae/: s не покрывает а} принадлежит борелев-
скому классу	е. классу П®’я, где ле/ — характеристи-
ческая функция множества Zf’s, а Ь — каноническая биекция
Seq на со). Если теперь ввести предположение, гарантирующее
определимость Л4П / в A4[s], то получится соответствующая оп-
ределимость U в М [s]. Если, скажем, предположить, что в М
истинна аксиома конструктивности V = L, то М = и по-
этому I f) М е 3* в А4[$] согласно 9.4. То же самое будет, если
мы предположим, что	в М. Итак, мы получили
27.5.	Следствие. Если в условии леммы 27.4 в М истинно
U s IП L, то в М [$] истинно U е s.
27.6.	Замечание. Утверждение 27.5 можно доказать и в
случае, когда V имеет мощность в /И (не обязательно
U IЯ L!). Идея состоит в том, что мы берем вспомогательное
множество W IП L, из которого U легко восстанавливается,
и строим P(W)-генерическое расширение модели М, см. рас-
суждения после 27.7.
Результаты 27.5 и 27.6 можно усилить, заменив в них класс
Sg’5 классом II}* s, см. Мартин, Соловей[1].
Доказательство теоремы 27.1. Пусть модель М и
множество У таковы, как указано в условии теоремы 27.1. Мно-
жество У может иметь мощность >o)i в М, и это мешает при-
менить 27.5 и 27.6 непосредственно к У. Поэтому мы построим
сначала сохраняющее кардиналы генерическое расширение М'
модели Л4, содержащее множество U мощности a>i в М', из ко-
торого довольно просто получается данное У. Таким расшире-
нием служит модель АГ = А4[Я], где множество H^QhP(Y)
является фхР( У)-генерическим над А4, а Л —М' действи-
тельно сохраняет кардиналы ввиду 27.3 и теоремы 3.4 гл. 4.
Для каждого ц < Л положим = {р (ц): р е Н Д ц е dom р}
и s|A=|J{s<7:	а через /ц ^“2 обозначим характери-
стическую функцию множества где b — каноническая биек-
ция Seq на <о.
Теперь мы собираемся расширить модель М' методом 27.4,
желая добиться определимости множества U = {%ц: ц<Л}.
Но нет оснований утверждать U / (] L в АГ. В связи с этим
«привяжем» U к подходящему множеству W^M',
в М'.
Согласно 27.3 имеем со?4 = ац4, т. е. по выбору М выпол-
няется g>i = сщ в Л4'. Поэтому благодаря 8.5 в М' существует
конструктивная нумерация (без повторений) множества I fl L ор-
диналами:
27.7.	(ВАГ) /ПЬ = {йи: ц<М; р < Л) g= L.
§ 5. ГЕНЕРИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
355
Положим С = k, (&)): ц < Л Л k е со} и W — F С, где
F есть канонический гомеоморфизм /Х^Х® на /. Согласно
27.7 будет W <= М' и W IП L в М'. Возьмем Р (^-генериче-
ское над М' множество К <= Р (№) и обозначим s = U {sr- г е= К}.
27.8.	Л е м м а. (а) Модель N = M' [Д'] совпадает с М' [s].
(б)В N истинно утверждение-, множества W uU принадлежат
^2’ '•
(в)	В N истинно утверждение-, последовательность (хи: ц < X)
принадлежит L[s].
(г)	Af = Л4 [s].
Доказательство. Непосредственно из 27.4, 27.5 следует
(а)и	в N. Стало быть, и CeS‘;s в N. Но множество
U «привязано» к С, так как U = {%<=!: 3aV&C(a, fe,
Поэтому U е s в N. Далее, каждое имеет в Af равномер-
ное по р S2 S’ ^-определение через посредство множества С.
Отсюда и из 10.3 нетрудно получить (в). Наконец, для доказа-
тельства (г) достаточно в силу (а) установить, что НеЬ[У, $]
в N, а это вытекает из следующего равенства и (в):
Н = {р е= фхР (У): Vh е= dom р (sp (и) S
и парами, Хр^) удовлетворяет требованию 27.2(3))}. □
Осталось проверить, что исходное множество У принадлежит
s в N. Этот факт тривиально получается из 27.8 (б) и сле-
дующей леммы, завершающей доказательство 27.1:
27.9.	Лемма. Для всякого ае/ПЛ/' имеет место эквива-
лентность
а е У <-> Vp < не покрывает а).
Доказательство. Представим двойное расширение
N = М[Н][К] в виде однократного расширения. Положим
W' = /ПЬм. Как отмечено выше, W е W', т. е. P(№)sP(lF).
При этом P(W')^ Му а Р(W) е ЛГ = М[Я]. Поэтому, согласно
лемме 2.5 гл. 4, найдется терм P(W), удовлетворяющий та-
кому условию:
(1)Р0Г)еЛ4, Р(Г)^(фЛР(У))ХР(Г'), P(IT) = /„(PW
Определим P — {{qy г): q ефхР(У), r<^P(W')u
[3/ е фКР(У)(/ >q К {q'> г) Р^))]}.
Формула в квадратных скобках означает, что q вынуждает
(в смысле ®%P(Y)) формулу г* е Р (№)• Множество Р упоря-
дочивается покомпонентно. Оно удовлетворяет следующим трем
утверждениям:
356
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(2)	Р е М\ для Р в М истинно у. с. ц.
(3)	Множество О — (Н\К)(]Р является Р-генерическим
над М.
(4)	W = Af[G],
Утверждение (2) следует из 27.3 и леммы 6.2 гл. 4. (По су-
ществу, определение множества Р совпадает с определением
5.3 гл. 4.) Утверждение (3), являющееся «обращением» тео-
ремы 5.4 гл. 4, представляет вместе с (4) общее свойство дву-
кратных генерических расширений. Эти утверждения доказаны,
например, в книге Йеха [1], лемма 85 на с. 102.
Докажем' эквивалентность в формулировке леммы. Пусть
аеУ. По теореме 5.2 гл. 4 каждое является Р(У)-генери-
ческим над М, и поэтому не покрывает а в силу 27.4.
Обратно, пусть а е I П N, а ф У. Нужно доказать, что не
каждое имеет конечное пересечение с множеством S={cz^:
k е со}. В силу (3), (4) и леммы 2.5 гл. 4 найдется такой Р-терм
t е Al, i Р X Seq, что
S = IQ (/) = {а Seq: Эр е G ((р, а> /)}.
«Уменьшим» терм t следующим образом. Рассуждая в М, для
каждого ст е Seq положим Qa — {реР: (р, а)е/}, выберем
антицепь Аа s Qo, максимальную среди всех антицепей Qa,
и обозначим S = {{p, о): а^ Seq А ре Аа}. Тогда SeAf, S =
= Zg(s) (в силу максимальности ^антицепей Да), а множество
x=|J{domp: ЭгЭа(((р, г), а) е S)} Л ограничено в Л (так
как каждое Ао счетно по 27.3, а Л = Стало быть, сущест-
вует ординал ц < Л, ц ф %.
Мы получим доказательство леммы, если докажем, что
покрывает а, т. е. S П бесконечно. Предположим противное:
Аесо таково, что каждое aeSfl^ имеет domcr<&.
Это обстоятельство вынуждается некоторым p = (g,
(5)	р ||— Va е S П (dom о < F),
где Р-терм	таков, что =
Заметим, что множество У ={|3е/: Э/((/, р) е Xq (и))} У
конечно; при этом а^У', так как а У. Значит, найдется
т> k такое, что pfm^S, каково бы ни было р е У'. Имеем
a }	т. е. некоторое р0 = (?р> ^принадлежит пересечению
G 0 Будучи элементами генерического множества G, наши
р и ро совместимы в Р. Отсюда, очевидно, следует
(6)	# и qQ совместимы в фхР(У); г и rQ совместимы в P(W').
Определим е фхР (У) так, чтобы q{ (ц) = (sq (ц) U {« t m},
Хч (или qi (|Х) = ({a f m}, 0 ), если |x ф dom q), а все осталь-
§ 5 ГЕНЕРИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
357
ные компоненты и q совпадали. Согласно выбору т и опре-
делению Y' такое q\ действительно принадлежит®^ (У), и q^q.
При этом и окажутся совместимыми в фхР(У), так как
q и q0 совместимы в фхР(У)в силу (6), p^dom<70 по выбору
р0 и ц, a qi отличается от q только в ц-й компоненте.
Итак, мы имеем р0 = (<7о> г0) Р, Р\ = (<7i, г)^Р (поскольку
<7!^ <7 и (<7, г) е Р), qa совместимо с q в фхР (У), а г0 совме-
стимо с г в P(W'). В этой ситуации р0 и р{ совместимы в Р.
В самом деле, положим do = d°m<7o. d^dom^ и определим
q' еф;,? (У) условием dom/ = doUd'i и следующим равенством
для всякого vedjUd{:
| <7o(v)npH v<=d(> — dit
q' (v) — I qt (v) при ve d, - d0,
|	(v) и sqi (v), Xq3 (v) u Xqi <v>) при V g= dQ n d{.
Положим также r' = (sr°Usr, Xr° U Xr) <= P (W'). Вышеуказан-
ные факты о совместимости позволяют без труда проверить,
что действительно q'<^Q)KP(Y) и г' geP(IF'), причем q' q{
л г'	г. Отсюда следует, что p' = {q', г') принадлежит мно-
жеству Р и р' <р0, Рь т. е. Ро и pi совместимы в Р.
Но р0||—(a f m)*s S, так как р0<=А^т> С другой стороны,
Pi IH GO ^)* по построению. Поэтому р' вынуждает (a f mf
еХГ|5и(в смысле вынуждения ||—м). Это дает противоречие
с (5), поскольку р'^р по построению. Лемма и теорема 27.1
доказаны. □
28.	Длинные полные упорядочения. В качестве приложения
теоремы 27.1 дадим построение модели теории ZFC, в которой
существует полное Прупорядочение «произвольной длины».
Точная формулировка такова:
28.1.	Теорема (Харрингтон [2]). Пусть Л40 есть СТМ
теории ZFC + V = L и й > со — кардинал несчетной конфи-
нальности в Л40. Тогда существует генерическое расширение N
модели MQi сохраняющее кардиналы и содержащее полное Пр
упорядочение некоторого Щ-множества <=/ мощности Q в N.
Доказательство. Пусть Ро е Л10 есть й-коэновское ЧУ
множество (определение 3.1 гл. 4). Положим Л4 = Л40[О], где
множество G Ро является Ро-генерическим над М. Карди-
нальные ряды М и Л1о совпадают в силу результатов 3.5 и 3.4
гл. 4. Кроме того, в М истинно 2° = Й, см. 3.16 гл. 4 или Шен-
филд [2], теорема 11.1 на с. 509. Пусть <аи: р<й>еЛ4 есть
нумерация без повторений множества /ПМ в М, Применим тео-
рему 27.1 к модели М и множеству Я” У, где
Y “ {(«и, Р < v < £2),
358
ДОБАВЛЕНИЕ О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
а Н есть канонический гомеоморфизм /2 на I. В полученном сох-
раняющем кардиналы генерическом расширении N=M [$] выпол-
няется H ’Y еЩ, КеЩ(по теореме 2.13 гл. 8) и, наконец,
I П М = {а0} U {а: Y (а0, а)} Но Y есть полное упорядоче-
ние множества / Q А1. □
28.2.	Упражнение (Харрингтон [2]). В модели N,
даваемой доказательством теоремы 28.1, существует полное
Д*-упорядочение всего множества IП N.
Указание. Если	то найдется такое ц < Q, что
аеЬ[ац, $] в N. доказательства этого утверждения
нужно использовать метод сужения терма t до терма 3 в до-
казательстве леммы 27.9.) Через ц(а) обозначим наименьшее
из таких ц, а через v(a)^On обозначим номер а в смысле ка-
нонического полного упорядочения класса L[ccu, s], см. п. 8. Те-
перь для а, |3 е /П N положим а < Р ц(а) < ц(Р) V (ц(а) =
= p(P)Av(a)<v(P)). □
28.3.	Замечание. Более точный анализ (Харрингтон
[2]) показывает, что в рассматриваемой модели N существует
полное Д|-упорядочение множества I(\N— максимальный
(при <o^<Q) возможный результат (см. следствие 17.2).
29.	Определимость без параметров. В пп. 27, 28 определи-
мость тех или иных множеств из исходной модели в подходя-
щих генерических расширениях достигалась с помощью специ-
альных параметров s Seq, фигурирующих в искомых опреде-
лениях данных множеств. «Чистая» (т. е. без параметров) оп-
ределимость получается с помощью генерических расширений
несколько иного типа, которые мы рассмотрим в этом пункте.
Зафиксируем СТМ М теории ZF + V = L и положим Х =
= cof*. Если множество Y^Mf Y^I, не принадлежит классу
2Цили Г10 в Л4, то по теореме 10.3 Y не принадлежит
2* (соответственно ГЦ) ни в каком расширении модели М. По-
этому беспараметрические варианты 27.1 и 27.5 не имеют места.
Но уже для класса Д| справедлива следующая
29.1.	Теорема. Если Y^M, Y^I, то найдется генериче-
ское расширение N модели М, сохраняющее кардиналы и та-
кое, что Y е Д* в N.
Доказательство этой теоремы использует систему
Йенсена — Соловея, см. Й е н с е н, С о л о в е й [1].
29.2.	Определение. Системой Йенсена — Соловея (над
А1) назовем всякую последовательность <{7Ц: ц<А>еМ мно-
жеств	удовлетворяющую следующим двум условиям:
(1)	{(Н,	Д	Д1Л
§ 5. ГЕНЕРИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
359
(2)	если Р = ®ц<кР (Цл)и множество G^P является Р-гене-
рическим над М и если ц < Л, G_ ц = {р е G: ц ф dom р}, s
М [G_ u], s Seq, то утверждение
Va / П Л4 (а е s не покрывает а)
не имеет места.
Не останавливаясь на построении такой системы (читатель
найдет его в работе Йенсена и Соловея [1], § 4, см.
также К а новей [3], где изложен другой метод построе-
ния), мы укажем некоторые приложения этих систем. Зафикси-
руем систему Йенсена — Соловея <(7^: |1<л)еМ Пусть Р =
= ®ц,<х^(Цл) и множество G^P является Р-генерическим
над М. Для каждого ц < X определим = {р(р): р е G Л
Лце domр} и = U №'• Q^G^}. По теореме 5.2 гл. 4
является Р(С7р,)-генерическим над М, и поэтому из 27.4 следует
(1)	Если а е ТИП Л то ае(7ц<-> не покрывает а.
Пусть <ац: ц < Х> е ТИ и <£ц: ц < %> е М суть пересчеты
(возможно, с повторениями) в М множеств У и У'=(/ПТИ) —
— У соответственно. Рассмотрим множество
Е = {сор + 2* • 3a^ w: р < Л Д k е ®}1|{®р + 2* - 5Э*<ft): р<Х
Л k <= ®}.
Пусть N = M[G |Е], где G\E = {p^G: dompsE}. Тогда N
сохраняет кардиналы, так как N Е Л4 [G]. Если р е Е, то,
очевидно,	Если же р&Е, то AfsAf[G_J, так как
ЕеЛ4. Поэтому из(1)и 29.2 (2) следует
(2)	Е = {р < Л: 3s s Seq Va е М ПI (а е *-* s не покры-
вает а)}
Для доказательства теоремы достаточно доказать, что
где /7 = HCw(cm. 8.2). Действительно, если EeS?,
то У и У' принадлежат по определению Е. Следовательно,
У и У' являются S'-множествами в W согласно 9.1. Но У f] У'=0,
а У U У' = IП Мй = IПI/ (так как Л10)= V = L)e=sl в АГ по 9.4.
Таким образом, УеД’ в N, что и требовалось.
Остается проверить Е е SF. Как уже отмечено, / П Af
= IП Ly е Аналогично из 8.4 следует е S^, откуда с уче-
том 29. 2(1)нетрудно вывести, что множество{(р, а): р<Л
Л а е принадлежит Д^. Теперь	вытекает из (2). L1
29.3.	Упражнение (Йенсен, Соловей[1]). Положим
Е = {2А>: jfeeZ>”s0)U{2^+1: k ф b"s0} U {0},
зео
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
где Ь — каноническая биекция Seq на со. Тогда в модели М [G |£],
множество Н0^(о будет неконструктивным Д^-множеством.
Рассмотрим теперь (очевидно, единственное) множество
удовлетворяющее следующим двум условиям:
(1)0е£;	= д Ет{ = 0
(где Ет1 = {k: 2т (2 (2k + i) + 1) - 1 g= £});
(2) tn^= Е —> EmQ = b sm /\ Eml = <o (b sm).
Тогда E неконструктивно и {E} <= ГЦ в M[G|E]. □
О других результатах, касающихся определимых некон-
структивных множеств, см. п. 14 и литературу, упомянутую во
введении к этому параграфу.
ЛИТЕРАТУРА
Аддисон (Addison J. W.)
1. Separation principles In the hierarchies of classical and effective des-
criptive set theory. — Fundam. math., 1959, 46, p. 123—135.
2. Some consequences of ihe axiom of constructibility. — Fundam. math.,
1959, 46, p. 337—357.
Александров П. C.
1. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука,
1977.
2. Sur la puissance des ensembles mesurables B. — C. r. Acad. sci. Paris,
1916, 162, p. 323—325. [Русский перевод: О мощности множеств, из-
меримых по Борелю. — В кн.: Александров П. С. Теория функций
действительного переменного и теория топологических пространств. М.:
Наука, 1978, с. 35—39.]
Б е р д ж е с (Burgess J.)
1. A selector principle for equivalence relations. — Michigan Math. J.,
1977, 24, № 1, p. 65—76.
Г л и в e н к о В. И.
1. Sur les functions implicites. — Матем. сб., 1929, 36, с. 138—142.
Йенсен (Jensen R. В.)
1. Definable set of minimal degree. — In: Mathematical Logic and Founda-
tions of Set Theory. Amsterdam; London, 1970, p. 122—128.
Йенсен, Юнсбротен (Jensen R. B., Johnsbraten H.)
1. A new construction of a nonconstructible A3 subset of (0. — Fundam.
math., 1974, 81, № 4, p. 279—290.
Йенсен, Соловей (Jensen R. B., Solovay R. M.)
1. Some applications of almost disjoined sets.— In: Mathematical Logic and
Foundations of Set Theory. Amsterdam; London, 1970, p. 84—103.
Й e x (Jech T.)
1. Теория множеств и метод форсинга. — М.: Мир, 1973.
К а н о в е й В. Г.
1.	О дескриптивных формах счетной аскиомы выбора — В кн.: Исследова-
ния по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979,
с. 3—136.
2.	О непустоте классов в аксиоматической теории множеств.—ИАН СССР,
1978, 42, № 3, с. 550—579.
ЛИТЕРАТУРА
361
3.	Множество всех аналитически определимых множеств натуральных чи-
сел может быть аналитически определимым. — ИАН СССР, 1979, 43,
№ 6, с. 1259—1293.
4.	О некоторых проблемах дескриптивной теории множеств и связи кон-
структивности и определимости. — ДАН СССР, 1980, 253, № 4, с. 800—
803.
К е к р и с (Kechris A. S.)
1. The theory of countable analytic sets. — Trans. Amer. Math. Soc., 1975,
202, p. 259—297.
Кондо (Kondo M.)
1. Sur I’uniformisation des complementaires analytiques et les ensembles
projectifs. — Japan. J. Math., 1938, 15, p. 197—230.
Коэн (Cohen P. J.)
1. Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969.
Куратовский (Kuratowski К.)
1. Sur les th£oremes de separation dans la theorie des ensembles. — Fun-
dam. math., 1936, 26, p. 183—191.
2. Топология, т. I. — M.: Мир, 1966.
Куратовский, Мостовский (Kuratovski К., Mostowski A.)
1. Теория множеств.— M.: Мир, 1970.
Лебег (Lebesgue Н.)
1.	Sur les fonctions representable analytiquement. — J. de Math., 1905,
p. 139—216.
Леви (Levy A.)
1.	Definability in axiomatic set theory, II. — In: Mathematical Logic and
Foundations of Set Theory. Amsterdam; London, 1970, p. 129—145.
Леви, Соловей (Levy A., Solovay R. M.)
1.	On the decomposition of the sets of reals to Borel sets. — Ann. Math.
Logic, 1973, 5, № 1, p. 1 — 19.
Лузин H. H.
1.	Лекции об аналитических множествах и их приложениях. — М.: Гостех-
издат, 1953.
2.	Sur la classification de M. Baire. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1917, 164,
p. 91—94. [Русский перевод: О классификации Бэра. — В кн.: Лу-
зин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 270—272.]
3.	Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue. — C. r. Acad. Sci.
Paris, 1925, 180, p. 1572—1574. [Русский перевод: О проективных мно-
жествах Лебега. — В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд.
АН СССР, 1958, с. 304—306.]
4.	Sur les ensembles analytiques. — Fundam. math., 1927, 10, p. 1—95.
[Русский перевод: Об аналитических множествах. — В кн.: Л у -
зин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 380—459.]
5.	Analogues entre les ensembles mesurables В et les ensembles analyti-
ques. — Fundam. math., 1930, 16, p. 48—76. [Русский перевод: Анало-
гии между множествами, измеримыми В, и аналитическими множества-
ми. — В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 470—493.]
6.	Sur les classes des constituantes des complementaires analytiques. —
Ann. Sci. Norm. Super. Pisa, 1933, 2, № 3, p. 269—282. [Русский пере-
вод: О классах конституант аналитических дополнений. — В кн.: Лу-
зин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 627—641.]
7.	Quelques remarques sur les corbes qui sont des complementaires ana-
lytiques.— Mathematica, Cluj, 1934, 10, p. 70—80. [Русский перевод:
Некоторые замечания о кривых, являющихся аналитическими допол-
нениями.— В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР,
1958, с. 537—546.]
362
ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
8.	Несколько замечаний о кратной отделимости. — ДАН СССР, 1934, 2,
№ 5, с. 280—284.
9.	О стационарных последовательностях. — Тр. Физ.-матем. ин-та, отд.
матем., 1934, 5, с. 125—147.
10.	О некоторых новых результатах дескриптивной теории функций. —
М.; Л.: Изд. АН СССР, 1935.
11.	Sur les ensembles analytiques nuls. — Fundam. math., 1935, 25, p. 109—
131. [Русский перевод: О пустых аналитических множествах.—
В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 662—682.]
Лузин Н. Н., Новиков П. С.
1. Choix effectif d’un point dans un complementaire analytique donn6
par un crible. — Fundam. math., 1935, 25, p. 559—560. [Русский пере-
вод: Эффективный выбор точки в произвольном аналитическом допол-
нении, заданном посредством решета. — В кн.: Л у з и н Н. Н. Собр.
соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 617—618.]
Лузин Н. Н., Серпинский (Sierpihski W.)
1. Sur quelques proprietes des ensembles (A). — Bull. Int. Acad. Sci. Cra-
covie, 1918, № 4—5A, p. 35—48. [Русский перевод: О некоторых свой-
ствах А-множеств.— В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд.
АН СССР, 1958, с. 273—284.]
2. Sur une decomposition du continu. — С. r. Acad. Sci. Paris, 1922, 175,
p. 357—359. [Русский перевод: Об одном разложении континуума. —
В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 621—623.]
Любецкий В. А.
1.	Некоторые следствия гипотезы о несчетности множества конструк-
тивных действительных чисел. — ДАН СССР, 1968, 182, № 4, с. 758—
759.
2.	Из существования неизмеримого множества типа А2 вытекает суще-
ствование несчетного множества, не содержащего совершенного
подмножества, типа С А. — ДАН СССР, 1970, 195, № 3, с. 548—
550.
3.	Случайные последовательности чисел и А2-множества. — В кн.: Иссле-
дования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука,
1976, с. 96—122.
Ляпунов А. А.
1.	Обзор по дескриптивной теории множеств. — В кн.: Ляпунов А. А.
Вопросы теории множеств и теории функций. — М.: Наука, 1979,
с. 55—82.’
2.	О кратной отделимости для (А)-операции. — ИАН СССР, 1939, 3,
№ 5—6, с. 539—552.
3.	Некоторые случаи униформизации плоских СА- и А2-множеств. — ИАН
СССР, 1939, 3, № 1, с. 41—52.
Майхилл, Скотт (Myhill J., Scott D.)
1. Ordinal definability. — Proc. Symp. Pure Math., 1971, 13, № 1, p. 271—
278.
Мартин, Соловей (Martin D., Solovay R.)	<
1. Internal Cohen extensions. — Ann. Math. Logic, 1970, 2, p. 143—178.
Матиас (Mathias A. R. D.)
1. A survey of recent results in set theory. — Stanford: Stanford University,
1968.
Менсфилд (Mansfield R.)
1. perfect subsets of definable sets of real numbers. — Pacific J. Math.,
1970, 35, p. 451—457.
Московакис (Moschovakis Y.)
1. Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1980.
ЛИТЕРАТУРА
363
Новиков П. С.
1.	Sur les fonctions implicites mesurables В.— Fundam. math., 1931, 17,
p. 8—25. [Русский перевод: О неявных функциях, измеримых В. —
В кн.: Новиков П. С. Избранные труды: теория множеств и функ-
ций, математическая логика и алгебра. М.: Наука, 1979, с. 13—25.]
2.	О счетно-кратной отделимости В аналитических множеств. — ДАН
СССР, 1934, 3, с. 135—148.
3.	Обобщение второго принципа отделимости. — ДАН СССР, 1934, 4,
с. 8—11.
4.	Sur la separabilite des ensembles projectifs de seconde classe. — Fundam.
math., 1935, 25, p. 459—466. [Русский перевод: Об отделимости проек-
тивных множеств второго класса. — В кн : Новиков П. С. Избран-
ные труды: теория множеств и функций, математическая логика и
алгебра. М.: Наука, 1979, с. 43—48.]
5.	О взаимоотношении второго класса проективных множеств и проекций
униформных аналитических дополнений. — ИАН СССР, 1937, 1, с. 231—
252.
6.	О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории
множеств. — Тр. матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1951, 38,
с. 279—316.
Новиков П. С., Келдыш Л. В.
1. Комментарии к работам Н. Н. Лузина. — В кн.: Лузин Н. Н. Собр.
соч., т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958, с. 725—739.
Роджерс (Rogers Н., Jr.)
1. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — М.:
Мир, 1972.
Серпинский (Sierpinski W.)
1.	Sur deux consequences d’un thcoreme de Hausdorff. — Fundam. math.,
1945, 33, p. 269—272.
Сильвер (Silver J.)
1.	Counting the number of equivalence classes of Borel and coanalytic
equivalence relations. — Ann. Math. Logic, 1980, 18, p. 1—28.
Соловей (Solovay R.)
1.	On the cardinality of S2 se*s- — ^n: Foundations of Mathematics. Berlin,
1969, p. 58—73.
2.	A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measur-
able.—Ann. Math., 1970, 92, № 1, p. 1—56.
3.	A nonconstructible A3 set of integers. — Trans. Amer. Math. Soc., 1967,
127, p. 50—75.
Соловей, Тенненбаум (Solovay R., Tennenbaum S.)
1.	Iterated Cohen extensions and Suslin’s Problem. — Ann. Math., 1971, 94,
p. 201—245.
Суслин M. fl.
1.	Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres trans-
finis.— C. r. Acad. sci. Paris, 1917, 164, № 2, p. 89—91.
Харрингтон (Harrington L.)
1.	1112 sets and П2 singletons. — Bull. Amer. Math. Soc., 1975, 52, p. 356—
360.
2.	Long projective wellorderings. — Ann. Math. Logic, 1977, 12, № 1,
p. 1—24.
3.	Analytic determinacy and 0*. — J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 4,
p. 685—693.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1. Теория множеств. — M.; Л.: ОНТИ, 1937.
2. Summen von Ni Mengen. — Fundam. math., 1936, 26, S. 241—255.
364	ДОБАВЛЕНИЕ. О ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Шенфилд (Shoenfield J.)
1. The problem of predicativity. — In: Essays on the Foundations of Mathe-
matics. Jerusalem, 1961, p. 132—139.
2. Математическая логика. — M.: Наука, 1975.
Штерн (Stern J.)
1.	Partitions of the real line into N] closed sets. — Leet Notes Math.,
1978, 669, p. 455—460.
2.	Suites transfines d’ensembles boreliennes. — C. r. Acad. sci. Paris, ser. <4,
1979, 288, p. 527—529.
3.	Effective partitions of the real line into Borel sets of bounded rank.—
Ann. Math. Logic, 1980, 18, p. 29—60.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аартс (Aarts J. М.) 214, 233
Абрамсон (Abramson F.) 98
Адамар (Hadamard J.) 278
Аддисон (Addison J. W.) 6, 236, 258, 260,
262, 264, 266, 270, 284, 299, 301, 311—313,
360
Александров П. С. 236, 252, 275, 277—279,
360
Ароншайн (Aronszajn N.) 78—81, 89—91, 94,
180, 182, 209, 211
Арсенин В. Я. 277
Девлин (Devlin К.) 5, 8, 71, 72, 75, 97,
157, 158, 180, 185, 186, 194, 196, 199, 200,
оос ппа ооо
Дедекинд’(Dedekind R.) 72, 179
Дрейк (Drake F.) 93, 97
Евклид (Euclid) 35, 50
Банах (Banach S.) 42, 44, 45, 48, 68, 97, 263
Бар-Хиллел (Bar-Hillel Y.) 36, 63
Барвайс (Barwise J.) 12, 93, 97
Баумгартнер (Baumgartner J.) 82, 96, 97,
209
Бендиксон (Bendixson I.) 236
Берджес (Burgess J.) 5, 8, 99, 295, 360
Бернштейн (Bernstein F.) 44, 226
Бертран (Bertrand J.) 60
Бласс (Blass А.) 59
Блекуэлл (Blackwell D.) 263, 264, 271
Борель (Borel Е.) 70, 236, 275, 278
Бул (Bull Е. R.) 63
Бэр (Baire R.) 58, 62, 71—73, 202, 207, 212,
214, 236, 237, 252, 253, 259, 261, 262, 269,
275, 277, 279
Истон (Easton W.) 82, 97, 146, 147, 156
Йенсен (Jensen R. В.) 8, 71, 72, 79, 82, 94,
136, 137, 171,	180, 182, 183, 185, 186,
194, 195, 199, 200, 220, 225, 228, 233, 301,
317, 351, 352, 358-360
Йех (Jech Т.) 5, 7, 35, 43.. 56, 60, 63, 81,
97, 132, 156, 161, 273, 349, 356, 360
Валле-Пуссен (Vallee Poussin J. С. la) 275
Вейерштрасс (Weierstrass К.) 40
Вейсс (Weiss W.) 217, 233, 234
Витали (Vitali) 42, 43, 58, 236, 280, 281
Boot (Vaught R. L.) 199
Галвин (Galvin F.) 84, 97
Гаусс (Gauss C. F.) 36
Гейл (Gale D.) 262, 263, 271
Гермес (Hermes H.) 36
Гёдель (G6del K.) 5-8, 33, 40, 49, 50, 71,
96, 99, 125, 143, 156, 158, 160, 169, 171,
173, 200, 235. 259, 262, 271
Гильберт (Hilbert D.) 36
Гитик (Gitik M.) 60
Гливенкв В. И. 286, 293, 360
Гордан (Gordan Р.) 36
Грегори (Gregory J.) 185
Даукер (Dowker С. Н.) 220, 224
Девис (Davis М.) 262, 263, 269, 271
Канамори (Kanamori А.) 95, 98
Кановей В. Г. 273, 295, 298, 317, 318. 351,
359, 360
Кантор (Cantor G.) 36, 37, 44, 235, 236
Канторович Л. В. 277
Карп (Karp С.) 171, 200
Картан (Cartan Н.) 278
Кекрис (Kechris А.) 235, 263, 272, 278
Келлн (Kelly J.) 44
Келдыш Л. В. 277, 278, 293, 297, 363
Кёниг (Konig J.) 77, 78, 89, 91, 280
Клейнберг (Kleinberg Е. М.) 63, 87, 97, 98
Клини (Kleene S. С.) 236, 253, 255—257, 271
Козлова 3. И. 277
Колмогоров А. Н. 277
Кондо (Kondo М.) 61, 258, 266, 275, 271,
278, 292, 312, 361
Коэн (Cohen Р. J.) 7, 8, 51, 55, 58, 61,
62, 99, 102, 109, 118, 122, 156, 235, 271,
273, 361
Куратовский (Kuratowski К.) 45, 251, 273,
275, 278, 284, 285, 361
Курепа (Kurepa D.) 127, 128, 130—132, 139,
144, 157, 199, 200, 232, 233
Кюнен (Kunen К.) 5, 8, 64, 94, 95, 97, 195,
217, 224, 232-234, 267-269
366
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лаврентьев М. А 277
Лаплас (Laplace Р. S.) 64
Лебег (Lebesgue Н.) 34, 49, 58, 62, 70,
96, 97, 208, 209, 236, 241, 252, 271. 274,
275, 278, 280, 233, 299, 319, 361
Леви (Levy А.) 36, 57-59, 97, 105, 108, 143,
156, 273, 274, 277, 297, 319, 320, 333,
335, 336, 338, 342, 343, 346, 348, 349, 361
Лейбниц (Leibniz G. W.) 64
Лёвенгейм (Lowenheim L.) 67, 102, 199, 215
Лейхли (Lauchli Н.) 58
Ливенсон Е. М 277
Лузин Н. Н. 70-72, 97, 236, 242, 243, 252,
258, 271, 274—276, 278, 280—287, 292,
294—296, 318, 320, 350, 361, 362
Любецкий В. А. 299, 307, 308, 320, 321,
331, 362
Лютцер (Lutzer D. J.) 214, 233
Ляпунов А. А. 277, 278, 285-287, 362
Майхнл (Myhill J.) 342, 362
Малыхин В. И. 218, 233
Мало (Mahlo Р.) 93, 94
Манин IO. И. 157
Мартин (Martin D. А.) 5, 6, 8, 63, 70, 72,
99, 147, 153, 157, 195, 201, 203, 208, 212—
214, 217, 219, 220, 233, 235, 261—264, 267—
269, 272, 351, 354, 362
Марчевский (Marczewski Е.) 121, 156
Мате (Mdte А.) 92. 98
Матиас (Mathias A. R. D.) 317, 362
Менсфилд (Mansfield R.) 261, 272, 299, 307,
320, 327, 362
Миллер (Miller Е.) 180
Митчелл (Mitchell W.) 63, 79, 97
Московакис (Moschovakis Y. N.) 235, 237,
238, 251, 264, 266, 267, 269, 270, 272, 298,
£99, 362
Мостовский (Mostowski А.) 52—57, 60, 273,
284, 331, 361
Мычельский (Mycielski J.) 262, 263, 269, 272
Нейман, фон (von Neumann J.) 65
Новиков П. С. 61, 236, 251, 258, 260, 266,
271, 274—278, 284—286, 291—293, 295, 297,
299, 301, 306, 312, 313, 318, 320, 362, 363
Ньютон (Newton I.) 64
Осташевский (Ostaszewskl A. J.) 220, 224,
233
Яеано (Peano G.) 18, 36
Пинкус (Pincus D.) 57, 58, 60
Поспишил (Pospisil В.) 76, 80, 219
Прикры (Prikry К.) 82
Гадо (Rado R.) 48, 87, 88, 92, 98
Рамсей (Ramsey F. R.) 8, 85—87, 95, 96, 210
Рассел (Russell В.) 10, 41, 55, 196
Рейнгардт (Reinhardt W.) 95, 98
Роджерс (Rogers Н. R.) 287, 363
Рудин (Rudin М. Е.) 5, 8, 81, 97, 201, 220,
224, 233, 234
Сагесв (Sageev G.) 59
Сверчковский i(Su ivrczkowskl S.) 262. 263.
269, 272
Серпинскнй (Sierpinski W.) 70, 97, 236, 242,
247, 252, 271, 272, 275, 278, 281—283, 350,
362, 363
Сикорский (Sikorski R.) 233
Сильвер (Silver J. IL) 82, 95—97, 130, 132,
133, 143, 156, 193, 194, 199, 225, 262, 272,
273, 295, 296, 363
Скотт (Scott D.) 15, 156, 342, 362
Скулем (Skolem Th.) 67, 102, 156, 158,
173-176, 186-188, 193, 199, 215
Соловей (Solovay R. M.) 8, 58, 69, 95—98,
109, 143,	148,	149,	156,	203,	212,	214,	233,
259—261.	267,	269,	272—274,	277,	297,	299,
307, 308,	317,	318,	320,	326,	327,	329,	333,
335—338,	342,	343,	346,	348,	349,	351,	352,
354, 358—363
Coxop (Sochor A.) 56, 60
Стефенсон (Stephenson R. M.) 218, 233
Стил (Steel J.) 269
Стоун (Stone A.) 48
Стьюарт (Stewart F. M.) 129, 262, 263, 271
Суслин M. Я. 30, 71, 72, 79—81, 157, 158,
179-185, 195, 197, 203, 209, 214, 215, 217,
220, 236, 244, 246, 247, 252, 256, 275, 278,
279, 282, 309, 363
Тайманов А. Д. 277
Тааский (Tarski A.) 42, 44, 46, 59, 60, 68,
97
Тенненбаум (Tennenbaum S.) 148, 149, 156,
326, 363
Тихонов A. H. 39, 44, 47, 48
Толл (Tall F. D.) 216, 217, 233, 234
Уайтхед (Whitehead A. N.) 204
Улам (Ulam S.) 69, 98
Уэдж (Wadge W.) 211, 268, 269
Федорчук В. В. 234
Феферман (Fefermar: S.) 58, 59
Фодор (Fodor) 67
Френкель (Fraenkel A.) 5—7, 36, 52—57, 63,
100, 158, 235
Фридман (Friedman H.) 263, 272, 312
Фубини (Fubini G.) 68
Хайнал (Hajnal A.) 84, 87, 88, 92, 97, 98,
196, 216, 227, 228, 230, 234
Халмош (Halmos P. R.) 64, 98, 100, 156
Халперн (Halpern J. D.) 59
Хан (Hahn N.) 45, 48
Харрингтон (Harrington L. A.) 98, 312, 3(8,
321, 328, 351, 352, 357, 358, 363
Хаусдорф (Hausdorff F.) 42—44, 278, 279,
350, 363
Хейеноорт (van Heijenoort J.) 156
Хехлер (Hechler S.) 217, 234
Цвиккер (Zwicker W.) 98
Цермело (Zermelo E.) 5—7, 36—38, 100.
106. 158, 235, 263
Цорн (Zorn M.) 27, 45, 46, 72, 117, 125
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
367
Чен (Chang С. С.) 194, 199
Чех (Cech Е.) 48, 76, 80, 217, 219
Чёрч (Church А.) 255
Штейнгауз (Steinhaus Н.) 269
Штерн (Stern J.) 296, 321, 322, 343, 349,
350, 364
Шапировский Б. Е. 216—218, 233, 234
Шелах (Shelah S.) 197, 204
Шенфилд (Shoenfield J. R.) 5, 7, 9,
95, 96, 98, 109, ПО, 113, 114, 157, 204,
212, 253, 267, 272, 273, 299, 303, 305, 357,
363
Шор (Shore R. А.) 195
Эклоф (Eklof Р. S.) 204, 212
Эрдёш (Erdos Р.) 71, 86-88, 92, 98, 196
Юнсбротен (Johnsbraten Н.) 71, 72, 75,
97, 180, 200, 301, 351,
Юхас (JuhAsz I.) 5, 8, 77, 84, 98, 213, 214,
216, 218, 224, 227, 228, 230, 233, 234
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома бесконечности (infinity axiom) U
— выбора (axiom of choice) 24, 35, 37
---счетная (countable) 48, 294
— выделения (separation axiom) 43
— детерминированности (аДот of delcrmi-
nateness, determinacy) 62, 269
— зависимого выбора (dependent choices)
49, 294
— измеримого кардинала (MC) 261
— конструктивности (axiom of constructl-
bility) 168
— Мартина (Martin’s axiom, MA) 147, 201
—, непротиворечивая относительно системы
(consistent relative to a system) 49
—	объединения (union axiom) 14
—	объемности (extensionality axiom) 13
—	подстановки (replacement axiom) 14
—	проективной	детерминированности
(axiom of projective determinacy) 263
— регулярности (regularity axiom) 15
— степени (power set axiom) 14
Антицепь (antichain) 80, 104. 180
— максимальная (maximal antichain) 109
— ниже p (antichain below p) 109
Atom (atom) 53
База фильтра регулярная (regular filter
base) 214
Базис (basis) 257
Кардинал (cardinal) 25, 26, 65, 103
— измеримый (measurable cardinal) 96,
261
— компактный сильно (strongly compact
cardinal) 96
---слабо (weakly compact cardinal) 93
—	Мало сильно/слабо (strongly/weakly
Mahlo cardinal) 93
—	невыразимый (ineffable) 96
—	недостижимый сильно/слабо (strongly/
weakly inaccessible cardinal) 92, 103
—	предельный сильно/слабо (strongly/
weakly limit cardinal) 92, 103
—	Рамсея (Ramsey cardinal) 96
—	регулярный (regular cardinal) 65, 103
— сингулярный (singular cardinal) 65, 103
Квантор (quantifier) 12, 100
—	ограниченный (bounded quantifier) 105
Класс (class) 28
—	двойственный (dual class) 239
—	самодвойственный (self-dual class) 239
—	собственный (proper class) 28
—	точечный (pointclass) 238
Код стандартный (standart code) 187
—	формулы 304
Конституанта (constituante) 282, 332
Континуум Суслина (Souslin line) 72
Конфинальность (confinality) 65, 103
Кривая 286
Ветвь (branch) 180
Высота (height) 75
Гипотеза континуума (континуум-гипотеза)
(continuum hypothesis) 69, 103, 235
— — обобщенная (generalized continuum
hypothesis) 103
—	Суслина (Souslin hypothesis) 72, 179
---обобщенная (generalized Sauslin
hypothesis) 182
Граф (graph) 85, 197
—	полный (complete graph) 85
— пустой (empty graph) 85
Дерево (tree) 75, 104, 180
— Ароншайна (Aronszajn tree) 78, 180, 209
— полное А-арное (complete A-агу tree) 75
— Суслина (Suslin, Souslin tree) 80, 180,
203
Длина отношения (length of relation) 244
Замыкание транзитивное (transitive clos-
ure 174 300
Лемма Кёнига (Konig lemma) 77
— о конденсации (condensation lemma) 171
— об истиннос1и (truth lemma) 113
---определимости (definability lemma)
113
— существования и минимальности (exi-
stence and minimality lemma) 111
— Цорна (Zorn lemma) 27, 45
Множества почти дизъюнктные (almost
disjoined sets) 82
---изоморфные 334
—	равномощные (equinumerous) 25
Множество (set) 9—12
—	аналитическое (analytical set) 256
-	г арифметическое (arithmetical set) 256
—	борелевское (Borel set) 239
—	генерическое (generic set) 110
---HaA Q-моделью (generic over Q-mo-
del) 335
—	дедекиндово (Dedekind set) 54
—	детерминированное (determined set) 263
—	допустимое (admissible set) 177
—	замкнутое (closed set) 65, 103
.--неограниченное (з. н. о.) (closed and
unbounded set, c, u, b.) 65, 103
предметный указатель
369
Множество измеримое (measurable set)
252
— конструктивное (constructible set) 160
— — относительно множества (constructible
relative to a set) 300
— Лузина (Luzin set) 70
— наследственно ординально определимое
(hereditabily ordinal definable set) 51
----финально плотное (НФП) (heredi-
tarily finaly dense set) 225
----0)Оп-определимое 342
— однозначное (uniform set) 286
— однородное (homogeneous set) 86, 195
— определимое (definable in/over set) 165,
166
•---с параметрами (definable with para-
meters) 159, 165
— основное (underlying set) 109
— открытое (open set) 109
—- первой категории (set of first cate-
gory) 252
— плотное (dense set) 109, 201
----ниже p (dense below p) 109
— попарно несовместимое (pairwise incom-
patible set 201
— проективное (projective set) 242
— свободное (free set) 196
— совершенное (perfect set) 76, 252
— совместимое (compatible set) 201
— стационарное (stationary set) 66, 104
— счетнозначное 286
— точечное (point set) 238, 254
— транзитивное (transitive set) 19
— универсальное (universal set) 240
— фундированное (grounded set) 15
— частично упорядоченное (ЧУ) (partially
ordered (PO) set) 109
-------нормализованное (normalized) 148
— а-коэновское (а-Cohen set) 119
— х-дистрибутивное (x-distributive set) 123
— х-замкнутое (x-closed set) 123
— х-куреповское (x-Kurepa set) 128
— х-свертывающее (x-col lapsing set) 142
— х-суслинское (x-Souslin set) 267
— °)On-определимое 342
Модель исходная (ground model) 51, 111
— конструктивная (constructible model) 50
— Леви - Соловея вторая 349
•------первая 335
— пермутационная (permutation model) 52
—.полученная присоединением к исходной
модели (obtained by adjoining to the
ground model) 111
— симметрическая (symmetric model) 54
— стандартная транзитивная (СТМ) (stan-
dart transitive model, STM) 102
— теории ZFC (model of ZFC) 102
— Френкеля — Мостовского (Fraenkel —
Mostowski model) 52
Мощность (cardinality) 25, 65, 103
Ординал (ordinal) 19, 103
— допустимы/! (admissible ordinal) 178
— конечный (finite ordinal) 103
— недостижимый (inaccessible ordinal) 32
— предельный (limit ordinal) 103
— регулярный (regular ordinal) 190
Отношение рекурсивное (в) (recursive (in)
relation) 253, 254
— фундированное (wellfounded relation)
244
Пара неупорядоченная (unordered pair) 104
— упооядоченная (ordered pair) 17, 104
Параметр стандартный (standart para-
meter) 187
Подграф (subgraph) 85, 197
Поддерево (subtree) 75
Подпорядок (suborder) 109
Праэлемент (urelement) 10, 53
Предикат, абсолютный для класса (ab-
solute for a class) 166
Предложение невыводимое (independent
sentence) 7
— совместимое (consistent sentence) 7
Принцип абсолютности 305
— зависимого выбора (principle of depen-
dent choices) 49
— лестницы (principle of scale) 266
—- ограничения 283
— отделимости (separation principle) 284
— предупорядочения (preweilordering
principle) 249
—	редукции (reduction principle) 248
*	— селектора (selector principle) 294
—	сравнения индексов 251
— униформизации 258
Проблема континуума узкая 350
Проектум (projectum) 187
Проекция (projection) 242, 286
Пространство Бэра (Baire space) 237
— сильно бэровское (strongly Baire space)
214
— совершенное польское (perfect Polish
space) 237
— х-бэровское (x-Baire space) 214
— зг-полное (зг-complete space) 214
Путь сквозь дерево (path through a tree)
77, 104
Разбиение (partition) 86, 195
— Рассела (Russell partition) 196
Ранг (rank) 104
Раньше (before) П
Раскраска (colouring) 197
Ребро (edge) 197
Ретракция (retraction) 150
Свойство Бэра (Baire property) 252
— совершенного ядра (perfect subset
property) 252
Система аксиом непротиворечивая (con-
sistent system of axioms) 49
Степень (degree) 16
—- Уэджа (Wadge degree) 268
Структура доступная (amenable structure)
186
Теорема Новикова — Кондо — Аддисона
, (Novikov — Kondo — Addison theorem)
258
— о переводе 301
---простом идеале (prime ideal theorem)
46
— об ограниченных кванторах 300
Теснота (tightness) 214
Тип порядковый (order type) 103
Точка, случайная над классом (point
random over a class) 308
Универсум всех множеств (universe of all
sets) 158
— конструктивный (constructible universe)
, >60
370
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Упорядочение полное (wellordering) 103
— Уэджа (Wadge ordering) 268
— частичное (partial ordering) 104
Уровень (level) 75
Условие вынуждающее (forcing condition)
112
---более сильное (stronger forcing
condition) 112
— счетности целей (у. с. ц.) (countable
chain condition) 72, 120, 201
Формула (formula) 12, 101
—	абсолютная (absolute formula) 104
—	замкнутая (closed formula) 101
Функция (function) 17
— выбора (choice function) 24
— Скулема (Skolem function) 173, 176, 187
— а-пары (а-pairing function) 169
Число натуральное (natural number) 18
— хроматическое (chromatic number) 197
Шаг (step) 11
Эле.менты ЧУ множества несовместимые
neo mpatible elements of a partially
ordered set) 109
Элементы совместимые (compatible) 109
— сравнимые (comparable) 109
Ядро совершенное (perfect subset) 279
E (x) ЧУ множество (E (x) PO set) 136
L-пространство (L-space) 227
W (x) ЧУ множество (W (x) PO set) 133
«-пара (a-pair) 169
Г-цетерминированность (Г-determinacy) 263
Г-лестница (Г-scale) 266
Г-отделимость (Г-separation) 284
Г-предупорядочение (Г-prewellordering) 249
Г-редукция (Г-reduytion) 248
Г-униформизация (Г-uniformization) 257
(Гь Г2)-униформизация ((Гь r2)-uniformiza-
tion) 257
(0, %)-дерево ((0, X)-tree) 180
х-гипотеза Курепы (x-Kurepa hypothesis) 127
х-дерево (x-tree) 180
-	Ароншайна (x-Aronszajn tree) 78
-	Курепы (x-Kurepa tree) 127
-	Суслина (x-Souslin tree) 80
х-условие антицепей (x-YA) (x-antichain
condition) 120
л-база (л-base) 214
л-вес (л-weight) 214
л-характер (л-character) 214
Q-модель 335
О (х) ЧУ множество (О (х) РО set) 139
□	(х) ЧУ множество (□ (х) РО set) 134
ОБОЗНАЧЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ОПРЕДЕЛИМОСТЬЮ
HOD 51
До 105
2П, п„ (-формулы) 105
П*р, Af 165
П"(АГ), bg(N) 165
2" П^, дМ 165
2„(Л4), П„(Л1), Д„(Л4) 165
Sft, Пп, Дп (-предикаты) 165
равномерно 2rt, Пп, Дп 166
4 Пр, Д°р 240
4 П', Д' 242
2^, П^, Д^ (-множества) 253, 254
2^’ °, П^’ °, Д^* а 254
2jp Пд (-формулы) 303—304
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ZF 7, 158
AC 7, 63
МА 8, 147, 201
СН 8, 69, 103
О 8. 71,
L 8, 50, 160
0 Ю, 16
<= 12. 100
= 12, 100
"| 12,100
А 12, 180
V 12, 100
-» 12, 100
*-> 12, 100
V 12, 100
3 12, 100
3! 12, 100
Set {х :«₽(«)} 13
s 14
ZFC 16, 100, 158
1х : <р (х)} 16, 28
(F (х): Ф(х)} 16
U z 16
(у) 16, 65
{х, у] 17
xUy 17
хП1/ 17
х-у 17
{Xi.....х„} 17
(х. у} 17
хХУ 17
0, 1. 2, 3,... 18
Sc (х) 18
а< Р, а < Р 20
<о 22
F Га 22, 65
Z? (а) 23
х~ у 25
(х | 25, 26j 65
HOD 51
М [G] 52
Ха 59
cf (а) 65, 103
<оа 65
А+ 65 103
ГХ 65
ran/ 65, 103, 104
Xх 65
х<к 65
ехр(Л) 65
R 65
Q 65
с 65
SH 72, 179
<аА 75
8ла 75
< >75
lh (s) 75
GCH 78, 103
[/]" 86, 195
х->(Л)3 86, 195
95
x->(stat)g 96
А4(=Ф 101, 159
Lim (а) 103
supX 103
card X 103
2х 103
| ГI 104
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
873
104
Та 104, 180
dom f 104
OR 104
OR*1 107
0м (a) 107
card" (a) 107
|P I 109
Ю9
lp Ю9
/o(0 110
a' 110
G 110
Pll—,«<₽ 111
(2 й) И 118
ехрл' (и) 118
(x+)M 118
118
KH(x) 127
W' (x) 132, 225
□ (x) 134
£ (x) 136, 228
<(x) 139
<2®R 140
Q ® R 142
Va 158
V 159
On 159
£ 159
Def (X) 159, 165
Ж 159, 162
S* 159
Le 160
L 150
<pL 160
sKt 162
Sat 164
V = L 168
<a 170, 300
pr (x) 170
<L 171
A<SjjLa 171
TC 174, 300
fta 176
je 180
ht(x) 180
T )a 180
SH(x) 182
□x(£) 182
otp 182
□ x 182
Ox(£) 182, 228
S’, (A) 186
a
ha,A 187
187
Л2 187
P« 187
x->W" 0 195
(x, n) -> Л 196
G 197
ch(G) 197
P(x) 197
t (X) 214
л(Л') 214
/ 237
cl [n 237
A 239
f 239
xaR 244
Seq 244
< ?44
I1 X |< 244
Ga 262
PD 263
&2n 267
<w 268
AD 269
BH 269
[R] 282
[R]u 282
npP 286
D(2) 293
ЦЛх] 300
L(x] 300
374
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
НС 300	SP 334
рга 300	^<1 334
(d)m 303	334
Word 306 | w | 306	334
306	334
Z6 308	M 335
Up 308	0<л336
ak 308	G>K 336
|а \T 322	q>* 337
| T | 322	q>+ 341
JT, d] 322	P (I/) 352
CK 323	sP, Xp 352
Q 333, 335	352
334	®KP(U) 352
334 л	G_u 359
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода .............. 5
Введение........... ...	•	................ 7
Глава	1.	АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Джозеф Р. Шенфилд 9
Глава	2.	ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА. Томас Дж. Иек..........35
Глава	3.	КОМБИНАТОРИКА. Кеннет Кюнен...............64
Гласа	4.	ВЫНУЖДЕНИЕ. Джон П. Берджес...............99
Глава	5.	КОНСТРУКТИВНОСТЬ. Кейт Дж. Девлин........158
Глава	6.	АКСИОМА МАРТИНА. Мэри Эллен Рудин........201
Глава 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛО-
ГИИ. И. Юхас........................................213
Глава 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ: ПРОЕКТИВ-
НЫЕ МНОЖЕСТВА. Дональд А. Мартин....................235
Добавление. ПРОЕКТИВНАЯ ИЕРАРХИЯ Н. Н. ЛУЗИНА:
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ.
В.	Г.	Кановей.......................273
Именной указатель....................................365
Предметный указатель.................................368
Обозначения, связанные с	определимостью..............371
Указатель обозначений..............................  372
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Часть II. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Редактор В. В. Донченко.
Технический редактор С. Д. Шкляр.
Корректор М. Л. Медведская.
ИБ № 11560
Сдано в набор 05.08.81. Подписано к печати 12.08.82. Форма?
60x90716. Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая
печать. Услов. печ. л. 23,5. Уч.-изд. л. 25,13. Тираж 20 000 экз.
Заказ № 1261. Цена 2 р. 10 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиг-
рафпрома при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052*
г. ^Ленинград, Л-52, Измайловский проспект 29.