Ф.ФРАНКЛИН
АВДАТИЧЕСКЩ
АНАЛИЗ

Φ. ФРАНКЛИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Перевод с английского
Н. Д. АЙЗЕНШТАТ и С. А· ГАЛЬГШРН
под редакцией
С. А. ГАЛЬГШРН
Часть I
1950
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

A TREATISE ON
ADVANCED CALCULUS
Including those parts of the theory of
functions of real and complex variables
wich form the logical basis of the
infinitesimal analysis and its
applications to geometry
and physics
By
PHILIP FRANKLIN, Ph. D.
Professor of Mathematics, Massachusetts
Institute of Technology
1947

ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В книге Франклина собран обширный материал по
математическому анализу и его приложениям. Это не учебник для
первоначального знакомства с предметом. Английское название книги
«A treatise on advanced calculus» означает, что трактат
предназначен для читателей, уже знакомых с элементами
дифференциального и интегрального исчисления.
Значительный интерес книга представляет для преподавателей
математического анализа, так как многие методические новшества
автора являются удачными. При сравнительно небольшом объеме
книги автору удалось охватить очень большой материал;
приведенные в книге примеры и задачи весьма содержательны.
Советским студентам-математикам, которые имеют теперь
хорошее трехтомное руководство проф. Г. М. Фихтенгольца
(«Курс дифференциального и интегрального исчисления», Гостех-
издат), законченное«изданием в 1949 г., книга Франклина также
может быть полезной в качестве дополнительного пособия.
При переводе текст оставлен без изменений, если не считать
нескольких поправок редакционного характера. В русском
издании книга выходит в двух частях. Во вторую часть отнесены
следующие главы: бесконечные ряды и произведения, частные
производные, кратные интегралы, последовательности функций,
функции комплексного переменного, ряды if интегралы Фурье,
дифференциальные уравнения, гам*»а-фуякция и другие
определенные интегралы.

Глава I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Мы предполагаем, что читатель уже знаком с правилами
действий над положительными и отрицательными числами и с
применением этих чисел в качестве координат точек на прямой и на
плоскости. Однако некоторые более тонкие свойства чисел и точек
в пространствах различного числа измерений могут быть
неизвестны читателю. Чтобы сделать понятными эти свойства, мы
сначала кратко изложим метод построения полной системы дей^
ствительных чисел, положительных и отрицательных,
рациональных ή иррациональных, отправляясь от целых
положительных чисел.
1. Математическая индукция· Целые положительные или,
что то же самое, натуральные числа суть 1, 2, 3, ... . Их
простейшие свойства предполагаем известными. Заметим, в частности,
следующее:
1. Для любого целого положительного числа /г, кроме
единицы, существует непосредственно предшествующее ему целое
положительное число η ~ 1.
2. В любом непустом множестве целых положительных чисел
(конечном или бесконечном) имеется наименьшее число. При
этом непустым мы называем множество, содержащее хотя бы один
элемент.
Из этих положений вытекает принцип математической
индукции, который может быть сформулирован следующим образом:
Если в утверждении некоторой теоремы фигурирует целое
положительное число η и если из справедливости этой теоремы
для κακψο-угодно частного значения η следует справедливость
ее для значения гг -f-1, то, коль скоро эта теорема справедлива
дляп = 1, она будет справедлива для любого целого
положительного числа гг.
Доказательство. Пусть S(п) есть сокращенная
запись утверждения теоремы для соответствующего значения п.
Допустим, что утверждение S (п) верно не для всех значенш|л,
и рассмотрим множество тех целых положительных чисел т, црщ
которых утверждение S(m) неверно. Если имеется хоть однж
такое т, то существует и наименьшее целое положительное
число этого множества. Обозначим это число через fc. Так как
утверждение S (1) верно, a S(k) неверно, то к не може^быть

χ
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
равно 1. Следовательно, существует целое положительное число
ft —1, предшествующее числу ft в натуральном ряде чисел.
Так как каждое значение т, для которого S (т) неверно, равно
или больше ft, то целое число ft·1— 1 не является значением т.
Следовательно, утверждение *S (Λ— 1) верно, и в силу
предположенного свойства утверждения S (n), S (ft) тоже верно. Таким образом,
наше предположение о том, что имеется хоть одно целое
положительное число т, для которого S (т) неверно, привело нас к
противоречию* Иначе говоря, ни для одного целого положительного
л утверждение S(n) не может быть неверным, т. е. оно верно для
всех п.
2* Рациональные числа. При изучении рациональных чисел
мы будем исходить из целых положительных чисел и правил их
сложения и умножения. Деление определяется как действие,
обратное умножению. Таким образом,
у = ж, если Ьх = а. (1)
Если мы ограничимся только положительными целыми
числами, то деление будет возможно не всегда, так как для данной
пары целых чисел а и Ь может не существовать целого числа ж,
удовлетворяющего второму уравнению (1)..
Чтобы преодолеть эту трудность, мы введем положительные
рациональные числа. Они определяются как пары целых
положительных чисел а и 6, записанные в виде -g-. Равенство двух
рациональных чисел определяется по следующему правилу:
y = gr, если ab' = a'b. (2)
Некоторые рациональные числа мы отождествляем с целыми
числами, полагая
«=т· (3)
Сложение и умножение определяются по правилам:
a ar ab' + а'Ъ *..
Τ ~^~V~ W ' '*'
a a' aa' .rv
T'i'-w · w
Вычитание определяется как действие, обратное сложению.
|?ак,
■ь--ь-,=а, если F-f* = -. (6)

2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
9
Если целое число ab' превосходит а'Ь, то существует
рациональное число х, а именно:
* = -^=^, (7)
которое удовлетворяет второму уравнению (6), но если ab' не
превосходит а'Ь, то не существует положительного
рационального числа х9 которое удовлетворяло бы этому уравнению.
Чтобы преодолеть эту трудность, введем число нуль и
отрицательные рациональные числа. Правила действий с числом нуль
в случае сложения и умножения будут следующими:
<* + 0 = α, α·0 = 0. (8)
Мы обозначаем отрицательные целые числа при помощи
положительных целых чисел со знаком минус перед ними и определяем
сложение их по правилам:
а + ( — Ь) = а — Ь= — (& — а) и т. д. (9)
Умножение положительных и отрицательных целых чисел
определяв! ся по правилам:
а( — 6)= — ab, ( — α) { — b)^ab и т. д. (10)
Мы определяем отрицательные рациональные числа либо как
пары положительных целых чисел, снабженные знаком «минус»,
т. е. —-т-, либо как пары, составленные из одного
положительного и одного отрицательного целого числа, т. е. -у или —г ;
при этом мы отождествляем
-(т)-т-^· <")
Мы будем также считать:
i—Ξί· (12>
Некоторые рациональные числа мы отождествляем с
отрицательными целыми числами, полагая
-а = ^?. (13)
Затем мы распространяем равенства (1)—(6) на случай, когда
а и а' являются положительными или отрицательными целыми
числами или нулями, а Ъ и V являются положительными или
отрицательными целыми числами, применяя для этого по мере
надобности равенства (8) —(12). Соотношения (8)— (10) остаются
справедливыми, если α и 6 являются любыми положительными или

10
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
отрицательными рациональными числами. Они также будут иметь
место, если одно из чисел а или Ь положить равным нулю, а
другое — рациональному числу, если только предварительно
распространить |>авенства (8) — (10) на случай, когда а и Ь оба являются
нулями.
Далее мы распространим уравнения (11) и (12) на случай, когда
а является нулем, а Ь — отлично от нуля, но мы не определяем
деления на нуль и не допускаем рациональных дробей с нулем
в знаменателе.
Положительные и отрицательные рациональные числа вместе
с нулем образуют множество рациональных чисел. Это множество
содержит положительные и отрицательные целые числа, которые
включаются в него при помощи условий (3) и (13).
Сложение и умножение целых положительных чисел
подчиняются коммутативному закону:
a + b = b + a, ab = ba, (14)
ассоциативному закону:
a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c (15)
и дистрибутивному закону:
a(b+c) = ab + ac. (16)
Действия в случае, когда одно число или оба отрицательны
или равны нулю, определены так, что эти законы остаются
справедливыми. Тогда, в силу наших определений, эти законы будут
выполняться для любых рациональных чисел.
Отметим, что в множестве рациональных чисел умножение,
сложение и - вычитание всегда возможны. Деление возможно
всегда, за исключением того случая, когда делителем является
нуль.
Запись
г>0 (17)
означает, что рациональное число положительно. Это дает нам
возможность упорядочить множество рациональных чисел,
положив
г'> г или г<г', если г' — г > 0. (18)
В частности, если г > 0, то —г < 0. Следовательно,
из г' > г следует — г' <-—г. (19)
Для любых двух не равных рациональных чисел неравенство
(18) определяет, какое из них является предшествующим, а какое—
последующим. Однако, в отличие от множества целых чисел,
в множестве рациональных чисел нельзя указать рационального

3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
11
числа, следующего непосредственно за данным, как, например,
в множестве целых чисел, число 3 следует непосредственно за
числом 2, Действительно, мы всегда можем вставить рациональное
число (а, следовательно, и сколько угодно рациональных чисел)
между любыми двумя не равными рациональными числами.
Любое множество чисел или предметов, которые могут быть
расположены в виде последовательности и занумерованы целыми
положительными числами в их естественном порядке 1, 2, 3, ... ,
называется счетным.
Множество всех рациональных чисел счетно, так как имеется
только конечное число рациональных дробей -г таких, что \а\ +
+ \b\ = N9 где N — фиксированное целое положительное число.
Здесь \а\ означает абсолютную величину числа а, т. е. |а| = а,
если а положительно, и |я| = —-я, если а отрицательно.
Следовательно, мы сможем расположить все рациональные
числа в виде последовательности, объединив их в группы,
соответствующие значениям N= 1, 2, ..., а внутри каждой группы
поместить, например, сначала положительные числа в порядке
убывания числителя, а затем соответствующие отрицательные,
причем числа, уже вошедшие в предыдущие группы, опускаются.
Начало такой последовательности будет иметь вид:
О· 1 1 · 5> * 9 1 · Я -1 Я - -
ν/, ι, χ, -ώ, — , ώ, 2 * ' 3 ' 3 '
А ~ А -1 —L — ~ — A __JL·
*» % ' 3 ' 4 ' ' 2 ' ΊΓ ' 4 ' * ' * *
Будучи расположены в таком порядке, рациональные числа
могут быть занумерованы целыми положительными числами,
так что число 0 получит номер 1, число 1 —номер 2,..., число
— J — номер 7 и т. д.
3. Иррациональные числа. Иррациональные числа и действия
над ними могут быть определены при помощи классов
рациональных чисел, подобно тому как мы определили рациональные числа
как пары целых чисел. Мы начнем с определения сечения в
множестве рациональных чисел как разбиения множества
рациональных чисел на два класса—левый класс А и правый класс В,
обладающих следующими свойствами:
Р1. Любое число из левого класса А предшествует любому
числу из правого класса В.
Р2. Каждый класс содержит по крайней мере одно число.
РЗ. Каждое рациональное число принадлежит одному из
классов.
Обозначим через а или at рациональные числа,
принадлежащие классу А, или, короче, элементы класса А, через b или

12
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
bt—элементы класса В. Из свойств Р1 и РЗ следует, что всякое
рациональное число, меньшее некоторого я, само принадлежит
классу А. Аналогично, всякое рациональное число, большее
некоторого 6, само принадлежит классу В. Может существовать
рациональное число с, такое, что для всех элеменюв а и Ъ
выполняется неравенство
а<с<6. (20)
В этом случае мы говорим, что выбранное сечение будет
рациональным и оно определяет рациональное число с и 4jo сечение
произведено рациональным числом с. По свойству РЗ, с
принадлежит одному из классов. Но, по условию (20), если оно
принадлежит классу А, оно будет в нем наибольшим элементом, а если
оно Принадлежит классу В, оно будет в нем наименьшим
элементом. Не может быть двух различных рациональных чисел с,
удовлетворяющих соотношению (20) для всех а и 6, ибо, если бы
с' было вторым таким числом, то все числа между сие' должны
были бы принадлежать обоим классам, что невозможно в силу Pi.
Примерами рациональных сучений, для каждого из которых
с ^= 3; могут служить сечения, определяемые такими условиями:
χ принадлежит А, если χ < 3;
χ принадлежит В, если х> 3
или
я принадлежит А, если #<3; ,~^
χ принадлежит В, если χ > 3.
Однако для данного сечения может не оказаться никакого
рационального числа с, удовлетворяющего соотношению (20).
В этом случае мы назовем сечение иррациональным и будем
считать, что оно определяет некоторое иррациональное число,
которое мы помещаем за всеми числами из А и перед всеми числами
из В, так чтобы для всех а и Ь выполнялись неравенства
а<у<Ь. (23)
Примером иррационального сечения является сечение:
χ принадлежит А, если х < 0 или х* < 3;
χ принадлежит В, если χ > 0 и х2 > 3.
Когда мы определим умножение иррациональных чисел, то
увидим, что у для этого сечения удовлетворяет уравнению у2 — 3,
так что это сечение определяет число \^3.
Два иррациональных числа у и #', определенные сечениями
соответственно с классами А, В и A't В'', полагаются равными

4, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13
друг другу, если все элементы класса А принадлежат классу А'
и все элементы класса В принадлежат классу В'. Если
иррациональные числа у и у' не равны между собой, то могут
представиться две возможности: либо некоторый элемент а из А является
элементом Ь' из В\ ив этом случае
У'<Ь' = а<у и у' <у, (24)
либо некоторый элемент Ь из В является элементом а* из А', и тогда
у<Ь = а'<у' и у<у\ (25)
Таким образом, определен естественный порядок иррациональных
чисел. Для пары чисел, с и у, из которых с рационально, а у
иррационально, порядок задается соотношением (23), поскольку с
должно быть либо числом а из класса А, либо числом b из класса В
сечения, определяющего число у.
Рациональные и иррациональные числа вместе образуют
множество действительных чисел.
4. Действительные числа. Из наших определений следует,
что всякое сечение в множестве рациональных чисел, обладающее
свойствами PI, P2, РЗ, определяет единсавенное действительное
число. Часто бывает удобно заменить свойство РЗ следующим
свойством:
РЗ'. Для всякого положительного действительного числа з
можно найти число а из класса А и число Ь из класса В, такие,
что Ь — а не больше г.
Очевидно, что если РЗ' выполняется для некоторого значения
s, то оно будет выполняться и для всякого большего значения з.
Поэтому при применении РЗ' мы сможем ограничиться
рассмотрением только малых значений е. Далее, каково бы ни было
заданное иррациональное положительное число, мы сможем найти
меньшее рациональное положительное число. Поэтому для
доказательства РЗ' нужно показать только, что оно справедливо для
рациональных значений е.
Мы сейчас покажем, что всякое сечение, обладающее
свойствами PI, P2, РЗ, обладает и свойством РЗ'. Пусть ах—какой-
либо элемент из класса А заданного сечения. Рассмотрим
произвольное рациональное г, для которого мы хотим проверить РЗ'.
Возьмем числа
α,,α, + ι,α, + 2·, ...,α, + ΛΓβ. (26)
Пусть bx—некоторый элемент из класса JS; возьмем число N столь
большое, чтобы a1 + Ne превзошло Ьг и? следовательно, само
попало в класс В. Таким образом, числа (26) до некоторого
ах + пз включительно будут принадлежать классу А, а остальные—

14 ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
классу В, Тогда свойство РЗ' будет выполнено для данного г,
если взять
а = аг + пг, Ь = а1 + (п + 1)в. '(27)
Теперь мы покажем, что любое сечение, обладающее
свойствами PI, Р2, РЗ', также может служить для определения
действительного числа. Пусть А' и В'—классы данного сечения. Заменим
класс А' более широким классом А, содержащим не только все
элементы из А\ но и все рациональные числа, меньшие какого-
либо числа А'. Соответственно заменим класс В' более широким
классом Ву содержащим не только все элементы В', по и все
рациональные числа, большие какого-либо числа из В'.
Если расширенные таким образом классы А и В охватят все
рациональные числа, то свойство РЗ будет выполнено, и мы
получим сечение, определяющее единственное действительное число.
Если в расширенные классы вошли все рациональные числа,
за исключением одного г, то это число должно быть больше
любого элемента из А и меньше любого элемента из В. Поэтому, если
мы отнесем г к классу А, то получим сечение, определяющее
рациональное число г.
Наконец, предположим, что по крайней мере два различных
рациональных числа г и г' не вошли в расширенные классы А и В.
Пусть г' > г, тогда для любого элемента а из А и любого b из В
будем иметь:
а<г, Ъ>т'.
Отсюда
Ь — а> г' — г,
так как Ъ — а — {г' — г) = 6 — г' + (г — а) — положительное число.
Но так как г' > г, то число г'—г положительно и его можно взять
в качестве s в условии РЗ'.. Тогда мы найдем некоторое число а,
принадлежащее классу А1\ а следовательно, и классу Ау и
некоторое число 6, принадлежащее классу В', а следовательно,
и классу В9 для которых
Ь — л<з или 6 — а<г' — /·. (30)
Так как это противореча неравенству (29), то возможность
существования более чем одного рационального числа, не вошедшего
в классы А и By исключается.
Так как сечение, обладающее свойствами PI, P2, РЗ, обладает
также свойством РЗ', и всякое сечение, обладающее свойствами
PI, P2, РЗ', может быть преобразовано в сечение, обладающее
свойством РЗ, то мы обычно будем считать, что сечения,
определяющие действительные числа, обладают всеми четырьмя
свойствами: PI, P2, РЗ, РЗ'. Однако при построении сечения,
(28)
(29)

5. ОПЕРАЦИИ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ IS
·· проявляющего новое действительное число, достаточно только
доказать, что выполняются условия PI, P2 и одно из условий
К1 или РЗ'. Обычно удобнее иметь дело с РЗ'.
6· Операции над действительными числами. Пусть два
данных действительных числа ужу' определены своими сечениями
и af 6, а' у Ъ' — произвольные элементы соответствующих классов,
так что
а<у<Ь, а'<у'<Ь'; (31)
тогда сумма чисел у и у' определяется требованием, чтобы при
любых а, 6, а'9 V выполнялись неравенства
а + а'<у + у'^Ь + Ь'. (32)
Так как для обоих данных сечений справедливо свойство Р1, то
ни в одном из соотношений (31) не могут иметь места одновременно
два равенства. Следовательно, всегда a+a'<b + b\ и сечение,
для которого все суммы а + а' входят в класс А, а все суммы
i + б' входят в класс Ву обладает свойством Р1.
Очевидно, что свойство Р2 выполнено для этого нового
сечения, если оно выполнено для первоначальных сечений.
Наконец, так как свойство РЗ' имеет место для обоих
первоначальных сечений, то, каково бы ни было положительное s,
мы мощем найти пары элементов а, Ь и а', V такие, что
6-я<±£, б'_а'<1г, (33)
откуда будет следовать:
(b+b')-(a + a') = (b-a) + (b'-a')<e. (34)
Итак, наше, новое сечение обладает также свойством РЗ' и,
следовательно, определяет единственное действительное число.
Распространяя второе равенство (8) и равенства (10) на
действительные числа, мы ,можем свести умножение действительных
чисел к умножению положительных чисел. Для двух
положительных действительных чисел у η у' определим уу' требованиемг
чтобы при любых а > 0, 6, а' > 0, Ъ* из соответствующих
классов выполнялись неравенства
aa'<yy'<bb' (у > 0, у9 > 0; а > 0, а' > 0). (35)
Рассуждениями, аналогичными рассуждениям, проведенным для
случая сложения, мы можем показать, что это приводит к
сечению, обладающему свойствами PI, P2, РЗ' и, таким образом,
определяющему единственное действительное число.
Для определения операций с отрицательными
действительными числами нам нужно уметь находить сечение для —у по
заданному сечению для у. Если а и b—элементы левого и правого

16
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
классов сечения для г/, т. е. а < у < 6, то элементами
соответствующих классов сечения для —г/ будут —6 и —а, так что
-&<-2/<-я. (36)
Эти соотношения дают нам возможность определить
вычитание при помощи равенства
у'-у = у' + {-у). (37)
Для определения деления мы сначала введем число, обратное
положительному числу г/, рассматривая только положительные
элементы а левого класса А, которые мы будем 01личать
индексом р, чюбы указать, что мы ограничиваемся положительными
элементами. Определим —- условием:
τ<7<έ· {у>0' βρ>0)· (38)
Далее определим обратное для отрицательного числа:
— =.-1 (39)
и, наконец, определим деление следующим образом:
Можно доказать, что сечение, заданное соотношениями (38),
приводит к единственному действительному числу, показав, что
свойства PI, P2 и РЗ' удовлетворяются.
Определения четырех основных операций над действительными
числами, данные в этом параграфе, находятся в соответствии
с ранее выведенными нами правилами. В частности, вычитание
здесь также является действием, обратным сложению^ и деление—
действием, обратным умножению.
6. Сечения в множестве действительных чисел· Обобщая
данное выше определение, рассмотрим сечения в области
действительных чисел как любые разбиения действительных чисел на два
класса А я В9 левый и правый классы, обладающие тремя
свойствами:
R1. Каждое число в левом классе А предшествует каждому
числу в правом классе В.
R2. Каждый класс содержит хотя бы одно действительное
число.
R3. Любое действительное число попадает в рдин из этих
классов.
Эти утверждения отличаются от соответствующих определений
§ 3 только тем, что в РЗ слово «рациональное» заменено словом

6. СЕЧЕНИЯ В МНОЖЕСТВЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ A*J
•действительное» и что «число» означает здесь «действительное
число», а не «рациональное число».
Мы покажем, что сечение в множестве действительных чисед
иида порождает действительное число. Заметим прежде всего, что
разбиение действительных чисел, обладающее свойствами R1,
R2 и R3, влечет за собой разбиение рациональных чисел,
удовлетворяющее условиям PI, Р2, РЗ. Это последнее определяет
некоторое действительное число у. Для любых рациональных чисел
ах и Ьг, принадлежащих соответственно классам А и В, будем
иметь:
аг<У<Ьг. (41)
Далее, если а—любое иррациональное число, меньшее у, то имеют-*
ся рациональные числа, лежащие между а ж у. Пусть аг — одно
из таких чисел. Тогда
а < ах < у, (42)
и так как аг находится в А, то а тоже находится в А. Точно так же
всякое иррациональное число 6, большее г/, лежит в В.
Таким образом, для любых действительных чисел а из А и Ь
из В и для числа г/, удовлетворяющего соотношению (41), мы имеем:
а<у<Ъ, (43)
где может иметь место только один из знаков равенства, так как,
в силу свойства R3, у само принадлежит одному из классов.
Таким образом, сечения в множестве действительных чисел
порождают в этом множестве такие же соотношения, какие
порождают рациональные сечения в множестве рациональных чисел.
13 частности, сечения в множестве действительных чисел не
порождают новых чисел. Эти результаты выражены следующей
теоремой Дедекинда:
Всякое сечение в области действительных чисел, обладающее
свойствами Rl, R2, R3, производится некоторым определенным
действительным числом.
Применяя результаты § 4, мы можем показать, что все
заключения настоящего параграфа остаются в силе, если заменить R3
условием R3':
R3'. Для любого положительного действительного числа з
можно найти такое число а из класса А и такое число Ь из класса
В, что Ь—а не превосходит е.
Это свойство, дословно повторяя свойство РЗ', по существу
отличается от РЗ' тем, что α и 6, упоминаемые в R3', могут быть
иррациональными; однако не трудно показать, что если
найдутся такие иррациональные значения, то можно найти также
рациональные а и Ь такие, что Ь*—а не превосходит е.

»
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
7. Геометрическое изображение действительных чисел. Возьмем
прямую линию, бесконечно простирающуюся в обе стороны;
поставим в соответствие точкам этой прямой действительные
числа^координаты этих точек—по следующему закону:
выберем на прямой какую-нибудь точку, отметим ее значком 0 и
назовем ее «началом». Выберем положительное направление на этой
прямой и отметим точку, находящуюся на расстоянии единицы
масштаба от начала в выбранном направлении, значком 1.
Повторяя эту операцию, получим точки, соответствующие числам 2, 3
и другим положительным целым числам. Точки по другую
сторону начала, отмеченные подобным же образом, будут
соответствовать отрицательным целым числам. Мы будем считать
(фиг, 1) направление вправо от начала положительным, а вдево—L
■ * * * ' « '
•i -г ^ о'А ι ϋ 2 з
Фиг, 1
отрицательным и будем иногда употреблять термины «левое» н
«правое» направление вместо отрицательного и положительного.
Продолжая наше элементарное геометрическое построение, можно
най1и на прямой точку, соответствующую любому рациональному
числу. Мы примем в качестве геометрического предположения,
что и каждому иррациональному числу соответствует точка на
прямой, которая разделяет точки с рациональными координатами
таким же образом;, как иррациональные числа разделяют рацир-
нальные числа. Тем самым мы предполагаем, что каждая точка
прямой обладает единственной действительной координатой.
Такая геометрическая интерпретация будет полезна в
дальнейшем. Имея ее в виду, мы будем кратко говорить «рациональная
точка» и понимать под этим точку,с рациональной координатой;
мы будем употреблять также выражение «точка аь вместо «точка
с координатой а».
Под числами х, или точками χ из интервала а,6, где а < 6,
мы подразумеваем точки, лежащие* внутри интервала с
конечными точками а и Ь, т. е. числа х, удовлетворяющие соотношению
а < χ < 6. (44)
Если мы хотим подчеркнуть, что концы интервала а и Ь ему не
принадлежат, мы употребляем выражение «точки открытого
интервала аМ или, короче, «интервала а,Ь>>, что означает:
«точки xf которые удовлетворяют соотношению (44)». Если ши
хотим включить и конечные точки а и 6, мы говорим «точки
замкнутого интервала а,Ь> или сегмента а,6», подразумевая те

8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОНКИ
19
тчки х, которые удовлетворяют соотношению*):
я<з<6. (45)'
8. Предельные точки. Любое множество действительных чисел
шли множество соответствующих им точек на прямой называется
точечным множеством. Точечное множество может состоять как
из конечного, так и из бесконечного числа точек. Оно может'
содержать целые интервалы или сегменты и, в частности, может
состоять из-всех точек координахной оси.
Рассмотрим некоторое множество точек S и точку ху соот-*
ветствующую действительному числу х9 которая принадлежит
или не принадлежит S. Если во всяком открытом интервале,
содержащему, содержится по крайней мере одна точка из S,
отличная от ху то χ называется предельной точкой множества S. Отсюда
следует, ^то всякий открытый интервал, содержащий х,
содержит бесконечное множество точек S. Действительно, пусть
допредельная точка для S, и открытый интервал а, Ь содержит х»
Если уг — точка из S, лежащая в этом интервале и отличная от хг1
то χ содержится в одном из открытых интервалов а, ух или у19 Ь.
Тогда этот интервал содержит другую точку у2 из 'S, отличную
от х. Повторяя этот процесс, получим последовательность точек
Уг> Ул^ Узу · · · у каждая из которых отлична от χ и от всех
предыдущих.
Предельная точка множества может принадлежать или не
принадлежать самому множеству* Например, для множества*
состоящего из чисел
1; 0,9; 0,99; 0,999;..., (46)
число 1 служит предельной точкой, и 1 есть точка этого множества.
С другой стороны, множество, состоящее из чисел
имеет нуль предельной точкой, и нуль этому множеству не
Принадлежит.
Так как каждый открытый интервал содержит рациональные
точки, то для множества S, состоящего из всех рациональных1
точек открытого интервала а9Ъ9 все точки замкнутого интервала
а,Ь будут предельными то%ками.
#· Теорема Больцано—Вейерштрасса. Так как каждый
открытый интервал, содержащий предельную точку множества 5, содер*
*) Мы будем ийогда употреблять слово «интервал», подразумевая под
эти№' открытый или замкнутый интервал. Οιοβο «сегмевт» всегда будет
означать замкнутый интервал. (Прим. ред.)

£0
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ ЧИСЛА
жит бесконечное, множество различных точек из S, то-
множество, содержащее только конечное число точек, не может иметь
предельных точек. Множество может содержать бесконечное
число точек, не имея, однако^ предельных точек. Примером этого
может служить множество, состоящее из положительных целых
чисел. Теорема Больцано—Вейерштрасса утверждает, что этот
улучай невозможен, если вдшжество может быть заключено в
некоторый конечный интервал:
Для каждого бесконечного точечного множества, лежащего
в конечном интервале, по крайней мере одна точка,
принадлежащая этому интервалу или являющаяся одним из его концов, будет
предельной.
Для доказательства рассмотрим бесконечное множество S^
лежащее в некотором конечном, пусть в замкнутом, интервале
а, 6. Определим сечение в множестве действительных чисел
следующим образом: к классу А отнесем а и все другие числа х,
такие, что не больше, чем конечное число точек из S имеют
координаты, меньшие х. К классу В отнесем Ь и все другие числа х\
такие, что имеется бесконечное число точек из S с координатами
меныдими х'.
Это сечение, удовлетворяет условиям Rl, R2, R3 (см. § 6),
и, следовательно, до теореме Дедекинда, оно определяет некоторое
действительное число, которое мы обозначим через у% Если
теперь х,х' есть произвольный открытый интервал,
содержащий у, то χ принадлежит классу А, а х' —классу J5.
Следовательно, имеется бесконечное число точек из S с координатами,,
меньшими χ', из которых только конечное число может иметь
координаты, меньшие- х.: Следовательно/ в открытом
интервале х,х' содержится бесконечно много точек из, S. Таким
образом, в этом интервале имеется по крайней мере одна точка mho-i
жества S, отличная от у. Следовательно, у есть предельная точка
множества S.
Метод доказательства показывает, что нет ни одной
предельной точки, лежащей левее у. Еслц бы мы отнесли к классу А все
такие числа, что бесконечное число точек S имеет координаты
большие, чем каждое из этих чисел, а к классу В все такие числа,
ч;то только конечное число точек '$, имеет большие крординаты,
чем каждое из этих чисел, то мы бы нашли предельную точку у*'
(может быть, совпадающую с у), такуй, что правее ее не было 6pt
ни одной предельной точки. Мы доказали следующее:
Всякое бесконечное множество точек, лежащее в конечном
интервале, имеет самую левую и самую правую предельные точки.
10. Границы. Если непустое точечное множество,, лежащее
в конечном интбрвале, содержит только конечное число точек,
то оно непременно имеет самую левую и самую правую точки.

10, „ГРАНИЦЫ
21
Так как эти точки имеют наименьшую, и, соответственно,
наибольшую координаты из всех точек данного множества, мы будем
называть их также наименьшим.и, соответственно, наибольшим
элементами множества.
Если точечное множество S, расположенное на конечном
интервале, содержит бесконечное число элементов, то оно имеет,
вследствие результатов предыдущего параграфа, самую левую
предельную точку у и самую правую предельную точку у\ Мно^
,жества.6\может цметь точки,, лежащие левее у, а может их и не
иметь. Если оно имеет точки, лежащие лев,ее г/, и хг есть одна из
таких точек, то существует лишь конечное число точек S,
лежащих левее хг, и самую левую из них назовем Вг. Если левее у
нет точек из Sb то положим Вг равным у. В обоих случаях точка
Вг называется нижней гранью множества S.
Если в S .имеются элементы, лежащие влево от у, или если само
В%, явдяется -элементом S, то Вг есть наименьший элемент в S.
Если у не входит в S, и в S нет элемецтов> лежащих левее у, то
S не имеет наименьшего элемента. Нижняя, грань В1 всегда
обдадаёт, тем свойством, что Левее ее нет ни одного элемента из
S± но всякий замкнутый интервал В19с с левым концом Вг
содержит по крайней мере одну 'точку χ множества S. Действительно,
если Вг есть точка множества S, мы можем ее принять за х. Если
жеч множество S не имеет наименьшего элемента, то в интервале
Вг;с всегда будут лежать точки этого множества, ибо в этом
случае ^1 есть предельная точка множества, а левее Вг нет ни
одной точки из S.
ι ) чТаким образом, Вг есть точка с наибольшей координатой,
^акая, что левее ее нет ни одной точки множества S.
, Мы назовем точечное множество S ограниченным снизу, если
существует некоторая точка на Прямой, лежащая левее всех точек S.
Любая точка, лежащая левее всех точек множества, называется
нижней границей множества» Если а.еоть какая-нибудь нижняя
граница множества £, а хг—некоторый элемент из S, то мы
можем образовать новое множество *S", беря все точки х', лежащие
в S, и такие, что а<х' <£.хг* Так как S' лежит в конечном
интервале, то мы можем найти его нижнюю грань Вг. Это будет
наибольшее число, не превосходящее любое из х* и,
следовательно, наибольшее число, не превосходящее координаты любой
точки из S.
Мы могли бы оставить формулировки этих результатов в
терминах коордидат точек. Однако мы их сформулируем и не
прибегая к геометрии.
Нижней границей Множества чисел называется любое число,
не превосходящее каждого из чисел этого множества.
Множество чисел называемся ограниченным снизу, если оно
имеет нижнюю границу.

22
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Множество чисел, содержащее по крайней мере один элемент
и ограниченное снизу, имеет нижнюю грань.
Мы определим верхние границы аналогичным образом и
получим для них аналогичные результаты:
Верхней границей множгства чисел называется любое число,
которое не можзт быть превзойдено ни одним из чисел множества.
Множество чисел называется ограниченным сверху, если оно
имеет верхнюю границу.
Множество чисел, содержащее по крайней мере один элемент
,и ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.
11. Теорема Гейне—Бореля о покрытиях. Мы перейдем сейчас
к изложению одной важной теоремы относительно систем
интервалов. Пусть / означает какое-нибудь множество интервалов на
прямой. Этих интервалов может быть бесконечное число, и они могут
перекрываться друг с другом. Нам безразлично, будут ли эти
интервалы включать своц концы или нет, но для
определенности предположим, что интервалы открытые.
Пусть С означает некоторый замкнутый интервал а,Ь,
обладающий по отношению к интервалам множества / следующим
свойством: для всякой точки # из С, т. е. для всякой точки х,
удовлетворяющей соотношению
а<ж<6, (48)
мы можем найти интервал из /, имеющий χ своей внутренней
точкой, например интервал
у<х<у'. (49)
При этом.может оказаться, что одна и та же точка χ служит
внутренней точкой нескольких, может быть, даже бесконечно
многих, интервалов /.
В этих условиях мы будем говорить, что множество
интервалов / покрывает основной интервал С или что множество
интервалов / образует покрытие ицтервала С.
Теорема Гейне—Бореля утверждает:
Если бесконечное множество интервалов I покрывает
некоторый замкнутый интервал С, то из этого множества можно
выбрать конечное число интервалов, покрывающих весь замкну-
тый интервал С.
Для доказательства этой теоремы назовем точку с из
интервала С достижимой, если замкнутый ицтервал а,с может быть
покрыт конечным числом интервалов из множества. Такие точки
существуют, ибо точка а сама лежит в* некотором интервале
из / и любая точка этого интервала, лежащая правее а, будет
достижимой. Если с—достижимая точка, то любая точка между
а и с будет также достижимой.

ί2. ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА ^
Множество всех достижимых точек расположено на
конечном интервале и поэтому имеет верхнюю грань В2. Так как Ь
есть верхняя граница для всех точек из С, то она будет также
верхней границей для всех достижимых точек из С. Поэтому
или В2 < 6, или В2 = Ь.
ПТ) llil Lj j—lJL
* ϊ *ί вг % у;
Фиг. 2
Предположим, что имеем первый случай, В2 < 6. Тогда, так
как В2 является точкой из С, то она лежит в некотором
интервале 1г,
У г < х < Уг, (50)
жз системы интервалов /, покрывающей С (фиг. 2).
Вследствие свойств В2 как верхней Грани достижимы* Точек,
существует по крайней мере одна достижимая точка (назовём
θθ ci)t Удовлетворяющая условию
уг<сг<Вш, (51)
но ни одна точка с2> такая, что
В2<с2<у[, (52)
уже не будет достижимой.
Но это невозможно, ибо конечное число интервалов,
Покрывающее замкнутый интервал а, с19 покрывает вместе с 1г
некоторый замкнутый интервал а, с2, правый конец которого с2
оказывается достижимой точкой^ Это противоречие исключает
возможность неравенства В2 < 6.
Пусть В2 = 6; тогда подобными же рассуждениями
показывается, что В2 сама достижима, и мы можем покрыть весь
интервал а, Ь конечным числом интервалов из множества /, что
доказывает теорему.
Мы можем несколько изменить значение термина «покрытие»?
отбрасывая все части интервалов /, лежащие вне основного
интервала С, и только потребовав, чтобы точка а была левым
концом, а 6—правым концом некоторых интервалов из / и чтобы
эти интервалы из / были замкнутыми· Доказательство для этого
случая будет вполне аналогичным предыдущему.
%%* Заткнутые множества» Предельные точки тачечного
множества могут и не принадлежать множеству. Мы назовем
множество точек замкнутым, если оно содержит все свои предельны*

24
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
точки, Таким образом, сегмент представляет собой
простейшей пример замкнутого множества.
Так как нижняя грань любого точечного множества является
пли самой левой точкой этого множества, или его самой левой
предельной точкой, то нижняя грань замкнутого множества
непременно принадлежит этому множеству и является его самой
левой точкой. Таким образом, замкнутое множество,
расположенное на конечном интервале, имеет самую левую и самую
правую точки.
Теорема предыдущего параграфа остается в силе, если мы
заменим замкнутый интервал С некоторым замкнутым
множеством, лежащим на конечном интервале. Если каждая точка
множества S является внутренпей точкой какого-нибудь
интервала из некоторого множества интервалов /, то мы будем говот
рить, что это множество интервалов / покрывает множествр
ТО^ек S. Обобщенная теорема читается так:
Если бесконечное множество интервалов I покрывает
замкнутое точечное множество S, лежащее на конечном интервале^
то из множества I можно выбрать конечное чщло интервалов,
покрывающее это, замкнутое множество S. ,
Пусть а и b — концы того конечного интервала (фиг. 3), на
ΪρτρροΜ лежит множество S, и пусть с—середина этого интервала.
1ы можем тогда образовать два новых замкнутых множества S'
из всех точек множества S, лежащих в замкнутом] интервале а, с>
и S" из всех точек множества S, лежащих в замкнутом
интервале с, Ь. Если утверждение теоремы справедливо для каждого
из этих множеств, то оно будет справедливо и для S, ибо,
объединив о0а конечных, подмножества интервалов и считая общие
интервалы только один раз, мы получим новое конечное
подмножество, покрывающее S. Поэтому, если теоредоа неверна для S,
то она будет неверна или для S', или для 5", или для них обоих.
Если она неверна и для S* и для S", то возьмем S'\ в противном
случае возьмем то из множеств " S' или £", длд которого
теорема неверна. Для определенности обозначим то множество,
для которого теорема неверна, через Sv а концы того
интервала длины -^— , на котором лежит это множество, обозначим
*дерез аг и Ьг.
Повторив этот процесс, возьмем то.чку сг посредине
интервала av bx и получим таким же образом множество 5?, лежащее
на интервале а2, Ь2 длины -γ—, для которого теорема неверна:
Продолжая далее, получим последовательность множеств Sny
лбжащих на ийтерваЛах ап, Ьп, длины -^ , для каждого иэ
которых, эта теорема неверца.

12. ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
25
Так как любое конечное число точек из S можно покрыть
конечным подмножеством интервалов /, например, поместив
каждую точку в отдельный интервал /, то каждое из множеств Sn
содержит бесконечно много точек. Тогда мы можем выбрать
в St точку slt в S2—точку s2> отличную от s19 и т. д. Множество
точек slt s2, .. ., sn, ..., будучи бесконечным и расположенным
на конечном интервале, имеет по крайней мере одну предельную
__i 1 1 | 1 |
а с s
о, с
а2 с, д,
Фиг. 3
точку s. Так как все sn лежат в S, и S есть замкнутое множество,
то предельная точка s тоже лежит в S. Точка s является
внутренней точкой некоторого интервала /0 из множества интервалов /:
y<s<y\ (53)
Если бы точка s лежала вне некоторых интервалов ап, Ьп9 то
интервал, содержащий s и не пересекающийся с интервалом ат, Ьт>
не содержал бы ни одной точки sn с индексом, большим чем ту
и$ не могла бы быть предельной точкой для srt. Это доказывает,
что точка s лежит в каждом интервале ап9 Ьп, так что
<*л<*<Ьп. (54)
Отсюда и из (53) следует,-что
У<ап<Ьл<у\ (55>
если η достаточно велико. В самом деле, так как
Κ — αα^-^ψΓ* (56)
то эта, разность может быть сделана меньше любого
фиксированного положительного числа, если взять η достаточно большим.
Тогда, в частности, для некоторого значения η будем иметь:
Ьп — *п<У'—*> bn~an<s-y. (57>
Но для этого η справедливы неравенства (54), и можно написать,
aw<s, — 6n<— s. (58):
ДОз (57) и (58) следует, что
К<У'> —<*п<—У> т· е· У<ап- (59>
Так как Ь > а, то (56) показывает, что Ьп > аЛ* и тогда из (59>
получим неравенства (55).
Ь

-26
ГЛАВА I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ ЧИСЛА
Но неравенства (55) означают, что интервал ап, Ьп покрыт
интервалом/0. Тогда множество £п, лежащее на этом интервале,
покрывается одним интервалом /0, и предположение, что наша
теорема неверна для S, а следовательно, и для Sn, приводи*
к противоречию. Итак, множество S может бъпь покрыто
конечным числом интервалов /, и обобщенная теорема о покрытии
таким образом доказана.
13. Случай двух измерений. Определения. Поставим в
соответствие 'точкам: плоскости пары действительных чисел,
воспользовавшись для этого двумя перпендикулярными прямыми—осью χ
и осью у. Точку пересечения этих прямых примем за начало
ютсчета на обеих прямых. Тогда каждая точка плоскости имеет
проекции на каждую ось, определенные перпендикулярами,
опущенными из этой ι очки на данные оси, или отрезками,
параллельными осям. Если на соответствующих осях координаты
проекций данной точки равны χ и у, то мы будем говорить, что
Эта точка имеет на плоскости координаты (х, у), или, короче,
является точкой (х, у). Вследствие нашего предположения о
соответствии между точками прямой линии и. действительными
числами, каждая точка плоскости будет определять, таким
образом, пару действительных чисел, задаваемых в определенном
йорядке, и, обратно, каждая пара чисел, заданных в
определенном порядке, будет определять точку на плоскости. Назовем
точки, координаты которые удовлетворяют неравенствам
а<х<Ь, c<y<d, (60)
точками открытого двумерного интервала a,b\c,d\ мы будем
опускать в дальнейшем слово «двумерный», когда это будет ясно
из текста.
Если мы включим градичные точки в такую прямоугольную
область, мы будем говорить о замкнутом двумерном
интервале a,b; c,d. Это будет означать, что речь идет о точках,
координаты которых удовлетворяют соотношениям
а<#<6, с<г/<й. (61)
Всякая совокупность точек на плоскости называется
точечным множеством. Точка (х, у) будет предельной точкой
множества s9 если всякий открытый двумерный интервал на плоскости,
содержащий (х, у), содержит по крайней мере одну точку
множества S, не совпадающую с (х, у). Так же как и в случае одного
измерения, отсюда следует, что такой интервал должен
содержать тогда бесконечное число точек из S.
Множество точек называется замкнутым, если все его
предельные точки принадлежат ему.

14. ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЙ
*7
14· Теоремы для случая двух измерений. Мы можем
распространить на случай двух измерений теорему Больцано—Вейер-
штрасса в такой формулировке:
Для каждого точечного множества, лежащего в конечном
двумерном интервале и содержащего бесконечно много точек,
по крайней мере одна из точек интервала или его границы будет
предельной.
Для доказательства положим, что множество S лежит в
замкнутом двумерном интервале а, Ь; с, d. Разделим его на четыре
замкнутых двумерных
интервала, деля пополам одномерные а\ ,^^^..^
сегменты а, Ъ и с, d точками I I 1 J
ей/ (фиг. 4). Четыре новых
замкнутых интервала с разме- * Л I 1
рами-^, -^ будут: a9e;f,d; Π W—
e,b;ftd\ a,e;c,f; e,b;c,f. Вы- с с, — —
берем и обозначим через Дх 1 | 1 1 I
тот из них, который^ содержит ~Щ * **|
бесконечно много точек из S * '
(хотя бы один из новых интерва- фш· 4
лов должен обладать этим
свойством; если им обладают не один, а более, то выберем тот,
который идет первым по порядку, в котором эти интервалы
выписаны). Изменим обозначения некоторых из точек а, а, с, ·.. так,
чтобы Rx был интервалом а19Ьг\с19ах. Часть множества S,
попавшую в Rl9 обозначим через Sx. Поступая с множеством Sx
и с замкнутым интервалом R1 так, как мы поступили с исходным
множеством S и с исходным интервалом a,b;c,d9 получим
множество ,iS2, содержащее бесконечно много точек и лежащее
в замкнутом интервале R2 = a2,b2\c2,d2 с размерами ^7^,
—ζ— · Продолжая деление таким же способом, получим
бесконечную последовательность множеств Sn9 лежащих в замкнутых
интервалах Ял=а;г,6п;с.г,<2л с размерами Ь-^г f *^A Каждое
из множеств Sn будет содержать бесконечно много точек из S.
Рассмотрим теперь точки на оси χ с координатами ап. Если
таких точек бесконечное множество, то рассуждения,
примененные в § 12, приводят к тому, что существует предельная точка s,
содержащаяся во всех сегментах αΛ,6Λ. Если же существует
только конечное число различных точек ап> то из самого метода,
которым они были получень!, вытек&ет, что все ап, начиная с
некоторого номера и, будут совпадать. Если общее значение таких ап
обозначим через sr то все сегменты ап,Ьп будут содержать s.

•28
ГЛАВА I* ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Подобным же образом можно найти точку t на оси у, которая
будет или предельной точкой для сп> или будет совпадать со
всеми сп, начиная с некоторого. В обоих случаях t будет
содержаться во всех, сегментах са9 dn>
Точка (s, t) будет принадлежать всем двумерным замкнутым
интервалам Rn. Но размеры Rn будут -^, -^ и могут быть
сделаны меныце любого заданного положительного числа * если
взять η достаточно большим. Поэтому всякий открытый
двумерный интервал, содержащий точку (s9 t), будет содержать
какой-либо из интервалов Rn, а следовательно, и заключенное
в Rn множество Sn. Так как Sn содержит бесконечное число
точек из 5, то по крайней мере одна из них будет отлична от
(s, t). Таким образом, точка (s, t) будет предельной точкой
множества S. Это доказывает теорему.
Мы можем также обобщить на Случай двух измерений
теорему Гейне—Бореля. В случае двух измерений выражение
«множество интервалов / покрывает множество точек S» означает,
что всякая точка S является внутренней точкой некоторого
двумерного интервала из множества I,
Мы сразу перенесем на двумерный случай обобщенную
теорему о покрытии из § 12, ибо эта теорема включает в себя
теорему § 11 ,как частный случай. Формулировка этой теоремы
следующая:
Если бесконечное множество двумерных интерваловI покрывает
некоторое замкнутое точечное множество S, лежащее в конечном
двумерном интервале, то из множества интервалов I можно выт
брать конечное число интервалов, покрывающее множество S.
Для доказательства выберем двумерный интервал a,b\c,d¥
содержащий множество Sy и разделим его на четыре. Двумерных
интервала, с размерами .-у- , --ψ- * деля пополам одномерные
интервалы а, Ъ и с, d.
Тогда, если теорема неверна для множества 5, т. е. S нельзя
покрыть конечным числом интервалов /, то она будет неверна
хотя бы для одной из частей множества S, попавших в эти новые
двумерные интервалы. Обозначим такую часть множества S
через Sl9 а содержащий ее интервал,—изменив^, если нужно, обо*
значения граничных точек, через Rx = a1,61;c1,d1. Множество Sx
должно содержать бесконечно много точек, так как иначе его
можно было бы покрыть конечньш числом интервалов /.
Повторяя деление, получим последовательность множеств Sni,
лежащих в интервалах Rn = an9bn\cn9dn с размерами -^г ,
d-c
-*-ψΓ , для каждого из которых теорема неверна.

15. ЕОДЬШЕЕ ЧИСДО ИЗМЕРЕНИЙ
29
Так как каждое из множеств Sn содержит бесконечно много
точек, то мы можем в каждом Sn выбрать точку (хП9 уп) таким
образом, чтобы в последовательности {хгГ уг) (#2, у2), ..., (хп, Уп),···
ни одна точка не совпадала с какой-либо предыдущей (ср. с дока-
вательством теоремы в § 12). Множество точек (хп, уп) как
бесконечное множество, лежащее в конечном интервале, имеет
предельную точку (х, у)г принадлежащую S* так как £ч-замкнуто<Е!
множество. Следовательно, она является внутренней точкой
некоторого интервала /0 из множества /, так как / покрывает S.
Но так как внутри всякого интервала Rn находятся все точки
(хп,Уп)> за исключением конечного числа, то предельная точка
(я,у) должна находиться внутри всех Лл. А так как размеры
интервала Rn, равные -*ψτ ϊ "^~» ПРИ Достаточно большом η
могут быть сделаны меньше любого заданного положительного
нисла, то интервал /0 будет содержать Rn. Тогда он будет содерг
жать и соответствующее множество Sn. Таким образом, множег
ство S* оказывается покрытым одним интервалом /0, что
находится в противоречии с предположением, что теорема неверна
для S. Тем самым теорема о покрытии для случая двух
измерений доказана.
15. Большее число измерений. Мы можем рассматривать
некоторое число к одномерных шкал—осей х19 х2, ...,#*.
Мы продолжаем йрименять геометрический способ
выражения, называя систему к действительных чисел X = (х17 χ2ψ ..►, хк)
точкой пространства к измерений, не делая попыток изобразить
ее графически, если к больше 3. Определения § 13 легко
распространяются на случай к измерений. Так, неравенства
at < xt < bv i = 1, 2, ..., ft, (62)
определяют открытый Α-мерный" интервал, а неравенства
я4 <#*<£(, i = i, 2, ..., ft, (63)
— замкнутый ft-мерный интервал.
Определение точечного множества остается без изменения,
а в определении предельно^: точки и покрытия следует только
читать «ft-мерный» вместо.«двумерный», В остальном определения
остаются без изменения.
Теоремы § 14 остаются в силе, если заменить слово
«двумерный» словом «Λ-мерный», а методы доказательств претерпевают
лишь небольшие изменения.
Так как : интервалы, которые мы применяем, ограничены
(к—1)-мерными плоскостями, 'параллельными некоторым осям,
то наши результаты могут зависеть от направления осей. Однако

30
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ% Ι
вместо интервалов мы можем применять &-мерные сферы Kf
заданные неравенствами вида:,
к
2 (*,-*,)·<**; (64)
точка С = (с/, с2,..., ск) называется центром сферы К, число г —
ее радиусом. Справедливость теоремы о покрытии в этом случае
следует из того, что всякая сфера К, для которой X есть
внутренняя точка, содержит некоторый интервал /, для которого X
также является внутренней точкой. Аналогично, всякий
интервал /, содержащий X в качестве внутренней точки, содержит
некоторую сферу, для которой X также является внутренней
точкой.
При этом Ρ называется внутренней точкой точечного
множества в ft-мерном пространстве, если некоторая ft-мерная сфера
с центром в Ρ целиком содержится в этом точечном множестве.
Открытой k-мерной областью называется точечное множество
в й-мерном пространстве, каждая точка которого является
внутренней. Теорема о покрытии остается в силе, если мы вместо
покрывающих интервалов возьмем й-мерные открытые области
произвольной формы.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 1
1. Применяя метод математической индукции, доказать что для целых
■оложительных значений η
(а + Ъ)п=ап + па*>-1Ъ + . , . + С^а^Ь' + . . , + 6П,
где
■ п{%-\)(п-2) . . . (п-г+1)
V/t~ 1-2.3... г
2. Доказать, что
2/></>+i)</>+^
8. Пользуясь результатом задачи 2 и применяя метод индукции по ж,
показать, что если Ρ (χ) есть многочлен степени т относительно х9 то
сумма
P(1) + P(2)-b...-fi>(*)
есть многочлен степени т -f 1 относительно п,
4. Доказать правило сокращения рациональных дробей:
тЪ ~~ Ъ

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ, J
3t
6. Показать, что всякая положительная рациональная дробь может*
быть выражена в виде отношения двух взаимно простых целых чисел,,
т. е. чисел, не имеющих общих делителей, за исключением единицы.
в. Пусть а, 6, а'у У, т, η — положительные целые числа и аУ <а'Ь..
.. та-{-па' таУ + па'Ъ
Доказать, что —т-т—г> и -,—-—^^гг — рациональные числа, лежащие
то -+- по {т ·+- п) оо
между а/Ъ и а'/У.
7. Доказать, что принятое правило знаков при действиях с
отрицательными числами является единственным, согласующимся со свойствами!
нуля и с дистрибутивным законом умножения. Указание. Применить соот-.
ношения 6 — 6 = 0, α (fc — fc) = 0, ab + a(— δ) = 0, α( — 6)= — аЪ.
8. Доказать, что если а Ф 0, то ни одно число χ не определяется соот·*
ношением «==-—t понимая под этим, что χ·0 = α, тогда как если а = 0к
то всякое число χ удовлетворяет последнему соотношению. Поэтому
мы и не определяем деления на нуль.
9. Доказать, что если Ъ и У — положительные целые числа, то -jr <jp.
тогда, и только тогда, когда аУ < а'Ъ.
10. Доказать, что если а <Ь и с< d, то а + с<Ь + ^ и a- d <b — с.
11. Доказать, что для любых двух положительных рациональных чи--
сел а и Ь можно найти такое целое число Nt что Να > Ь.
12. Докавать, что множество чисел атп, в которых индексы т ж ш
принимают все положительные целые значения, счетно.
13. Пусть α (%, 7i2, ..., nk) зависит от конечного числа переменных,
каждое из которых принимает все целые положительные значения; пока-
аать, что множество значений a (nlt п2 щ) счетное. Указание. Примеч.
нить метод математической индукции и результат задачи 12.
14. Предполагая, что ни одно рациональное число не имеет своим
квадратом 2, показать, что следующие условия определяют сечение,
обладающее свойствами Р1, Р2, РЗ (§ 3): χ принадлежит классу Л, если χ < 0
или х2 < 2, их принадлежит классу 2?, если χ > 0 и х2 > 2.
15. Проверить, что числа 1 и 1,4 принадлежат классу 4, а 2 и 1,5-
классу В для сечения, определенного в задаче 14.
1$. Показать, что если ρ и #—взаимно простые числа, то p2/q2 — несо*·
кратимая дробь. Пользуясь этим, доказать, что ни одно целое
положительное число, не являющееся полным квадратом, не имеет рационального
квадратного корня. При этом предположить известной теорему о том, что
всякое положительное целое число может быть единственным образом
разложено на простые множители.
17. Сформулировать и доказать аналогичную теорему о корне n-ft
степени из целого положительного числа.
18. Доказать, что если рациональное число χ равно несократимой,
дроби р/д и удовлетворяет уравнению *·
аахп -f a^jx7^1 И- ... + агх + а0 = 0,
где все коэффициенты являются целыми числами, причем ап и а0 не равны
нулю, то ρ является делителем e0, a q — делителем аа (Гаусс).
19. Показать, что уравнение 4ж8 — 12#2 — ж + 3 = 0 имеет три
рациональных корня, и найти эти корни. Показать также, что уравнение ж3 + 4ж 4-
4-1 = 0 не имеет рациональных корней. Указание. Применить результат^
вадачи 1&. .
20. Показать, wr© если*0,9; 0,99; 0,999, ... все принадлежат классу А,-
а 1.1; 1,01; 1,001, .. .—классу В, то сечение.определяет рациональное число Ъ
21. Показать, что если 0,3; 0,33; 0,333 ».. принадлежат классу А,
а 0,4; 0,34; Q,334, ...—классу В, то сечение определяет рациональное число V8*'

32
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. I
22. Для сечения, определяющего Ϋ2, найти рациональные числа
а и Ъ соответственно в классах А л В, отличающиеся друг от друга
меньше, чем на 0,1.
23. Для сечения, определяющего γ% , найти два рациональных числа
а и Ъ соответственно в классах А и В, отличающиеся друг от друга
меньше, чем на 0,1.
24. Применяя тождество ЪЪ' — аа'— а(Ь* — а')+ 6' (Ь— а), показать, что
.если&1 — а( < — , где ^ — некоторый элемент класса А, и Ь1—а1< -^ ,
то Ъ1Ь[--ага,1 < s. Это доказывает, что сечение, которым в § 5 определено
лроизведение уу\ обладает свойством РЗ', При доказательстве
предположить ужу* положительными и взять положительные аг и а[.
25. Показать, что если у > 0 и δ — α< εα2, где α — некоторое положи-
1 1
тельное число из класса Л, то —■*—-=-< е. Этим доказывается, что сече-
а о
\
ние, которым в § 5 определяется —, обладает свойством РЗ'.
1
26. Вывести из определений, что г/· — = 1-
27. Вывести из определений, что у + ( — у) = 0.
28. Если | у | — абсолютная величина г/, т. е. \у\ равно у, если у!>0,
«ι равно —г/, если у < 0, то показать, что |ж + у|-<|а| + |у|.
29. Впишем в круг единичного радиуса и опишем вокруг него
правильные я-угольники. Обозначим через I\, периметр вписанного, а через С,ь —
.периметр описанного я-угольника. Доказать, что если числа 1„ отнести
к классу Л, числа Сп~к классу В, то свойства Pi, P2 и РЗ' будут
выполнены. Число, определенное этим сечением, будет 2π.
30. Показать, что 0 и 1 являются предельными точками множества
1 , η
чисел — ± к—т~Т и что ДРУГИХ предельных точек у этого множества нет;
η принимает все целые положительные значения.
31. Показать, что всякое число χ в замкнутом интервале 0 <i ж <! 1
является предельной точкой множества точек ^, где η — любое
положительное целое число, а Ъ — любое нечетное положительное целое число*
менынеэ 2П.
32. Пусть у — произвольное иррациональное число; возьмем множество
дробных частей чисел пу для всех целых значений п. Доказать, что
-любое число χ в замкнутом интервале 0О<;1 служит предельной
точкой этого множества. Указание. Из, любых iV-j-l точек этого множества
какие-нибудь две, —пусть это будут дробные части чисел п'у и п"у, —
непременно окажутся на расстоянии, меньшем Ι/,/V друг от друга. Тогда
дробные части чисел к (п" — п') у, где к — целые, будут располагаться
на интервале 0 <1 χ <^ 1 так, что хотя бы одна из них попадет внутрь всякого
интервала длины Ι/iV, лежащего в0<ж<1.
83. Показать, что 0 является нижней гранью, а 1 — верхней гранью
всех трех множеств из задач 30, 31 и 32.
84. Показать, что теорема Гейне—Бореля не применима к интервалу
1 2
О < χ < 1, если интервалы I будут вида — < χ < — , где η — целые
положительные числа, но теорема становится применимой, если к интервалам/
присоединить какой-нибудь интервал, левым концом которого служит точка 0Г·
.например интервал 0<ж<-~ при каком-нибудь, значении Д.

Глава II
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Теперь мы перейдем к вопросу о функциональной
зависимости одного действительного переменного от другого. 1Мьк
рассмотрим различные способы стремления переменного к пределу
и связанное с ними понятие непрерывной функции. Затем мы
изучим некоторые следствия из свойства непрерывности.
16· Функции. Мы называем у функцией от χ и пишем */ = /(#),
если для каждого значения ху принадлежащего некоторому
множеству, определено одно или несколько значений у. Мы
называем множество значений χ областью изменения переменного х.
Если каждому значению χ соответствует только одно значение у,
то функция называется однозначной. Мы называем χ
независимой переменной, у—зависимой переменной. В этой главе
значения χ и у будут всегда действительными числами*
17· Пределы. Мы хотим теперь рассмотреть независимую
переменную t с некоторой специальной областью изменения и,
несколько других переменных а, 6, ..., каждая из которых есть
функция от t. Область изменения t будет всегда содержать
бесчисленное множество значений, которые мы будем
рассматривать последовательно, т.-е. которые мы считаем упорядоченными.
Эти значения, взятые по порядку, могут изменяться скачками
или непрерывно. Например, значениями t могут быть: 1, 2, 3; . . .
или 1, */2, 1/8, .... В этом случае t образуют дискретную
последовательность. В другом случае t может пробегать по порядку
все точки открытого интервала, например возрастать от 0 до 1,
принимая все промежуточные значения. Или же t может
возрастать от 0, принимая все положительные действительные
значения, или убывать от 0, принимая все отрицательные
действительные значения, В этих случаях значения t образуют
непрерывную последовательность.
Мы будем писать at вместо a(t)9 чтобы показать, что мы
рассматриваем однозначную переменную а, определенную для
некоторой, дискретной или непрерывной, последовательности
значений £*). Мы будем говорить, что
*) Подчеркнем еще раз, что под словом последовательность автор
понимает упорядоченное множество чисел, не умеющее последнего по
порядку элемента, как это показывают приведенные примеры, В даль-

34 ГЛАВА И. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Переменная at стремится к конечному пределу А, если,
начиная с некоторого из последовательных значений t, разность между
Of и А по абсолютной величине становится и остается меньше
любого данного положительного числа.
Мы пишем в этом случае
limaf = il. (1)
Обозначая абсолютную величину действительного числа с
через J с \, так что | с | = с, если с > 0, | с] = — с, если с < 0, мы
ввдцм, что абсолютная величина разности, фигурирующая
в определении предела, есть | А —- at |. Мы часто обозначаем через ε
положительное число, которое может быть выбрано сколь угодно
малым. При этих обозначениях мы можем сформулировать
определение предела следующим образом:
limat = A,
если для всякого положительного s
|Л — at\<a для всякого ί, начиная с /β· (2)
Здесь te обозначает некоторое определенное значение t\ обычно
£е зависит от выбора з в том смысле, что чем меньшее а мм
выбираем, тем дальше нам надо продвинуться в последовательности
значений t9 чтобы добиться выполнения неравенства \А — at\ < з,
начиная с выбранного значения t.
Из самого определения сразу следует:
если limat = A, то lim(A — at) = 0, (3)
и обратно.
Так как в определении предела фигурируют только
значения £, начиная с некоторого, которое может быть выбрано
произвольно далеко в последовательности, то значения ί,
предшествующие какому-нибудь фиксированному значению из нашей
последовательности, и соответствующие значения at не влияют
на предел. Они могут быть произвольно изменены или даже
отброшены, при этом предел не изменится и не перестанет
существовать.
В качестве примера рассмотрим дискретную
последовательность U 1, 2, 3, ... и соответствующую последовательность
значений at:
1. 1. 1_
12 ' 22 ' З2 ' " " ''
нейшем последовательность, перенумерованную в естественном порядке
Числами 1, 2, 3, ..., автор называет дискретной последовательностью или
иногда просто последовательностью. (Прим. ред.)

18. БЕСКОНЕЧНОСТЬ
35
которая и стремится к дределу 0« Мы можем взять
последовательность
1U, Д), OVy -^ » 22 » Q2 » * · · >
добавив несколько членов к исходной последовательно£ти,.-или
_1 -1 -1
g2 > 72 ' 82 * ' * "'
отбросив несколько первых членов, или
L Я 19 J- -1 -1
изменив несколько первых членов,—эти последовательности
будут иметь тот же предел.
То же справедливо и в случае непрерывного изменения t.
Например, если t изменяется от 0 до 1, то предел переменной
at= t2 будет равен 1 и остается тем же, если заставить вменяться
от —1 до 1 или от 0,9 до 1 или если положить в какой-либо из этих
областей изменения at = 2t3 для t, меньших 0,99, и at=£2 для t,
больших или равных 0,99.
Если at будет постоянной для всех рассматриваемых
значений t, at = к, то мы можем написать
lim at = к, (4)
так как все условия определения предела выполнены.
Следовательно, постоянная есть частный случай переменной,
стремящейся к пределу. Под переменной мы понимаем здесь величину,
которая способна принимать различные значения, но, в
частности, может сохранять определенное значение.
18· Бесконечность· Введем следующее определение:
Переменная at стремится κ плюс бесконечности,' или
становится положительной бесконечно большой величиной, если,
начиная с некоторого значения t, величина at становится и остается
больше любого фиксированного положительного числа.
При этом мы пишем:
limaf= + °о. (5)
Соотношение (5) читается также: предел переменной at равен
плюс бесконечности.
Если обозначить через Ат положительное число, которое можно
положить сколь угодно большим, то наше определение примет
такой вид: lim at= + °°, если, каково бы ни было
положительное число N,
at > N Для всякого t, начиная с fo- (6)
Определение деременной, стремящейся к минус
бесконечности, или становящейся бесконечно большой отрицательной вели-

36
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
чиной, аналогично. В этом случае мы пишем
lima,= — оо. (7)
Можно также определить соотношение (7) как эквивалентное
следующему;
lim( — at)= + оо.
19. Арифметические действия и пределы. Если мы совершим
какие-либо из четырех основных арифметических действий над
переменными, стремящимися к конечным пределам, то, вообще
говоря, получим новые переменные, также стремящиеся к
конечным пределам, которые находятся при помощи тех же
арифметических действий над пределами первоначальных переменных.
Точнее, если
limat = A1 limbt = B, (8)
то отсюда следует, что
lim(at + bt) = A + B, (9)
lim(at-bt) = A-B, (10)
limatbt = AB (И)
и
limg = 4, (12)
если В Φ 0.
Чтобы доказать эти равенства, заметим следующее:
Если at и β,— две переменные, стремящиеся к нулю, и если
ρ и q—постоянные или какие-нибудь переменные, не
превосходящие по абсолютной величине некоторого фиксированного числа Μ,
то p<*t+q$t стремится к нулю.
Действительно, выбирая какое угодно положительное число г,
мы получим, что, начиная с некоторого значения г, величины <xf
и β, будут каждая отличаться от нуля меньше, чем на —:,
и, следовательно, получим:
|/^ + А1<1лЖвМ<^ш=8·' (13)
Чтобы доказать соотношения (9) — (12), положим
Л~д, = а,, Я-6, = &. (14)
При р = 1, д=1
p*t + q$t = A-at + B-bt = A + B-(at+bt); (15)
так как это выражение стремится к нулю, то получаем
соотношение (9).

20. ДЕЙСТВИЯ НАД ПЕРЕМЕННЫМИ, СТРЕМЯЩИМИСЯ К БЕСКОН. 37
Если J0 = 1, g= — 1, то
p*t + q$t = A-at-{B-bt) = A-B-{at- 6,), (16)
и получаем соотношение (10).
Чтобы доказать (11), заметим, что
АВ — аЛ = .4 (В — fct) + ft, (A — a,) = 4fc + btat (17)
Но для t, больших некоторого V, имеем J B — bt | < s < 1, так
что |6f|<|]S| + l. Поэтому для таких значений t можно
применить к A$t + bt<zt сделанное выше замечание, взяв в качестве Μ
наибольшее из чисел | А | и | В | +1. Итак, правая, а следовательно,
и левая части (17) стремятся к нулю, и мы приходим к
соотношению (11).
Чтобы доказать (12), заметим, что
А а* АЪ* — Ва+ 1 , А ч А /гл ък 1 А п /ло\
Для значений t, больших некоторого t', имеем | В — bt | < β <Цг*
I В 1 '
и I bt) > W- · Поэтому для таких ί мы можем применить
1 Л '
к r-af — -gr- ^ сделанное выше замечание, взяв в качестве Μ
наибольшее из чисел .-=р. и ^ ', и таким образом доказать (JL2).
Так как по определению, данному в конце § 17, постоянная
есть частный случай переменной, стремящейся к пределу, мы
получаем в качестве частных случаев только что доказанных
соотношений следующие равенства:
lim (at + к) = А + /с, lim kat = kA
и
Нп4
к
lim -,-:
h
A
/с
если
если
кфО,
ВфО.
(19)
Применив повторно основные выводы этого параграфа к
многочлену от конечного числа переменных, каждое из которых
стремится к некоторому пределу, мы обнаружим, что при этом
многочлен будет стремиться к пределу, значение которого получится,
если заменить в этом многочлене каждую переменную ее
пределом. Аналогичный результат имеет место для отношения двух
многочленов, еслиГ только предел знаменателя не равен нулю.
20. Действия над переменными, стремящимися к
бесконечности. В некоторых случаях, когда одна из наших переменных
стремится к бесконечности, а другая стремится к конечному

38
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
пределу, результат некоторых действий' над переменными
приводит к новым переменным, поведение которых можно точно
установить, ^ак, если
lim pt=. + со, lim at = А, (20)
to мы будем иметь:
lim- = 0, (21)
Pt '
lim (pt + at) = + oo, lim(pt — at)= + oo, (22)
lim (at — pt) = — oo > (23)
Далее, если .4 > 0, то
lim atpt= + oo, lim^=i=+co. (24)
&ти результаты следуют непосредственно из определений.
Чтобы получать правильные результаты, производя действия
с символами +оо, —оо, необходимо следовать таким правилам:
-~( + оо) = — со, -(-оо)=+оо,( + оо)+4 = + 00,-^=0,(25)
Аь( + оо)= +оо при А>0. (26)
21. Неопределенные выражения· С такими выражениями, как
( + „)-( + «>) или ±2, (27)
дело обстоит не так просто, потому что при lim/?f=+oo
и lim qt— + оо переменная pt—qt может не стремиться ни к какому
пределу, может стремиться к плюс или минус бесконечности
и может иметь конечный предел. Например, если η принимает
значения 1, 2, 3, ..., то каждая из переменных в квадратных
скобках стремится к длюс бесконечности, но все выражение
[л2 + (— 1)п п] — [п2] принимает попеременно положительные
и отрицательные значения, возрастающие по абсолютной
величине; выражение [п2 + ( — 1)л] — [п2] принимает попеременно
значения +1 и — 1; в то же время
lim {[η2] - [η]} = + оо, lim {[η] - [η2]} = - oo,
lim{[n+3] — [n]} = 3>
Поэтому каждый подобный случай должен рассматриваться особо.
Отметим здесь, что если
limat-=A>Q, lim6f = 0 и bt > О,
то
lim£=+co. (28)

22. НЕРАВЕНСТВА И ПРЕДЕЛЫ
39
Когда bt не сохраняет определенного знака, то это равенство
не будет выполняться, но если lim at = А Ф О, lim 6t=q0 и ЬгФ0,
то
lim[|i=+co. (29)
Иногда пишут lim γ = оо,'' подразумевая под этим
соотношение (29); мы будем употреблять з*у запись в случае
комплексных переменных. Имея дело с действительными переменными,
мы будем обычно писать оо вместо +°° в ^ех случаях, когда это
не может вызвать недоразумений.
Также остаются неопределенными следующие выражения:
|=?, о.(+с») = ? (30)
Это означает, что отношение двух величин, стремящихся к нулю,
и произведение величины, стремящейся к нулю, на величину,
стремящуюся к бесконечности, остается неопределенным, т. е.
может, вести себя в разных случаях по-разному.
В арифметике единственным неопределенным действием
является деление на нуль. Если рассматривать +°° и —оо как
числа, то можно определись над ними те действия, которые
приведены в предыдущем параграфе, но действия, указанные в
настоящем параграфе, останутся неопределенными. Кроме того, во
многих теоремах нам придется исключить бесконечные пределы.
Поэтому целесообразно не рассматривать бесконечность как
число. Те же случаи, когда над символами +°° и —°° можно
производить некоторые арифметические действия и тем самым
устанавливать поведение некоторых комбинаций переменных,
стремящихся к плюс или минус бесконечности, следует считать
исключительными.
22. Неравенства и пределы. Если at—величина
положительная или нуль для всех рассматриваемых значений t, то ее
предел А не может быть отрицательным. В самом деле, если
at>0 и Л=— р<0 или — А = р>0, (31)
то
at -7 А > ρ > 0, откуда А — at | > ρ (32)
и \А — at\ не может быть сделано произвольно малым.
Таким образом, А должно быть или положительным числом,
или нулем, и мы имеем:
если а% ^ О и lim at = А, $о А > 0. (33)

40
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Заключения о строгом неравенстве нельзя* сделать, даже если
величина at всегда положительна, так как ее предел все же может
оказаться равным нулю.
Далее, предположим, что
at^bt и limat = A, limbt = B. (34)
Тогда из at— \>0 следует, что
Л — В>0 или А>В. (35)
Здесь также,, если мы имеем строгое неравенство при всех
значениях t, в пределе можем получить равенство.
Таким образом, из неравенств между переменными мы можем
вывести или соответствующие неравенства, или равенства между
их пределами.
Эти замечания применимы и к неравенствам, содержащим
абсолютные величины, так как неравенство, относящееся к
абсолютной величине, эквивалентно двум неравенствам, а именно:
|х| < 6 эквивалентно неравенствам — b < χ, χ < b. (36)
23. Верхний и нижний пределы. Хотя мы часто имеем дело
с переменными, стремящимися к пределам, но все же такой
характер изменения переменных является «весьма специальным.
Сейчас мы изучим некоторые другие типы поведения переменных.
Если не существует положительного числа М, такого, что
все значения at, начиная с некоторого, не превосходят М, мы
говорим, что at имеет верхний предел, равный плюс бесконечности,
и пишем
lim at = +oo. (37)
Предположим, что существуют числа М,, положительные или
отрицательные, такие, что значения at будут все в конце концов
(т. е. начиная с некоторого значения t) меньше Μ.
Предположим далее, что не всякое действительное число обладает этим
свойством чисел М.. Тогда мы можем произвести сечение в
множестве действительных чисел, относя все числа Μ к классу Ву
а все другие числа—к классу А. Число L2, производящее это
сечение, называется верхним пределом at и обозначается
lim at = L2. (38)
Если всякое число обладает свойством чисел Μ, то мы говорим,
что at имеет верхний предел, равный минус бесконечности, и пишем:
lim at = — оо. (39)
Аналогично, рассматривая действительные числа т, такие,
что все at в конце концов становятся больше, чем т, мы опреде-

23. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
41
лим нижний предел и выражения:
limaf=—оо, limat==Ll9 limaf= + oo. (40)
Иначе можно определить нижний предел, положив
hmat= — lim ( — at). (41)
Всякое число Μ, которое превосходит все значения af,
начиная с некоторого t9 больше любого числа т, обладающего тем
свойством, что оно, начиная с
некоторого значения ί, меньше всех at /Д
(фиг. 5). Поэтому, если верхний и / \ /Г\_.
нижний пределы конечны, то / Г / \
L^L* (42) / 1 / \
Если имеет место равенство, т. е. -/ W _\J
если L1 = L2 = Ay то limat = A. (43) J
Для доказательства этого заме- t стремится н tQ [Τ
тим, что каково бы ни было поло- '
жительное s, at в конце концов ста- Фыг. δ
нет больше, чем Lx — s,. и меньше,
чем L2 + ®, так что в рассматриваемом случае мы в конце
концов будем иметь:
A — s <at <Α + ε или \A — at\<s. (44)
Если верхний предел аг равен —оо, то всякое число и, в
частности, всякое сколь угодно большое по абсолютной величине
отрицательное число будет в конце концов превосходить at.
Отсюда следует, что
если lim af= — оо, то limaf= —оо и limaf= — оо. (45)
Аналогично,
если limaf = + оо, то limaf=+oo и" limat= + °°· (46).
Проведя рассуждения в обратном порядке, мы можем
покалить, что и наоборот, если at стремится к конечному пределу,
то верхний и нижний пределы равны этому пределу. Если
переменное at стремится к плюс бесконечности, то его верхний и
нижний пределы равны +оо. Если а% стремится к минус
бесконечности, то верхний и нижний пределы равны — оо.
Когда верхний предел не равен нижнему пределу,
переменное at не может стремиться к пределу, и мы ее называем
колеблющейся.
Если какой-нибудь результат влечет за собой другой, то мы
говорим, что первый результат является достаточным условием

42
ГЛАВА II4 ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
для второго. Е<да мы не можем иметь первый результат без
второго, то второй результат является необходимым условием
первого. Когда од#н результат не только влечет за собой второй,
но и сам вытекут из него, то мы говорим, что первый результат
влечет за собой второй, и обратно. Это выражение знакомо
читателю из элементарной геометрии, где оба результата обычно
одинаково важ0ы· Мы также можем сказать в этом случае, что
первый резуль^т является необходимым и достаточным
условием второго и#и что второй является необходимым и
достаточным условиемдервого. При такой формулировке обычно считается,
что сам резущЯт менее интересен, чем его условие. В этой
терминологии мы ДОЖем сформулировать основной результат
настоящего параграфа в виде такой теоремы:
Необходимым и достаточным условием того, чтобы
переменная стремилась к конечному пределу, является то, чтобы
верхний и нижний пределы переменной были конечны и равны между
собой.
Из определяй верхнего и нижнего пределов следует, что
если^с*, то lim6i<limci, lijabt <limcf. (47)
Комбинируя этот результат с только что установленной
теоремой, можно указать следующее:
Еслиа1<Ь1^с1 и если at и ct стремятся к одному и тому же
пределу L, то я bt стремится к тому же пределу L.
Из неравенств (47) следует
lim at < lim bt < lira ct (48)
и
lim at < lim bt < lim ct. (49)
Ho _
так Kaii limat = L, то limat = lim at = L, (50)
и
таккай limc^L, то limcf -limcf = L. (51)
Тогда из соотношений (48) и (49) мы получим:
limh — L, lim bt = L, так что lim bt = L, (52)
что доказывает утверждение.
24. Наибольший и наименьший пределы. Верхний и нижний
пределы переменной at иногда называются наибольшим и
наименьшим предами по причине, которую мы сейчас выясним.
Предположим, что из непрерывной или дискретной
последовательности зна^ннй at мы выбрали некоторую бесконечную
дискретную последовательность значений at, где числа i = tv t2i . * *

24. НАИБОЛЬШИЙ И НАИМЕНЬШИЙ ПРЕДЕЛЫ
43
..., tnj ·.. выбраны так, чтобы
\imi = limtn =limi. (53)
В том случае, когда значения t образуют дискретную
последовательность, последнее условие выполняется автоматически.
Пусть подпоследовательность af такова, что
lim ax = А. (54)
Тогда, каково бы ни было положительное е, для значений i
достаточно удаленных в последовательности I:
а^А — е. (55)
Но вследствие (53) такие ί можно выбрать сколь угодно далеко
в последовательности t, поэтому всякое число М> которое будет
в конце концов превосходить at9 должно удовлетворять
неравенству
М>А — е или М>А, (56)
так как е было выбрано произвольно.
Так как это неравенство верно для всех М9 то это будет верно
и для нижней границы чисел Μ, т. е. для L%, так что
Ц>А. (57)
Аналогично можно показать, что
Lx<4. (58)
Тогда, если Lx и L2 конечны, то для всякого предела А,
удовлетворяющего соотношениям (53) и (54), будем иметь:
Ьг<А<Ь2. (59)
Более того, выбирая подходящие последовательности ai9
можно в качестве их пределов получить числа Lx и La. Покажем
это для L2. По самому определению L2, каково бы ни было целое
положительное п, все значения at9 начиная с некоторого, в их
последовательности будут меньшими, чем L2 + — , тогда как за
любым значением at найдутся такие, которые будут превосхо
дить L2 . - Выберем какую-нибудь дискретную
последовательность tn значений t, такую, что
Hm^ = limi. (60)
Выберем теперь последовательность af таким образом, чтобы
тг-й член at соответствовал значению £, лежащему за tn из нашей
частной последовательности, и удовлетворял неравенствам:
L2-~-<a£ <L2 + ^-. (61

44
ГЛАВА П. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Тогда получим:
lim г = lim;, lim ai==L2. (62)
Мы нашли последовательность аи имеющую своим пределом L2.
Аналогично можно найти последовательность, стремящуюся
к Lx.
Итак, если Lx и L2 конечны, то имеются последовательности,
удовлетворяющие соотношениям (53) и 54), и L2 и L2
принадлежат к совокупности чисел А. Неравенство (59) показывает,
что Lx и L2 являются соответственно наименьшим и наибольшим
из этих пределов.
Аналогично показывается, что если L2= + со, то можно найти
последовательность щ, для которой lim а{ = + со, и так же в
других случаях обращения Lx или L2 в бесконечность.
Если L2=—со,, то 1ш1а(;=— оо для всех последовательно-
стей ai9 тогда как при L2= +со соотношение -4<L2
удовлетворяется в том смысле, что всякое конечное число < + оо.
В наших рассуждениях число L2 определяется некоторым
сечением, и мы полагаем L2= + оо в том случае, когда правый
класс пустой. Некоторые соотношения, содержащие + оо, как,
например, только что упомянутое неравенство, и действия,
определенные в § 20, остаются в диле, если определять + оо
посредством сечения с пустым правым классом.
25. Определение предела при помощи последовательностей·
Из того, что Ьг и L2, наибольший и наименьший пределы,
служат пределами некоторых дискретных последовательностей, и из
условия, стремления к пределу, указанного в § 23, мы можем
получить новое представление о переменной, стремящейся
к конечному пределу. Действительно, если всякая дискретная
последовательность air для которой lim * = lim г, стремится
к одному и тому же пределу L, то наибольший и наименьший
пределы Lx и L2 должны равняться L и at стремится к L.
Обратно, если переменная at стремится к пределу L, то ее
наименьший и наибольший пределы должны равняться L, и это
будет верно для каждой дискретной последовательности аи для
которой limi = lim£. Таким образом, всякая такая
последовательность стремится к одному и тому же пределу L. Это
приводит к следующему определению предела в терминах
дискретных последовательностей:
Переменная at стремится к конечному пределу А^ если для
всякого дискретного множества значений t, i = tn, такого,,
что lim i = lim t, выполняется равенство lim а{ = А.
Бесконечные пределы lim at ~ + оо и lim at = — со могут быть
определены с помощью дискретных последовательностей
аналогично.

26. КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ КОШИ
45
Для дискретной последовательности мы можем принять
следующее определение:
Переменная ап стремится к конечному пределу А, если для
всякого произвольного положительного числа s имеется не более
чем конечное число значении п, для которых
\А-ап\>е. (63)
Аналогичное определение может быть дано для lim ап = + °° ί
при этом, каково бы ни было положительное число Μ, не более
чем для конечного числа значений η может выполняться
неравенство ап <М. Мы можем дать подобное же определение и для
lim<2n =? — со.
Авторы некоторых учебников, не'желая прибегать к
понятиям «временного» характера, кладут в основу именно это
определение предела. Однако читателю полезно владеть обоими
определениями предела, ибо некоторые рассуждения выглядят яснее
при одном, а некоторые — при другом определении.
26· Критерий сходимости Копш. Применяя верхний.и нижний
пределы, мы можем установить другое условие стремления
переменной к конечному пределу, называемое критерием
сходимости Коши, Это—следующая теорема:
Для того чтобы переменная at стремилась к конечному пре-
делу9 необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа η нашлось бы некоторое 2η в последовательности
значений t, такое, что разность любых двух значений at, для каждого
из которых t больше /η, была бы по абсолютной величине
меньше η.
В наших обозначениях это условие можно записать так:
для всякого положительного η найдется такое ίη , что если в
последовательности значений t значения и9 ν следуют за ίη, то
Ι*Η-^Ι<η. (64)
Чтобы' доказать необходимость условия, мы предположим,
что at стремится к конечному пределу А. Тогда из определения
предела следует, что
\А — at\ < ^j- для t, следующих за t07 (65)
где ί0 есть t% для е = у *
Вследствие этого, если и и ν — любые два значения перемен·
но го £, следующие за t0, то мы можем написать:

46
ГЛАВА II, ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
откуда
\au-av\ = \(au^A)-(aD-A)\<fi. (67)
Таким образом, мы сможем удовлетворить условиям теоремы,
выбрав ίη=£0·
Чтобы доказать достаточность условия, предположим, что
соотношение (64) выполнено. (Пусть η и и фиксированы, а υ
принимает произвольное значение, следующее за и. Тогда для
каждого такого ν
I яи — β» Κ η или аи — η < av < au + η. (68)
В обозначениях § 23 аи — η будет одним из чисел лг, йи + η — одним
из чисел Μ. Следовательно, верхний и нижний пределы
переменной а, оба конечны и
«и—η<^ι < £? < «н+η· (69)
Отсюда вытекает, что
0<L2-L1<21, (70)
и так как η произвольно, toL1 = L2 и, таким образом, переменная
стремится к пределу.
27. Монотонные переменные. Переменное at называется
возрастающим, если каждое его значение больше любого его
предшествующего значения. Если каждое его значение больше
каждого предыдущего или равно ему, то переменное называется
монотонно возрастающим или неубывающим. Поведение монотонно
возрастающей переменной проще, нежели переменных,
на которые не наложено никаких ограничений и поведение
которых мы исследовали в параграфе 23. Мы докажем следующую
теорему:
Неубывающая, в частности, возрастающая, переменная
стремится либо к конечному пределу, либо к плюс бесконечности,
в зависимости от того, ограничена она сверху или нет.
Если значения переменной at не ограничены сверху, то
переменное at в конце концов превзойдет всякое наперед заданное
положительное число JV. Но так как at не убывает, то все аи
начиная с этого, будут превосходить N. Следовательно, в этом
случае
l\mat= -f uo . (71)
Если значения переменной at имеют конечную верхнюю границу
М, то at будет иметь конечный верхний предел Lz. Тогда для
каждого положительного β будем иметь:
at<L2 + s для всех t, следующих за некоторыми, (72)
at > L2 — e для некоторых V, следующих за этим t', (73),

28. ВЛОЖЕННЫЕ СЕГМЕНТЫ
4?
так как и то и другое вытекает из определения верхнего предела.
Но так как at не убывает, то
«t>L2 — ε для всех t, следующих за t", (74)
откуда вследствие (72)
I L2 — at [ < ε для всех t9 следующих за t". (75)
Так как г произвольно, то можно принять V* за tG в исходном
определении предела и заключить, что at стремится к пределу Ьг.
Таким же образом рассматривая переменную —at, мы можем
определить монотонно убывающую или невозрастающую
переменную и доказать теорему:
Невозрастающая, в частности убывающая, переменная
стремится либо к „конечному пределу, либо к минус бесконечности*
в зависимости от того, ограничена она снизу или нет.
28. Вложенные сегменты· Нам часто приходится определять
положение точки, обладающей некоторыми требуемыми
свойствами, при помощи последовательности сегментов, каждый из
которых содержит предыдущий. Такой процесс мы применяли
в § 12. Условия, при которых этот процесс приводит к
единственной точке, выражен в следующей теореме:
Если бесконечная дискретная последовательность сегментов
anbn такова, что каждый сегмент содержит последующий и
длина п-го сегмента при возрастании η стремится к нулю, то*
имеется одна, и только одна, точка, принадлежащая всем
сегментам данной последовательности.
Так как п-& сегмент содержит (тг + 1)-й, то мы имеем:
Я/1<Яп + 1 < Ьп+1<Ьп. (76)
Таким образом ап, левые концы сегментов, образуют монотонно-
возрастающую последовательность, обладающую верхней
границей Ьх, и, следовательно, стремятся к некоторому пределу А.
Аналогично правые концы сегментов Ьп образуют монотонно
убывающую последовательность с нижней границей ах и,
следовательно, стремятся к некоторому пределу В. Далее, применяя
последовательно неравенства (76), найдем:
«п < Я/i+m < Ьп+т < Ьп. (77)·
Если мы фиксируем п, а т заставим возрастать, то отсюда
получим:
ап<Л<Я<6д (78)
и, следовательно,
0<£-Л<6п-ал. (79

48
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Но так как предел правой части есть нуль, то В — А = 0 или В = А.
«Это дает нам точку, которая, вследствие неравенств (78), будет
лринадлежать всем сегментам ап,Ьп.
Что эта точка будет единственной, можно показать, взяв
некоторую точку С, тоже принадлежащую всем нашим сегментам.
Тогда
ап<С<Ьп; (80)
ютсюда мы получим, переходя к пределу:
А<С<В или С = А, так как В = А. (81)
Если в каждом сегменте ап,Ьп мы «выберем какую-нибудь
точку сп,то эти точки будут стремиться к А как к пределу. Ибо,
$ силу.
ап<Сп<Ьп ъВ = А, (82)
;из последней теоремы § 23 получим, что lira cn = A.
29. Функции, заданные на сегментах. В § 16 мы определили
понятие функции: у является функцией от переменного χ в
некоторой области его изменения, если каждому значению χ в этой
области соответствует одно или несколько значений г/. Такое
определение не накладывает никаких ограничений на значения χ
или г/. Таким образом, если# = 1 или —1, при # = 0, и если у
равно какому угодно действительному числу, при #=1, то мы
имеем функцию, определенную в области, состоящей из двух
•чисел: 0 и 1. Она двузначна в нуле и бесконечнозначна в 1.
Остановимся на функциях, определенных для всех значений χ
из некоторого сегмента, а<ж<6, и однозначных для этих
значений х. Требование однозначности функции не всегда
естественно с точки зрения геометрических приложений, но оно обычно
вводится посредством некоторых дополнительных соглашений.
Так, например, можно считать, что уравнение х* + у2==±
определяет две однозначные функции на сегменте, — 1, 1, а именно:
2/=+]/ТГ^7 у=-\/Т^\ (83)
Примером однозначной функции на сегменте может также
«служить функция:
у=1 для'рациональных х9 0<я< 1,
у = 0 для иррациональных х, 0 < χ < 1. '° '
Более простым примером может служить функция
у = ж, 0<а?<у и 2/ = 1 — х, у<з<1. (85)

30. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
V.»
Равенство у = х2 определяет г/как функцию от х. Эта функция,
так же как и обе функции, определяемые равенствами (83),
функция, определяемая равенством (85), и как вообще большая часть
функций, встречающихся в элементарной математике, имеют
графические изображения, которые можно начертить, не отрывая
карандаша от бумаги. Ниже мы дадим
более точное определение этому свойству.
30· Непрерывность. Предположим,
что у = f (x) есть однозначная функция
от х, определенная для всех χ в замк-
цутом интервале а, Ь, т. е. при а<ж<6,
и х0 есть значение χ из этого
интервала. Тогда мы скажем, что функция
f(x) стремится к пределу А в точке х0,
и будем писать:
Нт/(я) = Л, (86)
ЗС-ККо
если для всякого положительного з суще- Фив. в
ствует положительное число 8е, такое, что
М — /0*01 О для всех χ Φ х0, таких, что |сс — х0\<Ъв. (87)
Символ х—>х0 читается «ж стремится к х0» и употребляется
иногда самостоятельно.
Если мы хотим рассматривать только значения х, большие ж0,
то мы пишем:
limf(x) = A, (88)
понимая под этим, что для всякого положительного δ существует
положительное δβ, такое, что
\А — /(ж)]<е для всех χ > х0, как только χ — xQ < δβ. (89)
Число А в (88) называется 'пределом справа функции f(x)
при х—»#0.
Аналогично можно определить предел слева:
limf(x) = A, (90)
понимая под этим, что для всякого положительного е существует
положительное δβ, такое, что
| А — / (х) | < s для всех χ < х0, как только х0 — χ < δβ. (91)
Если функция стремится к пределу А в точке х0 в смысле
равенства (86), то пределы справа и слева, определяемые равен-

50
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
ствами (88) и (90), существуют ц равны А, Обратно, если оба
эти предела существуют и равны между собой, то существует
предел в первоначальном смысле.
Понятие предела справа является аналогией нашего прежнего
определения предела для непрерывной последовательности
значений аргумента, причем здесь χ убывает от Ь до х0 и множество
значений χ не замкнуто слева, так как само число х0 в силу (89)
исключается. Это подсказывает нам следующее определение:
lim /(ж)= + оо (92)
+
зс-+зс0
означает, что для всякого положительного N существует
положительное число bNt такое, что
/(а;) > N для всех χ > x0t как только х — я0 < Sjv- (93)
Определения понятий
lim f(x)= + оо , lim f(x)= + со (94)
совершенно аналогичны, и мы не будем на них останавливаться.
Соответствующие равенства с — со определяются подобным же
образом.
Критерий сходимости Когии для предела функции можно
сформулировать следующим образом:
Для существования конечного предела функции f (x) при χ—*χ<>.
необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного
числа е существовало соответствующее положительное число 8е,
такое, что \ f (χ') — / (χ") | < з для любых двух значений х, отличных
от х0 и удовлетворяющих неравенствам
|я'— я0|<8е, |^ — ^0|<8е.
Необходимость условия доказывается точно так же, как в § 26.
Для доказательства достаточности заметим, что если условие
теоремы выполняется, когда точки х' и х" обе находятся справа
от #о, то, по теореме § 26, существует предел справа. Обозначим
его В. Аналогично показывается, в силу той же теоремы, что
существует предел слева. Обозначим его А. Тогда, так как
\f(x')~~f(x")\ < ε Для всех х' и я", таких, что
Κ-ζ0|<δβ, \х"-х0\<Ьв, (95)
то мы возьмем х' слева, а х" —справа от х0 и заставим их
стремиться к х0- Тогда получим:
|Л-Д|<· и А = В, (96)
так как е произвольно. Следовательно, предел существует, потому
что существуют левый и правый пределы и они равны между собой.

31. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ. КОЛЕБАНИЕ ФУНКЦИИ 5L
Теперь, опираясь на понятие предела функции, мы можем
определить непрерывность. Функция, принимающая конечное
значение f(x0) в данной точке х0, называется непрерывной в точке x0f
если
lim/(*) = /(*„). (97)
Функция, определенная и конечная в каждой точке сегмента
я<#<6, называется непрерывной на сегменте а,Ь, если
равенство (97) выполняется во всякой внутренней точке х0 этого
сегмента, а на его концах имеют место соотношения:
lim/(<e) = /(«), limf(x) = f(b). (98)
χ->α+ х-*Ъ~
Функция, не являющаяся непрерывной в точке х0 или на
интервале а,6, называется разрывной функцией соответственно
в точке х0 или на этом интервале.
Применяя только что установленный критерий сходимости
и определение непрерывности, мы можем показать следующее:
Для непрерывности функции f(x) в точке х0 необходимо и до-
статочно, чтобы для каждого положительного числа &
существовало соответствующее положительное число δβ, такое, что
| / (х') — / (&") | < ε для любых значений х, для которых | х' — xQ | <ς 8S,
|ζ"-ζ0|<δ6.
При этих условиях мы допускаем, что само х0 может быть
значением для х' или х" .· В этом мы имеем отличие от
прежних определений и результатов относительно пределов, которые
не зависели от значения функции в самой точке, к которой
стремилось независимое переменное.
31. Ограниченные функции. Колебание функции. Пусть
функция / (х) определена в.открытом или замкнутом интервале а, Ь\
функция называется ограниченной на этом интервале, если
соответствующие значения f(x) все лежат в некотором конечном
интервале с< у <d. Согласно теоремам § 10, эти значения у имеют
верхнюю грань Μ и нижнюю грань т. Разность М — т
называется колебанием функции на интервале а, Ь.
Если для каждого фиксированного числа с имеются
значения χ из интервала а, 6, для которых /(х) < с, то функция
не имеет нижней границы. Тогда мы пишем т= — со .
Аналогично, если для каждого данного числа d имеются
значения χ из интервала а, 6, для которых f(x)>d, то функция
не имеет верхней границы. В этом случае пишем Μ = + оо .
В обоих этих случаях функция называется неограниченной,
и мы говорим, что колебание этой функции бесконечно велико.
Это вполне естественно, так как, при т = — оо и
конечном М} при конечном т и М= + оо, а также при т = — со

52
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
и М= + оо , разности М — т мы приписываем, согласно § 20,
значение + °° ·
Пусть х' и х" — какие-нибудь точки интервала а, Ь. Тогда
m<f{x')<M, m<f(x")<M. (99)
Отсюда следует, что
\f(x') — f(af)\<M-m. (100)
Теперь предположим, что для всех пар точек х' и х" в
интервале а, Ь выполняется неравенство
\t(*)-f(*)\<k. (101)
Тогда
f(x'')-k<f(x')<f{x») + k. (102)
Если фиксировать х" и изменять х\ то (102) покажет, что f(x)
ограничена в интервале a, b и, следовательно, имеет конечные
границы Μ и т. Но, по определению верхней грани, для
каждого положительного s найдется некоторая точка х' из
интервала α, δ, для которой
/(x')>il/-s. (103)
Аналогично, так как т есть, нижняя грань, то для
некоторой точки хп будет выполняться неравенство
f(x»)<m + s. (104)
.Отсюда следует, что
M-m-2z<f{x,)^-f(x'f)<k, (105)
и, так как ε произвольно,
АГ — m<fc. (106)
Неравенства (100) и (106) показывают, что верхняя граница
величины |/(#') — /{#") |, где ж' и х" изменяются в интервале я, 6,
равна колебанию функции f(x) в интервале а, Ь. Поэтому мы
можем сформулировать условие непрерывности, эквивалентное
условию, данному в конце предыдущего параграфа:
Для непрерывности /(ее) в точке х0 необходимо и
достаточно^ чтобы для любого положительного числа э
существовало соответствующее положительное число 8е, такое, что
колебание f(x) на интервале \х — #0|<δθ было бы меньше з.
32· Равномерная непрерывность. Пусть функция f(x)
непрерывна в каждой точке некоторого открытого интервала. Тогда,
вследствие только что доказанной теоремы, для каждой точки х0
из этого интервала и для любого положительного * можно
найти такое δ, что колебание функции на интервале j α? — xQ\ <δ

32. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
53
будет меньше з. Значения 8 обычно зависят от з и х0. Мы
можем отметить это, написав δ (β, х0). Это будет бесконечно-
значной функцией двух переменных, так как, если мы имеем
некоторое значение δ, то всякое меньшее значение будет также
обладать требуемым свойством. Может случиться, что нельзя
найти никакого значения δ, пригодного, при данном г, для всех
точек х0 заданного интервала. Так, например, если /(#) = —
и рассматривается интервал 0<#<1, то функция будет
непрерывной в каждой точке этого интервала. Однако колебание f(x)
на интервале 0 < х < х0 будет бесконечным. Поэтому для
любого s значение 6(з, xQ) будет меньше а?0.
Следовательно, какое бы s мы ни фиксировали, ни одно' значение δ не
будет пригодно для всех х0. Ибо для всякого Ьх в интервале 0 < ж<1
имеются значения #с, для которых Ьг > ж0.
С другой стороны, если /(#) = 2#, 0<я<1, то мы можем
в качестве δ (β, х0) взять любое значение, меньшее -у- , и оно
будет пригодно, для всех х0 из интервала 0,1. Если, как в
последнем, примере, для каждого ε можно найти такое значение δ,
которое не зависит от х0> то непрерывность функции в
рассматриваемой области называется равномерной относительно х.
Если функция f(x) непрерывна в каждой точке сегмента α,δ,
то на концах сегмента имеет место соотношение (98). Из этих
«односторонних» соотношений легко вывести результаты,
аналогичные результатам § 30 и 31. В частности, для каждого е
существует такое δβ , что колебание f(x) на сегменте Ь — δβ <а?<6
меньше ε.
Мы можем теперь доказать теорему:
Функция у ~f (χ), непрерывная во всех точках сегмента а < χ < bf
равномерно непрерывна в этом сегменте.
В силу теоремы § 31, каково бы ни было положительное число
η, каждая внутренняя точка сегмента а<#<6 находится в
некотором -интервале х0 — δ0 < χ < х0 + δ0, в котором колебание
функции f(x) меньше η. Кроме того, как сейчас было
отмечено, концы сегмента а и Ь будут концами некоторых
интервалов, в которых колебание меньше η. Тогда, в силу замечания
к теореме Гейне—Бореля о покрытиях в конце § 11, можно
выбрать конечное число таких интервалов, которые будут покрывать
сегмент а7 Ь. Отметим все концы pt этих покрывающих,
интервалов и рассмотрим расстояния между всевозможными парами
различных pif соответствующих одному и тому же или разным
интервалам. Так как этих расстояний только конечное число,
то среди них есть наименьшее, которое мы обозначим Ьт.Теперь
рассмотрим произвольный интервал / длины, меньшей, чем Ът,
состоящий целиком из точек сегмента а, Ь. Такой интервал

54
ГЛАВА ΙΪ. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
может содержать не более одной конечной точки покрывающих
интервалов. Если / вовсе не содержит точек pif то любые две
точки х9 и х" из / принадлежат одному и тому же
покрывающему интервалу, и тогда
I/(*')-/(*") К η·
Если в / попадет одна из точек pif скажем pv то, каковы
бы ни были точки х9 и х" из /, х* и рг принадлежат одному
и тому же интервалу покрытия и, следовательно,
Ι/(*')-/(Λ)Κη; (107)
аналогично
ι / (л)-/(*") К ч- (108)
Тогда
I/(*')-/(*")!< 2η (109)
и, вследствие § 31, получим:
М-ш<2у\7 (110)
где Μ и т — соответственно верхняя и нижняя границы
функции f(x) на /.
Следовательно, для любого данного положительного числа з
мы можем взять η<γ и указанным приемом найти 8т, а затем
и δ0, 0 < δ0 < 8m, такое, что колебание / (х) в любом интервале
длины, не большей 80 будет меньше е. В частности, мы можем
принять это δ0 за δ (ε, χ0) для всех х0 из замкнутого
интервала я, Ъ. Это доказывает равномерную непрерывность.
33. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной
функции. Функция, непрерывная во всех точках открытого интервала,
может не быть ограниченной, как, например, функция г/= —
в интервале 0 < χ < 1, рассмотренная в предыдущем параграфе.
Однако справедлива следующая теорема:
Функция, непрерывная во всех точках некоторого сегмента,
ограничена на этом сегменте.
Мы докажем это, заметив, что вследствие равномерной
непрерывности функции мы можем найти такое δ, что колебание f(x)
в каждом интервале длины меньше δ, окажется меньше s.
Взяв г--1 и соответствующее δ, выберем N столь большим, чтобы
выполнялось неравенство -^ < δ. Затем разделим сегмент а,Ь
на N равных частей точками
« = Λ <Λ< ...</>λγ-ι <PN = b. (Ill)

33. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕПРЕР. ФУНКЦИИ 55
Тогда, вследствие нашего выбора δ и Ν, мы будем иметь:
Ι/(Α«)-/(Λ)Ι·<1
и для всякого χ и наибольшего из pif меньших х,
1/(4-/(А)1<1. (ИЗ)
Из неравенств (112) и (ИЗ) следует, что
\f(x)-f(a)\<N, (114)
или
f(a)-N<f(x)<f(a) + N, (115)
для всех χ из замкнутого интервала а,Ь. Следовательно, наша
функция ограничена в этом интервале.
Функция, ограниченная на сегменте, всегда имеет верхнюю
грань Μ и нижнюю грань т, как показано в § 31. Однако
разрывная функция может и не принимать на заданном сегменте
значений, равных своим граням. Например, если /(#) = 1 при
х = 0 и ж = 1, f(x) = 2x при ()<#,< 1, то такая функция
определена во всем замкнутом интервале 0<ж<1. Для этого интервала
Μ = 2 и т = 0, но эти значения не соответствуют ни одному
значению χ из рассматриваемого интервала.
Такое же положение может возникнуть в случае функции,
непрерывной в открытом интервале, как видно на примере
/ (х) = 2х при 0 < χ < 1: никакому χ из интервала 0 < χ < 1 не
соответствует ни значение Μ = 2, ни значение w = 0.
Если же функция f(x) непрерывна на сегменте, то картина
будет иная. Действительно, так как М, верхняя грань
функции на сегменте, является верхней гранью значений f(x), то
из § 10 следует, что она будет или одним из значений /(#), или
предельной точкой для этих значений. В первом случае имеется
такое #0, что
f(x*) = M, (116)
т. е. функция достигает своей верхней грани.
Во втором случае мы можем найти бесконечную дискретную
последовательность точек xif таких, что
limf(xi) = M. (117)
Так как точки xt образуют бесконечное множество, лежащее на
конечном интервале, то они имеют по крайней мере одну
предельную точку х0. Пусть Xj—точки множества ж^^если нужно, заново
перенумерованные, образуют последовательность, сходящуюся
к х0. Тогда
l\mxj = xQ и lim f(Xj) = M. (118)
(112)

56
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ-ФУНКЦИЙ t
Мы пока еще не использовали ни непрерывности функции, ни
замкнутости интервала. Действительно, в обоих указанных выше
примерах ограниченных функций мы можем найти значения х,
стремящиеся к предельному значению (любая последовательность,
сходящаяся к 1), так что предел соответствующих значений f(x)
будет равен Μ (в обоих случаях if = 2).
Однако вернемся к функции, непрерывной на сегменте. Так
как интервал — замкнутый и все Xj принадлежат ему, то предел х0
тоже будет ему принадлежать. Далее, так как функция
непрерывна в а;0, то мы будем иметь равенство
lim f(x) = f(x0) (119)
Χ-*>Χθ
или соответствующее одностороннее равенство, если х0 совпадает
с одним из концов сегмента.
Из (118) и (119) мы получим:
f(*») = M, (120)
и верхняя грань достигается.
Когда верхняя грань достигается, то она будет не менее
любого другого значения функции. При этом она называется
наибольшим значением функции. Аналогично, если достигается
нижняя грань, то она называется наименьшим значением
функции. Проводя аналогичные рассуждения или рассматривая
функцию —/(#), мы получим для нижней грани результаты,
аналогичные только что установленным для верхней гранд.
Это приводит нас к теореме:
Функция, непрерывная во всех точках сегмента, принимает по
крайней мере в одной точке этого сегмента свое наибольшее
значение и также по крайней мере в одной точке этого сегмента свое
наименьшее значение.
34. Промежуточные значения. Если функция непрерывна на
сегменте а, Ь и положительна на одном из концов, например
в точке а, /(а)>0, и отрицательна на другом конце седмента,
/ (6) < 0, то в некоторой точке χ открытого интервала а, Ь должно
выполняться равенство: /(#) = 0. Для доказательства
рассмотрим точки х', такие, что
/(а)>0, а<х<х', (121)
и обозначим верхнюю границу таких точек через #0. Тогда
каждый интервал Iif содержащий точку х0 внутри себя, содержит
слева от х0 точку xif в которой /(^)>0. Тогда для
последовательности интервалов 1{ с длинами, стремящимися к нулю,
получим:
/(ЯоННтЯа^О. (122)

35. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
57
Но всякий интервал It содержит также точку #/, такую, что
Xj>Xo, в которой /(#)<0. Тогда
f{x0)^limf(xi)<0. (123)
Из (122) и (123) вытекает
/Ы = 0, (124)
что и доказывает наше предложение.
Мы обобщим этот результат, сформулировав общую теорему
о промежуточных значениях:
Функция, непрерывная во всех точках сегмента а<ж<6,
принимает любое значение, лежащее между f(a) и f(b), в некоторой
точке открытого интервала а, 6.
Если, например, h есть некоторое промежуточное значение
и f(a) меньше /(6), так что
f(«)<h<f(b), (125)
то функция
F{x) = h-f{x) (126)
положительна в точке а и отрицательна в точке 6; следовательно,
она равна нулю в некоторой точке х0 между а и 6. Тогда
0 = F(x0) = k-f(x0) и /(а0) = /г, (127)
что и требовалось доказать.
Промежуточное значение может достигаться неоднократно
и даже бесконечное число раз. Из самого метода доказательства
следует, что среди значений х0, в которых f(x) принимает
заданное промежуточное значение, в нашем интервале существует
наименьшее. Аналогично можно показать, что среди таких хи
в нашем интервале существует наибольшее.
35. Функции нескольких переменных. Многие из определений
и теорем этой главы можно обобщить на случай функций,
зависящих более чем от одной переменной. Если мы имеем к
переменных и употребим геометрическую интерпретацию (см. § 15), то
наше множество к независимых переменных может быть
рассматриваемо как переменная точка Х = (х19 х2, ..., хк) в
пространстве к измерений.
Так, мы говорим, что у есть однозначная функция от к
переменных, и пишем y = f(xlt x2t ..., хк), если имеется одно значение
у, поставленное в соответствие каждой точке X, т. е. каждой
системе значений xt из некоторой области их изменения. Если
из текста ясно, каково число переменных, то мы пишем просто
f(xt) или /(X).
Пусть функция f(X) определена в Λ-мерном интервале,
содержащем внутреннюю точку А = (а19 а2, ..., ак). Пусть

.58
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Xn=z(xnlt хп2у .. ., хПк) — дискретная последовательность точек,
такая, что
limxni=eiv limxn2 = a2t ..., 1ίπι^ = αΛ. (128)
.Мы будем кратко говорить, что точки Хп стремятся к пределу А,
и писать вместо (128)
ИтХп = А. (129)
При этом, начиная с некоторого п, все точки Хп попадут в
интервал, в котором определена функция f(X).
Функция y = f(X) непрерывна в точке А, если lim f (Хп) ~ f (А)
-для всякой дискретной последовательности Хп, такой, что
Лп —> А.
Это определение аналогично определению, данному в § 25.
Этому определению эквивалентно следующее:
Функция y = f(X) непрерывна в точке А, если для каждого
положительного числа s найдется соответствующее
положительное число δε, такое, что
|/(Л)-/(Х)|<·, если |sf-af|<i.f ί=1,2,...,*. (130)
Чтобы доказать эквивалентность этих определений, заметим,
что если выполняется условие, фигурирующее во втором
определении, то для любой последовательности точек Хп, стремящейся
к А, начиная с некоторого п, будем иметь \xnt — «ί Ι < δβ Для
всех i; следовательно, для точек этой последовательности,
начиная с некоторой, будет выполняться неравенство
\f{A)-t(X)\<».
^Следовательно,
lim/(Xn)==/(ii).
С другой стороны, предположим, что условие, фигурирующее
во втором определении, не выполняется для точки А. Тогда при
определенном г, каково бы ни было п, мы должны иметь
\f(A)-f(X)\>.
для некоторых X, для которых
ι *! - *i к 4* ·
Пусть Zj —одна такая точка, отвечающая значению тг = 1;
возьмем тг2 таким, чтобы — было меньше наибольшего значения
| xlt — at |. Пусть Х2—какая-нибудь точка, отвечающая значению п2г
для которой
|/(Л)-/(Х)|>г.

35. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
59
Продолжая таким образом далее, получим последовательность
Х19 Х2, . ... При этом будем иметь:
ПтХп = А и |/(ii)-/(X#|>«, (131)
так что limf(Xn) = f(A) не может иметь места, и условие первого
определения для точки А не выполняется.
Таким образом, условие первого определения не может быть
выполнено, когда не выполняется условие второго; если же
условие первого выполняется, то выполняется и условие второго·
Итак, оба определения эквивалентны.
И то, и другое определения применимы к внутренним точкам А
любой открытой области, в которой определена функция. Если
область определения функции включает граничные точки В,
которые являются одновременно предельными точками как
последовательностей точек области, так и некоторых
последовательностей точек, не принадлежащих области, то наши
определения к точкам В непосредственно не применимы. Рассматривая
такие граничные точки, мы изменим наше определение,
ограничившись только такими точками Хп или Х9 которые
принадлежат области определения функции.
Если мы рассмотрим 8е, фигурирующее во втором определении
непрерывности функции, то, вообще говоря, для различных
точек А надо будет выбирать различные δ, и может случиться, что
для некоторых областей определения нельзя будет найти одно 8,
которое при данном s будет пригодно для всех точек области.
Однако для замкнутой области, т. е. для такой области, которая
содержит все свои предельные точки, а следовательно, и все
граничные точки, можно доказать, что δ можно выбрать не зависящим
от А. Доказательство аналогично доказательству для одномерного
случая, только надо применить теорему Гейне—Бореля для
Ж-мер но го случая. Тогда получим:
Функция от к переменных, непрерывная в замкнутой
камерной области, равномерно непрерывна в этой области.
Отсюда можно вывести, что такая функция ограничена и
принимает свои наибольшее и наименьшее значения в этой области.
Однако для случая числа измерений, превосходящего 1,
не существует простого обобщения теоремы о промежуточных
значениях.
Из предыдущих определений непрерывности следует, что
непрерывная функция к — т + п переменных, если фиксировать
значения т переменных, будет непрерывной функцией остальных
η переменных. В частности,, фиксировав все переменные, кроме
одной, получим непрерывную функцию этой оставшейся
переменной. Итак* приходим к следующему результату:
Непрерывная функция к переменных будет непрерывной
функцией каждой переменной в отдельности.

60
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Обратное неверно. Например, если
/(*> у)=^ при (*. у)* (°> °)и /(°. °)=°.
то /(ж, у) непрерывна по χ при каждом значении у и
непрерывна по у при каждом значении х\ но так как эта функция,
равна 1 при х = у9 то мы можем найти точки, сколь угодно
близкие к (0, 0), для которых f(x, г/) — /(0, 0) = 1, так что f(x9 yy
не будет непрерывной функцией двух переменных в точке
(0, 0).
Другим интересным примером может служить функция / (х, у),
равная 2/* . для (х, у) Φ (0, 0) и равная нулю в точке (0, 0)-
•В "г У
Эта функция равна нулю на оси χ и на оси г/, а на каждой
прямой у=тх, проходящей через начало координат,
. . . 2т2х
'\Х* У>~- 1 + т*х* '
ТзкйЬ! образом, эта функция будет стремиться к нулю, если мы
приближаемся к началу по любой прямой линии, проходящей
через начало. Однако функция будет разрывной в точке (0, 0),
что мы обнаружим, приближаясь к началу по параболе х = у2„
для которой /(ж, г/) = 1. Это указывает на трудности,
возникающие при пользовании определением непрерывности с помощью
последовательностей, так как при этом определении
приходится рассматривать все возможные последовательности.
36. Сложные функции. Пусть у = / (х) — однозначная
функция χ непрерывная в точке х = а, и пусть f(a)— b. Далее, пусть
и = 8 (у) — однозначная функция г/, непрерывная в точке у=Ь„
Тогда мы будем иметь
lim *[/(*)]= lim g (у) = g(b) = g If (a)].- (132>
χ -*■ а у -*b
Таким образом, функция
u(x) = glf(z)] (133У
будет непрерывной в точке а. Иначе мы можем сформулировать-
так:
Непрерывная функция от непрерывной функции будет также
непрерывной функцией.
Это справедливо при любом числе переменных, т. е. если
Vi — fi (xi> x2j · * ·$ хт)> гДе i = 1, 2,..., η, — непрерывные функции
в точке Xj = aj, / = 1, 2, ...,т, причем fi(^f) = bi9 и если
u==8(Vi> У2>.-., г^п ) —непрерывная функция в точке yt^=bi9 то и:
будет непрерывной функцией от т переменных Ж/ в точке
Xj = a j*.

37. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
61
37· Обратные функции· Рассмотрим равенство y = f(x)f
где f(x)— однозначная непрерывная функция от х,
возрастающая на некотором сегменте α<#<£>. Это означает, что для
любых двух значений хг и х2 из этого сегмента будет иметь место
неравенство
/ (я2) > / К), если х2 > <V (134)
Тогда на сегменте оси у
f(")<V<t(b) (135)
соотношение между χ и у определяет χ как функцию от у:
х=ГЧу), (136)
которая также будет однозначной, непрерывной и
возрастающей.
Заметим сначала, что если уг есть какое угодно число,
удовлетворяющее неравенствам (135), то по теореме о промежуточных
значениях (см. § 34) имеется некоторое xlf такое, что
?ι = /(*ι)» а<Хг<ь· (137)
Двух таких значений быть не может, поскольку у возрастает
вместе с х. Определим теперь/""1 (г^), положив »1 = /""1(2/1)· Эта
функция будет возрастающей, вследствие (134),
если хг > х2, то ух> у2. (138)
Следовательно,
если уг<у2, то хг<х2, т. е. /-1 (Ух) < Ζ""1 (2/2)· (139)
Так как значения χ лежат между а и Ь, то они ограничены и по
теореме § 27 существуют пределы
lim/-1 (у) и lim/-1 (у) (140)
как пределы ограниченных монотонных
последовательностей.
Обозначим первый предел через с, второй —через d. Тогда,
так как значение y = f(x) соответствует значению x = f-i(y)
и так как, в силу (140), х—>сгу когда у-^у^, то вследствие
непрерывности функции f(x) прлучим:
уг = lim# = lim f(x) = f (с). (141)
Аналогично
Vi = limy = lim / (χ) = / (d). (142)

62
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Отсюда следует, что / (с) = f (d) = yx = / (хг), так что из (134) мы
получим c = d = x1. Итак,
lim Г (У) = lim t1 (у) = хх = Г (уг)9 (143)
что доказывает непрерывность функции f~Y (у) в точке уг.
Функция x—f~l (у) называется обратной для функции г/ = f(x).
Итак, мы доказали теорему:
В каждом сегменте, в котором функция f(x) непрерывна и
возрастает, равенство y=f(x) определяет однозначную обратную
функцию x~f-x(y), которая также непрерывна и возрастает.
38. Неявные функции. Пусть хну связаны уравнением
/ (ж, у) = 0. Если это уравнение определяет у как функцию от х,
которую в явном виде запишем у = F (се), то мы говорим, что
функция F (х) определяется неявно уравнением f(x, #) = 0. В
предыдущем параграфе мы доказали, что для некоторого типа функций
/0е) уравнение y = f(x) определяет неявно обратную функцию,
которую мы условились записывать в явном виде х — ^ХУ)-
Более общая теорема о существовании неявной функции утверждает
следующее:
Предположения: a) f(x,y) есть непрерывная функция
двух переменных хиу в некоторой двумерной области R,
содержащей некоторую внутреннюю точку (х0}у0).
б) В точке (х0}у0) имеем f(Xo}yo) = 0.
в) При каждом фиксированном х = хг из сегмента а<а?<Ь
/(#ι>2/) есть возрастающая функция переменного у на сегменте
c<y<d. Здесь а, Ь\ с, d — некоторый двумерный интервал I,
лежащий целиком в области R и содержащий (х0,у0) в качестве
внутренней точки.
Утверждения: а) Существует функция y = F(x)}
определенная в некотором сегменте
я<> — й < я < я<> + Λ, (144)
для которой y0 = F(xQ) и такая, что f(x,F(x)) тождественна
обращается в нуль.
б) Функция y = F(x) непрерывна в каждой точке сегмента
(144).
в) Функция у = F (x) определяется однозначно, в том смысле^
что любые две функции Fx (x) и F2 (x), обладающие свойством (а)
утверждения, должны совпадать для таких значений х, при
которых точки (х, Fi (χ)) и (χ, F2 (x)) обе попадают в интервал I.
Для доказательства этой теоремы заметим, что f{x0ly) есть
возрастающая функция от у, так что, вследствие
c<y0<d и /(ж0,г/0) = 0,
(145)

38. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
63
мы должны иметь:
/ (so, с) = fx < 0, / (х0у d) = f2> 0. (146>
Рассмотрим затем f\x9 с) как функцию от х; эта функция
непрерывна в х0. Мы можем, взяв ε = — Ц- % найти такое δι, что
\f(x,c)-f(x0}c)\< - ff при \χ-ζ0\<\; (147)
отсюда следует
f(x9 c) = lf(x} c)-f(xQ, c)]+f(x0y C)< Α. < 0. (148>
Аналогичным образом можно найти такое 82, что
/(Μ)>γ>0 при \х-х0\<К
Теперь выберем любое положительное число А, меньшее каждого
из чисел δχ, δ2, χ0 — а и Ь — х0, и возьмем сегмент
#0 — /г<ж<Жо + Л. (149)
При любом фиксированном # = #! из сегмента (149)
функция f(xl9 у)} непрерывная по у, отрицательна при у=с и
положительна при y = d (см. фиг. 7).
Тогда, по теореме о промежуточ-
ных значениях, она будет равна ** | | | [ \~J^*F(xy
нулю при некотором значении
у = уг между ежа. Более того,
так как, в силу
предположения (в) теоремы, f(xlt у) не может
принимать одно и то же
значение при двух различных у, то у\
определяется однозначно.
Отыскивая таким способом
значение г/, соответствующее
х=х0, мы придем к у0,
вследствие предположения (б) теоремы.
Таким образом, существует функция уг = F (χι) или y=F(x)r
определенная на сегменте (149), для которой Уц*=Р (#о) и/ (#i, yi)=
= f(x, F(x)) = 09 так что утверждение (а) теоремы доказано.
Для доказательства непрерывности функции y = F(x) в
каждой точке х' сегмента (149) предположим, что
hmF(x) = L2, limF(χ) = Ьг
+ +·■*-+ +
а I J . . ι—»
Уо\ /Μ—
с L^-j— L_J
Τ] a x-h 4 V*
Фиг. 7
X-+X*
(150)
Так как все значения у или F (х) лежат в сегменте с, d, то
пределы Li и 1/2 также лежат в этом сегменте и оба конечны.
Выберем, пользуясь методом, примененным в § 24, любую бесконечную·

64
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
дискретную последовательность точек xit лежащих в
сегменте (149), отличных от х' и таких, что
Ит^^я/ и limF(^i) = L2. (151)
Рассмотрим теперь f(xt, F(xi)). Вследствие самого способа
построения F(x), f(Xi,F(xt)) равно нулю при всех xt. Но
f(x,y) непрерывна в точке (#', L2), принадлежащей двумерному
интервалу /. Поэтому
f(x',Lt) = limf(xit F(Xi)) = 0. (152)
Но
f(x',F(x')) = 0, (153)
и так как F (х') и L2 оба лежат в интервале с, d9 в котором
/(#', у) возрастает, то
L2 = F(x'). (154)
Так же доказывается, что
Lx = F{x'), (155)
и так как LX = L2, то
lim F(x) = F(x')t (156)
ас -► χ'
что доказывает утверждение (б) теоремы.
Наконец, утверждение (в) мы получим, заметив, что если
точки (x'tF^x')) и (х'9 F2(x')) обе лежат в /, то Fx(x')
л F2(x') обе лежат в интервале с, d9 в котором f(x',y)
возрастает, поэтому из
f(x',F1(x')) = f(x',Ft(x'))
следует
Fx{x') = F2{x'). (157)
Таким образом, теорема доказана полностью.
Подобная же теорема может быть сформулирована для неявной
функции к переменных y = F(xl9 х29 ..., хк), определяемой
уравнением /(г/, хг, х2у ..., хк) — 0. Для точек Х = (хг, x2f ..., хк),
близких к Х0 = (xQl, #02, ..., хок), где / (г/, X) — непрерывная функ7
ция к +1 переменных в некоторой (А + 1)-мерной области,
содержащей внутреннюю точку (г/0, Х0), причем f(y0, X0) = 0, и в
некотором (& + 1)-мерном интервале f(y,X) возрастает вместе с у
при фиксированном X. Тогда утверждается, что в некотором
А-мерном интервале, содержащем Х0 в качестве внутренней
точки, определяется однозначно неявная функция y = F(X)t
для которой y0~F(XQ), и эта неявная функция будет
непрерывной по к переменным χ 9 x2f . .., #*.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. II
65
Доказательство теоремы подобно доказательству,
проведенному нами для случая к = 1.
Эти теоремы будут верны, если всюду заменить слово
«возрастающие» словом «убывающие».
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. II
1
1. Доказать, что Jim — = 0 при п—>4-ооэ и найти значение iV, такое,
что при η > Ν переменное отличается от своего предела меньше чем
на 0,001.
2. Доказать, что lim(l + 2~n) = l при п—» + оо, и найти значение N,
такое, что при n>N переменное отличается от предела меньше чем
на 0,01.
3. Доказать, что НтЗп= +оо при 7ΐ—> + οο, и найти такое
значение N, что при п> N переменное будет больше 1000.
4. Доказать непосредственно из определения, что если
Нта# = -f oo, limbf=* + оо и sf~af-\-bft Pt=*at-btt
το limsf= 4-ое lim/?# = +oo и lim — = 0.
Pt
5. Найти при η -> + oo предел каждого из следующих выражений:
п2 -μ 2п + 4 Зтга + 2тг 2п
2л2-Ь1 ' 4и8-3 * Зтг2 + 47г + 1*
Указание. Разделить каждый многочлен на высшую степень п.
6. Как обобщение упражнения 5, показать, что если Ьтф09 то
и Дт^ + д^^-Ч ... +а1п + а0ат
гД+оо Ът п™ + Ьт_х п™~1 + ... + \η + Ь0 Ът "
7. Пусть в упражнении б атф0, а Ьт = 0, так что степень многочлена
в числителе выше степени многочлена в знаменателе. Показать, что
в таком случае указанный предел равен +оо, если старшие члены
числителя и знаменателя имеют одинаковые знаки, и равен — оо, если они
имеют противоположные знаки.
8. Пусть R (п) — некоторая рациональная функция от л, т. е. отноше-
,. R(n+k) ,
ние двух многочленов; доказать, что lim —h~?~^—β1·
J . ' n-*-H» Я (τι)
,, .. α, + α2+ · · · +αη г
9. Пусть lim ап = L при η -* оо. Доказать, что lim — =L.
Указание. Выбрать к таким, чтобы |L —an(<s для п>к\ если sp есть
сумма ρ первых ая и п = к + т, то показать, что s^-f mL — ш < sfc+m <
<s^ + mL + ms. Затем разделить на л = Л + т и положить т -* оо.
10. Определить верхний и нижний пределы при л-*оов следующих
примерах. .„^^ (_ 1)п.^ 1 + (_ !)η.Λ> _ι + (_ΐ)».Λ.
11. Доказать, что lim (я; — bf) ^Tlm. af — lim bt.
12. Доказать, что lim α^ + lim fy < Й5 (я* 4- Μ < lim af -f Ию bt.
13. Доказать, что если alt a2, ... — произвольная последовательность
цифр, т. е. каждое ап есть или 0, или 1, ... или 9, то десятичная дробь

66
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. II
Ο,α, α2. . лл будет возрастающей ограниченной функцией от п, и,
следовательно, будет стремиться к пределу при η -* оо. Мы обозначаем этот,
предел бесконечной десятичной дробью Ο,α^α^α^...
Доказать, что, обратно, всякое действительное число у, лежащее
между 0 и 1, может быть представлено такой бесконечной десятичной
дробью. Это представление будет единственным, за исключением случая,
когда 10пг/ при некотором η является целым числом; в этом случае у
может быть представлено двумя дробями: одна, начиная с л-го члена,
будет содержать только нули, другая — только девятки.
14. Показать, что в упражнении 13 вместо десятичной системы
счисления можно взять любую другую. В частности, если основание равно 2,
то будем иметь двоичные дроби
в которых все Ь$ равны 0 или 1; индекс после запятой обозначает
основание.
15. Показать, что если вложенные сегменты (см. § 28), определяющие
точку А, получены последовательным делением пополам, как в §♦ 12, и
первый сегмент есть 0,1, то первые η делений или концы л-го сегмента
определят первые η знаков Ь4 двоичного представления (см. упражнение 14)
координаты точки А, Если эта координата имеет два представления, одно —
оканчивающееся нулями, другое — единицами, то можно условиться всегда
выбирать последнее.
16. Пусть 2/ = ж2, 0s^a:<;i. Найти такое δ, что
I / (*') - / (*') К 04 при | х' - х*\ <3.
1
17. Пусть у = — , 30<3<;ΐ, χ0>0. Найти такое δ(#0), что |/(я') —
/ (?") К 0,1 при | х' — х" | < 3. Показать, что всякое δ (χ0) стремится
к нулю, когда х0 стремится к нулю.
18. Доказать, что всякий многочлен от одной переменной будет
непрерывной функцией при всех значениях х.
19. Доказать, что всякая рациональная функция, т. е. отношение
двух многочленов, будет непрерывной функцией при всех значениях х,
не обращающих в нуль знаменатель.
20. Если р —любое действительное число, то [р] означает наибольшее
целое число, не превосходящее ρ ([ρ] называется «целой частью р»).
Показать, что функция [х\, а следовательно, и функция ж —[ж], будут
непрерывны при нецелых значениях х, но что каждая из этих функций
имеет колебание, равное единице, в.ка^кдой целочисленной точке.
21. Показать, что функция ж—[ж], определенная в задаче 20, имеет
наименьшее значение, равное нулю, но не имеет наибольшего значения,
так как она не достигает своей верхней грани, равной 1.
22. Пусть f{x) определена на замкнутом интервале 0,1 следующим
образом: она равна нулю во всех иррациональных точках, равна 1 на
концах интервала, а во всякой другой рациональной точке, изображаемой
Ρ 1
простой несократимой дробью χ = — , полагаем / (х) = — . Показать, что
эта функция в каждой точке имеет колебание, равное значению функции
в этой точке, так что она непрерывна при любом иррациональном χ
(см. ниже, § 150).
23. Доказать, что если / (х) — многочлен, принимающий значения
различных знаков на концах некоторого интервала, то уравнение /(ж) = 0
имеет по крайней мере один действительный корець внутри интервала.:

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ* II
67
* 24. Пусть / (х) — многочлен нечетной степени. Доказать, что
уравнение /(ж) = 0 имеет по крайней мере один действительный корень.
25. Пусть / (χ)ν- многочлен четной степени с положительным старшим
коэффициентом. Доказать, что f(x) принимает в некоторой точке х0 свое-
наименьшее значение, т. е. /(ж0) = т и т</(ж) для всех
действительных х. Отсюда показать, что уравнение f(x) = k будет иметь
действительный корень тогда, и только тогда, когда к^т,
26. Число х, удовлетворяющее некоторому уравнению вида ап хп +
+ «Λ-i χη~χ 4- * · · + %# + а0 = 0, аа φ 0, где η — целое положительное число
и aft — целые числа, называется алгебраическим числом. Тогда, по крайней
мере при целочисленных коэффициентах (см. упражнение 30), корни
уравнений в упражнениях 24 и 25 будут алгебраическими числами.
Наименьшее значение п, которое возможно для данного алгебраического числа,
называется его степенью. Показать, что каждое алгебраическое. число
имеет степень и что степень равна единице тогда, и только тогда, когда
это число рациональное·
27. Бели х, fc& и с/с — произвольные действительные числа, такие, что.
Ъ2х* + \х + Ь0 = 0, с2 х2 + сх χ + с0 я 0,
то
Ьа х9 + Ъг х* -f Ъ0 χ = 0, с2 х9 + сг жа + с0 ж = 0.
Так как это —линейные однородные уравнения с четырьмя неизвестными
У* =з8» у8 = я2, 2/2 = *» 01=1» из которых последнее не равно нулю, то
детерминант, составленный из коэффициентов, должен равняться нулю
Ьа Ъх й0 0
0 &а bj Ь0
с2 сх с0 0
0 са Cj c0
«0.
Этот детерминант есть многочлен относительно коэффициентов. Обобщить
этот «метод исключения» (метод Сильвестра) на уравнения,
одно—степени т, другое — степени п.
28. Показать, что если у —многочлен огносительно χ с
рациональными коэффициентами, а х — алгебраическое число, то у-тоже алгебраическое
число. Указание. Исключить χ так, как в упражнении 27.
29. Пользуясь способом упражнения 28 или другим способом,
найти алгебраическое уравнение с целочисленными коэффициентами,
одним из корней которого служит г/=1 + 21^8 + 41^8.
30. Показать, что если действительное число я? удовлетворяет уравнению
y/i«n + ytl-i«n"1 + ... + yi« + ytB=0, · Уп#0,
где коэффициенты уп — алгебраические числа, то х— тоже алгебраическое-
число. Указание. Написать уравнение с целочисленными коэффициентами,
для которого у0 служит корнем, и исключить у0 способом упражнения 27.
Аналогично исключить последовательно все коэффициенты.
31. Если χ и у—алгебраические числа, то ж + у, х— у, #у, ж/у—тоже
алгебраические числа. Указание. Применить результат упражнения 30
к первым трем выражениям; для последнего предварительно доказать,
что 1/у — алгебраическое число.
83. Пользуясь способами упражнений 30 и 31 или другим способом,,
найти уравнения с целочисленными коэффициентами, обладающие корнями.
/3- γΈ\ Д2 ; χ, где ж2- т/"з"я+ /2 = 0.
/3+1 . Г

68
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. II
83ч Каждому алгебраическому уравнению с целочисленными
коэффициентами поставим в соответствие число JY = η + | п I + Ι αΛ-ι I + · · ·
... + Ι «ι Ι -Η I л01 — так называемую «высоту» полинома — степень плюс
сумма абсолютных величин коэффициентов. Показать, что имеется только^
конечное число алгебраических уравнений с целыми коэффициентами
данной высоты. Использовать это для доказательства счетности множества
действительных алгебраических чисел. Сравнить с упражнением 13 к гл. L
34* Предположим, что все алгебраические числа, заключенные между
О и 1, перенумерованы, и число, получившее в этом «списке» номерг п,
представлено в виде десятичной дроби 0,αηιαη2αΛ8· · · (См-
упражнение 13). Образуем число 0,сгслс9... , где сп — 5, если &пп — *» и сп, — *►
если аппфк. Так как среди сп нет ни нулей, ни девяток, то О.с^с^...
не представляет никакую конечную десятичную дробь, попавшую в наш
, список. И так как при всяком η оно отличается от числа, стоящего на
га-ом месте нашего списка, то оно не совпадает ни с каким числом в
списке. Следовательно, существуют действительные .числа, не являющиеся
алгебраическими. Такие числа называются трансцендентными. Пользуясь
таким же методом, доказать, что ни одна счетная последовательность
не может содержать все числа от 0 fto 1, так что множество всех
действительных чисел несчетно (Кантор).
35. Кривая Пеано, заполняющая площадь. Пусть t — некоторый
параметр, а ж, у — координаты точки, лежащей в квадрате 0 <<; $ <^ 1, 0 <; у < 1.
Представим эти числа в виде бесконечных троичных дробей (см.
упражнение 14): t = 0,8 ах αζ α8. · · » x = 09bb1bzbz.. . , у = 0,8 сг с2 с8.. . , так что,
например, представление числа t будет: t = -^4- -|- + -| -f-. .. Таким обра-
зом, все α/t, Ь^ и си. суть 0, 1 или 2. Поставим эти числа в соответствие
друг другу следующим образом: положим \ = αχ\ Ь2 = а8или 2 — аъ в
зависимости от того, будет ли аг четным или нечетным; Ьь = аъ или 2 — а5
в зависимости от того, будет ли α2 + α4 четным или нечетным, и т. д.,
ba — a%n-i или 2"~α2η-ι в зависимости от того, будет ли а2-М4+...
. . . 4· α& ,-2 четным или нечетным. Аналогично, пусть сх = а2 или 2 — а2
в зависимости от того, будет ли ах четным или нечетным, с^—а^ или
2 —а4, в зависимости от того, четно или нечетно αχ + α2, и т· Д·» сп=*а2п
или 2 — а2п в зависимости от того, будет ли аг-\-аг+.. . + α2η-ι
Четным или нечетным.
Показать, что хну определены как непрерывные функции от t для
0<!«<;i. Также показать, что для каждой пары значений χ и у между
О и 1 их выражения по базису 3 единственным образом определяют
последовательно числа аг, а2, аг а следовательно, и значение ί.
Если значения одной или обеих координат будут выражениями,
кончающимися двойками или нулями, то эти значения не приведут к тому же
самому значению t.
Функции x(t) и y(t), будучи непрерывными функциями, могут быть
рассматриваемыми как параметрические уравнения кривой, проходящей
через каждую точку единичного квадрата (Пеано).

Глава III
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Основными элементарными функциями являются: стеленная
функция хи, показательная функция рх, ее обратная logpx,
тригонометрические функции и их обратные. Мы дадим здесь
конструктивный арифметический подход к этим функциям.
Мы покажем^ что постоянные, входящие в некоторые основные
предельные соотношения принимают более простой вид, если за
основание показательной функции и основание логарифмов взять
некоторое специальное число е. Показательная и
логарифмическая функции при этом основании е полностью характеризуются
некоторыми своими простыми свойствами, которые будут
положены в основу определения.
Будет также показано, что основное предельное соотношение,
содержащее функцию «синус», упрощается, если принять для
аргументу измерение в радианах, связанное с числом π. Функции
sin χ и cos χ при х, измеренном в радианах, также будут
определены некоторыми своими простыми свойствами.
Затем мы кратко рассмотрим остальные прямые и обратные
тригонометрические функции.
39, Целочисленные степени и корни. При любом целом η мы
получим зцачение функции у = хп для каждого действительного
числа х9 умножая χ само на себя η раз.
Пусть χ находится между 0 и Ν, О < χ ^ N. Для каждых двух
различных значений хг и х2
*;-*? = (*, -X) (хТ1 + *г*Т* + ФГ* + · · · + О· (!)
Все члены в последней скобке правой части либо положительны,
либо равны нулю, и если х2>хг> то первый член этой скобки
отличен от нуля и тем самым последняя скобка будет
положительной. Отсюда следует, что
хп% > а£ ' при х2 >хг (2)
Таким образом, функция у = хп возрастает при положительных
значевгиях х.
Пусть ^-—фиксированное положительное число, #2*— любое
значение, такое, что
\Хъ-хг\<Ъ9 где δ<χ и 8<1. (3)

70 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФМ. И ТРИГОНОМЕТР· ФУНКЦИИ
Тогда, если Κ = χχ + ί, то
0<хг<К, 0<х2<К. (4)
Так как целые степени χ возрастают вместе с х9 то последняя
скобка в правой части равенства (1) возрастет, если заменить χι
и х2 через К. Отсюда следует, что
K-a?|<|s2-sJ#n · η <ЬпКп. (5)
Тогда, взяв
'Мы получим:
1*Г-*?|<«. если \хш-хг\<Ъш. (7)
Таким образом, согласно определению, данному в § 30, функция
у = хп будет непрерывной для всех положительных значений ж.
Для х1 = 0 и любого ж2, такого, что
0 < χ* < δ < 1, (8)
мы имеем:
К-*Г1 = *Г<*1. (9)
Тогда, рассматривая только значения я, лежащие вправо от нуля,
мы можем для 3^ = 0 брать δ = β.
Так как функция хп непрерывна и возрастает на сегменте
О, Ν, то, вследствие § 37, равенство у — хп определяет
однозначную обратную функцию χ = /-1(г^), которая будет также
непрерывной и возрастающей для 0<y<iV.
Так как iVn>iV при iV>l, то мы можем считать интервал
изменения у сколь угодно большим, взяв достаточно большое N.
Мы будем обозначать функцию, обратную к #*, через у1!».
Заметим, что у = хп обращается в нуль при
χ = 0 и Нт хп — + оо.
ЗС->+оо
Функция х = уг1* также будет равна нулю при
г/ = 0 и lim#1'»=+oo.
у-И-оо
Для всякого действительного положительного числа ρ
функция χ = г/1/* определяет число р1!» = q, положительный корень
n-й степени из р. Из обратного соЪтношения, т. е. из у = хп,
имеем ?п = р.
Если мы хотим пользоваться корнем как функцией от xf то
мы пишем у = х11п9 что эквивалентно соотношению ж=уп,
40. Рациональные степени. Как и в элементарной алгебре, мы
можем теперь определить рациональные степени положительного

41. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
71
действительного числа р, выразив их через корни из р. Мы
полагаем
гДе т и и — любые положительные целые числа, а г—-любое
рациональное число. Соотношения
(pr)s = Prs> PrP'r = (PPT, PrPs = Pr*s, (II)
где ρ и ρ' — положительные действительные числа; могут быть
доказаны для целых положительных г и s непосредственно из
определения целой положительной степени, как повторного
умножения. Для рациональных г и s они могут быть доказаны,
если свести этот случай к случаю целых г и $ и использовать
определения, данные равенствами (10).
Предположим, что рациональное число г имеет нечетный зна-
N
менатель. Тогда мы можем написать г = -=г-, r^eN—целое число,
a Z> —целое нечетное число. Если TV— четное при каком-нибудь
N
представлении г в виде дроби -^-, то оно будет четным при
всех таких представлениях г, и мы полагаем:
(—/?)г = /?г, г = -7)- при D нечетном, N четном (12)
и
(—р)г = —/Λ r^-fr ПРИ & нечетном, N нечетном. (13)
При этих дополнительных определениях соотношения (11) будут
продолжать выполняться для любых положительных и
отрицательных ρ и р'у если все входящие в эти соотношения показатели
степеней имеют' нечетные знаменатели.
41. Показательная функция для рациональных значений
аргумента. Пусть ρ — некоторое положительное действительное
число, большее единицы. Тогда для всех рациональных
значений х = г функция р? определяется при помощи равенств (10)
предыдущего параграфа. Мы установим следующее свойство:
Когда г возрастает, пробегая рациональные значения, функция
рТ (р> 1) также возрастает и
lim pr = 0, lim/>r = l, limpr=+oo. (14)
г->—оо r->Q r-*+co
Для любых двух рациональных чисел г и s имеем:
р°-рг=р'(р°-'-1). (15)
Но так как р>1, то каждая рациональная степень от ρ будет
положительна и каждая положительная рациональная степень

72 глава ш. показат», логариф. и тригонометрии, функций
от ρ будет больше единицы. Следовательно, если s > г, то правая
часть равенства (15) будет положительна. Это доказывает, что рг
возрастает, ибо ps > рт при s > г.
Положим
/?== 1 +rf, где d > О, так как /? > 1. (16)
Для любого целого положительного числа η будем иметь неравен-
ство
pn = (i + d)n>l + nd, (17)
которое получится, если отбросить, начиная с третьего, все члены
разложения (l + d)n по формуле бинома Ньютона.
Так как функция рг возрастает, то
рт>рп при г>п. (18)
Следовательно, если д&я любого положительного числа N выберем
целое число л, такое, что
п>^-^- или i + nd>N, (19)
то из последних трех соотношений мы сможем заключить, что
pr>N при г>п. (20)
Это значит, что
lim pr= +оо. (21)
г-►+оо
Отсюда легко получаются соотношения
lim рт = lim ρ"τ = lim -1 =■ О, (22)
г->—со г->+оо г-Н-оо "
Напишем теперь для произвольного целого положительного
числа л
p4»=i + du, (23)
где dn>0, потону что р1!» > 1 при р>1. Тогда, так же
как и в неравенстве (17), получим:
i + d = p = (l + d„)n>l + nda. (24)
Мы видим, что
d>ndn, откуда 0<с?я<4· (25>
Таким образом,
lim rf„ = 0 и limj»V» = l. (26)
П->+оо rt -> со

42. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
-73
Мы можем далее заключить, что
lim р-г1п= Ню -4т = 1. (27)
Если теперь г—>0, то можно найти'последовательность
положительных целых чисел и, таких, что
— — <г<-^- и тг->оо при 7·->0. (28)
Так как функция рг возрастающая, то
р-1/п <рт< рчп9 (29)
и из последних четырех соотношений заключаем:
limpr = i. (30)
Это доказывает наше утверждение о поведении функции рг при
рациональных значениях г.
42. Показательная функция для действительных значений
аргумента. Мы теперь докажем, что если последовательность
рациональных значений х, х — г стремится к с, то рх, или рг,
стремится к некоторому пределу. При этом с может быть любым,
действительным числом, и предел функции рх будет зависеть
только от с, а не от специального выбора последовательности
рациональных значений г, стремящейся к с.
Если г и s пробегают выбранную нами последовательность,,
так что lim г = с, lim s = с, то
lim (s - г) = 0, (31)
и, в силу (30), мы имеем:
limjB*~r = l. (32)
Возьмем любое рациональное число d, большее с\ тогда, начиная
с некоторого члена последовательности, будет выполняться
неравенство г < d, которое повлечет за собой неравенство
Рт < Pd+1 (33)
Но
/>*~^ = />'(/>*-'-1), (34)
и так как первый сомножитель в правой части (34) ограничен
вследствие (33), а второй сомножитель стремится к нулю,
вследствие (32), то мы получим:
lim|/>*—jPr|=0 при г —>с и s — /·—>0. (35)
Согласно критерию Коши (см. § 26), рт стремится к некоторому
пределу, когда χ пробегает выделенную последовательность
рациональных значений. Мы также видим, что рт стремится к одному

.74 ГЛАВА III, ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИЙ
и тому же пределу независимо от выбора рациональной
последовательности г, лишь бы только г—>с.
Если предел с —рациональное число, то получим:
Ьтрг = рс, (36)
так как мы можем, в частности, выбрать в качестве
последовательности рациональных значений г, стремящейся к с, такую
последовательность, у которой все члены равны с.
Если с — иррациональное число, то определяем рс как
единственный предел, заданный равенством (36). Тогда это равенство
будет иметь место для всех действительных значений с.
Теперь пусть с и с' > с -—любые два действительных числа.
Мы можем найти рациональные числа s и $', такие, что с< s<
< s' < с'. Можно также найти последовательности рациональных
чисел гиг', такие, что
г->с, г'->с' и r<s, r'>s'. (37)
Тогда, так как /^ — возрастающая функция для рациональных
значений, то
Pr<Ps, PS<PS', Ps'<Pr'. (38)
Устремляя г и г' к пределам, получим отсюда:
Pc<Psy Р$'^РС', откуда рс < р°''. (39)
Так как это справедливо для любых двух действительных
чисел си с' > с, то рх будет возрастающей функцией для всех
действительных значений х.
Пусть теперь х —>с, пробегая некоторую последовательность
действительных значений. Тогда можно найти две
последовательности рациональных чисел г и s9 таких, что
r<x<s и r—>ct s~>с при ее—>с. (40)
Так как функция /^ — возрастающая для всех действительных
значений аргумента, то
рг<рх< р8. (41)
Но, вследствие (40) и (36),
lim pr = pc, liJ& ps = pc. (42)
Отсюда, до последней теореме § 23,
lim px = pc. (43)
Это доказывает непрерывность функции рх при всех
действительных значениях х.

43. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
75
Далее, взяв вместо рациональных г любые х, можно доказать,
точно так же, как равенства (30) и (22), соотношения
lim />ж = 0, lim />*=+оо. (44)
Наконец, применяя рациональные последовательности,
стремящиеся, к иррациональным пределам, мы можем распространить
соотношения (11) на случай, когда г и 5 —любые действительные
числа.
Подведем итоги этого параграфа:
Если ρ—положительное действительное число, большее единицы,
то однозначная функция рх будет положительной и непрерывной
для всех действительных значений х. Еслих—> -~ со, то рх —>0;
если х —»+оо, то рх—>+оо. Функция рх будет возрастающей
для всех значений х.
Мы можем снять ограничение, что ρ > 1. Для этого полагаем
1* = i для всех значений х, -■ а для q < 1 полагаем
«■-(тГ· (45>
Тогда первое утверждение теоремы останется в силе для всех
положительных действительных значений р. При q < 1 функция
qx убывает для всех действительных значений χ и qx -* + оо
при х—>—оо, тогда как если х—>+°о, то дж —»0.
Наконец, имеем равенства, подобные равенствам (11):
(р*)" = />*«, />*/>'* = (pp'f, ' />*/>« = />*+", (46)
где ρ и /?'·— любые положительные действительные числа,
£ χ и и—любые действительные числа;
43· Логарифмическая функция. Если /?·— произвольное
положительное действительное число, большее единицы, то функция
рх непрерывна и возрастает в замкнутом интервале —Ν,Ν.
Тогда, по теореме § 37, уравнение у ~f(x) = px определяет
однозначную обратную функцию χ = /~1 (г/), которая будет
непрерывной и возрастающей в замкнутом интервале р~**<у<р**.
Вследствие равенства (44), в этот интервал попадет любое
заданное положительное число, если N выбрано достаточно большим.
Для обозначения обратной функции от рх мы применяем
обозначение logp у и называем ее «логарифм от у при основании р>. Тогда
у = рх и x^logpy (47)
будут эквивалентными соотношениями между χ и у.
Заметим, что, вследствие (44),
lim logp у = — оо, lim logp у = + со (/> > 1). (48)
у-*0+ у-Н-оо

76 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЧ* ФУНКЦИЙ
Соотношения (47) позволят нам извлечь свойства логарифмов^
из свойств показательной функции, выраженных равенствами (46).
Таким образом, если
хг = 1°ёрУ1 и S2 = logp2/2, (49>
то
У1У2 = РХ1РХ2 = РХ1+Х2, т. е. хг + х% = \о%р(угу%), (50)
так что
logp (уг у2) = bgp у, + logp y2. (51}
Аналогично
yu^^xf^pux^ т# θ ux^logpyuf (52).
откуда
logp (У") = в logp у. (53)
В частности, из равенства (53), положив в нем и= — 1, и из
равенства (51) получим:
logp -£ = - l°gp У* l°gp -Jj = logp Уг - l°gp ^2. (54)
Наконец, взяв логарифм от у при новом основании Р,
X = logpy, так что у = Рху (55)
где
Р = р*, так что u = logp.P, (56)
получим
У = РХ = (Р")Х = Р»Х, т. e.»X = logpy. (57)
Таким образом,
logp у = logp /> · logp у или logp у = jg^|. (58)
Если, в частности, у = р, то
Равенства (58) и (59) легко запомнить вследствие их полной
аналогии с равенствами
JL
р~~ Ρ Ρ ' Ρ ~ Ρ_> Ρ ~ Р_' VW;
Ρ Ρ
Мы можем взять логарифм при основании, меньшем единицы,,
и повторить все наши рассуждения, заменив возрастание на
убывание и соответствующим образом изменив соотношения (48).

45. ПРОИЗВОДНАЯ
11
Все остальное останется при этом в силе. Следовательно, любое
люложительное число, кроме единицы, может быть взято за
основание логарифмической функции.
Если требуется рассмотреть логарифмическую функцию от
независимого переменного х, то мы пишем:
y = logpx, что эквивалентно х = ру. (61)
При этом нужно поменять местами χ и у во всех равенствах
настоящего параграфа*
44. Общая степенная функция. Каково бы ни было
действительное число и, степенная функция хи может быть определена для
значений ж>0 с помощью показательной или логарифмической
функции:
хи = (plogpx)" = pu logpx# (62)
Так как это выражение возрастает вместе и logp x, мы видим,
что хи также возрастает вместе с ж, если и положительно, и
убывает при возрастании х, если и отрицательно. Пользуясь
(48) и (44), мы заключаем из равенства (62), что
Нтжи = 0 при ю>0 (63)
Ж
lim хи = + оо при и < 0. (64)
Поэтому естественно определить 0" = 0 для и > 0 и считать
это выражение неопределенным для и<0 и w = 0.
В некоторых предельных соотношениях, когда и фиксировано
и отрицательно, соотношение (64) дает возможность определить
предел. Если же и и χ связаны так, что и—>0, когда ж—>0, то хи
может не стремиться ни к конечному, ни к бесконечному
пределу. Но, накладывая при этом на и и χ подходящие ограничения,
мы можем заставить хи стремиться к любому заданному
положительному значению аг когда х —>0, и —>0. Например,
если » = |^Уд у т0 w—>0 при х—>0 (65)
жи = а, так что lim xu = а. (66)
45. Производная. Производной функции /(ж) по переменному
χ при данном значении χ называется число, полученное как пре-
дел при я —>0 выражения —— / , » если этот предел суще-

78 ГЛАВА ΠΙ. ПОКАЗАТ. ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ
ствует. Мы обозначаем производную οχ f (χ) по χ через f (x), так-
что
Мы отложим подробное изучение свойств производной до еле-1
дующей главы; здесь это определение введено только для того,
чтобы объяснить, почему мы заинтересованы в некоторых
предельных соотношениях.
В случае функции \о%рх производная задается соотношением
f од = um logf(* + y-logP« (68>
в предположении, что предел существует.
В силу свойств логарифма, выраженных равенствами (53)
и (58), можно написать для любого 3>0:„
logp(* + A)-logpa; = logp(n.A)=ai.iogp(l + A)*/*. (69)
Поэтому
log>(«+t)-log>,=llo8^A + ^«/^ (70>
Так как логарифм — непрерывная функция, то вычисление
предела выражения (70) сводится к вычислению
limfi + AY7*, x>0. (71)
Этот предел не зависит от х, так как если положить h = их, то
получим:
lim(i + u)ilu. (72)
46· Чисяо е. Чтобы изучить предел (72), положим ю = =г
и рассмотрим .
lim Γΐ + 4-У. (73>
Для целых положительных значений U мы може!м показать,
пользуясь теоремой § 27, что такой предел существует. Заметим прежде,
всего, что если η — целое положительное число, то, в силу формулы
бинома Ньютона, имеем:·
= 1 + 1+ \ V+...+ V nJ п] У "Λ (75Х

46. ЧИСЛО е
1%
С увеличением η каждый член этого выражения также возрастает-
Растет и число членов. Следовательно, функция Ct-\—j
возрастает вместе с. л. Но выражение (75) меньше, чем
1 + 1+4 + ^+... + 2^=3~2^<3, (76>
так что для всех целых положительных η
0 + i)"<3. (77)
Тогда, по теореме § 27 о возрастающих переменных, наша
функция будет стремиться, к некоторому пределу. Обозначим этот
предел через е:
lim (l+ !)" = *. (78).
Так как сумма первых двух членов в (75) равна 2, а остальные
члены положительны, то
2<(l+^-)n<3 и 2<е<3. (79),
Выражение (75) подсказывает нам, что полезно расбмотреть сумму .
sn=i + l + ^ + ±+.,.+±r (80)-
Эта сумма возрастает вместе спи имеет верхней границей 3, ибо
каждый ее член меньше соответствующего члена суммы (76).
Следовательно, sn стремится к некоторому пределу L, когда
п—>оо. Так как каждый член суммы (80) не меньше
соответствующего члена суммы (75), то
*η>(ΐ + τΥ и limsn>e, L>e. (81)
Но так как sn—>L, то для всякого положительного β можно
найти такое Ν, что
^>L-e; (82)
и так как каждый член суммы (75) возрастает и стремится к
соответствующему члену суммы (80), когда и—»+оо, то можно
найти такое N' > N-, что для n>N' будет выполняться
неравенство
К П\Л —>ΊΤ-ΪΤ>· r = i,2,..„N. (83)
Тогда, так как все члены суммы (75) положительны, для каждого
η у превосходящего некоторое Ν', эта сумма будет превосходить

30 ГЛАВА HI. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИИ. ФУНКЦИИ
сумму первых N + 1 членов, так что, в силу неравенств (82) и (83),
«будем иметь:
(ΐ + !)η>*η-Λ^>£---2ε, если N>Nr. (84)
Отсюда, так как з произвольно,
е>£ — 2з или e>L. (85)
Из (81) и (85) вытекает, что
L = e, т. е. e = limsw. (86)
п-юо
Чтобы оценить приращение суммы sn при замене η на η + к,
заметим, что для всякого положительного целого числа η
(*+1)! + (и+2)! + ·' ' + (7ΐ +Λ)! < (n + l)l VT"·""^"^ ••·+2Λ">)^87)
и
Таким образом,
sn,k<sn + ^rw. (89)
Так как (89) выполняется для любого к, то, фиксировав η
;и заставив к стремиться к бесконечности, получим:
lim sn,k <sn+ * . (90)
fc-*+oa ν* ~ x/·
ft-*+oa
Так как сумма sn, стремясь к е, возрастает, то отсюда мы
заключаем, что
*п<е<*п + ~{> л>1, (91)
где
V=l + l + f+ £+.■·+£. {92)
Так как сумму sn легко вычислить и так как эта сумма дает
приближенное значение для е с погрешностью меньшей числа ^ ,
которое быстро убывает при возрастании п, то последнее
соотношение дает нам возможность вычислить значение е с любой
степенью точности. Это значение есть 2,71828...,
47. Другие последовательности. Мы показали, что для всякой
последовательности целых положительных чисел п, таких, что
«я—>+oo,limM-|—J = е.

47. ДРУГИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
81
Рассмотрим теперь последовательность произвольных чисел U,
целых или нецелых, стремящихся к +оо. Для каждого члена
этой последовательности найдется целое положительное число п,
такое, что
n^U <n + i\ (93)
так как U-■-» + °э, то
я-^+оо. (94)
Из (93) имеем:
*+~T<i+w<i+i> <95>
и так как хи возрастает вместе с χ при фиксированном
положительном и, а также возрастает вместе с и при фиксированном
χ > 1, то из (93) и (95) получим неравенства:
Но
iim(i+^)n+1=iim(i+¥)n(i+-^)=e-i=e <97>
iKi+^J=lim(l+^TXl+^hT=e'1=e'(98)
когда п, а следовательно, и η +1 стремятся к бесконечности,
пробегая любую возрастающую последовательность целых чисел
и, в частности, последовательность, определенную неравенствами
(93). Тогда из последних трех соотношений имеем:
lim (1+-1У = е> (")
согласнр теореме § 23.
В заключение рассмотрим, некоторую последовательность
действительных чисел Uу такую, что Ϊ7—> — оо. Положим U= — V;
при этом V—>+оо, и мы можем написать:
Когда V, а следовательно, и V — 1 стремятся к +оо, в силу (99)
получим:
u-O+^O'-B-O+rbrO+r^)-· '-·(101)
заключаем, что
Ню (ί+±)ν = β.
Из соотношения (100) заключаем, что
^и -- (102)

32 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. II ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ
Так как каждая последовательность значений U, для которой
11/" [ —> оо, может рассматриваться как комбинация последователь-
ностей, для которых С/"—*-j-oo или U—->— со, то из (99) и (102)
следует:
Ню (l + ±Y^e. (103)
\
Полагая U — —, выводим отсюда, что
1ш1(1 + и)1/и = е. (104)
48. Производная логарифмической функции. Вернемся теперь
к вычислению производной /' (х) функции / (х) = logp z,
определенной нами в § 45. Мы видели, что
lofrfr + jo-iog,* = | log^1+A)«'A. (105>
Как и раньше, полагая h = ux, мы получим, в силу (104),
Нт(Ч + -У/Л = Нт(1 + и)1/и = е. (106)
Отсюда и из непрерывности логарифма мы заключаем,
вследствие (105), что
limtog><ae + *)-log>a;=llogl>6. (107)
Это показывает, что
если / (я?) = logp ж, то /'(s) = -^logpe. (108)
49. Натуральные логарифмы. Для упрощения вычислений
мы обычно применяем логарифмы при основании 10, так
называемые десятичные логарифмы. Они-обладают тем полезным
свойством, что, когда в десятичной дроби запятая передвигается
направо, логарифм дроби возрастает на целое положительное
число. Таким образом, для вычисления log10 x надо иметь
таблицу только для 1<сс < 10.
В вычислениях, в которых предельное соотношение (107)
встречается достаточно часто, выгодно по возможности его
упростить. Поэтому мы обычно берем е за основание логарифмов; это
дает logpe<=logee=l, и в равенстве (107) можно отбросить
множитель logp е. Логарифмы при основании е называются
натуральными логарифмами. При вычислениях обычно пользуются
обозначением \пх вместо loge#. Так как в дальнейшем мы будем
главным образом применять натуральные логарифмы, то мы будем
писать просто log χ вместо loge x. В этих обозначениях соотноше-

50, СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ &\
ния последнего параграфа могут быть записаны:
limlog(ag + y-=llg^ = l> (109)
или
если / (х) = log χ, то /' (#) = ± . (110)
50. Характеристические свойства логарифмической функции*
Применяя результаты предыдущих рассуждений, которые хотя
и медленно, но привели нас к построению логарифмической
функции, мы можем теперь дать краткую характеристику
функции log χ.
Функция logo: есть функция, обладающая свойством
log χ -f- log xf = log xxf (ill)
для всех действительных положительных значений χ и χ*,α также
предельным свойством
limi£iii±f)==l. (112)
Эти свойства полностью определяют логарифмическую функ*
цию в том смысле, что можно найти функцию, обладающую этими
свойствами, и такая функция единственна.
Функция log χ— натуральный логарифм, от х, определенная
в предыдущем параграфе, обладает свойством (111). Далее,
если в равенстве (109) взять 1 вместо χ и χ вместо /г, то это»
равенство сведется к (112), так что вторым свойством log о; также
обладает. Это показывает, что данпое определение возможно.
Предположим далее, что функция L(x) удовлетворяет уравне^
нию
L(z) + L(x') = L(xaf) (113)
и условию
lim L([ + x) sl, (114)
Тогда, полагая х' = 1 в (113), получим:
L{x)+.L(\) = L{x) и I(1) = 0. (115)
Далее, полагая ж'= 1-1—, хх' = χ + h, найдем из (113):
L(x + h)-L(x) = L(l + ~^. (116)
Но из равенства (114) видно, что
liml (1 + ж) = 0. (117)

84 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИИ- ФУНКЦИИ
Это показывает, что при А—»0 правая часть (116) также
стремится к нулю и, следовательно, функция L (х) непрерывна для
всех положительных значений х.
Полагая ж;=ж, а затем х'—хп в (113), мы можем показать
при помощи математической индукции, что для каждого целого
положительного числа п:
L{xn) = nL(x). (118)
В частности, отсюда следует, что
ЧО+^-Ч'Ц)-^·
(119)
Предел левой части этих равенств при η —» со можно найти с
помощью равенства (78), исходя из того, что L (х) — непрерывная
функция. Предел правой части равенств (119) при я—»оо мы
найдем, положив х = — в (114). Таким образом, мы получим:
L(e) = l. (120)
Из соотношения (118) мы выводим для положительных целых
чисел ρ и q:
L (хШ) = 1L {х)у L (хр1«) = £ L (x)f (121)
следовательно, в силу (120),
L(e*) = r = loger. (122)
Таким образом, L(x) принимает те же значения, что и logic,
для всех х, имеющих положительные рациональные логарифмы.
Так как любое число, большее 1, является пределом
последовательности таких положительных рациональных значений и так
как обе функции непрерывны, то отсюда следует, что
L(x) = logx (123)
для всех действительных значений ж, больших 1. Наконец, пола-
гая #' = — в равенстве (ИЗ) и вспоминая, чтоЬ(1) = 0, мы
получим:
*(±) =-£,(*). (124)
Это показывает, что для всякого положительного числа,
меньшего 1,
L (х) = - L (А) = - log i = log χ. (125)

51. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
85
Так как L(l) = 0 = logl, то мы доказали, что всякая функция
L(x), обладающая свойствами (ИЗ) и (114), должна совпадать
с log x для всех положительных значений х,
51. Характеристические свойства показательной функции.
Мы можем подобным же образом формулировать
характеристические свойства показательной функции:
Функция ех есть функция, обладающая следующим свойством:
ех .бх' = ех+х' (126)
для всех действительных значений χ их', а также предельным
свойством:
lim-i—ι = ι. (127)
Эти свойства полностью определяют показательную функцию.
Заметим, что функция рх, определенная в параграфе 42, при
р = е обладает свойством (126). Если ех = 1 + и, то
log(i + u) = x и и—>0 при ж —»0. . (128)
Тогда, вследствие (112),
Й^'-Йт^-1- <129)
Это показывает, что можно определить функцию, обладающую
этими двумя свойствами*
Предположим далее, что функция Ε (χ) удовлетворяет
условиям:
Е(х)Е(х') = Е{х + х') (130)
lim^WzJL^i. (131)
Полагая в первом соотношении х' = А, получим:
B(z + h) — E(x) = E(x)[E(h) — l]. (132)
Но из второго соотношения следует, что
lim[E(x)-i] = 0, (133)
так что, когда Α—·»0, правая часть уравнения (132) также
стремится к нулю и, следовательно, функция Ε (χ) будет непрерывна
для всех действительных значений х.
В частности, из (133) й из непрерывности Е(х) при я = 0
следует, что
Я(0) = 1. (134)

86 ГЛАВА Ш. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ
Применяя метод математической индукции, как и в
предыдущем параграфе, мы можем вывести из равенства (130), что для
любого целого положительного числа η
Е(пх) = [Е{х)]п. (135)
Отсюда для целых положительных ρ и q находим:
Е(^) = [Е(х)]Ш и я(!*) = [Я(*)]р/«. (136)
Далее, полагая хг — — χ в уравнении (130) и применяя (134),
найдем, что
Е(-х) = [Е{х)}-\ (137)
Равенства (136) и (137) показывают, что для всякого
рационального числа г:
Е(гх) = [Е{х)у. (138)
Отсюда следует, что если мы положим
р=-Е(1), то Е(г) = рг. (139)
Число ρ должно быть больше единицы, ибо из свойства (131)
следует, что Е(г) — рг больше .единицы для достаточно малого
положительного значения г. А так как функции Е(х) и рх
совпадают для всех рациональных значений χ и обе непрерывны, то:
Е{х) = р* (140)
для всех действительных значений х.
Теперь положим
/?* = 1+и, log(1 + u) = xlogp, и —>0 при х—>0. (141)
Тогда
Е{х)-\ ^р*-\ = ulogp ,{ί2)
χ. χ log(l + w) ' ^ '
так, что
l = lim—^-H- = log nlim -—-£-—r = log p. (143)
Отсюда следует, что log/? = l и р = е, так что функция Е{х) = рх
тождественно равна показательной функции; ех. Этим доказано,
что всякая функция, обладающая свойствами (130) и (131), должна
совпадать с ех для всех действительных значений х.
Интересно отметить, что равенства (ИЗ) и (114) и (130) и (131)
не содержат явным образом числа е. Однако это число
определяется из первых двух равенств соотношением L(e) = l, а из
последних двух — соотношением 2?(1) = е.

53. ОПРЕДЕ ЛЕНИВ sin х И cos χ Β ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ 87
52. Тригонометрические функции. Читатель знаком с
определениями шести тригонометрических функций и с выводами их
свойств, основанными на геометрических рассмотрениях. Такое
исследование будет законным при условии, что позволено
основывать определение функций, применяемых в анализе, на
геометрических рассмотрениях и что применяемые геометрические
факты сами получены при помощи строгих рассуждений и
основаны на точно определенных понятиях. Однако курсы
элементарной геометрии часто не удовлетворяют этим требованиям.
В них иногда даже не определяется длина дуги окружности,
несоизмеримой со всей окружностью.
Так как по указанным соображениям желательно дать
арифметическое обоснование анализа, то мы дадим здесь
конструктивное арифметическое определение тригонометрических
функций, заодно избежав необходимости строгих геометрических
определений. Следующие определения:
sin χ . cos χ 1 1 /л/г\
tgx — cXjgx-—-.— , sec# = , cosecx = -—» (144)
& COS X ' ft Sill X ' COS X ' SlTi X' v '
позволяют выразить эти четыре функции через синус и косинус
и свести все теоремы относительно любой из Шести
тригонометрических функций к теоремам относительно синуса или косинуса.
Поэтому мы сначала будем рассматривать синус И косинус, хотя
иногда в рассуждениях нам удобно будет применять Igx как
краткое обозначение для .
53. Определение sinae и cos x в первой четверти. Перед тем
как перейти к окончательным определениям, мы опишем в общих
чертах метод, которым приписываются численные значения
функциям sinx и cos я для χ на сегменте 0<#<90.
Геометрическое изложение подсказывает, что sin χ и cos χ
должны обладать тем свойством, что для любых двух значений
α и 6 из области определения обеих функций, для которых а+ Ь
также принадлежит их области определения, выполняются
соотношения:
sin (a -J- b) = sin a cos b + cos a sin b, (145)
cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin 6, (146)
1 = cos2 a + sin2 a. (147)
Мы будем руководствоваться этими условиями, проверяя
выполнение их по мере построения функций sin χ и cos x.
Сначала полагаем:
sin 90=^1, cos 90 = 0, (148)
sin 0 = 0, cos 0=1. (149)

88 ГЛАВА Ш. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЯ. ФУНКЦИИ
smy
90
Затем рассмотрим значения χ вида щ, где η —-
положительные целые числа. Такие значения мы будем обозначать .
*»=?· (150>
Мы будем говорить о значении $, подразумевая любое из этих sn,
Определим наши функции для x = sn:
+ У 2 * COST= + J/ 2 · (151)
Отправляясь от s0 = 90, мы таким образом определим
последовательно значения sin χ и cos x для x = sl9 s2, ...
Определения (148), (149) и (151) таковы, что условия (147)
автоматически выполняются для всех рассмотренных нами до сих
пор значений аргумента. Что же касается (145) и (146), то а, Ь
и а+Ь могут одновременно принимать значения s, только если
а и Ъ равны друг другу или одно из них равно нулю. Положив
а = 0, получим, что (145) и (146) обращаются в тождества, в силу
(149). Взяв а= 6 = ~ , получим, что (146) удовлетворяется
вследствие (151), а (145) — вследствие (151) и уже проверенного
соотношения (147).
Рассмотрим теперь функцию
Ufa или sin*" . (152)
Чтобы проследить за изменением этой функции при изменении п,
мы прежде всего получим из (151) при у = sn> s— %sn = sn-1>
cos2 sn + sin2 sn = 1, (153)
2 sin sn cos sn = ]/1 — cos2 sn^ = sin srt-1, (154)
cos sn_! = cos2 sn — sin2 sn < cos2 sn. (155)
Отсюда
sn—ι sn—ιcos sn-i 2srt cos srt—1 sn cos δΛ^>1 srt
Мы видим, что функция (152) убывает при возрастании /г. Так
как она положительна, то (см. § 27) она стремится к пределу,
когда η —» оо:
lim \Sln = L. (157)
Так как когда η—*оо, то sn—»0, отсюда следует, что
lim tgsn = 0 (158)
n-M-oo

53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ sin ж и cos ж В ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ 89
и, следовательно,
lim sin^== lim (tgsncossn) = 0, (159)
ибо, вследствие (153), значения cossn не превосходят единицы.
Пользуясь равенством (153) и тем, что cossn — всюду
положительная функция, из последнего равенства получим:
lim cossn= l, (160)
что вместе с соотношением (157) дает нам:
lim £!*£» = ι. (161)
В силу (154),
sin sn-t _ 2 sin sn cosgq sin sa ,»βο\
Sn-i 2sn sn
r\ sin stl
потому что cossn меньше единицы. Отсюда следует, что
sn
возрастает при возрастании η и, следовательно, всегда меньше
своего предела L. Так как -^ стремится к своему пределу,
уоывая, то это выражение всегда больше своего предела. Поэтому
iil££L<L<^£-, (163)
sn sn
ИЛИ
sin sn < Lsn < tg sn (n > 0). (164)
Теперь мы распространим наши определения на значения спе-
90т
циального вида msn или -щ-, где т/г —целые положительные
числа, меньшие 2Л. Эти значения мы будем обозначать через t.
Так как каждое положительное целое число есть сумма
степеней двойки, то:
II
яг=2 а,^-', где ^ = 0 или 1, (165)
/ = 1
и отсюда следует, что
*=9ΐ=2^-=Σ«^. dee)
Это разложение позволяет нам определить функции sin ж и cos я
для всех значений #= £, применяя последовательно формулы (145)
и (146). Каждое t есть сумма некоторого числа различных s,
потому что все at равны либо 0, либо 1, и слагаемке такой суммы
могут быть расположены в порядке возрастания индексов у
чисел s. Это дает возможность указать порядок последовательного

«90 ГЛАВА III . ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЯ* ФУНКЦИИ
применения формул (145) и (146), например, сначала для первых
двух членов, затем для суммы этих двух членов и третьего члена
и т. д.
Однако полученный результат не будет зависеть от этого
порядка. Ибо, если формулы (145) и (146) справедливы для
(a + b) = a + b и (a + b + c) = (a + b) + c, (167)
то
sin (а+ 6 + с) — sin a cos b cos с + sin b cos с cos a + sin с cos a cos b —
— sin α sin 6 sin с (168)
я
cos (α -γ b -f с) = cos a cos b cos с —- cos a sin 6 sin с — cos 6 sin с sin а —
— cos с sin α sin b. (169)
Симметричный вид этих выражений показывает, что значения
левых частей, вычисленные двухкратным применением формул
{145) и (146), не будут зависеть от порядка, в котором мы
группируем слагаемые-я, 6, с. Отсюда следует, что значения функций,
.вычисленные для суммы конечного числа слагаемых, не. будут
зависеть от группировки этих слагаемых. Если мы теперь возьмем
три различных значения t= tiy t2, t3, причем it+ t2 = tZi и
представим tx и t2 в риде сумм различных sn , то значения функций,
вычисленные для tt + t2 по формулам (145) и (146), при a=tl9
Ъ = t2, будут теми же, что и значения, вычисленные для суммы
всех sn, входящих в tx и /2, при любой другой группировке ее
слагаемых. Объединяя входящие в tx и t2 числа sn с одинаковыми η
до Hex пор, пока все оставшиеся sn не будут иметь различные
индексы, мы придем к группировке . слагаемых, дающей с
точностью до порядка представление t3, с помощью которого были
определены sin£8 ncosi3k Это показывает, что условия (145) и
{146) удовлетворяются, если a, b и а + b являются
значениями t.
Теперь мы можем проверить для sin t и cos t условие (147).
Так как из (145) и (146) следует:
cos2 (а + Ъ) + sin2 (а + Ь) = (cos2a + sin2a) (cos26 + sin26), (170)
то, по самому определению,
l = cos2i+sin4 (171)
так как это соотношение имеет место для sn.
Теперь мы хотим показать, что sin t и cos t будут положительна
для значений / в интервале 0 < t < 90.
Из (145), (146) и (147) следует, что
si n (a + b) cos a — cos (a + b) sin a — sin 6 (172)

53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ sin χ и -cos x В ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ 91
И
cos (a + b) cos a + sin (a + b) sin a = cos 6, (173)
так что эти равенства будут удовлетворяться, если a, b ша+Ь
будут значениями t>
В частности, если положить a=t, fc = 90— t в (172), мы
получим:
cos г = sin (90 — t). (174)
Скажем, что значение / имеет порядок /г, если его можно
записать в виде -^г-» гДе w — нечетное целое число, 0 < т < 2.
Тогда значение Ζ порядка я+1, не являющееся значением
порядка п, будет лежать посредине между двумя
последовательными значениями t порядка п> отличающимися друг от друга
90
на-^-, т. е. на sn. Первое значение t порядка η + ί будет sn+it
о синусе и косинусе от которого известно, что оба они
положительны. Остальные могут быть получены прибавлением
sn+i к различным t порядка п. Тогда, если функции синус
и косинус положительны для всех t порядка п, то из (145)
следует, что синус будет положительным для всех t порядка
η + ί. Так как 90—г является значением t порядка η + ί, коль
скоро t имеет этот порядок, то из (174) следует, что и
Косинус будет положительным для всех t порядка η+ί. Но
единственным значением t порядка 1 будет s19 о котором известно,
что синус и косинус от него положительны. С помощью
математической индукции получим, что синус и косинус положительны
для t любого порядка, т. е. для всех значений t в интервале
0 < t < 90.
Отсюда и из уравнения (171) мы имеем:
0<sini<l и 0<cost<! (0<ί<90). (175)
Мы можем теперь доказать, что sin t возрастает вместе с t.
Пусть ti и £2— два различных значения ί, таких, что
0 <*!<*,<90. (176)
Тогда ** + *2 и -~^ будут значениями t9 не выходящими
из области 0 < t < 90.
Подставляя их вместо а и 6, найдем из (145):
sini£ = rini«^iCos!^+ - (177)
Полагая йке а= 2~ *, b = tl9 найдем из (172):
sin^ = sin-i^-Scos-V-i-- cos-Цг-2sin-V-' ·■ (I78)

92 ГЛАВА III. ПОКАЗАХ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИИ. ФУНКЦИИ
Из последних двух равенств следует, что
sin t2 - sin tx = 2 cos ЩЬ sin Ь=Ь . (179)
Косинус и синус в правой части равенства положительны, так как
их аргументы находятся в области 0 < г < 90. Это показывает,
что, при условии (176), sini2 > sin^, т. е. sin t возрастает вместе,
с t для 0 < t < 90.
Рассмотрим теперь некоторые предельные соотношения.
Предположим, что нам дана последовательность значений t,
сходящаяся к нулю. Поставим в соответствие каждому t из этой
последовательности такое sn, что
t<sn, l\mn= +ог. (180)
/-> о
Тогда
0 < sin t < sin sn; (181)
отсюда и из соотношения (159) заключаем, что
limsini = 0. (182)
Теперь пусть t' и t" — любые два значения из области 0 < t <90.
Тогда
| sin tr - sin t' | = 2 cos l—^ si η 11-~ | , (183)
причем при *' = Г обе части равенства обращаются в нуль, а если
t' и t* не равны между собой, то это равенство сводится к (179),
где t2 большее, a tx меньшее из значений f и У. Так как
косинус имеет нижнюю границу 0, а верхнюю 1, то из последних
двух равенств следует, что
lim|sinr — sin*' | = 0, когда |г —ί'|—*0. (184)
Последнее соотношение дает возможность определить sin χ
для любого действительного значения χ из сегмента 0<#<90.
Заметим, что так как для любого действительного числа χ мы
можем найти такое t порядка п, которое отличается от χ не более
чем на sn, и sn—>0, когда п—>оо, то для каждого
действительного числа χ имеются последовательности значений ,ί, такие,
что x = limt. Если V и f — два любых члена такой
последовательности, следующие за ί, то
Нт|Г — ί'| = 0, если lim t = x. (185)
Из (184) и (185) следует, согласно критерию сходимости Коши, что
sin J стремится к пределу, когда ί—>χ. Выбирая V и V в (184)
из двух различных последовательностей, мы увидим, что предел
будет одним и тем же для всех последовательностей, сходящихся

54. ЧИСЛО π
93
к χ. В частности, если само χ есть значение £, то мы можем взять
t" — x в соотношении (184) и вывести, что
lim sin t = sin x. (186)
t-*x
Для значений х, не являющихся значениями *, мы
рассматриваем (186) как определение значения sin x.
Из равенства (174) видно, что если положить
cos s = sin (90 — χ), (187)
то получим
lim cos t = cos x (188)
t->x
для каждой последовательности t, сходящейся к х.
Рассматривая последовательность значений t1$ сходящуюся
к действительному числу х19 и последовательность значений £2,
сходящуюся к действительному числу х2, мы можем показать при
помощи (186) и (188), что все равенства, установленные для
значений t9 остаются в силе для всех действительных значений χ
из области 0<#<90. В частности, можно установить
соотношение (179) и применить его к доказательству возрастания sin ж
а также установить равенство (184) и с помощью его доказать
непрерывность sin χ. Тогда из (187) будет следовать непрерывность
cosx и убывание cos χ при возрастании χ в области 0<#<.90.
Функции sin а; и cos x9 определенные методом этого параграфа
для значений # от 0 до 90, обе непрерывны на этом сегменте. Синус
возрастает от 0 до 1, а косинус убывает от 1 до 0, когда χ
возрастает от 0 до 90.
54· Число π. Мы можем распространить предельные
соотношения (157) и (161) для остальных значений χ следующим образом.
Пусть а, Ь и α+b принадлежат интервалу 0< я<90;
предположим, что
sin я< La < tg α, (189)
sinb<L6<tg6; (190)
тогда, так как
0 < cos а< 1 и 0 < cos Ъ < 1, (191)
то из (145) получим:
sin (a + b) < sin a + sin b < L (a + b). (192)
Далее, так как
0<cos(a + 6)<l, (193)
то, в силу (146),
co&aeesfr> stnasinfe. (194)

94 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. II ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ
Отрюдд И;из неравенства (191) следует, что
i>tgatgb. (195)
Но
tgatgfe>0, (196)
так как sin α, cos α, sin 6, cos 6 положительны. Вследствие двух
последних соотношений имеем:
1 > 1 — tgatg6>0. (197)
Но из (145) и (146) можно вывести, что
*<■+»>-££$· <1в8>
Отсюда и из (197), (189), (190) получим:
tg (а + Ъ) > tg a + tg Ь > L {а + Ь). (199)
Можно объединить результаты соотношений (192) и (199):
sin (a + b)<L(a + b)< tg(e + b). (200)
Из (164) вытекает, что неравенства (190) справедливы, когда h
есть одно из sn, и приведенное выше рассуждение показывает, что
если неравенства (190) выполняются для всех t порядка д, то они
будут выполняться и для всех t порядка η + ϊ. Тогда, исходя от
^ — единственного t порядка 1,—мы можем посредством
математической индукции показать, что для всех значений
sint <Lt<tgt. (201)
Выбирая последовательность значений t, сходящуюся к
какому-либо действительному значению х, мы выведем отсюда
неравенства:
sinx^Lx^tgx (0<#<90). (202)
Беря неравенства (202) и (201) вместо (189) и (190) и рассуждая
так же, как при выводе неравенств (200), мы найдем, что
sin(x + t) <L(x + t)<tg(z + t). (203)
Так как каждое число из сегмента 0 < χ < 90 может быть
записано в виде суммы другого действительного числа и
значения t из этого сегмента, то из последнего соотношения следует*
что мы можем отбросить знаки равенства в (202). Таким образом,
для каждого действительного χ будем иметь:
sin χ < Lx < tg x при 0 < χ < 90, (204)
Отсюда следует, что
Lcoss<^</. (205)

55. ЗНАЧЕНИЯ sin з и cos я ДЛЯ ОСТАЛЬНЫХ χ
95·
Так как cos я — непрерывная функция, то cos#—»1 при х-^0\
следовательно,
lim^ = L, (206)
£С-ЙЭ+
X
,. Шх ,. sin a;
lim -2_ = lim
(207)
Численцо0 значение L может быть вычислено с любой степенью
точности, если взять достаточно большое значение η в
неравенствах;
J»ii»< £<!££», (208)
Именно так оно было вычислено Архимедом.
Геометрический смысл числа L станет ясен, если заметить^
360
^то .если x~i2n ' то пеРиметР правильного /г-угольника, вписан-
но го в круг единичного радиуса, будет равен
рп = In sin χ = 360 ^ , (209)
тогда как периметр правильного описанного w-угольника будет
равен
Рп - In tg χ = 360 ^ . (210)
Пределы каждого из этих выражений при η —> оо равны 360L,
Так как длина окружности единичного радиуса > по определению
равная этому общему пределу, обозначается через 2π, то мы имеем:
36QL = 2«> или L = IJ, где π = 3,14159... (211>
55» Значения sin ас и cos ас для остальных х* Если мы
хотим, чтобы равенства (145) и (146) имели место для значений
4 = χ., 6 = 90, то мы должны положить:
sin (χ + 90) = cos x, cos (χ + 90) = — sin x. (212)
С другой стороны, если равенства (212) имеют место, то условия
(145), (146) и (147) справедливы также для α = # + 90 и Ь, если
они справедливы для α и 6.
Таким образом, пользуясь равенствами (212), мы можем
распространить определение наших функций на значения χ в области
90 < χ< 180, и соотношения (145), (146) и (147) будут
выполняться для всех χ на сегменте 0<#<180. Продолжая таким
образом, мы придем к определению функций sin χ и cos # для
всех положительных значений х.

96 ГЛАВА Ш. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ
Равенства (172) и (173), которые мы вывели из основных трех
соотношений, также будут иметь место для всех положительных
значений. Если мы хотим, чтобы они были справедливы для
значений а = х, Ь= —х, мы должны положить
sin (— χ) = — sin χ и cos (— χ) = cos χ. (213)
Далее, если принять определения (213), то равенство (147)
будет иметь место для а= — х, коль скоро оно выполнено для
а = х. Кроме того, вследствие (213), равенства (145) и (146) для
а = у, Ь= —х приводят к соотношениям (172)и (173) для а+Ь = у7
а — х. Таким образом, распространяя определение sin x и cos а? на
отрицательные значения χ посредством (213), мы обеспечим для
них выполнение основных условий (145), (146), (147).
Так как, в силу (213), —— не меняется, когда мы меняем
знак у х, то для χ произвольного знака получаем:
... sin χ т π ... _.
s~=L=^· (2i4>
66· Радианное измерение. Функции sin χ и cos x, которые мы
определили в § 53 и 55, зависели от первоначального выбора
числа 90, как наименьшего положительного значения х, для
которого sin x= 1. Этот выбор, основанный на измерении углов в
градусах, удобен и обычно употребляется в практических
тригонометрических выкладках. Однако можно было бы вместо 90 взять
любое другое число. Если бы мы взяли вместо 90 положительное
число д9 то можно было бы провести все рассуждения, как и
раньше, и построить функции Sq(x) и Cq(x), связанные с
функциями, полученными в предыдущих параграфах, соотношениями
Sq (χ) = sin (ЭО γ) , Cq (χ) = cos (^90 у) . (215)
Для этих функций соотношение (214) заменилось бы соотношением:
... £д (х) ·,. sin у те /плг>\
lim —-— = lim — = =- . (216)
90
Так как предельное соотношение (214) очень часто встречается
в математическом анализе, то желательно упростить его
подходящим выбором д.
Мы достигнем этого, выбрав q=~- что приводит правую
часть (216) к единице.
Так как у является длиной четверти окружности радиуса 1,
то этот выбор соответствует геометрическому измерению централь-

57. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ sin * И cos ж 07
ных углов либо дугами единичной окружности, на которые они
опираются, либо дугами произвольной окружности, на которые
они опираются, отнесенными к радиусу. Поэтому такое измерение
называется радианным измерением. Теперь мы будем
исключительно пользоваться радианным измерением и понимать под sin χ
функцию Sq(x), где q= γ. Если мы хотим употребить Sq(z),
где <7 = 90, т. е. функцию, определенную в §55, мы будем писать
sin ж0. При этом
sin х = sin Г ) , (217)
откуда можно всегда получить значения синуса для χ в радианной
мере с помощью таблиц тригонометрических функций для
аргумента, измеренного в градусах.
В наших новых обозначениях предельное соотношение для
синуса примет вид:
Шп^ = 1. (218)
Неравенство (204) может быть тогда записано в виде:
sin χ < χ < tg χ, когда 0 < χ < γ . (219)
57. Характеристические свойства функций sin а? и cos x9
Применяя результаты построения, проведенного в предыдущем
параграфе, мы можем теперь дать краткую арифметическую
характеристику функций sin χ и cos x.
Функции sin χ и cos x являются функциями, обладающими
следующими свойствами, имеющими место для всех
действительных значений χ их':
sin (χ + χ') = sin x cos χ' + cos χ sin χ'i (220)
cos {s, + x') = cos χ cos x' — sin χ sin χ', (221)
cos2 χ + sin2 χ = 1, (222)
и, кроме того, следующим предельным свойством:
lims—= 1. (223)
Можно найти, притом единственным образом, функции,
определенные для всех значений χ и обладающие этими
свойствами.
Функции sin χ и cos ж, определенные в предыдущем
параграфе, обладают этими четырьмя свойствами. Мы покажем
теперь, что любые две функции, обладающие этими четырьмя
свойствами, должны тождественно совпадать с функциями sin x

98 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИИ. ФУНКЦИИ
и posse. Рассмотрим две функции S (х) и С(х), определенные для
всех действительных значений χ и удовлетворяющие
соотношениям:
S (х + х') = S (х) С (х') + C(x)S {x')> (224)
С (х + х') = С (х) С (х') — S(x)S (х')> (225)
C(x) + S'(x) = i, (226)
Цщ£-Й> = 1. (227)
х->0 х
Из последнего соотношения следует, что S (х) должна быть
отлична от нуля для некоторых значений х. Пусть х — одно из
таких значений и положим х' = 0 в уравнениях (224) и (225). Тогда
S \x) = S(x)C (0) + С (х) S (0), (228)
С(х) = С (х) C(0)-S (x) S (0). (229)
Отсюда следует, что
S (х) {[С (0) -1]2 -f S* (0)} = 0, (230)
и так как функция S (х) отлична от нуля, то
С(0) = 1, 5(0) = 0. (231)
Далее, из соотношения (227) следует, что S (х) должна быть
отлична от нуля для достаточно малых значений х, т. е. для
0 < | χ | < кг\ в то же время
lim S (χ) = lim £@ . χ = 0. (232)
Рассуждая так же, как и при выводе уравнения (179), мы
можем получить из уравнений (224), (225) и (226), что
S (х,) - S (хг) = 2 С (^Цр) S 0^), (233)
Так как вследствие равенства (226) значения С (х) по
абсолютной величине нигде не превосходят единицы, то, в силу (232),
правая часть (233) стремится к нулю, когда хг — хг стремится
к нулю. Таким образом, если хг фиксировано, а χ*—*χχ, то
S(x2)—-> S(x1), т.е. функция S (х) непрерывна при всех
значениях х.
Рассуждая аналогично, мы можем вывести из уравнений (224),
(225) и (226), что
С (х%) - С (хг) = - 2S (Ь±*) S (^Чр) , (234)
откуда мы заключаем о непрерывности функции С (х) при всех
значениях х.

57. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ sin ж и cos x
9«>
Так как С(0) = 1, то имеется некоторый интервал 0<#</г2,
в котором функции S (х) и С(х)у в силу их непрерывности в нуле
и соотношения (227), обе положительны. Положим
* 180 90 /логч
Гп=2^' ТаК ЧТ° 1ГГ»===2*==*»' (235)
и гп в радианной мере соответствует sn в градусной мере. Так как
гп положительно и стремится к нулю при п—>оо,
следовательно, sinrn—>0, то мы можем найти такое значение^ числа п,
что
0<sinr/V<S(A2). (236)
Так как функция S (х) непрерывна в сегменте 0, k2, a sinr^
является промежуточным значением для S (х), то для некоторого
значения h в интервале 0, h2 оно достигается:
S(A) = sinrr (237)
Так как С (К) положительна и удовлетворяет соотношению
(226), то
С (h) = cos rβ. (238)
Но из (224) и (225) при χ = χ' получаем:
S(2x) = 2S(x)C(x) и C(2x) = C2(x)-S2(x). (239)
Так как функции sin χ и cos x удовлетворяют аналогичным
уравнениям, то отсюда следует, что
S(2Nh) = sin (2Nr^) = sin~= 1 (240)
и
С (2Nh) = cos (2* rN) - cos -J = 0. (241)
Из второго уравнения (239) и из (226) имеем:
5.(|)e±l£W, c-(«) = ±hC«. (242)
Так как эти равенства аналогичны (151) и значения S (х) и
С (х) положительны для всех χ между 0 и А, то
'*(рЖЮя"п·0^ и <£>***■»· (243)
Таким образом,
*(*£) = eta-, С (2-^) = οο3,ο, (244)
если только ж имеет вид sn. И так как теоремы сложения (224)
и (225) имеют место, то эти равенства остаются в силе, когда χ

1Q0 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИИ. ФУНКЦИИ
является значением t. Наконец, так как все введенные нами
в рассмотрение функции непрерывны, то (224) и (225)
удовлетворяются для всех действительных значений х, 0<сс<90.
Из теорем сложения и из (240) и (241) следует, что
S (х + Ш) = С (х), С(х + 2Nh) = - S (χ). (245)
Сравнивая эти равенства с (212), получим, что равенства (244)
справедливы для всех положительных значений х.
Рассуждая так же, как при выводе (213), из (231) и трех
основных соотношений мы получим:
£(-*)=-S(s)· С(-х) = С{х). (246)
Так как уравнения (246) имеют тот же вид, что и уравнения
(213), то (244) должны быть справедливы для всех действительных
значений х.
Из предельного соотношения (214) мы имеем:
S
f2Nhx\
К 90 J_
sin ж0
lim v v y = lim 8Л^1 = JL (247)
ж->0 х х-*0 х 180 *
l^hx
Но, полагая и = -^- и применяя (227), найдем;
(2Nhx\
~WJ Ί. 2Nh S(u) 2Nk /0/04
urn — = lim -^ — = -^ . (248)
Сравнивая два последньх соотношения, получим:
2"Λ = |, откуда B = !!gf=g. (249)
Таким образом, согласно (217) и (244),
5 (к) = sin (—-j = sinu' и С (и) = cos (и). (250)
Это доказывает наше утверждение, что каждые две функции*
удовлетворяющие рассмотренным соотношениям, должны
тождественно равняться функциям sin χ и cos x для всех
действительных значений х.
Интересно заметить, что число π не входит явно в основные
условия, но эти условия определяют -^ как наименьшее
положительное число, для которого
*(f)-l и <7ф = 0. (251)

59. ПРОИЗВОДНЫЕ СИНУСА И КОСИНУСА
101
58. Свойства тригонометрических функций. С принятой нами
точки зрения все формулы, содержащие синус или косинус от
суммы или разности χ и целого кратного — вытекают из теорем
сложения и вычитания и из равенств
sin | = 1 и cos|- = 0. (252)
Присоединяя к ним равенства
sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin (— χ) = —- sin x9 cos (— χ) = cos χ (253)
и
sin (x -f γ J = cos x, cos (χ + γ) = — sin x, (254)
которыми мы уже существенно пользовались, когда расширяли
область определения за пределы первой четверти, заметим, что
cos χ = sin (γ — ν) · (255)
Легко найти из уравнения (252) и теорем сложения, что
δίηπ = 0, cosrc= — 1; sin2rc = 0, 0082π = 1. (256)
Так как при χ = 2π sin x и cos x имеют те же значения, что
и при нуле, то из теоремы сложения следует, что при χ + 2π
эти функции имеют те же значения, что при х. Следовательно,
синус и косинус имеют период 2π. Это будет наименьшим
периодом для косинуса, ибо ни одно значение между 0 и 2π не дает
нам cos#=l. Это б уде! также наименьшим периодом для синуса,
ибо единственное значение между 0 и 2π, дающее sin # = 0, будет π,
которое не является периодом, так как sin(cc+TC)= —sinx.
Аналогичные рассуждения показывают, что тангенс и
котангенс имеют наименьший период π.
Мы показали, что многие тождества, содержащие синус и
косинус, которыми пользуются в элементарной тригонометрии,
справедливы для функций, определенных в § 56. Так как все остальные
тождества такого рода могут быть получены алгебраически из
этих основных тождеств, то в дальнейшем мы будем свободно
применять любое из элементарных свойств этих функций.
Тождества, содержащие другие тригонометрические функции,
могут рассматриваться как тождества относительно синуса и
косинуса, в силу (144).
59. Производные синуса и косинуса. Производная функции
sin χ, по определению (67) из § 45, равна
lim а°(« + *)-«*п* у (2.37)
Λ-νΟ h
если этот предел существует.

102 ГЛАВА III. ПОКАЗ AT., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИИ. ФУНКЦИИ
Но, в силу (179) или (233),
sin(^ + A)-sina: = 2cos^ + Y^)sin - , (258)
так что
sin (g + h) __sin x = cog ^ ^ h^ Sln2
sin—-
Так как косинус является непрерывной функцией, то первый
множитель в (258) и (259) стремится к cos χ, когда h —> 0. Второй
множитель стремится к единице, в силу (218). Таким образом,
предел этот равен cos ее/и мы имеем:
если /(#) = sin#, то /' (#)=:cosa;. (260)
Аналогично, применяя равенство
cos (χ + h) — cos x = — 2 sin С χ + — J sin — , (261)
мы можем показать, что
Т COS (х -f A) — COS X . /0λλ\
lim * ^ = — sin x, (262)
если /(#) — cos ж, то /' (#)= —-sinx. (263)
так что
60. Обратные тригонометрические функции. Так как
непрерывная функция у = sin χ возрастает от —1 до 1, когда χ возрастает
от — π/2 до π/2, то обратная функция χ = arc sin у непрерывна и
возрастает от — π/2 до π/2, когда у возрастает от — 1 до 1. Это —
главная ветвь функции χ = arc sin у. Другие ветви получим, взяв
другие интервалы (и—γ)π, Гтг+у)^, гДе п — Целое
положительное или отрицательное число, в которых sin x или возрастает
от — 1 до 1 или убывав от 1 до — 1. Все ветви в совокупности
дают бесконечнозначную функцию arc sin г/,
В приложениях, когда у меняется в одном направлении между
—1 и 1,мы можем ограничиться рассмотрением одной ветви, и
обычно берется только главная ветвь. Когда у изменяется некоторым
другим образом, например возрастает до 1, а затем убывает, мы
можем или рассматривать в отдельности интервалы, в которых у
монотонно изменяется, или же, рассматривая соотношение
г/= arc sin # как эквивалентное у = sin ж, пользоваться такими
ветвями для различных интервалов, чтобы χ изменялось монотонно,
когда у возрастает до 1, а затем убывает.
Аналогичные рассуждения показывают, что функции arc cos г/,
arctgj/, arcctgj/, arc sec г/, arccosecy, соответственно обратные

61. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
юз
функциям cos χ, tg x9 ctg x, sec χ и cosec ж, непрерывны и
монотонны в соответствующим образом выбранных интервалах.
Главная ветвь arc cosec у будет соответствовать значениям
—- ~ <# <4г ; это согласуется с тем, что arc cosec у = arc sin — .
1 1 у
Для arc cos у и arc sec у = arc cos — главные ветви будут
соответствовать области 0 < χ < π. Для функций arc tg у и arc ctg y==
= arc ctg — главные ветви будут соответствовать области
■те те
Заметим, что для этой ветви:
arc tg (— оо) = — у и arc tg ( + со) = у (264)
в том смысле, что если
s = tgy, # = arctga и —|.<s<* (265)
тс
ТО
ж-^—оо, когда у—>— у , ж—> + оо, когда у—>у . (266)
Так как
lim tg ж = -f оо и lim tg χ = — оо , (267)
то мы можем написать:
lim | tg χ Ι = оо . (268)
Часто употребляемая запись: tg у = со или tg у = ± со ,
должна означать не что иное, как предельные соотношения (267)
и (268).
Аналогичные замечания относятся к обозначениям cosec 0 = оо
и sec у = со .
61. Полярные координаты. Пусть χ и у—декартовы координаты
точки на плоскости. Полярные координаты точки могут быть
определены .как пара чисел г, Θ, удовлетворяющих соотношениям
7·>0 и # = rcos6, ?/ = rsin6. (269)
Исследуем решения этой системы уравнений. Из них сразу
видим, что
ж1 + у« = г1 и г=+угх2+у2; (270)

104 ГЛАВА III. ПОКАЗАТ., ЛОГАРИФ. И ТРИГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ
таким образом, значение г определяется однозначно (фиг. 8).
Геометрически оно означает расстояние точки от начала координат.
Если жиг/ оба равны нулю, то г тоже нуль и Ь неопределенно,
так как при этом любое значение Ь удовлетворяет уравнениям
(269).
Когда х и у не равны одновременно нулю, то г положительно
и θ должно удовлетворять уравнениям:
cose = -Jf sin6 = ^. (271)
Если х = 0, но г Φ 0, то у Φ 0. Если у > 0, то решением будет
θ = ~ ; если же у < 0, то θ = — ~ .
Когда χ Φ 0, то θ должно удовлетворить соотношению
tg6 = -| или 6 = arctg|-. (272)
Это соотношение определяет единственное значение θ0 в
интервале — у<6<-?-. Уравнениям (271) и (269) будет
удовлетворять или само 80, или θ0 + π. Таким образом, уравнения (269)
имеют при г Φ 0 единственное решение
в интервале — у < θ < у „ Так как
функции cos θ и sin Ь имеют период 2π, то, если
г φ 0, уравнения (269) будут иметь
единственное решение в каждом интервале вида
α<θ<0+2π или 6<θ<6 + 2π, (273)
Фиг. 8 и если θχ — одно из решений, то все
другие решения будут 6 = θ1 + 2&π,
где к — любое целое число.
Геометрически г есть длина радиуса-вектора, а θχ — угол между
положительным направлением оси ж и радиусом-вектором. Мы
называем (г, Ь) полярными координатами точки с декартовыми
координатами (х, у). Итак, мы пришли к такому результату:
Если точка имеет декартовы координаты (х, г/), отличные от
(0, 0), то соотношения
x = rcosb, у = г sin θ, г > 0 (274)
однозначно определяют пару полярных координат (г, Θ) в области
«<θ<Λ + 2π, (275)
определенной числом а.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. III
105-
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. III
1. Для каких действительных значений χ выражение хх определяет
действительное число? Для каких значений эта функция непрерывна?
Для каких значений жиг/ функция хУ будет непрерывной функцией двух
переменных? Тот же вопрос для функции (x2)yi2.
2. Явное алгебраическое выражение составлено из одного или боль-
шего числа переменных и постоянных применением в конечном числе
четырех основных действий вместе с извлечением корня. Доказать, что
такое выражение непрерывно для каждой системы значений переменных,
которая не обращает в нуль знаменатель и для которых каждое
подкоренное выражение положительно.
(X \п X
1-\ ) = ех. Указание. Положить 71=»-=- ,.
.. . п / η
где хфО.
4. Показать, что если χ > 0, то функция
S„(*)=l + * + fJ + ...+g
при фиксированном χ возрастает вместе спи стремится к пределу, когда
я—>оо. Указание. Для получения верхней границы заметим, что если
m > 2ж, то члены от (т + 1)-го до (т + к + 1)-го не превосходят
т\\ + 2 +2* + •••+2V< ml '
Сд.2 ХП\
l + # + nT + -..-f-7 ), где х>0. Указание.
Использовать задачи 3 и 4 и рассуждать, как в § 46.
fix)
6. Доказать, что если lim [f(x + l)~f(x)]*=L, то lim /A-/ = L, если
Х->оо X-i-fco Χ
f(x) ограничена на каждом конечном сегменте. Указание. Если
а</(ж+1) — /(#)< Ь для х>х'9 то an<f(x+n)- f (x) < Ъп Η^ / <
<f(x + n) < bn + /(s) т ь если χ, <χ<χ' + ι9 то\/(х)\<М, а еле-
χ 4- η χ -j- η
1 (χ + η)
довательно, для n>n't α — ε<~ <Ъ + &; теперь найдем х' для
a = L — s, b = JL + s, тогда для всякого у>х' + п' + 1 имеем у = х + п,
где п>п' иж'<ж<жЧ1. Следовательно, lim —— = £.
7. Показать, что условие ограниченности в задаче 6 необходимо.
Рассмотреть функцию f(x), равную ctg пх для ж нецелого и равную нулю
для целых х.
8. Доказать, что если lim [/ (χ -f 1) - / (χ)] = 4- со и / (χ) ограничена
П-» σο
4 (χ\
снизу на каждом конечном интервале, то lim-^-7^ +oo.
эе-+оо х
9. Пусть fix) ограничена на каждом конечном интервале и при
х~> оо верхний и нижний пределы соответственно функций / {х +1) — / (ж>
и tS*) равны #,Л и #', Л'. Показать, что Л < Л'<£'<#. Рассмотреть
в качестве примера 8Н12теж.
10. Показать, что задача, 9 к гл. II есть частный случай задачи 1к.
и сформулировать обобщение этой задачи аналогично задачам 8 и 9.

106
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. III
1
11. Доказать, что если f{x) положительна и ограничена вместе Сту-ч
<на каждом конечном интервале и lim , . =£ > 0, то lica/(icy'* = L.
Указание. Применить результат задачи 6 к F (х) = log / (χ).
12. Сформулировать обобщение задачи 11, основанное на задачах 8 и 9.
13. Доказать, что если f (х) положительна и ограничена на каждом
/ (х 4- 1^
конечном интервале и lim ^ , ч =0, то lim ΐ(χγΙχ~0. Это есть обоб-
•ацение задачи 11.
хп
14. Доказать, что ех > — для каждого ж>0 и положительного целого
'Числа τι. Вывести отсюда, что Итехх~п= +оо, когда п—»оо. Указание.
Использовать задачу 5. Положить п = т + к.
15. Доказать, что ΠαιΛ"Ι = 0 для всякого действительного и. Ука-
яание. Применить задачу 14 или задачу 13 для случая и>0.
18. Доказать, что если и — действительное число и ρ > 1, то
(log t/)u
lim хир~х = 0, а также, что lim -— =0. Указание. Положить у=*ех
и применить задачу 15.
17. Доказать, что для каждого действительного значения и и каждого
(log v)u
положительного значения т, lim -—£ =0 и lim (log у)и ут = 0. Ука-
у-++ао У V-++U
зание. Применить задачу 16.
18. Доказать, что lim γ"χ = 1 и, следовательно, lim жх=*1. Указание.
эе-*+оо зс—♦ΐι-*-
Прологарифмировать и применить задачу 16.
19. Доказать, что lim '\fn\=+ca. Указание. Вследствие задачи 14,
_х_
ψ η\ > хе = — , если χ — п.
е
20. Доказа/ь, что lim η(χί^η — l)=Joga:, если а: > 0. Указание.
Iqqp д;
Положить л = —£— и применить уравнение (127).
/ Сж) £пх + £ (ж)
21. Доказать, что lim ~- ng.i равен f(x) при ж> 0, — g(a;) при
71-*·+°° ^ '
,<0иМ+1ЙПрИ,=0.
22. Функция sgn χ («сигнум ж») определяется так: sgn χ равно 1, если χ
положительно, —1, если χ отрицательно, и sgn 0 = 0. Доказать, что
епх __ | 2
lim ng =asgn ж. Также доказать, что lim —arc tg ж = sgn ж, если мы
«берем главную ветвь.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. III
107
23. Доказать, что lim sin ηπχ**1 и Una sin лтеж= — 1, если χ
·*-иррациональное число, а 71—>оо по целым значениям. Указание. Применить
упражнение 32 к гл. I.
24. Показать, что если /(«) = lim lim — arc tg [m sin2(ral nx)]t то
n-)oo m->oo те
J(x) — 1 для всех иррациональных а? и нулю — для рациональных х.
26. Доказать, что если/(ж) = lim lim cos2W(п\ πχ), то /(ж) = 0,
n-H-oo m-*4-oo
когда ж иррационально, и 1, когда χ рационально.
1
28. Показать, что функция sin — имеет колебание, равное 2 при χ = 0.
См. § 150.
27. Доказать, что для всякого действительного значения и и
положительного значения т функция (х2)т sin (ж2)" непрерывна при .ж = 0,
если для и < 0 при ж = 0 мы положили эту функцию равной 0.
28. Пусть функция / (г) определена для каждого рационального
значения нд*конечном интервале и равномерно непрерывна,, в том смысле,
что для каждых двух рациональных значений из интервала | / [г") —
— /(г')1 < s» где s — произвольное положительное число, если | г" —г' | <δ
(β зависит от з). Доказать, что существует одна, и только одна,
функция fix), непрерывная для всех значений из интервала и такая, что
/(#) = /(г), когда ж—рациональное* число г.
. 29. Показать, что /(г) = 3г (0<><;2) представляет собой пример,
применяя к которому результат предыдущей задачи, можно получить/(х) =зЗж,
I
но функция / (г) = не может быть распространена как непре-
sin 7="
г- |/2
рывная функция на все действительные значения г, хотя на
рациональных числах заданная функция непрерывна, в том смысле, что lim /(/*) =
= /(r'). ™'
30. Доказать, что результат задачи 28 остается справедливым, если
значения г заменить любым множеством точек из интервала, таких, что
каждая точка интервала — предельная для этого множества. Примерами
таких множеств могут служить множества из задачи 32 к гл. I и мно-
жество точек -^ из § 53.
31. Если / (х) определена для всех действительных значений х,
непрерывна в одной точке и удовлетворяет условию: /(# + 2/)=/(#) + /(!/), то
f(x) = kx. Указание. Так как / (x-h К) — /(я) = /(&) не зависит от х, то
непрерывность в одной точке влечет за собой непрерывность во всех
точках. Но если ρ и q — положительные целые числа, то индукцией
получим из заданного условия, что f(p) = pf(l) и qf ( — J =/(/>). Тогда, если
У(1)==А:, то f(r) = kr для рациональных положительных г. Из основного
условия следует, что /(0) = 0 и/(_—#)= —/(ж), так что г может быть
отрицательным рациональным числом. Наконец, в силу результата задачи 28,
/ (χ) = кх.
32. Если / (х) определена для всех положительных значений х,
непрерывна в одной точке и удовлетворяет условию f (ху) =?/(#) + }(у), то
/ (х) = к log χ. Указание. Применить задачу 31 к F (и) = /(<?"); если
и = log χ и ν = log у, то F (и + ν) = / (ху).
33. Если /(ж) определена для всех значений х, непрерывна в одной
точке и удовлетворяет условию / (#-Ь у) = / (#) · f(y), то f(x) = Ax. Укала-

108
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. III
пие. Если /(#) равна нулю для какого-либо одного значения, то она
тождественно равна нулю. Если / (χ) Φ 0, то так как / (ж) = 1 / ( γ ) »
то все значения положительны, и мы можем положить F(x) = log / (χ)
и. применить pa да чу 31.
_. _ Λ sin ax tg ax
84. Показать, что, когда χ —> 0, > а и - -- —■» а.
χ χ
ок _ Λ arc sin ax arctgaar лг
36. Доказать, что, если χ —> 0, >а и - ► а.
Указание. Положить ах = sin у; ax = tgy.
1 — cos x 1
36. Доказать, что lim — = — . Указание. Применить или
ж-*0 х2 2
1 - cos χ = , —- , или 1 - cos ж = 2 sin2 — ,
1 -f- cos x 2
37. Доказать, что
lim *££..!.
it w
ас-»— — — а;
2 2

Глава IV
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В этой главе мы изучим специальный предельный
переход—дифференцирование, которое занимает центральное место в
дифференциальном исчислении. Мы изложим в общих чертах основные
теоремы о дифференцировании, остановившись более подробно на
тех пунктах, которые часто излагаются неудовлетворительно
в элементарных курсах.
Затем мы приведем теорему о среднем значении и различные
связанные с ней приложения и теоремы относительно производных.
62. Определения. Если у = / (х) — функция от ж, то, как было
указано в § 45, производная этой функции при данном значении χ
определяется следующим образом:
f(x) = lim n* + hl~fto . (1)
ft-Ч) h
Так как А, знаменатель этой дроби, есть приращение
переменного х, то его обычно обозначают через Дж, а числитель, будучи
приращением у> обычно обозначается через Ау. Это приводит нас
к более краткой форме записи:
/'(*)= limjf. (2)
Так как в этом соотношении не указано явно то значение х, при
котором рассматривается производная, мы дополняем это
определение соотношением:
Ay = f(x + Ax)-f(x). (3)
Другие обозначения производной
% или d~xf(x) втст f'(x)> (4)
по виду напоминают определяющее соотношение (2).
Напомним, что запись й—>0 или Дсс—>0 указывает на то, что
h или Ах при стремлении к нулю может пробегать любую
последовательность значений, каждое из которых может быть
положительным или отрицательным, но не может равняться нулю.
Говоря, что функция f(x) имеет производную в точке се, мы
обычно подразумеваем, что отношение в (1) стремится к конеч-

110
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ному пределу. В этом случае разность, стоящая в числителе,
должна стремиться к нулю вместе с h, так что функция f(x) должна
быть непрерывна при данном значении х.
Если функция / (х) непрерывна в точке χ и при этом значении χ
предел (1) равен плюс бесконечности, то мы говорим, что функция
f\x) имеет производную, равную + со в этой точке. Аналогично,
если этот предел равен — со, то мы полагаем: /' (х) = — оо в данной
точке х. Если мы захотим включить в рассмотрение эти особые
случаи, мы будем употреблять выражение: / (х) имеет конечную
или бесконечную производную. Заметим, что во всех случаях,
когда f(x) имеет конечную или бесконечную производную, она
по определению должна быть непрерывной функцией.
Интерпретация производной как углового коэффициента
касательной к кривой делает желательным рассмотрение бесконечных
производных, ибо вопрос о существовании производной функции
сводится тогда к вопросу о том, имеет ли график этой функции
касательную. Бесконечная производная геометрически означает
только то, что кривая имеет в данной точке вертикальную
касательную.
Если ограничиться рассмотрением только положительных
значений h и если при этом предел (1) существует, то этот предел
называется правой производной. Аналогично, если h принимает только
отрицательные значения, то этот предел называется левой
производной. Например, если у = \х\, то функция при х = 0 ивдеет
правую производную, равную +1, и левую производную, равную
— 1. Производной при х — 0 в обычном смысле эта функция не
имеет.
Процесс нахождения производной функции называется
дифференцированием. Мы говорим, что функция дифференцируема в
замкнутом интервале а<я<6, если эта функция имеет производную
в каждой внутренней точке интервала, имеет правую производную
в точке а и левую производную в точке 6. Функция /' (х),
полученная из функции f(x) дифференцированием, называется производной
функцией.
63. Производная суммы, произведения и частного двух
функций. В силу результатов § 19, из самого определения
производной следует, что дифференцирование есть линейная операция.
Это значит, что если функции и и υ имеют конечные производные,
а к есть постоянное, то
£<*»> = *£ <Ь)
d ι , ν du dv *а ч

64. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
lit:
Непосредственно из определения можно вывести, что
d / v dv , du
d , . dv x du /r74
(™) = ατ„+Ότ„ (7>
du dv
dx dx , A (8>
a f и \ dx dx , Λ
5iU;= * πρπυ^Ο
Также из определения производной прямо следует:
dx . с£&
eta cte
d*=l и g = 0, (9)
где А; — постоянное.
Эти равенства позволяют нам получить формулу для
производной любого многочлена:
η η
если / (χ) = 2 яряр> то /' (з) = 2 Ρ V^1 · (10)
р=0 р=1
Применяя соотношения (8) и (10), мы можем найти
производную любой рациональной функции для значений х, не обращающих
в нуль многочлен, стоящий в знаменателе.
64. Обратные функции. Мы доказали в § 37, что если y = f(x) —
непрерывная возрастающая функция в некотором открытом
интервале, содержащем х09 то существует обратная функция χ = f~1(y)t
непрерывная при у = у0, где у0 = / (х0). Предположим теперь, кроме
того,что / (х) имеет в х0 конечную и отличную от нуля производную.
Тогда
где Ах есть приращение переменного χ в точке х = х0, а Δ у —
соответствующее приращение у в точке у = у0.
Так как обратная функция f*1 (у) непрерывна в у0, то Ау будет
стремиться к нулю, когда Ах стремится к нулю. Поэтому, так
как функция возрастает, то Ау отлично от нуля тогда, и только
тогда, когда Ах отлично от нуля. Кроме того, имеем:
Ά&~Ά ^ " н* ^ ~ *У ' (12)
Ах Ax-+b Ax dx
Это показывает, что функция x = f~^(y) имеет производную и
dx 1
dy"~~^' (13)
dx

112
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Если f(x) имеет производную, равную нулю, то /~х (у) имеет
лгроизводную, равную + оо ; если f(x) имеет производную, равную
+ оо , то /~1 (у) имеет производную, равную нулю. Это следует
{из соотношений (12) и из замечаний, сделанных в § 20, так как
Ах и Ау имеют одинаковые знаки.
Аналогичные рассуждения применимы и к убывающим
функциям. Здесь обратная функция будет иметь производную, равную
— сю, если исходная функция имеет производную, равную нулю.
65. Сложные функции. Предположим, что и = / (х) имеет конеч-
aayto производную в точке xQ и что у = g(u) имеет конечную
производную в и0, где Ηυ = /(#υ). Тогда функция
y=g(f(*))=P(x) №)
юмеет производную в х0, при этом'
^ы-в'ы/-(«.)"-2-g £. (is)
Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда ни для
-каких Αχ φ 0 соответствующие значения Аи не равны нулю. В этом
случае
Ау__Ау Аи
Ах~~Аи'Ах} \λΌ>
и мы получим соотношение (15), перейдя к пределу в (15) и заметив,
•что Аи—■>0, когда Ах—>0, так что
11т^ = Ит^ = £. (17)
Это доказательство применимо и к тому случаю, когда не
существует сколь угодно малых значений Ах9 отличных от нуля, для
которых Аи = 0, так как в этом случае Аи будет отлично от нуля
!при достаточно малых и отличных от нуля Ах.
Теперь рассмотрим особый случай, когда имеются произвольно
малые отличные от нуля значения Ах, для которых Аи = 0. Такие
значения Ах обозначим через А^. Тогда, заставляя Ах
стремиться к нулю по этим значениям Агх, получим:
•Шп£~0. (18)
гт Аи
Но так как и имеет производную, то предел выражения -г- должен
юыть одним и тем же при любом стремлении Ах к нулю,
следовательно,
£-11» £-0. «·>

66. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ Ш
Если мы заставим Ах стремиться к цулю по значениям Δχχ, то
мы будем иметь всегда Δκ = 0, так что Аг/ = 0 и, следовательно,
lim^-O. (20)
С другой стороны, устремляя Ах к нулю по значенцям отличньщ
от Д^ —обозначим такие значения через Δ2#,— мы получим:
Ау _Ау Ьи_ и
отсюда, в силу (19),
■"-£-2-0-0. (22)
Таким образом, в особом случае, когда имеются
последовательности значений Агх, мы долучим
limg-0, (23)
независимо от того, каким путем стремится Ах к нулю: по
значениям Агх или по А%х или частично по Агх, а частично по А2х.
Так как в атом особом случае
1-0 - 2-0, (24)
тогда как S имеет конечное значение, то мы будем иметь:
р = 0=рр. (25)
ах dudx v '
Таким образом, равенство (15) справедливо и в этом случае.
Тривиальным примером особого случая, в котором все
значения Ах будут Агх, служит функция f(x) = k, Где Λ— постоянное.
Более интересный пример получим, взяв f(x) = x2sin — при хфО
и /(0) = 0, g(u) = 2u и и0 = х0 — 0. Здесь значениями Δ^ будут
— , где п — целые числа (ср. с равенством (70) из § 69).
66. Логарифмическая и показательная функции. В § 49 мы
показали, что
ЭЬ<1<**>=4. (26)
Так как функция у — log ж—-возрастающая, то мы можем при
помощи равенства (13) найти производную от ее обратной функции
я = еу; таким образом,

114
ГЛАВА IV* ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Заменяя теперь у через х, получим:
£(«Ό-Λ (28)
Если и и ι? —функции от х, имеющие конечные производные
и ν > 0, (го
vu = eul°89 (и>0). (29)
Отсюда и из равенств (28), (16), (7) и (26)
£<0-«Мод»£ + и·-'*?. (30)
В частности, будем иметь:
а (Л => log а /»>о, (31)
где /? — некоторое положительное действительное число, и
Д(я*) = Ь:*-\ х>0, (32)
где А—-любое действительное число, а # — любое положительное
число. Эта формула остается справедливой для отрицательных
Значений х, если к—рациональное число с нечетным
знаменателем, что можно доказать, применив равенства (12) и (13) из § 40.
Для всякого значения &>1 функция хк имеет правую производную
цри х = 0, что видно непосредственцо из (1). Таким образом, если
правая часть равенства (32) имеет конечное значение при χ = О,
то это значение равно правой производной функции хк в этой точке.
В частности, результат
ii**)=-i?. **o (зз)
вместе с равенствами (15) и (7) дает нам другой метод нахождения
производной (8), так как — =кг;"1. Им иногда бывает удобно
пользоваться при дифференцировании дроби.
Метод логарифмического дифференцирования состоит в том,
что функцию логарифмируют, прежде чем ее дифференцировать,
получение равенства (30) из соотношения (29) эквивалентно этому
методу. Для примера рассмотрим произведение
у = игщиь ... ип , (34)
Найдем:
*»-2**·.. ν2-2ϊ£. <*>

67, ТРИГОНОМЕТРИЯ; И ОБРАТНЫЕ ТРДГОНОМЕТРИЧ. ФУНКЦИИ Ц5
ТЭК ЧТО
η
dy _ vi t/ rfi*i /адч
Так как последнее выражение после сокращения щ должно
совладать с тем, которое получится последовательным применением
равенства (7), то оно должно быть справедливо, даже если
некоторые из щ будут равны нулю или отрицательны.
Ради полноты заметим, что,
так как logpx = g|, то а<^Р *> = йЬ ^β (3?)
Последнее равенство совпадает с равенством (108) из § 48, которое
мы использовали для введения натуральных логарифмов.
67· Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции. В § 59 мы показали, что
j- (sinχ) = cos ж, j- (cosx)= —sin я. (38)
Из самого определения тангенса, секанса и косеканса через
сицус и косинус следует, что
2^ (tg χ) = sec2 x9 -j (ctg x) = — cosec1 χ (39)
и
j- (sec x) = tg χ sec χ, -τ- (cosec χ) =? — ctg ж cosec ж. (40)
Для главной ветви функции ж = arcsin у, определенной в § 60,
имеем — ~ < χ < ~ , и cos x будет положительным. Поэтому,
в силу § 64,
-г- (arcsin у) = = . . (41)
«УΝ ί; COS» /l-t/2 V '
Меняя & и г/ местами, получим:
ί\*™1**) = γ= , -^ <arcsins < Ϊ-. (42)
Аналогично рассуждая, найдем для значений у в первой четверти
0<у<^:
d , ' > ν 1 d , v 1
з- (arccos x) = , , з- (arcsec ж) =- —, t
ά (arccosec χ) = ^t= . (43)
-^(arctg χ) = - -£- (arcctg *) = ^ · (43a)

116
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Формулы (43а) справедливы без всяких оговорок для всех
ветвей функций arctg χ и arcctg x.
Формулы (42) и (43) распространяются на остальные ветви
функций arcsina;, arccos#, arcsecsc и arccosec# со следующими
изменениями:
т- (arcsina) = -7== > когда cosy отрицателен; (44)
— (arccos%) = - :, когда sin у отрицателен; (45)
CLX у 1 —— X
j- (arcsec#) =—J , когда tg у отрицателен; (46)
j-(arccosec x)=—г , когда ctgcc отрицателен. (47)
αχ χ у χ2 — \
Во всех этих формулах у обозначает соответствующую
обратную тригонометрическую функцию (у = arcsina; в (44), 2/ = arccos#
в (45) и т. д.).
Прежние же формулы (42) (и 43) справедливы только тогда,
когда функции от г/, указанные справа в формулах (44), (45,) (46),
(47), т. е. cos г/, sin г/, tgynctgy, соответственно для производных
от арксинуса, арккосинуса, арксеканса и арккосеканса,
положительны.
Чтобы оправдать необходимость этой предосторожности, возь-
1
мем и = arccos — ; ее производная
χ
dx Л/л ίг V х* χΥ<^~\' ν ;
к*-аУ
При дифференцировании знак должен быть изменен, если sin и
отрицателен, кроме того, равенство #=j/ τ? справедливо, когда χ
положительно, при отрицательном χ надо еще раз изменить знак»
Так как # = secH, то указанный результат (48) будет верен, если
sin и и sec модного знака, т. е. ecjiHtg и положителен. В противном
случае надо изменить знак. Это согласуется с формулой (46),
ι
так как и = arccos — = arcsec x.
χ
68. Гиперболические функции и их обратные.
Гиперболический синус и косинус определяются через показательные функции:
sha;=f_^_, chz = i^-. <49)
Остальные четыре гиперболические функции определяютсгя
соотношениями, аналогичными соотношениям между тригоно-

8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОБРАТНЫЕ Ц7
метрическими функциями:
thx==ch-x> с1Ьа?==ЯПИ (5°)
sch^^'csch* = i· (51)
Свойства этих функций могут быть все получены из этих
соотношений и -из свойств доказательной функции.
В частности,
ch2j»-sh2a;=l (52)
и
cth2 χ — csch2 χ = 1, th2 χ + sch2 ж = 1. (53)
Вспоминая равенство (28), найдем:
-т- (sh χ) = ch x, j- (chcc) = sh#. (54)
Используя соотношение (8) и соотношения этого параграфа,
получим:
j- (th χ) = sch2 ж, j- (cth ж) = — csch2 χ, (55)
j- (sch χ) = —- th χ sch ж, j- (csch a?) = — cthas^scha;. (56)
Из (49) видно, что ch χ всегда положителен, тогда как sh x
положителен для положительных χ и отрицателен для отрицательных ху
так что
sh( —ж)= — shx, ch( — #)=cha\ (57)
Так как в § 106 будет дан простой метод получения тождеств для
гиперболических функций, из соответствующих тождеств для
тригонометрических функций, то здесь мы отметим только теоремы
сложения:
sh (а + Ь) == sh a ch b + cha sh 6, (58)
ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b. (59)
Их можно проверить, применяя определения (49). Заменив в (58)
и (59) b на —6 и применяя (57), получим теоремы вычитания. Далее,
с помощью приемов, аналогичных тем, которыми были выведены
соответствующие соотношения для тригонометрических функций,
получим:
sh(» + *)-shs = 2ch/x + ^)shy, (60)
и
ch(a + A)-chz = 2sh (W^)sh-J. (61)

118
ГЛАВА IV* ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Из равенства (60) следует, что sh# возрастает д^я все*
значений ху а из равенства (61) следует, что сЬж возрастает для всех
положительных значений х. Следовательно, мы можем
определить обратные функции # = Arshy и χ = Arch у (читаются:
ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический).
Последняя определена только для у>1 и имеет две ветви,
положительную и отрицательную. Исследовать остальные функции
на возрастание и убывание можно с помощью соотношений (51)
и (53). Таким же образом мы определим Arth у9 Arcth г/, Arcsoh у,
имеющие по одной ветви, и Arsch у, который имеет две ветви —-
положительную и отрицательную. Производные этих функций мы
найдем так же, как мы это делали для обратных
тригонометрических функций. В результате, поменяв χ и у местами, получим:
-г- (Arsha) = , , -τ- (Arcsch χ) = 7 , (62)
ί (Arth χ)=db■ ί (Arcth *> = - ώ (63)
и для положительных ветвей Arch# и Arsch ж:
^(ATcha^p^, ± (Arsch *) = ^=· (64)
Для .отрицательной ветви, т. е. для той ветви, для которой у, а
следовательно, и shy отрицательны, надо изменить знаки в двух
Последних формулах.
Заметим, что обратные гиперболические функции могут быть
выражены через логарифмы по формулам:
Arth а = -1 log J-±| (65)
Arsh x = log (x + \fvF+I). (66)
69. Элементарные функции. Элементарной функцией
называется такая функция, которая может быть явным образом
выражена через постоянные и независимую переменную при
помощи четырех арифметических действий и основных
элементарных функций, рассмотренных в гл. III, и притом так, что
и арифметические действия и основные элементарные функции
применяются лишь конечное число раз. Например,
гиперболические функции и их обратные будут элементарными
функциями. Хотя практически приходится применять формулы,
содержащие степенные функции, логарифмические и показательные
функции при любом основании, шесть тригонометрических
функций и их обратные, шесть гиперболических функций и их
обратные, в качестве основных элементарных функций можно взять
ех, logic, sin# и arcsin#, так как остальные функции могут быть
выражены через эти, по крайней мере в некоторой ограниченной

«9, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
119
области значений переменного. Например,
Ou = €uiogpf v> о, cos χ = sin f у — s) ι (67)
и для соответствующих ветвей обратных тригонометрических
функций:
arctg χ = arcsin γγ+^ ♦ (68)
Применяя правила, указанные в § 63 и 65 вместе со
специальными формулами § 66 и 67, мы сможем вычислить производную
любой элементарной функции при всех значениях х, для которых
определена функция, за некоторыми вполне определенными
исключениями.
Полученное по нашим общим правилам и формулам выражение
будет действительно представлять производную, если только
при вычислении не встретится деление на выражение,
обращающееся в нуль, или логарифм от такого выражения, или не
придется брать корень четной степени, или иррациональную степень,
или логарифм отрицательного числа.
Бели вычисление не приводит к определенному результату,
действительному и конечному, то установленные правила
оказываются неприменимы. Часто при этом функция не имеет
производной для данного исключительного значения х. Например, y~\f x
не имеет производной для х = 0 или для отрицательного х. В
других случаях производная все же существует, но для вычисления
ее надо прибегнуть непосредственно к определению. Например,
если у = f(χ) = χ2sin — при хфО и /(0) = 0, то, по правилам
дифференцирования, имеем:
g=2*sinl-cosl. (69)
Если х = 0, то это выражение содержит обращающийся в нуль
знаменатель. Более того, когда а;—»0,· то это выражение
колеблется и не имеет предела. Вычисляя же /' (х) при х = 0 непосред-
Ау
ственно, получим для -—. выражение
ι
H0+k)-m = _k___hsiai_i (70)
которое стремится к 0, когда А —»0, ибо множитель sin -=-ίιο абсо-
h
лютной величине не превосходит единицы. Таким образом,
функция f(x) имеет производную в точке х=0 и /' (0) = 0.

120
ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Заметим, наконец, что обратная функция от элементарной
функции может и не быть элементарной функцией. Например,
обратная от функции y = 2x-\-sinx уже не будет элементарной.
70. Дифференциалы· Пусть функция / (х) имеет производную
f (χ) в точке х. Тогда дифференциалом независимого переменного χ
называется произвольно, выбранное число; обозначается оно dx.
Дифференциал независимого переменного может быть
фиксированным или может рассматриваться как независимое переменное.
Дифференциал dy зависимого переменного у определяется
следующим равенством:
dy^f(x)dx4 (71)
В частности, когда у = х, f'(x) = l, так что
dy = dx. (72)
Таким образом, дифференциал зависимого переменного, равного х,
равен дифференциалу самого независимого переменного tf.
Далее, если за независимое переменное взято некоторое третье
переменное t и функции x = F(t)f y=G(t) имеют производные,
то, в соответствии с равенством (71), получим:
dx = F'(t)dt, dy = G'(t)dt. (73)
Но, вследствие равенства (15),
2 =2 ж »-с'<о=/'<*>*'<о. (щ
Ввиду этих соотношений равенства (73) дают
dy = /' (χ) dx.
Таким образом, соотношение (71) справедливо независимо от того,
служит ли независимым переменным χ или какое-нибудь другое
деременное.
Обнаружив, что дифференциалы удовлетворяют соотношению
dy:dx = f{x) = px, (75)
мы можем правую часть этих последних равенств рассматривать
как настоящую дробь и представлять себе соотношение (15) при
du Φ 0 как результат сокращения дроби на du.
Если мы даем χ приращение Ах, равное выбранному нами
числу dx, то мы получим:
dx=Ax, dy = f(x)ax. (76)
Обратно, если положить

71. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
121
ТО
из /'(ж) = Нт ~ следует lima = 0. (78)
Δχ->β Δχ Ax-+Q
Поэтому
Ау = /' (х) Ах + осАж, где а—>0 при Ах~>0. (79)
Отсюда видно, что разность между Ау и dy есть аАж, так что
если взять последовательность значений Ах, стремящуюся к нулю,
то разность между Ау и dy для этих значений будет не только сама
стремиться к нулю, но и ее отношение к Ах будет также
стремиться к нулю. Поэтому, если Ах достаточно мало, то dy и Ау
отличаются друг от друга лишь на малую часть приращения Ах.
Точно можно сформулировать так:
Для каждой положительной величины з существует 8е такоет
что
|^^|<8при|Да;|<8е. (80>
Если для некоторого фиксированного значения χ
приращение ду функции у = / (х), соответствующее приращению Ах, таково,
что при некотором А, не зависящем от Ах, выполняется
соотношение
Ау — ААх + аАх, где а—»0, когда Ая—^0, (81)
то функция f(x) называется дифференцируемой в точке х. Из (79)
следует, что если функция f(x) и*кеет производную, то f(x)
дифференцируема и A — f (x). Обратно, если функция
дифференцируема, она будет иметь производную, ибо из условия (81) мы
получим:
Um-Jf =Hm (A + a)~At (82)
так чт9 /' (х) существует и равна А.
71. Производные высших порядков. Дифференцируя
функцию /(#), мы получим производную функцию /'(#). Мы можем
теперь к функции f (x) применить процесс дифференцирования.
В результате получим:
^ w-= £*='S*f(a+kk~f<*' (83>
если дробь, стоящая в правой части, стремится к пределу при А—» 0.
Такая производная от производной функции называется второй
производной, или производной второго порядка, функции f(x)
и обозначается

122
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
что являетря сокращенной записью двух первых частей
равенств (83).
Аналогично мы можем повторить процесс дифференцирования
η раз и получить таким образом п-ю производную, или
производную п-?о порядка, функции /(#), которая обозначается
/<">(*) юш g. (85)
Когда рассматриваются производные различных порядков,
то производную f (χ) иногда называют первой производной, или
производной первого порядка.
Ограничив в (83) величину h только положительными или
только отрицательными значениями, мы получим соответственно
лравую и левую производные второго порядка. Правая и левая
производные и-го порядка определяются аналогично. Правые
и левые производные применяются, в. частности, вместо обычных
производных на концах замкнутого интервала, вне которого
функция не определена.
Если, как в § 65; u = f(x) и y = g(u),
* = *(/(*)) = *(*> (86)
я, согласно (15),
2-2 £ — ''(«wwm (s?)
Дифференцируя это равенство и применяя (7) и (15), получим:
dx*~~du*\dxj ^du dx* *° '
или
F- (χ) =Г (») [/' (*)]! + g' (u) f (x). (89)
Отсюда мы видим, как сказывается на втором дифференциале
выбор независимого переменного. Используя индекс для
указания независимого переменного, получим.
аналогично
ш
(<*■*)* = (g) (άχγ = F« (x) (rf*)·; (90)
<*»>■=(S) w=«* <») w <91>
(d*u)x = (g) (dxy = f (x) (dx)\ (92)
Тогда, умножая (88) на (dx)%, получим:
(d*i,)*-№/)«+(<**«)* 2 · (93>

72. ПРАВИЛО ЛЕЙБНИЦА
123
Второе слагаемое справа в этом равенстве»
g'(u)f(x)(dxy, (94)
будет равняться нулю только в исключительных случаях. Таким
образом, второй дифференциал от у из (90) при независимом
переменном χ будет в общем случае отличаться от второго
дифференциала из (91) при независимом переменном и. Вследствие этого,
в отличие от дифференциала первого порядка, второй и высшие
дифференциалы неудобны при замене переменной. Обычно
предпочитают избегать их, рассматривая т-^ не как отношение
дифференциала тг-го порядка от у к (dx)n, а просто как η раз
примененную к у операцию дифференцирования: f jg·) у.
72. Правило Лейбница· Формула дифференцирования
произведения может быть распространена на случай производных высших
порядков, и в такой форме она известна как правило Лейбница.
Если обозначить дифференцирование множителя и через DU9
а Множителя <; — через Όϋ, то можно написать:
&{w) = {Du+Dv)uv = %O + uIi' (95>
поскольку это согласуется с формулой (7). Так как операторы Du
и Dv ведут себя, как алгебраические величины относительно
сложения, умножения друг на друга и на постоянные числа, то отсюда
следует:
£(*v) = {Du + D9)*uv =
_dnu d^u dv , n(n-l) d^~*u dH , dnv /QR.
— SFO + ndS*=i '5Ϊ"+ i-2 а^1&^--+иа^> Ф°>
где коэффициентами будут служить биномиальные
коэффициенты *).
В частности, если множитель ν будет вида я?, или
многочленом от χ степени г, где г —целое положительное число, то такое
разложение будет содержась не более г+1 членов, ибо если η
превосходит г, то все члены после (г + 1)-го будут содержать
производные от ν порядка выше г +1 и, следовательно, обратятся
в нуль.
*) Читатель, которому это рассуждение покажется непонятным илш
неубедительным, сможет без труда вывести формулу (96) методом индукции.
(Прим. ред.)

124
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Аналогичное правило можно получить для л-й производной
произведения любого числа членов:
dn
^а(иги2 ... uJ = (Dx+D% + .м+АпУЧ»· ··. »т- (97)
Здесь Z)ft означает дифференцирование множителей, содержащих
икУ и произведение, входящее в правую часть, может быть
развернуто по этому правилу.
73. Теорема Ролля. Эта теорема утверждает следующее:
Если f(x) имеет производную, бесконечную или конечную во
всех точках открытого интервала а < χ < 6, и если
lim f(x) = 0 и lim/(«) = <>, (98)
χ -* α* χ -► Ь~
то в некоторой точке I этого открытого интервала (а < S < Ъ)
производная ее равна нулю: /'(ξ) = 0.
Для доказательства этой теоремы определим в замкнутом
интервале а<#<6 функцию F(x), положив
F(x) = f(x), a<x<b; F(a) = 0, F(b) = 0. (99) .
Эта функция, в силу условий (98), будет непрерывна на
замкнутом интервале. Следовательно, в силу § 33, в замкнутом
интервале а, 6 существует точка, в которой функция принимает свое
наибольшее значение, и точка, в которой она принимает
наименьшее значение. Если обе эти точки являются концами интервала,
то функция F(x), имеющая наибольшее и наименьшее значения,
равные нулю, будет всюду равна нулю. Следовательно, f(x) будет
равна нулю в открытом интервале а, Ь и /' (х) будет равна нулю
во всех точках этого интервала; в этом случае мы можем взять
за точку ξ любую точку интервала а, Ь.
Предположим теперь, что одна из двух упомянутых нами точек,
например та точка, в которой функция достигает наибольшего
значения, будет внутренней точкой
интервала я, Ь (фиг. 9). Если обозначить
эту точку через ξ, то, по определению
.._ наибольшего значения, мы получим:
а £ Ъ
Фиг. 9. F(t)>F(x) или /(£)>/(я). (ЮО)
Отсюда для производной в точке £ будем иметь:
/'(ξ)== iim '<€ + *>-'«><0, (101)
а также
f (ξ) - iim /(Sf*>-/<0 >0; (102)

74. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
125
Таким образом, необходимо /' (£) = 0, что доказывает
теорему.
Если функция достигает наименьшего значения во внутренней
точке интервала, а наибольшее значение достигается в граничной
точке, то теорему можно доказать аналогичными рассуждениями;
можно также рассмотреть функцию —/(#).
Заметим, что эта теорема не только не требует
дифференцируемое™ функции f(x) на концах а, 6, но даже не требует
определения ее в этих точках. Если функция дифференцируема в этих
точках, то она непрерывна в них; в этом случае, так же как и тогда,
когда функция просто непрерывна в α ц Ь, мы можем заменить
условие (98) условием
/(α) = /(δ) = 0. (103)
Во всяком случае, теорема показывает, что мы всегда можем
взять требуемую точку ξ внутри интервала.
74· Теорема о среднем значении. Эта теорема служит
аналитическим выражением того факта, что на всякой гладкой кривой;
соединяющей точки Ρ и Q, имеется
ιϊο крайней мере одна
промежуточная точка Т, э которой
касательная к кривой будет параллельна
хорде, соединяющей точки Ρ и Q
(фиг. 10).
Если кривая представляет собой
график однозначной функции у = f(x),
го она будет гладкой, если функция
f(x) дифференцируема. Если концы
дуги суть P = (a,f (а)} и Q <= (b, f (6)),
то угловым коэффициентом хорды
будет LL)~'(a', А так как угловой
коэффициент касательной к кривой
в точке с абсциссой χ есть /' (х), то мы приходим к такой
аналитической формулировке нашей теоремы:
Если f(x) имеет производную, конечную или бесконечную, во
всех точках открытого интервала а<х<Ь и непрерывна в
конечных точках, а следовательно, и внутри замкнутого интервала
а<#<6, то в некоторой точке ί открытого интервала а, Ь
будет выполняться равенство
^Ji5> = /'(ξ), a<t<b.
I
0
**·
Ρ
С
ή
U-
7 i
\ ι
h
r I
Q
Ь
Фиг. 10.
Ъ-
(104)
Мы докажем эту теорему, применив теорему Роддя к
некоторой функции, вид которой будет подсказан геометрическими сооб-

№
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ражениями. Если ордината в точке χ пересекает хорду PQ в точке
R и кривую в точке St то отрезок ординаты, заключенный между
R и Sf будет равен
F(a) = /(a)_[/(a) + ^b^> (*-«)]. (Ю5>
Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале а, Ь и имеет
конечную или бесконечную производную во всех точках открытого
интервала а, Ь% то функция F (х) также обладает этими
свойствами. Более того, непосредственное вычисление дает нам:,
F(a) = F(b) = 0. (106)
Следовательно, F (х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,
Ж Существует точка £ открытого интервала а < χ < b, в которой
г(^Г{%)-Щ=т^0>.
(107)
что эквивалентно равенству (104).
Мы также могли бы доказать эту теорему, применив теорему
Ролля к функции (b — a) F (ж), выражающей удвоенную площадь
треугольника PQS. Эту функцию можно представить в виде детер-г
минанта:
χ f(x) 1
a f\a) 1
Ъ f{b) 1
2A(x) = (b-a)F(x).
Из теоремы Ролля следует, что
1 /'(?) 0
а /(а) 1
Ь f(b) 1
= 2А'{1) = 0,
(108)
(109)
что эквивалентно равенству (104), Обращение в 0 функции А (х}
при х=а и х = Ь следует из того, что для этих значений
детерминант в (108) имеет две одинаковые строки. Для
дифференцирования детерминанта мы должны или рассмотреть его разложение^
или применить результат упражнения 6 к гл. IV.
Полагая b~a + h, мы можем написать: ξ = α + ΘΑ, где
0 < θ < 1. (110)
Мы будем часто применять букву θ для обозначения подходящие
образом выбранного числа, удовлетворяющего условию (110).
При этих обозначениях утверждение теоремы о среднем значении
мож^т быть записано в виде:
f±±R=JM = f,{a + bk)
(111)

75. ВОЗРАСТАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
1274
ИЛИ
/ (а + К) - / (а) = hf {а + Щ. (112>
Так как левая часть равенства (104) не меняется, если мы
поменяем местами а и Ь, то уравнение остается справедливым, если,
а > 6, и условия выполняются в интервале Ь, а. Поэтому в
равенствах (111) и (112; мы сможем также брать h де только
положительным, но и отрицательным.
Каждый из результатов (104) и (111) называется иногда
теоремой о среднем в дифференциальном исчислении. Также
употребляется название — формула конечных приращений для равенства»
(112) или эквивалентных ему;
•f{b)-f(a) = {b-a)f(i), (113>
/(6) = /(α) + (6-α)/'(ξ). (Н4>
Отметим, в частности, что, согласно (111), при конечных
значениях h отношение, цредел которого при А—>0 есть
производная в точке а, равно значению производной в точке α + ΘΑ, τ. е..
в некоторой точке между а и а + Λ.
75. Возрастающие функции* Во всяком интервале, в котором.
/' (х) > 0, функция f (х) будет возрастающей. Ибо, если хх и х%
какие-нибудь две точки в таком интервале, то из формулы
конечных приращений следует, что
/(*,)-/(*,) = (*.-*,)/'(«)· (И5>
Отсюда, так как /'(ξ) > 0, то разности f(x2) — f(%x) и х2~~хгимеют
один и тот же знак и
/(ж2)>/(ж1) при х2>хг. (116>
Существование производной влечет за собой непрерывность
функции, поэтому если f(x) имеет в некотором интервале
положительную производную, то у = / (х) будет непрерывной
возрастающей функцией в этом интервале и, следовательно, будет
обладать обратной функцией χ = /~1 (у). Следовательно,
рассуждения § 64 применимы и, в частности, имеет место равенство (13).>
Аналогичные результаты можно получить также, если f(x)
имеет в некотором интервале отрицательную производную.
Если f (x) непрерывна в х0 и не равна нулю в этой точке, та
имеется некоторый интервал, содержащий х0, в котором/' (х)
сохраняет свой знак, так что равенство (13) может быть применено
во всякой точке, в которой производная непрерывна и отлична
от нуля.
Дели f(x) равна нулю в некотором интервале, то функция f(x)
должна быть постоянной в этом интервале. Ибо в этом случае-

128
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
для частного значения а и любого χ из этого интервала мы
будей иметь:
f(x)-f(a) = (x-a)f'(l) = 0. (Ц7)
Отсюда следует, что для всех точек χ из заданного интервалу
/(#) = /(α)ι следовательно, f(x) имеет постоянное значение.
Предположим теперь, что функция f(x) имеет производную
/' (х) > 0 во всех точках интервала а, 6, за исключением конечного
числа точек pt. Тогда эти точки pt будут делить интервал а, Ь
на ряд подинтервалов. В открытом интервале, соответствующем
любому из этих подинтервалов, функция f(x) будет возрастать.
Если функция / (х) непрерывна в точках pi9 то мы можем
воспользоваться замкнутыми интервалами. Таким образом, если функция
непрерывна в точках pi7 а следовательно, и во всем интервале а, Ь,
то она будет возрастать в интервале а, Ь. Те же рассуждения
применимы, если /' (х) > 0 для всех значений х, больших а или
меньших 6, за исключением множества точек pt при условии, что
в этих точках / (х) непрерывна. Здесь множество точек pt может
быть бесконечным, если только оно состоит из изолированных
точек, т. е. не имеет предельных точек*).
Если мы знаем, что /' (х)>0 в некотором интервале, тогда мы
можем заключить, в силу равенства (115), только, что
/(**)>/К), если х2>х19 (118)
так что эта функция будет неубывающей, но не обязательно
строго возрастающей.
В то время как мы можем сделать заключение о поведении
функции из условия сохранения знака производной во всем
интервале, подобного заключения, зная знак производной только
в одной точке, мы сделать не мощем. В виде примера
рассмотрим функцию y = f(x), где
f(x) = x + 2x2sin~, хфО и /(0) = 0 (119)
Она имеет производную +1 в начале координат, которую можно
получить непосредственным вычислением, т. е. воспользовавшись
равенством (70). Но для точек, близких к нулю, но отличных от
него, мы имеем:
/'(s) = l + 4a;sin -i -2cos|-, (120)
Это выражение будет отрицательным в некоторых точках всякого
интервала, содержащего точку χ = 0, следовательно, хотя
производная положительна при х = 0, функция не будет монотонной
ни в каком интервале, содержащем 0. Это следует из того
*) Имеется в виду, что предельных точек нет внутри интервала а, Ь.
{Прим ред.).

76. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ 12ft
факта, непосредственно вытекающего из определения
производной, что если / (х) монотонно возрастает в (интервале, то f(x)
не может быть отрицательной ,ни в одной точке этого
интервала.
76. Относительные максимум и минимум. Под термином
«максимум» мы обычно подразумеваем абсолютный максимум
или наибольшее значение функции в рассматриваемом
интервале. Точка, в которой значение функции не меньше любого
значения в непосредственной близости от этой точки, т. е. в
достаточно малом интервале, содержащем эту точку и лежащем в
заданном интервале, называется относительным максимумом. Таким
образом, относительный максимум для первоначального
интервала будет абсолютным максимумом для некоторого до-4
статрчно малого подинтервала. В концах замкнутого
интервала а, Ь мы рассматриваем значения функции только с одной
стороны.
Если /(х) рассматривается в интервале а< х<Ь и ξ —
внутренняя точка этого интервала, в которой f(x) достигает относит
тельного максимума и имеет производную, то, рассуждая, как
в § 73, мы получим соотношения (101) и (102) и равенство /' (ξ) = 0.
Аналогичные рассуждения применимы к относительному
минимуму. Этим доказана следующая теорема:
Относительные максимумы и минимумы функции f(x) на
замкнутом интервале a^x*Cb могут встречаться только на
концах интервала'а и Ь, в точках, где f(x) не имеет конечной или бес-
конечной производной, и в точках, где f (x) = 0.
В примерах, разбираемых в элементарных курсах анализа,
функции обычно имеют производные во всех рассматриваемых
точках. Цри этом или областью определения функции служит вся
бесконечная прямая, как, например, при рассмотрении много*
члена для всех значений х, или же значения, принимаемые на
концах интервала, не являются максимумом или минимумом.
Тогда искомые точки соответствую^ значениям /'(#) = 0.
Даже в простых случаях нам иногда приходится
рассматривать точки, в которых производной не существует. Например,
если у = х2!*, — 1 < χ < 1, то минимум будет в точке χ = 0 и равен
нулю. В этой точке функция не имеет производной, потому что
правая производная равна ■+- оо, тогда как левая производная
равна — оо.
Достаточным условием относительного максимума будет
следующее:
Точка с, в которой f(x) непрерывна и такова, что /'(ж)>0
в некотором интервале с — h < χ < с, тогда как f (χ) < 0 в некото*
ром интервале с < χ < с + к, будет точкой относительного
максимума.
«♦

430
ГЛАВА IV* ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Это утверждение следует из предложений предыдущего пара-*
графа, потому что когда χ возрастает, проходя нерез значение с,
f(x) возрастает до значения /(с), а затем убывает.
Аналогично:
Точка с} в которой f (χ) непрерывна и такова, что f (χ) < 0 в
некотором интервале с — h < χ < с, тогда как f (χ) > 0 в некотором
интервале с < χ < с + к, будет точкой относительного минимума*
В этих случаях для функций, обладающих непрерывной произ-:
водной, /'(с) = 0. Менее общий признак в терминах высших про^
изводных приведен в упражнении 42 к гл. IV.
77. Промежуточные значения производной. Функция может
быть непрерывной в точке, не имея в этой точке производной.
Примером этого может служить функция г/= /(#), где
/(a) = tfsin^, хфО, и /{0) = 0, (121)
которая непрерывна, но не имеет производной при χ = 0, потому
что Τ > равное sinv, колеблется между 1 и — 1, когда
Ц—»0. В упражнении 10 к гл, IV дан пример функции, не имеющей
производной ни в одной точке интервала, в котором она
непрерывна.
Даже если функция имеет производную в каждой точке
интервала,, то эта производная не будет обязательно непрерывной вр
всех точках этого интервала, Например, функция, определенная
равенством (119), имеет производную для всех значений х} но
эта производная разрывна в точке х — 0. Тем не менее производная
функция обладает наравне с непрерывными функциями
свойством принимать все промежуточные значения (см. §34). А именно,'
справедлива следующая теорема:
EcAuf{x) имеет производную f (χ), конечную или бесконечную%
во всех точках замкнутого интервала α<#<<6? то f (x) принимает
в некоторой точке интервала -между а и Ь любое значение,
лежащее между f (а) и f (b).
Предположим для определенности, что /' (а) < /' (6), так что
требуемое промежуточное значение А удовлетворяет неравенствам
f{a)<k<f{b). (122)
В силу определения производной как предела, мы можем цайти
положительное число А, такое, что
у(«+»ь/м<» ,/<»-*>-/<»>>ь (12з)
Тог/ja функция
' Ρ(χ) = ϋ£±&ζ1& (124)

78. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДРОИЗВОДНОЙ 131
будет принимать значение, меньшее к, при я= а, и значение, боль^
шее к, при # = 6 — А, так что к будет промежуточным значением
этой функции на интервале а<#<6 — h. Но, так как f(x) имеет
производную во всем интервале, то она непрерывна во всем
замкнутом интервале, а следовательно, непрерывна и F (х). Тогда,
вследствие свойства непрерывных функций принимать все
промежуточные значения, найдется точка х0, такая, что
а < х0 < 6 — fe,
для которой
Ffr,) = '(*' +*>-'(*»> = &.
Но по теореме о среднем значении
f(x0 + h)*-f(x0) __ ,, г.
h "~/ W'
где
х0 <δ < #ο + λ.
Из (125) и (128) мы видим, что
а<1 < 6
й из (126) и (127) получаем
/'(*) = *,
что доказывает теорему.
78. Предельные значения производной. Функция может иметь
производную в точке а даже тогда, когда производная /' (х) вблизи а
не стремится к пределу при х—>а. Функция, определенная
равенством (119), является примером такой функции при а = 0. Однако
мы можем доказать такую теорему:
Если производная f (χ) стремится κ пределу, при χ—χι*,
limf (x) = L, (131)
х-*а+
и если f (χ) подходящим образом определена при χ = а, то
функция f(x) будет иметь в точке х = а правую производную,
равную L.
Из равенства (131) вытекаё?, что имеется некоторый открытый
интервал а < χ < а + h, 9 котором функция / (х) имеет
производную. Следовательно, по формуле конечных приращений,
/<«,)-/<*а) = <*» -*,) /' («), (132)
где хх и х2 — любые две точки открытого интервала я, a+h, а ξ —
подходящим образом выбранная точка между хг w х2. С другой
(125)
(126)
(127)
(128)
(129)
(130)

132
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
стороны» из условия (131) следует, что мы можем найти такое Ь19
что, при а < х < а + 8Х,
|/'(«)-1|<8<1, откуда |/'(я) |< | L | + 1 (133)
Таким образом, если хг и х2 находятся в интервале
а < χ < а + 8S, (134)
где 8е <8lf а также **<\L*+1 > (135)
то мы будем иметь:
1/<*=)-/К)К*· (136)
Так как это соотношение имеет место для произвольно малых
значений з, когда хг и х2 лежат в интервале (134), то удовлетворяется
критерий сходимости Коши, и f(x) стремится к пределу при х—>а+.
Поэтому, положим
/(a) = lim/(«). (137)
X-+CL*
Йри таком определении /(a), каково бы ни было
положительное h < h19 функция / (χ) будет непрерывна в замкнутом
интервале а} a + hy и мы сможем применить теорему о среднем:
Па + ^~Па) =f'(a + bh), О <Θ < 1. (138)
Отсюда и из (131) следует, что
lim /(* + *)-'(«>=!, (139)
и мы видим> что функция / (х) имеет в точке «правую производную^
равную L.
Если
/(a) = lim/(a;) и lim/' (х)= + оа, (140)
то мы можем заключить из второй.части этого рассуждения, что
/ (х) имеет правую производную в а, равную -(г оо. Примером может
служить Ух при я = 0.
Однако из второго равенства (140) мы не можем заключить,
что первое равенство (140) определяет конечное значение f(a).
Например, если f(x) — , то /'(#)—>+оо при а;—»0+> но
/(#)—»— оо, так что мы не можем определить /(0)
посредством (137).
связи с этим примером докажем следующее:
ели для некоторого конечного значения а> | / (а;) | —> сх>t
когда $—>а, то f (x) не может стремиться к конечному
пределу при х—>а.

79. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ЦЗЗ
Действительно, если бы /'(#) стремилось к конечному пределу,
то она была бы ограничена в некотором открытом интервале
а, α+й, й для любых χ и хг из этого открытого интервала мы
бы имели:
/(*)-/(*.) = (*-*!)/'(«)· (И*)
Отеюда и из неравенств
|/'(ξ)|<Λ/, \х-хг\<к (142)
мц бы заключили, что
\f(x)-f{x1)\<Mh. (143)
Это показывает, что если х—>а при фиксированном х19 то/(ж)
остается ограниченной, а это противоречит предположению, что
| / (а;) [ —> -+- оо,
Заметим, что этот результат может не иметь места, если
рассматриваются пределы при х, стремящихся к бесконечности,
а не к конечному а. Например, если f(%)==JK9 то /(#)~^оо
прц #т-*оог но t[(x)—»1. Или если f(x) = ]/x, то /(#)—^ + od
при χ —> со, но /' (х) —> 0.
79. Обобщенная теорема о среднем значении» Вернемся к
геометрической интерпретации теоремы о среднем значении, данной
в начале § 74. Выразим
координаты произвольной
точки S дуги PQ в
функциях параметра t, так
что x = G(t) и y = F(t)
(фиг. 11); таким образом,
точки дуги соответствуют
значениям t в
некотором замкнутом интервале
а<£<&. В этих
обозначениях угловой
коэффициент хорды PQ будет
F(b)-F(a)
Равен G(lb)_G(fl), тогда
как угловой коэффициент
касательной к кривой в f'M*\
точке Г, соответствующей значению ί = τ, равец щ^ К Это
позволяет предполагать, что при некотором значении. ί = τ,
*) Автор предполагает известным, что угловой коэффициент
касательной для кривой, заданной в параметрической форме, равен Q, ,. , если эти
производные существуют и не равны одновременно нулю. Это легко
установить, переходя к пределу в выражении для углового коэффициента
хорды. (Прим. ред.)
G(a) G(t)
Фцг> 11.

134
ГЛАВА IV* ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
α.< τ < bi выполняется указайное ниже соотношение (145).
Действительно, справедлива следующая теорема:
, {а) ЕслиР (t) и G(t) имеют конечные производные во всех
точках открытого интервала я < t < i и непрерывны на концах
замкнутого интервала а < t < 6, а следовательно, и во всем этом интервале,
то в некоторой точке τ открытого интервала а < τ < b
выполняется равенство
[F(b)~F(a)]G' (τ) = [<?(*)-С (α)]*" (τ).
(144)
(б) Если, кроме того, G(a) Φ G(b) и производные F' (t) uG'(t)
нигде одновременно не обращаются в нуль в открытом интервале
a<t<b, то
F(b)-F(a)_F'{x) .,
G(b)-G(a)~G'(x)· V**°/
Мы докажем утверждение- (а) теоремы, применяя теорему
Ролля Η удвоенной площади треугольника PQS. В наших
обозначениях получим:
\G(t) F(t) l
\G(a) F(a) i\ = 2A(t). (146)
\G(b) F(b) 1
Тогда найдется такое τ, для которого
|С'(<с) F'(x) 01
G(a) F(a)
G(b) F(b)
= 24'(t) = 0,
(147)
что эквивалентно равенству (144).
Предположим теперь, что выполнено дополнительное условие
утверждения (б). Тогда, если F' (τ) = 0, то G' (τ) Φ 0. С другой
стороны, если F' (τ) Φ О, то, так как G (Ь) — G (а) Ф О, правая часть
равенства (144) не будет нулем. Следовательно, и левая часть
(144) не будет нулем, и поэтому G' (τ) Φ 0. Тогда мы мЬжем
разделить (144) на G' (τ) и на G (6) — G (а) и получить, таким образом,
равенство (145).
Дополнительное условие (б) можно заменить условием
(в). Если G'(t) нигде не обращается в нуль в открытом
интервале а,Ь, то дополнительное условие (б) выполняется; таким
образом, в этом случае равенство (145) имеет место.
В самом деле, если всюду {?'(*)=£ О, то производные F' (t)
и G' (t) не могут обе обратиться в нуль при одном и том же
значении tf и, кроме того, в силу формулы конечных приращений*
G(b)-G(a)=?(b-a)G' $)Ф0.
(148)

$0* ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
135
80. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенного
выражения ^. Если / (х) —■> 0 и g (#)—>0, когда χ —> α, то отношение
—Ч может стремиться к пределу, когда χ стремится к а.
g (χ)
Как мы видели в § 21, без дальнейшего изучения функций
/Hg нельзя определить, существует ли предел такого отношения, и
если существует, то чему он равен. Это обстоятельство выражают
/ \ / 0*0
короче, говоря, что при х—>а (или при х — а) '-~~ представляет
собой «неопределенность вида ^». Отыскание такого рода
пределов называют «раскрытием неопределенности*.
Если функция f(x) непрерывна, то f(x + Λ) —/(«)—>0 при
Λ —>0, так что ^^—,' "* ' при А = 0 есть неопределенность
вида J. Таким образом, вычисляя производную, мы каждый раз
раскрываем неопределенность такого типа.
В некоторых случаях, когда неопределенное выражение стре*-
мится к пределу, значение предела может быть определено по
правилу Лопиталя, которое формулируется следующим образом!
Если f(x)—>0 и g(x)~*09 когда х—>а*9 и
}^M'L- (149)
то
Umjg-L. (150)
То же верно, когда вместо конечного предела L в
равенствах (149) и (150) стоят 4-оо или — оо.
Теорема также справедлива, если fcce пределы берутся при
х—>а~ или при х—>а.
Правило, данное в таком виде, является следствием
обобщенной теоремы о среднем значении. Заметим прежде всего, что
условие (149) предполагает, что существует некоторый открытый
интервал a<.x<a + h, в котором обе функции, f(x) и g(x)> имеют
конечные производные и g' (χ) Φ 0. Определим функции
F(x) = f(x), G{x)=g{x) для a<x<a + h, (151)
и
F(a) = 0, G(a) = Q> (152)
Тогда функции F(χ) и G(x) во всяком замкнутом интервале
а<г<аг, где х — любое число, лежащее в открытом интервале
а < χ < а + /г, будут удовлетворять первому условию обобщенной

136
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
теоремы о среднем^ а также дополнительному условию (в). Таким
образом, для некоторого х0 в открытом интервале
а<х0<х (153)
мы 15удем иметь, вследствие (145),
/ (х) F (х) - F (a) F' (х0) f (х0) _
g(x) G(x)-G(a) G'(x0) g' (x0) » \10*>
Из соотношения (153) следует", что каждой последовательности
значений ху стремящейся к а+, соответствует последовательность
значений х0, тоже стремящаяся к а+. В силу (149), предел
/' (х ^
,; г будет равен L, следовательно, согласно (154), предел
^γ4 Для первой последовательности также будет равен L. Так
как это верно для каждой последовательности, то равенство (150),
т. е. утверждение теоремы, доказано.
Так как всевозможные последовательности χ могут
соответствовать специальному множеству последовательностей х0, то может
/ (х) /' (х)
случиться, что -у-' стремится к пределу, тогда как -ή-4 предела
це имеет. Поэтому из того, что ^тг\ не стремится к пределу,
8 \х)
нельзя сделать никаких заключений о поведении ^н: .
Если lim -n-k^ +°°> то мы можем заключить, что lim'-y-(—+ со
и аналогично — в случае, когда lim -jy-l= — со» Из lim
х^а+ 8 Кх)
также следует, что lim \-j-(
х-+а+ \ g{x)
/'(«)
*'<*)
= СО
= со, потому что в этом случае
ssffi-azffi-0- (,55)
Рассуждения, проведенные нами в случае х—^а+> переносятся
с небольшими изменениями на случай х—хг и х~>а*
81. Бесконечно малые. Мы определяем бесконечно малую
величину как беременную, предал которой равен нулю. Таким
образом, если χ стремится к а, то k = x— а — бесконечно малая.
Мы можем каждую функцию от х9 бесконечно малую при х-->ач
представить как функцию от этой бесконечно малой А. Например,.
У = /(*)-/(«) = /(* + А)-/(а). (156)
Бесконечно мадая, через которую мы выражаем все бесконечно
малые в данном предельном процессе, называется главной
бесконечно малой.

&Ь БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
137
Главную бесконечно малую условимся считать бесконечно малой
первого порядка. Если А— главная бесконечно малая, а и —
некоторая другая бесконечно малая, такая, что kjh стремится к
конечному пределу, отличному от нуля, то к также называется
бесконечно малой первого порядка. Бесконечно малая Ал, где η —
некоторое положительное целое число, а также всякая бесконечно
малая к, такая, что предел k/hn конечен и отличен от нуля,
называется бесконечно малой п-го порядка.
Если кг — бесконечно малая порядка т> к2 — бесконечно малая
порядка п, то предел kjk2 будет конечным и отличным от нудя,
только когда т = пу и будет равен нулю, когда т > /г, так как
Далее назовем две бесконечно малые кг и к2 бесконечно малыми
одного и того же порядка, если предел kjk2 конечен и отличен от
нуля; назовем кг бесконечно малой более высокого порядка, чем
к», а к2 — бесконечно малой более низкого порядка, чем А1, если
предел kjk2 равен нулю.
Мы не будем определять нецелочисленный порядок бесконечно
малой. Так, например, мы не определяем порядка для /г3'2, хотя мы
скажем, что эта бесконечно малая будет более высокого порядка,
чем А, и более низкого порядка, чем А2. Далее, бесконечно малая
A2 sin -τ- будет более высокого порядка, чем А, но не более низкого
порядка, чем А8 или чем А", где/г —любое целое число >3, потому
что выражения
Г и — (158>
h2sin — h*sin
-τη η
не стремятся к нулю. Действительно, каждое из этих выражений
теряет смысл, когда 1/А является целым кратным π; но, выбирая
подходящим образом последовательности значений А, сходящиеся
к 0, мы убедимся, что верхний предел (158) равен + оо, а нижний
предел — оо. Бесконечно малые
A sin-v ц A sin—γ (159)
не будут бесконечно малыми одного и того же порядка, и ни одна
из них не будет более высокого порядка по сравнению с другой.
Таким образом* йаше определение пригодно для классификации
некоторых, Н9 ДО все?: бесконечно малых»
Несмотря да що что, порядок бесконечно малой зависит от
главной бесконечно эдакой, тем не менее он не изменится, если мы
заменим главную бесконечно малую А любой другой бесконечно

138
ГЛАВА IV- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
малой первого порядка относительно й. Соотношение же вида
<кг— более высокого порядка, чем &2» вообще не зависит от
выбора главной бесконечно малой.
Когда йредел кг[к2 равен нулю, то мы пишем
к^о(к2) (160)
is. говорим, что «кг есть о малое от к2». Таким образом, для каждой
^бесконечно малой к мы имеем к = о (1) и, обратно, это соотношение
означает, что к есть бесконечно малая. Если ий^и к2 — бесконечно
малые, to (160) означает, что кг есть бесконечно малая высшего
лорядка, чем к2. Например,
h9/t = o(h)9 ft2 sin ^ = o(A8/2). (161)
Для бесконечно малой к порядка η мы будем иметь:
-^ *0, так как ^-»4, (162)
«г мы можем написать:
k = Akn + o(hn). (163)
Если к может быть представлено в таком виде я Α Φ 0> то
слагаемое Ahn называется главной частью бесконечно малой к.
Исследования § 70 показывают, что если р(а)ф0 и Ах —-главная
^бесконечно малая, то Добудет бесконечно малой первого порядка,
для которой / (а) Ах, или дифференциал dyi будет служить
главной частью.
Из определения и в силу предложений § 19 следует, что если
s1 = o(A1), s2 = o(k2), (164)
-то s1s2 = o(k1k2). Сокращенно запишем это в виде
0(*ж) ·*(*!> = 0(^*2). (165)
Аналогично
о {кх) + о (к2) = 0(^4- &2)# (166)
В частности,
Ао (hn) = о (hn) и о (hn) ♦ о (hm) = о (кп+т). (167)
Так что,
если т>п, то o(h*) + o(hm) = o(hn). (168)
Применяя эти соотношения, можно доказать, **то, если т > η
и кг имеет главной частью Axhm, а к2 имее* главной частью
A2hn, то· kjc2 имеет главной частью Л1Л2Ат+п> а главная часть
ki + k2 будет A2hn.

82. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА
139
Мы будем иногда применять обозначение, сходное с
обозначением в равенстве (160), и писать:
&i==C>(fc2), (169)
говоря, что ъкх есть О большое от &2»> если имеется такая
постоянная у', что
|*J<yl*H, (170)
начиная с некоторого момента изменения переменных кх и к2.
Соотношение -(169)- выполняется, когда — стремится кконеч-
ному пределу или хотя бы имеет конечный верхний предел.
Например,
h2sin2\^oih2sin\^ . (171)
В частности, (169) следует из (160). Из правил действий над
символом О отметим:
О (К) О (*,) = О (А,*,), АО (к,) = О (kt),
0(кг) + 0(*.) = 0(|*1| + |*.|) (172)
И
если кг = 0(к2), то 0(kt) + 0(k%) = 0(ki). (173)
83. Теорема Тейлора для бесконечно малого приращения.
Рассмотрим функцию f(x) для значений х9 близких к а. Когда
χ —>α, то й = а?— а есть бесконечно Малая. Если можно найти*
многочлен тг-й степени по h
Р (h) = Λ +Лгк + A2h2 +...+ Anhn, (174)
такой, что
f(x) = f(a + h) = P(h) + o (hn), (175)
то P(h) называется разложением Тейлора порядка п функции
/ (χ) в окрестности точки а. Мы говорим, что Ρ (h) аппроксимирует
функцию f(a+h) с точностью до членов высшего порядка, чем hn.
Мы покажем, что если функция / (х) имеет в точке а (п + 1)-ю
производную /(л*1) (а), то имеется единственное разложение такого
вида. Мы предположим, что функция имеет разложение вида (175),
а также что существует производная /<η+1)(α), и попытаемся
определить, каковы должны быть коэффициенты полинома Ρ (К) при
этих условиях.
Так как /С**1) (а) существует, то /(л> (х) должна существовать
в некотором замкнутом интервале я — &<а<я+&и должна быть
непрерывна в а. Таким образом, /С71-1)^) и все производные
низшего порядка, так же как и сама функция f(x), должны
существовать и быть непрерывными в этом же замкнутом интервале.

140
ГЛАВА JV» ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Из соотношения (175) следует, что
itoifrLtjapm-o. (176)
jm) Λ"
Так как знаменатель стремится к нулю, то числитель должен
также стремиться к нулю и
lim [/(а+ *)-£(*)] =/(α)-Λ = 0. (177)
Λ-й)
Таким образом, левая часть равенства (176) удовлетворяет
первому условию правила Лопиталя, и если предел
h-+Q nn
существует, то он должен равняться нулю. Но предел числителя
есть
/'(«)-4; (179)
при этом предел (178) обращается в + оо или — оо, что
противоречит равенству (176), если только не будет выполнено условие
/'(«)-А = 0· (180)
Далее, мы применим правило Лопиталя к выражению (178)
и, аналогично рассуждая, получим, что
lim [f (а + h) - Ρ» (h)] = /" (a) - 2! A% = 0. (181)
Повторяя эти рассуждения, получим выражения
f> (a) = il At или At = /-^) для ί = 1, 2, ...:, п. (182)
Рассмотрим теперь некоторую произвольную функццю f(x)r
для которой /(/ι+1) (α) существует и конечна. Образуем
многочлен P(h)y определенный равенствами (174) и (182). Рассмотрим
теперь
Um '<'+&:Р(А) . (183)
л-»о
£П+А
В силу того, что Ρ (Q) = A0 = f(a), мы можем применить правило
Лопиталя, если предел
существует. Затем, вследствие того, что Р' (0) — Ax — f (а), мы
можем применить опять это же правило, если существует предел
r(a + h)-P"(h) _
и так далее,

82. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА
141
Применив η раз правило Лопиталя, мы придем к
соотношению
/с»>(д+Л)-Р<»>Щ'_ ι ;<«> (д+ Λ)-/(»>(&) Μήβ.
(τι + 1)! h (λ + 1)! Λ ' ^ '
Но, по определению (тг + 1)-й производной, предел написанного
здесь разностного отношения, при А —>0, равен /<η+1>(α). Теперь,
возвращаясь назад, мы можем' оправдать каждое применение
правила Лопиталя и, таким образом, найти, что
■π;»°*£ΓΡ№)^/«■">(«). «87,
Это доказывает, что
f(a+h) — P(h) = 0(hn+1), следовательно, равно о (Ап>. (188)
Мы сформулируем полученные результаты в виде следующей
теоремы:
Если функция f(x) имеет коленную (п + 1)-ю производную
у(л+1)(а) в точке х=а, то многочлен
.P(h) = f(a) + f'(a)± + r(a)%-+...+?*>(*)■% (189)
относительно бесконечно малой h = χ—а отличается от /(α+Λ)
на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с Ап, так что
f{a + h) = P{h) + o{hn). (190)
Не существует другого многочлена степени -<w, обладающего
этим свойством. Поведение разности f {a + А) — Ρ (А) указано более
точно соотношением (187).
Если под /<п+1) (а) = + оо понимать, что /<п> (х) имеет
производную, равную +о>, при х = а, то предыдущие рассуждения дают
нам, что
lim^a + fc>-pW=0, (191)
так что (190) остается в силе, но соотношение (187) должно быть
заменено соотношением
lim/jM^W^ + o,. (192)
^ ft-ИЗ п
Аналогичное заключение может быть сделано, если
/<"+!) (я) = -СО.
Заметим* однако, что мы можем иметь lim/<n+1> (#)==·+со,
х-*а
не имея /<П-И) (а) = + °°. в том смысле, который мы придали этому
выражению выше.- Мы. иллюстрировали это для первой
производной в связи с равенством (140).

И2
ГЛАВА IV> ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
83. Разложения Тейлора* Правила действий над символами
o(hn) и 0(hn), данные нами в § 81, показывают, что во многих;
отношениях разложения Тейлора ведут себя как многочлены.
Возьмем, например, разложения
sin χ = ж — -|f + О (ж5),. (1.93)
cos^ = l — |f^|l + <9 (χβ), (194)
e*=i + ^- + ^ + 0(x% (195)
которые могут быть получены, согласно (189), непосредственным
дифференцированием. Тогда, действуя так, как если бы правые
части были многочленами, получим:
sm2x = x2-^ + 0(x*), sm*x = x*--j-+0(x7), (197)
e*» = l + ^ + |J + |L + 0(x·), (198)
cos (sinaO = 1-^ + ^+0 (*6), (199)
cos- χ = 1 - ψ + m(3^""2) tf + Ο (?β). (200)
Здесь мы получили равенства (197), умножив разложенце (193)
само на <?ебя> а затем еще раз на него ,же. Заменяя χ через т?
в разложении (195), получим (198). Замена χ в разложении (194)
членами разложения (193)приводит нас к (199). Заменяя φ в (196)
членами разложения (194), следующими за 1, получим (200).
Отметим часто встречающиеся частный случай
разложения (196), когда тю= — 1:
_1_ = 1_-ж + ^_^з + 0^)# (201)
Из него и из (194) мы получим: $
К этому можно притти также посредством деления, и это
разложение будет совпадать с (200), при т= — 1. Перемножение (193)
с (202) дает:
tgx = sinx^x = x + ^- + 0(x>). (203)

83. РАЗЛОЖЕНИЯ ТЕЙЛОРА
14?
Чтоб** найти разложение для arcsinz, мы должны положить·
^ = arcsin#, так что x=^siny=y — -|р + 0(у5). (204)>
Найдем отсюда (так как χ и у одного и того же порядка), что
у = х + ^ + 0(х>), у* = х* + 0(х>) (205)
и
У = * + ^ + 0{х% (206)
Это можно получить также, заметив, что если / (х) — arcsin x9 то*
F(x) = f(x) = vJ=7i = l + ?-+0(x*). (207>
Последдее равенство следует из (196),. в котором полагаем т— —γ
и заменяем χ через я2. Но если apxv есть общий член разложения
для /(#), а -4ра?р — общий член разложения для F (#) = /' (#), то*
«о = /(0), (208>.
Это соотношение позволяет нам получить разложение (206)>
из (207).
Вообще, если мы разлагаем функцию g (x) по степеням
бесконечно малой h = x±-a, то такое разложение будет начийатьсй*
с g(a)9 так что бесконечно малая к = g (χ) — g (а) будет иметь раэ-*-
ложение по /г, не содержащее постоянного члена. Таким образом,
разложение по h степеней к может быть получено методом,
примененным нами для вывода (197). Если, далее, мы хотим разложить-
f(g(x)) по степеням h9 то мы сначала разложим f(u) по
степеням и—Ь, где b — g(a), так что если u = g(x), то и—Ь = £(ж) —
— g(a) = к; разложение же степеней к мы тодькр что рассмотрели.
Например, если /(и) = —, то
1 + Т
ч^стцым случаем такого разложения было (201).
Так как комбинации элементарных функций, рассмотренные-
здесь, имеют.производное всех порядков, то соответствующие
разложения для них существуют, так что мы можем дрименить метод,
неопределенных коэффициентов. Обычные приемы (деление,
использование разложений обратной функции или производной)г

144
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
то
которые мы показали на примере arcsincc, эквивалентны этому
методу.
Так как разложения Тейлора определены единственным
образом, то не имеет значения, каким методом они получены.
Приемами, показанными в этом параграфе, часто удобнее пользоваться,
чем непосредственно вычислять высшие производные, входящие
в равенство (189).
84. Другая форма правила Лопиталя. Рассуждения,
проведенные в § 82, дают нам возможность получить другой вид для
правила Лопиталя в случае неопределенности вида -^ .
Если функции f(x) и g(x) вместе со .своими производными
порядка от 1 до η обращаются в нуль при ж= а,
/ (а) = /' (а) = /»(а) = ... = /<»> (а) = О, (210)
8 («) = *'(«) = «*(«) = · - · =«<«>(а) = 0, (211)
и обе Они имеют в точке х = а производные (η + ί)-βο порядка,
причем
&п+1Ча)Ф0, (212)
*™^=^Ш> (213)
Применяя равенство (187) к каждой из наших функций и
замечая, что многочлен Ρ (А) равен нулю, в силу условий (210)
ж. (211)> мы получим:
lim *£+*>= /("*1><а) (214)
"_^ А"*1 (А+1)1 ' К '
lim g(g + A) _ g™>(a) ,2Ш
Л А*1*1 ~ (A+ DI " ( '
Деля одно равенство на другое, Полунине
Km f(fl + h) - fi*+iH*) ί216ϊ
что эквивалентно равенству (213), т. е. утверждению теоремы.
Когда x—>a+t мы требуем только существования правых
производных, а когда х-*аг, нам нужны только левые
производные. Если на производные не наложены эти ограничения, то
теорема справедлива, когда х—> а.
Также, если одна из производных /<η+1> (α) и g(n+1)(a), но не
обе одновременно, равна + оо или — оо, мы можем сделать
/ (χ)
заключение о поведении к: ' из равенства (213) по правилам §20.

84. ДРУГАЯ ФОРМА ПРАВИЛА ЛОГЩТАЛЯ
145
Если наши функции f(x) и g (х) обладают производными"
(л + 2)-го порядка в точке я, то, в силу разложения Тейлора
\п + 1)-го порядка, будем иметь:
/(α + Α) = 4Λ+1/ζΛ+1 + ί?(Αη+2) (217)
и
g(a + h) = Bn+1kn+1 + 0(k™), ВП+ХФ0. (218)
Из этих разложений следует, что
ЦтЩ- = ф*±. (219)
Это находится в соответствии с равенством (213), потому что
правая часть (214) равна Ап+1, тогда как правая часть (215) равна
Вп+1. Но если известны разложения Тейлора для функций f(x)
и g (x) или они могут быть легко найдены методами, изложенными
в § 83, то легче цроверить равенства (217) и (218) и применить
равенство (219), чем проверить равенства (210) и (211) и применить
(213). Например, чтобы вычислить
ton ^xTsinx , (220)
х^0 arc sin я-s'
воспользуемся равенствами (203) и (193):
tg χ - sin χ = £- + О (х% (221)
из равенства (206) имеем
агс81пя-я? = ^- + 0(ж§)| (222)
так что значение предела (220) будет равно 3.
Далее, если (га + 1)-я производная непрерывна в точке а,
то равенство (213) может быть выведено (п + 1)-кратным
последовательным применением правила, доказанного в § 80. Это во
многих случаях упрощает промежуточные выкладки путем
сокращения на множители или замены членов, пределы
которых известны и отличны от нуля, их пределами. Таким образом,
применяя прежнее правило вычисления предела функции -~-г «
^SiiLf ПрИ #—»0, мы найдем:
sin хъ,
f (χ) __ 3 sin2 x cos χ __ /s in a;V cos a: (223^
7Τρέ)~~ 3a2cosa;3 ~~ V x ) С08Ж*. 9 ^ '
так что Нт-ЦЙ- = 1. Этот предел можно также найти, написав:
f (χ) _/sin*γ χ* ,№___χ* + 0{*?) /224)

146
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Теорема этого параграфа не может быть применена к таким
случаям, как, например, lim —g— , за исключением доказательства
x->Q+ x
того факта, что обратная величина этого выражения стремится
к нулю, так что Г П2Ж становится бесконечно большим. Пра-
вило же § 80 показывает, что это выражение стремится к + оо.
Если (п + 1)-я производная не будет непрерывной в точке а>
то равенство (213) может дать результат, тогда как (149) не будет
справедливо. Примером (с п = 0) будет
1
х2 sin — п
lim . х =± = 0. (225)
X-+Q Sill Χ 1 V >
CO
85. Правило Лопиталя для неопределенных выражений — .
Если lim \f(x)\ — оо и lim \g(x) \ = со, то выражение ^~.
х-*а х-*а & \х)
может стремиться к пределу, когд ж—> а. Так как этот предел
не может быть определен без дальнейшего изучения функций, то
-~4 называется неопределенным выражением вида —. Мы
сейчас покажем, что правило, данное нами в § 80.для неопределен-
0 оо
рости вида 77-, применимо также и к неопределенности вида —.
vJ оо
Если
lim f(x) = со, lim g(x) = оо
lim-i# = <L' (226)
то
i™M-L- <227>
Теорема остается справедливой, если заменить L через + °° или
через —оо. Мы также можем вместо х—>а* полагать х—>аг
или #—> а.
Для доказательства выберем открытый интервал а < χ <
< a + h, в котором f(x) и g(x) имеют конечные производные.
Тогда для любых двух точек хг и χ из этого интервала, причем
хх > х, мы будем иметь, вследствие обобщенной теоремы о среднем
значении (см. § 79),
ι *(**)
f(z) ~f(x) __t(x)~f(ti) =f'(x0) ,п9Яч
где я0—некоторая точка, удовлетворяющая неравенству χ<ж0<ж1.

85. ПРАВИЛО ЛОШ1ТАЛЯ ДЛЯ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА —
147
Мы можем переписать это равенство в виде:
± g(*i)
/(χ) _ g(x) f'(x0) (99Q.
Теперь выберем δχι аакое, что
t/4-^--L|<3, если 0<х-а<Ъг. (230)
I g {X) | х х '
Это можно сделать, в силу условия (226). Затем возьмем частное
значение х±, .такое, что а < хх < α + δχ, и число δ, для которого
/(*)
<з и |у^|<з при 0<х-а<8, (231)
что мы можем сделать, потому что числители этих дробей
фиксированы, а знаменатели стремятся к бесконечности, когда х—>а.
Тогда
Ш = Т^{Ь+^ ПРИ °<*-α<δ' (232)
где
I «х I < в, |а2|<з, |а,|<з. (233)
Теперь возьмем последовательность значений з, стремящуюся
к нулю, и соответствующую последовательность значений δ, также
стремящуюся к йулю. Тогда для каждой последовательности
значений χ—» а+ мы можем написать ряд равенств (232), в которых г,
а следовательно, и ах, а2, а3 стремятся к нулю. Отсюда следует,
что
2zffi-Li (234)
тем самым мы доказали равенство (227).
Если в соотношении (226) L заменено через + °°, ι о мы
выберем δχ такое, чтобы
g|>4 при 0<*-a<V, (235)
f (χ) i
так что если ^ггт =~ » то 0 < αχ < s. Тогда вместо (232) будем
иметь:
J^h ■£*■·£· а>>0· <236>
Отсюда мы можем заключить, в силу прежних рассуждений, что
lim£gU+co. (237)

148
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
86. Неопределённые выражения при х—> + оо. Если
limf(x) = 0 и lim g(x) = 0, (238)
то мы можем свести этот случай к случаю, рассмотренному в § 80,
сделав замену переменной:
г/ = — ; тогда у—>0+ при х—>+оэ. (239)
Если положить
F(y) = f(j) = f(x) и G(y) = g(£) = g(x), (240)
то получим:
тогда
(241)
G' (3/) *' (*) ·
Отсюда видно, что если
(242)
ПтЩ = £, (243)
А5-И ОО б Vх/
то
lim /M= lim 1Щ.= lim *^> = Ит Ш. = £. (244)
G'(2/)
Это доказывает, что правило Лопиталя, сформулированное в § 80,
остается верным, если вместо χ—>α+ рассматривается
предельный переход при χ —> + оо .Оно будет также верно, при х—> — оо
ипри|ж|—>оо. Те же рассуждения сводят случай
lim |/(я)] = оо, lim |g(a?)| = oo (245)
к случаю, рассмотренному в § 85, и показывают, что правило,
изложенное в этом параграфе, может быть соответствующим
образом обобщено.
87. Другие виды неопределенных выражений. Если lim f(x)=0
и если lim | g(x) | = оо, мы говорим, что / (x)g(x) при
соответствующем изменении χ представляет собой неопределенное выражение
вида 0· оо. Мы можем найти lim/(χ)g(x) при помощи
предыдущих правил, ибо
ϊ(χ)8(χ) = ίψ-=ψ., (246)
1Щ /(*)

88. МНОЖИТЕЛИ, ОБРАЩАЮЩИЕСЯ В НУЛЬ
149
которые являются, соответственно, неопределенными выражениями
О оо
вида - и —.
Далее, если пределы функций / (х) и g (χ) либо оба равны
нулю, либо равны соответственно 1 и оо или оо и 0, то f(x)o№
представляет собой неопределенное выражение, соответственно,
вида 0°, 1°° или оо°. Исследования этих выражений могут быть
сведены к исследованию неопределенности вида 0 · оо путем
логарифмирования, потому что в каждом из этих случаев
произведение g (x) log / (χ) имеет один множитель, стремящийся к нули),
тогда как другой множитель становится бесконечным.
Аналогично выражение /(#) — g (#), где / (х) и g(x) обе
стремятся к бесконечности, может быть сведено преобразованием
_1 1_
/W-»W=^ (247)
или каким-нибудь подобным преобразованием к случаю, для
которого правило Лопиталя становится применимым.
Во всех этих случаях, если разложения Тейлора известны,
они могут быть применены для сокращения вычислений. В
качестве примера рассмотрим предел, когда х—>0, функции f(x)g(x\
где
/(χ) = 1 + ах + о (х), xg(x)±=b + o(1). (248)
Наша функция будет неопределенностью вида 1со. Из
разложения Тейлора
log (1 + и) = и+ О (а2) (249)
заключаем, что
log / (χ) = αχ + о (χ), g (x) log / (χ) = ab + о (1), (250)
так что
limf(x)o(*) = eab. (251)
88. Множители, обращающиеся в нуль. В приложениях
правила Лопиталя желательно делать алгебраические упрощения
дроби т-гА у как мы указали в § 84. Но при этом нельзя
сокращать множители в /' (х) и g' (x), обращающиеся в нуль в любой
близости от ау т. е. значения, при котором ищется предел. При-
/' (я)
сутствие такого множителя делает ·',)(' неопределенным для
§ кх)
некоторой последовательности значений х, сходящейся к а, так

150
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
что предел не существует в том смысле, в котором нам нужно
его существование для доказательства правила Лопиталя.
Действительно, может случиться, что ~rf\ стремится к пре-
g \Х)
делу А для всех последовательностей значений, за исключением
этой единственной последовательности, тогда как '-^\ или вовсе
g{x)
не стремится к пределу, или стремится к пределу, отличному от А.
Аналогичные замечания справедливы, когда мы ищем пределы
при х—>+ оо, и имеются множители, обращающиеся в нуль при
произвольно больших значениях х. Пример:
/(#) = х — sin χ cos x, g(x) = (cc —sin cc cos x)p ecosx (p > 0); (252)
мы рассматриваем предел ίψ^ при χ—>οο. Пользуясь тем, что
v~ # —sin#COS# л /ocov
lim = 1, (253)
мы видим, что
Щ^М^, (254)
где Мг имеет конечный верхний предел е и нижний предел,
больший нуля: —.
Производными функциями будут:
/'(*) = 2 sin2 x (255)
и
= (— χ -г sin χ cos x -j- 2p sin x) sin χ (χ ■— sin χ cos x)1^1 ecosx. (256)
Поэтому мы можем написать:
Щ=_Ж -.p!in^ (257
g' (ж) j sina; ' v '
где верхний и нижний пределы множителя М2 конечны и
полого V (χ)
жительны. Это показывает, что выражение -rfe не определено
для последовательности χ^ηπ, для которой sinz = 0. Исключая
эти значения, мы можем сократить на sin x vl получить:
Hm ζ^ = 0 при ζ'φηπ. (258)
Но если » = 1, то ^т = Мл колеблется между конечными преде-
r g(x) ι
лами и, следовательно, не стремится ни к какому пределу. Если
ρ < 1, например /?^—, то '-^ стремится к +оо.

89. ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА О КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЯХ 151
Рассматривая
F (х) = Af (χ) + Bg (χ), G (s) = / (χ) +g(x)9 (259)
составленные из функций (252), получим:
lim рМ='В9 х'Фпк, (260)
тогда как
lim 5^ = 4, если р = 1. (261)
когда p=i, jtt^. колеблется и, следовательно, не стремится
к пределу.
89. Теорема Тейлора о конечных приращениях. Теорема из
§ 82 утверждает, что для некоторых значений h многочлен P(h)
в равенстве (189) тесно связан с функцией / (х); теперь мы
займемся более детальным изучением этой связи.
В § 82 мы предполагали только существование (тг + 1)-й
производной в самой точке а. Теперь мы будем предполагать,
что функция / (х) имеет конечную (п + 1)-ю производную во всех
точках замкнутого интервала α<#<α + Α. В этом случае мы
применим обобщенную теорему о среднем значении к функциям
F(h) = f(a + h)-P{h) и G(h) = hn+1 (262).
и получим:
F(&) F(*)-F(0) F'(fti) /οβον
G(h) G(h)—G(0) G'ihJ' K '
ибо F(0) и G(0) равны нулю. Но так как первые η производных
функций F (h) и G (h) равны нулю при h = 0, то мы можем
повторить этот процесс еще η раз и найти:
G' (« Gm (Λ.) ~ ' · · - G<n+1> (An+1) · 1*°*'
Так как
0 < hn+1 < hn < ... < h2 < hx < Й, (265)
то можно написать:
Λη+1 = θ/г, где 0 < 9 < 1 (266)
и заключить, что
/(fl + ft)-P(ft) _ Г+1(<*-И/г) ,9А7.
Мы доказали, таким образом, теорему Тейлора о конечных при-
ращениях, которую можно сформулировать следующим
образом:

152
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Если функция / (х) имеет конечную (гг + 1)~л? производную
во всех точках замкнутого интервала а<#<я + й, то имеется
число θ между О и 1, такое, что
f(a + h) = f(a) + f'(a)±+f"(a)^ + ...
·■■+ Г («) тт+/ш+1> <α +е/г) "(Sir · <268>
Положив α + /г = #, h = x — a, мы запишем этот результат
в виде:
/(х) = /(а) + /'(а)^г+/"(«)^^^.··
• · · + Г («) -£=р£ + /<n+1> (S) ^^f, (269)
где ξ — некоторое значение, лежащее между а и х. Это
разложение остается справедливым для любого значения χ в замкнутом
интервале а<ж<6, если ф}нкция f (х) имеет конечную (и + 1)-ю
производную в этом интервале и если ξ соответствует этому х.
Разность между функцией f(a + h) и ее разложением Тейлора
Ρ (А), т.е. функция F (К) в равенстве (262), называется
остаточным членом разложения. Тогда равенство (267) определяет одно
из выражений для остаточного члена. Теорема, выраженная
равенством (268) или (269), часто называется теоремой Тейлора
о остаточным членом. Частный случай, соответствующий
значению а —0, называется теоремой Маклорена.
Если в замкнутом интервале а, Ь абсолютная величина
ycn+i) ^ή имеет верхнюю грань М9 то абсолютная величина
остаточного члена, или ошибка, которую мы совершаем, беря первые
η членов разложения Тейлора Ρ (h) или Р(ж-а) вместо f{x),
не будет превосходить —ν '— в любой точке интервала. Это
даст нам возможность применять разложение Тейлора для
вычислений, так кай обычно удобнее пользоваться выражением
Ρ(h), чем самой / (х); ошибка, допускаемая при этом, не прево-
СХ°ДИТ -оиР1)1 ■
90. Предельное значение Θ. О величине 6 мы знаем только
то, что она находится между 0 и 1, но мы сможем определить ее
предельное значение, когда h стремится к нулю, в случае, если
функция имеет производную порядка на единицу больше, чем
производная, входящая в член, содержащий а + Ыг, и если эта
производная непрерывна и не равна нулю в точке»а.
Предположим, что /(п+1> (х) непрерывна в точке а, а
следовательно, конечна в некотором замкнутом интервале я<#<а + Л,

91. ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 15В
и напишем разложение (268) —один раз без изменения, а другой
раз —взяв л — 1 вместо η и ΘΛ вместо Θ. Тогда, приравнивая оба
выражения, полученные таким образом для f(a + h), найдем:
Г (а + №)-% = Г («)£ + Г" (« + Щ ^г (270)
или
Г (« + М) = Г («) + /<п+1) (а + 6А) ^ . (271)
Но по формуле конечных приращений, примененной к /1п) (ж),
Г (« + βηΛ) = f > (α) + θηΛ/<»+" (α + β,βΛΑ), (272)
где θ0 лежит между 0 и 1.
Из двух последних равенств получаем:
"rt ~ τι + 1 /cn+1) (α + β0βдЛ) ' V '
Наконец, переходя к пределу в этом выражении, при /г,
стремящемся к нулю, и вспоминая, что /(п+1) (х) непрерывна в а
и /(η+1> (α) Φ 0, мы получим
limen = j-l-;. (274}
то же рассуждение применимо и для отрицательных значений h.
Этим доказана теорема, которую мы формулируем, взяв η+ί
вместо п:
Если функция f(x) имеет (тг + 2)-ю производную,
непрерывную и не обращающуюся в нуль в точке аЛлш>^значение θ в
остаточном члене равенства (268)
Г-Ча + Щ^
таково, что
Мтв = ^. (275)
91. Другие выражения остаточного члена. Мы можем
получить выражение остаточного члена в теореме Тейлора, данное
в равенстве (268), так же как и некоторые другие выражения
остаточного члена, которые иногда бывают полезны, более
коротким, хотя менее естественным путем, чем в § 89. Как и тогда,
мы предположим, что функция / (х) имеет конечную (п + 1)-ю
производную в замкнутом интервале α<#<6.
Затем выберем некоторую вспомогательную функцию g{%),
имеющую конечную производную g' (χ) Φ 0 во всех точках
открытого интервала 0 < χ < Ь — а. Функция g(x) должна быть непре-

154
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
рывна на концах 0 и Ь — а этого интервала и обращаться в нуль
в точке # = 0.
В остальном функция g(x) произвольна, и всякий в^бор
этой функции приведем к особому виду остаточного члена.
Применим к функции g (χ) теорему о среднем значении:
8(Ь-а)=в(Ь--а)-8(0)=.(Ь--а)?®фО; (276)
так как g (b — а) Ф 0, то мы можем разрешить уравнение
/(*) = /(«) + /'. («)^га + Г(«)-^! + ...
• · · + Г («) -^г^ + Gg (Ь - а) (277)
относительно G. Пусть G — постоянная, определенная этим
уравнением.
Затем зададим функцию F(x), положив
F(x)=-f(b) + f(x) + f(x)b-^ + f{x)S^f.+ ...
■■■+ Г (*) -^-" + Gg (Ь - х). (278)
Хотя эти определения не требуют логического оправдания,
читатель может найти некоторую мотивировку для них,
заметив, что если остаточный член выражен как произведение
постоянной на g (h) или g(b — а)у то (278) может быть получено
из уравнения (277), если перенести член /(b) вправо и
заменить а через х.
Применим теперь теорему Ролля (см. § 73) к функции F(x).
Функция F (х) имеет производную для а < χ < 6, ибо / (х) имеет
(лг + 1)-ю производную в этом интервале, тогда как g(b — x)
имеет там первую производную. Кроме того, условия,
наложенные на функции f(x) и g(x), делают функцию F (х)
непрерывной на концах интервала (а, Ь). Наконец, F(a) = 0, вследствие
уравнения (277), тогда как F(b) = Qf в силу (278) и условия,
что g(0) = 0. Таким образом, так как все условия теоремы Ролля
выполнены, то в некоторой точке ξ между а и Ъ будет иметь
место равенство:
F'(S) = 0. (279)
Дифференцируя (278), мы увидим, что большинство членов
попарно уничтожатся, и мы найдем:
F' (х) = /(П+1> (х) ^-^ - Gg' (Ь-х). (280)
(281)
Но так как F' (£) = 0, то отсюда мы получим, что
г_(Ь-£)" /(η+1)(ξ) .
**~ п\ g'(b-e) '

92. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ
155
тем самым остаточный член Gg(b — a) получит выражение
G§ (Ь-а) = -^1 Г" Ю -f^f * (282)
Полагая b = a + h, i = a + bh и написав:
f(a + k) = P(h) + R(h)9 (283)
мы можем выразить остаточный член как функцию к:
R (h) = Gg(Λ) = £(1 - 6)"Г» (а + Щ g,^%h) · (284)
Так как равенства (279) и (280) верны для некоторого
значения ξ, α < ξ < Ь, то отсюда следует, что равенство (284) будет
справедливо для некоторого значения 6, 0 < θ < 1.
Если теперь мы выберем функцию g(#), положив g(x) = xP9
где р — некоторое положительное число, то найдем выражение:
R (К) = ~ (1 - θ)"^+1 /(η+1) (а + βλ), (285)
Это —форма остаточного члена, принадлежащая Шлёмильху.
Далее, взяв р=1, получим:
R (К) = ^ (1 - 6)" /(η+1) (α + ΘΑ). (286)
Это — остаточный член в форме Коши.
Положив в (285) ρ = η + ί, найдем:
^^ = ^ТГ+1)(« + бА) (287)
— остаточный член в форме Лагранжа, который мы уже
получили в § 89. Эта форма, вообще говоря, наиболее полезна. Однако
в некоторых приложениях более удобна форма Коши.
92. Порядок бесконечно больших. В § 81 мы определили
бесконечно малые целочисленного порядка относительно
главной бесконечно малой h. Аналогичным образом мы можем
выбрать некоторую величину Н, которая стремится к +оо,
и сравнить с ней другие величины, стремящиеся к
бесконечности. При этом Нп будет порядка η относительно Н.
Как и в случае бесконечно малых, мы будем говорить,
что Кг и К2 — бесконечно большие одного и того же порядка,
если KxjK2 стремится к конечному пределу, большему нуля;
к
когда =-*·—> + оо , т. е. предел К^\Кг равен нулю, мы будем
говорить, что Кг есть бесконечно большая высшего порядка
но сравнению с К2, или что К2 — бесконечно большая низшего
порядка по сравнению с Кг.

156
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Мы можем писать в этом случае К2 = о (Kt), в
соответствии с определением, данным соотношением (160). В
соответствии с тем определением мы можем указать, что
положительная переменная стремится к бесконечности, написав 1 = о (К).
Мы также будем применять обозначение (169), определенное
соотношением (170), для переменных, изменяющихся
произвольным образом. Тогда К2 = 0(К1) будет значить, что Кг того же
порядка, что и К^ или более высокого.
Исследование величин, стремящихся к +оо, может быть
сведено к исследованию положительных бесконечно малых
с помощью замены Η — -^-(см., например, равенство (239) в §86).
Это приведет нас к тому, что положительный порядок
бесконечно большой будет соответствовать отрицательному порядку
бесконечно малой, и наоборот. Однако удобнее иметь в
распоряжении оба понятия.
Простейшими величинами, стремящимися к бесконечности,
которые не могут быть сравнимы со степенями Я, будут
показательные функции от Н. Действительно, применяя равенство
(268), где полагаем й = 0 иА = ж, к функции f(x) = ax, найдем:
«■-1+*+1г+-+5г + етигл (288)
Если χ положительно, то все члены этого выражения
положительны. Следовательно, для каждого целого числа η
e*>S> х>0· <289)
Отсюда
?<?и?<?5· (29°)
Если мы положим х = Η — величине, стремящейся к + оо,тодля
каждого фиксированного числа ρ мы сможем взять /г > ρ
и получить:
5-о(1) или Нр = о(еИ); (291)
таким образом, ен имеет порядок бесконечности более высокий,
чем любая положительная степень Н.
Если Η положительная бесконечно большая, то j£ = log#
тоже положительная бесконечно большая (см. соотношения
(48) в § 43). Однако log Я имеет порядок бесконечности,
меньший, чем порядок Н, и меньший даже любой положительной
степени от Н. Докажем это: пусть q означает любое положительное
ι
число; применим соотношение (291) к переменной ,йГ,положив р=— .

92. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ
157
Тогда
f?=o(l) и ^==0(1), (292)
ибо всякая положительная степень от бесконечно малой
является бесконечно малой. Положим здесь· К = log Я и, таким
образом, цолучим:
Щ¥==о(1) или logH = o{№). (293)
Полагая й^-r- в равенствах (291) и (293), найдем
соответствующие соотношения для положительных бесконечно малых:
(j^e Λ=ο(1) или е h=o{hp) при й>0, (294)
и
log (±) Λ' = о(1) или Ь? = о (,τ^τγ) при h > 0. (295)
Все эти соотношения легко запомнить, если свести их к
следующим основным фактам. Если Η —> + оо, то показательная
функция ен будет бесконечно большой, порядка более высокого, чем
Н, а логарифмическая функция log H порядка ниже, чем
переменная Н. Далее, эти соотношения остаются в силе при возвы- ·
шении любой из этих величин в положительную степень, так что
если pi q и г —положительны, то, eVH порядка выше, чем Hq, и Hq
порядка выше, чем (log//у.
Эти правила часто дают возможность обнаружить, в каких
случаях некоторые сочетания простых функций стремятся к
бесконечности или к нулю. Например, eaxxb(log:r)c при ж—> +оо
стремится к +оо, если а > 0, и стремится к нулю, если а < О,
независимо от значений бис. Если а = 0, то поведение этой
функции зависит от знака 6, и если α = 6 = 0, — от знака с.
Аналогичные замечания можно сделать относительно функции
еа1ххь | log χ |с при ж—>0\
Мы можем теперь до некоторой степени пополнить шкалу
положительных бесконечно малых, состоящую только из целых
положительных степеней /г, т. е. из /гр. Бесконечно малая, такая,
как |logA|«ft2, имеет порядок более высокий, чем любая Ар, где
ρ < 2, и более нцзкий, чем любая Ар, где ρ > 2. Однако если бы
мы стали рассматривать степени |logA|, то такое выражение,
как log | log А [А2, все же „осталось бы не классифицированным.
Потому мы и определили только целочисленные порядки беско·
нечно малых.
Если P,Q и R — какиетнибудь . три многочлена или другие
функциц от х, имеющие одинакозьф порядок бесконечности, что

158
ГЛАВА IV. ДИффЕРЕНЦИРиВАНИЕ
и некоторая положительная степень х, то поведение функции
eaPQb (i0g ще ПрИ х _^ _j_ QO может быть исследовано при помощи
наших основных правил.
Свойством показательной функции, выраженным
соотношением (291), не обладает ни одна функция у = /(#),
удовлетворяющая уравнению Ρ (χ, у) = 0, где Ρ (χ, у) —многочлен, т. е. ни одна
алгебраическая функция. Действительно, пусть хр = о(у), когда
χ —> + оо для всех /?, в частности для всех показателей степеней χ
в многочлене Р{х,у). Возьмем Ах^у11 — член многочлена, такой,
что Аф 0 ш в многочлене нет высшей степени г/, чем у11, и нет
члена с уп С высшей степенью ху чем#т. Тогда мы можем написать.
ρ (χ, у) = Ахтуп + о (хтуп). (296)
Это противоречит нашему предположению, что функция у = / (#)
удовлетворяет уравнению Ρ (х, у) = 0, потому что | Р(х, у) |—>оо,
когда χ и, следовательно, у стремятся к + оо.
Эти рассуждения показывают, что показательная и
логарифмическая функции не являются алгебраическими функциями.
93. Конечные разности. Если функция задана в виде таблицы
для ряда значений независимой переменной, отличающихся друг
от друга на одну и ту же положительную величину а, то мы
можем при помощи вычитания образовать первую разность для
любого значения х, входящего в таблицу, а именно:
bf{x)=f{x + a)-f{x). (297)
Второй разностью будет первая разность от первой разности,
именно:
A*f(x) = Af(x + a)-Af(x) = f(x + 2a)-2f{x + a) + f{x) (298)
Высшие разности определяются по индукции, так что п-я
разность будет первой разностью от (п — 1)-й разности, п-я
разность может быть выражена непосредственно через значения
функции при помощи формулы, аналогичной равенству (298)
и содержащей биномиальные коэффициенты. Действительно,
если Л —символ операции (оператор), состоящий в увеличении
аргумента на величину а, то
Δ/ = μ-1)/, Anf = (A-l)nf, (299)
и искомую формулу можно получить, применяя формулу бинома
и замечая, что Ат является оператором, состоящим в увеличении
аргумента на am.
Мы докажем, что если функция / (х) имеет /г-кх производную
в открытом интервале xfx + na и (п — 1)-я производная непре-

93. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
159
рывна на концах этого интервала, то
Л» / (χ) = α*/(Ό (χ + Ъпа), (300)
где θ — подходящим образом выбранное число между 0 и 1.
Для η = 1 это равенство является формулой конечных
приращений. Поэтому, для того чтобы применить математическую
индукцию, мы должны только доказать, что эта формула будет
справедлива для nf если она справедлива для 1,2, ... , /г — 1.
Но если тг-я и(тг —1)-я производные от / (х) удовлетворяют
наложенным условиям, то функция
Af(x) = f{x + a)-f(x) (301)
будет обладать (тг —1)-й производной в открытом интервале
ХуХ + па, а (и—2)-я производная будет непрерывна на концах
этого интервала. Следовательно, по предположению индукции,
мы можем применить равенство (300) к функции Δ/(#), если η
заменить через гг — 1. Это дает нам:
Δη/(ζ) =
= α*-ι tf<n-i) (x + a + V{n — i)a) — f<"-V{x + 6'{n — i)a)} (302)
для соответствующего значения θ', лежащего между 0 и 1.
Условия, наложенные на производные от /(ж), показывают,
что правая часть равенства (302) имеет первую производную
в открытом интервале χ, χ + па и что сама функция непрерывна
в замкнутом интервале х,х+па. Тогда мы можем применить
теорему о среднем значении к разности, стоящей в скобках,
и получить выражение
anf(n) (£ + γα + д, (л _ ц ау (303)
Здесь Θ", так же как θ', —подходящим образом выбранное число
между 0 и 1. Следовательно,
Ъ"а + 6' (п — 1) а = θ па, (304)
где θ — подходящим образом выбранное число между 0 и 1.
Сопоставляя, это равенство с выражением (303), которое была
получено для Δη/(#), найдем, что
ΔΛ /; (х) = ап /<»> (x + дпа), (305)
что является требуемой формулой для значения п.
Отметим, в частности, что если функция / (х) имеет
непрерывную п-ю производную в замкнутом интервале, то условия теоремы
удовлетворяются и равенство (305) справедливо.
Теперь предположим, что функция f(x) имеет конечную п-ю
производную для некоторото частного значения х. Тогда в
некоторой близости от этого значения она имеет (п — 1)-ю производную

160
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
и, следовательно, непрерывную (/г — 2)-ю производную. Тогда
для достаточно малого значения а мы можем вывести равенство
(302).
Но так как функция f(x) имеет тг-ю производную в точке χΨ
то отсюда следует, что fn~^{x) дифференцируема в точке ж, и мы
имеем:
/<η-ί) (χ + α + β' (η-<1)α) — /(«-1)(х) =
= [1 + Θ' (* -1)] а [/(«) (я?) +·«] (306)
и
/(п-1) (я.+е'(л -1)«) - /(η-1} (я?) =
= 6'Ди-1)α [/<»>(*) +α'], (307)
где α и a' — бесконечно малые, стремящиеся к нулю вместе с а.
Из этих двух равенств и из равенства (302) следует, что
Anf(x) = an[f(»)(x) + $], (308)
где β — бесконечно малая. Положив α = άχ, мы сможем написать
lim U = /<">(*). (309)
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
1. Доказать, что функция, определенная следующим образом:
У (х) = (х2)т sin (аг2)п при ж=£0, и /(0) = 0, имеет производную при ж = 0,
если т больше х/а и η положительно.
2. Показать, что производная функции из задачи 1 непрерывна в 0,
если 2т превосходит 2л+ 1.
3. Пусть / (χ) = χ arc ctg# при хфО и / (0) = Of найти левую и правую
производные функции при ж — О. Отзет: — ; —— .
4. Найти правую и левую производные в нуле от функции
/(ж) =—?_, если /(0) = 0. Отзет: 0; 1.
6. Доказать, что если y — f(u) и u = g(x) имеют производные для
значений х, близких, но не равных х0, и для значений и, близких, но не
dti
равных g(x0), и если /' [g (x)] g' (a),->|L, [когда ж->ж0, то ^ = L,
Примером этого (с #0 = 0) являются у =uw, м = жп, где т и л оба положительны
и гая = 1, причем одно из них больше единицы.
в. Доказать, что если все элементы детерминанта являются
дифференцируемыми функциями от Ху то производная детерминанта будет являться
суммой η детерминантов, полученных последовательной заменой
элементов каждой строки (или каждого столбца) соответствующими производными.
7, Если ylt yi9 ..., ул являются функциями от х, то детерминант
W =
3/ι» 2/2» ...*2/п
2/ί» У0> ···» Уп

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
161.
называется детерминантом Вронского (или вронскианом) для этих η
функций. Показать, что мы получим -=—, если заменим элементы последней
ах
строки t/jf"""1) через у^\ Указание. Применить задачу 6.
8. Пусть функции, данные в задаче 7, являются каждая решением
линейного дифференциального уравнения
2/(И> = an__iyin-v + . г · + αι2/' + а0у,
где коэффициенты могут зависеть от х; доказать, что детерминант
Вронского в этом случае удовлетворяет дифференциальному уравнению
9. Показать, что если детерминант Вронского для двух функций
2/ι и у2, Иг = у1з/2 —З/аЗ/ί» нигде не обращается в нуль, то нули функции уг
разделяют нули у2 в том смысле, что если 2/ι(α) = 3/ι(&) = 0, то ул не равна
нулю ни в а, ни в Ъ и обращается в нуль по крайней мере один раз между а
и Ь. Указание. Предположить, что у1фО в интервале, и применить теорему
Ролля к функции — , что приведет к противоречию с предположением,
что у2фО для а<х<Ъ.
10. Пусть χ (ί) — функция, определенная в задаче 35 к гл. И.
Показать, что если α2η-ι заменено числом, отличающимся от него на еди-
\
ницу, то при переходе от t0 к ί0 + Δί, где Δί=±™=ϊ , будет выпол-
ΙΑχ ι
-£. = з"^1. Если для ί0 число а2П_2 равно 0 или 2
Αχ Λ _
и мы заменим его соответственно черев 2 или 0, то -г- =0. Если α2ή-2Γ=
Αχ ^
= 1 и а2П = 1 и мы заменим их через 0,0 или 2,2, то -дт- будет равно
Зп
нулю, если α2)ΐ-ι = !» а в других случаях будет равно ± -=-. Применить
эти результаты к доказательству того, что для каждого t0 из интервала 0,1
существуют последовательности значений Axi, стремящиеся к нулю, для
„ Ах
которых могут представиться две из трех возможностей: π-—>-foo,
> — оо, -д-7—>0. Это показывает, что функция не имеет конечной
или бесконечной производной ни в одной точке интервала 0,1, хотя была
доказана ее непрерывность на этом интервале. Возможность для
непрерывной функции не иметь производной нигде в интервале была впервые
указана Вейерштрассом. Данный пример принадлежит Пеано.
11. Пусть (х0, у0)~ точка на кривой y = f(x), т. е. 2/о = /(жо)? показать,
что у = у0 + /' (so) (х — So) проходит через точку (ж0, у0) и имеет
производную, равную производной от f(x) в этой точке; показать также, что ни
одна другая линейная функция от χ не обладает этим свойством. Эта линия
является касательной к кривой y = f{x).
12. Доказать, что если dy является дифференциалом, а Ау — прираще-
dii dii
нием, соответствующими dx = Ах, то Пт-г^- = 1, если -== = /' (χ) φ О,
Δα-*0 &У «*
и Una -г^- = 0, если /'(ж) = 0.
Δ*-*β Ay

1&2
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
18. Показать, что если χ и у являются координатами точки нейото-
рой кривой второго порядка (конического сечения), то -π (#"~2'8) = Ο
(Альфан). Указание. Найти уа~21ъ из у = аа;+6± *|/"ся?* + £*« + в.
14. Показать, что если ж и у — координаты точки любой параболы,
т0 'Т~2^У"2^^==^ -(Альфан). Указание. Найти у""2^ от
у=ах+Ъ^ γdx+e.
15. Пусть функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению
(ах* + Ьх + е) у" + (dx + е) у' +/у = 0; показать, что каждая производная
высшего порядка от у также удовлетворяет дифференциальному
уравнению подобного вида. Указание. Применить формулу Лейбница при
дифференцировании η раз обеих частей уравнения.
16. Доказать, что производные второго и третьего порядков от функции
x = jf1(y)9 обратной к y = f(x), могут быть найдены по формулам
d?x уГ_ д?х Цу")*-у'"у"
dy* (у')3' «**·"" (у')*
17. Показать, что если / (х) и g (x) — дифференцируемые функции
в замкнутом интервале а>Ь, то для некоторого промежуточного
значения χ будет иметь место:
ё'(х) g(b)-g(x) '
Указание. Рассмотреть / (х) g(x) — f (a) g(x) — g (b) f (x).
18. Применить производные к исследованию возрастания и убывания
всех шести гиперболических функций; в частности, показать, что сп0 = 1
является единственным минимумом, a sch 0 = 1 — единственным максимумом
соответствующих функций.
19. Из рассмотрения функции / (х) = 4 + #2 -Ь #8 sin (ar2), /(0) = 4,
вблизи 0 показать, что существование разложения Тейлора высшего порядка
не влечет за собой существования производных выше первого порядка.
20. Показать, что если f (х) —>£, когда х—> + со, то ^-i-i —>£,. Это
χ
будет также справедливо, если вместо L взять +оо или — оо. Указание.
Применить правило Лопиталя.
21. Показать, что если /' (х) —> L, + оо или — оо и / (х) —> Μ, когда
х —> И- со, то /' (х) —> 0. Указание. Применить результат задачи 20.
22. Показать, что если f(x) + f*(x)—>L> когда х—> +оо, то f(x)—>L.
Указание. Если /' (х) постоянно сохраняет знак, то / (х) будет
монотонной и, следовательно, или становится бесконечной, или стремится к
конечному пределу. В первом случае /'(я) становится бесконечной и имеет
знак, противоположный знаку / (ж), что противоречит задаче 20; во втором
случае /' (ж) стремится к пределу и можно применить задачу 21. Во всех
остальных случаях fix) принимает максимальные значения М% и
минимальные значения лц для сколь угодао больших значений хь и /' (а:^) = 0.
Так как Mi—>L и етц—>L, то, так как все остальные значения /(х)
лежат между максимумами и минимумами, f(x)—>L.
.28. Если Гц является приближенным значением корня уравнения
/(я) = 0 и f(x) имеет непрерывную, отличную от нуля первую
производную в некотором интервале, содержащем гг, то второе приближение корня
может быгь получено по методу Ньютона: если rx + h является корнем,
то из 0 = /(γ1Η-Λ)«/(γ1) + Α/'(γ1Η-ΘΛ) получим fe= - J/ , flgA , и если

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
16Э
мы возьмем /'(Γι) Β качестве приближенного значения /'(Γι+βΛ), то второе
приближение будет гх— ~у~ =га. Этот процесс можно повторить. При-
/ ν ι)
меняя этот метод к f(x) = x2—a, вывести правило улучшения
приближения* к ϊ^α, начинай с тх и беря в качестве второго приближения среднее
^ а
между гг й — .
24. Бели функция / (х) из задачи 23 имеет высшие производные, то
показать при помощи разложения Тейлора для /(*Ί + Λ)» что т^ — J, у —
1 i* (r }
—- {/ (rj)]2 ' ч rlS отличается от корня функции / (х) на величину порядка
o(ks). Это можно также показать, взяв обратную функцию для y = f(x) и
разложив ее в ряд Тейлора по степеням у — h, где h = f(r1). Производные
этой функции находятся по формулам, полученным в задаче 16, и
значение у = 0 дает искомый корень.
25. Если а меньше 0,1, то корень уравнения sin χ = ах лежит близко
к числу π. Показать, что значения (1— а)п и (1— а-\-а2)п являются
улучшенными приближениями этого корня.
' х2 хп 1ж1п+1
26. Показать, что е*=1 + а:+ — + ... +-^j- + Rn> где \Rn\< ' ' , ,
£%χη+1
если ж,< 0, и | Ra I < ., , если χ > 0. Показать отсюда, что Дл -> 0.
при п —>со.
д.з а;291"1
27. Показать, что sins = a:^ ^- + ... + (-1)η+ι _ + Я»и,
а со§ж = 1--^г+ ...+(-1;п^чуН-^2л+1» где в обоих случаях
1 Дт К , + 1)! , так что Дт->0, когда т->оо.
Й. Применить разложение функций sin ж и cos ж из задачи [27 для
получения разложений
1 2
tg асе» ас + j** + ^ ж»+ 0(я7);
1 1
ж ctg ж = 1 —- ж2 — гк ж* -f О (ж8)
и
1 7
ж cosecα: = 1 + -τ·«2+όβΛΛ* + 0 (se).
29. Доказать справедливость формулы бинома Ньютона для всех
действительных m ш всех значений χ, \ χ \ < 1, т£е. что
где Rn —> 0 при л -> + оо. Указание. Применив выражение остаточного
* τ, χ> /λ(ιλ-1) ... (т~гс)(1-в)пжп+1
члена в форме Коши, найдем Rn~ \ . 2/.. (п + 1)(\ + Щ«-^ ; ЭТ0Т
остаточный член может быть представлен в виде произведения функций вида
(m-ft)a: . „ (1-Θ)Λ „
, , ; · на множитель, не зависящий от п, ш на ~—^4=г. Последней
к + 1 (1 + 6я)п

164
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
(т — к) χ I
множитель не превосходит единицы, а '— стремятся к | χ | < 1;
так что станут меньше, чем 1 —δ, где δ > 0. Поэтому Йп необходимо
окажется меньше, чем К(1 — 3)п~п°, которое стремится к нулю.
30. Применив (208) при выводе равенства f(x) = Sn (x) + Rn(x) и8
равенства /' (ж) = S'n {χ) И- R'n (χ), показать, что если Rrn —> 0 для | χ \ < а при
7г-*Н-оо, то Rn,—>0. Указание. Так как Яп(0) = 0, то Яп(ж) = i?n(ж) —
-яп<о)««й;(е*).
31. Показать, что arc tgx = x—— -f- -^- + ... -f ( — 1)η+ι ~ + #аг
д.3 1 · 3 (2λ 1)
и arc sin χ = χ + jg—§+ · · · + ^ 2п72гс + 1) ж2П*1 + Дап*2' Где в обоих
разложениях йт= О (жт+1) и йт—>0, когда т—> + оо. Указание. Применить
результаты задач 30 и 29.
те 11
32. Показать, что -т- = arc tg 1 = 4 arc tg — — arc tg — . Сочетая этот
результат с первым разложением из задачи 31, можно получить
удовлетворительное значение для π.
33. Доказать, что log (1 + χ) = χ - -^- + ...+( -1)**1 — + Rn> где
i?w = 0(a:n+1), и если | χ | < 1, то Rn—>0 при и—> + оо.
(1 + х\ / х9
τ-— J=2ia: + — + ...
ж2П-1 ν 2Ж2П+1
-••^^Г^Чу4"**2"' ГДе l Ri,ll< (2п+ 1){1-χ)*η+ι '
111
35. Полагая в предыдущей задаче х= — , — и — , мы можем
вычислить значения Ρ = log —, Q = log rr, J?« log ^ . / Показать, что log 10 =
^23PH-17Q-f 10Д. Такие сочетания полезны для вычисления
логарифмов от малых целых чисел. Зная несколько таких значений, можно найти
разность между неизвестным логарифмом какого-нибудь целого числа
и уже известным логарифмом, применяя разложение из задачи 34 при
малом значении х.
36. Доказать, что при ж—>0
/ ч ,· я* — Ьх _ а _ч .. ж — arctga;
(a) lim =log-i: , (б) lim- : ^— = 2,
v ' x ° Ъ ч ' arc sin ж —ж
•fccr χ— χ
(в) lim '" . =2.
v ' x — sin ж
87. Показать, что при ж—>0:
1 л+~а~ 2 /*\ a; sin (sin χ) — sin* a: 1
"5
<a)^-ctg·*—g-, (б) ^, .5,
, ч 1— cos (1 — cos xY 1
(в) Lj ^_
38. Показать, что при х—>0
(а) |*Г->1, (б) (cos2a)cosec23* ->*"*"; ; (в) f^Y*

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV 165
39. Проверить, что при | χ \
(а) (\ + х)х ->е,
(B)*logJ=|->-4,
40. Доказать, что если / (х) -> 1 и g (x) [f (χ) — 1] -> L, то / (χ)β(χ) _> eL.
ι
41. Показать, что функция f(x) = e χ2 при хф0> /(0) = 0, непрерывна
и имеет производные любого порядка при ж = 0, причем /(и>(0) = 0. Таким
образом, разложение Тейлора любого порядка будет равно нулю
и / (х) = О (хп) для всех п. Далее f(x) = Rri (ж), так что хотя эта функция
имеет непрерывные производные любого порядка, мы не можем вычислять
ее значений, пользуясь формулой Тейлора.
42. Доказать, что f(x) имеет относительный максимум при х = а, если
f'(a) = 0 и /*(а)<0. Вообще, если /'(*) = /" (α)=... =/<Μ-ι> (α) = 0,
fm> (а)ф0> то /(ж) имеет относительный максимум при ж = а, если яг—
четное Число, и /(даг> (а) < 0; f(x) имеет относительный минимум при х=а,
если w —четно и /(W>(a)>0. Если га — нечетное число, то при ж = а не
будет ни максимума, ни минимума. Указание. Применить соотношение
(187), заметив, что, в силу условий, наложенных на f(x) и ее
производные, Ρ (Λ) = / (а) при η = т — 1.
43. Предполагая существование (га + 1)-й производной, вывести
правило, сформулированное в задаче 42, из разложения Тейлора. Если Amhm
является первым членом некоторого разложения функций f(a-\-h) с
коэффициентом, отличным от нуля, то мы можем судить о поведении функции
в точке а, исследуя четность числа га и знак Ат. Например, в задаче 37 (б)
мы можем заключить, что χ sin (sin χ) — sin2 χ имеет минимум при ж = 0.
44. Применить правило параграфа 76 для доказательства того, что
функция из задачи 41 имеет минимум в точке 0. Заметить, что правила,
изложенные в задачах 42 и 43, неприменимы к этой функции.
45. Получить разложение
(1 + *)1'*-· (i- f + й*2-§*3 + °(*4>) ·
log(l+s)
Указание. Взять е х и сперва разложить показатель степени. См.
задачу 33 и § 83.
48. Доказать, что при 0 < χ < —
2 sin x
π χ
τ/ ττ δΠ1^ (Χ — tg Ж) COS Ж _ ,
Указание. Производная от равна - γ . Так как tg x > ж,
то она отрицательна, и функция убывает для всех х, 0 < ж < — . Таким
образом, значения функции находятся между пределами, к которым она
стремится, когда χ стремится к 0 и к — .
47. Доказать, что а* > #а, если х> а > е. Указание. Это следует из
неравенства ж log α > α log x; полагая / (ж)е= χ log α — α log ж, имеем / (χ) > 0.
Но /(α) = 0 и /'(a:) = loga- — > 0, ибо logo^l> — .
χ χ
(6) ( — arc tg ж J
(г) -g- - агс *S ж
Лж
1.

Глава V
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Введение комплексных чисел упрощает исследование
элементарных функций, даже в том случае когда нас интересуют лишь
методы, приводящие ж окончательным результатам, выраженным
в терминах действительных чисел. Поэтому настоящая глава
посвящена изучению комплексных чисел.
Мы даем определение комплексных чисел и четырех основных
действий над ними. Далее мы расширяем понятия функции, дре-
дела и непрерывности таким образом, чтобы эти понятия были
применимы и в случае комплексных переменных; затем мы
определяем основные элементарные функции для комплексных
значений независимой переменной.
Мы доказываем основную теорему алгебры и применяем ее
к разложению полиномов и рациональных функций.
94. Комплексные числа. Комплексное число есть выражение
вида
а + Ы, (1)
где а и 6 —два действительных числа, a i — символ, который
называется мнимой единицей.
Каждая пара действительных чисел вместе с порядком их
записи определяет комплексное число, т. е. равенство
а + Ы = a9 -f b'i означает, что а = а' и b = b\ (2)
Действительные числа мы включаем в множество комплексных
чисел при помощи условия
a = a + 0i. (3)
Таким же образом включаем само ί и все произведения i на
действительный множитель, считая, что
г = 1^* = 0 -+- 1г и Ы = 0 + Ы (4)
95. Действия с комплексными числами. Мы определяем
сложение комплексных чисел при помощи закона:
(а + Ы) + (а' + b'i) = (а + а') + (Ь + Ъ') i\ (5)
умножение — при помощи закона:
(а + Ы) (а' + 67) - (аа' - bb') -fc (ab' + a'b) i. (6)

96. ГЕрДОЕТРДЧЕСКОЕ ДЗО£РАЯ№ШШ
16*
Обратные операции — вычитание и деление — определяются
с помощью формул
(<t + bi)-(a' +b'i) = (a-a') + (b-b')i
и
a'-\-b'i аа' + ЪЪ' , *аЪ'-а'Ъ .
a-{-hi
■6*
а2 + Ъ2
(7)
(8)
Эти законы легко запомнить и практически применять, еслд
пользоваться обычными правилами действий для действительные
чисел и специальным соотношением
»·=-!,
(9)
Последнее равенство следует из равенств (4) и (6). Для
определенных таким образом комплексных чисел справедливы законы
алгэбры, а именно законы коммутативности, ассоциативности
и дистрибутивности сложения и умножения. Эти законы
изложены в § 2. Практически равенство (8) мы можем получить,
умножая числитель и знаменатель левой части на а — Ы. В силу
закона коммутативности безразлично, будем ли мы писать а + Ы
или a + ib.
96. Геометрическое изображение. Мы ставим в соответствие
каждой точке плоскости с декартовыми координатами (x,ti)—
комплексное число x + iy. Из равенства (2) и рассуждений §13
следует, что каждой точке плоскости соотп
ветствует одно комплексное число и
каждому комплексному числу —одна точка
плоскости.
Удобно обозначить комплексное число
x + iy одной буквой ζ и говорить о точке ζ
вместо точки x + iy. Каждая точка (х, у)
определяет вектор, идущий из начала
координат в эту точку и имеющий хну
своими проекциями. Мы будем
рассматривать этот вектор или какой-либо другой
вектор с теми же проекциями как
геометрическое представление комплексного числа.
Таким образом, вектор с началом в точке (р, q) и концом в точке
(р + х9 q + y) представляет комплексное число ζ, и мы будем
называть каждый такой вектор вектором ζ. Называя χ действительной
проекцией, £ у — мнимой проекцией вектора ζ, мь? этим лишь
указываем связь вектора ζ с числами хиу. Будем писать (фиг. 12):
ж = В,(2;) и y = l(z), если z = x+iy — 1R(z) +il(z). (10)
Вектор, представляющий собой сумму двух комплексных чисел
zx + z2, может быть получен при помощи сложения векторов zx и ъ%
Фиг. 12

168
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
но правилу нараллелограма. Для геометрической
интерпретации произведения двух комплексных чисел zxz2 удобно ввести
полярные координаты точек zx ±= (х19 уг) и г2 = (х2, у2), с которыми
йы познакомились в § 61.
Мы" имеем;
21==r1(cos61 + isinei) и z2 = r2(cos62 + &sine2). (11)
Используя теоремы сложения для синуса и косинуса,
произведение множителей, содержащих Ьг и θ2, будет следующим:
(cos θχ cos θ2 — sin Ьг sin θ2) + i (sin θ! cos θ2 + cos θ, sin θ2) =
= cos (θχ ± θ2) + i sin (Ьг + θ2). (12)
Тогда
Zlz2 = ггг2 [cos (θ! + θ2) + i sin (θχ + θ2)] · (13)
Таким образом, формулы
г = ггг2 и θ = θ1 + θ2 (14)
дают возможность найти полярные координаты ζ — ζχζ2. Если
мы отметим начало 0 == (0,0), единичную точку 1 = (1,0) и построим
треугольник с вершинами 0, 1 и ζχ и треугольник с вершинами
0, ζ2 и ζ, то из формул (14) следует, что эти два треугольника
подобны, потому что они имеют по две пропорциональные
стороны, заключающие равные углы. Из этого факта может быть
получен метод геометрического построения точки или вектора,
представляющих произведение ζ — ζχζ2λ
Если
z = r (cos θ + i sin 6), (15)
то г и θ являются полярными координатами точки ζ; число г мы
назовем абсолютной величиной или модулем числа ζ, а θ —
аргументом или амплитудой числа ζ. Мы будем писать:
r = |z| и 6 = argz. (16)
Обозначение \z\ согласовано с обозначением |я|, принятым для
абсолютной величины действительного числа, так как
\ζ\ = Υ# + ψ, (17)
и при г/ = 0 \ζ\ сводится к \/ х2, т. е. к абсолютной величине х.
Мы знаем из § 61, что |ζ| определяется однозначно равенством
(17); если ζ Φ 0, то argz определяется с точностью до кратного 2π.
Если ζ = 0, то argz может иметь любое значение.
Из равенства (13) следует, что
|«Αΐ = Ι*ιΙ 1^1, (18)

98. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОДУЛЕЙ
т
и поэтому произведение не может быть равным нулю, если ни один
из множителей не равен нулю.
9?. Сопряженные комплексные числа· Если z = x + iy, то
комплексное число
z = x — iy (19)
называется комплексно сопряженным с числом ζ. Отметим, что ζ
комплексно сопряжено с ζ\ таким образом, понятие
сопряженности одного комплексного числа с другим является взаимным.
Отметим, что
R(i) = R(z) и I(i)=-I(z); (20)
имеем также
\z\ = \z\ и \z\*=Vzz. (21)
Кроме того, — argz является одним из возможных значений argz.
Геометрически все это означает, что точки ζ η ζ симметричны
относительно оси х, т. е. действительной оси, потому что точки
ζ и ζ расположены так, что действительная ось является
перпендикуляром, делящим пополам отрезок, соединяющий точки ζ и ζ.
Предположим, что мы производим над двумя комплексными
числами ζ и ζ' какое-либо из четырех основных действий и
получаем число w. Если теперь мы произведем то же действие над
сопряженными числами ζ и ζ ',το получим число w, сопряженное
числу (V, это следует из правил параграфа 95 и может быть
проверено при помощи геометрического представления комплексных
чисел и действий над ними.
Отметим, что сумма и произведение двух комплексно
сопряженных чисел являются действительными числами.
98· Неравенства для модулей. Докажем теперь следующее:
Модуль суммы двух комплексных чисел меньше или равен сумме
модулей этих чисел.
Пусть z1 = x1 + iy и z2 = x2+iy2r тогда имеем:
Η
\z1 + zt^ = (xl + x^t + (yl + yty. (23),
Следовательно,
[|*».Ι + |*·|]1-Ι*ι + *,|,=

170
ГЛАВА у. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
.и наша разность будет большей или равной нулю, если
V^+yl V^+72 > *ι*2 + У,У г, (25)
или, так как левая часть неравенства положительна или нуль,
то достаточно, чтобы
(*! + У\) № + У\) > *\< + ЪьтРлУЯг + У\УЪ
.а это последнее можно записать так:
(Х1У2-У1Х2УХ). (26)
Так как левая часть (26) является квадратом действительного
числа, то это нераверство всегда выполнено и;
l\z1\ + \zi\]*>\z1 + z1\; (27)
«откуда получаем:
\z1\ + \z%\>\z1 + zt\9 (28)
потому что обе части последнего неравенства неотрицательны.
Теорема доказана.
Из неравенства (26) мы заключаем, что равенство в условии
теоремы может иметь место только, если
хгу2 у ι#2
Xl Х2
Vl 2/2
=о,
а это условие является условие^ пропорциональности пары
«чисел хх и уг числам х2 и у2, потому что оно влечет за собой
либо одну из трех пар равенств:
*i = 0, У1 = 0; х2 = 0, г/2 = 0; уг = 09 у2 = 0, (29)
либо равенство
х-±. = хл (30)
Уг У ι r V '
Стороны треугольника с вершинами 0, zx и ъг + z2 (фиг. 13)
можно рассматривать как векторы, представляющие числа
zVJz2 и z1 + z2] таким образом, модули этих чисел будут длинами
.сторон треугольника, и неравенство (28) устанавливает, что сумма
длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
Случай равенства в соотношении (28) может иметь место, только
если треугольник вырождается и все три вершины оказываются
лежащими на одном луче; в этом случае площадь треугольника
равна нулю и равенство хгу2 — х2уг = 0 выполняется.
Неравенство
i*i-2.!>ii*;i-is.ir (si)

99. ПРЕДЕЛЫ
171
следует, если | ζγ \ > | ζ2 \, из неравенства
\ζι-ζ2\ + \ζ2\^\ζ1\, (32)
и, если ] ζ2 | > |Zi|, из неравенства, получающегося из последнегр
перестановкой ζ2 и ζ2. Здесь опять равенство может иметь местр
только, если точки 0, ζχ и ζ2 леж^т на одной прямой.
Отправляясь от неравенства (28) и
применяя метод математической
индукции, докажем для любого
целого п, что
л η
2Ы>|1Н' (33) -г
причем строгое неравенство может Фиг. 13
иметь место лишь, если все точки,
изображающие zk, лежат на одном луче, выходящем из начала
координат. Неравенство (33) выражает тот геометрический факт,
что отрезок, соединяющий две точки, не длиаее любой ломаной,
соединяющей те же точки.
99. Пределы. Если xt и ^ — действительные переменные,
стремящиеся к пределам, в том смысле, как это было указано в § 17,
то мы скажем, что комплексное переменное zt = xt + iyt
стремится к пределу (limxt) + i(\imyt); итак:
Если zt = xt+ iyt — комплексное переменное, значения которого
определены для дискретной или непрерывной последовательности
значений действительного переменного t, то мы скажем, что
limzt = Z = X + iY, (34)
тогда, и только тогда, когда
lim xt = X и lim yt = Υ. (35)
Равенства (35) можно записать . так.-
ПтрГ-я^О и lim(r —yt)=0. (36)
Так как
Z-zt = (X-xt)+i(Y-yt) (37)
И
\Z-zt\ = yr(X-xty + (Y-yl)\ (38)
то
lim (Z—.zt) = О (39)
и
lim|Z-^| = 0. (40)

172
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Из равенства (38) мы получаем:
0<|Χ-*,|<|Ζ-*,| и 0<|y-yf|<|Z-sf|. (41)
Из последних неравенств мы* видим, что из (40) следуют
равенства (36) и тем самым равенства (35) и (34).
Для того чтобы комплексное переменное zt стремилось к
пределу Z, необходимо и достаточно условие: lim \Z — zt\ = 0.
Наши рассуждения сводят вопрос о стремлении к пределу
комплексного переменного, зависящего от действительного
переменного, к вопросу о стремлении к нулю некоторого
действительного переменного. Так как \Z — zt\ является расстоянием
между фиксированной точкой Ζ и переменной точкой ζν то наше
необходимое и достаточное условие имеет простой
геометрический смысл.
Необходимый и достаточный признак сходимости Коши,
помещенный в § 26, применим и к комплексному переменному. Мы
докажем следующее;
Необходимое и достаточное условие стремления переменной zt
к пределу заключается в том9 что для каждого положительного β
можно указать такое te, что для любой пары значений t, сле-
дуюгцих за 4, модуль разности соответствующих значений zt
меньше е.
Прежде всего заметим, что если z1 = x1 + iy1 и 22 = #2 + ^а
два комплексных числа, то, аналогично неравенствам (41), мы
будем иметь:
0<\χ% — χχ\<\ζ% — ζχ\ и 0<\y2 — y1\<\z2 — z1\. (42)
Следовательно, если \ζ2 — ζ1\<.ε9 то
1^2 — хг\<* и I у. — у 11 < «- (43$
Таким образом, если условия теоремы выполнены для zt = xt + iytr
то, пользуясь критерием Коши для действительных
переменных xt и уи мы видим, что каждое из них стремится к пределу.
Вследствие первого определения понятия предела переменное zt
стремится к пределу, и достаточность условия доказана. Обратно,
если zt стремится к пределу Z, тогда из равенства (40) следует,
что для произвольного положительного е
\Z — zt\ < -|· для всех tf следующих за te. (44)
Следовательно, если ζ' и ζ" —два значения zt при значениях t>
следующих за te, то
IZ-z'K-I и |Ζ-ζ"|<-|, (45)

101. ФУНКЦИИ
173
и мы имеем:
\z'-z"\r\(z'-Z) + (Z-z'')\<e. (46)
Из последнего неравенства вытекает, что условие доказываемой
теоремы является также и необходимым. Таким образом, теорема
доказана.
С небольшими изменениями рассуждения § 19 применимы
и к пределам комплексных величин, и, следовательно,
результаты указанного параграфа о пределе суймы, разности,
произведения и частного справедливы и для комплексных переменных.
100. Бесконечность. Если для комплексного переменного zt
мы пишем
limZf = oo, (47)
то это означает, что
lim|z,| = co. (48)
Отсюда следует, что
limzi=oo тогда, и только тогда, когда lim — =0. (49)
Для действительного переменного at мы ввели более точное
понятие, чем lim \at \ = оо, так как для действительного переменного
различие между limat = + оо и limat= — оо существенно.
Пользуясь условием (49), мы сводим изучение комплексного
переменного, стремящегося к бесконечности, к изучению
комплексного переменного, стремящегося к нулю.
101. Функция. Пусть ζ = χ + iy и w — и + ίυ — две комплексные
переменные, как-то связанные между собой. Так же как. и в
случае действительного переменного, мы скажем, что w
является функцией переменной ζ на некотором множестве (области
изменения ζ), если, для каждого значения ζ, принадлежащего
этому множеству, определено одно или больше значение w. Чтобы
указать, что w есть функция от ζ, мы будем писать
w^f{x). (50)
Так как значения χ и у определяют ζ, а это последнее
определяет w и, следовательно, и и υ, мы видим, что и и ν являются
функциями от ж и у:
w = u(xfy)+ ίυ (χ, у). (51)
Таким образом, одна функция комплексного переменного
определяет две действительные функции двух действительных пере-*
менных. Обратно, две какие-либо функции от χ и у, которые
мы примем за и и υ, определят нам w как функцию ζ.

174
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Пока мы будем интересоваться весьма ограниченным клас*
tou) функций комплексного переменного, а именно классом
элементарных функций, как мы их определили в § 69.
Областью изменения ζ обычно является либо открытая
двумерная область (определение дано в § 15), либо замкнутая область,
получающаяся присоединением точек границы к открытой
области (как это указано в § 35).
Если и (х9 у)ии (х, у) — однозначные функции, то каждому
значению i из области изменения соответствует одно значение w>
и мы скажем, что w — однозначная функция переменной ζ.
102. Непрерывность. Пусть w = / (ζ) — однозначная функция
комплексного переменного z = x + iy в некоторой двумерной
бйА&сти. Если ζ' некоторая внутренняя точка области, то мы
скажем:
Функция f(z) непрерывна в точке ζ', если
lim/(*,) = /(*') (52)
для кащдой последовательности zt, стремящейся к ζ'.
Ьтог определение соответствует первому определению § 35,
если мы ограничимся случаем дискретных изменений t. Повторяя
рассуждения § 35, мы покажем, что если предел (52) существует
для всех дискретных последовательностей ί, то он будет
существовать и для всех последовательностей, и что наше определение
йеЦрерывности эквивалентно следующему:
Функция f (z) непрерывна в точке ζ', если каждому
положительному числу β соответствует такое положительное число 8е, что
\f(z)-f(z')\<e, если |*-*'|<8,. (53)
Если ζ' = χ* + iy' и zt = xt + iyt, то из определения § 99 следует,
что lim zt = ζ' тогда, и только тогда, когда lim xt = χ' и lim yt = y'.
Также для функции / (z) = u (χ, у) + iv (х, у), lim / (zt) = / (ζ')
тогда, и только тогда, когда lim и (хи yt) = u(x'> у') и lim v (xt, yt) =
— ν (χ', у'). Сравнивая первое определение настоящего параграфа
с первым определением в § 35, мы получим:
Функция f(z) = u (χ, у) + ίυ (χ, у) комплексного переменного
z = x + iy непрерывна в точке ζ' = χ' + iy' тогда, и только тогда,
когда действительные функции и (х9 у) и υ (х, у) непрерывны
в точке (х',у')·
103. Показательная функция. Как мы видели в § 51, свойства
Ε (ζ) Ε(ζ') = Ε(ζ + ζ') (54)
и
limSM^i = i (55)

103. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
175·
полностью характеризуют функцию Ε (ζ) для действительных
значений ζ как показательную функцию; поэтому естественна
теперь попробовать распространить это определение
показательной функции и на комплексные значения ζ. Мы увидим, что такое
обобщение возможно.
Сперва предположим, что существует функция,
удовлетворяющая этим соотношениям, и установим ее свойства.
Если ζ — z + iy, где χ и у — действительные переменные, мы
из (54) получим:
E(x + iy) = E(x)E(iy). (56>
Условия (54) и (55), если положить в них z = x, сведутся к
условиям (130) и (131) § 51, и поэтому мы имеем
Е(х) = ех. (57)
Так как
ехех' = ех+х' (58),
и
Ит£р-4 = 1, (59)
условия (54) и (55) будут удовлетворены.
Для какого-либо частного значения г/, E(iy) будет
комплексным числом:
E{iy) = C(y) + iS(y). (60)
Таким образом, действительная и мнимая части Ε (iy) будут
действительными функциями действительного переменного у.
Полагая в (54) z — iy и z' =iy', мы получим:
E(iy)E(iy') = E[i(y + y')] (61)·
или
1С (У) + iS (у)] [С (/,') + iS (у')] ^C{y + yf) + iS (у + у'). (62)
Последнее тождост'во, в силу (6) и (2), эквивалентно следующим:
C.(y + y') = C(y)C(y')-S(y)S(y'), (63).
S (У + у') = С (у) S (у') + С(у') S (у). (64).
Для z = iy условие (55) примет вид:
lim^EMzi^i; (65)
используя равенство (60), получим:
limcfr) + ^(y)-i=1. (66)/

t76
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Но, в силу (35), последнее равенство эквивалентно
lim*^ = l, (67)
lim_CMn! = o. (68)
у->0 У
Из уравнения (63) мы получаем:
С(У+*-СЫ = С(у)°Ц^-8(у)3-£>, (69)
я из уравнения (64)
^y + ^(y)^S{y)^tzl + C(y)S-f. (70)
В последних двух равенствах h содержится таким же образом,
как у в равенствах (67) и (68), поэтому правые части последних
двух равенств стремятся к пределу, когда h —>0; следовательно,
и левые части также стремятся к пределу, и функции С (у) ж S (у)
обладают производными для всех значений у9 удовлетворяющими
•соотношениям:
*С(у)т
S(y) и ^> = С(у). (71)
dy X!)' dy
Рассмотрим функцию
F{y) = C{y) + S*(y). (72)
Используя уравнения (71), мы находим, что
± F (у) = 2C(y)[-S (у)] + 25 (у) С (у) = 0 (73)
и, в силу теоремы, доказанной в § 75, функция F (у) сводится
к некоторой постоянной. Но равенства (67) и (68) показывают,
что при у—>0 S(y)—>0 и С(у)—>1 , поэтому правая часть
равенства (72) стремится к 1 и значение этой постоянной будет
равно 1. Следовательно,
C2(y) + S*(y) = l. (74)
Так как равенства (64), (63), (74) и (67) отличаются от равенств
(224), (225), (226) и (227), помещенных в § 57, только тем, что
•буква χ заменена буквой у, то, как следует из теоремы того же
параграфа, мы получим:
С (у) = cos у и S (у) = sin у. (75)
Эти функции удовлетворяют уравнениям (63) и (64), а эти
последние, если иметь в виду (60), эквивалентны уравнению (61).

103. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
177
Поэтому, если мы определим
ef» =^<jos у + i sin у, (76)
то получим:
е*Уе** = е*Ь1+1>'>. (77)
Напомним,, что если некоторая функция f(y) обладает
производной при у = 0, то
Ит/(у)-/(0) = /,(0)> (78)
В частности, для синуса и косинуса будем иметь:
lims-^ = l, Hmi^Zll^O. (79)
у-* У y-+Q У
Следовательно, функции, определенные равенствами (75),
удовлетворяют условиям (67) и (68), а эти последние, если
воспользоваться равенством (60), эквивалентны (65). Итак, для функции,
определенной равенством (76), мы имеем:
lim —— = 1, или lim = ι, (80)
iy-+Q *У y->0 ф У
В соответствии с уравнением (56), мы определяем:
ez = ex+*v = ехегУ = ех (cos у + i sin у). (81)
Непрерывность функции ez для всех значений ζ следует из
непрерывности ее действительной и мнимой частей (см. § 102).
Предыдущие рассуждения показывают, что никакая функция,
отличная от (81), не может удовлетворять обоим условиям (54)
и (55). Нам остается показать, что сама функция, определенная
равенством (81), нашим условиям (54) и (55) удовлетворяет.
Используя равецства (58) и (77), мы получим:
е*е*' = ех e*v ех' е*У = е*+*'в'йи-*'> = е *+*'. (82)
Таким образом, первое условие выполнено. ,
Для действительных значений ζ, вследствие равенства (59),
второе условие также выполнено; поэтому, а также в силу
основного свойства предела, мы можем' записать:
ex=,l + x + hxf г^ \h[<a при |*1<&. (83)
Аналогично, как следует из равенств (80), второе усдовие
удовлетворяется, если ζ принимает чисто мнимые значения, поэтому,
а также в силух свойства предела комплексного переменного,
выраженного равенством (40), , мы можем записать:
е** = 1+1у + ку, где |*|<в при |г/|ч<8а. (84)

178 ГЛАВА V, КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Из последних двух равенств мы получаем:
ez — 1 = ехе*в — i = x + iy + hx + ky + (i + hi + ki- hk)xy. (85)
Выберем 0 < β < 1, определим соответствующие значения 8Х и о2
\и возьмем
0<|ζ|<δ, где г < min (·, Ь19 82), (86)
т. е. δ меньше наименьшего из чисел ©, Ъх, δ2. Так как для
всякого комплексного числа z = x + iy
\x\<\z\ и \y\<\z\ (87)
и так как
|/г|<е, |&t<3 и \i + hi + k + hk\ < 4, (88)
то
| hx + Ну + (i + hi + к + hk) ху \ < ε | ζ | + з | ζ | + 4з | ζ \ < 6s | ζ |. (89)
Из последнего неравенства и равенства (85) следует:
£zi_i|<6· при 0<|ζ|<δ. (90)
Так как ε произвольное положительное число, меньшее
единицы, 6з может быть сделано сколь угодно м$лым, а это
означает, что
lim |?^=li_i| = o или lim^=^=l. (91)
z-+0 I z I «0, 2 V
Таким образом, второе условие удовлетворяется и мы доказали
следующее:
Функция комплексного переменного z = x-\-iy
ez = ex+iy = ex(cosy + i sin у) (92)
обладает для всех комплексных значений ζ и ζ' свойством:
еге*' = е2+*', (93)
а также специальным свойством:
lhn?^=-1 = l. (94)
Эти два свойства определяют единственную функцию.
104. Тригонометрические функции sin £ и cos#, Свойстэа
S (ζ + ζ') = S (ζ) С (ζ') + C(z)S (2'), (95)
C{z + z') = C(z)C(z')-+S(z)S(z'), (96)
C2(z) + S2(z) = l (97)

104. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ s\nz и cos z 179
И
lim^ = l (98)
ζ ->0 ζ .
полностью определяли функции S (ζ) и С (ζ) для действительных
значений ζ. В самом деле, в § 57 мы видели, что эти свойства
выполнены тогда, и только тогда, когда
S(x) = sinx и С (х) = cos χ. (99)
Мы используем указанные свойства для распространения
определения тригонометрических функций на комплексные значег
ния аргумента.
Если четыре основных свойства имеют место для всех
комплексных значений ζ, то они имеют место и для всех действительных
значений. Для действительных значений ζ равенства (99)
справедливы и, следовательно,
5(0) = 0 и С(0) = 1. (100)
Из (98) следует, что
limS(z) = 0. (101)
z->0
Таким образом, S (ζ)— функция комплексной переменной ζ —
непрерывна при ζ = 0.
Из уравнений (96) и (97) мы имеем:
C(2z) = i-2S2(z), (102)
и, следовательно, С (ζ) является непрерывной при ζ = 0 функцией
комплексного переменного, поэтому
lim[C(z) + l) = C(0) + l = 2.
Ζ-»β
Из уравнений (97) и (98) мы заключаем, что
,. С (ζ)-1 ,. -S(z) S(z) Λ //<АОЧ
lim —^— = hm n, ч \\ ^ = 0. (103)
Сходство наших уравнений с уравнениями предыдущего
параграфа, определявшими функцию E(iy), наводит нас на мысль
ввести функцию E(iz)f положив
E(iz) = C(z) + iS(z). (104)
Тогда, так как, вследствие (95) и (96),
[С(z) + iS(ζ)] [С(ζ') + iS(z')] = C(z + z') + iS(z + z')9 (105)
мы имеем:
E(iz)E(iz') = E[i{z + z')]. (106)

180
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Заметим, что равенство (104) дает:
д(*«)-! = ι С(*)-* [ «?(»), (107)
Мз последнего равенства и равенств (98) и (103) следует, что
Итд(<!Ь1=1. (108)
Если мы запишем
ζ=-—ύν, (Ρ = ίζ, (109)
το функция i? ((v) с помощью соотношений (104) и (109) будет
определена для всех комплексных значений w. С помощью w
уравнение (106) запишется в виде:
Ε (w) Ε (<v') = E(w + w'). (110)
Кроме того, так как при ζ—>0 и (v —>0, равенство (108)
можно записать так:
Иш^Ы^!. (Ш)
w-+Q w
Последние уравнения тождественны с уравнениями (54) и (55)
предыдущего параграфа; следовательно, условия (110) и (111)
будут удовлетворены тогда, и только тогда, когда
E(w) = e» (112)
С (ζ) + iS (ζ) = Ε (ίζ) = е**щ (113)
Последнее уравнение не определяет непосредственно функций
С {ζ) и S (ζ)у так как они не являются действительной и мнимой
частью комплексной величины, стоящей в правой части (ИЗ),
если только ζ не принимает действительных значений.
Все же мы имеем:
~~ е** ~" С (ζ) + tS (ζ) ~~ C*(z) + S* (ζ) ' * >
Отсюда и из (97) следует, что
C{z) — iS(z) = e-b. (115)
Из (ИЗ) и (115) мы заключаем:
C(z) = ^-±1- ж S {ζ) = *-£-. (116)
Как прямое алгебраическое следствие основного свойства
показательной функции, выраженного равенством (93), мы получаемг
что функции, определенные равенством (116), удовлетворяют
соотношениям (95), (96) и (97), причем для последнего надо помнитьt

105* СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 181
что е° = 1. Как следствие второго свойства показательной функции,
выраженного равенством (94), мы получим, что функция S (ζ)
обладает и четвертым свойством, т. е. удовлетворяет условию (98).
Мы будем считать, что равенства (116) определяют нам cos z
и sin z для комплексных значений переменной.
Если мы положим
z = x + iy, ίζ= —у + ix, —iz = y — ix, (H7)
то из равенства (92) получим: -
eiz = е-У (cos x + i sin x)\ e~i2 = e»(cos x — i sin χ). (118)
Тождества (118) дают возможность непосредственно выразить
sin ζ и cos ζ через тригонометрические функции переменной χ
и гиперболические функции переменной у (см. § 68).
Действительно,
егг шят е-гя
sin ζ = —γ = sin x ch у + i cos χ sh у, (119)
cos z = —^ = cos χ ch y·— i sin χ shy. (120)
Исследования настоящего параграфа привели нас к следующему
результату:
Функции комплексного переменного z = x-\-iy, определяемые
равенствами (119) и (120), обладают для всех комплексных
значений аргумента следующими свойствами:
sin (ζ + ζ') = sin z cos ζ' + cos ζ sin ζ', (121)
cos (ζ + ζ') — cos ζ cos ζ' — sin ζ sin z', (122)
cos2z + sin2z = l (123)
и также специальным свойством:
Um—* = 1. (124)
Этими четырьмя свойствами обладает лишь одна пара функций,
105. Свойства тригонометрических функций. Все тождества,
содержащие функции sin z и cos z, — следствия равенств (121),
(122) и (123), —указанные в § 58 для действительных значений
переменной, имеют место и для комплексных значений ζ, потому
что алгебраические операции, при помощи которых мы их
получили, остаются справедливыми и для комплексных значений ζ.
Однако и прямое доказательство тригонометрических тождеств
всегда возможно. Воспользовавшись формулами
sinz= * и €osz = —-^— , (125)

182
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
мы сведем тригонометрическое тоджество к тождеству,·
содержащему показательные функции, а это последнее будет
алгебраическим следствием тождества (93). Такой прием доказательства
часто оказывается более простым по сравнению с приемами,
пользующимися лишь действительными величинами.
Часто бывает удобно воспользоваться формулами
eiz = cosz+isinz и e~iz == cos ζ — i sin ζ. (126)
Например, из равенства
einz_e-inz (cosz-f isinz)n — (cos ζ — isinz)n /yl0m
S1nnz= Ti = >--A L (127)
мы легко получим формулу, выражающую sin nz в виде
многочлена относительно sin z и cos z с действительными
коэффициентами. Аналогично всякий многочлен, содержащий синусы и
косинусы аргументов, кратных ζ, может быть выражен как
многочлен относительно sin ζ и cos z.
Обратно, пользуясь равенством
/ ei» _ β-*« \п / е<* + e~iz \™
'■<-^Г-) {—ΊΓ-) =
= 2 Akeik*=* 2 (akcoskz + bksinkz), (128)
к=-(т+п) А=0
мы можем представить всякий многочлен относительно sin z
и cos z как линейную комбинацию синусов и косинусов от
аргументов, кратных ζ. Коэффициенты акиЬкв равенстве (128) будут
Действительными. В самом деле, выражения в скобках в первой
етроке (128) не изменяются при замене i через — i; следовательно,
Ак и А„к будут комплексно сопряженными числами. Поэтому,
если данный полином имеет действительные коэффициенты,
то и коэффициенты линейной комбинации синусов и косинусов
кратных дуг будут действительными.
Так же, как в случае действительного переменного, остальные
четыре тригонометрические функции определяются равенствами:
. sin z f cos z /l?Q\
° cos z* ® sin ζ ' * '
sec ζ == , cosec ζ = -.— . (130)
cos ζ ' sin ζ x '
Их свойства могут быть выведены из свойств синуса и косинуса.
Предыдущие рассуждения показывают, что все алгебраические
тождества, содержащие какие-либо из рассмотренных шести
тригонометрических функций, имеющие место для
действительных значений аргумента, будут справедливыми и для
комплексных значений.

106. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
183
Отметим, что неравенства, полученные для случая
действительного аргумента, вообще говоря, не будут справедливы»
когда аргумент принимает комплексные значения. Например,
если sin χ и cos χ действительны, то из равенства sin2 χ + cos2 x = 1
следует, что |sin#| < 1, но мы не можем сделать такого
заключения, если мы имеем дело с комплексными значениями, и в этом
случае наше неравенство не обязано иметь места.
106· Гиперболические функции. Определения гиперболических
функций, помещенные в § 68, могут быть использованы для
комплексных значений аргумента; мы полагаем:
shz^6—^-, &ζ = '-ψ-. (131)
Из этих равенств и равенства (92), если z = x + iy, следует:
sh ζ = sh x cos у + i ch x sin у, (132)
ch ζ = ch χ cos у + ί sh x sin у. (133)
Четыре остальные функции определяются так же, как и ранее,
при помощи равенств
Schz = cTI' cschz = sTi· <135>
Сравнивая равенства (131) и (126), мы видим, что
shiz = ismz и chiz = cosz, (136)
а также, что
s'miz = ishz и chiz = chz. (137)
Последние соотношения и соотношения аналогичного характера,
получающиеся из последних при помощи равенств (134) и (135),
часто позволяют вывести формулы для гиперболических функций
из соответствующих более употребительных формул для
тригонометрических функций. Например,
ch (ζ + ζ') = cos (iz + iz') — cos iz cos iz' — sin iz sin iz' =
= chzchz' + shzshz\ (138)
Тождества, которым удовлетворяют гиперболические функции,
могут быть также получены непосредственно из (131) и из
равенств
е2 = chz + shz и e~2i=ch z — sh* (139)
совершенно так же, как для тригонометрических функций.

184 ч
ГЛАВА V* КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
10Ϋ· Логарифмическая функция. Для действительных
значений переменных соотношения
w = logz и z = ev (140)
эквивалентны. Если z = x + iy—данное комплексное число, а
w = и + iu — комплексное число, удовлетворяющее второму у
равнению (140), то
x + iy = eu (cos ό + i sin v), (141)
откуда следует, что
# = ewcosu, y~eusinv. (142)
Поэтому
«*+у2 = е*и и *w= |z|, (143)
так как еи — величина положительная при всех действительных
значениях и.
Если предположить, что ζψΟ, то
tt = log|*|. (144)
Используя равенства (142), мы также придем к равенствам
cosu-jfj, sinu = ^, (145)
которые определяют ν с точностью до кратного 2π, как это было
указано в § 61. Фактически равенство
u = argz (146)
мы могли бы очень просто получить, непосредственно сравнивая
(141) с (15) и приравнивая еи и υ соответственно полярным
координатам r = \z\ и 6 = argz.
, Так как равенство (141) следует из (144) и (146), то мы
приходим к определению логарифма комплексного числа с помощью
равенства
Log ζ = log I z I + i arg ζ = log r + ib. (147)
Эта функция — многозначная, ибо arg z определен не
единственным образом. Для любого действительного постоянного а
существует единственное значение arg ζ или θ в пределах
α<θ<α + 2π. (148)
Таким образом, выбранные значения θ образуют однозначную
ветвь функции arg z, соответствующую числу а. Значения
логарифма, удовлетворяющие ограничению (148), образуют
однозначную ветвь логарифмической функции, соответствующую
значению α ι Итак:

107. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
18&
Ветвь логарифмической функции, соответствующая числу αΫ
определяется с помощью равенства:
logz = log|z| + £argz, где a<argz <α + 2π. (149)
Эта функция определена однозначно для всех значений ζ Φ 09
и
если w = logz, moz = ev, (150)
Если θ — значение argz для одной ветви, α Θ'—значение arg&
при том (нее ζ для какой-либо другой ветви, то θ — 6' = 2&тг, где
к —целое положительное или отрицательное число или нуль.
Функция log ζ не определена для ζ = 0, но в соответствии с
условием § 100 и тем, что
J log zI > I log ζ I и limlog|z|=: — oo, (151)
мы можем сказать, что
limlogz=op. (152)
Отметим, что, при условии ζφΟ и θ Φ α, каждая ветвь
функции θ и, следовательно, каждая ветвь Log z будут
непрерывными функциями. Если мы будем исходить из значения ζ Φ Ο
и выберем значение а% не равное одному из значений arg z для
данного ζ, мы получим ветвь Log ζ, непрерывную при выбранном
значении ζ.
Таким образом, если ζ меняется непрерывно и не проходит
через нуль, мы можем так выбирать ветви Log z, что эта функция
будет изменяться непрерывно. Однако, если ζ обойдет окружность
с центром в начале координат, то конечное значение log z будет
отличаться от исходного. Для любой области ζ, не содержащей
точек некоторого луча, исходящего из начала, т. е. для областиг
которой при некотором а не принадлежат значения
2 = r cos ά + ir sin α, г > 0, (153)
мы можем найти такую ветвь функций w = Log z, которая будет
однозначной и непрерывной. Обычно мы будем ограничивать
значения ζ областями такого вида.
Свойства, которыми мы воспользовались в § 50 для
определения логарифмической функции действительного переменного,
применимы с некоторыми оговорками и для функции,
определяемой равенством (149). Если w = logz h.w'clogs'» то
z = ew> z' = e»>\ zz'^e*»*"'* (154)
Таким образом, если ζ и ζ' оба отличны от нули, log ζ + log z',
т. е. w + w\, для некоторой ветви будет равно, log (ζ ζ'). Следо-

186
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ватедьно, мы можем писать либо
log ζ + log ζ' — log (zz') для подходящих ветвей, (155)
либо
log ζ + log z' = log {zz') + 2Ы, (156)
где все три логарифма мы можем считать принадлежащими одной
и той же ветви или разным ветвям, в зависимости от значения
целого числа к. Целое число к не обязательно будет нулем, если
мы выберем одну и ту же ветвь для всех логарифмов, что можно
видеть, взяв для всех трех логарифмов 0<θ<2ππ положив
о
6 = у π и для log z и для log z'.
Особое соотношение (112) из § 50 может иметь место для
комплексных значений, только если log(l + ζ)—>0, когда ζ—>0.
Для этого мы рассмотрим ветвь, определяемую числом а,
удовлетворяющим неравенству — 2π < α < 0. Мы полагаем
w = log(l + z), z=-ew-l. (157)
Для рассматриваемой ветви log 1 = 0 и логарифм будет
непрерывной функцией в области, содержащей 1; следовательно, w—*0,
когда 2—>0. Тогда с помощью равенства (94) мы получаем:
limJSSili^-llin^-l. (158)
Таким образом, это особое соотношение справедливо для любой
ветви, определяемой числом а, таким, что —2π < а < 0. Для
всякой такой ветви log z является непрерывной функцией при всех
действительных и положительных значениях ζ и совпадает для
Зтих значений с функцией log ж, определенной § 50.
Ю8. Степенная функция. Для любых комплексных А Ф 0
и В мы пишем:
дв^еВЪо^А^ (159)
Это равенство определяет значение степени для каждой из
возможных частных ветвей функции Log z.
Если α — значение аргумента числа А для какой-либо одной
ветви, то для любой другой ветви значение arg-A может быть
записано в виде α + 2Απ, где & —целое положительное или
отрицательное число или нуль. Таким образом, если а является абсо-^
лютной величиной 'А, то для произвольной ветви мы имеем:
Log A = log a + i (α + 2Ьг). (160)
Следовательно,
Ав = epilog α+ί(*+2Λπ)] __ eJB(log a+ia)e2k%Bik (161)

108. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
187
Значение степени для какой-либо ветви, для которой кфО, может
быть согласовано со значением для к = 0 только, если для
некоторой ветви логарифма имеют место равенства
е2**в* = 1 и 2*rcBi = Logl. (162)
Так как Log 1 = 0 для одной ветви, то для всякой другой ветви
значение логарифма будет отличаться от 0 на кратное 2πί, пусть
на 2Κπί, и мы должны иметь;
2Вкы = 2Кш и Вк = К, или В = ^- , (163)
что показывает, что В есть рациональное число, если
выполняются равенства (162).
Если В не является действительным и рациональным, то
различные к в равенствах (160) и (161) будут давать различные
значения Лв, и это выражение буде^ бесконечно многозначным.
Ограничиваясь значениями ζ, принадлежащими некоторой
области, в которой какая-либо ветвь логарифмической функции
непрерывна и однозначца, мы получим однозначную и
непрерывную ветвь функции ζΒ при всяком значении В.
Для функции Αζ из равенства
£z _. ег Log А ^~ ez (log α+ία+2Λπί) (164)
следует, что каждый выбор числа к определяет отдельную
непрерывную и однозначную функцию при всех комплексных
значениях ζ. Для действительного и положительного значения А = р
при определенном выборе к имеем:
pz==ezlogpi (465)
Когда ρ Действительно и положительно, если из контекста не
следует противное, мы примем последнее равенство за определение
функции ρζ. Это соглашение оправдывает введение ez как
функции, удовлетворяющей условиям § 103, а не как бесконечно
многозначной функции (164) с постоянной А, равной е.
Возможность второго подхода бывает иногда полезна,
например, когда фиксирована определенная ветвь функции zB и мы
хотим вычислить значение этой функции при ζ— ρ или ζ — е.
Вернемся теперь к рассмотрению Ав при действительном
и рациональном В. Если 5 = 0, то для всех А Φ 0 мы имеем
.4о=1 независимо от значения к в равенстве (161). Для целого
значения В произведение Вк также будет целым и в равенстве
(161) последний множитель будет равен единице·.
В самом деле, значение Ав, однозначно определенное
равенством (159) или (161), в котором мы полагаем В —η — целому
положительному числу, будет тем же самым, что и значение,
которое получится повторным умножением А на самое себя,
как это видно из равенства (93). Мы также видим, что, полагая

188.
ГЛАВА. V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
в равенстве (161) В=—п, мы получим значенце, обратное
значению для В = п>
Для положительного или отрицательного целого ρ и какого-
либо одного определения log A
Авр = евР 1os ^==ze(BiogA)P== (ABy. (166)
Таким образом, рациональная степень Apiq однозначно
определяется значением степени А1!*, причем можно считать число д поло·
жительным.
Для В== — , где q целое положительное число, равенство (163)
будет удовлетворено, если к = qK\ в этом случае к будет кратным q.
Таким образом, любые два значения логарифма, отличающиеся
н& 2кы, дают то же самое значение для Ав9 если к будет
кратным q. Полагая в (161) & — 0, 1, 2, ,. ., q— 1, мы получим q
различных значений А^*. Так как всякое другое целое число
отличается от одного из указанных лишь на кратное q,
равенство (159) дает q возможных значений для А1!**; q-я. степень
каждого из полученных значений равна А> и эти значения будут
корнями уравнения ^ — -4=0.
Мы иногда будем писать %/ А вместо АЧ* и Υ А вместо А1!**
Для действительного и положительного А одно из наших
значений AUq будет действительным и положительным. Если q четно*
тогда имеется еще один действительный корень, отрицательный.
Для </='2 и комплексного А два значения квадратного корня
отличаются множителем — 1.
109. Обратные функции. Решая квадратные уравнения и
логарифмируя, мы можем выразить все функции, обратные
тригонометрическим, через квадратные радикалы и логарифмы;
эти обратные функции будут однозначными в надлежащим
образом выбранных областях. Мы будем иметь:
arcsinz==arccosec —= —i log (ίζ + y 1 — ζ2), (167)
arccos ζ = arcsec — = — i log (ζ + у ζ2 — 1), (168)
arctg ζ = arcctg i- = -Ι log j^-j. (169)
Аналогично, для функций, обратных гиперболическим, мы найдем
Arsh ζ = Arcsch -i <. log (ζ + Υ1 + ζ2), (170)
Arch ζ = Arsch — = log (z + ΥΡ^Ι), (171)
Arthz = Arcth i=i.iogi±i. (172)

111. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
189
110. Производные. Пусть w = f(z) и пусть Aw и Δζ
обозначают соответственно комплексные приращения w и ζ. Мы
определим производную с помощью равенства:
в том случае, если указанный предел существует и поэтому имеет
одно и то же значение для любой последовательности
комплексных значений h или Δζ, отличных от нуля и стремящихся
к нулю.
Так же, как в случае действительной переменной, из
определения производной следует:
£(*"> = *£» («4)
eta cto
d / и \ dx dx i\ll\
Таким же. об разом рассуждения § 65 показывают, что если
w = f(u), u = g(z) и если функция f(u) имеет конечную
производную в точке tt0 = g(z0), a g(z) имеет конечную производную
в точке zQ, то .функция
w = f{g{z)) = F{z) (178)
имеет производную в точке ζ0ί равную
Также непосредственно из определения производной следует,
что
£-0 и Е-1· <180>
Таким образом, полиномы и рациональные функции
комплексной переменной можно дифференцировать по правилам,
приведенным з § 63.
111. Специальное функции. Для функции. ег, в силу равенств
(93) и (94), мы имеем:
lim g Г* = limе*ί-=-Α = е2, (181)

190
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
т. е.
ше*=е*- (182>
Рассмотрим теперь функцию w=logz в некоторой точке ζ,
внутренней по отношению к области, в которой рассматриваемая
ветвь функции однозначна и непрерывна. Тогда
log(« + A«)-log» Δ* (83
Так как еш — однозначная функция, то Aw =£ 0, если Δζ*£θ,.
а вследствие непрерывности w = lnz в точке z, Aw—>0, когда
Δζ—>0. Поэтому
lim -—;= — = -£- е*> = е"> = ζ. (184)
Из' (183) и (184) следует, что
^(logz) = limlo^2 + ;)-10^=l. (185)
Из равенств (125) и (182) и из предыдущего параграфа мы
для функций sin z и cos z найдем:
j- (sinz) = cos ζ и ^ (cosz) =—sin г. (186)
Таким образом, все формулы дифференцирования
тригонометрических и обратных тригонометрических функций в области
действительных значений применимы, с соответствующими
ограничениями, наложенными на области изменения и ветви обратных
функций, и для комплексных значений. Аналогично, в
соответствии с равенством (131), находим:
j-(shz) = chz и j^(chz) = shz, (187)
и формулы дифференцирования гиперболических функций и им
обратных, установленные ранее в действительной области, могут
быть распространены на случай комплексных значений аргумента.
112. Элементарные функции. Функция sin z выражается при
помощи равенства (125) через показательную функцию.
Степенная функция Ав при помощи равенства (159) выражается через
показательную и логарифмическую функции. В силу равенств
(167) и (159), функция arcsin z может быть представлена
в виде:
arcsin z = — ι log (ιζ + e ). (188)

113, ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
191
Следовательно, для комплексных значений независимой
переменной нам достаточно в качестве основных элементарных
функций рассмотреть только ez и log ζ. Таким образом, мы можем дать
следующее определение:
Элементарная функция комплексного переменного ζ есть
функция, которая может быть явно выражена через постоянные и
независимую переменную ζ с помощью четырех арифметических
действий и с помощью показательной и логарифмической
функций, причем те и другие могут быть использованы лишь в
конечном числе.
При любом выборе ветвей логарифмических функций,
входящих в явное представление элементарной функции, если только
это представление дает для значений ζ из некоторой двумерной
области конечные и определенные значения функции, мы можем
найти двумерные области, в каждой из которых наша
элементарная функция будет однозначной и непрерывной. Мы скажем^
что такая функция в соответствующей области является
однозначной ветвью элементарной функции или, более коротко,
однозначной элементарной функцией. Сравнение только что
приведенного определения с тем, которое было дано в § 69,
показывает, что по крайней мере в некоторой области независимой
переменной всякая элементарная функция в смысле определения § 69
может быть получена из однозначной элементарной функции
(в смысле настоящего параграфа), если ограничить изменение
переменной ζ действительными значениями.
Положения последних двух параграфов позволяют нам находить
производные однозначных элементарных функций в любой
внутренней точке области, в которой рассматриваемая ветвь
однозначна. В каждой области, состоящей целиком из таких точек,
производная также будет однозначной функцией. Правила
дифференцирования формально тождественны с известными правилами
дифференцирования действительных элементарных функций.
113· Основная теорема алгебры. Основная теорема алгебры
утверждает, что если Ρ (ζ)—многочлен относительно переменной
ζ, щ равный тождественно постоянному, то уравнению
Ρ(ζ) = 0 (189^
удовлетворяет некоторое комплексное число. Так как | Ρ (ζ) | —
величина всегда положительная или равная нулю, то каждый корень
уравнения JP(z) = 0 дает функции Ρ (ζ) наименьшее значение.
Щше доказательство будет основано на этом свойстве.
Мы сначала докажем, что' если \Ρ(ζ)\ принимает наименьшее
значение т в некоторой точке ζ0 области Л, для которой
ζ0—внутренняя точка, то т = 0.

192
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Предположим, что наименьшее значение т9 которое
достигается в точке zQ9 не равно нулю. Пусть
P(z) = a0+aLz+...+anznt αηΦθ\ (190)
тогда п, т. е. наивысшая степень ζ, имеющая коэффициент, не
равный нулю, называется степенью этого многочлена. Так как Ρ (ζ)
не есть постоянная, то η не меньше единицы. Полагая z = Zo + h,
мы получим:
P(z) = P(zo + h) = Q(h). (191)
Здесь Q (А), как мы увидим, произведя возведение в степень и
приведение подобных членов, будет полиномом степени η
относительно h. Степень полинома Q (К) будет равна /г, потому что
«единственный член, содержащий hn, будет равен anhn, и нет
членов с более высокими степенями А. Положим
Q(h) = c0 + c1h+ ...+cnhn, спФ0. (192)
.Пусть cr = clf если ci Φ 0; в противном случае пусть сТ—первый
Лосле с0 коэффициент, не обращающийся в нуль. Из цаших пред-
дол ожений следует, что
с0 Φ 0, так как \cQ\ = \Q(0)\ = \P(z0)| = лг. (193)
Таким образом, комплексное число —- не равно нулю, и если
со
£дно из значений его логарифма есть Ь + iB% то мы можем записать:
_ cjl = еь etB и Сг = _ Cq еь eiBf (194)
Пусть ρ — действительное положительное число; возьмем
кг = ре г, тогда А; = /?ге^ш. (195)
При этом сумма первых двух членов Q (hi) может быть
записана в виде:
с0 + сг h\ = с0 — с0 еъ рг (196)
Ш модуль ее, равный
\Col\l-e*pr\, (197)
будет меньше, чем Jc0|, если ргеь < 1, т. е. если
Р<е~г. (198)
Пусть С —верхняя граница для \ск\. Число членовQ(h)y
следующих за сг, будет меньше п, и каждый такой член содержит кг

113» ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АДГЕБРЫ
193
в степени, большей т\ Поэтому, если мы положим
ΙΑ,ΚΙ, τ. е. р<1, (199)
то. для каждого члена получим:
\ckh*\<Cpk<Cpr+i, к>г, (200)
и сумма абсолютных величин этих членов не будет превосходить
Cnp'+i или iCol*V , если ρ < i|^ . (201)
При этих условиях мы получим:
|tf(AO|<|co|(l-eV) + l£a^<l«ol(l-^)<k|. (202)
Пусть теперь ρ выбрано так, что неравенства ,(198), (199) и (201)
удовлетворяются, и, кроме того, настолько малым, чтобы точка
z1 = z0 + h принадлежала области R; это всегда возможно потому,
что z0 — внутренняя точка области R. Тогда, в силу соотношений
(202) и (193),
P(z>) = Q(hi) и \Р(ъ)\<\с0\ = т. (203)
Так как Уп является наименьшим значением | Ρ (ζ) | в области Ry
то последнее соотношение не может иметь места, и наше
предположение, что тфО, приводит к противоречию. Таким образом,
доказано, что т = 09 как это и утверждалось.
Мы теперь покажем, что | Ρ (ζ) | достигает своего наименьшего
значения в некоторой внутренней точке круга достаточно
большого радиуса q с центром в начале координат. На окружности
такого круга | ζ | = д, и модуль члена полинома Ρ (ζ) наивысшей
степени будет
\anzn\ = }an\q\ (204)
Пусть А— верхняя граница всех \ак\, тогда число членов
Ρ (ζ) степени меньшей η равно п, и каждый из этих членов
содержит ζ в степени не выше п — 1. Поэтому, полагая
q>U (205)
мы для каждого из этих членов получим:
\akzk\^Aqk<Aqn"i9 к<п, (206)
и модуль суммы всех таких членов не превосходит
Ащп~х или 1Щ£- , если q > ^ . (207)
При указанных условиях на окружности радиуса q будем иметь:
l^ωl>KI?n:-.L·^-Li^; (208)

194
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
при этом | Ρ (ζ) I превзойдет значение | Ρ (0) | = а0 в центре круга,
если
^ψ- >\а0\, х. е. если ,> (^J'". (209)
Пусть теперь q выбрано настолько большим, что неравенства
(205), (207) и (209) все удовлетворены. Тогда
\Ρ{ζ)\·>\Ρ{0)1 где |*| = 9. (210)
Последнее неравенство показывает, что Ρ (ζ\ не может в
замкнутой области Rq, состоящей из внутренних и граничных точек
круга | ζ | = q, достичь своего наименьшего значения в какой-либо
точке границы.
Введем теперь действительные координаты (#, у) точки ζ.
Тогда z — x + iy ж Ρ \z) = u (х9 у) + iv (x, у), где и и υ будут
многочленами относительно χ и у с действительными
коэффициентами. Поэтому и2 + νζ > 0 и
\P(z)\ = VvF+*> (211)
как следует из § 35 и 39, будет непрерывной функцией двух
действительных переменных при всех их значениях. В частности,
функция |^(2)| непрерывна в замкнутой области Rqy состоящей
из точек, для которых
\z\<q или я2 + г/2<£2. (212)
Поэтому, на основании теоремы § 35, существует некоторая
точка z0 в нашей замкнутой области, в которой | Ρ (ζ) | достигает
своего наименьшего значения.
Как мы уже установили, точка ζ0 не может лежать на
окружности |ζ| = (7, она должна быть внутренней точкой области Rq.
Таким образом, и наше второе предложение доказано. Применим
теперь первый результат к области Rq и наименьшему значению
\P(z)\, равному m=\P(zQ)\ . Мы получим:
|/>(2о)| = т = 0, т. е. Ρ(Ζο) = 0. (213)
Таким образом, мы доказали основную теорему алгебры.
114. Полиномы. Если Α (ζ) — полином степени т, а В (ζ) —
полином степени л, причем т?г>/г>0, то, производя по правилам
алгебры деление, мы найдем полином степени т—п9
являющийся частным, и остаток R (ζ), степень которого будет меньше,
чем степень В (ζ), так что
A(z) = B(z)Q(z) + R(7) (214)
ЙИ <*> + §$· PIS)

114. ПОЛИНОМЫ
195
Эти равенства являются тождествами в том смысле, что правая
часть может быть приведена к выражению точно того же вида
и с теми лее коэффициентами, какое стоит в левой части.
Теперь применим тождество (214) к случаю деления полинома
Ρ (ζ) на ζ— b, где b — какое-либо комплексное число. Тогда
остаток от деления будет постоянным и мы получим:
P(z) = Q(z)(z-b) + c. (216)
Полагая в последнем тождестве z—b, мы найдем, что
Р(Ъ) = с, откуда P(z) = Q{z)(z-b) + P(b). (217)
Таким образом, остаток равен Ρ (b) и он будет обращаться в нуль
тогда, и только тогда, когда Ρ (b) = 0, т. е. когда b является
корнем многочлена.
В предыдущем параграфе мы доказали, что всякий
многочлен положительной степени имеет корень. Пусть Ρ (ζ) —
многочлен степени η (τ&>1) и £>ι — его корень.
Тогда мы можем записать:
P(z) = Q(z)(z-b1), (218)
где Q(z) — многочлен степени л —1.
Поступая с Q (ζ) так же, как с JP (ζ), и продолжая применять
этот процесс к вновь получаемым частным, мы после η шагов
получим частное, равное постоянному, и поэтому мы будем иметь:
P(z) = k(z~-b1)(z^b2)...(z-bn)> кфО. (219)
HfiKOTOjUiie лз чисел bi зюгут быть равными между собой. Если
имеется г корней, но не более, равных bi, то мы скажем, что bi—
корень кратности г; в этом случае из равенства (219) мы видим,
что
ρ (ζ) = (ζ — bxy Q (ζ), причем Q (Ъг) Ф 0. (220)
Полученные результаты могут быть объединены в следующее
предложение:
Если корень кратности г считать г pas, то всякий многочлен
степени η (тг>1) имеет η корней bj и может быть представлен
в вире произведения постоянной на η множителей первой
степени, имеющих вид z—bj.
Корни полинома bj определяются однозначно, так как
никакое значение ζ, не равное одному из η чисел £>/, не может обратить
произведение (219) в нуль. Кратности корней также вполне
определены, ибо из равенства (220) следует, что
lim -i^L = Q (К) Φ О и lim -^U = 0, (221)
и эти соотношения определяют" кратность корня Ьг.

tL96
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
115. Рациональные функции. Рациональная функция
образуется при помощи конечного числа сложений, умножений и
делений, произведенных над переменной ζ и конечным числом
постоянных. Такая функция всегда может быть представлена в виде
отношения двух многочленов, при помощи операций, которые всегда
обратимы при всех значениях ζ, за исключением таких, при
которых некоторые выражения обращаются в нуль. Если оба
многочлена в конечной упрощенной форме рациональной функции
имеют общий корень и, следовательно, общий множитель, то на
этот множитель можно их сократить, если только значение ζ не
равно этому корню.
Когда рациональная функция представлена в виде отношения
двух многочленов, не имеющих общих корней, то мы будем
говорить, что она приведена. Приведенная форма рациональной
функции определена для всех значений ζ, за исключением тех,
которые обращают знаменатель в нуль. Однако могут быть и другие
значения ζ, для которых первоначальная форма рациональной
функции становится неопределенной. Если таких значений
конечное число, то вообще удобно принять за значение первоначальной
функции значение, принимаемое функцией, представленной
в приведенной форме. С таким условием первоначальная функция
равна приведенной для всех значений ζ, для которых последняя
определена.
Приведенная рациональная функция, представленная в виде
отношения двух многочленов -=ψ{ , называется правильной дро-
бью, если степень числителя меньше степени знаменателя, и
называется неправильной дробью, если степень числителя больше
или равна степени знаменателя.
С помощью процесса деления, использованного для
получения равенства (215), мы можем заменить всякую неправильную
дробь суммой многочлена и правильной дроби:
Ш=с^+Щ- <222>
Отсюда получаем тождество
Α (ζ) = С (z) B(z) + D (z), (223)
которое показывает, что для значения ζ, равного корню Ь
многочлена В {ζ) у
В (Ь) = О и A (b) = D (Ь). (224)
Если jrj4 — несократимая дробь, то Ь не является корнем
многочлена Α (ζ). Поэтому,если В (Ь) = 0, то А (Ь) φ О, D (Ь) ψ О, и пра-
£ D (Ζ)
вильная дробь тгМ также несократима.

115. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
197
Пусть теперь 6 —корень кратности г многочлена В {ζ), тогда
B(z) = (z-byE(z), Е(Ь)Ф0. (225)
Попробуем найти постоянную Аг так, чтобы
Р(«) _ Аг , _ЦА /οοβ\
В (ζ) ^~ (2 - ь/ "*" (2 - Ь)« ^ (2) ' \ΔΔΌ>
где 5 < г, и чтобы последняя дробь в равенстве (226) была пра*
вольной. ...
Такая постоянная должна превращать равенство (226) в
тождество для всех значений ζ, для которых обе части равенства
((226) определены, и, следовательно, равенство
Ε (2) -лг+ -ЩГ) W>
должно выполняться для тех же значений ζ. Пусть ζ—>Ь, тогда
^ = Щ§- (228)
Для доказательства того, что соотношение (226) имеет место
с указанным значением Аг, рассмотрим тождество
D(z) Ar D(z)-ArE(z) Q
. Β (ζ) (2 - Ъ)г — "(ζ - ЬУ'Е (ζ) ' \ΔΔυ)
Так как числитель последней дроби является многочленом,
обращающимся, в силу равенства (228), в нуль πρπζ = Ъ, то он делится
на ζ— Ь. Таким образом, если эту последнюю дробь сократить, то
знаменатель будет содержать множитель (z — b)s, где s—меньше г.
Этот показатель s равен г—1, если Ь — простой корень
числителя, и может иметь меньшее значение, включая зачение О,
в том случае, если числитель делится на более высокую степень
разности ζ— Ь. С другой стороны, если V — корень .Б (ζ), то
числитель при ζ = V обратится в D (Ь'), причем D (br) не может
равняться нулю, так как из В(Ь') = 6 следует, что£> (Ь')фО. Таким
образом, ни один множитель многочлена Ε (ζ) не может быть сокращен
и последняя дробь в равенстве (226) является приведенной.
Если Ε (ζ) не является постоянной, то Ε (ζ) обладает корнем Ь\
и функция F (ζ) не равна тождественно нулю. Если Ε (ζ) —
постоянная и D (ζ) -—также постоянная, тогда выражение в правой части
равенства (229) тождественно равно нулю, и мы должны в
равенстве (226) положить F(z) = 0, т. е. опустить последний член.
Так как правая часть равенства (229) является правильной
дробью, то последний член в равенстве (226)—также
правильная дробь, если Ε (ζ) не является постоянной. С последним
членом в правой части равенства (226) мы можем поступить
так же, как мы поступили с дробью ^52 . Если s—положительное

198
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
число, то мы снова используем корень 6; если s=0, то мы
воспользуемся каким-либо другим корнем В (ζ), который всегда будет
также корнем i? (ζ). Так как наш процесс дает новую дробь, у
которой степень знаменателя меньше степени знаменателя
первоначальной дроби, то не более чем через η шагов мы придем к дроби,
для которой равенство (226) применимо с F (z)=0, т.е., иными
словами, без последнего члена. Все это доказывает возможность
следующего представления всякой рациональной функции:
Всякая рациональная функция может быть представлена
в виде суммы многочлена и дробей вида:
<7=tyV 7 = 1,2,....и; * = 1,2,...,/>, (230)
еде fci, Ьг,..., Ьт — различные корни знаменателя нашей
функции, которую мы считаем приведенной, а г,-— кратность
корня bj.
Докажем, что полученное разложение единственно. Пусть
R(z) — рациональная функция и 6 —корень ее знаменателя
кратности г. Исходя из какого-либо ее разложения, мы сможем,
сложив многочлен и все дроби, кроме той, у которой знаменатель
равен (ζ — Ь)Г, получить равенство
Л^=СТ+(^ет· s<r> *(Ь)+0- (231)
Если мы умножим последнее равенство на (ζ— Ь)Т и положим
z—>b, то найдем, что
Ar = limR(z)(z-b)r. (232)
Таким образом, коэффициент Аг вполне определен самой
функцией R (ζ). Если теперь мы вычтем дробь с числителем Аг и при-
А
меним наши рассуждения к дроби R (ζ) — -,—^ , то найдем, что
\ζ — °)
Аг_х также вполне определен. Далее, продолжая поступать
так же, мы увидим, что все коэффициенты, соответствующие
некоторому корню Ъи вполне определяются самой функцией R(z).
Целая часть (многочлен) вполне определена, так как она равняется
результату вычитания из R(z) всех дробей (230). Таким образом,
разложение не зависит от порядка, в котором взяты корни. Так
как сумма дробей (230) и многочлена дает -^-^, т. е. приведен-
В (Z)
ную рациональную функцию R(z), то ^~- не зависит от способа
приведения.
116. Тейлоровское разложение рациональной функции. Если
Ρ (ζ) — многочлен и Ъ — некоторое комплексное число, то, деля

116. ТЕЙЛОРОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 199
Ρ (ζ) на ζ — b, мы получим равенство
P(z) = (z-b)P1(z) + c0, (233)
аналогичное равенству (216). Если .Pi (z) не является
постоянной, то, повторяя этот процесс, получим:
P1(z) = {z-b)P2(z) + c1, (234)
и продолжаем деление до тех пор, пока не получим:
Pn-1(z) = (z-b)Pn(z) + cn^1. (235)
Так как каждый многочлен Pj (z) имеет степень на единицу
меньшую, чем предыдущий, то, если Ρ (ζ) — многочлен степени п, —
Ρη(ζ) является некоторой постоянной сп. Исключая все Pj(z)
из серии полученных равенств, мы получим:
P(z) = c0 + c1(z-b)+...+cn(z-b)n. (236)
Коэффициенты с0> ci* ··** сп отыскиваются этим способом
с меньшей затратой труда, чем способом, примененным для
получения равенства (192) и эквивалентным только что
указанному, если положить b = z0 я ζ— 6 = h. Однако мы выразим
коэффициенты непосредственно через производные. Полагая z—b
в равенстве (236) и в равенствах, полученных из последнего
дифференцированием, мы найдем
са = Р{Ь), С) = Р-^$>, /=1,2, ...,п. (237)
Равенства (236) и (237) аналогичны соответствующим
равенствам в параграфе 82, но здесь мы имеем равенства в замкнутом
виде (т.е. содержащие конечное число слагаемых) и притом
справедливые для комплексных значений переменной.
Рассмотрим теперь разложение рациональной дроби
f£J, где В (ζ) = (ζ - b)r Ε (ζ) ж Ε (b) Φ 0. (238)
Объединяя целую часть д дроби, не содержащие степеней ζ — 6,
найдем
г
Α (ζ) >п Ак Η (ζ) mqv
Следовательно,
Щ = Л + Л-.(2-») + Л-.(а-»)Ч-...+Л(г-4)'"' +
+ ^$p>- (240)

200
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Так как Ε (Ъ) Φ 0, то дробь =гр- имеет в точке ζ = Ъ конечные
производные всех порядков. Поэтому, если мы применим
правило Лейбница для дифференцирования произведения (см. § 72)
к произведению (ζ — Ъ)г на дробь =Щ, то члены, содержащие
производные дроби первых г—-1 порядков, будут иметь
множителями некоторые положительные степени ζ—6 и будут
обращаться в нуль при ζ =b. Следовательно, полагая z=b в
равенстве (240) и в равенствах, полученных из (240)
дифференцированием 1, 2, 3, ».., г —1 раз, мы получим:
Эти формулы остаются справедливыми, если мы заменим
'*γ& = R (ζ) (ζ — b)r через Rx (ζ) (ζ — b)r, где J?x (z)—функция,
полученная из R (ζ) удалением многочлена или некоторых дробей,
знаменатель которых не делится на z'—b..
Если, используя правило Лейбница, мы будем
последовательно дифференцировать йравую часть равенства
B(z) = (z-b)rE(z), (242)
мы заметим, что первые г — 1 производные будут содержать
множителем ζ — Ъ и поэтому будут обращаться в нуль при ζ = 6, в то
время как г-я производная будет содержать единственный не
обращающийся в нуль при z=b член rlE(z). Таким образом,
B{b) = B'(b)=...=B(r-1){b) = 0, В(Г)(Ь) = Е(Ь)Ф0. (243)
Эти условия соответствуют тому факту, что тейлоровское
разложение В (ζ) по возрастающим степеням ζ — b начинается с (ζ — Ь)т.
Иногда эти условия используются для нахождения кратного
корня полинома В (ζ) или для определения порядка кратности
заданного корня.
В частности, если Ь — корень В (ζ) и В' (Ь) Φ 0, то b является
простым корнем, и из равенств (241) и (243) мы находим, что
член разложения дроби, соответствующий этому корню, имеет
вид:
А> где Аг = Р^у (244)
Последнее равенство дает практическую возможность
нахождения коэффициентов разложения, соответствующих простым
корням.
Λ (ζ)
Пусть ёгН — рациональная функция, 6 —некоторое
комплексное число, такое, что Ε (b) Φ 0, и г —целое положительное. Если

117. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
201
мы образуем дробь со знаменателем, удовлетворяющим
равенству (238), то получим (240) и (241). Таким образом, меняя
обозначения, мы получим:
K(z) = c0 + c1(z-b) + c2{z-bY+...+cIX(z-b)n +
+ R1(z)(z-b)n*\ (245)
где
с0 = Я(Ь), С! = Щ^ (246)
и
Rx (ζ) (ζ — b)n+1 = 0[(z- b)n+1] при z-~*b. (247)
Равенство (245) дает тейлоровское разложение рациональной
дроби для значений, близких к δ, при котором она имеет
конечное значение. Последнее равенство следует из того, что Rx(b)—
конечно, потому что R± (z) — рациональная дробь, имеющая тот же
знаменатель, что и R(z).
117. Действительные многочлены. Под действительным
многочленом Ρ (ζ) мы понимаем многочлен, у которого все коэффициенты
действительны. Заменяя ζ через а~\- Ы, мы получим комплексное
число
P(a + bi) = A + Bi. (248)
Если теперь заменить ζ через комплексно сопряженное число
a — ib, мы найдем:
P(a-bi) = A-Bi, (249)
потому что коэффициенты полинома, будучи действительными,
сопряжены сами себе, а умножение и сложение, примененные
к комплексно сопряженным числам, приводят к комплексно
сопряженному результату, как это указывалось в § 97. В
частности, наше замечание показывает, что если a + bi—
комплексный корень действительного многочлена, то Α + Βί=0,
следовательно, А я В равны нулю, поэтому а — Ы является также корнем.
Таким образом, для действительного полинома, не
действительные корни группируются в комплексно сопряженные пары.
Паре комплексно сопряженных корней в разложении (219)
соответствуют два линейных множителя, произведение которых
дает
(z — a — bi)(z — a + bi) = z2 — 2az + a2 + b2 (250)
— действительный квадратичный множитель.
Деление на такой множитель дает новый действительный
многочлен более низкой степени, и поэтому действительный
многочлен всегда можно разложить на некоторое число действительных

202
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
множителей первой или второй степени, и два комплексно
сопряженных корня всегда будут иметь одну и ту же кратность,
118. Действительные рациональные функции. Действительной
рациональной функцией называется рациональная функция,
которая в приведенной ее форме является отношением двух
действительных многочленов. Если такая функция, в приведенной форме
втч» будет неправильной дробью, тогда с помощью деления
-B\Z)
мы выделим действительный многочнен С (ζ) и действительную
правильную дробь ^-^. Если многочлен В (ζ) содержит
квадратичный множитель
ζζ + ρζ + q = {ζ — а — Ы) (ζ — а + Ы), (251)
соответствующий паре комплексно сопряженных корней, каждый
кратности г, то мы можем написать:
B(z) = (z* + pz + q)rG(z), (252)
где G (ζ) — действительный многочлен.
Таким образом, для корня а+Ы коэффициент Аг из
равенства (228) имеет следующее значение:
Лг~ (2biYG(a + bi) ' ^°ό>
тогда как соответствующий коэффициент для сопряженного
корня а—Ы имеет значение:
(~2bi)rG(a-bi) '
(254)
сопряженное с Аг. Таким образом, наша дробь может быть
представлена следующим образом:
В (ζ) (ζ-а- Ы)г ~r(z-a + Ы)г ^ (z2 + pz + q)8 G (ζ) ' ^""'
где s < г. Так как левая часть есть действительная рациональная
функция, а две сопряженные дроби при сложении дают
действительную рациональную функцию, то третий член также будет
действительной рациональной функцией. Наши рассуждения
показывают, что следующие два коэффициента Аг_х и Аг^г также
будут комплексно сопряжены, и, продолжая дальше
действовать таким же способом, мы видим, что все коэффициенты в
разложении, приведенном в § 115, для комплексно сопряженных
членов будут комплексно сопряженными.
Если мы желаем иметь действительное разложение, мы должны
сложить в равенстве (255) две комплексно сопряженные дроби,

119. ПРОИЗВОДНАЯ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ
203
тогда получим дробь
(* + !* + *)*· (256)
Производя деление, мы получим:
H(z) = J(z)(z* + pz + q)+P + Qz, (257)
причем остаток должен быть первой степени.
Это позволяет записать:
Ат \ "Ar _ P + Q* , /(g) (9„
(ζ - а - Ьг)г ^ (г - α + fo)r (*■ + i>2 + $)г "*" (г2 + р* + q)'"1' К '
Если подставить это выражение в равенство (255) и объединить
последнюю дробь в (258) с последней дробью в (255), то мы
придем к разложению:
D{z)_ P+Qz K(z)
В (ζ) (ζ* + ρζ + q)r Τ («■ + ρζ + qJlGlz) ' Κ °*>
где t < г.
Равенство (228) показывает, что -4Г в (226) является
действительным, если D(x) и В (х) — действительные многочлены, а Ь —
действительное число.
Полученные результаты приводят нас к следующему
разложению действительной рациональной функции, в котором все
коэффициенты будут действительными:
Всякая рациональная функция может быть разложена на
сумму некоторого полинома членов вида:
(7^. / = 1,2,...,., (260)
составленных для всех действительных корней Ь, причем τ —
соответствующая их кратность, и членов вида:
Pj + Qjz
(z* + pz + qy
/ = 1, 2, ...,/·, (261)
составленных для всех действительных квадратичных
множителей, соответствующих парам комплексно сопряженных корней,
где г — соответствующая их кратность.
Упоминаемые в формулировке корни являются корнями
знаменателя рациональной функции после ее приведения.
В указанном разложении все коэффициенты определяются
единственным образом и являются действительными числами.
119. Производная комплексной функции действительного
аргумента. Пусть s (χ) и t (x) — действительные функции
действительного переменного х, определенные в некоторой области,

204
ГЛАВА V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
тогда функция
w(x) = s{x) + it(x) (262)
называется комплексной функцией действительного
переменного х.
Если мы поставим в соответствие действительным числам χ
в некоторой области определения комплексные числа, ;го такое
соответствие определит комплексную функцию w {х)>. у .кот.ррой
. s (х) = R [w (χ)] и t (x) = I [w (χ)] (263)
будут действительной и мнимой частями w (x).
Мы,скажем, что.функция w(x) имеет производную, при
действительном ( приращении аргумента, если предел
Цт «,(« + *)-'«.(«) (2б4)
Л-йЗ
h
существует для любой последовательности действительных
значений А, стремящейся к нулю. Такую производную будем обо-
значать -т- или w (χ).
Если t(x) равна нулю, то это определение производной
совпадает с определением, данным в § 62.
Предположим теперь, что функция w (x) получается из
функции комплексного аргумента w (ζ) при действительных значениях χ
ее аргумента ζ. Пусть w (ζ) имеет производную wf (z) при
комплексных приращениях ζ в смысле, указанном в § 110. Тогда для
z=.x выражение (264) имеет предел, равный w' (x) для всех
комплексных последовательностей значений А, стремящихся к нулю,
и, в частности, для всех последовательностей действительных
значений k9 стремящихся к нулю. Таким образом, как только
существует w' (z) в смысле наших предыдущих определений, будет
существовать и иметь в точности то же значение w' (x) в смысле
последнего определения. Конечно, w' (x) может существовать,
в то время как w' (z) для ζ = χ ж комплексного Δζ может не
существовать. Это обстоятельство не внесет путаницы, потому что
мы большей частью будем рассматривать элементарные функции,
производная которых всегда может быть найдена методами § 112.
Так как
w{x-\-h)-w(x) _ s(z + h) — s(x) . t(x+h)-t(x) (265Ϊ
h h h ' ^ '
то, как следует из равенства (35), w(x) будет иметь производную
для действительного приращения тогда, и только тогда, когда
s(x) и t(x) цмеют производные, и при этом
R [<*' (х)] = s' {х) и I [w' {х)] = f' (χ). (266)

120. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
205
Таким образом, если комплексная функция w(x) обладает
производной при действительных приращениях аргумента, то
dx '
,R ι* <?>'] -49'ί1 lw ix)]=l (έ) · (267)
120. Высшие производные. Теперь мы найдем простые
выражения производных высших порядков для некоторых
действительных элементарных функций,
Рассмотрим сначала рациональную функцию с
действительными коэффициентами. С помощью теоремы § 115 и рассуждений
§ 118 такая функция может быть представлена в виде суммы членов;
сх" и 7^¥ · (268)
где г —целое положительное число, с — действительное и либо
b и А оба действительны, либо Ъ комплексное; тогда сумма будет
включать слагаемое, сопряженное с данным, которое получается
заменой Ь и А им сопряженными 6 и А. Производная порядка η
для членов первого вида запишется
*Lffl=r(r-i) . .. (r-n + l)^-»; (269)
при п>г такая производная будет равна нулю.
Для членов второго вида п-я производная запишется так:
&[^]=(-*rr{r+i)...ir+n-v1-fas (270)
и будет действительной, если Ь и, следовательно, А действительны.
Когда Ъ не является действительным, то сумма S дроби и ей
сопряженной дает удвоенную действительную часть самой дроби:
^ = (^^ + (^- = 2R[(^r]' <271>
пользуясь равенством (267), имеем:
£-»[£(р^)]. <272>
я это последнее может быть вычислено при помощи равенства (270).
Рассматривая выражение
е(Р+ f« χ = еРх cos qx _|_ (еРх sin qx ^ (273)
с помощью равенства (267) найдем:
Jj (е*>* cos qx) = β [(ρ + qif e<P+«О *], (274)
J^ (<?*>* sin qx) = I [(/>. + gr*)n e(p+<?*) *]. (275)

206 УПРАЖНЕНИЯ К Г Д. V
УПРАЖНЕНИЯ В ГЛ. V
1. Пусть Ρ — точка прямой, соединяющей точки. Рг и Р2У такая, что
Ρ Ρ s
r~- = — (Sj, s2 — действительные числа). Показать, что, если точки Рг
РР * s»
2 *Z
и Р% имеют аффиксы *) % и z2f то точка Ρ имеет аффикс
«1 + «2
Точка Ρ называется точкой, делящей отрезок Р%Рц в отношении ~, при-
S2
чем, в случае s2 = 0, вгф0, мы считаем, что j°Pa = 0.
2. Пусть точкам Pi с аффиксами z^ поставлены в соответствие
действительные числа mim Из задачи 1 мы знаем, что точка Р', делящая
РгР2 в отношении, обратном отношению соответствующих чисел, имеет
э, ν m1z1-\-m2z2 _, _.
аффикс —*-*-- . Мы поставим в соответствие точкеР' число Шл+т^
и поступим с точками Рг и Р8 так же, как с точками Рг и Ра. Показать,
что, продолжая этот процесс до тех пор, пока не исчерпаем η точек, мы
получим точку G с аффиксом
η
Σ mizi
η >
называемую средней взвешенной или центром масс точек Pi с
весами ть. Результат показывает, что положение точки G не зависит от
порядка, в котором расположены или сгруппированы точки, а построение
показывает, что относительное положение точки G не зависит ни от выбора
осей, ни от выбора масштаба.
3. Доказать, что если ζ±ζζ и z-L-{-zi действительные числа, то либо
2f и z% действительны, либо они комплексно сопряженные.
ι д. ι _j_ ι у ι
4. Доказать, что если ζ = χ + iy, то ——' * <ζ | ζ [ и что равенство
может иметь место только, если | χ | = | у \.
5. Пусть 0, Р19 Р2 — три данные точки плоскости. Выберем систему
координат, полагая О~(0, 0) и полагая некоторую точку U, отличную от
О, единичной точкой 37 = (1, 0). В этой системе пусть zt и z2 — аффиксы
точек Рг и Ρ2· Показать, что точка с аффиксом, равным отношению — у
не зависит от выбора U; напротив, показать, что всякая точка Р,
отличная от нуля, может представлять произведение ζ[ζζ при надлежащем
выборе U.
6. Доказать правильность следующего геометрического построения
корней квадратного уравнения az2-\-bz + c = 0 с действительными α, Ъ и с.
гч Ь С
Бели окружность, для которой точки i и — ·—Μ — являются
диаметрально противоположными, пересекает действительную ось, то точки
пересечения являются действительными корнями уравнения. Если окруж-
ностьу для которой точки Ои-2— диаметрально противоположны, пере-
*) Аффиксом точки Ρ называется комплексное число ζ,
действительная и мнимая части которого являются декартовыми координатами точки Р.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
207
Ъ
секает прямую ж*^ — ^-, то точки пересечения дают комплексно
сопряженные корни. Равные корни дает точка касания окружности с
соответствующими прямыми при любом из предыдущих построений.
7. Доказать, что если г = ж + й/, то \е*\*=ех и \e"z\ = e~x.
8. Доказать, что если р— действительное число, то |е*^| = 1.
9. Формула Муавра имеет вид: (cos θ + i sin θ)π = cos пб 4- i sin n§, где—
θ—действительное, а η—целое положительное или отрицательное число.
Доказать эту формулу.
10. Показать, что тождество в задаче 9 имеет место для комплексных.
значений Θ, а также для одного из значений левой части в случае
комплексного п.
11. Доказать, что корнями уравнения az2 + bz + с = 0 будут
. / С * А ш/ С * А *. л- 2 ,/-
V -Ttgy -K"ctgT· если ^-т^-
/~~^Г ^ /~<Г А 2 /·
y--tg — , у _ctgy, если sini=-^yac,
• ас,
/
— (cos .4 ± sin A)f если cos Л = —: ,
2 γ ас
Если а, 6 и с действительны, действительное значение А может быть
найдено при помощи одного из указанных равенств.
12. Пусть Ρ (ζ) = az24-bz + с, где α, Ъ, с — действительны и z — x-\-iyr
представить R(P), 1(Р) и |P(z)|2 в виде многочленов относительно χ и у.
13. Пара соотношений u = u(x, у) и ν = υ (ж, у) может быть
геометрически истолкована как преобразование точек плоскости, переводящее точку
(х, у) в точку (и, ν). Показать, что преобразование w=*z+zt является
параллельным сдвигом, а преобразование и>=*егл ζ является вращением
вокруг точки 0. Показать также, что w*=eta'z + zl может служить
представлением всякого жесткого перемещения плоскости самой в себе.
14. Пусть А — действительное число, не равное 0; показать, что
w = Az является преобразованием подобия, и отсюда получить
интерпретацию преобразования w = Az + В.
15. Инзерсия плоскости относительно единичной окружности есть-
преобразование, переводящее точку Ρ в точку Р', где Р' лежит на ОР
или на продолжении ОР, причем ΟΡ·ΟΡ' = 1. Таким образом, в по-
1 1
лярных координатах Θ' = θ и г' = — „ Отсюда функция w = — будет не-
т ζ
χ
прерывной, за исключением точки ζ — 0. Показать, что и= —2Т~~~2 и
ν = *f и что линия, инверсная линии а(х24*у2) 4- Ъх4-су + d = 0, будет
χ 4" у
d (и2 4- ν2) 4- Ьи 4- ci; 4-а = 0- Если дополнить плоскость «бесконечно
удаленной точкой» / — инверсной точке 0, наше преобразование будет взаимно
однозначным для всех точек. Так как 0 переходит в /, то J перейдет в 0.
Инверсия переводит «окружности» в «окружности», включая в это понятие
и прямые линии как частный случай. Показать, что прямые линии, т. е.
«окружности», проходящие через I, переходят в «окружности»,
проходящие через 0, и обратно.
16^ Показать, что уравнение прямой линии может быть записано в виде
Sz 4- Sz 4-1 = 0, где г — действительное число; уравнение окружности может
быть записано в виде | ζ — S \2 = (ζ—S) (ζ ~ S) = ί2. Отсюда следует, что-

208
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
если геометрическое место точек szz-+-Sz + Sz + ί = 0, где s и ί
—действительны, содержит больше одной точки, то оно представляет «окружность»,
а уравнение tww + Sw + Sw + s = 0 представляет ей инверсную
«окружность», получающуюся с помощью преобразования «> = — .
ζ
1
17. Интерпретировать преобразование w =— как инверсию и
зеркальное отображение (симметрию) относительно оси χ и показать, что оно
преобразует «окружность» предыдущей задачи в «окружность», уравнение
которой tww + Sw 4- Sw + s = 0.
Az 4- В
18. Функция w = ~ , где AD — 2?C =£ 0, определяет так называв-
О* "f-X/
мое билинейное преобразование. Если С = 0, то преобразование сводится
к преобразованию в задаче 14. Если С ф0, то преобразование может быть
представлено как комбинация преобразований задачи 14 и w' = —-, напри-
, , Л , С (Cz + D)
мер, полагая w = w' + — и ζ' = \,__ у .
19. Если ввести точку I, как указано в задаче 15, билинейное
преобразование задачи 18 будет взаимно однозначным. Если С =* 0, оно
переводит I в /, и если СфО, то точка — — переходит в /, а / переходит
о
А
в точку -^ . Показать, что билинейное преобразование переводит «окруж-
ности» в «окружности», причем некоторые из них будут прямыми
линиями, другие *— образами прямых.
Αζ4-Β
20. Найти уравнение образа «окружности» задачи 16, если w= ττ—τγί ·
Указание. Использовать w = _ .
Cz+D
21. Показать, что геометрическое место точек arg- г = а является
2—22
дугой «окружности», проходящей через точки zx и 22. Другая дуга той же
«окружности» определяется уравнением, в котором α заменяется через
α —π. Геометрическое место точек
-ρ является «окружностью», пе-
«1 I
ресекающей все предыдущие для различных значений α под прямым
углом.
22, Показать, что необходимое и достаточнео условие того* что
четыре точки лежат на «окружности», заключается в том, что двойное
отношение этих точек, взятых в произвольном порядке, например
— -1 : — , будет действительным. Указание. Использовать первый
ζ3 — ζ2 ζ4 -"" ζι
результат задачи 21.
28. Пусть преобразование из задачи 18 переводит ζ± в wlt z2 в w2\
w — w, Cz2 + D z — zXi^ S
показать, что = ——τ—г: ~" · Отсюда показать, что двойное
отар* ~- w2 Cz± + D z-~z2
ношение четырех точек равняется двойному отношению их образов,
откуда и из задачи 22 следует, что «окружности» переходят в «окружности».
Используя задачу 21, непосредственно показать, что каждое из
указанных семейств окружностей, определяемых точками zx и zz, переходит
в соответствующее семейство, определяемое точками wt и и>3.,

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
209
24. Пусть z = x-\-iy; показать что
| sin ζ I = Y&ivPx + sY&y, | cos ζ | == j^cos2 χ -f sha yt | sh z\ = j/*siii8 у -f sh2 у
и I ch ζ | = j/*cos2 у + sh2 ж.
25. Используя задачу 24, или иным способом, показать, что
| sh у К | sin ζ |< ch у, | sh г/1< | cos z )< ch у,
I sh ж КI sh z I < ch ж, | sh ж |< | ch ζ |< ch з.
26. Доказать, что корнями кубического уравнения 4ζ8 + 3ζ + ρ = 0
1 1 /~
будут sh A, — γ sh A ± γ κ 3ί ch A, если /> = — sh ЗА; корнями уравне-
л л
ния 4z8 — 3z + p = 0 будут ch-4, — γ ch^L ± γ ]^3sh-4, если р=—сЬЗЛ
и sin A, sin Г Л ± — π J , если р=-8т.ЗЛ. Если р— действительное, то одно
ив значений ЗА действительно.
27. Пусть z3 + az2+ fcz + c = 0. Показать, что если z = z'— -—, то zyH
+ 6V + c' = 0, и если г'= 2 у LJLz*, тогда 4я"8 ± 3z" + р = 0.
Комбинируя полученный результат и результат предыдущей задачи, получить
метод решения кубического уравнения с действительными коэффициентами.
28. Если ζ — комплексное число и w = 2 arc tg ** — γ, тогда w
называется гудерманианом числа ζ и записывается w = gdz. Показать, что
2*= lntgi γ + "4~ ) и что
ahz — tg w, chz = sec«\ thz = sinw, cth z = cosec ир\
csch з = ctg <*\ sen 2 = cos w.
29. Доказать, что точки, изображающие корень q-ш степени из
комплексного числа, являются вершинами правильного многоугольника с
центром в начале координат. Отсюда показать, что сумма векторов,
соединяющих центр с вершинами произвольного правильного многоугольника,
равна нулю.
30. Пусть ак — некоторые комплексные числа, алф0 и δ;· — корни
л
многочлена 2 о>к^к — Ρ (%)- Показать, что если L (w) обозначает соответ-
ствующий дифференциальный оператор V ад ( — ) wf где ί -=- J = 1, то
fc=o
где операторы в правой части могут быть взяты в произвольном порядке.
31. Из результата задачи 30 и равенства ( -— Ъ J z^ebz = кгк-~*еь*
вывести, что Сеь* является решением уравнения L(w) = 0% если 6—простой
корень Ρ (Ζ) и (Са + С ζζ + ... + C^z*"-1) е6* является решением в случае,
если 6—корень кратности г, где С и С;-— произвольные комплексные
постоянные.

210
УПРАЖШЯШЙЯ? К ГЛ. V
82. Сумма двух решений уравнения £ (w) = О предыдущей задачи
является решением, откуда можно показать, что если p + qi — пара комплексно
сопряженных корней, то C'e*z cos qz и С"e*z sin qz являются решениями;,
при этом С и С заменяются многочленами степени г — 1, если оба корня
имеют кратность г. Если все ак действительны и ζ действительно, то эти
решения содержат только действительные функции.
88. Если оператор L(w) из задачи 30 запишем в виде: L (w) = Ρ (D) w
1
и представим р (h< 1 (2) к»к некоторое · решение уравнения L (w) = /, то,
1
в частности, п , / является решением уравнения (D — b)w = /,
т. е. -ι &**> = /, а г- jT^f является решением уравнения (D—b)nw = f.
1 1
Отметим еще, что А п__. / и ^—?Af имеют одно и то же значение,
если А постоянная. Показать, что если F(z) обозначает разложение на
элементарные дроби функции / ч , то одним из представлений выраже-
Р (ζ)
1
ния F(D)f является /г>\/· Использовать это последнее для получения
решения уравнения L(<*>) =/из решений уравнений более простого вида.
34. Вывести правило для нахождения решения уравнения
2 «*<£)*-=°
Ar=Q
η
в виде суммы членов С (1η ζ)8 zb, где &;· — корни уравнения 2 Ζ (Ζ -- 1) ...
... (Ζ — λ:-Μ)α£ + α0 = 0; s = 0 для простых корней и s = 0, 1,..., г—1 —
для корней кратности г. Указание. Положить ζ' = log z и использовать
задачу 31.
тс
35. Проверить, что для / (ζ) = ez, ζχ = 0 и z% = ί —- имеет место нера-
Ι/(*ι) —/ί«ι)Ι 21^2 ,
венство г ч " -—±ц=—ι—< 1, в то же время если ζ8 — точка
I ^з"-" ^ι Ι π
отрезка, соединяющего ζχ и za, то | /' (z8) | = 1. Это доказывает, что теорема
о среднем в форме, указанной в случае действительного переменного
не имеет места для комплексного переменного.
1
36. Разложить -£—j на простейшие дроби и также на простейшие
ζ — 1
действительные дроби.
п h «2fot*
Ответ: У,—τ—fc , ч ; где Ьк*=е п * Действительное разложение
U n(z — bk)
содержит во всех случаях дробь —( — ; в случае четного η — дробь
-1
2 ί ζ cos 1 J Γ A — 1 Ί
и дроби " , где Ы, 2,... [-j-J.
ν ' и ί za — 2ζ COS 1- 1 J

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
211
37. Разложить ~—- на простейшие дроби.
Оъ
,m+i 2Απί
Ответ: у. ■ * , где &/с = <? п , если m < тг; если же то. > п> то
4-J n(z — bk) ^
надо прибавить многочлен зп»-п -f zm~2n + ... + я™-?*, где р = — I
38. Пусть Α (ζ) — многочлен степени не выше q — 1 и J? (л) — многочлен
Α (ζ)
степени q, причем В(0)фО; тогда тейлоровское разложение дроби —т~\
BW
около 2 = 0 имеет вид:
^Щ = и0 + "ι* + иа*2 + ·.. + "m*w + О (ζ'*+1). (1)
. β.
Показать, что если B(z) = ^akzk, aq=£0, а0фО, то
0 = а0ип + «ιΜΛ_ι + «амл_2 + · · · + W-q* n > <1> (2)
Обратно, если последовательность чисел и0, ηχ, u2i ... удовлетворяет
равенствам (2), то первые q чисел последовательности определяют многочлен
Α (ζ) степени, меньшей q, для которого равенство (1) имеет место при
некотором тК
39. Доказать, что тейлоровское разложение производной R' (ζ)
рациональной функции R (ζ) может быть получено почленным
дифференцированием разложения R (ζ), откуда получить с помощью индукции следующее
разложение:
1 _/ ^Vlir* I ■ *(* + !)■ ■■(™ + г-1)«тУ
(%-Ъ)г \ b) \} + Г Ъ+'"+ (r-1)! b»J + U(z h
где г—целое, ЪфО.
40. Доказать тождественность тейлоровского разложения рациональной
Α (ζ)
дроби η , \ из равенства (1) задачи 38 и разложения, полученного разло-
В (ζ)
жением простейших дробей по формуле задачи 39. Отсюда показать,
что ит является суммой членов вида СЪ~т, соответствующих простым
корням В (ζ), и членов вида (Сг ·+- Сгт + ... 4- CTwr~1) Ъ~т для каждого корня
кратности г, причем постоянные С и Су не зависят от т.
41. Соотношение вида (2) из задачи 39 называется уравнением в конечных
разностях q-το порядка с постоянными коэффициентами. Из результата
предыдущей задачи вывести правило для получения последовательности
решений такого уравнения, содержащей q произвольных постоянных.
Показать, что постоянные всегда могут быть определены, если задать
значение q первых величин ип> от и0 до и»^. Решение для ит будет суммой
членов вида (Сг + Сгт + ... + Cjmr-*) f»w, где β — корень многочлена
α
2#</-*ΖΛ, который получается из уравнения (2) заменой ип в уравне-
нии (2) через CZil.
42. Показать, что если / (х + па) = ип, то всякое линейное соотношение
с постоянными коэффициентами между конечными разностями первых q
порядков (см. § 93) и самой функцией приводит к уравнению в конечных
разностях, определение которого дано в задаче 41. В частности, показать,
что если q-я разность постоянна, то ип является многочленом степени q
относительно п.

212
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
43. Если ип — 2 со* Аип_г + ип_2 = 0, то показать, что и„ = ^ cos nA -f
+c2sin7i^4f если sin 4ф0; м^ = с1+-с5, если cos^ = l, и wn = c1H-ca(—1)пл,
если совЛ= — 1. Указание. Использовать задачу 41.
44. Если корни р из задачи 41 все удовлетворяют неравенству | β | < 1,
тогда Ила ип = 0. Если один корень равен единице, а остальные д—1 кор-
П-Н оо
ней удовлетворяют неравенству | β | < 1, тогда всякая частная
последовательность решений имеет предел. Показать, что эти рассуждения
я
применимы к уравнению, у которого 2 I а/с I ^ ΙΗ I» и» в частности, к урав-
я
нению qun— 2Μη-Λ = 0· Найти в явном виде решения для д~1, 2, 3.
45. Если ζ = ж (ί) + 7*2/ (ί) — функция действительного переменного t —
времени, то вектором скорости будет вектор х' (i) -f iy' (ί) = ζ' (ί) и
вектором ускорения будет вектор χ" (ί) -f iy" (ί) = ζ" (f).
Пусть z = reil9 г и θ —функции ί. Показать, что вектор скорости имеет
составляющую вдоль радиуса-вектора, равную г', и составляющую,
равную гб' —перпендикулярную к первой. Соответствующие составляющие
1
для ускорения будут r" — rQ'2 и —(r2Q)'.
г
46. Записав в задаче 45 ζ' = νβίΦ, показать, что ускорение имеет
составляющую ν'у параллельную вектору скорости, и составляющую νΦ',
перпендикулярную к предыдущей.

Глава VI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Эта глава посвящена специальному предельному процессу—
интегрированию, занимающему центральное место в интеграль-,
ном исчислении. Мы даем определение этого предельного
процесса и доказываем его применимость к непрерывным функциям.
Мы устанавливаем ряд свойств интеграла и, в частности,
показываем, что в некоторых предположениях интегрирование
и дифференцирование являются взаимно обратными
операциями.
Мы показываем, что для каждой непрерывной функции
процесс интегрирования определяет с точностью до аддитивной
постоянной первообразную функцию, т. е. функцию, имеющую
первоначальную своей производной. Определение, данное для
процесса интегрирования, дает метод, с помощью которого
первообразная может быть практически вычислена,
Далее мы исследуем задачу представления интеграла от
некоторых типов функций при помощи узкого класса известных
функций. Мы показываем, что интеграл от рациональной функции
может быть выражен с помощью рациональных функций,
логарифмов и обратных круговых функций; мы также описываем
некоторое число других классов функций, интегралы от
которых могут быть выражены с помощью элементарных
функций.
Мы отмечаем некоторые интегралы другого характера,
включая три нормальных типа эллиптических интегралов, и
доказываем, что интеграл от рациональной функции переменного χ
и квадратного радикала из многочлена степени не выше
четвертой может быть выражен с помощью элементарных функций
и трех нормальных форм эллиптических интегралов.
121. Определенный интеграл· Пусть у = / (х) ·— однозначная
функция, заданная на сегменте a^x<Cb и ограниченная на нём
(см. § 31). Для определения интеграла от такой функции f(x)
разделим сегмент а, Ь на η частичных сегментов с помощью
точек (фиг. 14):
а = х0<х1<х2< ... <хп = Ь, (1)
которые, удовлетворяя указанным соотношениям, в остальном
произвольны.

214
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть ξί—некоторая точка i-ro частичного сегмента и 8f—его
длина, так что
χχ^^ΙιΚΧι и bi = xi — xi_1. (2)
Мы образуем сумму
η
5 = /(51)31 + /(ξΕ)8,+ ... + /(ξ«)8η=2/&)8ί. (3)
Сумма S зависит от числа п, от выбора точек xi и от выбора
точек ζ{.
г-4-η
' ι I Ι I I I L_
a=*Q Xt Xz . . · Χμ, 4, *, . . · xn.j *ггЪ
Фиг. 14
Обозначим теперь наибольшее из η чисел 8f через 8^:
8ж = тах(^)> (4)
и рассмотрим бесконечную дискретную последовательность сумм
Sv для которой
Нт8ж=0. (5)
Если для любой такой последовательности существует предел
сумм St и этот предел имеет одно и то же значение / для всех
последовательностей, тогда / называется определенным
интегралом от f(x) по сегменту а, Ь. Мы тогда будем говорить, что
функция f(x) интегрируема на сегменте а, Ь, и запишем:
ъ
\f(x)dx = I = limSt. (6)'
а
Процесс, при помощи которого мы нолучили величину / для
функции /(#), называется интегрированием по Риманну или
просто интегр ирован ием.
В только что записанном выражении для / мы называем / (х)
додинтегра л ьной функцией, χ — переменной интегрирования,
а и Ь — пределами интеграла.
122. Интегралы от непрерывных функций. Для того чтобы
доказать, что существуют функции, для которых процесс
интегрирования, определенный в предыдущем параграфе, всеэда
применим, мы докажем следующее:

122. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 215
Ф,унЩия f(x) интегрируема на всяком сегменте, на котором
она непрерывна.
Дусть f(x) непрерывна на сегменте а, Ь. Тогда, в силу § 32,
она будет равномерно непрерывной. Следовательно, мы можем
выбрать δ0 таким образом, что для произвольного положительного
чисда η
|/(ζ2)-/(^)|<8, если \х%-хг\<Ь0> (7)
где
η
ε"~Ь-α,
(8)
Рассмотрим суммы
5=2/(^)8* и 5'=Σ/(*/>*/ (9)
при условии, что каждая из величин
8м = тах(8{) и 8^ = max (8;) (10)
меньше γ :
8М<|, »if< ^. (11)
Далее отметим все точки первого и второго разбиений, т. е. как
точки хь так и точки xj9 и образуем, таким образом, новое
разбиение. Пусть точки нового разбиения расположены в порядке
возрастания и обозначены через х%9 причем точки,
принадлежащие обоим старым разбиениям, считаются один раз:
а = xl < х[ < х\ < ... <Хр = Ь] (12)
пусть
Ok = Xk — Xk-i (13)
Ьбозначает длину А-го сегмента. Тогда
Р
2δ£ = &-α, (14)
Разность между двумя суммами S и S' может быть записана так;
5-5' = 2[/(ίι)-/(5ί)]*ί, (15)
где ζt лежит в таком сегменте первого разбиения, который
содержит точки x"k-i и х£, а ξ/ лежит в том сегменте второго разбиения,
который также содержит точки a£_i и ж£. Таким образом, точки
ς ι и ξ/ лежат в сегментах, имеющих общие точки, как как каждый

216
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
из них содержит fc-й сегмент третьего разбиения #*-i> ж£.
Отсюда мы имеем:
|^-5Я<8| + 8л (16)
или, в силу (10) и (11),
|б,-*Л<«.. <47)
Последнее неравенство вместе с соотношением (7) показывает,
что
I/&>-'/(«/) К·, №
и, так как последнее неравенство имеет место для каждого
слагаемого суммы в равенстве (15), мы получаем:
ι«5-5Ί=|2[/(ξ()~/(ί;·)]δ^|<2βδ^ (49>
k=i k=i
откуда и из равенств (14) и (8) следует, что
|5-$'|<·(δ-β)<η. (20)
Применим теперь это к последовательности Sv Так как для
доследовательности St вьшолняется условие (5), то существует
значение г0, начиная с которого δΜ < γ, следовательно,
разность двух значений St, если значения t превосходят некоторое tbf
будет по абсолютной величине меньше η, ибо мы можем принять
эти две суммы за S и S' в неравенствах (20).
Таким 9бразом, в силу признака сходимости Коши из § 26,
последовательность St имеет конечный предел 1г.
Далее рассмотрим какую-либо другую последовательность St.
Она имеет, в силу тех же рассуждений, конечный предел /2.
Таким образом,
Vm{St-Si) = It-It. (21)
Но если для второй последовательности о^ < -~ при t>
превосходящем некоторое t'09 то для всех значений t, превосходящих как t0,
так и t'0, мы можем взять St и St в качестве S и S' в соотношении
(20) и получить:
\St — St\<f\ для t, превосходящих t0 и t'b. (22)
Соотношения (21) и (22) показывают, что
ΙΛ-ΛΚ* (23)
у поэтому
/,-/.= 0, (24)
так как η произвольно.

123. ЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
217
Таким образом, предел 12 совпадает с 1г и он будет общим
пределом / для всех последовательностей, что мы и хотели дока^·
зать.
Вернемся теперь к соотношению (20), где S — какая-либо сумма,
для которой 5м<у» а ^ заменена каким-либо значением St, где /
превосходит t0. Тогда мы имеем:
\S — St I < η для t, превосходящих t0. (25)
Если в этом соотношении устремить t к бесконечности и
заметить, что предел £еесть 1г или* что то же самое, Ii то мы получим
|£-/|<η. (26)
Таким образом, всякая сумма, для которой 8д* < γ ,
приближает значение интеграла с точностью η*
ь
123. Линейные свойства интеграла· В определении интеграла
\ / (х) dx предполагалось, что верхний предел интеграла Ъ больше
а
нижнего предела а. Использование слова «предел» для обозначения
а и Ь — конечных точек сегмента интегрирования — общепринято,
хотя и имеет мало общего с различными значениями этого слова,
установленными в гл. II.
Мы расширяем понятие интеграла на случай а > Ь, полагая
по определению
ь а
^f(x)dx=-^f(x)dx (27)
а Ь
и.
\dx = 0. (28)
а
Тем самым соотношение (27) имеет место для а = Ь и поэтому
для любых значений а и Ь.
Если а, 6, с таковы, что а < b < с, то из определения интеграла
следует, что
b с с
^f(x)dx + f f(x)dx=^f(x)dxt (29)
а % а
ибо мы можем получить интеграл в правой части равенства,
рассматривая последовательность сумм, для каждой из которых b
является одной из точек деления xt>

218
ГЛАВА VI» ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если а = Ь или Ь = с, равенство (29), в силу (28), становится
тривиальным. В силу же (27) равенство (29) можно записать в виде;
b с а
\ f(x)dx+\f(x)dx + \f(x)dx = 0. (30)
a b с
Это последнее равенство симметрично относительно α, δ и с
и поэтому справедливо без какого-либо ограничения относительно
расположения этих трех величин. Определения, даваемые
равенствами (27) и (28), оправдываются стремлением иметь равенство
{29) справедливым для всех зачений величин а, Ь и сл
Применяя равенство (29) несколько раз, мы видим, что
интеграл является линейной функцией сегмента интегрирования в том
смысле, что если при помощи сложения или вычитания конечного
числа сегментов мы получим некоторое новое конечное множество
сегментов, то соответствующие интегралы комбинируются точно
так же, как и сегменты.
Для фиксированного сегмента интегрирования интеграл
линейным образом зависит от подинтегральной функции, в том смысле,
что если и и ν— две какие-либо интегрируемые на данном
сегменте функции переменного х, то
ь ъ
\ ки dx = k \ и dx (31)
и υ υ
\ (и + υ) dx = \ и dx + \ ν dx. (32)
a a q.
Эти равенства следуют из того, что суммы (3), из которых интеграл
получается предельным переходом, сами носят линейный характер.
J.24. Неравенства. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы
на сегменте а, Ь и всюду в этом сегменте
f(x)<g(x), (33)
то
ь ь
^f(x)dx^^g(x)dx. (34)
а а
]Если мы возьмем одни и те же п, xt и дг для составления суммы S
для каждой функции, то из неравенства (33) следует, что
η л
S/(M<S^)8'·· <35)
ί = 1 ί = 1

124. НЕРАВЕНСТВА
2%9
Таким образом, если мы составим две цоследовательности сумм,
связанные неравенством (35), и перейдем к пределу, то
получим неравенство (34).
Отметим еще, что если f(x) сводится к постоянной к, то
f(l.)z=kt и мы, в силу (3), имеем:
η η
S=^kbi = k^bi^=k(b-a). (36)
Поэтому предел любой последовательности JSt равен к(Ь — а) = 1.
Таким образом, интеграл от постоянной равен произведению
постоянной на длину сегмента интегрирования, если а < Ь. В силу
равенств (27) и (28), мы во всех случаях имеем:
ъ
\ kdx = k(b~-a). (37)
а
Если т—какая-либо нижняя граница, а М—какая-либо
верхняя граница функции /(#) в сегменте а, Ь, то
m<f{x)<M9 (38)
откуда следует
ъ ъ ъ
U&< \ f(x)dx< \Mdx (39)
а а а
или, в силу формулы (37),
Ъ
m(b-a)<{f(x)dx<M{b — a). (40)
а
Число К, определяемое равенством
ъ
α
называется средним значением функции f{x) на сегменте а, 6.
Из соотношения (40) следует, что
т<:К<М, (42)
Так как т и if—какие-либо границы для функции /(я), то
мы можем, в частности, положить т равным нижней грани,
а М—верхней гранц функции f(x) и выразит^ наш результат
в виде теоремы:

220
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Среднее значение функции f(x)9 интегрируемой от а до 6*
ь
α
лежит в сегменте, границами которого служат нижняя и
верхняя грани значений функции f(x) между а и Ь.
В силу равенства (27), результат в такой форме справедлив
также и для а > к.
Далее, если g(#)>0 на сегменте а, 6, f(x)g(x) и g(x)
интегрируемы на этом сегменте, то из соотношения (38) мы пойучим:
mg {x) <f{x)g (χ) < Mg (x), (44)
откуда
ъ ь' ь
{ mg (χ) dx < [ f (x) g (x) dx < \ Mg (x) dx, (45)
a a a
или, в силу равенства (31),
Ъ b b
т \ g (χ) dx < \ / (χ) g (χ) dx < Μ \ g (x) dx. (46).
a a a
b
Из условия g(x)>0 следует, что \ g(x)dx^>0. Если этот инте-
α
грал положителен, то постоянная к однозначно определяется
равенством
ъ ъ
\f{x)g{x)dxr=k^g{x)dx. (47)
а а
Из последнего равенства и из неравенств (46) мы получаем, что
т<к^М> (48)
Если интеграл от g (x) равен нулю, соотношение (46) показывает,
что интеграл от f(x)g(x) также равен нулю и тогда
равенство (47) справедливо при любом значении к.
Если а > b или если g (#)<0 на сегменте, все наши
неравенства изменят знак на обратный, но аналогичное заключение
может быть сделано. Таким образом, мы можем формулировать
следующую теорему:
Если g (x) нигде не отрицательно (или нигде не положительно)
в сегменте a, b и g(x), так же как и f(x)g(x)9 интегрируемы

126. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 221
it этом сегменте, то мы можем записать:
ь ъ
ξ / (χ) g {χ) dx = к ^ g {x) dx, (49)
α α
где к—надлежащим образом выбранное число между верхней
и нижней гранями функции f(x) на нашем сегменте.
126. Теорема о среднем значении. Если функция f(x)
непрерывна на сегменте а, Ь, то существуют две точки на этом сегменте
хх и х2, такие, что
f(xi)==m и f(X2) = M9 (50)
где т—наименьшее, а М—наибольшее значения функции на
нашем сегменте, как это было доказано в § 33: Мы можем принять
эти числа за т и Μ в равенстве (38). Но всякое число К, такое,
что т<£"<Ж, равняется либо т—значению функции в точке х19
либо Μ—значению функции в точке х2, либо некоторому
промежуточному значению в смысле § 34, принимаемому в некоторой
точке между хх и х2. Таким образом, существует точка ξ между
а и Ь, такая, что ϋΓ=/(ξ), и первая теорема предыдущего
параграфа для непрерывной подинтегральной функции формулируется
так:
Если функция f(x) непрерывна на сегменте а, Ь, то
существует точка этого сегмента ξ, такая, что
ъ
\f(x)dx = f®{b-a). (51)
а
Эта теорема называется первой теоремой о среднем в
интегральном исчислении.
Аналогично . существует на сегменте а, Ъ точка ξ', такая,
что & = /(£'), и мы получаем вторую теорему предыдущего
параграфа в такой форме:
Если функция f(x) непрерывна на сегменте а,Ь, g(x) нигде
не отрицательна (или не положительна) на этом сегменте и если
g(x), так dice как'и f(x)g(x), интегрируемы на сегменте а, Ь,
то существует точка ¥, принадлежащая нашему сегменту,
такая, что
ь ь
$ / И g (x) dz = f{V)^g (x) dx. (52)
α и
126. Вычисление интеграла. Предположим, что /(#)-—
интегрируемая функция на сегменте а, Ь, и пусть на этом сегменте

222
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
f(x) является производной некоторой функции F (х):
f(x) = F'(x). (53)
Тогда мы можем применить теорему о конечном приращении
из § 74 к функции F (х) для каждого из частных сегментов
разбиения и: найти точки £f, такие, ч-ϊό
F{xt)-F (*, Jf = F' (ξ,) (xt - a^J. (54)
Введем теперь эти значения ?f в сумму S в равенстве (3). Тогда
мы получим:
/ (У 8t=^)(*i-*^) = *(*!)-*" («ι-»). (55)
так, что
■?=/(*.)*» + /(60 «·+ · · · +/(6η)«η =
= F(x1)-F(xa) + F(xa)-F(xl)+...+F(xn)-F(xn.i) =
= Р(хл)-Р(х0) = Р(Ь)-Р(а). (56)
Мы можем образовать специальную последовательность Su>
для которой Sf выбраны так, чтобы удовлетворялось равенство
(54), и для такой последовательности все значения St будут между
собой равны, и их предел будет равен F (Ь) — F (а).
Так как /(#) интегрируема, предел для любой другой
последовательности St будет тем же самым, поэтому
ь
^f(x)dx = F(b)-F(a). (57)
а
Вместо F(b) — F(a) мы будем писать F(х)$.
Если G —другая функция, такая, что на сегменте а, Ь
f (x)—G (х), то, полагая Η (x) = F (χ) — G (x), мы получим:
Η' (χ) χ= G1 (x) -F'(x) = 0, α < χ < 6, (58)
откуда, в силу теоремы, полученной из равенства (117) (см. § 75).
Н(х) = с, где с—постоянная и G (x) = F (х) + с.
Всякая функция, имеющая функцию f(x) своей производной^
называется первообразной для f(x). Ясно, лто" если F{x)
первообразная для /(#)> т0 Ffa) + c также первообразная для /*(#)> и»
как мы только что доказали, все первообразные могут быть пред-.
χ
ставлены в виде F (х) -\-с. Символом \f(x)dx или \f{x)dx,
называемым неопределенным интегралом, мы будем обозначать какую-
либо первообразную.
Мы получаем следующий основной результат настоящего
параграфа;

127. НЕМЫЕ ИНДЕКСЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ
<№>
Если f(x)—интегрируемая функция на сегменте c,d и F(x)—>'
одна из первоабравных для /(#), так что f (x) = Fr (χ) ни сегменте
с, d, то
ъ
$ / (х) dx = F (x) fa = F (b) - F (a), (59>
a
где а и b — две какие-либо точки сегмента с, d.
То, что равенство (59) справедливо, когда а=Ь9 следует
из (28), а то, Что оно справедливо при b < α, следует ий (27).
127. Немые индексы и переменные. При конечном суи<миро~
вании, сокращенно обозначенном символом 2J с некоторым инде-
ксом суммированиям, сама буква i, служащая индексом
суммирования, вовсе не существенна, потому что она не войдет в суммуТ
если мы эту сумму выпишем полностью.
Таким образом,
3 3 3
* = 1 /=1 Л=1
потому что каждая из этих сумм является сокращенной записьн>
выражения Sj + Sa + S^. Мы назовем такой индекс немыМ
индексом. Мы всегда можем заменить обозначение немого индекса
любой другой буквой; такая замена иногда делает рассуждения
более ясными и устраняет путаницу. Так было сделано в § 122,
где мы заменили i через / в сумме S'.
В сумме S в равенстве (3) мы можем, в частности, положить
ξι = хь тогда сумма примет вид:
л
или, если мы напишем Axt вместо 8{ = ж{ — xt_lt
η
S-Jbfixjtet. (62>
i=l
Эта форма записи суммы S дала повод к введению обозначения
ь
интеграла \ / (х) dx; символ интеграла является модифицирован-
a
ной буквой S? а замена греческих букв Σ и Δ латинскими
S и d указывает на то, что мы совершаем предельный переход.

224
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
что аналогично замене букв Δ через буквы d для обозначения
*ого, что -р получено предельным переходом из д^.
Пределы интегрирования а и Ь аналогичны начальному и
конечному значениям индекса суммирования. Так как мы
заменили х% через х9 то индекс суммирования i больше не входит,
но переменная χ сама играет аналогичную роль.
В самом деле, если мы рассмотрим функцию f(u) для
значений щ таких, что а<к<6, то мы можем полностью повторить
процесс,, указанный в § 121, рассматривая при этом хи как
средние значения и. Таким образом, мы получим те же значения для
сумм S и St и то же предельное значение /,
Тем самым показано, что переменная интегрирования является
немой переменной и может быть заменена любой другой буквой.
Так что
ъ ъ ъ
1= ^ f(x)dx= ^ f(u)du= $ f(y)dy. (63)
а а а
Значение интеграла зависит от выбора сегмента интегрирования,
т. е. от значений а и Ь. Следовательно, для данной функции f(x)
интеграл является функцией своих пределов.
В частности, мы можем положить предел а фиксированным
и заменить Ь через переменную х. Тогда интеграл будет
функцией от х:
X X
A(x)=\f(x)dx=\f(u)du. (64)
α α
Здесь в первой записи интеграла # употребляется в двух смыслах—
как переменный предел и как немая переменная интегрирования.
Если заменить немую переменную интегрирования χ через и,
%о это не окажет влияния на величину х, использованную для
обозначения переменного предела.
Отметим, что так как /(#), по предположению, ограниченная,
то А (х) является . непрерывной функцией х. В самом деле, мы
имеем:
A{x + h)-A(x) = ^ f{u)du = Kh, (65)
X
где К лежит между верхней и нижней границами f(x). Таким
образом, если
\f(x)\<M, то -М<К<М и \Kh\<M\h\> (66)
откуда следует, что если h—>0, то Kk—>0 и A{x + h) —^A(x)y
т. е< А (х) является непрерывной функцией х.

128. РАВНЫЕ ЧАСТИЧНЫЕ СЕГМЕНТЫ
225
128. Равные частичные сегменты. Выражение (62) может быть
еще более специализировано, если положить в нем все Axt
равными между собой, т. е. положить Δχ* — -=-. Тогда мы получим
ть
частную последовательность сумм Sn:
η
5η-2/(^)Δχ{, (67)
где
а Ь — a , г (Ъ — а) /гьох
Αχι = — > χι=α+ η · (68)
Для интегрируемой функции мы имеем:
ь
\f(x)dx=\\mSn. (69)
α
Последнее равенство, примененное к непрерывным функциям
и иллюстрированное при помощи площади, лежащей под кривой,
часто используется в элементарных курсах как определение
интеграла. Такое изложение дает возможность ограничить
внимание только на одной специальной последовательности Sn.
Иногда значения Sn можно вычислить для немногих
значений η, чтобы иметь представление о величине предела, к
которому Sn стремится. Мы можем дать оценку величины Sn,
пользуясь замечанием в конце § 122:
если Ь-=^ < L· , то | Sn-I |< η. (70)
В простых случаях мы можем определить числовое значение 80.
Так, предполагая, что f(x) имеет производную на сегменте а, Ь
и что Μ—верхняя граница для /' (х) в этом сегменте, и
применяя теорему о конечном приращении (см. § 74), мы получим:
/Ы-/(*1) = (*.-*1)/'(5). (71)
так что если
^2-^<δ0 и \f(x)\<M; (72)
то
I/(*.)-/(*,) К *V (73)
Таким образом, мы можем удовлетворить условиям (7) и (8),
если выберем 80, удовлетворяющее неравенствам
^δ»<β<^· (74)

?26
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Для этого, в силу (70) и (74), значение η следует взять таким,
т*тобы выполнялось неравенство
п>Щ^-. (75)
Итак, доказано следующее:
Если на сегменте а, Ь функция f(x) обладает производной
f (#) и Μ—верхняя граница для \f (х)\ в указанном сегменте,
то, для η > , сумма
η
^,= 2/(яг)Д%, Axi = b-~' xt = a + ih-^, (76)
z=l
b
до
приближает интеграл I = \ / (х) dx с точностью
а
mt. e. \Sn —1\ < η.
Наше заключение останется справедливым, даже если f(x)
не имеет производной, но существует такое Μ', что
[/(*2)-/Ю |< М l^-aj (77)
для всех значений хх и х2, принадлежащих сегменту а9 Ь.
Условие (77) называется условием Липшица и влечет за собой
непрерывность функции и, следовательно, ее интегрируемость.
129* Производная интеграла. Пусть функция f(x)
интегрируема на сегменте а,Ь и непрерывна в точке х0 интервала а, Ъ.
Тогда интеграл от / (х) по сегменту а, х является функцией
от х, что мы запишем так:
X X
A(x)=\f{x)dx=\f{u)du. (78)
а а
В этом равенстве мы заменили немую переменную χ через и для
того, чтобы избежать путаницы между переменной интегрирова-
лия и переменным верхним пределом.
Вычислим производную от А (х) в точке х0, воспользовавшись
самим определением производной. Для каких-либо двух
значений χ и x + h в сегменте а, Ь, в силу равенства (29), мы имеем:
x+h χ ж+Τι
A(x + h) — A(x)=*{f(u)du—{ f(u)'du = j /(«) du. (79)
α α χ
По первой теореме о среднем в интегральном исчислении при
надлежащем выборе среднего значения ζ между χ и x + h, т. е.
для некоторого
ξ = χ + ΘΑ, 0<θ<1, (80)

130. СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРДЛЛ 227
будем иметь:
x+h
откуда
^ / (и) du = hf (ξ) = hf (χ + Μ), (81)
А(х+Н)-А(х) = Нх + щ (82)
lim Λ(χο + Κ)--Λ(χ,) = j(
так как f(x) непрерывна в точке х0.
Таким образом, функция А (х) имеет производную в точке xQ и
A'(xo) = f(xd. (84)
Полученный результат мы формулируем в виде теоремы:
Если f(x) интегрируема в некотором сегменте а, Ь и если
f(x) непрерывна в некоторой точке х0 интервала а, Ь, то функ-
X X
иия А (х)= \ f{x)dx или \f(u)du имеет производную в точке
а а
х = х0 и эта производная равна f(x0).
130, Существование неопределенного интеграла. Если
функция f(x) непрерывна всюду на сегменте а, 6, то рассуждения
предыдущего параграфа показывают, что функция
χ
А{х)=\ f(u)du (85)
а
является первообразной функцией от f(x) в смысле определения,
данного в § 126, так как на всем сегменте а, Ь имеет место
равенство
A'(x) = f(x). (86)
Функция А (х) является частным неопределенным интегралом,
обращающимся в нуль при х = а. Неопределенный интеграл,
который, подобно данному, получается, если мы воспользуемся
вместо а другим числом я', будет равен А (х)—А («'), как это
следует из рассуждений § 126.
Таким образом, всякой непрерывной функции соответствует
другая функция—ее неопределенный интеграл, соответствующая
определенному выбору значения а. Для данной функции f(x)

228
l№ABAVi. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
и для данного значения а, функция А (х) может быть вычислена
и Табулирована. Практические приемы для таких вычислений
будут даны в § 145. Теоретически значения А (х) могут быть
найдены с любой степенью точности с помощью метода, указанного
в § 128.
131. Обратные операции. Теоремы § 126 и 129 показывают,
что дифференцирование и интегрирование—операции, в
известной степени, взаимно обратные.
Действительно, пусть f(x)—интегрируемая функция; тогда,
интегрируя ее при постоянном нижнем пределе и при
переменном верхнем, равном х, а затем дифференцируя результат по х,
мы цридем к исходной функции, если только f(x)—непрерывна
(см. § 129).
Пусть теперь функция F (х) обладает интегрируемой
производной; продифференцируем эту функцию.' Тогда интеграл от
результата с постоянным нижним пределом и переменным
верхним, равным хг может отличаться от первоначальной функции
лишь на постоянное слагаемое (см. § 126).
В частности, если мы имеем дело с простыми явными
функциями, рассматриваемыми в ограниченных интервалах, то все
такие функции обычно обладают непрерывными производными.
Для таких функций интегрирование с последующим
дифференцированием по верхнему пределу ' оставляет первоначальную
функцию без изменения, в то время как дифференцирование
с последующим интегрированием с переменным верхним
пределом может изменить первоначальную функцию только на
постоянное слагаемое. Этот принцип, или более точный результат,
выраженный выше теоремами § 129 и 126, иногда называется
фундаментальной теоремой интегрального исчисления.
В элементарных вопросах, когда интересуются получением
явных аналитических выражений, считают, что
дифференцирование приводит к более простому результату, чем
интегрирование, потому что производная от функций, с которыми мы обычно
имеем дело, может быть сравнительно легко найдена, тогда как
неопределенный интеграл от многих функций уже не может быть
выражен через известные нам функции.
Однако, с другой точки зрения, интегрирование приводит
к более простому результату, чем дифференцирование. Так,
во всех теоремах гл. IV мы предполагали, что функция,
которую мы должны дифференцировать, обладает производной.
Напротив, если мы интегрируем непрерывную функцию, то, как
доказано в § 122, мы получим новую функцию, уже обладающую
производной.
Если мы берем неопределенный интеграл от интегрируемой,
но не обязательно непрерывной функции, то, как следует из § 127,

133. ОБЩИЕ МЕТОДЫ
229
получим непрерывную функцию. В самом деле, равенства (65)
и (66) показывают, что А (х) удовлетворяют условию Липшица
[см. '(77)].
Таким образом, интегрирование является «сглаживающим»
процессом, всегда приводящим к функциям с улучшенными
свойствами непрерывности и дифференцируемости.
132. Таблица интегралов. В некоторых сдучаях
неопределенный интеграл от простого выражения может быть найден
в виде алгебраического выражения или выражен через уже
табулированные функции. Каждая частная формула
дифференцирования приводит к формуле, дающей некоторый неопределенный
интеграл. Таким образом, мы получаем:
s
*άχ = 4ΐΓΤ' ηψ-i, (87)
X1"
ΊΓ+1
·, X
\ x^dx^logx (88)
и т. д. Результаты такого рода располагаются в таблицу
интегралов и могут быть всегда проверены при помощи
дифференцирования. Объем такой таблицы сильно возрастает благодаря
некоторым общим методам интегрирования, к изложению
которых мы приступаем.
133. Общие методы. Общие правила дифференцирования,
данные в § 64, приводят к соответствующим правилам
интегрирования. В этом параграфе мы предполагаем, что все
встречающиеся производные существуют и все подинтегральные функ-
dv
ции, как, например, и или и -j- , непрерывны.
В этих предположениях мы имеем:
χ χ
\ ки dx = к \ и dx (89)
X XX
λ (и + v) dx = \ и dx + U dxy (90)
так как обе стороны равенств имеют одну и ту же производную
по х. Аналогично доказывается правило «интегрирования по
частям»:
χ χ
\ и "ЕГ dx==uv — § Ό ΐ dx· ί91)

230
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Эта формула бывает полезной, когда интеграл в правой части
проще интет«рала слева. Наконец, мы имеем правило замены
переменной:
X t
A{x)=^f (x) dx=\f [g (t)] g' (t) dt, (92)
Xq to
где
*o = g(*o)t s = i(0 (93)
и §(*)-— однозначная функция на сегменте t0, t.
Мы докажем это правило, дифференцируя обе стороны равен-
χ
ства по Ь. Для левой части А = \ f(u) du мы находим, что
ί
также и для правой части В — \ / [#(и)] g' (и) du мы найдем, что
ίο
^=f[g{t)]g'{t) (95)
(см. § 129). Но, в силу (93), выражения (94) и (95) равны между
робой.
То, что интегралы А и В не могут отличаться на постоянную,
следует из того обстоятельства, что # = #0 при £= £0, и оба
интеграла в равенстве (92) обращаются в нуль при х = х0.
Правило замены переменной для неопределенных
интегралов запишется в виде:
X t
\f(x)dx^f[g{t)]g'{t)dt, (96)
где предел Xz=g(t) является однозначной функцией в той области
изменения t, в которой последнее равенство используется. Это
правило является следствием равенства (92), его легко
занося
мнить, потому что если x = g(t), то f(%)dx==f(g)dg==f(g)-^rdt
и значение t9 соответствующее значению о;, таково, что x = g(t).
134. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными. Соотношение вида

134. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
231
называется дифференциальным уравнением первого порядка, и
всякая функция y — f(x) является решением этого уравнения, если
f(x) = F(x,f(x)). (98)
Мы скажем, что дифференциальное уравнение является
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными,
если функция F (х, у) может быть представлена в виде
отношения функции, зависящей только от х, к функции, Зависящей
только от у, так что
||r = f§) или 4iy)dy = p(x)dx. (99)
Последнее уравнение содержит дифференциалы, и переменные
в нем разделены. Мы предполагаем, что функции q(y) и р(х)
непрерывны.
Предположим теперь, что уравнение (99) имеет решение y = f(x)
для χ в области ж0<х<ж1, причем q(f(x)) не обращается в нуль.
Тогда, если г/0 = /(#0) и у = /(#), правило замены переменной
показывает, что
у χ
\q(y)dy=\p(*)dx. (100)
Уо хо
Но, если мы положим
у
A{y)=\q{y)dyt (101)
г/о
то в рассматриваемой области эта функция имеет производную
q(y), не обращающуюся в нуль, откуда, как следует из § 75,
А (у) имеет единственную обратную функцию и равенство
χ
ft(z) = A-*[\p(x)dz] (102)
хо
определяет некоторую функцию /х(#).
Если теперь мы будем исходить из уравнения (99), полагая
р(х) и q(y) непрерывными фуйкциями, причем предположим,
что у изменяется в области, где функция q (у) не обращается
в нуль, и запишем равенство (100), то это уравнение определит
у как функцию х9 т. е. у = /1(х)л Так как эта функция задается
равенством (102), мы, в силу результатов § 75 и 129, получим.
& = /' (χ) ^ р№ = pW
dx /iV <U q(y) ' (103)

232
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Кроме того, из (102) мы видим, что, при ж = ж0, имеем # = у0;
так что Д(ж0) = г/0. Таким образом, показано, что y — f^x)
является решением дифференциального ч уравнения (99), которое
обращается в у0, при ж = ж0. Так как это решение было однозначно
определено уравнением (100) и всякое такое решение с
необходимостью удовлетворяет уравнению (100), то наше решение
единственно. Итак:
Если функции р(х) и q (у) непрерывны, то решение
дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
dx g(y) > ^1U*>
обращающееся в у0 при х = х0, единственно и определяется
равенством
у χ
\q{y)dy=^p{x)dx, (105)
Уо «о
причем предполагается, что q (у) не обращается в нуль на
сегменте у0, у.
Тем самым оправдано решение уравнения с разделяющимися
цеременными путем разделения переменных и интегрирования
в соответствующих пределах.
135. Комплексная запись. Если W (х) — комплексная
функция действительной переменной х, как это было определено
в § 119, производная которой для действительных приращений
аргумента равняется w{x), то мы назовем всякую такую
функцию W (х) неопределенным интегралом w (x) и запишем:
X
\w(x)dx = W{x). (106)
dW (x) »
Из § 119 следует, что ν ' = w(x) тогда, и только тогда, когда
±ШГ{х) = Я*{х) и -±lW(x)^lw(x). (107)
Таким образом, равенство (106) эквивалентно двум
равенствам в действительной области:
X X
\ B>w (χ) dx = B>W (χ) и \ lw (x) dx = 1W (χ). (108)
Интегрирование некоторых функций упрощается, если их
рассматривать как действительную или мнимую часть
комплексной функции действительной переменной. Например, из равенств
а{а+Ы)х = еах cos bx + ieax £Ώ fo (Ю9)

136. ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛАМИ
233
Су ^.ч e(a+ib)x
I e{a+bi)x dx=z ва + ы (110)
мы получаем:
χ
f a* l j eax (a cos bx-\-b sin bx) /Ллл\
\ eaxcos bxdx = - gi + b» (111)
и
Г . eax (a sin bx—b cos 6#)
^ e«slnterfg=tf a2 + fe2 - . (112)
136. Функции, определяемые интегралами*. Мы воспользуемся
правилом замены переменной, изложенным в § 133, для того,
чтобы показать, как с большим или меньшим трудом, в
зависимости от наших предыдущих знаний, можно вычислить
значения интеграла.
Предположим, что для некоторой /(#), непрерывной и
положительной на сегменте а, 6, мы уже вычислили и табулировали
функцию
χ
Α(χ)=^(χ)άχ (113)
а
для большого числа значений переменной χ в нашем сегменте;
тогда эта функция А (х) является известной функцией в том же
смысле, как функция log10χ— известна для значений χ в
сегменте от 1 до 10.
Так как мы предположили, что функция f{x) положительнаг
а, в силу § 129, A' (x)~f(x), то А' (х) является положительнойг
тогда, в силу § 75, функция у = А (х) имеет обратную χ = А"1 (у),
производная которой
£^<»>-:то = Ж· <114>
т. е.
^Ш'-у^щ. (115)
Обратная функция χ = А"1 (у) может быть прочтена из нашей
таблицы для А (х), если у лежит в сегменте А (а), А (Ь), так же
как мы можем найти значение 10у, т. е. число, логарифм
которого равен у, из таблицы логарифмов, если у изменяется на
сегменте от 0 до 1.
* Читатель может пропустить этот параграф без какого-либо ущерба.
(Прим. ред.у

234
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Предположим теперь, что мы забыли происхождение
функции А (х), входящей в равенство (114), или получили это
равенство, исходя из некоторого другого определения А (х). Во
всяком случае, вернемся к равенству (115) и попробуем его исполь-
х
зовать для вычисления неопределенного интеграла \ / (х) dx. Для
&того преобразуем интеграл при помощи замены переменной,
даваемой равенством (96), в котором мы положим
x = g^==A-1(t)y т. е. t = g-1(x) = A(x). (116)
Тогда отсюда и из равенства (115) следует, что
'Ю-^'М'-я^-лШ' <117)
т. е.
/[*(«)]*'(«) = *. (118)
Так как последнее выражение является подинтегральной
функцией в правой части равенства (96), то мы имеем:
X /
\ f(x)dx= \ dt = t = g-1(x) = A(x). (119)
Таким образом, мы привели неопределенный интеграл к
известной функции А (х).
В то время как наш процесс, изложенный в общем виде,
кажется чересчур окольным и очень искусственным, именно им
пользуются для сведения интегралов
X X
\^ = \ogx и ^—^arctg* (120)
к известным функциям в элементарных курсах анализа. В
самом деле, лучший способ составления таблиц этих функций
основан на разложении, непосредственно получаемом из
соотношений:
аналогичных соотношению А' (х) = f(x). Ср. с задачами 31 — 35
к гл. IV.
137. Рациональные функции. Для интегрирования рацио*
нальных функций с действительными коэффициентами мы
используем их разложение, данное в § 115. Мы там показали, что
всякая рациональная функция может быть представлена как
отношение ъ^х двух многочленов относительно х, где А (х) и В (х)

137. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
235
не имеют общих множителей. Далее, рациональная функция
может быть представлена как сумма многочлена и членов вида
Ап(х—6)ГП, причем каждому действительному или комплексному
корню знаменателя В (х) кратности г будет соответствовать
группа таких членов с л = 1, 2, ..., г. Рациональная функция
с действительными коэффициентами может быть в приведенной
форме представлена в виде отношения двух действительных
многочленов, так как общие для числителя и знаменателя
комплексные корни встречаются только в виде комплексно сопряженных
пар, и поэтому всегда можно, сократив на действительный
множитель, предполагать, что А (х) и В(х) имеют действительные
коэффициенты.
Таким образом, наша функция является действительной
рациональной функцией, в смысле § 118, и в ее разложении
коэффициенты многочлена, так же как и величины Ап,
соответствующие действительным корням 6, будут действительными.
Комплексно сопряженные корни имеют одну и ту же кратность и дают
в разложении члены с комплексно сопряженными коэффициентами.
Интегрирование рациональной функции сводится к
интегрированию отдельных членов разложения (90). Для
слагаемых, входящих в многочлен, мы имеем:
Равенства
kdx = Rx, \kxmdx^=^^, m = 1,2,3,... (122)
X
\" Adx л , . , .
^=гь =Alog\x-b\
Six-by^in-V^-br-i (n-2>3> "О (123)
дают интегралы от членов, соответствующих действительным
корням.
Для членов, соответствующих комплексным корням, мы
заметим, что
Λ + Bi A-Bi от? A + Bi (i9,.
(х-а-Ы)п "*■(*-а+ Й)Н "" * [х-а-Ы)п ' . К }
где а, Ь, А и В — действительные числа. Из (108) мы имеем:
s
и
2B(,%&-^B(^l·' « = 2,3,... (125)
ξ 2RxAJal\idx = 2R[(A + Bi)log(x-a-Ы)}; (126)

236
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
то, что производная от правой части равна подинтегральной
функции слева, следует из рассуждений § 112.
Для интеграла (126) мы можем получить другое выражение.
В самом деле,
2R [{А + Bi) log (χ — а — Ы)] =
== 2А log Ι χ — a — Ы | — 2В arg (χ — а — Ы) =
^\^\v-a-^?A^*g{x~~a~~bifB^ . (127)
= A log [(χ - а)2 + Ь2] + 25 arctg ^- . (128)
Равенство (127) дает возможность записать сумму таких членов,
используя только символы log и arg; таким образом,
теоретически для нахождения интеграла от ^рациональной функции
достаточно пользоваться лишь таблицами логарифмов и
тригонометрических функций, поскольку члены, содержащие логарифмы,
соответствующие действительным корням, могут быть записаны
в виде 1п|# — Ь\л>
Так как
arctg и = arcctg — = ~ — arctg — , (129)
то
25 arctg JL· = - 2Я arctgх^~ + Βπ. (130)
Если мы используем равенство (130) и включим Βψ в
постоянную интегрирования, то равенство (128) примет вид:
J χ— α— οι
= A log [(χ - a)2 + b2] - IB arct g ^ . (131)
Последняя форма этого интеграла наиболее известна и наиболее
приспособлена для вычислений.
Если мы выразим подинтегральную функцию в
действительной форме, то получим:
\ Р + (*х dx-
J X2 + рх + q
^l-log^ + ^ + ^ + ^-arctg-^.. (132)
Отметим, что даже выражение интеграла в действительной
форме содержит постоянные, более тесно связанные с
подинтегральной функцией в виде (131), чем с подинтегральной
функцией в виде (132).

138. ИНТЕГРАЛЫ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ИНТЕГРАЛАМ ОТ РАЦ. Ф-ЦИЙ 237
Преимущество разложения, данного в § 115, над
приведенным в § 118, незначительное при простых комплексных
корнях, резко возрастает в случае кратных комплексных корней;
При этом для интегрирования дробей вида ^—> при-
ходится пользоваться рекуррентными формулами, тогда как
дроби, соответствующие каждому комплексному корню в
отдельности, интегрируются совсем просто [см. формулу (125)].
Так как коэффициенты разложения определены однозначно,
то их можно найти или методом неопределенных коэффициентов,
или воспользовавшись тем, что тождество остается
справедливым при частных значениях переменной х, которые
подбираются надлежащим образом. Иногда можно сократить вычисления,
если вычесть на некотором шаге полученную часть разложения.
Например, если знаменатель рациональной дроби третьей
степени и имеет один действительный и два комплексно
сопряженных корня, то мы можем сначала найти с помощью
равенства (244) член, соответствующий действительному корню, затем
вычесть из нашей рациональной функции целую часть и
найденную дробь, после чего получим член такого же вида, как
в равенстве (132).
Также, если знаменатель рациональной дроби имеет
кратный действительный корень и нейоторое число простых
действительных корней, мы можем' вычесть простейшие дроби,
соответствующие простым корням, а также целую часть рациональной
функции, после чего найти члены разложения,
соответствующие кратному корню, разложив оставшийся после вычитания
числитель по формуле Тейлора.
Другой метод вычисления интеграла состоит в том, что,
используя рассуждения настоящего параграфа, мы можем
предсказать вид искомого интеграла и, пользуясь им, применить
метод неопределенных коэффициентов.
138, Интегралы, приводящиеся к интегралам от
рациональных функций. Некоторые классы интегралов могут быть
сведены к интегралам от рациональных функций. Для описания
нескольких классов таких интегралов обозначим рациональную
функцию переменной и через Л(и), а через R(u, у) обозначим
рациональную функцию двух переменных к и и, т. е. функцию,
являющуюся отношением двух многочленов относительно и и vr .
Рассмотрим интеграл \ R(x, f аж Λ j dx. Подинтегральная
функция сводится к рациональной, если д — целое число. В самом
деле, если ad— 6ct=0, то второй аргумент сводится к постоянной
и подинтегральная функция уже является рациональной функ-

238
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
цией от х. Если ad —be Φ О, то соотношение (?х , j = £
определяет а: как рациональную функцию g(t) переменного t\ тогда
g'(t) также будет рациональной функцией и наш интеграл
приведется, согласно (96), к интегралу от рациональной функции
R[g(t),t]q'(t).
Из часто встречающихся частных случаев только что рассмот-
х
ренного интеграла отметим интеграл \ R (χ, ]/α# + 6) dx.
Интеграл \ R (eax) dx приводится к интегралу от рациональ-
ной функции —~^- переменной t при помощи подстановки
ах—log t.
Всякая рациональная функция от тригонометрических функций
аргумента χ может быть записана в виде jR(sms,» cos x), и интеграл
от такой функции сводится при помощи подстановки t = tg-^
Т+Т*' Γ+τΟϊΤΤ·
переменной t.
Мы всегда можем «рационализировать» подинтегральную
функцию вида R(x, Y^ax2 + bx+c). Мы предполагаем, что афО>
потому что случай, когда д = 0, уще исследован.
Если ρ и q — корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0 —
действительны и различны, то ах2 + Ьх + с = а (х— р) (х— q). Положив
a(x — p) = t2(x'— q), мы выразим χ в виде рациональной функции
от t: x = g(t); при этом g' (t) также будет рациональной. Подинте-
тральная функция преобразуется к виду R{g (t), t[g(t) — q]} g' (£),
?. е. окажется рациональной функцией от t.
Если p — qy то "\f ax2 + bx + c = 1\/a(x — p)9 и подинтегральная
функция является рациональной функцией t. В этом случае
а должно быть положительным, если мы предполагаем
подинтегральную функцию действительной.
Если ρ и q — комплексно сопряженные числа г ± is, то
ах2 + Ьх + с = а (х — г — is) (χ — г + is) =а[(х — г)2 + s2] , (133}
и, для того чтобы радикал был действительным, а опять должно
быть положительным. В этом случае мы положим (х — г)2 + s2 =
= [(# — '·) + t]29 и χ будет рациональной функцией t: x=:g(t).
Преобразованной подинтегральной функцией будет R[g(t), g(t)—
—r+t]g'(t), т. е. рациональная функция от t.
139. Другие элементарные интегралы. Пусть I (и) является
либо некоторой обратной круговой функцией, либо функцией,,
обратной гиперболической, либо логарифмом (т. е. функцией,.

139. ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬХ
239
обратной для показательной). Пусть В' (х)— производная
некоторой явной алгебраической функции В (х) и А (х) — также явная
алгебраическая функция. Тогда интеграл от / [А (х)] В' (х) может
быть упрощен с помощью интегрирования по частям:
χ
\l[A{x)\B'(x)dx =
X
= 1[А (х)) В (х) - \ Г [А (х)) В (х) А' (х) dx. (134)
Новая подинтегральная функция Г [А (х)] В (х) А'(х) выражена
через χ алгебраически 1л может быть рационализирована, если
А (х) и В (х) достаточно просты.
В частности, если А(х) — х и В (х) — рациональная функция,
новая подинтегральная функция Г (х) В (х) либо будет
рациональной, либо примет вид: Н(х, ]/ах* + Ьх + с).
Таким образом, любая из указанных выше обратных
функций аргумента х, умноженная на многочлен, может быть
проинтегрирована при помощи только что рассмотренного приема.
Задача интегрирования некоторого действительного многое-
члена от нескольких переменных, каждое из которых равно либо
х, либо еах, либо sin to, cos ex, непосредственно сводится к задаче
интегрирования функций вида хпеЛх, где η — целое
положительное, а ^—-действительное или комплексное число.
При комплексном А неопределенный интеграл понимается
в смысле § 135. При помощи интегрирования по частям можно
свести такой интеграл к интегралу того же вида, но с
показателем п, уменьшенным на единицу:
X X
\ хпеАх dx = хп е-^- - ^\ хп~геАх dx. (135)
Повторяя η раз такое интегрирование, мы приведем задачу
к вычислению интеграла
χ
\eAxdx=~ . (136)
Целью последних трех параграфов было дать читателю
представление о тех классах интегралов, которые могут быть
найдены в таблицах или сводятся к таким интегралам.
Указанные здесь общие методы приводят к результату часто
более длинным путем, чем специальные приемы,
приспособленные к некоторым частным видам интегралов. Иногда бывают
полезны такие приемы, как, например, метод неопределенных
коэффициентов в том случае, когда вид интеграла предугадан
и нужно лишь отыскать некоторое число постоянных.

240
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Всякий неопределенный интеграл, помещенный в таблице
интегралов, может быть проверен с помощью
дифференцирования, что всегда является наиболее простым доказательством
соответствующей формулы, поскольку ответ известен.
140. Неэлементарные интегралы. Многие интегралы, не
принадлежащие к типам, рассмотренный в последних трех
параграфах, и не сводящиеся непосредственно к ним, не могут быть
выражены посредством конечного числа элементарных функций.
В небольшом числе частных случаев можно доказать, что
интеграл носит неэлементарный характер, показав, что функция,
определяемая этим интегралом с переменным верхним пределом,
имеет некоторые свойства, которыми не обладают элементарные
функции. Такого рода доказательства в некоторой степени
похожи на данное в § 92 доказательство того, что логарифмическая
функция не является алгебраической функцией.
Несколько простых неэлементарных интегралов дают инте-
лХ 4Ϊ.Π X СОЧ X
гралы от функций — , , . Эти интегралы приводят к новыми
функциям, известным под названиями: интегральная
показательная, интегральный синус, интегральный косинус. Интегралы
XX X
^ е~х2 dx, \ sin (χ2) dx и \ cos (x2) dx (137)
0 0 О
известны как интеграл вероятностей, интегральный синус
Френеля и интегральный косинус Френеля.
Мы дадим в § 331 практические приемы для составления
таблиц функций, определяемых этими интегралами. Такие таблицы
существуют и дают возможность вычислять как указанные здесь
интегралы, так и некоторые другие, легко к ним сводящиеся.
Простейшие алгебраические функции, интегралы от которых
представляют собой, вообще говоря, неэлементарные функции,
имеют вид: R [ху \f P (#)], где Ρ (χ) — многочлен третьей или
более высокой степени, a R обозначает рациональную функцию
двух переменных, как в § 138; там же было показано, что если
Ρ (χ) ·— многочлен первой или второй степени, то наш интеграл
является элементарным.
Так как квадратный корень из многочлена, имеющего кратные
корни, может быть записан в виде произведения многочлена
на квадратный корень из нового многочлена, имеющего лишь
простые корни, то мы можем и будем предполагать, что все корни
многочлена Ρ (χ) простые. Если Р(х)> имеющий простые корни,
является многочленом третьей или четвертой степени, τύ
интеграл от R (χ, }f Ρ (χ)) называется эллиптическим интегралом.

141, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ-ИНТЕГРАЛЫ
24ί
141. Эллиптические интегралы,. Эллиптический интеграл спет
циального вида, так называемый эллиптический интеграл
первого рода:
ψ sin<p
F(k.<?)=[ -~ d* \ , · dx 0<k< 1,(138)
ТУ J V^l— Λ«βία2φ J /(1-~я2)(1-Л2яа) V '
и эллиптический интеграл второго рода:
ψ sin<P
ΕίΚ φ)= J ^1 —*»βίη"φ£ίφ= ^y ^f= dx, 0 < & < 1, (139)
были табулированы Лежандром для действительных значений к
между 0 и 1. Эллиптический интеграл третьего рода:
П(&, <*, ср);=.
? sin φ,
= С d? [ dx (140)
J (sin2 φ - α) /1 - Λ2 sin2 ? J (ж2 - α) /(1—x*)(l - Λ2 ж2) ' ν
где Λ действительное, лО < к < 1? а·α может быть комплексным,
табулирован только частично. Для а = 0 см. упражнение 47
гл. VI, стр. 262.
- Мы теперь докажем следующее:
Е$ли Ρ (χ)— многочлен не выше четвертой степени с
действительными коэффициентами, R — рациональная функция двух пере-
менцых, также с действительными коэффициентами, и χ
изменяется в области, где многочлен Ρ (х) положителен, то неопрё-
X
деленный интеграл \ R(x, γΡ(χ))άχ может быть представлен
в виде линейной комбинации членов, каждый из которых является
либо элементарной функцией, либо эллиптическим интегралом
первого, второго или третьего рода.
Как было указано в предыдущем параграфе, этот интеграл
может быть приведен к интегралу от рациональной функции,
если многочлен Ρ (χ)—первой или второй степени или имеет
кратные корни.
Если многочлен Ρ (χ) третьей степени, то он имеет по крайней
мере один действительный корень г и поэтому может быть
записан в виде:
ρ (χ) = (χ-ή (αχ2 + bx + с), афО. (141)
Тогда для значений ж>г мы сделаем замену переменной
x = r + z2t dx~2zdz. При этом

?42
ГЛАВА VJ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Таким образом, новое подинтегральное выражение будет тргр же
ъ-ипа, что в: старое, только юно не будет содержать нечетных
степеней переменной. Для значений χ < г мы положим χ — г — ζ*.
Отметим, что в обоих случаях
dx _ 2dz ЦАЪ\
Наконец, предположим, что Ρ (χ) — многочлен четвертой
степени, не имеющий кратных корней. Разложим его в
произведение двух действительных квадратных множителей:
Ρ (χ) = α (χ2 + рх + q) {χ2 + ρ'χ + qf),1 αφΟ. (144)
Мы хотим привести разложение (144) к виду, в котором ρ и р'
были бы равны нулю; попытаемся достигнуть этого дробно-лиг
нейным преобразованием переменной
Тогда
а (ж2 + рх + q) (1 + ζ)2 = Αζ* + В,
(хг + р'х ■+ q') (1 + za) = Α'ζ2 + В', (146)
если
2fg + p(f + g) + 2q = 0 и 2fg + p'(f + g) + 2q'=0. (147)
При рФ ρ' эти два уравнения эквивалентны следующим!
/ + е = 2^ и /g = ^f-, (148)
которые имеют действительные решения / и g9 если
о<|(/-§№-/>)*,
или, что то же,
(? - Я'У - (/>' - Р) (/><?' - Р'9) > 0. (149)
Положим теперь
х2 + рх + q = (χ — г) (χ —- г)
ш
я2+/>'я+?' = (я-0(я-0. (150)
Тогда выражение (149) примет вид;
(г7~г'?)2~(г+7-г'-?)[г7{г'+?)~г'7'{г + 7)]. (151)
Но это последнее может быть переписано так:
(Г _ г') (т·-??) (г.- г') {ϊ-S). (152)

141. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
24£
Действительно, выражение (151) обращается в нуль при г = г'
и, следовательно, имеет множителем г — г\ а в силу симметрии,
оно будет обладать и остальными тремя множителями, и,
наконец, оно представляет собой многочлен четвертой степени о
членом г2 г2, поэтому постоянный множитель в разложении (152)
должен быть равен единице.
Если оба квадратичных множителя имеют комплексные корни,
то г и г, так же как г' иг', комплексно сопряжены. Тогда
первый и четвертый, а также второй и третий множители в (152)
тоже комплексно сопряжены и все произведение будет
положительным. Тот же результат получится, если гиг комплексно
сопряжены, а остальные два корня действительны, потому что
первый и третий, а также второй и четвертый множители будут
комплексно сопряженными.
Наконец, если все четыре корня действительны, мы можем
в качестве гиг взять наибольшие корни и все четыре множителя
окажутся положительными. Ни один из множителей не может
обратиться в * нул!ь, 'так как наш многочлен четвертой степени
не имеет кратных корней.
Таким образом, если ρ Φ ρ', можно найти такие
действительны^, значения / и g, что прц помощи рационального
преобразования (145) мы получим равенство
|/>(я) =
γ{Αζ* + Β)(Α'ζ* + Β') = VQ(z)
(l + z)2 (1 + ^)2
(153)
Из Ьоотноийения (149) следует, что g =£/, и мы .имеем:
Когда р = р', мы положим χ = ζ — ?τ> Тогда
Ρ (χ) = а (ж2 + px + q) (ж2 + рх + q') =
= a(Z2 + g-£)(z2 + 3'-£) = <?(*) (155)
И
dx dz
-τ— —7-==. (156)
Υ Ρ {χ) /Q(«) V
Наши рассуждения показывают, что интеграл от R (χ, Ρ (χ))
либр рационализуем, либо приводится с помощью
действительной подстановки к интегралу от выражения того же вида, где
Р{х) = {Ах2 + В)(А'х2 + В'), (157)
причем А, В, А'у В9 —действительны.

244
ГЛАВА VI- ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Мы видим, что если подкоренное выражение в равенстве (142)
не разлагается на действительные множители вида (157), то его
можно разложить на множители и преобразовать так же, как
Это было сделано с Ρ (χ) из равенства (144),
142. Общее приведение. Предположим, что подкоренное
'выражение имеет вид (157), и займемся некоторыми приемами,
упрощающими нашу задачу. В то время как с логической точки
зрения проще сначала преобразовать подкоренное выражение,'что
позволяет избежать излишних повторений, практически удобнее
произвести сначала общее приведение, которое будет указано
в настоящем параграфе, а затем преобразовать подкоренное
выражение. Такой порядок сильно упрощает формальные выкладки,
даже если приведение приходится снова применять к
некоторым членам после преобразования подкоренного выражения.
Обозначим Ρ (χ) через νζ, тогда подинтегральная функция
примет вид: R(x, #). Используя тождества
v2n = (v*)n = [P(x)]n, v2n+1^v[P(x)]nf (158)
мы представим подинтегральную функцию в виде:
где К, L, Mi iV—многочлены относительно х. Теперь
освободимся от иррациональности в знаменателе:
и заменим ν2 через Ρ (χ). Таким образом, подинтегральная
функция будет приведена к виду: U +Vv, где U и V — рациональные
функции от х.
Так как U — рациональная функция, мы должны только
рассмотреть подинтегральные функции вида
7,-£-Е, (161)
где W — новая рациональная функция от х.
W может быть разложена на сумму многочлена и некоторого
!числа простейших дробей, что приведет интегралы к сумме
членов следующих двух видов:
X X
(а) ап \х~ахш (б) Ьп J jJ^ . (162)
Члены второго вида, (б), получаются для каждого
действительного или комплексного корня г знаменателя рациональной
функции W.

142. ОБЩЕЕ ПРИВЕДЕНИЕ
245
Для того чйгобы привее№ интегралы (б), мн£ заметим, что
c4 (ж- r)* + <?»(*-» г)3 + eg (ж -г)2 + Cl (g- г) + c0 //|ftQ.
— (*-γ)"»'*4> » I10*'
ибо числитель является многочленом четвертой.степени и может
быть разложен по степенями — г. Отсюда, интегрируя, получим:
ν χ χ χ
ν |ж _ С dx \ Г dx ι I" <fa ,
(*-r)wU"~ C* J t>(a-r)"|-I"i' °a Jei*-'')"^ ** J »(*-',)m~1 +
XO #o #0
+ C»-5 iX^r)» + C" 5 »(«V"· (164)
«Co #o
Если с0 ^ 0, то это соотношение может быть разрешено
относительно последнего интеграла и даст формулу приведения,
которая выразит интеграл типа (б) с п = т+1 как
алгебраическую функцию четырех интегралов того же типа (б) с п = т—3,
тг = 77г — 2, п = т— 1 и п = т.
Если с0 — 0 и тфО, то из равенства (163) следует, что Ρ (г) = О,
поэтому />' (г)ФО и сх =£ 0. В этом случае равенство (164) может
быть разрешено относительно интеграла типа (б) с η = т и мы
получим формулу приведения, которая выразит интеграл
типа (б) с /г= т в виде алгебраической функции трех интегралов
типа (б) с п = т — 3, п = т — 2 и п = т— 1.
Во всяком случае, исходя из интеграла типа (б) с наивысшей
степенью п9 соответствующей данному корню, и на каждом шаге
приведения складывая все интегралы с одинаковыми
степенями χ — r, мы приведем все интегралы типа (б) для данного
корня г к следующим интегралам:
Последние три интеграла являются интегралами типа (а).
Первый же может быть представлен так:
J (я- r)v ~~ J (ж2 -г2) υ йХ ~~ J (s2-.r2) υ "ί" Г J (ж2- г2) υ · t10DJ
Делая подстановку χ2 = ζ, получим:

24θ
ГЛАВА VI, ИНТЕГРИРОВАНИЕ
а этот последний интеграл приводится к интегралу от
рациональной функции. Все это показывает, что мы должны, помимо
интегралов типа (а) из ^162), рассмотреть только интегралы вида
Рассмотрим теперь приведение интегралов типа (а). Если мы
положим г = 0, т= —М, то равенство (163) запишется так:
jx (хЩ) = ^ +2«fL +b£ f (leg)
ибо P(%) и, следовательно, хР' (х) не содержат нечетных
степеней х. При Μ > О коэффициент dA отличен от нуля, так как
di = (2 + M)A'A'. Равенство (169) дает формулу приведения,
с помощью которой интеграл типа (а), содержащий жм+3, может
быть сведен к двум другим интегралам того же типа,
содержащим χ в степенях Μ + ί и М—.1.
Мы применим наше приведение только при нечетных М, тогда
все степени χ в интегралах будут четными. Для нечетных
степеней множителя χ интегралы типа (а) рационализуемы» В самом
деле, если положить χ2 = ζ, то
С «>п+ЫХ l· Z"dZ 7
J υ J 2 γ(Αζ + Β) {Α'ζ + В') '
Если применить повторно наше приведение к интегралам,
содержащим χ в четных степенях, начиная с наивысшей степени, то
мы сведем наши интегралы типа (а) к двум следующим;
χ
С x2dx
\ —г— и
I % . (471)
Таким образом, наша задача теперь сведена к интегралам трех
типов—к двум только что записанным и одному—вида (168).
143. Преобразования радикала. Мы должны теперь найти
действительную подстановку, которая преобразует подкоренное
выражение
и2 = ρ (χ) = (Αχ2 + В) {Α'χ2 + В') (172)
в подкоренное выражение канонического вида, т. е.
(l__^)(i_.fcV), где к< 1. (173)
Так как многочлен Ρ (χ) положителен, то мы можем выбрать
знак постоянных так, чтобы оба множителя Ах2 + В и Afx2 + B'
были положительными. Все корни многочлена Ρ (χ) различны,

143; ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДИКАЛА
247
доэтому действительная область изменения аргумента, в
которой Ρ (χ) положителен, не может содержать его корней.
Следовательно, в этой области ни один из множителей не может менять
знак.
Рассмотрим теперь следующие две специальные подстановки.
Первая,
ζ2 = Αχ* + Β, 2>0, (174)
дает
dx = dz (175)
Y(At* + B)(A'a*+B') V(z*-B)(A'z* + AB'-A'B) ' V '
причем множители, стоящие под радикалом в правой части
равенства, положительны, если А > 0. Вторая подстановка
z= -~ (176)
дает
dx dz
V(Ax2 + B)(A'x* + B') tf(B** + A)(B'** + A')
(177)
Если В и В' оба отрицательны, то А и А9 оба должны быть
положительны, и вторая подстановка приводит подкоренное
выражение к виду, в котором новые значения В и Б'оба будут
положительными.
Если В положительно, а В' отрицательно, то первая
подстановку (174). приводит подкоренное выражение к виду, в котором
новые значения В я В' положительны, если АВ'— А'В>0.
Но так как для рассматриваемых значений χ оба множителя
положительны, то
Ах*> -В я В'>-А'х\ (178)
откуда, так как —В л В' положительны,
АВ'х*>-ВВ' >А'Вх\ т. е. АВ' > А'В, (179)
я наше условие выполнено.
Таким образом, мы получаем подкоренное выражение в такой
форме, в которой В и В' оба положительны, и мы можем, не меняя
знаков, вынести множитель и таким образом привести радикал
к виду
γ*[ί+Αχ2){1+Α'χ2). (180)
Если А отрицательно, а А' положительно, первое
преобразование (174) приведет полученный радикал к виду
V(i-*)([A'-A\-A'z%\), (181)

248
ГЛАВА VI* ИНТЕГРИРОВАНИЕ
в котором анаки множителей обратны знакам множителей
в равенстве (175), потому что А теперь отрицательно. В этой
новой форме радикала А та А' оба отрицательны.
Если А и А' оба положительны, первое преобразование (174)
приведет радикал к виду
l/"(^-l)(ilV + [ii-i4'J)f (182)
и мы можем выбрать обозначения так, что А' > А. Если мы теперь
применим второе преобразование (177), то приведем радикал
к виду:
Y{l-*)(A' — [A'-A\z%y (183)
Таким образом, в приведенной форме радикала (180) или А
и А' оба отрицательны, или мы можем при помощи
последовательных комбинаций наших двух преобразований их сделать
отрицательными. Следовательно, нам остается рассмотреть только
радикалы вида
/(l-aV)(l-i>V), а2>Ъ\ (184)
Если сделать преобразование
ax = z, a > 0, (185)
то получим
dx dz
y«-«Y)(l-*W> - а /(!.,*) (!-£^ ' <186>
Наши рассуждения показывают, что с помощью комбинаций
преобразований (174), (176) и (185) мы можем интегралы
X
Г dx
типа \ — привести к.интегралам того же типа, в которых ν с
точностью до постоянного множителя имеет канонический вид
(из):
В случае, если область изменения аргумента или часть этой
области содержит только отрицательные числа, то,' полагая
ζ =: — χ, мы придем к новой области, не содержащей
отрицательных значений аргумента. Таким образом, пределы
интегрирования мы можем считать оба неотрицательными, и так как
интеграл от χι до Х2 равен интегралу от 0 до Х2 минус
интеграл от 0 до χι9 мы сможем считать низший предел равным
нулю.
Верхний предел интегрирования меньше 1, так к$к
множитель Д— х2 должен быть положительным. Следовательно,
полагая х = sin φ, мы возьмем φ в первой, четверти и придем к ка-

l43k ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДИКАЛА
249
нойической форме эллиптического интеграла первого рода:
J /(l-^il-*2*2)"" } /l-^sin^ ^ ^
Преобразования (174) и (185) не изменяют существенным
образом вида интеграла (168), при этом только подкоренное
выражение заменится подкоренным выражением канонического вида (173)г
появится постоянный множитель и новая постоянная вместо г2.
Преобразование (176) даст:
χ ζ
V dx __ 1С zHz __
—Ηΐ—м, /'м ■ <i88>
т. е. сумму интеграла первого рода, уже нами рассмотренного,,
и интеграла вида (168). Таким образом, мы должны рассмотреть
только интегралы вида (168), у которых подкоренное выражение
приведено к каноническому виду (173). Так же, как и раньше,
мы можем считать нижний предел равным нулю, а
верхний предел — положительным и меньшим единицы. Полагая
χ = sin φ, получим:
χ ψ
С dx _. f <*? Ц89)
J (χ2 "Г*) V J (gi^ _ Г2) у γ _ k2 siQ2 φ ' '
т. е. каноническую форму эллиптического интеграла третьего рода.
χ
Наконец, мы должны рассмотреть интеграл типа \ -—- · Этот
последний с помощью преобразования (174) сведется к интегралу
того же типа и интегралу первого рода, а преобразование (185)
переведет наш интеграл в интеграл того же типа с постоянным
множителем. Преобразование (176) приведет к интегралу (189)
третьего рода, в котором г==0. Если мы не воспользуемся или
воспользуемся дважды преобразованием (176), мы получим
первоначальный интеграл с подкоренным выражением в
каноническом виде (173). Запишем теперь:
Второй интеграл справа—интеграл первого рода; в первом мы
возьмем нижний предел равным нулю, а верхний—положитель-

250
ГЛАВА VI* ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ным, и, полагая #?=sin<p, получим канонический вид эллиш
тического интеграла второго рода:
χ χ ^Р
jlr^.rfa5 = J j/i^rfz^j/l-^sin'cpdcp. (191)
0 0 О
Таким образом, доказательство теоремы, сформулированной:
ъ § 141, закончено.
144. Эллиптические интегралы первого рода» Использованные
нами преобразования заменяли интеграл от —-, где v2 = P (х)~-
многочлен четвертой степени, комбинацией канонических
эллиптических интегралов всех трех родов. В частности, это будет,
вообще говоря, иметь место всякий раз, когда мы пользуемся
дробно-линейным преобразованием (145).
Однако, как мы уже отмечали, любое наше преобразование,
dx
примененное к дифференциалу —, переводит его в выражение
того же самого вида. Это приводит к следующей теореме:
χ
Интеграл вида \ ,. , где Ρ (χ) — действительный много-
J γ Ρ (χ) w
член третьей или четвертой степени, не имеющий кратных
корней, всегда может быть сведен к эллиптическому интегралу
первого рода.
В частности, интеграл
X X
\^./Х =\^.< w* ^7=V «ι+ «. + «. = 0,(192)
имеет указанный в теореме вид. Мы покажем в § 170, что этот
интеграл имеет предел при х—> + оо. Таким образом, мы можем
записать последний интеграл, в виде и(х) — и(а)9 где постоянная
определена так, что и(х) —>0, когда х —>+оо. Функция,
обратная функции и (х) — функция φ Вейерштрасса, — играет важную
роль в теории эллиптических функций. Так называются
функции, связанные с функциями, обратными некоторым
эллиптическим интегралам.
t
Во многих задачах механики решение дается в виде s = \ - - ,
где Р(х) —кубическиймногочлен. В этокслучае, е^ли^!, о2иа8-
три корня многочлена Ρ (χ) и
ai + tf2 + a8 = 36> s = sQ при t — tQ, (193)

145. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
251
то мы можем записать полученную зависимость между t и s в виде.
* = & + £>(*-<0, (194)
где с определяется из уравнения p(sQ — с) = t0 — Ь и φ
образовано многочленом с корнями
β1 = α1 —6, е2 = а2 — 6, е8 = 03-— Ь. (195)
Хотя соотношение (194) не дает непосредственно .численных
результатов, оно все же выражает решение с помощью функций,
свойства которых хорошо изучены.
145· Численное интегрирование. Мы выведем две формулы
для приближенного вычисления интеграла, предполагая, что
численные значения подинтегральной функции могут быть найдены»
Эти формулы практически полезны, когда интеграл не может
быть легко выражен через уже табулированные функции или когда
окончательное выражение интеграла слишком сложно.
Мы получим эти Приближенные формулы, заменяя на йсем
сегменте интегрирования или на его части подинтегральную
функцию, более простым выражением и интегрируя это последнее.
Например, если мы заменим подинтегральную функцию f(x)
линейной функцией, принимающей те же значения, что и функция
f(x) в точках а и 6, т. е. заменим /(#) червз
Γ(*) = /(α) + |Ξ|[/(δ>-/(α)1, (196)
то мне найдем, что выражение
ъ
\g(x)dx = ^[f(a) + f{b)) (197)
а
является приближенным значением интеграла
ь
^f(x)df. (198)
α
Если функция / (х) непрерывна^ то она обладает
неопределенным интегралом F (х), для которого
f(x) = F'(x) (199)
ι*
ъ
^f(x)dx = F (6) - F (а). (200)
α
Таким образом, поправочный член Ε (или ошибка), который
должен быть прибавлен к приближенному значению (197) для того,

252
ГЛАВА VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ *
чтобы получить точный результат, будет равен
E = F(b)-F(a)-^[f{b) + f(a)]. (201)
Если функция f(x) имеет вторую производную в интервале
(о- 6), то мы можем получить другое выражение для Е. Для этого
положим
Ь — а = 2и, я + Ь = 2с, т. е. а = с — и и b = c^-ji, (202)
откуда и из (199) мы будем иметь:
E=zF(c + u) — F(c-u)-u[F'(c + u)+F'{c-u)]. (203)
Далее мы поступим так же, как в § 91. Введем постоянную
* = | (204)
и рассмотрим функцию
G{x) = F{c + x)-F.{c-x)-x[F' (c + x) + Ff (c-x)]-Kx*. (205)
Эта функция, в силу двух предыдущих равенств, обращается
в нуль при х=и. Она, очевидно, также равна нулю, при х = 0~
Следовательно, по теореме Ролля, ее производная
G' (x)=-x [F» (c + x)~F" (с-х)]-ЗКх2 (206)
обращается в нуль при н^ротором значении и', лежащем между О
и ill Из равенства4
0 = - и' \F* (с + и') - F» (с - и')1 - Ши,% (207)
находим:
К^_^'(о + и')-Г(6-и^ (208)
Двойка введена в знаменателе для того, чтобы дробь являлась
отношением конечных приращений. По теореме о среднем
отношение конечных приращений равняется значению производной от
F" (х) в некоторой точке ж0,· лежащей между с — и' и с+и' и>
следовательно, между а и Ь. Таким образом,
К = —I- F'" (*„) =-·!/" (χοϊ (209).
Ε = Ки* = - -| /" (ж0) в". (210)
Теперь разделим интервал интегрирования на η равных частей,
при этом длина каждого частичного интервала окажется равной

145, ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
253
illycTb #fc-~абсциссы точек деления, ^ — значения,цодинтеграль-
яой функции в Дочках хк,
** = /(**) = /(« + **). (212)
Применим предыдущий процесс приближения к ^каждому
интегралу, распространенному на отдельный частичный интервал,
полагая
(213)
h
Сумма таких приближений будет равна
2, = *Хт + У» + у,+ ... · +У« + т) · (214)
Эта формула известна под названием правила трапеций, так как
график функции, даваемой уравнением {196), является прямой
линией, и интеграл (197) дает площадь,
лежащую под этой прямой на нашем
интервале, т. е. площадь трапеции. ffb)
Если точным значением интеграла
является Т + Е, то f(a)\
£=-£*/,= --%#/, (215)
Здесь /з, если вторая производная f(x)
непрерывна в интервале а, Ь, будет
ее значением в некоторой точке этого
интервала. Это следует из того, что /2
является средним арифметическим зна- Фиг, 15
чений второй производной и поэтому
является ее промежуточным значением. Если /" (х) сохраняет знак
на а, Ь, то ошибка будет иметь противоположный знак. Во
всяком случае, если Μ — верхняя граць | J" [х)\ в нашем сегменте,
то /2 по абсолютной величине не превосходит М. Таким образом,
мы можем ошибку сделать малой, выбирая, тг достаточно большим.
Более точная приближенная формула получится, если
воспользоваться параболой, имеющей уравнение вида
ё(х)1=А + Вх + Сх\ (216)
где g (x) принимает те же значения, что и функция / (х), в точках
а, Ь и в средней точке между итог с = α~ζ (фиг. 15). Эти
значения определяют единственным образом коэффициенты в
уравнении параболы. Для 1 удобства мы запишем уравнение (216)
в виде
g(x) = 'A' + W(z-c)'+C'{z-cy*
(217)

254
ГЛАВА VI* ИНТЕГРИРОВАНИЕ
и определим и из равенства (202); тогда g(c—u), g{e)f g(c+u)
будут соответственно равны /(а), /(с) и /(в) и
8W = /W+[/(b)-/W]^ + [/(«) + /(iJ-2/(c)]^. (218)
Для приближенного значения интеграла (200) мы получим;
Ь с+н
jjg<s)«te= ξ §(*)<** = ! [/(«) + /(6) + 4/(c)J =
б [/(«)+ 4/(с)+ /(&)]. (219)
6 — а
В этом случае ошибкой Ef которая должна быть прибавлена к
приближенному значению, является
E = F(b)-F(a)-^[f(a) + if(c) + f(b)}, (220)
или, в силу равенства (202),
E = F(c + u)^F(c — u) — !L[F'(c.+ u) + №'(c) + F'(c-u)].(221)
Предположим теперь, что / (х) обладает четвертой,
следовательно F (%)·— пятой, производной в нашем интервале. Возьмем
постоянную
*=5 <222>
и рассмотрим функцию
G(x) = F(x + c) — F(c — x) —
—±[F(c + x)+£F'(c) + F' (c-x))'-Kx\ (223)
Мы найдем последовательно:
G' {χ) = 1 [F'(c + x) + F' (с-χ)-2F' (с))-
_ f. [F" (e + x) - F" (c - x)] - ЪКх*, (224)
G" (x) = 1 [F" (* + *)- F" (e - x)] -
-l.[F"'(c + x) + F"'(c-x)}-20Kxs, (225)
G'" (x) = - -ϊ- [i?iv (с + ж) -r- Fiv (c _ Ж)] _ 60 Kx\ (226)

145. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
255>
Каждая из этих функций обращается в нуль при χ = 0. Из
уравнений (221) и (222) мы видим, что G(u) = 0. Следовательно,
в силу теоремы Ролля, G' (х) обращается в нуль в некоторой
точке к' между 0 и и. Следовательно, G" (х) обращается в нуль
в лекоторой точке и" между О и и'. Точно так же Gtn (х)
обращается в нуль в некоторой точке и'" между 0 и и", поэтому
^[F™(c + u''')-F™(c-u''')]--60K(u''')2==0. (227)
ОтслЬда мы получаем, что
По теореме о среднем наше отношение приращений равняется
производной от FIV(a?)B некоторой точке xot лежащей между
fc —и'" и с + и''" и, следовательно, между а и Ь> Таким образом,
Если мы разделим наш сегмент а, Ь на четное число 2т
равных частей, то длина каждой части будет равна
* = ^· (230>
Пусть хк -г- абсциссы точек деления, а ук определены равенством
(212). Применим нашу приближенную формулу к каждой ларе^
частичных интервалов х09 хк\ х2, ж4; ...; х2ш-ъ> х2т\ тогда
сумма приближений по всем этим интервалам даст:
S = -§- (г/о + 4г/х + 2у2 + Ьуг + 2у, + ... + 4*/^ + у2т). (231)
Эта формула известна как формула Симпсона. Если точным знат
чением интеграла является S + E, то
Ε £m/.---1g^/4. (232)
Если четвертая производная подинтегральной функции
непрерывна на сегменте #, 6, то /4 является ее значением в некоторой
точке того же интервала. Т&кже, если /Ιν (χ) сохраняет знак,
ошибка имеет противоположный знак. Во всяком случае, если Μ —
верхняя грань | F4 (х) | в сегменте а, 6, то /4 по абсолютной
величине не превосходит М>
Сравнение равенств (215) и (232) показывает, что если грани
для" второй и четвертой производной являются величинами одного
порядка^ то ошибка, получаемая при пользовании формулой
Симпсона, грубо говоря, будет равняться j=; умноженной на

256
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ« VI
.величину ошибки, даваемой формулой трапеций при η = 2т, и
будет значительно меньше последней, если h меньше единицы.
Практически не всегда легко определить границы производных.
Однако мы можем использовать соответствующие конечные
разности для оценки их величины. Это является следствием
рассуждений § 93, Если тг-я разцость медленно меняется, то равенство
(300) § 03 показывает, что
ДП f ίχ\
'η - приближенно равно /<п) (х) (233)
или, по крайней мере, имеет величину того же порядка.
Ошибка, которая получается при пользовании формулой Симп-
сона, оценивается величиной ^- Δ4, где Δ4 — среднее
арифметическое четвертых разностей,, вычисленных ддгя приращения,
равного Л. Соответствующая ошибка при пользовании формулой
трапеций оценивдется величиной if~A2, где Аа — среднее
арифметическое вторых разностей.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VI
1. Если /(#) = /(—#), то функция f (х) называется четной. Для четной
интегрируемой функции f{x) показать, используя основное определение
интеграла, что
0 а а
- J? α
\ / (χ) dx в* \ f(x)dx=—\f (x) dx.
2. Если f(x)= — /( — #), то функция f (х) называется нечетной. Для
нечетной интегрируемой функции f(x) показать, что
0 а а
V ft(x) dx= - \f{x)dx я Sf(x)dx = 0.
-a 0 -α
3. Доказать, что всякая однозначная функция от четной функции-'
четна, и поэтому для всякой непрерывной F{u) результат задачи 1 при»
меним к функциям F (х2) и F (cos2 χ),
4. Доказать, что произведение любого числа четнь^х функций и
нечетного числа нечетных является функцией нечетной, и /поэтому результат
задачи 2 применим к функциям xF (х2) и xF (s'm2x), где F(u)~
произвольная непрерывная функция.
б/ Для интегралов, взятых по интервалам с —а, с; с, с + аис— а, с + а
от функции /(ж), такой, что / (с-f ж) = / (с — ж), получить результат,
аналогичный результату вадачи 1. Подобным образом для функции /(#), такой,
что / (с — х) = — / (с + #), получить результат, аналогичной результату
задачи 2.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V*
257'
6. Функция f(x) называется периодической с периодом р, если,
f(x + P) = /(#). Если такая функция интегрируема, то показать, что
а+р ρ α+ηρ ηρ ρ
\ f (χ) dx=*\ f (χ) dx и \ / (χ) dx**\f (χ) dx = n\f (χ) dx:
α ο α 0 0
7. Доказать, что однозначная функция от периодической ч-
периодическая. 'В частности, показать, что если Ί? (и) — непрерывная функция, то
к функциям F (cos χ) π F (sin χ) может быть всегда применен результат
задачи 6 при /? = 2тс; этот результат может быть применен при/> = тс, если
F(u) "- функция четная.
8. Пусть / (х) — непрерывная монотонная функция; доказать, что
ь
\ / {х) dx лежит между (Ъ — а) f (а) и (b — a)f (b). В "частности, цокаэать, что,
а
X
С dx о а л
при положительных ρ и д, \ . .g лежит между 2т» и 1.
и
9. Пусть / (х) — непрерывная монотонная функция; показать, что ин-
р+а
теграл \ f (х2 т-2рх + q) dx лежит между 2af(q — p2) и 2α/ (а2 + q — ρ2).
р-а
3
В частности, показать, что \ -^—- ^ лежит между 2 · 4"г и 2 · 5~г.
α
10. Проверить, что для \ xdx сумма Sa из равенства (76) (стр. 226)
О
равняется —^^-^—- а2 и поэтому стремится к —. при η -+ со.
а
С аеа1п
11. Проверить, что для \ ех dx сумма Sn равняется (еа — 1) _
G
и поэтому стремится'к еа— 1 при. η -*■ оо.
α α
12. Вычислить суммы £„ для интегралов \ sina^a: и \ cos xdx.
Ό ' О
Указание. Если эти интегральные суммы суть Sn и Сп, то" С^+Ь^п будет
α
интегральной суммой для \ eix dx, которая равна (е*а — 1)
fin
ае
Ci n(el -1)
13. Используя задачи 1 и 2 к гл. I, проверить, что для\ хт дх
О
^η-T^^^^r-pf + am^ + ...+aoJ,

25$
УПРАЖНВЩШ К ГЛ. VI
откуда Sn -+ * 4· , когда л -* op.
α
14. Вычислить суммы £ из равенства (62) (стр. 223) для. V xdx, приняв
1
ь π г(а2-1) а2-1
хк = гк за точки деления. Ответ: х ■ ■ ->—г—, когда я -> оо, где
Г-|- 1 ζ
7^ = α и тем самым г -> 1.
α
15. Так же как в задаче 14, вычислить S для \ ж1* dx при хк = гк.
ι
rm („»*+l _ 1) (Γ· _ l) am+i _ α
Ответ: —^—m , , -> —г .
жп+1 — 1
16. Доказать, что lim ~-т—= log ж, откуда следует, что
п->-1 п+*
X X
lim Д хп dx = \ — .
ι ι
17. Пусть сегмент а, Ъ разделен на η равных частей η — 1 точками
xkz=a-\ ^ "" ' . Доказать, что для интегрируемой функции /(х) предел
при η -* оо средних арифметических из η значений / (хк) равен
Ъ
а
Иллюстрировать этот результат для / (#) =* (Ь — х) {х — а), для которой ука-
(Ь-о>2
занныц предел равен -— .
η
2 1 чс
-=—γ,^τ" · Указание. Сравнить с суммой,
ii-rw ft + ft 4
ft = l
1
приближающей \ . 2 .
о
η
19. Доказать, что lim —- jr, j/^2 — /с2 = -7-. Указание.Сравнить с сум»
п->оо
χ
мой, приближающей \ уЧ — з? dx.
о
20. Доказать, что пределы в задачах 18 и 19 останутся теми же, если
суммы взять не от & = 1 до к = п, а от к = р до A- = w-j-<7, где рид
---некоторые фиксированные целые числа.

У1ДРЛЖНЕНИЯ К ГЛ. VI
259
χ
Г А (х)
2ί. Еелй А (х) и В (х) — многочлены, показать, что \ ~в) ( dx
содержит член ■ _, ^™7 log Ι χ — Ъ I для каждого простого корня 6 многочлена 5 (х).
Эти члены дают полную величину интеграла, если В (х) имеет более
высокую степень, чем А (х) и если все корни В(х) — простые и действительные.
22* Воспользовавшись задачей 36 к гл. V, вычислить интеграл
ас
С dx .1
\ -~й—- . Ответ: интеграл равен сумме, во-первых, члена — log | χ — 11,
1
кроме того, для четного η члена — log | χ + 11 и во всех случаях еще
суммы —-— членов вида 2R ( — \og(x-*bk) J, где Ъ^ = е1й"к, ак~-^—
или, в раскрытом виде,
log 1 — 2х cos а/с + х2\ sin αΛ arc tg ( : — ).
23. Кривая, заданная уравнением /(ж, у) = 0, называется уникурсальной,
если ее уравнению можно удовлетворить, положив ж и t/ рациональными
функциями параметра ί, причем эта пара функций-дает все точки кривой.
Если для рассматриваемой области изменения аргумента χ уравнение
/ (я, у) =s 0 определяет у через χ и J? (ж, у) — рациональная функция χ и у,
X
показать, что интеграл V R (ж, у) dx приводится к интегралу от рацио-*
нальной дроби.
24. Если / (ж, у) — многочлен степени η и (ж0, у0) — кратная точка
(и —1)-го порядка, тогда уравнение /(ж, у) = 0 является уравнением уни-,
курсальной кривой; определение понятия уникурсальной кривой дано
в задаче 23. Указание. Прямая линия у — у0 = t (ж — х0) будет пересекать
нашу кривую не более чем в одной точке, отличной от (ж0, у0)> так что,
если мы исключим у из этих двух уравнений, мы получим уравнение
первой степени относительно х. Таким образом, χ и у выразятся
рационально через ί.
25. Если Рп(ж, у) — однородный многочлен степени η и Рп-Х(х> у) —
однородный многочлен степени η — 1, тогда уравнение Рп (ее, у) ■+·
+ РПшт1 (ж, у) = 0 является уравнением уникурсальной кривой. Кривая
третьего порядка, ж3 + г/3 ·= ху, является примером такого уравнения.
Указание, Воспользоваться задачей 24 с (ж0, у0)*=(0, 0). Для указанной
кривой третьего порядка
2β. Кривая f(x, у) = 0 является уникурсальной, если уравнение,
получаемое иекддючением у из уравнений f(xf г/)=»0 и г/ = тжН-*, будет
уравнением первой степени относительно х. Это предложение аналогично
предложению из задачи 24, с кратной точкой, «находящейся в бесконечности
в направлении у~тх». В самом деле, проективное преобразование Х=*— ,
Г= У~~та: переводит кривую/(ж, 2/) = 0 в кривую F(X, Г) = 0, име-
ж
ющудавид, рас€мотреин>1Й-в задаче 25, так как прямая y^mx + t toepe-
ход»| в Г = *Х.

260
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VI
27. Воспользоваться приемом, указанным в задаче 26, положить
^s=r£c +ί. для рационализации уравнения кривой у(х — г/)2=« и отсюда
показать, что для χ и у, связанных этим уравнением,
X
28. Для конических сечений η = 2 и вместо кратной точки порядка
λ — Ι, упоминаемой в задаче 24, мы должны взять простую, так что любая
точка кривой оказывается пригодной. Если у2 = ах2 + Ъх + с и yl — axu +
•\>Ъх0 + с, то показать, что у — у0 = t(χ — х0) приводит к подстановке,
рационализирующей интеграл
χ
\ R (х, У ах2 + bx + c) dx.
В частности, если с>0, то одной из возможностей будет х0 = 0, y0 = V с
я у= Vc + tx.
29. Показать, что в задаче 28, если а > 0, мы можем применить метод
задачи 26, положив т = Уа, и использовать уравнение у = Υ ах -f-1 для
рационализации интеграла от R (#5 V ах2 -f bx + с).
. 30. Показать, что если кривая является уникурсальной, то кривая,
•ей инверсная, полученная преобразованием задачи 15 к гл. \, также
уникур сальна. В· частности, выразить χ и у рационально через параметр t
для уравнения лзмниокаты (ж2 + 2/2}2 = #2 — у2, воспользовавшись для этого
задачей 29 для инверсной кривой: Г2 = Х2 — 1. Для χ и у мы получим:
х= — _ц—_£ и t/=—ts—т^ · Отсюда показать, что если χ и у связаны
уравнением лемнискаты, то
X
s
^l0"Wt/2
у («*+»■+4")
31. Показать, что если g(x) можно т+1 раз последовательно
проинтегрировать в конечном виде, то интеграл от хт g (x) может быть найден
при помощи интегрирования по частям т + 1 раз. Указание. Положить
g(x) = f(m+1)(x) и применить индукцию.
32. Е?ли g{x) можно проинтегрировать последовательно m-f-1 раз
в конечном виде, то интеграл от g(x)t умноженный на многочлен степени
не выше /«, в|ожет быть найден интегрированием по частям. Указание.
Воспользоваться задачей 31.
χ
83. Предполагая, что \ g(x)dx = f(x), где / (х) — известная нам функция,
показать, что интеграл от обратной функции £Гг(х) может быть найден
в явном виде. Указание. Бели
' ' * У V
у = г1 (*). то ^ Г1 (*) dx = ^ ygr (у) dy = V уf" (у) dy;
затем использовать задачу 31.
34. Пусть у ess/-ι(ж) — функция, обратная /(у), а эта Последняя
является многочленом от некоторого числа переменных, каждое из кото-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VI
261
рых равв# yire0y* &in Ъу или cos by. Показать» что если Ρ (χ> у) — многочлен,
X
то интеграл \ Ρ (ж, y)dx может быть выражен в элементарных функциях.
Как частные случаи, мы имеем: */=1пж, у«arc sin х9 у = arc cos x,
χ
у = ar sh χ и у = arch χ. Указание. Если χ = /(у), то интеграл \ Ρ (я,/-1 (x))dx =
χ
= \ P(f(y)>y) f'(y)dy является интегралом, рассмотренным в § 139.
85. Если R (cos x, sin χ, у) — рациональная функция своих аргументов
и у2 = а + Ъ cos гс + с sin xt то показать, что интеграл от R является, вообще
говоря, эллиптическим интегралом. Указание. Положить ί == tg— , как
в § 138.
36. Показать, что если с = 0 и b==-j-a или если 5 = 0 и с=-|-а, то
интеграл из задачи 35 рационализуем.
37. Воспользовавшись рассуждениями, подобными рассуждениям
из § 142, показать, что интеграл от рациональной функции R (ж, у), где
у2 = ах2 + Ъх + с, может быть сведен к вычислению интегралов вида
X XX
С xdx - С dx С dx
\ , \ — и \ г— ,. Этот прием часто более предпочтителен, чем
непосредственная рационализация интеграла. Последние три вида
интеграла разобрапы в следующих четырех задачах.
88. Предполагая в задаче 37 афО, проверить формулу
χ χ
С xdx у Ъ С dx
J у ~~ а 2а J у
39. Если у2*=*ах2 + Ъх + с, показать, что, при а = 0 и ЬфО,
X X
С dx 2 ,/f—— ^ Λ f dx 1 . 2ах+Ь
\ 7- =-τ- V Ъх + с, при а < 0, \ — = -—arcsm ■ _ и при
3 У Ь * 3 У γα Yb2-kac
χ
а > 0, \ —==-_ log Гаж + Т + γα {αχ2 + Ъх + с) Ί ..
40. Если у2 = ах2 + Ъх -f- с и г — действительное число, то показать,
χ
1 С dx
что подстановка ж = г — — сведет интеграл \ -. ;— к интегралу по
переменному ζ одного из типов, вычисленных в задаче 39.
41. Если у2 = ах21-Ьх + с, а Φ 0 и г — не действительное число, то сумма
двух комплексно сопряженных величин
*С dx , J: I dx
l(*-r)V J(x~r)y
* f (sx + t)dx
может быть записана в виде \ ; , где все постоян-
J (х2 4- ρ' χ + д') У а (х2+рх+я)

262
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VI
ньго действительны. Доказать, что преобразование, использованное в § 141
для приведения выражения в равенстве (144), приведет наш интеграл к виду:
dz
Г zdz [.£>{ dz
J (Α' ζ*+Β') γΑζ*+Β J (A' s2 + Β') γ",
Az* + B~
r>
Если положить в первом интеграле Αζ2-\- 2? = г2, а во втором А 4- — = г2,
t
то новый вид интегралов будет \ Ер,р » а этот последний может быть
вычислен, как указано в § 137.
42. Показать, что подиитегральная функция Л (ж, γαχ + Ъ, \/cx-{-d)
может быть приведена к рациональной. У кивание. Положить. ах + Ь =
= аА( 2 + т~ ; и сгс + ^ = с^(* )» если а ис имеют одинаковые
1 / Ь d \ „
знаки и если знак Л=-т- [ ) совпадает со знаком а и с. Если
4 ν α су
знак ^4 не совпадает со знаком а и с — изменить знак Л заменой α и &
соответственно через с и d. Если α и с имеют противоположные знаки,
/2ί\2 /1— £2 \2
положить ах + Ъ = аА I -—-2 J и cs + 6g= -<?Л ( t a J и выбрать
& d
обозначения так, чтобы А= имело тот же знак, что α я — с
а с
Г „ /" , /"αϊΤΪ ,/α + Λ,
43· Показать, что интеграл \ й( ж, 1/ » |/ ■ 1 аж рацио-
1
нализируем. Указание. Положить г/= и затем воспользоваться
решением задачи 42.
X
44. Показать, что интеграл \ (ах + by x* dx, где ρ и ?—рациональные
числа, может быть рационализован, если одна из величин р, д или p-\-q
является целым числом. Указание. Первые два случая сводятся к одному
из случаев, разобранных в § 138. Если p + q является целым, интеграл
, &
сводится к предыдущему случаю подстановкой t = а -\ .
45. Если η — целое положительное, показать, что \ х~п ех dx может быть
сведен с помощью последовательных интегрирований по частям к
Интеле
Г ех
гральной показательной функции \ — dx.
46. Если в задаче 8 к гл. IV аа_х = а (χ) φ 0, то показать, что
--W еА^хК где А (х)= \ a(x)dx и ТГ0—значение вронскиана W
в точ-
ке х0. Наша формула показывает, что если УУфО в какой-либо точке ж0,
то он всюду отличен от нуля.
47. Показать, что эллиптический интеграл третьего рода из равенства
(140) при а = 0 или из равенства (189) при г = 0 может быть выражен
через эллиптические интегралы первого и второго рода. Указание. Исполь-
вовать равенство (169), положив М= — 1.

Глава VII
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
В предыдущей главе было доказано, что достаточным условием
интегрируемости функции является ее непрерывность. В
настоящей главе мы получим несколько необходимых и достаточных
условий интегрируемости ограниченной функций.
Эти условия, в частности, дают возможность показать, что
ограниченная функция, непрерывная ца сегменте роюду, &а доклкь
чением конечного или счетного множества точек, будет
интегрируемой. Мы также покажем, что монотонные .функции
интегрируемы и что связанные с ними функции с ограниченной вариацией
также интегрируемы.
146. Интегрируемые функции. В § 121 мы определили,
что ограниченная функция f(x) является интегрируемой на
сегменте я, 6, если
η
стремится к конечному пределу для любой последовательности
разбиений сегмента а, 6, такой, что 8М —»0, причем этот
предел является одним и тем же для всех последовательностей. Мы
напомним, что разбиение определяется точками
а = х0 < xt < х2 < .. .[< хп = Ь (2)
и что
δ£ =жг — х^х и 8м = п1ах(8г), (3)
а £| имеют любые значения, удовлетворяющие неравенствам
Xt-i<tt<*t· (4)
147. Верхний и нижний интегралы. Пусть функция j(x)
ограничена на сегменте а, Ь. Тогда, как следует из § 31, она обладает
нижней гранью т и верхней грайью Μ на указанном сегменте.
Подобным же образом на йайсдом Частичном сегменте ^19xt
наша функция /(#) обладает нижней гранью nif to верхней
гранью Mi9 причем
m^mi^Mi^M. (5)

264 ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Для любого разбиения (2) мы определим верхнюю
интегральную сумму с помощью равенства
η
J=^Mibi. (6)
ί«=1
Так как все bt положительны, то
η η
Таким образом, всевозможные значения £ ограничены снизу и,
как следует из § 10, имеют нижнюю грань /. Мы назовем
величину / верхним интегралом функции f(x) по сегменту а, Ь и
обозначим ее \ / {х) dx. Мы докажем, что для любой
последовательности разбиений, такой, что δΜ—»0,
£->7=^ f{x)dx. (8)
Сначала мы рассмотрим функцию, для которой т > 0,
следовательно и Μ > 0.
Из определения / как нижней грани следует, что для всякого
положительного г существует некоторое разбиение, для которого
верхняя интегральная сумма S' такова, что
7<5'<7 + «Г (9)
Предположим, что разбиение, соответствующее верхней
интегральной сумме S', имеет N частичных сегментов; обозначим
точки деления через х], а длину /-го частичного сегмента
—через 8j.
Рассмотрим какое-либо разбиение с δΜ =η, пусть S = ^Mt δ?· —
соответствующая верхняя интегральная сумма. Мы
разделим эту сумму на две части: сумму Sl9 распространенную на те
сегменты, для которых точки х] не являются внутренними
точками, и сумму 6*2, распространенную на те сегменты, для
которых одна или более точек Xj являются внутренними. Так как
может быть не более iV— 1 внутренних точек' χ] , то сумма S2
содержит*не более N членов. Для каждого такого члена Мг
не превосходит Μ и δ не превосходит η. Поэтому
S2<NMti. (10)

147 i ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ИНТЕГРАЛЫ
265
Каждый чйен суммы Si соответствует некоторому сегментуг
целиком принадлежащему некоторому частичному сегменту
x'j-u x'j- Пусть член суммы S' для этого частичного сегмента
будет MjVj. Теперь рассмотрим все члены суммы St — обозна-
чим их МцЪ^9 — ще индексы Ц означают, при
фиксированном /, такие значения i, для которых справедливы неравенства
x'i-i<Xt-i<Xi<x'h (И)
Так как для выбранного значения / сегменты х^19 xt
являются частичными сегментами /-го сегмента δ/ и они не. имеют
общих внутренних точек, то,
2*ι/<«ί и Μν<Μ}. (12)
I
Но δί;· > 0 и Μ а 7& т > 0, поэтому
2 Ми bi} < Μ) 2δϊ/ < M'i δ>· (!3)
2 I
Суммируя последние неравенства по всем /, мы найдем*
St<S\ (14>
Из неравенств (10) и (14) мы получаем
S^Sl + S%<Si + NMil. (15>
В то же время из определения / как нижней гранд имеем:
7<s. (16)
Неравенства (16), (15) и (9) дают:
7<S<T+e + NMyi. (17)
Для всякого положительного е разбиение, которое обладает
верхней интегральной суммой S', удовлетворяющей условию (9),
определяет число N. Если мы возьмем любое разбиение, для
которого
8*=ч<мг». <18>
то из (17) будем иметь:
/<*У</ + 2з или |"5—7|<2*. (19)
Последние два неравенства показывают, что! для любой
последовательности разбиений, для которой δΜ —>l0t
lim5 = 7, (20>
что мы и хотели доказать.

266
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Если т<0, то мы заменим /_(#) через f(x) + k, где
А--такое, что m-ffe>0. Тогда S ш 1 заменится через «У + к(Ь — а)
и / + к(Ь — а), и заключение, что Ит5 — I дли /(#), будет
следовать из соответствующего заключения для / (х) + к.
Мы определим нижнюю интегральную сумму с помощью
равенства
η
s=2™iV (21)
ί=1
Рассуждая та& же, как и выше, можно доказать, что
всевозможные значения S имеют верхнюю грань I и что для любой
последовательности разбиений,, для Которой δΜ—>0, имеет место
соотношение
S-*I_= \bf(x)dx. (22)
Мы назовем последнее выражение, или, что то же самое, /,
нижним интегралом функции f (х) по сегменту а, 6. Из
соотношений (5), (6) и (21) следует, что
~S>S, (23)
откуда и из соотношений (20) и (22) мы имеем:
7>/. (24)
Этим объясняемся, почему мы нижнюю грань J назвали верхним
интегралом.
Из определений (1), (6) и (21) следует, что
S>S^S. (25)
Пусть / = / тогда, применяя теорему из § 23 к последнему
неравенству и имея в виду соотношения (20) и (22), мы заключаем,
что, при Sjvf—>0, lim S = /=>/. Тем самым функция
интегрируема и ее интеграл / равен общему значению /и/.
Докажем обратную теорему. Прежде всего отметим, что для
любого разбиения, определяемого точками (2), мы можем найти
точки ξί9 такие, ^то
■Mt-ii<t(U)<Mlt (26)
где η— заранее фиксированное произвольное положительное
число. Это следует из определения Mt как верхней грани.
κ Для такого выбора точек ξ€ мы ик*еем:
£-η(δ-α)<£<1 (27)

148.-ВНЕШНЯЯ ЖОРДАНОВА МЕРА
267
Рассмотрим произвольную последовательность разбиений, для
которой 8М —>(λ Пусть в —произвольное положительное число,
возьмем для каждого разбиения η =, ^ . Таким образом мы
определим последовательность интегральных сумм S,
удовлетворяющих неравенству
S-~s<S<S. (28)
Теперь предположим, что функция f(x) интегрируема в
сегменте а, 6. Тогда, при Зм —^0, наша суммы S стремятся к /.
Но S—>h поэтому из последнего неравенства следует, что
7_ε</<7 или Т=1, (29)
так как е произвольно. Подобным же образом можно показать,
что /=/. Следовательно, если f(x) интегрируемая функция
то / = /„ Тем самым мы доказали теорему Дарбу:
Необходимым и достаточным условием интегрируемости овраг
ничейной функции в некотором сегменте является, равенство
верхнего и нижнего интегралов, взятых по этому сегменту.
В этом случае интеграл от функдии равен общему значению
верхнего и нижнего интегралов.
148» Внешняя жорданова мера. Пусть Ρ есть множество
точек, лежащих в сегменте а} Ь. Функция φ (ж), равная 1, если χ
принадлежит Р, и равная 0, если χ не принадлежит Р,
называется характеристической функцией множества Р. Верхний
интеграл от функции φ (χ) называется внешней мерой в смысле
Жордана, или внешней жордановой мерой множества Р. Мы будем
обозначать ее С или, когда рассматриваются различные точечные
множества, С(Р). Таким образом, С является нижней гранью
сумм вида:
образованных для функций φ (χ) с помощью разбиений,
осуществленных точками (2). Но, каков бы ни был частичный
сегмент x^lf хи величина Мг для функции φ (χ) равна единице,
если этот частичный сегмент содержит точки множества Р9 и
равна нулю, если этот сегмент не содержит точек из Р; это
показывает, что S равна сумме длин тех частичных сегментов,
которые содержат точки множества Р, причем эти точки могут быть
как внутренними, так и граничными точками сегмента.
Мы покажем, что внешняя жорданова мера может быть
определена при помощи сумм длин некоторого множества сегментов
более общего характера, чем те, на которые данный сегмент
разбивается точками (2).

268
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим конечное число каких-нибудь открытых или
замкнутых интервалов F. Эти последние могут иметь точки вне
я, Ь и могут перекрываться. Пусть L—сумма длин всех
интервалов F, будем называть ее просто длиной множества этих F.
Скажем, что выбранное множество интервалов покрывает
множество Р, если каждая точка Ρ принадлежит по крайней
мере одному интервалу, входящему в наше множество.
Для любого множества интервалов F, покрывающего точечное
множество Р9 мы образуем разбиение сегмента а, Ь следующим
образом. Пусть aj — концы F% таких точек конечное число N.
Выберем какое-либо положительное число е% меньшее минимума
расстояний между двумя различными точками а]9 и положим
η = 5^ . Теперь воспользуемся точками а, 6 и всеми точками
β/ — η, яу + η, принадлежащими открытому интервалу а, 6, как
точками разбиения #7·.
Для этого разбиения и для характеристической функции φ (χ)
множества Ρ мы можем образовать верхнюю интегральную сумму
S согласно (30). Разобьем эту сумму на две части. Пусть Si
обозначает ту часть суммы, для которой соответствующие ей сегменты
не содержат точек α7·, a S2 обозначает ту часть суммы, каждый
сегмент которой содержит по крайней мере одну точку α7·. Так как
существует не более N сегментов, содержащих точки α7·, то, в силу
выбора η и в,
£2<2М)<е. (31)
Так как всякая точка множества Ρ лежит в некотором
интервале F, а сегменты, дающие члены суммы Slr не содержат
койцов jP, т. е. точек α7·, то сегмент разбиения, длина
которого, умноженная на единицу, входит в сумму Si, целиком
содержится в некотором F. Кроме того, если несколько таких
Ьегментов содержатся в одном и том же F, то, так как они не
перекрываются и не имеют общих концов, сумма их длин меньше
длины соответствующего интервала F. Все это показывает, что
SX<L. (32)
Следовательно,
5 = 51 + 52<L + e и L>S — е. (33)
Число L — сумма длин всех F — всегда положительно. Поэтому
значения величины L ограничены снизу нулем и, следовательно,
имеют нижнюю грань Z/. А так как любая сумма $ равняется сум-

149* ЖОР ДАНОВ А МЕРА НУЛЬ 269
ме длин некоторой системы сегментов, покрывающей множество
iYa С является нижней гранью значений S, то
L'<C. (34)
Но если мы возьмем множество интервалов F, для которого
L < V + е, и образуем сумму St удовлетворяющую неравенству
(33), то мы получим:
L'>L-z>S — 2s > С-2s. (35)
Так как s произвольно, то из последнего неравенства следует,
что
L'>C. (36)
Соотношения (34) и (36) могут иметь место, только если
V^C. (37)
Таким образом, мы приходим ко второму эквивалентному
определению внешней жордановой меры точечного множества Ρ как
нижней грани длин всех конечных множеств интервалов,
покрывающих множество Р.
149. Жорданова мера нуль. Мы употребили термин «внешняя
жорданова мера» потому, что при более полном изложении теории
интеграла определяется также понятие внутренней жордановой
меры. Показывается, что внутренняя жорданова мера любого
множества должна быть меньше или равна его внешней жордановой
мере. Термин «жорданова мера» сохраняется для множеств,
для которых внутренняя ж внешняя жордацовы меры совпадают.
Когда внешняя жорданова мера равна нулю, тогда и
внутренняя жорданова мера непременно равна нулю, — и наше
множество обладает жордановой мерой, равной нулю. Таким образом,
мы можем употреблять термин «жорданова мера нуль», вместо
термина «внешняя жорданова мера нуль».
Пусть f(x) и g(x) определены на сегменте а, Ь. Пусть обе эти
функции ограничены, так что для некоторого Μ имеем:
\f(x)\<M я \g{x)\<M. (38)
Предположим, что f{x) = g{x) для всех χ из а, 6, не
принадлежащих некоторому точечному множеству Р. Тогда, если φ
(χ)—характеристическая функция множества Д то. мы получим:
| S} - Sg | < 2MSr I Sf - Sg | < 2MSr (39)
где индексы при S указывают, для какой функции составлены
соответствующие суммы. Если обе функции интегрируемы, то,
расшатривая^иследователъность разбиений; для которой Ъм—► О,

270
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
мы из последних неравенств получим:
\If-Ig\<2MC(P). (40)
Если множество Ρ имеет жорданову меру нуль, то из (39)
заключав что
7, =7, и /,=!,. (41)
Цоследние равенства показывают, что если одна из функций
интегрируема, то. другая также будет интегрируемой, и их
интегралы будут равны между собой.
Наше заключение приводит к расширению понятия интеграла
на функции, определенные вд сегкенте а, Ь всюду, за
исключением множества с жордановой мерой нуль. Если такая функция
обладает интегралом, когда мы положим ее равной нулю в точках
^но^кества, на котором она не определена, то мы скажем, что наша
функция интегрируема на сегменте а, Ь. В силу только что
доказанного, мы видим, что значение интеграла не изменится,
если мы заменим нулевые значения функции на этом множестве
с жордановой мерой нуль любым ограниченным множеством
значений.
150. Колебание функции в точке. Колебание ограниченной
функции в каком-либо интервале было определено в § 31 как
разность М — т между верхней и нижней гранями функции на
этом интервале. Рассмотрим теперь ограниченную функцию f(x)
для значений, близких к х0. Пусть
Йщ/(ж) = / и lim/(*) = /■ (42)
Тогда, каково бы ни было положительное г, в произвольном
интервале, содержащем точку х0 в качестве внутренней точки и
имеющем достаточно малую длину h < 8е, для всех значений χ Φ xQ
мы будем иметь:
/(*)</ +ч /<*)>/—; (43)·
такцсе для любого положительного η и для Некоторых значений.
х' их", принадлежащих указанному интервалу длины А, мы будем
иметь:
/(*'")> 7-Ъ /(*")</ +Ч: (44)
Пусть теперь Mq — наибольшее из чисел / (#е) и /,
а.лг0—наименьшее из чисел / fa) и /. Тогда колебание в достаточно малом
интервале, содержащем точку ж0, не может превзойти
Μ 0 — т0 + 2ε
(45>

151- УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ТЕРМИНАХ ШОРДАН. МЕРЫ 271
и в то же время будет це меньше
Λί0 —me— 2^ и, следовательно, не меньше М0 — т0, (46)
потому что η остается произвольным при фиксированном е. Таким
образом, для любо$ последовательности интервалов, содержащих
точку х0 как внутреннюю точку, и длина которых стремится
к нулю, колебание стремится к ДГ0 —т0. Эта величина называется
колебанием функции в точке х0. Так как всякий интервал, бодер-
жащий точку х0 в качестве внутренней точки, содержит также
точки х' и χ", для которых имеет место соотношение (44), то
для этого интервала
М>М0-у\, m<m0 + ri (47)
и
Μ — т > Μ о — ть — 2η, следовательно, Μ — т > Мй — тй9 (48)
так как η — произвольное положительное число. Последнее
приводит к второму эквивалентному определению колебания
функции в точке, как нижней грани значений колебания на всех
интервалах, для которых х0 является внутренней точкой.
Если функция непрерывна, то ^==/ = /(ж0), так что Μϋ = τη0
и колебание функции в точке равно нулю; обратно, если
Д/0 = т0, то из неравенства Af0 > / (#о) > и^о следует ^ что»
f(3^) = M0 = m0^=f = f и функция непрерывна. Таким образом,
необходимым и достаточным условием непрерывности функции
в точке является обращение в нуль колебания функции в этой
точке.
Для определения колебания функции в левом конце сегмента
мы воспользуемся понятием верхнего и нижнего пределов справа
и будем рассматривать интервалы, имеющие точку а свои»! левым
концом, и аналогично для определения колебания в правом конце.
Наша теорема будет тогда применима и к концевым точкам, если
иметь в виду наше определение понятия непрерывности для
концевых точек сегмента.
161. Условие интегрируемости в терминах жордановой меры»
Мы теперь докажем теорему Жордана:
Для mqeo чтобы ограниченная функция была интегрируема на
некотором сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого
положительного έ внешняя жорданоаа мера множества Р& тех
точек, в которых колебание функции больше или равно з, была
равна нулю.
(дначала докажем, что условие достаточно. Выберем
положительное s. Так как внешняя жорданова мера точечного множества
Ρε равна нулю, точечное мцожество Ρε можно покрыть конечным
множеством сегментов или интервалов F, сумма длин которых

272
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
меньше е. Если множество F содержите сегментов ctf ,δ/, то мы
заменим ..каждый такой сегмент интервалом Я/ —«лг? * ^^Ш'
Тдким путем покроем Р& (см; § 11) множеством интервалов F"',
сумма длин которых L' будет меньше 2s.
Теперь мы рассмотрим точечное множество Q тех точек
сегмента а, Ь, которые не принадлежат множеству Ре. Так как
колебацие в любой точке ж0 множества Q меньше е, то мы можем
покрыть точку %о таким интервалом G09 в котором колебание
функции будет меньше 2s. Пусть G — бесконечное множество таких
интервалов G0. Тогда, так как G покрывает Q, a F' покрывает.
Ре, то множество интервалов G вместе с множеством интервалов
F' покрывает (в смысле § 11) сегмент а, Ь. Следовательно, по
теореме Гейне—Бореля из этого множества мы можем выбрать
конечное число интервалов С, которые' покрывают все точки
сегмента а, Ь. Пусть концевые точки интервалов С будут a'j.
Таких точ:ек конечное число N'. Пусть η —положительное число,
такое, что 2ΛΓ'η < s. Примем теперь точки а, Ь и те из точек
я/ — η и α/ + η, которые принадлежат интервалу а, 6, за
точки xt разбиения (2).
Мы будем при этом различать три типа частичных сегментов.
Пусть Нх составляют те сегменты, которые содержат по крайней
мере одну точку а). Для какой-либо одной точки а) частичный
сегмент, ее содержащий, или два смежных частичных сегмента, для
которых .а/ служит общим концом, должны либо совпадать с
сегментом а) — η, а) + η длины 2η, либо составлять его часть. Поэтому
сумма длин всех сегментов Н1 не превосходит величины 2ΛΓ'η,
которая, меньше s. Всякий частичный сегмент, не
принадлежащий к множеству Hi, покрывается одним из интервалов G\ так
как такой сегмент не содержит конечных точек интервалов С, т. е.
точек а).
Обозначим через Н2 те частичные сегменты, не принадлежащие
К И и которые могут быть покрыты интервалами G', являющимися
также интервалами F'. Так как такие Частичные сегменты не
перекрывают друг друга, то сумма длин сегментов Н2 не может
превзойти суммы длин интервалов F', т. е. числа Ь\
меньшего 2з.
Наконец, обозначим через Нг те частичные сегменты, которые
не принадлежат ли к Нг ни к Н2. Эти сегменты покрываются
интервалами G'f не являющимися интервалами F', и поэтому
являются интервалами (Со, в которых колебание функций не
превосходит 2 г.
Образуем теперь верхнюю и нижнюю интегральные суммы для
нашего: разбиения:

151. УСЛрВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ТЕРМИНАХ ЖОРДАН. МЕРЫ 273
Тогда
;*-.$« 2(*«-»»i)*i· (5°)
Для частичных сегментов Нг имеем; М\ — Щ < 2з, общая длвдт
этих сегментов меньше Ь — а, и величина
2г(Ъ-га) (51)
будет ограцичивать сверху привзнос в сумму (50) ? слагаемых,
отвечающих сегментам НьШ Для частичных сегментов Hi и Н2
колебание не больше Μ — т, и, как уже отмечалось^общая длина
частичных сегментов Нг и Н2 вместе не больше е + 2з, т. е, Зг.
Таким образом, общий привзнос в сумму (50) членов,
соответствующих частичным сегментам Нг и /72, ограничен числом
3s(M-m). (52)
Все это доказывает, что ,
S~-S<2e(b-a) + 32(M-m). (53)
Последнее неравенство остается справедливым, если мы вместо
только что рассмотренного разбиения возьмем какое-либо
разбиение, получающееся из данного добавлением новых точек деления
zi9 при сохранении всех старых. Добавление точек деления можно
производить таким образом, чтобы ом —* 0, поэтому мы можем
заключить, что
7~-/<23(6~a) + 32(ii/Vm), (54)
Так как з произвольно, то из последнего неравенства следует,
что / — / = 0 и наша функция интегрируема, в силу теоремы
Дарбу из § 147; тем самым достаточность условия доказана.
Для доказательства необходимости нашего условия обозйачим
через Се внешнюю жорданову меру точечного множества Ρε.
Рассмотрим теперь для какого-либо разбиения суммы S и S, Из
второго определения колебания функции в: точке следует, что
колебание функции в интервалах G, содержащих точки
множества Р9 среди своих внутренних "точек, нр меньше $, т. е.
Μι—17^>е. Но точки Ре, не являющиеся внутренними точками
интервалов G, могут быть только концевыми точками этих
интервалов. Так как ,таких точек конечное число, скажем Ν,
все их можно покрыть конечным числом интервалов С, с
суммой длин η, заключая каждую из них в интервал GJ длины ^L .
Если L — сумма длин С, то интервалы G вместе с
интервалами С имеют сумму длин, не превосходящую L + η.
Но интервалы G и G' покрывают множество JP,. Поэтому

274 ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
из определения Се как нижней грани мы имеем:
L + η > Cft или L> Се* (55)
ибо η произвольно для данного разбиения и фиксированного г.
Привзнос, соответствующий любому частичному сегменту в сумму
S-i«2(lff-mf)8ff (56)
всегда положителен или равен нулю. Привзнос же в эту сумму,
соответствующий интервалам G, а.эти последние имеют общую
длину L > С*, и для них Mi — mi > г, не меньше
зСв, (57)
так что
St-S>eCB: (58)
Так как эта оценка справедлива для всякого разбиения, то
для любого положительного числа е имеем:
7—/>·£,. (59)
Так как Се необходимо положительно или нуль, то если бы С&
не равнялось нулю для всех значений ε, мы бы имели /~/>0,
и функция не была бы интегрируемой. Таким образом, доказана
и необходимость условия.
152. Внешняя мера· Условие интегрируемости упрощается,
если его выразить в терминах понятия внешней меры, которое
мы сейчас введем. Определяя внешнюю жорданову меру как
нижнюю грань, мы пользовались конечными множествами
интервалов,, докрывающими данное множество; сумма их длин была
названа длиной покрытия. Для внешней меры используется
бесконечная последовательность множеств открытых или замкнутых
интервалов. Каждое такое множество из последовательности
содержит все интервалы предшествующего ему множества и еще
некоторое количество новых интервалов. Каждое множество Нп
содержит конечное число N интервалов, однако число N
неограниченно возрастает вместе с п. Если LN—длина НП9 то LN
возрастает с η у так что либо
lim Ljf = L, либо lim L^ — + оо. (60)
Мы образуем счетное множество интервалов 1к, начиная
с, интервалов, принадлежащих Hlf и располагаем их в каком-
либо порядке, затем присоединяем в некотором порядке
интервалы, принадлежащие H2t но не входящие в Hlf и т. д. Если
обозначить через Lk длину к первых интервэлор, то величина ,Lk

153. МЕРА НУЛЬ
275
при k = N совпадет с L^, так как первые N интервалов
составляют Нп. Так как для любого к мы можем найти два таких
числа N и Ν', что iV < ft <iV', то, следовательно,
LN^Lk^LNt и limLk = limL^· (61)
Таким образом, последовательность множеств Н'п, где Нп
составлено-, из η первых интервалов 1к, составлена из тех же
интервалов, что и множества Нп первоначальной
последовательности, и имеют ту же длину. Эта последовательность Н'п
обладает тем свойством, что каждое Н'п содержит в точности
на один интервал больше, чем предыдущее.
Множество, полученное объединением всех Множеств Η ή
последовательности, будет состоять из всех интервалов 1к. Число L
мы назовем длиной этого множества.
Для произвольного точечного множества Р, лежащего на
конечном интервале а, Ь, существуют конечные и счетные
Множества интервалов 1к, покрывающих множество Р, в том смысле,
что любай точка множества Ρ является точкой по крайней
мере одного интервала 1к. Некоторые из таких множеств имеют
конечную длину L, так как сам интервал а, Ь с длиной 6 — и
является таким множеством. Так как эти конечные длины L все
положительны, то они имеют нижнюю грань, которую мы
назовем внешней мерой множества Р.
Итак, внешняя мера точечного множества Р9 лежащего на
конечном интервале, есть. нижняя грань длин всевозможных
конечных и счетных множеств интервалов, покрывающих
множество Р.
Это определение отличается от нашего второго определения
внешней жордановой меры только тем, что мы допускаем теперь
возможность покрытия счетным множеством интервалов. Так как
мы сохранили возможность использования ,и. конечных
множеств интервалов, которыми мы пользовались4 при определении
внешней жордановой меры, то нижняя грань длин
покрытий, используемых при определении внешней меры, будет
меньше или равна нижней грани длин покрытий, используемых
при определении внешней жордановой меры. Таким образом,
если мы обозначим через Μ или через Μ (Ρ) внешнюю меру Ру
то будем иметь:
М<С. (62)
163· Мера нуль· Соображения, подобные приведенным в § 149,
подсказывают, что множество с нулевой внешней мерой может
быть названо множеством меры нуль. Перед тем как доказать,

276 ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
я&о некоторые комбинации множеств меры нуль дают опять
множества меры нуль, мы установим одно свойство счетных-
множеств.
В § 2 мы назвали множество каких-либо объектов счетным,
лесди оно может быть располрщенр в виде дискретной
последовательности. Таким образом, конечное и' бесконечное
множество занумерованных интервалов Ilf l^ щ,л является
счетным.
Теперь рассмотрим счетное множество счетных множеств
интервалов JiJ·. Для каждого / дри i ψ 1,, 2, 3, .,. мы имеем
счетное множество интервалов, Счетное множество таких мцожеств мы
получим, полагая /.="1, 2, 3, . * \ Для каждого доложительного к
интервалы /i7-c i +j=H образуют конечное множество интервалов,
которое обозначим через Fk. Если мы расположив множества Fk
в порядке возрастания к и затем расположим интервалы каждого
множества Fk в порядке возрастания ίρ все интервалы 1ц будут
^перенумерованы;,
<*1Χ> ·*12* ·*21? ·*139 ·*22» ·*31' 14» ^23» ·*32> * 41 > * * * \Ρ&)
Тем самым показано, что счетное множество счетных множеств
интервалов может быть перенумеровано. (Ср. этот результат
с упражнениями 12 и 13 к гл. I.) Если для частного значения
/ множество интервалов 1ц конечно и имеет Nj интервалов,
мы опускаем-в последовательности (63) все 1ц, для. которых
для данного / индекс i больше iV;·. Также, если число множеств
конечно, скажем N', мы опустим все 1ц с индексом /,
большим N'. Последовательность интервалов (63) будет
бесконечной, если только мы не имеем конечного числа конечных
множеств.
Рассмотрим счетное число точечных множеств Pj. Пусть
каждое множество Pf имеет меру нуль. Мы можем образовать так
называемую сумму этих множеств, т. е. множество Р, состоящее
из всех тех точек, каждая из которых принадлежит по крайней
мере одному из множеств Pj. Теперь мы докажем, что множество
Ρ также имеет меру нуль. Так как точечное множество Pi имеет
меру нуль, оно может быть заключено в счетное множество
интервалов, общая длина которых L/ меньше --., где
е—произвольно фиксированное положительное число. Обозначим
интервалы этого счетного множества через 1ц. Тогда совокупность 1ц
может быть перенумерована, как это указано в (63). Мы можем
использовать полученную последовательность для образования
последовательности множеств интервалов НЛ9 принимая 1и за
Л19 1г1 вместе с частями /12> не входящими в /ш за ϋΓ2 и так

153* МРРА НУЛЬ
277
далее*). Тогда для любого η множество Нп состоит
из·конечного числа интервалов /f/ или их частей. Если N — наибольшее
значение / для интервалов и их частей, использованных для
образования НЛ9 то сумма их длин не превосходит
L1+L,+ ... + L* = -|- + i+...+^ = .(l-^)<«. (64)
Таким образом, длина любого множества Нп не превосходит е
и, следовательно, длина счетной последовательности множеств
Нп также не превосходит s. Но так как каждое Нл состоит
из конечного числа интервалов и их частей, то мы имеем
счетную последовательность интервалов и их частей, имеющую
ту же длину, что и последовательность множеств ЦП9 и содер*
жащую любую точку, принадлежащую какому-либо Нп. Но это
множество интервалов содержит каждую точку, принадлежащую
интервалам Ii]9 и, следовательно, всякую точку множества Р.
Тем сакыМ показано, что множество Ρ (сумма множеств Р;)
заключено в счетное множество интервалов с общей длиной,
не превосходящей а. Так как s — произвольное положительное
число, то множество JP имеет меру нуль. Мы таким образом
доказали следующее предложение:
, Множество, состоящее из всех точек, каждая из которых
входит по крайней мере в одно из счетного числа точечных
множеств меры нуль, имеет также меру нуль.
Так: как множество, состоящее из одной точки:, может быть
покрыто интервалом произвольно малой длины, то оно имеет
меру нуль. Следовательно, множество, состоящее из счетного
числа различных точек, также имеет меру нуль. В частности,
множество, состоящее из конечного числа точек, также меры нуль.
Рассмотрим множество, составленное из тех точек сегмента
0,1, координаты х. которых — рациональные числа. Эти точки,
образуют множество меры нуль, так как они могут быть
перенумерованы, как указано в § 2. Это множество иллюстрирует
*) За последовательность Ях, Я2, ..., Яп, ... конечных множеств
интервалов можно принять множества, состоящие из целых интервалов 1ц
(а не из их частей, как указано в тексте). За, Нг возьмем множество,
состоящее из одного /ш за Я2-т множество, состоящее из 11г и /12, за Я3 —
множество, состоящее из /и, /12, 1Л1, и т. д. Тогда очевидно, что длина
Ηп не превосходит величины -ψ + «^ + · · · + -ft и» как показывает
неравенство (64), будет меньше s. Через N обозначено наибольшее значение
индекса / для интервалов, входящих в Нп. Но последовательность Нг содержит
все интервалы 1ц и поэтому покрывает множество Р, откуда следует, так
как β — произвольное положительное число, что мера множества Ρ равна
нулю. Доказательство в тексте показывает существование покрытия, интер-
валь? которого не имеют,общих точе#. (Прим, ред.)

278
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
возможность неравенства в соотношении (62), так как если мы
произвольным образом разобьем сегмент 0,1 на частичные
сегменты, то каждый частичный сегмент будет содержать
рациональные точки, так что внешняя жорданова мера этого множества
]эавна 1. Таким образом, для рассматриваемого множества Μ = 0,
в то время как С = 1.
154. Замкнутые множества. Замкнутое множество точек было
определено в § 12, как такое множество, которое содержит все
свои предельные точки. Мы теперь докажем, что всякий раз,
когда множество Ρ замкнуто, внешняя мера множества Ρ равна
его внешней жордановой мере, так что вместо соотношения (62)
для замкнутых множеств мы имеем:
М = С. (65)
Сначала заметим, что, согласно определению Μ как нижней
грани длин покрытий, для каждого положительного ε
существует счетное множество интервалов, содержащих все точки
множества Р, общая длина которых L удовлетворяет
соотношению
¥<Ζ.<¥ + ε. (66)
Фиксируем е и определим счетное множество неперекрывающихся
интервалов G, удовлетворяющих условию (66) и содержащих
множество Р. Если мы заменим /г-й сегмент an, bn открытым
интервалом а'п— ^, Ьп + нп > мы получим новое множество С,
состоящее только из открытых интервалов, причем интервалы G'
покрывают множество Ρ в смысле, указанном в § 11, В силу
обобщенной теоремы Гейне-Бореля из § 12, мы можем найти
конечное подмножество интервалов С, которое покрывает
множество JP. Таким образом, множество Ρ покрывается
конечным множеством интервалов F'.
Пусть через F обозначено конечное множество интервалов,
принадлежащих G, которые соответствуют тем интервалам С,
которые' попали в ί", и пусть через Ε обозначено конечное
множество интервалов, добавленных к концам сегментов F для
образования интервалов F\ Каждому интервалу множества F
как интервалу, входящему в G, соответствует целое
положительное число, которое является его номером в исходном счетном
множестве. Так как имеется только конечное число таких целых
чисел, то среди них есть наибольшее, N. Если Ln является
суммой длин η первых интервалов G, то мы имеем:
£п<£л+1 и lim Ln = L, ф
(67)

155. ЗАМЫКАНИЕ
279
так что
LN<L. (68)
Далее, если L'n — сумма длин интервалов, добавленных к исходным
интервалам G для образования соответствующих интервалов С,
мы с помощью рассуждений, которые привели к соотношению (64),
получим:
L'n < 2© для всех п. (69)
Так как все интервалы множества F' находятся среди N
первых интервалов С, то сумма длин интервалов из множества F',
т. е. L(F'), удовлетворяет соотношению
L (F') <L,Y + L'N< L + 2s. (70)
Но из определения С как нижней грани длин конечных
множеств интервалов, содержащих все точки множества Р, мы
имеем:
C<L(F') (71)
и поэтому из соотношений (70) и (66):
С<1 + 2г<Ж + Зз, или С<Ж, (72)
так как з произвольное положительное число« Последнее
соотношение вместе с (62) показывает, что, для любого замкнутого
множества Р, С = М; таким образом, соотношение (65) доказано.
156· Замывание. Возьмем некоторое множество Ρ и
обозначим через Р' множество всех его предельных точек. Множество,
состоящее из всех точек, которые принадлежат либо Р, либо Р\
либо тому и другому, называется замыканием множества Р.
Обозначим такое множество через Р + Р' и докажем, что оно всегда
замкнутое. В самом деле, если (? —предельная точка замыкания,
то всякий интервал, содержащий точку Q, будет содержать либо
точки множества Р, либо точки множества Р\ Но интервал,
содержащий точку множества Рг, содержит предельную точку
множества Ρ и тем самым точки множества Р. Таким образом,
всякая точка Q непременно будет предельной точкой множества Ρ
и поэтому будет точкой множества Р\ Следовательно, множество
Р + Р' содержит все свои предельные точки Q и поэтому является
замкнутым множеством.
Пусть F — какое угодно конечное множество сегментов,
покрывающее множество Р. Мы покажем, что F должно содержать
все точки множества Р\ В самом деле, если х* — произвольная
точка множества Р'9 то мы можем выбрать последовательность
различных точек хп из Р, таких, что НтжЛ = ж' при п<п->Ьо, Так

280 ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
как множество F состоит только из конечного числа сегментов,
один из них должен содержать бесконечное число точек хп и,
следовательно, также и точку х'9 ибо сегмент есть замкнутое
множество. Тем самым доказано, что F покрывает и множество Р'.
Рассмотрим тецерь С {Р) — внешнюю жорданову rfepy
множества Ρt и С(Р + Р') — вкешпюю жорданову меру замыкания Р.
Так как Р + Р' содержит все точки множества Р, всякое
конечное, множество интервалов, покрывающих множество Р + Р'у
Докрывает множество Р. Поэтому
С(Р)<С(Р + Р'). (73)
Но для любого положительного ε мы можем найти конечное
множество интервалов F'9 докрывающее Р, такое, что его длина L
удовлетворяет соотношению
C(P)<L<C(P) + e. (74)
Присоединив к интервалам их концы, мы получим конечное
множество сегментов F, содержащее множество Ρ и имеющее ту же
длину L. Так как F покрывает множество Р} то оно покрывает
также его замыкание Р + Р', поэтому
C{P + P')<L. (75)
Из соотношения (74) следует:
С(Р + Р')<С(Р) + ε, или С(Р + Р')<С(Р),. (76)
так как ε произвольно. Сравнивая (76) и (73), мы видим, что
С(Р+ Р') = С(Р), (77)
т..е. знешйяя жорданова мера любого множества совпадает с
внешней жордановой мерой его замыкания.
Множество рациональных точек сегмента 0,1 иллюстрирует
эту теорему. Так как любая точка сегмента ОД является
предельной точкой для рациональных точек, то для множества Р,
состоящего из рациональных точек, множество Р' содержит все точки
единичного сегмента. Таким образом, Р + Р', замыкание этого
множества, состоит из всех точек сегмента 0,1 и C(P + P') = i,
что согласуется с (74) и с равенством С(Р) = 1, доказанным
в конце § 153.
166. Условие интегрируемости в терминах меры. Пусть
дана некоторая, ограниченная функция f(x) на сегменте a, b
и любое положительное е; рассмотрим определенное в § 151
множество Рй точек сегмента а, 6, в которых колебание
функции f(x) больше или равно е. Напомним, что колебание в точке жа

156. УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ТЕРМИНАХ МЕРЫ 2В1
является нижней гранью колебаний во всех интервалах, которые
содержат точку хь (в случае, если #0—концевая точка,
рассматриваются колебания в интервалах, имеющих х0 своим концом
и лежащих в сегменте, а, I). Если х0 предельная точка для Р^
то всякий .интервал содержащий, точку х0, будет содержать
точку множества jPg, и поэтому колебание функции / (х) в этом
интервале не меньше г. Отсюда следуем что колебание функ*
ции f(x) в точке х0 должно быть не меньше е, τ. е. точка х0 сама
принадлежит Рш. Тем самым доказано, что Ре явлйется
замкнутым множеством..
Пусть теперь D обозначает множество !точек сегмента а, Ь,
в которых f(x) разрывна. Мьг докажем, что если внешняя мера
множества D равна нулю, то функция f(x) интегрируема в α, 6.*
Мы показали в § 150, что если колебание функции / (х) в некоторой
точке равно Hyjpo, то /(#) непрерывна в этой точке, и обратно.
Таким образом, в любой точке множества D колебание
функции/ (х) положительно. Обратно, всякая точка, в которой
колебание положительно, является точкой разрыва, и все · точки
любого множества Р& содержатся в множестве D, Таким образом,
всякое счетное множество интервалов, которое покрывает мно*
жество D, покрывает также множество Ре; поэтому
М{Рш)<Мф). ,(78)
Но так как множество Р^ замкнуто, . в силу равенства (65)f
мы имеем:
С{РШ)=М{РЛ). (79)
Если теперь внешняя мера множества D равна нулю, то из
последних двух соотношений следует, что внешняя жорданова
мера множества Рй также равна нулю. Так как это справедливо
для всех в, то функция /(ж), в силу теоремы § 151, интегрируема
в сегменте а, 6.
Мы можем также показать, что, обратно, если функция / (х)
интегрируема, то множество D имеет внешнюю меру нуль. Для
1
этого положим е «= — , где η—целое положительное, и рассмотрим
ть
множество IV Так как f(x) интегрируема, то множество Р1 имеет
внешнюю жорданову меру нуль, поэтому, в силу (79), и его
внешняя мера тоже равна нулю. Для гг ===== 1, 2, 3, ... множества Р*
с 8 = —- образуют счетное число множеств меры нуль, к которым
мы можем применить теорему § 153 и заключить, что множество,,
состоящее из всех точек, входящих по крайней мере в одно из этих
множеств, имеет меру нуль. Но это последнее множество есть
множество D. В самом деле, мы уже знаем, что каждая точка
какого-либо Pt есть точка D и что в любой точке D колебание ρ

2&2
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
функции /(#) положительно. Так как всякое положительное
1 1
число ρ превосходит — , когда η превосходит — , то отсюда еле-
71 ρ
дует, что каждая точка D находится во всех Р& с достаточно
малым qx или, что то же, с достаточно большим п.
Таким образом, когда f(x)—интегрируемая функция, то
множество D имеет меру нуль, что и требовалось доказать. Тем самым
полностью доказана теорема Лебега:
Для того чтобы ограниченная функция была интегрируемой
в некотором сегменте, необходимо и достаточно, чтобы она была
непрерывной во всех точках этого сегмента, за исключением,
быть может, множества точек, внешняя мера которого равна
нулю.
Пусть g (χ) — функция переменной х, определенная с помощью
счетного множества функций /f (x), fsl, 2, 3, .»., таким образом,
что g (x) непрерывна в каждой точке, в которой непрерывны * все
функции и /$(#). Тогда, если g(x) ограничена и все ft (x)
ограничены и интегрируемы в сегменте а, Ъ, то g (x) также
интегрируема в этом сегменте. Точки, где одна из функций ft (x)
разрывна, образуют множества Dt меры нуль. В силу § 153,
множество D, состоящее из точек, входящих по крайней мере в одно
из множеств Di9 имеет также меру, равную нулю. Но g (x) должна
быть непрерывной всюду, за исключением, может быть, точек,
принадлежащих по крайней мере одному Dt, т. е. множеству D*
Таким образом, так как *g(x) — функция ограниченная и
непрерывная, за исключением множества точек меры нуль, то она
интегрируема. В частности, этот результат применим к конечному
числу функций ft (x) и показывает, что непрерывная функция от
конечного числа интегрируемых функций интегрируема, если она
ограничена.
157· Частные классы интегрируемых функций. Множество,
не содержащее ни «одной точки (пустое множество), можно
рассматривать как содержащееся в любом интервале и поэтому
имеющее внешнюю меру, равную нулю. Таким образом,
теорема § 122 об интегрируемости непрерывных функций содержится
в только что доказанном результате.
В § 153 мы видели, что множество, состоящее из счетного числа
различных точек, имеет также меру нуль. Поэтому из теоремы
последнего параграфа мы получаем важный частный случай.
Ограниченная функция, всюду непрерывная на сегменте или
непрерывная всюду, га исключением конечного или счетного множе*
ства точек, интегрируема на этом сегмецте.
158. Монотонные функции· Предположим, что функция / (х)
определена и монотонно возрастает на сегменте а., Ь$ в смысле,

158. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
283
указанном в § 27. Тогда
f(xi)<fix2) ПРИ я<#1<#2<6. (80)
В частности,
t{a)<f(x)<f{b) (81)
для всех точек χ нашего сегмента, так что функция /(х)
ограничена. Отсюда и из теоремы § 27 следует, что если мы будем
приближаться слева к некоторой точке х0 нашего сегмента, то
функция будет стремиться к пределу, который мы
обозначаем /(#0 — 0)·'
/(*„-)= lim f(x). (82)
Аналогично мы пользуемся символом / (#0 + 0), имея в виду предел
справа:
/(«· + )*= lim /(*). (83)
X-WC+
Колебание функции f (х) на сегменте x0—-ht x0 + h, вследствие
равенсява (80), выражается в виде:
f(x'o + h)-f(x0-h). (84)
Поэтому для колебания функции f(x) в точке х0, как оно было
определено в § 150, мы имеем выражение
/(*. + )-/(*.'-). (85)
Йредположим теперь, что имеется N точек xt сегмента a, Ь,
в которых колебание функции / (х) не меньше з. Из соотношений
/(αχ/te-); /<*,)</(*,,,-); /(*,+ )'</(*) (86)
следует, что
f(b) — f(a)^N* HiV</(&)~/(o) . (87)
Мы видим, что для данного β имеется не более конечного. числа
точек множества Р6. Начиная с точек, в которых колебание больше
или' равно 1, затем взяв те точки, колебание в которых меньше 1,
но больше или равно 1/2 и т. д., мы перенумеруем все точки,
в которых колебание не равно нулю. На /г-м шаге прибавляется
лишь конечное число точек, ибо они входят в JPe при β = —- .
Так как функция непрерывна во всех точках, в которых
колебание равно нулю, то мы приходим к следующему выводу:
Функция, лонотокная на сегменте; непрерывна на этом
сегменте, за исключением, щ&мсет быть/.конечного или счетноеомно*
жества точек*

284
ГЛАВА VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Мы провели доказательство для монотонно возрастающих
функций; для монотонно убывающих функций мы можем либо
повторить аналогичные рассуждения, либо заменить / (х) на — /(ж).
Полученный результат в сочетании с теоремой § 157 приводит
# следующему:
Ограниченная функция интегрируема в каждом сегменте, где
она монотонна.
Так-как монШтонная функциям сегмента необходимо
ограничена, получаем предложение:
Всякая монотонная в некотором сегменте функция
интегрируема на этом сегменте.
169. функции с ограниченной вариацией. Сумма монотонно
возрастающей функции и монотонно'убывающей функции будет
непрерывной в каждой точке, которая не является точкой разрыва
ни для одного из слагаемых. Следовательно, такая сумма может
иметь не более счетного числа точек разрыва и поэтому
интегрируема на сегменте.
Такие функции, являющиеся суммами монотонно
возрастающей и монотонно убывающей функций, можно охарактеризовать
с помощью понятия вариации функции, к определению которого
мы приступаем.
Даш -функции /-(#), определенной -та сегменте а,Ь, и .для.
произвольного разбиения (2) сегмента a, b мы образуем сумму
л
» = 2l/(*i)-/(*i-i)|. (88)
Если значения ό для^ всевозможных разбиений будут
ограниченными, то f(x) называется функцией с ограниченной вариацией на
сегменте а, 6; при этом ν имеет верхнюю грань V, которая
называется полной вариацией, или просто вариацией, функции на
этом сегменте или от α до Ь. Пусть ρ обозначает сумму всех
положительных разностей /(Sf)—/(3f_i), a g —сумму всех
отрицательных. Тогда
v=zp + q (89)
и
η
/>-? = 2ΐ/(**>->(^)]==/(*)-/(«)> (90)
откуда следует, что
2p = v + f(b)~f(a) и 2q=v + f(ay-f(b). (91)
Таким образом, если суммы ν ограничены, то суммы ряд также
ограничены. Обозначим их верхние грани соответственно

159. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ
285
через Ρ и Q. Из равенств (91) мы видим, что когда одна из
величин ν, ρ π q приближается к своей верхней грани (но некоторой
'Последовательности разбиений), то остальные две величины также
-приближаются к своим верхним градам; при· этрм
2P = V+f(b)-f{a) и 2Q = V + f{a)-f(b). (92)
Пусть теперь υ (х)—величина, соответствующая υ9 если мы
берем сегмент а, χ вместо а, Ьф Мы можем испрльзовать χ как
одну из точек разбиения, взятого для вычисления значения υ.
Все члены суммы {88), составленной·,для вычисления ν,
положительны. Таким образом, всякое разбиение сегмента а, х,
которое дает значение υ(ζ), может быть использовано вместе с
разбиением сегмента х9 Ь для определения значения υ, которое
окажется больше или равно υ\χ). Тем самым показано, что,
если υ ограничено, все суммы υ (χ) будут ограниченными и наша
функция будет иметь ограниченную вариацию на любом
сегменте а, х. Если V (х) — верхняя грань значений ν (χ) для
данного х, то
V(x)<V. (93)
Далее, повторяя рассуждения для некоторого х' > х, взятого
вместо Ь, увидим, что
V(x)<V(x') при х<х\ (94)
Таким образом, V (х) —- монотонно возрастающая функция
переменного х.
Обозначим числа, соответствующие Ρ и Q, но составленные
для сегмента а, х9 через Ρ (χ) и Q (χ). Тогда, так же как в
равенстве (92),
2P(z) = V{z) + f(z)-f(o) д 2Q(z) = V(x) + №-f(z). {95)
Рассуждения, которыми мы пользовались для получения
соотношения (94), могут быть применены к положительным суммам
ρ (χ) и q (χ), аналогичным ρ и q, но взятым для сегмента a, xt
для доказательства того, что Ρ (χ) и Q (χ) каждая будет
монотонно возрастающей функцией от х. Наконец, из равенства (95)
получим:
f(x) = [f(a) + P(x)]-Q(x). (96)
Полученное равенство показывает, что всякая функция с
ограниченной вариацией может быть предещавлена как сумма монотонно
возрастающей и монотонно убывающей функций»
Отсюда и из замечания, сделанного в начале настоящего
параграфа, получаем такое предложение:
Всякая функция с ограниченной вариацией на некотором
сегменте цнтегрируема в этом сегменте.

286
ГЛАВА VII, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Теперь мы докажем, что сумма Двух монотонных на сегменте
функций всегда является функцией о ограниченной вариацией·
Прежде всего заметим, что если / (х) монотонно возрастающая, то
все разности /(#$) — f{xt~i) — положительны или равны нулю,
так что <7=?0. Поэтому из равенства (90) p = f(b) — f(a) и
# = g = 0, V = v = P = p = f(b)-f(a). (97)
Таким образом, монотонно возрастающая на сегменте функция
является функцией с ограниченной вариацией. Аналогично,
монотонно убывающая на сегменте функция является функцией
с ограниченной вариацией.
Но если мы обозначим
W^FixJ-Fix^), (98)
a №t и ЬНг будут означать подобные выражения для функций
G(x) и Η (χ), то, полагая
H(x) = F(z) + G(z)9 (99)
мы получим соотношения
гнгг=ърг + ю1ж\ън1\<\щ\ + \юг\. , (ЮО)
Рассматривая эти цоследние соотношения для i = l, 2, 3,..., η
и суммируя их, мы найдем, что при любом разбиении сумма υ
для Н(х) не может превзойти соответствующую сумму для F (х)
плюс такую же сумму для G(x). Это показывает, что сумма
двух функций с ограниченной вариацией опять будет функцией
с ограниченной вариацией.
В частности, сумма монотонно возрастающей и монотонно
убывающей функций на сегменте является функцией с ограничен-
ной вариацией, и класс таких функций, в силу результата,
полученного из равенства (96), совпадает с классом функций, имеющих
ограниченную вариацию.
В разложении функций с ограниченной вариацией на
возрастающую и убывающую функции мы можем заменить эти
монотонные функции другими. Например, вместо равенства (96) можно
записать:
f(x) = lf(a) + P(x) + x + k]~lQ(x) + x + k]. (101)
Мы можем таким образом рассматривать функцию с ограниченной
вариацией как разность двух положительных возрастающих
функций, для этого достаточно положить в равенстве (101)
fc> — /(a) — а и к> —а, ибо P{a) = Q{a)^=Q.
.Функции с ограниченной вариацией образуют наиболее узкий
класс функций на сегментеу включающий все положительные воз^

160. ОПЕРАЦИИ НАД ФУНКЦИЯМИ С ОГРАНИЧЕНН. ВАРИАЦИЕЙ 287
растающие функции и все линейные комбинации конечного числа
таких функций.
160. Операции над функциями с ограниченной вариацией.
Мы уже отмечали, что сумма двух функций с ограниченной
вариацией является функцией с ограниченной вариацией. То же верно
для разности и произведения двух таких функций. В самом деле,
если у и у* —две функции с ограниченной вариацией, то мы можем
записать:
y^s — t и y'=s' — f, (102)
где s, t, $' и V—монотонно возрастающие функции.
Следовательно,
у-у'-(»+О -<< + *'). (ЮЗ)
Последнее равенство показывает, что разность двух функций
с ограниченной вариацией представляется в виде разности двух
монотонно возрастающих функций и поэтому является функцией
с ограниченной вариацией. Подобным же образом из равенства
уу' = (ss' + «') - (sf + ts') (104)
мы заключаем, что произведение двух функций с ограниченной
вариацией является функцией с ограниченной вариацией. Так
как Щ п= -г · у1, то отношение у' к у будет функццей с ограничен-
ι
ной вариацией, если у' и функции с ограниченной вариа-
1
цией. Мы покажем, что функция — будет функцией с ограни-
у
ченной вариацией на сегменте, на котором у имеет ограниченную
вариацию и равномерно ограничена снизу положительным числом^
т. е. если у = /(#)', то существует такое фиксированное
положительное число т> что
\f(x)\>m, (105)
для всех χ в рассматриваемом сегменте.
Полагая
f(xt) = A и f(xt^^B9 (106)
мы имеем:
<к\А-В\. (107)
JL_-JL
а в
В-А
*т?
АВ
Отсюда, сохраняя обозначения равенства (98),
SKDikiSWil, (108)

288
ГЛАВА VIK ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
я вариация обратной величины функция / (х) ограничена произ-
ведением — на вариацию функции /(#). Итак, в сделанных пред-
положениях функция — обладает ограниченной вариацией.
у
Мы, таким образом, доказали, что отношение двух функций
с ограниченной вариацией является функцией с ограниченной
вариацией, если абсолютная величина знаменателя -равномерно
ограничена снизу положительным числом.
161. Непрерывные функции с ограниченной вариацией.
Докажем, что функция V (х), так же как функции Ρ (χ) и Q (χ),
будут непрерывны при всяком значении x = x0t при котором
непрерывна функция/(ж); Всщгу соотношения (98) между нашими
тремя функциями, достаточно доказать это свойство для V(x),
Пусть f(x) непрерывна в точке х0. Тогда для любого
положительного s
| / (х') - f {х)\ < ε, если I х9 - χ | < Ь%. (109)
В силу определение вариации V (ж)'как верхней грани сумм (88),
существует такое разбиение сегмента а, Ь, при котором
»>У-«. (110)
Так как сумма, определяющая ν, не может убывать, если мы
добавляем новые точки деления и сохраняем все старые, то мы
можем предположить, что х0 является точкой деления и что
если х' — следующая за х0 точка деления, то | х' — х0 | < 8е. Для
такого разбиения будем иметь:
»(*') = »(*.) + | /(*')-/Ы | <ν(χ0) + з. (Ill)
Кроме того, должно выполняться неравенство
У(х')<ъ(х') + ш. (112)
В самом деле, если бы V (х') было больше, чем ν(χ') + ε, то для
некоторого нового разбиения сегмента а, х' соответствующая
сумма ν* (х') была бы больше ν (χ') + q. Но сумма ν (χ') является
частью суммы ό, так как ν (χ') включает только те слагаемые из υ,
которые соответствуют точкам, деления 'сегмента а,х'. Поэтому,
используя как новые, так и старые точки разбиения; для
сегмента а, х' я сохраняя старые точки деления 'для
сегмента х'9 b, мы получим сумму, составленную для сегмента
а, Ь и превосходящую ν + ε, а следовательно, превосходящую V,
что противоречит определению V как верхней грани.
В силу свойства V (х0) как верхней грани, имеем:
v{x0)<V(xo). (ИЗ)

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VII
28$
Из последних трех соотношений заключаем, что
V(x')<V(z0) + 2*. (114)
Но V (х) монотонно возрастает вместе с х, так что
Q<V(x')-V(xQ)<2s, (115)
причем эти неравенства остаются справедливыми, есди заменить
точку х* какой-либо точкой между х0 и х\
Подобным же образом мы можем предположить^ что разбиение
для получения υ содержит точку of, непосредственна
предшествующую точке х0, такую, что | х" — х0\ < δε, и получить
соотношения
v(x0)=O(xr) + \f(x0)^f(xr)\<v(3cr) + 9f (116)
V(xo)<v(x0) + e и v(x'')^V(x")9 (117)
откуда
V(xQ)<V(x'') + 2a. (118)
Так как V (х) монотонно возрастает, то
0<V(x0)-V(x")<2s, Ш9)
причем х" в (119) может быть заменена л#>бой точкой, лежащей
между х" и х0.
Неравенства (115) и (149) показывают, что
\V(x)-~V(x0)\<2e (120)
для любой точки сегмента #"<#<#' и, следовательно, для всех х,
таких, что
|# — х01 < min(#o — x", x' — Xq). (121)
Поскольку з произвольно, то это показывает, что, функция V(x)
непрерывна в точке х0.
Так как Ρ (χ) и Q(x) непрерывны, когда функция/(о?)
непрерывна, то из равенства (101) мы видим, что всякая непрерывная
функция с ограниченной вариацией момсет быть представлена
в виде разности двух непрерывных возрастающих функций.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VII
1. Пусть Рг — множество точек сегмента 0,1 с рациональными
координатами. Если φ {χ) —характеристическая функция этого множества (§ 148), то.
показать, что верхний интеграл от <?(х) на сегменте 0,1 равен 1, а
нижний интеграл равен нулю.
2. Пусть F(х) и G(x)—интегрируемые функции на, сегменте 0, 1,
причем на этом сегменте F(a?)<G (ж). Если функция /(а*·), равна G [х),
когда χ принадлежит множеству Рг из задачи 1, и равняется: F(x), если χ

290 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ· VII
не принадлежит .Рп то показать, что
{if(x)dx=fiG(x)dx и { f(x)dx=iF(x)dx.
о — о
3. Пусть Pi—некоторое множество точек сегмента ОД и Ра
—множество точек на том же сегменте, не имеющее общих точек с Рг. Если
каждая точка сегмента является предельной точкой множества Pi
и также предельной точкой множества Р2, то показать, что результаты
задач 1 и 2 остаются неизменными при замене Рг через Рх.
4. Пусть функция f(x) определена на сегменте 0,1 следующими
условиями; если χ иррациональная точка, /(ж) = 0; на концах сегмента
Ρ Ρ
f (0) =*/ (1) = 1; для рациональных значений ж, равных —, где
несократимая дробь, / (Г — J =— . Доказать, что колебание функции / (х) равно нулю
для иррациональных значений χ и равно f(x) для рациональных х.
5. Доказать, что функция f(x) из задачи 4 интегрируема на сегменте
от 0 до 1.
в. Пусть g (q) — некоторая функция от q, такая, что lim g(g) = 0,.
когда q—>+оо. Определим функцию /(ж), так же как в задаче 4,
за исключением точек с абсциссами вида — , положив в них /( ·=- )—£(?)·
Доказать,. что результаты задач 4 и 5 имеют место и для такой функции,
7. Канторово множество получается удалением счетного числа
интервалов из сегмента 0,1 следующим способом: сначала, удаляют интервал
12 « «
--, — , другими словами, интервал, равный средней трети сегмента.
3 , · о
Затем удаляют интервалы, равные средним третям каждого из двух
оставшихся сегментов, и т. д. Таким образом, на втором шаге удаля-
12 7 8
ются интервалы —-, --* -—, — . На п-и шаге удаляются 2й-1 интер-
У У , У У
* - 1
валов, длина каждого из них равна ^. Доказать, что полученное
множество имеет жорданову меру нуль. Указание. После каждого шага
оставшиеся сегменты имеют общую длину, равную 2/а длины после
предыдущего шага, поэтому после η шагов оставшиеся сегменты
(2 \п
— J , но эти сегменты содержат все мно-
жество и f — ) -+ 0 при η -* оо .
8. Пусть q—любое число, такое, что 0 < # < 1. Удалим интервал
длины q из сегмента 0,1 и затем из каждого оставшегося сегмента
удалим по интервалу длины,, равной g-й части их первоначальной длины.
Этот процесс повторяется неограниченно. Пусть Рд обозначает оставшееся
множество'. Частный случай, когд$ удаляемые интервалы лежат в сере-
1 '
дине й д= -г, описан в задаче 7. Доказать, что, множество Pq имеет.
жорданову меру нуль. Указание. Рассуждая так,же, как в задаче 7, пока-,
зать, что остающиеся сегменты преле ю-го шага имеют общую длину
(Ϊ—<l)n> которая стремится* к нулю.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
291
9. Мы можем образовать множество при помощи процесса задачи 8,
используя последовательность чисел qv #2 лежащих между 0 и 1,
вместо постоянного числа^ q, причем число дп используется на п-и шаге.
Показать,'г что величина жордановой мерь! полученного множества равна
lim{l-J-2£) (lr- gr3)·. .(l — gr^). Этот предел всегда существует, так как
п-*со
такое произведение положительно и убывает вместе с п.
10. Если последовательность положительных чисел убывает а
возрастанием п, то она стремится к пределу, ап -> а. Если аг < 1, мы можем
определить последовательность чисел qn, положив ^ = 1— а19 и. для п> 1
qn =s ι — —-2L . Показать-; что, используя эти qn в задаче 9, мы получим
αη-ι·
множество с внешней жордановой мерой а.
11. Доказать, что множество, полученное удалением счетного числа
неперекрывающихся интервалов из данного, сегмента* является замкнуты^
множеством. Таковы множества в задачах 7>*8, 9 и 10. Указацие. Всякая
точка, не принадлежащая такому множеству, лежит внутри интервала,
не пересекающегося с этим множеством.
12· Доказать предложение, обратное предложению задачи 11, а именно:
всякое замкнутое множество, лежащее в конечном интервале, может быть
получено удалением счетной последовательности интервалов из
некоторого сегмента. Указание. Нижняя грань а нашего множества
принадлежит множеству, аналогично принадлежит множеству и его верхняя
грань Ь. Множество лежит на сегменте а, Ь. Если χ—точка сегмента
α, δ, не принадлежащая множеству, то она лежит в интервале х\ х"9
каждая точка которого не принадлежит множеству, но концы ж'
и х" являются точками множества; мы получим тот же интервал, если
возьмем любую его точку вместо точки х. Так как такие интервалы
не перекрываются и все находятся на сегменте α, δ, то интервалов
с длиной, большей чем — , будет только конечное число и все они могут
быть перенумерованы.
13. Если ограниченная функция / (х) непрерывна в каждом интервале,
выброшенном при образовании множества Ря в задаче 8, то она
интегрируема, на сегменте 0,1.
14. Пусть Ра — точечное множество, состоящее из всех точек
сегмента 0,1, координаты которых алгебраические числа, как это было
в задачах 26, 30 и 33 к гл. II. Доказать, что это множество имеет меру
нуль, но внешнюю жорданову меру 1.
16. Интерпретируя результат задачи 14, чтоРа имеет меру нуль,
получить, что имеются точки интервала 0,1, не принадлежащие Ра. Тем самым
вторично будет доказано, что существуют трансцендентные числа, т. е.
будет доказан результат задачи 34 к гл. И.
16. Доказать, что если множество состоит из конечного числа точек,
то оно имеет жорданову меру нуль. Использовать этот результат и
теорему §151 для получения второго доказательства того, что ограниченная
функция интегрируема, если она монотонная.
17· Если f(x) — монотонная функция в интервале а, Ъ и если, при
ж->а+, /(ж)->. — оо и, при х-+Ъ~, f (х)-+ + оо, то f(x) непрерывна, за
исключением, быть может, счетного числа точек. Указание, Положить
F (ж) =s arc tg / (χ) и показать, что / (χ) непрерывна, если F (х) непрерывна.
Рассуждения § 158 приложимы к Р(х).
18. Ксли / (ж) — монотонная функция в интервале, то функция / (х)
всюду непрерывна за исключением, быть может, счетного числа точек.
Предложение остается справедливым, если вместо интервала
рассматривать сегмент или области —оо, + ор ; — оо , а; Ь, -f оо.

292
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VII
19. Доказать, что если функция f(x) ограничена и интегрируема,
то функция |/(ж)) также интегрируема. .,
20« Доказать, что если f (χ) удовлетворяет условию Липшица,
соотношению (77) § 128, то /(х)— функция с ограниченным изменением. ,
21. Доказать, что если g (χ) ограничена и интегрируема я / (х) =
X
= \ g(x)dx> то 7 (ж) — функция с ограниченной вариацией. Доказать
а'
также, что для /(#) имеют место равенства
XXX
V{x)= { \g[x)\dx, P[x)=\ gi(x)dx и Q(x)= { g2(x)dx,i%e &!(*)> 0,
a a a
когда £(s)<0, и g1(x)=^g(x), когда g(x)>0, a g2(s) = °» если £(я)>0, и
#2 0е) = g (ж), когда g(x)<0. Сравнить задачи 19 и 20.

Глава VIII
ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ
ИНТЕГРАЛА
Процесс интегрирования, определенный в § 121, дает
интеграл Риманна от ограниченной на сегменте функции как
предел сумм специального .вида, Здесь мы рассмотрим некоторые
изменения этого основного определения интегрирования.
Мы сперва рассмотрим интеграл Стильтьеса, который
образуется с помощью двух функций. Затем мы рассмотрим
некоторый тип сумм, содержащих функцию нескольких аргументов*
каждый из которых в свою очередь является функцией
единственной, общей для всех аргументов переменной. Мы покажем, что
при некоторых условиях предел последовательности таких сумм
будет интегралом Риманна,
После этого мы рассмотрим несобственные интегралы первого
рода, т. е. интегралы до бесконечной области интегрирования,
которые можно определить для некоторых функций, а также
несобственные интегралы второго рода, которые применяются
к некоторому типу неограниченных функций.
162. Интеграл Стильтьеса. Пусть / (х) и g (#) — две
однозначные фуцкции, заданные на сегменте а, £, Рассмотрим
произвольное разбиение сегмента а, Ь на чартидаые сегменты,
определяемое точками
а=±х0<х1<х2 < .. . <#п=6, (1)
и выберем точки £f так, что
Vi-i<*i<xt. (2)
Затем мы образуем сумму
η
^2/(^)[?(^)-«(^)]. (3)
аналогичную сумме, которой мы пользовались в § 121. Наша
сумма зависит от числа п7 выбора точек хх и выбора точек ξ;.
Рассмотрим теперь произвольную дискретную
последовательность сумм St рассматриваемого типа (3), для которой
lim δΜ = 0, ;(4).
f-*"fCO

294 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
где, как и ранее,
8M = max8j и Ъ1=х1 — хь_1. (5)
Если для любой такой доследовательнроти значения St
стремятся к конечному пределу и этот предел Is — один и тот же для
всех последовательностей, то Is называется интегралом Стиль-
тъеса по сегменту а, Ь от функции f(x) относительно
функции g(x).
Мы будем называть суммы S, определяемые равенстэом (3),
стильтьесовскими суммами. Если мы положим г
8gi = g(a*)-g(%-i), (6)
то стильтьесовская сумма (3) запишется так;
л
S=^f{%i)4i- (7)
По мотивам, подобным тем, которые были приведены в § 127,
мы введем следующее обозначение интеграла Стильтьеса:
ь ъ
lim St = Is = J / (χ) dg или $ / (χ) dg (χ), (8)
α α
Мы скажем, что выражение f{x)dg(x) обладает интегралом
Стильтьеса, если существует единственный предел Is стильтье-
совских сумм.
Суммы и интегралы, определенные в § 121, в отличие от сумм
и интегралов настоящего параграфа, будем называть рйманно-
выми суммами и интегралами.
Интеграл Стильтьеса, определенный в настоящем параграфе,
включает интеграл Риманна как частный случай, когда g (χ) = χΨ
163· Достаточное условие· Мы теперь покажем, что если f(x)
непрерывна в сегменте а, Ь и g(x) монотонно возрастает
на том же сегменте, то f(x)dg(x) обладает интегралом
Стильтьеса.
Так как функция g(x) монотонно возрастает, все разности
fci =»*(*!>-*(*«) (9)
положительны илц равны нулю.
Выберем произвольное положительное η и определим δ„ так,
чтобы для любых даух точек хх и х2 нашего сегменту
выполнялось неравенство
W-/WI<s, если \χ2^χι\<:ο<ί, где з = g{b)lg{a] - (10)

163. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
295
Рассмотрим две суммы:
η η
«*=2/(?i)fcf и J'=2/(6/)*'*/. (")
/w *-
такие, что
δΜ<^ и δΜ<|-, (12)
где ом определяется первым равенством (5), а δ^ определяется
подобным же образом для второй суммы. Эти суммы аналогичны
риманновым суммам из равенства (12) в § 122. С помощью
рассуждений^ подобных тем, которыми мы пользовались для
получения равенства (19) из § 122, мы для стильтьесовских сумм (11)
можем показать, что
ρ
«s--y'i< 2 ·*"**'· (13>
где ршхк определяются с помощью соотношений (12) § 122 и
Vgk = g{xl)-gW-i). (14)
Так как все b"gk положительны или равны нулю и
2*'** = *(*ρ)-*Κ) = «(δ)-*(β). (15)
ζ = 1
то из неравенства (13) и определения г [см. (10)] следует, что
\S-S'\<S[g(b)-g(a)]<^ (16)
Применив Теперь к последнему неравенству рассуждения,
которые мы применяли к неравенству (20) в § 122, мы придем к
следующему заключению:
Любая последовательность стильтьесовских сумм (11), для
которых 8Μ—*0, стремится к пределу. Этот предел Is один
и тот же для всех таких последовательностей. Стильтьесовская
сумма, для которой δΜ < у, приближает с точностью до η
значение интеграла.
При помощи аналогичных рассуждений или замечая, что
если h(x) монотонно убывает, то gix)— -*r h (#) монотонно
возрастает, мы докажем, что тот же результат имеет место для
монотонно убывающей функции; в соответствии с этим мы
формулируем следующую теорему:
Интеграл Стилътъеса от выражения f(x)dg(x) существует
в любом сегменте, в котором функция f(x) непрерывна, а
функция g(x) монотонна.

236 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛ л
164· Суммы Дюамеля. Пусть
У/= /*(*). /=1. 2, ..., ft, (17)
суть А непрерывных функций переменной х, заданных на
сегменте а, Ъ. Если Aj—наименьшее, а 2?/—-наибольшее
значения функции /у (#), то у; лежат в ft-мерном интервале К :
А,<У1<В,\ /-1, 2, .,., ft. (18)
Затем пусть
F{yi) = F{yi-y* У*) (19)
— функция к переменных у7-, непрерывная в замкнутом
интервале К. Тогдаг в силу теоремы § 35, F(yf) будет в этом замкнутом
интервале равномерно непрерывной и ограниченной функцией
и будет достигать своего наибольшего и наименьшего значений.
Если считать, что равенства (19) и (17) определяют F как
функцию переменной #,
С(х) = РЦ,{х)), (20)
то, в силу.,утверждения § 36, эта функция будет непрерывной
на сегменте а, Ь.
Для произвольного разбиения сегмента а, Ъ при помощи
точек (1) мы выберем к систем точек, удовлетворяющих
соотношениям (2). Обозначим точки /-й системы £fy-, так что для
/-1, 2,..., ft
a^i<ii/<3f. (21)
Теперь образуем сумму
η
^=2^(//(ξί/))8ί' где /-Ι, 2 к (22)
4 = 1
и 8j определено равенством (5). Мы будем называть суммы такого
типа суммами- Дюамеля, или дюамелевыми суммами.
Мы покажем, что любая последовательность дюамелевых
сумм, для которой
δΜ —>0, где 8м = тахог, (23)
стремится к пределу, равному интегралу Риманна;
ь ь
I = \ G (x) dx = \F {fj (χ)} dx. (24)
α α
Для доказательства мы выберем произвольное положительное
η и положим
— тг^. (25)

164. СУММЫ ДЮАМЕЛЯ
297
Затем, воспользовавшись свойством равномерной непрерывности,
определим Ь' так, чтобы
\РШ-РШ<*> если 1уу —»/!<*'· /=4. 2,.... * (26)
и у/ и у] находятся в замкнутом интервале К. Выберем δ" так,
чтобы
ΙΛ(*'')-//(ζ')Ι<δ' Для / = 1,2,..., ft, если|я"-я',|<5". (27)
Теперь рассмотрим какую-либо дюамелеву сумму (22) с §м < 5".
Для любых ξί9 удовлетворяющих соотношениям (2), в силу
равенства (21), имеем:
|ξ0— 6,|<*'.для / = 1, 2 Л. (28)
Отсюда следует, что
|^(//М>-^(//(5|))|<«, (29)
а это дает возможность сравнить дюамелеву сумму SD с риман-
новой суммой для того же разбиения:
η л
г=1 г=1
Мы найдем, в силу (25), что
SD-S|< 21 *(//&,))-Р(//(δι)) I*t <
* = 1
η
<е2г{<з(М<^ (31)
i=l
Так как 5 — риманнова сумма для интеграла (24), то, согласно
§ 122, найдется такое δ0, что для данного η
11-51< η, если δΜ<^. (32)
Следовательно,
\SD-I\< 2ц, если 8M<minQ^, δ") (33)
Итак, мы доказали теорему:
Любая последовательность дюамелевых сумм (22),
содержащая непрерывную функцию к переменных и к непрерывных
функций одной переменной^ составленная для последовательности
разбиений, для которых δΜ—->0, имеет пределом интеграл
Риманна (24).
Если h (ж)—некоторая ограниченная функция, обладающая
интегралом Риманна на сегменте а, 6, и если G (х) непрерывна

298 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИИ? ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
в этом сегменте, то произведение А (х) G (х) ограничено на сегменте
а, Ь и непрерывно во всех точках, где h (x) является непрерывной.
Таким образом, в замечании в конце § 156 такое произведение
интегрируемо. Рассмотрим риманнову Сумму
η
J=S*(5|)G(51)*i (34)
и дюамелеву сумму, образованную для того же разбиения и для
функции G (х), определенной равенством (20):
η
SD^2h^i)P(fi^u))K (35)
Если |Λ(#)|<ΖΓ на α, 6, то, повторяя рассуждения, которыми
мы пользовались при выводе неравенств (31), получим:
\S — SD\<nH9 если δΜ<δ?. (36)
Теперь рассмотрим какие-либо значения SD, образованные для
последовательности разбиении с δΜ—>0. Суммы S,
составленные для той же последовательности разбиений, стремятся к
пределу, равному
ь
I=^h(x)G(x)dx< (37)
α
Для достаточно далеких членов этой последовательности θΜ<δ",
11 — £ | < η0 и, следовательно,
/-(#■+1)4<.SD</ + (#_+1)η. (38)
Отсюда видно, так как η произвольно, что So стремятся к
пределу, равному /,
165· Свойства интеграла Стильтьеса. Если функция g(x)
обладает производной в открытом интервале а, Ь, то по
теореме о среднем при подходящих значениях ξ/, лежащих в
интервалах Xi*-19 %i>
8(*t)-8 (*t-i)-8' («ί) (*t ~*ι-ι) = 8' (5) «i · (39)
Тогда стильтьесовская сумма (7) запишется в виде:
л η
S.=* Σ f (5,) hi = Σ /ι?,) 8' (?',) it. (40)
Последнее выражение является дюамелевой суммой вида ,(35)
при fc=l. Мы можем принять одну из функций f{x) или g' (x)

165· СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА СТИЛЬТЬЕСА
299
за функцию, k (ж), а другую — за G (х)♦ Таким образом, если
одна из этих функций интегрируема, а другая непрерывна,
любая последовательность сумм, соответствующих
последовательности разбиений, у которой Ъм—>0, стремится к пределу,
и этот предел равен интегралу Риманна
ь
\f(x)g'{x)dx. (41)
а
В частности, мы приходим к следующей теореме:
Если f (χ) интегрируема в сегменте a, b, a g (x) обладает
в этом сегменте непрерывной производной g'(x), то выражение
f (x) dg (x). обладает интегралом Стилътъеса, который может
быть представлен интегралом Риманна от функции f(x)g'(x):
ъ
\f{x)dg{x)=\f(x)g'{x)dx. (42)
α < α
Предположим теперь, что g (x) — монотонная функция в
сегменте а, 6, a f(x) обладает в этом сегменте непрерывной
производной. Тогда, в силу § 163, интеграл Стильтьеса
ь
\f(x)dg{x)
а
существует, а согласно только что доказанной теореме,
существует стильтьесовский интеграл
ь
\g{x)df{x).
а
Рассмотрим теперь тождество
/ (*") \8 {х") -*(*')] + * (*') I/ (*") - / 0*01 =
.=/(*·)*(*·)-/«)*(*'). (43)
Из него получаем:
л η
= / (*n) 8 (*») - / Ы g (as.) = / (*) 8 (4a , (44)
Так как выражение в правой части (44) не зависит от разбиения,
а суммы в девой части являются стильтьесовскими суммами для
фуцкций, от которых существует интеграл Стильтьеса, то, взяв

300 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
последовательность разбиений, для которой Sm—^O, мы наддем,
что
ъ ъ
\ f(x)dg(x)+ $ g{*)df(z) = ni)g{x)fc. (45)
α α
ИЛИ
Ь "Ъ
\ ί(*)dg{x) = /(х)g(x\ £-\g(x) f (х)dx, (46)
a a
Полученный результат, по форме похожий на правило
интегрирования по частям, может быть сформулирован так:
Если f(x) обладает в сегменте а9 b непрерывной производной
и если g(х)— функция монотонная в этом сегменте, то
вычисление интеграла Стильтьеса от выражения f(%)dg(x) сводится
при помощи интегрирование по частям по формуле (46) к
вычислению интеграла Риманна.
Отметим, что интеграл Стильтьеса линеен относительно f(x)
и относительно g(x). Это означает, что при умножении /.(ж) или
g (x) на постоянную к интеграл умножится на к\ кроме того,
ъ ь ъ
^udg+^vdg^=^(u + v)dg (47)
а а а
И
ъ ъ ъ
fdu+\ fdO=\fd(u + v), (48)
а а а
если каждый из этих интегралов существует. Это наверно будет
так, если / непрерывна, а и и ν —монотонно возрастающие
функции. Если одна из функций монотонно возрастает, а другая
монотонно убывает, то интегралы все же будут существовать в смысле
определения, данного в § 162. В этом случае за определение
выражения в правой части (48) иногда принимается значение
левой чисти, которое, очевидно, не зависит от того, каким
образом функция с ограниченной вариацией u + v представлена
в виде суммы двух монотонных.
Интеграл Стильтьеса от f(x)dg(x) не изменяется от
прибавления постоянной к функции g(x)*
Когда g (x) — монотонно возрастающая функция, все ogt
положительны или равны нулю. Поэтому большинство рассуждений
§ 124 может быть применено к интегралу Стильтьеса от / {x)dg (x).
В частности, если т и М— границы функции / (х) в сегменте

166. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ГОДА 301
а, Ь и функция g (x) — монотонно возрастающая в этом
сегменте, то
ь
m[g(b)-g(a)]<^f(x)dg<M[g(b)-g(a)]. (49)
а
166. Несобственные интегралы первого рода. До сих пор мы
рассматривали конечный сегмент, ограниченный пределами
интегрирования. Рассмотрим теперь функцию /(#),
интегрируемую на сегменте а, χ для всех значений χ ^ а. .Если при
χ ·—> + оо интеграл от этой функции стремится к конечному
пределу, то мы запишем:
ОО X
\f(x)ax= lim \f(u)du = L. (50)
о т о
Мы.скажем, что интеграл, стоящий слева, сходящийся, если при
χ
х—* + сх> интеграл \ f(x)dx стремится к конечному пределу;
а
желая отметить предел, к которому он стремится, мы скажем,
что интеграл сходится к L.
X
Если \ / (х) dx при χ —> + оо не стремится к конечному пределу,
χ
мы скажем, что интеграл \ f(x)dx расходящийся.
а
В силу критерия сходимости Коши, такой предел существует
тогда, и только тогда, когда для каждого положительного ε
найдется значение Хе, такое,-что
X" X*
I \ / (в) tfв ~ \ / (а) с?ю < β для любых х" > х' > Хй. (51)
а а
Предположим теперь, что ρ (χ) — неотрицательная функция
при χ > А > а и что
lf(x)\<P(x) Для я^А. (52)
Тогда
х" х'
|Л f(u)du<~ \ /(u)tfa| =
а $
X0 X" Хт
= | J f{u)da\ < J |/(в)| с?в< ^ р(ц^0. (53)
χ* Ж' Я^

302 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Но так как /?(я)>0, то
х"
\ ρ (и) du — \ ρ (и) du = \ ρ (и) du. (54)
А А х>
Последние два соотношения показывают, что Хй для функции
р{х) может служить в качестве Xt и для функции /(я)* Это
приводит нас к заключению, что
CD
сходимость интеграла \f{x)dx
а
со
следует из сходимости интеграла \ p(x)dx. (55)
λ
Интеграл от р{х) в пределах от А до χ монотонно возрастает
со
вместе с х. Поэтому \p(x)dx должен сходиться, если суще-
А
χ
ствует верхняя граница значений \ p(x)dx> для всех х>А.
А
Если выполнены условия, аналогичные тем, при которых
осуществляется соотношение (50), то мы пишем:
а а
\ f(x)dx= lim \f(x)dxr (56)
J χ-*--co J
-co χ
Далее мы примем за определение следующее равенство?
ос α со
^ f (x) dx = \f {x) dx + \ f (x) dx, (57)
-co —oo a
и будем считать определение
а Ъ
\ f(x)dx= — ^ f(b)dx (58)
Ъ a
применимым и в тех случаях, когда пределы интегрирование
а, Ь заменяются через а, оо, или —оо, а, или —со, оо.1
Все интегралы, рассмотренные в настоящем параграфе,,
определены для функций, конечных ρ каждое точке бесконечного
интервала; эти определения используют определение интеграла
из § 121ft но <? ним не тождественны/Такие интегралы
называются несобственными интегралами Риманна первого рода, или
просто несобственными интегралами первого рода.

167. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 303"
Несобственные интбгралы Стильтьеса с бесконечными
пределами определяются подобным же образом. Можно показать,
что если f(x) и р(х) — две функции, для которых имеет место
соотношение (52), и g (я) —монотонно возрастающая функция, то
оо
сходимость интеграла \ ρ (χ) dg (x)
A
оо
влечет за собой сходимость интеграла \ f(x)dg(x). (59).
а
167· Несобственные интегралы второго рода. Бели функция
/ (х) не ограничена на сегменте а, с, то процесс интегрирования,,
определенный в § 121, неприменим в этом интервале. Но если
/ (х) ограничена и интегрируема на сегменте а, х для любого
значения χ в открытом интервале а, с и если ее ицтеграл по
я, χ стремится к конечному пределу при х->«г, то мы
пишем:
С X
\f(x)dx= lim \f(u)du (60)"
a a
и говорим, что днтеграл, стоящий слева, сходится. Мы говорим,,
что этот интеграл расходится, если он не сходится.
*Гак же, как в предыдущем параграфе, мы можем заключить,,
что если
р{х)>0 и \f{x)\<p(x) для а<А<х<е, (61)
то
сходимость интеграла \ p(x)dx
А
с
влечет за собой сходимость интеграла \ f(x)dx. (62>
а
Кроме того, интеграл от р(х) по сегменту А, с непременно схо-
дится^ еоли значения \ p(x)dx ограничены сверху для всех х*
А
таких, что Л<#<с.
Подобным же образом равенство
ь ь
\f(x)dz=»Vm \f(u)du (63)
С ' χ

304 ГЛАВА Vllb, ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
служит для определения интеграла в левой его ч^сти, если /(ж)
неограничена в сегменте с, 6, но в то же время предел правой
части существует.
Мы применяем соотношение
Ъ с Ъ
^ f(x)dx=^f(x)dx+^f(x)dx, (64)
а а с
справедливое для собственных интегралов Риманна, для
определения интеграла в левой части, когда один или оба интеграла
в правой части определены при помощи равенств (60) или (63).
Все интегралы настоящего параграфа, определенные для
неограниченных на конечном интервале функций, но ограничен-
цых и интегрируемых на всяком сегменте, полученном удалением
произвольного интервала, содержащего точку с, называются
несобственными интегралами второго рода.
168. Ограниченные функции. Мы пользовались равенствами
(60) и (63) как определением интегралов в их левых частях,
только в случае, когда функция f(x) неограничена во всяком
открытом интервале, содержащем точку с. Предположим теперь,
что / (х) ограничена в сегменте а, с и интегрируема по
сегменту α, χ для любого значения х, принадлежащего открытому
интервалу а, с. Тогда, если мы припишем какое угодно знаЧе*
ние функции / (х) в точке с, то полученная функция будет
интегрируемой на сегменте а, с; к доказательству этого мы
сейчас перейдем.
Наше утверждение будет следовать из теоремы § 156, если
мы покажем, что точки разрыва функции / (х) на а, с образует
множество D меры нуль.
Выберем произвольное положительное η. Тогда, так как f(x)
интегрируема в а, с —η, то точки разрыва функции / (х) в
сегменте а, с —η образуют множество меры нуль и поэтому могут
быть покрыты счетным множеством интервалов G с общей длиной,
меньшей η. Но эти интервалы вместе с сегментом с — η, с
покрывают все точки D и имеют общую длину, меньшую 2η. Так
как η произвольно, то тем самым, доказано, что множество/)
имеет меру нуль.
В силу соглашения, сделанного в § 149, мы можем оставить
f(x) неопределенной в точке с и тем не менее рассматривать
функцию / (х) как интегрируемую в сегменте а, с: интеграл
в левой части равенства (60) будет уже определен. Однако, δ силу
X
результата § 127, в этом случае 1 f(u)du является
непрерывной функцией переменной ζ*в сегменте а, с, и равенство (60'

169. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
305
будет выполняться. Тем самым доказано, что мы можем
пользоваться равенством (60), <если только предел правой части суще·
ствует, независимо от того, ограничена или неограничена
подинтегральная функция. Подобное же замечание применимо
и к равенству (63).
169. Несобственные интегралы. Пусть сегмент а, Ь
составлен из η сегментов ct_19 ci9 где
a = cQ'<cl<c2.< ... <cn = 6. (65)
Тогда, если интеграл от функции / (х) имеет определенное
значение по каждому из сегментов cfel, ct либо как собственный
интеграл, либо как несобственный интеграл второго рода,
определяемый равенствами, подобными (60) или (63), то за
определение интеграла по сегменту а,Ь мы примем следующее
равенство:
Ь η ci
^f(x)dx=^ ^ f{x)dx. (66)
г=1 с4н[
Мы воспользуемся подобным же равенством, когда сегмент
а, Ь заменен областью —со,Ь или а, со, или —:оо,оо, если
только встречающиеся при этом несобственные интегралы
первого рода сходятся и определены равенствами, подобными
(50) или (56).
Равенство (66) позволяет свести вычисление несобственного
интеграла рассматриваемого здесь типа к вычислению
конечного числа интегралов элементарных типов. Последние же
иногда могут быть вычислены методами § 126. Так мы доказали,
что если функция / (х) = F' (х) интегрируема на а, 6; то
ь
^f(x)dx = F{b)-F(a). (67)
а
Возьмем теперь равенство (50) и предположим, что F'(x) = f (х)
для всех χ > а и что / (х) интегрируема на всяком сегменте
а, х. Если мы введем обозначение
F (х) |? = Urn F(x) — F (a)9 (68)
предполагая, что. предел в правой части существует^ то мы
получим:
, со
$ f(x)dx = F(z)ft. (69)

306. ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Мы можем также заключить, что если лравая часть
равенства (68) не имеет конечного дррдела, то интеграл в левой
части равенства (69) расходится.
Рассмотрим теперь равенство (60). Предположим, что
F' (х) = f (χ) и f(x) интегрируема на сегменте а, х для всех χψ
лежащих в открытом интервале а, с.
Если мы введем обозначение
F(c-) = lim F(x), (70)
х->с~
предполагая, что предел в правой части существует, то
получим:
« с
ξ f(x)dx = F(x)fc = F{c-)-F(a). (71)
α
Мы можем также заключить, что если конечный предел в правой
части равенства (70) не имеет конечного предела, интеграл
в левой части равенства (71) расходится.
Если функция F (х) связана с функцией / (х) равенством
F'(x)^=f (х) для всех х, лежащих в каждом из η открытых
интервалов c(_l9 cit и интегралы элементарного типа в
равенстве (66) существуют, то
Ь η
^f{x)dx=^[F(ci-)~F(ci_1+)}, (72)
α i—1
где F(ct + ) определяется равенством, подобным (70).
В том случае, когда F (с£ — ) - F (cf + ), члены,
содержащие ci9 в правой части равенства (72) взаимно уничтожаются.
В частности, если F (х) непрерывна в сегменте а, 6,
равенство (72) заменится следующим:
ь
^f(x)dx = F{b)-F{a). (73)
α
Равенство (72) может быть также использовано для
собственных интегралов, если только сегмент интегрирования может быть
разбит на конечное число сегментов с _χ, ei9 для каждого из
которых неопределенный интеграл F (х) может быть найден.
Когда либо для упрощения вычислений, либо для какой-либо
другой цели мы заменяем переменную в интеграле,
собственный интеграл может превратиться в несобственный, и наоборот.

170i ПРИМЕРЫ СХОДЯЩИХСЯ Ц. РАСХОДЯЩИХСЯ ИНТЕГРАЛОВ 307
. л _ ,,
Например, если χ = — , то
00 1
S-#-5'dBesl <74)
1 0
и
В последнем случае несобственный интеграл второго рода
превращается в несобственный интеграл первого рода.
Как примеры равенств (69) и (71), мы имеем:
SilF-^^lir-T· (76)
о
и
Syfe=arcsin^~^· <77>
о
Введение несобственных интегралов дает нам право
рассматривать некоторые специальные значения пределов
интегрирования в интегралах, встречающихся в § 137 — 144. Например,
в § 141 мы можем положить верхний предел для χ равным 1.
Это соответствует значению φ = —, так как χ = sin φ.
Получающийся при этом эллиптический интеграл известен под
названием полного эллиптического интеграла. Эти интегралы являются
сходящимися несобственными интегралами второго рода, когда
переменной интегрирования является х9 5но становятся
собственными интегралами по переменной φ.
170. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов. Так
как
X
ТО
5 2·—α+ι &
χ-αάχ— 1_ , α Φ 1 и \ х'1 dx = log x, (78)
\ $~*dx сходится тогда, и только тогда, когда а> 1, (79)
ι
ι
\ x~*dx сходится тогда, и только тогда, когда а< 1. (80)

&08 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Аналогично, для любых 6>с
ъ
\ (x — cy^dx сходится тогда, и только тогда, когда а < 1. (81)
с
Отсюда и из равенств (61) и (62) мы можем заключить, что
если F(х) ограничена и интегрируема на сегменте с, bf то
интеграл
ь
\ (х — с)'а F (x) dx сходится, если а < 1. (82^
В частности, это справедливо, если F(х) — непрерывная функция
на сегменте с, Ь или разрывна лишь в точке с, причем lim F (χ)
ά lim F(x) имеют конечные значения.
х-*с+
Те же рассуждения применимы к аналогичному интегралу,
взятому от Ь до с, если 6,<<? и функция F (х) непрерывна на
сегменте Ь, с или разрывна лишь в точке с, причем lim F(x)
и lim F (χ) имеют конечные значения.
Х-уС~
Равенство (77) и полный эллиптический интеграл с верхним
пределом с = 1 являются примерами таких интегралов с непре-
рывной F (х) и а=—. Пример, в котором lim F (χ) = 1
Х-УС~
и lim F (χ) = — 1, дает интеграл
ъ
^{x-cy^sin^dx. (83)
С
Таким же образом, полагая, что lim F (χ) и lim F (χ) имеют
конечные значения, получим, что
ъ
\ (х — с)"0, log (x — c)F (x) dx сходится, если а < 1. (84)
с
В самом деле, положим
α = α' — ρ, где /? > 0 и а' < 1, (85)
и запишем:
(я — *)"* log {χ — с) i? (χ) =
= (я - с)~а' [{χ - су log {x - с)] F (ж). (86)

170, ПРИМЕРЫ СХОДЯЩИХСЯ И РАСХОДЯЩИХСЯ ИНТЕГРАЛОВ 309
Тогда, в силу § 92, lim (χ — р)р log (χ — с) =·· lim hv log h = 0, так
X-+C Λ->0
что при х-~±с множитель в квадратной скобке стремится к нулю.
Поэтому интеграл (84) сходится в силу условия (82).
Аналогично, всякий множитель при функции F (х), который'
при х—>с является бесконечно большой низшего порядка, чем
{х — сУ1 в произвольной положительной степени4} не влияет на
сходимость нашего интеграла. Отметим, что величина а в
равенстве (84) может быть равной нулю.
Если Ρ (х) — положительная интегрируемая в сегменте с, Ь
функция, ограниченная снизу положительным числом, то интеграл
ь
(х — с)"0, Ρ (χ) dx расходится, если а > 1. (87)
с
В самом деле, если бы этот интеграл сходился, то интеграл (81)
сходился бы для значения а > 1. В частности, наше заключение
имеет место, если Ρ (χ) непрерывна всюду на сегменте, за
исключением точки с, причем lim Ρ (χ) > 0 или lim Ρ (χ) = + °° ·
X-+C+ iC-»-C+
Когда b < с, мы рассматриваем нижний предел при х—>с — 0.
Доказательство, подобное тому, которым мы пользовались
при выводе условия (84), показывает, что
'■ ь
\ " P(x)dx расходится, если ρ > 0. (88)
с
Также расходится интеграл от произведения Ρ (χ) на некоторый
положительный множитель, который при х—->с+ стремится
к бесконечности быстрее, чем (х — с)""1.
Из условия (79) мы можем заключить, что если F (х)
интегрируема на всяком конечном сегменте Α, χ и lim F (χ)
lim F (χ) имеют конечные значения, то
x~aF(x)dx сходится, если а > 1. (89)
А
Множитель при F(x), который при х—>+оо является
бесконечно большой низшего порядка, чем χ в любой положительной
степени, не влияет на сходимость нашего интеграла.
Также, если Р(х) — положительная интегрируемая функция
на всяком конечном сегменте А> χ и lim Р(ж)>0, то
а?А-+оо
оо
\ х~а Ρ (χ) dx расходится, если а < 1. (90)
А

310 ГЛАВ1& VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Этот интеграл будет расходиться, если подинтегральная
функция представляет собой произведение Ρ (χ) на некоторую
положительную функцию к (х), которая при х—>+оо является
бесконечно малой низшего порядка по сравнению с аг1.
В § 144 мы определили и (х), функцию, обратную вейер-
штрассовской g>, с помощью условий, эквивалентных следующим:
χ
г dx =u(x). (91)
з
То, что этот интеграл сходится, следует из (89), так κ&κα~-γ .
171· Длина дуги. Непрерывная ориентированная дуга или
траектория — это упорядоченное множество точек (х, у) на
плоскости, которое может быть представлено двумя уравнениями:
* = /(<) и y = g(t), (92)
причем значения t изменяются в некотором сегменте a, b
и функции f(t) и g(t) непрерывны в этом сегменте. В том случае,
когда эти функции таковы, что для двух значений f и V из
сегмента
a<t<b (93)
из соотношений
/(*') = /(*") и g{t') = g{t") следует, что *'=*", (94)
то соответствие между точками дуги и значениями t в сегменте
a, b будет взаимно однозначным. Если параметр t может быть
выбран так, чтобы только что указанное свойство имело место,
γο траектория называется простой дугой. Порядок следования
точек на траектории определяется порядком соответствующих
значений t. К этому сводится геометрическая роль параметра.
Две траектории, состоящие из одних и тех же точек,
расположенных в том же порядке, рассматриваются как
тождественные. Таким образом, уравнения
х = Г, у = 0 (-1<*<1) (95)
a = l-cosf, г/ = 0 (_-£<*<.£.) (96)
Г С
и
Траектория
представляют одну и ту же траекторию, но эта траектория не
будет простой дугой.
x = t, у = 0 (0<*<1) (97)

171. ДЛИНА ДУГИ
311
будет простой дугой, тождественной части траектории,
заданной уравнениями (95) или (96).
Полигональная, или ломаная, линия-—это дуга, состоящая
из конечного числа прямолинейных отрезков. Мы получим
вписанную в данную траекторию ломаную линию, выбирая п~-1
промежуточных значений
параметра t:
a^tQ<tt< ... <tn^b, (98)
которые определяют /г— 1
промежуточных точек траектории,
и затем соединим каждую
последовательную пару точек Р^г и Pt
прямолинейными отрезками или
хордами (фиг. 16). Всякий
выбор /г — 1 промежуточных
точек Pt определяет для
данного выбора параметра разбиение ___
сегмента, подобное разбиению
(98). Пусть Ln обозначает длину
вписанной ломаной линии. Положим
Тогда
Фиг. 16
(99)
Ln=2 pnpiи pt-ipt=/м+щ.
ι = ί
Рассуждая так же, как в § 98, можно показать, что
откуда
г=1
η
Σ!
Ъхц
0Уг\
;£«<2lteii + Slty*i
(100)
(101)
(102)
г~1
Если V и г" — два каких-либо значения параметра,
принадлежащих сегменту (93), Р' и Р"—соответствующие точки,
то. длина отрезка Ρ Ρ" есть непрерывная функция переменных
t' и t" и поэтому достигает своего наибольшего значения. Это
наибольшее значение длины хорды называется диаметром дуги.

Г 312 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Если цы рассматриваем ломаную линию, такую, что dM —
наибольший диаметр дуг jP^-Pj — не превосходит ε, то всякая
ломаная линия,, полученная добавлением точек деления, будет
образована хордами, длины которых тоже не превосходят s. Если
любая последовательность вписанных ломаных линий, для
которой dM—>0, приводит к последовательности значений Ln,
стремящейся к пределу Z., общему для всех таких
последовательностей, то мы скажем, что дуга имеет длину Z.. Нам пришлось
воспользоваться величиной dM вместо наибольшей длины хорды,
потому что наша дуга не обязательно простая. Если, например,
наша дуга имеет форму восьмерки, то разбиение одной петли
можно рассматривать как разбиение всей фигуры, причем хорды
могут быть сделаны сколь угодно малыми, но при этом длина
соответствующей вписанной полигональной линии будет
приближаться лишь к половине длины дуги.
η
Сумма 2 \^xi\ в (102) представляет собой сумму ν из § 159,
которая служит для получения вариации функции f(t).
Предположим, что vQ — значение этой суммы, соответствующее
произвольному фиксированному разбиению (98). Так как ν
возрастает или сохраняет свое значение, когда добавляются точки
разбиения, то имеются разбиения, у которых maxu^· произвольно
мало и v>v0. Так как / (t) и g (t) — равномерно непрерывные
функции, то среди наших разбиений имеются такие, что
наибольшее значение колебания этих функций на частичных дугах
произвольно мало. Таким образом, для таких разбиений dM будет
произвольно мало. Так как при этом Ln> v>v0, то если L —
предел Ln—существует, то u0<L. Таким образом, L ограничивает
сверху величины ν для всех разбиений и функция / (t) является
функцией с ограниченной вариацией. Те же рассуждения
применимы и к функции g{t), и мы приходим к такому результату:
Если непрерывная траектория имеет конечную длину, то
каждая из функций, выражающих ее координаты через параметру
будет функцией с ограниченной вариацией.
Для доказательства обратного предложения допустим, что
каждая из функций f(t)vig (t) обладает ограниченной вариацией.
Тогда из (100) и (102) имеем:
η η η
Ln=2 JW\ < ΣI b*i ι + ΣI hi I· (юз)
i«l i=l i=l
Отсюда видно, что все значения Ln будут меньше суммы полной
вариации /(£) и полной вариации g(t) на данном сегменте. Следо-.
вательно, значения Ln ограничены и поэтому имеют верхнюю
грань; которую мы обозначим через L.

171. ДЛИНА ДУГИ
313
Расстояния между тремя точками удовлетворяют соотношении*
P^Pt<Pt^Pj + PiPt, (Ю4>
которое было аналитически доказано в § 98. Следовательно, при
добавлении какой-либо точки разбиения Pj между Р\_г и Pif
новое значение, заменяющее Ln, будет равно или больше Ln.
Кроме того, так как каждая из новых хорд будет меньше или равна
диаметру дуги, то увеличение Ln не превзойдет удвоенного
диаметра дуги Pi-xPfy следовательно, не превзойдет удвоенной
величины^.
Так как L—- верхняя грань длин ломаных, то некоторому
разбиению со значениями t) и соответствующими точками Р)
отвечает ломаная из N звеньев, длина L'N которой удовлетворяет
неравенству
L'N^L-e. (105)
Теперь рассмотрим произвольное разбиение с dM < ^ · Пусть-
точки разбиения будут Ρί9 соответствующие значения параметра
tt и Ln — длина соответствующей ломаной. Тогда
Ln<L. (Ю6>
Образуем новое разбиение, используя как точки Pt, так и точки
P'j, отличные от Pt. Если новое разбиение имеет т точек, τσ
т <п +Ν. Обозначим длину соответствующей ломаной через Lnm.
Так как точек, добавленных к точкам Рь меньше N, то новых
хорд, каждая длиной < ^, окажется меньше 2JV, так что
L"m<Ln + 2N^ = Ln + z. (107)
Но разбиение, которому соответствовала бы величина Vm, можно
получить из разбиения, соответствующего величине L'n,
добавлением новых точек деления, поэтому
L"m>L'N. (108)
Из полученных четырех неравенств следует:
1-2з<£д<Ь. (109)
Отсюда мы видим, что для любой последовательности разбиений,
для которой с?м~>0, соответствующие величины Ln, начиная
с некоторого номера, отличаются от L не более, чем на 2з. Так
как е произвольно, то мы заключаем, что lim Ln = L и траектория
имеет длину L. Таким образом, доказана следующая теорема:
Непрерывная траектория обладает конечной длиной, если
каждая из функций, выражающих ее координаты через какой-
либо параметр, обладает ограниченной вариацией. При этом

314 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
длиной траектории будет верхняя грань длин всех вписанных
ломаных.
Как мы отмечали, длина траектории не зависит от выбора
параметра, так как параметр определяет только порядок следования
точек на траектории. Таким образом, длина дуги является
геометрической величиной, определяемой самой траекторией.
172. Простые дуги. Мы сейчас докажем, что в случае простой
дуги любая последовательность разбиений, для которой
злах Pi-χΡχ —> 0, обладает также тем свойством, чтос?м—>0. Для
доказательства предположим, что существует
последовательность разбиений, такая, что max Pi-χΡι —> 0, и в то же время dM
к нулю не стремится. Тогда для некоторого положительного ε
каждому целому η соответствует разбиение, для которого dM > ®,
"тогда как max P^Pi < -"-. Следовательно, для всякого η можно
найти пару точек на кривой, для которых
Р'пК < \ , а диаметр дуги Р'пР"п > г. (НО)
Но f(t) и g(t) — непрерывные функции, поэтому длина хорды Р'Р"
является непрерывной функцией переменных V и V—значений г,
соответствующих точкам Р' и Р"9 — в некотором замкнутом
двумерном интервале. В силу равномерной непрерывности,
существует такое δ, что
Р'Р' <е, когда \t'—f\<b. (Ill)
Так как дуга Р'пРп содержит некоторую хорду длиной больше з,
то она должна содержать пару точек со значениями t,
отличающимися не меньше чем, на о. Поэтому значения t, соответствующие
точкам Р'п и Ρη} которые мы обозначим через t'n и fn, сами должны
отличаться друг от друга не менее чем, на δ, т. е.
|£-*А|>*- (112)
Пусть теперь ε фиксировано, а п пробегает последовательность
значений 1, 2, 3, . . . Тогда либо все значения t'ny начиная с
достаточно большого /г, совпадают, либо значений Vn бесконечно много
и они имеют предельную точку (см. §9). В том и в другом случае
можно выбрать подпоследовательность значений пу для которой
соответствующие t'n будут стремиться к пределу, который мы
назовем t'0. Из выбранной подпоследовательности можно выбрать еще
одну подпоследовательность значений η (назовем их т), для
которой соответствующие значения t^ стремятся к некоторому
пределу ζ. Итак,
limfm = t'0 и lim4 = C (ИЗ)

174. СВОЙСТВА ДЛИНЫ ДУГИ
315
Из (110), (112) и (113) следует, что
Р'0Р; = 0, \t'0-t"0\>t, (114)
где Р'0 и Ρ'ό — точки, соответствующие значениям t'Q и t"Q. Но
последние соотношения противоречат условию, определяющему
простую дугу, поэтому предположение, что ам не стремится
к нулю, неверно.
Таким образом, для случая простой дуги, если max P^Pi-^Q,
то и йм~>0. Но из определения диаметра, когда dM—>0, то
и ΐίΐΆχΡί_1Ρί -^->0. Следовательно, для определения длины
простой непрерывной дуги мы можем рассматривать
последовательности вписанных ломаных, для которых max P^Pi—>0, вместо
таких, для которых с?м~->0.
17$. Вариация. Если / (t) — непрерывная функция с
ограниченной вариацией на сегменте а, Ь, то уравнения
* = /(*); У = 0 (115)
определяют непрерывную траекторию, длина которой равняется
полной вариации f(t) на сегменте а, Ь. Так как /(^ —
равномерно непрерывная функция, то для любой последовательности
разбиений, для которой max6if—>0, также dM—>0. Мы
получаем следующий результат:
Для непрерывной функции с ограниченной вариацией полная
вариация V = Нш][||оД|, где предел берется по любой
последовательности разбиений, для которой тахЗ£г~>0.
174. Свойства длины дуги. Из соответствующих свойств
ломаных следует, что длина дуги кривой или непрерывной траектории,
как мы ее определили в § 171, обладает тем свойством, что если
дуга разбита какой-нибудь точкой на две дуги, то длина
исходной дуги равняется сумме длин обеих частей. Таким образом,
L\ = K + L\, (116)
где верхними и нижними индексами обозначены начальные и
конечные точки соответствующих дуг. Так же, как и для интегралов,
мы можем определить:
Ll=-Ll (117)
Тогда предыдущее равенство можно переписать в более
симметричной форме:
i* + l; + l:=o. (lis)
В силу симметрии последнего соотношения, оно будет
справедливо для любых трех значений а, Ь, с, независимо от их
порядка.

316 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Если мы обозначим вариацию от а до t функции/(г) через
Vfa и, аналогично, вариацию от а до t функции g (г) — через Vg*a,
то из неравенств (102), в силу предыдущего параграфа, следует:
у§\
;\<Σΐ<ν?α + ν£. (119)
Так как эти неравенства справедливы для любого сегмента,
лежащего в а, Ь, то мы можем применить их к сегменту t,t-hh,
если t лежит в интервале а, Ь и h достаточно мало. В силу
непрерывности вариации, доказанной в § 161, из второй части
неравенства (119) следует, что L*a является непрерывной функцией
переменной t. Пользуясь левой частью неравенства (119) и
монотонностью полной вариации, мы заключаем, что L*a монотонно
возрастает вместе с /. LJ является строго возрастающей
функцией в каждом сегменте *'<£<£", в котором вариация хотя бы
юдной из функций / (t) и g (t) не равна нулю. Если же Vf% = Vg^r = О,
то / и g будут постоянными:
/(*) = /(*') и g(t) = g(t') t'<t<t\ (120)
В случае простой дуги этого не может быть. В самом деле, длина
ломаной не меньше длины хорды, то же верно и для длины дуги;
поэтому если Р' и Р" — различные точки и V и t" —
соответствующие значения параметра, то ,
и;<и; при t'^f. (121)
Единственное назначение параметра заключается в том, чтобы
множество точек оказалось упорядоченным. Последнее
неравенство показывает, что* точки дуги будут упорядочены, если мы
возьмем в качестве параметра самое длину дуги:
s = Ll (122)
ТогДа мы получим следующее представление для траектории:
x = F(s), y = G(s), (123)
имеющее ясный геометрический смысл. Обе функции в (123)
будут непрерывны, так из неравенств (101) следует:
\*У
1\ }<Л-^г<Ц. (124)
175. Интеграл, выражающий длину дуги. Предположим, что,
яри некотором выборе параметра г, функции / (х) и g (t)
обладают непрерывными производными в сегменте а, Ь. Тогда,
как мы сейчас покажем, функции f(t) и g (г) будут с ограничен-

175. ИНТЕГЯАД, ВЫРАЖАЮЩИЙ ДЛИНУ ДУГИ
317
ной вариацией. По теореме о среднем
8/f = /(**)-/(it-i) = /' («',)Щ, (125)
где t\ выбраны надлежащим образом в интервалах if_x? ii#
Отсюда:
η η
2l8/tl=Sin«)m. (126>
i=l i=l
Когда max if { —>0, правая часть этого равенства, в силу § 122,
будет стремиться к пределу, поэтому сумма в левой части
равенства ограничена и функция f(t) будет с ограниченной вариацией.
А в силу § 173, мы найдем в пределе следующее выражение:
ь
Vf.= 5 !/'(*)!*· (427)
а
Аналогичный вывод применим и к g(t).
Из последней теоремы § 171 следует, что кривая,
изображаемая уравнениями x = f(t), y = g(t) (α<ί<6), в наших
предположениях обладает длиной. Для того чтобы выразить длину
с помощью интеграла, возьмем выражение, которое получается
из равенства (125), и аналогичного равенства для g (t):
η η
2 VWtW=Σ VinW+WW)]2 fci. (128)
г«1 г=1
Так как эта сумма Является дюамелевой суммой и функции
/' (t) и gf (t) непрерывны, то, в силу теоремы § 164, для любой после-
довательностц разбиений, для которой тах&£{, а следовательно,
иг dM стремятся к нулю, наша сумма будет стремиться к пределу,
являющемуся риманновым интегралом. При этом длина
вписанной ломаной будет стремиться к величине L. Следовательно,
ь
Ll=\ VlTW+WW^· (129)
а
Обозначим такой интеграл, взятый в пределах от α до /,
через s\ тогда, так как подинтегральная функция непрерывна,
£=/[/'(«)]· +1*40]' (130)
и, как следствие, отсюда имеем;
ds* = dx* + dy2. (131)

318 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
176· Отношение длины дуги в хорде· Рассмотрим отношение
длины дуги, соединяющей две точки, соответствующие
значениям tx и £2, к длине хорды, стягивающей эту дугу. Последняя
[см: (128)] выражается так:
PiP*=Vinnr+ig'im a*. (132)
где t' и f —некоторые значения t между tt и ί2. Так как под-
интегральная функция в равенстве (129) непрерывна, то, в силу
теоремы о среднем для интегралов,
Η
дуга РгР,= ^ ΐΛ/'Wr + fe'Wl1 А =
h
= V\r(r")? + \f{t"')YU. (133)
Это показывает, что
хорда РгР% = Y[f {t')\*+[gf (P]p
дуга РгРА γ[/'(*'")]*+[g'(*'")i2 *
(134)
Теперь предположим, что Р0— точка, соответствующая
значению ί0, и что хотя бы одна из величин /' (и) и g' (tQ) не равна
нулю. Тогда, когда Рг стремится к PQ, tx стремится к tQ. В самом
деле, пусть ϊ'(ΐο) = ΜφΟ] тогда для некоторого значения h
имеем:
IГ(0-/'(*·)К? и |/'(*)|>f при |ί-ί.|<Α, (135)
откуда, если | ix —10 j < А, то
*А>у|«»-*.|, (136)
так как в равенстве (132) можно взять Р0 вместо Р.й. Этим
доказано, что \tx —10\ стремится к нулю вместе с РХР0. Аналогично,
если Р2 стремится к PQ, то t2 стремится к £0·
Пусть теперь иДи Р2 стремятся к Р0, тогда tt и ί2 стремятся
к t0. Поэтому t', t" и г'" из равенства (134) все стремятся к tQr
и так как числитель и знаменатель стремятся к одному и тому же
пределу, отличному от нуля, то правая часть равенства (134)
стремится к единице.
Используя прием § 61 и помня соотношение (131), мы можем
определить угол φ так, что
dx — ds cos φ, dy = ds sin φ. (137)
Так как эти уравнения дают:
g = tg?, (138)
то угол φ является углом наклона кривой к оси х.

177. МАТЕРИАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
319·
Мы можем принять s за параметр, как это сделано η урапно-
ниях (123). Если теперь φ будет непрерывной функцией s9 то мы
скажем, что кривая обладает непрерывно вращающейся
касательной, или является гладкой. В этом случае из равенств (1."37)
мы имеем:
*"(*) = -^=cos<p, G'(*)=5=sincP· (139)
Таким образом, эти производные будут непрерывными функциями
параметрами, в силу равенства sin2 φ + cos2 φ = 1, никогда
одновременно не будут обращаться в нуль. Поэтому у гладкой
кривой всякая точка обладает свойствами упомянутой выше точки Р0.
Отметим, что, обратно, если при некотором выборе
параметра t функции / (t) и g (t) обладают непрерывными
производными, одновременно не обращающимися в нуль, то кривая —
гладкая. Действительно, при этом из равенства (130) имеем:
ds
j- > 0, так что функция s (t) обладает непрерывной обратной
функцией/(s); и так как tg<p = ., . , то φ является непрерывной
функцией параметра t и, следовательно, длины дуги s.
Сформулируем теперь основной результат настоящего
параграфа:
Если каждая из двух точек, служащих концами дуги и хорды
некоторой гладкой кривой, стремятся к одной и той же точке
кривой, то отношение длины дуги к Злине хорды стремится
к единице.
177· Материальные кривые. Одним из основных понятий
теоретической механики является понятие материальной частицы,
или материальной точки. Материальная точка — это точка с
поставленным ей в соответствие положительным числом-—массой.
Если точка находится в плоскости и т обозначает массу, то
каждая тройка чисел т, х, у определяет материальную точку.
Рассмотрим теперь некоторую дугу гладкой кривой. Если
мы поставим в соответствие всякой частичной дуге кривой
массу, пропорциональную ее длине,
mba = DLl (140)
то Мы тем самым определим материальную кривую, притом
однородную, т. е. обладающую постоянной плотностью D.
Пусть s — длина дуги, отсчитываемая от какой-нибудь фиксиро·
ванной точки кривой до переменной ее точки, и пусть т (s) —
соответствующая масса. Тогда:
m{s) = Ds и m*; = Z). ($"-*')· (141>»

320 ГЛАВА VIII, ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПрНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Если мы поставим в соответствие гладкой кривой
положительную непрерывную функцию D(s), то мы определим
материальную кривую с переменной плотностью. Для дуги такой кривой
масса будет задана с помощью интегралов
m(s)=[ D(s)ds и m£=jj D(s)ds. (142)
Законы механики для непрерывных систем получаются
распространением . соответствующих законов для конечного числа
точек при помощи следующего процесса. Мы делим
непрерывную систему на η частей и заменяем каждую такую часть одной
материальной частицей с координатами, равными координатам
какой-либо точки этой части, и относим ей массу или силу,
соответственно равные общей массе части или результирующей
силе, действующей на всю часть системы, замененную данной
частицей. Пусть Qn обозначает какую-либо физическую
величину для полученной системы из η частиц. Если для любой
последовательности разбиений исходной непрерывной системы, такой,
что наибольшая величина диаметров частей <ΖΜ стремится к нулю,
величина Qn стремится к одному и тому же пределу Q, то мы
припишем Q тот же физический смысл для непрерывной системы,
какой Qn имело для системы из η частиц. Всякий закон,
устанавливающий соотношение между несколькими Qnt также
распространяется на соответствующие величины Q.
То, что таким, способом полученные законы не будут
зависеть от выбора системы координат и параметров, следует из их
физического смысла для конечной системы.
Наш метод распространения геометрического понятия длины
ломаной линии на дугу кривой, хотя и не тождествен с
указанным здесь методом, но по существу сходен с ним.
Не всегда подчеркивается, что указанный метод только
подсказывает новые законы и определения. Он не доказывает их,
так как непрерывная система не является системой с большим
числом отдельных частиц, и, чтобы установить закон для такой
системы, необходимы дополнительные предположения.
Для системы из η частиц статический момент относительно
оси у дается формулой
η
MX = 2 Ximi- (143)
Для любого разбиения материальной кривой .мы получаем:
η
2 χ (si) D (s;)bSi, (144)

178. ПЛОТНОСТЬ СИЛЫ
321
где si—длина дуги до некоторой точки £-й части разбиения,
а 4 — значение, полученное применением теоремы о среднем
к интегралу
si
^ D{s)ds = D{s1)bsi9 (145)
si-i
который представляет, в силу (142), массу г'-й части. Так как
функции в дюамёлевой сумме (144) непрерывны, то эта сумма
стремится к пределу, когда dM —> 0 и, следовательно, max os£ —» 0.
Мы называем этот предел статическим моментом нашей
материальной кривой относительно оси у и запишем:
s
т (s)x(s) = \ χ (s) D (s) ds. (146)
о
Так как левая часть равенства (143) является
произведением абсциссы центра тяжести на Полную массу системы из η
частиц, то мы придаем аналогичное значение и левой части
равенства (146). Множитель m(s) определен равенством (142), и
равенство (146) определяет значение χ (s) — абсциссу центра тяжести
материальной кривой.
Статический момент относительно оси χ и величина у (s)
определяются аналогично, так что
т(*)у {*)=*[ У i*)D{s)ds. (147)
о
Статический момент относительно произвольной оси на плоскости
может быть найден из формул (146) и (147) так же, как он
находится из аналогичных формул для конечного числа частиц.
Подобным образом понятие момента инерции системы из η частиц
приводит нас, в случае материальной кривой, к определениям:
5 5 5
Ιχχ^ \ x*Dds, Ixy^l xyDds> ϊ™ = \ V*Dds· (14$)
о о о
Момент инерции относительно произвольной оси получается
из интегралов (148) тем же путем, каким он получается из
соответствующих сумм для конечного числа частиц.
178. Плотность силы. JVlu можем поставить в соответствие
материальной кривой непрерывную функцию Ρ (s) — плотность
-силы, действующей в направлении оси х. Тогда полная сила,
действующая- в направлении оси χ на некоторую часть кривой,

322 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
определится равенствами
s s*
Fx{s)=^Px(s)ds или Fx\$=^Px(s)ds. (149)
О 5'
Второе равенство дает силу, действующую на частичную дугу
с концами s' и s". Аналогичное определение применимо к
составляющей силы в направлении оси у ж в направлении,
перпендикулярном к плоскости ху9 т. е. в направлении оси ζ.
Если все приложенные силы имеют одно и то же
направление, например, параллельны оси у, то мы можем определить
абсциссу точки приложения их результирующей при помощи
уравнения, аналогичного уравнению (146) для χ (s). Метод
предыдущего параграфа приводит также нас к выражению момента
сил, приложенных к системе, относительно произвольной оси
через интегралы вида:
S
^y(s)Px(s)ds, (150)
и
которое получается из аналогичного выражения, содержащего
суммы, для системы из конечного числа точек.
Законы движения жесткой системы частиц могут быть
выражены уравнениями
^D(8)ds=^Px(s)ds или m{s)^=Fx(s) (151)
d*x
dt*
0 ϋ
для поступательного движения центра тяжести и зфамениями
^ (X2 + У2) D (s) Λ = J (XPy - YPX) ds (152)
d4
dt*
о о
для вращения вокруг центра тяжести, где
Х = а-ж» Y = y-~y (153>
— координаты относительно системы с началом в центре тяжести.
В случае притяжения частицы единичной массой, помещенной
в начале координат, мы получим для плотности силы в
направлении оси χ выражение
^т χ
*2 + y*Y&Ty*' (154^
Если единичная масса, измеренная в начале координат,
притягивает материальную кривую, то наше правило приводит к такому

179. ИНТЕГРАЛЫ СТИЛЬТЬЕСА
323
выражению составляющей силы по направлению оси х:
s" _
г xD
Λ = Υ^ (Ж2 + y2fhds· (155)
s'
Заметим, что в теории электричества величине D аналогична
плотность зарядов, которая, в отличие от D, может быть как
положительной, так и отрицательной.
179· Интегралы Стильтьеса. В трех последних параграфах
мы предполагали плотность непрерывной, а кривую —гладкой.
При этих условиях мы могли заменить интегралы по
переменному s интегралами, взятыми по другому параметру, например
по χ или по у для ограниченной части дуги. Однако полученные
результаты применимы к любым непрерывным кривым,
обладающим длиной дуги, потому что для таких кривых χ ж у будут
непрерывными функциями s. .
Функция т (s), определенная равенством (142), имела произ-
водную -г- =D(s). Мы можем ослабить это ограничение,
потребовав только, чтобы m(s) была монотонно возрастающей
функцией от s. В этом случае мы определим плотность как т' (s) для
тех значений s, для которых m(s) имеет производную. Для
остальных значений s плотность не определяется. В интегралах,
входящих в равенства (146), (147) и (148), мы заменим D (s) ds через dm,
условившись понимать эти интегралы в смысле Стильтьеса;
интегралы будут существовать, так как χ и у — непрерывные
функции от s, a m(s) монотонно возрастает.
Подобное же замечание относится к интегралам в § 178,
причем Px(s)ds заменяется через dFx, где Fx — некоторая функция
с ограниченной вариацией. Это обобщение дает нам возможность
исследовать материальную кривую с непрерывной плотностью
и некоторым числом расположенных на ней материальных частиц
единым аналитическим методом. Также силы могут слагаться
из сил, распределенных с непрерывной плотностью, и сил,
приложенных к отдельным точкам, подобно непрерывной и
сосредоточенной (в отдельных точках) нагрузке в теории балок. В
уравнениях, таких, как (151) и (152), мы часто имеем дело с
непрерывной плотностью и, кроме того, с конечцой суммой в правой
части. Интеграл Стильтьеса имеет здесь больше теоретическое,
чем практическое значение, так как в тех случаях, когда его
значение может быть легко вычислено, это может быть сделано
при помощи сведения к интегралу Риманна и конечной сумме.
180. Криволинейные интегралы. Пусть Ρ (χ, у)—
непрерывная функция переменных χ и у в некоторой двумерной области,

324 ГЛАВА VIII. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
содержащей все точки дуги некоторой кривой, обладающей
длиной. Вдоль этой дуги s' <s<s" координаты x(s)m y(s) являются
непрерывными функциями с ограниченной вариацией.
Возьмем разбиение дуги точками (хь yt)y соответствующими
значениям si9 и образуем сумму
η
Я=%Р(х'и y'№i, (156)
ί=-1
где х[ соответствует s{, a y\ соответствует s\9 причем s\ и
4—значения s, принадлежащие сегменту st_19 st.
Так как χ (s) — непрерывная функция с ограниченной
вариацией, то, в силу § 161, мы можем записать:
x(s) = f(s)-g(s), (157)
где / (s) и g (s) — непрерывные возрастающие функции^ s в сегменте
s', s". Пусть
p' = f{s'), p" = f(s") и q' = g(s'), f = g(s"). (158)
Тогда, в силу § 37, уравнение p = f(s) определяет обратную
функцию s = f"1(p)9 непрерывную и возрастающую на сегменте р', р"'.
Аналогично, уравнение q — g(s) определяет обратную функцию
s = g^1(q), непрерывную и возрастающую на сегменте q', q"'.
В силу § 36, мы можем рассматривать x = x(s) ц у = y(s) как
непрерывные функции либо от р, либо от q. Теперь запи-
щем:
η η
S^^P(х'о у-)Ьъ-ΣΡ(*ί, УдЧ. (159)
Так как s возрастает вместе с ρ, а р — вместе с s, значения pt,
соответствующие sit определят разбиецие сегмента р', p"f
и s'i и s\, будут соответствовать значениям р\ и^ в pt_19 pk.
Таким образом, первая сумма в (159) является дюамелевой
суммой по независимому переменному р, а вторая — по независимому
переменному q. Кроме, того, из равномерной непрерывности ρ
как фуцкции s следует, что для всякой последовательности
разбиений, для которой dM—>0 и поэтому тах8$4—>0, будет
maxSjPf—>0. Поэтому дая такой последовательности разбиений,
в силу § 164, каждая из наших сумм будет стремиться к
интегра